Nanotechnologia -
- sem.II -
mgr Ma≥gorzata Suchecka - 1
Funkcje dwóch zmiennych Definicja (p≥aszczyzna, przestrzeÒ) Przestrzeniπ dwuwymiarowπ (p≥aszczyznπ) nazywamy zbiór wszystkich par uporzπdkowanych (x, y), gdzie x, y 2 R. de f 2 2 PrzestrzeÒ tÍ oznaczamy przez R ; co zapisujemy R == {(x, y) : x, y 2 R}. Przestrzeniπ trójwymiarowπ (przestrzeniπ) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporzπdkowanych (x, y, z), gdzie x, y, z 2 R. de f 3 3 PrzestrzeÒ tÍ oznaczamy przez R ; co zapisujemy R == {(x, y, z) : x, y, z 2 R}. Elementy (x, y) oraz (x, y, z) tych zbiorów nazywamy odpowiednio punktami p≥aszczyzny lub przestrzeni. Liczby x, y oraz x, y, z nazywamy wspó≥rzÍdnymi kartezjaÒskimi odpowiednio punktów
(x, y) oraz (x, y, z).
Nanotechnologia -
- sem.II -
mgr Ma≥gorzata Suchecka - 2
Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu P0 na p≥aszczyünie lub w przestrzeni nazyo de f n wamy zbiór: O P0, r == P : P0 P < r . Otoczeniem punktu na p≥aszczyünie jest ko≥o otwarte o úrodku w tym punkcie. Otoczeniem punktu w przestrzeni jest kula otwarta o úrodku w tym punkcie. Definicja (sπsiedztwo punktu) Sπsiedztwem o promieniu r > 0 punktu P0 na p≥aszczyünie lub w przestrzeni nazyde f wamy zbiór: S P0, r == O P0, r P0 . Sπsiedztwem punktu na p≥aszczyünie jest ko≥o otwarte bez úrodka. Sπsiedztwem punktu w przestrzeni jest kula otwarta bez úrodka.
Nanotechnologia -
- sem.II -
mgr Ma≥gorzata Suchecka - 3
Definicja (funkcje dwóch zmiennych) Funkcjπ f dwóch zmiennych okreúlonπ na zbiorze A ⇢ R2 o wartoúciach w R nazy-
wamy przyporzπdkowanie kaødemu punktowi ze zbioru A dok≥adnie jednej liczby rzeczywistej. FunkcjÍ takπ oznaczamy przez f : A ! R lub z = f (x, y), gdzie (x, y) 2 A. WartoúÊ funkcji f w punkcie (x, y) oznaczamy przez f (x, y). Definicja (dziedzina, dziedzina naturalna) Niech f bÍdzie funkcjπ okreúlonπ na podzbiorze p≥aszczyzny (przestrzeni). Zbiór ten nazywamy dziedzinπ funkcji f i oznaczamy przez D f . Uwaga Jeøeli dany jest tylko wzór okreúlajπcy funkcjÍ, to zbiór punktów p≥aszczyzny (przestrzeni), dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedzinπ naturalnπ funkcji.
Nanotechnologia -
- sem.II -
mgr Ma≥gorzata Suchecka - 4
Przyk≥ad Wyznacz i narysuj zbiór bÍdπcy dziedzinπ naturalnπ funkcji: ⇣ ⌘ 2 2 a) f (x, y) = ln 1 x y ; b) f (x, y) = arcsin yx ;
c) f (x, y) = e) f (x, y) =
1 ; 9 x2 y2
p
x · sin y ;
x2+y2 4 g) f (x, y) = ln ; 9 x 2 y2
d) f (x, y) =
p 9
f) f (x, y) = arcsin
y2 ;
q
y
x2 y h) f (x, y) = p 2 2 x +y 25
p
x;
Nanotechnologia -
- sem.II -
mgr Ma≥gorzata Suchecka - 5
Granice funkcji w punkcie Definicja (ciπg na p≥aszczyünie) Ciagiem punktów na p≥aszczyünie nazywamy przyporzπdkowanie kaødej liczbie naturalnej punktu p≥asczyzny R2. WartoúÊ tego przyporzadkowania dla liczby naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ciπgu i oznaczamy przez Pn = (xn, yn). Ciag taki oznaczamy przez (Pn) lub ((xn, yn)). Definicja (granica w≥aúciwa ciπgu) Ciπg (Pn) = ((xn, yn)) jest zbieøny do punktu P0 =
x0, y0 ,co zapisujemy
lim Pn = P0 lub lim (xn, yn) = x0, y0 , wtedy i tylko wtedy, gdy n!+1 n!+1 lim xn = x0 oraz lim yn = y0. n!+1
n!+1
Nanotechnologia -
- sem.II -
mgr Ma≥gorzata Suchecka - 6
Uwaga Inaczej mówiπc ciπg (Pn) jest zbieøny do punktu P0, jeøeli w dowolnym otoczeniu tego punktu znajdujπ siÍ prawie wszystkie wyrazy ciπgu. Definicja ciπgu punktów w przestrzeni i definicja granicy w≥aúciwej takiego ciπgu sπ analogiczne. Definicja (Heinego granicy w≥aúciwej funkcji w punkcie) Niech x0, y0 2 R2 oraz niech funkcja f bÍdzie okreúlona przynajmniej na sπsiedz-
twie S x0, y0 .
Liczba g jest granicπ w≥aúciwπ funkcji f w punkcie x0, y0 , co zapisujemy
lim f (x, y) = g, (x,y)!( x0,y0)
wtedy i tylko wtedy, gdy dla kaødego ciπgu (xn, yn) naleøπcego do sπsiedztwa mamy
(xn, yn) , x0, y0 dla n 2 N , lim (xn, yn) = x0, y0 ) n!+1 lim f ((xn, yn)) = g n!+1
Nanotechnologia -
- sem.II -
mgr Ma≥gorzata Suchecka - 7
Definicja (Heinego granicy niew≥aúciwej funkcji w punkcie) Niech x0, y0 2 R2 oraz niech funkcja f bÍdzie okreúlona przynajmniej na sπsiedz-
twie S x0, y0 .
Funkcja f ma granicÍ niew≥aúciwπ ±1 w punkcie x0, y0 , co zapisujemy
lim f (x, y) = ±1, (x,y)!( x0,y0)
wtedy i tylko wtedy, gdy dla kaødego ciπgu (xn, yn) naleøπcego do sπsiedztwa mamy
(xn, yn) , x0, y0 dla n 2 N , lim (xn, yn) = x0, y0 ) n!+1 lim f ((xn, yn)) = ±1 n!+1
Nanotechnologia -
- sem.II -
mgr Ma≥gorzata Suchecka - 8
Twierdzenia (o arytmetyce granic funkcji) Jeøeli funkcje f i g majπ granice w≥aúciwe w punkcie x0, y0 , to:
⇥
⇤ f (x, y) ± g(x, y) =
lim lim f (x, y)± lim g(x, y) (x,y)!( x0,y0) (x,y)!( x0,y0) (x,y)!( x0,y0) 2. lim c · f (x, y) = c · lim f (x, y) (x,y)!( x0,y0) (x,y)!( x0,y0) ⇥ ⇤ 3. lim f (x, y) · g(x, y) = lim f (x, y)· lim g(x, y) (x,y)!( x0,y0) (x,y)!( x0,y0) (x,y)!( x0,y0) lim f (x, y) f (x, y) (x,y)!( x0,y0) 4. lim , o ile lim g(x, y) , 0. = lim g(x, y) (x,y)!( x0,y0) g(x, y) (x,y)!( x0,y0) (x,y)!( x0,y0) 1.
Nanotechnologia -
- sem.II -
mgr Ma≥gorzata Suchecka - 9
Twierdzenia (o granicy funkcji z≥oøonej) Jeøeli funkcje p, q oraz f spe≥niajπ warunki:
lim p(x, y) = p0, lim q(x, y) = q0; (x,y)!( x0,y0) (x,y)!( x0,y0) 2. (p (x, y) , q (x, y)) , p0, q0 dla kaødego (x, y) 2 S x0, y0 ; 1.
lim f (p, q) = g; (p,q)!( x0,y0) to lim f (p (x, y) , q (x, y)) = g. (x,y)!( x0,y0) 3.
Uwaga
W obu powyøszych twierdzeniach dopuszczalne sπ takøe granice niew≥aúciwe, o ile wyniki odpowiednich dzia≥aÒ z takimi symbolami sπ oznaczone. Do znajdowania granic funkcji dwóch zmiennych mozna stosowaÊ twierdzenia o dwóch i trzech funkcjach, analogicznie do takich twierdzeÒ dla funkcji jednej zmiennej.
Nanotechnologia -
- sem.II -
mgr Ma≥gorzata Suchecka - 10
Uwaga!!!!!!! Nie ma odpowiednika regu≥y de L’Hospitala do obliczania granic wyraøeÒ nieoznaczonych funkcji dwóch zmiennych. Przyk≥ad ObliczyÊ podane granice funkcji:
1 a) lim ; 2 2 (x,y)!(1, 1) x + y
1 c) lim ; 2 2 (x,y)!(0,0) x + y ⇣ ⌘ 1 2 2 e) lim x + y cos ; xy (x,y)!(0,0) Przyk≥ad
x2 y2 b) lim ; (x,y)!(1,1) x y ⇣ ⌘ 21 2 d) lim 1 + x2 + y2 x +y ; (x,y)!(0,0)
sin x2y f) lim (x,y)!(0,3) x2
Wykaø, øe nie istnieje granica funkcji f (x, y) w punkcie (0, 0): xy xy2
a)
lim
(x,y)!(1, 1) x2 + y2
;
b)
lim
(x,y)!(1,1) x2 + y4
Nanotechnologia -
- sem.II -
mgr Ma≥gorzata Suchecka - 11
Granice iterowane funkcji dwóch zmiennych Definicja Jeøeli przy y ! y0 istnieje granica funkcji lim f (x, y) = ' (x) , x!x0 granicÍ tÍ nazywamy granicπ iterowanπ funkcji f w punkcie x0, y0 i oznaczamy symbolem
lim lim f (x, y),
y!y0 x!x0 czyli
lim ' (x) = lim lim f (x, y).
y!y0
y!y0 x!x0
y 2 Y , to
Nanotechnologia -
- sem.II -
mgr Ma≥gorzata Suchecka - 12
Definicja Jeøeli przy x ! x0 istnieje granica funkcji lim f (x, y) = (x) , y!y0 granicÍ tÍ nazywamy granicπ iterowanπ funkcji f w punkcie x0, y0 i oznaczamy symbolem
lim lim f (x, y),
x!x0 y!y0 czyli
lim
x!x0
(x) = lim lim f (x, y). x!x0 y!y0
x 2 X , to
Nanotechnologia -
- sem.II -
Przyk≥ad Wyznacz granice iterowane funkcji f (x, y) w punkcie (0, 0) oraz wykaø, øe granica funkcji w tym punkcie nie istnieje:
a) 2 x
xy y2
;
x+y b) x y
mgr Ma≥gorzata Suchecka - 13
Nanotechnologia -
- sem.II -
mgr Ma≥gorzata Suchecka - 14
Funkcje ciπg≥e Definicja (ciπg≥osci funkcji dwóch zmiennych w punkcie) Niech x0, y0 2 R2 oraz niech funkcja f bÍdzie okreúlona przynajmniej na otocze-
niu O x0, y0 .
Funkcja f jest ciπg≥a w punkcie x0, y0 wtedy i tylko wtedy, gdy
lim f (x, y) = f x0, y0 . (x,y)!( x0,y0) Twierdzenia (o ciag≥oúci sumy, róønicy, iloczynu i ilorazu funkcji) Jeøeli funkcje f i g sπ ciπg≥e w punkcie x0, y0 , to w tym punkcie sπ takøe ciπg≥e funkcje:
f ± g,
f · g,
f , g x0, y0 , 0 . g
Nanotechnologia -
- sem.II -
mgr Ma≥gorzata Suchecka - 15
Definicja (ciπg≥osci funkcji z≥oøonej) Jeøeli funkcje p i q oraz f spe≥niajπ warunki: 1. p i q sa ciπg≥e w punkcie x0, y0 ; 2. f jest ciπg≥a w punkcie p0, q0 = p x0, y0 , q x0, y0 to funkcja z≥oøona f (p (x, y) , q (x, y)) jest ciπg≥a w punkcie x0, y0 . Definicja (ciπg≥osci funkcji dwóch zmiennych na zbiorze otwartym) Funkcja jest ciπg≥a na zbiorze otwartym na p≥aszczyünie, jeøeli jest ciπg≥a w kaødym punkcie tego zbioru. Przyk≥ad Sprawdü, 8 czy funkcja
> xy > > > > < x2 + y2 (x, y) , (0, 0) f (x, y) = > > > > > (x, y) = (0, 0) :0 jest ciπg≥a w punkcie (0, 0).
Nanotechnologia -
- sem.II -
Przyk≥ad ZnaleüÊ zbiory punktów ciag≥oúci podanych funkcji:
8 p > > 2 + y2 , x2 + y2 < 1 > > 1 x > > > > < 2 2 1 2 + y2 = 1 1. f (x, y) = > x + y , x > > > > > > > : x2 + y2 1 , x2 + y2 > 1 8 > > > > x+y , x>0 > > > >
x + y > > > p > > > > : x 2 + y2 , x < 0
mgr Ma≥gorzata Suchecka - 16
