Nanotechnologia - sem.II- mgr Małgorzata Suchecka - 1 RACHUNEK WEKTOROWY Zad.1 Na wektorach → AB= → a oraz → AD= → b zbudowano równoległobok ABCD. Na ...
7 downloads
23 Views
59KB Size
Nanotechnologia
- sem.II-
mgr Małgorzata Suchecka - 1
RACHUNEK WEKTOROWY Zad.1 →
→
→
→
Na wektorach AB= a oraz AD= b zbudowano równoległobok ABCD. Na przękątnych tego 2 1 równoległoboku obrano punkty M i N , tż. AM = AC oraz BN = BD. Wyznaczyć wektor 3 3 → → → M N w zależności od wektorów a i b . Zad.2 Obliczyć
→ a
→ → a − b a = 1 − , jeśli 3 →
i
→ b
= 1 oraz 6
→ →
a, b
=
π . 3
Zad.3 →
→
→
→
→
Znaleźć długość wektora a= 6 p −8 q wiedząc, że p i q są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi. Zad.4 →
→
→ Obliczyć długość przekątnych równoległoboku zbudowanego na wektorach a= 2 p + q , → → → → → π b = p −2 q , gdzie p i q są wektorami jednostkowymi tworzącymi kąt . 3 Zad.5 →
→
→
→
Znaleźć kąt między wektorami a i b wiedząc, że wektor a +3 b jest prostopadły do wektora →
→
→
→
→
→
7 a −5 b a wektor a −4 b jest prostopadły do wektora 7 a −2 b . Zad.6 →
→
→
→
→
→
Znaleźć rzut wektora a= − m +2 n na oś o kierunku wektora b = 6 m −2 n, jeżeli wiadomo, →
→
że m i n są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi. Zad.7 →
→
→
→
→
→
→
→
Dla jakich wartości α i β wektory a= 5 i −3 j +α k i b = β i +9 j −2 k są kolinearne? Zad.8 →
Znaleźć cosinusy kierunkowe wektora a= [1, −1, 2]. Zad.9 →
→
Wektor a tworzy z osiami OX i OZ kąty odpowiednio 600 i 450 . Znaleźć kąt wektora a z osią OY . Zad.10 →
→
Dany jest jeden z wierzchołków trójkąta A(2, −5, 3) i wektory boków AB= [4, 1, 2] i BC= →
[3, −2, 5]. Znaleźć pozostałe wierzchołki i wektor CA. Zad.11 →
→
→
Dane są wektory a= [5, −6, 1] , b = [−4, 3, 1] i c = [1, 2, 3]. Znaleźć wartość wyrażenia: →2
→
→
→
→
→2
3 a −2 a ◦ b + b ◦ c −2 c .
Nanotechnologia
- sem.II-
mgr Małgorzata Suchecka - 2
Zad.12 →
Dane są trzy punkty A(1, 1, 1) , B(2, −3, 2) i C(−1, 2, −1). Znaleźć rzut wektora AD na kierunek boku AB wiedząc, że D jest środkiem boku BC. Zad.13 →
→
→
→
Dane są cztery wektory: a= [5, −2, 0] , b = [0, −3, 4] , c = [−6, 0, 1] i d = [25, −22, 16]. Przed→
→
→
→
stawić wektor d jako kombinację liniową wektorów a , b , c . Zad.14 Uprościć wyrażenia: →
→
→
→
a) 2 a −5 c × 3 c +4 b ,
b)
→
→
→
→
→
→
→
→
a +3 b × 3 c + a + 2 b −3 c × 3 a − b .
Zad.15 →
→
→
→
→
→
Obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach a= p −2 q i b = 2 p +4 q , gdzie → → → → π p = 2 , q = 3 oraz 6 ( p , q ) = . 3 Zad.16 →
→
→ → Obliczyć wysokość równoległościanu zbudowanego na wektorach a= 3 p +2 q −5 r , →
→
→
→
→
→
→
→
b = p − q +4 r , c = p −3 q + r , jeżeli za podstawę wzięto równoległobok zbudowany na →
→
→
→
→
wektorach a i b wiedząc,że p , q i r są wersorami wzajemnie prostopadłymi. Zad.17 →
→
→
→
→
→
→
→
→
Uprościć wyrażenie: i ×(2 i + j − k ) + ( i + k ) × (2 i − j + k ). Zad.18 →
→
Znaleźć tangens kąta zawartego między wektorami: a= [0, 1, 2] , b = [2, −1, 0]. Zad.19 →
→
→
→
→
→
Dane są wektory: a= [1, 2, 3] , b = [2, −3, 1] i c = [−3, 1, 2]. Obliczyć a ×( b × c ). Zad.20 Wykazać, że punkty A(1, 2, −1) , B(0, 1, 5) , C(−1, 2, −1) i D(2, 1, 3) leżą w jednej płaszczyźnie. Zad.21 Dany jest czworościan o wierzchołkach w punktach A(3, 1, 1) , B(1, 4, 1) , C(1, 1, 7) i D(3, 4, 9). Oblicz objętość oraz wysokość poprowadzoną z wierzchołka D. Zad.22 Objętość czworościanu ABCD o trzech danych wierzchołkach A(2, 0, −1) , B(3, −1, 1) , C(2, −2, 3) jest równa 5. Znaleźć współrzędne czwartego wierzchołka D wiedząc, że leży on na osi OY .
