ZADANIE 3

ZADANIE 3 (1.6) Pewna firma wysyłkowa korzysta z usług trzech firm doręczających przesyłki: A, B, C. Wiadomo, że w wolumenie wysyłek udziały poszczególnych firm są w proporcji 3:2:5. Wiadomo również, że 5% wysyłek nie przychodzi na czas w przypadku firmy A, 10 % w przypadku B, i 8% w przypadku firmy C. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że: A. losowo wybrana paczka była dostarczona w terminie, B. losowo wybrana paczka była dostarczona przez firmę B, C. losowo wybrana paczka była dostarczona w terminie zakładając, że dostarczała ją firma C, D. losowo wybrana paczka była dostarczona prze firmę A pod warunkiem, że była ona dostarczona w terminie. Rozwiązanie Niech: X oznacza zdarzenie polegające na tym, że paczka dostarczona zostanie w terminie. A oznacza zdarzenie polegające na tym, że paczkę dostarcza firma A, B oznacza zdarzenie polegające na tym, że paczkę dostarcza firma B, C oznacza zdarzenie polegające na tym, że paczkę dostarcza firma C.

Skoro udziały poszczególnych firm pozostają w proporcji 3:2:5, to tym samym wiadomo, że:

P( A) = 0,3 P(B ) = 0,2 P(C ) = 0,5

Ponadto:

P( X / A) = 0,95 P( X / B ) = 0,9 P( X / C ) = 0,92

Zauważmy, że: A∪ B∪C = Ω

- firma korzysta z usług tylko trzech firm – nie ma żadnej czwartej

firmy

A ∩ B = ∅  A ∩ C = ∅ B ∩ C = ∅ 

- paczka przesłana może być tylko przez jedną firmę (nie dwie naraz)

A. Korzystamy z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym:

P( X ) = P( X / A) ⋅ P( A) + P( X / B ) ⋅ P(B ) + P( X / C ) ⋅ P(C ) P( X ) = (0,95) ⋅ (0,3) + (0,9) ⋅ (0,2) + (0,92) ⋅ (0,5) P( X ) = 0,925 Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana paczka jest dostarczona w terminie wynosi 0,925.

B. Chodzi po prostu o prawdopodobieństwo:

P(B ) = 0,2 Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana paczka została dostarczona przez firmę B wynosi 0,2.

C. Chodzi po prostu o prawdopodobieństwo:

P( X / C ) = 0,92 Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana paczka jest dostarczona w terminie, zakładając, że została dostarczona przez firmę C wynosi 0,92.

D. Należy obliczyć prawdopodobieństwo:

P( A / X ) Korzystamy z wzoru Bayesa: P( A / X ) =

P( A ∩ X ) P( X ) P ( X / A) =

z kolei:

P ( X ∩ A) P ( A)

Z przemienności iloczynu zbiorów wynika, że:

P ( A ∩ X ) = P ( X ∩ A) = P ( X / A) ⋅ P( A) Wobec tego: P( A / X ) =

P ( X / A) ⋅ P ( A) P( X )

P (B / X ) =

(0,95) ⋅ (0,3) 0,925

P(B / X ) = 0,3081 Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana paczka była dostarczona prze firmę A pod warunkiem, że była ona dostarczona w terminie, wynosi 0,3081.