Zestaw 5 - Odwzorowania liniowe

Elektronika i Telekomunikacja, rok IB ´ Z ALGEBRY 5 ZESTAW ZADAN 1. Dane jest odwzorowanie f : R3 → R4 wzorem f (x, y, z) = (x + 5y − 2z, −3x − 3y, 2x + z, 4x + 2y + z). Sprawd´z, z˙ e jest to odwzorowanie liniowe. Podaj przykladowa, baze, kerf i baze, imf . Okre´sl, czy f jest monomorfizmem lub epimorfizmem. 2. Odwzorowanie liniowe f : R2 → R3 jest okre´slone zale˙zno´sciami: f (1, 2) = (1, 2, 3), f (2, 1) = (1, 3, 2). Znajd´z kerf , imf oraz podaj ich wymiary. Okre´sl, czy f jest monomorfizmem lub epimorfizmem. 3. Niech f : R2 → R4 bedzie odwzorowaniem liniowym, gdzie f (x, y) = , (2x + 3y, 2x + 3y, 0, x + 2y). a) Majac , dane bazy: B1 = ((1, 0), (0, 1)), B10 = ((2, −1), (−1, 1)), B2 = ((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)), B20 = ((1, 0, 1, 0), (0, −1, 0, −1), (1, 0, 0, 0), (0, 1, −1, 0)), wykorzystujac wyznacz z definicji macierz A0 = Mf (B10 , B20 ), a nastepnie , od, powiednie macierze przej´scia, znajd´z macierz A = Mf (B1 , B2 ). b) Podaj rzad , odwzorowania f . 0 c) Korzystajac , z macierzy A oblicz f (−4, 3). 

 1 1 −1 1  jest macierza, przej´scia z bazy B do bazy kanonicz4. P =  −1 0 0 −1 1 nej w R3 Znajd´z baze, B. Korzystajac olrzedne , z macierzy P wyznacz wsp´ , wektora u = [1, 1, 1]B w bazie kanonicznej. 5. Wiedzac, z˙ e macierz endomorfizmu f : R2 → R2 ma ,  w bazach  B1 = 1 −2 ((1, 0), (1, 1)), B2 = ((1, 1), (0, −1)) posta´c Mf (B1 , B2 ) = , sprawd´z 1 −1

czy f jest odwzorowaniem odwracalnym. Je´sli tak, to wyznacz wz´or na f −1 .



 3 0 6. Niech A = Mf (B1 , B2 ) =  2 1  bedzie macierza, odwzorowania , 1 −1   1 −1 1 liniowego f : R2 → R3 , a C = Mg (B3 , B1 ) = macierza, odwzo2 0 1 rowania g : R3 → R2 . Znajd´z Mf ◦g (B2 , B2 ) je´sli wiadomo, z˙ e B1 = (u1 , u2 ), B2 = (v1 , v2 , v3 ), B3 = (w1 , w2 , w3 ), gdzie w1 = 2v2 + v3 , w2 = −v1 , w3 = −v2 − v3 .