zadanie 6

Zadania z algebry II Zadanie 1. Niech I = (XY ) będzie ideałem pierścienia K[X, Y ], K jest ciałem algebraicznie domkniętym. Pokazać, że pierścień ilorazowy R := K[X, Y ]/I nie jest pierścieniem całkowity. Wyznaczyć wszystkie ideały maksymalne pier¯ Y¯ ), to lokalizacja Rm jest izomorficzna ścienie R. Pokazać, że jeśli m ⊂ R jest ideałem maksymalnym różnym od (X, z K[X](X) . Lokalizacja R(X, ¯ Y¯ ) jest izomorficzna z pierścieniem {(f (X), g(Y )) ∈ K[X](X) ⊕ K[Y ](Y ) : f (0) = g(0)} (w szczególności nie jest pierścieniem całkowitym). Zadanie 2. Wskazać ideał I o możliwie najmniejszej liczbie generatorów taki, że K[T 3 , T 4 , T 5 ] ∼ = K[X, Y, Z]/I Zadanie 3. Pokazać, że jeżeli Ii ⊂ Ri jest ideałem pierścienia Ri , i = 1, 2, to I1 ⊕I2 jest ideałme pierścienia R1 ⊕R2 , a ponadto (R1 ⊕ R2 )/(I1 ⊕ I2 ) ∼ = (R1 /I1 ) ⊕ (R2 /I2 ). Zadanie 4. Pokazać, że jeżeli R := R1 ⊕R2 jest sumą prostą pierscieni, mi jest ideałem maksymalnym Ri , to m1 ⊕R2 oraz R1 ⊕ m2 są ideałami maksymalnymi pierścienia R. Wyznaczyć lokalizację R względem tych dwóch ideałów. Zadanie 5. Niech R będzie pierścieniem całkowitym, K jego ciałem ułamków. Dla dowolnego ideału pierwszego P ⊂ R możemy traktować RP jako podpierścień K. Pokazać, że [ \ Rp = K. Rp = R, P ∈Spec(R)

P ∈Spec(R)

Zadanie 6. Pokazać, że jeżeli (R, m) jest pierścieniem lokalnym, p ⊂ m ideałem pierwszym, to π : R −→ Rp jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy p = m. Zadanie 7. Niech f, g ∈ k[X, Y, Z] będą względnie pierwszymi wielomianami jednorodnymi trzech zmiennych stopni d, e, niech I = (f, g) będzie wielomianem generowanym przez f i g. Niech Rn oznacza podrzepstrzeń wielomianów jednorodnych stopnia n oraz In = I ∩ Rn (przestrzeń wektorowa wielomianów jednorodnych stopnia n naeżących do I). Wyznaczyć wymiar dim Rn /In (jako przestrzeni wektorowej nad k). Zadanie 8. Niech A := k[x, y], M będzie ideałem (x, y). Pokazać, że Supp(M ) = Spec A, Ass(M ) = {0}. Zadanie 9. Niech I, J będą ideałami pierścienia A, pokazać, że zbiór (I : J) := {f ∈ A : f J ⊂ I} Pokazać, że (I : J) jest ideałem równym Ann(I + J/I). Pokazać, że (I : J) ⊃ I, (I : J) = A ⇔ J P ⊂ I, Pokazać, że ideał n∈N (I : J n ) jest równy saturacji ideału I względem J. Pokazać, że ideał P jest pierwszy wtedy i ty;lo wtedy gdy dla dowolnego f 6∈ P zachodzi (P : (f )) = P . Zadanie 10. Nieh R będzie pierścieniem. Pokazać, że f = a0 + a1 X + · · · + an X n jest dzielnikiem zera w R[X] wtedy i tylko wtedy gdy istnieje a ∈ R t.że af = 0. Zadanie 11. Pokazać, że jeżeli I : f = I : f 2 dla pewnego f ∈ R to I = (I : f ) ∩ hI, f i. Zadanie 12. Pokazać, że jeżeli I ⊂ R jest ideałem, f g ∈ I, to Rad(I) = Rad(I, f ) ∩ Rad(I, g). Zadanie 13. Niech S ⊂ R będzie podzbiorem multyplikatywnym. Pokazać, że S˜ := {t ∈ R|at ∈ S dla pewnego a ∈ R} jest największym podzbiorem multyplikatywnym takim, że naturalne odwzorowanie S −1 R −→ S˜−1 R jest izomorfizmem. Zadanie 14. Niech R będzie dziedziną ideałów głównych. Pokazać, że każdy ideały prymarny R jest postaci (P n ), gdzie P jest elementem nierozkładalnym, n ∈ . W szczególności udowodnić, że ideał I ⊂ R jest prymarny wtedy i tylko wtedy gdy rad(I) jest ideałem pierwszym wtedy i tylko wtedy gdy I jest potęgą ideału pierwszego.

N

Zadanie 15. Niech R := k[x, y], M będzie ideałem (x, y). Pokazać, że Supp(M ) = Spec R, Ass(M ) = {0}.

Zadanie 16. Niech I = (xy, (x − y)z) ⊂ K[x, y, z]. Pokazać, że Rad I = (xy, xz, yz). Zadanie 17. Niech I = (xy, x − yz). Pokazać, że (x, z) ∩ (y 2 , x − yz) jest minimalnym rozkładem prymarnym I. Zadanie 18. Niech I będzie ideałem (x2 , xy, xz, yz) pierścienia R = k[x, y, z]. Wyznaczyć rozkład prymarny ideału I. Pokazać, że Ass(R/I) = {(x, y), (x, z), (x, y, z)}. Zadanie 19. Niech P := (¯ x, z¯) bedzie ideałem pierścienia R := k[x, y, z]/(xy − z 2 ), pokazać, że P jest pierwszy ale P 2 nie jest prymarny. Wyznaczyć rad P 2 . Zadanie 20 (LematSo unikaniu ideałów pierwszych). Jeśli I, P1 , . . . , Pn są ideałami pierścienia R, ideały Pi są pierwsze dla i ­ 3, I ⊂ i Pi to I ⊂ Pi dla pewnego I.

2