W.7 Liczby zespolone

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 1

Liczby zespolone WSTĘP W wieku XVI algebraicy włoscy N.Tartaglia i G.Cardano zajęli się poszukiwaniem rozwiązań równania z3 + p z + q = 0

.

W równaniu tym niewiadoma z i współczynniki p , q są liczbami rzeczywiatmi. Podczas prób rozwiązania tego równania natknęli się na niezwykłe trudności, zwłaszcza w przypadku, gdy równanie to ma trzy pierwiastki rzeczywiste.

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 2

Przykład Kula jednorodna o gęstości k zanurzona w cieczy o gęstości c,

0 < k < c, pozostaje w równowadze. Głębokość zanurzenia, zgodnie z prawem Archimedesa, spełnia równanie:   k 3   z − 3 z + 2 2 − 1 = 0 



gdzie z = cos ϕ, 0 < ϕ < π .

c

Poszukiwanie rozwiązań Dla kc = 34 równanie to ma postać: z3 − 3 z + 1 = 0

,

.

Wyznaczając ekstrema funkcji stojącej po lewej stronie równania, dochodzimy do wniosku, że równanie to ma trzy pierwiastki rzeczywiste, z których jeden ma moduł mniejszy od 1 i określa głębokość zanurzenia.

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 3

Analizując jednak wzór algebraiczny wyrażający te pierwiastki przez współczynniki równania, okazuje się, że nie daje się on napisać za pomocą liczb rzeczywistch. Przeszkodą jest fakt, że w zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieją pierwiastki kwadratowe liczb ujemnych.

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 4

Jedność urojona Tartaglia i Cardano wprowadzili jedność urojoną

i jako pojęcie pierwotne

[czyli takie, którego się nie definiuje (np. takim pojeciem w geometrii jest punkt)]. Jako aksjomat przyjęli równość:

i2 = −1

.

Następnie utworzyli liczby zespolone postaci:

x + i y , x, y ∈ R

.

Na liczbach tych wykonywali działania według znanych reguł arytmetyki i za ich pomocą rozwiązali równanie z 3 + p z + q = 0 i uzyskali wzór, zwany dziś wzorem Cardano.

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 5

Teoria funkcji zespolonych, ugruntowana przez m.in.Cauchy’ego, Hamiltona i Weierstrassa, jest dziś podstawowym działem matematyki.

Przykładowe zastosowania liczb zespolonych • wyznaczanie pierwiastków równań kwadratowych, których wyróżnik jest mniejszy od zera • teoria fraktali (stosowana min.w grafice komputerowej) • analiza obwodów elektrycznych prądu przemiennego • liczby zespolone można rozumieć jako szczególny przypadek kwaternionów, które służą opisowi mechaniki w przestrzeni trójwymiarowej Są to jedynie przykładowe zastosowania. Obecnie liczby zespolone są jednym z najważniejszych narzędzi matematycznych dla badań zjawisk przyrodniczych.

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 6

Teoria Gaussa (liczby zespolone w ujęciu aksjomatycznym) Fakt (postać algebraiczna liczby zespolonej) Każdą liczbę zespoloną z można jednoznacznie zapisać w postaci:

z = x + i y , x, y ∈ R gdzie i jest jednostką urojoną. Definicja (część rzeczywista i urojona liczby zespolonej) Niech z = x + i y , x, y ∈ R. Liczbę x nazywamy częścią rzeczywistą (z łacińskiego ”realis”), a liczbę y częścią urojoną (z łacińskiego ”imaginalis”) liczby z . Oznaczamy je odpowiednio przez Rez = x oraz Imz = y .

,

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 7

Definicja (sprzężenie liczby zespolonej) Sprzężeniem liczby zespolonej z = x + i y , x, y ∈ R nazywamy liczbę z = x − i y . Liczba sprzężona do liczby zespolonej jest jej obrazem w symetrii względem osi Rez .

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 8

Uwaga Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb zespolonych definiujemy tak, aby działania te na liczbach rzeczywistych były szczególnym przypadkiem działań na liczbach zespolonych i by zachować ich własności (przemienność oraz łączność dodawania i mnożenia, rozdzielność mnożenia względem dodawania). Wykonujemy je tak jak dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów zmiennej i, przy warunku i2 = −1. Wynik dzielenia przez liczbę z zapisujemy w postaci algebraicznej mnożąc dzielną i dzielnik przez z . Przy potęgowaniu liczby zespolonej można korzystać z dwumiennego wzoru Newtona. Zbiór liczb zespolonych oznaczamy przez C (od łacińskiego słowa ”complexus” - połączenie).

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

Przykład Obliczyć wartość podanych wyrażeń: a) (2 + 3i) − (4 − i)(1 + 2i) ;

√ b) ( 2 − i) − (2 2 + i) ;

c) (2 + i)(−4 − 3i) ;

d) (2 − i)2 ;

3

e) (3 − 2i) ; 2i(2 + 5i) ; 3−i 4 − i 3 + 5i i) · . 1 + 2i 5 − i g)

√

5−i f) ; 1 + 2i 2−i 1 + 2i h) + ; 3 + 2i 2 − 3i

mgr Małgorzata Suchecka - 9

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

Przykład Niech z = x + i y , x, y ∈ R. Znaleźć: a) Re z1 z b) Im z+1 2z c) Re z−i 2

d) Im izz .

mgr Małgorzata Suchecka - 10

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 11

Płaszczyzna zespolona Liczbę zespoloną z = x + i y ,

x, y ∈ R, przedstawiamy na

płaszczyźnie w postaci punktu o współrzędnych (x, y) lub za pomocą wektora o początku (0, 0) i końcu (x, y). Płaszczyznę, na której punktom przyporządkowano liczby zespolone, nazywamy płaszczyzną zespoloną. Oś OX nazywamy osią rzeczywistą, a oś OY osią urojoną.

Definicja (moduł liczby zespolonej) Modułem liczby zespolonej z = x + i y , x, y ∈ R, nazywamy nieujemną liczbę rzeczywistą s

|z| = x2 + y 2

.

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 12

Uwaga Moduł liczby zespolonej jest uogólnieniem wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej. Geometrycznie moduł liczby zespolonej z jest odległością punktu z od początku układu współrzędnych. Moduł różnicy liczb zespolonych z1, z2 jest długością odcinka łączącego punkty z1, z2 płaszczyzny zespolonej.

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

Własności (modułu liczby zespolonej) Niech z, z1, z2 ∈ C . Wtedy: 1. |z| = |z| = | − z| 2. z · z = |z|2 3. |z1 · z2| = |z1||z2| z |z | 1 4. z = |z1| , o ile z2 6= 0 2 2 5. |z1 + z2| ¬ |z1| + |z2| 6. |z n| = |z|n

mgr Małgorzata Suchecka - 13

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

Przykład Obliczyć moduły podanych liczb zespolonych: a) z = −i b) z = −1 + 3i √

1 2

c) z = − i

3 2

d) z = −5 − 12i. Przykład Obliczyć moduły podanych liczb zespolonych: a) (1 + 2i)(3 − 4i) b)

4+i 3+2i

c) (1 + d)

√

2i)4

√ 2 (3− √ 3i) . ( 2+2i)3

mgr Małgorzata Suchecka - 14

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 15

Przykład Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory określone podanymi warunkami: a) |z − 2i| = 1 b) 2 ¬ |z + 3 − i| ¬ 3 c) |(1 + i)z − 2| < 2 d) |z − 2i| = Imz e) |z + i| = |z − 2|.

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 16

Definicja (argument liczby zespolonej) Argumentem liczby zespolonej z = x + i y 6= 0 ,

x, y ∈ R,

nazywamy każdą liczbę ϕ ∈ R spełniajacą układ równań:        

cos ϕ =

x |z|

      

sin ϕ =

y |z|

Przyjmujemy,że argumentem liczby 0 jest każda liczba ϕ ∈ R. Zbiór wszystkich argumentów liczby z oznaczamy przez Argz . Argumentem głównym liczby z 6= 0 nazywamy ten jej argument ϕ, który spełnia warunek: ϕ ∈ (−π, π]. Oznaczamy go przez argz . Argument główny liczby 0 jest równy 0. Każdy argument ϕ liczby zespolonej z 6= 0 ma postać ϕ = argz + 2kπ , gzdie k ∈ Z .

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 17

Uwaga Argumenty liczby zespolonej są miarami kąta zorientowanego utworzonego przez dodatnią część osi rzeczywistej i wektor wodzący tej liczby. Argument główny liczby zespolonej jest najmniejszą nieujemną miarą kąta zorientowanego utworzonego przez dodatnią część osi rzeczywistej i wektor wodzący tej liczby.

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 18

Własności (argumentu liczby zespolonej) Niech z , z1 , z2 6= 0 będą dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy 1. Arg(z) = 2π − Argz 2. Arg(−z) = 

          

Argz + π,

gdy

0 ¬ Argz < π

         

Argz − π,

gdy

π ¬ Argz < 2π



3.  z1  = 2π − Argz 4. Arg(z1 · z2) = Argz1 + Argz2 z 5. z1 = Argz1 − Argz2 2 6. Arg(z n) = n · Argz

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 19

Przykład Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory określone podanymi warunkami: a)

π 3

¬ argz ¬

3π 4

b) − π4 ¬ arg(z − 2 + 3i) < c) arg(−z) =

π 6

d) − π2 ¬ argz < π4 .

5π 6

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 20

Fakt (postać trygonometryczna liczby zespolonej) Każdą liczbę zespoloną można przedstawić w postaci:

z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ), gdzie ϕ ∈ R jest jednym z argumentów tej liczby zespolonej.

Fakt (równość liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej ) Liczby zespolone

z1 = |z1|(cos ϕ1 + i sin ϕ1), z2 = |z2|(cos ϕ2 + i sin ϕ2), gdzie ϕ1, ϕ2 ∈ R, są równe wtedy i tylko wtedy, gdy:

|z1| = |z2| = 0 albo |z1| = |z2| > 0 oraz ϕ1 = ϕ2 + 2kπ dla pewnego k ∈ Z.

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 21

Fakt (mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej ) Niech z1 = |z1|(cos ϕ1 + i sin ϕ1) , z2 = |z2|(cos ϕ2 + i sin ϕ2), gdzie

ϕ1, ϕ2 ∈ R będą liczbami zespolonymi. Wtedy: z1 · z2 = |z1| · |z2|[cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)] |z1| z1 = z2 |z2| [cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)].

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 22

Przykład Podane liczby zespolone zapisać w postaci trygonometrycznej: a) z = −1 b) z = 1 + i √

− 23 i √ d) z = 1 − 3i. Przykład c) z =

− 12

Korzystając z postaci trygonometrycznej obliczyć podane iloczyny: √

a) (1 − i)( 3 + i) b) (4 + 4i)(−3 + 3i) √ c) (10 − 10 3i)(2 − 2i).

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 23

Przykład Korzystając z postaci trygonometrycznej obliczyć podane ilorazy: 2 + 2i a) 1 −√ i 1 − 3i b) √ 3+i 3i c) . 1+i

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 24

Definicja (pierwiastka liczby zespolonej) Pierwiastkiem stopnia n ∈ N z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną ω spełniajacą równość: ωn = z Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z oznaczamy przez Uwaga

√ n

.

z.

√

Symbol n ma inne znaczenie w odniesieniu do liczb rzeczywistych, a inne do liczb zespolonych. Pierwiastek w dziedzinie rzeczywistej jest określony jednoznacznie, natomiast pierwiastkowanie w dziedzinie ze√ n spolonej jest szukanem rozwiązań równania ω = z . Stąd przez n z rozumiemy zbiór jego rozwiazań. Symbolu pierwiastka w dziedzinie zespolonej nie wolno używać do obliczeń, gdyż jest on niejednoznaczny.

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 25

Wzory Moivre’a (o potęgowaniu i pierwiastkowaniu liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej) Niech z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ), gdzie ϕ ∈ R. Wówczas:

z n = |z|n[cos(nϕ) + i sin(nϕ)] zk =

ϕ+2kπ  |z| cos ϕ+2kπ + i sin dla k = 0, 1, . . . , (n − 1). n n

s

n





INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 26

Przykład Korzystając ze wzoru Moivre’a obliczyć podane wyrażenia: √

a) (1 − 3i)4 √ √ 10  2 2  b)  + i 2 2 (1 − i)7 c) (1 + i)5  6 1 − i   . d)  √ 3+i Przykład Korzystając ze wzoru Moivre’a obliczyć podane pierwiastki z liczb zespolonych:

√ 3

−8 √ b) 5 −2 − 2i √ 4 c) 16.

a)

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 27

Definicja (symbol eiϕ) Niech ϕ ∈ R. Wtedy

eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ. Wzór definiujący symbol eiϕ nazywamy wzorem Eulera. Fakt (moduł i argument liczby eiϕ) Dla każdego ϕ ∈ R mamy:

iϕ e = 1.

Jednocześnie ϕ jest jednym z argumentów liczby eiϕ.

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 28

Przykład Podane liczby przedstawić w postaci algebraicznej i zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej: π

a) e 2 i b) eπi c) e

−2π i 3

d) e2i.

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 29

Fakt (postać wykładnicza liczby zespolonej) Dla każdej liczby zespoloną z można przedstawić w postaci:

z = reiϕ, gdzie r jest modułem, a ϕ dowolnym argumentem liczby z .

Uwaga Postać wykładnicza liczby zespolonej jest innym zapisem postaci trygonometrycznej. Postać ta jest wygodna przy takich operacjach jak mnożenie, dzielenie czy też podnoszenie do potegi całkowitej. Dla liczb postaci eiϕ prawdziwe są te same wzory, co dla potęg o wykładniku rzeczywistym.

INŻYNIERIA MATERIAŁOWA -

- sem.I -

mgr Małgorzata Suchecka - 30

Przykład Podane liczby przedstawić w postaci wykładniczej: a) −2i b) 1 + i c) −4 √ c) 3 − 3 3i.