transformacja przy 2 pktach dostosowania

Transformacja współrzędnych przy dwóch punktach dostosowania Transformacja wzorami prof. S. Hausbrandta

W praktyce występuje zagadnienie przeliczenia (transformacji) współrzędnych punktów z jednego układu (pierwotnego) x, y na drugi układ (wtórny) XY w oparciu o tylko dwa punkty dostosowania, to jest P i Q, których współrzędne znane są w obu układach. x X 1 Q

P n a

2 b Y y

Cyframi 1, 2, ..., n oznaczono punkty o znanych współrzędnych tylko w układzie pierwotnym x y. Do transformacji współrzędnych w tym przypadku stosujemy wzory, które w ujęciu form rachunkowych S. Hausbrandta posiadają następującą postać

2

(∆X , ∆Y ) =

(u, w) =

∆x ∆y u

(5.196)

w 1, 2

∆xPQ

∆y PQ

∆X PQ

∆YPQ

[1, 2 ]

(5.197)

Obliczenie współczynników u, w kontrolujemy, realizując wzór (5.196) dla róŜnic współrzędnych pomiędzy punktami dostosowania P i Q. RóŜnice ∆X i ∆Y obliczone wzorem (5.196) powinny być identyczne z róŜnicami obliczonymi ze współrzędnych. Po obliczeniu współczynników u, w przeliczamy wzorem (5.196) róŜnice współrzędnych ∆x i ∆y na róŜnicę współrzędnych ∆X i ∆Y, a następnie obliczamy współrzędne wszystkich punktów w układzie XY stosując metodę poligonową. Jeśli ciąg obliczeniowy wychodzący z jednego punktu oparcia kończymy na drugim, to współrzędna obliczona tego punktu powinna być równa współrzędnej danej w granicach dokładności obliczeń. Kontrolę

wykonujemy między innymi

przez transformację

obliczonych współrzędnych z układu wtórnego na układ pierwotny wykorzystując te same punkty dostosowania oraz analogiczne do (5.196) i (5.197) wzory:

3

(∆x, ∆y ) =

(u′, w′) =

∆X u′

∆Y w′ 1, 2

∆X PQ

∆YPQ

∆xPQ

∆y PQ

(5.198) [1, 2 ]

(5.199)

Transformacja z wykorzystaniem wzoru macierzowego

W opracowaniu [44] wyprowadzone są następujące wzory na transformację róŜnic współrzędnych z układu pierwotnego na wtórny ∆X = s cosϕ ∆x – s sinϕ ∆y ∆Y = s sinϕ ∆x + s cosϕ ∆y

(5.200)

gdzie ∆X, ∆Y – róŜnice współrzędnych w układzie wtórnym, s – współczynnik skali, ϕ - kąt skrętu układów zawarty między osiami x oraz X układów współrzędnych.

Współczynnik skali definiowany jest pierwotnie wzorem

s=

dw dp

(5.201)

4

gdzie:

d p , d w - długość odcinka obliczona ze współrzędnych punktów dostosowania w układzie pierwotnym i wtórnym.

ϕ = Aw − Ap

(5.202)

gdzie

Ap , Aw - azymuty odcinka, w obu ukłądach, łączącego punkty dostosowania. Parametry s i ϕ moŜemy takŜe wyrazić innymi związkami; jeśli oznaczymy

s sin ϕ = a

s cos ϕ = b

(5.203)

Wprowadzając (5.203) do (5.200) uzyskujemy nową formę tych wzorów: ∆X = b ∆x – a ∆y ∆Y = a ∆x + b ∆y

(5.206)

W praktyce, współczynniki a oraz b wyznacza się w oparciu o znane

róŜnice

współrzędnych

punktów

dostosowania

tj.

∆X AB , ∆YAB , ∆x AB i ∆y AB , wprowadzone do układu (5.206), który podamy w nowej formie

− ∆y AB ⋅ a + ∆x AB ⋅ b = ∆X AB ∆x AB ⋅ a + ∆y AB ⋅ b = ∆YAB Układ ten rozwiąŜemy wzorami wyznacznikowymi:

(5.207)

5

W=

a=

− ∆y AB

∆x AB

∆x AB

∆y AB

∆X AB

∆x AB

∆YAB

∆y AB W

(5.208)

− ∆y AB b= ;

∆X AB

∆x AB ∆YAB W

(5.209)

Transformacja współrzędnych w oparciu o 2 punkty dostosowania w praktyce jest stosowana przy obliczaniu współrzędnych punktów pomierzonych metodą rzędnych i odciętych. W tym przypadku współrzędne kolejnych punktów naleŜy liczyć w systemie ciągu wychodzącego z p. A i zakończonego w p. B tak, jak to zaznaczono na rysunku 5.32 linią ciągłą, stosując wzory w formie macierzowej:

 X i   X i −1  b − a  ∆xi −1, i  Y  = Y  + a  ∆y  b   i −1, i   i   i −1  

(5.210)

6

x

X XB

xB B

2 x4 y4

x3

y2

y3

1

4

x2

y1

3 x1

XA

A Y YA

YB

y

Poligon wyznaczający kolejność liczenia transformowanych współrzędnych punktów

7

Transformacja współrzędnych prostokątnych płaskich sposobem Helmerta Sposób klasyczny W przypadku, jeśli liczba punktów dostosowania jest większa od 2, to stosujemy między innymi transformację czteroparametrową Helmerta, której zasada polega na wyrównaniu metodą najmniejszych kwadratów róŜnic vx i vy (między znanymi współrzędnymi punktów dostosowania X, Y

a ich współrzędnymi otrzymanymi po

transformacji Xt, Yt)

[v ] = [v 2 p

2 x

+ v y2 ] = min .

Procedura rachunkowa transformacji Helmerta wg S. Hausbrandta: 1. Obliczenie współrzędnych bieguna przekształcenia B – średnia arytmetyczna ze współrzędnych punktów dostosowania

x1 + x 2 + ... + x n n X + X 2 + ... + X n XB = 1 n

xB =

2. Obliczenie

w

obu

układach

y1 + y 2 + ... y n n Y + Y2 + ... + Yn YB = 1 n

yB =

przyrostów

współrzędnych

pomiędzy poszczególnymi punktami dostosowania a biegunem

8

∆x B −1 = x1 − x B

∆y B −1 = y1 − y B

∆X B −1 = X 1 − X B

∆x B − 2 = x 2 − x B

∆YB −1 = Y1 − YB

∆y B − 2 = y 2 − y B

∆X B − 2 = X 2 − X B

∆YB − 2 = Y2 − YB

∆x B − n = x n − x B

∆y B − n = y n − y B

∆X B − n = X n − X B

∆YB − n = Yn − YB

3. Zestawienie formy rachunkowej i obliczenie współczynników przekształcenia u, w

(u, v ) =

∆x B −1 ∆X B −1

∆y B −1 ∆x B − 2 ∆YB −1 ∆X B − 2

∆y B − 2 ... ∆x B − n ∆YB − 2 ... ∆X B − n

∆y B − n ∆YB − n

4. Obliczenie w układzie pierwotnym przyrostów współrzędnych pomiędzy

poszczególnymi

parami

sąsiednich

punktów

rozpoczynając od bieguna B sposobem ciągu poligonowego i kończąc na biegunie B. W związku z tym suma przyrostów powinna być równa zero.

∆x P − N = x N − x P

∆y P − N = y N − y P

5. Obliczenie w układzie wtórnym przyrostów współrzędnych pomiędzy

poszczególnymi

parami

sąsiednich

punktów

rozpoczynając od bieguna B sposobem ciągu poligonowego i kończąc na biegunie B. W związku z tym suma przyrostów powinna być równa zero.

g=

∆x P − N

∆y P− N

u

v

;

∆X P− N = g1 ; ∆YP− N = g 2

9

6. Obliczenie w układzie wtórnym współrzędnych wszystkich punktów według wzoru:

X N = X P + ∆X P − N

Przy

transformacji

YN = YP + ∆YP − N

Helmerta

powstaje

problem

wyboru

współrzędnych punktów dostosowania, gdyŜ posiadają one podwójne wartości:

przed

i

po

transformacji. Zwykle pozostawia się

współrzędne dotychczasowe, czyli te sprzed transformacji, ale wówczas naleŜy liczyć się z tym, Ŝe deformuje się sieć utworzoną z przetransformowanych punktów. Aby zminimalizować tę deformację, do współrzędnych pierwotnych wszystkich punktów (z wyjątkiem punktów dostosowania) wprowadza się tzw. poprawki Hausbrandta liczone wzorami:

VX j =

(r V )

n ∑ ji Xi i =1 n ∑ ji i =1

r

;

VYj =

(r V )

n ∑ ji Yi i =1 n ∑ ji i =1

r

(5.228)

gdzie

rji =

1 1 = d 2ji ( X i − X j ) 2 + (Yi − Y j ) 2

rji – waga (i = 1, 2, ... , n), n – liczba punktów dostosowania, j – numer transformowanego punktu sieci pierwotnej.

(5.229)

10

Ostateczne wartości współrzędnych transformowanych punktów sieci pierwotnej (z pominięciem punktów dostosowania) wyrazimy zatem wzorami:

X j = X j + VX j

,

Y j = Y j + VY j

(5.230)

Elementy przyjęte do liczenia wag i ich oznaczenia zastosowane we wzorach (5.228) i (5.229) zilustrowano na rysunku

1

n 11

d j1

d jn j

d j3

d j2

3

2

- punkty dostosowania - transformowany punkt sieci pierwotnej

Ocena dokładności

mx =

[v x v x ]

my =

n

m P = m x2 + m 2y

∑ (v xi + v yi ) mt = 0,71 n−2 2

2

[v v ] y

n

y