ZADANIE 8

ZADANIE 8 (5.2) Zapisz program liniowy. Firma produkująca zabawki do produkcji dwóch modeli: WK-44 oraz MF-35 używa trzy podstawowe surowce: S1, S2. W tabeli 5. podano zyski jednostkowe z produkcji zabawek, zużycie surowców na poszczególne zabawki oraz zapasy surowców. Ustalić produkcję zabawek mając na uwadze maksymalizację zysku. Przyjąć założenie, że na 7 zabawek WK-44 może przypadać co najwyżej 9 zabawek MF-35. Zabawka

Zużycie surowca na jednostkę wyrobu S1 S2

Zysk jednostkowy

WK-44

12

15

25

MF-35 Zapas surowca

20

10

35

1080

1080

Rozwiązanie Formułujemy model matematyczny zadania: zmienne decyzyjne: x1 – produkowana ilość modeli WK-44 [szt], x2 – produkowana ilość modeli MF-35 [szt], funkcja celu:

f ( x1 , x 2 ) = 25 x1 + 35 x 2 → max

- określająca wielkość zysku z produkcji

ograniczenia:

12 x1 + 20 x 2 ≤ 1080

(limit surowca S1)

15 x1 + 10 x 2 ≤ 1080

(limit surowca S2)

9 x1 − 7 x 2 ≥ 0

(wymagana struktura produkcji)

warunki brzegowe:

x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 - wielkości produkcji nie mogą wyrażać się liczbami nieujemnymi Wobec tego, że zadanie posiada dwie zmienne decyzyjne, do jego rozwiązania może wykorzystana być metoda graficzna – ta sama, co w zadaniu 7.

Nanosimy ograniczenia na układ współrzędnych x1,x2:

12 x1 + 20 x 2 ≤ 1080 Obrazem tego ograniczenia na płaszczyźnie x1,x2 jest prosta 12 x1 + 20 x 2 = 1080 , która przechodzi m.in. przez punkty (0; 54), (90; 0) – a także np. (40; 30) – wraz z obszarem leżącym poniżej tej prostej.

15 x1 + 10 x 2 ≤ 1080 Obrazem tego ograniczenia na płaszczyźnie x1,x2 jest prosta 15 x1 + 10 x 2 = 1080 , która przechodzi m.in. przez punkty (0; 108), (72; 0) – a także (40; 30) – wraz z obszarem leżącym poniżej tej prostej.

9 x1 − 7 x 2 ≥ 0 Obrazem tego ograniczenia na płaszczyźnie x1,x2 jest prosta 9 x1 − 7 x 2 = 0 , która przechodzi m.in. przez punkty (0; 0), (70; 90) wraz z obszarem leżącym poniżej tej prostej.

Warunki

brzegowe

x1 , x 2 ≥ 0

ograniczają

obszar

do

pierwszej

ćwiartki

układu

współrzędnych.

Obszar dopuszczalny zadania jest częścią wspólną wszystkich wyszczególnionych wyżej obszarów. Przedstawiono go na poniższym rysunku (zaznaczono na żółto) – jest nim pewien wypukły czworokąt ABCO.

Wewnątrz obszaru dopuszczalnego nanosimy gradient funkcji celu – jest nim wektor r o składowych równych współczynnikom funkcji celu (u nas u = [1080; 1080] ) . „Zastępczo” – ze względu na skalę rysunku, można zastosować inną dowolną wielokrotność tego wektora:

[10; 10] =

1 ⋅ [1080; 1080] . Prostopadle do gradientu rysujemy izokwantę funkcji celu. 108

Gradient wskazuje kierunek przesuwania się izokwanty wraz ze wzrostem wartości funkcji celu. Ostatni fragment obszaru dopuszczalnego, przez który przesuwająca się izokwanta opuści ten obszar, odpowiada rozwiązaniu optymalnemu. Jak widać na rysunku, punktem tym jest

punkt

B,

będący

punktem

wspólnym

(punktem

przecięcia)

się

prostych:

12 x1 + 20 x 2 = 1080 oraz 15 x1 + 10 x 2 = 1080 . Jego współrzędne znajdujemy rozwiązując układ równań:

12 x1 + 20 x 2 = 1080  15 x1 + 10 x 2 = 1080 12 x1 + 20 x 2 = 1080  10 x 2 = 1080 − 15 x1 / : 10 12 x1 + 20 x 2 = 1080   x 2 = 108 − 1,5 x1 12 x1 + 20 ⋅ (108 − 1,5 x1 ) = 1080   x 2 = 108 − 1,5 x1 12 x1 + 2160 − 30 x1 = 1080   x 2 = 108 − 1,5 x1 − 18 x1 = −1080 / : (− 18)   x 2 = 108 − 1,5 x1  x1 = 60   x 2 = 108 − 1,5 ⋅ 60  x1 = 60   x 2 = 18 Optymalnym rozwiązaniem jest więc:

 x1∗ = 60  ∗  x 2 = 18

(

)

f max x1∗ , x 2∗ = f max (60; 18) = 25 ⋅ 60 + 35 ⋅ 18 = 2130

W celu maksymalizacji zysku należy produkować 60 jednostek modelu WK-44 oraz 18 jednostek modelu MF-35. Zysk wyniesie 2130 jednostek pieniężnych i będzie w warunkach zadania maksymalny.