5-9 WOMP

5. Metody numeryczne stosowane w CFD - przegląd i opis. Przegląd metod numerycznych: istnieje wiele metod numerycznych wykorzystywanych w obliczeniowej mechanice płynów; najbardziej rozpowszechnione są: metoda objętości skończonej (~80%), metoda elementu skończonego (~15%); Historycznie najstarszą metodą jest metoda różnic skończonych Finite difference method (FDM) metoda polegająca na przybliżeniu pochodnej funkcji poprzez skończone różnice, w zdyskretyzowanej przestrzeni. Można ją wyprowadzić wprost z ilorazu różnicowego, bądź z rozwinięcia w szereg Taylora. -opisana przez L.F Richardsona w 1910 r. -pierwsze numeryczne zastosowanie w 1933 przez Thoma do opisu opływu cylindra -w 1965 pierwsza publikacja opisująca „eksperyment numeryczny” (Harlow i Fromm), uważa się to za datę pierwszej publikacji CFD; -zaleta: model jest łatwy do implementacji; -wada: wyłącznie dla prostych geometrii, metoda nie zachowuje bulansu energii, pędu i masy dla zbyt rzadkich siatek numerycznych. Domena obliczeniowa jest dzielona na serię węzłów obliczeniowych. Wymagana przy tej metodzie jest siatka strukturalna. Równania opisujące problem są przekształcane z formy różniczkowej w algebraiczną. Pierwsza i druga pochodna są przedstawiana poprzez rozwinięcie w szereg Taylora.

Metoda elementu skończonego Finite Element Method (FEM) zaawansowana metoda rozwiązywania układów równań różniczkowych, opierająca się na podziale dziedziny (tzw. dyskretyzacja) na skończone elementy, dla których rozwiązanie jest przybliżane przez konkretne funkcje, i przeprowadzaniu faktycznych obliczeń tylko dla węzłów tego podziału. -za pierwsze użycie tej metody uznaje się pracę Couranta z 1943 na temat problemu skręcania; - w 1960 Clough nadał formę i nazwę tej metodzie; - metoda silne rozwijana w latach 60 i 70 XX wieku, głównie dla problemów mechanicznych; -do obliczeń przepływu płynu metodę zastosowano dopiero w drugiej połowie lat 70; -zalety: duża dokładność obliczeń dla rzadkich siatek numerycznych, metoda jest wyśmienita dla problemów zdominowanych przez dyfuzję i lepkość -wady: metoda jest powolna, nie sprawdza się w przepływach burzliwych.

Metoda objętości skończonej Finite Volume Method (FVM) - za pierwsze udokumentowane wykorzystanie metody uważa się prace Evensa i Harlowa (1957) z Los Alamos i Martina i Daleya (1966); - metod jest bardzo dokładna dla obliczeń przepływów burzliwych, przepływów naddźwiękowych i członów źródłowych zdominowanych przez przepływ, - w latach 90 wprowadzono siatki niestrukturalne znacznie rozszerzając możliwości obliczeniowe; -zalety: bilans dla podstawowej objętości skończonej nie ma ograniczeń co do jej kształtu, metoda jest mało czuła na jakość siatki obliczeniowej (w ogólności), wydajna; -wady: błędu związane z dyfuzją numeryczną Podstawy metody objętości skończonej • pierwszym etapem jest podzielenie domeny obliczeniowej na objętości kontrolne •następnie należy całkować równania różniczkowe w objętości kontrolnej przyjmując odpowiednie zasady zbieżności; wynikiem będzie układ algebraicznych równań, po jednym na każdą objętość kontrolną; •rozwiązujemy ten problem w sposób iteracyjny lub ciągły

Wykorzystując metodę objętości skończonej, obliczana domena jest dzielona na skończoną ilość małych objętości (komórek) tworząc siatkę numeryczną, węzeł obliczeniowy znajduje się w centrum komórki obliczeniowej. Zaletą omawianej metody jest że bilans zachowania masy, pędu i energii jest wyznaczany dokładnie w komórce (objętości) obliczeniowej

6. Metody określania zbieżności obliczeń numerycznych Zbieżność obliczeń proces iteracji jest powtarzany dopóki zmiana wartości szukanego parametru z jednej iteracji na drugą jest na tyle mała, że spełnia założone kryterium zbieżności. Warunki zbieżności: -wszystkie równania zachowania w formie dyskretnej są spełnione w wszystkich komórkach z zadaną dokładnością; -rozwiązanie nie zmienia się wraz z dalszymi iteracjami; -bilans zachowania masy, energii, pędu jest spełniony. Określenie zbieżności: -Podstawowym kryterium zbieżności jest obserwowanie wykresy residuów; -Jeżeli wartość residuów osiągnie zakładaną dokładność ale ich wartość ciągle maleje, rozwiązanie może wymagać dalszych obliczeń; -Jeżeli wartość residuów przestanie się zmieniać ale nie osiągnie zakładanego kryterium rozwiązanie może być prawidłowe; -Wartości residuów nie są rozwiązaniem, ich wartość nie przesądza o prawidłowości rozwiązania problemu.

Inne możliwości określania zbieżności: -W trakcie obliczeń możemy monitorować zmianę ważnego parametru w punktu widzenia modelowanego procesu np. współczynnika oporu, ustabilizowanie się tej wartości parametru może decydować o zakończeniu obliczeń; -W przypadku obliczeń z elementem obrotowym parametrem monitorowanym może być moment obrotowy

7. Procedury numeryczne do wyznaczania wartości na powierzchniach brzegowych Procedury numeryczne do wyznaczania wartości na powierzchniach brzegowych komórek Wartości parametru Φ i jej pochodnej znajdowane są poprzez zależność pomiędzy wartościami tego parametru w węzłach obliczeniowych sąsiadujących Komorek. Najczęściej stosowane procedury: •First order upwind scheme •Central differencing scheme •Power-law scheme •Second order upwind scheme •Quick scheme First order upwind scheme • jest to najprostsza procedura, zakładająca że wartość brzegowa parametru Φ jest równa wartości tego parametru w węźle komórki poprzedzającej (upwind), •Zaletą tego rozwiązania jest prostota implementacji numerycznej oraz bardzo stabilne rozwiązanie •Wadą jest podatność na dyfuzję numeryczną, •Procedura ta jest najczęściej stosowana do rozpoczęcia obliczeń

Central differencing scheme • określamy wartość parametru Φ na powierzchni komórki obliczeniowej poprzez liniową interpolację pomiędzy wartościami tego parametru w węzłach sąsiadujących komórek obliczeniowych •Jest do dokładniejsza metoda niż poprzednia, jest jednak wrażliwa na oscylację numeryczną oraz rozbieżność obliczeń w szczególności gdy lokalna wartość liczby Pe >2

•Liczba Pe jest stosunkiem pomiędzy konwekcją a dyfuzją. •Schemat ten stosujemy zazwyczaj gdy wartość liczby Pe jest mniejsza od 2

Power law scheme • procedura ta bazuje na analitycznym rozwiązaniu dla jednowymiarowego równania konwekcji-dyfuzji. •Wartość na powierzchni brzegowej określana jest poprzez zależność wykładniczą wartości w węzłach komórek obliczeniowych. Opisane jest to następującym równaniem:

•Dla Pe>10 pomijamy człon dyfuzyjny i otrzymujemy wtedy metodę first order upwind

Second order upwind scheme • wartość na powierzchni brzegowej określamy poprzez wartości parametru Φ z węzłów obliczeniowych dwóch poprzedzających komórek. •Procedura jest dokładna i stabilna, jednakże istnieje niebezpieczeństwo, w przypadku dużych gradientów, że wartość parametru Φ na powierzchni brzegowej będzie przekraczał zakres wartości w węzłach obliczeniowych. Dlatego procedura ta wymaga wprowadzania limitów. •Jest to najczęściej stosowana procedura.

QUICK scheme • Quadratic Upwind Interpolation for Convectiv Kinetics •Procedura polega na dopasowaniu funkcji kwadratowej pomiędzy wartościami w węzłach obliczeniowych dwóch komórek poprzedzających i jednej komórki następującej. •Schemat wykazuje się dużą dokładnością, jednakże znów w przypadku dużych gradientów może prowadzić do zawyżania lub zaniżania wartości parametru na powierzchni brzegowej. Może to wpływać na stabilność rozwiązania

Wszystkie z omawianych procedur przybierają postać funkcji przedstawić w postaci szeregu Taylora:

. Można te funkcje

• procedura first order upwind wykorzystuje tylko pierwszy człon w szeregu, pomijając pochodną i dalsze człony. Dlatego procedurę nazywamy dokładnością pierwszego rzędu. •Dla dużych wartości liczby Pe procedura Power law również redukuje się do pierwszego członu i również w tym wypadku może być nazwana I rzędu. •Procedury Central differencing i Second order upwind w obliczeniach biorą pod uwagę człon związany z pierwszą pochodną ale pomijają dalsze człony w szeregu Taylora. Z tego wzglądu nazywamy je procedurami II rzędu. •Procedur QUICK dodatkowo uwzględnia drugą pochodną, ignorując pozostałe człony. Nazywana jest schematem III rzędu.

8. Dyfuzja numeryczna - opis zjawiska. Dokładność i fałszywa dyfuzja •Fałszywa dyfuzja jest numeryczną dyfuzją i pojawia się dla przepływu konwekcyjnego tzn. dla wysokich liczb Pe; Rozpatrzmy przypadek przepływu równoległego dwóch płynów . W tym przypadku (przy założeniu zerowej dyfuzji) temperatura płynu powyżej linii diagonalnej będzie miała temperaturę 100o poniżej 0o. Fałszywa dyfuzja może się pojawić na skutek dużego gradientu temperatur na linii diagonalnej w kierunku normalnym do przepływu. Minimalizację tego efektu osiągniemy poprzez odpowiednią gęstość siatki numerycznej i zastosowanie procedury wyższego rzędu.

Własności numerycznych procedur: • globalne własności parametru f muszą być zachowane; • warunki brzegowe nie mogą ograniczać wartości parametru f. Ze względu na to że przepływ płynu jest zjawiskiem nieliniowym, wartości parametru w całej domenie obliczeniowej mogą być wyższe niż wynikające z warunków brzegowych. •dyfuzja występując w procesie działa we wszystkich kierunkach, zaś konwekcja działa tylko w kierunku przepływu. Zastosowana procedura numeryczna musi rozpoznawać kierunek przepływu i prawidłowo uwzględniać zależności pomiędzy dyfuzją a konwekcją. Wytyczne doboru procedur numerycznych: •Schematy wyższego rzędy będą wykazywały się większą dokładnością obliczeń, z drugiej strony mogą pociągnąć za sobą mniejszą stabilność i będą wymagały większego czasu obliczeń. •Powinno się zawsze rozpoczynać obliczenia z użyciem schematu first order upwind, a następnie po wstępnym zbiegnięciu się obliczeń kontynuować rozwiązanie dla second order upwind. •Procedura central differencing powinna być używana tylko dla rozwiązań nieustalonych takich jak large eddy simulations z wymogiem że siatka numeryczna jest na tyle gęsta aby liczba Pe była mniejsza od 1. •Procedury QUICK nad power law używamy tylko w przypadkach gdy wiemy (np. z literatury) że ta procedura jest odpowiednia dla naszego rozwiązania.

9. Algorytmy numeryczne pomiędzy prędkością a ciśnieniem. ZALEŻNOŚĆ PRĘDKOŚĆ - CIŚNIENIE •Ze względu na to że ciśnienie występuje we wszystkich (trzech) równaniech N-S zaś dodatkowym równaniem będzie równanie ciągłości, otrzymamy układ czterech równań z czterem niewiadomymi – trzy składowe prędkości + ciśnienie. •Algorytm uzyskujący równanie opisujące zmianę ciśnienia z równań N-S i równania ciągłości nazywamy pressure-velocity coupling. •Najczęściej stosowanym algorytmem jest SIMPLE (Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations). Wyznaczane jest algebraiczne równanie opisujące korekcję ciśnienia. Dla każdej iteracji pole ciśnienia jest poprawiane o wyznaczoną korekcję ciśnienia p’

Podstawy algorytmu SIMPLE -Założenia algorytmu są bardzo proste. Wynikają z przesłanki że płyn zawsze płynie od ciśnienia wyższego do niższego. Algorytm więc wygląda następująco: •Rozpoczyna się od zadanego przez użytkownika pola ciśnienia (początkowego); •Następnie sprawdza czy równanie ciągłości jest zachowane w każdej z komórek obliczeniowych. Jeżeli więcej masy wypływa niż wpływa oznacza to że ciśnienie w komórce następnej jest zbyt niskie, w odwrotnej sytuacji zbyt wysokie. •Następuje korekta ciśnienia •Proces jest powtarzany dla wszystkich komórek w każdej iteracji. W takim wypadku istotnym staje się znalezienie dobrego równania na korekcję ciśnienia jako funkcji nierównowagi masy. Podstawy algorytmu SIMPLE - Algorytm SIMPLE jest najczęściej stosowanym i polecanym algorytmem w modelu objętości skończonej; -Rozwiniętymi algorytmami są: - SIMPLER (SIMPLE Revisied) - SIMPLEC (SIMPLE Consistent) - PISO (Pressure Implicit with Splitting of Operators) -Wszystkie rozwinięte algorytmy przyspieszają obliczenia ponieważ pozwalają na dobranie wyższych współczynników underrelaksacji; -Wybór algorytmu nie powinien wpłynąć na obliczenia, może wpłynąć tylko na szybkość osiągnięcia rozwiązania i stabilność obliczeń.