Koziej E. - Elektrotechnika i Elektronika

-twornika -bazy - baterii - kolektora, pojemnościowy -dolny -emitera e - elektryczny f - fazowy, wzbudzenia, fałowy g - graniczny, górny k - krytyczny L - indukcyjny I - linii, rozproszenia m - magnetyczny, mechaniczny, maksymalny N - neutralny (dotyczy przewodu zerowego), nadajnika n - znamionowy o - rezonans0wy, obciążenia, jałowy, odbiornika P - początkowy R - rezystancyjny r - regulacyjny, rozruchowy, względny t -twornika z - zwarciowy, Zenera H-Halla we- wejściowy wy- wyjściowy µ - wzbudzający 1 - pierwotny, wejściowy 2 - wtórny, wyjściowy w 1 wewnętrzny, wyrównawczy a B b C d E

2 - Elektrotechnika i elektronika

Wstęp

Wyl<.az tablic

Tablica 1.L Nil:I, rórc jednostki elektryczne i magnetyczne układu SI Tablica 2.1. l'Hei:.tóre cymbole graficzne stosowane w elektrotechnice Tablica 2.2. R1:zys.tywność, konduktywność i współczynnik temperaturowy rezystancji różnych przewodników Tablica 4.1. Względna przenikalność elektryczna niektórych dielektryków Tablica 4.2. Zestawienie wzorów na pojemność typowych układów kondensatorów Tablica 5.1. Porównanie wartości wielkości występujących przy pętli histerezy magnetycznej Tablica 7.1. Elementy R, L, C, w obwodach prądu sinusoidalnego Tablica 7.2. Rozwinięcie niektórych funkcji na szereg Fouriera Tablica 8.1. Analogie elektromechaniczne Tablica 8.2. Współczynniki skali w analogii elektromechanicznej Tablica 8.3. Parametry niektórych elektrochemicznych :tródel energii Tablica 9.1. Sposoby łączenia faz w transformatorach trójfazowych Tablica 9.2. Grupy połączeń transformatorów trójfazowych Tabl~ca 9.3. Przekładnia różnych układów połączeń transformatorów trójfazowych Tabl'.ca 1ł.l. Zest~wienie najczęściej używanych kodów dwójkowo-dziesięrnych Tablica 11.2. Realizacja ważniejszych funkcji logicznych funktorami z negacją Tabl~ca 12.1. Niektóre sy~bole na skalach mierników według PN-61/E-88003 Tabl'.ca 13.1. Zastosowame przetwomikó" do pomiaru wielkości nieelektrycznych Tablica 14.1. Podstawowe własności silników indukcyjnych Tabl~ca 14.2. Porównanie silników indukcyjnych wirującego i liniowego Tabhca 15.1. Podstawowe własności silników prądu stałego Tablica 18.1. Dopuszczalne obciążenie przewodów izolowanych DG, ADO, LG, i ALG (wg PN. -57/E-05021) dla temperatury otoczenia 298 K. Tablica 18.2. Największe dopuszczalne prądy znamionowe wkładek bezpiecznikowych w zależności od . obciążalności długotrwałej przewodów (kabli) na napięcie I kV (według PN-57/E-05022) Tablica 18.3. Dobór prądu znamionowego wkładki topikowej bezpiecznika dla zabezpieczenia silników indukcyjnych

Znaczenie elektrotechniki i elektroniki we wszystkich działach techniki i nauki stale wzrasta. Nowoczesne procesy produkcyjne w coraz większym stopniu posłu­ gują się :napędami elektrycznymi, elektrycznymi urządzeniami pomiarowymi i automatycznego sterowania oraz technologią elektryczną. Z tego względu elektrotechnika i elektronika dla wielu kierunków studiów stała się dyscypliną podstawową, po której wprowadza się wykłady specjalistyczne z elektroniki przemysłowej, podstaw automatyki, napędu elektrycznego ze sterowaniem automatycznym, elektrycznych pomiarów wielkości nieelektrycznych, elektrotechniki samochodowej, okrętowej, lotniczej itp. Również inżynierowie specjalności nieelektrycznych w codziennej praktyce stykają się w coraz szerszym zakresie z problemami elektrycznymi i zmuszeni są uzupełniać wiedzę z tego f,akresu. Układ treści książki charakteryzuje się tym, że bezpośrednio po teoretycznych podstawach elektrotechniki wprowadzono rozdziały dotyczące elementów i ukła­ dów elektronicznych. W takim ujęciu do dalszych rozdziałów dotyczących pomiarów elektrycznych oraz maszyn elektrycznych i układów elektromaszynowych, mogły być wprowadzone elementy elektroniczne. Dzięki temu nastąpiło kompleksowe powiązanie ęlektrotechniki z elektroniką w jedną nierozerwalną całość. Wprowadzając wiele nowych zagadnień, przy ograniczonej objętości książki, autorzy zmuszeni byli zrezygnować z niektórych działów, które na obecnym etapie rozwoju mają raczej historyczne znaczenie. Nie opisano więc niektórych maszyn elektrycznych, np. układów kaskadowych lub przetwornic, a przede wszystkim pominięto elektroniczne elementy i układy lampowe. Autorzy są przekonani, że wartość książki na tym nie ucierpi, gdyż w ogromnej większości produkowanych obecnie urządzeń elektronicznych lamp elektronowych nie stosuje się. 19 \

!

"'!

~siążce starano się w większym niż dotychczas stopniu uwzględnić stany przeJŚc1owe w obwodach elektrycznych, wprowadzając obok metody klasycznej metodę. oper~torową oraz transmitancję operatorową. Stworzono przez to pomost

1

do stu~1?wa-?1a podstaw automatyki oraz zautomatyzowanego napędu elektrvcznego. ~s1ązka Je~t pomyślana jako podręcznik porlstawowy dla studentów jednolitych studiów 1?ag1sterskich wydziałów nieeleK+rycznych i dlatego całość materiału przedstawiono w spos.ób. skon~en~owany. Czytelnicy pragnący· głębiej wniknąć w pos~czegól~e. z~gadnienta powinni korzystać z literatury specjalistycznej, podanej na koncu ks1ązkt.

Wielkości

Wielkością fizyczną

i jednostlti elel{tryczne

nazywa się cechę zjawiska fizycz.nego lub własność ciała,

którą można zmierzyć.

Jednostką wielkości fizycznej nazywa się dowolnie obraną wielkość fizyczną, której przyporządkowano liczbę jeden, np. jednostkami długości są 1 m, 1 km, a jednostkami czasu: 1 s, 1 min, 1 h. Po wyborze jednostki wielko.ści fizycznej, np. 1 [t] dla czasu, wszystkie mierzone okresy czasu można przedstawić jako wielokrotność tej jednostki:

t=t*[t],

(1.1)

gdzie:. t* -wartość liczbowa pomierzonego czasu, np. 8 s. W przypadku ogólnym dla wielkości fizyqznej N będzie: N= N*[N],

(1.2)

gdzie: N* - wartość liczbowa wielkości fizycznej N, 1 [N] - jednostka tej wielkości. Jeżeli tę samą wielkość fizyczną N przedstawi się za pomocą różnych jednostek 1 [N1] i 1 fN2], to (1.3)

Równanie (1.3) oznacza, że wartości liczbowe tej samej wielkości fizycznej, w różnych jednostkach, są odwrotnie proporcjonalne do zastosowanych jednostek. Układem jednostek nazywa się zbiór jednostek wielkości używanych w nauce i technice. Jednostki należące do danego układu można podzielić na niezależne jednostki podstaw owe oraz na jednostki pochodne, które określa się za pomocą jednostek podstawowych. wyrażone

21

We wszystkich ustanowionych do tej pory układach jednostek do jednostek podstawowych należy jednostka długości i czasu. Jako trzecią jednostkę podstawową przyjmuje się zwykle jednostkę masy. Do niedawna w fizyce powszechnie stosowano absolutny układ jednostek CGS, w którym jednostkami podstawowymi są: centymetr, gram i sekunda. Ograniczenie się do tych trzech jednostek podstawowych dla układu jednostek, obejmującego wszystkie gałęzie nauk.i, spowodowało szereg utrudnień i sprzeczności. Dlatego w 1960 r. XI Generalna Konferencja Miar w Paryżu przyjęła Międzynarodowy układ jednostek SI "' - uniwersalny dla wszystkich gałęzi nauk.i i techniki. Układ ten, w swej obecnej formie, składa się z siedmiu jednostek podstawowych (metr, kilogram, sekunda, amper, kelwin,mol i kandela), dwóch jednostek uzupełniających (radian i steradian) oraz jednostek pochodnych. Do ważniejszych zalet powyższego układu jednostek należy uniwersalność, logiczny związek w pomiarach wielkości mechanicznych, cieplnych, elektrycznych i innych oraz wybór dogodnych dla praktyki jednostek podstawowych i pochodnych. . :Układ SI_jest przy~ładem układu spójnego, tj. takiego, w którym w~półczyn­ n1k.i proporCJonalnośc1 k w podstawowych prawach fizycznych, służących do definiowania jednostek pochodnych, są równe jedności. Np. prawo Newtona 1' = kma Upraszcza się do postaci f = ma, a prawo Ohma U= kRI - do postaci U= RI. W praktyce często korzysta się z jednostek będących wielokrotnością jednostek danego układu. Nazwy tych jednostek, wielokrotnych i podwielokrotnych, tworzy się z nazw jednostek danego układu przez dodanie przedrostka 10". Przedrostki te mają następujące nazwy i oznaczenia: ek:sa peta tera giga mega kilo hekt9 deka

E P T G

M k h da

10-18 10-u 1012 109 106 103 102 10

decy centy mili mikro nano piko femto atto

d c m µ n p

f a

10-1 10- 2 10-s 10-6 10-9 10-12 10-16 10-1•

W Polsce układ SI został wprowadzony w życie od 1967 r. jako legalny układ jednostek na podstawie rozporządzenia Rady Ministrów z dnia 23. 6. 1966 r. Definicje jednostek podstawowych i uzupełniających układu SI są znane z fizyki. Dla wybranych wielkości elektrycznych i magpetycznych jednostki układu SI są zestawione w tablicy 1.1. Niektóre jednostki elektryczne i magnetyczne, nie wchodzące do układu SI, są dopuszczone do stosowania jako jednostki legalne, np. : dla energii dla gęstości prądu dla ładunku elektrycznego dla strumienia magnetycznego dla indukcji magnetycznej • Le systeme in~emational.

22

kilowatogodzina amper na milimetr kwadratowy amperogodzina makswel gaus

1 kW·h = 3600J

Tablica 1.1

Wyrażenie jednostek

Jednostka miary

Gęstość prądu

elektrycz..

n ego

2.

Ładunek

3.

Napięcie

4.

Natęt.enie

elektryczny

elektryc.zne, różnica potencjałów elektrycznych, siła elektromotoryc:ma pola elektrycz-

n ego

5. 6.

nazwa

o znacze nie

3

4

2

1 1.

Definicje i relacje między jednostkami

Wielkość

Lp.

Pojemność

elektryczna

,..Opór elektryczny

amper na A/m1 metr kwadrato wy

pochodnych za popodstawowych i uzupeł-

mocąjednostek niających

5

6

l A/m• = 1 A : 1m 2 1 A·m-•

kulomb

c

1C=1A·ls

1 A·s

wolt

V

lV=lW:lA

l m3 ·kg·1r·11 ·A-1

wolt na metr

V/m

1 V/m = J V: l m

1 m·kg•s--ll·A- 1

farad

F

lF=lC:lV

1 nr·•·kg-1 ·s4 ·A9

om

o

Hl=lV:lA

1 m•·kg•s--a·A-11

1 ma·kg·s-a·A-o l!l·m= = 1 0(1 m• : lm)

7.

Opór elektryczny właściwy

omometr O·m

8.

Pnewodność

elektryczna

simens

s

1S=1:10

1m-1 ·kg-1 ·s'·A 11

9.

Przewodność

elektryczna

simens na metr

S/m

1S/m=1 S: : (1m1 :1 m)

1 m4 ·kg-1 ·s8 ·A•

weber

Wb

1Wb=1V·ls

1 ll";•·kg·s-•·A-1

'f

IT= l Wb: 1m1

1 kg·s-•·A-1

1A/m=1A:lm

1 A·m- 1

1 m•·kg·s-:11,A--s

właściwa

10.

Strumień

11.

Indukcja magnetyczna

tesla

12.

Natężenie

amper na A/m metr

magnetyczny

pola magne-

tycznego

13.

Indukcyjność

henr

H

IH=lWb:lA

14.

Siła

amper

A

amper jest

magnetomotoryczna

siłą

ma-

gnetomotoryczną

wywołaną w próżni przez prąd o natężeniu 1 A,

1 A/mm•= 10" A/m' l A·h = 3600C 1 Mx = 10-0 Wb lGs =10 4 T.

płynący

kniętrm

__

,

w zam-

obwocizie o jednym zwoju

1A

r 2.2.

Prąd

elektryczny

Prądem elektrycznym w dowolnym poprzecznym przekroju środowiska nazywa się ładunek przepływający przez ten przekrój w ciągu elementarnego czasu pod działaniem pola elektrycznego, tj.:

"

dq

z= dt.

(2.1)

Dla prądu niezależnego od czasu, zwanego prądem stałym:

Podstawowe pojęcia elel{trotechnilti

2.1.

Ładunek

elektryczny

Zgodnie z nowoczesnymi poglądami wszelkie zjawiska elektryczne można jako związane z ~łaściwościami budowy materii. Badania wykazały, że nośnikami elektryczności są znajdujące się w atomie cząstki elementarne elektrony i protony. Proton, należący do jądra atomowego, zawiera zawsze elementarny ładunek elektryczności dodatniej „+e", podczas gdy krążący wokół jądra po orbicie elektron - elementarny ładunek elektryczności ujemnej - „-e". Przez ładunek elektryczny rozumie się określoną liczbę ładunków elementarnych Q = ne. Jeżeli atom zawiera jednakową liczbę elektronów i protonów, co normalnie· ma miejsce, to na zewnątrz nie występują żadne zjawiska elektryczne; mówi się, że atom jest elektrycznie obojętny. Protony są mocno związane z jądrem atomowym, natomiast elektrony występują jako związane z jądrem oraz jako elektrony swobodne. Elektrony swobodne są łatwo uwalniane z atomu i mogą przechodzić do innych atomów. Jeżeli w atomie występuje brak elektronów, jest on naładowany dodatnio, przy nadmiarze elektronów swobodnych atom jest naładowany ujemnie. Naładowane dodatnio lub ujemnie atomy nazywają się jonami. Rozróżnia się następujące stany ładunków elektrycznych: - ładunki nieruchome i niezmienne w czasie, którym odpowiadają zjawiska elektrostatyczne, - ładunki w ruchu bądź zmienne w czasie, którym odpowiadają zjawiska prądu elektrycznego. traktować

(2.2)

gdzie: Q - ładunek w kulombach, t - czas w sekundach. Jednostką prądu elektrycznego jest amper [1 A], określony na ~odstawie elektrodynamicznego działania prąd~ (wzór 6.9). Należy on do sze~c.m podstawowych jednostek fizycznych w układzie międzynarodowym SI. DefintCJa ampera w tym układzie jednostek jest następująca: . . . . Amper jest natężeniem prądu elektrycznego me ulegającego. ~dnym zmianom: który przepływając w dwóch równoległych przewodach prost?lm1owych o długo~c~ nieskończonej i o przekroju okrągłym znikomo małym, umieszczonych w prózm 7 w odległości 1 m od siebie, wytwarza między tymi przewodami siłę, równą 2 · 10- N na każdy metr długości przewodu. . . . W praktyce używa się również jednostek pokrewnych wynikających z dziesiętnych wielokrotności ampera, np.: 1 kA= 108 A, 1 mA= 10-a A. . Dla celów praktycznych wprowadza się pojęcie gęstości prąd~. Gęstością prą
Przy nierównomiernym rozkładzie prądu w przekroju poprzecznym środo-

wiska: di

J= dS'

z równania

(2.4)

(2.1) można otrzymać wyrażenie na ładunek elektryczny: Q=

Jidt.

(2.5)

Jednostką ładunku jest amperosekunda 1 A· 1 s = 1 A· s, zwana kulombem [1 CJ. Kulomb jest ładunkiem elektrycznym przenoszonym w ciągu 1 s przez prąd 1 A. Elementarny ładunek elektronu wynosi:

e = - l,602· 10- 11>c.

25

r

........................„„„„......

·-----------------------------------~„„

i

,·Kulomb jest zatem ładunkiem 6,24· 1018 elektronów. Dla celów praktycznych używana jest jednostka zwana amperogodziną [1 A· h = 3600 C]. Prąd elektryczny nie może być bezpośrednio rejestrowany przez organy zmysłów, jak np. prąd powietrza lub wody. Jego istnienie poznaje się ze zjawisk, które mu towarzyszą. Zjawiska te są następujące: a) przy przepływie prądu powstaje zawsze pole magnetyczne, b) przepływowi prądu towarzyszą zjawiska cieplne, c) przy przepływie prądu jonowego w elektrolitach występuje wyrnia,na materii.

c.d

Nazwa

Rezystancja Reaktancja a) symbol ogólny

2.3r Obwód elektryczny

b) reaktancja indukcyjna

Prąd elektryczny może płynąć tylko wzdłuż drogi zamkniętej, która nazywa się obwodem elektrycznym. Obwody elektryczne dzielą się na nierozgałęzione i .rozgałęzione. Najprostszy nierozgałęziony obwód elektryczny przedstawiono na rys. 2.1. W skład tego obwodu wchodzą: źródło energii (prądnica), odbiornik (żarówka), przewody łączące źródło z odbiornikiem oraz wyłącznik.

c) reaktancja

pojemnościowa

Połączenie stałe

Xe

--et- lub--~ I-

"

Połączenie rozłączne.

Zacisk

o

Przewód. Symbol ogólny Skrzyżowanie

pu.ewodów a) bez połączenia

2

Rys. 2.1. Obwód elementarny: 1 - źródło energii (prądnica), 2 biornik (:żarówka), 3 - przewód łączący, 4 wyłącznik

b) ze

od-

8

W celu graficznego przedstawienia obwodów elektrycznych stosuje się schematy elektryczne, w których poszczególne elementy obwodów są owaczope i połączone określonymi umownymi symbolami graficznymi. Ważniejsze symbole graficzne używane w podręczniku są zestawione w tablicy 2.1.

stałym połączeniem

Rozgałęzienie przewodów

a) z

połączeniem stałym

b) z

połączeniem rozłącznym

I

I

T

Uziemienie Połączenie

z korpusem

(masą)

Nastawność

a) symbol ogólny

Tablica 2.1 Niektóre symbole g:raficme stosowane

w elektroteclmfce b)

ciągła

c) skokowa Prąd stały. Napięcie stałe

Biegun dodatni Prąd przemienny. Napięcie przemienne

Biegun uJemny

Prąd stały lub przemienny. Napięcie stałe lub przemienne

Galwaniczne

źródło napięcia

Prąd tętniący Łącznik.

Symbol ogólny

Impedancja Bezpiecznik

26

+

2.1

'Kulomb jest zatem ładunkiem 6,24 · 10111 elektronów. Dla celów praktycznych używana jest jednostka zwana amperogodziną [l A· h = 3600 C]. Prąd elektryczny nie może być bezpośrednio rejestrowa:ny przez organy zmysłów, jak np. prąd powietrza lub wody. Jego istnienie poznaje się ze zjawisk, które mu towarzyszą. Zjawiska te są następujące: a) przy przepływie prądu powstaje zawsze pole magnetyczne, b) przepływowi prądu towarzyszą zjawiska cieplne, c) przy przepływie prądu jonowego w elektrolitach występuje wymiana materii.

c.d tablicy 2.1

Nazwa

Rezystancja Reaktancja

X

a) symbol ogólny

~-

lub,.JVYL.

b) reaktancja indukcyjna

2.3r Obwód elektryczny c) reaktancja

elektryczny może płynąć tylko wzdłuż drogi zamkniętej, która nazywa się obwodem elektrycznym. Obwody elektryczne dzielą się na nierozgałęzione i .rozgałęzione. Najprostszy nierozgałęziony obwód elektryczny pr:ledstawiono na rys. 2.1. W skład tego obwodu wchodzą: źródło energii (prądnica), odbiornik (żarówka), przewody łączące źródło z odbiornikiem oraz wyłącznik.

pojemnościowa

Prąd

Xe --c:t-tub

-n--

„

Połączenie stałe

Połączenie rozłączne. Zacisk

o

Przewód. Symbol ogólny Skrzyżowanie

przewodów a) bez połączenia b) ze

2

Rys. 2.1. Obwód elementarny: 1 - źródło energii (prądnica), 2 biornik (żarówka), 3 - przewód łączący, 4 -- wyłącznik

od-

8

W celu graficznego przedstawienia obwodów elektrycznych stosuje się schematy elektryczne, w których poszczególne elementy obwodów są oznaczope i połączone określonymi umownymi symbolami graficznymi. Ważniejsze symbole graficzne używane w podręczniku są zestawione w tablicy 2.1.

stałym połączeniem

Rozgałęzienie przewodów

a) z

połączeniem stałym

T

b) z

połączeniem rozłącznym

l

J_

Uziemienie Połączenie

""7

z korpusem (masą)

l.

Nastawność

a) symbol ogólny

Tablica 2.1

Niektóre symbole graficzne stosowane w elektroteclmlce

b)

ciągła

c) skokowa Prąd stały. Napięcie

Prąd

przemienny.

Prąd stały

26

stale

Napięcie

lub przemienny.

Biegun dodatni przemienne Napięcie stałe

Biegun

lub przemienne

+

u~emny

Galwaniczne

Prąd tętniący

Łącznik.

Impedancja

Bezpiecznik

źródło napięcia

Symbol ogólny

- I+ --ar-

2.4.

Napięcie

elektryczne

Jak już wyjaśniono, istotą prądu elektrycznego jest ruch ładunków elektrycznych. Powstaje zatem pytanie, jaka wielkość fizyczna wprawia ładunki w ruch? Z fizyki wiadomo, że w otoczeniu ładunków elektrycznych powstaje pole elektryczne, które zawiera energię. Przy przemieszczeniu ładunków pod działaniem sił pola elektrycznego jest wykonywana praca kosztem energii pola.

Nazwa ogólny Dioda. Prostownik Dioda Zenera

Rys. 2.2. Przemieszczenie elektrycznym

ładunku

a -B A o-----6};-----o

elementarnego w równomiernym polu

~l------1

Fotodioda

Wielkość określająca ~tosunek

pracy wykmianej przy przemieszczeniu ładunku Q dwoma punktami pola (A, B) do przemieszczanego ładunku (rys. 2.2) nazywa się napięciem elektrycznym między tymi punktami. Napięcie elektryczne: między

Dioda luminescencyjna

Dioda tunelowa

u

Warikap Tranzystor

jeżeli ładunki

napięcie źródłowe,

elektryczne pobierają energię ze źródła napięcia, to zwane również silą elektromotoryczną (SEM): E=

Tranzystor polowy złączony

b)

jeżeli ładunki oddają energię,

również

,spadkiem

Silnik prądu przemiennego. Symbol ogólny Żarówka

Uszkodzenie izolacji. Zwarcie

to ma miejsce

u-

® ® ® ® 0

WYStępuje

(2.6) napięcie

odbiornikowe, zwane

napięcia:

Tyrystor

Silnik prądu stałego. Symbol ogólny

Wpob

Q '

Tranzystmy polowe z izolowaną elektrodą sterującą

Prądnica prądu przemiennego. Symbol ogólny

Q

Ze względu na bilans energii rozróżnia się dwa przypadki:

a)

Prądnica prądu stałego. Symbol ogólny

w

wodd

Q

(2.7)

.

Z fizyki wiadomo, że ładunki elektryczne są źródłem pola elektrycznego. Nadwoma punktami w polu elektrycznym jest jednoznaczne z różnicą potencjałów elektrycznych między tymi punktami:

pięcie między

UAB

=


=

JEdl- JEdl = JEdl. A

B

(2.8)

AB

Wychodzący

ze źródła impuls napięcia rozchodzi się z prędkością światła, podczas gdy same elektrony poruszają się z małą prędkością rzędu 1 mm/s. Ruch elektronów, dzięki dużej prędkości impulsu napięcia, następuje praktycznie jednocześnie z tym impulsem. W obwodzie otwartym strumień elektronów płynąć nie może, jednak istnieje stała gotowość elektronów do ruchu, który nastąpi natychmiast po zamknięciu obwodu. Mówi się, że oba końce przewodów (zaciski) są „pod napięciem".

29

Jednostką napięcia jest wolt [1 VJ. Jest to takie napięcie kt6 · . energii 1 dżula, przypadającej na ładunek I kulomba. ' re występu3e prny w celu ujednolicenia budowy źródeł i odbiorników d malizowane wartości napięcia. Dla odbiorów małej m prą ~ w~row~dzo110 znorwartości 2, 4, 6, 8, 12, 24 40 i 80 V Dla odb. 6 ocóyl o. o~1ązu3ą zasadniczo , · ' · · 10r w og neJ sieci zd · l · 11O• 220 1 440 V dla prądu stałego oraz 220 i 380 V dl . r~ zie czeJ ·przeąyłu energii na duże odległości stosuie się . . a prąd~ przemiennego, Dla ~ , nap1ęcm wysok1e llO, 220 i 400 kV. r

prądu

i

nai;iięcia

elektrycznych . za pomort'ł st łk' . 1· . bNa schematach . , prąd oznacza się 1cz oweJ, przy czym przepływowi . d d . . ~"t rza t 1 wartości dodatnie wartości liczbowe a ;_~ą.ł~ zgo. nie ze ~wrotem strzałki przypisuje się ~jemne wartości liczbowe. i.'lko ~wr:t ywo;1 przeciwne~~ do z~rotu strzałki -~ Jęto umownie zwrot według któ prą u ? w.artośc1 hczboweJ dodatniej przyelektrolizy roztworó~ "olnych i{uecgho plokruszaJóą się dodatnie jony metalu podczas " ·· ee tron w w przewodn'k 1· 1 z t ego powodu zwrot przeciwny. . u meta icznym ma

a)

Rezystancją nazywa się idealny element elektryczny, w którym zachodzi jednostropna zamiana energii elektrycznej na energię cieplną według relacji:

w= RJ2t .

-

E

(2.9)

Należy zaznaczyć, że termin rezystancja (op6r elektryczny) i odpowiadające jej umowne oznaczenie R stosuje się do oznaczenia samego elementu, w którym zachodzi nieodwracalny proces dyssypacji (rozpraszania) energii elektromagnetycz;nej, jak również do ilościowego oznaczenia wielkości równej stosunkowi napięcia na danym elemencie do prądu przepływającego przez ten element: ,

~=R i .

(2.10) I

Formuła (2.10) wyraża prawo Ohma, odkryte doświadczalnie w 1826 r. Zależność między prądem a napięciem może być przedstawiona również w po-

staci: i

u

=G,

(2.11)

gdzie:

b)

(2.12)

R Wielkość G nazywa się konduktancją (przewodnością elektryczną).

--------·-

Jednostką rezystancji jest om [1 O], a jednostką konduktancji

ruch e!ekt!'onów Rys. 2.3. Zasada strzałk

Ohma

lV lf!=lA'

· · owama prądu I napięcia: a) źródło napięcia, b) odbioruik

Źródło napięcia ma dwa bieguny ·-dod•t· . . . . . matach znakami +"i p . b' ',tm UJemny, oznacza.ne na " · rzez iegunowosć napi ?da c~ przez zwrot napięcia; mówi s.ię np., że 11 . cit' ~· to samo,

b1egunow~ść napięcia doprowad~onego do~)b~odu

Aby n.ie P?Pełniać błędu w odczytvwa i ,n .u s..,h~matów elektrycznych, system. napięcia Jak i w odbiornikacl~ str·załkn hyc Jednohty, tzn. zarówno w źródłach t ' a zwrotu napi,~cia p · · b , w ę samą stronę, a więc grotem w stro . '<'. • owmna yc zwrócona W większości podręczników prz . t nę wzrostu lub spadku potencjału. zwrot :napięcia źródłowego jest zg y~ę o prJ~ade~ pierwszy, wobec czego dodatni zwrot napięcia odbiornikowego jes~ ;;ze~iwo a~1~ ~wro~em prądu, zaś dodatni Na rys. 2.3 przedstawiono r fi . . ny o o atniego zwrotu prądu. i napięcia. g a cznre oprnaną wyżej zasadę strzałkowania prądu

zna~o':"a~m zwrotu napięcia owinie. .

I"

:

•

W niektórych podręcznikach nie strzałk . . . . za pomocą odcinka z dwoma ostrzam. ~e, się zvxrotu nap1ęc1a, oznaczając je prowadzi to do nieporozumień al I oncach. W schematach prostych nie może być przyczyną omyłek ~ o~c:ytsc_ em.atachh skomplikowanych brak strzałek ywamu se ematów elektrycznych.

:a

simens [1 S].

lA lS=1v·

Om jest to rezystancja istniejąca między dwoma punktami przewodnika, gdy napięcie 1 V, panujące między tymi punktami, wywołuje prąd 1 A. Związek określający rezystancję z zależności od napięcia i prądu można przed·· stawić graficznie jako charakterystykę prądowo-napięciową tej rezystancji. W wię· kszości przypadków wartość rezystancji jest niezależna od prądu i napięcia. Charakterystyka prądowo-napięciowa jest wtedy linią prostą, a rezystancja nazywa się rezystancją liniową. Dla rezystancji liniowej przebiegi czasowe prądu i napięcia są do siebie proporcjonalne. Jeżeli charakterystyka prądowo-napięciowa nie jest li!lią prostą, to rezystancja zależy od prądu i napięcia i nazywa się rezystancją nieliniową. Charakterystyki prądowo-napięciowe przedstawiono na rys. 2.4. Rezystancja przewodu jest tym większa, im większa jest jego długość I i im mniejszy przekrój poprzeczny S. Te zależności można zapisać za pomocą rów- · nania: (2.13)

Współczynnik proporcjonalności /2 jest stałą, której wartość zależy od rodzaju materiału przewodu. Stała ta nazywa się rezystywnością materiału lub oporem

30

31

właściwym. Jednostką oporu właściwego jest I Q •m. W praktyce używa się często jednostki pokrewnej, dostosowanej do W}'miaru przewodów. Jest nią I -.O·mm Wielkość odwrotna nazywa się konduktywnością lub przewodnością właściwą.m 2

a)

Tablica 2.2 R ezystywność, przewodników

b)

u

konduktywność,

Nazwa przewodnika

u

Konduktywność

w temperaturze ?.93 K (20°C)

w temperaturze 293 K (20°C)

0.·mm'/m

m/0.·mm•

Jednostką konduktywności

. I R=-. yS jest 1 S · m- 1 lub 1 S · mm/m

Mosiądz

(2.14)

Nikiel Nikielina

•

wartości rezystywności konduktYwności niektórych trzyZgrupy: punktu widwnia przewodzenia prądu elektrycznego materiały dzieli się na 2

W tablicy 2.2 podano materiałów mających zastosowanie w elektrotechnice.i

Ołów

Platyna Rtęć

Srebro Stal Wolfram

a) przewodniki, b) nieprzewodniki, c) półprzewodniki.

są materiały rezystywności, przewodzące łatwo prąd wpływem przyłożonego napięcia. się materiały, przepływ prądu należą węgiel. mają dużą liczbę około się również materiały, przepływ prądu należą Nieprzewodniki są to materiały mające tylko nieznaczną liczbę elektronów swobodnych, wskutek czego praktycznie prądu nie przewodzą. Dlatego używa się je jako materiały izolacyjne. Należą do nich gazy, oleje oraz ciała stale z wyjątkiem przewodników. W elektrotechnice jako materiały izolacyjne stosowane są najczęściej:gatunki płótnapapierów, bawełniane,mika, jedwabne, szklane, azbestowe, porcelana, olej, guma, różne igelit itp. Półprzewodniki, w których przenoszenie ładunków odbywa się przez ruch elektronów, mają pośrednią zdolność przewodzenia prądu: w pewnych warunkach zachowują się one jak izolatory, w innych jak przewodniki. Ich przewodnictwo

32

Współczynnik

temperaturowy rezystancji 1/K 0,0039 0,00015 0,0044 0,0037 0,000064 0,00003 0,00008

0,0283 1,1 0,12 0,063 1,49 0,48 0,44

35,3 0,91 8,33 15,9 0,672 2,1 2,3

0,0168 0,0185+0,0175 0,08+0,07 0,091 0,5 0,21 0,111 0,958 0,016 0,1+0,5 0,055 2,0: 5,0

59,4 54,0+57,0 12,5-;-14,3 11,0 2 4,8 9,0 1,044 62,5 2,0+10 18,2 0,2+0,5

I I

Miedź

(chem. czysta) Miedź przewodowa

Przewodniki to o malej pod Do przewodników zalicza w których polega na ruchu elektronów swobodnych (przewodnictwo elektronowe). Do tej grupy metale i Metale bardzo elektronów swobodnych, IO" w cm'. Do przewodników zalicza w których polega na ruchu jonów naladowanych dodatnio lub ujemnie
I

różnych

.

Aluminium Chromonikielina Cyna Cynk Kanthal Ai Konstantan Ma11ganin

Zgodnie (2.13) rezystancja matcriahi w Z11"źnofoi od przewodności właściwej maz równaniem postać następującą:

rezystancji

temperaturowy

Rezystywność

,_ I

wspó łczynnik

żeliwo

0,00393 0,00393 0,0013+0,0019 0,0044 0,00028 0,004 0,00385 0,0009 0,0041 0,0052 0,0046 0,0052 l

I

I

kó fizy cznych, jak np. czyJU? "'! tki - selen, german, . pod wpływem różnychależą · nia się · pierwias 6w n elektryczne zm1e o . z niektóre siarczki. I. węgŚ iatło temperatura. D Pl. alkalicznych, uranu ora w ' . · dzi meta 1 .

ółprzewodnik

nabrały konł

krzem: tlenia mte , . lkie o znaczenia techmcznego I rzewodniki wte g kc" ach prostowmków, liki ostatnich .latach pó p 'e w miniaturowych sdtruó itp. Na d zastosowani . ych uk a w ze u na bT atorów, log1c:m , ó"nycb wzmacniaczy, sta .1 IZo raficznie opory właściwe r z . . ·ep'!'zewodniki(izo/afof'!J) rys. 2.5 przedstaw1on g dniki p6fpnewadmk1 ni „I przewo

W

wzglę

układów

I„ 10-4 "I,.o

iI

1

materiałów.

„, . .

101

108

I

srebro i 1 tlenekk . d'z plaf11na kf'zem m1e a german cyn u · łów elektrotech m·cznych Rys. 2·5· Rezystywności. materia · 3 _ Elektrotechnik a l elektronika

~automatyki

1012

i

szLo

i

1010

i

i

1020.Q cm

i

i

1 p~a0!a~inoW/I ,., "

a

33

Rezystancja materiału zależy nie tylko od wielkości występujących w równaniach (2.13) i (2.14), ale również od temperatury. W praktyce przyjęto podawać wartości rezystancji dla temperatury 293 K (20° C). Jeżeli temperatura odbiega od 293 K, to występuje przyrost rezystancji !!..R, który wynosi: (2.15) gdzie: a - temperaturowy współczynnik rezystancji, MJ - przyrost temperatury w stosunku do 20° C. Temperaturowy współczynnik rezystancji a jest to względny przyrost oporu przy wzroście temperatury o I K. Jego wymiar wynosi K-1• Współczynnik a zależy również od temperatury, jednak dla temperatur występujących w elektrotechnice przyjmuje się wartość ,a odpowiadającą 20° C. W wielu przypadkach błąd spowodowany takim założeniem jest niewielki. Wartości temperaturowych współczynników rezystancji przy 293 K dla nie.któi:ych materiałów podano w tablicy 2.2.

Rezystancję zależną

od temperatury

określa się

z

wyrażenia:

lub

. , zu'e wałtowny spadek rezystancji w pobliżu Pewna liczba matenałow wyka..J g k UJ·e opór równy zeru przy 1,1 K, (o K) Np aluminmm wy az b' zera absolutnego . . N 2 7 przedstawiono typowy prze ieg recynk przy O, 79 K,. rt~ć przy 4 K. ahry~'. a~isko to nazywa się nadprzewodnictw_em zystywności przy niski~~ temper.a~~~:~~la~ło ono szerokiego zastosowania techmczelektrycznym. Do c~w1lt o?ecneJ . w wielu dziedzinach specjalnych. Zastos~: nego jednak ostatmo nabiera znaczeni~ . transformatory wytwarzanie energn które zbadane, (mhd) W generatorach magnetohydrodynam1cznyc f: 'owych oraz wielkie elektro. d bkich maszyn cy r przesyłowe, części skła .ow~ ~zyfiz k' ielkich energii. O wiele większe znacze~e· magnesy do badań w dz1edzoue y i ~ Nadprzewodniki mogą przenosić silnik przewodniki, co pozwala znacznie większe gęstości ~rądu. a~i~eh kon . , JPoza tym dzięki uzyskaniu pola radykalnie zmniejszyć wynu~ry t c1ę~ar .uzwoJen~aje możliw~ść eliminacji ciężkiego, magnetycznego o bardzo duzym natęzenm, pows stalowego rdzenia magnetycznego.

wani~,

zostały już

będzie miał

ob~JffiUJh

elektr~energetyczne układy

nadprzewo.~n! ow:~nc'onalne

(2.16)

R = Ra0(l + a2o L\-0) .

2.7. Moc i praca

Zależność (2.16) jest często wykorzystana w elektrotechnice do wyznaczenia przyrostu temperatury uzwojeń urządze1'i elektrycznych, jeżeli zostanie pomierzona rezystancja uzwojenia w stanie zimnym i w "stanie nagrzanym. Taka metoda nazywa się metodą oporową· pomiaru przyrostu temperatury uzwojeń. Niektóre półprzewodniki, szczególnie tlenki manganu, niklu~ miedzi i kobaltu, ujemny temperaturowy rezystancji, tj. ich rezystancja spada gwałtownie ze wzrostem temperatury. Materiały te są znane.jako termistory. elementy termometrów oporowych. Charakterystyka i stosowane jako bardzo R = f(t) dla typowego termistora jest pokazana na rys, 2.6. . Dodatni temperaturowy współczynnik rezystancji mają pozystory. Są to elementy ceramiczne wykonane z modyfikowanego tytanianu baru BaTi0 •. Stoso3 wane są między innymi jako czujniki do zabezpieczania silników elektrycznycl1 od przeciążeń. Charakterystyka pozystora jest przedstawiona na rys. 2.6.

wykazują duży

współczynnik

prądu

elektrycznego

.

Pojęcie

. .. . e wsz stkich dyscyplinach nauk przyrod~imocy I energn występ.uje w . ~ nergię ma zdolność wykonama · domo że ciało zawierające e e er ii względem czasu. . czych, przy czym. ~ta . . ' Pracy. Moc definmJe się Jako p~ch?dną . n g nergii ciała przy jej przenoszenm . . 'i rozumie się zmianę e Przez zmianę energi . . zamianie z jednej postaci na mną: z miejsca na miejsce lub przy Jej

czułe

dW p=dt. . Jes . t Energia

całką

mocy

względem

(2.17)

czasu: t2

W=

f pdt .

(2.18)

t1

Jeśli

moc w funkcji czasu nie ulega zmianie, to:

w

P=-

(2.19)

W=Pt.

(2.20)

t

oraz

Rys. 2.6. Charakterystyki R ,,_, f(łJ): 1 - termistora, 2 - pozystora

o

T[K]

Rys. 2. 7. Typowy przebieg rezystywności w niskich temperaturach

że każdym

prądowy~

. . . . . w obwodzie Przy definiowaniu napi~ia wyjaśmon:, i cia następuje pobór pewnej posta~~ ma miejsce wymiana energu .. W źródle n p ę odbiorniku - oddawanie energu 'i energii i zamiana na energię el~ktryczną, w . elektrycznej. ź ródła i zamiana na . .mną postać . · energt . Z równań (2.6) i (2.7) wymkaJą wyrazema. _ dla energii pobranej Wpob = EQ' _ dla energii oddanej Wodd = U Q ·

,.

35

Jeżeli ładunek a energia

przedstawi

całkowita:

się

zgodnie z

wyrażeniem

dWodd = uidt,

(2.1) jako dq = idt, to: (2.21)

ta

wodd

=

J uidt .

J . . /1 . (2.22) . . ez~b u oraz i są niezależne od czasu ( mu3e się: u - U, 1 = /), to z wyrażenia (2.22) otrzyWodd = Ult. ?'dy. uwzględni się zależności wynika. ce (2.23) odbtorruka o rezystancji R energia wyn~s~: z prawa Ohma, to dostarczona do

W= Rl2t

lub

(2.24)

u2

W=-t R . . (2.24a) ezność (2.24), równoważna zależności (2 9) . Jednostką energii w układzie SI 'es . . ' nosi nazwę prawa J oule'a. J t dzu/ l1 JJ; wg równania (2.23): lV·lA·ls=lW·s=lJ Zgodnie z równaniem (2 19) . . . . przez odbiornik, wynosi: . przy uwzględrueniu (2.23) moc elektryczna, pobrana

Obwody prądu stałego

Zal .

P= UJ. Jeżeli do równania (2 25) . . (2.25) to b . · wprowadzi się rezyst · R moc ędzte wynosiła: anCJę według wzoru (2.10),

u2

P=R=Rl2. Jednostką

m

(2.26)

· ocy Jest wat; wg równania (2.25):

lW=lV·lA. Moc jest podst . . awowym parametrem masz . , ruewaz praca wykonana w jedn t .yn t urządzen elektrycznych powszystkim jegó użytkownika. Dla ~:~:nt~~su _przez urz~dzenie interesuje p~zede mocy znamionowej. Jest to moc na kt~ Ja meporozum1eń wprowadza się pojęcie zostało zaprojektowane i zbudo~ane. rą maszyna lub urządzenie elektryczne

3.1. Podstawowe prawa i własności obwod6w Elementami elektrycznymi wchodzącymi w skład obwodów elektrycznych są: a) elementy aktywne, tzn. źródła energii elektrycznej, np. akumulatory, prądnice itp., b) elementy pasywne, ·w których energia elektryczna jest gromadzona lub pobierana i przetwarzana w inny rodzaj energii. Elementami pasywnymi są oporniki, kondensatory oraz cewki indukcyjne. Prawo Ohma pozwala wyznaczyć zależności występujące w elementarnym (nierozgałęzionym) obwodzie elektrycznym. W praktyce często występują obwody rozgałęzione mające więcej niż jeden zamknięty obwód prądowy. Obliczanie tych· obwodów stało się możliwe dzięki prawom Kirchhoffa, ogłoszonym w 1880 r. Przed podaniem tych praw należy jednak, w celu dokładnego ich zrozumienia, zdefiniować kilka terminów używanych w analizie obwodów elektrycznych. W obwodach elektrycznych występują gałęzie, węzły oraz oczka. Gałąź jest to zbiór szeregowo połączonych ze sobą elementów elekfrycznych, posiadająca wyprowadzone na zewnątrz dwie końcówki. Węzeł jest to punkt (zacisk) obwodu elektrycznego, w którym stykają się conajmniej trzy gałęzie. Oczko, czyli kontur, jest to zbiór połączonych ze sobą gałęzi tworzących drogę zamkniętą dla przepływu prądu. Obwód o jednym oczku jest obwodem nierozgałęzionym, zaś obwód o kilku oczkach - obwodem rozgałęzionym. Obwód rozgałęziony zwany jest również układem lub siecią elektryczną. Podstawowymi prawami obwodów są prawa Kirchhoffa.

37

3.1.1. I prawo Kirchhoffa

Prawo t~, ~nikają~ z zasady zachowania ładunku

w~zlowym sieci algebraiczna suma prą-r'ó ó w w r wna

lub krócej . . 'głosi, ze w każdym punk .

. się zeru:

cie

n

})l,=O. . Po.rueważ

w żadnym pu-1, · o bwodu pr d d k 1 tll\.Cle . .une e.ektryczny, więc suma prądów dopły ą .owego .rue może gromadzić się łas1ę sum~e prądów odpływających od t Wających do punktu węzłowego równ do w ' ozna prawo to wyrazić matematycznie Jak~: p Wające od węzła - za

węzła z=g~of~x:!:u~ P~zyimuj~c k

l

każdej chwi~

W celu poprawnego zapisu II prawa Kirchoffa dla konkretnego oczka należy przyjąć dowolny obieg oczka, np. zgodny z obiegiem wskazówek zegara. Zwroty 11apięć źródłowych są ZJiane, a zwroty napięć odbiornikowych zakłada się dowolnie. W ten sposób dla oczka przedstawionego przykładowo na rys. 3.2 otrzymuje się zgodnie z równaniem (3.4a) dla obranego kierunku obiegu: -El- U1-E2+ V2+Es+ Us+ U,= O.

Dla węzła przedstawionego na rys.

Jeżeli w ~niku obliczeń sieci niektóre napięcia odbiornikowe uzyskają wartość ujemną, to oznacza, że ich zwroty są przeciwne założonym zwrotom, czyli że prądy w odpowiednich gałęziach płyną przeciwnie niż założono.

3.1 otrzymuje się:

8

n

Ii+l.4 +18 ,

3.2. Upraszczanie i przekształcanie obwodów rozgałęzionych

prawo Kirchhoffa

3.2.1. Szeregowe i równoległe łączenie rezystancji

Prawo to wynika z zas d (rys. 3.2) ruchom ł .a Y zachowania energii. W zamk .

::fJ jąkodhior~k:,::~~:.~:~~~~=,:0~:rają energię ze ~Zi:i ;~;~~~·i •:c;;:'.

;:::=~tj~ :~~~=::i~::::; ~i:: oj!;~~':(.,~~~ .;;:re•::;:c~:mo::~~~ · ozna to J1ego obi' . zapisać.·

zamk.ruętego

k

egu wynosi

Jeżeli w obwodzie prądowym ZJiajduje się kilka rezystancji połączonych szeregowo (rys. 3.3), to rezystancja zastępcza jest sumą poszczególnych rezystancji: n

R=

Ri+Ra+„.+ Rn= _l; R,.

= O.

Z równania (3 3) . i · wymka II prawo Kircho.ffa: k

I

}) E,- }) Uµ = O 1

(3.3)

1

(3.4)

(3.5)

•-1

I

~ E,Q- }) UµQ

38

Rys. 3.2. Oczko sieci elektrycznej

(3.2)

1

Rys. 3.1. Węzeł sieci elektrycznej

3.1.2.

Słownie Il prawo Kirchoffa można sformułować następująco: W oczku algebraiczna suma napięć źródłowych i odbiornikowych równa się zeru.

I

2)1.=2)1µ.

...f1 /, =

(3.4a)

(3.1)

•=l

~J:~~:ej ~r~dy dopływające

_l; (E, U)= O.

łE~~I l_ji~----~ R1

R2

Rn

Rys. 3.3. Szeregowe połączenie rezystancji

39

Rezystancja zastępcza R jest to taka rezystanc·a k ó poszczególnych rezystancji nie powoduje zmian J 'r ~~a Dla dowolnej rezystancji R, obowiązuje pra~!

wprowad~ona na miejsce

Zastępując konduktancje rezystancjami, otrzymuje się:

6hm:: obwodzie.

U,= R,I. Napięcie źródłowe E rozdziela si ności: ę na poszczególne rezystancje według zależ-

!_=~+_!_+ ... +_!_=fi_!_. R R Ra Rn L..J R.

(3.11)

•-1

1

Według równania (3.11) rezystancja zastępcza dwóch równolegle połączonych odbiorników przedstawionych na rys. 3.6 wynosi:

(3.12) (3.6)

Przy

połączeniu

prąd I, a więc:

szeregowym przez ·wszystkie oporniki przepływa ten sam l= U1= U2_

R

Un

R-„.R-. ~

1

(3.7)

n

Dla dwóch oporników otrzymuje się z równania (3 .7) U1 U2 - = lub U1 = Ri Ri R2 U2 R2 •

.

zw1ąze

.

(3.8)

R1

~+~=~+~·

~~

Jeżeli w obwodzie prądowym zna"d · · . legie (rys. 3.5), to zgodnie z równani~;J(2 s~i)k1lkad rezystancji połączonych równo. prą Y płynące przez gałęzie równo-

lub

(3.14) czyli prądy płynące w gałl;ziach równoległych są odwrotnie proporcjonalne do rezystancji lub wprost proporcjonalne do konduktancji tych gałęzi. Jest to tzw. reguła dzielnika prądowego. Prąd w gałęzi 1 jest proporcjonalny do konduktancji G1 , zaś prąd całkowity jest proporcjonalny do zastępczej konduktancji G = G1 + G2. Zatem stosunek tych prądów jest określony równaniem: G1 =

G=

sumy rezystancji poszczególnych

·

zatem konduktancja

n

G= G1+G2+„.+Gn = L.J "\1 G "• .... 1

40

G1 Ra G1 +Ga = Ri + Rs '

(3.15)

gałęzi. Wyrażenie Ri+R2 Ra jest współczynnikiem,

przez który należy mnożyć prąd całkowity I, aby obliczyć prąd / 1 •

R:ys. 3.5. Równoległe połącze­ me rezystancji

·

(3.13)

które można wyrazić następująco: w dzielniku prądowym prąd gałęzi ma się tak do prądu całkowitego jak rezystancja gałęzi, przez którą ten prąd nie płynie, do

i

legie mają się tak do siebie ·ak od

--

R1 l1 = R2I2

~

zastępcza jest sumą poszcz;g~lnych p~;~~~~:!jf:duktancje,

r, u

Ponieważ napięcia na obu odbiornikach są te same, więc:·

I

Rys. 3.4. Dzi~ik napięcia

I

o-l-~

k:

Równame · (3.8) oznacza, że przy szeregow ł . . poszczególnych rezystancjach mają się d:~i:b~ ąc~enm opor?tkó:W napięcia na Jest to tzw. reguła dzielnika napięcia Dla d . 1 ·~ Jak ?d~owtedme rezystancje. rysunku 3.4 obowiązuje również zal~żność: zie n1 a napięcia przedstawionego na U1

Rys. 3.6. Równoległe połączenie dwóch rezystancji

(3.10)

3.2.2. Połączenia równoważne gwiazda i trójkąt W praktyce łączy się często odbiorniki w „gwiazdę" lub w „trójkąt", co pokazano na rys. 3.7. Przez przekształcenie jednego z tych połączeń w drugie można znacznie uprościć obliczenie skomplikowanych obwodów elektrycznych. Przekształ41

cenia można. dokonać ów liniowych przy załozenm, · · ze · 0 ba połącz · . dla element . są równowazne, tzn. 7J?J wartości rezystancji znajdujących s · ·d . e~i~ zaciskami 12, 23 i 32 w obu układach są równe·. ię mię zy odpow1edmm1

R = R10R~o+ RaoRav+ RaoR10' 23

1

b)

1 R31

(3.18)

Rio =

R10R20+ R2oR3(1+ RaoR10 -------·---··-R20

3.3. Źródła energii elektrycznej 2

3.3.1. Źródła napięcia

Rys. 3.7. Połączenie: a) w gwiazdę, b) w trójkąt

Przekształcenia trójkąta na równoważn . . . . ć ~ gwiazdę dokonuje s1.ę następująco. . zna zauwazy ze w układzie . d . Rio ~ R2o są połączone szeregowo nato~iast ' . gwia.z owym rezystancje R12 Jest równoległa do szeregoweg~ ł . w układzie trójkątnym rezystancja zależności obowiązują dla innych po ąc~:a rezystancji Rs1 i R2s· Takie same stępujące związki: par zac1s w, wobec czego można napisać na-

uwzględniając zaciski 12 mo.

(3.16)

Rio =

Ra1_R_12__ R12+R2a+Ral'

R2o = ~:.R_2a__ R12+ Rza+ Ra1

'

Źródła napięcia mogą być konstruowane na zasadzie różnych zjawisk fizycznych, takich jak t1p.: a) dzrnłanie pola magnetycznego (prądnice elektryczne), b) działanie chemiczne (ogniwa galwaniczne, akumulatory), c) działanie cieplne (termoelementy), d) działanie świetlne (fotoogniwa). Ze względu na możliwość wytwarzaJ1ia wielkich mocy najbardziej rozpowszechnionymi źródłami są prądnice elektryczne. Nie będą one tu opisywane, ponieważ poświęcone im są specjalne rozdziały podręcznika. Wszystkie źródła napięcia charakteryzują się wspólnymi właściwościami, które zostaną omówione poniżej. Rzeczywiste źródło ma pewną rezystancję wewnętrzną Rw, np. prądnica elektryczna ma uzwojenie twornika, wykonane z przewodów miedzianych i rezystancja tego uzwojenia jest właśnie rezystancją wewnętrzną prądnicy. Każde źródło rzeczywiste można traktować jako element obwodu, mający wy~ prowadzone na zewnątrz dwa zaciski *. Gdy do zacisków tych zostanie dołączony odbiornik o rezystancji R, to w utworzonym elementarnym obwodzie elektrycznym popłynie prąd, który spowoduje powstanie na rezystancji Rw napięcia Rwl. Wobec powyższego napięcie :na zaciskach źródła będzie mniejsze od siły elektromotorycznej E i wyrazi się wzorem :

U=E-RJ. (3.17)

R2aRs1 R 30 _- -::-------=-R12+ R2a+ Ra1' Przy przekształcaniu gwiazdy na ró . . gwiazdo~e R10, R2o i Rao, a należy oblicz;:o:azny t.róJkąt znane. są rezystancje połączema trójkątnego. Można to r wnowazne :ezystancje Ri2, R2a i Ra1 Wynik będzie następujący: wykonać przekształcając układ równań (3.17).

(3.19)

Do rozwazan analitycznych wprowadza się pojęcie idealnego źródła napięcia. Jest to takie źródło, którego rezystancja wewnętrzna Rw = O, a więc wytwarza ono napięcie źródłowe równe napięciu na jego zaciskach (niezależnie od prądu) E = U = const. Źródło rzeczywiste można traktować jako szeregowe połączenie źródła idealnego z rezystancją wewnętrzną. W dalszym ciągu wywodów będzie zbadane zachowanie się źródła napięcia w elementarnym obwodzie elektrycznym (rys. 3.8) obciążonym rezystancją R. • Element mający dwa zaciski nazywany jest w teorii obwodów elektrycznych dwójnikiem. Źródło tworzy dwójnik aktywny, zaś odbiornik-· dwójnik pasywny.

42

43

Dla

ności:

napięcia i ·prądu, zgodnie z zasadą dzie· 1ni'k a napięcia, obowiązują zależ- ł i

ł

. a sprawność:

f ł

f

1

(3.20>

ł

I

I

(3.21>

I A

J ł

R

1

Rys. 3.8. Obwód elementarny

II

B · a.dając, że E = const oraz R = co . . prąd mozna wyrazić w funk „ w „ nst, napięcie na zaciskach źródł nab:)r~ą__tu tr~y przypadki ~~~z:~z:i~=~CJI obciążenia R. ~zczególnego zna~z~~~: - oo, jest to tzw. stan jalow k ó ź~ókdłahnie jest dołączony odbiornik yW, stt r~ ~łstępuje wtedy, gdy do zacisków cis ac osią · . · ame ja owym J _ o . . ga największą wartość U - ' a napięcie na zab - Uo zwaną napięciem J"alowlJm Z ó nia (3.19) wynika że U. - E · . ' o, wo ee czego n · · J • r wnamierząc napięcie jałowe U. . ap1ęc1e źródłowe E można wyz ć 2) R _ 0 . o' naczy zosta - ' jest to tzw. stan zwarcia; zachodzi don wtedy, ?,dy zaciski .źródła sta ~ązzwart.e (połączone bezpośrednio) prz ncj1. godnie z równa i (3 ewo em o pomIJalnie ł . płynie największy możli~ e;:.ąd .20) napięcie na zaciskach źródła U= Oi:a ź r~~r wynika, że: . 'zwany prądem zwarciowym ~.Z wyraienia (~.21)

I I l

l

Uo. I E Iz 2 2 ' = 2R =1· W stanie dopasowania źródło w d . . w •. która wynosi. Y aje do odb1ormka naJ'większą .. · · · . moz1iwą moc,

P2 = M

RJ2

= R

b oc po rana przez źródło wynosi:

(_!!__) E2 2R -2

_

w

w

(3.22)

1

Uo

R+Rw

1+ R/ R

1

l+Rw

Na rys. 3.9 przedstawiono

zależność prądu

w funkcji : . Jak wynika z rysunku,

i napięcia w jednostkach względnych

napięcie na odbiorniku zależy w dużej

mierze

w

od stosunku rezystancji odbiornika do rezystancji wewnętrznej źródła. Dla R ~ Rw ma miejsce praca w pobliżu stanu jałowego i napięcie zmienia się nieznacznie ze U I

1,0~-----­

Ua, Iz o.,81---f-~C-,+-

I

0,6~'-1--+-~+----ł-~

0,41-Pi.+--+-+---1---1 Rys. 3.9. Przebiegi tarnym

prądu

i

napięcia

w obwodzie elemen-

0,2 lł---t-~:::--14

1

6

R

I

I

(3.26)

R'

f

' I

(3.25)

Rw

8

to

biegjafowg

---- „

zmianą

rezystancji obciążenia. W sieciach miejskich i przemysłowych w czasie szc'.?ytowego napięcie spada znacznie poniżej wartości znamionowej, jako następstwo jednoczesnego włączenia dużej liczby odbiorników. Rezystancje tych odbiorników są połączone równolegle, wobec czego zastępcza rezystancja R znacznie maleje. obciążenia

Pt = (Rw+ R)/2 ~ 2R ( w

44

4Rw.

R

I I

!

(3.24)

U

I

I

U=~=

U=

ł

l=-·

.R '

2

elektroenergetyczne nigdy nie pracują w tych warunkach, ponieważ ze ekonomicznych nie można dopuścić do tak małej sprawności. Natomiast wiele obwodów telekomunikacyjnych musi pracować w stanie dopasowania, poiiieważ sygnał przez nie przesyłany ma małą moc. W obwodach tych 'Chodzi o przesłanie największej możliwej mocy, sprawność zaś ma niewielkie znaczenie. · W celu uogólnienia zależności przebiegu wielkości zmiennych, odnosi ~ię je często do stałych wartości tych wielkości. Otrzymuje się przez to bezwymiarowe zależności w tzw. jednostkach względnych. Zgodnie z powyższym napięcie i prąd według równań (3.20) i (3.21), przedstawione w jednostkach względnych, będą określone następującymi zależnościami:

ł I

E

z

P1

Układy

ł

:j

3) R __ . w (3.2la) - Rw, jest to tzw. stan d4 . tego przypadku . opasowama odbiornika do źródła . . . · . napięcia. Dla

1

względów

ł

Zakł

P2

'I}=-=-.

E_) - E22R 2

w

_

2Rw'

(3.23)

45

3.3.2. CbJtrakterystyki

prądowo-napięciowe

Pracę źródła można scharakteryzować jego charakter st k

charakterystyką zewnętrzną. W tym celu źródło zo

aktywny, dia którego:

_ yd y ą. U-: f (/), zwaną s ame prze stawione Jako dwójnik t

.

U= E--· R.,,.I = Uo- Rwl.

{3.27)

Charakterystyka zewnętrzna (rys 3 IO) . 't . . osie współrzędnych w punktach U. : · N J~s p~ostą opadającą, przecinającą 1 od rezystancji wewnętrznej źródła: o I z. ac y1eme charakterystyki jest zależne

t {J g

Cu Uo Cl

'--=

CRRw •

{3.28)

I z

Odbiornik można przedstawić jako dwójnik pasywny, w którym obowiązuje

zależność:

U=RI.

(3.29)

u

Iz Rys.

3.JO. Charakterystyka ze-

~ys.

tak zestawiona (rys. 3.13), że zacisk dodatni jednego źródła jest połączony z za-

Rys. 3.13. Szeregowe połączenie źródeł napięcia

od-

Charakterystyką odbiornika jest rost ( 3 i' p hal r~s. .11 ), która przechodzi przez po. ma nac y eme:

czątek układu współrzędnych

tga= CRR.

Źródła napięcia są łączone często szeregowo, równolegle lub w układ szeregowo-

-równoległy. Jeżeli pewna liczba źródeł napięcia (np. bateria akumulatorów) jest

'

3.11. Charakterysty a biornika

wnętrma źródła

3.3.3. Łączenie źródeł napięcia

R rośnie

·-r

I

graficznej rozwiązanie otrzymuje się w punkcie przecięcia obu charakterystyk (rys. 3.12). Przy zmiame rezystancji obciążenia R punkt pracy porusza się zawsze po prostej u= U0- Rwl, przy czym każdej wartości napięcia odpowiada tylko jedna wartość prądu. Gdy obciążenie maleje, punkt pracy przesuwa się w kierunku stanu jałowego, a gdy obciążenie rośnie (R maleje), to punkt pracy zbliża się do stanu zwarcia. Napięcie na zaciskach jest zawsze mniejsze od napięcia źródłowego .o wewnętrzny spadek napięcia:

(3.30)

ciskiem ujemnym następnego źródła, to źródła są połączone szeregowo. Prąd w obwodzie jest wywołany wypadkową siłą elektromotoryczną, będącą sumą SEM poszczególnych źródeł. Przy połączeniu szeregowym n źródeł napięcie na zaciskach baterii wynosi:

(3.31) lub (3.32)

u

\

zwaroie

Rys. 3.12. Punkt pracy źródła obciążonego odbiornikiem

•=l •=1 Źródła napięcia są połączone równolegle (rys. 3.14), jeżeli mają połączone w jeden węzeł wszystkie zaciski dodatnie, a w drugi węzeł wszystkie zaciski ujemne. Prądy płynące

przez poszczególne źródła wynoszą: E1-U li=--,

Rw1 E2-U

c

We wzorach (3.28) i (3.30) ·est s ół . . . niającym dobór podziałek na i R fa i w/d czynmk1em proporc3onalności uwzględJ · r d ó · ·k P ęc P ą u. to u~:e ~ -:V ~m aktywny zostanie połączony szeregowo z dwójnikiem as ah stę punkt pracy p spełniający równania (3 27) i (3 29) W . p ywny~! .· . . tnterpretacJt

46

la=--,

(3.33)

Rw2

I= En-U n

Rwn

.

47

Prąd w obwodzie zewnętrznym jest sumą prądów pł

źródła:

l= b

przez poszczególne

j; l,= (Ei+ Rw2 E2 +.„+ En)-u(-1 1 1) R R + R- + „. +- ·

v-1

c

h

ynącyc

I

R..1

--
wn

wl

w2

Rwn

(3.34)

+

3.3.4. Źródła prądu

W wielu przypadkach wewnętrzna rezystancja źródła energii jest wielokrotnie większa niż rezystancja obciążenia, tj. Rw ~ R. Dlatego w takich obwodach prąd wydawany przez źródło jest równy prądowi zwarciowemu: I

u

Rys. 3.14. Równoległe połączenie źródeł napięcia

]

(3.38)

z.

c

.

napięcia (gene-

_ E1- U l1 - -

źródło prądu.

wprowadza się pojęcia idealnego i rzeczyprzedstawia element aktywny, którego prąd nie zależy od napięcia występującego na jego zaciskach. Umowne oznaczenie idealnego źródła prądu przedstawiono na rys. 3.15a. Strzałka lub znak „ +" wskazują dodatni zwrot prądu. Idealne źródło prądu utrzymuje stałą wartość prądu w obwodzie, niezależnie od wartości rezystancji odbiornika. Ta wartość prądu, równa prądowi zwarciowemu In nosi nazwę wydajności prądowej źródła i jest oznaczana przez J. wistego

3

,..._,

Rw+R,..., Rw -

W takich przypadkach celowym jest rozpatrywać źródło energii jako Analogicznie, jak w

Jeżeli napięcia źródłowe dwóch równole le , ratorów) są równe, to zgodnie ze wzoremg ( .~~~;czonych zródeł

E E ___ __

źródła prądu.

źródłach napięcia,

Idealne

źródło prądu

Rwl _ E1-U l2--

---

b)

I

RW2

zatem

11 RW2 . 12 = Rw1 ' (3.35) czyh prąd główny I dzieli się między d d o te · h rezystancji„ wewnętrznych. wa generatory odwro tllle. · proporcjonalnie Jeżeli generatory wg rys 3 14 pracu· . 1 . ' · Ją w stame jałow ecz w obwodzie abcd prąd płynie przy ym, prą d główny I= o równa zeru, zatem: ' czym w węźle b lub d suma prądu musi byĆ f1=-l2.

Uwzględniając zależność (3.36) w ró . (3.36) wyrażenie na prąd 11 : wnamach (3.35) otrzymuje się następujące Ii= ~I!:_

Rw1+R.v2 {3.37) ". Rezystancje wewnętrzne źródeł są zw kl b d E1 - E 2 Jest · · · Jk a, w obwodzie płynieY e ar zo małe ' wię c nawet gdy różnica mewie lub -12); generator o większej SEM b dz~aczny prąd wyr?wnawczy Iw (równy 11 (lub jeden akumulator będzie ładował Zl~>°~pędzał ?rugi generator jako silnik pożądanego prądu wyrównawczego pr:yug1 'ł tąd ~mosek, że aby uniknąć niepo ączeruu równoległym, źródła powinny mieć jednakowe SEM.

l

Rw Rw

Iw · Rys. 3.15. Źródła prądu: a) idealne, b) rzeczywiste

Rys. 3.16. Obwód zasilany re

Ul

R

źródła prądu

Rzeczywiste źródło prądu składa się z idealnego źródła prądu oraz z równolegle dołączonej rezystancji wewnętrznej źródła prądu o bardzo dużej wartości (rys. 3.15b). W obwodzie zawierającym odbiornik o rezystancji R, zasilany z rzeczywistego źródła prądu, płynie prąd I (rys. 3.16): I

='J Rw Rw+R

(3.39)

Z punktu widzenia rezystancji obciążenia źródło napięcia może być przedstawione przez równoważne źródło prądu. Warunkiem równoważności jest równość napięcia na zaciskach wyjściowych obu źródeł. W przypadku źródła napięcia:

U=E-R l=E-Rw1 Rw1+R'

48 4 - Elektrotechnika i elektronika

(3.40) 49

a w przypadku źródła prądu: w drugą formę, lecz występują przy tym również inne, jej formy. Np. silnik elektryczny wytwarza oprócz energii mechanicznej również ciepło, które w tym przypadku jest stratą energii. Straty energii ilP uwzględnia współczynnik, zwany sprawnością 'Y/· Zdefiniowana jest ona jako stosunek energii lub mocy użytecznej Pu do całkowitej doprowadzonej energii lub mocy Pe nie przechodzi

U= Rf= RW2R JJ Rw
(3.41)

" . R -rezyst · gdzie: w1 anCJa wewnętr , RW2 - rezystancja wewnętr:: ::i~:: napięcia, Warunek ó prądu. r wnoważności jest spełniony d E Jed kż · ' g Y J= oraz R t na e warunki te nie spełniają zależ , . Rw
całkowicie

najczęściej niepożądane

'ł}

W celu

Pu Pe

=- =

P„ . Pu+/:l.P

(3.42)

osiągnięcia możliwie największej sprawności należy zbadać zależności

między źródłem

u2

RwL~= " -R . "'

Źródło f'rądu. . do obliczania -.'ako pojęcie teoretyczne - w k . . .fodów elektrycznych. y orzystu3e się w wielu przypadkach

a odbiornikiem energii. Zasadnicze korelacje można wysnuć jtą z podstawowego obwodu elektrycznego (rys. 3.8): Energia wytworzona przez generator prądu stałego (SEM E, rezystancja wewnętrzna Rw) powinna być wykorzystana przez odbiornik o rezystancji R. Ponieważ prąd odbiornika płynie również przez E generator, więc I =:: - - - • Moc użyteczna przekazana do odbiornika wynosi:

Rw+R

E2 P„ = R (Rw+R)2'

(3.43)

a moc pobrana przez generator: 1

lt

2

I

i

R

. ys. 3.17. Charakte st k" . . idealnych źródeł. 1 ry ~ i . nap1ęc1owo-prądowe . - napięcia, 2 - prądu

~ys.

/

I

/

......

(3.44)

-...\

,

E2 i

3.18. Charakterystyka napi"d . " a prą nicy szeregowej

Charakterystykę prądowo . . z charakterystyk -napięciową idealnego źródł na rys. 3.17. ą prądowo-napięciową idealnego źródła ::~ąd~, w porównaniu Przykładem P ęcia, przedstawiono 1 element 1 k e ~mentów elektrycznych ma. , h dla któ:eje:rą~o:;-czne ora.z elektromaszyno~:c~p ;:~1;[ ~ródła prądu są niektóre znaczne3 części charakteryst~ki ~rądo nt~a sz~re?ow~ (rys. 3.18), zmienia się. wo nap1ęc1owe3 prawie nie

Sprawność

obwodów elekt

moc wytworzona przez generator:

Pe=P„+M'= R Ponieważ sprawność 'Y/

c1owo-prądow

3.3.S.

Całkowita

rycznych Prawo zachowania ener ii ł . . czego, może nato . g g osi, ze energia nie mo . . chaniczna, elektry:iast św~stępo~ać w różnych formac~ (zginąć, an~ po.wstać z nina, w1etlna itp.). Jednakże rz . np: ~nerg1a cieplna, me50 p Y zam1ame Jedna forma energii

mocy

całkowitej

Pe,

w+

(3.45)

R

jest definiowana jako stosunek mocy

użytecznej

Pu do

więc

P„ Pe

n=-=

R 1 =--. R+Rw 1 Rw +R

(3.46)

Z równania (3.46) wynika, że sprawność zależy od stosunku rezystancji obcią­ do rezystancji źródła. Aby osiągnąć dużą sprawność należy ustanowić R ~ Rw, tzn . .należy pracować w pobliżu stanu jałowego. W praktyce rozróżnia się dwa zasadnicze przypadki związane z bilansem mocy: 1) wymaganie pracy przy dużej wartości sprawności, 2) wymaganie pracy w stanie dopasowania. Dużej wartości sprawności wymaga się wtedy, gdy duża ilość energii jest przenoszona przez linie elektryczne lub jest przetwarzana w maszynach elektrycznych. Już niewielkie podwyższenie sprawności przynosi tutaj duże oszczędności. Ponieważ ten przypadek dotyczy głównie energoelektryki, należy spełnić warunek R ~ Rw. W teleelektryce, szczególnie w technice pomiarowej i przenoszenia informacji, żenia

4•

51

generatory mają małą moc a przypadk h . ' poza tym _ dużą . (stan dop:s~:ad~~;łównie o możliwie największą r::~t;:;~Ji wewnętrzną. W tym Podczas gdy ,. ' a spralwność gra rolę podrzędną e azaną do odbiornika . N energoe ektryce . . rzamaóene1:gii, to w teleelektryce prz~;zpe: duzą spr~wność obniża się kos?:t wyt aparat w l urządzeń. acę w <>tanie dopasowania ob mza . . .się . koszt wa-

3.4.2. Metoda praw Kirchhoffa

Konfiguracja obwodu elektrycznego jest określona przez liczbę gałęzi, oczek węzłów oraz przez ich wzajemne usytuowanie. Do wyznaczenia n niewiadomych prądów gałęziowych należy rozwiązać układ n równań, które układa się na pod-

i

stawie praw Kirchhoffa. z I prawa Kirchhoffa otrzymuje się dla sieci o w węzłach tylko w- l niezależnych, gdyż równanie od.noszące się do ostatniego węzła wynika z

już ułożonych. Brakujące równania w liczbie:

równań równań (3.47)

m = n-(w-1) = l+n-w

należy ułożyć Rys. · k 3.19. Sprawność i· s t osunek m p Ja o funkcja stosunku RfRw ocy /P,

na podstawie Il prawa Kirchhoffa. W równaniu (3.47) m oznacza liczbę niezależnych oczek, gdyż liczba wszystkich oczek sieci, możliwych do wyodrębnienia, jest większa niż m. W celu unik)1ięcia wypisywania równań dla oczek zależnych, należy po napisaniu równania dla danego oczka skreślić jedną gałąź w tym oczku, a następne oczka dobierać tak, aby nie zawierały żadnej ze skreślonych gałęzi.

Na rys. 3. 19 przedstawiono sprawność . . 0 db' n , · R rJ i przebieg m osc1 od stosunku_ M . . ocy tarnika w zależR w. oc odb10rmka p J·est tu odn·1es10na . do ź nie zwarciowym P. = E 2 mocy w sta-

ródła

Rys. 3.20. Mostek Wheatstone'a jako sieć

R111'

3.4. Obliczanie liniowych obwodów

I

.

rozgałęzionych

3.4.1. Pojęcia wstępne

Dla

W teorii obwodó w e1ek trycznych bada si

przepły

., ·

.

.

"?'mus;:!:ą:~w~~~tr:~~~~~Śt~yczynę :e~~zę~;z;ąa~~:~a ~~:::~łen:z wyni~u

ma - odpowiedzią ob d jest wo ud W . W niniejszym

yczną powstałą na skutek d

.

.

ywa

się

napięcie źródłowe ~bwodach elektrycznych na. śz~a~ama wymuszerozd~i:leo b~~:1edzią prąd lub wielkość z!~:in~e~?m~zeniem

:~~61:'::,ly~p~!~:~~żnyc~ ~d c::,~~t;;.~:~: ~b:,:~e '~:f~łęzione ~'!y~~usze-

W obwodach elekt~~z: c~ s~m kształt jak wymuszenie. a onym, tJ. w stanie, oraz wymuszeni . ·. . Y ane są zazwyczaj . . źródeł prądu ;bl~ap1ę.cia źródłowe idealnych źródeł rezy~ta~cJe wszystkich gałęzi nowią prądy .gałęzi.czarne obwod~w polega na określ~;p1ęc1; lub.prą?y idealnych m. o pow1edz1, którą statowe oraz napięcia odbiorniko 52 we gałęzi pasywnych.

całkowitego obliczenia sieci przedstawionej na rys. 3.20 jest celowe przy-

jęcie następującej drogi rozwiązania: 1) oznacza się zwrot obiegu poszczegóh1ych niezależnych oczek, 2) oznacza się dodatnie zwroty napięć źtódłowych, 3) zakłada się zwroty prądów w poszczególnych gałęziach. sieci, 4) układa się w- 1 równań według I prawa Kirchhoffa oraz m równań

według

Il prawa

·

Kir~hhoffa.

Całkowita liczba równań odpowiada liczbie niewiadomych prądów gałęziowych n, układ równań jest więc rozwiązalny. Jeżeli po rozwiązaniu układu równai1 okaże się, że jeden z prądów jest ujemny, to fakt ten oznacza, że jego zwrot założono przeciwnie do rzeczywistego zwrotu. , Zastosowanie praw Kirchl1offa do ,rozwiązania obwodów elektrycznych zostanie zilustrowane .na przykładzie niezrównoważonego mostka Whea tstone'a, w którym interesuje nas jedynie prąd w gałęzi galwanometru.

53

celu wyznaczenia prądu w gałęzi galwanometru (w stanie niezrównoważo­ należy na schemacie mostka ponumerować węzły i oczka oraz skierować prądy w gałęziach (rys. 3.20). Stosując dla tego schematu prawa Kirchhoffa otrzymuje się układ równań :

w

nym)

Węzeł Węzeł Węzeł

D A

-12

B

-/3

-li

+12 -R2I2

Oczko I Oczko Il -R1/1 Oczko III +Ri/1

Prąd la można najłatwiej

+15 -16 +16 i-Rafa -R6fo

+R4/4

+Rafa

+R~l~

-/4 +14

wyznaczyć za pomocą wyznaczników:

=o, =o, =O, =O, =O, =E.

kształcania sieci 3.4.3. Metoda prze . ,

.

. . dźródło napięcia (np. prze

.d o

Je n , ) d t stosuje się wte d y, gdy siec zawiera

Meto

ę ę

s 3.20 mostek Wbeastone •..

.

wiazda oraz z WZ?_rów na

-

przekształcerue tr6;kąt ~ączenia rezystancji, przeKorzystaJąc równoległego i szeregowego po . ą rezystancję R. Pozwala rezystancj.ę ~astępkcz\ można ją zastąpić jedną równowazn

stawiony na. ry . zorów na z w

kształca się sieć ta ' a y

c)

b)

2

D=

-1

o

-1

o

+1 -R2

o -1

o o

-Ri o +Ra +R1 +R2 o

-1 +1 o +1 o -1

o

+R,

o +R6' +l O O -Ro

o o o o

Po przeprowadzeniu znanych

I I

d)

obliczeń

o o Da=

-1

o

-1

o

+I -R2

o -1

o o

-Ri o +Ra +R1 +Ra o

otrzymuje

R4o

2

Da Ia=n·

o o

R10

się:

3

3

-1

+1

o

+R.a

o

Q

o oo oo oo oo

+1

O E

D=-~~~+R.i~~+~~~+~~~+~~~+~~R.i+ +RaR.1R1+RaR.iR2), wobec powyższego

~

R6

E i .

•

E

R

E

'

kładzie mostka Wheatstone a

.

Przekształcenie s1ec1 na przy I prawo Ktrch. ódł następrue. stosu1ąc " 1. . ć ąd w gałęzi zawierającej źr . ?•Na rys 3 21 przedstawiono ko ejne pr w pozost a łYeh gałęziach sieci. a · · to obbczy dy ,

R

3 21. ys. .

. stka Wheatstone a. hoffa - prą etapy przekształcenta mo

3

. h obwodów liniowych, .„.„ 4•Metoda oczkowa.est metodą obliczema· rozgałęz10nyc · h . iast prądów gałęz1owyc

oczkow~

Metoda jpraktyce. Polega ona P;a tym? ze lza;ych oczkach sieci. W meszeroko stosowaną mykaJ'ą,ce się w meza e ądy oczkowe za . E E oblicza się tzw. pr

la= E

RaR2-R,,,R1 . (R4 Ra+ Ra Ra+ RaRJ(R1 +Ra)+ R1R2(Ra+ R ) 4 Mostek jest zrównoważony, gdy / = O, czyli 6 RaR2- R.iR1 = O, stąd otrzymuje się znany warunek: Ra

1

. . · etodą Rys. 3·22 · Obliczame s1ec1 m

3

oczkową

Ri

R.i =Ra.

Metodę Należy nakład

można stosować zwrócić uwagę, że

rozwiązania rozgałę­ gałęzi rośnie prądów gałęziowych, gdyż stopień

praw Kirchhoffa do dowolnie zionej sieci. jednak ze wzrostem liczby sieci szybko pracy konieczny do wyznaczenia wyznacznika D jest równy· liczbie gałęzi n. Dlatego w praktyce stosuje się szereg metod ułatwiających obliczenia. Wywodzą się one z metody praw Kirchhoffa i z tego względu zrozumienie tej metody jest szczególnie ważne. 54

. r czbie oczek niezależ. . a is równań dla sieci o dow?lne! i mnie.sza niż w metodzie tej istnteJe ogólny~ p . m = l+n-w, a więc.Jest. . \ bę równań nych. Liczba t~ch równan w~~s~1ostka z rys. 3.20 otrzymuje się icz todzie praw Kirchhoffa, np. 55

m = 1+6-4 = 3 p d podstawie I ra · rą. y w gałęziach wspólnych dla d , oczkowych. p wa Kirchhoffa jako algebraiczną su:ochdocze~ oblicza się na W si . ę o pow1ednich prądó ec1 przykładowej z rys 3 22 w wynoszą: . . prądy w gałęziach wspóln eh dl , a dwoch oczek Y

Przez napięcie źródłowe oczka należy rozumieć sumę algebraiczną napięć źródło­ wych występujących w gałęziach oczka. Do wykonania obliczeń stosuje się zwykle rachunek wyznaczników lub algebrę macierzy. Uogólnione równanie na prąd oczkowy k-tego oczka przybiera postać:

la= l'-1' 2 1 '

, Dk1 Dk2 Dkk lk = -D Ei+ -D Ed- .„+ D Ek+

I,= 11'-I' 8 ' I,, = 1;-1'

(3.48)

. W celu zilustrowania metod . s. Kirchhoffa, podstawia. ~ .ułózmy dla oczek niezaJeżn dów oczkowych .

prą-

~~ 2

J')

2,

1 ,

5

Rils-11)+ Ril~-1')+ R l'

2-

8 ,

można zapisać:

trzech równań:

=E1,

-~11;+~21;-R23 !'a -- E a,

. -Rs1I;-Rs2I;+Rasl~ =O. Rezystanc1e o jednak własnej oczka R owych wskainikach (R R R występujących w e~~:;ncja ~asna jest równa ~mi~2 're;~;os~~ nazwę rezystancji Rezystancje o różnymhocz ku., . , anCJ1 wszystkich gałęzi Rezyst anCJa · wzajemna Rc *ws. azn1kach noszą nazwę rezystan .. . (ze zmienionym znaki kl. _Je~t równa rezystancji wspól . cpl w:a;emnej oczek. ciwnych zwrotacł1) p e~Jezeh gałąź wspólną omywają neJ /a ęz1 dla oczek kl R . rzy ad owo dla sieci z rys. 3.20: prą y oczkowe o prze12 R21 = -R R • 2 , rn = Ra1 = - R 4 R Rozciągając powy. ' 2a = R 32 = -'- R ól . zszą metodę .ć 5 • uog n1011e równanie k-t na s1e składającą się z m k ego oczka: . ocze , otrzymuje się Rk11;+Rk2 l'+ +Rkk l'k+ ... +R ! ' 2 ••• km m -

Dla obwodów liniowych zachodzi

56

.

przemienność wskaź I

.„

Rn R12 R21 R22

Rik R2k

Rim R2m

Rk1 Rk2

Rkk

Rkm

Rml Rm2

Rmk

Rmm

(3.51)

3.4.S. Metoda superpozycji

R11 I'1 - R1212-R , l' - E1' 18 8 -

*

układu równań:

=Ea,

+(R,+Rll+Ro)l~=O.

li 2

(3.50)

a Dk 1 , Dkll• ... , Dkk, ... , Dkm są dopełnieniami algebraicz11ymi. Z powyższych rozważań wynika, że stosując metodę oczkową nie należy układać równań wg praw Kirchhoffa, a wystarczy spojrzeć na konfigurację sieci i mnemotechnicznie wypisać wyznacznik, umieszczając na jego głównej przekątnej rezystancje własne kolejnych oczek, a poza główną przekątną - rezystancje wzajemne.

= O•

(R1+R2+R,)I;-R l' 2 2 -R l' T>J' "s -„'2 i+(~+Rs+R6)1;-R 1; 6 -R,I;- R I' '

ten

D=

+~~-~+~~-D=E 8 + R8 J~ + R (l' I')a = E1,

o uporządkowaniu w a, 6 s yrazów otrzymuje się układ

Układ

.

wedł~:cz~e~:~~~(j4rą8d)~w gałęziowych s~: r~J~~~~~c!nJąprawa . . R (l'

p

gdzie: D - wyznacznik charakterystyczny

„.+ Dkm D Em,

( 3.49)

Ek.

'kó m w w rezystancji wzajemnej. R -'-- "· •

kl -

4'fk·

Metodę tę stosuje się do sieci zawierającej co najmniej dwa źródła. Opiera się ona na zasadzie superpozycji, która wynika z właściwości obwodów liniowych i jest formułowana następująco: odpowiedź obwodu liniowego na kilka wymuszeti jest równa sumie odpowiedzi na każde wymuszenie oddzielnie. W matematycznym zapisie zasada ta wynika z równania (3.50) na prąd oczkowy:

Po prawej stronie tego równania każdy składnik przedstawia prąd, który płynąłby w k-tym oczku, gdyby istniało tylko jedno źródło napięcia, a wszystkie pozostałe źródła byłyby równe zeru. Metóda superpozycji jest słuszna zarówno dla prądów oczkowych, jak i gałę­ ziowych. Słuszna jest również dla źródeł prądu.

3.4.6. Metoda

źródła zastępczego

~etodę źródła zastępczego stosuje się w przypadkach, gdy chodzi o obliczenie prądu tylko w jednej gałęzi sieci. Metoda ta opiera się na dwóch twierdzeniach

o zastępczym źródle energii. Z pomocą tych twierdzeń rozgałęzioną sieć z dowolną liczbą źródeł energii sprowadza się do obwodu z jednym źródłem. 57

1) Twierdzenie Thevenina. Prąd w dowolnej gałęzi ab, dołączonej do aktywnej sieci elektrycznej (rys. 3.23), nie ulegnie zmianie, jeżeli sieć tę zastąpi się równoważnym źródłem napięcia, którego wartość jest równa napięciu na zaciskach otwartej gałęzi ab. Rezystancja wewnętrzna Rw tego źródła jest równa rezystancji sieci pasywnej widzianej od strony zacisków otwartej gałęzi ab.

3 26 ) a następnie . a ,

obu niezależnych oczkach (rys.

P

rądów oczkowych w zwroty . *· uklada równania · (R1+R 2)I1 = Ei

+E

2.

Rz 11 = Uo+E2· Szukane napięcie Uo wynosi:

a sieć

.R

aktywna

b)

R

E

b

____--va

Ed%

b

Rw== R3+ R1 +R2

Rys. 3.23. Ilustracja twierdzenia Thevenina

R2 E1 -R,E2 -~ UoR1+R2

2) Twierdzenie N ortona. Prąd w dowolnej gałęzi ab, dołączonej do aktywnej sieci elektrycznej (rys. 3.24), nie ulegnie zmianie, jeżeli sieć tę zastąpi się równoważnym źródłem prądu, którego wydajność jest równa prądowi, jaki popłynąłby

_--0b

a

a sieć

aktywna

G

8

b

b _______.-O

Rys. 3.24. Ilustracja twierdzenia Nortona.

między zaciskami ab przy ich zwarciu. Rezystancja wewnętrzna R tego tródła jest równa rezystancji sieci pasywnej widzianej od strony zacisków ab.

.

Rezystancję wew~ętrz~ą. . .

pięcia. Rys. 3.25.

Przykład

sieci

rozgałęzionej

Zastosowanie twierdzeń Thevenina i Nortona zostanie wyjaśnione na przykładzie. Rozgałęzioną aktywną sieć, przedstawioną na rys. 3.25, należy zastąpić: 1) równoważnym źródłem napięcia, 2) równoważnym źródłem prądu. Równoważne źródło napięcia, równe nap1ęcm w stanie jałowym Uo na zaciskach gałęzi ab, można wyznaczyć np. metodą oczkową. W tym celu określa się

58

b

. . "eć nrs. 3.25. z naniesio. . alęzioneJ: a) s1 z ., iródł zastępczego do s1ec1 rozg d a . ia c) zastępcze źródło prą u 3 26 Zastosowanie metody Rys. · · . . b) stępcze źródło nap1ęc • nymi oznaczeniami, za . . ba źródła naL----·

·

o nosi. d strony otwartych zacisków ab wy .

źródła zastępczego oblicza się zw

ierając

RezystaucJa widziana o

R RR+ RiRa+ R2Rs 11 Rt ll I -· Rw=Ra+-R+R = R1 +R2 l

11

. .

d no po a

•

wyrażewa

. :na

u.o

, ódło ;napięcia 1 . 6b rzedstawiono zastępcze zr Na rys. 3.2 p . . ł . oblicza się z prostej zalezoraz Rw: b ezystancję R, to prąd w tej ga ęzi Jeżeh gałąź a ma r ności (3.21): Uo (3.52)

lab=Ji;+R· .

. ki ab są otwarte (stan jałowy).

. R nie płynie prąd, gdyz zac1s . rzez rezystancję a • W oczku dru~1m P. owstać spadek napięcia. Na rezystancJi Rs nie moze P

59

unkcie p charakterystyki prądowor du w tym punkcie (rys. 3.28): . 0 p ą (3.53)

statyczną R w określ~ny:U dp Równoważne źródło prądu, którego wydajność jest równa prądowi przy zwartych zaciskach ab, można wyznaczy~ stosując np. metodę

Gdy istnieje tylko

źródło

E 1 , to

prąd

zwarciowemu superpozycji.

źródło

E 2 , to

prąd

się

u

R=-=k,·tga.

zwarciowy:

l

R2 E 1R 2 R2+ Ra - R1R2+ R1Ra + R2Ra

Gdy istnieje tylko

· stosunek. napięcia

nazywa

a)

b) I

I

zwarciowy:

u R1 E2R1 Ri +Ra R1R2 + R1Ra + R2Rs

Prąd

zwarciowy w zwartej

gałęzi

ab jest

d)

c)

sumą algebraicwą prądów składowych:

o

u Wyrażenie

zaznaczyć,

że

na rezystancję wewnętrzną źródła nie uległo zmianie. Należy gdy jest znane napięcie w stanie jałowym, to prąd zwarciowy można bezpośrednio z zależności (3.2la):

wyznaczyć

Na rys. 3.26c przedstawiono zastępcze oraz Rw· Jeżeli gałąź ab ma się z prostej zależności (3.39): wydajność

źródło prądu i podano wyrażenie na jego rezystancję R, to prąd w tej gałęzi oblicza

u

. . .

Rys. 3.27.

I = Uo = R2E1-R1E2. R 1+R2 z Rw R1+R2 R1R2+R1Ra+R2Ra

I

a ięciowe niekt 6 ryc d) tyrystor

h elementów nie1m1owy

.

C~a~~:~:ry;~~:~e~r::~~::a,P

. . do tan ensa kąta a, jaki tworzy oś prądu Rezystancja statyczna jest proporcjonalna unktgi początek układu współrzędnych. h dzącą przez rozpatrywany p . z prostą przec o

b) warystor, c

u

u

Graficzna interpretacja rezystancji statycznej Rys. 3.28 · i dynamicznej

3.5. Obwody nieliniowe

W dotychczasowych rozważaniach rozpatrywano obwody zwane obwodami liniowymi. W obwodach takich wszystkie elementy aktywne i pasywne są liniowe, tzn. charakterystyki prądowo-napięciowe elementów są liniami prostymi. W elektrotechnice występują często elementy nieliniowe, których charakterystyki prądowo-napięciowe są krzywymi. Obwód elektryczny zawierający 'przynajmniej jeden element nieliniowy nazywa się obwodem nieliniowym. Na rys. 3.27 przedstawiono charakterystyki prądowo-napięciowe najczęściej spotykanych elementów nieliniowych. Dla elementów .nieliniowych wpMwadza się pojęcie rezystancji statycznej R oraz rezystancji dynamicznej r.

eh. a) z.arówka,

o

I

I

dan m punkcie charakterystyki prą~o:wo-napię. y względem prądu w tym punkcie. ciowej nazywa się pochodną ,napięcia (3.54) dU r = - = kd·tg{J. d/ . ki tworzy z dodatnią osią Rezystancja ta jest proporcjonalna w punkcie. prądu styczna do charakterystyki 61 .

Rezysta.ncją, dynamiczną

r w .

dopr~:::~~:p1~!~rj

określopym

Rezystancję d

·

ynam1czną wyznacza się zwykle z

r

1• . za eznośc1 przybliżonej:

AU Al'

gdzie: AU i A/_ od . d . (3.55) · powia ające sobie . akt r ~rystyki ~rądowo-napięciowej. przyrosty napięcia i prądu odczytane h ezystanga statyczna 'est . z c aprzyjmuje wartośc. O 1 j zawsze dodatnia a w . I ub oo, natomiast rezystan;•a d gr~rucznych przypadkach :.i Jnam1czna moze · przyjmować .

a)

I

b) elementt

Jeżeli

znane jest napięcie E, to z wykresów można wyznaczyc prąd I oraz napięcia U1 i U2. Często, głównie w obwodach elektronicznych, występuje szeregowe połączenie elementu nieliniowego z elementem liniowym. W takim przypadku wygodne jest zastosowanie metody charakterystyki odwróconej, która pozwala uniknąć kreślenia charakterystyki zastępczej. W rozpatrywanym obwodzie (rys. 3.30a) napięcie na zaciskach elementu nieliniowego wynosi U2 = E- RI. w· układzie współrzędnych U, I jest to równanie składowe

~--

a)

u

element2

e/emenf 1

b)

1

--------

~ L

I I

(2)

E

::----------

Rys. 3.29, Charakterystyk' I

O prądowo-napięciowe przy szeregowym

elemenf 2

(1)

I

I.

0! I 'tL_

I

po ączenm elementó .r . dodat . 1 b . w me 1u1owyc1t me u Ujemne w z I · , · w wyrażeniu (3.55). a eznosc1 od znaku przyrostów . . . . Ze względu na to . h nap1ęc1a I prądu wy h ' ze c arakteryst k · w postaci nielinio0 wodow nieliniowych mi graficznymi. ' wartości

do~on:J:~i~a:~~d:wy.kle a)

:Y~r:;z~o:~;~:~~~~w~ ele~entów b)

I

I

O

f4=E

Rys. 3.30. Graficzne wyznacz . U2 U1"'Rl U lini eme Prądu i 'ęć owego - połączonych szeregowo nap1 w obwodzie złożonym z elementu . I' . me m1owego i elementu

Przy szerego k . wym połączeniu dwóch I :z:~e c:i~r:~terystyki U= f (I) ob~ e:~:~~:,eliniowych kreśli się na jednym elementy, to na w;:~:rys~kę z~stęFczą. Jeżeli znan;r~:~t 3.29~ Sumując rzędne ie o czytuje się składowe U i U prą . 1. płynący przez 62 l 2 oraz nap1ęc1e całkowi te E.

Rys. 3.31. Charakterystyki

prądowo-napięciowe

przy

równoległym połączeniu

(rys. 3.30b), która przecina oś odciętych w pu.nkcie U2 = E, a

.

I=

E

R.

.

Charakterystyka

prądowo-napięciowa

elementów nieliniowych

oś rzędnych

w punkcie

elementu nieli.niowego U 2 = f(/)

przetnie prostą w pu.nkcie A, który jest pu.nktem pracy obwodu. Rzut tego punktu .na oś odciętych (oś .napięcia) daje podział napięcia źródłowego E na napięcie na elemencie nieliniowym Ua i napięcie na elemencie liniowym U1 = RI. Można rozpatrywać źródło napięcia E i element liniowy R jako generator rzeczywisty o rezystancji wewnętrznej R, wtedy prosta E- RI przedstawia charakte- . rystykę zewnętrzną takiego generatora. Jeżeli dwa elementy nieliniowe są połączone równolegle, to po narysowaniu na jednym wykresie charakterystyk prądowo-napięciowych kreśli się charakterystykę zastępczą, sumując odcięte· charakterystyk obu elementów (rys. 3.31). Gdy dane jest napięcie zasilające elementy, to na wykresach odczytuje się prądy skła­ dowe / 1 i / 2 oraz prąd wypadkowy /, natomiast gdy jest znany prąd wypadkowy /, to z wykresów wyznacza się napięcie E oraz prądy składowe / 1 i / 2 • Podana powyżej metoda charakterystyki zastępczej może być zastosowana do dowolnej liczby elementów nieliniowych połączonych szeregowo lub równolegle.

lub dla pola równomiernego:

4

(4.3) Jednostką

indukcji elektrycznej jest kulomb na metr kwadratowy. Na ładunki znajdujące się w przestrzeni działają siły mechaniczne, zwane silami pola elektrycznego (prawo Coulomba). Natężenie pola elektrycznego E określa siłę działającą w rozpatrywanym punkcie pola na jednostkowy ładunek dodatni. Jednostką natężenia pola jest wolt na metr [V/m]. Praktycznie używa się jednostki 100 razy większej [V/cm]. Między indukcją i natężeniem pola zachodzi zależność:

Pole elel{tryczne

D=eE, a

między natężeniem

pola i

napięciem

(4.4)

U:

dU dl

E= -grad U=--.

(4.5)

Wielkość e

rozciąga się

4.1. Wielkości pola elektrycznego

nikalności

Przestrzeń, w której występuje określon't wielk polem. Jeżeli wielkość ta ma tylko t ść c ość fizyczna, nazywa się og61nie temperatury) ' natomiast jeieli eh'warkto ' to. pole . nazywa si ę s k a 1arnym (np. pole mówi się o polu wektorow ara eryzuJe się ona wartością i kierunkiem to wektorowych należy pole elebm (np .. pole prędkości). W elektrotechnice do 'pól z fiz yk.I wm. domo, ze. pole. ryczne I pole magnetyczne. elektrycz . trycznych. Jeżeli ładunki są nieruch ?e .Pow~taJe w otoczeniu ładunków ełekPolem ee l k trostatycznym natomiast orne i mezm1enne w C" • t 1 gd ł d k' zasie, o po e nazywa się sie (powodują przepływ' prądu elektr ~z~e un) I są w ruchu, bądź. zmienne w czapo/em przepływowym. y go ' to pole nazywa się elektrycznym Pole wektorowe można przedstawić rafi . stycznych we wszystkich punktach do !ekt1czme za po~?cą linii pola, tj. krzywych ~r~ pola. Limom poła nadaje się zwrot wektora pola. Jeżeli linie pola two rzą ro zmę prostych równoległych, to pole nazywa się równomiernym. Sumę wszystkich linii poi 1k przekrój S, nazywa się strum. a . e e tlrykcznego, przechodzących przez określony 1emem e e trycznym.

we wzorze (4.4) jest stałą charakteryzującą środowisko, w którym pole. Stała ta nazywa się przenikalnością elektryczną. Jednostką prze-

elektrycznej jest farad na metr [:].

powietrze) ma

przenikalność elektryczną:

e0 = 8,85·10-12

e e -,-

eo

W tablicy 4.1 zestawiono

(4.2)

(4.6)

.

(4.7)

wartości względnej przenikalności

elektrycznej dla

różnych materiałów.

Tablica 4.1 Względna przenikalność

elektryczna niektórych dielektryków

e,

tp=

:k

[:J.

Dla wszystkich innych środowisk przenikalność elektryczna jest większa. Dla prostoty rozważań wprowadzono pojęcie względnej przenikalności elektrycznej, która wskazuje, ile razy przenikalność danego środowiska jest większa od przenikalności elektrycznej próżni:

Rodzaj dielektryku

Q. Jednostką strumienia elektrycznego jest kul b (4.1) Gęstość st · · om · . . rum1ema elektrycznego, określo 1' b . .. .1cz ą hmt pola, przypadającą na. Jednostkową powierzchnię, nazywa s. . związkiem; ię m u c1ą elektryczną. Wyraża się ona

Próżnia (w przybliżeniu również

1

Próżnia

Powietrze Papier izolacyjny Olej Guma Drzewo Papier impregnowany

1 1,0006 1,8+2,6 2,2+2,5 2,7 3+3,5 3+4

I

Rodzaj dielektryku Szelak Porcelana Szkło

Mika Marmur Woda destylowana Dwutlenek tytanu

I

I

e, 3,1 4,5+5 5+10 5+10 8,3 80 100

64 5 - Elektrotechnika i elektronika

65

4.2. Kondensatory Kondensatorem nazywa się układ składający się z dwóch przewodników (okła­ dzin) rozdzielonych warstwą izolacyjną, czyli dielektrykiem. Istotną cechą kondensatora jest zdolność do gromadzenia ładunków elektrycznych. Doświadczalnie stwierdzono, ~ między ładunkiem Q, nagromadzonym na każdej okładzinie kondensatora, a napięciem U, przyłożonym do zacisków okładzin, istnieje propor-

że wartość pojemności

~leży

(4.1~) wyn ł 'd . oraz od przenikalności elektrycznej e. .. guracji i wymiarów ok~ zin ry na obliczenie pojemności różnych konfiguraCJI W tablicy 4.2 zestawiono wzo

Ze wzoru

-

ika

kondensatora

kondensatorów Tablica 4.2

cjonalność:

Współczynnik

C nazywa

Kondensator

się

I

Konfiguracja

[F]:

1V .

i w praktyce operuje

układów

kondoosatorów

-

się pojemnością elektryczną. Jest to parametr charaklF =lA·s

duża

typowyeh

(4.8)

teryzujący kondensator. Jednostką pojemności elektrycznej jest farad

Jest to jednostka

pojemność

Zell tawlenie wzorów na

Q=CU.

C=-

d

@-8

kondensator cy lindryczny

•

Kondensator kulisty

Rys. 4.1. Pole równomierne w kondensatorze płaskim

BS

jdt

płaski

Długi współosiowy

Przyjmuje się umownie, że linie pola elektrycznego zaczynają się na okładzinie dodatniej i przechodząc przez dielektryk kończą się na okładzinie ujemnej, a zatem wszystkie linie pola przechodzą przez dielektryk między okładzinami, a poza

Pojemność

Rysunek wymiarowy

jednostkami mniejszymi:

1 µF = 10-6 F, 1 nF = 10-11 F, 1 pF = 10-12 F.

~

Linia dwuprzewodowa

-

D

2rcel ra łnr1

C=-

4rcsr1rs ra-r1

C=--

rcel

1f

c~n

Inr D~r

I~

okładzinami nie ma pola. Założenie to pozwala obliczyć pojemność kodensatora o odpowiednim kształcie geometrycznym, np. płaskiego, cylindrycznego lub kulistego. W polu równomiernym występującym w najbardziej rozpowszechnionym kondensatorze płaskim (rys. 4.1):

u

E= - = const.

(4.9)

d

Wobec powyższego, wychodząc z równania (4.9), na płaskiego można napisać zależność: C= Q =DS= eES = eS U Ed Ed d.

66

od konfigu-

pojemność

kondensatora

4•3•

Układy połączeń

D

kondensatorów

. 'ki mogą być łączone szeregowo lub równolegle. Kondensatory, tak Jak oporw , ( ) są przyłączone wszystkie do 1 1 42 Kondensatory po!ą~zone drónkw~o eg ~ad~~~e ~rzez 'ednakowego napięcia. Ła u t z~ro ..kondensatory są proporcjo-

~alne do ich pojemności. Całkowity ładunek wynosi.

Q = Q1+ Q2+„.+ Qn = U(C1+ C2+„.+ Cn), zaś całkowita pojemność:

( .lO) 4

n

C= Q= C1+C2+„.+cn

u

=}; C, ·

(4.11)

•-1

67

Przy połączeniu równoległym całkowita poszczególnych kondensatorów.

.

.

poJemność składa się z sumy pojemności

Przy połączeniu szeregowym (rys 4 3) . . tt:n sam ładunek, przy czym dodatni ładun~k . wszy~tkie k~nde~satory posiadają UJemnemu ładunkowi okładziny poprzed . ~edneJ okładzmy Jest zawsze równy zaJąCeJ. Zatem: Qi

o,

= Q2 = ... =

----ri:1

02

c.::r~~ a:Y~-~T

Qn = Q.

u

+ + + +

et

-

u,

Cz

+ +

+ +

Uz

f: u

Rys. 4.2. Równoległe łączenie kondensatorów

+ + + +

więc pisząc

U=

~

Q

Un

czej ptzewodn1ków.

Rys. 4.3. Szeregowe łączenie kondensatorów

4.4. Pojemnościowy dzielnik napięcia Dla szeregowego połączenia dw6ch kondensatorów (rys. 4.5) otrzymuje się układ równań:

U2+ ... + Un = u'

Q = C1 U1 = C2 U'/., U= U1+U2.

Po rozwiązaniu tego układu otrzymuje się: Q

Q

C2 C1+C2

U1 =----U

Q

c1 +c2 +... +-=en c'

stąd

.zależność powyższa jest wykorzystywana m. in. w procesie produkcyjnym do

On

się:

otrzymuje

(4.13)

kontroli grubości taśm. Przy połączeniu szeregowym całkowita pojemność jest mniejsza, niż najmniejsza z pojemności poszczególnych kondensatorów. Poró~nując wzory na poj~mności zastępcze kondensatorów połączonych szeregowo 1 równolegle z analogicznymi wzorami dla konduktancji, można zauważyć, że istnieje prosta analogia pomiędzy sposobem obli~zania pojemności zastępczej kondensatorów i konduktancji zastęp-

Ponieważ dla napięć obowiązuje związek:

U1+

stąd

1 1 1 1 -=-+-+ .. +-C Ci Ca . en -

n

~ c1 · Li

(4.12)

Przypadkiem szczególnym szere owe ,~~ , kondensator· płaski, zawierający dg. go połącze~ia dwóch kondensatorów jest wie warstwy róznych dielektryków (rys. 4.4).

U1

-

lub

U1+ U2

lub

----

U2 U1+ U2

C1+ C2' C1 C1+C2

Jest to tzw. zasadą pojemnościowego dzielnika napięcia. Zgodnie z tą zasadą napięcia na szeregowo połączonych kondensatorach są odwrotnie proporcjonalne do

8u, J !u,

0-G

Rys. 4.5. Pojemnościowy dzielnik napięcia

i '!.o

Rys. 4.4. Kondensator warstwowy

c,

ich pojemności. Należy zwrócić uwagę, że w dzielniku oporowym napięcia na szeregowo połączonych opornikach są wprost proporcjonalne do ich rezystancji.

=~;::~~hnia

styku dielektryków zachowuje

.! = C

68

_!__ Ci

się jak elektroda,

+ _!_ = I (al C2

S er1

a2) + ;- ' r1

wobec czego

można

4.5. Budowa kondensatorów Budowa kondensatorów jest uzależniona od własności materiału użytego jako dielektryk. Pod tym względem rozróżnia się kondensatory papierowe, mikowe, ceramiczne, elektrolityczne i powietrzne.

69

Kondensator papierowy wykonuje się przekładając dwie jednakowe taśmy z folii aluminiowej dwoma warstwami woskowan,ego papieru. Następnie zwija się je razem w formie cylindra pokazanego na rys. 4.6. Całość umieszcza się w odpowiedniej obudowie, wyprowadzając zaciski z każdej folii. Kondensator mikowy składa się z płytek metalowych oddzielonych warstwami miki (rys. 4.7). Mika jest lepszym dielektrykiem niż papier. Ma ona mniejsze straty

umocowanych na sta~e kondensato1:a re~luje st~ s. 4.8). Dielektryki.em j~st tu ~o łyt p y całkowitym pokryciu się powierzchni P · rz · przez zroianę wspólneJ pow1erzchnt F . .

. taki sam

układ płyt

pojemność jest rzędu

0,5 ~ . b d można zaliczyć kondensatory energetyczne, Do szczególnych odmian u owy 'k cy • sieci i urządzeń elektrycznych. przeznaczone do poprawy współcz:e~ r:s::anych płaskich zwij~k, skł~dających Kondensatory te wykon~wane są p o nasyconego olejem mmeralnym się z kilku warstw papieru kondens~tc;:jegf~lii aluminiowej spełniającej rolę . odpowiednio przygotowanym oraz Cl~ubi:zeregowo w zależności od mocy i n~­ . Zwijki równoleg1; k zbudowan; kondensator umieszcza ięcia znamionowego kondensatora. . a d wiednio spawanej w celu uzyskania kadzi (z olejem) z blachy izolatory dla doprowadzenia szczeno 1 Ści.• Na pokrywach kon ensa o

okładzin.

~

Rys. 4.6. Kondensator papierowy

.

obracać i po~ywać i:imej. lub w1ęce~ietrze. Pojemność (ry

są łączone

s~ę

sdtalo~eJraOz~:J'dują się

1

Rys. 4. 7. Kondensator mikowy

mocy, zwłaszcza przy częstotliwościach radiowych. Zwykle nie wykonuje densatora zwijaniu. w formie cylindrycznej, lecz płaskiej, ponieważ mika łamie

się

się

konprzy

W kondensatorze ceramicznym stosuje się jako dielektryk dwutlenek tytanu, który produkowany w postaci proszku daje się prasować do żądanego kształtu. Dwutlenek tytanu posiada bardzo dużą przenikalność 'elektryczną (er ~ 100) oraz bardzo małe straty mocy.

Rys. 4.9. Kondensatory energetyczne

Kondensator elektrolityczny jest używany wtedy, gdy - co często zachodzi w obwodach radiowych - pojemność elektryczna musi być duża, zaś napięcie zasilające jest niskie. Kondensator taki składa się z płyt folii aluminiow~j umiesz-

i I

Rys. 4.8. Kondensator powietrzny strojeniowy: a) b) okładzina ruchoma

okładzina

nieruchoma,

' . r s w konywane z porcelany elektrotech~czn~j przewodów do okładzin. Izolato y .ą. y ałości elektrycznej i mechamczneJ. lub z tworzyw sztucznych e> wysoki~j ~yt~z~ Kondensatory energetyczne wykon;Je się Ja o .urządzeniach napowietrznych przy a) napowietrz~e, p~zezna~zo~e od~racyt:osforycznych, w temperaturach otobezpośrednim dztałamu słonca t opa w a

z boranu amonu. Jeżeli prąd stały przechodzi przez folię aluminiową i pastę boranµ, na folii wytwarza się bardzo cienka warstwa tlenku aluminium, który jest nieprzewodnikiem. W rezultacie otrzymuje się kondensator, w którym okładziny: folia aluminiowa i boran amonu są przedzielone bardzo cienką warstwą tlenku aluminium, tak że pojemności rzędu 50 11· F można uzyskać z kondensatora o stosunkowo małych wymiarach. Wadą kondensatora są duże straty mocy, ponieważ tlenek aluminium nie jest doskonałym nieprzewodnikiem. Kondensator powietrzny o zmiennej pojemności. Gałka strojeniowa więk­ szości odbiorników radiowych jest połączona z układem płytek, które mogą się czonych w

70

paście

. omleszczeniach o czenia od -30 do +4soc; b) wnętrzowe, przeznaczone do pracy w P C

+:o

wilgotności względ.

0

a. i cia do 1000 V (220, 380, 500 V) do indy.. s ółcz nnika mocy odb10rntków. oraz na nap1ęc1a powyz~j 1000 widualnej oraz grupowej ~ompe0;sdackJ1 w p triny kondensatorów energetycznych . . N s 4 9 przedstawiono w1 o zewnę a .ry .' powyzeJ · .. 1 kV 0 J'ednym biegunie uziemionym. na nap1ęc1e nej do 80% i temperaturze od -20 do

Kondens~to~y wnętr~~we bu~(:~e3s~: 1~ {~. MoŻna stos?wa~ je

• Patrz p. 7.12.

71

4.6.

Pojemność

kabli i linii

Kabel jednożyłowy (tablica 4.2) można przedstawić jako kondensator cylindryczny o długości osiowej /. Wewnętrzną okładziną takiego kondensatora jest żyła miedziana, a zewnętrzną - powłoka ołowiana. Okładziny te są rozdzielone dielektrykiem w postaci warstwy papieru przesyconego olejem mineralnym. Pojemność takiego kondensatora wynosi:

I C= 2ne-

m'•

=

I I 2n·8,86·I0-12 ·e,- = 55,5e,- ·I0-12 [FJ. 2 m~

m'

~

~

e,

2

Pojemność międzyprzewodowa długości

[µFJ km .

(4.15)

linii napowietrznej dwuprzewodowej (tablica 4.2)

I

r

r

D

1n-

przestanie

płyn~ć.

I . s'c1· (2 1) oraz (4.8) otrzymuje za ezno, · dq duc i= dt = c
się:

µFJ . km

duc U-uc. RC-=

wynika, że w układach elektrycznych istnieją pojemności niezależnie od tego, czy zostały tam umieszczone w postaci specjalnie zbudowanych kondensatorów. Pojemności mają duży wpływ na pracę obwodów elektrycznych, co zostanie omówione dokładnie w rozdziale o prądach zmiennych.

w obwodzie z kondensatorem

Ze względu na dielektryk będący izolatorem przez kondensator nie może płynąć prąd. Jednakże procesach łączeniowych, polegających na ładowaniu i rozłado­ waniu kondensatora, w przewodach doprowadzających prąd płynie. Obecnie zostanie zbadany czasowy przebieg prądu i napięcia na kondensatorze.

72

(4.20)

.

. . k

(4 20) i przyjmując, że w chwili t

=

O

Rozwiązując . ró':nante , r~zntcz ~::den~atorze w postaci rosnącej funkcji wy-

O, otrzymuje kładniczej :

Uc =

się nap1ęc1e

na

(4.21) na prąd ładowania . , · (4 · l S) 0 t rzy muJ· .. e się zależność . .. kondensatora w postaci zanikającej funkcji wykładmczej. Wykorzystując rowname

u

w

(4.19)

dt

(4.17)

powyższych rozważań

łączeniowe

się równanie:

które o wynika, że prąd ładowania jest p~oporcjonaln~ do. p:ędkości zmiany ~apięci; na kondensatorze. Z równań (4.18) I (4.19) wyntka, ze.

r

4.7. Przebiegi

prąd

dczas procesu ładowania, więc zgodnie ze wzo;;~i(;,;~t:;~~c11:;~w:~~:s~JeJe i gdy napięcie uc osiągnie wartość U, to prąd

(4.16)

r

I = 1OOO m z równania (4.16) otrzymuje

C = 0,0278 [

Z

s 4.10. Ładowanie i rozładowanie kondensat.om: i1 ładowania, /2 _ prąd rozladowanta

Ry '

Wykorzystując

I C = ne = n· 8 86 · 10-12 = 27 8 - · 10-12 [FJ . D ' D ' D InInIndługości

R

. .

Im wynosi: I

Dla

k Ze wzrostem ładunku wzrasta na k ł d któremu ko?-d~nsat~~ ,u~yg~ :w:otJ~~t p~~eciwny do zwrotu napięcia sieci U. kondensatorze nap1ęc1e Uc, or

dzięki

~

'1 o

l=~·

(4.14)

Do obliczeń praktycznych pojemność kabli i linii napowietrznych podaje się zazwyczaj w mikrofaradach na kilometr długości. Z równania (4.14) dla I= 1000 m otrzymuje się:

C = 0,0555 In ,

. ś i C zostanie włączony za pośrednictwem reJeżeli kondensator o poJemno c . . U (na rys 4 10 przełącznik p w poło.. R do sieci prądu stałego o nap1ęcm · · zystanCJt . . . . l) to popłynie prąd. zenm • U-u c (4.18) •

i=-e R

_!.._ RC

(4.22)

· t · d wartości W procesie ładowania kondensatora prąd w obwodzie ma eje ~ · · xia konden. . U _ O) d 0 1· = o (przy t = oo), a nap1ęc1e początkowej 1 = - (przy t R · o (przy t -- O) do wartości Uc = U (przy t = oo). satorze rośnie od wartości Uc = 73

Przebieg zmian u -· f(t) . c oraz 1 = f(t) przedstawiono na rys. 4.11. Naładowany kondensator stanowi przerwę w ob d . Po całk · . wo zie. , owitym naładowamu do napięcia źródła U . dowac przełączając przełącznik p na op 'k R ( . .mozna kondensator rozła. orm połozeme 2 na rys. 4.10) W )b dzte p ł · 1 • < woop yme wtedy zanikający prąd 0 wa t , · . . U r osc1 początkowe1 1 = _ W d b 'b . :i c R . po o ny sposo Jak dla ładowania można napisać:

q= Cuc, .

dq dt ,

l=--

twarzania drgań o określonej częstotliwości, do wyznaczania czasu w urządzeniach zautomatyzowanych (zgrzewarki) itp. Mnożąc stronami wyrażenie (4.18) przez i dt, otrzynrnjc się: Uidt '= u„idt+ Ri2 dt.

(4.27)

Składnik

Uidt przedstawia energię dostarczoną do obwodu ze źr.ódła prądu stałego. Część tej energii Rz'2dt zamienia się, 7.godnie z prawem Joule'a, na ciepło w rezystancji R, a pozostała część energii ucidt, związana z kondensatorem, jest zmagazynowana w jego dielektryku w formie energii pola elektrycznego. Przyrost energii pola elektrycznego w czasie dt wynosi:

dW6 Wykorzystując wyrażenie

=~

Ucidt.

(4J9) otrzymuje

się:

d W" ~= Cu„duc . Energia wynosi:

w [J]

zmagazynowana w kondensatorze w końcu procesu ładowania

W " ·--

fd

.

W" --

fu

•

l Cuc duc-· -2 C U 2 .

(4.28)

o

t

t

Rys. 4.11. Przebieg napięcia i prądu podczas ładowania kondensatora

Rys, 4.12. Przebieg napięcia i prądu podczas rozładowania kondensatora ,

Znak minus w · · . . wyrazenm na prąd i oznacza . ł d związków otrzymuje się równanie różnic;kow'e ~e a unek maleje. Z powyższych duc 1 -=--u

4.8.

Wytrzymałość

elektryczna

Jak wiadomo, dielektryki różnią się od przewodników tym, że prawie nie zawierają ładunków swobodnych. Dodatnie i ujemne ładunki występują w dielektryku w sposób związany między sobą (rys. 4.13). Przy obecności pola elektrycznego występuje w dielektryku przemieszczenie związanych ładunków, dodatnich

dt RC c' (4.23) po ro~wiązaniu którego jako przebie na . . . g p1ęc1a I prądu otrzymuje się zanikające funkc3e wykładnicze (rys. 4. 12):

w kie-

-· E

I

u = Ue-Rc c

.= u-.!... e RC

'

(4.24)

Rys. 4.13. Polaryzacja dielektryka

l

R . ~.2~ Należy zwrócić uwagę . d ładowania kondensatora. ' ze prą ma ten sam przebieg podczas ładowania i rozc;;zas

ładowania i rozładowania ·est z 1 .

Pomeważ iloczyn RC ma w

. J a ~zny od rezystancji i pojemności obwodu ym1ar czasu, więc został nazwany stalą czasową obwodu;

T= RC [sJ. Przez zmianę R lub C . (4.26) mozna wpł ' · densatora. Wykorzystuje się t .Y~ac na cz~s ~adowania i rozładowania kono w wie u zagadmemach technicznych, np. do wy-

74

u=o

(

runku pola, ujemnych - w kierunku przeciwnym. Zmiana położenia molekuł w dielektryku pod wpływem sił pola elektrycznego nazywa się polaryzacją. Przemieszczenie ładunków jest tym większe, im większe jest natężenie pola elektrycznego E. Przy zmniejszeniu E do zera polaryzacja dielektryku znika. Jeżeli natężenie pola elektrycznego E przewyższy określoną dla danego dielektryku wartość, to siły pola, działające na różnoimienne ładunki w dielektryku, przewyższą siły utrzymujące te ładunki w stanie związanym. Pociąga to za sobą

75

przebicie dielektryku i utratę jego właściwości izolacyjnych. Przebiciu towarzyszą wyładowania elektryczne w postaci iskier, huku, świetlenia lub snopienia. Najmniejszą wartość natężenia pola ele~trycznego, przy którym rozpoczyna się przebicie dielektryku, nazywa się wytrzymałością elektryczną. Wartość jej dla niektórych dielektryków w warunkach normalnych temperatur, ciśnienia i wilgotności, dla napięcia przemiennego o częstotliwości 50 Hz, wynosi: powietrze 30 kV/cm, olej transformatorowy 1507200 kV/cm, papier nasycony oleolej silikonowy 2007300 kV/cm, 100-:-250 kV/cm, jem porcelana elektroszelak 2007300 kV/cm, 2007300 kV/cm, lakjery izolacyjne 500kV/cm. techniczna mikanit 150-:-300 kV/cm, Różne dielektryki wykorzystuje się w urządzeniach elektrycznych jako materiały elektroizolacyjne. Prawidłowy dobór tych materiałów jest ważnym warunkiem zabezpieczenia normalnej pracy urządzeń elektrycznych. Obok głównego wymagania co do odpowiedniej wytrzymałości elektrycznej, od materiałów elektroizolacyjnych wymaga się również odpowiedniej wytrzymałości mechanipznej i cieplnej oraz innych właściwości. Ważne znaczenie ma odpowiednia wartość wytrzymałości cieplnej, która limituje dopuszczalne nagrzewanie maszyn i aparatów elektrycznych. W praktyce stosuje się materiały izolacyjne pochodzenia organicznego i nieorganicznego, stałe, płynne i gazowe, np. różnego rodzaju włókna, papiery, emalie, la~iery, żywice, mikę, azbest, drewno, szkło, porcelanę, olej mineralny itp. Zastępowanie materiałów izolacyjnych pochodzenia organicznego przez materiały pochodzenia nieorganicznego, charakteryzujące się większą wytrzymałością ciepJną, pozwala na zmniejszenie wymiarów i urządzeń elektrycznych.

1awisko powtarza się cyklicznie, a kondensator jest źródłem elektrycznych ktro d · Z" ee · 1s · krowe powo d UJą · na popiłokształtnych (rys. 4.15). Wyładowam~ . 1 pulsów 1~ h 1· elektrod wgłębienia odrywane cząsteczki przenoszone od anody do wierze n ' . katody pozostają w dielektryku w postaci proszku.

3

c

4 lroztad.

ftat1..

R 414 Ideowy schemat urządzenia do elektroiskrowej obróbki metali: 1 - mechanizm wibracyjny, ~ys. eiek~roda robocza 3 _dielektryk (olej mineralny), 4 - wsad (przedmiot obrabiany), I - obwód •~dowania kondensatora, li

obwód rozładowania kondensatora

W zależności od przeznaczenia; obrabiarki elektrois~ro~e maj~ ~óżnorodną konstrukcję. z danych charakterystycznych należy wymtentć: napięcie robocze,

wahające się w przedziale od 70 do 200 V, prąd roboczy od ułamka amper~ do kilkudziesięciu amperów, czas trwania impulsu od 10 do 300 µs (co odpowiada

Rys. 4.15. Drgania pilokształtne

+

4.9. Elektroiskrowa obróbka metali I

Wyładowania

elektryczne w dielektryku, ujawniające się przepływem prądu w postaci iskier, zostały wykorzystane do żłobienia powierzchni, a więc do obróbki zwanej elektroiskrową obróbką metali. Schemat ideowy urządzenia do takiej obróbki przedstawia rys. 4.14. Wyładowania iskrowe pomiędzy przedmiotem obrabianym (wsadem) a elektrodą roboczą odbywają się w oleju mineralnym, który jest płynnym dielektrykiem. Przedmiot obrabiany przyłączony jest do bieguna dodatniego źródła energii i stanowi anodę, a elektroda robocza, przyłączona do bieguna ujemnego, stanowi katodę. Elektrody połączone są z kondensatorem C, który może ładować się przez rezystancję R ze źródła prądu stałego. Mechanizm drgający wprawia w ruch elektrodę roboczą, powodując jej okresowy styk z metalem obrabianym. Przebicie dielektryku w postaci iskry powstaje przy odpowiednio małym odstępie elektrod. Prżeskokowi iskry towarzyszy wyła­ dowanie kondensatora C. Ładowanie kondensatora następuje w okresie rozwarcia 76

częstotliwości od 35 OOO do 400 Hz), amplitudę wibracji elektrody roboczej od 0,15 do 0,3 mm. . . . Obrabiarki elektroiskrowe mają zastosowante do obróbki materiałów bardzo twardych, np. matryc, narzędzi, magnesów trwałych itp. Można nimi drążyć otwory o bardzo małych średnicach (rzędu 0,1 mm), wykonvwać otwory o dowolnym kształcie, usuwać odłamki wierteł z otworów itp

5

W polu wytworzonym przez przewód elektryczny z prądem określa się dodatni zwrot linii pola za pomocą reguły śruby prawoskrętnej. Reguła ta brzmi: jeżeli śrubę prawoskrętną wkręca się zgodnie z kierunkiem prądu elektrycznego, to przez kierunek ruchu obrotowego śruby wyznaczony zostaje dodatni zwrot linii ' pola magnetycznego. Linie te są prostopadłe do kierunku przepfywającego prądu.

b)

a)

Obwody· magnetyczne

5.1. Zjawiska magnetyczne Z ładunkiem elektrycznym jest zawsze związane pole elektrycme, natomiast przepływowi prądu elektrycznego {ładunki w ruchu) towarzyszy zawsze pole niagnetyczne, które również jest polem wektorowym i może być l "zedstawione za pomocą linii pola. W praktyce pole magnetyczne i pole elektryczr.: rozpatruje się oddzielnie, chociaż są one wzajemnie związane i występują jednoc. ·eśnie, tworząc tzw. pole elektromagnetyczne. Pole magnetyczne wytwarza się dwoma sposobami: a) za pomocą elektromagnesów, tj. cewek nawiniętych na rdzenie z miękkiej stali, gdy przez cewki płynie prąd elektryczny; b) za pomocą magnesów trwałych *. Na rys. 5.1 przedstawiono przebieg linii pola magnetycznego wytwarzanego przez przewody z prądem, zaś na rys. 5.2 - przez magnesy trwałe. W przeciwień­ stwie do linii pola elektrycznego, linie pola magnetycznego tworzą obwody zam-

Rys. 5.1. Pole magnetyczne wytworzone przez przewody z prądem elektrycznym: a) pole wytworzone przez przewód prosty, b) pole wytworzone przez jeden zwój, c) pole wytworzone przez cewkę

a)

Rys. S.2. Pole magnetyczne wytworzone przez magnesy

h)

trwałe:

a) sztabkowy, b) podkowiasty

knięte.

Pole magnetyczne może być wykrywane igłą magnetyczną, swobodnie zawieszoną, która ustawia się w kierunku linii pola. Każdy magnes ma dwa bieguny~ biegun północny N oraz biegun południowy S. Umownie przyjęto, że linie poła magnetycznego wychodzą na zewnątrz z bieguna północnego (dodatniego), po czym wchodzą ponownie do bieguna południowego (ujemnego), tworząc obwód zamknięty.

• • Magnetyzm magnesów trwałych można wytłumaczyć prądami molekularnymi we wnętrzu mamagnetycznego.

tertału

78

5.2.

W~elkości

pola magnetycznego

Podstawową wielkością charakteryzującą pole 'magnetyczne jest strumień magnetyczny
79

jednostką

strumienia magnetycznego (powiązaną z nego) jest woltosekunda, zwana również weberem:

jednostką napięcia

Trzecią wielkością magnetyczną jest napięcie magnetyczne, które podobnie jak napięcie elektryczne występuje w dwóch postaciach: 1) napięcie magnetyczne źródłowe, zwane zwykle przepływem Przepływ można wytworzyć z pomocą magnesów trwałych lub z pomocą prądu elektrycznego, płyllącego w cewce o liczbie zwojów z. Ponieważ o wartości strumienia magnetycz-

elektrycz-

*.

1[Wb]=1V·ls=1 [V·s]. używano

Dawniej jako jednostki strumienia 1 Mx = 10-8 Wb. Gęstość strumienia magnetycznego, na jednostkę powierzchni, nazywa się

makswela [1 Mx], przy czym

określoną liczbą

linii pola przypadającą indukcją magnetyczną. Wyraża się ona

A

związkiem:

Rys. 5.4. Spadek

napięcia

na odcinku obwodu magnetycznego

(5.1) Strumień

magnetyczny

można wyrazić

=

B

z równania (5.1) jako:

j BdS.

nego decyduje sprzężona z tym strumieniem suma prąd~w, więc określoną gęstość strumienia B (indukcję magnetyczną) można uzyskać, stosując cewkę o dużej wartości prądu i małej liczbie zwojów lub cewkę o małej wartości prądu i dużej liczbie zwojów. Zatem przepływ:

(5.2)

s

normalną

Gdy wektor indukcji B tworzy z to

do powierzchni S (rys. 5.3)

kąt

a,

strumień określa się zależnością:

~=

j BcosadS.

e = J; I= Iz.

(5.3)

s Jeżeli

ma

pole :i;nagnetyczne jest równomierne, tzn. w każdym miejscu obszaru i zwrot, to indukcja magnetyczna wynosi:

tę samą wartość



B=-.

Is

(5.4)

Jednostką

indukcji magnetycznej jest 1 V ·s/m2 = 1 Wb/m2 = 1 T (tesla). Dawniej jako jednostki indukcji używano gausa [1 Gs], przy czym 1 Gs= 10-' T. Strumień magnetyczny , podobnie jak prąd elektryczny/, ma w całym obwodzie tę samą wartość. Linie strumienia pola są zamknięte i w żadnym punkcie linia

.

(5.6)

Jednostką przepływu jest amper. 2) spadek napięcia magnetycznego Um wzdłuż odcinka obwodu magnetycznego, np. między A i B na rys. 5.4. Odpowiada on elektrycznemu napięciu odbiorniko-

wemu lub spadkowi napięcia elektrycznego U. Wartość strumienia magnetycznego lub indukcji B w określonym punkcie zależy nie tylko od siły magnetomotorycznej, ale również od kształtu i rodzaju obwodu magnetycznego. Zależność między SMM, strumieniem, kształtem konstrukcyjnym i właściwościami materiałowymi obwodu magnetycznego prowadzi do defini~)i oporu magnetycznego, zwanego również reluktancją:

e

Rm = .

(5.7)

Zależność

Rys. 5,3.

Składowa

ta jest znana jako prawo Ohma dla obwodu magnetycznego. Jednostką .. . A reluktanCJI Jest 1 - . V·s Odwrotność reluktancji nazywa się permeancją (przewodnością magnetyczną):

normalna strumienia magnetycznego

s



nie może zniknąć ani powstać. Własność ta jest analogiczna do własności prądu elektrycznego, określonej I prawem Kirchoffa. Prawo to dla strumienia magnetycznego formułuje się: w punkcie węzłowym rozgałęzionego obwodu magnetycznego suma strumieni równa się zeru: n

•

_l;
80

(5.5)

(5.8)

A=e·

Jednostką permeancjijest 1:s=1O·s=1 H

(henr).

• Często używa się nazwy siła magnetomotorycz11a (SMM). Nazwa ta powstała przez analogię do siły elektromotorycznej SEM. SMM jest przyczyną powstania strumienia magnetycznego, tak jak SEM jest przy~ą pdwsta._nia prądu elektrycznego. Il - Elektrotechnika i elektronika

81

Reluktancja jest

zależna

od wymiarów geometrycznych oraz od właściwości magnetyczny. Zależność ta, podobna do odpowiedma postać:

środowiska, tworzącego obwód niej zależności dla rezystancji~

I Rm = µS .

(5.9)

W równaniu tym I jest długością linii pola, S - przekrojem, przez który przenika strumień
1 [µ]

=1

[m. V. SJ

=

m2·A

Zrównania (5.13) wynika, że im większy jest przepływ Iz, tym większe jest natę. . . Należy podkreślić, że natężenie pola magnetycznego me zależy od przentkalnośc1 magnetycznej środowisU; jest to wielkość obliczeniowa, niezbędna w obliczeniach żenie pola magnetycznego wewnątrz cewki.

1 n.

m

Rys. 5.5. Pole magnetyczne

wewnątrz długiej

s= 1 H . m

WieH. ość /·~ dh( danego środowiska można odnieść do przenikalności magnetycznej pró;bd /.(u· Andogicznic do przenikalności elektrycznej można zatem napisać:

µ=µo·µ,,

obwodów magnetycznych. Często wystarczy znać wartość H, z której można określić wszystkie pozostałe wfolkości magnetyczne. równania (5.13) można określić napięcie magnetyczne w postaci wyrażenia:

z

Um =

(5.10)

gdzie ;11, Jt~st prnmikalnością magnetyczną względną środowiska, wskazującą ile razy pr2.e,1iknlnc i<~ ta jest większa· od przenikalności magnetycznej bezwzględ)1ej

Między

przekrojami A

j

B na rys. 5.4

(5.14)

Hdl. napięcie

magnetyczne wynosi:

n

próżni.

Dla

cewki

UmAB

próżni:

j

(5.15)

Hd/.

A

H m

~ = 4n·10~ 7 -.

(5.11)

· Przewodność magnetyczna materiałów i środowisk nieferromagnetycznych (powietrze, miedź, aluminium, materiały elektroizolacyjne) praktycznie nie różni się od przenikalności magnetycznej próżni {µ, ~ 1 lub µ = ~). W materiałach ferromagnetycznych (żelazo, nikiel, kobalt oraz niektóre ich stopy) wartośćµ zależy od wartości indukcji magnetycznej B (µ, ~ 1). Duża wartośćµ, oznacza, że reluktancja materiału jest mała. W materiałach tych (np. stal), przy określonym przepływie, powstaje duży strumień magnetyczny

Jeżeli się

pole do:

między

'

tymi przekrojami jest równomierne, to

wyrażenie

(5.15) upraszcza

(5.16) Z równania po,wyższego korzysta się przy wyznaczaniu napięcia magnetycznego obwodu magnetycznego, który dzieli się na odcinki o praktycznie równomiernym polu. Jeżeli cewka z prądem (rys. 5.4) znajduje się powietrzu, to wewnątrz niej istnieje natężenie pola magnetycznego H. Wkładając do cewki rdzeń z materiału ferromagnetycznego uzyska się większy strumień, ponieważ wzrosła µ, środowiska. Ponieważ przekrój pozostał niezmieniony, musi wzrosnąć gęstość strumienia, czyli indukcja magnetyczna B. Wektory indukcji Bi natężenia pola magnetycznego H

w

związane są więc między sobą zależnością:

B=µH.

(5.17)

(5.12) Jednostką natężenia pola magnetycznego H jest 1 A/m. Dla pola równomiernego, wzbudzonego np. przez długą cewkę (/ ~ stawioną na rys. 5.5, natężenie pola magnetycznego wynosi:

Iz H=7,

t) przed-

(5.13)

5.3. Prawo

przepływu

Jeżeli równania (5.14) lub (5.15) zostaną zastosowane do wszystkich odcinków obwodu magnetycznego, to:

gdzie: I - długość cewki. 82

a•

83

Ponieważ suma wszystkich spadków napięć wzdłuż obwodu magnetycznego jest

równoważona przez przepływ, więc:

f

' I

Hdl=}; Iz.

(5.18)

1

Równ~_nie (5.18~ jest matematyczną postacią prawa przepływu, które można

w:raz1c

następująco:

dla zamkniętego obwodu magnetycznego suma spadków na-

pięć m~gnetyc~nych. równa się sumie- sil magnetomotorycznych działających w tym o~wodz1e. Pomewaz prąd elektryczny płynie również w obwodzie zamkniętym

dzić, że początkowo w miarę wzrastania natężenia pola H indukcja B rośnie prawie proporcjonalnie, potem tworzy tzw. kolano, a następnie rośnie już nieznacznie w porównaniu z pierwszym odcinkiem krzywej, osiągając tzw. stan nasycenia. Magnesowanie materiału magnetycznego można odwrócić przez zmianę zwrotu prądu cewki użytej do zdejmowania krzywej. Jeżeli zwiększa się prąd cewki od zera do pewnej wartości największej, następnie znowu zmniejsza do zera i powtarza ten sam przebieg z odwróconym prądem, to otrzymuje się tzw. pętlę histerezy magnetycznej (rys. 5.7). Powierzchnia tej pętli jest proporcjonalna do strat mocy wystę-

więc prawo przepływu wyraża jednocześnie związek prądu elektrycznego z pole~ magnetycznym. Jeżel~ obwód magnetyczny można podzielić na n odcinków, w k:tórych istnieje równomierne pole magnetyczne, to wzór (5.18) upraszcza się: H1l1+H2la+.„

HJn= ±Iz.

(5.19)

+B

Rys. 5.7.

Pętla

histerezy magnetycznej

1

Prawo przepływu jest podstawowym prawem, służącym do obliczania obwodów magnetycznych.

5.4. Pole magnetyczne w materiałach ferromagnetycznych Ze względu na dużą wartość przenikalności magnetycznej względnej µr ciała ferromagnetyczne są stosowane powszechnie jako materiały, z których buduje się obwody magnetyczne. . D? okre~lenia ni.eliniowe.go zachowania się materiałów magnetycznych, np. stali, me uzywa się prze01kalnośc1 magnetycznej, lecz bezpośrednio zależności indukcji B od natężenia pola magnetycznego H, prądu I lub przepływu @ = Iz. B[T]

1,6 1,2

0,8 0,4

o

/

(

I

----„~

1 Rys. 5.6. Krzywe magnesowania: 1 - blacha nicowa, 2 - żeliwo

-2

prąd­

V 10

20

80

40 H /J,/cm]

C?arakter~stykę B = f (H) nazwano krzywą magnesoJ1!ania. Wyznacza się ją dośwrndcz.alnte dla różnych gatunków materiałów magnetycznych. Na rys. 5.6 p~zedst.aw10no .przykładowo charakterystykę magnesowania staliwa i blachy prąd­

mcoweJ. Przebieg tych, a także innych krzywych magnesowania, pozwala stwier84

pujących przy przemagnesowywaniu, zwanych stratami histerezowymi. Z pętli histerezy wynika, że przy przemagnesowywaniu przy wartości natężenia pola H = O indukcja magnetyczna nie spada do zera, lecz ma pewną wartość B,, która nazywa się indukcją szczątkową lub remanencją magnetyczną. Namagnesowany materiał nie traci własności magnetycznych, pozostaje w nim magnetyzm szczątkowy. Indukcję szczątkową można sprowadzić do zera przez wytworzenie natężenia pola magnetycznego He o kierunku przeciwnym. Natężenie pola, znoszące magnetyzm szczątkowy, nazywa się natężeniem powściągającym lub koercją magnetyczną. Krzywa magnesowania pierwotnego N może przebiegać przy pierwszym magnesowaniu materiału lub po opisanym powyżej zupełnym jego rozmagnesowaniu. Przedstawioną na rys. 5. 7 mniejszą pętlę histerezy (we wnętrzu dużej) uzyskuje się przy zastosowaniu mniejszych maksymalnych wartości natężenia pola. Na rysunku przedstawiono również przebieg zależności indukcji magnetycznej B = 14iH dla cewki powietrznej (bez materiału magnetycznego). Związek między B i H jest liniowy, ponieważ dla powietrza µ, = 1 = const. Przebieg pętli histerezy zależy od gatunku materiału magnetycznego. Pod tym względem rozróżnia się: a) materiały magnetyczne miękkie (np. blacha prądnicowa) posiadające wąską pętlę histerezy, b) materiały magnetyczne twarde (stopy na magnesy trwałe) posiadające $zeroką pętlę histerezy. Przebieg pętli histerezy materiałów magnetycznie miękkich i twardych pokazano na rys. 5.8. Z rysunku tego wynika, że magnesy trwałe mają szczególnie dużą wartość natężenia powściągającego oraz dużą wartość indukcji szczątkowej. Z powodu

85

dużej wartości

He

należą

one do

materiałów

bardzo

ciężko magnesujących się.

Żelazo, które jest ciągle przemagnesowywane (np. przez prąd przemienny) musi mieć

możliwie wąską pętlę histerezy, ponieważ wtedy straty histerezowe są także małe. 2

Rys. 5.8. Przebieg pętli histerezy: 1 magnetycznie twardy (magnes trwały), 2 magnetycznie miękki (blacha prądnicowa)

porównanie tych obwodów (rys. 5.9) dają całkowitą zgodność matematycznego zapisu obu zjawisk. . . Obliczanie obwodu magnetycznego polega głównie na wyznaczenm siły m~gn~ tomotorycznej (przepływu Iz), niezbędnej do wytworzeni~ żąda~ego strumterua magnetycznego dla danych wymiarów geometrycznych i matenału obwodu.

materiał materiał

-B Tablica 5.1 Porównanie wartości wielkości występujących przy pętli histerezy magnetycznej Rodzaj materiału

B,

Ba

He

µ,max·

Rys. 5.9. Porównanie obwodu magnetycznego z elektrycznym: a) obwód elektryczny, b) obwód magne1yczny rzeczywisty, c) schemat zastępczy obwodu magnetycznego Zastosowanie

V·s/m

V·s/m

A/m

-

Żeliwo

1,6

0,5

500

600

Blacha prądniemy a go-

2,0

1,1

20-70

4000-9500

Obwody magnetyczne maszyn i urządzeń magnetycznych

12

50000

Transformatory, wzmacniacze magnetyczne

0,6

3,5

70.000

Wzmacniacze magnetyczne, czułe przekażniki, przyrządy pomiarowe

o,55~1,o

20000-65000

1

2

rąco-walco-

wana Blacha prądnicowa zimno-walcowana

2,0

Permalłoj

0,95

78,5% Ni, 3% Mo Stop AlNiCo

1,0-1,5

-

Korpusy maszyn elektrycznych

Magnesy

trwałe

W tablicy 5.1 zestawiono dla porównania występujące przy histerezie wielkości charakterystyczne kilku gatunków materiałów magnetycznych. Osiągalna najwyższa wartość .indukcji, tzw. indukcja nasycenia B„ jest podana w pierwszej kolumnie tablicy. Szczególnie rzucają się w oczy różnice wartości He oraz osiągalnej maksymalnej przenikalności magnetycznej µ,m•".

5.S. Obliczanie obwodów magnetycznych Obwodem mag'!etycznym nazywa się drogę, wzdłuż której zamyka się strumień magnetyczny. Zastosowanie analogii między obwodem elektrycznym a magnetycznym pozwala na łatwe zrozumienie przebiegu zjawisk w obwodach magnetxcznych.

86

Jeżeli obwód magnetyczny jest nierozgałęziony i składa się z szeregowo ~o­ łączonych odcinków o różnej przenikalności magne~yczn~j lub ~ różnym przekroju, to mając dany strumień oblicza się dla każdego o~c1~ka.indukcję B wg .wz?ru (5.4). Następnie z krzywej magnesowania B = f(H) znajduje s1~ wartość.natęzenta pola H dla poszczególnych gatunków materiału obwodu. Znając średnie długości I poszczególnych odcinków obwodu oblicza się ze wzoru (5.19) przepływ Iz potrzebny do wytworzenia żądanego strumienia magnetycznego. . . Obwody magnetyczne bardzo często zawierają szczelinę po.wietrzną. Na"'.'et, gdy jest ona bardzo mała, to potrzebny przepływ dla .tego odcmka ob':'od~ j~S~ duży z powodu małej przenikalności magnetycznej pow1~trza. ~rzepły~ ~1ew1elk1~J szczeliny jest nawet kilkakrotnie większy niż ~~a dłuższej d.rog1 strumienia w stah. Szczelina powietrzna odpowiadająca rezystanCJt z~wnętrzneJ obwo~u el~ktryczneg~ (rys. 5.9) jest jednak często niezbędna do uzyskama określonego dzrnłama urządzen

Rys. 5.10. Rozproszenie pola magnetycznego: 1 - linia pola rozproszenia, 2 - linia pola głównego

elektrycznych zawierających obwody magnetyczne. Zadanie polega więc. na wyz~a: czeniu określonej liczby zwojów uzwojenia, którego. przepł~.w wy~ołuje strurmen w całym obwodzie magnetycznym oraz wytwarza ządaną indukCJę magnetyczną w szczelinie powietrznej. . . . Na rys. 5.10 pokazano, że cały strumień wytworzony przez uzwoJeme ~zbudzające nie przechodzi przez szczelinę powietrzną, ponieważ zawsze występuje pewne 87

rozproszenie magnetyczne polegające na wybraniu przez niektóre linie pola drogi

podstawiając

Strumień całkowity jest sumą strumienia użytecznego i strumienia rozproszenia. Aby strumień. użyteczny, przechodzący przez szczelinę, miał określoną żą­ daną wartość, należy przy projektowaniu obwodu magnetycznego uwzględnić strumień rozproszenia, który wynosi zazwyczaj 10 do 20 % strumienia całkowitego.

otrzymuje się:

łatwiejszej, tj. mniejszej reluktancji.

Obliczenia rozgałęzionych obwodów magnetycznych. W konstrukcji maszyn i aparatów elektrycznych często występują rozgałęzione obwody magnetyczne, gdzie strumień nie zamyka się wzdłuż jednej drogi, lecz dzieli się na kilka oddzielnych strumieni. Rozgałęzione obwody magnetyczne dzieli się na obwody symetryczne i niesymetryczne. Jeżeli rozgałęziony obwód magnetyczny (rys. 5.11) można podzielić

Rys. 5.11. Symetryczny obwód magnetyczny maszyny elektrycznej: 1 - uzwojenie wzbudzające, 2 - bieguny, 3 - jarzmo biegunów, 4 - nabiegunniki, 5 - jarzmo twornika, 6 - żłobki twornika

lub

rl

m

I) 8k =I) Rmk
(5.20)

1

· . 8 k•
h)

a)

a

wzdłuż osi symetrii AA na dwie niezależne qzęści, to wystarczy dokonać obliczenia jednej z symetrycznych gałęzi obwodu. Ponieważ taka gałąź tworzy obwód nierozgałęziony, więc do obliczenia należy zastosować metodykę rozpatrzoną powyżej. Rys. 5.13. Niesymetryczny obwód magnetyczny z jednym uzwojeniem wzbudzającym: a) obwód magnetyczny, b) równoważny obwód elektryczny Rys. 5.12. Niesymetryczny obwód magnetyczny

Obliczenie rozgałęzionych niesymetrycznych obwodów magnetycznych (rys. 5.12) dokonuje się wykorzystując prawa Kirchhoffa dla obwodów magnetycznych. I prawo Kirchhoffa (wzór 5.5) stosuje się do dowolnego punktu węzłowego obwodu magnetycznego. II prawo .Kirchhoffa zostanie przedstawione na podstawie prawa przepływu. Dla obwodu abcda (rys. 5.12), idąc zgodnie ze wskazówkami zegara, można napisać: 81- 82 = H,. fi-H2 l2. 88

Poszukuje się wartości strumieni magnetycznych we . wszystkich gałęziach obwodu. Stosując do węzła a I prawo Kirchhoffa, a do zamkmętych obwodów afeda i abcda U prawo Kirchhoffa, otrzymuje się następujący układ równań: 8 = Rm 1
układu równań

E E

= Ril1+ R2/2, = R1I1 +Rafa,

/1

=

(5.21a) dla

równoważnego

(5.21b)

I2+Ia. 89

Dla przypadku, gdy wszystkie lub niektóre rezystancje układu (5.21b) są nieliniowe, obliczenia prądów / 1 , / 2 oraz / 3 dokonuje się metodą graficzną (p. 3.5) na podstawie charakterystyk prądowo-napięciowych elementów układu. Analogicznie wyznacza się wartości strumienia 1 , 2 oraz 3 • W tym celu buduje się dla każdej gałęzi obwodu charakterystykę = f ( @). Na rys. 5.14 krzywe l, 2 i 3 zbudowano dla gałęzi ad, aefd, abcd. ·

Rys. 5.14. Konstrukcja krzywej(,!) magnetycznego z rys. 5.13

f(<9) dla niesymetrycznego obwodu

Dwie równoległe gałęzie można przedstawić wykreślnie za pomocą jednej gałęzi zastępczej. Charakterystyka takiej gałęzi (krzywa 4) powstaje drogą sumowania rzędnych krzywych 2 i 3. W wyniku tego rozgałęziony obwód magnetyczny jest sprowadzony do równoważnego obwodu nierozgałęzionego. Sumując odcięte krzywych 1 i 4 otrzymuje się wypadkową charakterystykę = f(Q) całego obwodu (krzywa 5). Mając daną wartość przepływu znajduje się na charakterystyce 5 strumień całkowity 1 • Składowe tego strumienia '1> 2 i t/> 3 znajduje się z krzywych 2, 3 i 4.

6 Indukcja elel(tromagnetyczna

6.1. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Prawo przepływu podaje zależność między prądem elektrycznym a wywoła­ nym przez niego polem magnetycznym. Prawo indukcji elektromagnetycznej opisuje przebieg odwrotny, a mianowicie prawidłowość, przy której w pewnych warunkach pole magnetyczne wywołuje napięcie, a zatem i prąd elektryczny. Prawidłowość ta bezpośrednio po odkryciu przyczyniła się do szybkiego rozwoju elektrotechJ1iki. Opiera się na niej zasada działania maszyn elektrycznych i transformatorów a więc urządzeń dostarczających i przetwarzających energię elektryczną. Również' cała telekomunikacja (m. h1. radio i telewizja) nie mogłaby się rozwinąć do dzisiejszego stanu bez odkrycia tego prawa. . . Zjawisko pows~awania (indukowania) w przewodach elektrycznych nap1ęc1a elektrycznego w przypadku ruchu tych przewodów w polu magnetycznym odkrył Faraday w 1831 r. . . . Ustalono również, że zjawisko indukcji elektromagnetycznej wyst~puJe .niezależnie od tego, w jakich okolicznościach i z jakich przyczyn następuje zmiana strumienia sprzężonego ze zwojem. Zmiany te mogą odbywać się np. przez włą­ czenie albo wyłączenie prądu stałego lub przez periodyczne zmiany prądu zmiennego. Możliwe jest również indukowanie napięcia przez stałe w czasie pole ~agne­ tyczne, ale przewody muszą poruszać się w tym polu, aby spowodować komeczną do przebiegu zjawiska zmianę strumienia magnetycznego. Napięcie indukowane może być zatem wytwarzane następująco: a) w nieruchomych przewodach przez zmienne w czasie pole magnetyczne, b) w ruchomych przewodach przez stałe w czasie pole magnetyczne lub przez nałożenie się obu wymienionych form zjawiska, c) w ruchomych przewodach przez zmienne w czasie pole magnetyczne. 91

6.2. Indukcja elektromagnetyczna w

zamkniętym

obwodzie

tzw. całkowitą liczbę sprzęże1i 1JJ, czyli strumień skojarzony, który jest mieni sprzężonych z poszczególnymi zwojami:

6.2.1. Nieruchomy przewód w polu zmiennym w czasie '

d
e=-dt.

(6.1)

= };
1P

prędkości

zmiany strumienia

~~, sprzężonego

Z uwagi na wygodną postać wzoru (6.2) obowiązującego dla cewki skupionej, wprowadza się często w przypadkach cewki rozłożonej zastępczy strumień
(6.4) Wprowadzenie pojęcia strumienia skojarzonego pozwala na ogólne prawa indukcji elektromagnetycznej w postaci wzoru:

e=-

z tym zwojem. Wy-

jaśnienia wymaga znak minus umieszczony we wzorze (6.1). Pod działaniem SEM indukowanej popłynie w zamkniętym obwodzie prąd i, mający ten sam zwrot co SEM. Prąd ten wytworzy własny strumień d
napięcia

indukowanego

Rys. 6.2. Zwrot

napięcia

indukowanego

określony regułą śruby prawoskrętnej (rys. 6.2). Zgodnie z powszechnie obowiązu­

ujemny i stąd znak minus we wzorze (6.1). Jeżeli obwód elektryczny jest uzwojeniem o wielu zwojach, to strumień skojarzony jest sumą strumieni wszystkich zwojów. W przypadku szczególnym, gdy strumień

(6.6)

stałym

polu magnetycznym

górę, ponieważ

.

. .

w obu przypadkach zmiana strumienia

jest jednakowa. Zmiana strumienia sprzężonego ze zwojem o nym indukcją B wynosi:

d

długości

czynnej I w polu

d

określo­

Bldx,

zaś

d

dt

'

wobec czego:

e = -Blv.

(6.7)

Jeżeli prędkość

(6.2)

gdzie: z - liczba zwojów uzwojenia. W praktyce jednak poszczególne zwoje sprzęgają się z różną liczbą linii pola magnetycznego, wobec czego dla prawidłowego zapisania zjawiska należy ustalić

92

(6.5)

Jeżeli na rys. 6.1 zamiast magnesów nastąpi ruch przewodu w dół, to przy tej samej względnej prędkości ruchu powstanie ten sam przebieg zjawiska co przy

jącym prawem akcji i reakcji, które w elektryce przybrało nazwę reguły Lenza, strumień d
d

d'tjJ dt

e

ruchu magnesów w Rys. 6.1. Powstawanie

wyrażenie

lub

6.2.2. Ruchomy przewód w

e

(6.3)

.~1

Zależność ta oznacza, że wartość napięcia (SEM) indukującego się w zwoju

od

stru-

n

Na rys. 6.1 przedstawiono zwój obejmujący strumień

zależy

sumą

ruchu przewodu jest stała, to napięcie indukowane jest również stałe; dla tego szczególnego przypadku można napisać:

E= -Blv.

(6.7a)

Napięcie indukowane musi mieć taki zwrot, aby wywołany przez nie w obwodzie ~amkniętym prąd przeciwdziałał przyczynie, a więc nie pozwalał na wzrost stru-

93

mienia. Zwrot napięcia indukowanego określa się łatwo na zasadzie reguły prawej dłoni (i::ys. 6.3), która brzmi: jeżeli linie pola magnetycznego zwrócone są ku otwartej dłoni prawej ręki, a kciuk wskazuje ruch przewodu, to pozostałe palce wskazują zwrot indukującego się napięcia.

działauie

dynamiczne powstaje dla· prądów jednakowego zwrotu (rys. 6.4b); prze-

przyciągają się. Siłę F wzajemnego przyciągania się

wody

wodów, w których

lub odpychauia dwóch równoległych prze/ 1 i / 2, oblicza się w niutonach ze wzoru:

płyną prądy

, µof ft= - - /1/2. ,2rr:a Podstawiając

Rys. 6.3.

Reguła

prawej

do wzoru (6.8)

F=

dłoni

Wzór (6.7) został podany przez Faradaya jako szczególna interpretacja zjawiska indukcji elektromagnetycznej : Wskutek przecinania linii pola magnetycznego przez przewód poruszający się z prędkością v w polu magnetycznym o indukcji B, indukuje się w tym przewodzie napięcie o warto.~c1 e Bfv.

6.3. Siła oddziaływania dwóch przewodów równoległych Jeżeli w dwóch przewodach równoległych płyną prądy elektryczne / 1 i / 2 , to powstają między nimi siły wzajemnego oddziaływania. Zjawisko to ;najlepiej rozpatrywać na podstawie obrazu pola magnetycznego dla dwóch możliwych przypadków przepływu prądu. Z rys. 6.4a widać, że przez nałożenie pól wywołanych

a)

wartość µ 0

47t· 10- 7 I · 11 12 2rr: a

(6.8)

otrzymuje

=

2· 10- 7

I a

się:

11 12

(6.9)

gdzie: a - odstęp między przewodami. Równania (6.8) i (6.9) wykorzystuje się m. in. do określenia jednostki prądu elektrycznego w układzie SI oraz do obliczenia sił dynamicznych występujących w sieciach i urządzeniach elektrycznych przy zwarciach, podczas których prądy są kilkakrotnie większe od prądów znamionowych. Pod działa~iern sił zwarciowych przewody i izolatory wsporcze sieci oraz uzwojenia maszyn elektrycznych i transformatorów mogą ulec odkształceniu, dlatego na siły te należy zwracać szczególną uwagę przy projektowaniu wymienionych urządzeń.

6.4. Prawo

Lapłace'a

Wzajemne oddziaływanie dwóch przewodów z prądem można przedstawić jako przewód o długości I wiodący prąd I umieszczony w polu magnetycznym o (gęstości B, wywołanej przez drugi przewód (rys. 6.5). Ponieważ:

Iz B =f'o H =f'o 2rr:a ' więc

F=B·I·l.

a)

b)

(6.10)

o)

I

N

I

s

Rys. 6.4. Pole wytworzone przez dwa równoległe przewody z prądem: a) różne zwroty prądu w przewodach, b) te same zwroty prądu w przewodach

przez prądy o różnych zwrotach między przewodami występuje zagęszczenie linii pola. Linie te usiłują oddalić przewody do obszaru o mniejszej gęstości, przez co · powstaje siła elektrodynamiczna prostopadła do kierunku pola i prądu. Przeciwne 94

I

Rys. 6.5. Oddziaływanie pola magnetycznego na przewód z prądem: a) pole przewodu, b) pole wytworzone przez magnesy, c) pole wypadkowe

95

Ogólnie rzecz biorąc 1 i B są wektorami. Iloczyn wektorowy 1X B daje w wyniku wektor skierowany pod kątem prostym wzajemnie do obu wektorów. Amplituda iloczynu wektorowego wynosi: F= IIBsina.

gdzie: a - kąt od I do B. W większości przetworników elektromechanicznych przewodniki są umieszczone pod kątem prostym w stosunku do wektora pola, tak że wyrażenie (6.10) jest wystarczające, lecz należy pamiętać, że ogólnie prawo Laplace'a brzmi: F=I(JxB).

(6.11)

Indukcyjność własna

6.5. 6.S.1.

i wzajemna

Indukcyjność własna

Jak już zaznaczono, siła elektromotoryczna indukuje się niezależnie od przyczyny zmiany strumienia magnetycznego. Zmianę strumienia objętego przez obwód elektryczny może np. wywołać prąd płynący w tym samym obwodzie, jeżeli w elementarnym czasie dt nastąpi zmiana prądu o di. Zmianę prądu można wywołać jednorazowo przez proces łączeniowy lub okresowo, co ma miejsce przy prądzie przemiennym. Wartość indukowanej SEM, zwanej siłą elektromotoryczną samoindukcji, określa prawo indukcji elektromagnetycznej:

Prawo Laplace'a jest podstawowym prawem rządzącym silnikami elektrycznymi. Siła działająca na ładunek poruszający się w poprzek pola magnetycznego wynika z

powyższego równania. Ponieważ I= ~, można napisa-1:: F = q(vxB),

dq; e= -zdt. Określając strumień

q; z prawa Ohma dla obwodu magnetycznego:

e

(6.12)

gdzie: v - prędkość, m/s. To równanie ma zastosowanie w lampach oscyloskopowych i urządzeniach plazmowych (mhd). W przestrzeni zorientowanej prawoskrętnie układy wektorów

(6.13)

Iz

q;=-=Rm Rm

otrzymuje

się

(6.14)

z (6.13) i (6.14): z2 di eL= - - Rm dt

=

di -L-. dt

(6.15)


I, B, F

u

~ ...,... ---.

v, B, F tworzą trójkę prawoskrętną. Do iloczynu wektorowego dwóch wektoró\V odnosi się reguła śruby prawoskrętnej (korkociągu).· Nie mniej

w elektrotechnice

e=-L dt 'L dt

i

Rys. 6.7. Zwrot SEM samoindukcji

Rys. 6.8. Spadki

napięcia

w

gałęzi

z

indukcyjno§cią

Wielkość L nazywa się indukcyjnością własną (wsp6lczynnikiem samoindukcji) określonego układu

Rys. 6.6.

Reguła

lewej

przewodów, np. zwoju lub cewki:

dłoni

L =

·

_!.__ = z2/Aoµ,S Rm

I

.

{6.16)

Równanie (6.16) wykazuje, że indukcyjność własna zależy tylko od parametrów układu przewodów, a więc jest jego określoną własnością. Zgodnie z regułą Lenza SEM eL przeciwdziała zmianom prądu, a więc przy wzroście prądu (I+di) SEM eL ma zwrot przeciwny do prądu; przy zanikaniu użyteczną

w praktyce przy określaniu zwrotu siły jest również reguła lewej dłoni (rys. 6.6). Reguła ta brzmi: jeżeli wektor. indukcji B wchodzi do otwartej dłoni lewej ręki, a wyciągnięte cztery palce pokrywają się 7e zwrotem prądu, to wyciągnięty kciuk wskaże zwrot siły działającej na przew6a.

96

prąd (I-di) SEM ,eL ma zwrot zgodny z prądem (rys. 6.7). Jednostk' indukcyj" ności L określa się

z równania (6.15):

1 [L]

=

'I -.Elektrotechnika i elektronika

1[e] · l [t] V· s l[i] = 1 A= 1 Q·s = 1 H. 97

1 henr [H] jest indukcyjnością takiego obwodu, w którym przy zmianie prądu o 1 A na 8ekundę indukuje się SEM równa 1 woltowi. Aby wzrastający prąd mógł przepłynąć przez odcinek obwodu elektrycznego o indukcyjności L, należy przezwyciężyć przeciwdziałającą siłę elektromotoryczną samoindukcji, a więc występujące na indukcyjności L napięcie wynosi :

Podstawiając:

(6.19)

otrzymuje

się:

(6.20)

UL= -eL •

W

związku

istniejącej

z powyższym na elemencie obwodu o w nim rezystancji R występują przy zmianie

indukcyjności prądu

L i zawsze (/+di) dwa spadki

napięcia: DJ

u= .l\.ł+

.

Ldi dt

(6.17)

Rys. 6.9.

Indukcyjność

wzajemna

lub (6.17a) Spadki te oznaczone są na rys. 6.8 oddzielnie, chociaż występują na tym samym elemencie obwodu. Z dotychczasowych rozważań wynika, że każdy przewód musi posiadać indukcyjność L o określonej wartości, ponieważ zmiana prądu jest związana ze zmianą strumienia. Indukcyjności pojedynczych przewodów są jednak małe w porównaniu z indukcyjnością cewek. Jak wynika ze wzoru (6.16) szczególnie liczba zwojów i przenikalność magnetyczna.µ mają duży wpływ na. indukcyjność cewki. Na podstawie zależności (6.16) można również wywnioskować, że: a) cewka nawinięta na rdzeniu magnetycznym ma znacznie większą indukcyjność niż cewka umieszczona w powietrzu, b) indukcyjność cewki nawiniętej na rdzeniu nie jest stała, lecz zależy od nasycenia obwodu magnetycznego. Dlatego w obwodach elektrycznych, które powinny mieć dużą indukcyjność umieszcza się cewki o dużej liczbie zwojów, nawiniętych na rdzeniu stalowym. Cewki takie przeciwstawiają się wzrostowi prądu i dlatego nazywa się je dławi­ kami. Dławiki są ważnymi elementami elektromagnetycznymi stosowanymi we wszystkich gałęziach elektrotechniki.


Indukcyjność wzajemna

Indukowanie SEM w cewce znajdującej się w polu wytworzonym przez drugą nazywa się indukcją wzajemną. Sprzężenie obu cewek przez strumień zwykle nie jest całkowite (rys. 6.9) i wytworzony przez cewkę 1 strumień przenika tylko częściowo cewkę 2. Obie cewki są sprzężone wzajemnie strumieniem
W podobny sposób przy zamianie cewek: k 2 Z 1 Z2 di2 _

L di2

-~dt-m2

Można wykazać, że

2ldt·

(6.21)

L 12 = Lai·

Wielkość Lv1, nazywa się indukcyjnością wzajemną (współczynnikiem indukcyjności wzajemnej) określonego układu cewek (v µ). Jednostką indukcyjności

wzajemnej jest henr. W przypadku, gdy całkowite, a

· strumień rozproszeniowy jest równy zeru, sprzężenie jest L12

=V Li.La,

(6.22)

gdzie: Li i L 2 są indukcyjnościami własnymi cewek 1 i 2. Przy sprzężeniu niecałkowitym

Li.2 = kV Li.La,

(6.23

gdzie: k = v·k1k2 nazywa się współczynnikiem sprzężenia. Współczynnik sprzężenia k 1 określa udział zwoju 1 w wytwarzaniu wzajemnego strumienia magnesującego. Współczynnik sprzężenia ma wartości ekstremalne

cewkę

(6.18)

98

Rys. 6.10. Układy cewek dla ekstremalnych współczynników sprzężenia

k =O i k = 1. Mogą być one osiągnięte przez odpowiednie układy cewek (rys. 6.10). Niesprzężone magnetycznie (k = O) są dwa zwoje, których powierzchnie są do siebie prostopadłe. Prawie całkowicie sprzężone (k r:::i 1) są dwa uzwojenia nawinięte 99

współosiowo

na wspólnym rdzeniu rozproszenia definiuje się jako:

'l materiału

<1=1-k2 dla

sprzężenia całkowitego

magnetycznego.

Współczynnik

,

k = 1, u= O.

Głównym przedstawicielem cewek sprzężonych który będzie szczegółowo opisany w rozdziale 9.

magnetycznie jest transformator.

im :mniejsza jest stała czasowa obwodu, tj. im mniejsza jest indukcyjność L w stosu.oku do rezystancji R obwodu. Jeżeli obwód RL zostanie zwarty (przełącznik P na rys. 6.11 w położeniu 2), to w równaniu (6.24) należy przyjąć U= O. Równanie różniczkowe: . di i=-T(6.27) dt :ma przy

6.6. Przebiegi

łączeniowe

cewką indukcyjną

w obwodzie z

Niech będzie obwód elektryczny (rys. 6.11) zawierający cewkę o rezystancji uzwojenia R oraz o indukcyjności L. Jeżeli przełącznik ·p zostanie włączony w po-

uwzględnieniu, ~

dla t = O, i = I =

~ rozwiązanie

w postaci: (6.28)

Z równania (6.28) widać, że prąd w zwartym obwodzie zawierającym R, Lnie zanika natychmiast, lecz maleje według krzywej wykładniczej (rys. 6.12b).

R

a) L

Uł-

Rys. 6.11.

WłąC7.Cnie

obwodu z

indukcyjnokią

1, to

prąd,

R

który powinien

ustalić się

po pewnym czasie wynosi I=

U-L di dt i=--R

(6.24)

(6.25) którego rozwiązanie po uwzględnieniu i = O dla t = O ma postać: (6.26)

czasowa obwodu.

Z równania (6.26) wynika, że prąd w obwodzie z cewką indukcyjną, włączonym na napięcie U narasta według funkcji wykładniczej (rys. 6.12a) i to tym szybciej, 100

t

t

Rys. 6.12. Przebiegi łączeniowe w obwodzie z indukcyjnością: a) narastanie prądu przy włąC7.Cniuobwodu do napięcia stałego, b) zanikanie prądu przy zwarciu obwodu

Z powyższych rozważań wynika, że indukcyjność L przeciwstawia się gwał­ townej zmianie prądu w obwodzie, tak jak pojemność C przeciwstawia się gwał­ townej zmianie napięcia. Elementy L i C są więc elementami zachowawczymi (konserwatywnymi).

6.7. Energia pola magnetycznego Mnożąc

t

i = /(1- e- 7) ,

i=le-f

~.

U =. I oraz R L = T., otrzymuje . się . r ówname . r ó"zn1c . zkowe: · · Po dst. awtaJąc R

~ - stała

!=ft

. ( _.t)

l=f 1-e T

Jak wiadomo prąd nie osiąga powyższej wartości od razu, ponieważ narastaniu prądu przeciwstawia się SEM samoindukcji. W czasie narastania prądu w obwodzie działa napięcie U oraz SEM samoindukcji, wobec czego na podstawie prawa Ohma prąd:

gdzie: T =

i [::.lL

~ 1 p

łożenie

b) i

równanie (6.24) stronami przez idt otrzymuje

Uidt = Ri2 dt+Lidi.

się:

(6.29)

Lewa strona równania przedstawia energię pobraną z sieci w czasie dt przez obwód R, L. Część tej energii Ri2 dt zamienia się na ciepło wydzielone na rezystancji R, ' pozostała część energii Lidt przedstawia energię, która magazynuje się w polu magnetycznym w związku ze wzrostem prądu i. 101

W dowolnej chwili, gdy prąd w obwodzie ma wartość i, energia pola magnetycznego mierzona w J wy.nosi: Li2 (6.30) W'"= Lidi= y·

'. J

można wyznaczyć zależność

na

prądu

(6.31)

pola magnetycznego,

zawartą

w cewce

przez podstawowe

wiel~

kości pola B i H. Z równania (6.13) otrzymuje się na pr:d cewki :r,alemośó I= Hl. z Podstawiając tę zalemość

oraz

wyrażenie

{6.16) do wzoru (6.31) otrzymuje

(H/)

2 1 z µ µ,0 S W:'" =--'2 I Z

Ponieważ

jest

1

1 11....H2Sl =-µ 2

rrv

się:

'

µ,PoH = B oraz SI= V, więc energia pola magnetycznego określona

zależnością:

W: =BH V m

2

(6.32)

lub

zworą w

T,

Po= 4rc· 1Q-7 H/m .

fmv

wyrazić" równieź

(6.34)

gdzie: B-indukcja magnetyczna w miejscu styku rdzenia ze S-łączny przekrój styku rdzenia ze zworą w m 2 ,

indukcyjności L. Rów.na.nie to ma taką samą postać, jak w mechanice wyrażenie 11 , gdzie indukcyjności L odpowiada masa m. Można .na energię kinetycz.ną więc powiedzieć, że indukcyjność [, wyraża bezwładność pola magnetycz.nego.

pola magnetycznego moma

w niutonach:

n2

o

Energię

2Po

2Po

Wm=-J:U•. obliczyć energię

2Po

F=-S,

ustalonego (i = I) energia pola magnetycz.nego wy.nosi

Rów.na.nie (6.31) pozwala

n2

siłę udźwigu

o

Dla

n2

Fdl=-dV=-Sdl

6.8.

Prądy

wirowe

Napięcie indukowane powstaje objętych zmianą strumienia, a więc

\ve wszystkich przewodnikach elektrycznych zarówno w cienkich przewodach, używanych na uzwojenia, jak i w masywnyc4 ciałach, stosowanych na obwód magnetyczny i elementy konstrukcyjne urządzenia. W masywnym przewodniku elektrycznym pod wpływem napięcia indukowanego powstają prądy, mogące łatwo zamykać się w objętości przewodnika, a więc przybierać stosunkowo duże wartości. Ze względu na kołowy kształt ich drogi przepływu prądy te zostały nazwane prądami wiro-

wymi. 6.8.1.

Prądy

wirowe w ruchomych przewodnikach ·

(6.33) Należy zwrócić uwagę, że indukcyjność L została przyjęta przy całkowaniu jako Jest to słuszne wtedy, gdy również przenikalność µ, jest stała.

Na rys. 6.14a pokazano powstawanie prądów wirowych w masywnym wirniku maszyny prądu stałego. Linie pola magnetycznego są przecinane przez stal wiru-

wielkość stała.

o

b)

Rys. 6.13.

Podnośnik

I I

(-t) -""""-

elektromagnetyczny

fw

I I

_.,.

I I

Wyrażenie (6.33) ma bezpośrednie zastosowanie do wyznaczenia siły udźwigu podnośnika elektromagnetycznego (rys. 6.13). Podnośnik taki wykonuj~ pracę mechaniczną, gdy jego zwora zostanie przyciągnięta przez elektrom'agries pod działa.niem pola magnetycznego na odległość dl. Z równania bilansu energii:

102

Rys. 6.14. Powstawanie prądów wirowych i sposób uwarstwienia blach: a) w wirujących maszynach elektrycznych, b) w transformatorach

jącego wirnika, wobec czego indukuje się w niej napięcie i płyną prądy wirowe.

Prądy te wywołują straty mocy Rp0 i!, a więc obniżają sprawność maszyny. Szko-

-

103

dliwe działanie prądów wirowych można ograniczyć, wykonując wirni~ z cienkich blach magnetycznych, izolowanych między sobą i ułożonych swą płasiczyzną prostopadle do drogi zamykania się tych prądów.

6.8.2.

Prądy

7

wirowe w nieruchomym przewodniku

, W nieruchomym przewodniku elektrycznym powstają prądy wirowe wskutek zmiany strumienia w czasie. Przez zastosowanie przewodnika uwarstwionego można wpływać na zmniejszenie ich wartości. W tym celu rdzenie magnetyczne, przez które przenika zmienny strumień, wykonuje się z cienkich, izolowanych między sobą blach, tak spakietowanych, aby została przerwana droga zamykania się prądów wirowych. Na rys. 6.14b przedstawiono zwrot prądów wirowych, powstających w magnetowodzie transformatora oraz sposób uwarstwienia blach. Prądy wirowe powstają również w grubych prętach uzwojeń maszyn elektrycznych dużej mocy. Dlatego pręt uzwojenia takich maszyn składa si~ z wielu prętów o mniejszym przekroju.

6.8.3. Hamowanie

wiroprądowe

7.1. Klasyfikacja

Prądy wirowe przeciwdziałając przyczynie ich powstawania wywołują działanie dynamiczne, które hamuje ruch obrotowy. Zjawisko to wykorzystane jest w hamownicach wiroprądowycb. Jeżeli tarcza metalowa obraca się_ z prędkością 11

Rys. 6.15. Hamowanie

prądu

wiroprądowe

w szczelinie obwodu magnetycżnego o indukcji B, to w tarczy tej powstają prądy wirowe, których kształt przedstawiony jest na rys. 6.15. Siła dynamiczna powstała przez oddziaływanie tych prądów na strumień magnetyczny ma zwrot przeciwny do siły wymuszającej, dzięki czemu ruch tarczy będzie hamowany. Taki rodzaj hamowania wykorzystuje się w licznikach energii elektrycznej oraz do pomiaru momentu maszyn małęj mocy.

prądów

Obwody przenriennego

zmiennych

W procesie rozwoju elektrotechniki prąd stały został w wielu dziedzinach prawie zupełnie wyparty przez prąd zmienny. W układach elektrycznych prądu stałego energię elektryczną wytwarza się przy napięciu równym napięciu odbiorników, co przy większych mocach i odległościach przesyłu powoduje duże straty energii; dlatego cała współczesna energoelektryka, polegająca na wytwarzaniu i przesyła­ niu na duże odległości ogromnej ilości energii, jest możliwa tylko przy zastosowaniu prądów zmiennych, przy których w łatwy sposób można odpowiednio podwyższać lub obniżać napięcie za pomocą transformatorów. Poza tym silniki elektryczne na prąd zmienny są tańsze, trwalsze i prostsze w obsłudze od silników prądu stałego. Również wiele dziedzin teleelektryki, jak radio, telewizja, technika informacji, elektronika przemysłowa, pomiary i sterowanie zdalne np. w astronautyce, byłyby nie do pomyślenia bez zastosowania prądu zmiennego. Prąd zmienny odróżnia się tym od prądu stałego, że jego natężenie i biegunowość lub tylko natężenie zmieniają się w czasie. Ogólnie:

dq

i= dt = f(t) :f=. const .

(7.1)

Zmiana w czasie może odbywać się w dowolny sposób' i dlatego w zależności od sposobu tych zmian rozróżnia się następujące rodzaje prądów: a) prąd jednokierunkowy -jest to prąd, który zmienia w czasie wartość, lecz nie zmienia biegunowości. Przykładem takiego prądu może być prąd płynący przez cewkę przy procesach łączeniowych. Przy włączaniu cewki do napięcia sta105

łego występuje prąd jednokierunkowy rosnący, malejący.

przy zwarciu cewki

-prąd

jedno-

kierunkowy

i

b) prąd dwukierunkowy-jest biegunowość.

to

a)

prąd,

który w czasie zmienia

wartość

b)

i

i

f) prąd sinusoidalnie zmienny - jest to prąd przemienny o zmianach okresowych w kształcie sinusoidy. Na rys. 7.1 przedstawiono wykresy prądow zmiennych opisanych powyżej. Pojęcia wyszczególnione powyżej odnoszą się również do napięć oraz do innych wielkości elektrycznych i magnetycznych zmieniających się w czasie. W elektrotechnice największe znaczenie ma prąd sinusoidalnie zmienny, który będzie nazywany krótko prądem shrnsoidalnym.

· 7.2. Wytwarzanie

i

i

przemiennych

W elektroenergetyce źródłami napięcia sinusoidalnego są prądnice prądu przemiennego. Najprostszym modelem takiej prądnicy jest zwój wirujący w polu magnetycznym równomiernym ze stałą prędkością kątową w. Rys. 7.2 przedstawia taki . zwój o średnicy d i długości /. Jego położenie wyjściowe jest poziome, a wirowanie

t

t d)

c)

1uądów

h)

t

f)

e)

i

i

B Rys. 7.2. Wirowanie zwoju w równomiernym polu magnetycznym: a) rysunek perspektywiczny, b) rzut popaeczny Rys. 7,1. Wykresy prądów zmiennych: a) prąd jednokiemnkowy rosnący, b) prąd jednokierunkowy malejący, c) i d) prąd pulsujący, e) prąd paemienny niesinusoidalny, f) prąd paemienny sinusoidalny

c) prąd okresowy-jest to prąd jedno- lub dwukierunkowy o przebiegu zmian powtarzających się co pewien czas, zwany okresem T. Dla prądu okresowego spełniony jest warunek:

= f(t+T) = f(t+2T)„. =

(7.2) f(t+nT). d) prąd pulsujący-jest to prąd okresowy jednokierunkowy. Powstaje on z nałożenia prądu stałego oraz prądu okresowego dwukierunkowego. i= f(t)

. e) prąd przemienny - jest to prąd okresowy o natężeniu średnim w przedziale okresu równym zeru. Może on być zapisany następująco: · t+T

f

t

t+T

idt =

J f(t)dt = o.

Uwaga: W literaturze pojęcie to bywa terminem' prąd zmief!NY.

106

(7.3)

t

określane niewłaściwie

bardziej ogólnym

następuje w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Z rysunku tego wynika, że w położeniu wyjściowym zwój przenika strumień o największej wartości:


(7.4)

Przy wirowaniu powierzchnia przenikania strumienia maleje i można ją określić jako rzut powierzchni objętej ramką na powierzchnię prostopadłą do kierunku ' pola, zatem w dowolnym położeniu zwoju: (7.5) Indukowane napięc~e określa się z ogólnego prawa indukcji elektromagnetycznej dla określonej wzorem (7.5) zmiany strumienia. Przy zwrocie napięcia zgodnym

z

regułą śruby prawoskrętnej :

.

d(l)

e =-z dt =-z

d(mcosrot) . . dt = zwmsmwt = Emsmwt.

(7 ·6) . 107

-

.,;:_

Ze wzoru (7.6) wynika, ~wartość maksymalna napięcia indukowanego przy stałej prędkości

ob!_otowej jest dla danej maszyny stała, ponieważ:

Em = zroldB .

(7.7)

Dla prawidłowego przebiegu zjawiska jest obojętne czy wiruje uzwojenie, w któ..; rym wytwarza się napięcie _(twornik), a uzwojenie wytwarzające strumień (magneśnica) jest nieruchome, czy wiruje magneśnica, a twornik jest nieruchomy. W nowoczesnych prądnicach wiruje z reguły magneśnica.

7.3.

Prąd

w ciągu jednej sekundy. Prędkość kątową cewki otrzymuje obrotu w miarze łukowej do czasu obrotu T:

sinusoidalny

się

jako iloraz

kąta

27t W=-= 21tf. T

Równanie (7.8) wskazuje, że w chwili t =O wartość funkcji nie równa się zeru, lecz zaczyna się od wartości zależnej od kąta fazowego 1J', zwanego fazą początkową u= Umsinvi. z powyższych rozważań wynika, że wielkości sinusoidalne zmienne można jednoznacznie określić przez podanie trzech wielkości: amplitudy, częstotliwości i kąta fazowego.

7.3.1. Właściwości funkcji sinusoidalnej 7.3.l. Na rys. 7.3 przedstawiono przykładowo sinusoidalnie przebiegającą funkcję napięcia, której wartość chwilową można zapisać w postaci:

u= Umsin(wt+'P),

Przesunięcie

fazowe

Przesunięciem fazowym nazywa się różnicę faz dwóch badanych przebiegów sinusoidalnych o jednakowej pulsacji. Niech będzie:

(7.8)

u= U,,.sin( wt+viJ, i = Im sin( wt+ vi1) , wtedy przesunięcie fazowe napięcia i prądu:

prądu względem napięcia jest

(7.9)

równe różnicy argumentów (7.10)

Przesunięcie

fazowe jest równe

różnicy

faz

początkowych. U 1l

Rys. 7.3. Sinusoidalnie zmienna funkcja

napięcia

Rys. 7.4. Wirowanie zwoju w polu magnetycznym

Rys. 7.5. Przesunięcie fazowe funkcji sinusoidalnych

gdzie: Um - amplituda funkcji lub największa wartość, którą osiąga funkcja sinusoidalna, 2

w = ; = 21tf -

f-

pulsacja, Jeżeli między wielkościami sinusoidalnymi występuje przesunięcie fazowe rys. 7.5), to jeden z przebiegów wyprzedza przebieg pozostały, przy czym wyprzedzającym jest przebieg o większym argumencie.

częstotliwość lub liczba okresów ·na sekundę,

T=

j- okres funkcji,

1J1 -

kąt

fazowy zwany

również fazą początkową.

.

Jeżeli napięcie wytwarza się np. w zwoju wirującym ze stałą prędkością ką­ tową w w polu magnetycznym (rys. 7.4), to można łatwo określić związek między wielkościami funkcji sinusoidalnej. Gdy czas potrzebny do jednego obrotu wynosi T s, to czas ten jest równocześnie czasem trwania jednego okresu napięcia

przemiennego. 108

Wielkość

odwrotna

~

T

jest przy tym

liczbą

okresów

powstających

7.3.3.

Wartość

skuteczna i

średnia

Wartość skuteczna przebiegu okresowego, np. prądu, jest definiowana w po-

staei: ;-1- T

I=

Vf T

2

i dt.

(7.11)

109

Dla prądu sinusoidalnego i= lmsin(wt+
I~ Podstawiając

sin'(wt+p)dt .

sin2 a = ł(l--cos2a) otrzymuje się:

I~-

Wartość

y;f

rr-1-----!.'!J-[1·-cos2(wt+91)]dt~""

V

skuteczna

T

0

prądu

miennego za

•

'Ż

I

I

/\

wartość. średnia wy~

zwanych prostownikami, to

v\i

(rys. ·7.7) z całkowania pełnookresowego funkcji sinusoidalnej bez uwzględnienia znaku. Dlatego wartość średnia jest wartością

m= 1~.

2

(7.15) Tę samą wartość

1

2

sinusoidalnego jest

(7.12)

(7.13)

J12

otrzymuje

się

średnią arytmetyczną.

zatem~ ~ 0,707 razy mniejsza

od wartości maksymalnej. Na rys. 7.6 przedstawiono przebiegi prądu sinusoida)„ L,l

pomocą urządzeń

niosłaby:

Rys. 7.7. Interpretacja

wartości średniej

T, 2 \ \

I

\

\

I '

Rys. 7.6. Interpretacja

wartości

skutecznej

/gr

T

Rf i 2 dt=RJ2T. oJ

•

w

Wszelkie dane wielkości elektrycznych podaje się wartościach skutecznych, np. napięcie znamionowe sieci prądu przemiennego U=-= 220 V. Wartość skuteczną oznacza się dużą literą bez indeksów. Wartością średni
' '-..-

I

.......

./

Stosunek wartości sKutecznej do średniej nazywa się wsp6/czynnikiem kształtu kk. Dla przebiegów sinusoidalnych wynosi on: ·

kk=!_= 0,107/m =· ł,11 •

nego i oraz kwadratu prądu i 2 • Rysunek ten oraz równanie (7.12) wykazują, że funkcja i 2 jest fonkcją sinusoidalną o podwójnej częstotliwości, mającą tylko war„ tości-dodatnie. Kwadrat skutecznej wartości jest średnią wartością funkcji i2 • Nażwa wartości skutecznej pochodzi stąd, że prąd zmienny o tej wartości wy„ wołuje ten sam skutek cieplny, co prąd stały:

I t

7.4. Przedstawienie

wielkości

0,637/,,.

(7 16)

sinusoidalnie zmiennych

Wielkość zmienną sinusoidalnie można, oprócz wykresu czasowego, przedstawić wprost' jako wektor wirujący. Wektor taki obraca się ze stałą prędkością kątową w wokół swego punktu początkowego, a jego moduł równy jest amplitudzie funkcji sinusoidalnej. Osią odniesienia dla wektora wirującego jest oś odciętych, dodatni kierunek wirowania jest przeciwny do kierunku wskazówek zegara, a kąt, jaki tworzy wektor z osią odniesienia w chwili t = O - równy fazie początkowej funkcji sinusoidalnej. Wektory wirujące nie są wektorami w sensie :fizycznym, jak np.

u,i

•

u=Umsln(cd+
żenie:

wirujące

(7.14)' Dla prądu przemiennego, jak to wynika ze wzoru (7.3), wartość ta jest zerem i dlatego nie ma znaczenia praktycznego. ;{eżeli jednak całkowąnie funkcji przeprowadzono by dla połowy okresu, co ma znaczenie przy prostowaniu prądu prze~

110

prędkość czy natężenie pola, lecz są wektorami geometrycznymi na płaS7.czyźnie zmieniającymi swój kierunek z czasem. Dlatego często nazywa się je wektorami

czasowymi, wskazami lub fazorami. 111

Jak wynika z r_ys. 7.8 rzut wektora na oś rzędnych wyraża wartość chwilową funkcji sinusoidalnej, zaś odcinkom czasu na wykresie czasciwym odpowiada kąt fazowy. Zaletą takiej interpretacji funkcji sinusoidalnej jest mbżliwość przejrzystego przedstawienia na jednym wykresie wektorowym różnych wielkości elektrycznych i magnetycznych zmieniających się w czasie sinusoidalnie z jednakową częstotli­ wością f. Na wektorach tych znacznie łatwiej wykonuje się operacje matematyczne niż na funkcjach sinusoidalnych. Rozpatrzmy dodawanie wielkości sinusoidalnych. Dwa źródła napięcia sinusoidalnego tej samej częstotliwości, ale o różnej ampiitudzie i fazie początkowej: U1

= U1msin(rot+1Pt),

(7.17)

ua = U1msin(rot+w2),!

(7.18)

połączono szeregowo. Do wyznaczenia napięcia całkowitego należy dodać obie funkcje, co można wykonać na wykresie czasowym (rys. 7.9) lub na wykresie wektorowym.

u2 = Umsin(wt+11i),

u= u1

111 jest początkowym kątem fazowym napięcia wyznaczyć z trójkąta OBD na rys. 7.10:

gdzie

-

(7.21)

wypadkowego. Kąt ten można

-

BC+CD U1 sinvi1+U2sinvi2 tgvi = o A+ AB -- U1 COS1f'1 + U2 COS1f'2

(7.22)

lub (7.23)

Do tego samego wyniku co we wzorze (7.21) dochodzi się, gdy do obliczenia na funkcjach sinusoidalnych zastosuje się znane przekształcenie: sin(a+ p) = sina cosf1+ cosa sin/]. Do wyznaczenia różnicy dwóch wielkości elektrycznych zmieniających się sinusoidalnie należy znaleźć różnicę geometryczną wektorów wirujących przedstawiających te wielkości. Rozważania powyższe można rozciągnąć na n funkcji sinusoidalnych.

7.5. · Elementy R, L, C, w obwodzie

prądu

sinusoidalnego

z dC'tychczasowych rozważań wynika, że dowolny przewód lub układ przewodów

można scharakteryzować trzema parametrami: rezystancją R, indukcyjnością L

oraz pojemnością C. . . . W analizie obwodów elektrycznych przyjmuje się, że elementy R, L, C są ideahzowanymi liniowymi modelami matematycznymi fiz~czn~ch eleme~1tów ?bwo?~· Elementy te traktowane indywidualnie charakteryzują się następującymi własc1Rys. 7.9. Sumowanie dwóch na wykresie czasowym

wielkości

sinusoidalnych

Rys. 7.10. Sumowanie dwóch wielkości sinusoidalnych za pomocą wykresu wektorowego

Na rysunku 7.10 podano wykreślnie sumowanie funkcji sinusoidalnych dodając do siebie geometrycznie wektory wirujące, przedstawiające sinusoidy składowe. Do wyznaczenia modułu wektora napięcia całkowitego stosuje się twierdzenie cosinusów:

wościami:

R- rozpraszanie (dyssypacja) energii elektrycznej, L - magazynowanie energii pola magnetycznego, C - magazynowanie energii pola elektrycznego. . . Elementy R, L, C są nazywane idealnymi w tym sensie, że każdy jest całkow1c1e

Należy przy tym pamiętać, że wartość skuteczną napięcia wypadkowego otrzymuje się dzieląc jego amplitudę przez -,12. Można również wykres rysować w skali napięć skutecznych, jak to wykonano na rys. 7.10. Napięcie wypadkowe można przedstawić teraz jako:

wolny od właściwości dwóch pozostałych oraz że zależność między napięciem na ich zaciskach a prądem jest liniowa. Oznacza to, ze zależność u(i) jest opisana przez liniowe równania różniczkowe oraz że współczynniki tych równań są stałe. R, L, C są stałymi obwodu, a ich wartość jest niezależna od pulsacji oraz od amplitudy prądu lub napięcia. Elementy rzeczywiste można przedstawić za pomocą schematów zastęp:zych, w których występują połączenia elementów idealnych, tak np. cewkę pr~y .mezb~ wielkich częstotliwościach można przedstawić jako szeregowe połączeme idealnej rezystancji R i idealnej indukcyjności L. Obecnie rozpatrzony będzie wpływ elementów R, L, C na przebiegi prądowo napięciowe przy przyłączeniu ich do źródła napięcia sinusoidal.nego.

112

8-

(7.19) lub (7.20)

Elektrotechnika i elelttronika

113 ,

7.5.1. Opornik idealny

Z porównania ze

Jeżeli do zacisków o napięciu u= Um sin wt zostanie włączony opornik idealny (rys. 7.11), to zgodnie z prawem Ohma w obwodzie popłynie prąd:

.

l

u

= R=

um sin. wt = R

1

.

(7.24)

m sin wt,

który ma tę sar.1ą fazę co ~ołujące go napięcie. Amplituda prądu wynosi Im =

wartoU:

r~;~ute<:z::i1a

um

u

YlR

R

opóźni się względem wektora napięcia o kąt

że napięcie

~. (7.27)

skuteczna (7.28)

a)

c)

b)

(

c)

i of·,.-.', · · -

u na zaciskach

Równanie (7.26) wskazuje, że amplituda napięcia zaś wartość

b)

a)

(7.25) i (7.26) wynika,

cewki wyprzedza w fazie przepływający przez nią prąd i o kąt fazowy

~m,

l = --- = -

sobą równań

J!..=wll

·j··1 I ,., !\

4'

"

1

o

wt

o

o---

prądu

połączeń,

napięcia

Rys. 7.11. Opornik idealny w sieci prądu sinusoidalnego: a) schemat polączeń,l,b) wykres czasowy napięcia i prądu, c) wykres wektorowy

Rys. 7.12. Cewka idealna w sieci i prądu, c) wykres wektorowy

Na rys. 7.llb i c przedstawiono przebieg sinusoid napięcia i prądu oraz ich wykresy wektorowe. Wektory U i I mają te same zwroty. Iloczyn Rl nazywa się napięciem czynnym; równa się ono napięciu przyłożonemu na zaciski opornika.

Równanie (7.28) ma postać podobną do prawa Ohma dla prądu stałego (U= RI), dlatego przez analogię XL nazwano oporem indukcyjnym lub reaktancją induk-

sinusoidalnego: a) schemat

b) wykres czasowy

cyjną

(7.29) 7.5.2. Cewka idealna Jeżeli

do zacisków o chwilowej wartości napięcia u (rys. 7.12a) zostanie włączona idealna cewka, to popłynie przez nią prąd, którego zmiana w czasie spowoduje indukowanie się na zaciskach cewki siły elektromotorycznej samoindukcji:

di eL= -L dt' Niech

prąd płynący

przez .cewkę

będzie

równy:

i= Im sinwt. Ponieważ

(7.25)

7.5.3. Kondensator idealny

na zaciskach cewki u = - eL, to:

. ( wt+ u= L di dt = wLim coswt = wLlm sin 114

Z równania (7 .29) wynika ważna własność reaktancji indukcyjnej - proporcjonalność do częstotliwości l , Na rys. 7.12b i c przedstawiono przebieg sinusoid napięcia i prądu oraz ich wykresy wektorowe. W obwodzie, w którym znajduje się idealna cewka, występuje przy przepływie prądu tylko indukcyjny spadek napięcia U= XL/, natomiast nie występuje strata mocy, ponieważ R =O, zaś moc, jak wiadomo, wynosiR/2 • Dlatego w obwodach prądu zmiennego rezystancja R nazywa się oporem czynnym, zaś reaktancja XL oporem biernym indukcyjnym. Iloczyn XL/ nazywa się napięciem indukcyjnym.

7C) '2 =

. ( wt+ Um sin

7C) 2 .

(7.26)

Jeżeli do- obwodu elektrycznego zostanie włączony kondensator (rys. 7.13a), to jego dielektryk, będący izolatorem, działa jako przerwa w obwodzie. Mimo włączonego źródła napięcia prąd nie może przez niego przepływać. Bezpośrednio

a•

115

przyłączeniu

po

źródła prądu stałego płynie

do

jednak w przewodach doprowadzaTablica 7.1

jących czasowo ograniczony prąd ładowania

i, który w czasie dt doprowadza do okładzin kondensatora ładunek dq. Jeżeli kondensator przyłączony będzie efo źródła napięcia przemiennego, to jego elektrody będą na przemian ładowane i rozłado­

wywane, wobec czego w przewodach popłynie prąd przemienny. Wartość chwilowa prądu ładowania kondensatora wynosi (wzór 7.1):

.

dq

a)

h)

prądu

sinusoidalnego

Opornik

Dwójnik

(7.30)

= dt'

l

Elementy R, L, C w obwodach

Cewka

prądowo­

"R =

di

Ri

"L

= L---

Gdy dane jest napięcie to

llR = U111 sin

llL =

u,,..Slll Wf

prąd

I, =

R

Wartość

i=~

skuteczna Rys. 7.13. Kondensator idealny w sieci prądu przemiennego: a) schemat połączeń, b) wykres czasowy i prądu, c) wykres wektorowy napięcia i prądu

wt

u

R

l=

U111 sinwt

U111

wL

ue

TC)

• Slll

~f idt

Ue

dt

-napięciowa

napięcia

_,,_

Symbol

Zależność

o)

Kondensator

( W(- -

2

u

= U,,.sinwt

i= wCU111 sin(w1+

I= wCU

wL

~)

•

Przesunięcie

fazowe

Ponieważ

zgodnie ze wzorem (5.7), Q = CU, więc przyrostowi powiada przyrost napięcia du w czasie dt, czyli dq= Cdu. Z

równań

(7.30)

kondensator

włączony

to

wartość

chwilowa

.

l

(7.31)
napięcia:

(7.33)

Rezystancja lub reaktancja

J!L

)O


-

(7.32)

Umsinwt,

prądu ładowania

p

J)„

r

du

c
jest do U=

dq od-

się:

(7.31) otrzymuje

i= Jeżeli

ładunku

R

-

-

XL=WL

Xe=-

1

we

wyniesie: Kąt

d( . ) = edu dt = C dt U,11 smwt =Cro U,11 coswt

fazowy

7t'

7t'

o

--2

+2

lub

i= wCUm sin( wt+~)= Im sin(wt + ~). Równania (7.33) i (7.34) wykazuh,

napięcie o kąt fazowy 116

że prąd ładowania

Zależność

(7.34)

kondensatora wyprzedza

R

oporu od wości

o

Xe

XL

częstotli­

f

1/

']

.

f

o

~

. f

Wartość skuteczną napięcia przyłożonego

Z równania (7.34) wynika, że amplituda prądu ładowania wynosi:

I m

= wCU = m

Um 1

=

Um Xe'

(7.35)

wego

U=

~i oraz kąt przesunięcia fazo-

pomiędzy napięciem

a prądem- można wyznaczyć geometrycznie wektory UR, UL oraz Ue.

wykreślnie

(rys. 7.14b)

wC zaś wartość

skuteczna.

u

---

a)

u

l= -1-= Xe.

h)

i

(7.36)

.~~

wC u

Równanie (7.35) ma postać prawa Ohma, więc wielkość Xe nazywa się oporem biernym pojemnościowym lub reaktancją pojemnościową:

Xe =

1 l w C = 2r:JC

się wartość chwilową napięcia pojemnościowego:

1 u= c

j' idt,

(7.38)

która zależy od wartości chwilowej ładunku q = idt, nagromadzonego na okładzi­ nach kondensatora. Na rys. 7.13b i c przedstawiono wykresy czasowe i wektorowe prądu i napięcia na konaensatorze. Zachowanie się podstawowych elementów R, L, C w obwodzie prądu przemien~ego zestawiono dla przejrzystości i lepszego zapamiętania w tablicy 7.1. ol

J.zdt.

oporów

Budowę wykresu wektorowego zaczyna się od wektora prądu I, który jako wektor wyjściowy odkłada się zgodnie z dodatnim kierunkiem osi x. Wektor napięcia UR= RI jest w fazie z wektorem prądu I. Do wektora UR dodaje się wektor napięcia UL = XL!,

który wyprzedza w fazie wektor

I o kąt

+ 2re .

.

Następnie

. do sumy wektorów dodaje się wektor napięcia Uc = Xel, który jest przesunięty

w stosunku do wektora

re

.

prądu I o kąt fazowy - -. Jak wynika z wykresu wekto-

2 · rowego, Jiapięcia UL i Ue przeciwdziałają sobie, gdyż wektory UL i Ue są przesunięte względem siebie o kąt re. Napięcie wypadkowe oraz kąt przesunięcia fazowego oblicza się z zależności geometrycznych:

(7.43) Wielkość

nazywa się impedancją lub op(Jrem pozornym gałęzi szeregowej R, L, C. Zastoso. wanie impedancji pozwala zapisać prawo Ohma w postaci:

to n~pięcie przyłożone, równe sumie trzech sinusoidalnych napięć składowych, będzie ~ównież funkcją sinusoidalną, którą można przedstawić jako: (7.41)

(7.45)

ll=Zl.

(7.40)

u= Umsin(wt+
prą4u

(7.44)

(7.39)

przez obwód zmienia się sinusoidalnie:

"

118

R, L, C: a) schemat połączeń, b) wykres wektorowy napięć,

łub

Stosownie do równań (7.24), (7.25) i (7.38) dla szeregowego połączenia elementów R, L, C (rys. 7.14a) suma napięć chwilowych na tych elementach wynosi

Jeżeli prąd płynący

I

(7.42)

7.6. Szeregowe połączenie elementów R;L, C

. Ldi 1 U=UR + uL+ue= R i+ dt+C

trójkąt

LsfJxA

O__,,....

be

Ryś. 7.14. Szeregowe połączenie elementów

c)

8

IJllR

o----~c

(7.37)

Reaktancja pojemnościowa jest odwrotnie proporcjonalna do częstotliwości. Iloczyn Xel nazywa się napięciem pojemnościowym; równa się ono napięciu przyłożonemu do zacisków kondensatora. Przekształcając wzór (7 .32) otrzymuje

c)

Reaktancja

gałęzi

wynosi:

X=

X1 ~Xe=

,

1

wL--, wC

(7.46) 119

a

kąt przesunięcia

fazowego:

Wartość skuteczną prądu (7.47)

Łatwo zauważyć, że wszystkie wektory napięcia z rys. 7.14b są proporcjonalne do prądu I, płynącego w gałęzi szeregowej R, L, C. Jeżeli więc wszystkie wektory napięcia zostaną podzielone przez prąd I, to pow~tanie nowy trójkąt OAB (rys. 7.14c) przedstawiający w innej skali opory. W zależności od znaku reaktancji (wzór (7.46)) rozróżnia się trzy przypadki: I) X> O, XL> Xe; prąd ma charakter indukcyjny, napięcie wyprzedza prąd, 2) X< O, XL< Xe; prąd ma charakter pojemnościowy i wyprzedza napięcie, 3) X= O, XL= Xe; napięcie jest w fazie z prądem j~k w gałęzi z idealną rezystancją.

7.7.

I=

~~ oraz kąt przesunięcia fazowego najprościej

wyznacza się wykreślnie (rys. 7.15b) dodając geometrycznie wektory prądów iu oraz i 3 • Budowę wykresu rozpoczyna się od wektora napięcia U, który jako wektor wyjściowy odkłada się zgodnie z dodatnim kierunkiem osi x. Wektor prądu w gałęzi

•;2

z

rezystancją

się 0

wektor

IR

=

prądu

~jest w fazie IL

opóźnia się

U , który

=

wL

2

Prąd wypadkowy oraz metrycznych:

R, L, C

kąt przesunięcia

l = l/

Odbiorniki elektryczne włącza się zazwyczaj równolegle do sieci o napięciu U (rys. 7.15). W praktyce często występuje zagadnienie wyznaczenia prądu w każdym odbiorniku, a także wypadkowego prądu płynącego._7.: sieci.

h)

w fazie w stosunku do

napięcia

I. fazowego oblicza

się

z

~

G=

zależności

geo-

(7.49)

le-IL --y;;-.

(7.50)

na miejsce rezystancji i reaktancji odpowiednie

c)

w CU,

n+ (Ie- /L)2 ,

tgtp = Wprowadzając

a)

U. Do wektora IR dodaje

kąt ~ . Następnie do sumy tych wektorów dodaje się wektor prądu Ie =

który wyprzedza wektor napięcia U o kąt

Równoległe połączenie elementów

napięcia

z wektorem

(konduktancja),

przewodności:

(7.51)

le

)u

R

c

Jl

lL

'iC)s otrzymuje

Rys. 7.15. Równoległe połączenie elementów R, L, C: a) schemat połączeń, b) wykres wektorowy prądów, c) trójkąt przewodno§ci

Wartość

chwilowa prądu płynącego z sieci jest według I prawa Kirchhoffa równa sumie wartości chwilowych prądów poszczególnych odbiorników. Dla przypadku z rys. 7.15 będzie: Jeżeli napięcie

sieci zmienia

się

(7.48)

(susceptancja indukcyjna),

się

z

wyrażenia

to prąd płynący z sieci, równy sumie trzech sinusoidalnych prądów składowych, będzie również funkcją sinusoidalną, którą można przedstawić jako: i= lmsin(wt+ip).

(7.52)

pojemnościowa),

(7.53)

(7.49):

I= V(GU) 2 +(Be-BJ?U 2 = UVG2+(Be-BJ2

•

(7.54)

Wielkość

(7.55) nazywa się admitancją lub przewodnością ppzorną. Zastosowanie admitancji pozwala sprowadzić obwód rozgałęziony do obwodu elementarnego, dla którego prąd (równy prądowi wypadkowemu gałęzi równoległych) wyznacza się z prawa Ohma:

sinusoidalnie: '' = Umsinwt,

120

wL

Be= wC (susceptancja

.E.

i=iR+iL+ie•

_!_

BL =

G

I= YU. Susceptancją wypadkową

a admitancja wyrazi

się

obwodu

(7.56)

będzie:

B=Be-BL,

(7.57)

VG +B

(7.58)

wzorem: Y=

2

2

•

121

W zależności od znaku susceptancji B (wzór 7.57) rozróżnia się trzy przypadki: 1) B >O; Be> BL; prąd całkowity ma charakter pojemnościowy, prąd wyprzedza napięcie, 2) B
3) B =O; Be= BL; prąd całkowity ma charakter rezystancyjny, napięcie jest w fazie z prądem. Tak jak. z wektorów napięć przez podzielenie przez prąd I otrzymano wykres wektorowy impedancji, tak z wektorów prądów przez podzielenie przez napięcie U otrzymuje się trójkąt: admitancji (rys. 7.15c).

są

gdzie: A1 i A 2 j = b)

c)

V-

postać

rzutami wektora A odpowiednio na

oś

liczb rzeczywistych

i urojonych, 1 - jednostkowa liczba urojona "',

trygonometryczna:

A= A(cosa+j sina),

(7.60)

A= AeJa.

(7.61)

postać wykładnicza

-rj

7.8. Obliczanie obwodów 7.8.1.

prądu

sinusoidalnego

·metodą symbołłc:mą

Rys. 7.16. Przedstawienie wektora w postaci liczby :zespolonej

o

Wstęp

prądu stałego równania mogły być napisane i rozwiązane bezpośrednio środkami zwykłej algebry. Zasięg i łatwość rozwiążania sieci prądu przemiennego mogłyby być zwię'kszone, gdyby równania obwodu mogły być napisane dla wszystkich rodzajów zmienności źródeł. Dla funkcji wykładniczych typu f(t) = J!eJttJt lub bardziej ogólnie f (t) = f!e 81, gdzie s = jw jest pulsacją zespoloną, jest to rzeczywiście możliwe. Na szczęście fllllkcje sinusoidalne i więk­ szość innych funkcji będących przedmiotem rozważań w elektrotechnice może · być wyrażona w postaci wykładniczej lub w postaci szeregu wykładniczego: Dla wymuszenia typu wykładniczego równania sieci mogą być zawsze sprowadzone do postaci algeb~aicznej i oba rozwiązania, dla stanu ustalonego i przejściowego *, mogą .być· p,rzedstawione za pomocą równań algebraicznych. Postaq algebraiczna musi zawierać hlformacje co do amplitudy i fazy wielkości zmiennej w czasie. Algebra liczb zespolonych nadaje się znakomicie do tego

W analizie obwodów

o+

celu.

A=

VA~+ A~ -

.a =

Aa - argument 1·1czby zespo lonej.. arc tg Ai

moduł liczby zespolonej,

Moduł

liczby zespolonej przedstawia długość wektora wyrażającego tę liczbę, a argument - położenie wektora w stosunku do osi liczb rzeczywistych. Dwie liczby zespolone: A1 +jA 2 = A{cosa+j sina)= Ae1" =A, A1 -jA 2 = A{cosa-j sina}= Ae-Ja =A"',

Sumowanie dwóch liczb zespolonych 4 = A1 + jAa i !!. = B1 + jB2 odpowiada geometrycznemu dodawaniu wektorów A i !!. wyrażających te liczby (rys. 1.17): C=

~

4+!!. =

(A1+jA2)+(B1+jB11) = (Ad-BJ+j(A11-ł-B2) = C1+jC2.

MJ1ożenie liczb wyrażających wektory A i !!. daje wynik również w postaci liczby zespolonej, której odpowiada nowy wektor C (rys. 7.18):

(7.59)

"' Kompletne rozwiązanie (p. 7.16) jest sumą składowej ustalońej, która jest ::r.ależna jedynie od natury :t.ródła i składowej przejściowej, która normalnie pojawia się tylko w stosunkowo krótkim czasie, bezpośrednio po operapjach łączeniowych.

122

wyrażeniach powyższych:

stępująco:

Z matematyki wiadomo, że każdy wektor na płaszczyźnie (rys. 7.16), niezależnie od jego znaczenia fizycznego, można wyrazić analitycznie za pomocą liczby zespolonej. Istnieją trzy postacie zapisu liczby zespolonej: a) postać algebraiczna wyrażona równaniem:

Ai+jA11,

W

różniące się tylko· znakiem części urojonej nazywają się liczbami sprzężonymi**. Mają one równe moduły, a argumenty ich róż.nią się znakiem. Podstawowe działania matematyczne na liczbach zespolonych przebiegają na-

7.8.2. Podstawowe pojęcia o liczbach zespolonych

4=

-j

A· B = AeJa·Beifl _: ABeJ =Cew= C.

"' w

V- i oznacza się literą i, w elektrotechnice -- literą j dla odróżnienia od prądu.

matematyce o Liczb!( zespoloną

sprzężoną

oznacza

się gwiazdką.

123

'

W celu otrzymania wektora f należy długość wektora A pomnożyć B razy i nowy wektor obrocić o kąt {3. Często wykonuje się również mnożenie liczb zespolonych przedstawionych w postaci algebraicznej: (A1 +jA 2) (B1+jB2) = (A1B1-A2B2)+j(A2B1+A1B2) = C1+jC2 = C. Pomnożenie liczby zespolonej 4 przez liczbę urojoną eifl oznacza obrót wektora A o kąt {3 w dodatnim kierunku (tj. przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Dlatego

wyrażenie elfi nazywa się operatorem obrotu.

Jeżeli {3 =

± ~ , to e

±l ?! 2

=

.

7t

cos -

2

• 7t ± J• sin - = 2

7.8.3.

Pojęcie wektor\jącego

Ponieważ wyrażenie A = A eia przedstawia wektor nieruchomy o module A, który tworzy z dodatnimkierunkiem osi liczb rzeczywistych kąt a, więc wyrażenie A = A el"'1 reprezentuje wektor wirujący ze stałą w czasie t prędkością katową w. Wynika stąd, że koncepcja przedstawienia wielkości sinusoidalnej zmiennej

y =A sin(wt+a) jako rzutu wirującego wektora na oś rzędnych jest równoważna ze stwierdzeniem, że chwilowa wartość wielkości sinusoidalnej jest urojoną częścią wyrażenia Ael<001 +a>. Wykorzystując powyższe rozumowanie otrzymuje się następujące wyrażenia: Zapis normalny

(7.62)

j.

y

=

Zapis w postaci liczby zespolonej

A ei

A sin(wt+ a)

. ( wt+ a+ 7t) -dy =mA Sill dt 2

+j

jw A ei

. (wt+a) -d2y2 =-w2A sin

W2

dt

J

ydt =

Br

R,ys. 7.17. SJmowanie liczb zespolonych

Z tego względu

j = eJ 2 nazywa

Rys. 7.18.

Mnożenie

liczb zespolonych

się operatorem obrotu o kąt prosty. Pomno-

żenie liczby zespolonej A przez j oznacza obrót wektora A o kąt ~ w kierunku -

-

2

Dzielenie liczb zespolonych daje również wynik w postaci liczby zespolonej. W postaci wykładniczej otrzymuje się:

B=

AeI0 A . Belfl = B eJ
jest równoważne z pomnożeniem

funkcji różniczkowanej przez w i .wyprzedzeniem fazy o

7t .2 , natomiast każde

cał-

kowanie odpowiada podzieleniu funkcji przez w i opóźnieniu fazy o ~. W zapisie liczb zespolonych ta zmiana fazy o kąt

±~

przedstawiona jest jako pomno-

lub podzielenie przez j. liczb zespolonych nie daje jednak identycznego wyniku z tymi operacjami wykonanymi na funkcjach zmiennych sinusoidalnie, o czym będzie mowa przy wyrażeniu mocy elektrycznej w postaci zespolonej. Zalety zastosowania rachunku liczb zespoloJ1ych będą przedstawione poMnoże~1ie

niżej.

=

Celr = C.

W postaci.algebraicznej operację dzielenia wykonuje się mnożąc licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną z mianownikiem:

·c _

A1+jA 2 _ A1 +jA2. B1-jB2 = (AiB1+A2B2)+j(A2B1-A1 B2) _ C B1+jB2 - B1+jB2 B1-jB2 B~+Bi - i+J 2 - C ·

124

w

żenie

dodatnim, a pomnożenie przez - j oznacza obrót o kąt ~ w kierunku ujemnym.

A

_ 1_ A ci

Należy podkreślić, że każde różniczkowanie

C1 +Re

.n

~sin(wt+a- ~)

Aci
7.8.4. Równanie

w dziedzinie ·czasowej i

częstotliwościowej

W dziedzinie czasowej elementy R, L, C są zdefiniowane przez równania przed'u(t) od prądu i(t):

stawiające zależność napięcia na zaciskach

125

u(t) = Ri(t)

lub

i(t) =

~ u(t),

u(t) = L di(t) dt

lub

i(t) =

~J u(t) dt,

lub

i(t) = C du(t)

u(t) =

~

J

i(t)dt

Jeżeli uwzględni się, że napięcie

u(t) =

na zaciskach i

v'2 Uelm',

Definicja impedancji i admitancji liniowej sieci dwuzaciskowej (dwójnika) wynika z poniższych równań:

ten sam

kształt,

tj.:

i(t) = t'2!eł<'>',

to pedstawiając te zależnośCi do równań (7.63) i opuszczając współ~zyrinik fiel-', występujący po obu stronach równań, otrzymuje się zależności napięciowo-prądowe w dziedzinie częstotliwościowej:

!!.=Rf.;

-l=GU - '

Q = jwL[;

1= --- u - jwL-'

1 -U= -jwC-I;

--l = jw CU.

1

I

-Y=-=-. u

(7.66)

są jedynie funkcją częstotliwości i elementów obwodu. Ich wartości mogą być \Vyznaczone przez pomiar prądu i napięcia lub przez sumowanie poszczególnych rezystancji i reaktancji w ten sam sposób jak dla obwodów szeregowych i równo-

Zi Y

dt .

prąd mają

u

Z=-= I'

(7.63)

ległych prądu stałego.

Liczby zespolone postaciach:

reprezentujące ~

i Y mogą być wyrażone w następujących ·

~=

R+jX, (7.67)

gdzie: Z=

(7.64)


YR +X2, 2

X =arc tg R,

Re~ =

R = Z coscp jest

rezystancją

Im~ =

X= Z sin

reaktancją

obwodu, obwodu.

Podobnie: 7.8.S. Prawa Kirchhoffa w dziedzinie

częstotliwościowej

Y= G+jB,

X=

Prnwa Kirchhoffa zachowują ważność zarówno w dziedzinie czasowej jak i czę­ stotliwościowej. W zapisie algebry liczb zespolonych można je sformułować:

I -· Suma prądów zespolonych w każdym węźle sieci W)llfOSB ;:ero. II -- Suma zespolonych napięć źródłowych działających w oczku }'est r6vma sumie zespolonych napięć odbiornikowych, tj. równa s'umie iloczynów zespolonych impedancji i zespolonych prądów.

I

U=ZI

126

~

i Y

są

!= YU, U i !. reprezentują fazory

lub

Re Y = G = Y cos
admitancją zachodzą zależnóści:

1 Z=-, y

I

(7.69)

lub . 1 G-jB R+JX= G+jB = G2+B2'

(7.65)

liczbami zespolonymi, a napięć i prądów występujących w obwodzie. Wielkość Z nazywa się impedancją, i ma wymiar oporu (om), podczas gdy Y nazywa się admitancją, i ma wymiar przewodności (simens). gdzie

B

Między impedancją

Zastosowanie praw Kirchhoffa w dziedzinie częstotliwościowej pozwala na natychmiastowe zapisanie równań sieci w stanie ustalonym. Można je przedstawić w postaci jednego równania lub układu równań typu:

(7.68)

cp =arc tg G'

Takie sformułowanie stanowi podstawę analizy obwodów prądu sinusoidalnego metodą algebraiczną przy zastosowaniu algebry liczb zespolonych. 7.8.6. Impedancja i admitancja

Yelą!'

stąd

G

R

=

G2+B2'

-B X= G2+B2·

(7.70) 127

Jeżeli impedancje składowe są wyrażone w postaci algebraicznej, to:

Alternatywnie: . 1 R-jX G+JB= R+jX= R2+X2'

~

= (R1+R2+Ra+.„)+ j(X1+X2+Xa+.„).

Moduł Z= Y(R1+R 2 +R3 +„.)2+(X1 +X2 +X3 „.)2 ,

·stąd

R G - -2- - - R +X2'

(7.71)

jB~Y

- l Dwójnik liniowy

tY

·----


=arc tg

(7.73)

X1+X2+Xa+ ... . R1 +R2+Ra+ ...

(7.74)

Gdy elementy obwodu szeregowego są wyrażone przez admitancję, to:

IP' . G -

Z=_!_+_!_+ +_!_ -_ _!_ , y y .„ _1

I

_2

X,,

(7.75)

y

i{ys. 7.19. Impedancja i admitancja dwójnika liniowego

(7.76)

Impedancję

i admitancję dwójnika liniowego przcdstw,~ inno na płaszczyźnie zespolonej (rys. 7.19). Znajomość impedancji lub admitani.:ji dostarcza wystarczających informacji do rozwiązania sieci dwuzaciskowej, gdyż:

z = zeli/' =

U ==I

=

7.8.8.

U - - = - el /elvi1 I

Równoległe połączenie

Prąd dopływający do obwodu (rys. 7.21) jest sumą prądów płynących

szczególnych

skąd

7.8.7. Szeregowe

połączenie

impedancji i admitancji

[;civiu

w po-

gałęziach:

~

1 1)

1

- + - + - U=-U Z1 ~2 ~a ~-

impedancji i admitancji

łub

Każda

impedancja w obwodzie szeregowym (rys. 7.20) składa .się ze składowej rezystancyjnej i składowej reaktancyjnej. Napięcie na zewnątrz obwodu jest równe sumie napięć na poszczególnych impedancjach:

I

o---=,

!!_ = !!_1+U2 + !!_a= (~1+~2+~s)[ ·

Rys. 7.20. Szeregowe

połączenie

Rys. 7.21. Równoległe połączenie impedancji

;1

11 .l,

12 .?i

la ..?a

impedancji

Jeżeli admitancje składowe są wyrażone w postaci algebraicznej, to:

Impedancja

zastępcza :

(7.77)

a

moduł:

(7.78)

lub ogólnie: (7.72) 128

(7.79) 9 - Elektrotechnika i elektronika

129

7.8.9.

Przykłady zastosowań

1) R i L

połączone

7.9. Koncepcja częstotliwości zespolonej. Uogólnienie analizy w stanie ustalonym dla funkcji o postaci f(t) =fe'', gdzie s = o+jw

liczb zespolonych

szeregowo :

Napięcie całkowite

Napięcie całkowite

7.9.1. Częstotliwość zespolona i własności funkcji wykładniczej f(t) =fe''

di Ri+L dt'

u

!!. = R{+jwL[,

w ujęciu zespolonym

Impeda:ncja zespolona

~=

Moduł napięcia

U= TJIR 2 +w2 L2 ,

Faza

napięcia

(7.80)

R+jwL,

wL

arc tgR.

Widzieliśmy, rozpatrując napięcie i prądy przemienne jako wirujące fazory y2Ie1w', jak można sprowadzić równanie sieci o postaci u(t) = y2 Uel"'1, i(t) do równań algebraicznych i otrzymać dzięki temu rozwiązanie, używając algebry liczb zespolo:nych. Możemy teraz rozszerzyć naszą analizę włączając obwody z innymi postaciami wykładniczymi fal przez wprowadzenie pojęcia częstotliwości zespolonej lub uogólnionej. Niech będzie funkcja w postaci:

f(t) = Fe'',

2) R i C

połączone

szeregowo :

Napięcie całkowite

U=

w

ujęciu

Ri+~f idt,

U = Rl - j I , wC

zespolonym

łowego.

. 1

Impedancja zespolona

Z -

Moduł napięcia

U=l

=

f

= Fmeia jest amplitudą zespolo:ną, s = o+ jw jest częstotliwością zespoloną, gdzie część rzeczywista a opisuje wzrost lub zanik amplitudy, a część urojona w jest częstotliwością kątową (pulsacją) fali. w jest czasem nazywane częstotliwością rzeczywistą, gdyż jest ona bezpośrednio identyfikowana z częstotliwością fizycznego źródła energii lub generatora sygna-

gdzie:

Napięcie całkowite

(7.81)

R-J-C' w

Ponieważ s ma składową rzeczywistą i urojoną, funkcja zdefiniowana równaniem (7.83) ma znacznie większy zasięg zastosowania niż fazor prądu sinusoidalnego w postaci Fel"''. Mieści ona w sobie różnorodność fal typu wykładniczego:

f(t) = Fmei0 e<"+iro)t Faza 3) R, L, C

-1

napięcia połączone


di 1 u = R i+ L dt + c

Napięcie całkowite

w

Impedancja zespolona Moduł napięcia

Faza 130

napięcia

ujęciu

zespolonym

U=

R!+ jwL{ -


1

wC

U=

'd

l

t'

) ,

(7.82)

=arc tg

1

2

w

1 ) ( wL-wC R

Fme"' [cos(wt+ a)+ j sin(wt+ a)].

Im f(t) =Im fe• 1 = Fme"' sin(wt+ a)

rV +(i- cJ, R

=

Re f(t) = Ref.es'= Fme"' cos(wt+ a),

j w!.C,

Z= R+j(wL-- -

-

J

Fme"1el
Gdy s =O, a= O, tO f(t) =Fm reprezentuje prąd stały, gdy s = a, w= a= O, to f(t) = Fmea' reprezentuje przebieg wykładniczy aperiodyczny, gdy s =jw, a= O, to f(t) = Felwt =Fm cos(wt+a)+jFm sin(wt+a) reprezentuje wirujący fazor przebiegu sinusoidalnego (rys. 7.22a). W przypadku ogólnym:

= arctg w CR.

szeregowo:

Napięcie całkowite

(7.83)

reprezentują

wzrost lub zanik funkcji sinusoidalnej. f(t) =Fe'' można interpretować geometrycznie na płaszczyźnie zespolonej jako fazor wirujący z częstotliwością kołową w, którego amplituda Fmea' wzrasta lub zanika wykładniczo w czasie (rys. 7.22 b i c). Ponieważ

•

·

:te''

= se''

oraz

J

e•'dt =

~ e'', 131

więc operację różniczkowania i całkowania ·można zastąpić odpowiednio przez I pomnoż~nie funkcji przez s lub - . Ta własność umożliwia sprowadzenie równań

a)

f(t)

jw

s

s obwodu do postaci algebraicznej, analogicznie jak przy użyciu elwt w przypadku sinusoidy.

o h)

t

jw

s t

c)

f(t)

jw

t

d)

jw

f(f)

s ()

e)

jw

•s t

f) Rys. 7.22. Własności funkcji wykładniczej: a) fazor wirujący f(t) ~= Feiwt oraz przyporządkowana sinusoida o stałej amplitudzie, znaleziona jako rzut f(t) na oś rzędnych, b) fazor wirujący z wykładniczo zanikającą amplitudą oraz przyporządkowana sinusoida tłumiona, c) fazor wirujący z wykładniczo rosnącą amplitudą oraz przyporządkowana sinusoida, wzięta jako urojona składowa Fe''

jw

f(t)

s

•er

t

Rys. 7.23. Szczególne przypadki położenia s na plaszc7yźnie zespolonej: a) s =O - odpowiada prądowi b) s a < O - odpowiada fun! O - odpowiada funkcji aperiodycznej rosnącej wykładniczo, d) s jw - odpowiada przebiegowi sinusoidalnemu o stałej amplitudzie, e) s =a+ jw; a< O - odpowiada przebiegowi sinusoidalnemu z wykładniczo zanikającą amplitudą, f) s = a+ jw; a > O - odpowiada przebiegowi sinusoidalnemu z wykład­ niczo rosnącą amplitudą stałemu,

Ponieważ s jest liczbą zespoloną, więc można ją przedstawić na płaszczyźnie, mierząc a wzdłuż osi liczb rzeczywistych, a w -wzdłuż osi liczb urojonych (rys. 7.23). Położenie s na tej płaszczyźnie określa osobliwość funkcji czasu określonej jako

f(t) =Fes'.

Należy podkreślić, że częstotliwość zespolona s jest identyczna ze zmienną s

" w dziedzinie częstotliwości uogólnionej 7.9.2. Elementy obwodu

w transformacji Laplace'a. Stąd wniosek, że równania U(s) i I(s) dla funkcji wykładniczej w stanie ustalonym są podobne do równań, które utrzymuje się stosując transformację Laplace'a do równań sieci dziedzinie czasowej. Oznacza to, że powyżej nie tylko napisano uogólnione równania obwodów, lecz przygotowano drogę do analizy obwodów za pomocą potężnego narzędzia, jakim jest transformacja Laplace'a.

w

132

Niech

napięcie

i prąd mają postać:

u(t) = U(s)es1, i(t) = I(s)e<'; ~dzie:

s =a+ jw, a U(s) oraz /(s) reprezentują zespolone

wartości napięcia i prądu.

133

Jeżeli

te zależności zastosuje się bezpośrednio do zależności dla R, L, C w dziedzinie czasowej (równania 7.63) i pominie się współczynnik e51 występujący po obu stronach równań, to otrzyma się zależności napięciowo-prądowe w stanie ustalonym w dziedzinie częstotliwości uogólnionej: U(s) = Rl(s),

l(s)

= GU(s) ,

U(s) = sLI(s),

l(s)

1 sL U(s),

1 sCI(s)'

U(s)

(7.84)

Rezonans powstaje tylko w przypadku, gdy odpowiedź przejśCiowa układu ma charakter oscylacyjny, a to wymaga magazynowania przez układ dwóch postaci energii, np. energii potencjalnej i kinetycznej w przypadku układów mechanicznych. W przypadku układu elektrycznego występuje magazynowanie energii pola elektrycznego i magnetycznego, co oznacza, że obwód rezonansowy musi zawierać elementy konserwatywne, tj. indukcyjność i pojemność. W zależności od sposobu połączenia elementów konserwatywnych (L, C) ze źródłem energii możliwe są dwa przypadki rezonansu. W przypadku szeregowego połączenia L, C może powstać rezonans napięć, a w przypadku połączenia równoległego - rezonans prądów.

I(s) = sCU(s),

. k . U(s) · · l(s) a stą d uogó In1one rea tancJe l(s) oraz uog Ól n10ne susceptancje U(s) dla elementów L, C

7.10.1. Rezonans Rezonans

napięć może powstać

R, L, C i zasilanym

1

Xc(s)-

napięć

sC'

napięciem

w obwodzie szeregowym zawierającym elementy sinusoidalnym (rys. 7.25). W obwodzie tym prąd

wynosi: (7.85)

(7.87)

l(s) l(s) .------.

El

tu(s)

obwód llniowy

a.)

b)

impedancja Z(s)=J'ffl fl=fln

'J. • I/~ ) f(S) adm11anc;a r 1s =U(s)

Rys. 7.24.

Zależności

w elementach liniowych w dziedzinie

Dla kombinacji elementów rezystancyjnych niona impedancja i admitancja ma postać:

częstotliwości

(7.86)

Należy zwrócić uwagę, że powyższe zależności

dobne do

równań

w dziedzinie

częstotliwości

uogólnionej

reaktancyjnych (rys. 7.24) uogól-

U(s) Z(s) = /(s) ,

w dziedzinie s są całkowicie pojeżeli s zastąpi się przez jw.

Zjawisko rezonansu występuje w różnorodnych układach fizycznych i pojawia się, gdy układ jest poddany pobudzeniom okresowyn\ o częstotliwości równej częstotli­ wości drgań swobodnych układu. I

Yc Rys. 7.25. Rezonans

napięć:

a) schemat

połączeń,

b) wykres wektorowy

Rezonans może powstać wskutek regulacji częstotliwości źródła energii lub wskutek zmiany częstotliwości drgań własnych obwodu, co zachodzi przy zmianie L lub C. Gdy częstotliwość:

w,

7.10. Rezonans elektryczny

134

!la

1

1 w= Wo= VLC'

to napięcia elementów konserwatywnych muje się:

u

l=-

R'

Z=R,

są

(7.88)

sobie równe, wskutek czego otrzyR

COStp

= - =

z

1. 135

Pulsacja rezonansowa Wo= 2rr.fo, gdzie Io nazywa się częstotliwością rezonansową. Jeżeli rezystancja obwodu jest niewielka, to przy rezonansie prąd w obwodzie znacznie się powiększa, co jest równoznaczne ze wzrostem napięcifl na pojemności i indukcyjności. Napięcia te mogą być wielokrotnie większe od napięcia zasilającego. Jest to zjawisko niekorzystne w obwodach elektroenergetycznych, gdyż może spowodować przebicie izolacji, natomiast w obwodach teleelektrycznych zjawisko to ma jak najbardziej pozytywne znaczenie, gdyż umożliwia wyodrębnienie sygnału o określonej częstotliwości. Stosunek napięcia na indukcyjności lub pojemności przy rezonansie do napięcia zasilającego nazywa się współczynnikiem rezonansu lub dobrocią obwodu: UL

Uc

kondensatora można wyrazić również w zależności od Q lub częściej od tg 15, który jest odwrotnością Q. Dla szeregowego schematu zastępczego, przedstawiającego kondensator rzeczywisty (rys. 7.27a): tgd =

1

Q=

a) Rs Cs o---C:J--1 - - o ._I

b)

(7.89)

Q=u=u

(7.93)

wC,R•.

__. c„

lub

...._


Q

=R =

1 WoRC

=

1 ... R

fi,

V e:·

(7.90)

Dobroć obwodu jest podstawowym parametrem charakteryzującym obwody rezonansowe (obwody reaktancyjne ). Ogólna definicja współczynnika Q,·mająca zastosowanie w dowolnym obwodzie, wywodzi się z zależności energetycznych. W praktyce wytwarzanie idealnych cewek i idealnych kondensatorów nie jest możliwe, gdyż zawsze występuje pewna strata mocy związana z nieodłączną rezystancją elementu. Dlatego dobroć obwodu jest definiowana jako:

wm Q=w-, p

Rys. 7.26. Schemat czywistej

Dla schematu

zastępczy

Rys. 7.27. Schematy zastępcze kondensatora rzeczywistego: a) szeregowy, b) równoległy

cewki rze-

zastępczego równoległego

(rys. 7.27b):

Q = wC,R,. Prąd

(7.94)

I może być wyrażony jako ułamek prądu rezonansowego w postaci.

I

(7.95)

(7.91) I

gdzie: Wm - największa wartość energii zmagazynowanej w czasie jednego okresu, P - średnia moc tracona w elemencie rezystancyjnym. Dla schematu zastępczego przedstawiającego cewkę rzeczywistą (rys. 7.26) średnia moc tracona na rezystancji wynosi:

To

1,0

0,8

1 2 P= :zR.lm,

gdzie: Im - amplituda. Największa wartość

energii zmagazynowanej w cewce o indukcyjności L, wynosi:

'

1

o

2

Wm = :zL•lm. Stąd dobroć

0,5

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 f,2 1,4 f,8 1,8 2,0

2,5 {;; 0

Rys. 7.28. Przebieg krzywej rezonansowej

(7.92)

Straty na rezystancji kondensatora są normalnie znacznie mniejsze niż straty z rezystancją cewki i dlatego czasem są nie uwzględniane„Jednak dobroć

136

0,4

skala lo9argtmiczna

obwodu: wW,n wL, Q = p- =R- . s

związane

L--L--L--L---l-..L.-..L.-..L.-..L....JL-J......l-.ł..-L...L..1.-'--'--'-----

Wyrażenie

to przedstawia krzywą rezonansową. Jest ono wyprowadzone w założeniu, że elementy obwodu R, L, Coraz dobroć Q są niezależne od częstotliwości. Wykreślając rodzinę charakterystyk dla stałego parametru Q (rys. 7.28) można stwierdzić, że dobroć charakteryzuje ostrość krzywej rezonansowej (ostrość stro-

137

jenia). Zmniejszenie Q, spowodowane powiększeniem R, spłaszcza krzywą rezonansową. Zmniejsza to selektywność obwodu rezonansowego, tj. zdolność do wyodrębnienia sygnału o pożądanej częstotliwości. Pasmem częstotliwości przepuszczanych przez obwód szeregowy R, L,C nazywa się umownie taki przedział częstotliwości w otoczeniu częstotliwości rezol 1 nansowej, w którym wartość ;= ;:::J 0,707.

Io

prądzie

Przy

.

I="

~-= 10 (na

Gdy amplituda napięcia jest stafa, a zmienia się częstotliwość, to przy częstotli­ wości Jo, zwanej częstotliwością rezonansową, zniknie przesunięcie fazowe między prądem całkowitym a napięciem. Sta:u taki wystąpi, gdy susceptancja B będzie równa zeru. Stąd wynika warunek rezonansu·

J; 2

granicy

B

przedziału) rezystancja

w0 L

RJ. +(<-;;0L)2

--- )~

m:+ ( wuc

i reaktancja obwodu

Jl2 są sobie równe, a kąt fazowy między prądem i napięciem zasilającym wynosi 45°.

o.

L

Przekształcając ostatnie równanie otrzymuje się wyrażenie na. częstotliwość rezonansową:

I -.

7.10.2. Rezonans

prądów

fo

Rezonans pradów może powstać w obwodzie zawierającym równoległe połączenie elementów konserwatywnych L i C. Jeżeli w jednej z dwóch gałęzi równoległych znajduje się cewka o indukcyjności L oraz rezystancji RL, a w drugiej --kondensator o pojemności Ci rezystancji Re, to w szczególnym przypadku wektor prądu całkowitego I może znajdować się w fazie z wektorem napięcia Y. (rys. 7.29);

I

a)

2~

Jl

CL(L=-cR~) .

równoległych, częstotliwość rezonansowa jest określona równaniem (7.96), natomiast prąd rezonansowy wynosi: (7.97) 2) Gdy kondensator jest o małej stratności, to można przyjąć, że w gałęzi z kondensatorem rezystancja Re = O. W tym przypadku:

połączeń,

L

c

RL Io= Ri+-(WoL)2 Uo'

(7.98)

-.Jl R Io= 2n: Jl LG- L~:

(7.99)

2

1

oba prądy gałęziowe są wtedy bardzo duże w stosunku do prądu całkowitego, pobieranego z sieci. Taki stan nazywa się rezonansem prąd6w. Prąd całkowity, będący sumą pr<'.!dów gałęziowych, wynosi :

I

1

IL+Ie

-

-

1

+'?;_L '?;.e

= (-

)u= (-

1 -. RL+.JwL

(7.96)

Częstotliwość ta zależy nie tylko od wartości indukcyjności L i pojemności C, lecz również od rezystancji RL i Re znajdujących się w obu gałęziach równoległych. W związku z tym możliwe są różne przypadki rezonansu: 1) Dla obwodu przedstawionego na rys. 7.29· z rezystancjami w obu gałęziach

b)

~

u Rys. 7.29. Rezonans prądów: a) schemat b) wykres wektorowy

=·=·=

/-L--CRi

1

+ --:-)U= R - _J_ e

wC

3) Gdy Re

= O oraz rezystancja cewki

Io

RL ~ wL, to częstotliwość rezonansowa:

1

2n:Jlic

jest identyczna z częstotliwością rezonansową rezonansu na pięć. padku prąd całkowity wynosi:

RLC fo=yUo.

(7.100) W tym przy-

(7.101)

a prąd w gałęzi z kondensatorem: fe

138

WoCUo.

(7.102) 139

Stosunek tych

prądów:

Ie= 01oL_ = Q. I0 RL

(7.103)

Należy zauważyć, że dobroć obwodu Q jest miarą zwielokrotnienia napięcia w obwodzie szeregowym i miarą zwielokrotnienia prądu w obwodzie równoległym. Prąd pobierany z sieci przez równoległy obwód rezonansowy jest w fazie z napięciem zasilającym, a rezystancja takiego obwodu wynosi:

Uo Uo Ro=-=--I0 RLC Uo

(7.104)

L Wielkość ta jest niekiedy nazywana rezystancją dynamiczną obwodu. Zgodnie z rys. 7.29 składowe urojone prądów gałęziowych są sobie równe co do wartości, lecz mają przeciwne zwroty. Prąd w gałęzi z kondensatorem wynosi:

Stąd wniosek, że dołączenie równoległej rezystancji do obwodu rezonansowego zawsze zmniejsza dobroć obwodu. Rezystancją tą może być również rezystancja obciążenia.

7.11. Moc

prądu

przemiennego

Z powodu przesunięcia fazowego między prądem a nap1ęc1em, przy prądach przemiennych nie można wyrazić mocy jako iloczynu U· I, jak to ma miejsce przy prądzie stałym. Moc dostarczona do obwodu w każdej chwili jest równa iloczynowi wartości chwilowych napięcia i prądu, można więc napisać:

p Po

przekształceniach

ui = I,,,sinwt· U,,,sin(wt-rp).

trygonometrycznych otrzymuje

(7:107)

się:

U,,,I,,, U„/111 - - cosrp- - -cos(2wt-
p Prąd ten jest prądem zamykpjącym się w obwodzie L, RL, C, podczas gdy składowa rzeczywista I jest równa prądowi sieci. Dobroć obwodu równoległego może być

=

{7.108)

Równanie (7.108) wskazuje, że moc chwilowa oscyluje z podwójną. częstoliwością wokół stałej średniej wartości

Ul111 ~

cos