zagadnienia do zaliczenia RRIO

Zestaw zagadnień do zaliczenia wykładu z „Rachunku operatorowego” – lato 2013 rok 1. Dla f(t) mającego transformatę Laplace’a F(s) wykorzystując definicję transformaty Laplace’a wykaż następującą jej własność:

L{t ⋅ f (t )} = −

d ⋅ F (s ) ds

2. Pokaż, że

{

}

L t 2 ⋅ e − at =

2 (s + a )3

L{t ⋅ f (t )} = −

jeżeli:

d ⋅ F (s ) ds

3. Wykorzystując twierdzenie o opóźnieniu wyjaśnij sposób wyznaczenia transformaty impulsu trójkątnego przedstawionego na rysunku poniżej:

4. Wyjaśnij przydatność twierdzeń o wartościach granicznych dla badania warunków początkowych i stanu ustalonego układów fizycznych. 5. Dla f(t) mającego transformatę Laplace’a F(s) wykorzystując twierdzenie Heaviside’a wykaż prawdziwość następującej zależności:

F (s ) =

s , s −1 2

L {F (s )} = f (t ) = cosh(t ) −1

6. Wykazać,

że obszar

określoności (istnienia)

transformaty Laplace’a funkcji

jednostkowej 1(t) jest określony zależnością: Re(s)>0, dla transformaty:

1 L{1(t )} = . s

7. Stosując twierdzenie o transformacie funkcji okresowej wyznacz transformatę funkcji z rysunku poniżej. Uzasadnij sposób obliczeń.

8. Co to jest pochodna funkcji uogólnionej? Jakie ma ona znaczenie w analizie układów fizycznych – odpowiedź uzasadnij. ∞

∫

f (t )e − st dt =

0−

∞

∫ f (t )e

− st

dt

0+

9. Stosując poznane twierdzenia wykaż prawdziwość zależności:

 ∞  F (s ) L  ∫ f (τ )dτ  = , s 0−  ∞

gdzie : F (s ) = ∫ f (t ) ⋅ e −st dt 0

10. Uzasadnij tezę: „Transformacja Laplace’a pozwala na „algebraizację” równań różniczkowo-całkowych ułatwiając w sposób istotny ich rozwiązanie.” 11. Czy transformacja odwrotna Z-1 metodą residuów oraz metodą rozkładu na ułamki proste prowadzą zawsze do tych samych rezultatów? Uzasadnij odpowiedź na przykładzie:

F (z ) =

1 z −5

12. Jakie znamy metody znajdywania transformacji odwrotnej Z-1. Czy można znaleźć pewne analogie z transformatą odwrotną Laplace’a. 13. Na przykładzie podanej poniżej transmitancji T(s):

T (s ) =

(s + 2 ) s + 4s + 3 2

wyznaczyć transmitancję T(z), stosując poznaną na wykładzie metodę rozkładu na ułamki proste dla transmitancji z biegunami pojedynczymi, jeżeli okres próbkowania Ts=0,01 s. 14. Na przykładzie splotu f1 [n] ∗ f 2 [n ] podanych niżej ciągów, gdzie:

f1 [n] = f 2 [n] = δ [n] + δ [n − 1] pokaż, że iloczyn splotowy przypomina mnożenie wielomianów. 15. Jaki jest związek transformacji Laplace’a z transformacją Z ? Czy możliwe jest bezpośrednie, dokładne odwzorowanie s→z? Odpowiedź uzasadnij. 16. Podaj na przykładzie wybranego odwzorowania s→z, jak można sprawdzić dokładność tego odwzorowania posługując się rozwinięciem est w szereg potęgowy. 17. Porównaj dokładność odwzorowania: Eulera wprzód, Eulera wstecz i biliniowe. Odpowiedź uzasadnij.

18. Wyjaśnij znaczenie twierdzenia o splocie dyskretnym dla wyznaczenia odpowiedzi układu na dowolne wymuszenie. 19. Jakie dwie funkcje nazywamy funkcjami ortogonalnymi? Jakie znaczenie pełnią te funkcje w aproksymacji funkcji. Wyjaśnij na przykładzie wykorzystania funkcji trygonometrycznych do aproksymacji (szereg Fouriera). 20. Na przykładzie podanej poniżej funkcji trójkątnej podaj najprostszy sposób wyznaczenia jej transformaty Fouriera (z wykorzystaniem pochodnej funkcji i jej transformaty):

21. Na przykładzie podanej poniżej funkcji, która jest różna od zera tylko w przedziale od 0 do T, podaj najprostszy sposób wyznaczenia jej transformaty Fouriera (z wykorzystaniem pochodnej funkcji i jej transformaty):

22. Kiedy transformata Fouriera funkcji równa jest jej transformacie Laplace’a. Odpowiedź proszę uzasadnić.