zadania 3

Zadania z algebry II Zadanie 1. Niech P, Q ∈ K[X0 , X1 , . . . , Xd ] \ {0}. Pokazać, że P i Q są jednorodne wtedy i tylko wtedy gdy P Q jest jednorodny. Zadanie 2. Dla wielomianu jednorodnego P ∈ K[X0 , X1 , . . . , Xd ] określamy dehomogenizację P∗ (X1 , . . . , Xd ) = P (1, X1 , . . . , Xd ), podobnie dla Q ∈ K[X1 , . . . , Xd ] określamy homogenizację Q∗ (X0 , X1 , . . . , Xd ) = X0deg Q Q(

X1 Xd ,..., ). X0 X0

Pokazać, że (Q∗ )∗ = Q,

X0m (P∗ )∗ = P.

Zadanie 3. Niech I, J ⊂ R będą ideałami pierścienia R, pokazać, że R/I oraz R/J są izomorficzne jako R–moduły wtedy i tylko wtedy gdy I = J. Zadanie 4. Pokazać, że jeżeli wszystkie ideały pierwsze pierścienia R są skończenie generowane, to R jest noetherowski. √ Zadanie 5. Które liczby pierwsze p ∈ Z są elementami pierwszymi pierścienia Z[ 5]. Zadanie 6. Niech K będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Pokazać, że lokalizacje pierścienia K[X1 , . . . , Xn ] względem dowolnych ideałów maksymalnych są izomorficzne. Pokazać, że powyższy fakt nie jest prawdziwy bez założenia algebraicznj dkomkniętości. Zadanie 7. Niech I = (XY ) będzie ideałem pierścienia K[X, Y ], K jest ciałem algebraicznie domkniętym. Pokazać, że pierścień ilorazowy R := K[X, Y ]/I nie jest pierścieniem całkowity. Wyznaczyć wszystkie ideały maksymalne pier¯ Y¯ ), to lokalizacja Rm jest izomorficzna ścienie R. Pokazać, że jeśli m ⊂ R jest ideałem maksymalnym różnym od (X, z K[X](X) . Lokalizacja R(X, ¯ Y¯ ) jest izomorficzna z pierścieniem {(f (X), g(Y )) ∈ K[X](X) ⊕ K[Y ](Y ) : f (0) = g(0)} (w szczególności nie jest pierścieniem całkowitym). Zadanie 8. Wskazać ideał I o możliwie najmniejszej liczbie generatorów taki, że K[T 3 , T 4 , T 5 ] ∼ = K[X, Y, Z]/I Zadanie 9. Niech m := (X1 , . . . , Xn ) będzie ideałem maksymalnym pierścienia lokalnego K[X1 , . . . , Xn ](X1 ,...,Xn ) , pokazać, że elementy f1 , . . . , fm ∈ K[X1 , . . . , Xn ] t.że f1 (0) = · · · = fm (0) = 0 generują ideał m wtedy i tylko wtedy gdy ich części liniowe f1 , . . . , fm generują wszystkie formy liniowe. W szczególności jeśli m = n warunek ten jest równoważny temu, że jakobian wielomianów fi w zerze nie znika. Zadanie 10. Wyznaczyć wszystkie ideały pierwsze P pierścienia R := Z/6Z, dla każdego z nich wyznaczyć R/p praz Rp . Zadanie 11. Pokazać, że jeżeli Ii ⊂ Ri jest ideałem pierścienia Ri , i = 1, 2, to I1 ⊕ I2 jest ideałme pierścienia R1 ⊕ R2 , a ponadto (R1 ⊕ R2 )/(I1 ⊕ I2 ) ∼ = (R1 /I1 ) ⊕ (R2 /I2 ). Zadanie 12. Pokazać, że jeżeli R := R1 ⊕ R2 jest sumą prostą pierscieni, mi jest ideałem maksymalnym Ri , to m1 ⊕ R2 oraz R1 ⊕ m2 są ideałami maksymalnymi pierścienia R. Wyznaczyć lokalizację R względem tych dwóch ideałów. Zadanie 13. Pokazać, że pierścień Z/4 jest pierścieniem lokalnym. Pokazać, że obraz homomorficzny pierścienia lokalnego jest pierścieniem lokalnym. Niech I ⊂ P będą ideałami pierścienia R, P ideał pierwszy. Rozważmy lokalizację R/I w obrazie ideału P . Kiedy taka lokalizacja jest pierścieniem całkowitym?

Zadanie 14. Niech R będzie pierścieniem całkowitym, K jego ciałem ułamków. Dla dowolnego ideału pierwszego P ⊂ R możemy traktować RP jako podpierścień K. Pokazać, że \ [ Rp = R, Rp = K. P ∈Spec(R)

P ∈Spec(R)

Zadanie 15. Pokazać, że jeżeli (R, m) jest pierścieniem lokalnym, p ⊂ m ideałem pierwszym, to π : R −→ Rp jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy p = m. Zadanie 16. Niech R będzie pierścieniem Gaussa, a, b ∈ R dwoma elementami nieodwracalnymi bez wspólnego dzielnika. Pokazać, że istnieje “naturalny” ciąg dokładny 0 −→ A −→ A2 −→ I −→ 0 Zadanie 17. Niech m = (X, Y, Z) będzie ideałem maksymalnym pierścienia R+ = K[X, Y, Z]. Pokazać, że istnieje “naturalny” cią dokładny 0 −→ A −→ A3 −→ A3 −→ m −→ 0. Zadanie 18. Niech (R, m) będzie ideałem lokalnym, k = R/m jego ciałem residualnym, M skończonym R–modułem, ¯ = M/mM będą ich klasami. Pokazać, ze s¯1 , . . . , s¯n generują M ¯ jako przes1 , . . . , sn ∈ M . Niech s¯1 , . . . , s¯n ∈ M strzeń wektorową nad ciałem k (odp. stanowią bazę) wtedy i tylko wtedy gdy s1 , . . . , sn generują (odp. są minimalnym zbiorem generatorów) R–moduł M .

2