Zadania z algebry II Zadanie 1. Niech P, Q ∈ K[X0, X1, . . . , Xd] \ {0}. Pokazać, że P i Q są jednorodne wtedy i tylko wtedy gdy PQ jest jednorodny. ...
14 downloads
41 Views
117KB Size
Zadania z algebry II Zadanie 1. Niech P, Q ∈ K[X0 , X1 , . . . , Xd ] \ {0}. Pokazać, że P i Q są jednorodne wtedy i tylko wtedy gdy P Q jest jednorodny. Zadanie 2. Dla wielomianu jednorodnego P ∈ K[X0 , X1 , . . . , Xd ] określamy dehomogenizację P∗ (X1 , . . . , Xd ) = P (1, X1 , . . . , Xd ), podobnie dla Q ∈ K[X1 , . . . , Xd ] określamy homogenizację Q∗ (X0 , X1 , . . . , Xd ) = X0deg Q Q(
Xd X1 ,..., ). X0 X0
Pokazać, że (Q∗ )∗ = Q,
X0m (P∗ )∗ = P.
Zadanie 3. Niech I = (XY ) będzie ideałem pierścienia K[X, Y ], K jest ciałem algebraicznie domkniętym. Pokazać, że pierścień ilorazowy R := K[X, Y ]/I nie jest pierścieniem całkowity. Wyznaczyć wszystkie ideały maksymalne pier¯ Y¯ ), to lokalizacja Rm jest izomorficzna ścienie R. Pokazać, że jeśli m ⊂ R jest ideałem maksymalnym różnym od (X, z K[X](X) . Lokalizacja R(X, ¯ Y¯ ) jest izomorficzna z pierścieniem {(f (X), g(Y )) ∈ K[X](X) ⊕ K[Y ](Y ) : f (0) = g(0)} (w szczególności nie jest pierścieniem całkowitym). Zadanie 4. Wskazać ideał I o możliwie najmniejszej liczbie generatorów taki, że K[T 3 , T 4 , T 5 ] ∼ = K[X, Y, Z]/I Zadanie 5. Niech m := (X1 , . . . , Xn ) będzie ideałem maksymalnym pierścienia lokalnego K[X1 , . . . , Xn ](X1 ,...,Xn ) , pokazać, że elementy f1 , . . . , fm ∈ K[X1 , . . . , Xn ] t.że f1 (0) = · · · = fm (0) = 0 generują ideał m wtedy i tylko wtedy gdy ich części liniowe f1 , . . . , fm generują wszystkie formy liniowe. W szczególności jeśli m = n warunek ten jest równoważny temu, że jakobian wielomianów fi w zerze nie znika. Zadanie 6. Pokazać, że jeżeli Ii ⊂ Ri jest ideałem pierścienia Ri , i = 1, 2, to I1 ⊕I2 jest ideałme pierścienia R1 ⊕R2 , a ponadto (R1 ⊕ R2 )/(I1 ⊕ I2 ) ∼ = (R1 /I1 ) ⊕ (R2 /I2 ). Zadanie 7. Pokazać, że jeżeli R := R1 ⊕R2 jest sumą prostą pierscieni, mi jest ideałem maksymalnym Ri , to m1 ⊕R2 oraz R1 ⊕ m2 są ideałami maksymalnymi pierścienia R. Wyznaczyć lokalizację R względem tych dwóch ideałów. Zadanie 8. Niech R będzie pierścieniem całkowitym, K jego ciałem ułamków. Dla dowolnego ideału pierwszego P ⊂ R możemy traktować RP jako podpierścień K. Pokazać, że \ [ Rp = R, Rp = K. P ∈Spec(R)
P ∈Spec(R)
Zadanie 9. Pokazać, że jeżeli (R, m) jest pierścieniem lokalnym, p ⊂ m ideałem pierwszym, to π : R −→ Rp jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy p = m. Zadanie 10. Niech (R, m) będzie ideałem lokalnym, k = R/m jego ciałem residualnym, M skończonym R–modułem, ¯ = M/mM będą ich klasami. Pokazać, ze s¯1 , . . . , s¯n generują M ¯ jako przes1 , . . . , sn ∈ M . Niech s¯1 , . . . , s¯n ∈ M strzeń wektorową nad ciałem k (odp. stanowią bazę) wtedy i tylko wtedy gdy s1 , . . . , sn generują (odp. są minimalnym zbiorem generatorów) R–moduł M . Zadanie 11. Niech f, g ∈ k[X, Y, Z] będą względnie pierwszymi wielomianami jednorodnymi trzech zmiennych stopni d, e, niech I = (f, g) będzie wielomianem generowanym przez f i g. Niech Rn oznacza podrzepstrzeń wielomianów jednorodnych stopnia n oraz In = I ∩ Rn (przestrzeń wektorowa wielomianów jednorodnych stopnia n naeżących do I). Wyznaczyć wymiar dim Rn /In (jako przestrzeni wektorowej nad k). Zadanie 12. Niech M = Z2 ⊕ Z, pokazać, że Ass(M ) = {(0), (2)}. Pokazać, że isntieją podmoduły M1 , M2 ⊂ M takie, że Mi ∼ = Z oraz M = M1 + M2 .
Zadanie 13. Czy jeśli M = M1 + M2 to Ass(M ) = Ass(M1 ) ∪ Ass(M2 )? Zadanie 14. Niech A := k[x, y], M będzie ideałem (x, y). Pokazać, że Supp(M ) = Spec A, Ass(M ) = {0}. Zadanie 15. Grupy abelowe są to dokładnie Z–moduły. Opisać Ass(M ) gdzie M jest skończonym modułem nad Z (czyli skończenie generowaną grupą abelową). Zadanie 16. Niech I, J będą ideałami pierścienia A, pokazać, że zbiór (I : J) := {f ∈ A : f J ⊂ I} Pokazać, że (I : J) jest ideałem równym Ann(I + J/I). Pokazać, że (I : J) ⊃ I, (I : J) = A ⇔ J P ⊂ I, Pokazać, że ideał n∈N (I : J n ) jest równy saturacji ideału I względem J. Pokazać, że ideał P jest pierwszy wtedy i ty;lo wtedy gdy dla dowolnego f 6∈ P zachodzi (P : (f )) = P . Zadanie 17. NIech R będzie pierścieniem przemiennym, I ⊂ R ideałem. Pokazać, ze kazdy ideał pierwszy P zawierający I zawiera minimalny ideał pierwszy zawierający I (bez noetherowskości). Zadanie 18. Nieh R będzie pierścieniem. Pokazać, że f = a0 + a1 X + · · · + an X n jest jednością R[X] wtedy i tylko wtedy gdy a0 jest jednością R oraz a1 , . . . , an są elementami nilpotentnymi. Zadanie 19. Nieh R będzie pierścieniem. Pokazać, że f = a0 + a1 X + · · · + an X n jest elementem nilpotentnym R[X] wtedy i tylko wtedy gdy a0 , a1 , . . . , an są elementami nilpotentnymi. Zadanie 20. Nieh R będzie pierścieniem. Pokazać, że f = a0 + a1 X + · · · + an X n jest dzielnikiem zera w R[X] wtedy i tylko wtedy gdy istnieje a ∈ R t.że af = 0. Zadanie 21. Pokazać, że jeżeli I : f = I : f 2 dla pewnego f ∈ R to I = (I : f ) ∩ hI, f i. Zadanie 22. Pokazać, że jeżeli I ⊂ R jest ideałem, f g ∈ R, to Rad(I) = Rad(I, f ) ∩ Rad(I, g). S Zadanie 23. NIech S ⊂ R będzie podzbiorem multyplikatywnym. Pokazać, że S˜ := {P ∈ Spec(R)|P ∩ I = ∅} jest największym podzbiorem multyplikatywnym takim, że naturalne odwzorowanie S −1 R −→ S˜−1 R jest izomorfizmem.
2