zadania 2

Zadania z algebry II Zadanie 1. Pokazać, że (y 3 −xz, xy 2 −z 2 ) nie jest ideałem pierwszym pierścienia k[x, y, z]. Znaleźć elementy f, g 6∈ I takie, że f g ∈ I. Zadanie 2. Pokazać, że (y 3 − xz, xy 2 − z 2 , x2 − yz) jest ideałem pierwszym pierścienia k[x, y, z]. Zadanie 3. Niech K będzie ciałem. Udowodnić, że pierścienie K[T ] oraz K[T 2 , T 3 ] nie są izomorficzne. Wskazówka: Pokazać, że K[T 2 , T 3 ] nie jest dziedziną ideałów głównych. Zadanie 4. Niech kd [X0 , . . . , Xn ] := {f ∈ k[X0 , ·, Xn ]|f jest wielomianem jednorodnym stopnia d}. Pokazać, że   n+d dim kd [X0 , . . . , Xn ] = . n Zadanie 5. Pokazać, że jeżeli K jest ciałem charakterystyki zero lub charakterystyki dodatnej nie dzielącej liczbę naturalną d to X ∂P P ∈ Kd [X0 , X1 , . . . , Xd ] ⇔ Xi = dP. ∂X i i Zadanie 6. Niech P, Q ∈ K[X0 , X1 , . . . , Xd ] \ {0}. Pokazać, że P i Q są jednorodne wtedy i tylko wtedy gdy P Q jest jednorodny. Zadanie 7. Dla wielomianu jednorodnego P ∈ K[X0 , X1 , . . . , Xd ] określamy dehomogenizację P∗ (X1 , . . . , Xd ) = P (1, X1 , . . . , Xd ), podobnie dla Q ∈ K[X1 , . . . , Xd ] określamy homogenizację Q∗ (X0 , X1 , . . . , Xd ) = X0deg Q Q(

Xd X1 ,..., ). X0 X0

Pokazać, że (Q∗ )∗ = Q,

X0m (P∗ )∗ = P.

Zadanie 8. Niech R będzie pierścieniem całkowity, f ∈ R \R× , pokazać, że R[1/f ] nie jest skończonym R–modułem. Zadanie 9. Niech R będzie pierścieniem noetherowskim. Pokazać, że jeśli homomorfizm φ : R −→ R jest suriektywny, to jest iniektywny. Zadanie 10. Niech M będzie skończonym R–modułem. Pokazać, że jeśli homomorfizm φ : M −→ M jest suriektywny, to jest iniektywny. Zadanie 11. Niech I, J ⊂ R będą ideałami pierścienia R, pokazać, że I oraz J są izomorficzne jako R–moduły wtedy i tylko wtedy gdy I = J. Zadanie 12. Pokazać, że jeżeli wszystkie ideały pierwsze pierścienia R są skończenie generowane, to R jest noetherowski.