1 Atom wodoru i jony wodoropodobne Zadania 1. Znajdź jawną postać funkcji własnych atomu wodoru o ...
18 downloads
55 Views
385KB Size
Atom wodoru i jony wodoropodobne Zadania 1. Znajdź jawną postać funkcji własnych atomu wodoru o 𝑛 = 1 oraz 𝑛 = 2. 2. Przeanalizuj postać orbitali atomu wodoru 𝜓𝑛𝑙𝑚 = 𝑅𝑛𝑙 (𝑟)𝑌𝑙𝑚 (𝜗, 𝜑). Jak wyglądają wykresy 𝑟𝑎𝑑 (𝑟) 2 radialnych gęstości prawdopodobieństwa 𝜌𝑛𝑙 = 𝑟 2 𝑅𝑛𝑙 (𝑟)? A jak wykresy funkcji kątowych
𝑌𝑙𝑚 (𝜗, 𝜑) (harmonik sferycznych)? Znajdź związek między liczbą powierzchni węzłowych, dla których funkcja falowa przyjmuje wartość 0, a liczbami kwantowymi. 3. Jakie wyniki można otrzymać w pojedynczym pomiarze energii, kwadratu momentu pędu, składowej z-owej momentu pędu i składowej x-owej momentu pędu w stanach własnych atomu wodoru o n = 2? 1
4. Dane są kombinacje liniowe funkcji własnych atomu wodoru: 𝜓𝐼 = 𝑁 (𝜓1𝑠 − 2 𝜓2𝑝0 + 𝜓3𝑑1 ), 𝜓𝐼𝐼 = 𝑁(𝜓3𝑝0 + 𝜓3𝑝𝑥 ). a) Unormuj funkcje 𝜓𝐼 i 𝜓𝐼𝐼 . b) Czy w stanach 𝜓𝐼 i 𝜓𝐼𝐼 ostromierzalne są następujące wielkości: energia kwadrat momentu pędu składowa z-owa momentu pędu c) Ile wynoszą wartości średnie wielkości z punktu b)? d) Czy stany 𝜓𝐼 i 𝜓𝐼𝐼 są stanami stacjonarnymi? ̂, 𝑀 ̂ 2, 𝑀 ̂𝑧 ? e) Czy stan 𝜓3𝑝𝑥 jest funkcją własną operatorów 𝐻 5. Dla jonu helu znane są następujące wielkości: długość momentu pędu wynosi √6 𝑎. 𝑢., składowa z-owa momentu pędu −2 𝑎. 𝑢., energia jonizacji
2 25
𝑎. 𝑢. Jakim orbitalem jest opisany elektron
w jonie He+? 6. Dany jest zestaw orbitali o 𝑛 = 3: 3𝑠, 3𝑝1 , 3𝑝0 , 3𝑝−1 , 3𝑝𝑥 , 3𝑝𝑦 , 3𝑝𝑧 , 3𝑑−2, 3𝑑2 a) Spośród podanych orbitali wypisz wszystkie te, które spełniają następujące warunki: orbitale rzeczywiste orbitale zespolone
1
̂ atomu wodoru orbitale będące funkcjami własnymi 𝐻 ̂𝑧 orbitale będące funkcjami własnymi operatora 𝑀 orbitale, dla których 𝑛 + 𝑙 = 4 b) Rozważmy kombinację liniową orbitali 3𝑝𝑥 , 3𝑝𝑦 i 3𝑑2 : 𝜓 = 𝑐1 (3𝑝𝑥 ) + 𝑐2 (3𝑝𝑦 ) + 𝑐3 (3𝑑2 ), gdzie: 𝑐1 =
𝑒 𝑖𝜋 ,𝑐 √2 2
i 𝑐3 są liczbami rzeczywistymi, spełniającymi warunek 𝑐2 = 𝑐3 .
Oblicz wartości współczynników 𝑐2 i 𝑐3 . Oblicz wartość średnią kwadratu momentu pędu elektronu znajdującego się w stanie 𝜓. 7. Dany jest zestaw symboli, które mogą oznaczać orbitale atomu wodoru: 2𝑠0, 6𝑝1 , 3𝑑2, 3𝑠−1 , 2𝑓0, 2𝑝𝑥 , 4𝑑−3, 4𝑑𝑥 2 −𝑦2 , 1𝑠, 5𝑓2 a) Wypisz symbole odpowiadające orbitalom atomowym. ̂𝑧 . b) Spośród orbitali z pkt. a) wybierz te, będące funkcjami własnymi operatora 𝑀 ̂ (przyjmij c) Zapisz kombinację liniową orbitali z pkt. a), która będzie funkcją własną operatora 𝐻 równe udziały orbitali w kombinacji). 8. Określ wartości parametrów 𝛼, 𝛽, 𝛾 dla poniższych funkcji falowych, jeżeli spełnione są podane warunki: a) 𝜓 =
1 (𝜓4𝑠 √3
b) 𝜓 =
1 (𝜓3𝛼1 √3
̂i𝑀 ̂𝑧 atomu wodoru + 𝜓𝛼𝑝𝛽 + 𝜓𝛾𝑑0 ); stan 𝜓 jest stanem własnym operatora 𝐻 ̂ 2 , 〈𝑀 ̂𝑧 〉 = 0 i + 𝜓𝛽𝑝𝛾 + 𝜓2𝑝0 ); stan 𝜓 jest stanem własnym operatora 𝑀 1
prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pojedynczego pomiaru energii równej − 18 𝑎. 𝑢. 2
wynosi 3. 9. Określ wartości liczb kwantowych dla następujących przypadków: Układ jon He+
Warunki
Liczby kwantowe
2
𝐸 = − 9 𝑎. 𝑢. stan o najniższej możliwej degeneracji 𝑛∙𝑚∙𝑙 =4
rotator sztywny 𝑀𝑧 = 12ℏ 𝑀+𝐽 = 5 𝑀∙𝐽 =0 𝐸=
3ℏ2 𝐼
𝑀2 = 12ℏ2 oraz 𝑀𝑧 = 2ℏ
2
10. Oblicz średnią 〈𝑟〉 oraz najbardziej prawdopodobną 𝑟𝑚𝑎𝑥 odległość elektronu od jądra w stanach opisywanych orbitalami: 1𝑠, 2𝑠, 2𝑝𝑧 . ̂𝑧 𝑀 ̂ 2𝐻 ̂ dla atomu wodoru w stanie 𝜓2𝑝 w jednostkach 11. Oblicz wartość własną operatora 𝑀 −1 atomowych.
Atomy wieloelektronowe vs. jony wodoropodobne Degeneracja: Układ:
jon wodoropodobny
Degeneracja: *
+ 𝒙∙𝒆−
→
atom/jon dwu- i więcej elektronowy *
𝒏𝟐
atom/jon dwu- i więcej ⃗⃗ 𝒛𝒆𝒘𝒏 𝑩
elektronowy w zewn.
→
polu magnetycznym **
𝟐𝒍 + 𝟏
1
Energia całkowita zależy od orbitalnej liczby kwantowej l (wprowadzenie dodatkowego elektronu
wpływa na siłę oddziaływania jądro-elektron; patrz: ekranowanie) **
Zewnętrzne pole magnetyczne zaburza symetrię sferyczną potencjału kulombowskiego (energia
całkowita zależy od magnetycznej liczby kwantowej m) → następuje całkowite zniesienie degeneracji
Zadania 1. Określ stopień degeneracji trzech najniższych poziomów energetycznych dla Li2+, Li+ oraz Li. 2. Dla He+ oraz He: a) Określ degenerację najniższego poziomu energetycznego b) Określ degenerację drugiego z kolei poziomu energetycznego c) Określ, ile różnych wartości energii może odpowiadać orbitalom o 𝑛 = 3.
3