18. Wyznaczanie przerwy energetycznej germanu

Ć w i c z e n i e 18

WYZNACZANIE PRZERWY ENERGETYCZNEJ GERMANU 18.1. Opis teoretyczny 18.1.1. Pasmowa teoria ciał stałych Elektronowe poziomy energetyczne odosobnionego atomu są ostro określone co do wartości. Naturalna szerokość poziomu energetycznego wynikająca z zasady nieoznaczoności Heisenberga wynosi tylko 10-7 eV. W ciele stałym atomy są położone bardzo blisko siebie, co umożliwia oddziaływania między nimi . Gdy zaczniemy zbliżać atomy do siebie wówczas siły ich wzajemnego oddziaływania będą stopniowo rosły. W ciele stałym atomy są już ułożone bardzo blisko siebie, a ich struktura elektronowa tworzy nową jakość. Ze zbliżaniem się atomów w wyniku oddziaływań międzyelektronowych następuje rozszczepienie się poszczególnych poziomów elektronowych na wiele blisko położonych podpoziomów. Temu efektowi szczególnie łatwo ulegają poziomy zewnętrznych elektronów atomu. Ich stany energetyczne zostają rozszczepione w ciele stałym aż na 2N (2l+1) podpoziomy (gdzie Nilość atomów w krysztale, l-poboczna liczba kwantowa stanu) położone bardzo blisko siebie (ich wzajemne odległości są rzędu 10-22 eV ). Następnym efektem zmniejszenia odległości międzyatomowych jest uwspólnienie się rozszczepionych stanów (w wyniku tunelowania) i utworzenie rozmytych stanów elektronowych wspólnych dla wszystkich atomów w krysztale tzw. pasm energetycznych. Wpływ atomów sąsiednich jest najmniejszy na elektrony wewnętrzne w atomie. Znajdują się one blisko jądra i są silnie z nim związane. Dlatego pasma energii elektronów wewnętrznych są bardzo wąskie i praktycznie odpowiadają poziomom w odosobnionym atomie. Natomiast wysokoenergetyczne poziomy elektronów zewnętrznych tworzą szerokie pasma. W efekcie istnieją dwa pasma wspólne dla całego kryształu. Niższe energetycznie zwane podstawowym lub walencyjnym, a wyższe – dozwolonym lub przewodnictwa. Szerokość tych pasm jest duża – rzędu 1eV. Reasumując, istnienie pasm energetycznych można wytłumaczyć silnym oddziaływaniem zewnętrznych elektronów danego atomu z zewnętrznymi elektronami sąsiedniego atomu, a za ich pośrednictwem ze wszystkimi innymi zewnętrznymi elektronami znajdującymi się w krysztale. W temperaturze T=0K pasmo walencyjne ciała stałego jest całkowicie zapełnione elektronami, natomiast pasmo przewodnictwa jest całkowicie puste. 18.1.2. Półprzewodniki samoistne Ciała stałe ze względu na ich właściwości elektryczne dzielimy na trzy grupy: 1.

przewodniki, w których stany zapełnione sąsiadują bezpośrednio ze stanami pustymi (np. metale),

2.

izolatory, w których najmniejsza energetyczna odległość między stanami zapełnionymi elektronami i pustymi zwana przerwą energetyczną (Eg) jest duża, tzn. większa niż 2 eV (np. dla diamentu wynosi ona 5,4 eV),

3.

Półprzewodniki, w których przerwa energetyczna jest mniejsza niż 2 eV (np. dla krzemu wynosi 1,1 eV). Na rys. 18.1 przedstawiono schematycznie strukturę pasmową tych materiałów oraz ich obsadzenie elektronami w temperaturze zera bezwzględnego.

W wyższych temperaturach wskutek oddziaływania elektronów z termicznymi drganiami sieci kryształu część z nich może uzyskać energię wystarczająco dużą by przejść z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa i brać udział w przewodnictwie prądu elektrycznego. Aby elektron uczestniczył w przewodnictwie prądu elektrycznego musi pobierać energię od przyłożonego z zewnątrz pola elektrycznego, a to jest możliwe tylko wówczas gdy znajdzie się on w paśmie przewodnictwa. Elektrony takie nazywamy swobodnymi, gdyż mogą poruszać się po całym krysztale. Wydajność opisanego termicznego procesu wzbudzenia elektronu do pasma przewodnictwa bardzo silnie zależy od wartości przerwy energetycznej: - przy jej praktycznym braku (jak w przewodnikach) już w temperaturze kilkudziesięciu K wszystkie elektrony biorą udział w przewodnictwie, - gdy jest ona bardzo duża (jak w izolatorach) nawet w temperaturach rzędu kilkuset stopni Celsjusza elektronów swobodnych w ciele stałym jest tak mało, że praktycznie nie przewodzi on prądu, - natomiast w półprzewodnikach, gdzie przerwa energetyczna jest mniejsza, już w temperaturze pokojowej część elektronów jest przeniesiona do pasma przewodnictwa, co umożliwia przepływ prądu. a) Stany pp

puste

b) Eg Stany pp

puste c) Eg

pv

Stany zapełnione

pv

Stany zapełnione

Stany pp

puste

pv

Stany zapełnione

Rys. 18.1. Struktura pasmowa ciał stałych w T=0K: a) izolatorów, b) półprzewodników, c) przewodników (nałożenie się dwu pasm): pp – pasmo przewodnictwa, pv – pasmo walencyjne, Eg – przerwa zabroniona.

Należy zaznaczyć, że ilość swobodnych elektronów w półprzewodniku jest stosunkowo mała i dlatego dalsze ogrzewanie półprzewodnika wymusza generację dalszych elektronów swobodnych. Następuje dalszy silny wzrost przewodnictwa, np. ogrzewając czysty krzem od 0 do 200oC obserwujemy wzrost jego przewodnictwa od 10-7 do 10-2 [Ω-1 cm-1], a więc o pięć rzędów wielkości. Ta silna zależność koncentracji nośników ładunku od temperatury jest specyficzną właściwością pół-

przewodników odróżniającą je od metali, w których koncentracja swobodnych elektronów jest praktycznie stała, niezależna od temperatury. pp

Eg

pv

Rys. 18.2. Termiczna generacja nośników ładunku w półprzewodniku samoistnym (model pasmowy). Na danym poziomie energetycznym mogą przebywać tylko dwa elektrony o różnych spinach.

Przejście elektronu z pasma walencyjnego w półprzewodniku do pasma przewodnictwa oznacza w modelu energetycznym (rys. 18.2 ) pojawienie się w paśmie walencyjnym wolnego stanu nie obsadzonego elektronem zwanego dziurą. Wytworzona dziura może zostać zajęta przez jeden z sąsiednich związanych elektronów i w rezultacie przesunąć się w inne miejsce. Jest więc ona nośnikiem nieskompensowanego dodatniego ładunku elementarnego. W obecności zewnętrznego pola elektrycznego dziury będą poruszać się w kierunku pola, a wolne elektrony w kierunku przeciwnym. W ten sposób w półprzewodniku występują obok siebie dwa niezależne nośniki prądu. Z omówionego mechanizmu generacji nośników ładunku (rys. 18.2 ) wynika, że w półprzewodniku powinno być tyle samo elektronów w paśmie przewodnictwa, jak i dziur w paśmie walencyjnym, gdyż w wyniku każdego pojedynczego aktu generacji powstaje para nośników elektron-dziura. Właściwość tę ma każdy czysty materiał półprzewodnikowy o nie zaburzonej strukturze krystalicznej. Półprzewodniki takie nazywamy samoistnymi. W ćwiczeniu badamy właśnie elektryczne właściwości samoistnego kryształu germanu. Wielkością fizyczną określającą ilość nośników ładunku jest ich koncentracja. I tak koncentracją swobodnych elektronów (n) nazywamy liczbę elektronów w paśmie przewodnictwa przypadającą na jednostkę objętości ciała, a koncentracją dziur (p) nazywamy liczbę dziur w paśmie walencyjnym w jednostce objętości ciała. Szczegółowa teoria samoistnych półprzewodników pokazuje, że koncentracja nośników ładunku wykładniczo rosną z temperaturą (T) wyrażoną w stopniach K.  Eg  p = n = n 0 exp  −   2kT 

gdzie n0 możemy traktować jak stałą niezależną od temperatury.

(18.1)

18.1.3. Przewodnictwo półprzewodników samoistnych Jeżeli do półprzewodnika przyłożymy pewne stałe napięcie, to w wyniku przyspieszającego działania tego zewnętrznego pola elektrycznego oraz hamującego oddziaływania ze strukturą sieci kryształu, ustali się pewna średnia prędkość ruchu nośników ładunków kierunku pola. Gęstość prądu w półprzewodnikach, jak wynika z definicji tej wielkości, wyniesie w ogólnym przypadku

j= e ( n vn + p vp )

(18.2)

gdzie: j – gęstość prądu, e – ładunek elektronu, vn, vp – średnie prędkości elektronów i dziur. Wprowadzając pojęcie ruchliwości nośników zdefiniowanej wzorami

µn =

vn E

µp =

vp

(18.3)

E

(np. dla germanu µ n = 3900 cm 2 /Vs i µ p = 1900 cm 2 /Vs ) otrzymujemy j = e ( n µn + p µp ) E

(18.4)

gdzie E – natężenie przyłożonego pola elektrycznego. Porównując ostatni wzór z prawem Ohma: j = σ E otrzymujemy wyrażenie na przewodnictwo elektryczne półprzewodników:

σ = e ( n µn + p µp )

(18.5)

Ponieważ dla półprzewodników samoistnych słuszna jest zależność (18.1), a więc możemy dla nich napisać: Eg    2kT  

σ = e ( µ n + µ p ) n 0 exp  −

(18.6)

lub 

Eg 

σ = σ 0 exp  −   2kT 

(18.7)

gdzie σ 0 można traktować jak stałą niezależną od temperatury. W ćwiczeniu wyznaczamy przerwę energetyczną germanu z pomiarów zależności rezystancji półprzewodnika samoistnego od temperatury. Jak wynika ze wzoru (18.7) zależność tę można zapisać w postaci:  Eg  R = R0 exp    2kT 

(18.8)

gdzie: R0 - jest z dobrym przybliżeniem stałą rezystancją zależna od rodzaju półprzewodnika i jego wymiarów geometrycznych. Logarytmując to wyrażenie otrzymujemy:

lg R = lg R0 + 0,4343

Eg 1 2k T

(18.9)

Eg  1 a więc zależność lg R = f   jest prostą, a jej nachylenie wynosi 0,4343 . 2k  T U w a g a: Funkcja lgR =f(1/T) otrzymana z eksperymentu nie jest proporcjonalna w całym zakresie stosowanych temperatur. Warunek (18.9) jest spełniony tylko dla wystarczająco wysokich temperatur, ponieważ w doświadczeniu użyto półprzewodnika domieszkowanego ( n ≠ p ) . W wysokich temperaturach intensywność termicznej generacji nośników ładunku (patrz rys. 18.2) osiąga tak dużą wydajność (jednocześnie nośników domieszkowanych z temperaturą nie przebywa), że półprzewodnik staje się samoistnym. T a b e l a 18.1 Właściwości materiałów półprzewodnikowych

Eg [eV]

µn

µp

293 K

[ cm /Vs ]

[ cm2 /Vs ]

(izolator)

5,4

1800

1400

Si

1,107

1900

500

Ge

0,67

3800

1820

α Sn

0,08

2500

2400

β SiC

2,3

4000

-

AlP

2,5

-

-

AlAs

2,16

1200

420

AlSb

1,6

200 – 400

500

GaP

2,24

300

100

GaAs

1,35

8800

400

GaSb

0,67

4000

1400

InP

1,27

4600

150

InAs

0,36

33000

460

InSb

0,165

78000

750

Związek

2

C-diament

18.2. Opis układu pomiarowego

Badana próbka o wymiarach 2×2×20 mm3 została wycięta z monokrystalicznego walca germanu. Po mechanicznym wypolerowaniu i obróbce chemicznej wykonywano kontakty elektryczne. W tym celu na dłuższym jej boku wtopiono próżniowo stop Pb+10% In w temperaturze 600oC. Próbka germanu jest monokryształem o rezystywności 0,60 Ωm. Badana próbka germanu umieszczona jest wewnątrz pieca rezystorowego. Cienkie druciki przylutowane do kontaktów elektrycznych próbki połączone są z precyzyjnym cyfrowym miernikiem rezystancji. Temperatura próbki mierzona jest za pomocą przecechowanej termopary Cu – konstantan

podłączonej do woltomierza cyfrowego. Temperaturę pieca można regulować zmieniając natężenie prądu płynącego przez taśmę rezystorową pieca. 18.3. Przebieg pomiarów

1. Zaznajomić się z układem pomiarowym. 2. Przełącznik ustawić w jednym z trzech położeń umożliwiających pomiar rezystancji próbki ( R12, R23, R13 ). 3. Zmierzyć rezystancję półprzewodnika w temperaturze pokojowej. 4. Włączyć zasilacz i regulować prądem płynącym przez piec tak, aby uzyskać szybkość ogrzewania około 3oC/min. U w a g a : Można wybrać jeden z dwóch sposobów zmian temperatury próbki:

• szybko podnosić jej temperaturę; wówczas należy wykonać pomiary podczas ogrzewania i schładzania oraz obliczyć wartość średnią, • powoli podnosić jej temperaturę; wówczas pomiar przy schładzaniu pieca jest zbyteczny (nie obserwuje się „histerezy” otrzymanych wyników). Optymalny sposób powolnego ogrzewania do: 50oC – prąd 0,5 A; od 50oC do 70oC – I = 0,7 A; od 70oC do 100oC – I = 0,9 A; od 100oC do 120oC – I = 1,1 A. Nie przekraczać I = 1,25 A !! 5. Notować wskazania miernika rezystancji co 5oC, aż do uzyskania temperatury około 125oC. 18.4. Opracowanie wyników pomiarów.

 1 1. Zaznaczyć punkty pomiarowe zależności lg R = f    T przebieg wykresu.

na wykresie. Zinterpretować

2. Wybrać 5 - 7 punktów z zakresu liniowego powyższej zależności i poprowadzić przez nią prostą w optymalny sposób. 3. Określić nachylenie prostej oraz błąd jego wyznaczenia. 4. Na podstawie wzoru (18.9) obliczyć Eg i

σE

g

.

18.5. Pytania kontrolne

1. Omówić mechanizm powstawania pasm w ciałach stałych. 2. Podać podział ciał stałych ze względu na ich właściwości elektryczne. 3. Omówić strukturę pasmową półprzewodnika samoistnego. 4. Zinterpretować zależność konduktywności półprzewodnika od temperatury. 5. Jak wyznaczyć przerwę energetyczną półprzewodnika. Literatura

[1] Kittel C.: Wstęp do fizyki ciała stałego. PWN, Warszawa 1970.

[2] Massalski J.M.: Fizyka dla inżynierów, cz.2, WNT, Warszawa 1975. [3] Wolf H.: Półprzewodniki. WNT, Warszawa 1975.