Zestaw 6 - Diagonalizacje i Endomorfizmy

Elektronika i Telekomunikacja, rok IB ´ Z ALGEBRY 6 ZESTAW ZADAN 1. Sprawd´z, czy dana macierz A jest diagonalizowalna. Je´sli tak, to znajd´z −1 macierzdiagonalna, D  i nieosobliwa, P takie, z˙ e A = P DP . 0 1 0 a) A =  −4 4 0   −1 1 2 2 0 0 b) A =  3 1 2   0 0 2  4 −2 2 0 2  c) A =  2 −1 1 1   1 0 1 0  0 3 0 1   d) A =   0 0 3 0  0 0 0 1   −1 1 0 2  0 0 0 2   e) A =   0 0 −1 0  0 −1 0 −3   1 1 1 1  1 1 1 1   f) A =   1 1 1 1  1 1 1 1 2. Czy odwzorowanie liniowe f jest diagonalizowalne? Je´sli tak, to podaj baze, B, w kt´orej macierz D odwzorowania f ma posta´c diagonalna., Podaj te, macierz D oraz nieosobliwa, P takie, z˙ e D = P AP −1 . a) f : R3 3 (x, y, z) → (−x + y + z, x − y + z, x + y − z) ∈ R3 b) f : R3 3 (x, y, z) → (6x + 4y − 6z, 2y, 4x + 4y − 4z) ∈ R3 c) f : R3 3 (x, y, z) → (−x + y − z, −x + y + z, −2x + 2y) ∈ R3 3. Dany jest endomorfizm f : R4 → R4 taki, z˙ e f (x, y, z, t) = = (4y + mz, 3y, 2y + mt, y). Dla jakich m endomorfizm f jest diagonali-

zowalny? W takich przypadkach podaj odpowiednia, baze, w R4 , w kt´orej macierz f ma posta´c diagonalna., 4. Dane jest odwzorowanie liniowe f : R3 → R3 takie, z˙ e f (0, 1, 2) = = (0, −1, −2), f (1, 1, 3) = (0, 0, 0), f (2, 1, 0) = (2, 1, 0). Znajd´z przepis f 100 . 5. Endomorfizm f przestrzeni R3 spelnia warunki: f (0, 1, 1) = (0, 1, 1), f (2, 2, 0) = (0, 0, 0), f (1, 0, 0) = (−1, 0, 0). Oblicz f 105 (1, 4, 2). 6. Niech f bedzie endomorfizmem w R3 takim, z˙ e f (1, 1, 1) = (2, 2, 2), , f (1, 0, 1) = (−1, 0, −1), f (−1, 0, 0) = (−1, 0, 0). Jakie sa, warto´sci wlasne tego odwzorowania? Czy f jest diagonalizowalne? Je´sli tak, to podaj baze, , w 2011 kt´orej macierz f ma posta´c diagonalna,, oraz te, macierz. Wyznacz f (2, 2, 3).