zad 4 i 5 rozw dla studentow

Ćwiczenia 1 4. Do liniowego przybliżania zależności między ceną spot i futures wykorzystywany jest tzw. współczynnik zabezpieczenia. Wyznacza się go np. szacując parametry następującego równania regresji: S =  + F + , gdzie S jest ceną spot, F – ceną futures,  i  – parametrami równania regresji, a  – resztą losową. Współczynnik zabezpieczenia definiowany jest jako h = 1/. Współczynnik zabezpieczenia pewnego kontraktu oszacowano na poziomie 1,05263. Wyraz wolny  nie jest istotnie różny od zera. Inwestor posiada pozycję długą w instrumencie podstawowym wartości 100 tys. zł i zabezpieczył ją sprzedając 10 3-miesięcznych kontraktów futures na ten instrument. Wielkość jednego kontraktu to 100 sztuk instrumentu podstawowego. Dzisiaj cena spot instrumentu podstawowego kształtuje się na poziomie 100 zł, a cena futures 95 zł. Ile wynosi 10dniowa 5-procentowa wartość zagrożona pozycji zabezpieczonej (łącznie z zabezpieczeniem), jeśli średnia dzienna stopa zwrotu z ceny spot instrumentu podstawowego została oszacowana na 0,06% (w skali dziennej), a odchylenie standardowe tej stopy – na 1,9% w skali dziennej. Założono rozkład normalny stopy zwrotu z instrumentu podstawowego. Jaki procent ryzyka mierzonego wartością zagrożoną udało się wyeliminować (w przeliczeniu na jednostkę wartości portfela)? Dane: KS0 = 100 000 [zł] S0 = 100 [zł/szt.s.] F0 = 95 [zł/szt.s.] nF = 10 [szt.kontr.] QF = 100 [szt.s./szt.kontr.] h = 1,05263 =0

S = 0,06% S = 1,9%

q = 5% VaR = 10 [dni]

Szukane: VaR

Rozwiązanie: Skoro oszacowano regresję liniową postaci:

S    1 hF ,

to zachodzi:

F  hS  h ,

a zatem stopa zwrotu z ceny futures może być wyrażona jako:





hS t1  h  hS 0  h  S0 S0 F S   h   hRS . hS 0  h  F0 S0   S0 S0   Ponieważ w rozważanym przypadku parametr  nie był istotny, równanie upraszcza się do: S0 RF   hRS  hRS . S0  0 RF 

Pozycja zabezpieczona (łącznie z zabezpieczeniem) ma wartość: W  nS  S  nF  QF  F , gdzie nS jest liczbą sztuk instrumentu podstawowego, nF – liczbą sztuk kontraktu, a QF – wielkością jednego kontraktu w sztukach instrumentu podstawowego. Liczba sztuk instrumentu podstawowego:

nS   K S

0

S 0  100000 100  1000

Wartość początkowa pozycji:

W0  nS  S 0  nF  QF  F0  1000  100  10  100  95  5000 Udział instrumentu podstawowego:

wS  nS S 0  W0  100000 5000  20

Udział kontraktów:

wF  1  wS  19

1

Stopa zwrotu:

RW  wS RS  wF RF  wS RS  wF hRS  RS wS  hwF 

Średnia stopa zwrotu:

W   S wS  hwF   0,0006  20  1,05263   19  0,0006  0,00003  0

Odchylenie standardowe stopy zwrotu:

wS  hwF 2  S2  wS  hwF  S ,  W  20  1,05263   19  0,019  5,7  10 7 W 

Wartość zagrożona:









VaRW  W0  1,65   W  10  0  5000  1,65  5,7  10 7  10  0,01487  0,01 zł 

Wartość zagrożona na jednostkę pieniężną:

VaRW

na 1 zł 

 1,65   W  10  0  1,65  5,7  10 7  10  29  10 7

Wartość zagrożona pozycji niezabezpieczonej, w przeliczeniu na jednostkę pieniężną





VaRS na 1 zł   1  1,65   S  10   S  10  1,65  0,019  10  0,0006  10  0,09314





Procentowa zmiana VaR:

 % VaR  VaRW

na 1 zł 

VaRS na 1 zł   1  99,9969%

Odp: wyeliminowano ponad 99,99% ryzyka mierzonego wartością zagrożoną.

5. Jaka jest 5-procentowa jednodniowa wartość zagrożona kontraktu forward, w ramach którego inwestor zobowiązał się do zakupu 2 mln. funtów brytyjskich za złote w terminie przypadającym za 3 miesiące po kursie 4,79 PLN za 1 GBP. W chwili obecnej kurs funta wynosi 4,82 PLN za 1 GBP. Wolna od ryzyka stopa procentowa dla horyzontu 3-miesięcznego wynosi 4,19%, a w Wielkiej Brytanii 3%. Zastosuj model kapitalizacji prostej. Odchylenie standardowe stopy zwrotu z kursu spot funta oszacowano na 1,8% w skali dziennej. Odchylenie standardowe stopy zwrotu z czynnika dyskontowego odpowiadającego terminowi zapadalności za 3 miesiące wynosi 1,2% dla stopy krajowej i 0,9% dla stopy zagranicznej. Współczynnik korelacji między stopami zwrotu z czynników dyskontowych oszacowano na 0,6. Zakłada się, że stopa zwrotu z kursu spot nie jest istotnie skorelowana ze stopami zwrotu z czynników dyskontowych. Średnie stopy zwrotu są bliskie zeru. Wartość pozycji długiej w jednostce kontraktu (kontrakcie na zakup 1 funta) wynosi ft = (F - K)/(1+rT), gdzie F jest kursem forward w dniu wyceny kontraktu, K jest kursem wykonania, r – krajową stopą wolną od ryzyka, a kurs forward w danej chwili zależy od kursu spot i stóp procentowych w obu krajach w następujący sposób: F = S·(1+rT)/(1+rfT), gdzie S to kurs spot, a rf to wolna od ryzyka stopa procentowa w kraju waluty obcej. Przy szacowaniu ryzyka uwzględnij wszystkie czynniki ryzyka z dokładnością do przybliżenia liniowego. Dane: Szukane: T = 3 miesiące = 0,25 roku r = 4,19% q = 5% VaR W = 2 000 000 GBP rf = 3% VaR = 1 dzień K = 4,79 RB = 1,2% S = 4,82 RP = 0,9% RS = 1,8% (RB,RP) = 1 = 0,6 (RS,RB) = (RS,RP) = 0 = 0 Rozwiązanie: Przekształcając wzór na wycenę długiej pozycji w kontrakcie:

f 

FK , 1  rT

z uwzględnieniem parytetu stóp procentowych: 2

FS

1  rT , 1  rf T

f S

1 1 K 1  r f T  1  rT 

otrzymujemy:

Jak widać, wartość kontraktu może być przedstawiona jako funkcja kursu walutowego spot oraz czynników dyskontowych dla stopy krajowej i zagranicznej. Zatem czynnikami ryzyka są: - kurs walutowy spot, - czynnik dyskontowy dla stopy zagranicznej (3-miesięczny jednostkowy bon skarbowy zagraniczny), - czynnik dyskontowy dla stopy krajowej (3-miesięczny jednostkowy bon skarbowy krajowy). Oznaczmy czynniki dyskontowe jako:

1 1  rT  1 P 1  r f T 

B

Wartość kontraktu można zapisać wzorem:

f  SP  KB

Nie jest to, co prawda, liniowy portfel, ale stopę zwrotu można w przybliżeniu wyrazić jako sumę stóp zwrotu z tych czynników ryzyka. W tym celu obliczymy stopę zwrotu dla nieskończenie krótkiego okresu, i za jej pomocą przybliżymy stopę zwrotu dla okresu 1 dnia. Dla funkcji wielu zmiennych, gdy argumenty są niezależne, przyrost funkcji dla małych zmian wartości zmiennych można przybliżać za pomocą różniczki zupełnej. Tutaj zmienne nie są niezależne, co uwzględnimy później. Przyrost wartości kontraktu:

f  df  f S dS  f P dP  f B dB f 

f f f dS  dP  dB  PdS  SdP  KdB S P B

Przemnażając i dzieląc każdy składnik tej sumy, tak aby otrzymać przyrosty względne (stopy zwrotu), przekształcamy wzór do postaci:

f  SP

dS dP dB  SP  KB S P B

Stopa zwrotu z kontraktu:

f 1 1 1  S t0 Pt0 RS  S t0 Pt0 RP  KBt0 RB f t0 f t0 f t0 f t0

Przyjmujemy więc następujące przybliżenie liniowe:

R f  S t0 Pt0

1 1 1 RS  S t0 Pt0 RP  KBt0 RB f t0 f t0 f t0 3

Jedynymi zmiennymi w równaniu są stopy zwrotu, przy czym występuje korelacja między dwoma z nich: RP i RB. Wariancja stopy zwrotu z inwestycji (wyrażona w skali rocznej): 2

2

2

   1  2 1  2 1  2    S t0 Pt0  R S   S t0 Pt0  R P   KBt0  RB        f f f t0  t0  t0     2 f

1 f t0

 2  S t0 Pt0 Wartość zagrożona:

 1     KBt0      RP RB 1 f t 0   VaR  W  f t0  1,65   f

Wartości początkowe - stałe we wzorach: St 0  S  4,82 (PLN za GBP)

1 1  1  r f T  1  0,03  0,25  0,9926

Pt0 

1 1   0,9896 1  rT  1  0,0419  0,25 f t0  S t0 Pt0  KBt0  4,82  0,9926  4,79  0,9896  0,04415

Bt0 

S t0 Pt0

1 4,82  0,9926   108,3654 f t0 0,04415

KBt0

1 4,79  0,9896   107,3654 f t0 0,04415

Odchylenie standardowe stopy zwrotu z pozycji w kontrakcie: 2 2 2   2   2   2 1 1 1   R S   S t Pt      KBt   RB   f   S t0 Pt0 0  0 0 ft  R P   f t0  f  t 0  0    

1  2  S t0 Pt0 f t0



  1     KBt0   R P  R B 1   f t0   

0,5



 108,3654  0,018  108,3654 0,009  107,3654 0,012  2

2

2

2

 2  108,3654   107,3654  0,009  0,012  0,6  221,54%

2



0,5

2

 6,4159  1,5079

0,5

 4,908 0,5  2,2154 

Wartość zagrożona dla kontraktu wielkości 2 000 000:

VaR  2000000  0,04415  1,65  2,2154  322772,70 [PLN]

4