Zad. 1. Rys. 1. Model ideowy dla zadanego schematu k1 k2 k3 k4 q 1.1. Wzór ogólny na sztywność zastępczą w kierunku współrzędnej q dla zadanego schema...
8 downloads
17 Views
682KB Size
Zad. 1. Rys. 1. Model ideowy dla zadanego schematu
q
k3 k1
k2
k4
1.1. Wzór ogólny na sztywność zastępczą w kierunku współrzędnej q dla zadanego schematu Tok postępowania: • najpierw należy wyznaczyć sztywność zastępczą więzi k3 oraz k4 – połączenie szeregowe, • następnie k1, k2 oraz kz(k3, k4) – połączenie równoległe Stąd:
1 1 1 = + k z1 k 3 k 4 k z1 =
k3 * k 4 k3 + k4
k = k 1 + k 2 + k z1 k = k1 + k 2 +
k3 * k4 k3 + k 4
czyli sztywność więzi zastępczej jest równa
k = k1 + k 2 +
k3 * k 4 k3 + k 4
1.2. Wzór ogólny na sztywność zastępczą w kierunku współrzędnej q w punkcie A
W przypadku gdy współrzędną uogólnioną q przyjmie się w punkcie A, zmianie podlega kolejność sumowania: • najpierw należy wyznaczyć sztywność zastępczą więzi k1 oraz k2 – połączenie równoległe, • następnie k3 oraz kz(k1, k2) – połączenie szeregowe, • następnie k4 oraz kz(k1, k2, k3) – połączenie równoległe
1
Rys. 2. Model ideowy dla zadanego schematu – współrzędna dynamiczna w punkcie A
q
k3 k4
k1
k2
k z1 = k 1 + k 2 1 1 1 = + k z 2 k z1 k 3 k z2 =
k 3 * (k1 + k 2 ) k1 + k 2 + k 3
k = k4 + k z2 k = k4 +
k 3 * (k1 + k 2 ) k1 + k 2 + k 3
Stąd sztywność więzi zastępczej, gdy współrzędną uogólnioną przyjęto w punkcie A, wynosi k = k4 +
k 3 * (k1 + k 2 ) k1 + k 2 + k 3
2
Zad. 2. Rys. 1. Schemat dynamiczny z przyjętą współrzędną uogólnioną - q F0*sin(pt) m
q k
k
k/5
2.1. Wyznaczenie sztywności układu na kierunku współrzędnej uogólnionej
Rys. 2. Reakcje 1 [-]
k
45°
45°
k
k/5
0,5 [-]
0,5 [-]
3
Rys. 3. Rozdział sił na poszczególne więzi sprężyste – równowaga węzłów 1 [-]
45°
0,7071 [-]
0,7071 [-]
45°
0,7071 [-]
0,5 [-]
0,5 [-]
0,5 [-]
•
0,7071 [-]
0,5 [-]
Podatność układu na kierunku współrzędnej uogólnionej
( )( )
− 2 *− 2 − 2 *− 2 2 2 2 2 1 2 * 1 2 1 1 5 9 δ= + = + + = + k k k 2k 2 k 4k 4k 5 •
Sztywność układu na kierunku współrzędnej uogólnionej
~ 9 k = δ −1 = 4k
−1
=
4 k 9
2.2. Równanie ruchu układu m q&&(t ) + c q& (t ) + k q(t ) = F (t )
•
Energia kinetyczna
Ek = • Φ=
1 m q& 2 2
~=m stąd masa modalna wynosi: m
Moc tłumienia 1 2 c q& 2
c~ = 0
stąd tłumienie modalne wynosi:
W analizowanym przykładzie pominięto wpływ tłumienia. 4
•
Praca sił wzbudzających
L = F0 sin ( pt ) * q
stąd siła wzbudzająca na kierunku współrzędnej uogólnionej wynosi: Zatem równanie ruchu ma postać m q&&(t ) +
4 k q(t ) = F0 sin ( pt ) 9
2.3. Określenie strefy strojenia w jakiej pracuje konstrukcja
•
ω= •
Częstość drgań własnych ~ k ~ = m
4 k 9 =2 k m 3 m
Względna częstość wzbudzania
k p η = = m = 1,5 ω 2 k 3 m
η = 1,5 > 1
- konstrukcja pracuje w strefie strojenia niskiego.
2.4. Skomentowanie wyniku
Rys. 4. Współczynnik dynamiczny analizowanego układu
5
F (t ) = F0 sin ( pt )
W analizowanym układzie dynamicznym pomija się wpływ tłumienia, zatem współczynnik dynamiczny układu wyznacza się ze wzoru
ν=
1 1 −η 2
Funkcja ta (por. rys. 4) ma asymptotę pionową w punkcie η = 1, co oznacza sytuację w której p = ω. Taki stan nazywamy rezonansem. Jest to najbardziej niekorzystna sytuacja, w jakiej może znaleźć się projektowana konstrukcja. W stanie rezonansowym w układach, które charakteryzują się pomijalnie małym tłumieniem (np. analizowany układ) amplitudy przemieszczeń wzrastają do nieskończoności (tak jak przedstawia to rys. 4.). Zatem z punktu widzenia projektowania takich konstrukcji nie wolno dopuścić do sytuacji, w której układ pracuje w rezonansie lub przechodzi przez rezonans. Przejście przez rezonans występuje wówczas, gdy robocza częstość wzbudzania p powoduje, że konstrukcja pracuje w strefie strojenia niskiego (czyli tak jak w zadanym przykładzie). Uruchomiona maszyna będąca wzbudnikiem drgań konstrukcji wsporczej uzyskuje częstość roboczą dopiero po pewnym czasie. Zazwyczaj przyjmuje się, że częstość narasta liniowo od zera do ustalonej wartości. W trakcie rozbiegu maszyny w pewnej chwili t nastąpi sytuacja gdzie p =ω
→
η=
p
ω
=1
- rezonans
Zjawisko takie nazywa się procesem przejściowym. Podsumowanie Analizowany układ pracuje w strefie strojenia niskiego, do której aby dotrzeć musiał przejść przez rezonans. Spowodowałoby to wzrost amplitud układu do wartości nieskończenie dużych, co jest niemożliwe w rzeczywistości. W rzeczywistości wszystkie układy materialne charakteryzują się większym lub mniejszym tłumieniem, które w efekcie powoduje, że amplitudy są ograniczone. Jednak mogą one być na tyle duże, że zostaną przekroczone wszelkie wartości dopuszczalne, co z punktu widzenia projektowania konstrukcji budowlanych jest nie do zaakceptowania. 2.5. Wyznaczenie amplitudalnej wartości siły kinetycznej
•
ν= ν=
Współczynnik dynamiczny 1
1 −η 2 1 1 − 1,5 2 •
= 0,8
Siła kinetyczna
γ Q(t ) = k q + q& = ν (Fs − γ η Fc )sin ( p t − ϕ ) + ν (Fc − γ η Fs ) cos( p t − ϕ ) ω
6
k 4,8 EJ Q(t ) = 0,8 * (F0 − 0 ) * sin * t + 0,8 * 0 * cos * t − 1,571 3 m mL k Q(t ) = 0,8 F0 sin * t m
•
Amplituda siły kinetycznej
amQ(t ) = Q S2 + QC2 = ν 1 + γ 2 η 2 amF (t )
amQ(t ) = Q S2 + QC2 =
(0,8F0 )2 + (0)2
= 0,8F0
7
Zad. 3. Dane: m = 400kg T=
π
50 γ = 0,2
s
rad s F0 = 2000 N p = 90
Rozwiązanie: 3.1. Częstość drgań własnych
ω= ω=
2π T 2π
π
= 100
50
rad s
3.2. Sztywność modalna
k m
ω=
k 400 N k = 4 *10 6 m
100 =
3.3. Tłumienie modalne
c=γ km c = 0,2 * 4 *10 6 * 400 = 8000
N *s m
3.4. Równanie ruchu
m q&&(t ) + c q& (t ) + k q(t ) = F0 sin ( p t ) 400 q&&(t ) + 8000 q& (t ) + 4000000 q(t ) = 2000 sin (90 t ) 3.5. Liczba tłumienia
α=
γ 2
=
0,2 = 0,1 2
8
3.6. Częstość drgań swobodnych tłumionych
ω' = ω 1 − α 2 ω ' = 100 1 − 0,12 = 99,499
rad s
3.7. Okres drgań swobodnych tłumionych
2π ω' 2π T'= = 0,06315s 99,499 T'=
3.8. Proporcja okresu drgań swobodnych tłumionych do okresu drgań własnych
2π 1 T ' 2π ω ω * * = = = T ω ' 2π ω 1 − α 2 2π 1−α 2 1 T' = = 1,005 T 1 − 0,12
Okres drgań swobodnych tłumionych jest 1,005 razy większy od okresu drgań własnych 3.9. Względna częstość wzbudzania
η=
p
ω
=
90 = 0,9 < 1 100
⇒
konstrukcja pracuje w strefie strojenia wysokiego
3.10. Współczynnik dynamiczny
ν= ν=
1
(1 − η )
2 2
+ γ 2η 2 1
(1 − 0,9 )
2 2
+ 0,2 0,9 2
= 3,8208 2
3.11. Relacja na q(t)
q(t ) =
ν k
F0 sin ( p t − ϕ )
γη gdzie: ϕ = arctg 2 1 −η
0,2 * 0,9 = arctg = 0,7584rad - opóźnienie fazowe 2 1 − 0,9
9
Stąd 3,8208 * 2000 * sin (90 * t − 0,7584 ) 4000000 q (t ) = 0,0019104 sin (90 t − 0,7584 ) q (t ) =
Amplituda przemieszczenia wynosi amq(t ) =
ν k
* F0 =
3,8208 * 2000 = 0,0019104 m 4000000
3.12. Siła kinetyczna dla hipotezy Viogt’a-Kelvina
γ Q(t ) = k q + q& = ν (Fs − γ η Fc )sin ( p t − ϕ ) + ν (Fc − γ η Fs ) cos( p t − ϕ ) ω Q(t ) = 3,8208 * (2000 − 0,2 * 0,9 * 0) * sin (90 * t − 0,7584) + + 3,8208 * (0 − 0,2 * 0,9 * 2000) cos(90 * t − 0,7584 ) Q(t ) = 7641,6 sin (90t − 0,7584 ) + 1375,488 cos(90t − 0,7584) Amplituda siły kinetycznej amQ(t ) = QS2 + QC2 = ν 1 + γ 2 η 2 amF (t ) amQ(t ) = 3,8208 * 1 + 0,2 2 * 0,9 2 * 2000 = 7764,407 N
lub amQ(t ) = Q S2 + QC2 = 7641,6 2 + 1375,488 2 = 7764,407 N
10
Zad. 4. Dane: m = 1600kg EJ = 3 *10 8 Nm 2 L = 8m N *s c = 22 * 10 3 m EJ k = 48 3 L f ' = 4 Hz t1 = 5 s q1 = q(t1 ) = 2 µm
Rozwiązanie: Schemat dynamiczny przyjęto na podstawie relacji na sztywność modalną, tj. k = 48 sztywność belki swobodnie podpartej w środku rozpiętości, stąd Rys. 1. Przyjęty schemat dynamiczny
c m EJ
q
L/2
L/2
4.1. Równanie ruchu
3 *10 8 N k = 48 = 28125000 3 m 8 m q&&(t ) + c q& (t ) + k q(t ) = 0 1600 q&&(t ) + 22000 q& (t ) + 28125000 q(t ) = 0
11
EJ - jest to L3
4.2. Częstość drgań własnych
ω=
k = m
28125000 rad = 132,5825 1600 s
4.3. Liczba tłumienia
α=
c 2 k *m
=
22000 2 28125000 * 1600
= 0,05185
4.4. Częstość drgań tłumionych
ω ' = ω 1 − α 2 = 132,5825 1 − 0,05185 2 = 132,4042
rad s
4.5. Częstotliwość drgań tłumionych
f '=
ω ' 132,4042 = = 21,0728Hz 2π 2π
UWAGA !!! Zachodzi niespójność w danych. W tym zadaniu częstotliwość drgań tłumionych obliczona na podstawie wzorów daje wynik
f '= 21,0728Hz natomiast częstotliwość podana w treści zadania jest równa
f '= 4 Hz Prawdopodobnie autor zadania niedokładnie przyjął dane do obliczeń. Dalsze obliczenia wykonano dla częstotliwości podanej w treści zadania !!! 4.6. Okres drgań swobodnych tłumionych
T'=
1 1 = = 0,25s f' 4
4.7. Liczba cykli od chwili początkowej do chwili t1
n=
t1 − t 0 5 − 0 = = 20 0,25 T'
12
4.8. Logarytmiczny dekrement tłumienia. Amplituda przemieszczenia w chwili początkowej
1
q
ϑ = ln 0 = α ω T ' n q1 1 q0 ln = 0,05185 *132,5825 * 0,25 20 2 q 0 = 2 * e 34,372 = 1,6928 *1015 µm Stąd amplituda przemieszczenia w chwili początkowej wynosi
q 0 = 2 * e 34,372 = 1,6928 *1015 µm = 1,6928 * 10 9 m jest to wartość dramatycznie nierzeczywista, jednak taka wychodzi z obliczeń
13
Zad. 5. Dane:
ν = 20 ν F = 20,02 Rozwiązanie: Dla wymuszenia harmonicznego, przy założeniu hipotezy tłumienia Voigt’a-Kelvina otrzymuje się relację pomiędzy współczynnikiem dynamicznym a współczynnikiem dynamicznym siłowym
ν F =ν 1+ γ 2 η 2 Stąd:
ν F =ν 1+ γ 2 η 2
ν F2 = ν 2 (1 + γ 2 η 2 ) ν F2 −1 = γ 2 η 2 ν2 γη = ± γ =±
ν F2 −1 ν2
1 ν F2
η ν2
−1
Wartość bezwymiarowego współczynnika tłumienia nie może być ujemna, zatem do obliczeń przyjęto
γ =
γ =
1
η
1 ν F2
η ν2
−1
20,02 2 0,0447325 −1 = 2 η 20
Natomiast współczynnik dynamiczny, w przypadku gdy uwzględnia się tłumienie, oblicza się według wzoru
ν=
1
(1 − η )
2 2
14
+ γ 2η 2
Stąd 1
20 =
(1 − η )
2 2
η = −1,01111
2
0,0447325 2 η + η ∪ η = −0,988768
∪
η = 0,988768
∪
η = 1,01111
Względna częstość wzbudzania może być tylko dodatnia, stąd do obliczeń przyjęto
η = 0,988768
∪
η = 1,01111
Zatem wartości bezwymiarowych współczynników tłumienia w zależności od stref strojenia wynoszą odpowiednio
γ =
0,0447325 = 0,04524 0,988768
γ =
0,0447325 = 0,0447325 - dla rezonansu 1
γ =
0,0447325 = 0,04424 1,01111
- dla strefy wysokiego strojenia
- dla strefy niskiego strojenia
Rys. 1. Współczynnik dynamiczny ν w funkcji względnej częstości wzbudzania
15
Zad. 6. Dane: m, L, EJ = const., EA = ∞, F0, c =
EJ 24mEJ , p= ξ 3 125 L mL3
Rys. 1. Schemat dynamiczny z przyjętą współrzędną uogólnioną
8
L
EJ = const. EA =
m
q
c
F0
L
pt
L
6.1. Wyznaczenie sztywności układu na kierunku współrzędnej uogólnionej
Rys. 2. Układ podstawowy metody sił
8
L
EJ = const. EA =
X
L
X
L
16
Q
Rys. 3. Rozwiązanie UP od Q = 1 [-] L L
MQ
Q = 1 [-]
Rys. 4. Rozwiązanie UP od X = 1 [-]
L L
MX X = 1 [-]
X = 1 [-]
L
L
17
3 2 1 1 2 8 L3 10 L3 1 2L + = * L * L * * L * 2 + * 2L * 2L * * 2L = 3 EJ 2 3 2 3EJ 3EJ 3EJ 1 1 L 2 (− L * L − 4 *1,5L * L − 2 L * L ) = = δ XQ = * L * L * * (− L ) * 3 + EJ 2 3 6 EJ
δ QQ = δ QX =−
δ XX
1 EJ
L3 L3 L3 − 1,5 = −2,5 EJ EJ EJ 1 1 2 L3 L3 2 L3 1 (L * L * L ) = + = = * L * L * * L *3 + 3 EJ 2 EJ EJ EJ EJ
•
Podatność układu na kierunku współrzędnej uogólnionej −1
δ = δ QQ − δ QX * δ •
−1 XX
* δ XQ
L3 L3 L3 L3 10 L3 * 2 * − 2,5 = 0,208333 = − − 2,5 EJ EJ EJ EJ 3EJ
Sztywność układu na kierunku współrzędnej uogólnionej
k =δ
−1
L3 = 0,208333 EJ
−1
= 4,8
EJ L3
6.2. Równanie ruchu m q&&(t ) + c q& (t ) + k q(t ) = F (t )
•
Energia kinetyczna
Ek = • Φ= •
1 m q& 2 2
~=m stąd masa modalna wynosi: m
Moc tłumienia 1 2 c q& 2
c~ = c =
stąd tłumienie modalne wynosi:
24mEJ 125 L3
Praca sił wzbudzających
L = F0 sin ( pt ) * q stąd siła wzbudzająca na kierunku współrzędnej uogólnionej wynosi: Zatem równanie ruchu ma postać m q&&(t ) +
EJ 24mEJ q& (t ) + 4,8 3 q(t ) = F0 sin ( pt ) 3 L 125 L
18
F (t ) = F0 sin ( pt )
6.3. Określenie przedziału wartości ξ dla ν = 4
•
Częstość drgań własnych k = m
ω= •
EJ 4,8 EJ = 2,1909 3 mL mL3
Względna częstość wzbudzania
ξEJ η=
p
ω
•
mL3 = 4,8 EJ mL3
=
km
•
4,8
Bezwymiarowy współczynnik tłumienia
c
γ =
ξ
24mEJ 125 L3 = 4,8mEJ L3
=
24 = 0,2 4,8 * 125
Szukane wartości 1
ν=
(1 − η )
2 2
+ γ 2η 2 1
4=
2
ξ ξ 1 − + 0,2 2 * 4,8 4,8 ξ = 3,97763 ∪ ξ = 5,43037 Stąd współczynnik dynamiczny ν = 4 dla wartości
ξ = 3,97763
⇒
η=
3,97763 = 0,9103 < 1 - strefa wysokiego strojenia 4,8
ξ = 5,43037
⇒
η=
5,43037 = 1,0636 > 1 - strefa niskiego strojenia 4,8
6.4. Relacja na q(t)
•
q(t ) =
W strefie wysokiego strojenia
ν k
F0 sin ( p t − ϕ )
19
γη gdzie: ϕ = arctg 2 1 −η
0,2 * 0,9103 = arctg = 0,8157 rad - opóźnienie fazowe 2 1 − 0,9103
Stąd 3,97763EJ 4 * F0 * sin * t − 0,8157 3 4,8EJ mL 3 L 3,97763EJ F L3 q(t ) = 0,8333 0 sin * t − 0,8157 3 EJ mL
q(t ) =
Amplituda przemieszczenia wynosi
ν
F0 L3 4 * F0 = 0,8333 amq(t ) = * F0 = 4,8EJ k EJ 3 L •
W strefie niskiego strojenia
Jeżeli przechodzi się przez rezonans należy przyjąć współczynnik dynamiczny jak dla stanu rezonansowego, stąd
ν =ν r = ν=
1
γ
1 =5 0,2
Zatem
q(t ) =
ν k
F0 sin ( p t − ϕ )
γη gdzie: ϕ = arctg 2 1 −η
0,2 * 1 lim π = arctg → rad = 1,571rad - opóźnienie fazowe 2 2 1−1
Stąd 4,8EJ 5 * F0 * sin * t − 1,571 3 4,8EJ mL 3 L 4,8EJ F0 L3 q(t ) = 1,041666 t − sin * 1 , 571 3 EJ mL
q(t ) =
20
Amplituda przemieszczenia wynosi
ν
F0 L3 5 * F0 = 1,041666 amq(t ) = * F0 = 4,8 EJ k EJ 3 L
6.5. Siła kinetyczna dla hipotezy Viogt’a-Kelvina
•
W strefie wysokiego strojenia
γ Q(t ) = k q + q& = ν (Fs − γ η Fc )sin ( p t − ϕ ) + ν (Fc − γ η Fs ) cos( p t − ϕ ) ω 3,97763EJ Q(t ) = 4 * (F0 − 0,2 * 0,9103 * 0) * sin * t − 0,8157 + 3 mL 3,97763EJ + 4 * (0 − 0,2 * 0,9103 * F0 ) * cos * t − 0,8157 3 mL 3,97763EJ 3,97763EJ Q(t ) = 4 F0 sin t F t − − − * 0 , 8157 0 , 72824 cos * 0 , 8157 0 3 3 mL mL Amplituda siły kinetycznej amQ(t ) = Q S2 + QC2 = ν 1 + γ 2 η 2 amF (t ) amQ(t ) = 4 * 1 + 0,2 2 * 0,9103 2 * F0 = 4,0658 F0
lub amQ(t ) = Q S2 + QC2 =
•
(4 F0 )2 + (0,72824 F0 )2
= 4,0658 F0
W strefie niskiego strojenia
Jeżeli przechodzi się przez rezonans należy przyjąć współczynnik dynamiczny jak dla stanu rezonansowego, stąd
ν =ν r = ν=
1
γ
1 =5 0,2
21
Zatem
γ Q(t ) = k q + q& = ν (Fs − γ η Fc )sin ( p t − ϕ ) + ν (Fc − γ η Fs ) cos( p t − ϕ ) ω 4,8 EJ Q(t ) = 5 * (F0 − 0,2 *1 * 0) * sin * t − 1,571 + 3 mL 4,8 EJ + 5 * (0 − 0,2 *1 * F0 ) * cos * t − 1,571 3 mL 4,8 EJ 4,8 EJ Q(t ) = 5 F0 sin * t − 1,571 − F0 cos * t − 1,571 3 3 mL mL Amplituda siły kinetycznej amQ(t ) = Q S2 + QC2 = ν 1 + γ 2 η 2 amF (t ) amQ(t ) = 5 * 1 + 0,2 2 * 12 * F0 = 5,1 F0
lub amQ(t ) = Q S2 + QC2 =
(5F0 )2 + (F0 )2
= 5,1F0
6.6. Momenty zginające w układzie rzeczywistym
Rys. 5. Wykres momentów zginających w układzie rzeczywistym od Q = 1 [-] 0,25L 0,25L
Mrz Q = 1 [-]
0,25L
0,75L
22
Momenty dynamiczne wyznaczono z zasady superpozycji:
amM = amQ * M rz
Rys. 6. Wykres momentów dynamicznych – strefa wysokiego strojenia
1,01645 1,01645
amM [F0L] 1,01645
3,04935
amQ
1,01645
3,04935
Rys. 7. Wykres momentów dynamicznych – strefa niskiego strojenia 1,275
1,275
amM [F0L] 1,275
3,825
1,275
3,825
23
amQ
Zad. 7. Współczynnik dynamiczny dla układu nietłumionego wyznacza się ze wzoru
ν nt =
1
(1 − η )
2 2
natomiast dla układu tłumionego ze wzoru
νt =
1
(1 − η )
2 2
+ γ 2η 2
Stąd
ν nt = 5 ν t 1
5
=
(1 − η ) (1 − η ) + γ η (1 − η ) + γ η = 5(1 − η ) (1 − η ) + γ η = 5(1 − η ) − 4(1 − η ) + γ η = 0 − 4η + (8 + γ )η − 4 = 0 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
/2
2 2
2
2
2
2
2 2
2
2 2
4
2
2
2
Wprowadzając nową zmienną otrzymuje się równanie kwadratowe
η2 = t
(
⇔
)
t ≥ 0∪t ∈R
− 4t 2 + 8 + γ 2 t − 4 = 0 ∆ = γ 4 + 16γ 2 Rozpatrzyć należy trzy przypadki: ∆ < 0 - brak pierwiastków rzeczywistych ∆ = 0 - jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty ∆ > 0 - dwa pierwiastki rzeczywiste
γ 4 + 16γ 2 = 0 γ =0
∪
γ 2 + 16 = 0
czyli ∆ < 0 - zbiór pusty ∆≥0
⇔
γ ∈ (− ∞; ∞ )
∪
γ ≥0
stąd γ ∈ [0; ∞ ) 24
Dla γ ∈ [0; ∞ ) zachodzi ∆ ≥ 0 , stąd równanie kwadratowe ma pierwiastki rzeczywiste
t=
8 + γ 2 + γ 4 + 16γ 2 8
∪
t=
8 + γ 2 − γ 4 + 16γ 2 8
Powracamy zatem do pierwotnego równania
(
)
− 4η 4 + 8 + γ 2 η 2 − 4 = 0
η2 = t
⇔
t ≥ 0∪t ∈R
stąd 8 + γ 2 + γ 4 + 16γ 2 t1 = ≥0 8
∪
8 + γ 2 − γ 4 + 16γ 2 t2 = ≥0 8
Wykresy pierwiastków t1 oraz t2 w zależności od γ przedstawiono poniżej
Wynika z nich, że poczynione założenie t ≥ 0 ∪ t ∈ R jest spełnione w dziedzinie γ ∈ [0; ∞ ) zatem poszukiwanym rozwiązaniem równania − 4η 4 + 8 + γ 2 η 2 − 4 = 0 są pierwiastki
(
η1 = η2 = − η3 =
)
8 + γ 2 + γ 4 + 16γ 2 8 8 + γ 2 + γ 4 + 16γ 2 8 8 + γ 2 − γ 4 + 16γ 2 8
8 + γ 2 − γ 4 + 16γ 2 η4 = − 8 Jednak względna częstość wzbudzania nie może być ujemna stąd możliwe są tylko dwa pierwiastki z przedstawionych czterech, tj. η1 oraz η3.
25
Wartość pierwiastka η1 w całej dziedzinie γ ∈ [0; ∞ ) jest większa od jedynki co odpowiada strefie niskiego strojenia, natomiast wartość pierwiastka η3 w całej dziedzinie γ ∈ [0; ∞ ) jest mniejsza od jedynki co odpowiada strefie wysokiego strojenia (co należało przedstawić). Poniżej zamieszczono wykresy rozwiązań
26
Zad. 8. Do wyznaczenia równania ruchu układu posłużono się metodą przemieszczeń Rys. 1. Analizowany schemat dynamiczny
c
m EJ
EJ F0 pt L
L
8.1. Stopień geometrycznej niewyznaczalności
ng = nφ + nδ nφ = 1 - liczba węzłów sztywnych w układzie mających swobodę obrotu Rys. 2. Schemat kinematyczny 1
2
nδ = 2w – p – r = 2*3 – 2 – 2 = 2 ng = 1 + 2 = 3 ng = 3 - stopień geometrycznej niewyznaczalności układu Rys. 3. Układ podstawowy metody przemieszczeń
3 EJ
EJ
1 L
L
27
2
8.2. Przyjęcie współrzędnych uogólnionych Lagrange’a
Współrzędne uogólnione przyjęto na podstawie jednostkowych planów przemieszczeń. Rys. 4. Stan jednostkowy δ1 = 1 [-]
Rys. 5. Stan jednostkowy δ2 = 1 [-]
Rys. 6. Stan jednostkowy φ3 = 1 [-]
Ze stanów jednostkowych wynika, że należy przyjąć współrzędne uogólnione w miejscu i na kierunku więzi 1 oraz 2, natomiast kierunek więzi 3 stanowi nadliczbową niewiadomą geometryczną. Rys. 7. Schemat dynamiczny ze współrzędnymi uogólnionymi
x3
c
m EJ
EJ
q1 F0 pt L
L
28
q2
8.3. Wyznaczenie macierzy sztywności układu
Rys. 8. Wykres momentów zginających – stan jednostkowy q1 = 1 [-]
Rys. 9. Wykres momentów zginających – stan jednostkowy q2 = 1 [-]
Rys. 10. Wykres momentów zginających – stan jednostkowy x3 = 1 [-]
(
)
EJ EJ 1 EJ EJ 1 k 11 = −∑ M 1ij + M 1ji ⋅ ψ1ij + ∑ k s ⋅ ∆L1s ⋅ ∆L1s = − − 6 2 − 6 2 − 3 2 + 0 − = 15 3 L L L L L L ij s
(
)
EJ EJ EJ EJ 1 k 12 = k 21 = −∑ M 1ij + M 1ji ⋅ ψ ij2 + ∑ k s ⋅ ∆L1s ⋅ ∆L2s = − − 6 2 − 6 2 * 0 − 3 2 + 0 = −3 3 L L L L L ij s k 13 = k 31 = ∑ M 13j = −6 j
(
EJ EJ EJ + 3 2 = −3 2 2 L L L
)
EJ EJ 1 k 22 = −∑ M ij2 + M 2ji ⋅ ψ ij2 + ∑ k s ⋅ ∆L2s ⋅ ∆L2s = − − 3 2 + 0 = 3 3 L L L ij s EJ k 23 = k 32 = ∑ M 3j2 = −3 2 L j EJ EJ EJ +3 +0=7 k 33 = ∑ M 33j + k ϕ = 4 L L L j
Macierz sztywności w bazie poszerzonej ma postać EJ EJ EJ 15 L3 - 3 L3 − 3 L2 ( EJ EJ K qq K qx EJ −3 2 = 3 3 K = -3 3 L K xq K xx L L − 3 EJ − 3 EJ 7 EJ L2 L L2
29
Redukcja macierzy sztywności K = K qq − K qx ⋅ K −xx1 ⋅ K xq
EJ 15 L3 K = EJ - 3 3 L
EJ EJ −1 −3 L3 − L2 * 7 EJ * − 3 EJ L2 EJ EJ 3 3 − 3 2 L L L
-3
EJ 13,7143 L3 K = EJ − 4,28571 3 L
96 EJ 3 EJ − 3 2 = 7L L − 30 EJ 7 L3
30 EJ 7 L3 12 EJ 7 L3
−
EJ L3 EJ 1,71429 3 L
− 4,28571
8.4. Wyznaczenie macierzy bezwładności
Macierz bezwładności w przyjętej bazie współrzędnych uogólnionych ma postać m 0 B= 0 0
- jest macierzą osobliwą
8.5. Wyznaczenie macierzy tłumienia
Macierz tłumienia w przyjętej bazie współrzędnych uogólnionych ma postać 0 0 C= 0 c
- jest macierzą osobliwą
8.6. Wyznaczenie wektora wzbudzania
Wektor wzbudzania w przyjętej bazie współrzędnych uogólnionych ma postać F cos( pt ) F (t ) = 0 0 8.7. Macierzowe równanie ruchu układu EJ m 0 q&&1 0 0 q&1 13,7143 L3 0 0 q&& + 0 c q& + 2 2 − 4,28571 EJ L3
EJ L3 q1 = F0 cos( pt ) EJ 0 1,71429 3 q 2 L
− 4,28571
30
8.8. Wyznaczenie częstości drgań własnych
Ze względu na osobliwość macierzy bezwładności częstości własne wyznaczono metodą pośrednią – poprzez macierz podatności. Równanie drgań własnych ma postać EJ EJ − 4,28571 3 q 0 m 0 q&&1 13,7143 L3 1 L = 0 0 q&& + EJ EJ 2 − 4,28571 1,71429 3 q 2 0 L3 L Stąd −1 EJ EJ − 13 , 7143 4 , 28571 L3 L3 m 0 q&&1 + q1 = 0 && EJ EJ − 4,28571 3 1,71429 3 0 0 q 2 q 2 0 L L 3 3 L 5L m 0 q&&1 q1 0 + = 3EJ3 6 EJ3 8L 0 0 q&&2 q 2 0 5L 6 EJ 3EJ
zakładając rozwiązanie harmoniczne uzyskuje się równanie zagadnienia własnego L3 1 0 det − ω 2 3EJ3 0 1 5L 6 EJ mL3 1−ω2 =0 3EJ
5L3 6 EJ m 0 = 0 8L3 0 0 3EJ
Poszukiwaną częstość drgań własnych wyznacza się z powyższego równania kwadratowego przyjmując tylko i wyłącznie nieujemne wartości. Stąd
ω=
3EJ EJ = 1,732 3 mL mL3
31
Zad. 9. Dane: ρ, a, k∆, F0, c = k ∆ ρ a 2 , p = ω Rys. 1. Schemat dynamiczny z przyjęta współrzędną uogólnioną - q 4k∆ 3ρ
a
2,5k∆
1,5k∆
q pt F0
c
a
ρ
a
a
9.1. Bilans energetyczny układu. Równanie ruchu
Rys. 2. Plan przemieszczeń – kolor zielony to FORMA DRGAŃ WŁASNYCH F''
E'' F' E'
E
F
a
3ρ
G''
G'
A''
G
A
D'' D
A'
D'
a
ρ C'' C
a
B'' B
C'
a
32
B'
Rys. 3. Biegunowy plan przemieszczeń obróconych
E''
q
F''
G''
q
A'', B'', C'', D''
O
q •
Energia kinetyczna
2 2 2 1 1 1 3ρ a 4 a q& 2 2 2 2 2 a + 3ρ a + = E k = ρ a q& + 3ρ a q& + 2 2 a 2 2 2 6 1 1 1 1 1~ 2 = ρ a 2 q& 2 + 3ρ a 2 q& 2 + 2 ρ a 2 q& 2 = 6 ρ a 2 q& 2 = m q& 2 2 2 2 2
Stąd masa modalna układu jest równa: •
~ = 6ρ a 2 m
Moc tłumienia
Prędkość uogólniona na kierunku więzi tłumiącej jest równa
u& c = CC '
1 5
1
=
5
q&
stąd 2
1 1 1 c 2 1~ 2 q& = q& = c q& Φ = c 2 5 2 5 2 Tłumienie modalne układu jest równe:
c c~ = 5
33
•
Energia potencjalna
Sztywność zastępcza więzi sprężystych wynosi 1 1 1 = + k z 4k ∆ 1,5k ∆ + 2,5k ∆ 1 2 = k z 4k ∆
k z = 2k ∆ Przemieszczenia na kierunku więzi sprężystej wynoszą odpowiednio 2 2 q = 2 2 2 2 u E = EE ' * 2q = 2 q = 2 2
u D = DD'
Stąd 2
2 1 1 1 1~ 2 E p = k z (u D − u E ) = 2k ∆ q − 2 q = k ∆ q 2 = k q 2 2 2 2 2 2 Sztywność modalna jest równa: •
~ k = k∆
Praca sił wzbudzających
2 2 GG ' − F0 sin ( pt ) * GG ' = 2 2 2 2 = − F0 cos( pt ) * * 2 q = − F0 cos( pt ) q − F0 sin ( pt ) q = * 2 q − F0 sin ( pt ) * 2 2 = (− F0 cos( pt ) − F0 sin ( pt )) q = F (t ) q L = − F0 cos( pt ) *
Stąd siła wzbudzająca na kierunku współrzędnej uogólnionej ma postać
F (t ) = − F0 cos( pt ) − F0 sin ( pt ) •
Równanie ruchu układu
~ q&&(t ) + c~ q& (t ) + k~ q (t ) = F (t ) m c 6 ρ a 2 q&&(t ) + q& (t ) + k ∆ q(t ) = − F0 cos( pt ) − F0 sin ( pt ) 5
34
9.2. Charakterystyki drgań
•
Drgania własne
Częstość drgań własnych k = m
ω=
k∆ k∆ = 0,4082 2 ρ a2 6ρ a
Okres drgań własnych
T=
2π
ω
= 2π
6ρ a 2 ρ a2 = 15,3906 k∆ k∆
Częstotliwość drgań własnych f =
1 ω 1 = = T 2π 2π
•
k∆ k∆ = 0,06497 2 6ρ a ρ a2
Drgania swobodne tłumione
Liczba tłumienia
k∆ ρ a 2
α=
c 2 k *m
=
k∆ ρ a 2 1 5 = = = 0,0408 2 k ∆ * 6 ρ a 2 10 6k ∆ ρ a 2 10 6
Bezwymiarowy współczynnik tłumienia
γ = 2α = 2 * 0,0408 = 0,0816 Częstość drgań swobodnych tłumionych
ω ' = 1 − α 2 ω = 1 − 0,0408 2
k∆ k∆ = 0,40791 2 ρ a2 6ρ a
Okres drgań swobodnych tłumionych T'=
2π = ω'
2π 0,40791
k∆ ρ a2
= 15,4034
ρ a2 k∆
35
Częstotliwość drgań swobodnych tłumionych k∆ k∆ 1 ω' 1 = = * 0,40791 = 0,06492 2 T ' 2π 2π ρa ρ a2
f '=
Logarytmiczny dekrement tłumienia
ϑ = 2πα = 2π * 0,0408 = 0,25635 •
Drgania wymuszone harmonicznie
Względna częstość wzbudzania
η=
p
ω
=
ω =1 ω
- stan rezonansowy; konstrukcja pracuje w rezonansie (przypadek najbardziej niekorzystny)
Współczynnik dynamiczny
ν=
1
(1 − η )
2 2
+ γ 2η 2
=
1
(1 − 1 )
2 2
+ 0,0816 2 *12
=
1 = 12,2549 0,0816
w tym przypadku jest to wartość rezonansowego współczynnika dynamicznego 9.3. Amplituda siły kinetycznej
Ogólnie
γ Q(t ) = k q + q& = ν (Fs − γ η Fc )sin ( p t − ϕ ) + ν (Fc − γ η Fs ) cos( p t − ϕ ) ω QS = 12,2549 * (− F0 − 0,0816 *1 * (− F0 )) = −11,2549 F0
QC = 12,2549 * (− F0 − 0,0816 * 1 * (− F0 )) = −11,2549 F0 Stąd amQ(t ) = QS2 + QC2 =
(− 11,2549 F0 )2 + (− 11,2549 F0 )2
= 15,9168 F0
9.4. Siła w więzi sprężystej
W przypadku połączeń szeregowych siła w więziach sprężystych jest jednakowa, natomiast w przypadku połączeń równoległych siła jest rozdzielana proporcjonalnie do sztywności. Zatem dla więzi sprężystej o najmniejszej sztywności uzyskuje się współczynnik 36
1,5k ∆ Rs = 0,375 Rs 1,5k ∆ + 2,5k ∆
gdzie: Rs – siła w zastępczej więzi sprężystej Siłę w zastępczej więzi sprężystej wyznaczyć można np. z zasady prac przygotowanych. W treści zadania nie jest jasno powiedziane czy należy wyznaczyć siłę od ciężaru własnego czy od obciążeń kinetycznych, jednak bez względu na to jaki charakter będzie miało obciążenie sposób wyznaczenia tej siły jest taki sam. •
Siła w więzi sprężystej od obciążenia kinetycznego
Z planu przemieszczeń (rys. 2.) wynika równanie zasady prac przygotowanych R s * 2q *
2 2 − Rs * q * + QS (t ) * q + QC (t ) * q = 0 2 2
2 Rs − 11,2549 F0 sin ( pt ) − 11,2549 F0 cos( pt ) = 0 2 Rs = 2 * (11,2549 F0 sin ( pt ) − 11,2549 F0 cos( pt ))
Zatem siła w więzi 1,5k∆ jest równa 0,375 Rs = 0,375 * 2 * (11,2549 F0 sin ( pt ) − 11,2549 F0 cos( pt )) = = 0,53033 * (11,2549 F0 sin ( pt ) − 11,2549 F0 cos( pt ))
Wartość amplitudalna tej siły to
[
]
0,375amRs = 0,375 * amQ(t ) = 0,375 * am 2 * (11,2549 F0 sin ( pt ) − 11,2549 F0 cos( pt )) = = 0,375 *
(11,2549 F0 )2 + (11,2549 F0 )2
= 0,375 * 15,9168 F0 = 5,9688 F0
37
Zad. 10. Rys. 1. Schemat dynamiczny z przyjętą współrzędną uogólnioną
µ, EJ
m
q k∆
L
10.1. Wyznaczenie częstości drgań własnych
•
Energia kinetyczna układu 2
4 L L L x 2 1 1 1 1 1 1 x 2 E k = ∫ µ dx w& ( x, t ) + m q& 2 = ∫ µ dx q& (t ) + m q& 2 = ∫ µ dx q& 2 + m q& 2 = L 20 2 20 2 2 0 L 2
=
1µL 2 1 1µL 1~ 2 2 q& + m q& 2 = m q& + m q& = 2 5 2 2 5 2
~ = µ L + m Stąd masa modalna wynosi: m 5 •
Energia potencjalna układu L
L
L
1 1 1 M 1 1 1 (EJw' ' (x, t ))2 dx + 1 k ∆ q 2 = E p = ∫ M dϕ + k ∆ q 2 = ∫ M dx + k ∆ q 2 = ∫ 20 2 2 0 EJ 2 2 0 EJ 2 2
L
=
1 2 1 1 4 EJ 1 1 4 EJ 1~ EJ q(t ) 2 dx + k ∆ q 2 = * 3 q 2 + k ∆ q 2 = 3 + k ∆ q 2 = k q 2 ∫ 20 2 2 L 2 2 L 2 L
Stąd sztywność modalna wynosi: •
ω=
~ 4 EJ k = 3 + k∆ L
Częstość drgań własnych (przybliżona) obliczona z aproksymacji wynosi
k = m
4 EJ + k∆ L3 µL +m 5
Nie jest to wartość dokładna, ponieważ funkcja aproksymacyjna daje jedynie pewne przybliżenie. W tym przypadku jest to oszacowanie odgórne, tzn. zawyżona została sztywność układu. 38
Zad. 11. Do wyznaczenia sztywności na kierunku współrzędnej uogólnionej posłużono się metodą przemieszczeń Rys. 1. Analizowany schemat dynamiczny
m EJ
EJ
kφ
q
L
L
11.1. Stopień geometrycznej niewyznaczalności
ng = nφ + nδ nφ = 1 - liczba węzłów sztywnych w układzie mających swobodę obrotu Rys. 2. Schemat kinematyczny 1
2
nδ = 2w – p – r = 2*3 – 2 – 2 = 2 ng = 1 + 2 = 3 ng = 3 - stopień geometrycznej niewyznaczalności układu Rys. 3. Układ podstawowy metody przemieszczeń
3 EJ
EJ
2 L
L
39
1
11.2. Wyznaczenie sztywności na kierunku współrzędnej uogólnionej
Rys. 4. Stan jednostkowy δ1 = 1 [-]
Rys. 5. Stan jednostkowy δ2 = 1 [-]
Rys. 6. Stan jednostkowy φ3 = 1 [-]
Rys. 7. Schemat geometrycznymi
dynamiczny
ze
współrzędnymi
uogólnionymi
oraz
x3 m EJ
EJ
kφ
x2
L
L
Rys. 8. Wykres momentów zginających – stan jednostkowy q1 = 1 [-]
40
q1
nadliczbowymi
Rys. 9. Wykres momentów zginających – stan jednostkowy q2 = 1 [-]
Rys. 10. Wykres momentów zginających – stan jednostkowy x3 = 1 [-]
•
Macierz sztywności w bazie poszerzonej
(
)
EJ EJ 1 k 11 = −∑ M 1ij + M 1ji ⋅ ψ1ij + ∑ k s ⋅ ∆L1s ⋅ ∆L1s = − − 3 2 + 0 = 3 3 L L L ij s
(
)
EJ EJ EJ EJ 1 k 12 = k 21 = −∑ M ij2 + M 2ji ⋅ ψ1ij + ∑ k s ⋅ ∆L2s ⋅ ∆L1s = − − 6 2 − 6 2 * 0 − 3 2 + 0 = −3 3 L L L L L ij s k 13 = k 31 = ∑ M 13j = −3 j
(
EJ L2
)
EJ EJ 1 EJ EJ 1 k 22 = −∑ M ij2 + M 2ji ⋅ ψ ij2 + ∑ k s ⋅ ∆L2s ⋅ ∆L2s = − − 6 2 − 6 2 − 3 2 + 0 − = 15 3 L L L L L L ij s EJ EJ EJ k 23 = k 32 = ∑ M 3j2 = −6 2 + 3 2 = −3 2 L L L j EJ EJ EJ EJ +3 +ξ = (7 + ξ ) k 33 = ∑ M 33j + k ϕ = 4 L L L L j
EJ 3 L3 ( EJ K = -3 3 L − 3 EJ L2 •
EJ L3 EJ 15 3 L EJ −3 2 L -3
EJ L2 EJ K qq −3 2 = L K xq (7 + ξ ) EJ L −3
K qx K xx
Redukcja macierzy sztywności do bazy minimalnej
K = K qq − K qx ⋅ K −xx1 ⋅ K xq
41
K =3
EJ EJ − −3 L3 L3
EJ EJ 15 L3 −3 2 * L - 3 EJ L2
−1
EJ EJ 2 − 3 L3 EJ 1 + ξ L = 12 3 * EJ EJ L 32 + 5ξ (7 + ξ ) − 3 2 L L -3
Sztywność na kierunku współrzędnej uogólnionej wynosi ~ EJ 1 + ξ k = 12 3 L 32 + 5ξ 11.3. Częstość własna układu
ω=
k 12EJ 1 + ξ = m mL3 32 + 5ξ
Dla skrajnych wartości ξ tj. ξ ∈ (0; ∞ ) uzyskuje się lim ω = lim
12EJ 1 + ξ EJ = 0,6124 3 mL 32 + 5ξ mL3
lim ω = lim
12EJ 1 + ξ EJ = 1,5492 3 mL 32 + 5ξ mL3
ξ →0
ξ →∞
ξ →0
ξ →∞
Stąd częstość własna układu zależna od sztywności więzi kφ zawiera się w przedziale liczbowym EJ EJ ω ∈ 0,6124 ; 1 , 5492 3 3 mL mL Rys. 11. Zakres zmienności częstości własnej
42
