zadania 1

Zadania z algebry II Zadanie 1. Pokazać, że jeśli (a1 , . . . , an ) ∈ K n , to ideał (X1 − a1 , . . . , Xn − an ) ⊂ K[X1 , . . . , Xn ] jest maksymalny. Pokazać, że jeśli ciałko K nie jest algebraicznie domknięte to nie wszystkie ideały maksymalne są tej postaci. Zadanie 2. Pokazać, że ideałami maksymalnymi perścienia Z[X] są dokładnie ideały postaci (p, g)

gdzie p ∈ Z jest liczbą pierwszą natomiast g ∈ Z[X] jest wielomianem takim, że jego klasa g¯ ∈ Fp [X] modulo p jest nierozkładalna. Pokazać, że ideałami pierwszymi pierścienia Z[X] są dokładnie ideały postaci (0), (F ) gdzie F wielomianem nierozkładalnym, ideały maksymalne Pokazać, że wielomian x2 + 3x + 1 jest nierozkładalny, ale ideały (5, x2 + 3x + 1)

oraz

(11, x2 + 3x + 1)

nie są pierwsze. Czy da się te ideały przedstawić jako dwóch przecięcie ideałów pierwszych? Dla których liczb pierwszych p ideał (p, x2 + 3x + 1) jest ideałem pierwszym? Zadanie 3. Pokazać, że ideałami maksymalnymi pierścienia [X, Y ] (K jest ciałem) są dokładnie ideały postaci p(X), g(X, Y ) gdzie p ∈ K[X] jest wielomianem nierozkładalnym, klasa g ∈ K[X, Y ] jest wielomianem takim, że jego klasa g¯ ∈ K[X, Y ]/(p) jest wielomianem nierozkładalnym w K[X, Y ]/(p) ∼ = (K[X]/p)[Y ]. Pokazać, że ideałami pierwszymi pierścienia K[X, Y ] są dokładnie ideały postaci (0), (F ) gdzie F wielomianem nierozkładalnym, ideały maksymalne. Zadanie 4. Pokazać, że jeżeli ciało K jest algebraicznie domknięte, to każdy ideał maksymalny pierścienia K[X, Y ] jest postaci (X − a, Y − b) dla pewnych a, b ∈ K. Zadanie 5. Niech A będzie podpierścieniem pierścienia K[X, Y ] złożonym z wielomianów postaci f (X, Y ) = a + Xg(X, Y ), gdzie a ∈ K, g ∈ K[X, Y ]. Pokazać, że ideał m = (x, xy, xy 2 , xy 3 , . . . ) jest ideałem maksymalnym, który nie jest skończenie generowany. Zadanie 6. Niech I, J będą ideałami, P ideałem pierwszym pierścienia A. Pokazać, że IJ ⊂ P ⇔ I ∩ J ⊂ P ⇔ I ⊂ P or J ⊂ P. Zadanie 7. Niech K = Fp , pokazać, że każdy element pierścienia K[T ]/(T n ) oraz Z/(pn ) może być jednoznacznie przedstawiony w postaci a0 + a1 T + · · · + an−1 T n−1

oraz

a0 + a1 p + · · · + an−1 pn−1

gdzie ai ∈ {0, 1, . . . , p − 1}. Czy pierścienie K[T ]/(T n ) i Z/(pn ) są izomorficzne?

Zadanie 8. Wyznaczyć wszysykie pierścienie pośrednie Z ⊂ A ⊂ Q.

Zadanie 9. Pokazać, że (y 3 −xz, xy 2 −z 2 ) nie jest ideałem pierwszym pierścienia k[x, y, z]. Znaleźć elementy f, g 6∈ I takie, że f g ∈ I. Zadanie 10. Pokazać, że (y 3 − xz, xy 2 − z 2 , x2 − yz) jest ideałem pierwszym pierścienia k[x, y, z].

 Zadanie 11. Pokazać, że ideał 4, 2X, X 2 ⊂ Z[X] nie jest generowany przez 2 elementy.