Wprowadzenie TO

Krótkie wprowadzenie do teorii elektrycznych obwodów stałoprądowych Wprowadzenie Poznawanie otaczającego nas świata może odbywać się (i zazwyczaj tak jest) poprzez jego modelowanie. W tym celu wprowadza się najpierw bardzo uproszczone modele, takie którym nadaje się elementarne, znane nam i oczekiwane cechy. W ten sposób dochodzimy to stworzenia podstawowych elementów o jednostkowych, idealnych cechach (np. cegła, okno, drzwi itp.), z których to elementów staramy się stworzyć model jak najwierniej odtwarzający obserwowaną rzeczywistość (np. domy, garaże itp.) i tym samym poznawać mechanizmy jakie nią rządzą. Z drugiej strony, tak zdefiniowane elementy wykorzystywane są do tworzenia modeli nowych obiektów, których rzeczywiste zachowanie będzie zgodne z naszymi zamierzeniami (np. sklepy, fabryki itp.). Rozpatrzmy dla przykładu układy (urządzenia) elektroniczne. Każde takie urządzenie do swego działania wymaga energii, która musi być czerpana z jakiegoś źródła. Skupiając się wstępnie właśnie na zagadnieniu zasilania, można ów problem rozpatrywać jako źródło energii (np. popularna bateria) oraz odbiornik tejże energii (np. odtwarzacz MP3) połączonych przy pomocy przewodów (np. drut metalowy), jak to pokazuje rysunek 1.

+ Źródło (zasilacz)

_

+ Ux

_

Odbiornik

Rys. 1. Schemat blokowy: źródło – odbiornik.

Jest to pierwsze uproszczenie wskazujące czego dotyczy problem. W kolejnym kroku wprowadzamy model zawierający elementy elektroniczne, który umożliwi nam analizę tego co dzieje się w takim obwodzie. Źródłami energii elektrycznej są źródła napięcia lub prądu, odbiornikami są urządzenia (układy) lub proste elementy elektroniczne, a połączenia stanowią przewody elektryczne. Ponieważ nie interesuje nas tutaj, to jak działa odbiornik tylko fakt, że pobiera on energię, można zamodelować go prostym pojedynczym elementem, który jest w stanie pobierać energię (i np. rozpraszać czy też zamieniać energię elektryczną na cieplną) jakim może być element zwany rezystorem lub inaczej opornikiem (stawiając opór płynącemu przez niego prądowi, nagrzewa się wydzielając ciepło). Przystępując zatem do zapoznania się z podstawami obwodów elektrycznych, wypada rozpocząć od zrozumienia podstawowych pojęć takich jak napięcie, prąd, źródła napięcia i prądu, odbiornik, rezystor, przewód itp., a następnie przejść do praw jakie rządzą w obwodach elektrycznych i właściwie je stosować.

Podstawowe pojęcia Działanie obwodów elektrycznych jest możliwe dzięki przepływowi oraz gromadzeniu się ładunków elektrycznych. Różne stopnie nagromadzenia tych ładunków w różnych punktach obwodu, określa się poprzez tzw. potencjał punktów. Zjawiska te natomiast wiążą się z takimi wielkościami jak napięcie oraz prąd, których definicje brzmią następująco: Napięcie to różnica potencjałów, oznacza się je literą U i wyraża się w woltach (U=V1-V2 [V]). Prąd to uporządkowany ruch ładunków elektrycznych (przepływ), oznacza się go literą I a jego natężenie wyraża się w amperach (I [A]). Źródłami tych wielkości są elementy zwane źródłami napięcia oraz prądu. Model idealnego źródła ZŚ'II-2012

1

napięcia (rys. 2a) cechuje się stałym w czasie napięciem na swoich zaciskach (dla napięć stałych), które nie zależy od podłączonego do niego obciążenia (odbiornika energii), analogicznie jest z modelem źródła prądu (rys. 2b), tyle że wytwarza ono prąd o stałym, niezależnym od obciążenia, natężeniu.

+ E

I

R

_ a)

b)

c)

d)

e)

Rys. 2. Schematy idealnego: źródła napięcia (a), źródła prądu (b), rezystora (c), przewodu (d) oraz przerwy (rozwarcia) (e).

Chcąc przekazać energię ze źródła do odbiornika należy je ze sobą połączyć, czego dokonuje się przy pomocy przewodów. Jako najprostszy model idealnego odbiornika przyjmuje się element zwany rezystorem (rys. 2c). Jego zadaniem jest rozpraszanie energii poprzez zamianę energii elektrycznej na cieplną. Ma on tylko jedną cechę zwaną rezystancją, wyrażaną w omach (Ω), oznaczaną literą R i określającą jak duży opór stawia on przepływającemu przez niego prądowi. Sam przewód też można traktować jak specyficzny element (rys. 2d), podobny do rezystora, tyle że jego rezystancja wynosi 0 Ω, dzięki temu prąd przez niego przepływa bez żadnych przeszkód. Czasem wprowadza się też element określający przerwę (rozwarcie) w obwodzie (rys. 2e), który cechuje się rezystancją równą nieskończoność i tym samym nie pozwala na przepłynięcie przez siebie prądu. Dwa ostatnie elementy mogą być wykorzystane przy niektórych analizach obwodów. Przykładowo, jeśli w obwodzie występuje rezystor o zerowej rezystancji, wtedy można zastąpić go przewodem, natomiast jeśli występuje rezystor o nieskończonej rezystancji lub mamy do czynienia z brakiem elementu (np. został usunięty), wtedy możemy w tym miejscu użyć przerwy. Istotne jest by wiedzieć, że rezystancja jest cechą jaką można zauważyć w każdym elemencie (analogicznie jak ciężar przedmiotów, które nas otaczają), w tym też we wspomnianych źródłach. I tak, idealne źródło napięcia cechuje się zerową rezystancją a idealne źródło prądu rezystancją nieskończoną. Rezystancje te określa się mianem rezystancji wewnętrznych źródeł. Spróbujmy teraz wyjaśnić co oznacza fakt, że wartości generowane przez źródła nie zależą od połączonego z nimi obciążenia. W przypadku źródła napięcia rozpatruje się to następująco. Wartość napięcia wytwarzanego przez źródło oznacza się się literą E i nazywa napięciem siły elektromotorycznej. Na zaciskach wyjściowych (końcówkach) takiego źródła wartość napięcia jest równa właśnie tej sile elektromotorycznej U=E (rys. 3a). Po podłączeniu, przy pomocy przewodów, obciążenia R do źródła E (rys. 3b), wartość napięcia na zaciskach źródła dalej jest równa sile elektromotorycznej niezależnie od wartości R (poza przypadkiem R=0). Ponadto napięcie jakie będzie panowało na zaciskach obciążenia R, będzie również równe E. I I I I + + U U E U U E U U Iźr R U R _ _

a)

b)

c)

Rys. 3. Idealne źródła napięcia i prądu: a) źródło napięcia w stanie jałowym, b) źródło napięcia z podłączonym obciążeniem oraz c) źródło prądu z podłączonym obciążeniem.

Zmiana wartości R w tym przypadku wpływać będzie jedynie na wartość prądu w obwodzie, co ZŚ'II-2012

2

wynika z podstawowego zadania źródła napięcia czyli generowania i utrzymywania stałego napięcia. Napięcie to jest ponadto jednakowe we wskazanych w obwodzie (rys. 3b) miejscach. W przypadku podłączenia obciążenia do źródła prądu (rys. 3c) jest analogicznie, przy zmianie wartości obciążenia R tym razem natężenie prądu w obwodzie się nie zmienia, ponieważ dba o to źródło prądu (Iźr=I). Zmiana wartości R w tym przypadku wpływać będzie jedynie na zmianę wartości napięcia U na obciążeniu. Wyjaśnijmy sobie teraz kilka pojęć jakie używane są w kontekście obwodów elektrycznych i które ułatwią nam dalsze analizy. Tak więc zauważmy, że na przedstawionych już schematach elementy i układy elektroniczne mają swoje końcówki (zwane też zaciskami) i w zależności od liczby końcówek nazywa się te elementy dwójnikami, trójnikami czy też czwórnikami. Używane do połączeń elementów przewody, też należy traktować jak swego rodzaju elementy. Ponadto rozpatrując zagadnienie energii w obwodach, która łączy się z jakąś aktywnością (przynajmniej potencjalną), wprowadza się określenie układu (elementu) aktywnego dla wszystkich elementów lub układów elektronicznych zawierających źródła energii. Natomiast każdy układ/element elektroniczny nie zawierający źródła energii, a tylko je przetwarzający lub gromadzący, nazywamy pasywnym. Przy okazji warto zauważyć pewną własność obwodów. Mianowicie prąd wypływający ze źródła musi być równy prądowi doń wracającemu. Wynika z tego, że po to aby prąd płynął w obwodzie musi istnieć źródło prądu lub napięcia oraz musi istnieć w obwodzie droga, którą prąd wypływający z jednego zacisku źródła mógłby wrócić do tego źródła poprzez jego drugi zacisk. Taką zamkniętą drogę w obwodach nazywamy oczkiem. Przy okazji wyjaśnijmy inne pojęcia jakie określają nam elementy struktury obwodów. Mianowicie punkty połączeń elementów nazywamy węzłami, a fragmenty pomiędzy węzłami nazywamy gałęziami. Zwróćmy uwagę, że podłączając do rezystora napięcie ze źródła napięcia (rys. 3b) spowodowaliśmy (wymusiliśmy) płynięcie przez ten rezystor prądu, natomiast przepuszczając przez rezystor prąd ze źródła prądu (rys. 3c) spowodowaliśmy odłożenie się na nim spadku napięcia. Jest to normalne zachowanie się rezystora, które ściśle wiąże się z podstawowym prawem obwodów elektrycznych czyli prawem Ohma. Mówi ono, że wartość napięcia jakie odkłada się na rezystorze do wartości natężenia prądu jaki przez niego przepływa równa się wartości rezystancji tego rezystora co przedstawiają poniższe wzory I=

U , R

U =I⋅R ,

R=

U . I

Dla rezystora często określa się też moc (wyrażaną w watach - W) jaka się na nim wydziela przy okazji płynięcia prądu i odkładania się na nim napięcia, która wyraża się zależnością P=U·I [W]. Prawo Ohma warto też zastosować do przewodu, aby stwierdzić, że spadek napięcia na nim jest zerowy (U=I·R=I·0=0) czyli że potencjały na nim (w szczególności na jego końcach) są wszędzie jednakowe. Analogicznie stosując to prawo dla rozwarcia (przerwy) wykazujemy, że prąd przez ten element nie płynie, czyli jego natężenie jest zerowe (I=U/R=U/∞=0). Rozpatrzmy teraz inne połączenia oraz wprowadźmy sobie kolejne podstawowe prawa. I Prawo Kirchhoffa – suma prądów w węźle jest równa zero (suma prądów wpływających jest równa sumie prądów wypływających). Przykład obrazuje nam rys. 4, dla którego zgodnie z tym prawem można zapisać: I =I 1 +I 2 , I −I 1 −I 2 =0 . I I2 I1 I R1 U R2 U Rys. 4. Obwód obrazujący I (prądowe) prawo Kirchhoffa. ZŚ'II-2012

3

II Prawo Kirchhoffa – suma napięć w oczku jest równa zero (suma napięć źródeł jest równa sumie spadków napięć). Przykład obrazuje nam rys. 5, dla którego zgodnie z tym prawem można zapisać: E=U 1+U 2 , E−U 1−U 2 =0 . Napięcie źródła E rozkłada się tutaj na spadki napięć na rezystorach U1 i U2. I I

+ E _

R1

U1

R2

U2

U

Rys. 5. Obwód obrazujący II (napięciowe) prawo Kirchhoffa.

Analiza i rozwiązywanie prostych obwodów Znając prawo Ohma oraz prawa Kirchhoffa, można już swobodnie opisywać co dzieje się w rozpatrywanych przez nas obwodach stałoprądowych, czy też wyznaczać wartości interesujących nas wielkości. Obwód 1 – idealne źródło napięcia obciążone rezystorem (rys. 3b) Dla obwodu tego można zapisać napięciowe prawo Kirchhoffa (E=U) a dla rezystora R można zapisać prawo Ohma. W ten sposób mając podane E oraz R (są to parametry elementów obwodu) można wyznaczyć szukane wielkości tj. U oraz I: E=U ,

I=

U E → I= R R

Obwód 2 - idealne źródło prądu obciążone rezystorem (rys. 3c) Z prądowego prawa Kirchhoffa wynika, że prąd wypływający ze źródła jest równy prądowi płynącemu przez rezystor R (Iźr=I). Zatem znając już wartość prądu (jest to dany parametr źródła) oraz stosując prawo Ohma dla rezystora o znanej wartości R można wyznaczyć spadek napięcia na nim: I źr =I ,

U =I⋅R → U =I źr⋅R .

Obwód 3 – równolegle połączone rezystory zasilane idealnym źródłem prądu (rys. 4) Zwróćmy uwagę na fragment obwodu jaki tworzą elementy R 1 i R2 na rys. 4. Jest to proste oczko, więc suma napięć w tym oczku powinna być równa zero. U 1+(−U 2 )=0 → U 1=U 2=U

Wskazuje to, że wartości napięć na obu elementach powinny różnić się tylko znakiem. Różnice w znaku na schemacie przedstawia się kierunkiem strzałki. Stąd na rysunku zaznaczone jest jednakowe napięcie na obu rezystorach. Występujące tutaj połączenie dwójników, w którym jedne zaciski obu dwójników łączą się bezpośrednio (lub poprzez przewód) oraz identycznie drugie zaciski obu dwójników, nazywamy połączeniem równoległym. Spadki napięć na elementach w takim połączeniu są takie same, natomiast prądy przez nie płynące mogą być różne. Zauważmy dodatkowo, że stosując w tym obwodzie prądowe prawo Kirchhoffa oraz prawo Ohma do każdego z elementów, otrzymujemy: I =I 1 +I 2 = ZŚ'II-2012

U1 U2 U U + = + , oraz R1 R2 R1 R2

I 1 1 1 = + = . U R 1 R2 R 4

Ponieważ I/U ma wymiar odwrotności rezystancji, więc wynika z tego, że takie połączenie rezystorów można zastąpić jednym rezystorem R (zwanym zastępczym lub wypadkowym), którego wartość można obliczyć wyznaczonym właśnie wzorem, przy czym zastąpienie to nie zmieni pozostałych warunków w obwodzie. Obwód z rys. 4, będzie można wtedy przedstawić w postaci obwodu z rys. 3c. Przypadek ten można rozszerzyć na dowolną ilość elementów. Jeśli teraz postępując jak w przypadku dla rys. 3c, mając wartość I, wyznaczymy wartość napięcia U, to z prawa Ohma dla każdego z rezystorów można wyznaczyć płynące przez nie prądy U =I⋅R= I⋅(

1 1 1 + R1 R2

)=I⋅

R1⋅R2 R1+R2 ,

I 1=

U1 U = , R 1 R1

I 2=

U2 U = . R2 R 2

Obwód 4 – szeregowo połączone rezystory zasilane idealnym źródłem napięcia (rys. 5) W obwodzie występują węzły, które łączą tylko po dwie gałęzie. Zatem w każdym przypadku prąd wpływający do węzła jest równy prądowi wypływającemu (zgodnie z prądowym prawem Kirchhoffa). Czyli w całym obwodzie występuje tylko jeden prąd o wartości I. A w szczególności przez oba elementy R1 i R2 przepływa prąd o tej samej wartości. Występujące tutaj połączenie dwójników, w którym jeden zacisk jednego dwójnika łączy się bezpośrednio tylko z jednym zaciskiem drugiego poprzez węzeł, z którego nie odchodzi żadna dodatkowa gałąź (poza tymi, w których są omawiane dwójniki), oraz drugie zaciski obu dwójników się nie łączą, nazywamy połączeniem szeregowym. W połączeniu takim wartości prądów płynących przez oba elementy są jednakowe natomiast spadki napięć na każdym z nich mogą być różne. Podobnie jak poprzednio, można zauważyć, że stosując prawo Kirchhoffa oraz prawo Ohma otrzymujemy: E U = =R= R1+R2 . I I Ponieważ U/I ma wymiar rezystancji, więc wynika z tego, że takie połączenie rezystorów można zastąpić jednym rezystorem R (zwanym zastępczym lub wypadkowym), którego wartość można obliczyć wyznaczonym właśnie wzorem, przy czym zastąpienie to nie zmieni pozostałych warunków w obwodzie. Obwód z rys. 5, będzie można wtedy przedstawić w postaci obwodu z rys. 3b. Przypadek ten można rozszerzyć na dowolną ilość elementów. Jeśli teraz postępując jak w przypadku dla rys. 3b, wyznaczymy wartość prądu I, to z prawa Ohma dla każdego z rezystorów można wyznaczyć spadki napięć na nich: E=U =U 1+U 2=I 1⋅R1+I 1⋅R2=I⋅R1+ I⋅R 2 ,

I=

U E E = = , R R R1+R2

U 1=I 1⋅R1=I⋅R1 ,

U 2= I 2⋅R 2=I⋅R2 .

Obwody otwarte Pokazaliśmy sobie jak zachowuje się idealne źródło napięcia w stanie jałowym (rys. 3a) oraz jakie cechy ma przewód. Przewód nie podłączony do niczego, zgodnie z tym co było powiedziane, ma w każdym puncie taki sam potencjał (zwykle przypadkowy), więc różnica potencjałów pomiędzy jego końcówkami jest zerowa. Jeśli przewód taki podłączymy do punktu o wymuszonym, ustalonym potencjale, takim jaki występuje na jednym z zacisków źródła napięciowego (+), wtedy na przewodzie (w każdym jego punkcie) pojawi się ten potencjał. Analogiczną sytuację mamy w przypadku rezystora. Jeśli jest on nie podłączony, to nie ma wymuszenia na nim ani różnicy potencjału ani też prądu, czyli prąd przez niego nie płynie oraz potencjały na obu końcówkach są takie same czyli napięcie pomiędzy końcówkami jest zerowe. Podłączając rezystor jednym zaciskiem do punktu o wymuszonym potencjale, mamy sytuację, w której prąd przez rezystor nie płynie, ponieważ nie ma zamkniętej drogi. Jeśli prąd nie płynie, oznacza to, że nie ma też różnicy potencjałów pomiędzy końcówkami, zatem druga końcówka rezystora musi mieć potencjał taki sam jak ten wymuszony. Oba te przypadki obrazuje rysunek 6.

ZŚ'II-2012

5

+

+

+ E

U

_

U

R _

_

Rys. 6. Rozkład potencjałów w przewodzie oraz rezystorze przy wymuszeniu potencjału tylko na jednym zacisku.

Uproszczenia Mając ugruntowane podstawowe wiadomości o obwodach, można czasem stosować uproszczenia w postaci nie zaznaczania nieistotnych węzłów, nie zaznaczania osobno przewodów itp. Z tego też powodu obwód z rys. 6 może być narysowany tak jak to pokazuje rys. 7, czy też obwód z rys. 5 tak jak na rys. 8. + E _

U

Rw Rys. 7. Rzeczywiste źródło napięcia w stanie jałowym (bez obciążenia).

I + E _ Rw

U

Ro

Uo

Uw

Rys. 8. Rzeczywiste źródło napięcia z podłączonym obciążeniem R o.

Rzeczywiste źródło napięcia Idealne źródło napięcia, jak można się domyślać, nie zawsze odzwierciedla rzeczywiste urządzenia. Aby dopasować model źródła napięcia do przypadków z jakim spotykamy w rzeczywistości, wprowadza się model rzeczywistego źródła napięcia, w którym zaznacza się, że źródło takie nie ma zerowej rezystancji wewnętrznej (rys. 7). Jak to wynika z dotychczasowych analiz, napięcie na zaciskach wyjściowych takiego źródła w stanie jałowym jest równe sile elektromotorycznej źródła idealnego (które stanowi część tego modelu), więc tak samo jak dla modelu idealnego (rys. 3a). Sytuacja zmienia się po podłączeniu do niego obciążenia Ro (rys. 8). Napięcie pomiędzy tymi samymi zaciskami (U) jest wtedy takie same jak na obciążeniu (Uo). U =U o Stosując napięciowe prawo Kirchhoffa otrzymujemy U =U o= E−U w ≠E , co pokazuje, że napięcie na zaciskach wyjściowych rzeczywistego źródła napięcia przy podłączonym obciążeniu jest mniejsze niż w stanie jałowym, a dokładniej to: ZŚ'II-2012

6

Ro . R o+ R w Dokładnie takie zachowanie obserwujemy w rzeczywistych źródłach, więc model źródła zawierający niezerową rezystancję wewnętrzną jest bardziej odpowiedni. U =U o= I⋅R o=E⋅

Twierdzenie Thevenina Na podstawie dotychczas przedstawionych informacji można zauważyć, że każdy dwójnik pasywny można zastąpić równoważnym układem w postaci rezystora zastępczego. Dla przykładu załóżmy, że mamy pewien obwód składający się z samych elementów pasywnych (rys. 9) i interesuje nas ten obwód z punktu wiedzenia dwóch wybranych punktów (A i B). Możemy w tych punktach zaznaczyć sobie zaciski i traktować ten obwód jak dwójnik. Dla takiego dwójnika można wyznaczyć równoważny obwód zastępczy, o jednej rezystancji równej w tym przypadku R ⋅R R z= 12 3 , gdzie R12=R1+ R2 . R12+R 3 Powyższa zależność wynika z faktu, że R 1 i R2 połączone są szeregowo a ich wypadkowa (R 12) równolegle z R3. R2

R2 A

R1

R3

A R1

B

R3

A Rz

B

B

Rys. 9. Obwód pasywny i jego dwójnik zastępczy.

Wyznaczając rezystancję wypadkową dla obwodów warto pamiętać jakie wartości otrzymuje się dla połączenia dowolnego rezystora R z rezystorem o wartości równej zero (0) lub nieskończoność (∞). Są to mianowicie:  szeregowe połączenie R i 0 daje wypadkową R,  szeregowe połączenie R i ∞ daje wypadkową ∞,  równoległe połączenie R i 0 daje wypadkową 0,  równoległe połączenie R i ∞ daje wypadkową R co można oczywiście wykazać. Dla dwójników aktywnych Thevenin wykazał, że każdy taki dwójnik można zastąpić równoważnym układem zastępczym w postaci źródła rzeczywistego (rys. 7), zwanego czasem w tym przypadku modelem Thevenina. Ujął to w następujące twierdzenie: Każdy obwód widziany ze strony dwóch różnych zacisków (np. A i B) można przedstawić w równoważnej postaci rzeczywistego źródła napięcia -szeregowo połączonego idealnego źródła napięcia (E) i rezystancji wewnętrznej (Rw). Aby układy te były równoważne, napięcie E musi być równe napięciu pomiędzy zaciskami A i B, natomiast rezystancja Rw musi być równa rezystancji zastępczej obwodu widzianej ze strony zacisków A i B. Celem przykładu rozważmy układ jak na rys. 10a. Chcemy dla tego obwodu wyznaczyć równoważny obwód w postaci rys. 7. Przy czym napięcie E musi być równe U AB oraz Rw musi być równa rezystancji zastępczej obwodu (rys. 10a) widzianej ze strony zacisków AB. Pozostaje zatem wyznaczyć te parametry. Dla napięcia można zauważyć, że UAB równe jest spadkowi napięcia na R2. Natomiast napięcie na R2 wyznaczaliśmy już analizując obwód z rys. 5. R2 E=U AB=U 2=E 1⋅ R1+R2

ZŚ'II-2012

7

R1

R3

R1

A

R3

A

+ E1

R2

_

R2

UAB B

a)

B

b)

Rys. 10. Obwód aktywny (a) i jego postać przy wyznaczaniu rezystancji zastępczej.

Dla wyznaczenia rezystancji zastępczej musimy spojrzeć na elementy w obwodzie, inne niż rezystory, zauważając tylko ich rezystancję. Tak więc, ponieważ idealne źródło napięcia ma rezystancję wewnętrzną równą zero a taką rezystancję można zastąpić przewodem, zatem w miejscu tego źródła umieszczamy (tylko dla celów wyznaczenia rezystancji zastępczej) przewód. Podobnie należałoby postąpić ze źródłem prądu, tylko w tym przypadku zastępuje się je rozwarciem. Można zastosować inną, nie wnikającą w zasady, regułę, która mówi że wyznaczając rezystancję zastępczą takich obwodów wszystkie źródła napięcia zwieramy natomiast źródła prądu rozwieramy. Tak czy inaczej, obwód będzie wyglądał tak jak to przedstawia rys. 10b. I wtedy widzimy, że rezystory R1 i R2 połączone są ze sobą równolegle natomiast ich zastępczy rezystor połączony jest z R3 szeregowo: R1⋅R2 + R3 R1+R 2 Próbując uogólnić twierdzenie Thevenina, można zauważyć że model z rys. 7 zastosowany dla zasilacza z rys. 1, wynika właśnie z tego twierdzenia. Zatem mając dowolny stałoprądowy układ (dwójnik), którego struktury nie znamy ale znamy jego rezystancję wewnętrzną oraz napięcie na jego zaciskach, możemy do celów analizy zastąpić modelem Thevenina. Ponadto zagadnienie wyznaczania rezystancji zastępczej układów pasywnych może być postrzegane jako szczególny przypadek tego twierdzenia, w którym napięcie na zaciskach ma wartość zero, więc i źródło E ma wartość zero, co można zastąpić przewodem (zwarciem) a model Thevenina redukuje się do postaci pojedynczego rezystora. Rw =R AB=

Dzielnik napięcia Jest to czwórnik pasywny, którego napięcie wyjściowe (Uwy) jest wynikiem podziału napięcia wejściowego (Uwe) jak to pokazuje rys. 11. Stopień podziału dzielnika (k≤1) zależy od stosunku rezystancji wejściowej (Rwe) do rezystancji wyjściowej (Rwy). I Dzielnik I

+ E _

R1

U1

R2

U2

Uwe Uwy

Rys. 11. Rezystancyjny dzielnik napięcia z podłączonym na wejście idealnym źródłem napięcia.

Ponieważ w najprostszym ujęciu, dzielnik taki stanowią dwa rezystory, więc można zapisać:

ZŚ'II-2012

8

U we R R2 =U we⋅ wy =U we⋅ . k R we R1+R 2 Jego zachowanie można prześledzić identycznie jak dla obwodu z rys. 5 lub z rys. 8. Ponadto często widząc, że jakiś fragment naszego obwodu ma strukturę dzielnika, korzystamy z podanej zależności dzielnika aby wyznaczyć napięcie, nie zajmując się wyznaczeniem prądu. Ciekawą może być analiza zastosowania takiego dzielnika do podziału napięcia idealnego źródła napięcia (rys. 11). Wyznaczając obwód zastępczy (wg tw. Thevenina) układu widzianego ze strony zacisków wyjściowych dzielnika otrzymuje się rzeczywiste źródło napięcia (rys. 7) o nowej sile elektromotorycznej równej Uwy oraz rezystancji równej równoległemu połączeniu R 1 i R2. Zatem konstruując taki dzielnik, należy brać pod uwagę nie tylko stosunek podziału ale i wartości rezystorów (głównie rezystancję wejściową) dzielnika, ponieważ jeśli tak powstałe nowe źródło ma zbyt dużą rezystancję, wtedy przy podłączeniu na jego wyjście odbiornika (np. w postaci rezystora R) można spowodować pojawienie się na nim napięcia znacznie niższego niż się spodziewamy. Zauważmy również, że podłączając na wyjście rzeczywistego źródła napięcia obciążenie w postaci rezystora Ro tworzy nam się właśnie dzielnik napięcia E. Dzięki temu możemy łatwo wyznaczyć napięcie na obciążeniu z zależności: U wy=

U wy=U R =U we⋅ o

Ro Ro = E⋅ Rw +R o R w +Ro

Przyrządy pomiarowe Umieszczając w obwodach przyrządy pomiarowe, musimy wiedzieć co wtedy się dzieje i jak analizować takie obwody. Omówione zostaną tutaj tylko przyrządy do pomiaru natężenia prądu oraz napięcia, które traktuje się jak elementy elektroniczne. + + IA A _ + UV V V UV RV RA IA _ A _ _ + a)

b)

c)

d)

Rys. 12. Schematy przyrządów: woltomierz idealny (a), woltomierz rzeczywisty (b), amperomierz idealny (c ) oraz amperomierz rzeczywisty (d).

Przyrządem do pomiaru napięcia jest woltomierz. Zgodnie z definicją napięcia, w celu jego pomiaru powinniśmy podłączyć woltomierz pomiędzy punkty, na których występuje interesujące nas napięcie. Ponieważ przyrząd taki staje się częścią badanego obwodu, więc w idealnym przypadku powinien mieć cechy powodujące nie wpływanie na badany obwód. Taki warunek będzie spełniony, jeśli woltomierz będzie miał rezystancję wewnętrzną równą nieskończoność. I tak właśnie określony jest model idealnego woltomierza (rys. 12a). Dzięki temu nie płynie przez niego prąd (analogicznie jak przez przerwę/rozwarcie). Rzeczywiste woltomierze mają jednak skończoną rezystancję, którą w celach analiz powinniśmy uwzględniać (rys. 12b), ponieważ zmienia ona warunki w obwodzie. Powoduje ona płynięcie prądu, przy czym prąd ten płynie tylko przez tą rezystancję a nie przez część przedstawiającą idealny woltomierz (rys. 13). Napięcie jakie przykładane jest na zaciski pomiarowe woltomierza jest tym, które woltomierz wskazuje (U V), a w przypadku woltomierza rzeczywistego jest ono również równe napięciu jakie odłoży się na jego rezystancji wewnętrznej.

ZŚ'II-2012

9

Rw

+ I I

+ E _

UV

RV

V

_ Rys. 13. Przykład schematu pomiarowego pomiaru napięcia.

Każdy obwód, w którym mierzymy napięcie (U x) można (zgodnie z tw. Thevenina) zastąpić przez obwód pokazany na rys. 13 (gdzie E=Ux). Analizując ten obwód, można zauważyć następujące przypadki: − jeśli Rw=0, wtedy na wskazanie woltomierza nie będzie miała wpływu jego rezystancja wewnętrzna RV, czyli woltomierz pokaże nam UV=E − jeśli RV=∞, wtedy na wskazanie woltomierza nie będzie miała wpływu rezystancja obwodu Rw, czyli woltomierz pokaże nam UV=E − jeśli Rw≠0 oraz RV≠∞, wtedy obie te rezystancje będą miały wpływ na wskazanie woltomierza, które będzie UV≠E Przyrządem do pomiaru natężenia prądu jest amperomierz. Zgodnie z definicją prądu, w celu jego pomiaru powinniśmy podłączyć amperomierz przerywając obwód w miejscu, w którym płynie interesujący nas prąd i wpinając go pomiędzy powstałe punkty. Ponieważ przyrząd taki staje się częścią badanego obwodu, więc w idealnym przypadku powinien mieć cechy powodujące nie wpływanie na badany obwód. Taki warunek będzie spełniony, jeśli amperomierz będzie miał rezystancję wewnętrzną równą zero. I tak właśnie określony jest model idealnego amperomierza (rys. 12c). Dzięki temu nie odkłada się na nim napięcie (analogicznie jak na przewodzie/zwarciu). Rzeczywiste amperomierze mają jednak niezerową rezystancję, którą w celach analiz powinniśmy uwzględniać (rys. 12d), ponieważ zmienia ona warunki w obwodzie. Powoduje ona odkładanie się na niej spadku napięcia, przy czym spadek ten występuje tylko na tej rezystancji a nie na części przedstawiającej idealny amperomierz (rys. 14). Prąd jaki płynie pomiędzy zaciskami pomiarowymi amperomierza jest tym, który wskazuje amperomierz (I A), a w przypadku amperomierza rzeczywistego jest on również równy prądowi jaki płynie przez jego rezystancję wewnętrzną. RA IA _ A + + URA E Ro _ Rys. 14. Przykład schematu pomiarowego pomiaru natężenia prądu.

Każdy obwód, w którym mierzymy prąd (I x) można (zgodnie z tw. Thevenina) zastąpić przez obwód pokazany na rys. 14 (gdzie I=Ix jest prądem płynącym w obwodzie przed włączeniem do niego amperomierza). Analizując ten obwód, można zauważyć następujące przypadki: − rezystancja obwodu nie może być ani zerowa (R o=0 - spowoduje to zwarcie i uszkodzenie źródła) ani nieskończona (Ro=∞ - prąd nie będzie płynął) − jeśli RA=0, wtedy na wskazanie amperomierza nie będzie miała wpływu rezystancja obwodu Ro, czyli amperomierz pokaże nam IA=I − jeśli Rw≠0 oraz RA≠0, wtedy obie te rezystancje będą miały wpływ na wskazanie amperomierza, które będzie IA≠Ι ZŚ'II-2012

10

Zakończenie Celem lepszego zrozumienia wspomnianych tutaj zagadnień można zapoznać się z symulacjami obwodów elektrycznych, których w internecie jest całkiem sporo np. http://phet.colorado.edu/en/simulations/category/physics Uwagi: 1. Opisane tutaj zagadnienia są jedynie zbiorem niezbędnych informacji do zrobienia pierwszych kroków w dziedzinie poznawania obwodów elektrycznych i nie wyczerpują tematu 2. Zagadnienia dotyczą tylko liniowych obwodów stało-prądowych

ZŚ'II-2012

11