Miary statystyczne
Statystyka – Wykład 2.
Miary statystyczne dr Michał Trzęsiok
[email protected] Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Katedra Analiz Gospodarczych i Finansowych
12 października 2015 r. dr Michał Trzęsiok
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Miary statystyczne
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
Charakterystyka miar statystycznych Miary położenia charakteryzują przeciętną wartość cechy dla jednostek w próbie Miary rozproszenia (zróżnicowania, zmienności) charakteryzują stopień zróżnicowania jednostek w próbie Miary asymetrii (skośności) pokazują czy więcej jednostek ma wartość cechy większą, czy mniejszą od średniej Miary koncentracji pokazują na ile wartości cechy skupione (skoncentrowane) są blisko średniej Miary korelacji (dla co najmniej dwóch zmiennych) pokazują kierunek i siłę związku między zmiennymi
dr Michał Trzęsiok
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Miary statystyczne
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
Dopasowanie mierników do skali pomiaru zmiennej
Nominalna Porządkowa Przedziałowa Ilorazowa
Miary położenia
Miary rozproszenia
Miary asymetrii
Miary korelacji
Dominanta Mediana Kwantyle Średnia arytmetyczna Średnia geometryczna i harmoniczna
Entropia Odchylenie ćwiartkowe Odchylenie standardowe Współczynnik zmienności
— Pozycyjny współcz. asym. Klasyczny współcz. asym. Klasyczny współcz. asym.
Statystyka χ2 Współczynnik korelacji τ Kendalla Współczynnik korelacji Pearsona Stosunek korelacyjny
dr Michał Trzęsiok
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Miary statystyczne
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
Inny podział miar statystycznych
Miary klasyczne – wymagają znajomości wszystkich wartości cechy (dla szeregów przedziałowych wszystkie przedziały muszą być domknięte). Są obiektywne, ale bardzo wrażliwe na błędy, oraz tzw. wartości oddalone Miary pozycyjne – nie wymagają znajomości wszystkich wartości cechy. Ich wartość wynika ze szczególnego położenia w szeregu, co oznacza, że są subiektywne. Nie są jednak wrażliwe na błędy, wartości oddalone itp.
dr Michał Trzęsiok
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Miary statystyczne
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
Miary położenia: średnia Średnia z liczb x1 , x2 , . . . , xN to wartość teoretyczna, która przypadałaby na jednostkę statystyczną, gdyby łączny zasób cechy był rozłożony równomiernie Średnia arytmetyczna N X
x1 + x2 + . . . + xN x¯ = = N x¯ =
x¯ ≈
i=1
N
k
k
i=1
i=1
xi =
N 1 X xi N i=1
X 1 X xi ni = xi wi N
k k X 1 X xˆi ni = xˆi wi N i=1
dr Michał Trzęsiok
i=1
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Miary statystyczne
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
Własności średniej
średnia jest miarą klasyczną i jest wrażliwa na wartości oddalone xmin ¬ x¯ ¬ xmax N X
(xi − x¯) = 0
i=1
dr Michał Trzęsiok
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Miary statystyczne
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
Dominanta Dominanta to wartość występująca najczęściej Dominanta D = xD , dla której nD = max{ni } Dominanta leży w przedziale o największej gęstości i obliczamy ją wg wzoru: gD − gD−1 D ≈ xD + · ∆D (gD − gD−1 ) + (gD − gD+1 ) lub w przypadku szeregu o przedziałach jednakowej długości: D ≈ xD +
nD − nD−1 · ∆D (nD − nD−1 ) + (nD − nD+1 )
dr Michał Trzęsiok
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Miary statystyczne
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
Własności dominanty
dominanta jest miarą pozycyjną i jest wyznaczana dwuetapowo (najpierw pozycja a potem wartość odpowiadająca tej pozycji) dominanta nazywana jest również modą [oznaczenie: Mo] w szeregu może istnieć więcej niż jedna dominanta (mówimy wtedy o rozkładach wielomodalnych) w przypadku szeregu przedziałowego w którym największa gęstość jest w przedziale pierwszym lub ostatnim nie można zastosować podanych wzorów; piszemy wtedy tylko jaki jest przedział dominanty
dr Michał Trzęsiok
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Miary statystyczne
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
Mediana Mediana to wartość środkowa lub inaczej – taka wartość w szeregu, która rozdziela ten szereg na dwie części, w ten sposób, że połowa wartości w szeregu jest od niej mniejsza lub równa a pozostała połowa – większa lub równa Mediana Dla nieparzystej liczby obserwacji N: Me = x0,5(N+1) Dla parzystej liczby obserwacji N: Me =
x0,5N + x0,5N+1 2
Dla szeregów przedziałowych stosujemy wzór na kwantyl rzędu 0, 5 (podany na kolejnych slajdach), gdyż Me = Q0,5 dr Michał Trzęsiok
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Miary statystyczne
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
Własności mediany
mediana jest miarą pozycyjną i jest wyznaczana dwuetapowo (najpierw pozycja a potem wartość odpowiadająca tej pozycji) mediana jest pozycyjnym odpowiednikiem średniej (miary klasycznej) i często używa się ich zamiennie; x¯ ↔ Me mediana jest odporna na wartości oddalone średnia, dominanta i mediana nazywane są miarami tendencji centralnej
dr Michał Trzęsiok
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Miary statystyczne
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
Kwantyle [kwantyl rzędu p] Kwantyl rzędu p, gdzie p ∈ (0, 1) to taka wartość w szeregu, która rozdziela ten szereg na dwie części, w ten sposób, że p · 100 % wartości w szeregu jest od niej mniejsza lub równa a pozostała część ((1 − p) · 100 %) – większa lub równa Kwantyl rzędu p Qp = x[N·p]+1 gdzie [N · p] oznacza część całkowitą (cechę) z liczby N · p Kwantyl Qp leży w przedziale, w którym znajduje się obserwacja o numerze [N · p] + 1 i obliczamy go wg wzoru: Q p ≈ xQ p +
p · N − cum nQp −1 · ∆Q p nQp
dr Michał Trzęsiok
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Miary statystyczne
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
Uwagi do kwantyli Niektóre kwantyle są na tyle ważne i często wykorzystywane, że mają własne nazwy a czasem i oznaczenia: mediana: Me = Q0,5 kwartyle (dzielące na części czwarte); pierwszy kwartyl Q0,25 , drugi kwartyl, czyli Me, oraz trzeci kwartyl Q0,75 percentyle (dzielące na części setne); pierwszy percentyl Q0,01 , drugi percentyl Q0,02 , . . . , dziewięćdziesiąty dziewiąty percentyl Q0,99 często wykorzystuje się dwa kwantyle do odcinania wartości skrajnych w szeregu (np. przedział (Q0,1 , Q0,9 ) zawiera 80% obserwacji w szeregu odcinając skrajnie niskie i skrajnie wysokie) dr Michał Trzęsiok
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Miary statystyczne
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
Miary rozproszenia: wariancja Wariancja to przeciętny kwadrat odchylenia od średniej arytmetycznej
S 2 (x) =
N 1 X (xi − x¯)2 N i=1
S 2 (x) =
k 1 X (xi − x¯)2 ni N i=1
S 2 (x) ≈
k 1 X (ˆ xi − x¯)2 ni N i=1
dr Michał Trzęsiok
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Miary statystyczne
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
Własności wariancji
wariancja jest miarą klasyczną i jest wrażliwą na wartości oddalone wariancji nie interpretujemy [z powodu jednostek „kwadratowych” w jakich jest wyrażona] wariancja ma bardzo duże znaczenie w teorii statystyki na potrzeby interpretacji pierwiastkujemy wariancję, ale to już inna miara statystyczna
dr Michał Trzęsiok
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Miary statystyczne
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
Odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe to przeciętne odchylenie od średniej s(x) =
dr Michał Trzęsiok
q
S 2 (x)
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Miary statystyczne
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
Współczynnik zmienności
Współczynnik zmienności również wyraża przeciętne odchylenie od średniej
Vs (x) =
s(x) s(x) = · 100% x¯ x¯
dr Michał Trzęsiok
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Miary statystyczne
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
Uwagi do współczynnika zmienności współczynnik zmienności wyraża to samo co odchylenie standardowe, ale Vs jest miarą względną (bez jednostek; wyrażoną w %), zaś s jest miarą absolutną (wyrażoną w jednostkach takich jak dane) to czy zróżnicowanie danej cechy jest duże czy małe zależy od tego ile jest równa średnia, np. zróżnicowanie cen pewnego produktu równe ±2 zł jest bardzo duże w przypadku, gdy produktem jest kostka masła, lub bardzo małe, gdy produktem jest komputer zawsze kiedy chcemy porównać zróżnicowanie (rozproszenie) należy posłużyć się (porównać) współczynniki zmienności; nie wolno porównywać odchyleń standardowych! dr Michał Trzęsiok
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Miary statystyczne
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
Odchylenie ćwiartkowe Odchylenie ćwiartkowe to przeciętne odchylenie od mediany Q=
Q0,75 − Q0,25 2
Uwagi odchylenie ćwiartkowe jest pozycyjnym odpowiednikiem odchylenia standardowego (miary klasycznej) i często używa się ich zamiennie; s ↔ Q analogicznie do klasycznego współczynnika zmienności można do porównywania zróżnicowania wykorzystywać pozycyjny współczynnik zmienności: Q VQ = Me dr Michał Trzęsiok
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Miary statystyczne
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
dr Michał Trzęsiok
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Kierunek asymetrii
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
Miary statystyczne
Miary asymetrii: współczynnik asymetrii Pearsona
γ=
x¯ − D s(x)
γ jest miarą hybrydową, klasyczno–pozycyjną γ stosujemy tylko dla rozkładów jednomodalnych γ = 0 – rozkład symetryczny γ > 0 – rozkład o asymetrii prawostronnej γ < 0 – rozkład o asymetrii lewostronnej im γ bliższe wartości 0, tym asymetria słabsza, im dalsze 0, tym silniejsza
dr Michał Trzęsiok
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Miary statystyczne
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
Zestandaryzowany moment centralny trzeciego rzędu λ3 (x) =
M3 (x) (s(x))3
gdzie M3 (x) =
N 1 X (xi − x¯)3 N i=1
M3 (x) =
k 1 X (xi − x¯)3 ni N i=1
M3 (x) ≈
k 1 X (ˆ xi − x¯)3 ni N i=1
dr Michał Trzęsiok
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Miary statystyczne
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
Zestandaryzowany moment centralny trzeciego rzędu
λ3 (x) =
M3 (x) (s(x))3
λ3 jest miarą klasyczną λ3 (x) = 0 – rozkład symetryczny λ3 (x) > 0 – rozkład o asymetrii prawostronnej λ3 (x) < 0 – rozkład o asymetrii lewostronnej im λ3 (x) bliższe wartości 0, tym asymetria słabsza, im dalsze 0, tym silniejsza
dr Michał Trzęsiok
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Miary statystyczne
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
Pozycyjny współczynnik asymetrii (Yule’a–Kendalla)
A=
(Q0,75 − Me) − (Me − Q0,25 ) Q0,75 − Q0,25
A jest miarą pozycyjną A ∈ h−1, 1i A = 0 – rozkład symetryczny A > 0 – rozkład o asymetrii prawostronnej A < 0 – rozkład o asymetrii lewostronnej im A bliższe wartości 0, tym asymetria słabsza, im dalsze 0, tym silniejsza
dr Michał Trzęsiok
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Miary statystyczne
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ!
dr Michał Trzęsiok
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
Miary statystyczne
Podział miar statystycznych Miary położenia Miary rozproszenia Miary asymetrii
Statystyka – Wykład 2.
Miary statystyczne dr Michał Trzęsiok
[email protected] Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Katedra Analiz Gospodarczych i Finansowych
12 października 2015 r. dr Michał Trzęsiok
Wykład 2. — Statystyka: miary statystyczne
