- 3 cos
jest rzeczywista. 3. Wzór de Moivre' a i pierwiastki z jedności. Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby a nazywamy taką liczbę b, że b" =a. W szczególności liczba 1 ma dwa pierwiastki d~ugiego stopni~, 1 i -1, ponieważ 12 = ( -1)2=1. Liczba 1 ma tylko jeden pierw~aste~ rzeczywisty trz~cie.go stopnia, m.ianowicie 1, ma natomiast cztery pierwiastki czwartego stopnia: liczby rzeczywiste 1 i -1 oraz liczby urojone i oraz - i. Nasuwa się przypuszczenie, że istnieją jeszcze dwa pierwiastki trzeciego stopnia z 1 w dziedzinie zespolonej, co daje raa zem trzy pierwiastki. Na podstawie wzoru de Moivre'a można wykazać natychmiast, że tak jest istotnie. Zobaczmy, że w dziedzinie liczb zespolo1 nych jest n różnych pierwiastków n-tego stopnia z jednośc;i. Odpowiadają im wierzchołki n-kqta foremnego wpisanego w okrqg jednostkowy, którego jednym z wierzchołków jest punkt z= 1. Wynika to niemal bezpośrednio z 1ys. 25 (odpowiadającego przypadkowi n= 12). Rys. 25. Dwanaście pierwiastków dwunastego Pierwszym wierzchołkiem wielokąta jest 1. stopnia z jedności Następnym wierzchołkiem jest 360° . . 360° a =cos--+1sm--,
(12)
n
Il
ponieważ argument tego wierzchołka musi być n-tą częścią kąta pełnego 360°. Następnym wierzchołkiem jest a ·a= a 2, ponieważ otrzymujemy go obracając wektor a o kąt 360°/n. Dalszym wierzchołkiem jest a 3 itd. i wreszcie po n krokach do-.
chodzimy z powrotem do wierzchołka 1, tzn. mamy a"=l,
co wynika
również
ze wzoru (11) wobec tego, że
360° . . 360° )" + 1sm-= cos360° +i sin360° = 1 + 01· • ( cos-11 11 Wynika stąd, że a 1 =a jest pierwiastkiem równania x" = 1. To samo zachodzi dla następnego wierzchołka
no·
. . no·
a 2 =cos-- +1sm-11
Il
112
II. Liczbowa struktura matematyki
Wynika to z
§ 5. Liczby zespolone
równości
(a2)" =a2" = (a")2= (1)2=1 (16)
albo ze wzoru de Moivre' a 0
(a2)" = cos
(n 7~ ) + isin ( 7~~·). 11
Podobnie widzimy, że wszystkie n liczb
Dla zbudowania pięciokąta foremnego trzeba rozwiązać to równanie stopnia czwartego. Przez proste przekształcenie algebraiczne można sprowadzić je do równania kwadratowego względem wielkości w=x+l/x. Dzielimy równanie (16) przez x 2 i porządkujemy składniki:
1, a, a 2, a 3, „., a"- 1
1
n-tymi pierwiastkami z jedności. Dalsze wykładniki potęgowe i wykładniki 1 · , Bowiem · ujemne nie dają nowych pierwiastkow. a -1-1 - 1a, a "'a-a '' -:, 11 - 1.oraza 11 =l ' a" +1=(a")a=1 ·a =a itd., tak że otrzymujemy po prost~ ~ow~orze~1e poprz~d nich wartości. Jako ćwiczenie zechce czytelnik udowodnić, ze me ma innych pierwiastków n-tego stopnia. . Jeżeli n jest liczbą parzystą, to jeden z wierzchołków n-kąta foremnego bę~z1e leżał w punkcie -1, zgodnie z faktem algebraicznym, że w tym przypadku -1 iest pierwiastkiem n-tego stopnia z 1. . Równanie, które spełniają pierwiastki n-tego stopma z 1, x"-1=0
(13)
jest n-tego stopnia, ale możemy je łatwo nia. Stosujemy wzór algebraiczny. (14)
sprowadzić
x
w2 +w-l=O. Zgodnie ze wzorem (7) punktu 1 równanie to ma pierwiastki -1-.JS 2
Stąd pierwiastki zespolone stopnia piątego z jedności są równe pierwiastkom dwóch równań stopnia drugiego
x +.; = w 1,
x 2+ f(.JS-1) x+ 1 =O,
x+.;=w2, czyli x2 -f(.J5+1)x+l=O, które czytelnik może rozwiązać na podstawie stosowanego już wzoru.
Ćwiczenia. 1. Wyznaczyć pierwiastki stopnia szóstego z 1.
2.
Obliczyć
(1 + ź)ll.
·
3. Wyznaczyć wszystkie różne wartości wyrażeń:
(15)
.J1 +i,
Jest to zatem równanie, które muszą spełniać pi~rwiastki a, a 2, ... , a"- 1; nazywamy je równaniem cyklotomicznym (równm~iem po~zzału koła). . Tak np. pierwiastki zespolone stopnia trzeciego z 1
to dwa pierwiastki równania
czyli
oraz
Wobec tego że iloczyn dwóch liczb jest równy Owtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedn~ z tych liczb jest równa O, lewa strona. równo~ci (1~) jest równa z~ru tylko wtedy, gdy jeden z dwóch czynników prawej s~ony iest rowny zeru, a więc tylko wtedy, gdy x = 1 lub gdy spełnione jest równanie
są
X
skąd, wobec (x + 1/x)2 = x2 + l/x2 + 2, otrzymujemy równanie
do równania (n-1)-go stop-
x"-1 = (x-1) (x11 - 1 + x11 - 2 + x"- 3 + „.+ x+ 1).
a = cos 120° +i sin 120° = a2 = cos 240° + i sin 240° =
1
x2 +-+x+-+l=O 2
są
"
113
Podobnie pierwiastki stopnia piątego z 1, różne od 1, spełniają równanie
±(-1 +i .J3 ), ±(- 1- i .J3 )
x2+x+l=O,
co czytelnik sprawdzi z łatwością przez bezpośrednie podstawienie.
4. Obliczyć 1i (•7 1 2
V7 - 4i,
lfi,
sr--:
v-1.
·-7)·
1
4*. Podstawowe twierdzenie algebry. Nie tylko każde równanie postaci 2 ax + bx + c =O lub postaci x"-1 =O jest rozwiązalne w dziedzinie liczb zespolonych; prawdziwe jest twierdzenie znacznie ogólniejsze: Każde równanie algebraiczne dowolnego stopnia n o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych: (17)
ma rozwiązanie w dziedzinie liczb zespolonych. Dla równań stopnia trzeciego i czwartego wykazali to w wieku XVI Tartaglia, Cardano i inni, którzy rozwiązali takie
114
§ 5. Liczby zespolone
II. Liczbowa struktura matematyki
równania za pomocą wzorów podobnych w zasadzie do wzorów dla równania stopnia drugiego, ale znacznie bardziej skomplikowanych. W ciągu niemal dwustu lat badano usilnie ogólne równania stopnia piątego i wyższych, jednak wszelkie próby rozwiązania ich podobnymi metodami zawiodły. Ważnym osiągnięciem było podanie przez młodego Gaussa w jego tezie doktorskiej (1799) pierwszego pełnego dowodu tego, że rozwiązania istnieją, chociaż zagadnienie uogólnienia klasycznych wzorów wyrażających rozwiązania równań stopnia niższego niż pią ty, za pomocą działań wymiernych oraz pierwiastkowania, nie było wtedy jeszcze rozstrzygnięte (patrz str. 130-131). Twierdzenie Gaussa głosi, że dla każdego równania algebraicznego postaci (17),gdzie n jest liczbą całkowitą dodatnią i współczynniki a są liczbami rzeczywistymi lub nawet zespolonymi, istnieje co najmniej jedna taka liczba zespolona a= c +di, że f(a) =0. Liczbę a nazywamy pierwiastkiem równania (17). Dowód tego twierdzenia podamy na str. 263. Zakładając na razie, że jest ono prawdziwe, udowodnimy twierdzenie
znane jako podstawowe twierdzenie algebry (bardziej odpowiednia byłaby nazwa: podstawowe twierdzenie teorii liczb zespolonych): Każdy wielomian stopnia n (18) może być rozłożony
f(x)=x"+a„_ 1 xll-l
+ ... + a 1 x+a0
z
Dla udowodnienia twierdzenia o algebraicznej
rozkładzie
115
na czynniki korzystamy znowu
tożsamości
która dla a= 1 jest po prostu wzorem na sumę postępu geometrycznego. Wobec tego, że przyjmujemy prawdziwość twierdzenia Gaussa, możemy założyć, że a= a 1 jest pierwiastkiem równania (17), a więc
Odejmując
to wyrażenie od (18) i porządkując składniki otrzymujemy tożsamość
(21) Wobec (20) możemy teraz wydzielić czynnik (x-a 1) z każdego składnika równości (21), a więc stopień pozostałego czynnika w każdym składniku zmniejsza się o jedność. Porządkując ponownie, otrzymujemy stąd f(x) = (x-a 1) g(x),
gdzie g(x) jest wielomianem stopnia n-1, tj.
na iloczyn dokładnie n czynników, tj.
(19)
gdzie a 1, a 2, ... , all są to liczby zespolone, mianowicie pierwiastki równania f(x) =O. Jako przykład ilustrujący można podać, że wielomian
(Dla naszych celów nie jest wcale potrzebne obliczenie współczynników bk). Może my teraz zastosować to samo postępowanie do g(x). Zgodnie z twierdzeniem Gaussa istnieje pierwiastek a 2 równania g(x) =O, a więc g(x) = (x-a2) lz(x),
f(x)=x4-1
daje się rozłożyć na czynniki w postaci
gdzie h(x) jest wielomianem stopnia n-2. Postępując w ten sam sposób ogółem n -1 razy (zdanie to, oczywiście, tylko zastępuje dowód przez indukcję matematyczną) otrzymujemy wreszcie całkowity rozkład na czynniki
f(x) = (x- l)(x-i)(x + i)(x + 1).
(22)
z rozkładu na czynniki wielomianu (19) jest oczywiste, że liczby a są pierwiastkami równania f(x) =O, ponieważ dla x =a jeden spośród czynników f(x), a zatem i f(x) jest równe zeru. W pewnych przypadkach czynniki x-al' x-a2, ••. wielomianuf(x) stopnia n mogą nie być wszystkie różne, jak na przykład dla
Z równości (22) wynika nie tylko, że liczby a 1, a 1, .•. , all są pierwiastkami równania (17), ale również to, że są one jedynymi pierwiastkami tego równania. Gdyby bowiem y było pierwiastkiem równania (17), to mielioyśmy na podstawie (22)
f(x) = xL 2x + 1 = (x-1) (x-1);
mamy tutaj tylko jeden pierwiastek x = 1, „liczony dwukrotnie" albo „o krotności 2". W żadnym razie wielomian stopnia n nie może mieć więcej niż n różnych czynników x -a, ani odpowiednie równanie nie może mieć więcej niż 11 pierwiastków.
Widzieliśmy na str. 107, że iloczyn liczb zespolonych jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z czynników jest równy zeru. Stąd jeden z czynników y-a,, musi być równy zeru i y musi być równe a„ co było do wykazania.
116
§ 6. Liczby algebraiczne i liczby przestępne
II. Liczbowa struktura matematyki
2**. Twierdzenie Liouville' a i tworzenie liczb przestępnych. Dowód istnienia liczb przestępnych, wcześniejszy od dowodu Cantora, dał]. Liouville (1809-1882). Dowód Liouville' a pozwala na efektywne tworzenie przykładów takich liczb. Jest on nieco trudniejszy niż dowód Cantora, co zachodzi dla większości konstrukcji efektywnych, jeżeli porównamy je z samymi tylko dowodami istnienia. Dowód podajemy tutaj wyłącznie dla czytelników bardziej zaawansowanych, chociaż dla jego zrozumienia wystarczy kurs matematyki wykładanej w liceum. Liouville wykazał, że liczby algebraiczne niewymierne są to takie liczby, które można przybliżać z dużą dokładnością tylko przez ułamki o dostatecznie wielkich mianownikach. Przypuśćmy, że liczba z spełnia równanie algebraiczne stopnia n o współczyn nikach całkowitych, tj.
§ 6*. Liczby algebraiczne i liczby przestępne 1. Definicja liczby algebraicznej. Istnienie liczb przestępnych. Liczba algebraiczna jest to dowolna liczba x spełniająca równanie algebraiczne postaci (n;:: 1, a„ *O),
(1)
gdzie współczynniki ak są liczbami całkowitymi. Tak np . ną, ponieważ spełnia równanie
.J2 jest liczbą algebraicz-
x2 -2=0.
(2)
Podobnie każdy pierwiastek równania o współczynnikach całkowitych stopnia trzeciego, czwartego, piątego lub wyższego jest liczbą algebraiczną niezależnie od tego, czy można wyrazić pierwiastki równania w postaci pierwiastników. Pojęcie liczby algebraicznej jest naturalnym uogólnieniem liczby wymiernej, która stanowi jego przypadek szczególny, odpowiadający n= 1. Nie każda liczba rzeczywista jest liczbą algebraiczną. Przytoczymy tu dowód pochodzący od Can tora, że zbiór wszystkich liczb algebraicznych jest przeliczalny. Wobec tego, że zbiór wszystkich liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny, muszą istnieć liczby rzeczywiste nie będące liczbami algebraicznymi. Metoda przeliczania zbioru liczb algebraicznych jest następująca: Każdemu równaniu postaci (1) przyporządkujmy liczbę dodatnią
h=
la„I + la„_ 1 1+
... +
(a„ "'O),
ale nie spełnia żadnego równania stopnia niższego. Mówimy wtedy, że z jest liczbą algebraiczną stopnia n. Na przykład z= .J2 jest liczbą algebraiczną stopnia drugiego, ponieważ spełnia równanie x2 - 2 =O, natomiast nie spełnia żadnego równania stopnia pierwszego; z= V2 jest liczbą algebraiczną stopnia trzeciego, ponieważ spełnia równanie x 3 -2=0 i, jak zobaczymy w rozdziale III, nie spełnia równania niższego stopnia. Liczb.a algebraiczna stopnia > 1 nie może być liczbą wymierną, ponieważ liczba wymierna z= p/q spełnia równanie
qx-p=O, które jest stopnia pierwszego. Ale każdą liczbę niewymierną można przybliżyć z dowolną dokładnością przez liczbę wymierną; oznacza to, że możemy wyznaczyć ciąg liczb wymiernych
la1 I + la0 I +n,
nazwiemy „wysokością" równania. Dla każdej ustalonej wartości h istnieje tylko skończona ilość równań postaci (1) mających wysokość h. Każde z tych równań może mieć co najwyżej n różnych pierwiastków. Zatem może być tylko skoń czona ilość liczb algebraicznych, których równania mają wysokość Iz, i możemy ułożyć wszystkie liczby algebraiczne w ciąg zaczynając od liczb o wysokości 1, biorąc następnie liczby o wysokości 2 itd. Ten dowód, że zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny, świadczy o istnieniu liczb rzeczywistych nie będących liczbami algebraicznymi; liczby takie nazywamy przestępnymi, bo jak powiedział Euler, „przestępują one możliwości metod algebraicznych". Dowód Cantora istnienia liczb przestępnych z trudnością mógłby być uznany za konstruktywny. Teoretycznie biorąc można utworzyć liczbę przestępną przez zastosowanie postępowania przekątniowego Cantora do uporządkowanej tablicy wyrażeń dziesiętnych na pierwiastki równań algebraicznych; postępowanie takie byłoby jednak zupełnie niepraktyczne i nie doprowadziłoby do efektywnego wypisania liczby w układzie dziesiątkowym lub innym. Co więcej, najciekawsze zagadnienia dotyczące liczb przestępnych polegają na udowodnieniu, że pewne ustalone liczby, jak np. e lub :n: (liczby te zdefiniujemy na stronicach 287 i 288) są prze-
117
którą
stępne.
o coraz większych mianownikach, taki że
Pr ~z.
q„ Twierdzenie Liouville' a głosi: Dla żadnej liczby algebraicznej z stopnia n > 1 takie przybliżenie
(3)
nie może mieć dokładności większej niż 1/q11 + 1, tzn.
nierówność
lz-~I > q.:1
jest spełniona dla dostatecznie wielkich mianowników q. Udowodnimy niebawem to twierdzenie, ale najpierw pokażemy, w jaki sposób pozwala ono na konstruowanie liczb przestępnych. Rozważmy liczbę (definicja symbolu nl na sh: 40)
z=a 1 ·10- 11 +a 2 ·10- 21 +a 3 ·10- 31 + ... + a111 ·10- 1111 +a111 +1 ·10-<111 + 1l 1 + ... = 1
,I ~
I ,II
= O,a 1a2000a3 0000000000000000a4 0000000 ... ,
gdzie a; są to dowolne liczby od 1do9 (mogliśmy np. przyjąć, że wszystkie liczby a;
'I
II
118
§ 6. Liczby algebraiczne i liczby przestępne
II. Liczbowa struktura matematyki
są równe 1). Liczba taka odznacza się rosnącymi szybko odcinkami zawierającymi same zera na przemian z pojedynczymi cyframi różnymi od zera. Oznaczmy przez z111 ułamek dziesiętny skończony, powstający przy uwzględnieniu tylko składni ków liczby z do am· 10- 1111 włącznie.
odM, to
Iz-z I> lf(zm)I > IJ(zm)l. "' M qm
(8)
Dla skrócenia zapisu oznaczamy p111 przez p i q111 przez q. Zatem
Jest wtedy
Jz-zIli I < 10·10-(m+l)I.
(4)
Przypuśćmy, że z jest liczbą algebraiczną
stopnia n. Podstawmy w nierówności (3)
lz-z111 I > dla dostatecznie wielkich m.
Zestawiając
1
1
<11+1)111! 10 to z (4) mamy
10
-~~<----
10<11+1)111!
10<111+1)! - 10<111+1)!-l
f
a więc (n+ l)m! > (m + 1)!-1 dla każdego dostatecznie wielkiego m. Ale to jest fał sz}'We dla dowolnej wartości m większej od n (czytelnik zechce podać szczegółowy dowód tego twierdzenia), co prowadzi do sprzeczności. Stąd z jest liczbą przestępną. Pozostaje jeszcze udowodnić twierdzenie Liouville' a. Przypuśćmy, że z jest liczbą algebraiczną stopnia n> 1 spełniającą równanie (1), a więc
f(z) =O.
Niech z111 = p11,lq111 będzie ciągiem liczb wymiernych, przy czym z111 --7 z. Wobec tego
f(z 111 ) = f(z 111 )-f(z) =a 1(z 111 -z) +a 2(z,;,-z 2) + ... +
a„(z:,~
-z").
Dzieląc obie strony tego równania przez z111 -z i korzystając ze wzoru algebraicznego
otrzymujemy (6)
11-1+ . . . + z11-1) . zf(zm) _z -_ a1 + a2(z111 + z)+ a3(z1112+ z 111z + z2)+ . . . + a11 (z111 Ili
Wobec tego, że z111 dąży do granicy z, różnica pomiędzy z 111 a z będzie mniejsza od 1 dla dostatecznie wielkich m. Możemy zatem napisać następujące grube oszacowanie dla dostatecznie wielkich m:
(7)
I
1:~z~·~1 < lal I +2 la2 I(Iz I +1) +3 la3 I (Iz I +1) 2+ ... +n Ia„ I(Iz I +1) 11 - 1=M,
jest to liczba ustalona, ponieważ w naszym rozumowaniu z jest ustalone. Jeżeli teraz obierzemy tak wielkie m, że w ułamku z111 = p11/q 111 mianownik q,,, jest większy
11
Liczba wymierna z111 = p/q nie może być pierwiastkiem równania f(x) =O, bo gdyby była pierwiastkiem, to wielomian f(x) byłby podzielny przezx-z111 i z spełniałoby równanie stopnia niższego niż n. Stąd f(z 111 ) "#O. Ale licznik ułamka po prawej stronie równania (9) jest liczbą całkowitą, wobec tego musi być równy co najmniej 1. Zatem z (8) i (9) mamy
1 1 1 lz-zm I>-·1i=n:;:r1
(10)
1
I
lf(z„,)I = aoq li+ a1q11-l q p+ ... +a11 pli .
(9)
p/q = z111 = p/10 1111; otrzymujemy
(5)
119
q q
q
co dowodzi twierdzenia. W ciągu kilkudziesięciu lat posunięto znacznie dalej badania dotyczące możli wości przybliżania liczb algebraicznych przez liczby wymierne. Tak np. matematyk norweski A. Thue (1863-1922) udowodnił, że w nierówności Liouville' a można zastąpić wykładnik n+ 1 przez (11/2) + 1. C. L. Siegel okazał później, że prawdziwe jest twierdzenie (mocniejsze dla wielkich 11) przy wykładniku 2./ii .1 Zagadnienie liczb przestępnych zawsze pociągało matematyków. Ale do niedawna znano niewiele tylko przykładów liczb interesujących samych przez się, o których można było udowodnić, że są przestępne. (W rozdziale III rozpatrzymy przestępność liczby :rr, skąd wynika niemożliwość przeprowadzenia kwadratury koła przy pomocy linijki i cyrkla). W słynnym przemówieniu na międzynarodo wym kongresie matematyków w Paryżu w 1900 roku David Hilbert podał dwadzieścia trzy zagadnienia matematyczne, które były łatwe do sformułowania, niektóre spośród nich sformułowane były w sposób elementarny i prostym językiem, z których jednak wtedy żadne nie było rozstrzygnięte ani nie wydawało się bezpośrednio rozwiązalne przy ówczesnym stanie matematyki. Te „zagadnienia Hilberta" stały się wyzwaniem w dalszym okresie rozwoju matematyki. Prawie wszystkie zostały już rozstrzygnięte, a często rozstrzygnięcie oznaczało istotny postęp wiedzy matematycznej i metod ogólnych. Jednym z zagadnień, które wydawały się najbardziej beznadziejne, było udowodnienie, że 25. jest liczbą przestępną, albo nawet, że jest liczbą niewymierną. Przez prawie trzy dziesięciolecia nie było najmniejszego zaczątku skutecznej metody zaatakowania tego zagadnienia. E Siegel i niezależnie młody matematyk A. Gelfond znaleźli nowe metody dowodów przestępności wielu liczb mających znaczenie w matematyce. Gelfond w szczególności dowiódł, że liczba 25. i ogólnie każda liczba postaci ab, gdzie a jest liczbą algebraiczną różną od Oi 1, a b jest dowolną liczbą algebraiczną niewymierną, jest przestępna.
1 K.
E Roth dowiódł w 1955 r., że wykładnik 2.r.i można zastąpić wykładnikiem 2 + e, gdzie E jest dowolnie Jest to ostateczne wzmocnienie omawianego twierdzenia (przyp. red.).
małą liczbą dodatnią.
Dodatek do rozdziału II
Algebra zbiorów
L
I
1. Teoria ogólna. Pojęcie klasy lub zbioru przedmiotów jest jednym z najbardziej podstawowych pojęć w matematyce. Zbiór definiujemy przez pewną wła sność lub cechę A, którą każdy rozpatrywany przedmiot ma bądź nie ma; przedmioty mające tę własność stanowią odpowiedni zbiór A. Jeżeli na przykład rozważamy liczby całkowite i własność A polega na tym, że liczba jest liczbą pierwszą, to odpowiedni zbiór A jest zbiorem wszystkich liczb pierwszych 2, 3, 5, 7, ... Matematyczna teoria zbiorów opiera się na tym, że można za pomocą pewnych działań otrzymywać z danych zbiorów inne zbiory, tak sarno jak można przy pomocy dodawania i mnożenia tworzyć z danych liczb inne liczby. Badanie działań na zbiorach obejmuje algebrę zbiorów, która jakkolwiek różna od algebry liczb ma z nią wiele formalnych analogii. To, że można stosować metody algebraiczne do badania przedmiotów nieliczbowych, jak zbiory, wskazuje na znaczną ogólność pojęć matematyki współczesnej. W ostatnich latach okazało się, że algebra zbiorów objaśnia wiele działów matematyki, jak teorię miary i teorię prawdopodobieństwa; jest ona również przydatna przy systematycznym sprowadzaniu pojęć matematycznych do ich podstawy logicznej. W dalszych rozważaniach będziemy oznaczali przez I pewien ustalony zbiór przedmiotów, których natura może być różna i który nazwiemy zbiorem pełnym (lub uniwersalnym); przez A, B, C, D oznaczamy dowolne podzbiory zbioru I. Jeżeli I oznacza zbiór wszystkich liczb naturalnych, A - może oznaczać zbiór wszystkich liczb całkowi tych parzystych, B - zbiór wszystkich nieparzystych, C - zbiór wszystkich liczb pierwszych. Albo I może oznaczać zbiór wszystkich punktów ustalonej płaszczyzny, A zbiór wszystkich punktów w obrębie pewnego koła na płaszczyźnie, B-zbiór wszystkich punktów w obrębie innego koła na płaszczyźnie itd. Dla wygody zaliczamy do „podzbiorów" zbioru I sam zbiór I oraz zbiór push; O, nie zawierający żadnego elementu. To sztuczne uogólnienie ma na celu zachowanie reguły, że każdej własności A odpowiada podzbiór A wszystkich elementów zbioru I, mających tę własność. W przypadku, gdy A jest pewną obowiązującą zawsze własnością, jak np. własnością ustaloną trywialnym równaniem x = x, odpowiednim podzbiorem zbioru I będzie sarn zbiór I, ponieważ każdy przedmiot spełnia to równanie; jeżeli natomiast A jest pewną
122
Dodatek do
rozdziału
II
własnością sprzeczną z samą sobą, jak x
1
*x, to odpowiedni podzbiór nie będzie zawie-
y
rał żadnego
elementu i może być oznaczony symbolem O. Mówimy, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B, jeżeli w zbiorze A nie ma takiego przedmiotu, który by nie należał także do zbioru B. Jeżeli to zachodzi, piszemy Ac B
albo
Algebra zbiorów
B =>A.
Tak np. zbiór A wszystkich liczb całkowitych będących wielokrotnościami 10 jest podzbiorem zbioru B wszystkich liczb całkowitych będących wielokrotnościa mi 5, ponieważ każda wielokrotność 10 jest także wielokrotnością 5. Stwierdzenie, że Ac B, nie wyklucza tego, że B c A. Jeżeli są spełnione oba te związki, to mówimy, że zbiory A i B są identyczne i piszemy
A={l,2,3},
Wtedy
A+ B == {1,2,3,4},
B == {2, 3, 4}. AB== {2, 3}.
A=B.
Na to, aby ten związek był prawdziwy, każdy element zbioru A musi być elementem zbioru Bi na odwrót, a więc zbiory A i B zawierają dokładnie te same elementy. Związek Ac B ma wiele analogii z relacją porządkową a::; b pomiędzy liczbami rzeczywistymi. W szczególności prawdą jest, że 1.AcA 2. Jeżeli A c B i B c A, to A = B 3. Jeżeli A c B i B c C, to A c C. Z tego powodu nazywamy też relację A c B „relacją porządkową". Jej główną różnicą w porównaniu z relacją a ::; b dla liczb jest to, że dla każdej pary liczb a, b zachodzi zawsze co najmniej jedna z relacji a :5 b lub b :5 a, natomiast dla zbiorów tak nie jest. Jeżeli np. A oznacza zbiór złożony z liczb całkowitych 1, 2, 3, tj. A= {1, 2, 3},
a B oznacza zbiór złożony z liczb całkowitych 2, 3, 4, tj. B={2, 3,4},
to nie jest aniA c B,ani też B c:A. Z tego powodu mówi się, że relacja Ac: B określa zbiorów, natomiast relacja a ::; b określa pełne uporządkowanie wśród liczb. Zaznaczymy jeszcze nawiasowo, że z definicji relacji A c: B wynika, że: 4. O c: A, dla każdego zbioru A 5. A c: I, gdzie A jest dowolnym podzbiorem zbioru I. Zależność 4 może się wydawać nieco paradoksalna, jednak jest ona zgodna ze ścisłą interpretacją definicji znaku c. Twierdzenie O c: A mogłoby bowiem być fał szywe tylko wtedy, gdyby zbiór pusty O zawierał przedmiot nie należący do zbioru A, lecz wobec tego, że zbiór pusty nie zawiera w ogóle żadnego przedmiotu, jest to niemożliwe, jakikolwiek byłby zbiór A. Zdefiniujemy teraz dwa działania na zbiorach, mające wiele z własności zwykłego dodawania i mnożenia liczb, chociaż pojęciowo są one zupełnie różne od
częściowe uporządkowanie wśród
123
tyc 1 działań. Połqczeniem albo sum lo . . się ze wsz~stkich przedmiotówqnafe~~~~~~~::ź~~~n~z~amy zbiór składająym przedm10tem zawartym w obu zbior . , , ądz do B (łącznie z każ:~ B. Przekrojem lub iloczynem logicznym zb~~~~~1~~ ten oznaczamy symbolem y o z tych elementów, które należą zarów d A I. nazywamy zbiór złożony cza?'y symbolem A. B lub po prostu AB r no o , Jak. też do B. Zbiór ten oznamozemy znowu przyjąćJ'ako zbiory A. B( by~. 26). Dla zilustrowania tych działań 1 z 10ry
\.
A+B AB Rys. 26. Suma i iloczyn zbiorów
. Spośród ważnych własności algebraiczn eh . , puiące. Czytelnik zechce je sprawd . , y dz.1ałan A + Bi AB podamy nastęz1c na podstawie definicji tych działań:
6.A + B == B +A 8. A + (B + C) == (A + B) + C 10. A + A == A 12. A(B + q ==AB +AC UA+O==A
16. A + I == J 18 Relacja A B ·
.
c
7. AB == BA 9. A(BC) == (AB)C 11. AA ==A
llA+~C)==0+~0+C) 15. AI == A 17. AD == O.
, ;est townoważna każdej z dwóch relacji A+ B == B,
AB=A.
~prawdzenie tych praw wymaga jed nie Io ·1 . stwierdza, że zbiorem przedmioto'w któ y I .gi Q elementarnej. Tak np. prawo 10 t · ' re na ezą bądź d A b na om1ast 12 stwierdza, że zbiór złożon . c • o ' ądź do A, jest zbiór A, cych bądź do B, bądź do C, jest taki sa~z f'Ized~10tó~ należących do A i nałeżą które n~leżą bądź jednocześnie do A i B i/~~ ~b10r zło~o1:y z tych przedmiotów, strowac rozumowanie loo-i . ' ą z Jednoczesme do A i C. Można ·1 . . o.czne związane z t d z1 uwia!ąc zb~ory A, B, C jako figury płaskie .eż . ym owo~em i z innymi, przedstaposiadama przez te zbiory elementów '~ . eh ~':zględmmy wszystkie możliwości Czytelnik mógł 1'uż za u w . , . roznyc 11 elementów wspólnych. . azyc, ze prawa 6 7 8 9 . 12 . przemienności, łączności i rozdzielnoś . ' '. ' I są identyczne z prawami c1 znanymi z algebry. Wynika stąd, że wszyst-
124
Dodatek do
rozdziału
II
kie reguły zwykłej algebry liczb, będące wnioskami z praw łączności, przemiennoi rozdzielności, obowiązują również w algebrze zbiorów. Natomiast prawa 10, 11 i 13 nie mają odpowiedników liczbowych; nadają one algebrze zbiorów prostszą budowę niż budowa algebry liczb. Tak np. zamiast twierdzenia dwumianowego zwykłej algebry mamy w algebrze zbiorów równość
Algebra zbiorów
ści
(A+ B)" =(A+ B) (A+ B) ... (A+ B) =A+ B,
która wynika z prawa 11. Prawa 14, 15 i 17 wskazują, że własności zbiorów O i I w odniesieniu do połączenia i przekroju zbiorów są w znacznym stopniu podobne do własności liczb O i 1 w odniesieniu do zwykłego dodawania i mnożenia. Prawo 16 nie ma odpowiednika w algebrze liczb. Pozostaje zdefiniować dalsze działanie w algebrze zbiorów. Niech A będzie dowolnym podzbiorem zbioru pełnego I. Przez dopełnienie zbioru A w zbiorze I rozumiemy zbiór złożony ze wszystkich przedmiotów zbioru I nie należących do A. Zbiór ten oznaczamy symbole A'. Jeżeli więc I jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych i A jest zbiorem liczb pierwszych, to A' składa się z liczby 1 i liczb złożonych. Działanie A', które nie ma dokładnego odpowiednika w algebrze liczb, ma następujące własności: 19. A+ A'= I 21. O'= I 23.A" =A 25. (A+ B)' = A'B'
20.AA' =O 22. I'= o 24. Relacja A c B jest 26. (AB)' = A' + B'.
równoważna
':
'
3'. Jeżeli A c B i B c C, to A c C.
Pod · „prawo sprzeczności" które t . d . o b me . . , · miec · , pewnej własnośc· ' · nie Jedn oczesme . s. wier . , za . '.„ze „zaden prze d miot i i me miec Je] ' przybiera postać 20.AA' =o.
::::>
I
2. Zastosowanie do logiki matematycznej. Sprawdzenie praw algebry zbiorów
na analizie znaczenia logicznego relacji Ac B oraz działań A + B, AB i A'. Możemy teraz odwrócić to postępowanie i użyć praw 1-26 jako podstawy „algebry logiki". Mówiąc ściślej, ta część logiki, która dotyczy zbiorów, lub, co na to samo wychodzi, własności lub cech przedmiotów, może być sprowadzona do formalnego systemu opierało się
może
Natomiast ł . , „prawo wy ączonego środka" stwierdza· . posiadac, bądź nie posiadać dane1· wł , .„ Jące, ze „przedmiot musi bądź asnosci , przechodzi w
+ to otrzymamy w wyniku znowu jedno z tych praw. Tak np. prawo 6 przechodzi w 7, 12w13, 17 w 16 itd. Wynika stąd, że każdemu twierdzeniu, które można udowodnić na podstawie praw od 1do26, odpowiada inne twierdzenie „dwoiste", otrzymane przez podaną wyżej zamianę symboli. Wobec tego bowiem, że dowód jakiegokolwiek twierdzenia polega na kolejnym stosowaniu na każdym etapie niektórych spośród praw 1-26, zastosowanie na każdym etapie prawa dwoistego da dowód twierdzenia dwoistego. (Podobną dwoistość w geometrii omawiamy w rozdziale IV).
}
W symbolice algebry zbiorów s I . wszystkie A są Bi wszystkie B są C ty ogizm „~arbara" stwierdzający, że: jeżeli , o wszystkie A są C", jest po prostu: "
relacji B' c A'
Znów pozostawiamy sprawdzenie tych praw czytelnikowi. Prawa od 1 do 26 stanowią podstawę algebry zbiorów. Mają one ważną wła sność „dwoistości" o następującym znaczeniu: Jeżeli w którymkolwiek z praw od 1 do 26 zamienimy wszędzie symbole:
c O
.,
125
algebraicznego opartego na prawach 1-26 L . ., d~ w~asność lub cecha A przedmiotów deflni~:~~~ „zbmr ~ełny" określa zbiór I; każ n:i:ioto~ w zbiorze I posiadających tę cech R } iór A zło~o~y ze wszystkich przedgu logicznej na język zbiorów można zilu~~oe~ dla przeJś~ia ze zwykłej terminolowac na następujących przykładach: „A lubB" A+ B „Zarówno A, jak B" AB „Nie A" A' „Ani A, ani B" (A + B)' lub równoważne A'B' „Nie jednocześnie A i B" (AB)' lub równoważne A' + B' „Wszystkie A są B" albo „Jeżeli A, to B" AcB albo „A implikuje B" „~iektóre A są B" AB*-0 „Zadne A nie jest B" AB=O „Niektóre A nie są B" AB'*-0 „Nie ma żadnych A" A=O.
19. A+ A'= I.
( I
1·
Zate?1 ta część logiki, którą można wyrazić za o . uwazana za normalny system algeb . , p mocą symboli c, +, . i ', może byc' I · . raiczny podleg · aJący prawom 1-26. To połączenie ogiczne1 analizy matematyki z analiz · . ą rnatematyczn I "ki me nowej dyscypliny, logiki matematycznej kt, b ą .ogi sp0wodowało powstaz·punktu widzenia aksiomatyki g d '. ora o ecme przechodzi silny rozwóJ. 1 d zema o .ne Jest · · · 1-26 wraz ze wszystki . . . uwa.n o·1 ze mozna wyprowadzić twierjących trzech równań: mi mnymi twierdzeniami algebry zbiorów z następuA+ B = B +A, 27. (A+ B) + c =A+ (B (A'
+ B')' + (A' + B)'
+ C)
= A.
~
I l
..
~
126
Dodatek do
rozdziału
Algebra zbiorów
II
Wynika stąd, że można zbudować algebrę zbiorów jako teorię czysto dedukcyjną, podobnie jak geometrię euklidesową, na podstawie tych trzech zdań przyjętych za aksjomaty. Działanie AB i relację porządkową A c: B definiujemy wtedy za pomocą symboli A + B i A': AB oznacza zbiór (A' + B')' Ac: B oznacza, że A+ B = B.
!))
tej sumy dla prawidłowego wyznaczenia n(A + B). Dzieląc każdy składnik w tym równaniu przez n(I) otrzymujemy równanie (2). Bardziej interesujący wzór otrzymujemy rozpatrując trzy podzbiory A, B, C zbioru I. Z równania (2) mamy p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C)-p[(A + B)C]. Z prawa 12 z punktu 1 wiemy, że (A + B)C = AC + BC. Stąd p[(A + B)C] = p(AC +BC)= p(AC) + p(BC)-p(ABC).
Zupełnie
inny przykład systemu matematycznego spełniającego wszystkie prawa formalne algebry zbiorów daje osiem liczb: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, gdzie przez a+ b definiujemy najmniejszą wspólną wielokrotność liczb a i b, przez ab - największy wspólny dzielnik liczb a i b, przez a c: b stwierdzenie „a jest dzielnikiem b" i przez a' liczbę 30/a. Istnienie takich przykładów doprowadziło do badania ogólnych systemów algebraicznych spełniających prawa 27. Systemy te noszą nazwę algebr Boo/e'a na cześć matematyka i logika angielskiego George' a Boole' a (1815-1864), którego książ ka An Investigation of the Laws of Thought (Badanie praw myśli), ukazała się w 1854 r.
Podstawiając tość
w poprzednim równaniu tę wartość na p[(A + B)C] i warp(A + B) z równania (2), otrzymujemy szukany wzór:
(3) p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C)-p(AB)-p(AC)-p(BC) + p(ABC). Dla przykładu rozważmy następujące doświadczenie. Wpisujemy trzy cy-
ny 1, 2, 3 w kolejności przypadkowej. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że
"' 3. Zastosowanie do teorii prawdopodobieństwa. Algebra zbiorów w dużym stopniu rozjaśnia teorię prawdopodobieństwa. Dla rozpatrzenia możli wie prostego przykładu wyobraźmy sobie doświadczenie ze skończoną ilością możliwych wyników, które wszystkie przyjmujemy za „jednakowo moż liwe". Doświadczenie może polegać np. na wyciągnięciu na chybił-trafił karty z dobrze potasowanej talii 52 kart. Jeżeli oznaczymy zbiór możliwych wyników doświadczenia przez I i jeżeli A oznacza jakiś podzbiór zbioru I, to definiujemy prawdopodobieństwo tego, że wynik doświadczenia będzie należał do podzbioru A, jako stosunek ilość elementów w A p(A) ilość elementów w I
co najmniej jedna cyfra będzie na właściwym miejscu? Oznaczmy przez A zbiór wszystkich rozmieszczef1, w których cyfra 1 występuje na pierwszym miejscu, przez B zbiór wszystkich rozmieszczeń, w których cyfra 2 występuje na drugim miejscu, i przez C zbiór wszystkich rozmieszczeń, w których cyfra 3 wystę puje na trzecim miejscu. Chcemy obliczyć p(A + B + C). Jest oczywiste, że p(A)=p(B)=p(C)=
to możemy napisać
tę
A) =n(A). p( n(I)
(1)
W naszym przykładzie, jeżeli A oznacza podzbiór złożony z kierów, to n(A) = 13, n(I) =52ip(A)=13/52= 1/4. Pojęcia algebry zbiorów wchodzą do obliczeń prawdopodobieństw, gdy znane są prawdopodobieństwa pewnych zbiorów i poszukujemy prawdopodobieństwa innych zbiorów. Tak np. mając p(A), p(B) i p(AB) możemy wyznaczyć prawdopodobieństwo p(A + B): (2)
bowiem pewna cyfra zajmuje właściwe miejsce, to pozostałe cyfry dwojaki sposób, natomiast jest ogółem 3 · 2 · 1 = 6 moż liwych rozmieszczeń trzech cyfr Ponadto 1 p(AB) = p(AC) = p(BC) = mogą się układać w
6
oraz p(ABC) =
z tych przypadków może występować tylko w jeden sposób (przy jednym rozmieszczeniu). Z równania (3) wynika, że 1 ( 1) +1 = 1--+1 1 = -2 =06666 ... p(A+B+C)= 3·--33 66 26 3 I
Ćwiczenie. Znaleźć odpowiedni wzór dla p(A + B + C + D) i zastosować go do przypadku czterech cyfr. Odpowiednie prawdopodobieństwo wynosi 5/8 = 0,6250.
Ogólny wzór na połączenie
11
podzbiorów
p(A 1 + A 2 + ... + A„)=
(4)
n(A + B) = n(A) + n(B)-n(AB), gdyż elementy wspólne zbiorów A i B, a więc elementy zbioru AB, są liczone dwukrotnie w sumie n(A) + n(B), wobec czego musimy odjąć n(AB) od
1
6"'
ponieważ każdy
p(A + B) = p(A) + p(B)-p(AB).
Dowód jest prosty. Mamy
1 62 = 3;
jeżeli
Jeżeli oznaczymy ilość elementów w
jakimkolwiek zbiorze A symbolem n(A), definicję w postaci
127
= I,p(A;)- LP(A;Aj)+ 2:,P(AAAk)- ... ±p(A1A2 •• .A,,), 1
2
3
Dodatek do rozdziału Il
Rozdział
gdzie symbole
III
:z:, :z:, :z:, ..., 2: 1
2
3
11-l
Konstrukcje geometryczne Algebra ciał liniowych
oznaczają sumowanie wszystkich możliwych kombinacji iloczynów zbiorów Al' A , •••, A„ branych po jednym, po dwa, po trzy, ...,po n jednocześni~. 2 Wzór ten można wyprowadzić przez indukcję matematyczną dokładme w taki sam sposób, jak wyprowadziliśmy (3) z (2). Ze wzoru (4) łatwo wykazać, że jeżeli wypisujemy n cyfr 1, 2, 3, „., n w kolejności przypadkowej, to prawdopodobieństwo tego, że co najmniej jedna cyfra zajmie właściwe miejsce, wynosi (5)
gdzie ostatni składnik bierzemy ze znakiem plus lub minus zależnie od tego, czy n jest nieparzyste, czy parzyste. W szczególności dla n = 5 prawdopodobieństwo jest równe
Wstęp
1 1 1 1 19 !+ !+ = = 0,63333„. 51 30 41 3 2 Pokażemy~ rozdziale VIII, że gdy n dąży do nieskoilczoności, to wy-
Ps = 1 -
rażenie
1 1 1 1 s" =---+-... ±2! 3! 4! n! dąży do pewnej granicy, 1/e, której wartość z dokładnością do pięciu znaków dziesiętnych jest równa 0,36788. Z równania (5) p„ = 1-511, skąd wnosimy, że gdy n dąży do nieskończoności, to
1
p11 ~ 1- - = 0,63212. e
,,
Zagadnienia konstrukcyjne zawsze były ulubionym tematem w geometrii. Jak czytelnik zapewne pamięta ze szkoły, można wykonać wiele różnorodnych konstrukcji posługując się wyłącznie cyrklem i linijką; można podzielić na połowę odcinek lub kąt, z danego punktu można poprowadzić prostą prostopadłą do danej prostej, można wpisać sześciokąt foremny w koło itd. We wszystkich tych zagadnieniach używa się linijki jako narzędzia do poprowadzenia linii prostej, ale nie mierzy się nim ani nie znaczy odległości. Tradycyjne ograniczenie do linijki i cyrkla sięga starożytności, chociaż sami Grecy nie unikali stosowania innych przyrządów. Jednym z najsłynniejszych klasycznych zagadnieil konstrukcyjnych jest tak zwane zagadnienie okręgów stycznych Apoloniusza (około 200 r. p.n.e.), polegające na tym, że dane są trzy okręgi na płaszczyźnie i poszukiwany jest czwarty okrąg styczny do wszystkich trzech. W szczególności dopuszcza się degenerację jednego lub kilku okręgów do punktu albo do prostej („okrąg'' o promieniu równym zeru lub „nieskoilczoności"). Można na przykład szukać konstrukcji okręgu stycznego do dwóch danych prostych i przechodzącego przez dany punkt. Tego rodzaju przypadki specjalne rozwiązuje się raczej łatwo, natomiast zagadnienie ogólne jest znacznie trudniejsze. Spośród wszystkich zagadnieil konstrukcyjnych zagadnienie zbudowania za pomocą linijki i cyrkla wielokąta foremnego o n bokach jest może najbardziej interesujące. Dla pewnych wartości n, np. n= 3, 4, 5, 6 - rozwiązania były znane już w starożytności i stanowią ważny dział szkolnego kursu geometrii. Natomiast udowodniono, że dla siedmiokąta foremnego (n = 7) taka konstrukcja jest niemożliwa. Istnieją jeszcze trzy inne klasyczne zagadnienia pochodzące od Greków, których rozwiąza nia poszukiwano na próżno: podział dowolnego kąta na trzy części równe (trysekcja kąta), podwojenie danego sześcianu (tzn. znalezienie boku sześcianu, którego obję tość byłaby dwukroh1ie większa od objętości sześcianu o danej długości boku) i kwadratura koła (tzn. zbudowanie kwadratu mającego takie samo pole, jak dane koło). We wszystkich tych zagadnieniach dozwolone jest użycie tylko linijki i cyrkla.
130
III. Konstrukcje geometryczne. Algebra ciał liniowych ,
Nierozwiązane zagadnienia tego rodzaju dały początek jednemu z najbardziej godnych uwagi nowych kierunków rozwojowych w matematyce. Gdy po wielu wiekach daremnego poszukiwania rozwiązań zrodziło się podejrzenie, że zagadnienia te są w ogóle nierozwiązalne, stanęła przed matematykami sprawa zbadania, w jaki sposób można udowodnić, że pewne zagadnienia nie mogą być rozwiązane. W algebrze do nowego sposobu myślenia doprowadziło zagadnienie rozwiązy wania równań stopnia piątego i wyższych. W XVI wieku matematycy wykryli, że równania algebraiczne stopnia trzeciego lub czwartego można rozwiązać za pomocą postępowania podobnego do elementarnej metody rozwiązywania równań stopnia drugiego. Wszystkie te metody mają następującą wspólną cechę charakterystyczną: rozwiązania, czyli „pierwiastki" równania, można zapisać w postaci wyrażeń algebraicznych otrzymanych ze współczynników równania za pomocą pewnego ciągu operacji, z których każda jest bądź operacją wymierną - dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem lub dzieleniem - bądź wyciąganiem pierwiastka stopnia drugiego, trzeciego lub czwartego. Mówi się wtedy, że równania algebraiczne do czwartego stopnia włącznie mogą być rozwiązane za pomocą „pierwiastków". Wydawało się zupełnie naturalne, że można rozciągnąć to postępowanie na równania stopnia pią tego i wyższych za pomocą pierwiastków wyższych stopni. Jednak wszystkie usiło wania w tym kierunku zawiodły. Nawet wybitni matematycy XVIll wieku mylili się sądząc, że znaleźli rqzwiązanie. Dopiero na początku XIX wieku Włoch Ruffini (17651822) i genialny Norweg N. H. Abel (1802-1829) powzięli myśl na owe czasy rewolucyjną, aby dowieść niemożliwości rozwiązania ogólnego równania algebraicznego stopnia n za pomocą pierwiastników. Trzeba jasno zrozumieć, że nie chodzi tutaj o zagadnienie, czy dowolne równanie algebraiczne stopnia n ma rozwiązanie. Fakt ten został udowodniony po raz pierwszy przez Gaussa w jego tezie doktorskiej w 1799 roku. Wobec tego nie ma wątpliwości co do istnienia pierwiastków równania, szczególnie odkąd zaczęto wyznaczać te pierwiastki za pomocą stosownych metod z dowolnym stopniem dokładności. Sztuka rozwiązywania numerycznego równań jest, oczywiście, bardzo ważna; została ona wysoce rozwinięta. Zagadnienie Abela i Ruffiniego jest zupełnie inne: czy można wyznaczyć rozwiązanie tylko za pomocą operacji wymiernych i pierwiastkowania? Chęć pełnego wyświetlenia tego zagadnienia spowodowała wspaniały rozwój współczesnej algebry i teorii grup zapoczątkowanych przez Ruffiniego, Abela i E. Galoisa (1811-1832). Zagadnienie udowodnienia niemożliwości pewnych konstrukcji geometrycznych daje jeden z najprostszych przykładów tego kierunku w algebrze. Stosując pojęcia algebraiczne będziemy w stanie udowodnić w tym rozdziale niemożliwość trysekcji kąta, zbudowania siedmiokąta foremnego lub podwojenia sześcianu za pomocą tylko linijki i cyrkla. (Zagadnienie kwadratury koła jest znacznie trudniejsze; patrz str. 150). Naszym punktem wyjścia nie będzie zagadnienie negatywne dotyczące niemożliwości pewnych konstrukcji. Postawimy sobie raczej pytanie pozytywne: jak można scharakteryzować w całości wszystkie zagadnienia możli we do skonstruowania? Po otrzymaniu odpowiedzi na to pytanie łatwą sprawą będzie wykazanie, że zagadnienia wymienione wyżej nie należą do tej kategorii. W wieku siedemnastu lat Gauss badał możliwość zbudowania p-kątów foremnych (wielokątów op bokach), gdzie p jest liczbą pierwszą. Znano wtedy konstruk-
cję tylko dla p = 3 i p- 5 G Wstęp 131 lk - . auss odkrył, że możn b d , ty o wtedy, gdy p jest liczbą Fermata, tj. posta~ z u owac p-kąt foremny wtedy
. I
p=22" + 1.
Pierwszymi liczbami Fermata s 3 . tak wstrząśnięty tym odkryciem ż! '5( 1~ 2~7, 65 537 (patrz str. 47). Gauss był filologiem i postanowił poświęciĆ swn~ ~c ~uast odstąpił od zamiaru zostania Zawsze ze szczególną dumą ws ?Je ;yc1e .matematyce i jej zastosowaniom gnięć. Po jego śmierci postawio:::~~~ ~ep1erwsze ze swoich wielkich osią~ było uczcić Gaussa w sposób właściw .. tyndze posąg z brązu i nie można gu kształtu 17-kąta foremnego. szy n1z przez nadanie piedestałowi posąGdy ma.my_ do czynienia z konstrukc' eo , gdy zapommac, że zagadnienie nie ol~ąagn metryczną, wowczas nie wolno nitg a prakt~cznym narysowaniu figury z pewn~m stopniem dokładności retyczme przy użyciu tylko lin1'1'l<1'. . nkla Y.m' czy mozna znaleźć rozwiązanie teo'd 1 · 1 cyr a 1 przy z ł · · . I ea me precyzyjne. Gauss udowodnił . . k a ozenm, ze nasze narzędzia są przeprowadzone. Teoria jego nie do ' ze ~ego onstrukcje w zasadzie mogą być prowadzenia tych konstrukc1'i a . tyczy naJpro~tszego sposobu efektywnego przeu . . m postępowama któ . ~roszcze~ia I zmniejszenia ilości konstrukc'i ' r.e mozna by zastosować dla me ma o wiele mniejsze znaczenie t t J pomocmcznych. Ostatnie zagadnieżadna taka konstrukcja nie da tak d ebore yczne. z praktycznego punktu widzenia 0 rego wyniku jaki · d · b zasto sowanm obrego kątomierza B k 1 . ' mozna y otrzymać przy charakteru zagadnienia konstruk „1. ra na ezytego zrozumienia teoretycznego wątpi' h CJ geometrycznej i up iwyc prawd naukowych są . orczywe nieuznawanie niem ujący się trysekcją kąta i kwadra~zy~~ną t~go, ~e ciągle jeszcze są ludzie zajzrozumieć elementarną matemat k rą o .a. C1 sposród nich, którzy są w stanie y ę, mogliby odnieść korzyść z przestudiowania niniejszego rozdziału. . . Jeszcze raz należy podkres'l" . 1c, ze nasze U Jęcie k t k „ . . d Je się o pewnego stopnia sztuczne L. . 'k . .ons ru CJI geometrycznej wydaprzyborami do kreślenia ale ogran·1·c łl11J. a I. cyrkiel są z pewnością najprostszymi nym · . ' zenie się do tych p b , . rzy orow nie jest w żadrazie merozdzielnie związ Matematy ane z geometną. . . cy greccy dawno już stwierdzili ż meme podwojenia sześcianu mogą b , . '. e pewne zagadnienia, np. zagad1 ' ycó 1ozw1ązane · · l'I d ozwolone jest użycie lp. e ki erki w kształcie kąta prost . '1eze niż ki 1 ego; r wme łatwo jest 'l' .cyr e 'za pomocą których można w kreś . , . . wymys ić przybory inne złozone; stosowanie takich przyb , y lic eh psy, hiperbole i krzywe bardzie1· m ozna · skonstruować Jednakż orow znacznie roz szerza d z1edzinę . figui; które sy . . ew następnych punktach b d . ' cznego pojęcia konstrukcji geometry . ę z1emy się trzymali klaczne1 za pomocą linijki i cyrkla.
al:
! '
132
III. Konstrukcje geometryczne. Algebra ciał liniowych
A. Dowody niemożliwości i algebra § 1. Podstawowe konstrukcje geometryczne 1. Konstruowanie ciał i wyciąganie pierwiastka kwadratowego. Kształ towanie naszych głównych pojęć rozpoczniemy od rozpatrzenia kilku spośród konstrukcji klasycznych. Kluczem do głębszego zrozumienia tych zagadnień jest przełożenie zagadnień geometrycznych na język algebry. Każde zadanie konstrukcyjne jest następującego typu: dany jest pewien zespół odcinków, powiedzmy a, b, c, „., a szukamy jednego lub więcej innych odcinków x, y, „. Zagadnienia konstrukcji geometrycznych można zawsze sformułować w ten sposób, nawet jeżeli na pierwszy rzut oka wyglądają zupełnie inaczej. Szukanymi odcinkami mogą być boki trójkąta, który należy skonstruować, promienie kół lub współ rzędne prostokątne pewnych punktów (patrz np. str. 148). Przypuśćmy dla uproszczenia, że szukany jest tylko jeden odcinek x. Konstrukcja geometryczna sprowadza się teraz do rozwiązania zagadnienia algebraicznego: najpierw musimy znaleźć jakąś zależność (równanie) pomiędzy szukaną wielkością x i danymi wielkościami a, b, c, ... ,następnie musimy wyznaczyć wielkość niewiadomą x przez rozwiązanie tego równania i w końcu musimy ustalić, czy rozwiązanie to można otrzymać za pomocą postępowania algebraicznego odpowiadającego konstrukcjom za pomocą linijki i cyrkla. Podstaw dla całej teorii dostarcza zasada geometrii analitycznej - charakteryzacja ilościowa, oparta na wprowadzeniu continuum liczb rzeczywistych. Zauważmy przede wszystkim, że niektóre spośród najprostszych operacji algebraicznych odpowiadają elementarnym konstrukcjom geometrycznym. Jeżeli dane są dwa odcinki o długościach a i b (mierzonych za pomocą pewnego odcinka „jednostkowego"), to łatwo jest zbudować odcinki a+ b, a-b, ra (gdzie r jest dowolną liczbą wymierną), alb i ab.
of'--a+b--1
"----
a-~l
b-t
D
o·=-[,-_-b ~J.=--a-3" Rys. 27. Konstrukcja n
+ b I a-11
Rys. 28. Konstrukcja a/3
Aby skonstruować a + b (rys. 27), prowadzimy prostą i na niej za pomocą cyrkla zaznaczamy koło siebie odległości OA=a i AB=b. W takim razie OB=a+b. Podobnie dla otrzymania a- b zaznaczamy OB= a i AB = b, ale tym razem AB odmierzamy w przeciwnym kierunku niż OA. Wobec tego OA=a-b. Aby skonstruować 3a, dodajemy po prostu a+ a+ a; podobnie możemy skonstruować pa, gdzie p jest dowolną liczbą całkowitą.
§ 1. Podstawowe konstrukcje geometryc Odcinek a/3 konstruujemy w nast . zne 133 stej odcinek OA =a i przez punkt O ępu,ącr_ sposób (rys. 28): zaznaczamy n · · prowadzimy d I · a pro. giej prostej odmierzamy dowolny odcinek OC - .owo ną m~ą prostą. Na tej drumy pu.nkty A i D i przez punkt C rowa . - c I konst~uu1emy OD= 3c. Łącz przetme prostą OA w punkcie B 11 ?.k dz1m!' prostą rownoległą do AD któy OA =OC/OD= 1/3 i OB = a/3 W.t roj ąty OBC i OAD są podobne; stąd OB/;= 0Br~ · d · ensamsposób · ko 1 Jest owo Iną liczbą całkowitą. Dokonu. c te. m~~emy s nstruować a/q, gdzie q struować w ten sposób ra gdz" - 'ii J~ j operaq1 na odcinku pa, możemy skonDla skonstruowania a/b (rys1e2r9-) p.dq j~st dowolną liczbą wymierną. . · o m1erzamyOB-b ·o,„ nego ką ta O I na boku OB odm"1erzamy OD -1 p - 1 n = a na bokach dowol równoległą do AB, która przecina prost O~ . rzez ~unkt D prowadzimy prostą OC ma długość alb. Konstrukcja ab . t ą k w punkcie C. W takim razie odcinek równoległą do BC poprowadzon jes po azana na rys. 30, gdzie prosta AD j'est ą przez punkt A.
Rys. 29. Konstrukcja alb Rys. 30. Konstrukcja nb
~ tych rozważafi wynika, że "w mierne" . . . odejmowanie, mnożenie i dziele111· y h d.z1ałama algebraiczne: dodawania
e znanyc wielkości m b ć ' I h ogą y wykonywane za mi są liczby rzeczywiste a b c . ~wo nyc danych odcinków, których miarastrukcji skonstruować do~olną' .„,. mlkozśe?1y i;>rzez. stosowanie tych prostych konwie o c, daJącą się w ·, . a, b, c, „. wymiernie tzn przez · 1 '-· yrazic za pomocą wielkości . . . ' . wie o"'.mtne stosowanie d d . . mnozema I dzielenia. Ogół wielk , . k ó . o awama, odeJmowania k , . b osc1, t re mozna otr ć , osc1 a, ' c, „., stanowi to co naz w . . zyma w ten sposób z wieltaki, że jakiekolwiek dzi;łania . : ~my ciałem liczbowym, a mianowicie zbiór liczb mentów zbioru, dają liczbę tegoż y;1ern~ zastosowane do dwóch lub więcej eleby rzeczywiste i liczby zespolone ztw1oru. ~złypominamy, że liczby wymierne, licz. ł . orzą cia a W naszy dk c1a o Jest utworzone przez dane liczb b . m przypa u mówimy, że Ist t · Y a, ' c, .„ . prod .o me nową konstrukc1·ą', kt,01a wa z1 nas poza otrzymaną właśnie d . dzi · t z1e... „ nę, Jes wyciąganie pierwiastka kwadra~owego; jeżeli dany jest odcinek a, to mozna skonstruować także odcinek Ja ,... ~r~y użyciu tylko cyrkla i linijki. Na pr:„ .. „··· s ej ,o~mierzamy OA =a i AB= 1 (rys. 31). o „. ,.. ~esluny okrąg, którego średnicą jest od1--------;A.f---~ emek OB, i przez punkt A prowadzimy 1+----a----=->1.....B Rys. 31. Konstrukcja ..fii pomocą k onstrukcji geometrycznych Z d
I
134
III. Konstrukcje geometryczne. Algebra ciał liniowych:
§ 1. Podstawowe konstrukcje geometryczne
prostopadłą
do OB, która przetnie okrąg w punkcie C. W trójkącie OBC kąt C jest prosty zgodnie z twierdzeniem geometrii elementarnej, głoszącym, że kąt wpisany w półkole jest kątem prostym. Stąd wynika, że 40CA = 4ABC; trójkąty prostokątne OAC i CAB są podobne i mamy dla x =AC !!_ = ~ X 1'
x 2 =a,
za najbardziej zadowalający estetycznie. Zaznaczmy przy okazji, że wartość tego stosunku wynosi około 1,62. Spośród wszystkich wielokątów foremnych sześciokąt jest najłatwiejszy do skonstruowania (rys. 33). Zaczynamy od okręgu o promieniu r; długość boku sześcio kąta foremnego wpisanego w to koło jest także równa r. Sam sześciokąt można skonstruować odmierzając od dowolnego punktu kolejno cięciwy o długości r aż do uzyskania wszystkich sześciu wierzchołków sześciokąta. Z foremnego n-kąta możemy otrzymać foremny 2n-kąt połowiąc łuki koła opisanego odpowiadające każdemu bokowi n-kąta i wykorzystując znalezione w ten sposób punkty jako dodatkowe wierzchołki dla szukanego 2n-kąta. Zaczynając więc od średnicy koła (od „2-kąta") możemy skonstruować 4-kąt, 8-kąt, 16-kąt, „., 2n-kąt. Podobnie możemy otrzymać 12-kąt, 24-kąt, 48-kąt itd. z sześciokąta oraz 20-kąt, 40kąt itd. z dziesięciokąta.
x =Ja.
2. Wielokąty foremne. Rozważmy teraz kilka nieco bardziej złożonych zagadkonstrukcyjnych. Zaczynamy od dziesięciokąta foremnego. Przypuśćmy, że dziesięciokąt foremny jest wpisany w koło o promieniu 1 (rys. 32); bok jego oznaczamy przez x. Wobec tego, że na odcinku x oparty jest kąt środkowy 36°, pozostałe dwa kąty większego trójkąta wynoszą po 72°; linia przerywana, będąca dwusieczną kąta A, dzieli więc trójkąt OAB na dwa trójkąty równoramienne, w których ramiona mają długość x. Promień koła zostaje zatem podzielony na dwa odcinki x i 1- x. Wobec tego, że trójkąt OAB jest podobny do mniejszego trójkąta równoramiennego, mamy 1/x = x/(1- x). Z tej proporcji otrzymujemy równanie drugiego stopnia x 2 + x-1 =0, którego rozwiązaniem jest x= ( .J5 -1)/2. (Drugie rozwiąza nie równania nie odpowiada zagadnieniu, ponieważ daje ujemną wartość x). nień
Jeżeli s11 oznacza długość boku n-kąta foremnego wpisanego w koło jednostkowe (koło o promieniu 1), to długość boku 2n-kąta jest równa
(*) Można to wykazać jak następuje: Na rys. 34 długość boku s„ jest równa
DE = 2DC, s2 „ jest równe DB i AB jest równe 2. Pole trójkąta prostokątnego
f
f
BD· AD i jednocześnie AB· CD. Wobec AD= .JAB 2 - DB2 otrzymujemy przez podstawienie AB= 2, BD= s2 , CD= .!.s i przez przy" 2 u równanie obu: ABD wynosi
o czyli
Rys. 32. Dziesięciokąt foremny
Rozwiązując to równanie stopnia drugiego względem x = s~„ i uwzględniając, że x musi być mniejsze od 2, znajdujemy w końcu wzór (*),który mieliśmy wykazać. Ze wzoru (*) i stąd, że s4 (bok
Rys. 33. Sześciokąt foremny
Wynika stąd, oczywiście, że można skonstruować x geometrycznie. Mając długość x możemy teraz skonstruować dziesięciokąt foremny odmierzając tę długość 10 razy jako cięciwę koła. Można również skonstruować pięciokąt foremny łącząc co drugi wierzchołek dziesięciokąta foremnego.
czworokąta) równa się
Zamiast konstruowania .J5 metodą pokazaną na rys. 31, możemy także otrzymać ten odcinek jako przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, o przyprostokątnych 1 i 2. Otrzymujemy wtedy x odejmując jednostkę dłu gości od .J5 i dzieląc otrzymany odcinek na połowy. Stosunek OB :AB z poprzedniego zagadnienia jest nazywany złotym stosunkiem, matematycy greccy uważali prostokąt o takim właśnie stosunku boków
ponieważ
135
Sg=
..fi, wynika, że
·h-..fi,
itd. Jako wzór ogólny otrzymujemy dla n > 2
'
.
Rys. 34
136
III. Konstrukcje geometryczne. Algebra ciał liniowych : 11
z n-1 zstępującymi pierwiastkami stopnia drugiego. Obwód 2 -kąta wpisanego w koło wynosi 2"s2,.. Gdy n dąży do nieskołi.czoności, 211-kc1t zbliża się do okręgu. Zatem 2"s 2" przybliża obwód koła jednostkowego, który z definicji wynosi 2ir. Zastępując więc n -1 przez m i kasując czynnik 2 otrzymujemy wzór graniczny na x:
2"'~2-~2+~2+„.+./2
-7:rt:,
gdy
111-7 oo.
m pierwiastków kwadratowych
Podstawowe konstrukcje geometn1czne
137
~ę własność, że wyrazy stopnia drugiego są jednakowe we wszystkich równaniach Jak to wi~ać z postaci :ozwini~tej .(1'). Wobec tego, odejmując równanie (2) od (1) otrzymu1emy równame stopma pierwszego względem x, y, r (4)
ax+by+cr=d,
gdzie a= 2(x2-x1) itd. Podobnie, odejmując (3) od (1), otrzymujemy inne równanie liniowe (5)
Ćwiczenie. Wobec 2m -7 oo udowodnić jako wniosek, że
~2+~2+
§ 1.
a'x+b'y+c'r=d'.
Rozwiązując równania (4) i (5) względem x i y otrzymujemy wyrażenia zawierające r; podstawiając następnie te wyrażenia do (1) otrzymujemy równanie kwa-
dratowe względem r, które można rozwiązać za pomocą operacji wymiernych i wy... +./2
-7
2,
gdy
n -7 oo
n pierwiastków kwadratowych
Wyniki otrzymane dotąd wskazują na następującą charakterystyczną własność foremnych: boki każdego 211 -kąta, 5 · 2"-kąta i 3 · 211 -kąta można wyznaczyć za pomocą dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i wyciągania pierwiastków kwa-
wielokątów
dratowych. 3*. Zagadnienie Apoloniusza. Innym zagadnieniem konsh·ukcyjnym, które staje się zupełnie proste z punktu widzenia algebraicznego, jest sławne zagadnienie okrę
gów stycznych Apoloniusza, o którym już wspominaliśmy. Nie jest nam tu potrzebne znalezienie szczególnie eleganckiej konstrukcji. Ważne jest natomiast, że zagadnienie daje się rozwiązać za pomocą wyłącznie cyrkla i linijki. Podamy krótkie informacje o dowodzie, odkładając sprawę bardziej eleganckiej metody konstrukcji do stronicy 168. Przypuśćmy, że dane trzy okręgi mają środki (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) i promienie odpowiednio równe rv r2, r3. Oznaczmy współrzędne środka szukanego okręgu przez (x, y), a promień przez r. W takim razie warunek na styczność poszukiwanego okręgu do trzech okręgów danych otrzymać możemy stąd, że odległość pomię dzy środkami dwóch okręgów stycznych jest równa sumie lub różnicy promieni, zależnie od tego, czy te okręgi są styczne zewnętrznie, czy wewnętrznie. Daje to równania: (1) (2) (3)
(x-x1)2+(y-y1)2-(r ± r1)2=0, (x-x2)2+(y-y2)2-(r ± r2)2=0, (x-x3)2+(y-y3)2-(r ± r3)2=0,
czyli (1')
itd. W każdym z tych równań należy wziąć znak plus lub minus zależnie od tego, czy okręgi mają być styczne zewnętrznie, czy wewnętrznie (rys. 35). Równania (1), (2), (3) są równaniami kwadratowymi względem trzech niewiadomych x, y, r i mają
Rys. 35.
Okręgi
Apoloniusza
ciągania pierwiastka kwadratowego (patrz str. 105). Na ogół równanie to będzie miało dwa rozwiązania, z których tylko jedno będzie dodatnie. Po wyznaczeniu r z tego równania otrzymujemy x i y z równań liniowych (4) i (5). Okrąg o środku w punkcie (x, y) i promieniu r będzie styczny do trzech danych okręgów. W całym postępowaniu stosowaliśmy tylko operacje wymierne i wyciąganie pierwiastków kwadratowych. Wynika stąd, że można skonstruować wielkości r, x i y wyłącznie za pomocą cyrkla i linijki.
138
III. Konstrukcje geometryczne. Algebra ciał liniowych :
Na ogół będzie 8 rozwiązań zagadnienia Apoloniusza, odpowiadających 2 · 2 · 2 = 8 możliwym kombinacjom znaków+ i - w równaniach (1 ), (2) i (3). Wybór znaku odpowiada warunkowi zewnętrznej czy też wewnętrznej styczności szukanego okręgu do danych trzech okręgów. Może się zdarzyć, że nasze postępowanie algebraiczne nie da wartości rzeczywistych na x, y i r. Przypadek taki zachodzi np. wtedy, gdy trzy dane okręgi są współśrodkowe, tj. gdy nie istnieje żadne rozwiąza nie zagadnienia geometrycznego. Podobnie możemy oczekiwać rozwiązań „zdegenerowanych", jak w przypadku gdy trzy dane okręgi degenerują się do trzech punktów na jednej prostej. Okrąg Apoloniusza degeneruje się wtedy do tej prostej. Nie będziemy rozpatrywali szczegółowo tych możliwości, czytelnik mający pewne doświadczenie w dziedzinie algebry łatwo będzie mógł uzupełnić analizę.
§ 2*. Konstruowalne liczby i
ciała
liczbowe
rozważania wskazują na ogólne algebraiczne konstrukcji geometrycznych. Każda konstrukcja za pomocą wyłącznie cyrkla i linijki składa się z pewnej ilości następujących konstrukcji elementarnych: 1. połączenia dwóch punktów linią prostą, 2. wyznaczenia punktu przecięcia dwóch prostych, 3. wykreślenia okręgu o danym promieniu i środku, 4. wyznaczenia punktu przecięcia okręgu z innym okręgiem lub z prostą. Uważamy element (punkt, linię lub okrąg) za znany, jeżeli był dany na początku konstrukcji lub został skonstruowany w jednej z poprzednich konstrukcji elementarnych. Rozważania teoretyczne wygodnie będzie nam prowadzić przy pomocy układu współrzędnych x, y (patrz str. 89). Elementy dane są wtedy reprezentowane przez punkty lub odcinki w płaszczyźnie xy. Jeżeli na początku dany jest tylko jeden odcinek, to możemy przyjąć go za jednostkę długości, ustalającą punkt x = 1, y =O. Czasami występują elementy „dowolne": prowadzi się dowolne proste, obiera się dowolne punkty lub promienie okręgów. (Przykład takiego elementu dowolnego występuje przy konstruowaniu środka odcinka; kreślimy dwa okręgi o jednakowym, ale dowolnym promieniu z każdego końca odcinka i łączymy punkty przecięcia tych okręgów). W takich przypadkach możemy przyjąć elementy wymierne: tzn. można obrać dowolne punkty o wymiernych współrzędnych x, y, dowolne proste ax +by+ c =O o wymiernych współczynnikach a, b, c, dowolne okręgi, których środki mają współrzędne wymierne i których promienie są wymierne. W dalszym ciągu będziemy stale jako elementy dowolne obierali elementy wymierne; jeżeli te elementy są istotnie dowolne, to takie ograniczenie nie może wpłynąć na wynik konstrukcji. Dla uproszczenia założymy w dalszych rozważaniach, że na początku dany jest tylko jeden element: jednostka długości. W takim razie zgodnie z § 1 możemy skonstruować za pomocą cyrkla i linijki wszystkie liczby, które dają się otrzymać z jedności za pomocą działań wymiernych: dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, tj. wszystkie liczby wymierne r/s, gdzie r i s są liczbami całkowitymi. Układ liczb wymiernych jest zamknięty ze względu na działania wymierne, co
1. Teoria ogólna. Nasze dotychczasowe
podłoże
§ 2.
Konstruowalne liczby i ciała liczbowe
139
oznacza, że suma, różnica, iloczyn i iloraz dwóch liczb wymiernych (z wyłącze niem, jak zawsze, dzielenia przez O) jest znowu liczbą wymierną. Każdy zbiór liczb zamknięty ze względu na działania wymierne nazywamy ciałem liczbowym.
Ćwiczenie. Wykazać, że każde ciało zawiera co najmniej wszystkie liczby wymierne. WSKAZÓWKA. Jeżeli a* Ojest liczbą należącą do ciała F, to a/a= 1 należy do F, a z liczby 1 możemy otrzymać dowolną liczbę wymierną za pomocą działań wymiernych. Możemy zatem, wychodząc od jednostki, skonstruować całe ciało liczb wymiernych, a także wszystkie punkty wymierne (tj. punkty o obu współrzędnych wymiernych) w płaszczyźnie xy. Możemy również otrzymać liczby nowe, niewymierne, używając cyrkla do konstrukcji; np. liczbę, która, jak wiemy z rozdziału II,§ 2, nie należy do ciała liczb wymiernych. Po skonstruowaniu J2 możemy za pomocą konstrukcji „wymiernych" z§ 1 wyznaczyć wszystkie liczby postaci
a+bJi,
(1)
gdzie liczby a i b są wymierne, a zatem możliwe do skonstruowania. Podobnie mowszystkie liczby postaci
żemy skonstruować
a+b.fi lub (a+b.fi)(c+d J2), c+d.fi gdzie liczby a, b, c, d są wymierne. Liczby te jednak można zawsze napisać w postaci (1). Mamy bowiem a+b.fi = a+b.fi. c-d.fi c +a.fi c + d.fi. c - d.fi,
= ac-2bd +
be-ad
c 2 - 2d 2
c 2 - 2d 2
J2 _ -
+ J2 p q ,
gdzie liczby p i q są wymierne. (Mianownik c2 - 2d2 nie może być równy zeru, jeżeli bowiem c2 -2d2 =0, to J2 =c/d, co jest sprzeczne z faktem, że J2 jest liczbą niewymierną). Podobnie (a +bJi) (c+d Ji) =(ac+2bd) +(bc+ad) J2 =r+sJ2, gdzie liczby r, ssą wymierne. Zatem przez skonstruowanie .fi możemy dojść tylko do zbioru liczb postaci (1), gdzie a, b są dowolnymi liczbami wymiernymi.
Ćwiczenie. Mając p = 1 + .fi, q = 2- .fi, r = -3 + .fi otrzymać liczby
E. q
pqr 1+r2
'
p+qr q+pr2
w postaci (1). Liczby postaci (1) również tworzą ciało, jak to wynika z rozważań poprzednich. Oczywiste jest, że suma i różnica dwóch liczb postaci (1) również ma postać (1). Ciało to jest obszerniejsze niż ciało liczb wymiernych, które jest jego częścią, tzw. podciałem.
III. Konstrukcje geometryczne. Algebra ciał liniowych "
140
§ 2. Konstruowalne liczby i ciała liczbowe
Oczywiste jest jednak, że jest ono mniejsze niż ciało wszystkich liczb rzeczywistych. Oznaczmy ciało liczb wymiernych przez F01 a ciało liczb postaci (1) przez F1. Wykazaliśmy możliwość skonstruowania dowolnej liczby z „rozszerzonego ciała" Fr Możemy znowu rozszerzyć zakres naszych konstrukcji biorąc liczbę ciała Fl' powiedzmy k = 1 + ../i, i wyciągając z niej pierwiastek kwadratowy; uzyskujemy w ten sposób liczbę
Wobec tego, że współrzędne te są również liczbami z ciała F, jest oczywiste, że uży cie samej linijki nie może wyprowadzić nas poza ciało F.
Ćwiczenie.Prostex+ ..fiy-1=0,2x-y+ ./2 = Omająwspółczynnikinale (1). Wyznaczyć współrzędne punktu ich przecięcia i SJ?.rawdzić, że mają one postać (1). Połączyć punkty (1,./2) i (..fi, 1- .J2) prostą ax +by + c =O i sprawdzić, że te współczynniki są postaci (1 ). Wykazać to samo żące do ciała
w stosunku do ciała (2) dla prostych .Jl+ ../2.x + ../2.y = 1,
a następnie, zgodnie z § 1, ciało złożone ze wszystkich liczb
p+q.Jk
(2)
=l-~1+.J2 ipunktów(..Ji, -1),(1+ .J2, .Jl+.J2 ). Używając tylko cyrkla możemy się przedrzeć poza mury ciała F. W tym celu obieramy pewien element k ciała F, który jest tego rodzaju, że .Jk nie należy do F. Konstruujemy następnie .Jk i stąd wszystkie liczby
Ćwiczenie. Przedstawić
1+.Jk
I
a+b.Jk
(3)
../i.Jk + 11./2
( 1 + .Jk) ( 2 - .Jk)(../i + 1/.Jk)
(.Jk)3 -3
1+..Jik
(a +b .Jk) (c+d .Jk) = (ac+kbd) +(ad +be) .Jk
Wszystkie te liczby zostały skonstruowane przy założeniu, że na początku dany był tylko jeden odcinek. Jeżeli dane są dwa odcinki, to możemy wybrać jeden z nich za jednostkę długości. Przypuśćmy, że długość drugiego, wyrażona w tych jednostkach wynosi a. W takim razie możemy skonstruować ciało G składające się ze wszystkich liczb postaci
i ich iloraz
a+ b.Jk c + d.Jk
a„µ 111 + a„,_ 1a",_1 + ... + a1a + t1iJ b11 a 11 + b11 _ 1a 11 - 1 + ... + b1a + b0 ' gdzie liczby a0, ••• , a111 i b01 •••, b11 są wymierne, a 111 i n są dowolnymi liczbami całkowitymi, nieujemnymi. Ćwiczenie. Dane są dwa odcinki o długości 1 i a; podać efektywne konstrukcje dla 1 +a +a2, (1 + a)/(1-a), a 3• Załóżmy teraz ogólniej, że potrafimy skonstruować wszystkie elementy pewnego ciała liczbowego F. Wykażemy, że użycie samej linijki nigdy nie wyprowadzi nas poza ciało F. Równaniem prostej przechodzącej przez dwa punkty o współ rzędnych al' b i a2 , b2 ciała F jest (b1 -b2 )x + (a 2-a 1)y + (a 1b2-a2b1) =O (patrz str. 489; 1 współczynniki tego równania są wyrażeniami wymiernymi utworzonymi z liczb należących do F, a więc, na mocy definicji ciała, same należą do F. Ponadto, jeżeli mamy dwie proste nierównoległeax + {Jy-y =O oraza'x + fl'y-y' =O o współczyn nikach z ciała F, to współrzędne punktu przecięcia prostych, wyznaczone przez
.
I
gdzie a i b są liczbami wymiernymi albo nawet dowolnymi elementami ciała F. Suma i różnica dwóch liczb postaci a+ b .Jk i c + d .Jk, ich iloczyn
w postaci (2).
.
(1 + .J2)x-y =
I
gdzie teraz p i q są dowolnymi liczbami ciała F1, tzn. mają postać a+ b ..fi, gdzie liczby a i b należą do ciała F01 tzn. są liczbami wymiernymi.
1 +(.Jk)2
141
,
,
,
rozw1ązame tych dwoch rownan, są równe
yfl' - fly'
- ay' - ya'
x= a fJ' - a fJ , , y - a-pa fJ' f.I ,
,
.
= (a+ b.Jk)(c - d.Jk) = ac - lcbd + be - ad .Jk c2
-
kd 2
c2
-
kd 2
c2
-
lcd 2
są również postaci p + q .Jk, gdzie pi q należą do F. (Mianownik c2 -kd2 może być równy zeru tylko wtedy, gdy zarówno c jak d jest równe zeru; w przeciwnym bowiem razie mielibyśmy .Jk = c/d, to jest liczbę należącą do F, niezgodnie z założe niem, że .Jk nie należy do ciała F). Wobec tego zbiór liczb postaci a+ b .Jk tworzy ciało F', zawierające pierwotne ciało F, gdyż możemy w szczególności przyjąć b =O. Ciało F' nazywamy rozszerzeniem ciała F, a F nazywamy poddałem ciała F'. Weźmy np. za F ciało liczb a+ b .J2 przy wymiernych a, bi obierzmy le = ..fi. W takim razie liczby ciała rozszerzonego F' można przedstawić w postaci p + q if2, gdzie p iq należą do ciała F, tj. p=a +b..fi ,q=a' +b' ..fi przy wymiernych a, b, a', b'. Każda liczba ciała F' daje się sprowadzić do tej postaci, np.
..fi - if2 1 ../2 + if2 = (../2 + ifi)( ../2 -
ifi) =
../2 - if2 2 - ../2
r;:;) -- ../2(2 + ../2) - (2 + .J2)if2 -- ( l+v2 4-2
4-2
../2 if2 ../2 - 2 - ../2 =
=2-
(1+--v2 1 '-) 4r;:; .;;2. 2
142
§ 2. Konstruowalne liczby i ciała liczbowe
III. Konstrukcje geometryczne. Algebra ciał liniowyc}l
które łącznie z równaniem pierwszego okręgu można rozwiązać w sposób wskazany wyżej. A więc za każdym razem konstrukcja daje współrzędne x i y jednego lub dwóch nowych punktów i te nowe wielkości są postaci p + q .Jk, gdzie liczby p, q, k należą do F. W szczególności liczba .Jk sarna może należeć do F, jeżeli np. k = 4. Konstrukcja nie daje wtedy nic istotnie nowego i pozostajemy w obrębie ciała F. Na ogół jednak tak nie będzie.
Ćwiczenie. Niech F będzie ciałem liczb P + ą.J 2 + J2 , gdzie P i q są postaci a+ b .J2, przy czym a, b są liczbami wymiernymi. Przedstawić w tej postaci liczbę
i+J2.+J2
2-3h+.J2.
Ćwiczenia. Rozważmy okrąg o promieniu 2 .J2 i środku w początku współ rzędnych oraz prostą łączącą punkty (1/2, O) i (4 J2, J2 ). Znaleźć ciało F' określone przez współrzędne punktów przecięcia okręgu i prostej. Rozwią zać to sarno zagadnienie w stosunku do przecięcia danego okręgu z okrę giem o promieniu .J212 i środku (O, 2 J2).
Widzieliśmy, że wychodząc z ciała F liczb konstruowalnych, .zawierającego liczbę k, możemy przy użyciu linijki i jednorazowym zastosowamu .cyrkla .skonstruować .Jk , a stąd dowolną liczbę postaci a+ b .Jk, gdzie a, b nalezą do ciała F.
Pokażemy teraz, że przez jednorazowe zastosowanie cyrkla możemy otrzymać tylko liczby tej postaci. Cyrkiel bowiem wyznacza w konstrukcji punkty (l~b współ rzędne punktów) będące punktami przecięcia okręgu z prostą albo dwoch ?l<:"ę~ 2 2 gów. Okrąg o środku(~, r/) i promieniu r ma r6~vnani~ (x-~) + (y-_rJ)~= r ; Jezel~ zatem liczby~' rJ, r należą do ciała F, to można rowname okręgu nap1sac w postaci
ax+by+c=O,
łącząca dowolne dwa punkty o współrzędnych z ciała F, ma współczy~niki a, b, c należące do F, jak wykazaliśmy na str. 140. Eliminujący z układu równan o~rzyrnu jerny na x punkt przecięcia okręgu i prostej równanie kwadratowe postaci
0
f
••
współczynnikach A, B, C należących do F, mianowicie
B = 2(ac + b2a-ab(J), Rozwiązanie
C = c2-2bc(J + b2y.
jest dane wzorem
postaci p + q .Jk, gdzie p, q, k należą do F. Wzór na wspóh-zędną y punktu przecięcia ma postać podobną. Jeżeli teraz marny dwa okręgi
x2+y2+ 2ax + 2f3y +y= O, x2+y2+2a'x+2f3'y+y' =0, to odejmując stronami otrzymujemy równanie liniowe
2(a-a')x+2(/3-(:J')y+ (y-y')=O,
Streszczamy nasze rozważania: jeżeli na początku dane są pewne wielkości, to za wielkości danych przez zastosowanie działań wymiernych. Przez użycie cyrkla możemy rozszerzyć ciało F wielkości konstruowalnych wybierając dowolną liczbę k z pola F, wycią gając pierwiastek kwadratowy z ki tworząc ciało F' składające się z liczb a + b ..fk, gdzie a, b należą do F. F nazywamy podciałem ciała F'; wszystkie liczby ciała F należą również do F', w wyrażeniu a+ b ..fk możemy bowiem przyjąć b =O. (Zakłada się, że ..fk jest nową liczbą nie należącą do ciała F, ponieważ w przeciwnym wypadku dołączenie k nie dałoby nic nowego i ciało F' byłoby identyczne z F). Wykazaliśmy, że każdy etap w konstrukcji geometrycznej (poprowadzenie prostej przez dwa punkty znane, wykreślenie okręgu o znanym środku i promieniu, wyznaczenie przecięcia znanych prostych lub okręgów) daje bądź nowe liczby należące do ciała, o którym już wierny, że składa się z liczb konstruowalnych bądź też przez skonstruowanie pierwiastka kwadratowego doprowadza do nowego rozszerzonego ciała liczb konstruowalnych. Możemy teraz opisać dokładnie zbiór liczb konstruowalnych. Wychodzimy od pewnego ciała F01 określonego przez dowolne wielkości wyjściowe, np. od ciała liczb wymiernych, jeżeli dany jest tylko jeden odcinek, który obiera~ za jednostkę. Następnie przez dołączenie .Jk;, gdzie k0 należy do ciała F0 , a ..Jk0 nie należy do tego ciała, konstruujemy ciało rozszerzone F1 liczb konstruowalnych, złożone ze wszystkich liczb postaci a0 + b0 .Jk;, gdzie a0 i b0 są dowolnymi liczbami ciała F0• Dalej definiujemy ciało F2, rozszerzone w stosunku do F1' za pomocą liczb a 1+b1 .JĘ, gdzie a1 i b1 są dowolnymi liczbami ciała F1, a k1 jest liczbą należącą do FI' której pierwiastek kwadratowy nie należy do Fl' Powtarzając to postępowanie otrzymamy ciało F„ po n-krotnym dołączeniu pierwiastków kwadratowych. Liczbami konstruowalnymi sq takie liczby i tylko takie liczby, do których można dojść poprzez powyższy ciqg ciał rozszerzonych, które należą zatem do pewnego ciała F„ opisanego hjpu. Ilość n potrzebnych rozszerzeń nie jest ważna; mierzy ona w pewien sposób złożoność zagadnienia. Następujący przykład zilustruje to postępowanie. Chcemy dojść do liczby pomocą linijki możemy skonstruować wszystkie wielkości ciała F powstające z
gdzie współczynniki a,(J, y należą do ciała F. Linia prosta
Ax2+Bx+C=O,
143
)
.
Niech F0 oznacza ciało liczb wymiernych. Kładąc k0 =2 otrzymujemy ciało F1, zawierające liczbę 1 + J2. Bierzemy teraz k1 = 1 + J2 i k2 = 3. Ponieważ 3 należy
< '."1:
III. Konstrukcje geometryczne. Algebra ciał liniowyc~
144
§ 3. Nierozwiązalność trzech zagadnień postawionych przez Greków
do pierwotnego ciała F0, a więc tym bardziej do F2, więc jest zupełnie dopuszczalne
(5)
przyjęcie k2 = 3. Przyjmujemy następnie k 3 = .Jl+ .J2 + J3 i wreszcie k4 =
~.J1 + .J2 + J3 + 5. Skonstruowane w ten sposób ciało F5 zawiera żądaną licz-
nież
iloczyn tych liczb należy do F3), a
bę
145
t) 2
Ćwiczenia. 1. Znaleźć równania o współczynnikach wymiernych dla
do F5 •
a.x=.J2+J3;
Ćwiczenia. Sprawdzić, że jeżeli wychodzimy od ciała liczb wymiernych, to bok 2111-kąta foremnego (patrz str. 135) jest liczbą konstruowalną, przy czym n= m-1. Wyznaczyć ciąg ciał rozszerzonych. Przeprowadzić analogiczne rozważania dla liczb
.Ji+.J2 +J3 +./5, (./5 +Jii)/(1+~)
ux +v) 2 =s(rx +
o współczynnikach wymiernych jak poprzednio.
../6, należy bowiem ona również do F5, ponieważ 2 i 3 należą do F3 (zatem rówwięc także
(x2 +
2.
Znaleźć
a. x =
b. x=.J2 +J3;
c. x=1/.J5+J3.
w podobny sposób równania stopnia ósmego dla
~2+.J2+.J2;
b. x =.J2 +.J1+J3;
c.
x=1+~~5-+.J_3_+_J2_2.
Ogólnie, aby udowodnić to twierdzenie dla liczby x ciała Fk przy dowolnym k, dowodzimy analogicznie, jak poprzednio, że x spełnia równanie stopnia drugiego o współczynnikach należących do ciała Fk-l' Powtarzając to postępowanie stwierdzamy, że x spełnia równanie stopnia 22 =4 o współ czynnikach należących do ciała Fk_ 2 itd.
I
(.J2+J3)(~ +~l+h+./5 +.J3-.J7).
Ćwiczenie. Udowodnić przy zastosowaniu indukcji matematycznej twier-
2. Wszystkie liczby konstruowalne są liczbami algebraicznymi. Jeżeli ciałem pierwotnym F0 jest ciało liczb wymiernych powstałe z jednego odcinka, to wszystkie liczby konstruowalne są liczbami algebraicznymi. (Definicja liczb algebraicznych patrz str. 116). Liczby ciała F1 są pierwiastkami równań stopnia drugiego, liczby ciała F2 pierwiastkami równa{1 stopnia czwartego i, ogólnie liczby Fk są pierwiastkami równań stopnia 2k o współ czynnikach wymiernych. Aby udowodnić to dla ciała F2, rozpatrzmy na początek przykładowo liczbę x = .J2 + .J3 + .J2 . Mamy (x- .J2 )2 = 3 + .J2, x 2 + 2-2 .J2 x = 3 + .J2, czyli x2 -1 = .J2(2x+1), otrzymujemy więc równanie stopnia drugiego ze współczynnikami należącymi do ciała Fr Podnosząc obie strony równania do kwadratu, otrzymujemy w koflcu (x2 -1) 2 = 2(2x + 1)2,
czyli równanie stopnia czwartego o współczynnikach wymiernych. Ogólnie każda liczba ciała F2 jest postaci (4)
x=p+q.J:;;;
I
gdzie p, q, w należą do ciała F1 i stąd mają postać p =a+ b .Js, q = c + d .Js, w= e + f .Js, gdzie liczby a, b, c, d, e, f są wymierne. Z równości (4) mamy
x 2 -2px+p2 =q2w, gdzie wszystkie współczynniki należą do ciała F1' wytworzonego przez liczbę .Js. Stąd można przepisać to równanie w postaci
x2 + ux+v= .Js(rx+ t), gdzie licżby r, s, t, u, v są wymierne. Podnosząc obie strony do kwadratu otrzymujemy równanie stopnia czwartego
dzenie ogólne, że x spełnia równanie stopnia 21 o współczynnikach należą cych do ciała Fk-l' O< l ::;k. Dla l =kotrzymujemy stąd żądane twierdzenie.
§ 3.
Nierozwiązalność
trzech zagadnień postawionych przez Greków
1. Podwojenie sześcianu. Teraz jesteśmy należycie przygotowani do rozzagadniefl trysekcji kąta, podwojenia sześcianu i zbudowania siedmiokąta foremnego. Rozpatrzymy najpierw zagadnienie podwojenia sześcianu.Jeżeli dany sześcian ma bok o długości jeden, to jego objętość jest objętością jednostkową; chcemy znaleźć bok x sześcianu o objętości dwukrotnie większej. Szukany bok x będzie zatem spełniał proste równanie stopnia trzeciego ważania starożytnych
(1)
Przeprowadzimy dowód nie wprost i wykażemy, że liczba x nie może być skonstruowana jedynie za pomocą linijki i cyrkla. Załóżmy początkowo, że konstrukcja taka jest możliwa. Zgodnie z poprzednimi rozważaniami znaczy to, że x należy do pewnego ciała Fk, otrzymanego z ciała liczb wymiernych przez kolejne rozszerzanie za pomocą dołączania pierwiastków kwadratowych. Wykażemy, że to założe nie prowadzi do absurdu. Wiemy już, że x nie może należeć do ciała liczb wymiernych FO' ponieważ V2 jest liczbą niewymierną (patrz ćwiczenie 1, str. 78). Zatem x może należeć do pewnego ciała rozszerzonego Fk, gdzie k jest liczbą całkowitą dodatnią. Możemy zatem założyć, że k jest najmniejszą liczbą całkowitą taką, że x należy do ciała Fk. Wynika stąd, że można napisać x w postaci
x=p+q.J:;;;,
146
III. . Konstrukcje geometryczne. Algebra ciał liniowy~h
§ 3. Nierozwiązalność trzech zagadnień postawionych przez Greków
149
liczby r3= s2 (s + 3r), co oznacza, że r is mają wspólny dzielnik, chyba że s = ± 1. Ponieważ zakładaliśmy, że liczby r is nie mają wspólnego dzielnika, więc udowodniliśmy, że jedynymi liczbami wymiernymi, które mogłyby spełniać równanie (8), są + 1 lub -1. Podstawiając + 1 i -1 zamiast v w równaniu (8) widzimy, że żadna z tych wartości nie spełnia tego równania. Wobec tego rpwnanie (8), a więc i równanie (7), nie ma pierwiastka wymiernego; udowodniliśmy niemożliwość trysekcji kąta.
gdzie liczby p, q, w należą do pewnego ciała Fk-l' ale .JW nie należy do tego ciała. Na podstawie prostego, ale ważnego sposobu rozumowania algebraicznego wyk.ażemy teraz, że jeżeli x = p + q .JW jest rozwiązaniem równania (1) stopnia trzec1e8:0, to y = p-q .JW także jest rozwiązaniem. Wobec tego, że x należy do ciała Fk, hczby x3 i x3-2 również należą do Fk i mamy (2)
Twierdzenie, że kąt nie może być podzielony na trzy części za pomocą cyrkla i linijki, jest prawdziwe jedynie wtedy, gdy uważamy linijkę tylko za narzędzie do poprowadzenia linii prostej przez dowolne dwa punkty i za nic więcej. W naszej ogólnej charakterystyce liczb konstruowalnych ograniczaliśmy zawsze stosowanie linijki tylko do tej czynności. Dopuszczając inny sposób użycia linijki można znacznie rozszerzyć zakres moż liwych konstrukcji. Dobrym przykładem jest następująca metoda trysekcji kąta, znajdująca się w dziełach Archimedesa. Niech będzie dany dowolny kąt x, jak na rys. 36. Przedłużamy ramię kąta w lewo i kreślimy półkole o środku w punkcie O i dowolnym promieniu r. Na brzegu linijki zaznaczamy dwa punkty A i B takie, że AB= r. Utrzymując punkt B na półkolu posuwamy linijkę do takiego położenia, w którym punkt A leży na przedłużeniu podstawy półkola, a więc na przedłużo nym boku kąta x, a brzeg linijki przechodzi przez punkt przecięcia drugiego boku kąta x z półkolem. Mając linijkę w tym położeniu prowadzimy prostą, tworzącą kąty z przedłużonym ramieniem kąta x.
gdzie a i b należą do Fk_ 1• Za pomocą łatwego rachunku można wykazać, że a= p3+ 3pq 2w-2, b = 3p2q + q3w. Jeżeli położymy
wyłącznie
y=p-q.,/;;, to zastępując w tych wyrażeniach q przez -q widzimy, że (2')
Ale zakładaliśmy, że x jest pierwiastkiem równania x3 -2 =O, skąd (3)
a+b.,/;; =O.
Wynika stąd - i to'jest trzonem dowodu - że liczby a i b muszą być obie równe zeru. Gdyby b nie było równe zeru, to z równości (3) wynikałoby, że .JW = -alb. wt~dy w byłoby liczbą należącą do ciała Fk_ 1, do którego należą również liczby a 1b, co Jest sprzeczne z naszym założeniem. Zatem b =O i z (3) wynika natychmiast że również a= O. ' Udowodniliśmy więc, że a= b =O, a stąd wnioskujemy natychmiast na podstawie równości (2'), że y = p-q .JW również jest rozwiązaniem równania (1) stopnia trzeciego,p~nieważ y3 -2 jest równe zeru. Ponadtoy~x, tzn. x-y~O, box-y=Zq .JW może byc rowne zeru tylko wtedy, gdy q =O, a gdyby tak było, to x = p należałoby do ciała Fk-J wbrew założeniu. U~owod~iliśmy zatem, żeie~eli x = p + q .JW jest pierwiastkiem równania (1) s~opma ~rzec1ego, to. y = p-q .Jw iest różnym od niego pierwiastkiem tego samego r.ownama. Pro':adz1 to bezpośrednio do sprzeczności. Istnieje bowiem tylko jedna h~zba :zecz~w1sta x, b~dąca pierwiastkiem trzeciego stopnia z 2, pozostałe pier':iastlo trzeciego stopma są zespolone (patrz str. 111); y = p-q .JW jest, oczywiście, hczbą rzeczywistą, ponieważ liczby p, q, .JW są rzeczywiste. W ten sposób nasze założenie początkowe doprowadziło do sprzeczności, udowodniliśmy zatem, że jest fałszywe; rozwiązanie równania (1) nie może na~e~e~ ~o ciała Fk, a więc niemożliwe jest podwojenie sześcianu za pomocą cyrkla I IJmJkl.
A!e
2. Twierdzenie .o r~wnaniach stopnia trzeciego. Nasz dowód algebraiczny był dostosowany speqalme do rozpatrywanego właśnie zagadnienia. Jeżeli chcemy rozpatrz~~ pozos~a~e d';a zagadni~nia. postawione przez Greków, to lepiej jest przeprowadz1c bardz1e1 ogolne rozwazama. Wszystkie trzy zagadnienia sprowadzają
A
o Rys. 36. Archimedesowa trysekcja
kąta.
Ćwiczenie. Dowieść, że konstrukcja taka daje rzeczywiście y = x/3.
4. Siedmiokąt foremny. Rozważmy teraz zagadnienie wyznaczenia boku x siedmiokąta
foremnego wpisanego w koło jednostkowe. Najprostszy sposób podejścia do tego zagadnienia polega na zastosowaniu liczb zespolonych (patrz rozdz. II, § 5). Wiemy, że wierzchołki siedmiokąta są dane za pomocą równania (9)
gdzie uważamy współrzędne x, y wierzchołków za część rzeczywistą i część urojoną liczb zespolonych z=x+yi. Jednym z pierwiastków tego równania jest .z=l, a pozostałe są pierwiastkami równania l
ł
(10)
III. Konstrukcje geometryczne. Algebra ciał lini~wych
150
§
Stosując proste przekształcenie algebraiczne możemy zapisać równanie (11) w po-
staci (z+ 1/z)3- 3(z + 1/z) +(z+ 1/z)2 -2+(z+1/z) + 1 =O.
Oznaczając
z+l/z=y znajdujemy z (12), że (13) Wiemy, że pierwiastek siódmego stopnia z jedności dany jest wzorem nastę pującym:
(14)
B.
Różne metody wykonywania konstrukcji
§ 4.
Przekształcenia
z =cos cp+ i sin cp,
gdzie cp = 360°/7 jest kątem środkowym opartym na boku siedmiokąta; wiemy r~w: nież z ćwiczenia 2, str. 110, że 1/z=cos cp-i sincp, a więc y=z + 1/z=2 cos cp. Jezeh możemy skonstruować y, to możemy również skonstruować cos cp, i odwrotni:· Jeżeli więc możemy udowodnić, że liczba y nie jest konstruowalna, to udowodnimy jednocześnie, że liczba z nie jest konstruowalna, a zatem i siedmi~kąt: Wobec twierdzenia z punktu 2 pozostaje wykazać, że równanie (13) nie ma pierwiastków wymiernych. Również i to udowodnimy metodą n~e wpr~st. Załó~my, ~e.rów~a nie (13) ma pierwiastek wymierny r/s, gdzie r is są hczbam1 całkow1tym1 me maią cymi wspólnego dzielnika. Mamy zatem (15) r3 + r2s-2rs2 -s3 =O,
skąd widzimy, jak wyżej, że r3 ma dzielnik s, i s3 ma dzielnik r. Wobec te?~' ż~ li~zby r is nie mają wspólnego dzielnika, każda z nich musi być równa ± 1; iezeh.~1ęc Y ma być liczbą wymierną, to może mieć tylko warto~ć + 1 lu~ -1. Pod~tawiaią~ te liczby do równania widzimy, że żadna z nich go me spełma. Zatem hczba y, Jak również bok siedmiokąta foremnego, nie są konstruowalne.
5. Uwagi o zagadnieniu kwadratury koła. Do zagadnień podwojenia sześcia nu, trysekcji kąta i zbudowania siedmiokąta foremnego mogliśmy pod:jść za pomocą metod stosunkowo elementarnych. Zagadnienie kwadratury koła i est ~nacz nie trudniejsze i wymaga zaawansowania w technice analizy matematycznej. Wobec tego, że koło o promieniu r ma pole :m2 , zagadnienie skonstruowania kwadratu, którego pole byłoby równe polu danego koła o promieniu równym jednostce długości, sprowadza się do skonstruowania odcinka o długo~ci :re jako boku pos~u kiwanego kwadratu. Odcinek ten jest konstruowalny wtedy 1 tylko wtedy, gdy hczba :re jest konstruowalna. W świetle naszej ogólnej charakterystyki liczb konstruowalnych moglibyśmy wykazać niemożliwość dokonania kwadratury koła wyka-
geometryczne. Inwersja
151
liczba :re nie może należeć do żadnego ciała Fk, które można otrzymać przez kolejne dołączanie pierwiastków drugiego stopnia do ciała wymiernego f 0 . Wobec tego, że wszystkie elementy każdego takiego ciała są liczbami algebraicznymi, tj. liczbami spełniającymi równania algebraiczne o współczynnikach całkowi tych, wystarczy udowodnić, że liczba :re nie jest algebraiczna, tj. że jest przestępna (patrz str. 116). Metody potrzebne do udowodnienia, że :re jest liczbą przestępną, zostały stworzone przez Charlesa Hermite'a (1822-1901), który udowodnił, że e jest liczbą przestępną. Rozszerzając nieco metodę Hermite' a Ferdinand Lindemann zdołał udowodnić (1882) przestępność :re i w ten sposób rozstrzygnął ostatecznie odwieczne zagadnienie kwadratury koła. Dowód jest dostępny dla znającego analizę wyższą, ale wykracza poza ramy tej książki.
z3+ 1/z3 + z2 + 1/z2 +z+1/z+ 1 =O.
(12)
Przekształcenia
zując, że
które otrzymujemy z równania (9) dzieląc je przez czynnik z-1 (patrz str. 112). Dzieląc równanie (10) przez z3, otrzymujemy równanie (11)
4.
I '1
geometryczne. Inwersja
1. Uwagi ogólne. W drugiej części tego rozdziału omówimy w sposób systematyczny pewne zasady ogólne, które można stosować do zagadnień konstrukcyjnych. Wiele spośród tych zagadnień występuje z większą jasnością, jeżeli rozpatrywać je z ogólnego punktu widzenia „przekształceń geometrycznych"; zamiast badać pewną szczególną konstrukcję, będziemy rozważali jednocześnie całą klasę zagadnień powiązanych pewnymi procesami przekształcającymi. Jasność wprowadzona przez pojęcie klasy przekształceń geometrycznych nie ogranicza się bynajmniej do zagadnień konstrukcyjnych, ale wywiera wpływ prawie na całą geometrię. W rozdziałach IV i V będziemy rozpatrywali ogólne własności przekształceń geometrycznych. Tutaj rozważmy przekształcenie szczególne, tzw. inwersję płaszczyzny względem okręgu, będącą uogólnieniem zwykłej symetrii względem prostej. Przez przekształcenie lub odwzorowanie płasz czyzny na samą siebie rozumiemy regułę, która przyporządkowuje każdemu punktowi P płaszczyzny inny punkt płaszczyzny P' zwany obrazem punktu P przy tym przekształce L niu; punkt P nazywa się przeciwobrazem punktu P'. Prostym przykładem takiego przekształcenia jest odbicie płaszczyzny w danej prostej L jak w zwierciadle (symetria płaszczyzny względem prostej); obrazem punktu P po jedRys. 37. Odbicie punktu w prostej nej stronie L jest punkt P' po drugiej stronie L taki, że prosta L jest prostopadła do odcinka PP' i dzieli go na połowy (rys. 37). Przekształcenie może pozostawić pewne punkty nie zmienione; w przypadku odbicia są to wszystkie punkty prostej L.
§ 4. Przekształcenia geometryczne. Inwersja
III. Konstrukcje geometryczne. Algebra ciał liniąwych
152
Innymi przykładami przekształceń są obroty płaszczyzny dokoła ustalonego punktu O, przesunięcia, które przesuwają każdy punkt o odległość d w danym kierunku (przekształcenie takie nie ma punktów stałych), ogólniej: ruchy sztywne płaszczyzny, które można sobie wyobrazić jako ruchy złożone z obrotów i przesunięć. Szczególną klasą przekształceń, którą się teraz zajmiemy, są inwersje wzglę dem okręgów. (Nazywa się je czasami odbiciem w okręgu, ponieważ przedstawiają one w pewnym przy·· bliżeniu zależność pomiędzy przed„ .... p miotem i obrazem odbitym w zwierciadle kołowym). W ustalonej płasz czyźnie niech C będzie danym okrę giem o środku O (zwanym środkiem in... wersji) i promieniu r (rys. 38). Definiuo jemy obraz punktu P jako punkt P' leżący na prostej OP po tej samej stronie punktu O, co punkt P, i taki, że
Twierdzenie a) jest oczywiste; z definicji inwersji bowiem każdy punkt na prostej ma jako obraz inny punkt na tej samej prostej, i chociaż jedne punkty na prostej przekształcają się w inne, to jednak prosta jako całość przekształca się w samą siebie. p Dla dowodu twierdzenia b) prowadzimy z punktu O prostopadłą do prostej L (rys. 39). Niech A będzie punktem przecięcia tej prostopadłej z prostą L i niech A' będzie punktem inwersyjnym A O\ /A' ·.. „jf. ..·· względem A. Zaznaczamy dowolny punkt P na prostej Li niech P' będzie jego punktem inwersyjnym. Wobec równości OA' · OA =OP' ·OP= r2 mamy
..•
..
Rys. 38. Inwersja punktu względem okręgu
(1)
OA'
·\t
I
OP·OP'=r2.
Punkty N P' nazywa się inwersyjnymi względem okręgu C. Z definicji tej wynika, że jeżeli P' jest punktem inwersyjnym w stosunku do P, to P jest punktem inwersyjnym w stosunku do P'. Inwersja zamienia wnętrze i zewnętrze okręgu C; przy OP < r mamy bowiem OP'> r i przy OP > r mamy OP' < r. Jedynymi punktami płaszczyzny, które pozostają nie zmienione przy inwersji, są punkty samego okręgu
jemnie jednoznaczną bez wyjątków: każdy punkt płaszczyzny ma jeden i tylko jeden obraz i sam jest obrazem jednego i tylko jednego punktu. Własność tę mają również wszystkie przekształcenia wymienione poprzednio. 2. Własności inwersji. Najważniejsza własność inwersji polega na tym, że przekształca proste i okręgi na proste i okręgi. Ściślej mówiąc, wykażemy, że po inwersji: a) prosta przechodząca przez punkt O przekształca się w prostą przechodzącą przez O; b) prosta nie przechodząca przez punkt O przekształca się w okrąg przechodzący przez O; c) okrąg przechodzący przez O przekształca się w prostą nie przechodzącą przez O; d) okrąg nie przechodzący przez O przekształca się w okrąg nie przechodzący przez O.
L
OA
--=-, Rys. 39. Inwersja prostej względem okręgu OP' OP zatem trójkąty OP'.A' i OAP są podobne i kąt OP'A' jest prosty. Z geometrii elementarnej wiemy, że w takim razie punkt P' leży na okręgu K mającym średnicę OA', a okrąg ten jest przekształceniem inwersyjnym prostej L. Dowodzi to twierdzenia b). Twierdzenie c) wynika z uwagi, że jeżeli K jest obrazem inwersyjnym L, to L jest obrazem inwersyjnym K. Pozostaje dowiedzenie twierdzenia d). Niech K będzie dowolnym okręgiem nie przechodzącym przez O, o środku w M i promieniu k. Aby otrzymać jego obraz, prowadzimy przez punkt O prostą przecinającą okrąg w punktach A i B, _ ____,B
C.
Reguła (1) nie definiuje obrazu środka O. Jasne jest, że jeżeli punkt ruchomy P zbliża się do O, to obraz P' odsuwa się coraz dalej na płaszczyźnie. Z tego względu mówimy czasami, że punktowi O odpowiada przy inwersji punkt w niesko11czoności. Użyteczność takiej terminologii polega na tym, że pozwala nam uważać, iż inwersja ustala pomiędzy punktami płaszczyzny i ich obrazami odpowiedniość wza-
153
I
'ł
o
Rys. 40. Inwersja okręgu
a następnie badamy, jak zmieniają się obrazy A' i B', gdy prosta przechodząca przez O przecina okrąg K w dowolny inny sposób. Oznaczamy długości odcinków OA, OB, OA', OB', OM przez a, b, a', b', m; niech tbędziedługością stycznej dookręguK poprowadzonej z punktu O. Z definicji inwersji mamy aa'= bb' = r2, a z elementarnych własności geometrycznych okręgu wynika, że ab= t 2• Dzieląc pierwsze z tych równań przez drugie otrzymujemy
a'/b = b'/a = r2/t2 = c2, gdzie c2 jest pewną stałą zależną tylko od r i t, a więc jednakową dla wszystkich położeń punktów A i B. Przez punkt A' prowadzimy prostą równoległą do BM,
154
§ 4. Przekształcenia geometn;czne. Inwersja
III. Konstrukcje geometryczne. Algebra ciał lini~,wych
Zauważmy przede wszystkim, że za pomocą samego cyrkla możemy wyznaczyć punkt C leżący na prostej łączącej dane dwa punkty A, O i taki, że AO =OC. w tym celu kreślimy dokoła O okrąg o promieniu r= AO i poczynając od punktu A odmierzamy na tym okręgu punkty P, Q, C takie, że AP= PQ = QC = r (rys. 42). Punkt C jest wtedy punktem szukanym, co wynika stąd, że trójkąty AOP, OPQ, OQC są równoboczne, a więc proste OA i OC tworzą kąt 180° i OC= OQ = AO. Powtarzając to postępowa nie możemy łatwo odłożyć odcinek długościAO dowolną ilość razy. Zaznaczmy tutaj, że - jak czytelnik łatwo sprawdzi - długość odcinka AQ wynosi r.J3, wobec czego skonstruowaliśmy jednocześnie J3 bez użycia linijki mając odcinek jednostkowy. Możemy teraz wyznaczyć punkt inwersyjny dla każdego punktu P położonego wewnątrz okręgu C (rys. 43). Znajdujemy najpierw na prostej OP, punkt R, którego odległość od punktu O jest całkowitą wielokrotnością OP i który leży na zewnątrz
która przecina prostą OM w punkcie Q. Oznaczmy OQ=q i A'Q=p. Wobec tego q/m = a'/b =pik, czyli q = ma'/b = mc2,
p =ka'/b=kc2•
Oznacza to, że dla wszystkich położeń punktów A i B punkt Q zajmuje zawsze to samo położenie na prostej OM i odległość A 'Q jest zawsze taka sama. Podobnie B'Q=p, ponieważ a'/b=b'/a. Zatem obrazami wszystkich punktów A, B na okrę gu K są punkty o stałej odległościp od punktu Q, tzn. obrazem okręgu K jest okrąg. Dowodzi to twierdzenia d). 3. Konstrukcje geometryczne punktów przy inwersji. W punkcie 4 tego paragrafu będziemy korzystali z następującego twierdzenia: Punkt P' powstający przez inwersję danego punktu P względem okręgu C może być skonstruowany geometrycznie przy użyciu samego cyrkla. Rozważmy najR pierw przypadek, gdy dany punkt P leży /<:···.„. na zewnątrz okręgu C o promieniu r / \. . ·.. (rys. 41). Biorąc OP za promień i punkt P
/~........:·:\„P'....... :· .· .:~·.-: : ·.': : ·_. s
Rys. 41. Inwersja punktu zewnętrznego
:; P
:~z~:~~:ś;i:h~~=~ ~ó~:~~~~~;
przez R i S. Obierając te punkty za środki kreślimy łuki o promieniu r, które przecinają się w punkcie O oraz w punkcie P' leżącym na prostej OP. W trójkątach równoramiennych ORP i ORP' zachodzą równości i(. ORP= i(. POR= i(. OP'R, a więc trójkąty te są podobne; mamy zatem
względem okręgu
OP OR 1 OR= OP'
tj. OP·OP'=r2.
155
okręguC:
OR=n-OP.
.,
Możemy dokonać tego odmierzając kolejno odległość OP za pomocą cyrkla, dopóki nie wyjdziemy na zewnątrz okręgu C. Znajdujemy następnie punkt R' inwersyjny w stosunku do R, stosując konstrukcję podaną poprzednio. W takim razie
r 2 =OR' ·OR= OR'· (n ·OP)= (n ·OR')· OP.
Punkt P', dla którego OP'= n ·OR', jest więc szukanym punktem inwersyjnym. 4. Jak podzielić odcinek na dwie części i znaleźć środek koła za pomocą samego cyrkla. Wiedząc już, w jaki sposób można wyznaczyć punkt inwersyjny w stosunku do danego punktu przy użyciu samego cyrkla, możemy teraz przeprowadzić kilka interesujących konstrukcji. Rozważmy na przykład zagadnienie wyznaczenia punktu leżącego w środku pomiędzy dwoma danymi punktami A i B, używając tylko cyrkla (nie można kreślić żadnych linii prostych!). Oto rozwiązanie (rys. 44):
Zatem P' jest szukanym punktem inwersyjnym w stosunku do P. Jeżeli dany punkt P leży wewnątrz okręgu C, to ważna jest ta sama konstrukcja i ten sam dowód, jeżeli tylko okrąg zakreślony dokoła punktu P promieniem OP przecina okrąg C w dwóch punktach.Jeżeli tak nie jest, to możemy sprowadzić konsb:ukcję
.
punktu inwersyjnego P do przypadku poprzedniego przez następujący chwyt.
Q'
p
o
P R'
R
P'
Rys. 44. Wyznaczenie środka odcinka Kreślimy okrąg
A
O
.
Rys. 42. Podwojenie odcinka
c Rys. 43. Inwersja punktu leżącego wewnątrz okręgu
Rys. 45. Wyznaczenie środka koła
o promieniu AB i o środku B, a następnie odmierzamy trzy łuki promieniem AB poczynając od punktu A. Końcowy punkt C będzie leżał na prostej AB, przy czym AB=BC. Kreślimy teraz okrąg o promieniu AB i środku A; niech C' będzie punktem inwersyjnym w stosunku do C względem tego okręgu. W takim razie
156
§
III. Konstrukcje geometryczne. Algebra' ciał lin~owych
Zatem C' jest szukanym punktem środkowym. Inną konstrukcją za pomocą samego cyrkla korzystającą z punktów inwersyjnych jest konstrukcja środka koła, którego obwód jest dany, natomiast środek nie jest znany. Obieramy dowolny punkt P na obwodzie za środek dowolnego okręgu przecinający dany okrąg w punktach R i S (rys. 45). Obierając te punkty za środki kreślimy łuki o promieniach RP= SP, przecinające się w punkcie Q. Porównanie z rysunkiem 41 wykazuje, że nieznany środek Q' jest punktem inwersyjnym w stosunku do punktu Q względem okręgu o środku P, a więc punkt Q' można skonstruować za pomocą samego cyrkla.
a : x=x: y=y : f, skąd wynika - jeżeli w przyrządzie przyjąć f równe 2.a - że x3 = 2.a 3• Zatem x jest bokiem sześcianu, którego objętość jest równa podwojonej objętości sześcianu o boku a. Tego właśnie żądamy od konstrukcji podwojenia sześcianu.
2. Ograniczenie do stosowania samego cyrkla. Jest rzeczą naturalną, że dopuszdo użycia większej rozmaitości przyborów, możemy rozwiązać więcej zagadnień konstrukcyjnych; można by się spodziewać, że większe ograniczenia co do przyborów dozwolonych zwężają klasę możliwych konstrukcji. Otóż Włoch Mascheroni (1750-1800) dokonał zupełnie niespodziewanego odkrycia: wszystkie konstrukcje geometnJczne, które można wykonać za pomocą cyrkla i linijki, dają się W1Jko11ać za pomocą samego C1Jrkła. Nie może tu być mowy o wykreślaniu bez użycia linijki linii prostej łączącej dwa punkty; ta podstawowa konstrukcja nie jest w rzeczywistości objęta teorią Mascheroniego, w której linia prosta jest dana, jeśli dane są dowolne jej dwa punkty. Używając tylko cyrkla można wyznaczyć punkt przecięcia danego okręgu z daną prostą. Najprostszym może przykładem konstrukcji Mascheroniego jest podwojenie danego odcinka AB. Rozwiązanie zostało podane na stronicy 155. Na tej samej stronie podzieliliśmy odcinek na połowy. Rozwią żemy teraz zagadnienie podzielenia na połowy danego łuku AB na okręgu o danym środku O. Konstrukcja jest następująca (rys. 47): Biorąc punkty A i B za środki kreślimy dwa łuki o promieniu AO. Z punktu O odRys. 47. Wyznaczanie środka łuku za pomocą mierzamy łuki OP i OQ równe AB. Kreślimy cyrkla następnie dwa łuki, o promieniach PB i QA i środkach Pi Q, przecinające się w punkcie R. Wreszcie kreślimy łuk o promieniu OR i środku w punkcie P lub Q aż do przecięcia z łukiem AB; punkt X przecięcia jest szukanym środkiem łuku AB. Dowód pozostawia się czytelnikowi jako ćwiczenie. Nie można by udowodnić ogólnego twierdzenia Mascheroniego przez efektywne podanie konstrukcji za pomocą samego cyrkla dla każdej konstrukcji dającej się wykonać za pomocą linijki i cyrkla, ponieważ ilość możliwych konstrukcji nie jest skończona. Możemy jednak osiągnąć ten sam cel udowodniwszy, że za pomocą samego cyrkla można wykonać cztery następujące konstrukcje podstawowe: 1) wykreślić okrąg o danym środku i promieniu; 2) wyznaczyć punkty przecięcia dwóch okręgów; 3) wyznaczyć punkty przecięcia prostej i okręgu; 4) wyznaczyć punkty przecięcia dwóch prostych. czając
1". Klasyczna konstrukcja podwojenia sześcianu. Dotychczas rozpatrywaliśmy tylk0 takie zagadnienia konstrukcji geometrycznych, przy których stosuje się wyłącznie linijkę i cyrkiel. Oczywiste jest, że dopuszczając jeszcze inne przyN
Rys. 46.
Przyrząd
do podwojenia
sześcianu
bory zwiększamy znacznie rozmaitość możliwych konstrukcji. Tak np. Grecy rozwiązali zagadnienie podwojenia sześcianu w sposób następujący. Rozważmy (jak na rys. 46) sztywny kąt prosty MZN i ruchomy krzyż prostokątny B, VW, PQ. Dodatkowe linijki RS i TU mogą przesuwać się prostopadle do ramion kąta prostego. Obieramy na krzyżu dwa ustalone punkty Ei G, tak że odcinki GB= a i BE= f mają
157
dane z góry długości. Umieszczając krzyż w taki sposób, żeby punkty Ei G leżały odpowiednio na prostych NZ i MZ i przesuwając nimi oraz linijkami TU i RS, możemy doprowadzić cały przyrząd do takiego położenia, w którym ramiona BW, BQ, BV krzyża przechodzą przez trzy wierzchołki prostokąta ADEZ. Takie ustawienie zawsze jest możliwe, jeżeli tylko f > a. Widzimy od razu, że
AC' · AC = AB 2, AC' • 2AB = AB2, 2AC'=AB.
§ 5. Konstrukcje za pomocą innych przyborów Konstrukcje Mascheroniego za pomocą samego cyrkla
5. Konstrukcje za pomocą innych przyborów
i
'
158
III. Konstrukcje geometryczne. Algebra ciał lini,owych
§ 5. Konstrukcje za pomocą innych przyborów
Każda
I
konstrukcja geometryczna, przy której dozwolone jest użycie cyrkla i linijki, składa się ze skończonego ciągu tych konstrukcji elementarnych. Pierwsze dwie, oczywiście, dają się wykonać za pomocą samego cyrkla. Rozwiązanie zadań 3 i 4, znacznie trudniejszych, wiąże się z własnościami inwersji, o których była mowa w poprzednim paragrafie. Rozwiążmy zadanie 3, polegające na wyznaczeniu punktów przecięcia okręgu C i prostej, danej za pomocą dwóch punktów A i B. Kreślimy dwa łuki odpowiednio promieniami AO i BO ze środków A i B; łuki te przecinają się także w punkcie P. Wyznaczamy teraz punkt Q inwersyjny względem P w stosunku do okręgu C przy użyciu tylko cyrkla za pomocą konstrukcji danej na str. 15t!. Kreślimy okrąg o środku Qi promieniu QO (okrąg ten musi przecinać okrąg C); punkty przecięcia X i X' tego okręgu z danym okręgiem C są szukanymi punktami. Aby to udowodnić, wystarczy tylko wykazać, że punkty X i X' są równo oddalone od punktów O i P, ponieważ c punkty A i B mają tę własność na podstawie konstrukcji. To, że PX = OX wynika stąd, iż punktem inwersyjnym względem Q jest Rys. 48. Przecięcie okręgu z prostą taki punkt, którego odległość od punktów nie przechodzącą przez jego środek X i X' jest równa promieniowi koła C (str. 154). Należy zauważyć, że okrąg przechodzący przez punkty X, X' i O powstaje przez inwersję prostej AB, ponieważ okrąg ten i prosta AB przecinają okrąg C w tych samych punktach. (Punkty na okręgu koła są inwersyjne do siebie samych). Konstrukcja zawodzi tylko wtedy, gdy prosta AB przechodzi przez środek koła C (rys. 49). Ale wtedy można wyznaczyć punkty przecięcia jako środki łuków okręgu C, otrzymanych przez zakreślenie dokoła B dowolnego okręgu, który przetnie okrąg C w punktach B1 i B2 (konstrukcja podana na stronicy 157).
r---
o
---o
c
B
c Rys. 49.
Przecięcie okręgu
z prostą przez jego środek
przechodzącą
Rys. 50. Konstrukcja przecięcia dwóch danych prostych
Metoda wyznaczania okręgu inwersyjnego względem prostej łączącej dwa dane punkty pozwala na natychmiastowe rozwiązanie zadania 4. Przypuśćmy, że dane są proste AB i A'B' (rys. 50). Kreślimy dowolny okrąg Cna płaszczyźnie i na podstawie
,! ,
159
metody ~m~";'ionej p?przedni? z~aj~ujemy o~ęgi inwersyjne w stosunku do prostych AB. 1 A B . '?kręgi te przecm~Ją się w punkcie O i w pewnym innym punkcie Y. Punkt X mwersYJny względem Y Jest szukanym punktem przecięcia i może być skonstruow~ny za pomocą postępowania, które już poprzednio stosowaliśmy. To, że X jest poszukiwanym ptmktem, wynika stąd, że Yjest jedynym punktem inwersyjnym wzglę dem pe"".nego p~nktu należącego zarówno do prostej AB, jak też do prostej A 'B '. Stąd punkt X mwersyJny względem Y musi leżeć zarówno na AB, jak też na A 'B'. Za pomocą tych dwóch konstrukcji zakończyliśmy dowód równoważności konstrukcji Mascheroniego za pomocą tylko cyrkla i zwykłych konstrukcji geometrycznych za pomocą cyrkla i linijki. Nie staraliśmy się podać eleganckich rozwiązań zagadnień szczególnych, ponieważ naszym celem było raczej zbadanie zasięgu konstrukcji Ma~cheroniego. Podamy jednak jako przykład konstrukcję pięciokąta fore~nego. Sciślej mówiąc, wyznaczymy pięć punktów na okręgu, które będą wierzchołkami wpisanego pięciokąta foremnego. Niech A będzie dowolnym punktem na danym okręgu K. Bok sześciokąta foremnego wpisanego j~ró~y ~mieniowi koła K. Stąd możemy znaleźć punkty B, C, D na kole K takie, że AB= BC= CD i kąty środ kowe oparte na tych łukach są równe X X (rys. 51). Z punktów A i D jako środków kreślimy łuki o promieniu równym AC, które F przetną się w punkcie X. Jeżeli O jest środ B c kiem koła K, to h1k o promieniu OX i środku A przecina Kw środku F łuku BC (patrz str. H G 157). Kreślimy teraz łuki o promieniu równym promieniowi koła Ki o środku w punkcie F, które przecinają okrąg Kw punktach G A D i H. Niech Ybędzie punktem, którego odleo głość od punktów G i H równa jest OX i który leży po przeciwnej sh·onie punktu O niż punkt X. Odcinek AY jest równy długości boku szukanego pięciokąta. Dowód pozostawia się czytelnikowi jako ćwiczenie. Zauważmy, że w konstrukcji użyto tylko trzech Rys. 51. Konstrukcja pięciokąta foremnego różnych promieni kół. W 1928 roku matematyk duński, Hjelmslev znalazł w księgarni w Kopenhadze egzemplarz książki Euclides Danicus, wydanej w 1672 roku przez nieznanego autora, G. Mohra. Z tytułu można by sądzić, że dzieło to jest po prostu pewną wersją lub ~om~ntarzem do Elementów Euklidesa. Kiedy jednak Hjelmslev przejrzał książkę, stw1erdz1ł ku swemu zdziwieniu, że zawierała ona w zasadzie zagadnienie Mascheroniego i jego pełne rozwiązanie, znalezione na długo przed Mascheronim.
Ćwiczenia. Podajemy poniżej opis konstrukcji Mohra. Sprawdzić ich słusz
ność. Dlaczego rozwiązują one zagadnienie Mascheroniego? 1. Na odcinku AB o długości p wystawić odcinek prostopadły BC. WSKAZÓWKA. Przedłużamy odcinek AB do punktu D takiego, że AB= BD.
Kreślimy dowolne koła o środkach A i Di w ten sposób wyznaczamy C.
160
III. Konstrukcje geometryczne. Algebra ciał lin_iowych
§ 5. Konstrukcje za pomocą innych przyborów
2. Dwa odcinki o długościach pi q, przy czym p > q, są dane w dowolnym położeniu na płaszczyźnie. Wyznaczyć odcinek o długości x = p 2 -ą 2 korzystając z konstrukcji z ćwiczenia 1. 3. Mając dany odcinek a skonstruować odcinek a .J2. WSKAZÓWKA. Zauważmy, że (a .J2)2 = (a .f3 )2-a2.
przykład mamy przyrząd do kreślenia hiperboli xy =ki inny przyrząd do kreśle nia paraboli y = ax2 + bx + c, to możemy rozwiązać konstrukcyjnie każde zagadnienie prowadzące do równania stopnia trzeciego (1)
4. Mając dane odcinki p i q wyznaczyć odcinek x = ~ p + ą . WSKAZÓWKA. Skorzystać ze związku x2 =2p2 -(p2 -q2). Znaleźć inne podobne konstrukcje. 5. Korzystając z poprzednich wyników wyznaczyć odcinki długości p + q i p-q, jeżeli dane są w dowolnym położeniu na płaszczyźnie odcinki pi q. 6. Sprawdzić i udowodnić następującą konstrukcję środka M danego odcinka AB o długości a. Na przedłużeniu odcinka AB wyznaczamy punkty C i D takie, że CA =AB= BD. Budujemy trójkąt równoramienny ECD, w którym EC= ED = 2a, i wyznaczamy punkt M jako przecięcie okręgów, których średnicami są odcinki EC i ED. 7. Wyznaczyć rzut prostokątny punktu A na prostą BC. 8. Wyznaczyć odcinekx taki, że x:a=p:q, jeżeli odcinki a, p, q są dane. 9. Wyznaczyć x =ab, jeżeli dane są odcinki a i b. 2
2
ax 3 + bx2 +ex = k,
przy zastosowaniu tylko tych przyborów. Jeżeli bowiem położymy (2)
xy=k,
y=ax2 +bx+c,
to rozwiązanie równania (1) sprowadza się do rozwiązania układu równań (2) przez eliminację y; tzn. pierwiastki równania (1) są współrzędnymi x punktów przecięcia hiperboli i paraboli (2). Zatem rozwiązania równania (1) mogą być skonstruowane (rys. 52), jeżeli mamy przybory, którymi można wykreślić hiperbolę i parabolę równań (2). y
y=ax 2 +bx+c
Jakub Steiner (1796-1863) idąc za pomysłem Mascheroniego usiłował wyeliminować cyrkiel zamiast linijki. Oczywiście, sama linijka nie prowadzi poza dane ciało liczbowe i wobec tego nie może wystarczyć do wszystkich konstrukcji geometrycznych w znaczeniu klasycznym. Jednak ciekawe jest, że Steiner zdołał ograniczyć użycie cyrkla do jednego razu. Udowodnił on, że wszystkie konstrukcje na płaszczyźnie, które można otrzymać za pomocą cyrkla i linijki, dają się otrzymać za pomocą samej linijki, jeżeli dany jest jeden ustalony okrąg i jego środek. Konstrukcje te wymagają metod rzutowych i będą omówione dalej (patrz str. 199-200). * Nie można obejść się bez tego ustalonego okręgu ani bez jego środka. Jeżeli np. dany jest okrąg, ale nie jest dany jego środek, to niemożliwe jest skonstruowanie środka koła za pomocą samej linijki. Dla dowodu skorzystamy z pewnego wyniku, który omówimy później (str. 220). Istnieje przekształcenie płaszczyzny na samą siebie, mające następujące własności: a) dany okrąg jest stały przy tym przekształceniu; b) każda prosta zostaje przekształcona w prostą; c) środek koła zostaje przekształcony na pewien inny punkt. Samo istnienie takiego przekształ cenia wykazuje niemożność skonstruowania za pomocą samej linijki środka danego koła. Jakakolwiek bowiem byłaby konstrukcja, to polegałaby na wykreśleniu pewnej ilości prostych i na wyznaczeniu punktów ich przecięcia oraz punktów przecięcia z okręgiem danym. Jeżeli teraz poddamy całą figurę składającą się z danego okręgu razem ze wszystkimi punktami i liniami konstrukcji temu przekształ ceniu, którego istnienie założyliśmy, to figura przekształcona będzie spełniała wszystkie warunld konstrukcji, ale da w wyniku punkt różny od środka danego koła. Zatem omawiana konstrukcja jest niemożliwa. 3. Konstrukcje za pomocą przyborów mechanicznych. Krzywe mechaniczne. Cykloidy. Wynajdując mechanizmy do kreślenia innych linii poza okręgiem i prostą możemy znacznie rozszerzyć dziedzinę figur konstruowalnych. Jeżeli na
161
xy=k ~~~~~~~-1-~~~~--::+1-~~~~~~~~~~~~,.
X
Rys. 52. Graficzne rozwiązywanie róWnania stopnia trzeciego
I
!1
Matematycy wiedzieli od czasów starożytnych o tym, że można zdefiniować i wyl:reślić wie!~ interesujących (ważnych) krzywych za pomocą prostych przyr:ądow n;echamcz~ych. Jednymi z najbardziej godnych uwagi „krzywych mechamcznych są cyklmdy. Ptolemeusz (ok. 200 r. n.e.) stosował je w sposób bardzo pomysłowy do opisania ruchów planet na niebie.
162
III. Konstrukcje geometryczne. Algebra ciał lin~owych
---------.... Rys. 53. Cykloida
§ 5. Konstrukcje za pomocą innych przyborów
163
Ogólnie, jeżeli promień koła C równa się mln promieni koła c, to hipocykloida zamknie się po n obrotach po kole Ci będzie składała się z m łuków. Interesujący przypadek szczególny powstaje, gdy R = 2r. Każdy punkt P wewnętrznego koła opisze wtedy średnicę większego koła (rys. 56). Przeprowadzenie dowodu proponujemy czytelnikowi jako ćwiczenie. Jeszcze inny lyp cykloidy powstaje przy toczeniu się koła, które pozostaje styczne zewnętrznie do ustalonego koła. Krzywą taką nazywamy epicykloidą. 4*. Przeguby. Inwersory Peaucelliera i Harta. Pozostawiamy na razie zagadnienie cykloid (pojawią się one znowu w miejscu zupełnie nieoczekiwanym), aby rozważyć inne metody tworzenia krzywych. Najprostszymi przyrządami mechanicznymi do kreślenia krzywych są przeguby. Przegub składa się z szeregu sztywnych prętów połączonych w pewien sposób umożliwiający ruch, tzn. cały układ ma tyle swobody, że pewien punkt na nim może zakreślić określoną krzywą. Cyrkiel jest w rzeczywistości prostym przegubem złożonym w zasadzie z jednego pręta umocowanego w jednym punkcie.
Rys. 54. Ogólne cykloidy
Najprostszą cykloidą jest krzywa opisana przez stały punkt na obwodzie koła, które toczy się bez poślizgu po linii prostej. Rysunek 53 pokazuje cztery położe~1ia punktu P na toczącym się kole. Ogólnie można scharakteryzować wygląd cyklmdy jako szereg łuków opartych na prostej. Możria otrzymać odmiany tej krzywej obierając punkt P bądź wewnątrz okrę gu Oak gdyby na szprysze koła), bądź na przedłużeniu promienia (jak gdyby na wystającym brzegu koła wagonu). Rysunek 54 przedstawia te dwie krzywe.
Rys. 57. Ruch prostoliniowy zamieniany na obrót
Przeguby od dawna były stosowane przy konstrukcji maszyn. Sławny z historii Watta" był wynaleziony przez Jamesa Watta dla rozwiązania zagadnienia połączenia tłoka maszyny parowej z punktem na kole napę dowym w taki sposób, żeby obrót koła napędowego powodował ruch tłoka wzdłuż linii prostej (rys. 57). Rozwiązanie Watta było tylko przybliżone i pomimo wysił ków wielu wybitnych matematyków zagadnienie skonstruowania przegubu dla poruszania punktu dokładnie po linii prostej pozostawało nie rozwiązane. Gdy zaczęto zwracać uwagę na dowody niemożliwości rozstrzygnięcia pewnych zagadnień, powstało przypuszczenie, że konstrukcja takiego przegubu jest niemoż liwa. Było wielką niespodzianką, gdy w 1864 roku francuski oficer marynarki, Peaucelłier, wynalazł prosty przegub, który rozwiązywał zagadnienie. Wraz z pojawieniem się dobrych smarów zagadnienie techniczne zastosowania przegubu w maszynach parowych straciło na znaczeniu. Celem przegubu Peaucclliera jest zamiana ruchu obrotowego na prostoliniowy (postępowy). Opiera się ona na teorii inwersji omówionej w§ 4. Jak pokazano na rys. 58, przegub składa się z siedmiu sztywnych prętów, z których dwa mają dłu gość t, cztery długość s i siódmy ma długość dowolną. O i R są dworna ustalonymi przykład „równoległoboku
Rys. 55. Hipocykloida o trzech ostrzach
Rys. 56. Ruch prostoliniowy punktów kola toczącego się po kole o promieniu dwukrotnie większym
Dalszą odmianę cykloid otrzymuje się, jeżeli koło toczy się nie po prostej, ale po innym kole. Jeżeli toczące się koło co promieniu r pozostaje styczne wewnętrz nie do większego koła Co promieniu R, to miejsce geometryczne punktów utworzone przez ruch ustalonego punktu na obwodzie koła c nazywa się hipocykloidą. Jeżeli koło c opisuje cały dowód koła C dokładnie jeden raz, to punkt P powróci do swego pierwotnego położenia tylko wtedy, gdy promień koła C jest całkowi tą wielokrotnością promienia koła c. Rysunek 55 przedstawia przypadek, gdy R = 3r.
164
III. Konstrukcje geometryczne. Algebra ciał lin(owych
§ 6. Jeszcze o inwersji i jej zastosowaniach
punktami umieszczonymi w taki sposób, że OR= PR. Ruchy całego przyrządu są ograniczone tylko podanymi warunkami. Udowodnimy, że gdy punkt P zakreśla łuk o promieniu PR dokoła punktu R, to punkt Q zakreśla odcinek linii prostej. Oznaczając spodek prostopadłej z punktu S do prostej OQ przez T, stwierdzamy, że OP ·OQ =(OT-PT) (OT+ PT)= OT2- PT2 = (OT2 + ST2)-(PT2 + ST2) = t 2 -s
2
165
nie tak, że OS= PS, natomiast pozostała część przegubu może się poruszać. OczyAC jest zawsze równoległe do BD. Stąd punkty O, P i Q są współliniowe i OP jest równoległe do AC. Poprowadźmy proste AE i CF prostopadle do BD. Mamy wiście,
AC·BD=EF·BD=(ED+EB) (ED-EB)=ED2-EB 2. .
Wielkość t 2-s 2 jest stała i oznaczamy ją przez r2. Wobec tego, że OP ·OQ = r2, Pi Q są punktami inwersyjnymi w stosunku do okręgu o promieniu r i środku w p~n~ cie Q. Gdy punkt P opisuje tor kołowy (przechodzący przez punkt O), Q op1su1e
s
Ale Zatem
ED 2-EB2 =AD 2-AB 2.
Dalej OP/BD =AO/AB = 111/(m +n) oraz OQIAC =OB/AB= n/(m +n), skąd
OP·OQ= [mn/(m +11) 2] BD·AC= [nm/(m+ n)2] (AD2-AB2).
Wielkość powyższa
jest stała dla wszystkich możliwych położeń przegubu. Zatem punkty P i Q są inwersyjne względem pewnego okręgu o środku w punkcie O. Gdy przegub się porusza, punkt P zakreśla dokoła punktu S okrąg, przechodzący przez punkt O, a jednocześnie punkt inwersyjny Q zakreśla linię prostą. Można skonstruować (przynajmniej w zasadzie) inne przeguby, które będą wykreślały elipsy, hiperbole i w ogóle dowolną krzywą daną za pomocą równania algebraicznego f (x, y) =O dowolnego stopnia.
R Rys. 58. Metoda PeauceJliera zamiany obrotu na ruch dokładnie prostoliniowy
linię powstającą przez inwersję tego okręgu. Linia ta musi być prostą, udowodniliśmy bowiem, że przez inwersję okręgu przechodzącego przez punkt O otrzymujemy prostą. Zatem torem punktu Q jest linia prosta, zakreślona bez użycia linijki. E
iD
B
F
·--------------------------L ·----------·;
' '' ' ' '' ' ''
Rys. 59. Inwersor 1-larta
Innym przegubem, który rozwiązuje to samo zagadnienie, jest inwersor Harta. Składa się on z pięciu prętów połączonych jak na rysunku 59. Tutaj AB= CD, BC =AD. Punkty O, Pi Q są to punkty ustalone na prętach AB, AD, CB odpowiednio, tak, że AD/OB =AP/PD= CQIQB = 111/11. Punkty O i Ssą ustalone na płaszczyź-
§ 6. Jeszcze o inwersji i jej zastosowaniach 1. Niezmienniczość kątów. Rodziny okręgów. Chociaż inwersja wzglę dem okręgu znacznie zmienia wygląd figur geometrycznych, godnym uwagi jest fakt, że nowe figury w dalszym ciągu mają wiele własności dawnych figur; są to własności, które pozostają bez zmian, „niezmienniki" przekształcenia. Jak już wiemy, inwersja przekształca okręgi i linie proste na okręgi i linie proste. Dodajmy teraz inną ważną własność: kąt pomiędzy dwiema prostymi lub krzywymi jest niezmienni/ciem inwersji. Rozumiemy przez to, że każde dwie przecinające się krzywe przechodzą przez inwersję w dwie inne krzywe, które w dalszym ciągu przecinają się pod tym samym kątem. Przez kąt pomiędzy dwiema krzywymi rozumiemy, oczywiście, kąt pomiędzy stycznymi do nich. Dowód wynika z rysunku 60, który przedstawia przypadek szczególny krzywej C przecinającej prostą OL w punkcie P. Krzywa C' inwersyjna względem C przecina prostą OL w punkcie inwersyjnym P', który - wobec tego, że prócz OL jest inwersją samej siebie - leży na OL. Wykażemy, że kąt x0 pomiędzy prostą OL i styczną do krzywej C w punkcie P jest równy co do wielkości odpowiedniemu kątowi y0 • W tym celu obieramy na krzywej C punkt A blisko punktu Pi prowadzimy sieczną AP. Przez inwersję punktu A otrzymujemy punkt A', który leży zarówno na prostej DA, jak też na krzywej C' i wobec tego musi być ich punktem przecię cia. Prowadzimy sieczną A 'P'. Z definicji inwersji mamy
I .. ..
'
166
III. Konstrukcje geometryczne. Algebra ciai lin~owych r 2 =0P·OP'=OA
·OA',
czyli
skąd wynika, że trójkąty OAP i OA'P' są podobne. Zatem kąt x jest równy kątowi OA 'P', który oznaczamy przez y. W ostatnim etapie dowodu przyjmujemy, że punkt A porusza się po krzywej C zbliżając się do punktu P. Powoduje to, że sieczna AP staje się styczną do krzywej C w punkcie P, przy czym kąt x dąży do x0 • Jednocześnie punkt A' zbliża się do P' i sieczna A'P' staje się styczną w punkcie P'. Kąty zbliża się do y0 • Wobec tego, że kąt x jest równy kątowi y w każdym położeniu punktu A, musi w granicy zachodzić równość x0 =Yo·
§ 6. Jeszcze o inwersji i jej zastosowaniach
sji O i przez inny ustalony punkt płaszczyzny A. Z punktu 2 w § 4 wiemy, że ta rodzina okręgów przekształca się na rodzinę linii prostych przechodzących przez punkt A' będący obrazem punktu A. Rodzina okręgów ortogonalnych do rodziny pierwotnej przechodzi w okręgi ortogonalne do prostych przechodzących przez A', jak wykazuje rysunek 61. (Okręgi ortogonalne są zaznaczone liniami przerywanymi). Nieskomplikowany obraz pęku prostych wydaje się zupełnie różny od obrazu pęku okręgów, widzimy jednak, że są one ściśle związane i - istotnie - z punktu widzenia teorii inwersji są one całkowicie równoważne. '' ''
'' '' '
. . -----„ . . „
" -1
' '' '' y-----\----:-/-~
y
167
//
11
~-~~~ ' ' '' '' ' '' ''' '' ''
''' ''' ''' ' ''
''
/
l'
\
--;----)(----
'' '
''' '' '' '' '' '
',,
A',,/ /
\,
~\\ '' '
L
c \ \
Rys. 60.
I
'
~
I
I
''
'j
\
Rys. 61. Układy okręgów ortogonalnych związanych przez inwersję
C'
Przekształcenie kątów
"\,
przez inwersję
Nasz dowód jest jednak częściowy, ponieważ rozpatrzyliśmy tylko krzywą przeprzez punkt O. Można teraz łatwo rozpatrzyć przypadek ogólny dwóch krzywych Ci C*, tworzących w punkcie P kąt z. Jest bowiem oczywiste, że krzywa OPP' dzieli kąt z na dwie części, o których wiemy, że zachowują stałą wielkość przy inwersji.
Inny przykład wpływu inwersji daje rodzina okręgów stycznych w środku inwersji. Przez przekształcenie przechodzą one w układ prostych równoległych. Obrazami okręgów są bowiem linie proste, z których żadne dwie nie przecinają się, ponieważ pierwotne okręgi stykają się tylko w punkcie O (rys. 62).
cinającą prostą przechodzącą
!
Należy zaznaczyć, że chociaż inwersja zachowuje wielkość kątów, to odwraca ich kierunek, tj. jeżeli promie(1 wychodzący z punktu P opisuje kąt x0 w kierunku przeciwnym ruchowi wskazówek zegara, to jego obraz będzie opisywał kąt y0 w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.
c c B
··r\
. I
\.
Z niezmienności kątów przy inwersji wnosimy w szczególności, że dwa okręgi albo dwie krzywe są ortogonalne, tzn. przecinające się pod kątem prostym, pozostają ortogonalne po inwersji oraz że dwa okręgi styczne, tzn. przecinające się pod kątem zero, pozostają styczne. Rozważmy rodzinę wszystkich okręgów przechodzących przez środek inwer-
B A
o Rys. 62. Okręgi styczne przekształcone na proste równolegle
168
III. Konstrukcje geometryczne. Algebra ciał lin!owych
2. Zastosowanie do zagadnienia Apoloniusza. Dobrą ilustracją użyteczności teorii inwersji jest następujące proste rozwiązanie geometryczne zagadnienia Apoloniusza. Przez inwersję względem dowolnie obranego środka zagadnienie Apoloniusza dla trzech danych okręgów można sprowadzić do odpowiedniego zagadnienia dla trzech innych okręgów (dlaczego?). Jeżeli więc możemy rozwiązać zagadnienie dla jakichkolwiek trzech okręgów, to jest ono rozwiązane dla każdych trzech okręgów otrzymanych z pierwszej trójki przez inwersję. Wykorzystamy ten fakt wybierając spośród wszystkich tych równoważnych trójek okręgów taką trójkę, dla której zagadnienie jest niemal trywialnie proste. Wychodzimy od trzech okręgów mających środki w punktach A, B, Ci zakłada my, że szukany okrąg U o środku w punkcie O i promieniup jest styczny zewnętrz nie do trzech danych okręgów. Jeżeli zwiększymy promienie danych okręgów o tę samą długość d, to okrąg o tym samym środku O i promieniu p- d będzie, oczywiście, rozwiązaniem nowego zagadnienia. Korzystając z tego zastąpimy najpierw trzy dane okręgi trzema innymi, z których dwa są styczne w pewnym punkcie K (rys. 63). Dokonujemy następnie inwersji całej figury względem dowolnego okręgu o środku K. Okręgi o środkach B i C przechodzą w proste równoległe b i c, natomiast trzeci okrąg przechodzi w inny
§ 6. Jeszcze o inwersji i jej zastosowaniach okrąg
169
że można skonstruować obrazy a, b c za pomocą linijki i cyrkla. Nieznany okrąg przechodzi w okrąg li styczny do a, b, c. Promień r tego
a (rys. 64). Wiemy,
b
..-
......
/
/
''
--{--~-------c
' Rys. 611.
/ Rozwiązanie
zagadnienia Apoloniusza
okręgu jest, oczywiście, równy połowie odległości pomiędzy prostymi bi c. Środek jego O' jest jednym z dwóch punktów przecięcia prostej przechodzącej w połowie odległości pomiędzy prostymi bicz okręgiem o środku w punkcie A' (środek koła a) zakreślonym promieniem r + s (gdzie sjest promieniem koła a). Wreszcie konstruując okrąg inwersyjny względem li znajdujemy środek szukanego okręgu Apoloniusza U. (Środek tego okręgu O jest punktem inwersyjnym względem punktu inwersyjnego względem Kw stosunku do okręgu u).
3*. Odbicia wielokrotne. Każdy zna dziwne zjawiska odbicia powstające przy kilku zwierciadeł. Gdybyśmy zwierciadłami doskonale nieabsorbującymi pokryli cztery ściany prostokątnego pokoju, to punkt świecący miałby nieskoń czenie wiele obrazów, z których każdy odpowiadałby innemu odbiciu pokoju użyciu
~--/·' I I
U\
:--~ .µ
* *
*
* *
*
A
,
' ' ,,
I
Rys. 65. Wielokrotne odbicie w
Rys. 63. Wprowadzenie do konstrukcji Apoloniusza
prostokątnych ścianach
(rys. 65). Mniej regularny układ zwierciadeł, np. trzy zwierciadła, daje znacznie bardziej skomplikowany zespół obrazów. Otrzymaną stąd konfigurację można opisać łatwo tylko wtedy, gdy odbite trójkąty tworzą się z trójkątów pokrywają-
"
III. Konstrukcje geometryczne. Algebra ciał lin/owych
170
cych płaszczyznę i nie zachodzących wzajemnie na siebie. Zachodzi to tylko dla trójkątów prostokątnych równoramiennych, trójkątów równobocznych i trójką tów otrzymanych przez podzielenie trójkątów równobocznych na połowy wzdłuż wysokości (rys. 66).
:~~:L------*~l~*------L::: i'',, ~J\f .~ /i !
'„,„„/'
..,...
„"//
//
"'
l
'',,,,j/)<~~1,;<,',,,i,/
- -- -,,.v,-- - - - - - - - - -,,Y.,- - - - - - - - - - ;:"r,,---. //„ „„„„, ~~l*~ ~// '„,,,
!
!
,'
\I
I
I
! /'
\
/ \\
I
'
I; \
t
1 \I
\,'
j... _ _ - - - -
--
I
1 ł
\\ ! \
I
!
I \I \I
I I ł
--:~~-----------~:\ 1 I\ 'I\
I
f
! \\ I ł ł
\
\
' I
\
I
I
I
'I\ I\
,',' ! \ \
,
\
I ł
I
I
I I
\
\I
\I
j
I
ł
I
I
I
I
I
,:<-·
li\ I\
/,' ! \\
ł
/
I
--·:----- ~·J{~ - -- - -:· - - -- -;l;-----:--. I
\
\
~/\i/\~
Rys. 66. Regularne
układy zwierciadeł trójkątnych
Sprawa staje się znacznie bardziej interesująca, gdy rozważamy wielokrotne odbicia w dwóch kołach. Stając między dwoma współśrodkowymi okrągłymi zwierciadłami widzielibyśmy niesko11czenie wiele innych kół współśrodkowych z nimi. Jeden ciąg tych kół dąży do nieskoł1czoności, natomiast drugi skupia się dokoła środka. Przypadek dwóch kół zewnętrznych jest nieco bardziej skomplikowany.
Rys. 68. Odbicie w
/
M/~ '
'
\„ .... __ . . „/
...__
Rys. 67. Wielokrotne odbicie w
układzie
dwóch
kół
171
Tutaj koła i ich obrazy odbijają się kolejno w sobie, malejąc przy każdym odbiciu, stając się wreszcie punktami, po jednym w każdym kole. (Punkty te mają tę wła sność, że są wzajemnie inwersyjne w stosunku do obu kół). Zagadnienie ilustruje rysunek 67. Użycie trzech zwierciadeł prowadzi do pięknego wzoru pokazanego na rysunku 68.
-----1--:
I
'11
6. Jeszcze o inwersji i jej zastosowaniach
I
I '\,/ ___ , ______ l'\ ______
i
~)-r(~--::>r< _/i<· I
\
§
układzie
trzech
zwierciadeł
Rozdział
IV
Geometria rzutowa Aksjomatyka Geometrie nieeuklidesowe "
§ 1. Wstęp 1. Klasyfikacja własności geometrycznych. Niezmienniki przekształceń. Geometria bada własności figur na płaszczyźnie lub w przestrzeni. Własności te są tak liczne i różnorodne, że potrzebna jest pewna zasada klasyfikacji, aby uporząd kować ten ogromny zasób wiedzy. Można by na przykład wprowadzić klasyfikację opartą na metodzie stosowanej przy otrzymywaniu twierdzeń. Z tego punktu widzenia zwykle rozróżnia się postępowanie „syntetyczne" i „analityczne". Pierwsze z nich, to klasyczna metoda aksjomatyczna Euklidesa, przy której rozwija się zagadnienie w sposób czysto geometryczny, niezależnie od algebry i od pojęcia continuum liczbowego i w której wyprowadza się twierdzenia poprzez rozumowanie logiczne z pewnego pierwotnego układu twierdzeń, które nazywamy aksjomatami lub postulatami. Druga metoda oparta jest na wprowadzeniu współrzędnych liczbowych i korzysta z rozumowań algebraicznych. W matematyce dokonała ona głę bokiej zmiany, której wynikiem było połączenie geometrii, analizy i algebry w jeden organiczny system. W tym rozdziale klasyfikacja według metody będzie mniej ważna niż klasyfikacja według treści, oparta na charakterze samych twierdzeń, niezależnie od metod stosowanych dla ich udowodnienia. W elementarnej geometrii płaskiej rozróżnia się twierdzenia dotyczące przystawania figur, korzystające z pojęć dłu gości i kąta, i twierdzenia dotyczące podobie11stwa figur, gdzie występuje tylko pojęcie kąta. To szczególne rozróżnienie nie jest bardzo ważne, ponieważ dłu gość i kąt są tak ściśle powiązane, że rozdzielanie ich jest raczej sztuczne. (Badanie tego powiązania stanowi główną treść trygonometrii). Zamiast tego może my powiedzieć, że twierdzenia geometrii elementarnej dotyczą wielkości- dłu gości, miar kątów i pól. Dwie figury są równoważne z tego punktu widzenia, jeżeli są przystające, to znaczy jeżeli można otrzymać jedną z nich z drugiej za pomocą ruchu sztywnego, który zmienia wyłącznie położenie, ale nie zmienia
174
TV. Geometria rzutowa. Aksjomatyka. Geometrfe nieeuklidesowe
żadnej wielkości. 1 Powstaje tutaj zagadnienie, czy pojęcie wielkości i związane z nim pojęcia przystawania i podobieństwa są dla geometrii podstawowe, czy też figury geometryczne mają jeszcze ogólniejsze własności, które nie ulegają zmianie przy przekształceniach bardziej zmieniających figurę niż ruch sztywny. Zobaczymy, że tak jest istotnie. Przypuśćmy, że narysowaliśmy koło i dwie prostopadłe średnice na prostokąt nym kawałku miękkiego drewna, jak na rysunku 69. Jeżeli umieścimy ten kawałek w potężnej prasie i ściśniemy go do połowy pierwotnej szerokości, to koło stanie się elipsą, a kąty pomiędzy średnicami elipsy nie będą już kątami prostymi. Koło ma tę własność, że jego punkty są równo oddalone od środka, co dla elipsy nie zachodzi. Mogłoby się zatem wydawać, że wszystkie własności geometryczne konfiguracji pierwotnej zostały zniszczone na skutek ściśnięcia. Jednak wcale tak nie jest; np. twierdzenie, że środek dzieli każdą średnicę na pół, jest prawdziwe za-
Rys. 69. Ściskanie koła
równo dla koła, jak dla elipsy. Marny tutaj własność, która utrzymuje się pomimo znacznej zmiany wielkości figury pierwotnej. Spostrzeżenie to nasuwa myśl, że można klasyfikować twierdzenia dotyczące figur geometrycznych stosownie do tego, czy pozostają one prawdziwe, czy też stają się fałszywe, gdy figurę poddajemy równomiernemu ściskaniu. Ogólniej, jeżeli dana jest pewna określona klasa przekształceń (jak np. klasa wszystkich ruchów sztywnych, ściskań, inwersji itd.), to możemy zapytać, jakie własności figury pozostaną niezmienione przy tej klasie przekształceń. Zespół twierdzeń dotyczących tych własności będzie geometrią zwią zaną z daną klasą przekształceń. Myśl klasyfikowania różnych gałęzi geometrii stosownie do rozpatrywanych klas przekształceó została wysunięta przez Felixa Kleina (1849-1925) w słynnym referacie („program erlangeński") wygłoszonym w 1872 roku. Od tego czasu zaważyła ona silnie na myśli geometrycznej. W rozdziale V odkryjemy zupełnie niespodziewany fakt, że pewne własności figur geometrycznych są tak głębokie, iż utrzymują się nawet po poddaniu figur zupełnie dowolnym odkształceniom; figury narysowane na kawałku gumy, który rozciągamy albo ściskamy w jakikolwiek sposób, zachowują w dalszym ciągu pewne ze swoich pierwotnych własności charakterystycznych. Natomiast w rozdziale tym
§ 2. Pojęcia podstawowe
175
będziemy
mieli do czynienia tylko z tymi własnościami, które pozostają bez zmiany albo są niezrniennicze przy pewnej szczególnej klasie przekształceó mieszczącej się pomiędzy bardzo wąską klasą ruchów sztywnych z jednej strony i najbardziej ogólną klasą dowolnych przekształceń z drugiej. Jest to klasa „przekształcei1 rzutowych". 2. Przekształcenia rzutowe. Do badania tych własności geometrycznych już dawno zmusiły matematyków zagadnienia perspektywy, analizowane przez takich artystów jak Leonardo da Vinci i Albrecht Diirer. 1 Obraz namalowany przez malarza może być uważany za rzut oryginału na płótno, przy czym środkiem rzutów jest oko malarza. Przy takim postępowaniu dhtgości i kąty ulegają, oczywiście, zniekształceniu, zależnie od względnych położe11 różnych malowanych przedmiotów. Jednak pierwotna budowa oryginaht może być zwykle rozpoznana na płótnie. Jak to jest możliwe? Powodem musi być istnienie własności geometrycznych „niezmiennych przy rzutowaniu" - własności, które występują niezmiennie w obrazie i umożliwiają identyfikację. Przedmiotem geometrii rzutowej jest znalezienie i zanalizowanie tych własności. Oczywiste jest, że twierdzenia w tej gałęzi geometrii nie mogą dotyczyć długo ści ani kątów, ani przystawania. Pewne niepowiązane fakty o charakterze rzutowym były znane już od XVII wieku, a nawet - jak twierdzenie Menelaosa - od czasów starożytnych. Jednak systematyczne badania geometrii rzutowej zostały zapoczątkowane w ko11cu XVIII wieku, kiedy Ecole Polytechnique w Paryżu zapoczątkowała nowy okres postępu w matematyce, szczególnie w geometrii. Szkoła ta, wytwór rewolucji francuskiej, wykształciła wielu oficerów dla wojsk republikaóskich. Jednym z jej absolwentów by J. V. Poncelet (1788-1867), który w 1813 roku jako rosyjski jeniec wojenny napisał swoją słynną książkę Traite des proprietes projectives des Jigures. W wieku XIX, pod wpływem Steinera, von Staudta, Chaslesa i innych, geometria rzutowa stała się jednym z głównych przedmiotów badal1 matematycznych. Powodem tej popularności był w części urok i piękno geometrii rzutowej, a w części jej bliski związek z geometrią nieeuklidesową i algebrą oraz to, że wyniki geometrii rzutowej rozjaśniają całość geometrii.
§ 2.
Pojęcia
podstawowe
1. Grupa przekształceń rzutowych. Zdefiniujemy najpierw klasę lub grupę2 rzutowych. Przypuśćmy, że w przestrzeni marny dwie płaszczyzny ;n; i ;n;' niekoniecznie równoległe (rys. 70). Możemy wtedy dokonać rzutu środkowego płaszczyzny ;n; na płaszczyznę ;n;' z danego środka O nie leżącego na żadnej z płasz czyzn ;n; i ;n;', określając obraz każdego punktu P płaszczyzny ;n; jako taki punkt P' płasz czyzny ;n;', że punkty Pi P' leżą na prostej przechodzącej przez punkt O. Możemy też przekształce11
1 Zagadnienia perspektywy malarskiej zostały szczegółowo omówione w monografii K. Bartla, Perspektywa malarska t. I Warszawa 1955, t. II Warszawa 1958 (11rzyp red.). 2 Termin grupa w zastosowaniu do pewnej klasy przekształceń oznacza, że kolejne zastosowanie dwóch
przekształceń należących
do tej klasy daje przekształcenie należące znowu do tej klasy oraz że „odwrottej klasy należy do tejże klasy. Własności grupowe operacji matematycznych odegrały i odgrywają znaczącą rolę w wielu dziedzinach, chociaż w geometrii znaczenie pojęcia grupy było może nieco przesadzone. ność" przekształcenia
1 Do
ruchów sztywnych zaliczać bądziemy także symetrie (przyp. red.).
I;·
!Ft'
176
IV. Geometria rzutowa. Aksjomatyka.
Geometr~e
nieeuklidesowe
dokonać rzutu równoległego, gdzie wszystkie linie rzutujące są równoległe (rys. 71). W ten sam sposób możemy zdefiniować rzut" prostej I na płaszczyźnie :re jako pewną prostą I' w płaszczyźnie :re' otrzymaną przez rzutowanie z punktu O lub przez rzuto-
0
n· Rys. 70. Rzutowanie z punktu
wanie równoległe. Każde odwzorowanie jednej figury na drugą przez rzut środkowy lub równoległy albo przez skończony ciąg takich rzutów nazywamy przekształceniem rzutowym. 1 Geometria rzutowa płaszczyzny lub prostej składa się z zespołu tych twierdzeń i pojęć geometrycznych, których słuszność nie ulega zmianie przy dowolnych przekształceniach rzutowych figur, do których się odnoszą. W przeciwieństwie do tego geometrią metn1czną nazwiemy zespół tych twierdzeń i pojęć dotyczących wielkości figur, które są niezmiennicze tylko względem klasy ruchów sztywnych.
§ 2. Pojęcia
podstawowe
177
Niektóre własności rzutowe mogą być rozpoznane natychmiast. Rzutem punktu jest, oczywiście, punkt. Ponadto rzutem linii prostej jest linia prosta; jeżeli bowiem rzutujemy prostą I leżącą w płaszczyźnie :re na płaszczyznę :re', to przecięciem płasz czyzny :re' z płaszczyzną przechodzącą przez O i I jest prosta l'. 1 Jeżeli punkt A i prosta I są incydentne2, to po każdym rzutowaniu odpowiedni punkt A' i prosta I' pozostają incydentne. Tak więc incydencja punktu i prostej jest niezmiennikiem grupy przekształce11 rzutowych. Z tego faktu wynika wiele prostych, lecz ważnych wniosków. Jeżeli mamy trzy lub więcej punktów współliniowych, tzn. incydenh1ych z pewną prostą, to ich obrazy również są współliniowe. Podobnie, jeżeli na płasz czyźnie :re trzy lub więcej prostych przecina się w jednym punkcie, tzn. są incydentne z pewnym punktem, to ich obrazami będą również proste przecinające się w jednym punkcie, Te proste własności - incydencja, współliniowość i przecinanie się w jednym punkcie - są własnościami rzutowymi (tzn. własnościami niezmienniczymi względem rzutowania), natomiast miary długości i kątów, jak również stosunki takich wielkości, na ogół ulegają zmianie przy rzutowaniu, Rzutami lTójkątów równoramiennych lub równobocznych mogą być trójkąty, których wszystkie boki mają różne długości. Stąd, chociaż „trójkąt" jest pojęciem geometrii rzutowej, to „trójkąt równoboczny" nie jest takim pojęciem, a należy tylko do geometrii metrycznej. 2. Twierdzenie Desarguesa. Jednym z najdawniejszych odkryć geometrii rzutowej było słynne twierdzenie Desarguesa (1593-1662) o trójkątach: Jeżeli na płaszczyź nie dwa trójkąty ABC i A 'B 'C' są położone w taki sposób, że proste łączące odpowiednie wierz-
e/zalki przecinają się w pewnym punkcie O, to przedłużenia odpowiednich boków przecinają się w trzech punktach współliniowych. Rysunek 72 ilustruje to twierdzenie; czytelnik powinien narysować sobie inne figury, aby sprawdzić twierdzenie doświadczalnie. Dowód nie jest trywialny pomimo prostoty figury, która składa się z samych tylko .c_~~~i~~--::::::3~0
n' Rys. 71. Rzut równoległy Rys. 72. Konfiguracja Dcsarguesa na
i
, I
i
1 O dwóch figurach związanych przez jednokrotne rzutowanie mówimy zwykle, że są perspektywiczne. Zatem figura F jest związana przez przekształcenie rzutowe z figurą F', jeżeli Fi F' są figurami perspektywicznymi albo jeżeli możemy ustalić ciąg figur F, F„ F2, „., F„, F' taki, że każda figura jest perspektywiczna
zny :rr.
względem następnej.
leży
płaszczyźnie
1 Istnieją wyjątki,
gdy prosta OP (albo płaszczyzna przechodząca przez O i I) jest równoległa do płaszczy tych wyjątków w§ 4. 2 Mówi się, że pewna prosta i pewien punkt są incydentne, jeżeli prosta przechodzi przez punkt albo punkt Pozbędziemy się
na prostej. Ten neutralny termin nic rozstrzyga, czy ważniejsza jest prosta, czy
też
punkt.
178
IV. Geometria rzutowa. Aksjomatyka.
Geomet~ie
nieeuklidesowe
prostych. 'IWierdzenie należy oczywiście do geometrii rzutowej, jeżeli bowiem bę dziemy rzutowali całą figurę na inną płaszczyznę, to zachowa ona wszystkie wła sności, o których mowa w twierdzeniu. Powrócimy do tego twierdzenia na stronicy 192. Na razie przytoczmy godny uwagi fakt, że twierdzenie Desarguesa pozostaje prawdziwe, gdy oba trójkąty leżą w dwóch różnych płaszczyznach (nierównoległych) i że takiego twierdzenia Desarguesa w geometrii h·ójwymiarowej dowieść można bardzo łatwo. Przypuśćmy, że proste AA', BB' i CC' przecinają się w punkcie O (rys. 73) zgodnie z założeniem. W takim razie prosta AB leży w tej samej płaszczyźnie co A'B', a więc te proste przecinają się w pewnym punkcie Q; analogicznie proste AC i A'C' przecinają się w punkcie R, a proste BC i B'C' w punkcie P. Wobec tego, że punk0
§ 3. Dwustosunek
179
gdy płaszczyzny się pokrywają. Można natomiast uważać konfigurację z rys. 72 za rysunek perspektywiczny konfiguracji przestrzennej z rys. 73 i ten fakt daje się wykorzystać dla udowodnienia twierdzenia na płaszczyźnie. W rzeczywistości zachodzi istotna różnica pomiędzy twierdzeniem Desarguesa na płaszczyźnie i w przestTZeni. Nasz dowód w trzech wymiarach wykorzystywał rozumowania geometryczne oparte tylko na pojęciach incydencji i przecinania się dla punktów, prostych i płaszczyzn. Można wykazać, że dowód twierdzenia w dwóch wymiarach, tzn. jeżeli chcemy przeprowadzić go całkowicie w płaszczyźnie, wymaga pojęcia podobieństwa figur, które opiera się na metrycznym pojęciu długości i nie jest już pojęciem rzutowym. Odwrócenie twierdzenia Desarguesa głosi, że jeżeli ABC i A 'B'C' są to dwa trójkąty położone w taki sposób, że pun/ety, w których przecinają się ich odpowiednie bo/ci, są współliniowe, to proste łączące odpowiednie wierzchołki przecinają się w jednym punkcie. Dowód tego twierdzenia w przypadku, gdy oba trójkąty leżą w dwóch płaszczyznach nierównoległych, pozostawiamy czytelnikowi jako ćwiczenie.
§ 3. Dwustosunek 1. Definicja i dowód niezmienniczości. Podobnie jak długość odcinka prostej jest kluczem do geometrii metrycznej, tak pewne podstawowe pojęcie geometrii rzutowej pozwala wyrazić wszystkie istotnie rzutowe własności figur. Jeżeli trzy punkty A, B, C leżą na prostej, to rzutowanie zmieni na ogół nie tylko odległości AB i BC, lecz również stosunek AB/BC. Istotnie, dowolnym trzem punktom A, B, Cna prostej l można przyporządkować dowolne inne trzy punkty A', B', C' na innej prostej /' za pomocą dwukrotnego rzutowania. W tym celu możemy obrócić prostą /' dokoła punktu C' do pewnego położenia /", w którym staje się równoległa dol (rys. 74). Rzutujemy następnie l na l" równolegle do prostej łącząA
\ C' Rys. 73. Konfiguracja Desarguesa w przestrzeni
ty P, Q, R leżą na przedłużeniach boków trójkątów ABC iA'B'C', leżą one w płaszczy znach tych trójkątów, a więc muszą leżeć na prostej przecięcia się tych dwóch płasz czyzn. Zatem punkty P, Q, R są współliniowe, co było do okazania. Ten prosty dowód nasuwa myśl, że można by udowodnić twierdzenie dla dwóch wymiarów za pomocą, jakby można się wyrazić, przejścia do granicy czyniąc całą figurę coraz bardziej płaską tak, że w granicy obie te płaszczyzny pokryją się i punkt O wraz ze wszystkimi innymi punktami znajdzie się na tej płaszczyźnie. Istnieje jednak pewna trudność w przeprowadzeniu takiego postępowania granicznego, ponieważ linia przecięcia PQR nie jest wyznaczona jednoznacznie w przypadku,
<-;-~-
<;]_____ _ _ _ _ _ _!!_' - - - - -
----
_\_c
\ "/}'.'--___--\
---\ _,- A
A" •• ----
A'--~,--
\
I \
i'
["
Rys. 7,1
cej punkty Ci C' otrzymując w ten sposób trzy punkty A", B" i C" (= C'). Proste punkty A' z A" oraz B' z B" przetną się w punkcie O, który obieramy za środek drugiego rzutowania. Te dwa rzutowania dają żądany wynik. 1
łączące
l
Co sit; dzieje, jeżeli proslc h}CZi)Ce punkty A' z A" oraz B' z B" są równoległe?
180
§ 3.
TV. Geometria rzutowa. Aksjomatyka. Geometr_ie nieeuklidesowe
Jak stwierdziliśmy przed chwilą, żadna wielkość związana tylko z trzema punktami na prostej nie może być niezmiennikiem rzutowania. Natomiast - i to jest podstawowym odkryciem geometrii rzutowej - jeżeli mamy cztery punkty A, B, C, Dna prostej i przez rzutowanie ich na inną prostą otrzymujemy punkty A', B', C', D', to istnieje pewna wielkość, zwana dwustosunkiem czterech punktów, która zachowuje swoją wartość przy rzutowaniu. Mamy tutaj do czynienia z własnością matematyczną czterech punktów na prostej, która nie ulega zniszczeniu przez rzutowanie i która może być stwierdzona na każdym obrazie tej prostej. Dwustosunek nie jest ani długością, ani stosunkiem dwóch długości, lecz stosunkiem dwóch takich stosunków: jeżeli rozważymy stosunki CA/CB i DA/DB, to stosunek ich CA DA x=-:CB DB
A
CA DA CB DB
CA DB CB DA
-:-=-·-
OA ·OC sin4COA OB·OD sin4DOB OB·OCsin4COB. OA·ODsin4DOA =
sin4COA . sin4DOB. sin4COB sin4DOA Zatem dwustosunek punktów A, B, C, D zależy tylko do kątów o wierzchołku w punkcie O opartych na odcinkach łączących punkty A, B, C, D. Wobec tego, że te kąty są takie same dla dowolnych czterech punktów A', B', C', D', otrzymanych przez rzutowanie punktów A, B, C, D, wynika stąd, że dwustosunek nie ulega zmianie przy rzutowaniu. Twierdzenie, że dwustosunek czterech punktów pozostaje bez zmiany przy rzurównoległym, wynika z elementarnych własności trójkątów podobnych (rys. 76). Dowód pozostawiamy czytelnikowi jako ćwiczenie.
towaniu
1------
c
B
181
Wynika stąd, że
jest z definicji dwustosunkiem czterech punktów A, B, C, D wziętych w tej kolejności ~---J--~~--~~-----~---1---
Dwu.stosunek
D
oo Wykażemy
teraz, że dwustosunek czterech punktów jest niezmiennikiem rzutów, tzn. że jeżeli A, B, C, Di A', B', C', D' są odpowiadającymi sobie punktami na dwóch prostych związanymi przez rzutowanie (rys. 75), to CA DA C'A' D'A' CB. DB= C'B': D'B'.
o
Rys. 76.
D
A Rys. 75.
Niezmienniczość
dwustosunku przy rzucie środkowym
Dowód przeprowadzimy w sposób elementarny. Przypominamy, że pole trójrówna się połowie iloczynu podstawy i wysokości i równa się także połowie iloczynu dowolnych dwóch jego boków i sinusa kąta zawartego między nimi. Mamy kąta
Pole OCA
..!.h·CA 2
..!.oA·OCsin .,,COA , 2 .,.
poleOCB
lh·CB
loB·OCsin4COB,
= ..!.oA·ODsin4DOA P ole ODA= ..!.h·DA 2 2
pole ODB
=
lh·DB
=
I
loB·OD sin4DOB.
Niezmienniczość
dwustosunku przy rzucie
równoległym
Dotychczas rozumieliśmy dwustosunek czterech punktów A, B, C, Dna prostej I jako stosunek, w którym występują długości dodatnie. Dogodniej jest zmodyfikować tę definicję w sposób następujący. Obieramy pewien kierunek na prostej I za dodatni i przyjmujemy, że długości mierzone w tym kierunku są dodatnie, natomiast długości mierzone w kierunku przeciwnym są ujemne. Definiujemy teraz dwustosunek punktów A, B, C, D wziętych w tej właśnie kolejności jako wielkość (1)
(ABCD) =CA : DA CB DB
I
gdzie liczby CA, CB, DA, DB są wzięte z odpowiednimi znakami. Wobec tego, że odwrócenie obranego kierunku dodatniego na prostej l zmieni tylko znak każdego człona stosunku, wartość (ABCD) nie zależy od obranego lderunku. Łatwo zauważyć, że dwustosunek (ABCD) będzie ujemny lub dodatni zależnie od tego„czy para punktów A, B jest, czy też nie jest rozdzielona parą C, D (tzn. czy elementy pary A, B występują lub nie występują na przemian z elementami pary C, D) (rys. 77).
Tl!. Geometria rzutowa. Aksjomatyka. Geometr,ie nieeuklidesowe
182
Ponieważ
ta własność rozdzielania jest niezmienna przy rzutowaniu, zatem dwustosunek opatrzony właściwym znakiem również jest niezmienny. (ABCD)>O
A
B
A
c
c
D
(ABCD)
B
D
Rys. 77. Znnk dwustosunku Jeżeli
na prostej l obieramy ustalony punkt O za początek (rys. 78) i jako współ x każdego punktu prostej l bierzemy jej skierowaną odległość od punktu O tak, że współrzędne punktów A, B, C, D są odpowiednio równe xl' x 2, x 3 , x 4, to rzędną
CA DA x 3 -x 1 x 4 -x 1 x 3 -x1 x,1 -x 2 ( ABCD)=-:-= - - : - - = - - · - - · CB DB x 3 -x 2 x 4 -x 2 x 3 -x2 x 4 -x1 Jeżeli
§ 3.
Dwustosunek
183
wobec niezmienności dwustosunku przy rzutowaniu. Równoważną definicją jest (l 2 3 4 ) = sin(1, 3) : sin(1, 4), sin(Z, 3) sin(2, 4)
przy czym bierzemy znak plus lub minus zależnie od tego, czy jedna para prostych nie rozdziela, czy też rozdziela drugą parę. (W tym wzorze np. (1, 3) oznacza kąt pomię dzy prostymi 1 i 3). Wreszcie możemy zdefiniować dwustosunek czterech płaszczyzn współ osiowych (czterech płaszczyzn w przestrzeni, przecinających się wzdłuż pewnej prostej I, którą nazywamy ich osią). Jeżeli prosta przecina te płaszczyzny w czterech punktach, to będą one miały zawsze ten sam dwustosunek niezależnie od położenia prostej. (Dowód tego pozostawiamy jako ćwiczenie). Możemy więc uważać tę wartość za dwustosunek czterech płaszczyzn. Równoważną definicję otrzymujemy uważając dwustosunek czterech płaszczyzn współosiowych za równy dwustosunkowi czterech prostych, wzdłuż których przecinają one dowolną piątą płaszczyznę (rys. 79).
(ABCD) = -1, a więc CA/CB= - DA/DB, to punkty Ci D dzielą odcinek AB i zewnętrznie w tym samym stosunku. W tym przypadku mówimy,
wewnętrznie
o --<>_ _
---X2----
-----X3
X
_,..
Rys. 78. Dwustosunek wyrażony zn
I
I
~--o-D--··
A
Xi--;)
pomocą współrzędnych
że punkty Ci D dzielą odcinek AB harmonicznie i każdy z punktów C, D nazywamy harmonicznie sprzężonym z drugim względem pary A, B. Jeżeli (ABCD) = 1, to punkty Ci D (lub A i B) pokrywają się. Należy pamiętać o tym, że kolejność, w jakiej bierzemy punkty A, B, C, D, jest istotną częścią definicji dwustosunku (ABCD). Jeżeli np. (ABCD) =A., to dwustosunek (BACD) jest równy 1/..1., natomiast (ACBD) = 1-..1., co czytelnik sprawdzi zła twością. Cztery punkty A, B, C, D można ułożyć 4 · 3 · 2 · 1=24 różnymi sposobami, z których każdy daje pewną wartość dwustosunku. Niektóre z tych permutacji dadzą tę samą wartość dwustosunku, co uporządkowanie pierwotne A, B, C, D, np. (ABCD) = (BADC). Pozostawia się czytelnikowi jako ćwiczenie wykazanie, że istnieje tylko sześć różnych wartości dwustosunku dla tych 24 permutacji punktów, mianowicie ..1.-1 1 A. 1 A., 1-..1., A.' A. 1-..1.' ..1.-1.
Te wielkości są na ogół różne, ale dwie z nich mogą być równe - jak w przypadku podziału harmonicznego, gdy A.= -1. Możemy również zdefiniować dwustosunek czterech prostych współpłaszczyzno wych 1, 2, 3, 4 (tzn. leżących w tej samej płaszczyźnie) i przechodzących przez jeden punkt jako dwustosunek czterech punktów przecięcia tych prostych z inną prostą leżącą w tej samej płaszczyźnie. Położenie tej piątej prostej jest obojętne
:\
Rys. 79. Dwustosunek płaszczyzn współosiowych
Pojęcie dwustosunku czterech płaszczyzn prowadzi w sposób zupełnie naturalny do zagadnienia, czy można zdefiniować przekształcenie rzutowe przestrzeni trójwymiarowej w samą siebie. Definicji za pomocą rzutowania środkowego nie można bezpośrednio uogólnić z dwóch na trzy wymiary. Można natomiast dowieść, że każde przekształcenie ciągłe płaszczyzny w samą siebie, które daje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie punktów punktom i prostych prostym, jest przekształceniem rzutowym. Twierdzenie to nasuwa następującą definicję dla trzech wymiarów: Przekształcenie rzutowe przestrzeni jest to przekształcenie ciągłe wzajemnie jed11oz11ncz11e, które znclzowuje lhlie proste. Można wykazać, że takie przekształ cenia pozostawiają dwustosunek bez zmiany.
'1::11
184
TV. Geometria rzutowa. Aksjomatyka. Geometi;ie nieeuklidesowe
Można uzupełnić poprzednie wypowiedzi pewnymi uwagami. Przypuśćmy, mamy na prostej trzy różne punkty A, B, Co współrzędnych xl' x2, x 3• Chcemy znaleźć czwarty punkt D tak, żeby było (ABCD) =li., gdzie li. jest dane z góry. (Przypadek szczególny li.= -1, dla którego zagadnienie sprowadza się do skonstruowania czwartego punktu harmonicznego, rozpatrzymy bardziej szczegółowo w następnym punkcie). Zagadnienie ma na ogół jedno i tylko jedno rozwiązanie; jeżeli bowiem x jest współrzędną szukanego punktu D, to równanie że
X3 -
(2)
X1 • X -
x 3 -x2
X2
= /I.
§ 3. Dwustosunek
185
WSKAZÓWKA. Przesunąć prostą tak, żeby dwa odpowiadające sobie punkty . pokryły się. 2. Na podstawie poprzedniego wyniku wykazać, że jeżeli punkty dwóch prostych l i l' są związane za pomocą skończonego ciągu rzutów na różne proste pośrednie z dowolnych środków, to można uzyskać ten sam wynik za pomocą tylko dwukrotnego rzutowania. 2. Zastosowanie do czworoboku zupełnego. Jako interesujące zastosowanie dwustosunku udowodnimy pewne proste, lecz ważne twierdzenie geometrii rzutowej. Dotyczy ono czworoboku zupełnego, czyli figury złożonej z dowolnych prostych, z których żadne h·zy nie przecinają się w jednym punkcie, i z sześciu punktów przecięcia tych prostych. Na rysunku 81 tymi czterema prostymi są AE, BE, BI, AF. Proste AB, EG i IF nazywamy przekątnymi czworoboku. Obierzmy dowolną przekątną, np. AB, i zaznaczmy na niej punkty Ci D, w których ona przecina dwie pozostałe przekątne. Mamy wtedy twierdzenie następujące: (ABCD) = -1, tzn. pun/ety przecięcia jednej przekątnej z pozostah;mi dwiema dzielą harniezmienności
x-x 1
ma dokładnie jedno rozwiązanie x. Jeżeli współrzędne xl' x2' x3 są dane, upraszczamy równanie (2) przyjmując (x3 - x 1)/(x3 - x 2) = k; rozwiązując równanie otrzymujemy x = (kx 2 -ll.x1)/(k-ll.). Jeżeli np. trzy punkty A, B, C są w jednakowych od siebie odległościach i mają współrzędne x1 =O, x2 = d, x 3 = 2d, to le= (2d-0)/(2d-d) = 2, skąd x=2d/(2-ll.).
monicznie wierzchołki na tej przekątnej. Dla dowodu zauważymy po prostu, że X
= (ABCD) = (IFHD) (IFHD) = (BACD)
Ale wiemy, że (BACD) = 1/(ABCD); stąd 1 2
przez rzutowanie z punktu E, przez rzutowanie z punktu G.
x =1,
x=-,
x=±1.
X
Wobec tego, że punkty C, D rozdzielają punkty A, B, dwustosunek x jest ujemny i musi być równy -1, co było do okazania. E /"
I
Rys. 80. Odpowiedniość rzutowa Jeżeli tę samą prostą
pomiędzy
punktami dwóch prostych
l rzutujemy na dwie różne proste I', I" z dwóch różnych środ
ków O' i O", to otrzymujemy (rys. 80) odpowiedniość PHP' pomiędzy punktami prostych li l' oraz odpowiedniość PHP" pomiędzy punktami prostych l' i[", która ma tę własność, że każdy zespółczterech punktów A', B', C', D' prostej l' ma ten sam dwustosunek, co odpowiedni zespół A", B", C", D" na prostej l". Każdą odpowiedniość wzajemnie jednoznaczną punktów dwóch prostych, mającą tę własność, nazywamy odpowiedniością rzutową, niezależnie od tego, w jaki sposób została zdefiniowana. Ćwiczenia. 1. Dowieść, że jeżeli dane są dwie proste oraz odpowiedniość
rzutowa pomiędzy ich punktami, to można przesunąć jedną z tych prostych równolegle do takiego położenia, że odpowiedniość otrzymujemy przez jednokrotne rzutowanie.
'
A
'
'
'
'' \
' C
..................... . .
'
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - -0- - - - - - - -- --- - - - - - - - -- --- - - - - - - - - - - -- --0
B
D
Rys. 81. Czworobok zupełny
Ta ważna własność czworoboku zupełnego pozwala wyznaczyć za pomocą samej linijki punkt harmonicznie sprzężony z punktem C względem współliniowych
Hl. Geometria rzutowa. Aksjomatyka. Geomet1)ie nieeuklidesowe
186
§4.
z nim punktów A, B. Należy tylko obrać punkt E poza tą prostą, poprowadzić EA, EB, EC, wyznaczyć punkt Gna prostej EC, poprowadzić proste AG i BG, przecinające EB i EA odpowiednio w punktach Fi I oraz poprowadzić prostą IF, która przetnie prostą, na której leżą punkty A, B, C, w szukanym czwartym punkcie harmonicznym D.
przeszkodą
nie przecięła obszaru R? WSKAZÓWKA. Obrać na odcinku AB dwa dowolne punkty C, C', a następnie, za pomocą czterech czworoboków, mających wierzchołki W: punktach A, B, wyznaczyć punkty harmonicznie z nimi sprzężone.
Równoległość
i
nieskończoność
1. Punkty w nieskończoności jako „punkty niewłaściwe". Krytyczne zbadanie poprzedniego paragrafu wykaże, że niektóre nasze rozumowania zawodzą, jeżeli w konstrukcjach pewne proste, które mieliśmy prowadzić aż do punktu ich przecięcia się, są w rzeczywistości równoległe. I tak na przykład, w omówionej wyżej konstrukcji czwartego punktu harmonicznego, punkt D nie istnieje, gdy prosta IF jest równoległa do AB. Rozumowania geometryczne są jakby skrępowa ne na każdym kroku faktem, że dwie proste równoległe nie przecinają się; w każ dym rozważaniu, gdzie występuje przecinanie się prostych, należy oddzielnie sformułować i rozpatrzyć szczególny przypadek prostych równoległych. Podobnie należałoby rozróżniać rzut ze środka O od rzutu równoległego, który wymaga oddzielnego rozpatrzenia. Jeżeli rzeczywiście musielibyśmy rozpatrywać szczegółowo każdy taki wyjątkowy przypadek, to geometria rzutowa stałaby się bardzo skomplikowana. Spróbujmy zatem innej ewentualności - a mianowicie takiego rozszerzenia naszych pojęć podstawowych, które eliminowałoby wyjątki. Drogę wskazuje tutaj intuicja geomelTyczna: jeżeli prostą przecinającą inną prostą obracamy powoli do położenia równoległego, to punkt przecięcia obu prostych oddała się w nieskończoność. Moglibyśmy powiedzieć naiwnie, że te dwie proste przecinają się „w punkcie w nieskończoności". Istotną rzeczą jest tedy nadanie tej nieokreślonej wypowiedzi sprecyzowanego znaczenia, tak żeby punkty w nieskończoności - lub, jak się czasami mówi, punkty niewłaściwe - mogły być traktowane dokładnie tak samo jak zwykłe punkty płaszczyzny lub przestrzeni. Innymi słowy chcemy, żeby
187
wszystkie reguły dotyczące zachowania się punktów, prostych, płaszczyzn itd. pozo-
A
§ 4.
i nieskończoność
stawały w mocy, nawet wtedy, gdy te elementy geometryczne są niewłaściwe. W tym celu możemy postępować bądź intuicyjnie, bądź formahtle, podobnie jak to czynili-
Zagadnienie. Dane są odcinek AB na płaszczyźnie i obszar R, jak na rys. 82. Chcemy przedłużyć prostą AB na prawo od obszaru R. Jak można tego dokonać za pomocą samej tylko linijki w taki sposób, żeby żadna linia konstrukcji
Rys. 82. Przedłużenie prostej poza
Równoległość
",,
~!· I
śmy przy rozszerzaniu układu liczbowego, gdzie jedno podejście wychodziło z intuicyjnego pojmowania mierzenia, a inne z formalnych reguł działań arytmetycznych. Zauważmy najpierw, że w geometrii syntetycznej nawet podstawowe pojęcia „zwykłego" punktu i prostej nie są zdefiniowane matematycznie. Tak zwane definicje tych pojęć, które często znajduje się w podręcznikach geometrii elementarnej, są tylko poglądowymi opisami. W przypadku zwykłych elementów geometrycznych nasza intuicja daje nam poczucie pewności, jeżeli chodzi o ich „istnienie". Ale wrzeczywistości, w geometrii lrnktowanej jako system matematyczny, potrzebujemy pewnych reguł operowania pojęciami podstawowymi, jak np. łączenia punktów prostymi, wyznaczania punktów przecięcia prostych itd. Z logicznego punktu widzenia „punkt" nie jest „rzeczą samą w sobie", lecz jest określony w zupełności przez ogół sądów, w których jest on powiązany z innymi przedmiotami. Istnienie matematyczne „punktów w nieskończoności" zostanie zapewnione, gdy ustalimy w sposób jasny i niesprzeczny własności matematyczne tych nowych przedmiotów, tzn. ich stosunek do „zwykłych" punktów i stosunki ich pomiędzy sobą. Zwykłe aksjomaty geometrii (np. aksjomaty Euklidesa) są abstrakcjami świata fizycznego linii kreślonych ołówkiem lub kredą, naciągniętych slrnn, promieni świetlnych, sztywnych prętów itd. Własności, które te aksjomaty nadają punktom i prostym matematycznym, są wysoce uproszczonymi i wyidealizowanymi opisami zachowania się ich fizycznych odpowiedników. Przez dowolne dwie kropki narysowane ołówkiem można przeprowadzić ołówkiem nie jedną, lecz wiele prostych. Jeżeli te kropki stają się coraz mniejsze co do średnicy, to wszystkie te proste będą wyglądały w przybliżeniu jednakowo. To właśnie mamy na myśli, gdy ustalamy jako aksjomat geometrii, że „przez dowolne dwa punkty można poprowadzić jedną i tylko jedną prostą"; odwołujemy się nie do punktów i prostych fizycznych, lecz do abstrakcyjnych i pojęciowych punktów i prostych geometrii. Punkty i proste geometryczne mają własności istotrtle prostsze niż jakiekolwiek przedmioty fizyczne, i to uproszczenie jest zasadniczym warunkiem rozwoju geomelTii jako nauki dedukcyjnej. Jak już zaznaczyliśmy, zwykłą geometrię punktów i prostych komplikuje znacznie fakt, że dwie proste równoległe nie przecinają się w żadnym punkcie. Prowadzi nas to do przyjęcia dalszego uproszczenia struktury geometrii przez rozszerzenie pojęcia punktu geometrycznego dla usunięcia tego wyjątku, podobnie jak rozszerzaliśmy pojęcie liczby dla usunięcia ograniczeń w odejmowaniu i dzieleniu. Tutaj również myślą przewodnią jest chęć zachowania w dziedzinie rozszerzonej tych praw, które rządziły pierwotną dziedziną. Przyjmiemy wobec tego, że do zwykłych punktów na każdej prostej dodajemy jeden punkt niewłaściwy. Będziemy uważali, że punkt niewłaściwy należy do wszystkich prostych równoległych do danej prostej i nie należy do żadnej innej prostej. Na skutek takiej umowy każde dwie proste na płaszczyźnie będą się teraz przecinały w jednym punkcie; jeżeli te proste nie są równoległe, to przecinają się w zwykłym punkcie, jeżeli natomiast są równoległe, to przecinają się w punkcie niewłaściwym wspólnym dla tych dwóch prostych. Ze względu na intuicję punkt niewłaściwy na prostej nazywany jest punktem w 11iesk011czo11ości tej prostej.
~ 'jl'
188
TV. Geometria rzutowa. Aksjomatyka. Geomefl/e nieeuklidesowe
Intuicyjne pojęcie punktu na prostej oddalającego się w niesko11czoność do każdej prostej dodajemy dwa punkty niewła ściwe, jeden dla każdego kierunku na tej prostej. Powodem, dla którego dodajemy tylko jeden punkt, tak jak uczyniliśmy, jest chęć zachowania prawa głoszącego, że przez dowolne dwa punkty można poprowadzić jedną i tylko jedną prostą. Gdyby prosta miała z każdą prostą równoległą dwa wspólne punkty w nieskończoności, to przez te dwa „punkty" przechodziłoby nieskończenie wiele prostych równoległych. mogłoby nasunąć myśl, że
Przyjmiemy również,
że
do zwykhjch proshjch na płaszczyźnie dodamy jedną prostą nie-
właściwą (nazywaną również prostą w nieskończoności tej płaszczyzny), zawierającą wszyst-
§4.
Równoległość
i nieskończoność
189
Każdemu punktowi A płaszczyzny :n: odpowiada jeden jedyny punkt A' płaszczyzny :n:', z następującymi wyjątkami: jeżeli promień rzutujący z punktu O jest równoległy do płaszczyzny :n:', to przecina płaszczyznę :n: w punkcie A, któremu nie odpowiada żaden zwykły punkt płaszczyzny :n:'. Te wyjątkowe punkty płaszczyzny :n: leżą na pewnej prostej l, której nie odpowiada żadna zwykła prosta płaszczyzny ;n;'. Usuwamy jednak te wyjątki przyjmując, że punktowi A odpowiada punkt w nieskończoności płaszczy zny :n:' w kierunku prostej OA i że prostej l odpowiada prosta w nieskończoności na płaszczyźnie :re'. W taki sam sposób przyporządkowujemy punkt w nieskończoności na płaszczyźnie :n: każdemu punktowi B' na prostej m' w płaszczyźnie :re', przez którą przechodzą wszystkie promienie wychodzące z O i równoległe do płaszczyzny :n:. Samej prostej m' będzie wtedy odpowiadała prosta w nieskończoności na płaszczyźnie
kie punkty niewłaściwe na płaszczyźnie i nie zawierającą ponadto żadnego innego punktu. Taką właśnie umowę
musimy przyjąć, jeżeli chcemy zachować pierwotne prawo, że przez dwa punkty można przeprowadzić jedną prostą, jak również nowe prawo, że każde dwie proste przecinają się w jednym punkcie. Aby to wykazać, obierzemy dowolne dwa punkty niewłaściwe. W takim razie prosta, która ma przechodzić przez te punkty, nie może być zwykłą prostą, ponieważ na mocy przyjętej umowy każda zwykła prosta zawiera tylko jeden punkt niewłaściwy. Ponadto ta prosta nie może zawierać żadnych zwykłych punktów, ponieważ zwykły punkt i punkt niewłaściwy określają zwykłą prostą. Wreszcie ta prosta musi zawierać wszystkie punkty niewłaściwe, ponieważ chcemy, żeby miała wspólny punkt z każdą zwykłą prostą. Zatem ta prosta musi mieć dokładnie te własności, które nadaliśmy prostej niewłaściwej na płaszczyźnie. Zgodnie z naszymi umowami punkt w nieskończoności jest określony albo przedstawiony za pomocą rodziny prostych równoległych, podobnie jak liczba niewymierna jest określona za pomocą ciągu zstępujących przedziałów wymiernych. Stwierdzenie, że przecięciem dwóch prostych równoległych jest punkt w nieskoi1czoności, nie ma odcienia tajemniczości, a jest tylko dogodnym sposobem opisywania tego, że te proste są równoległe. Taki sposób wyrażania równoległości, w języku przeznaczonym pierwotnie dla odmiennych intuicyjnie przedmiotów, ma na celu jedynie uwolnienie się od konieczności rozpatrywania zbytecznych przypadków wyjątkowych; są one teraz objęte automatycznie tym samym rodzajem wyraże11 językowych lub innych symboli, jakich się używa w „zwykłych" przypadkach. Reasumujemy: nasze umowy dotyczące punktów w nieskończoności zostały wybrane w taki sposób, że prawa rządzące relacją incydencji pomiędzy zwykłymi punktami i prostymi pozostają w dalszym ciągu prawdziwe w rozszerzonej dziedzinie punktów, natomiast wyznaczenie punktu przecięcia dwóch prostych, które poprzednio było możliwe tylko w przypadku prostych nierównoległych, teraz nie napotyka ograniczenia. Rozważania, które doprowadziły do tego formalnego uproszczenia własności relacji incydencji, mogą wydawać się cokolwiek abstrakcyjne. Są one jednak w pełni uzasadnione przez wyniki, o czym czytelnik przekona się dalej. każde
2. Elementy niewłaściwe a rzutowanie. Wprowadzenie punktów w niesko6czoi prostej w nieskończoności na płaszczyźnie pozwala na rozpatrzenie rzutu jednej płaszczyzny na drugą w sposób daleko bardziej zadowalający. Rozważmy rzut płaszczyzny :n: na płaszczyznę :n:' ze środka O (rys. 83). Rzut ten ustala odpowiedniość pomiędzy punktami i prostymi płaszczyzny :n: a punktami i prostymi płaszczyzny :n:'. ności
Rys. 83. Rzut w element w
nieskończoności
:re. Jeżeli więc wprowadzimy punkty i prostą w nieskoi1czoności na płaszczyźnie, to
rzutowanie jednej płaszczyzny na drugą ustala pomiędzy punktami i proshjmi obu hjclt płasz czyzn o~powiedniość, która jest wzajemnie jednoznaczna bez wyjątków. (Rozstrzyga to spra:-Vę Wyjątków, o których była mowa w przypisie na str. 177). Ponadto łatwo zauważyć, ze z naszej umowy wynika, że punkt leży na prostej wtedy i hjlko wtedy, gdy rzut tego ~u~tktu leży na rzucie prostej. Widać stąd, że wszystkie wypowiedzi o punktach współ hmowych, prostych przecinających się w jednym punkcie itd., w których występują tylko punkty, proste oraz relacja incydencji, pozostają niezmienione przy rzutowaniu w rozszerzonym znaczeniu. Pozwala to nam na operowanie punktami w nieskończo noś~i danej płaszczyzny :re przez operowanie po prostu odpowiednimi zwykłymi punktami pewnej płaszczyzny :re' związanej z :n: przez rzutowanie. *Interpretację punktów w nieskończoności płaszczyzny :n:, za pomocą rzutowania z punktu O nie leżącego na tej płaszczyźnie na zwykłe punkty w innej płaszczyźnie :n:', można wykorzystać dla podania konkretnego euklidesowego „modelu" rozszerzonej
190
TV. Geometria rzutowa. Aksjomatyka. Geometrie nieeuklidesowe
płaszczyzny.
W tym celu pomijamy zupełnie płaszczyznę n' oraz zatrzymujemy naszą uwagę na płaszczyźnie n i na prostych przechodzących przez punkt O. Każdemu zwyczajnemu punktowi płaszczyzny n odpowiada prosta przechodząca przez. O nierównoległa do:rr; każdemu punktowi w nieskończoności płaszczyzny n odpowiada prosta przechodząca przez O równoległa do n. Stąd ogółowi wszystkich punktów płaszczy zny n, zwykłych i niewłaściwych, odpowiada ogół wszystkich prostych przechodzą cych przez O i ta odpowiedniość jest wzajemnie jednoznaczna. Punkty płas:c~yzny n leżące na pewnej prostej będą odpowiadały prostym leżącym na płaszczyzme przechodzącej przez O. Punkt płaszczyzny n będzie leżał na prostej położonej w tej płasz czyźnie wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednia prosta przechodząca przez O leży na pewnej płaszczyźnie przechodzącej przez O. Zatem geometria incyden:!i. punk.tó"'.': i prostych w rozszerzonej płaszczyźnie jest w pełni równoważna geometrn mcyde~CJI zwykłych prostych i płaszczyzn przechodzących przez ustalony punkt przestrzem. W trzech wymiarach zagadnienie jest podobne, chociaż już nie możemy niczego wyjaśnić intuicyjnie za pomocą rzutowania. Tutaj również wprowadzamy punkt w nieskof1czoności odpowiadający każdej rodzinie prostych równoległych. W każ dej płaszczyźnie mamy prostą w nieskof1czoności. Musimy następnie wprowad~ić nowy element: płaszczyznę w niesko11czoności złożoną ze wszystkich punktów w rneskof1czoności tej przestrzeni i zawierającą wszystkie proste w nieskoi1czoności. Każda zwykła płaszczyzna przecina płaszczyznę w nieskoi1czoności wzdłuż swojej prostej ~ nieskof1czoności.
§
5. Zastosowanie
191 Jeżeli w szczególności (ABC oo)= -1, to C jest środkiem odcinka AB; środek odcinka i punkt w 11iesko11czoności w kierunku odcinka dzielą ten odcinek harmonicznie.
Ćwiczenie. ~~ki jest dwustosunek czterech prostych 111 12, 13, gdy są one równoległe? Jaki jest dwustosunek, gdy 14 jest prostą w nieskoi1czoności?
§ 5. Zastosowanie 1. Uwagi wstępne. Po wprowadzeniu elementów w nieskoi1czoności nie potrzeba j:1ż p~dawa~ oddzie~nie przyi;iadków wyjątkowych, występujących w tych konstrukqach 1 w tw1erdze111ach, gdzie mamy dwie lub więcej prostych równoległych. Należy jedynie pamiętać, że gdy punkt jest w nieskończoności, to wszystkie proste przechodzące przezei1 są równoległe. Nie ma także potrzeby rozróżniania rzutov;ania środkowego i równoległego, ponieważ ostatnie oznacza po prostu rzutowarne z punktu w nieskończoności. Na rysunku 72 punkt O lub prosta PQR może B'
3. Dwustosunek w przypadku elementów w nieskończoności. Należy poczydwustosunków, w których występują elementy w 1:ie~ skoi1czoności. Oznaczamy punkt w nieskończoności na prostej I symbolem oo. Jezeh A, B, C są zwykłymi punktami na prostej/, to symbolowi (ABCoo) możemy nadać nić pewną uwagę dotyczącą
o R
Q
p
Rys. 85. Konfiguracja Dcsarguesa ze środkiem w nicskof1czoności
oo
c
B
A
p
Rys. 84. Dwustosunek z jednym punktem w
nieskoilczoności
pewną wartość w
sposób następujący: na prostej l obieramy punkt P; w takim ~·a zie być granicą, do której zdąża (ABCP), gdy punkt P oddala się do nieskończoności po prostej I. Ale dwustosunek (ABCoo) powinno
CA PA (ABCP) = CB : PB
i
:,i' 'li
I'I
I l\
i gdy P oddala się w
nieskończoność,
PA/PB
dąży
(ABCoo) =CA/CB.
do 1. Definiujemy zatem
być:" ni~s.koi1c~o~ości .(rys. 85 pokazuje pierwszy przypadek); pozostawiamy czy-
tel111kow1 Jako cw1cze111e sformułowanie w języku „skoi1czonym" odpowiedniego przypadku twierdzenia Desarguesa. Nie tylko formułowanie, ale nawet dowód twierdzenia rzutowego staje się czę sto ła~wiejszy dzięki użyciu elementów w nieskoi1czoności. Ogóma zasada jest nas.tępuiąc~. Prze~ klasę rzuto';ą figury geometrycznej F rozumiemy klasę wszystkich figur, ktore mozna otrzymac z F przez przekształcenie rzutowe. Własności rzutowe figury F ~ą ide~1tyc7:ne z włas1;ościami rzutowymi jakiegokolwiek elementu jej klasy rzutowej, pornewaz własności rzutowe z definicji nie zmieniają się przy rzutowaniu. Zatem ~~żde twierdzenie rzutowe (a więc twierdzenie, w którym występują tylko własnosc1 rzutowe), prawdziwe dla figury F, jest prawdziwe także dla każdego elemen.tu klasy rzutowej F, i odwrotnie. Na to, aby udowodnić tego rodzaju twierdzenie dla fi?~ry F,. wystarczy zatem udowodnić je dla jakiegokolwiek elementu klasy rzutowej 1-. Mozna z tego często korzystać wyszukując pewien szczególny element klasy rzutowej F, dla którego twierdzenie daje się udowodnić łatwiej niż dla samej figury F. Na przykład dowolne dwa punktu A, B płaszczyzny n można rzutować w nieskoń-
IV. Geometria rzutowa. Aksjomatyka. Geometrie nieeuklidesowe
192
§ 5. Zastosowanie
czoność przez rzutowanie ze środka O na płaszczyznę :re' równoległą do płaszczyzny przechodzącej
przez punkty O, A, B; proste
przechodzące
193
Zaznaczai-r;y~ że t~n dowód twierdzenia Desarguesa wykorzystuje pojęcie metryczne dług.osc1 odcmka. Udowodniliśmy zatem twierdzenie rzutowe metodami metrycznymi. Ponadto, jeżeli definiujemy przekształcenia rzutowe wewnętr · " ks ł . . " zn1e , · I ja <0 ~rze zta cem~ płaskie ~a.chowujące wartość dwustosunku (patrz str. 183), to dowod ten pozostaje całkow1c1e w obrębie płaszczyzny.
przez punkt A i proste
A'
I
A
Rys. 86 przechodzące
przez punkt B zostaną przekształcone na dwie rodziny prostych rówW twierdzeniach rzutowych, które mamy udowodnić w tym dziale, bę dziemy dokonywali takich wstępnych przekształceń. Przyda się nam następujący elementarny fakt dotyczący prostych równoległych. Przypuśćmy, że dwie proste, przecinające się w punkcie O, przecinają dwie inne proste 11 i12 w punktach A, B, C, D, jak pokazano na rys. 86. Jeżeli proste 11 i12 są równoległe, to noległych.
OA
Rys. 87. Dowód twierdzenia Desarguesa
Ćwiczeni~. y~o;vo~nić odwróc~~: twierdzenia Desarguesa: Jeżeli dwa trój-
OB
oc= oo'
kątr AB1C 1A B C n:aią. tę ~łas~osc, ze punkty P, Q, R są współliniowe, to proste AA, BB , CC1 przecmają się w jednym punkcie.
i odwrotnie, jeżeli
to proste 11 i 12 są równoległe. Dowód wynika z elementarnych własności trójkątów podobnych; pozostawiamy go czytelnikowi.
\ \
\
2. Dowód twierdzenia Desarguesa na płaszczyźnie. Podamy teraz dowód tego, dwóch trójkątów ABC iA'B'C' na płaszczyźnie umieszczonych tak, jakna rys. 72, gdzie proste przechodzące przez odpowiednie wierzchołki przecinają się w jednym punkcie, przecięcia P, Q, R odpowiednich boków leżą na jednej prostej. W tym celu rzutujemy najpierw całą figurę w taki sposób, żeby punkty Qi R przeszły na punkty w nieskończoności. Po takim rzutowaniu prosta AB będzierównoległa do A'B', prosta AC do A'C' i figura przybierze kształt jak na rys. 87. Jak zaznaczyliśmy w punkcie 1 tego paragrafu, dla udowodnienia twierdzenia Desarguesa w ogólności wystarczy udowodnić je dla tej szczególnej figury. W tym celu trzeba tylko wykazać, że przecięcie prostych BC i B'C' także jest punktem w nieskoi1czoności, a więc prosta BC jest równoległa do B'C'; punkty P, Q, R będą wtedy rzeczywiście współliniowe (ponieważ będą one leżały na prostej w nieskoi1czoności). Ale z tego, że u ABllA'B', wynika, że -=-, że dla
?\~>-\ ',,, '-,,, \
\
„
i z tego, że ACllA'C',
Zatem u/v = x/y,
I
, !
skąd
wynika, że
Rys. 88. Konfiguracja Pascala
s
V
X
r
y
s
wynika, że BCll B'C', co było do okazania.
2
\'',,6'
3. Twierdzenie Pascala. I Twierdzenie to głosi: Jeżeli wierzchołki sześciokąta leżą na przemian na dwóch przecinających się prostych, to trzy punkty przecięcia P, Q, R przeciwległych bolców sześciokąta leżą na jednej prostej (rys. 88). (Sześciokąt może się przecinać sam ze sobą. Boki „przeciwległe" można rozpoznać na podstawie schematycznego diagramu na rys. 89). Dokonując wstępnego rzutowania możemy doprowadzić do tego, żeby punkty P i Q leżały w nieskoilczoności. Wystarczy wtedy wykazać, że punkt R także leży w nieskończo ności. Przypadek ten przedstawia rys. 90, gdzie 23115 6 i 12114 5. Trzeba dowieść, że 1 6IJ3 4.
Na st.i: 211 omawiamy ogólniejsze twierdzenie tego samego rodzaju. Rozważany teraz przypadek szczególny Jest znany również pod nazwiskiem jego odkrywcy, Pappusa z Aleksandrii (III wiek naszej ery). 1
"
194
§ 6. Przedstawienie analityczne
TV. Geometria rzutowa. Aksjomatyka. Geometrie nieeuklidesowe
5. Uwaga o dwoistości. Czytelnik dostrzegł może wyraźne podobieństwo potwierdzeniem Pascala (1623-1662) a Brianchona (1785-1864). Podobieństwo to staje się szczególnie uderzające, jeżeli napiszemy te twierdzenia obok siebie:
Mamy
między
a b+y a+x = b+y+s' b b+y
3
2
Twierdzenie Pascala
a+x a+x+r
4
Zatem
a b
a+x+r b+y+s'
6
y
5 Rys. 89
tak, że 161134, co było do okazania.
b 1
4
5
s
Rys. 90. Dowód twierdzenia Pascala
4. Twierdzenie Bńanchona. Twierdzenie to głosi: Jeżeli boki sześciokąta przechodzą przez dwa ustalone punkhj P i Q, to trzy przekątne łączące przeciwległe wierzchołki tego sześcio kąta przecinają się w jednym punkcie (rys. 91). Przez rzutowanie możemy oddalić w nieskończoność punkt P oraz punkt, w którym przecinają się dwie przekąh1e, np. 1 4 i 3 6.
Q'Z~ 3
6
- -=-:,-
195
:::::::ce C"~"'"""
74 y/ p
Rys. 91. Konfiguracja Brianchona
Przedstawia to rys. 92. Wobec 1 4113 6 mamy a/b=11/v. Ale x/y=a/b i u/v=1is. Zatem x!y=r/s i 3 6112 5, więc wszystkie trzy przekąme są równoległe, czyli przecinają się w jednym punkcie. Wystarcza to dla udowodnienia twierdzenia w przypadku ogólnym.
Jeżeli wierzchołki.sześciokąta leżą
na przemian 11a dwóch prostych, Io punkty, w których przecinają się przeciwlegle boki, leżą na jednej prostej.
Twierdzenie Brianchona boki sześciokąta przechodzą na przemian przez dwa punkty, to proste łączące przeciwlegle wierzchołki przecinajq się w jednym punkcie.
Jeżeli
Nie tylko twierdzenie Pascala i Brianchona, ale wszystkie twierdzenia geometrii rzutowej występują parami złożonymi z twierdzeń podobnych i, można by powiedzieć, identycznych pod względem strukhtry. Ta zależność nazywa się dwoistością. W geometrii płaskiej punkty i proste są nazywane elementami dwoistymi. Poprowadzenie prostej przez punkt i wyznaczenie punktu na prostej są to operacje dwoiste. Dwie figury są dwoiste, jeżeli każdą z nich można otrzymać z drugiej przez zastąpienie każdego elemenQ tu i każdej operacji dwoistym elementem i dwoistą operacją. Dwa twierdzenia są dwoiste, jeżeli jedno przechodzi w drugie przy zastąpieniu wszystkich elementów i operacji przez elementy i operacje dwoiste. Na przykład twierdzenia Pascala i Brianchona są dwoiste, a twierdzeniem dwoistym w stosunku do twierdzenia Desarguesa jest dokładnie odwrócenie tego twierdzenia. To zjawisko dwoistości nadaje geometrii rzutowej charakter odrębny od geomeh·ii elementarnej (metrycznej), w której żadna taka dwoistość nie istnieje. (Byłoby bez sensu mówić np. o elemencie Rys. 92. Dowód twierdzenia Brianchona dwoistym względem kąta 37" albo odcinka o długości 2). W wielu podręcznikach geometrii rzutowej zasada dwoistości, głosząca, że twierdzenie dwoiste w stosunku do każdego prawdziwego twierdzenia geometrii rzutowej również jest prawdziwym twierdzeniem geomelrii rzutowej, jest uwidoczniona przez zamieszczanie lwierdzeil dwoistych wraz z ich dowodami dwoistymi w dwóch równoległych kolumnach tej samej stronicy, tak jak uczyniliśmy to wyżej. Podstawowy powód tej dwoistości rozpah·zymy w następnym paragrafie (patrz również str. 218).
§ 6. Przedstawienie analityczne 1. Uwagi wstępne. We wczesnej fazie rozwoju geometrii rzutowej istniała silna tendencja budowania wszystkiego na podstawie syntetycznej i „czysto geometrycznej", przy unikaniu użycia liczb i metod algebraicznych. Program ten napotykał duże h·udności, ponieważ zawsze pozostawały pewne miejsca, gdzie sformuło wania algebraiczne wydawały się nieuniknione. Budowę całkowicie syntetycznej geometrii rzutowej uzyskano dopiero pod koniec XIX wieku, jednak kosztem du-
196
IV. Geometria rzutowa. Aksjomatyka. Geometrie nieeuklidesowe
żych komplikacji. Pod tym względem metody geometrii analit~~znej by~ znacznie
skuteczniejsze. Ogólną tendencją w matematyce współczesnej jest oparcie wszystkiego na pojęciu liczby, a w geometrii tendencja ta zapoczątkowana przez Fermata i Descartesa święciła znakomite triumfy. Z roli narzędzia w rozumowaniu geometrycznym geometria analityczna rozwinęła się w przedmiot, w którym intuicyjna interpretacja geometryczna nie jest już tylko ost~tecznym i w~łączny~1 ~elem, a i:ia raczej znaczenie zasady przewodniej, pomocnej przy przew1dywanm i zr~zum1e niu wyników analitycznych. Ta zmiana treści geometrii jest wyni~em stopm?w:go rozwoju historycznego, który ogromnie rozszerzył zakres geometrn klasycznej, a jednocześnie przyniósł organiczne niemal powiązanie geometrii i analizy. W geometrii analitycznej za „współrzędne" danego tworu geometrycznego uważamy jakikolwiek zbiór liczb, charakteryzujący ten twór w sposób jednoznaczny. Tak więc punkt jest określony przez. podanie jego wsp?łrzęd_i:ych pr~stok~tnych x, y lub jego współrzędnych biegunowychp, e, natomiast tro1kąt moze hyc okr~ ślony przez podanie współrzędnych jego trzech wierz_c~ołkó:"', co ':'~maga łączrne sześciu współrzędnych. Wiemy, że prosta w płaszczyzrne xy J~St miejscem ge,ometrycznym wszystkich punktów P(x, y) (patrz sposób oznaczarna na str. 90), ktorych współrzędne spełniają pewne równanie liniowe
ax +by+ c =O.
(1)
Możemy więc nazwać trzy liczby a, b, c „współrzędnymi" tej prostej. Np. a =0, b=: 1, c=O określa prostą y=O, będącą osią x; a= 1, b= -1, c=O określa prostą x=y, k~ora
§ 6.
Przedstawienie analityczne
197
niewłaściwe, jak też punkty zwykłe. Wprowadzenie takiego układu współrzędnych najlepiej można opisać przyjmując, że dana płaszczyzna :n: o współrzędnych X, Y jest zawarta w przestrzeni trójwymiarowej, w której wprowadziliśmy współrzędne prostokąme x, y, z (opatrzone znakami odległości punktu od trzech płaszczyzn współ rzędnych wyznaczonych przez osie x, y i z). Umieszczamy płaszczyznę :n: równolegle do płaszczyzny xy, w odległości 1 od niej, w ten sposób, aby każdy punkt P płaszczy zny :n: miał współrzędne trójwymiarowe (X, Y, 1). Biorąc początek współrzędnych O za środek rzutów zauważymy, że każdy punkt P określa jedną tylko prostą przechodzącą przez O, i odwrotnie. (Patrz sh: 190. Proste przechodzące przez O i równoległe do :n: odpowiadają punktom w nieskończoności płaszczyzny :n:). Opiszemy teraz układ „współrzędnych jednorodnych" dla punktów płaszczy zny :n:. Dla wyznaczenia współrzędnych jednorodnych dowolnego zwykłego punktu P płaszczyzny :n: bierzemy prostą przechodzącą przez punkty O i P i obieramy na niej dowolny punkt Q różny od punktu O (rys. 93). Mówimy, że zwykłe trójwymiarowe współrzędne x, y, z punktu Q są współrzędnymi jednorodnymi punktu P. W szczególności współrzędne (X, Y, 1) samego punktu P są zespołem współrzęd nych jednorodnych dla punktu P. Ponadto każdy inny zespół liczb tX, tY, t, gdzie t ;ć O, jest również zespołem współrzędnych jednorodnych dla punktu P, ponieważ współrzędne wszystkich punktów prostej OP różnych od O są tej samej postaci. (Wyłączyliśmy punkt (O, O, O), ponieważ leży on na wszystkich prostych przechodzących przez O i nie może służyć do ich rozróżniania).
z
jest dwusieczną kąta pomiędzy dodatnim kier~nkiem osi x_a dodatnin:' kier:inkie~ osi y. W ten sam sposób równania stopnia drugiego określaią „przekroje stozkowe .
x2+y2=„2 (x-a) 2+(y-b)2 =r2 x2faZ + y2/bz = 1
koło o środku
w początku współrzędnych i promieniu r, o środku w punkcie (a, b) i promieniu r, elipsę itd.
koło
Naiwne podejście do geometrii analitycznej polega na tym, że zaczyna się od pojęć czysto „geometrycznych" - punktu, prostej itd. i tłumaczy się je na j~zyk lic.zb. Współczesny punkt widzenia jest odwrotny. Zaczynamy od zbioru wszystkich par lzczb x, y i nazywamy każdą taką parę punktem; możemy bowiem, jeżeli chcemy, zinterpretować lub unaocznić taką parę liczb za pomocą znanego pojęcia punktu geomeh·ycz-
I
nego. Podobnie mówimy, że równanie pierwszego stopnia pomiędzy ~ i y określa prostą. Takie przesunięcie akcentu z aspektu intuicyjne?o na asp_ekt an~htyc~ny geometrii daje możność prostego, lecz ścisłego rozpatrzema punktow w meskonczoności w geomeh·ii rzutowej i jest niezbędne dla głębszego zrozumienia c~łego p1:~e~ miotu. Dla czytelników o pewnym przygotowaniu omówimy ten sposob pode1scia. Rys. 93.
2. * Współrzędne jednorodne. Algebraiczna podstawa dwoistości. W zwykłej geometrii analitycznej współrzędne prostokąme punktu w płaszczyźnie są to, o!='.atrzo~e znakiem, odległości tego punktu od dwóch osi prostopadłych. Układ ter.i me moz~ służyć punktom w niesko6czoności w rozszerzonej płaszczy~nie geom.eti:ii rzu.towej. Jeżeli więc chcemy stosować metody analityczne do geometm rzutowej, to korueczne jest znalezienie takiego układu współrzędnych, który obejmowałby zarówno punkty
Współrzędne
jednorodne
Ta metoda wprowadzania współrzędnych na płaszczyźnie wymaga trzech liczb zamiast dwóch dla ustalenia położenia punktu, i ma tę dalszą wadę, że współrzęd ne punktu nie są określone jednoznacznie, lecz tylko z dokładnością do pewnego dowolnego czynnika t. Metoda ta ma jednak tę wielką zaletę, że teraz punkty w nie. skończoności płaszczyzny :n: są objęte przedstawieniem za pomocą współrzędnych. Punkt P w nieskol1czoności na płaszczyźnie :n: jest określony za pomocą prostej
"
198
IV. Geometria rzutowa. Aksjomatyka.
Geome~rie
nieeuklidesowe
przechodzącej przez współrzędne postaci
punkt O i równoległej do n. Każdy punkt na tej prostej ma x, y, O. Zatem współrzędne jednorodne punktu w nieskoń czoności płaszczyzny n są postaci (x, y, O). Równanie prostej na płaszczyźnie n we współrzędnych jednorodnych znajdujemy łatwo z uwagi na to, że proste łączące punkt O z punktami tej prostej leżą w pewnej płaszczyźnie przechodzącej przez punkt O. Dowodzi się w geometrii analitycznej, że równanie takiej płaszczyzny ma postać ax
+ by + cz =
która jest również warunkiem na to, żeby punkt o współrzędnych a, b, c leżał na prostej o współrzędnych x, y, z. Np. tożsamość arytmetyczna 2. 3
+ 1. 4-5. 2 =o
może być zinterpretowana
zarówno w ten sposób, że punkt (3, 4, 2) leży na prostej (2, 1, -5), jak też, że punkt (2, 1, -5) leży na prostej (3, 4, 2). Symetria ta jest podstawą dwoistości w geometrii rzutowej pomiędzy punktem a prostą, ponieważ każda zależność pomiędzy punktami a prostymi staje się zależnością pomiędzy prostymi a punktami przy właściwej interpretacji współrzędnych. W nowej interpretacji dawniejsze współrzędne punktów i prostych przedstawiają teraz odpowiednio proste i punkty. Wszystkie działania algebraiczne i wyniki pozostają te same, ale ich interpretacja daje dwoisty odpowiednik pierwotnego twierdzenia. Należy zaznaczyć, że dwoistość nie zachodzi w zwykłej płaszczyźnie dwóch współrzędnych X, Y, ponieważ równanie prostej w zwykłych współrzędnych aX
(1 ')
ax +by+
cz=O,
gdzie a, b, c są to trzy stałe, nie wszystkie równe zeru. W szczególności, wszystkie punkty w nieskończoności płaszczyzny n spełniają równanie liniowe (2)
z=O.
Jest to z definicji linia prosta i nazywamy ją prostą w niesk011czoności płaszczyzny n. Wobec tego, że prosta jest określona równaniem postaci (1 '),trójkę liczb a, b, c nazywamy współrzędnymi jednorodnymi prostej (a, b, c). Wynika stąd, że ta, tb, te dla każde go t ;<: Osą to również współrzędne prostej (a, b, c), ponieważ równanie (3)
(ta)x + (tb)y + (tc)z = O
jest spełnione przez te same trójki współrzędnych x, y, z, co równanie (l').
199
W definicjach tych stwierdzamy całkowitą symetrię pomiędzy punktem a prozarówno punkt, jak też prosta są wyznaczone przez podanie trzech współrzęd nych jednorodnych u, v, w. Warunkiem incydencji punktu (x, y, z) i prostej (a, b, c) jest równość ax + by + cz = O,
!:_en sam punkt, jeżeli przy pewnym t ;<: Ozachodzi
Innymi słowy, można mnożyć współrzędne dowolnego punktu przez dowolny czynnik różny od zera, nie zmieniając przez to punktu. (Z tego właśnie względu nazywa się te współrzędne współrzędnymi jednorodnymi punktu). Punkt (x, y, z) jest zwykłym punktem, jeżeli z;<: O; jeżeli natomiast z=O, to mamy punkt w niesko(zczoności. Linia prosta w płaszczyźnie n składa się ze wszystkich punktów (x, y, z) spełnia jących równanie liniowe postaci
6. Przedstawienie analityczne
stą:
O.
Jest to więc równanie we współrzędnych jednorodnych prostej leżącej w płasz czyźnie n. Gdy już wykorzystaliśmy model geometryczny przedstawiający punkty płasz czyzny n jako proste przechodzące przez punkty O, możemy go pominąć i podać następującą czysto analityczną definicję rozszerzonej płaszczyzny: Punkt (x, y, z) jest to uporządkowana trójka liczb rzeczywistych x, y, z, które nie wszystkie są równe zeru. Dwie takie trójki
określają
§
+ bY + c =O
nie jest symetryczne względem X, Y i a, b, c. Tylko przez włączenie punktów i prostej w nieskończoności otrzymuje podstawę zasada dwoistości. Aby przejść od współrzędnych jednorodnych x, y, z zwykłego punktu P na płaszczyźnie n do zwykłych współrzędnych prostokątnych, podstawiamy po prostu X = x/z, Y = y/z. Wtedy X, Y są to odległości od punktu P do dwóch osi pozostałych w płaszczyźnie n, równoległej do osi x i y, jak na rys. 93. Wiemy, że równanie postaci aX
+ bY + c =O
będzie przedstawiało prostą w płaszczyźnie n. Podstawiając X= x/z, Y = y/z i mnożąc wszystkie wyrazy przez z znajdujemy równanie tej samej prostej we współrzędnych jednorodnych; jest to, jak już stwierdzono na str. 198, równanie
ax + by + cz = O. Tak np. równanie prostej 2x-3y + z = O w zwykłych współrzędnych prostokątnych X, Y jest postaci 2X-3Y + 1 = O. Oczywiście to ostatnie równanie zawodzi dla punktu w nieskoi1czoności na tej prostej, dla którego jednym z zespołów współrzędnych jednorodnych jest trójka 3, 2, O. Zauważmy jeszcze jedno. Zdołaliśmy dać czysto analityczną definicję punktu i prostej, ale co można powiedzieć o równie ważnym pojęciu przekształ-
200
TV. Geometria rzutowa. Alcsjomatylca.
Geome~·rie
nieeuklidesowe
cenia rzutowego? Otóż można dowieść, że przekształcenie rzutowe jednej płaszczyzny na drugą, zdefiniowane na str. 176, jest dane analitycznie za pomocą układu równań liniowych
x' = a1x + b1y + c1z, y' = llzX + bzY + CzZ, z'= a3X + bJY + c3z,
(4)
wiążących współrzędne
jednorodne x', y', z' punktów płaszczyzny :n:' ze jednorodnymi x, y, z punktów płaszczyzny :n:. Z obecnego naszego punktu widzenia możemy zdefiniować przekształcenie rzutowe jako przekształcenie dane za pomocą dowolnego układu równań liniowych postaci (4). Twierdzenia geometrii rzutowej stają się w ten sposób twierdzeniami dotyczącymi zachowania się trójki liczb x, y, z przy takich przekształ ceniach. Tak np. dowód, że dwustosunek czterech punktów na prostej nie zmienia się przy takich przekształceniach, staje się po prostu ćwiczeniem z dziedziny algebry przekształceń liniowych. Nie możemy wdawać się w dalsze szczegóły tego postępowania analitycznego. Powrócimy natomiast do bardziej intuicyjnych stron geometrii rzutowej. współrzędnymi
§ 7. Zadania na konstrukcje za pomocą samej linijki W poniższych konstrukcjach przyjmujemy, że dopuszczalne jest uży cie jako narzędzia wyłącznie linijki. Zadania od 1 do 18 są podane w artykule J. Steinera, w którym dowodzi on, że można obejść się bez cyrkla w konstrukcjach geometrycznych, jeżeli dany jest stały okrąg wraz ze środkiem (patrz rozdz. III, str. 160). Zaleca się czytelnikowi rozwiązywanie tych zagadnień w podanej kolejności. Zespół czterech prostych a, b, c, d przechodzących przez pewien punkt P nazywamy harmonicz11ym, jeżeli dwustosunek (abcd) jest równy -1. Mówimy również, że proste a i b są sprzężone względem prostych ci d, i odwrotnie. 1. Udowodnić, że jeżeli w zespole czterech prostych harmonicznych a, b, c, d prosta a dzieli kąt między prostymi ci dna połowy, to prosta b jest prostopadła do prostej a. 2. Skonsh·uować czwartą prostą harmoniczną względem trzech prostych przechodzących przez ten sam punkt. WSKAZÓWKA. Wykorzystać twierdzenie o czworoboku zupełnym. 3. Skonstruować czwarty punkt harmoniczny względem trzech punktów położonych na jednej prostej. 4. Dany kąt prosty i dowolny kąt mają wspólny wierzchołek i wspólne ramię; podwoić dowolny kąt. 5. Dany jest kąt i jego dwusieczna b. Skonstruować prostą prostopadłą do b, przechodzącą przez wierzchołek P danego kąta.
§ 7.
Zadania na lconstrukcje za pomocą samej linijki
201
6. Udowodnić, że jeżeli proste 11' Iz, „., 111 przechodzące przez punkt p przecinają prostą a w punktachA1,Az, ...,An orazprostąbwpunktachB 1' B21 „., Bn' to .
wszystkie punkty przecięcia par prostych A;Bk i AkBi (i ;e le, i, le= 1, 2, „., n) leżą na jednej prostej. . 7. Udowodnić, że jeżeli prosta równoległa do boku BC trójkąta ABC przecma AB w punkcie B' i AC w punkcie C', to prosta łącząca punkt A z punktem D przecięcia prostych B'C i C'B dzieli bok BC na połowy. Sformułować i udowodnić twierdzenie odwrotne względem 7. 8. Na prostej l dane są trzy punkty P, Q, R takie, że Q jest środkiem odcinka PR. Zbudować prostą równoległą do l przechodzącą przez dany punkt S. 9. Dane są dwie proste równoległe 11 i Iz; podzielić na połowy dany odcinek AB prostej 11• 10. Przez dany punkt P poprowadzić prostą równoległą do dwóch danych prostych równoległych 11 i Iz. WSKAZÓWKA. Sprowadzić zagadnienie 9 do 7 wykorzystując zadanie 8. 11. Steiner podaje następujące rozwiązanie zagadnienia podwojenia danego odcinka AB, gdy dana jest prosta l równoległa do AB: Przez punkt C nie leżący na I ani na prostej AB prowadzimy prostą CA, która przetnie prostą l w punkcie Al' oraz prostą CB przecinającą prostą I w punkcie B . Następnie (patrz 10) prowadzimy przez punkt C prostą równoległą do 1która przecina prostą BA 1 w punkcie D. Jeżeli DB 1 przecina AB w punkcie E, to AE= 2 AB. Udowodnić to. 12. Podzielić odcinek AB na n równych części, jeżeli dana jest prosta l, równoległa do AB. WsKAZóWKA. Zbudować najpierw n-tą wielokrotność dowolnego odcinka na prostej l, stosując zadanie 11. 13. Poprowadzić przez punkt P prostą równoległą do prostej I, jeżeli dany jest równoległobok ABCD. WSKAZÓWKA. Zastosować wynik zadania 10 do środka równoległoboku i wykorzystać zadanie 8. 14. Zbudować n-tą wielokrotność danego odcinka, jeżeli dany jest pewien równoległobok. WSKAZÓWKA. Wykorzystać zadania 13 i 11. 15. Dany jest równoległobok; podzielić dany odcinek na n części. 16. Dane jest stałe koło i jego środek; poprowadzić przez dany punkt prostą równoległą do danej prostej. WsKAzówKA. Zastosować zadanie 13. 17. Dane jest stałe koło i jego środek; pomnożyć i podzielić dany odcinek przez n. WSKAZÓWKA. Zastosować zadanie 13. 18. Dane jest stałe koło i jego środek; przez dany punkt przeprowadzić prostą prostopadłą do danej prostej. WSKAZÓWKA. Wykorzyshljąc prostokąt wpisany w stałe koło, mający dwa boki równoległe do danej prostej, sprowadzić zagadnienie do poprzednich. 19. Korzystając z wyników zagadnień 1-18 ustalić, jakie podstawowe zagadnienia konstrukcyjne można rozwiązać, jeżeli naszym narzędziem jest
z,
202
o
fil. Geometria rzutowa. Aksjomatyka. Geomet,rie nieeuklidesowe
linijka o dwóch równoległych krawędziach. 20. Dwie dane proste 11 i 12 przecinają się w punkcie P poza danym arkuszem papieru. Zbudować prostą łączącą dany punkt Q z punktem P. WSKAZÓWKA. Uzupełnić dane elementy do figury z twierdzenia Desarguesa na płaszczyźnie w taki sposób, żeby punkty Pi Q stały się przecięciami odpowiednich boków obu trójkątów w twierdzeniu Desarguesa. 21. Zbudować prostą łączącą dwa punkty, których odległość jest więk sza od długości użytej linijki. WSKAZÓWKA. Wykorzystać zadanie 20. 22. Dwa punkty P i Q leżące poza kartką papieru są wyznaczone przez dwie pary prostych 11, 12 i 1111' 1112, przechodzących odpowiednio przez punkty P i Q. Zbudować tę część prostej PQ, która leży w obrębie kartki papieru. WSKAZÓWKA. Dla uzyskania punktu prostej PQ uzupełniamy dane elementy do figury z twierdzenia Desarguesa w taki sposób, żeby dwa boki jednego trójkąta leżały na prostych 11 i 1111' a odpowiednie dwa boki drugiego trójką ta na prostych 12 i 1112 • 23. Rozwiązać zagadnienie 20 na podstawie twierdzenia Pascala (str. 193). WSKAZÓWKA. Uzupełnić dane elementy do figury z twierdzenia Pascala, gdzie proste 11' /2 są parą przeciwległych boków sześciokąta, Q jest punktem przecięcia innej pary przeciwległych boków. 24*" Dane są dwie proste leżące całkowicie poza daną kartką papieru; każda z nich jest określona przez dwie pary prostych przecinających się na niej (a więc również poza kartką). Wyznaczyć punkt przecięcia tych dwóch prostych za pomocą pary prostych przechodzących przez ten punkt.
§ 8.
Stożkowe
§ 8. Stożkowe i kwadryki
ax
2
+ by2 + cxy + dx + ey + f
= O
jest jedną z trzech stożkowych, prostą, parą prostych, punktem lub tworem urojonym. Dowodzi się tego zwykłe przez wprowadzenie nowego, dogodnego układu współrzędnych, tak jak się to robi w podręcznikach geometrii analitycznej. Te definicje przekrojów stożkowych są istotnie metryczne, ponieważ opierają się na pojęciu odległości. Istnieje jednak inna definicja, która określa miejsce przekrojów ~
i kwadryki
1. Elementarna geometria metryczna stożkowych. Dotąd mieliśmy do czynienia wyłącznie z punktami, prostymi, płaszczyznami i figurami utworzonymi z nich. Gdyby geometria rzutowa zajmowała się tylko badaniem takich „liniowych" figur, to miałaby stosunkowo niewielkie znaczenie. Ogromne znaczenie ma fakt, że geometria rzutowa nie ogranicza się do badania figur liniowych, ale obejmuje również całą dziedzinę przekrojów stożkowych i ich uogólnień w przestrzeniach wielowymiarowych. Badania Apoloniusza dotyczące przekrojów stożkowych - elips, hiperboli i paraboli- były jednym z wielkich osiągnięć matematycznych starożytności. Trudno wprost przecenić znaczenie przekrojów stożkowych dla matematyki czystej i stosowanej (np. orbitami planet oraz orbitami elektronów w atomie wodoru są przekroje stożkowe). Nic dziwnego, że klasyczna teoria grecka przekrojów stożkowych jest dotychczas jeszcze niezbędną częścią wykształcenia matematycznego. Jednakże geometria grecka w żadnym razie nie ma być czymś ostatecznym. Dwa tysiące lat później odkryto ważne własności rzutowe stożkowych. Zaczniemy od przypomnienia metrycznych definicji przekrojów stożkowych. Istrlieją różne definicje metryczne, których równoważności dowodzi się w geometrii. Wiążą się one najczęściej z ogniskami. Elipsę definiuje się jako miejsce geometryczne wszystkich punktów P płaszczyzny, dla których suma odległości rl' r2 od
203
dwóch ustalonych punktów Fl' F2, zwanych ogniskami, ma stałą wartość. Geżeli oba ogniska zlewają się, to figura jest okręgiem). Hiperbolę definiuje się jako miejsce geometryczne wszystkich punktów P płaszczyzny, dla których wartość bezwzględna różnicy odległości r1 -r2 od ognisk F1 i F2 jest równa ustalonej liczbie. Parabolę definiuje się jako miejsce geometryczne wszystkich punktów P płaszczyzny, dla których odległość rod ustalonego punktu F równa jest odległości od danej prostej /. Posługując się środkami geometrii analitycznej można wyrazić te krzywe za pomocą równań stopnia drugiego względem współrzędnych x, y. Nietrudno jest adowodnić, że, odwrotnie, każda krzywa zdefiniowana analitycznie za pomocą równania stopnia drugiego
Rys. 94. Przekroje
stożkowe
:
.V'
204
IV. Geometria rzutowa. Aksjomatyka. Geomet~ie nieeuklidesowe
stożkowych
w geometrii rzutowej: przekroje stożkowe są to rzuty okręgu na płaszczyznę. rzutujemy okrąg Cz punktu O, to proste rzutujące tworzą nieograniczony stożek podwójny, a przecięcie tego stożka z płaszczyzną jest rzutem koła C. Przecięcie to jest elipsą lub hiperbolą zależnie od tego, czy płaszczyzna przecina jedną, czy obie części stożka. Pośredni przypadek paraboli mamy, gdy płaszczyzna :n: jest równoległa do jednej z prostych rzutujących przechodzących przez punkt O (rys. 94). Stożek rzutujący może nie być prostym stożkiem kołowym z wierzchołkiem O położonym prostopadle nad środkiem koła C; stożek ten może być również ukośny. W każdym przypadku, co przyjmiemy tutaj bez dowodu, przecięcie stożka z płaszczyzną jest krzywą o równaniu stopnia drugiego; jest też odwrotnie, każdą krzywą stopnia drugiego można otrzymać z koła przez takie rzutowanie. Z tego to powodu krzywe stopnia drugiego nazywają się przekrojami stożkowymi. Jeżeli płaszczyzna przecina tylko jedną część prostego stożka kołowego, to stwierdziliśmy, że krzywa przecięcia E jest elipsą. Możemy dowieść, że krzywa E spełnia zwykłą definicję ogniskową elipsy podaną poprzednio, stosując proste, lecz piękne rozumowanie podane w 1822 roku przez matematyka belgijskiego G. P. Dandelina. Dowód opiera się na wprowadzeniu dwóch kul 51 i S2 (rys. 95) stycznych do płasz czyzny :n: odpowiednio w punktach F1 i F2 i dotykających stożka odpowiednio wzdłuż równoległych okręgów K 1 i K2• Łączymy dowolny punkt P krzywej Ez punktami F1 i F2 i prowadzimy prostą łączącą punkt P z wierzchołkiem O stożka. Ta prosta leży Jeżeli
o
§ 8. Stożkowe i kwadryki
205
całkowicie na powierzchni stożka i przecina okręgi K 1 i K2 odpowiednio w punktach Q1 i Q2• Teraz PF1 i PQ1 są to dwie styczne z punktu P do sfery 51, a więc
PFI =PQI. Analogicznie jest
Dodając
te dwie równości mamy
PF1 + PF2 = PQ1 + PQ2• Ale PQ 1 + PQ 2 = Q 1Q2 jest to odległość na powierzchni stożka pomiędzy równoległymi okręgami K1 i K2 i wobec tego nie zależy od wyboru punktu P na krzywej E. Wynika stąd równanie PF 1
+ PF2 =
const.
dla wszystkich punktów P krzywej E, będące właśnie definicją Krzywa E jest zatem elipsą, a punkty F1 i F2 są jej ogniskami.
ogniskową
elipsy.
Ćwiczenie. Jeżeli płaszczyzna przecina obie części stożka, to krzywa przecięcia
jest
hiperbolą. Udowodnić
to
umieszczając
po jednej kuli w
każdej
części stożka.
2. Własności rzutowe stożkowych. Na podstawie faktów stwierdzonych w poprzednim ustępie przyjmiemy prowizoryczną definicję: stożkowa jest to rzut okrę gu na płaszczyznę. Definicja ta jest bardziej zgodna z duchem geometrii rzutowej niż zwykła definicja za pomocą ognisk, ponieważ ostatnia opiera się całkowicie na metrycznym pojęciu odległości. Nawet obecna nasza definicja nie jest wolna od tego braku, ponieważ „okrąg" także jest pojęciem geometrii metrycznej. Dojdziemy jednak później do czysto rzutowej definicji stożkowych. Przyjęliśmy, że stożkowa jest po prostu rzutem okręgu (tzn. że słowo „stożko wa" oznacza dowolną krzywą z klasy rzutowej okręgu, patrz str.191), skąd natychmiast wynika, że każda własność okręgu, która pozostaje niezmiennicza przy rzutowaniu, przysługuje również każdej stożkowej. Okrąg posiada znaną dobrze wła sność (metryczną), że kąt wpisany w okrąg oparty na danym łuku jest taki sam dla każdego punktu O na okręgu. Na rysunku 96 kąt AOB oparty na łuku AB jest niezależny od położenia punktu O. Fakt ten można powiązać z rzutowym pojęciem dwustosunku, rozważając nie dwa punkty A, B, lecz cztery punkty A, B, C, Dna okręgu. Cztery proste a, b, c, d łączące te punkty z piątym punktem O okręgu mają dwustosunek (abcd), który zależy tylko ód kątów opartych na łukach CA, CB, DA, DB. Jeże li połączymy punkty A, B, C, Dz innym punktem O' okręgu, to otrzymamy cztery proste a', b', c', d'. Z wymienionej przed chwilą własności okręgu wynika, że te dwie czwórki prostych będą „przystające". 1 Będą one więc miały ten sam dwustoMówimy, że pewna czwórka prostych n, b, c, d, przecinających się w jednym punkcie, jest l'rzystnjqcn do innej czwórki n', b', c', d', jeżeli kąty pomiędzy każdą parą prostych pierwszej czwórki są równe i mają ten sam zwrot, co kąty pomiędzy odpowiednimi prostymi drugiej czwórki. 1
Rys. 95. Kule Dandelina
206
TV. Geometria rzutowa. Aksjomatyka. Geometrie nieeuklidesowe
sunek: (a'b'c'd') = (abcd). Jeżeli teraz rzutując okrąg otrzymamy jakąś stożkową K, to otrzymamy na K cztery punkty, które znów oznaczymy przez A, B, C, D, dwa inne punkty O, O' i dwie czwórki prostych a, b, c, d oraz a', b', c', d'. Czwórki te nie będą przystające, ponieważ rzutowanie nie zachowuje na ogół równości kątów. Ponieważ jednak dwustosunek pozostaje niezmienny przy rzutowaniu, zatem równość (abcd) = (a'b'c'd} będzie w dalszym ciągu spełniona. Prowadzi to do podstawowego twierdzenia: Jeżeli dowolne cztery punkty stożkowej K połączymy z piątym punktem O leżącym na K prostymi a, b, c, d, to wartość dwustosunku (abcd) nie zależy od poło żenia punktu O na stożkowej K (rys. 97).
§ 8. Stożkowe i kwadryki
il
207
ta jest oczywiście dwoista względem definicji odpowiedniości rzutowej pomiędzy punktami dwóch prostych, podanej na str. 184). Pęki, pomiędzy którymi została zdefiniowana odpowiedniość rzutowa, nazywamy pękami rzutowymi. Mając tę definicję możemy teraz stwierdzić: Stożkowa K jest to miejsce geometryczne przecięć odpowiadającyc/1 sobie prostych z dwóch pęków rzutowych. 1 Definicja ta otwiera kuszącą drogę w głąb teorii stożkowych; tutaj jednak ograniczymy się tylko do kilku uwag. Pary pęków rzutowych można otrzymać, jak następuje (rys. 98): Rzutujemy wszystkie punkty P prostej l z dwóch różnych środków O i O"; niech w pękach rzutujących odpowiadają sobie wzajemnie każde dwie proste a i a" przecinające się na prostej 1. Otrzymamy w ten sposób pęki rzutowe. Bierzemy teraz pęk O" i przenosimy go sztywnie do dowolnego położenia O'. Powstały w ten sposób pęk O' będzie pękiem rzutowym względem pęku O. Co więcej, każdą odpowiedniość rzutową pomiędzy dwoma pękami można otrzymać w ten sposób. (Fakt ten
~'
O"
'.>\1
).·I •I
I
J1
IlI
Rys. 96. Dwustosunki na
1· ~
l'\tlI
'!11'
!\,,
l•
I:
:\ 11·
l
'
1.,,
okręgu
Rys. 98.
Rys. 97. Dwustosunki na elipsie
Jest to istotnie wynik godny uwagi. Widzieliśmy już, że dowolne cztery dane punkty na prostej widziane z dowolnego punktu O dają zawsze ten sam dwustosunek. To jest podstawowym faktem geometrii rzutowej. Dowiadujemy się teraz, że to samo jest prawdziwe także dla czterech punktów położonych na stożkowej, z jednym ważnym ograniczeniem: piąty punkt nie może mieć dowolnego położe nia na płaszczyźnie, ale może się jeszcze poruszać po danej stożkowej. Nietrudno dowieść, że zachodzi odwrócenie tego wyniku w postaci następują cej: Jeżeli na krzywej K istnieją dwa punkty O, O' takie, że każda czwórka punktów A, B, C, D na krzywej K widziana zarówno z punktu O, jak też z punktu O' daje ten sam dwustosunek, to krzywa K jest stożkową (zatem punkty A, B, C, D widać z tym samym dwustosunkiem z dowolnego trzeciego punktu O" krzywej K). Dowód pomijamy. Rzutowe własności stożkowych nasuwają pewną ogólną metodę budowania tych krzywych. Pękiem prostych będziemy nazywali zbiór wszystkich prostych na płaszczyźnie, które przechodzą przez dany punkt O. Rozważmy teraz pęki przechodzące przez dwa punkty O i O', obrane na stożkowej K. Pomiędzy prostymi pęku O i prostymi pęku O' możemy ustalić odpowiedniość wzajemnie jednoznaczną przyporządkowując prostej a pęku O prostą a' pęku O' taką, że proste a i a' przecinają się w punkcie A stożkowej K. W takim razie dowolne cztery proste a, b, c, d pęku O będą miały ten sam dwustosunek co odpowiednie cztery proste a', b', c', d' pęku O'. Każdą odpowiedniość wzajemnie jednoznaczną pomiędzy dwoma pęka mi prostych, mającą tę własność, nazywamy odpowiedniością rzutową. (Definicja
Rys. 99.
Okrąg
Wstępna część
konstrukcji
pęków
rzutowych
i hiperbola równoboczna wyznaczona przez
pęki
rzutowe
jest dwoisty względem ćwiczenia 1 na str. 184). Jeżeli pęki O i O' są przystające, to otrzymujemy koło. Jeżeli kąty są równe, ale mają przeciwne kierunki, to stożko wa jest hiperbolą równoboczną (rys. 99). 1 To
miejsce geometryczne może się w pewnych warunkach zdegenerować do proslcj; patrz rys. 98.
208
TV. Geometria rzutowa. Aksjomatyka.
Geome~rie
nieeuklidesowe
Zauważymy, że wychodząc z tej definicji stożkowej możemy jako miejsce geometryczne otrzymać linię prostą, jak na rys. 98. W tym przypadku prosta OO" odpowiada sama sobie i wszystkie jej punkty należą do tego miejsca geometrycznego. Zatem stożkowa degeneruje się do pary prostych, co zgadza się z faktem, że istnieją przekroje stożkowe (płaszczyznami przechodzącymi przez wierzchołek stożka) złożone z dwóch prostych.
Ćwiczenia. 1. Narysować elipsy, hiperbole i parabole za pomocą pęków rzutowych. (Zaleca się czytelnikowi eksperymenty na takich konstrukcjach. Przyczynią się one wielce do zrozumienia zagadnienia). 2. Danych jest pięć punktów O, O', A, B, C nieznanej stożkowej K. Należy skonstruować punkt D, w którym dana prosta d przechodząca przez punkt O przecina stożkową K. WsKAzówKA. Rozważmy promienie OA, OB, OC przechodzące przez punkt O, które oznaczamy przez a, b, c, i podobnie promienie a', IJ', c' przechodzą ce przez punkt O'. Przez O prowadzimy promień d i budujemy promień rl' przechodzący przez O' i taki, że (abcd) = (n'b' c' d'). Punkt przecięcia się prostych d i d' jest wtedy punktem stożkowej K.
3. Stożkowe jako krzywe złożone z linii prostych. Pojęcie stycznej do stożkowej do l?eometrii rzutowej, ponieważ styczna do stożkowej jest to linia prosta, mająca ze stożkową tylko jeden punkt wspólny, a ta własność nie zmienia się przy rzutowaniu (rys. 100). Własności rzutowe stycznych do stożkowych opierają się na następującym podstawowym twierdzeniu: Dwustosunek punktów przecięcia dowolnych czterech ustalonych stycznych do danej stożkowej z piątą styczną jest ten sam, niezależnie od położenia piątej stycznej. Dowód tego twierdzenia jest bardzo prosty. Wobec tego, że stożkowa jest rzutem okrę gu, a twierdzenie dotyczy tylko takich własno ści, które nie zmieniają się przy rzutowaniu, dowód w przypadku okręgu wystarczy dla Rys. 100. Okrąg jako zbiór stycznych wykazania twierdzenia w całej ogólności. Dla okręgu twierdzenie jest sprawą geometrii elementarnej. Niech P, Q, R, S będą dowolnymi czterema punktami okręgu Ki niech proste a, b, c, d będą styczne do okręgu w tych punktach. Niech T będzie innym punktem okręgu, a prosta o styczną w tym punkcie, którą proste a, b, c, d przecinają odpowiednio w punktach A, B, C, D. Jeżeli M jest środkiem okręgu, to oczywiście, Ą'.TMA = 1/2Ą'.TMP, a kąt 1/2Ą'.TMP równy jest kątowi opartemu na łuku TP o wierzchołku na krzywej K. Podobnie Ą'.TMB jest równy kątowi opartemu na łuku TQ o wierzchołku na krzywej K. Zatem Ą:AMB=l/2 PQ, gdzie 1/2 PQ jest kątem opartym na łuku PQ i mają cym wierzchołek na krzywej K. Zatem punkty A, B, C, D są rzutowane z punktu M za pomocą czterech promieni, których kąty są wyznaczone przez ustalone położe nie punktów P, Q, R, S. Wynika stąd, że dwustosunek (ABCD) zależy tylko od czte-
§
8.
Stożkowe
i kwadryki
209
rech stycznych a, b, c, d, a nie zależy od szczególnego położenia stycznej o. Jest to właśnie twierdzenie, które mieliśmy udowodnić. Widzieliśmy w poprzednim punkcie, że można zbudować stożkową zaznaczając punkty przecięcia odpowiednich prostych w dwóch pękach rzutowych. 1Wierdzenie udowodnione przed chwilą pozwala na otrzymanie konstrukcji dwoistej. Bierzemy dwie styczne a i a' do stożkowej K. Trzecia styczna t przecina a i a' odpowiednio w punk: tach A i A'. Przesuwając styczną t po stożkowej otrzymujemy odpowiedniość:
AHA' pomiędzy
punktami prostych a i a'. Odpowiedniość ta jest rzutowa, bowiem na podstawie naszego twierdzenia dowolne cztery punkty prostej a mają ten sam dwustosunek, co odpowiednie cztery punkty prostej a'. Wynika stąd, że stożkowa K rozpatrywana jako zbiór jej stycznych składa się z prostych łączących odpowiednie punkty dwóch rzutowych rzędów punktów1 na prostych a i a'. o
należy
Rys. 101.
Własność
stycznych do
okręgu
Fakt ten może być wykorzystany do rzutowej definicji stożkowej jako „krzywej z prostych". Porównajmy ją z definicją rzutową stożkowej podaną w poprzednim dziale:
złożonej
I Stożkowa
jako zbiór punktów składa się z punktów przecięcia odpowiednich prostych z dwóch rzutowych pęków prostych.
II Stożkowa
jako zbiór prostych składa się z prostych łączących odpowiednie punkty z dwóch rzutowych rzędów punktów.
Jeżeli uważamy styczną
do stożkowej w pewnym punkcie za element dwoisty samego punktu i „krzywą złożoną z prostych" (zbiór wszystkich stycznych do stożkowej) za twór dwoisty względem „krzywej złożonej z punktów" (zbiór wszystkich jej punktów), to widoczna jest pełna dwoistość pomiędzy tymi dwiema wypowiedziami. Przy przechodzeniu od jednej wypowiedzi do drugiej zastę pujemy każdy termin przez odpowiedni termin dwoisty, natomiast słowo „stożkowzględem
1 Zbiór
punktów prostej nazywamy rzędem punktów. Jest to pojęcie dwoiste względem pęku prostych .
. '\,
"'.''
210
TV. Geometria rzutowa. Aksjomatyka. Geometrie nieeuklidesowe
wa" pozostaje to samo: w jednym przypadku jest to „stożkowa punktowa" wyznaczona przez swoje punkty; w drugim jest to „stożkowa prostych" wyznaczona przez swoje styczne (patrz rys. 100, str. 208).
§ 8. Stożkowe i kwadryki
211
Konstruowanie stożkowych jako krzywych wyznaczonych przez proste pokazane jest na rys. 103 i 104. Jeżeli w dwóch rzędach punktów rzutowych dwa punkty w nieskończoności odpowiadają sobie nawzajem Qak musi być w przypadku rzędów przystających lub podobnych1), stożkowa będzie parabolą.
Rys. 102. Rzutowe rzędy punktów na dwóch stycznych do elipsy
Z tego faktu wynika ważny wniosek, że zasada dwoistości w geometrii rzutowej płaszczyzny, ustalona pierwotnie tylko dla punktów i prostych, może być teraz rozszerzona również na stożkowe. Jeżeli w sformułowaniu jakiegokolwiek twierdzenia dotyczącego punktów, prostych i stożkowych zastąpimy każdy element przez element dwoisty (pamiętając, że elementem dwoistym punktu na stożkowej jest styczna do stożkowej), to wynik będzie również prawdziwym twierdzeniem. Przykład działania tej zasady znajdziemy w punkcie 4 tego paragrafu.
Rys. 104. Parabola wyznaczona przez podobne
rzędy
punktów
Ćwiczenie. Udowodnić twierdzenie odwrotne: na dowolnych dwóch ustalonych stycznych do paraboli styczna ruchoma wyznacza dwa podobne rzę dy punktów.
4. Ogólne twierdzenia Pascala i Brianchona dla stożkowych. Jedną z najlepszych ilustracji zasady dwoistości dla stożkowych jest zależność pomiędzy ogólnymi twierdzeniami Pascala i Brianchona. Pierwsze z nich zostało odkryte w 1640 roku, drugie dopiero w 1806 roku. Jednakże każde z nich jest natychmiastowym wnioskiem z drugiego, ponieważ każde twierdzenie dotyczące tylko stożkowych, prostych i punktów musi pozostać prawdziwe, gdy zastąpimy je przez odpowiednią wypowiedź dwoistą.
Twierdzenia podane w §5 pod tymi samymi nazwiskami są przypadkami zdegenerowanymi następujących, bardziej ogólnych twierdze{1: TWIERDZENIE PASCALA: Przeciwległe boki sześciokąta wpisanego w stożkową przecinają się w trzech punktach współliniowych. TWIERDZENIE BRIANCHONA: 1l-zy przekątne łączące przeciwległe wierzchołki sześciokąta opisanego na stożkowej przecinają się w jednym punkcie. Oba twierdzenia mają charakter wyraźnie rzutowy. Ich dwoista natura staje się oczywista, gdy sformułujemy je następująco: TWIERDZENIE PASCALA: Danych jest sześć punktów 1, 2, 3, 4, 5, 6 na stożkowej. Łączymy kolejne punkty za pomocą prostych (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1). Zaznaczamy Rys. 103. Parabola wyznaczona przez przystające rzędy punktów
t Oczywiste jest, co rozumiemy przez „podobieństwo" lub „przystawanie" dwóch rzędów punktów.
212
Tli. Geometria rzutowa. Aksjomatyka. Geomefrie nieeuklidesowe
Rys. 105. Ogólna konfiguracja Pascala. Przedstawione są dwa przypadki: jeden dla a drugi dla sześciokąta 135264
§ 8. Stożkowe i kwadryki
sześciokąta 123456,
punkty przecięcia się prostych (1, 2) i (4, 5), (2, 3) i (5, 6), (3, 4) i (6, 1). Te punkty przecięcia na jednej prostej (rys. 105). TWIERDZENIE BRIANCHONA: Danych jest sześć stycznych 1, 2, 3, 4, 5, 6 do stożkowej. Kolejne styczne przecinają się w punktach (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6) i (6, 1). Prowadzimy proste łączące punkty (1, 2) i (4, 5), (2, 3) i (5, 6), (3, 4) i (6, 1). Te proste przecinają się w jednym punkcie (rys. 106). leżą
Dowody można przeprowadzić przez sprowadzenie do pewnego przypadku szczególnego, podobnie jak to zrobiliśmy w przypadku degeneracji. Dla udowodnienia twierdzenia Pascala oznaczamy przez A, B, C, D, E, F wierzchołki sześcio kąta wpisanego w stożkową K. Przez rzutowanie możemy doprowadzić do tego, żeby prosta AB była równoległa do prostej ED i prosta FA równoległa do prostej CD, otrzymując konfigurację z rys. 107. (Dla dogodności w rysowaniu przyjęto, że boki sześciokąta przecinają się, co jednak nie jest konieczne). Twierdzenie Pascala sprowadza się teraz do prostej wypowiedzi, że CB jest równoległe do FE; innymi słowami, prostą, na której przecinają się przeciwległe boki sześciokąta, jest prosta w nieskończoności. Aby to udowodnić, rozważmy punkty F, A, B, D, które, jak wiemy, są rzutowane za pomocą prostych, mających stały dwustosunek k, wychodzą cych z pewnego innego punktu stożkowej K, np. z punktu Club E. Rzutujemy te
Rys. 107. Dowód twierdzenia Pascala
213
214
IV. Geometria rzutowa. Aksjomatyka. Geomet,rie nieeuklidesowe
punkty z punktu C; w takim razie promienie rzutujące punktach F, A, Y, oo mających dwustosunek le. Stąd
przecinają AF
w czterech
YF: YA =le
§
9. Aksjomatyka. Geometria nieeuklidesowa
215
zawsze proste 11, 12, 13, przy czym zakreśla pewną powierzchnię rozciągającą się w nieskoóczoność. Powierzchnia ta jest hiperboloidą jednopowłokową; zawiera ona rodzinę złożoną z nieskol1czenie wielu prostych mających własności prostej m. Dowolne trzy spośród tych prostych również są w położeniu ogólnym, a wszystkie
(patrz str. 190). Jeżeli teraz rzutujemy te same punkty z E na BA, to otrzymujemy
le= (XABoo) = BX: BA. Mamy stąd BX: BA = YF: YA,
co dowodzi równoległości YB i FX. Dopełnia to dowodu twierdzenia Pascala. Twierdzenie Brianchona wynika bądź z zasady dwoistości, bądź też z bezpośredniego rozumowania, dwoistego do przeprowadzonego dowodu. Wypracowanie szczegółów tego dowodu będzie dobrym ćwiczeniem dla czytelnika. 5. Hiperboloida. Trójwymiarowe figury odpowiadające stożkowym na płasz nazywane są kwadrykami; kula i elipsoida są szczególnymi przypadkami kwadryk. Powierzchnie te są bardziej różnorodne i badanie ich przedstawia znacznie więcej trudności niż badanie stożkowych. W tym miejscu omówimy pokrótce i bez podawania dowodów jedną z bardziej interesujących kwadryk, mianowicie czyźnie
hiperboloidę jednopowłokową. Powierichnię tę możemy zdefiniować
w sposób następujący: Obieramy dowolne trzy proste 11, 12 , 13 w przestrzeni w położeniu ogólnym (rys. 108). Rozumiemy przez to, że żadne dwie spośród tych prostych nie leżą na tej samej płaszczyźRys. 109. Hiperboloida jednopowlokowa
proste w przestrzeni, które przecinają te trzy proste, również leżą na powierzchni hiperboloidy. Jest to podstawowy fakt dotyczący hiperboloidy: składa się ona z dwóch różnych rndzin prnstych; każde trzy proste należące do tej samej rodziny są w położeniu ogólnym, natomiast każda prosta jednej rodziny przecina wszystkie proste drugiej. Ważną własnością rzutową hiperboloidy jest to, że dwustosunek czterech punktów, w których dowolne cztery proste należące do tej samej rodziny przecinają daną prostą z drugiej rodziny, nie zależy od położenia tej ostatniej prostej. Wynika to bezpośrednio z metody konstruowania hiperboloidy za pomocą obracającej się płaszczyzny, co czytelnik zechce udowodnić jako ćwiczenie. Jedną z najciekawszych własności hiperboloidy jest to, że chociaż zawiera ona dwie rodziny przecinających się prostych, to jednak te proste nie czynią powierzchni sztywnej. Model powierzchni z prętów drucianych, które mogą się obracać dokoła punktów przecięcia, można odkształcać w sposób ciągły nadając powierzchni rozmaite postacie. Rys. 108. Konstrukcja prostych przecinających trzy ustalone proste w polozeniu ogólnym
I r L
i
I'I
nie, ani też nie są one wszystkie równoległe do jednej płaszczyzny. Faktem raczej niespodziewanym jest to, że jest w przestrzeni niesko11czenie wiele prostych, z których każda przecina wszystkie trzy dane proste. Aby to wykazać, przeprowadzamy przez prostą 11 dowolną płaszczyznę :n:. Płaszczyzna :n: przecina proste 12 i 13 w dwóch punktach, a prosta m łącząca te dwa punkty przecina proste Il' 12 i13• Gdy płaszczyzna ;n; obraca się dokoła ll' prosta m zmienia swoje położenie przecinając
§ 9. Aksjomatyka. Geometria nieeuklidesowa 1. Metoda aksjomatyczna. Stosowanie metody aksjomatycznej w matematyce sięga co najmniej czasów Euklidesa. Absolutnie nie jest prawdą, jakoby matematyka grecka rozwijała się i była wykładana wyłącznie w sztywnej, aksjomatycznej formie jak w Elementach. Ale wrażenie, jakie wywarło to dzieło na dalszych pokole-
216
TV. Geometria rzutowa. Aksjomatyka. Geometrie nieeuklidesowe
niach, było tak wielkie, że stało się ono wzorem wszystkich ścisłych dowodów w matematyce. Czasami nawet filozofowie, np. Spinoza w swojej pracy Ethica, mare geometrico demonstrata, usiłowali przedstawić swoje rozumowanie w postaci twierdzeń wyprowadzonych z definicji i aksjomatów. W matematyce współczesnej, po odejściu od tradycji euklidesowej w XVI! i XVIII wieku, nastąpiło coraz większe przenikanie metody aksjomatycznej do wszystkich dziedzin. Jednym z najnowszych wyników było powstanie nowej dyscypliny- logiki matematycznej. W sposób ogólny można scharakteryzować aksjomatyczny punkt widzenia następująco: Udowodnienie twierdzenia w systemie dedukcyjnym jest to wykazanie, że twierdzenie to jest koniecznym wnioskiem logicznym z pewnych udowodnionych uprzednio zdań; te z kolei same muszą być udowodnione i tak dalej. Przeprowadzenie dowodu matematycznego byłoby więc zadaniem nie kończącego się cofania, niemożliwym do przeprowadzenia, chyba że przy tym cofaniu będzie nam wolno zatrzymać się w pewnym miejscu. Musi więc istnieć pewna ilość zdań, nazywanych postulatami albo aksjomatami, które przyjmujemy za prawdziwe i dla których nie wymaga się dowodu. Z nich możemy próbować wyprowadzić wszystkie inne twierdzenia przez czysto logiczne rozumowanie. Jeżeli fakty pewnej dziedziny nauki są ułożone w takiej kolejności logicznej, że można wykazać, że wszystkie one wynikają z pewnych wybranych (możliwie niewielu, prostych i oczywistych) zdań, to mówimy, że dziedzina ta została przedstawiona w postaci aksjomatycznej. Wybór zdań przyjętych za aksjomaty jest w dużym stopniu dowolny. Ale mało jest korzyści z metody aksjomatycznej, jeżeli postulaty nie są proste i jest ich zbyt wiele. Ponadto postulaty muszą być niesprzeczne w tym znaczeniu, że żadne dwa twierdzenia, które można z nich wyprowadzić, nie mogą być wzajemnie ze sobą sprzeczne; postulaty muszą być również zupełne, tj. takie, żeby każde twierdzenie systemu dało się z nich wyprowadzić. Dla oszczędności jest też pożądane, żeby postulaty były niezależne w tym znaczeniu, że żaden z nich nie powinien być logicznym wnioskiem z pozostałych. Sprawa sprzeczności i zupełności zespołu aksjomatów była przedmiotem wielu dyskusji. Różne poglądy filozoficzne dotyczące pierwotnych źródeł wiedzy ludzkiej doprowadziły do różnych poglądów na podstawy matematyki, w sposób oczywisty nie dających się pogodzić. Jeżeli uważa się twory matematyki za przedmioty pozostające w dziedzinie „czystej intuicji", niezależne od definicji i poszczególnych czynności umysłu ludzkiego, to nie może być oczywiście sprzeczności, ponieważ, obiektywnie biorąc, fakty matematyczne są zdaniami prawdziwymi opisującymi istniejące realia. Z tego „kantowskiego" punktu widzenia nie istnieje zagadnienie niesprzeczności. Na nieszczęście jednak nie można dopasować całej treści matematyki do tak prostego schematu filozoficznego. Współcześni intuicjoniści matematyczni nie mają zaufania do czystej intuicji w szerokim kantowskim znaczeniu. Przyjmują oni nieskończoność przeliczalną za prawowite dziecko intuicji i dopuszczają tylko własności konsh·uktywne; wówczas jednak trzeba skazać na wygnanie takie podstawowe pojęcie jak continuum liczbowe, usunąć poważną część istnieją cej obecnie matematyki, przy czym reszta komplikuje się niemal beznadziejnie. Zupełnie inny jest pogląd przyjęty przez „formalistów". Nie przypisują oni tworom matematycznym intuicyjnej realności ani też nie żądają, aby aksjomaty wyraża ły oczywiste prawdy dotyczące rzeczywistości czystej intuicji; zajmują się tylko formalno-logiczną procedurą rozumowania w oparciu o postulaty. Stanowisko to ma
§ 9. Aksjomatyka. Geometria nieeuklidesowa wyraźną przewagę
217
nad intuicjonizmem, ponieważ zapewnia matematyce całą swodo jej teorii i zastosowań. Zmusza ono jednak formalistów do udowodnienia, że ich aksjomaty, pojawiające się teraz jako dowolne twory umysłu ludzkiego, nie mogą w żadnym razie doprowadzić do sprzeczności. W ciągu ostatnich dwudziestu lat poczyniono wielkie wysiłki dla znalezienia takich dowodów niesprzeczności, przynajmniej dla aksjomatów arytmetyki i algebry oraz dla pojęcia continuum liczbowego. Wyniki są bardzo ważne, ale stale jest jeszcze daleko do celu. Nowsze wyniki wskazują w istocie, że wysiłki takie nie mogą być w pełni uwieńczo ne sukcesem w tym znaczeniu, że dowody niesprzeczności i zupełności nie są moż liwe w obrębie ściśle zamkniętych układów pojęć. Co ciekawsze, wszystkie te rozumowania dotyczące podstaw matematyki posługują się metodami, które same są całkowicie konstruktywne i kierują się intuicyjnymi schematami. Spór pomiędzy intuicjonistami i formalistami, pogłębiony przez paradoksy te.arii mnogości (patrz sh'. 101), był wielokrotnie poruszany w publikacjach przez zacr~ tych zwolenników tych szkół. Świat matematyczny huczał od krzyku o „kryzysie podstaw matematyki". Jednakże ten alarrr; nie był i nie powinien b~ć, b:a~y zbyt poważnie. Przy całym uznaniu dla osiągnięc uzyskanych w walce o ~YJasmeme pod: staw zupełnie nieusprawiedliwiony byłby wniosek, że żywy orgamzm matematyki jest w jakikolwiek sposób zagrożony przez takie różnice zdai1 lub przez paradoksy, nieodłączne od niekonh'olowanego dążenia do nieograniczonej ogólności. Całkiem niezależnie od względów natury filozoficznej i zainteresowania podstawami, podejście aksjomatyczne do zagadnienia matematycznego jest naturalną drogą do rozwikłania sieci współzależności pomiędzy różnymi faktami i do uwydatnienia zasadniczego szkieletu logicznego struktury. Zdarza się czasami, że takie koncentrowanie uwagi raczej na strukturze formalnej niż na intuicyjnym znaczeniu pojęć ułatwia wykrycie uogólnień i zastosowań, które może zostałyby przeoczone przy bardziej intuicyjnym podejściu. Jednakże przez postępowanie wyłącznie aksjomatyczne rzadko dochodzi się do istotnego odkrycia lub do lepszego wyjaśnienia. Myślenie konstruktywne kierowane przez intuicję jest prawdziwym źródłem dynamiki w matematyce. Chociaż postać aksjomatyczna jest ideałem, niebezpiecznym złudzeniem jest pogląd, że aksjomatyka stanowi istotę matematyki. Konstruktywna intuicja matematyka wnosi do matematyki element niededukcyjny i irracjonalny, który powoduje, że można ją porównać z muzyką i sztuką. Od czasów Euklidesa geometria była prototypem dyscypliny zaksjomatyzowanej. W ciągu wielu wieków zespół aksjomatów Euklidesa był przedmiotem wnikliwych badań. Ale dopiero niedawno stało się oczywiste, że jego postulaty muszą być zmienione i uzupełnione, jeżeli chcemy, żeby można było wyprowadzić z nich całą geometrię elementarną. Tak np. w końcu XIX wieku Pasch odkrył, że uporząd kowanie punktów na prostej, tj. pojęcie „leżenia między", wymaga specjalnego postulatu. Pasch sformułował następujące zdanie jako aksjomat: Prosta przecinają ca bok trójkąta w dowolnym punkcie różnym od wierzchołka przecina również inny bok tego trójkąta. (Nieuwzględnienie takich szczegółów prowadzi do wielu pozornych paradoksów, w których wydaje się, że z aksjomatów Euklidesa wynikają w sposób ścisły niedorzeczne wnioski, jak np. znany dobrze „dowód", że każdy trójkąt jest równoramienny. Robi się to zwykle na podstawie niewłaściwie narysowanej figury, w której proste zdają się przecinać wewnątrz lub na zewnątrz pewbodę poh'zebną
\'l''
218
:11
f
~
~
11
L k,
I <:
li
TV. Geometria rzutowa. Aksjomatyka.
Geom~lrie
nieeuklidesowe
nych trójkątów lub kół, podczas gdy w rzeczywistości tak nie jest). W książce Grundlagen der Geometrie (pierwsze wydanie w 1901 roku) Hilbert dał zadowalający zespół aksjomatów geometrii i jednocześnie przeprowadził wyczerpujące badanie ich wzajemnej niezależności, niesprzeczności i zupełności. Do każdego zespołu aksjomatów muszą wchodzić pewne terminy niedefiniowane, takie jak „punkt" i „prosta" w geometrii. Ich „znaczenie", czyli związek z przedmiotami świata fizycznego, jest z punktu widzenia matematyki nieistotny. Można je uważać za twory całkowicie abstrakcyjne, których własności matematyczne w systemie dedukcyjnym są dane wyłącznie przez związki istniejące między nimi, ustalone w aksjomatach. Na przykład w geometrii rzutowej moglibyśmy zacząć od niezdefiniowanych terminów „punkt", „prosta" i „incydencja" oraz od dwóch dwoistych aksjomatów: „Każde dwa różne punkty są incydentne z jedną jedyną prostą" i „każ de dwie różne proste są incydentne z jednym jedynym punktem". Z punktu widzenia aksjomatyki dwoista postać takich aksjomatów jest właśnie źródłem zasady dwoistości w geometrii rzutowej. Każdemu twierdzeniu, które w swoim sformułowaniu i dowodzie zawiera tylko elementy powiązane aksjomatami dwoistymi, musi odpowiadać twierdzenie względem niego dwoiste. Dowód bowiem pierwotnego twierdzenia polega na kolejnym stosowaniu pewnych aksjomatów, zatem stosowanie aksjomatów dwoistych w tej samej kolejności da dowód twierdzenia dwoistego. Ogół aksjomatów geometrii daje niejawne definicje wszystkich niedefiniowanych term!nów geometrycznych, jak „prosta", „punkt", „incydentny" itd. Dla zastosowań ważne jest, żeby pojęcia i aksjomaty geometrii odpowiadały dobrze sprawdzalnym fizycznie stwierdzeniem dotyczącym przedmiotów „rzeczywistych", dotykalnych. Rzeczywistość fizyczna kryjąca się poza pojęciem „punktu" jest to bardzo mały przedmiot, taki jak kropka narysowana ołówkiem, natomiast „linia prosta" jest to abstrakcja naciągniętej nici lub promienia świetlnego. Doświadczenie stwierdza, że własności tych fizycznych punktów i prostych zgadzają się lepiej lub gorzej z formalnymi aksjomatami geometrii. Zrozumiałe jest, że doświadczenia bardziej precyzyjne mogłyby sprowadzić potrzebę modyfikacji tych aksjomatów, jeżeli mają one opisywać zjawiska fizyczne w sposób właściwy. Gdyby jednak aksjomaty formalne nie zgadzały się mniej więcej z własnościami przedmiotów fizycznych, to geometria nie miałaby większego znaczenia. Tak więc, nawet dla formalistów, istnieje autorytet inny niż umysł ludzki, a który stanowi o kierunku myśli matematycznej. 2. Hiperboliczna geometria nieeuklidesowa. Między aksjomatami geometrii euklidesowej jest jeden taki, którego „prawdziwość", czyli związek z wiadomościami empirycznymi o rozciągniętych niciach lub promieniach świetlnych, nie jest wcale oczywisty. Jest to słynny postulat jedynej równoległej, który stwierdza, że przez dowolny punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić jedną i tylko jedną prostą równoległą do tej prostej danej. Ciekawą cechą tego aksjomatu jest to, że mówi o całej rozciągłości linii prostej, którą wyobrażamy sobie jako rozciągającą się w nieskoń czoność w obie strony; jeżeli bowiem mówimy, że dwie proste są równoległe, to mówimy tym samym, że one nigdy się nie przetną, jakkolwiek daleko byśmy je przedłużali. Jest rzeczą oczywistą, że istnieje wiele prostych przechodzących przez dany punkt, które nie przecinają danej prostej w obrębie pewnej ustalonej odległości, dowolnie wielkiej. Wobec tego, że maksymalna długość rzeczywistej linijki,
§ 9. Aksjotnatyka. Geometria nieeuklidesowa
219
nici lub nawet promienia świetlnego widzialnego w teleskopie jest z pewnością sko11czona, oraz wobec tego, że w obrębie dowolnego sko6czonego koła jest nieskończenie wiele prostych przechodzących przez dany punkt i nie przecinających danej prostej wewnątrz koła, jest oczywiste, że sam aksjomat o równoległej nigdy nie może być sprawdzony za pomocą doświadczenia. Wszystkie pozostałe aksjomaty geometrii euklidesowej mają charakter finitystyczny, ponieważ dotyczą one skof1czonych części linii prostych i figur płaskich o skończonych rozmiarach. Fakt, że aksjomat o równoległych nie jest sprawdzalny przez doświadczenie, nasuwa pytanie, czy jest on, czy też nie jest niezależny od pozostałych aksjomatów. Gdyby był koniecznym wnioskiem logicznym z pozostałych, to można by go skreślić jako aksjomat i podać jego dowód oparty na pozostałych aksjomatach Euklidesa. Przez wiele wieków matematycy usiłowali znaleźć taki dowód ze względu na rozpowszechnione wyczucie, że postulat o równoległych ma charakter zasadniczo inny niż pozostałe postulaty, ponieważ nie miał on tej narzucającej się oczywistości, którą powinien mieć aksjomat geometrii. Jednej z najnowocześniejszych prób tego rodzaju dokonał Proklos (IV wiek n.e.), komentator Euklidesa. Usiłował on obejść się bez specjalnego postulatu o równoległych, definiując równoległą do danej prostej jako miejsce geometryczne wszystkich punktów o ustalonej odległości od tej prostej. Proklos nie dostrzegł przy tym, że trudność przesunęła się tylko na inne miejsce, trzeba by bowiem koniecznie dowieść, że miejsce geometryczne takich punktów jest istotnie linią prostą. Ponieważ Pro kl os nie potrafił tego udowodnić, musiałby przyjąć to twierdzenie za aksjomat zamiast postulatu o równoległych, i nie byłoby żadnej korzyści, gdyż łatwo zauważyć, że te oba zdania są równoważne. Jezuita Saccheri (1667-1733), a później Lambert (1728-1777) usiłowali udowodnić postulat o równoległych w sposób pośredni, zakładając jego zaprzeczenie i wyciąga jąc absurdalne wnioski. Wnioski ich nie były jednak wcale absurdalne, lecz były to twierdzenia geometrii nieeuklidesowej, która została stworzona później. Gdyby uznali oni te twierdzenia nie za absurdalne, lecz za zdania niesprzeczne, staliby się odkrywcami geometrii nieeuklidesowej. W owym czasie jakikolwiek system geometryczny, który nie byłby całkowicie zgodny z systemem Euklidesa, zostałby uznany za jawny nonsens. Kant, najbardziej wpływowy filozof tego okresu, sformułował ten pogląd mówiąc, że aksjomaty Euklidesa tkwią w umyśle ludzkim i wobec tego są obiektywnie prawdziwe dla „rzeczywistej" przestrzeni. Ta wiara w aksjomaty geometrii euklidesowej jako prawdy niezmienne istniejące w dziedzinie czystej intuicji była jedną z podstawowych zasad filozofii Kanta. Ale po pewnym czasie ani dawne nawyki myślowe, ani autorytety filozoficzne nie zdołały stłumić przekonania, że nie kończący się ła6cuch niepowodzef1 przy poszukiwaniu dowodu postulatu o równoległych był spowodowany nie brakiem pomysłowości, ale raczej tym, że postulat o równoległych jest istotnie niezależny od pozostałych. (Zupełnie podobnie bezskuteczne poszukiwanie dowodu, że ogólne równanie stopnia piątego daje się rozwiązać za pomocą pierwiastków, doprowadziło do przypuszczenia, które później okazało się prawdziwe, że rozwiązanie takie jest niemożliwe). Węgier Bolyai (1802-1860) i Rosjanin Łobaczewski (1793-1856) rozstrzygnęli to zagadnienie, zbudowawszy ze wszystkimi szczegółami geometrię, w której aksjomat o równoległych nie jest prawdziwy. Gdy młody genialny entuzjasta Bolyai przedstawił swoją pracę Gaussowi „księciu
rJ
I
220
§
IV. Geometria rzutowa. Aksjomatyka. Geome.trie nieeuklidesowe
matematyków", to zamiast upragnionego uznania otrzymał informację, że uprzedził go w jego odkryciu sam Gauss, który nie ogłosił jednak swoich wyników obawiając się wywołania hałaśliwej polemiki. Co oznacza niezależność postulatu o równoległych? Oznacza po prostu to, że można zbudować niesprzeczny układ twierdzeń „geometrycznych" dotyczących punktów, prostych itd. przez wnioskowanie z pewnego zespołu aksjomatów, w którym aksjomat o równoległych został zastąpiony zaprzeczeniem tego postulatu. Układ taki nazywa się geometrią nieeuklidesową. Potrzebna była odwaga myślowa Gaussa, Bolyaia i Łobaczewskiego, aby uznać, że geometria taka, oparta na nieeuklidesowym zespole aksjomatów, może być w zupełności niesprzeczna. Dla okazania niesprzeczności nowej geomeh·ii nie wystarcza wyprowadzenie wielkiej ilości twierdzeń nieeuklidesowych, jak to zrobili Bolyai i Łobaczewski. Natomiast można budować „modele" takiej geometrii, spełniające wszystkie aksjomaty Euklidesa z wyjątkiem aksjomatu o równoległych. Najprostszy taki model podał Feliks Klein, którego prace w tej dziedzinie pozostawały pod wpływem pomysłów geometry angielskiego Cayleya (1821-1895). W modelu tym można narysować nieskończe nie wiele „prostych równoległych" do danej prostej przechodzących przez punkt nie leżący na tej prostej. Geometrię taką nazywamy geometrią Bolyaia-Łobaczewslciego lub „hiperboliczną". (Uzasadnienie tej ostatniej nazwy znajdziemy na sh: 225-226). Model Kleina powstaje z rozpatrzenia najpierw pewnych obiektów zwykłej geometrii,euklidesowej i z następującego po tym przemianowania niektórych terminów i związków pomiędzy nimi w taki sposób, że powstaje geometria nieeuklidesowa. Geometria ta eo ipso musi być tak samo niesprzeczna, jak pierwotna geometria euklidesowa, jeżeli bowiem spojrzymy na nią z innego punktu widzenia i sformułujemy ją innymi słowami, to okaże się zbiorem zdań ze zwyczajnej geometrii euklidesowej. Model ten można łatwo zrozumieć znając niektóre pojęcia geometrii rzutowej. Jeżeli poddamy płaszczyznę przekształceniu rzutowemu na inną płaszczyznę, albo raczej na samą siebie (przez doprowadzenie do pokrycia się płaszczyzny obrazu z płasz czyzną pierwotną), to na ogół okrąg przekształci się na stożkową. Można jednak łatwo wykazać (dowód pomijamy), że istnieje nieskoi1czenie wiele przekształceń płaszczy zny na samą siebie takich, że dany okrąg i jego wnętrze przechodzi samo w siebie. Przy takim przekształceniu punkty wnętrza lub brzegu znajdą się na ogół w innych położe niach, pozostając jednak we wnętrzu albo na obwodzie koła. (Można istotnie przesunąć środek koła do dowolnego innego punktu wewnęh·znego). Rozważmy ogół takich przekształceń. Z pewnością nie pozostawią one postaci figur bez zmiany, nie są zatem przesunięciami sztywnymi w zwykłym znaczeniu. Teraz jednak podejmujemy decydujący krok polegający na nazwaniu ich przemieszczeniami nieeuklidesowymi w geometrii, którą mamy zbudować. Za pomocą tych przemieszczefl potrafimy zdefiniować przystawanie; dwie figury nazywamy przystającymi, jeżeli istnieje przemieszczenie nieeuklidesowe przekształcające jedną w drugą. Kleinowski model geometrii hiperbolicznej jest następujący: „płaszczyzna" składa się wyłącznie z punktów wewnętrznych koła; punkty zewnętrzne pomija się. Każdy punkt wewnątrz koła nazywamy „punktem" nieeuklidesowym; każdą cięciwę koła nazywamy nieeuklidesową „prostą"; „przemieszczenie" i „przystawanie" definiujemy jak wyżej; łączenie „punktów" prostymi i wyznaczanie punktu przecięcia „pro-
9. Aksjomatyka. Geometria nieeuklidesowa
221
stych" w znaczeniu nieeuklidesowym pozostaje takie samo, jak w geometrii euklidesowej. Łatwo wykazać, że nowy układ spełnia wszystkie postulaty geometrii euklidesowej z wyjątkiem jedynie postulatu o równoległych. To, że postulat o równoległych nie jest prawdziwy w nowym układzie, wynika stąd, że przez dowolny „punkt" nie leżący na danej „prostej" można poprowadzić nieskoilczenie wiele „prostych" nie mających wspólnego „punktu" z daną „prostą" (rys. 110). Pierwsza „prosta" jest euklidesową cięciwą kola, natomiast druga „prosta" może być dowolną cięciwą przechodzącą przez dany „punkt" i nie przecinającą pierwszej „prostej" we wnętrzu koła. Ten prosty model wystarcza w zupełności dla rozstrzygnięcia podstawowego zagadnienia, które dało początek geometrii nieeuklidesowej; dowodzi on, że postulat o równoległych nie daje się wyprowadzić z pozostałych postulatów geometrii euklidesowej. Gdyby bowiem mógł być w ten sposób wyprowadzony, to byłby twierdzeniem prawdziwym w geometrii modelu Kleina, a widzieliśmy, że tak nie jest. Rys. 110. Nieeuklidesowy model Kleina Mówiąc ściśle, dowód ten jest oparty na założeniu, że geometria modelu Kleina jest niesprzeczna, tak że nie można w niej udowodnić zarazem pewnego twierdzenia i jego zaprzeczenia. Jednak geometria modelu Kleina jest z pewnością tak samo niesprzeczna, jak zwykła geometria euklidesowa, ponieważ zdania dotyczące „punktów", „prostych" itd. w modelu Kleina są to tylko inne sposoby sformułowania pewnych twierdze(1 geometrii euklidesowej. Nie ma zadowalającego dowodu niesprzeczności aksjomatów geometrii euklidesowej, a jedynie odwołanie się do pojęć geometrii analitycznej, a zatem ostatecznie do continuum liczbowego, którego niesprzeczność znowu jest zagadnieniem otwartym.
* Chcielibyśmy tutaj
podać pewien szczegół wykraczający poza bezpośrednio nas zagadnienie, a mianowicie sposób definiowania „odległości" nieeuklidesowej w modelu Kleina. Żądamy, żeby ta odległość była niezmienna przy dowolnym „przemieszczeniu" nieeuklidesowym; przemieszczenie powinno bowiem pozostawiać odległości bez zmiany. Wiemy, że dwustosunki nie zmieniają się przy rzutowaniu. Dwustosunek, w którym występują dwa dowolne punkty Pi Q położo ne we wnętrzu koła, nasuwa się natychmiast, gdy przedłużymy odcinek PQ aż do przecięcia się z okręgiem w punktach O i S (rys. 111). Dwustosunek (OSQP) tych czterech punktów jest liczbą (dodatnią), o której można by przypuszczać, że . ~adawałaby się jako definicja „odległości" PQ pomiędzy punktami P i Q. Należy Jednak zmodyfikować nieco tę definicję, aby uczynić ją ~ydatną. Jeżeli bowiem trzy punkty P, Q, R leżą na jednej prostej, to powinno być PQ + QR = PR. Jednakże na ogół jest interesujące
(OSQP) + (OSRQ) ;e (OSRP),
222
TV. Geometria rzutowa. Aksjomatyka. Geometrie nieeuklidesowe I
natomiast zachodzi związek (OSQP) (OSRQ) = (OSRP),
(1)
co wynika z równości QO!QS RO/RS (OSQP)(OSRQ)= POI PS. QO/QS
RO/RS PO/PS
(OSRP).
(1) możemy dać zadowalającą definicję odległości addytywnej, mierzyli „odległość" nie wartością samego dwustosunku, ale logarytmem dwustosunku:
Wobec
równości
jeżeli będziemy
PQ = nieeuklidesowa odległość od P do Q = log (OSQP).
s
Odległość ta jest liczbą dodatnią, ponieważ (OSQP) > 1, gdy P ~ Q. Wobec podstawowej własności logarytmu (patrz str. 411) wnosimy z (1), że PQ + QR = PR. Zasada logarytmu nie ma znaczenia, ponieważ zmiana zasady zmienia tylko jednostkę długości. Zaznaczymy, że gdy jeden z punktów, np. Q, zbliża się do obwodu koła, to odległość nieeuklidesowa PQ wzrasta do nieskończoności. Wynika stąd, że prosta w naszej geometrii nieeuklidesowej ma nieskończoną długość nieeuklidesową, chociaż
Rys. 111. Nieeuklidesowa
odległość
w zwyczajnym euklidesowym znaczeniu jest to tylko skończony odcinek prostej.
3. Geometria a rzeczywistość. Model Kleina pokazuje, że geometria hiperboliczna, rozpatrywana jako formalny system dedukcyjny, jest tak samo niesprzeczna, jak klasyczna geometria euklidesowa. Powstaje zatem pytanie, która z tych dwóch ma przewagę jako opis geometrii świata fizycznego. Jak już widzieliśmy, doświadczenie nigdy nie może rozstrzygnąć, czy przez dany punkt przechodzi tylko jedna, czy też nieskończenie wiele prostych równoległych do danej prostej. Jednakże w geometrii euklidesowej suma kątów dowolnego trójkąta jest równa 180°, można natomiast okazać, że w geometrii hiperbolicznej suma ta jest mniejsza od 180°. W związku z tym Gauss przeprowadził doświadczenie, mające na celu rozstrzygnięcie tego zagadnienia. Zmierzył on dokładnie kąty w trójkącie utworzonym przez trzy dość odległe szczyty górskie i stwierdził, że suma kątów równała się 180° w granicach błędu doświadczenia. Gdyby wynik był dostrzegalnie mniejszy od 180°, to wynikałoby stąd, że geometria hiperboliczna lepiej nadaje się do opisu rzeczywistości fizycznej. Jednak, wobec tego co się stało, doświadczenie nie rozstrzygnęło niczego, ponieważ dla małych trójkątów, których boki mają zaledwie kilka mil odległości, odchylenie od 180° w geometrii hiperbolicznej mogło być tak nieznaczne, że nie dało się wykryć za pomocą instrumentów, którymi rozporządzał Gauss. Tak więc, chociaż doświadczenie nie było rozstrzygające, pokazało
§
9. Aksjomatyka. Geometria nieeuklidesowa
223
jednak, że geometrie euklidesowa i hiperboliczna, różniące się znacznie przy wielkiej skali, są tak zbliżone dla stosunkowo małych figur, że są doświadczalnie równoważne. Zatem, dopóki rozpatrujemy czysto lokalne własności przestrzeni, dopóty musimy przy wyborze jednej lub drugiej z tych geometrii kierować się jedynie prostotą i wygodą. Wobec tego, że operowanie systemem Euklidesa jest raczej ła twiejsze, mamy prawo posługiwać się wyłącznie nim tak długo, dopóki wchodzą w grę stosunkowo niewielkie odległości (rzędu kilku milionów mil!). Nie można jednak oczekiwać, że będzie on również nadawał się do opisu wszechświata jako całości, w jego największych rozmiarach. Sytuacja jest tutaj zupełnie analogiczna, jak w fizyce, gdzie systemy Newtona i Einsteina dają jednakowe wyniki dla małych odległości i prędkości, ale różnią się, gdy wchodzą w grę wielkości bardzo wysokiego rzędu. Rewolucyjne znaczenie odkrycia geometrii nieeuklidesowej polega na tym, że pogrzebała pogląd, uznający aksjomaty Euklidesa za nienaruszalny schemat matematyczny, w którym musi się mieścić nasza doświadczalna znajomość rzeczywistości fizycznej. 4. Model Poincarego. Matematykowi wolno rozważać „geometrię" zdefiniowaną przez dowolny zespół niesprzecznych aksjomatów o „punktach", ,,prostych" itd.; dociekania jego będą dla fizyków użyteczne tylko wtedy, jeżeli te aksjomaty odpowiadają fizycznemu zachowaniu się przedmiotów w świecie rzeczywistym. Z tego punktu widzenia chcielibyśmy zanalizować znaczenie zdania „światło rozchodzi się po linii prostej". Jeżeli uważamy to zdanie za definicję fizyczną „linii prostej", to należy wybrać aksjomaty geometrii w taki sposób, żeby odpowiadały zachowaniu się promieni świetlnych. Wyobraźmy sobie, za Poincarem, świat złożony z wnętrza koła Ci taki, że prędkość światła w każdym punkcie wewnątrz koła jest równa odległo ści tego punktu od obwodu. Można udowodnić, że wtedy promienie światła przybiorą postać łuków kół, prostopadłych na końcach do obwodu C (rys. 112). W takim świecie własności geometryczne „prostych" (zdefiniowanych jako promienie świetl ne) będą się różniły od euklidesowych własności linii prostych. W szczególności aksjomat o równoległych nie będzie prawdziwy, ponieważ przez dany punkt będzie przechodziło nieskończenie wiele „prostych" nie przecinających danej „prostej". Istolnie, „punkty" i „proste" w tym świecie będą miały dokładnie takie same własności geometryczne, jak „punkty" i „proste" modelu Kleina. Innymi słowy, mamy tu inny model geometrii hiperbolicznej. Ale geometria euklidesowa również będzie miała zastosowanie do tego świa ta; zamiast być nieeuklidesowymi „prostymi" promienie świetlne staną się okręgami euklidesowyRys. 112. Model nieeuklidesowy Poincarćgo mi prostopadłymi do obwodu C. Widzimy więc, że różne układy geometrii mogą opisywać tę samą rzeczywistość fizyczną, jeżeli tylko zwiążemy twory fizyczne (w tym przypadku promienie świetlne) z różnymi pojęciami w każdym z tych dwóch układów:
'p :''
224
111. Geometria rzutowa. Aksjomatyka. Geometrie nieeuklidesowe
promień świetlny--->
„prosta" - geometria hiperboliczna, „okrąg" - geometria euklidesowa. Wobec tego, że pojęcie prostej w geometrii euklidesowej odpowiada zachowaniu się promienia świetlnego w ośrodku jednorodnym, moglibyśmy powiedzieć, że geometria obszaru wewnątrz koła C jest hiperboliczna, rozumiejąc przez to tylko, że własności fizyczne promieni w tym świecie odpowiadają własnościom „prostych" w geometrii hiperbolicznej. promień świetlny
--->
5. Geometria eliptyczna, czyli riemannowska. W geometrii euklidesowej, tak samo jak w geometrii hiperbolicznej, czyli geometrii Bolyaia-Łobaczewskiego, przyjmujemy milczące założenie, że prosta jest nieskończona (nieskończona rozciągłość prostej jest związana w sposób istotny z pojęciem i aksjomatami „leżenia między"). Gdy jednak geometria hiperboliczna otworzyła drogę swobodzie w budowaniu geometrii, naturalne było pytanie, jakie można by zbudować geometrie nieeuklidesowe, w których linia prosta nie byłaby nieskończona, lecz skończona i zamknięta. W takiej geometrii należałoby, oczywiście, wyrzec się nie tylko postulatu o równoległych, ale również aksjomatów „leżenia między". Osiągnięcia współczesne wykazały wielkie znaczenie tych geometrii dla fizyki. Pierwszy rozważał je w swoim wykładzie inauguracyjnym w 1851 roku Riemann, obejmujący wtedy stanowisko bezpłatnego wykładowcy (Privat-Dozent) na uniwersytecie w Getyndze. Można zbudować geometrie z zamkniętymi i skończonymi liniami prostymi w sposób całkowicie niesprzeczny. Wyobraźmy sobie świat dwuwymiarowy złożony ze sfery S, w którym definiujemy „proste" jako wielkie koła na sferze. Byłby to najbardziej naturalny sposób opisu świata żeglarza, ponieważ łuki kół wielkich są to krzywe o najkrótszych długościach między dwoma punktami sfery, a to jest charakterystyczną własnością prostych na płaszczyźnie. W takim świecie każde dwie „proste" przecinają się tak, że z punktu nie leżącego na prostej nie można poprowadzić żadnej prostej równoległej (tzn. nie przecinającej) do danej prostej. Geometrię „linii prostych" w tym świecie nazywamy geometrią eliptyczną. W tej geometrii miarą odległości pomiędzy dwoma punktami jest po prostu odległość wzdłuż krótszego łuku koła wielkiego łączącego te punkty. Kąty mierzy się tak samo, jak w geometrii euklidesowej. Na ogół uważamy za charakterystyczne dla geometrii Rys. 113. „Linie proste" w geometrii eliptycznej to, że nie istnieje żadna prosta rówRiemanna noległa do prostej danej. Idąc za Riemannem możemy uogólnić tę geometrię w następujący sposób. Rozważmy świat złożony z powierzchni krzywej, niekoniecznie sfery, i zdefiniujemy „prostą" łączącą dowolne dwa punkty jako krzywą o najmniejszej długości, czyli linię geodezyjną łączącą te punkty. Punkty tej powierzchni można podzielić na dwie klasy: 1) punkty, w otoczeniu których powierzchnia jest podobna do sfery pod tym względem, że leży całkowicie po jednej stronie płaszczyzny stycznej w tym punkcie (rys. 114); 2) punkty, w otoczeniu których powierzchnia ma kształt siodła
§ 9.
Aksjomatyka. Geometria nieeuklidesowa
225
i leży po obu stronach płaszczyzny stycznej w tym punkcie (rys. 115). Punkty pierwszego rodzaju nazywamy punktami eliptycznymi powierzchni, jeżeli bowiem przesuniemy nieznacznie płaszczyznę styczną równolegle do położenia pierwotnego, to przetnie powierzchnię według krzywej eliptycznej; natomiast punkty drugiego rodzaju nazywamy pun/etami hiperbolicznymi powierzchni, jeżeli bowiem przesuniemy nieco płaszczyznę styczną do położenia równoległego, to przetnie powierzchnię wzdłuż krzywej przypominającej hiperbolę. Geometria „prostych" geodezyjnych w otoczeniu punktu powierzchni jest eliptyczna lub hiperboliczna w zależności od tego, czy punkt ten jest eliptyczny, czy hiperboliczny. W takim modelu geometrii nieeuklidesowej mierzy się kąty ich zwykłą wielkością euklidesową.
Rys. 114. Punkt eliptyczny
Myśl logiczną zmienić
ta była rozwijana przez Riemanna, który badał geometrię przestrzeni anado tej geometrii powierzchni, w której „krzywizna" przestrzeni może charakter geometrii od punktu do punktu. „Prostymi" w geometrii rie-
Rys. 115. Punkt hiperboliczny
226
TV. Geometria rzutowa. Aksjomatyka. Geomefrie nieeuklidesowe
mannowskiej są linie geodezyjne. W ogólnej teorii względności Einsteina geometria przestrzeni jest geometrią riemannowską, światło rozchodzi się .wzdłu~ linii geodezyjnych, a krzywizna przestrzeni jest wyznaczona przez rodzaJ matem wypełniającej przestrzeń. . . . Od owych zaczątków polegających na badaniu aksjom~tyki, geometria ,meeuklidesowa rozwinęła się w niezwykle użyteczne narzędzie dla zastosowan do świata fizycznego. W teorii względności, w optyce i w ogólnej te~ri~ rozchodzen~~ się fal nieeuklidesowy opis zjawisk jest czasami znacznie bardzieJ stosowny mz opis euklidesowy.
Dodatek do rozdziału IV
*Geometria w więcej trzech wymiarach
niż
1. Wstęp. „Przestrzeń rzeczywista", czyli ośrodek naszego doświadczenia fizycznego, ma trzy wymiary, płaszczyzna ma dwa wymiary, a prosta jeden. Nasza intuicja przestrzenna w zwykłym znaczeniu ogranicza się dokładnie do trzech wymiarów. W wielu przypadkach jednakże jest dogodnie mówić o „przestrzeniach" mających cztery lub więcej wymiarów. Jak należy rozumieć przestrzeń n-wymiarową, gdy n jest większe od trzech, i do jakich celów przestrzeń taka może służyć? Na to pytanie można dać odpowiedź z punktu widzenia analitycznego, jak też czysto geometrycznego. Terminologię przestrzeni n-wymiarowej można uważać jedynie za sugestywny język geometryczny na oznaczenie pojęć matematycznych nie leżących już w obrębie zwykłej intuicji geometrycznej. Podamy w krótkim zarysie proste rozważania, motywujące i uzasadniające ten język. 2. Ujęcie analityczne. Zwróciliśmy już uwagę na zmianę znaczenia wyrazów, która nastąpiła w toku rozwoju geometrii analitycznej. Początkowo uważano punkty, proste, krzywe itd. za twory czysto „geometryczne", i zadaniem geometrii analitycznej było tylko ustalanie dla nich układów liczb lub równań i interpretowanie lub rozwijanie teorii geometrycznej metodami algebraicznymi albo analitycznymi. Z biegiem czasu zaczął ustalać się przeciwny punkt widzenia. Za twory podstawowe uznano liczbę x lub parę liczb x, y, lub trójkę liczb x, y, z, i te twory analityczne interpretowano jako punkty na prostej, na płaszczyźnie czy w przestrzeni. Z tego punktu widzenia język geometryczny służy tylko do formułowania związków pomiędzy liczbami. Możemy odrzucić pierwotny albo nawet niezależny charakter tworów geometrycznych, mówiąc, że para liczb x, y jest punktem na płaszczyźnie, zbiór wszystkich par liczb x, y spełniających równanie liniowe L(x, y)=ax+by+c=O
ze stałymi liczbami a, b, c jest prostą itd. Podobne definicje można podać dla przestrzeni trójwymiarowej. Jeżeli nawet interesuje nas w zasadzie zagadnienie algebraiczne, to może się zdarzyć, że sam język geometrii prowadzi do właściwego zwięzłego opisu zagad-
228
Dodatek do
rodziału
IV
Geometria w więcej niż trzech wymiarach
nienia i że intuicja geometryczna nasunie właściwe postępowanie algebraiczne. Na przykład, jeżeli chcemy rozwiązać układ trzech równali liniowych z trzema wielkościami niewiadomymi x, y, z: L(x, y, z) = ax+by+cz+d =O, L'(x, y, z) = a'x+b'y+c'z+d'=O, L"(x, y, z)= a"x+b"y+c"z+d"=O, to możemy interpretować to zagadnienie jako wyznaczanie w przestrzeni trójwymiarowej R3 punktu przecięcia trzech płaszczyzn określonych równaniami L=O,
:I(
L'=O,
L"=O.
Podobnie, jeżeli rozpatrujemy tylko pary liczb x, y, dla których x > O, to możemy je interpretować jako półpłaszczyznę położoną po prawej stronie osi x. Ogólniej, można interpretować zbiór wszystkich par punktów x, y, dla których L(x, y) =ax+by+d >O, jako półpłaszczyznę leżącą po jednej stronie prostej L =O, a zbiór wszystkich trójek liczb x, y, z, dla których L(x, y, z)=ax+by+cz+d >O, jako „pół~rzestrzeń"
leżącą
po jednej stronie płaszczyzny L(x, y, z)=O.
Wprowadzenie „przestrzeni czterowymiarowej" lub nawet „przestrzeni n-wymiarowej" jest teraz zupełnie naturalne. Rozważmy czwórkę liczb x, y, z, t. Mówimy, że czwórka taka przedstawia albo po prostu jest punktem w przestrzeni czterowymiarowej R4• Ogólniej, punkt przestrzeni n-wymiarowej R„ jest to z definicji po prostu uporządkowany zbiór n liczb rzeczywistych xl' x2, •••, x„. Nie ma znaczenia to, że nie potrafimy wyobrazić sobie takiego punktu. Język geometryczny pozostaje równie sugestywny dla własności algebraicznych dotyczących czterech lub też n zmiennych. Jest tak, ponieważ wiele własności algebraicznych równań liniowych itd. nie zależy w zasadzie od ilości uwzględnionych zmiennych albo, jakbyśmy mogli powiedzieć, od ilości wymiarów przestrzeni zmiennych. Tak np. hiperpłaszczyzną nazywamy ogół wszystkich punktów xl' x2, ••• , x„ w przestrzeni n-wymiarowej R 11, spełniających równanie liniowe L(xl'x2, ... ,x,) =a 1x1 +a 2x2 + ... +a„x„ +b=O. Wobec tego podstawowe zagadnienie algebraiczne polegające na rozwiązaniu ukła du n równań z n niewiadomymi: L1(x1, x2, L2(xl' x2,
... ,
x„) =O, x) =O,
L„(xl' x2,
••• ,
x„) =O
••. ,
formułuje się w języku geometrycznym jako zagadnienie wyznaczenia punktu przecięcia
n hiperpłaszczyzn L1 =0,
L2 =0,
... , L„=0.
229
Korzyść
z takiego geometrycznego sposobu wyrażania się jest tylko taka, że pewne cechy algebraiczne niezależne od n, które można unaocznić przy n :S 3. W wielu zastosowaniach użycie takiej terminologii ma tę zaletę, że skraca, ułatwia i nadaje kierunek analitycznym w zasadzie rozważaniom. Jako przykład można wymienić teorię względności, w której osiągnięto znaczne postępy jednocząc współrzędną czasową t i współrzędne przestrzenne x, y, z pewnego „zdarzenia" w czterowymiarowy zbiór „czaso-przestrzenny" złożony z czwórek liczb t, x, y, z. Przez wprowadzenie nieeuklidesowej geometrii hiperbolicznej do tego schematu analitycznego stało się możliwe przedstawienie wielu skądinąd złożo nych sytuacji z godną uwagi prostotą. Podobne zalety wystąpiły w mechanice i w fizyce statystycznej, jak również w dziedzinach czysto matematycznych. Podamy tutaj kilka przykładów z matematyki. Zbiór wszystkich kół na płasz czyźnie stanowi rozmaitość trójwymiarową, ponieważ koło o środku x, y i promieniu t można przedstawić jako punkt o współrzędnych x, y, t. Wobec tego, że promień koła jest liczbą dodatnią, ogół punktów reprezentujących koła wypełnia półprze strzeń. Podobnie ogół wszystkich kul w zwykłej przestrzeni trójwymiarowej stanowi rozmaitość czterowymiarową, ponieważ każdą kulę o środku x, y, z i promieniu t można przedstawić za pomocą punktu o współrzędnych x, y, z, t. Sześcian w przestrzeni trójwymiarowej o boku długości 2, o ścianach równoległych do płaszczyzn wspóh-zędnych i środku w początku wspóh-zędnych składa się ze wszystkich punktów xl' x2, x3, dla kt~rych Ix1 I :S 1, Ix2 I :S 1, Ix3 I :S 1. Podobnie kostką w n-wymiarowej przestrzeni R„ o boku równym 2, o ścianach równoległych do płaszczyzn współrzędnych i o środku w początku współrzędnych, nazywamy zbiór wszystkich punktów xl' x2, ••. , x„, dla których jednocześnie zachodzi podkreśla
Ix1 I :S 1, Ix2 I :S 1, ... , Ix„ I :S 1. „Powierzchnia" tej kostki składa się ze wszystkich takich punktów, dla których co najmniej jeden znak :S można zastąpić znakiem równości. Elementy powierzchni mające n- 2 wymiarów składają się z tych punktów, dla których zachodzą co najmniej dwie takie równości itd. Ćwiczenie. Opisać powierzchnię takiej kostki w przypadku 3, 4 i n wymiarów.
3*. Ujęcie geometryczne lub kombinatoryczne. Analityczne ujęcie geometrii n-wymiarowej jest proste i nadaje się dobrze do wielu zastosowań, istnieje jednakże jeszcze inna metoda postępowania, mająca charakter czysto geometryczny. Metoda ta opiera się na sprowadzaniu tworów n-wymiarowych do (n-1)-wymiarowych, co pozwala na definiowanie geometrii w wielu wymiarach za pomocą pewnego postępowania opartego na indukcji matematycznej. Zacznijmy od obwodu dwuwymiarowego trójkąta ABC. Przecinając zamknię ty wielokąt w punkcie Ci dokonując następnie obrotu odcinków AC i BC na prostą AB, otrzymujemy figurę z rys. 116, położoną na prostej, w której punkt C występu je dwukrotnie. Ta jednowymiarowa figura jednoznacznie przedstawia obwód dwuwymiarowego trójkąta. Zginając odcinki AC i BC ku sobie na płaszczyźnie może my doprowadzić do tego, że oba punkty C znowu się pokryją. Jednakże, co jest
230
Dodatek do
rodziału
Geometria w więcej niż trzech wymiarach
IV
istotne, nie musimy przeprowadzać takiego zginania. Wystarcza, jeżeli umówimy się, że będziemy „identyfikowali", tzn. że nie będziemy rozróżniali obu punktów C na rys. 116, chociaż nie pokrywają się one w rzeczywistości jako twory geometryczne w naiwnym ujęciu. Możemy nawet pójść dalej, rozdzielając te trzy odcinki w punktach A i B, co daje zbiór złożony z trzech odcinków CA, AB, BC; odcinki te
231
wymiarowej do figur o mniejszej ilości wymiarów. Weźmy np. powierzchnię sze(rys. 117). Można sprowadzić ją natychmiast do układu złożonego z sześciu płaskich kwadratów, których boki są odpowiednio poznaczone, a w dalszym etapie do układu 12 odcinków prostych z odpowiednio poznaczonymi końcami. Ogólnie, można w ten sposób sprowadzić każdy wielościan w przestrzeni trójwymiarowej R3 bądź do układu wielokątów płaskich, bądź do układu odcinków prostych. ścianu
Ćwiczenie. Przeprowadzić taką redukcję dla wszystkich wielościanów fo-
remnych (patrz str. 235).
c
A
B
A
B
c
B
A
c
B
c
A
Rys. 116. Trójkąt określony przez odcinki ze znaczonymi końcami
znowu można złożyć razem dla otrzymania „rzeczywistego" trójkąta w taki sposób, żeby punkty, które identyfikujemy, pokrywały się. Takie identyfikowanie róż nych punktów w pewnym zbiorze odcinków dla utworzenia wielokąta (w tym przypadku trójkąta) jest czasami bardzo praktyczne. Jeżeli chcemy przewieźć skomplikowaną 'konstrukcję złożoną z belek stalowych, jak np. konstrukcję mostu, to ładujemy oddzielnie belki i tym samym symbolem oznaczamy te końce belek, któ8
VI
;:,8 _ _ _-"7"7
4.,.__
i,
1J I ''i
"
lI '
!h"" _,__„ I
7
t;
3
4
8
7
3
8
IVJJJ
„„""'/.· -------
6
5
1 /
III
I
II 1
7
IV h
.'i
2
n[] D G[J[J
V
7
~12
VI
7
V
1
VI
4
5
Jasne jest teraz, że możemy odwrócić nasze rozumowanie, definiując wielokąt na płaszczyźnie przez układ odcinków prostych i wielościan w przestrzeni R3 przez układ wielokątów w R2 albo - przy dalszej redukcji- przez układ odcinków prostych. Naturalne jest więc definiowanie „wielościanu" w przestrzeni czterowymiarowej R4 przez układ wielościanów w przestrzeni R3 z odpowiednią identyfikacją ich ścian dwuwymiarowych, wielościanu w R5 za pomocą układu wielościanów w R4 itd. Ostatecznie możemy sprowadzić każdy wielościan w R 11 do pewnego ukła du odcinków prostych. Nie możemy tutaj rozwinąć szerzej tego zagadnienia. Dodamy tylko kilka uwag bez dowodu. Kostka w przestrzeni R4 jest ograniczona przez 8 sześcianów trójwymiarowych, z których każdy identyfikuje się z „sąsiednim" wzdłuż 2-wymiarowego boku. Kostka w przestrzeni R4 ma 16 wierzchołków, a w każdym z nich spotykają się cztery spośród 32 prostoliniowych krawędzi. W R4 jest sześć wielościa nów foremnych. Oprócz kostki mamy wielościan ograniczony przez 5 czworościanów foremnych, wielościan ograniczony przez 16 czworościanów, wielościan ograniczony przez 24 ośmiościany, wielościan ograniczony przez 120 dwunastościanów i wielościan ograniczony przez 600 czworościanów. Dla n > 4 wymiarów udowodniono, że możliwe są tylko trzy wielościany foremne: wielościan o n + 1 wierzchołkach ograniczony przez n+ 1 wielościanów w R 11 _ 1, mających n ścian (n - 2)-wymiarowych; wielościan o 211 wierzchołkach ograniczony przez 211 wielościanów w R 11 _ 1, mających 211-2 boków; wreszcie wielościan o 211 wierzchołkach, ograniczony przez 211 wielościanów o n ścianach w R„_r *Ćwiczenie. Porównać definicję kostki w R4 podaną w punkcie 2 z definicją
tego punktu i wykazać, że definicja „analityczna" powierzchni kostki w punkcie 2 jest równoważna definicji „kombinatorycznej" tego punktu.
h
-----5 2---~6
-----4 3-----4 3 2
-----2
Rys. 117. Sześcian określony za pomocą boków i
3-----7 4 ··8
5 8 7 5
8 7 6
6
wierzchołków
re należy połączyć przy ustawianiu konstrukcji w przestrzeni. Układ belek z oznaczonymi końcami jest w pełni równoważny konstrukcji przestrzennej. Uwaga ta nasuwa sposób sprowadzania dwuwymiarowego wielościanu w przestrzeni trój-
Z punktu widzenia strukturalnego lub „kombinatorycznego" najprostszymi figurami geometrycznymi w O, l, 2, 3 wymiarach są odpowiednio: punkt, odcinek, trójkąt i czworościan. Dla jednolitości oznaczmy te figury odpowiednio za pomocą symbolów T01 T 1, T2, T3 • (Wskaźnik oznacza wymiar). Strukturę każdej z tych figur można tak opisać: każda figura T11 man+1 wierzchołków i każdy podzbiór złożo ny z i+ 1 wierzchołków figury T 11 (i= O, 1, „., n) określa pewną figurę T;. Tak np. trójwymiarowy czworościan T3 ma 4 wierzchołki, 6 krawędzi i 4 trójkąty. Sposób postępowania jest oczywisty. Definiujemy czterowymiarowy „czworościan" T4 jako zbiór pięciu wierzchołków takich, że każdy podzbiór złożony z czte-
232
Dodatek do
rodziału
IV
rech wierzchołków określa pewne T 3, każdy podzbiór z 3 wierzchołków określa pewne T2 itd. 1 Schematyczny wykres figury T 4 podany jest na rys. 118. Widzimy, że T4 ma 5 wierzchołków, 10 odcinków, 10 trójkątów i 5 czworościanów.
Rozdział
V
Topologia
Rys. 118. Najprostsze elementy w 1, 2, 3, 4 wymiarach
że
Uogólnienie na n wymiarów jest natychmiastowe. Z kombinatoryki wiadomo, jest dokładnie r! (r)i = i!(r-i)!
różnych p~dzbiorów złożonych z r przedmiotów spośród i przedmiotów. Zatem „czworościan" n-wymiarowy ma
(11;1)
=
(n+ 1)
wierzchołków
(To),
(11;1)
=
(n+l)! 2!(n-1)!
odcinków
(T1),
(11;1)
=
(n+ 1)! 3!(n-2)!
trójkątów
(T2),
(n:l)
=
(n+l)! 4!(n-3)!
figur
(T3),
• • • • • • •' • • • • • • • • • • • • •' • • • • • • • • •' • ' • ' • • • I
(1i+l) 11+1
=
1
figur
(T„).
Ćwiczenie. Narysować wykres figury T5 i wyznaczyć ilość różnych T; w tej figurze przy i= O, 1, ..., 5. l „Czworościany"
Ty T2 itd. muszą być ścianami odpowiednich wymiarów dla „czworościanu" T4 (przy11. red.).
Wstęp
W połowie XIX wieku pojawił się w geometrii zupełnie nowy kierunek rozwojowy, który miał się wkrótce stać jednym z najważniejszych kierunków w matematyce współczesnej. Nowa dziedzina, nazwana analysis situs albo topologią, zajmuje się własnościami figur geometrycznych, które zachowują się nawet wtedy, gdy figury deformujemy tak radykalnie, że tracą one wszelkie swoje własności metryczne i rzutowe. Jednym z wielkich geometrów tego okresu był A. R Mobius (1790-1868), czło wiek, który z powodu swojej skromności zajmował niepozorne stanowisko astronoma w drugorzędnym niemieckim obserwatorium. W wieku 68 lat przekazał on Akademii Paryskiej rozprawę, o powierzchniach „jednostronnych", która zawierała niektóre spośród najbardziej zadziwiających faktów tego nowego rodzaju geometrii. Podobnie, jak to stało się poprzednio z innymi ważnymi odkryciami, rozprawa jego leżała pogrzebana w plikach Akademii, dopóki ostatecznie autor jej nie ogłosił. Niezależnie od Mobiusa astronom J. B. Listing (1808-1882) w Getyndze poczynił podobne odkrycia i zachęcony przez Gaussa ogłosił w 1847 roku małą książ kę Vorstudien zur Topologie. Gdy Bernard Riemann (1826-1866) przybył do Getyngi jako student, atmosfera matematyczna tego miasta uniwersyteckiego była przesycona żywym zainteresowaniem dla tych osobliwych nowych idei geometrycznych. Riemann doszedł wkrótce do przekonania, że tu leżał klucz do zrozumienia najgłębszych własności funkcji analitycznych zmiennej zespolonej. Nic chyba nie przyczyniło się tak do dalszego rozwoju topologii, jak wielki gmach riemannowskiej teorii funkcji, w której pojęcia topologiczne odgrywają rolę fundamentalną. Początkowo nowość metod nowej dziedziny nie dawała matematykom czasu na przedstawienie swoich wyników w tradycyjnej aksjomatycznej formie, stosowanej w geometrii elementarnej. W zamian za to pionierzy, tacy jak Poincare, musieli w znacznym stopniu polegać na intuicji geometrycznej. Nawet dzisiaj studiujący topologię odczuje, że przez zbytio1i nacisk na ścisłą formę wykładu może łatwo wśród mnóstwa szczegółów formalnych stracić z oczu zasadniczą treść geometrycz-
234
V. Topologia
§ 1. Wzór Eulera dla wielościanów
ną.
:1r
Jest jednak wielką zasługą nowszych prac, że wprowadziły topologię w zasięg ścisłej matematyki, gdzie intuicja pozostaje źródłem, ale nie ostatecznym sprawdzianem prawdziwości. W tej fazie rozwoju zapoczątkowanej przez L. E. J. Brouwera, znaczenie topologii prawie we wszystkich dziedzinach matematyki stale wzrastało. Matematycy amerykańscy 1 , w szczególności O. Veblen, J. W. Alexander i S. Lefschetz, znacznie posunęli naprzód topologię. Topologia jest dziełem ostatnich stu lat, jednak było kilka odosobnionych odkryć wcześniejszych, które później znalazły swoje miejsce przy współczesnym systematycznym rozwijaniu topologii. Najważniejszym z nich jest wzór, dający zależ ność pomiędzy ilością wierzchołków, krawędzi i ścian wielościanu prostego, wspomniany już w 1640 roku przez Descartesa, i na nowo odkryty i zastosowany przez Eulera w 1752 roku. 'fypowo topologiczny charakter tej zależności ujawnił się znacznie później, gdy Poincare wykazał, że „wzór Eulera" i jego uogólnienia stanowią jedno z centralnych twierdzeń topologii. Zatem ze względów zarówno historycznych, jak też merytorycznych, zaczniemy nasze rozważania o topologii od wzoru Eulera. Wobec tego, że przy pierwszych krokach w nieznanej dziedzinie idealna ścisłość nie jest ani konieczna, ani pożądana, nie zawahamy się od czasu do czasu odwoływać się do intuicji geometrycznej czytelnika.
§ ,1. Wzór Eulera dla
235
Czytelnik zechce sprawdzić, że wzór Eulera jest prawdziwy dla wielościa , prostych z rys. 119 i 120, ale nie jest prawdziwy dla wielościanu z rys. 121. now
wielościanów
Chociaż badanie wielościanów zajmowało centralne miejsce w geometrii Greków, to jednak dopiero Descartesowi i Eulerowi przypadło w udziale odkrycie następującego faktu. Niech V oznacza ilość wierzchołków, E - ilość krawędzi, F ilość ścian wielościanu prostego; wówczas zachodzi równość
'
~,
V-E+ F = 2.
(1)
Przez wielościan rozumiemy bryłę, której powierzchnia składa się z pewnej ilości ścian będących wielokątami. W przypadku brył foremnych wszystkie te wieloką ty są przystające i wszystkie kąty przy wierzchołkach są jednakowe. Wielościan jest prosty, jeżeli nie ma w nim „dziur", więc jego powierzchnię można przekształcić w sposób ciągły na powierzchnię kuli. Na rysunku 120 pokazany jest wielościan prosty, który nie jest foremny, natomiast na rysunku 121 pokazany jest wielościan nieprosty.
Rys. 119.
Wielościany
foremne
. Aby udowodnić twierdzenie Eulera, wyobraźmy sobie, że dany wielościan prosty J_e~t pusty, a po~ier~c~mia jego jest zrobiona z cienkiej gumy. Jeżeli wytniemy jedną ze 1 Oo
nazwisk tych dodać można nazwiska matematyków radzieckich Aleksandrowa, Pontriagina, Urysona
oraz matematyka szwajcarskiego Hopfa. Około 1920 roku powstała także poważna polska szkoła matematyczna. Założycielami jej byli Janiszewski, Mazurkiewicz, Sierpiński, oni też byli twórcami międzynarodo~ wego czasopisma „Fundamenta Mathematicae", w którego 43 tomach znaleźć można prace wielu polskich
autorów. Wśród wydawanych w Polsce Monografii Matematycznych jest również jedna w języku francuskim poświęcona topologii. Autorem tej pracy jest K. Kuratowski. W rozwoju topologii współczesnej odegrali poważną rolę K. Borsuk, K. Kuratowski. Jednym z działów topologii jest teoria kontinuuów dziedzicznie nierozkładalnych stworzona przez Il. Knastera (przyp. red.).
saan pustego wieloscianu, to możemy tak zdeformować pozostałą część powierzchni, aby ~ozpostarła się gładko na płaszczyźnie. Przy tym postępowaniu pola ścian i kąty pomiędzy krawędziami wielościanu oczywiście się zmienią. Jednakże siatka złożona z wierzchołków i krawędzi na płaszczyźnie będzie zawierała tę samą ilość wierzchoł kó~ ~ krawędzi, co wielościan pierwotny, natomiast ilość wielokątów będzie o jeden m1:11eJsza niż w wielościanie pierwotnym, ponieważ jedna ściana została usunięta. Wy~zemy teraz, że dla tej płaskiej siatki V- E + F = 1, jeżeli więc policzymy ścianę usuniętą, to otrzymamy wynik dla pierwotnego wielościanu V- E + F =2.
236
V. Topologi.a
§
Najpierw „striangulujemy" płaską siatkę w sposób następujący: W dowolnym siatki, który sam nie jest trójkątem, prowadzimy przekątną. Powoduje to wzrost zarówno E, jak i F o jedność, wobec czego wartość V- E + F nie ulega zmianie. Następnie łączymy przekątny mi pary punktów (rys. 122) dopóty, dopóki figura nie będzie składała się wyłącznie z trójkątów, do czego ostatecznie możemy doprowadzić. Dla tej siatki złożonej z trójkątów wyrażenie VE + F ma tę samą wartość, co przed podziałem na trójkąty, ponieważ prowadzenie przekątnych nie zmieniło tej wartości. Niektóre z nich, takie jak ABC, -------mają tylko jeden bok na brzegu, inne ------._-----~~~~~~~natomiast mogą mieć dwa boki na brzeRys. 120. Wielościan prosty gu. Bierzemy dowolny trójkąt graniczV-E+F=9-18+11=2. ny i usuwamy tę jego część, która nie należy jednocześnie do jakiegoś innego trójkąta. Tak np. z trójkąta ABC usuwamy bok AC i całe wnętrze trójkąta, pozostawiamy natomiast wierzchołki A, B, Coraz dwa boki AB i BC; natomiast z trójką ta DEF usuwamy wnętrze, dwa boki DF i FE oraz wierzchołek F. Usunięcie trójkąta typu ABC powoduje zmniejszenie zarówno E, jak i Fo jedność, natomiast V pozostaje bez zmiany, a więc wartość V-E+F pozostaje ta sama. Usunięcie trójkąta
1. Wzór Eulera dla wielościanów
237
typu DEF zmniejsza V o jedność, Eo dwa, Fo jedność, a więc V- E + F znów pozostaje bez zmiany. Dobierając odpowiednio ciąg tych operacji możemy usuwać trójkąty mające boki położone na brzegu (który zmienia się po każdym usunięciu), aż wreszcie pozostanie jeden tylko trójkąt, z trzema bokami, trzema wierzchołkami i jedną ścianą. Dla tej prostej siatki
wielokącie
V-E+F=3-3+1=1. jednak, że przez stałe skreślanie trójkątów wartość V- E + F nie Zatem dla sieci pierwotnej wyrażenie V- E + F musi być również równe jedności, a więc jest równe jedności dla wielościanu z wyciętą jedną ścianą. Wnioskujemy stąd, że dla całego wielościanu V- E + F = 2, co kończy dowód wzoru Eulera (patrz punkty 56, 57, str. 494). Widzieliśmy
zmieniła się.
Rys. 122. Dowód twierdzenia Eulera b
., ' I:
...•.
;
I
\
\
I
.........
..-: -------
Ze wzoru Eulera łatwo wywnioskować, że jest nie więcej niż pięć wielościanów foremnych. Przypuśćmy bowiem, że wielościan foremny ma F ścian, z których każda jest foremnym n-kątem, i że w każdym wierzchołku spotyka się r krawędzi. Licząc krawędzie na podstawie ilości ścian i ilości wierzchołków widzimy, że z jednej strony nF=2E,
(2)
'II
I I I
każda krawędź bowiem należy do dwóch ścian, jest więc liczona dwukrotnie w iloczynie nF; z drugiej strony
I I I I I I I I I
rV=2E,
(3)
I I
I
.I.
I
ponieważ każda krawędź
ma dwa wierzchołki. Na podstawie wzoru (1) otrzymu-
jemy wobec tego równość 2E
2E
n
r
-+--E=2, czyli (4) Rys. 121. Wielościan nieprosty V-E+F=16-32+16=0
.!
1
1
1
1
-+-=-+-· n r 2 E
Wiemy z góry, że n ::!: 3 oraz r ::!: 3, ponieważ wielokąt musi mieć co najmniej trzy boki i w każdym wierzchołku wielościanu schodzą się co najmniej trzy krawędzie.
238
§ 2. Topologiczne własności figur
V. Topologia
Ale liczby n i r nie mogą być obie większe od 3, bo wtedy lewa strona równania (4) miałaby wartość nie przekraczającą 1/2, co nie jest możliwe dla żadnej dodatniej wartości E. Zobaczmy więc, jakie wartości może przybrać r, gdy n = 3, i jakie wartości może przybrać n, gdy r = 3. Ogół wielościanów danych przez te dwa przypadki daje liczbę możliwych wielościanów foremnych. Dla n = 3 równanie (4) przybiera postać 1
1
1
~-6=li,
zatem r może być równe 3, 4 lub 5 (wartość 6 lub jakakolwiek wartość większa od 6 jest oczywiście wyłączona, ponieważ wartość 1/E jest zawsze dodatnia). Dla tych wartości n i r otrzymujemy E = 6, 12 lub 30, co odpowiada kolejno czworościanowi, ośmiościanowi i dwudziestościanowi. Podobnie przy r = 3 otrzymujemy równanie
1
1
1
-;;-r;=]i, z którego wynika, że n = 3, 4 lub 5 i odpowiednio E = 6, 12 lub 30. Wartości te odpowiadają kolejno czworościanowi, sześcianowi i dwunastościanowi. Podstawiając te wartości n, r, E do równań (2) i (3) otrzymujemy ilość krawędzi i ścian w odpowiednich wielościanach.
§ 2. Topologiczne własności figur 1. Własności topologiczne. Udowodniliśmy, że wzór Eulera jest prawdziwy dla dowolnego wielościanu prostego. Jednakże zakres, w którym ten wzór jest prawdziwy, wykracza znacznie poza wielościany geometrii elementarnej, mające ściany płaskie i krawędzie prostoliniowe; podany dowód stosuje się również do wielościanów prostych o krzywych ścianach i krawędziach albo do dowolnego podziału powierzchni kuli na obszary ograniczone krzywoliniowymi łukami. Co więcej, jeżeli wyobrazimy sobie, że powierzchnia wielościanu lub kuli jest zrobiona z cienkiej powłoki gumowej, to wzór Eulera zachowuje swoją prawdziwość, gdy odkształcimy powierzchnię zginając i rozciągając gumę w dowolny sposób, byleby nie uległa ona rozdarciu. Wzór dotyczy bowiem tylko ilości wierzchołków, krawędzi i ścian, a nie długości, pól, prostoliniowości, dwustosunków czy jakichś innych znanych pojęć geometrii elementarnej lub geometrii rzutowej. Przypominamy, że geometria elementarna zajmuje się wielkościami (długość, kąt i pole), które pozostają niezmienione przy ruchach sztywnych, natomiast geometria rzutowa zajmuje się tymi pojęciami (punkt, prosta, incydencja i dwustosunek), które pozostają nie zmienione przy obszerniejszej znacznie grupie przekształceń rzutowych. Ale ruchy sztywne i rzuty są tylko bardzo szczególnymi przypadkami tak zwanych przeksztalce1i topologicznych: przekształcenie topologiczne pewnej figury geometrycznej A na inną figurę A' dane jest przez dowolną odpo-
między
punktami p figury A i punktami p' figury A',
pHp'
dwie
własności:
1. Odpowiedniość jest wzajemnie jednoznaczna. Znaczy.to, że każdemu punktowi p figury A odpowiada akurat jeden punkt p' figury A', i odwrotnie. 2. Odpowiedniość jest ciągła w obie strony. Znaczy to, że jeżeli obieramy dowolne dwa punkty p, q figury A i punkt p porusza się w taki sposób, że odległość pomię dzy nim a punktem q zmierza do zera, to odległość pomiędzy odpowiednimi punktami p', q' figury A' także będzie zmierzała do zera, i odwrotnie. Dowolna własność figury geometrycznej A, którą ma również każda figura otrzymana przez topologiczne przekształcenie figury A, nazywa się własnością topologiczną figury A; topologia jest to dział geometrii, zajmujący się wyłącznie topologicznymi własnościami figur. Wyobraźmy sobie, że pewna figura ma być przerysowana „od ręki" przez rysownika sumiennego, lecz niedoświadczonego, który rysuje linie proste jako krzywe i zmienia kąty, odległości i pola; chociaż zatracą się wtedy własności metryczne i rzutowe pierwotnej figury, to jej własności topologiczne pozostaną bez zmiany. Najbardziej intuicyjnymi przykładami ogólnych przekształceń topologicznych są deformacje. Wyobraźmy sobie figurę, np. powierzchnię kuli lub trójkąt, zrobioną z cienkiej błony gumowej lub narysowaną na takiej błonie, którą następnie rozcią gamy i skręcamy w dowolny sposób, nie rozdzierając jej i nie zlepiając ze sobą różnych punktów. (Utożsamienie ze sobą, „zlepienie" różnych punktów naruszyłoby warunek 1. Rozdarcie gumy naruszyłoby warunek 2, ponieważ dwa punkty pierwotnej figury dążące ku sobie z dwu stron linii, wzdłuż której powierzchnia została rozdarta, nie zmierzałyby ku sobie w rozdartej figurze). Końcowa postać
Rys. 123. Powierzchnie topologiczne równoważne
Rys. 124. Powierzchnie topologiczne nierównoważne
wtedy obrazem topologicznym figury pierwotnej. Trójkąt można w inny trójkąt albo w koło, albo w elipsę, a więc figury te mają identyczne własności topologiczne. Nie można jednak przez deformację zrobić z okrę gu odcinka prostej, ani z powierzchni kuli - powierzchni wnętrza rury. figury
będzie
zdeformować
wiedniość
mającą następujące
239
240
V.
Topologia
Ogólne pojęcie przekształcenia to o! · . : Jeżeli np. przeciąć figurę przy d c p ogicznego Jest szersze od pojęcia deformac1"i . . . eiormowaniu a po doko . d c .. . · g1 cięcia dokładnie w taki s 'b . '' namu e1ormaq1 złozyć brze. am sposo , I „zeszyć" 1· e to . t ki . cemem topolooicznyrn figu . . , prnces a Jest nadal przekształo· ryp1erwotne1 choc· · · · d c we z rys. 134 (str. 251) są sobie ró '. iaz me Jest erormacją. 'Thknp. obie krzy· · , . wnowazne topolooi ponieważ mogą być rozcięte i z o·czme I rownowazne z okręgami . . powrotem zszyte Jedn k · . 1. . ' wame Jednej krzywe1· w drugą 1 b k ł b · a memoz 1we Jest zdeformo· · kr u w o o ez uprzednie ł ' . go rozcięcia zywej. Topologiczne własności figu ( inne własności które będą r ntp. w asnosc1 dane przez twierdzenie Eulera lub ' rozpa rzone w tym paragr fi ) . b znaczenie w wielu rozważaniacl t a e maią ardzo wielkie ł b 1 ma ematycznych Są one g ę szymi i najbardziej podstawowy . , ,d · . w pewnym sensie najnych, ponieważ nie zatracają się przy~:J.1os~o. ':"szystki.ch własności geometrycz' ar z1e1 zasadmczych zmianach kształtu. 2. Spójność. Nowym, innym przykładem d , h . . , pologicznie są obszary płaskie na rys 125 p· . woc f~gur merownoważnych topunktów wewnętrznych koła n t . . t.d ie1 ':"szy z mch składa się ze wszystkich ki , a omias rugi składa si zawartych pomiędzy dwoma okr . , , ' ę ze wszyst eh punktów ęgam1 wspołsrodkowymi. Dowolną krzywą zam-
Rys. 125. Jednospójność i dwuspójność
Rys. 126. Przecięcie obszaru dwuspójnego dla przekształcenia go w jednospójny
Rys. 127. Sprowadzenie obszaru trójspójnego do obszaru jednospójnego
~niętą leżącą w obszarze a można zdeformowa , , . . Jednego punktu wewnątrz obszaru Ob c ~w sposob ciągły, czyli ściągnąć do -· - , nazywamy jednospopzym. Obszar b nie jest jednos ·, . szar N maiący tę włas nosc z dwoma okręgami granicznymi· i· ppOłJl~~· a przyk~ad okręgu współśrodkowego o ozonego pomięd·zy mm1 · · me · można ściągnąć
§ 3. Inne przykłady
twierdzeń
topologicznych
241
do jednego punktu wewnątrz obszaru, ponieważ przy takiej operacji krzywa musiałaby przejść przez środek okręgów, który nie należy do obszaru. Obszar, który nie jest jednospójny, nazywamy wielospójnym. Jeżeli obszar wielospójny b przetniemy wzdłuż promienia, jak na rys. 126, to otrzymamy obszar jednospójny. Ogólniej, możemy zbudować obszary o dwóch, trzech lub więcej „dziurach", jak obszar z rys. 127. Aby przekształcić ten obszar w obszar jednospójny, potrzebne są dwa cięcia. Jeżeli potrzeba n-1 nie przecinających się przecięć sięgających od brzegu do brzegu, aby uczynić dany obszar spójny D obszarem jednospójnym, to mówimy, że obszar D jest n-spójny. Rząd spójności obszaru na płaszczyźnie jest ważnym niezmiennikiem topologicznym obszaru.
§ 3. Inne
przykłady twierdzeń
topologicznych
1. Twierdzenie Jordana o krzywych. Na płaszczyźnie narysowana jest krzywa zwykła zamknięta taka, która nie przecina sama siebie. Jaka własność tej figury zachowuje się nawet wtedy, gdy płaszczyznę uważamy za kawałek gumy, który można odkształcić w dowolny sposób? Dłu gość krzywej i pole, które ta krzywa obejmuje, może zmienić się przy deformacji. Istnieje jednak własność topologiczna tej konfiguracji tak prosta, że może się wydawać trywialna. Krzywa zwykła zamknię ta Cna płaszczyźnie rozcina płaszczyznę na dokładnie dwa obszary, wnętrze i zewnę trze. Rozumiemy przez to, że punkty płasz czyzny rozpadają się na dwie klasy: A zewnętrze krzywej i B jej wnętrze, takie że każ dą parę punktów tej samej klasy można połączyć linią, nie przecinającą krzywej C, natomiast każda linia łącząca parę punktów należących do różnych klas musi przeciąć Rys. 128. Które punkty płaszczyzny leżą krzywą C. Twierdzenie to jest, oczywiście, wewnątrz tego wielokąta? prawdziwe dla koła i elipsy, ale poczucie oczywistości zaczyna zanikać, gdy rozpatrujemy taką skomplikowaną krzywą jak powyginany wielokąt z rys. 128. Twierdzenie to zostało udowodnione po raz pierwszy przez Camila Jordana (1838-1922) w jego słynnej książce Cours d'Analyse, z której cała generacja matematyków nauczyła się współczesnego pojmowania ścisłości w matematyce. Jest rzeczą dziwną, że dowód podany przez Jordana nie był ani krótki, ani prosty, i jeszcze większą niespodzianką stało się stwierdzenie, że dowód Jordana nie był prawdziwy i że potrzeba było dużych wysiłków dla wypełnienia luk w jego rozumowaniu. Pierwsze ścisłe dowody twierdzenia były bardzo skomplikowane i trudne do zrozumienia nawet dla wielu wprawnych matematyków. Dopiero niedawno znaleziono stosunkowo proste dowody. Jednym z powodów trudności jest ogólność pojęcia „krzywej zwykłej zamkniętej", które nie ogranicza się do klasy wielokątów
242
§ 3. Inne przykłady twierdzdt topologicznych
V. Topologia
w rozumowaniu Kempego. Przez ponowne rozpatrzenie dowodu Kernpego zdołał Heawood wykazać, że pięć barw zawsze wystarcza. (Dowód twierdzenia o pię ciu barwach podany jest w dodatku do tego rozdziału). Pomimo usił?':"af1 wielu słynnych matematyków sprawa w zasadzie utknęła przy t!'m skrommeJszyrn niku: Udowodniono, że pięć barw wystarcza dla wszystkich map, a przypuszcza się, że cztery barwy również wystarczają. Jed~ak nie ~a ani ~owodu teg~ pr~y puszczenia, ani przykładu, który by je obalał, i pozosta!e on~ ie~nyrn z _wielkich nierozwiązanych zagadnień w matematyce. W rzeczywistośc~ tw~erdzeme ~ ~zt~: rech barwach zostało udowodnione dla wszystkich map obeJmuiących rnmeJ mz 38 obszarów. Wobec tego wydaje się, że jeżeli nawet twierdzenie ogólne jest fałszy we, to nie można go obalić żadnym prostym przykładem. , , . , W zagadnieniu czterech barw mapy można rys~wać b~dz na płaszczyz1'.1e, bąd~ na powierzchni kuli. Oba te przyp.adki są ró"'.'nowazne: ka~dą mapę na powie:zchm kuli można przedstawić na płaszczyźnie, wiercąc małą dzmrkę ':"nętr~u J_ednego z obszarów, np. A, i deformując otrzymaną stąd po"':ie:zchmę, az ~tame się pła ska jak w dowodzie twierdzenia Eulera. Na płaszczyzme powstanie mapa „wysp;" złożonej z pozostałych obszarów, otoczonej „morzem" utworzonym przez
lub krzywych „gładkich", lecz obejmuje wszystkie krzywe będące obrazami topologicznymi okręgu. Z drugiej strony wiele pojęć takich, jak „wnętrze", „zewnę trze" itd., które są tak jasne intuicyjnie, trzeba sprecyzować, aby móc przystąpić do ścisłego dowodu. Jest teoretycznie niesłychanie ważne analizować takie pojęcia w ich całej ogólności, i znaczna część współczesnej topologii poświęcona jest ternu zadaniu. Jednak nie należy nigdy zapominać, że w znacznej większości przypadków wynikających z badania konkretnych zjawisk geometrycznych zupełnie mija się z celem operowanie pojęciami, których niezmierna ogólność stwarza niepotrzebne trudności. Dowód twierdzenia Jordana jest w zasadzie zupełnie prosty dla krzywych mających „rozsądny" kształt, takich jak wielokąty lub krzywe posiadające styczną, której nachylenie zmienia się w sposób ciągły: krzywe takie występu ją w wielu ważnych zagadnieniach. W dodatku do tego rozdziału udowodnimy twierdzenie Jordana w przypadku wielokątów. 2. Zagadnienie czterech barw. Sądząc z przykładu twierdzenia Jordana o krzywych, mógłby ktoś przypuszczać, że topologia zajmuje się podawaniem ścisłych dowodów dla tego rodzaju oczywistych twierdzeń, o których prawdziwości żaden rozsądny człowiek nie wątpi. Jednak, przeciwnie, istnieje wiele zagadnień topologicznych, wśród nich także zagadnienia bardzo proste do sformułowania, dla których intuicja nie daje zadowalającego rozwiązania. Przykładem tego rodzaju jest słynne „zagadnienie czterech barw". Przy kolorowaniu mapy geograficznej daje się zwykle różne barwy każdym dwóm krajom mającym część granicy wspólną. Stwierdzono empirycznie, że każda mapa, niezależnie od ilości i położenia występujących na niej krajów, może być w ten sposób pokolorowana przy użyciu tylko czterech różnych barw. Łatwo zauważyć, że mniejsza ilość barw nie wystarczy we wszystkich przypadkach. Rysunek 129a pokazuje wyspę na morzu, która z pewnością nie może być pokolorowana właśnie mniej niż czterema barwami, wyspa ta obejRys. 129a rnuje bowiem cztery kraje, z których każdy styka się z pozostałymi trzema. Fakt, że dotychczas nie znaleziono takiej mapy, której pokolorowanie wymaga więcej niż czterech barw, nasuwa następujące twierdzenie matematyczne: Przy każdym podziale płaszczyzny na obszary nie zachodzące na siebie, można zawsze oznaczyć te obszary jedną spośród liczb 1, 2, 3, 4 w taki sposób, żeby żadne dwa przylegające obszary nie byłtj oznaczone tą samą liczbą. Jako obszary „przylegające" rozumiemy obszary mające pewien odcinek brzegu wspólny; dwóch obszarów stykających się tylko w jednym punkcie lub w skończonej ilości punktów (tak jak w przybliżeniu województwa lubelskie i białostockie albo zielonogórskie i koszalińskie) nie będziemy nazywali przylegającymi, ponieważ nie powstałoby żadne pomieszanie, gdy je po-
w:-
:ve
'
,,
I'
kolorować tą sarną barwą.
Wydaje się, że sprawę udowodnienia tego twierdzenia wysunął pierwszy Mobius w 1840 r., potem Morgan w 1850 r. i ponownie Cayley w 1878 r. „Dowód" został ogłoszony przez Kempego w 1879 r., lecz w 1890 r. Heawood znalazł błąd
243
Rys. 129 b. Mapa województw Polski
244
;i(
V. Topologia
§ 3.
obsz~r A. Od~rac~jąc to postępowanie każdą mapę na płaszczyźnie można przedstawić na kub. Mozemy zatem ograniczyć się do map na powierzchni kuli. Ponadto, wab.ee ~ego, ż_e deformacje obszarów i ich linii granicznych nie wpływają na zagad~1eme, n:ozemy za:ożyć, że granicą każdego obszaru jest zwykły wielokąt z~m~męty zło~ony z łuk~w okręgu. Nawet po takim „uprawidłowieniu" zagadmeme pozosta1e me rozwiązane; w przeciwieństwie do twierdzenia Jordana trudności nie pol~ga!ą tutaj na ogólności pojęcia obszaru i krzywej. Z ~a.gadmemem czterech barw wiąże się fakt, godny uwagi, że dla powierzchni bardzieJ skomplikowanych niż płaszczyzna albo sfera odpowiednie twierdzenia zostały _istotnie udowo~nione, a więc - dość paradoksalnie - analiza bardziej skon:1~hko"".~nyc~ pow1erzclmi geometrycznych okazuje się pod tym względem ła~w1e1sz~ mz anahza przypadków najprostszych. Tak np. udowodniono, że na pow1~rzchm torus_a (patrz rys. 123), który ma kształt obwarzanka lub wydętej rury, kaz~a m_apa n:oze być poko:orowana siedmioma barwami, i można zbudować mapy zaw1era1ące siedem obszarow, z których każdy styka się z pozostałymi sześcioma. 3*. Pojęcie wymiaru. Pojęcie wymiaru nie przedstawia większych trud-
n~ś~i dopóty, dopóki zajmujemy się tylko prostymi figurami geometrycznymi, !ak punkt~, proste, trójkąty i wielościany. Pojedynczy punkt lub dowolny
sk?nczony zb1ó: punkt.ów ~:1a wymiar zero, odcinek prostej jest jednowyn;iarowy, .a po':1erzc~ma troJkąta lub sfera jest dwuwymiarowa. Zbiór punk~o': sześcianu !~st trójwymiarowy. Jeżeli jednak usiłujemy rozciągnąć to poJęc1~ ~1~. bar~z1e1 o?ólne zbiory punktów, to powstaje potrzeba precyzyjnej ~efimqi. Jaki wymia~· należałoby przyporządkować zbiorowi punktów R zło zonemu ze wszystkich punktów na osi x, których współrzędne są liczbami wyi_niernymi? Zbi.ór_rm:któw wymiernych jest gęsty na prostej i wobec tego mozna ~y go uwazac za Jednowymiarowy, tak jak samą prostą. z drugiej stron~, pomiędzy d~w?lnymi ~wierna liczbami wymiernymi istnieją luki niewymierne, podobme Jak pmmędzy dowolnymi dwiema punktami skończone go zbioru punktó~,. a wi~c można by uważać zbiór R za zerowymiarowy. Je.szcze bard~1e1 zawikłane zagadnienie powstaje, gdy chcemy ustalić wym~ar następuiącego osobliwego zbioru punktów, rozpatrywanego po raz pierwszy przez Cantora. Z odcinka jednostkowego usuwamy środka-
------- -----------------
-
~------------------------------------------·----------------
______________________ -..., ___________________________....., ______________.___ ........,
W-W..--W-W---------W-W---W-W.--------------------------·W.W---W·W--------4"14ool---w-w
Rys. 130. Zbiór punktów Cantora
Inne przylcłady twierdzeń topologicznych
245
wą trzecią część, złożoną ze wszystkich takich punktów x, dla których 1/3
1·.!.+2 ._!__+ 2z ._!__+ ... =_!. (1 +(3.) +(3.)z +· ··)· 3 2
3 3 3 3 3 3 Szereg niesko6czony w nawiasach jest postępem geometrycznym, którego suma wynosi 1/(1- 2/3) = 3; stąd łączna długość usuniętych odcinków jest równa 1. Jednakże w zbiorze C pozostają jeszcze punkty. Takimi punktami są np. punkty 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9, ...,które dzielą kolejne odcinki na trzy części. Istotnie, łatwo można wykazać, że zbiór C składa się dokład nie ze wszystkich takich punktów x, których rozwinięcie na ułamek nieskoi1czony trójkowy może być napisane w postaci
a1
az
aJ
au
x=3+3+3+···+3+···, gdzie każda spośród liczb a; jest równa O lub 2; natomiast w rozwinięciu trójkowym wszystkich punktów usuniętych co najmniej jedna z liczb a; jest równa 1. Jaki jest wymiar zbioru C? Postępowanie przekątniowe użyte dla udowodnienia nieprzeliczalności zbioru wszystkich liczb rzeczywistych moż na zmodyfikować w taki sposób, aby móc udowodnić to samo o zbiorze C. Wydawałoby się zatem, że zbiór C powinien być jednowymiarowy. Jednakże zbiór C nie zawiera żadnego pełnego odcinka, wobec czego można by sądzić, że zbiór C jest zerowymiarowy, tak jak sko6czony zbiór punktów. Analogicznie można by zapytać, czy zbiór punktów na płaszczyźnie otrzymany przez wystawienie w każdym punkcie wymiernym albo w każdym punkcie cantorowskiego zbioru C odcinka o długości jednostkowej ma być uważany za jednowymiarowy, czy za dwuwymiarowy. Poincare (w 1912 r.) pierwszy zwrócił uwagę na konieczność głębszej analizy i bardziej precyzyjnego definiowania pojęcia wymiaru. Poincare stwierdził, że prosta jest jednowymiarowa, ponieważ można rozdzielić dowolne dwa punkty na niej przecinając ją w jednym punkcie (który ma wy-· miar O), natomiast płaszczyzna jest dwuwymiarowa, ponieważ dla rozdzielenia dowolnych dwóch punktów na płaszczyźnie musimy wyciąć całą krzywą zamkniętą (mającą wymiar 1). Nasuwa to myśl indukcyjnej natury wymiarowości:
Dana przestrze1i jest n-wymiarowa, jeżeli można rozdzielić dwa do-
,,,',,,
.\<,••
246
:;
·'·"''
V. Topologia
wolne jej punkty usuwając podzbiór (n-1)-wyntiarowy i jeżeli podzbiór mniejszego wymiaru nie zawsze do tego celu wystarcza. Indukcyjną definicję wymiaru zawierają w formie ukrytej także Elementy Euklidesa, gdzie figurą jednowymiarową jest taka figura, której brzeg składa się z krzywych, i figurą trójwymiarową taka figura, której brzeg składa się z powierzchni. W ostatnich latach rozwinęła się obszerna teoria wymiaru. Jedna z definicji wymiaru zaczyna od sprecyzowania pojęcia „zbioru punktów, mające go wymiar O". Każdy sko11czony zbiór punktów ma tę własność, że można zamknąć każdy punkt zbioru w obszarze przestrzeni, który możemy uczynić dowolnie małym i który nie zawiera na swym brzegu żadnych punktów tego zbioru. Własność tę przyjmuje się teraz za definicję O-wymiarowości. Dla wygody mówimy, że zbiór pusty, nie zawierający żadnych punktów, ma wymiar -1. W takim razie zbiór punktów S ma wymiar O, jeżeli nie ma wymiarn -1 (tzn. jeżeli S zawiera co najmniej jeden punkt) i jeżeli można zamknąć każdy punkt zbioru S w dowolnie małym obszarze, którego brzeg przecina zbiór S w zbiorze wymiaru - 1 (tzn. którego brzeg nie zawiera żadnego punktu zbioru S). Tak np. zbiór punktów wymiernych na prostej ma wymiar O, ponieważ każdy punkt wymierny można uczynić środkiem dowolnie małego przedziału, którego końcami są punkty niewymierne. Okazuje się, że zbiór C Cantora również ma wymiar O, ponieważ, podobnie jak zbiór punktów wymiernych, powstaje przez usunięcie gęstego zbioru punktów z prostej. Zdefiniowaliśmy dotychczas tylko pojęcie wymiaru -1 i wymiaru O. Definicja wymiaru 1 nasuwa się sama: zbiór punktów S ma wymiar 1, jeżeli nie ma wymiaru - 1 ani O i jeżeli można zamknąć każdy punkt zbioru S w obszarze dowolnie mahjm, którego brzeg przecina zbiór S w zbiorze wymiaru O. Odcinek prostej ma tę własność, ponieważ brzegiem każdego przedziału jest para punktów, będąca zbiorem O-wymiarowym, zgodnie z poprzednią definicją. Ponadto, postępując w ten sam sposób, możemy zdefiniować kolejno poję cia wymiaru 2, 3, 4, 5, ..., z których każdy opiera się na poprzednich definicjach. Tak więc zbiór S ma wymiar 11, jeżeli nie ma niższego wymiaru i jeżeli moż na zamknąć każdy punkt zbioru S w dowolnie mah1m obszarze, którego brzeg przecina zbiór S w zbiorze (n-1)-wymiarowym. Na przykład płaszczyzna ma wymiar 2, ponieważ można zamknąć każdy punkt płaszczyzny wewnątrz dowolnie małego koła, którego obwód ma wymiar 1. 1 W zwykłej przestrzeni żaden zbiór punktów nie może mieć wymiaru większego niż 3, ponieważ każdy punkt przestrzeni można uczynić środkiem dowolnie małej kuli, której powierzchnia ma wymiar 2. Jednakże w matematyce współczesnej uży wa się słowa „przestrzeń" na oznaczenie dowolnego układu przedmiotów, dla których zdefiniowane jest pojęcie „odległości" lub „otoczenia" (por. str. 304) i te abstrakcyjne „przestrzenie" mogą mieć wymiar wyższy niż 3. Pro-
To nie ma być ścisły dowód tego, że płaszczyzna jest dwuwymiarowa zgodnie z naszymi definicjami, przyjmuje się za wiadome, że obwód koła ma wymiar 1 i że płaszczyzna nic ma wymiaru Oani 1. Można jednak podać dowód dla tych faktów i dla faktów analogicznych w większej ilości wymiarów. Dowód ten pokazuje, że definicja wymiaru ogólnego zbioru punktów nic jest sprzeczna ze zwykłym poję ciem wymiaru dla prostych zbiorów. 1
ponieważ
§ 3. Inne przykłady twierdzefi topologicznych
247
stym przykładem jest n-wymiarowa przestrzeń kartezjańska, której „punktami" są uporządkowane układy z liczb rzeczywistych: P = (xl' x 21 x 31 •••, x 11 ), Q = (y1, Y21 Y3' .., Y11),
a „odległość" pomiędzy punktami Pi Q definiuje się jako
Można wykazać, że przestrzeń ta ma wymiar n. O przestrzeni, która nie jest n-wymiarowa przy żadnej całkowitej liczbie n, mówimy, że ma wymiar nieskończoność. Znane są liczne przykłady takich przestrzeni. Jednym z najbardziej interesujących faktów teorii przestrzeni jest na-
stępująca charakterystyczna własność figur 2-, 3- i, ogólnie, n-wymiarowych. Rozpatrzymy najpierw przypadek dwóch wymiarów. Jeżeli podzielimy jakąkolwiek zwykłą figurę dwuwymiarową na dostatecznie małe obszary (zakładamy, że każdy z tych obszarów zawiera swój brzeg), to znajdą się takie punkty, w których stykają się trzy lub więcej obszarów, nie-
zależnie od kształtów tych obszarów. Ponadto istnieją podziały figury, przy których każ dy punkt należy co najwyżej do trzech obszarów podziału. Jeżeli więc dwuwymiaro-
wa figura jest kwadratem, jak na rys. 131, to punkt będzie należał do trzech obszarów 1, 2, 3, natomiast przy tym szczególnym podziale żaden punkt nie należy do więcej niż trzech obszarów. Podobnie, w przypadku Rys. 131. Zagadnienie dachówek trzech wymiarów, można udowodnić, że jeżeli pokryjemy bryłę dostatecznie małymi bryłami, to istnieją zawsze punkty wspólne co najmniej czterem takim bryłom, przy czym dla dobranego odpowiednio podziału nie więcej niż cztery bryły będą miały wspólny punkt. Spostrzeżenia te nasuwają następujące twierdzenie, które zawdzięcza my Lebesgue' owi i Brouwerowi: Jeżeli pokryjemy figurę n-wymiarową w dowolny sposób dostatecznie małymi obszarami, to będą istniały takie punkty, które należą co najmniej do n+ 1 tych obszarów; ponadto można zawsze znaleźć taki sposób pokrycia dowolnie małymi obszarami, że żaden punkt nie będzie należał do wię cej niż n+ 1 obszarów. Ze względu na rozważany tutaj sposób pokrywania twierdzenie to jest znane jako twierdzenie o „pokrywaniu dachówkami". Charakteryzuje ono wymiar każdej figury geometrycznej: te figury, dla których twierdzenie jest prawdziwe, są n-wymiarowe, natomiast wszystkie inne figury mają jakąś inną ilość wymiarów. Z tego powodu można wspomniane twierdzenie przyjąć za definicję wymiaru, jak to czynią niektórzy autorzy. Wymiar każdego zbioru jest cechą topologiczną tego zbioru; żadne dwie figury o różnych wymiarach nie mogą być topologicznie równoważne. Jest to słyn-
V. Topologia
248
ne twierdzenie topologiczne o „niezmienności wymiaru", które nabiera znaczenia w połączeniu z faktem na str. 100, że zbiór punktów w kwadracie ma tę samą liczbę kardynalną, co zbiór punktów na odcinku prostej. Zdefiniowana tam odpowiedniość nie jest topologiczna, ponieważ nie są zachowane warunki ciągłości. 4*. Twierdzenie o punkcie stałym. W zastosowaniach topologii do innych gamatematyki twierdzenia o „punkcie stałym" odgrywają ważną rolę. Typowym przykładem jest następujące twierdzenie Brouwera. Jest ono intuicyjnie znacznie mniej oczywiste niż większość faktów topologicznych. Rozważmy tarczę kołową na płaszczyźnie. Rozumiemy przez to obszar złożony z wnętrza pewnego koła łącznie z jego obwodem. Przypuśćmy, że punkty tarczy poddajemy pewnemu ciągłemu przekształceniu (które może nie być nawet wzajemnie jednoznaczne), przy którym każdy punkt pozostaje w obrębie tarczy, chociaż przyjmuje inne położenie. Tak np. cienką tarczę gumową można ściągać, obracać, zaginać, rozciągać lub deformować w dowolny sposób, byle tylko końcowe położe nie każdego punktu tarczy leżało w obrębie jej pierwotnego obwodu. Tak samo, kiedy wprawiamy w ruch ciecz w szklance mieszając ją w taki sposób, że cząsteczki na powierzchni pozostają na powierzchni, ale przechodzą w inne położenie, to w każ dej chwili położenie cząsteczek na powierzchni określa pewne przekształcenie cią głe pierwotnego rozmieszczenia cząsteczek. Otóż twierdzenie Brouwera głosi, że: Każde ciągle przekształcenie kola pozostawia co najmniej jeden punkt stały; znaczy to, że istnieje co najmniej jeden taki punkt, którego położenie po przekształceniu jest takie samo, jak położenie pierwoh1e. (W przykładzie powierzchni cieczy punkt stały na ogół będzie zmieniał się z czasem, chociaż przy zwykłym ruchu obrotowym stały jest zawsze środek). Dowód istnienia punktu stałego jest typowy dla rozumowań stosowanych przy dowodzeniu wielu twierdzeń topologicznych. Rozważmy tarczę przed przekształceniem i po nim i załóżmy, niezgodnie z twierdzeniem, że żaden punkt nie pozostaje stały, tj. że przy przekształceniu każdy punkt przechodzi w inny punkt wewnątrz koła lub na jego obwodzie. Z każdym punktem P pierwotnej tarczy (rys. 132) związujemy małą strzałkę lub „wektor" wskazujący kierunek PP', gdzie P' jest obrazem punktu P przy tym przekształceniu. W każdym punkcie tarczy mamy taką strzał P'...----__, p kę, ponieważ założyliśmy, że każdy punkt przybiera inne położenie. Rozważmy teraz punkty obwodu koła oraz związane z nimi wektory. Wszystkie te wektory są skierowane do koła, ponieważ z założe nia żaden punkt nie przechodzi w punkt położony na zewnątrz koła. Zacznijmy od pewnego punktu Pl' położonego na brzegu, i poruszajmy się w kieRys. 132. Wektory przekształcenia runku przeciwnym ruchowi wskazówek zegara po obwodzie koła. W takim razie kierunek wektora bę dzie się zmieniał, ponieważ z różnymi punktami na obwodzie są związane wektory różnie skierowane. Można pokazać kierunki tych wektorów rysując strzałki równoległe do nich wychodzące z jednego punktu na płaszczyźnie. Zauważmy, że łęzi
··-
\
§ 3. Inne przykłady twierdzdz topologicznych
249
gdy przewędrujemy obwód jeden raz od punktu P 1 z po~rot_em do p~nkt1:1 P}' to wektor obraca się i powraca do swego pierwotnego połozema. Nazw1imy dosć pełnych obrotów wektora „inde~sem" ;vektorów_na obwodzie, ~ówi_ąc ś~iślej, de: finiujmy indeks jako sumę algebraiczną rożnych zmian kąta wektorow, tj. kazdą ~zęśc obrotu odbywającą się w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara bierze się ze znakiem minus, natomiast każdą część o kierunku przeciwnyr:1 rucho.wi_ ws~ zówek zegara uważa się za dodatnią. Indeks jest saldem netto, ktore a prwrz moze być jedną z liczb O, ±1, ±2, ±3, „., co odpowi_ada c~łkowitej zm.ianie kąta_ o O, ±_360, ±720, „. stopni. Otóż twierdzimy, że indeks iest rowny 1; tzn. ze całkowita zmiana kierunku strzałki równa się dokładnie jednemu pełnemu obrotowi w kierunku dodatnim. Aby to wykazać, przypominamy, że wektor przekształcenia w każdym punkcie P obwodu koła jest skierowany za~sze do w:iętrza koła,_ a nigdy ~zdłuż stycznej. Otóż jeżeli wektor przekształcema obraca się o całkowity kąt rózny od
16
Rys. 133
całkowitego kąta obrotu wektora stycznego (który to kąt wynosi 360°, ponieważ wektor styczny wykonuje oczywiście jeden obrót
250
::r·
o
V. Topologia
tu do punktu w obrębie tarczy. Jednak indeks może przybierać tylko wartości cał kowite, zatem musi być stale równy pierwotnej wartości 1, ponieważ skok z 1 na jakąś inną liczbę całkowitą stanowiłby nieciągłość w przebiegu indeksu. (Wniosek, że wielkość, która zmienia się w sposób ciągły, ale może przybierać tylko wartości całkowite, musi być stała, jest typową cząstką rozumowania matematycznego, występującą w wielu dowodach). Możemy więc znaleźć dowolnie małe kółko współ środkowe, dla którego indeks odpowiednich wektorów przekształcenia wynosi 1. To jest jednak niemożliwe, ponieważ wobec założenia ciągłości przekształcenia wektory na dostatecznie małym okręgu będą skierowane wszystkie w przybliże niu tak samo, jak wektor w środku okręgu. Zatem można uczynić ogólne saldo zmian ich kątów dowolnie małym, np. mniejszym od 10°, biorąc dostatecznie mały okrąg. Wobec tego indeks, który musi być liczbą całkowitą, jest równy zeru. Sprzeczność ta dowodzi, że nie do przyjęcia jest nasza hipoteza, że nie ma punktu stałego przy przekształceniu, wobec czego twierdzenie zostało udowodnione. Udowodnione przed chwilą twierdzenie jest prawdziwe nie tylko dla tarczy koła, ale taicie dla obszaru trójkątnego czy kwadratowego, czy jakiejkolwiek innej powierzchni będącej obrazem tarczy otrzymanym przez przekształcenie topologiczne. Jeżeli bowiem A jest dowolną figurą związaną z tarczą koła za pomocą przekształcenia wzajemnie jednoznacznego i ciągłego, to przekształcenie figury A na samą siebie, które nie miałoby punktu stałego, definiowałoby przekształcenie cią głe tarczy na siebie, bez punktu stałego, które - jak udowodniliśmy- jest niemożliwe. Twierdzenie jest prawdziwe również w trzech wymiarach dla pełnych kul lub sześcianów, ale dowód nie jest taki prosty. Chociaż twierdzenie Brouwera o punkcie stałym nie jest intuicyjnie zbyt oczywiste, to jednak można łatwo wykazać, że jest ono bezpośrednim wnioskiem z następującego faktu, którego prawdziwość jest intuicyjnie oczywista. Nie można przekształcić w sposób ciągły tarczy koła na sarn tylko obwód w taki sposób, żeby wszystkie punkty obwodu pozostały stałe. Wykażemy, że istnienie przekształcenia tarczy koła na sarną siebie, bez punktu stałego byłoby sprzeczne z tym faktem. Przypuść my, że PHP' jest takim właśnie przekształceniem; dla każdego punktu P koła moglibyśmy wtedy poprowadzić strzałkę zaczynającą się w P' i przechodzącą przez P aż do przecięcia obwodu koła w pewnym punkcie P*. W takim razie PHP* byłoby przekształceniem ciągłym tarczy koła na sarn jej obwód, przy którym wszystkie punkty obwodu byłyby stałe, co jest sprzeczne z założeniem, że przekształce nie takie jest niemożliwe. Można zastosować analogiczne rozważania dla udowodnienia twierdzenia Brouwera w przypadku kuli lub sześcianu. Łatwo zauważyć, że dla pewnych figur geometrycznych możliwe są przekształ cenia ciągłe tych figur samych na siebie, przy których nie ma punktów stałych. Tak np. dla obszaru w kształcie pierścienia zawartego pomiędzy dworna kołami współ środkowymi, przekształceniem ciągłym bez punktu stałego jest obrót dokoła środ ka o dowolny kąt nie będący wielokrotnością 360°. Powierzchnia kuli (sfera) dopuszcza przekształcenie ciągłe bez punktu stałego polegające na przejściu każde go punktu w punkt diametralnie przeciwległy. Można jednak udowodnić, rozumując podobnie jak w przypadku koła, że każde przekształcenie ciągłe, przy którym żaden punkt nie przechodzi w punkt diametralnie przeciwległy (np. dowolna mała deformacja), ma punkt stały.
§ 4. Topologiczna klasyfikacja powierzchni
251
Twierdzenia o punktach stałych tego rodzaju dają skuteczną metodę dowodzenia wielu matematycznych „twierdzeń o istnieniu", które na pierwszy rzut oka zdają się nie mieć charakteru geometrycznego. Słynnym przykładem jest twierdzenie o punkcie stałym, postawione jako hipoteza przez Poincarego w 1912 roku, na krótko przed jego śmiercią. Bezpośrednim wnioskiem z tego twierdzenia jest istnienie nieskończonej ilości orbit periodycznych w ograniczonym probiernie trzech ciał. Poincare nie zdołał udowodnić swojej hipotezy i dużym osiągnięciem matematyki amerykańskiej było podanie w następnym roku dowodu przez G. D. Birkhoffa. Odtąd stosowano metody topologiczne z wielkim powodzeniem do badania jakościowego zachowania się układów dynamicznych. 5. Węzły. Kończąc omawianie przykładów można wskazać, że badanie węzłów trudne zagadnienia matematyczne o charakterze topologicznym. Węzeł otrzymuje się z kawałka sznura przez robienie na nim pętli i przeplatanie go, po czym łączymy jego koflce. Otrzymana stąd krzywa zamknięta przedstawia figurę geometryczną, która pozostaje w zasadzie taka sama, nawet jeżeli deformujemy ją przez rozciąganie lub zginanie nie przerywając sznura. Ale jak można podać istotne cechy, które odróżniają krzywą zamkniętą splecioną w węzeł od krzywej nie splecionej, takiej jak okrąg? Odpowiedź nie jest bynajmniej prosta, a jeszcze mniej prosta jest pełna matematyczna analiza różnych rodzajów węzłów i różnic pomię dzy nimi. Nawet w najprostszym przypadku okazało się to zadaniem niemałym. Rozpatrzmy dwa węzły w kształcie liścia koniczyny pokazane na rys. 134. Te dwa nastręcza
Rys. 134. Węzły topologicznie
równoważne,
których nie
można zdeformować
jeden w drugi
węzły są całkowicie symetrycznymi „odbiciami zwierciadlanymi" jeden w stosunku do drugiego i są topologicznie równoważne, ale nie są przystające. Powstaje zagadnienie, czy można zdeformować w sposób ciągły jeden z tych węzłów w drugi. Odpowiedź jest przecząca, ale dowód tego wymaga znacznie więcej wiadomości z topologii i teorii grup niż można by podać w tym miejscu.
§ 4. Topologiczna klasyfikacja powierzchni 1. Rodzaj powierzchni. Przy badaniu powierzchni dwuwymiarowych wywiele prostych, lecz ważnych faktów topologicznych. Porównajmy np. powierzchnię kuli z powierzchnią torusa. Z rysunku 135 widać jasno, że te dwie powierzchnie różnią się w sposób zasadniczy: na powierzchni kuli, tak jak na płaszczyźstępuje
252
§ 4. Topologiczna klasyfikacja powierzchni
V. Topologia
253
wierzchnie „jednostronne"). Tak np. obwarzanek z dwoma otworami i koło z dwoma „uchwytami" z rys. 137 są to dwie powierzchnie zamknięte rodzaju 2 i jest rzeczą oczywistą, że można zdeformować każdą z tych powierzchni w drugą w spo-
nie, każda krzywa zwykła zamknięta taka, jak krzywa C, dzieli powierzchnię kuli na dwie części. Natomiast na torusie istnieją krzywe zamknięte, jak np. krzywa C', które nie dzielą powierzchni na dwie części. Jeżeli mówimy, że krzywa C dzieli kulę na dwie części, znaczy to, że kula rozcięta wzdłuż krzywej C rozpadnie się na dwie różne i oddzielne części, inaczej mówiąc, możemy znaleźć na kuli dwa takie punkty, że każda krzywa na kuli łącząca te punkty musi przeciąć krzywą C. Z drugiej strony, jeżeli przetniemy torus wzdłuż krzywej zamkniętej C', to powstająca stąd powierzchnia w dal-
Rys. 137. Powierzchnie rodzaju 2
sób ciągły. Wobec tego, że babka op otworach albo jej równoważnik, kula op uchwytach, mają rodzaj p, możemy przyjąć którąkolwiek z tych powierzchni za przedstawiciela topologicznego wszystkich powierzchni zamkniętych rodzaju p.
;i(
2*. Eulerowska charakterystyka powierzchni. Przypuśćmy, że dzielimy poS rodzaju p na pewną ilość obszarów zaznaczając na S pewną ilość wierzchołków i łącząc je łukami krzywych. Wykażemy, że wierzchnię zamkniętą
'i
(1)
gdzie V oznacza ilość wierzchołków, E - ilość łuków, F - ilość obszarów. Liczbę 2-2p nazywamy charakterystyką Eulera dla powierzchni S. Widzieliśmy już, że dla kuli jest V- E + F = 2, co zgadza się ze wzorem (1 ), gdyż dla kuli p = O. Dla udowodnienia ogólnego twierdzenia (1) możemy założyć, że Sjest kulą op uchwytach. Jak bowiem stwierdziliśmy, każdą powierzchnię rodzaju p można zdeformować w sposób ciągły w taką powierzchnię i w toku tej deformacji liczby V- E + F oraz 2- 2p nie ulegną zmianie. Wybierzemy taką deformację, żeby krzywe zamknięte A1, A2, Bl' B2, .„, wzdłuż których uchwyty łączą się z kulą, były łukami przy danym podziale. (Odwołujemy się do rys. 138, który przedstawia dowód w przypadku p = 2).
Rys. 135
szym ciągu stanowi jedną całość; każdy punkt powierzchni można połączyć z każdym innym punktem za pomocą krzywej nie przecinającej krzywej C'. Ta różnica pomiędzy kulą i torusem oznacza, że te dwa typy powierzchni są topologicznie różne, i okazuje, że nie można zdeformować jednej z nich w drugą w sposób ciągły. Rozważmy teraz powierzchnię z dwoma otworami, pokazaną na rys. 136. Na tej powierzchni możemy poprowadzić dwie nie przecinające się krzywe zamknięte A i B, które nie rozcinają powierzchni. Z drugiej strony, trzy nie przecinające się krzywe zamknięte zawsze rozcinają powierzchnię z dwoma otworami. Nasuwa to myśl zdefiniowania rodzaju powierzchni jako największej liczby nie Rys. 136. Powierzchnia rodzaju 2 przecinających się krzywych zwykłych zamkniętych, które można poprowadzić na powierzchni nie rozcinając jej. Rodzaj sfery wynosi O, rodzaj torusa jest 1, natomiast rodzaj powierzchni z rys. 136 jest 2. Podobna powierzchnia z p otworami ma rodzaj p. Rodzaj jest topologiczną wła snością powierzchni i pozostaje bez zmiany przy deformacji powierzchni. Odwrotnie, można wykazać (dowód pomijamy), że jeżeli dwie powierzchnie zamknięte mają · ten sam rodzaj, to można zdeformować jedną z nich w drugą; rodzaj p =O, 1, 2, ... powierzchni zamkniętej charakteryzuje więc ją całkowicie z punktu widzenia topologicznego. (Zakładamy, że rozważane powierzchnie są zwykłymi „dwustronnymi" powierzchniami zamkniętymi. W punkcie 3 tego paragrafu rozpatrzymy po-
V-E+F=2-2p,
Rys. 138
'\
Przetnijmy teraz powierzchnię S wzdłuż krzywych Az, B2, „., i rozprostujmy uchwyty. Każdy uchwyt będzie miał wolny brzeg ograniczony nową krzywą A*, B*, ... przy tej samej ilości wierzchołków i łuków jak Az, B2, ••• ,odpowiednio. Stąd wartość V - E + F nie zmieni się, ponieważ dodatkowe wierzchołki dokładnie równoważą dodatkowe łuki, natomiast nie powstają żadne nowe obszary. Deformujemy następnie powierzchnię spłaszczając wystające uchwyty, aby otrzymać
254
V. Topologia
§ 4. Topologiczna klasyfikacja powierzchni
po prostu kulę, z której usunięto 2p obszarów. Wiemy, kuli V- E + F jest równe 2, wobec czego
że
przy
każdym
podziale
całej
V-E+F=2-2p dla kuli, z której usunięto 2p obszarów, a więc także dla pierwotnej kuli z p uchwytami, co było do okazania. Rysunek 121 przedstawia zastosowanie wzoru (1) do powierzchni S złożonej z płaskich wielokątów. Powierzchnię tę można zdeformować w sposób ciągły w torus, wobec czego rodzaj p wynosi 1 i mamy 2-2p=2-2=0. Jak można przewidzieć, na podstawie wzoru (1), jest V-E+F=16-32+16=0. Ćwiczenie. Podzielić obwarzanek o dwóch otworach z rys. 137 na obszary
i wykazać, że
V-E+F= -2. 3. Powierzchnie jednostronne. Zwykła powierzchnia ma dwie strony. Dotyczy to zarówno powierzchni zamkniętych jak kula czy torus, jak też powierzchni ograniczonych krzywymi, jak tarcza koła lub torus, z którego część została wycięta. Dwie strony takiej powierzchni można pomalować różnymi kolorami, aby je rozróżnić. Jeżeli powierzchnia jest zamknięta, to kolory nigdzie się nie stykają. Jeżeli powierzch-
255
nia jest ograniczona krzywymi, to oba kolory stykają się tylko wzdłuż krzywych. Chrabąszcz, pełznący po takiej powierzchni, pozostałby zawsze po tej samej stronie, gdyby mu nie pozwolono przejść przez te ograniczające krzywe, jeżeli one istnieją. Mobius odkrył niespodziany fakt, że istnieją powierzchnie mające tylko jedną stronę. Najprostszą taką powierzchnią jest tak zwana wstęga Mobiusa, którą można utworzyć biorąc długi prostokątny pasek papieru i sklejając oba jego końce po obróceniu jednego z nich o 180", jak na rys. 139. Chrabąszcz pełznący po tej powierzchni i trzymający się zawsze środka paska powróci do swego pierwotnego położenia - głową w dół. Wstęga Mobiusa ma tylko jeden brzeg, gdyż jest ograniczona jedną krzywą zamkniętą. Zwykła powierzchnia dwustronna, utworzona przez sklejenie obu końców paska bez skręcania, ma dwie różne krzywe ograniczające. Jeżeli przetniemy ten pasek wzdłuż linii środkowej, to rozpadnie się na dwa różne paski tego samego rodzaju. Jeżeli natomiast przetniemy wstęgę Mobiusa wzdłuż tej linii (pokazanej na rys. 139), to otrzymamy znowu jeden „kawałek". Rzadko się zdarza, żeby ktoś nie obznajmiony ze wstęgą Mobiusa przewidział takie jej zachowanie się, tak przeciwne intuicyjnemu wyobraże niu o tym, co „powinno" nastąpić. Jeżeli powierzchnię powstałą z przecięcia wstęgi Mobiusa wzdłuż linii środkowej przetniemy znowu wzdłuż linii środkowej, to powstaną dwie oddzielne, ale splecione ze sobą wstęgi. Przecinanie takich pasków równolegle do brzegu w 1/2, 1/3 itd. szerokości jest fascynującą zabawą. Brzeg wstęgi Mobiusa jest niezawęźloną krzywą zamkniętą, którą można zdeformować w krzywą płaską, np. w okrąg. Przy deformacji pasek może przecinać
A
52 Rys. 140. Czapa krzyfowa
Rys. 139. Sporządzanie
wstęgi
Mobiusa
Rys. 141a
się sam ze sobą tak, że powstaje jednostronna powierzchnia przecinająca się sama ze sobą jak na rys. 140, znana pod nazwą czapy krzyżowej. Miejsce geometryczne punktów przecięcia paska ze sobą uważamy za dwie odrębne krzywe, z których każda należy do jednej z dwóch części powierzchni, która w tym miejscu się przecina. Zachowana jest jednostronność wstęgi Mobiusa, ponieważ własność ta jest topologiczna; powierzchni jednostronnej nie można zdeformować w sposób cią gły w powierzchnię dwustronną. Co dziwniejsze, można dokonać deformacji w taki sposób, żeby brzeg wstęgi Mobiusa stał się płaski, np. trójkątny, natomiast wstęga nigdzie nie będzie przecinała się sama ze sobą. Rysunek 141a pokazuje taki model opracowany przez B. Tuckermanna: brzegiem jest trójkąt stanowiący
połowę się
z
§ 4. Topologiczna klasyfikacja powierzchni
V. Topologia
256
kwadratu
przekątniowego ośmiościanu
foremnego; sarna wstęga składa i z czterech trójkątów prostokątnych, z których część powierzchni przekątnej (rys. 14lb).
sześciu ścian ośmiościanu
każdy
stanowi czwartą
D
D
cej, o jedną krawędź więcej i mający tę sarną ilość obszarów, co wstęga Mobiusa. Dla prostokąta V - E + F =1, jak udowodniliśmy na str. 236. Stąd dla wstęgi Mobiusa V-E + F =O. Jako ćwiczenie zechce czytelnik uzupełnić ten dowód. Znacznie łatwiej jest badać naturę topologiczną powierzchni tego rodzaju za pomocą wielokątów płaskich, w których pewne pary krawędzi zostały w myśli zidentyfikowane (porównaj dodatek do rozdziału IV, punkt 3). Na wykresach z rys. 143 należy doprowadzić strzałki równoległe do pokrycia się - efektywnego lub myślowego - co do położenia i kierunku.
D
E
c
257
A
B
Rys. 141b. Wstęga Mobiusa o
płaskim
A brzegu
Inną ciekawą powierzchnią jednostronną jest butelka Kleina (rys. 142). Powierzchnia ta nie ma wnętrza ani zewnętrza. Jest ona topologicznie równoważna dwóm czapom krzyżowym stykającym się brzegami.
płaskich
Ta metoda identyfikacji może być użyta również do definiowania trójwymiarowych tworów zamkniętych, analogicznych do dwuwymiarowych powierzchni zamkniętych. Tak np. jeżeli zidentyfikujemy odpowiadające sobie punkty na przeciwległych ścianach sześcianu (rys. 144), to otrzymamy twór trójwymiarowy zamknięty, który nazywamy torusem trójwymiarowym. Twór ten jest topologicznie równoważny części przestrzeni zawartej pomiędzy dwoma współśrodkowymi powierzchniami torusów, z których jedna leży wewnątrz drugiej i w których identyfikuje się odpowiednie punkty obu powierzchni torusów (rys. 145). Ten ostatni twór otrzymujemy bowiem z sześcianu doprowadzając myślowo do pokrycia się dwóch par zidentyfikowanych ścian.
Można wykazać, że każda
zamknięta
powierzchnia jednostronna rodzaju p = 1, 2, ... , jest topologicznie równoważ na kuli, z której usunięto p tarcz i zastąpiono je czapami krzyżowymi. Wynika stąd zła twością, że charakterystyka eulerowska V - E + F takiej powierzchni jest związana z wielkością p za pomocą równania V-E+F=2-p.
Rys. 143. Powierzchnia zamknięta zdefiniowana przez przyporządkowanie krawędzi w figurach
Rys. 142. Butelka Kleina
Dowód jest analogiczny jak dla powierzchni dwustronnych. Wykazujemy najpierw, że charakterystyka Eulera dla czapy krzyżowej lub wstęgi Mobiusa jest O. W tym celu zauważmy, że przecinając w poprzek wstęgę Mobiusa podzieloną na pewną ilość obszarów, otrzymujemy prostokąt zawierający o dwa wierzchołki wię-
258
V. Topologia
Dodatek do rozdziału V oB I
:
: i
l ,...,,...,..-·
I
,...-
,.. ... "
. . ~ .... r I
ł
i 1 C l(.----------+-}---------------- ·-~:;r-::::~'~--0 \
o...-
:
: :
l
!!
:
! ~ c0,... // I
!
....
........... -
I
J1::··-- ---~--- --- --- --f--1---- -- ----------· - ----oA ' - r--'l I' .-·----- -- - - - - ·-- . ------ - - ---- ---------- „ ... ł
I
,.."
I
:„„„... ..... r I
_,,-,,,-
/
,,."' ,,"'
ł
l
,. l
'
!o 1*.Twierdzenie o pięciu barwach. Na podstawie wzoru Eulera możemy udo-
Rys. 144. Trójwymiarowy torus zdefiniowany przez identyfikację punktów brzegowych
wodnić, że każda
mapa na powierzchni kuli może być w sposób właściwy pokolorowana przy użyciu co najwyżej pięciu różnych barw. (Zgodnie z rozważaniami ze str. 242 uważamy mapę za pokolorowaną w sposób właściwy, jeżeli żadne dwa obszary mające wspólną część brzegu nie mają tej samej barwy). Rozpatrzmy tylko mapy, których obszary są ograniczone prLez zwykłe zamknięte wielokąty złożone z łuków okrę gów. Możemy również założyć, że w każdym wierzchołku spotykają się dokładnie trzy łuki; taką mapę będziemy nazywali regularną. Jeżeli bowiem zastąpimy każdy wierzchołek, w którym spotyka się więcej niż trzy łuki, przez małe koło i połączymy wnę trze każdego koła z jednym spośród obszarów stykających się w wierzchołku, to otrzymujemy nową mapę, w której wierzchołki wielokrotne zostały zastąpione pewną liczbą wierzchołków h·zykrotnych. Nowa mapa będzie zawierała tę sarną ilość obszarów, co mapa pierwotna. Jeżeli tę nową mapę, która jest regularna, można pokolorować w sposób właściwy pięcioma barwami, to kurcząc koła do punktów otrzymamy żąda ne pokolorowanie mapy pierwotnej. Wystarczy zatem udowodnić, że każda mapa regularna na powierzchni kuli daje się pokolorować pięcioma barwami. Wykażemy najpierw, że każda mapa regularna musi zawierać co najmniej jeden wielokąt mający mniej niż sześć boków. Przez F 11 oznaczamy ilość obszarów o n bokach w mapie regularnej; jeżeli wtedy F oznacza ogólną ilość obszarów, to
Rys. 145. Inne przedstawienie trójwymiarowego torusa. (Figura została przecięta dla pokazania sposobu identyfikacji)
(1) l
I
Każdy łuk jeżeli
ma dwa końce, a trzy łuki kończą się w każdym wierzchołku. Zatem, E oznacza ilość łuków na mapie, a V ilość wierzchołków, to
(2)
2E=3V.
Ponadto obszar ograniczony n łukami ma n do trzech obszarów, a więc
wierzchołków,
należy
(3)
2E =3V=2F2 +3F3 +4F4 + „.
a
każdy wierzchołek
,,
'
260
Dodatek do
rozdziału
V
261
Na podstawie wzoru Eulera mamy
V-E+F=2,
czyli
6V-6E+6F=12.
Ze wzoru (2) widzimy, że 6V=4E, a więc 6F-2E = 12.
Stąd,
wobec (1) i (3),
6(F2 + F3 + F4 + ... )-(2F2 +3F3 +4F4 + ... )=12,
czyli (6-2)F2 + (6-3)F3 + (6-4)F4 + (6-5)F5 + (6-6)F6 + (6-7)F7 + ... = 12.
I
Zatem co najmniej jeden składnik po lewej stronie musi być dodatni, a więc co najmniej jedna z liczb F2, E3, F4, F5 jest dodatnia, co chcieliśmy udowodnić. Udowodnimy teraz twierdzenie o pięciu barwach. Niech M będzie dowolną mapą regularną na powierzchni kuli, mającą łącznie n obszarów. Wiemy, że co najmniej jeden z tych obszarów ma mniej niż sześć boków. PRZYPADEK 1. M zawiera obszar A mający 2, 3 lub 4 boki. W tym przypadku usuwamy granicę pomiędzy A i jednym z obszarów przyległych. Geżeli obszar A ma 4 boki, to jeden z pozostałych obszarów może go „okrą żać" i dotykać wzdhtż dwóch niestykających się boków. W tym przypadku z twierdzeniaJorda. ' na o krzywych wynika, że obszary dotykające A dwóch pozostałych boków obszaru A są różne i wtedy usuwamy granicę pomiędzy A i jednym M M' z tych ostatnich obszarów). Rys. 146 Otrzymana stąd mapa M' jest mapą regularną z 11- l obszarami. Jeżeli można pokolorować w sposób właściwy mapę M' pięcioma barwami, to można to samo zrobić z mapą M. Wobec tego, że co najwyżej 4 obszary stykają się z obszarem A, możemy zawsze znaleźć piątą barwę na obszar A. PRZYPADEK 2. M zawiera obszar A o pięciu bokach. Rozważmy pięć obszarów przylegających do A i oznaczmy je przez B, C, D, E, F. Możemy zawsze znaleźć wśród nich takie dwa, które nie stykają się; jeżeli bowiem np. stykają się obszary B i D, to wyklucza to zetknięcie się obszaru C zarówno z E, jak też z F, ponieważ każda droga prowadząca z C do E lub F będzie musiała przejść co najmniej przez jeden z obszarów A, Bi D (rys. 147). Gasne jest, że fakt ten również wynika w sposób istotny z twierdzenia Jordana o krzywych, które dotyczy płaszczyzny lub powierzchni kuli. Nie zachodzi to np. dla torusa). Możemy zatem przyjąć, że dajmy na to obszary Ci F nie stykają się. Usuwamy boki obszaru A przylegające do Ci F, tworząc nową mapę M' o n - 2 obszarach, która również jest regularna. Jeżeli nową mapę można pokolorować w sposób właściwy pięcioma barwami, to można pokolorować tak samo mapę M. Jeżeli bowiem przywrócimy granice, to obszar A będzie się stykał co najwyżej z czterema różnymi barwami, ponieważ Ci F mają tę samą barwę, a zatem możemy znaleźć piątą barwę dla A. Zatem w każdym przypadku, jeżeli M jest mapą regularną o n obszarach, to może my zbudować nową mapę regularną M' mającą n-1 lub n- 2 obszarów i taką, że jeże-
Ut
li można pokolorować mapę M' pięcioma barwami, to można pokolorować również mapę M. Postępowanie to można zastosować dalej do mapy M' itd., co prowadzi do pewnego ciągu map powstających z mapy M: M, M', M", ... Wobec tego, że ilość obszarów w mapach tego ciągu stale się zmniejsza, musimy ostatecznie dojść do mapy mającej pięć lub mniej obszarów. Mapę taką zawsze można pokolorować co najwyżej pięcioma barwami. Stąd, wracając krok za krokiem do mapy M, widzimy, że samą mapę M można pokolorować pięcioma barwami. W ten sposób dowód M' zostałzakończony.Zaznaczamy,żedowód ten M Rys. 147 jest konstruktywny, ponieważ daje możliwą w . pełni do zastosowania, chociaż żmudną, metodę efektywnego kolorowarua map z n obszarami w skończonej ilości kroków. 2. Twierdzenie Jordana o krzywych w przypadku wielokątów. Twierdzenie Jordana o krzywych głosi, że każda krzywa zwykła zamknięta C dzieli punkty płasz czyzny nie należące do C na dwa obszary rozłączne (nie mające wspólny.eh pun~ tów), których wspólnym brzegiem jest krzywa C.Podamy dowód tego tw1erdzema . . w przypadku, gdy C jest zamkniętym wielokątem P. Wykażemy, że punkty na płaszczyźnie nie należące do P rozpadają się na dwie klasy A i B takie, że dowolne dwa punkty tej samej klasy można połączyć za pomocą linii nie przecinającej wielokąta P, natomiast każda droga łącząca punkt klasy A z punktem klasy B musi przeciąć wielokąt P. Klasa A będzie stanowiła „zewnętrze" wielokąta, natomiast klasa B będzie stanowiła jego „wnętrze". Rozpoczynamy dowód obierając na płaszczyźnie ust~lony kierun;k, nie ~ó';~ noległy do żadnego z boków wielokąta P. Wobec tego, z~ P ~a skoncz~ną ilosc boków, jest to zawsze możliwe. Definiujemy teraz klasy A 1 B, Jak następuje: Punkt p należy do klasy A, jeżeli półprosta wychodząca z punktu p w ustalonym kierunku przecina wielokąt P w parzystej ilości O, 2, 4, 6, ... punktów. Punkt p należy do klasy B, jeżeli promień poprowadzony przez p w ustalonym kierunku przecina P w nieparzystej ilości 1, 3, 5, „. punktów. Jeżeli chodzi o promienie przecinające wielokąt P w wierzchołkach, to nie będziemy liczyli przecięcia w tym wierzchołku, w którym oba boki wielokąta P wychodzące z niego leżą po tej samej Rys. 148. Liczenie przecięć stronie promienia; będziemy natomiast liczyli przecięcie w wierzchołku, jeżeli te dwa boki leżą po przeciwnych stronach promienia. Będziemy mówili, że dwa punkty p i q mają tę samą parzystość, jeżeli należą do tej samej klasy A lub B.
262
Dodatek do
Zauważmy
rozdziału
V
263 tów wykonanych przez strzałkę poprowadzoną z punktu p0 do punktu ruchomego p na krzywej przy jednorazowym przebyciu krzywej przez punk" t p. Oznaczamy przez A - wszystkie punkty p0 nie leżące na P mające rząd parzysty względem P, B - wszystkie punkty Po nie leżące na P mające rząd nieparzysty wzglę dem P. Klasy A i B zdefiniowane w taki sposób stanowią odpowiednio zewnętrze i wnętrze wielokąta P. Przeprowadzenie tego dowodu w szczegółach pozostawiamy jako ćwiczenie.
najpierw, że wszystkie punkty leżące na odcinku prostej nie przeci-
nającym wielokąta P mają tę samą parzystość. Parzystość punktu p poruszającego się wzdhiż
takiego odcinka może się bowiem zmieniać tylko wtedy, gdy promień przeustalonym kierunku przechodzi przez wierzchołek wielokąta P, a w żadnym z dwóch możliwych przypadków parzystość nie zmieni się wobec zało żenia przyjętego w poprzednim paragrafie. Wynika stąd, że jeżeli połączymy dowolny punkt p1 klasy A z dowolnym punktem p2 klasy B drogą mającą kształt wielokąta, to ta droga musi przeciąć P, ponieważ w przeciwnym przypadku parzystość wszystkich punktów drogi, w szczególności punktów p1 i p2' byłaby ta sama. Możemy ponadto wykazać, że dowolne punkty tej samej klasy A lub B można połączyć drogą w postaci wielokąta nie przecinającą P. Oznaczmy te dwa punkty przez pi q. Jeżeli odcinek prostej pq łączący p z q nie przecina P, to jest on żądaną drogą. W przeciwnym razie niech p' będzie pierwszym punktem przecięcia tego odcinka w wielokątem P, a q' - ostatnim takim punktem (rys. 149). Budujemy drogę zaczynającą się od p wzdłuż odcinka pp', następnie skręcającą tuż przed punktem p' i idącą wzdłuż P, dopóki Pnie dojdzie znów do odcinka pq w punkcie q'. Jeżeli potrafimy dowieść, że droga ta przetnie odcinek pq, pomiędzy punktami q' i q, a nie pomię dzy p' i q', to można będzie ją przedłużyć do q •o-r-~--..---.--~~-~ wzdłuż odcinka q' q nie przecinając P. Jasne jest, q że dowolne dwa punkty r i s dostatecznie bliskie, lecz położone po przeciwnych stronach Rys. 149 pewnego odcinka wielokąta P, muszą mieć różchodzący przez p w
;i(.
ną parzystość, ponieważ promień przechodzą
cy przez r przernie P w jednym punkcie więcej niż promień przechodzący przez s. Widzimy więc, że parzystość zmienia się, gdy idąc wzdłuż odcinka pq przechodzimy przez punkt q'. Wynika stąd, że droga zaznaczona linią przerywaną przecina odcinek pq pomiędzy q' i q, ponieważ punkty pi q (a stąd wszystkie punkty na linii przerywanej) mają tę samą parzystość. W ten sposób zakończyliśmy dowód twierdzenia Jordana o krzywych w przypadku wielokąta P. „Zewnętrze" wielokąta P można teraz zidentyfikować jako klasę A, jeżeli bowiem po dowolnym promieniu przejdziemy dostatecznie daleko w ustalonym kierunku, to dotrzemy do takiego punktu, za którym nie będzie już przecięcia z wielokątem P, tak że wszystkie punkty będą miały parzystość O, a więc należą do A. Zatem „wnętrze" wielokąta P jest identyczne z klasą B. Jakkolwiek powyginany byłby zwykły zamknięty wielokąt P, możemy zawsze określić, czy dany punkt p płaszczyzny leży wewnątrz, czy na zewnątrz P prowadząc promień i licząc ilość przecięć promienia z wielokątem P. Jeżeli ta ilość jest nieparzysta, to punkt p jest zamknięty wewnątrz Pi nie może się wydostać nie przekraczając P w pewnym punkcie; jeżeli jest parzysta, to punkt p leży na zewnątrz P. (Wypróbować to na rys. 128). * Można również udowodnić twierdzenie Jordana o krzywych w sposób następujący: Definiujemy rząd punktu p0 względem dowolnej krzywej zamkniętej C nie przechodzącej przez p0 jako saldo z liczby pełnych obro-'
3**. Podstawowe twierdzenie algebry. Podstawowe twierdzenie algebry
głosi, że
jeżeli
(1)
gdzie n ~ 1 i a„_ 1, a„_ 2, ••. , a0 są liczbami zespolonymi, to istnieje taka liczba zespolona a, f(a) =O. Innymi słowy, w ciele liczb zespolonych każde równanie wielomianowe ma pierwiastek. (Na str. 115 wyprowadziliśmy stąd wniosek, że f (z) można rozłożyć na n czynników liniowych
że
f(z) = (z-a 1) (z-a 2)
.••
(z-a„),
gdzie al' a 2, „., a„ są to miejsca zerowe f(z). Jest rzeczą godną uwagi, że twierdzenia tego można dowieść za pomocą rozważań o charakterze topologicznym, pokrewnych tym, które zastosowaliśmy przy dowodzie twierdzenia Brouwera o punkcie stałym. Czytelnik zechce przypomnieć sobie, że liczba zespolona jest to symbol x + yi, gdzie x oraz y są to liczby rzeczywiste, a i ma tę własność, że i2 = -1. Liczbę zespoloną x + yi można przedstawić za pomocą punktu na płaszczyźnie, którego współ rzędnymi względem układu dwóch osi prostopadłych są liczby x, y. Jeżeli wprowadzimy na tej płaszczyźnie współrzędne biegunowe, obierając początek współrzędnych i dodatni kierunek osi x odpowiednio za biegun i kierunek główny, to będziemy mogli napisać
z=x+yi=r(cos e+i sin E>), gdzie r = ~ x2 + y2 • Ze wzoru de Moivre' a wynika, że
z"=r"(cos ne+i sin nE>). (patrz str. 110). Tak więc, jeżeli liczba zespolona z opisuje okrąg o promieniu r dokoła to z" opisze n-krotnie okrąg o promieniu r", w czasie gdy z opisuje okrąg jeden raz. Przypominamy również, że r, czyli moduł liczby z, pisany w postaci I z 11 daje odległość punktu z od punktu Oi jeżeliz'=x' +iy', to I z-z' I jest odległością pomiędzy z i z'. Po tych przygotowaniach możemy przystąpić do dowodu twierdzenia. początku współrzędnych,
264
Dodatek do
rozdziału
V
Załóżmy, że wielomian (1) nie ma pierwiastka, tak że dla każdej liczby zespolo-
Rozdział
nej z jest f(z)
;to
VI
O.
Funkcje i granice
Jeżeli teraz przy tym założeniu punkt z będzie opisywał dowolną krzywą zaml
y
t > 1 oraz t >
lt(z)-z"I =I a11-1 211-
+ „. + ao
I::; a11-1l I2 1"I
1
11 2 +la11-2lI 2 1 - + ... + laol
=
t"-1 -t"- (1 I+ + hl)
-
a11-1
•••
1
Przeważna część matematyki współczesnej skupia się wokół pojęć funkcji i granicy. W rozdziale niniejszym będziemy analizowali te pojęcia w sposób systematyczny. Wyrażenie takie, jak x2 +2x-3
nie ma określonej wartości liczbowej dopóty, dopóki nie obierzemy pewnej wartona x. Mówimy, że wartość tego wyrażenia jest funkcją wartości x i piszemy
ści
x 2 + 2x-3=.f(x).
I a0 I + I a 1 I + „. + I a 11 _ 1 I ,
mamy nierówność 1
Wstęp
a11-1
Wobec tego, że wyrażenie po lewej stronie jest odległością pomiędzy dwoma punktami z" i f (z), natomiast ostah1ie wyrażenie po prawej stronie jest odległością punktu z" od początku współrzędnych, widzimy, że odcinek prostoliniowy ł<1czący dwa punkty .f(z) i z" nie może przechodzić przez początek współrzędnych, gdy z leży na okręgu o promieniu t zatoczonym z początku wspóh·zędnych. Wobec tego możemy w sposób ciągły deformować krzywą zakreśloną przez .f(z) w krzywą zakreśloną przez z" nie przechodząc przez początek współrzędnych, po prostu przesuwając każdy punkt .f(z) wzdłuż odcinka łączącego go z punktem z". Wobec tego, że rząd początku układu bę dzie zmieniał się przy tej deformacji w sposób ciągły i może przybierać tylko wartości całkowite, musi on być taki sam dla obu krzywych. Ponieważ rząd z" wynosi 11, zatem rząd f(z) również musi być równy n. W ten sposób zakoikzyliśmy dowód. '
Tak np., gdy x=2, wówczas22 + 2·2-3 =5, także.f(2) =5. W taki sam sposób, przez bezpośrednie podstawienie, możemy znaleźć wartość .f(x) dla dowolnej całkowitej, ułamkowej, niewymiernej lub nawet zespolonej liczby x. Ilość liczb pierwszych mniejszych od n jest pewną funkcją :n:(n) liczby naturalnej n. Gdy dana jest wartość n, to wartość :n:(n) jest określona, chociaż nie znamy żadnego wyrażenia algebraicznego, aby ją obliczyć. Pole trójkąta jest funkcją dłu gości jego trzech boków; pole to zmienia się wraz ze zmianą boków i jest określone, gdy tym długościom nadajemy określone wartości. Jeżeli poddamy płaszczyznę przekształceniu rzutowemu lub topologicznemu, to współrzędne punktu po przekształceniu zależą od pierwotnych współrzędnych tego punktu, czyli są funkcjami tych pierwotnych współrzędnych. Pojęcie funkcji występuje wszędzie tam, gdzie pewne wielkości są powiązane określoną zależnością fizyczną. Objętość gazu zaml
266
VI. Funkcje i granice
§ 1. Zmienna i funkcja
U Leibniza (1646-1716), który pierwszy użył słowa „funkcja", i u matematyków XVIII wieku pojęcie zależności funkcjonalnej pokrywało się mniej więcej z istnieniem prostej formuły matematycznej wyrażającej dokładnie charakter zależności. Pojęcie takie okazało się zbyt wąskie dla potrzeb matematyki i fizyki; pojęcie funkcji oraz związane z nim pojęcie granicy uległo długotrwałemu procesowi uogólniania i precyzowania, o czym pokrótce będzie mowa w tym rozdziale.
267
czyzny lub pewnego danego obszaru na płaszczyźnie, jak np. wnętrza prostokąta lub koła. Wobec tego, że każdy punkt płaszczyzny jest określony za pomocą swoich dwóch współrzędnych x, y, odnoszących się do ustalonych dwóch osi współ rzędnych, mówimy często w tym przypadku, że mamy dwie zmienne ciągłe x i y. Może się zdarzyć, że z każdą wartością zmiennej X związana jest pewna określona wartość innej zmiennej U. U nazywamy wtedy funkcją zmiennej X. Sposób, w jaki zmienna U jest związana ze zmienną X, wyrażamy za pomocą symbolu w rodzaju
§ 1. Zmienna i funkcja
ll=F(X)
1. Definicja i przykłady. Często zdarza się, że możemy pewne twory matematyczne wybierać w sposób dowolny z całego zbioru S takich tworów. Twór taki nazywamy wtedy zmienną przebiegającą zbiór albo dziedzinę S. Dla oznaczenia zmiennych używa się zwykle liter z końca alfabetu. Tak więc, jeżeli S oznacza zbiór wszystkich liczb całkowitych, to zmienna X z dziedziny S oznacza dowolną liczbę całkowitą. Mówimy, że „zmienna przebiega dziedzinę S", co oznacza, że wolno nam identyfikować symbol X z dowolnym elementem zbioru S. Stosowanie zmiennych jest dogodne wtedy, gdy chcemy wypowiadać sądy o tworach wybranych w sposób dowolny z całego zbioru. Jeżeli np. S oznacza znów zbiór liczb całkowitych, a X oraz Y są zmiennymi z dziedziny S, to twierdzenie
(czytaj „F od X").
Gdy zmienna X przebiega zbiór S, zmienna U przebiega inny zbiór, powiedzmy T. Na przykład jeśli Sjest zbiorem wszystkich trójkątów X na płaszczyźnie, to można zdefiniować funkcję F(X) wiążąc z każdym trójkątem X długość U= F(X) jego obwodu; T jest tu zbiorem wszystkich liczb dodatnich. Zaznaczmy tutaj, że dwa róż ne trójkąty X1 i X2 mogą mieć ten sam obwód, tzn. równanie F(X1) = F(X2) może zachodzić nawet przy X1 ~ X2 . Przekształcenie rzutowe jednej płaszczyzny S na inną płaszczyznę T przyporządkowuje każdemu punktowi X płaszczyzny S jeden jedyny punkt U płaszczyzny T zgodnie z pewną określoną regułą, którą możemy wyrazić za pomocą symbolu funkcyjnego U= F(X). W tym przypadku
X+Y=Y+X mówimy wtedy, że odwzorowanie S na T jest wzajemnie jednoznaczne (patrz str. 93). Funkcje zmiennej ciągłej definiuje się często za pomocą wyrażeń algebraicznych. Przykładami są funkcje
jest dogodnym symbolicznym wyrażeniem faktu, że suma dowolnych dwóch liczb całkowitych nie zależy od porządku, w jakim bierzemy te liczby. Szczególny przypadek wyraża równość 2+3=3+2
W pierwszym i ostatnim z tych wyrażeń x może przebiegać cały zbiór liczb rzeczywistych, natomiast w drugim wyrażeniu x może przebiegać zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem zera - wartość O wyłączamy, ponieważ 1/0 nie jest liczbą. Liczba B(n) czynników pierwszych liczby n jest funkcją zmiennej n, gdzie n przebiega dziedzinę wszystkich liczb naturalnych. Ogólniej, dowolny ciąg liczb al' a2, a3, ••. można uważać za zbiór wartości pewnej funkcji u= F(n), gdzie dziedziną zmiennej niezależnej n jest zbiór liczb ilaturalnych. W skrócie piszemy a11 dla oznaczenia n-tego wyrazu ciągu zamiast wyraźniejszego oznaczenia funkcyjnego F(n). Wyrażenia rozpatrywane w rozdziale I:
zawierająca liczby stałe; dla wyrażenia prawa ogólnego, prawdziwego przy wszel-
kich parach liczb, potrzebne są jednakże symbole oznaczające zmienne. Nie jest wcale konieczne, żeby dziedzina S zmiennej X była zbiorem liczb. S może być np. zbiorem wszystkich kół na płaszczyźnie; w takim razie X oznacza dowolne szczególne koło. S może być także zbiorem wszystkich zamkniętych wielokątów na płaszczyźnie, a X dowolnym poszczególnym wielokątem. Nie jest też konieczne, żeby dziedzina zmiennej zawierała nieskończenie wiele elementów. Na przykład X może oznaczać jakiegokolwiek osobnika spośród ludności S danego miasta w pewnej chwili. X może też oznaczać każdą z możliwych reszt z dzielenia liczby całkowitej przez 5; w tym przypadku dziedzina S składa się z pięciu liczb O, 1, 2, 3, 4. Najważniejszy przypadek zmiennej liczbowej - w tym przypadku używamy zwykle małej litery x - mamy wtedy, gdy dziedziną zmienności Sjest przedział a :5 x :5 b rzeczywistej osi liczbowej. Zmienną x nazywamy wtedy zmienną ciągłą w tym przedziale. Dziedzina zmienności zmiennej ciągłej może rozciągać się do nieskończoności. Zatem S może być nawet zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich x > O albo nawet zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych bez wyjątku. Podobnie możemy rozpatrywać zmienną X, której wartościami są punkty płasz-
n(n + 1) 51(11)=1+2+···+11=---, 2
11(11+1)(2n + 1) ' 6 11 2(11+1) 2 53(11)= 13 + 23 +···+n3 = - - - 4 2
5 2 (n)=1 +2
I
I
są
funkcjami zmiennej naturalnej n.
2
2
+···+n =
VI. Fu1~kcje i granice
268
§ 1. Zmienna i funkcja
Jeżeli Ll=F(X), to zwykle dla X 11 · : . . . miast l1 n . zac owu1emy nazwę zm1enne1 mezależnej natoazywamy zmienną zależną 1 pon· . ,,. . . ' 1ewaz wartosc JeJ zalezy od wartości obranej dla X.
Równość tę możemy rozwiązać bądź względem funkcję pozostałej
pojęci: ~;~~~~~;~~i:~i'~~~0~r~~s:~ł!:~:~~d;;
1
włą-
nie~~ę~!:~~~;::c~~~:r;;c:~~~.n~~:a~::;c;nc:~:t~~::~;;~~~~l ~cz rów-
~;'ó~1 f'.o~taci załe~noś~i P~v._:nych wielkości od innych wielkości, gdy niektó~!:~~~
;lf
me
mogą się zm1emac.
tą strunę zależ od dłu ośc·
leży od
. Y.
.
g
I,
Tak np. wysokość t d . . . . . . onu wy awanego przez szarpnię
~1ęzaru I nap1ęc1a struny, ciśnienie atmosferyczne za-
Zadanie ~:;:s~:~:'aan:~e~~=d~uli karabinow~~ zależy od jej masy i prędkości. ym lub przybhzonym znalezieniu charakteru tej
zależności funkcjon;lnej. Pojęcie
f k ·· I . . un CJI .Pozwa a na dokładne matematyczne scharakter zo
.
eh~ Jez~1 poruszaiąca się cząsteczka jest skupiona w punkcie przesh~en~:::p~~~
;:fk ny~. pro~tokąt~~ch. x, y, z i jeżeli t jest miarą czasu, to ruch cząsteczld będzie ' ow1c1e opisany, Jezeh dane będą jej współrzędne x, y, z jako funkcje czasu:
X= f(z),
y =g(t), Z= h(t).
J~żeli np. cząsteczka spada swobodnie wzdłuż pionowei· os·1 siły ciężkości,
to
d ł z po wp ywem tylko
1 x=O, y=O, Z= - - crt2 2
ó
I
nie zakładając ani tego, że zmiana objętości jest „przyczyną" zmiany ciśnienia, ani tego, że zmiana ciśnienia jest „przyczyną" zmiany objętości. Dla matematyka istotna jest tylko postać zależności pomiędzy tymi dwiema zmiennymi. Czasami matematycy i fizycy akcentują odmienne aspekty pojęcia funkcji. Pierwsi zwykle kładą nacisk na prawo ustalające przyporządkowanie, na operację matematyczną, którą należy zastosować do zmiennej niezależnej x, aby otrzymać wartość zmiennej zależnej u. W tym znaczeniu wyrażenie f (x) jest symbolem operacji matematycznej; wartość 11 = f (x) jest wynildem zastosowania operacji f ()do liczby x. Z drugiej strony fizyka interesuje często sama wielkość u, a nie postępowanie matematyczne, za pomocą którego można obliczyć wartości u na podstawie wartości x. Tak np. opór powietrza u stawiany poruszającemu się przedmiotowi zależy od prędkości v i może być ustalony za pomocą doświadczenia, niezależnie od tego, czy znany jest wzór dla wyznaczania u= f (v), czy też wzór taki nie jest znany. Fizyka głównie interesuje aktualny opór, a nie jakiś szczególny wzór matematyczny f(v), chyba że rozpatrywanie takiego wzoru może być pomocne przy analizowaniu zachowania się wielkości li. Jest to stanowisko najczęściej spotykane, gdy ktoś stosuje matematykę do fizyki lub inżynierii. W bardziej zaawansowanych rachunkach na funkcjach trzeba czasami- dla uniknię cia nieporozumiell- wiedzieć dokładnie, czy chodzi o operację f () przyporządkowu jącą wartości x pewną wielkość u= f (x), czy też o samą wielkość li, którą można także uważać za zależną, w sposób zupełnie odmienny, od pewnej innej zmiennej z. Tak np. pole koła jest dane za pomocą funkcji u= f(x) =:rcx2, gdzie x jest promieniem koła, jak również za pomocą funkcji li= g(z) = z2/4:rc, gdzie z jest obwodem koła. Najprostszymi może funkcjami matematycznymi jednej zmiennej są wielomia-
w p aszczyzme xy, to ruch jej charakteryzują funkcje
ze stałymi współczynnikami a01 al' ... , a„. Dalej mamy funkcje wymierne, jak np. 1
x=coswt, y=sinwt,
u
gdzi_: w j~st pewną stałą, tzw. prędkością kątową ruchu.
y mmi. mowie potoczne) słowo f k · " · takim ł , · · . " un qa uzywane jest często w !ki 1 w asme znaczernu; mimo to będziemy u .k r pretacji filozoficznych. Na prz kł d B 1:1 a I wsze c 1 tego rodzaju intercz niu kn. ~ a prawo oyle a dotyczące gazu zawartego w na-
i
I
I
=-;;,
1 li
= 1 + x2 ,
2x+l li
= x4 + 3x2 + 5
ilorazami wielomianów oraz funkcje trygonometryczne cosx, sinx i tgx = sinx/cosx, które definiuje się najlepiej w związku z kołem jednostkowym t+17 2 = 1 w płaszczyźnie !;17. Gdy punkt P(l;, 17) porusza się po obwodzie tego koła i x jest kątem skierowanym, o który należy obrócić dodatnią oś!;, aby doprowadzić ją do pokrycia się z prostą OP, wtedy cosx i sinx są współrzędnymi punktów P: cosx=l;, sinx=17.
będące
Fu11kc1a matematyczna jest to po t zmiennych. Nie zakłada ono istnienic:"~s ~ pr~w~ r:qldzqce współzależnością wielkości ku" pomiędz . . W . 1a .ego
v
v=c/p,
ny mające postać
'
~~~~1!j:~;:~:~:es;enie;n siły c~ę~kości. Jeżeli cząsteczka obraca się jednostajnie u
łub
p=c/v (
otrzymując
zmiennej:
Może się zdarzyć, że tę samą wartość U d . a więc zbiór T skład . . d przy z1elamy wszystldm wartościom X a się z ie nego tylko elementu Ma t d d k ' gólny gdy wartość l1 funk ·· . . . . · my w e Yprzypa e szcze-
czam;.do ogólnego ten c~ątku1ącym, którzy skłonni są uważać za istotne to że U . . . d iwn~ P?s1ę X. Nie szkodzi jednak_ a . , . '. zmiema się, g Y zm1ema za rz adek , . w rz~czyw1stosc1 będzie korzystne - uznanie state· tylfo :i~ment:.zczegolny zm1enne1 o „obszarze zmienności" złożonym z jedneg~
p, bądź względem v,
269
j~st p::~ą s:::~~(~;~;e;t~=~t~~~=~=~uyi:~~:~t~~etempera iloczyntciśn)ienia pi objętości ury: pv=c.
I
2. Teoretyczna miara kątów. Dla wszystkich celów praktycznych mierzy się kąty w jednostkach otrzymanych przez podzielenie kąta prostego na pewną ilość równych części. Jeżeli ta ilość jest równa 90, to jednostką jest znany powszechnie stopie1i. Podział na 100 części byłby bardziej dostosowany do naszego układu dziesięt-
270
§ 1. Zmienna i funkcja
VI. Funkcje i granice
nego, a przedstawiałby tę samą zasadę mierzenia. Ze względów teoretycznych korzystne jest jednak stosowanie całkowicie odmiennego sposobu charakteryzowania wielkości kąta, mianowicie tzw. miary teoretycznej. Przy takim systemie mierzenia wiele ważnych wzorów, w których występują funkcje trygonometryczne kątów, ma postać prostszą niż w przypadku, gdy kąty są mierzone w stopniach. Dla znalezienia miary teoretycznej kąta kreślimy koło o promieniu 1 i środku w wierzchołku kąta. Kąt odetnie na obwodzie tego koła pewien łuk s; miarę teoretyczną kąta definiujemy jako długość tego właśnie łuku. Wobec tego, że cały obwód koła o promieniu 1 ma dhtgość 2.n, kąt pełny 360° ma miarę teoretyczną 2.n. Wynika stąd, że jeżeli x oznacza miarę teoretyczną pewnego kąta, a y jego miarę w stopniach, to wielkości x i y są związane zależnością
y/360 = x/2.Tt,
271
rzez hiperbolę itd. z definicji wykres jakiejkolwie~ funkcji u= f(x) skł?da się ze P stkich punktów na płaszczyźnie, których wspołrzędne x, u są pow1_ązane zaw~zy , . _ f ) F kc' e sin x cos x tg x są przedstawione na rys. 1511 152. Wy:~;~~~~k~z~~ w~~aź~ie, w j~ki sp~sób wzrastają lub maleją wartości tych funkcji, gdy zmienia się x. li
o
!:ir\,
;
:ir
,,'-,_
_.../
czyli .ny= 180x.
cosx
sinx
;{
Tak np. kąt 90° (y = 90) ma miarę teoretyczną x = 90.n/180 =.n/2 itd. Z drugiej strony o mierze teoretycznej x = 1, zwany radianem, jest to kąt odcinający łuk równy długości promienia; kąt ten jest równy
kąt
Rys. 151. Wykresy funkcji sin x i cos x li
y = 180/.n = 57,2957„. stopnia. Należy zawsze mnożyć miarę teoretyczną
x kąta przez czynnik 180/.n dla otrzymania jego miary y w stopniach. Miara teoretyczna x kąta jest także równa podwojonemu polu A wycinka koła jednostkowego wyznaczonego przez ten kąt; stosunek bowiem tego pola do całe go pola koła jest równy stosunkowi długości łuku wzdhtż obwodu do całej długo ści obwodu: x/2.n=N.n, x=2A. W dalszym ciągu przez x będziemy oznaczali kąt, którego miarą teoretyczną jest x. Kąt x stopni będziemy pisali w postaci x dla uniknięcia nieporozumień. Okaże się później, że miara teoretyczna jest bardzo dogodna do operacji analitycznych. W praktycznym użyciu jednak byłaby raczej nieodpowiednia. Wobec tego, że .n jest niewymierne, to nigdy nie powrócimy do tego samego punktu koła, jeżeli wielokrotnie będziemy odmierzali kąt jednostkowy, tj. kąt równy 1 radianowi. Zwykła miara jest ustalona w taki sposób, że po odmierzeniu 360razy1 stopnia lub 4 razy 90 stopni powracamy do tego samego położenia.
X
0
3. Wykres funkcji. Funkcje odwrotne. Często najjaśniejszym sposobem przedstawienia charakteru funkcji jest prosty wykres geometryczny. Jeżeli x, u są prostokątnymi współrzędnymi na płaszczyźnie, to funkcje liniowe postaci
u=ax+b są
reprezentowane przez linie proste; funkcje stopnia drugiego postaci
u =ax2 +bx+c przez parabole; funkcja
u=1/x
Rys.152. u=tgx
Wt
Ważną metodą wprowadzania nowych funkcji jest :1"1~toda n~stęi::uj~ca. chodząc od pewnej znanej funkcji F(X) m_o_żemy star?c s1_ę rozw1ązac rowname u= F(X) ze względu na X, a więc X wystąpi Jako funkqa U. X=G(U).
F(X) Postępowanie takie .. - (X) k 'I prowadzi do jednoznacznego wyniku tylko wtedy, gdy fun~qa. U o ~s : wza"emnie jednoznaczne odwzorowanie dziedziny X na dz1edzmę , tznd g ky. . l,w ościX :;r:X wynikazawszenierównośćF(X1):;r:F(Xz),botylkowte y az ~l~u ~ od o~iad~ jednoznacznie określone X. Możemy 1to objaśn!~ na naszym e d . p kładzie w którym przez X oznaczaliśmy d~wolny troJkąt na płaszpoprze mm przy , l' 'my obwo' d tróJ'kąta Oczywiście, od wzorowa, · z u= F(X) oznacza is · . . ~~~~~~:r: ~r~~jkątów na zbiór Tliczb rzeczywistych dodatnich nie jestwzaiemme ·
I d
Funkcję G(U) nazywamy wtedy funkqq odwrotną wzg ę em
-i
272
VI. Funkcje i granice
§ 1. Zmienna i funkcja
jednoznaczne, ponieważ istnieje nieskończenie wiele trójką Łów mających taki sam obwó~. W tym pr~ypadku. r?wność U= F(X) nie pozwala na zdefiniowanie jednej funkq1 odwrotnej. Z drugteJ strony funkcja m = 2n gdzie n przebiega zbiór S liczb całkowitych, a m zbiór T liczb całkowitych parzystych, daje odpowiedniość wzajemnie jednoznaczną pomiędzy dwoma zbiorami, i funkcja odwrotna n= n1/2 jest jednoznacznie określona. Inny przykład odwzorowania wzajemnie jednoznacznego daje funkcja (rys. 153):
li
u=x 3•
:1(
o
y
Wobec tego, że x przebiega zbiór wszystkich rzeczywistych, u przebiega także zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, i przyjmuje każdą wartość raz i tylko raz. Funkcją odwrotną określoną w sposób jednoznaczny jest
273
w jednym punkcie. Jest tak z pewnością, gdy funkcja u= f (x) jest monotoniczna, tzn. stale rośnie lub stale maleje, przy wzroście x. Na przykład, jeżeli u= f(x) stale raśnie, to przy x 1 < x2 mamy zawsze u1 = f (x1) < u2 = f (x2). Zatem dla danej wartości u może być co najwyżej jedna wartość x taka, że u= f (x), i funkcja odwrotna jest określona jednoznacznie. Wykres funkcji odwrotnej x = g(u) otrzymujemy, obracając wykres pierwotny o 180° dokoła linii przerywanej (rys. 154) tak, że oś x przybiera położenie osi u, i na odwrót. Nowe położenie wyla·esu będzie przedstawiało x jako funkcję u. W położeniu pierwotnym wykres przedstawia u jako wysokość ponad poziomą osią x, natomiast po dokonaniu obrotu ten sam wykres przedstawia x jako wysokość ponad poziomą osią u. Poprzednie rozważania można zilustrować na przykładzie funkcji niż
u=tgx. Funkcja ta jest monotoniczna dla -n/2 < x < n/2 (rys.152). Wartości u wzrasta- oo do+ oo; zatem funkcja odwrotna
jące stale wraz ze wzrostem x, rozciągają się od
x=VU.
x=g(u)
W przypadku funkcji Rys. 153.
11=r1
jest zdefiniowana dla wszystkich wartości u. Funkcję tę oznacza się przez arctgu. Tak np. arctgl =:rc/4, ponieważ tg (n/4) = 1. Wykres tej funkcji pokazany jest na rys. 155.
u=x2
funkcja odwrotna nie jest określona jednoznacznie, wobec tego bowiem, że 2 u= ~ = (- x)2, każda dodatnia wartość u ma dwa odpowiedniki. Jeżeli jednak, jak to się często robi, zdefiniujemy symbol JU jako liczbę dodatnią, której kwadrat jest równy u, to funkcja odwrotna
X
o li
istnieje, jeśli ograniczymy się do dodatnich wartości x i u. Z wykresu funkcji można od razu poznać, czy istnieje jednoznacznie określona funkcja odwrotna. Funkcja odwrotna jest zdefiniowana jednoznacznie tylko wtedy, gdy każdej wartości u odpowiada jedna tylko wartość x. W odniesieniu do wykresu znaczy to, że żadna prosta równoległa do osi x nie przecina wykresu więcej
Rys. 155. x =arc tg 11
4. Funkcje złożone. Drugą ważną metodą tworzenia nowych funkcji z dwóch lub więcej funkcji danych jest składanie funkcji. Na przykład funkcja
u= f(x)=.J1+x 2
X
,,/„: , ,
I
/„/
, ,
,/
: „/ t/
0//1
,/
/r
„,/'
/
,
/
I
I
I
:
I
u= f (x) = h[g(x)]
I
I
:
I
Rys. 154. Funkcje odwrotne
../z,
(czytaj: „h od g od x").
Podobnie funkcja
!
'---'-------'-~
//„"
u=h(z)=
i można ją zapisać w postaci
~
I
!
z= g(x) = 1 + x2,
I :
I
I
jest „złożona" z dwóch funkcji prostszych
I I
I I I
u
1 u=f(x)=-.J1-x2
274
VI. Funkcje i granice
§ 1. Zmienna i funkcja
jest złożona z trzech funkcji z=g(x) = 1-x2,
a
275
li
..rz,
w=h(z) =
1 u=k(w)= w'
więc
u = f (x) = k (h(g (x))).
X
Funkcja 1
u=f(x)=sin -
X
1
Rys. 156. 11 = sinX
jest złożona 1 z=g(x)= - ,
u =lz(z) =sin z.
X
F~nkcja f(x) nie jest określona dla x=O, ponieważ dla x=O wyrażenie 1/x ~1e ma s~nsu. ~y~es tej ważnej funkcji otrzymuje się z wykresu funkcji smus. Wiemy, ze sm z=O dla z=lor, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą dodatn\ą lub ujemną. Ponadto
sin z=
o
dla
z=lor
1
dla
1 z= 2.ir(4k+l)
-1
dla
1 Z= 2.ir(4k-l),
{
jeżeli k jest dowolną liczbą całkowitą. Stąd
1 sin-= X
f(x) =
o
dla
1 x=-
1
dla
x=
dla
2 x= . (4k-1).ir
-1
5. Ciągłość. Wykresy funkcji rozpatrywanych dotychczas dają intuicyjne poję cie o własności ciągłości. Ścisłą analizę tego pojęcia podamy w § 4, po uściśleniu pojęcia granicy. Nieściśle mówimy, że funkcja jest ciągła, jeżeli wykres jej jest nieprzerywaną krzywą (patrz str. 298). Ciągłość danej funkcji można sprawdzać przyjmując, że zmienna niezależna zbliża się od prawej strony i od lewej strony do pewnej ustalonej wartościx 1 . Jeżeli funkcja u= f(x) nie jest stała w otoczeniu xl' to wartość jej także będzie się zmieniała. Jeżeli wartość f (x) zbliża się w granicy do wartości f (x 1) funkcji w ustalonym punkcie x = x 1 niezależnie od tego, czy zbliżamy się do x 1 z jednej, czy z drugiej strony, to mówimy, że funkcja jest ciągła w punkcie x 1 . Jeżeli jest tak dla każdego punktu x 1 pewnego przedziału, to mówimy, że funkcja jest ciągła w przedziale. Chociaż każda funkcja przedstawiona za pomocą nieprzerywanej krzywej jest cią gła, to jednak można zupełnie łatwo zdefiniować funkcje, które nie są wszędzie ciągłe. Na przykład funkcja z rys. 157 zdefiniowana dla wszystkich wartości x równościami
lor
2 (4k+l).ir
Jeżeli podsta~ia~y kole~no k ~ 1, 2, 3, 4, ...,to mianowniki powyższych ułam ~ów_ wzrastaią meogramczeme, wobec czego wartości x, przy których funkqa sm (1/x) ma wartości 1, -1, O, skupiają się coraz bliżej punktu x =O. Jednak pom~ędz?' każdym,takim ~~nktem i początkiem współrzędnych jest nieskollczeme wiele wahan funkq1. Wykres tej funkcji podany jest na rys. 156.
l+x { -1+x
dlax >O, dlax :5 O
jest nieciągła w punkcie x 1 =O, gdzie ma wartość -1. Jeżeli spróbujemy wykreślać tę funkcję, to będziemy musieli oderwać ołówek od papieru w punkcie x 1 =O. Gdy zbliżamy się do wartości x 1 =O z prawej strony, to f (x) zbliża się do + 1. Wartość ta różni się jednak od wartości przyjętej w tym punkcie, która wynosi -1. To, że f(x) zbliża się do -1, gdy x zbliża się do zera z lewej strony, nie wystarcza, aby zachodziła ciągłość. Funkcja
li
Q
X
równościami
przedstawia
dla x
~O
nieciągłość
Rys. 157. Nieciągłość skokowa
innego rodzaju w punkcie x 1 =O. Tutaj istnieje zarówno
276
VI. Funkcje i granice
§ 1. Zmienna i funkcja
granica prawostronna, jak i lewostronna, gdy x zbliża się do O, i są one równe, ale ta wspólna wartość graniczna różni się od wartości ip(O). Inny typ nieciągłości wykazuje funkcja z rys. 158: !I
u=f(x)
277
6*. Funkcje wielu zmiennych. Powracamy do naszego systematycznego rozważa nia pojęcia funkcji. Jeżeli zmienną niezależną P jest punkt płaszczyzny o współrzędnych x, y i jeżeli każdemu takiemu punktowi Podpowiada jedna tylko liczba u, np. u może być odległością punktu Pod początku współrzędnych, to piszemy zwykle
1
=z'
u= f(x, y).
X
Oznaczenie takie jest stosowane również wtedy, gdy jak to się często zdarza, dwie wielkości x i y pojawiają się od początku jako zmienne niezależne. Na przykład i;:iśnienie u gazu jest funkcją objętości x i temperatury y, a pole u trójkąta jest funkcją u = f (x, y, z) długości x, y, z jego trzech boków. Płaski wykres daje przedstawienie geometryczne funkcji jednej zmiennej; podobnie otrzymujemy przedstawienie geometryczne funkcji u= f (x, y) dwóch zmiennych w postaci powierzchni w przestrzeni trójwymiarowej o współrzędnych x, y, u. Każdemu punktowi (x, y) na płaszczyźnie xy przyporządkowujemy punkt w prze-
w punkcie x =O. Jeżeli x zbliża się do zera z jednej lub drugiej strony, to u dąży do nieskończoności; wykres funkcji przerywa się w tym punkcie i małe zmiany x w pobliżu punktu x =O mogą wywołać bardzo znaczne o x zmiany u. Mówiąc ściśle, wartość funkcji nie jest określona dla x =O, ponieRys. 158. Nieciągłość nieskończona waż nie uważamy nieskończoności za . . . liczbę, nie możemy więc powiedzieć, ze funkqa f (x) Jest równa nieskończoności, gdy x =O. Mówimy więc tylko, że f (x) „dąży do nieskończoności", gdy x zbliża się do zera. . Inny je~zcze typ nieciągłości występuje dla funkcji u =sin (l/x) w punkcie x =o, Jak to wyrnka z wykresu tej funkcji (rys. 156). Przykła,dy poprzednie pokazują, w jak różny sposób funkcja może nie być cią gła w pewnym punkcie x = x : 1 1. Może zachodzić przypadek, że funkcja stanie się ciągła w punkcie x = x jeżeli we wł~ściwy sp?sób okreś,limy lub zmienimy jej wartość dla x=x 1• Na ~;zy kład funkqa u =x/x 1est stale rowna 1, gdy x ~O; funkcja ta nie jest określona dla x =O'. g~yż O/~ jest sy1i;~olem nie mającym sensu. Jeżeli jednak w tym przypadku przypmemy, ze wartosc u= 1 będzie odpowiadała także wartości x =O, to tak rozszerzona funkcja jest ciągła dla każdej wartości x bez wyjątku. Taki sam stosunek otrzyn:mje~y .przyj~mjąc nową .wartość
strzeni o współrzędnych x, y i u= f(x, y). Tak np. funkcję u= ~1- x 2 -y 2 przedstawia powierzchnia kulista (rys. 159) o równaniu u 2 +x2 +y2 =1, funkcję liniową u= ax +by+ c płaszczyzna, funkcję u = xy paraboloida hiperboliczna (rys. 160) itd.
y
X
Rys. 159. Półkula Rys. 160. Paraboloida hiperboliczna
1
Ćwiczenia. l. Wykreślić funkcje:
'
Y"v/X
11' .
I
Y~vx
Rys. 162. Warstwice
X
(x 2 - l)(x 2 +1) i znaleźć ich nieciągłości. 2. Wy~:śl.ić funkcje x sin(l/x) i x2sin(l/x) i sprawdzić, że są one ciągłe dla x =O, 1ezeh w obu przypadkach przyjmiemy wartość u= Odla x =O. 3*. Udowodnić, że funkcja arc tg (l/x) ma nieciągłość drugiego rodzaju (skok) przy x=O.
Rys. 161. Powierzchnia
11
= f(x, y)
odpowiadające
powierzchni
11=f(x,y)
Odmienne przedstawienie funkcji u= f (x, y) można podać ograniczając się do xy za pomocą linii warstwicowych. Zamiast trójwymiarowego „krajobrazu" u= f (x, y) danego na rys. 161, prowadzimy, jak na mapie warstwicowej, warstwice (rys. 162) tej funkcji, oznaczając rzuty na płaszczyznę xy wszystkich punktów mających jednakowe wzniesienie pionowe u. Te warstwice są po prostu płaszczyzny
"
278
:„1··
VI. Funkcje i granice
§ 1. Zmienna i funkcja
~zywymi f (x, y) = c, gdzie c jest stałe dla każdej krzywej. Tak np. funkcja u= x + y Jest scharakteryzowana za pomocą rys. 163. Warstwice powierzchni kulistej stanowią zbiór okręgów współśrodkowych. Funkcja u= x2 + y 2 przedstawiająca paraboloidę obrotową (rys. 164) również jest scharakteryzowana za pomocą okręgów (rys. 165). Wiążąc z poszczególnymi warstwicami odpowiednie liczby można wskazać wzniesienie u = c. Funkcje wielu zmiennych występują w fizyce, gdy trzeba opisać ruch substancji ciągłej. Przypuść my np., że struna jest naciągnięta pomiędzy dwoma punktami na osi x; następnie odkształcamy ją w taki sposób, że cząsteczka będąca w położeniu s przesux nie się o pewną odległość w kierunku prostopadłym do osi. Jeżeli teraz puścimy strunę, to będzie ona drgała w taki sposób, że cząstka, która pierwotnie miała współrzędną x, w chwili t będzie odległa od osi x o u= f (x, t). Ruch jest całkowicie określony, jeżeli znaRys. 163. Warstwice funkcji u = x + y na jest funkcja u= f (x, t).
279
7*. Funkcje i przekształcenia. Odpowiedniość pomiędzy punktami pewnej prostej l, scharakteryzowanymi prz.ez współrzę?ną x na tej ~rosłej, i punktami i~ nej prostej l' scharakteryzowanymi przez wspołrzędną x , Jest po prostu funkqą x' = f (x). W przypadku gdy odpowiedniość jest wzajemnie jednoznaczna, mamy także funkcję odwrotną x = g(x'). Najprostszym przykładem jest przekształcenie przez rzutowanie, które - co tutaj stwierdzamy bez dowodu - jest scharakteryzowane ogólnie przez funkcję postaci x' = f(x) = (ax + b)/(cx + d),
gdzie a, b, c, d są liczbami stałymi. W tym przypadku funkcją odwrotną jest x= g(x') =(-dx' +b)/(cx'-a).
dwuwymiarowych płaszczyzny :re o współrzędnych x, y na płasz x', y' nie można przedstawić za pomocą jednej funkcji x' = f (x); wymagają one dwóch funkcji dwóch zmiennych: Odwzorowań
czyznę :re' o współrzędnych
x' = f (x, y),
u
y' = g(x, y).
Na przykład przekształcenie rzutowe jest wyznaczone przez układ funkcji X
X
X
y Rys. 164. Paraboloida obrotowa
kształcenie.
ax+by+c I gx+hy+k
1
y
,
dx+ey+ f 1 gx+hy+k
gdzie a, b, „., k są liczbami stałymi, a x, y i x', y', są odpowiednio współrzędnymi na obu płaszczyznach. Z tego punktu widzenia ma sens pojęcie przekształcenia odwrotnego. Należy po prostu rozwiązać dany układ równań względem x i y wyrażając te wielkości jako funkcje x' i y'. Geometrycznie sprowadza się to do znalezienia odwzorowania odwrotnego płaszczyzny :re' na płaszczyznę :re. Odwzorowanie to jest określone jednoznacznie, jeżeli odpowiedniość pomiędzy punktami obu płaszczyzn jest wzajemnie jednoznaczna. Przekształcenia płaszczyzny rozważane w topologii są dane przez dowolny układ funkcji, niekoniecznie algebraicznych:
y
Rys. 165. Warstwice odpowiadające paraboloidzie obrotowej
Definicja ciągłości, dana dla funkcji jednej zmiennej, przenosi się bezpośrednio na funkcje wielu zmiennych. Mówimy, że funkcja u = f (x, y) jest ciągła w punkcie x = x , 1 y=yl' jeżeli f(x, y) dąży do wartości f(xl' y 1), gdy punkt (x, y) dąży do punktu (xl' y1) z dowolnej strony i w dowolny sposób. Istnieje jednakże pewna istotna różnica pomiędzy funkcjami jednej zmiennej a funkcjami wielu zmiennych. W ostatnim przypadku pojęcie funkcji odwrotnej traci sens, ponieważ nie możemy rozwiązać równania u= f (x, y), np. równania u = x + Y, w taki sposób, aby wyrazić każdą z wielkości niezależnych x i y za pomocą jednej tylko wielkości u. Ta różnica pomiędzy funkcjami jednej i wielu zmiennych znika, gdy w pojęciu funkcji podkreślamy to, że określa ona odwzorowanie lub prze-
,
.
.
I.
x' = f (x, y), określający przekształcenie
y' = g(x, y),
wzajemnie jednoznaczne i wzajemnie ciągłe.
I>; I
Ćwiczenia. 1*. Udowodnić, że inwersja względem okręgu jednostkowego (rozdział III, str. 151) jest dana analitycznie za pomocą równail x' = x/(x2 + y2), y' = y/(x 2 + y2). Znaleźć przekształcenie odwrotne. Udowodnić analitycznie, że inwersja przekształca zbiór prostych i okręgów w zbiór prostych i okrę gów. 2. Udowodnić, że przez przekształcenie x' = (ax + b)/(cx + d) cztery punkty osix przechodzą na cztery punkty osi x' mające ten sam dwustosunek (patrz str. 152).
280
VI. Funkcje i granice
§ 2.
§ 2. Granice
żerny znaleźć liczbę naturalną
1 1
:1(
ma granicę O przy wzrastającym (2)
1
1,-,-, ... , -, ... , 2 3 Il
(1)
1 11
11 1 ponieważ
~o,
gdy
Il ~ oo,
Spróbujmy ustalić dokładniej, co to oznacza. Gdy w ciągu przechodzimy coraz dalej i dalej, wyrazy stają się coraz mniejsze; po wyrazie 100. wszystkie wyrazy są mniejsze niż lllOO, po wyrazie 1000. wszystkie wyrazy są mniejsze niż 1/1000 itd. Żaden wyraz nie jest wprawdzie równy O, jeżeli jednak przejdziemy dostatecznie daleko w ciągu (1), to możemy być pewni, że każdy wyraz będzie się różnił od O tak mało, jale tego żądamy. Jedyny kłopot, jaki sprawia to objaśnienie, to że znaczenie zdań wyróżnionych kursywą nie jest całkowicie jasne. Jak daleko jest „dostatecznie daleko" i jak mało jest „tak mało, jak żądamy"? Jeżeli potrafimy nadać tym określeniom dokładnie sprecyzowane znaczenie, to możemy również dać dokładnie sprecyzowane znaczenie zależności granicznej (2). Interpretacja geometryczna pomoże wyjaśnić sytuację. Jeżeli przedstawimy wyrazy ciągu (1) za pomocą odpowiadających im punktów na osi liczbowej, to zauważymy, że wyrazy ciągu będą się skupiać dokoła punktu O. Obieramy na osi liczbowej dowolny przedział I o środku w punkcie O i o długości 2e, a więc przedział rozciąga się na długości e po każdej stronie punktu O. Jeżeli przyjmiemy e = 10, to, oczywiście, wszystkie wyrazy a„ =lin ciągu będą leżały wewnątrz przedziału I. Jeżeli przyjmiemy e = 1/10, to kilka początkowych wyrazów ciągu będzie leżało na zewnątrz odcinka I, natomiast wszystkie wyrazy poczynając od a11 , tj. wyrazy 1
u'
1 1 1 12' 13' 14' „.,
będą leżały wewnątrz
I. Jeżeli obierzemy e = 1/1000, to tylko tysiąc początkowych wyrazów ciągu nie będzie leżało w przedziale I, natomiast począwszy od wyrazu a1001 wszystkie pozostałe wyrazy, tj. wyrazy n1001 1
będą leżały w I.
a10021 a10031 ••• 1
Rozumowanie to pozostaje, oczywiście, prawdziwe dla każdej liczby dodatniej e: gdy tylko obierzemy dodatnią liczbę e, dowolnie małą, wówczas mo-
281
N tak wielką, że
a„.
1. Granica ciągu Jak widzieliśmy w §1, opis ciągłości funkcji opiera się na pojęciu granicy. Dotąd używaliśmy tego pojęcia w sposób mniej lub bardziej intuicyjny. W tym punkcie i w następnych rozważymy je w sposób bardziej systematyczny. Wobec tego, że pojęcie ciągu jest prostsze niż pojęcie funkcji, zaczniemy od badania ciągów. W rozdziale II spotkaliśmy się z ciągami liczb a11 i badaliśmy ich granice, gdy n wzrastało nieograniczenie, czyli „dążyło do nieskof1czoności''. Na przykład ciąg, którego n-ty wyraz a11 =lin, tj. ciąg
Granice
1 N< e.
Wynika stąd, że wszystkie wyrazy a11 ciągu, dla których n <':: N, będą leżały wewnątrz przedziału I, a tylko skończona ilość wyrazów al' a2, „., aN-l może leżeć na zewnątrz przedziału. Ważne jest to, że: najpierw wielkość przedziału I jest ustalona dowolnie przez wybór e, a dopiero potem można znaleźć odpowiednią liczbę naturalną N. Postępowanie, polegające na znajdowaniu do z góry obranej liczby e odpowiedniej liczby naturalnej N, możemy przeprowadzać przy każdej liczbie dodatniej e, jak mała by ona nie była; nadaje ono ścisły sens stwierdzeniu, że wszystkie wyrazy ciągu (1) będą się różniły od Odowolnie mało, jeżeli tylko posuniemy się dostatecznie daleko w ciągu. Streszczamy: Niech e będzie dowolną liczbą dodatnią. Możemy wtedy znaleźć taką liczbę naturalną N, że wszystkie wyrazy a„ ciągu (1), dla których n <'::N, leżą wewnątrz przedziału I o długości 2e i o środku w punkcie O. Jest to ścisły sens zależności granicznej (2). Na podstawie tego przykładu jesteśmy teraz przygotowani do podania dokładnej definicji ogólnego wyrażenia 11 Ciąg liczb rzeczywistych a1, a2, a3, „. ma granicę a". Zamykamy liczbę a wewnątrz przedziału I na osi liczbowej: jeżeli przedział jest mały, to niektóre spośród liczb a11 mogą leżeć na zewnątrz niego, ale gdy n staje się dostatecznie duże, powiedzmy większe lub równe pewnej liczbie całkowitej N, to wszystkie liczby a„, dla których n <':: N, muszą leżeć wewnątrz przedziału I. Oczywiście, należy prfyjąć bardzo dużą liczbę całkowitą N, gdy obieramy bardzo mały przedział I; jednakie jakkolwiek mały byłby przedział I, taka liczba N musi istnieć, jeżeli ciąg ma mieć granicę a. To, że ciąg a11 ma granicę a, wyrażamy symbolicznie pisząc
lima 11 =a1
gdy
11~00,
a„~a,
gdy
n~oo
lub po prostu
do a" lub 11 jest zbieżna do a"). Definicję zbieżności ciągu a„ do a bardziej zwięźle w sposób następujący: Ciąg al' a21 a3, „. ma granicę a, gdy n dąży do niesko11czoności1 jeżeli dla dowolnie małej liczby dodatniej e można znaleźć liczbę naturalną N (zależną ode) taką, że (czytaj „a„
dąży
można sformułować
(3)
la„-al
dla wszystkich n <':: N. Jest to abstrakcyjne sformułowanie pojęcia granicy ciągu. Nic dziwnego, że spotykając się z nim po raz pierwszy, można go nie zgłębić w ciągu kilku minut. Niektórzy autorzy podręczników zajmują niezbyt szczęśliwe, niemal snobistyczne stanowisko, podając czytelnikowi tę definicję bez należytego przygotowania, jak gdyby objaśnianie jej było poniżej godności matematyka. Definicja granicy ciągu sugeruje rywalizację dwóch osób A i B. Osoba A stawia żądanie, żeby przybliżyć ustaloną wielkość a za pomocą a11 z dokładnością lepszą niż obrane e = e 1; B speh1ia to żądanie, wykazując, że istnieje pewna liczba całkowi-
282
VI. Funkcje i granice
ta N= N 1 taka, że wszystkie wyrazy a„ następujące po aN 1 czynią zadość żądaniu. Wtedy A może stać się bardziej wymagający i ustalić nową, lepszą dokładność e = e3. B znowu spełnia to żądanie znajdując liczbę całkowitą (być może znacznie więk szą) N= N 2• Jeżeli B może spełnić żądanie A, niezależnie od tego, jak dużą dokład ność ustala A, to mamy stan rzeczy wyrażony symbolicznie w postaci a„ ~a. Istnieje pewna trudność psychologiczna w uchwyceniu tej ścisłej definicji granicy. Intuicja podsuwa nam „dynamiczne" pojęcie granicy jako wyniku pewnego „ruchu": poruszamy się poprzez kolejne liczby naturalne 1, 2, 3, ...,n, ... i obserwujemy zachowanie się ciągu a11 • Czujemy, że zbliżanie się a„ ~ a powinno dać się zaobserwować. Jednakże tego „naturalnego" stanowiska nie można sformułować dokładnie w sposób matematyczny. Dla uzyskania ścisłej definicji musimy odwrócić kolejność: zamiast rozpatrywać najpierw zmienną niezależną n, a następnie zmienną zależną a11 , musimy oprzeć naszą definicję na tym, co należy uczynić, jeżeli chcemy rzeczywiście sprawdzić, że a„ ~a. Przy takim postępowaniu musimy najpierw obrać dowolnie mały obszar dokoła a i następnie musimy sprawdzić, czy możemy spełnić postawiony warunek biorąc dostatecznie duże wartości zmiennej niezależnej n. Nadając następnie oznaczenia symboliczne e i N wyraże niom „dowolnie mała różnica" i „dostatecznie duże n" dochodzimy do ścisłej definicji granicy. Jako drugi przykład rozpatrzmy ciąg
1 2 3 4
2'3'4'5' .„,
283
pojęcia
granicy.
Istnieje jeszcze inny, bardzo ciekawy sposób przedstawienia
Jeżeli lim a11 =a i zamkniemy a wewnątrz pewnego przedziału I, to jakkolwiek mały byłby ten przedział I, wszystkie liczby a11, dla których n jest większe lub równe pewnej liczbie całkowitej, będą leżały wewnątrz I, a więc tylko co najwyżej skoń
czona ilość N-1 początkowych wyrazów ciągu al' a2 , ••• , aN-t może leżeć na zewnątrz przedziału I. Jeżeli przedział I jest bardzo mały, to N może być bardzo wielkie, na przykład równe stu albo dziesięciu, albo nawet stu miliardom; ale nawet wtedy tylko skończona ilość wyrazów ciągu będzie leżała na zewnątrz przedziału I, natomiast pozostałych nieskończenie wiele wyrazów będzie leżało wewnątrz I. O wyrazach ciągu nieskończonego możemy powiedzieć, że „prawie wszystkie" mają pewną własność, jeżeli tylko skończona ilość wyrazów, chociażby nawet bardzo wielka, nie ma tej własności. Tak np. „prawie wszystkie" liczby całkowite dodatnie są większe niż 1 OOO OOO DOO ODO. Przy zastosowaniu tej terminologii zdanie lim a11 =a jest równoważne zdaniu: Jeżeli I jest dowolnym przedziałem o środku w
punkcie a, to prawie wszystkie liczby a11 leżą wewnątrz I. Zaznaczamy przy tym, że nie jest konieczne założenie, że wszystkie wyrazy a„ Dopuszczalne jest, żeby niektóre wyrazy ciągu, nieskończenie wiele wyrazów, lub też wszystkie liczby a11 , były równe wartości granicznej a. Tak np. ciąg, w którym a1 =O, a2 =O, ... , a11 =O, jest prawowitym ciągiem i granica jego jest, oczywiście, równa O. Ciąg a11 mający granicę a nazywamy zbieżnym. Ciąg a11 nie mający granicy nazywamy rozbieżnym. ciągu mają wartości różne.
11
n+l'
Ćwiczenia. Udowodnić, że:
w którym
n a„=--. 11+1 Twierdzę, że
§ 2. Granice
1. Ciąg, w którym a11 =-F--, ma granicę O. n +1
1 WsKAZóWKA. a11 = - -- jest mniejsze niż lin i większe niż O.
lim a„ = 1.
Jeżeli obierzesz, Czytelniku, przedział o środku w
punkcie 1, dla którego e = 1/10, to mogę spełnić warunek (3) przyjmując N= 10; jest bowiem <
__ n_= n+l-n
1
1
. 2. C 1ąg a„
1
--
0
n+ln 1
=-112+1 3 n +1
. , o ma gramcę rowną . 2
WsKAZówKA. a„ 3.
Ciąg
= 1+ 1/ n 2 n+l/n
leży pomiędzy
Oi 2/n.
1, 2, 3, 4, ... i ciągi oscylujące
1, 2, l, 2, l, 2, ... , -1, 1, -1, 1, -1, l, ... (tj. a11 = (-1) 11), 1 1 1 1 1, 2' 1, 3' 1, 4' 1, 5 nie mają granicy. Jeżeli w ciągu a11 wyrazy począwszy od pewnego miejsca mogą stać się większe od dowolnej, obranej z góry, liczby K, to mówimy, że a11 dąży do nieskończoności i piszemy
•fi
lim a11 =oo
lub a11
~oo.
284
VI. Funkcje i granice
§ 2. Granice
Tak np. n -'> 00 i 2"-7 00 • Terminologia ta jest użyteczna, chociaż może niezupełnie konsekwentna, ponieważ symbolu oo nie uważa się za liczbę. Ciąg dążący do nie2
sko11czoności również
nazywamy rozbieżnym.
285
dziwe; jak bowiem widzieliśmy w rozdziale II, każda liczba niewymierna (jak np . ../2) jest granicą ciągu monotonicznego rosnącego i ograniczonego złożonego z ułamków dziesiętnych otrzymanych przez przerwanie pewnego nieskof1czonego ułamka dziesiętnego na n-tej cyfrze.
Ćwiczenie. Udowodnić, że ciąg a„ = (n 2 +)In dąży do nieskończoności; tak samo ciąg a„ = (n 2 +1)/(n + 1), a„ = (11 3-1)/(n + 1) i a„ = n"/(n2 + 1). Początkując~ ~opełniają czasem błąd, sądząc, że można przejść do granicy przy n -7 oo podstawiając po prostu n =oo w wyrażeniu na a11 • Tak np. lin_, O, ponieważ „1/00 =O". Jednakże symbol oo nie jest liczbą i używanie go w wyrażeniu 1/oo jest nieuzasadnione. Wyobrażanie sobie granicy ciągu jako „ostatecznego" lub „ostatniego" wyrazu a11 , gdy n= 00 , nie jest trafne i tylko zaciemnia sprawę.
t-++H-f-- I 11
llz
Rys. 166.
Ciąg
B
monotoniczny ograniczony
* Pomimo że zasada ciągów monotonicznych jest dla intuicji oczywistą prawdą,
2. Ciągi monotoniczne. W ogólnej definicji ze sh: 281 nie ma żadnych wymaga~ ~o d_o .spo~obu zbl.iża.nia się ci~gu a1, a2, a3, ••• do swej granicy a. Najprostszy typ zb1eznosc1 daią tzw. c1ąg1 monotomczne, jak np. ciąg
1
2'
2 3'
3
n
4'
n+l'
to jednak pouczające będzie danie ścisłego dowodu w sposób nowoczesny. W tym celu musimy wykazać, że zasada ta jest logiczną konsekwencją definicji liczby rzeczywistej i definicji granicy. Przypuśćmy, że liczby al' a2, a3, ••• tworzą ciąg monotonicznie rosnący, ale ograniczony. Możemy przedstawić wyrazy tego ciągu w postaci ułam ków dziesiętnych nieskof1czonych
Każdy wyraz tego ciągu jest większy od poprzedniego. Bowiem
n+l n+2
1 n+2
1 n+l
a1 =Al' P1P2P3 ... , az =Az, q1q2q3 ... , a3 =A 3, r 1r 2r 3 ... ,
n n+l
a„+1=--=l--- >1---=--=a. 11
O ciągu. tego. rodzaju, w którym a„ + 1 > a11 , mówimy, że jest monotonicznie rosnący. Podobme o ciągu, w którym a„ > a„ + 1, jak np. w ciągu 1, 1/2, 1/3, ... mówimy, że jest monofonicznie malejący. Takie ciągi mogą dążyć do swoich granic tylko z jednej strony. W przeciwieństwie do nich istnieją ciągi oscylujące, jak np. ciąg -1, + 1/2, -1/3, + 1/4, ... Ciąg ten dąży do swojej granicy Oz obu stron (patrz rys. 11, str. 86). Zachowanie się ciągu monotonicznego jest szczególnie łatwe do ustalenia. Ciąg rosnący może nie mieć granicy, lecz rosnąć nieograniczenie, jak np. ciąg 1,2, 3,4, ... , w którym a11 = n, lub ciąg 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...,
w którym a„ jest n-tą liczbą pierwszą p11 • W tych przypadkach ciąg dąży do nieskm\czoności. Jeżeli jednak wyrazy ciągu rosnącego monotonicznie pozostają ogranicz~ne,.tzn._ie~el.i każdy ~yra~ jes.t mniejszy od pewnego kraf1ca B, znanego z góry, to Jest mtmcyJiue oczywiste, ze ciąg musi dążyć do pewnej granicy a, która będzie mniejsza albo co najwyżej równa B (rys. 166). Formułujemy to jako prawo ciągów monotonicznych: Każdy ciąg monotoniczny rosnący, mający kraniec górny, musi być zbież ny do pewnej granicy. (Analogiczne twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnych cią gów malejących monotonicznie, mających kraniec dolny). Godne uwagi jest to, że nie potrzeba, aby wartość granicy a była znana lub dana z góry; twierdzenie głosi, że przy wymienionych warunkach granica istnieje. Twierdzenie to wymaga, oczywiście, wprowadzenia liczb niewymiernych, gdyż inaczej nie byłoby zawsze praw-
gdzie A; są to liczby całkowite, a P;i ą; itd. są to cyfry od Odo 9. Przechodzimy teraz od góry do dołu kolumny liczb całkowitych Al' A2' A 3 , ... Wobec tego, że ciąg a1, a 2, a3, ••• jest ograniczony, liczby A; nie mogą wzrastać nieograniczenie, a wobec tego, że ciąg jest mono tonicznie rosnący, ciąg zło żony z liczb całkowitych Al' A2, A 3 , •.• pozostanie bez zmiany po osiągnięciU-swojej wartości maksymalnej. Oznaczmy tę wartość przez A i przypuśćmy, że zostaje ona osiągnięta w wierszu N 0 • Przechodzimy teraz od góry do dołu drugą kolumnę p1, ql' rl' ... zwracając uwagę na liczby w wierszu N 0 i dalszych. Jeżeli x 1 jest największą cyfrą pojawiającą się w tej kolumnie poniżej wiersza N 0 , to cyfra x 1 będzie występowała stale począwszy od tego miejsca, gdzie pojawia się po raz pierwszy; możemy założyć, że nastąpiło to w wierszu N 1, przy czym N 1 ~ N 0 • Jeżeli bowiem cyfry malałyby począw szy od pewnego wiersza, to ciąg al' a2, a 3, •.• nie wzrastałby mono tonicznie. Rozpatrujemy następnie cyfry p2, q2, r2' ... trzeciej kolumny. Podobna argumentacja prowadzi do wniosku, że po pewnej ilości wierszy N 2, gdzie N 2 ~ Nl' cyfry trzeciej kolumny będą stale równe pewnej cyfrze x2 • Powtarzając to postępowanie w stosunku do 4-ej, 5-ej itd. kolumny otrzymujemy cyfry x3, x 4 , x 5 , .•• i odpowiadające im liczby całkowite N 3, N 4, N 5, ••. Łatwo zauważyć, że liczba
jest
granicą ciągu
al' a2, a3 ,
••• Jeżeli
bowiem przyjmiemy e
~
10- 111 , to dla
286
VI. Funkcje i granice
§ 2. Granice
wszystkich n ~ N 111 część całkowita i początkowe m cyfr po przecinku liczby
287
Wyrazy a„ tworzą ciąg rosnący monotonicznie, ponieważ a„ + 1 powstaje z a„ przez dodanie przyrostu dodatniego 1/(n + 1)!. Ponadto wartości a„ są ograniczone od góry
a„ będą zgodne z analogicznymi miejscami liczby a, tak że różnica a„ - a nie może przekraczać
10- 111 • Wobec tego, że możemy to uczynić dla każdego dodatniego, dowolnie małego e, przyjmując odpowiednio wielkie m, twierdzenie zostało udowodnione. Można również udowodnić to twierdzenie na podstawie dowolnej innej definicji liczb rzeczywistych spośród definicji podanych w rozdziale II; np. definicji za pomocą przedziałów zstępujących lub przekrojów Dedekinda. Dowody takie można znaleźć w wielu podręcznikach analizy matematycznej. Zasadę ciągów monotonicznych można by było zastosować w rozdziale II dla określenia sumy i iloczynu dwóch dodatnich ułamków dziesięt nych nieskończonych
a„ < B=3. Mamy bowiem 1 s! skąd
na podstawie wzoru ze str. 36 na sumę początkowych n wyrazów postępu geometrycznego. Zatem zgodnie z prawem ciągów monotonicznych a„ musi dążyć do pewnej granicy, gdy n dąży do nieskończoności; granicę tę oznaczamy przeze. Aby wyrazić to, że e =lim a111 możemy napisać e w postaci „szeregu nieskończonego"
:1(
Dwóch takich wyrażeń nie można dodawać ani mnożyć w zwykły sposób, od prawego końca, ponieważ nie ma takiego końca. Gako przykład zechce czytelnik popróbować dodania dwóch nieskof1Czonych ułam ków dziesiętnych 0,333333 ... i 0,989898 ... ). Jeżeli jednakx„ oznacza skończo ny ułamek dziesiętny, otrzymany przez przerwanie wyrażeń na a i b na n-tym miejscu i dodanie ich w zwykły sposób, to ciąg x 1, x 2, x3, ••• będzie monotonicznie rosnący i ograniczony (np. liczba całkowita A+ B + 2). Zatem ciąg ten ma granicę i możemy uważać, że a+ b =lim x„. Podobne postępowanie pozwala zdefiniować iloczyn ab. Na podstawie zwykłych reguł arytmetyki można rozszerzyć te definicje tak, żeby obejmowały wszystkie przypadki, przy a i b zarówno dodatnich, jak ujemnych. poczynając
Ta „równość" z kilkoma kropkami na przedstawienia treści dwóch stwierdzeń
I
·~·
liczbą rzeczywistą
11
Znaczenie pojęcia granicy w matematyce polega na tym, że wiele liczb definiuje granice - często jako granice ciągów monotonicznych ograniczonych. Dlatego też ciało liczb wymiernych, w którym takie granice mogą nie istnieć, jest zbyt wąskie dla potrzeb matematyki. 3. Liczba Eulera e. Liczba e ma obok liczby archimedesowej n ustalone miejsce w matematyce od chwili ogłoszenia w 1748 r. dzieła Eulera Introductio in Analysin Infinitorum. Stanowi ona doskonały przykład tego, w jaki sposób zasady ciągów monotonicznych można użyć do zdefiniowania nowej liczb-y rzeczywistej. Stosując skrót n!=1·2·3·4· ... ·n
(4)
początkowych
1!
2!
11!
a11 -?e1
gdy
Il -7 oo.
Szereg (6) pozwala na obliczenie ez dowolnym żądanym stopniem dokładno Na przykład suma (z dokładnością do dziewięciu miejsc dziesiętnych) wyrazów wzoru (6) do wyrazu 1/12! włącznie wynosi 2: = 2,71828183... (czytelnik zechce sprawdzić ten wynik). „Błąd", tj. różnicę pomiędzy tą wartością a dokładną wartością e, można łatwo oszacować. Na różnicę (e- 2;) marny wyrażenie ści.
się wyłącznie jako
na oznaczenie iloczynu a 3, •.•,gdzie
jest po prostu innym sposobem
oraz
Ćwiczenie. Udowodnić w ten sposób, że suma rozważanych wyżej
jest
końcu
1 1 1 a =1+-+-+···+L
nieskończonych
1 1 1 1 e=l+-+-+-+···+-+··· 1! 2! 3! n!
(6)
lf l
dwóch ułamków dziesiętnych 1,323232 ... = 131/99.
1 1 2 3
n liczb naturalnych,
rozważmy ciąg
al' a2 ,
1
i
l .
I.
_1_+_1_+··· <-1-(1+_!_+_1_+···) =-1___1_=_1_. 13! 14! 13! 13 132 13! 1-_!_ 12 · 12! 13 Liczba ta jest tak mała, że nie może wpłynąć na dziewiątą cyfrę przybliżenia 2;. Zatem, dopuszczając możliwość błędu w ostatniej cyfrze podanej wyżej liczby, mamy e = 2,7182818 z dokładnością do ośmiu cyfr.
* Liczba e jest niewymierna. Udowodnimy to pośrednio zakładając, że e = p/q, gdzie pi q są to liczby całkowite, i sprowadzając założenie do niedorzeczności. Wierny, że 2 < e < 3, wobec czego e nie może być liczbą całkowi tą, a więc q musi być co najmniej równe 2. Mnożąc teraz obie strony wzoru (6) przez q! =2·3· ... ·q otrzymujemy
r:' , 11:
VI. Funkcje i granice
288 (7)
§ 2. Granice
e·q! =p·2·3· ... "(q-l)=[q!+q!+3-4- ... ·q+4·5· ... ·q+ ... +
stępną,
289
więc niewymierną.
W przeciwieflstwie do dowodu dla liczby e, dowód liczby :n:, przeprowadzony po raz pierwszy przez J. H. Lamberta (1728-1777), jest raczej trudny i nie będziemy go tutaj przytaczali. Natomiast inne informacje o liczbie n pozostają w naszym zasięgu. Pamiętając, że liczby całkowite są podstawowym materiałem matematyki, możemy zapytać, czy liczba :n: zależy w jakiś prosty sposób od liczb całkowitych. Rozwinięcie n w ułamek dziesiętny, pomimo że dokonano obliczefl dla kilkuset miejsc, nie wykazuje żadnych śladów regularności. Nie jest to wcale dziwne, bo liczby n i 10 nie mają ze sobą nic wspólnego. Natomiast w XVIII wieku Euler i inni znaleźli piękne wyrażenia, wiążące n z liczbami całkowitymi za pośrednictwem szeregów nieskoflczonych i iloczynów nieskoflczonych. Najprostszym może z tych wzorów jest wzór następujący: a
niewymierności
1 (q+l)
+(q-l)q+q+l)+--+
:1r·
1 +··· (q+l)(q+2)
Z lewej strony mamy, oczywiście, liczbę naturalną. Po prawej stronie wyraże nie w nawiasach kwadratowych jest także liczbą naturalną. Natomiast pozostałe wyrazy po prawej stronie dają w sumie liczbę dodatnią mniejszą od 1/2, zatem nie dają liczby naturalnej. Ponieważ q > 2, więc wyrazy szeregu 1/(q + 1) + ... są odpowiednio nie większe niż odpowiednie wyrazy postępu geometrycznego 1/3+1/32 +1/33 + ... , których suma wartości 1/3[1/(1-1/3)] = = 1/2. Zatem równość (7) daje sprzeczność: liczba naturalna po lewej stronie nie może być równa liczbie po prawej stronie; ta bowiem jest sumą liczby naturalnej i liczby dodatniej mniejszej niż 1/2, nie może więc być liczbą naturalną.
:re 1 1 1 4=l-3+5-7+···, wyrażający
n/4 jako granicę sum cząstkowych przy wzrastającym n:
4. Liczba n. Jak wiadomo ze szkolnego kursu matematyki, długość obwodu kola
o promieniu równym jedności można zdefiniować jako granicę ciągu długości obwodów wielokątów foremnych o wzrastającej ilości boków. Tak zdefiniowaną długość obwodu koła oznaczamy przez 2:n:. Mówiąc ściślej, jeżeli p11 oznacza długość wpisanego, a q11 długość opisanego na kole n-k.:1ta foremnego (rys. l67),top 11 < 2:n:< q11 .Gdynwzrasta,wtedyobaciągip11 iq11 dążą monotonicznie do 2:n:, i po każdym przybliżeniu otrzymujemy mniejsze granice błędu przy przybliżaniu 2:n: za pomocą p„ lub q11 • Na stronicy 135 znaleźliśmy wyrażenie p2 ,,,
pomocą wielokątów.
m -1 zstępujących pierwiastków kwadratowych. Można zastosować ten wzór do obliczenia przybliżonej wartości 2:n:.
Ćwiczenia. 1. Znaleźć przybliżone wartości :n: dane za pomocą wartości P4' PB' P16· 2*. Znaleźć wzór na q2,,,. 3*. Zastosować ten wzór dla wyznaczenia q4 i q8, q16 . Znając p16 i q16 ustalić granice, pomiędzy którymi musi leżeć :n:.
Czym jest liczba :n:?
Wyprowadzimy ten wzór w rozdziale VIII. Innym szeregiem nieskoflczonym o sumie zależnej od :n: jest 7t
Wyczerpującą odpowiedź
2
1
1
1
1
1
1
-=-+ -+-+-+-+-+··· 6 12 2 2 32 42 5 2 6 2 Jeszcze inny, uderzający wzór na liczbę :n: odkrył matematyk angielski John Wallis (1616-1703). Jego wzór stwierdza, iż
3.. ±. ±..§_ ..§_. . ~. ~)-7 !!.. (3.. 1 3 3 5 5 7 · · · 2n - 1 2n + 1 2'
=2 111 J2-~2+~
zawierające Rys. 167. Okrąg przybliżany za
1
s = 1-.!+.!_.!+ ... +(-111 ) -- · li 3 5 7 211+ 1
gdy 11-700.
Pisze się to czasami w formie skróconej
n
2 2 4 4 6 6 8 8
2=1· 3· 3·5 ·5 ·7·7 ·9· ..., przy czym wyrażenie po prawej stronie nazywamy iloczynem 11iesk011czonym. Dowód ostatnich dwóch wzorów można znaleźć w każdym przystępnym podręczniku analizy matematycznej (patrz str. 448 i str. 505-506). 5*. Ułamki łańcuchowe. Ciekawe procesy graniczne występują w z ułamkami łańcuchowymi. Sko6czony ułamek ła6cuchowy, jak np.
związku
daje nierówność 57 1 -=3+ 1 17 2+-1 1+-
P„ < 2:n: < q„, wyznaczającą ciąg przedziałów zstępujący do punktu 2:n:. Odpowiedź ta jednak pozostawia wiele do życzenia, ponieważ nie daje informacji o naturze liczby :re jako liczby rzeczywistej: czy liczba ta jest wymierna, czy niewymierna, algebraiczna, czy przestępna? Jak wspomnieliśmy na sh: 151, liczba :n: jest w rzeczywistości liczbą prze-
f
5
liczbę wymierną. Na stronicy 68 wykazaliśmy, że każdą liczbę wymierną można zapisać w tej postaci, posługując się algorytmem Euklidesa. Jednak-
przedstawia
290
VI. Funkcje i granice
§ 2.
algorytm ten, stosowany do liczb niewymiernych, nie urywa się po sko11Czonej kroków. Prowadzi on natomiast do ciągu ułamków piętrowych o wzrastają cej liczbie mianowników; każdy ułamek przedstawia liczbę wymierną. W szczególności, wszystkie liczby algebraiczne (patrz str. 116) stopnia drugiego można przedstawić w ten sposób. Rozważmy dla przykładu liczbę x = .fi -1, będącą pierwiastkiem równania kwadratowego ilości
lub
291
Ten interesujący wzór wiąże .fi z liczbami całkow,!!ymi w sposób znacznie bardziej uderzający niż rozwinięcie dziesiętne liczby .,/2, które nie wykazuje żadnej prawidłowości w następstwie kolejnych cyfr. Na pierwiastek dodatni dowolnego równania stopnia drugiego postaci
że
x2+2x=l
Granice
x2 =ax+1,
1
1
x=a+-,
czyli
X
x=--· 2+x
otrzymujemy rozwinięcie
po prawej stronie ostatniej równości zastąpimy x znów przez 1/(2 + x), to otrzymamy wyrażenie
Jeżeli
x= a
1
x=a+----- 1 a+---1-a+--a+
1
1 2+-2+x
I
następnie
.f
1
x=----1-2+ 1 2+-2+x
Tak np. przyjmując a= 1, mamy
1
i tak dalej, a po n krokach otrzymujemy równość
x=-(1+.J5)=1+ 2
X
1
1
1 1+-----1+ 1
1+
1 2+------1---2+-------2+ n kroków 1
2+x
Gdy n dąży do nieskończoności, otrzymujemy nieskończony ułamek łańcuchowy
..fi= 1 +----1-1_ __ 2+-----1--2+----1-2+----2+
I
Przykłady
te są szczególnymi przypadkami ogólnego twierdzenia, które głosi, że pierwiastki rzeczywiste równm1 stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych majq okresowe rozwinięcia na ułamki łmlcuclwwe, podobnie jak liczby wymierne mają okresowe rozwinięcia dziesiętne. Euler zdołał odkryć prawie równie proste ułamki nieskończone na ei.n. Przytaczamy następujące ułamki bez dowodu: e =2 +·-------1,,..1_ _ _ _ __ l+·-------1----2 +·------1-----
l +·-----1---1+·-----1--4 +----1--1+·---~1--
1+----
6+
292
VI. Funkcje i granice
§ 3.
f (x)-1 = 1/100; dla x = ± 1/100 jest f (x)-1 = 1/10 OOO itd. Ogólniej, jeżeli e
1
2+
2 3+
Je.
Jeżeli
bowiem jest
1
'Jt
12
lxl
l + - - - -32 ----
to mamy
2+---~
:~
11
jest jakąkolwiek liczbą dodatnią, dowolnie małą, to różnica pomiędzy f (x) i 1 jest mniejsza niże, jeżeli tylko odległość x od O jest mniejsza od liczby
3 4+--45+
ó=
4
293
Oczywiście, możemy uczynić tę różnicę tak małą, jak nam się podoba, ograniczając x do dostatecznie małego otoczenia wartości O. Tak więc np. dla x = ± 1/10 jest
1 e =2 + - - - - -- , - - - 1+
Granice funkcji zmiennej ciągłej
I f(x)-1 I = I x2 I < e.
52
2+---~--
2+
72
Analogia z
2+-9_2_ 2+
naszą definicją
granicy po-
X
ciągu jest całkowita. Na stronicy 281
Rys. 168. 11 = (x + x3)!x
daliśmy definicję: Ciąg a11 ma granicę a, gdy n dąży do nieskończoności, jeżeli dla dowolnie małej liczby dodatniej e można znaleźć liczbę całkowitą N (zależną ode) taką, że
§ 3. Granice funkcji zmiennej
Ia
ciągłej
1. Wstęp. Definicje ogólne. W punkcie 1, § 2, zdołaliśmy podać ścisłe sformu(tj. funkcja a11 =F(n) zmiennej naturalnej n) ma granicę a, gdy n dąży do nieskończoności". Podamy teraz odpowiednią definicję wyrażenia „Funkcja u = f (x) zmiennej ciągłej x ma granicę a, gdy x dąży do wartości x1". W formie intuicyjnej pojęcie granicy oparte na zbliżaniu się zmiennej niezależnej x w sposób ciągły stosowaliśmy w punkcie 5, §1, dla sprawdzenia ciągłości funkcji f (x). Zacznijmy znowu od szczególnego przykładu. Funkcja f (x) = (x + x3)/x jest określona dla wszystkich wartości x różnych od wartości x =O, przy której mianownik staje się równy zeru (rys. 168). Jeżeli sporządzi!TIY wykres funkcji u= f(x) w pobliżu zera, to stanie się oczywiste, że gdy x „zbliża się" do zera z którejkolwiek strony, to odpowiednia wartość u= f (x) „zbliża się" do granicy 1. Aby dać ścisły opis tego faktu, znajdźmy dokładny wzór na różnicę pomiędzy wartością f (x) a ustaloną liczbą 1:
11
3
3
3
X
X
n~
X
umówimy się, że będziemy rozważali tylko wartości x bliskie O, ale nie samą wartość x=O (dla której funkcja f(x) nie jest nawet określona), to możemy podzielić zarówno licznik, jak też mianownik wyrażenia po prawej stronie tej równości przez x, otrzymując wzór prostszy
I f(x)-a I
Jeżeli
I x-x1 I <
ó.
tak jest, to piszemy f(x)
-7
a, gdy x -7 x1 •
W przypadku funkcji f (x) = (x + x 3)/x wykazaliśmy poprzednio, że f(x) ma gra1, gdy x dąży do wartości x 1 =O. W tym przypadku wystarczy przyjmować zawsze ó = .fi . nicę
f(x)-l=x 2•
N.
W przypadku funkcji f (x) zmiennej ciągłej x, gdy x dąży do wartości skończo nej xl' zastępujemy tylko „dostatecznie duże" n dane za pośrednictwem N przez x „dostatecznie bliskie" x 1 dane za pośrednictwem liczby ó i dochodzimy do nastę pującej definicji granicy funkcji zmiennej ciągłej, którą dał pierwszy Ca uchy około 1820roku: Funkcja f(x) ma granicę a, gdy x dąży do wartości xl' jeżeli dla dowolnie małej liczby dodatniej e można znaleźć liczbę dodatnią ó (zależną od e) taką, że
f(x)-l= x+x -l= x+x -x =~· Jeżeli
I
dla wszystkich n spełniających nierówność
łowanie wyrażenia „Ciąg a11
„' ''
-a
294
VI. Funkcje i granice
2. Uwagi o
:«
pojęciu
granicy. Podana w poprzednim punkcie definicja granicy niż stu lat prób i błędów i obejmuje w niewielu słowach wynik uporczywego wysiłku zmierzającego do oparcia pojęcia granicy na solidnej podstawie matematycznej. Podstawowe pojęcia analizy matematycznej - pochodna i całka - mogą być zdefiniowane tylko za pomocą pewnych procesów granicznych. Ale przez długi czas nieprzezwyciężona na pozór przeszkoda nie pozwalała na jasne zrozumienie i ścisłe zdefiniowanie granicy. Badając ruch i zmiany ruchu matematycy wieku XVII i XVIII przyjęli jako oczywiste pojęcie wielkości x zmieniającej się w sposób ciągły i zmierzającej płynnie do pewnej wartości granicznej x 1 • W związku z tym pierwotnym upływem czasu lub z pewną wielkością x zachowującą się tak samo jak czas, rozpatrywali oni pewną wielkość wtórną u= f (x) zależną od ruchu wielkości x. Zagadnienie polegało na nadaniu ścisłego matematycznego znaczenia temu, że f (x) "dąży" lub „przybliża się" do ustalonej wartości a, gdy x dąży do xl" Ale od czasów Zenona i jego paradoksów intuicyjne fizyczne czy metafizyczne pojęcie ruchu ciągłego wymykało się wszelkim próbom sformułowania matematycznego. Nie ma trudności przy przechodzeniu krok za krokiem poprzez skokowy ciąg wartości a11 a2, a3, ••• Mając jednak zmienną ciągłą x przebiegającą przez pewien przedział osi liczbowej, nie można powiedzieć, w jaki sposób x powinno 11 przybliżać się" do ustalonej wartości x 11 żeby przybierało kolejno według wielkości wszystk,i.e wartości przedziału. Punkty na prostej tworzą bowiem zbiór gęsty i po danym punkcie nie ma punktu „następnego". Z pewnością intuicyjny obraz continuum ma psychologiczną realność w umyśle ludzkim. Nie można się jednak opierać na nim dla rozwiązania rzeczy matematycznie niemożliwej; musi więc pozostać rozbieżność pomiędzy pojęciem intuicyjnym a językiem matematycznym przeznaczonym do opisywania dokładnymi, logicznymi terminami istotnych z punktu widzenia naukowego cech naszego intuicyjnego obrazu. Paradoksy Zenona wskazują wyraźnie na taką rozbieżność. Dziełem Cauchy' ego było wykazanie, że jeżeli chodzi o pojęcia matematyczne, to można, a nawet należy unikać jakiegokolwiek odwoływania się do pierwotnego intuicyjnego pojęcia ruchu ciągłego. Jak to często bywa, drogę do postępu w nauce otworzyło zaniechanie wysiłków w kierunku metafizycznym i operowanie w zamian wyłącznie pojęciami odpowiadającymi w zasadzie zjawiskom „obserwowalnym". Jeżeli zanalizujemy, co naprawdę rozumiemy przez słowa "przybliżanie ciągłe" i jak musimy postępować, żeby stwierdzić to w poszczególnym przypadku, to będziemy musieli przyjąć definicję tego rodzaju, jak definicja Cauchy'ego. Definicja ta jest statyczna; nie zakłada się przy tym intuicyjnego pojęcia ruchu. Przeciwnie, tylko taka statyczna definicja umożliwia ścisłą matematyczną analizę ruchu ciągłego w czasie i rozstrzyga sprawę paradoksów Zenona w zakresie wiedzy matematycznej. W (e, ó)-definicji zmienna niezależna jest nieruchoma: nie "dąży" ani nie "przybliża się" do granicy x 1 w sensie fizycznym. Natomiast powyższe zwroty i symbol ~pozostają w dalszym ciągu w języku matematycznym i matematycy nie mus~ą i nie powinni zatracać sugestywnego intuicyjnego wrażenia wyrażanego przez me. Jeżeli natomiast trzeba sprawdzić istnienie jakiejś granicy w konkretnym zagadnieniu naukowym, to należy zastosować (e, ó)-definicję. To, czy definicja ta odpowiada w sposób zadowalający dynamicznemu" pojęciu przybliżania, jest zagad11
§ 3. Granice funkcji zmiennej ciągłej
w języku (e, ó)" jest wynikiem więcej
11
<'I
J'
(I
295
nieniem takiego samego rodzaju, jak to, czy aksjomaty geometrii dają zadowalają ce przedstawienie intuicyjnego pojęcia przestrzeni. Oba sformułowania pomijają pewne rzeczy istotne dla intuicji. Zapewniają jednak właściwe ramy matematyczne dla przedstawienia naszej wiedzy o tych pojęciach. Podobnie jak w przypadku granicy ciągu, kluczem do definicji Ca uchy' ego jest odwrócenie "naturalnego" porządku, w jakim rozpatrujemy zmienne. Najpierw rozważamy obszar wahań e zmiennej zależnej, a następnie staramy się wyznaczyć odpowiedni obszar wahań ó zmiennej niezależnej. Zdanie ,,f(x) ~a, gdy x ~ x ", 1 jest tylko zwięzłym sposobem wyrażenia tego, że poprzednią konstrukcję można przeprowadzić dla dowolnej liczby dodatniej e. W szczególności, żadna część tego zdania, np. "x ~ xi", sama przez się nie ma sensu. Należy podkreślić jeszcze jedno. Gdy x 11 dąży do" x11 to możemy pozwolić, żeby x było większe lub mniejsze od x 11 ale wyraźnie wykluczamy równość żądając, aby było x :;ć x 1; x dąży do x 1 zawsze poprzez wartości różne od xl" Dzięki tej umowie możemy stosować naszą definicję do funkcji, które nie są określone dla x=x ale 11 mają określone granice, gdy x dąży do x 1; jak np. funkcja f(x) = (x + x3)/x rozważa na na str. 291. Wyłączenie wartości x = x 1 odpowiada temu, że przy granicach cią gów a11 dla n ~oo, jak np. ciągu a„ = 1/11, nigdy nie podstawiamy we wzorze n= oo. Jednakże, gdy x dąży do x 11 to f (x) może przybliżać się do granicy a w taki sposób, że istnieją wartości x :;ć x 1, przy których f (x) =a. Tak np. rozważając funkcję f (x) = x/x, gdy x dąży do O, nie dopuszczamy nigdy, żeby x było równe O; natomiast jest f(x) = 1 dla wszystkich wartości x :;ć O, a granica a istnieje i jest równa 1, zgodnie z naszą definicją. 3. Granica funkcji (sin x)/x. Jeżeli x oznacza miarę teoretyczną kąta, to wyrażenie (sin x)/x jest określone dla wszystkich wartości x z wyjątkiem x=O, gdzie staje się nie mającym sensu symbolem 0/0. Czytelnik rozporządzający tablicą funkcji trygonometrycznych może obliczyć wartości (sin x)/x dla małych wartości x. Tablice te są dane zwykle dla kątów mierzonych w stopniach; przypominamy (§ 1, punkt 2), że miara w stopniach y jest związana z miarą teoretyczną x zależnością Jr
x= --y=0,01745y, 180
z dokładnością do 5 miejsc dziesiętnych. W tablicy czterocyfrowej znajdujemy sinx wartości x, sin x i - - dla kątów o mierze 10°, 5°, 2° i 1°. X
'I
sinx
sinx
--
0,1745 0,0873 0,0349
0,1736 0,0872 0,0349
0,9948 0,9988 1,0000
0,0175
0,0175
1,0000
y
X
100 50 20 10
X
296
VI. Funkcje i granice
§ 3.
Chociaż wiadomo że dokład , , t h r . , nak nasuwa . ' ~osc yc iczb sięga tylko czwartego miejsca to j'ed się przypuszczenie, że ' •
297
Z nierówności (3) wyprowadzić zależność graniczną:
1-cosx ----7 0
sinx -x--71,
(1)
Ćwiczenia. 1.
Granice funkcji zmiennej ciągłej d g y
X-7, 0
X
gdyx-70.
2. Znaleźć granice przy X-7 O następujących funkcji:
Podamy ter~z ścisły dowód tej zależności granicznej. z opartej na kole jednostkowym (r 169) d f' . „ „ wynika Żej'e. r . . ys. e m1q1 funkq1 trygornetrycznych ze I x jest miarą teoretyczną kąta BOC to przy O < x < ~12 ( ' str. 270): ' •• marny patrz
sin 2 x
sinx x(x-1)'
X
tgx
sinax
X
X
sinax sinbx'
x sinx 1-cosx'
1 sinx
sinx - - (gdy x mierzymy w stopniach), X
pole trójkąta OBC = 2 · 1 ·sin x
1 tgx
2
pole wycinka koła OBC = 2 ·sin x 2
:1(
pole trójkąta OBA =
A
f ·1 ·tg x.
Stąd
4. Granice funkcji w nieskończoności. Gdy zmienna x jest wielka, to wartość funkcji f (x) = llx staje się mała i może być uczyniona dowolnie mała, czyli „dąży do O". Zachowanie się tej funkcji przy wzroście x jest bowiem w istocie takie sarno, jak zachowanie się ciągu 1/n, gdy n wzrasta. Podajemy definicję ogólną: Funkcja
f (x) ma granicę a, gdy x dąży do nieskofzczoności1 , co piszemy w postaci
sinx < x< tgx. Dzieląc przez sin x otrzymujemy '•
'
f (x) -7 a, gdy x -7 oo,
1
czyli (2)
Ale
1<-x- < - - , sinx cosx
jeżeli ną
sinx cosx < - - < 1.
Rys. 169
X
1-cos2 x 1 + cosx
1-cosx = (1-cosx) 1 + cosx 1 + cosx Ponieważ sin x < x, więc
sin 2 x
. 2
1 + cosx < sm x.
dla każdej dowolnie małej liczby dodatniej e można znaleźć liczbę dodatnią K (zależ
ode)
taką, że
I f(x)-a I
gdy tylko I x I > K. (Porównać z odpowiednią definicją na str. 293). W przypadku funkcji f (x) = 1/x, dla której a= O, wystarczy obrać K = 1/e, co czytelnik może sprawdzić natychmiast. Ćwiczenia. 1. Udowodnić, że podana wyżej definicja granicy
f (x) -7 a, gdy x -7 oo,
(3)
1-cosx < x2,
czyli 1-x2 < cosx z t · · my nierówność os~at:~z:~lając ostatnią nierówność z nierównością (2) otrzymuje-
X
Chociaż założyliśmy: że o <
< t . d rzy -:n:/2 < x < O ' . x. :n:12' o je nak nierówność ta jest prawdziwa także P ,pomewaz sin(-x)
-sinx
2. x+l -7 1' x-1
oraz
(-x)2=x2.
Z nierówności (4) wynika be ś d 1. 1 . ,, pomiędzy (sin x)/x i 1 jest rnniejs~~~i~x~~ : t~\~;:;~ ~ranic~na, różnica.~owi~~ szym od dowolnej liczby e, biorąc I x I < o= .Je. me rnozemy uczymc rnmej-
prawdziwe
gdy
sinx
4, - - - 7 0
sinx
~=~=-x-
f (x) -7 a, gdy 1/x -7 O. Udowodnić, że
sinx 1 -x 2 <--<1.
(4)
jest równoważna stwierdzeniu, że
I
X
gdy
-7
są następujące zależności
3. x2+x+l 2 -7 1 x -x-1
oo.
X-7
8. 1
Zdefiniować
gdy
5.
O.
„f(x) -7
X-7
gd y
I
X
sin x 6 . - - - - 70' x+cos x
graniczne:
OO,
x+l
-2--7 X +1
O,
gdy
oo,
gdy x -7
Porównaj z przypisem na następnej stronicy.
X-7 OO,
7. sin x nie ma granicy, COS X
oo". Podać przykład.
X -7 oo,
gdy
X-7 OO,
298
VI. Funkcje i granice
§
4. Ścisła definicja ciągłości
299
Istnieje pod jednym względem różnica pomiędzy przypadkiem funkcji
f (x) i ciągu a11 • W przypadku ciągu n może dążyć do nieskończoności tylko rosnąc, natomiast dla funkcji możemy dopuścić, że x staje się nieskończone bądź dodatnio, bądź ujemnie. Jeżeli chcemy rozważać zachowanie się funkcji f(x), gdy x przybiera wielkie wartości dodatnie, to możemy zastąpić warunek I x I > K warunkiem x > K; dla wielkich wartości ujemnych x stosujemy warunek x < - K. Aby wyrazić symbolicznie te dwa sposoby „jednostronnego" przybliżania się do nieskończoności, piszemy odpowiednio
jeżeli
bowiem to
1 lf(x)l=lx3 I<-· 1000
*
Analogicznie można zastąpić e = u!xi przeze= 10- 4, 10- 5 Jub jakąkolwiek inną liczzawsze będzie spełniała stawiany warunek, jeżeli bowiem bę dodatnią; liczba 0 =
X-7-oo.1
Ix
§ 4. Ścisła definicja ciągłości
J
=
lfi,
to
I f(x) I = I x3 I < e.
Na podstawie (e, o)-definicji ciągłości można wykazać w sposób analogiczny, że wszystkie wielomiany, funkcje wymierne i funkcje trygonometryczne są ciągłe, z wyjątkiem odosobnionych wartości x, gdzie funkcje te mogą dążyć do nieskończoności. Dla wykresu funkcji u= f (x) definicja ciągłości przybiera następującą interpretację geometryczną. Obieramy dowolną liczbę dodatnią e i prowadzimy proste ~ównoległe do osi x na wysokościach f(x 1 )-e if(x1) +e. Czyli musi być możli we znalezienie takiej liczby dodatniej o, że cała część wykresu leżąca w pionowym pasie o szerokości 2o po obu stronach punktu x 1 leży również w pasie pozio-
W punkcie 5, §1, ustaliliśmy, co oznacza następujące kryterium ciągłości funkcji: „Funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x=x1, jeżeli z tego, że x przybliża się do xl' wynika, że wartość f (x) przybliża się do wartości f (x 1) jako do granicy". Jeże li zanalizujemy tę definicję, to przekonamy się, że składa się ona z dwóch różnych warunków: a) granica a funkcji f(x) musi istnieć, gdy x dąży do x , 1 b) granica ta musi być równa wartości f (x 1). Jeżeli w definicji granicy podanej na str. 296 podstawimy a= f (x ), to warunek cią 1 głości przybierze następującą postać: Funkcja f (x) jest ciągła dla wartości x = xl' jeżeli dla dowolnie małej liczby dodatniej e można znaleźć liczbę dodatnią (zależną ode) taką, że
li
li
o
I f(x)- f(x1) I < e
I
)
dla wszystkich x spełniających nierówność
I x-xl I< o. (Warunek x ;ć x 1 nałożony w definicji granicy jest tutaj zbędny, ponieważ nierówność I f(x 1) - f(x 1) I < e jest spełniona automatycznie). Dla przykładu sprawdźmy ciągłość funkcji f (x) = x3 w punkcie x =O. Marny 1
f (x1) = 03 =O. Obierzmy teraz dowolną dodatnią wartość na e, np. e = a!m. W takim razie musimy wykazać, że ograniczając zmienność x do wartości dostatecznie bliskich wartości x 1 = Osprawimy, że odpowiednie wartości f (x) będą się różniły od O nie więcej niż o u!m, czyli będą leżały pomiędzy - u!m a 1c!m. Widzimy natychmiast, że te granice nie będą przekroczone, jeżeli ograniczymy się do wartości x róż niących się od x 1 = O mniej niż o wartość W polskiej terminologii matematycznej przyjęto, zgodnie z intuicją, dla funkcji zmiennej rzeczywistej rozważać przypadki granic przy x -4- oo lub x -4 +oo rezerwując rozważanie granicy przy x-400 dla funkcji zmiennej zespolonej (przyp. red.). 1
Rys. 170. Funkcja ciągła w punkcie x=x 1
Rys. 171. Funkcja nieciągła w punkcie x=x 1
mym o szerokości 2e po obu stronach punktu f (x 1). Rysunek 170 pokazuje funkktóra jest ciągła w punkcie xl' natomiast rysunek 171 pokazuje funkcję, która nie jest ciągła w tym punkcie. W ostatnim przypadku pas pionowy dokoła xl' jakkolwiek wąski, zawsze obejmuje część wykresu wykraczającą poza pas poziomy, odpowiadający obranej liczbie e. cję,
Jeżeli twierdzę, że dana funkcja u= f (x) jest ciągła dla wartości x = x 1, oznacza to, że jestem gotów zawrzeć z Tobą, Czytelniku, następującą umowę. Możesz obrać dowolną liczbę dodatnią e, tak małą jak zechcesz, ale
300
§
VI. Funkcje i granice
musisz ją ustalić. Wówczas ją muszę podać taką liczbę ó > O, że z nierówności I x-x 1 I < ó wynika nierówność I f(x)-f(x 1) I < e. Nie zobowiązuję się do podawania liczby ó niezależnie od tego, jaką wartość e obierzesz później; mój wybór liczby ó będzie zależał od Twego wyboru liczby e. Jeżeli przedstawisz chociaż jedną wartość e, dla której nie będę mógł podać stosownej liczby ó, to moje twierdzenie jest fałszywe. Zatem, aby udowodnić, że mogę wypełnić· warunki umowy w każdym konkretnym przypadku jakiejś funkcji u= f (x), podam zwykle postać funkcji dodatniej ó =1fJ(e), określonej
dla wszystkich liczb dodatnich e, o której mogę udowodnić, że z I x-x1 I < ó wynika nierówność I f(x)-f(x 1) I < e. W przypadku funkcji u=f(x)=x3 i wartości x1 =0 funkcja Ó=
: I
nierówności
ó='ifi.
Ćwiczenia. 1. Udowodnić, że funkcje sin
2.
x, cos x są ciągłe.
Udowodnić ciągłość funkcji 1/(1 + x4) i ~1 + x 2 •
§ 5. Dwa podstawowe twierdzenia ' o funkcjach ciągłych 1. Twierdzenie Bolzano. Bernard Bolzano (1781-1848), duchowny katolicki, wykształcony w filozofii scholastycznej, był jednym z pierwszych, którzy wprowadzili do matematyki współczesne pojęcie ścisłości. Jego doniosła książeczka Paradoxien des Unendlichen, ukazała się w 1850 roku. W niej to po raz pierwszy stwierdzono, że wiele pozornie oczywistych sądów dotyczących funkcji ciągłych można i należy udowodnić, chcąc je stosować w całej ogólności. Przykładem jest następujące twierdzenie o funkcjach ciągłych jednej zmiennej. Funkcja zmiennej x, ciągła w pewnym przedziale domkniętym a ::5 x ::5 b, dodatnia dla pewnej wartości zmiennej Xv a ujemna dla innej wartości Xz z tego przedziału, musi przybierać wartość zero dla pewnej pośredniej wartości x. Zatem, jeżeli f (x) jest funkcją cią głą, gdy x przebiega przedział [a, b], i przy tym f(a) < O oraz f(b) > O, to istnieje taka wartość a zmiennej x, że a < a < bi f(a) =O. Twierdzenie Bolzano zgadza się w zupełności z naszym intuicyjnym wyobrażeniem krzywej ciągłej, która przy przechodzeniu od punktu poniżej osi x do punktu powyżej tej osi musi gdzieś przecinać tę oś. Rysunek 157 na str. 275 pokazuje, że może to nie być prawdą w przypadku funkcji nieciągłych. 2*. Dowód twierdzenia Bolzano. Podamy ścisły dowód tego twierdzenia. (Podobnie jak uczynił to Gauss i inni wielcy matematycy, można je uznać i stosować bez dowodu). Naszym zadaniem jest sprowadzenie twierdzenia do podstawowych własności zbioru liczb rzeczywistych, w szczególności do postulatu Dedekinda-Cantora dotyczącego przedziałów zstępujących (str. 84). W tym celu rozważamy przedział I, a ::5 x ::5 b, w którym określona i
5. Dwa podstawowe twierdzenia o funkcjach
ciągłych
301
jest funkcja f(x), i dzielimy go na połowy, wyróżniając punkt środkowy x =(a+ b)/2. Jeżeli f(x 1) =O, to nie ma już czego dowodzić. Jeżeli nato~iast f (x1):t:O, to liczba f(x 1) musi być bądź większa, bądź mniejsza od zera. W każdym z tych przypadków jedna z połówek przedziału I ma tę wła sność, że z~ak f (x) jest róż~y na obu je! kr~ńcach _
I„ wynika, że funkcja f (x) ma różne znaki na krańcach każRys. 172. Twierdzenie Bolzano
3. 1\vierdzenie Weierstrassa o wartościach ekstremalnych. Inne ważne i intuicyjnie oczywiste twierdzenie dotyczące funkcji ciągłych sformułował Karol Weierstrass (1815-1897), który, być może, w większej mierze niż ktokolwiek inny, zapo.czątkował współczesny zwrot w kierunku ścisłości w analizie matematycznej. Twierdzenie Weierstrassa głosi, że: Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła w przedziale I, a ::5 x ::5 b,
302
VI. Funkcje i granice
§ 5. Dwa podstawowe twierdzenia o funkcjach ciąghjch
włącznie z kraikami a i b tego przedziału, to musi istnieć w przedziale I co najmniej jeden punkt, w którym f (x) przybiera największą swoją wartość M, i co najmniej jeden punkt, gdzie f (x) przybiera najmniejszą wartość m. Mówiąc intuicyjnie oznacza to, że wykres funkcji ciągłej u= f (x) musi mieć co najmniej jeden punkt najwyższy i jeden punkt najniższy. . '.'łale~y zaznaczy~, że twierdze~ie to może nie być prawdziwe, gdy funkcja f (x) me Jest ciągła na krancach przedziału J. Tak np. funkcja f(x) = 1/x nie ma wartości największej w przedziale O< x=51, chociaż f (x) jest funkcją ciągłą w całym wnętrzu tego przedziału. Funkcja nieciągła może nie przybierać wartości największej ani najmniejszej, nawet wtedy, gdy jest ograniczona. Rozważmy np. wybitnie niecią głą funkcję f (x) zdefiniowaną w sposób następujący:
f(x) =X f(x)=
1
2
dla x niewymiernych, dla x wymiernych
w przedziale O :5 x :5 1. Funkcja ta przybiera stale wartości zawarte pomiędzy O a 1, w szczególności wartości dowolnie bliskie Olub 1; aby się o tym przekonać, wystarczy za x przyjąć liczbę niewymierną dostatecznie bliską O lub 1. Ale f(x) nigdy nie może być równe Oani 1, ponieważ dla wymiernych wartości x marny f (x) = 1/ 2, a dla niewymiernych x marny f(x) = x. Zatem funkcja nigdy nie osiąga wartości Oi 1.
* Można udowodnić twierdzenie Weierstrassa bardzo podobnie jak twierdzenie Bolzano. Dzielimy przedział I na dwa zamknięte półprzedziały I' oraz I" i bierzemy pod uwagę I' jako półprzedział, w którym należy szukać największej wartości funkcji f (x), poza jednym wyjątkiem: rozważamy przedział I", jeżeli istnieje w nim taki punkt a, że f (a) przewyższa wszystkie wartości funkcji f (x) w przedziale I'. Wybrany w ten sposób przedział oznaczamy przez 11• Z przedziałem 11 postępujemy tak sarno, jak z przedziałem I, otrzymując przedział Iz itd. Postępowanie takie prowadzi do pewnego ciągu I , Iz, J , 1 3 ..., I11 , ••• przedziałów zstępujących, które wszystkie zawierają pewien punkt z. Udowodnimy, że wartość f(z) =M jest największą wartością, którą f (x) przybiera w przedziale I, czyli że nie ma w przedziale I punktu s o własności f(s) > M. Przypuśćmy, że istnieje punkt s, dla którego f(s) = M + 2 s, gdzie s jest pewną (być może bardzo małą) liczbą dodatnią. Dokoła punktu z jako środka możemy-wobec ciągłości funkcji f (x)- odmierzyć tak mały przedział K, że nie obejmuje on punktu s i że wartości f (x) w tym przedziale różnią się od f(z) =M mniej niż os; w przedziale K jest więc z pewnością f (x) < M + s. Ale dla dostatecznie wielkich wartości n przedział 111 leży wewnątrz przedziału K, a z definicji przedziału 111 funkcja f (x) poza przedziałem 111 nie .• przewyższa wartości funkcji f (x) w przedziale I li . Wobec tego otrzyma11Srny sprzeczność, bo s leży poza przedziałem /11 i f (s) > M + s, natomiast w przedziale K, a więc i w przedziale 111 marny f(x) < M + s. Istnienia wartości najmniejszej można dowieść w taki sarn sposób; wynika ono także bezpośrednio z powyżej udowodnionej części twierdzenia, ponieważ najmniejsza wartość funkcji f (x) jest największą wartością funkcji g(x) = - f (x).
303
Analogicznie można udowodnić twierdzenie Weierstrassa dla funkcji dwóch lub więcej zmiennych x, y, ... Zamiast przedziału łącznie z krańcami należy wtedy rozważać obszar zamknięty, np. prostokąt w płasz czyźnie xy z włączeniem jego obwodu. ciągłych
Ćwiczenie. W którym miejscu dowodów twierdzeń Bolzano i Weierstrassa wykorzystywaliśmy założenie, że
funkcja f(x) jest określona i ciągła w caprzedziale domkniętym a :5 x :5 b, a nie w przedziale a < x :5 b lub w przedziale a < x < b? łym
Dowody twierdzeń Bolzano i Weierstrassa mają charakter zdecydowanie niekonstruktywny. Nie dają one efektywnej metody wyznaczenia, w skończonej ilości kroków, położenia punktu zerowego lub też największej i najmniejszej wartości funkcji z przyjętym z góry stopniem dokładności. Udowodniliśmy tylko istnienie tych wartości, a raczej to, że założenie, iż wartości takie nie istnieją, prowadzi do niedorzeczności. Jest to drugi ważny przypadek, gdy „intuicjoniści" (patrz str. 100-106) wysunęli zastrzeżenia; niektórzy z nich nalegali nawet na to, aby usunąć tego rodzaju twierdzenia z matematyki. Jednakże studiujący matematykę nie powinni brać tej sprawy bardziej poważnie niż większość krytyków. 4*. Twierdzenie o ciągach. Zbiory zwarte. Niech x 11 Xz, x 3, ••• będzie nieskoń czonym ciągiem złożonym z liczb, różnych lub nie, zawartych w przedziale domkniętym I, tj. a :5 x :5 b. Albo ciąg taki dąży do pewnej granicy, albo tak nie jest, jednak zawsze można wyjąć z niego (przez opuszczenie pewnych wyrazów ciągu) niesko11czony ciąg częściowy y 11 !fz, y 31 ••• zbieżny, którego granica jest zawarta w przedziale I. Dla udowodnienia tego twierdzenia dzielimy przedział I na dwa domknięte przedziały częściowe I' i I", wyróżniając środek (a+ b)/2 przedziału I: I':
a+b a:5x:5--,
I":
a+b --:5x:5b. 2
2
Co najmniej w jednym z przedziałów częściowych-oznaczmy go przez I1 -leży pierwotnego. Obieramy którykolwiek z tych wyrazów, powiedzmy x„1' i oznaczamy go przez Yi- Postępujemy dalej w ten sam sposób z przedziałem I1. Ponieważ w I1 jest nieskończenie wiele wyrazów x 11, zatem co najmniej w jednej połowie przedziału I1 - którą oznaczamy przez Iz - jest nieskończenie wiele wyrazów. Wobec tego możemy z pewnością znaleźć wyraz x„ należący do 12, dla którego jest n> n1• Wybierając którykolwiek z nich, oznaczamy go przez !h Postępując dalej w taki sarn sposób, znajdujemy taki ciąg Il' I2, I3, „. przedziałów zstępujących i taki ciąg częściowy yl' y2 , y31 ••• ciągu pierwotnego, że dla każdego n wyraz y11 leży w przedziale I„. Ciąg przedziałów schodzi się do pewnego punktu y przedziału I; oczywiste jest więc, że ciąg y11 y2, y 3, ••. ma granicę y, co nieskończenie wiele wyrazów x„ ciągu
należało udowodnić.
304
VI. Funkcje i granice
§ 6.
* Rozważania te można uogólnić w pewien sposób, typowy dla matematyki współczesnej. Rozważmy zmienną X przebiegającą zbiór abstrakcyjny S, w którym zdefiniowano w pewien sposób pojęcie „odległości". S może być zbiorem punktów płaszczyzny albo przestrzeni. Nie jest to jednak kon~e~zne; ~ ~oż.e być równie dobrze zbiorem wszystkich trójkątów w płasz czyzme. Jezeb X i Y są dwoma trójkątami o wierzchołkach odpowiednio A B, Ci A', B', C', to możemy uważać za „odległość" pomiędzy tymi dwom~
1. Zastosowania geometryczne. Proste, lecz ogólne twierdzenie Bolzano można zastosować dla otrzymania wielu twierdzeń, z których nie wszystkie są oczywiste. Na początek udowodnimy twierdzenie: Jeżeli A i B są dwoma polami na płasz
czyźnie, to istnieje linia prosta na płaszczyźnie przecinająca jednocześnie A i B na ~ołowy.
d(X, Y)=AA'+BB'+CC',
<
I
I
j
wartość.
Dowód jest prosty, w założeniu, że ogólne idee ciągłości zostały przez dowodzącego uchwycone; nie będziemy tu jednak wchodzili w szczegóły tego zagadnienia. W rozdziale VII okaże się, że ogólne twierdzenie Weierstrassa ma wielkie znaczenie w teorii maksimów i minimów.
305
§ 6. Niektóre zastosowania twierdzenia Bolzano
trójkątami liczbę równą
gdzie AA' itd. oznacza zwykłą odległość pomiędzy punktami A i A'. Jeżeli tylko istnieje pojęcie „odległości" w zbiorze S, to możemy wprowadzić poję~ie ciągu elementów Xl' X2, X3, ... zbieżnego do pewnego elementu gramcznego X, który należy do zbioru S. Rozumiemy przez to, że d~X, X„) ~O, gdy n~ 00 • Uznajmy teraz zbiór Sza zwarty, jeżeli z każdego c1ą~u. X 1, X 2'. ~3 , ... złożonego z ~lementów zbioru S można zawsze wybrać ciąg częscwwy zb1ezny do elementu zbwru S. W poprzednim paragrafie wykazaliśmy, że przedział domknięty a :S x :S b jest zwarty w powyższym znaczeniu. Pojęcie zbioru zwartego można więc uważać za uogólnienie przedziału domkniętego na osi liczbowej. Zauważmy, że cała oś liczbowa nie jest zwa~ta~ p~nieważ ciąg liczb całkowitych 1, 2, 3, 4, 5, ... nie ma granicy ani nie zawiera.ciągu częściowego zbieżnego. Również przedział otwarty nie jest ~~arty, Ja~ np. O< x ~ 1, ponieważ ciąg 1/2, 1/3, 1/4, ... i każdy jego ciąg czę sc10wy dązy do gramcy O, która jest krańcem przedziału, ale nie należy do ~rzedziału otwartego. Analogicznie można wykazać, że obszar płaski zło zony ~ p~nktów wewnętrznych kwadratu lub prostokąta nie jest zwarty, al~ ~ta1e się z~arty ~o u~upełnieniu go punktami obwodu. Inny przykład: zbior wszystkich tro1kątow, których wierzchołki leżą wewnątrz lub na obwodzie danego koła, jest zwarty. Możemy również rozszerzyć pojęcie ciągłości na przypadek, gdy zmienna X przebiega dowolny zbiór S, w którym pojęcie granicy jest określone. Mów~my, ~e .fu~kcja u= F(X) o wartościach rzeczywistych jest ciągła w elemencie X, Jezeh dla dowolnego ciągu elementów X1, X2, X3, ... dążącego do granicy X odpowiedni ciąg liczb F(X1), F(X2), ... dąży do granicy F(X). (Moż na by podać także równoważną (e, ó)-definicję). Łatwo wykazać, że twierdz~~i~ Wei.erstrassa jest prawdziwe w ogólnym przypadku funkcji określo ne} i c1ągłe1 na dowolnym zbiorze zwartym. . ~e~eli u= F(X) jest funk?ją określoną i ciągłą na zbiorze zwartym S, to 1st111e1e zawsze element zb10ru S, dla którego F(X) przybiera największą swoją wartość, jak też taki element, dla którego F(X) przybiera najmniejszą
Niektóre zastosowania twierdzenia Bolzano
<
.l
Przez „pole" rozumiemy tu część płaszczyzny zawartą wewnątrz dowolne} krzy, . . . wej zwykłej zamkniętej. Zaczynamy od obrania pewnego ustalonego punktu P na płaszczyzme i skierowanej półprostej PR (wychodzącej z punktu P), od które! będziemy mi~rzy~i ~ąty. Jeżeli obierzemy dowolną półprostą PS tworzącą kąt x z połprostą PR, to 1stme1~ na płaszczyźnie prosta lx o kierunku PS, przecinająca pole A na połowy. Przesuwa1my równolegle prostą skierowaną lx mającą kierunek PS, od położenia l~ całkowicie po jed};..----------· nej stronie pola A, do położenia l~'(rys.173), tj. całkowicie po przeciwnej stronie pola A. Funkcja, której wartość definiujemy jako pole części pola A leżącej po prawej stronie prostej lx (kierunek na wschód, jeżeli strzałB ka na prostej jest skierowana ku północy) minus pole części pola A po lewej stronie --------7r;---· J.-.. prostej, jest dodatnia przy położeniu l~ ~L. i ujemna przy położeniu 1~'. Wobec tego, że P R funkcja ta jest ciągła, to na podstawie twierRys. 173< Jednoczesny ~odzial
V
I
I
306
VI. Funkcje i granice
§
mowanie. Rozważmy natomiast taką prostą lx+ go prostopadłą do lx, która także dzieli A na połowy. Przy oznaczeniu czterech części powierzchni A jak na rys. 174, mamy
307
trzech bryłach w przestrzeni należy znaleźć płaszczyznę przecinającą jednocześnie wszystkie trzy bryły na połowy. Dowód, że jest to zawsze możliwe, znowu opiera się na twierdzeniu Bolzano. Przy ilości wymiarów większej niż trzy, twierdzenie pozostaje prawdziwe, jednak dowód wymaga metod bardziej zaawansowanych.
A 1(x) + A 2 (x) =A3 (x) + A 4 (x), A 2 (x) +A 3(x) =A 1(x) + A 4 (x), skąd wynika (przez odjęcie drugiego równania od pierwszego) równość
czyli
6. Niektóre zastosowania twierdzenia Bolzano
2*. Zastosowanie do zagadnienia z mechaniki. Zakończymy ten paragraf rozpatrzeniem pozornie trudnego zagadnie,nia z mec~a~iki'. któr~ ~aje się łat~o.roz wiązać za pomocą rozumowania opartego na poJęcm c1ągłosc1. (Zagadmeme to . . pochodzi od H. Whitneya). Przypuśćmy, że pociąg jedzie od stacji A do stacji B po torze prostohmowym. Nie zakładamy jednostajnej prędkości jazdy ani jednostajnego przyspieszenia. Pociąg może zachowywać się rozmaicie, przyspieszając ruch, zwalniając, przystając albo nawet jadąc w tył przez pewien czas, zanim dojedzie do B. Zakładamy jednak, że z góry znamy dokładnie ruch pociągu, tj. że dana ~est funkcja s = f(~)'. gdzie s jest odległością pociągu od stacji A, a t jest czasem mierzonym od chw1h wyjazdu. Na podłodze jednego z wagonów (rys. 175) pręt umocowany na przegu-
A 1(x)-Ak) =A 3(x)-A 1(x),
.lx
Q1---QJ B
A Rys. 175
,I Rys. 174
,,.i•
i stąd : ! :
ł
'
Ai(x) =A4(x).
I
Jeżeli więc wykażemy istnienie takiego kąta a, że dla prostej la jest
A 1(a) =Ai(a),
to nasze twierdzenie będzie udowodnione, ponieważ dla takiego kąta wszystkie cztery pola będą jednakowe. W tym celu definiujemy funkcję y = f (x) prowadząc prostą lx i kładąc '
Dla x=0° liczba f(O)=A 1(0)-A 2 (0) może być dodatnia. W takim razie dla x=90° wartość A1(90)-A2 (90) = A 2(0)- A 3(0) = A 2(0)-A 1(O) będzie ujemna. Wobec tego, że f (x) zmienia się w sposób ciągły, gdy x wzrasta od 0° do 90°, będzie istniała pewna wartość a zawarta pomiędzy0° a 90°, dla której f(a) =A 1(a)-A 2 (a) =O. Czyli proste la i la+go dzielą powierzchnię na cztery równe części. Ciekawe jest, że zagadnienia te dają się uogólnić na trzy i więcej wymiarów. W trzech wymiarach pierwsze zagadnienia formuhtje się następująco: Przy danych
I
bie może poruszać się bez tarcia bądź w przód, bądź w tył dopóty, dopóki nie dotknie podłogi. Zakładamy, że jeżeli dotknie podłogi, to pozostanie w dalszym cią gu na podłodze i nie będzie odskakiwał. Zachodzi pytanie, czy możliwe jest ustawienie pręta w takim położeniu, że gdy puścimy go w chwili ruszenia pociągu i pozwolimy mu poruszać się pod wpływem tylko siły ciężkości i ruchu pociągu, to . nie upadnie na podłogę przez całą drogę od A do B. Mogłoby się wydawać wysoce nieprawdopodobne, żeby przy danym przebiegu ruchu współdziałanie sił ciężkości i sił bezwładności zawsze pozwalało na tego rodzaju utrzymanie równowagi pod jedynym warunkiem stosownego wyboru pierwotnego położenia pręta. Twierdzimy jednak, że położenie takie zawsze istnieje. Jakkolwiek na pierwszy rzut oka wniosek ten wydaje się być paradoksalny, to jednak można udowodnić je z łatwością opierając się na tym, że ma ono w istocie charakter topologiczny. Nie potrzeba szczegółowej znajomości praw dynamiki; wystarcza tylko następujące proste założenie natury fizykalnej: Ruch pręta zależy w sposób ciągły od jego położenia pierwotnego. Scharakteryzujmy pierwotne położenie pręta za pomocą kąta x, który tworzy z podłogą pręt przy kof1cu podróży, gdy pociąg dojeżdża do punktu B. Jeżeli pręt upadł na podłogę, to mamy bądź y =O, bądź y ".":n:. Jeżeli dane jest położenie pierwotne x, to położenie końcowe y jest - zgodme z naszym założeniem - określone jednoznacznie w postaci funkcji cią.głej y ~ g(~) i przybierającej wartości y =O przy x =O oraz y =:n: przy x =:n: (to ostatme załozeme oznacza po prostu, że pręt będzie cały czas leżał na podłodze, jeżeli na początku
308
VI. Funkcje i granice
Dodatek do rozdziału VI
jazdy zajmował takie położenie). Przypominamy teraz, że g(x), jako funkcja ciągła w przedziale O :5 x :5 :n:, przybiera wszystkie wartości pomiędzy g(O) =O a g(:n:) =:n:; wobec tego dla każdej takiej wartości y, np. dla y = l/2:n:, istnieje pewna szczególna wartość x taka, że g(x) = y; w szczególności istnieje pewne położenie pierwotne pręta, dla którego położenie końcowe pręta w miejscu B jest prostopadłe do podło gi. (Zauważmy, że przy tym rozumowaniu nie należy zapominać, że ruch pociągu jest ustalony z góry raz na zawsze). Rozumowanie to jest, oczywiście, całkowicie teoretyczne. Jeżeli podróż jest dłu gotrwała lub jeżeli ruch pociągu wyrażony równaniem s = f (t) jest bardzo nieprawidłowy, to obszar wahań położeń pierwotnych x, dla których położenia końcowe g(x) różnią się zarówno od O, jak też od :n:, jest niezmiernie wąski, co wie każdy, kto próbował utrzymać w pozycji prostopadłej igłę na talerzu przez dłuższy czas. Jednakże rozumowanie nasze ma znaczenie także dla praktyków, ponieważ pokazuje, w jaki sposób można otrzymać w dynamice wyniki jakościowe bez aparatu technicznego drogą prostego rozumowania. Ćwiczenia. 1. Korzystając z twierdzenia na sh: 303 udowodnić, że rozumowanie powyższe daje się uogólnić na przypadek, gdy podróż trwa nieskoń czenie długo. 2. Uogólnić zagadnienie na przypadek, gdy pociąg porusza się wzdłuż dowolnej krzywej na płaszczyźnie, a pręt może upadać we wszystkie strony. WSKAZÓWKA. Nie można odwzorować tarczy koła w sposób ciągły na jej obwód za pomocą odwzorowania pozostawiającego wszystkie punkty obwodu bez zmiany (patrz str. 250). 3. Udowodnić, że czas potrzebny na to, żeby pręt upadł na podłogę, gdy wagon stoi w miejscu i pręt opuszczamy z położenia pod kątem e do pionu, dąży do nieskończoności, gdy e dąży do zera.
'I
i i
Dalsze przykłady granic i ciągłości
§ 1. Przykłady granic 1. Uwagi ogólne. W wielu przypadkach można wykazać zbieżność ciągu
a„ za pomocą rozumowania następującego typu. Znajdujemy dwa inne ciągi b11 i c11 , których wyrazy mają budowę prostszą niż wyrazy ciągu pierwotnego, i takie, że b"~a"~c"
(1)
dla każdego n. Jeżeli możemy udowodnić, że ciągi b11 i c11 są zbieżne do wspólnej granicy a, to wynika stąd, że ciąg a11 również jest zbieżny do granicy a. Formalny dowód tego twierdzenia pozostawiamy czytelnikowi. Oczywiste jest, że zastosowania tego twierdzenia łączą się z użyciem nierówności. Jest zatem celowe przypomnieć niektóre elementarne reguły rządzące działaniami arytmetycznymi na nierównościach. 1. Jeżeli a> b, to a+ c > b + c (można dodać dowolną liczbę do obu stron nierówności).
2. Jeżeli a>b i liczba c jest dodatnia, to ac>bc (można pomnożyć nierówność przez dowolną liczbę dodatnią). 3. Jeżeli a< b, to -a> -b (znak nierówności odwraca się, gdy pomnożymy obie jej strony przez-1). Np. 2<3, ale -2> -3. 4. Jeżeli liczby a i b mają ten sam znak i jeżeli a< b, to l/a > l/b.
'I I
!'
5. Ia+ b I~ Ia I + Ib I.
2. Granica ciągu q". Jeżeli q jest pewną liczbą większą od 1, to ciąg q" rośnie nieograniczenie, jak np. ciąg 2, 22, 23, .„ przy q = 2. Ciąg taki „dąży do nieskończo ności" (patrz str. 283). Dowód w przypadku ogólnym opiera się na ważnej nierówności (udowodnionej na str. 38). (2)
i
i
(1+h)"<::1 + nh > nh,
310
Dodatek do
rozdziału
VI
§ 1. Przykłady granic
gdzie h jest dowolną liczbą dodatnią. Podstawiamy q = 1 + h, gdzie h >O; zatem
Dzieląc
przez n otrzymujemy nierówność
q"=(1+h)">nh.
O
Jeżeli k jest dowolną liczbą dodatnią, dowolnie wielką, to dla każdego n> k/h
zachodzi
q" > nh > k,
skąd
q"-'>
oo.
Ćwiczenie. Przeprowadzić ścisły dowód ostatniej uwagi. Na stronicy 81 wykazaliśmy, że jeżeli -1 < q < 1, to q"-'> O. Możemy dać inny, bardzo prosty dowód tego twierdzenia. Rozważmy najpierw przypadek O< q < 1. Liczby q, q2, q3, ••• tworzą wtedy ciąg mono tonicznie malejący, ograniczony od dołu liczbą O. Zatem zgodnie ze str. 285 ciąg musi dążyć do pewnej granicy, tj. q"-'> a. Mnożąc obie strony tej zależności przez q otrzymujemy q" + 1-'> aq. 11 Ale q + 1 musi mieć tę samą granicę, co q", ponieważ oznaczenie rosnącego do nieskończoności wykładnika przez n czy przez n+ 1 nie jest istotne. Stąd aq =a,
czylia(q-1)=0. Wobec1-q ;:ć Owynika,żea=O. Jeżeli q=O, to twierdzenie q"-'>0 jest trywialne. Jeżeli -1
stąd wobec i;>oprzednich rozważań wynika I ą 11 I = I q I"-'> O. Wobec tego zawsze
q"-'> O dla Iq I < 1 i udowodniliśmy twierdzenie w całości. I
Ćwiczenie. Udowodnić, że dla 11-'> oo
I
3
[x /(4 'I
i
i
+x
2
)]"
[x2/(1
+
że oba ciągi b„ =O oraz c11 =pin mają granicę O, wynika na podstawie punktu 1, że ciąg h„ również dąży do Owraz ze wzrostem n; twierdzenie nasze zostało udowodnione dla p > 1. Mamy tutaj typowy przykład wyznaczenia zależności granicznej (w tym przypadku zależność h„-'> O) przez zamknięcie h„ pomiędzy dwiema wielkościami, których granice są łatwiejsze do wyznaczenia. Przy tej sposobności otrzymaliśmy oszacowanie różnicy h11 pomiędzy efP a 1; różnica ta jest zawsze mniejsza niż p/n. Jeżeli O< p < 1, to efP < 1, i możemy przyjąć
Wobec tego,
rozumowań
Jeżeli q = 1, to wszystkie wyrazy ciągu q" są równe 1 i 1 jest wobec tego granicą tego ciągu. Jeżeli q jest liczbą ujemną, to ciąg q" ma na przemian wartości dodatnie i ujemne i nie ma granicy, gdy q s; -1.
I
x 2)] 11 -'> O,
[x/(1 + x2)]"-'> O,
dąży do nieskończoności przy x > 2 i do O przy Ix I < 2.
efP=-1-,
l+hll
gdzie h 11 jest znowu liczbą dodatnią
zależną
od n. Wynika
stąd, że
1 1 p= (l+h„)" < nh„' czyli że
1 O
ef/i-'> 1,
.JP, 'efP, efP ,..., ma granicę 1 dla
3. Granice ciągu efP . Ciąg a11 = efP, czyli p, dowolnej ustalonej liczby dodatniej p, tj.
gdy n wzrasta. Za pomocą pewnego chwytu można wykazać, że wynika to znowu z nierówności (2). Rozważmy, zamiast n-tego pierwiastka n, n-ty pierwiastek z
(3)
efP-'> 1,
gdy
11
311
-'>oo.
(Symbolem efP oznaczamy, jak zwykle, dodatni pierwiastek n-tego stopnia. Dla ujemnych liczb pnie ma rzeczywistych n-tych pierwiastków, gdy n jest liczbą pa-
Jeżeli przyjmiemy
efJ:; = 1 + k
mamy ..[,i = (1 + k11 ) 11 > nk11 , a
11
,
więc
k <
rzystą).
11
Aby udowodnić zależności (3), załóżmy najpierw, że p > 1; wtedy liczba efP jest
gdzie h„ jest liczbą dodatnią zależną od n. Z nierówności (2) wynika, że
p = (1 + h11 ) 11 > nh 11 •
.Jn =-1n .Jn
oraz
również większa od 1. Możemy zatem przyjąć
„r:: = 1 +h 111 Vf'
ef/i.
gdzie k11 jest liczbą dodatnią zależną od n, to otrzy-
1<'.lfn =(l+k11 )2 =1+2k11 +k;<1+
2 1 "i/Il
1
+-· 11
Prawa strona tej nierówności dąży przy wzroście n do 1, a więc do 1.
ef/i
także musi
dążyć
4. Funkcje nieciągłe jako granice funkcji ciągłych. Możemy rozważać granice an' gdzie an nie i· est liczbą stałą, ale zależy od zmiennej x, czyli a11 = f,/x).
ciągów
312 Jeżeli
Dodatek do
rozdziału
§ 1.
VI
taki ciąg jest zbieżny przy n -t oo, to granica jest także funkcją x, tj.
Przykłady
granic
313
Tak więc wzór
f (x) =lim f 11 (x). określa cały ciąg. Znajdźmy granicę
Takie przedstawienie funkcji f (x) jako granic innych funkcji jest często użyteczne przy sprowadzaniu „wyższych" funkcji f(x) do funkcji elementarnych f„(x). Stosuje się to w szczególności do przedstawiania funkcji nieciągłych za pomocą konkretnych wzorów. Rozważmy np. ciąg 1 f,,(x) = 1 + x2".
f
f ·.
dla Ix I = 1 mamy x2" = 1, skąd f ,.(x) = przy dowolnym n, czyli f ,,(x) -t Dla Ix I < 1 mamy x 2" -t O, skąd f ,.(x) -t 1, natomiast dla Ix I > 1 mamy x 2" -t oo i f ,,(x) -t O. Zestawiając wyniki otrzymujemy 1
f(x)=lim-=jl 1+x2" 2
o
dla
lxl < 1
dla
lx!= 1
dla
lxl> 1
Funkcja nieciągła f (x) jest więc przedstawiona jako granica ciągu funkcji wymiernych. Inny interesujący przykład o zbliżonym charakterze daje ciąg
cią
głych
I I
z x2 xz xz f,,(x)=x +--z+ 2 + ... + - - l+x (1+x2) (l+xz)" Dla x =O wszystkie wartości f„(x) są równe zeru, skąd f (O)= lim f„(O) =O. Dla x ;i1: O wyrażenie 1/(1 + x 2) = q jest dodatnie i mniejsze od jedności; stosując wyniki dotyczące postępu geometrycznego stwierdzamy zbieżność f„(x) dla n -t oo. Granica, tj. suma nieskończonego postępu geometrycznego, wynosi
'i I
i
xz ' ,, I
1-q
Jeżeli więc tylko a„ > a11 _ 1, to wynika stąd, że a„ + 1 > a„. Ale wiemy, że jest a2 -a 1 = ,J2 -1 >O, skąd wnioskujemy przez indukcję matematyczną, że a„+ 1 >a„ dla wszelkich n, tzn. że ciąg jest monotonicznie rosnący. Jest on ponadto ograni-
czony; na podstawie poprzednich wyników mamy bowiem _ 1 + a„ 1 + a„+1 _ 1 a„+1---<---- 1 +--< 2. a„+1 a„+1 a„+1 Na podstawie zasady ciągów monotonicznych wnioskujemy, że a„ -ta przy n -t ""' gdzie a jest pewną liczbą zawartą pomiędzy 1 a 2. Łatwo zauważyć, że a jest dodatnim pierwiastkiem równania drugiego stopnia x2 =1 + x; jeżeli bowiem n -t oo, to równanie a~+ 1 =1 + a„ przechodzi w równanie a2 =1 +a. Rozwiązując ostatnie równanie znajdujemy, że a= (1 + ./5 )/2. Możemy zatem rozwiązać podane tu równanie drugiego stopnia za pomocą pewnej metody iteracyjnej, dającej wartość pierwiastka z dowolnie żądanym stopniem dokładności, jeżeli tylko powtórzymy iterację dostateczną ilość razy. Przez iterację można w podobny sposób rozwiązać wiele innych równań algebraicznych. Na przykład możemy napisać równanie stopnia trzeciego x 3 -3x + 1 =O w postaci 1 x = - -2· 3-x Obieramy teraz za a1 dowolną wartość, powiedzmy a1 =O, i przyjmujemy 1
3-a„
1-1/(l+x2 ) ' ;i1:
O
~l+../2, ~1+.J1+2,
skąd otrzymujemy a2 =1/3 = Można wykazać, że ciąg
0,3333..., a3 = 9/26 = 0,3461..., a4 = 676/1947 = 0,3472... itd. a„ otrzymany w ten sposób jest zbieżny do granicy
a= 0,3473... ,
będącej rozwiązaniem danego równania stopnia trzeciego. Tego rodzaju postępowania iteracyjne są niezmiernie ważne - w matematyce czystej dają one „dowody istnienia", w matematyce stosowanej dają przybliżone metody rozwiązywania różnych zagadnień.
1-.Jn --tO
Ćwiczenia. I. Udowodnić, że .Jn+ WSKAZÓWKA. Napisać różnicę w postaci
(n--too).
...
jest utworzony na podstawie następującego prawa: każdy wyraz z wyjątkiem pierwszego jest równy pierwiastkowi kwadratowemu z jedności plus wyraz poprzedni. ''
a;+ 1 - a;= (1 + a„)-(1 + a„_ 1 ) = a„ - a„_ 1•
a„+1=--2'
5. Granice zdefiniowane przez iteracje. Cz~sto wyrazy ciągu są tego rodzaju, że otrzymujemy wyraz a11 +1 z a„ w taki sam sposób, jak a„ z a„_ 1; to samo postępo wanie - powtarzane nieskończenie wiele razy- pozwala otrzymać cały ciąg z danego wyrazu początkowego. W takich przypadkach mówimy o metodzie iteracji. Tak np.ciąg
I
tego ciągu. Przy n> 1 wyraz a„ jest, oczywiście, od 1. Ponadto a„ jest ciągiem rosnącym monotonicznie, gdyż
x2
co jest równe 1 + x2 • Widzimy więc, że f 11 (x) dąży do funkcji f (x) = 1 + x 2 dla x i do f (x) =O dla x =O. Funkcja f(x) ma nieciągłość usuwalną w punkcie x =O.
.J1+1,
większy
Jn+1 - J1i ('Vn+l+'Vn. ,--;-:; ') Jn+i+Jli
314
Dodatek do
rozdziału
VI
2. Znaleźć granicę ~ - .Jn 2 + b. 3. Znaleźć granicę .Jn 2 +an +b - n. 4. Znaleźć granicę 11( .J n + 1 + Jn). 5. Udowodnić, że granicą ~n+l jest 1. 6. Jaka jest granica ef;;;+ij, jeżeli a> b >O?
Rozdział
VII
Maksima i minima
7. Jaka jest granica ii)a"+b"+c" , gdy a >b>c> O? 8.Jakajestgranica Va"b"+a"c"+b"c" ,gdya>b>c>O? 9. Zobaczymy później (str. 417), żee=lim (1 + l/11) 11 • Czemu wobec tego równa się lim (1+1/112) 11 ?
§ 2. ,, !!
c'I,
:i I
Przykład
na
ciągłość
Podanie ścisłego dowodu ciągłości funkcji wymaga wyraźnego sprawdzenia definicji ze str. 298. Postępowanie takie jest czasami żmudne, ale szczęśliwym trafem ciągłość wypływa z różniczkowalności (jak zobaczymy w rozdziale VIII). Wobec tego, że różniczkowalność będziemy ustalali systematycznie dla wszystkich funkcji elementarnych, możemy zatem, jak to się zwykle robi, pominąć nudne poszczególne dowody ciągłości. Jednakże jako dalszą ilustrację definicji ogólnej zanalizujemy jeszcze jeden przykład, mianowicie funkcję f(x) = 1/(1 + x2). Możemy ograniczyć zakres x do ustalonego przedziału Ix I~ M, gdzie M jest dowolnie obraną liczbą. Pisząc 2
(x )- (x)--1___1__ x -x? _ (x+xi) f 1 f - l+xf l+x 2 - (1+x 2 )(1+xr) - (x-xi) (1+x 2 )(1+xr) i biorąc Ix I~Mi Ix 1 I~ M mamy
Jest zatem oczywiste, że różnica po lewej stronie będzie mniejsza od dowolnej liczby dodatniej e, jeśli tylko przyjmiemy Ix-x1 I
o.
Wstęp
Odcinek prostej wyznacza najkrótszą drogę łączącą jego końce. Łuk koła wielkiego jest najkrótszą krzywą łączącą dwa punkty na powierzchni kuli. Spośród wszystkich krzywych zamkniętych płaskich o jednakowej długości okrąg ogranicza największe pole, a spośród wszystkich zamlrniętych powierzchni o jednakowym polu kula ogranicza największą objętość. Tego typu własności maksymalne i minimalne były znane Grekom, chociaż wyniki były często podawane bez próby przeprowadzenia dowodu. Jedno z najsław niejszych odkryć greckich przypisywano Heronowi, uczonemu aleksandryjskiemu z pierwszego wieku naszej ery. Wiedziano od dawna, że promień światła wychodzą cy z punktu Pi padający na zwierciadło płaskie L w punkcie R ulega odbiciu w kierunku pewnego punktu Q takiego, że proste PR i QR tworzą ze zwierciadłem jednakowe kąty. Heron odkrył, że jeżeli R' jest dowolnym innym punktem zwierciadła, to łączna odległość PR'+ R'Q jest większa niż odległość PR+ RQ. Twierdzenie to, które wkrótce udowodnimy, charakteryzuje rzeczywistą drogę światła PRQ pomiędzy punktami P i Q jako najkrótszą możliwą drogę z P do Q poprzez zwierciadło odkrycie to można uważać za zalążek optyki geometrycznej. Jest rzeczą naturalną, że matematycy powinni interesować się zagadnieniami tego rodzaju. W życiu codziennym zagadnienia maksimów i minimów, zagadnienia tego, co „najlepsze", i tego, co „najgorsze", pojawiają się bez ustanku. Wiele zagadniefl o znaczeniu praktycznym występuje w tej postaci. Na przykład, jaki kształt powinna mieć łódź, aby stawiała wodzie możliwie najmniejszy opór? Jaki zbiornik cylindryczny sporządzony z danej ilości materiału ma maksymalną objętość? Zapoczątkowana w XVI! wieku ogólna teoria wartości ekstremalnych - maksimów i minimów - stała się jedną z unifikujących zasad nauki. Pierwsze kroki Fermata w jego rachunku różniczkowym i całkowym były spowodowane chęcią zbadania zagadniefl maksimów i minimów za pomocą metod ogólnych. W następ nym stuleciu zasięg tych metod rozszerzył się znacznie na skutek odkrycia „rachunku wariacyjnego". Dostrzegano coraz jaśniej, że fizyczne prawa przyrody
§
VII. Maksima i minima
316
można w sposób najbardziej stosowny wyrażać w postaci zasad osiągania minimum, otwierających naturalną drogę do mniej lub bardziej zupełnego rozwiąza nia poszczególnych zagadnień. Jednym z najbardziej godnych uwagi osiągnięć matematyki współczesnej jest teoria wartości stacjonarnych- uogólnienie pojęcia wartości ekstremalnych, łączące analizę i topologię. Nasze podejście do całego zagadnienia będzie zupełnie elementarne.
1. Zagadnienia z geometrii elementarnej
317
Zadanie można uogólnić tak, aby wchodziło w grę wiele prostych L, M, ... Rozważmy dla przykładu przypadek, gdy mamy dwie proste Li M oraz dwa punkty p i Q położone tak, jak na rys. 178; stawiamy zagadnienie znalezienia drogi 0 najmniejszej długości od P do Q poprzez L i M. Niech Q' będzie odbiciem punktu Q w M, a Q" odbiciem punktu Q' w L. Prowadzimy prostą PQ" przecinającą prostą L
§ 1. Zagadnienia z geometrii elementarnej
1:
I'
'I
i
' I I
1. Maksymalne pole trójkąta, którego dwa boki są dane. Dane są dwa odcinki a i b; należy wyznaczyć trójkąt o maksymalnym polu, mający boki a i b. Rozwią zaniem jest po prostu trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne są równe a i b. Rozważmy bowiem dowolny trójkąt mający boki a i b, jak na rys. 176. Jeżeli h jest wysokością poprowadzoną do boku a, to pole trójkąta jest równe A= ah. Ale, oczywiście, alz jest maksymalne, gdy h jest możliwie największe, a to zachob... ···········-r··················· ~~~ dzi, gdy lt pokrywa się z b, czyli dla trójkąta ~ro a Rys. 176 stokątnego. Zatem maksymalne pole wynosi ab. 2
r:~~
f
2. Twierdzenie Herona. Własności ekstremalne promieni światła. Dana jest prosta L oraz dwa punkty Pi Q po tej samej stronie prostej L (rys. 177). Dla jakiego punktu R na prostej L droga PR+ RQ jest najkrótszą drogą od P do Q poprzez L? Jest to zagadnienie Herona o promieniu światła. (Ale jeżeli L jest brzegiem rzeki, a ktoś ma P przejść od P do Q możliwie jak najprędzej i przynieść po drodze wiadro wody z L, to bę Q dzie musiał rozwiązać to właśnie zadanie). .„.... Aby znaleźć rozwiązanie, wyznaczamy odbicie zwierciadlane punktu P w prostej L, skąd otrzymujemy taki punkt P', że prosta L jest .3'"·····„.. L --+----_;:;-1-'""--"'--..;;-.-symetralną odcinka PP'. Prosta P'Q przecina 1 prostą L w szukanym punkcie R. Łatwo do' ' .„„·· I .·· . · wieść, że PR+ RQ jest mniejsze od PR'+ R'Q ·····„.. ········· dla dowolnego innego punktu R' na prostej L. L,,::::::->···· Prawdziwe są bowiem równości PR= P'R P' i PR'= P'R'; stąd PR+ RQ = P'R + RQ = P'Q Rys. 177. Twierdzenie Herona orazPR'+R'Q=P'R'+R'Q.AleP'R'+R'Qjest większe niż P'Q (ponieważ suma dwóch boków trójkąta jest większa od trzeciego boku), zatem PR'+ R'Q jest większe niż PR+ RQ, co było do okazania. W dalszym ciągu zakładamy, że ani punkt P, ani punkt Q nie leżą na prostej L. Z rysunku 177widzimy, że .6...3 = .6...2 i .6...2= .6...1, stąd .6...1 = .6...3. Innymi słowy, R jest takim punktem, że proste PR i QR tworzą z prostą L jednakowe kąty. Wynika stąd, że promień światła odbity w prostej L (o której wiadomo z doświadczenia, że daje jednakowe kąty padania i odbicia) istotnie przebiega po najkrótszej drodze z P do Li do Q, jak to stwierdziliśmy poprzednio we wstępie. t
M
f
Rys. 178. Odbicie w dwóch zwierciadłach
w punkcie R oraz prostą RQ' przecinającą prostą M w punkcie S; w takim razie R i S są szukanymi punktami, tj. takimi, że PR+ RS + SQ jest drogą o najmniejszej długości od P do Q poprzez L i M. Dowód jest bardzo podobny do dowodu z zagadnienia poprzedniego; pozostawiamy go czytelnikowi jako ćwiczenie. Gdyby proste Li Mbyły zwierciadłami, wtedy promień światła z punktu P, odbity od L do Mi odbity tam do punktu Q spotkałby zwierciadło L w punkcie R, a zwierciadło M w punkcie S; zatem promień światła znowu przebiegłby po drodze o najmniejszej długości.
Można by zapytać o najkrótszą drogę najpierw od P do Q poprzez Mi L. Dało by to drogę PRSQ (patrz rys. 179) wyznaczoną w sposób podobny jak poprzednia
L
--1\
M------~R~"~·-..-..„-„„-.
••
"·„„„„„„... \
·-..„1 Rys. 179
droga PRSQ. Długość pierwszej drogi może być większa, równa lub mniejsza niż drugiej.
długość
Ćwiczenie. Wykazać, że z obu dróg PRSQ ta jest krótsza, dla której punkty Si R leżą po tej samej stronie prostej PQ. Kiedy obie drogi będą miały jednakową długość?
• ·>':.
318
§ 1. Zagadnienia z geometrii elementarnej
VII. Maksima i minima
3. Zastosowanie do
zadań
o
tego odcinka p + q byłoby mniejsze od '2.Jl, łatwo bowiem zauważyć, że p + q jest mniejsze od 2a, wewnątrz elipsy i większe od 2a na zewnątrz. Jest to
trójkątach. Posługując się
twierdzeniem Herona dwóch zadań. ~· Dane jest p?le A i j-~den bok:= PQ trójkąta; spośród wszystkich takich trójką tow wyznaczyc ten troJkąt, w ktorym suma pozostałych dwóch boków a i b jest najmniejsza. Przyjęcie z góry długości boku c i pola A trójkąta jest równoważne przyjęciu z góry boku ci wysokości h względem boku c, bowiem A= he. Jak widać z rys. 180, zagadnienie polega na znalezieniu takiego punktu R, żeby odległość od R do prostej PQ była równa danej długości h i żeby suma a+ b była minimalna. Z pierwszego warunku wynika, że R musi leżeć na prostej równoległej do prostej PQ i oddalonej od tej prostej o odległość h. Odpowiedź daje twierdzenie Herona dla przypadku szczególnego, gdy punkty Pi Q są jednakowo oddalone od prostej L; szukany trójkąt PRQ jest równoramienny. można łatwo otrzymać rozwiązania następujących
R'
udowodniliśmy także następujące
/i"'
I
I
/ !
/ :Iz
R
„„ . . „„,„„ ... '..,
„„ . . „
.I „„
'/ i //
b '
'
··· .. „ ... ___ _ c
p
Rys. 181. Własność stycznych elipsy
ważne twierdzenie: Styczna do elipsy tworzy jednakowe kąty z odcinkami łqczqcymi ogni-
------,.-._---- -- -- -- --- -- -- --- ------ --- -------·
:~
L
jednak niemożliwe wobec tego, że p+q ;:>: 2a na prostej L. Zatem prosta L musi być styczna do elipsy w punkcie R. Ale wiemy, że proste PR i RQ tworzą z prostą L kąty jednakowe; zatem
i
„„„ . .
ska z punktem styczności. Ściśle związane z poprzednimi rozważaniami jest zagadnienie następujące: Dana jest prosta L i dwa punkty Pi Q leżące po przeciwnych stronach prostej L (rys. 182); chcemy znaleźć punkt R na prostej L taki, żeby wielkość Ip-q I, tj. bezwzględna wartość różnicy odległości od Pi Q do R, była maksymalna. (Będziemy zakładali, że prosta [,nie jest prostopadłą dzielącą odcinek PQ na połowy; wtedy bowiem Ip-q I byłoby równe zeru dla każdego punktu R na prostej Li zagadnienie nie miałoby sensu). Aby rozwiązać to zagadnienie, znajdujemy najpierw odbicie punktu P w prostej L, otrzymując stąd punkt P' leżący po tej samej stronie prostej L, co punkt Q. Dla każdego punktu R' na prostej L mamy p=R'P=R'P', q=R'Q. Wobec tego, że można uważać Q
Q
'
Rys. 180. Trójkąt o najmniejszym obwodzie przy danej podstawie i danym polu
dany jest jeden bok c i suma a+ b dwóch pozostałych boków; spośród wszystkich takich trójkątów chcemy wyznaczyć ten trójkąt, którego pole jest największe. Jest to dokładne odwrócenie zadania a. Rozwiązaniem jest znowu trójkąt równoramienny, dla którego a=b. Jak wykazaliśmy przed chwilą, trójkąt ten ma najmniejszą wartość a+ b przy danym polu; znaczy to, że dowolny inny trójkąt o podstawie ci tym samym polu ma większą wartość a+ b. Ponadto wynika z zadania a, że każdy trójkąt o podstawie c i polu większym od pola trójkąta równoramiennego ma także większą wartość a+ b. Zatem dowolny inny trójkąt o tej samej wartości a+ b i tej samej wartości c musi mieć pole mniejsze, a więc trójkąt równoramienny daje maksymalne pole przy danych wielkościach c i a+ b. b. W
'' '' '' ' '' '' '' ''I
trójkącie
4. Własności stycznych do elipsy i hiperboli. Odpowiadające im własności ekstremalne. Zagadnienie Herona jest związane z pewnymi ważnymi twierdzeniami geometrycznymi. Udowodniliśmy, że jeżeli R jest punktem prostej L takim, że wielkość PR+ RQ jest minimalna, to odcinki PR i RQ tworzą z prostą L jednakowe kąty. Tę minimalną odległość całkowitą oznaczmy przez 2a. Niech pi q oznaczają odpowiednio odległości od dowolnego punktu na płaszczyźnie do punktów P i Q; rozważmy miejsce geometryczne wszystkich punktów na płaszczyźnie, dla których p + q = 2a. Miejscem tym jest elipsa mająca ogniska w punktach Pi Qi przechodząca przez punkt R.na prostej L (rys. 181). Ponadto prosta L musi być styczna do elipsy w punkcie R. Gdyby prosta L przecinała elipsę w innym punkcie poza punktem R, to istniałby odcinek prostej L leżący wewnątrz elipsy; dla każdego punktu
319
P'
i ----
··-----;
~,~
--------- R'
, __ _
p Rys.182. IPR-QRI =maksimum
I
Il;
,.
I
l
punkty R', QiP'za wierzchołki trójkąta, wielkość lp-q I = IR'P'-R'Q I nigdy nie jest
większa od P'Q, ponieważ różnica dwóch boków trójkąta nigdy nie jest większa od trzeciego boku. Jeżeli punkty R', P' i Q leżą na jednej prostej, to Ip-q I jest równe P' Q, jak to widać z rysunku. Zatem szukany punkt R jest przecięciem prostej L z prostą przechodzącą przez punkty P' i Q. Tak jak w przypadku poprzednim, łatwo widzieć, że kąty pomiędzy prostymi RP i RQ a prostą L są jednakowe, ponieważ trójkc1ty RPR'
i RP'R' są przystające. Zagadnienie to jest związane z pewną własnością stycznych do hiperboli, podobnie jak poprzednie łączyło się z elipsą. Jeżeli maksimum odległości IPR-QR I wynosi 2a, możemy rozważać miejsce geometryczne wszystkich punktów na płasz czyźnie, dla których p-q ma wartość bezwzględną 2a. Miejscem tym jest hiperbola z ogniskami w punktach P i Q przechodząca przez punkt R. Jak łatwo zauważyć,
320
VII. Maksima i minima
wartość bezwzględna Ip-q I jest mniejsza od 2a w obszarze pomiędzy dwiema gałęziami
i'
,,
hiperboli, a większa od 2a po tej stronie każdej gałęzi, gdzie leży odpowiednie ognisko. Wynika stąd na podstawie rozważań, w zasadzie takich samych jak dla elipsy, że prosta L musi być styczna do hiperboli w punkcie R. Zależnie od tego, czy bliższy prostej L jest punkt P, czy też punkt Q, prosta L jest styczna do jednej lub do drugiej gałęzi hiperboli; jeżeli bliższy jest punkt P, to gałąź otaczająca P zetknie się z prostą L; analogiczną własność ma punkt Q (rys. 183). L Jeżeli punkty Pi Q są jednakowo oddalone od prostej L, to L nie będzie styczną do żad Q nej gałęzi hiperboli, będzie natomiast jedną z asymptot tej krzywej. Wynik ten staje Rys. 183. Własność stycznych do hiperboli się oczywisty, jeżeli zauważyć, że w tym przypadku konstrukcja tego rodzaju co poprzednio nie da żadnego (skończonego) punktu R, ponieważ prosta P' Q będzie równoległa do L. W sposób analogiczny jak poprzednio rozumowanie to dowodzi znanego dobrze twierdzenia: Styczna do hiperboli w dowolnym punkcie dzieli na połowy kqt utworzony przez proste poprowadzone do tego punktu z ognisk hiperboli. Może się wydawać dziwne, że wtedy, gdy punkty P i Q leżą po tej samej stronie prostej L, mamy do rozwiązania zagadnienie na minimum, gdy natomiast punkty te leżą po przeciwnych stronach prostej L, wtedy rozważamy pewne zagadnienie na maksimum. Jednak widać od razu, że jest to zupełnie naturalne. W pierwszym zagadnieniu każda z odległości p, q, zatem również ich suma, wzrasta nieograniczenie, gdy przesuwamy się wzdłuż prostej L w dowolnym kierunku. Zatem niemożliwe jest znalezienie maksymalnej wartości p + q i możliwe jest tylko zagadnienie na minimum. Zupełnie inaczej jest w drugim przypadku, gdy punkty Pi Q leżą po różnych stronach prostej L. Tutaj, dla uniknięcia pomieszania, musimy rozróżniać różnicę p-q, jej wartość ze znakiem przeciwnym q-p i wartość bezwzględną Ip-q I; tę ostatnią wartość uczyniliśmy maksymalną. Najłatwiej można zrozumieć stan rzeczy, jeżeli założymy, że punkt R posuwa się po prostej L poprzez różne położenia R11 R , R , ... 2 3 Istnieje jeden punkt, dla którego różnica p-q jest równa zeru: punkt przecięcia prostej prostopadłej do odcinka PQ i dzielącej go na połowy z prostą L. Punkt ten daje zatem minimum wartości bezwzględnej Ip-q I.Ale po jednej stronie tego punktu 1! jest większe niż q, a po drugiej stronie mniejsze; zatem wielkość p-q jest dodatnia po jednej stronie tego punktu, a ujemna po drugiej stronie. Wobec tego sama wartość p-q nie ma ani maksimum, ani minimum w punkcie, dla którego Ip-q I =O. Natomiast punkt, w który Ip-q I ma maksimum, stanowi istotnie ekstremum wielkości p-q; jeżeli q > p, to mamy maksimum wielkości q-p, zatem minimum wielkości p-q. To czy można otrzymać maksimum, czy minimum wielkości p-q, zależy od położenia obu danych punktów P, Q względem prostej L. Widzieliśmy, że nie istnieje rozwiązanie zagadnienia maksimum, gdy punkty P i Q są jednakowo oddalone od prostej L, ponieważ wtedy prosta P'Q na rys. 182 jest równoległa do L. Jest to związane z tym, że wielkość Ip-q I dąży do pewnej granicy, gdy punkt R dąży do nieskończoności, przesuwając się wzdłuż prostej L w dowolnym kierunku. Ta wielkość graniczna jest równa długości rzutu prostopa-
§ 1. Zagadnienia z geometrii elementarnej
321
dłego s odcinka PQ na prostą L (co czytelnik zechce udowodnić jako ćwiczenie). Jeżeli odległości punktów Pi Q od prostej L są jednakowe, to Ip-q I będzie zawsze mniejsze od tej wielkości granicznej i nie istnieje żadne maksimum; dla każ dego punktu R bowiem możemy znaleźć inny punkt bardziej oddalony, dla którego Ip-q I jest większe, ale nie równe s.
5*. Odległości ekstremalne od danej krzywej. Wyznaczamy najpierw najkróti najdłuższą odległość punktu Pod danej krzywej C. Dla uproszczenia załóż my, że C jest krzywą zwykłą zamkniętą, mającą w każdym punkcie styczną, jak na rys. 184. (Pojęcie stycznej do krzywej przyjmujemy tutaj w sposób intuicyjny, przeanalizujemy je w następnym rozdziale). Odpowiedź jest bardzo prosta: punkt R na krzywej C, dla którego odległość PR jest najkrótsza lub najdłuższa, musi być taki, żeby prosta PR była prostopadła względem stycznej do krzywej C poprowadzonej w punkcie R; innymi słowy, prosta PR jest prostopadła do krzywej C. Dowód jest następujący: okrąg o środku w punkcie P przechodzący przez punkt R musi być styczny do krzywej. Jeżeli bowiem R jest punktem najmniej odległym od punktu P, to krzywa C musi leżeć całko I wicie na zewnątrz okręgu, nie może I więc przecinać go w punkcie R, jeżeli I c natomiast R jest punktem o największej I odległości, to C musi leżeć całkowicie weI wnątrz okręgu i znowu nie może przecinać go w punkcie R. (Wynika to z oczyR2 l------,,.C...--/-1------=.p wistego faktu, że odległość dowolnego punktu od punktu P jest mniejsza niż RP, \ jeżeli punkt leży wewnątrz okręgu, \ a większa niż RP, jeżeli punkt leży na ze\ wnątrz okręgu). Zatem okrąg i krzywa C Rys. 184. Odległości ekstremalne od krzywej są styczne względem siebie i mają wspólną styczną w punkcie R. Otóż prosta PR jako promień koła jest prostopadła do stycznej do okręgu w punkcie R, jest zatem prostopadła w punkcie R do krzywej C. Zaznaczmy nawiasem, że średnica takiej krzywej zamkniętej C, tj. jej najdłuż sza cięciwa, musi być prostopadła do krzywej C w obu punktach końcowych. Dowód pozostawiamy czytelnikowi jako ćwiczenie. Czytelnik zechce sformułować i udowodnić analogiczne twierdzenie w trzech wymiarach. szą
Ćwiczenie. Udowodnić, że najkrótsze i najdłuższe odcinki łączące dwie nie przecinające się krzywe zamknięte są prostopadłe do
tych krzywych w punk-
tach km'kowych. Można
teraz uogólnić zagadnienia z punktu 4, dotyczące sumy i różnicy odleZamiast prostej L rozważmy krzywą zwykłą zamkniętą C, mającą w każ dym punkcie styczną oraz dwa punkty P i Q nie leżące na krzywej C (rys. 185). Chcemy scharakteryzować punkty krzywej C, dla których suma p + q i różnica p-q przybiera wartości ekstremalne, gdzie p i q oznaczają odpowiednio odległości dowolnego punktu krzywej C od punktów P i Q. Nie można tu zastosować prostej głości.
322
§ 2. Zasada ogólna leżąca u podstaw ...
VII. Maksima i minima
konstrukcji odbicia, która nam posłużyła dla rozwiązania zagadnień w przypadku, gdy C była linią prostą. Możemy natomiast wykorzystać własności elipsy i hiperboli do rozwiązania naszych zagadnień. Wobec tego, że C jest krzywą zamkniętą,
p
323
wą
C kąty jednakowe. Podkreślamy tutaj znowu, że zagadnienie dla krzywej zaC różni się od zagadnienia dla prostej o tyle, że w ostatnim zagadnieniu rozważaliśmy maksimum wartości bezwzględnej Ip-q I, natomiast tutaj istnieje maksimum wartości p-q (jak również minimum). mkniętej
§ 2": Zasada ogólna leżąca u podstaw zagadnień o wartościach ekstremalnych 1. Zasada. Rozpatrywane poprzednio zagadnienia są przykładami pewnego zagadnienia ogólnego, której najlepiej daje się sformułować w języku analitycznym. Jeżeli w zagadnieniu wyznaczenia wartości ekstremalnych p +q oznaczamy przez x, y współrzędne punktu R, przez xl' y 1 - współrzędne stałego punktu P, a przez x2, y2 - współrzędne punktu Q, to
Rys. 185. Największa i najmniejsza wartość PR+ QR
i, I
I,, I
I
,I
,I
<>
I
Rys. 186. Najmniejsza
wartość
PR-QR
a nie prostą rozciągającą się w nieskończoność, zarówno zagadnienie maksimum, jak też zagadnienie minimum mają tutaj sens, można bowiem przyjąć za oczywiste, że wielkości p+q i p-q mają wartości największe i najmniejsze na każdym skończonym odcinku krzywej, w szczególności na krzywej zamkniętej (patrz §7). W przypadku sumy p +q załóżmy, że R jest punktem krzywej C, dla którego p + q ma maksimum, i niech 2a będzie wartością p + q w punkcie R. Rozważmy elipsę mającą ogniska w punktach Pi Q, będącą miejscem geometrycznym wszystkich punktów, dla których p + q = 2a. Elipsa ta musi być styczna do krzywej C w punkcie R (dowód pozostawiamy czytelnikowi jako ćwiczenie). Ale widzieliśmy, że proste PR i QR tworzą w punkcie R jednakowe kąty z elipsą; wobec tego, że elipsa jest styczna w punkcie R do krzywej C, proste PR i QR muszą tworzyć także jednakowe kąty z krzywą C w punkcie R. Jeżeli p + q ma minimum w punkcie R, to wnosimy analogicznie, że proste PR i QR tworzą z krzywą C jednakowe kąty w punkcie R. Marny zatem twierdzenie: Dana jest krzywa zamknięta C oraz dwa punkty P i Q leżące po tej samej stronie krzywej C; w takim razie w punkcie R krzywej C, w którym suma p + q przybiera wartość największą lub najmniejszą dla krzywej C, proste PR i QR tworzą z krzywą C w punkcie R (tzn. ze styczną do krzywej C) jednakowe kąty. Jeżeli punkt P leży wewnątrz krzywej C, a punkt Q na zewnątrz, to twierdzenie jest prawdziwe dla największej wartości p + q, zawodzi natomiast dla wartości najmniejszej, ponieważ elipsa degeneruje się wtedy do linii prostej. Za pomocą postępowania zupełnie analogicznego, wykorzystującego własno ści hiperboli zamiast elipsy, zechce czytelnik udowodnić twierdzenie następujące: Dana jest krzywa zamknięta C i dwa punkty P i Q leżące po różnych stronach krzywej C (rys. 186); w takim razie w punkcie R krzywej C, w którym p-q przybiera wartość największą lub najmniejszą na krzywej C, proste PR i QR tworzą z krzy-
p=
~(x-x1)2 +(y-y1)2'
2 2 q= ~(x-x 2 ) +(y-y2) ; zadanie polega na znalezieniu wartości ekstremalnych funkcji f(x, y) = p+q.
Funkcja ta jest ciągła w całej płaszczyźnie, natomiast punkt o współrzędnych x, y musi leżeć na krzywej C. Krzywa ta jest określona pewnym równaniem g(x, y) =O; np. x2 +y2 -1 =O, jeżeli krzywa jest okręgiem jednostkowym. Nasze zadanie polega wtedy na znalezieniu wartości ekstremalnych funkcji f (x, y), gdzie wielkości x i y są związane warunkiem g(x, y) =O; rozważmy ten ogólny typ zagadnienia. Dla scharakteryzowania rozwiązań rozważmy rodzinę krzywych o równaniach f (x, y) = c, czyli krzywe dane równaniem tej postaci, gdzie stała c może mieć dowolną wartość, tę sarną dla wszystkich punktów jakiejkolwiek krzywej tej rodziny. Załóżmy, że przez każdy punkt płaszczy zny przechodzi jedna i tylko jedna krzywa rodziny f(x, y) = c, przynajmniej gdy ograniczymy się do sąsiedztwa krzywej C (rys. 187). W takim razie, jeżeli c będzie się zmieniało, to krzywa f(x, y) = c będzie wymiatała część płaszczyzny, nie dotykając przy tym dwukrotnie żadnego punktu tej części. (Rodzinami takimi są np. krzywe x 2-y2 =c, x+y=c i x=c). W szczególności jedna z krzywych tej rodziny przejdzie przez punkt R1, w któRys. 187. Ekstrema funkcji po krzywej
324
VII. Maksima i minima
§ 3. Punkty stacjonarne i rachunek różniczkowy
rym funkcja f (x, y) przybiera największą wartość na krzywej C, a inna przez punkt R 2, w którym f(x, y) przybiera najmniejszą wartość. Oznaczmy wartość największą przez a i wartość najmniejszą przez b. Po jednej stronie krzywej .f(x, y) =a wartość .f(x, y) będzie mniejsza niż a, po drugiej stronie natomiast większa niż a. Wobec tego, że na krzywej C spełniona jest nierówność .f(x, y)::; a, zatem krzywa C musi leżeć w całości po jednej stronie krzywej .f(x, y) =a, musi więc być styczna do tej krzywej w punkcie R1• Podobnie krzywa C musi być styczna do krzywej f(x, y) =b w punkcie R2. Mamy więc twierdzenie ogólne: Jeżeli w punkcie R krzywej C funkcja f(x, y) ma wartość ekstremalną a, to krzywa f(x, y) =a jest styczna do krzywej C w punkcie R.
325
tych kół są styczne do prostej L, a ich środki leżą po różnych stronach odcinka PQ. Jeden z tych punktów styczności daje maksimum bezwzględne kąta e, drugi natomiast daje maksimum „względne" (tzn. wartość e jest mniejsza w pewnym oto-
2. Przykłady. Wyniki poprzedniego paragrafu są - jak łatwo widzieć - szczególnymi przypadkami tego ogólnego twierdzenia. Jeżeli p + q ma przyjmować wartość ekstremalną, to funkcją f (x, y) jest p + q, a krzywymi .f(x, y) = c są elipsy współ ogniskowe (rys. 188) o ogniskach w punktach Pi Q. Widzieliśmy- zgodnie z twier-
Rys. 190. Punkt R na prostej L, z którego odcinek PQ jest widziany pod
Rys. 188. Elipsy współogniskowe
i
dzeniem ogólnym -
j
że
Rys. 189. Hiperbole
współogniskowe
największym kątem
czeniu tego punktu niż w samym tym punkcie). Większe z tych dwóch maksimów, maksimum bezwzględne, dane jest przez punkt styczności, leżący wewnątrz kąta ostrego utworzonego przez przedłużenie odcinka PQ i prostą L; mniejsze - przez punkt leżący w kącie rozwartym utworzonym przez te dwie proste. (Punkt, w którym przedłużenie odcinka PQ przecina prostą L, daje minimalną wartość e, a mianowicie zero). W celu uogólnienia tego zagadnienia można zastąpić prostą L krzywą C i szukać punktu R na krzywej C, z którego widać dany odcinek PQ (nie przecinający krzywej C) pod największym lub najmniejszym kątem. Tutaj okrąg przechodzący przez punkty P, Qi R musi być styczny do krzywej C w punkcie R.
elipsy przechodzące przez te punkty krzywej C, w których
f (x, y) przybiera wartości ekstremalne, są styczne do krzywej C w tych punktach. I
'
,,
W przypadku gdy rozważamy ekstrema wielkości p-q, funkcją.f(x, y) jestp-q, krzywymi .f(x, y) = c są hiperbole współogniskowe (rys. 189) mające ogniska w punktach Pi Q; widzieliśmy, że hiperbole przechodzące przez punkty wartości ekstremalnych f(x, y) są styczne do krzywej C. Można podać jeszcze przykład następujący: Dany jest odcinek prostej PQ i prosta L nie przecinająca tego odcinka. Z jakiego punktu prostej L widać odcinek PQ pod największym kątem? Funkcją, która ma mieć tu wartość największą, jest kąt eo wierzchołku położo nym na prostej L, którego ramiona przechodzą przez punkty P i Q. Kąt oparty na odcinku PQ, o wierzchołku w dowolnym punkcie R płaszczyzny, jest funkcją e= f(x, y) współrzędnych punktu R. Wiemy z geometrii elementarnej, że rodziną krzywych e = .f(x, y) = c jest rodzina okręgów przechodzących przez punkty pi Q, ponieważ kąty oparte na cięciwie koła, których wierzchołki leżą na obwodzie koła po jednej stronie cięciwy, są jednakowe. Jak widać z rys. 190, na ogół dwa spośród
§ 3. Punkty stacjonarne i rachunek różniczkowy 1. Ekstrema i punkty stacjonarne. W poprzednich rozważaniach nie stometod rachunku różniczkowego, co więcej, nasze elementarne metody są znacznie prostsze i bardziej bezpośrednie niż metody rachunku różniczkowego. W myśleniu naukowym z reguły lepiej jest rozważać indywidualne cechy zagadnień i nie polegać wyłącznie na metodach ogólnych. Niemniej jednak próby indywidualne powinny być zawsze kierowane ogólną zasadą, która wyjaśnia znaczenie użytej w poszczególnym przypadku metody; taka jest w rzeczywistości rola rachunku różniczkowego w zagadnieniach ekstremów. Współczesne dążenie do ogólności jest tylko jedną stroną myślenia matematycznego, żywotność bowiem matematyki zależy w dużej mierze od indywidualnego ujęcia zagadnień i metod. W swoim rozwoju historycznym rachunek różniczkowy kształtował się pod silnym wpływem poszczególnych zagadnień na maksimum i minimum. Związek sowaliśmy
326
§ 3.
VII. Maksima i minima
327
Geometrycznie możemy przedstawić funkcję f(x, y) jako wzniesienie z pewnej powierzchni ponad płaszczyznę xy; po~ierzchnię taką. możemy wy~br~zić s~bi.e jako krajobraz górski. Maksimum funkq1 f(x, y) odpowiada szczytowi gory, minimum - najniższemu punktowi depresji albo jeziora. W obu tych przypadkach, jeżeli powierzchnia jest gładka, to płaszczyzna styc~~a do powierz~Imi będzi_e pozioma. Istnieją jednak i inne punkty poza szczytami 1 dnem wąwozow, dla ktorych powierzchnia styczna jest pozioma; są to punkty dane. przez przełęcze ~órs~e. Zbadajmy te punkty bardziej szczegółowo. Rozważmy, Jak na rys. 192, dwie gory A i B w jednym łańcuchu gór oraz dwa punkty Ci D po obu stronach tego łaócu cha; przypuśćmy, że chcemy przejść z C do D. Rozważmy najpierw tylko te drogi prowadzące z C do D, które otrzymujemy przecinając powierzchn.ię d~wolną f.łas~ czyną przechodzącą przez punkty C i D. Każda taka droga będzie miała swoi najwyższy punkt. Zmieniając położenie płaszczyzny zmieniamy drogę; istnieje jedna droga CD, dla której wzniesienie tego najwyższego punktu jest najmniejsze. Punkt E najwyższego wzniesienia na tej drodze odpowiada przełęczy górskiej, a w języku matematycznym nazywa się punktem siodłowym. Jest oczywiste, że w E nie ma ani maksimum, ani minimum, ponieważ można znaleźć dowolnie blisko punktu E
pomiędzy
ekstremami a rachunkiem różniczkowym pojawia się w sposób nastę W rozdziale VIII zbadamy szczegółowo pochodną f' (x, y) funkcji f (x, y) i jej znaczenie geometryczne. Krótko, pochodna f'(x, y) jest to nachylenie stycznej do krzywej y = f(x, y) w punkcie (x, y). Jest geometrycznie oczywiste, że jeżeli krzywa y = f (x, y) ma wszędzie styczną -jest tzw. krzywą gładką - to przy maksimum lub minimum styczna do krzywej musi być pozioma, tj. nachylenie jej musi być równe zeru. Mamy stąd warunek f' (x, y) =O dla wartości ekstremalnych funkcji f (x, y). Aby zobaczyć, co oznacza, że pochodna f'(x, y) jest równa zeru, rozważamy krzywą z rys. 191. Jest pięć punktów A, B, C, D, E, w których styczna do tej krzywej jest pozioma; niech odpowiednimi wartościami f (x, y) w tych punktach będą wielkości a, b, c, d, e. Maksimum funkcji f(x, y) w przedziale uwzględnionym na rysunku przypada w punkcie D, minimum w punkcie A. Punkt B również przedstawia pujący.
y
Punkty stacjonarne i rachunek różniczkowy
D
A
B
X
A
c
Rys. 191. Punkty stacjonarne funkcji
Rys. 192.
maksimum w tym znaczeniu, że dla wszystkich innych punktów w bezpośrednim sąsiedztwie punktu B funkcja f(x, y) ma wartości mniejsze niż b, chociaż wartości f (x, y) są większe niż b dla punktów bliskich punktu D. Z tego względu nazywamy B maksimum względnym funkcji f (x, y), podczas gdy D jest maksimum bezwzględnym. Analogiczne C jest minimum względnym, a A minimum bezwzględnym. Wreszcie w punkcie E funkcja f (x, y) nie ma ani maksimum, ani minimum, chociaż f' (x, y) =O. Wynika stąd, że równość zeru pochodnej f' (x, y) jest warunkiem ko11iecznym, ale uie wystarczającym na to, żeby funkcja gładka f'(x, y) miała ekstremum; innymi słowy, przy każdym ekstremum, względnym czy bezwzględnym, f' (x, y) =O, ale nie każ dy punkt, w którym f' (x, y) =O, musi być punktem ekstremalnym. Punkt, w którym f'(x, y) =0, nazywamy stacjonarnym bez względu na to, czy jest tam ekstremum, czy nie. Za pomocą dalej posuniętej analizy można dojść do mniej lub bardziej skomplikowanych warunków na pochodne wyższego rzędu funkcji f(x, y), które w pełni charakteryzują maksima, minima i inne punkty stacjonarne. 2. Maksima i minima funkcji wielu zmiennych. Punkty siodłowe. Istnieją zagadnienia na maksima i minima, których nie można przedstawić za pomocą funkcji f(x, y) jednej zmiennej. Najprostszym przypadkiem tego rodzaju jest wyznaczanie wartości ekstremalnych funkcji z= f' (x, y) dwóch zmiennych.
l
Przełącz
górska
Rys. 193. Odpowiednia mapa warstwicowa
zarówno punkty wyższe, jak też niższe od E. Zamiast ograniczać się do dróg leżą cych na płaszczyźnie moglibyśmy równie dobrze rozpatrywać drogi bez tego ograniczenia. Charakteryzacja punktu siodłowego E pozostaje bez zmiany. Podobnie, jeżeli chcemy przejść od szczytu A do szczytu B, to każda poszczególna droga ma punkt najniższy; jeżeli znowu rozpatrujemy tylko przekroje pł~ skie, to istnieje jedna droga AB, dla której ten najniższy punkt jest położony najwyżej i minimum dla tej drogi jest znowu w punkcie E wyznaczonym poprzednio. Zatem ten punkt siodłowy E jest najwyższym minimum lub najniższym maksimum; jest to więc maksi-minimum lub mini-maksimum. Płaszczyzna styczna w punkcie E jest pozioma. Z tego bowiem, że punkt E jest punktem minimum na AB, wynika, że prosta styczna do AB w punkcie E musi być pozioma; podobnie z tego, że E jest punktem maksimum na CD, wynika, że prosta styczna do CD w punkcie E musi być pozioma. Płaszczyzna styczna jest płaszczyzną określoną przez te proste, jest więc także pozioma. Znajdujemy zatem trzy różne typy punktów, w których płaszczyzny styczne są poziome: maksima, minima i punkty siodłowe; w związku z tym mamy różne typy wartości stacjonarnych funkcji f (x, y). Inny sposób geometrycznego przedstawienia funkcji f (x, y) polega na ~yryso waniu linii warstwicowych; sposób ten jest wykorzystywany przy kreślemu map dla przedstawienia wysokości (patrz sh: 277). Warstwica jest to linia w płaszczyźnie
I
I
I
328
§ 4. Zagadnienie trójkąta Schwarza
VII. Maksima i minima
ciągu najkrótsza i najdłuższa odległość punktu P od torusa C, przy czym wyznaczające te odległości odcinki są prostopadłe do C. Ponadto marny ekstrema różnych typów będące maksimami minimów lub minimami maksimów. Aby je wyznaczyć, rysujemy na torusie zamknięte koło „południkowe" L jak na rys. 195 i szukamy na L punktu Q najbliższego punktowi P. Następnie przesuwamy L w ta-
xy, wzdłuż której funkcja f (x, y) ma wartość stałą; zatem warstwice są identyczne
szym
z krzywymi rodziny f(x, y) =c.
Przez zwykły punkt płaszczyzny przechodzi dokładnie jedna warstwica; maksimum lub minimum jest otoczone zamkniętymi warstwicami, natomiast w punkcie siodłowym przecina się kilka warstwic. Na rysunku 193 zostały narysowane warstwice krajobrazu z rys.192, uwidoczniając rnaksyrnalno-rninirnalną własność punktu E. Każda droga łącząca punkty A i B, a nie przechodząca przez punkt E, musi przejść przez pewien obszar, w którym f(x, y) < f(E), natomiast drogaAEB z rys. 192 ma minimum w punkcie E. W podobny sposób stwierdzamy, że wartość f (x, y) w punkcie E jest najmniejszym maksimum spośród maksimów osiąganych na drogach łączących punkty Ci D. 3. Punkty minimaksymalne a topologia. Istnieje ścisły związek pomiędzy ogólną punktów stacjonarnych a pojęciami topologii. Tutaj możemy podać tylko krótką wzmiankę o tych ideach, ilustrując ją prostym przykładem. Rozważmy krajobraz górsld na wyspie w kształcie pierścienia Bo dwóch brzegach Ci C'. Jeżeli znowu przedstawimy wzniesienie nad poziomem morza przez u = f (x, y), gdzie f (x, y) =O na krzywych Ci C' oraz f (x, y) >O we wnętrzu wyspy B, to na wyspie musi istnieć co najmniej jedna przełęcz górska (na rys. 194 odpowiada jej punkt, gdzie przecinają się warstwice). Można to stwierdzić intuicyjnie starając się przejść od C do C' w taki sposób, żeby droga nie wznosiła się wyżej niż potrzeba. Każ da droga z C do C' musi mieć punkt najwyższy i jeżeli wybierzemy tę drogę, której punkt najwyższy leży możliwie nisko, to najwyższy punkt Rys. 194. Punkty stacjonarne w obszarze dwuspójnym tej drogi jest punktem siodłowym funkcji u= f(x, y). (Istnieje trywialny wyjątek, gdy płaszczyzna pozioma jest styczna do grzbietu górskiego dokoła całego pierścienia). Dla obszaru ograniczonego za pomocą p krzywych musi istnieć, na ogół, co najmniej p-1 punktów stacjonarnych rninimaksyrnalnych. Marston Morse stwierdził, że podobne zależności zachodzą także w przestrzeniach wielowymiarowych, gdzie jest większa rozmaitość możliwości topologicznych i rodzajów punktów stacjonarnych. Zależności te stanowią podstawę współczesnej teorii punktów stacjonarnych.
11
I
punktu od powierzchni. Dla odległości pomiędzy punktem P a krzywą zamkniętą istnieją (co najmniej) dwie wartości stacjonarne, jedno minimum i jedno maksimum. Nie otrzymujemy nic nowego, jeżeli rozszerzymy ten wynik na trzy wymiary, dopóki rozważamy powierzchnię C równoważną topologicznie kuli, np. elipsoidę. Natomiast występują nowe zjawiska, gdy powierzchnia ma rodzaj topologiczny wyższy; weźmiemy jako przykład torus. Istnieje w dal4.
Odległość
Lp
P
r""''";;~.:;:""..:::::!".:::..~'Z~'""'" ,„,wr-""' -~, ..... Q
Rys. 196
Rys. 195
teorią
:I
329
ki sposób, żeby odległość PQ stała się: a. minimalna, jest to po prostu punkt na C najbliższy punktowi P; b. maksymalna, daje to inny punkt stacjonarny. Moglibyśmy podobnie szukać na L punktu najbardziej oddalonego od P, a następnie znaleźć takie L, żeby ta odległość maksymalna miała: c. maksimum, co otrzymuje się w punkcie na C najbardziej oddalonym od punktu P; d. minimum. Tak więc otrzymujemy cztery różne wartości stacjonarne odległości. Ćwiczenie. Powtórzyć rozumowanie przy innym rodzaju L' krzywych zamkniętych na torusie C, jak na rys. 196, których nie można ściągnąć do jedne-
go punktu.
§ 4. Zagadnienie
J,
trójkąta
Schwarza
1. Dowód Schwarza. Herman Arnandus Schwarz (1843-1921) był znakomitym matematykiem na uniwersytecie berlińskim i przyczynił się wielce do rozbudowy współczesnej analizy i teorii funkcji. Nie gardził on pisaniem o sprawach elemenc tarnych, a w jednej ze swoich prac omawia zagadnienie następujące: Dany jest trójkąt ostrokątny, należy wpisać w
trójkąt
niego imzy o możliwie najmniejszym obwodzie.
(Przez trójkąt wpisany rozumiemy h·ójkąt mający po jednym wierzchołku na każ dym boku pierwotnego trójkąta). Zobaczymy, że istnieje dokładnie jeden taki trójkąt i że jego wierzchołki są spodkami A wysokości trójkąta danego. Trójkąt taki nazwiemy trójkątem wysokości.
R Rys. 197. Trójkąt wysokości dla trójkąta ABC, z zaznaczeniem kątów jednakowych
B
"
330
VII. Maksima i minima
§ 4. Zagadnienie
Schwarz udowodnił własność minimalności trójkąta wysokości metodą odbić, posługując się następującym twierdzeniem z geometrii elementarnej (rys. 197): w każdym wierzchołku P, Q, R dwa boki trójkąta wysokości tworzą jednakowe kąty z bokiem trójkąta pierwotnego; kąt ten jest równy kątowi przy przeciwległym wierzchołku trójkąta pierwotnego. Na przykład kąty ARQ i BRP są oba równe kątowi C
trójkąta
Schwarza
331
wpisany UVW. Odbijamy całą figurę najpierw w boku AC trójkąta ABC, a następ nie odbijamy otrzymany stąd trójkąt w jego boku AB, dalej w boku BC nowego trójkąta, znowu w AC i wreszcie w AB. W ten sposób otrzymujemy razem sześć trójkątów przystających, każdy ze swoim trójkątem wysokości i drugim wpisanym trójkątem. Bok BC ostatniego trójkąta jest równoległy do pierwotnego boku BC. Przy pierwszym odbiciu BC obraca się w kierunku ruchu wskazówek zegara o kąt ze, następnie w kierunku ruchu wskazówek zegara o kąt 2B, przy trzecim odbiciu nie ma zmiany, przy czwartym obraca się o kąt 2C w kierunku przeciwnym ruchowi wskazówek zegara. Tak więc łączny kąt obrotu jest zero. Wobec własności odbić trójkąta wysokości odcinek PP' jest równy dwukrotnemu obwodowi trójkąta wysokości; PP' składa się bowiem z sześciu części równych z kolei pierwszemu, drugiemu i trzeciemu bokowi trójkąta, przy czym każdy bok występuje dwukrotnie. Podobnie linia łamana od U do U' jest równa dwukrotnemu obwodowi drugiego trójkąta wpisanego. Linia ta nie jest krótsza niż odcinek UU'. Wobec tego, że UU' jest równoległe do PP', zatem linia łamana od U do U' nie jest krótsza od PP', a więc obwód trójkąta wysokości jest najmniejszy możliwy dla dowolnego trójkąta wpisanego, co należało dowieść. W ten sposób wykazaliśmy jednocześnie, że istnieje minimum i że to minimum jest dane przez trójkąt wysokości. Zobaczymy wkrótce, że nie ma innego trójkąta, którego obwód byłby równy obwodowi trójkąta wysokości.
i tak dalej. Dla dowodu tego wstępnego twierdzenia zaznaczmy, że OPBR jest czworobokiem, który można wpisać w koło, ponieważ t....OPB i t....ORB są proste. Wobec tego t....PBO= f....PRO, ponieważ kąty te są oparte na tym samym łuku PO w kole opisanym. Ale f....PBO dopełnia kąt C do kąta prostego, ponieważ trójkąt CBQ jest prostokątny, a f....PRO dopełnia f....PRB. Zatem ten ostatni kąt jest równy kątowi C. W taki sam sposób posługując się czworobokiem QORA stwierdzamy, że t....QRA = f....C itd. B
2. Inny dowód. Najprostszy może sposób rozwiązania zagadnienia Schwarza na twierdzeniu udowodnionym poprzednio w tym rozdziale, że suma odległości dwóch punktów Pi Q od prostej L jest najmniejsza w tym punkcie R prostej L, gdzie proste PR i QR tworzą z prostą L ten sam kąt, jeżeli punkty P i Q leżą po tej samej stronie prostej L i żaden z nich nie leży na L. Załóż my, że trójkąt PQR wpisany w trójkąt ABC ma minimum obwodu (rys. 199). W tapodać można, opierając się
c
c
c
I
J
A
R Rys. 199
Rys. 198. Dowód Schwarza,
że trójkąt wysokości
ma najmniejszy obwód
Wynik ten pozwala na sformułowanie następującej własności zwierciadlanej trójkąta wysokości: Wobec tego, że na przykład t....AQR = f.... CQP, odbicie RQ w boku AC jest przedłużeniem odcinka PQ, i na odwrót; podobnie jest dla pozostałych boków. Udowodnimy teraz własności minimum trójkąta wysokości. W trójkącie ABC (rys. 198) rozważamy jednocześnie z trójkątem wysokości dowolny inny trójkąt
ł
l
B A
R
B
Rys. 200
kim razie R musi być tym punktem na boku AB, gdzie p + q ma minimum, zatem kąty ARQ i BRP muszą być jednakowe; podobnie f....AQR = f.... CQP, f.... BPR = f.... CPQ. Tak więc trójkąt minimalny, jeżeli istnieje, musi mieć własność tworzenia jednakowych kątów z bokami trójkąta pierwotnego; własność tę wykorzystaliśmy w dowodzie Schwarza. Pozostaje wykazać, że jedynym trójkątem o tej własności jest trójkąt wysokości. Ponieważ ponadto w twierdzeniu, na którym opiera się ten do-
332
§ 4. Zagadnienie trójkąta Schwarza
VII. Maksima i minima
wód, zakłada się, że punkty Pi Q nie leżą na AB, dowód nie dotyczy przypadku, gdy jeden z punktów P, Q, R jest wierzchołkiem trójkąta pierwotnego (w którym to przypadku trójkąt minimalny zdegenerowałby się do dwukrotnej odpowiedniej wysokości); zatem dla zakończenia dowodu będziemy musieli wykazać, że obwód trójkąta wysokości jest krótszy niż wzięta dwukrotnie którakolwiek wysokość. Aby rozstrzygnąć pierwszą kwestię, zauważmy, że jeżeli trójkąt wpisany ma wspomnianą poprzednio własność tworzenia jednakowych kątów, to kąty przy wierzchołkach P, Qi R muszą być równe odpowiednio kątom: ć...A, ć... B, ć... C. Załóż my, dajmy na to, że ć...ARQ= ć...C+o. W takim razie, wobec tego, że suma kątów trójkąta jest równa 180°, kąt przy wierzchołku Q musi być równy B-o, a kąt przy wierzchołku P równy A-o, aby w trójkątach ARQ i BRP suma kątów mogła być równa 180°. Ale wtedy suma kątów w trójkącie CPQ wynosi A-o+ B-o + + C = 180°-20; z drugiej strony suma ta musi być równa 180°. Zatem o jest równe zeru. Widzieliśmy już, że trójkąt wysokości ma własność tworzenia jednakowych kątów. Każdy inny trójkąt o tej własności musiałby mieć boki równoległe do odpowiednich boków trójkąta wysokości; innymi słowy, powinien być do niego podobny i skierowany w ten sam sposób. Czytelnik zechce wykazać, że do danego trójką ta nie można wpisać innego takiego trójkąta (rys. 200). Na koniec wykażemy, że obwód trójc kąta wysokości wynosi mniej niż dwukrotnie wzięta którakolwiek wysokość, jeżeli tylko kąty trójkąta pierwotnego są wszystkie ostre. Przedłużamy boki QP i QR i kreślimy prostopadłe z punktu B do prostych QP, QR i PR, uzyskując w ten sposób punkty L, Mi N (rys. 201). W takim razie QL i QM są to odpowiednio rzuty wysokości QB na proste QP i QR. Stąd QL + QM < 2QB. Ale QL + QM równa się obwodowi p trójkąta wysokości, trójkąty MRB i NRB są bowiem przystaj<1ce, a ką ty przy wierzchołkach Mi N są A ',,, kątami prostymi. Stąd RM= RN Rys. 201 i QM = QR +RN; w ten sam sposób stwierdzamy, że jest PN=PL, a więc QL=QP+PN. Mamy zatem QL+QM= = QP + QR +PN+ NR= QP + QR +PR= p. Ale wykazaliśmy że 2QB > QL + QM. Zatem p wynosi mniej niż dwukrotna wysokość QB; rozumując dokładnie tak samo udowodnimy, że p jest mniejsze od dowolnej wysokości wziętej dwukrotnie. Udowodniliśmy zatem w zupełności własność minimum trójkąta wysokości. Zaznaczamy, że poprzednia konstrukcja pozwala na bezpośrednie obliczenie p. Wiemy, że kąty PQC i RQA są równe kątowi B i stąd ć...PQB = = ć...RQB=90°-B, a więc cos ć...PQB=sin B. Zatem na podstawie trygonometrii elementarnej QM = QL = QB sin Bip= 2 QB sin B. W ten sam sposób można wykazać, że p = 2 PA sin A = 2 RC sin C. Wiemy z trygonometrii, że RC= a sin B = b sin A itd., co daje
333
p=2a sin B sin C=2b sin C sinA=2c sin A sin B.
Wreszcie, wobec a= 2r sin A, b = 2r sin B, c = 2r sin C, gdzie r jest promieniem koła opisanego, otrzymujemy wyrażenie symetryczne
p = 4r sin A sin B sin C. 3. Trójkąty rozwartokątne. W obu poprzedzających dowodach zakładaliśmy, że kąty A, B, C są wszystkie ostre. Jeżeli, powiedzmy, kąt C jest rozwarty, jak na rys. 202, to punkty P i Q będą leżały na zewnątrz trójkąta. Zatem, ściśle biorąc, nie można mówić, że trójkąt wysokości jest wpisany w trójkąt pierwotny, chyba że przez trójkąt wpisany rozumiemy tylko trójkąt, którego wierzchołki leżą na bokach albo na przedłużeniach boków B R trójkąta pierwotnego. W żadnym razie A Rys. 202. Trójkąt wysokości w trójkącie trójkąt wysokości nie daje teraz najrozwartokątnym mniejszego obwodu, bowiem PR> CR i QR > CR, a więc p =PR+ QR + PQ > 2CR. Rozumowanie w pierwszej części ostatniego dowodu okazało, że jeżeli obwód minir„1alny nie jest dany przez trójkąt wysokości, to musi być równy dwukrotnej wysokości; wnioskujemy zatem, że dla trójką tów rozwartokąh1ych „trójkątem wpisanym" o najmniejszym obwodzie jest najmniejsza wysokość liczona dwukrotnie, chociaż właściwie nie jest to trójkąt. Można jednak wyznaczyć trójkąt właściwy, którego obwód różni się od dwukrotnej wysokości dowolnie mało. Dla przykładu granicznego, mianowicie trójkąta prostokąh1ego, oba rozwiązania - podwójna najkrótsza wysokość i trójkąt wysokości- pokrywają się. Nie możemy tutaj rozpatrywać interesującego zagadnienia, czy trójkąt wysokości ma jakąś własność ekstremalną przy trójkątach rozwartokątnych. Możemy stwierdzić tylko tyle: trójkąt wysokości nie daje minimum sumy boków p + q + r, ale wartość stacjonarną typu minimaksymalnego dla wyrażenia p + q-r, gdzie r oznacza bok trójkąta wpisanego przeciwległy kątowi rozwartemu. 4. Trójkąty utworzone przez promienie ABC wyobraża pokój ze zwierciadlanymi ścianami, to trójkąt wysokości jest jedyną możliwą drogą trójkątną promienia świetlnego. Nie są wyłą czone inne drogi światła w kształcie wielokątów, jak pokazuje rys. 203, ale trójkąt wysokości jest jedynym takim wielokątem mającym trzy boki. Można uogólnić to zagadnienie zapytując o możliwe „trójkąty świetlne" w dowolnym obszarze ograniczonym przez jedną lub wiele krzywych gładkich; tzn. zapytuświetlne. Jeżeli trójkąt
Rys. 203. Zamknięta droga promienia światła w zwierciadle trójkątnym
:I
334 'I• '
VII. Maksima i minima
§ 5. Zagadnienie Steinera
jemy o takie trójkąty mające wierzchołki na krzywych ograniczających, że dwa p_:zyle~łe bo~ t_rójkąta two~zą z krzywą jednakowe kąty. Jak widzieliśmy w §1, rownosć kątow Jest warunkiem maksymalnej, jak też minimalnej długości łącznej ty~~ d';óc~ ~oków, moż.na. więc - zal~żnie od okoliczności - znaleźć różne typy troJkątow sw1etlnych. Jezeh np. rozwazamy wnętrze pewnej krzywej gładkiej C, to trójkąt wpisany o największym obwodzie musi być trójkątem świetlnym. Możemy również rozważać (jak to podsuwał autorom Marston Morse) zewnętrze trzech gładkich krzywych zamkniętych. Trójkąt świetlny ABC można scharakteryzować tu warunkiem, że jego długość ma wartość stacjonarną; wartość ta może być minimah1a ze względu na wszystkie trzy punkty A, B, C, może być minimalna ze względu na ~żdą ~ k~n:binacji takich, jakA i B, a maksymalna ze względu na trzeci punkt C, moze byc mm1malna ze względu na jeden punkt i maksymalna ze względu na P?zostałe dwa punkty.lub wreszcie może być maksymalna ze względu na wszystkie trzy punkty. Łączme mamy więc zapewnione istnienie co najmniej 23 = 8 trójkątów świetlnych, ponieważ dla każdego z trzech punktów z osobna możliwe jest bądź maksimum, bądź minimum (rys. 204-207).
I
zywa się ergodycznym. Założenie istnienia takiego toru jest podstawą dla metod statystycznych we współczesnej dynamice i teorii atomu. Jednakże znamy niewiele ważnych przypadków, dla których można podać ścisły matematyczny dowód „hipotezy ergodycznej". Najprostsze przykłady dotyczą przypadku ruchu wewnątrz krzywej płaskiej C, gdzie zakładamy, że ściana C działa jak doskonałe zwierciadło, odbijając swobodną cząsteczkę pod tym samym kątem, pod którym pada na ścianę. Na przykład pudło prostokątne (wyidealizowany stół bilardowy dający doskonałe odbicie i punkt materialny jako kula bilardowa) prowadzi na ogół do toru ergodycznego; idealna kula bilardowa poruszająca się bezustannie dojdzie w pobliże każdego punktu, z wyjątkiem tylko pewnych szczególnych położeń i kierunków początkowych. Pomijamy dowód, chociaż w zasadzie nie jest trudny. Szczególnie ważny jest przypadek stołu eliptycznego z ogniskami F1 i F2 . Wobec tego, że styczna do elipsy tworzy jednakowe kąty z prostymi łączącymi punkt styczności z obydwoma ogniskami, każdy tor przechodzący przez jedno z ognisk da odbicie przechodzące przez drugie ognisko itd. Nie trudno jest zauważyć, że niezależnie od pierwotnego kierunku tor po n odbiciach dąży przy wzrastającym 11 do osi wielkiej F1F2 • Jeżeli pierwotny promień nie przechodzi przez ognisko, to istnieją dwie możliwości. Jeżeli promień ten przechodzi pomiędzy ogniskami, to wszystkie promienie odbite będą przechodziły pomiędzy ogniskami i wszystkie będą styczne do pewnej hiperboli mającej ogniska w punktach F1 i F2• Jeżeli pierwotny promień nie rozdziela punktów F1 i F21 to nie rozdzieli ich także żaden z promieni odbitych i będą one wszystkie styczne do pewnej elipsy mającej punkty F1 i F2 za ogniska. Zatem w żadnym przypadku ruch nie będzie ergodyczny dla elipsy jako całości. I
I
,.
I
o
Rys. 204-207. Cztery typy trójkątów świetlnych pomiędzy trzema kołami
5*. Uwagi dotyczące zagadnień odbicia i ruchu ergodycznego. Wielkie znaczenie w dynamice i w optyce ma zagadnienie opisania drogi lub „toru" cząsteczki w przestrzeni lub promienia światła w ciągu nieograniczonego okresu czasu. Jeżeli rządzona pewną zasadą fizyczną cząstka lub promień może znajdować się tylko "". ograniczonej części przestrzeni, to ma duże znaczenie wiadomość, czy tor gramczny wypełni przestrzeń wszędzie i w przybliżeniu równomiernie. Taki tor na-
335
*Ćwiczenia. 1. Dowieść, że jeżeli promień pierwotny przechodzi przez ognisko elipsy, to 11-te odbicie promienia pierwotnego będzie dążyło do osi wielkiej ze wzrostem 11. 2. Dowieść, że jeżeli promień pierwotny przechodzi pomiędzy dwoma ogniskami, to będzie tak samo dla wszystkich promieni odbitych i wszystkie one będą styczne do pewnej hiperboli o ogniskach F1 i F2 • WSKAZÓWKA. Wykazać, że promień przed odbiciem i po odbiciu w punkcie R tworzy odpowiednio jednakowe kąty z prostymi RF1 i RF2, a następnie dowieść, że styczne do stożkowych współogniskowych można scharakteryzować w taki właśnie sposób.
I
§ 5. Zagadnienie Steinera
1
I
1. Zagadnienie i jego rozwiązanie. Jacob Steiner, słynny geometra na tmiwersytecie w Berlinie w początku XIX wieku, rozpatrywał pewne bardzo proste, ale pouczające zagadnienie. Trzy wioski A, B, C należy połączyć siecią dróg o najmniejszej łącznej długości. Matematycznie, dane są trzy punkty A, B, C na płaszczyźnie i szukany jest czwarty punkt P na płaszczyźnie taki, żeby suma a+ b + c była minimalna, przy czym przez a, b, c oznaczyliśmy odpowiednio odległości punktu P od
336
§ 5. Zagadnienie Steinera
VII. Maksima i minima
punktów A, B, C (rys. 208). Odpowiedź na to zagadnienie jest najśtępująca: Jeżeli w trójkącie ABC wszystkie kąty są mniejsze od 120°, to P jest punktem, z którego kąty oparte na trzech bokach AB, BC, CA wynoszą po 120°. Jeżeli natomiast jeden z kątów trójkąta ABC, np. kąt w wierzchołku C, jest równy lub większy niż 120°, to punkt P pokrywa się z wierzchołkiem C. B
B
A
p
337
2. Analiza alternatywy. Aby sprawdzić, która z dwóch możliwości dla punktu P zachodzi faktycznie, należy rozpatrzyć konstrukcję punktu P. Dla wyznaczenia punktu P wystarczy narysować koła K 1,. K2, n~ których dwa boki'. powiedzm~ AC i BC, wyznaczają kąty równe 120°. W takim razie kąt oparty na odcmku AC, o wierzchołku położonym na mniejszym z dwóch łuków, na które AC dzieli koło Kl' ma 120°, natomiast kąt oparty na odcinku AC, o wierzchołku na większym łuku, będzie miał 60°. Przecięcie obu krótszych łuków, jeżeli istnieje, daje szukany punkt P, bo nie tylko kąty oparte na odcinkach AC i BC mające wierzchołek w punkcie P będą wynosiły po 120°, ale taki sam będzie również kąt oparty na odcinku AB, suma tych trzech kątów wynosi bowiem 360°. z rysunku 210 wynika jasno, że jeżeli żaden z kątów trójkąta ABC nie jest większy niż 120°, to oba krótsze łuki przecinają się wewnątrz trójkąta. Z drugiej strony, jeżeli jeden z kątów trójkąta, np. kąt C, jest większy od 120°, to krótsze łuki kół K 1 i K2 nie
A
K
c Rys. 208. Najmniejsza suma odległości od trzech punktów
Rys. 209
Otrzymanie rozwiązania jest proste, jeżeli zastosujemy nasze poprzednie wyniki dotyczące ekstremów. Przypuśćmy, że P jest szukanym punktem, w którym mamy minimum. Zachodzi alternatywa: punkt P bądź pokrywa się z jednym z wierzchołków ABC, bądź też jest różny od tych wierzchołków. W pierwszym przypadku oczywiste jest, że P musi być wierzchołkiem największego kąta C trójkąta ABC, ponieważ suma CA+ CB jest mniejsza od dowolnej innej sumy dwóch boków trójkąta ABC. Tak więc dla zakoikzenia dowodu musimy zanalizować drugi przypadek. Niech K bę dzie okręgiem o promieniu ci środku C. W takim razie P musi być punktem na okrę gu K takim, że PA+ PB jest minimalna. Jeżeli punkty A i B leżą na zewnąlTZ okręgu K, jak na rys. 209, to zgodnie z wynikami z §1 proste PA i PB muszą tworzyć jednakowe kąty z okręgiem K, a więc z promieniem PC prostopadłym do K. Wobec tego, że takie samo rozumowanie stosuje się także do położenia punktu P i koła o promieniu a i środku A, wynika stąd, że wszystkie trzy kąty u tworzone przez proste PA, PB, PC są jednakowe, zatem równe 120°, jak podawaliśmy. Rozumowanie to opierało się na założeniu, że oba punkty A i B leżą na zewnątrz koła K, co pozostaje do udowodnienia. Otóż, gdyby co najmniej jeden z punktów A i B, powiedzmy punkt A, leżał na okręgu albo wewnątrz koła K, to - ponieważ przyjęliśmy, że punkt P nie jest identyczny ani z punktem A, ani z B - powinniśmy mieć a+ b;:::: AB. Ale AC::; c, ponieważ punkt A nie leży na zewnątrz koła K. Stąd a+b+c;::::AB+AC,
co oznacza, że otrzymalibyśmy najkrótszą sumę odległości, gdyby punkt P pokrywał się z A, co jest sprzeczne z naszym założeniem. Dowodzi to, że punkty A i B leżą oba na zewnątrz koła K. Analogicznie można przeprowadzić dowód dla pozostałych kombinacji: dla punktów B, Cze względu na koło o promieniu a i środku A i dla punktów A, Cze względu na koło o promieniu bi środku B.
Rys. 210
K,
Rys. 211
przecinają się, jak pokazano na rys. 211. W tym przypadku nie ma punktu P, dla którego kąty oparte na wszystkich trzech bokach wynoszą po 120°. Natomiast koła K1 i K2 wyznaczają w przecięciu punkt P' taki, że bokom AC i BC odpowiadają kąty po 60°, natomiast bokowi AB przeciwległemu kątowi rozwartemu odpowiada kąt 120°.
-
....., '""'"'-'Y vv""'J"Ll'-"" "-
którym jest minimum, musi pokrywać się z jednym z wierzchołków (ponieważ wykazaliśmy, że jest to jedyna pozostała możliwość) i musi to być wierzchołek kąta rozwartego. Jeżeli, z drugiej strony, wszystkie kąty trójkąta są mniejsze od 120°, to widzieliśmy, że można skonstruować taki punkt, dla którego kąt oparty na każdym z boków wynosi 120°. Aby dokończyć dowodu naszego twierdzenia, musimy jeszcze wykazać, że suma a+ b + c jest rzeczywiście mniejsza w ostatnim przypadku, niż w przypadku gdy punkt P pokrywa się z którymkolwiek z wierzchołków; wykazaliśmy bowiem tylko to, że punkt P daje minimum, jeżeli dla żadnego z wierzchołków nie otrzymuje się najkrótszej długości całkowitej. Wobec tego musimy wykazać, że a+b+c jest mniejsze od sumy dowolnych dwóch boków, dajmy na to AB+ AC. W tym celu przedłużamy BP i rzutujemy punkt A na tę prostą, skąd otrzymujemy punkt D (rys. 212). Wobec tego, że LAPD = 60°, długość rzutu PD A
-
wynikach punktu 5, §1; pozostawiamy go jako ćwiczenie czytelnikowi. Łącząc to z wynikiem poprzednim, mamy twierdzenie: Jeżeli wszystkie kąty trójkąta ABC są mniejsze od 120°, to suma odległości a, b, c od dowolnego punktu do punktów A, B, C odpowiednio, jest najmniejsza w tym punkcie, dla którego ~<ąty. oparte na ~rzech bokach ~r~jk~~a wynoszą ~o 120~, natomiast a+ b-c jest napn111e1sze w wierzchołku C; 1ezeh 1eden z kątow, da1my na to C, jest większy od 120°, to a+ b + c jest najmniejsze w wierzchołku C i a+ b-c jest najmniejsze w tym punkcie, w którym na dwóch krótszych bokach trójkąta opierają się kąty 60°, a na dłuższym boku kąt 120°. Zatem spośród obu zagadniei1 na minimum zawsze jedno daje się rozwiązać za pomocą konstrukcji okręgu, a rozwiązaniem drugiego jest wierzchołek trójkąta. Przy kącie C = 120° rozwiązania każdego z tych zagadnień, a właściwie rozwiąza nia obu zagadnień pokrywają się, ponieważ za pomocą konstrukcji otrzymujemy wtedy dokładnie wierzchołek C. 4. Uwagi i ćwiczenia. Jeżeli z punktu P wewnątrz trójkąta równobocznego UVW prowadzimy trzy proste prostopadłe PA, PB, PC, jak na rys. 214, to A, B, Ci P tworzą figurę, którą poprzednio badaliśmy. Uwaga ta może posłużyć do rozwią-
c
B Rys. 212
\i i
I
'I
jest równa -}a. Otóż BD jest rzutem odcinka AB na prostą przechodzącą przez punkty Bi P, zatem BD
U
C Rys. 214. Inny dowód
V rozwiązania
Steinera
zania zagadnienia Steinera; należy zacząć od punktów A, B, C i wyznaczyć następnie punkty Ll, V, W. Ćwiczenia. 1. Wykoi1czyć ten schemat korzystając z tego, że dla punktów w trójkącie równobocznym suma trzech odcinków prostopadłych do boków jest stała i równa wysokości. 2. Korzystając z odpowiedniej zależności, gdy punkt P leży na zewnątrz trójkąta UVW, rozpatrzyć zagadnienie uzupełniające. Można by badać zagadnienie analogiczne dla przestrzeni trójwymiarowej: Dane są cztery punkty A, B, C, D; znaleźć piąty punkt P taki, że suma a+ b + c + d jest minimalna. *Ćwiczenie. Zbadać to zagadnienie oraz zagadnienie uzupełniające metodami §1 albo przy zastosowaniu czworościanu foremnego.
.,
'
„,·
340
VII. Maksima i minima
§ 6. Ekstrema a nierówności
5. Uogólnienie na zagadnienie sieci ulicznej. W zagadnieniu Steinera dane są trzy stałe punkty A, B, C. Uogólnienie tego zagadnienia na przypadek n danych punktów Al' A2, •.• , A 11 jest naturalne; szukamy punktu P na płaszczyźnie, dla którego suma odległości a1 + a2 + ... + a11 jest minimalna, przy czym a; oznacza odległość PA;. (Dla czterech punktów położo nych jak na rys. 215 punkt P jest punktem przecięcia się przekątnych czworoboku A 1A 2A 3A 4, czytelnik zechce udowodnić to jako ćwiczenie). Zagadnienie to, które rozpatrywał również Steiner, nie Az A prowadzi do ciekawszych wyników. Jest 3 jedno z powierzchownych uogólnień, to Rys. 215. Najmniejsza suma odległości od czterech spotykanych nierzadko w literaturze mapunktów tematycznej. Aby znaleźć rzeczywiście ważne uogólnienie zagadnienia Steinera, musimy wyrzec się szukania jednego punktu P. W zamian szukamy „sieci ulicznej" o najmniejszej całkowitej długości. Problem wyrażamy matematycznie:
341
niemożliwe. Jedno lub kilka przecięć wielokrotnych może się zdegenerować do jednego lub kilku spośród punktów danych, jak w przypadku trzecim. Przy n punktach danych może być co najwyżej n - 2 przecięć wielokrotnych i w każdym z nich schodzą się trzy odcinki pod kątami 120°. Rozwiązanie nie zawsze jest określone jednoznacznie. Przy czterech punktach A, B, C, D tworzących kwadrat mamy dwa rozwiązania równoważne pokazane na rys. 219-220. Jeżeli punkty A1, A2, .•. , A„ są wierzchołkami wielokąta zwykłego o dostatecznie rozwartych kątach, to sam ten wielokąt daje minimum.
Danych jest n punktów Al' A 2, ••• , A 11 ; znaleźć spójny układ odcinków prostych o najmniejszej całkowitej długości taki, że dowolne dwa spośród danych punktów można połą czyć wielokątem złożonym z odcinków tego układu. Wyglą~ rozwiązania zależy oczywiście od położenia danych punktów. Czytelnik może z korzyścią zbadać to zagadnienie na podstawie rozwiązania zagadnienia Steinera. Zadowolimy się tu wskazaniem odpowiedzi dla przypadków typowych, pokazanych na rys. 216-218. W pierwszym przypadku rozwiązanie składa się z pięciu
Rys. 219-220. Dwie najkrótsze sieci
łączące
cztery punkty
§ 6. Ekstrema a nierówności Jedną
z charakterystycznych cech matematyki wyższej jest ważna rola, w niej nierówności. Rozwiązanie zagadnienia na maksimum prowadzi w zasadzie zawsze do nierówności wyrażającej to, że rozważana wielkość zmienna jest mniejsza albo co najwyżej równa wartości maksymalnej będącej rozwiąza niem zagadnienia. W wielu przypadkach nierówności takie są ważne same przez się. Jako przykład rozpatrzymy ważną nierówność zachodzącą pomiędzy średnią arytmetyczną a średnią geometryczną. jaką grają
"
•I
A,
A3 Rys. 216-218. Najkrótsza sieć łącząca więcej niż trzy punkty
odcinków z dwoma wielokrotnymi przecięciami, w których trzy odcinki spotykają się pod kątem 120°. W drugim przypadku rozwiązanie ma trzy przecięcia wielokrotne. Jeżeli punkty są ułożone inaczej, to figury takie, jak na rysunku, mogą okazać się
1. Średnia arybnetyczna i średnia geometryczna dwóch wielkości dodatnich. Zaczynamy od prostego zagadnienia na maksimum, które występuje często w matematyce czystej i jej zastosowaniach. W języku geometrycznym sprowadza się ono do zagadnienia następującego: Spośród wszystkich prostokątów o danym obwodzie wyznaczyć prostokąt mający największe pole. Rozwiązaniem, jak można się spodziewać, jest kwadrat. Aby to udowodnić, rozumujemy jak następuje. Niech 2a będzie danym z góry obwodem prostokąta. W takim razie stałą sumą długości x i y dwóch przyległych boków jest x + y, natomiast zmienne pole xy ma być możliwie jak największe. Średnią arytmetyczną wielkości x i y jest po prostu wielkość X +1/ m =--·-·
2
342
§ 6. Ekstrema a nierówności
VII. Maksima i minima
Geometryczny dowód tej nierówności można podać rozważając ustaloną pro-
Wprowadzimy również wielkość stą
x-y d=--1 2
xy = (m+d)(m-d) = m2 -d 2 =
x + y = 2111 na płaszczyźnie razem z rodziną krzywych xy = c, gdzie c jest stałe na
każdej spośród
tych krzywych (hiperbol) i zmienia się od krzywej do krzywej. Jak z rys. 221, krzywą o największej wartości c, mającą punkt wspólny z daną prostą, będzie hiperbola styczna do tej prostej w punkcie x = y = m; zatem dla tej hiperboli c = 1112. Stąd widać
a więc x=m +d, y= m-d i stąd
(x+y)2 4
d2 •
2 X+l/) (
Wobec tego, że d2 jest większe od zera z wyjątkiem przypadku, gdy d =O, otrzymujemy stąd bezpośrednio nierówność C::
x+y
v-
(1)
343
2 przy czym znak równości występuje tylko wtedy, gdy d =O i x = y = m. Wobec tego, że x+y jest ustalone, wynika stąd, że a więc i pole xy ma wartość maksymalną, gdy x = y. Wyrażenie
.JXii,
g=jxy (gdzie bierzemy pierwiastek dodatni) nazywa się średnią geometryczną wielkości dodatnich x i y; nierówność (1) wyraża podstawową zależność pomiędzy średnią arytmetyczną i średnią geometryczną. Nieró~ność (1) wynika również bezpośrednio stąd, że wyrażenie
(.JX-JY)2 =x+y- 2.Jxy musi być nieujemne, ponieważ jest kwadratem, a równa się zeru tylko przy x = y.
xy'5. --·2
Należy zaznaczyć, że każdą nierówność f (x, y) :::; g (x, y) można czytać z jednej lub z drugiej strony; zatem można z niej wyprowadzić zarówno własność dla maksimum, jak też dla minimum. Tc1.k np. nierówność (1) wyraża również to, że spośród wszystkich prostokątów o danym polu kwadrat ma najmniejszy obwód.
2. Uogólnienie na n zmiennych. Nierówność (1) pomiędzy średnią arytmetyczną a średnią geometryczną dwóch wielkości dodatnich można uogólnić na dowolną ilość n wielkości dodatnich, które oznaczamy xl' x2, ... , x„. Wyrażenie 111
= X1 +x2 +·„+x„ n
nazywamy ich śred11irz arytmetyczną, a
wyrażenie
średnią geometryczną (przy czym bierzemy dodatni pierwiastek n-tego stopnia). Twierdzenie ogólne głosi, że
(2)
y
i że g = m tylko w tym przypadku, gdy wszystkie wielkości X; są równe. Wymyślono wiele różnych i pomysłowych dowodów tego ogólnego twierdzenia. Najprostszy sposób polega na sprowadzeniu go do tego samego rozumowania, które zastosowaliśmy w punkcie 1, stawiając następujące zagadnienie na maksimum: rozdzielić daną wielkość dodatnią Cna n składników dodatnich: C = x1 + + x2+ ... + x 11 w taki sposób, żeby iloczyn P = x 1x2 ... x 11 był możliwie jak największy. Zaczynamy od założenia - pozornie oczywistego, które jednak zanalizujemy dalej w §7 - że maksimum na P istnieje i odpowiada zbiorowi wartości
!'
·'
X11=a11. Wystarczy tylko dowieść, że a 1 = a2 = ... = a11 , gdyż w tym przypadku g = my, że tak nie jest i że np. a 1 =F-a 2• Rozważmy n wielkości -c X z-a,
... ,
gdzie X
a1
Rys. 221. Maksimum xy przy danym x + y
+a2
s =---· 2
xn=all,
111. Załóż
344
§ 6. Ekstrema a nierówności
VII. Maksima i minima
Innymi słowy, zastępujemy wielkości a; przez inny zbió1~ w którym zmieniamy i zrównujemy tylko pierwsze dwie wielkości, natomiast suma ogólna C zostaje zachowana. Możemy napisać
a1 =s+d, a2 =s-d,
345
sensie możliwie jak najmniejsze. Idąc za Gaussem bierze się zwykle nie same odchylenia, lecz ich kwadraty (u-x;)2 za właściwe miary niedokładności i spośród wszystkich możliwych wartości u bierze się jako wartość optymalną taką wartość, żeby suma kwadratów odchylel1
gdzie
d= a1 -az. 2 Nowy iloczyn ma
była możliwie jak najmniejsza. Tą opti;malną wartością li jest dokładnie średnia an;tmeti;cz-
wartość
na m i to jest punktem wyjścia w ważnej metodzie najmniejszych kwadratów Gaussa. Możemy udowodnić
twierdzenie (wydrukowane kursywą) w sposób elegancki. Pisząc
natomiast dawny iloczyn ma wartość
(u-x;) = (m-x;) + (u-111) otrzymujemy
(u-x;) 2 = (m-x;)2+ (u-m) 2 + 2(m-x;) (u-m). a
więc oczywiście
-
jeżeli
nie zachodzi
równość
d =O -
to Dodamy teraz wszystkie te równania dla i= l, 2, ... , n. Ostatnie wyrazy dają
p < P', 2(u-m) (nm-x 1
co jest sprzeczne z założeniem, że P miało wartość maksymalną. Stąd d =O i a1 = a2• W ten sam sposób można udowodnić, że a1 =a;, gdzie a; jest którąkolwiek spośród wielkości,a; wynika stąd, że wszystkie wielkości a są równe. Ponieważ g= m, gdy wszystkie wielkości X; są równe, a wykazaliśmy, że tylko ten warunek daje maksymalną wartość g, więc wynika stąd, że w pozostałych przypadkach jest g < m, zgodnie z twierdzeniem. 3. Metoda najmniejszych kwadratów. Średnia arytmetyczna n liczb xl' ... , x11 - przy czym w tym punkcie możemy nie zakładać, że wszystkie liczby są dodatnie - ma pewną ważną własność minimalną. Niech li będzie nieznaną wielkością, którą chcemy wyznaczyć możliwie dokładnie za pomocą jakiegoś przyrządu pomiarowego. W tym celu dokonujemy pewnej ilości n pomiarów, które mogą dać wyniki xl' ... , x 11 , nieco różne, ze względu na różne źródła błędów doświadczenia. Powstaje wtedy zagadnienie, jaką wartość u należy przyjąć jako najbardziej wiarygodną. Zwykle przyjmuje się jako tę „prawdziwą" lub optymalną wartość średnią arytmetyczną
m = X1 +xz +... +x„
:i '
11
Aby dać istotne uzasadnienie tego założenia, należałoby wejść w szczegółowe rozważania z dziedziny teorii prawdopodobieństwa. Możemy jednak wykazać dla wielkości m pewną własność minimalną, która potwierdza, że wybór tej wielkości jest rozsądny. Niech li będzie dowolną spośród możliwych wartości mierzonej wielkości. W takim razie różnice
u-x„ są
odchyleniami tej wartości od poszczególnych pomiarów. Odchylenia te mogą w części dodatnie, w części ujemne i naturalne jest dążenie do przyjęcia jako wartości optymalnej li takiej wartości, dla której ogólne odchylenie jest w pewnym
być
-
„ . - x 11) ,
co jest równe zeru wobec definicji m; wobec tego pozostaje (u-x1) 2
+„.+ (u-x„) 2 =(m-x1) 2 +„.+ (m-x,,)2+n(m-u) 2 •
Wynika stąd, że zachodzi (ll-x1) 2
+„.+ (u-x„) 2 ;:;: (m-x1) 2 + ... + (m-x„) 2
i że znak równości zachodzi tylko przy u = 111, co właśnie chcieliśmy udowodnić. Ogólna metoda najmniejszych kwadratów przyjmuje ten wynik za drogowskaz w przypadkach bardziej skomplikowanych, gdy powstaje zagadnienie wyboru prawdopodobnego wyniku spośród niezgodnych nieco pomiarów. Przypuśćmy na przykład, że pomierzyliśmy wspóhzędne 11 punktów (x;, Y;) linii, która w teorii jest prostą, i przypuśćmy, że te pomierzone punkty nie leżą dokładnie na jednej prostej. Jak należy poprowadzić prostą, która najlepiej odpowiada tym n punk.tom zaobserwowanym? Nasz poprzedni wynik nasuwa następujące postępowanie, które co prawda można by zastąpić innymi, równie rozsądnymi wariantami. Niech y = ax + b będzie równaniem prostej, a więc zagadnienie polega na wyznaczaniu współczynnik.ów a i b. Odległość w kierunku y pomiędzy prostą a punktem (x;, Y;) dana jest wzorem Y;-(ax; + b) = Y;-ax;-b ze znakiem plus lub minus, zależnie od tego, czy punkt leży powyżej, czy poniżej prostej. Zatem kwadrat tej odległości wynosi (y;-ax;-b) 2, a metoda polega po prostu na wyznaczeniu wielkości a i b w taki sposób, aby wyrażenie (y1 -ax1 -b) 2 +.„ + (y 11 -ax11 -b) 2 miało wartość możliwie najmniejszą.
Mamy tutaj zagadnienie na minimum, gdzie wchodzą dwie wielkości niewiadome, a i b. Szczegółowe omówienie rozwiązania, chociaż jest ono zupełnie proste, pomijamy w tym miejscu.
"
346
VII. Maksima i minima
§ 7. Istnienie ekstremum. Zasada Dirichleta
§ 7. Istnienie ekstremum. Zasada Dirichleta 1. Uwagi ogólne. W niektórych spośród poprzednich zagadnie{1 na ekstremum dowodzi się bezpośrednio, że rozwiązanie daje wynik lepszy niż jakiekolwiek inne rozwiązanie próbne. Dobrym tego przykładem jest rozwiązanie zagadnienia trójkąta podane przez Schwarza, gdzie mogliśmy stwierdzić bezpośrednio, że żaden trójkąt wpisany nie ma mniejszego obwodu niż trójkąt wysokości. Innymi przykładami są zagadnienia na minimum lub maksimum, których rozwiązania wyrażają się za pomocą wyraźnych nierówności, jak nierówność pomiędzy śred nią arytmetyczną a geometryczną. W pozostałych zagadnieniach poszliśmy jednak inną drogą. Zaczynaliśmy od założenia, że rozwiązanie zostało znalezione; badaliśmy następnie wnioski z tego założenia, które ostatecznie pozwalały na opisanie i skonstruowanie rozwiązania. Tak było na przykład z rozwiązaniem zagadnienia Steinera oraz drugim rozwiązaniem zagadnienia Schwarza. Obie te metody są logicznie różne. Pierwsza z nich jest w pewnym sensie bardziej doskonała, ponieważ daje mniej lub więcej konstruktywne przedstawienie rozwiązania. Druga metoda, jak widzieliśmy na przykładzie zagadnienia trójkąta, jest raczej prostsza. Nie jest ona jednak tak bezpośrednia, a przede wszystkim jest w swojej strukturze warunkowa, ponieważ zaczyna od założenia, że istnieje rozwiązanie zagadnienia. Daje ona rozwiązanie tylko pod warunkiem, że istnienie rozwiązania jest zapewnione albo udowodnione. Bez spełnienia tego założenia metoda wykazuje tylko, że jeżeli rozwiązanie istnieje, to ma ono określone własności. 1 Pozorna oczywistość założenia o istnieniu rozwiązania tkwiła w matematyce jeszcze pod koniec XIX wieku; matematycy ówcześni nie zwracali uwagi na zwią zane z tym założeniem zagadnienia logiczne, a przyjmowali istnienie rozwiązania zagadnień na ekstremum jako coś oczywistego. Niektórzy spośród największych matematyków XIX wieku - Gauss, Dirichlet i Riemann - przyjmowali swobodnie to założenie jako podstawę głębokich i trudnych do rozstrzygnięcia innym sposobem twierdzeń z fizyki matematycznej i teorii funkcji. Istotną zmianę spowodowało tu pośrednio ogłoszenie przez Riemanna w 1849 roku tezy doktorskiej o podstawach teorii funkcji zmiennej zespolonej. To zwięźle napisane dzieło, jedno z wielkich pionierskich osiągnięć matematyki współczesnej, było tak całkowicie nieortodoksyjne w podejściu do tematu, że wiele osób chętnie by je zignorowało. Weierstrass był wtedy przodującym matematykiem na uniwersytecie w Berlinie i uznanym przywódcą w dziele budowania ścisłej teorii funkcji. Przejęty, lecz trochę powątpiewający, odkrył wkrótce w i·ozprawie lukę logiczną, której autor nie potrudził się wypełnić. Druzgocąca krytyka Weierstrassa nie zaniepokoiła Riemanna, ale spowodowała jednak początkowo niemal ogólne zlekceważenie jego teorii. Meteoryczna kariera Riemanna zakończyła się nagle po niewielu latach jego śmiercią na suchoty. Ale idee jego zawsze znajdywały entuzjastycznych zwolenników; w pięć dziesiąt lat po publikacji tezy Riemanna Hilbert zdołał ostatecznie utorować drogę do całkowitego rozstrzygnięcia zagadnień pozostawionych przez Riemanna bez 1 Konieczność logiczną założeń o istnieniu ekstremum można zilustrować za pomocą następującego zwodniczego rozumowania: 1 jest największą liczbą naturalną. Oznaczmy bowiem największą liczbę naturalną przez x. Jeżeli x > 1, to x2 > x, zatem x nie n1oże być największą liczbą naturalną. A więc x musi być równe 1.
r,
l
347
rozwiązania. Cała ta linia rozwoju w matematyce i fizyce matematycznej stała się jednym z wielkich triumfów w dziejach współczesnej analizy matematycznej. Krytyka rozprawy Riemanna sprowadza się do sprawy istnienia minimum. Riemann opierał znaczną część swojej teorii na pewnym założeniu, które nazwał zasadą Dirichleta. (Dirichlet był profesorem Riemanna w Getyndze i wykładał o tej zasadzie, ale nie pisał o niej nigdy). Przypuśćmy na przykład, że część płaszczyzny lub dowolnej powierzchni pokryta jest cynfolią i że w warstwie cynfolii wywołano stały prąd elektryczny, łącząc ją w dwóch punktach z biegunami baterii elektrycznej. Nie ma wątpliwości, że eksperyment fizyczny prowadzi do pewnego określo nego wyniku. Ale jak jest z odpowiednim zagadnieniem matematycznym mają cym ogromne znaczenie w teorii funkcji i innych dziedzinach? Zgodnie z teorią elektryczności zjawisko fizyczne może być przedstawione jako „zagadnienie wartości brzegowycf1 równania różniczkowego cząstkowego". Interesuje nas tutaj to właśnie zagadnienie matematyczne; rozwiązalność jego zasługuje na wiarę dzięki założonej równoważności z pewnym zjawiskiem fizycznym, ale takie rozumowanie w żadnym razie nie jest dowodem matematycznym. Riemann załatwił sprawę zagadnienia matematycznego w dwóch etapach. Pokazał najpierw, że zagadnienie jest równoważ ne pewnemu zagadnieniu na minimum: pewna wielkość wyrażająca energię prądu elektrycznego daje minimum dla prądu faktycznego, w porównaniu z innymi prą dami możliwymi przy założonych warunkach. Następnie przyjął jako „zasadę Dirichleta", że takie zagadnienie minimum ma rozwiązanie. Riemann nie podjął żadnej próby otrzymania dowodu matematycznego tego drugiego twierdzenia, i to zaatakował Weierstrass. Nie tylko istnienie minimum nie było oczywiste, ale - jak się okazało - była to sprawa niezmiernie delikatna, której ówczesna matematyka nie była jeszcze w stanie rozstrzygnąć. Zagadnienie to rozwiązano ostatecznie dopiero po kilkudziesięciu latach intensywnych dociekał1.
2. Przykłady. Zilustrujemy rodzaj występujących tutaj trudności na podstawie dwóch przykładów. 1. Odmierzamy dwa punkty A i B w odległości d na prostej L i zapytujemy o wielokąt o najkrótszym obwodzie wychodzący z punktu A w kierunku prostopadłym do L i kończący się w punkcie B. Wobec tego, że odcinek prostej AB jest najkrótszym połączeniem pomiędzy A i B przy wszystkich możliwych drogach, możemy być pewni, że każda dopuszczalna droga ma długość większą niż d, jedyną bowiem drogą dającą długość d jest odcinek prostej AB, który nie spełnia ograniczenia nałożonego na kierunek drogi w punkcie A, zatem nie mieści się w warunkach naszego zagadnienia. Z drugiej strony, rozważmy dopuszczalną drogę AOB na rys. 222. Jeżeli zastąpimy O przez punkt O' dostatecznie bliski punktu A, to
--0~----=--L A
d
B
Rys. 222
348
§ 7. Istnienie ekstremum. Zasada Dirichleta
VII. Maksima i minima
od d dowolnie mało; dopuszczalna droga, to nie może mieć długości więk szej niż d, musi więc mieć dokładnie długość d. Ale jedyna droga o tej długości nie jest dopuszczalna, jak to już widzieliśmy. Wynika stąd, że nie może być najkrótszej dopuszczalnej drogi i postawione zagadnienie na minimum nie ma rozwiązania. 2. Tak jak na rys. 223 niech C będzie okręgiem, a S punktem w odległości 1 ponad środkiem okręgu. Rozważmy klasę wszystkich powierzchni ograniczonych ola·ęgiem C, przechodzących przez punkt S i położonych nad okręgiem C w taki sposób, że żadne dwa punkty nie mają tego samego rzutu pionowego na płaszczy znę okręgu C. Która z tych powierzchni ma najmniejsze pole? Zagadnienie to wydaje się zupełnie naturalne, jednakże nie ma rozwiązania; nie ma dopuszczalnej powierzchni mającej minimalne pole. Gdybyśmy nie sta5 wiali warunku, że. powierzchnia musi przechodzić przez punkt S, to rozwiązaniem byłaby, oczywiście, kołowa tarcza płaska ograniczona okręgiem C. Oznaczmy jej pole przez A. Dowolna inna powierzchnia ograniczona okręgiem C musi mieć pole większe od A. Ale możemy znaleźć dopuszczalną powierzchnię, której pole przewyższa A dowolnie mało. W tym celu bierzemy powierzchnię stożko wą o wysokości 1, tak wąską, że jej pole jest mniejsze od dowolnej ustalonej wielkości. Ustawiamy ten stożek na tarczy tak, żeby jego wierzchołek przypadał w punkcie S, Rys. 223 i rozpatrujemy powierzchnię utworzoną przez powierzchnię stożka i część powierzchni tarczy leżącą na zewnątrz stożka. Jest od razu oczywiste, że powierzchnia, odchylając się od płaszczyzny tylko w pobliżu środka koła, ma pole przewyższające A mniej niż o daną wielkość. Wobec tego, że wielkość tę możemy obrać tak małą, jak nam się podoba, wnosimy znowu, że minimum, jeżeli istnieje, nie może być różne od pola A tarczy. Ale spośród powierzchni ograniczonych okręgiem C tylko sama tarcza koła ma pole tej wielkości, a wobec tego, że koło nie przechodzi przez punkt S, nie spełnia ono warunku dopuszczalności. Zatem zagadnienie nie ma rozwiązania. Możemy pominąć bardziej wymyślne przykłady podane przez Weierstrassa. Podane właśnie te dwa przykłady pokazują w sposób wystarczający, że istnienie minimum nie jest wcale trywialną częścią dowodu matematycznego. Wyłóżmy tę sprawę w sposób abstrakcyjny, bardziej ogólny. Rozważmy określoną klasę obiektów, np. krzywych lub powierzchni; z każdym obiektem związana jest pewna liczba - funkcja obiektu, np. długość lub pole. Jeżeli klasa obejmuje tylko skończoną ilość obiektów, to oczywiście musi istnieć pomiędzy odpowiednimi liczbami zarówno liczba największa, jak też najmniejsza. Jeżeli natomiast w klasie jest niesko6czenie wiele obiektów, to może nie być ani liczby najmniejszej, ani najwięk szej - nawet wtedy, kiedy wszystkie te liczby są zawarte pomiędzy stałymi krań cami. Ogólnie, liczby te tworzą zbiór niesko6czony na osi liczbowej; przypuśćmy dla uproszczenia, że wszystkie one są dodatnie. W takim razie zbiór ma „kres dolny", tj. punkt a, poniżej którego nie leży żadna liczba zbioru, a który bądź sam jest elementem zbioru, bądź jest przybliżany z dowolnym stopniem dokładności przez elementy zbioru. Jeżeli a należy do zbioru, to jest elementem m1jmniejszym. Na
349
przykład zbiór liczb 1, 1/2, 1/3, ... nie zawiera elementu najmniejszego, ponieważ kres dolny O nie należy do zbioru. Przykłady te ilustrują w sposób abstrakcyjny trudności logiczne związane z zagadnieniem istnienia. Rozwiązanie matematyczne zagadnienia na minimum nie jest pełne dopóty, dopóki nie podamy, w sposób jawny lub pośredni, dowodu, że zbiór wartości związanych z tym zagadnieniem zawiera element najmniejszy.
możemy otrzymać drogę dopuszczalną, której długość różni się
jeżeli zatem istnieje najkrótsza
I
I
3. Elementarne zagadnienia ekstremalne. W zagadnieniach elementarnych wystarczy przeprowadzić uważną analizę wchodzących w grę pojęć podstawowych, aby rozstrzygnąć sprawę ish1ienia rozwiązania. W §5 rozdziału VI omówiono ogólne pojęcie zbioru zwartego; stwierdziliśmy, że funkcja określona i ciągła na elementach zbioru zwartego zawsze przybiera gdzieś w zbiorze wartość największą i wartość najmniejszą. We wszystkich rozważanych dotychczas zagadnieniach elementarnych można uważać wartości możliwe za wartości funkcji jednej lub wielu zmiennych w obszarze, który bądź jest zwarty, bądź może być uczyniony zwartym bez istotnej zmiany zagadnienia. W takim przypadku ismienie maksimum i minimum jest zapewnione. Na przykład w zagadnieniu Steinera wielkością rozważaną jest suma trzech odległości, która zależy w sposób ciągły od położenia ruchomego punktu. Wobec tego, że obszarem dla tego punktu jest cała płaszczyzna, nie tracimy nic, zamykając figurę w dużym kole i ograniczając się do punktów położonych we wnętrzu koła i na jego obwodzie. Gdy bowiem punkt ruchomy jest dostatecznie odległy od trzech punktów danych, to suma jego odległości od tych punktów jest z pewnością większa niż AB+ AC, to jest większa niż jedna z dopuszczalnych wartości funkcji. Jeżeli więc istnieje minimum dla punktu położonego w dużym kole, to jest to jednocześnie minimum dla zagadnienia bez ograniczeń. Ale łatwo wykazać, że obszar złożony z koła wraz z jego wnętrzem jest zwarty, a więc dla zagadnienia Steinera istnieje minimum. Znaczenie założenia, że dziedzina zmiennej niezależnej jest zwarta, można pokazać na następującym przykładzie. Dane są dwie krzywe zamknięte C1 i C ; 2 istnieją wtedy zawsze punkty Pl' P 2 położone odpowiednio na krzywych C i C , 1 2 pomiędzy którymi odległość jest możliwie najmniejsza, i punkty Q 1 i Q 2, które mają odległość największą. Odległość pomiędzy punktem A 1 na krzywej C1 a punktem A2 na krzywej Cz jest funkcją ciągłą w zbiorze zwartym złożonym z par Al' Az roz-
·' l
Rys. Z24. Krzywe,
pomiędzy
którymi nie ma
odległości najdłuższych
ani najkrótszych
ważanych punktów. Jeżeli jednak obie krzywe nie są ograniczone, ale rozciągają się w nieskończoność, to zagadnienie może nie mieć rozwiązania. W przypadku
pokazanym na rys. 224 nie można osiągnąć odległości najmniejszej ani też naj-
350
VII. Maksima i minima
§ 8. Zagadnienie izoperymetryczne
większej: dolnym kre~em odległości jest zero, górnym kresem jest niesko11Czoność, a żaden z tych kresów nie jest osiągany. W niektórych przypadkach istnieje minimum, ale nie istnieje maksimum. W przypadku dwóch gałęzi hiperboli (rys. 17, str. 92) osiągane jest tylko minimum odległości pomiędzy punktami A i A', nie ma bowiem dwóch punktów najbardziej od siebie odległych. Różnice w zachowaniu się rozwiązania możemy uwzględnić, ograniczając sztucznie dziedzinę zmiennych. Obieramy dowolną liczbę dodatnią R i nakłada my na x warunek
lxl s; R.
,I
.'
I'
Wtedy istnieje zarówno maksimum, jak też minimum dla każdego z obu ostatnich zagadnień. W pierwszym przypadku takie ograniczenie dziedziny zapewnia istnienie maksimum i minimum odległości, które są osiągane na brzegu przedziału [- R, R]. Jeżeli zwiększamy R, to punkty, w których osiągane są ekstrema, leżą znowu na brzegu przedziału, a więc, gdy R wzrasta, punkty te dążą do nieskof1czoności. W drugim przypadku minimum odległości jest osiągane we wnętrzu przedziału i położenie punktów dających minimum odległości pozostaje bez zmiany jakkolwiekbyśmy zwiększyli R. 4. Trudności w przypadkach bardziej złożonych. Podczas gdy nie ma istotnych badaniu istnienia rozwiązania w zagadnieniach elementarnych, gdzie występuje jedna, dwie lub dowolna skończona ilość zmiennych niezależ nych, zupełnie inaczej przedstawia się sprawa zasady Dirichleta albo nawet prostszych zagadnień podobnego typu. W tych przypadkach albo dziedzina zmiennej niezależnej nie jest zwarta, albo funkcja określona na niej nie jest ciągła. W pierwszym przykładzie punktu 2 mamy ciąg dróg AO'B, gdzie O' dąży do punktu A. Każda droga z tego ciągu jest dopuszczalna. Ale drogi AO'B dążą do odcinka prostej AB, a ta granica już nie należy do zbioru dopuszczalnych dróg. Zbiór dróg dopuszczalnych jest pod tym względem podobny do przedziału O < x s; 1, dla którego twierdzenie Weierstrassa o wartościach ekstremalnych nie jest prawdziwe (patrz str. 301). W drugim przykładzie mamy podobną sytuację: w miarę jak stożld stają się coraz cieńsze, ciąg odpowiednich powierzchni dopuszczalnych zbliża się do tarczy koła powiększonej o prostopadły odcinek prostej sięgający do punktu S. Jednak ten graniczny twór geometryczny nie należy do powierzchni dopuszczalnych i znowu jest prawdą, że zbiór dopuszczalnych powierzchni nie jest zwarty. Jako przykład zależności nieciągłej możemy rozważyć długość krzywej. Dłu gość ta nie jest już funkcją skończonej ilości zmiennych liczbowych, ponieważ całej krzywej nie można scharakteryzować za pomocą skończonej ilości „współrzęd nych", a ponadto długość nie jest funkcją ciągłą krzywej. Aby to stwierdzić, łączy my dwa punkty A i B odległe o d za pomocą ząbkowanej łamanej P 11, która łącznie z odcinkiem AB tworzy n trójkątów równobocznych. Z rysunku 225 widać jasno, że całkowita długość łamanej P„ wynosi dokładnie 2d, przy każdej wartości n. Rozważmy teraz ciąg łamanych Pl' P 2, •.• ; poszczególne zęby łamanych mają coraz mniejszą wysokość w miarę wzrostu ilości zębów. Jest oczywiste, że łamana P11 dąży do odcinka prostej AB, czyli że kanciastość krzywych przybliżających w granicy trudności' przy
' '
351
całkowicie zanika. Długość łamanej P„ wynosi zawsze 2d, niezależnie od indeksu 11, natomiast długość linii granicznej - odcinka prostej - wynosi tylko d. Zatem długość nie zależy w sposób ciągły od krzywej.
/\ /\ /\ /\ /\ /\
VVvvVV
V V V Rys. 225. Aproksymowanie odcinka za pomocą wielokątów o długości równej dwukrotnej długości odcinka
Wszystkie te przykłady potwierdzają fakt, że przy bardziej złożonych zagadnieniach na minimum należy zachować ostrożność, jeżeli chodzi o istnienie rozwiązania.
§ 8. Zagadnienie izoperymetryczne Teza, że spośród wszystkich krzywych zamkniętych o danej z góry długo ści okrąg obejmuje pole największe, jest jednym z „oczywistych" twierdzeń matematycznych, dla których dopiero współczesne metody dały ścisły dowód. Steiner wymyślił różne pomysłowe sposoby udowodnienia tego twierdzenia, z których rozważymy
jeden. Rozpoczynamy od założenia, że rozwiązanie istnieje. W takim tiazie przyjmujemy, że krzywa C jest szukaną krzywą mającą daną długość Li maksymalne pole. Możemy wykazać z łatwością, że krzywa C musi być wypukła (w tyim znaczeniu, że odcinek prostej łączący dowolne dwa punkty krzywej C musi leżeć całkowicie wewnątrz albo na krzywej C). Gdyby bowiem krzywa C nie była wypukła, jak na rys. 226, to można by poprowadzić pomiędzy odpowiednimi dwoma punktami O i P na krzywej C odcinek OP leżący na zewnątrz krzywej C. Łuk OQ'P będący odbiciem Q luku OQP tworzy - łącznie z łukiem ORP - krzywą o długości L obejmującą pole większe niż pierwoh1a krzywa C, obejmuje bowiem dodatkowe pola I i II. Jest to sprzeczne z założeniem, że krzywa C obejmuje największe pole w porównaniu z innymi R krzywymi zamkniętymi o tej samej długości L. ZaRys. 226 tem krzywa C musi być wypukła. Obieramy teraz dwa punkty A i B dzielące krzywą C, będącą rozwiązaniem zagadnienia, na łuki jednakowej długości. W takim razie prosta AB musi dzielić pole krzywej C na dwie części równe, ponieważ w przeciwnym razie można by
352
VII. Maksima i minima
§ 8. Zagadnienie izoperymetn;czne
zbudować
odbicie zwierciadlane w prostej AB tej części, która ma większe pole przy tym inną krzywą o długości L, obejmującą pole większe niż krzywa C. Wynika stąd, że połowa krzywej C musi stanowić rozwiąza nie następującego zagadnienia: znaleźć łuk długości L/2 o końcach A i B na linii prostej, obejmujący maksimum pola pomiędzy krzywą a tą prostą. Pokażemy teraz, że rozwiązaniem tego nowego zagadnienia jest półokrąg, a więc całą krzywą dającą rozwiązanie zagadnienia izoperymetrycznego jest okrąg. Niech łuk AOB będzie rozwiązaniem nowego zagadnienia. Wystarczy wykazać, że każdy kąt wpisany w ten łuk, jak np. kąt AOB na rys. 228, jest kątem prostym, dowodzi to bowiem, że AOB jest półokręgiem. Załóżmy, przeciwnie, że LAOB nie jest równy 90°. W takim razie możemy zastąpić figurę rys. 228 figurą rys. 229, w której pola zakreskowane i długość łuku AOB pozostają bez zmiany, natomiast pole trójkąta wzrasta C na skutek tego, że uczyniliśmy LAOB równym albo Rys. 227 w każdym razie bliższym kąta 90°. Zatem figura na rys. 229 ma pole większe od pierwotnego (patrz str. 316). Ale wyszliśmy z założenia, że figura na rys. 228 jest rozwiązaniem zagadnienia, wobec czego figura na rys. 229 nie może mieć większego pola. Sprzeczność ta wykazuie, że LAOB musi być prosty dla każdego punktu O, co kończy dowód. (rys. 227);
otrzymalibyśmy
'. I
1
l
1. ,
Rys. 228
Rys. 229
Izoperymetryczną własność okręgu można wyrazić
za pomocą pewnej nierówjest obwodem koła, to pole koła jest równe L 2/47t:, zatem musi zachodzić nierówność izoperymetryczna A ::; L 2/4:n: pomiędzy polem A i długością L dowolnej krzywej zamkniętej, przy czym znak równości stosuje się tylko do przypadku okręgu. Jak wynika z rozważaf1 w §7, dowód Steinera ma tylko warunkowe znaczenie: ,Jeżeli istnieje krzywa długości L o polu maksymalnym, to musi ona być okrę giem". Dla stwierdzenia założenia hipotetycznego potrzebne jest zupełnie nowe rozumowanie. Dowodzimy najpierw elementarnego twierdzenia dotyczącego zamkniętych wielokątów P 11 mających parzystą ilość 211 boków: Spośród wszystkich 211-kątów o tej samej długości 211-kąt foremny ma największe pole. Dowód przeprowadza się według schematu rozumowania Steinera z następującymi zmianami. Nie ma tutaj trudności ze sprawą istnienia, ponieważ 2n-kątłącznie ze swoności. Jeżeli L
11
353
ją długością i polem zależy w sposób ciągły od 4n współrzędnych jego wierzchoł ków, które - bez z~niejszenia ogólności - można ograniczyć do pewnego zbioru zv:ar~ego pun.ktow ""':'.przestrzeni 411-wymiarowej. W związku z tym, przy za?admem~ .dla .wiel~kąto~ mo~emy ~ pewnoś~ią założy~, .że pewien wielokąt p jest rozw1ąza111em, 1anahzowac na tej podstawie własnosc1 wielokąta P. Dokładnie tak, j~k w dowod~ie.Steinera, ~ynika st~d, że wielokąt p musi być wypukły. Dowodzn;:y nas_t~pme, ze.wszystloe 211 bokow wielokąta P muszą mieć jednakową dlugosc. Załozmy bowiem, że dwa przyległe boki AB i BC mają różne długości (rys. 230). Można wtedy odciąć B' B od wielokąta P trójkąt ABC i zastąpić go trójkątem rów/,,.., '',, noramiennym AB'C, w którym AB'+ B'C =AB+ BC i któ;/"' _________ ,::_ C ry ma większe pole (patrz §1). W ten sposób otrzymuje- A ----my wielokąt P' o tym samym obwodzie i większym polu, co jest sprzeczne z założeniem, że wielokąt P był ekstremalnym wielokątem o 211 bokach. Zatem wszystkie boki wielokąta P muszą mieć jednakową długość; pozostaje jeszcze wykazać, że P jest wielokątem foremnym; w tym celu wystarczy wykazać, że wszystkie wierzchołki wielokąta P leżą na okręgu. Rozumowanie przeprowadza się Rys. 230 według schematu Steinera. Wykazujemy najpierw, że dowolna przekątna łącząca prz:c.iwległe wi~rzchołld, np. pierwszy z (11+1)-ym, przecina pole na dwie równe częsc,1. Dowodznny następnie, że wszystlde wierzchołki jednej z tych części leżą n~ połokręgu. Szczegóły, zgodne całkowicie z poprzednim schematem, pozostawrnmy czytelnikowi jako ćwiczenie. ?owód istnienia, łącznie z rozwiązaniem zagadnienia izoperymetrycznego, moz~a ter~z otrz~1~1ać za pomocą przejścia do granicy; ilość wierzchołków dąży tu do 111eskonczonosc1, a ekstremalny wielokąt foremny do okręgu . . Dla dowodu odpowiedniej własności izoperymetrycznej sfery w trzech wymrnrach rozumowanie Steinera nie nadaje się zupełnie. Steiner podał nieco odmienny, a bardziej skomplikowany dowód, który można zastosować zarówno do ~wóch, jak te_ż do ~rzech wymiarów; pomijamy go jednak tutaj, ponieważ nie daje się tak bezposredmo zastosować dla dowodu istnienia. W istocie, dowód własności iz~pery1:netrycz1.1~j ~
za~hodząc~ pm::iędzy. polem. powierzchni zamkniętej A i objętością V ograniczonej .przez mą trojwymrnrowej bryły, przy czym znak równości stosuje się tylko do kub.
I"
I
354
§ 9. Zagadnienia na ekstremum z warunkami brzegowymi
VII. Maksima i minima
§ 9": Zagadnienia na ekstremum z warunkami brzegowymi. Związek pomiędzy zagadnieniem Steinera a zagadnieniem izoperymetrycznym
.I ·I 11
I· , I
!
,I
i
W zagadnieniach ekstremalnych otrzymuje się interesujące wyniki, gdy dziedzina zmiennej zostaje zwężona przez nałożenie waru~1k~w brz~gowych. T';ie~ dzenie Weierstrassa, głoszące, że w obszarze zwartym funkc;a czqgła oszqga wartośc na;większą i wartość najmniejszą, nie wyklucza możliwości osiągania ':artości. ekstremalnych na granicy obszaru. Prosty, trywialny niemal prz!'kład. daJe funkqa u= x. Jeżeli nie ma ograniczeń na x i x może przybierać wart?ści P?między-:- 00 ~ + 00 , to dziedziną B zmiennej niezależnej jest cała oś liczbowa; i est więc oczywiste, ze funkcja u= x nie ma wówczas nigdzie wartości największej ani najmniejszej. Jeżeli jednak ograniczymy dziedzinę B pewnymi warunkami, np. I
t
0:,; X:,; 1, to istnieje wartość najwyższa 1, osiągana na prawym kraócu, i wartość najmniejsza O, osiągana na lewym krańcu. Jednakże na wykresie fu~cji ?we wart?śc~ ekstremalne nie są scharakteryzowane przez wierzchołek albo wgłębieme krzyweJi me są to ekstrema w stosunku do pełnego dwustronnego otoczenia i zmieniają się przy zmianie. przedziału, ponieważ osiągane są w punktach krał1cowych. W przYJ?a~k~ rzeczywistego minimum albo maksimum funkcji jego charakter ekstremalny wiąze się zawsze z peł nym otoczeniem punktu, w którym są osiągane wartości ekstremalne; pu:'1<~ taki nie zmienia się przy nieznacznych zmianach kraóców, a ekstrem~m ~trzymuJe się ~a"".e~ przy dowolnych zmianach zmiennej niezależnej,"'! ?br~bie ~z1edzmy B, ~~zynaJmr:1eJ w pewnym otoczeniu dostatecznie małym. Rozrozmeme takich „wolnych ekstremow od ekstremów przybieranych na brzegu jest interesujące w związku z wieloma pozornie zupełnie różnymi zagadnieniami. Dla funkcji jednej zmienn_ej rozróżni~m~ ~o prostu funkcje monotoniczne i niemonotoniczne, co nie prowadzi do szczegolme mteresujących spostrzeżeó. Istnieje jednakże wiele ważnych p.rzykład.ów na ekstrema funkcji wielu zmiennych przybierane na brzegu obszaru zm1enno~C1. . . . , . Zachodzi to np. w zagadnieniu trójkąta Schwarza. TutaJ dz1edzma zmiennosc1 trzech zmiennych niezależnych składa się ze wszystkich trójek punktów, po jednym na każdym z trzech boków trójkąta ABC. Rozwiązanie zaga?nienia w~ąż~ ~ię z dwiema możliwościami: bądź osiąga się minimum, gdy wszystkie trzy zm1ema1ą ce się niezależnie punkty P, Q, R leżą w obrębie odpowiednich boków trójkąta, i w tym przypadku minimum jest dane za pomocą trójkąta wysokości; bądź też osiąga się minimum przy położeniu granicznym, gdzie dwa spośród punktów P, Q, Rf~ krywają się ze wspólnym kraócem odpowiednich boków, i w tym przypadku m1111malnym „trójkątem" wpisanym jest liczon~ po~w~jnie wyso~
355
gowe. Są tu znowu dwie możliwości prowadzące do dwóch zupełnie różnych typów rozwiązań: minimum otrzymuje się bądź wewnątrz trójkąta ABC, co zachodzi w przypadku trzech kątów równych, bądź też w pewnym punkcie brzegowym C. Podobne dwie możliwości istnieją dla zagadnienia dopełniającego. Jako ostatni przykład rozważmy zagadnienie izoperymetryczne, zmodyfikowane przez ograniczające warunki brzegowe. Otrzymamy w ten sposób nieoczekiwany związek pomiędzy zagadnieniem izoperymetrycznym a zagadnieniem Steinera, a równocześnie najprostszy, być może, przykład pewnego nowego typu zagadnieó ekstremalnych. W zagadnieniu pierwotnym zmienną niezależną- krzywą zamkniętą o danej długości - można zmieniać dowolnie wychodząc od okrę gu; każda taka zdeformowana krzywa jest dopuszczalna, mamy więc rzeczywiście minimum swobodne. Rozważmy teraz następujące zmodyfikowane zagadnienie: krzywe, o których jest mowa, mają zawierać we wnętrzu lub przechodzić przez trzy dane punkty P, Q, R, pole A jest dane z góry, a długość L ma być minimalna. Jest to istotnie warunek brzegowy. Oczywiste jest, że gdy ustalimy dostatecznie wielkie pole A, to trzy punkty P, Q, R nie wpłyną wcale na zagadnienie. Jeżeli tylko okrąg opisany na trójkącie PQR zawiera pole mniejsze albo równe A, to rozwiązaniem jest po prostu okrąg zawierają cy pole A i obejmujący te trzy punkty (rys. 231). Ale co się dzieje, jeżeli A jest mniejsze? Podajemy tutaj odpowiedź pomijając nieco przydługi dowód, chociaż dowód ten nie przekraczałby naszych możliwości. Scharakteryzujemy rozwiązania dla pewnego ciągu wartości A malejącego do zera. Gdy tylko A staje się mniejsze od pola zawartego w okręgu opisanym, wtedy pierwotny okrąg izoperymetryczny p p
,I
j
Q
R
Q
R
R Rys. 231
J,
'.'l
Rys. 232
Rys. 233
rozpada się na trzy łuki o tym samym promieniu, tworzące wypukły trójkąt, złożo ny z łuków okręgów, o wierzchołkach w punktach P, Q, R (rys. 232). Trójkąt ten stanowi rozwiązanie; rozmiary jego można ustalić na podstawie danej wartości A. Jeżeli A zmniejsza się w dalszym ciągu, to promień tych łuków będzie wzrastał i łuki staną się stopniowo w przybliżeniu prostymi, a gdy A jest dokładnie równe polu trójkąta PQR, wtedy rozwiązaniem jest sam trójkąt. Jeżeli pole A staje się jeszcze mniejsze, to rozwiązanie będzie się składało znowu z trzech łuków okręgów, nłających ten sam promiei1 i tworzących trójkąt o wierzchołkach w punktach P, Q, R. Tym razem jednak trójkąt jest wklęsły i łuki leżą wewnątrz trójkąta (rys. 233). Gdy pole A maleje w dalszym ciągu, to przy pewnej wartości A dwa spośród tych wklęsłych łuków stają się styczne w jednym z wierzchołków R. Przy dalszym ma-
VII. Maksima i minima
356
§ 10. Rachunek wariacyjny
leniu pola A nie można już zbudować trójkąta złożonego jak poprzednio z łuków okręgów. Występuje nowe zjawisko: rozwiązaniem jest nadal trójkąt wklęsły zło żony z łuków okręgów, ale jeden z jego wierzchołków R' oderwał się od odpowiedniego wierzchołka R; rozwiązanie składa się teraz z trójkąta złożonego z łu ków okręgów powiększonego o odcinek prostej RR', policzony dwukrotnie (ponieważ przechodzimy od R' do R i z powrotem). Ten odcinek prostej jest styczny do dwóch łuków stykających się w punkcie R'. Jeżeli A maleje w dalszym ciągu, to oderwanie takie następuje również w pozostałych wierzchołkach. Ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie w postaci trójkąta złożonego z trzech łuków okręgów o jedP
p
Q
R Rys. 23•1
Q
R
357
ich umiejętności na tym nowym typie zagadnień matematycznych, W szczególności wyzwał swojego starszego brata Jakuba, z którym wtedy był mocno powaśnio ny i o którym mawiał publicznie, że nie jest zdolny do rozwiązania tego zagadnienia, Matematycy natychmiast rozpoznali odrębny charakter zagadnienia brachistochrony. W zagadnieniach rozważanych do tego czasu za pomocą rachunku róż niczkowego wielkość badana zależała tylko od jednej lub kilku zmiennych liczbowych; w tym zagadnieniu natomiast rozważana wielkość, mianowicie czas spadku, zależy od całej krzywej i to stanowi istotną różnicę, dzięki której zagadnienie znalazło się poza zasięgiem rachunku różniczkowego i innych metod znanych w owym czasie.
Rys. 236. Cykloida
Rys. 235
nakowych promieniach, stycznych względem siebie i tworzących równoboczny trójkąt kołowy P'Q'R', powiększonego o trzy podwójne liczone odcinki proste PP', QQ', i RR.''(rys. 234), Jeżeli wreszcie pole A kurczy się do zera (rys. 235), to trójkąt kołowy redukuje się do jednego punktu i powracamy do rozwiązania zagadnienia Steinera; widzimy, że jest ono przypadkiem granicznym zmodyfikowanego zagadnienia izoperymetrycznego. Jeżeli punkty P, Q, R tworzą trójkąt rozwartokątny o kącie większym niż 120°, to proces kurczenia prowadzi do odpowiedniego rozwiązania zagadnienia Steinera; wtedy bowiem łuki kołowe kurczą się w kierunku wierzchołka o kącie rozwartym. Rozwiązanie uogólnionego zagadnienia Steinera (patrz rys. 216-218 na str.' 340) można otrzymać za pomocą podobnego procesu granicznego.
§ 10. Rachunek wariacyjny 1. Wstęp. Zagadnienie izoperymetryczne jest przykładem - zapewne najdawniejszym - pewnej obszernej klasy ważnych zagadnień, na które zwrócił uwagę w 1696 roku Jan Bernoulli. W znakomitym ówczesnym czasopiśmie naukowym Acta Eruditorum postawił on następujące zagadnienie „brachistochrony": Przypuśćmy, że cząsteczka może się ślizgać bez tarcia wyłącznie wzdłuż pewnej krzywej, łączącej punkt A z położonym niżej punktem B. Jeżeli cząsteczka może spadać pod wpływem tylko siły ciężkości, to jaką należy obrać krzywą, aby czas spadania był najla'ótszy? Łatwo zauważyć, że przy różnych krzywych spadku czas spadania cząsteczki jest różny. Odcinek prostej w żadnym razie nie daje najbardziej krótkotrwałej drogi; nie jest też rozwiązaniem łuk okręgu ani inna krzywa elementarna. Bernoulli chwalił się, że ma cudowne rozwiązanie, którego nie chciał od razu ogło sić, aby pobudzić największych ówczesnych matematyków do wypróbowania swo-
Nowość zagadnienia - widocznie nie dostrzeżono wtedy jasno, że własność izoperymetryczna okręgu jest tego samego rodzaju - oczarowała matematyków współczesnych, szczególnie zresztą wtedy, gdy rozwiązaniem okazała się cykloida, lcrzywa, która właśnie została odkryta, (Przypominamy definicję ci;kloidy: jest to miejsce geometryczne punktu na obwodzie koła toczącego się bez poślizgu po linii prostej, jak pokazano na rys. 236). Krzywa ta wiąże się z ciekawymi zagadnieniami mechanicznymi, w szczególności z konstrukcją idealnego wahadła, Huygens odkrył, że idealny punkt materialny, wahający się bez tarcia pod wpływem ciężkości po cykloidzie, ma okres wahań niezależny od amplitudy ruchu. Na torze kołowym, odpowiadającym zwykłemu wahadłu, niezależność okresu wahań zachodzi tylko w przybliżeniu, co uznano za przeszkodę w stosowaniu wahadła do precyzyjnych zegarów. Cykloidę uczczono nazwą tautochrony; teraz zdobyła nowy tytuł- brachistochrony.
2. Rachunek wariacyjny. Zasada Fermata w optyce. Przedstawimy teraz jeden z najbardziej oryginalnych spośród różnych sposobów rozwiązania zagadnienia brachistochrony, znalezionych przez Bernoullich i innych. Początkowe metody rachunku wariacyjnego miały charakter bardziej lub mniej. specjalny, przystosowany do poszczególnych zagadnień. Niedługo jednak potem Euler i Lagrange (1736-1813) wyprowadzili bardziej ogólne metody rozwiązania zagadnień na ekstremum, w których elementem niezależnym nie była jedna zmienna liczbowa ani skończona ilość takich zmiennych, ale cała krzywa czy funkcja, czy nawet układ funkcji. Tę nową metodę rozwiązywania takich zagadnień nazwano rachunkiem wariacyjnym. Nie możemy tutaj opisać aspektów technicznych tego działu matematyki ani też zagłębić się w roztrząsanie poszczególnych zagadnień. Rachunek wariacyjny ma wiele zastosowań w fizyce. Dostrzeżono już dawno, że zjawiska naturalne czę sto odbywają się zgodnie z pewnym schematem na maksima i minima, Jak widzieliśmy, Heron z Aleksandrii stwierdził, że odbicie promienia świetlnego w zwierciadle płaskim można przedstawić w postaci pewnej zasady minimum. Fermat, w wie-
358
VII. Maksima i minima
ku XVII,
uczynił
dalszy krok:
dostrzegł, że
§ 10. Rachunek wariacyjny prawo
załamania
promieni
świetlnych
wzniesienie środka ciężkości ponad pewną ustaloną oś. Krzywą, której kształt przybiera łaflcuch, nazywamy krzywą łm1cuchową; przypomina ona z wyglądu parabolę. Nie tylko prawa równowagi, ale również prawa ruchu wypływają z pewnych zasad maksimum i minimum. Euler pierwszy wyrobił sobie jasne poglądy o tych zasadach, podczas gdy teoretycy o skłonnościach filozoficznych i mistycznych, jak Maupertuis (1698-1759) nie zdołali oddzielić twierdzefl matematycznych od męt nych rozważafl o „Boskich zamierzeniach uregulowania zjawisk fizycznych na podstawie ogólnej zasady o najwyższej doskonałości". Eulerowskie wariacyjne zasady fizyki, odkryte ponownie i rozszerzone przez matematyka irlandzkiego W R. Hamiltona (1805-1865), okazały się jednym z najpotężniejszych narzędzi w mechanice, optyce i elektrodynamice, mającym liczne zastosowania w inżynie rii. Nowsze zdobycze fizyki - teoria względności i teoria kwantów - zawierają wiele przykładów świadczących o potędze rachunku wariacyjnego.
również można przedstawić w postaci pewnej zasady minimum. Powszechnie wia-
j
domo, że droga światła przechodzącego z jednego ośrodka jednorodnego do drugiego załamuje się na granicy tych ośrodków. Tak więc na rys. 237 promień świetlny przebiegający od punktu P w górnym p ośrodku, w którym prędkość światła jest równa v, do punktu R w ośrodku położonym niżej, w którym ta pręd kość jest równa w, przejdzie po drodze a PQR. Prawo empiryczne znalezione przez Snelliusa (1591-1626) stwierdza, że droga składa się z dwóch odcinków a' prostych PQ i QR, tworzących z norII malną kąty a, a' określone warunkiem sina/sina'= v/w. Posługując się rachunkiem różniczkowym Fermat udowodnił, R że droga ta jest tego rodzaju, że czas poRys. 237. Załamanie promienia świetlnego trzebny do przejścia promienia świetl nego od P do R jest minimalny, tzn. jest krótszy niż przy jakiejkolwiek innej drodze łączącej te dwa punkty. W ten sposób prawo odbicia Herona zostało uzupełnione po tysiącu sześciuset Jatach podobnym i równie doniosłym prawem załamania. Fermat uogólnił sformułowanie tego twierdzenia w taki sposób, aby obejmowało również przypadek zakrzywionych powierzchni nieciągłości pomiędzy ośrodkami, takich powierzchni jak powierzchnie kuliste stosowane w soczewkach. W tym przypadku również prawdziwe jest twierdzenie, że światło przechodzi po drodze, dla której czas potrzebny na jej przebycie jest minimah1y w stosunku do czasu potrzebnego na przebycie przez światło dowomej innej drogi pomiędzy tymi samymi dwoma punktami. Fermat rozważał na koniec dowolny układ optyczny, w którym prędkość światła zmienia się w dany z góry sposób od punktu do punktu, tak jak to ma miejsce w atmosferze ziemskiej. Dzielił on ciągły ośrodek niejednorodny na cienkie warstwy, w obrę bie których prędkość światła jest w przybliżeniu stała, i zakładał, że ośrodek ten zastą piono innym ośrodkiem, w którym prędkość rzeczywiście jest stała w każdej warstwie. Mógł wtedy zastosować znowu swoją zasadę przy przechodzeniu od każdej warstwy do następnej; przyjmując, że grubość warstw dąży do zera, doszedł do ogólnej fermatowskiej zasady optyki geometrycznej: W ośrodku niejednorodnym promid1 świetlny przeclw-
I
I
3. Podejście Bernoulliego do zagadnienia brachistochrony. Dawną metodę rozzagadnienia brachistochrony, podaną przez Jakuba Bernoulliego, można zrozumieć nawet przy stosunkowo niewielkim przygotowaniu matematycznym. Wychodzimy z faktu, znanego z mechaniki, że punkt materialny, który początko wo był w stanie spoczynku w punkcie A, przy spadku wzdłuż pewnej krzywej C będzie miał w każdym punkcie P prędkość proporcjonalną do .Jh, gdzie Iz jest odległością w kierunku pionowym od A do P; więc v = c .Jh , gdzie c jest liczbą stałą. Zastąpmy teraz dane zagadnienie zagadnieniem nieco odmiennym. Rozcinamy przestrzeń na wiele warstw poziomych, o grubości d każda, i zakładamy na razie, że prędkość poruszającego się punktu zmienia się nie w sposób ciągły, ale małymi skokami od warstwy do warstwy, a więc w pierwszej warstwie przylegającej do punktu A prędkość wynosi c .Jd, w drugiej warstwie c J2ci i w n-tej warstwie c ..fiUi = c .Jh , gdzie h jest odległością w kierunku pionowym od A do P (rys. 238). Jeżeli rozważamy to zagadnienie, to mamy A istotnie tylko skoflczoną ilość zmiennych. W każdej warstwie droga musi być odcinkiem prostej, nie występuje żadne zagadnienie \ istnienia, rozwiązanie musi być wielokątem, a jedynym problemem jest wyznaczenie jego wierzchołków. Zgodnie z zasadą minimum dla p prawa zwykłego załamania, w każdej parze Rys. 238 kolejnych warstw ruch od punktu P do R przez Q musi być tego rodzaju, że przy ustalonych punktach Pi R punkt Q daje możliwie najkrótszy czas. Zatem musi obowiązywać następujące „prawo załamania" wiązania
==\---ss
dząciJ pomiędzy dwoma punktami przemieszcza się po drodze, dla której czas potrzebny na jej przebycie osiąga minimum w stosunku do wszystkich możliwych dróg łączqcycl1 te dwa punkhj. Zasada ta ma niesłychanie ważne znaczenie, nie tylko teoretyczne, ale także w prak-
tycznej optyce geometrycznej. Technika rachunku wariacyjnego zastosowana do tej zasady stanowi podstawę dla obliczania układów soczewek. Zasady minimum zapanowały również w innych gałęziach fizyki. Zauważono, że uzyskuje się trwałą równowagę układu mechanicznego, jeżeli układ jest tego rodzaju, że jego „energia potencjalna" jest minimalna. Rozważmy dla przykładu elastyczny łańcuch jednorodny zawieszony dwoma końcami i pozostawiony pod wpły wem siły ciężkości. Łaflcuch przybierze wtedy kształt, przy którym jego energia potencjalna jest minimalna. W tym przypadku energia potencjalna jest określona przez
359
sina 11
sina 11 + 1 ..fiUi - ~(n+ 1)d . _
Wielokrotne zastosowanie tego rozumowania daje następujące równania: (1) 11
gdzie a 11 jest kątem
sina 1
sina
.Jd = J2ci2 =„.,
pomiędzy wielokątem
w 11-tej warstwie i prostą pionową.
360
VII. Maksima i minima
?tóż Bernoulli przyjmuje, że grubość d staje się coraz mniejsza, dążąc do zera a ;:1ęc oh·zy~any przed c~wilą w~elokąt będący rozwiązaniem zagadnienia przy~ bhzonego dązy do krzywej będącej szukanym rozwiązaniem zagadnienia pierwotnego'. W tym przejściu do granicy równania (1) pozostają nienaruszone, a stąd Bernoulli ';~pro_w~dz~ wniosek, że rozwiązaniem musi być krzywa Co następującej własno~c1: !:z~h ~ j:st kątem pomiędzy styczną i pionową w dowolnym punkcie p ~zyw_ej C 1 jezeh h jest odległością w kierunku pionowym punktu Po prostej poz10mej ~rzechodz~cej przez p~nkt A, to wyrażenie sin a/ ./fi ma wartość stałą dla wsz?',stlGch punktow P krzywej C. Można wykazać w sposób bardzo prosty, że wła snosc ta charakteryzuje cykloidę. „Dow~d" Bernoulliego jest typowym przykładem pomysłowego i ważnego rozumowama matematycznego, które jednocześnie nie jest wcale ścisłe. W dowo~zeniu_ p_rzyjmuj:my kilka milczących założeń, a ich uzasadnienie byłoby dłuższe 1ba~·d~1ej .s~omph~owa~e niż sam dowód. Tak na przykład zakładaliśmy zarówno t~, ze 1stmej: rozw1ązan'.e C, j~k też to, że zagadnienie przybliżone daje przybliże me _rz,eczyw1stego rozw1ązama. Sprawa faktycznego znaczenia tego rodzaju rozwazan heurystycznych z pewnością zasługuje na omówienie, ale zaprowadziłaby nas zbyt daleko. ·
.. 4. Geodezyj~e -~a sferze. Geo~ez!jne a maksiminima. We wstępie do tego rozo zag~dmen_m znalezienia najkrótszych łuków łączących dwa dane punkty pow1erzchm. Jak się wykazuje w geometrii elementarnej, na kuli t~mi „ge~dezyjny~i" są łuki kół wielkich. Niech Pi Q będą dwoma (nie diametralme przec1wległym1) punktami na kuli, ac- krótszym z dwóch łuków kół wielkich łączą~ych punkty P i Q <:ys .. 239). Nasuwa się wtedy pytanie, czym jest dłuższ; łuk c tego samego koła wielkiego. Łuk ten z pewnością nie daje minimum długości krzywej łączącej punkty P i Q, ponieważ pomiędzy tymi punktami można poprowadzić krzywe dowolnej długo ści. Odpowiedzią jest, że łuk c' jest rozwiązaniem pewnego zagadnienia na maksiminimum. Rozważmy punkt S na ustalonym kole wielkim rozdzielają cym Pi Q; zapytujemy o najkrótsze połączenie punktów P i Q na kuli przechodzące przez S. Minimum jest dane, oczywiście, przez krzywą złożoną z dwóch mniejszych łuków wielkich kół, PS i QS. Szukamy teraz położenia punktu S, przy którym ta najkrótsza odległość PSQ staje się możliwie jak Rys. 239. Geodezyjne na sferze największa. Rozwiązanie jest następu. . jące: położenie punktu S musi być takie, zeb?' P~Q było dłuższym łukiem c' koła wielkiego PQ. Możemy zmodyfikować zagadme~ue szukając najpierw drogi najkrótszej pomiędzy punktami p i Q, przechodzącej przez n danych z góry punktów sł' S2, ... , sil na kuli, a następnie starając działu ws_pommehsm~
§ 11. Eksperymentalne rozwiązywanie zagadnień na minimum
361
si' ... ,
się wyznaczyć punkty sil w taki sposób, żeby to minimum długości stało się możliwie jak największe. Rozwiązaniem jest droga na kole wielkim łączącym punkty
pi Q, okręcająca się dokoła kuli tak wiele razy, aby przeszła dokładnie n razy przez punkty diametralnie przeciwległe punktom P i Q. Ten przykład zagadnienia na maksiminimum jest typowy dla pewnej szerokiej klasy zagadnief1 z dziedziny rachunku wariacyjnego, które to zagadnienia były badane z wielkim powodzeniem metodami opracowanymi przez Morse' a i innych.
§ 11. Eksperymentalne rozwiązywanie zagadnień na minimum. Doświadczenia z błonami mydlanymi 1. Wstęp. Podanie rozwiązania zagadnienia wariacyjnego za pomocą wzorów lub konstrnkcji geometrycznych opartych na znanych prostych elementach jest zwykle bardzo trudne, a czasem niemożliwe. Natomiast często musimy się zadowolić dowodem istnienia rozwiązania przy pewnych warunkach oraz badaniem własności tego rozwiązania. W wielu przypadkach, gdy dowód istnienia okazuje się mniej lub bardziej trudny, pomocna jest realizacja matematycznych warunków zagadnienia za pomocą stosownego doświadczenia fizycznego; jest to raczej rozpatrywanie zagadnienia matematycznego jako interpretacji zjawiska fizycznego. Realizacja zjawiska fizycznego tłumaczy się wtedy jako rozwiązanie zagadnienia matematycznego. Jest to, oczywiście, tylko rozważanie mniej lub bardziej prawdopodobne, a nie ścisły dowód; pozostaje bowiem zawsze pytanie, czy interpretacja matematyczna jest wiernym odbiciem realizacji fizycznej, czy też daje tylko zniekształcony jej obraz. Nieraz doświadczenia takie -jeżeli przeprowadzamy je w myśli - są przekonywające nawet dla matematyków. W XIX wieku Riemann odkrył wiele spośród podstawowych twierdzeń teorii funkcji rozmyślając o prostych doświadczeniach dotyczących przepływu elektryczności w cienkich powierzchniach metalowych. W tym paragrafie chcielibyśmy rozważyć na podstawie eksperymentalnej jedno z głębokich zagadniei1 rachunku wariacyjnego. Zagadnienie to nazwano zagadnieniem Plateau, ponieważ Plateau (1801-1883), fizyk belgijski, przeprowadził interesujące doświadczenia w tej dziedzinie. Samo zagadnienie jest znacznie dawniejsze i sięga początkowej fazy rozwoju rachunku wariacyjnego. W swej najprostszej postaci daje się ono sformułować następująco: Wyznaczyć powierzchnię o najograniczoną w przestrzeni danym konturem zamkniętym. Rozważymy również doświadczenia związane z niektórymi pokrewnymi zagadnieniami; okaże się, że rzucą one wiele światła na niektóre z poprzednio otrzymanych wyników,
mniejszym polu
jak również na pewne nowe dla nas zagadnienia matematyczne. 2. Doświadczenia z błonkami mydlanymi. Zagadnienie Plateau jest związane matematycznie z rozwiązaniem „równania różniczkowego cząstkowego" lub ukła du takich równai1. Euler wykazał, że wszystkie (nie płaskie) powierzchnie mini-
I
I
362
,i i, I
VII. Maksima i minima
malne muszą mieć kształt siodła, a średnia krzywizna 1 w każdym punkcie musi być równa zeru. W ciągu ostatniego wieku udowodniono istnienie rozwiązań dla wielu przypadków szczególnych, istnienie rozwiązania w przypadku ogólnym udowodnili J. Douglas i T. Rado. Doświadczenia Plateau dają bezpośrednio rozwiązanie fizyczne przy bardzo ogólnych konturach. Jeżeli zanurzyć dowolny kontur zamknięty, zrobiony z drutu, w cieczy o niskim napięciu powierzchniowym, a następnie wyjąć go, to na konturze rozciągnie się powierzchnia minimalna o najmniejszym polu. (Błonka dąży do zajęcia położenia równowagi stałej przez jak najsilniejsze zmniejszenie jej powierzchni i osiągnięcie w ten sposób najmniejszej energii potencjalnej związanej z napięciem powierzchniowym. Zakładamy, że można pominąć siłę ciężkości i inne siły przeciwstawiające się temu dążeniu). Dobra recepta na płyn do przeprowadzenia doświadczeń Plateau jest następująca: Rozpuścić 10 gramów czystej suchej soli sodowej kwasu olejowego w 500 gramach wody destylowanej i zmieszać 15 jednostek objętości tego roztworu z 11 jednostkami objętości gliceryny. Błony otrzymane za pomocą tego roztworu i ram z drutu mosiężnego są stosunkowo trwałe. Ramy nie powinny mieć średnicy większej niż 13 .do 15 centymetrów. Bardzo łatwo „rozwiązać" tą metodą zagadnienie Plateau kształtując po prostu z drutu odpowiedni kontur. Otrzymuje się piękne modele na drucianych ramach wielokątnych utworzonych z kolejnych boków wielościanu foremnego. W szczególności, ciekawe wyniki otrzymuje się zanurzając w takim roztworze całą ramę w kształcie sześcianu (rys. 240). Wynikiem jest najpierw układ różnych powierzchni tworzących pomiędzy sobą kąty 120° wzdłuż linii przecięcia. Geżeli ostrożnie wyjąć sześcian z roztworu, to będzie trzynaście takich prawie płaskich powierzchni). Możemy następnie przebijać i niszczyć tyle tych różnych powierzchni, aby pozostała jedna powierzchnia ograniczona zamknię Rys. 240. Rama sześcienna, na której tym wielokątem. Można utworzyć w ten sposób rozpięty jest układ błonek mydlanych wiele pięknych powierzchni. Podobne doświad złożony z 13 powierzchni w przybliżeniu płaskich czenie można przeprowadzić z czworościanem. 3. Nowe doświadczenia z zagadnieniem Plateau. Zakres doświadcze(1 z błon kami mydlanymi jest szerszy niż pierwotne doświadczenia Plateau. W ostatnich latach badano zagadnienie powierzchni minimalnych w przypadku, gdy dany jest
1 Średnią
k„zywiznę powicrzclmi w punkcie P tej powierzchni definiuje się w sposób następujący: Rozważmy
prostą prostopadłą
do powierzchni w punkcie P i wszystkie płaszczyzny przechodzące przez tę prostą. te przetną powierzchnię wzdłuż krzywych, które na ogól w punkcie P będą miały różne krzywizny. Rozważmy teraz krzywe mające odpowiednio minimum i maksimum krzywizny. (Na ogól płasz czyzny te będą prostopadle jedna do drugiej). Polowa sumy tych dwóch krzywizn jest średnią krzywizną powierzchni w punkcie P. Płaszczyzny
§ 11.
Eksperymentalne
rozwiązywanie
zagad11ief1 na minimum
363
z góry nie jeden, ale dowolna ilość konturów, a ponadto gdy struktura topologiczna powierzchni jest bardziej skomplikowana. Na przykład powierzchnia może być jednostronna lub rodzaju różnego od zera. Te ogólniejsze zagadnienia dają zadziwiającą różnorodność zjawisk geometrycznych, które można przedstawić za pomocą doświadczefl z błonkami mydlanymi. Należy tutaj zaznaczyć, że celowe jest ,t
Rys. 241. Powierzchnia jednostronna (wstęga Mobiusa)
Rys. 242. Powierzchnia dwustronna
używanie ram drucianych łatwych do wyginania, aby móc badać wpływ deformacji danych z góry konturów na rozwiązanie. Opiszemy kilka przykładów: 1. Jeżeli kontur jest okręgiem, to otrzymujemy płaską tarczę kołową. Jeżeli deformujemy w sposób ciągły kontur okręgu, można by się spodziewać, że powierzchnia minimalna zachowuje zawsze charakter topologiczny tarczy. Tak jednak nie jest. Jeżeli zdeformować ramę, jak pokazano na rys. 241, to otrzymamy powierzchnię minimalną, która już nie jest jednospójna jak tarcza, ale jest jednostronną wstęgą Mobiusa. Także na odwrót, moglibyśmy zacząć od konturu o błonce mydlanej mającej kształt wstęgi Mobiusa. Kontur druciany można deformować, pociągając za przylutowane do niego rączki. Tak postępując dochodzimy do pewnego momentu, kiedy nagle zmienia się topologiczny charakter błonki, tak że powierzchnia znowu ma typ topologiczny tarczy jednospójnej (rys. 242). Odwracając deformację otrzymujemy znowu wstęgę Mobiusa. W odwróconym procesie deformacji przejście powierzchni jednospójnej we wstęgę Mobiusa zachodzi w późniejszej fazie. Dowodzi to, że musi istnieć pewna rozpiętość różnych kształtów konturu, przy których zarówno wstęga Mobiusa, jak też powierzchnia jednospójna są stabilne, tzn. dają względne minima. Gdy jednak wstęga Mobiusa ma znacznie mniejsze pole niż powierzchnia jednospójna, to ostatnia jest zbyt niestała, aby dała się sformować. 2. Możemy rozciągnąć minimalną powierzchnię obrotową pomiędzy dworna okręgami. Po wyjęciu ram z roztworu znajdziemy zamiast oczekiwanej jednej powierzchni układ złożony z trzech powierzchni stykających się pod kątami 120°, z których jedną jest tarcza kołowa równoległa do danych okręgów granicznych (rys. 243). Niszcząc powierzchnię pośrednią otrzymujemy klasyczną powierzchnię łańcuchową (powierzchnia łmkuchowa jest to powierzchnia otrzymana przez
364
§ 11. Eksperymentalne rozwiązywanie zagadnień na minimum
VII. Maksima i minima
obrót krzywej łai1cuchowej (str. 359) dokoła prostej prostopadłej do jej osi symetrii). Jeżeli będziemy oddalali od siebie okręgi graniczne, to nadejdzie moment, w którym dwuspójna powierzchnia minimalna (powierzchnia łańcuchowa) stanie się niestała. W tym momencie powierzchnia łańcuchowa przechodzi w sposób niecią gły w dwie rozłączne tarcze. Proces ten jest oczywiście nieodwracalny. 3. Inny ważny przykład daje kontur z rys. 244-246, na którym można rozciągnąć trzy różne powierzchnie minimalne. Każda z nich jest ograniczona tą samą krzyRys. 243. Układ trzech wą zwykłą zamkniętą; jedna z tych powierzchni (rys. 244) powierzchni ma rodzaj topologiczny 1, natomiast dwie pozostałe są jednospójne oraz w pewnym sensie symetryczne względem siebie. Te ostatnie mają jednakową powierzchnię, gdy kontur jest całkowicie symetryczny. Jeżeli natomiast tak nie jest, to tylko jedna z nich daje bezwzględne minimum pola, druga natomiast daje minimum względne, jeżeli to minimum rozumiemy w stosunku do powierzchni jednospójnych. Możliwość rozwiązania mającego rodzaj topologiczny 1 związana jest z tym, że dopuszczając powierzchnię o rodzaju topologicznym 1 możemy otrzymać mniejsze pole niż wtedy, gdy żądamy, aby powierzchnia była jednospójna. Deformując kontur musimy- oczywiście, jeżeli deformacja jest dostatecznie silna - dojść do kształtu nie odpowiadającego poprzednio opisanej sytuacji. W tym momencie powierzchnia rodzaju topologicznego 1 staje się coraz bardziej niestała, aż wreszcie przechodzi nagle w rozwiązanie jednospójne przedstawione na rys. 245 lub 246. Jeżeli wychodzimy od jednego z rozwiązań jedno-
~~
~~
~~
spójnych, np. od rozwiązania 246, to możemy deformować je tak, aby pozostałe rozwiązanie jednospójne 245 stawało się znacznie bardziej stałe. Następstwem tego jest, że w pewnej chwili nastąpi nieciągłe przejście od jednego rozwiązania do drugiego. Dokonując powoli deformacji odwrotnej dojdziemy do początkowego położenia konturu, zachowując drugie rozwiązanie. Można powtórzyć to postępo wanie w przeciwnym kierunku i tak przechodzić w sposób nieciągły od jednego rozwiązania do drugiego i z powrotem. Postępując dostatecznie ostrożnie można również przekształcać w sposób nieciągły dowolne spośród rozwiązaf1 jednospójnych w rozwiązanie o rodzaju topologicznym 1. W tym celu musimy zbliżyć bardzo powierzchnie mające kształt tarczy, tak żeby powierzchnia o rodzaju topolo-
365
gicznym 1 stała się znacznie bardziej s~abilna: Przy tym p~stęp?waniu występują czasami najpierw przejściowe kawałki błonki, które nalezy zmszczyć, aby otrzymać powierzchnię o rodzaju topologicznym 1. Przykład ten wykazuje nie tylko możliwość istnienia różnych rozwiązań tego samego rodzaju topologicznego, ale również możliwość rozwią~ań innych i inn~ go rodzaju na jednym i tym samym konturze; ponadto zost~ła zilustr~~ana moz~ liwość przejść nieciągłych od jednego rozwiązania do drugiego, chociaz warunki zadania zmieniają się w sposób ciągły. Łatwo jest budować podobne modele bardziej skomplikowane i badać doświadczalnie ich zachowanie (rys. 247).
Rys. 247. Jednostronna powierzchnia minimalna o wysokiej strukturze topologicznej na jednym konturze
Ciekawym zjawiskiem jest pojawianie się powierzchni minimalnych ograniczonych dwiema lub więcej krzywymi splecionymi. Przy dwóch okręgach otrzymujemy powierzchnię pokazaną na rys. 248. Jeżeli w ostatnim przykładzie okręgi są wzajemnie prostopadłe, a linią przecięcia ich płaszczyzn jest wspólna średnica obu okrę gów, to są dwie, symetrycznie przeciwne postacie powierzchni minimalnej i mają równe pola. Jeżeli teraz przesuwamy nieco okręgi względem siebie, to postacie powierzchni zmieniają się w sposób ciągły, chociaż dla każdego położenia tylko jedna postać daje minimum bezwzględne, a druga jedynie minimum względne. Jeżeli poruszamy okręgi w taki sposób, że pojawia się minimum względne, to w pewnej chwili następuje przeskok do minimum bez248 względnego. Tutaj obie możliwe powierzchnie minimalR~s. . ne mają ten sam charakter topologiczny, tak jak na rys. 245-z.:16, gd.z1e pr~ez rne~ znaczną deformację konturu można powodować przeskok z 1edne1 pow1erzchm minimalnej na drugą. 4. Rozwiązywanie doświadczalne innych zagadnień matematycznych. Wobe~ działania napięcia powierzchniowego błonka z płynu jest w równowadze stałej tylko wtedy, gdy ma minimalne pole. Fakt ten jest niewyczeq~a~ym źródłem ~aż nych matematycznie doświadczeń. Jeżeli pozwala się, aby częsc1 brzegu błonki poruszały się po danych powierzchniach, jak np. po płaszczyznach, to na tych czę ściach brzegu błonka jest prostopadła do danej powierzchni.
I I
366
VII. Maksima i minima
§ 11. Eksperymentalne rozwiązywanie zagadnień na minimum
Możemy wykorzystać ten fakt dla pomysłowych pokazów zagadnienia Steinera i jego uogólnień (patrz §5). Dwie równoległe płyty ze szkła lub przezroczyste· masy łączymy trzema lub więcej prostopadłymi sztabkami (rys. 249-250). Jeżeli za~
Połączmy
du
367
teraz punkty A i B bardziej skomplikowanymi krzywymi. Dla przykła trzy łamane, z których każda jest złożona z trzech boków tego
możemy wziąć
.
m~rzymy całoś~ do roztworu mydła, a następnie wyjmiemy, to błona utworzy pomiędzy płytami układ ~łaszczyz:1 pionowych, łączących sztabki. Rzut, powstający na płytkach szklanych, Jest rozwiązywaniem zagadnienia omówionego na str. 340. Jeżeli płyty nie są równoległe, a więc sztabki nie są do nich prostopadłe lub płyt~ są zakrzywione, t~ krzy~e utworzone przez błonkę na płytach nie będą prostymi, lecz będą odpowiadały mnym zagadnieniom wariacyjnym.
Rys. 251. Trzy powierzchnie spotykające się pod kątem 120" rozpięte na trzech konturach łączących dwa punkty ~
'-l~~T.::.:.~~~~~~~~~~:.:,;r.:::---· ~ .I
~ Rys. 249. Pokaz najkrótszego połączenia czterech punktów
samego sześcianu, (Otrzymujemy ten
dwa wierzchołki przeciwległe tej samej przekąt~1ej. powierzchni z układu przedstawionego na r~s .. 240 m~z cząc błonki przylegające do trzech odpowiednio wybranych boków): J~zeli zaczm~ my poruszać łamane łączące punkty A i B, to linie potrójnego przecięcia zakrzywią się. Kąty równe 120° zostaną zachowane (rys. 252). Wszystkie te zjawiska, gdzie spotykają si~ wzdłuż pewnycl: ~zY":ych trz~ p~ wierzchnie minimalne, są tego samego rodzaJU. Są one uogolmemam1 zagadmema
/
/
łączących
układ
/
/
/,'//~~~-1~~--' .&
Rys. 250. Pokaz najkrótszego połączenia pięciu punktów
Po~awienie się linii, wzdłuż których minimalne powierzchnie spotykają się pod kątami 120°, można uważać za uogólnienie na większą ilość wymiarów zjawisk zwią~anych z zagadnieniem Steinera. Można to wyjaśnić na następującym przykł~dzi~: poł~czmy dwa punkty A, B przestrzeni trzema krzywymi i badajmy odpo~ied:ii stabtlny układ b:onek mydlanych. W najprostszym przypadku przyjmijmy Jako Jedną krzywą odcmek prostej AB, a jako pozostałe dwie - przystające łuki okręgów. Wynik pokazany jest na rys. 251. Jeżeli płaszczyzny łuków tworzą kąty
mniejsze od 120°, to otrzymujemy trzy powierzchnie spotykające się pod kątem 120°; jeżeli będziemy obracali oba łuki, powiększając kąt między nimi, to rozwiąza nie przejdzie w sposób ciągły w dwa płaskie wycinki koła.
Rys. 252. Trzy linie łamane
łączące
płaskiego polegającego
dwa punkty
Rys. 253. Dowód, że przy danym polu kolo ma najmniejszy obwód
na połączeniu n punktów n~jkr~~szy'.11 ~1kładem I.inii.. Na koniec kilka słów o bańkach mydlanych. Kulistosc bańki mydlaneJ świadczy o tym, że spośród wszystkich powierzchni zamkniętych obejmujący~h ~a~ą obję tość (określoną przez ilość powietrza wewnątrz bańki) kula ma naimmeiszą powierzchnię. Jeżeli rozpatrujemy batl.ki mydlane o danej objęto~ci, które dąż.ą do sku~' czenia swojego pola do minimum, ale są ograniczone ~ewnym1 ~arunk~m1, .to przYJ~ mowane przez te batl.ki powierzchnie nie są kulami, lecz pow1erzch111am1 o stałej krzywiźnie średniej, których przypadkami szczególnymi są kule i walce koło~e. Możemy na przykład nadmuchać batl.kę pomiędzy dwiema równoległymi ~ły tami szklanymi, które poprzednio zwilżyliśmy roztworem mydła (rys. 253). Gdy banka
~·",
368
§ 11. Eksperymentalne rozwiązywanie zagadnień na minimum
VII. Maksima i minima
dotyka jednej płyty, wtedy nagle przybiera kształt półkuli; gdy dotknie również drugiej płyty, przechodzi nagle w walec kołowy, wykazując w ten sposób, zupełnie naocznie, własność izoperymetryczną koła. Kluczem do tego doświadczenia jest fakt, że błonka mydlana ustawia się prostopadle do powierzchni ograniczającej. Wydmuchując bai1ki mydlane pomiędzy dwiema płytami z łączącymi je pionowymi sztabkami, możemy zilustrować zagadnienia omówione na str. 354-356. Możemy badać zachowanie się rozwiązania zagadnienia izoperymetrycznego zwiększając albo zmniejszając ilość powietrza wewnątrz bai1ki za pomocą rurki z cienkim wylotem. Jednakże wysysając powietrze nie otrzymujemy figur ze stI: 356 złożonych ze stykających się łuków okręgów. Gdy zmniejsza się objętość zawartego w bai1ce powietrza, wtedy kąty trójkąta kołowego nie spadają (teoretycznie) poniżej 120°; otrzymujemy kształty pokazane na rys. 254-255, które znowu zbliżaP
Kontur sześcienny, wewnątrz którego wydmuchujemy bańkę, tworzy powierzchnie o stałej krzywiźnie średniej i o podstawie kwadratowej, jeżeli bańka wydyma się poza obręb ramki. Usuwając powietrze z bańki (wysysając je przez słomkę) otrzymujemy ciąg pięknych struktur prowadzący do struktury z rys. 258.
p
Q
R
369
Q
R
Rys. 254-255. Figura izoperymetryczna z warunkami granicznymi
ją się
do odcinków prostej jak na rys. 255, w miarę jak pole dąży do zera. Powodem matematycznym, dla którego błonki mydlane nie tworzą łuków stycznych, jest to, że gdy bai1ka odłącza się od wierzchołków, wtedy linie łączące mogą nie być liczone dwukrotnie. Odpowiednie doświadczenia zilustrowane są rysunkami 256 i 257.
Rys. 256
Rys. 257
Ćwiczenie. Zbadać podobne zagadnienie matematyczne: wyznaczyć trójkąt kołowy obejmujący
dane pole i taki, że jego obwód powiększony o trzy odcinki łączące wierzchołki z danymi punktami ma minimum długości.
Rys. 258
Zjawiska stabilności i przechodzenia pomiędzy różnymi stanami równowagi są źródłem doświadczeń, bardzo pouczających z punktu widzenia matematycznego. Doświadczenia te ilustrują teorię wartości stacjonarnych, ponieważ mo~n~ doko: nywać przejść w taki sposób, żeby przechodzić poprzez stan równowagi mestałej, która jest „stanem stacjonarnym". . . . Na przykład struktura sześcienna z rys. 240 (str. 362) przejawia pewną asymetrię: płaszczyzna pionowa w środku łączy wszystkie dwanaście płaszczyzn wychodz~ cych od boków. Zatem muszą istnieć co najmniej dwa ~nne położenia r~w:1owagi, jedno z pionowym, drugie z poziomym kwadratem na srodku. ~eczywiście, dmuchając przez cienką rurkę na boki kwadratu, możemy doprowadzić struktu~ę do takiego położenia, w którym kwadrat redukuje się do punktu, bę~ącego .środkiem sześcianu; to położenie równowagi niestałej przechodzi natychmiast w jedno z pozostałych położeń stałych, otrzymane z położenia pierwotnego przez obrót o 90°. Można przeprowadzić podobne doświadczenie z błonką mydlaną demonstrując zagadnienie Steinera dla czterech punktów tworzących kwadrat (rys. 219-220, str. 341).
.
.
.
Jeżeli chcemy otrzymać rozwiązania zagadnień tego rodzaju, jak przyi:'adki graniczne zagadnień izoperymetrycznych, i jeżeli np. chcemy otrzymać figurę
370
VII. Maksima i minima
rys. 240 z figury rys. 258 - to musimy wyssać część powietrza z bańki. Otóż figura na rys. 258 jest całkowicie symetryczna, a jej granicą przy dążącej do zera objętości bańki jest układ symetryczny złożony z 12 płaszczyzn stykających się w środku. Można to zaobserwować w rzeczywistości. Jednakże położenie otrzymane w granicy nie jest stanem równowagi stałej; przech~dzi 01:1? na_tomiast ~ j~dną ~ pozycji rysunku 240. Stosując nieco bardziej ~ep~ą ciecz mz opisaną wyzeJ, mozemy obserwować całe zjawisko z łatwością. Swiadczy ono o tym, że nawet w zagadnieniach fizycznych rozwiązanie zagadnienia może zależeć w sposób nieciągły od wielkości danych; w granicznym bowiem przypadku objętości równej zeru rozwiązanie rys. 240 nie jest granicą rozwiązania rys. 258 dla objętości e, gdy e dąży do zera.
Rozdział
VIII
Rachunek i całkowy
różniczkowy
Wstęp
I
Przez absurdalne uproszczenie przypisuje się czasem „wynalezienie" rachunku różniczkowego i całkowego dwóm ludziom, Newtonowi i Leibnizowi. W rzeczywistości rachunek różniczkowy i całkowy jest wytworem długiej ewolucji, która ani nie została zapoczątkowana, ani też zakończona przez Newtona i Leibniza, w której natomiast oni obaj odegrali decydującą rolę. Rozproszona po siedemnastowiecznej Europie, przeważnie poza uczelniami, istniała ożywiona grupa uczonych usiłujących kontynuować prace matematyczne Galileusza i Keplera. Poprzez korespondencję i podróże ludzie ci utrzymywali ze sobą ścisły kontakt. Uwagę ich przykuwały dwa ważkie zagadnienia. Pierwsze z nich to zagadnienie stycznych: wyznaczenie stycznych do danej krzywej - podstawowe zagadnienie rachunku różniczkowego. Drugie to zagadnienie kwadratury: wyznaczyć pole objęte daną krzywą - podstawowe zagadnienie rachunku całkowego. Wielką zasługą Newtona i Leibniza było wyraźne stwierdzenie ścisłego związku pomiędzy tymi dwoma zagadnieniami. W ich rękach nowe ujednolicone metody stały się potężnym narzędziem nauki. Do powodzenia przyczyniła się w znacznej mierze wspaniała symbolika wymyślona przez Leibniza. Jego osiągnięcia nie umniejsza żadną miarą fakt, że wiązało się ono z mętnymi i niemożliwymi do utrzymania pomysłami, które mogłyby utrwalić brak jasnego zrozumienia pojęć w umysłach przekładają cych mistycyzm nad jasność. Newton, który był daleko większym uczonym, pozostawał, jak się zdaje, głównie pod wpływem Barrowa (1630-1677), swego nauczyciela i profesora w Cambridge. Leibniz był początkowo daleki od zajmowania się matematyką. Znakomity prawnik, dyplomata, filozof, jeden z najczynniejszych i najwszechstronniejszych umysłów swego wieku, poznał nową matematykę w nieprawdopodobnie krótkim czasie, poprzez fizyka Huygensa, przybywając do Paryża w misji dyplomatycznej. Wkrótce potem Leibniz ogłasza wyniki zawierające istotę współczesnego rachunku różniczkowego i całkowego. Newton, którego odkrycia były znacznie wcześniejsze, miał awersję do publikacji. Ponadto, chociaż otrzymał pierwotnie wiele z tych wyników w swoich Principiach, za po-
372
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
mocą metod rachunku różniczkowego i całkowego, to wolał je jednak przedsta"".ić metodami geometrii klasycznej, w związku z czym w Principiach prawie że me ma wy~aźnego śladu rach~nku różniczkowego i całkowego. Dopiero potem ogłoszono Jego prace o metodzie „fluksji". Wkrótce jego wielbiciele rozpoczęli astr
i:a~kę o priorytet ze zwolennikami Leibniza, oskarżając ostatniego o plagiat, cha: Claz w atmosferze przesyconej elementami nowej teorii nie ma nic bardziej naturalnego niż równoczesne i niezależne odkrycie. Wynikły stąd spór o pierwszeń stwo „wynalezieni~" rachunku _róż~iczkowego i całkowego stał się nieszczęsnym przykładei:' .z~ytmego pod.kreslema spraw priorytetu, przykładem pretensji co do własnosc1 mtelektualneJ, co może zatruć atmosferę naturalnych kontaktów naukowych. W an~lizie .matema.tyc~nej XVII i większej części XVIII wieku, przyświecający ?~ekom 1~;ał J.asneg? 1 ŚC1sł~go rozumow~nia zdaje się być pominięty. „Intuicja" 1 „mstynkt staJą w wielu waznych zagadmeniach na miejsce rozumowania, co pobudza tylko do bezkrytycznej wiary w nadludzką moc nowych metod. Ogólnie panował pogląd, że jasne przedstawienie wyników rachunku różniczkowego i całkowego jest nie tylko zbyteczne, ale i niemożliwe. Gdyby nie to, że nowa nauka była "'.' rękach małej grupy nadzwyczaj dobranych ludzi, mogłyby stąd wyniknąć p~wazne bł~dy, ~ na';e_t katastrofa: Pionie~ów tych prowadziła subtelna intuicja, me pozwalaiąca 1m Zejśc na bezdroza. Gdy jednak Rewolucja Francuska otworzyła drogę do. ogromnego rozszerzenia zakresu szkolnictwa wyższego, gdy coraz to wzrast~ł~ ilość l~dzi, ~tórz~ chcieli uczestniczyć w działalności naukowej, krytyczna rewizJa nowej analizy me mogła być dłużej stawiana na drugim planie. Mankament t.en został pokonany z powodzeniem w XIX wieku; dzisiaj rachunek różnicz k~wy ~ całkowy .może być już wykładany bez śladu mistycyzmu, w sposób zupełme ścisły. Usumęte zostały przyczyny, z powodu których to podstawowe narzę dzie nauk nie mogło być zrozumiane przez wykształconego człowieka. Rozdział ten ma na celu posłużyć za elementarny wstęp, w którym nacisk jest p.ołożon:V: raczej na wyjaśnienie podstawowych pojęć niż na formalne manipulaqe: B~dz~~~y stosowali stale język intuicyjny, ale w sposób zgodny ze ścisłymi po1ęc1am1 11asnym postępowaniem.
§ 1.
Całka
373
kwadraty o boku 1/N i polu 1/N2. Ilość kwadratów jest równa 11111' •11111' i całe pole wynosi 11111' ·11111' · 1IN2 =nm'·111n'ln 2n 12 =(mln) (m'ln') = pq. Jeżeli liczby pi q są niewymierne, to otrzymujemy ten sam wynik zastępując najpierw pi q przybliżony mi liczbami wymiernymi Pr i qr i przyjmując następnie, że liczby Pr i qr dążą odpowiednio do pi q. Geometrycznie jest oczywiste, że pole trójkąta równa się połowie pola prostokąta o tej samej pods.tawie bi o wysokości h; stąd pole trójkąta jest dane za pomocą znanego wyrażenia ł bh. Każdy obszar płaski, ograniczony jednym lub więcej wielokątami, może być rozbity na trójkąty; pole jego można zatem otrzymać jako sumę pól owych trójkątów. Potrzeba bardziej ogólnych metod wyznaczania pól powstaje wtedy, gdy szukamy pola figury, która nie jest ograniczona wielokątami, lecz krzywymi. Jak np. wyznaczyć pole tarczy koła lub odcinka paraboli? To kluczowe zagadnienie, leżące u podstaw rachunku całkowego, było rozważane już w trzecim stuleciu przed naszą erą przez Archimedesa, który obliczał takie pola metodą „wyczerpywania". Wraz z Archimedesem i wielkimi matematykami poprzedzającymi Gaussa możemy przyjąć „naiwny" pogląd, że pola krzywoliniowe są tworami danymi intuicyjnie i że zagadnienie nie polega na ich zdefiniowaniu, ale na obliczeniu tych pól (por. jednakże rozważania na str. 431). Wpiszmy w dany obszar pewien obszar przybliżają cy o obwodzie wielokątnym, tj. o dobrze określonym polu. Obierając inny obszar wielokątny, zawierający poprzedni, otrzymujemy lepsze przybliżenie danego obszarn. Postępując tą drogą „wyczerpujemy" stopniowo całe pole, otrzymując pole danego obszaru jako granicę pól odpowiednio dobranego ciągu obszarów wielokątnych wpisanych o rosnącej ilości boków. Pole koła o promieniu 1 może być wła śnie tak obliczone; jego wartość liczbową oznaczamy symbolem n. Archimedes przeprowadził to ogólne postępowanie dla koła i dla odcinka paraboli. W ciągu XVII wieku stosowano to postępowanie z dobrym skutkiem do wielu innych przypadków. W każdym przypadku efektywne obliczenie granicy zależało od pomysłowego schematu specjalnie dobranego do poszczególnego zagadnienia.Jednym z głównych osiągnięć rachunku różniczkowego było zastąpie nie tych specjalnych i ograniczonych sposobów obliczania pól ogólną, potężną metodą.
§ 1.
Całka
1. Pole jako granica. Dla obliczenia pola figury płaskiej obieramy za jednostkę pola kwadrat, którego boki mają długość równą jednostce. Jeżeli jednostką długości jest centymetr, to jednostką pola będzie centymetr kwadratowy, a więc
l~~adr.at, którego boki maj~ dłu?ość jednego centymetra. Na podstawie tej definiCJI mozna bardzo łatwo obhczyc pole prostokąta. Jeżeli pi q są długościami dwóch ~ąsiednich boków, mierzonymi w jednostkach długości, to pole prostokąta ma pq jednostek kwadratowych, lub krótko, to pole jest równe iloczynowi pq. Twierdzenie to jest prawdziwe przy dowolnych pi q, wymiernych lub niewymiernych. Dla wymiernych pi q otrzymujemy ten wynik pisząc p= mln, q=m'ln', gdziem, n, 11.1', n' są licz~ami całkowitymi. Znajdujemy następnie wspólną miarę obu boków, tJ. l/N = 1/nn, a więcp=111n'·l/N,q = 11111'·1/N. Wreszcie dzielimy prostokąt na małe
2. Całka. Pierwszym pojęciem podstawowym rachunku różniczkowego i cał kowego jest pojęcie całki. W punkcie tym przez całkę będziemy rozumieli wyrażenie pola pod krzywą za pomocą gray nicy. Jeżeli dana jest funkcja ciągła y = f(x) o wartościach dodatnich, np. y= f(x) y=x2 lub y=l+cos x, to rozważmy obszar ograniczony od dołu odcinkiem osi x (od pewnej współrzędnej a do większej od niej współrzędnej b), odcinkami prostopadłymi do osi x w punktach a i b oraz ograniczony od góry krzywą y = f(x). Naszym celem jest oba b X o liczenie pola tego obszaru (rys. 259). Rys. 259. Całka jako pole ~
"
374
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
§ 1. Całka
Wobec tego, że obszar taki nie może być na ogół rozbity na prostokąty lub trójnie może być również mowy o wzorze na pole A w postaci sumy skoł1czonej. Możemy natomiast znaleźć przybliżoną wartość na A, a następnie przedstawić A jako granicę w sposób następujący: Dzielimy odcinek od x=a do x=b na pewną ilość mniejszych odcinków, wystawiamy prostopadłe w każdym punkcie podziału i zastępujemy każdy pas obszaru pod krzywą przez prostokąt, którego wysokość przyjmujemy gdzieś pomiędzy największą a najmniejszą wysokością krzywej w tym pasie. Suma S pól tych prostokątów daje przybliżoną wartość rzeczywistego pola A pod krzywą. Dokładność przybliżenia jest tym lepsza im większa jest ilość prostokątów i im mniejsza jest szerokość poszczególnego prostokąta. Możemy więc scharakteryzować dokładną wielkość pola jako granicę. Jeżeli utworzymy ciąg
375
b-a Ll.x=--=X·+1-X·, n J J
kąty,
gdzie symbol LI. oznacza po prostu różnicę (jest to symbol ,,operatorowy" i nie może Za wysokość każdego przybliżającego prostokąta możemy obrać wartość y = f (x) w prawym końcu małego przedziału (rys. 260). W takim razie suma pól tych prostokątów będzie równa być uważany za liczbę).
5 11 = f(X1) Ax + f(X2)
(4)
co piszemy w skrócie w postaci
nastę
Ó.X
+ „. + f(x„) LI.X,
y
pującej:
(1)
(5)
przybliżeń prostokątnych pola
pod krzywą w taki sposób, że szerokość najszerszego prostokąta w sumie S 11 dąży do zera przy wzroście n, to ciąg (1) dąży do granicy A, tj.
Tutaj symbol
S11
(2)
--7
A,
±
1-1
(czytaj „sigma od j = 1
do n") oznacza sumę wszystkich wyrakolejno wartości 1, 2, 3, „., n.
żeń otrzymanych przez nadanie j
przy czym granica A, równa polu pod krzywą, jest niezależna od sposobu obrania ciągu (1), jeżeli tylko szerokości prostokątów przybliżających dążą do zera. (Np. S 11 może powstać z s„_ 1 przez dodanie jednego lub kilku nowych punktów podziału do punktów określających S11 _ 1 albo też wybór puntów podziału dla S 11 może być zupełnie niezależny od wyboru punktów dla 5 11 _ 1). Z definicji całką funkcji f(x) od a do b nazywamy pole A obszaru, określone przez ten proces graniczny. Używając specjalnego symbolu, „znaku całki", piszemy A= Symbol
f, znak „dx" i wyraz
10
2+3+4+„.+10=
J f(x) dx.
x 0 =a, 2(b- a) n
b-a X1=a+-- 1 n
n(b-a) x„ =a+---=b. n Na wielkość (b-a)/n, tj. różnicę pomiędzy dwiema kolejnymi wartościami x, wprowadźmy oznaczenie Ax (czytaj „delta x"): x 2 =a+---,
_L,j, j=2 li
1+2+3+„.+n= _L,j,
„całka" zostały
wprowadzone przez Leibniza dla podkreślenia sposobu, w jaki otrzymujemy granicę. Aby wytłumaczyć te oznaczenia, powtórzymy bardziej szczegółowo proces przybliżania pola A. Sformułowanie analityczne procesu granicznego pozwoli nam jednocześnie odrzucić ograniczające warunki, tj. f(x);::: O i b >a, a także wyeliminować poprzednie intuicyjne pojęcie pola jako podstawę naszej definicji całki (to ostatnie uczynimy w dodatku,§ 1). Podzielmy odcinek od a do b na mniejsze odcinki, o których zakładamy dla uproszczenia, że mają jednakową długość (b-a)/n. Punkty podziału oznaczmy przez
a
Rys. 260. Pole przybliżone przez małe prostokąty
Stosowanie symbolu :E dla wyrażenia w formie skróconej wyniku sumowania można zilustrować za pomocą następujących przykładów:
b
(3)
O
j=l li
12 +22 +32 +„.+112
=_L,j2, 'j=l
aq+aq 2 +„.+aq"
li
=.L,aqj, j=1
li
!.•
a+(a+d)+(a+ 2d)+„.+(a+ nd) =.L,(a+ jd).
J
j=O
Utwórzmy teraz ciąg takich przybliżeń S11 , gdzie n wzrasta nieograniczenie, tak sumie (5) wzrasta, natomiast każdy poszczególny wyraz f(x}Ax zbliża się do zera ze względu na czynnik Ax = (b-a)/n. Gdy n wzrasta, suma ta dąży do pola A, tj. że ilość wyrazów w
11
(6)
/J
f
A=lim:2,J(xj)Ax= f(x)dx. j=1
.-
376
§ 1.
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
Leibniz uwydatnił symbolicznie przejście od sumy przybliżającej 511 do granicy A, zastępując znak sumowania S przez J, a symbol różnicy ó. przez symbol d. (Symbol sumowania L pisano za czasów Leibniza zwykle w postaci S, a symbol f jest po prostu stylizowaną literą S). Symbolika Leibniza w sposób bardzo sugestywny uzmysławia sposób, w jaki otrzymujemy całkę jako granicę sumy skończonej, i nie należy przypisywać zbyt wielkiego znaczenia temu, co jest w końcu tylko umową dotyczącą sposobu oznaczania granicy. W początkach rachunku różniczkowego i całkowego, gdy pojęcie granicy nie było rozumiane dostatecznie jasno i nie zawsze o nim pamiętano, wyjaśniano znaczenie całki mówiąc, że „zastępuje się różnicę skończoną ó.x przez wielkość nieskończenie małą dx, a sama całka jest sumą nieskończenie wielu nieskończenie małych wielkości f(x)dx". Chociaż nieskończenie mała jest w pewnym stopniu atrakcyjna dla filozoficznych umysłów, to jednak nie ma dla niej miejsca w matematyce współczesnej, nie jest bowiem użyteczne otaczanie jasnego pojęcia całki mgłą wyrażeń bez znaczenia. Nawet Leibniza zwodziła czasami sugestywna siła jego symboli; działają one tak, jak gdyby oznaczały sumę „nieskończenie małych" wielkości, które można jednak poddać rachunkom do pewnego stopnia tak samo, jak zwykłe wielkości. Istotnie, słowo całka zostało ukute dla zaznaczenia, że całe lub całkowite pole A składa się z „niesko6czenie małych" części f (x)dx. W każdym bądź razie, dopiero po stu niespełna latach po Newtonie i Leibnizu stwierdzono jasno, że tylko pojęcie granicy jest prawdziwą podstawą definicji całki. Stojąc mocno na tej podstawie możemy uniknąć qiłego zamętu, wszystkich trudności i wszystkich niedorzeczności tak kłopo tliwych we wczesnych etapach rozwoju rachunku różniczkowego i całkowego. 3. Ogólne uwagi o pojęciu całki. Definicje ogólne. W naszej geomeb-ycznej definicji całki jako pola zakładaliśmy wyraźnie, że funkcja f (x) jest nieujemna w całym przedziale [a, b] całkowania, tj. że żadna część jej wykresu nie leży poniżej osi x. Ale w naszej analitycznej definicji całki jako granicy pewnego ciągu sum S„ założenie to jest zbędne. Bierzemy po prostu małe wielkości f(xj)t.x, tworzymy ich sumę i przechodzimy do granicy; postępowanie to pozostaje w pełni sensowne, gdy niektóre lub wszystkie wartości f(x) są ujemne. Interpretując to geometrycznie za pomocą pól (rys. 261) stwierdzamy, że a • x całka funkcji f (x) jest sumą algebraiczną pól ograniczonych przez wykres i oś x, przy czym pola położone poniżej osi x są liczone jako ujemne, a poła Rys. 261. Pole dodatnie i ujemne pozostałe jako dodatnie.
Może się zdarzyć, że zastosowania doprowadzą nas do całki
b
Jf(x) dx, gdzie b n
jest mniejsze od a i (b-a)/n = ó.x jest liczbą ujemną. W naszej definicji analitycznej wyrażenie f(x;)ó.x jest ujemne, gdy f(x;) jest dodatnie i t.x ujemne itd. Innymi sło wy, wartość takiej całki jest równa wartości całki od b do a ze znakiem minus. Mamy więc prostą regułę b
n
Jf (x) dx = - Jf (x) dx.
Całka
377
Musimy podkreślić, że wartość całki pozostanie bez zmiany, jeżeli nawet nie ograniczymy się do równoległych punktów podziału xj albo, co na to samo wychodzi, do jednakowych różnic t.x=xj+t-xt Możemy obrać wielkości x. w inny sposób, tak że różnice t.xj=xj+t-xj mogą me być równe (należy je wtedy rozróżniać za pomocą wskaźników). Nawet wtedy sumy
jak również sumy
s;. = f(Xo)f:.xo+ f(X1)f:.x1 + .„ + f(X„_ 1)f:.x„_ 11
dążą do tej samej granicy, mianowicie do wartości całki
b
Jf (x) dx, jeżeli tylko zabez-
pieczony jest warunek, aby przy wzroście n wszystkie różnice t.xj = xj + 1 - xj dążyły do zera w taki sposób, że największa z tych różnic przy danym n dąży do zera, gdy n wzrasta. Wobec tego ostateczna definicja całki dana jest wzorem b
(6')
tJ
Jf(x)dx =lim I,J( vj )t.xj, j=l
przy n ~oo, W granicy tej vj oznacza dowolny punkt przedziału xj s; vj s; xj+l' a jedynym ograniczeniem podziału jest to, że największy przedział t.xj = xj + 1 - xj musi dążyć do zera ze wzrostem n (rys. 262).
Rys. 262. Dowolny podział w ogólnej definicji całki
Istnienie granicy (6') nie wymaga dowodu, jeżeli przyjmujemy za znane poję cie pola pod krzywą i możliwość przybliżania tego pola przez sumy prostokątów. Jednakże, co okaże się w dalszych rozważaniach (str. 431), dokładniejsza analiza wskazuje, że jest celowy (a nawet konieczny dla pełnego pod względem logicznym przedstawienia pojęcia całki) dowód istnienia granicy przy dowolnej funkcji ciągłej f(x), bez odwoływania się do pierwotnego geometrycznego pojęcia pola. 4. Przykłady na całkowanie. Całkowanie funkcji xr. Dotychczas nasza dyskusja charakter wyłącznie teoretyczny. Zachodzi zasadnicze pytanie, czy ogólny schemat, polegający na utworzeniu sumy 511 i przejściu następnie do granicy, daje się zastosować w konkretnych przypadkach. Oczywiście, wymaga to pewnych uzupełniających rozumowań dostosowanych do poszczególnych funkcji f (x), dla których chcemy znaleźć całkę. Gdy Archimedes dwa tysiące lat temu znalazł pole pojęcia całki miała
378
VIII. Rachunek
różniczkowy
§ 1. Całka
i całkowy
odcinka paraboli, dokonał, posługując się bardzo pomysłowym schematem, tego co obecnie nazywamy całkowaniem funkcji f(x)=x2. W XVII wieku pionierzy współ czesnej analizy zdołali rozwiązać zadanie scałkowania prostych funkcji takich jakx", również zresztą za pomocą specjalnych schematów. Dopiero po nabraniu doświad.: czenia w poszczególnych przypadkach okryto ogólne podejście do zagadnienia całko wania i dzięki systematycznym metodom analizy rozszerzył się znacznie krąg moż. liwych do rozwiązania zagadnień szczególnych. W punkcie tym rozważymy kilka pouczających zagadnień szczególnych należących do etapu „przedanalitycznego", bo nic nie może lepiej ilustrować całkowania jak proces graniczny. a. Rozpoczniemy od zupełnie trywialnego przykładu. Jeżeli y = f(x) jest warto-
r I
379
1 1 5 11 =a(b-a) + 2 (b-a) 2 + (b-a) 2 • 211 Jeżeli teraz n dąży do nieskoi1czoności, to ostatni wyraz dąży do zera i otrzymuje-
my 1
li
lim S11 =
1
Jx dx=a(b-a) + 2 (b-a) 2 = 2 (b2-a2),
co jest zgodne z geometryczną interpretacją całki jako pola. y
y
b
ścią stałą, np. f (x) = 2, to, oczywiście całka J2 dx, rozumiana jako pole, jest równa
(b, b)
2(b-a), ponieważ pole prostokąta równa się podstawie pomnożonej przez wysokość. Porównamy ten wynik z definicją (6) całki jako granicy. Jeżeli w (5) podstawiamy f(x) =2 dla wszystkich wartościj, to znajdujemy Il
Il
Il
S11 = :LJ(xj)ilx= L,2ilx=2L,ilx=2(b-a) j=1
j=1
j=1
dla każdego n, ponieważ
Rys. 264. Pole pod
Rys. 263. Pole trapezu
parabolą
li
!
2:dx= (x 1 -x0 ) + (x2 -x1) + ... + (x11 -x11 _
!
1)
=x„-x0 =b-a.
j=1
b. Niemal równie proste jest całkowanie funkcji f(x) = x. Tutaj
11
Jx dx jest polem
trapezu (rys. 263), które jak wiemy z geometrii elementarnej, jest równe
(b-a) b+a = bz -a2. 2 2 Wynik ten znowu zgadza się z definicją (6) całki, jak to widać z efektywnego przejścia do granicy bez korzystania z figury geometrycznej. Mianowicie jeżeli podstawimy f (x) = x we wzorze (5), to suma S11 równa się li
li
S11 = L,xjilx =L, (a+ jilx)ilx=(na +ilx+2ilx+3ilx+ ... + nilx)ilx = j=l
c. Mniej trywialne jest całkowanie funkcji f (x) = x2• Archimedes za ~omocą metody geometrycznej rozwiązywał zagadnienie równow~żne, polegające i:a wyznaczeniu pola odcinka paraboli y=x2 (rys. 264). Zastosu1emy postępowame analityczne na podstawie definicji (6'). Dla uproszczenia rachunków formalnych przyjmujemy zero jako „dolną granicę" a całki; wobec tego ilx =bln. Ze względu na xj = j ilx oraz f(9 = j2(/:i.x)2 otrzymujemy na S11 wyrażenie
" dx )dx = [l2(ilx)2 + 22(iix) 2 + ... + n2(ilx)2]1lx = (1 2 + 22 + ... + n2)(ilx) 3. s = 2:JU 11
j=1
Możemy teraz efektywnie obliczyć granicę. Stosując wzór 12
+ 22 + ... + 712 =
n(n + 1)(211+1) 6
wyprowadzony na str. 37 i podstawiając óx =bln mamy
j=1
=nailx + (ilx) 2(1+2 + 3 + ... +n). Stosując wyprowadzony na str. 35
wzór (1) na postęp arytmetyczny 1+2 + 3 + ... +n
mamy
_
sit -nadx+ Wobec ilx = (b-a)ln suma ta jest równa
n(n+l) 2 2 (dx) .
5 "
=n(n+1)(2n+1) . .!t..=.!t..(i+.!.)( 2 +.!.). 6 6 n n n3
Wstępne przekształcenie ułatwia przejście do granicy, ponieważ lin dąży do zera, gdy n wzrasta nieograniczenie. Tak więc w granicy otrzymujemy po prostu (b3/6) • 1·2 = b313, skąd
380
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
Stosując
ten wynik do pola od O do a mamy
§ 1.
Całka
381
Podstawiając t zamiast qk+I widzimy, że wyrażenie w klamrach jest postę pem geometrycznym 1 +t+t2+ ... +t'•- 1, którego suma, jak wykazano na str. 36, wynosi (t"-1)/(t-1). Ale
a
Jo x 2dx=a 3/3 i przez odejmowanie pól b
Stąd
fx 2 dx= (b3-a3)/3.
Ćwiczenie. Udowodnić w ten sam sposób, korzystając z wzoru (5) na str. 37,że
gdzie
(8) Dotąd
my
b
Jx
3
dx=(b 4 -a4)/4.
n było liczbą
l+l_l N=--· q-1
skończoną. Przypuśćmy
granicę wyrażenia
teraz, że n wzrasta i wyznaczN. Gdy n wzrasta, pierwiastek n-tego stopnia
'.i/b I a = q dąży do 1 (patrz str. 310), zatem zarówno licznik, jak mianownik
a
wyrażenia
Poszukując ogólnych wzorów na sumę lk + 2k + „. naturalnych od 1 do n można otrzymać wynik
ak+l Jxkdx= bk+lk+l -
+ nk k-tych potęg liczb
b
(7)
a
I
gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. Zamiast postępować w ten sposób, możemy otrzymać w prostszy sposób wynik nawet bardziej ogólny korzystając z naszej poprzedniej uwagi, że można obliczyć całkę na podstawie podziału za pomocą niejednakowo oddalonych punktów. Wyprowadzimy wzór (7) nie tylko dla dowolnej liczby całkowitej k, lecz także dla dowolnej liczby wymiernej, dodatniej lub ujemnej k = u/v, gdzie u jest liczbą całkowitą dodatnią lub ujemną, a v jest liczbą naturalną. Wyłącza się tylko wartość k = -1, przy której wzór (7) traci sens. Będziemy również zakładali, że O < a < b. Aby otrzymać wzór całkowy (7), tworzymy sumę 5 11, obierając punkty podziału x 0 =a, x 11 x 2, „., x„=b w postępie geometrycznym. Przyjmujemy '.i/b I a = q, skąd bla= q", i zakładamy, że x 0 =a, x 1 = aq, x2 = aq 2, .„, x 11 = aq" = b.
Jak zobaczymy, przejście do granicy staje się dzięki temu bardzo łatwe. Dla „sumy prostokątów" s„ wobec oraz mamy 511= ak(aq-a) +akqk(aq2-aq) +akq2k(aq3-aq2) + „. +akq(11-1)k (aq"-aq"-1). Wobec tego, że
każdy
N dążą do zera, co sprawia, że musimy być ostrożni. Przypuść my najpierw, że k jest liczbą naturalną; w takim razie można wykonać dzielenie przez q-1 i otrzymujemy (patrz str. 36) N=qk +qk-l + „. +q + 1. Jeżeli teraz 11 rośnie, to q dąży do 1 i stąd q2, q3, „., qk także dążą do 1, a więc N zbliża się dok+ 1. Ale to pokazuje, że S„ dąży do (bk+l_ak+ 1)/(k+ 1),czegonależa ło dowieść.
Ćwiczenie. Udowodnić, że dla dowolnej liczby wymiernej le* -1 pozostaje prawdziwy ten sam wzór graniczny N ~ le+ 1, a więc i wynik (7). Podać najpierw dowód, zgodnie z naszym modelem, dla ujemnych liczb całkowi tych le. Następnie, jeżeli le= u/v, to piszemy ql!" = s i s
Gdy 11 wzrasta, to zarówno q = '.i/b I a , jak is= qllv dążą do 1, zatem wielkości s"+v -1 s" -1 - -- i - -- dążą odpowiednio do u + v i v, co daje znowu (u+ v) /v =le+ 1 s- 1 s- 1 jako granicę wyrażenia N. W § 5 zobaczymy, w jaki sposób można zastąpić to przydługie i nieco sztuczne rozważanie prostszymi i silniejszymi metodami analizy.
Ćwiczenia. 1. Sprawdzić poprzedni przypadek całkowania dla le= 2, -2,3, -3.
2. Znaleźć wartości całek: -]
wyraz zawiera czynnik ak(aq-a), możemy napisać a.
5 11 = ak+l(q-1) [1 +qk+1 +q2
fxdx;
-2
fxdx;
-1
-2
2
+]
b.
c.
Jx 2dx; 1
d.
f x dx; 3
-1
li
e.
Jxdx. o
±,-±,
§ 1. Całka
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
382
3. Znaleźć wartości całek: +l
a.
fx3dx;
-1
WsKAZówKA.
+2
b.
f:t.Jcosxdx;
-2
Rozważyć
+l
c.
+l
fx4cos xsin xdx; 2
5
d.
-1
ftgxdx.
-1
wykresy funkcji podcałkowych, uwzględnić ich sy-
383
Dowód wynika bezpośrednio z definicji całki jako granicy sumy skończonej (5), odpowiednie reguły dla sumy S11 są, oczywiście, prawdziwe. Regułę można rozciągnąć natychmiast na sumę większej ilości funkcji. . . Jako przykład zastosowania tej reguły rozpatrzmy wielomian ponieważ
x =O i zinterpretować całki jako pola. 4 *. Scałkować sin x i cos x od O do b podstawiając d.x = h i stosując wzory ze metrię względem
str. 486. 5. Scałkować f (x) = x i f (x) = x 2 od O do b przy podziale na równe części stosując we wzorze (6') wartości
gdzie współczynniki all' al' „., a„ są stałe. Dla wyznaczenia całki z f(x) od a do b bierzemy każdy składnik oddzielnie zgodnie z naszą regułą. Stosując wzór (7) znajdujemy b2 -a2
11
f f(x)dx=a (b-a)+a ---+„.+a 2 0
1
b"+1 -a"+1
11
a
6*. Korzystając z wyniku (7) i definicji całki przy jednakowych wartościach d.x udowodnić zależność graniczną:
c
b
c
f f(x) dx + f J(x) dx = f f(x) dx. /1
c
Ponadto, oczywiście, całka jest równa zeru, gdy b równa się a. 1
WSKAZÓWKA. Położyć 1/n = d.x i wykazać, że granica jest równa
f
xk dx.
()
7.
;!
Udowodnić, że
dla n ~ oo
1( .J 1 1
r vn
l+n
1)
+ r,:;-:- + .„ + r--:- ~ 2( J2 -1). v2+n vn+n
WsKAzówKA. Napisać tę sumę w taki sposób, żeby jej granica stała się całką. 8. Obliczyć pole odcinka parabolicznego ograniczonego łukiem P 1P 2 i cięci wą P 1P 2 paraboli y = ax2 za pomocą współrzędnych x1 i x 2 obu punktów. 5. Prawa „rachunku całkowego". Ważnym krokiem w rozwoju rachunku cał kowego było sformułowanie pewnych ogólnych reguł, na podstawie których moż na sprowadzać zagadnienia bardziej złożone do prostszych i rozwiązać je w ten sposób za pomocą niemal mechanicznego postępowania. Ten rys algorytmiczny występuje szczególnie wyraźnie w oznaczeniach Leibniza. Jednakże zbytnie koncentrowanie się na mechanicznym rozwiązywaniu zadań może zdegradować nauczanie analizy do pustej musztry. Pewne proste reguły dla całek wynikają bezpośrednio bądź z definicji (6), bądź z interpretacji całek jako pól. Całka
sumy dwóch funkcji równa się sumie całek tych dwóch funkcji. Całka stałej c przez funkcję f(x) równa się stałej c pomnożonej przez całkę funkcji f (x).
pomnożonej
Obie te reguły łącznie wyrażamy wzorem b
(9)
b
b
f [c f(x) +dg(x)] dx=c f f(x) dx+d fg(x) dx. a
a
a
•
Inną regułę, wynikającą w sposób oczywisty zarówno z definicji analitycznej, jak i z interpretacji geometrycznej, daje wzór
(10)
gdy n~oo.
n+l
Jf(x) dx= -
(11)
Reguła
ze sh: 376.
a
b
f f(x) dx
jest zgodna z dwiema ostatnimi regułami, ponieważ odpowiada wzorowi (10) dla c=a. Dogodnie jest czasem korzystać z tego, że wartość całki nie zależy w żadnym razie od szczególnego oznaczenia x zmiennej niezależnej w f (x); na przykład 11
b
b
f f(x) dx = f f(u) du = f f(t) dt a
itd., zmiana bowiem tylko w oznaczeniach osi współrzędnych wykresu nie zmienia poła pod krzywą. Ta sama uwaga stosuje się również do przypadku, gdy wprowadzamy pewne zmiany w samym układzie współrzędnych. Przesuńmy na przykład początek wspóh-zędnych w prawą stronę o jednostkę dłu gości z O do O', jak na rys. 265; zamiast x mamy więc nową współrzędną x', taką, że x=l+x'.
Krzywa o równaniu y = f (x) będzie miała w nowym układzie współrzędnych równanie y = f(l + x'). (Np. y = 1/x = 1/(1 + x'). Dane pole A pod tą krzywą, dajmy na to pole pomiędzy x = 1 i x = b, jest w nowych współrzędnych polem pod łukiem pomiędzy x' =O i x' = b-1. Mamy więc b
f!
11-]
f f(l+x') dx o
Rys. 265.
Przesunięcie
osi y
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
384
§ 2. Pochodna
Jeżeli f(x) jest funkcją nieujemną, to f(x) = If(x) I. Jeżeli f(x) < O, to If(x) I > f(x). Stąd podstawiając g(x) = If(x) I we wzorze (13) otrzymujemy użyteczny wzór
albo zmieniając nazwę x' na u otrzymujemy b
(12)
b-1
fi
Na
Wobec
1 b-1 1 f-dx= f - d u ; l X O l+u b
b
b
a
n
Jf(x) dx:::; J If (x) Idx .
(15)
przykład
I - f (x) I = If (x) I, mamy również
/1
b
- Jf(x) dx:::; J If (x) Idx,
a przy funkcji f(x) =xk
n
co łącznie ze wzorem (15) daje nieco
11-1
b
n
mocniejszą nierówność
J xkdx= f (l+uldu.
o
1
b-1
b
równości
bk+l J (1+uldu=--· -1 k+l
'
'
Ćwiczenia. 1. Obliczyć całkę z sumy 1 + x + x2 + ... + x" od O do b. 2. Dla n > O udowodnić, że całka z funkcji (1 + x)" od -1 do z jest równa (1+z)"+ 1/(11+1).
3.
Wykazać, że wartość całki
z funkcji x" sin x od O do 1 jest mniejsza
niż
1/(11+1).
WSKAZÓWKA. Ostatnia wartość jest całką z x". 4. Udowodnić bezpośrednio i przy zastosowaniu twierdzenia dwumianowego, że całka od -1 do z z funkcji (1 + x)"/n równa się (1 +z)"+ 1/11(11 + 1 ). Wspomnimy wreszcie o dwóch ważnych regułach mających postać nierówności. Reguły te pozwalają na przybliżone, ale użyteczne szacowanie wartości całek. Załóżmy, że b > a i że wartości f (x) w przedziale nigdzie nie przewyższają wartości
innej funkcji g(x). Mamy wtedy
g(x)
b
b
n
a
ff(x) dx:::: J g(x) dx,
(13)
y
co wynika natychmiast z rys. 266 lub z analitycznej definicji całki. W szczególności gdy funkcja g(x) = M jest stałą, której wartość przewyższa funkcję f (x), mamy b
b
J g(x) dx =JM dx =M (b-a),
j(x)
n skąd
wynika,
że b
Rys. 266
(14)
I:::: {
b
If (x) Idx .
§ 2. Pochodna wynosi bk+l/(k+ 1), otrzymujemy
b-1
>'
I{ f(x) dx
(k~O).
J xkdx= J (l+uldu
o -1 Wobec tego, że lewa strona ostatniej
b
(16)
Podobnie :I
385
fJ
/
1: Podchodna jako nachylenie stycznej. Pojęcie całki tkwi korzeniami w starożytności, natomiast drugie podstawowe pojęcie.pochodnej( zostało sformułowane dopiero w XVII wieku przez Fermata i innych) Odkrycie przez Newtona i Leibniza organicznego związku pomiędzy tymi dwoma na pozór zupełnie róż nymi pojęciami zapoczątkowało bezprzykładny rozwój matematyki. Fermat zajmował się wyznaczaniem maksimów i minimów funkcji y = f(x). Na wykresie funkcji maksimum odpowiada wierzchołkowi przewyższającemu wszystkie punkty sąsiednie, natomiast minimum odpowiada punktowi na dnie wąwozu, niższemu od wszystkich punktów sąsiednich. Na rysunku 191 na str. 326 punkt B jest maksimum, a punkt C jest minimum. Do scharakteryzowania punktów maksimum i minimum służy w sposób naturalny pojęcie stycznej do krzywej. Zakłada my, że wykres nie ma ostrych załamań oraz że w każdym punkcie ma określony kierunek, dany za pomocą stycznej. W punktach maksimum lub minimum styczna do wykresu y = f (x) musi być równoległa do osi x, ponieważ w przeciwnym razie krzywa byłaby w tych punktach rosnąca lub malejąca. Uwaga ta nasuwa myśl badania w sposób zupełnie ogólny kierunku stycznej do krzywej, w każdym punkcie P wykresu y = f (x). Dla scharakteryzowania kierunku prostej w płaszczyźnie xy podaje się zwykle nachylenie prostej, które równa się tangensowi kąta a mierzonego od kierunku dodatniego osi x do tej prostej. Jeżeli P jest dowolnym punktem prostej L, toposuwamy się na prawo do pewnego punktu R, a następnie w górę lub w dół do punktu Q na prostej; wtedy nachylenie prostej L =tg a= RQIPR. Długość PR przyjmujemy za dodatnią lub ujemną zależnie od tego, czy od R do Q posuwamy się w górę, czy w dół, nachylenie daje więc wzrost lub spadek na jednostkę długości w kierunku poziomym, przy ruchu wzdłuż prostej od strony lewej do prawej. Na rysunku 267 nachylenia prostych wynoszą odpowiednio 2/3 i -1. Przez naclzylenie krzywej w punkcie P rozumiemy nachylenie stycznej do krzywej w punkcie P. Dopóki przyjmujemy styczną do krzywej jako pojęcie matematyczne dane intuicyjnie, dopóty występuje tylko zagadnienie znalezienia metody
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
386
§ 2. Pochodna
obliczania nachylenia. Na razie przyjmiemy ten punkt .widzenia, dodatku dokładniejszą analizę występujących tutaj zagadnień. y
odkładając do
Wyprowadzimy teraz wzór na nachylenie stycznej. Nachylenie siecznej t 1 dane jest wzorem
y
Q
nachylenie siecznej t
I p __g_
1
albo, jeżeli znowu oznaczymy operację to
+
387
= Y1 -y = f(xi)- f(x) X1 -X
polegającą
X1 -X
na tworzeniu
różnicy
przez /:i,
l:ly l:lf(x) nachylenie siecznej t1 = - = - - ·
-+------+-----__JR
/:lx
X
Q·t--------------:x
Rys. 267. Nachylenie prostych
. ~(J?o~ho~na jak() granic~\ Nachylenie krzywej y = f(x) w punkcie P(x, y) nie moze hyc obliczone na podstawie danych o samym punkcie P. Trzeba tu odwołać się do p~wnego postępowania graniczne~~i doś'2:Podobnego do postępowania występuJącego przy ob~ic~aniu pola pod krzywą.(!b postępowanie graniczne jest p~dstawą ra_chunku rózmczk~.~.~l38,:, ~o~""'.ażamy na krzywej inny punkt P1, bliski P, o wspołrzędnych xJt y1 {r.ys::26~). 't'.m1ę prostą łączącą punkt P z p 1 oznaczamy przez t 1; jest to sieczna krzywej, która przybliża styczną w punkcie P, gdy y
/:lx
Nachylenie siecznej t 1 nazywamy ilorazem różnicowym-jest to mianowicie różnica l:i.y wartości funkcji podzielona przez różnicę /:lx wartości zmiennej niezależnej. Ponadto nachylenie prostej t =granicy nachylenia prostej t1 = lim L:!..y =lim f(xi )- f (x), L:!..x X1-X gdzie granicę rozważamy przy x 1~ x, tzn. dla /:lx= x 1- x ~O. Nachylenie stycznej do krzywej jest granicą ilorazu różnicowego l:ly/!:lx, gdy /:lx= x 1- x zbliża się do ze1E.:.J' Pierwotna funkcja f(x) podawała wysokość krzywej y = f(x) dla wartości x. Możemy teraz rozpatrzyć nachylenie krzywej dla zmiennego punktu P o współ rzędnych x i y [ = f(x)] jako nową funkcję zmiennej x, którą oznaczymy przez .f' (x) i nazwiemy pochodną funkcji f(x). Postępowanie graniczne, za pomocą którego otrzymujemy pochodną, nazywamy różniczkowaniem funkcji f (x). Postępowanie to jest operacją, która wiąże pewną określoną regułą daną funkcję f (x) z inną funkcją f' (x); podobnie funkcja f (x) jest określona za pomocą reguły, wiążącej z każdą wartością zmiennej x wartość f(x):
f(x) =wysokość krzywej y = f(x) w punkcie x, f' (x) =nachylenie krzywej y = f(x) w punkcie x. Słowo "różniczkowanie"
podzielom1 przez
stąd, że
f'(x) jest
granicą różnicy
f(x 1)-f(x)
X
Rys. 268. Pochodna jako granica
punkt P 1 jest bliski punktowi P. Kąt pomiędzy osią x a prostą t 1 oznaczamy przez a 1. Jeżeli teraz x 1 zbliża się do x, to punkt P 1 posuwa się wzdłuż krzywej w stronę punktu P i sieczna t1 ma jako położenie graniczne styczną t do krzywej w punkcie P. Jeżeli a oznacza kąt od osi x do prostej t, to przy x 1 ~x1 mamy P 1 ~P,
t1 ~t oraz a 1 ~a.
Styczna jest więc granicą siecznej, a nachylenie stycznej jest granicą 11achylenia siecznej. Wprowadzmny tu nieco inne oznaczenia niż w rozdziale VI, ponieważ tam było użyte oznaczenie x 4 xl' gdzie ostatnia wartość jest ustalona. Zamiana symboli nic powinna jednak wywołać zamieszania. 1
pochodzi x 1 - x:
(1)
o
Y1 ~y,
różnicę
Innym oznaczeniem, które
często
bywa pożyteczne, jest f' (x) = Df(x),
gdzie 11D 11 jest po prostu skrótem wyrażenia "pochodna od"; jeszcze inne jest oznaczenie Leibniza dla pochodnej funkcji y = f(x):
dy dx
lub
df(x)
-;[;-i
rozważymy je w§ 4. Oznaczenie to oddaje charakter pochodnej jako granicy ilorazu różnicowego l:ly/1::1x lub L:!..f(x)/l:lx.
388
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
§ 2. Pochodna
Jeżeli poruszamy się po krzywej y = f(x) w kierunku wzrastających wartości x, to pochodna dodatnia f' (x) > O w pewnym punkcie odpowiada krzywej rosnącej (rosnące wartości y), natomiast pochodna ujemna f' (x) < Oodpowiada krzywej malejącej; f' (x) =O
wyznacza poziomy kierunek krzywej dla wartości x. Przy maksimum lub przy minimum nachylenie musi być równe zeru (rys. 269). Stąd, rozwiązując równanie f'(x)=O
389
Rozważmy następnie prostą funkcję y = f (x) = x, której wykres jest dwusieczną pierwszej ćwiartki układu współrzędnych. Geometrycznie jest oczywiste, że zachodzi równość
f'(x) = 1 dla wszystkich wartości x i definicja analityczna (1) daje również
j(xi)- j(x) =Xi -X =l,
względem x, możemy znaleźć położenie maksimów i minimów, jak to po raz pierwszy uczynił Fermat.
Xi-X
Xi-X
a więc
y
Iimf(x1)-f(x)
1,
gdyx1-7X.
X1-X
Najprostszy przykład nietrywialny daje różniczkowanie funkcji Y =: f(x) = x , które sprowadza się do znalezienia nachylenia paraboli. Dzięk! tem~ i:a1prostsz~ mu przypadkowi nauczymy się, w jald sposób można dokonac prze1śc1a do gramcy, gdy wynik nie jest od początku oczywisty. Mamy 2
f'(x)=O
j'(x)
t:i.y !:I.X
X
3. Przykłady. Rozważania, które doprowadziły do definicji (1), nie mają pozornie praktycznego znaczenia. Jedno zagadnienie zastąpiono innym: zamiast znajdowania nachylenia stycznej do krzywej y = f (x) w pewnym punkcie, mamy teraz wyznaczyć pewną granicę (1), co na pierwszy rzut oka wydaje się równie trudne. Jednakże, gdy tylko wyjdziemy ze sfery rozważań ogólnych i zaczniemy rozpatrywać poszczególne funkcje f (x), to otrzymamy konkretne wyniki. Najprostszą funkcją różniczkowalną jest f(x) =c, gdzie c jest liczbą stałą. Wykres funkcji y = f(x) = c jest linią poziomą, która pokrywa się ze wszystkimi swoimi stycznymi, przy czym, oczywiście,
f'(x) =0 dla wszystkich wartości x. Wynika to również z definicji (1), !:I.X -
a
więc
Xi -
X
-
X1 -
X -
właściwiej, przepisując przed przejściem do granicy iloraz różnicowy w postaci uproszczonej dzięki skróceniu w liczniku i w mianowniku czyn':ika x1 - x. ~Przy stosowaniu granicy ilorazu różnicowego rozważamy tylko ~artośc~ x 1 x, a :v1ę.c postę powanie takie jest dopuszczalne; por. str. 296). Otrzymu1emy więc wyrazeme
gdyż
x?-x 2 X1 -X
Xi-X
gdy Xi -7 x.
X1 -X
f (x) = 2x dla f (x) = x 2• Analogicznie można udowodnić, że dla y = x3 mamy f' (x) = 3x2 . Iloraz różnicowy
1
.Ó.X
może być
lim J(xi)- f(x) =O,
(x 1-x)(x1 +x) = Xi +X.
~:.___-'-'---"--'--
Teraz, po uproszczeniu, nie ma już żadnej trudności z granicą w przypadku, gdy x -7 x. Granicę otrzymuje się „przez podstawienie": nowa postać x1+ x ilorazu różni~owego jest bowiem ciągła, a granica funkcji ciągłej przy x 1 -7 x jest po prostu wartością funkcji dla x i= x, w naszym przypadku x + x = 2x, a więc
O _ 0 Xi - X -
trywialnie
X1 -X
*
Rys. 269. Znak pochodnej
t:i.y_f(xi)-J(x)_c-c_
X1 -X
Gdybyśmy spróbowali przejść bezpośrednio do granicy z liczni~em i miano':~ nikiem, to otrzymalibyśmy bezsensowne wyrażenie 0/0. Możemy 1ednak postąpi~
j'(x)=O
o
J(xi)-f(x)=x?-x 2 •
X1-X
uproszczony na podstawie wzoru
X1-X
390
§ 2. Pochodna
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
mianownik ~=Xi - x skraca
się
z licznikiem i otrzymujemy wyrażenie
ciągłe
Wobec równości x -x = ( .jX; 1
ó.y ó.x
=x~ +xix+x 2
Jeżeli
teraz przyjmiemy, że Xi zbliża się do x, to wyrażenie prostu do x2 + x2 + x 2 i otrzymujemy w granicy f' (x) = 3x2. Ogólnie dla
- .JX) (.jX; + .JX) możemy skrócić jeden czynnik
otrzymując wyrażenie ciągłe powyższe
Yi-Y _ Xi -X -
zmierza po
liczbą naturalną,
1
Fi +.JX"
Przechodząc do granicy otrzymujemy
f'(x)=
f(x)=x",
gdzie n jest dowolną
otrzymujemy pochodną
1 c 2vx
Ćwiczenia. Udowodnić, że
f'(x)=nx"-i.
1 1 dla f(x)= r , f'(x)= - - - ;
Ćwiczenie. Udowodnić ten wzór stosując wzór algebraiczny
pozwalających
2(.JX)3
-vx
x!' -x" = (x1 -x) (xi'-i + x;'-2x + x;'-3x2 + ... + X1x"-2 + x"-1).
Jako dalszy przykład prostych pomysłów, liczanie pochodnej, rozważymy funkcję
391
r:--:;-
„
na bezpośrednie ob-
1
dlaf(x)= v1-X 2
-X
I
f'(x)=
.J1-x2;
dla f(x)=
VX,
1
f'(x)=
1z;
3 3vx-
1 dla f(x)= '.!,/;, f'(x)-- · - -11t,;:l' nvx·· ·
4. Pochodzenie funkcji trygonometrycznych. Rozważymy teraz bardzo ważne zagadnienie różniczkowania funkcji trygonometrycznych. Będziemy tu stosowali wyłącznie teoretyczną miarę kątów.
y=f(x)= -·
Dla zróżniczkowania funkcji y=f(x)=sin x przyjmujemy Xi-x=h, a więc Xi =x+h i f(xi) =sin Xi =sin (x+h). Na podstawie wzoru trygonometrycznego dla
X
Mamy
sin (A+ B) mamy !:iy Yi - y ( 1 1) 1 !:ix =Xi-X= ~--:; X1-X
X - Xi 1 = XXi . Xi-X
0
f (xi) =sin (x + h) =sin x cosh+ cos x sin h.
Znowu upraszczamy otrzymując funkcję t>y/l>x = -1/xix ciągłą przy x = x ; mamy więc po przejściu do granicy i f'(x) = Oczywiście
ani pochodna, ani
też
_!__
(2)
x2
sama funkcja nie jest określona dla x =O.
Ćwiczenia. Udowodnić w ten sam sposób, że:
dla f(x)= _!__, f'(x)= _}:_; x2 x3 dla f(x)=(l +x)",
Stąd
11
dla f(x)= _!__, f'(x)= - --.1 • x 11 x""'" ' f'(x) =n(l +x) 11 -i.
Wykonamy teraz różniczkowanie funkcji y = f(x) = .JX. Na iloraz różniczkowy otrzymujemy wyrażenie
f( xi)- f(x) = sin(x+h)-sinx
-'-'~--''-'-~ x 1 -X
Iz
(sinh) + smx . (cosh-1).
= cosx - -
Iz
Iz
Jeżeli teraz Xi dąży do x, to h dąży do O, sin h do Oi cosh do 1. Ponadto na podstawie wyników ze str. 296 . sinh . I nn--= 1
Iz
oraz
. cosh-1 I1m h
0.
Stąd prawa strona wzoru (2) dąży do cos x, co daje wynik: Funkcja f(x) =sin x ma pochodną f' (x) = cos x, lub krótko:
D sin x=cos x.
Ćwiczenie. Udowodnić, że D cos
x = -sin x.
§ 2. Pochodna
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
392
jednostajny" ze stałą prędkością b wzdłuż osi x jest wyznaczony przez funkcję liniową x =a+ bt, gdzie a jest współrzędną cząstki w chwili t =O. Na płaszczyźnie ruch cząstki jest opisany za pomocą dwóch funkcji
Aby zróżniczkować funkcję f (x) =tg x, piszemy sinx tgx=--, cosx
X= f(t),
otrzymując
f(x+h)- f(x) =(sin(x+h) _ sinxJ_!= h cos(x+h) cosx h
x=a+bt,
sinh 1 =--·-----h cos(x + h)cosx
lub
1 Dtgx = - 2- · cos x
. 5~. Ró~nicz~o~a.nie a ci.ągłość. Różniczkowalność funkcji pociąga za sobą jej ciągłość. Jezeh bowiem istrneJe grarnca l:!.y/lu, gdy lu dąży do zera, to łatwo zauważyć, że przyrost 1:!.y f~i:kcji f (x) musi stawać się dowolnie mały, gdy różnica lu dąży do zera. Wobe~ tego, Jez~h tylko m?żemy różniczkować funkcję, to jej ciągłość jest automatyczme zapewmona: będziemy wobec tego pomijali wyraźne stwierdzanie lub do~odzenie ciągło~ci funkcji różniczkowalnych, z którymi będziemy mieli do czyniema w tym rozdziale, chyba że będziemy mieli szczególne powody, żeby to uczynić. ~ochodna
a
prędkość.
Druga pochodna a przyspieszenie. Poprzednie rozpochodnej przeprowadziliśmy w związku z geometrycznym po!ęc1~11: wykresu f1:1n~cji. Ale znaczenie pojęcia pochodnej nie ogranicza się byna1~1me1 do zagadmema wyznaczania nachylenia stycznej do krzywej. Ważniej sze 1es~cz~ w n~1:1kach przyrodniczych jest zagadnienie obliczania tempa zmiany pewnej ~1~ll~osc1 f(t), która zmienia się z czasem t. Tuk właśnie podszedł do rachunku rozmczkowego Newton. Newton zamierzał w szczególności zanalizować zagadnienie prędkości, gdzie czas i położenie ruchomej cząsteczki uważa się za elementy zmienne albo, jak to wyraził Newton, zafluent quantities.l Jeżeli cząst~a. poru~za się p~ li1:ii prostej, mianowicie po osi x, to jej ruch opiszemy w zupełnosc1 podaiąc połozeme x w każdej chwili t jako funkcję x = f(t). Ruch wa.za~ua dotyczące
11
1
W swobodnym
tłumaczeniu
„ wielkości płynne" (przyp. red.).
(x-a)d-(y-c)b =O, które otrzymujemy eliminując t z równań podanych wyżej. Jeżeli cząsteczka porusza się w płaszczyźnie pionowej xy, wyłącznie pod wpły wem siły ciężkości, to jak dowodzi się w fizyce elementarnej, ruch jest opisany za pomocą dwóch równań
x=a +bt,
Ćwiczenie. Udowodnić, że D ctg x = -1/sin2x.
.6.
y=c+dt,
gdzie bid są to dwie "składowe" stałej prędkości oraz a i c są współrzędnymi czą steczki w chwili t =O; droga cząsteczki jest prostą o równaniu
(Ostatnia równość wynika ze wzoru sin(A-B)=sinA cosB-cosA sinB przy A= x + h or~.z B .=/z). Jeżeli teraz h zbliża się do zera, to (sin h)/h zbliża się do 1, cos (x + h) zbhza się do cos x i mamy wniosek: Pochodną funkcji f (x) =tg x jest
COS X
y = g(t),
które charakteryzują obie współrzędne jako funkcje czasu. W szczególności ruch jednostajny odpowiada parze funkcji liniowych
= sin(x+h)cosx-cos(x+h)sinx. 1 h cos(x+h)cosx
f'(x)=+
393
y=c+dt-
1
2 gt 2,
gdzie a, b, c, d są stałymi zależnymi od pierwotnego stanu cząsteczki, ag jest przyspieszeniem ziemskim równym w przybliżeniu 981, jeżeli mierzymy czas w sekundach, a odległość w cm. Torem cząsteczki, który otrzymamy eliminując t z obu równań, jest teraz parabola 2
d 1 (x-a) y=c+b(x-a)-2g-b-2-,
gdy b,,, O; gdy b =O, torem jest część osi pionowej. Jeżeli ograniczymy ruch cząsteczki w taki sposób, żeby poruszała się na płasz czyźnie wzdłuż pewnej danej krzywej (jak pociąg po torze), to można zdefiniować jej ruch, podając długość s łuku mierzonego wzdłuż krzywej od pewnego punktu początkowego P0 do położenia P cząsteczki w chwili t jako funkcję t, czyli s = f(t). Na przykład na okręgu jednostkowym x2 +y2 =1 funkcja s =et opisuje obrót jednostajny z prędkością c po okręgu. Ćwiczenia. *Wykreślić tory ruchów płaskich opisanych równaniami: 1. x=sin t, y=cos t. 2. x =sin 2t, y=sin 3t. 3.x=sin2t, y=2sin3t. 4. Rozważamy opisany wyżej ruch paraboliczny. Zakładamy, że w chwili t =O cząsteczka znajduje się w początku współrzędnych, przy czym b >O, d >O. Wyznaczyć współrzędne najwyższego punktu toru. Wyznaczyć czas t i wartość x dla drugiego przecięcia toru z osią x.
394
VIII. Rachunek różniczkowy i
całkowy
§ 2. Pochodna
Początkowym zamiarem Newtona było wyznaczenie prędkości w ruchu niejednostajnym. Rozważmy dla uproszczenia ruch cząsteczki po linii prostej, wyznaczony przez funkcję x = f(t). Gdyby ruch był jednostajny, tj. ze stałą prędkością, to moglibyśmy wyznaczyć prędkość biorąc pod uwagę dwie wartości t i t1 czasu wraz z odpowiadającymi im wartościami x= f(t) i x 1 = f(t 1) położenia i tworząc iloraz
v=
,
prędkosć =
odległość x 1 -x --=
J(t1 ) - f(t)
·
czas t 1 -t t 1 -t Na przykład, jeżeli t mierzymy w godzinach, a x w kilometrach, to dla t1 - t = 1, x 1 - x będzie ilością kilometrów przebytych w ciągu jednej godziny i v będzie pręd kością w kilometrach na godzinę. Stwierdzenie, że prędkość ruchu jest stała, oznacza po prostu, że iloraz różnicowy
jest ten sam dla wszystkich wartości t i t1• Gdy jednak ruch nie jest jednostajny, jak w przypadku ciała spadającego swobodnie, gdy prędkość wzrasta w miarę spadania, to iloraz (3) nie daje prędkości w chwili t, lecz tylko prędkość średnią (przeciętną) w odstępie czasu od t do t 1• Dla uzyskania prędkości chwilowej w chwili t musimy wziąć granicę prędkości przeciętnej przy t1 ~ t. Definiujemy w ten sposób za Newtonem
prędkość w chwili t =
lim f(t 1 )-f(t) t1
'.l' J
, I. I I
Przypuśćmy, że chcemy wyznaczyć prędkość ciała
czeqia go.
Prędkość średnia
~ g(2,1)
2
-
w
odstępie
~ g(2)
2,1-2
2
w 2 sekundy od chwili upuszczasu od t = 2 do t = 2,1 jest równa
1 2
- · 981·4,1 = 2011,05 cm/s.
Gdy jednak podstawimy we wzorze (6) wartość t=2, otrzymamy prędkość chwilową po dwóch sekundach równą v = 1962 cm/sek. Ćwiczenie. Jaka jest prędkość średnia ciała w odstępie czasu od t=2 do t=2,0l? od t=2 do t=2,001?
W przypadku ruchu płaskiego obie pochodne f' (t) i g' (t) funkcji x = f(t) i y = g(t) Przy ruchu po pewnej krzywej ustalonej pręd kość będzie wyznaczona przez pochodną funkcji s = f(t), gdzie sjest długością łuku. wyznaczają składowe prędkości.
(3)
(4)
395
f'(t).
-t
Innymi słowy, prędkość jest pochodną odległości względem czasu, czyli „chwilowym tempem zmiany" odległości w stosunku do czasu (w odróżnieniu od przeciętnego tempa zmiany danego wzorem (3). Tempo zmiany samej prędkości nazywamy przyspieszeniem. Jest to po prostu pochodna pochodnej, którą oznaczamy zwykle przez f"(t) i nazywamy drugą pochodną od f(t). Galileusz zauważył, że dla ciała spadającego swobodnie odległość pionowa x, którą ciało przebywa w ciągu czasu t, dana jest za pomocą wzoru
7. Znaczenie geometryczne drugiej pochodnej. Druga pochodna ma znaczenie także w analizie i geometrii, pochodna f" (x) bowiem wyraża tempo zmiany nachylenia f' (x) krzywej y = f (x) i daje wskazówkę, w jaki sposób krzywa jest wygięta. Jeżeli w pewnym przedziale f"(x) jest dodatnia, to tempo zmiany f'(x) jest dodatnie. Dodatnie tempo zmiany funkcji oznacza, że wartości funkcji rosną wraz ze wzrostem x. Zatem f"(x) > Ooznacza, że nachylenie f' (x) wzrasta, gdy wzrasta x, krzywa więc staje się bardziej stroma, jeżeli ma nachylenie dodatnie, i mniej stroma, jeżeli ma nachylenie ujemne. Mówimy wówczas, że krzywa jest wklęsła ku górze (rys. 270). Podobnie jeżeli f"(x) < O, to y = f(x) jest wklęsła ku dołowi (rys. 271). y
y f"(x)>O
V
/_ f"(x)
(5)
x=f(t) =
1
2 gt 2, o
gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim. Wynika stąd przez zróżniczkowanie wzoru (5), że prędkość v ciała w chwili t dana jest wzorem (6)
v=f'(t)=gt,
a przyspieszenie a wzorem a=f"(t)=g;
przyspieszenie jest zatem stałe.
i
!--~-------·
X
Rys. 270
o
X
Rys. 271
Parabola y = f(x) = x2 jest wszędzie wklęsła ku górze, ponieważ druga pochodna f" (x) = 2 jest zawsze dodatnia. Krzywa y = f(x) = x3 jest wklęsła ku górze dla x >O i wklęsła ku dołowi dla x < O (rys. 153), ponieważ f" (x) = 6x, co czytelnik łatwo sprawdzi. Zaznaczamy przy tym, że dla x=O mamy f'(x)=3x 2 =0 (choć dla x =O nie ma ani maksimum, ani minimum); jest również f" (x) =O dla x =O. Punkt taki nazywamy punktem przegięcia; w takim punkcie styczna, w tym przypadku oś x, przecina krzywą. Jeżeli s oznacza długość łuku wzdłuż krzywej, a a kąt nachylenia, to a= /z(s) będzie funkcją s. Gdy poruszamy się wzdłuż krzywej, wtedy a=h(s) będzie się
I!
I I
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
396
zmieniało. Tempo zmiany h'(x) nazywamy krzywizną krzywej w punkcie, w którym długość łuku jest s. Nadmieniamy bez dowodu, że krzywiznę x można wyrazić za pomocą pierwszej i drugiej pochodnej funkcji y = f(x) definiującej krzywą
x = f"(x)/(1 + (.f'(x)) 2 ) 312. 8. Maksima i minima. Można wyznaczyć maksima i minima danej funkcji f(x) tworząc najpierw f'(x), następnie znajdując wartości, dla których ta pochodna staje się równa zeru, a na koniec badając, które z tych wartości dają maksima, a które minima. Ostatnie zagadnienie można rozstrzygnąć tworząc drugą pochodną f"'(x), której znak wskazuje na wklęsły lub wypukły kształt wykresu i która, gdy jest równa zeru, wskazuje zwykle na istnienie punktu przegięcia, w którym nie występuje żad ne ekstremum. Obserwując znaki f'(x) i f''(x) możemy nie tylko wyznaczyć ekstrema, lecz również określić postać wykresu funkcji. Metoda ta daje nam wartości x, dla których występują ekstrema; w celu wyznaczenia samych wartości funkcji y = f(x) odpowiadających tym punktom należy tylko podstawić te wartości na x do f(x). Dla przykładu rozważmy wielomian
§ 3. Technika różniczkowania
Nie możemy wchodzić zbyt daleko w szczegóły tej techniki. Podamy tylko kilka ptostych reguł. a. Różniczkowanie sumy. Jeżeli a i b są liczbami stałymi i funkcja k(x) jest dana za pomocą wzoru k(x) =a f (x) + b g(x),
to, jak czytelnik sprawdzi z
, f'(x) =6x2 -18x+ 12,
łatwością,
k'(x) =a f' (x) + b g'(x).
Podobna reguła obowiązuje dla dowolnej ilości składników. b. Różniczkowanie iloczynu. Dla iloczynu p(x) = f (x) g(x)
pochodna jest równa
f(x) = 2x3 -9x2 +12x+ 1;
wtedy
p'(x) = f(x) g'(x) + g(x) f' (x).
Dowodzi się tego z łatwością w następujący sposób: dodając i odejmując to samo wyrażenie napiszemy f"(x) = 12x-18.
Pierwiastkami równania kwadratowego f' (x) =O są x 1 =1, x 2 = 2; mamy stąd f" (x1) = -6 < o, (xz) = 6 > o. Zatem funkcja f(x) ma maksimum f(X1) = 6 i minimum f(x2 ) =5.
p(x+h)-p(x) = f(x+h) g(x+h)- f(x) g(x) = = f(x + h) g(x + h)- f(x + h) g(x) + f(x + h) g(x)- f(x) g(x),
r
Ćwiczenia. 1. Naszkicować wykres rozpatrywanej wyżej funkcji. 2. Zbadać i naszkicować wykres funkcji f(x) = (x2 -1) (x2 -4). 3. Znaleźć minimum funkcji x + 1/x, x + a2/x oraz px + q/x, gdzie p i q są to liczby dodatnie. Czy funkcje te mają maksima? 4. Znaleźć maksima i minima funkcji: sin x i sin (x 2).
kombinując
pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy otrzymujemy p(x+h)-p(x) = f(x+h) g(x+h)- g(x) + g(x/(x+h)- J(x).
h h h Niech teraz h dąży do zera; wobec tego, że wtedy f(x + h) dąży do f(x), twierdzenie, które mamy dowieść, wynika stąd natychmiast. Ćwiczenie. Udowodnić, że funkcja p(x) =x" ma pochodną
§ 3. Technika
różniczkowania
Dotąd kierowaliśmy
ku zróżniczkowaniu różnych funkcji szczególnych przez przekształcenie ilorazów różnicowych w przygotowywaniu przejścia do granicy. Ważnym krokiem naprzód było zastąpienie - na podstawie prac Newtona, Leibniza i ich następców - tych poszczególnych schematów ogólnymi potężnymi metodami. Za pomocą tych metod można zróżniczkować niemal automatycznie każdą funkcję, jaka występuje normalnie w matematyce, jeżeli tylko opanujemy kilka prostych reguł i potrafimy ustalić ich stosowalność. W ten sposób różniczkowanie otrzymało charakter „algorytmu" rachunkowego i ten właśnie aspekt teorii wyrażamy nazwą „rachunek różniczkowy". nasze
wysiłki
397
p'(x)=nx 11 -
WsKAzówKA. Napisać x" = x · x11 Stosując reguły
a ib
1i
1.
zastosować indukcję matematyczną.
możemy zróżniczkować
dowolny wielomian
f (x) = a0 + a1x + „. + a11 x11; pochodną
jest
398
§ 3. Technika
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
Jako zastosowanie możemy udowodnić twierdzenie dwumianowe (str. 40). Twierdzenie to dotyczy rozwinięcia wyrażenia (1 + x)" w wielomian: f(x) = (1+x)"=1 +a1x+a2 x 2 +a3x 3 + ... +a 11x 11
(1)
i stwierdza, że współczynnik ak wyraża
się
ak -
Oczywiście
Widzieliśmy (ćwiczenie na str. 390), że lewa strona wzoru (1) po zróżniczkowa 1. Tak więc na podstawie poprzedniego paragrafu otrzymujemy
niu daje n(l + x) 11 -
n(l +x)
(3)
-
1 =a
+2a2x+3a 3x 2 + ... 1
+ 11a 11x
11
-
matematyczną.
I
:/
Różniczkowanie
-mx-111-1.
d. Różniczkowanie funkcji odwrotnej. Jeżeli
y = f (x) oraz x = g(y) są to funkcje odwrotne (np. y = x2 i x = względem drugiej:
g'(y)=
x =O otrzymujemy n(n -1) = 2a2 zgodnie ze wzorem (2) przy le= 2.
Ćwiczenie. Udowodnić wzór (2) dla lc=3, 4 i ogólnie dla k przez indukcję
c.
f'(x) =
1.
W tym wzorze podstawiamy teraz x =O i znajdujemy stąd, że n= a 1, co jest wartością ze wzoru (2) przy k= 1. Następnie różniczkujemy ponownie (3), skąd otrzymujemy n(n-1) (1+x) 11 - 2 =2a2 + 3 · 2a3 x + ... + n(n-l)a 11 x 11 - 2• Podstawiając
= _.!.__ xm = ["' ,
gdzie m jest liczbą całkowitą dodatnią. Wynik ma postać
a11 = 1.
11
2
Ćwiczenie. Zróżniczkować funkcję
f(x) ~ •
399
-- (l+x) 2 •
(l+x)2
wzorem
_ n(n-1) ... (n-k+l) le!
(2)
-(1+x)-(1-x) _
f'(x)
różniczkowania
Dg(y) · Df(x) = 1.
lub
Dowodzimy tego z łatwością powracając do odwrotnych ilorazów różnicowych t:-.y/l:lx i l:lx/l:ly; wynika to również z interpretacji geometrycznej funkcji odwrotnej, którą podaliśmy na str. 272, jeżeli odniesiemy nachylenie krzywej do osi y zamiast do osix. Dla przykładu
ilorazu. Jeżeli
f'~x)
.JY ), to ich pochodne są odwrotnością jedna
zróżniczkujemy funkcję
i
:I·
. I
y = f (x) =
q(x)= f(x)' g(x)
I
q'(x)
g(x)f'(x)- f(x)g'(x)
y 111 • (Patrz również sposób bardziej bezpośredni przym= 1/2 na str. 390). Wobec tego, że ostatnia funkcja ma pochodną my111 - 1, mamy
(g(x))2
:1
f
Dowód pozostawia się jako ćwiczenie. (Musimy oczywiście założyć, że g(x) ~O). Ćwiczenie. Wyprowadzić za pomocą tej reguły wzory ze str. 392 na po-
chodne funkcji tg x i ctg x ze wzorów na pochodne funkcji sin x i cos x. Udowodnić, że pochodnymi funkcji sec x = 1/cos x oraz cosec x = 1/sin x są odpowiednio sin x/cos 2x oraz -cos x/sin2x. Potrafimy teraz zróżniczkować dowolną funkcję, którą możemy napisać w postaci ilorazu dwóch wielomianów. Na przykład funkcja
'(x) = __1_ =_!_.JL= _!_yy-"', mym-i
m ym
111
1
skąd, wobec y = x 11111 i y- 111 = x- 1, mamy f'(x) = ;; xllm-l, czyli
1
D(xl/111) = - xllm-1. m Jako dalszy przykład zróżniczkujemy odwrócenie funkcji trygonometrycznej (patrz str. 273): y =arc tg x,
f(x)=l-x l+x
ma pochodną
= x 11111
odwrotną względem funkcji x =
to
:I
wfx
co oznacza to samo, co
x =tg y.
Tutaj zmienna y, oznaczająca miarę teoretyczną, jest ograniczona przedziałem - ~ :n: <
y < ~:n:, aby zapewnić jednoznaczną definicję funkcji odwrotnej.
400
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
§ 3. Technika różniczkowania
Wobec tego, że mamy (patrz str. 392) Dtg y = 1/cos2y i wobec 1/cos2y = (sin2y +
+ cos2y)/cos 2y = 1 + tg2y = 1 + x2, otrzymujemy
Jeżeli
bowiem napiszemy
k(x 1 )-lc(x) X1 - X
l+x 2 W taki sam sposób zechce czytelnik wyprowadzić wzory: 1
Darccosx =-
.J
1
1-x 2
1
1-x2
, .
Wreszcie dochodzimy do ważnej reguły na: e. Różniczkowanie funkcji złożonych. Funkcje takie są złożone z dwóch albo
więcej fun,kcji prostszych (por. str. 273). Na przykład funkcja z= sin ( .fX) (rys. 272) jest złożona z funkcji z= sin y oraz y = .fX; funkcja z= .fX
I i
i
-y
Y1
-y
X1 - X
+ f;s jest złożona z
fun~cji z= Y + Y oraz Y = .fX; funkcja z= sin (x2) (rys. 273) jest złożona z funkcji 2 z= sm Y oraz y = x ; funkcja z= sin 1/x jest złożona z funkcji z= siny oraz y = 1/x.
k'(x)=(cos.fX)
k(x)=.fX +/;s,
k'(x) =(1+ 5x 2 )
k(x) = sinx 2 ,
k'(x) =cos(x 2 )2x;
k(x) =sin.!.,
/c'(x) = -cos(.!.)~;
X
y
X
\:-:-;
2-vx
X X
k(x) =.Jl-x 2 , X
1 r; 2-vx
k(x) =sin./X,
5
y
Y1
gdzie y1 = f(x 1 ) i z1 = g(y1 ) = lc(x1 ), i jeżeli następnie x 1 dąży do x, to lewa strona dąży do /c'(x) i oba czynniki po prawej stronie dążą odpowiednio do g'(y) i f'(x), co dowodzi wzoru (4). W tym dowodzie warunek y 1 -y -:t= Obył konieczny. Dzieliliśmy bowiem przez !Y..y = y 1 -y i nie możemy stosować wartości xl' przy których y 1 -y =O. Lecz wzór (4) pozostaje w mocy nawet wtedy, gdy !::..y =O w pewnym przedziale otaczającym x; y jest wtedy stałe, f'(x) =O, k(x) = g(y) jest stałe ze względu na x (ponieważ y nie zmienia się przy zmianie x), stąd /c'(x) =O, co wynika również ze wzoru (4) zastosowanego dla tego przypadku. Czytelnik zechce sprawdzić następujące przykłady:
Darcctgx = ---?, l+x-
.J
z1 -z
~---=--·--,
1 Darctgx = - - .
. D arcs1nx =
401
/c'(x)
-1
-X
-~=·2x=---·
2~1-x
2
~1-x 2
Ćwiczenie. Kombinując wynik ze str. 390 i 399 udowodnić, że funkcja
ma pochodną Rys. 272. y=sin (./X)
Jeżeli
Rys. 273 y =sin (x2)
Należy zaznaczyć, że
połączyć
dane są dwie funkcje
Jeżeli
wszystkie nasze wzory
r jest dowolną liczbą wymierną dodatnią lub
z= g(y) oraz y = f(x) i jeżeli drugą funkcję podstawimy do pierwszej, to otrzymamy funkcję złożoną Twierdzimy, że
dotyczące potęg
x
można
teraz
w jeden wzór: ujemną,
to funkcja
f(x) =x'
ma pochodną f'(x) = 1x"- 1.
z= lc(x) = g(f(x)). Ćwiczenia. Przeprowadzić różniczkowanie z ćwiczeń na stl: 390-391 stosu-
/c'(x) = g'(x)f'(x).
jąc reguły
z niniejszego punktu.
402
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
§ 4. Oznaczenia Leibniza i wielkości „nieskończenie małe"
2. Zróżniczkować następujące funkcje:
xsinx,
:I ·:
Niechęć do ostatecznego porzucenia tych pojęć była zakorzeniona głęboko w postawie filozoficznej owych czasów i w naturze umysłu ludzkiego. Można było rozumować następująco: „Oczywiście, całki i pochodne można obliczać jako granice. Afo czymże wreszcie są te przedmioty same w sobie, niezależnie od szczególnego sposobu opisywania ich przez postępowanie graniczne? Wydaje się oczywiste, że pojęcia intuicyjne, jak pole lub nachylenie krzywej, mają znaczenie bezwzględne same w sobie i nie wymagają pomocniczych pojęć, wpisanych wielokątów lub siecznych ich granic". Rzeczywiście, jest rzeczą psychologicznie zupełnie naturalną poszukiwać stosownych definicji pola i nachylenia jako „rzeczy samych w sobie". Natomiast zaniechanie tego zamiaru, dopatrywanie się jedynych stosownych naukowo definicji tych pojęć raczej w procesach granicznych jest zgodne z dojrzałym stanowiskiem, które tak często otwierało drogę postępowi. W XVII wieku nie było tradycji intelektualnej, która pozwalałaby na taki radykalizm filozoficzny. Leibniz próbował „objaśnić" pochodną wychodząc, w sposób zupełnie prawidłowy, od ilorazu różnicowego funkcji y = f (x), tj.
1 . l+x smnx, t l+x
arc sin(cos nx),
g-1-,
-x
l+x arc tg--, 1-x
Vl-xz,
1
-. 1-x 2
3. Wyznaczyć drugą pochodną niektórych spośród poprzednich f k „ .. 1+x un CJIOraz funkqi: ~, arc tg x, sin2x, tg x.
z ,. . k Zagadnienia na maksima i minima · rozmcz owaćc (x-x )2+ 1 2+ ( 2 2. nimum promieniaś~etlne~op~2 dc2b.x.-~2) +y1 1 udowodnić własności mi·1 o yo 1au1przyzałamaniu · . d z1a e VII na str. 316 i 358 Odb' . lb ł 'wynueruone w rozic1e a o za amanie h d · . . rzędne początku i końca drooi d . zac o z1 na osi x, a współo· wynoszą o pow1ednio x u WAGA. Funkcja ma tylko jeden punkt, w któr 1' Y1 o:az Xz, Y2· wobec tego, oczywiście zachodz'1 . . ym pochodna Jest równa zeru; · . ' m1mmum natomiast · · d . . ' me ma za nego maks1mum I nie ma potrzeby bad . d ama rugieJ pochodne· 5. Wyznaczyć ekstrema następu 'c c eh fu k „ J. . , wyznaczyć przedziałv w 1 t, l}ą y n CJI, naszkicowac ich wykresv . . J' < oryc 1 one wzrast · 1· J' górze i ku dołowi: a1ą ma1eią, ich wklęsłość ku 4
, I
,I 11 I
I
II
I
Ax
§ 4. Oznaczenia Leibniza i wielkos'Cl. . j , „n1es
.r.
.r .
-x
dy dx'
x -6x+2, x/(1 +xz) x2/(l +x4) 2 6. Zbadać maksima i minima funkc'i x; + .3ax + ' c~s x., . 7. Jaki punkt hiperboli 2y2- x2 = 2 ~e~ 'bł' .1.w zaleznosc1 od wartości a. x =O, y = 37 y naJ izeJ punktu o współrzędnych
9. W elipsę x2/a2 + y2/b2 = 1 wpisać ros tok t . . . . . 10. Spośród wszystkich walców kofo h ą o m~zhw1e na1w1ększym polu. którego pole powierzchni 1· est na1· ~~c o dane1 objętości wyznaczyć taki, mme1sze.
X1
a więc pochodną, którą oznaczyliśmy przez f' (x) (zgodnie ze zwyczajem wprowadzonym później przez Lagrange' a), napisał Leibniz w postaci Granicę,
3
8. Spośród wszystkich prostokątów o dan najkrótszą przekątną. ym polu wyznaczyć taki, który ma
403
~
·I
zastąpiwszy symbol różnicy A symbolem „różniczki" d. Jeżeli rozumiemy, że symbol ten wskazuje tylko na konieczność dokonania przejścia do granic~~ Oi odpowiednio Ay ~O, to nie ma już nic trudnego ani tajemniczego. Przed przejściem do granicy skracamy mianownik Ax w ilorazie Ay/Ax lub przekształcamy go w taki sposób, żeby można było łatwo przejść do granicy. To jest zawsze zagadnieniem zasadniczym przy efektywnym różniczkowaniu. Gdybyśmy próbowali przejść do granicy bez uprzedniej takiej redukcji, to otrzymalibyśmy relację bezsensowną, L}.y
o
lim-=-, L}.x O o którą nam nie chodzi. Tajemniczość i zamieszanie wkradają się dopiero wtedy, gdy za przykładem Leibniza i jego następców podamy następujące objaśnienie: Ax nie zbliża się do zera. „Ostateczną wartością" ~ nie jest zero, lecz „wielkość nieskończenie mała", „różniczka", którą oznaczamy przez dx; podobnie Ay ma „ostateczną" niesko11czenie małą wartość dy. Rzeczywisty stosunek tych niesko11czenie małych różniczek jest znowu zwykłą liczbą f' (x) = dy/dx. W związku z tym Leibniz nazywał pochodną „ilorazem różniczkowym". Uważano takie nieskol1czenie małe wielkości za nowy rodzaj liczb, nie równych zeru, dodatnich, lecz mniejszych od jakiejkolwiek liczby dodatniej układu liczb rzeczywistych. 'I}'lko ludzie o dużych zdolnościach matematycznych mogli zrozumieć to pojęcie; sądzono, że rachunek różniczkowy jest rzeczywiście trudny, ponieważ nie każdy ma i nie każdy może rozwinąć te zdolności matemalyczne. Uważano podobnie, że całka jest sumą nieskol1czenie wielu „niesko11czenie małych wielkości"
404
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
f(x) ~x'. ~ydaw~ł~.się lud~i~m, że taka suma jest całką lub polem, natomiast obli. czarne JeJ wartosc1 Jako.gramcy sumy skończonej zwykłych liczb f(x 1 )óx uważan oza . .
P:oces.d ~ d.a tkowy. .D ZISiaJ po prostu pomijamy chęć „bezpośredniego" wyjaśniema defmmiąc całkę Jako granicę pewnej skończonej sumy. W ten sposób pom" tru d nosc1 ' · za b ezp1eczaiąc · · zdrowe podstawy wszystkiemu, co J. est cenne w rad !Jamy · ł 1un. • k k u rÓzmcz owym I ca kowym. . Po.mimo dalszego rozwoju naukowej definicji pochodnej i całki oznaczenia ~eib~1za - dy/d~ dla pocho~nej f' (x) i f f(x) dx dla całki - utrzymały się i okazały się mez~ykle uzyteczne. Nie przynoszą one szkody, jeżeli uważamy symbole d wył.ączme za syn;bole prze~ś.cia do granicy. Oznaczenia Leibniza mają tę zaletę, że mozna opero~ac. gramcam1 Ilorazów i sum do pewnego stopnia tak „jak gdyby" to były rzeczywiste ilorazy lub sumy. Sugestywna moc tych symboli zawsze skłaniał ludzi do nadawania im całkiem niematematycznego znaczenia. Jeżeli oprzemy s·a t . . t o znaj'd. z1emy . ię ej pok us~e~ w oznaczeniach Leibniza co najmniej doskonały skrót dla. bardz1eJ sk?1:1phkowan.ego wyr~źnego ~znaczenia przechodzenia do granicy; w 1zeczywistosci oznaczema te są memal mezbędne w bardziej zaawansowanych działach teorii. Tuk na przykł~d reguła d ~e str. 399 na ;óżn~czkowanie funkcji odwrotnej x = g(y) "".zględem funkq1 y = f (x) imała postać g (y) f (x) = 1. Stosując oznaczenia Leibniza piszemy po prostu
dx dy -·-=l, dy dx tak „jak gdyby" mo~na było skrócić „różniczki" w czymś, co przypomina zwyczajny ~łamek. Podobme regułę ze str. 400 na różniczkowanie funkcji złożonej z= k(x), gdzie z= g(y), y = f (x), można teraz napisać w postaci
dz_ dz dy dx - dy. dx' ~~~ac~enia
Lei?niza m.ają je.szcze tę ~aletę, że uwydatniają wielkości x, y, z ich w!razne pow1ązan.ie funkcyjne. Powiązanie funkcyjne wyraża pewn~ pos.tęp.owam~, pewną operaqę pozwalającą na otrzymanie pewnej wielkości y z mneJ wie~ko~ci x, _np. funkcja y = f (x) = x2 pozwala otrzymać wielkość y równą kwad:atowi w1elkosc1 x. Operacja ta (podnoszenie do kwadratu) jest przedmiotem u~ag1 mate~atyka: Ale fizyków i inżynierów zainteresują na ogół przede wszystki~ same wielkości. Stąd nacisk na wielkości w oznaczeniach Leibniza ma szczegolne z~aczenie dl_a. osób z~jmujących się stosowaniem matematyki. Mozemy dodac Jeszcze Jedną uwagę. „Różniczki" jako wielkości nieskończenie małe są obecnie ostatecznie potępione i pohańbione, ale samo słowo „różniczka" wkra~ło. się znowu od .in~ej strony - tym razem jako nazwa zupełnie uzasadnionego 1 uzytecznego p~Jęcia. O~nacz? ~na.obec~ie po prostu różnicę óx, gdy óx jest ~ałe w stosunku do mnych w1elkosc1. Nie mozemy tutaj wdawać się w rozważa ma z~~czeniu tego pojęcia dla rachunków przybliżonych. Nie możemy również omow1c mnych uzasadnionych ściśle pojęć matematycznych, do których stosowano nazwę „różniczka", które po części okazały się zupełnie przydatne w rachunku różniczkowym i całkowym i w jego zastosowaniach do geometrii. pom1iaiąc
?
§ 5. Podstawowe twierdzenie rachunku
różniczkowego i całkowego
405
§ 5. podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego 1. Twierdzenie podstawowe. Pojęcie całkowania, a w pewnym stopni~ ró~. ż po1'ęcie różniczkowania, było dość dobrze opracowane przed Newtonem 1Le1b111e • • r nizem. Dla zapoczątkowania niesłychanego roz~oju no~eJ m~tematyczr;e1 a~a 1zy trzeba było tylko jednego jeszcze prostego odkrycia. Dwa me maiące na pozor związku rocesy graniczne różniczkowania i całkowania funkcji są niemal nierozłączne. Są ~ne w rzeczywistości odwrotne względem siebie, y podobnie jak działania dodawania i odejmowania lub mnożenia i dzielenia. Nie ma odrębnego rachunku y=f(u) różniczkowego i rachunku całkowego, a jest tylko jeden rachunek: różniczkowy i całkowy. Wielkim osiągnięciem Newtona i Leibniza było to, że oni pierwsi dostrzegli i wykorzystali to podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i cał kowego. Odkrycie ich leżało oczywiście na głównym X o a trakcie rozwoju nauki, jest więc rzeczą zupełnie naturalną, że kilku ludzi doszło do jasnego zrozumieRys. 274. Całka jako funkcja górnej nia stanu rzeczy, niezależnie od siebie i niemal W tym granicy całkowania samym czasie. . „ . Dla sformułowania twierdzenia podstawowego rozwazmy całkę funkq1 Y = f (x) od ustalonej granicy dolnej a do zmiennej granicy górnej. x. Aby uniknąć pomieszania górnej granicy całkowania x ze zmienną x występuiącą w symbolu f (x), napiszemy całkę w postaci (patrz str. 383) X
F(x)=
(1)
zaznaczając w
f f(u) du, a
że chcemy badać całkę jako funkcję F(x) górnej granicy x (rys. 274). Tą funkcją f(x) jest pole pod krzywą y = f(u) od punktu u =a do punktu u=x. . . „ Otóż podstawowe twierdzenie rachunku różmczkowego 1 całkowego ~rzmi. „ Pochodna całki (1), traktowanej jako funkcja zmiennej x, jest równa wartości Junkc;1 ten sposób,
f (x) w punkcie x, tj. F'(x) = f(x). Innymi słowy, proces całkowania, prowadzący od funkcji f(x) do F(x)'.. zostaje skasowany przez proces odwrotny, proces różniczkowania zastosowany.do funkc;1 ~~x). .
Dowód intuicyjny jest bardzo łatwy. Opiera się on na mterpretaq1 całki F(~) jako pola, a zaciemnilibyśmy go starając się przedstawi~ .funkcję F(~~ na wykresie i pochodną F'(x) jako jej nachylenie. Zamiast pierwotnej mterp.retaq1 geometry~~ nej pochodnej utrzymujemy interpretacje geometryczną całki F(x), ale przy rozniczkowaniu F(x) postępujemy w sposób analityczny. Różnica
406
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
jest po prostu polem pomiędzy x i x 1 na rys. 275; widzimy, że pole to leży pomiędz (x 1- x)m oraz (x 1- x)M, a więc y
§ 5. Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego
Mówimy „jedną z funkcji pierwotnych", a nie „f1:1nk~ją pierwotną",.~onieważ jest bezpośrednio oczywiste, że jeżeli G(x) jest funkqą pierwotną funkcp f(x), to -. H(x) = G(x) + c
gd~ie M i 1~1 są odi:owiednio r_iajwiększą i 1:ajmniejszą wartością funkcji w przedziale pomiędzy x 1 x 1• Te dwa iloczyny bowiem są polami prostokątów zawiera· _ cych odpowiednio pole pod krzywą i zawartych w tym polu. Zatem Ją m<
F(x 1)-F(x) X1
-x
:5M.
y
407
(gdzie c jest dowolną liczbą
stałą)
także jest funkcją pierwotną, ponieważ H'(x) = G'(x). Twierd~eni~ o~wrotne ta~e jest prawdziwe. Dwie funkcje pierwotne G(x~ i H(x) mogą się ;~zmc ~y~ko o ,w_ie~ kość stałą. Różnica U(x) = G(x)-H(x) ma bowiem pochodną U(~)= G (x)-1"'! (~)-:. :: f(x)- f(x) =O, jest więc stała, ponieważ funkcja, której wykres iest wszędzie hmą poziomą, musi być stała. . . . . Prowadzi to do bardzo ważnej reguły otrzymywama wartości całki pmmędzy a i b, jeżeli znamy funkcję pierwotną G(x) funkcji f (x). Zgodnie z naszym głównym twierdzeniem X
F(x) =
i
jest również funkcją
,I
pierwotną
J f(u) du
funkcji f (x).
Stąd
F(x) = G(x) + c,
o
a
X
gdzie c jest liczbą stałą. Stałą możemy wyznaczyć pamiętając, że F(a) =
li
Daje to o= G(a) + c, tak że c = - G(a). Zatem całka oznaczona pomiędz)f granicami a ixwynosi
Rys. 275. Dowód twierdzenia podstawowego
Założymy, że funkcja f(u) jest ciągła, tzn. jeżeli x1 dąży do x, to zarówno M, jak
dążą do f(x). Mamy stąd
/11
X
F(x) =
(2)
F'(x) =lim F(x1)-F(x)
f(x)
X1 -X
zgodnie z twierdzeniem. Intuicyjnie wyraża to fakt, że tempo zmiany pola pod krzywą !f = f (x) przy wzroście x równa się wysokości krzywej w punkcie x. _w mel~tóry~h podręcznikach bijąca w oczy wartość twierdzenia podstawowe-
I r
go_J~st zaciemniona przez źle dobraną terminologię. Wielu autorów wprowadza najpierw ~ochodną, a. nastęi:nie defi~iuje „całkę nieoznaczoną" po prostu jako
odwrócenie pochodnej, mówiąc, G(x) Jest całką
nieoznaczoną od f(x), gdy
G'(x) = f(x).
W ten sposób ich postępowanie bezpośrednio związuje różniczkowanie ze słowem „cał~a". Późnie~ dopiero wprowadza się pojęcie „całki oznaczonej" jako pola lub jako
?1"amcy pewne1 sumy, bez podkreślenia, że teraz słowo „całka" oznacza coś zupełnie mnego. W ten sposób przemyca się najważniejszą zależność teorii ukradkiem a studentowi prz~szkadza się w jego wysiłkach istotnego rozumienia teorii. My będzie my nazJ:'wali funkcj~, G(x~, dla kt?rej G'(x) = f(x), funkcją pierwotną funkcji f(x), a nie „całką me.oznaczoną . Twierdzerne podstawowe głosi tedy po prostu, że:
, F~nk~;a ~(x) jako całk~/t~nkcji f(u) przy ustalonej granicy dolnej i zmiennej granicy gorne; x ;est ;edną z funkcji pierwotnych względem f(x).
n
Jf(u) du= O.
J f(u) du= G(x)-G(a),
lub pisząc b zamiast x: I>
J f(u)du=G(b)-G(a),
(3)
niezależnie od wyboru szcze;ólnej funkcji pierwotnej G(x). Innymi słowy, dla wyznaczenia całki oznaczonej
l•
Jf(x) dx wystarczy znaleźć funkcję G(x) taką, że G'(x) = f(x),
a następnie utworzyć różnic'ę G(b)-G(a). 2. Elementarne zastosowania. Całkowanie funkcji xr, cos x, sin x, arc tg x. Nie tutaj dać należytego pojęcia o zakresi~ lw~erdzenia p~ds~awow:go, ale następujące przykłady mogą dać p~wne wskaz.ow~. W zagadmem.ach piaktycznych, z którymi możemy się spotkac w mechamce, fi~yce lub,czyst.eJ matematyc~, poszukuje się bardzo często wartości całki oznaczonej. B:z.posredn.ie WY_zn~c~:me całki jako granicy pewnej sumy może być trudne. Z drugie) strony, 1ak w1dz1ehsn:~ w §3, dość łatwo jest wykonać rozmaitego rodzaju różniczk~wanie ,i .n~gromadz~c w ten sposób dużo wiadomości z tej dziedziny: Każdy "".zo~ na rozm:zkowame G'(x) = f(x) można czytać odwrotnie jako wzór daiący funkqę p1erw~tną G(x) wzglę dem funkcji f(x). Na podstawie wzoru (3) możemy to wy.korz!stac dla wyznaczenia całki funkcji f (x) pomiędzy dowolnymi dwiema gramcam1. możemy
l
408
§
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
Jeżeli na przykład chcemy wyznaczyć całkę od x 2 lub x 3 lub x",
to możemy teraz postępować w sposób znacznie prostszy niż w §1. Wiemy z naszego wzoru na róż niczkowanie x", że pochodną x" jest nx 11 - 1, a więc pochodną funkcji
x"+1 n+l" =x. 11 x =--x G(x)=- (n~-1) jest G '() n+I n+I Zatem x 11 +1/(n + 1) jest funkcją pierwotną względem f(x) =x" i stąd mamy natychmiast 11
Ja x dx=G(b)-G(a)= 11
b11+I
-a•i+1
n+l
.
Postępowanie to jest znacznie prostsze niż bezpośrednie żmudne wyznaczanie całki jako granicy pewnej sumy. Ogólniej, ustaliliśmy w §3, że dla wszelkich wymiernych s, dodatnich czy ujemnych, funkcja x5 ma pochodną sxs- 1 , zatem dla s = r+ I funkcja
1 I G(x)=--x'+ r+l
1 Jx'dx=--(br+1 _ar+1).
edyż wartości tangensa równej 1 odpowiada kąt45°, ~zyli w mierze teoretycznej n/4. Otrzymujemy stąd ważny
wzór
n
(6)
Okazuje się więc, że pole pod wykr~sem _funkcji y= 1/(1 + x2) od x =O ~o~= 1 jest równe jednej czwartej pola koła o prmmemu 1 (rys. 276). .
mbol + ... oznacza, że ciąg skończonych „sum częściowych", i:~orzony pr~ez /rzerwanie wyrażenia po prawej stronie po n wyrazach, jest zb1ezny do gramcy
1-q11 2 11-1 --=l+q+q +„.+q 1-q czyli
li
Jsin x dx= -(cosa-cos O) =1-cos a. a
o Szczególnie ciekawy wynik otrzymujemy ze wzoru na różniczkowanie funkcji odwrotnej względem tangensa: D arc tg x = 1/(1 + x2). Funkcja arc tg x jest więc funkcją pierwotną funkcji 1/(1 + x2) i ze wzoru (3) otrzymujemy wynik 1
J--, dx. l+x0
J--, dx. l+xb
(5)
arctgb=
1
O tangensa
0
łączy się wartość
li qll 1-q 2 11-1.+--· --=l+q+q +„.+q 1-q 1-q
1 2 +x 4 -x 6 +„.+ (-· l)11-1 x 211-2 + R 111 --=1-x
l+x 2 gdzie „reszta" R 11 ma wartość
(8)
Jcos x dx =sin a-sin O= sin a.
wartością
I
W tej tożsamości algebraicznej podstawiamy q = - x2:
o Podobnie dla G(x) =sin x mamy G'(x) = cos x, zatem
z
nlllll l - - - - + - - - + - - - + ... 3 5 7 9 11
4- 1
s
Dla G(x) = -cos x mamy G'(x) =sin x, zatem
ponieważ
krzywą
y= 1/(1 +x2) od x=O do x=l
Leibniza na n:
Musimy założyć we wzorze (4), że w przedziale całkowania funkcja podx' jest określona i ciągła, co wyklucza przypadek x =O, gdy r < O. Przyjmijmy zatem założenie, że w tym przypadku liczby a i b są dodatnie.
Mamy tutaj arc tg O= O, Otrzymujemy stąd
Rys. 276. n/4 jako pole pod
3. Wzór Leibniza na n. Ostatni wynik prowadzi do jednego z :iajpiękniejszych odkryć matematycznych siedemnastego wieku - do naprzemiennego szeregu
całkowa
arctgb-arctgO=
1
l+x2 dx.
· ó Aby udowodnić ten słynny wzór, wystarczy tylko przypommeć wz r na sumę skończonego postępu geometrycznego
r+l
b
! 1
4=
n/4, gdy n wzrasta.
b
a
409
y
J żeli w szczególności b = 1, to arc tg b jest równy n/4,
(7)
ma pochodną f(x) =G'(x) =x'. (Zakładamy, żer~ -1, tzn. że s ~O). Stąd x'+1/(r+ 1) jest funkcją pierwotną względem x' i mamy (dla dodatnich a, bi r ~ -1) (4)
s. Podstawowe. twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego
x211 11 R „ =(-1) -. l+x2
Równanie (8) możemy teraz scałkować w granicach od Odo 1. Zgodnie z regułą a z § mamy po prawej stronie sumę całek poszczególnych wyrazów. Wobec tego, 3 że ze wzoru (4) otrzymujemy
O kąta.
1
Jx"'dx = l/(m + 1), o więc
lI
410
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
§ 6. Funkcja wykładnicza i logarytm
1
dx f 1+X
1
1
1
-2 =1--+---+.„+ O 3 5 7
(9)
(-1)11-1 - -1+ T 2n -1 Il'
411
definiuje się logarytm liczby y przy podstawie a, tj.
gdzie 1
211
f 1+x
T,, =(-1) ~dx. 11
0
Zgodnie ze wzorem (5) lewa strona wzoru (9) jest równa :rc/4. Różnica pomię dzy :rc/4 a sumą częściową 1
1 1 (-1r sil= 1--+--... +--3
2n-1
5
TC
wynosi
4-S 11 =T11 • Pozostaje tylko wykazać, że Tll dąży do zera, gdy n wzrasta.
. . jako funkcję odwrotną względem funkcji y = ax. .. W dalszym ciągu podamy teorię tych funkcp opartą na rachunku rózmczkowym i całkowym, w której kolejność rozpatrywania tych funkcji jest odwrócona. Zaczynamy od logarytmu, a następnie otrzymujemy funkcję wykładniczą. własności logarytmu. Liczba Eulera e. Definiujemy logarytm, a dologarytm naturalny F(x) =In x (związek jego ze zwykłym logarytmem o podstawie 10 wykażemy w punkcie 2) jako pole pod krzywą y = 1/u od u= 1 do u = x,
1. Definicja i
kładniej
czyli, co na to samo wychodzi, jako całkę
Otóż
dla O::;x::; 1.
x211
1
o +x
o
1
F(x)=ln x=
(1)
Biorąc pod uwagę wzór (13) z §1 (str. 384) widzimy, że
IT.,j= J-12dx::; Jx21ldx. P~awa strona równa się 1/(211+1), jak widzieliśmy poprzednio (wzór (4), mamy więc IT11 I < 1/(2n + 1). Stąd nierówność
I~ -sil/< 2n~1' z której wynika, że Sil dąży do :rc/4 przy wzroście n, gdyż 1/(211+1) dąży do zera. A więc udowodniliśmy wzór Leibniza.
§ 6. Funkcja wykładnicza i logarybn Podstawowe pojęcia rachunku różniczkowego i całkowego pozwalają zbu-
L
1 J-du u X
211 _._:r_
1
(patrz rys. 5, str. 50). Zmienna x może przybierać dowolną wartość dodatnią. Zero wyłączamy, ponieważ funkcja podcałkowa 1/u dąży do nieskończoności, gdy u dąży do O. Jest rzeczą zupełnie naturalną rozpatrzenie funkcji F(x). Wiemy bowiem, że funkcją pierwotną względem dowolnej potęgi x 11 jest funkcja x 11 + 1/(n + 1), tego samego typu z wyjątkiem przypadku 11 = -1. W ostatnim przypadku mianownik n+ 1 byłby równy zeru i wzór (4) ze str. 408 nie miałby sensu. Możemy więc spodziewać się, że całkowanie funkcji 1/x lub 1/u doprowadzi do pewnych nowych, interesujących typów funkcji. Chociaż uważamy wzór (1) za definicję funkcji In x, to jednak nie „znamy" funkcji dopóty, dopóki nie ustalimy jej własności i nie znajdziemy sposobów jej wyznaczenia numerycznego. Typowe dla współczesnego podejścia jest to, że zaczynamy od pojęć ogólnych, jak pole i całka, ustalamy na tej podstawie definicje takie, jak definicja (1), wnioskujemy następnie o własnościach zdefiniowanych przedmiotów i dopiero na samym ko6cu dochodzimy do wzorów dogodnych dla rachunku numerycznego. Pierwsza ważna własność funkcji In x jest bezpośrednim wnioskiem z twierdzenia podstawowego§ 5. Z twierdzenia tego otrzymujemy równość
dować teorię logarytmu i funkcji wykładniczej znacznie bardziej właściwą! niż
(2)
łach. Zaczyna się tam zwykle od całkowitych potęg all liczby dodatniej a i następnie
Ze wzoru (2) wynika, że pochodna jest zawsze dodatnia, co potwierdza oczywisty fakt, że funkcja In x jest funkcją monotonicznie rosnącą wraz z rosnącymi
postępowanie „elementarne", które leży u podstaw zwykłego nauczania w szko-
definiuje się potęgę wymierną a11111 = w.fa, skąd otrzymujemy wartość ar dla każdej liczby wymiernej r = 11/111. Definiuje się dalej wartość aX, przy dowolnym wykładni ku niewymiernym potęgi tak, aby ax stało się ciągłą funkcją x, co jest zagadnieniem bardzo subtelnym, które się zwykle pomija w nauczaniu elementarnym. Wreszcie
1
Postępowanie „eletnentarne" daje się przeprowadzić
w sposób
zupełnie ścisły. Por. np. K. Kuratowski,
Wyklndy rnc/11111k11 róż11iczkowego i całkowego, Warszawa 1948 (przyp. red.).
F'(x) =1/x.
wartościami
x.
Zasadniczą własność
(3)
logarytmów wyraża wzór In a+ In b= In (ab).
Znaczenie tego wzoru przy praktycznych zastosowaniach logarytmów do rachunków numerycznych jest dobrze znane. Intuicyjnie można by otrzymać wzór (3), rozważa jąc pola definiujące trzy wielkości In a, In b oraz In (ab). Tutaj jednak wyprowadzimy go na podstawie rozumowania typowego dla rachunku różniczkowego i całkowego:
412
§ 6. Funkcja
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
Łącznie
z
funkcją
F(x) =In x rozważamy drugą funkcję
k(x) =In (ax) =In w= F(w),
i:rzy czym poło~y!iśmy u=: f(x) =ax, gdzie a jest dowolną stałą liczbą dodatnią. Mozemy łatwo zrózmczkowac funkcję k(x) stosując regułę z §3; zatem k'(x) = F'(w) f'(x) Na podstawie (2), wobec f'(x) =a, otrzymujemy stąd, że ··
413
i logarytm
a więc 1
ln-=-lnx.
(5)
X
Wreszcie lnxr=rlnx
(6)
dla dowolnej liczby wymiernej r =mln.
k'(x) =a/w=a/ax = l/x.
wykładnicza
Przyjmując
x' =u mamy bowiem
111
Zatem funkcja k(x) ma tę samą pochodną co F(x); stąd na podstawie rozważań ze · str. 407 mamy
-·n
nlnu=Inu" =lnx 11
=lnx 111 =mlnx,
a więc
.: :' ;
In (ax) = /c(x) = F(x) + c,
:
. ,Ii
Ili
-
1ll
lnx" =-lnx. gdzie c jest stałą niezależną od szczególnej wartości x. Stałą c można wyznaczyć przez zwykłe podstawienie zamiast x wartości szczególnej 1. Wiemy z definicji (1), że F(l) =In 1 =O,
n
Wobec tego, że In x jest ciągłą monotoniczną funkcją x, mającą wartość Oprzy x = 1 i dążącą do nieskończoności ze wzrostem x (rys. 277), musi istnieć pewna liczba większa od 1 taka, że dla tej wartości mamy ln x = 1. Idąc za Eulerem oznaczamy
poniew~ż. całka definiująca logarytm ma dla x = 1 jednakową dolną i górną granicę całkowama.
.I
y
Otrzymujemy stąd /c(l) =In (a·l) =In a =In 1 +c=c,
X
co daje c =In a, i stąd dla każdego x zachodzi wzór (3')
In (ax) =In a +In x.
o
Przyjmując x = b otrzymujemy żądany wzór (3). W szczególności (przy n = x) mamy teraz kolejno
X
Rys. 278. x = E(y)
Rys.277.y=lnx
In (x2)=2lnx, In (x3) = 3 In x,
tę liczbę przez e. (Równoważność tej definicji z definicją ze str. 287 okażemy niej). Zatem liczba e jest zdefiniowana równością
In (x") =n In x.
(7)
póź
(4)
Ró:-"nania. (4) o~azują, ż~ przy wzrastających wartościach x wartości funkcji lnx dązą do meskonczonoścI. Logarytm jest bowiem funkcją monotonicznie rosnącą, a np. wyrażenie In (2") = n In 2 dąży
do
nieskończoności
O=lnl= ln(x .
.!) = lnx+ In.!, X
Wprowadziliśmy liczbę
e na podstawie pewnej istotnej w~asności, która zapewnia istnienie tej liczby. Obecnie posuniemy naszą analizę dalej i jako wniosek otrzymamy wzory dające dowolnie dokładne przybliżenie wartości liczbowej liczby e.
2. Funkcja wykładnicza. Streszczając nasze dotychczasowe wyniki widzimy, funkcja F(x) =In x ma wartość zero dla x = 1, rośnie monotonicznie do nieskoń czoności, ale z malejącym nachyleniem l/x, a dla wartości x dodatnich, mniejszych od 1 wartość funkcji równa się wartości In (l/x) ze znakiem minus, a więc dla x ~ O funkcja In x dąży do - oo,
że
wraz z n. Mamy ponadto
X
ln e=l.
·Jl
il.1
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
414
Ze względu na monotoniczny charakter funkcji tj.
§ 6. Funkcja wykładnicza i logan;tm
y,;,, In x możemy rozpatrywać
funkcję odwrotną,
415
dla dowolnej liczby y, ponieważ funkcja E jest ciągła dla wszystkich wartości y i jest identyczna z wartością e!I dla wymiernych y. Możemy teraz wyrazić podstawowe prawo (8) funkcji E, czyli funkcji wykładniczej, jak się ją nazywa, równaniem
x= E(y),
której wykres (rys. 278) otrzymuje się w zwykły sposób z wykresu funkcji y = h} x (rys. 277) i która jest zdefiniowana dla wszystkich wartości y od- oo do+ oo. Gdy y dąży do wartość E(y) dąży do zera, a gdy y dąży do +oo, E(y) dąży do +oo. Funkcja E ma następującą podstawową własność 00
,
E(a) E(b) = E(a + b)
(8)
(9)
które w ten sposób zostało udowodnione dla dowolnych wymiernych lub niewymiernych liczb a i b. W tych wszystkich rozważaniach odnosiliśmy logarytm i funkcję wykładniczą do liczby e jako do „podstawy" logarytmu, tzw. „podstawy naturalnej". Przejście od podstawy e do jakiejkolwiek innej podstawy dodatniej jest łatwe. Zaczynamy od rozważania logarytmu (naturalnego)
dla dowolnych dwóch wartości a i b. Prawo to jest po prostu inną postacią prawa (3) dla logarytmu. Jeżeli bowiem
I
E(b) = x,
E(a) =z
(tzn. b =In x,
a= In z),
a=lna,
a więc
to otrzymamy
il
In xz=ln x+ln z=b+a,
;l ' i
'1·
'
'; "/ .
.I
zatem
,
Definiujemy teraz a-' za pomocą
z =ax =eax = exlna.
(10) E(b +a)= xz = E(a) E(b),
co było do udowodnienia. Wobec tego, że z definicji jest In e = 1, mamy E(l) =e,
i z (8) wynika, że e2 = E(l) E(l) = E(2) itd. Ogólnie
Na przykład
Nazywając funkcję odwrotną względem a-' logarytmem przy podstawie a, widzimy natychmiast, że logarytm naturalny z równa się x razy a; innymi słowy, logarytm liczby z przy podstawie a otrzymujemy dzieląc logarytm naturalny z przez stały logarytm naturalny liczby a. Dla a= 10 logarytm ten wynosi (z dokładnością do czterech cyfr
znaczących)
In 10 = 2, 303.
E(n)=e",
dla dowolnej liczby całkowitej n. Podobnie E(1/n) =e1111, więc E(p/q) = E(1/q)„.E(1/q) = (ellq)F,
wyrażenia złożonego
3. Wzory na różniczkowanie e-', a-', x5. Zdefiniowaliśmy funkcję odwrotną wzglę dem y =In x, wobec czego wnosimy na podstawie reguły dotyczącej różniczkowa nia funkcji odwrotnych(§ 3), że dx 1 E' ( y) = dy = dy I dx
zatem przyjmując p/q = r mamy E(r) =er,
dla dowolnej wymiernej liczby r. Celowe jest więc zdefiniowanie operacji podnoszenia liczby e do potęgi niewymiernej przez równość
to jest (11)
( ) =x=Ey '
E'(y) = E(y).
Naturalna funkcja wykładnicza jest identyczna ze swoją pochodną. ta jest w istocie źródłem wszelkich innych własności funkcji wykład niczej i głównym powodem jej znaczenia w zastosowaniach, jak się to okaże w dalWłasność
e!i=E(y)
1
= 1/ x
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
416
§ 6. Funkcja wykładnicza i logarytm
szych punktach. Stosując oznaczenia wprowadzone w równanie (11) jak następuje
ustępie
2 możemy napisać
d
Pisząc
z= 1/x i stosując znowu prawa dla logarytmu mamy
złożonej
z= !imin(( 1+;)"}
f(x) =eax
Wyrażając ostatnią równość
za
pomocą
gdy
funkcji
11~
oo.
wykładniczej,
mamy
związek
na-
stępujący:
otrzymujemy na podstawie reguły z§ 3, że
(12)
f' (x) =ac ax =a f(x). Stąd
In(x+l/n)-Inx . 1nx+l/n 1 - - - = 1n ((l +1 -)") ~-· 1/ n x nx x
----~---n
dx ex =ex.
Ogólniej, przez zróżniczkowanie funkcji
417
Mamy tutaj słynny wzór definiujący W szczególności dla z= 1 mamy
dla a= In a znajdujemy, że funkcja
gdy11~00.
ez=lim(1+;)",
funkcję wykładniczą
jako
zwykłą granicę.
f'(x) =ax
ma
( 1)"
pochodną
f'(x) =ax In a. Możemy
a dla z= -1
teraz zdefiniować funkcję f(x) =x 5
dla dowolnego rzeczywistego
e=lim 1+; .
(13)
wykładnika
s i dodatniej zmiennej x
przyjmując Wyrażenia
xs =es lnx.
skończonych.
Stosując znowu regułę na różniczkowanie funkcji złożonych, f(x)
=
esz, z= In x, otrzy-
mujemy
(
skąd
J'(x) = sesz .:!. = sx5 .:!. , X
l +~)" = 1 + 11 ~ + 11(11- l). ~+ n
1
. lnx1 - lnx -= 1l!TI I X1
-x
x1 = x + h i zakładając, że Iz
gdy
dąży
przybierając
1 1 1
h=-,-f-f•••f
11
1)
3
11
11
3
n!
1--
1-- „. 1 - - - 1 - - - . 11
na tym miejscu pomijamy), że do granicy przy n ~ zastępując w każdym wyrazie ułamek lin przez O. Daje to słynny szereg nieskończony na ex: Nietrudno jest
uzasadnić całkowicie (szczegóły
możemy dokonać przejścia
kolejno warto-
00
x
x
xz
x3
l!
2!
3!
e =1+-+-+-+„. szczególności
szereg na e
I
n otrzymujemy, po zastosowaniu reguł dla logarytmu, 2 3 4
3!
3
2). x +„.+ .:::_,
1)( 2) x"( n1)( 2)n ( n-2)( n-1) +n
iw
1
n
2
(14)
ści ciągu
2!
11(11- l)(n -
x x ( 1-- +x ( 1-- 1-- +„.+ x )" = 1+-+( 1+n 1! 2! 11 3! n n
Xi~X.
do zera
n
2
czyli
f(x) = sxs-l
4. Efektywne wzory na e, e-' i ln x jako granice. Aby otrzymać efektywne wzory na te funkcje, wykorzystamy wzory na różniczkowanie funkcji wykładniczej i logarytmu. Wobec tego, że pochodną funkcji In x jest 1/x, otrzymujemy z definicji pochodnej zależność
X
te prowadzą bezpośrednio do rozwinięć w postaci szeregów nieNa podstawie twierdzenia dwumianowego otrzymujemy:
X
zgodnie z naszym poprzednim wynikiem dla wymiernych s.
Podstawiając
1 . ( 1)"
-=hm 1-e 11
(13')
1
1
1
1
e= 1+-+-+-+-+ „. 1! 2! 3! 4!
I
418
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
§ 6. Funkcja wykładnicza i logarytm
co dowodzi identyczności liczby e i liczby zdefiniowanej na str. 287. Dla x = - I otrzymujemy szereg 1 e
1 2!
1 3!
1 4!
1 5!
-=---+---+ ...
p(x) = f 1(x) f 2(x) ... f 11 (x)
mamy D (In p(x)) = D (lnf 1 (x)) + D (f2 (x)) + ... + D (lnf11 (x)), a stąd, na podstawie reguły na różniczkowanie funkcji złożonych, otrzymujemy
'
co daje doskonale przybliżenie liczbowe przy małej ilości wyrazów, ponieważ cał kowity błąd spowodowany urwaniem szeregu na n-tym wyrazie jest mniejszy od (n+ 1)-szego wyrazu. Wykorzystując wzór na różniczkowanie funkcji wykładniczej możemy otrzymać ciekawe wyrażenie na logarytm. Mamy
e"-1
e11 -e0
lim--= lim---= 1, h h gdy h dąży do zera, ponieważ granica ta jest równa pochodnej funkcji eY dla y =O, a ta jest równą e0 =1. W tym wzorze podstawiamy na h wartości z/n, gdzie z jest dowolną liczbą, a n przebiega ciąg liczb naturalnych. Mamy więc ez/11 - 1 n--z--71,
'.I I
'l
1
ll. 1;
;i'\< j I
Pisząc
n ("" !{tez -1 ) -7 z,
p'(x) p(x)
In x= lim n ( efX -1),
(15)
gdy n -7 oo.
Wobec tego, że efX -7 l, gdy n -7 oo (patrz sh: 310), wzór ten daje logarytm jako granicę pewnego iloczynu, którego jeden czynnik dąży do zera, a drugi do nieskończoności.
Zatem In (1 + x) jest funkcją pierwotną względem 1/(1 + x) i wnioskujemy z twierdzenia podstawowego, że całka z wyrażenia 1/(1 + x) od Odo x równa się In (1 + x)- ln 1 = =In (1 + x), czyli (16)
i
ćwiczenia.
garytmu opanowaliśmy teraz do wielu zastosowań.
Przez
dołączenie
obszerną klasę
funkcji wykładniczej i lofunkcji i możemy przystąpić
Zróżniczkować:
1. x(ln x-1). 2. ln (In x). 3. In (x+ .Jl+ x 2 ). 4. ln (x + .Jl-x2 ) 5. e-xz. 6. &' (funkcja złożona ez przy z= ex). 7. xx. WSKAZÓWKA. xx = e-dnx. 8. In tg x. 9. In sin x, In cos x. 10. x/ln X. Wyznaczyć maksima i minima funkcji: 11. xe-x. 12. x 2e-x. 13. xe-ax 14*. Znaleźć położenie punktu maksimum krzywej y=xe-ax, w zależności od zmiany a. 2 15. Udowodnić, że wszystkie kolejne pochodne funkcji e-x mają postać ilo2 czynu funkcji e-x przez pewien wielomian zmiennej x. 2 16. Wykazać, że n-ta pochodna funkcji e-1h ma postać iloczynu funkcji 2 11 e-11x • 1/x3 przez wielomian zmiennej x stopnia 2n - 2. 17*. RóżNICZKOWANIE LOGARYrMICZNE. Korzystając z podstawowej własności logarytmu możemy czasami wykonać różniczkowanie iloczynu w sposób uproszczony. Dla iloczynu postaci
f,;(x) f,,(x)
dy_dy.dz_l .. _ 1 1 dx - dz dx - -;- - 1 + x ·
ln(l+x)=
f0
Różne przykłady
···
5. Logarybn jako suma szeregu nieskończonego. Obliczenia numeryczne. Wzór (15) nie jest dogodny do obliczeń numerycznych logarytmu. Do tego celu nadaje się lepiej inne, bardziej użyteczne przedstawienie logarytmu, o wielkim znaczeniu teoretycznym. Otrzymamy to wyrażenie stosując metodę obraną na str. 409 dla znalezienia :re i wykorzystując definicję logarytmu daną wzorem (1). Potrzebny jest jeszcze pewien mały krok przygotowawczy; zamiast zmierzać do przedstawienia logarytmu, będziemy się starali znaleźć przedstawienie funkcji y = ln(l + x) w postaci funkcji złożonej z funkcji y =In z i z= 1 + x. Mamy
z= In x lub ez= x otrzymujemy ostatecznie
I
f 1(x) f 2 (x)
Zastosować otrzymany wzór dla zróżniczkowania funkcji 2 a. x(x+ 1) (x+ 2) ... (x +n); b. xe-ax •
j
,
!ź(x)
f{(x)
- - = - - + - - + +--·
,1l
I
:!II
gdy n dąży do nieskończoności.
czyli
419
1 -du. l+u
(Oczywiście
wzór ten mogliśmy równie dobrze otrzymać intuicyjnie z geometrycznej interpretacji logarytmu jako pola. Por. str. 383). We wzorze (16) podstawiamy, jakna str. 409, szereg geometryczny na (1 + u)- 1, pisząc
1 2 3 11-1 11-1 11 u" - - = 1-u+u -u + ... +(-1) u +(-1) - - ,
I+u l+u gdzie przezornie wypisaliśmy nie cały szereg nieskończony, lecz raczej szereg skoń czony z resztą R 11 = (-1) 11 --3:!:_.
l+u
Podstawiając
ten szereg we wzorze (16)
możemy skorzystać
czoną) sumę można całkować wyraz po wyrazie. Całka
z reguły, że taką (skof1z u• od Odo x daje x' + 1/(s + 1),
otrzymujemy więc natychmiast x 2 x 3 x4 1 x" ln(l + x) = x- -+-+.:__+ ... + (-1)"- -+ T,,, 2 3 4 n
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
420
§ 7. Równania różniczkowe
gdzie reszta T 11 wyraża się wzorem
xz X
T,,
=
(ZO)
Ull
(-1)" f--du. 1+u
0
teraz, że T 11 dąży do zera przy wzrastającym n, jeżeli tylko obierzemy x większe od -1 i nie większe od+ 1, innymi słowy, dla -1 < x ::; 1, gdzie należy zauważyć, że włączamy wartość x = + 1, natomiast wyłączamy x = -1. Zgodnie z naszym założeniem, w przedziale całkowania u jest większe od pewnej liczby -a, która może być bliska -1, ale w każdym razie jest większa od -1, tak że mamy nierówność O < 1-a < 1 +u. Zatem w przedziale od O do x
1 ~1::;.El.., l+u
a
1-a
Szereg (21) jest znacznie szybciej zbieżny, ponadto lewa strona może teraz przedstawiać logarytm dowolnej liczby dodatniej z, gdyż równanie (1 + x)/(1- x) =z zawsze ma rozwiązanie x zawarte pomiędzy-1a1. Jeżeli więc chcemy wyznaczyć In 3, to podstawiamy x = 1/2 i otrzymujemy 1
1+-z =2 ( -1- + -1- +--s 1 +„. ) · ln3=ln-1--1 1·2 3-23 5·2
1
2
1
0
Biorąc
czyli
tylko 6 wyrazów, a
więc
do wyrazu
2
11+!
1 X 1 1 " -1-a n+l -1-a l+n· Wobec tego, że 1-a jest czynnikiem stałym, widzimy, że przy wzrastającym n wyrażenie to dąży do O, a więc ze wzoru
r. I < - I· 1- - < - · I
(
otrzymujemy szereg nieskończony xz
zbieżny
x3
x4
In(l+x) =x--+---+„., 2 3 4
(18)
dla -1 < x $1. w szczególności przyjmiemy x = 1, otrzymujemy ciekawy wynik
Jeżeli
(19)
1 1 1 ln2=1--+---+.„ 2 3 4
Wzór ten ma budowę podobną do budowy szeregu na :rc/4. Szereg (18) nie jest zbyt praktycznym środkiem do wyznaczania numerycznych wartości logarytmów, ponieważ jego stosowalność ogranicza się do wartości 1 + x pomiędzy Oi 2, a zbieżność jest tak powolna, że trzeba uwzględnić dużą ilość wyrazów, aby otrzymać wynik z rozsądnym stopniem dokładności. Możemy otrzymać bardziej przydatne wyrażenie w sposób następujący. Zastępując we wzorze (18) x przez -x _otrzymujemy
1
11•211 = 11264 znajdujemy wartość In 3=1,0986 z
I
3
x x x" ) $ -1 - · -1In(l+x)- x--+--„.+(-1)"2 3 n 1-a 11+1
I
5
3
l+x ( x+-+-+.„ x x ) . ln--=2 1-x 3 5
(21)
IT, j $1-a --lf u"dul,
2
tego, że In a- In b =In a+ In (1/b) =In (alb)
otrzymujemy
więc
(17)
x4
x3
ln(l-x)=-x--z-3-4-„.
Odejmując równość (20) od (18) i korzystając z
Wykażemy
421
§ 7. Równania
I
dokładnością
do pięciu cyfr.
różniczkowe
1. Definicje. Ogromne znaczenie funkcji wykładniczych i trygonometrycznych w analizie matematycznej i jej zastosowaniach do zagadnień fizycznych ma swoje źródło w tym, że funkcje te są rozwiązaniami najprostszych „równań róż niczkowych". Równaniem różniczkowym dla nieznanej funkcji u= f(x) mającej pochodną 11' = f' (x), dopóki nie potrzeba rozróżniać dokładnie wielkości u i zależności tej wielkości od x w postaci funkcji f (x) - jest równanie, do którego wchodzą wielkości u, u' i ewentualnie zmienna niezależna x, np. u'= u+ sin (xu)
lub
u'+3u=x2• Ogólniej, równanie różniczkowe może pochodne wyższych rzędów, jak np.
zawierać drugą pochodną
u"= f" (x) lub
u"+2u'-3u=O. W każdym z tych przypadków zagadnienie polega na wyznaczeniu funkcji u= f (x) spełniającej dane równanie. Rozwiązanie równania różniczkowego jest
422
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
§ 7. Równania
znacznym uogólnieniem zagadnienia całkowania, rozumianego jako wyznaczenie funkcji pierwotnej danej funkcji g(x), co sprowadza się do rozwiązania prostego równania różniczkowego
różniczkowe
423
i w których ilość u zmienia się w każdej chwili z prędkością proporcjonalną do wartości u w tejże chwili. W takim przypadku tempo zmiany w chwili t, tj. u'= f'(t) =lim f(t~)
u'=g(x).
={(t),
1
Na
przykład rozwiązaniami
równania
różniczkowego
równa się ku, gdzie le jest pewną stałą, przy czym le jest dodatnie, gdy u wzrasta, a ujemne, gdy u maleje. W każdym przypadku u spełnia równanie różniczkowe (3); stąd
u'=x2 3
są funkcje u = ~ + c, gdzie c jest dowolną stałą. 3
2. Równanie różniczkowe dla funkcji czy. Prawo wzrostu. Procent składany. Równanie różniczkowe
Rozpad promieniotwór-
u0 =ce0=c, zatem
.
i), I .. I'
'
:'~ :l li·
i' ) I
l
ma za rozwiązanie funkcję wykładniczą u= ex, ponieważ funkcja wykładnicza jest równa swojej pochodnej. Ogólniej, funkcja u = ceX, gdzie c jest dowolną stałą, jest rozwiązaniem równania (1). Podobnie funkcja
u =cekx,
(2)
He
gdzie ci le są dwiema dowolnymi stałymi, jest rozwiązaniem równania wego (3) u'=ku.
różniczko
Odwrotnie, każda funkcja u= f(x) spełniająca równanie (3) musi mieć postać cekx. Jeżeli bowiem x = h(u) jest funkcją odwrotną względem u= f(x), to na podstawie reguły na wyznaczanie pochodnej funkcji odwrotnej mamy
I:"
I.
c jest określona, jeżeli znamy ilość u0 , która istniała w chwili t =O. Otrzymamy t = 0, a więc
tę ilość przyjmując
'
iI '
Stała
u'=u
(1)
'
wykładniczej.
h'
= _!_ = _!_,
u' ku Ale (In u)/k jest funkcją pierwotną względem 1/ku, a więc x = h(u) =(In u)/k + b, gdzie b jest dowolną stałą. Stąd In u=kx-bk
(4) Zauważmy, że
na początku znamy sposób zmiany (3) zmiennej u i wyprowadzamy prawo (4), dające rzeczywistą ilość u w dowolnej chwili t. Jest to właśnie odwrócenie zagadnienia wyznaczenia pochodnej funkcji. Typowy przykład daje tu rozli pad promieniotwórczy. Niech u= f(t) będzie ilością pewnej substancji promieniotwórczej w chwili t; w takim razie zgodnie z hipotezą, że każda poszczególna cząsteczka substancji ma pewne prawdopodobieństwo rozpadnięcia się w ciągu określo nego czasu oraz że prawdopodo2 3 4 5 X o 1 bieństwo to nie zależy od obecRys. 279. Spadek wykładniczy 11=111,e"1, k
oraz Przyjmując
c zamiast e-bk (co jest wielkością stałą) mamy u =cekx,
co mieliśmy udowodnić. Wielkie znaczenie równania różniczkowego (3) polega na tym, że rządzi ono procesami fizycznymi, w których ilość u pewnej substancji jest funkcja czasu t:
u =f(t)
Wynika stąd, że część substancji w stosunku do u, która rozpada się w dwóch jednakowych odstępach czasu, będzie ta sarna; jeżeli bowiem u 1 jest ilością substancji w chwili t 1, a u2 ilością w chwili późniejszej t 2, to 112 111
ekl 2
=!!Q__=ek(t 2 -t 1 ) U1ekl1
'
które to wyrażenie zależy tylko od t2 -tr Aby znaleźć, ile czasu potrzeba, by z danej ilości substancji rozpadła się połowa, musimy wyznaczyć s = t 2 - t 1 tak, żeby było
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
424
Uz
1
Ili
2
-=-=e skąd
ks
otrzymujemy ks= In 1/2, tzn.
(5)
s = ( - In 2)/k,
czyli
§ 7. Równania różniczkowe
425
Zamiast stosować to postępowanie krok za krokiem, a następnie przejść do graniwzór (7) zakładając po prostu, że tempo wzrostu u' kapitału jest proporcjonalne do u, przy czym współczynnikiem proporcjonalności jest k = 0,03, a więc u'=ku, gdzie k=0,03.
cy,
mogliśmy wyprowadzić
k = ( - lri 2)/s.
Wzór (7) wynika wtedy z ogólnego wyniku (4). Dla dowolnej substancji promieniotwórczej wartość s nazywała się połową długo ści życia, przy czym s lub inną podobną wartość (jak np. wartość r,
k = 155~ = -0,0000447.
Wynika
3. Inne przykłady. Najprostsze przypadki drgań. Funkcja wykładnicza wystę
puje
często
w kombinacjach bardziej
złożonych.
Na
przykład
funkcja
(8)
gdzie k jest stałą
stąd, że
liczbą dodatnią,
jest rozwiązaniem równania
różniczkowego
u'=-2kxu.
Przykładem prawa wzrostu, w przybliżeniu wykładniczego, jest zjawisko procentu składanego. Dana suma pieniędzy, u0 złotych, zostaje złożona na procent składany przy stopie równej 3%, przy czym odsetki są naliczane co rok. Po upływie
Funkcja (8) ma podstawowe znaczenie w rachunku prawdopodobieństwa i statystyce, ponieważ wyznacza „normalny" rozkład częstości. Funkcje trygonometryczne u= cos t, v =sin t również spełniają bardzo proste równania różniczkowe. Mamy najpierw
jednego roku suma pieniężna będzie wynosiła
u'= -sin t= -v, po dwóch latach suma będzie
v'=cos t=u,
jest to „układ dwóch równań różniczkowych dla dwóch funkcji". dalszym ciągu, otrzymujemy
i pot latach będzie
u"=-v'=-u,
Różniczkując
w
v"=u'= -v,
(6) Jeżeli teraz, zamiast składać odsetki w odstępach rocznych będziemy je składali po upływie każdego miesiąca albo co n-tą część roku, to po t latach suma będzie wynosiła 1
0,03)" =u ((1+-0,03)")' . u0 (1+-0 11 n Jeżeli bierzemy bardzo wielkie 11, procent więc składamy każdego dnia albo nawet co godzinę, to gdy 11 dąży do nieskończoności, wielkość w nawiasie większym, zgodnie z §6, dąży do e0•03 i w granicy suma po t latach wynosi
(7)
co odpowiada ciągłemu doliczaniu procentu przy odsetkach składanych. Możemy również obliczyć czas s potrzebny na to, aby kapitał pierwotny podwoił się przy stopie 3% w przypadku odsetek składanych ciągłych. 1 0 Mamy u0e0•035/u 0 = 2, a więc s = ~ In 2 = 23,10. Zatem suma podwoi się po upły wie około 23 lat.
a więc obie funkcje u i v zmiennej czasowej t można samego równania różniczkowego (9)
uważać
za
rozwiązania
tego
z"+z=O.
Jest to bardzo proste równanie różniczkowe „rzędu drugiego", tzn. zawierające drugą pochodną z. Równanie to, jak również jego uogólnienie, o dodatnim współ czynniku stałym lc2, tj. równanie różniczkowe (10)
z"+k2z=O,
którego rozwiązaniami są funkcje z= cos kt oraz z= sin lct, występuje przy badaniu drgań. Dlatego właśnie krzywe oscylujące u= sin kt oraz u= cos kt (rys. 280) stanowią rdzeń teorii mechanizmów drgających. Należy stwierdzić, że równanie róż niczkowe (10) przedstawia przypadek idealny, gdy nie ma tarcia ani oporów. Opór wyraża się w równaniach różniczkowych mechanizmów drgających za pomocą dodatkowego wyrazu rz': (11)
z"+ rz' + k2z =O,
426
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
§ 7. Równania
Il
Rys. 280
i rozwiązania są teraz „tłumionymi" drganiami, które można wyrazić matematycznie za pomocą wzorów
różniczkowe
427
4. Prawo dynamiki Newtona. Chociaż bardziej szczegółowe rozważania z zakresu dynamiki wykraczają poza ramy tej książki, to jednak chcielibyśmy naszkicować je z punktu widzenia pojęć podstawowych, którymi Newton zrewolucjoni-· · · zował mechanikę i fizykę. Rozważał on ruch cząsteczki mającej masę m, o współ rzędnych przestrzennych x(t), y(t), z(t) będących funkcjami czasu t, a więc składo wymi przyspieszenia są drugie pochodne x"(t), y"(t), z"(t). Najbardziej istotnym krokiem było uświadomienie sobie przez Newtona, że wielkości mx", my", mz" można uważać za składowe siły działającej na cząsteczkę. Na pierwszy rzut oka mogłoby się to wydawać tylko formalną definicją słowa „siła" w fizyce. Ale wielkim osiągnięciem Newtona było sformułowanie tej definicji zgodnie z rzeczywistymi zjawiskami przyrody, tak dalece, że natura bardzo często daje pole takich sił, które znamy z góry, nie wiedząc jeszcze nic o szczególnym ruchu, który zamierzamy zbadać. Największy triumf Newtona w dynamice, uzasadnienie prawa Keplera dotyczącego ruchu planet, wykazuje wyraźnie harmonię pomiędzy jego koncepcjami matematycznymi a przyrodą. Newton pierwszy przyjął, że przyciąganie mas jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości. Jeżeli umieścimy Słoń ce w początku współrzędnych i jeżeli dana planeta ma współrzędne x, y, z, to wnioskujemy, że składowe siły w kierunkach x, y, z są odpowiednio równe
e-rt/Z coswt,
-k a graficznie przez rys. 281. aako ćwiczenie zechce czytelnik sprawdzić te rozwiązania dokonując różniczkowania). Drgania te są tego samego typu, co zwykły sinus lub cosinus, jednak ich intensywność ulega gaszeniu za pomocą pewnego czynnika wykład niczego, malejącego wolniej lub szybciej zależnie od wielkości współczynnika tarcia r. z
X3
-k.JL 31
I
r
r
-k.!:... 3 r
„
mx
=
-kx (x2+y2+z2)
li
my
„
r
z=-e-rl!2
Rys. 281. Drgania
tłumione
'
2 2 2 gdzie k jest pewną stałą ciążenia niezależną od czasu, a r = ~X + Y + z jest odległo ścią planety od Słońca. Wyrażenia te wyznaczają lokalne pole siły, niezależnie od ruchu cząsteczki w tym polu. Zestawmy teraz znajomość pola sił z ogólnym prawem dynamiki Newtona (tzn. z jego wyrażeniem na siłę przedstawioną za pomocą wyrażeń związanych z ruchem); przyrównanie tych dwóch różnych wyrażeń daje równania:
=
mz =
312
,
-ky (x2+y2+z2)
3/2'
-kz
(xz +yz +z2)
312.
Jest to układ trzech równań różniczkowych dla trzech nieznanych funkcji x(t), y(t), z(t). Układ ten można rozwiązać i okazuje się, że zgodnie z obserwacjami empirycznymi Keplera orbita planety jest krzywą stożkową ze Słońcem w jednym z ognisk, pola zakreślone przez prostą łączącą Słońce z planetą są jednakowe dla jednakowych odstępów czasu, a kwadraty okresów pełnych obrotów dla dwóch planet są proporcjonalne do sześcianów ich odległości od Słońca. Dowód musimy pominąć. Zagadnienie drgai1 dostarcza bardziej elementarnej ilustracji metody Newtona. Przypuśćmy, że mamy cząsteczkę poruszającą się po linii prostej (osi x) i zwią zanej z początkiem współrzędnych siłą elastyczną, np. sprężyną lub taśmą gumo-
428 '
''
VIII. Rachunek różniczkowy i całkowy
wą. Jeżeli
wychylimy cząsteczkę z jej położenia równowagi w początku współ do położenia danego za pomocą współrzędnej x, to siła pociągnie ją z powrotem z natężeniem, o którym przyjmujemy, że jest proporcjonalne do rozciągnięcia x; wobec tego, że siła jest skierowana ku początkowi współrzędnych, można ją przedstawić w postaci -k2x, gdzie -k2 jest pewnym ujemnym czynnikiem proporcjonalności wyrażającym siłę elastycznej sprężyny lub taśmy gumowej. Zakładamy ponadto, że tarcie jest proporcjonalne do prędkości x' cząsteczki ze współczynnikiem proporcjonalności równym - r. W takim razie cał)
Dodatek do rozdziału VIII
mx"= -k2x-rx' lub
mx" + rx' + k2x =O.
I:
Jest to właśnie wzmiankowane poprzednio równanie różniczkowe (11) drgań tłu mionych. Ten prosty przykład ma ogromne znaczenie, gdyż wiele typów mechanizmów drgających i układów elektrycznych można opisać matematycznie za pomocą tego właśnie równania różniczkowego. Mamy tutaj typowy przykład tego, że abstrakcyjne sf9rmułowanie matematyczne odkrywa za jednym zamachem wewnętrzną strukturę wielu na pozór zupełnie różnych i nie powiązanych szczególnych zjawisk. To abstrahowanie od szczególnej natury danego zjawiska w celu sformuło wania ogólnego prawa rządzącego całą klasą zjawisk jest jednym z charakterystycznych rysów matematycznego traktowania zagadnień fizycznych.
§ 1. Zagadnienia zasadnicze 1. Różniczkowalność. Powiązaliśmy pojęcie pochodnej funkcji y = f (x) z intuicyjnym pojęciem stycznej do wykresu tej funkcji. Wobec tego, że ogólne pojęcie funkcji jest bardzo szerokie, należy z punktu widzenia całości logicznej pozbyć się zależności od intuicji geometrycznej. Nie mamy bowiem żadnych gwarancji, że fakty intuicyjne, dobrze znane z badań zwykłych krzywych takich, jak okręgi i elipsy, będą miały miejsce również dla wykresów funkcji bardziej skomplikowanych. Rozważmy na przykład funkcję na rys. 282, której wykres mazałay
y
o
X
Rys. 282. y=x+ lxl
o Rys. 283. y= lxl
y
X
o
X
Rys.284.y=x+ lxl + +(x-1)+ lx-li
manie. Funkcja ta jest określona równaniem y = x + Ix J , gdzie Ix I jest bezwzględ ną wartością x, tzn.
y=x+x=2x y=x-x=O
dla X 2': 0, dla X< 0.
Innym przykładem jest funkcja y = J x J (rys. 283); jeszcze innym jest funkcja y=x+ Ix I + (x-1) + Ix-1 I (rys. 284). Wykresy tych funkcji nie mają określonego
430
Dodatek do
rozdziału
VIII
§ 1. Zagadnienia zasadnicze
kierunku czy stycznej w pewnych punktach; oznacza to, pochodnej dla odpowiednich wartości x.
że
funkcje 'te nie
mają
możliwe, ale da pochodną ciągłą. Dlaczego więc nie można by po prostu ustalić, że w zagadnieniach przez nas rozpatrywanych nie mogą występować zjawiska „patologiczne"? Takie właśnie założenie przyjmujemy w rachunku różniczkowym i. całkowym, gdzie rozpatrujemy tylko funkcje różniczkowalne. W rozdziale VIII przeprowadziliśmy różniczkowanie bardzo obszernej klasy funkcji i wykazaliśmy w ten sposób ich różniczkowalność. Wobec tego, że różniczkowalność funkcji nie jest logicznie oczywista, należy ją bądź zakładać, bądź dowodzić. Pojęcie stycznej lub kierunku krzywej, które pierwotnie było podstawą pojęcia pochodnej, wyprowadza się wtedy z czysto analitycznej definicji pochodnej: Jeżeli funkcja y = f(x) ma pochodną, tzn. jeżeli iloraz różnicowy (f(x +/z)- f(x))!h ma jedną tylko granicę f' (x), gdy h dąży do zera z obu stron, to mówimy, że odpowiednia krzywa ma styczną o nachyleniu f' (x). W ten sposób naiwna postawa Fermata, Leibniza i Newtona zostaje odwrócona w interesie wymagań logiki.
Ćwiczenia. 1. Utworzyć funkcję f (x), której wykresem jest połowa sześcio kąta foremnego. 2. Gdzie występują załamania wykresu funkcji
f(x) = (x
+ +±(( )+I x-±1)+±(( +I lxl)
x-±
x-±)
x-±1)
Jakie są punkty nieciągłości pochodnej f'(x)? Jako dalszy prosty przykład funkcji
nieróżniczkowalnej rozważmy funkcję
1
y=f(x)=xsin;,
Ćwiczenia. 1. Wykazać, że funkcja ciągła dana wzorem x2 sin(1/x) ma po-
którą otrzymujemy z funkcji sin (1/x) (patrz str. 274) przez pomnożenie jej przez czynnik x; określamy wartość funkcji f(x) dla x=O jako równą zeru. Funkcja ta, której wykres dla dodatnich wartości x jest pokazany na rys. 285, jest ciągła wszędzie. Wykres oscyluje nieskończenie często w sąY siedztwie punktu x =O, przy czym „fale" stają się bardzo małe, gdy zbliżamy się do punktu x =O. Nachylenie tych fal jest dane wzorem
chodną w punkcie x =O. 2. Wykazać, że funkcja arc tg (1/x) jest nieciągła dla x =O, że w tym punkcie funkcja x arc tg (1/x) jest wprawdzie ciągła, lecz nie ma pochodnej i że funkcja x2 arc tg (1/x) ma pochodną w punkcie x =O.
2. Całka. Sytuacja jest podobna, jeśli chodzi o pojęcie całki funkcji ciągłej f(x). Zamiast rozważać „pole pod krzywą" y = f(x) jako wielkość, która oczywiście istnieje i którą można wyrazić a posteriori jako granicę pewnej sumy, definiujemy całkę przez tę granicę i rozpatrujemy pojęcie całki jako pierwotną podstawę, z której później wyprowadzamy ogólne pojęcia pola. Do zajęcia takiego stanowiska zmusza nas oczywista mglistość intuicji geometrycznej, gdy stosujemy ją do tak ogólnych pojęć analitycznych, jak pojęcie funkcji ciągłej. Zaczynamy od utworzenia sumy
.1 1 1 x =sin---cos! '() x X X
o
X
(czytelnik zechce sprawdzić to jako ćwiczenie); gdy x dąży do O, nachylenie to oscyluje pomię dzy coraz to szerszymi granicami dodatnimi i ujemnymi. Dla x =O możemy spróbować wyznaczyć pochodną jako granicę ilorazu różnicowego dla
„
11
(1)
h""'"70
. 1 I f(O+h)- f(O) = tsmh =sin!. h Iz h Gdy jednak Iz ""'"7 O, wtedy iloraz różnicowy oscyluje pomiędzy-1 i+ 1 i nie dąży do żadnej granicy: zatem funkcja nie może być różniczkoRys. 285. y=x sin 1/x walna dla x =O. Te przykłady wskazują na pewną trudność tkwiącą w zagadnieniu. Weierstrass przedstawił tę sytuację w sposób paradoksalny, zbudował mianowicie funkcję cią głą, której wykres nie ma stycznej w żadnym punkcie. Różniczkowalność pociąga za sobą ciągłość, natomiast ten przykład wskazuje, że ciągłość nie pociąga za sobą różniczkowalności, gdyż funkcja Weierstrassa jest ciągła i nigdzie nie różniczko walna. W praktyce trudności tego rodzaju nie występują. Z wyjątkiem, być może, odosobnionych punktów krzywe będą gładkie, a różniczkowanie nie tylko będzie
431
JI
511 =
2.:t( vj )(xj -xj-i)
j=l
gdzie x 0 =a, xl' ... , x 11 =b jest podprzedziałem przedziału całkowania, t.xj=xj-x._ 1 jest różnicą zmiennych x, czyli długością j-tego pod przedziału, a V; jest dowolną wartością x w tym podprzedziale, tzn. x._ 1 :;; vj:;; xj" (Możemy przyjąć np. vj=xj albo vj=xj_ 1). Tworzymy teraz ciąg takicl1 sum, w którym ilość n podprzedziałów wzrasta i jednocześnie maksymalna długość pod przedziałów zmniejsza się do zera. Twierdzeniem podstawowym jest, że suma 511 dla danej funkcji ciągłej f(x) dąży do pewnej określonej granicy A, niezależnej od szczególnego sposobu obrania podprzedziałów i punktów vj' Z definicji granicą tą jest całka A =
b
Jf (x) dx. Oczywiście, istnienie tej granicy wyn
maga udowodnienia analitycznego, jeżeli nie zamierzamy polegać na intuicyjnym geometrycznym pojęciu pola: Dowód ten jest podawany w każdym ścisłym podręczniku rachunku różniczkowego i całkowego. Porównując różniczkowanie z całkowaniem stajemy wobec następującej przeciwstawności. Różniczkowalność jest w zasadzie warunkiem ograniczającym dla
Dodatek do
432
rozdziału
§ 1. Zagadnienia zasadnicze
VIII
funkcji ciągłej, natomiast efektywne dokonywanie różniczkowania, tzn. algorytm rachunku różniczkowego, jest w praktyce prostym postępowaniem opartym na niewielu prostych regułach. Z drugiej strony, każda funkcja ciągła bez wyjątku ma całkę w dowolnych dwóch danych granicach. Natomiast efektywne obliczanie takich całek, nawet dla zupełnie prostych funkcji, jest na ogół zadaniem bardzo trudnym. Z tego względu podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całko wego daje w wielu przypadkach decydujące narzędzie dla wykonania całkowania. Jednak dla większości funkcji, nawet dla funkcji bardzo elementarnych, całkowa nie nie daje prostych wyrażeń i numeryczne wyznaczanie całek wymaga szeroko rozbudowanych metod. 3. Inne zastosowania pojęcia całki. Praca. Długość. Oddzieliwszy analityczne od jego pierwotnej interpretacji geometrycznej napotykamy wiele innych, równie ważnych, interpretacji i zastosowań. Na przykład można zinterpretować całkę w mechanice jako abstrakcję pojęcia pracy. Następujący bardzo prosty przypadek posłuży nam jako wyjaśnienie. Przypuśćmy, że pewna masa porusza się wzdłuż osi x pod wpływem pewnej siły skierowanej wzdłuż tej osi. Wyobrażamy sobie, że masa ta jest skoncentrowana w punkcie o współrzędnej x i że siła jest dana jako funkcja f (x) położenia, przy czym znak wyrażenia f (x) wskazuje, czy siła jest skierowana zgodnie z dodatnim, czy z ujemnym kierunkiem osi x. Jeżeli siła jest stała i porusza ciało z punktu a do b, to praca wykonana jest równa iloczynowi (b-a)f natężenia f siły i odległości przebytej przez masę. Jeżeli natomiast wielkość siły zmienia się wraz z x, to musimy zdefiniować ilość wykonanej pracy za pomocą pewnego procesu granicznego (tak jak definiowaliśmy prędkość). W tym celu dzielimy jak przedtem przedział pomiędzy punktami a i b na małe podprzedziały za pomocą punktów x 0 =a, x1' ... , xll=b, a następnie wyobrażamy sobie, że w każdym pod przedziale siła jest stała, równa się - dajmy na to - f(xv), tj. wartości rzeczywistej w punkcie końcowym podprzedziału; obliczamy pracę odpowiadającą takiej skokowo zmieniającej się sile: pojęcie całki
Il
I"
b
Jo -k xdx = -k 2
433
b2 2-
2
I
musimy wykonać w kierunku przeciwnym tej sile, jeżeli chcemy do położenia wyjściowego, wynosi + k2b2/2. Drugim zastosowaniem ogólnego pojęcia całki jest tworzenie pojęcia długości łuku krzywej. Przypuśćmy, że rozważana część krzywej jest przedstawiona za pomocą funkcji y = f(x), której pochodna f'(x) = dy/dx jest także funkcją ciągłą. Dla zdefiniowania długości postępujemy dokładnie tak, jak gdybyśmy mieli zmierzyć długość krzywej centymetrem krawieckim w celach praktycznych. Wpisujemy w łuk AB wielobok o n małych bokach, mierzymy całkowitą długość Lil tego wieloboku i uważamy długość Lil za przybliżenie; przyjmując, że n wzrasta i maksymalna długość boków wieloboku maleje do zera, definiujemy granicę dłu gości boków wieloboku: a praca,
którą
rozciągnąć sprężynę
Ll.x
L=lim L„
jako długość łuku AB. (W rozdziale VI otrzymaliśmy w ten sposób długość obwodu koła jako granicę obwodów wpisanych n-kątów). Można wykazać, że dla x, x2 x dostatecznie gładkich krzywych granica ta istnieje Rys. 286 Długość luku i nie zależy od wyboru ciągu wpisanych wielokątów. Krzywe, dla których ten warunek jest spełniony, nazywamy prostowalnymi. Każda „rozsądna" krzywa występująca w teorii lub w zastosowaniach jest prostowalna i nie będziemy się zatrzymywali nad badaniem przypadków patologicznych. Wystarczy wykazać, że dla funkcji y = f (x), o pochodnej f' (x) ciągłej, łuk AB ma w tym sensie długość i że możemy ją wyrazić za pomocą pewnej całki. W tym celu oznaczamy odpowiednio współrzędne x punktów A i B przez a i b, następnie dzielimy przedział od a do b na osi x jak poprzednio za pomocą punktów
sil= L,J(x,,)~(x,,).
x0 =a, x1, Jeżeli
teraz zastosujemy - tak jak poprzednio - podział na coraz większą pod przedziałów, to widzimy, że wraz ze wzrostem n suma dąży do całki Jt(x) dx. a pracę wykonaną
pomocą
pewnej
przez
siłę zmieniającą się
w sposób
xj' ... , xll =b,
przy czym różnice wynoszą ~j = xj- xj_ 1; wreszcie rozważamy wielokąt o wierzchołkach (xl Yj = f(x )) położonych nad tymi punktami podziału. 1 Jeden bok wielokąta ma długość
b
Zatem
..• ,
ilość
ciągły określamy
za
całki.
Jako przykład rozważmy masę m umocowaną za pomocą elastycznej sprężyny w początku współrzędnych x =O. Zgodnie z rozważaniami na str. 427-428 siła f(x) jest proporcjonalna do x, tj.
~h-xj-1)2 +(yj-Yj-1)2 =~(~jt +(~Yl =~j l+( :~ Mamy stąd dla całkowitej
długości
f(x)= -k2x,
gdzie k2 jest pewną stałą liczbą dodatnią. W takim razie praca wykonywana przez siłę f(x) przy przejściu masy z początku współrzędnych do położenia x = b wynosi
Lil=
i
obwodu wielokąta wzór
j=l
1+(:,jJ ~j· 2
r
''·'"
434
Dodatek do
rozdziału
VIII
§ 2. Rzędy wielkości
Jeżeli teraz
n dąży do nieskończoności, to iloraz różnicowy dąży do pochodnej dy/dx=f'(x) i otrzymujemy na długość L wyrażenie całkowe
f
L = Ji+(J'(x))2 dx.
(2)
Nie wdając się w dalsze szczegóły tego teoretycznego rozważania, uczyńmy jeszcze dwie uwagi. Po pierwsze, jeżeli uważamy B za zmienny punkt krzywej, mający współrzędną x, to L = L(x) staje się funkcją x i mamy na podstawie twierdzenia podstawowego
L'(x)=dL= l1+(J'(x))2, dx V który to wzór jest często stosowany. Po drugie, wzór (2) daje „ogólne" rozwiązanie zagadnienia, natomiast raczej nie daje efektywnie wyrażenia na długość łuków w poszczególnych przypadkach. W tym celu należy podstawić daną funkcję f(x), a właściwie f' (x) do wzoru (2) i wykonać następnie efektywnie całkowanie otrzymanego w ten sposób wyrażenia. Tutaj trudność jest na ogół nieprzezwyciężona, jeżeli ograniczyć się do zakresu funkcji elementarnych, rozważanego w tej książce. Podamy kilka przypadków, w których całkowanie jest wykonalne. Funkcja
§ 2.
Rzędy wielkości
a funkcja potęgowa. W matematyce często wydo nieskończoności. Często zachodzi potrzeba porównania takiego ciągu z innym ciągiem b„ również rozbieżnym do nieskończoności, ale, być może, „prędzej" niż ciąg a11 • Precyzując to pojęcie, mówimy, że ciąg b11 dąży do niesko11czoności prędzej niż ciąg a„ lub ma wyższy rząd wielkości niż a„, jeżeli stosunek a,/b„ (w którym zarówno licznik, jak i mianownik dążą do nieskof1czoności) dąży do ~er~ z: wzrostem n. Tak na i:>rzykła~ ci~.g ~11 = n 2 dą~ do n~eskończoności prę dzej mż ciąg a11 =n, a ten ostatm prędzej mz ciąg c11 = .,,/n , gdyz 1. Funkcja
f'(x)
= dy= _ _x_, dx
.J1-x2
skąd
Ji+(f'(x))2 = .J1~x2 i długość łuku
koła
jest dana za pomocą
całki
dx . . Jb r.:-? =arcsmb-arcsma. 2
vl-x Dla paraboli y = x2 mamy f' (x) = 2x i długość łuku od x =O do x = b jest a
b
J
.J1+4x2dx.
Dla krzywej y =In sin x mamy f' (x) =ctg x i długość łuku wyraża się wzorem b
J~l+ctg 2 xdx. a
Zadowolimy się tylko wypisaniem tych wyrażeń całkowych. Dla ich obliczenia potrzeba nieco lepszej techniki niż ta, którą rozporządzamy, lecz my nie będziemy kontynuowali rozważań w tym kierunku.
wykładnicza
stępują ciągi a11 rozbieżne
Si.= Jn =-1-~o.
5L=~=..!.~o, 2
b„ n n a„ n Jn Jest oczywiste, że 11 5 dąży do nieskończoności prędzej niż nr, gdy s > r > O, ponieważ wtedy n'/n 5 = 1/n(s-r) ~ O. Jeżeli stosunek a,/b 11 dąży do pewnej skoflczonej liczby stałej c, różnej od zera, to mówimy, że oba ciągi a11 i b11 dążą do nieskończoności z tą samą prędkością albo że mają ten sam rząd wielkości. Tak więc ciągi a„ = n2 i b„ = 2n2 +n mają ten sam rząd wielkości, gdyż 2
n b,;- 2n 2 + 1 a„ _
y=f(x)=.Jl-x 2 ma za wykres półokrąg jednostkowy; mamy
435
1 2 +1I n
1 2
~-·
Można
by pomyśleć, że używając potęg n za wzorce da się zmierzyć różne rzę dla dowolnych ciągów s„ dążących do nieskończoności. W tym celu musielibyśmy znaleźć odpowiednią potęgę n5 mającą ten sam rząd wielkości, co a11, tzn. taką, że a,,ln 5 dąży do skończonej liczby stałej różnej od zera. Jest godne uwagi, że to nie zawsze jest możliwe; już funkcja wykładnicza a" przy a > 1 (np. e") dąży do niesko11czoności prędzej niż jakakolwiek potęga n 5 niezależnie od tego, jak wielkie obierzemy s, natomiast ln n dąży do niesko11czoności wolniej niż jakakolwiek potęga n 5 , niezależnie od tego, jak mały byłby wykładnik s. Innymi słowy, mamy dy
wielkości
(1)
115 -~O
a"
oraz (2)
Inn ns
0 --~'
gdy n ~ oo, Wykładnik s może tutaj nie być liczbą całkowitą, lecz dowolną ustaloną liczbą dodatnią.
Aby udowodnić wzór (1), możemy uprościć najpierw naszą tezę, wyciągając pierwiastek s-tego stopnia z badanego stosunku; jeżeli bowiem ten pierwiastek dąży do zera, to stosunek pierwotny także dąży do zera. Należy więc tylko dowieść, że
_n_~o an/s ,
~!;,
436
Dodatek do
rozdziału
§ 2. Rzędy wielkości
VIII
gdy n wzrasta. Niech będzie b=alls; wobec założenia, że a jest większe od 1, b oraz .Jb = b112 również jest większe od 1. Możemy napisać
437
2. Rz~d ~ielkości ciągu I~ (ni). W ~ielu zastosowaniach, np. w rachunku prawdopodob1enstw~, ~o~rzebn~_Jest zna1omość rzędu wielkości, czyli „asymptotycznego z~chowama się funkq1 n! przy dużych wartościach n. Zadowolimy się tutaj zbadamem logarytmu z ni, tzn. wyrażenia P„ =In 2 +In 3 +In 4 + ... + In n.
gdzie q jest liczbą
dodatnią.
Na podstawie nierówności (6) na str. 38 mamy Wykażemy, że „wartość asymptotyczna" wyrażenia P ,·est dana wzorem n In n •
I.
li,
a
Il
tzn. ze
b1112=(1+q)";?:l+nq > nq, więc
In(n!)
ninn ~ 1'
oraz
gdy n ~oo. Dowód jest charakterystyczny dla często stosowanej metody porównywania sumy z całką.
n n 1 --<--=--· a"ls n2q2 nq2 Wobec tego, że ostatnia wielkość dąży do zera, gdy n wzrasta, dowód naszego twierdzenia jest zakończony. W rzeczywistości zależność
y
(3)
zachodzi, gdy x dąży do nieskończoności w dowolny sposób, przybierając wartopewnego ciągu xl' x 2 , ••• , które mogą nie pokrywać się z ciągiem 1, 2, 3, ... liczb naturalnych. Jeżeli bowiem n-1 s x s n, to ści
Xs ns lls -<--=a-~O. 1 ax a"a" Można skorzystać
z tej uwagi, aby
udowodnić
o wzór (2).
Przyjmując
11-11111+~
x =In n Rys. 287. Szacowanie In (111)
ie• =a, tak że
n= ex
oraz
n5 = (e 5 )X
otrzymujemy zamiast ułamka we wzorze (2)
Na rysunku 287 suma P„ równa się sumie pól prostokątów, których górne podstawy są zaznaczone liniami ciągłymi i które łącznie nie przekraczają pola
wyrażenie
X QX I
co jest szczególnym przypadkiem wzoru (3) przy s = 1.
11+1
Jlnx dx=(n + 1) In(n + 1)-(n + 1) + 1 1
pod krzywą logarytmiczną od 1do11+1 (patrz str. 418, ćwiczenie 1). Ale suma P jest także równa łącznemu polu prostokątów, których górne podstawy są zaznac~one liniami przerywanymi i które łącznie przewyższają pole pod krzywą od 1 do n, dane wzorem
Ćwiczenia. 1. Udowodnić, że dla x ~ oo funkcja In In x dąży do nieskończo
In x. 2. Pochodną funkcji x/ In jest funkcja 11 In x-1/(In x) 2 • Udowodnić, że dla wielkich wartości x pochodna jest „asymptotycznie" równoważna pierwszemu wyrazowi 1/ln x, tzn. że stosunek tych dwóch wyrażeń dąży do 1, gdy x~oo. ności
I
wolniej
li
Jlnx dx=n Inn- n+ 1.
niż
1
Mamy więc n In n-n+ 1 < P„ <(n+ l)ln (n+ 1)-n,
Dodatek do
438 a
dzieląc
rozdziału
VIII
§ 3. Szeregi
przez n In n otrzymujemy
nieskończone
i iloczyny nieskofzczone
439
jest rozbieżny (ponieważ sumy częściowe mają na przemian wartości Oi 1), a szereg 1
1+1+1+ ...
Inn = (l +I) Inn+ In(l + 1/ n) 1 n Inn Inn Oczywiście, obydwa krańce dążą do 1, gdy 11 dąży do nieskończoności, czemu udowodniliśmy nasze twierdzenie.
jest rozbieżny, ponieważ sumy częściowe dążą do nieskończoności. Spotkaliśmy się już z szeregami, których wyrazy bil są funkcjami x postaci dzięki
Ćwiczenie. Udowodnić, że obydwa kraf1ce są odpowiednio większe niż
gdzie współczynniki C; są stałe. Szeregi takie nazywamy szeregami potęgowymi; one granicami sum częściowych będących wielomianami
są
1-1/n i mniejsze niż 1 + 1/n.
§ 3. Szeregi nieskończone i iloczyny nieskończone
(dodanie wyrazu stałego c0 wymaga pewnej nieistotnej zmiany w oznaczeniach (2)).
Rozwinięcie
1. Szeregi nieskończone funkcji. Jak już stwierdziliśmy, przedstawienie wielkości
s w postaci szeregu niesko11czonego
(1)
i. I I.
'"
jest tylko dogodnym oznaczeniem dla stwierdzenia, że sjest granicą - przy wzroście n - ciągu skończonych sum częściowych
gdzie
funkcji f(x) w szereg potęgowy jest więc pewnym sposobem przedstawienia przybliżenia funkcji f (x) przez wielomiany - rozkładu na funkcje prostsze. Streszczając i uzupełniając wyniki poprzednie, wypisujemy następujące rozwinięcia w szereg potęgowy:
(4)
1 - - = 1-x+x2 -x3 + ... l+x
zbieżny
dla -1 < x::;+l,
(5)
x3 xs arctgx=x--+-- ... 3 5
zbieżny
dla -1::; x ::;+ 1,
(6)
xz x3 ln(l+x)=x--+--... 2 3
zbieżny
dla -1
(7)
5 3 1 (l+x) x x ... -In - - =x+-+-+ 2 1-x 3 5
zbieżny
dla -1 < x < + 1,
(8)
e· =l+x+-+-+-+ ...
zbieżny
dla każdego x.
(2)
Zatem równanie (1) jest równoważne zależności granicznej lim sil= s,
gdy n ~ oo,
gdzie suma sil jest zdefiniowana wzorem (2). Gdy granica (3) istnieje, mówimy, że szereg (1) jest zbieżny do wartości s, a gdy nie istnieje, mówimy, że szereg jest roz-. bieżny.
Tak, na przykład, szereg x
1 1 1 1--+---+ ... 3 5 7
jest zbieżny do wartości :rr:/4, a szereg 1 2
wartości
x3 3!
x4 4!
Do tego wykazu dodajmy następujące ważne rozwinęcia: 1 3
1 4
1--+---+ ... jest zbieżny do
xz 2!
(9)
. x3 xs sinx=x--+-- ... 3! 5!
(10)
cosx=x--+-- ... 2! 4!
In 2; z drugiej strony, szereg 1-1+1-l+ ...
x2
x'1
zbieżny
dla
każdego
zbieżny
dla każdego x,
x,
rozdziału
Dodatek do
VIII
·f111
440
. I
których dowód jest bezpośrednim wnioskiem ze wzorów (patrz str. 408):
•i
§ 3. Szeregi nieskończone i iloczyny nieskończone a przy n -7 oo, także r
-7
441
oo, skąd c( l )' -7 O. Wynika stąd, że
X
fo sin u du= 1-cosx,
. x3 xs smx=x+
x7
- + ... , 31 51 71
X
fo cos u du=sin x.
xz x4 x6 cosx=l--+---+ ... 2! 4! 6! Wobec tego, że wyrazy tych szere~ów mają na przemian znaki+ i - oraz wartości ich maleją (przynajmniej dla Ix I~ 1), wynika stąd, że błąd popełniony przez przerwanie tych szeregów na pewnym wyrazie nie przekracza co do wielkości wartości pierwszego pominiętego wyrazu. UWAGA. Szeregi te można zastosować dla sporządzania tablic. Na przykład obliczmy, czemu równa się sin 1°. W mierze teoretycznej 1° równa się .n/180, skąd {
I
Zaczynamy od nierówności COS X~
1.
Całkując od O do
x, gdzie x jest dowolną ustaloną liczbą dodatnią, otrzymujemy (patrz, wzór (13), str. 384): sin x ~ x; całkując ponownie mamy xz
sin l;O = 1;0
1-cosx~-'
2
-~( l;OJ + ...
Błąd popeh1iony przez przerwanie na drugim miejscu jest nie większy niż }~ ( 1:0
czyli cosx~
co wynosi mniej niż 0,00000000002. Zatem sin 1° = 0,0174524064, z 10 miejsc dziesiętnych. Na koniec, podajemy bez dowodu, szereg dwumianowy:
1--·
Całkując jeszcze raz otrzymujemy .
xz
x3
2
x3
smx~x---=x--.
(11)
2·3
3! Postępując w ten sam sposób nieskończenie wiele razy, otrzymujemy dwa ciągi ~··
nierówności
sin x ~x,
COS X~
. x3 smx;:::x-3! .
X3 3!
XS 5!
Gdy a= n jest
współczynniki
x4 4!'
cosx~l--+I
. x3 xs x7 s1nx2:x--+--3! 5! 7! I
xz x4 x6 cosx2:1--+--2! 4! 6!
a(a-l)(a-2) ... (a-s+ 1) s!
liczbą całkowitą dodatnią, (:) we wzorze (11)
to mamy (:) = 1, a dla s > n wszystkie
są równe zeru, a więc po prostu otrzymujemy
twierdzenia dwumianowego. Jednym z wielkich Newtona, które poczynił na początku swojej kariery, było to, że elementarne twierdzenie dwumianowe może być uogólnione z wykładników całkowitych dodatnich n na dowolne wykładniki, dodatnie lub ujemne, wymierne lub niewymierne. Jeżeli a nie jest liczbą całkowitą, to prawa strona wzoru (11) daje szereg nieskończony, zbieżny dla -1 < x < + 1. Dla Ix I > 1 szereg (11) jest rozbieżny, zatem znak równości traci sens. W szczególności znajdujemy przez podstawienie we wzorze (11) a= ł rozwiodkryć
Otóż x"/n! -7 O, gdy n dąży do nieskończoności. Aby to wykazać, obieramy ustaloną liczbę całkowitą m taką, że x/m < 1 i piszemy c = x"'/m! Dla dowolnej liczby całkowitej n > m przyjmijmy n= m + r; zatem
l
3
skończoną formułę zwykłego
I
do
(l+x)" = 1+ ax+(;} +( ;} + ... ,
(:)
xz 2!
smx~x--+-
I
gdzie (:) jest to współczynnik dwumianowy:
1,
xz cosx2:1-2!'
I
2
dokładnością
r
nięcie
(12)
~ 1 1 2 1·3 3 1·3·5 4 "lfl-l-X=l+-x---x +--X - -4- X + ... 2 2 2 ·2! 2 3 ·3! 2 ·4!
442
Dodatek do
rozdziału
VIII
§ 3. Szeregi. nieskończone i iloczyny nieskończone
Podobnie jak inni matematycy XVIII wieku Newton nie dał w rzeczywistości dowodu słuszności swojego wzoru. Zadowalająca analiza zbieżności i przedziału zbieżności takich szeregów nieskończonych była podana dopiero w XIX wieku. , c-7 2 Cwiczenie. Wypisać szereg potęgowy dla funkcji v 1- x i
1
podstawiając następnie
2!c2 = f" (O). Różniczkując wzór (13") i podstawiając następnie x=O, mamy podobnie
.Jl_ x .
Rozwinięcia (4)-(11) są szczególnymi przypadkami ogólnego wzoru pochodzą cego od Brooka Taylora (1685-1731), który podał rozwinięcie w szereg potęgowy dla pewnej obszernej klasy funkcji f(x):
443
we wzorze (13") x=O widzimy, że
3!c3 = f'"(x)
i kontynuując to postępowanie otrzymujemy ogólny wzór cIl
11 =.2_1< >(0) f
11.
I
gdzie f(lr){O) jest wartością n-tej pochodnej funkcji f (x) w punkcie x =O. Wynikiem tego jest szereg Taylora
(13) odkrywszy prawo wyrażające współczynniki C; za pomocą samej funkcji i jej pochodnych. Nie możemy tutaj podać ścisłego dowodu wzoru Taylora ani też sformułować, ani ustalić warunków jego stosowalności. Jednakże następujące rozważania wskażą na wzajemne powiązanie istotnych dla tego zagadnienia faktów matematycznych. Załóżmy na razie, że możliwe jest rozwinięcie (13). Załóżmy dalej, że funkcja f(x) jest różniczkowalna, że f' (x) jest różniczkowalna, itd., a więc ciąg nieskończo ny pochodnych f'(x), f"(x), ... , f(n)(x), ... rzeczywiście istnieje.
Wreszcie przyjmijmy za rzecz znaną, że szereg potęgowy niewyraz po wyrazie tak jak skończony wielomian. Przy tych założeniach możemy wyznaczyć współczynniki c„ znając zachowanie się funkcji f(x) w sąsiedztwie punktu x =O. Najpierw podstawiamy do wzoru (13) wartość x =O, skąd znajdujemy skończony można różniczkować
(14)
xz x3 f(x) = f(O) +xf'(O) + - f"(O)+-f"'(O)+ . 2! 3! ..
Jako ćwiczenie z różniczkowania zechce czytelnik sprawdzić, że w przypadkach (4) - (11) spełniony jest wzór na współczynniki szeregu Taylora. 2. Wzór Eulera cosx+i sin x=eix.Jednym z najbardziej zadziwiających wyników formalnych rachunków Eulera jest ścisłe powiązanie w dziedzinie liczb zespolonych pomiędzy funkcjami sinus i cosinus z jednej strony a funkcją wykładni czą z drugiej. Należy stwierdzić z góry, że „dowód" Eulera jak też nasze dalsze rozważania nie mają w żadnym razie ścisłego charakteru; są to typowe osiemnastowieczne przykłady rachunków formalnych. Zacznijmy od wzoru de Moivre'a, który udowodniliśmy w rozdziale II:
(cos mp+ i sin 111p) = (cos
c0 =f(0), ponieważ wszystkie wyrazy szeregu zawierające x są wtedy równe zeru. Różnicz kujemy teraz wzór (13) i otrzymujemy
11
.. (cos-+1smX .. X) . (cosx+tsmx)= Il
/1
Jeżeli teraz x jest dane, to liczba cos (x/n) dla wielkich wartości n różni się tylko
nieznacznie od cos O= 1; ponadto, wobec zależności (13') .
Podstawiając
_ _1_1
X
mujemy
c1 =f'(O). Różniczkując
(13")
wzór (13') otrzymujemy f"(x) =2c2 +2 · 3c3x+ ... + (11-l)11c„x 11 -2+ ...;
X
sm-
znowu x =O, tym razem we wzorze (13'), a nie we wzorze (13), otrzy-
-d I
gdy
11
(patrz str. 296) widzimy, że sin (x/n) jest asymptotycznie równy x/n. Uważamy zatem za uzasadnione przyjęcie wzoru granicznego (14)
( )"
. , cosx+1smx=hm 1+-; • •
.
IX
gdy
Il ---7 oo.
444
Dodatek do
rozdziału
Porównując prawą stronę
1+;)",
gdy
cos x+i sin x=eix;
1
-2 =1-x
l+x
jest to wzór Eulera. ten sam wynik z innego rachunku formalnego; z rozwinięcia funkcji ez:
ez=
wychodząc
z z z 1+-+-+-+ .. 1!
2
3
2!
3!
i podstawiając w nim z= ix, gdzie x jest liczbą rzeczywistą. Jeżeli przypomnimy, że kolejnymi potęgami i są: i, -1, - i, 1 itd., zmiana wartości następuje okresowo, to zbierając oddzielnie części rzeczywiste i części urojone mamy eix
":
i
wykazują żadnych nieprawidłowości. Oczywiście,
nieskończona,
n -4 oo
Można otrzymać
=(1- ~~ +::-:~ +...)+{x- ~~ +~~ -;~ +. }
porównując prawą stronę z szeregami na sin x i cos x otrzymujemy znowu wzór Eulera., Takie rozumowanie nie jest w żadnym razie ścisłym dowodem zależności (15). Zastrzeżenie w stosunku do drugiego rachunku jest takie, że rozwinięcie w szereg funkcji ez wyprowadziliśmy przy założeniu, że z jest liczbą rzeczywistą, zatem podstawienie z= ix wymaga uzasadnienia. Podobnie ważność pierwszego rozważania jest zachwiana przez to, że wzór
ez= lim(
1+;)",
gdy
n
-4
445
funkcja 1/(1 + x) staje się gdy x -4-1. Można łatwo wykazać, że zbieżność szeregu potęgowe go dla x=a > O pociąga za sobą zawsze zbieżność dla -a < x
tego równania ze wzorem (str. 417)
ez= lim( mamy (15)
§ 3. Szeregi nieskończone i iloczyny nieskończone
VIII
oo
wyprowadzony tylko dla rzeczywistych wartości z. Przeniesienie wzoru Eulera ze sfery czystego formalizmu w sferę ścisłej matematycznej wiedzy wymagało rozwinięcia teorii funkcji zmiennej zespolonej, co było jednym z wielkich osiągnięć matematycznych XIX wieku. Badanie wielu innych zagadnień sprzyjało temu rozwojowi o dalekosiężnym znaczeniu. Widzieliśmy na przykład, że rozwinięcia funkcji w szeregi potęgowe są zbieżne dla wartości x w różnych przedziałach. Dlaczego niektóre rozwinięcia są zbieżne wszędzie, tzn. dla wszelkich wartości x, natomiast inne tracą sens dla Ix I > 1? Rozważmy dla przykładu szereg geometryczny (4) ze str. 439, który jest zbież ny dla Ix I < 1. Lewa strona tej równości jest jednoznacznie określona, gdy x= l, i przyjmuje wtedy wartość 1/(1+1) = f, natomiast szereg po prawej stronie zachowuje się bardzo dziwnie, przybierając postać
2
+x 4 -x6 +...
podstawiaf"ąc we
wzorze (4) wyrażenie x 2 zamiast x. Szereg ten jest również zbież < 1, natomiast przy x = 1 prowadzi znowu do szeregu rozbieżnego 1-1 + 1 ... i przy Ix I > 1 jest rozbieżny bardzo szybko, chociaż sama funkcja jest wszędzie regularna. Okazało się, że pełne wyjaśnienie tych zagadnień można dać dopiero wtedy, gdy badamy funkcję dla zespolonych wartości zmiennej x, a nie tylko dla wartości rzeczywistych. Tak na przykład szereg 1/(1 + x 2 ) musi być rozbieżny dla x =i, ponieważ wtedy mianownik ułamka staje się równy zeru. Wynika stąd, że szereg musi być rozbieżny również dla wszelkich x takich, że Ix I > I i I = 1, ponieważ można wykazać, że zbieżność jego dla każdego takiego x pociągałaby za sobą zbież ność dla x =i. W ten sposób zagadnienie zbieżności szeregów, zupełnie pomijane w początkowym okresie rachunku różniczkowego i całkowego, stało się jednym z ważniejszych czynników budowy teorii funkcji zmiennej zespolonej. ny dla
Ix
3. Szereg harmoniczny i funkcja dzeta. Iloczyn Eulera dla funkcji sinus. Szeregi, których wyrazy są prostymi kombinacjami liczb naturalnych, są szczególnie interesujące. Jako przykład rozpatrzmy szereg harmoniczny
1 1 1 1 1 +-+-+-+... +-+... ,
(16)
n który różni się od szeregu na In 2 tylko znakami parzystych wyrazów. Pytanie, czy ten szereg jest zbieżny, sprowadza się do pytania, czy ciąg 2
3
4
został
gdzie 1
1
1
sil =1 +-+-+... +-, 2 3 n
(17) dąży
do skończonej granicy. Chociaż wyrazy szeregu (16) dążą do O, w miarę jak posuwamy się coraz dalej, to jednak łatwo zauważyć, że szereg nie jest zbieżny. Biorąc bowiem dostatecznie dużą ilość wyrazów możemy przekroczyć dowolnie obraną liczbę dodatnią, a więc sil rośnie nieograniczenie i stąd szereg (16) „jest rozbieżny do nieskończoności". Aby to wykazać, zauważmy, że
Sz=l+f, 1-1+1-l+ ... Szereg ten nie jest zbieżny, ponieważ jego sumy częściowe oscylują pomiędzy 1 a O. Oznacza to, że funkcje mogą dawać szeregi rozbieżne nawet wtedy, gdy dane funk-
S4=Sz+(~ +-;i)> Sz+(:i + -;i)=l+ 5 s=s4+
! ... +a!) > ( 5+
5 4+ (la+
i,
I 1 +2, 3 ... +a!) = 5 4+2>
:1"
'\
446
§ 3. Szeregi nieskończone i iloczyny nieskończone
Dodatek do rozdziału VIII
Gdyby istniała tylko skończona ilość liczb pierwszych, dajmy na to liczby p 1, p2' ...,Pr' to iloczyn po prawej stronie wzoru (21) byłby zwyczajnym iloczynem skończonym i miałby zatem wartość skoi1czoną, nawet przy s = 1. Widzieliśmy jednak, że szereg przys=l
a ogólnie jest (18)
Tak, na przykład, sumy częściowe s 2111 przekraczają 100: gdym <:: 2?0. , . Chociaż szereg harmoniczny nie jest zbieżny, to Jednak mozna wykazac, ze
~(1)=1+..!.+..!.+... 2
szereg
1
1
1
1
J +-+-+-+ ... +-+ ... 2s 3s 4s ns
jest zbieżny dla każdej wartości s większej od 1; dla wszystkich s > 1 szereg ten definiuje tak zwaną funkcję dzeta l;(s)
=lim( + ;s + ;s + ~s + ... + ,~s}
n~
gdy
1
oo
jako funkcję zmiennej s. Istnieje ważna zależność poi;niędzy fun~cją dze,t~ i liczbami pierwszymi, którą możemy otrzymać wykorzystuiąc nasze w1adomosc1 o szeregu geometrycznym. . . . . h p- 2 3 5 7 będzie liczbą pierwszą· w takim razie dla s <:: 1 zachodzi N iec I
I
I
I...
~,
rozbieżny
do
nieskończoności.
I
1
jest wielomianem stopnia n i ma n różnych pierwiastków, tzw. miejsc zerowych x1, ••• , x„, to wiemy z algebry, że można rozłożyć f (x) na czynniki liniowe:
0<-
Ps
a więc 1
1-1/ps
1
1
1
Ps
p•
p•
f(x) = a„(x- x 1) ... (x-x„)
l+-+-2-+-3-+ ...
(por. str. 113). Wynosząc przed nawias iloczyn x 1x2... x 11 możemy napisać
Pomnóżmy przez siebie te wyrażenia dla wszystkich liczb ~ierws.zych P= 2, 3, 5, ~' ... nie wdając się w dopuszczalność takiej operacji. Po lewe1 strome otrzymamy „iloczyn"
f(x)
nieskończony
(i_;/ Pi· .... 1-:/ p;,}
gdy
1 1 1 +-+-+ ... = ~(s) 25 35
ze względu na to, że każdą liczbę całkowitą większą od 1 można przedstawić jednoznacznie jako iloczyn potęg różnych liczb pier:'sz~ch. w ten sposób przedstawiliśmy funkcję dzeta pko iloczyn
~(s)=(i_ ;/2 )(1-:/3 )(i_;/ 5 5
Xz
X11
gdzie C jest pewną liczbą stałą, która przez podstawienie x=O okazuje się równa a0 • Otóż, jeżeli zamiast wielomianów rozważamy bardziej skomplikowane funkcje f (x), to powstaje zagadnienie, czy możliwe jest w dalszym ciągu rozłożenie na iloczyn na podstawie znajomości miejsc zerowych funkcji f(x). (Na ogół tak nie jest, jak to pokazuje przykład funkcji wykładniczej, która nie ma wcale miejsc zerowych, gdyż e-" ;to O dla wszystkich wartości x). Euler odkrył, że dla funkcji sinus rozkład taki jest możliwy. Aby napisać wzór w sposób możliwie najprostszy, rozważamy nie sin x, lecz sin :n:x. Funkcja ta ma miejsca zerowe x =O, ± 1, ±2, ±3, ... , gdyż sin :n:x =O dla wszelkich całkowitych wartości n i tylko dla tych wartości. Otóż wzór Eulera głosi, że
natomiast po drugiej stronie otrzymujemy szereg
5
..
=C(1-2-)(1-~) (1-~), Xi
równy granicy wyrażenia
(21)
3
Rozumowanie to, od którego łatwo można przejść do ścisłego dowodu, okazuje, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Dowód ten jest oczywiście znacznie bardziej skomplikowany i wyszukany niż dowód podany przez Euklidesa (patrz str. 44). Ma on jednak urok trudnego wejścia na szczyt górski, do którego można dojść od innej strony wygodną drogą. Iloczyny nieskończone, takie jak iloczyn (21), są czasami równie użyteczne do przedstawienia funkcji, podobnie jak szeregi nieskończone. Inny iloczyn nieskoń czony, którego odkrycie było jeszcze jednym z osiągnięć Eulera, dotyczy funkcji trygonometrycznej sin x. Aby zrozumieć ten wzór, zaczniemy od pewnej uwagi dotyczącej wielomianów. Jeżeli
jest
(19)
(20)
447
5
}··
(22)
x2)(l-32 x2)(1- x2) ··· sin:n:x=:n:x ( 1- ~x2)( 2 1- 22 42
Ten iloczyn nieskoi1czony jest zbieżny dla niejszych wzorów w matematyce.
każdej wartości
x i daje jeden z najpięk
448
§ 4. Wyprowadzenie twierdzenia o liczbach pierwszych
Dodatek do rozdziału VIII
Dla x= ł otrzymujemy sin{-;ir = 1=i;ii;(1Jeżeli
22 ~ 12 )(1- 22 ~ 22 )(1- 2 ~ 32)(1- 22~ 4 ).„ 2
2
napiszemy
449
x<2, oczywiście, A(n) =O). Ściślej mówiąc, niech x będzie dużą liczbą, a Lu inną dużą liczbą taką, że rząd wielkości x jest większy niż rząd wielkości L\x. (Na przy-
.JX ). Zakładamy wtedy, że rozmieszczenie liczb pierwszych jest tak gładkie, że ilość liczb pierwszych w przedziale od x do x + L\x jest w przybliżeniu równa W(x)L\x, a ponadto W(x) jako funkcja x zmienia się tak kład moglibyśmy przyjąć L\x =
li
1 (2n -1)(2n + 1) 1----= , 2 2 . n2 2n· 2n to otrzymamy iloczyn Wallisa Jt
2 2 4 4 6 6 8 8
2=1·3·3·5·5·7·7·9„„ o którym wspominaliśmy na str. 289. Dowody tych wzorów znajdzie czytelnik w podręcznikach rachunku różniczkowego i całkowego (patrz str. 505-506).
wolno, że całkę
f W(x) dx można zastąpić pewnym przybliżeniem prostokątnym, 2
nie zmieniając jej wartości asymptotycznej. Po tych wstępnych uwagach możemy przejść do dowodzenia. Udowodniliśmy (str. 437), że dla dużych liczb całkowitych In n! jest asymptotycznie równy 11 In n, czyli In 11!
-
11
ln n.
Dalszy krok polega na podaniu innego wzoru na In n!, w którym będą występowa liczby pierwsze, i na porównaniu obu wyrażeń. Policzmy, jak często dowolna liczba pierwsza p mniejsza niż n wystąpi jako czynnik liczby całkowitej n!= 1 · 2 · 3 ·n. Przez [a]P oznaczymy n,ajwiększą liczbę całkowitą k taką, że p1' dzieli a. Wobec tego, że rozkład każdej liczby całkowitej na czynniki pierwsze jest jednoznaczny, dla każdych dwóch liczb całkowitych a i b jest [ab] 1, = [a]P + [b]P, a stąd
ły
§ 4 **. Wyprowadzenie twierdzenia o liczbach pierwszych metodami statystycznymi 'Przy stosowaniu metod matematycznych do badania zjawisk przyrody zadowalamy się zwykle rozumowaniami, w toku których łańcuch ścisłego wnioskowania przeplata się z mniej czy bardziej prawdopodobnymi założeniami. Nawet w matematyce czystej spotykamy rozumowania, które nie dając ścisłego dowodu, nasuwają jednak właściwe rozwiązanie i wskazują kierunek, w którym należy szukać ścisłego dowodu. Rozwiązanie zagadnienia brachistochrony podane przez Bernoulliego ma ten charakter (patrz str. 259), tak samo jak większość dawniejszych prac z analizy. Stosując postępowanie typowe dla matematyki stosowanej i w szczególności dla mechaniki statystycznej, podamy tutaj rozumowanie, które co najmniej w pewnym stopniu uzasadnia prawdziwość słynnego prawa Gaussa dotyczącego rozmieszczenia liczb pierwszych. (Omawiane postępowanie podsunął jednemu z autorów tej książki fizyk doświadczalny Gustav Hertz). Twierdzenie to, które rozpatrywaliśmy empirycznie w dodatku do rozdziału I, głosi, że ilość A(n) liczb pierwszych nie większych od n jest asymptotycznie równa wielkości n/In n, tzn.
n In n Rozumiemy przez to,.że stosunek A(n) do n/In n dąży do granicy 1, gdy n dąży do A(n)~-.
„„
[n!]P = [1]1, + [2] 11 + [3J„ + ... + [n]P.
W ciągu 1, 2, 3, „,, n wyrazami podzielnymi przez pk są pk, 2pk, 3pk, .„; ich ilość Nk dla dużych n równa się w przybliżeniu n/pk. Ilość Mk tych wyrazów, które są podzielne przez pk i nie są podzielne przez żadną wyższą potęgę p, równa się Nk -Nk+ 1. Stąd
(Równości
te są oczywiście tylko przybliżone). Wynika stąd, że dla dużych n liczba n! jest w przybliżeniu równa iloczynowi wszystkich wyraże6 p 11f<11- 1> dla wszystkich liczb pierwszych p < n. Marny zatem wzór In n! - L.J-" n lnp. p<11p- 1
nieskoł1czoności.
Zaczynamy od założenia, że istnieje prawo matematyczne, opisujące rozrni~szczenie liczb pierwszych w następujący sposób: dla dużych wartości n funkcja A(n) jest w przybliżeniu równa całce
Porównując go z naszym poprzednim wyrażeniem asymptotycznym na In n otrzymujemy pisząc x zamiast 11
11
J W(x) dx, gdzie W(x) jest funkcją, która mierzy 2
„gęstość" liczb pierwszych. (Obraliśmy 2 za dolną granicę całkowania, gdyż dla
(1)
lnx-
L
lnp.
p
rozdziału
Dodatek do
450
VIII
§ 4. Wyprowadzenie twierdzenia o liczbach pierwszych
Następny i decydujący krok polega na asymptotycznym przedstawieniu prawej strony wzoru (1) za pomocą funkcji W(x). Gdy x jest bardzo duże, wtedy może my podzielić przedział od 2 do x =n na dużą ilość r dużych pod przedziałów, obierając punkty2=.; 1,.;2, ...,.;r,.;,.+ 1 =x z odpowiednimi różnicamiA.;j=.;j+l -.;j" W każ dym podprzedziale mogą być liczby pierwsze i wszystkie liczby pierwsze w j-tym podprzedziale będą miały w przybliżeniu wartość .;j" Według naszego założenia dotyczącego funkcji W(x) w j-tym podprzedziale jest w przybliżeniu
liczb pierwszych; zatem suma po prawej stronie wzoru (1) jest w przybliżeniu równa r+l In.;.
#w(.;j) .;j-'1 ~.;j.
Zastępując tę skończoną sumę całką, którą
In x -
(2)
suma przybliża, otrzymujemy zależność I .;
f w(.;).;~ 1 a.; X
2
jako prawdopodobny wniosek ze wzoru (1). Wyznaczymy stąd nieznaną funkcję W(x). Zastępując znak - zwykłym znakiem równości i różniczkując obie strony ze względu na x, otrzymamy wobec podstawowego twierdzenia rachunku różnicz kowego i całkowego
Na
--· W( X ) --x-1
1 lnx -=W(x)-1 X x-1
(3) początku
naszych
xlnx funkcja A(x) jest w
rozważal1 założyliśrny, że
przybliżeniu
X
równa
JW(x) dx; stąd funkcja A(x) jest dana w przybliżeniu przez całkę 2
xx-1
dx. f-xlnx
(4)
2
Dla oszacowania tej
całki zauważymy, że
f'(x) Dla
dużych wartości
x oba
funkcja f(x) =x/ln x ma
= I~x -
(ln~) 2
pochodną
•
wyrażenia
1
1
lnx - (lnx) 2 '
1 lnx
1 xlnx
są
w przybliżeniu równe, gdyż przy dużych wartościach x drugi wyraz będzie w obu przypadkach znacznie mniejszy od pierwszego. Zatem całka (4) jest·asymptotycznie równa całce
Jf'(x)dx= f(x)-f(2)=-· - -2 , X
2
X
~X
~2
451
gdyż funkcje podcałkowe są prawie równe w większej części przedziału całkowa nia. Dla dużych wartości x można pominąć wyraz 2/ln 2, gdyż jest on liczbą stałą; otrzymujemy X
A(x)~ lnx'
co jest właśnie twierdzeniem o liczbach pierwszych. Nie zamierzamy twierdzić, że rozumowanie podane daje coś więcej niż tylko pewne sugestie. Jednakże przy bliższym zbadaniu ujawnia się fakt następujący. Nie trudno jest podać pełne uzasadnienie wszystkich kroków, które tak śmiało podjęliśmy, w szczególności dla równania (1), dla asymptotycznej równości tej sumy i całki we wzorze (2) i dla przejścia od wzoru (2) do (3). Znacznie trudniej jest udowodnić istnienie gładkiej funkcji gęstości W(x), które założyliśmy na początku. Gdy tylko przyjmiemy to założenie, wtedy oszacowanie tej funkcji jest sprawą stosunkowo prostą; z tego punktu widzenia dowód istnienia takiej funkcji jest główną trudnością twierdzenia o liczbach pierwszych.
Rozdział
IX
Wyniki
współczesne
§ 1. Formuła na liczby pierwsze (patrz strona 47)
'I
''
Znanych jest dużo różnych wielomianów, których wartościami są liczby pierwsze. Wielomiany te niewiele wnoszą do naszej wiedzy o liczbach pierwszych, wykazują natomiast, jak dziwne mogą być ich własności. W roku 1900 David Hilbert w swym słynnym wykładzie na Międzynarodo wym Kongresie Matematyków przedstawił 23 problemy, których rozwiązanie miało, jego zdaniem, podstawowe znaczenie dla rozwoju matematyki w rozpoczynają cym się XX wieku. Dziesiąty problem Hilberta dotyczy pytania o istnienie ogólnej metody- dzisiaj powiedzielibyśmy algorytmu - sprawdzającej, czy równanie diofantyczne ma rozwiązanie. W roku 1970, wykorzystując wcześniejsze wyniki Martina Davisa, Hilary' ego Putmana i Julii Robinson, matematyk rosyjski Jurij Matijasewicz udowodnił, że nie istnieje żaden taki „algorytm rozstrzygający". Ponieważ zastosowana metoda wykorzystuje w symulacji algorytmów komputerowych wielomiany jako dość skomplikowany „język programowania", wytworzone tą metodą wielomiany są przeogromne. James Jones wskazał jawnie układ równań wielomianowych, dla którego nie istnieje algorytm rozstrzygający. Najwyższy stopień równania tego układu 18 równań z 33 zmiennymi jest równy 560 • Z dowodu Jurija Matijasewicza przy okazji wynika rzecz ciekawa. Istnieje wielomian p(x1, •• •,x23 ) 23 zmiennych (równie skomplikowany jak poprzedni), którego wszystlde wartości dodatnie dla zmiennych całkowitych tworzą cały zbiór liczb pierwszych. W 1976 roku J. P. Jones, D. Sato, H. Wada i D. Wiens opublikowali postać znacznie prostszego wielomianu 26 zmiennych o tej samej własności. Niech zmiennymi będą a, b, c, ... , x, y, z (h·af chce, że alfabet ma 26 liter, co ułatwia zapis). Wtedy wielomian jest postaci (k+2){1-[wz+h + j-q]2-[(gk+ 2g+k+ l)(h + j) +h-z] 2-[2n +p +q +z-e]2- [16(k+ 1)3 (k+2)(n + 1)2+ 1-j2]2-
I '
IX. Wyniki
454
współczesne
-[e3(e +2)(a + 1)2 +1-a2]-[(a 2-1)y2 + 1-x2]2-[16r2y 4(a 2-1) + 1-u2]2-[((a + u2(u2-a))2-1)(n +4dy2 ) + 1-(x+cu)2]2-[n +l +v-y] 2 -[(a2-1)12+ 1-m2] 2-[ai +k+ 1-l-i] 2 -[p+l(a-n-1) +
+b(2an + 2a-n2-2n-2)-m] 2 -[q + y(a-p-1) + +s(2ap + 2a-p2- 2p-2)-x] 2-[z +pl(a-p) + t(2ap-p2 -1)-pmj2}. Dodatnie wartości tego wyrażenia dla liczb całkowitych n, b, c, ... , x, y, z tworzą zbiór wszystkich liczb pierwszych. Widać tutaj pozorny paradoks - powyższe wyrażenie rozkłada się na czynniki. Rzeczywiście, jest ono postaci (k+2){1-M}.Jednakże ponieważ M jest sumą kwadratów, to jest ono dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy M =O i wówczas jego wartość jest równa k + 2. Zatem wielomian M musi być skonstruowany tak, by M(k, pozostałe zmienne)= O wtedy i tylko wtedy, gdy k + 2 jest liczbą pierwszą. Można
tego dokonać stosując metody Matijasewicza. Wynik jawi się nieco mniej zagadkowy, kiedy staje się jasne, że nie ma nic nadzwyczajnego w liczbach pierwszych. Można je wyrazić przez wyliczany po kolei ciąg liczb (co w istocie oznacza, że nieskończony ciąg wyznaczono przez skończo ny układ warunków), dzięki odkryciu odpowiedniego wielomianu. Odkrycie wnosi, że „wyliczanie" może być wyrażone językiem wielomianów, a nie to, że teorię liczb pierwszych można uprościć wprowadzając formułę algebraiczną.
i
,I
I
§ 2. Hipoteza Goldbacha i liczby pierwsze
i
\
bliźniacze (patrz strona 51)
1
Hipoteza Goldbacha zakładająca, że każdą parzystą liczbę naturalną więk od 2 można przedstawić jako sumę dwóch liczb pierwszych oraz związana z nią hipoteza o „liczbach pierwszych bliźniaczych", mówiąca, że istnieje nieskoń czenie wiele liczb pierwszych p, dla których p+2 również jest liczbą pierwszą nadal pozostają otwarte. Niemniej wiadomo o nich znacznie więcej. Jedną z najsilniejszych metod w teorii liczb jest analiza zespolona. Idea pochodzi od Eulera i w szczególności była wykorzystana przez Riemanna przy analizie dzeta funkcji Riemanna ~(s)(patrz str. 446). Począwszy od 1920 Godfrey H. Hardy i John E. Littlewood rozwijali analityczną teorię liczb (tak ją zaczęto nazywać) badając problemy przedstawienia liczb jako sum liczb szczególnej postaci. W 1937 roku I. M. Winogradow zastosował własne metody dowodząc, że każda dostatecznie duża nieparzysta liczba naturalna jest sumą trzech liczb pierwszych. Rezultat ten wzmacnia jego wcześniejszy wynik z 1934 roku, o sumie co najwyżej czterech liczb pierwszych (cytowany przez Robbinsa i Couranta na stronie 52). Jak piszą autorzy twierdzenie jest prawdziwe dla dostatecznie dużych liczb większych niż szą
I
,I
§ 2. Hipoteza Goldbacha i liczby pierwsze bliźniacze
455
pewna liczba naturalna N, lecz dowód Winogradowa nie pozwala na oszacowanie liczby N. Niedogodność tę usunął w 1956 roku K. G. Borodzkin pokazując, że wystarczy wziąć N= exp(exp(16,038)), gdzie exp(x) =ex. Wielu matematyków wykorzystując metody Winogradowa udowodniło, że „prawie wszystkie" parzyste liczby naturalne są sumami dwu liczb pierwszych. Czyli, że procent takich liczb mniejszych niż 11 zbiega do 100%, gdy n zbiega do nieskończoności. W 1919 roku Viggo Brun zaproponował inne podejście- „metodę sita", która jest uogólnieniem sita Eratostenesa (pm: str. 47). Metody tej użył przy dowodzie, że każda dostatecznie duża parzysta liczba naturalna jest sumą dwu liczb, z których każda jest iloczynem co najwyżej dziewięciu liczb pierwszych. Później nastąpił cały szereg udoskonalei1 metody sita dokonany przez różnych autorów. Na przykład w 1937 roku G. Ricci udowodnił, że każda dostatecznie duża liczba parzysta jest sumą dwu liczb, z których jedna jest iloczynem co najwyżej dwu, a druga nie wię cej niż 366 liczb pierwszych. P. Kulm wykorzystał kombinatoryczne idee A. A. Buchstaba pokazując, że każdy z takich dwu składników jest iloczynem nie więcej niż czterech liczb pierwszych. Po czym w 1957 roku Wang Yuan przy założeniu prawdziwości uogólnionej hipotezy Riemanna dowiódł, że jeden składnik to liczba pierwsza, a drugi - iloczyn nie więcej niż trzech liczb pierwszych. Klasyczna hipoteza Riemanna, kolejny problem Hilberta, w dalszym ciągu bezsprzecznie jeden z największych nie rozstrzygniętych problemów w całej matematyce, dotyczy dzeta funkcji Riemanna ~(s) dla zmiennej zespolonej s. Konkretnie, hipoteza zakłada, że jeżeli ~(s) =O i s nie jest rzeczywiste, to s = 1/2 + iy, gdzie y jest liczbą rzeczywistą. Konsekwencje udowodnienia tego przypuszczenia byłyby niesłychanie efektowne: zrewolucjonizowałyby teorię liczb i geometrię algebraiczną. Co więcej, każdy sposób dowodu takiego faktu, niemal na pewno, dałby się uogólnić na dowód innych istotnych przypuszczef1, jak uogólniona hipoteza Riemanna, czyli twierdzenie znacznie silniejsze. Ponieważ nierozstrzygnięcie hipotezy Riemanna i jej uogólnief1 jest tak znaczącą przeszkodą w postępie matematyki, wielu teoretykom weszło w nawyk przenoszenie trudności dowodu na inny grunt, poprzez założenie explicile prawdziwości hipotezy Riemanna lub jej uogólnienia. Takie podejście usprawiedliwia obawa przed otrzymaniem sprzeczności, a tym samym nieprawdziwości hipotezy Riemanna, lecz jest to jedynie wymówka. Matematycy zajmuj
456
IX. Wyniki współczesne
W podobnym duchu zbliżano się do hipotezy o „liczbach pierwszych bliźnia czych". P~a.ca Br~na z 19!9 r?ku po~zuje, że istnieje nieskończenie wiele liczb p 0 te· własności, ze zarowno p1ak I p + 2 są Iloczynami nie więcej niż dziewięciu liczb pierw~ szyc~. Wraz z udos~o'.'aleniam! rezultatów Bruna dotyczących hipotezy Goldbacha notu1emy ulepszenia Jego wyników odnoszące się do liczb pierwszych bliźniaczych. . W 1924 roku Rademacher zredukował liczbę czynników z dziewięciu do siedmm. Buchstab w 1930 zmniejszył tę liczbę do sześciu, a w 1935 do pięciu. Praca Wanga z 1957 roku zawiera enigmatyczne sformułowanie „otrzymano zgodne rezu~taty dotyczące liczb pierwszych bliźniaczych", co w kontekście jest równoznaczne tw~erdzeniu,.że ist~ieje.n~eskończ~nie "':'iele liczb p takich, że zarówno p jak i p +2 są 1loczy1:am1 co na1wyze1 trzech hczb pierwszych. Przy założeniu uogólnionej hiP?tezy Riemanna Wang w roku 1965 pokazał, że istnieje nieskoi1czenie wiele liczb pierws~ych p, takich że p + 2 jest iloczynem nie więcej niż trzech liczb pierwszych. Natmmast Buchstab bez czynienia takiego założenia dowiódł w 1965 roku, że moż na :-vsk.azać c, dla ~tórego można znaleźć nieskończenie wiele liczb pierwszych p, talach ze p + 2 da się przedstawić w postaci iloczynu nie więcej niż c liczb pierwszych. Chen w swojej pracy z 1973 pokazuje, że c=2 jest wystarczające, i znów rezultat ten jest najbardziej zbliżony do hipotezy o liczbach pierwszych bliźnia czych ..~y~aje się m.ało prawdopodobne, by współczesnymi metodami można było przybhzyc ten wym!~ do celu; do tego potrzeba prawdziwie nowatorskiej idei.
§ 3. Wielkie twierdzenie Fermata (patrz strona 61)
~edny1:'1 z naj?ar?ziej spektakularnych wyników od czasów, w których Courant l Robbms nap1sah Co to Jest matematyka? był dowód wielkiego twierdzenia Ferma.~a pr~edstawiony prze~ Andrew Wilesa z Uniwersytetu w Plinceton. Przypomm1my, ze Fermat twierdził, że równanie (1)
x"+y"=z"
n~e ma rozwiązai1 w liczbach całkowitych różnych od zera dla 11 ~ 3 . Czysto techrnczny dowód Wilesa jest zrozumiały jedynie dla ekspertów. Niemniej można zrozumiale przedsta"':'ić ogól~y szkic dowodu. Wiles zaatakował twierdzenie ohężną d:·og~ wykorzystuiąc teone krzywych eliptycznych, zdefiniowanych przez równama diofantyczne postaci (2)
y2 =ax3 + bx2 +cx+d
dl.a liczb rzeczy"".istych a, b, c, d (słowo eliptyczne dotyczy tak zwanych funkcji eliptycznych, a me kształtu hzywej). Wiele na temat tych równai1 wiadomo· sta/ nowią one najlepiej zrozumianą i najbardziej istotną część teorii liczb. Równanie Fermata (1) można przekształcić do postaci (x/z") + (y/z") = 1, zatem punkt (X, Y) = (x/z, y/z) leży na krzywej Fermata zadanej przez równanie (3)
X 11 +Y"=l.
§ 3. Wielkie twierdzenie Fermata
457
Mówimy, że punkt (X, Y) jest wymierny, jeśli obie jego współrzędne są liczbami wymiernymi. Wielkie twierdzenie Fermata jest równoważne twierdzeniu, że na la·zywych Fermata (3) nie ma punktów wymiernych dla n~ 3. W latach 1970-75 Yves Hellegouarch badał zadziwiający związek pomiędzy krzywymi Fermata (3) a krzywymi eliptycznymi (2). Jean-Pierre Serre zasugerował coś przeciwnego zastosowanie własności krzywych eliptycznych w dowodzie wielkiego twierdzenia Fermata. Sugestię tę sprecyzował w 1985 roku Gerhard Frey wprowadzając krzywą eliptyczną Freya (jak nazywamy ją teraz), związaną z hipotetycznym rozwią zaniem równania Fermata. Załóżmy, że istnieje nietrywialne rozwiązanie równania Fermata A"+ B" = C", zwiążmy z nim krzywą eliptyczną (4)
y 2 =x(x+A") (x-B").
Krzywą tę
nazywamy krzywą eliptyczną Freya, a istnieje ona wtedy i tylko wtedy, gdy wielkie twierdzenie Fermata jest fałszywe. Zatem dla dowodu wielkiego twierdzenia Fermata wystarczy pokazać, że krzywa Freya (4) nie istnieje. Dowód jest przeprowadzony nie wprost (pah·z str. 100), tzn. zakładając, że taka krzywa istnieje, doprowadza się do sprzeczności. W końcu dowodzi się, że nie istnieje krzywa eliptyczna Freya z czego wynika wielkie twierdzenie Fermata. Frey znalazł mocne argumenty na nieistnienie takich krzywych dowodząc, że miałyby wiele skrajnie dziwacznych i nieprawdopodobnie wyglądających właściwości. W 1986 roku Kenneth Ribet pokazał, że krzywe Freya nie istnieją przy założeniu prawdziwości wielkiego nierozwiązanego problemu z teorii liczb- hipotezy Taniyarri.y. Tak więc, sprowadził jedno zasadnicze pytanie bez odpowiedzi do innego. Często podejście takie, czyli zastąpie nie trudnego problemu trudniejszym, jest pomocne, zaś w tym przypadku, okazało się żyłą złota, gdyż wskazało kontekst dla dowodu wielkiego twierdzenia Fermata. Hipoteza Taniyamy jest również skomplikowanie sformułowana, lecz można ją objaśnić odwołując się do szczególnego przypadku. Równanie Pitagorasa a2 + b2 = c2, ohąg jednostkowy i funkcje trygonometryczne sinus i cosinus są ściśle ze sobą związane. Otóż zauważmy, że równanie Pitagorasa można zapisać w postaci (a/c) 2 + (b/c) 2 = 1, z czego wynika, że punkt (x, y) = (a/c, ble) leży na okręgu jednostkowym o równaniu x2 +y 2 =1. Wiadomo, że funkcje trygonometryczne dają prosty sposób opisu okręgu jednostkowego. Dokładniej, twierdzenie Pitagorasa i geometryczna definicja sinusa i cosinusa implikują, że równanie (5)
jest prawdziwe dla każdego kąta 0 (patrz str. 269). Jeżeli położymy x = cos0 i y = sin0, równanie (5) oznacza, że punkt (x, y) należy do okręgu jednostkowego. Reasumując: rozwiązanie równania Pitagorasa w liczbach całkowitych jest równoważne znalezieniu kąta 0, takiego że zarówno cos 0 jak i sin 0 są liczbami wymiernymi (czyli równymi odpowiednio ale i b/c). Ponieważ funkcje trygonometryczne mają cały szereg pożytecznych własności, powyższy pomysł jest szczególnie owocny w teorii równania Pitagorasa. Hipoteza Taniyamy mówi (mocno sformalizowanym językiem), że podobną ideę można zastosować dla krzywej eliptycznej, przy czym funkcje sinus i cosinus zo-
458
IX. Wyniki
współczesne
stają zastąpione bardziej wyrafinowanymi funkcjami „modularnymi". Zatem zagadnienie dotyczące krzywych eliptycznych można zastąpić teorią funkcji modularnych (modułowych), podobnie jak problemy dotyczące okręgu wyraziliśmy w terminach funkcji trygonometrycznych. Wiles zdał sobie sprawę, że pomysł Freya można zrealizować bez użycia ogólnej hipotezy Taniyamy. Zamiast tego wystarczy wykorzystać przypadek szczególny, który obejmuje krzywe eliptyczne nazywane „półstabilnymi". W stustronicowej pracy Wiles zgromadził wystarczający zapas potężnej maszynerii, by udowodnić hipotezę Taniyamy w przypadku półstabilnym, co prowadzi do następującego twierdzenia. Załóżmy, że Mi N są różnymi od zera względnie pierwszymi liczbami całkowitymi takimi, że liczba MN(M-N) jest podzielna przez 16. Wówczas krzywą eliptyczną y 2 = x(x + M) (x +N) można sparametryzować przy pomocy funkcji modularnych. Rzeczywiście warunek podzielności przez 16 implikuje, że krzywa jest półstabilna, zaś półstabilna hipoteza Taniyamy daje żądaną własność. Zastosujemy teraz twierdzenie Wilesa do krzywej Freya (4) kładąc M =A", N= -B". Zatem M-N=A"+B"=C1', czyliMN(M-N)= -A 11 B11C11 , a chcemy pokazać, że ta ostatnia liczba jest wielokrotnością 16. Przynajmniej jedna z liczb A, B, C musi być parzysta; ponieważ gdy obie liczby A i B są nieparzyste, wówczas C11 Oako suma dwóch liczb nieparzystych), a co za tym idzie, tal<Że i C, są liczbami parzystymi. Możemy również założyć, że n;::: 5, gdyż dawno temu Euler udowodnił wielkie twierdzenie Fermata dla n =3. Ponieważ piąta lub wyższa potęga liczby parzystej jest podzielna przez 25 = 32, liczba -A" B11 C11 jest wielokrotności4 32, tym bardziej 16. Wobec tego krzywa Freya spełnia założenia twierdzenia Wilesa, z czego wynika, że może być sparametryzowana funkcjami modularnymi. Z drugiej strony, z dowodu Ribeta hipotezy Taniyamy wynika, że krzywa Freya nie istnieje, gdyż nie można jej sparametryzować funkcjami modularnymi. Uzyskana tak sprzeczność dowodzi prawdziwości wielkiego twierdzenia Fermata. Ten wielce okrężny dowód zawiera wyszukane pomysły. Co więcej, pojawiły się pewne trudności w pierwszej wersji dowodu, co całej historii przydało dramaturgii. Wiles rozesłał pocztą elektroniczną list do społeczności matematycznej, w którym przyznał, ż~ dowód zawiera luki, z drugiej strony zapewnił, iż metody stworzone przez niego luki te wypełnią. Poprawianie dowodu pochłonęło więcej czasu niż przypuszczał niemniej jednak 26 października 1994 roku Karl Rubin rozesłał wiadomość: „Jak wielu z Was wie, rozumowanie przedstawione przez Wilesa [... ]zawierało poważną lukę, mianowicie konstrukcję układu Eulera. Po nieudanej próbie poprawy tej konstrukcji Wiles powrócił do swego poprzedniego podejścia, z którego zrezygnował na korzyść układu Eulera. Tak też jest on teraz w stanie uzupełnić dowód."
§ 4. Hipoteza continuum (patrz strona .100) Hipoteza continuum
zakłada, że
zbiór liczb rzeczywistych ma najmniejkardynalna zbioru liczb naturalnych. Wiadomo, że hipoteza continuum nie jest ani prawdziwa, ani fałszywa - jest nierozstrzygalna. By zrozumieć, co to znaczy, musimy pokrótce przypomnieć, co to jest szą liczbę kardynalną większą niż liczba
§ 5. Oznaczenia w teorii zbiorów
459
teoria aksjomatyczna. Teoria ta określa obiekty matematyczne definiując precyzyjnie zbiór warunków (aksjomatów), które obiekt ma spełniać. Uwaga skupiona jest raczej na związkach pomiędzy obiektami niż na budulcu, z którego „powstają". Podstawowy wykład teorii zbiorów zakłada, że pojęcie „zbiór" jest zdefiniowane i określa, w jaki sposób ze zbiorami postępować. Aby dać precyzyjną podstawę do dyskusji hipotezy continuum, koniecznym jest sformułowanie układu aksjomatów teorii zbiorów. W 1964 roku Paul Cohen udowodnił, że prawdziwość hipotezy continuum zależy od wyboru aksjomatów teorii zbiorów. Sytuacja bardzo przypomina geometrię. Prawdziwość V aksjomatu Euklidesa (o prostej równoległej) zależy od typu geometrii. Mamy geometrię euklidesową, w której aksjomat ten jest prawdziwy, lecz także geometrię nieeuklidesową, gdzie jest on fałszywy (patrz sh: 218). Podobnie tutaj są „can toro wskie" teorie zbiorów, w których hipoteza continuum jest prawdziwa i „niecantorowskie", gdzie jest ona fałszywa. Wcześniej Kurt Godeł udowodnił, że hipoteza continuum jest prawdziwa przy pewnej aksjomatyzacji teorii zbiorów. Wykorzystując nową technikę forcingu Cohen pokazał, że przy innej aksjomatyzacji hipoteza jest fałszywa. W szczególności nie istnieje żaden wyróżnio ny zbiór aksjomatów, który dawałby „naturalną" teorię zbiorów.
§ 5. Oznaczenia w teorii zbiorów (patrz strona .1.17) Symbole matematyczne podlegają modzie, a moda z czasem może się zmieW konsekwencji terminologia używana przez Couranta i Robbinsa czasami nieznacznie różni się od obecnej, lecz rzadko w stopniu wartym wspomnienia. Jednakże w pewnych sytuacjach zwyczaje zmieniły się na tyle, że trudno to zignorować. Nazwy „suma logiczna" i „iloczyn logiczny" rzadko kiedy są obecnie używane, w miejsce ich wprowadzono sumę i przecięcie zbiorów. Zbiór pusty oznaczamy 0 w miejsce O, od dawna nie ma specjalnego symbolu I oznaczającego zbiór pełny. Obecnie oznacza się sumę i iloczyn zbiorów następująco: Suma: A UB (zamiast używanego przez Couranta i Robbinsa A+ B) iloczyn: A n B (w miejsce stosowanego przez Couranta i Robbinsa AB). Dopełnienie zbioru A' często oznaczamy jako Ac, lecz A' jest nadal w użyciu. Nowoczesna notacja podzbioru to c lub ~. W przeciwieństwie do < wyrażenie Ac B nie pociąga za sobą tego, że A~ B (teraz jak i w czasach Couranta i Robbinsa). By odzwierciedlić ostrą nierówność w teorii zbiorów, wprowadzono niewygodne oznaczenie ft\t;B. /, :; ",:_. Oznaczenia A+ B, AB i A' zachowały się w informatyce i elektronice, gdzie uży wane są do opisu obwodów utworzonych z bramek logicznych. Jak na ironię, współczesne oznaczenia zaciemniaj<1 algebraiczne analogie wła sności (6-17) ze sh: 123. Jednal<Że we własnościach (10, 11, 13) nie wydaje mi się to niać.
całkiem złe.
460
IX. Wyniki
współczesne
§ 6. Zagadnienie czterech barw
§ 6. Zagadnienie czterech barw
i
'!
Zagadnienie czterech barw rozstrzygnęli w czerwcu 1976 roku Kenneth Appel i Wolfgang Baken. Dowód ich polegał na pokazaniu, że blisko dwa tysiące szczególnych przypadków map zachowuje się w określony, lecz raczej skomplikowany sposób. Sprawdzanie tych wszystkich możliwości jest niesłychanie żmudne, dlatego wykorzystali oni komputer, który potrzebował wielu tysięcy godzin na dokończenie obliczeń. Obecnie dowód można sprawdzić w kilka godzin, a to dzięki lepszym metodom teoretycznym i szybszym komputerom, lecz w dalszym ciągu brak dowodu konwencjonalnego, nie korzystającego z pomocy komputera. Czy taki istnieje, tego nie wiemy, choć pokazano, że nie ma dowodu istotnie prostszego opartego na podobnej idei. Dowód zagadnienia pięciu barw, przedstawiony przez Couranta i Robbinsa jest przeróbką pracy z 1879 roku, adwokata i matematyka amatora Artura. Kempego, w której przedstawia dowód zagadnienia czterech barw. Wykorz_:y~tuie on odmianę indukcji matematycznej (strona 259), istnienie tak zwanego m1mmalnego podejrzanego. Podstawowy pomysł polega na tym, że jeśli zagadnienie czterech barw jest nieprawdziwe, istnieją mapy, które wymagają użycia pięciu kolorów. Jeśli takie „złe mapy istnieją, to można na wiele sposobów potraktować je jako część więk szych map, również wymagających piątego koloru. Ponieważ nie ma sensu powiększanie map, postępujemy odwrotnie; wyszukujemy te najmniejsze złe mapy, potocznie nazywane minimalnymi podejrzanymi. Istnienie minimalnych podejrzanych wynika z zasady najmniejszej liczby naturalnej (patrz str. 41), która jest równoważna zasadzie indukcji matematycznej. Minimalnego podejrzanego rozpoznajemy w ten sposób, że potrzeba pięciu kolorów do pomalowania go i każdą mapę mniejszą można pomalować używając mniej niż pięciu kolorów. Dowód analizuje te własności, zawęża hipotetyczną postać zbioru minimalnego, ostatecznie zaś pokazuje, że minimalny podejrzany nie istnieje. Dzięki sprzeczności (dowód nie wprost) twierdzenie musi być prawdziwe. Pomysł Kempego polegał na pominięciu w minimalnym podejrzanym pewnych obszarów i utworzeniu związanej z nim jeszcze mniejszej mapy. Owa mniej.sza mapa, ze względu na minimalność, może być pomalowana czterema koloram1. Dalej Kempe wywnioskował, że wyjściowa mapa również ma tę własność i otrzymał wymaganą sprzeczność. Dokładnie jego myśl polegała na ściągnięciu pewnego obszaru w minimalnym podejrzanym do punktu. Otrzymana w rezultacie .mapa ma mniej obszarów i dzięki temu może być pomalowana czterema kolorami. Mogłoby się zdarzyć, że nie można przywrócić ściągniętego obszaru i znaleźć koloru dla niego bez zmiany kolorów na pozostałych częściach mapy, ponieważ obszary, do których przylegał, zabrały już cztery barwy. Jednakże jeśli ściągany obszar był trójkątem, nie ma tego problemu. W przypadku gdy obszar jest czworokątem, po11 mysłowa technika zamieniania kolorów, zwana obecnie „łańcuchem Kempego , pozwala wymienić jeden z przylegających kolorów; na czym polega sztuka. Kempe twierdził, że podobny trik działa w przypadku pięciokąta. Z ~r~giej strony P?trafił pokazać, że każda mapa zawiera trójkąt, czworokąt lub p1ęc10kąt, zatem ze zawsze można znaleźć obszar do ściągnięcia i odzyskania. 11
I
w części dotyczącej obszaru pięcio Kempego można poprawić tak, by dowodziła zagadnienie pięciu barw, czyli że pięć kolorów wystarcza do pomalowania każdej mapy; dodatkowy kolor ułatwia odzyskanie pięciokąta. Dowód ten przedstawiono na str. 259. Z drugiej strony nikt nie potrafił wskazać mapy, do pomalowania której potrzeba pięciu barw. W 1922 roku Philip Franklin udowodnił, że każda mapa złożona z 26 lub mniejszej liczby obszarów da się pomalować czterema kolorami. Użyta metoda wprowadzając pojęcie konfiguracji redukowalnej, położyła fundamenty pod przyszłe próby dowodu zagadnienia. Przez konfigurację rozumiemy tu podzbiór obszarów mapy, których suma jest zbiorem spójnym wraz z informacją, ile obszarów spoza podzbioru przylega do każdego obszaru. Aby zrozumieć, co oznacza redukowalność rozważmy obszar trójkątny, który najpierw ściągamy do punktu, a potem rozdmuchujemy. Po ściągnięciu do punktu nowo powstała mapa ma jeden obszar mniej i dlatego można ją pomalować czterema barwami. Zatem wyjściowa mapa również, gdyż z trójkątami graniczą tylko trzy obszary, co pozwala znaleźć czwarty, „wolny 11 kolor do pomalowania tego trójkąta. Ogólnie konfigurację nazywamy redukowalną, jeśli fakt, że można ją pomalować czterema barwami, da się wywnioskować z potrzeby użycia czterech barw do pokolorowania mniejszej konfiguracji. Argumenty analogiczne do przedstawionych pokazują, że czworokąty są redukowalne. Kempe sądził, że pięciokąty również, niestety był w błędzie. Oczywiście minimalny podejrzany nie może zawierać konfiguracji redukowalnej. Wobec tego, gdy pokażemy, że musi ją zawierać, otrzymamy pożądaną sprzeczność. Bezpośrednia droga do celu polega na znalezieniu koniecznego zbioru konfiguracji redukowalnych, to znaczy takiego, że dowolna mapa, nie tylko minimalny podejrzany, zawiera pewną konfigurację z tego zbioru. Kempe starał się to udowodnić wprost. Słusznie pokazał, że zbiór {trójkąt, czworokąt, pięciokąt} jest konieczny, niestety popełnił błąd w dowodzie redukowalności pięciokąta. Pomimo tego ogólny pomysł znalezienia koniecznego zbioru konfiguracji redukowalnych jest w istocie olśniewający. Pierwszym matematykiem, który publicznie oświadczył, że zagadnienie czterech barw da się udowodnić przez wskazanie koniecznego zbioru konfiguracji redukowalnych, był Heinrich Heesch. Niemniej zdawał sobie sprawę, że zbiór konieczny powinien zawierać znacznie więcej konfiguracji niż trzy, jak to było u Kempego, ponieważ pięciokąt trzeba zastąpić całą listą przypadków. W rzeczy samej Heesch oceniał, że potrzeba około 10000 konfiguracji, każda umiarkowanej wielkości. Potem znalazł metodę dowodzenia konieczności opartą na analogicznej, stosowanej w elektryczności. Załóżmy, że w pewien sposób nałado wano elektrycznie każdy z obszarów, a następnie pozwolono ładunkom przemieszczać się na obszary sąsiednie zgodnie z ustalonymi zasadami. Na przykład możemy żądać, żeby ładunek dowolnego pięciokąta przepływał w równych częściach do sąsiadów pominąwszy trójkąty, czworokąty i pięciokąty. Analizując ogólne prawa rozkładu ładunku, można pokazać, że muszą pojawić się pewne szczególne konfiguracje, gdyż w przeciwnym przypadku ładunek „wyciekałby11, a nie ma dokąd. Inne bardziej skomplikowane prawa przepływu ładunku dają różne zbiory konieczne. W 1890 roku Percy Heawood
znalazł błąd
kątnego. Zauważył również, że metodę
(patrz strona 242, 259)
~
i
461
462
IX. Wyniki
współczesne
W 1970 roku Wolfgang Haken udoskonalił metodę rozładowania Heescha i zao rozwiązaniu zagadnienia czterech barw. Podstawową trudnością był przewidywany rozmiar zbioru koniecznego. Dla szacowanej na 10 OOO liczby obszarów rachunki sprawdzające ich redukowalność mogły trwać stulecie. A gdyby tak, w końcu, choćby tylko jedna z konfiguracji okazałaby się nieredukowalna, rachunek w całości byłby bezwartościowy. Pomiędzy 1972 a 1974 rokiem, aby zwiększyć szanse powodzenia, Haken wespół z Kennethem Appelem prowadzili interaktywny dialog z komputerem. Pierwsze próby dostarczyły wiele istotnych informacji. Modyfikowali program, by poprawić usterki i ciągle przeprowadzali dalsze doświadczenia. Potem pojawiły się bardziej subtelne problemy, ale te zostały właściwie poprawione. Mniej więcej po sześciu miesiącach takiego dialogu Appel i Haken przekonali się, że ich metoda dowodu konieczności ma spore szanse sukcesu. W 1975 roku ich program badawczy przeszedł z fazy badań w fazę ostatecznej ofensywy. W styczniu 1976 roku rozpoczęto konstrukcję zbioru koniecznego złożonego z około 2000 obszarów, a do czerwca 1976 roku praca została ukończona. Autorzy testowali redukowalność każ dej z konfiguracji tego zbioru. Wówczas kompute1; tak jak oczekiwano pokazał, że każda z 2000 konfiguracji w zbiorze koniecznym Appela i Hakena jest redukowalna. Przeczy to istnieniu minimalnego podejrzanego i w ten sposób udowodniono, że cztery barwy wystarczą do pomalowania płaskiej mapy. W jakµn stopniu rozumowanie oparte na olbrzymich obliczeniach, których zapewne nie sprawdzi zdany na siebie umysł ludzki, można uznać za dowód? .Filozof Stephen Tymoczko napisał: „Jeśli uznamy zagadnienie czterech barw za Lwierdzenie, będziemy zmuszeni zmienić sens terminu twierdzenie lub, co bardziej istotne, zmienić leżącą u podstaw ideę dowodu". Jednakże pogląd ten podziela niewielu matemalyków. Jednym z powodów są dowody, które i bez wspomagania komputerowego są tak długie i skomplikowane, że nikt, kto studiował je nawet przez dziesięciolecia, nie przyzna z ręką na sercu, że są całkowicie pozbawione usterek. Na przykład twierdzenie o klasyfikacji prostych grup skończonych spisane na 10 OOO stron, wymagało wysiłku ponad stu ludzi i jest zrozumiałe jedynie dla wysoko wykwalifikowanego specjalisty. Natomiast matematycy generahtle są przekonani o poprawności tego dowodu, ponieważ strategia trzyma się kupy, szczegóły pasują do siebie, nie znaleziono, jak dotąd, istolnego błędu, a opinia tych, którzy dowód przeprowadzili, jest nie mniej godna zaufania niż kogokolwiek innego. Wiara ta rzecz jasna uleci, jeśli czy to autor, czy ktoś inny znajdzie błąd. Lecz jak dotąd nikt tego nie dokonał. Nie widać powodu, dla którego dowód Appela-I-Iakena jest mniej przekonywający niż twierdzenie o klasyfikacji prostych grup skończonych. Istotnie, mniej jest prawdopodobne, że pomyli się komputer niż człowiek, oczywiście przy zało żeniu, że program jest poprawny. Strategia Appela i I-Iakena jest logiczna; zbiór konieczny został otrzymany w tradycyjny sposób, wydaje się również, że trudno wątpić w dokładność obliczeń komputera sprawdzającego redukowalność. Wyrywkowe testy sprawdzające nie wykryły błędów, co w wywiadzie prasowym Haken sformułował: „Każdy, w dowolnym miejscu może uzupełnić szczegóły, a następ nie je sprawdzić. To, że komputer może w parę godzin sprawdzić więcej szczegółów niż człowiek przez całe życie, nie zmienia podstawowej idei dowodu matematycznego. To, co się zmienia, to nie teoria, lecz praktyka uprawiania matematyki".
§ 7. Wymiar Hausdo1jfa i fraktale
463
§ 7. Wymiar Hausdorffa i fraktale
czął poważnie myśleć
(patrz strona 244) Topologiczna definicja wymiaru Henri Poincarego z 1912 roku, z uzasadnionych powodów, zawsze prowadzi do liczby całkowitej. Ostatnio znaczenia nabrało inne podejście do pojęcia wymiaru. Pierwotnie wprowadzone przez Felixa I-Iausdorffa w 1919 roku i rozwinięte w latach trzydziestych przez A. S. Besicovitcha zostało następnie odłożone do lamusa. Znowu stało się modne dzięki zastosowaniu, jakie znalazło w teorii fraktali Benoit Mandelbrota, czyli obiektów geometrycznych, które maję tę samą strukturę przy dowolnym powiększeniu; jak słynny zbiór Mandelbrota (rys. 288).
Rys. 288. Zbiór Mandclbrota ma pogmatwaną strukturę prq dowolnym powiększeniu
Zbiór ten składa się ze wszystkich liczb zespolonych (liczby te można przedstapunkty na płaszczyźnie), o tej własności, że ciąg c, c2 + c, (c2 + c)2 + c, ... nie udeka do nieskończoności. W ciągu tym każdy następny wyraz jest równy kwadratowi poprzedniego plus c. Wymiar I-Iausdorffa-Besicovitcha, zwany często wymiarem fraktalnym ma zastosowanie w wielu różnych gałęziach nauki, ponieważ jest wielkością, którą można wić jako
1 wymiar
2wymiary
3 wymiary
2kopie
4 kopie
8 kopii
Rys. 289. Liczba kopii potrzebnych do podwojenia rozmiaru figury zależy od jej wymiaru
464
IX. Wyniki
współczesne
zmierzyć doświadczalnie
:: ,I
i
porównać
z
teorią. Dość
nieoczekiwanie wymiar nie zawsze jest liczbą całkowitą. Tę dziwną własność traktowania liczby niecałkowitej jako wymiaru można zrozumieć na następującym uproszczonym przykładzie wymiaru skalowania. Na przykład (patrz rys. 289) potrzeba dwu kopii odcinka (figura jednowymiarowa), aby utworzyć odcinek dwukrotnie większy. Potrzebujemy czterech kopii kwadratu (dwuwymiarowego) do zbudowania kwadratu dwa razy więk szego i wreszcie ośmiu egzemplarzy sześcianu trójwymiarowego, aby powstał sześcian dwa razy większy. Ogólnie potrzeba 2t1 kopii d-wymiarowej kostki do utworzenia dwukrotnie większej kostki d-wymiarowej, zatem żądamy c=acl kopii do powiększenia jej a-krotnie. Przekształćmy równanie definiujące c logarytmując (patrz równanie (6) na stronie 413) logc=d loga, wobec tego
§ 8. Węzły
465
~:a~a~~~~z~;J~~io~~~;n~:i~r~~~~e~!~~~iro Sh.ishik~ra dowiódł,. że wy~iar L
fraktalnego oddają sformułowa . . . d b y 2..Prawdz1we znaczenie wymiaru ma. Ja o rze „zbiór wypełnia przestrzeń" lub jak
d= logc. loga
(6)
Możemy teraz rozumując odwrotnie wykorzystać otrzymane równanie do zdefiniowania d przy zadanych ci a. Wynik jest zwany wymiarem skalowania rozważanego zbioru. Przykłady pokazują, że prowadzi to do zaskakujących wniosków. Na przykład powiększmy zbiór Cantora trzykrotnie (a= 3) składając dwie kopie (c = 2) (patrz rys. 290).
-- -pierwsza kopia
druga kopia Rys. 291. Trzy egzemplarze trójkąta Sierpińskiego potrajają jego wielkość
trzykrotnie większy zbiór Cantom pa powiększeniu
Rys. 290. Dwie kopie zbioru Cantora potrajają jego wielkość
jest „nierówny". I tak, zbiór Can tora o wymiarze o . nia p:zestrzeń niż punkt (wymiar O), a gorze. niż ~tr? p~m( iędz~ Oa 1 lepiej wyp:ł wymiar fraktalny od owiad . . J . 0 cme wymiar 1). W ten sposob (O czy 1) w sposób ca~o .. a nda ~ytame, !~ki wy~i~r winien mieć zbiór Cantora wicie 0 mienny mz podeJsc1e Poincarego.
Zgodnie z definicją (6) wymiar skalowania d zbioru Cantora jest równy _log2 _ log3
d - - - -0,630923 ... ,
jest zatem liczbą rzeczywistą, a nie całkowitą. Podobnie trójkąt Sierpińskiego (rys. 291) można powiększyć dwa razy (a= 2) składając trzy egzemplarze, więc jego wymiar skalowania jest równy 3 log2
d = log
! .
~
= 1,584962„.
Taką wielkość nazywamy wymiarem, ponieważ przyjmuje te same jak zwykły wymiar dla „porządnych" zbiorów, takich jak odcinki, kwadraty, ściany itd. Wymiar fraktalny pokrywa się z wymiarem skalowania dla wielu zbi rów, ale jest też zdefiniowany dla zbiorów, których nie da się powiększyć poprz składanie swoich kopii. Wymiar fraktalny zazwyczaj nie jest liczbą całkowitą, eh
§ 8. Węzły (patrz strona 251) Teoria węzłów o t t ·
· ł
badawczą, co zostało zap~c:~:0::~:s:a~~~~Te: ~~?tiu .zog,nisrowała aktywność
nej .uwagi metody rozróżniania węzłów to olo .cie .om1.a~~w ones~, nowej go~ obeJmuje zarówno węzłv J"ak i splot R p I? zme me1ownowaznych. . Teona J' y. ozpoczmemy od sprecyzow . , Spiatem nazywamy jedną lub wi ce· za kni . arna poJęc. miarowej. Pojedyncze pętle nazywa~ J kl~ ęt~ch pętli w przestrzeni trójwywiązane i-jak wskazuje nazwa y s ba 'ołwymz. Pętle mogą być splatane lub oznacza ró~nież że mogą nie być mołgą yc ąGczdone w dowolny inny sposób, co tł ' . po ączone. y mamy do czyn. . . d pę ą, splot nazywamy węzłem. Podstawow .. tema z Je ną lezienie skutecznych sposobów rozst. ~m problemem teorn splotów jest znasą topologicznie równoważne to 1zygama, czy. dwa dane węzły są, czy też nie , znaczy, czy mozna otrzymać jeden z drugiego
1.1.11111. I' I
·.·1' i ' ':
466
IX. Wyniki
współczesne
§ 8. Węzły
przez ruch w przestrzeni (patrz stl: 238-239). W szczególności chcemy wiedzieć, czy to, co wygląda jak węzeł, da się rozwiązać, tzn. sprowadzić do równoważnego węzła trywialnego (rys. 292a), oraz czy splot o n składowych można rozsupłać, czyli czy jest on równoważny splotowi trywialnemu o n składowych (rys. 292b). 11
o a
trójlistnik (węzeł trójlistny)
kopii
---------------------------.
000··· o
12-1+1
węzeł ósemkowy
Węzeł
trywialny; b) Splot trywialny o
11 składowych
Aby zrealizować zamierzenie, szukamy niezmienników topologicznych. Są one liczbami lub też innymi bardziej skomplikowanymi obiektami matematycznymi, które nie ulegają zmianie podczas ruchu w przestrzeni. Wynika z tego, że sploty różniące się niezmiennikami muszą być nierównoważne topologicznie. Jednakże sploty o tych samych niezmiennikach mogą być topologicznie równoważne bądź też nie. Jedyny sposób, by to rozstrzygnąć, polega na znalezieniu ruchu lub odnalezieniu bardziej precyzyjnego niezmiennika. Podstawowym niezmiennikiem teorii węzłów przed odkryciem Jonesa był wielomian Alexandera odkryty w 1926 roku. Przyporządkowuje on każdemu splotowi wielomian zmiennej t, który można obliczyć stosując standardową procedurę. Tutaj interesuje nas nie sama procedura, lecz wyniki uzyskane przy jej pomocy; rysunek 293 przedstawia podstawowe sploty i ich wielomiany Alexandra. Wielomian Alexandra wystarcza, aby rozróżnić trójlistnik od węzła płaskiego, ponieważ mają one różne wielomiany Alexandra. Nie jest jednak wystarczająco dobry, aby rozróżnić I
(ósemka pojedyncza)
b
Rys. 292. a)
I
467
węzeł plaski
węzeł
babski
• węzeł płaski od babskiego • trójlistni!< lewostronny od prawostronnego, pomimo, że wydaje się „oczywistym", iż węzły te nie są topologicznie równoważ ne. Innym problemem jest dowiedzenie tego. W latach 1926-1984 matematycy poświęcili sporo czasu i wysiłku, a te i podobne problemy; rozwiązali je, ale wielce skomplikowanymi metodami. Teoria węzłów postępując z mozołem, w oczywisty sposób potrzebowała nowych pomysłów. W 1984 roku Nowozelandczyk Vaughan Jones badał zagadnienia analizy, tak zwane funkcjonały śladu na algebrach operatorów, które pojawiły się w związ ku z powstaniem fizyki matematycznej. D. Hatt i Pierre de la Harpe zauważyli, że niektóre równania wyglądają raczej na równania występujące w teorii warkoczy, które są splątanymi układami krzywych ściśle związanymi ze splotami. Rozważając powody, leżące u podłoża takiej zbieżności, Jones odkrył, że jego funkcjonały śladu mogą służyć do zdefiniowania niezmienników wielomianowych dla splotów.
t 4 -21 3 +3t2 -2t+1
j
Rys. 293
Z początku sądzono, że wielomian Jonesa musi być jedynie odmianą wielomianu Alexandra, lecz wkrótce stało się jasne, że jest czymś istotnie nowym. Znaleziono prostsze definicje, nie odwołujące się do algebr operatorów. Jednocześnie i niezależnie od siebie pięć zespołów matematyków odkryło uogólnienie, które lepiej rozróżnia węzły. Jest nim wyrażenie dwóch zmiennych nazywane w skrócie wielomianem HOMFLY na cześć odkrywców Hoste-Ocneanu-Millett-Freyd-Lickorish-Yetter. Obecnie znamy tuzin lub więcej nowych wielomianów. Dzięki nim rozwiązano wiele doniosłych problemów, ale także postawiono mnóstwo nowych, a to dlatego, że wielomiany te nie są dobrze dostosowane do tradycyjnej maszynerii 't.
§ 9. Pewne zagadnienie mechaniki
468
IX. Wyniki współczesne
topologicznej. Pomimo że topolodzy potrafią je znajdować i dowodzić o nich twierdzenia, nie są jeszcze pewni, co w rzeczywistości te nowe niezmienniki wielomianowe opisują. Wydaje się, że mają głęboki związek z fizyką kwantową. Pierwotny wielomian Jonesa jest niezmiennikiem wystarczająco silnym, by rozróżnić lewostronny trójlistnik od prawostronnego, z czym nie radzi sobie wielomian Alexandra. Wielomian HOMFLY jest jeszcze bardziej skuteczny i rozróżnia węzeł babski od płaskiego. Istotnie jeśli oznaczymy przez P(L) wielomian HOMFLY splotu L, mamy P(lewostronny trójlistnik) P(prawostronny trójlistnik) P(węzeł płaski)
= -2x2-x4+x2y2 = -2x-2-x-4+x-2y2 = (-2x2-x4 + x2y2)(- 2x-2- x-4 + x-2y2)
= (-2..t2-x4 +x2y2)2. babski) Dwie zmienne x i y są potrzebne do zdefiniowania wielomianu. Powyższe równości dowodzą nie tylko, że dwa typy trójlistnika nie są topologicznie równoważne, lecz również, węzły płaski i babski. P(węzeł
§ 9. Pewne zagadnienie mechaniki (patrz strona 307) Jedynie w tym miejscu można dyskutować o tym, czy Robbins i Courant
popełnili błąd. Paradoksalnie usterkę w ich dowodzie najłatwiej zobaczyć, gdy na dynamikę popatrzymy topologicznie, zaś konstrukcja ich dowodu miała takie po-
Kłopot~ tym, że założenie ciągłości uczynione w powyższym rozumowa · 1· t zapewne Problem nie w praw w p~c.hłama1ą:ych warunkach brzegowych; po pierwszym kontakcie z podłogą pręt na meJ pozosta1e. Aby zobaczyć utrudnienie wywołane warunkami brzegowynu· d, t 1 . 'wprowa zmy op~ ogiczny rysunek możliwych ruchów. Obrazek taki zwany portretem fazowym zawdz1ęcz~my Poinca_remu. Pomysł polegał na narysowaniu pewnego rodzaju ~ykresu ruch~, m~ tylko dla Jednego położenia początkowego, lecz również dla wielu mnych, w za~ozemu wsz~stkich. Położenie pręta opisuje kąt pomiędzy 0° a 360°, odkła d~my go w kierunku poziomym (patrz rys. 294). Załóżmy, że czas biegitie w kierunku P1?_nowy_m. Z~u~ażmy, że lewy i prawy brzeg prostokąta na rysunku należy utożsa rmc, pon~ew_az O = 360°, zatem wyobraźmy sobie, że prostokąt zwinięto na walcu. . Po~ozema pręta. ': p_rz~strzeni i czasie tworzą krzywą na walcu, którą Albert Ei.:stem nazy~~ł limą s~1~ta. Różne położenia początkowe dają różne krzywe. P1 wa dyna_m1ki pokazuią, ze krzywe te zmieniają się w sposób ciągły w zależności od_ warunkow początkowJ:'ch, o ile nie ma warunków brzegowych, czyli podłogi, k~or~ przes~kadza p~ętowi poruszać się w dowolny sposób wokół punktu zaczep~ema~ Pewien przebieg ruchu pociągu przedstawiono na rys. 294a, gdzie położe me konco"".e rzeczywiście zależy od położenia początkowego. J~dnak~e, gd~ przywrócimy warunki brzegowe (rys. 294b), położenie końco we me musi zalezeć w sposób ciągły od początkowego. Krzywe, które ledwie musną prawy brz~g, mogą potem zdążać w przeciwnym kierunku lewego brzegu. v:1 r~eczy samej na tym rysunku pręt w końcu dotyka podłogi niezależnie od poło zema począ~kowego, przeciwnie do tego co twierdzili Courant i Robbins pręt zawsze opadme na podłogę podczas ruchu.
~!~usprawiedliwione.
leży
zawiłościach
kąt początkowy
dejście pokazać.
Sformułujmy zagadnienie jeszcze raz. Pociąg pomiędzy dwiema stacjami porusza się po linii prostej. Pręt przymocowany do podstawy jednego z wagonów może poruszać się bez tarcia do przodu lub do tyłu, dopóki nie dotknie podłogi. (Rys. 175 str. 307). Jeśli zaś dotknie podłogi, pozostaje na niej do końca ruchu. Zakładamy, że wiemy, jak porusza się pociąg. Ruch nie musi być jednostajny: pojazd może przyspieszać, stanąć nagle lub też cofać się przez pewien czas. Pociąg zaczyna podróż na jednej stacji i koi1czy na drugiej. Courant i Robbins sformułowali pytanie: czy można ustawić pręt w taki sposób, aby nie dotknął podłogi podczas całej podróży? Podane rozwiązanie zakłada, że kof1cowe położenie pręta zależy w sposób ciągły od stanu początkowego. Rozważmy cały zbiór położel1 początkowych pręta od 0°do180°. Ponieważ położenie pręta na drugiej stacji zależy w sposób ciągły od stanu początkowego, to dzięld twierdzeniu Bolzano kof1cowe położenia są również przyjmowane w sposób cią gły. Jeżeli zaczniemy podróż ustawiając pręt pod kątem 0°, pozóstanie on w tym położeniu. Gdy rozpoczniemy ruch od pręta nachylonego pod kątem 180°, również nie zmieni on położenia. Zatem zbiór stanów na końcu drogi zawiera wszystkie kąty pomiędzy 0° a 180°. W szczególności zawiera on również kąt 90°, zatem możemy znaleźć takie położenie początkowe, dla którego pręt na koi1cu ruchu będzie prostopadły do podłogi. Z uwagi na to, że po dotknięciu podłogi pręt pozostaje na niej, wnioskujemy, że tak ustawiony pręt podłogi nie dotknie.
469
kąt początkowy
270°
Rys.
Newt:~~, =~e
oo
90°
270°
294. Jeden z możliwych obra· „ 'zów ruc I1u pręta dl a roznych warunków początkowych. (n) Bez warunków brzegowych. (b) Po
przyłożeniu
warunków brzegowych
:1i1 1
1,
j !1
''·1·
I
470
IX. Wyniki
§ 10. Zagadnienie Steinera
współczesne
Błąd rozumowania Couranta i Robbinsa wskazał jako pierwszy Tim Poston w 1976 roku, lecz błąd ten nie jest powszechnie znany. Założenie ciągłości można przywrócić nakładając dodatkowe ograniczenia dotyczące ruchu, na przykład idealnie poziomy tor, brak przyspieszeń itd. Wydaje się to jednak bardziej pouczające jako przykład zastosowania topologii do dynamiki, pozwalający zrozumieć, w jaki sposób pochłaniające warunki brzegowe psują ciągłość. Przeszkoda ta ma znaczenie w zaawansowanej dynamice topologicznej, gdzie dała początek pojęciu skła dowej separującej, tzn. takiego obszaru, do którego brzegu nie istnieje trajektoria styczna.
471
dla dowolnego zbioru miast. Stwierdzenie to jest znane pod nazwą hipotezy Steinera. Po wielu trudach została ona udowodniona przez Ding Zhu Du i Franka Hwanga w 1991 roku; objaśnimy ich podejście po niezbędnym wprowadzeniu. Znalezienie długości rozpięcia nie jest skomplikowanym rachunkiem, nawet dla olbrzymiej liczby miast. Rozwiązanie daje algorytm zachłanny: zaczynamy od najkrót-
§ 10. Zagadnienie Steinera (patrz strona 334) Zagadnienie Steinera (strona 335) dotyczy trójkąta ABC, dla którego trzeba znaleźć punkt P, by suma PA+ PB+ PC była najmniejsza. Rozwiązaniem, przynajmniej dla trójkątów, których wszystkie kąty są mniejsze niż 120°, jest jednoznacznie wyznaczony punkt P, taki że odcinki PA, PB i PC nachylone są względem siebie pod kątem 120° (strona 336). Zagadnienie Steinera może być uogólnione do zagadnienia sieci drogowej, czyli pytania o najkrótszą całkowitą długość układu odcinków (sieć dróg), które tworzą połączenia pomiędzy każdą parą punktów ustalonego zbioru miast (porównaj str. 339). Zagadnieniom tym zawdzięczamy sformułowa nie zadziwiającej hipotezy, którą niedawno udowodniono. Załóżmy, że chcemy znaleźć sieć odcinków, które łączą zbiór miast.Jednym ze sposobów jest wykorzystanie tak zwanej sieci rozpiętej, składającej się jedynie z odcinków, których końcami są miasta. Inny sposób polega na wykorzystaniu sieci Steinera, w której dopuszcza się dołączenie do zbioru pewnych dodatkowych miast, z których drogi schodzą się pod kątem 120°. Nazwijmy długość najkrótszej sieci rozpiętej długością rozpięcia, zaś długość najkrótszej sieci Steinera długością Steinera. Problem znajdowania długości Steinera Robbins i Courant dyskutują w rozdziale „ Uogólnienie na zagadnienie sieci ulicznej". Oczywiście długość Steinera jest mniejsza niż długość rozpięcia. O ile mniejszą można ją uczynić? Załóżmy, że mamy trzy miasta w wierzchołkach trójkąta równobocznego 0 boku 1. Rysunek 295 pokazuje najkrótszą sieć Steinera i najkrótszą sieć rozpiętą. Nowy punkt w środku nazywamy punktem Steinera, ogólnie zaś punktem Steinera nazywamy punkt, w którym trzy odcinki łączą się pod kstem 120°. Wymiar rozpięcia jest tutaj równy 2, zaś wymiar Steinera równy .J3 . W tym przypadku stosunek jest równy ..f3 / 2 = 0,866, natomia~t o~zczę.d1:oś~ wyb~1d~ wania najkrótszej sieci Steinera w porównaniu do na1krotsze1 s1ec1 rozpięcia jest równa w przybliżeniu 13,34%. W 1968 roku Edgar Gilbert i Henry Pollak postawili hipotezę, że niezależnie od tego, jak położone są miasta, długość Steinera nie jest mniejsza od długości rozpię cia o więcej niż 13,34%. Lub też bardziej precyzyjnie (7)
wymiar Steinera > ..f3 wymiar rozpięcia - 2
Rys. 295. Najkrótsza
sieć
Steinera (linie w
ciągle)
i najkrótsza
wierzchołknch trójkąta
sieć rozpięta
(linie przerywane) dla trzech miast
równoboc.lnego
szego odcinka jaki możemy znaleźć łączącego miasta, dalej w każdym następnym kroku dodajemy odcinek najkrótszy z pozostałych, który nie zamyka pętli; postępujemy tak, aż wszystkie miasta zostaną ze sobą połączone. Znalezienie długości Steinera nie jest nawet w przybliżeniu tak proste. Nie można, na przykład, rozważyć wszystkich trójek miast, wyznaczyć dla nich punkty Steinera, a następnie szukać najkrótszych sieci, łączących miasta i znalezione dla trójek punkty Steinera. Jako przykład weźmy sześć miast ułożonych w wierzchołkach dwu przylegających kwadratów, jak na rysunku 296b. Jedna z możliwych sieci Steinera pokazana na rysunku 296a, została znaleziona najpierw przez rozwiązanie zagadnienia Steinera dla jednego kwadratu, a następnie pr,:yłączenie do sieci dwu pozostałych punktów poprzez punkt Steinera dla kwadratu. Niestety, najkrótsza sieć Steinera jest pokazana na rysunku 296b. Szare kwadraty zaznaczono jedynie po to, aby pokazać, gdzie leżą miasta. Nie można zbudować najkrótszej sieci Steinera po kawałku. Trafnym uogólnieniem punktu Steinera dla zbioru wielu miast jest dowolny punkt, w którym drogi łączą się pod kątem 120°. Już dla tak prostego przykładu jak wierzchołki kwadratu punkty Steinera nie są punktami Steinera dla dowolnego podzbioru trzech miast (rys. 297). Na płaszczyźnie leży nieskończenie wiele punktów i choć zapewne więk szość z nich jest nieistotna, nie jest oczywiste, czy istnieje jakikolwiek algorytm znajdujący punkty Steinera. W istocie istnieje, pierwszy algorytm znalazł Z. A. Melzak, lecz w praktyce jego metoda była nieporęczna nawet dla umiarkowanej liczby miast. Od tego czasu algorytm nieznacznie poprawiono. Znamy obecnie ważkie przyczyny, z powodu których stosowany tu algorytm jest nieefektywny. Coraz powszeclmiejsze wykorzystanie komputerów doprowa-
472
IX. Wyniki
§
współczesne
dziło do rozwoju nowej gałęzi matematyki - teorii złożoności obliczeniowej. Zajmuje się ona nie tylko algorytmami - sposobami rozwiązywania problemów lecz także tym, czy są one efektywne. Jak szybko rośnie czas obliczania (koszt) problemu przy zadanej liczbie miast n? Jeśli rośnie on nie szybciej niż pewna stała pomnożona przez ustaloną potęgę n, czyli tak jak 5n 2 czy 1066114, mówimy, że algo-
żeil
10. Zagadnienie Steinera
więcej niż 211 2 dodawań; łącznie
473
3n2
liczb jednocyfrowych, i nie operacji na cyfrach. Teraz więc ograniczenie górne zawiera drugą potęgę n. Pomijając zdanie uczniów na ten temat, zagadnienie to jest „łatwe". Dla kontrastu, rozważmy problem komiwojażera: znaleźć najkrótszą drogę, która zaprowadzi domokrążcę do każdego miasta z ustalonego zbioru. Gdy zbiór składa się z n miast, liczba dróg jest równa n!= n(n-l)(n-2) ... 3·2· l, czyli rośnie szybciej niż dowolna potęga n. Zatem obliczanie drogi rozważając przypadek po przypadku jest zadaniem beznadziejnie nieefektywnym.
----------
,„-,....,,,,.. -------------------------------------------------
a)
b)
Rys. 296. (a) Połączone sieci Steinera dla kwadratu i równoramiennego trójkąta prostokątnego. (b) Krótsza sieć Steinera dla tego samego zbioru punktów
rytm da się policzyć w czasie wielomianowym, a taki algorytm uważa się za łatwy. Zazwyczaj oznacza to, że algorytm ma praktyczne zastosowanie (chyba że stała jest przeogromna). W przypadku gdy czas obliczeń rośnie inaczej niż wielomiano11 11 wa, czyli szybciej niż dowolna potęga n, na przykład wykładniczo jak 2 lub 10 , zagadnienie nie da się obliczyć w czasie wielomianowym i jest określane !ako „tru~ ne". Zazwyczaj oznacza to, że algorytm nie ma żadnej praktycznej wartośc1. Pomiędzy algorytmami z czasem wielomianowym i wykładniczym rozciąga się całe mrowie zagadnień „stosunkowo łatwych" i „umiarkowanie trudnych", których zastosowanie jest sprawą doświadczenia. Na przykład dodanie dwóch liczb n-cyfrowych wymaga nie więcej niż 211 operacji dodawania licząc również „przeniesienia do następnej kolumny", zatem koszt ograniczony jest z góry przez pewną stałą, mianowicie 2 pomnożone przez n w po2 tędze pierwszej. Najdłuższe mnożenie dwóch takich liczb wymaga około 11 mno-
Rys. 297. Punkty Steinera (białe) dla wierzchołków kwadratu trzech punktów (szare)
są
inne
niż
dla podzbioru
Co dziwne, podstawowy problem teorii złożoności algorytmów polega na udowodnieniu, że istnieje przedmiot jej zainteresowania, to znaczy, że istnieje trudny „interesujący" problem. Kłopot polega na tym, że łatwo pokazać, iż zagadnienie jest łatwe, zaś trudno, iż jest trudne. Aby pokazać, że zagadnienie jest łatwe, wystarczy wskazać algorytm, który rozwiązuje je w czasie wielomianowym. Nie musi być najlepszy czy wymyślny, sprawę załatwia dowolny. Ale by udowodnić, że zagadnienie jest trudne, nie wystarcza wskazanie algorytmu o niewielomianowym czasie obliczeniowym. Może wskazany algorytm nie jest optymalny, bo istnieje inny lepszy, który działa w czasie wielomianowym. Wykluczenie tej ewentualności polega na wskazaniu pewnego matematycznego sposobu rozważania wszystkich algorytmów problemu i udowodnieniu, że żaden z nich nie ma kosztu wielomianowego; to zadanie skrajnie trudne. Kandydatów na trudny problem mamy wielu: problem komiwojażera, problem pakowania (jak najlepiej ułożyć zbiór przedmiotów różnych rozmiarów do
"
474
!
, I
:1
IX. Wyniki
współczesne
ustalonego zbioru pojemników o różnych wielkościach) i problem upakowania plecaka (mamy ustalonej wielkości plecak i zbiór wielu przedmiotów, czy istnieje podzbiór tych przedmiotów, który wypełnia plecak). Jak dotąd nikomu nie udało się udowodnić, że są one trudne. Niemniej w 1971 roku Stephen Cook z Uniwersytetu w Toronto pokazał, że jeżeli potrafimy udowodnić dowolne zagadnienie z powyższej listy kandydatów, to udowodnimy wszystkie pozostałe. Mówiąc nieprecyzyjnie możemy „zakodować" każdy z nich tak, że staje się szczególnym przypadkiem innego; zawsze razem na wozie czy pod wozem. Zagadnienia te nazywane są NP-równoważnymi, gdzie NP czytamy niewielomianowe (non-polynomial). Wszyscy wierzą, że są trudne, lecz nikt nie potrafi tego dowieść. NP-równoważność wiąże się z problemem Steinera, ponieważ Ronald Graham, Michael Carey i David Johnson pokazali, że problem obliczenia długości Steinera jest zagadnieniem NP-równoważnym. To znaczy każdy efektywny algorytm znajdujący długość Steinera dla dowolnego zbioru miast prowadziłby automatycznie do efektywnego rozwiązania zagadnień obliczeniowych, o których domniema się, że takiego rozwiązania nie mają. Hipoteza Steinera (7) jest istotna dlatego, że pokazuje, iż bez dużej straty moż na zastąpić trudny problem łatwym. Gilbert i Pollak znali sporo argumentów świad czących na korzyść hipotezy, gdy ją formułowali. W szczególności potrafili udowodnić twierdzenie słabsze, że stosunek długości Steinera do długości rozpięcia jest nie mniejszy niż 0,5. Do 1990 roku wysiłkiem wielu matematyków powstało heroiczne dzieło rachunkowe, które sprawdziło hipotezę dla sieci 4, 5 i 6 miast. Dla dowolnego położenia dowolnej liczby miast podwyższono granice stosunków od 0,5 do 0,57, 0,74 i 0,8. Około 1990 roku Graham i Fang Chung zwiększyli ułamek do 0,824 stosując rachunki, o których sami powiedzieli: „przeokropne - stało się jasne, że zastosowano złe podejście". Dalszy postęp umożliwiało jedynie uproszczenie owych olbrzymich rachunków. Du i Hwang znaleźli sposób znacznie zgrabniejszy, który pomijał wspomniane okropne rachunki. Podstawową zagadką był sposób wykorzystania trójkątów równobocznych. Olbrzymia przepaść dzieli trójkąt na rysunku 295, który definiuje ograniczenie ułamka (7) od dowolnego układu miast, dla którego przypuszczamy, że ograniczenie dla trójkąta jest równie dobre. Jak przebyć ziemię niczyją pomię dzy skrajnościami? Rozwiązanie przypomina spotkanie w pół drogi. Wyobraźmy sobie, że płaszczyzna jest pokryta przystającymi trójkątami równobocznymi tworzącymi trójkątn.ą posadzkę (rys. 298). Miasta położone są jedynie w węzłach posadzki. Okazuje się, że tylko punkty Steinera, które trzeba brać pod uwagę, są środ kami trójkątów posadzki. Upraszczając, mamy wiele swobody nie w obliczeniach, lecz rozważaniach teoretycznych. Oczywiście nie każdy zbiór miast jest położony w wierzchołkach posadzki trójkątnej. Intuicja Du i Hwanga była przełomowa. Znowu pojawia się dowód nie wprost, przez zaprzeczenie. Załóżmy, że hipoteza jest fałszywa, tzn. istnieje sieć miast, w której rozważany stosunek jest mniejszy od Jj /2. Du i Hwang udowodnili, że jeżeli istnieje taki kontrprzykład obalający hipotezę, musi również istnieć inny, w którym wszystkie miasta położone są w wierzchołkach trójkątnej posadzki. Wprowadzenie regularności do zagadnienia upraszcza problem, co pozwala uzyskać dowód.
§ 11. Doświadczenia z błonami mydlanymi i powierzchnie minimalne
475
Rys. 298. Sieć Steinera miast, które leżą w wierzchołkach posadzki trójkątnej ma znacznie sztywniejszą i bardziej regularną strukturę od dowolnego układu miast. Du i Hwang sprowadzili hipotezę Steinera do taldcgo przypadku
Aby udowodnić powyższą własność trójkątnej sieci przeformułowali zagadnienie na problem z teorii gier, w którym gracze współzawodnicząc starają się ograniczyć zyski przeciwników. Teoria gier została wymyślona przez Johna von Neumanna i Oskara Morgensterna w 1947 roku (Theory of Games and Economic Behavior). Wersja Du Hwanga hipotezy Steinera zakłada, że jeden z graczy obiera ogólny „kształt" sieci Steinera, podczas gdy drugi, wybiera najkrótszy plan takiego kształ tu, jaki może znaleźć. Du i Hwang wywnioskowali istnienie przykładu trójkątnej sieci badając wypłatę w grze, która spełnia swoistą własność „wypukłości".
§ 11. Doświadczenia z błonami mydlanymi i powierzchnie minimalne (patrz strona 361) W rozdziale VII, §11 wielokrotnie pojawia się spostrzeżenie, że trzy błony mydlane stykając się tworzą kąty dwuścienne równe 120°, co wiąże tę obserwację
§ 11. Doświadczenia z błonami mydlanymi i powierzchnie minimalne
476
IX. Wyniki współczesne
477
ni:ocz~kiwanie, najtrudniej ud~wodnić pierwszą, jakoś~iową zasadę Plateau, móze u.kład błonek s~ada się ze skończenie wielu kawałków powierzchni. Po~os.tał~ dwie zasa~y dośc prosto wynikają z geometrycznych argumentów, takich, 1ak1m 1est kąt 120 w zagadnieniu Steinera. Przedstawimy teraz to rozumowanie a pot:m przedyskutujemy dowód pierwszej zasady Plateau. ' Pierwszy kr~k wywni?~kowania drugiej i trzeciej zasady z pierwszej, polega n~ wykor~ystamu gładkosc1, a tym samym -redukcji zagadnienia dotyczącego pow1erz~hm do ~~·oblem_u.o płas~czyznach. Oglądając w powiększeniu bardzo mały obsza~ ~ pobhzu częsc1 wspolnej trzech lub czterech powierzchni widzimy: że ""'.ydaią się one co.ra~ bardziej płaskie - tym bardziej, im większe jest powięk~ze ~11e. Po u~zględmemu ~pływu .błędów wynikających z przybliżenia, okazuje się, ~e ';YS~a1czy ~dowod.mć drugą~ trzecią zasadę Plateau przy upraszczającym zało z~m1:1, ze pow1erzchme są płaskie. Krok drugi, sprowadza ten problem do zagadn_1en.ia krzywych i:a sferze. Rozważmy, w jaki sposób podzbiory płaszczyzny przecmaią sferę, której ś~odek należy do ich części wspólnej. Układ powierzchni jest ~ t~n sposób zastą~1~ny ukł_adem. łuków kół wielkich (patrz rys. 300). Odpowiedmlaem wymogu m1mmalne1 powierzchni jest tu żądanie, aby suma długości tych
z zagadnieniem Steinera (str. 335). Podobne zjawisko ma miejsce, gdy sześć błon mydlanych styka się w jednym punkcie, jak to się dzieje na rysunku 240 ze strony 362. Doświadczenie pokazuje, że kąt powstały w narożniku każdej z płaszczyzn jest bliski 109°. Takie kąty płaskie tworzą między sobą cztery odcinki łączące wierzchołki czworościanu foremnego z jego środkiem ciężkości (rys. 299). Nawiasem mówiąc wynika z tego, że mały „kwadrat" na rysunku 240 nie jest kwadratem; co z kolei tłumaczy, dlaczego trzynaście błonek jest lekko zakrzywionych. Powyższe ogólne prawa dotyczące kątów zostały sformułowane przez Plateau i przedstawione w postaci trzech zasad, którym podlegają błony rozpięte na kon-
wiącą,
turach. 1) Błony składają się ze skończonej liczby płaskich lub zakrzywionych powierzchni gładko ze sobą połączonych. 2) Powierzchnie łączą się tylko na dwa sposoby: albo częścią wspólną trzech powierzchni jest krzywa gładka, albo część wspólna sześciu jest punktem. 3) W pierwszym przypadku kąty dwuścienne pomiędzy powierzchniami są równe 120°, zaś w drugim kąty płaskie przy wierzchołku są w przybliżeniu równe 109°. W 1976 roku Frederick Almgren i Jean Taylor udowodnili, że wszystkie trzy zasady wynikają z jednej, tej, która stanowi podstawę rozdziału VII, §11: błona mydlana przybiera kształt taki, aby zminimalizować całkowitą powierzchnię. Być może
'I
iI
Rys. 300. Zagadnienie
łukó~ była
układu płaszczyzn
sprowadzone do
układu łuków
najmniejsza. Sferyczna odmiana twierdzenia Steinera(.str! 3&\łdo
wod~m~a w podobny sflo~ób pokazuje, że kąty po~iiiędzy Jul.la· i:·.~. :ó ,1•120~.
.•
Rys. 299. Powierzchnia
~I
•
i
mi~ i\11alna dla~sikieletu czworościanu: sześć ró,Ynych kątów (-109") ma wspólny · !, )' '
wkfrichołek w środku czworościan'l
Trzeci la ok rozumowama 1est dowodem tego, że is ieje do1
łul~ów kół
spełniających każdą
~· ward~, ~~~~1~. przep~:r;,~~J:21'amy
·' , · _
~
§ 12. Analiza niestandardowa
'.·. .• ·.;1 \
478
IX. Wyniki współczesne
:. .·.1111·11
!:11'
wierzchni dowodzono ściśle, czyniąc odpowiednie oszacowania). W efekcie pozotrzy konfiguracje. Są to: pojedynczy łuk koła wielkiego, trzy póło kręgi kół wielkich nachylone pod kątami 120° w punktach antypodycznych oraz sześć łuków tworzących szkielet czworościanu krzywoliniowego - numery l, 2 i 3 na rysunku 301. Odpowiadającymi układami są: pojedyncza płaszczyzna nie mająca punktów wspólnych z inną, trzy płaszczyzny o wspólnej krawędzi nachylone pod kątami 120° i sześć kątów wyznaczonych przez cztery tak samo nachylone w~ględem siebie (-109°) półproste. Zatem druga i trzecia zasĄda Plateau są oczywiste. \ Wobec tego wszystko zależy od udowodnienia, że układ o minimalnym polu składa się ze skończonej liczby powierzchni. Aby m~ignąć cel, trzeba koniecznie wziąć pod uwagę bardziej skomplikowane kształly fi~1~ a to z kolei wymaga uogólnienia pojęcia pola. Wówczas dowód dzieli się na dwa niezależne etapy. Pierwszy udowadnia, że istnieje taki skomplikowany kształt minimalizujący pole. Drugi, powołując się na pojęcie minimalności, wykazuje, że ten złożony kształt jest w istocie całkiem prosty - składa się ze skof1czonej liczby gładkich powierzchni. Technika przeprowadzenia takich dwóch etapów jest zupełnie nowatorska i należy do obszaru nazywanego „geometryczną teorią miary". Jest to ten sam obszar, w którym zawarta jest definicja wymiaru fraktalnego. Mówiąc z grubsza, każda powierzchnia Sjest zastępowana przez związaną z nią „miarę", funkcję przyporządkowującą dowolnemu obszarowi przestrzeni X pole tej części S, która jest zawarta w X. Bardziej skomplikowane figury są reprezentowane przez funkcje o podobnych własnościach jak ta zdefiniowana za pomocą miary powierzchni. Zaleta zastępowania figur miarami leży w tym, że miary mają wygodniejsze własności na przykład można je dodawać lub też definiować przez granice ciągów miar; operacje te są trudne do zdefiniowania wprost dla kształtów geometrycznych. Istnienie miary minimalnej okazuje się być rozumowaniem wprost w geometrycznej teorii miary. Trudniejszą częścią tego rozumowania jest pokazanie, że każ da miara minimalna odpowiada skończonemu układowi gładkich płaszczyzn. Jak na ironię, wiedza o tym, jak te powierzchnie łączyłyby się, gdyby były płaszczy znami - druga i trzecia zasada Plateau - pomogła Almgrenowi i Taylorowi udowodnić, że są one faktycznie powierzchniami. Wiedza o tym, jaka „winna być" odpowiedź, często ułatwia znalezienie dowodu. stają dokładnie
I
,j/
479
Jl . .'li
'\.;
i~
'' \
'I
§ 12. Analiza niestandardowa 9
Rys.
301 ·
Dziesięć układów łuków, które przecinają się pod kątami 120".
90 91(lipiec1976) Źródło: „Scientific American" 235, nr 1, strony -
. . rowadza'ąc ewentualnie nowe kawałJ? drobne zmiany połozema płaszcz~zn, "".~ ątrlz sfery Gdy możliwa jest choc. . . łk . t ole konfiguracJI wewn . b zmmeiszaiące ca owi e p . . . . konfi rację łuków wykluczamy, o by 1'edna taka deformacja, odpowiadaiącą 1eJ . ~mal11e1· powierzchni łacznej. kł d · płaszczyzn o mmi · nie odpowiad~ ona u a owi adków badano eksperymentalnie pr~ez sk~nstruz tych przyp . . . . l błon W ten sposob znaidowa(W praktyce wiele . d · h k t ów i rozpięcie na me 1 · . owanie odpowie me on ur „ N t nie możliwość zmniejszema pono ogólną postać możliwych deformaqi. as ęp ,
(patrz strona 402) Na stronie 404 Courant i Robbins poczynili uwagę, że różniczki jako wielkości obecnie ostatecznie potępione i pohal1bione; jest to trafne odzwierciedlenie typowych poglądów w czasach, gdy pisano książkę Co to jest matematyka? Pomimo osądu Couranta i Robbinsa w argumentach starej daty mówią cych o wielkościach nieskof1czenie małych zawsze drzemało coś intuicyjnego i przyciągającego. W ciąż zakorzenione w naszym języku spotykamy je w wyobrażeniach „chwil", prędkości „chwilowych", krzywej, jako szeregu nieskoflczenie małych odcinków i pola ograniczone krzywą jako nieskończonej sumy nieskol1czenie małych nieskończenie małe są
480
-
§ 12. Analiza niestandardowa
IX. Wyniki współczesne
trójkątów. Okazało się, że ten rodzaj intuicji znalazł precyzyjne potwie.rd~enie, gd~ż ostatnio dowiedziono, że pojęcie wielkości nieskończenie n;~~ch me iest poha~ bione i nie potrzebuje wcale potępienia. Można skonstruowac sc1słą strukturę analizy, w której epsilonowo-deltowe d.efi~1icje ;iveier~trassa (patrz strona 29~) są.zastą pione wyrażeniami zawierającymi meskonczeme małe, co do złudzema przypomina idee Leibniza, Newtona i Cauchy'ego. . Nurt matematyki, w którym poważnie traktuje się nieskończeme ~~łe, na.zywamy analizą niekonwencjonalną. Jest to godny konkur~n~ dla po~eiscia epsilonowo-deltowego, lecz z wielu powodów, których zaledwie jednym jest na.uko"".y konserwatyzm, wielu matematyków w dalszym ciągu przedkłada.pun~t ~1dzema Weierstrassa. Poważną przeszkodą natomiast jest to, że konstrukqa takiej struktury oparta jest na wyrafinowanych ideach współczesn~j lo?iki: W ~atach 1920:-195? notujemy prawdziwą eksplozję logiki mate~1~tycznej. Poja"".tły się nowe dz!ed,z1ny wśród nich teoria modeli, która konstruuie 1 charakteryzuie modele dla zb1orow tów _ struktur matematycznych zgodnych z tymi aksjomatami. Zatem k · a SjOma . d kp . e . t układ współrzędnych jest modelem geometrii euklideso"".eJ, ys . omcar go jes modelem układu aksjomatów geometrii nieeuklidesowej .i tak dalej. . . Mamy typowy zbiór aksjomatów liczb rzeczywistyc~ i od dawna w;adomo, ~e istnieje tylko jeden model liczb rzeczywistych R. Jest to 1eden z powodow, dla ktorego różne sposoby konstrukcji liczb rzeczywistych (p~tr~ strony 84, 85~ pr.°wad~ą do obiektów, które są w rzeczywistości identyczne. W jaki spos_ob stosuj: się teo:1ę modeli do konstrukcji niestandardowego zbioru liczb r~eczyv;1styc~, ktory zawiera owe dziwne obiekty? Logicy rozróżniają zbiory aksiomatow „p1er~~ze?o rzę du" i „drugiego rzędu". w teorii pierwszego rzę~u a~sjomaty. wy:azaj~ ządane własności od wszystkich obiektów systemu, lecz me zb~orów ob1ektow. ~1e ma .takiego ograniczenia w teorii drugiego rzędu. W zwykłej arytmetyce stw1erdzerne (8)
liczby wymierne Q oraz rozszerzenie niestandardowe Q"·. Wreszcie normalny zbiór liczb rzeczywistych oraz jego nadzbiór R* - zbiór liczb hiperrzeczywistych. Każda własność liczb R pierwszego rzędu ma jednoznaczny analog w R*. Jednakże, (9) wyraża własność drugiego rzędu, i jest fałszywa w R*. Liczby hiperrzeczywiste zawierają konkretne nieskoilczenie wielkie i konkretne nieskoilczenie małe. Na przykład x E R"· jest nieskoilczenie małe wtedy i tylko wtedy, gdy x ;e Oi Ix I < .:!.li dla wszystkich 11 E N. Stwierdzenie „nieskoilczenie małe nie istnieją" oznacza jedynie, że nie istnieją liczby rzeczywiste nieskoi1Czenie małe, czyli że nieskoi1czenie małe zawarte w R"· nie należą do R. Jest to całkowicie uzasadnione, ponieważ R"' jest większe od R. W zbiorze R"· „poprawnym" analogiem (9) jest (10)
x+y=y+x dla wszystkich x i y
jest pierwszego rzędu jak i wszystkie prawa algebry; lecz „aksjomat Archimedesa": (9)
dla każdej liczby rzeczywistej x istnieje taka liczba naturalna n, że x< 11
jest drugiego rzędu. Większość aksjomatów typoweg.° zbioru liczb rz.eczY':isty.ch jest pierwszego rzędu, ale są też aksjomaty rzędu drugiego. W ~zeczyw.1stośc; al
481
ll I
i
1
jeżeli Ix I < -
Il
dla wszystkich n E N"·,
to x =O,
które jest prawdziwe. Zatem zmiana w (9) polegająca na odwołaniu się do niestandardowych liczb naturalnych zmienia stan rzeczy. Rozszerzenie liczb rzeczywistych do hiperrzeczywistych jest kolejnym przykładem długiej historii powiększania zbiorów liczb w celu otrzymania żądanej wła sności (patrz strony Tl-80). Na przykład liczby wymierne zostały rozszerzone do rzeczywistych, by istniał pierwiastek kwadratowy z 2, liczby rzeczywiste z kolei powiększono do zespolonych dla uzyskania pierwiastka kwadratowego z -1. Zatem dlaczego nie rozszerzyć liczb rzeczywistych do hiperrzeczywistych, co pozwoli wprowadzić nieskoflczenie małe? Możemy wykorzystać R* w dowodach twierdzefl o liczbach rzeczywistych R, ponieważ zbiory R i R* są nierozróżnialne, jeśli pod uwagę brać tylko własności pierwszego rzędu. Niemniej liczby hiperrzeczywiste R* mają cały szereg nowych własności, takich jak istnienie nieskoóczenie małych i nieskoflczenie wielkich, które można badać w nowy sposób. Owe nowe cechy są drugiego rzędu i dlatego może posiadać je nowy zbió1~ pomimo że stary ich nie ma. Podobne uwagi mają zastosowanie dla podzbiorów N i N*, Z i Z* oraz Q i Q*. Parę definicji da nam posmak tego podejścia. Liczba hiperrzeczywista nazywa się sko1lczonq, jeśli jej moduł jest mniejszy od pewnej zwykłej liczby rzeczywistej, mówimy o niej jako o niesko11czenie malej, jeśli jej wartość bezwzględna jest mniejsza od każdej dodatniej zwykłej liczby rzeczywistej. Każda liczba, która nie jest skoi1czona, jest 11iesko11czona, a każda, która nie jest w R, jest niestandardowa. Jeżeli liczba x jest nieskoi1czenie mała, wówczas 1/x jest nieskoi1czona i odwrotnie. Nic z tego, co tu powiedziano, nie miałoby wielkiego znaczenia, gdyby cała rzecz polegała na odkryciu nowego zbioru liczb, Chociaż zbiory R i R * różnią się, są ściśle ze sobą powiązane. Istotnie każda liczba hiperrzeczywista x ma jednoznaczną część standardową std(x), która jest nieskoilczenie blisko x, to znaczy, że x-std(x) jest nieskoflczenie mała. Innymi słowy każda liczba hiperrzeczywista ma jednoznaczne przedstawienie jako „zwykła liczba rzeczywista dodać nieskoflczenie mała". Wyglą da to tak, jak gdyby dowolna liczba rzeczywista była otoczona chmurą, często zwaną halo, nieskollczenie bliskich liczb hiperrzeczywistych. Każde halo otacza pojedynczą liczbę rzeczywistą, z pewnych niejasnych powodów czasami nazywaną cieniem, chociaż słowa „środek" czy „rdzefl" lepiej rzecz by oddaly. Wykorzystując część standardową możemy przenosić własności z R''· do R i odwrotnie.
482
IX. Wyniki
współczesne
§ 12. Analiza niestandardowa
Dla prezentacji, jak dowody w analizie niestandardowej różnią się od swoich standardowych odpowiedników, przyjrzyjmy się obliczeniu pochodnej funkcji y = f(x) = x2 pochodzącemu od Leibniza. Wziął on małą liczbę Ax i utworzył stosunek [f(x+Ax)-f(x)]/óx. Podejście Newtona było w zasadzie takie samo, oprócz tego, że użył symbolu o w miejsce óx. Obliczamy jak Leibniz: J(x+óx)-J(x) óx
2
2
(x+óx) -x 2 Ax
= 2xAx+(Ax) Ax
x 2 +2xóx+(óx) -x 2 Lu
2
= 2x+Ax.
Dalej Leibniz twierdził, że ponieważ Ax jest nieskończenie małe, można je po2x. Niemniej óx musi być różne od zera, aby wyrażenie [f(x+óx)-f(x)]/Ax miało sens, a w takim przypadku 2x+óx nie jest równe 2x. Sprzeczność ta skłoniła Bishopa Berkeleya do napisania słynnej polemiki The Analyst, Or a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician, w której wytyka logiczną niespójność podłoża rachunków. Weierstrass pokonał trudności dodając jeszcze jeden argument: rozważmy granicę dla Ax dążącego do nieskoilczoności. (Zarówno Leibniz, jak i Newton wyrażali podobneJdee, lecz bez owej przejrzystości uzyskanej przy użyciu epsilona i delty Weierstrassa.) Ponieważ niezerowe wartości Ax mogą zbiegać do zera, możemy zakładać, że wszystkie wartości óx, które występują w rachunkach, więc dzielenie przez óx wprowadza w błąd. Dalej bierzemy granicę dla Ax -7 O, aby pozbyć się niewygodnego członu óx i dostać odpowiedź 2x. Analiza niekonwencjonalna daje prostszą metodę dowodu. Weźmy standardowe i skoilczone x, czyli xER i przyjmijmy, że óx jest nieskończenie małe. Zamiast 2x + Ax weźmy część standardową std(2x + óx), która jest równa 2x. Innymi słowy zdefiniujmy pochodną f (x) jako minąć zostawiając
std{f(x+Ax)- J(x)}, ÓX
gdzie x jest częścią
standardową,
a Ax jest nieskoflczenie małą. Niewinnie wyglą jest dokładnie tym, co pozwala rozumieć pochodną jako funkcję rzeczywistą zmiennej rzeczywistej. Jest to perfekcyjnie dokładny sposób pominięcia członu óx, gdyż std(x) jest jednoznacznie zdefiniowaną liczbą rzeczywistą. Zamiast chować w kącie niewygodne wyrażenie Ax, bez zbędnego tłumaczenia po prostu je pomijamy. Wykład analizy niekonwencjonalnej jest pokazem wszystkich błędów, których omijanie zajęło Courantowi i Robbinsowi wiele stron. Na przykład: 1. Ciąg s 11 (11EN*) zbiega do granicy L jeśli s,0 -L jest nieskoilczenie małe dla wszystkich nieskof1czonych aJ. (Por. str. 281.) 2. Funkcja f jest ciągła w punkcie x, jeśli f(x+e) jest nieskończenie bliska f(x) (inaczej f(x+e)-f(x) jest nieskończenie małe) dla wszystkich nieskof1czenie małych e. (Pm: str. 298.) dająca myśl wykorzystująca część standardową
483
3. Funkcja f ma pochodną d w punkcie x wtedy i tylko wtedy, gdy iloraz różni cowy [.f(x + óx)- f(x)]ló~ jest nieskof1czenie bliski d dla wszystkich Ax. (Pm: str. 387) 4. Pole obszaru ogramczonego krzywą jest skoilczoną sumą nieskof1czenie małych prostokątów. (Por. str. 377) . W ramach _analizy niestandardowej stwierdzeniom tym można nadać precyzyjne znaczeme. W rzeczywistości analiza niestandardowa nie prowadzi do żadnych konkluzji dotycząc~ch R, które różniłyby się od wniosków otrzymanych w standardowej. Łatwo w~ęc z te?o wydedu_kować, że nie ma powodu używania analizy niestandardowej, „b? me prowadzi ona_ do niczego nowego". Ocena taka jest nietwórcza, bo py~a~y me o to, „czy dostamemy te same rezultaty" ale „czy istnieje prostsza bard~1e1. 1:atur~lna droga ich otrzymania". Tak samo jak Newton zaprezentował w Pnnc1pzach, ze to, co można udowodnić przy pomocy analizy, można również pokazać używając geometrii. Wynikałoby z tego, że nieużyteczność analizy pocią ga za sobą bezużyteczność analizy niestandardowej. Doświadczenie pokazuje, że dowody korzystające z analizy niekonwencjonalnej są zazwyczaj krótsze i bardziej bezpośrednie niż zwykłe dowody epsilonowo-deltowe .. A to ~l~teg?, że omijają skomplikowane oszacowania wielkości obiektów, co zajmuie na1_w1~ce1 cz~su ~ dowodach klasycznych. Podstawową przeszkodą w upowszechmenm_ a:1ahzy mestandardowej jest jej zrozumienie, które wymaga solidnej podstawy logik.1 matematycznej, całkiem odmiennie niż w analizie tradycyjnej.
Przypis
~
I
Uwagi uzupełniające, zadania i ćwiczenia
Wiele spośród następujących zadań jest przeznaczonych dla nieco zaawansowanego czytelnika. Mają one na celu nie tyle rozwinięcie techniki rachunkowej, co pobudzenie odkrywczych uzdolnień.
Arytmetyka i algebra
t'
1. Skąd wiemy, że 3 nie dzieli żadnej potęgi liczby 10, jak to stwierdziliśmy na str. 79? (Patrz sh: 66). 2. Udowodnić, że zasada istnienia najmniejszej liczby naturalnej jest wnioskiem z twierdzenia o indukcji matematycznej. (Patrz str. 33). 3. Stosując twierdzenie dwumianowe do rozwinięcia (1 + 1) 11 wykazać, że
(~)+(~)+(~)+ „. +(::) = 2". 4 •·. Obieramy dowolną liczbę całkowitą z= abc ..., tworzymy sumę jej cyfr a+ b + c + „., odejmujemy tę sumę od z, skreślamy dowolną cyfrę z różnicy i oznaczamy sumę pozostałych
cyfr przez w. Czy można znaleźć regułę na wyznaczanie wartocyfry, znając tylko wartość w? (Wieloznaczność ma miejsce tylko w jednym przypadku, gdy w= O). Tak jak wiele innych faktów dotyczących kongruencji, można to zadanie wykorzystać jako podstawę tricku przy zabawach towarzyskich. 5. Postęp arytmetyczny rzędu pierwszego jest to taki ciąg liczb a, a+ d, a+ 2d, a+ 3d, .„, że różnica pomiędzy kolejnymi liczbami ciągu jest stała. Postęp arytmetyczny rzędu drugiego jest to taki ciąg liczb al' a2, a3, „., że różnice a;+ 1 -a; tworzą postęp arytmetyczny rzędu pierwszego. Podobnie postęp arytmetyczny rzędu k jest to taki ciąg, że odpowiednie różnice tworzą postęp arytmetyczny rzędu /c-1. Udowodnić, że kwadraty kolejnych liczb naturalnych tworzą postęp arytmetyczny rzędu drugiego, i udowodnić przez indukcję, że le-te potęgi liczb naturalnych tworzą postęp arytmetyczny rzędu k. ści skreślonej
486
Geometria analityczna
Przypis. Uwagi uzupełniające
Udowodnić, że każdy ciąg, którego n-ty wyraz a11 j_est dany przez wyrażen'.e + c n2 + ... + ck 11 k, gdzie współczynniki są stałe, iest postępem arytmetycz-
Co+ c
111 2 nym rzędu le. ·ki l le * Udowodnić twierdzenie odwrotne dla le= 2, le= 3, dla wszyst c 1 · 6. Udowodnić, że suma pierwszych n wyrazów postępu arytmetycznego rzędu
~I
le jest postępem arytmetycznym rzędu ie+ 1. 7. Ile dzielników ma liczba 10296? (Patrz str. 47). 2 2 2 8 Na podstawie wzoru algebraicznego (a2 + b2) (c2 + d ) =(ac-bd)_ +(ad+ be! · · · · d l" b łk ·ta r -- a1' a2··· a11' gdzie wszystkie udowodnić przez indukqę, ze kaz a 1cz a ca owi , • , "ki ami· dwóch kwadratów i· est sumą dwóch kwadra tow. Sprawdz1c czynm są •sum , ' . 160, 1 . -- 1600, 2 +221td.,dlar= <· - 2+ 25=12+22s=2 to korzystaiąc z rownosc1 2 - 1 1 , ' . . , = 625. w miarę możliwości podać kilka sposobów przedstawiema tych 1300 liczb jako sumy dwóch kwadratów. . . . , . Zastosować wyniki ćwiczenia 8 dla zbudowania nowych p1tagoreisk1ch tro9 .ek liczb na podstawie danych trójek. , . , . J lO. Ustalić podobnie jak na str. 55 reguły podzielnosc1 dla układow hczbowych
r::
r
podstawach 7, 11, 12. . b· /d · . ' 11. Wykazać, że dla dwóch dodatnich liczb wymiernych r=a/ 1s =c merowność r >sjest równoważna nierówności ~c-bd >O. 12. Wykazać, że dla dodatnich liczb r 1 s, przy r < s, mamy
0
r +s r <-2-
oraz
2 2 <2rs <(r +s) • ((1 / r) +(11 s))2
. Udowodnić przez indukcję, że jeżeli z jest dowolną liczbą zespolo.ną, to moż13 a wyrazić z"+ 1/z" jako wielomian stopnia n względem w= z+ 1/z. (Patrz str. 11~). n 14. Wprowadzając skrót cos
(n +1)
sin
2~nt
. Ustalić, co otrzymujemy ze wzoru w ćwiczeniu 3 na stI: 40, podstawiając 15 q = E(
Geometria analityczna Dokładna analiza następujących ćwiczei1, połączona z ryso~~nien:. wy-
kresów i rachunkami numerycznymi, pomoże w opan~waniu_ geometrn an.a~~tycz nej. Zakładamy znajomość definicji i najprostszych tw1er~izen_trygon_o~etrn.. d Dogodnie jest często wyobrażać sobie prostą lub odcmek 1ako skierowane o
487
jednego ze swych punktów ku innemu. Przez prostą skierowaną PQ (lub odcinek skierowany PQ) będziemy rozumieli prostą (lub odcinek) mający kierunek od P w stronę Q. Jeżeli nie będzie wyraźnych wskazówek, to będziemy zakładali, że prosta skierowana l ma ustalony, lecz dowolny kierunek; wyjątek stanowi skierowana oś x, którą uważamy zawsze za skierowaną od punktu O w stronę punktu osi o współrzędnej dodatniej, i analogicznie dla skierowanej osi y. Mówimy, że proste skierowane (lub odcinki skierowane) są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają ten sam kierunek. Kierunek odcinka skierowanego na prostej skierowanej można zaznaczyć przypisując znak plus lub minus odległości pomiędzy ko6cami odcinka, stosownie do tego, czy odcinek ma ten sam kierunek co prosta, czy też kierunek przeciwny. Celowe będzie rozciągnięcie terminu „odcinek PQ" na przypadek, gdy punkty Pi Q pokrywają się; takiemu odcinkowi przypisujemy długość zero, ale nie przypisujemy żad nego kierunku. 16. Udowodnić, co następuje: Jeżeli mamy dwa punkty P 1(x 1, y 1) i P 2(x2, y2), to środek odcinka P 1P 2 ma współrzędne x 0 = (x 1 + x 2)/2, y 0 = (y 1 + yz)/2. Wykazać ogólniej, że jeżeli punkty P 1 i Pz są różne, to punkt P0 na prostej skierowanej P 1P 2, dla którego stosunek P 1P 0 : P1P2 skierowanych długości jest równy le, ma współrzędne x 0 = (1 - lc)x1 + lo::2,
Yo= (1- !c)yi
+ '%·
WSKAZÓWKA. Proste równoległe przecinające dwie proste odcinają na nich odcinki proporcjonalne. Zatem punkty na prostej P 1Pz mają współrzędne postaci x=il. 1x 1 +il 2x 2, Y =il 1y 1 + AzY2, przy czym ił. 1 +ił. 2 =1. Wartości ił. 1 =1 iil.2 =O charakteryzują odpowiednio punkty P 1 i P 2. Ujemne wartościił. 1 charakteryzują punkty poza punktem P2, a dodatnie wartości ił.z punkty położone przed punktem P1 . 17. W podobny sposób scharakteryzować położenie punktów na prostej na podstawie wartości le. Równie wielkie znaczenie ma stosowanie liczb dodatnich i ujemnych do wyznaczania kierunku obrotów. Z definicji obieramy jako dodatni kierunek obrotu, przy którym skierowana oś x po obrocie o 90° pokrywa się ze skierowaną osią y. W zwyklym układzie współrzędnych, gdzie dodatni kierunek osi x rozciąga się na prawo i dodatni kierunek osi y ku górze, obrót ten ma kierunek przeciwny kierunkowi ruchu wskazówek zegara. Definiujemy teraz kąt od skierowanej prostej 11 do skierowanej prostej Iz jako taki kąt, o który należy obrócić prostą 11, aby stała się równoległa do /2. Oczywiście, kąt ten jest określony tylko z dokładnością do całko witych wielokrotności 360°. Tc1k więc kąt od skierowanej osi x do skierowanej osi y jest równy 90° lub -270° itd. 18. Wykazać, że jeżeli a jest kątem od skierowanej osi x do skierowanej prostej I i jeżeli Pl' Pz są dwoma punktami na prostej/, ad oznacza skierowaną odległość od P1 do P 2, to cosa =
X
-X
.:.L___:_L
d
'
sina= Yz -y 1
d
'
488 Jeżeli
Przypis. Uwagi
Geometria analityczna
uzupełniające
y -y
z powrotem z tej postaci ogólnej ważną geometrycznie postać musimy równanie pomnożyć przez czynnik, który by sprowadził pierwsze dwa współczynniki do wartości cos f3 i sin {3, których kwadraty dają w sumie 1.
;\'.2 -X1
Można to uczynić biorąc czynnik 11.Ja2 + b2 , który daje postać normalną
prosta lnie jest prostopadła do osi x, to nachylenie prostej l definiujemy jako 111
1 2 = tga = - -.
Wartość
mnie zależy od wyboru kierunku na prostej, gdyż tg a= tg (a+ 180°) łub, co wychodzi na to samo,
Y1 - Y2 = Y2 - y I X1 -X2
489
Aby
otrzymać
normalną,
a b c ..[;;2+b2x+ .Ja2+b2 y+ .Ja2+b2 =O,
.
X2 -Xi
19. Udowodnić, że nachylenie prostej jest równe zeru, dodatnie lub ujemne zależnie od tego, czy prosta równoległa do niej i przechodząca przez początek współrzędnych leży na osi x, w pierwszej i trzeciej ćwiartce, czy też w drugiej i czwartej ćwiartce. Dodatnią i ujemną stronę prostej skierowanej rozróżniamy w sposób następu jący. Niech P będzie dowolnym punktem nie leżącym na li niech Q będzie spodkiem prostej prostopadłej dol przechodzącej przez punkt P. Punkt P leży po stronie dodatniej lub ujemnej prostej I zależnie od tego, czy kąt od I do prostej skierowanej QP wynosi 90°, czy też -90°. Wyznaczymy teraz równanie prostej skierowanej I. Przez początek współrzęd nych O prowadzimy prostą 111 prostopadłą do I i skierowujemy prostą 111 tak, aby kąt od tej prostej do prostej I wynosił 90°. Kąt od skierowanej osi x do prostej m oznaczamy przez {3. W takim razie a= 90° +{3, sin a= cos (3, cosa =-sin {3. Niech punkt R o współrzędnych x 1, y 1 będzie punktem przecięcia prostych 111 i I. Przez d oznaczamy odległość skierowaną OR na prostej skierowanej m. 20. Wykazać, że d jest dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy punkt O leży po ujemnej stronie prostej l. Mamy x 1 = d cos {3, y 1 = d sin f3 (por. ćwiczenie 18). Stąd
czyli (x-d cosf3) cos/3 = -(y-d sin/3) sinf3,
a więc mamy
a
~=cosf3,
va- +v 2 21.
Udowodnić, że:
b
.
f3
~=sin,
va- +v 2
c .Ja2 +b2
=d .
a) jedynymi czynnikami, które sprowadzają postać ogólną
do postaci normalnej, są 11.Ja 2 + b2 i - 11.Ja 2 + b2 ; b) wybór jednego czy drugiego z tych czynników określa kierunek, który przypisujemy tej prostej; c) po pomnożeniu przez jeden z tych czynników początek współrzędnych leży po stronie ujemnej, dodatniej lub na otrzymanej skierowanej prostej zależnie od tego, czy d jest ujemne, dodatnie, czy równe zeru. 22. Udowodnić bezpośrednio, że prosta o nachyleniu m przechodząca przez dany punkt P0 (xw y0 ) jest dana równaniem
y-y0 =m (x-x 0) Udowodnić, że
prosta
przechodząca
lub
y=mx+y0 -mx0 •
przez dwa dane punkty P 1(x1, y 1), P 2(x2, y2)
ma równanie
Współrzędną x punktu, w którym prosta lub krzywa przecina oś x, nazywamy odcinkiem x krzywej; podobnie wyróżniamy odcineky. 23. Dzieląc równanie ogólne z ćwiczenia 20 przez odpowiedni czynnik, udowodnić, że można napisać równanie prostej w formie odcinkowej
co daje równanie
.'.:.+ll=1
x cosf3 + y sin(3-d =0. Jest to równanie 1wr111alne prostej/. Zauważmy, że równanie to nie zależy od kierunku, który przypisujemy prostej/, gdyż zmiana kierunku spowodowałaby zmianę znaków wszystkich wyrazów po lewej stronie, pozostawiłaby więc równanie bez zmiany. Mnożąc równanie normalne przez dowolny czynnik otrzymujemy ogólną postać równania prostej
ax+by +c =0.
a
b
I
gdzie a i b są odcinkami na osiach x i y. Jakie są wyjątki? 24. Rozumując podobnie wykazać, że równanie prostej nierównoległej do osi y można napisać w postaci
y=mx+b. Geżeli
prosta jest równoległa do osi y, to można napisać jej równanie w postaci x =a). 25. Niech ax +by+ c =O oraz a'x + b'y + c' =O będą równaniami prostych nieskierowanych li/' mających odpowiednio nachyleniami m'. Wykazać, że proste li l' są równoległe lub prostopadłe zależnie od tego, czy: a) m = 111'1 czy też mm'= -1;
490
Przypis. Uwagi
uzupełniające
Geometria analityczna
b) ab'-a'b=O, czy też aa' +bb'=O. (Zauważmy, że zależności b) są prawdziwe nawet wtedy, gdy proste nie mają nachyleń, tzn. są równoległe do osi y). 26. Wykazać, że równanie prostej przechodzącej przez dany punkt P0 (x 01 y0 ) i równoległej do danej prostej mającej równanie ax +bij+ c =O jest ax +by= ax0 + by0• Wykazać, że podobny wzór bx-ay = bx0 -ay0 jest prawdziwy dla równania prostej przechodzącej przez P0 i prostopadłej do l. (Zauważmy, że jeżeli równanie prostej l ma postać normalną, to w każdym z tych przypadków równanie nowej prostej również ma postać normalną). 27. Niech równanie prostej I ma postać normalną: x cosf3 +y sinf:l-d =0 oraz postać ogólną ax +by+ c =O. Wykazać, że skierowana odległość h od prostej l do dowolnego punktu Q(u,v) jest dana wzorem
Sprawdzić równanie przez wyznaczenie współrzędnych punktu P0 (patrz sti: 91-92) i wykazanie, że punkt P0 leży na prostej, której równanie znaleźliśmy. 30. Udowodnić, że dwusieczne kątów utworzonych przez przecinające się proste I i l' mają równania
Ja'
lub au +bv +c ±.Jaz +bz
Wykazać następnie, że h jest dodatnie lub ujemne zależnie od tego, czy Q leży po stronie dodatniej, czy po stronie ujemnej skierowanej prostej I (przy czym kierunek określiliśmy za pośrednictwem kąta /3 lub przez wybór znaku przed pierwiast-
kiem Jaz .f.bz ). WSKAZÓWKA. Napisać normalną postać równania prostej m przechodzącej przez Q i równoległej do I, a następnie znaleźć odległość od I do m. 28. Niech l(x, y) =O przedstawia równanie ax +by+ c =O prostej I; podobnie niech l'(x, y) =O przedstawia równanie prostej I'. Niech il, il' będą stałymi i niech il+ il' = 1. Wykazać, że jeżeli proste I i I' przecinają się w punkcie P0(x0 , y0 ), to każda prosta przechodząca przez punkt P0 ma równanie
±.Ja
2
+ b2 l'(x,y).
xł+.1Jf-2axz-2byz=le,
x5 + y5-2ax3 - 2by3 =le, gdyż punkt leży na krzywej wtedy i tylko wtedy, gdy jego współrzędne spełniają równanie krzywej. Rozwiązać jednoczesne równania względem a, b, le. 33. Dla wyznaczenia równania elipsy, o osi wielkiej 2p, osi małej 2q i ogniskach w punktach F(e, O) i F'(-e, O) (gdzie e 2 = p2 -q 2 ), oprzeć się na obliczeniu odległości r i r' od punktów Fi F' do dowolnego punktu krzywej. Z definicji elipsy r + r' = 2p. Stosując wzór na odległość ze str. 89 wykazać, że
i odwrotnie: że każda taka prosta jest wyznaczona jednoznacznie przez obranie dwóch wartości il i il'. WSKAZÓWKA. Punkt P 0 leży na prostej wtedy i tylko wtedy, gdy
Jakie proste przedstawia to równanie, gdy proste I i I' są równoległe? Zauważ my, że warunek il+ il'= 1 nie jest konieczny, a służy jedynie do określenia w sposób jednoznaczny równania każdej prostej przechodzącej przez P0 • . 29. Zastosować wynik poprzedniego ćwiczenia dla znalezienia równania proste) przechodzącej przez punkt przecięcia się prostych I i I' i przez inny punkt P 1(x1, Y1), nie wyznaczając współrzędnych punktu P0 • WSKAZÓWKA. Znaleźć il iil' z warunków
+ b' 2 l(x, y) =
xr+yr-2axl-2by1 =le,
il l(x, y) +il' I' (x, y) =O;
l(x0 , y0 ) = ax0 + by0 + c =O.
2
WSKAZÓWKA. Patrz ćwiczenie 27. Co przedstawiają te równania, gdy proste I il' są równoległe? 31. Znaleźć równanie symetralnej odcinka P 1 P2 dwiema metodami: a. Znaleźć równanie prostej P 1Pz i współrzędne środka P0 odcinka P 1P 2; znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt P0 i prostopadłej do P 1P 2; b. Napisać równanie wyrażające fakt, że odległość (sl1: 89) pomiędzy punktem P 1 i dowolnym punktem P(x, y) na szukanej prostopadłej jest równa odległości pomiędzy punktami P i P; 2 podnieść do kwadratu obie strony tej równości i uprościć otrzymane równanie. 32. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego przez trzy punkty niewspółlinio we P 1, P2, .P3, każdą z następujących metod: a. Znaleźć równanie symetralnych odcinków P 1P2 i 1\.P3 i współrzędne środka jako punktu przecięcia tych prostych; znaleźć promie1\ jako odległość pomiędzy środkiem a punktem P ; b. Równanie 1 musi mieć postać x 2 +y2 -2ax-2by=le (patrz str. 90). Wobec tego, że każdy z danych punktów leży na okręgu, muszą być spełnione zależności
h =u cos f:l +v sinf3-d
h
491
r' 2 - r 2 = (x + e) 2 - (x-e) 2 = 4ex.
Wobec r' 2 - r 2 = (r' + r) (r' - r) = 2p(r' - r)
J ~· l,
·J).
wykazać, że r ' - r = 2ex/p. Rozwiązać to równanie łącznie z równaniem r' + r = 2p i wyprowadzić stąd ważne wzory
e r==--x+p,
p
r
,
e
=-x+p. p
Wobec tego, że (znów na podstawie wzoru na odległość) r 2 =(x-e)Z+yz, można 2 1· do wyrażenia (-(e/p) x+p) 2 otrzymanego wyżej:
przyrównać to wyrażenie na
r
(x-e)2 +y2 =(--*x+ p
492
Przypis. Uwagi
uzupełniające
Geometria rzutowa i nieuklidesowa p2 -q2
Rozwijamy, zbieramy wyrazy podobne, podstawiamy czamy. Wykazać, że wynik można przedstawić w postaci x2
zamiast
e2
i uprasz-
493
Geometria rzutowa i nieeuklidesowa 43. Znaleźć wszystkie wartości dwustosunku .A czterech punktów harmonicznych, gdy przestawiamy punkty. Odpowiedź: .A= -1, 2, 1/2. 44. Przy jakiej konfiguracji czterech punktów niektóre spośród sześciu wartości dwustosunku danego na str. 183 są równe? Odpowiedź: tylko przy .A= -1lub.A=1; istnieje również pewna wartość urojona .A, dla której .A= 1/(1-.A), mianowicie dwustosunek „równoharmoniczny". 45. Wykazać, że równość (ABCD) =1 oznacza pokrywanie się punktów Ci D. 46. Udowodnić twierdzenia dotyczące dwustosunków płaszczyzn na str. 183. 47. Udowodnić, że jeżeli punkty P i P' są inwersyjne względem siebie i jeżeli średnica AB okręgu inwersji jest współliniowa z punktami P, P', to punkty A, B, P, P'
y2
-+-=1 p2 q2 . Przeprowadzić to samo postępowanie dla hiperboli, którą definiujemy jako miejsce geometryczne wszystkich punktów P, dla których wartość bezwzględna różni cy r- r' równa się danej wielkości 2p. Tutaj e2 = p2 + q2. 34. Parabolę definiuje się jako miejsce geometryczne punktów, których odległości od ustalonej prostej (kierownicy) są równe odległościom od ustalonego punktu (ogniska). Jeżeli obierzemy prostą x =-a za kierownicę i punkt F(a, O) za ognisko, to wykazać, że równanie paraboli można napisać w postaci y2 = 4ax.
tworzą czwórkę harmoniczną.
Konstrukcje geometryczne
WSKAZÓWKA. Zastosować wyrażenie analityczne (2) ze str. 184, przyjąć okrąg za jednostkowy i AB za oś. 48. Znaleźć współrzędne czwartego punktu harmonicznego do trzech punktów Pl' P 2, P 3• Co się dzieje, gdy P3 zmierza ku środkowi odcinka P1P2? (Patrz str. 184). 49*. Zastosować kule Dandelina do rozwinięcia teorii przekrojów stożkowych. Udowodnić w szczególności, że są one (z wyjątkiem okręgu) miejscami geometrycznymi punktów, których odległości od ustalonego punktu Fi od ustalonej prostej l są do siebie w stałym stosunku k. Przy k > 1 mamy hiperbolę, przy k= 1 parabolę, przy k < 1 elipsę. Prostą l otrzymujemy jako przecięcie płaszczyzny, na której leży stożkowa, z płaszczyzną przechodzącą przez okrąg, wzdłuż którego kula Dandelina styka się ze stożkiem. (Wobec tego, że okrąg nie jest objęty takim sposobem charakteryzowania stożkowych z wyjątkiem przypadku granicznego, nie jest celowe przyjmować tę własność za definicję stożkowych, chociaż tak się czasami robi). 50. Rozważyć zdanie: stożkowa uważana zarówno za zbiór punktów, jak też za zbiór prostych, jest dwoista względem samej siebie (patrz str. 210). 51 *.Spróbować udowodnić twierdzenie Desarguesa na płaszczyźnie dokonując przejścia do granicy od trójwymiarowej konfiguracji z rys. 73. (Patrz str. 178). 52*. Ile można poprowadzić prostych przecinających cztery dane proste skośne? Jak można je scharakteryzować? WSKAZÓWKA. Wyrysować hiperbolę przez trzy spośród danych prostych, patrz str. 111. 53*. Jeżeli koło Poincarego jest kołem jednostkowym płaszczyzny zespolonej to dwa punkty zl'.z2 oraz wartości wl' w 2 obu punktów przecięcia „prostej" przechodzą cej przez te dwa punkty z okręgiem jednostkowym określają pewien dwustosunek okrąg
35. Udowodnić niemożliwość zbudowania za pomocą linijki i cyrkla liczb if3,
va
V4 I V5 . Udowodnić, że można skonstruować liczbę tylko w tym przypadku, gdy a jest sześcianem liczby wymiernej. (Patrz str. 145 i nast.). 36. Znaleźć boki foremnego 3 · 211 -kąta oraz 5 · 211 -kąta i scharakteryzować odpowied~ie ciągi ciał rozszerzeń. 37. Udowodnić niemożliwość podziału na trzy równe części za pomocą linijki i cyrkla kąta równego 120° lub 30°. WSKAZÓWKA. Weźmy kąt 30°. Równaniem, które należy rozważyć, jest
f
4z 3 -3z=cos 30°= .J3. Wprowadzić nową niewiadomą u=z.J3 i wyprowadzić równanie na z, z którego wynika niemożność skonstruowania z podobnie jak w tekście na str. 148. 38. Udowodnić, że dziewięciokąt foremny nie jest konstruowalny. 39. Udowodnić, że inwersja punktu P(x, y) w punkt P'(x', y') względem okręgu o promieniu r i środku w początku współrzędnych dana jest za pomocą równości
,
xr
x---- x2 +y2
yr y=--I
I
x2
+yz ·
Znaleźć algebraicznie równanie wyrażające zmienne x, y za pomocą zmiennych x', y'. 40*. Udowodnić analitycznie korzystając z ćwiczenia 39, że przez inwersję ogół okręgów i prostych przechodzi sam w siebie. Sprawdzić oddzielnie własności a - d
na str. 152, a także przekształcenia przedstawione na rysunku 61. 41. Co staje się z dwiema rodzinami prostych x = const i y = const, równoległych do osi współrzędnych, gdy zastosujemy inwersję w okręgu jednostkowym o środku w początku współrzędnych? Znaleźć odpowiedź, posługując się geometrią analityczną i bez geometrii analitycznej (patrz str. 167). 42. Wykonać konstrukcje Apoloniusza w prostych przypadkach według wła snego wyboru. Spróbować rozwiązania analitycznego zgodnie z metodą podaną na sh: 136.
z1 -w1 : z2 -w1 -wz Zz -w2 który zgodnie z ćwiczeniem 8 na str. 214 jest rzeczywisty. Logarytm tego dwustosunku jest z definicji odległością hiperboliczną pomiędzy z1 i z2. 54*. Przekształcić przez inwersję koło Poincarego w górną półpłaszczyznę. Wyprowadzić model Poincarego i jego własności dla tej półpłaszczyzny bezpośred nio i na podstawie tej inwersji (patrz str. 223). z1
I j
l
! l
494
Przypis. Uwagi
uzupełniające
Topologia wzór Eulera dla pięciu wielościanów foremnych i dla innych odpowiednich redukcji siatek. 56. W dowodzie wzoru Eulera (str. 234) potrzebne jest zredukowanie dowolnej płaskiej siatki złożonej z trójkątów-przez kolejne stosowanie dwóch podstawowych operacji - do siatki złożonej z jednego trójkąta, dla którego V- E + F = 3- 3 + 1 = 1. Jak możemy się upewnić, że ostatecznym wynikiem nie będzie para trójkątów bez wspólnego wierzchołka; byłoby wtedy V- E + F = 6-6 + 2 = 2? WSKAZÓWKA. Możemy założyć, że pierwotna siatka jest spójna, tzn. że można przejść od dowolnego wierzchołka do dowolnego innego wierzchołka wzdłuż boków siatki. Wykazać, że żadna z podstawowych operacji nie może naruszyć tej własności. 57. Przy redukcji siatki przyjęliśmy tylko dwie operacje podstawowe. Czy mogłoby się zdarzyć, że w pewnej chwili pojawi się trójkąt mający tylko jeden wierzchołek wspólny z pozostałymi trójkątami siatki? (Zbudować przykład). Wymagałoby to jeszcze trzeciej operacji: odrzucenia dwóch wierzchołków, trzech boków i jednej ściany. Czy wpłynęłoby to na tok dowodzenia? 58. Czy można owinąć długą wstęgę gumową trzy razy dokoła kija od miotły w taki sposób, żeby leżała płasko (tzn. nie skręcona) na kiju? (Oczywiście, wstęga gumowa musi krzyżować się ze sobą). 59. Wykazać, że tarcza kołowa, z której usunięto punkt środkowy, może być przekształcona w siebie za pomocą przekształcenia ciągłego nie mającego punktu stałego. 60. Przekształcenie, które przesuwa w pewnym ustalonym kierunku każdy punkt tarczy o jednostkę, nie ma, oczywiście, punktów stałych. Nie jest to, jak ła two zauważyć, przekształcenie tarczy w samą siebie, gdyż pewne jej punkty przejdą w punkty leżące poza tarczą. Dlaczego w tym przypadku nie stosuje się rozumowanie oparte na przekształceniu P -7 P* (str. 250)? 61. Przypuśćmy, że mamy okrągłą (jak obwarzanek) rurkę gumową (torus), której wewnętrzna strona jest pomalowana na biało, a zewnętrzna strona na czarno. Czy można, wyciąwszy mały otwór, zdeformować rurkę, a następnie zaszyć otwór tak, aby odwrócić rurkę wnętrzem na zewnątrz, tj. żeby była czarna wewnątrz i biała na zewnątrz? 62*. Wykazać, że w trzech wymiarach nie istnieje „zagadnienie czterech barw" (udowodnić, że przy dowolnej liczbie n można rozmieścić w przestrzeni n ciał w taki sposób, że każde styka się ze wszystkimi pozostałymi). 63*. Na torusie (okrągła rurka gumowa, powierzchnia obwarzanka) lub na obszarze płaskim z odpowiednią identyfikacją na brzegu (rys. 143) skonsh·uować mapę złożoną z siedmiu obszarów, z których każdy styka się ze wszystkimi pozostałymi. (Patrz str. 243). 64. Czterowymiarowy czworościan z rys. 118 składa się z pięciu punktów a, b, c, d, e takich, że każdy jest połączony z pozostałymi czterema liniami. Nawet wtedy, gdy linie łączące te punkty są krzywe, to nie można narysować tej figury na płasz czyźnie w taki sposób, żeby żadne z tych linii nie przecinały się. Inna konfiguracja, której nie można wyrysować na płaszczyźnie bez uniknięcia skrzyżowań, składa się z sześciu punktów, a, b, c, a', b', c' takich, że każdy spośród punktów a, b, c jest połączony z każdym spośród punktów a', b', c'. Sprawdzić to doświadczalnie* i spró55.
Sprawdzić
wielościanów. Dokonać
Topologia
495
bować naszldcować dowód opierając się twierdzeniu Jordana o krzywych. (Udowodniono, że jakakolwiek konfiguracja złożona z punktów i linii, która nie daje się przedstawić na płaszczyźnie bez skrzyżowal1, musi zawierać jedną z tych konfiguracji jako część). 65. Tworzymy konfigurację biorąc sześć krawędzi trójwymiarowego czworościa nu i dodając linię łączącą środki dwóch krawędzi przeciwległych. (Dwie krawędzie czworościanu są przeciwległe, jeżeli nie mają wspólnego końca). Wykazać, że ta konfiguracja jest równoważna konfiguracji opisanej w poprzednim ćwiczeniu. 66'-. Niech p, q, r będą trzema kol1cami symbolu literowego E. Przesuwamy ten symbol o pewną odległość, co daje inne E o kol1cach p', q', r'. Czy można połączyć pip', q i q', r i r' trzema krzywymi, nie przecinającymi się nawzajem i nie przecinającymi żadnego Jeżeli
E?
obchodzimy dokoła kwadrat, to cztery razy zmieniamy kierunek, za każ dym razem o 90°, co daje zmianę łączną o~= 360°. Jeżeli obchodzimy dokoła trójkąt, to wiemy z geometrii elementarnej, że A= 360°. 67. Udowodnić, że jeżeli C jest dowolnym zwykłym zamkniętym wielokątem, to A=360°. WSKAZÓWKA. Rozciąć wnęlTze figury Cna lTójkąty i usuwać następnie odcinki brzegowe, jak na str. 236. Niech kolejne brzegi będą nazwane B1, B2, B3, ... , Bil. W takim razie B1 =Ci Bil jest trójkątem. Wykazać, że jeżeli A; odpowiada Bi' to A;=A;_ 1 . 68"-. Niech C będzie zwykh1 krzywą zamkniętą o wektorze stycznym zmieniającym się w sposób ciągły. Jeżeli A oznacza całkowitą zmianę kąta stycznej, gdy przebywamy krzywą jeden raz, to wykazać, że tutaj również A= 360°. WSKAZÓWKA. Niech Ptv p 1, p2, ..• ,Pn' p0 będą punktami dzielącymi krzywą Cna małe, w przybliżeniu proste odcinki. Niech C; będzie krzywą złożoną z odcinków PoP1' p1 p2, •. „ P;-iPi' a krzywa C" składa się z odcinków prostoliniowych. Wykazać, że A;= A;+ 1 i zastosować wynik poprzedniego ćwiczenia. Czy rozumowanie to ma zastosowanie do hipocykloidy z rys. 55? 69. Wykazać, że jeżeli w wykresie butelki Kleina na sh: 256 narysujemy wszystkie cztery strzałki w lderunku ruchu wskazówek zegara, to tworzy się powierzchnia równoważna sferze, w której zastąpiono jedną ćwiartkę czapą krzyżową. (Powierzchnia ta jest topologicznie równoważna rozszerzonej płaszczyźnie geometrii rzutowej). 70. Butelkę Kleina z rys. 142 można przeciąć płaszczyzną na dwie połówki symetryczne. Wykazać, że w wyniku tego otrzymujemy dwie wstęgi Mobiusa. 71 *. We wstędze M6biusa z rys. 139 identyfikujemy oba koóce każdego odcinka poprzecznego. Wykazać, że wynik jest topologicznie równoważny butelce Kleina. Wszystkie możliwe uporządkowane pary punktów na odcinku prostej (przy czym punkty mogą się pokrywać lub nie pokrywać) tworzą kwadrat w następują cym sensie. Jeżeli punkty odcinka oznaczymy przez ich odległości x, y od jednego ko6ca A lego odcinka, to można uważać parę uporządkowaną (x, y) za współrzęd ne kartezjal1slde punktu kwadratu. Wszystkie możliwe pary punktów niezależnie od porządku (tzn. że parę (x, y) uważamy za identyczną z parą (y, x)) tworzą powierzchnię S topologicznie równoważną kwadratowi. Aby to wykazać, przyjmujemy przedstawienie, dla którego pierwszy punkt jest położony bliżej kol1ca A odcinka, gdy x i' y. W taldm razie Sjest zbiorem wszystkich par (x, y), gdzie x jest mniejsze ody lub x = y. Stosując współ-
Przypis. Uwagi
496
uzupełniające
Maksima i minima
rzędne kartezjańskie
otrzymujemy w ten sposób trójkąt na płaszczyźnie o wierz(0,0), (O, 1), (1, 1). 72*. Jaką powierzchnię tworzy zbiór wszystkich uporządkowanych par punktów, z których pierwszy należy do pewnej prostej, a drugi do obwodu koła? (Odpowiedź: walec). 73. Jaką powierzchnię tworzy zbiór wszystkich uporządkowanych par punktów okręgu? (Odpowiedź: torus). 74 *.Jaką powierzchnię tworzy zbiór wszystkich nieuporządkowanych par punktów okręgu? (Odpowiedź: wstęgę Mobiusa). 75. Dane są następujące reguły gry, granej złotówkami na dużym okrągłym stole: Gracze A i B kolejno kładą złotówki na stole. Złotówki mogą się nie dotykać i można je kłaść gdziekolwiek na stole, dopóki nie wystają poza brzeg stołu lub nie nakrywają złotówek leżących już na stole. Gdy już położyliśmy złotówkę, to nie wolno jej ruszyć. Po pewnym czasie stół będzie pokryty złotówkami w taki sposób, że nie pozostanie już miejsca, aby położyć następną złotówkę. Wygrywa ten gracz, który potrafi umieścić ostatnią złotówkę na stole. Udowodnić, że jeżeli A zaczyna grę, to niezależ nie od tego jak gra B, A może być pewien wygranej, jeżeli tylko gra prawidłowo. 76. Udowodnić, że jeżeli w grze z ćwiczenia 75 stół ma kształt figury z rys. 125b, to B może zawsze wygraćr\ J chołkach
Funkcje,
gra~i~ i ciągłość
77. Znaleźć rozwinięcie na ułamek ciąJły stosunku OB :AB ze str. 134. 78. Wykazać, że ciąg a0 = J2, a„ + 1 = 2 + a„ jest monotonicznie rosnący, nie przekracza B = 2, zatem ma granicę. Wykazać, że tą granicą musi być liczba 2. (Patrz str. 136 i 312). 79*. Spróbować udowodnić metodami analogicznymi jak na str. 305 i następ nych, że jeżeli dana jest dowolna gładka krzywa zamknięta, to można zawsze wykreślić kwadrat, którego boki są styczne do krzywej. Funkcję u= f (x) nazywamy wypukłą, gdy środek odcinka łączącego dowolne dwa punkty wykresu tej funkcji leży nad wykresem. Np. funkcja u= ex jest wypukła (rys. 278), natomiast funkcja u= In x (rys. 277) nie jest wypukła. 80. Udowodnić, że funkcja u= f(x) jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy
J(xi); f(xz) ~
t( X1; X2}
przy czym znak równości zachodzi tylko przy x1 = x2• 81 *.Udowodnić, że dla funkcji wypukłych prawdziwa jest ogólniejsza nierów-
497
82. Stosując warunek z ćwiczenia 80 udowodnić, że funkcje u= ~1 + x2 i u= 1/x (dla x >O) są wypukłe, tzn. że
~l+xf +~l+x~
+x_ 1 + (x _ I_ 2)
-'---=--..!.---".. ~
2
1( 1 1)
2
2
- -+- >--2 X1 X2 - X1 + Xz
I
2 I
X1,X2 >0.
83. Udowodnić to samo dla funkcji u = xz, u= x" dla x > O, u =sin x dla :n:::;; x::;; 2:n: u= tg x dla O S x s :n:/2, u = - ~1- x2 dla Ix I s 1. '
Maksima i minima 84. Znaleźć najkrótszą drogę pomiędzy punktami pi Q J'ak na rys. 178 J'eżeli · d r?ga spotyk a o b'ie dane proste na przemian n razy. (Patrz str.' 317). a d amy, ~e, 85. Z~al:z~ ~aJkrótsze połączenie dwóch punktów Pi Q w obrębie trójkąta ostrokątnego, Jezeh ządamy, aby droga spotykała boki trójkąta w określonej kolejności. (Patrz str. 317). zakł
. 86. Poprowadzi~ warst':ice i sprawdzić istnienie co najmniej dwóch punktów smdło~ych n.a pow1erzc~m rozpostartej nad obszarem trójspójnym, którego cały brzeg Jest na Jednym pozmmie. (Patrz str. 328). Znowu musimy wyłączyć przypadek, gd~ płaszc~yzna styczna do powierzchni styka się z nią poziomo wzdłuż całej
krzywe1 zamkmętej.
87. Wychodząc z dwóch dowolnych liczb dodatnich wymiernych a i b utworzyć kolejno. pary a11+1 = .v"11u11 rab / b11+1 -- 21 (a11 + b )• Ud owo d n1'ć, ze · wyznaczaJą · one ciąg , 11
przedziałow zstępujących. (Liczba graniczna, odpowiadająca n~ oo, tzw. średnia
arytmetyczno-geometryczna liczb a0 i b0 , odgrywała dużą rolę we wczesnych pracach Gaussa). 88. Znaleźć długość całego wykresu na rys. 219 i porównać ją z łączną długością obu przekątnych.
89*. Zbadać, jakie warunki powinny spełniać cztery punkty A A 1 A A · b 1 zach o d z1'łb ą d'z przypadek z rys. 216, bądź przypadek z rys. 218. 1' 2 3 ·l'ze Y , 90* · Zn.al:źć układy ~łożone z pięciu punktów, dla których istnieją różne sieci drog spełma1ące warunki kątowe. Tylko niektóre z nich dadzą minima względne (Patrz str. 340). . 91. Udowodnić nierówność Schwarza
ność
(a 1b1 + „. + a11 b11 ) 2 S (a[ + „. + a,;) (bf + .„ + b,;) gdzie Av Az są dwiema stałymi takimi, że A1 +Az=1 i A1 ~O, Az~ O. Jest to równoważ ne stwierdzeniu, że żaden punkt odcinka łączącego dwa punkty wykresu nie leży poniżej wykresu.
prawdziwą dla ws.zystkich par liczb a;, b;i udowodnić, że znak równości występuje tylko wtedy, gdy liczby a„ są proporcjonalne do liczb b .. WSKAZÓWKA. Uogólnić wzór algebraiczny z ćwicze~ia 8.
498
Rachunek różniczkowy i całkowy
Przypis. Uwagi uzupełniające
92*. Mając
11
liczb dodatnich x'l, ... , x„ tworzymy wyrażenia
Sk = X1X2 (••• X)k+... , n k
że sumujemy wszystkie ( ~). iloczynów z kombinacji 1
gdzie symbol,,+ ... " oznacza, k tych liczb.
spośród
Udowodnić, że
/,)
przy czym znak równości zachodzi tylko wtedy, gdy wszystkie wielkości X; są jednakowe. 93. Dla
11
=3
nierówności te stwierdzają, że dla trzech liczb dodatnich a, b, c
499
~ie:~chn!a;~ ~adrnuchać bańkę w kształcie sześcianu z rys. 258, aż wypełni cały sze ~iatn i ęd zie w~stawała ponad krawędzie. Następnie z powrotem wciągać powie rze, o wracaiąc proces . . ~01 *. Znaleźć dwa trójkąty równoboczne o danym łącznym obwodzie rnai·ące rnmuna1ne pola. Od · cl' ó"kąty ~uszą być przystające; zastosować rachunek różniczkowy 102~o;ie l z; t;:dl · na ezc wa troJkąty o danym łącznym obwodzie ma1·ące rnaksyrnaln~ po1a. Odpowiedź: jeden z trójkątów degeneruje się do punktu; drugi musi być rów no oczny. mal~~*· Znaleźć dwa trójkąty o danym łącznym polu, których obwód jest mini-
b
'd1~4*. Znaleźć dwa wo iest maksymalny.
trójkąty
równoboczne o danym łącznym polu których ob'
zachodzi związek
.,.~ ~ab+ac+bc. a+b+c -vauc :5 :5 · 3
3
Jakie ekstremalne własności sześcianu wynikają z tych nierówności? 94*. Znaleźć najkrótszy łuk krzywej łączący dwa punkty A, Bi obejmujący wraz z odcinkien;i AB dane z góry pole. Odpowiedź: łuk musi być kolisty. 95*. Dane są dwa odcinki AB i A'B'; znaleźć takie łuki łączące punkty A i B oraz punkty A' i B', że oba łuki wraz z dwoma odcinkami obejmują dane z góry pole i mają minimalną długość łączną.
Odpowiedź: łuki są łukami kół o tym samym promieniu. 96*. Rozwiązać to samo zagadnienie dla dowolnej ilości odcinków AB, A'B' itd. 97*. Na dwóch prostych przecinających się w punkcie O znaleźć odpowiednio dwa punkty A i Bi połączyć punkt A z B łukiem o możliwie najmniejszej długości takim, że pole objęte tym łukiem i prostymi ma z góry daną wielkość. Odpowiedź: łuk jest łukiem koła prostopadłym do obu prostych. 98*. Rozwiązać to samo zagadnienie, przy czym teraz całkowity obwód objętego obszaru, tzn. łuk plus OA plus OB ma być minimalny. Odpowiedź: rozwiązaniem jest łuk koła wypukły na zewnątrz i styczny do obu prostych. 99*. Rozwiązać to samo zagadnienie dla wielu odcinków kątowych. 100*. Udowodnić, że płaskie w przybliżeniu powierzchnie na rys. 240 nie są płaskie z wyjątkiem stabilizującej powierzchni w środku. Uwaga. Analityczne wyznaczenie lub scharakteryzowanie tych powierzchni krzywych nie zostało dotąd zrobione. Ta sama uwaga jest prawdziwa dla powierzchni na rys. 251. Na rys. 258 mamy dwanaście płaszczyzn symetrycznych przecinają cych się pod kątem 120° wzdłuż przekątnych sześcianu. WSKAZÓWKA dla niektórych dodatl~owych doświadczeli. z błonkami mydlanymi. Przeprowadzić doświadczenia jak na rys. 256 i 257 przy ilości łącznych drutów większej niż 3. Zbadać przypadki graniczne, gdy objętość powietrza dąży do zera. Wykonywać doświadczenia z płaszczyznami nierównoległymi lub innymi po-
Rachunek różniczkowy i
całkowy
.Ji+x, .Ji+x2 ' .J
są
11 f'(x) 1 f( x) = ?x-x- ·
1=1
dla
110*. 11
-7
'
Stosując bezpośrednią definicję całki
oo
mamy
jako granicy sumy udow d „ · o me, ze
n(-12 1 2 +-22 1 2 + ... +~)---?~· +n +n n +n 4 111 *.Udowodnić w podobny sposób, że . b . 2b ... +sinnb) -?cosb-1. -b ( sm-+sm-+ n 11 11 n 112. Kreśląc rysunek 276 w dużej skali na papierze milimetrow rn i zlicza· c kwadraty w zakreskowanym obszarze, :re 11~. ~astosować wz~~ (7) na str. 409 do obliczenia numeryczne 0 lic~b ~ z zapewmemem dokladnosci co najmniej do 1/100. g y 114. Udowodnić, że e"i = -1. (Patrz. str. 444).
małe
znaleźć przybliżoną wirtość
Ją
Technika całkowania
uzupełniające
Przypis. Uwagi
500
115. Krzywą o danym kształcie rozciągamy w stosunku 1: x. Przez L(x) i A(x) oznaczamy długość i pole krzywej rozciągniętej. Udowodnić, że L(x)/A(x)-'> O, gdy x-'> oo, a ogólniej L(x)/[A(x)]k-'> O, gdy x-'> oo, jeżeli k > 1/2. Sprawdzić twierdzenie dla koła, kwadratu i *elipsy. (Pole ma wyższy rząd wielkości niż obwód). 116. Funkcja wykładnicza często występuje w następujących kombinacjach:
r -x),
. l1x= 1 ( e· -e u=s1n 2
v = cosh x = 2] ( eX + e->' · ),
Technika
501
całkowania
Twierdzenie ze str. 407 sprowadza zagadnienie scałkowania funkcji f (x) w granicach a i b do zagadnienia znalezienia funkcji pierwotnej G(x) dla f(x), tzn. takiej funkcji, że G'(x) = f(x). Całka jest wtedy po prostu równa różnicy G(b)-G(a). Dla tych funkcji pierwotnych, określonych przez funkcję f(x) (z dokładnością do dowolnego składnika stałego), przyjęła się nazwa „całka nieoznaczona" i sugestywne oznaczenie G(x) = f f (x) dx,
które nazywamy odpowiednio sinusem hiperbolicznym, cosinusem hiperbolicznym i tangensem hiperbolicznym. Funkcje te mają wiele własności analogicznych do funkcji trygonometrycznych; są one związane z hiperbolą u2 -v2 =1 tak, jak funkcje u = cos x i v =sin x są związane z kołem u2 + v2 = 1. 1 Czytelnik zechce udowodnić następujące związki i porównać je z odpowiednimi związkami dotyczącymi funkcji trygonometrycznych:
D cosh x = sinh x, D sinh x =cosh x, D tgh x = 1/cosh2x, sinh (x + x') = sinh x cosh x' +cosh x sinh x', cosh (x + x') =cosh x cosh x' + sinh x sinh x'.
bez granic całkowania. (Oznaczenie to może wprowadzać początkującego w błąd, por. uwagę na str. 406). Każdy wzór na różniczkowanie zawiera rozwiązanie zagadnienia na całkowa nie nieoznaczone, jeżeli go po prostu zinterpretować odwrotnie, jako wzór na cał kowanie. Możemy uogólnić to nieco empiryczne postępowanie na podstawie dwóch ważnych reguł, równoważnych regule różniczkowania funkcji złożonej i regule różniczkowania iloczynu funkcji. W postaci całkowej reguły te nazywają się regułą całkowania
przez podstawienie oraz regułą całkowania przez części.
A. Reguła całkowania przez podstawienie wynika ze wzoru na różniczkowanie funk-
cji złożonej H(u) =G(x),
gdzie
Funkcje odwrotne, to
x =lfJ(u) 2
x=arcsinhu=ln(u+ ~u +1), x=arc cosh v =In (v+
i
u =cp(x)
są z założenia funkcjami jedna drugiej, określonymi jednoznacznie w rozpatrywanym przedziale. Mamy wtedy
2
~v -1) (v;::: 1).
H'(u) = G'(x) 1f/ (u). Pochodne ich mają
Jeżeli
postać
1
Darcsinhu= c - ? ' Darccoshv= v 1 + u2
1
~,
vv2 - 1
1
Darctghw=--, (jwj >O).
G'(x) = f(x), to możemy napisać
1-w~
G(x) =ff(x) dx, jak też
117. Na podstawie wzoru Eulera sprawdzić analogię pomiędzy funkcjami hiperbolicznymi i funkcjami trygonometrycznymi. 118*. Znaleźć proste wzory sumacyjne na
G'(x) 1fl(u) = f(x) l/J'(u), co wobec podanego wyżej wzoru na H'(u) jest równoważne wzorowi H(u) = f f[l/J(u)]l/J'(u) du.
sinh x + sinh 2x + ... + sinh nx oraz
f +cosh x +cosh 2x + ... + cosh nx analogiczne do wzorów w ćwiczeniu 14, dotyczących funkcji trygonometrycznych.
Wobec H(u) = G(x) mamy stąd
f f(x) dx = ff[l/J(u)] 1/J'(u) du.
(I)
Przy użyciu I
Jeśli przez x rozumiemy odpowiednio pole wycinka hiperboli i wycinka koła (przw. red.).
oznaczeń
sugestywną postać:
Leibniza (patrz str. 403) reguła ta otrzymuje następującą
Przypis. Uwagi
502
Technika całkowania
uzupełniające
f f(x)dx
d. J = Jsin x cos x dx. Przyjmujemy sin x =u, cos x = du/dx. W takim razie
= f f(x) dx du,
du z której wynika, że można zastąpić symbol dx symbolem dx/du du, tak jak gdyby dx i du były liczbami, a wyrażenie dx/du było ułamkiem. Użyteczność wzoru (I) przedstawimy na kilku przykładach. a. J =
1 f-du. ulnu
Wychodzimy tutaj od prawej strony wzoru (I),
podstawiając
f
f
lnu . . 1 dx e. ] = -du. Przy1mu1emy lnu= x, - =-. Zatem u u du
f
f
1
X
2
2 dx x 1 J= x-= xdx=-=-(Inu). du 2 2
f
f(x) =__:.;
2
du u 1 . 2 x. ]= u-dx= udu=-=-sm dx 2 2
x=ln u =1/J(u). Mamy tedy
1 1p'(u)=-, u
503
W poniższych przykładach stosujemy wzór (I) wychodząc od jego lewej strony.
zatem
J=f dx =lnx czyli J-u-=lnlnu. x u lnu Możemy sprawdzić ten wynik różniczkując obie strony wzoru. Otrzymujemy
f. J = f d;.. Przyjmujemy
vx
..fX =u . W takim razie x = u2,
dx du
= 2u. Zatem
J = f ..!.. 2u du= 2u = 2.JX. u
d
1
--=-(lnlnu), ulnll du
g. Za pomocą podstawienia x =au, gdzie a jest liczbą stałą, otrzymujemy
co łatwo sprawdzić.
dx ,J_,_l_du=JL~=..!.arc tg~. f ~=f a 2 +x 2 du a 2 l+u 2 a l+u 2 a a
COSU d , . x = sm • u =1p,/ ( u) b. J = ctg u du= . - u. Dro d staw1a1ąc
f
f
Sin U
otrzymujemy
f(x)=x,
1f/(u) = cos u,
h. J = f ~1-x 2 dx. Przyjmujemy x=cosu, dx =-sinu. Zatem du
zatem
.zd fl-cos2ud U=--+--. u sin2u J =- f Sll1 U U=-
dx= Inx, J= -
f
czyli
X
Jctg 11 du= In sin u.
2
f
J = 1f/(u) du, 1/J(U) to podstawiamy x=1/1(u), f(x) =x i otrzymujemy
f
J = dx = lnx =In 1f1(u). X
4
Podstawiając sin 2u = 2 sin u cos u= 2 cos u ~1- cos2 u mamy 1 1 r::--2 ]=--arc cosx+-xv1-x-.
Wynik ten znowu możemy sprawdzić przez różniczkowanie. c. Ogólnie, jeżeli marny całkę postaci
2
2
Obliczyć następujące całki
2
nieoznaczone i sprawdzić wyniki przez różniczko
wanie
udu -u+ 1'
119.
fu
121.
f u(lnu)" ·
2
120.
f ue
122.
f --dx. 3+4x
du
112
du.
Bx
Przypis. Uwagi
504
Technika
uzupełniające
całkowania
505
c. J= f x sin x dx. Przyjmiemy p(x) = x, q(x) = -cos x i otrzymujemy 123.
f
dx X2 +X+ (
124
f
126.
dt f ___!2_l_ ~1-t2 .
·
t4
127. f-dt.
128.
1-t
129.
1
dx
B.
f cos
11
fxsinxdx =-xcosx+sinx. Wyznaczyć następujące całld stosując całkowanie
tsintdt.
X
przykłady
Regułę
f
dx
~a2 -x2
X
arc sinh-. a
130. f xexdx.
131. f x2 cos x dx.
132. fxa In x dx (a :;.:-1).
133. f x 2ex dx.
Całkowanie
przez
części całld
rr/2
:n:/2
:rc/2
:n:/2
f sin 111 xdx = (m -1) f sin"'- 2 x cos 2 xdx = -(m -1) f sin"' xdx + (m-1)
(p(x) q(x))' = p(x) q'(x) + p'(x) q(x)
o czyli
jako wzór całkowy
()
o
Jsin"'-
2
xdx,
o
. 7t/2
sin"' xdx = m- l
p(x) q(x) = f p(x) q'(x) dx + f p'(x) q(x) dx,
111
czyli
ponieważ
W tej postaci nazywamy go regułą całkowania przez części. Reguła ta jest uży teczna, gdy funkcję, którą mamy scałkować, można napisać w postaci iloczynu postaci p(x) q'(x), gdzie znamy funkcję pierwotną q(x) względem funkcji q'(x). W tym przypadku wzór (II) sprowadza zagadnienie znalezienia całki oznaczonej funkcji p(x) q'(x) do scałkowania funkcji p'(x) q(x), co często jest znacznie łatwiejsze.
tość na
a. J =fin x dx. Przyjmujemy p(x) =In x, q'(x) = 1; stąd q(x) = x. W takim razie wzór flnxdx=xlnx- f ~dx=xlnx-x. X
b. J= f x In x dx. Przyjmujemy p(x) =In x, q'(x) = x. W takim razie
2
()
+.n.
n/2
1111 =
(wzory są
różne zależnie
I
12 li
I
I
i
1
Jsin"' x dx
o od tego, czym jest parzyste, czy nieparzyste):
Rozpatrzymy przykłady.
(II) daje
Jsin"'- xdx,
pierwszy wyraz po prawej sh·onie wzoru (II), pq, jest równy zeru dla Stosując wielokrotnie ostatni wzór otrzymujemy następującą war-
wartości Oi
fp(x) q'(x) dx=p(x) q(x)- fp'(x) q(x) dx.
(II)
f sin 111x dx prowadzi do ciekawego wyrażenia :re
jako iloczynu nieskończonego. Aby je wyprowadzić, piszemy funkcję sin111 x w postaci sin 111 -lx sin x i całkujemy przez części w granicach od O do ~Jr. Daje to wzór
g, h).
(str. 397) na różniczkowanie iloczynu
można napisać
przez części:
WSKAZÓWKA. Do 131: zastosować wzór (Il) dwuhotnie; do 133: zastosować ćwi czenie 130.
Udowodnić, że
tgh-, 2 =-arc 2 -x f -aa a (Por.
dx . x 2 +2ax+b
=211-1.211-3 . . L~ 211 211 - 2 „ • 2 2
=~·2n-2 . . ~ 211 + 1 2n + 1 211 - 1 „ · 3 ·
Wobec O < sin x < 1 dla O < x < ~:re, mamy
a więc (patrz sh: 384), czyli 1211-l 1211+1
>
1211 1211+]
> 1.
I
506
Przypis. Uwagi
Podstawiając
obliczone
Indeks
uzupełniające
wyżej wartości
na 1211 _ 1 itd. w ostatnich
nierównościach,
otrzymujemy 2n+l 1·3·3·5·5·7„.„(2n-1)(2n-1)(2n+l) :n: . --> ·->1. 2n 2·2'4-4·6·6„.„(211)(211) 2 Jeżeli dąży
teraz przejdziemy do granicy przy /1 ~oo, to widzimy, do 1, skąd otrzymujemy iloczyn Wallisa na :n:/2:
że
wyraz
środkowy
I
I
il
li' 'I
J!
:n:
2
2 · 2· 4· 4· 6 · 6 „„ · 2n· 2n „. 1.3.3.5.5.7„„·(2n-1)(211-1)(211+l)„. - . - hm
24"(11!)1 2
,
gdy
n ~ oo,
((2n)!) (211+1) \\
A aksjomat Archimedesa 480 aksjomaty 173, 216, 459, 480 niesprzeczne 216 - niezależne 216 - zupełne 216 algebra Boole' a 126 - logiki 124 - zbiorów 121, 459 algorytm 45, 453 - Euklidesa 63 analiza diofantyczna 69 -- niestandardowa 479-483 analysis situs 233 Apoloniusza zagadnienie 129, 136 argument liczby zespolonej, patrz liczba: zespolona: argument arytmetyka 26 asymptoty hiperboli, patrz hiperbola: asymptoty
B biegun 263 brachistochrona 357 butelka Kleina 256
c całka
I
373, 374, 377 - nieoznaczona 406 całkowanie funkcji 377 charakterystyka Eulera 253 ciąg częściowy 303 monotonicznie malejący 284 monotonicznie rosnący 284 monotoniczny 284 oscylujący 284 przedziałów zstępujących 85 rozbieżny 283 zbieżny 283 ciało 74 - liczbowe 133, 139 continuum hipoteza, patrz hipoteza: continuum - liczbowe 80, 84 cosinus hiperboliczny 500 cykloida 162, 357 czapa krzyżowa 255 czas wielomianowy 472 część rzeczywista liczby zespolonej, patrz liczba: zespolona: część rzeczywista urojona liczby rzeczywistej, patrz liczba: zespolona: część urojona
508
Indeks
część właściwa
Indeks
zbioru, patrz zbiór:
część właściwa
czworobok zupełny 185
ćwiartki układu
89
D deformacje 239 długość przedziału
75
rozpięcia 470 Steinera 470 wektora, patrz wektor: dopełnienie'zbioru 124 druga pochodna 394 dwumian Newtona 40 dwustosunek czterech
-
iloczyn logiczny zbiorów 123, 459 - nieskol1czony 289 - Wallisa 448 iloraz różnicowy 387 incydentne prosta i punkt 177 inwersja płaszczyzny 151 istnienie matematyczne 102 iteracja 312
G
płaszczyzn współosiowych współpłaszczyznowych
182
183
geometria Bolyaia-Łobaczewskiego 220 - eliptyczna 224 - metryczna 176 - nieeuklidesowa 220 rzutowa 176 - związana z daną klasą przekształceń 174 granica 81 - funkcji 293, 297 grupa 175 - przekształce!1 rzutowych 175
j
J
l
jednostka urojona 103
I
E elementy dwoiste 195 elipsa 91, 202, 491 - mimośród 91 - ognisko 91 - osie 91 epicykloida 163 Eratostenesa sito 47, 455
I
długość
czterech prostych czterech punktów 180 działania odwroh1e 27 - wymierne 74 dziedzina zmiennej 266
hiperbola 203, 271, 492 - asymptoty 91 mimośród 91 oś rzeczywista 91 ognisko 91 równoboczna 91 hiperboloida jednopowłokowa 214 hiperpłaszczyzna 228 hipocykloida 162 / hipoteza continuum 102, 458-459 Goldbacha 51, 454 - Taniyamy 457
fraktale 463 funkcja 265, 267, 268 - ciągła 275, 298 - w przedziale 275 - w punkcie 275, 278 dzeta 446, 454 - monotoniczna 273 odwrotna 271 - pierwotna 406 - trygonometryczna 269 - wklęsła - - ku dołowi 395 - ku górze 395 wykładnicza 415 wymierna 269 wypukła 496
ć współrzędnych
F
H harmonicznie sprzężone punkty 182 harmoniczny zespół prostych 200 Harta inwersor 164
~i
1
l
I
K kostka 229 krzywa łańcuchowa 359 eliptyczna "456 - Freya 457 Fermata 456
509
krzywa gładka 326 - prostowalna 433 krzywizna krzywej 396 kwadratura koła 129 kwadryki 214
L liczba 25 algebraiczna 116 - stopnia n 117 czysto urojona 104 kardynalna 98, 458 mniejsza (większa) od liczby 75 niewymierna 77, 80, 84, 85, 87 przestępna 116 rzeczywista 85 wymierna 72 zespolona 104 - - argument 108 część rzeczywista 104 część urojona 104 moduł 107 postać trygonometryczna 108 sprzężona 107 liczby 25 hiperrzeczywiste 480 konstruowalne 143 naturalne 25 pierwsze 44 pierwsze bliźniacze 454 przystające moduło 53 względnie pierwsze 67 złożone 44 linia geodezyjna 224 - prosta 198, 270 linie warstwicowe 277 logarytm 411 - naturalny 50, 411 - przy podstawie 11 415 logika matematyczna 125
l
I
J:
M maksiminimum 327 maksimum bezwzględne 326 - względne 326 mapa regularna 259 metoda dowodzenia nie wprost 44 najmniejszych kwadratów 345 sprowadzania do niedorzeczności 44 miara teoretyczna kąta 270 mimośród elipsy, patrz elipsa: mimośród
-
Indeks
Indeks
510
hiperboli, patrz hiperbola: mimośród
minimum bezwzględne 326 - względne 326 moc zbioru, patrz zbiór: moc Moivre' a de, wzór, patrz wzór: de Moivre'a
N nachylenie krzywej 385 największy wspólny dzielnik 63 nieciągłość istotna 276 - usuwalna 276 niereszta kwadratowa 58 nierówność Schwarza 497 nieskończoność 74 niezmienniki przekształcenia 165
o obraz punktu 151 obroty płaszczyzny 152 obszar jednospójny 240 n-spójny 241 - wielospójny 241
odbicie płaszczyzny - - w okręgu 152 - - w prostej 151 odcinek 75 - krzywej 489 - skierowany 487 odcinki niewspółmierne 77 - współmierne 76 odejmowanie liczb naturalnych 27 odpowiedniość rzutowa 184, 206 odwzorowanie 278 - wzajemnie jednoznaczne 267 ognisko elipsy, patrz elipsa: ognisko - hiperboli, patrz hiperbola: ognisko ortogonalne krzywe 166 oś elipsy, patrz elipsa: osie liczbowa 75 płaszczyzn 183 rzeczywista hiperboli, patrz hiperbola: oś rzeczywista
p parabola 203, 270, 492 paraboloida hiperboliczna 277 - obrotowa 278 pęk prostych 206 pęki rzutowe 207 pierwiastek n-tego stopnia 111 - równania 114, 130 pitagorejska trójka liczb 60 płaszczyzna w nieskończoności 190 pochodna 326 - funkcji 387 początek współrzędnych 89 poddało 139, 141 podstawa systemu 29 podstawowe twierdzenie algebry 263 - arytmetyki 45 - rachunku różniczkowego i całkowego 405, 406
podwojenie sześcianu 129 podzbiór zbioru 122 \ ponumerowanie (przeliczanie) zbioru, patrz zbiór: ponumerowanie (przeliczanie) postać trygonometryczna liczby zespolonej, patrz liczba: zespolona: postać trygonometryczna postęp arytmetyczny 35 - - rzędu k 485 - geometryczny 36 postulat jedynej równoległej 218 postulaty 173, 216 niesprzeczne 216 - niezależne 216 - zupełne 216 powierzchnia łańcuchowa 363 - kulista 277 prawdopodobieilstwo 126 prawo łączności 26 przemienności 26 redukowania dla kongruencji 56 rozdzielności 26 sprzeczności 125 wyłączonego środka 125 wzajemności dla reszt kwadratowych 59 prędkość chwilowa 394 - średnia 394 program erlangef1ski 174 prosta niewłaściwa 188 - skierowana 487 - w niesko11czoności 188, 198 przeciwobraz punktu 151 przedział 75 przegub 163 - Peaucelliera 163 przekątne czworoboku zupełnego 185 przekrój 87 przekształcenie 278 plaszczyzny na samą siebie 151 rzutowe 175, 176, 183 topologiczne 238
511
przemieszczenia nieeuklidesowe 220 przesunięcia płaszczyzny 152 przyporządkowanie wzajemnie jednoznaczne 93 przyspieszenie 394 przystająca czwórka prostych 207 punkt 198 przegięcia 395 siodłowy 327 stacjonarny 326 Steinera 470 w nieskończoności 152, 187, 198 punkty eliptyczne 225 hiperboliczne 225 inwersyjne 152 niewłaściwe 186 niewymierne 78 wymierne 75
R rachunek wariacyjny 357 radian 270 reguła całkowania przez części 504 - całkowania przez podstawienie 501 relacja nierówności 27 - porządkowa 122 reszta kwadratowa 58 rodzaj powierzchni 252 rozmaitość czterowymiarowa 229 - trójwymiarowa 229 rozszerzenie ciała 141 równanie cyklotomiczne (podziału koła) 112 diofantyczne 69, 456 kwadratowe 105 okręgu 90 prostej 90, 488 różniczkowe 421 różniczkowanie funkcji 387 ruchy sztywne 173 - płaszczyzny 152
512
Indeks
rząd wielkości ciągu
-
435
punktów 209
s sieć Steinera 470 sinus hiperboliczny 500 składanie funkcji 273 splot 465 stożkowa 205, 206 stopieł1 269 suma logiczna zbiorów 123, 459 symetria płaszczyzny względem prostej 151 szereg dwumianowy 441 harmoniczny 445 nieskończony 438 potęgowy 439 rozbieżny 438 Taylora' 443 zbieżny 438
ś średnia
arytmetyczna 341, 343 arytmetyczno-geometryczna 497 geometryczna 342, 343 średnia krzywizna powierzchni 362 środek inwersji 152
-
T tangens hiperboliczny 500 tautochrona 357 topologia 233 tor ergodyczny 335 torus trójwymiarowy 257
trójkąt
Indeks
Pascala 39
- Sierpińskiego 464 - wysokości 329 trysekcja kąta 129 twierdzenia dwoiste 195 twierdzenie Brianchona 194, 211 Brouwera 248 Desarguesa 177 Fermata 57, 61 Gaussa 114 Pascala 211 Pitagorasa 60
198
prostej 196 -
prostokątne (kartezjańskie)
89
punktu 89 wstęga Mobiusa 255 wykres geometryczny 270 wymiar fraktalny 463 - Hausdorffa 463 wzór de Moivre' a 112, 443 - Eulera 444
z
u ułamek
współrzędne jednorodne punktu
72
dziesiętny nieskończony
80
-
okresowy 83 łańcuchowy 69, 289
w własność dwoistości
124 75 warnnki brzegowe 469 Watta równoległobok 163 wektor 109 - długość 109 - wodzący punktu 89 węzeł 465 wielkie twierdzenie Fermata 456 wielomian 269 - Alexandra 466, 467, 468 - HOMFLY 467, 468 - Jonesa 467, 468 współczynnik dwumianowy 441 współrzędne biegunowe 263 jednorodne 197 - - prostej 198 wartość bezwzględna
zagadnienie czterech barw 242, 460 kwadratury 371 NP-równoważne 474 Plateau 361 Steinera 470 stycznych 371 zasada Dirichleta 347 dwoistości 195 - Fermata 358
513
zasada indukcji matematycznej 33 - najmniejszej liczby naturalnej 41 - Plateau 476, 477, 479 zbiór 93, 121 Cantora 464, 465 - część właściwa 94 - liczb rzeczywistych 84, 96 Mandelbrota 463 moc 93 nieskończony 33 pełny 121 ponumerowanie (przeliczenie) 94 przeliczalny 94 punktów wymiernych 78 pusty 121, 459 skończony 93 zwarty 304 zbiory identyczne 122 - równej mocy 93 złoty stosunek 134 zmienna 266 ciągła 266 niezależna 268 zależna 268.
Literatura
Literatura do dalszych studiów
E. Landau: Vorlesungen iiber Zahlentheorie, t. I-III, Lipsk 1927. W. Sierpiński: Teoria liczb, wyd. 3, Warszawa 1950. J. S. Sominski: Metoda indukcji matematycznej, Warszawa 1950. I. Winogradow: Elementy teorii liczb, Warszawa 1954.
Rozdział
Zagadnienia ogólne W. Ahrens: Mathematische Unterhaltungen und Spiele,.wyd. 2, Lipsk 1910. E. T. Bell: The development of Mathematics, Nowy Jork 1940. E. T. Bell: Men of Mathematics, Nowy Jork 1937. Encykłopiedija elemientarno; matiematiki, t. I-III, Moskwa 1951. R Enriques: Questioni riguardanti le matematiche elementari, wyd. 3, Bolonia 1926. E. Kasner, J. Newman: Mathematics and the Imagination, Nowy Jork 1940. R Klein: Elementary Mathematics Jrom an Advanced Standpoint, Nowy Jork 1939. A. N. Kołmogorow: O matematyce, Warszawa 1955. M. Kraitchik: La Mathematique des Jeux, Bruksela 1930. O. Neugebauer: Vorlesungen iiber Geschichte der antiken mathemalischen Wissenschaften, wyd. 1, Berlin 1934. A. I. Markuszewicz: Interesujące krzywe, Warszawa 1956. H. Poincare: The Foundations of Science, Lancaster 1933. H. Rademacher, O. Toeplitz: O liczbach i figurach, Warszawa 1956. B. Russell: Wstęp do filozofii matematyki, Warszawa 1958. B. Russell: The Principles of Mathematics, wyd. 2., Nowy Jork 1938. D. E. Smith: A Source Book in Mathematics, Nowy Jork 1929. H. Steinhaus: Kalejdoskop matematyczny, Warszawa 1954. H. Weyl: The Mathematical Way of Thinking Science, 92 (1940), s. 437 H. Weyl: Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft, Handbuch der Philosophie, Oldenburg 1926.
I
L. E. Dickson: Introduction to the Theory of Numbers, Chicago 1931. L. E. Dickson: Modern Elementary the Theory of Numbers, Chicago 1939. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of N11111bers, Oksford 1938.
II
G. Birkhoff, S. Mac Lane: Przegląd algebry współczesnej, Warszawa 1960. B. Gniedenko, A Cl1inczyn: Elementarny wstęp do rachunku prawdopodobie11stwa, wyd. 2, Warszawa 1954. A. Grzegorczyk: Logika popularna, Warszawa 1961. A. Mostowski: Logika matematyczna, Warszawa 1948. A. Mostowski, M. Stark: Elementy algebry wyższej, Warszawa 1958. W. Sierpiński: Działania nieskończone, Warszawa 1948. W. Sierpii1ski: Zasady algebry wyższej, Warszawa 1951. R Enriques: The Historie Development of Logic, Nowy Jork 1929.
Rozdział
III
K. Borsuk: Geometria analityczna w n wymiarach, Warszawa 1950.
J. L. Coolidge: A History of Geometrical Methods, Oksford 1940. R Enriques: Fragen der Elementargeomełrie, wyd. 2, Lipsk 1923. R Klein: Famous Problems of Geometry, wyd. 2, Nowy Jork 1930. R Leja: Geometria analityczna, Warszawa 1961. L. Mascheroni: La geometria del compasso, Palermo 1901. G. Mohr: Euclides Danicus, Kopenhaga 1928. M. Stark: Geometria analityczna, Warszawa 1958.
Rozdział
IV
K. Borsuk, W. Szmielew: Podstawy geometrii, Warszawa 1955.
D. Hilbert: The Foundations of Geometry, wyd. 3, 1938. E. Otto: Geometria wykreślna, wyd. 3, Warszawa 1961. G. Saccheri: Euclides ab omni naevo vindicatus, Chicago 1920.
Rozdział
Rozdział
515
V
P. Aleksandrow: Zarys podstawowych pojęć topologii, Warszawa 1955. D. Hilbert, S. Cohh-Vossen: Geometria poglądowa, Warszawa 1956. K. Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii, Warszawa 1955. H. Seifert, W. Threlfall: Lehrbuch der Topologie, Lipsk 1934.
516
Literatura Rozdział
Literatura dodatkowa
VI
K. Kuratowski: Wykłady rachunku różniczlcowego i całkowego, Warszawa 1949. R Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy, wyd. 5, Warszawa 1959. W. Sierpif1ski: Rachunek różniczkowy, wyd. 2, Warszawa 1947. W. Sierpif1ski: Teoria liczb, wyd. 3, Warszawa 1950.
Rozdział
VII
R. Courant: Soap Film Experiments with Minimal Surfaces, „American Mathematical Monthly" t. 47 (1949), s. 167-174. J. P. Natanson: Najprostsze zadania na maksima i minima, Warszawa 1955. J. Plateau: Sur !es figures d'equlibre d'une masse liquide sans pesanteur, „Memoires de I' Academie Royale de Belgique" t. 23 (1849). J. Plateau: Statique expćrimentale et thćoretique des Liquides, Paris 1873.
Rozdział
VIII
K. Kuratowski: Wykłady rac/11111ku różniczkowego i całkowego, Warszawa 1949. R Leja: Rac/n111ek różniczkowy i całkowy, wyd. 5, Warszawa 1959. W. Sierpif1ski: Rachunek różniczkowy, wyd. 2, Warszawa 1947. J. Natanson: Sumowanie niesko11czenie małych, Warszawa 1955.
I „
I Zagadnienia ogólne D. J. Albers, G. L. Alexanderson (red.): Mathematical People, Boston 1985. D. J. Albers, G. L. Alexanderson, Constance Reid (red.): More Mat/1ematical People, Nowy Jork 1990. B. Bollobas (red.): Littlewood's Misce/lany, Cambridge 1986. J. L. Casti: Complexification, Nowy Jork 1994. J. Cohen, I. Stewart: The Collapse of Chaos, Nowy Jork 1993. COMAP (red.): For All Practical Purposes, 1994. P. J. Davis, R. Hersh: Świat matematyki, Warszawa 1994. P. J. Davis, R. Hersh: Descartes' Dream, Brighton 1986. K. Devlin: All the Math That's Fit to Print, Waszyngton 1986. K. Devlin: Mathematics: The New Golden Age, Harmondsworth 1988. K. Devlin: Mathematics, the Science of Patterns, Nowy Jork 1994. I. Ekeland: The Broken Dice, Chicago 1993. I. Ekeland: Mathematics and the Unexpected, Chicago 1988. G. T. Gilbert, M. I. Krusemeyer, L. C. Larson: The Wohascum County Problem Book, Dolciani Mathematical Expositions 14, Waszyngton 1993. M. Golubitsky, M. J. Field: Symmetry in Chaos, Oksford 1992. M. Guillen: Bridges to Ingenuity in Mathematics, Waszyngton 1970. R. Honsberger: Ingenuity of Mathematics, Waszyngton 1970 R. Honsberger: Mathematical Gems I, Dolciani Mathematical Expositions l, Waszyngton 1973. R. Honsberger: Mathematical Gems II, Dolciani Mathematical Expositions 2, Waszyngton 1974. · R. Honsberger: Mathematical Gems III, Dolciani Mathematical Expositions 9, Waszyngton 1985. K. Jacobs: Invitatio11 to Mathematics, Princeton 1992. M. Kline: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oksford 1972. E. Maor: e: The Story of a Number, Princeton 1994.
I '.li
1
l,1
1i'
111
11
I·
518
Literatura dodatkowa
Literatura dodatkowa
519
§ 4. Hipoteza continuum P. Bernays: Axiomatic Set Theory, Nowy Jork 1991. P. J. Cohen, R. Hersh: Non-Cantorian Set Theory, „Mathematics in the Modern World", San Francisco 1979. K. Devlin: Mathematics: The New Golden Age, Harmondsworth 1988. W. S. Hatcher: The Logical Foundations of Mathematics, Oksford 1982. S. Lavine: Understanding the Infinite, Cambridge 1994. I. Stewart: A Subway Named Turing, „Scientific American" 271 (1994), s. 90-92. R. L. Vaught: Set The01-y: An Introduction, Boston 1985.
J. R. Newman (red.): The World of Mathematics, Nowy Jork 1956. I. Peterson: Islands of Truth, Nowy Jork 1990. I. Peterson: The Mathematical Tourist, Nowy Jork 1988. C. Reid: Courant: In Goettingen and New York, Nowy Jork 1976. D. Ruelle: Chance and Chaos, Princeton 1991. M. Schroeder: Chaos, Fractals, Power Laws, Nowy Jork 1991. I. Stewart: Concepts of Modern Mathematics, Nowy Jork 1995. I. Stewart: Czy Bóg gra w kości?, Warszawa 1996. I. Stewart: From Here To Infinity, Oksford 1996. I. Stewart: Liczby natury, Warszawa 1996. I. Stewart: The Problems of Mathematics, Oksford 1992. I. Stewart, M. Golubitsky: Fearful Symmetry, Oksford 1992. M. Sved: Journey Into Geometries, Waszyngton 1991.
§ 5. Oznaczenia w teorii zbiorów
I. Stewart: Concepts of Modern Mathematics, Nowy Jork 1995. R. L. Vaught: Set Theory: An Introduction, Boston 1985. § 6. Zagadnienie czterech barw
Rozdział
IX
§ 1. Formuła na liczby pierwsze M. Davis, Y. Matijasewicz,J. Robinson: Hilbert's Tenth Problem. Diophantine Equations: Positive Aspects of a Negative Solution, „Proceedings of Symposia in Pure M~thematics", 28: Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, Waszyngton 1976, s. 323-378. M. Davis and R. Hersh: Hilbert's Tenth Problem, „Scientific American" 229, (1973), s. 84-91. K. Devlin: Mathematics: The New Golden Age, Harmondsworth 1988. J. P. Jones, D. Sato, H. Wada, D. Wiens: Diophantine Representations of the Set of Prime Numbers, „American Mathematical Monthly" 83 (1976), s. 449-464. I. Stewart: Concepts of Modern Mathematics, Nowy Jork 1995. ·
..
'
§ 7. Wymiar Hausdorffa i fraktale
M. F. Barnsley: Fractals Everywhere, Boston 1993. B. B. Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature, Nowy Jork 1982. H. O. Peitgen, H. Jiirgens, D. Saupe: Chaos and Fractals, Nowy Jork 1992. I. Stewart: From Here to Infinity, Oksford 1996. I. Stewart: Tlze Problems of Mathematics, Oksford 1992.
§ 2. Hipoteza Goldbacha i liczby pierwsze bliźniacze
K. Devlin: Mathematics: The New Golden Age, Harmondsowrth 1988. W. Yuan: Goldbach Conjecture, Singapur 1984.
§ 8. Węzły
§ 3. Wielkie twiertlzrnie Fermata
E. T. Bell: The Last Problem, Waszyngton 1990. D. Cox: Introduction to Fermat's Last Theorem, „American Mathematical Monthly" t. 101 (1994), s. 3-14. K. Devlin: Mathematics: The New Golden Age, Harmondsworth 1988. I. Katz: Farne by Numbers, „The Guardian Weekend" kwiecie6 1995, s. 34-42. P. Ribenboim: Thirteen Lectures on Fennat's Last Theorem, Nowy Jork 1979. K. Rubin, A. Silverberg: A report on Wiles' Cambridge Lectures, „Bulletin Amerocan Mathematical Society", 31 (1994), s. 15-38. I. Stewart: Fermats Last Time Trip, „Scientific American" 269 (1993), s. 85-88. I. Stewart: From Here to Infinity, Oksford 1996. I. Stewart: The Problems of Mathematics, Oksford 1996.
K. Appel, W. Haken: The Four-Colour Problem, „Mathematics Today", Nowy Jork 1978. K. Appel, W. Haken: The Four-Colour Proof Suffices, „The Mathematical Intelligencer" t. 8 (1986), s. 10-20. K. Devlin: Mathematics: The New Golden Age, Harmondsworth 1988. G. Ringel: Map Color Theorem, Nowy Jork 1974. T. L. Saaty: Remarks on the Four Color Problem: The Kempe Catastrophe, „Mathematics Magazine" t. 40 (1967), s. 31-36. I. Stewart: From Here to Infinity, Oksford 1996. I. Stewart: The Rise and Fall of the Lunar M-pire, „Scientific American" 268 (1993), s. 90-91.
; I
C. W. Ashley: The Ashley Book of Knots, Londyn 1947. P. Freyd, D. Yette1~ J. Hoste, W. B. R. Lickorish, K. Millet, A. Ocnenanu: A new Polynomial Invariant of Knots and Links, „Bulletin of the American Mathematical Society" 12 (1985), s. 239-246. V. F. R. Jones: A Polynomial Invariant of Knots via von Neumann Algebras", „Bulletin of the American Mathematical Society" 12 (1985), s. 52-57. W. B. R. Lickorish, K. C. Millet: The New Polynomiał Invariants of Knots and Links, „Mathematics Magazine" 61 (1988), s. 3-23. C. Livingston: Knot Tlteory, Carus Mathematical Monographs 24, Waszyngton 1993 I. Stewart: From Here to Infinity, Oksford 1996. I. Stewart: Knots, Links and Videotape, „Scientific American" 270 (1994), s. 136-138 I. Stewart: The Problems of Matlzematics, Oksford 1992.
520
Literatura dodatkowa § 9. Pewne zngadnie11ie mechaniki
T. Poston: Au Courant with Differentia! Equations, „Manifold" 18 (1976), s. 6-9. I. Stewart: Game, Set, and Matli, Oksford 1986. § 10. Zagadnienie Steinera
M. W Bern, R. L. Graham: The Shortest-Network Problem, „Scientific American" 260 (1989), s. 66-71. E. N. Gilbert, H. O. Pollak: Steiner Minimal Trees, „SIAM Journal of Applied Mathematics" 16 (1968), s. 1-29. Z. A. Melzak: Companion to Concrete Mathematics, Nowy Jork 1973. I. Stewart: Trees, Tełephones, and Tiles, „New Scientist" 1975 (1991), s. 26-29. P. Winter: Steiner Problems in Networks: A Survey, „Networks" 17 (1987), s. 129-167. § 11. Doświadczenia z bło11nmi mydlanymi i powierzchnie minimalne
EJ. Almgren J1:: Minimal Surface Forms, „The Mathematical Intelligencer" 4 (1982), s. 164-167. F. J. Almgren Jr.: P/atea11 's Problem, and Introduction to Varifold Geometry, Nowy Jork 1966. · F. J. Almgren Jr., J. E. Taylor: The Geometry of Soap Films and Soap Bubbles, „Scientific American" 235 (1976), s. 82-93. C. Isenberg: The.Science of Soap Films And Soap Bubbles, Nowy Jork 1992. § 12: A11nlizn niestandardowa
J. W Da u ben: Abraham Robinson: The Creation of Nonstandard Analysis, Princeton 1995. A. E. Hurd, P. A. Loeb: An l11troduction to Nonstandard Real Analysis, Nowy Jork 1985. M. J. Keisler: Fo11datio11s of T11fi11itcsimal Calcu/us, Nowy Jork 1976. A. Robinson: 1Htrod11ctio11 to Model Theory and to Metamathematics of Alge/Jra, Amsterdam 1963. K. D. Stroyan, W A. U. Luxemburg: lntroduction to the Theory of Infi11itesimals, Nowy Jork 1976.
.J
"
„'
