7.Liczby zespolone

Wydział Mechaniczny

- Studia Zaoczne -

mgr Małgorzata Suchecka - 1

LICZBY ZESPOLONE Zad.1 Obliczyć wartości podanych wyrażeń: √

  √  2−i − 2 2+i ;

a1) (1 − 2i) + (3 + i) ;

a2)

a4) (2 + i) (3 − i) ;

a5) (1 − i) (−4 − 3i) ;

a6) (4 − i) (1 − i) (3 + 2i) ;

a7) (2 − 5i)2 ;

a8) (3 − 2i)3 ;

a9)

a10)

3−5i 2+i

;

a13) (1 + i)2 a16)

a11) h

4 1−i

i4 +i9 +i16 2−i5 +i10 −i15

+

2−i 1+i

i

;

3 4+i

;

a14) (1 − i)6 (1 + i)6 ;

a3) (3 + 4i) + (7 − 8i) ;

3−i 2+5i

;

a12)

1+2i 3−4i

a15)



+

1+2i 1+i

2−i 5i

2

−

; 

2 1−i

.

Zad.2 Niech z = x + iy , x, y ∈ <. Znaleźć:

b1) Re z1 ;

z b2) Im z+1 ;

2z b3) Re z−i ;

2

b4) Im izz ;

b5) Re (iz 2 ) .

Zad.3 Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory określone podanymi warunkami: c1) |z − 2i| = 1 ;

c2) 2 ¬ |z + 3 − i| ¬ 3 ;

c3) z · z < 9 ;

c4) z · z = −1 ;

c5) |(1 + i) z − 2| < 2 ;

c6) Re [z (1 + i)] = 1 ;

c7) |z − 2i| = Imz ;

c8) |z + i| = |z − 2| ;

c9) Rez = Imz ;

c10)Imz < 1 ∧ Rez > 1 ;

c11)|z + 4i| = Imz − 4 ;

c12)|z| + Rez = 1 .

2

;

Wydział Mechaniczny

- Studia Zaoczne -

mgr Małgorzata Suchecka - 2

Zad.4 Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiory określone podanymi warunkami: d1)

π 3

¬ argz ¬

d3) arg (−z) =

3π 4 π 6

d5) − π4 ¬ argz ¬

d2) − π4 ¬ arg (z − 2 + 3i) ¬

;

d4) − π2 ¬ arg (z) ¬

; π 4

∧ Rez < 1 ;

d6) argz =

π 4

π 4

5π 6

;

;

∧ |z − i| ¬ 1 ;

d7) 0 ¬ arg (z 3 i) ¬ π . Zad.5 Podane liczby zespolone zapisać w postaci trygonometrycznej: √

2−

√

e1) i ;

e2)

e5) −10 ;

e6) 1 −

e9) 1 + cos α + i sin α ;

e10) (1 + i) (cos α + i sin α) .

√

2i ;

3i ;

√ e3) 3 + 3 3i ;

e4) − 52 +

e7) −7 − 7i ;

e8) −2i ;

Zad.6 Korzystając ze wzoru Moivre’a obliczyć podane wyrażenia:  √ √ 10 √ 4 f1) 1 − 3i ; f2) 22 + 22 i ; f3) (1 − i)20 ;

f5)

f9)

(1−i)20 (1+i)25



√1−i 3+i

√

√

12

( 3−i) f6) √ 9 ; (1+i 3)

;

f4) (3 − 3i)35 ;

20

(−1+i 3) f7) √ 25 ; (−1−i 3)

f8)

(1−i)27 (1+i)5

;

6

Zad.7 Korzystając ze wzoru Moivre’a obliczyć podane wyrażenia:q √ √ √ √ 4 g1) 3 −8 ; g2) 5 −2 − 2i ; g3) 4 16 ; g4) −3 + 3 3i ;

g5)

q 3

1−i 1+i

;

g6)

q 3

4

(1 − i) ;

g7)

r 4

1 2

√

+i

3 2

3

.

Zad.8 Wyznaczyć pierwiastki kwadratowe nastepujacych liczb zespolonych: q q √ √ √ √ h1) 5 − 12i ; h2) 1 + 2 6i ; h1) 8 + 4 5i ; h2) 6 + 8i .

√ 5 3 i 2

;

Wydział Mechaniczny

- Studia Zaoczne -

mgr Małgorzata Suchecka - 3

Zad.9 Wyznaczyć rozwiazania równań: i1) z 2 + 4z + 5 = 0 ;

i2) z 4 + 3z 2 − 4 = 0 ;

i3) z 3 − 4z 2 + 6z − 4 = 0 ;

i4) z 2 + (1 + 4i) z − (5 + i) = 0 ;

i5) z 5 − 2z 4 − z 3 + 6z − 4 = 0 ;

i6) z 5 + 4z 3 + iz 2 + 4i = 0 ;

i7) z 2 + 36 = 0 ; Zad.10

i8) z 3 − 8 = 0 .

Podane liczby przedstawić w postaci algebraicznej i zaznaczyć na płaszczyżnie zespolonej: π

2π

j1) e 2 i ;

j2) e− 3 i ;

j3) eπi ;

j6) e2πi ;

j7) eπi+ln 2 ;

j8) eln(1+3i) .

j4) e2i ;

Zad.11 Podane liczby zapisać w postaci wykładniczej: k1) −2i ;

k2) 1 + i ;

k3) −4 ;

π

j5) e 2 i+1 ;

√ k4) 3 − 3 3i .