IJ
l
olo
o
1. WYRAZENIA ALGEBRAIoZNE. RóWNANlA l NlERóWNoścl ALGEBRAlczNE
czĘśćTEoRETYCZNA l.ZOFY SKRÓCONEGO MNOŻENlA
. ł
.la+b\2_a2+żah+h2
a la h'|2 = x2 -20h + h2 . o'_b! = (a +b)(ą- b)
a.
-tll= (a-txa'+at+t')
rczWĄzANn FÓWNAN|A KWADFAToWEGo e' . \'yróaik trójmjanu łwadratowe8o ^=ó'-4a.,
.
Jeśli
>
0. to óWnanie na dwa rozwiązania
}l
+
<
0. lo
0
(a
_
(a-b)]
= a3
a1 +
3d' b
+
3ab'
+ b3
-3ą'b+3ąb1
b3
ź o)
, -.= *Jl
równmie nie ma rozwiązali,
lYllEBNE PlEBwAsTKl §Eh d,,a" |.,,..d:,a|,ao
ó .
+ ć=
|o + bl]
=-L
JeśliA=0. to równanie ńajedno rozwiązanie Jo JeśljA
br
.Ł6
=
^
. .
a .
(a+b)\d1 ab+b.)
aj +b3 =
cALKoWTYcH
WlELoMlANU o WsPótczYNNlKAcH będąlicżbańicallowitymi j d"ź0,
Jśśliównmie4rl+4, 1t') Jeślilównanie a,,l'+a,,
+ ... +
ażł+ a]x+ ą}=o
fu pieNiallek
l!]+...+alx2+aE+do=0
nlm.loPjest dżielnikiem wy.eu wolne8o
! + a, ł,
ą,,
l
ma pieNia(tek wymiemy
4,gdzie 4 jesl Dłańkićm nie§kacal_
ao, zaś4jesl dżielnikiem wsŃcżynnika 4,i,
TrEEozENlE BćzoUT . wielońo W(}) jest Podzielny pźez dwuńian J, a .ńryNANlA WELoM|ANoWE
calkowity ą to . jest dzie]nikiem wyrazu wolnego do,
1
+.
--
wledy i rylko vtedy. gdy liczba ć jest pićNia§tkiem wielońanu W(1),
+ ą
|,
+ aa =
o
(a,
ł o)
wieioni owe w(ł) = 0. wysldczy rozlożyć wielońan W(x) na czynniki liniowe lub cżynniki śop.ia naslępnie każdy z czynników lrzyńwnać dozera, Rozkład vielonianu na czynniki możmy osiBnąć ń ln lPez Ęlla§zćnie przed nawias czylnika f, wledy. gdy wyraz wolny wielomianL] ly(J) jest ńwny zeró, tżn,. edy równanie ma Postać 4,,,/ + a.,ll-|+,,. + alJ = 0. gNPowdie wyrazóq i łyłączenie wspó]ne8o czynnika pźćdnawia§. §lkożysBnie twierdznie 8dy znany jćśtjeden z pićrwiastków rółnania. g,lkorzy§tanie ia 'lzołl, a wlnie m!ćh piefuialtkdch iiek,Ąianu o współc.,,nikach calko|łillch do znalezieńia ]eŃ:ćgo z PieNia§lków, 'yżłl.?n a naśęp.ieskolzysranie z tłie/dzekia Bć.óul-
l,b! rczwiąać równanje
t!g'ć8o.
.
. 9 . ó
a
IMa metoda .ozwiązywania ównm wielomianowych polega na wprowadzeniu niewiadonej pomocniczej, w ten sposób ilmwadzamy wielomim dó prcśrszej po§taci- Tą metodą rozwiązujemy równania dwukwadratowe aJa+#+.=0 (d+ 0)
- qprowadzając niewiadomą =r:
leBiąywfuie
'
(/> 0), otrzymuiemy rów.anie kwadratowe
a/ +ó'+.=0.
nieklórych róWnań wynńga zaśosowania więcej liżjednej z ł]nienionych metod.
FEFW|ASTĘK WELOKROTNY W|ELOM|ANU . Uczba a jest ł_trohym pievjaśkiem wielomianu W(r), jćżeli W(i) można żapisać w postaci W(ł) = (r - a)l , o(,), gdżie o l, |ę\I *le.omiJem niepodzieln}ń przel dtrUńiJ l-a,
iżJłr.d. wietonim W(,) = (x+z)r (xa 4x1) NżEmy zapisać w Poslaci W(r)=(ł+2)J,;(J-2), wynika stąd. że r(ł) ma dła Piwias&i pażyśtokotne( 2 jeśpierwias&iem czlerokotnym. 0 jćlt p]eeiasttjeń dwukrotnyD) i jeden pie§iaslek DieP@yśokohy (2 je§t pierwil)stkieD jednołrctnym),
U
'
G A, znajonośćpojęci! pieviasrka wielokorne3o wielomilnu nie j€n ł,ynaganJ na eeżminie ntura]nyn. jednak nie jest lo a pósiugiwani€ §iq nim ulatwia rozwią7yw ie nieró*,ności łielomianowych,
mdne ^ Pojęcie,
WVRAŻENIA ALGEBRA|żZNE Ro|yNANlA l NlEBÓWNoŚcl
NiEFóWNoścl WELollitlANoWE Ab} l)^ją7łćdicnn\noić
§icbui! o!!ąlyll)>()(iiir)
l|
ALGEBRAIżZNE
z
llil śLlji.l]jż\ łt.Lle/J \:Ą.*ie lri.tl\ii(\i \\\/n.|.z.l]io J nJ !n lirżho\.i,r l,ożlącżnych
>rl,
wiebnli,n lt'(I), Jcśliżbnirl),(n pic^lia([(n\,ić(, elćnj.nl( \\,1(] pl/.dziannv otsrny.h, W tiżd),n ż §,.h prżcdlith\ żlra\ § iclon)ilnu kkn}ch wsrrh) nl koń..nr .jest pićs\ iJśckr,, 7D l, \ icl(nnjJnu . je§t l(iżny.3dv r/ iest llienłirslkiclr nicpirzy9o}ircl n} nr. . je( lltis nr. gdy l, ić\l pie^vin\ll,i.d, pirzyŃok,onrynr,
jj.i.1l]] \\ d\ó.h ti)i.dni.h plżcdziiixch.
tł l \ ]
Zn.li \ićlonixn! \! |o\zclesólD).h prz.dziilrch żrż§y.żJiun.lhnr] ,lkl.uj,:.J , Ul.n././on\ \\krc.'§ick]jni.lnu lub tor/}\laj4c l...\lnjconL.] \iJlki ,)lk(n!". RJ U\lilcni! żnlkln\ $icl(lHilu \ \,,/J!ni ż a- I |?.dli.Il(nv n!)ż.nr} okr. ilić zbnn roż§i.l i ni.!n\Doici,
t]fl|\/!2| ! \\kr.a'|!§ncgo\lel(]nn]nu iodno}iJdi.,.Jmu,.knl.nn]J.{l,,zl.t(n\" I\!u\llł.l i. i.nFr7]noln n). Pi.ń\j.,nli \ , \ ,l !,!.r.P.L.z]:l,\nl:
1.1
1.!
1.1
ZADAN|A WPROWADZAJĄCE
1,1,
. t]. J\ il..Lt!,] nNJainu,4ć\i.kl|iJD) . §ykon!\laJżi]l. rIJ\yrJ-triL(hJ]:.hr.r./n).lj(\l)nrnon\\ri\/oĘ\|nr(nr.!
|l)/.liil
.,./kl]ilićui.l(nlil!tr](l]lnilin..ui,l.\zo1,1.i.jti,.n.!l)0lo/Ln,.l,!ruDo\!!i.\)rnl(1\.\}h/ri.\virl ]
zdaiący polrali
n!!..z\|n][x no7lntr§ii\
i r1 I l1\,
!!l71|.,
spro\adź do nriPtosls/ej poslJci
1.1
c).\-+3!'+,\: '1.2
],,
J {J] 2t]
Wykon,lj polęlo\łanie 6)
o) '1.3
,.'
\)rućnic
d)
\)i
(]rr3!]:i
r,6ł+,[s,ll::
d) ],(,l -5)
'l'
1\:: ]) - 5(l
t
J1.
*
e)
b)
h)
j)
i). i+7r:-]r- 1.1: m) . ,t:-n] .] ]lr,
a'-l,':
b) (3r):+(2\)]: e) (]]+ 31+ 2)(,1: -],!+?).
1.]
\l
c)
(\,!t){r
0
(r+3)( \r-
J],25:
l'-s:
9) .
+5){r 3
]]-9t:
k) |/ d'+ I:
tj\W::. P ! żr.,]Jżt1.:\ Jl:j].ni: \j.liDl.nru li'lr)Plzcz _ lt i =], _, ,l-! j, Plr|=\-2i .)ly(l)=t -lo\-_]\--, P]r =l-i. lltl/(r)=i+3,r' ].' 5.,l, P,,,,=,-l : ]i i =: _6i-.., P.l=l-:. \icJz{, /. il.żoJi,]j.: FlJ:..::.:i.j= li]j..,T:JJ 1]l !), - ll,:. - -- t ,=_j łi. /J-l, ltl\|_\',],t,l ] iił\)=4!l+.lr]+3J_3. /,=0.5l a] tlll,=t)i'-i]t'_::i:-]|, ł=],
Rn/ivn-.?)nnll,nlJloll,|
}1'(,L)
"W,\l
r lł,\l:l
.]l:-7\4.]i
o)
+J))l
!+ 9),
Wielomiln ]}]])ić.tNJż1.In} |././
Rożlóż n.! cz}nDiki wielomiln
zćą
c) (-7r-,łI)r: f) (d-ł- l)],
.fzulłi. - Ę1,1
cż)nnikiŃ}.rż.nic a) r]+6L: d)llr_h]- l: e) " 9-]\]|
r r'-1t]+t-]i
-:):
e)
b)
-(,-łX, +ł) -5łl+ł - 2):
r.
b) (5d- ]/,)]:
Rozkiż nl
D rl,
,,i]
+
(,1+])(
spro§adż do.ajPro§lśżej pośh.i wyrrcnlc
a) (z/+3r)]-(.l- 3}):l
1.4
a) 3]:
ł l]tr n, ].l -j(!, r]klltrni,,ll,
\'/ lt,(,- it ,':,:,7rl.
/J(1).jeśli
z.
WYBAżEN|A ALGEBFAI1ZNE. RÓWNANIA t NlERówNoŚc!
ALGEBRA\.ZNE
wiązyvać !óvnMia i nieówności liniowe z jedną niewiadonĘ o*ftślaćliczbę rczwiążań ńvnfuia Iiniovego z jedną nicwiadonĘ rou
lJ
Rozwiąż równMie a)
(,+3):=(j-l)r,
d)B łJ3 +!5=r+3;
13
Rozwiąż nieńwność
jr
a)
zr{ący polrall
1-10
.
b}
0
B
lo/Wą.)Vdć osrfu k l nierc{lon| kwadfulose/ iednJn e}.Jd, ńą
(ł-5)(.r+6)=0;
RiI-2)=5(J_2)]
(J-2xr-4)>0i
0 k)Bl
ź2+9>0;
1-12
b)
iŻ 9=0i
c|
ml
B;+4=oi i, P.2t-l=k, d)
=z;
E) R lzt1+12ł+3=0: h) BJ]+2r=8;
e| ąaŻ=8ą.,
i)R r'=2(ł+l),
Rozwiążnierównośó a} R
Ęcy
3(r-5)>4(ł-5); c),(r+3)+3ś(J 2)1+1x| d|R xĘ+2Ja<2I
Rozwiąż równani€
a)
1.1l
j!-+=2t-9i
"l f -}=u}-l, e)6J+4=5(J-2)+J+12; 0B4(r+l)=,(r+4)-(r-2Xx+2)_ b)u
pofuri
2ł+3>0;
b) R
g)
c) y]-36<0;
(ł+5)(6 i)>0;
,'śfu:
l) B
l)
h),:+51+4<0i
p'+6p+9śo:
. rc/w,7\łdćlvun h
d) J'>8i
wFloń lanov
m}
-3l+4r-5ś0]
e melodJ
b/. lJJ( nd!/)rniu
e) lŻ>0l D 6ł+l >J']
,'+4>5}i
n) R o,5.T',16ł
+ 3 >
Rożwiążrównani€
(r-8)(4-'XżJ+ 1)=0; e} Wrr+5l+3ł+ 15=0] a) n
Pi.loni.du
o
flspiólaymtk ćn c.kowiaych or.ż twi€,drenir
BćżNb
l'+h =3ll
o łyBi€my.h
pl€ni.śd{icb
Rozwiź równa.je a) ra-3l+z=o;
r-l4 w Rozwiąż ńwnanie wiedząc, ż liczba a jest j€dnym z jego rozwiązń. a) _f' + 7J]_ l4J_ l2o= 0, a = 4., b),1 + 9,1 + I'7 ł =27 r + 60, a = -5
1-15
d)
g):il+8=0.
ĘłiązywlćrółD.ria wi.loDi.m*e, t k z srlroEyst !i.n t*ierdz.li.
r-r3
0.
Roz]riąrównanie a),łr+6t'+5J- 12=0l
b)
ołĘaltć *fuhrośćpi.r*bs&. widombnu Ęal{żyłgćniFówmli:| wi.lomifu s€
t-l6
Znajdz pie.wja§tki wi€lomianu
1.17
Rozwią
|
R-l+]r'-&ł-6=0;
c)
4x] _
49a'
+
60,
12 = o,
a= 0.25.
c)
(pairz U w A G A na si., 5)
W(,) i ok€śl ich krotność(paż u W A G A na sii, 5) a) }v(,)=(x+2)(,T-4)2(J_5)]; b) Ę W(ł)=Ja+6f+9JŻi c) ły(,r)=(J+l)5+(t+l)+.
nierówność a)B5,r(J+3x2-ł)>0i b)R(ł+2X1-1)1i-3)5<0l c)(j!Ż-5r+6)(}'-l)ś0;
ł) rł+s:lr-r'-5ł<0: l} x3+l+,r-
I
>0l
l2t'+4J>oi i) J4-5J'+4>0, l) R 9J]+
g} łr+3łr+2ł+6
0,
I
wf aAżENlA AL5EBRAI2ZNE.
zddący
1.18
. PoMl |' .
B-Ł;
,l _1j1
el
ji:
n!:}+:l
gn
.2o W
!'
,)
{,+5|
ż5
nn
-Lt
sprowadź do najprost§zej postaci wyra-żenie
aln
1
c)B+-*;
t) ::!,,
")t-#' 1.19
--Ł+-!-,
or",l+l,L:-:, o n
,!=+]=l
n n
-----!,
Rozwic ównanie "1 e1
_!=o:
51
!=
0
ll
1-1
=
ol
-4-=2:
n-!=-Ł, 'r-5 I+4
2
O
a) 9>0]
b}
i>
tl
li
#>o;
J->!
--
2.
el
d)
+;
h)
-=Łl
c2
El
L-,
. t-l
żł
j-frl
al -?.r+-]!-, r,l
łP-ii*, lJ
-.2r+5 !+2
")+=c jĘ=zx 91
h)
łr]l=-Ł,
n,fj_l
1.2l B Rożwi€ nierówność
e)
|ąEńłrr6cl ALGEBBA|GZNE
okĘśl.ćdżi.dżine łyraż.ni!§yN.m.8o dod.w .od€lńos,ć, nmż}ć , d,ilhc wyrMn,d wyneme skeać i fu^.@ć *yBżeóia wymiem.
określ dziedzinę wyrażenia
.)
RóWNANIA l
ą
lĘso:
s)
1,
r,
1-1=
2,
-1-1-r r-l
d\'
aE
=1J:-r, l+l
llź a-a
lr
ż z
2. LlczBY RzEczYWlsTE. zBloRY
€ĘSC TEORETYCZNA Eł_llllA l{A zBloFAcH . s@Ęzbiońw A i nazywmy zbiór ' . c2aniąwsFrlną(ilezyncm) zbierw . .
Riaicązbiorów,4 DoP.tnieni€m
r§ToŚĆ
. t":
lych
A i
B nazyłmy
klórc nal€ądo co Dajmicj j.dn€8o ż€ zbiońw,4. a. (ożn.AUr) nałwamy zbiór tych cbftnlów, IllóE nal€ąjednocz€śnie do obu zbioów ń. a.
€lffntów.
'
zbiór tych elem€ntów. które nd€ądo,4 zbioru A do prrestrzeni n. gdde,4 nażywarny ,niór o i
cl}
i nie
\4.
nal€ądo
zbioru
a. (ozn,ń\a)
(ozn,/{"),
BEZWZGLĘDNA Edyo>o qdya
l a.
=|4l dla dowolnćgo a€
R.
r-i9 PnZYBLŹEMA ęó d Ęd?i€ pźybliżni€n liczby a, - BĘ4 bczwzględny pĘyb|iżen]a: A=|a-a|u, d=vj! wl.b - Bł.d vżpl.dnv nu vbl,żć.ia: a=9jj) la ld| amENT. PRolllL
-
'.d.n
Dro.e lI%,dmet liczbv lo
b&n pmmill
l%.)
danćiliczbv !o
! -]-
lel l,c/b}.
rciliczby, ll% - l(Ęo)
lEFDzENlE
.
o BozKŁADaE LrczBY i|ATURALNEJ NA czYNNlKl PlEBWszE r.żdą liczĘ naturalnąwiększąod l. która niejest liczbą pieNszą nożna przedśawić w poslrci iloczynu liczb pier9sżych i io tylko w jeden §Posób (il@zyn tćn może
ńż!ić się tylko
kolejnością Pystępo\łania liczb Picru§zych).
ZADAN|A WPROWADZAJĄCE
2t
zbioru A, które
22
23
fr, E, #, 'i, a) nafuralne; b) całkowite] c)
Dany jest zbiór A = {-3,
F R
ż,I1
synbo|em
*
Ę
-{,3,
E.
^
za§ą)iono cyFę dzie§iątet cztćrocyftow€j
wiadomo, żĘ liczba
ra
jesl podzielaa przez 3 i wzez 4.
l3).
Podaj wszy§tkie te liczby należące do
"ymi.me;
d) nieu/ymieme.
liczby l7*4. znajdź cyfrę dziesiątek tq ficzby. jeśli
U?-a§adnij, że suma dwóch liczb dwuc}łowych takich, że cyfta alżiesiąlek i cyfa jedności Pierw§zcj 2 nich jest odpowi€dnio cyftąjedności i cyń,ą dziesiąt€k dr 8i€j, je$ podżietna prżcz jedelaście.
wykń,
żE d|akażd€j liczby całkowitej n liczba llr
-ż j€§t
podzielna prz€z
6,
LlczBY RZĘczYWsrE. zBloRv 2.5
óaica
wyka-ż, ż€
kwadralów d§óch kol.jnrch ]i.zb
ni.pfż},§.hjeślliczb3.
-.azB\.
podzielną pźt', 8,
zĄai4 2.6
B
2.7
wykaż, że kwadrnl Iiczby całlowil.j niepodzielnej prżeż: Fź\ dzi.leniu pźcz 3 daje reszlę l, 2-16
Wykaż. że
a) dla każdej liczby rzcczywislej ! zachodzi nicró§ność łr:- 1>łl: b) R suma do$oln€j licżby dod!,lnie.j i .jej odwrohości jcśtni. mnićr sżJ Gj ]: c) jc.li ., i n \ą l|.1boml lcgo vme§o 7n.*U.
lo -r l ż ],
z17
. srŃ$.ć isie.dzćni. o rcrlt dżi. liczbt Mrurlln.j n2 .ł-mi§ Pi€N sz€ . łyn!9lć najsięli§ł $§ńn} dżlclólk l n lńlićj§ą ssPlilq $i€lolirotność
11E
2.a
Rozłóż na czynniki pierw§że
2.9
Znajdź najwi(kszy wspólny dziclDik i nnjmnie]szą § sp(jlną wielokolnośćliczb
6) 48
2.1o W Liczby
i 84:
b)
liczbę
23l i 363]
ł i ł są niepnrzysre
b)::
a) 2l0:
o)
1,17
i
c)
pari llcżb n&tuĘlny.b
l.łO-ł,
Ż'19
2009,
i ktżda z nich ma lylto lrzy dzielniłi. Uzasadnij. że róaica rych liczb jest podzi€lna
2-'n
zd.l.cv
errefl l
. . .
planosić i lllonyNlćobticzeii3 Fzednn§i!ć licźb! wynri.nlcv ń/n}ch po(ici(h (uhm.k7*Ikly. uł!,net dżie\i$ny) ponlsny§,!ć li.zby wyńiemc. ,zecż}łistc
. .
u§uwać
' ]. obll-/f pl.Ńun!, n,rp_"){!§o,1oltll| / lc/r
uF,fr nycn
l]]
a'ls'r,
+_+-+, ą
}_rj-j,, o }-j i,
2.11
oblicz
2.12
Ułamek dziesiętny żamicń na nieskJacalny ułamek zwykly
a)
2.13W xrón7liczb:
2.t4
j + fr
*r r#,
el Z'6 czy ,/il:
2.'l5
,)
,) 0.4l
-6ll ,."..*inięcie ^.,6 Jlr,
Rozsrżygnij (nie u4wljar kalkulalora).
aH
22:l
nicwymicno!ć 7 nitrnownikl i!nl! Ny^acż.ć rclwinięcie dlie§ię'ne liczby ,ecźywin.j
b)
łtó.!, liczbje{i
* a}*:
0 a ].5
czl
r,b-:
ą (+,+),i, 0 +,(+,i),
b) 0.45i
c) 0.08i
ctnZ.,r,l!, F
d) 0,]75.
dzie§ięhe skończone lub nieskońcżone okesowe?
więk§za
g)
ż,ż,
i- jJ1
a}
*
czy
e/v
ll,
22t 2-ź
Usuń nićwvmierność z mianoPnika
a|, "}
+: ,l2
6h'
€: 'J]
b|
c)B
ol f-_L, ij+I
2-2l
aEBy RzEczWlsTE.
zBlroRY
zali§yw.ćZFnBąP.Zdzinlówzbioryopis .Di.ównościmi wyżnićzaĆ: s.nę,
ilfzyn. Óż.icę 7bioów
łFn.czać doPcłhlenl. rhioru ŚtÓ$*nć
216
slónoś.i dżialań n. zbiorfh
Zapisz ża pomocąpżedżialu lub sumy prżedziatów żbiór 6) A={,r: Y>3 r€ R l; b) a=|le R|
i
d) D={xeR: J<_2 lub J>4}; g} c={d€ R; 4ż3 lub a<6|i
żl7
2.t9
2-,i
E={,,€R:
h} '1=
{J€ R:
Wyznacz wszystkie liczby ru€czywiste ż! 1*ie. ż€ a:)
zl8
e}
5,n-2e
(*:2)i
b)B5rr?-2€(-l:l):
c)
rśż}i ,,<3 lub,,<6)] J!> l i J<0 }.
i i<5 }l 0 F={:!: Jś3 i J<6 }i c) c={J: .r>0,1
5r?-2€(lil3):
i a,j€śIi .) n={1,2.3.4.5}. B={0.2.4.ó}; b),4=(tl5). 8=(2jó)i c) A=(..;2), a=(2:+_): d) ]a={a: r=2, i /€c},
d) 5rr-2€
(li
13)(J(18:+€).
wyznncz sumę zbiorów,4
Wyznacz częśćwsŃlną (iloczyn) zbiorów ,{
i
B.
J=2ł+l i /ec}.
B=h:
jeśli
b) n=(l;5), a=ei6); c) A=(-.*]2). a=(2]+-)i c) A={J€ R:.t>2}, a= {Je R: J>3},
a),4=|1,2,3,4.5},B=l0,2.a,6}: d} /4=(-*;-l)U(li+-). B=(,2]2)|
wyznaczńiory A\B i B\A,jeśli !) A = |I,2,3,4.5}. a={0.2,4.6}i b) A=(li 5). B=(} ó); c) ,4 =(-] 2), a=pi+-)i d) A=(4i4), B=(l|4). Dane
ą
żbiory ,4
=
(l : 5), B =(4i 7) i c=(5; 7). wyznacz zbiu D,
ież.li a'
wyznacz dopełni€nie zbioru,4 (do zbioru liczb rżeczywislych)- a)
Dane
sązbioryA=(ti 5). a=(4i
. . . .
7).
wyunacz zbiór a)
óblicać wańOśćb.,wz8|ęd,ą liczby
z&ńez.ć
na osi liczbowej zbiory
ll-al=b,l,-al
icać odleclo
śćpun
slm9lć.ffinicję
w
któł
oPis
b|
na osi
rośó bC
oblicz wartość bezwzględnąliczby a)
^
Ci
b) D=A U (a n
o,
t=(€i5)l
b)
A=(..1-3)9(3,+-),
IAwB)',,
c|
A'wg,,
a pofu,ą rósnń i niflrwnoi.i
z
6i
lio!ł reąTi*.j i j.l9!§Ń.i
b)
{,23]
b) A=lJ: |x|=0
c) 0;
iJ€R); i I€Rl;
s) A=lr| |r-4|=-2
znznacz dany zbiór na osi liczbowej i zapisz l€n zbiór za pomocąprz€dzialu
d) D= {ł€ R: Ij+a|>2}i
A wR
d|
6^8r'.
wMoiiąbezw28lędną lypu:
li.zbowćj
,gltó€j
Podaj wsżys&ie elementy naleące do zbioru A
.) A={r: |,r]ś3 i r€R}i
=
al> b
{,lrĘĘry*&i! z.d.ó
r) A=l;t: lJ|=4 i rr€ R}i d),4={J: lr+3|=5 i JeR}i
e
A'^R'|
D
b) 8= {jr€ R: Ijr >2}i
e) f=
{f l]-6l>0).
(np.1-1|=h|. ]J >0.
a)
a
.6-.6;
§l=|rI.|rl)
e) 3.14-n.
c) ń= {i€ R| l,Y-2.4|=0,7}; {I€ N: Ix+3|=5},
l) t=
|ub sumy prz€dżiałów
c) c={r: |J-2|<3 i
xeRJ]
LlczBY RzEczwvlsrE. z?loąv
2.27
sprowadż danć wyrażenie do najpros§?cj postaci \iedza§. Ze
a)
2,28
lJll
b)
c)
:
d)
ll: .lJ+3|-|j:-9|; i
€)w
- l0r
+
25.
łl: - rl, gdzic n jcst p€wną ]iczbą
$rznacżaćprz}bli/cniadżiejalneónejli.zb]Ę..ż!sn1.1źżJd,nłdo\tJdnoi.iĄlń$niclzu2y.iemtalkulaloru) \7acos!ć {)niki ohlicźcń ź zad3ną dokl3dioi.i.,
zl
wYznl.zxć bkd slllędnl l b.ż*7ll§dnr-
zt
Zaokrąglii danąliczbę do części dziesięinych
b) 1,23i l) 5.(5).
a) 0,678i e) 4,449i
Zaokr€lł danąliczĘ
2.30
|3-Il+ (-l|-]lr-rl:
2:
(1: 3)
Punktom,4 i a. bżącym nd osi li€zbowej. odpo§ildają liczbt 3łr ,,l rzeczywistą wyrź odległośĆpunktów A i a w zależnościod {lności ,l,
zdający polrafi
2.29
lr-sl;
ł€
c) 2,559:
d) 3.ó5i
g)
h) 0.997,
a) 1286.1i d) l2352l:
do tysi§cy.
7.0.ł8:
Lt
c) l23]56i
b) l246tl: )€ l265499,
al wykonnj obljczenia. n otrzymany wynik zaokrąglij do dru8iego miejsca po przecinku, Naslępnie oblicz bląd bezwżględny ibląd wz8lędny olrZymnnego prżybliżenia. !) B 3.456+5.432] b).1.5ó.7.89| c) 3.25.2.08-
2-31
2.a
Z średnio co l0 s€kund umi€rajedna o§oba na chorobę wy\łołanąpaleniem papierc\tiw. osuacui, w oparciu o re dane, ile osób lmiera na skutćk pnienia p.lpierońw w ciąg! roku (ni€prz estępne8o). wynik podaj po zaokr€leniu do dzic§iątek tysięcy. Z danych wHo wynik..
zdaiący
2.33
w
potrari
|.
Lt Ll
z!
poróNny*ai sielkości
A
iest
280 m:, Która ż lych działe* ma
nii
Nacżynie ń ma objętość3.2 litr , a objętośćnlczynia Bjest ró§r:l 640 cm', tle razy objętośćnaczynia większa od objęlości nnczynia B,
2.34 W Powieźchnie działek D , D: i Dr Są odpowiednio równ€ q,ięks7ą powier/.hnię. a która najmnie.jszą?
2ó
2.95 W sprinlel bi€gnie zc średnią pręd\ościąl0 m/s, rów.ocze§ie z nich poru§ża Się ż większąprędkością?
a.
2,3
ha
i
L1
z. rowcrżyśajedzie z prędkością 24 krn/godz. Który
L
. pośluli{J!\iłpiN.nl.m\ loz§nlzt§lnluzJd!ń
2.36B w
klasie llt A dzie\\ częta
odsetek dziewcząt
oblicz
2,3?
2.38
R
jeil
"tło$
uiękił ]
a) R 309.Iiczby 70i
d)
l,!5% liczby 48i
ia_
:.
a
§
1Il
B
65
?
licżby u.znló§, svojej klisy. w kiórej z lych dwóch klas
b) ]6'.liczb\
.)
85:
c) B ].]'. liczby l7.5i
R 7ę. ]iczb) 1]00.
Aby zdać póbną malurę z matemalyki na poziomie podslawowym wysli.cz) olzymać 30% z 40 punklów nożliwych do użyskania, Jakajest ninimalna liczba punktów 8warJntująca ,dani€ le8o egzłninu?
L
LaY +
2.3
Na początku roku szkolnego w bibliotece sżkolnej były 13872 książk. Dzięki poczynionym zakuPom, na koniec roku szkoln€go liczba ksiązek wzrosla o 6,25%, Ite ksi€ek było w biblior€ce na koniec roku szkolne8o?
2-łl
Maksymalna dlugolść nan skczka narciarskiero (§afiującego w zawodach) wynosi 14ó% jeeo wzro§lu, przy czym oMymany wynik zaok€]a Się do l cm, Jakąnajwięksżądługośćmogą micć nany Adima Małysza, jeśli ma on 169 cm wźmslu?
2,al
Znajdźliczbęj,jeś]i
25.
l liczbą
ĘzEcZWsTE. ZBloąY
b)
a} B 557" liczbyJje§l ńwne 44i
24% liczby
t iesl równ€
17,28|
c) 0,2% liczbyrjesr równe
3.
2428
Na wycieczkę poj€chało 7 dziewczyn, klóre stanowiły 43.7sqó 1iczby wszystkich uczcstników wycieczki. ne ośób pojechało ni wycieczkę?
,.ll3
PfiDwie Kffol i Maciek kupili do sFrki wiertarkę. Pan Karol pokrył 55'l ko.§żtjw załupu, poniew.ż ma więkvJ dom i zap€wn€ częściej Ędżie z niej korzystił, ne kosztowała wieńArka, jeślipan Maciek zapłacil 79 zł 20 8i?
24
Po ca€rdzi€§toprocentowej
2-s
Jaki pmcent licuby a stanowi licżba
2fi
o ile
2-R
o ile procenl liczbn a jest mniejsza od liczby wynik zaokąllij do p€łn€go procenlu,
pos€zonowej
obniż€ cen buly ko§aowaty 99 zł. Jaka byla cena butów Prz€d obniżĘ?
licz bląd
a,4 j€st
2/a
a.lE
d
procent licżba
jest więk§za od ]iczby
d,
ó,
j€śli
a)
b|
a=25,b=8.2,i c) a=6o,b=l34A2
a=40.r=50; b)Fa=52.}=9li c| a=56,b=lI9'!
jeślia) a-40.r=50: b)Fd=52,r=9l; c}4=56,D=ll9?
Poglowie wielbłądów na świecie wynosi 19,4 mln ś?luk, z czego 6,1 mln to wielbłądy Zyjące w somalii (dane z 1997 r), Jaki procent światowego pogłowia wielbĘów żyje w sornalii? wynik zaokr€lij do dziesiątej części
24N zl
na tnymjesięczną lołalę o statym oprocenlowaniu. od§etłi (przed opodac po trzech ńesiącach wyniosły 19 zł 20 gr, J.]dć było oprocentow ie Ęj iokaty w §łali roku?
Pan Piorr złożyl\y banku kov/ani€m)
lz, Który
'
r.jeśli.)Bo=ó8,b=5li
2JOF w
Polsce w grupie osób mających 65 lnt i w ięce] na 22 ńężczyzr' plzypada 27 kobiet. Jaki pro€enl lej części pohkiego spolecz€ńst*a slanowią nężczyźni?wynik Zokr€lij do pie sue8o ńejsca po przecinr.u,
25l
cćna kilo8ranljabłek w sklepie wynosi 3 zł 20 gr, a kilogram takich sanychjlbłek u sadownika koszluje 2 zl. a} o iI€ proc€ kilo8ramjabłekjen bnszy u sadownika niż w sklepie? b) o ile proc€nt kilogfam jabł€k j€st droż§zy w sk]epie niż u sadowniła?
2s2 R Zimą kunki ur §kkpie kunki
puchowe w §klepach
Abi i aola
miały tę samą cenę. wiosną oba skiepy dokonały obniź*i c€n. czasie j€sżcze o l5%, w skl€pie
/4/eJ cenę kunek najpierw obniźono o 20%. a po p€wnym staniały od razo o 35%,
a) Uzasadnij, że Po obniżkach kunti puchowe byty talisze w sklepie Boi"ł. b) o ile procent obniżka ceny kurtek w sklepi€ aol?.t była więk§ża od obniżki ceny w sktepie A/€r?
'ol"J
LlczBv FzeczvwsTE. 2.53
R
2-54
\\r peŃn}n małż.ńśu,i€ dochody nręźi są o 8()' i § \ żV. od dochod(nv żony. Jrki proccnl m. żeńnwie Slano§ią dochody żony'] w!nik 7rokr.sl| do J/i.siąlei clęścipro.cnlu,
u.ż!\l.zalo ]0 dlic§ cz{l i
}ia poc4| ku roku ś/kolneso do klas} hulrani5t! c/nq
1
2
i
dehodó§ §' lynr
chloPcÓN,
a) hkiprocenl kl$y nJnowili ch]opcy] b) oblic1. ile o§ób l tej kldsy ucżykJ \i! j, hisllrltrskielo §i.dza!. żc l?.5'ź Llclniów lcj klrsy ucżtslczałon żajęci! z tcgo prledmioru, c) o ilć procent lic/badzić§e^t w l.j klł\ie bylr §ięk\lJ od Iicżb} .hk,pcós ] d) o ile procent liczb! chłoPe(nv w lcj k lłsie b} h nr n iej \żJ od ]!cżbr dżicsc7łl ] e) Po picNszyDr ś.nrćnrlckiIka dzictvczal p!żcniosło śiędo klaśi nrilcntal}czlrcj. .ł0',źłlis},Ilc d/ic§cz.lr polo§talo § klasi. hummin].znql]
2.55
zBlaRY
wóśc/ s chlopcy śleowili
jcdną .Icjl iirny A iżebr b}lo /rdacić ] l () /ł, \\' .i,r_!! mie!i+-x cenr 3licii Lj finn} \pJdla Pźed mie§i.§.n] ^ a) oblicZ akturlnąccnę akcji firnt} ń, b) o il. proceDt musiiłlby NlrośiJ.cccnł j edne] kcjite! l'irnry.lb) Pono§nie N),nośiilll()zł? od ccny.lłcjiiinTy/t, ob]icz c. r aliciifirlny a, c) c.n akcji lirm} 8.jen t.laz o60',' \,yżśżł d) cen akcji firmy^jest i..tz o609ź niź!/aod.eDy ikc,iilimy c. oblicż c.n§ i\.,ji firtrry c
z!!!t9y!9Ę! ]j j9]: ić txi§ci.
tutrLn]
pii{.n!\r.!()
tr
o
68'l
,
ohlic/.DiJ.h
2.56
według sondażu prżeprowld/onego \!e s,rżeśrirt. na pnflię /BC chcilło Zlgb§ować 3()rź wyborc(iw, Prżcd tniesinlcm solowośćoddanil glosu nn lę pafiję dckl ro\trl():]a; oby§lteli uprawnionych do slosoBania, a} o il. punkló$ lfocentotlych tllloik) pop!!ci. dh p3ńii/!aC w.i€u miesiic.'] b) o ilc procenr tllro\ło popJrcie dl p nii;ac\ ciuu mic\iala]
2.57
oproccnlowanie krcdytu mic\żkinio\ćso \! B.rnku Roz§()iu \r}no\ik] dolychcl.s 6ri. Zfząd bankLl podnnj\l wysokość oproccntowani lcgo krcd}fu o ]0rl. o ile Punlt(nl Procśnlo!ych lv/rośo oprocenlowłnie kedyltl
zdaiący potlali
2,58
].
l
w ilbcli podlno a)
-.-
od!lyl]sJćdJlcllxbel,dil!llmLi\ i\)lr.nn\
liczbę
rnin §
l]e gmin bylo w Polsce
b) Ile bylo gDrin
o
w
Polscc w 1999 mku z podżixl.m s.dłD8 lx)s ieźclrDi oW
_
1999rolu] Ę'
l
lic7.
b} ludności,
po\Yierzchni nie 300 km] i Iicżbie lud
mnicisżei nil nościmnieislcj niż l00()0:) c) ]l. b)lo gnrtn. po\lerżlhni nqmnjcj
mniśJt/.i
]
l0fin nieszł!ńcóN]
d) Jaki olsetek \.4ślkichgn]in stlnoNi§ smin! o po§,icvchni nrni.jszcj niż jLJ I\m' \\\n|l' /J^\lJ:rllj do J.(.1,1l.|./(.], pn\.-lU e) Jalin odselłi.m lnrin (] r lielż.hni §)nos/$cj co niUnrniej 5() km] byly lc gminy. tnjrych licżba micśZk.ńc(nl nie pr/ckacżn l()0 0l]0 ] \\ \ nik 7lo|r§]ij do Pi.N s7.so mi.,]icr Po Przccinku,
2.59
w Poniż§zej l!b,_li pżednl$
I
Po{ ierzchniJ 307
ione
,! dine
o pJlL
!.h nln)dos \ ch
Us"l..l
0l5
i-a pfil\lawie pod.nych inibrmacji oblicz a) powicrżchnię Polśki(\ł }m:). wynik zaokrłrlij do t)\ircy: b) lic/b§ ludności Polski, wynikiznokląsl! do sctcktysięcy,
\
Polsce ( nitnu na dzicń
3
l xlt
l
999
'
_
zBloRv
,EBy Fztczl
2E
wlsTE.
zBloRy
15
Na z]rceni€ p€wnej §tacji t€lewizyjnej prżeprowadzono sondaż wśijd 1470 dorostych Polaków (4,? respon-
dentów skn;wiły kobiety). Badania dotyczyły og]ądalności wybranych programów telewizyjnych, a jedno odpowiedzi na to pylanie udzieliła tylko częśćankietowanych,
a
p.żedstawione są na \łfkesie,
wyniki
75y.
a) Ile kobiet. spośród tych, które udzieliły odpo\łiedzi, ogląda s€riale
b) ne osób. spośród tych. które udzieliły odpowiedżi nie ogląda seriali c) lle ankietowanych osób nie odpowiedzblo na zadane pytanie?
\o68Ea.
'al
Informacja o produkc]e k a.jowym brutto (PKB) za daly rok często podawana jest w postaci procentowe.j urniany odnoszą
cej się do roku poprzedniego, Na Wykresie pokazano jak }szlałiowała się zmiala PKB w Polsce w latach 1994 2002, Korzy§tając z wykresu odpowi€dz na poniźsze pytania, a) w klóryn roku procentowy wzrost PKB byi najwyżSzy?
b) wynień te lata, w których wy§tępował wzrost PKB. c) w któryrn rok,u PKB był najwyższy?
Wzrost PKB był najniżśzy? 1996 roku był \łyższyod PKB
d) w którym roku procentowy
.) o ile
p.ocent w 1994 roku?
)odniósł
PKB w
zlDANlA MATURALNE WŁASNOŚC| L|CZB CAŁKOWTYCH
]
t
Korzystaiąc ze Wzorów skńconego mnoźenia, możemy szybko wykonać niektóre obliczenia. np, 49. 5 1 = (50 - 1 r(50 + 1) = 2500, I = 2499. 2z1 = (20 + 2)z = 400 + 80 + 4 = wzory skócon€ go mnożenia, wykonaj działania wykorzystując odpowiednie
484.
a) 1995
z
2005;
c) 83 91.
b) 39';
Nie wykonując potęgowanił, uzasadnimy, że liczba a=6476] + 35233 jest pod zielna Wzez 9999. korzystając ze wzoru na sumę sżeścianówdwóch ]iczb, liczbę a możemy zapisać w postaci ,3523 + 3523')| @7b +&T)6a76' - 6a,76 . 3523 + 3523')=9999 , (64,7 6! - 6416 liczba a zapisana została jako iloczyn dwóch liczb naturalnych, z kórych jedna jest ówna 9999, zatem je§t podzielna pżez 9999, Nie wytonuiąc potęgowania (korzystając Z odpowiednich wzorów skrócone8o rnoźenia), uzasadnij, podzielna przez 5555jest liczba
.
.
ż
a) 90781
t
35233;
b) 786-86.
naturalne są \,ąlęd ie pieĄlsze \,)terly i trlko wted!, gdy ich jed|, jest 1. n\m tspóIn m dzielnikiem naturalnym a) Rozslrżygnij. c/} liclby 14 i I 5 są w?ględnie piefqs,,e.
Definicja,
MólłinJ,
że d\9ie
licńJ
b) t 7Aadnł. że liczby ż7] i 52ż nie są wzglęóie pierws:/e, c) Liczba a jest piefwsza, natomia§i liczby a i ó nie są wzglęalnie pierwsze- Podaj zateżnośćjaka ,achodzi międzyliczbamiai},
LlczBY PzEczywsTE. zBlol 4-
ftltn jesl l)od.iel,u pr.c. 1 1 ilłd| i lylko \l1.1lr, 9dl lóż nasun jcjc\ noją.\\,ll a niejs.ań PaĄ,s!)\]l i sloją(|ch a nitjilKi niePlr.,-nl..h jesl Pa.l.ieltul pl.e. ] l
Twierdzenic. Li..ba al
wykorlysluja§ pod.nc lwierd^nie. wykontlj po.iźsżepolecenia, a) spl.lwdź. czy liczh.t 8,1296_1 je§t podrićIni przez ll,
b) Jalią cyfrę n.lleźy wstawić w miejsce Zn ku *. aby liclba ]5l'8 była podżiclna prżez l l?
c)
tle
jcll takich cżtcrocykolv}ch liczb podzielnych prżeżl l. kóry
Podaj
5.
naj
ch c} fra_ sclek i cyfrą jldności jcn tl:'
mniej Va. oraz najwięliszą licżbe o tćj własnośCi,
T§,ierdzeni.,
\tl..ll, !t!\ ń:n ali.. Ll pt.l. /- ited\ i I).aslałż tłl1 li.,.b| ,l. j( PaĘLlkan. l\/ń 1ż.r\ ł i o,.,- ^Iko
Ln,.ba ś.eiioL}frofu n jesl Pol.n,I
ł.-r.lrlł1,1.ł,ll.:,Ł(,-].),!}tv, r.e.
lr.r-
icrdżenie. § ykonJ.] poniższe polccenilt. a) sprntvdź. czy liczbi 895 l:3 jcst podlicln! przćż 7. b) sprawdź, czy lic/bx 35 879732 jest podżićlna prżeż7, c) Każda z pięciu początkowy.h cyfr lic/by szcściocyfrowej podżielnej pllcz 7 jesl równa a, z.tścyf
pod.ielnu Pr.e. 7. wykorzyltuj
!.c podtrnc lw
jednościrównajcstrjbźł.Jakilvarunckspełniaja.cyl',,1,łir:'odpowiedźuzasadnij,
l
6.1
cyfry sctek i.iedności liczby lrrycyfrowlj
7.
Znalezicnie w§ży§tkich par liczb ca]ko§it}ch (d. l,). ltkich. że (d -2Xb+
sa.]iczbami nieparzy\rrmi. Zdpisując cyfiy ]icżby, w odwr( ł. Użi\ dnł. że lic/ba ł łJe\t podzielni prrcz l98.
nei kolciności. ot.lymamy lic,,bę rrz}cr f.o\\ ą
lllenlJ nustępuj,F}Lh prl}pJJk.q
_])
=5. sprow.}dza §ię do rozp
',l-:--| ,,-,'-' ,, lub luh n_r--5 /,",.-I
'":-l,,j:
lJb
' - - Rolsl |/.-.1--l
zując Poszczesólnc uklady równó. olrzyDujeny ssz}slkic Vulanc pary liczb spclniajale równ.]r G-2)(h+3)=5: fu.b)-13.2) lub (.t.})=(7.-2) lub (4,D)=(l. 8) lub k,. b)=(-3. -4), Pos!ępując w anrlo8iczny §po§ób. znajdź
a)\łsż-ystkieparyIiczbcałkóWiiych(-t.})§pclniającerównanic(,1-2)(1r+r+l)=2l b) wszyslkie p,uy licżb n:]ruralnych {J. r) spełniającc równrnić ({-Jnl 5)=9: ,) l',, wszy§tkie pary ticzb calkowiiych (r. J) spełniające rólvnnnie ,$ r5r +:r -3=0
8.
Definicja, Li.,.bę nIlqllllą , kl|jt,ll j. noliljs.:,ch od , u:)1|u,|, litzhą (loskon.tą,
tółną ,uDtie n,J.]Jrli.ł 1|l,.,ićł .l.i.lllikó\, naulłhi
a) sprawdź. c7y licżby 6. l8 są licżbami do§konał}mi, b] !,, Znajdź liczbę doskon!łł która ie$ podzie]na przcz 4 i ma dokl.rdnie
9.
wyznacz}my $sż) stkie iiczb!
. . . .
\\,)rżenie
;j
c
kou itc
takie. źe ]iczba
*
dzietnikóW.
jest całkowiia,
_+-..gdli€d,b..ec| *= " ;a]': =;;*;=t- Ł c s lćd} i l} lko śled\ . sd} l-€c,Zau§lżm).że-rr€cwledyitylkowledy,g
z.pisż.m) $ po\trci
Liczbi l _ + € licżba,-3 iesl dzielniki.m li.zb} Zalcm:
,
6
ż-3=-5 lub
o§lAlecznie. liczba
*
5,
l }ub ,1-3=l luh ł-3=5.c7yli ,= ] lub ł=2 lt]b,,=4 "-3= je§l całkown,l \łtedy i tylko §ledy. gd} ł e 1-2.2.4.8).
slosując przedslawioną metodę. wyznacz wszystkie
l
kie liczby całko\rile,l. że liczna a)
24:
lub b)
,=
Ł
RzEczvWsTE. zBloaY
|RY
lfr
!-B
Znajdz wszystkie płry liczb całkowitych nieujemnych takich. że suma ich iloczynu i ilorazujest równa 185,
,l_
znajdź wszyslkie takie pary liczb nafuralnych. a
?_
r
:u€
ich najmniejsza w§pólna wielokotnośćje§t równa 210,
Liczba natuntna ma doHadnie cztery dzielniki, a) J=56; b) §=40.
ta t wykż, że dla każdej liczby
1t
lr'ykż, że jeślip jest
G.r
wykaz,
że jeżli
a
ich największy wsńny dżjetnik wynosi
6,
ich suma jest równa s. znajdź tę liczbę, jeśli
naturalnej ,i liczba ż5 _
,'
jest podzielna prz€z
liczbą pierwszą większą od 3, to
p'-
30.
l jest ]iczbą podzielnąvzl.z 24,
liczba/t j€st surną kwadratów dw&h liczb całkowi§,ch. to liczba 5, ó\łnież ma Ę wła§ność.
L|CZBY BZECZYWSTE
-
ż mlociarz
rzucil
n
m 40 cm, a okazalo się, ot na odległość77 m 76 cm. Dlugośćskoku trojskoczka kibic ocenił na 1? m 20 cIĄ
natomiast rearltat, jaki po chwili ukazal się na tabticy wyników, pop€łnil większy błąd wzgtędny?
ą-
ie
Kibic obseMujący zawody lekkoat|etyczne o§zacował dfugośćrzutu rlłotem na ?8
j-
lo
17.36 m,
w kórym Fzypadku kibic
oliczbachairwiemy,źed=17,5ijestropżybtiżenieznadmiłrem,abtądbezwzględnytegoprzyblize_ dia wynosi 0,224, oraz, że = 8,5 i je§t to przybliżeńe z niedomiarem, a błąd bezwzględny tego przybliż,
'
nia wynosi 0,1 l 6.
a' zraidż liczby aib.
b} oblicz sumę liczb a i ó. otżymany wynik zaok€Iij do pierwszego miejsca po pzecinku, a następnie oblicz bląd bezwzględny i btąd względny otrzymanego przybliźEnia,
l
Wvkorzvnuiac
l l+--L ńwność - h - n-|' n\n+|)'
a) dwóch ułamłów o liczniku równym l;
l
Wykożysfując równość
_|alala_|al 21 t,/ 4,§
3;,].2
l
,+
1 l"tn .u."
b) trzech ułamków
o
liczniku równym
oblicz §umę
rt, _L+__L+__L+ ]0,]L ]L,l2 12 l]
5,6,
zlajdziemy ulamek zwyĘ, który
. . .
11
zaDisz utamek
rna
rozwinięcie dzi€siętne
L +99,100
0,(45).
onaczmy a- 0,454545... . Zatem I00a = 45.454545... . odejmując stronami otrzymujemy: l00, - a = 45,454545... - 0,454545... SLad g9a - 45. cżvli rl =1!, Ostatecznie. .zutanl, ułamek ierr rrimv , ź e9
w podobny sposób znajdz ułamek zwyk}y, który a} 0,(5)j
b} 0,(27);
ll
ma mzwinięcie dziesiętne
c) 0,3(5ó7).
,
t .
LlczBY EzEczYWsTE. żBloF
18
obllc/ s3n,lić lic/bnwa w}rdżcnia
2,1.
l ,{
\ l 'j r
)
'
-l
,-'
\
-
,
(
\
l
-
d|l ,=J rJ5 i y
wartość zaokąElij dojcdnośc;, a następnie oblicz bła3 względny
,,-h
22.
R
23.
U§uń niewymicrność, nianownika
o/\lrlye nij. c/y lic/b} ,=
;i
*-
-ll--h.l--1 n- jr _"i ',__;
a
-J5,
orrzlm:ln
otrżyn nego Pżybliżcnia.
\d§\mll,qecl,) nle\rymleme,
ulffnłll li-ń']jL]t5]'],
J nr.lępnle llpl§z liczbę
l,I
nic uży
wając symbolu wańości bezwzglidnej.
24.
Znpis7emy lic7bę
Jo-ąJ:
i6+-h/: s
.tr:-: =,Fą
prlNlsżej po.|Jci:
=v['.a-
Jr_El
=rf
-J:i=:.
J:,
Pos!ępując w analogiczny sposób. zapisz w proŃlZcj poltaci liczbę
.) Jl9+
25.
8J.t:
a'l
$-ł,Ę,,
c1
|; -:1Ęó 1
,r7
UsUs,ljJc nte$} mlemoić / ln;J,,s nitJ lic/h\
.
zau§laż.my. że (:-,"Ę)(:'
.
Mnożąc nc/nit
: {:-
*:,Ę* tJ7l')=:' - (,Ę)' = zo, imiinownik danej lic/b} p,/e/: -l,Ę ,J7l
.
b)(a1
+
ab+
b']l,
olr/}muiem}:
q
Wzoru skróconego mnożenia. usuń niewymierność ż mimownika liczby
_-+_ v:5+vl5,vĄ
5prJqdzim}, c/} lic/bJ
_-
Je,l q)mi.łn.lc,,t nie§)nicnu
ih-i/ó-Jo-,,,
wprowadźmy oznacże"'" .
=
fr t
S
-
ł6; z","..'=o*ifi*ffi,
. stąd otrzymuj€my równanie,rr =6+r, któregojedynym rozwiążaniemjeśt 2. . r"t hIem JnnJ Iiclbu ien $),nlcmJ, "ięc nlr,-r/o-,,/6-,,, =:, Postępuja§ w podobny spos(ib. rożstrży8nij. czy liczba l]ir, nto , ,,,lo , , |e.l §) 27,
-
-:i6 - riFl') _: (q*:i6-Jłq)_ q *:i.r - [i ]0 l0 J;)(:' -ł;t rłrl'}
alJ'J4+] .
hr )= (4
(:'
Korzys|ając z odpowiedni€_lo
26.
skolż ystany ze wloru k]r-
obli.ż,umc '
a)
|
\,.r:
=, r],r] =' = - rj-rl =
Uzasadnii. że dla dowolnych różnych li€zbll
miema c/} nie$ymiemtt
_-L-*, _ -J_ !l .': J:.,/] J]+Jr Jgo+JlOtJ
:
tl' -=_,]-,:!_-
i'
+lb-ul tryrźenie 1a-b
Użasadnij, że dla kźdej liczby,Te (-1l5) wyrźenie
4r]+l2r+9
+2 1,?
-
ll,-
36
RzEczyWsTE. zBloBY Jcślipe*le działanie, oznaczmy je 8, jest wykonalne w zbiorze A i istnieje taki €]em€nt e e A. że dla każ&go a € A spełnion€ są warunki d @ g= a i e @ a= a,lo e nazyw^my elenentem neutruln}m działania &a) Jaka liczba jest €lementem neutralnym mnożnia w zbiorze liczb rzeczywistych, a jała dodawania \\1 zbiolze ticzb rzeczywistych1 b) w zbiorze ]icżb rzeczywistych ok€ślone zostało dzialanie @ w następująpy sposób: a @ = 4 + b - 2,
' oblicz (7 a3)a5. sprawdz, czy 2 jest elementem neutralnym działania @. c) sprawdź, czy 2 jest elementem neutralnym działania @ okeślońego w zbiorze liczb rzeczywistych Dasąpl]ipo a @ b = a- b +2,
l
wykż, źe jeśli lL-!!-
.
wykaż.
'€Jeśli,l
wykż, że suma
b są
-.-=5 i Ą+b!+.. , +b,ź0,
liclbami
nieujem)mi.t.+,ła
sześcianów dwóch ńżnych liczb dodatnich jest większa od itoczynu ich sumy
i
ich
i.loczynu.
r
wykaż, źe dla dowolnych liczb .zeczywistych
!
wykż, żE jeśli,+)+ż=0, to ,t+tz+Ll
(', ó, c
prawdziwa jest nieńwność
a2
+bz+ c2>ab+ ac+ bc.
b+8').
DzlAŁANlA NA zBloRAcH z6y
Dane sązbiory,4 =(-6; -3) 9 (3;6)
a)
,4
n8i
b)
.)
U8i
A-zbiór
c)
i B-(-5;-1)U(Oi4). d) B\A.
zapisz w postaci sumy dwóch przedziałów zbiór
A\B;
B-zbiór
dodatnich liczb podzielnych przez 4, zbiór dodatnich liczb, które przy dzieleniu przez 4 dająrcs^ę2.wyznacz zbiory A ń a. BwC, A\C.
Dane są zbiory
C,
A
parzystych licżb dodatnich,
Na poniższym diagramie zaznacz zblór
(AnB)U(Ano,
b) opisz żacieniowany zbiór za pomocą iloczynu,
zsznacz na osi liczboweiżbiory ,4 = {.T: lJ-ll<5 a następni€ wyznacz sumę i iloczyn zbiorów A i a.
wyznacz zbiory
sumy lub różnjcy zbiorów,{, B,
i.YeR} i
A\B i B\A, jeżeli A=Ia| a'+3ae(--|4r|
i
c
B={r: (r+4)(.I-6)ż0 i ł€R},
B=Ia| 3-4ae<1.19)|.
2a
L l
4l.
Dane są prżedziały,4
42.
D €
c zB Y E z Ec z
Y"|l| l s T E,
zB ] a
= (--: a) i R=<-3a+4:+-), a) R Dlaiakich 1iczb.] zachodzi równość A !.]B=R? b) Znajdź taką liczbę n (o ile i§tnieje). aby,,1\8=(--: -5). c) Znajdź takąliczbę.l (o ile istnieje). aby B\A=( 5: +-). d) Znajdź tlką iiczbę c.tłko\ ita. a, aby do lbioru A ń B należab dotładnie 2 l licżb calkowitych,
fi n i cj a, lłó:ni(ą slneĄr. ll .biol^| A i R ,a.\\|vl| .biór l\ch elenelió|,, kkjle ależą daklul ie jel:lkgo :e .bi lil| A, B. a) Za7nac7 (nł dilgrxmic obok) różnicę synctlyczna_ b) wyznic7 różnicę symclrycżną zbiorów n i a. j.śli ,Ą= 1-1€ R: 'l]>6,1l. B= 1,1€ R: J] >91,
c) opisz różnicę symetryczna. zbiorów A i B za pomocą iloczynu, suny ]ub różnicy zbiorówA j B,
43-
\ł),,nJc//bij, 1"B,i./.,li 1 {ł,eR,
1.,llia
t,,.R n-l,ś2Ąt-4ft
ZADANIA Z KONTEKŚTEM REAL|STYCZNYM
plocenty Ą4.
Brąz. z którego odlewl się dzwony. z.ltvicrn miedź oruz od l6ch do 25ak cyny. w zaktad7ie odlewnicz. wykonano dzwon z brążu zawicrającego 78% miedzi. lle kilogmnólv miedzi zużłto,je7clj wykorzy§la 1l00 k.s cyny?
45.
Na wyk€sie §łupkowym p[ed§tawiono wyniki ze sprawdzianu z malemalyki pr7eprowadzonego w kla§ie IIIB, a) Ilu uczniów pi§ało sptawdzian?
b)
Jcll
procenl uc,/niou u/y.kJlo
/e .plUsd/,_nJ oce.le
:J
Lo
najmniej dobrą?
c) oblicz. ilu uczniów Uczy ia klasa, jeżeli wiadonlo. źe na sprawdzianie bykJ nicobecnych 6,257. uczniów?
46.
w 3
labeli podano nieklóre dane dotyczące wyników wyborów prezydenckich w Polsce, kkjre odbyły pażdziemika 2000 roku, o!óle!r (§ lr\,) ljclblLprl§ nl!.h do _gło.oq]ni. ]9 l]]
Licżba oddanych
llovi§ (v
ryś,) n.
Li.żbloJltl.lch slosólv ) 740
2 ]]]0
zllilłl): Palinńnll K,ń^iu wfhal.
a) obli.ż. ile oddano glo!ó§ nie§ażnlch. b) Podai procenlach iieksencję § r\.h srborich, " c) Jaki procenl oddan},ch gk]\ó$ \uno!łił} g}os\ oddJn. nt} Alek§andra Kwaśniewskicgo? d) Jaki procenl o§ób upr.L$ nion} .h do gło\o§ Jnia gloso§,a}o na Aleksandra Kwaśniewskiego? e) o ile procen! liczb.t glo!ólv otrzyman} ch pżez Andźeja olechowskiego była więk§za od licżby gło§l oddanych na Mariana KrżakleYskiego']
l) o ile w
punktów p.ocenlowych popalcie dla Andrzeja olechowskie_go było więk§ze od poplrliJ Mariana Krżaklew§k jego] punkbch b) - f) wyniki zaolrąglij do pierwsżego mieiscl po przecinku,
ęEczywIsTE. zBloRY
Now!ł w lutym 2004 roku wpłacil 5000 żłna Gmiesięczną lokatę o rocznym oprocentowaniu 4.4%, wiedz€, że w 2004 roku banki zobowią"-ane byty do potrącania lg-procentowego podatku od odsetek, oblicz, Pan
ojaką kwoĘ powiększył się stan konta pana Nowała po upływie 6 niesięcy od momenfu założnia lokaty,
Pan Ronaldo z bogatei oferty Banku Amażonia wybrał trzy roczne ]okaty (patrz tabela) i na kaźdą z nich wpłacił po 2000 $. Lokala HIT
t
kata
GoLD
tnkala SUPER
Rodzaj oprocentowania
wysokość oprocentowaDia
6,o%
6,2%
*
6.6%*
oprocenlowdie w dniu aloż.nia lókaly,
roku od kżdej z ftzech lokat wiedząc, że po ośńumiesiąoblicz wysokośćodsetek, naliczonych w €i€u cach od dnia zatożnia lokat, banł obniżył oprocento\łanie ]okaty SUPER do 5,7%.
w
1996 roku produkcja owoców mrożonych w Polsce. w przeliczeniu na j€dnego mi€§zkanca, wyniosła 5.ó5 kg, wiedząc, że w 1996 roku na świeciewyprodukowano 439 tys, ton owoców mrożonych ofaz, źe w Polsce mieszkało 38 618 tys. o§ób, oblicz, jaki procent światowej produkcji owoców mrożonych stano(Dan : Ru.ńik slałstycaJ) wila produkcja w Polsce. wynik zaokągtij do dziesiąiej cżęściprocentu,
Światowa produkcja kwasu azotowego w 199ó roku wynios}a 15 848 tys. ton. stany Zj€dnocmne w}podŃol74o ty§. ton L:wasu azotowego. co dało im dngie miejsce na 1iścienajńęk§zych producentów tego zlri€ku chemicznego, Produkcja kwa§u azotowego w 1996 r w Polsce stanowiła 12.27. prodŃcji światowej, a) czy na podstawie tych danych mozna rozstrzygnąć, na któryrn miejscu na tiście największych producentów k\ła§u azotowego malazła się Polska? b) w 2002 rot-u w Polsce Produkcja kwasu azotowego wyniosła 1689 ty§. ton. ob]icz, o ile procent zmieniła się wielkośćprodukcji kwasu azotowego w slosunku do Toku 1996, Wynik zaok€lł do pełnego
w4
(Dane: Roąnik
slarsdąn
)
'wyp€łniając z€znanie podatkowe za dany rok, należy m.in. obliczyć podatek. Podatek obliczamy od tzw. pdstawy obliczenia Podarł! (jest to dochód pornriejszony o odliczenia od dochodu) i liczony jest według E*. Jłdrr. w tabeti podana mstała skala obowiązująca podatników sHadających zeznańe za2{n3 fik.
Ą
Podśtawa obliczenia podatku w zł
się 31 o24
o24 740l.8 3,7
74 048
19% podslawy óblicżenia minus kwota 530 zł 08 gr
6 504 zt 48
l7 ól l żl 68
gr + 30% n^dqyżk] qonad
g. +
3'7 o24
zł
40% nadwyżki ponad 74 048 z]
Podstawa obliczenia podatku w przypadku panów Kowalskiego i Nov]a}a wynosiła odpowiednio 34 864 zł i 56586 zł. a) obticz wysokośćpodatku, jaki powinni wpisać w swoich zeznaniach panowie Kowalski i Nowak. b) o ile procent podat€k obliczony przez pana Kowalskiego jest niższy od podatku obliczonego prż€z pana Nowała? wynik zaokąglij do pełnego procentu.
Liceum ogólnokształcące i Liceum Profilowane twolząZesŃ szkół. Do zespofu szkót uczęszcża 875 ucaniów, z cze8o 647, sianowiąuczniowie Lo, 55% ]uczniów Ln i ń8o% uczniów LP to dziewczęla.
ia dla
a) [u chĘców uczęszcza
do Z€spofu
szkd?
b} Jaki Procent uczniów Zespołu szkół stanowią dziewczęta? c) o ile procent liczba chtopców jest mniejsza od liczby dziewcząt w Zespole szkół?
LlczBY Bz Ecż Yw sTE zBlaF:,:
22
1
53.
Ludność Polski stanowi6.5rl, ]udności.a}cgo ś§ilttl i 5.357 ludności F]uropy. Prżyimując. źe kulę skązamies,kuj. 6 mldosób. oblic7 liczbęnrieszłańcólr ELitop},. wynik 7aokr4slii do Setek ty§ięcy,
54.
w stłdzic liczas}nl
55.
osjelrdżicsi!.t koni ociely sl,rno§ił\ 10r, Jaki troccnr st.tda slanowią ogicly. właściciclśt,ldlsprzedał pięć ogi..(nv?
żicrc jeż
wykreśyprzedsta\yiźti{ slrukturę pow;eflch i la\(n\ piństwo§,ych w Pols.. § 1999 roku. Laśybuko\\c lttjnrd\ałr
E
WóWcz.]s obś7ar 29] ,t48 ha,
a) b)
Ja],ą powierz.hnię Zajlnowały lasy liściaslc:)
o ile
procent po\\ierżchnia hsó\t brololvyclr b}]r
więksu a od powi..zchni ]ll§ów bukowych:)
c) ob]icz. jttką powi.rzchnię (w heklarach) znjmowłły lisy jg].rstc, W}nik /.lokr.l_ql]j do dżieSiąlek,
56.
W 210 kihgramlch nasion 7aniecży!7c7cni! ś.lnowią E7., ]le kg zaniec7ysżclcń nileży uśunąć.aby n:
57.
Fabry*a saDtchodów ptanuje w i)m lokli §ypuśc]ć z laśn]yprcdukcllci 55 tys, samochodów. ż czeg ló7, brda_ st.| osiły sam()chody dosta§cze. a po7o§taie 1() samochody osobolve, W kolejnych ]atlch p]t nowłny jcsl lak] \!żrosl prcdukcji sanmchodós doslawc7}ch, lby ża fzy lata Stinowily onc poned 3()' prcdukcji. pr/y żachow,rniu wic]kości produkcji samochodóv osobow}ch. I]e Sanochodów dosliwczyc będ7ic wyjcżdżtlłoroczni. / fabryki l.t 1rzy hta]
58.
Ze l00 kg ml.kł o Zawarloścj 3.87 tłus7czu odcia_cnięlo 10 kg śmictanki zrwicrajapej 207. tlu§Zczt
59.
E§ ,l w
60.
61.
siona 7awicrłły 3._l7. zaniec7ys7c7.Ii']
]ie procenl lłu§7c7u Zl]v,iera odtłuszczone nrlcko?
dni
imienin dostrłl od kolcżanek dwie c7ekol.rdy o różnyclr masach, Jeszcze tego samego dni,
zjldłłcałlr. nmiejszą czekoltdę, N.tslcpnego dnia 7jadłr .10ri w;rk§zcl czekolady i 7alwitżyłn. że zjadl. o 2011 \yiacci clekol dy niź d i.t poprżcdniego. Wyznac7 slośuncklnxs czekolad, Cen! bi]etu nd |icr\szy w sezonie mecz l.społu Uni llów wynosiła 1] zl, Gdy przed drugirn nccżcn Unii nn \\ł!§n)m \trdionje obnjżono cenę biletll. na tfybunach zasiadło o 80% kibicótł więcej niż podczr pie^lslelo rpotkłnir, a §,pł}\,} 7e §pl7ed!żt bi]eńw z§ięłsz}ty §ię o 2()']1, oblicż nowącenę biletu,
N.t §}kesie przedda\\ione żoitih s]nili błdli opinii publiclnćj prżepro§]dżon\ .h $ ]f)rJ] i ](l0] roku nJ r.i
srmci, reprezenl3l} \ n. ] próbic PLrI.tkó§. Re\pondcnci odpowiadali na pytinie: Jak oL.Dl6.- PfuLI Politji ' a) o ilc punklów procen16\\ch §^jjł \ roku:00] odśelek ,,Jih dobl/e ocen "j,h).l- pl_,1 Pollc,, z rokicnr ]00l ? b) o ile p.occnt wzrósl w roku 2002 odsctek bndanych dobre ocenjaJąc}ch prlcę Policji. w pońynaniu z rokienr :00l ] Wynik zrokraśljj do drugiego mjcj śca po przecinku.
i
FżEczYwlśTEżBloRy
w teferendum konstytucyj nym z 25 maja
199'7 I wzlęło udział ty]ko 42,867. uprawnionych do głosowania Pola}ów. Za nową konsiytucją opowiedziato się 52.790 głosujących. przeciwko niej zaś45,99", !) Jaki procent oddanych w referendum gło§ów stanowiły głosy dewżne? b) Jaki procent uprawnionych do glosow.nia Potaków opowiedziało się za no\łą kons(ytucją? Wynik (Dańe: PańnŃon a Kofrisja wlboreu) podaj po zaokr€leniu do pierwszego miejsca po
przecinku.
Z sondażu. przeprowadzonego przez oBoP (w sryczniu 2001) na reprezenlatywnej ogólnopo]skiej próbie
ż
w miłośćod pierwszego wejrżenia wiefzy 557, Polaków z tego osób powyżej 15 roku źrycia, wynika, przedziału wiekowego. spośród osób, które wierzą w miłośćod pierw§zego wejrzenia, 7 l 70 zakochało się w.€n sposób. Jaki odsetek Polat(ów powyżej 15 roku życia wierzy w miłośćod pi€rw§zego wejrzenia, a]e de miało szczęściazakochać się w ten sposób? wynik zaok€lij do pełnego procenfu.
Świeze grzyby zawleąjągoqó wody. w wyniku suszenia rnasa grzybów znmiejszyla się ośmiokotnie. Ile Procent wody zawierają §uszone grzyby?
Na wykresach przedstawiono dane dotyczące uczniów szkół ponadpodstawowych w roku szkolnym l999l2Ńo. Dz,Eł.zĘTł}rov(zrcÓLncH a) czy w roku szkolnym 199912000 więcej chłopc6w Ilczęszczńo do Lo czy do ZsZ'| b) Czy w roku szkolnym 19992000 do szkół po nadpodstawowych ucżę§zczało więcej dziewcząl czy chłopców? c) o ile procent liczba uc7niow lechników i ]ic€,ó\r
zawodowy§h była więk§za od liczby uczniów liceów ogólnokształcących? wynik zaok€lij do pierwszego miejsca po przecinku,
l Li.g ogólD&*tłE El T4biblLŃ4ŁłdN. l ż.ydii.a sroly ż.łoew Żódló: Ra1lik slaqs$znf )Iń0
Tomek hoduje r/bki at(wariowe, Rok temu rybki zyworodne stanowity 207. liczby wszy§tkich rybek w akwarium Tonlka, obecnie ]iczba rybek ży\łorodnych jest o 50% większa, a liczba rybek jajorodnych rybki źyworodne? zwiększy}a się o l8,759., Jaki odsetek Ńanowią ob€€nie
p€wnym lesie 60qa &zew to &zewa iE]ast€ (pozostałe. to dr-zewa liściaste), w nasiępnym miesiącu zostanie wyciętych 207. drzew iglastych, ale w wyniku nasadzeń liczba drzew liściastych wzrośnie o 5%. a) o ile procent liczba drzew iglastych jest obecnie większa od liczby drzew liściastych?
w
b) Liczba których drzew
i o
ile procent będzie mniejsza po p]anowanych zmianach?
sadzie rosną rrlko jabłonie i grusze. sadownik zamierza powiększyć liczbę gt\tsz o uEa. Jeślizrea]iz]uje swoje zamierzenia, to ]iczba drzew w jego sadzie wzrośnie o 37o, Jaki procent drzew w tym sadzie stanowią obecnie jablonie?
w
w
roku akadenickirn 19m/1991 w Polsce kobiety §tanowily 50,270 liczby w§zystkich siudiujących, od roku akademi€kiego 1990/199l do roku 1999/2000 liczba śtudiującychosób wzrosła o 254,6Ea. oblicz, o ile ptocent, od roku akademickiego 1990/1991 do roku 199912000, wzrosła liczba §tudiujących kobiet. wynik zaoką8lij do pierwszego mjej a w roku akademickim 199912000 odsetek kobiei wzrósl do 56.97,.
LlczBY FzEczywsTE.
;n.
w mbeli podano ile kobicl przypld.tło n!
stu
zBloc
męź.z\ /n § §ybranych grupach wickowych w Polsce w 2002
rl
nł,,: RO.JliL snn\ \Ń .n\ 2d)3
'I_h r - 79lłt śuno$ił\§ ]00] roku kobiety'l ",ieku shno§ili \ ]002 roku mężczyźninieszkaiący ) Jaki odsclek mężcryzn w wieku 2() - 24lala .i s t, Jaki odsctek ludności w lvielu 35 - 39 lai miesżkał ]ul] roku w mieście?
Jitki odsclck ludności w
75
olrzymane wyniki zaokra_qlij do pelnego pro.ćnru,
na
wsi]
t.
zadenla lnne 71
,
l §lyc7nia 2(X) l roku na skoczni w Garmisch-Pancnk irchen ( sloc/n ia typu K l l 5 ) rozegrano drugi konkuE dlugośćiskok(iw i noty /n styl uzysklnc w obu śeriach Turnieju cżierech skoclni, w 1abeli ^mieszc7ono ij.tpończyk, skoków tcgo tonkur§u przeż Adima Małysza
\lolu
^-oriaki
l
s.Jzl.t,\ s.dzi]I] ]s.dziac l9.5
]"",",I
K,§iti,
]o
I
l6
ll
l].5
l9
l9,5
l9
19.5
20
w konkur§ach skoków nlrciaJskich o kolejności zawodników decyduje surna punttow uzyst,rn-ycrr w oul seńa€h skoków. Na skocrniach typu K l l 5 za skok o dlusośc i l ] 5 m zawodn ik otrzymuje 60 pkl, Za k.l7d\ l mclr bliżej odejmuje się 1.8 pkt. a 7a kźd} melr dalej dodajc się 1.8 pkt. Do punk|ów .Ja odlerlośa I dodaJemy trzy z pięciu not ża slyl (odrżucana jesl nota najniższa i najwyższa). wykorzystuja§ dan żamieszc7one w tabeli oblicz, ile punkl(5w w tych Za\łodach zdobyl Małyśr..a il€ Kasai.
72.
w Załąclniku nr 3 do UJlalr), o .Ą\,.ałk,falb"Dr Po.Ialku dochodoifn, od Ąilkló,r,ch pt.!chodó|! osiąganlch pl.e. arob\ fi.)-.: e w części Xl Usłl8i ćłlł(c\jnev.akrcsie d.iehłlia lekji a r:ollzilly zamiest czone zo§laiy §lawki poditku. którc płacą osoby udzielającc korepetycji, Poniżcj podanc zostały slawki podatku obo§ iążrjarc w 2003 loku.
Ltrzhl !U,I/Ln I'?.żn.,Cł,n .h ńić\ięćznic ń! u&ićlMi.lc 1?7.ó0 zl + ?.50 /a
lł/dł god/ina
p.nad.{8
$ lislopldzie 200j roku udzielił korepel}cii prżcż ],1godżiny. a pan Nowak w tyn samyn' njesiącu udziehł kor.pct}cji przel 7s godzin, a) oblic, w}sokość nlleznego podalku (ża lisropld 2003 roku) Z tytułu udlielania korepclycji prze7 kJz-i Je8o,, p3nuś. l b) oblicz. o ile pro,enl naleal) podalek p.na Koqi]skiego b}ł niźsż)od poda0iu pana Nowali, wynit' Pan Ko§ill:tki
zaokr€lij
73,
do dżi€\ia].j części prG..cnfu.
Szkoly kupujące kśiąztiiw wydawnictwie ..l3" otrrymują bcżplatne cgzcmplfiże. Liczba bezplatnych egzrmptarry prży znmówieniu
ł kśiążekjestrówna |{].
sazle t,,] oznacza na;większą liczbę calkowik_ nie większąod.]. Ilcbezpłatnych }siążek otrzyma sżkoła zamawiając w Wydawniclwie ..l3" b) 9l książck? a) 90 ksiąźek.
futczywsTE zB]oąv ył 2N2I
w
tab€li
zamieszczono wszystkie dane dotycząpe sposobu obliczana miesięcznej opłaty za mieszkanie w
sŃłdzielni Mie§zkaniowej ,,Piękne Kabaly". Państwo Kowalscy, których rodzina składa się z cztere.h osób, P6iadająw tej spółdzielni miesżkanie o powierz€hni 50 m], Eksploafuja podśarowa
r) oblicz, ile
miesięcznie placą za swoje mi€szkanie
pńslwo Kowalscy,
b) Pod koniec miesiąca w rodzinie pństwa Ko\łalski€h przybędzie je§zcze jedno dziecko, ob]icz. o il€ pro-
22.37 zl/os.
cenr wzrosną oplary za miesżkanie od nastęnego miesjąca, wynik
zcokr€lij
do pierwś7e8o miejscd po
wieczy5k uzylkowinie
_grunldw
hwne dwuna§toty§ięczne miasto §kłada się z dwóch dzielni§. w których mieszka taka sama liczba miesz, Laiców, Gęstość zaludnienia jednej dzielnicy wynosi 300 osób,łm', a drugiej 500 osób,4m',
.)
oblicż powierzchnię tego miasta, b) oblicz gę§tość zaludni€nia tego miasta,
E'iabeli podano gęstośćzaludnienia naszej planety w wybranych latach. Rok
6ęrtośćZaludnieńia ńs ] 30,0
1975
Ę,2
2(xx]
Przyjmując,
§ lata€h
kń'
l8,6
1950
zródlo : R D ąh ik laĄ s a^ k i hię dł na rc d b- e j roku na świecie miesz]€ło 6 mld osób, oblicz przyrost liczby ludności świata 1975, oraz w latach 1975 - 2000. wyniki ob]icz€ń zaokąglii do set€k milionów.
ż w 2000
1950
-
tegłość" Ludtrośćw wieku Drodukcvinvn i ni€produkcyinym w 1995 rcku Liożba ludności w podanym wieku przypadaiąca Ludność w wieku prcdukcyjnyn na l 00 osób w wi€ku DrodDkcvjnYm (t5 - ó1 lat{) w nnn
ElJRoPA
31l
82
487
29
6
2I łatJ stJ ki Dięa§narod ow.j
e) wykorzystując dane zamiesz.zone w tabeli, oblicz liczbę ludności Afryki i Europy w 1995 roku, b) w 2002 roku Afiykę zami€szkiwało 832 m]n osób, a liczba mieszkńców Euopy wynio§ła 725 n n. oblicz. ile wynosił średnircczny przyrost ticzby ludnościAlryki w latach 1995 - 2002, o ile. w tym samym okesie, średnio v,, ciągu roku, Zrmiąszała się liczba ]udności Europy?
9z
kń-
Wynik
Grupa znajomych wybrala się na wycieczkę rowerową Najpi€rw
pżez Fjhorej godziny jechali drogą
asfaltową ze średniąprędkością20 ki/godz,, a następnie przez pół godziny jechali leśnąścieź*ąze średnią Fędkością8 kn/godz, z jaką średniąprędkościąrowerzyści Pokonali trasę?
Państwo Nowakowie, jadąc samochodem na wĘoczynek w góry, pierwszą połowę drogi przebyli ze śred, nią prędkością80 knvgodz., a drrlgą połowę ze średnią prędkością45 kn /godz. Z jałą średniąprędkością pokonali całą trasę?
3. FUNKCJE
czĘŚĆ TEoRETVCZNA ozNAczENlE
.
z,pis f. A + R o^a.za,
ż dziedzinąfunkcji
/j€st zbiór A, aj.j wanoś.i naleą
do zbioru
r,
WYKRES FUN(cJl
ł
wykts funkcji / Jeślipunkt P
(d, =
jest io zbiór wsa/ś&ich punkt5w rJo§taci (J. /(ł)), 8d2ie J jeś ówolnyn &8umentem fun}cji naleł do wykesu ńtDkcji !o /(4) = r.
i
')
'
illEJscE zERoWE FUllKcJl
.
Miejsc.m żero\ł?m fu.kcji nazyłamy taki e8umen! dla kóE8o fuŃcja Pźyjnuje wadośćz€ro. J.ślie8urent J jest miejs@m z.rcw}Tt fitikcji to /(J) = 0.
i
iloNoToNlczNość FUNKGJ|
a a
Ę&i€
l
podżbiorcm dźićdziny fuŃcji Fulkcję nazywamy rosnącą w zbio.że ń wt dy i fylko lrt€dy, gdy ĘTaz re wmśem a€umeltów z lego zbioru (żn. jeśliweźniemy dwa dowoln€ e8umenry nal激e do zbi@ /, to dta więksże8o ż nich n wattości funkcji
Nie.h A
f
l
/
prryjnui. więk§ą
wartośó).
n al€j€ą w żbiorze n łt€dy i tylko łl€dy, 8dy \łTaz Z wżro§tem e8umentów z tego zbioru / ,łańościń!*cji / (ta, jeśliwoanieny dwa dowo]ne ł8umnty naleźłp€ do żbioru n, 6 da większego z nich / prżyjnuje Dnieisu ą wartoś.),
nazrvamy
Funtc.ię
PRzEKszTAŁcENlA WYxnEsU FUNKCJ|
.
Prre§uięcit }Ykr€§u nDkcjt . lvylres fuikcji sG)=/G) +4,8atzi€
{> 0 otrzymamy *tedy i tylko wlEdy, 8dy
.
q>0 olrryllŃ|y w|edy i tylko Medy, gdy wyk
wykres fuŃcji s(') =/(i) ,q,
. wykes
fun*cji 8(ł) =/(, +P), gdzi€
P > 0 ot
.
wyj§g, funkcji sG) -/(J-p), 8dzie 1>
.
wy}r€s
odbtcl€
.
. .
ł
gdzie
0
§rd€trycarc
{.j
o
aj
/
prz€suniemy
zynamy łredy i tylko wtedy, gdy wykEs funkcji
/
Pźesuniemy o p
wtedy i rytko tłtedy. gdy wyl§€s
funkcji
/
/ p esuni.ny oP
prż€suniemy
nDkcji
wy}rۤu
o
funkcji
e§
oEzynamy wtedy i tylko vtldy, 8dy v/ykres funkcji
ftlncji s(r) =/(J P)+4oltzyrMfiy
wyke, fi,lkcji
łftaes ftikcji / Ptzsuiemy
o
\ł€kor
! =tP,
ci
-/(J) o§ą1tImy Ętedy i tylło wtedy, gdy ł"}Jąs furkcji/odbijemy syretrycznie względem wyk€s frDłcji sG) =/(_' oFzy'!'Dy v,Edy i tylto *t€dy, gdy wyl(r€§ frlDkcji/odbłeny sFEtrycznie względ€m o§i wyk€§ futrłlji s(J) = _r(-J) otrżymany *'ledy i tylko wi.dy, gdy *]ke§ nł*cji/odbłeny §}@Eychie PuDku (ą 0). sG)
Kon§irulrqj! Pykr€§u
=
f,Dłcji sG)=l/(rjl
. wykFs funłcji s(ł, = J/ł)ljest zbiortB Pszys&ich PuDków wyk€su fiJnłcji/o nieujemej rżędn.j (tn, leż4cych ci ox lub nad nią) oraz obrazów wszy§&icb PuDklrw wyr:re§u fuDkcji/o ujem€j rzędn€j itzD. leżących pod osią w symetrii wzg]ęalem osi
U W A G
A, Kon§Eukcja wyk€§u
ox.
funkcji s(,)
--lGD.ie
obowiq?uje na e8zarDinić Mt]ralnym.
WPROWADZAJĄCE pódałaó Pźyklady fu ń*cji okEślać funkcję wzoEń, bbelką gmfem, opiseń śłownyn wymrcuć *anośćfunkcji dl. daneao arguneniu
Króre z podanych przypofządkowańjest funkcjd Jeśti przyporądkowanie jesl
r)l
b)
fuiłcją to podaj
jej dziedzinę,
.ł
c) Kazdej liczbie całkowiej dodahiej przyporządkowujemy liczbę jej dzielników.
o C}
Kżdej liczbie catkowĘ dodatniej przyporądkowujemy jej dzielniki. Kżd€j li€zbie rzećzywistej J przyporządkowujerny taką liczbę całkowią d . że odtegłośćna osi liczbow€j punktu o wsŃhzędnej , od punkfu o wspóhzędnej d jesi najmniejsża z nożliwych.
])JR jest olceślonaw.a§tępujący spo§ób: każ]dej liczbie ze zbioru jej wartośó bezwzględla Ponmiejszona o 1 . .) okeślfunkcję / za pomocą 1)gfafu; 2) tabelkii 3) wzo.ub) Podaj zbiór wrJtoś.i funkcji i cin
2.
F!.kcja pz}"olz
f
{
ądkowana je§t
Funłcja
f
ok€ślona je§l
a)
"r(0):
b)
1.
1,2,
w zorcm
H/(0,5)]
cl
f(x)
=211 + 3\ +
l@)|
dl
{-2. l. 1,2,3l
4.wyznzcz
J(3b);
e)
F/(j-l)i
l|
lQ+2J
lGJ=ł
ar-D. Funkcja / określonajest wzorcń .} oblicz wanośćfu.kcji / dla argumen.u ó, b) wyznacz te argunenly. dta których funkcja / przyjmuje waJtość9, c) wyznacz !e argumenty, dla których funkcja / przyjmuje wańości nieujemne.
ó
Rożwiqź nierówność /(J)<-l2.
i
Dane §ąfunkcje /G)=rj+3x 8G)=Lr+6. a) znaidź te argumenty, dla któ./ch funkcje / i s przyj mują tę samą waność. b) wyznacz zbiór {ych argumentów, dla kórych fulkcja / przyjmuje waności większe
ńż funkcja
8,
c) Rozwiąż nieńwność /(jr+l)ś8(3.r- l),
Ip,d.
wyznacz miejsca zerowe
.\
fuiłcji
f(1\=LX+7|
b)
l')=2ł+7:l:
c) lG)=Ń
+,7ł_u-28,, d) f6)==
o§ oX§i
oy. wyznacz dżi€dzinę funkcji
iąon D "r(,)=,Ę-:
+ć-,r;
b) /(x)=1]
ąlr'r==|
0 /(x)=-i
s) "f(x)=,Ę:
lJ lG)=+|
t+1
(ł+ ])' h)
f(J)=fr
+
5;
FUNKFJ
28
. .
3.8
iabclłą wzorem, sIovnic
spolządzać wykr.§ iunkcji określonejj Bralcm. okJeślaćfud*cję wykrcsen
Podaj wsŃhżędne dwóch punldów należących do wyke§u funkcji
a)B/lJl rt1,1I: b) R funkcja / każdej liczbie rze.zywi§t€j c) funkcja f każd€j liczbie neczywhtej d}
określonej w następujący sposób:
przyporządkowuje polowę liczby do ni€j przeciwneji różnej od zera przyporządkowuje odwrotność jej kwadratui
.ł
sprawdź. czy punk! P należy do wykresu funkcji /, jeżeli
3.9
F P_( 2.20), /(J)=,rr-3ł-2l c) P=(-1. 1), /(a) = (łJ -4I-4)lo:
/(i)=2ł'-j; d) P=(1.0), /(r)= r-, b) P=(3, r7),
a)
3.1oB PunktA=( l.
"'
3.11 W Który
7
7) należy do wykre§u funkcji
''
=
atr
+
2t:
+
3,
+
4. Znajdź współczy.lik a,
-L\ \-\ĄL-r ,l, l V i
3.12 R Wymacz rniejsca żelowe funkcji
3
/(J)
narysowanych zbjorów punklówjesr wykresen pewnej funkc.ji zmien,ej żeczywistej J?
/,]
3.1
/
Naszkicuj wykr€s lunkcji
/
i poda.j
a) Funkcja./:{0,].2.3,a}+R
b) Funt.Jd
/:, 4 1 _ R
c) Funkcia
f
flJ)='l-J'-9J+9
i
puŃly Prz€.jęciajej §fke§u
z osiami
Ńładu wsŃlrżędn
jei zbiór wartości, okeś]ona]estWnistępującysposób.
okeślondjeq w na\t§ru,4cy \nn.ob: J|
\
,.,={| :i:;:lłlit
|={:
:i::!
:l.::'
okeślonaiest grafbmi
d) FuŃcja / okeślola jest
ża pomocą tabeli:
_1
-1 0
2
0 2
d) l]l
i,_
"
ąidźpunkty wsFrne vykesów funkcji / i s, jeśli a R f(x')=ł 4, 8Q)=5| b| f(i=łłx. g(x)=2x+6-
if,,łsrając z wyloesu funkcji L,
i
wykonaj poniżlze pol€cenia,
Iiiiilil I
|
.)
b) c)
o .) i d
h)
D l} ł) I)
m)
n) o)
|j'|
okeśldzi€nżinę funkcji Podaj niejs€a
/l
ź
zerowe funkcji
'
Jaką wartość funtcja / przyjmuje dla Podflj Dajmniejsząwdośó fun}cji
i
dgunentu 4?
'
Podaj zbiór wartości funkcji Podaj te ar8unenty, dla których fuokcja / przyjnuje waności ujemć, Podaj te argunenty, dla których funkcja / prżyjnuj€ waiości nieuj€nme. w jakich prżedziałach fuir€ja / rośńe, a v,/ jakich lnal€je? Dlajakiego argurnentu funkcja / gzyjnuje wanośćnajwiękśzą? Dla ilu afgumentów fun}cja / prżyjmuje waność2? Jaką wartość funkcja / przyjmuje dla arglmentu 0? Podaj wszyslkie argumenry, dla których waności funkcji / są większe od 3.
ównanie/(r)= l? rozwiąń na ńwnanie |/(ł) = 2?
W Ile rozwią?-ali ma
w
e
|
w Naszkicuj wyk€s zan równania
=,r.
'(r)
zbior€n
ll.
waności fuir€ji
wając wykres funkcji
a) wzdłużosi oy
funkcji 8, która każdej wartoś.i parametru n e (-5i 7) PrzypoEądkowuje liczbę roz}vią-
'
/
jest żbiór
(ł +-). okeśl zbiór
o 3 jednostki do góry;
b) wzdłużosi oX o 5 jednostet w pfawo; c) wzdłużosi oy o 4 jednostki w dói-
wańości funkcji 3, której
łyłresotrzyrnamy
p!:zesu_
3.17
3,
/ j€§t 1o§!ąca w przedzia]e (--: 2) i rnalejala w prżedziale (2i +-), Podaj przedżiały nonotonic firnkcji 8, której wykes otrzynMny przesuwając wykes funkcjj a) wzdłuż osi oy o 3 jednostki do góry i b) wzdłuż o§i ox o 5 .jednostek w prawoi c) wżdtużosi oxo 3jedno§tki w lewo. Funkcją
/
j 8 R wykres funkcji /(,)
.l]l,=I0.3]i
.
}'+ 3J + 4 przesunięto o wektor i. b) = I1,0]i D] ' '=t-1._9],
=
wyznacz wzór funkcj i, której wykres otrzymano,
funłcji )=/(J) sporządzać wykEsyfunkcji: )=/(J)+ł, )=iJ-a). )=-/(I),}=/(-i) . nrpo lrnicdn|l!.§1[(l] ,l(ii ]=]1]l\tl ,/l(l/]ć: }\lI!\fu!((;i ,rl i, lfJtlrj|1l1LO xl i., tili.! .pllt ii. nD, ] lL ,l l.iLl
.
3.19
na podśawie danego wykEsu
zapisywać wzór funtcii
otuyńlnej
w
l1,,. \rl.lśl
nkcii!j1,|].,!\
wynilo d!.ego pźćksżiał.enia
a;§l
obok zamieszczono wykes funkc.ii /: sporządź wyke§ funkcji a) )=/(ł- l)i b) ] =/(,) +2i
c) }=/(r+ 1)- 1i
d)
e) :y=.f( r)i
l}Ń
} =
-/(ł);
s) J= l"r(J)l,
!)i
r ajŃ tb
a.a:Ę 3.2oF
Funkcja / okeślona,i€st Wzorem /(jr)=;+ł+ 1, Znajdź wzór fulkcji 8. któĄ wykres otrzynally a) przesuwając wykres funkcj| l ||zdlnżosi oY o2 jedno§lki do dołu; b) przesuwając wykres funkcji / Wzdłuź osi ox o 2 jednostki w Eawol
c) pźekształcającwy}re§ funkcji / w synctrii względen osi oyl
d) przekształcając w}}re§ funkcji / w symetrii wz8|ęden osi oxl e) prz€kształcając wykes fun}c.ji / w symelńi wżględen punktu (0. 0)i l) przesuwając wykes funkcji f o wektor t-li -3]. a ndtępnie otźymany wykr€§ wz8]ędem osi
oŁ
pneksztatcając w s
a_k
g) dokonując obu pź€k§ztałceń z punktu f). ale w od§rolnej kolejności,
3.21 w
wyniku jakiego przekształcenia (tub przeksziałc€ń) funkcji 8, jeże]i a) 8(J)=(J 5)a+3(,
b) 8(J) =,ta - 3r; ,:) 8(J)_|xa+3i+ l
.il A(J)=-ła+3ł
|]
5)
wyke§u funkcji /(:!) =:!a
a:b tiG a l,\
+
3.t można olrzymać wy
5;
t
--:
okrcślać4leżnośófuŃcyjnąniędzywielkóścimilicżbowfni oPnywać za pobftą funk€ji zalebości w Pźyrodzie, gosadarce i łciu codziennym intellEtować ależoościfuntcyjn€ M podsbwie danego wefu
saochód jadący autosraą
a l
Spala 5,6 litra paliwa na l0o km. Napisz wzór funkcji p okeślaj€ej zużycie paliwa (w ]itrach) w żal€żości od pźeĘtejdlogi s (w km). Nqisz wór funkcji J okaślaj{ej Przebyądrogę (w kilometrach) w zalehości od zułtego paliwa P (w litrach).
lP mzpoczęto napełDianie wodądwjch identycznych, czę&jowo w}p€}nionych zbiomików. Ilośćwody |irach) w Ńrwszyn zbioniku po upływie r sekund od rozpoczęcia Mpełniania \łTrża wz& W(i)=3.+l9m. ne litjw wody znajdowało się w zbiomiku o godzinie l0p?
olodzinje
(,
a l. Ib litów wody \ł"ływa do pierwszego zbiomika w ci€u minuty? a o godzinie 10@ w drugin zbiorniku znajdowało się 4600 l wody. a a
Napi§z wzór funrcji o*Ęślającejilośó
łody w tym zbiomiku (w litrach) w zateżnościod cza§u (w sekundach), jeżli wiadomo. że w ciągu sekundy .pływaly 2 lilry wody, o kórej godzinie zbiomiki zostały nap€łnione, jeśli wiadomo, że ich napełnieńe nasĘpiło równocześnie?
oblicz objętość /biomiło$, Wynik podaj w m',
MATURALNE
ńż
sPosoBY oKBEśLAN|A FuNKcJl
E
fukcja / okeślonajest
a 9 €
w zorcm
f(x)=
4ł -4ł -9ł+a+2.
sprawdz, która z liczb l, 0,5, 1, 2 jest miejscem ze.owym funkcji Zńjdz punk przecięcia wykresu funkcji / z osią oŁ Ę wyżnacz te argumenty, dla których funkcja / i funkcja s(}) =#- 15l +2 przyjmująrę samąwańość.
futcja / okeślonajest wmrem /(r) = .| Ę wyznacz dzi€dzinę fuDlrcji i r| Dta kórego z argunentów: -] czy J3 - 3
htcja J
a l d
funkcja
l
/ przyjmuje \łiększą wMość?
r.' !}- o dlaJ
oktśIonaiest naśrępująco:/(T)=]' "
oblicz wanośćfunkcji / dta argumentu l , spmwdz, która ż liczb -3, 0. 2, 4 jest miejscem zerowym funkcji i wyznacz te argumenty, dla których funkcja / Fzyjmuje waność-4,
&irŁiną
f
jest zblór | 2., funkcji kwadrat ponniejszony o 1 ,
Ęo a okeślzbiór fukcja
i
wartości funkcji
f
l,0, l,
2, 3}. Funkcja
b) Podaj wzór funkcji
/ każdemu argumenlowi
l
c) sporządź wykes firŃcii
ok€ślona na zbioize licżb rzeczywisiych dodatnich, każdej ]iczbie
drmtność porruroźoną przez
18,
prz},porządkowuje
,,
€
Ł
i
przyporządkowuje jej
{ Fodaj wzór funkcji i Ę Uza§adnł, że wszystkie puDtty wykesu funkcji / znajdują się w I ćwiańce uk}adu wspjhzędnych. ą §/yrnacz wszystkie t€ punkly należące do wykresu funkcji i których obie wsPjhzędne są liczbami naluralnytri.
Dzićdzinąfunkcji J iest zbiór D= I--2, -I,o,I,2,3,4}. Fu*cja każdej uczbie ujernn€j ł e D rżqdkowuje jej wattoić bczwzględną a każtej liczbi€ nidj€mncj ,, € D przyporżądkowujc §umę n i liczby o 6 od niej mniej§żej, a) oblicz /(-l) i /(l). b) Podaj wszystki€ argumenty .r. dla kórych żachodzi równość /(r) = 2,
'
ś0.
c) Podaj wszystkie argumenty x sp€tniające nieńwność
^J)
86.
B
Na płaszczyźIiez układ€m wĘijŁżędnych dane
ądwa żbiory punktów:
A= {(-3,3), (0,4), (2,5), (2,0), (3, -7), (4,9)}, B=Ię3,4),(0,4),(z,-z), (3,0), (4,
-l)}.
zbioń* j€st wykresem p€wnej funkcji /: {-3, 0, 2, 3, 4} + R, a) wskaż zbiór, który jest wykE§€m firŃcji /i uzasadnij, ż drugi ze zbiońw nić jest wykresem Jedćn z tych
fun}cji ze żbioru {-2, 0, 2, 3, 4 } w zbiór R, b) Podaj najnmi€jsą wańoić funkcji c) Podaj niejsca zerowe funkcji
l
i
E7.
wykręsem funkcji / j€st zbiór w§żystkich punklów nal€żących do odcinka,4B lub odcinka cD, (1, 4\, R = (|, 2'), c =(4, lr, D = (7, 6). a) Jaką wartość flrnkcja / przyjmuje dla argum€ntu 4?
A=
l
b) Podaj dziedzinę i zbiór wano:ici funkcji 88.
obok zamie§żczotro wykesy fuDkcji
/i
8.
a) okeślzbiór wańości ftrnkcji / oraz fuŃcji 8. b) Podaj te wanościfunkcji 8, któr€ nie Ę *anościami funkcji l c) Podaj ie argurnćnty, dla Lnjrych waności obu fuikcji §ą d) Podaj zbiór tych ar8ulDentów, dla których wartości fuŃcji więks2! od wAńości funkcji 8, e) Podaj te [email protected], dla k&rrych /(r) <0 i s(r)
ł
0 89.
/
Funkcja
lt)
/
okcślona j€st za pomocą poniżlzej tab€lki.
-3
Ji
-:2
-2
a) PĘed§taw fuŃcję
o
,, /
|,2
1
0
0
4łś 2
za pomocą grafu.
ńbkcję 8, klóra kaźdej liczbie }r, naleąc€j do óio §€nośći piźyPożĄdkowuje liczbę aĘumćniów, dla kórych funkcja / przyjmujć waność }r. sporżądź funkcii s,
b) F kzed§taw za pomocą tat€lki
90.
Funkcja roMąca 0
/(J)
1
/: 0, l, 2,3, {
l
4, 5, 6,1
2
3
0
5
'l
+c
zosta|a częściowo okJ.ślona za pomocą 5
9
6 12
a) Uzup€łnij tabelkę.
b)
fuaj
pun}ty wsŃhe wyk esu fuDkcji
/
z osiami układu wsŃlrzędnych,
c) F Podaj ten argument a, dla kórego zachodzi ńwnoś f(f(a')) +2=o.
kbelki.
ke D prz1|. .
Dziedziną funkcji
/
jest zbiór wszy§tkich dodainich ]ic7b wyrniemych w+, Funkcja
P. gJzir "\\,p,,\noll-dk.,s,lieI'c/rituLlnIż "ą-,ł
Ż
,,. P
|,,,l
/
kźdcj ]icżbie
lllanlieln nic.k,JcJlrym ip.
ł.a
]:.żbami calkowitymi dodatnimi.
a) obl L/ wJrlo,ć lunk.ii / dld arpulrenloq
b) D J klorepo dlgumenlu,
1l 84-l'óxli.
r, 2./".
fi
lunKcJJJ prl}Jmu]e$lę\,/ąsJnosc]
c) Podaj zbiór wartości funkcji /,
f
aJnkcja f kźdej naturalnej liczbie trzycyfrowej prż ypol,ządkowuje sume jej cyfr, a) Podaj wszystkie argumenty. d]a kiórych funkcja / pźyjmuje waność2. b) Dh pewnego ar8umentu .1 funkcja / przyjnuje wartość15. Uzasadnij, że a dzieli się przez "r c) DodJj n_jTnicJ\,/. ln,bell lJkł żc /la)
l
(a CD. gdż
l
:unkcja
a) b) c) d)
/
każd€j licżbie rz€czywislej
-!
3,
20,
przyporządtowuje największąliczbę parzystą mniej§zą od:!.
oblicz /(fi) i /(l0). Podaj zbiór wszyśkichniejsc zerowych funkcji/,
okeślzbiór
wartości funkcji ]:
\aszkicuj wykes funkcji r dla
Funkcjn
s
każdei ]icżbie
-ł €
(
je
(]i 8),
5; 6) przyporządkowuje
a) Podaj waności funkcji 3 dla argumentów b) Podaj micj§ca zerowc funkcji s. c) Podaj zbiór war'ościfunkcjig.
0.
najmni€j§zą
-5, J2,
r unlcja J każdej liczbie rzeczywistej J. przyporządko\łuje najmniej -.ir Liczbą całkowiląpodzielna_pźez 4,
a) Jalą wartość przyjmuje funkcja
f
]iczbę całkowitą ,l taką że 3, jest
dla argumentu
-t0+. a jaką
§zą liczbę nieujemną d
dla argumentu
taką że ,r
+
d
J2?
b) Ie m iejsc zetowych funkcji / należy do przedriału ( l i l 00) ? c) Podaj zbiór Wartości funkcji j: :',!Uz.sadnij,żedlikżdejliczbynaturalnejł§umal(n)+f(+1)+l(n+z)+/(,l+3)nastałąwartość, I
;ci fnnkcji,
I
:ądź wykć
aunkcja F każdej ]iczbie naluralnej n pryporżaltkowuje liczba cyli potrżebnyćh dojej żapisanid w z3pisie lżie§iętnyn, np./(7285)=4. a) Podaj zbiórwatości funkcji i b) D]a;lu algumentów funkcja .r pEyjmujc Wartość3?
c) Podaj wsżyslkie arg nenty ł < 3000, dla których zachodzi równość /(n
s
+
l)=/(r)+
1,
Funkcja /, określona na zbiorze liczb natura]nych wieksżych od 9. przyporządkowuje kżdej ]iczbi€ n .\ frę dziesiątek liczby r. a) okeśtzbiórwaności funkcji J:
b) Dla ilu aryumenlów mniejszych od 999 funkcja / przyjmuje wartość 5? c) Dlajakichłe C, liczba ]0ł jest miejsccrn zcnlwym funkcji/? d) Dlajakich 2 lie żachodzi ńwnośćf(ł + l) =/(u )?
98,
99.
/ ;..Lż!],,i lr(,.l]j.] |li]k(l] t., (1o(].ltrli.j nI/\DoL/ra].(j\iLl( li!/ ). i.](|/.,1]lIl.n{ r]l.tL:illjr]f]] a) oh]l./ /(l]). b) l,tnL.lr?o,1..l.nii.{Li.FLrluj.].lj. ](,]]=/r]) 1(ll.Lll]'d(,] |]!/b\ c!]Lo(Lte lLoLLxlni.|]i 1l.iliJi.. /.JL\i\.t rxl./:.\.]l (]l] /1]j(!L! l l. ]. _].,,., ](li ]lj t,,t]L|. i.| l] ]rk.] \,t.L!x\a n]x].L 1. li.lhr ,,, Lli., iló:;;h / (,]l j.n Il./h.! l].N,i/\ \1r ] a(trrk(]l.L
llil.l.|i
k.,/ti.i ]./l]J.,l1,1\\i1!,]!1(l,LlrrL.jrli]/\i),i/.!Li,,|\ r.i..ill]l]Lli./lLi./b-,.Jl\L,i]1]l] ./blt |]// , i, l..l |,i]/|J]n., Il/./ ] a),].L1.1n.,ll..]J :l.\.].l / 1rl/\]l]jt!l! (l] ] Jj:,Llrn.nLt] ](r()']] ], 1.lk,,.
JlL]en)|tL
/:. l
b) lłll! \./\.1l,i.l./1r\ ]]iln!.l., ^i,nr,,, ,ll.,i,..|ni] /.l(\\)ljli ]nn}.r!
]
c)l)uin|.l]nnl!,/.L]i./bi]r.,1/];:]Ll,r./|].l1(n!l.\inl1.1n.r|/.to§\l]trUl]L.i] d) Ił!l]i/hi(i: \]rIlLj.l.] lU]]k.i /
/
100. ll.]i.]r!LJżLl. ]l./irlJ.,łio\ile,]n]]l:],'i],:n.i,,i,/.,o, 1(]l)]]l/\r!l/,trL[o\lLll.]illi.|.1,1/],./l] )() .]( ()hli(/ !(+()]. b) lnJldźl..|I:ui].]]r].(lltlll|.]]\.lrjlLi],.r.| !|l/\]ntrL.$ilio,.i\, c) lł\l:;] |.L]rlrnj.]./! inn]§].k\/.l \!. tii. iL,.l,! t ] d) l)lr !llL jil/b, /].l]..;/i jLj\l i]o,J r,,j,.,'
1,
1(
a)
101. lLllll,.i. i' oll.!]o]Ll| j..1 § /l]i.l/. Ił 1! llrn{tli,l.! \p(\(ji]: j.\iL ,,. (], Il) ilłr i.\1 Li./b.l]]"lż\,i.l jl..l.ż ]J,i,]! /]l|1,1l, 1],, ] ]r a) \\\/il.L.l /(s]. /i 5). //| 5) b) l'( tlilhjtil\t!Loi!r 1UIl,(i /
l
d:')l1
/
l.,\.
lL
] )
c)
P.(1.1I
I'Llnl.,]l:
nr1.1s.J Z.I.^l.
iilllk.
| /
1l,rżde|]r./b,e.riloNill,in]/,-p.l/.lLtt(tr\ll1.1..li./,ll.]l]r]Jtll./ll!,ił\|!]r,Lr! l!.iL] ]].j.,L li./l]i! ti.r.Lll) \LiL. (]) ] 1/, -
l /r,lldIll. /.
]
llu!llii
\\'!żjl.Ll/ /l!tj],§l!1oiJ]
1
l]. nj].l.. /j|L]\\]L|]lj] -,ż|a].|, d{) T]./.l17]ll! .()ls()
,('olj.il(ll.
\\\/i,tr//hL]] s.l]1.\.it]lr]..ii / \
.
i,ll(
rl|,1n.L
|.l\l.N\i, !r
L.]/.:.
J(] (L.ll].]1)
]
lLrr
klt!].h /.,rlr|.]ż| I,n\l],]ić u |tt.t{r!i,.} t+ jb
Zn1,l.,ź(' \\./}.Il,]. ]L]rrk(,. i :
7.t!inl. 1.
R
\l,!.rl]
..Lliiii!i.Lj
, Ia, JL,L
J(Ń!..Lni..§ n:i.,]\.J L !,\1.1ż.]l,. I
]iljl!/l|
l:
,]
\\:,
]/ł
i/1l ()1ll)
,n
;.Lto
n]llj..j) §/ln lunl.,]l
r .] \,
,\,r|
.
||L
|J
lłJ R\
It. |1)
]
kltj!\.h 7.I.il]d/i l(jsjn]ia It,
Ll
\/irl
/l]
i [l,il\.lt lJ.lu]/t j(j\\n.ić / l L)
]
./h\
lE
35
ZADAN|A Z KONTEKSTEM REAL|STYCZNYM
llF.
1
Na p€wnym przejściu granicznym w dniach 8 tutego ce]nicy odprawiali dziennie 200 srmochodów ciężarowych. Nł wykesie pokazano liczby ciężaJówek oczekujących na odprawę celną o godzinie 24@w dniach 31 8II.
I
:1@
a) Wymień te dni, w których stanęło w kolejce do odprawy celnej co najmniej 200 samochodów cię:zarowych?
b)
lr Pewne8o dnia o pótnocy związkowcy z ,,samoobrony" zab]okowali na 24 godziny dojazd do przejścia g.anicznego, Kiedy miała miejsce ta blokada? { l lI, 2 II, ..,, 8 II}. Funkcja/ każdemu argumentowi przyporządkowuje liczbę ciężlrówek. które w danym dniu stanęły w koiejce do odpralvy cćlnej. sporządź (w nsrysowanym obok układzie wspólrzędnycb)
c) Dziedziną fu.kcji /jest zbiór
wyk€s funkcji
lG
ś., i.*
i
Na wyk€§ie obok pokazano, jak zmieniała się droga, któTą przebył pan Kowalski udając się p€wnego dnia do pracy, Pierwszy odcin€k drogi (z domu do stacji kolejowej) pan Kowalski pokonał piechotąi zaięło mu 1o 20 min. Kolejny etap pokonał poci€iem. a ostatni autobusem.
a) odpowiedż na pytaniai t)jak daleko mieszka pan Kowalskj od stacji kolejowej? 2) ile minut jechał pan Kowalski pociągiem? 3)jakdługo czekal pan Kowalski na autobus?
F16
b) Uzupełnii tabelę,
:l, (0;25)
c) oblicz, z
(25:40)
(40;15)
(45:60)
jaĘ prżeciętną prędkością pokonałby pan
0
l0
Kowa]ski drogę z domu do pracy, gdyby nie musiał czekać ani na poci€,
17.
20 ]0
.10 50
ó0
ani na autobus,
Pan Nowak wyruszył samochodem na wczasy. Na wykesie pokażjno jak zmieniała się prędkość samochodu w czasie
pierwszych 10 rninut podróży,
a)
Z j aką naksymalną p{ędkością jechai pan Nowak w roz_ patrywanym przedzide czasu? wynik podaj w km/8odz.
b} W piąĘ minucie pan Nowak przejeżdżałprzez teren za, budowany, Uslal, czy nie zlanał przepisów. jeżeli wia, domo. że w iym miejscu obowiązywalo ograniczenie prędkoścido 60 kr/godz,
ś1500
podół pan Nowak rnusiał zatrzymać się przed przejazdem kolejowym. Jsł dlugo rrwał ten nieplanowany postój?
c) w kilka minut po rczpoczęciu
d) wiadomo, że droga przebyta od momentu
ł do momentu
Ł jest równa polu obszaru ograniczonego
ox i prosrymi i = r1, J = rr. sprawdź. w którym okesie panNowakpokonałwięk§ząodleglość:wci€u2i3minuryjazdyczy.\łci€u6i7minutyjazdy. wykresem prędkościbędącej funk§ją czasu. osią
10B.
Podczas napeiniania zbiornika uszkodzony zos.ał zawór odpływowy, przeż który zaczęła wydoslawać się woda z prędkościąl0 m3/min. Awarię usunięlo po 9 minutachNa wyk€sie pokazano, jak zmieniak się ilośćwody w Zbiomlku od momentu wyslqlieniu d$3r;i do lnomen,u
usunięcia,
:r0
JeJ
::0 : 15
a) oblicz
jro
t) ile mr wody dosl.lrczono do zbiomika W ci€u dwóch początkowych minul. 2) ż j.iką prędkośc ią (w mr/min) dostarczano wodę do lż3.|Jń73 zbiomika w ciąru piąt€j i szónej minuty, 3) ile rnr wody wydo§Iało się że żbiornika w cza§ie tnvania awarii, b) w jakim przedziale cżasu dostarczano wodę do zbiomika ż prędkością l0 mr/min? c) w któryn momencie prżestano doslarczać wodę do zbiomika?
PRZEKSZTAŁCENlA WYKRESU FUNKCJl
109.
Wykes t'unkcji /(ł)=31 6 przesunięlo o 20lojedno§lck w górę otrzymując wykre§ funkcji g, a) Napisż wzór funkcji s. b) ' wyk€s funkcji 8 moźna otrzymać ró\łnież przesuwając wykes funkcji/wzdłuż osi ox o ile
iw klóą
stronę należy przes na! wykie§ funkcji /? punkl prze€ ięcia ż osiąoywykresu lunkcj i ł(-t) = -/(r). c) znaidź sl€k
l10.
Na ry§unku obok zamic§zczono wyke§ funkcji
/: (-ó.7) + R,
a) Podaj nnjmniejsząi największąwartość funkcji W
przedziale (-4; 4).
'
b) Podai zbiór wszyslkich argumeŃów. dla klórych waTtość funkcji fjest z przedziału (-l;3)-
c) Podaj rniejsca z€rowc funk€ji 8(.t)=f(:t+3). d} Naszkicuj wykres funkcji 8 takiej, że s(r)=J(-j),
,t11.
Dziedziną funkcji g jest zbiór liczb rz€czyv/istych, wykes funkcji f(l) =,tł - 3rr - 2,r' p.zesuwając wykes funkcji 8 wzdłUżosi ox o 2010jednostek w lewo,
a) ob]icz s(2009). b) Znaidź rniejsca zerowe funk€ji
=|/(r
-) Naszkicuj wykes lunkcji
i
Funkcjn s okreś]ona jest
l)+2|,
8,
Podrj lbióI mle|.c 7cro$)ch fUnLCji8, PodiJ lbiól ro/$tą,,Jn nielo§noicl st,\)
wykres fLjnkcji / (r)
=
_-]:f-
symcirycznie względ€m
!'
6J ouzy
g,
obok zamieszc?. ono wykJcs funkcji w nls!ępu.jący sposób 3(r)
+
r,ó
<
2\ - 4
pfz esunięlo o wektor
'
=
I-2. l ], a następnie prze§unięty wykrcs
począlku likładu wspóhzędnych, olrzymano wykcs P€wncj
wzór i wyzoacz dziedzinę fuŃcji 8.
funkcji
37
Wykrcs l'unkcji /(j)=1r+3v,1 plzek!/t łcono w ś}mcllii \!7ględem pro§l,j a=2 i otl7ymano wykrcs 1unkclis, Znald7ic]ny wlór t'unkcii s v,na.lępuiący spoŃrb: . lvyke§ fulkci] / i pbtą J.2 prżesuwrmy o Wekl()l li=l ]i0]: olrzymujemy \iykre§ funkcji
.
(,!+2)]+3(Jł 2)- l ipro(ą 1=0 ośó'1, '(\). wykrc\ jnnkcji i prlek§7tłłc.tmy w syirctrii w/ględen osi ńl t) = ( ,Y l 2)'+ 3( ,\ | 2) + l
oy: oll7ymqcrny w}krcs lnnkcli
:
.
wykes funkcii ń pr7c wrmy o Wcklor ł = l2i0l olllynrulac § ten ciis] ś(r)=1 \+,1)'+3( j-,1)-],cżyll s(!)= a'r-l2r] 51J-77,
sposób wykr.s sżukanej funk-
\!)Lr.\]ll lL|i ll,)=!l | /.krful(orro \ \ymctrii !!7gl+]cnr lxoslcj,i = cii{, stosLlja! }rrlcdśtalvioDą !\,yżej melodę §,yuDacż §zól lunkcjiś, Fwkcitt
okte(lona jesl
l
wudl] /(l)=:l ]f]l] j'+,1l
] i olvynrłno
wyLl,( n]ńk-
Wykl,s funkcji ] pllcsult]9lo o wcklor
oilzymul.p wykl.ś funkcjj (, Znlidź w/ól tnnkc]i s i wspólt7!dnc §ektol.r ( ie§t synrctryc7ny \/g]cdcm ośioy,
'
'=l1,0],
wicdząc. żc lvrkre! fuDkc]i
ZADANIA RÓŻNE -
a,
/określoiłj.ś1łloleln /(\) - J5-i a) W}żnacż d/i.d/inę lunk.ji i b] \|l.\.l,/, /) l./D) /,l,, /,l,.,l\\l,.,n c) I.ża§idnjj. żc / (3) =!Ę(16 +D, FLrnkcja
l
+fi r J5 -],
:
FUDLC]l J: oklćśkrna w żbiorżcIł. j.§l na]eja_ca, Funkcję 3 dlr kirżdćj liclby rlec7ylvisLc] ,! okr,śla rów
.ość!(r)=
l(I'
3l).
Która ]icżb.tJcśtwiększa. /( l) czy ś(])? Znąjdź re argumcDry. dla łi(jrych saŃ()śc] obu fuDkcji §ll_ rólrnc, Lic/bt ], ie\l nricJ\ccn 7erowy r funkcii /, Znajdź miej§ca /,1o$,c tirnł,ji q,
jcżeli dżicdzina /] funkc.]i.g nrx !ę \ł1!\ność.żeieśli\,./],
,i j, , /.|,,, ,,,,,_d/l,-,,
'.','
to re l], c, l^l
to funkcję 8 ]nożcn }
z:lpisri wp"
)
Funkcję / nazywamy pfizysl.| icślj.1lł k!żdelo atgumentu r irgunientenjc\t takźe 1 i 7e,hodzi ńwie j tl/)qJ, I,unkcię / nażywafiry Dicparzysta. jeśli dlt kaźdego argulneJrnr rólvność l( .r)= /(J) w,vkaź. że funkcja,ljesl nicp.lrzyśtx,
l,,J /, \, ,,\l,\\}",l/./,
Pr7cdslaw t'Llnkcję f(n -
a,lnkcia
/
-,!.
IUll.i"f
argumenlem
jcd także \ i Zachodli
okrciloną rr zbioż. R\ { 2.2}.jakosum!funłcjipirżyśle|inicpJ7}\Lq,
okrcślonx.jeś1,,,".".
..0żc ( l:
r
/(' ==
Udowodnlj, ż. /b]óf Na.rości tLlnkcji
l
zall'.lrty iesl w
l),
a].icjił okeśkrntWzolerl ł(l),.r:i+2t 3.W\kaZ.źcicślił./)eR]a
Funl.ił / oh.(l(,nr j.\l ł/or.ln /(\).- ' ]iclh l7ccl),(iśl]ch. dh Llór}ch 1uni..j,l I(jźnlclr l].7lr .!łko§nr.ł]
lll l,
/.l,.-l
o
l.i \,łrj
l
tl,","anij.,c i§trk]i. |'ć,ko]]./cni. \i.!. |tl .óżn}.l
|l/r,]mujc rc sttrni \rl1ość,l nll(epn]. todxj §,l]"sllic plll\
ści
rJ].iL tr, ltr l l
(nlnoi(: l(/)_/(r). (l ]i./h}./ i/) sll](nl
.I c.
W},uż,
/. l.żcii dltt d§ljch
Lrj.nln}ch
lr./b,l inlJchodż
r. FUNKoJA LlNloWA :zESc TEOBETYCZNA -,rialA LlNloWA /(\]=.r ]l) . ; r > 0. n) i tl. ł.ic\l lo!)lL.i. !d! r
,l:is
FUNKCJ| LlNlowEJ
.:_..ir] il'cji _:_
,,
=(). to
.:. ,=(). b r !l]ntil
/(\l dr-ł . ió(D. r \=ł\+r. W \/c/c!(ii
/ jc\l nl.n.L
])l.\lr icst
ti]dl.]ł i.{ nr!].il!|.j. !d) d..l).
d < (). lo
t(n\ nl}le_!ł,
lo
lijnl.j.j.! nlli
oił,I
d! (^i a)Y.
])l.n.L prl..ho(l/ir!7./ |oc/.i.l !L]iat §\a(lł7.(]n\.h d n.ll]\Jn]! \\p(]l./}!n]\i!j]l lj.runL(^\\lt Pn\1.]. jlĄ\|.!riLl
..i gd/j. Ł i.n ka]clr i,l.hll.nir \,)ltn, fuD[.il / i]o l\l {).\ .Jn,. p(\l.i|]l/.dbd/ltr. |r/./ p! lly,1=1r].rt)i^'-l\],.]l)
r łr-l)
i1 l|)lv l.)-(\, \j)(l
.€-:cY Bozw|ĄzYWNlA UKlADÓW DWÓcH FÓWNAŃ LlNloWYcH z DWlEMA NlEWlADolvlYMl , 1- Ul,]łd (]\li.h nn\ !l] / (tłi.nrl| |ic§,irLiom!|)]. !) /n!cll- /nl .źćs\lt!(L. Pil! li(/l]. |nnc \r.]niljLl zann lJ , . ,li id]u!i. t(n\nlłi.. . ,., tł^ł.l łł,nlpol.!.L i §)żni./. ]!l.dlq i.\i,llonLi/i.dł.!o/nn\.!]i|.i]n|§].0iriejdodll!i.!oiin\tt . ]ł]ki.7.nnl oV\nujci§ !lnr|łnlc / |.{ln.]ni.\ j,ln!u.I ., -1.1j jll ijc(iłdonrr . .,\\nni i,L,'dł l N\\/V).h , , dojćdte!,o 1nn\! ] lkhdU
r]].lli], po
1.ll./i.|N jdn.l / :żu\!n!.h
]]l^]. dnl!ll
/ .,idli.i]\ ll(ll.§!ixjill
lq
::)ANlA WPBoWADzAJĄcE .
.ror7:]d/.a
\\lr].
\.§zki.U] §}Lrcs lunkcii e)
li\)= ]l | ]
l
1
l]i!, l n.\.]
a) /( i )., |) /(]).
b)
\|
a)
lj|!
l) ] i /(])=
]|
c) /(\)=2i
\l
]r-l.!d/ic l€ ( ]
: \J!żłlc!i§ykl.s lunlcii / '/(\), \:
ZnJjdź wlln lllńl,cji
/(\)=
Vci / !vi.(1/lp,
,/l,)=i t
g) /(l)
-
||
ll
] ,l|]]l>] r |]l.,l<1
/l\l=iL l
li
/l,)=L\ ll,
'ć
'( llcs Pllccini oś()r § I'un\eic o.1!dn.,i .1. i ] j.n fiici\cem /cro§!m li,i\c]i /i c) i.] \}Ll.\|lżcchotj/i I)lleżpunkl) 1=(].]) i a-(5.ń) d) jc]$ylt\ p.7ecno(L i |l/c7 p! l1C=(4.3)]icśló$!nr.!lydowyklc\uilDłcij ((\ )=3|+ e) i.j s) klcs icn nachv]o|! do osi ox polt ktl_Iclll fi)' i pll(hod/i pr/./ |unkl D-1 ]. 3), l) / !j. pll} |muie \ illoi. i dodal nilh I,/(]]). 1 b) j!,j §)
7
\l
F
I 4-4
lrrona ł pżc.hodli prlel |)ocżilcl, ukladu usrjklldn\ch i i.( \)kles.nl n.1.|.lc.j l! kc]i l]nkN.,], w\pól . l]= ]\ -łl,IbdJi r(n\nuili. I)ro\lu] ,/)nnll ll,,l ll\.-J |l^J.,|l ].n ,,Ą!l ^.
4.5 zdaiący potali
4.6
. ljl,.ł.LclLlżt].l1,\1x/., J\
.
].L
liDnn\,!o/ |1]l],titr§|.!|oD.
()kl.ślliclbrto^],jlv,uinj§|rDl! a) 2li,5)=5(\ ]): b) ]1i+5) 5(\-]) ]\i O|,I.!]
llcżb.loż\j./u dl
n,!o Iln\Drnii § /r|.żno\cj IL , ł! ,,,, ,; ,
llj \,,il),h ,',,L ,l, ,ti,,/,, ,.,,l,.'L ]l
1 §.
jJi
]-]l
Il)ści |l|,rn.l,u
ł\+j=)\
4.g |,l
.l,,\ll.,\\.i]1.!l]|/t.j_",
,, \,,1,
9 t
]! ' ],
l!/x:l;\l
' l( ,,
ł, Dli
1\ch
ł:
oll..l]iclb.lolŃi./rji (n\ u \ /il./!,}.i.j .d \rńo:.] Pi,iirelr(n\ łiń .l,,kl,:l)_lj: ll,i.,,,\i,,,,lj,, l\,L,,,.,l,/!,,,,,,,
zdaiący potrali
c) ]lL-5)=:i1,2)-]\.
\.
r(].il rJj.Lnlcnx ?.
l] t_]:o
l)li1),.h
-ll.
§ill(\.i|.i,.lr.i|($ dir.
L]jl(n]D rlj ilnl].n/LL\lL.D].]a\\l.(ll!]il
,|||^ ,,,§,,|/,,j,j
a) Sl)li\dź../) płlili.lb1\.r)=1],
j)sFlnir
.dno / l(j\\nr]l (]ancEo uklrdu.(n\oui,
b)Po{lrlpltcll.ż1)(l,\).l.kllJśrl|i.nj\\D.{ri.oIlri.\|cłli.ló!n.riro{lrn.!l) klJdt||,[.dl c) sPli\dź.c/) p.rr iczb(\.],)=lj, ]),l)ćl jidxl) ulll(i l(n\iol].ll na\lqP j. !o(llLi .o/\ ,ż.l:]]c Jil. !,
4.10 lt,,zs 4.1l
.L ,,,lira J .,, , ,, ,,l1,1
. ,l
Rożs1|/ rlg.bl. cżnl. iglłljc/ni. ull
ll,\.-3 el' ]t t :
bl
]] a\- l ]( rl s
b)
al
]
l'-1'
ą
.1
l(n\l!rl1
") ],]':]-.
jLllq[Z)\daż.ni]1tlnll\.l].\]Lt7.tr.Jonn\rJlinl.|,nrio,.r]tr](\\\1jL/l:(,]l.,1r1],j, L!r,,l.: ]\] ]./!iv}\]i7id.jriL(.k.,,rr|!.n\,(ł...1\,t1,1.,1.1;.l].tr|rliOtr\lh/lL\\j.lrl
4.'l2 h
36 dJg \7rnki kl].nl zepłlcil 6 /1
4.13 C.n.
_18
gr l]. ko./luj.
}ii
o:rrrnl,/\ nki
]
kn.lżki obnlżon. o ]()',', Po l)lodniLl ]lóno( icohlliżonoc.n!.l01;.r|llU|\§j!l.,.l)!jo§godnii 6ll, ,lrka byI| Poc/t kos,! cenn kśiaźki.jćni |o obDj/li.h kos/lrt]e j()2l]
]cslcżc o
4.14 7i rc/F.ż9ci. irrd]
1łksó§l{ p!sJ7.1 |lrci ].5() /ł. ! /r lużd\ l)l7.,i..hiJly ki]onlćlr ].8() |.hr\ch lilonrcl](iw nl)żc |]/L'l.chrć pl\rż.l po!r(li]!.\ ,10 7l]
4,15
]rkie lo ljclb} (ló(h(ii., k(jr}ch nlnrx ]eśl].5 rrly więl,\/r od ich (iźllicy, !
idn.
1 l)ich
/l
l.sl
I].
n t.),!r!lni.
o ]..1§j{kś^ nd
r,16
i
Rozmieniono 10 złotych na monety 50 8.oszowe i 20_!ro§zowe otlzynując razem 35 monet. oblicz. ile otrzy_ mano monet każd€go rodzaju.
4.17 rJeżeli do ]iczby dwucylrowej dodimy cyfrę jedlości. lo otrzymamy ]8. Jeżeli W iej li.zbie pveślawimy cyf.y i od otrzymanej
zdaiący
potrali
liczby odejmiemy sulnęJcj cyfr. io ollżymamy 3ó, Znaidź tę licżb€,
,
- -: : Rozwiąż ró\rnanie
-:
,16=2l ]ł- ] - J+3
; =,1l
:] Zndjdź w§zy§lkie rożwia_żinia nierówności|J -2h-.1 > : przedżiału ( -i ] przedżiilu (0: :l)i
0)i
:] .
J >3l
Rozwiąż nicńwDość
:: : Dhjakich waJtości parimelru,, ' jcdno rozwiązanie: żdający pollafi
:
]_.,
].t-2 =2n+1
'
l= 1:
,t -2ł+ l=0i
l
l ]ł+2 <]i
równdnie
llł-:l -:
,-' JJ'+,|J+4 +3r+8=0
.]' pżedziah (4l +-):
::l zbioru R.
.j lr|+r-2<0]
:;2J
l|+j<4,
ma
dwa rozwiązanial
|,
:.l
, :: ; Roziłiążuł]ad rólvnań
ZADANlA MATUBALNE BóWNAN|A l NlEBóWNoścl LlNloWE
123,
wyznacz wszystk]e licżby pieMsue §pełniające ni€równość
124.i]
Rozwiąż równanie
(2 3,6XI-2!6)=j+8.
(j-5):+(}-J5)(Ja+r)>(2,r+l4XJ-7)-
RozwiąZanie żapisż w postaci a+ón[. gdżie d, b. ć są licz_
bami całkowilymi,
125,
Niech.4 będzie zbioren rozwiązań nie|,lwn^ś(i (-
}(,r
4) + 1>
8. a a 7biorem rozwiąlań nierówności
(ł+ ])'-fu.
a) wyznacz zbioly A i a, b) Zapisz w poslaci przedziatu zbiory A
126.
1
Liczba./jest rozwiążanicm równania
,,J5 ,,2, srl,"J7,
óB i B\A,
(2 ,!)]-ł6=(I 1Xr-5),
c/} lic/b} J l D .ą lowne,
zaśliczba rjest
rozwiąz iemrd§nanil
j7
Nicńuość]6,! 1 < lt- 1 ] nnjżcDly roz\łiązać w nl\lępui3cy s|oś(jb: . /!u\\,rż y.żcdlrknżdcgor€R§łlości!v}rr7.ń 6t l]i ]r+l \i] ni.ujcmnc.
. . .
ohie ślrcnydlnc i n i.(n] i()ściLlo Lt lJrlrlu. .lllymujen]y ni.l(jwnośćlównow!żDI!:
ko.1}stai{c Z \,]ilnlości§tl]iości bc/\rlglęLlncij I a ka:n|i li..l)\,_.a.rlisł,l d ł ]=.l]. (to,tlł.nr] Dic(jwlośćk\,]dl ltowl] (6\ l)]<(2l+l)]l jo7\ritt/Uicnrv otvylnalll nicró\ność: (a,\ l)]<(\-])] e (6\ 1)' (]\+l)
(J (6-i-l,r ]\-l](6\'.1 ]1 l)<0 łJ 8\(.1i ])<0 Q
dlaleso |odno!7ąc '< 2r+ l l':
a,l ]
.alhod.l ,U|),J\:
<{) (-
,\E(0: i).j]l
/rlcm /lrio]cm roż§ivaI] d.trrcj nier(n\ł()(. i jest |r/cd7i!l ((): (].5), st(xuiilc ijrl.dnł\,,iona w\,żc] nlelod!. ro7wił ni.](i!ynoś(. ]t 7 ś5i 9],
Rożwiązló[Ianie .] 1 \,
_1
-]
Dlł irki.h !,łrrościlail]nctfud n]\Vn.t|i. ] i t =ł] .l, l mł d\!
D]ijlkich
§
ł 2l=ł: ]a :
a.lości ]riranletl! d lói!Drnic
R(jlvnanie d(,t
+
l) -l- r(.l-
Ro/sl!nsr nrc,,ir ll
l]+5. gdlic i
,,i,=^rrl+
l
ma dwa
jcs1 lri.n iado r.l.
,rr,
!d/ć ł il,
!].
dod.ll]]ic
Picn\ilnli]
pi.r§ia§lkl
żn\.l] ZItlk(^\']
nri Iie\ko]]cż.n]c \ j.].
1
lr!i
3_/
l11.'/,nłjnż
prrlir.ljrnri
UKŁADY BÓWNAŃ LlNlOWYCH
lll
l35.
,io,.,\,,/
136.
Ro/,vią/anicln ukladu rów|ań
137.
N!
,l ,. ,,,l,
,
,i ] (,-])i+r -.
|.]l-(0,5,-2)1 =| ł]
jc\l p.rr.l liczb
l},sunkLl obok przedsl §rono i]ultucit grłlicżna. |e§nclo uk]ldu d§,óch ró\\ l)ań ljniostch 7 d\!icDrr nic\łiadomynri.
6) Znxidź njlvn.rnia
b)
tego uk] du,
R,,|: / 1,1- 11l,l, zn,,rzlonl 1,1,,,] lr,r
l=
]
jr
=
] Zn.i]dź li.zl]y,,
\i
ił
'3a.
l'kl:dl,,w,l.,i,/li.§l_,h,,,,.,,,,,..,,,l,,,,,,.
"-]', l'jl
'
,j L
=!
a) Rol\i' ukł d r(nvnań. gdy d= 1 i . - ]. b) Dobicl/ §sp(jlcż}nnill ł i . l|k. ab], uklxd rówtrnń mirl llic\koli.^nie łiclc lo/wival] orl/yn,.uly tlLhd ró§nłl], T]l.
:
Rnż§lJ/ - ukIJ,r R^\lr,ń ] '' ]l
:
Ro7\\
ilż .ilscblł ic/D
ltols
i.j/ lIklJJ Itn\n.lIL
\
r, -'
j
J
ie i slrljcżnic llkłJd (n\ l,,,,,
l]:, |r,
Ro,/\vi.i1
]l-,ri L ll
i|' '=' . \,]r]=I
-;
. =r
FUNKCJA LlNloWA
'|2.:
ilLltrkci / okre(lon|jcsl \\,,orćn l(l)=7Lt+I]. lłonl ł jcn *}},rcsem lunkcji /, a) Wylnrcl Ic gun]e|ty. (llr któ}!h iuDk!in / prż),il,trljc s,rtnoti nicuictnnc b) oblic/ llsparr/cdn. pLn]l lu prlcciccia pro\t.i ł / §y kresc nr litnkcji (( \ ) = ł + ,r c) Zn4(lź l(iwDllnic ]nosrci prlc.holl/{c.j prlcl punkl r=(- |.,!) irównolcglej do prostc.it.
'§.
liurkcja / okteśknui.n w,,olcm /(1)=5ti3, a) Podai w\pół./ędn. |unkllt przcciecia §ykr.\u funk(.ii / Z o\ill oŁ b) Wy/nlc7 te ttrgumclrty. dla k(iych 1il|łcil / pr1),i,nuje wnności n.llcżące (|o 7bioru
'l{_
Funkcja / ołreśk,raicst w^)|cm
a) Zn]jdż Driejsce,/erowe
b)
c) '§,
/]n
=
-tr3 \ +
kil_u
/,
onr.go. jnk] tt\or/i,§,ykles lunk(.ii
.ł( |) = l +
0.0l
l
Znajdź w/(' malei3ccj funk(.ji
Ro7§trzygnij. czy §ylre§y funkcji
n)n puntcie.
rlcii
l(9=4t+rt!icd,ąc.żcwykrcslnnkcji /
ullrdu \ł§p(rłrZędnych. a współc7ynniki
'r, r
|ro\ta_ bcdllca.
wykrc\.m filnkc]]i
i
Funłcji / o],rcślona jeśtw,/oren /( 0 =4(+ l, o funkcii § wiem}. ź. l)w§parc,,}nnik łidrunłowt pfo§tci. kr(rra ic\l wykrescm funlcii {, ie§l liczbą pr^ciwna do wsp(ilc,,yn
nika kiclunkowcgo l]lost!.i beda§ci w}kres.nl lunkcji /: ]) nriejsc.lcro§c liltkc.ji.,ł ic\t licltla odtlroln. do mici\ca żcfix\ego I' Zlrlidź § l(jr funlcji ś,
'€.
(6i 9),
a,6,
sr'l-qJ/.,/)- l,,,,,,,, ,/;, , , ] iś $),rll(rlJ, \ /, Podtł niarr
,,1=
d i ó są rożwią/lni.],ni xjNnanil ]
l.
nie pr^chodli pllez poc,,ątćl
r]
r] - r =(l.
l(t)=+l+]. .9(l)..*,!:]ó i ł(r)= a. l].1 prl.ci .liq.i."
jcct_
T 148.
odcinek o końcachA-(
2,5)iB=(3,
wykes funkcji liniowej wzorem 8(r) =/ _ 5J+ 8.
/
go wykresu funkcji
149.
/
i osi
a) znajdź wżór funkcji l b) Wyznacz te aJgumenty.
c)
150,
oy,
wykresem funkcji
przechodzi przez punkty
d]a
których waności funkcji
r=
f
§ą
l
(3, 5) i
Znajdź współrzędne punktu wspólne-
'
=
(
t, ,7). Funkcja s okreśiona jeŃ
nniejsze od waności funkcji s, / i funkcji g,
ob]icż Wspókzędne punklów pżecięcia wykresów funkcji
FUnI(JJ/ok]ełlonaIesL$.",".,,,,=Io'j"
15'
a) Naszkicuj wykes funkcii i c) Rozwiąź nierówność /(ł) >-2,
zerowym funkcji f (r) a) oblicz wspólczynnik ó,
151.
1)j€s{
Micjsc€m
b) ' Rożwiążrównanie /(j)=
=-ż.+ ó jcśliczba
zł-4,
1,5.
b) Dlajakich argumentóW wartości funkcji / sąwięk§ze od lłartościfunkcji 3(,l) = 3l - 7] c) znajdź te argumenty. dla klórych funkcj a l i funkcj! ł(i) = J' + !] - 5} pl7}]muja_ rę sama, waność. 152-
Do wykesu funkcji /()) =-0.5i+ jesl do osi ox pod kątem,t5', a} ob]icz współczynniki l, i .,
'
należy punkt
P=(2. j).a§\kreśfunkc.]i:li)=.r 5
nachylony
b) wyznacż zbjó!tych argumentóW, dla których obie funkcje pPyjmująjednocześnić §aności ujemne? 'l53.
!
Funkcja/określona j€st wzorem /(i)=3r+ó. a) wyznacz te wartości wspdczynnika b. dla których waność funkcji /przyjmow3n! dla iJgumentu 5 jest mnicjszaod 2,
b) Wyznacz ,l54.
te waności współcżynnika }. dla klórych miejsce zerowe funkcji
wykesern funkcji / jest odcinkiem
o końcach A =
(,2,5) i B=k,
c
/jeŃ
więk§ze od 3+.
+5). Znajdź miejsce zerowe funkcji
wiedząc, że jej nijmniejsza wafiośćjestrówna-2.
155.
,
156. 157.
,.
158.,l
Funkcja ]iniowa
l
/
dla argumenlu,2 przyjmuje wartość8, a dla ar_sumentu 2 waltość-,1, wyznacu naj_ / osi€anąw przedziale (-3. 3).
mniejsząwatość funkcji
Znajdz wszystkie funkcjc liniowe okeślone w zbiorze (,4i 2), których zbioremwanościjest pżedzbł( 2i 10).
Funkcja / jest liniowa. zbiorem rozwiązań nicrówności/(,r) > 8 jest przedział wiązań nierówności/(,r) ś,2jestprzedział (4l +-). znajdź wzór funkcji l
Znajdź wzór funkcji liniowej /(jr) +/(,I + 1) = 4(i + 1),
/
wiedząc, że dta każdej liczby .zeczywistą
,r
( -: ,1),
a zbiorcm roz-
zachodzi równóść
159
159. '6Ct,
'a1.
ll'
wykż. że jeśli funkcja
lk+
b) +
f(a_b)=zJfu).
/
r-2
Naszkicuj wykres funkcji = l licżbę rozwiązań równania '(t) /(J) = ł,
Naszkicuj wyItres
lG)=-2:+ b
Dla jakich wartości współczynnika
i s(r)=_+:r+3 §ąparąliczb ldUdainicb;
-
a
3
l!
.]
Zachodzi równość
okeśl. w za]eżnościod wańości parametru ł.
Korzystając
w za]eżności od waności parametru
ł współrzędne
'
z wyk€su
f'unkcji
l
okeś]
',
punktu przecięcia wykesów fu.kcji
/(j) =-żI+ł,
rożnych znakoW?
wyk.esu funkcji /(.r) = -J + 2 od]egłościpunktu P od osi uk]adu wspóhzędnych jako funkcję żmiennej a i naszkicuj wyk€s iej funkcji, Znajdź wspólrzędne takiego punktu należącego do wykesu funłcjii klórego suma odległościod osi u klddu w,pótrrędnych jc\t t d$ na | ó,
Niech P = (d,
.]
_ 2 |_?. a następnie
r,nqi 71,91=1Ę-a;yllz ,z.I,*' *t *t.
liczbę rożwiązań równani a
'a2.
jes! liniowa. to dla dowolnych ti€zb rżeczywi§iych a.
') Wyraź sumę
będzie dowolnym punkt€m
ł i / okeślone są równaniami Prosta ) = 1 przecina proste ł i l odpowi€dnio (patrz rysunek),
}=2.
Proste
1
i )=0.5r+2. B
w punktach A i
, Diugoić odcinka 4B s}I&ja}o lunl.ję lmienneJ,,
:) Wyznacz takic
punkty
A i a, aby dlugość odcinka AB była
równa 3,
Funkcje /(,r)=ax+8 i s(r)=3j!+r, gdzie 11, } sąliczbami natura]nymi nujądla tego samego argumeniu, Znajdź współczynniki d i ó,
i ae
(50l75). wartość 2010 przyj_
ZAOANlA Z KONTEKSTEM REALlSTYCZNYM zadania plowadzące do lóWnań, nleróWności i układów równań liniowych 166,
r
157.
W lidże piłkarskiej zespół za zwycięŃwo otrzymuje 3 punkty. za remis l punkt. a za porażkę nie otrzymu_ w sezonie 2003/2004 zespół Amika Wronki w dwudzieśtu !.ześciumeczach ligowych zdobył 48 punktów, Wiedząc. że drużyna z Wronek sz€ść razy schodz]ła z boi§ka pokonana, oblicz ile odniosła
je punktów.
w konkursie matematycznym uczniowie nieli do rozwiązania 20 zadań tcstowych, Za podanie popra],nej
odpowiedzi ucz€ń otrzymywał 1 punkt, a za podanie niepoprawnej tracił 0.5 punktu, Karolina rozłia_zała wszys&ie zadaniai otrzymala l l punktów- ile zadań rozwĄzała poprżwnie?
,i
68.
\\ pe\\nc] lli.ic (l/i.\!C/cll n]no\il\ .]5',, lil/L])'Lill|](n\. 1)t) ( \cleł l1li.§L/r1 §/lLnl |l() ]s'.;, 1]u.])]()l].(nl ]ln \ 1,'] Ill,i.]
l,Ll§! pl/!1)y1,1..(tn! (\ol]i l §o\!l/r\
/. \|rolk!]i ji!l \l].\ \Iicl]r. ,lor(i]j| /(hl]l)l6s Il1, s{L)slln.l, liUb} ..l]l}ch l/ultn\ (\]d!nr!ll ]n/c/ ni.!o \L l\ir.l.c/l .(ltoli.d']t) /.L ] punIl\. /,i ] DLllj],1! illUl(j\\ o\llri\L\.lj (/,L ] ]runł1) l))! nJne]]Lllll.\: a]S]:,Ti.l.:|]c]lIż(Ll,]| /.L]|Lrn],1\ 1!]d.l]\ 1\rll l]].J/ll \l].]].t,: l1):d.!:]
169.
W ]cdnyIl
170.
l!]]il ]] Jr! l,.łb1,} /§)!,/,l]ilj i ]6 (liir łi.llr.L.\ l]tnt\!.\}. \l,it,i \\' 1\ ll] ,,L|]\nr skl{i. ^D.lll!,i D.Il I)ioLI l,!]]j] ll di.- i.].lirl.) /s]f/,l l:|,:l ]- (:l!: lr\ll]l,\ I]ljt1\\,l§.].|ii.i ]J].js ./\ / l'..] l]\l /l.lł.tclł /.L \\.Lilj.. ] /]. ,l LLlL:!i §/] ll)!l,.lilll lr\], \ I1]:i .li.l.,|.r.l !. l,,",littl].]L,..\ /\\L/t,:,. ll ]]:,r l jll) ,]linr1 Li.łlri§\ ]]ol1\tl§. \l.j ]
17,1
Il,Ltl
\\l97§lt)ll(j1/]:oIl\1.!'.1$'1'jltr.)|li.i.L/.]'ll)ilL/J(!1.(,rb\]r .l].,1)($ol.] ]n} /.\l(lIl, ł ł //l)/( ), ,L s |9')jhlti \lj.l]x!\\lł]i.\\.kib\ld\!,LL,,/\jil,t]./\(jJGr/.jL). l]li.]iw.!]ri. Ll)(]li(] l/.| N]!lko\!\kicgo.wk1l1l)llll0ltlol)tlll!to\!j.h.(l,
172.
r,ro |]/] /tr|ni.rl.!l] $)lr.ljlla ! 1.[,! tls).i../lL].Gd)b}!./|o\:./l|.l..: L!/|io\i.i,N!1Il..i. (lo ]llLroli!r /.ll)].lkl(rr} ll)() /1. r l.L/(1] uc1.Ij /, n) loL/rtnl \! lr,iDlLl 51) !l. i./.]i ]]].Ll] ló /l. 1l) l|)ll}ci. Do oJr]l..niN ri.\/kj\Y \\!l).l].cj! JLl1(,ki l ,/ołxIi. ]] /] a) ll. o.Jb l]l.!| ].\\i.l/(|n.]1.{}cr../l.] b) j!lijln l,,\/l §)l.Ll..]i ,LLil()|,.! t: '
,l73
\os.,l \ ]()()i] r.ilL !i,jkon]l \\lt)i. o\l./.Lll]L]\.r, \l .L:rji. ](]()l] /l. \ .]\l(].] :,.l:..rth \\ łj.!\ \/)lIl !].l!.]!...nn)§.lj]:. | \1O..]Ll.]\lL l(]./n\]n \\r!rjk) l]', l/ !o./l.! i..li]]i.,]l/ !,., \].]..i.i.], \ lllLL !r]n l0li l/ p(j]l..lnt! kJ]]i1]lilx.jtL (tl\.L.k] lrt) l(t],Ll t.ln \o$Jl. /lj]i§nnlL]! Ll]r]. ]\l],.lt\ K\ola oll..lek. ]tkl| \! (ulllic |!lic/!]) b!nkj (w ]1){)l) loku ni. lr) lo llodrlL! (!] .(1\.1.k), \\ \.]t\1.1 ] ]j,i1) /ł. a) ]rlr l\,]]e \Irłli.jł }L ] \L\\J\ (i(, li/(l.!o / b,,1.1\, ] b) \\''\kr\n] l]rikub\łt) \\\ż./J.lJll)§n..l1\.l]|t\\.ll]]c ]L)1.1\ 1'rll
)
$ lLx,|. iIIA iLLlLlIe / nrLl.Ij.tl\k] \\h|JlL, o J\l(j.l] t./l]rLnt \].-] L, l1.,\..\ L./|ii!i( l.i lir\] 1,llLjl() lll.!l!.q / lll.|l.n]Jl)li \1.1|i]$i]:J\ :\]i,|\. }.].L,\ .L :a]\.\ .l,.,.:,]\: ..\,r ,,,,] J \]h|.J] ]l]rl.ilrtll}k!. ].dn.l /l./\l]lr(ń!.ni, t\) l]] ]l I! ż nl.Ll.1l]rl\ki /(1.§.Ll,Lł]\ ].tNt.l ] /_!] . _i-l]:] ]r i.1.1\) Iil \, l u cżni(n\ L]|,,v kll(x lllĄ'
174-
(;d\tr\
175.
W d\t].b /bl(]lnllich
,176-
1.Z /nliJUi. \i. $odtl Zc /lri(rIniki l p,/.pon]]](Ą\.Llo L]i, /lr,]lniki,Z: '\. '/ pod\!oi]ll \]c, Ntl,tę|ii. /.,,l)0nili,4 pll.|(!.|r.$i]l) tl(] /l\]or]liL! Z (rLc \(tty,7. iloić $,!xly wl. {od\, ż. jl(),ic $ od,,- \ l pol]oił! sc ()kizllo,i. \(j§,c^\, ź. \ obu /l)j(tI L|]clr i.,r )(,,15() linln\ \( \, o|]ii!,,. ]]c \1.Lh b\ o nr ]roJ/.lllu \l |lild\ lr] / rjotnikL:
177,
W.oku szko]nyn 2l)07/2008 do pewn.go plżedsżkol.t tlcżcsuczało 88 dzieci, w roku 2008/2009 liczba dzieci chod7ących do tego prżeds7koh lYżrosłi o 25r;, I]u ch]opców chodzi]o do rego przed§zkola w loku §Złolnym 2007/2008, jezeli wixdolro. ź. ich iiclbi w roku szko]nym 2008/]009 była o l2.5.ź więks7ł niź w popr7cdniD loku. r liczbi dzicwclynek wzrosła w Stosunku do rcłu 2007/2008 o 50ł. ]
178.
Z dwóch mieiscowości odległych o 35 knr W]rjc.h. y jcdnocżeśniena spotkan]e dwic ko]eżanki, cdy spotk:rły się. obliczyły. że pierw§Za z nich ]cclr .t /c śrcdnil.prędkościa. l2 knvgodż,. :r drugi ze średnią prędkością l6 km/!odz. ile ki]ometrólv I'r/ci.chała kżda z dlielvcżyn:'
179.
n
180.
slalek Wycicczkowy. płyna! Z prądem rzełi. pokonuje tlasę l milslr do nria§ta 1J $,cilgu dwóch ^ płyn4ć trłt\u ż iłsta ,ł do god7i!, nalonrilś ż polvrolem płynie o pól godriny dlużej. lle clasu będżic
Kuba pożyczył od taly samochód. klólyn lvyruszyl Z domu na spotkanie ze swoją dziewc7yną Pt,ed wyjażdem ob]jclyl, że jadąc ,c ś..d!ia.prędkością 60 knvgodz, przybędzie na spotkanie doktadlic godzinie. l'o przclech.tniu (z uapllnow:tną pfędkością) 60ri dto_li ..zlapal gumę". a ^lilnr koła zajęla mu 16 ,ninu!, 'l'claz. aby zdążyć na spotk:rnie. rnu§i3lby jech!ć z plędkoścja_ l20 km/godz. ob]icż odlegbśćod domu Kuby do micisc.r spotkan]a z ukochaną, o umówion€j
181. F
stQźcnie roztworLl kwasu solnego wynosi 5rt, Ilc kilogrtnnjw \\,ody należy dodać do 4,1 kg lego lo7twonr. aby slężenie rozllvoru zmniej§Zyh §ię do 2r.]
1a2.
]le kilogramów t0 procentowego kwlsu siarkowego ] ile kiloglamów :0 prccenbwego kwłsu siltrlowego n.rleży 7nics7ać. iby (rtrzynrać 20 kg kwasu Siarkowego o Śtęź.niu 16rr,
'33. ą Mamy trly
roztwort. kiżdy Zawierający chkj.ck sodu i chlorek polasu, Procentową Złwirtość obu chlorkó§ w roztwonch podano w tabeli, w iakim slosunku należy znrieszlć wszyśkje lrzy roztwory, aby otrżymać rozlwór. w którym sla, żcnic k3żdego z chlorków lvynosić będżic 67.?
funkcia liniowa 184.
W nriastecżku dli!łłądwie korpomcje tnksówkdrskic, Ccnnik opłat obu koĘoracji zamieszc7ony zośtał w poniżsżej tabeli,
] ],r-4,§]]Ę!! q!a!]!]!D
a)
za|is7 w posuci \yloru lależnośćnięttzy kosztem pżcjizdu (!v żłotych) laksówką korporlcji 1łn. n
iic7bą prlcicchanych ki]olnelrów.
b) P.Nrżcr lamierla udać §ję do miejsca oddrlonego wybrać. .tby nrni.i żapłacićnvzeja7d?
o 7 km, Takśówkę k(ne,j torpollcji |o$in;J!
c) l'fzy jakicj dhlgości trasy koszt przeja7du t,]kśn!ką korporacji AłżrJest n]źszy njź koril trż.].żdi, t,!ksóvką koĘorlcii o,,.!.?
5. 185.
właścicie]drL*ami zaopalilje się w papicr w odległych o 250 km zakladach papiemiczych 1ub !v oddllonej o 20 km hurtowni, U produoenta celrn jedncj ryzy papieru wynosi 20 71. a w huilowni jesl o 309. wyźsża, Zakupiony papiel przywożi do druk.lmi lirma transpono\ła, klóra pobiern opłatę w lvysokości 1 ż] 60 gr ża kilonlett (nie7llcżnic od wie]kości ]xdunku), Niech Ńir), &lł) oznacżq.! całkowirc koszry Zakupu , ryz papicru (wrź Z kosżllmi lransponu) odpowiednn) u produc.nu i \! huflowni, €) Podaj wżory funkcji ł'P i ł',, b) Przy iakicj liclbic ryż korzyst icj dla właścjciehdrukarni j.sl 7topatrywać §ia w papicr u producenla?
186.
czĘ
PosT/
Zalcżnośćniędzy tcnrperlrturą \lyrażona. !ł ślopDiitch i]drrenheitt. a wyrźona_ !v slopniltch Celsjusża jest
a)
Znajdź tę zależnośćwiedząc, że 32 'F
10 0
'C.
lr 5
'F
lo
15
Fozw
"c,
b) Przc7iębiony p.]n Snith Zmieżył lenperalurę. okualo się, źe mr ]00'F, Tcmpcrarura cirłJ Pana snilha wyriź w stopniach Ce]sjusza, odpowiedź podł po żlokr€lcniu do pjerwsżeso niejsca po prżecinku. c) ]2 lipca w San Diego tenpcratura o godu, 12! była o 12,5 'c pyż\7a ]riź icm|eranua o.!rodu, 600, Wyraź w7ro§t temFratury W nopniach F:rhrenheła,
d) 5 Stycznil w ,niej§cowości Polrt Lty mo.
n.l ,Ą]asce dw.l termomen,y w\ku}lvłł] tl \urą telnpclJt! { mi !v "I', Jal,a tcnrpclalurr byłn t.go dnil w Point L:Ly?
ż.i.den pokazywnł tenrpcraturę w "c..] druSi
:l,
'l8?. w
dwóch staciach mćteorologicznych. u podnóżł góry i nł §amej pol7c dnix pomiaró§ lemperatury powietrz:r. N''ieklóre wJniki t}ch ponli.trÓ\ pżcdśtiwjonezoslały na §ykres]e. Z wi.l(nctnich ob\.r§. c.ji wynika, źe ntnieje liniolva zaleźnośćlriędzy l.filpć..]nrra.
:
icj sżclycie, doŁonuje się o lej
tenlpetatuq l ujcj podnóż!. jeze]i
7na Szczycie góry.
a
z zaklelu
do 6 "C,
od
,1
'C
a) Znajdź ię żalcżność, b) Na sżcżycie góry zanotownno 2.8 'C, czas temperatura u podnóża góly?
Jllk
ljesl
była Wólv
188. w
żakładachwędliniarskich plżeplowadżono ana]iżę procesu ptodukcji, Międżi,inn}mi okuakr się. że zależnośćpomiędzy miesięczną produkcją wędljn 1 (w lonach). a miesięc7n)nr iU7\.ilm lncle]i clckllyczn..jI (W ncgawaiogodzinach) okeś]onijest w7orcnr /, = 0.8r 4. gdzie r > l0, a) W stycżniu prżekroczo|o o 207 7ap]anowan!_ na ó0 ron Wielkość produkcji $ędlin. ob]icz, o i]c mcgawatogodzin przekroczono p]anolvlnc żużycicćncrgii c]cktrycznej, b) W lulym Zużycic elE.gii elektrycznej byb o 20 nrcglwatogodzin Więk§ze od planosaneso. oblicz, o ilc ton pżekrocżono p]anownlrąna luty wielkość plod kcji wędljn,
zADA
zdając\
Z lr7ech prośopa.lbścicnnychbelck B]. B]. ,9] o txkich sdnrych przckrojich poprżccznych i długośc]achodpowicdnio rótulych
l m,2 m i l m sklejono jedną beikę o długości4 m (płtrz.y\u nek). Kźdtl Z belek }l. B:. Bl Wykonanaje§t z inncgo m.|tcrilhl. a ich ńtlsy sa róWne odpowiednio 20 kg, 30 kg
i
a.2
10 kg.
Masa odcinki beiki o długości,r(palź ry§unek)jest lnnkcją żmiennej ,l, Znajdź wzót tej funkcji, rysLmku poka7any jcsr widok Z góry przedpokoju !v mieszkaniu pań§twa Kowalskich, wymiary przedpokoju podalle §ą w mctldcb, N''a
częśćprzcdpoko]u o powicrzchni P (żacienjowany ob§7lr
Ko
ni
alscy Zamierzaj a. \ł yiożyć tcrlkotą, w)riiź Pjltko funkcję zazniczonej na rysunku oLllcglościi, ll§ wynosi]aby odlcgłośćr (patrz ry§unek), sdyby p.|listwo Kow.tlscy po\lanowili wyłożyćlelakot.r clęśćprżedpokoiLl o po\!ierzchni 6.8 ln',
§unku) palistwo
ry-
:j
5. FUNKCJA KWADRAToWA
CZĘSC TEOHETYCZNA POSTAĆ OGÓLNA TFÓJiłlANU KWAORATOWEGO
+
y=4Jr+rr+., gdzie a,r,ce R i al0.
dJ]+łJ+.=0 k+0)
RozWĄzANnRÓWNAN|AKWADnATowEGo
a wyróżnik rrcjmiantr ksJdrdtowego A=r] . lc.lt^,u,loroun,l o ł
JeśliA
= 0,
Jeśli
<
44.,
lo rówDanie nu jedno tozwiązanie
0, to
ni
równlnie nie
.Jo , ,., ru
=
-
-Ź. 2a'
rożWiążań,
^
POSTAĆ |LOCZYNOWA TFÓJMhNU KWADFATOWEGO
ł . .
.'eślitónianmadwapieóviaslkiJ| ir].lo )=l(r-rL)(r,r)). Jeś]i tn jmian ma jeden pierwia§tek J0, to
}=a(J
jo)].
JeśIi rómiin nie ma pierwia\tt(iw, to Die można so 7aPisać w posi.ci ilocżynowej,
POSTAĆ KANON|CZNA lEÓJMnNU KWADRATOWEGO
. r =, l++ + l l") wsPóŁRzĘDNEWEĘzcHoŁKAPARABoL|oBóWNAN|U
,.-
4
r=ał'+ł.+c
wzoFYvlETE,A aa:
+óJ+.
=
0 ldź0] ma dwa rozvią7ania ]l i
Ą.lo
ZADAN|A WPBOWADZAJĄCE zdający potlarl
l
Znaić mieisca że.owe funkcii
5.,1
5.2
. \}znJLzJi l nc],cJ zcrotr. !nlli] Ls,JiJnqL]
i
ieśli§) f(i)=ż;+3ł5i
b)
/(ł)=4J:+ lz!+9i c)/(r=J'+9,
wyznacz te wartości wspó}cżynnika }, dla których funkcia i(r)=,?+}r+1 ma a) jedno miejsce żerowe] b) dwa miejsca zerowe: c) co najwyżej.jedno miejsce zerowe, ,.żed §l awi ać lunkc lę
ksadRlowl
w różnych
pośa.iacb o!ólnej,
il
oczy no§e
].
kdon i.2nei
wyzniczaó wzór innkcji kwxdralowej
5,3 5.4
Zapisz w po§taci ogótnej wzór funkcji klvadratowej
-]
Zapi§z wzór i'unkcji
J
a)J(J)-}]+3J 5i
ijeśli a):/(J)=3(,+l):+2; b)/(a)=-2(1-])(a-3)
w postaci kanonicznej i (o jle to możliwe)
b)J(J)= 5r:+loj
5i
1v
postaci iloczynowej
c)J(J)=r1-4}+5.
FUNKCJA KWADBA|a|l
5.5
Punkt},4 =(0, 5)
a)
ogólneji
i
B
=(1.
12)
nalcżąllo wykresu tłnk jil(ł)=1 +br+c. Zapiśz wzól funk jj c) ilocż}nowcj, b) kinonicDej;
Wjerżcholkiem prraboli. krórrjest lvykl§sem funkcii s(|)=
5.6
Znajdźwspółc7ylniki/) i..
]'unkcjr kwadrlrowa ł. kiórej Znaidź łzór funkcii ł,
5.7
2l:+h +.,
f
w posta.i
jcsr punki W=(3,4)
5.20, mie] scanri
lerowymi
są
liczby l i2,
d]a ar8unrelttr
lplzyjmujc wańośćó,
. .dć/ylywJćsln\noi.ilunkcr1 kwiiitlo\tl ljdj sykid\u . \P.żqdlJi wtk,.!) ltrnk.]i kwadnlosy.h . okr€!]!ć llledł!ł! Ddoloni,n.!.]lunl.ji \* ntó*.j obok ża.Oielzc7ony zostal wykrcs inDkcjikwadratowej /: a) Pod{ zbiór wartości tunkcji b) Podai plzedzialy monotonicżności ' funkcji J, c) Podaj te argumenty. dłt których funkcja J przyjmujc wirtości niedodalnie,
5.8
d) Znajdźw,órlinkcji /,
=
Fuikcj! J okreśIonajed wzorem /11] a) Zn.i]dź ni.jsca żerołe fLrnkc]i l
5.9
\]+,1}-3.
b) Znildź punkt prżccięci.l wykresu funkcji / ż osiąoy. c) obiicz wspótrzędnc Wierżchołk.l pnraboiibędąc.j wyklesem funkcji d) ,-\.'a\7kicui wykles funkcii l
5.1o \i,/kl.UJh)llJ.1,1l.,i /l,,-, l4,
5.11
/,
J,
okeślżbirn włnościiPrżedżia]ymonoronicżności funkcji / określonej wzorcm c) /(i)=4(r ż)]+3: b) /(:t)=5(t-3)': /(r)= 2]]+3;
a)
Nns/kicuj w}kreś tin*cji od wurtoŚci palamelru,r, nYa§7kicui wykrcs
funkcii
/(J)=J]
.'
f(t)
=
,1 ,
ł naslępnic okrcśllicżbę ro,wiązań równanit
t:- 3lJ|+2|
i],J(r)=-Y
wyżnacz te w[tościparamelru t. dla których lunkcja /(J)= irośnąca w przedżide (5: +-)
li
a]i
r:+(ł 3)j+8
d) i(l] =-t:+8J- l5,
r]
,1]=,, w 7,leżności
. /(l)= r:
4 +3r,
jeśmale.]ąca $ pl7edzlale
FunłcjaJ określonijest wzorcm /(J)=,nJ:+,A l, wyrnaczle sańości plrumelru ,l. dla k(jry.h i]] zbiorc wanoś.i iunkcj] /jesr prżedzial (--i ) funłcja J przyjmujc tylko waltości ujennei
(:;
5)
0),
Danajestfnkciakwadratowal(r)=i],3)J:+2t ], Wyżnacz te wańości pdran.§ul. dla których : najwięksua wartośćfunkcji l j e§l liczbą ujcmna_: ]) najmniejsża \!anośćlunkcji / jest mniejsża od ,2, , Wyznrcz wszystkie lakie wlrtości par3metru łe R. aby iicżba 2 znddowalr się międ/) miejsca,ni zcrotvyDt fUnkcji /6)=r]+al+ł, Znxidź lc wanościparametm ,l. dla których funkcj! /iJ)
=
i]+n,i+9
ma dwa mjej\ca zerowe Większe od 2.
:UNKCJA KWADRAlowA
. wylix.z!ćniyl.k!ż.inJiDnieivtt*ldoićfu L.ii
5.19
Fuikci.i/(,o=i]+2t-]okreś]ontj.st§,prżcd/ia|e(
5.20
Znlidź nlj\!i!kszą a) /(,]
zdaiący
Pollafi
i nljmnicj sZą
(lt 5:
l
\t.rrośćiu. k.
b) /!.]
s plzedżiile donrklirtyD
Lwtrdfuloscj
310). N,lś^icuj lY}krcs funkcji
ii / ośiqloa.w plżcdżirle( ] l 4). c) ] ,) -'l 8 l
J iokreśljcj /biórs.rności.
jcśli
. wykorżynrs]ćslr:noi.in,nkcjikwJdl!(jRlJl]d]!ylr..u.loloz§j].Z!ślDlxżJdnlioplynrllizl.ylnych
5.21
Znńdż 1iczby d i17 Bied4c. źe sulra ]iczby d ipotrdonej licżby rjesl równa 3ó, a iloczyn ]iczb Dai\!i§ksży ż możlivycll.
:2ż
ZDłjdźu],ą tvinośćpJranetfun, aby naiwiększa uJnośćlunlcji /(,'
gllli./ilć
5.23
rol$ixj.y\rać nj$nJnir
ni.lnvn.ij L§łllJ(,§. l
i
=
ł i ł jcst
- |]+,Łr +,l byłr nrj lrniejlza z możljwych,
__]
]cLlną i.§iiLlomą
Korżyslając le spo.żądzonych obok \łykcsó\! funkcji /(J) =0.5,1+ l ] !(J] =0.5r] podaj
a) rozwiążłnil równani! 0,5J+ 1 =0.5J]i b) /oidl lUl\ ląl-n ąle ou 10.r i Ą.' l , l . ll,J l
_JJnym uNhl/ie $.pUlr/eon\.Il u)\j,^) luljkL, i ,,,, -. ] i na ich podstawi. okrcśl lic/bę pierwilnk(iw równa Dirr: =ł+3 oraz znlki tych picrwianków,
5,24 \l,/li-u] s orJZ
3(tr) = ! +
5,25i
Korzyśn].pz \łyklcsów iillkcji /(I)=2I
a,;3
Nn!7kicujwykes funk.jj /(r) =
-,_-
5/\l(u:! s)kl(.) oJ|o$'eo, !n lL,ll!
]Jr 5l+] -3,
!]
; r]
is(!)=\r ]
lozwiaź nierówność 0,5J'
5J+3]. KoPysra.jąc z vyklcsu
1.1o,
ór |ś2J]
. rol*lJ7y*ri /!d&lx tekjo§c
$i,/ niflUsro i
luDkcjii
J
1.5ś0
podJj roż§iąl
,'],+>2,
prołnd7{e do ró§,n!ń i njeó9 o].1kB.dralo§y.hżj.dnąDlcslldomą
5.28 w
łlaśiel]Ia ]iczba dżiewcżątjesl o.1więkśza od 1lc2by chlopców, Z ok!żji Dnja Kobiet każdy chłopiec kupil kwiatek kżdejkoleżince z k]asy, W sumie chłopcy knpi]i 22l kwiltkó*,Ilu ucżniów 1icży klaśaI]Ia?
5.29:
5,3i-!
ii
suma d\łóch kolejn}.b ]iczb nrlura]nych jest więk\za od 36. a śuma kwadfulóW lych licżbjest mniejsza od 8,łl Znljdź le licżby.
Wyznacz le Wlnościpaitmelru r,,tdla klórych równanie majedno To7t!iąlanie ,l t]+nr+rł_0: ]] (ż-2)r]+óJ+ l=0i ' (,ł-2)r:+(m 2)J+l=(),
FUNKCJA KWADBAfOWA
52
Znłjdźzbiórlych wańości paran]elru ł, dh klitrych
J:+(ł-3x- l=0|
dane róWnanie md dwtr różne
pieeiiśki
zAE
(ł+2)J]+4!+ l =0,
Dla jakich wlności parametru
,l rósnanie
n]2
,
6,t
-
l
=
0 m! co najmniej ]edno ro7wiaJanie]
0 w 7ależnościod wa ości pimndru P, r Przedysku(uj licżbę rozwiązań równaDia lI] + /x (Jwninil, nasżkicuj wykres tunkcji /. któru kazdej wdtości parametm / Prżyporza3kowujc 1iczbę ro7yiążlń lcgo
ni,tlpn
+ ().5 =
t9,!, i€
Nie ob]iczając pieluiaśtków równanin fr] 5J,6=0. oblicż iloczyn picrlviastków i€go równanial .umę ndu,ollU\ip.(ls l1. l\ou luJo nqrJnj",
,
,'
FuNR
,l92
sumę kwadratów pic.Biaslków tego równaniil
.L]Tl Ud{lolnosc, \VJd!JlU$ piślsll{kus Pln rnsnunlJ: . llnę pUlę! pler$l:\|NnI te!ni]snd1,.|,
'Vec,cl
wy/nicz
te
wańości paramet.u ltr..l]a klórych ńwnanje łr +r,J+ n
=
0 m! dwa
ńłle i,ieNłIiśkitakie.
że ich
iloczyn iest mniejszy od 6.
193
Dlx jak ich wartości p.tranetru d równanie 1:
D]a
+
8J
0 Ba
+ d + 2 =
jakich waltości parametru ł równanie (ł + l h]
+
f! -
l
=
dwa różDe pieNiastki j€dnakow)
ch 7ńaków?
0 ma dwa rozpia_Zmia prżecnl,nych /naków']
19l wyznacz le wadości parametru ,ł. d]a których równlDie }'+ ,lr nieujcmne. ujemnej
+
l"
+
; =0
ma
d\ł, różne pie^liałl l
przypożaJlkowującej krżdej wanościparrlttru ,,, dh której isinieią dwl;óżne pierwiaslki równania t]+żi+ń=0, iloczyn pieNiŃkólv le8o lównmia. Podai wzór i nasżkicui wykes funkdi
f
W}unacz le waności paramclru 7r. d]a których równ,lnic
r:+r.I+9=0
ma
dBł roz§iqzanir
mniejś7e od l,
19
Wyżnacz te wańości parametru d. dla których żbiorem tozwiążań ,]ierówności j es! zbiól liczb rzeczywiśtych
' dj]+4ft+. 3<0i
' :;+3J+.t 2>0i
DlJ j.},ich k. no.c: rfuJmcltu ( d/led/lr:l Iun^cIj
(|-l!]+r+0.25>0,
/l(,
jeSl,biór liczb rzeczywistych?
1!
. rozwiryw!ć
5.43
Rozwiąż a]gebraicznie
al
t.-,. -"i ' ' ",.1 l ] ]=0
ProwJd4cc do IósnJó kwadntowych i,oz-
algebniclnie ukiady ń§ńań ż dwiema
siływać !rnfic7nie irkie
krdy
uktady
z podanych ukladów róWnań, Ljklady a) i b) rożwjąż tałżc gruficznie.
rV=6
b) _ " _, l]Yr!=ł
c)
Jr'+r] 1r ia 2}+]=0
2r +a=0
1l
l Dlajakich waności parlmclru,, układ równań
mł '
,
jedno
rczwiązanjei
:]
dwarożwiąz|nia,
FUNKÓJA KWADFATÓWA
ZADANlA MATURALNE WŁASNOŚC| FUNKCJ| KWADRATOWEJ
191.
Funkcja / okeślonajest wzorem /(,r)=-3(I+ 3)(J 2). a} Wyzna€z te argumenty. dla kiórych funlcja f przyjnuje waltości nieujemne. b) Znajdź te arsumenly. dla których funkcja / prżyjmuje wańość 12. c) Podaj przedziały rnonotoniczności funkcji
'
1g2,
funkcji / jesi parabola o równaniu y=l a} Znajdź wspókzędne wierzchołka tej paraboli, b) okeślzbiór wańości funkcji c} Znajdż miejsca zerowe funkcji /,
Wyk€sem
20ł -
6,
i
1
93.
Funkcja / dana jest wzore rn f(x' = 1l - 4rs +31El . a) Znajdź wszystkie liczby całkowiie, dla którychfunkcja
b) Zdpl,/ \a/dr lunkcji /
w
po.uci iloc/ynowej,
c) wyznacz najwięk§żąi najmniejsząwaność funkcji
1
94.
R
wykes funkcji /(,r) funkcji 8.
=
-2r'
f
przyjmuje wartości uj€r,ie?
/osiąanąw
przedżiale (0i 5fi).
przesunięto o 8 jednostek w prawo i 2 jednostki do dofu, otrzymując wykres
a) okeślzbiór wafiości funtcji 8. b) określ prz€dziaty rnonotoniczności funkcji 8. c) zapisl w,/o, funkciis w posla., kdnonic/nej,
1
95.
1
96
!"l Przesuwając wykres funkcji / o 3 jednostki w lewo i sQ) =Ll' - 8l + 5 - Znaidż wzór funkcji l
ł
Wykes funkcji są liczby
1g7.
l
98.
-3 i
l,
/(:r)
=
3:r' przesunięto o wektor
Znajdź współrzędne wektora
i,
4 jednostki do góry. olrzymamy wykes funkcji
otrzymując wykes funkcji s. której
n
ejscanu zerowymi
'
Dane sąfunkcje /(x)=,Y2 zr+'7 i g(x)=żxz - lz!+ 16, a) sprawdź, czy dla argumentu 3 - 16 wartość funkcji f lub funkcji 8 j€st ticzbą calkowitą b) Znajdz te argunenty, dla których wartości funkcji / są większe od waności funkcji s. c) wyznacz równanie Fostej przechodzącej przez wierzchołki p.rabol będących wykresami funkcji
Funkcja / określona jest w :.§rcrn f(x) = x' ,6r + 4. a) Zapisz wzór funkcji / W postaci i.anonicrhej. b) Przez wierzchołek paraboli, będącej wykJesem funkcji Podaj równanie tej prostej.
i
c) znajdź te argumenty. dla których waności funkcji / naleą
/
i 8,
poprowadżono prosą równoległą do osi
oŁ
do przedziału (
4l 4),
FUNKOJA KWADRArawA
5]
199,
200.
Dlnc sl! 1unl,!,ic /(!)=,!' (,\,9 i .!(i),,\ +7, a) Znlidż le Ilgulncnty. (l]n Llól),ch wil(ośćlunkcii / j.\i |ięć t /y \rięk\/r lxl włIt()ści1unkcli !, b) Znlidź tc llgLllnenty. (tltt ttórych /luoMn funlc,ii /. jlk i lni}c]r.r prl),ji ią\lnościdoditDi., c) L;/a§Jdni]. /c dh ktżd.,i liclb),calkosjl!,],lJi./br/ł,)jcśLt§idlat.mlic/h}ca}ko\ll!,j.t\\adral.m ilkicj lic/b},nłfutaln.j j.\1 /(łr. i.ż.]i ,,= l]3-156]
l §)tretu linl.]ii /(!)=,.\ . r!,.. oll.il
Kor/lslaja_c
a' ( c)
b)
l|
d)
206.
l
/n!k ii./b)
]):
ł'
2o5.
2o7.
l)(,
O(lno§i.dź u7llstldnI],
201. Iilik(,i! idh lgunr.nll jl:s, \r}krescnr
5
|rl)]nnł,j
k\\lldr l(Jwej
\lll1ośc]] hnktil =( ].-ł)jc,t $i(r/cknki!.r
'il|},c]]inifirol(rriclności i 7b(n ivaŃ)(i lltnłcji a) oklcś] prle(t/iał), l] b) 7naidź posl.c łrnonic/nl \/oru linlkcli /,
littjllc od
c) Znljdź 1! 1,r!ul)lćn§, (l]l l(]r)ch lunlei. / 1]rl}ilnuic $]ńo;.!
2o2.
P.l|iboli. kk;t]
/,
]].
/(!)=a\]+r\-..obljc/\nllilou a(l . ZlPi\ujcnr} $,,(jrfunkcji / $ poślLlclIloczynow.i: /(t)=ł1l -])(1,3) . Kovy§ll!i! / /!pjśuliulkcii / §, |o\tllci ik)cl}lowci. orr/y,rjuicm]: /(6)..d(6 ])(ó 3)=]2łolU / (5) =d(5 ]x5 ])=&/, j 16) ]]d _ _, wicd/3s,źclic/b\]i]sinrj!,ilcJ,niżćto§\nlifuDtciik\Jdralosćj
15) ó! Wic(l/§, źe liclh} 3 i.l /
2o3, I-i./by 8 i l3
są
są nric]§camj /.t owynri ]i
ntici§crlnlizerc$}llri
nrlćź),do w}kle\ll lilnklji /, Zlrijdlicnl), § \p(j]clynnit i 4,b
. . . .
i. s
ll!,ii
kwadl.llowc i
i obljv i]d!, ;+
lurl. lks,,ll.]L,Ą\. /ll)=L/l]-/,l,]
Jpunkl 1'=( 3i l50)
nn.lqpuja!} \po
wl& fu nlcii / !v p{)\lrci il(rclyno\.:i: / (l) =dl l * §)( \ + ]_1): Pni.w.tż /(-])= l50. \iec d( 3 r,lt)( 3 l ]])- l5(): §lad otr/}n icnry 5(r/= l5(), c7yli ./,..3: /tlpl§uja! s,/(' innłcji /(\)=](r-s)(r,l])§ r,o.tlcio_9(illr!,i /(J)=3\],63ł- ]l], olrz]nrLlcnl} po/o§l.tłć §sp(jlcz]nniki: l,=ó] i . =]]], Wicdżąc. że ticlby 16 i-1 są mieiscanri 7ero$ynli funkcii łwxdralowej /(\)=4r]+łt -.. x pllllkl l'=(-6: l1)nlllc7} do !ł}kt.\u flr kcii /:\i,zn1.1\! opisany śpośób§\p(jłcl}nniki ./.}i.
20Ą.
l.tpisuj.Dr}
Funkc,i! / o],rćśkrntjen \\,nrslrpując} \p(^(jb:
a) Znajdź nl'.rcl ./eroŃc llnkcji b) Nisżk]cui wykrcs tnnkc]i i
c) Podł 7b(rr
tych wrrt()ści l unkcj
/(\).]-..
4
21
r,
/
i
/: kl(irc lr/},j mowtlne
sa_ d
l
2,|
t
/ech llguDrc nl(iw,
Łl4
<łADFltówl
&. ,l
Funkcja liniowa
55
/
okreś]o:la jest w ndJtępujący sposób|
i zapiśzw7ór innkcji
aE.l'/
/
./(,l)=l t+]
Uasadnij, ż! funkcja
J:rr
Zniidż licżbę f
_
l
dla kaźilego .lJgumcnlu
r€
(
!i +-) Pźyimuje w.ńość więks7.ąod 3
PUnk,4 = (2, -5) jcst punk€m wspólnym proslcj ł o równaniu 1,=,2t+/, iwykrcśu fi]nkcji kwaltralovej /, Punkl przecięci.] pro§tej łz prostą o równaniu l,= 3r+3jesl wierzchołkiem wykre§u funkcji /, Znajdż wzór funkcji/ i podaj eo w posla€i
2o8-,łl Naszkicui wyłres funkcji .f(a) wartoŚci parame|ru ln.
2o9. 210.
211.
-.
w poslaci /'{,r)=4r+b,
'(r)=2,i+ m7.
-""-
F
2'l2.
Nas,kicuj wykre§ funkcji
=
ogólncj,
l1?-4
|
zr. określlicżbę rozwiązań równania /(I)=r, w zależnościod
/1,1=lt!]!!:-ł i podaj jcj zbiór
Danłjestfunkcja/(t)=min(3.J:5,\+7).8dzic!nin(.,./,)oznacznniewięk§zą"hczba.b. a) oblicz wonośćfunkcji / d1,1argumen6w 0. 2 i 4, b) wyznacż zbiór waności funkcji.i ć) Dlal€ (-2:5) naszkicuj wykres funkdi/:
Dana jest funkcja /(-t) =}] - 3, Znajdź miej§ca żerowe funkcii s(,ł) = L/(,)], g{tzie Ia] oznacza największą liczbę ca}kowitąnic więk§zą od a.
Licżby
2 i 4 są miej§cami
zerowymi funkcji /(],)
a) wyaacż wspólczynniki. i r, b) z Pi.7 qzór funkcji r/ w pn§raci ilo{/ynowej
=
a/
+
rł+ ló,
c) wyk€s f'unłcji 8 otrzymano przesuwając wykrcs iunkcji do góry. wyznacz Zbiórwaności funkcii 8.
213.
/
o lrzy jcdnostki w prawo j dwic.iedno§tki
Punkty K={-3,,2) i 1-=(l, l8) należądo wykcsu funkcji /(\)=?+br+c.) wyznacz wspólczynniki l) i c. b) Znajdz pu.kty wspójn€ wykresu funkcji/ i proslcj o równaniu}=40.
c) F Podaj równanie
214.
wartości,
obok zami€szczony
pro§t€j
będącej osiąsymcirii wyke§u funkcji
'
zost^ł wykrc\
Ąnkcji /(,i)=l1,r]+ór+ć, a) b) ń zna.idź wsŃlczynniki a i ó. c) okr€śl przedzialy monotoniczności funkcji l d) wyżnacż ubiórwa(ości funkcii l F Znajdź współczynn'k c,
\
t,
FUNKCJA KWADRAIOWA
56
215.
d,].F ó,Y+ l nłmniejsza_ wartość przyjnluje dlł Jrlumentu 3. a ]iczba lvynr tcj funkcjj, Znajdź wżól finkcii
Funk.jł r(r)
=
a)
2
jś,inier\.cm
i
(ro-
l
b) znłjdźdnrgie miejs.c z.Iowc innkcji i c) lJT/ ,\/"l lUnkci, / k | ,,J \ l k.ln.l,:. /r,,
,
216.
obok |Ilc.lslauiony 7osttł wykrcs innłcji k$,ldrillowej /, a) Zniijdź wlór lunkc]j /] b) Wylnacz tc argunrenty, dla kl{nych lunlcja l prżr-iinuje §,artoś.idod!tnic,
217,
Funkcja l(I)=t]+r!+.jcstmalejącawprżcdliale( *l 3) i .osna.c.r W przedzial! (3l +-), piraboli będącej wyk.ćscm lilnkc_ii l nalcży do ptośtej o l(j$n niu ] =-1Y+2,
a) wy,nacż l]ajmniejś/ąwliośćtinkcii l b) znajdź wspókzędne punkl(jw Wspó]nych wykresu lunłcji / i osi |kładu \\spółr/adnych,
21a.
21g,
8 określone sąwzorami /(,\)=2l]+6i+. i r(l)= t]+},1,25. FuDkc it zerolve, laślunkcja śośi€r naiWię],.s7ąwłrtość dla argumentu 5, ' b) Ro,wią, ni.ń!nośćr(-j)-43(J)>0, a) ob]icl wśpóiczyDni],i l' i ., Funkcie
l i
nra
229.
jedno mlej,cr
ż30,
Funkcia / okleślonaie§t wzorcm l(\)= i]+2I+. a) wyżnacz le w3ńości\łspółczynnika .. dla któryc} §ykrcs i'unkcji lp,ccina ośox !v dwóch punktach, b) Wyznacz t. włftości\]spółczynn ika .]. dlx których nqnnicj§za wartość funkcii f ie§l rótvni 3, c) wy7nacz re \yatości współczynnika .], d]i których wicżchołek palaboli. będa.cći $ykreśem funkcii na]eży do parłbol] o równaniu
}=2rr
z32
21I
22o.
Wierzchoł.k
221-
Liczba
222.
timkcja kwadrabw! l(j) =ł,l] +ól ] nlljerlno rni.jsce żero\łe.Znlidź argument. dla któcgo funkcja
Z
pal
ibo]i. któm j,st wykLtsem innkcji i
/.
7.!+1,
fun
kcii l(r
) =
aJ]
+
9, naleźy do plostcl o
ńwnlniu}=3,
ajdź mic]sca Zero\\,e
jclt
więks7a ' od
iększą ]icżbą c,tłkowita,. itla którcj n,t]ntniejs,a v .irlośćfunkcji /(r) 3. Znaidź liczbę /,, najw
=
ir
+ l,,1
p.zyjmuje najwiękśżJ.waność,
r
2
jeś
/
Funkcja kwtdralowa] określona jest lvzorefu /(ł)=(3r? 5)ł' (2n 1)J+0.:5(3- 5), Wyznacz i! wrrtościpfametru fi€ R. dlaklórych najmnieiszł watość l nkcii / jest licubądodah]ą,
Znajdź Wsżystkie wartoścj,t. dla kt(irych lunkcja dodatnia. dla każ_dej ]iczby
rzeclywisi.j
L
l(r)=(,łr- l),;+2(n 1)ł+2 pr7yjmuic
$)/n:./s./\,l\lcc.,lnqi.. \\Jno\j /,JlJ llol).n i ma co n.ti!łrżej jedno lniejsce mniejśżąwa.lość
'""l',i"/,,,-i-l /elNc.
" ,],,,t
Wariość
Lo i,l.: r,,-
.JNK0JA KwADFAIawA ::
:, ,
wylnacż wszynkie wrn()ści parimcru ,l, dla którycb lunkcja / (ł) = 0ł] w pved7iale
(--l
l) i maleiąc.t w p.?edżi.llc (l] +-),
l
)rr - 2łrr - 4łl + 5 jcst rosnąca
wykaź,7]€ d]a dowollych lic7h rżec7ywist)ch a, }. . funkcia .)+(r .) (!-a) ma co n,,jmniejjedno miejsce,crowe. /(,\)=(] a)(r-r)+(r
')(r
]]:,
Wykż, ż.e icżcli lunkcje /(r)=,rr+/,i+ł i s(r)=,ł]+ą+l,. gd,ie i)*4,Inają
w§p(rlne miciscc Zclowe.lo
FóWNAN|A l NIERóWNoścl KWADRAToWE
22g,
Jednym z ro7wiażJń równania
rr
4r+c=0 jesl ]icjlb 2-ł5,
a) wyznac7współczynnik., b) /nJid/,],l.ai. lolu ial,ln1.Ieio lU$ ll!IllJ,
23o..
oblicż § sŃłc,ynniki ł i . !ńjlninnu
je§l |rzśdział( 2i 5).
23l.,
Znlljdź l€ warrcści współczynnika..
232.
R(iwnanie
picrwiaStek,
dll
rr
+
) =,\]
-.
\!icd7.rc. że zbiot cln roż§,jvali nicróNności tr+bI+.]<()
kt(jrych ró§,nania
\ -\+( =0 i ]- 5,!+6=0 mlją lvspó]ny
( l00r - 99)] - 6( l (n\ - 99) + 8 = 0 można rozrł ia.zać wprowadza]a,c niewiadomą pomocniczą 99, olrlymarny wówczas równulic 1-6l+ż(=n, Ru/wtą/JniJmi 1,1wnJni] ż nicwiadoma_l sa. lict.by l]=2 ola/.l != 4.7.alcm l00} 99=2lub1O0r 99=4.stądoll/ymujemy,r=1.0llub,r=1,03,
i=1()0r
w! Ior,ly.ltl |4 I,i,s } ż,,/ą mcn ęro/st.Vt,iknJn.c
a) (j6l+ l)] l7(36r+ l)=4,1i
c) (,r]+,1
5)r-3(i+I+
l)
R
Ir]+6t
lLr
. . .
19 |=
+
b)
(r] +.r - 7)]+ 6(,r]+,r- 7) +5 =0:
20=0,
l L mozenly rozwiązać w nrstępuj ący sposób:
korzysla]ąc Z własnościW rtości bezwż8lędnei: Cl =
b a la=b v
!1=-b). doslaj€my
ltjwnań: r]+6t- l9=r]_ l V i]+6f-l9=-(,rr-l); rożwiajuj.my oba równnnia: rozwiązlnićm picrwsżegojesl 3. zuśdru_giego -5 ż tem rozwiązaniani równJnił |i]+6r,19 =:r]-l są]iczby 5.2,3,
Ro7wią7 w ten słm sposa)b
fiiwnani€
Danc jest rórvnanic r]+ (łi+ l)!+ Uz.tsadnij.
3,,
2,t:
2
i];
-3l=]3)r-7,
=0
żc 3 n]e iesl roZwią7aniem
!ltcmrtyw§
Z
nicwildontął,
r3go ró,lnania dla żadnej w,rrtości parlmctru
,L
Dlajakich \lańości parametru łI równanic ma dwn r(iżnc rozwiąlJni:l nalcżllic do zbioru R\
okrcśllicz}ę picrwinslków rdwnania (ł1- l ) t:
(ł+l)r 0,5 = 0
{ ] ]j
w 7ależności od wlltości parlmetru
'
ł,
FUNKoJA K'tJADa:-:..,.
':]]':.
Dinc jcst lówDanić (lł--1)rż +nJlr+łr'+łr..t-O z
gd,ie.l(ż) oznacza ]icżbę pi€Nia§tków
danego równinia
Znajdź tc w.tiości palametru d. dla których róvnanic
(2 0.5l)(2r d)-0,na
dwa rozwią7anił fuk,c, żc
tviększc z lichje§t n]niojsZ. od 5
'Wy^aczliczbęrouwjazańrównania]-|:=3J+l=łwżl]cźnościodwarlościpłrimctruł,
Dlaiakich Wartoścjparilnerru ,l róWnanie
24o.
|i] 9
+]-r: 16l=n
ma dokładnic dwa różne pjerwlastki]
Wykaż. żc dladowolnych liczb rżcczywistych d, ó.. równani€ J] + (n jcdno roż§iązanie, Kiedy .(nvnłnic rni dokład]lic jcdno IoZwiązanie']
+ ó).ł +
dl,
- .]
=
0
lna co najmniej
wykdż. źe jeżeli nięd7y wspa)tcżynnikami trĄmianóW J'+1r'r+4 i ł]+łrr+ł/tchodzi związek nP=2(n+q},.oPt4la]mniej jedno Z rńvnań r],lp,!+,?=0 i r]+łlr+ł=(] ma rozwiązanie,
wzory Vióle'a Nie obliczając pierwia§tków równania
Li./hy P i ą
sa.
l:,
5.r
pierwiastkami równania ): +
, ob]icż wariośćwyrażenia Danc icst ró\łnanie
-
3 = 0, oblicz sumę od!łrotnościczwtftych potęg jego
20,Y
t9 = 0, Nie obliczając pieNiastków tego równania.
L-.L, l+] 4+] '
PŻ+qŻ+ż(p.l+P+ą|
ą Ą !|-9
|+l
ą+]
r]-(7,1 1\+ i -7k:+12=0z niewiadonąi. wyznncż te wirtości palametru n. dla
których iloczyn lóżnych ticrwiastków danogo równaniajest równy połowie sumy tych pieNiastLów,
Dlajakich wańościpararnetru,l równanic
\: nd+ 1,2n,+l=o
ma dwa róźne pieMiasiki
rlecżysl-
s!e, których sumajest ojcden W]eksza od ich iloczynu']
D]aiakich wanościparamelru d równanie 2dJ] - (l ]iczbą, p.żcdżiału(,l : l)?
+ 2),ł
+ l =
0
ma dwa pierwiislki, których sUmJje\t
Danejestrównan]e(2rl+l)ł]-(,"+3).+!,l+]=0żnicwiadomą,t,wy^,lcżtewarlościpalamelruż,, dla kt{ilych sunra odwfotności lóżnych pleNiaslków danego równaniajest większ.t od l, Wyznacz tc warlości parametru ł. d]a knirycb równanie ł] +,r,l+-łź= 0 ma lakie dwa pierwiastki, że §uma ich kwadraiówjest lniiejśza od l5.
F U N K C,J
A
kf r'/1 l ) l: A ra
WA
59
DiJ llli.]) \\uLoi(] ])ili r].llu ,r ](]\l..lllj. l1.1l1l].]:
r.,l.,]!.i1l:
lr].
]:.
l
lj./i\
l, ] l, .
]
dll ll.,j] !
,.
].: .li,ic]]
l]
(ll.t
.,,Ji(, ,Ir(nl
'
llr.]
l(i\\r],l.r.
l
=l)
]]i. ,].l\Llinl
knn\.h i(]/ r. pr.l
\rlh l]trr. L \l]ri!
Ll] 7'r]l!tL
l)
r|].L
.l
l
1..!:o
t
i
ł l\|L]lłr].
l§.t]I.11(n1 ].n
|].L
U
]
],
l]]..rlj(, ./.:
\.|ll(]]Jli.llllir]||LL'rl{n\l!,llf
l)1.1jlLl.ich §l|1oścj lrllrul.i
]l1\\
1 ,(]
'.
]f,i
l],l
|
(lt
il
ł/ ])\ -(5
l] ]N] lrki. (i(li
|rlL !.
\] ]l (r ]
l). !d,'r., \
j.,i
i.
0 n].]l|lltilt
rl].s jr(knlItt,
],i/r. Itr\ li
l].]1\::,.il.r :t]ż]l\.l] /niti(]l l
,,)r
ń =() J]l.L
(t§r lt)/n.
li.]\!l.tli, j.d|.L[,N).i]
.l,!
() !|r l)]ko ui.nrI}.
lolwilyrIii]
r), ,]-]-(]
|L.L|o1]lll]]!L
l)|ll..iLtillllc](j /1i) ]l:- ,: łl j qh1.1li] ],]i+:] l)li l.|kich lv.iroścj l1l|ll]l1.1lU,J \\i,l.\! .i/, !:)I/..]l['l ,.\d\L].},|1.1]L(lc]l,il(]l.h(xl.i.l.!rr]]l(1/../.,łL]
I
i
--t
/DL:
i/) ] 1i nri (i\ ll (ittl]|Ll]i. i]l.J{ Irnll
]l]
łr(jwllrnil (( ]]\ (ł r |)! l
\\\/]r,l.żiJs.d )i.,|.xilrrl.,i|Ll,1.LL|.l\l(il\.l]]\\tl!łlJ,lj t].d.i1||. ro/\ ii/l!r].
W\/lll./
l] ,]]:.:tl/l]...]\]iJ.].i \ ],..D.i|.Lj,rc.
(łl .r]
ł/. (ilx Ll(ł]c]t llj!nlnri.
1]].l.],l1,1.:r
tl]\ l]i]Jl,.l .\(
\!il1,1[r \ . ]. l(n!nr|].t
Dl.t],]i,jri\.Lii]]Ji|.,.,],.]llL it]]ln\j],|]i.
u
]]i.l\ irnLi l/L]c/."\!r\1. ]
1§].d\ l ]\]..] \l.,]\,,](j\ ltnt|.l.i. \ ]li. ł l) f],l c§ _ /.l1... \. ł' ,; l,," ,.] /l,nn n
Ia]:.r l).lrJril"t] łl :Li\\i.l]li. ll1\
Il1lJ!t.l
,
'
i.
]t,]\
l)l.t ilich \,Lln)ścjll. in]L!jlL / |]n^l! l ,r ,/) I)r,,.(]x!t/i llj,.c/ lrlinkl P (]].()) ] pl7..]rl.] 1],r.nol: \ l ] -] \\ dil].!l|.|1,1,1.hl)(L(nll:Ll)r:iro|.i.l\.h'
FUNKCJA KWADBA|OWA
6a
Równanic 2i] + ó-t + 5 = 0 fua dwi .ówny ó, Znlidź lvspóiczynnik /,,
dołrhie pierwiastti, Kwadnt .óżnicy pi.rwiasrków
Mieisca ,.r(Ne funkcji l(J)=]r]+ri+21
są
!!!
tcgo równania je§i
liczbami całkowjlymi ujemnymi. Znajdź u,spólczynnik
/r,
27A
Wy/ lcz
le wańości pal,ametru ,l. dl.t których równanie r: - łl ]r + ] ,25
=
0 ma cztery ro7wi3.zanln,
nielówności kwadlatoWe z palametrem Znqdź rc rvarlości pfiamclru ,l, dli kló.ych Iic7b!
i+
(,,]+3)J'" 6,1r.- i8r1+44
>
2 ni.
niicży do lbioru .ożWiv.Lń nicrówlości
wyżn.cz lc w.rrtości paranelrLt łl. dla kiór}ch nier(jwność {,l]+5,? dżiY,:t dla każdero
27!
0.
l€ R
6); ](,, l)i+3>0
iest prx!ł,
27l
u),...c/lcs:,l,,.,,|p,|.1l1elll/,,c,J.
,-,,hli,1," 1,,i ,/l ',, -|t. :-
Dlnjakrch wafościpłra,nel.u,?Y,!ńofui funkcji r mni.jsżc od odpowicdnich Warlości tunkcj i 3(r]
Dlajakich wxltościFrametru,l lunkcix /(,!)
wylnłcż wslyslkic wariości i.
"
l
/(t)=(]i,-1]i]ł0,, l]i*.]łl są dlll kaźdego argumenlu ( I
- /,
LIr
|
=
)r +
3
?
(,ł-2)r+a 2D !]li] ]
d]a klórych nicr(jwność(,,]-
rłi*,:. łlt,, ł,a",r"
l)]]+20ł l)l-]>0
},ażdego,ł € R,
ic\t pra$dziwa dla
ZADANlA Z KONTEKSTEM FEALlSTYCZNYM
271,
W wyniku pżeprowad/onych w p.wnym mieście anali7 rynkowych skoDsiluowano d§ie Iunkcje określi Jące mieśięczne zapotr7ebowlnic Ą,nku r,,olĄł na szynkę (v,tonach) ora7 wielkośćniesięc7nycb doslaw (/,.1d:) szynki na lcn r}nck (w lonach): poplt(t)=o,01t,1 2.4t+31. pda:k,) =0_0]r:: + 0.15l * l. gdzić
.]
cćna sżynki w 1ł ża ks
i ce
oblicl prż),iakicj ceni€ sżynki c. d t6| oinsi);
(5|r5),
a) podż będz]c rówltowazyć popyr{|7.\!. b) nidwyżka podaży nad popyten}będzie pl7ekl!c7rć l1
272.
1()n
micsięcznic,
W iLlrnie.ju szacholvynl. w k!órym kżdy sż:rchisla rozegrałjedną patię ków. roze3mno 66 pańii. llu złwodnikó\, brało ndział w iun]eju?
7
|ażdym z Nzostałych zawodni
2T,
FUNKCJA KWADFIIOWA
273.
W 2000 roku pan Kow!]ski wpłacił na rachunek bankowy kwotę 1000 żł-Po Sześciu miesiąćach ponownle wpłacjt na ten mchunek 1000 zł. a po uplywie kolejnych sześciumiesięcy podjął cnłą kwotę, kluJ wlaz z odsetkami wyniosła 23]0 żł,oblic,, jakie było oprocentownnie tego rachunku w ska]i roku wicdząc, Ze nie ulesało ono zmianie. a bank kapitali7ował odsetki co §ześć ,niesięcy (W 2000 roku nie było podatku od odsetek bl]nkowych).
274- w
1995 roku pan Nolvak wpłacił 10000 7l na dwulehią lokxtę z roczną kapil,llizacją odselek, Po roku
bank obniżył .oćzną slopę procentową
o
dwa punkty procentowe. Pi) dwóch latach pm
Nowak wypłaciłcalą kwotę, klórł wraz ż od,ietkani wyniosła 16 640 zł, obiicż, jakje było oprocentowa nie lokaty w picl,.,vszym roku, ajakic W drugim (w lalach dżicwięćdziesiątych nie było podatku o{t odsetek bankowych)-
275. w
pewnej zabiwie towarzyskiei każdi dzicwczyna biorąca udżial w tą zabawic zadaje dwx pytania każdemu chłopcu uczestniczącemu w zabawie, a każdy chłopiec Zadajejedno pytani€ każdej dziewcżynie (dziewczyny dziewc,ynom i chłopcy chłopcom nie zadają pylań). w zabawie, w której brnło udżiał 15 osób. padło 108 pytań. oblicz i]e dziewc4t brało udział w żabawic,jeże]i wia{tonro, że było ich więcei niż chłopców,
276-
sklep zakupił za 81ó0 zł pewną ilośó cuk.u, Gdy cukier potaniał o 4 gr na kilogramie, to za tę samąkwotę żakqpiono o 80 kg cukn więcej, lle kg i po.jakiej cenie za kg kupiono cukier za pierwszyrn rr"€m?
277,
Po Zmodernizowaniu linii kolejowej przeciętna prędkośó pociagóW ekspresowych kur§ujących
27a
Dwolh hokeistów ]igi NHL w jednym s€zonie zdobyło w sumie l00 bramek. Kluby obu zawodników za kżdą żdobytą bramkę wyplacały hokeistom z góry ustaloną premię, Po sezonie okaza]o się, że obaj
na 400_ki]ometrowej lraśicwzlosła o 20 knr/godz, a czas podróży skócił się o godzinę, ob]icz, ,jakąprze_ ciętnąprędkością j€żdźąobecnie poci€i ekspresowe na tej trasie,
zawodnicy otrzymali za strzelone bramki równe kwoty. Gdyby pierwszy hokeista zdobył tyle b.amek jle drugi, 1() otrzymałby 72 tys, §, zaśgdyby drugi stfze]ił tyle bra.nek ile pierwszy. to otrzymałby 32 1ys, §, ob]icz, i]e bBmek zdobył każdy z nićh ijakabyła wysokośćpremii w obu k]ubach za skzelenje branki,
ZADANlA OPTYMALlZACYJNE 279.
suma dwóch liczb równaje§t 6, znajdź te liczby, jeś]i Wiadomo. że Suma Podwojonego kwadTalu jednej
ż nich i kwadratu drugi€jje§t
280.
Dane sąfunkcje
najnniejsza z możliwych,
/(r=2r-4 i s(r=ł+1.
a) oblicz iloczyn Waności funkcji / i s przyjmowanych dla argumentu j (l + Ó). b) Zndid' rali lr8umen. l. db} lloc7yn wJn,li\,i prl}Jmosdn}ch Jll lego argumenlu p7
281.
l-
,/
mo/llw}.h. oblic/ len iloc,/yn,
supermarket Sprzedającjabtka w cenie 3 zł za kilogram, dziennie sprzedawał 400 kg. Zauwazono. że prż} obniźce ceny o każde 10 gr sprzedaź rośnieo l00 kg, superm.rket kupuje jablka od §adowniła po 1,20 zi za kg, a inne koszty (magazynowanie. utrzymanje stoiska, itp.) przypądajase na l kgjabłek wynosza.20 gr, Przy j.rkiej ceniejabłek dzienn,t §przedaż przyniesie naiwiększy Zysk']
FUNKCJA KWADRATaWA
'-'12.
Znajdż(ęwartośćparan}etrurl.d]aktórejiioczynpierwiastkówrównania,v'-2,,-*+,,]
4,1+l=0jest
294-
]/l 6ł 2=0
295.
najnniejszy,
Wyznacz tę wmośćpalanetru ł. dla której sumi kw dratów picr§,jastków równanja J:
+
2łY +
jest niiwiększ! Z nożliwych, U W A G
A,
lnnc
/MJnlr opl}Dłl]. cyj . nr|duj.r,i9 B
'.(il
i,//
],\]ty[j\ n)/d/iłlc Złł,Jia o])t\ uliak\jln"
296.
ZADANlA RÓŻNE
.
Dhjakich warlości parnmetu ,,' funkcia /(:t)=(n
j.dnojcst mniejs,e od
1. a
drugie większe od l ]
Dlajakichwatościparamelrurlrównanie.!: §te nmiejsze od ]?
Dlrjłkich wanościparametru
l(jwnanie
tn
a)rr,a,r+ 3
(2łl l x + łrl] , 4 = 0
ma dw.l micjsca żerowe. z których
ma dwa różne pićr$,i.]s!ki r7.cżywi-
łLł+2x+m,2=0 lna dwa pierwiaslki
wyżnlcz te watościparametru ł, dla klórych róWnanie
(ł+l)ar 2i ił,t=0
firniej sze
od l?
ml.twa różne rolwiąza-
nia należące do przcdziału (0: 2).
Dlajakich wariości pxrametru .l żbiór tozwiązań nierównoścj ij wjązań nicrówności d,t: -
(3.ż +
1
)j! + 3 >
3r,2<()
Je\t żnwłrly w 7biorle roz-
0?
::]i. czylniki. knirych sumajest ńwna 3l,
2a9.
Liczbę ]68 rozlóż
290.
Znajdź wspókzędne wszy§tkich punktów nlrleżących Jo $)Ire§U rL]nk(jl najest o 5 większt od odciętcj.
291.,
Funkcja/(I)=J:+r,r+. majcdno miejscc żerowe, Do wykrcsu funkcj i l nalcży punkt ży punkt B = ( l . 4). Znajdź punkt przccięcia wykrcsu funkcj i l l osią rzędnych.
292.
]
293.
na lakie dwa
3|
l(i
)= \:
-
ł\ + l1.i'l,1rych rzęd
A = (4. 1) i nie nalc
Do wykesu funkc ii kwadratowej i którym jest pJrabola o Wierzchołku W = (2, 1), n.rieży punktA=(4,9), olrzymano wykres f'unkcji g. Znajdź Wzór lunkcji s wiePrzc§uwa.jąc wykr€s funkcjj / wżdłużosi dza!, że jcj wykres przecina ośoyw punkcie B= (0. 5]) i odcięta wicrżchołkajej \Yykresu jcst u]emna,
oX
Funkcjal okeślonaj€st wzorcm l'J)= aI'+ br+ L Znajdź współclynniki Iicżby rzeclylviŃej a żachodzi równość/(,ł-2) =/(j), aJ - 2,
d i b wiedża3, źe d]a każdej
'-
1
ĘUNKCJA KWADBATOWA
294,
R
295.
R
296.
B
Liczba lrjest najłmiejszą]iczbą dla której miejscem zerowym funkcji kwadralowej
f(x)=(a+2)\'+(aŻ +4a+5)x+la+6 ]esl liclba
2.
Znajdz drugie miejscc zerowe funkcji /:
Znajdź taką liczbę rzeczywi§lą d, dla któr€j funkcja kwadratowa /(r) największą\łar(ośćprzyjrnuje dla gumenlu 2.
. .
kldd
rorrnan
.
' +) - J)
r+l=)
wprowadżamy do układu niewiadome pomocnicze 1=J+}
j{l',
1,' -
J5
l/.,,
kldrego ro,,wlą,,anleln Je,t PdJd lic.,b
odpowiedź otrzymujemy rozwiązuJąc uklad
rd\Ą
wprowadzając niewiadomc pomocnicze i=a+), . I.1 =ls
lf +, +,-+ r'=42
i
nań
i
.
3o2-
3o3.
30.}.
+))Ż -
3j)]:
l5. ól:
{'+',=5, (r,]]=(2,], lub
(,Y.
|rl =6
,=,!,.
))=(3.2).
rozwił układ równali
b)l
l2(,+1)'+,-}+o'+]0=0 równania
była równa odwrotności drugiego pierwiastka.
301
1ą + 5)x + 1a + 6
J=.\f': otrzynujemy układ równań
298, r,r Znajdź lakie warrościparitmetru r,, aby polowajednego pi€rwias&a
\T
+
momr lozuiq/Jc w nd,tępuJdc} .posob:
prżekształcąmywyrźeniełr+yr:;r3+yr=lr+y)(:!'ł+}') = (i+})t(r
l,=s
30o.
2)ł + ful
Funkcja / okr€ślonajest wzor€m l(r)=(d +2); + b'+4a+5)\ +4a+ 6. Znajdź taką]icżbę 4, aby wartość funkcji /przyjnowanadla argumentu 2 była najmnicjsza,
2g7. l
29g,
= (a +
okeślliczbę rozwialań równania |Jr 2t-3|=a
(n Ął-h-l)x+m=3
w żależnościod waności parametru a,
Podaj wszystkie wartoś€i paranetru ,ll, dla których równanie datnie fozwiązania,
]:r'
- 6j
+ 5] +
ii -
2 = 0 Ina
okeś], w zaleźnościod wrności prłrmetru łI, liczbę pierwiaśków równani3 |r'przedziafu (-ż: 2|.
Wyznacz te wałościparametru ,ri, dla których równ ańe ,rl i -r, spełniające warunek r| .r, +x, ,rj +r, .x. =2,
Dlajakich wdlości pararnetru ł równanie
-]'2
ł - @ - 3)x + n,
+(k-zrl-k'+6k-8=0
ków i suma tych pierwiasików nie należy do przedziału ( l+; l+)?
wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykes funkcji ńwalnia ł,nt+n' 2n+1=O
ltń=i
+r3,
1=
dokładnie dwa do_
ł1=. 61.ą"r"1,,
0
6o
ma dwa rozwiążania
ma dwa pierwiastki lóżnych zna,
8dzie x| i a] §ą ńżnymi pierwiastkami
Y
l
FUNKCJA KWADRATOWA
6.W
I;unkcia kwadratowa 8 na dwa miejsc! żerowe. lclr i]oczyn Jest .ó{,ny 2, a sutna ich sżeścianó$rrnvnJ pro§tej. kt(;.aj.\l osiąsymctrii Wykresu funkcji ś,
jeś95. Znajdź ńvninie
U^sadnł, źe dla każdej liczb} całkowilej ,, ńwnanie.r]+
(n-
1),r
- 2,1- 6=0 na
1y]ko całkolvite pier
wiaslk],
czĘs(
RóWNoś
Wykes funkcji ]iniowej / prżechodziprzcż punkt , lnJd,7$/,{ Iunk(il / bol{.jn^VnJniU \
A
=( 1.3)in
{tokładniejeden punkr li,spóiny z pJr,]-
FEszTA wyznacz ./(n=
te
wartości parametru2. d]aktórych liczba 5 naleźy do dziedziny
[o.'p
lx-,,,
flnkcii
p+r.
Dla jakich warrości paramelru k dzied7ina_ funkcji /(,t) =
Wyżnacz wszystkie wańości plrametru
/\,, ,2lłl Jtrl 5l1] ='.':,
)l
+
IeJ
]Lłt ]l
(l i)J:
2Ll+]],\-l+1 je( zbltl
,ł€ R. dla klórych dzicdziną ]nnkcji i /biol ll(/b l^./\s ,l}ch
]iczb
twlEFD,
określonej $,{Cm
J.śli
Jcśl
D]ajakich Wartości palamctru do 7bior rozwiążxli nierówności \2+(a+2)x a
określlicżbę pierwialtków róWnanii a nasiępnic n3szkicuj wykres funkcji
|, ,, -',Ą. l||l)
|' .,
(ż+l);+(,l+1),r+l=0
,,ll _t,n", ,Jn, nlrm,,ou
w zależlościodwańości p,trlmetn,r
ł.
zll!ący
,r'lrj\,,,l\j,|,,,
!,\"ar.lovlJnlęml,edPrplę,tt,|,lL0
6.1
8dydłncń{n.nienicn!pierwi!śtr(ju,
Wyznacz lvsżystkie calkowite wartości pnr:rmeiru ł. d]a których funkcjn dwa miejsca że.owe i ich ilocżyn liczbttcałkowitlr
l6)=
(ł 2),r]-(ł+i}{-łna
jozsjąlan Znajdź wszy§tkie wartości parłmelru /r. dla których Zbióf (1.+*) Zawiera §ię s,żbiorze nierówności lr
zADA
łr+ n
tż"Ń 6.2
>0.
Zbadaj lic,bę rozwia_zań n wnanja
2ll l
,t
=
4 w zaleźnościod lvańości płrametru a
6.3
6. WlELoMlANY
CZĘŚĆ TEORETYCZNA FÓWNOŚĆ
+
WlELOMlANÓW
Dwa wic]omilny sąlówne wlcdy ilylko \!tedy, gdy są tego sańtgo śropniai ńają lółne łśŃIćzy.nikiPż) odpowied nich potęgach /miennej.
BEszTA z ozlELENlA WlELoMlANU PRzEz DWUMlAN
Bcvla/ J,'dcnilqicl,,mjJllu WlU p|/c/J{umj1,
J
d je\trółna ly(.r,
PlERWASTEK WELoMlANU
a
Liczbęa nlzywlny picrwiistkiem wic]onrianu }y(J) vtedy ityll,o wlcdy. gdy ił/k) _0
TWEROZENlE BŚZOUT
Wjelomianry(r)jc§tpodzielnyprżśzdivumianJ-4\ltedyitllkowtedy,gdyliczbaajcslpie,iJstkieńłićbńiMuW(r, WYtl/tlEFNE PlERWAsTXl WlELoMlANU o WsPóŁczYNNlKAcH
cALKoWTYcH
\iech
.
a,. a,,_ . ,,., a]. a]. ao będąliclbani ca]kownymi i ł,,+0, Jćśli(iwnanieu,,]'+a,, rr'' |+,.,+d]r:+djf+Zą]=o nra picNiaslek całkowity., to.jcn dziclnikicn wyllzu woln godtr,
JeśliróWnaóie,,,."+u,,,_1
j+,,,+,.,:+/]i+.n=0
r,9ac ł lcst ulanrkiem
miplcl\tr§l.k\,;nrem,
nyń.10])ićst dżielnitień wyrażu wolnego d0. żdśqjest dzielnikieD wspóicżyDniki
nieskrrca!
a,,,
ZADANIA WPROWADZAJĄCE
6.1
Czy Wyrrenie W(,) jest wielomianem? JeśliW(r) jest wielomiNncm.lo okrcśljcso slopicń
a)
W(r)=3ł-5i
b) ty(ł) =
l) W(j)=21J 1)(r 3)(r
6.2
e
,,]
5)r]
c) W(J)=
aĘ.
a) ; P(J)=J1-4J.
o(J) =i(1- 2)(1+
2)
i
l). o(-t)=3łr+2tr lłl
Znajdź w§półcżynniki b. .
, ./
d)
g) W(r)=ł],(r+ l)+_t'(]
Rozstrzygnij. cży wielomiany P(x) i o(J) sąrówne
c) P(:i)=}r+2t€+t-
6.3
ł]:
wjedżąc, że wielomiiny
W(x)-l0rlo+5:;+tl e)
- t ł:)
b) P9)-iJ+Jr+
=rr
+
l,J]
+
Wyznacz paitmetry a, r. ć tik. aby wie]omiany P(ł) i 0(ł) były równc
] P(,)=2l]+a,l+5t+r+.
i
o(_t)=(r- 3)Jl +a,]+(2a+.)J+4]
-) P(:i)=łrr-4a]+5ł-2 i o(})=(J ,)r(i .),
h) W(ł)=(łr+j+1)',
d) P(J)=il+J]
W( |)
ćr
W(J)=(]tx+0,1)Ji
+
l, o(J)=x'+Jr+ 1i , 1. o(J) = (i+ 1)(,r- 1)], d
i
o(r)
=
(ł+ 2):(J
+
1)
są równe.
T
WEL(
:9elrsi;1-liili."l 5.5
sprawdź. tr&a
-yr",t,,y,, |*,,,,rl"",
*,"l,,,,,.,,,,,
l liczb l,(). 1.2 jcn picnvirnłi.nr wjclonri.tnu }y(\).jeśli c) 1ł( 9= tb' 1l,+r:_4J+4, b) Iy(r)=( l:- _rt+])]"i
ZDljdżwspóIc7yllnikłwick)lniJnu!y(r-.l'2rr iji.l2Niedląc,żc3jcstje8opicrwinslkienl, 6.7
I-ic
lby
-2 i l
są
lierwiaśtktmi wiebmilnu
W(I)
=
t] +,t'. .l
]
+
dr
+
ł Wyżnacl wspancżynnili l/ i.,
zAE
316. Wylonaj dziclcnie wiclo!]innu ly(ł) prl.1 9ieloniun P(])
. ry(l)=,l] l0t-21, P(!)=J 7:
, l|z(r)=?.r',4l: 7t
l().
.:;
P(I)=I+2|
W(r)=t'+,łi]-7! l0, P(l)=r-2i ry(|)=ar 5ł+4. 1łt)=r+l
317-
'
-
Nic wykonuiąc dziclcni.l. żbldaj, czy wiclonrian x'(r) jcślpodżielny ' u(J) = r'- 2l1+i]-]l:+ rr 2. P(t)=r-2:
Pt 1e7
wiclomiln P(}), jcśli
t(l)=ri +r'',z. ptr)=r+l.
Znajdź w\p.rłclynnik ó wicdląc. że sick,Di!D W(\)=
Znujdź wielunian W(ł), jeżeli W(l)jcst podlielny prż.1 dvumixn
P(r)=2t],+]\,l w §yniłu d/i.lenix \!i.Iominnu i resztęł(r)=],
'
.l'( r) =
\
}y(1) przez
l.
a
\'+'\:+6\+4 ].st
podżic liy przcz dwumirn I+ 2,
§ynikicm dzielenia W(J) plżćl P(,l)jest wićlonriln
9i.lonlirD P(r)=3.|+5 otrzyńu].tn} iloral
Nie wykon{ § dzie]enir. łylntcz reśllęl dlielenia W(J)=]1+ 2\1+ 3r-4 iP(r)=!-1: ] W(J)=J6+ 3J'+ 3,r+a i /'(J)=a+3,
w
o( \) =,l'+ f,,
ick)n|ianu I{ r) P,zez Nick,Diln P(1),
32o przez wielomian
Pjjlli _ wymieme, Podq te pieflviaslli.
są
321
32,
Wiclomian }ł(r)=tr+D,t'ł
Wiclomian
319
j.śli
Znajdź wsPólcj/ynnik. wicdlli. że r.szla Z dż;elenil widlomianu iy(,t)=ar+2r:+clt:-7t+5 1'(r) =J+ l jesl równa 5]
zdający
318.
iv( r) =
2i+ r\'+ rr]+rlt+
5, gdzic ó, c, r/
liczbami catkownym i ujclDn} §ri, Podlj
1c
/
są Iic7bllri całko$ilyNi. nu dwa ){żne pierwiłslli
sł liczbnini.dkowilymi,,nn
picrłitlnki,
dwa.óżnc Picrwiastki. kkirc
6,16n wielon
al
w(J)
=
3rJ + óJ'+ .x]
wiistki wymiemc, Podri
a,l;],
Wi€]omian
tc
+
dI + 1. gdzie ó,
pierlvia§ki.
W(J) =,lJr + }Jj + .J]
] d.+
15.
gdzie
.,l
są iiczbami calkowitymi. lna dwa.óżne dodahie pier
/',..lsąlicżbami calkowitymi,
należący do przedzialu (-3i-2). Podaj tcn pieNjaslek,
ma łymierny pienviaśek
ZADANlA MATUHALNE DzlAŁANlA NA WlELoMlANAcH. PlEBWlAsTKl WELoMlANu
316.
wielomian W(I) jesl surną wi€lomianów
3 i o(,r)= J+:i+s;i a) okeślstopień Wielomianów P(.I) i W(a), PL!)=:16 -:!5 _3,tr+ 2ł] - 5:r+
2l]
3.--1l,
b) ł Znaidź wszyslke wymieme pierwiaslki wielomianu W(J),
i
Dane sąwielomiany P(l)=5,r-4, o(ł)=6ł+5 s(r)=3a]+1t+ 1, Wielomjan y(,t) JeSt ilocrynem wielomianów P(:l) i o(,u. a wielomian W(ł) jesi itoczynem wieiomianów P(j). o(,v) i s(,r),
317.
a) r Wyznacz wszys*ie licżby a spełniające nierówność V(d)>0. b) l.'Wyznacz wszyslkie liczby r. dla których achodzi ń§ność ił'(]r) = V(D),
i
S(r)=-3ł'+3ł 3, Wielonian W(ł) jest równy §umle Dane sąwiclomiany P(r) =-tr 3. o(J)=2r-5 i i ilocżynu wielomianów P(,t) wie]omi,lnir s(r) o(jr). a) Zapi§z Wielomian W(]r)jako iloczyn trzecb wielonianów pierwszego stopni!,
318,
b)
,{
jen żbioren rozwiązań nierówności Pcr)
postacj surnyprz€dzia}ów
zbióra\A,
319.
.
Dany jest wie]omian
32o.
il
Rożłóżna czynniki liniowe wielomian
321,.,
322-
<
0, zaśa zbiorem rozwiązań nierówności s(,r)
<
0.
Zapisz w
W(:Y) =r'+ t0x'-90-. 8ta) Rozlóż wielomidn W(ł) naczynniki ]iniowe, b) Uzasadnij, że dla liczb Większych od fi wielomian W(l) przyjmuje do&tnie waności,
W(I)=(l+a,
l):
16 i podaj
jego pierwia§tkl.
wyznacz współczynniki wielomianu P(x)= a.+b y]iedząc, ż^.il<ĘzY| wielomianów P(]r) jest wielomianem
W(r)=3,r 2.],żt+
D3n} lesl wlelomllrn
i Q@=ł 2:+2
8.
ly(\)=r 5\-+J]- l)
a) Uzasadnij. że wielomian W(l) n1ł tylkojeden pienviastek. b) sprawdź, czy liczba lłl(2-Ja) je§i całkowita.
Podlj Wszystkie ]iczby catkowite należąćc do prżedżiału(t; b). gdzie .ównania
4.]rr
a jest najmnjej§zyn picrwia§,k]em
=49I, a ójest największym pierwia§tkien rórvnania rr +33 =3r'+ 11:,
6E
,'łlEL
324.
Jcdn}n z pieNiaslka)w wie]onianu W(J)=J]-rJ],3.l }łtt) wied/ąc. 7e iy(-2)=-5,
325.
TwieIdzenie, J.ji; .tl. J]. J. lón r,,k§ lklu i r.iwknful,J+ri],.f l) ł]+-Y:-Ir= }. 2) łlr:+r:r;+ t.rl= c. 3) rlt:łl= -rl, wiedu ąc. ze l{wnanie Jl 9rł4 = 0 ma łzy picrwiaśtki vec7rwi§te.
i.
je§t 3, żnxjdźpolosiate pieNvia§iki wielonrianu
+/=0. ł)
a) oblicz sulnę jego piertvia§kóW: b) nbllc/ ilo(/)1 \\,l,]1.1U,\ jc!Upl
326,
Znijdżiemy wić]omjan o Wspó]czynnikach .ałkowitych. którego pieMiastkieli;eł liczla
.
:"Ę. cżyli d] 8=
Nicclra=J5-18, zatem aż=(J5 J:l',,,tął, .'=s
.
Jezeli
a)
J]
J5
16,
21Ąa,
dr 8= z,Ę.
to t,l 8):=1,2Jl5)2, Po podnie§icliu do kwadlalu otlz}nluJetn} lownosć a' l6n:+64=ó0 ioltatcc?nic d; ]ód]+4=0, . Pokazaliśmy. że jeśli J], lo a'-t6a'-ł=0, Zltcm lic7ba ć-.6 jeł pienuiasrki". "=!5 wie]oni.rnu W(!)= ll ]6j]+:l w.nł]ogiclny sposó żnajdźlvieiom]an o współczylnikach calkowi!ych. ltóre8o pierwiastkienjest lic7ba
ł,ć;
"5+ć
l,
Trójmiai 71i)jc§t tv}niki.m dziclcni! lvielomianu ly(Y)=21' T(,I) jako ilocZyn dwóćh wickrniłnów pierwszego stopnii,
2Jr 5ł+2 przeż dwumi.rn t
2,
Zapisl
wjelomi.rn lv(i) jesl podzichly prżez dwumian ,! - P i pr7ez dwunlian } {, Wynikien dzie]enia ty(]) plzez r /, jc§t wielorniłn P(,t) = -i - l0r 16, a dzieląc ly(r) prżez J ./ otrżynalny wielomian
o(r)= r:+52r l00, oblicz
ly(49),
dlvumian,r 2009 otrz}nunry ilorlż o(r)=ij. ]0]0rr +:00o ircsztę w}znacż rcsżtę Z dzielcnjx Wielomianu ly(J)prżez dwumjan,l 20l0,
Dziela_c wielomi:rn i],G) przez
R(l) =2000,
Dziela.c wielomian W(t) przez dwumian.t l ,lLl/)mujcm) odwrotności kwadratóW pierwia§tków wiebnrianu ly(r),
l],lau
r] , .ł i rr\/tę ], Dblicz r ll.r 13.J
Wielomian trzeciego §topnia W(,t)je§! podzic]ny prżcl klżdy z dwunrianóW ż dżjclcnil wiclonrianu W(,t) prżcl dwumianJ t0 ieśrówna60, oblicz tl'( l4),
sunrę
15,areszta
wielonrian W(J) iest podżic]ny pż€z dwumi,rn ,l + l, tl wylrikicm dziclcnił li/G) pżcz i + l ic\l wiebniln o(:r), Nalomiast dzj.ląc wielomian ly(I) przez dwumian r 2 otrzymujenly iloraz o(J)+6!,3 i resżtę 3. Znajdź wiek}mian ly(ł),
Jednym z rozwja4ń równania
r'+
1 l
l]
+
./r + 30 = 5,lr jest 3. Zn,|jdź pozosla]c
rożwivlnia
rego rU$ ndnll,
j3;
,
znajdż w§zyttkie wielomiany posraci I -
7'.
prżez któIe podziein}, jest wielomjm
ly('
_ 9,ra _ 4,! + 4, = 9.r5
Dany jesl lvielomian W(r)=(|2+8,t+ l5)]'](]')+(!r+6r+5)]|i
-
spHwdź. czy wielonian W(l)jcst podżie]ny pr,.7 wjelonian P(,r=J+5, Uzistdnij. że re§zta z dzielenix Wielonianu ty(r) przez dvtmian x+2jest równa:1.3:$)
Dany jeŃ wie]omi:ln tt (ł) =_,r
oblicz W(1[), IIe
-4J2,1,'+]0,-4J2.
różnych pier\ł iaslk(nv ma \!i.loni,]D W(Y)?
Wyznncz rc§ztę z dzielenia Wielomian[ W(i) prżcż wjelomian P(,r)
:37,
j :
a
.
9I
l0
j€st podżiel..y
]2,
prez dwumian _!,2 i pfzezdwumian.r+l,
Znajdź współczynniki a i l,, oblicz odwrornośćsuny kwldtatów picrwiastkólv wie]omjanu W(1),
24 Jesi podzi€lny prZ€Z Wićlonian U(I) = r - 4, a przy dzie]eniu wielo_ = ,Yr + b.tr + c! " mianu W(,t) przez dwumian y(l)=r+2 orrżymujemy resztę 36, Znljdź pierwjastki wie]omianu W(]r),
wie]omian ly(,)
'
]3!.
:;
wie]omian W(,r)=aJr+Drr
=.]r +
,
'
Wsżystkie współc7ynniki Wielomianu W(J)=,rr-3,ć+a]+/, §ąliczbami cllkowitymi. Znajdź współczyn_ rlki,,, ł$ied/x., że \!i
Wyznacz resżtę ż dżic]cnia Wielomiann lł(ł)= fła + 4,tr + a,r] + lrl + 2 przez dwumim i - l funkcja r(:l) =ł)] +rJ+ 2 nijwiększą w:rrtość przyjmuje dla ł=3 i Wairośćtajest równa l i,
WYMlERNE PlERW|AsTKl WlELoMlANU o WsPÓŁczYNNlKAcH
:.' ,
§ ied7ąc. że
cAŁKoWlTYcH
wi.lomian W{i)
=.t] + 4rr + c:r] +/r + l. gdzie c, r/e C. ma dwa różne pierlviastki wymieme, Znajdź wynticmc picrwiastki tego wlelomianu,
Lic7.by pieft,s7e r i q (p ź q) Są pierwiastkami wje]ornianu W(r) = 2i + ół' + .l - l0, gd,ie l). . są liczbami catkowity,ni, Zapisz wielotnjan I{r)jako i]oczyn truech lviclonianów slopnia pieńlszego.
Dwie ujemne liczby wymieme sąmiejsć ni żcrowymi funkcji Znajdż wszystkić arguncnty. dl.t których funkcjl
i,.
/(r)=2rr+rJ:+.,t+l, gdzieó,.€c,
f pfyjmuje wlności nieujemne,
Dwie liczby wymierndnależące do przedziału (ti 4) sa_ zafówno pierwiastkimi wietonjanu W(I) =żtr+r;+.\+ l8, jlk i picrwiaslklmi wiclornianLr V(ł) = 4rl + rlł] +cr+ 2'l. gdzie b. t, d. e sa,Iiczbami catkowitymi. Znłjdźdcrwi,tstki wic]omianu lv(r,i,
':a
Jcdnym z pienvixstkón, wielomianu W(J) = l,rJ - 7J] - 28I Znaidź polosralc pjenł,ia§tki tYielomianu ty(ł).
+
9. gdlie r, i ./ są ]ic7banri pienłszymi,
jest
353
2,5,
ZADANlA RÓŻNE
346.
Znijdź 1e..gutnenty, dla których funkcje
34?.
Funkcj a !, okt eś]onajesl
/(,r=(J 5)(j]+2r) i s(r)=3r-
a) Znajdź w§pólrzędne
wzoren,,(r= !r,5,1]+5,
l5 pr7}łnluja.tę samąwafiość.
lńtl funkcji.
a naltętnie podaj Wspó}rzędne punktów wspólnych lvykrcsjw
1
i, i osi odciętych,
punktó!\, wspólnych wykrcsu funkcji
b) W)/Ę:-./ /bin, u.l||o.cl IUnk.l|/l\) _|,\, l,
354,
PUnk1,,l=( i6,
0)
jc( jednym
z punktów lvsp{'lnych wykre§u funkcj i x](J) =
Znaidź pozostałe punkty lvspdne wykre\u funkcji n i osi
349,
Zbiór Zjesi zbiorem lvaności funkcji
350.
Wielomian
351.
Funkcjx
f
!(i) =2Y'+
rr
ox
+4Y+ó. Uslal. czy 4 e
W(J)=(ł+l)r+2Ć rozłóż nll cżynniki nopni3
rr 7l
J6 i osi odciętych,
Z
co iajwyżej dnlsiego i Podaj jogo pi.rwiastkj,
ołreślonajestwżorem /G)=.r1]+}}]+.:ł-Zl gdżie d+0, Wpro{adźnly naslępujące oznaczenla:
:.,,, r
^,,,
,:^ ,,,,
,"
Twierdz€nie, F llkLiL fG)=6) +b\: +t\+I1,8.t.ie ąź0, jest . rołąca ||lellf i rylko ||l?d},, 8/y li>o i A0 i 1>0| . taL(jąca v PĘcd. łaCł(:l t]). (łli+-) i rosńl! 0 Kor7ySiijąc z podanego 1\1,ierdżenia. wykonaj poniżsżc poleccnia. a) spBwdź, czy funkcja / (}) -. 3}' 2J' + 5,1 + 6 jes1 rosna§a.
b) wyżnacz pLżcdżi.tłymonoton iczności funkcj i = Jr - 6J] + 9,r + l c) Wy7nac7 te warlości współcżynników . i li, dla'(,t] któr} ch funkcj a f(r)
352-
Argum€nty,
dla któ.ych iunkcja
w naslępujasy §posób:
. . . .
l
(r) =
Y]
2ł] +
7
l i =
_2 r'
+
3J]
+
.J
+
.j jest malejąca,
2;+l+6=(,r'-l)]+6.
(J]
l)'prży]mujc n.l]mnicJsz..
źedlakażdegoJ€ Rmamy it] t;r>o.przyczym.l l=0 dla j=-toraz J=l; żatcm nai mniej szą §,arrość funkcja./ osi€aditt argumentóW ,l i l, sbsując opisanąrnetodę, wyznacz te algunenty. dla których lunkcja / osiaga wiftośćnajn iejsza_.jeżeli a) f(i)=i 611 5; b) f(J)=li+ótr-s Zauważmy,
i
przyjmujc na.jmniejś,ą wafiość.nlożna W),żnJcż}L
wyraź.nje ]! - }: + 7 zapisujemy w postaci (ł]- a)l +b: |,2I1+1=I' przyjmuje wnrtośćnajmnicjsża. wtcd)r. gdy funkcja s(:!) = funkcja lvaność:
]
355.
§6,
353.
Nierówność (,x? - 4XJ - 5) > 0 można rozwiązać W następujący sposób: szkicuj€my wykresy funkcji /(,ł)=:tŻ-4 i 8(I)=J 5; ilo§zyn dwóch licżb je§t dodatni wtedy i tylko Medy, gdy obie licz5y są dodatnie ]ub obie ujernne, dlatego szukamy tych argu mentów, dla których obie funkcje jednocześnie przyjmują waność dodatnią ]ub obie firnkcje jednocześnie przyjnują wartość ujemną;
. . .
.
/
korzystając z wykesów funkcji
i s, usulamy, że obie funkc.je
przyjnują jednocześnie wartośćdodahią dla ,rgumentów
,r€ (5: +*,. a uanośćUjemna dla
t. l
2: 2):
zatem zbiorem rozwiązń danej nierównościjest zbiór (-2i Ponępu jąc w Jn.IoEic7ny,posob. ro7wiąż nleroqnośc
a) (-t' 9XJ'+3J,4)>0.
354.
Równanie
b) (,r'- 4-IXi
at]+ół3+cl+ bx+a=0,
.
3r4
4;
14ł-4x+3=0.
Zau§ażmy. ze ieżeli t=r-|.tot'",,
.
PodstiwiaJąc
. .
Rozwiązaniań
tego równania są ]iczby
L =,2 lub I+ 1 =+.
;+ 1=-1
otrzyrnujemy równanie
ł], ą.t - tą - 4 +a
= O.
żurr- *)-,l. =r'-: :, ,'. ^l.-2 t=l+! omz 1-2=r'++, otrzymujemy równanie 3(/-2)-4t,i4=o,czyli
20 =o,
Załem l+
l,
:1r'+{1-ł1,+11 lł=o,
.
3f-4t
1u6 1?+
-2 i
+,
Po pomnożeniu obu stron tych równań przez,!, otrzymujemy:
1=f ł,
-l, +,
Rozwiąując dwa ostatnie równania, otrzymujemy rozwiązania równania zwrotnego:
w podobny sposób rozwi€
355.
źo, nazy\vamy równanien zwrctn! i fozwiązuj€my dzi€lą€ stosując poastawienie l=,ł+*,
Dżi€ląc obie stfony danego równania przez które zaPisujemy w postaci
0.
Edzie a
obie strony równania przez,r:, a następnie
Rozwiążćmy równmie
+ 3) <
2)U(5;+-).
równanie 8,Ia+l4rr-69l+t4,+8=0,
3,
wi€lońan
. . .
,ra + 4 można roz}ożyć na cżynniki w następujący sposób: przedstawimy najpi€rw wyfażenie ,ła + 4 w postaci różnicy kwadratóW dwóch wyrażeń, Aby to uzyxa+4=la+4ł+4-4l': skać. do wielomianurra+4 dodamy i odejmiemy wyrazrlie korzystając ze wzoru a2 +2ab + b2 =(a + b)2. otnymujemy: rr+4=(l+Z):-(Zt)'; korzystając ze wzoru ć - 8 = @ - b)(a + b), otrzymujemy rozktad danego wielomianu na czynniki:
4ł:
xł+4= (; -2x+2)(IŻ +2r+2). a) stosując przedstawioną metodę. rozłóż na czynniki drugiego slopnia wielomian
b) F Znajdź w§zystkie liczby naturalne
t' takie, że liczba na
+ 4
j€Ń
;Yr
+
1
.
liczbą pierwszą
ierdzeni e. Jeżeli liczba całko||ita p+ 1 jest pkfuliaslkkn \|ielomianu o wspólc7nnikach całko, witJch, to suw współczrnhikóvJ leqo wielonianu jest podziel]1a pĘez p - l . Korzystając z podanego twierdzenia uzasadnij, a) 7 nie.iesi pierwiastkiem wielonianu W(J)=il9-74,r!7-26,r|5+60ł|]+85_r?+3r+2l, b} jeżeli współczynniki wielomianu W(J) są ]iczban całkowitymi i W(l) je§i liczba_ nieparzystŁ to liczba nieparzysta nie j€st pierwias&iem wietomianu W(r).
356. W Tw
ż
\\'l.k,nirn li"(\). po
\lr.i
l1l i )=ł,_i +(,.
ly( t) = (]
N) konrnitl |otęgo§,inir
,r'
,i
\'r \ 6)'r''i
,r
li](|)=(i
_]
idokolrnN lc(lUkeii , t]blic/,un]!
\!}t r7(nY |odob|l}ch. /tlplslrno
).
.. ij
oblicż / ( l())
ohlic/\UID!k\\JdI.lió]r§\/\.llj.h;ricl\i!\rl{]\§i!l.|litnull(l)=L,.t
o $ \p(j]c/\
l)
niłllch crlk(^\i§c1l (lodŃlli.h,
po-
| 9!'-7)'
obok ni!/Iicowrno iir!n]!,nl \!)tr.\u 1!nk.ji /( \ )= ll1\ gd/ic lI1\ )i.\r §ick,ui!,1.m c/§xlt..l]o \lopni.L,
Zlpisl §iclomitln lil(\) i'1]\'r5\
§
j],
+]\-_]iJl(,i]o./)nd\(]ch\ic]omi,r(,\\(tlllsi.!,,,l!pn.l
sunlll\\/).lkichpier$i]\lló§,$i.loilialluli'(\]=\'(]-\,.]e\I](j\\n!a),Z.aid/\.p(lłc/}nnjllłi. wicdl.|c. żc l1/(\ ] icst pod/icln\ ])l/cl \ iclon)irn l'(r] _ \,
7nll jdź s
s/}ślki. liclb} nie\ } nl]ctlre
d\Vumian
\
-a i."l l(n\t.
d 1rlie.
ż.lc§7li,,dlić]cni11§j.](rn]rllll
li'(,:) \' .1\],t+]pl7./
d.
Dlllr iesl $iclonlirn lił\)=2\' l \+ l t'li.l(lnii. żć \i j.lonrLtn ly(r) ni. jlli doLlrll)i.h pj.l\ i.slk{j\\. L]/.lsi(ltii.źć $iclurliltt li/(\) ni. nl.j iri.n\itl\lk(j\\ $J-nri. l\eh, 'l qieId/enic, K|:lt lli| l)lĄ\\ |,i.h, id |,.lk1 |)lllnd\ii n ll)\Jfu i jl...-|l1l \iLl,,tlkDj.^, tOPl fu l o Ll ii.t] lhl L !1 ) Koll}stliąc / |odaD.go lwi. /cnir Lllr\ldni], /c \ icloDril|] i!( \ ) nlll co l]ritrn]l( j jcd.lr pi.l § ill\1ck \
Dan] je\l
]
q i
Nicbllirn jll\);r]] 1\+l. !dli.
/, ]cn li.lb;r_ |icI $,!ltl,
L]/ł\idnii. że dlllLażdei Iiclby cxlkowilt] l §tLność wiclomirlru
pt,,cż I:0,
l:7ł\adnii.ż.(n\nlnic,\(lr lxl l])..]0()9' l)i.
nla
Znlld' /
§ j.(l/qc.
źc ltr{I)
il'(\)=r' 5\'+,l\ i.sl
l)l
Lic/bą pod,,iehr
pi.Nill\lkó\\ cłłko\il\ch,
UlJsad ii.źcd]lłaźdcjliczb] r/ccżytli\t.j \/ chod/inicr(nltość i l2l]+]6>]\',l0\, Ldo\vodnii. żeJeżcli \!i!k,ni Il
li'lr) r':/)L,-./ n)
Dlliakich liczb l/ccz)NIsl}ch ( \i.lonli.ln }l'(\l
l]l),r(jżnc picllYia\lli. kr/, ie\( 1icllr.l uicnnrll
ll ]ll\ -],-
llL1.1l?i n,żl(iLf^\
p]ćl_
J\ll
]
l
j70,
73
Znajdź le wartości w§pó]cż]|nika l,, dla których wielomian ly(r] =,r] pie.wiastki_
określ liczbę różnych pierwiast]iów wielomianu ty(J)
37.] 3]:,
= 4J] +
rr
+
nt] + r nra trly róźne nieujemnc
+,r w
zalezności od wartości !vspó},
Zna]dź wsżystkie rakic licżby rzeczywille_ó. aby wie]onrian W(a) (J: + l,r = pierwia§tki. kLórych sumaje( nlniejsla od 9.
Znąjdź wszyslkie licżby rzeczywiste } lakie. że Zbi.jr lozwiązań równania
zbbrcn trzyclemenbwym
Zbiór ro7wiąlrll równanitl,r]+/,1]+rt+
l =
(
Yr +
+
4x_Y, 1) miał |rzy ńźn.
3a]
0jesl dwue]cmenfowy, Znajdź ten Zbiór.
,1)(r:
+
'ł
4) = 0
Jen
7. FUNKoJE WYM|ERNE
FUl 7.5
CZĘŚC TEORETYCZNA
4
Wttle\eń lunkcii
/
(r)
=
l,
.sdzlc ! ź 0. jcst hipetbolr. !!1y c7ym ieśliJ
>
0. lo łykres znajduje się w
li
III ćwiańce
lkładu wspólrzędnych. ajcśli J<0,10 wykles żnajduje §ię w lI i lv ćwiafice ukłldu wspókzędnych.
ą
gdzie , ź 0. jen hiperbo]a, klórą otżynamy PrżesLlwxją. WyL.es iunkc i !(.\ ) =: f(r)=--L+4, ,l, o Pjedno(ek ł7dtużo\i ox (ieślil> 0, io przesu*amy w piawo. jeślip<0. to p!żesuwanry w lewo) i.4jednoślek
wykrc§cn funkcii
wzdhźośioŁ(ieśli ł > 0.
ro
przentw.Ny do góry, jeśli4 n\+h
wżórkażdej t nkcjipośłcitlx)=
,y. EdAe
<
0, to
prżesuwlmy do dolu). c/łli o Wektol l'
ad-b.+0 i.+0.
?]
= Lr.
można zapis.lć w pośllci/(,)=-L+4. sdzie3*0,
zd
ZADAN|A WPROWADZAJĄCE
sptowadź do najprostszcJ ponacl wyrr€nie
7,1
LJ
W A G
]
:. n,,.,l ! o ,i.J/ł ( , /blJl *
7.3
,DP,d._l,n,,ni"i/,o.i
/l .o!,, !\tś ,. L 1.1 ,l,,
okleśl dzic{lżinę. naszkicuj wykles. podaj zbiór waności ipr,ędzidły monotonicności funkiji 3(J)=:9, Czy funkcje
U W A G
ąi*
").'.ii-..:]:j;.
A. Z{dJnia poświę.oncwymż.niom wymicmym 7ni]dtłąnę równiclw rold/idc l,
zdstący polrali
7.2
a)', r].-rr+tz,
A. w adMi 7.3 skót -" Wykrcs tunkcij
i
i 8 sąmonotoniczne w zbiorze
oznrczn
l(r)=1
z}
/rrl=1 olrz
R\ {0}?
wdanl Z3dlnia dlr pozionru Iozszeżonego
plzesunięto wzdfużośiukła.tu wspóhzędnych
funkcji 8, Zlpisż wżór funkcj i t]. ieżeli wykres funkcji a) o 5jednoślek do dołu ( :o wektor v- =[0. -5l)i
/
37
().:oweklor i). olrzymując wyłres
przesunięto
b) o3 icdnostki w prawo ( ],i owektor '=[3.0l)i wykres pre§unięto c) naipieN o 2 jedno§tki do góry. a otźymany
],
o 4.jedDostki w ]ewo
( l:
o woktor
i
_
t,4, 2]), p
']
Wykreśfunkcji s olrzymmo przesuwając wyk]es pcwnej funkcji poslaci ](ł)=,l:! o wcktor wcktor
i.
i;
jeśli
., 11.;=11?,
37
Wyznacz s otaz
37 ,,]
3(v)=
,,,-
r'
:l r(J)= ]|]
,l 31.1=?t1]; .,
ś(r=j+#l
FUNKCJEWYM|EBNE 7.5
|,
;,
Poijaj zbiór waltości i przedzialy nonoloniczności funkcji
DJnć
{ iunk.ić /lrl .
:: określ dziedzinę ,:)
.)
7.1'
obu funkcji i znajdź miej§ce zerowe każdej ż nich,
Naszkicuj wyłres tunkcjt l i funk ji 8, Podaj zbiórwartości iprzedziały monotonicżności funkcji/ i funkcji s
Naszkicuj wykes funkcji
.,,]]
j!
,r) ;
fG)=lt5:
,
. /(t)=-Ł,
] ]J
f(I)=!]
lłjl
wyznacz dziedzinę funkcji
)
7,9:l
]" L]
j.l
.] 1 JG)=
7,ż ,
ll oldl llrl. ,2
/(J)=_!+3,
f(l)=-gl ! +?l
]]
R
wyżnacz wszystkie wartości pa!.nclru ł. dla któlych dziedziną inntcji / ,jćst 7tióI licżb ż€c7ywislych,
,.,/(.)=#;*
ZADANlA MATURALNE WYRAżENlA WYMlERNE
":l!-q ]. a) w}/nJ(/ d/icd/inc le8^ wyla7eni3, b) Splawd7.c7y l,rnle|e taka llclba,r. dla klolcida.re q}r,lżcnle or.?yjmuie \raflo,ć
J/b.
37l,
51łż, ,,, _ _ oDllc/ ' że 5L 2r =4.
wreolaL.
kJnń(f wv
l
5r,2\
(J' 1] 1+ l)( a 1J §Drowadź do najprostsze.j postaci, a następnie ob]icz _ lr] ],l+2)(j'+]t+ż) ' wyrźenia dla r=J3,1. Wynik ob]iczen żapisz w poslad ł + óJiigdzle ł, b, c \ą llczbami Wvrażenle
\!aność tcgo wymiemymi.
FL]NKc,]F WYMlFrłNE
384
385.
386.
./vli.
ź. .1r /i..] i 5,1-/i.6.
. H.,,ni,,,l,. '
,l^l
lł)\l(,pulac w lt]rxl(lgicln) \pon')h.llrpIs/
379. (lllL,l , lljL.
,],i.d/lnr Ń\jJż.n,]
i, ,
,- r,l,,i
PROPORCJONALNOŚC
381.
wytte\ fuDkcii
382,
Do s],t]esu I'Un|.li
'
,ll,n..',l,, ' " 'l r
/(l]]4
" i,
..,r..,,,,1 l
\,r,o(.tr
ł -1 ,
islno$!dź ].
+ i
l,
,\,,i \,
j,^
.]
]( a
-
*11.,7.,,,,:
]
]
,: 6,-ś \ l ] j
6; Jl
b) _+l,
d,, i.iip(\ls,,cT po\l.lci, Nislci]nie nr\lkictlj
w}lr.\
1,j,
ODWROTNA
o.ł icdnosrki sl.\!o.aolr/!lnrn,-\łJ-ll.\pfle(unicI()o3jednoslli dodoh, \Y§)nilu trch ])l,,cn ri9ć olLl)nll o\),|l.\ li!lk.,]i (. i.l(ill dla tllllnrcDtu t] plż)imujć \\ lbść6 ln.ijd' \!1(rr lunlcii (, |l/.\t1,1ię1o
/.ollcśn,Lcis7olcnr/(\)=a. nllc/\ l]un|t'1. ( ].tt).
389.
a) oblic1§,Jrk)ść wspólc,,)nnik ./.
b) Nll podsri\Vic Nykrcsu li]nłcii / otI. il /hnjr rol§ illlxli ni.rów lr ość/(1)ś s, c) spllt\\dl, c/} tunłi 8 ,(,] ,a9| ,]-,lr) n.rle/r do§}kl.\U lilnkc.ji /,
383,
388.
\\'Jtrcs funlcji
1
1
,1- ?O]Ę pve.un
lqr,,
"
/dlu7 o\i
O } o
./
J..lno\l.k do dołu. ox /\fując $,rkles
!, do Llórelo nJlcź! pL,nkl /'_(.19,30), a) 7,nall]ź licfb! ab) Podaj \sż}\ltic nllulJInlr licżb),.1rłic. żc lk)ien liclbącalkowilą
funkL
j
FUNKCJEWYMlEBNE
384.
P,eśuwającwykres fi]nkcji J o 5 jednostek W prłlYo, otl7ym^my lvyk.eśl'unkcji r, Jeśliprzcsuniclny o 2 jedn()(łi do !óry. !o otzymamy Wykrćs innkcji ł(r) = +. " a) Podaj wzór funkcji b) Znajdź punkty w§pól' c lvykrcsu funkcii l i pLostci o lównani! )= 2,!+ 3, wykre! lrrnkcii
385.
Funkcja / ok.cślonaje§t wzorcm
J
('
=
+. Zn3jdż dwa .]rgumcdty różniącc
się
o l tŃie.
ż€ iunkcj tl
l
dla
mnieisżego Z nich prżyjmuie wafośćo 8 więk§za_niż d]a wickszego,
386,
Znajdź wspólżędn. rych plnkkjlv lalcżących do wyklesu funkcji ]
(,t) =
20 kt(jr]rch,ędna jest
o
j
lviększ.t od odcieiej_
!l spro$Jdź,je do "),--" | +2l lu.k.| ł(,] 6t-l] l pnOJ| |e| /D|or s ljlo\.I _ l,+l!
3a7,
Olrcll dlic,]żinę
388.
Liczt]ę rozwiązań równania rr + 2łl + 2.t 2=0moźnaokreślićwopi§anyliźej sposób, Łatwo moźna 9prirwdzić, źe 0 niejest Mwjązaniem danego równania, Dhtegojeżeli podzje]imy obie
nijproslszei posta.i. N_astępnie na§lkicuj wykres
.
stronydlrnego.óunaniapr7eu,l.toulr/)nrJneruwnonle]'']']-]''=l) co njwnanic łr +2lr+
. . .
o1lzymane równani€
2ł 2=O zapisujemy w postaci
,r]+z,t+z ] =o.
]slnieje tylkojeden arguncnt, dlx którcgo funkcjc +
21+ 2
=]
z,tnie. .t co za tym jdzie lównanie.l'+ żr] +
.r
nłnępni. w postaci
a)
+
2=2
/i],pvyjmują
mnicdno roZwiaj
2,r,2
=
0 ma jedno
Wykorzystując opisaną mctodę, ln,]jdź liczbę rczwiaJań tównania ,r',4,!] lo,,u ialdń ,(!U tUu nJni,l l,, I:l /h} dodJ ni.,
Dane sa_funkcie
2x
i ]"(r)=?
Nasżkictljny tcraż wyktesy tnnkcji /(r)=-Y:+2r+2 lę §amą warlość.zatem rÓWnanie t]
389.
mrLyle
+ 4 =
0 ] okrcśl.ilc spośr(id
1 i r,(t)=?'J /(J)=? r t-2
Naszkicuj wykresy obu funkcji wjcdnym układ7ie lvspóh7ędnych.
b) okrcśI prżedzial! nonotoniczności obu funkcji,
c)
Podaj zbiór rożwiązań nicrówności f(i)>ś(a),
OkreJ Jżl(Jżinęsy..żen'" 'unt(
rr łr+łispruuld)jedonajplosrszej 1.1
,r J, +4 io,J,lllhi,,l\,$l,'Ut\.hllnk.jll i /lll ' l' -.l
'
po§taci, N-asrępnie nlr(żkicL!
/],,,l r.,l"1, li.,n:
§)lr.!
FuNKc,lE WYM]ErłNE
1-.:. okeśldziedzinę wr."r."," ';t''']
\]+4r+]
Io.clfunkc|l
/i\l _-_,-j:
!':)|:
i..i,,biol R\i0. I},
'.ll
runkcia / d]nJ |e,l ś/orcn /i\] ,] Nltśżkicujwykrcs funkcji
i sprowadźje do najptoŃs7eJ po§taci. Uzasadnij, że zbioren war_
,
-
l
.] Dlajlkich waitości parametru
"l
lów.rnie/(i,i=fi maj€dno rożwiązanie?
FUNKCJA WYMlEBNA funkcia Dosraci fl1,=g! ' l1+l1 393.
Funkcia r okreslonr iesl wzorem
il1)=l:!, 2, ]
1] okreśt dżiedżinę funkcji i b) Znajdź ten argunen! dlakt{rego funkcja
c) znaidź punkt przecięcia wykre§u funkcii
394.
Funkci] r określona iesl
!a",
/ / ż o§iąoy.
przy.jmuje wrność3.
w,n.". ir,l=!:L. j+2
]' Znajdź miejsce zerowe funkcji l:
ii
wyznacz le argumenty, dlaktóreso funkcja
c) sprawdź, czy
395.
lunic|a /
punkt P=
/
przyjmuje wanościnie większe od 5,
6Ę-l, |6-1lĘ) należy do wykresu
oKreslona |est wzorem
funkcji
_. 2r+ż l(r)=-,
]] Wyżnacz te argumenty, d]aktórych funkcja
f
przyjmuje waności nieujernne,
lr) wyznacz zbiór wartości i prżedziały monotoniczności funkcji
l
c) wyznacz t€ argum€nty. dia k'órych iunkcja / i iunkcja 8(J)=j+ d) Znajdzpunkl} ptlecie.,J w}kle,U$ funl,cJt / l §
396,
i
Funkctr / olreślonJ ie\t wzorem rl
1
przyjmujątę samąwartosc,
tl=]1 r
-5
aby punkt P = (3, 2) należał do wyklesu funkcj i /, a} Znajdź iaką wańośćwspółczynnika l,] wyznaćz te waności wsŃłczynnika ',ł, d]a których funkcja f rna miejsce zerowe wiQk§ze od 2-
Dzleozlną iunrcJl 1r r, ,
=
_:!
] Wyznacz współczynniki
D
]esl Zbldr R\ l ] J, FUnkcjJ i
/.
/
mJ
micF c /etowe to$
l)) określ zbiór wartości f nkcji / i przedziały monotoniczności tej funkcji,
ne 4
402
FUNKCJE WYMlERNE
Zbiór
(,
79
-i -l)
U (2. +*) to
lbió, wsż}śkichalgunrcntów, dla którylh
Inikcjaj(r)=9 p,,yj.,ł"
Wyznllcz wspótcżynnik.1,
Dh iikich a3umentó§ iirrkc,]l l prży]lltLlje warlości nic więkslc od-,1]
Funkcj!
w/olen /(n=
ok.cślon! je§t
'
gdlic
i5.
d
jclr licżbt! LUen]ną Wyżnlcż wsp(jlclynniki a i }
wiedza!. że zbioreD wszyśkichargun)cntów. dla ktftych lnnł.ja / prz},ilnrrjć wirroś.i\łirks/e od ]. je\l
prl.dżiał (
\J\ZklcUJ
5j j).
s!klt.iU|[tji /(,)=_:
J nn\lśpnieokleśl]iczbę rożwiv!ń lćwnania t(r=/,\!ż.rleżno
ściod lvarlości parlnrctru /r.
N,śżkicll|\Ą}lru\ lunlL
i lltl=]]
J
rJ(tępnje naszkjcLł
wykcs 1unkcji f, któln krdej wiIlości
parametrułt przyporzątlko\łuie licżbęrolv]ąłlt].(jwnuir r(i)=,?.
Wymielne 'unkcie Funkcje / i!okleślone §ąwzorani. inne
4o2-
-,, 1, , t. ,,
(''',
.'
7.najdźlic.bya]h\)iedĄc.żcdlłkłżdcilic/byłeR\1-2,5]?|chod/iró§ność/(I)=s(\),
403.
r\ajwięks7ą w,rtość t'unkcji l rn =
.,_1,
moz.,n\
§
\
znJlż\ ( lo\lę lU iłL \ł nJ łępujący sposób:
.lauwazlny,żetómiźn\r,lr+7p]żyimujctylkodo(tatlriet!.l1oścj(!!}ńżniklróimiłnujeŚtńwny-l2). zalem iloraż
-1'
L
4}+?
nl! w.rnośćn1ti\łiaks/d.. gdy tKijInian;
. u)/lJclJlll)nJl|ln,rl./, vJlI,sLllul,l lnul 4l -, . /llLn TJ,sickv:sJllo.cIunk.lt /';<łl"un" 1. wlr
ł :,
_,1,! + 7 osląga W:tnośc D!]mnl.]śż.li
"
,
wy7nrc7 w Podobn} sposób
a)' r, |ql(N./q $iirlo\ lL lkci, /t l] b) r,ilrni,,./Jqlnosc,ul (c|,
D,iedżina_ funkcji /(,\])=
:;=
t,,,
])l
l)\.|
^,
jc§t,bió R\ { l, 2], ZĘjdź mi.j\ca /eNe funkcii
/]
8a
FUNKCJE WYMlEBNE FU
l
nkcja
oh cśbnll je n w żbiorżc 1icżb l7ćc7yNistych
\!!żn.rcż\ćnrożna rr nlslępuj!.cy
.
Liclba
!v
!]n]!ób:
§
żolcm lil)
- l]j!l:I + )+
ń\łnanic
Ij\]]
=','.=x
. sp.owld/lnty ń\\n!!i. do poslaci 1l I)]'+(]l l)\.l,=0 . Jeśiin=],toon7ymlnerównanicnicm]lo7$ląlJń . Jeśliu,źl. to mxmy (iwnanie kwidr.llowc. kt(jlc ma co lltljmtrici icdlx) rólvności n, * J i :0 śpcłnioDcsąplicz l|Ę ( +] l ),
llltcoDt,jmniej icd|o
Lolwi:]lanic. gd} A>0.
414. ),Iie_
^
7atcni zbiorćm wlrLościinnkc]i / it\l prżcdliłi(-+: ]),
W}korżlsruj4c podana nrcl(Jda. !vy7nacz lbjór Warrości ]nnkcji /(.r=
Jcdnym
l
nriej§c ZcxŃ}ch tnnkcii /(1)=
,*l
jcn
5,
Znajdź wśp(j}c,/ynI]ik lr, Znajdź po^st.rłe miejScx lcrowc rnn*cji /: Wyznacż przedziały moDoloni.lności JunkcJi l:
Wykaź, ż€
tu
l
nal.ź) do zbioru lrrrlo(ci Innkcji / Medy i ltlko wlcdy, gdy isuićjć llka li.Zba i. że lh) =r,.
MusjDry §,icc żD.lcźctelv.lfioścjn. dh kl('l],!h
.
, Zbjór wtfiości f nkc]i 1
Ńcjlr s(r)
=
I-unkcIr f ollc\ltrnJ |esr '
r
+
2
dla dodal ich argum.ntóW przyj muj c \y!ńoścl nie mnicj s/c od 6
§zulo l1i)= ,l_ { -|
] nit pi,}!muje s,.utości \lięk§żych od l, jćśli.J>r> Wykaż, że l. 10 l Ql)
ZADANlA Z PABAMETBEM Wyżnacl tc w.tości piranrctru /,. d]a ltórych duiedlin.! funkcji/(J)= lićżb rZeczywiStych,
$},,r,tr,,n,n. (n5c.fJl,,n,tlUł,
!l',. \ or), n
|Lnk.i . ,:
wyżn,rc7 te watości piranrctru rl. dh ktLjrych lunkciJ
Dla i*ich włrtościparamelru,l inikcjaJ(,r= dwl ńżne miej§ca zefowc?
',,
_1ll=]l!:!1
l: 20, ])lrI
,
_(,r- _: 9)}
.
+(/r+3)t+l
l.sr /bl!n
ma dw! miej§ca ucro\\,e.
mJ le.]no lnlei\(.
^l.we,
ie§i określ(,nad]a k.rzdcqo _Y€
Ri
nr.]
FuNK0JE wylńlERNF
\Yyżnłcl N\,,Ynki. §.ności ptfłrl)clru
l
/). d1.1 |,l(iiich
l.]/, _
,jl, ]r:
vJ
\:
rol$ iźil.urir l(jżr).h żn.l{n!
Il ,l,, ds,l
ZADAN|A Z KONTEKSTEM REALlSTYCZNYM
414-
\\'tubc]i pok./ano jitk 1l)lieni! się objtroić opll(lnjacclo b.lonu \}pćtllioncg(J \\o(lorcnr
obl.k,jc]lqrl
jlŁr
l ł 1,1] ,,lll ,. J,},
f
1,1
- l,,.rlr,,
L.]_rso.,] l,nI
r]!L]
_ ,
]()()9
s/
lezno;ci
o(l
r
Wi.d/a!.7e olialość hakl uyiciśni.niertmołil\c/nc/,,/$i:r./ttlle\tilrleżnoiily,l,=ł a) lnajd,, §Sp(-,łc7} nik tl b) u7up.lnł br krłtlcc diić $,l bćli,
415.
D!n.7llntie§lcZonc w Ilb.ji pokl/lła_ /Nia_1.1 ponriędl\ i),so(tnn^\t! $ićlkośclaprodukcji (lż.Dru. ! kosżlenr §yprodrik()walrir 1 lg dżenN (l,,t!, kot/l jc(l ostl(trv}).
f§11lll..lŁ1!Ę]| ts Za]cżnośćmie(lży 7nlienn}mi,r i l
wyru
l,) ,
się
](Ł_,,.
]](]
r
a)()
\\,1.r*, , =., +
a) Znajdź ws|(jłcl)lllriki d i /,, b) otJlic/ koś/lied o\rk(xv} pl/y §godnios.J produkc.ii
w\ no\/a!. ] E(l{)Lg,
c) Jrka JDwinnn być lyg(xlniown pr( Llkc,ii dżcnrtl. xh}r kośllwyl]! odtllowtur ir od j.5 /ł:)
1
kg
dźcn brl
lnDicj\7}
Ł(nlź musi popł]nać ó0 tn] s,dół r,/cki. r ntLścPllićl1) knl \ g(]r§ r.?!ki, Ił.dkośćpr.du llcki $J-no\i 5 knL/godl, Jału po\inna b),ć plędkość\łłr\lltl kxlli. |i)),c.lln podltiż |i.ll$!ltldltlż.j niź ]()godżin]
wodtr molc NIJł),\\,.e do hNenu l d§(jch l,ran(n\, Z! pon)ca. |ier\ys/cgo llrnu bnśen możnll ipć]nić $ clll\ic o 2 godżiny dłuż\lyłl..l 7,1 PnxJfll d l:ie_!il kflnu §,c,,tI\ie o.1.5 _!od,?iny dhjż.iz]-nl. niż |rż) nlpcłnianiu bJsćnu / Ęlorży\lllniel;] obLl 1,|ln(n!, w l kiDr cżlsic Inoźnt nitpchić len htl.ien odktciljl.c tylko piclwszy lbo ttllo dlugi k1,1n]
Dw(ich kolekl(xrw. |r.tcu.]tlc lucnr. ieśtw \L.lnic dokotlć popl,Lltlel \V tekśeićw cl!\ic 3 god7..lcżeli kaźd} ż nich $ykony§rłb} tę Pracę sanl. ro pier§:/}. b:lft]zi!,j doś\ittdc,,ony toreil()r /utolic/ylb) ją o ]2 godżin §c/cśnicj niź drusi, W ci!śuilu :odzin kaźdy z łorekl(ll(jN §yloDulb! tę p|.Icc
D$,ic prl[o$,niec ur/ędu pocżl(\!c!o mirl} o(.It]pjo§rc lL§|it |.ńie ljslli\. Srcllll1]o\. rić lin(n\ Picrlvsz,r lllżędlliczka lo4xlczęIl o gotlzinic tilr). r tlrugr o godznric 9ll], o god,,iui. ll'!pllnić\l\i.Id,,ił}. żć polo\iiło inr ie:,,e,,e do oś.nrpl()§.lnii _t5l.; linln\, lł) ukoticżćniU prJl} ol.tlrlo.ic. żć k.lldx ż ulĄdnicżek osLcnlplowtlh lyI. ś:rnl() 1isr(nv, oblicl. W cjigu iIu god/in ttt/!]u / p.lń (jnenrpkNJltlb), \lrnri \rsl!sLki. li\L\,.
FuŃKc ]F WYM|FRNF
82
zADANlA lNNE
420.
l,,!=5 '.
L\lr(|r,,$ lJl, .
. . \\
q,,|U\,J/,l|,(,,/|.(,/(n|,,
,t,
/lltdn n,
l=2 i-i
=
Znl\illż |i.żby P j
Wyklcs fuDk.ji
\It,, lll,,
(n!
ań je\l
',|
pirr liclh (l.
."
,
,,'.,,'
,,
n) = (]. ] )i
]. l(Vsivtljąc t. (j\VnłIllll. dt)\ra]cn)\ ro/\!iJ./!!ic d.n.!o ul|Jdu]
J,,h1\.r,^,:l,|, /$i,,, ,ll,Jc\
l
s n:L.,1,1l,t,
t,,Ulrl},l,,,.ll!,
to7wialxni.nl olrżym.lllcgo uk]adLl
Funk!,i. k!vidrJt()§r
422,
,l1.1l/-lJll/\\i../.-
l,Ą,lll
oLr.5lonaje\,
s
a)
]
t =U
,
b) ,
nJ\l!pujlt_.} \po!ólr
a-, ]
L, 1
]l
(1.1) (|.rl),
] ]
,!a
d]!
]]
\r]
)ż
q.
/ (
- .i
oklcś]onej w lbiffze (()i r"_) pzc\Lll)lę() Wżd]uźosi
olrżylnując \łyklc\'innłcil
ox
o .l.ic(lnoltki w l)lnwo,
( llo7§a7lLnr) p|onoklll). klórych d§ \,ierżcholki nJlezj do |rosr.j o l(nlnl niu\=.1.ajed.llnr]cż),do1!)lresuillklii.3,Ul.\(lnlj.ż.polxro7wuJnychpro§tokllu\\\łrU§llC, Na lysunkLr obok pv.d\l.ts]on} j.\I l]l:nr.nl N\lle\Ll lllni,qi lh)=di:. gdlio ł>0. R(),/plllllnly 1igury A n:}y]lt', i B B)}y,li', sd/ic / i ,1] sJ dowolnytr]i różnymi |Ulrklanli nl (lodalnjej |ók)si o\i
arx
i,
/,1,]
(n.r ry\unku za.icni(^Vłno 1l!Lll.,1.1:lł',I1;), t]do§odnii.
żc lilur) le ntll]ll r(n\ne Pol!.
:.l
8. FUNKCJA WYKŁADNlczA
CZĘŚĆ TEORETYCZNA PoTĘGA o WYKŁADN|KU oALKoWTYM UJEllłNYllł
+
Dltr dotvo]ncjliczby a e
N
d-]|
€ N
\ { 0,
R\ {01 i dołoinei liczbv , €
l
POTĘGA O WYKŁADN|KU WYMlĘFNYM
'
.
Dli dosolnei
]iczby nieujenrnc.j d i dowolnćj
Dll douo'ne ./hl
liclby
n
ll! Ł, o.só|nęl|jclb) ,l, (
Jn\U,nc|,|c/b) , .
DzlAŁANlA NA PoTĘcAcH DIa dowolnych]iczb /.
D€ R+ ouż dołolnych 1jczb ł,
. ł J"J,
,; , ,
. ln ,
l!\'' =!\b] L,,
h\,
=,l l,,
t,,]
\,
,u,
]l J
(V"]'
ł
",
WŁAsNoŚcl FUNKCJI WYKŁADN|CZEJ /(t)= a'
. a
1) a"
(ż €
Ę\ 1 I })
Zbiórwdności] R+, Monotoniczność:jeś]i a€
(l j +a). to funkcjajesi lo9rąca:
jcślj 4€
(0j
l),lo fuńkcj!jesl mlejąca,
ZADAN|A WPROWADZAJĄCE . ,,
8.1
,
oblicl
. l\\,l\\J:d/1,1,,1 ,,,.1.9J.hn.\Lndal ,l-. llo\i., \,,,,, r),h |. nlNMLi\h.l,iPlcll!pPckszlalcanirNyrx/eńziwicniącychp.tegiołykladnlka.hrlecz}łi§Iych a)
(5' 5')',
obllcż a) (!6f
a) ] 69':
f)
8.4
li
E
i:
i
b)
+;
l):
b')
(o.zs) ',
z'l,:
s) (2j)
ol .; ą (i)
,
c) 256':
d)
")
,'
(Jr)'
d) 125'i
e) 16i
"l*;
,
Danąliczbę zapisz jako polęga licżby 2,
a)
(lo' ł)';
b) 0,]25,0.25:
d)
słą;
ą,lzĘ,
tl ll,iul's,
FUNKcJA wYKuDNlc7-A 8,5
spl(Ńal-1' do n]iPlost\lcj poslrci \,).n/eDi.
a)
l']-']
. sd?ic
d)(l'lJ,)
ł:(]:
ol
l_'
]].
."u,
, di.l:1l
e) '
],l,.,-ll
",,,,"
",
rfu
LL/( l -
1l.
]ł-l,
|!,ill!r§i n. {ł].l.(.:.d 1!Nlcjr \}llr.i]r,/jlh torln]n\\]i pot.jl o $!ił.tL!kl.i r/../\\|]).l]
42
\/Li(!}r! uy[].\) Ltrlll j §)k1. 1]./)!l 8,6
Roż!lżygnij (ii. ]rr!vqi! łłlku1!11trł),lló]! 7liclb
")
,trS
-y :S,
b) ż7'i] czy
2.13l
IcsL
wi§ksżi
-l i
"l l.]-
Ą2
a.7
Cl} islnicie hkiu3umenl, di! któcgo lu.ł.jx l(i)=7'
8.8
W §!tiku j!łjch p!/cks/(tllccń a)
/(]) ]'
wyllc{
PIż},jmLtie
!fiość a)
c)
l(])-
2'i
]'
2li
/1j)=]
D]ajxłićh wrfioś.i prlinrcrlu ł d a =t ji
nc
l] d)
W Bynlku j.kich prlels/lullel] wyklćsU luDlcii ((!)= 2'. ollż}lrrnry t|r,klcs
l(u=
b) .ir
2()l()i
inn|.1i {(r)=2'. olr/ynrury wy}ilcs 1unkcji
b) /(t)=3 ]':
]]
\\
innl.ji
/]
Podlt] /bkn
łtltoś.I
l(i)=2' Podrlżbtn w.fiości
,/(i)=],]
równrnic nra jcdno lo/Ńia.,.Jnjć']
i3'
1=i
ZADANlA MATUBALNE DzlAŁANlA NA PoTĘGAcH Ą24.
jic liclb całkowiiych nnleży do prlcdlilłu
425.
() ilc DlocćnL \!icksl.]
l
liczb d
Ą26, Obl./ u,,,i.e,, ,, :J/L,, dlicsi.ltych..t nJ§lcpnic oblic/
ll'] ,.9;
sj] 2l1
77 r6']11].j:5)'l
' ' i l,=] 'i btn]]
.1
t ]_.1i
jcsl
§ięksl
od nlniej§,ej
i
niclr?
g1,,,y,,,,n,' ,"y,,;1 zxok a! lt.
\\żglcllny oil7ynrłncgo trlybliżcnjn,
do./c,cl
,13
FUNKCJA WYXLADNICZA
ą27,
85
wykaźemy. ż€ lic/ba 2+2:+2:+,,,+l:] 2 + 2]
-2r+,,,
+2]] =
1crr
póJ/lclntl lr7el.]. \ł n,§repując} \Pxob:
2.(I+2)+2ł(|+])+]§il
= i li+ i,i z,+.,. +:: l, kńycn jcdna icsl r.jtvna ], tl więc jesl
]1+.,, +_z: lt +:;
+
Zatem dan.l licżb.l jcst ilocż}ncm d§ljch Iicżb nlturalnych, Podżi.lna pvcz 3, w podobny \po§óh uza\xdnij. żc
l
s) li./ba 5+5r+5|+ +5i" jc§t podrelin przcl 6: b) lic,,ba 2+2]+]'+ +2]l Jćślpodżielnr pPel7,
428.
Ą29.
Sprawdżimy. która lićzbi jcst większa: l l]" czy 5]l'. ll]')=(lli:0=1rI:0. naloniast s'0=(:J)l'|= t::L'), Ponicwul]S'''>t2li''. lvięcSrn>;1:o fu§teplljąc w podobny sP()stjb. lo7stl /yrnii. kllrra l (lwóch Iiczb iesl więk§ztl a) J 7'L lzy )"'': b) ]'- cż} 3 ': c) 2l'*' czy lo'i'
+l') +lrI- i ł={t(,])'+(-])'] '+(_2)'}
Dłne§ąliczhy2=|(]
cholkiem parłbo]i b§dącei Wykrcscm li]nkcJi / (t) = -r] + r\+., e| 7J| ./ \!/,l 'U,,t. i, / s p,, 1,1. i lJ||rllL/l)śj, b) Podii zbnn w.rńości i przcd7ir]y nronolonicżnoścililIrkcji/]
430.
R,dtrj nlij mn icis,ą liczbę cilłkowilą spcłn laJ+
431.,
Ro7wiąż ńwn.]nie
Liczta 16 fj
\]
433.
Ro7wjąź równnnie
435. Rl,/$iv
i
łJ:
ł) icsl
wierz_
],,.iVlr,'"*Jł,,
li'(|)=I]-5ł],cY+35, wyznac/
Mr),
po7ollałe pier_
(91t)r-l8t' trJ] 27|'|,r+3:l'=0,
Zerowym 1'unkcii
n,wnJnle
Uslll. kló.e
rt;*,n.i.
pierwiastkien tvi€lonianu
Licżba a ie$ r(i§n! waności wymzeni.r
ajcśmicjlcem
n ic
Punkr ly=(/,.
3i,l01.3Ś=O,PicnviastkirównaniaZapi§zwpostaci;''.gdżier€c
ł5i ic§1
!vi.lsl]ti wiclomi.lnu
l
.
z iiczb 3. 7.
(r]-,r Xr +r -l
}
dh
r(I)=lr-6(+6
0.8. Liczbe spcłnitliaia lo równanic
l3. l9sądzielnikani liczb}
Wykaż. żc dla kżdej Iiczby nahra]ncj
ł Iiczba
4"
+
5|:
9"
+
lipis!
tv
,\
=vr,
spra$dż, c,.y lic/ba
poslaci ]". gdzic n e
c.
- 2lr
+
,
6'l
+I jcst kwł]rarcIn
lic,by całko§itcj,
FUNKCJA WYKŁADNlCZA Dane jest równanie ,i + (9" +3")I + 2'7" = 0. w którym nićwirdomą jesl rzeczywistej a danc róWnanie ma co najmniej j€dno lozwiązanje.
,_:.'.
Sprawdzimy. która liczba
. . . .
n=łj]: r.y 1,=.A€
l,
Wykaż, że dla kaźdej iiczby
jestwiętsza,
zf i 3f,
podnosżąć obie 1iczby ao kwartratrr otrzyrnamy
Podniesieny terż onzynane liczby do potęgi J5, W rvyniku tego potęgowania otrzylnamy: S Zanwńmy, że 3''6 Ponieważ funkcj a
Zatcm
> 3] = 9 > 8, /(-Y) =
2
r
Ji
rozumowanie i rozślrzygnr. która z liczb
Użas.dniJ. ż€ dla dowolnych iićzb d€
(,.-l)(,.-:)=.-^+-]-
>a'J',
'r]r
jest rosnąca w zorcrze
wiedząc. że jeśli 1, > 0, to funkcja J (r)
1
ł.łl€R
+;!,
wykorzysluja! tę równość i wicd?ąc, żc./ +7|
&,
więc
ó > d,
jesl rosnąca w przedzjale (0; +-). pżeprowadź anabgic4e
Ół'.ry .6J'
R+.
ł,,
+
='l
l :J;,
=
3,
jest większa,
zachodżi lówność
oblicz ;) i
ł2 +
]1
u}o + 3'
.'n5+-L
FUNKCJA WYKŁADNlCZA
441,
Funkcja8(]r)=d'._gdzieajestrożwiążaniemrównanial6J:33r+2=0.jeslnalejala,obliczs(-0,25). ,:51-
442-
rysunk obok zamie§zczono tragment Wykesu funkcjl wykladniczej l(l)=a',
Na
a)
|,
b) c)
]
Znajdź wzór funkcji /, Dla ,dkleto ar!UmcnlL] lUnkcIa
i prl)lmL|c\!Jń^,c
U,asadnł. że dla argt.nentów większych od
+"
27r l'unkcja
/ przyjnuje waności wiaksze od 8. d) Wykres funkcji g(,l) =]'(J + 3) przesunięto o 4 jednoslki do
ł,
dołu. otrzyrnując wyk€s funkcji Nas*icuj wykes fu!*cji ł. a następnie podaj Zbiór rozwiązań nierówności ł(i) <0,
443..
Prż ekszlałcając wykres funkcj
i /(x)
Naszkicuj wykres funkcji /: (-3:
4Ą5,
Punkt
,4 =
=
2', nasżkicuj wykes funkcji s(*)=2'*5 +2'tr
-24.2',
3)_jR okeśloncjwżorem/(,l)=(!r)'-'l
(_0.5, 2) należy do wykrcsu funkcj i wyk}adniczej l1r)
=
.',
a) Znajdź liczbę a, b) Podnj zbiór argumenlów, dla których funkcja / prżimuje watościwięksże od
16.
.]'PodajtewMościpnrametru,ł.dlaktórychrównaniel/(_{+l)-3|=r!madwarożwiązJnl3przect\v_ nych znaków,
FUNKC.]A wYKŁADNlczA
]43.
Nnsżkicuj wykres funk€ji /(|)= 2'-4|+ w lależnościod waności pararnelru ł,
]_;
I:unkcia
/ określona jcst w,orem l{.i) = l5' 7nliJl,(,llrumclll).JIińl,,ry(hlunk(i.l
l, a
na§Ępnie okr€śl liczbę rożwią7ań iwnania
+ /,|, _gdzie l,
je§t pewDą liczbą rż€czywistą
/ nrl)JlnUic $dn,.s.
rEf,.
j".lin
.z.o,
J] określlicżbę ro7wiążń równania /(\) =,ł w 7aleźnościod wartości param€tru liczbąujemną,
F
nkcj,t / okrcślonaic§t wzorcm
/(,r=6'-6
nieparzytlych,
..
]
ł liczba
]
,
wylndcl naimni€isząw|ńość funkcii
Funkcja
/
danajesl wzorem
wartości tcj lunkcji.
li':. ,]:,'j.
6" fOD je§t ilocżynern dw&h kolejnych liczb
okJcśIonajcst wzorenr l(l) = 3'+ 3 ' Uza§łdnij. że wykres funkcji l j€ś sy,netryczlty względem osi ' '.] Wykaż. że.i€ślilicżby .l. b sąnieujemnc i d >b. to /(.r>/(r),
wy/n.}cż 7biór waności funkcii /(,r)=25'-
.
oł
' l0,5'+9.
r(,o=i+'' ''- l \.)
okre§lonJ jcst w zhlór7c D = (0:
wy7nacz lc wartości paramerru ł,dlaktórych l'unkcja/(!)=2J:+l1rł nie
'I
źc ó je§t
'
l]onkcja
,:.
ż wiedząc,
,Wyk,lż,,7cfllnIcj:lrJlU|r/cji$l)c\JrlllmcnLospr/}JmuJcpt,,|eclwncs.lnośl,i, Wykaż, żć dla każdcj lic7b] naturalnej
i
/(,t)=łr
Uslal liczbę ro7wiązań lównani! 3'l,r+3)
=
l+ 6,
4)
Wyznncz zbiór
prłmujc waności mni€jszychod l,
9. FUNKCJA LoGABYTMlczNA
1|
zdź
CZESC TEORETYCZNA DEF]NlcJA LoGABYTtl
' \., r ,r, :B
ożNAazENlA
TWlEFDzENlA o LoGA .::,, R \ l ]
wLAsNosclFlJNKćJ
ZADANlA WPBOWADZAJACE
zA 9,1
()l]]./ b) l)
d) ]
9)
.15l
h)
j5€ 9,3 b) D
FUNKOJA LaGARyrM]cZNA
9,
]
a9
okrcśidzied7inę funkcji
l(J)=Io8]a;
,..,l(J)=1og,(]-a)|
;. J(tr)=Io_q(}'
3:,:
Znajdź lc wńoścj pfiamelru ,ł. dla których d7]edżiną t'lnkcji l(i)
9,,
Wyznlcz
:],:
okleślżnJk]ic7b} :] 1o3
!e
\łinoścjparan]el(u ,l.
,}.Jcże]i a> l j ó>
ll
d]a
łtót],ch lunkcja 8(J)
:,j lo!,,ó. ieże]i a€
(0.
=
1)
=
lor (!]
lot .,,,,,
il,€
,ll ::.r(,)
+4}+3):
+
4r
ł ie§!
(0. ])i
+
=
bg(t]-3r l4),'
,,) ien zbiót, l]czb rżccz}§,iilych.
maIe iąca,
c) l' 1og, l],jeżcli
a€
(0. 1)
il,>
1,
Wy7nacz !vszyśłie]ic7by /, spchriające nicrórvność
,'lo8./,<]:
l];logo./,>3,
Rożstrzysnii. czy funkcj e
/' i
a są równe,
., /(J)=]og.(a 2) llos.(t-3) i s(J)=los.I(J 2X]-])l1 . /6)=bg(1-2] klg (\ -3) i.qll)=]ogl:]: .: /('n=los(]-2] log(]-J) i s(r)=l.g=| . l(r)=log r] i ł(i)=2log il ,l /(r)-log t' i 3(,i)=21oglTl Prżeks7tałca]Jc wyłrcs funkcji J(\)=]og.i.nasżkicui w!,krcs innk.ii ,]) r(])= ]o3, (2 - ! ]: :; ł(J)=1or?
Li ,
ZADANlA MATUHALNE LoGARYTM 454.
]
455"
Kiól'a z liczb log
7
71f7. log128. logr]Ó jest najmniej§za,
o itc proce|t licżba log 8 jesl mniejszl od liczby log:4
o
i]e procent 1iczba 22J3*]nsr7 je§t więksż,t nd
+
a
klóIa naiwięksln?
]og 25 , log
4?
liczby ł6+r r
Rozslrzygnij.któfez]iczbł=]ogł.6,1og1.8,b=]og2 log50+1osr5, są liczbami calkowitymi_
c =
(]os r 36):
-
log
i l ć, log: !§
FUNKCJA LOGARYTMlCZNA
1.ż.
Uzasadnł, że liczby
,=##i*_",
d=lo8]2 log7+]og50,
.=
4
(log'2 - lo32.]o85
+
log'5) :]
459.
r
460,
i':,
Znaidź wszyslkie ]iczby rżeczywisle a spelniaiące róWność log l ,],,(a+7)= 2,
żnajdźwszystkie Iiczby rżeczywistć p spełniające równość 9locr
461. obllc/ log,, ,lr)
Ą62,
oblicz los,
463,
oblicz log
fi'
qied/ą.,że loFt,.)]=ż i log
wiedząc. źe log,ló=5, gdżie.l,
db wiedząc, ż-e log
lo1l=?0l0
i
'
ó'
(,'
3)
=4,
n,75,
sąliczbami dodatnimi
i.lź
:,:Ą"
1
]og|q=1020. !.7!1
. .]
].
oblicz log., _L wiedząc, że lo8,,ó=t[, gdre.1.1r
są licżbami dodalnimi i a+
l,
j7ś,
.-iii, ]]i9.
Ii
oblicz log.r,p wiedząc, że log,,1=2, ]og/,,r=3
Uzasadnij. że licz6y zr*l5
Ę
i ]og./=6, :]7-
i s'"ł: sąrówne.
,:1i
wyk.tz. żejeślir..e
,,]ij!.
wykaż. że dla kżdej liczby naturalnej łwiększe] od log
r
2
]o8 r 3 . iog
ś4
,
. , . . log ł *
I
ł = log l
*
1
a_::].: Udowodnij, żejeżlićeĘ\{t}, a,b€F.*i
:fa.
]
Wykż. że dla dowolnych dodatnich liczb.i
2 Zachodżi
równość
:-a_
2.
al+Ń='|ab, to log, +=j(log,.1+log.
i } równanic log
a;
rożwią7anic, Kiedy równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie?
_1"i lNiechJ=l0
::!,
i 1ogż}+los]ć+ l =log,(b'+c'), tor=,-
+
log r
=
log
(ar)'
'),
ma co najmni€j
jedno
FUNKĆJA LÓGABWMICZNA
FUNKCJA LOGARYTMlCZNA
;"
obok poła/ano liagnrenl wykrc§u
ohl(/ sJll,,iL lUllkcil i
'unkcji J1,1JlumcnlL
;], Dla iak i.go .ugunr.nlu linkcja
l
lolarytmic7n!,.j
of,
p.,y.jnruic
l
§lność 1']
Zlpi§z /nalc/ion] lĘument w poslaci 'ł;. _gd7i. . jcst liczba. ,,l,
!_'i..
Punkt /,1=(2,
.] Wy/nacl
.
łi,l,
fi]nkcj
i
J
ic§t
prrcdzial (,]: r_).
Znajdź żbnjr t}ch irgunrcnl(j\. JlJ kh,r}(l) [unl(lJ u pllyInnl|e wJn^{l dl,Jalnle,
Dine
.'
l) nalcźy &) wykrcsu lunkcji /u)=b!, (1.1ł)+ tr, D7ied?iną
są lunkcje
funkcii/(\)= 5bŚ5(r 'r) i ś(,Y)=31'L'!r '
Nas/kicui §ykre§ funt cii /,
j] Zna]ilź współzędnc punktów wspó]nych !vykr.\ów funlcii./ i8.
}..ll§,kicuj lvykres i pod{j
lbn' wmościfllnkcji l(\)=lo8 n 5(,!2,5'l,+(' , loc0.5(J,3)
Punkt,4={0.125. 3) należy do Wykrcsu lilnkcji logirytmiczncj /: Nasżkicuj wykes funkcji
9{,,=li,
l Prlckszlałcaiąc s ykre\ funLt:ji
Przckszlatcając wykre§
ł(r) = klgl
fun
/ (]i) =
log : t. nnszlicuj q,yllcs funkcj i
kcji / (ł) = log ] t.
(rr \) kts:(l -r)
Na§lkicu i wykre§ funkcii /(r)
=
]og
r
+
nnsżk icu i wykrcs funkcj
log.!
l-unł.ji, {olrc,IonJ icn $/orem śl\)=lor.], '
(:r +
2) i
.(,i
i
=
.i](r)
log
0
l +
- 0.5los :,r:
i
wykres funkcji
podaj jej Zbiór wadości.
o
l,-1
; wyznacz dziedlinę iunkcji 8, ]; ,.: Przekszlatcając w}kre§ funkcji / (l) = log r,t. n szkicuj wyke§ funkcj i 3, .i spor7ądź wykres l'unkcii. któa kaźdei licżbie rżeczywi(€j ,ll przyporządkowuje licżbę rolwla_lJn równania (r) =,,
otrc§l lhlor wJrio§ci funkcIi
/lr)=--9ł.
FuNK.JA LaGARYTMlcżNA
ll]l \ /Ll = ()!j r!
N,,,k]!l] \\)kl.\ltlilii
1
lunlcxloll.J]o|ljclt\rlo,lnr/(\).]og:sjr-los.Jłr+Log.]-n dli ki(nych
l(n\ nnlri3
/ (
\)..,i
lrln d\\ a
§!/nr./
/hi(j|
\3noś.i lilil.]i 1(]) lo1 , 1t)!..l.]ot
\\ ) /lLtc/
lhi&
11U
w}
l!ż.l.
]i]n(cir
(l(.i ]ullktji /(1)=]og (i'
/
.
Potl|t]le N:]rtościpllanrelru,i.
ro7[il]/llnjn mnie],/.].(i l.
l
]r+I1)l
(i)- lu" ' ] łt" p,,".i,.,l,.l,.]l.!llilIl,n\ ]rll\innlj.
l1.rl,.,l /:olr.]]onx \! ll]i(,/. lc/h l/../\\\i.l),.lr, ic(]i ł 1 r={). t() (r(l!)) .(/(r))],
(]rnl|
p|leci\\ ne \
l
jlnw/ol.m /(i) lo!(i.J1-.
ości,
) \Y}Lłż,ż.
ZADANlA Z PARAMETREM
Znlidi lJłi. §xno:ci pll!lnrclju łl, il]y l.!/ia / (l/i.l.ni,| d\\L,nri3n,\ ] ].!1b\łi ró\\]rl
1l(j]]:riJnl| \] ,
i.!r1,, ]) t l()!(,, ]) pl/e/
1()
Dlx l!ljch wtlr()ici txIUn.tlu rl I(n\.rI]i.
ł ]1 l()! ,,=()
r i r. lil |(iżnr-.ri pj.ls,j!\|kłnri l(j$ nr.Ll /, ni()llx ]cjt nl.!!j§l!ość ]og] \ + l()g ] i] > 3'] Lic/h)
]nr d$,i l(jrn. (l(n:rn]ić
pjcl\ilinli]
\
\'+]r-] log,r 0. i;uik.jł /(, ) .\r.okl.sl.nr i]\l $,/bio|z. §,ch,,, d].l k(j_ ]).h (hD. l(nul!]i. nrł lljln. ti.§irnkj ,: i \- \\'!/t1.7 d/i.(t/trl! ]'Llnkl,]i / i okI!ś] j.j .,bń. Dxn. i.\1 ltninU]]. §rlrl]i,:i
Wv7n|./
l(,
\r!łości|.riirl
clJLr
l.
dl.r
k!(jlych j§ntlnie k)g
W)/nl,.1i. $rńoś.i |rlxnrcnll rl. dlr kl(n)ch /hi(n, ]i./h r/../!§ i(\.h
W].llrllc7 t(.
(,ll
ości lullLlrnlrtl
,
(r ]) = ]l l
d/icd/irri_ lunk.ii
nrł r]rvlr tlzrviąu.nr.
illl-iLl1llł
ł. dh ló}ch d7icdllua.li]]k.ji /l1l=ilrjlrr ,l
)1 +{łl ])1,1
L,l
|!
+/l l.{,h],il l(
l
FUNKCJA LOGABYTMICZNA
]95.
93
i] Wyznac7 wszystkie wartości p&ametru,ł. dla których dziedzina funkcji /(i)= iosż[(ł+2).r]+(,ł+5)Jl] niejest zbiorem puslyn i zawiert się w zbio.7e liczb żcczvwistvch dodlini.h
ZADANlA RÓŻNE _!:'j.
"
Użrsadnimy, że
. .
<]og]5<;,
+
3log35=logr5]>logr8l =4, Zarcm losr5> 3losr
5 =
los]5r
<1og
r
+.
5, Zatemk)gJ5
2,13=
wyko.uynując powyż§ze użastidnienie wykaz, zc log:: e
(l}; l}];
. rozstrzygnij. która liczbajest większa,log:3 czy logr
wrtz.ze
fr"+fr"
5.
<ł,
Uzasitdnij, żc
- 1€76 :'
log?36 log72]6<6. iogr2, log] l0. logr t00>4,
wykaź, żejeżeii a,
ó
e (0. 1).1() log.,
} + k]g
/,
a
>
2,
Podaj n4nniejsżą liczbę całkowitą sp€łniającąnierówność rlog5 0.5
RożwiążróWnanie:r(J
3) +
log,i=0.
Uzastidnł, że rów.anie J]+togr
3
=]oga9' nie ma lozwiązali,
Zbiór A jesr żbiorem rozwiązall nierówności ,l{ Złr a= 1og
]r
3
log r 36+log
]?
a, r=
Zbiór A jesl zbiorem rozwiążań ni€lówności ,!a, d =
(loc
]
6)]
- loc
, ] 6
Ios
:
3.
ó =
.r] +
8ł
l 6 <
0. sprltwdź. cży ]iczby
log r 7 . k]g.lr+ należądo zbioru,4.
iog 5] - 1og]
5
2.rr +
8j
- 16<0. sprawdź, cży ]icżby
należą do Zbionr A.
zaznacz nA płaszcżyźnie7 układem wspóhzędnycb 7biór A
= {(,r.
,): log.)=
2
}
FuNKCJA LoGARYrMlczNA
506,
zMn^cz na plaszczyźnie
7 układem
10.
współrlędnych żbiór punk!ów, klórych wsŃhzędne §pclnilj.t rowni-
Zażna(]z
na pl^§zcżyżl,i. z układcń współrzędnycb Zbiór punktów
val.nacz
M
(,\. }),
których wsp(ilrżędne \Pelnl3ją
równość logt)=logyr,
czʧ DEF|N(
płas.śżyźniez układcm współrzędnych zbió. punklów (.r, v), których wspóhzędne spełniają
rÓwnnnle lo! ),t,loe, l = log
ż-?_, DEFlNll
10. TRYGoNoMETRIA
CZĘŚC TEORETYCZNA OEFIN|CJE FUNKCJ| TBYGONOMETBYCZNYCH
KĄTA OSTFEGO W TRÓJKĄC|E PBOSTOKĄTNYM
WYKBESY FUNKCJl TnYGONOMETBYCZNYCH
-l
+fr
r'2r
TRY(
96
zWĄzEK l!/llĘDzY MIABĄ sToPNloWĄ Niech a, będzie mirą kąla
$ /ol
n.,
l M|AFĄ LU
łlrroną w śopniach.2aśzr ,
/JmiJnc lJd,Jro! nJ ,,"p.je:
w/or n,,]nl_aę {olnl , -d lla 1.1: -
J
Jl|to
zAl
KoWĄ KĄTA midą tego \mego kąa
łydoną w ńdieeh,
l80' - a,
r,,,,
w sz.ze8óhości: n lad= l80' WAFTośc, FUNKCJ| TRYGoNollłETBYczNYcH DLA KĄToW 3o..45.,60. J0,
45'
6o,
_!
!'
,
ó
Jź
ŁĘ
Ł\ .
i,.2
L
!]
t_s
(
-!5
10.3
PODSTAWOWE ZWĄZKl MlĘDZY FUNKCJAMl TRYCONOMETHYCŻNYMl
ą
sin]ł + cos]r =
l
jedynka lrygonometryczna
'a,1 FLJNKCJE TRYGONOMETBYCZNE sin(J+,y) =sinrcos}+cos
SUMY
t
BóżNlcY
sin(J })=sjnJcos} .osJsin) coś(J r) = cosr ćoś)+ sinr§in|
Łsi.ł.
cos(r+!)=co§Jcosy,§in]§in},
' lNNE U
,.,,_,1-ffi
l-tg rlP l
wzoFY
WA
G
10.5 l
A. Pónizszcłzor} trynlkająbćżpoł.dnlozo szoów fu lunlcic tylononrety.znc s Ą- lnjżnic}
lżw. wzory redukcyJne 19(
.]"
r)= tgJ
/!,,]=.,",,
!nli+Ij=@9 1c.6
F
śin(,+]) = śini, tu n k
, ,
+
l ry g on o m et ryczne podwojo ne g o a ry u me nfu
śinzr=2sinJcos,
coś2r=co;J sinjl.
^ 2r!,l
l+lg-,t
cos2r=2cos]r
^
t-re) r r+l9- t
1,
tA2ł=j]El
m i
1o"7
ZADAN|A WPROWADZAJĄCE
,:,
. 1
i ']
..].
dI! kąlów
90'l
]8':
Podane niary łUkowe kątów wyraź w §topnjąch
.,
5,
' lr. ó'
,,!,3'
Jn;
Ł
l8'
Półproslap ma początek w punkcie (0, 0), przechodzi przez punkt A i jest końcowym ramieniem kąta 0, które, go początkowe ramię zawiera się w dodatniej Ńłosi osi ox.
b)
a) oblicz tga,, jeże]i A=(3,7);
.,
oblicz cosa,. jeżeli /=(l2.5), -] oblicz sina i cosa. ieżeli,4=(24.-7),
.i obljcz t8ą ieżeti /t=(-.{,3);
Korżystając z definicji funkcj i trygonomelrycznych, okreś] znak każdej z liczb: sin
: de @
10.5
osty.h
Podane tnia.y §lopniowe łąlów wynź w radianach
360'i
10.3
],:l
łykoźyly*aćdefinicje i ł}znaczać wlnośćI lunkcjilrygononerrycżnyćh
:]
+ł
\!, .: aę
sPowadź podane rvyru€nie
(,2|3)|
,,
/coi)
,
co\
de
(t
+ń1
.:, Clę
cos
ą
t8
ą
jeżeli
(5.,6).
do najproslsżej postaci
b) (1+sinlxl e) s.n /+.in
:,,
ą
/,
f)
|
2,o,-
] rn:
,
_
sinl)]
'i
9)
,l
d)
c)
|*'8'
l
l_*'
sprawdź. czy podanarówność jest toź§amościątrygonometryczną
:] (sinr+co§t)'+(sitt co§ł)'=2i
l -1Ł=.;*"o*
;j cos
ł
sln
(
1 +
r =
tg'x).cos:,r = 1i
sin} 'l+..(i
co§-(-s,n}l
I+ćó\r §]n
t
'
|,. . roz*iązywać !ów.aniaty8onońeĘ.Zne typu sint=l, cośl=d.l!I=d, dla 0. < r<90. wyfu&zać waności pozo ałych fuńt.ji t.y8onomeirycz.ych teco śaneso kąia onrego, gdy znana iestytrlośćjed nćj ż fdnk.ji lry3ononetryczny.h
10.7
Podaj miarę kąta ostrego a. jeżeli
ą,i."=f;
b)
,
-,"=9, V]0
cl tg.=ł{. :
TRl
9a
Korzystając ż kalku]arora lub lablic wartości funkcji trygonometrycznych, podAj miarę slopniową kąla ostEgo
10.8
(zaokąlonądo jedności). jeżeti a) sinu _0,682l
c'
b) cosa=0.89l i
rga= 1,327.
obli.z wartości pozostałych funkcji rygonomelrlcznych
10.9
a) sind=o,6
zdalacv
Doirari
i
4jest kąten
**=+ i de |+fi|2fi)|
osirym;
a
c) rga=z
i
F,
ajcstkątemosĘm,
l,.:.,:. l
Analiżując wykresy odpowiednich funkcji irygononetrycznych, okeśl znak liczby
cos40"_cos50oi,]sin100'-siD2m'i,:tg2+coś3;
określ zbiór wartości i naszkicuj wykre§ funkcji
j] D=(-n;
Ji),
/(x)=cosJ- ll
-. D-(-,!],!), /(J)=si.2t;
,
D=(-]!i
n)\{-ł,ł},/(I)=]1gJ|+
D=(_&
Jt),
ob]icz
]
§in
'
l5"l
,)
i cos(]'t
oblicz
.
cos720oi
,:
D={-n fi). r(J)=sinG-+);
"
D=(-,q n).
_
]
:
)
cos2t
'=(
+a):
sin l50oi
sin(-l20)l
., sprawdź, czy podane ńwności sątożsamościaml co§t)';
f(,t)
=
2cos J;
,!|,t)\{-+.+}, /G)=cosł
.]
tg l05".
3]r)i
w;edząc, żecos,r=+i
1' l -sin2J=(§ill!
fi),
J(ł)=tcii
A
]] sin(ź-+,r).
)
tg 135": i
r]
509
cos(-l ll0"),
oblicz :
.l D=(,,q
] D=(-fi;,r), /(J)=3 |cos,ł|:
cos ]05o;
tg(a
jeżeli
',))
]
/(ł)=sinIJ]i
,. sin(4n+a)i ' 'tg(,!-a);
i
1;
/:rJR.
:'t8l+cos'!,
'.] §in2ł wiedżąc, że sin,=
+i
xęl+a:fi).
510
ll
cosJ+sinl cosr- śin,
511
sinł=0l l_
tgr=
sin,=
ll !
+l
tg (3r
tg3J= l w 7.biorze (0],r)i
cos
-+)
=
(2I++)
t5] = 1
w zbiorze (0; 2t)_
,,,2śin]}+sinJ,l=0l
] _
(sinJ+cosr)'=
li
cos2t+2cosJ+
l
lgrJ-4t3:ł+3=0.
t+sin}=2,
coś t,tg
=0i
Zbadaj d]ajakicn wartości pdametru , ismieją rożwiązania róWnania
,
,,
§inr>o]
-]
o§J>
j
+;
sinł>];
sin (4J+ t)
\in
lsj>Oi
tg
=
?,, +]i
l<+;
J<-l
j
si.3j
zWlĄzKl MlĘDzY FUNKcJAMl TRYGoNoMETRYczNYMl
509. 51O.
Uzasadnij, że liczby
[n.*., 3r[_".?r,
(:-.:. )'g'' .a.o"n",
a
cos77Ó-tE1'7". b = cos 45" , cos]54" + sin 45" . sin:54. §in77' ' a) Które ż podanych liczb są wymiemc] b| Liczbę ą - 2b] zaPlśznie uzywając znaku wartości bezwzględnei, Dane
sąliczby
|
5'l
'l
.
Wied7ąc,
4sin:a-3cos]a=3
i
ajestkajem ostrym, oblicz lg1ł
i
c=coslg"
IFl
512. 5'l3.
i
wiedząc.
ż a jest kątem ostrym
i
cosa
=
1E{.
oblicz sina
i
52i
tga.
Sinus kąta ostrego djest o 77% mniejszy od kosinusa tego Ęta, oblicz langens kąta
Ę
514.
sinus kąta ostrego
515.
Wiedżąc, że sinus kąta ostrego a jeslfówny
d jeslo
większy od kosinusa tego kąta. oblicz cosa
2
ol'n. ***.
T.
]icżbową wyrżenia (sinu
4Q+łŚ)Ł a następnie uzasadnij, że istnieje sinu§em Ęa ą adrugie kosinusem kąta a
5,16.,,x Rozwiąż ńwnanie g:t'+2.6 zań tego równania ie§t
J1?.
Lj.ąby 2a+ 1,4a
i
+ (204
+
Cr,
taki kąt
ą ż jedno
+
cosa)?,
z rozwją,
52Ą
l) sąodpowiednio sinusem, ko§inusem i tangensem pewnego kąta a. Znajdz
lj.zbę a-
-'i3.
525 s prarł
d7,
cly
51(1,9 Uzasadnij.
rdu nosć
Ę ]l+lo'r
l,:r,n"n",o^Jmoścląlr}8onometryc/ną,
ż€ równość Sin, (Sin
j
19
t
+ cos
r)
= ig
J.jest tożsamościątrygonometrycznql
::0.
sprdudl. cly równość
52i.1
Rozsilzy8nł, czy dlakażde:liczby xe Q,+)
522-
wiedąc, źe tga=3, obliczymy waiośćliczbowąwydenra
i:;T,:;,i
=lc'! l$l lol,amością tl}
"u.1,o6"i
goĘomel rycl ną
,5.,n956
-l-ffi=,r.,
;;*+§*
526
52i
52a
w następujący sposób:
sina+cosa
.
dziellmy liclni]. i mianownlk danego w},źenia p,^,
sina
**, r#*n, osu
cosa
]€4=r-|=z. {..t ól,vmu|em!: '':gj.:-q ,.na , Jo,4 |ga l 1-
.
|
wykorzystując przedstawionąmelodę, oblicz wartość liczbowąwyrażeńa
.
al' 51
]]\ina
-2co.awleo/ac.lc lqa
5ćóśz7§nu
''n'a --!!9!aśina,co\z+có\'a -
,t; ,^
,ieaząc. ze tgrr=
:
n[.
t,
52§.
101
Niech r bę&ic la}ą liczbą żc śinI-cosr-+. obliczymy wartośćliczbową wyrażenia sinlr-cosrr,
523.
.
korzy§taiąc z€ wzoru na różnicę sześcianów dwóch wyrażęń i z ,jedynki lrygonomctrycznej". otrryInujemy: §in]l-cos],r=(sinr-cosł)(
.
.
sin:r+sinr cosr+cosr.!)= +
Pozostała narn do obliczenia wanośćiloczynu
,,,",--,,i=(+)-
sini.cosj.
Sląd otr7ymuJem} równość:
Zaren sin]r-cosr,t= J.0
l
(l
Ponieważ
2sinJcosr=+.
+§inl cot'\),
(inI-cost=+. a
sin,ł cosr=f,
naslępnie
- i) =+
Poslępując w analogiczny sposób. oblicz wartość wyrłzenia sinrr+coslr, wiedzą€,
Twierdżeoie, Jeżlli miaru ,na+sń0+\n?, o+a+y
524.
więc
źe sinJ+cos,l=+,
każdcgo.kątów ą p, yjes|,\ieujcnma i ni( więk!.a od ]80', k)
W) korży\lując t'n$yżs,.ą nlcrisnó.ć, u/a\Jdnł. żc
e) sin 13'+sin31"+s 46'<
]]
525.
:i
3sin l
1.5:
l'>sin33',
Kąt aje§l kąlcm o§lrym. j3ki tworzy prosta o równtmiu ]
sind(cosa+§ina)
=
2l
+
5 7 o§ią ox, oblicz waność wyrażenia
.'
526.
sinus kaja ostrc8o d je§l równy
\łledl4c. że Jn(ón
_
a) >|)
03Jjl, oblicz
i co.in- a)=
|51.
wan()śćwyrażenia log( §ina+ cos a)
obllc/
-
Iog( l
+
tga),
(!ZŁ'
jl];,'ob]icżynycos22,5"wykorżystującw/(jrrakosinuspodwojorcgokąta:cos2r=2cos]r-l,
. .
co\45"
.
Poniewż cos22.5ó>o. qiec l o,lJtnlei rownnści mimy co,]:.5o=
2{có\
]2,5')r
SląJ olr,,ymujemyi
t
]lcn.r].5"l'=
f . l. a uię( lco.:].5"lr 4-1 'o,_
Poslępując w analogiczny §posób. obticz co§l05".
/-/r-1
il--
Twicrd7enie.
./_]:rż Y'',
Dla każ(lei lic.b\ r.e..|wislej a .a.hod.i rów ośćsin 3a = 3sina -4sin'a Wykorży§tując pdanc Nicrdzcnie. wykż, że liczbl §n l0" Jc,t plcrwlaślkem w'clonu.lnu W l ) = 8 \ -
:i:l']
,
-, l+\in4l
ffi
sptJwd/. c/y tliwnuść
t+t!2-r
i-fr
ie.l tuż§Jmoicią Irygon,,lnelqL/n.
6J- l.
TR\
102
i]- .
wykź, ż dla
|-]:;'j,
wykaż, że dla kżdej liczby
dowolnych liczb rzeczywistych J i J zachodzi równość sin2j - §in')
r€
(0t
+,') zachodzi nierówność tł +J_
-t'ffi
=
sin(, +)),sin(r - )).
>
5Ą,
z,
WŁASNOŚCl FUNKCJl TRYGONOMETRYCZNYCH
]
533.
.],]
wyznacz miarę kąta o§trego a wiedząc, że sina jest rozwiązaniem róWnania 2J'-
wiadomo, że ąl,
/
są kątami ostrynu
ico,a=i. *,p=;.I"/=+
5ł
0.
7,r + 3 =
ą B, /
Krdry z kątów
ma
nai
54!
większąmiarę, a który najmniejszą? odpowiedź użasadnij, nie kofzystając z kalkulatora i tablic warlości fu
nkcji trygonome!rycznych.
54ę
Funkcja / okeślona.iest wżorem /(j) = cos i , tg J ' Zaznacz w układzie w§pólrzędnych zbiór wszystkich punktów po§.aci (d, / (a)). gdzie ć jest dodatnin algum€ntern funłcji / Iluliejszym od 2n, ,; Podaj zbjór wartości funkcji
517
i
8, okeślone w przedziale (-,ti2fi). dane są wzorani /(i)=sin,r i 3(r)=,l-n1, ,] w jednym ukłr&ie wspókżędnych naszkicuj wykresy obu funkcji, l ] oblicz kwadrat sumy i sumę kwadratów miejsc zelowych funtcji i -) Korzystając z wykesów funkcj' i podaj zbiór rozwiąań nierówność /(i) <8(r). / 8,
Funkcje/i
i
Funkcja
.
/
określonaje§t w następujący sposób:
-, Naszkicuj wykes funkcji i ] okeślzbiór waności funkcji i J okeś] przedziĄ monotoniczności funkcji .,, Rozwiź równanie f(r) = 1.
l'-)=
54B
,.ł j":j"r ol",., -, i",",i",*-i [o,. - ^, [.*, ol
54§
l
550
Niech A będzie zbiorern tych,e (0;4a). dla których funkcja /(;r) = sinj przyjmuje wańości większe od zbiorem .ych ,r e (0: 4fi), dla klórych funkcja /(-Y) = cos i przyjnuje waności mniejsze od +. +, zaś
B
wyznaczńi6rA.B.
Funkcja
:
j
l
ok.eślooa w zbi olżE (a,
wyznacz zbiór wartości funkcji
/
n)\|-5: ź|, dżnajest wzorern
/(jr) =
określonej wzor€m
cc,s.
"fG)
=
J6g
|::1:|. Na§zkicuj
2r.
wy]§€.§
funkcji
J
1Lg.
+;]- l' */_L .o\
l,,,\r =|4
l x\in]r r
'
|-śinl
l
\in l cos !
Rożwiąż lównanic z(§inr +cosr)=lgr+ l,
Rozwia_żrównmic (co§ l-sin,r)]-lgr=2sin:I
Ro/wiaź r(j\\,nanić sin](śin:ł-2cos]rl=cos]v2-cosr_tl,
Rolwuż - r(;Wndnlr 11\ - +-l9:L+: l+\]n1
Ro7wiąż r(lwnanic
silrr
Rożwiąż(r§nanic
(l
Kt,/W|ą7
rgt /i
ls.() (l
+
=
=
0
tg.ł-.,6sirr1,
\in2J)= I+rsr,
, .ł!o\, - \iń] L , |!,WnJn|. , ---, = 4coś-,\
Rozwiąż lównanic coś2l+ sin
l Ko7wlqZrl{vnJnlc
h+ l
=0,
i
Ló\st
L+t!r
Rozwia_ż nlgebraicZnie i 8rai'icznic ra)wnanic
sinzr=cosl+ cosr l
w Zbiolże (0; 2,t) I
IIc
rozwia.Zń rótłnania cos(nlog!)
Rozwiązać równanic
'5nt'Śh
t
=
l
0.5.
ntllezy do prlc{:]żillu (l i l00r()l)')?
PARAMETR,,W FUNKCJACH TRYGONOMETBYCZNYCH" 571
.
Dlnc icst równllnic cos l? ,\ ] * 2\in 17. J = co! 4. sdzie ,l icśtniewitldomą, a) Wykłz, żeiośliaiest kątcnr oś.ym.l()ftiwnanic nta dwa rolwiąZmia. ZnLlidź te wirrll)ici par:rnretru ą dl:r l(irych d ne róWninie ma dwi ro/wia.żania I.LLi.. że \ullt.l lch odlvi(nności iL,ślt!ieksza od 2,
Funk(,i:t \. okrcśkrlx ieśtwlor. rs(t)=\ -co§a,l-sinz-3,wy7nrc7lćwiności pnrlnrctru a. d]n kló, rych nljnniejsll \łJnośćltlrkcji !icsl r(jwna ],
Dla lakich wanościp.fanelru .ż\uma ł \! Jdrató\, ] lj7nych pieN,iastków ftiwn.lnia jcsl t(nui 3?
r' lisina
Lo\ u=0
};unkci kwddrllowłłokreś](,rljcsl§/o1.1n,ł(I)=,inzr]tJ2r+],7naj(iilakie§aflościparanr.lru4 ab} Itllda 1icżb! dodarnia nJlcż.l]i do 1bioru wartość liukcjił,
ZnaJdlwszyslkic§afościplt[lmctruae(1)l2ł),dlłk]tir}chlunllju/l\l=ł,t+]\ln:al(\-]cosa+3)n
jedno micjsce zerowc.
RÓWNANlA TRYGONOMETRYCZNE Z PABAMETBEM
t\\/nlc/l,,§.ln,|.,lD.llJJl\Jll,(,Llakhł}(hrosn:r".o. ,
l .ri
m,,,,v* 4r-ni,,,
kn/§i,l/,,Ńn,ln(!n§\ ł, rd/,c (j.\I l.,/wld/Jnnf róslJnlJ Jl t\ /.,] Znijdź lć wanościp3rlmctril,,. d1.1kkjrych równlnjc
D].t inkich \YMości p.fanetru
,l rósnanic
(l
Sin
l+sin \ }nI=0
Dlll jlkich wirrości parame(ru ,,l równan ie cos ]
+
J3 sin
l
osil|
,Y =
ZADANlA RÓŻNE Danl jcsl fun*cja /(I)=cos,l oblicz wanośćti]nkcji /
+
lr
dh
4.
r8unrcnlu n.
wy/nacż punkt pvćcięcin §ylrćśu iunkcji
l
Okl.,.l /nlk ll./h} /(_'I OJl.\V'cd' u/,l..lJ.rli,
oŁ
\],xr+2,,-4sin
!
o,
8=0marozwią/Jnt.l
ma ro7wiązlnin']
]oc rl
r
ma rozwią/an ia?
Y l
TFYGONOMETFlA
582.
i
l
wyk€sem funkcji / jest prosta ł o fównaniu ) = 2cos 30c.T + tg 30ó a) Podaj rniarę kąta ostrego. jaki prosta ł lworzy z osią oŁ b) Znajdź rniejsce zerowe funkcji i
51]:
Korżystają€ z definicji tangensa i definicji §inu§. dowolnego kąta. oblicż tang€ns i sinus kąta rożwartego, jaki tworzy z osią ox prosta o równaniu )=-3J,
l.
584.
sFawdź, czy liczby
585.
Obllll
nuJry kąrow
586,
Liczba
3
W(x)=4Jl sj]+i,
d
=
(sin 60"
+
cos 60.)r
i
1'
= §in? 15.
osĘch a i 4 viedląc. ue,n\o -
-
cos 30. + cosr l 5o są pierwiastkami \łielomianu
l i coga-fl, B )= ,22
jest sinusen kąta ostrego 0 i rozwiązaniem równania
I
9'r]+ór+c=o. Drugim rozwiązaniem
iego róWDania jest kosinuś kąta cr. a) Ile wynosi suma kwadratów pierwiastków danego równania? b\ zlajdżIb7"by b ic.
587. ]33. :-.is.
Uporządkuj rosnąco liczby a = 10lo81E. ,
j,
sinr89"
+
sin89",cos:89.,
_i
.:BP
Rozwi€ równanie cos 2x+ sinj=llr +4' + 3 z niewiadomąi wiedząc, że wielomian W(r) =i] +l1l +óJ+ jest podrelny przez dwumian P(r)=J- 1 i prz€z dwumian l. o(r)=I+
Nasż}icuj w jednym układzie w§Ejłrzędnych wykresy funkcji /(,T) = Wyke§ów funkcji
|j]
=
/ i s,
podaj Iiczbę rozwiąan ujennych i
cosi
licżĘ rozwiązan
Niech p(J) oznacza pole trójkąta o wieżchołkach w punktach (0, -2).
Naszkcuj wykres funkcji p,
:r'
wyznacz dziedzinę funkcii /(r)=
log, ,1Ą6 lgt
-i!::,
!1 Rozwiąż równanie
co(,_2)=,r'_4I+5.
59ii.
Y,l
Rozwiąż równanl.
z"o"r=logy*#
7
1_
i g(r)=ł! {todatnich
(a,
-2) i
l
Korzystaląc z
ńwnania f(r)=dj),
(.t.
sin,r), gdzie _!€ R.
1
1. oDPoWlEDzl, WsKAzoWKl, RozWlĄzANlA
oDPoWlEDzl, WsKAzÓWKl l RozWĄzANlA Do ZADAŃ WPRoWADZAJĄCYCH WYBAżENlA ALGEBRAlczNE. RóWNANlA l NlERóWNoścl ALGEBRAlczNE
1.2 a)4t'+l1t]+9j'i b)]5ł]-20,ń+4r]: c).19i]5ó1lł 1ó]]: d)6l]+6!Flfu(+15q:i e),l'+3łl:+3,,+li l\al+h]+2ó+2a+lh+\. wa)_e)sliorży{łjżodpowicdni.h§/o(n\\Ln1.on.go,no^niawO\Umęt7echslhdnikó§ł+r+lhożol]-p.t osJi
.Jk. \unlq d*l]lh \Lładnikó\,
1.3
(l+ł)- l
11db,. b)'|d'2h1|
a)
{/.
2c
1.4
a)n\ró)l b)(\
.)rr ]5i
r'
d)łl-ł)]i
5){l+5)i
b
l:)lu b+l)| .l.'+h'-ł2db)k1'+b'+ł2ó) sko,y(:ł ze §,zońw:kÓ.oncgo,nnoz.nia w b) -.) i
n. o
, g)
J'
n,
i,/.
.l,,,, {,
k) /c
V,^ J
b' - n'
+
b' + 2nl
h'
ż"' t
"
,',9r-?i
l)
=
a,'
+ h'
)'
- (r2 ah)'
:\]:]l+5i
= (|' +
2!
1.1=r](1,7) ](\+7]=(ł+7)(i
h',r2
l'+]ł] 6t+li
"b)
(a'
w
-
+
r].2\
J.śliwjc]omian
wnód]iczb 1. 1.2. 2,
"6l.*J]l,
łżd h)
2
, tłlr=(2l 1)(2.!]+3} t3)l B/3
|ł(r=l(a ])(3lrl)
'r(ł)
,n!
.]]r
1.1łd łldj, jcn
nim jedna
ł.§jl,t]t/G)=lr-1)(r]+]r-,1)
l licó l. ,r,
+.
lfut .1, , lvli.,^r,/, ?l.nl
ia
ł.13l.mno/nlEo
nka.h ||i.la,ńidń| o \ś})ółr.\hilalh
PtNłx*kljnl *je]o,łiJnu c(r) \.!ljc,b},.1j].yięc
d/iel.nia tł(0 nż.z
W(r-h
rozłival]| l)roziłi..żxtriclrlósD,n[jesll!/dalio/ba,e.Zywirla ?l 1l 3)=,1! 18,siądmnny 3\= l5io{,lcć7nie r=5 .(-"6 I)=3_.6, dzie].! ob]e §ron} ówDania pż., Ó l. oo,y,nu]"",!
tyłac'lmyJpped narvias
otl}Nliemy ń*,ninie
J:l
.1r+4-4I+a i widrnl!.4 dla klżdeilic/by l/ec4wjnelJ
le§,a
dnJńańłnnni! le( ńwnaD.awej
a)r€(3i*)i b)..(:i5)| c) nicl ó*no( sp.]nia klz ]icżbalzccż,ylvisixi d)1€ (216+!6| +_), a;..6 l.. :ó. wylączanry rplzcdnawias: r(Ja ])< 2,6. dżćlimy obj. nnlly nienj§ności F.e? JJ,? ,f .:.,i,,l,,,"on .l.,/n,1,1idn\,1,,!n,,-Ln",, 'tr,,.t. -'f,,,.,,, 1,.nol,,,Il,,,, Jr r J],:
1,9
,J l ł] , J:"Ę],
"l". f,
( ljell
l)(r+4)(t ]).
e)lówDlnle n,e jn.
b) Mnorąc ohie \trony njwnlnia prże12.
ł]l
n!
]
+.
a)J=-l: b)r=rj .)1=?: d)ł- 16:
d).!6-,=3-16.
16)
p&sixdek wlmjemy, lo
t/(1)_0.zatcjnnanbc!lr]3{,lllylt)jcśpodzi.hyF/c/dsunialr l. \Ęiiljcm
wiclomianclr)
1.8
h' +
n!w].§:
:l=l.*rlt.
]eśIilic7ba,, jeś pi.Niajki.m wiclomiin lr(ł),tonamo.}h ttl O jc{ F}d,dny P,e/ dsdmiln l.{r.i rtlr)=|l l)oll).8d^e Q(rjeś wnlomnnem (oPni! o jeden nrniej\Ze_!. niz wnbnian lłlr,
ty(r=(j_]):(]łł)iW(r=(rt+l)(l+2+óXl+2
3)(\+])i
7. §żo,D m ró/ni.l tw]dfu(i\. *,l) z. wzoN nl lwidr]i suny,
]w|n-(t l)(l+])(\+])i 11.)=(.+:lx. l+JiX, I Ć). apisa.
B .) ze w/oru nl lj/nica Ve]ciinlnł.
gI=J(J: 9)=r(r 3)(\+])i h) crupdeny yyluy i §!łącż ny $§póln!.żyńńlt Prled
ń) d'+l,' żuh I'=fu b)' |:=fu h l)kl-h+.): +
i)l].2?,
.)(r u5J(.+uĘ). d)(2, l)(żl}l). .){] .fr,l t:_J',l, 0(1,,3)'i 9)(\ 16)(].Jr): j)(r ])(! +]\+.i)i k}(l+1)(.].,.!1). |)k ,)(l,r)(l'+r])i
2i]+J .]=i1_ 2)+(r- 2)=(r,2)(r]ł!): i) }i+7\]
n'
e)6L]|2:
c) ,e *,zoru nł 6żnici k§adalów.
in \uńc \/ciclanós.
h)(r 2)(\]+l): i)(\+?)(t
"rk\/,l
śkolzyjnć Ze wzofu sknjconelo mnożćninnr liładlxt \Unry,
skorlyłaj 7ć §/odł srni.nego mno,eniJ: s a)
sl)
ń'Jkl
i
:v, ",,: ,/J,,z-.,
,,6
aDPow
1
Ę Dzl,
Ws KAZÓWK l. Bózw ]ĄZA N ]A
a)l 6"L 5. b)l= ]vl-:j: ą-.
d)in\nl|]e|jeir|rllz§ix],.!]: e)ł-Ov.=t. Jl ". J: l)\ ]Vt 0.i,i= Dł= n, I ,6". r+f . a) l 5-0 lt]i l r6=0.!łd ] 5 Lllr |: a): d) t]- >0 d], l.,dej ]]llh\ r. R (bo l ż(]). § j.. nnvrriLe nj. hJ n,\, j.V]ri: e); &=l). (ł 8) 0,\t.rd !,0 ][b ł=N: l) l(l ]) 5ll ]] (l../)ltoiil 2\!]!!/dr\ D,/ain.l!L.§ (, 2)(, 5,]=a.!ir] ]=] nlh 1 5i 9) ]]L:ll]1,3=(r ].,1\'+.1+l 1).tor/]nljx. /e q/..L 01l*](1rllnmy.on/JJ.uj.ny l2I l1]]=o. Zrt.m 2\_ l 0.d.ttr=_0.5: h) l],]l s (l, l 2' .1 | ( l])=36. , j-l r,.. ]]_!=l 1,1o
h),
iw I ]:
oL
5i
:
1
Ji-r. ] ł. ',,r-l.
;=|= j)
,j ],
]=1),
^=l].
!T..
rJ.
,
_,]
]1/]=
]r
1]
1,1l a)t.(.-i2)!(,1:--). b)\E( 5:6): c)]r( ó:6) d)lel ^,. ]16)u(2Jj: +-), e)\_ER\{0)l D,l.R: 9)]c(0:,i). h)I.(.]: ])i i)1.1-i])!1i1-_). 1..rl-Jlo,: ,fil, xlł.rr, l)/= 3: m)l€Ri n)rcR\{t/;] a)7llidLll.Dynna\i!l[jtlj.](jxlj,trlu (l ]]ll J) ] ]-l) illb l ; 0.nltlt 1=] ll]rr l-J R]{Lj.dl! trpj|\/l/|ry\]tr\ n!rt!r /1l) ll ]]l1 1) Lrżlr rłĄłln,\ 1]r,!ł//:rJ 1n nn1| n i |h Pnal l..lr|, t .. 1/i /l |) : l' 6l ! s. !, 1il].,,l,.l !lrltilrllłł)r \:ł\l !l,hll) llą,; ].l,i)rr 1l|,u]Ąil tlóruin|\Ln \lt! i| lJ ]i] \I)rLt\!fuli)lr\ o!.7y /l.|jy / \r_l.t\J L!, r. dlll lńr!.l] /l,]>l) r. l, ])! l,ij -.) L\
,A'' - -
]] t - 5 l: qrl!.!a'funlrrl /ll)=l\ ] 5]16 l],|Ll./{lj.dl
b) P].!§i§lLL\rj.n ]Li.trnll:_5nn_
k) Tnjj
i$ ł ]ł j ni.
ni' inIk.| /l(r t] :t
+3
)r PLu§].slk(nr l^<(]) (o,}ł,r,r. /..ur(\/./ol|!. śd/r.D. 1. a],t k/tlćj lj.7b! l/lc7],],§l.j ł /.L:ho{]7]
\lyl,,. n].lnł
1,1]
n.\ć,]] ńr l9<0 !L].hjiJnl(. h./b.L ] n)
W],n]^ikl(j]Dii!|0.jl].J6l13l..tńwn!0,$i..It]nrLinl.itj.l]ctl.sIl.Nij
n.|,(]§nyr =Jó K.r/J!iL]&Z,u]u\t/ollclotylr.\L"ltrtrlqi
]l
r,o,, )
,:
1,,
/(n=().5l] !6t _]
\Ą
!,
0,jV1=.1!]-r1 11. o".=:, Jl",-o,, f,. "'1.= ], Dl- 1V1=l!l=2] 9)\,a)\ 8 0]dbł I=0 hLb ]] l1=0 sl.]d \ li ltlb L ,] lt]b \= b) r ]\ ..L 11 ]) żJl.Ur , =0 l,rh \ 2 () sl.U |.0 l|b t .]. c) \ ]l n\] :l .t, Jllt,.1[l z.no,,,=o r,l .=J: l"l , ć , .).l) Po!n]]nLr§!]Uy j v!.L,l,nnl §\Ńl]ry ./}i.j( Pr7cd Dntri.ś 1,12 a)l=
,= Ji",= .
7
'
l", r,..ó
1.1|
,=
J]'",-J'
d)r-Ow L=l
1=]:
.)l-
5:
l].5:
1,2l
wPnnVJ|/1junj.i!|.ldon]ąponnullu,1l .'!tlll.,:|..t/}DnL].jIyj(nVD]lnjl] ] (] \ł]L./lly /j = ].l=] ,<(].[ls.\' l] 2 slx]l\ J] ltrb L= J?
., s "._ t ".- Ji ",-"il
V
/ ]=0 Ił]/rvii/,Lnl.trlL i|\lJlJ
, r :fi
l,,i
.=r,,:fi
J.]]L]!./b!{]!npj!Ni,trl(].Du1.].ilin.b.J.!j.ynL rif,r §ir].nrilD 1!l j.n Ood/].]oy F/./ dB!miuj l ll./i1!o /J|],,]a § i.\Iilill ł)0l1).!(i?1.01l)iln\ljknnlinlJ]nnotDii..d.D,jtr\/.!(jIl/dll}§j.]0ri.u
iJ.?.L.ol
9pt9,!LE
49Ę1? o!!!! a 4llpry Ą
D_z l
1
l. 1hlh \. li ,= 1r, ,= , /i ,=ll Jll L="h s/!k t)^V§Iv.],ln\n.njJ!n|d.]]l.\]l)r)lL]/j.lnj\(nvlL./br6,./)il\i:iJ]|./b],
\.-J
iub
rr3]cnl]-21-2./nl.uldłneńs|lnj.nro^.l/lt^rć*|ojJlilt+])(,'_]l l ,j,,l/)
j,
,v,l,,,,
ł]!l,t,h,
|jcl§iN.k ||{]D.knini. ]
1
,r,,il
\1.1,J,i,-
prd]q (lstrl,tln}.
|L.r*l.dno]\,oln}. |j.sc/l.,.ln!n!.
5
])=! slldnrlnr! l, _]
a,,,,l
,] pL.]w
./.
l
lLlb
,t
]\ 2-1) R|/ui./u]ll.
i,
lr7rl{niy:
:]_plc]q (L§trłfiiny.
lt'i\) \i]'-ó\-9)-l(\+])].\r!.gi.l()n.i,lr1o.L,i\.,pl.r\i,Nl(L0,
r, (-_i ])Ull)i])i
l ],] ] _],6, ń l i.^rJ
(l |r!rq
l]trtrLn)]nI
_],ol].t..Lpl.|$lJ{[,l[L]śrlnil\l)l
l. t 2i]]]\{]]i 1.ł.r]l)9(2::r)] 1€( *: -3)U(()i]r)i lEC-E:-!)wJol!(r|+-) te(-_:-aJ. LEl 5:-l]J{()lt): \€( -i ])!iI]: 1.r-,,:_])9l,.l:l)!l].-]l
\ć ! :|U1()] |ł:
lvl./\j.t/,inJlo,r!.tbld7i.n\ /ć,,łł.n.fu l udlli.nlk^1" (p]Mnn|r.]ó). l]c?b},.((n.,Di.j.nj.so!i. viJ{(j.|l,|| dlJ\.-1: ly(3)-li. ( lj<() ].l]1,-),/..DrsF/.J/,JI.(]:jś)§i.loN]nlt(llPlżti,nuj. §lnoi.l ui.ilnc $!z]nll. pierw]Jnli §]cl.njj.mU ltl.) iqnj.|),trlynok(lnc. §]!c Znnli Nl.]{jnj!|u \ :tned.nh |,/ld/j!łJJh \,L,(i/|.:
l!l.nrd.nąnj.ró\ioli\ll!hliJjątć l,!i-]])9(1]: ])
wl.k,!Lń Ll'(rj=(l ,])(l
l!(\- :])'fn!/) |llr\lJtrl| ] PlJRj.§i.l.]cdnolnni\. !
pj.n\ x)i.l tl(t]lnni\.
] |l!ń\j!{!l
]i.nlieBltrnl\]enrpll/rnokoh]D.§ilc\Ypr/./l]lJ.h(2:])1lIi])ll](l)lJlen\ll7ł]l:
l(.,)=9l'l]f;+]t
(lq!krotn), sLó.o ] si.ikr
\[Ósn.ić \F-lM]j3r. 1.18
U pl
(9r]+i1\+.})=.(31+])'P.Bji,Ll,§trlon|JltrltLl)
io (),
§l.L
tr[ .i .la n!,
]
pi.^.l*l"r
/ lllnr
ż)v {,+i
a)R\{ó): b)R\11)]: ć)R\{_5.]}: d)R\|ll|: q)R\1_51: h)R: l)R\i0.1|: DR\l , ]li
o)R\{
7.
k)R:
r}l
l)R\{
5.5]:
l)R\J_].l,]l Aby ufuli.ll/cd/ L /) \)lJ.niJ \ry! .m.so, nnrlnD lc zl]j.ru hczb vl./\\ś§ch untj.|i t.lrc/lrv dlJ |tin,.l| ]cśrÓ\ny1) .)1 6rl).wj.cl+a Z.tr.olr=R\{ń} c)\ra:()ir ]/(l,\i9cl] 5lr+],zJl.DlD,:R\{ 5.]) k)wltjlnjlla!n!|u\',:]\,.1jc(trcnDy(^- 7).uit.dI.L\J/l!.ili.7bl r. Rln!]nyl: ]L+ł+l) żxl.Drr=R 1.19
a)
b}\.]:
\:
ą
-:-:
ąr.
")
]j,
0
.ii-,
s)
;:i
n)
*j'r,
ł l:
D
nn:!l^(nj]\
-:
ć)--+__=_=J:
l,
-,|
=
1.20 a)It(]*|llieni.
h)t=0
1,r =_l
N uwiai!ń
i)\=
49:
b)t=]]i
j)r- ]wl=l:
cir-21 x1.= ],
d)
"
njsnJnic I c ,
Dlu
n)/*1łl|,ii e)r-5l
=u,
Rolsią/y§l|1.1J/delo]('*n!n|,o/po./nL]odUn,Ll.nujeg.
/i.(l/ r!,
.v, ]]'' ,,,,.", ,-..,, l,, l (,Jl t,o,,,.n,,,/,,,,,,,|,,,q d) \lifuó{nlIl dbu §yftż.li \J róln., \,.l §y!n,c/y nIl)ró\n,]. i|!/nlk1 t!lh §!l.|ż.. .)bl.,F,,{,._!
].*nUie Iini()td
k§idln!)\e,
i(nvnul. llnx)§c hlb L}J{tB!lv. R,mnó,.b]. n!ln} ń\|xni!przclll
)xfu |)
lub
_ll
lx1_1),]DJn.pnl.r!^\l,!/ot/]
1,n]cj.n\iJnr.l§.lJ]Jf,Ń.
i)ł=,]] g)l, ()5V,-]
oDPaWlEDzl, WsKAzoWK] RazWlAzANlA
2 2
LlczBY BzEczYWlsTE. zBloRY 2,I 3l 2.2
D)
0 hlb 6
ł
,.\
.J-lir dZi.!{.L ]illb,_ j7 1.
",
.f -
li./brl.j|od/jehJ|rZ.l],!JriUJ.]j.j.llrjśl:r!/h]podżj.hąp,/.l].ul!.hc/b]
2.,
1lub:dl]i./lrrd\uc],lio§!L(dJ{y/nr./ilj].)lr]dlic\iil.1l].|lo!cl,;.n]].J/lll.Llr:/U.l,YIi.neJ(],],,].6.8]
łe l0.
j. ó.91 1d.
2,3
]
,
i n+}.
iJ
{0.
]..1.6.8|. §].. d=O lub
.!l]!d/ll.iJlcL
§ilc l.!
]]on/i.hl.t
]rirrw\7eI
pli./
l
ł-ć
lnrb].,
.!1I] i.dno!ci ti.lŃvei lj|,h]
]
,' ,=,lł' l)-(,l l),1(n+])
rlo./J,| u/.llr Lol.j|}ch
22
1.7b.r1[o\t].h
l-i.zbx.r]l.sn]dllNJli.hultr/c/]ntI)o!J;a,,, llLlbJ, l,!d/].ł.c \rL./} I).iJzia. z. ]j.żb.,(-1ł1l)] j.n Nnl.i (]n-1)]=9x]r:6łr l=](]r'l]ł) 1 ], 1]n.c *ltc]i./h](]łll]]l.!Fon].L3ł+l.!d,.ł.c ]i+l,!d/l.t.c
22 22
,r),
J,,,,\l,
l. ,
.l
WykJżllij,r,v \l|.. /. dLi [,y|.i]j.7lr]
:l0=] 3 5
R,,
Ę
,
'_,,
a. It 1- Pż()../)h 1-:P
7]
ż2, \wl)l4]!. |i1)- l2, \W\l(.1l!,
\wD(l47,200!)
3,1)_]]
.]9. \wW(!,1].
j6;
]!09)
\\\'l)1]]l. J6]) ń0]7,
]i, NW§1]]l, ]]6])
]5.1l:
9pŁayĘp?!!§!4?9y!!!9zyĄaĄ!!!. l ł\rLqJJiJLJ
i]nzbpcn\/)L
2.11
ą+l b)+i ");i
2.12
ą?, b)+l ą+l 1,
i.
.)
tjL]ż
lt ł+
d)*
,lĘ, "5 a-
. Rożwiiia.ig d/iesięhć
2.14 a)
d)ni
n/n)!l
skomzone IUb
nLeslóv.fu okś.*cnljn
+| b)*t ")i] d)*, ")!fi
02,5:
§ lko liczby
\!n cm.
q)f=
+=i]+=* *=#=# .[r,4 1*,t|i*= ;= * -*,-]9
c)sPfuwldzanryo6aUhn]kidow"r,rEe"ń**J"nikł,
Dr.5-I,_r=lGź5,!6. 2.15 a)
+| tl4,
-
"i/
ó,l,
"l
ol:
ą
J-ll
:rfi*"fil,
6=5fr=fi,=ł,-,
"l
2,16
,
J, -,6
,: JitJ' L ł,Ą,J] ll
F;6-mrE; irr.,Ą; ń;-; a
=Ł łi *z
a)(3|+-)i b)l+i2); .)(0.1i5): d)( &| !)U(,1|+@]i
€)(.:ó):
h)(*]-!) ')(--;])] 9)R:
5),€ (-i0,8)i b),t€ (0,]:0.ó)i .),l€ (0.6l ])i d)łE (o.6i ]) U (.1: E). , b}5,1 2e(_1il).jcśli 5n ż> 1i5rn 2<1 slJrlolPynrujcmy,l>0,2i ł
l0.1.2,3.1.5,6)l b){li6): c)R. d)c,
c)l2): d)(-2:,])U(l:2):
2..l9
a)12.1): b)(2|5)j
2,2o
.),1\a=1l.]],5},B\A={0.ó}i
e)(3:+-)
b)A\a=(li2),a\A=(5i6)i c),,t\B=( -l2).a\,4=(]:+-)| d)1,1\R:t,!: l)!14].l\/4=o.
2-21
n'=(5|+_)l A'_(
C,-l])U(7:1-)| 2,24
(0,:]0,ó)
.)6:
b)o,23|
c)o|
]13).
(
-l l)U(7l+)i
d)
alr,.,n, J, y'
!6
1a5i
'e)z
1::.1)
!(5]+):
,F-,[,] ,6
a)-4..li b)0: c)1.7,3,1i d) 3.2i e)ńnnpunyi l)2
2.2§
a)(,3:3)]
b)(-i 2)Ui2ls)i c)( l;5):
8 r:
żl 6:
2.2a
Q ł1
2.29
li0,?i
2.30
a)
l3fix)i
d)(
ń,_
v"
_i 6)v(_2:+-)|
l o)(_-:6)U(ói+)
121 5-r
.1r
skoźy{rj / nj§Rjści ł]
-l4)U(5i+),
3.1.1
2.25
l:
(
=L.l.
b)
1,2i
.)2,ó:
b)
l2o00]
.)
d)3,r:
12]000] d)12.1000]
e)4.,1i e) l ]65001)
l)5.6i
9)7;
oDP oW E DZ], wsKAza WKl,
2,31 a)8.s9.bł,b.ż {).002.bł
§l! -:;
a) 3..t56+5..1]]2-3.833
2.x3 2.34
=
b)]]j.9i].bł b.l,c.00la.bl.11!
li.89,
.li 0.00Jai:
c)1.56.b]
b.l
Bhśb.luZ_!]rd|y] li.338 3,89 =0.0|], Blą.llV!LEln),: ]i+*
0,1)()25.bl
B
ozWA zAN l A
§ż!
o1,0,1ól,i
a 2
=-ń 2.
5l|y
l lit= ]0(n l]n'.
N.L]Nięk\/q
2,
po§]c,".hlj! hx dłrlk]D:, n D.rDnricDz. /) l h.l!J =lo000 n]
x, Jl)o
]
2.35 sp,jntć] (xldkola Fw.rzyny ok ,
"u"-
++
(]!
6,67 n]/n
-,.u*un
2,|
2.36 \{IlIB
; 2.37
a)2l| ,
roo';;
-c:.sli.orT..
b)30.ól .i
30ri, liczby rO, to
2.38 conlj,lłlci l] |Unt'ós ]]oai ,10- l ,a0 1,1]]9.
2,41
6)80:
b)
at55a
l] 17ó
2.44
165
# 70-]l
2.|
12.
2,,
2,39
2,43
2|
c)0.5ó:
?2i
.)
]trń!, l, ll,
1i.7bl uo7cnl]Lów
]5(x)
zn,ql0^l jl
]J |jll\r.utrm\
wrcie./ki ł]].]51i ,=7.
c/_\lj
(=3L]
+f !=]
2.6
slłd,]= :,i'l|, - tr
^ ^
")# 2.46 aio
3.2
]5.'łi b)o75911 c)oll?,5'l. .
2.47
b)
Licżbx' icśyiclisż. od
a\.lo.jI b)
b) o ]3c,l
i
licZby d o ]9.
wil. ]iclbn
b
j.j
\yiql'sżl od li.Zb]
n.
od licżlry
ł o ]9. }je.ljllbx ł]cd n,n.j\7x
],2c/..
//l, oFr.c |-
]9
c)o53(,l
Licżbld i.n mtrlcl\a
od h.zb}
/)
2.48 ]l,1,t 2.49
2.6
lo{]Dic lokIy w:kali]olu
T
I 'rLl)- ! .ll .,,r"
r
]
o
]9
3,3
3,4
oDPaw l E Dzl - WsKAzoWK 2,50
l,
RazW] A zA N ]A
.1,].9!l
oznI li.żbxlob].l.,1_ji.zb".9,..}^.,l;=+.n,dt.+łLillbxo.óbnr]L].(].h65lrj§i...|].{rlnl|l lr t lo .:,,,,2_Ł; loO'i-ł lo0l;-.1,1,o'lr.j..cj.llo]\lij.!.!tol.!/e]i,xlr ",+: ) Nllż!żl,nlJ,l.\, , 1
2,52 ai\l\LL.ti.lI l cc rl!,1.k oh.j/.troo r rc.z.!lo*lcctr]k0f}:i
3](r:
b)o!,J/]J.i,
a)c'nrL dki\\ll.|ie.1/.r|l)tl.r\\/.J.bDI/.. l 0.]I-0.i1, c.nak! ki\ 5li.pi.ił,l poJruljc obnj/..:0.$\ L),1],o.|il-().6,]l ceinłuTtklv\Li.pkłr.r|o(n!n/ce] l 0.]5\-().65] o.ó5r<0.68\.trlq.no.bn]żL].hr.nkibilvlińv.;.k;r,"r,,L,,
, ;-i 2.53
lnłrl=i,l7s f5.,1.i
,,n -do.hody.r./]. : I00ri= ' - 100rl=+ ;+-
d.!hod]
'.n]
l00l,',]5.7al
Wićm]./eł1-1.8: D.Jh!!t\ /o v!iD.\\ia
2,55 a)]5/ł20g,i b)o]i2.5l1:
c}56Zl]]]!r: d)l]Blt
2.56 a)o6ltrnkin! |rccenlo\|ych:
b)o
]5!'.
2,57 o ].] piiklu Plo..n(Ncgo Ż.58 .) 24lUi
d)
2.59
a)
l!$jelz.In!l] ]l]orn tjn'.li.lb! lrkhoici:
2,6l
a)
ł l995 fułtri b)tr.
w\Zynki.h:
c)w 200]
l3,9.]l:
e)9s,]rl
oktr. d)\200lloltr:
e)o l].ł]l,i,
FuNKcJE 3.1 a)Nieje(: b)]eś.d2ltd/nrr: ]].
],
],,i]:
c)
j.d. J/ied/inx:
c-: d)iiej.{: e)nńjc{
3,2
a) l)
3.3
a)ł: b)6i c)2d]-n]+ł: d) ]8r]l9ł+.]. e)]L' łr]: l)/(\),2r]. Il\+l8
Ry} ]/3l
bl l,', '
l)
.) /(l I) 2(l l)-3(r
b)
,5,,,
io
l,
]l
,
l)+a=2(r: ]l1l)
3l 3+.1 2\],\+]
3,4 .)./1ó)=0: b) ] i 7: c)rE( -: 2)Uló:s); d)\.(0;.1) ,a),/(ó)-6: J 6 i]=0. b) s/u\in} l*i.h \. d]! klórych /].hodżl nnlnol! /lJr=9.c1]-l1ń§!o( ; .1\ ]2=9 Rol*jlz]niń]iotZJJUn.-!oi|\irD,.1.\-i]:
\.3osąljl/hy ,=
]. r=7,
')
,",]
,
d) \]crósiość r(rś ]2. c7v|]Dień*nosć
7 ,nj ,, ,),,,
1] .]r ]]< ij,lp,.q.llzJnL\,.]! |ro{]J ! J{:|.J|]ion].ioro{J,]
(1 i]
In
l
WsKAzówKl, RozW IĄZAN lA
a D P oW E Dz ],
3,5 a)'l:
,', ",: cj
b),,_
o 3,
'I
njsność](r=(1rj../y]inisDŃć r
,a) s/u].!my l&lLh !, dl] kólych 7rchod/] (')wni!l]*Wad]t]!.:o \ąh./by: r- 3. r-2 b)s/ullmylxki.hl,dhtkjr}ch/&hod/jlj.ró§Doia/(1)>r|r)..z}l,licrowność
+3l=2tr r
1]+]I>]I-6
ó Ro/§ivJ lj,
niotrżynrJn,ltl
Ro7wiąz riłDi ot7}tr,] .J di.n]wlolcj
c)/(!+l)=1\rl)]+3(r+l]..r]+5l+4, !(]\ ])=2l]L l)r,ó=ór+J Rol*lqJniJnrilieniwnoi.i l
-,1I+3<6,+,1
o) . 2 l : 3.6 a) 1,,,: bl, ,Aby/n]l.rćnBi.]luo\.1'l!llicjij'i]]ery^Jlclćl.]l:unle,lyI.1tn.sltrłniJjąl(jłnani./1r)=0 .) zt-7-().8dy1=_1.5 \(]lrr) 0.q.tllr-()lubl= ],5. b) c)
li+7a s. ]8=o,3rUl)Ul.p wyrJz} otzy,n{emy '-7r_O.s!lącż]j.!rpllednJsj!\..tlynlu]tmy
nj§nndic r](2.r17)-.1(2L-r)=
().
ł]xtly (2I+?XJ: 4]=o, st(!]=_].5]Lb! 2]trbl-]
l ^.al.,')l, ^ J\,,
n k,'
o,]i/,/,
r
po$}laclor
ł\pólne_go.?y n*lprzcdm*iiś
]|/
',
R: R\l 21i R\{ l, 0l: c} R\ 13 }l b)R\{l)]; (al 1)!()l+) h)( 5l+-): i} 13]: i) (0: E); , Dljedllid fu k.jl ll.żbo§.j. to /bn *\/!nlich licżb. ah tlil}!h ntj/.nlr oblicz}Ć §tnoŚĆ ltrnlc]i D]!.llne,I)Au].ltrDk.]! /. mU:i b}atrlżoyod0. J {Jll/.ni.D({tt].slx(Li. l ju:i by. Dieu]ennre
3,7
a}Rl 9)(0:+)i
3.8 a)nD(0,1)i(2.]1]. ,
b)
n| (
ói ]) i
Ą.r$szi v\Ńłr7idni lu
jUi.dhlcgoxlgnnrenlu a}
Nt r=O,wJnoi!ti]nk.iidhl:lumenlu{)
b) Np,t=
n.li.zb]lrlc.nv ldo ć
r,1, /(4)=+ (_,l)--].
wl§.
l!
*l
1,1:
-])] c)Dp,( 1.I)l(2,0.25): d) l)(l.])i(5.0) ji tolj!umen(. d.!!a w\l]ótLżldnl
kfu llilc/xlc_lo (to *yLrc:U ]unk
ó.
zlen ,niino§nil
3] io
wrrloś!.j]rąln kL,jn af}j
](0)=l.iliq.n!]nytU lt,1-(().l) l-:.l(])=l1.,JInywiq.plnktr-(].1l]
polowll]l/byF/c.lsn.j:3,/Jr.ntDnllr,( 6.3)nil./ydo syLr9vl ]n.l.jl
s-(4.
wyra/.
2]
nlle/y
dt,sltlt$ fLolcli
/.
/]
d)nLcnrle4, 3,9a)Nxl.zy: b}nle.xl./yi c)nde7}: ,a)]( 2)=( 2)L-]( 2) 2 - 20. §jęc punlt / iltt,y do trykrc$
funlcji
l
, Jcśl.lunktA=( l.?).]le/J-dowyL.n]fu l.jl/.1ó/( l)-7, ZJlenr!t])'+2( l):+]]( l)+]=?. Ro& ią/r.i.Jn tt/ymn neBo(j*ndnir].(1- 4
3.1l
a]
Jcli ,
b)ńicj€n Zbi&punkknl n!lłJ\^lylnić z 0kiadeDw\Pó!Iżcdn)clr Diej.{ wylre\g l1]dn.j]dnkc]i. Fleli jłnje]{d§!punll! należale do
3.ż
Jo§ykicśufunk.ri.o/iJc/!]ijtyt)./cdladllncnlullnnlljatLzy|m j.nnicv3n.!d ,'olJl., 3,12 lu]ej\.lż. qt: ,
3. ],]. punkl}Pvecj{ xlo\jąox:( ].0).l1.1)).(].()), pun[tp'!.j.!,llosi]oy:(0,9) Miej:urcl.§c lósnrnjci 1]-9I-9=0sproBJd/Jnłltofl\Li.i(l l](\'-9)=o.nIlmJ ]y1,]lubl= jnlb.\=],
PuŃly *\ajlne *,yllc\U tunkql2o,i{arl 10 nuntty.lt&)-.h rĄ(ilJ tingx ruńklqdnx)j.n ósnr ów l. 3 i 3. wi9. sluk!ńyń] pddłfuni M (l, 0), ( 3. l]) i (3.0)
0 lu.L.jl
/ gtdoii
0
rżyjnnłe dl! ar!un'.n_
Punki§\nólńysyk,csufunłcjizosiąoy-lopuDkt().iio)),/t0)=9.vl!.s/|]nympu|ktmj.{lunll(0.!] b)R}., lrl żb$Jń l
],
r] c)B)\
|
',,h| ,
l,' :,,
d)
o. '
32
/\ .J' , |,0
,.?l
1
3,14 a){ 3;5J i (3.5)i b}( ].0] i
J.ił ptrikt P
(2: l0)
o v}kl.!L hDkcli/ i d. §yll.{l1uil,.jj ś.n] o/n!UJ. /. dl] ir!u]n.nl! 1obi, itrnl']J plżyi_ ' mują(.slmą§łno(.u/yli/i.hodżiró$nośi/(])=!G)Nnl./y/nreŹĆwj§Llćlj.zh}\.lŃe\FłnjqJ.(nv.xnj./(t)-.1r),c/yliÓ§.rnl. L] 4=5 Rósn.lliet]sFeInid{lj.lb!j- 3jl=3, szukuJp Dkty.101 ],ś(3ri1:] f(:])).cżyn( :].j)i(:-i.5)
, a)
(t.
Dxl.Zy
oDPaVJlEDżl |//sKAza|/lKl Far|/lA7ANlA ] 3,15 I.a) .]/],r]'.n b) l.,.!.l/.:.!: ], c)i: d) ._r, L../. \. ,.. ] e) / \]:\, (]..j: :|) ji i ]] q) i ;9l,.!,: l),( h) / l,.j,!i.?,,r/j,.] l ,n .]r l]:]i ]l.jl,.\]r/\L/,Li,,.]]il]j.L5la]l i) 1L], ] ].i:! ]: j)d lnl,]] k)/() ] Dl .:1l)]]ll|r ń) /r n]a: lt\.l.]] ,_.:,,.,\. t d) ,)] Il. ._r: ].i, ll,.)./.,:/]. b) :," ą,,j ą/.:l i]._,il]n,, ].l].]] J)1il. ]r l l l)] q)ii h) i11|..\,]]ti(/].] !.LÓ ]i]ll( \| |l/!l..]]Jli.6l i) (r :!! a lL ]l ),l ]rl.. k) /1ll] ] l) l ] '] l ll m)l\1,1: r.i. l\. ]/]
i
3,16 i)/i
:
b)
,]
3'17a)rl.lJl].L:.'Lnp:/.7'i.]l]]..lr]]b)-..];'...'\]i'/.'..'1 ;.. l c) .:i$l ..\ .:/.1, ,:.,L ], ,.l].;.].. \.lr.,/ ]| tll
/]l)
]. _.
-
]
]i1.7
],
]l\\...l d)oLji):i tr]i,ll. \/!i..:. a) n,ł.
.j
]
i lt)
:
.,, l
]
] li]
l
]l
,.] ,.,.. ! |:.\l, b) l/-rL . .! ,\ e).Lłlr$J!..l,:a.r:ill
:l
]l.
!\.j:..
]l ]
]
L ]
,\ ] :,i,,,.li ,i, l,). ]L]] l]lllj\7
]1]ill. l!(i\!j |./!]. l|Ll.ir|.L/.Litrtrl],Ldl,\.l.t:/trirr!]
l-]
t-]
] P]7!|./1.1.
4fl.r )l]]|. b),l!] + a)
l,-li!lL
b) :l) i
/]
ą . ll) ,l, rd )
d)., | .
.) ll r
l)7..tr\],J l ., l \l' ,.
r
oDPoW l EDzl, WsKAZÓwKl,
oDt
FUNKcJA LlNlowA 4.'l
a)Rys.
]/4] b)Rys,2Ai c)Rys.3/4i d)Rys,4/4| o)Ry§.5/4i 0Rys,6/,1;
l] ,., .
g) Rys,7/,1
Aby naszkicowdć wyilts lirnk.ji liniowcj, należy znalerć dła punłl]i ń!l.rą.e doj.j wlkeśU, nznaczyć jd n! plaszczyźjie z
układem *spók/ę.lńych i poprowadżjć pmstą p,echodzącą przez z.zn.c7ońe puDlty,
(J2
|)n
4.4
' ,, ]Rys,8/4i
']\
Ry\ 9/.1: .]Rys l0/.ł| .)
Rys,1ll4i
.]
Rys.12/4i ]Ryi
wykt \ iunkcji / Dożna olżyDać. §żl i. uj ąl najpicfi w ykre t fuŃcj iiagnenl łyklesu tnnkćji s, kńry znajdlje się pod osią ox. , Nlszkicuj kolejno w}kJesy tlók ji s(J)= ł, łG)=|l|-l, JG)= ł(r).
4.5
l3/4.
i
J](r)
- ],
a
n
asrępni e .dblj
aj
ąc vzględen oti
ox
lc n
,Naszkiclj*ykresfunkcjis(r)=]rl,an.śęFiepPesuliwykrcslunkcjiśowcklortI,1]
CdJ,llo\'|-,-l,;dy,,,lo|,.l
-\ l)
r 1|=-(r ])i|rr=-], gdyr€(oil).b [ 2ł+] dlr r<()
, GdyJ
f(J)= ]t dh T€
Poltępljąc
]l.
tak,
jlk
,
,
l)
o,u,rt
ł punlicic
JJleń l\_l)
J-li= (r
,[' ł-,=lr-ll.=l.
2'IdlJ':|, - (l dlar
4.6
r]=ł asdyl:l,to]J
]l=i 1ilJi=r
wĘc wzór funkcji / noaa zapnać
s
pośaci /(r)=]J-ll,|J|,
[l dl!J
,olżrmamy/{,)=]-:J+1 dla J€(oi D. |-, ,,lu, r l
:l) D
J+li
b)J(r= zl+a; c)/G)=r+l] d)lG)=3ł q; el/t,l=trr,+l .6, o rr,l=-: .-].a)wzórfuik.jilmapon.ć/(r)=aJ+b.musimyzaienżnaleźćwspół.żtnńikilir,wiemy.żeJ(I)=2.łięc_.+b-2ilć
4.3 a)J(r=
t,J,, 2,v,fr,!,,D- 2 ol'!ln.lnn,\
d*l".Il,*nd,
1'J'': 2 L3!+r=
Rozwiązdien
Ldgo
u*laduieś p{a liczb
a= I,ó=l.zareniunk.JJ,
4.9 4,10
]
V aDPawlEDzl, WsGzoylKl, RazWlAzAN
/'n'..iiao\oyvt!nk!i.oruld.cj,l.vltc/(()]=.1
b) wr-kr.\ fUnl!'ij
l,,l
|
'
IA I
j./bn]jcśmi.isccnr/lnŃvmlunl.ji /,yi.J /l2)=o P.nłpL!ł!
v, l,., "a), ,,,), ,F),L|,,,,,o/|,,|
c) w,óIfunk.]i] nroż. ry/nlleźłjrozsi.]uią.urł]dni\nJr
lr,]_l=;
*^.,.
q)ttrĄ.,(tr,r,J,/ĄjłJ,!,/,|r!I||.llh.lt.ąLli
nl.!\ Wtrr.\.,n nmk.]i / "*nu,,,.u"auu.,.n'",ununrttilr.§]§.Lorly\lili,r.7tgow/ofunuflly (\ Ż)(5-1)=(Ó 2)(r l).il)opżćk\/lJcenir.hotrżyn[]cl!|=rrllnlentlnkc]l]olr.Śbn!Jeśwzorcn](r)=l+1,
fr.?.lan.1l|d,
d)J.śllwvkr.sfunkcji/rnnj§no]e!łydoł},krc$tnLlrj!.loohlwylrcsy\łna.htk}l.ilo{\ioł|odtynjślhynkąlem.aIo.żnicżJ,l.
w:pólczyillilicrun\o!.scgżorJ.hobuin|\!ji\lń\nc],ż.cnwl;nmkcjiJniNnlj/(r=3l+'
Poniciu/tunl(a=1.1,j)|llczy
dowykrc{luDk.]i /.lo ] 4-r=]. sidnrxnlyl,_ 9.ui$/(r=31 9 e) wykr.s lU Lcii / ]ć{ nrchylon], d. o! oYp.d tllenr 60.. śi§. sllil.1ydnlk \Lglon(owy \c §żor^ funkcji ]'.|§t Ńsnt ts60. =l.r żllcm wzó funr.ii / ,! to.tłć /(r)-i]\,ń Po{rtujlcd.]tr(.i&§plr.i.d),.tr/ymimy/,=3 15 i l(r)=J3l,] ij
l) ŻbŃcm wano!.i
lL ]lJ]i.f(t)=ł\ , /, icn xlbo 7hnn li./h f/ec/y§nlych (vtdj-, !d! ?.o). JIb.7biór, d. ktncgo nalc/,! lyiko i.dD] lic7br (\]t.dy.gd!d=0.c/y'igd}/jćnt!nl,!,jtnii.' PonicWxżlUnL.,il r icF/yjmuj.s]no!.i{]od]tli.h.J|rrz},]nruj.sinośi,-].n)jcnlunk.jtl
nlladkFjloa_$7orcIn /(0=
_3
,l P!\iripvć.h.dllarle/punkIl0.0),wi.L].],,{nJnkmJp,\jJ!)-ij, n/wiąllD njwnJdll l',l] ]l' ,11-0
(jĘn} radńtncnu
4.5 ,,e ( ;| ,
ll,FUnt9 ]e il|crrr,L.lvlrc*ipljl.Zynnjkł]ej
+) FUnk.Jl /ńJbyć rornac\ wlt. §śFijłl/yonik?1+] n|sjbyćdodltii Ro/*j!/fi],minicó§fuici7,,+3>oili.zby',>
4.6 a) Rósn.nic
Da rdno
(t/s],rani.: b),ółnxnidnlcnJró/uillzl]i: .) rółndic D! nld\\.ócżeni.
]
\yi.|c 1.1iL.r?Jn
Dlala/ne]wano(ciilxrmetudńwnlnieDxjćdn.nz\yivxnie1=5d,3,'cdy.+2.1o(nvnlnien.jcdnofu/wi,mjc.=
d
3,
ldy(=].10rozwiązanilnJe(L!/&liczliu.cżywi§J,.Gdyłź5.1ońvnaDiejna]cdn"".*i anie]=ś;,rdy.=5.!,"j*n, nienien lożwlązJJi, 'cdyd+ 3iłi].lon-)§nJnl€nJ !l] n oantr L- _, !L]v J= r j. ozu łJlcm ńwnJDii je\l kvnl
i.1,1,/..,.łl,,,,,,,]),l ",l,,qn,,ic,,,,,,, /v 7 , Z dxnćlo n]*rinil B)iznnc/ jyt:r=5. ] wxl/imy.7Dj.śliwn!.]\ccd§\tnlimydotro]trąll./bp.()/!w\7cotwyjniny j.dDo lożwią/, ic łł)./ł,.=2 l.!| u!.aniql D i, n \ =1 ). ^ Dlńe (iBninic \prowMżJńy d(,Ponlci r(2 .) d]+l 6. Jelcli.=2. !r nanv njł.anie .\ (2 2)-2:+2 6. !?y]i ń*nanic r o=o.knjrcspNłn]ltrd!]iczhaP.cżywlnx, Jczclid+2.bobie{Fnyló§.anixl(2,.)=r].d 6 moż.m], podłcljć F/€/: a Qt:\ .db:L ńl u +2 nuł^ t,.nhoit :! ,il l].iLli, l "i,' l__,.,],^,,/J",q |,, ,.ntrl,nklj ldl,,,,/tr,,v,,,.,",. /.1,o,v,,/\j,Jl ; :+ Gd!a+lirĘ
R.
10
rółnmi. ńr|]tł,lz*ivmrc
Io7wlŁ,nion ń*nJnia jc§ lPna Ic2b]
,
=!Ę, ]t]\ /=ll/.+ r
,ć.lywnll;
ldy .
+
1). 1o
/lń,
rówia i. ńa j.dnl,
"."i,1,",i"
rówfufic nic InJró/wiązlń. ady?=ń=0.10ruZBił/8ieDrówuinilicałr{]aIll/blr/el7}wi(l,
,
Due róqnanic :tlosxd4ińy
do
ponrci
. . ]$.
ldyd=lió=
].to
gdy d = l, i a + 0.
10
{d l)=r+],
J.zclia=].1onrunr],równafucrO=D+]reśliteruZpmnellłbędzicńił\arlo]ć!j/nąod3,1ootżrnxmyIósnłniespPecżn.,xicn, p,rrńetóbed7iemiałsanośó-]].1óhęd,iemynicIirófnani.t Jcle]ia* ].
to
obi. {lony ń{nanil nrożeny podżiclić Pż.ż!
dMD nj§nani9 mi iedno
4.9
')
spelnialólnanie
roz$i]-." .;** Ź:],
oi
b) np
ł dlhc7bar7ec.y$hrJ żJLl (td),hr/ M/g]eLlu h wdtrośćpxrrnletrU r.
0-0. *óeBorourvia7anienr ie{
l,,,,a."
.,=f
(I.})=(]._]); c) płrxlicżb(5. 2)§!.łn ulłj{]nj*,ndi,wie.]cś.i.!on,/§,ąlnl.m
4,10 a)(1.I)-(5. 3)| b)(t.I)=(?':1.5+]: c) rolw u§rdujcśłudrlanlio/b(I.y)=(a.ł ]),,ldz.ł].ndówoln.liclb.rz.cżr-"i.|t ..) Duny ukld ńwnlli rożN,Ł. rnly n[tdl todślJsjlnil ż drugiceo n-)§nJDił ukłJdu uy/nJ.anry }: l:7 2I Pód{lgiLjN
dopicrwśżcśon'wnania7,2rł,nicjsc.j,otżrmIjc,ny}+2(7-2r)=9,stądłyżnaczalnyrjr=5'lerł7znxidżicnlyqxdo\ć\tol\ll vlljłc]=5doóWnaniar-7 2I: }-] 2§=_1 RozwiążJnienruklMu.icśBis.pllal.!)=(5.,3],
a D PóW l E Dzl Ws K AżÓW
.1] i,]q - t <6 ll\,.L.LirlldnjlhlnN|J]],do{in.lu\:rnłnr,rJ,A trlł.d ] ' 1r rl j = .n 7!=s .rm]r r= 5.2, lt;,, /n]Li&jJ.) tr.f]ia ]. t.Jn:a\ j.l ll. ] = 5.]donjllDJtj]i 'L UIłxd[.n\!i.c]rlLLar,t) l 5.]. 7 l)
1]
,i]ł,]!1
dr/nnJll
Ń]
?
K l.
BazW lĄzAN ]A
5,1r_j6 ]() sli §)/i]
l 5,:J H,nnl ,=7,1, R,/liyJnJl
4'l1R.l\li]Jnli)l:lhn'jL,l.a)(l'1)=(].!)jb)l1.]](l']]:c)n]/l1.vJlunlLłJdtrlliLJ/l]n.]nllJ/btL])('].ll]).sili. ,l ,. ,J,,l , dj l ,!. h,,]ilrr_\!hl thu It..1J-.]
]ó(lJJ-().]al!.
1].]6l,ń.1\, i
.. to./.:lloil] .J rl [!]/Ll l}.t. (!ntl 0.7]. n -]{). ł,il| 50l/l) |l t/.li.j.bi]/.J
t].l\w.l.b|t/...
..lr]l\] o!]!.]./Jnkl
,l
,n \ln
n n i.]./,L/./tri]tr!.h ll./Lr. l,
l.j'],|]ł
§lfl./i
1),7]l
"D,L
L]o
(LnL:!,l
olji,n"
L"ł,!^l,|]rlDi]1]lnn\LliLl],
(],]]l 6
,,rrr
Jl(jY
/ ./ul.u].h]i./h
',l_]
]l ł-lj
(
ó
09l).§,
,./5.LD.ln!.lrl].llln\,itjr.irt,.I]j/.i,.l]]i||,,.r
,t
,
l=ll'l)
5l) !] i ]5 Du].Lto]()!r , o/trr./.oiJ f l!/hJ Ul,].tjl) !F\/o§J-.h. .] il./hlm.d.t](]!lo,/,qy!l| ,l l,,, ,. |, D .l
4,'16 l0nro|lllo
otży,rr,o:]5fo, ut \ltc|"=],<
, I-1./blal0.}1i.\.] Ltj.i.}1 1a^tnr!.k f,,łd. /J. ")l|ą .dno]!]l).i,{ nl7h] ]l'1'l) \=,J
llh l 8:
1_0 lL|b t=2 Ljh l:]
Llb l=ó.
t
]l
la( ]: ]):
|
]]
l),= :l l -, (1 l ] lV \ ],] l,,l , r 6..2 !] lr 6-2V] 6= ]].9 (\=s!L_1) ('1 ]-]w l '] -:) () (l l]=3wI ], ]V r 3,1!\ ]- L] ,: iL-6V, 1)V\ ,]Vr=2] cdyl.( - 0), b l1]1+] 1,1, sdyr. (().:,). kr 1+]\+l ]\ l s/!k;ry usivró ń{ n.DiJ \ +]r+l 0 wpl1.|tllJ.l _:0l: |_1 ()ć l= 1 l.( _:(}). Y]!.]lj§ l Imilr\iurni.n]l./].. d.tllld/jnh ( -: oj.j.( on ]
ni.nrx(,lllVl]i lilcnrdJne nntnlDl.nr] j.l]nor.^ux7J|le I_ !. (1 1)|l ],,1,!dr-,ElL:+)tj ]]).10 L l+\ ]-ał ]) (l,]]) 2I:. !d]1.1:r:]).tr] | l+t,]Gd!l.(-: l l + |-3..\ l r |-]]-]],] sżukJm!j./\lur ln\DxDi| | i - tr1 =.1 } trl.d/iil. l ,,: ]); ż\ ]=,1 e j- -], jf1 -. ]]). §:9' $ tŁ,J^il' ( - ,]) nnulini.
n1. nrl n]/\r
jlaD
l)!]\E( ]].l)din.nnlDini. iL|On]a-1=,].Hq.krzd!li./b./nl/!d/]n[(]:1)l.r,|](](j/\ll!7iLln sl\lnr)nrlrłjlililósllDii1l+r+]=tr§tl/.dliJ.(|.+.r)]1.1-].].ll..(ll..').}jc.j$lnr7niivJnjcildd.'..n( Drn]! 7ii. 1ioz}viJ/lni.ń (nl.injxj.r l,\li lj.zbi \ ' ( 3i]) l'nJriL J]./],,uukia \ trl.d7ilł].i] ( -. ]) r ( ]]i +-] w |l/,d/lil' ( -: ])],/ L:'l +l ,il,-ll =il-] \t l,/,
a.,
aDPawlEDzl, wsKAzowKl, BozWAzANlA
1.1]]i.1)] \€(.1]7)i lEl]:r), ! l. tl\ ,] j ,,ll,l , d\,.n ,l Dll \€ (-.:o)ni.nj*nn!! a) l\ ]\-,l>l J!.nlśe) t 2( t+J)>l R.^tllJnicń l.rt]*no]!, €..] Lj.,h) \>9...o,n.L.Z]./e \ p,ed.nlc (:: ()) njeró§noic {' ni. mi n^\lV]ń Dl! ]c (()l4)nj.l(j9nośl lo n 2l.']>l0 IDiJć o !_](-l+1)>l Ro/qi,VJtrleń li.,(]wnoici €) \x lj./hv ]>:r.. lrlcd/ial.(l) 'r)ro/*ivłnj nl ni.ń\no].io.:i li./b Ll i]:r) D!! \€ (,]:+-) nlcnjwno(a al r,]]L-r!>]ŃrpN,,t,jo J ]l, ,1)>l Rolv]]l/ cnIlicl.snoi] e sąlll/hyr<7...oh.t./.l,/.\ pl/ldźillc (J: +-) nrlwiuanjlnli nieńwnoici lD \1]ic/hy l. (Ji7) zn \illJ,] - \,-njl.|. /cI€ (]: ])!al: 7)..żYlj L. (]:7). Nlc
mDn,uivlńi
\e( -: ])J(]:_-): l. ( ]]:,]), re(-iI): ie( ]i]) , ll >] e (\<.3V l>]) c,e(--:'..r)!(rlr-) l\.] 1^ \+: 3^ \<-l)e t€l ]:-]) Gd}r. (::0), ló]l - l ]= 2. gd] le (().Ę). lo r ,r ]=]t 2 Dlar. ( -:0)axn3ni.!n\no!ćnjll)ośać :śl].§I!.LJzil li!/hiżD,.d/i]h1-,0)j.qjljlożsj!/lDicn s/uklnly rol§i.]/Jll nićni*no.|iIl lr t 2
l-i.7hi,ni/ Fze{l/iJłu (--, l). \l(n. \pćłnjr]łdanł
l +\<.1\/UlJmr{|l/(niilrcllG-:l)i(l:.-)
] lt<](l\Jlc7b!1e(]:]),
njc,l]wnoii\ąle(-].1).!/p,/d/it,ł (].+-)h./byJe(li:),Z]l.mio7§j.,.fimlDuó§noici:]|
łt= 0,5] . ,le (.,{).5.+i) , Rótrnlnjem3iednoro/§ielni.!l.d\._!i)2,i+1 l),czrllśdy,. l)illlnltalrr,.\ł/f,"łi
ić(i.d}.gdy]ł+l>0.c/}]ildy,J> 1).5 (nln,.:d, l ]]=],j!l elL
RósDaDic nra dwi n)/§,ją7
ll ,],n+]
|= 2,Jll))
(r.\)-(
'
'
V
]].5) lub (r,\)-( l.,])] l\.})=l 1,2), w)/nJ.ża].,. / dru:i.! ló§n. iJulłih\=2
\NhnĄąli.7bt I=
]]1t- l nśliI-:i.lo]-5(r,\=]
\)7ń.tr/{ąc 2li.lw\z.!o ni§nlnl] 0lil]du
on/lmanelo ni§nanll w P,ed^ale ulił.tlu jen l] li./b (t. l)-(-]. ]),
(-i
\
]) je(
wyzna(/ir{ z niuli.so nn\ilniJ ullJdu l
(l,r)=11. 1),
l, E{l\Ll§,Jjr tr),!jćihl= l.n,l=]
Ivr=:) ż-],J:lwr ]
(2nrl) €
(l.r)=l(), ]) luh l\.r)-(],l).
Fr*,/C!o. ot7) luicm) nn\ Mir L t - 2j = l. klólc i/ri.,n Ukłllnj§nJ,i idwlnl7w]!/rD]l (\.I).( 3.5)
no
=]\,J l B]d!ł§r,ljJ! no druljc_go, ok7] jujcmy ló{i.ńj. ]l- 5- r-] Roż§r./.,ni.m l l. s |)rżcd,xl. 1]i ._) ró§n] i. lo n]c nt ,ozłlvin, ż]l.D j.dynym rozwiJ/Ńien |
\
li
po(l{jgl]jtLc
|.
ti.ń\ V._go. .!/\ muj.D\ ni§n.mic
r]l \=], l)h lMd.i]Lc7h,
,!./ywi:lcjrnchod/iółnoia| ) =]\|,wjęcnJnydo,|/BlVx ilróvn] i. } 1=]. Róqn.lnicrotr |Izedlixlu( -:l))nlłro/§i.l/]ni. ]= l.dvpv.dzi]l.(0i--)Di.nrlnvsiy3ń,żxl.mjcnyny l(,slł/mienllkłJdOlcnt,ulli./b(\,])-(l. I)
\\t/ni./łJt^/dnjgi.lonj\tr]I)iJull. Ul fl ]jr\)d,Llsj{n!,toPies,/.s.,of/)nruje !n,§n.fI l|-i:L ]]]=3 sżUknjq.lo/*1] Złcn !)7§]a/lD]mi utl&lu są nrly l]c/h ]rrl.dzi $h(--il)).(o:1.5)i(!.5]+,-).znxilnL].myI-()i]-2.
l otPynincgo nisnlnin § a!. \)-((). -]). ar. r).(]. l)
FUNKCJA KWADBATOWA 5,1
.)
],5
l l; b) .
2r'+]I
.)
1.51 c)iunr.i]njcnjamiej{zcnnvi.h
5=0, Ro/§j.Vuj.jn} loró§nanic
5,2 a)D=-?
iulkc]l / p,ijnui. §,i.loil (). L/yL] l)ch.lkn. spcł!]ji!róg .Die k§ndr,llo§. , =:}*= l. z,t..'.l.-.' ,ckl$]-mi hnkcji / \ł li.7by 2,5i1 = ji=-'.r.
s^Lk.my ly.lj xr3u ]ctr{ó§, l, dh kiórych
^-J9.1
lubł=]i b)ł.(:j ])!(]i--]: c)re(-]:])
a} l
j\,],/h(,l/,
.)IU11,1",D.d/,,tr',f,l.n-.,q!/e]lJln,,n,el,.-/1,..\,ro),,lh\
5.3 .) f(r)-].:+6l+5: ,
bt u/,,''Jrt.l
b)
J. \ ,, ,,rhł-' " d, l,.,,!|ł -,1>().n^ re( -: f)Ul]ib) n ^=/, l, l:,, l,/,( :,' ^
ń,,,l,,],,lr^jn,.],_,/.1,1\L*.,l)
b) Fu!(cja/błdż].n,inldslnlic]\!J/croscsll(l!-.gJ!-ó>0
llt)- ]\]
,1r+6,
ń,|, ) 1l,,{ d,,,l,,po l,,.l,,; ll, -,t/"
/(r=](r] lr+]=:rl\'+]!+ l)+:-]]'+6r-5
1,1,,
l,,,,,i
!
l
"
:
oDPaW]EDzl WsKAzaWKl BazwlĄzANlA /I1] (l ]]' ] l I,|lLI)|i.L| ]Il)U),]n\.,i a) \]1!. Nn.LlLJl[jlnrr ]- L ilL)=rll ]] =] ,].5){] l] b) 51 l(]l j iil ]l ]] Ii|l/Jn.qit/.l/.l!\ll(n0.n]|jj./.lj.L|Jlnrd.Lil]/ i.].ot/]]|l].n]Y/]\)= i1 ]i 5l| ])]
r!\l.Liji(,:/]n.\.,: ilL)
d)
l.iri[Jl.n..L.i
]
..La\ Nri.ii1../]).\.,
P.iJa L.ir.nj.7n.l] /(,) 1l ]]
l,
5,5 a) /(lr L |ńl+j b) /1l)_(lr];]' .]. c) ill]=l1-])(, i) |l1.1L,1.(r j)l,L].4lt.\rln!L nl,] l Ijl:..trltro].q,ir,:]łl(])=]]].l[. /, l=l] s]il|j/\l]J]lirrł-61]ł,ł],:.:5r
5,6
n l]
]]
:,
,]
s|r.\|]!t/i.Y\|/l;rltri|.]ila()
,i
l].n.LJ
olti]trJ ]1]l ]1t a.l 1]],: ]l
L
l]1r]] l.|Jll,
]1j ll] ]] l]l]]!],.irr l^{ lLr1.1/] tt D.\l.!L ]ktr/\n!\.] /r]]] łl1 : )i: ]] 711: ł(l]= jl\ l]]l ]) 5,7 i,ll]-
i Ptllla
]
11.l])|ll./!d|
]].l ]]
ł1]) 6 |L.JiL] | L]1] ]}=6 c)
5,9 a)li]:
n\l!,ton,Li
i- ( 6: ]):
d)
/(l]
{l,]_it
s],tl
irinr ł=
.]
+]t,]
b)ll), ]rl: c)1].]l,
5.10
[ritrll]l]Jlli.,j)||rr.n]i]l,,/].r.ld.\r(,..lliL]k!j.j.]/l\.io(1l),lr.irlnlul^nL:łJ/L]i/in,I
d)la
Ln
i1.]it].i.: L ,j: i), /
$l.!]\
trż.ałl].1 -:j),n,L:l il.]n |,żal/|.tL.i1: -j
5:! LJ]1.1j
/..L(,:lirn} t].l!]/rn.,lJ. /J
]i|)l. i]!!n. § ((]
,-r.li]
|,7.L]/:.L].
(
-:0)
\,0]j\
|:]
§!!ól /ir:. n]ś/.h.ll:
i j]lłj n lr,.(nrll.
[!:.L oL!].r. ]r tI7.!t/j1]. 1
(1):
--,
-,.j):n\njJ\ l,.J/'li.(],+,]
rtrL\.I/]!it./.\rjnl.r:-.,].lLrrlqlnrlj.j.\t/.d/(:,]1,...]-\'n]nrL9nnr/.(j/i]l.(]: ]
lLL].r.l | /.d/jll. |]
l),L,l.(..:1)] .)\. odb
._,j
hl]ll./§j.!rD d].L,].ir:+-)U{lr] Jli ]oz\;]r .] d:],1-1 l/j ].l\llt/]niL. d!],1.10:,]]
, .\hJ- th/!.l.ti l,tlR.lnoll i ]ł §/!ln]dn..: ax,
'.' ],
52(
,t
,lj,,,
/.
>,]
\/Li.tq.n]}
\Ji1\ n jk. i (1r] L
l" ], r ,lr.,. ( ,.
1.
r o.§1.0ni.l]./|]ć
1ł]lr{] nIlk!]i
.. l,(i] l ].n
l/l.r,_
]r.d.. ł
])!]].l:l .] 5,21
,
lrN./i!\!.l/}|./llL.l.].t/dilt]/.l$d!!hJlunrrn(n\tll!.otrL.'i\.d.\.ibjl
\]Lj.\.db]ć \llllL}|.l.
§/!|!tj.o] 0r arY
7]1uli.rlylfu,jśl
\} .joJl\
W]EDZ],
WsKAzawKl,
RozWĄzANlA
121
+=5. j]śł-7.
od.iqtdri§ielżcbotlilparaboli.bldą..]§!krći.rfunlcliljcntó]*50lrk,//n,ażł)."=
ł. ( .1:0)i ,l =_,] , l.J.ŚIjłl=l).to /'j.nfunk.rąnnl, rl\). Lwóg,.§ $jęc,,:()j!{j.dnJ / vukin}lh §nnotipiranNn łl
to!.i,
l
/ I)v],lnN]. ly]liotl|cmnc§$
ll,Joił,l+0.Iorimiollpiuabolb.dmejwylE\.miunkcji/nru5zlbvćs}i[l.ł!.dódotui/nienoż. nriećmieiscż.lo9!ól]l/,:,1ll"(k|.D|Ątn.\) Zilcn
/ ]u\i bya fink.jl Lr,łdn(osx.l],nn]n] lnht]i b!d.[ejjej *,}\t:em jnusżąbv. śłiolowicdódoluj / nu\i mi.a.ićdno nqs.. ^i{,u. (]l]tlłdl /)!łl.t r.,ła, ż]), Zrten,l
I
'l€
1--l2): ,rE (3i,r) ,. P&boh. kt a j.n wy|r.\cn funklii /, mu\inlieć funrioll lticroRrnc dodołU i / sie no/e mi.ć DiDjsc zcrosy.hlrL\ł,,,j l-\u lki).ln|nt:\) Zllenr1) ]<0iA.1+,1(1-3)<0slądle(_-:]). ]FUnL.|iłładraiosl.\i,ulsJnośćnxjmu..iś/ąNlcd}.sd) FribolJ, łtónt ]cn §ytrc\.ft,lu]kcji /: mn funionn skick]qin. do g&t wJn.śćn:,jmni.is/x j.{ njRnn,qdDlj sie?chołkl l.j nrrlholi /,n/ ,:l ł l,,," .,o_ '.| .' :,,,l,, ],, c(| ' nlh
,
Ra ljonl pdóoll b.dttcei i,ykres.m futrkcri *tńośćuj.mną (t1] bł,i ,r,,L,ł P,,.. łn }), J(2)<0'są €
.ki.,o§ .
ł< l1
do
*i.. ł}-nxlczy.
aby dlx
rlume
U
2 funkcll rpvl,]mo-
,
. l sPosÓB, lilnkc.ja rmun Jnleć dwl ńjej\.! /eró§e. $jerzcholek pxrxbo]i Ędą.c] wlkr.sen funicii /m.si być poł.lony ,.in Dun plze.hodżii ,.nxd" 2 (}t]ł,,ll,T\ .kPa i..)) ,1 Zllenr: (^>() \,>] |(2)>0) ó)U(6:+) ,le( 6,5i 6). J,łF(
Ą ^ ^ ^,< ^,j>,6.5l e llsPosÓB.(^>o^r>2^r]>2) Ę 1^>()^ r 2>0^n 2>o), ]-iczb_v r;_2 i \] 2 sądodlnic§ledyil}]kowtedy,ldyich iloc7}nii.h:UInd§ądodlhc 1I-2)(r,.,2)=\r: 2(ir,ł])l1. (l 2)+(t] ])=r+r],{ Kor/}śda! zc wżorós vlclD'!. ot/}]n,ieBy ln 2(I rJn+4=2,1+]3. 1r+\] .1= ,_1, zalefr lę( -,| 6)U(ó]+) i 2n+I]>0 i -łl+4>0 sltrd t,€ (-6,5: ś), ]lrr§o".d2i tlnhol! l!
e
-l
5.19 c,1:0).
, Na|złicuienly najpi.rw lvlkreś lunrcjirlr)=i+2T_] okre!lonej § zbio|z.Iiczb ve.Zy*isl}ch, wykrc§cn funk.jl jo{ c4śćwykre\u iunllji s _ /biif lych punklós trykcsu iunicjiś.klóry.hod.iiJIixlc/ydoP./ed/illu( 3i()) (p]llZ!]s. ]/5). '
N{icj\.] /erowe lunkuji ś:J = 3. t]-l. PUnłlqśFjlńywykrc\utuńk.]iśio\ioy: /(0)= 3, § i* punkcm t]rn jun P= (0. -]]) w\ljłr/ędne\iePcholkn§ytr.n,lunkcji!: !l= 1. Korzt{dją. /e wc/cjniej uykonalych oblicż.l\ Iub Z !y!lrc{ llnl,cjl f, d*jcrd/Jmy. le /bn]
|/- ł
r.ń§]n.icifunkcjiśj.(pu.dzial ( ]i0),
(.li0); c) (];9) L!/d}m F4kIidzie ,ozwi.?di. rożpo.zyn]my od sprrsd2enił. c/} odciglJ
5.20 6) (l2i.15)i b)
,w
lu k.jl / n!!e/y
do
tr/ed/illu (t:.1):
]l
wieLz.bołkx parlboli Ędącel syLre\em
a)I,= 3ć(ll1) \,ć(l:ł).yięcz[ćłnonxjwięks7._.]akiłm.iq\7ą}Jrtośćiun\cjl J osi€nnnkońca.h
^dł!łu(]i]) f(1]=l2_łiftośćn.jnnieiszi. /(.1]=,15 wdlo!ćnlr*iflv! b) r]l=3. (l:a) \r € (l:4) iranionr pfabóh b.dąCcj Bykr*eĄ iunlcji/ skieroBine sądo gćry. wiq. Ąnlićj\/J\Ulośalunkcii /j.n ń*,n! /(ł{)-/(3)= ,1 N]isl§ksząwfto!.ią]ed Biel\ża Z ]i.7b J(I), J(ł) J(l)=0./(,1)= 3, zatnixj§i§\\ZJ !!nośćosi€fiJ w plze_ JZrIe (j1.1) ]c* ó*nJ0, c) ltr =2 Ę (l: 4), r| € (l: 4) i nNiofu pardbot, będa!.j wtklcsćm fu l,.j'
nj*n!l§i=/1:)=9 Nljm iej§ząslnością.ic§ ]nic]lzrżliczb dżialc
(l:1)jc*
równx
l.
/(l)../(,1)
/
/(1)=7.1(ł)=l,zltemn!]nnic]szdwho]io\ji§Jniq
5.21 l=18.h=6.
ldzier€R,
,lltr/yn'=łł ł+]ń-]6.Jądd=]6 3/J Ż!lJ,ńi=(3Ó 3r]n otvynrlliŚmy\ięcfulkcitLs Rajnion! rllaboli bę{]a!cj wykrr\dn lirnkcji
bl=( ]ó):l 6)=ó s^kanelic7b}] n=6.d=]6,3Ó=l8,
i \Li.r.shl\ądor]oiu,Biec!{§irksząwanosiii
IxtlvJr(/,l=-rl+]irl,
k.ii i o!!!]dl]
tr/e
oDPaw , \ L,ł]-.]],] , _i;=-|;Jj§j!k:żl Binoić fun*cji / FJ loqnJ
nni9jszowJi.Śadliłl=
1.2:
5,23 a)
b)1
-i
+-
--=
].
E DZl, WsK AzÓW K l,
2,1,.
RozwlĄzAN| A
aL
sd,ie,, e n. o\ilEl nlj
I)U(2i+-)
5,24 Dwł rrienviInti (j/|ych znalió*,
5,25 tG( 1i3)
daiejnicńwno(i przcz
Ponrnóż obie sfon]r
2. a
n](cpnie złPiśzotżymuąnieńWność w po\bci
\r ]<]t
lĘ {0.2,3.5)
!€( -: 3)U(,]] l)U(3i1-)| 'r.(a:B)U10}l ,,l€( -| ])U1lIs),
'
\.szkic{Ntklc\ytunk.]i.np śa9=I+2
U W A G
A, Ró§.mia i nicó}Doi.l 7
z.dM
i
ił(r-|r 4.
jo7na równicl
ló7§lą7ł! ńcl.dą tlgcbrilć/ń4. wylo,ynując delińicjg \,fioicj
bczw7el§dn.],J.dŃun.jlin{)śćro/wiływJnixnj*nńiol.njsn.ś.ikwndr]bwylh/qM()ii]b./B/slgdDrlrnrelixtqnieje(łym3rlnl nac.sżxnlnie.r!furilnyn § lala.h
,.
2(x)9 i 201()
wklllclI]].
li.zblchłLrN(j*
l +,1_
li.żbrdłc§.ląl
w
kl]\icIItx
Krżdy.hłoplD.ku ł.+.1k*ldtj!. * slmje ćhtóFy lupili.( +4) L*ixtj{ zJpAujcJnyrównnnic.(,+4)=]2],sdre.ec+, ołZynrlne fi''i]ni.,Jti\ujcmy w P.(lci .]l]. :11=0.jeloroz$jąlłOiani\ąliczby. = lli(]=l3, Zatenrwklx§ic]cst ]]chłopcówi 17dżicw_ c/,1.1lasa ijc4 wjrc 30 uc/niów,
5.29
l3 i ]9 ,
lub
]9 i 20
n.łł1-
t7ulUe licżbynłttralne,
l?.5
!> 36, n4t,> x]+tl+ ])]<8,1I. z{j{!em} lę nieljwność w no\irci ]ł]+]|,8.1o l7.5
ł +,+
b ł= l8luh ł= l9 Zllen s/Llanc liclhy ló 13j]9 ]Lb
i,€N,
l9l20
f).
,l=0 lub,n=4: - ,,=] lub,!=1l: . ł=6,
l
,
R{iwniniedLlkł7degołe R
iest
kwMrłlołe. więc mijednoro7wiązinie*ledyily]kowIedy.
gdy^=0 stad,,€{0.4},
6t+ 1=0 olrlymane njqnłnie mJjedno rozwiązlDie. wię. = 2 r.njcdnąż s7ukdnr.h Bano(ci t!rumelru. ll,rei]i,t+2,1od3neliwnloiejeniwadrłlowe Rósnln]elomnjednon,/Bi4złniewtedyityltowtcdy.8dyłź2i^=0, sl,! ż=l1 odxlćć2nic,,€ 12.11]
jeśli,,=2.1o ot.}nrlmy
l,Juilin=?. ll.,,+2 i
^=0.
ł€
kr
oivynlnr} !'*ninic l=0. oI./ym elj*,nnnicńj.m3lvsi.lłń,wilc,,=2njeje{Vutinąwxnościąpalamctru,
slful,n =ó
R. ,
(ł+2+0 i
rówDanie linioBe
_,łe ( -l2)\{_2] e (ł 3)'+.1>o,Nich .o zNwazyć,
^>o€ ^>0)
[ł+ 2
i
16 .l(ł+2)>0l
ze iielównośa
e te( -|2)\{
(ł 3)]+4>o\Pelnjl
Ludi llczb.
ł. R,
2].
, l, Gdyr,-0.tom3DyróBnlnic 6l l=0, RówDmic to ml.ićdno ro7siązxnic, slęc 0J.dj.dnąż 9L\an];h wfioti nebu,,, ll, (ł+0 ś źe( 9:1-)\{0}, oshtecz|ie:{ż=0 V,,e(_9:+*)\{0]) e,,e( 9|b). ^ ^>0)
Dh,,€(--:0)!(:,+-),dBuroz*iJzdnix.
3: ;t - ,r+; , !*i ,
i;;
I2.]5
ł9 ar: ..
(0;2)
-
brak Iozwjązali
, 3,,*
!=2,b= 5,1- ś.Korz}śxDy Zc
^,7].§ilcd.ncrównani.mad\yarolrviążinia,
,|".] ,i+,r] 1 1 -i.F
T-lf
dh,,=2-jednolozłiJ/anie. dlal,e
, .i -.l
=
l.,
-..x.i -,,.. *,]l
=
ll.sl
wzonjw
vi.l.'a.
ti:.ls.ł:l=*
PJra
l
ll
n
V a D Pa
WsKAzaWŃ, B2ZW lĄzAN lA
W] E Dzl,
,l€ (--:0)!(1:6),
, w roz[iązlilu ,(ov) (inry n in /.wżoruvicte'lfuill)C/ynpieNinlkó§(nvnlnillrvJd,J(jue_!. (^>0 i r1.<6) ł.( t:O)U(!|r-) 1 łl<6l e,lĘ( -i())U1,1:6)
-
, l)§icli.zhx]nq.]lcn \łmżĄik.t/ń ohie sldodłlri.lub § ]ł<1.1 l d+:>0] ę le\ ł11)
(^>0 i r1]>0)
.
. DwjclicżbąnltLj]prz.cń!n}7ndk.l/n
ohi. \] t]icmnc. §I.dt
]
ly]kowlcdt. gdy]ch ilo.7\l].{d.llil]ri
jedmrcjd.dJliił.idfleaUjdida.\Ylertyiitlkosledy.ldyicnilo./yn].\Iul..rny. ł<.-l
(ł+l+0 ió>0 i !!<()) ę (ł/ l l ł<0 i l< l) §
łe (5|+]: ,,.1 ':; l) , D§jc ]icziry sąLli.hne *1edy i rylko Ńrdr,8dy ich iio.łnjcł dodlilniin]nj]Jen l^>lli tt]>0 jr+\]<()) + (,,.( -: ])U(5:--) i,,> ].25 1,1>0) -,l€(5i+). s/ukJnr], t}ch
§r
olcj tJrinr.fu ,l.
]dno i.( dod]tnic ł |n,rlc ni§.c
o l^>0 kŃj-.h
klórych dJDc
&jsnllll nJ
o zilcns^lk]m) (rlhv
L1l
,jp..
dwx
d.dat]i. n,/BjJ/ł i.l lr. r. hlb dqn nzsją/xnix
ńlru ,j,
L]lJ
[,o,J!i
lirl" |.,* 9
6]\,r*>0
o,rj+ l, noś.,oio: D>
Jll
>o
Nleńwność(l \lełnjiil łe ( -i I)!(5; l-)
1,251,1
(vd]7ni.njłnoicio.olo
ujennt
(oI
ż.(
{,rz],n]u i.my i(,wr
l.]5; ,l)
f(,ł)=,,, 9dllcn€ (_-: l) , D/i.d/inr /) fuDt.li / j€n ?biór
lr-ch qdoślipJr].tEu ł. d]l (njry.h dlne ńw, n .l*r njlnc t]envir\lkl, Roz\iJlu]ąc niclóyność,1 .1,, > o. otz}nN].ńy D=( -i 1) FuDL.ra f kł/d.j wanoś.I P[Jm.lMl. D p,t1.7!dkoll!. iloclyn n'lnych nicNix(ló! równlnil l'_.lr+łi=(). wiecl(,ł)-lr] Kor/}\liiąo że wzofl v]el.'ł. mlnyi!-,,. wi.. / j.n ltrnl(lir lln ]wą oiFn.ljl! B^Ęn/(,,) ,l. Znłl. §/in j dżi.dzin9 funkcii l nx]l.nr!
nJnie
D]\/\i..włć jeiłykr.\ (r/lr:
,r !. 2/5),
, PJaln)/*iJlJnje/i]łiił
le(+ +-)] d€{ li0); ł.(2|+-) ,
Ro7*uńy nłjk.j. /(|),l]-3l l a ] s7nkl l! §.h wilno!.i |iin [t d.llll ]c zblo n ()zwirzri njcń]§oójll tr' l 3] ! ll 2>l).l/!Ijn]cń\rności /(|)>0 Zllem szuk3,.y ly.h wńolci pi,! rctu 4. dh klórlch ltr kc].t / dlr \i/de!o t. R p,yjńUje do_ drhiąqxn.śał,,r.lyt I) Aby funlcja liwJdI]to*n Fl)ant)!lłl lyllio dodJt|c *lrlości,jnusżtl b!ć śt.hfune lwx §mlnki: 1) Iłmn,na w!łlcśullnluji \J \ki9ro(JDc do g(ny. 2) luDk.ji lic ńd ńi.j\c zerowy.h wduó.k 1)je{ lPenn.ny (ł.l]łjĄ:rłłii /,,] \] j.V l,r'łrł).n v&utrck 2) ieł D,]r,on\ ! JJ:J)A,n \ ,u,,,.^,n l h l ./a,, ] .]: , ,,, lv , , j. ,, - ,,.lf,_ tlóry.h zbiór R
, l
JD]]i
d=0, to nrnnry nl.njwno!ć o 1r+4 0
,gclyrłina l. wiq. d=Ojen jedla Z sżutxńy.h
r+()
1
]
3<0. Llórq tozqqzlilDJn je\I kJżdł licżb!
pa[n.lN. l+0. e] mnny nicrósn.!ć kw|dfuto§ł Zbior.n fulslv!ń i.j nieló{no].l Jen /bió.li.żb że./ywistycl]si.dy.gd!d
ll, JcnI
Zrlcń d=O
lub
l. ( ]i0).c7yl]4€(
]|())
] 1.leśljd-1,1ónn]nJ,ńjerówno(0ł:+I+0.25>o.łróFjzbiolcm.ó/siuirlniejeś7biórl]./h ,7eczyBi§y.h. wicc 1 .jejeśsz kx.ąwJdolciE Plramc! ł ll Jćśłd+ ]. $ jni]ny ni.ró* .!ć k*, ifutowx. ubior.ń ro7siv!ń Iej ni.nn\ o].r Jc\! /bnil licżb
r/ec/-ywnty.h*lgdt,gd}">0i^<()(/,?,:,rJ:3].tjk|xdni.|ó§0o!.il>oi^<0śpcnlil]ąl].7by 7łlern:zukJnr
Ii
wJno]!ilni |rulme!u ł s4IiC/b}
/ przedliilL,
(2i+-),
k(dJlh
,, i.'=" . -n,,,*,.." .1l+ ł >() 'o
/}dJj& /c *zońs vi.le.3
sr.łnxjlliczbv
1., ł], Z
i,
ą7ul] Dl.ńw
aDPaWl EDżl ws Azów^ t RorM
121
lA
zAN l A
^
ł€ (+ir-) . \j.ló,ność ;+i 5,43 a,
hL
r>OmU\j /J.hod/ićd]n kłzli.l Iiczhvrz..zYwnl.r t
b)
c,,|)-,,,
i.r,'n,,.,=,r.,,
",,,i.,,-,,.o, . al Alśl!,,!lit.n. 7l]rug€lo ńsnlnil uklnd
,
l§ h,.\,
wyzntrc7inry]:
lklłl li d$l n)/§:ł7anil: (1.r)-(t. 0) i ll. J)-(4. ]) o,?r.:łl Ró]yndi. \-i 4r_]j.(i'*nunl.nrpflboli,llóBnxn].r żJiem
pIl\żcżyżDicż Uklxd.,n s\lljk/fdnych, Roż§iąznlixnriUkllduró§n!i]l
l,1: ,
9|e,l,un,,nclfo,,l
r!t l P(jdnrlłirlłc do rierw\żćlo njw rtrjlr-]*nrier,ce]. 'l-, j l, l l u ,,,,, ,,1,:,, o,",. ,'
] l = 0 jdn niwinnjcnl proftj Ry$ §\ jlll.|!e punkIów §\pólntch obu
icnly Ę
lddbolt i tl plo\lą na
'l8ur.
,le (_J],-)
wylnJcz{a§r ż.iedn.gó/ó!n!ń itodnłsj{]]. do dnlliclo. otzy!]uicnry ó*nxnje * ].] 6t , ]=0. Dhy utł l nłl.nno bz§i.!?Mic śt.dy I lylko Ń.dr, ldy ń!n ic * nlaj..tno lożsią/mić, Ró*nrnlc it nx j.dno rozwiązińll. ldy j=o..zyli ldy
WlELoMlANY 6.1,
a) Wlelon !n ljeN\lelo sIoDDi]i b) wtlon,iM żcro§.go not.,!: c) nic jc\l yiclomlJncnl: d) *ielomli! dżiclialcro slopliJi .)*1en)miinpjąlelo nopniaI l)wlclonixnP]ql!!onotnii: §)§,]eIomiandnl,!l.gośolnlli h)nie ieśĘielommncm.
6,2 a)§rnjwnc: , a)
b)nie
ta_njłn.i c) §innvne: d)nj!\anjwnć
Qlr, \lr] ]l=I'-]\=/'1!) łi.tomiiny P( r) i o( 9
śąiósn.
- 0(I)-l;+,1I+4)l1.1) 1'+,1ł:+.ł+r]+,1r.,1=I'+5;+3J+4,wielonrianyMni0(I)sąrówne.*,ięcwspólczynnikiprzy
odpo]Vi.dlich l.tg]j&h /nlienn.jsą ft]wnc. zltcn r=5, f=8. /=,1,
6.5 a)
].0.]i b)1,2;
c)1.2,
, b) lil,])=J( I)' 1( l ) + 2]'^ = 6i'+ (). *i§. , 1 nie j9( pierwiankiem wieLonridu }tltr) W(o) = 2r\ + o. witc 0 fu. J.śl1cts §id (lcń sjc]omjlnu tł'(.) W(l) (lr3,1+2)"=or"=0.wiq.]lćłPjeB,il\lliienwielominnuW|' }t12) = 0. wiec o jen l)1.rsi!{k,cn 6,6 u=2
6,7
.l||1)-2-1u
n-l,.-
]a-!-
2,
. lv(,:)=0i
|2=11d
|16
7.1
5ł-O,śądł2, R 4 7,],"-1:l
jlorł/J] J t(2)=32 ]]+8 l2+2+]=0.
,
nJn..y dl B{j:.łłl si.tomintr
w(ł) j.śpodżicl]ly tlżezdsuhiłnJ+2. wirc n!mocy
7.2
lł'(t) ić( Pd/ielnv t.7e7 dwumixn
ł, r!.,łż.qiclomlan
tv( ])=0
2,
,1i rcsżla8,
t
2.
ZrównNj. 8+4D l2+.1=ooi/y
1: t (r)=3t'+5l'+fu:+ l0I+]. lt'ir=(ł t)(1i]'t+l)=]ri+r],21._]. ry§)=(3r+5nr]-],)+]-]i+5r1+6J]r.lor+3
rt'(l)=2r'+r] 2._
.
wię.
i.=
Rolsi4/nniemollzyDraneeoukhdunlvnlńje(Plrłlicżbl=]
7.3
oDPoWlEDzl, WsKAzówK\, RozWĄzANlA
,l0] !;
l
5
Reszkżdlietenilwielonrianury(J)przezdwuńiJnr ljeslńłnlry{l) Ml)= l0. łię. :^kua r\żfu ]en ńwM lo RcszhzdżićleniaNictońianu ly(rp.z.ZdvuńiJnJ+3 jcdró§na ry( 3]=-5,
;
-l i l, . z lw. a w\ ni. ll.h litvidslka.h nill.uiafu o \|:łrjlL.! nld.ł .a/ła|rĄr/, vynikł żc jeśliliczba { } mL..ni 1 L.l ulJ ldennicśkrucalnymilosPiesia*kJńidancgowiclomiłnu,toIe|'l,]}(ho|].nll:l!]hikieńn|lułl\.alh.ro),r.1 ''1,'.rr, d.i.hlikierl wspótc.||lika plż| llajt}:s.tj Potęd.e|. zaś]n.
licn
5i-], .z
bf. o
jeśl:] hcz ba
vtDjeńaj.{ ler§ia\lłien
1
'
n]§nl-1 lub l
łvninl\rh łi. i^lkachii?]o li.ń o n v.jl.:\ kniłl.ł. d /ł.riĄtł wynika. -]eśli liczba.ałrówira 1o . € | |, |. -5,5) (h ( je! d.i.lnikx- *,,"1, zul,^,,iranymi l;zbxni \ą 5i I
dlneao łiclonlanu,
l
wlćlornianu lyG). io]en
rl_
r
jeśpi€rwjly
"nt,*1;1.
L/3.
z N.
w,hienlv ]l |ic nlłkań ||i.lotria . n s|ljtć.\hhikań .ltkowiĄ|h wynik , zc jcili iiczba w],nreńa Z jen ulan ijeśpierwiaśkami danego wielo,n,a u.lo Pe I l,1l |ho p j.j d:illltiki. \|)-fulnohrcśa) , ,. t.a,r|! ,, rl *", j.j ll.ilhikiem ł:plrlL.r|,i*o Pi| najw|:s&,j P.t|llc). ZaIenr, ]cśli dod.tnia li*b! wynrie;n! F( pie;![J(iem wiclon,,nu t(n, .
o
rjefo niesk@alnym
.
-2,5
.
. zlw.
wt
li.h-ialkaćh ||ieloĄiafu o \łvółc.f|Ąika.h nlko{in h wynika, /ejeśIi li.żba wymiema Ż n\l utan_ kień nieskraćalnyń i jeśPicrwi!\tkaBi danego wielomianu, lo p € i_l. l. 3. 3. _5. 5. |5, 15l |bo jtł d.i.lniki?nl \,,ł., ,nrnro, , i ą ę | |. 1, -2,2,1,1) (bo ą j.! d.i?llliklcń wlpółc.fn ika pĘt lfu.il]-:*j palęl/). z^reń.j€łi uJe a liczbx §!ńEmarn pre u§ a
jeht\Lh
fu.ln§!nm]dnulyL!ll.nJ]ezJnnJL]^.bfurulj,+,-i.-i:;f+}Jedym_li./bąZtegożblorunlleżąca_d.prze
FUNKCJE WYMlERNE
f+i b)li c);-}+,l : ,l) Rozlrhdany tójniantr]-fu+ I2 nj czynsiki liniowe: Al,,loe!/n,e . Jl, l-\,_,)(. ., ' ] ]' . i,.|J l --: 7,1 .)
z2 Fuiłljal ą=R\
l. ^=
r
=3. t]=.1.
zdenj]_7ł+ l2=(t-3)(r
ł
pżedziateh l-*i0), (0|s)] {0}, zbiói Naności: R\ {0}, nlIejąca R \ {0}, zbiót łJności:R\ lo]. rosnąca w prćd.dlach (*l 0). (0: +): lunkcjćl i s nie sĄDonoloniczne w żbior^ R\ {o]: vykicsy patrz rys, tr. . Uśnlającdziedżinę ]cdncj i drugiej fu,kjI, c/yniny Zntożcnic r+ o, dzi.dziną obu lunk.jijest *iec zbiór R\ {0], wyk,esy funk.ji] i s przedśawńno na rys. zbiórwal ioś.i jednej i dru8iej l8nkcji odczyiujemy Z rysunlu, Fuik.j.l jesl maIcją.! w pżedżi.iach 0) t (0i+-), ale njejeŃ malejącr w 7biorzc R\ l0). dl!|ć_qo. żf,jcjli łeźńiemy np, argu funkcja 3:
ą=
:
lr,
(:i
I]],lo/( l)
7.3 ą ś(,]=15
t!l,)=l=]i
olł,l=j
cl
dlawleksł njleLI/!J.1
ł, =++: tł]l=iii|,
_a),
oDPoW
AZÓw
E Dz l, Ws ^
l,
Razw
lĄ
zANl Ą
\= ] l,/lJrliqlon2]J{].q(lql.\.ll]lddonl§§!Óri \-2.F/§(rlrlo. ].i.JDo{k! § lLjtl : o w.kloj ]:=L0 ll). j]iedló\lLl ( | o §oktol 1i ] ]:]j) \ro N eó!1 :.\.kd i-[].]])] \-_4,|Pe. ! n,lrz.qn]!l.o2jćdnn{huP j.to j.dno.iki ]]]ednonki ]r.2])i 1-].r.!]ż.,u o 0.5 w ].so {]]qloo]i.dnonUwlc§ol]jclion[\!ó,.(:"!.|bi=[ \ dól( :os.L(T y=i 0,5i-]i],
i-i:+l,9il.§]kr.slunk.j]!.lrl}m.m)!I/!iu§Jl:ll\!j,kl.\:nll.jil(1):-.\.Lltrl : ] l. ] ]. ,l -, "
, ]
o
^
a-
l0.]i.
1
]
]\ ] :\\+]],] {.
\1
:t:.-t1,1 L,
L,
'J .
],r. l] -l 0,ś.)
§L{. \-
7,5 l'iiórwrnon]:R\r]}. (.ifunllji
nilqj.!
/ ]e\i
§ t./(rrlłll1L
je{/hnnR\10l.*Ęc/hnft L*xn.{l1udl.r|
n
1nnkcj1 / jc\1lolnąc] w przedzi]lr.l]
Funkc])
'
( -:5).15:
+_)
(,.:5].(ji+-), / j.{/hinIR\13]
D-R\{:],r-0. Ji|Lqr!:D.R\] :r).\=
.5jcdion.klv pl.trlo i ] j.dn.nkl do.róIy Zbiol.m s]no liDk.lt ł iAr bnlr.l w nv&ridJ.h ( -l0). ((): ł-], §r.r
8,1
]:
,1,o, R 1: ],,, L,j , ,l , /"q R ,} D$ąci w P.7edljłłl!hl -] 3).l_]:.,_]
je.t
t Jl=
/l l=-
Rj-s,.ł7i
li]
8.5
Rvi.5/7,
l,
,,-]
.,1:
],J
|.j
! n!śfldl. ll ./§!ć wyk,.{L hrl)łql (.
0r. odb]j:lJc
Dlj.d/i iunk!,]J
/
ą d|x
!/!
ldem
o\iox
,]
a,6
kt r żMj.lu.,j9 !o|..i]
fJnl.]L /].śzbńLR\l1,]] Zauw]żDry, /e P./eclłn}ch lrrume óu tv}jmujc l. \.mll§f_
\i§.]ej s]-k|.5]e! s}Delry.żDy BlgLldern on oy 7xl.UL łynJrczy Disl|icoiić sykl.: luDlcji I dIł l € (0: ,-)\ 13] toić,
1"r.a} / (9 =.l].], r ltzj,I.rn! /
l^..
l
stl(\
a.7
odllić )J-nr.lry./D].
.
[l
rl
r )
R\lr. ]]l R: R\J-],2,3] . Dł!dżm{tnnkcji qymien.t ie( .bnil !.ch 1. Jll Lnny.Ł ulen)nnxn / n|,.no\ lk] §/Ę odll łj+21 8=o e h= _ł V l=]]. zlleR] d/jdd/,n4 lunkćli fj.(lbnnR\| ,1.]1 Trarł|lnr]+21+8 prltinlj. (y]kod.dJ!ti. tr b(.l(^<0).9i..dliedzinitt]nk.ji/je(/hn'R, \' ]\] ,1r-l2=o € r](\ ]) .ł(\.3)=oe(r ])l;.1) 0-(r 2vr.]Vl3) zl(enrdliedzinąluDkc]i/j.n?biliR\{
8.8
l
tJ ł.jl l,}j Jj. shoś.i Ió/n.
2.2. ]}
1.1li+-): te10:]) . 'D7l.dniłhjlc],/]cjzblój]icżbrz..z]lvj{y.h*le\l}jl)-](olle{i).ldttaJjnnJ
r' ]r-r|l..n! enł]!{l(nł s/ lJmy l, J.iI1( (). 1o d/icJ/n\ lnnl.il ]'i.J/bl;R (!t.dy §d.i.i pJI]nr.tu ł. dlx klórvc| l-,1 ]i<0. ż|lemłe(l:+-,) /(1)=a]J).g,i..o]e{jcdnJl\/tLJy.h§Jńoi!]lJrJdlliutll,J.]ll(rO.b§nljrnownjlU}lonilu!k.lilnl]nr)t|łmirkq]drl{ol}. r] l]\jj.!, - l.(0:1] Tói,ni]Dt$fu., pl.rsiankns slcdy ilylko{1.d],_9ti] l*n,^=^ J/-ll !żJ lll/. \!l|c iych
aDPawEDzl, WsK,AzóWKl, BozWĄzANlA
FUNKCJA WYKŁADNlCZA
8,'
")
.)
3] ć) +] l5]*'l 5, r .|
125|
b)
(r'')'c"l ?\1 , (2,rri ,6]
]]6l ]L
8,2
b)
tói
t;
.)
1o,:s1
r
r,5.
d)5|
ś.rro 1
3,
d)+,
r=ł2=lo
=1j1
a3 a)l3| h):]: c)a] d)25| 98| l)+j 9)j,
,oo}="'Gi=,: o,1 zl'; -!i .l ló ,i/,^|' ]r 8 q q ,{J.,. _ ,
"1
'1
u;:
d)2'V,''.] .)ł,
s,6
a)
żt' b)
l'':
V]ii .,,
al
z]l
"l
l
ęllż2)
§' 1żrl '-li)
:
r]51=(fi)r-5r=,5
=tflr =,,r=1
2]; l :i.
(?)',2:]5=(,,].,])l (]t).=r., ą
a)
8.5
.,
"12
c) 25ó1=1/!56=4, d)
=:
i +=i
\ż-) -2
.) l-t
t) 2?J'
"
1P=lr:li=si. iF
=rr.;j
=,j
Flir.jaJln=5'jeJru§rąća l
],],
*,,ę"
11f1-5i,11l1=5i
8.7 a) I\ln]c.jei
,
takl
elunenl.
a). dIa
b) nleishi.Je b) Zbiorcjn wanoś.ifunk.]i / ieŃ,biór
kór.8o funtcja
pulDur seljić
,;
Ę, "ięc
dlapełneeo f_quncnu n]nkcjl.' plzyjJnuie wlltos. ]0l0 i ni. innicjc
8.8.),$ytr$lMk]l ll=: ]t./e.usJ,n)l,duk]śLlno\{ki,doeóry: /b.wft:(]i+-): b) s)kre! funkc]i !(i)=r.przesuwlmy o tż} t,]m.tli} leqn /b,qJn ln,+l ą \JkiL\ luntc! r,(r=] pver"",ł*",y * il,i.,", ,o. d) Bykrcs lDnkcji ś(t)=2' prż.t\ziJlc.ńy w synetii względem ",n,,l:, ol, o.1 oy, ,t, *on , ttl,-*l, "y^"ili*,giil"i ' : b) /(9=2"l| :
'
,
szlcujenry wfk.s innkcji
ł(r]=2' 2. *,y*. icń
iunkc.ji
je§ suńa cżęściwykcsu funtcji
ł zna]duiącel Jc
nad osia ox lwn, ;';.,i;,;';]';y' ;:"-- ;,"l ';. ' ' 'i:]'i,'"'],,9]":''-l!/t,t,u\\rtulJ|l!,|ł/|JJJ.,t,\F,lo.Jo\i.)".,; wyrtr\Oń llnr.| /lu§i\UmJczqnis}lrc\Utnl.jis(J)=2'żnJjduja..j\ięPoFa*.jślońieosiol(wfu,pUnk|.mQ.I)iobra/U tej cz§ti s synetiiłżgĘdem osil)Ł /b w l,](l,B), ..r-u1..1 o1ł.,luurq, ł(,)=2|!9yklcs'unk.llłtlzeslwa.r} o *ekIoi { 2:0|: 2b wJrt, (l] +-)i .griajeDyqtlr<._lunl9x,;=:'-.*yr.-.,"',"iq,;,*,"1,,""-a"-.*"*r""i' ł znijdująaj się Fo pns Lj nol[ ó\i or (sfuZ z pun|l(nr (o,,]) l |bl.żU lc] .4.u v ,J mdnr q.glill"] ói **' , rl, . -l. "",
Fu.licii/dlap,eci$ntlhlr_llnthliwpżvFljel(9ńEwttoja.sialjejwykr.\jensyn]elry.ż
' ł>5, ł€ {0]!(l|+) :.'.]''':!Zbiotnrwnnościń]nkĆjiJ(r)=óljeŚzblUl&
,4li"J,
l..
',
l',J"J, l, l,/b),
5o,,1rlo{l,{.l,J,)l,_.,l|o|,,r,,,1
Ndszkicuiwykres funkcji
(r]=]3.
l],
e rc .L ,lLnt- |, l: ,, n
,
", yszllldcnono)'
oDPoWlEDz], wsKAzÓWKl BożWlĄzANlA
oL
FUNKCJA LOGARYTMlCZNA 9,1 a),1] b)().5: c)l);
, d)
a}
d) ];
e)
]:
l)
l{,!,.tj.{10llli]iczbx..7.]1
lo!.0,]- l.b.5 =|-02
8
g)5i
2:
h)8:
zil.| ,
D ]
b) l,{ t{a -
h, n'=,/,;
e)K.,Ył|my/c\/orull\Unr.].!iNnn(i\o1..\HnclPodntrwj.:]os2+kl!jl)=ts(]50)=10!10o
k)g]]§ L0!]2=kr!l(l3 ż)=l(J:,,9 ]
§)
xu-)ł,],l.,",.^,u,]"! \ 1.o!/]]n,]ic.r} ]|l]!]5 :
Kor/!{Jj /e\^Tdł łl._!,,\-nl_!,,l" jł]('!,1=r. t,]i]1,]]=lrr|l ,j"']" ,, ,, ], ilŃ,\ i)!i.5 lo!ń5 b9.5 h)
0,5i
I:
,
x.r/}nJ.r} /nL =
- ..,l,,.,-l,
l.g,]ĘS
,,o, |", ', ,. , ,.,rl, ,,
u.,"
-I,,g,o"g.,6l
l,,g.} ' ,'
-
!l,],,,bl
Zno,d]ia o/)>0jelo!]l>0
Zllozen o i o, ui§. ].J Vurln{lj./bl
l
, ,, ,,,
,i
,,
((]]
,
l]Jal:]):
(
ó:,3]Ur
,
5a
log,,/,-.. !)rJ=ł
Jcśljl()g.(nJ_!]/,) 2.(]]1)!/=]']Ei]il1)!jr=9.1ol.]'=5I]
]:
I-rt7bl1_5]2\Fłnjr
i,)\{l),Zdctnn.i]og.lyh!otl)J.uj.n§5l-]=ł]l{o7§iJ/inirmiolu}
żrlenr R]rr]Zni.l.g a5/ ,1]nll \e \]i./b.§ydlJ2e(Ot;
R,j
,l .'s
"
ł,n".,,* ]frj=
9,3 a) 3: b) ]j c) łi o 55: .) 5l]: {)1 , Wptrnlta.h.) d)./)" inry/!lo/enie:/,>() 7deJ]injilo_!3I]_|nU"JilkJ,/.].iIj e)
]
5.
5,]
lo.!]l]og]lA), ].!.(b!,5)
.
c, lU, l=0. hoj'-l,
ldj):
I)/j.d/lnql) filnkcji / ]cjzblntak.hh.7br./c
10.a
R. 1.10i 1)!(l:+-) i ]] r>0 7l1lnr=(0: IjU(li]]),
]
D7jcd/jnq/Jlunkcjrije\l7bjó1.o7$,.ż.Dni.lósdoi|r],]jr+]>()lbro]!]]o/vjurńl.jnrejnlIonLj.śżborR.\lNDR
,
.le]]i
ludl ll.żbr lżc.zy{^tx
./}ljĄch§nnoś.lrJ,dI]tIó}cII^-t6
]
,r9_c
(lli
n]r D]l!,/.ć
d. d/j.dZ]jrJ
.1łl<0 st.'dł1:1.t.
1iilqi .i
tr)
lniiniJn r] l
łr , łl nl|i
dh
l]i.] h.lht r/..lY\§L.j
]
l-)
, Funk!,i] lo!ar}inli.żna!1l)=log.l j.ł nr1l.j.i!l §lcd} l) ś l4łl+9>0 .1,,_9< l) e ,ie ( ].25: ,])
jlvIkl] lv!.d],
etj].
Z€
(0: I)
^
dodilni: dodltni: ujdni} . Nie.h J(l)=lo.9,,,, \]lely.łr.!llć/i1l ]i!żbY /(ł)=]i):,,lJ
10,5
Jc!li{>l. b nm[!jł] j.{rcśla!n, Zal.Jn].!ll D>1. iJ.l1l,)>/l|)=]os(l =0. JcśIiu€l0.1).(onLókl!./jcŃnrłlejtr!x,Zxl.m]cilir>l.to/1r)
,
10|
i)
Fuńk.lJ 9(r)=lo! 1je{l.nra!ł.qJn.!ć]tlz}jnu]cdl.L!r!uńd.lu8Zlllml]./bJnri/).(l(ncśt.ll.]{ntrntr ! lo!r<3.cZ!]l ljcżb]mi, dl! ktjry.h t]]ikljJ ! nl/yjnujeyino]c, nnrni\ż.od -i, sąljlZb] r!.§it./.(0is).
]. s)
lj.lł)!trjj.dhknjr}.hnlrkciilr|Ę)jn.j.§Moi.igirL\/..J]].\.!]ic/b,-l<+
7d.fu]]. i Il)_!ffylnut>0. §iq.',. (0.
+)
i
9D?
WlEDz] WsKAZoWXl RoZWlAzANlA .luDl../l!,.!Jo\l.\j(d)rl\]lo\1.(L\.!(i\
!hl]/,.J/i|r! \il,lND.l (l]l lu(].!oll_!u|).nt Lzr.l$d/r,oBno{/1l)=!lL)
, nj! l] ])
1ll)=/( ]],\]lLl}Ll.\ltrll|l{ol?J,n,nr\.olLlr]j].L.§\l,.\til|l!,jj/*7_!|9(lcD.noŁ ].. (l ])l \]!-/lt) ,1l ]]..al/L.11.) ](j| l i) 7,ilDltr]ll..rijl.jjł.t/}i]Jnj\ńi(.lu|,Llf,B\ljh]oJbU,in), \j"(r.\ 1tr|l. i / \/ś]ŃJn] o)j oy.l.u/)nl.n\ \\[:.: ]]r/.ntr\iunY o \.l,b l],l)l |,,i !.ba l n]!,: Ll]-:ilt)= /1ri /.!!n]\]l]!\iL|Lqll.]Iz]]i.in],.dtr]l,L].Lc\)kr.\ju.tlirl§/rledclnon0\ ou/\lr.,rt |dhl|.Lj,[ \?!i.tjrDr (].ior,l.|1i,tro\.l \ \\t:J. |,lll.ir /tl]l.i
l() _,)
TRYGoNoiIETRlA
_,, = bl.,, t, : , , b) 7 hl P ,l!or,\,| ( l] 1]łł].l,\ /} w(,l]..l.!, (\l= ]r, =1r
]]
1o.3 .)
Ńo]/)nJn! / d.lD].ij Lil!.n.] llljr
la\\n\ 1n!,L/ośL,/:dnc||o|1,1u l
j
.
,!
..-._;
Vł,.,r,,,'),
\ir'>1), !o\/<(). 19.1{): .inZ<0. c.\a>0. igd<0, /,]l+, rr, śj,.l i!tr\!l,trL!t.,l,?,tr\,.i,.,qqjl!!|trl.eU|hduw}pól|/rd-
]>a i]
10.5.).jD..
i
i: n.,d. l]
j.|l!!n\ l lli /]en
j.!oii.j.l!]
\i]].Dl)..o!,>(). l!/>():
,
b)(l.,A
c)lil
Dł,. ]",., ,,, ,, , d};:, b)
(
,,
.)1:
0].
|
l .lllr,.
jjn/)1
9)l+.o.1,
I
nd
l=lo\ l l,łłr Jlr!Ą :Iii\rl.i I l .nr(ł\ l,
-; L ]-,,:,
lI
.,, :,.,] ;;i ln:, --^],
'''" ;..l - "^,,
_]a=l
130
10,7
o D PoW l EDz l,
a)60!: b).15.:
*'
" l,r
_. l,n
".
"Ę Fr"F
10,8.},1]]'i
b)
c)]0'
'r..u=*=t r lj. f
F ji
2?']
wsK AzÓWKl, BozWA zAN l A
j.=
,
c) 53
L]c/błdod|hj|: n.żh]dodllnjl ]iyb.LłJnn.l: l]llb]dolL.rl]r , llunk.]l fG)=!o\l śpzedżi,lle (0|i) i.n nj.lll.i.!] |i.J.o.10'>!\5l)'..7i11..,ł1) !\rl] >l) 100'0 i80'<]00'<]60',\iq.inl]00'() "i..191,1!+
>()
{J os.i:( 2i0). Ry\ !/](): ż5n \ lon1]( Li 1). R}. ]/l0. żtl|]ln!i,r!i ( ] ]). R!. j/l(r] żbń§Jn.(l:( lll). R}\.]/l0. oir R. R_v\.5/l0: /l]xf*JńOi..1l: -), R\\ 6/ll). ^(n§J zbńI[]ności:(0i]). R)i 7/]0: zbills]no.].l:(0il). It\\ 8/lol /hlnrr.!n|lj{].]] R\. '/l0 , Wllr.sJuDLc]i/ollzyn nr]- pll.nlnJil. *r,]...\ fuDl..]j!(\)=.o,t o 1.11.1 l -,l1). ]l Wyklcś funl.jj / lt/yjnin]y pl7cnlvxjt B)rr.\ fun(.i !(r)-.-. o.".lu i -t+:0l Wy|!.\ funlcjl J .t/ymmy, nzcj.:rjx! \v pnrńj." !}lrr\ nLdk.]l .11)=.0s\ w!kre, fi kc i / otżyjnMrt,,lrgr:l./iiil. * pozionji!'}]-lr.,lilDL.ri(lJ] nol wylr.s lurl.ji / otly rnlny ..r./ciil.ilił q,./|n.]." §],lb ltrlk.li!(r}=t!\ wtkr.\funkcji] onz]- jxUly prl.§l*łł.§ykr.:finlcji!ltl=]19lit \.L(r l =I0 l] Wyklć\ fun*!ji J olr,ynr].ry .joz.rą!{:t g Pnnric" qylr..ltr]rlcj]l(r] .o,t Fun\cjl / dIxplz.cnvn!d xrguhenlól przyjnLL]e tę itriąwrl1ol.. \Il.].l ł)lr.,l.q \}n].1]Vc/D]- \/il!d.Il o.j 1)y s/[i(u|.nr\ l 9ylireslunkc]i / dLi l€ (().n)(nkd\ /(r)=\]trt),ai.§/l Ń.l.yn!!mc.l§ykrc{i, k! j/ (n]bji.!ni §/!l.tlJ!..]l)y Zbnn
]!.I
a D Pa w IEDZ|. WskAzawK l. BozWAzANl A
l.
Il
ł.
ji
t
' t,|_
:-
U-r
-___]-,_,.__,l
1::-:
-ź
= T-1,] -".
l
i]
i,
|,
,1
]
|,
ł,
,I --]
--]
J]
J:
.6
jn l5 =!nł.15 . ll) )-!nJi
/\|.kv}m)
. o
l
co,]ll .".r
,..,--{
f Ji1 =J" ć
Igo,
AIl],/ując§\krc\]iDl.]i/ll)=\nn(lubk.J/}nJ{/(t.J]il!i]!lU\](lntoin.!okql.r.Wi.nl7iDy.-i!!]iirgum!|1
\i.]ol,.hoji
l](/hv
Xor\.i.||] /.t/.nlnJ.oj
I\.fl\
--
,\-
J
]; |)\jtrlu+t ]n) nn.1 7.i. !n(.r.łfi)=jnz / .ini nn?- l .o\(.() \hr'
co|r'
.!
!:
,
,
Kor)nłqc / *)ir.!,lu|\c
i /(l)=!Ąl ]trh z J.liDjc]i .l\jnus] (losolnc!o k.l,a. !\i.rdldjy. /. col7ż0.= l .inlill'=.illi]l0-.]l) )=\inl§0:.o:]0- co.1lill'iń]r() -0 ( l)0,5=l),-r Ąniliztll.tc\]kc\luolc]i /il| ..r]L|bl|,\.tJjJ!/J.Iii(Ji(o.in!\Jdoqóln.!ol11J.n!ićril.n).ż.t]hlizdc|]i.żb!l/c.lr\\q
K.lżt{lol'
!d/ic{€c
/d
§/o,| d] \nn \ ll],nl.\
,lo'l=.".lo' ,/:,/: /.q^run]! u\liznlc] !n]() .iil90 sO) \in90.tj§0 (N9() !l8() 1lo\80' (}jn80 =..:]j0
Z.t. 1.o,1 IlL0 )..o\Ll10,=.o.l]]ól]
Ńol7tn]ol)
ż]nljL \ń']0 l nn'§()
."l,-
1,
.",,
. i/n.tF xx! §loln'
]]! .t
]trDlll. t):oJ!mi|,](ld. lxxlsoiltj.lo l!13 n,. r.! \\ rJsJnn !.j mitt/. § lli(h ](xl!, ]1]]0 !1, :]e
(,JJ / ló\io,.l j.nk,.J n^.j. t\:otronjln(/D] . l)]7t./rl.L] s.lJ^Nlt do /rd!D1,1
132
o DP
l ]i ii t:
,=n ]ln l.('
t tn ł-c:
!- n+]tn,ł.(:.
] -]l1 , ].ih]i/lll]]]en]uLljiL/r|jcir] |n-dj.L\J]l a (j1,1 ,, i.n Jn (t/]
L ,': l:rn l
/,,]łn:l]/|Jt. c
hLi]
.rn)/\rr/, ]lrlnnl|iri.]l!l
J.ili]L./b.,/,
, ;;,+f ł.c.
d.
jtrb
l:]]]/n
c:
oW E DZl.
zow
Kl,
RazW 1AZAN l A
c
(
l=]] lrln l. (,
:
l i.t/J:. i!/h.L
]rn n l=il ]ltr l.c l =]] jrird?ll/dJ r!/h:
bl0/\L,.|r Jr] -. l.[/.i.L/tJh./t].LL=| l;!l/.ri.c
,.]1,Ę r.t:, ,=; lr,, ]; l,ł,, ]j.
,
Ws KA
, 'l;
1,
,,,,,_.,
3,
il=Ż,]i,],gd/j.t.c !(ldl ;.:ti /lLin|.ir] \,!fl,r.]1]/\!lu. lj]:.nl..tr!l!j:]]i_].ir/] !Lrl].r:. c /n,Jrn] ]\11! t7 !d/jcł.c t, i tj.q.,,l,-]r.+i".!L]/j|l.c IlUh,LL=:: -/,f.ll]:r).rr.]].(..\1ltL1\]tl| j|) \1ćd:- rdyłeil],].]], l]1. 1, lL:h,=i ..-i" ul,, n+:,], ńf=]tr
1-
+
|]łt,]l]] ,iT-+rł[ ]trb
]łT.ł.c:
t r .]ti.i.c,
\
':rti]L:i,=
6,
'',tn1,1,
\ :1.(r ]tb ,_l li.i_c , wBnv.LL]/J|vr]].qj]d.irj]j!in..,]J/,:/ .n|1.1.: ]ll) o!/Jn]urUr! \(n,./]. ,nl rJ]l..]l r ]=l) i]l]!_!| /iiinh.lL: /- llr, j, l.,.1 :]] ż]lćDrlit llur,"", |. sl.L, j,:l," L,,l, , ,;,-11," r]lr l ]']lsl+t
.^1.:
7.
l=, ]{; !d/j.ł. c
.,] ,-j, l ].i[t.o\r-]< j
]\irr1.o.1=()
e(irl
0V...,=1]]
-.-
1l-tjV ,-':]+łr !(l/Jł.-c) +,.;
:t]/t.ła (, t:.l ],D,
ł !,l,,.ł.c
'']'
:''i] ]]]! i:}\| ]]::-]]=0 () ! J\l=-) l;+-rT; _ l, ł,." ,=+ ]t; w l ,_: ]ł;.!(1/./,.cl - ]ljlL ^ Z.\z. Ll]lntr\nu|_vnD:\ !.1L+1)=]\n1l..r. ].L]l..,\ ].JI ,] .: ]jIli..\] |) 1) i ) 1jl|=1) V łGt .]) ( 73ł1)/.11lak|.Iltnfu hni lI
nlr.,,,] \.+,ti
;/.§/.n] nJltli]nF,unLt..,]:=..\1\+j) l.\ l ,n,1 (|:, :..\]l ]+]lo.1+1-1) .j ](\ll.U\l ]) (] ]j 1.o. =1 .
żi./lni (!a1,1:N .t\1.1|1
ni]t
i n|rł.,) .+ a t.
..il]\-] + 1]nJr=]
]]!!! ].it
!i]l -.|, L 1 .|\ l) .]..\ t l , =- ]l,]! ., '
(
)
!\.c]
c n*\ rp. ...=,t,_l\_ ln. :.,., ^,żj_t, rr,.r.:('r ,) l1=+,1,r " ,,.1.ln _!.r,,,t.c, _!dz:.iE
/l-.'-
l:: żbln.n!,.junliLdlqjr=r..1].nn]/../iil:l),l,i!,!lo\o.|jel\1=ł/ir,]j|/§l./l|l.L.!d)łr.]l:])
, l],lr_1> ]
^
n,(r]Jł ( ]l
],l ] .]
r).
''
\u n;lJriJ,iut,,
^,l:
l) (, ,j. i ]
l,,,,, u,.,,.^,,,.,.,L
])
lLlJ
nl. i
:l:,])
\E(]tn,r+2łf,l.:_d^lt.c. l.(Z.]l, .:! rt,,) ,,,]ł.l-c l:( ]] |]r;. ,]-]ł,T) !.]/j.]:. c t.R\lI 1-][rł.c]: ..t ]_i r:ł" ]:! lt,.l ll,i.,l.cl l!1l:::; t:r _!.r.r (. L1( + in: +. /,,r] !d/.t.c: ,.( + ]t,. +i,.),rłj"],.c, ,.l+-(f ],-., t"). !a],. i. c
,6
]€,
oDPoW EDzl WsKAzóWKl. RozW|AA
N
lA
133
oDPoWlEDzl, WsKAzÓWKl l BozWĘANlA Do zADAŃ MATURALNYCH LlczBY RzEczYWsTE. zBloRY 1. al1!9ol5 bl l5]l l)
3,
.l Nll! iZ.: c)ł=n(.!dzi.,e \
l I l l5 \.l §4|rdnle Di.B
4. a}]cn Pon/iclna!r/.z
I
li b)li
c)o§i.m]iclb,D,Ljfini.^/]:
l8,]8.n |więks/l 9878.
5, .)\i.reŃ]łrl/ic]nli b)j.{ Nd/iclDl: c|l h-'1 llh ll b- 1,./lli a-hl=1, 6,
('n,d.ł,. .!Ą
,,
odBNrcdnńt.ll\,{]zi.\i!l.k.jed óśi
ljllb!"
". n=l0ł)u +l{)D+.. ł=I(x).,+]()ł+ł,,_ł=l00.+l0/,+.-(l00.+loh+a)=l)9ą-99.=99|a-c) l,jcz 991Z jcn ilo.żynen licżby 99 i lic/hy !!,y!e] (l, . \ą lcpi./!ne.§i(cd_li.stli./hapJr,}\ln).żltenieśnldziclfuprzcz99.1-193. P.7y ij"ch
ohic/.niich
5). (j._5). (J,-s): b)(l.:), (5,lJ), (?,8). (IJ.6): ]N+5\i ]]+1 nr 5t+21+l0-?.
7. .)(0. :), (l.
. :,
8,
.)
'
,
6l.{
.
ljczba
doslonllą
18 nic
i$t]
,( 9,
6). (
3. l]). ( I.]).
.]
(5.-.r)
L,)]ll.
'szulJnJ liclhljen F\l!.i ł,. gd/ie/jc{ licżbJ piei$\żą
ił€{3.
9. .)n€ (-5,,], 1.1|:
,,t,ł
/,lkJ,,i,!/\
.l,I
lni
!,,i,J.os l_ !,.
,,,",]:
/,,
zlle r=ł!, gd7ic łjes, liczbąnllurllnł
i ./
q ]iclnami pienr\zyml
]rn,]/-1llj.ń
11 l l{_5 1r,., _ Jb _ Jb _ llh ,. ,", ,, ,,: l.< l |, (-5 rl =]r7 ',, sli]Nl/J ,u]en) llh k/h,lo5i10,{,/:,7J _ s^,l,tr,lĄ
.tńl
,
].().ż.,r.10},
i 6j]l0
1
"]
+
|
+
]
]oi.l]
J./eli li./brnlluralnn,, na dołlndlic c7l.rt d7i.lniki.ld,=/)ł t ł + r4 -|| + )(4 + l)
l
:.,
].§irc
.,
wiclomiin
I
DIZy
ł'
td7]c
18.
roll(il nJ./ynlili nto/h{,. hiniż§zcso
ł i.ś1i.7hł c lownł.
ł =/", ad7i.,o
śoFiJ, ll L,c/bl łjNt p&I/i.lna lrżcz 5
j.( li./b._ n,cl)&ż) n.l, §1!. u, l)(])+l)].nintzync dvó.h ko]cjlych Iiczb p.tr/j-n)chi dliel.nn, r,Izeż ] dJi.r.\zI9 l ]ub ],
/,
ł=ł]+r:,sdzlc ł, r. c, 5,-§ll:+r])=(l].4ai+(.1d]+r]).
PPy o\/aco\..lni( ,c/ullalu 17-
h
1
no{nci5łl2.
aIbo iesl
r
nlb
- .. l
ll
od
ltl5-5'/,żJl.n
' ^',[,łlJ,l,,
lńi\r,..*.
r;,f
,
b)bląd b.z§Zllędny: O.m§. blqdtrzshłny:
ż;
xlbo
Pn pó\lJ.i5ł.I
ll /,i.ślli.żnq!ićn\7ą§i§k\Zą
aD 19.
l, R ożw l ĄZ ĄN l A
ą+
_1
;|
21, Walośćqyr.zcnD] 22, LiC/b!
68.25.
nje\t nig*,ymiemn.
prżybllćnE 68.bIldl,!iślny: I /,
r ,
jeś wrnri.nra
,[,'6 ,J:*v.^.''!']l.'b''1.11'''in
23.
u={r 3, ul=] !6
24.
oł+vĘl ll zJi-l, ")
k
1
4*,
20. a)
Pow ] EDz| Ws^ Azów
łr'
cl
i6-', b)f
(ll J],
1,-5).
7.rfi*r l ]Ji+] '.=r'§Lś.l'.n ',, LJj-.,lif,tĘ,"Ę; r.Ir J:lł,.Iłl
]()
6_ć
i6
26. Dnla licżba.icj ówm 3.].n wl§. s]aniEi|lx
5l
Dla do$olnych d.
,li, Dla lazdćgo
?)
d=d ,, l€
5,
(l1r] wdość§! ż.iujcnn;}nr l
lI ./a= rl
l l]5)q}ftrcnje ml*ano!ć l5
Elen.nt ncltJlny mnożcnia] l. cl.nfnl n.utJłly d.d.Lqmlr: 2 nidJe§ eleńenlen .eulrlliy.r dzirlxn]l o.
()i
l2.
]
j.(
e]emlnl.jn ncul.]ln]m d7in]n
Iol
5,1
l\tDieje
takllicżbl 1.7cdlrk,/Jcgdi€
{1.
2.
.
l /JchodI nj{nośa 56
.." T,
---l",
$\lJ/e1 ,,/. ll, d,voh,.l. cll
1-,v
-
,J,,'"
J:
,
r.
e
Jeśli ł+ ]| +. =0,1o (\+
1+.|,.().
37, A^B=a, B!c=^,
38. a)Ry\ l/2M] b)np
b)
2@1 + h:
-.: )>2@b
+
',,
aL + bL)
59,
AUa=( 6: I)U(Oi6): c)/r\a={ 6i 5)U(li6)i d},9\n=( ]]
I)U(0:_r),
60.
^\c=B
(A\OU(a^o
bo (,rUc)\(a\c)
39.,{Ua=R.,Ąńa={.1.6]. 40, A\r=(
' J,,
aT
a:+ó:+.'>łó+ł.+D.
36. ,) n^8=( 5:_3)U(3i4)i
ń , ,,b,,, ].J.-] , .,* ,,, ".*",,,, ,",, J",
1il)UI4]. a\,4=ż (/=(,]1i1). B](
al. a2,
ł: l)),
a3
oDFowlLDZl. Vls^Aza
fu
^l
FozwlĄzANlA
135
c) ,,1,,r,,\,.,,, d} .) s( il /hutjq t j ,8 h.d/i. żbltrćn] ]icżb jr.c.y$i{ylh lo ,e.l)r/.d/lxtu /. l} !+,ł. sL.(lot/\rlui.nl) d:- l
4l, a'
]/]\t:
42, ailtr, J1'.j
b),l t
, l
U,,,
l} 11l
b)
( ]:ll)J(r,6): c)
|^':|1| 5).
ul.d]-. s{l) prtra!
tolićc p./edziJh n
nie bgdZc
nnnjwy nil l.trt
Dt.(,ł\ĄJla\ł) ltlb ltU/J)\(i^a),
l=l_,-i_])!1]])
45.
a)
]l]u(/tr!n\, b)]0.i: c).r:uc/nńl,
46.
a)
LlO(r{xl. b)6].Ilź: ć)5r..]1;:
d) 3].6',i
\JL].7.|nq L].Ll,po6n ,.,.l..,.r,,
-
e)
=
l1,I(ii i)o
I.? ntrnlhj
nncDdv.J:o,
ilx,l' ]lo (/ł) slrnlonllP1)}IlL\/!lr§o03| ll0=39.1(żt)
4a, Lo[.futl]T ]]1s. ].klll{lo1-1)] l]1.8s. LolfusUPljR]
l]aś
49, 50, .) \tl)lnJ
\l
|)cnł./ymn) c]\cu: b)\pJdl.Lo l]]i,i
51. .) K.\J1.1i:6ll9.].l)§
.)
rlj:
53.
/l. \o\.]l l]
:i7j,()s
/li b).j],;
b)6J1l: c)o,]3.75'
|.. li.zbJnri.\/la.(nr(ł\l\i.JDioPJl\lilLUro|\,7-Jl
54.
6
16'
=
39qylyp.
5.35,n
"
=/,.
.,tli Li!
"
= ]l9
xlo txltl.
].:;
55. a) lJ57]]()
h.,l blo]5rii r)5]l]]uxlh.L
56.
.,,mJ.JZu,..4,/c/.ll(\l!).lttr.t/.bxunlnąć 0.08 ]]0.16.1] (|g) - nrJ\., żlnl../\\/c^ń g 210lg ni\n,n, Pousutrię ctrl.\!/Jnlć./y\z(/.ńzonlni. ]l0-. kslJnon.knn.b|dL/J§l.,.L ló,ll-:l!7.!nlc7\V.?!,, i==-. sa3 ottżyDu.j.iD óŃn] n]c
li]ri(Nc
57. Po
l(xllló,8 )::].,1(]l0:).n7otżr-lltrl.co,L]{n.Dldo{Jj.,n\:=ll)
trd ]l].s
lv\ .rnl)!hdln\
58. 2li
59,
l:
]r
. ()żu./.niJ: /, ],c/bJ.lnżcd. )chbll3(ił nalj.N\l\ ńi.7. .,.en! hllen, Ix)ob!iż!c, I.i./bJ \]r,l.dlly.h bjldó* lJdjulinr.l1: 1.1ł, wDl]-{y Z. \ł7edn/, billlów tr,l pl.i§szy nćcz: l]D, wpIy*y /e \p.7€dyy bilclóq nJdrugl n.(/:.1,1b, l Lsa l.] ]]/,, D/i.l.t. obi. nlon) ló{n. jl|l1.71.8/,. ot7!m. D)-.-§
6l, a)o
16.2
|uń\tl]](].!lb!c!o]
b)o Jł.7ś(i
oDPoWEDz], WsKAzo
64.
W K l,
Bazw lĄzAN lA
20et
, ożn ! ni\x śwlc/,V.h s,yhó§ w.diw $Vjc/y.helż!b!.h: o.9śi,lślg,}bó§
po
{N7.iiu: +J
w\)niku {\/.ii] ilv|.roq]k)
i"
}tdy
su\z.n! !j7vbj" 7r\,.rlj.!
a)wil.eidoŻszi b)*1§.qlhloN(n|(d/i.§./ql]nnDoqiir.19.8l]]lllb}tr./nlnv\/l(j]FnulrtJln$.\r,.h]:
65-
66.2.1|i.
, ożDrc7.Dic
0.8, I-i.7
lcmu]
,
.)o50ł:
67,
ln/b]rvh.kw|kalriunrokicjn0 Lic/biryh.l /)\on\t]]}!h r1lll.nnr ()]/ I-i./hlr}h.kjqondn]lhnk obc.ólJ 1.j0.]r=0.]t Il./blĄb.k lx;orodlj-lIl.bc.or.: l,]8?50.S, l).95, l ]C/h! 9\/\!li.h
ryb.k ż}nomdny.h
,Jl,,l-,.,le ,:,,, oo,.
,, 'a,, .
,,
b)Iiician!.h h.d7ico 12.5li nrni.j nil jg]l{}.h
] , ł lic/bl !rusż. / ]i.żb]j.Lbłl)il. 0 :: \lllJn!t..L r ,,L |til,= ]! m .]
66':i|
c)o11.5ri
. (,
l1a los,c^
171,i| 6]ri
łn liczbJlobi.tu wi.LU ]5 ]9 l]1 n]ie\/Lł{}.h w ]()0] bku y n]j.(.i. l{, Ii.zbr\obicl ł *iel 35- ]91]l nnc:/k]i.[t.hrv ]00] i{)ll Dl l\] ,Ą, ]i./bl m{/cz}7n§ \jcku ]5 ]9 l.tr fiuvkd!.] ch \ 2002nllu§,nj].\.l. ,,1-liczb.mlż.ż!żn\ywj.ku]]5.]9lilnri.szLarąc].h\y2002rol!iJ§! \^,
or
s",k",l
,:
jŁ j,,
l..-,, ,-
o,, '',." 100ri,
-,Ju:+l_
_ ,.,
\yt..l)rn
74.
.).l()6
n:
76.
ż.
L
a
otz}mu;un}
ł0] zlóO!r:
2- :!r5
],
r l,]0.
85
stltl
1950
86
dżi.lni.,.h ńiJ\/łi
óun o"lt'
i]1
]9?5:
=
1.5
]]
;i-V
b) 77.91i
b)375ov'b/km].
a) W obu
dż]clni.]: l.=
€. o,
h) o l].5..i.,
75. .)32kń];
,
S87ł 30gr. NoN|l:
r,! 7Ni4/li (D.
8,
(x]lJi§y_!l.łl.nlodrLl.\l|\\//!lJtZ..i.n!.r\..)
71. NoiltkiKl\ij:25?.ópkl..ĄtlJhNjllys/:254.]pli 72, a)Kowalsli
o, "l , o',,
k.2, t) crrnlł i,
mld.lili 1975
ovjb,
po ól]00
ou''u"'n :tltn,2
Połi.,.hnlrnj.N\/.ld^cl|ric):,
trd, (n|J
il
"j
|nF
l-j i
, h/L
l
'
l
]000] I.9 Dnd
a)Afr}kł: ó97,]8mlD, Eui(ła 730.5.nnl
a? b)
^nl]in
§znt.
]9.2nn..Etrn]n]:.P D(o0.79mlr
aa
aDPowlEDżl wsKAzaWKl RozWĄzANlA
Djtrl.: |]!n.u.
l,/
i
/..t/ń(, l\.]rh./.l(l.Llin\.h\\.rrtr(NLl|ir\L.nltlnj..l , at i 1]|/\j/) ]i ,) 82. a) ]l b) ])..L.
b) ] ],]l c) ], ]
,.)L]iLi. L ,)lrlŃ.L ,lrIL,|l,.] / |lr|.Ir,L
J idinJ
:/.(.r, D i.\] /itrtr:m
]|=j ] ] o;.]..].,L]J.:\,,,:.jLlil]] l :] ].' -i|.\t,L, j] ! l a=ol\|(. t 6 /,]l!,l ].rl:...|]/.lll,jl)llnl!|/],
] trl.ri /),.L /i,])= ]6 ., 1ll1j.nitr.|..nL^,ll\},Jtrrl!,/) ć) \Jll/\ /r.,.?a:o1.,i]Ui]]l\ |, i -]ll(LlL\Ńi\lll,th.dl:,,|:i^.t
l l-,,!./olt.trltr",Jrl\l,
1] -_].t],Lrln.h
/a,=1
84. a),lll ]]: a)
c)]j l\l i] 9 r1,6) lń : ]! ]l l \
l §\ l,,i:; l,i|.
L|
.
]
od\]|]|l):!il ii./]]J l l.\: ]Lul,,L | /.(Un trol.],l / !][j!,].n.t |!n
b) l)Ltr]ll,]l]\]i].r-rtrll.
j/.,|u,lr) a*l .,l,. :'!)
\.|liLl/\11lr.l)
ttri11},n)ll. \},l],9),l].6) l6 r} lr,]] 1:s ]l
86, a)lh|n /ll,\l\}l,\..nlr.lnLIlL]]l.il: $,L |]i.j:,. i.]l ]
b) l1trllli].
87, a)].
b) ],
c) ]
ltrnlc.] / ])L/!li]trL.(l ]]!!.]r!tr||lr|l
])lu|,L]n
.lw,lrln]ll. \,..
c) llLLnLil]l))DJL!/]d.\![,.nl]|ll!i]
b)ll?!d,D,L 1.]. ])!(Jll).
/.
i]llDr L].]./J \Jrl\a ltr,]l,!r /.j(n\l. 1).Il...].n].r.l!. o/iLU]k]././l])
/bnir
: L/.u1]|,rtrll!,]i,
\.trrNl:(].6)
],],: b)i j !|!L],ó) c). ] lr] ll. lii 5, j. ]],5i: q)( 6i j)ti t, ])9l].5l.]15.]) . §)Ibl/)|/lt)(1.) r.nLlr.l\\t\l!,ldJ(l/(l)l) ]trb o /ll)>l) ,1ljrl)
88, a)7bol\. .:.::ur]r.]l:/5 6'lbl]:i.,]r-!Llull,::,
€)15j
{l]|i D.Lo
d)
oDPaw l E Dzl. Ws K AzÓW
138
89. a}R}ś]/3Vi , b)
LiczM
tr
i!,
b)
7hiden wJności luDkcli / jcł zbnn l ]. 0, ]}
--2 je( wrdo].ll
!t.2)=]. |
=0
f dh
n,n[!,i]
1,
tzcch d!unj.ntó\, §]q.
--,] ,. -
i.s s&ośclądlld{ó.h xrgi Nnti!.vilc!10)=].
] j.{wxn.!.iqdlJ jedne!oJr]:trnenfu.§jfc!(])-l.
90. a)odleBer: l.]0.1l: b)żo\iąoxj (2.0). /o.iJ or (0. :r. c)l]=], ,c) Równ!śl /(/(n)+ż-0llP]!Ij.n]} wtnś].].r(/(.l))= ] llLD(..t / }nr.ia 2|l/tnul.d!] lr! ir.|n,
/(ł-ozmh.d7idha ]
Ró§,no!ć
91.
a)./(3)=3,J(],,19)=].19,
=;, ll
Jtnlo]l
, a) /(r)= f(i)=3,
/(r.19)=
al,*g"--,"
/(#), rrr.
/(*) -/(+)-]. r(#)= /(1)=3. Wilt\7a§łnosi
s, /(Ę)
.i (),
zlNn /(ł-()
- /(1Ę)
=
1l
l(
cl ,bi.l.c,
/(;) -5
1(
1(
l01.1l0.200i c) ]99. , Li.zbln$ralnldlleli\jupvez]\t.d!.sdy$ni]qcllidżj.]L)i.p
a)
1l
llz!.q" ar"-g,*t" f;
funkli] /
ZbiorcDwxno\.lfu k.ji r]J{,blnhc,bc!l*o!ilyclraodihid]
92,
c
K l.
./],
11
93. a)](n)=2,/1l0)-3. b)(0;]):
ć)
żbńI li./lr
pPr\t}ch: d)Ryi,.l/]lJ
l1
94. a)30)=l.r( 5)= t,
llJ2)-li
b)( ]];0): c){ 1.0. L.2,])
/( Io+)-2+. łLtżl=lł1
95. a)
b)?5 c)(0;,l),
sumljcnl]§Dxń,
,1.1+I.nr].,-3\ąl.ol.:Jiy'lilic/ham]n.tUrl]i:,fi]i.§r..]edDllni.n/d/ielenil|llcl,]dq.Ic\/r.l.jedn!re\łl].j.dil
resnę3.. jcdna]c pod7iclndp,./4, a)
c,i
97, .)
{().
96,
b) L,]l
',2.
98.
a),r(12) =
99.
a)
100.
l:
6)
q00
c)Ą.9Ą.rni)
,,9]: ))dhśu:
6i
b)o:i.trli
];
c)
]9.
.)20i b)]lli,łl:
c)
ł i.{
licżbn
p.Jl].l,q |cl
|().
d) dlJ
t}.hł. kkn,v.hc}lrtl jcc!.i.I i.J 9
, jo{ k*]drllcn i]l/hy.trłLo*i!!i llrn.r od lcl.t
ą
{0.
r,:}.
c)vlr(oianainnnisż]: 98. wal10!ćn]isl§l,Ja:3]r. d)dIJ]]rl]c/błleil.]. 2 40i.łt.l{]IB!].lvjl.!(J0)=]()
. a)]eś]ił=,10.bnnicjsz4żli.7b.10.]m
l01. .)
]]]),
11
/(]1.5)=]:: b) zbiór]i.zbp]rz}ł}.h: c) ( li iJ l i2ł+! są Lolqnynl ljclbfiji ]n.PPyn} nn Abyq]zOJcZ)j\rd.\ifunllli.ldl!dlnclolllunr.nfu. n,lcży §ię. n!jpi9e-' s\\U!a przedziJ1.Iilórego toi.Jlri 1ą kol.jnc 11.2by nl{yyn. ido [({jre!o n,,l.ży t.n JI,!trntil 3.(7:9).ljc?hi] 5€( _<: 3). ]icżbtl pxrz}\ln nJl.żą.łJo lll.d/jrtr (_5: .])j.n ,]. Filc tlrżyŃą nłleżacądo przedzixlu (7i9) jcn 8. §l.. /(8) = 8 ](5)='ł, lt.5€(lIil3),li./hąp[/y\tqnJlc/ącądop,2.dziah](1l:l])iś(I2.wi../(I1.5l=l] /llt)=8. /( 5)=-,1,
. a)Dhł€cliczbyln
{0.1,.,'|; ]1 , Jeśli,=2ł+l.gdzieł€c.to,:=.Jłlł+l]+l.Li.żb!łlł+])l9\1]toc/yn!nrd§i.hLolcjn}.hlI.1b.!łr.*il}!h.\i!.j.n
pn,zynx.atoohrc/a, /eIj.7h!Jł(łr 1)jenpodżjcln.p,cz 8. Zd.rn lic7ba 1(l(+l)+ |t]7y d^.llnillp]/.z
s dJ.rc\żl§ l, x!/di liczbi parzyśa ł iestposlac'il( lub4ł+2. !dllcł. c J.;]1"-.1t.loł]=]6t',§i{cr(ł)-!.J§hn łr-],!t ł:-l6ł:+I6ł+.1-=8(2(]+2ł)-.4.9i$.f(,r=.1. Z \jc!tr-.ż..!d!ł].Ńjillb]ilclJrl!dl.t)/l"]=l, żxt.nrżblol.!l\!J,bi.L lunl.jj
/a,r=Owtedyiqlko§led!.gdy,]c lićżbąp.d/ie!nąlr/el lłŁ,.,,rt, Zbiil
l1./b
.lłlo* tlh
UwJ!!. PrZr nrur.jnY.zc0 r.jli.ubąnJ{ i]nx
),L]oDll!dżidu(Oi8O)D.li./y]]j LjC/hpodżicln]-.hprzcZ,]
/
oDPow ] EDz]. w s KAzÓwKl BóZWAZAN! A
/t,)- l! l
/(,) ,],l.1r:!
105. a)]h.i.: ]lx), j lrl.:al 600,6hl.!o 5lil, b)7][l.!. c)R}. 5/]r\j. , b) W dtrnL h](jl,k])" g lol.i!. .lo oll],]iv), Ii. n]Dśl.L7id r lL|/rnŃlr. J oJlf,l!nnl\!h ](x].i./.nnr.I l.(. | ]1.1lr.t (r(/,t lrl l Lo|.t!J 1.1 d.1l\ /nmj. V\1.1 ^xL,ł. n!.o]!() J(L\)\,na|.trr.n liIijJrn L.].][J!l.!ł.t.\nn.lrI o ]l[) ..L:n.!h\ll\ł Jj ? i|} 106. ,) ]):ln].:r]i,.ri. r)rnlii: 107.
a) I]6
[ )/_lod/, b)l1.
b)oJ n\.i:], |:.6 6: c) rtr] |nra(,d/
7lJnr.ll l],/ettsLn\
§ c/rv. ó l7 nlD r/d\:,].]kn]
l..h]i
/
|r$lo\.l] j] lovl.d/
b)\l/J!!ll]JnrDl§:
108, a)])l(r]!.2)7.5Jn'/]n|l,j)9l)nL:
c} ]
Dlnu(,:
670 r.l]n.n.|i \ l.r.: .) ()..) b)Pr/clvliłrtnv\/{nlnDllji1:.1t]-]ll]00] t\,2()]i) 6=]lll670) ó .t/]|j,1. s\|r.\ iuD|. il n.t1.7! tr)!\I.\ lunk!jl / prl.{|l. i o 670 ]JJ \l.| \ i.§o
,ll1,
]: b)\.( ]:])!i]:7):
r b) ]l)l0 Ji. ]0]o, ]l)|0l J] ]l)]j a) §)Ll.\ lUnll|, ! or7]nr.m] D/.ntrl.11.I §]kl.\ 1trlk.]l /
/ll).]i\
]t ]l,ń'-\,'tl
( 5: r)! {6|:
Ll\j-/l\,670). i{rltś\D]l1,7. ]]\
c) ]. ]
li =
a)
]]l ](l_]r =tll .rn.] ])=tll
o ](ll()
!dnon.l \ ]]l]\o. \l!. (ll)-/(r _]o10)
]rl(L l]])1! ,:) \];.H.]\.i|l/.jo\\n],.'ult.| /\J](/b\
(:],7)
t r.L]ż, ,
l16.
7.!|D]
a) .1]lrlJ!r)=
zil.Dl!l]1x)1]) /(](x)' ]0]0] /( ]]-,,1 b)
U.\i.]r ].nnl,vd\: ]tn],
c)\lnron..1.l.4!tr/t.i,L§n|nulv
109, a) .lt), ]\r]()ll:] b) .
ll0. a)\]flo\n]rl!!.F/.L: ].\{b.]in|i!l|./i
d)tr
R\
l, ]!
t],ol 11l] !
D7inrl
tr.!: ({): j
3(1)>/(
l):
):
b)/li) ].\6 (), ].]:
h!/hJnit\\jl]:nl,L /(])=6
l,:
llyl]. /. ;L
l>0
,-
!L.n!
>ll \n
,.-n \,\\ ].
oDPoW E Dzl, n) i(,) l1r]o.
, Wlk]ż.nry.7.]c!ha
r'.r
.l, -o , -o::
b)
-nl
W sKAzoWK ],
RazW ]AZAN l A
b\d +uh+h'!2j
l
ZJlćnsdyd
Poka/eJ.y. /e ishi!.jl rlkic
ńżn. ]l./h} d l L]]tllĄ!h].h,]lż|rNn, !
'
=-/ _ P?el\nitclłąc (i
lóYnoić,
.t/yńLłgnyrol.j|o.(ł:+.1]=r(;+.1). uh|h. )..\h-d)=o. |h n)|dh 4) | {:r. wjJl nnl3oii 1ł d)(ll' ]]-0lrhod/islldy.
ldy.ł,4=oił+ł.czyli.!dyr-lld€R\{o..].]).
7 .nrLl lLd. tr/l{ ,.R\],l
] ] lghJ ] 1\1,(rn.i/(a-lll]
Liczbył1!-\Jcxlk.sii..gd!"je\l|zichriki.mli.7h!.:1ł+:1{+].\Ę.\/ulłn.p1.1()li.1olJ/
lił
FuNKcJA LlNloWA 123. 2.3,j. ?. 1L
.
(2 rir){r 2l])=1,t8 e (] 3\i3) \ (2 3,r]) ],Ę_.+s e 1r ]ia) l \=s+(2 j.rj) 1,:__' j\, |,' |, ,.' r- }: ,l ., 0, ,., _ ,,1, 7ś l ],, |,
'l25, a),ł=(7i+-]. a=Ri
b)l
^a=(7:
]lĘ -
ł@). J\t-( -i7)
126.,j=r=!|1
L,
2
Je (
@:
l)U€
+)
(2 !6 2 Ji)!(2|ł5::+!6) ,lsPosóB Równ.nie \ l =d]-,tl-].ridwJro/*ll,inił$l.drj§,lko§l.dy.8d),] ,1d,l>0 Ro7wi7 r.n]yd.ftnj$ .aniepr/yz oz.niu,- ,1ł l>0:J-I=a] ]d l]ubr ]= (l],r. l).{ądr.ł:.1łlubl={]+4l+2 Ab! niwnnnlc nlilb dBl ,1, l>0, n'.,fu>0 l ,]1,]r_2>l). Jcdld] 1ł ]>0.1ol' ;d>o, rozwjązxnD 1ob! b}ly dodalue, nru\7! b!ć \p.]nion. §.u nl' "' {ięć wy$.c/y /!ll.źć lc NMoid d. dla knny.h 4lhod/J nienj*noś.i a] t" l>0 i d]+.1ł+]>o Ro^\lą/J|lJnl ncóqno\u ,] łl I>o:o]ic,by"ę(--:2 ,5)U(r+,Ę] +).a i.njqdoja -,:+4d+?>0:Pełn]łą l].zb]- !c (2 16;]l rlł, , ...,n,,u, ,,l,,,, ,; ,; llsPo§ÓB R.lwllńy lun\cj§ /(])= \ ]"],.: I0 i 'e.1l !
d
e
l::
ll U
14:
ed.
+-),
ń+])=,ł l!5, RóNnx.lcljnjołć ! -ll.gdliel.rE R,mJni.\l.,jc/. i.wrJ]. roz§iłZrńtylko\tcd]',adyl=()l1-0 7l1em. iby rtlne(nłnxn]e \pehrixh |JżdJ l1.1b] r^.ly§n0. nlu\/ll /Jchodzić nj§n.(i d ,J+ ]. () i d r+5=0 R./wlq/lnlenrolrzym ._!olkłJdu njsnlirnpJrali.żb k. r)=(2,3) , Dxnc
z.l
równlnic sprowJ{rlń} (ł] nonacjlnl
14|
9ąe9!LEDz1
w s KAZÓWK
GJY ł ,i/, (n]..!!.
l B ożw lA zAN l A .,,,,,,.1,..j.
|r1] ldd,,
. ,
ł l' n:()jLnr| i]. .n,rnr/§]l/,tr]
-
gd}{- ł!jz§i]/.!li.DI(n].i]nj]].rlu]l]i.rai]/rC/y\trtl.gd}
#
R./*]ly]l!]ukł]dtr].\iLi/i,]]]J.l]j.rrpOJJJ]k.l(ł/+jl!Ll7j.aj.nIo§O]J]]r
'35,
141
i.ńl]]..7y§\lil
ł] ]. !. ]
136.
, j).trJ j(lh ( i. ]) .ł ]o/$jj7:jr.nr d.mć!l uk].ldl \ia. \]]!hri] oi! .bi lnlnlDi.L Llh|!:
ol1!n]1l:u/.[rnllil]d(nlij.Li]/r.l]lilnnli]i,]i,,R./lLr/]l]!J.o|/)!l]|.9o
,.,,
",
,] l]:]
138, .)l -] il=
]
Ę 1 ;,',.\)
l:
b)!
6 .= l6l n)/l:.l/.tr:j.r]rl].lLlu].j![.L/dJlr]iL]tr/hpnJ.j1l.
rjkl(lnj.l j.do.]./\rlLl|]. (7
l..i] ]i..1
ll.]dtr]c!
]i.lb (,n
-/
5.,J
4].sdzj.le R,
l())
]r=l.D]l;:]z.].!o\1Rn]n ) ]
]io/gi,/.tr!. jl.!ol(j§dlnj.l].!l
]].trJ
1,]!r) ( i}]]
i.i( l)l()5,+])] ],,
]>(]
,,
l],L
, ,; , ,.;,;,.,,.,,.,;;],;,,..;;,,,,..,
_](],/.,l.n]:1,\rlL/Jrlrn(ill.:,.!lł.
d]liwtr.,]i.n|irilr.r)=(7.
1.5
1o;
r +]l=_5
Rn/giv]Lj.l]trllrduje\l\]/Ll.LlrJr]]tr/lr]r.!li.jll.
l ]).!d/.l. i 1.0): Rv\ ]/l\I ' ,1/!.1,1dł.t, lsPosóB R.^r]]/,łl trL]lttr l, \,,L * , L,L] dr\ /Uln$ ltrr.llr.L]ltrrh: 1 11\\):l>( j]:()]. /.-llLl],l
,,
L]t
l,
s/0l.|.]" ro7§jłJlOlł.d!
Ul]!tt.D:J]!hr
,.,..
/.l-*, *
\!ilóa t!] lr.
l|,D( ].l]). /. \]J. U i ]l \ ,rF,.
rjIr]./c!.h.. r.njnl/i.
tr /hn]./. Z]
,(
j ]<()../}]\.l
§lld/.Z..!i..\<0i (l. r l].gd/l.t.(
]:()]
l1^l.ir|].| jJL noJ]l/rdln). r\r.]l]?rm\, /. *
,,
),,,!
',ul
!l]Jljrl
njl
lr ] l.7. |o
J!]]L
[]!dróivd.tn J* nrl |funJa
j.{]i.l./\l yrD.
/tn,/.1ll[1,nl* d[i.^vlj/Ji.10.
1+ r]=17.LO jen} ! |1\ll].l l =ll].
a)
i,+,=l
])
o
]l))n
n)]=
\
]
J.i] r:1).k)nrd.!r=],l,
\.]r(ilDn Nl/t k|,7]§ln\.hlvF\l]ch.ló!Dł
,,,
( ]i0)
Ll!,k] ].1 tls.L
142.
=i
"
']'..'''''|.''']''''n'' r =1r |. i.n u.ld!l].h nó]ll\§.h ni].lll=1i li1= ] l " J ,J _!a/1.1.
\+]
a'a'"u,-.,,"u'"'.ru.,l,.rJhclbpoqJ.i(t. 1 I],nl.i^l(]!]yIo/\jąZid , :..u-,,*,nu,r.ru(1.1dirnrrt.\k§i./.Dll§ill.j./*j],łlir.nJli
L,g L!i ll ] ;/hL,!] l\/( /r!l\ !..,ln]n ].t].nl]|7ldl]n( 1,0) r=\ ],$jć.tti,ll.( ż.tr.nr1.1\rv ]i]l)lJ]oc_!olLlrnLl(]|D.tr].:]\i/\i|j.n.tr}]l/bPn,l.jl:..l l].!d/j.1€( l:0) (rdliiJł|Rdln:nj. t 1= l /.L|nUiJr\ t N!..: 1 r ] 71.1l/hllrpUdl!'§. ltil}.I] },P(]h/!Jlc\|.lr]ir.Lnn\|,trjJl= l l,]sL tr]lr... ] lDr(cij /1l]= 1 l{(j§n.ulie _
i
n
)/\ j,]2.
nl, (-.1ł , (j.
.1),
lE ( i +,). b)i ł.0): c)!-nr,]r
. a) uLAn|) . Jźi i|lL. ],gun]n! r,ó) !!l]J o1l/]n].it,inl.nn\D...jlll!/n.tt/\nn]l.!lj- L:.
/r\]:,()../yl] il+I.:
0 PllUlr\/lL. i nlFl!li
ł]!|. |].nn\noi.I
l
d/].]ll !],.
]
oDP owl E Dzl, WsKAzawKL BozWĄzAN lA b) Pronxr lln]Bnrnier=rl+z.§ykrc\emfunkcjiśj.{F()śirlonj9daniul=r-^- NJu!ńv§ięc/nlleźalunktprżecięcilobupro$clr,
!/), n,\ivtr ullJd rlunJn ]'="*"
l'o^,,.1,."nul.łxdjnetodąpodjx\9i]niJolrzymuienryT,+r-t+nRożwia/lja!lonnlnl.
l.=,t"
nie. otlz}nui.nry kot.jno y punkl ńr§\P(lkżul..
trt l=n
n:.
( n.0)
nx
l)= n(n l),
r-
n Pod§l§i!]ą.d.]cdnceoz!óstxJir=-n.{t.{3niem)I=o
zalen wukr
.) s/UrJn3p,on je!(nvnoIclir
d. Fo{cj ł, §,iqc nr tcn slm ł\Bjł.u} nDik (ienurlosy co tlo{it Jcjinsnxli. D! sif. ponll r =r!+7r PO|k & nxl.ż,v !o t.j lrośćj. zit.n ].i:o §rók/td ć \NlDjlln nj\lnrni. r - h+ r: x=n ( |) +r sla]] l, =]r. /ll.F p(xtJ mJ ń{,nUie
]):
143. .)ln.
b)re (0.6,
1.:),
+ 3 € (ć: 9) sżOkJn} siqc lycb t. L(ó,. \pchn,Ją njenj*noići 5I+3>ar Rozwjążaniini pieN:zej !ier]sno\.l.] licżb} \:0,ó.łlol§la2 ixnri dn]_!icj r<].2 sluuliłl! lr.h !. L(n. \pllńllił obienidó§Doś.i, §i!c \ e (0,6i 1.]),
,
i 5r-3<9 l44. .),
b) Musimy znlleźć lłlie ]rgumcnl} ,. xbr- 5r
,_
b,
(, "rl -| el,d, ,l '
.' n .,
'
,c)wytEnuniobufun(!,iisąpt\lcw:p(jl.1ynnilki.luk.§yploncjjjnń\!,]-liig.ny)sjkJ.iJn!.hy]eniaPnxlejdoo\jox / jcn idćhllóny do .! ox p.d lqIeN. l]&e!ó l! g.i\ l.n n'*ny i]. qj.r lql l.n rnJ nriir9 ć0', wylEs iunkcji śj.j
\łykreślnnk.ji
niclr}lon} do o\i obie
proJo.
146,
]x
ox
pod
l.J.nr. \lórcgo
ńid§60" .ł5'=]5'
t gcn\jć{róunr- l.§iqcl
l.nn]inn,r§.15'N,.t0dnol.jżlausJ/yć./elqio(ry.jakillorlą
/(o= ]l+l.
147, T3\. !P.cini!q \ję* t0!*cie ?'=(|J0.,1.1), , wykrc\imifuiicjisąpo(eorósniDia.h}-0.5r+.1,
!=0,1l+36, J= r+l2.1 z ]dł.Jny pLnki *\ló]ńy d*ljlh pul!.h. ańN.pnie \prl§d/im},c/y nale/} ondotrćciej pfunej Aby /n!]eźć punkl wspónry dFóch tn\ly.h. n]lc7y !oz§iMrć ulłid njwnlń. ktjńgo rlqnJniJmi \ąllisnini
L
plo!]!n
l,=U 5,]
a
RoZll.!żrni.nr1..!ouktldn].nlJlllicżb\=80i]=1.1.qigcPunklen*\pi]nymt(\l]ch
]e§tp nkt P=(4-,1.80). spnsd/dlry,. c7y luńtl P llc/} dt tzcc,dl ldtq: J.,l = l).1,8o+]ó - *Po{7§J.e punkh J=0.]j-36. *,ięc punk ten nllezy do tż-iq prcś.jżil.n] w}},re\],IiLnlcji l3i łplż.ci]rdąsiq s].dnynptrDkcic.
/ lpel
it]ą rÓ§nanle
14s. o. ri).
n! l
J=a.,/,
nj§ń]ńie pn\lej łlJlierJjącej sykrc§ 1unkcji.l: Punkly.ł ja lcln Po p,eci*ne] nrcnie osić)y. wiqc odcinekttJ ł i o:i oŁ si.c jni sspółLzldnc (0, Punkl! ,1 l a nrI./l do ]Yonsj ł.
nią pun[t *\Bjlny, Jen to punk wspóhry pronej
M''n'ł. o'"*-.'."
il=:o*6
njwnani. 8z.7 ], J
d
')
gl. Fzcz : l dodijĘ ot7}In].e ńsnanla nro ]ńj.otlymJn}ó=].4,
^tćD
l49, a)/(r-31 4i b)te( -12)U(ói+-)] c)t-(].2) ia=(6.14), l50,
2/4Mi b) t- ]i c) t€ ( lii7) , Rożsi.l ia8i njvn3nia /(r]=2.,1
ó
!) Rys
sq lc li.Zb]"
r<
2.
0,5t+2=2t .l orxz lc liczbyr>2.klólc \pcłfuljąniwnJnD5 l-fr
15i, .)r=Ji b)r€ (:i2)| 152, a)?,= 153,
2..-li
.)..
\p.łfu
lj! ń* rn]c
.1
1
z 1,161
b)(415).
a)r6(:] l3)] b)r€{ -i ,.)
( 1f],
kljt
l0.5)
wxnośćhnk.li ./ pr7ylln.sx d dlJ JrlLnl. fu
7i.h.d7innłli\łn\lt ]5=ń<. 7lknń< ]] b) Miej{€m 7{ov,yń runrcjj / je( ro/lilvJnje nj*nlnu ]I+' a.hodżi nrńwnola _+Ó>]+, Ni{ÓwnoŚĆ
tę
spdni]ią Iiczby
/,
5
i.! ńwfu =
<,
0.
]]
5 +lJ
s7utlny lv.h *Jńolci $\Półc4nniM ł. dh kló]ch
yylj J= -+ń s/Jklfuy
]o:
l}ch
§anoi.i §\ńlczrDnik! r, dlx ttólach
QDE ryEp4.
v§!Eqy!! Laz! Ą4l!Ą
155, -7 V(\)- _i\1])
,Io l.i,t /'oll.il()n]rn\/.r. l/(l)-d\lrNj.l\./c/(])=§j/(])=.].\lt.8=?(-])-rI-.ł=d]-rRo/}iqzinieDr
fl/rnljćLl]]i.,il\irl,/.9oJrsldl.j0/l.!ol)l/.d/jrłU../}hdI.ir-]].§lnoialll.nn,*nrr(]])_-7 156. /(l) . ]l-]
,
hlb/(n-]1,6
ł,
\\ilnn,n\cij / n[pon,,i /lll r'\,/, \.tl}l rA]!i NtJ/.Do Don,.nic
u!kr.{, ill[!ji / lł trll!(1/jć u\Póll/.dn]-uh. 1,l(n. \]trjll / {Jn,nlas pdhnr-.h § r.ś.i7JdJn! P.nlesu luDl.]i / \in.i.i §]ql:/r od N pl/)jjnu]e dlr allum. lół tnriej\/y.h od .§iq. /1 ll-s i. n\i.rJzJnl\. /. /l])--] Z]t.nl
E, ,r/, i -2. j,lr.
l58. ,
7
^nlk)sic/ ull or/)mi|.!.
u l(n\Dxli
$)/ll./Jny /= 2ir=6,
/(L)- ]r l l,
F0llci.,'o\l.iI(,].,i.n\/ol.]/(I)-dl-/,,gi9./(\),/l\+1)=.l+łr,lr.l)1/,
DiJł|.{]:l)ltn\Mnić$i]loz\l.lzini.l,,]1.1r.l],1)nn\n i.ni]n,\i.j/Jnjl.!|a/,e ( ąi ])U ll +.1 dlr t€ 1::- l) ,lJ ./ l:]l /ll)= -rl , J,]],!e/:+-) łl€
(
(+i,1):
n!J)=
Id]+
ł r.
l ln:
(l: +-) niwn]nl.
,n
l fuzw,
-]])U(J ł) P]. (
].
()).
/'.:1r. -7)
]
i]ł -]
lłr)- 1.5,
4.5
l
,1=11.1) /]=(,2 l)ltrb,1=(],5) /]=ó,5)
. l JlgU tnl dlJlŃ.!oohićlu k.jr|,}inui.L\nn.ić]l)l0 .lp'8=]0!0 i3,,+ń=]()l0 w)/nac7ijąc,,7dfugiciń§no iciipodnJ\iJj{d.p].lq\/.j.(lll/j-n!ł-r] ! ł]]LŻ |s=]0l0 sp(NJdżJ l) ot/yDJn.rósDani.doFnJ.i,(]0l0 ]m], ')=] RozlłJdinyljc/b.3.]()0]nic/ynnikip]c,Ń\7.]?,]711,1:].di.(dżieln]k]en]i./b}]2u)]ił€(50:75),§lę{4-ó6,zósnoicj 66 l]0lll ] ]m] otl)mu]tnjy ł- ]9]9
'l-
Zltm
. .-hlzhxżw!.1!ł{., - ]i(/bnr.n!nn\, l-i.żbrpunlló* trZl\llny.hżl.ż*yll!n\,*yno\i 3:. ł r lenrn(iw j.n ósnu lr ^ ti.ń\]z. ni§nJni.: ]: - ] - ]Ń, l)ru!).ro\nini.::-l=]0(n.I|lJ:ń\ful\.tkńln|..a.hl,ynjłPniół:J,śćfara:.Lj,
D,.ln}
Ro^\i!/Lł.łc ullad
l:,,,..]3
nn\DJli _+,_I1,1? |hfulll!|]1I^1 \lł|\rljł.r,|llnl).otlynuenĄ:=14ir=ó
i66. on.Dnr§lU.hl$.(]l, !,li(/b]Oc/ńń\$t]r.ićpl/ćdllż)b\.icnlj.dn.jo$byŃ'eJJ-§llaJcb)lo0.]5ł.t/lc*człl Po Fzybycfu].dn.! ośohy oi:elck dżI.NcżI §llnl, §i.c F/}b)la żios.l!nxwlćd}htło()]5ł+ldłc$.ż]nin.,no§ił\on. tr?hrq j!| l]}1 /j.1
--|
ij,]l] RL,M.1/. ]cn] t_!o njqiJtrjx j.{ lrc/hl !=2.1 cl óp!) nl po./!LU nho\ili
lcznnnł. §l!c i.h ljl/br pJ ni§nl ().75ł=0,?5 ].1= Is
aDPaWlEDzl WSKAżQWKI,
l70. c.i]
172,
a)
I
jolll. ki.łhl.) /*}./l n.] il),5/l. Lj.]lri,ypoJul\r.1.1j.]:1]/|
li
]2u./nnj*i
b)5u)ż1
, ]) kloliuk)toś]nJ! pi.ń1.7].]n i]liku. l/ k]r.t!ul(llo\i|1|§dnlg nb.fku ,) /,1.1=2000 od\ctLin]ljIl(n].}p].lq.4Db!nll:(),l]/ o|\illj IJlr.^rl. s IIu9ijr] brOliu: Nón)jJ!ll].h n]qnl,i /+./=2fil)
i
g tymbdkunlno\iło
(),l]/,+().]0]5./=]15.5.otl!
l}l)']
l.!.yl=6l)l) j l= l]00
l0.]5ri../)Lb]]oDi^^nj/§ .ńvil!.rbrnk0
174, o\i.mDrno u|7 n]i 175, \ł ,h .l
I
1.I
17a. Pieru\.l p,€jt.hxłx l5
,o/n].7cnil:1 !
\i§L llx\,
l81.66kg
odl.!łtrśćłli|d/y nrillnni
iJ*lm polon! tr\9 /
,
o7n!/ńr:,l
rdnlgx 20 lnj
kn].
!uq!,1d. li§
n]x\x
§od].
któ.tr
01D.!o\ ] pro.a |*j, l,.ż(\olzc róvni./
.1
/J,j\\l
l
ł 1| plqdlo]atrIsnr{.trru ]t |l.dl,o!ćnjllllv.[j
nn!J-
;
u* ="
1!
nJIc/! dod]!
LVJ-lo.j2,.]
k!.Fitc 0l)] 1,1,1+,r,,2].!id,l=66(k!j
182, lik! l0.tl.ccnl t§śU i 12Le ]0llocćnt k\J\U
l II
- I:]: ] ]l(lI.ztqojn\.odto§j.JnlrożN.nl].rr.lll . rJ.ł],.,łr
IIl
i
-, |,ł-],,, z €) aĘmry ]L
=
+,
€
!}9j!!
|!]!]rl]!!]
\ł po,]obny b)
i]L!n\ kr liorporJ.li
1Ł:
- ]2: b)
c) i!7.Li |lLj!.śćr]\y
/J. ni..o nq|trlj.
186,
a)F=+c+j2l b)]].3'c: c)22,5-I:: d),]0,c,
Do].i]
lin
2('l +,100, -&i(ł) = ]a,
2a
0,06 7 Ó rn].ly0,()15,) 1-0,1]8lłr, 0,o]7,J. !,]d
§i
,
a)
*.l.
',,
- 0.035,1-0.0]]łł,,."ł-,=..ri-,-3." u "l""-l. !-,+{-,,= ]ł.]ł, "l ," ,p-ot .tl;.".y "l fr = {
185.
=
a .
nu].y ().()()]łłj
l84. ai,l(ł)=],óŁ+.].
(l,)
*]l.
ltłćto7lnievJnilltlid/q/]d]nyIożt§ór,
,l,. ,,^\ ,/r,,\,,r] ,,
,,n.-l,, l, /,, /,L ,l/, 1,104*,,,. ó pn)..nto§y louisój Kcl.
l9
/]-
6]
j.{ l i\r,/!iilliknl
l!/
sj.. F-.c+l, ofu/ c=.F+/,!d/i.d,/l... /\lL|c§.in! ],c/lrJmirl.c/!§Nlv
n
20
,i
RozwAANtA
oDPowlEDzl, WsKAzÓWKl,
l87,
!) 7'=
1aa. .)ó
]l ]i
15
145
h)_0,4"c
\lwh: b)o16l.
l]0l
]_.] /lo:]lrtrs (l0l+r0
d|.,
]=lD
,]ll
tll
.t)
dl.L
].L].
ł)
lrl Ą,l=1r
,L.,
L)
"lo:])
l ,l]
]nr7l|!n].
FUNKCJA KWAOBATOWA 191-
,)le(.j:r):
b) : l l: c)J ]§l FjliIc.t \ pv.dłrlć(:i
192.
a)li'-(Ći s)l b)Gs:i-): c} JJ i aJ'
().5), / jcn
majqłcau pż.dż,Jls( 0.5:_)
194, 4ZbnnwJdojci:(:]_])| b) lu.kljl ę iśtlo\nlli \Y pl7. /id. (-: N). 1 nuIe iJul śpll.d/i.,l. (3: :): c}4l!l= ](r s)] :. ,, .) 7hMc]n {lnoici luDkcii / jc{ : t,€(i/irł (--:0). wytr.llunkc]i / PUlŃDi§t)o ] |D.lnoŃtido dohl. wif. /blor.nhnolli funlcji!jej(:|-]), b)Fuikcja/jś!i(\nJ.J\tż.d/jrh(_ą,O)im!]cj.lcawp,cdli]le(Oi*)w)lrejlunlcii rplcśunj{lóó8]ed no{.k $ p.l*o. si§! lontljl ! icn w prlcdżil]o ( ,,i]J)in lc].|.lv ż.d/i!le(8|+-]
c)
-s)'_ !{.)_/(, §) ]. /Jt.ń!(l)=_]il^xn4cn
],
195. /(l)=]l\_5)]-?,
i, w!*rc\inłl!'ll/(tlrżtnjJmtnrz.\u§Jjts\kAfOnk.]iLo.rjcdnonlidodolui]l.dno\ltl\pratro.ztrtm/(\)=!(\
",
-.J
l. -l]|. -, Jcihs]-kr.\lu|llji!l\)=al'+r.+.jcnoblJżen$tkr.\ulu|lcji/(()=3\:Fllżćnni!.iuo\.lbrl:, §^n iunltcjI ! s lo{Jci ilt,cżl ow.i ((1)-](l+])(l-l),lnl(upni.Bponlcit]tro i./Dcj: !(I)=]{\+1)] l] od./ylui.my /lEnLrho ic,nlj \/oru ńnlL-jj !] i=l l.-I]1 l,
197.,){l1_16)-^:
'9a,
])-.l
.) /lr)=1|
199. a)-2i
l:]:
3) h)r€
b)r € 5
b)
1l;9)i
c) 1=-1\ +
l=3:
c)
loł=]
żf,pnu]ćfiy
w\p(jłlędno B.kl{x! l:
l0
r€ (0l ])U(]]
6)
( 71_-)\|]|: .)./(l]3.156)=l]]tłi3:
20o, l).>o:
b)ł0i d).j D.>()i .)r]-n.>0 :.r)RaDln,llninńoli.likjitj.\lwllr.\enfunl!|/,.lloi/>0.łiecr0: d)bL()).triecł]_r{.>{):.)r>olbalnlljulnhdn!nlk]\o(&,1>0'(>o). si.. b] >r: ,1d.=^>() .
"l
20l. .)/ ]c\le\nąclwpl/cdżi c(:] ]). l nhl.].!l w lrl..lżiJ|. ( ]:+*): b)/(l)- ](t+])]+.li .)I€(*:,ó)U(0:3) - , l, ]: . a) 7nijfi \§Br/qdnc *l.,chołltr lĘbo]l Ęd,]lej §!\rc\!m li]Dkcji / i wtdz..c. żc nunkI 1-5.,l2) do nlćj n]lcż],, mo,0Dly §]-konać stkr.\ funklji / pdz§lj{a3y ok.ilii r/ć.ri!lv ńonolonicznoni i zbiór t.lńojci funkcjl. \.}2bc!j Ętrs llntcjl ,: Koż!nJj]ś / ty\re\l.. ,ltrlcrd/Jmy. /. funr!.ja / jc\l n\nącl s p,ed7jlle ( -i 3). a n.tl.jqcl w lrled/iile (,:]: k). żbnĘm wxnoi.i fu llji j.\I b) ly=(_:r..r). §ięc wżór lunkqi
sunw'/nncz8l!a=-,1.
/ i](\)=d(I-( 3))]+,1 Dh
lr_gunl.nlo 5llnlicj] przyjnlu|e łnnośa_l2. funkcji i DodJj,l. d..bu nlon tri.rj§trojcl ]2,
/ln=-4(ł+3)]i.l p.n!ćkJnońic^lslofu
uĘ! l]=ł( 5+]r _]
.) )idd.} i{,/łiłać i.ró$no:ć ksldrJlo*.l _](1-3)]-.1<_]] i n!śę|)Die dliel]L oblcJ.l\toly przcl -ł,orzrn ićny.i.nlsnoii l\+])],9>0, 11o/!m]tY,\loPJn.Lćl.q/ofu\kró..n.!dnno/.ni.,n.,L\JdrJlró7.j.J.ot7lm,trnt §ó$ć/!\(r-6)!>0, slądru/s4bkou/!\|U].myful§]ł/rnjc]
!
e
(--:
_6)
9
(()i
+-),
oDPoW E Dzl wśK AZóWK ] RożW]A zA
2o2.
3,
ł ]],.-ló
203. l_-025. 204, a) 205.
'
N lA
.-
2
i4]
b)R),\
l/5\r;
.) ( ł:()]
l, ]'(ł)=]r1 ].
,,
Tr(rmi.n 2\]+7r+6 żrynż w pod].l jlo.żynos.j
206,
,
.
, w jrljm Pr^dn]le funlljx
/
2
jt{ n\n4J ] JJla §il bi. innl.i.l
/ ]]l/! i,nLlc
L]h
nĘunr..fu l -
l ]
(::,]) bfuklożwii7Jn, dh łl=..1 jldnooq j!/xD]e n-) Lt ]()l§].]/JiJ. \] l|,J,o,\1,1,,l] ll \ .5 .| ) .\- ] l, d|d, ,l, .l /(0_!] } łdlJr€( -; 2)!i2j-). /lt].. , ]tr,]Llli\e(]]]), R!:, ?/5Mi Dla ł€ dlJ ,Ie (,.1:.1)!(5.
,
tl
Lic7bę
dwiJ?ińi]wnalix /(t)-łokl.(1. ko,7y!]i{ z\Y]Lre\ufuitljj
2
/.
Zblórs!lości: ( -: I)U(]: +-), /(())-],
]
,
,
,/12)=
l, /(a)-3:
ilIcń.c.r2crcsyD
.,
]] (0.r5:
j.§r każd! licżba
]):
l€1:,
R!\
j/5Nl
ÓlutJ:,:l
llty a€(()ll) ZJt.m nJl./} Znnl.źć l. l)../yli1.I.knne]p.łliljJ l.n]snoici /(\)>0i /(\)
[d]=() stcdy llylk.gie{ty.
dl,który.h /(1)€ (0; Zblór.Jn rolwił/lń ni.rós ó(.l.r(.]ż()j.{^nir(
212,
]
a)d-2.b, l2i
b)/(n=2(r 2x]
\.
-. ii)U(,]r:,F).lni.nnvnonillr<
1
/bi,jI
(
2i2). §i|c
Vuld]nliślroiciłOn1\,,
.1)] c)lOi-_'
'1,L-r0| b)(],40) i ( ]0i,ło): c)t= 3.5 ,., c) oiią \! n.iril Pllboll bcdJ.Li sylrc\.m linjlcj, l jc{ p]onl lr(\hpJdlr doo! oł t/c.!rod^rJ nv./ ar ljL l.J.\,!l1 ({n,o.Jofu(n,tr,trt= r,5, żnxjdu]emyodcjql4§ierz.hołkl ruboli:,,=-i
213, a)h
"
paraboli
214. a).-1:
22
§l!,Chol.L
l|
2,5: c)/jenmi]ejq §,trlcd/jJ].( -:2.5).Jrov,[]w(2.5i+-): d)( 1.1]5i+) 1.1 /r -' ni,,!J,"rl,, ,
b)d=0.5, b=
,.) h . ''
b)lsPosóa,Kolżysla]ączt.!o./.znnmymjejlcl,erovelulk.jl/(]!!nrDi/ł:ł]]i.1).zlpisLlr.jy§7&tunrcjl/§|onrciilo.żyllo§!,i flr]-,(I rxI ,1) /(())-].wi..2, (() l)(0 ,1) stłd Nu]y ł=0.5 s]]rcv!d/qa. §^n /(1)=0.5(l l)(1 .]) Lto NnJo.góLj.i]
, ,l o)l
',: ,'lJn)
!
',{
llsPosóB,.-],!vi*](r]-at]+r,+].Liczb}liJ§Jnrigj\lrd,i/el.§yffnfu.L.li.*i§c]",1;i;;]l] j.{ paaliczbd=0,5 ił= 2.5
Ro/$lx?Jni.nl t.eo
ltlidu
równań
zls. 41t.1={..]
].*l,
ol+, o lro- {r,
ll] j
, .) l'unlcji / niimnnjvą §rność prlyjmujg dl!
li
!U j. tu
lięco.](+2r,]=o Rolwll/U]tlcUlładńsdilioi€.o,,y.q"4 216. .) f(r)=
';
]..,
ł.?5i+]r+l] o1,. r: J,6l:*j"6l,
a) Zniidźpo\hć kr onic7i]s/oru
'unlcjj
/:
6ł, Nliqs..nr - +-J,slŃol) zl.-rr,l=],r i.*l u=| ił= !L
/.lorv)
nr
hDl.ji / j.ł 2.
22|
23l
a D P o w E D zl, w s K Az o w
K.39zyĄ4M
217. .) Nl]mnic]trJ sd.ść:-ł i
b)ż.śiąoy(0.5). / o\i.L(,rx (1.0).15.0) -.) \Jj niej, $Jno\ćfunl.jj/ ]cn ó{nJrżiln.i\tr §icrz.holt] |Jfuboli bqdą.Lj w}krćscńr lunlc]i./ ż riorn cjionro. nolonilznoi.i fUtrk.jl / vnio(ui.n,y. ż. ljńtrici/lt §xllość lnnllju / prżyinui. dlJ iĘunl.nN ,], zlt.n §ierlcholiienl tr!krć\u fuDkc]i *lty=(].r1). \ic rv. Plnkl lyńu]./r aodan.] p6lćj. sięc l(= -] 3+]:4 ^ ] 'j.nlu b) zn.!:!c $\pók/eJn. pu.ltu lt/ (,,łł:/,łłła)J. inveDl] PnIJi F,.u( lJn.r (ł1,1s.trU lunll,]j / / l ) = l t - , Pulkt Pr/ecl|.iJ P *y*FŃlfuDk.]ilon{oyD[.{l.iqt.|lósnxO.r/(dn!jcJni§llxJ(0)=(0 J)' ,1=5 żllcm1'=(0.5) Aby 1Mlerć puDliy s,póln. łlkren, i o\i ox, Bunm\ \ ] / Jc/,\ ć mt,!\c,l /.nN. fulrcli |. c7}l nv\,,l/, ! nl$ nJ r l t - l ] ł,U t1,17eń\ ].ln7sj{zać ko/y§njłL zć wzofl (l ] ])1!-3-2)=0.nJdl=5]ub1=l,ZJl.ns/Ukl cpu łly ,rjlŃ8'l!.!dn.15,()}i(1.0) skr&oDe_go nrno7.nil ó/ni.§lLVnólló§ ,t l
!
2!8. .l
l]-]J:] ł-ro,,r_!, ] b)lć1:]Jr \. I
, a) Funlljl / ma] nonliei:ce z.nNc. śif.
",*,,=-:l-=5
si.,] r= |u
b) I(_t)=](-\)]_(l T)+,1.5-1r],6rr,].5,
^=]ó,Ni
=().
slid.=ł.5, Ii,nkc]u
{
o\i€!
\dc/rsi(.(,§iy]ćni.ó\ńość]lj 6.+].5+.]l
.]
lljłiqt\żtrłan.ićdll arllne lu5,
r]+]01-]5)żo,Po\Powadzcnjtrnie, knu ]^=l].] ^=]9].
nlsnoj.idopo(xci_]l]+.]{I-955)0(h,bpo{Ii]l],]rłrr95,5<0)/nJdUJćtrpi.r$iantiot/}nDnćgótój ,J, |,, 7!Ę , 1 :J: -7 J7 7 l
-j-,
2t9, .)l
e
i.,/§,/_,,.,1ćJn,J,,
l:] -!
l),
c) wi.lżcb.łck lyp,lJboli,ltórJ jćn \yLfs.n tnnkcri
olósnlniul=1r'-'h+l.$iic. 0.5
i
|
/,
,.)\^'y\FsfuDkcii/pvć.jnroiołwd§Nhl)unllth\!.d}.!d)lunkciirn]!dtimic,cł/.n)łc.czyliĘlctly.gdy^=.t_,ł.>0
N,nn,r\/|$ h -lLnk-Ji -,lj.q,.,,
220.
,
(,-: ])] b)1..ł: o)1_1l
Rozwil,U].! ot/!m!nąnicRjsno(. t]onij.my.€ b}
[!/r,,,, \
1.5
j-!
ł R!/\,/
cnll.$njnl..-''
/'i \sŃV§(tnc l, = l iJ.
=
.
l.,.
-]:Ł
l=]( 1): 7( ])rl, Roz§j.,ziDićnrol7}mJn.soró\naniJ je!l=l1
(,=-l])
222. §/ulJl} Jr!lm.nf J,r
,,"+, . spnlład/nDy lzd lilnt(ji / tlo ponfj osóhtj J l =.r l' lla+h+L)\+ubżbL+.d- wvkJ/.mr. ]i 2(l+b1{ )r+.b+/ł -l ł i.n nicui.nnJ dla (loF.]n}.h li.zh d. r..: A=1fu:+b:+t'+)ub.lbll2ta) l2k1l,+hL+Lu)-1d:+!b]+J.j,,]db,.{ł.,,l.d=](.]]-h'llbth|+a =! l(,,ł)]+(l, l]]+n d)]|>o, (
- Nic.h
d lĘdz]c
)
wsBiliynr mjc]lccm z.]o§}jn obu lunkuli. wlłI]y !:+|P+ł-l)'l
ot,ymuj.nlJ".lp ł) l| .?)=0 sla!manrr(p,4)(1-1)=0 l t7h) sccmzc(Nymobl lunllji.lól=l al.ń /(l)=0. c/yli l+lr{=0. ró$no!ci,
229.
a)!=,l: b)]
l
l:+!ł+|=0
że §yrórnit
2b.
+.'-a'-1lar
,JeżclizbnEmIoz§iPańni.ń§noicii]+rr+r
=
odcjm[ją. ttoilmi ohie nie
i./ \J,(]/nc. *ię!a= L wykualijmy,
J5
tlijmiMu
/eićsli.j.{
\L
riej
o DPoWE Dzl, WsKAzowKl, BozWĄzAN lA
23i, .= {lub.=
l2, ?o: ] , 4 i ,], Rozwiąanirńi ówńlnia
r]
5I
+ 6 =
0 są
łi+l+.=ojen2:2:+2+.=o.śĘd.= ó, s/ukJń!
sląd.=-l2
3]+3+.=o,
232.
szukanewińości ws pólcz} nnika .,
.).= J lubj=;:
b)}=-3 lub l=,2 Iub,=l
1.,] J=,2 lub.ł=2 l"b,= (--|-o,3) U(^0.8]
( l:+)
li.7ny
,6 0)
l"b
1o
lt,,
', c)t _J l,b,.'llb
-,vł6.1, ,Lb, -1,,[6-''
*=J'
U(0| 1)U
bnk oNią?!ń.
3, sżukrny t.J whości*spól.zlnnikl .. dlt któĄ ro.* llJnrem nJn,J ^,{ dll kk Ą n,wivlniem njwńlni] r] +r +. = o jŃ ] -6 i-l2
2 i
tej wJnoś.i vspót.zynnikl..
(9ip).
dlał€{+.
1
)
- jcdńo
ózwlą,liie.
2
0.5ł=0 lub
dla
łe (:|
l)!(]: l)9(]l+*)- dwlruzłiązanin.
Iooo
.]:,, ?€ (,-| ]0)\ {8], .: ,, , , :. Roz*iązujeDy merrud
równmic
|-<, l,<. rbt lub L,l.\ L.l
105d<4t
l]. 5
]
(_i
żl
a=0, §an
ł =4.
t]=(),5l, szukany
,,,n l"3 l - l13" ł€R lJ
- o .o^i.łzań. d]a łe {l]U(3+]+*)-2uwiąanj!, dla ł=3+-3 B7}jqz!ni!, NlvkicDj qrkć\ funk.jj st) = |;+3r|+ t.
,,,
,
l1
l )
,.,,
zluwiżny, że jeśIi suna
wytażćny, że suna wyńmitów le* nielieńna,
a 1o
dwóch liczb jc* nicujcnna.
bjjmianó9
i+rł+ł i l
óznacza. że pżfnlimnGj iedno z
1,*
-.i-i=#= :-
.)3ćoj .) s;
J)-?,2,
.,,, .=lź
:, ., ,_
".1:;-{1,rz;+;. .eę+:+,
. :. ,,.
dl!łe(1: ]i)
luh
"<8)
e
_ a rozwiązJniJ.
a=' i.=0, Io
co nijnrnicj.icdDa z tych liczb
+,]ł +, jc*ni.Lłonna,
^r, ^] A+A.=P1 4q+|ń1 1ń)=Pl+nl-2.2<.!+,)=r,'+n'-z-2={o,"1'ar,,. ^]
18; t())
, Naszkicuj Bykes lunkcji ś(ł)=t: 9 +i1] tó
240. Równlnie ńajedńoro&i.rżanie Medy i tylko stedy, gd,
i'(
k€
l*ich shości parl-
( ];0)v(4;5).
ńwnJń
I] +,,J+ 4 =
o i
i.§ Dhujcm..
wlklhhśny, żc + ] > o. wirc ]] +,a + n = o ń!^]Dz§i]zanie.
co nljmniej jedn! 7 lic/b ^
.
oDPoWlEDzl, wsKAzÓWKl FozwlAzANlA
ł. (:.+)
: .ń,
'
!(]: *):
:.
,6
r,,=:l
LLć/bydi/,\ąodsnnn..łi.cd?),-l. (ożynx|!. /. §^{u victc']. nj*|rnic \]+]l l I - 0. l'nnlEo l./wj.Vlnlx n \ł ]l./by z- ł1, 1, rĘ,
"
s^L[rn! /bln:
,
]l,.,łl: /,.l l:])ił
]f].l].RY\J/§\1 l nru\i br!
n')*n!|i. nri.Llod\] ló/D.fuu§j]l/lD
nranlr
dr=],l ] Zll.n,,=?
:pelń(rty wlruncl
^b! l=,ł J?>0cZ!lL(
ńo*ł/n]..
, l ()b!. {nln] D]clnlDonl \. r l. ll( l +l.)'- .i*,]+:1,,
..t l,}lt1 t'
śl
śJi.uiłnn.,§i.c
P(xlno\/qcohi. icl (n,n) do
ot/yfr3Dy ni. rós tśćnl§,
j.1
(1, s,,
(€ (),+) 9
-.
(1:
])
r _, l;ul i:*-1 , odc]ęlc luDknj! q\l'lnych wykl.\ówobu lil kcjl są(żwią7 rianri jówilnn :r:+I-,,=ł,J: !,|t+3
d€ (
' liłby
] i
-| 9)Ul ]i-i)
w loztrjłzani Lożynamy 7e \!7otó§ v1.1.'a, Ilftzyn ńi.j\. zelowych / rcq ńŃny'7. slę. m,e|\cinj ż.ro\rml \Ą 'unkc]i ! sUN fiicl\. ż(.qych 8= -?,
-. t -, .6i
' , DIłkudlj lic7hy ź../ywi\tjr /lchod/i ó§ność t ]=r],
z,tcm rl"ne lj*nanic z.Pi\nć
ń.^n) s }\l,ci
o1,]*",1.1*l.:s=owPnJ{]d/ljącllc*,iidomąpomocnicżąl=i.ot/yBujcnlyrjwnanicoi+,,l+I.]5=0 Ró*IMI.lD nrtr./l.,v o/sjvJnii §redy i lylko Mcd],. sd! li§nlnic o Dl d\rn ro7\liuanir d&l.fnl. R{nvDsic e mi dłl roz§lJzŃlJ,]tt]Jn,. *j.|) ] )|] , wledy.gd!^>0l//.>0i,]ł/:>l) Ro/§,iążnnilnlikolelDy.h tricnj*Doili \lł,,e (.: 15)U(i5i+),",e(_-:0),ł.R ż.nćn,UL: n)mi*Jnoi.llfil plranrclru §,l liczny łt€ (:i ć)
aDPaw EDzl, WsKAzaW Ń, BozWĄzANlA 1
-e (-* -n!
I1]
s7uL!m} ty.h *,xności P]rJnetu ,j. dl3 lkntlh 2 nićnxl./! doZbio, czyli nllezy do /bioru (/*ią,Jń r]+(,i+3trI,,6,,]- 13,1+41<0] ,
je,ł
lb/,,j]
łł o"l:
1.7siłllj ni.ló$no!.1
o
-
\ +nł'+3t\
ór,
l8rl+.lJ>0,
l'J
,lĘ (_-i 9.5)!(]: +-),
De(
-l
+),
, s/ulJnly
o tu,"lli-t",
l
)a +
w!n.!d tlran]ctru -. by kJżdJ li.żb] rż.cż!\§tx \ \peiillJ njclnlnoji /'lt)
lxt,jch 3,i
l _ ,n l r
< (
] f,-iennłno!ćatśannvJdlrnj,vJopol"c,€}t:,,,l),]+:ł,
l!+]łx l)<0
lJć
j€ł \Zulfi ą §!noś!iątJłu}etfu
ll J.śli],,+1io.Ionieró\no!ćoje(nicósnoiciqk\r lo$J Nl.(nvio]atq.llłnirlŁdil1.7bxL7..ĄtrnLLJ.jlśli],1+l<0IA<{)
Ą=,1(,,-])--1iQ, 1)(2,1+l)=.1(,, l)łł.L 6,1 ]]):4(, I)( 5,1
.|).
silc roz{ivlnjrnri ni.Ounos.i A
ł.3]U(lis). lnlilldnieró§ności],t+l<0jó
"
-l
0.8)
(}l l)
. E ( l-/j1-1+ć), , splolldzlmy d3Ą nieówno!ć
! Jeślir=o,to nielówność li
nra
2r+2>0.gdli.,j]c{ ic\yildo j!. do Po$cilt r],ł]+2w, i ponićo,,]+otł 0-0-]>0 Nl.nntrn)]itxlt(p §łi{ldl!(yd!jlj./b}'ccl.l{n1.1,1.}ktl=0j.n
nicrówno]ć i.je{ nlcrósno{iąksldrntosą Wówcz|\ qspółcz]nDik pzy,ł'je{ dodrtD], qĘc loziliąz.ni.m nieó§nolci * je( 2) .lL]lr]+fl t), njciótrio\ć.1l]|; +2ł |)<0:p.tnj]jĄ l1.żby kai]J liczbi rzecz}lvilu,ł lledy. sd}
!l Jćilir+o,1o
r.( ll1:)\{o) '-l]: /loll\rjl..], o/ll ,,],], 271.
a) 15
zli
b) . > 20 zł 1
i
^
,,
l,'
< ]5 7ł.
274, w pićrw\zyn loku
3011. wdiugin]8rż, - p.cżąił.wc.pfu..nbsrlic lotJ§.
2' 2ą §!:oko( oprocennr§,Jn]! Irrklly po ft]fu odsetki naliczonc po loru: # Io0oo=lo0/, K*or.n.]oli ie!orclu:10000] 10q, oo\,,l rJj,.,,,,|.ou,,t|,,_,l ',ń ,l,,!r, l,n,, / 2 M_,,2,,/.nó,, :0U, Ksotx nl lokrcic lo dsóch lali.h] ]o;;0+luł,+l'+98/, 2oo=/,] | t981l98o0. Wicjny.żcl]+1982+98o0= 16d0 Rozwiązujcm} nn nani. ]"+]98l,-68,1o=o: 1'.ł=]58,/, =-22l],],.=30 !icńl],l.q .
t
'
dodahia. siu. w nr.ńen.jc /,klddlnla
b\!(rjej oFm.nbw.nić §r-no\il. ]09l.
^=6656ł. n po rcLtr zo\tllo obnizon. do 28''ż,
2
276,
4
000kg, po] Zt0] grZakg, , , m^! cukru (w ke) tupionx zx picMszyN rlz.m. r - po./dlouł ccn!
cul( (w !(\/x.h/3l!) Zt.ściz,dlnilłtnlkx.żcal,,.=8l6ux)lgri€) (,,+30)l. 4)=8lóL!]o, Równani. o \pó*!dżamy do tośall,( + 8&] .1,, ]a()=8]60. tr nan*Di. |olży(Jn} zró§n nil o, oft}ndąc
2 ro§ ndnie
8l6l)00+8fu 4,1 ]2()=8l6(x)0, Z .tżymlnceo róvnanix yyznaczłny ,,: łl=]0. 80, Podnawiaiąc do ównlnia o 20. 80 w nrnjsce ż, orrz}muj€n) ównŃl. l§xdrlkNl (]0. 8()). ltI6000,JloF7.1\/lxlc.fud.hn]}n] i. .] .1, 40300=0, Rożwiązuicnly tównmic.] ,l. 4o8oo=o: i,\ =.]0.].. - 200.1]=:o4 i jc,b!. je( dodrhi!. §lrc P
^=]6]2i6. l11)=.1001)(tg) cz4llowoplrcono:0]!r/nlig.uLF.!\ufi)no,1=20. 30=202o1
z
27.
ż
l00 tmtodż, ,| Eodzin},
9pP9!/!
EE l,,49!ąZ9W!!
|].,\w] 279,
s^
l,J..,j./h\
280. a) ]: 281.
1
^L(n)j
b)
l.
l ]()
]l
ąaż ry lĄZĄ |!Ą
llr.n.(. nl.|lil l]l)l)s, ini!l ó0I.L].1.1 pr.il!.L 3l)()\ r
{)5, n] | nl.]Dy
iln./ytr
,1,5
/] :lj!]
,ł ]L./brollD /.}. I ll)!l.s?\ (.lt]"\,Ll)_!l.trnrjJbl.((/J: c). l.|Jl:"],Lln.(])o,]ohn]/(l.holl|!r ] nll.\ .|7.n L/\ i.ń].k l]o, ]tl],7i,..h.. \ Jill), ]l)1D] (lj) Z!.[nr,, t,lar)/.\l,/.dra Ll! !i'l!l ] i),|tr l|,]+o.]) |.6 i).l,. 7).l / (]7l!l1.j fl/!tl,,] ]ll.[ . =/]lx). l1lrlli l.ń o lnl ot/y!].|] nnl \ .l fu k.it k\.kh.(.§.r lx] 1.101). |l)1rl)1l.ń l),!ł).!d/.r. ll,], .li)
0.1ł1,1l
$
]
'/.{(,]/].In.].|I/.n.]/]xl.ł.\ojl\|l.!.n,!§:j[./\/].l.:al\.Jl.jlL]olr,nnJh.Jn.l\\nJr
, l,,
(1,1
6=].,1lll)
a,rrr'.'', ll Pv. rł]Vtrl(l/§ilL/rDl.7n||Il
, Pi!/ nV}iJloj.
itrl.tni.L
2B9, 7 ].l 29o. /,=(:.7) Llh /, l].l]) 291. /'.
llj,
]5l
, FtrollrJ / nll|jdno|li.l.,./*Ń. \L|.1 /) ,ł=0 Do\\knrńllllli
],,.,,,,
l(Dl| J /.k c!lL)u]].{ \/oL!m /1ll=\ ]l)L ]5 hLlr\/nJ.nr /lll. l 6\!9 '/.{.n t'Unllł-l1.1)n.til/J ll|\\ll..ufu|L!ll a\ -9 (/1l)-1 a+9=;}li|.n]l.Ą llr]-\
!i|.l!|\c J Id r]].!\/.,.n|/lt]:l' lfi|]j /()),]5./.[.nr]]|nlb]:nr.!]i.nL{]kl!n,Iull.]l/lon.lo}'].{]rtrDllł
/ lJl./\tunli.1-(.1,1).\l..j6+Jr+.=!
do§!r,.nLnnll.jl
/lr)=l
llltr]t
(/t])
h]
(0.]5).
s\l !.U ,l!],/ j\l. /,l|=i, ]j l ]). \)ij.nL l0nlili /|l , żD.,nu.nj] (^fjutri.ljj / Pu ll11 j.{\.,/!h{l!l l./! l)trDll,1 \1..o .(,l ])],l s| ł ] /tn :(L ]):+l.\'!ll.\linkcil(ot/\manlr-plż.,u§ir.Lc(\lk,1ni.r i§^L!lżnn0\ ]ll) ./,)].I s1ll/,=.5ll|h/]-5
.l./\])Lxjll/J.\].!5i
Z. .nr
(l|}-]lr.5]
293,
ł=l,' ]
+I
oLl.i.I.|\.:/d!,l(]§\lr.nrlL:nlllj.
cnl].n!lJ,\i..ł
-5
aD Pa W l EDZ l, WsKAzaWKl, B ozWĄzAN ]A
152
294. r=2.]5
, szukłm).Ir-chlj.zbł.dtJktjrr-.Ij2jc{ licJ\.. lżcl.u!n]ltrDlqilc/}]ihUb\telnijrc]chl&Ddn,
doFn].i/]-8l+12=0, Rt/\iłinixmi niśnlniłł].8l]r ]2=0słlj./by aj ],n i!.lvil z li.h i.\( 6 GJy,= 6. t, n]nlcl] / ]nl |r. nr! f(I)=-4I]1i7!-13. ViejsclDri7.|ouyNfuDL.lj /1|j= ll'rl7\ ]N\:tljl/b]]l2.25.§]!cdnjliDrn].\..m7.m§ymJutrkcil/l.(
295, .=_J_\i] lub a= ]+J3
. tunkljr,/ nx]witl.żłvrlb]i !,ż!]nnLr.
dl.L
]-.l' j=]
xrllDl. lu]]*t(l]Llvll.ql.Li}.!d!ł+]<()1n]
r\|,,,, .,.
R.7trill nj' iji (-. nn\i}
nil:ąli.Zbyd= .1
\]]
1d
1+1]j
(ohje\rcłnillqiieniqnoiił< ])
296. ą=4.
, winoićlunl.jllpŁ\iio*lilttlxllllnj.nfu]j.((nrnr(ll]).1+(lł,]ł|5)2+,]d+ó
2ł]+|ń,]]'
\\n7cnic 2d',16!+:.1nb/. l! t.t]L6l]ćl]L. nlnt!]- /,rtrnn9 l F rl.] !,,l =],] + !l+]1,.],|
*E,.",x"",= *-
,1
Zal.,l\Zurx lll./brj.n,=
]
Ji
;
(l.!)-(],5) hb (\.1)=l5.3)i .=_s
, w]-l.r/!n]j
'. Dll,€ (:;l)) h
j.den
k
^
.= 5+J2
luh r= 5
|Ja if- 5
i(]lqii!Jr], dianE (,1:s)U{0] dwJpqi.lliDiL, dlr
],
i nśi+!!c lo/{
J/
l J tl!
(],olnj.l(r]
6dy,,<0lubł>8.1oró§n,il.nje]nln)/§j{/rń§tr/ed/jr].(2l2)._!dy,J.(]:li)
{a
tr]_
q/o(j*, viele'i
, NlVhqIj lyłEs lujlcji /(r)=il' Ó| 5]
'd\,
!|.,q !,no]a lIĄi]nuj. d]l
,' ] ,,\,l,,
,.,J,,n,.',,\j,,nj,,,id,
, ',j,, s ,,
rol}l]y]nrt.d]JłE (():,]) .ZlcrybżRivafux,
_,J
lćłDłlj.nliilJ on]/qjl]llntr.
łe €+la).
3
,
, oznJczelix:
oś\ynetii wykre\u
p.
lunlcjir
ł nji.jŃn7e.sc lil rcjj{G)=ar:+rr+.. 1=2+( ]n..ó""-i",- +-J( il-\Lł-ł.!".
P'+q'-0+l!)(]):-Pl!+.ł\=(],-4)l!+q)!7|l])-:(\
i|rr.5, l.d}n]n
,,n]\ ,,j ł5
o ]cś5.
Wl. sżulinr pnj
']
lsPosóa.
16=łls
^=,l]+l0,,+25=(,ł+s)'. , i,b l l)'/\ ),
1 D.5
Jeśli,lje(licżbtl niepnlżyŃą tolicżnilitr]! )t(j9 r=
r
llsPosÓB. z!u*rmy.ż.j.dn)mzDz§i.,ż]ńdinclonjsnnni]j.(].Il(l./!niol§j!/1ńit-)§n].]!|!(ówn] żJnic i*rn]sie D ] P.nieł!/,,e c.k) ,l j€c.
]
l Ir.
\:tl!L/c ]i./]rinripxr/]
],] 6.wiq.dtrgi.n,*ll
\
3
oDPoW EDZ, wsKAzÓwKl. BozwAzĄNlA
15!}
i]!7. /(9= ż1+l lub ;]]:Ll,|..il. ].(r)=4.+r. PUn\l/=(-1.3) ndc/y '(r)=6r+9
do łrkcsu funllji / więc 3=-d+r, stądr=u +3 ziem /(a)=aJ+d+3, wykrcs funt(ji./ m! dokłJdn,. j.dćn punh s\Bjlny z pmbola o ni*nJniu ł=_r:, §ięc uklad ósnlń }=1t+.+3 i }=-t] fu do\lad.ić jedno reż wivmio. olźynony Llld (jłntrń m. icdno NzqiąZan,c wtcd! i tylko łl.dy. 8dy ównmić żł+ ! + 3 = -r] (! lo p?enic§ieniu J: na lcwą
łrcnl, ńłnmic.l]+ł(+/+3:0) njcdno nJzwią7.ńl.. cżyli. gdy^=.]*4(.+3)=o Ro7$.ił iami ósnania d,= ]iZ]=6 z.len lilnł!,i{ rok,eilonaj.sl s/orcń /(\)= }+l |ubł/orem l(J)=ćł+9,
;
:!1l., Li!/bl5
d] 4. t:=ośąlic,iy
lX5+/,+3)>0, Nieówność (4 /)h+8)żOspelniiją
nrlclydo dlicd/lny fOD\!:ji / wtedyitylkowlcdy.§dy(5,/,
:rr. ł. t--, i),
\Ysli.,|;: .
Tróimian
312 Dla/€
(- l i ])
a]3 ł€
{l},3.
-l
r:+(1+2)r_a nu,i mic. dql niedodah,c pieBiastki, sporzłl'
dhł€ (::-l)Ui]:+@)
sun.k
(_i_I)
dhD€
- zco piofuin(iiliw, dh,l=3-jedcnpicrwiasl.\.
rJ
U
pońenic/y, (3:
*)
dwapi.ei3{łii
J'.
no1]]],.^c, Funkcja / młd§ańicj\cJ /.roM srcd) iiyllo§lcdy, gdyłi2i^=(ł+l)'+4ł(ł2) > o. Roz$,ąanirni ni.ejł,.oś.iA
>
o są
liczbył€,4=(-io.2)9(lir-),cdył€/\{2|,loiloczynńjeAclerń{}(h|enmtrny+,szurffi}ly(hlrno*ił,dlxŁlórychil€zyn _l lł ]l: ,.{,l-lbJ.,,l\o|lJ;i-.-]:jl-a,-_-l__j.r,'l.z',r-l-,:łk,l!,,|l\oqatr|JJ\,FJJł-:,c{,].c,nl{l.m,:.!41,g,jJ
(€{0.1.],J}ił€,4\l])
zi cfi
\^liM},mi
wlroiciimi
|alamctru
t
\ą lic,by 0. 3 i ,l,
315, Dl. o€ {*iO)U(l: e) - bruł rożsiąziń. dla d= l - dPł rozPiązani!. dla n=0- ky mzwią7{nia, dla a€ (0: I) - czIe,y lo/wiązania, rY:kź]ż!l,k].t, Jc(li.>0. to mozemy obi śrony ró§n.ni!fAlnicść do kwał,lu, ll,Nn\zki.!]wyrL-§aunlcji/(r)=_\]+2ltl,
WlELoMlANY P(r) - wiclonili stolnia §/ó$so. W(r) - wjclomiun śopniapiatso (rł(r)=tr'+ltL,8r-8): b) Fdtnymw]ni.mympieNiNt, 316, ') kienlielofliJnu |tlrFŃ l Fo:lrr;. ] r, h) Aby /njr.rć piersiŃki siekllianu WlI), óZlożtóy lćn wi.Iońih na clynniłi śo\ując !rupoq,ani. syrazół i łoźystajai żc vżoru skróconego hnożnil na ó^ić9 kw.dritós:
ly(t)=2tl+!t'
st s=lJ(r+I)-sk+I)=](r+l)(Ir_.1)=](t+|)(t]
Mn]ąc io7lo^ny hu c7-ynnlki
li.zbą vyniemą wśnjd tych
31?. .)
łi.lomian tylr). ńożcńy podu!iego
licZbjen l,
d€G-|_;)U(i:+*)
b)r€l-;.
]x-+?)
=
](J+Dlr-lixr+oxl?
+2)
pie i!śki.czylilcr.dlałlórychW(ł)=0: J=-1, t=!E. t=-,E,
ł.0.+}.
J"dyną
B.r!i|Z.]llic. l) NieńłnośćV(d)>0.czrli(5d 4X&l + 5) > 0. jcst nieRjwnością twldralową (5d-4)(6!+5)-o wredy, sdy 5!-.l=o lub ó/+5=0,czyli.sdy ,=* l,b"=-;. wyk6 iunkcji kwidrarovej /(d)=(54 .1)(ół+5)Du rlmiona :kieruwane do góry, żlteD nieówność \Pelnjają liclby
rYrktrż.,/N]. b) RliwnośćMł)=v{/,) acndzi qledy i(ylko
P(/,,0(D).I svr-
l ]=0.
"
e
t:l
"lcdy.8dy
-
|l
w
r]:
+
-l,
P|bl Q(b) s|b|=P|b) 0(b). czyIi łtdy. 8dy
9pt9yĘąa! 318. .) ly(r)=1I-.lxl]ł i3)(i2ł+]r), (WlL)=r,'_
3i9.
a)
W(i)=(r+9)(r+3X]+ l)(r_3),
s.]-]I+l2):
b)
|j/§!!Z9|,,/!! l9Zl,V!ĄZĄ!Ą
/j\,.1-(.i ;J)U(ir|+) (,ł=( ,3: lr). l=Rr,
9)li+9)-]0(j'-9)=(r] 9)i\:+9+loo=1r-3)(I+3)lJ]+I0\-9) Rozkłrdamy - I.Ij= 9.Bi.cJ]+1or+9=(t+l)(r+9), Zlc j !y(I) =ar_:])lr+])a|+ ])(ł+9), ^-6.1.r 3>0(r,n>]]).r-]>().j+]>0.}+9>0. zlleDrdhk.rdl.ili./b,l>r7.[hod7j,i.njtr oii(t 3)l._]r)(J+ |)(a+9)>0
:. a)w(J)=r +]ot] 90r
tójmlanr]+l0j+9naO/ynnikiliniołc
b)]eŚlij>tr,lor
81
-ii
320, ly(J)=(T+5)(r+)air])(} ]). Pics-'.ia{k §iclońirn!: 5, 3.'.],l
,
skolzyśaj ze wzoru \knjćonćgo mnożenil naróżni.ę ks.dratów.
.. , P(r),p(r)=(a.ił)(l] 2t+2)=a] 2ar]+2di+r; ]]h+2/,=dr'.(' ]ł)r'+21/ ń)l+2} Wj.]onjan) 31] ]i ]I+3i al]+lb ż.)I'+2|a r)r+2nsąówn..wię.,nxiąnjsncs\pól.zynnikia,yoł)o§ierhi.hpoi§gnh/nj.in{I Zllenł=j(ł.!,yrl..r,,lti F.r x1 \ą lóve) i b=,! \ba $n.\ |dN al r.^!lc) 322, l) Jcdynyńro7wiĄ/Jnjemrósnanicl] 5.]+3l I5=0jcś5l b) lt/(2 §)_
323, 3. 1. I.0. 324.
]
Pozosb}e
t. 2.
]6.
}iecjc{li./hcll\osn.,
] (a=,3.5.r=Jll),
picBiistti: j] i
i]],
]Je*pićrwl!Ńki.mli.lomixnu 1i'l9. wi§c
al27 9' 9+.=o.
tl( 2)= 5.wilc€)
3 łr;ó1.=
5, Rozsqzanicnl
Ukladnrównańoloj.\tP aliczbr=]i.=9, Pó7rxlJłc picrwia(ki li.bnrianu r(' znJidzi.jnY. fu/liuuiąc nnvnrni.l] 1\] 3r+9-0. ofupllenry wyrźy a(I ])-3(}-3)=o,łyła.anys§pón) !/}l i LF/.Jn,,qL\ il-r](l __r)=o ż.,.,,! ]=oi,,br] ]=o. Zrósności r 3 =0 o!,żynu]emy \zukme lieBi!\tki i3 i i3 325,
a)Oi
326,
d)
b)
16l .)2,25i
ł(r]= t- lllj]+li
n,l=i2.-
,
+
]
d)dwa
Jr+4r]
4l] ]61 8-0
/r (, ,_|+-]]
2009,
cżynniki
. wlniki.fo dzieienia W(9 przcz r ,.j.n sićlóńirnP(r. więc tv(})=(r lX ti+l0]-16),Porcżloż.niu\ri.lonix.uP(onl otżtńlny ry(r) = (J p)(t 2)(l 8) Dr.h. rt1l) prlc/J-4 ollzymnnry wiclonli o(I). *i§. lł(!) = (1 ł)( r]+5zr ]00).
atoró?bżeniu łielomiann plr) ń,.zyńniłi Wh)= (] ł)(\ ])(] 50), wPloni]ńy -aJ-,,)(J 2)(Y 3) więc,,-50, z.len lylj) =_G 50)(r 2)(l 8).ary(49)= (]9 50)a.19_ 2)(ł9 8]=,17.4l=!Ń9,
i (t
ż/)(j-2)(] -50) \i!óqne.
4Ą10
, = (r a([9)( a - 20 l o]J + 2oo0) + 2oo0 zŃ .ź:.Lil.l.ide fu|itt.,]nĄ| Pl.!1Ltllannu I-4.wynika,ćresżlnz 'y(I) ry(l) pr7.7 dsu,nian r 20t0 j.§trółna i(]ol0)=l20I0-]o09x2ol1)1_20lo 20l0r+20(x)+2oo0=.1ooo dzielenia*ielomiłnu
u12' , w(I,4)=12, ,, W(ł)=,(ł l]]lr_l3)(r_l5), 1i - ].'- 1ł + 3. . wńny. ze lt/G)=(JJl)p(I) i ly(l)=(t 2)l0(l)+Ół 3]+] Zlcmr p(r)+0lr)=r o(J) 2olr)+(1_2)(ór_3)ł3, slądmanry3O(r=(ł 2)161 3)+],!nanęp!ieot)=]r] 5t-3 vo-Dy lcr, *yhc/ra *ielomian u4,) W(r=(t+I)(].]-5j+3)=2ł' 3r 1l+], WG)
=
.
Pierwi3śtjefi róqnanini 5t'+llt]+żl+30=0rcś3.\i9c3]_5.3]+]l3]!3l+]0-0.srądl=_25. \anrocynt,sLd!łl dż]elenia w,clon]jmu lv(1) przczdsnminn r ]jEn wje]ofuidn o(r) = J] 2r]+5T l0, Dańe ń\,n!!ie nrożf,nry wiec znpnać s tona.i {r ]])|l'-xr]+5\ 10)-0. !!o fu/brenju sielomi|nu
w]elomianrt(r)=ir-5]r+ltJ],25ł+30]eśtpodzjc]iyp,.żdwumlańr_]. vynjkjcm 0(r)na.zynnlkl,wpo\llci
(J
3)(} 2)(ł:+5)-0. zdl.nopnićzroż§i4.JnlrJ=3.d]neóunanicnrn]e\/c/eo^i,viniet=2,
oDPoW lEDzl, wsKAzówK
1,
RoZt1/
lĄ
zAN lA
155
, , .-i] ,-ii W(j) jeśpodzieliy
PG)
''
] Dwańżnc piclw[ś\i,J2
W(J2)=ol
I=,l. ł,= ] {r. t.=
-
zi,
i5(d+5) nusi byi
lc{4=
(],=_]..=
-21ł2.
2,E|
1.1)
l5 Li.^!r-
aifuulu v.lalr.z,/e W(i5)=0.
]5je\I całkositx, siqć
'y(rB)=55-]5_Gl+r=§(d+5)+l, rakż ć.łrolila(pa LM: !.hdNh ]it.b i(ł,?fu,do), Jcdyn._liczbącalko§itąlidlłż! 6(a+5)
jc§
lić
].ili.=_5.1or= l5,
5.
jj
'
l+!Ę
i
2.
!'5 2 ( =-].d=
li.7nl
lbą ćałków ną.
-ł).
. P.,tIz roż wiązan ic żrdafu
l .,
}t19=(t 2)(1 5)(żL l) (.h= 15,.=ż1) . z.|| o l,fnic llth Pi.ń|ia *ath,i?hnliufu.n:?ól.!nuLa.ł.dił.|,ó.hwynlła.rśjelIiliczbJcałłowna.Jc{pi.rsir{
kjem daneeo §iolomiinu,
'o.jen Dalej po(!pUJcń} ń,{9luj4g]: lsPosÓB. z
Ukladu
d?ielniłiem wyr.zu wolneco, Liczbi] lieNa/e, kIóE sądzielnita,ni wyra/U w.hego.
ro 2 i 5,
ńwnań (2)=oitt(5)=()ot/ynlujeń}r=-15i(=27.żB,Btż.ufu\\nlka./esielomianW(ł)=1r]l5i+27I-lo
je§lpodzielnyPrżćZdsujDianr-2.
wynikienr dzieleoia tylo Pżez
ł/G)-(r 2)(2;-llJ+5)=(1 2)(r sPosÓB, Liczby 2 i 5
sĄ
l)
I 2jcnk{'łńnnf-]lr+5.zdcnr
pierwiaś&łni '(2l§ie|omianu 1t'(9. wĘc w(ł)=2(r-2)(r-5)(J-4). gdzie ajc§ tźe.im tieNia(łiem wieloninnu
y,(r),slqd/nijdujemyd=0,5(ł|,koĘ|nia..l?!o,:c!r,ro.|ąnnl|i.lolńidhuW(a)i!!n^,]ł-l0)z]temW(9=rr-2xj-r(L_l],
,
je
(-0.5:
+-)U{ l} ó=5. .=4)
2. 1.5,3 (ł=-5, .= 9). .,::..z^l..',!*ńiernl&Pie^iaila.hni.l.niahuoną,ó|..yńikuhLałko\łll:h§yni}i(z!dodatnlcpierwil\*iBie]omiinuW(r) nrle/ado/bioruA={l. ]. ]. 6, r.'3.
s=ll. ].9, Liczby
r7, +, +, +.
1.5 i 3
znaidojcm,
a
+.
j,. +. +]. !dod3hiePjeNia(liBietoDifuuy(\)dozbiófu
+, +. +.
+]
Llczb.minalcżącyfudóżbioruAidoZbioluaidoprzcdziału(l;a)§ą1,5I3,
*_Pic§iankfuni wielóniJnu ry(r). \,ięc ti(r)=(2r_3)(\ 3)rł d), gdżie , ]e$ lz€cin
-.2
(.nP.
*o|.f!aiLc . l.śo, .e ,
, 3 2łż,]+2ł'
fiĘ nólń| | i!h,ńż,l lylr)jd rJ,)}
l8).
lieNiaśkicn wielońiMu Wh)
stąd
Q,=2,q=5)
346. Ar8u]nenly: ]. 1,5, Punklyt=(5.0). r=(
, .
].
2.1).
c=(1.
t]),
s/UkJńyllkjchJ,dlakióI]r.nzachodzirósność/(t)=(lr),./yli(j_5)(]r+?.I)=3(t 5), (1_5)(ł]+2' ](J 5)=0 e (i-5)(i+]\ 3)=o e (l 5=otubr1+2t 3=0) e (r=5 lubJ= 3lubt=tJ,
Liczby5,-3.1sąód.ięlynipunkiów§spólnychwykćsóstunkcjl/iA,.Je]liJ=5.io/(5)=a(5)=0,jcśliT= i=1.1o/(1)=ś(l)= l2 zale,nszułinymiNń*l!fo],ą,4=(5.0),t9=( 3, 2.|).c=(t. l2),
].io /(_3)=(,3)=
24. jeśli
o), b) ( .: ar, ,.)r] 5!:+5t l=r'-I-5](r,])=(J_l)h].r+]) 5r(ł l)=(t l)(l] ,1r+l), lt)=owledy iryIkosicd!, gdy r= l lub/,4j+l=0,RożwiązfuIaInirównani!r]-.1j+t=osą]iclbyj=2 5 i r]=2+15 runkcja rńawĘc trzy mle {] zelovc. żJlLnlna 347. .) ,,l=(]i0), 3=(2-r/5. o), c=(2+5.
.,
iuy Pllntq
wspóIne z
osiąox: /=(r:0), B=(2 iJ. o). c=(2+l3,
o],
/Fst fulkljąłFadiatową okcślonąwzorćn J(r)= 5;+5r-1, Ranrio.l paraboli, któlJjD§ sylieęm funlcjil:ą *ielos. dodoIu,.rzędlajejvierzchoikajc§róBn!rtr=o.25 Zatem 7hioień łunoni funkcjijesl plżedżial l .: -!). b) Funkoj!
e
oDPoWE Dzt, wsKr'żów Kl, Fazw ĄzlN l A 1
3]s,
A=(ryi0) Is=(.6ł& o)
(qł)=(ł+GnJ] a6! l)),
349, 4e z (}(_0.5)='1), '1':,], j.,],]. sprJwdź..zy (hitle uka liczba
35o, !y(i=(r]l+Jr)hr+(:
! l
Jix*l ć]. p,-""""l .= l
§l,źJ,,i/PL,oruJ,,i."ne|onnJf-l_
351. a)/ie\tlosna3ai 352. .)
-"6
i.6;
b)
354, Rol§iłanimi
rDnkoj!.fjeś o$a!a w p!7.dzinłach (
J:.
-il)i(3i+).,nalejarastź.d,iale(]i3): c).€(-i
1.5).
/€R
b),łr,
--, dj,,.i
353.3l,
gss,
r. że n1:)=4,
|,,,1,.-,:
6),, Ló, //,|,,4
równJnia śa liczby:
ł (.'-J-a.*tl(,'+Jit+l):
4. n]
]j,],.:,]], \]
0.]5.0.5.
2,
n=l
h'+1=(ń1 2 +1)Q1'+a" +ż), wię. nJ + ł. sdzie n € N. ieśIi.zh_ lic {7ąwl.dyilylko§ledy.ldy,' 2ń+]= l in]+2,+2je(liczbąpieNszą Rozwi€,nidń njwnUid ł] - 2n + 2 = 1 je( ł = t odr n= 1.1o li.zb!n]+],+2 ie§t ńwM 5. Zalcnśzukaną 356. \',ll {:,.O;]],., a) Z nu
pod ancgo lwić.d7e ni l wynik!, ze 8dyby liczba? byl. picrwilnki.n wiclomifiU t|(r). io s|nra \łsparcł|nikóv §icbńla byłlóy podzieIn. pźez 6. h) zluwrz. że lic7ba lł( l ) jeśrówn! sumie łsŃłczynnikćw Wclomimu
'ylj).
!5a, /(l0)-l89
(W(ł) =0,05(j+ 2){r _
]
)ltr 3)(} 5),
jrJ]|]l: ]-Abymzwiążaćńłiańieo:'t'+]a=0.wprołndzinrynlcw[dóńąpóńocńjc/Jr=J],olrzymującloŃin,e € l t+Jz =o Równanie o m dBa rozwiążMia. i Ą (bo A>0) I obd nżwiązJni! sE dodalnie (ł,tltrłai.(.L §a,ljn
vi?fu'a.
ńli./
i.ahr,ż?ich]|ńajnhiloą|J4Zlod.tłl?),Zalcmrównafućalna.żleryruzwiązani!:,tr,l,,'tr, \Ę. sufia kwadrulów pieBiasr, rówlółiaid o jenń*m (!Ę)'+( v.r):+(!Ę)'+( E)1 - ,,*,, *,.*,,=zł, *,,,) z. |zoru vid.it dl^ńwnJnl" o olrlynujemy aai!. W(J)=(i+ł+ l)(r]+r+]) i.lr.:1ł]_.ril
ji:2.
.- W(.)! (r]+ar
.= l ]]
lub
+ l
Xi
+óJ+ 3),
d- l+€.
l.Jr : .']],:.. l sPosÓB, z!w o\,,,nie ),ch Pi.l a!*dth wi.lomiak!. \:!ól..\n"ikań ću]kon]n /' wynita. ż.liczbr calkowna. knnljest pieŃiankiem wielomianu }y(T) nal.ż, do /ł)n,o {-l. l, -ł. J) Dl! lic7b dodahich wieloni.n p,rjnuj. doddn e WJńo(j. wĘ. PćF /,
'y(1) l.toW( l)= 5+p-0 sląd/"=5, Jcśli lićNia\lkien.icś i,, to W( 1)=-l'-3p=o. -,"-3,,=0. wirc s7!kdąliczbąjeł/=5, sPosÓB, Jeśli liczba . ]c§ pi€rwjł{kićn wielomianu lt(J). to .r + 4. + ]) = tJ sta! {(.' + 4) = 1 Je!]i.je( ticzbą calkowna.. lo .- l @oni.w! p j.s. lic:bą|i.blśzą Z.]+4> t). zatem.=-j.!wted!l=5.
siasitiemj.n Ilub
JeśliPieBiastkienjesi
Nie ńtóieje liczbapieNsza spelDiająca równmie
36a,
,i.::'. ,":, lo
Piefriaśkani wielomianu W(i)
Wt' jeślilGzynem
śąljczby 0. _2, 2. pięciu *olejnrch liczb crłkownyćh (,i-2,
-l,
l,
łięc w(r) =ł(ł-2xł 2)(r+l)(j-]). Jeśliłieśliczb.
ń l..n+l.Ą+z)
catkosila.
pięciu kolcjnych li.zb calkosnycb Fst jedna 3 ico najmniej dwie liczby ptrzrse.7 kićryćhjedn! d7ie]j się pPez,1, Zalcm liczba lłi,)
podzielDa pźcz 5. co iajmiiej jeljńa Brż]elna p79 5. F,eż 3 i przez 8. więcje podziclnaprzez5,38=l20.
]c* podzićlnaprze/
wkjd
oDPoWEDZl, WsKAzowKl, BozwlĄzANlA
157
lś,l,, ier'i?b,,.J|t \l,, L, J . ln,, :,,.! l,!/o_llNk,l1, f,n,/
a
1.. . ., nt,y *yl,,,,i,," dla kJ7de] li.zby rż..żywjnejłzlchod/jnigównoićj'+2t]+26>2r'+ l0!. synirzy lx)kujć,że wiclomllb tl|!, . ,j! th l! _'ol l),Ą]la.],,Jl\ oNnnlśtrJno\l r' :l'+2r], l0!+]6-,i 2!'+l]+,: l0t+:5+l-JłI I)j+(r 5):+] DlJklld.j liclby l mmy r](ł l]]żOi (ł-5)j:o,w,ęcdlx
dołolnej li.zby r
^chodżi
ly(\)>()
- ,] l, le!|' §icluniin ly(\) l tly Dicrsi.sl*i ł. {. Io ł(r) - |I - ł)(|- r)(J-.), R) wyn ożeniu czrnDikós ot4,mujciny ly(l)=t' kl+ó+.)\'+(.ló+łl +1 )L d,. wi.l(tBiJn! '.t' (a+r+.)\j _ @,+/ł,+{.l\ łr. l L'+/,r-4 \ą.órvuć. §i§c d -r+. =() i
i ah+hr+|u=?.
zti
Jc]ll
d+ł+l =0. !t (r+r1.):=o_ |ua b+|)'=n: lb:+1 +\nh+lhl +2u slnlliJ, /ć/,<() (ó,u ]+r]+.]>()), '
a' +h' +L:
ości d]+r]+.]+]/,=o
|]klb+ bt +l|)
=
d +b'
..) ly(\)-0wl.dyjlylko*ledy.gdyr=:luh*,.+}+l=0 h.loInjln ly(r)jnlał lrży różnc pier}iaśki. równlni€ ńieć d$a io/sia3Jnja ó/ne od 2, Ró\\n]iB l* ń! dsl ioż\§q/lniJ. _!dt.<^b} l. ! ro/§,iąznnien !i\nn ii l* jc{ ].8dy.=-3. ż dn. € (-/: l]\ l 8] '. ' , wić]onrJn !y(I) - nr: + ńr ' ) dla lldej \rdoili w\plilcrynni\a l, Na nicujenrn, pier§ lanel n'.ujetrńepicrwiNkiBl.dyi(y]ko9l.dy.8dytalDiJn\r+rY,lljldwllóżń.dodlhi.lierwia(liJr..l] |
/e:ó>Oi L\]>0i.+!]>0\i€ó*do(lt.I.>0I l +I >() rol\ (^>0irl.>0i r+r.>0) .J |0€1,i_])U(2i+,)ireRire(
iił,uj.Dy tor/}śJjJ. ze *.o,óB
,i0)l €
ń€( /i
l =
vi.t'i,
+ I)
li
+2l,.
mu\i
o W(r) Da |IZ,,ózn. '.ltń uil.lJłi.h llcżb r, sżukrłIy
2)
]], Gdyne(0.]5,+-).lo}y(r)nrłjedenPicrsil{.k.gd}/€{0.0,25],l)W(t)![tt*lnjlo.piel9i!,tlii.gdy!€(-:0,25).towlr)
[
tzy ni^c pi.B-.iJnki.
,,/: /,€( Iti 5)U( 5i J)U(.l1#)
],i.l, I ].l}.
l'l
. r'+/,t]+l,\+ l - lr+
l)(r r+t)+r(|-1)=(I.1)l.:+(' l)t,'j
FUNKCJE WYMlERNE R\|-3.3| b) Njenhi.j., :,- .)D/jc{]/inąD(lai.sowyrJ^niajcn^njrlychll,hr.Jl!kliDchlrójmilnJ],9pr7),]muj.w.d.ś.iróżncod().
375. .)
'j:
Licżb!ńi.
dlattórychr:_9:0\ą-]i] /rluml)-R\1-3,3J, b)spr!{d7lnly.c7yEtnllretak!llczbłr€D.którrlpełninów-"i"',-ł=: , ł, łr.]:"). olrżrnlujenly ió§nJńie \§d.nlówe ](.] !i$ nienrnulie|li..by.dlJlŃcid!n.*yr&eni. pźyrńuie §lnoió0,5,
Mnoz!.obielronJlcgon]unani3Prżc/](r:9)l(.r/i,lo:ql ].dyn}nr
roz9iłd(D ]cn ] -]e
D.
3J)=j:_9,|tóEso
376. ,li
,
PPck\liatt!ąc
,r"..y.^". 377.
}1
ł+
?,5l
§,
n'"-"l" nle]sce 5l.
}Ę=
ł.
do{Jj.ń!
""ł."3.y
kolc]no
i*
]i
"
*"
ni§nold 5l+21=.|(5l-,l), lo]
; ]r.
378, .),ł=], a=3: b)n= 379, D/ied7inl: R\
l.r=]
] JJ, J]l, r.l=:,'*a.
zbn]r wańości: (6i
s)\
(
l2).
=
l5J. 5)=?.5L Podstawidą.
a D PoWlEDz
158
3sl, s(r)=-!2-
fu.k ii ł prżc\unido
fun\lja s okrell.nJjelt wzorem
382.
a),=-]6;
383,
.)l/-lli
384,
a)
b)
.l] s=..3
_=-+],
]}]D,
,6!,!+1,9)
Dun\t
wie,ny.4 /1!l=/ll/+ +\ ./)ll
!=,Ł+\
J pU pwmljoz.niu obu {ron równJ, J prż.z ł(l,; l), otżrmujcn,y njBi
6
sbn oMynlujenry ł = l2
'
ndcz! dowykcsufunkcii l.
ar_9
Po
n,
]]zielśn , Uhu lrron rósnania przez
lickwadrabwc:](!+l)=3n+4dk+1),klórclo
mcntnv spclniljący.h wJruńri
ż!]Jnir:
1.5._0.5
i
0,5,1.5
.1], (.1,5).
388. TIly lolwillzlnil
Ry§. b) t]hk.:j!J]eŃ nllcjąca w przcdzilllch G,_]0), funkcja śie§ stnln w zbiorzc R \ c)(0i2)U(2]+) , a) Funkcjx śjeśnah.
D/l.d/ J R Dż*,r,n"
{:]|
2,
396,5)r=
zerowe:0.2|
.
(
-i l)U(li+)]
7i 'r€(*]
b=1,1= 1| ./=]l ,
L-' ) .,?, -]
l
393. dł.dłnl:R\ l1,5]] b)3;
(
_-,-"
R\l ] |l /,,l=]ll
DhJe(,,-l -l)9(l:F)/(1]=]. alu.,.t
395. r€
(0i+-).
llal,|, /|r.l i,l,,+J$ /o,,J\l
:|,,,,]-'-
, , \łszkicui wyłF§ iunk.ii
miejs.e
Zbiix ł.noś.i] R\ 1 3,0]
ł tlndwldodalrie
lrvi
389. !)
-<0
!T+J|9,
0,5, ].5,
387. D/ied/iń! R\{-1,0}, Nliproś\/apo§IJć yzoru: żbnnł(r)=ó
394.:
:]=
Wyrie\
3.
sąliczby i.5onz0,5, ż]tcjn m,ny dsic prly
rcZwiqzaniJni
+-
wjemy.że!( 8)=-ó,cżyli
ł(I) = -9-
2i
ł,ż+l sżuka.o fu8nmcnit,
,
-4- - 3
c)nal.zy,
#
ł okfośloiq wlortń
J]ćdno§ki w leqo, otiżyjnlnly stkrć§ litrlk.]i
b) ]. ?.4l. ;l9. ]lj?. 2009
/(r)=-Ł
386. ( 5.
]Ńr=
o
ś(o=+
(--;_])U(0|+*):
](l5
385. -1,5. 0,5 lub mJń)
funilji ]
do dołu. q,cc ś(r) =
tży jsdno(*i
o
zjbn
,o
WsKAzaWKl, RozWĄzAN lA
3.
Po prze$nięciu wylire§u
,
l
r;
lltto].lt.l=_1
, ż€ R\{ 1,0.
c)(0.2)
2|+-):
c)nnIcży,
,żnnnw]ności:R\{2l,fu kcjlńaldjd wlr/edzilłJch (_: l)i
(1ie): .) l i 3|
2)\l 5i.
żbfusmoś.i:R\ll].fun*.jJ
J€ ( 1.6i
].Ń roJ!a!, s tżćd/jlla.h (
l),
D.edzln,l nrcń(no{
Ę Ll4 li]l+J
l ).
li;
^,.D]
-i2).(2l+),
d)( 1,0).
(3,,|].
]
aDPawtEDZ
WsKAzóW]
rl,L] BrJl roNił/Jń dh l e (:i0]. lfu^ivJniedl.,/,€l0,1}.:ldzwią/lniadh/e(o:I)U(li6),
tsB\nl^iyxńdh/€
( 1i0), l o^i3"Jniedl,,€
(--l l)!{l)u(]:+-).2,o/triŁJni]dla,l€(o:I)
4o2, a=5.h=1 -: Dli lJ/dcilillby 1€ R\ {-].5)/$hodzi l'wnoić /(\)=f(o, wćźny więc dłu iiEun[nly.
np, -l i l, /, ltsl,,n- !" Ą |, ll, /,|, !] /' .,l,- l, .,,,,._1,",' utl_J,,Ą!nJ, ,l +-+ , 1 6 ]] ]] l_ ] h"' t..elo
403,
a) n!]witk\/n
"
\=
l.
.]
l
(/,:2,
łmoia:
6
lol
*
l,r.llem ,,,,
n.i,nnicj:/J sanośa: -1.
b)
(:-3)
(): ]).
b- ). ,
) 2:
- fuiil.jali.(n^nncr§ prl.dzia|.
(1,5i*)., [l.jqci
wprzcd/iahcn
'r.t,,/śll/.,]dJ,sJ,n(i(@,,hi.1l./.\,/Jl,J/,n,t,,!1J-l,\j
" "
,+.
(::-l), ''
(_l:1,5)
:-^'-''-,''
,"
lóar>0 i (\-])]>0) wrłu]liśń}./.dhd.!,njch\/xchodłnićó$rcić/(r)-ó>0.zalcm.jcślit>o.10/(J)>a) 1J,: /,€ ( *i 3)9(5:i-)
la ,,e (_*] -4)U(,1: +-), -. ,: Funk.jllmld§an]iej§ca/do\.sled}ilylko$led).gdytójD,ot]+,ri+Jn!dq!pi.h,i!s&lobanallżądodziedzi,ly
lunlcri!, Drcdłń,ł funk.jisje! lbiór
R. $iqc \żUkJntńi *tńóści )i
p!fuDl.h,l
\ąte] lrtjre v€lniojĄ
nienjwnóść,,]- 1ó>o. clyIi
:,],:t..D7icn/jnąfunkcji!lc{/bnnR\{_]].Fulljai'filj.dnomiej\.o/€!oscwiedy,sdyl)iójnixn;+8r+,,mnjedcnp'cfuix
ścli\,in]+-,rlub2)lónlilni+sl+,ind§,lpieNilnkii]cdenznichjenrósny-], l_iczbl-]jenPic iJ{łi. tójfi]nnr:.§\_",, _!d} ( ]])] 2J+,l=o.cz)h._qdy,,=l5, żil.nlsz0kllltuki.hsanoilipJIinr.tu,l,Jbyl)A=l)]!+ 3lub 2)^>0i,,=l5.slo!otżynnlemy:,l=l6lub,=l5.
z -. ''a
'€(
L!, ])U(,l: e).
I:0)\i
l)
4'l4. t)ł= l{ofix)i 415..)"=3.2.D=3óOi
b) ] 25o nr
h)
.
?]0 Dnr H3
].65ll:
c)
*ięts^ niż !:mł8,
, ,a, ft7yn3ińniej ? kn/:otl/. nlqdtość sla\n! l.d/i (w \nvEodż).
y+5 prqdkość lod2i tnącej v dól rlćki. l 5 - pĄnkoić lodzi Plyn{cj w !órę _Ę. rż.\j, 60km sdól l/ekit(ilź plr"plyn* wc,u.ic l5 ł v gór§ rżckl Pcpłynju w -*ie ]9, zuon.*i,uy -ilćźćrc wano:i.i t.dl!Lni+ch /!chod/inieróqn"l rrl. m r"rzicIcniu obu Ń,on Prz.ż l()ni€Ió"-;e Ł*-l-.r $-$. " z keści /ldaliJ srdil.t. żć l >5. {i(! foo,emyobio \ron} nierósnolci poDnó/ra pl7ez (l 5)(l +5), fu pońno7.niu olzymJm! n[ló*ność l,*dfull)wą61l-5]+t+57
oDPoW \EDZ, WsKAzÓwKl. BozwAzANlA
,li7, Zaponócąpiee9egolrfiuł5godzin. za pom$ądlugiego lBnu ł ?,5 sodziny, n.lri:żJlj., /-czrs (w godzinach), w jlkjm nozna nalElnić blsen z wykorżysLlnienr obu klanóB, |, -!, --!;ż - !żq\i bdśnu. Llura zonJnE nJŃlnlona w ci€u gonzi.y Za Pomoca, odpowiednio: eeeo l,aru,
złen ]=-+-+-|,
niń ro7wjążanien jest '
=
lto,ą" ol"
"_ny,o*nanin
obu *mnół, pIeNszego kranD, dru
pźez (l+2)(r+.1.5). otzynany .ó§nanje kwadrtose, któEgo donar
3, ża pomocąpieNsDgol@nu nozna §ięc napel.ić basen
w
ci3!u 5 godz
.
l
7! pońocądrugiego w oiqru ].5 godz.
al6, Pićrwsżył.zl\ićl2sodz..drugiwczasie24sodz,
i-a
ł czasic
PieNsza
420. a)J=2
l0 gclz., druga w.za\ić
i)=-I:
8 god2
b)J= 3 i}= 6,
422. Polc każdcro prośo*ąra je{ lóvne
3.
FUNKCJA WYKŁADNlCZA 424,
89,
lio;: J/il ], ,=t( 9)']lj=(9l)',=9]0!r=9, 425, "Je,l \lęl 426,
/a
d ó v l2,5., la
Btąd wzstędny:
*
o,
"
l=ńs
16r."6r= qp*,qq]
_ 0.4]-0.4=l]r13 003 o= 03]
428. .) l7]r;
c}2|d)
429, a)
/(r)=-(ł-3)'-3t
(p=1, 430,
-9
3l!]
q- 1,
q9lnilc4 39
trzb,
(d=,1,25, r=4,68),
6l]0 wz! ęonypźyD lznlJ: b)
Do prżedziJlu ]q:
8,
213.0+ló)
..
=o'
99]
]Z .l<
:]
,-. ]l. l
jcst rcsnąca w
F-dżialc (:;
+ ).
"
."I"ją*
.
p..d.i"k ( 3 l +-)
(J> -9+),
RJzl!3ż:r., A=(]]l lo)]-4,3ll=]oo,3]'-,l,]]3Li=64.3',
iA= 83N
,, 3",lo 83* 2.3'
3*,
,, ]3l0J833 ,93,,3.,3,
ł= l. r=l, r=]]0, \.żłi.ł|]c.(9lJ)l-(8]l,r]-2?mJ+3ł] = (3)!.J|,(!Il]'-(] ) '.+3" = ] '.' ]" J' ], ,+]'! = ] śl-]L!.]r-J+3l) Rozkładlmy wieloniln J]-3';,J+3i' na czynniki. rruPując łynzy: (,i l) 3]!(/ l) i wrłą.zając wslrny czynnik pŁed (t:-l)(J_3'") zlIemJ' 3riłi f+3 =0 wlc{iy iiylkowćdy,gdy;-l=o lub J-31'=o. stądJ=-l lubl=llubł=3]",
1,,,
433.
nawias:
RaZwAzANlA
oDPoWlEDZ, W5KAżÓWKI,
161
(l=3 !5),
434. Jes niej\.emzcrcwyn
|.-ar.:-l... r=r'ćr= tlr]]=:i. zou*-.y, z"
i ,: ,i=,.-r:
\'=,i=l;.+ Koż}lJjąc że łzofl śkr&oneso nno żenia ó! róaicę śżeści.nów,olrzyDujeny, = G"'| 1",,'y z"*,.=,i_,i=i:li;1 i3i11=3 5. /(] 5)=(] .5)2 ó(3-5)+6=9 6,Ę+3_1s+6j3+6=o, wĘclicżb! 3 ,rJ jeJ mie]sceh zeowyh funkcji J ,,'
= ,
,
€5. I=2! !(zJ n llllu ltrzb nafufu]nych, kouyśając ze wzoów skróconego mnóż_enia na różnicę kwadńół "::l:i:l]_l 1ll §L: 'l ,4, ,:', -,5 ]ł\',:,l., ,j,],5-2 l. 2 §,2,,ł,2,_-t5-2,.,5],ż\5-:",,52l215'-:]= .-],ra lo,,5', ", Li./bJ. :,,,l,G/jnemilc/bl-,ll.Iol,rlJ'ż'j"i.,L..,-a-.""p.-r,łnllc/b1,7lJ.Jo,
tr/hśjJlo ,
:::" l]:_::j:
Ł-,,.,,:,,. a'+r.++ 6,,+|=(2,,)'+(3,):tr.ć,ł.3ł (,ł+3l): ,,,g.
J5J'
,,Ę6,
7i D) tsi .) l:], r..:ti:.D.], ą) Gdył=ł=t,todanariwnośćnrposkó (l+axż+_L)=ł:+++l+l, z"t . J40. ir
":+]=t"+!1-z=l1 z=l
44l- ś(ł,25)=2(u =+), 442.
a)/(9=(l2). b)x= 3,
iożl]':l]i|, a) z
wylresu iunkcji
qie./,,l (t:]r u -,
d)( ó|]), /odć.yruje!\, )l J|1)=1 za|e i=1_EdzIcd>o Dodarnin rozłiązaniem ównunia z] *._,, ,,_-i.2) -; c' lLnl-|,' |e,lro.n!i,Ir. ll:^lżl,ól.b,,k,llJl8
Jl_,.2,'
=
a
jć$ tD, nćnld
jeŃwiększyod 2I'lo /(ż)>/(2tr), zJlen. jerlia>2n, lo/(4)>ll, 443. 3 otrżymanry, prze\uwljąc
wykFs lDnkcji J(I)=2r
o 4
jednoŃki w
r6,2'=2"a, 3(t)=2"]=/(,+4),
l.so.
więc
wyłEsiunłcji
^={i, t4s. Dlał€ ( Ii l ) ńłnlnie nie n! rozwi€ań. dlał€ (-] -J-sl,tJ-s, oruł. t .fs; -tlrrl,16l n, dwa rczwiązania, 447,
a.]9
a)-lil,
b) .Ieśti n < o. to
to
ma dwa
ówndje
równmie nić
rczwiąani!.
n] ro7wiŁań, jcni n
€ (_Di
*lrt s)
].
U io
),
t ]
ównanie
ió równanje
ma jedno
ma jcdno
roz*iŁańie,
rozw,vanF, jcśliż € (o| l'],
4 }iainfuejsza weośćfunk!.ji je( rówid 2, funkcja p?,yjmujejądlaJ=o. ł wyk!ż. że iunk.ja /dI. pueciwny.h a.sun.ntjwpżrjnuje ię sańĄwaltość. .) Patż zadani€ 2,7
l1.krz.lri:..
J i-
j\h)., -
\h _! _l l
1_1 -1,1
Funkcja!=3l jc*&Jsnąca.więc a"">]">3'>30=],zatcm]].-3'>o
wykażalilny, ćjejlid>b>o.
f\b)>o, czyli
to
^u)-
|kl>
f|b).
,]'-],l-',,]" .,,_ -
ll
i
3'''
l>o
lD,
D)
,i" JpJ,P-,_,, ;]-
"i..."!..",,"
(3' ]:];§"'b-I),o
oDPoW ]EDz, WsKAzÓwKl. RozWĄzAN lA
162
.]ai (_l6|+ą), :'. .,- .] Wpiowadż
niewiadomą pono.niczą
, , ]j -. *".*-." .o''
wanościiunkcji
l =
5'
=r] - 2l + 2 okreśIonej w zblorze /) = (0, §Ęc najmnic.jsz! wmość funl,cji śjesl
a)
wylrc\dfr lunkql
!j.n
liae]nenl paraboIl.
njsil3( l) = ] Najwięk\/ąsxnoś.iąluulcjiś jeśłię*s.azli.zbs(0).s(4),3(0)=2.ś(4)=l0,więczbiorenvlnolcildnr.jisj.śplżcdzial(]i l0), Zbiór vłlościfunrljj Jlst{i9ć odcięta sicizchołka lej Pdaboli
l}j.strównJ
],
"(I)
] e D,
v. F|Ę|s|,l',,,,vJo l, 0,l!1*l,,łj(,l],Jl.,., !v.tJn.|nnle| /"loun.i.,lr,loj,l,,u,,,n,l.,n,ł,*.o.,ll,r\!ilIJ/dl"/śmlunl ,,,". ",,.",,, +,, ,oVn\
/boDV *jo!,lunl!l|ł,l,,iĘ)'
'] l ji,,].i,
Naszkicui wykre§y funkcii i(r)=3] 1s(ł)=
.J o-1,,łl|,
\}
'*]
FUNKCJA LOGARYTMlCZNA 1tsl. Nllńiiei9r] log. E, nriłiększ.: los]7Jr, |,j
t,
], logl7aĘ=lo_](7.?+)=l"s,?j=:.
=i
tog.ł6=tu*,132;-rr =1o.,33
455, o25rl,
,lo88=1og2r=3
s.utun", o.o..n,
+lo!]
*;t. r"e,r8 j.(
{.J.].
loe2 tog].l + lo_! 25 looą=:s.t
4Lor2. ].]orŻ
lóclrs-log1.2r-log],(32+)]=loe,:3]+
,
log ,1 = liJg ,1
ndmniejs7ą
ljc/bł d
5'
br]7!Ę
0og,1+log25)=]og,l.iogl0o=],tog4=2,1o32]=4,b32
456. o 75.ż
',l,
n
i . (a=]i ,=].
.=4),
L,. "ó; - )', g 5 5, ,ln/błl: o-1l,- |o!,,, i
Liczb. r: l sPosÓB,
lo_q
50 = loE (5].
.
2) = loś5] +log 2 = 2lo!
t"; s. l".."_l: l__ 5
r
, ,[,]' |, .'
e(
1og 2,
b=log?(2log5+loc])+loe]s=2Io§2.1og5+lo8:2+Io_q:s=(kts]+]og5)]=(log10)]-l.c, sPosÓB, lof,L|-1o8,5 ]0, jJl1-1""j0 l,,er|' b=loE2 (los5+l)+tog]5 = tog2,loe5+lóg2+b8:5 = log5.(log2+lq5]+log2 =]og5 loeI0+]o!2=lor5+lo_q]=log]0=l€c. Li.zbu.: (lóg]36)] = I0ogr(3:,2)I] = 0og,3:.1og.2)] = (2+2log.2): = 4+8log.2+4(lo_q.2)]. logrtó.]o8]l8 = logJ2r,logl(3].2) = 4loc,2 (2+logr]) = 8los]2+40og]2)], .= 4+3logr2+4(loer2)i t3logr2+.r0o8r2):] = 4e c
ro:li Juii J, żaloznia: 1,la>o i 1-24+1 i a+7>o, z definrji losarytnu: \1-2a):=a+'1. Roż§iąaniami olźynrane8o ównlnia sąliczby.= ł.r5orud=2, d=2ni€speIn żllożenia l ł > 0. Bięc s/Ukną li.żbą]dn ł.?5
kwadraiowc8o
460, P=5
461.3.5.
,.
ża]ożenia: ,db
>
o. -a>0. ó>0, lo8l,,)2=2.łiqc(-!)]=2 Rozqiążanicm rółnann d]=2 sąliczbyd,=-,Ę
uwżględniljąc załoznia, uśalany, że d loE rńb=o,r5,
wĘcr=lój
=(rjló)3
=
-D,
=13, los](-.b)=loe:s,'j=log:z],:j
=
log::]s=:.s.
i
d]=,!
oDPoW|EDzl wśKAzowKl eozwAżANlA
163
462. ],
J2
,]|. , lsPo§óB, Zc§loru d|o!,.=r ńJInr2=.L,!5:. slr.2loslJ=(5Log.lro3r5_5]0§52l({r5,5lo!l\
-'
5lo§rr,
llsPosÓB, z 9la§Dści lunkcji lolJryhlczncj (,ł,,:,nd,,l0 nf,ł)nl) ł}nika.ćjcali lo_q.,1=lo3"],loliczby t,rsąrosn.,
Korzyjljąc/cwzofu!rbldrylnlpolgli.ńunlj,]og1?loc|5=ł)!]5lolr2. loll5lo!]]=l0!]2.łJ!]5.7trlcnlo!3]|"-!'5=logr5|"cJ:,
ln4j§rniłi. re ]l!!r 5 5klerr.
, D.iijnc }l,
fu.,,
i' ,"'f' Gdy!= l i
,
nośid]
.1o.,J
"!,,,,/,
D]='7db.
otrżyhu](ń) fu -
bJ:
=gah d.beR.i(a+b)]=9dl,.9lęcd+r=],,'
+,,o9,,, ,os,",
|og.. sięc
lorj=lorlo'' rc.=
,qi(l.,iL_l,,!,u,].,-r-a_
51
+
ó.l llb ldy.=ó}l
,l=lo1 l
do obu Ńron ni$
,
l,*;
.'.,:],' ,,.,""...,,,,-,-,]";, o,ł."rml l"r: ,.|;,, "ll - ', -l"!-
16 irt.l=ror , .) ']:]
,Zn.jd7i€my9/&innlcjilwzór'!nlic]i/mapon!ć/'(.)=lor(I.8d/ie.€B+złykr.suodcźytujemy./€puńkt(3.-2)
nlle,}Jov\lre,JlLl-|,,{jc,.|,,)_,ż,slJd,t'-l,./,lr" I q,l-,ii" ,/ł ,,.i,.lr1, j,cJl,_ .r l,\rj' .,.,,j,,] ł-2, ,l=
3. 1€
oo,]ln,m lcz"i.lłńtm l||JMieł |oVfun.a
,o!
5,
L, -i, {l,, tłl
f.l " - żFń '_,,_l, ,." '.,r
(ói+-),
(l.]),
,
Dljdzi!!
lunk.ji
J:4=(,2:])
j.nzbnntych punłtó*pfJbohorónnmlu
Korlynljąc
4
w.oj u dlo!
y=.1-r].lólchód.i{laJ€(-]:2),
"
l
=
J. o!.żynujeDy J ( o
, Dżi.d/im tunlicji ! D*=R.3(r=]r+"!r'=] 3IolJr=]r, szukmy od.iltych punktiw ją.ńsninie4 i=]\,8d7ic\€ Dl^D -oi2), Jćdrnynlozwiq7 ienó§nnni!jei i=l, Rżędna Punlifu wsŃln.3o
-
zbnjr w
,
= 4
- J. zlicn §lkesen lunk.ji
ł§pólnych wtkFsów obu iunkcji. rczwiąlu
łyl.csów funkcli ,=3(l)=3.
ńdlci (--i0). wyznJc^my d/i.dzin§ D runlcji /:
i-5l+6>0
i
lJ;,,! .!,nl lU! ,, l|-,o!, ' ,]l," 1", ,i_,_
r
s), .,,_:,,,,*,.
]>0. się. D=(3i
t,,;
wyłEślijń\.ji ./ oĘ, n.ńy ll7.\u$ljrc wruĘs funkji !( \) = ]og, . J o *eklor i: = l]. 0] j ułz8l§dniają.dzicdzinęfunldil (orzystdąc z rvy*reŃ lunkcji/. nwfldzamy. ż. zb,otn wMości
'!j
iunkcjijeśprzedziJl
(:i
0)
/
a D P ow E Dz l, Ws K Az ÓwK l, R ozw lĄZAN l A
(
s1,1=
11dl,
= tos
]ł),
'(J)
,iii'. s(,)=_2+tog.(I
l),
.- l]og:l,-| l,,-l| łfi Oś :,lo8,r 1,otrl\T"m),p,/e\uqJFfq)ke.lunk,,,/'l,-lrp lo(.1,o,, -|' :|, , .-log,
\^)l-e§lLnkcjl8l,,=
4-]o3,
rl'Gl.:]ałlr.s(J)=log: I, gdzieJ€ R\I0}, ł(i)=loc:( ł),sdzier€
(*:0).
,l79. zbió!wartości:R\{-logj3,-1.0} (J(J)=-log](I+2),gdzieIE(
l]
2ik)\{
llos,lr - ]l dlJJc 0,,-,\łJ ąrl_ ] '' ij dl",.l--,0" -1] |log), ,t
Dr.d/in. R\l-] ]1:
,1|,. R\{0] (l(J)=locJ! cdzie I€ Ę\{t ]), l']!1:. o;k]. sko.zyśtaj że *zoru na ż2niaóę postawy
1.0.]}],
-€(
-|losr 3)U {log]6)
.]
,,€ (tog,
]]i
+-)\ {lo8,6]
logarytmu
(0||)
4s3. D€ (o16) (/(T)=|6+]oe!,|), |r..]]j.:l"]]], ],
Na9kicuj wy*Fs fun*cji
'1
s)
(-,i6,
,
l
lnl,! )o8s, lo. !-log,t
zteń
."§.J ilL,P:')- +l.r:' s pn ,Ucl /l , l = jtt"g , .l' -] t.: : ,. wprc}adzań.
§żUr funl(]l / ńnżeńy a pFdc
ńs
dienną lomocni.Zą
l = log :
J, otzynujcnt
lunkcięt§admtowa3(l)=lt]-+,.gd.eleR(teR,po,i.lz.l=lóE]1,0Ló.dali..baż..:l,ildjl!wrloatiąfil"kcji|=loglJ)zbio ry
łmoś.ifunkcji / i s
są rówńe,
l
zbioreń Ńanoici fuółcji
semrlr.clg a- j.,,-+= + 4l
3
jeŃ pźedział(} r:
+),
gdżie r, jest rzędną wierzchoł*! parlbóli będąccj wykre-
qle./brcEmIano1llLnl.l6 ,/J,l.f lunt! * lU
I, o,
,^dłl
: .l
435, (+]-2),
n.:lr :,].
liczbowy. ńwnlnió D; -,,r+2=0 mu§i mieć dw. dodabi. pi.rwiaśki ż].len nu_ A>0 i oJj!>o iorL+ł:>o, warunki o -o są spelnione rtedy i lylkowl.d!,edy,,€ (8]+) ro.wiąuju|, koĘl§ąją. .e Ęorón,vi.le'o:).
];,]. Aby wynżenie lo821, +
sąbyćsp.łniońevarun*i: a},,+o (ńi.ńwnaści o i
ie
lo8,ł Ńało sens
o tog,jj+loslł:=losjJJ:=log,t=loc:2+Ios:-'=! Korzrsując
,'!],
z nonoton ic znośc i lDikcj i
Dzi€dzina:
D=(0:
tos,ź, Ni€równość 1-1og:->-3sprow zlmydo!,shciloE],l<1.
/(ł)=logri i uwzslędniając Nlfunek,e (8i+-). ssi.rdzanly.
l), zbjórwanoś.j: (_]
l)
(f(,,)=l+lo"ź).
żc nieówność lo8]-<,1spclniająIicz-
oDPoWEDz|, WsKAzowK L aozwĄzANlA
,". l.
(losrió: +_), , \nękicui$ykj!\ lunk.ii /(\)= lo!.(r+:)l
,
iJ
,l,Jełlłlr]-0.1o/(9=l()!.1.rI-1)wtcdydżiudljnąiuul!iiljcypźcdziil(%|F).wiqc/=-2jc\Lledn.łZVukJnychwiF
ll Jcjli,!, 2+l),tot(rDliJn l,,+2);_l,j+5Ir- l mu\i rrltlmosaćdgJluic §Jnoicilylk.dlidodlhich r U,.tĘ rl { ł|,łłłtJ), sżur]fu
t.trloi.llJrJnr.llu,j:,le
1
3:
n,€
])
_:)
P,tr,n\n,,l L]!/la
lj7 -fr7
l ],
=.r,.-.*,5
=
log]
15 <
]l,,! r i
2L,,!
5
nu] 16=4
nJg,6 l.8]3ó bg-]I6=ló!/6 loE,6] lo3,6'=6 (lor,ń)t<6 (log,7)'= lo l(lg.]m>ll]s].6 n)gll) |()!:8l =().5 2,4=,1,
,
j'
t,., ts |jL1llJal,
.|fi
|oE,l,.nn.,|c..(J,
(r:
-,1=log]
lń
< lDg] 15 <
l.!l s=-]
!=],
:..]:
Zrlćmdańc ń§nlDlemozemy 7nPlślć wpond.i t]-!2logl3+logr]=o, -.1lo! L] (lośr] l) l.UnL.jx clr)=l.s 1\jeJ msiącr, siqc 0= l.c l l
, 3)]
^-(2103 |og,3ę (():
)og
l9'-log,]:'=2l log,3,
.1lo! |]
,jaa obj.lic/h} n!le.ł do /hioruA (l]-:, r:_
t.l].
])
_, Liczba,: b!i3ó=logr9+lo8 4=2+1.8,,1
d=lltg ]:] (:+]oa,ł)_lo!
i.]
=
]loa :3+kr! :3.Ioe,4+l!|! .] =
sprlsdi!n}..7y liczbnł.lrhiidmąnicnnvD.ść: 2' ]
! lc|,: ' -] 7,
spnqd/rmy..z!
li.7b.t
2
2]oP
7',2))
2]. 8
]
I6 = -1
=
]2<0, viaf ó€
z€ n,
l
- l^J,
i.p.liiJddąńi.ti$tro;ć: l +2
]|,a oę^. hE^ l|\=|
2'
+|ns , ,ł =.:lr,,s,,.]+rog - ]3 ł+ log,, t
]lo_1 ]:]+ lU_!
l s
ló
n,
j:J)
-
2lo3,] l2=2
oDPoW EDzl, wsKAżoWKl, RozWĄzANl A zbiórAj.s
nal.żalt.h do plrlboli
zbiorem ly.b pulkiów
Rósn.nie opnuje zbiór 1(l, )]:
o
ńwnlniu !-r]. kń)ch od.i§la ndcży do 7bioru
ł}>0 i ł}*0 i,;ł}=1(J.}) )=ł)\{( l,
FoqnąnleoDl,J,e/,lvl ,,,,
, ,,ń,
,.Ł,,l
Ę\{l
].
l),(().0).(1.1))
Ll
vc,, (I,})=(4.4), gdżie,>0 lub ll,))=(4,n), gdrer>Oi Rys,2/9IV'.
, Z,lożcnia] t>0 i I>0. loE
, |;- lo§
,
ot l-
log
,lń , )lo. . , 'oe
l
e log2J,(log.I-2)-2(log2)-2) e € log : J.(log2 1-2) =:(lo_q ] J-2) e (log : J,2)(1og ż ] -])=0 e e (lo3rr=2 V Io_!.!=2) e I(r=4 V r=.1) !>0 r>0l, loerJ,loe))=2log:J+2log])-4
^ ^ zalen 7nioFn punklów. kljrych B§I,(ilPędne sFlnidądlne nj*nfiić,je( z
utlJden łlpdrędny.h
i 7awnńych w
proqcb
o równaniachJ=,1i
sum3
d*ich ]łPii\lych znłjdujIych
się w l
ćqiitce plx§zcZrzny
r =4.
TRYGONOMETHlA 5o9. .łszy§kie liczby 51o.
sa
IóNne 3"in3",
a|ao z, ("=|. b=+, .=1)] b) . .,
.." 77. 1"77 '*?7' ,.1.1]. d=------:.;:-=--;",, =,.
,-!n.ln,t|,it]|fr-.n.n, b)
a 2b=l
511,
tga=
Ó-l
11, Liczba
l-f -.*-$
.,.,N ---t_+-.. l ,r! ien ljenna. wi§. l lr|= (l 15)-,E
t
|l -j*
,;"'r""-f, t.n.',o,*",n'rol={.
;j;-.
"
*
1
-
,
.
*
,
.
;
,
,
l,
,
Koźy§ająć Z Fd}nki lrygononelry.7nej, ddną ióBnośi żap\ujeńt w Poj,ći 6c.ś]a ! po pqjlielenju jeJ obu nńn F7el ros]aolvtńujemy
=
5!2. sńo=16-.lr. tga=ł' 513.0,23
wień), /e,i,o,
Uoje,lonj l, $n,
51a, (,"o= "" 515,
, , r,.
t6,
orzyńujeny ńlnośćsin]a
D?1.1c.
|
!
U.G 0-7.o,o,n]],n.o o,2,'co,o DPel(o o,vU/,nd!m, +*
nna
;"'
l5 8
516, Ro/wlłuu ósnfuU
,
ś,+
skoizyśaj ż jedynki tr8ononerychej.
o,żl,j
- 3cos]a=
"in2.
3
(sin]d + cos]a), srąd
=ó !+=(i]§)]=tg'r=6,
oDPoWlEDzl, WsKAzówKt, RozvvlAZANlA
l 5
5la.
Rółnośij€{ loż\amością tryEonontryczną
5,19,
, \ina.l\inf ls}+Ńsr=śnJ (śinJ,lilr +
DJ,_L="-!*:=€i
wi§.
tjwloićjeś!ożs!
mości4 lryaonomelryczna_
520. Równ.ść jesl lożslnoni
.'
l
.o i
522. ął2 +|
523.
_l+sinr cośrłsn,I+śinrr sjnJ(l+sinl), śinr 1_.. .v,lL|-nl,!]
.o,,\|-nn,,
.,. lll, nn,,
_o.,
"'
,l2
jl, 125
524,
;]Niccba=/=0il=3].,wówcza!s0'+\ń0'+ńlr'-!!.]]:<.n0'+n:+3]'"inlt.,stądsin]3.<3sinll,
525. ó
526.
N
l J' ,
współ.lynnit kieluntowy prostei icśrówny lan8cn§owi k4J nacbylenia ploslej
do osi
ox. vię.lgd=2,
-l.
(ł#):+-. a , l, stdd -$,
!
arłLrtm-łlrm;arm_o.a_
l.r.n..,óo-!--
ć.F ] 52-o
].]:t 7.. :,
'y(l):8a_6r+l=
2(3l ,|1i)+l wyłej.y, -
W(§inlo.) =o:
W(sinlo.)=,2(3nnlop 4sinlo.)+l=-2sin3o.+l=o,
o D P oW E D z l, W sKr'żówK !, R o zW ĄzAN l A
16a
533. o=30',
.l]r,:]i.,
RozwiąZaniani Iółn
ani a kw
3drŃołego
łięc si.a=0,5, zaten a=30',
2t],?r+]=0 sąli.zb! rr-0,5
Pj. r. ,.j]l., zFdynki lrycondmayżrej ms'/+ (Ę)r= l. siądrcsr,=-;
i r]=
lub
Qs],=i,
l
y
3. sinu\ k.rta.\te8ojeś licżbą nniejszą &l
/
jc§ katon o"lyn. wirc
**=;=s -.p=i=fi -,/=1=# Funkcj!
} =
cosj w przcdzi!]c (o|
a35 l)( li
+1)
jen milejąci i coś/>.o śd> casr żŃcn
.. d <
cos /=
].
ł
l),
:!],
|) Kwadfui \unyj 4I], §umaliwadrarów
.:-1i,
J)(0|+-]i
.:)
,,,=-fi
J je( fialejcla
61]l .)(
tr]O)U(Il2tr)
ł prżedżialach (:: _+,) i lol+tr). no$ąm* (_+,i o) i
(+u] +-)|
,o,=o,"o.=fiI
lli:l. Aó8=(ś".;z)v(i'i*ź),
lar
/(ł]=rEr. dlaJe(-ł;o)\ { +} /(ł)= tsJ| Rys,1/l0M
Dl!r€(o|I)\{+}
lic, zbió, §fuoic1: I0), i': :] J,] -, Dziedzińti fuDłcj i / Ii]il :ijll 1,
j
cst zb iór lic zb calkow
Dzi€dziną funtc ji f ielt,biól licżb ponaci łn. _ldzie
,, D/leo/inJ,,cF ,,rlT a':a, zbiór
itych
wańości | (4]
8d/,,
r. c|,
/blol
ł€ c
*.,r,-,, ,'
\ {0}
',,'''.,.
j",.
l]),
llclljJż:::, Niech l=sinJ.
Zbi& wńolci funkcji /jestrósńt /bi.rołivanoś.ifunkcji s(l)=.1l-łl+5 ołlelloiej w żbioźc( li l), l: ]). łĘc najnrniejva łlnośćilnk.ji A,jcsl rówodcięrawlerzcnotkapalaboli,wttóejżlwlen§ięvłkresfunkcji3.jenróBń,0.5.0.5€( ż licżb r( l),8(l),!(-t)=]3>§(l) ZJtcn zbioreD wanojci lunkcji 3, a Zald4m nas(o,5)=4 Najwiaksząłdościąfunkcji sjeśt łickśżJ iuŃcji
i
jcst
p[edzi
5,]-. Naińniejsż!
(4:
l3),
wańośd: /(l)=0, Najwięk§za *,[lość]
l(
l)=8,
:-']a, (0i0,25),
Y.i.lzo.Jka.
§prowadź wzórfunkcji
54i.
.) (_0.5l0.5)i J)(0i2).
a.0,
ł (-Ii l)i
/ dopo§&i /(r)=sill:](1,sin}) lubposl&i/(r)=0.25si,,ilt,
]])(0] l),
ś,",.-".,h)rc*=md2 +r=-.'+, ..'ł- =r.*1+. zbioEn
waności iunk ji
ś(l)=+-., j"* p,^d,hł G}l
-t.
srł
-,]},=j-.,+],
p,.dziat(0: l) +), vię. zbiorcm sanościfunkcji /(r=+ąx.++ Jeś
oDPoWlEDzl, wsKAzÓWKl, RozwlĄzANlA
,,.,,.,,
?,,
.l
!
;.in,l-,i
Zal.m wrkres fun\cji
/
łres ..roz.iąanicny
piońie" lak. aby najłiększa wanośó funli.ji /
w
otrzymamy piżcsuwlja!
,",
." ;
§yłrcs fuńk.ji
) = sią. o
blh
wekto i
rówńa
,,
"+
=
,, r ,,,_i,
l i:
0].
2.1ńljmnGjYa
x
dlyńfiy l łyniłute_!o
plz.sunięcia §y_
2
a5o r=r,lub I=-* +2łl lub J=++1łgdzieł€c. .l'
i,
+łl lub ł= ++łzlub J=++łu gdziełęc,
J=+
'l'],l:j,,]l l]. wpmvldźniewiadonląponrcnic4.=l!]
a]j2 l=łZ ]Db r=-++2łz lub J=++]ł,t edzicr€ c
,=-j lł,
554. J=Z
ddzic
(€ c,
-]/a:.żf-., zalożcni! (ći./. 0la ROfi):rź++k,, edzic kę c. ierśitrt+] -śinr _tgt= t!l (sitr! l) GitrI J= jnl- j(ls.!- l) (śitrr-])(tgj- l) = 0 e lGitrt=l V 1&t-l) r+++ł,. gd/iełe c] € l(r=+"2ł, V.=a+rź] gddet.c] ^ ^J+5_ł,, 1
r=++kt.
(
1
t. c,
Edzie
55. J=-ś+2łzlub!=ś+2łfIubl= Ę+z*"l,t,=Ę+lłn zaziełec, czyli .= ++łu lub J=++łł 556.
R*"
r=f+ł, V J=ł+łz ! F,t+kr v ż= ++łż,8dżieł€ c. "-,.. zjloćnia: ł+ j+ł, i ri(ź. gdłcł€ c,.7yli l + k 5. Edzie kę c .in!l,,.,n,.,.!,.,,,.,,,:JtrIJ!
.,ln2, l
sPosóB
Dane
iółnDie nożeh, więc /pis!ć
r,y$niu / jedynłi iry8ononclry.żne] kwłłaro§e
lól
c ..'.=i *
16l+ 3,
ł N§luci
n §nóść 3 =
snł- + i si!ł = ;
slac
i
rr =
0.25 i
.]
spćtfu,]ą
sqd ólr/yńulemy !ówność 3= lósinltos:r. a po sko, ni€wixdomą
j ,!b sń]= 1 r=.f+2łlV r= ++ 2ł,). gdżie łe c,
=o,?5, furen sin\
wmiek
io zbiól 1ć2b
ponocniczą.= sjn:J, doslajeny równani€
] + ł ,{.
=
E++2ktv tr=++2kń,
cd/ie ł e c. Bięc
są
e
edzic kę
c.
rozqiążańimi dlnego rółnańid,
pośa.i
,++2łz lub
danesońwnmiamożemy
z{nać vProsrszej
sPo§óa, Danc ió§nmic nożcmy wĘ. btis!ć
w
po{mi
pshcij.=f +ł, V a=Ś+ł/v J=,f+{u
=4-
=
&*ł
cinzł= Ę
V
ł= t+łĘldzieł€c,
siąd dPymujemy ńwność sii]2r=+.
"..r.=f,l e (ł=,3+2ł,v z.= !*zł, , G=-++ł,VJ=-++ł" " ^=++kn" x=++kĄ, edzic*ą c).
§n'2ł=+
€
J
f+łz,gdziełec, c. lozbiórlić.bpo aci ++2ł,).gdzier€ *+łr,sdzieł€ c, pon.ci -{ +2łu lub + +2łr). _gdzie ł€ c, to zbióI liczb po§rci 3+łz.gd7泀c, po(aci + +2kż llb +2kĄ. e,JLc ł€ c, io 7blór liłb poŃaci +łz, gdzic ł€ c, Ź Ś po
zalenozwieńia ll
lósin.łcos
e G= ź+llzv,= Ę*z*, " ("".= 9 " ".,=f, e c=-!+lłt,,= !*l*" "
zb1&li.,bp.{ri -*+2łrlub gdziełe c. ++2łr.
zbiórliczb
=
l6sin\l - sinł), WProwadzaja3
któr.lo rozwiązmirńi \ą ticzby
w\?) nije rcZwiązania ńwnań
zbióll,ćzb
l_
§nl=-] ",i,,,=jl
\ń1=+
zbiór liczb
__
2,=++2*t
gd..ł€c " 1,-++2Lr,
e
oD PoWEDzl, WsKAzowKl, BozWĄzANlA
,,.
.=
. .' -.
l
-+
+2kn
F
llb
+
+2*Ą Edzi. *ę
c,
J=_++2łlw J=++2ł,V r= ++łu gd,i.łec, .]: ] DzicdzimD].+++łI.cdzi.ł€c,
e 2śnil]!_!+2co§-]=o o 'ń'|ł'ol'|'*2.o,, l=n € Btrrż!o\l- ll+2co\r l=o e (2co*-l)(gJ+l)=0 e [(co!r=o.sVtgl_ r)^J€D] e (.=-++2łu|,=++2kr" I= f+ł4gdzieł€c) 2siB-lsł+2cort t=o
,l=+++, ldle l € c, , - ,l-" , )toien;l łazieaziha ld sd
a):\+++kn, rdzic*Ęc.
P.zenosinry wszysrkie wyra^nia na lewąstrcnę
równan Wówczasl,=Gost-sinr)]+tgr-2sinl=cos} 2sitrtort,
z,tcn dlne n snanie ńoż€ny zapisnć w pośaci (l 2cos]t](rg r)=0, (l 2có§1)(el,1)=o e l(cos:t=o.5 v lgt=l) T+++łŁ cd7ieł€cl.
; ,", ,:' -
e
.=++k +, gdziełec, Rozwiązania
wszystkje mzwiązania równmia lgt= l
sąli.,by
nmia
j
+
^
,,-
T-r,t ,- '] ,,
równani. ćos]i=
j
,-+
,-
sinil+ lel - 2\jn]r
,x j/,,
spolniqawmnekł++rłz. _qdzic r€ c,
td/h
/, (,
=
-
(J=Z +ła "dz e łe c) Ę ukz. rozsi3zaniani iów.ania.o§:r=!, FĘc lozviążoiami danego ró*
+ł.t, gdziełe c.
]r i=f+ ł,+. gdzieł€
c.
h/eno,.ńJ V,/}.ltie
u}lJrl. fu l, ,4 ,mrc lnqnd,J n2 cos:ł)=sinrt+2sin:!cos:t+.oś'.2co\'J=(,in'J+cos})] 2cosił=l 2có§},
wóPcżas a= sin:r(śin} + 2cos]I) _cos Dnne
sląd (o
ńłnanic nożcmy
więc zaphoć w pośiłcit _ 2cos]\
--= Ż= 9 *-.,=r=9
no-ny
r=
zapisać
!=+
+łłgdzie l € c
J=-++łtr, sdzie ł€ c, :-a.,,
.
lub
I-łĄ gd,ie ł€ c,
,=łn lub,,=+,]tn lub \=++2it.
,.,,:.
}.J:
J=_++łf
,= i"+k^
.=Ę tr :]]::l,
lub ,=+,+ł7, gdziełe c.
,=f,"ra. za,-ł. c,
UstaI dzicdzine
óvnańi!,
o.
2oę.,_
*iiej: t=++ł.+, cdzieł€ c,
!i +ll,lub
=
!+,olul ,=Ę*zł,lul x=-++lLft
llb f=f+2ługdzieł€c.
oDPoWEDzl, WsKAzoWKl, BozwĄzANlA
ł=5+]ł^rdzicł.cłV{()], lub t=-++2łu ed/i.łĘ c_9io): J>o , ] l, slukan! r.lsilllli ddćgo niwnanid c/!h(.!l
lub
r=2ł,'sdżicł€
c_,
lbior4l--;o), .!ć!lil
Ujemnynli er\ia3aniJnli Kj§,nania co\r= l \ąliczb),
ll s^lJnryrczwiąZ jda.e_goió$n]ni.,wzbiorze(0i+)
r .l'-',sir\ t,Vllih!/1,11ielrmn,,\reLnjJd,,n,,n,qn:niś, o ni.c7ni.: r=2łu !{]zieł€ c, lub r€ (0|k), \=+ lub !=I luh t=+ 20tOŃl§ią/!ń (RolNią/alillnn'vn3niajc{!,thticzbntr){ici
l=f i2łl lub,= ! +lłn ga,i" *. ae
.,
*f
"-f
c.
(f+ł,: ++ł,), r /j.łec,
d= z+2*E,
,,,
l0ol,!dzi.ł€ c),
.
edżi ke
r,l.i"
c
ł. c,
a. \,kĄ ++lLĘr 9 <++1tĘ: ,+1Lt)_ rdlić ke c. , Abyk rddliczbłdodilnidńależllado1bioruwanośćluńkcjił.Ionnrn|
oqJnedogół-'iĘi.r.choteklcjpdrńolimu§1l./ećnnlubpodoliąox, Musząbyć si(c
jłd vńa<0 5 Zl.nO<śina<0,5. ^=2-J.ina>o. ohj. n,.ró\ nóii \F-1,Iilią lic,ł,y aę Q& ++ 2lt) J <+ - aLt| t
".{+.".+i, -] Funlcjl/na jednonlcJ$. z.rc*e§t.dy
'i: F
i
+
alr)-
k
e
spehn)ne
§lrunlii: !ina>l)il>l)
c.
l}]IoŃlcJJ. gdy 2sjn:d=3.o\a+3,
t++b l"t.= $*tłz l"t ,=f -śł"fuh t=+
::,.,ł€l:.
Edzic
pnrabolibqdjlejwykreśeńlliltrk|]lńńU\/.th\;:kie_
+;ł,.. stl,ie
i € c,
r)v {]). DMc ńwnanie spro*,idamy do posllci
* (,,]-J).sin l=,,]+2,,-8 l lenl ,n = -2. b ówndle t ńa ponuć 0 \itrr= -8. \lótć nic nl mż§,v!ń Z!!.n ,l = _2 nie \pśłni!w!!un*ów zadinu il Jeilin=2.b równlnie lt nu Po{uś 0 sin! = (), kkirego rczłiąlMienr jeśkażdl lic7bl rzćcżywiŃr Zaleń,1-2]c§jednq lll, Jćili
,n + ..2
i
z r
2. lo obi. strony
n,,,lf/Uildi, (lcJy +>
i Dlko
ll -.,śl,lJłed,
ńvnania lt mo/ćny
sl,J), !J\
R\|
zJl.ńś/!kan.sJńokiparamctu.l,/€
:,
,a,-
po
zielia
pi.ż
"/ l:l tl,.R
]l.,pehlJ|,lliJ/hJ,,. l -,-,§
(+: 3)UI2},
Dl'' 4. oĘyńujemy 1,
1l,.
. ,,
łó$c/n\ ró,nan. ,n
._"Ł.,-...-
,
=
7
s/u|mtćh
"'' -,:"',
"
,
t,*.
I'\lJ , n'jo.i
oDPoW EDzl, WsKAzawKl, BOZWĄZAN lA
172
l]7..
,€(
]:+).
,
,n!,oll/Jnlcm, loVlJr, ,l l.l,,,o(iJ.4iJul,d, i r!][o §lgdr,.!dy ró$nańi.l+l+ł =o nr! w prze&lde ( ];1).onljnrniejj,dn, l)ż§iązmie. clyli wtedy. ldy lnnkcja ś(l) = +l +ź, ottilotr. w P./edżialc 1 l: l). $lnV_d/,,c ,,cv Jooln, n,ń,1l_/_l l, ,: P,.,l o..ol.,, "
!.,"
mr .o
'
mniej jedno miejsce zefuve,
na]
odciclu wicrżchollia Fraboli. \ł kńe] zNiela się ł}kres funk.ri !. jen ńwn! 0,5 tdla Lajlej |a oii Palan?b,r, Z.len funkcja! mJ.ó najnrni.j j'dno,ni,jsce /r i x(l)>0. czyli. rose§ledyi t}lto *tcdy, cd} l)^=o nlb 2) @łr:,1l..r,ł) ^>0 gdy t) 1-4,=0 lub2),l<0,25 i l+l -,.>0, Ś,ąaroy.,,J..y, =o.25lub,,€( !:o,25) zxten s/uk]ne wlnościlxr,metru. to
"
(
2i0,25)
] r ,i€( l0: ł.1)!(0.1ilo) , :], cosj+ljsinJ =2 (:-.*-*.,n ]
]i, ./(I)=; 5: 30: b)
.](0. 3)] ,]]/(2)<0
582,
a)
.:]l.,
3, śiiŃ] TĘśsś]
_!
Ji.
584. sąpiepiJ{k]ni §,ielom,,"" ly(.)
1.,=
+,
i,=
ł+, )
5a5, a=45". p-I5, 586.
a)
l
b)D= 116*z;,
"=z.6,
śs7,r=śin89'< l =. < Jr=a
\,..
\=++żkfr ilb .= ++2łnlob l=++2rn.
:a:]], Dw. rc?siĄZanin
i.,
(I]4)\ {+. 2,
_ldzie
ł€ c,
{eńń. iicdno dodJińi.,
f],
'^.],:l]:,Niechf(r)=conj-2)l!(r=ł],,ł+5,7najdzicnyrelrgDń,ntyl,dliktórr,hzlchqt,irówność'(r)=A(t), Najłięl\7l
wlnośćr,,, iuikcii /jesl nj*na l tv}zna.żamynajmniójsż.łfiość!ń/,fUnIGjis:^;]1,!,:}*=1,2l1emr"",=.(".=i,Abyrównl którego lunkcja / ni" /t.l=st,;.iułu in,"ią,,nie. lo dgument, dll któleEo funkcia 3 pllyjn,u]c wanośa s,",,. nlsi b}ć xrglnMt.m, dl! je{ (2) ń/ Diem l 2 2, , pźyjn{e łrunenlu = dl! \, = \żą wfiość / = p.yj"i i. ii,i"ll l, iuii.jd ł nljmiel ",, 'uńgj,l"^li 2)=l]_ł+5rozłiąz€rrfi.7nic.szkicujtvyk.sy no"a""*i,,n. -zpiązanie ńi.jcś dlł ciebic zrozunide, rórvnanie coś(\ 1
lunkcJi
]],-]
,
)
.f(ł)=co(j-2) i r1l)=J] ,li+5,
(r=!łft i ] = l0) lub (r=1+2it i r=0,1),8dzie ł. c :.Ą,,! |c.|,., n lĄ l, l , ,, Ic.l,
-'
'
,
9rl§,
l nL.J\rl
1.
WYBAżENn ALGEBRA|oZNE. RóWNAN|A
2.
LlczBY nzEczYWsTE. zBloRY
3.
FUNKcJE
l
NlERóWNoŚclALGEBBA|CZNE
,,
9
26 31
36 37
4.
FUNKCJA LlNloWA
39
Fulkc_a lńowa
42 43 45 45
Równanla iń eńwności|i. oW
41
s§tlnym,,,,,,,,-,--,--,,,-,-,
zaddrla 2 (onFhslem l€al
anlaniaprcwadzącedoółnań,nieńwnościiukkdówńMańliniowych,,.,.,,.,..,.,....,,,..., fuąhc]a hn,owa .... .... . .. . ....
5_ FUNKcJA KWADBAToWA Waśńościlunkqi kwadl atowej
.
....,.,,,,,,,,..,,.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
wżóly viet"h .. ........... . ....... fu€ńłąaa.i kwddĘta@ z paumeteF
..
zadan,a l \ońlel.s€m ,ealistyc7ńyn .. .--.--.-. zaoanla oplymal,zacyre zAd.ńla Jóż|E
6.
7.
WELoM|ANY
.
.
..
PleMla§lŃwielomanJ,,,,,,,,,,
49
53 57 58 60
60 61
62
65
Wymi6me p]eMiaslki Wie]omianu o wspołcżynnikach całkowity.h ,,,,,.,,,,,,,,,,,,,,,,,.,,,,., .,.,
zadan a óżre,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
67 69 70
FUNKCJE WYMIERNE
74
DżialaniJnaw€lomandch,
Wraż€.la
wym
efe
7a
FUrhqd wymiema |ullKcla Daslacl
lnre lun^.ia
75 76
l
l, |
:-:-
78
14ńlehe
zada.ia ż palarevem
zadania ż lonlelsler lealslycżrym
79
,,,,,,,
a0 81
a2
8.
FUNKcJA WYKLADNlczA
9.
FuNKcJA LoGARYTMlczNA...,..,,.,,,,,..,,,.,,,,,
Dżial.1. n. po,ęqa.l
zadan|a 7
.............,.,,,,,..,..,,,,,,
a4
88 89 91
pa,ańereł
10. TBYGoNoMETB|A
92 93
95
,
1r. oDPoWEDzl. WsKAzÓWKl, BozWĄzANlA
,
odpóWedżi,WskażówkiilozwiążaniadożadańWprowadża]ąCFh,,,,,,,-,,-,,-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.,,.,.,,.,,,.,-,,.
107 107
