ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA LINIOWA 1 (rok akad. 2016/17) Lista zdań obejmuje cały materiał kursu oraz określa rodzaje i przybliżony stopi...
29 downloads
38 Views
135KB Size
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA LINIOWA 1 (rok akad. 2016/17) Lista zdań obejmuje cały materiał kursu oraz określa rodzaje i przybliżony stopień trudności zadań, które pojawią się na kolokwiach i egzaminach. Na ćwiczeniach należy rozwiązać 1-2 podpunkty z każdego zadania. Wyjątkiem są zadania oznaczone literą (P) oraz symbolem (∗). Zadania oznaczone literą są proste i należy je rozwiązać samodzielnie. Z kolei zadania oznaczone gwiazdką są trudne. Te nieobowiązkowe zadania kierujemy do ambitnych studentów. Na końcu listy umieszczono po 4 przykładowe zestawy zadań z obu kolokwiów, egzaminu podstawowego i poprawkowego oraz egzaminu na ocenę celującą. Uzdolnionym studentom proponujemy udział w egzaminach na ocenę celującą z algebry i analizy. Zadania z tych egzaminów z kilku ubiegłych lat można znaleźć na stronie internetowej http://www.wmat.pwr.edu.pl/2831151.231.dhtml
Opracowanie: doc. dr Zbigniew Skoczylas
Lista zadań∗∗ 1.(P) Podać przykłady liczb rzeczywistych, dla których nie zachodzą równości: √ √ 1 1 1 √ (a) (x + y)2 = x2 + y 2 ; (b) x + y = x + y; (c) = + ; x+y x y √ x+u x u ; (f) sin 2x = 2 sin x; (d) x2 = x; (e) + = y v y+v log2 a (h) |x + y| = |x| + |y|; (i) = log2 (a − b); (j) an · am = an·m . log2 b 2. Za pomocą indukcji matematycznej uzasadnić, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzą tożsamości: (a) 1 · 21 + 2 · 22 + . . . + n · 2n = (n − 1)2n+1 + 2; n (n + 1) (n + 2) (b) 1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n(n + 1) = ; 3 1 1 1 2 1 n (n + 1)n (c) 1 + · 1+ · ... · 1 + = . 1 2 n n! 3. Korzystając z indukcji matematycznej uzasadnić nierówności: 1 1 1 1 (a) 2n > n2 dla n 5; (b) 2 + 2 + . . . + 2 ¬ 2 − dla n ∈ N; 1 2 n n (c) n! > 2n dla n 4; (d) (1 + x)n 1 + nx dla x −1 oraz n ∈ N (nierówność Bernoulliego). 4. Metodą indukcji matematycznej pokazać, że dla każdej liczby naturalnej n liczba: (a) n5 − n jest podzielna przez 5;
(b) 4n + 15n − 1 jest podzielna przez 9.
Zadania z listy pochodzą z książek Algebra i geometria analityczna (Definicje, twierdzenia, wzory; Przykłady i zadania; Kolokwia i egzaminy), Wstęp do analizy i algebry oraz Algebra i analiza. Egzaminy na ocenę celującą. ∗
1
5. Zastosować wzór dwumianowy Newtona do wyrażeń: √ 6 √ √ 1 5 4 (a) (2x − y) ; (b) c + 2 ; (c) x + 3 ; (d) ( u − 4 v)8 . x
1 15 znaleźć współczynnik przy a5 ; 6. (a) W rozwinięciu wyrażenia a + 2 a √ √ 3 7 4 5 znaleźć współczynnik przy 4 x. (b) W rozwinięciu wyrażenia x − 3 x
3
⋆⋆⋆
7. Porównując części rzeczywiste i urojone obu stron równań znaleźć ich rozwiązania: (a) z = (2 − i)z;
(b) z 2 + 4 = 0;
(c) (1 + 3i) z + (2 − 5i) z = 2i − 3;
(d*) z 3 = 1.
8. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spełniających warunki: 1 2 2 > Im (iz) . (a) Re (z + 1) = Im (2z − 4i) ; (b) Re z = 0; (c) Im z ¬ 8; (d) Re z 9. Korzystając z interpretacji geometrycznej modułu różnicy liczb zespolonych wyznaczyć i narysować zbiory liczb zespolonych spełniających warunki: (a) |z + 2 − 3i| < 4;
(b) |z + 5i| |3 − 4i|; (c) |z − 1| = |1 + 5i − z|; (d) |z + 3i| < |z − 1 − 4i|;
z2 + 4 z − 3i > 1; (h) (e) |iz + 5 − 2i| < |1 + i|; (f) |¯ z + 2 − 3i| < 5; (g) ¬ 5; z − 2i z (i) z 2 + 2iz − 1 < 9; (j*) 2|z + 1| < z 2 − z − 2 ¬ 3|z − 2|; (k) |(1 + i)z − 4| = |(1 − i)z + 6| .
10. Korzystając ze wzoru de Moivre’a obliczyć: √ !6 15 √ √ 9 √ 3 1 5 5 (a) − + i ; (b) 2 − i 2 ; (c) 2i − 12 ; 2 2
(d)
√
20
3−i
.
11. Wyznaczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej elementy pierwiastków: q √ √ √ 3 (a) 4 −16; (b) 27i; (c*) 4 (2 − i)8 ; (d) 6 8. 12. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równania: (a) z 2 − 2z + 10 = 0;
(d) z 2 + (1 − 3i) z − 2 − i = 0;
(b) z 2 + 3iz + 4 = 0;
(c) z 4 + 5z 2 + 4 = 0;
(e) z 6 = (1 − i)12 ;
(f) (z − i)4 = (z + 1)4 .
⋆⋆⋆
13.(P) Znaleźć pierwiastki całkowite wielomianów: (a) x3 + 3x2 − 4;
(b) x4 − 2x3 + x2 − 8x − 12;
(c) x4 − x2 − 2.
14. Znaleźć pierwiastki wymierne wielomianów: (a) 12x3 + 8x2 − 3x − 2; (b) 18x3 − 9x2 − 2x + 1; (c) 6x4 + 7x2 + 2. 15.(P) Wyznaczyć pierwiastki rzeczywiste lub zespolone wraz z krotnościami wielomianów: (a) (x − 1) (x + 2)3 ;
(b) (2x + 6)2 (1 − 4x)5 ;
(c) z 2 − 1
3
z2 + 1
4
z2 + 9
.
16. Nie wykonując dzieleń wyznaczyć reszty z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q, jeżeli: (a) P (x) = x8 + 3x5 + x2 + 4, Q (x) = x2 − 1;
(b) P (x) = x47 + 2x5 − 13, Q (x) = x3 − x2 + x − 1;
(c) P (x) = x99 − 2x98 + 4x97 , Q (x) = x4 − 16;
(d*) P (x) = x2006 + x1002 − 1, Q (x) = x4 + 1;
2
(e*) P (x) = x444 + x111 + x − 1, Q (x) = x2 + 1
2
.
17. Pokazać, że jeżeli liczba zespolona z1 jest pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego P , to liczba z1 także jest pierwiastkiem wielomianu P. Korzystając z tego faktu znaleźć pozostałe pierwiastki zespolone wielomianu P (x) = x4 − 4x3 + 12x2 − 16x + 15 wiedząc, że jednym z nich jest x1 = 1 + 2i. 18. Podane wielomiany rozłożyć na nierozkładalne czynniki rzeczywiste: (a) x3 − 27;
(b) x4 + 16;
(c) x4 + x2 + 4;
(d*) x6 + 1.
19. Podane funkcje wymierne właściwe rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste: 2x + 5 x+9 x3 − 2x2 − 7x + 6 3x2 + 4x + 3 (a) 2 ; (b) ; (d) . ; (c) x −x−2 x3 − x2 + 4x − 4 x4 + 10x2 + 9 x (x + 3)2 ⋆⋆⋆
20.(P) Dla par macierzy A, B wykonać (jeśli to jest możliwe) działania 3A − 12 B, AT , AB, BA, A2 : (a) A =
#
"
1 4 ,B= −2 0
1 0 3 0
(c) A =
"
0 −6 −8 2
h , B = −2 1
#
;
(b) A =
h
i
1 −3 2 , B =
h
2 −4 0
i
;
−2 0 1 0 −1 (d) A = 2 1 −4 , B = 4 1 . 0 3 −3 0 2
i
0 5 ;
4 3 1 0 21.(P) Rozwiązać równanie macierzowe 3 −3 3 −X = X+ 0 6 . −1 2 2 5 22.(P) Znaleźć niewiadome x, y, z spełniające równanie 2
"
x+2 y+3 3 0
#
=
"
3 6 y z
#T
.
⋆⋆⋆
23. Napisać rozwinięcia Laplace’a wyznaczników wg wskazanych kolumn lub wierszy (nie obliczać wyznaczników w otrzymanych rozwinięciach): −1 4 3 (a) −3 1 0 2 5 −2
, trzecia kolumna;
24. Obliczyć wyznaczniki: −2 5 (a) 3 −7
;
1 −1 (b) 3 2 2 2
2 −4 ; 1
1 4 −2 4 ( b) 5 4 2 0 (c)
−3 7 2 0 1 6 0 −3
2 0 0 0 3 −3 5 7 4 0 1 4 5 0 2 −2
, czwarty wiersz.
.
25. Korzystając z własności wyznaczników uzasadnić, że macierze są osobliwe:
2 4 −4 (a) −1 −2 2 ; 3 5 −6
1 2 3 (b) 4 4 4 ; 3 2 1
(c)
1 7 5 3
3
5 5 7 3
2 2 4 0
−2 −5 −4 −3
.
26.* Obliczyć wyznaczniki macierzy:
1 2 3 4 5
(a)
2 2 3 4 5
3 3 3 4 5
4 4 4 4 5
5 5 5 5 5
(b)
;
2 −1 0 0 0 0 2 −1 0 0 0 0 2 −1 0 0 0 0 2 −1 −1 0 0 0 2
(c)
;
5 3 0 ... 2 5 3 ... 0 2 5 ... .. .. .. . . . . . . 0 0 0 ...
0 0 0
3
5
.
n×n
27. Korzystając z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej wyznaczyć macierze odwrotne do:
(a) A =
"
#
2 5 ; 3 8
1
0 0 −1 0 ; 2 5 −1
(b) A = 3
(c) A =
0 2 0 0
1 0 0 0
0 0 0 4
0 0 3 0
.
28. Korzystając z metody dołączonej macierzy jednostkowej znaleźć macierze odwrotne do :
(a) A =
"
#
1 2 −3 −1
;
1 4 −12 (b) A = 0 −2 0 ; 0 2 6
(c) A =
29. Znaleźć rozwiązania równań macierzowych: (a)
"
3 5 1 2
#
·X =
"
0 3 1 4 −2 0
−1
#
=
h
1 2 0 h i (b) X · 1 1 1 = −3 1 2 ; 2 6 −1
;
" # −3 0 4 −5 1 2 ; (c) X· 1 1 1 = 1 2 3 −2 0 3
−2 0 3 (e) X· 1 1 1 −3 0 4
1 0 −1 0 4 1 0 0 . 0 −2 1 3 0 0 0 1
i
−2 1 3 ;
(d)
"
2 1 3 2
#
(f)
"
1 −1 −1 2
· X· #
"
#
=
5 6 4 5
#
−3 2 5 −3
· X −1 ·
"
"
2 8 ; 0 5
#
=
"
2 7 1 4
#
.
⋆⋆⋆
30. Korzystając ze wzorów Cramera wyznaczyć wskazaną niewiadomą z układów równań liniowych:
(a)
(
2x − y = 0, −> y; 3x + 2y = 5
(b)
x + y + 2z = −1,
2x − y + 2z = −4, −> x; 4x + y + 4z = −2;
31. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układy równań:
(a)
x + y + 2z = −1,
2x − y + 2z = −4, 4x + y + 4z = −2;
2x + 3y + 11z + 5t = 2, x + y + 5z + 2t = 1, −> z. (c) 2x + y + 3z + 2t = −3,
x + y + 3z + 4t = −3.
3x − 2y − 5z + t = 3, 2x − 3y + z + 5t = −3, (b) x + 2y − 4t = −3,
x − y − 4z + 9t = 22.
32. (a) Znaleźć trójmian kwadratowy, który przechodzi przez punkty (−1, 2) , (0, −1) , (2, 4) .
(b) Wyznaczyć współczynniki a, b, c funkcji y = a2x + b3x + c4x , która w punktach −1, 0, 1 przyjmuje odpowiednio wartości 3/4, 1, 1.
(c) Funkcja y (x) = A cos 2x + B sin 2x spełnia równanie różniczkowe y ′′ − 6y ′ + 13y = 25 sin 2x. Wyznaczyć współczynniki A, B. 4
33. (a) Dla jakich wartości parametru m, podany układ jednorodny ma niezerowe rozwiązanie mx + y + 2z = 0,
2x − y + mz = 0, mx + y + 4z = 0?
(b) Dla jakich wartości parametrów a, b, c, d, podany układ równań liniowych jest sprzeczny x + y
= z +t= +z = y +t=
x
a, b, c, d?
(c) Znaleźć wartości parametru p, dla których podany układ równań liniowych ma tylko jedno rozwiązanie x + 2y − 3z = −1, 2x − py + z = 3, 2x + y − pz = 5.
34. Rozwiązać układy równań nieliniowych: (a)
(
2x + 2y−1 = 3, 2x−1 + 2y = 5;
(b)
(
x2 + y 2 = 8, x4 − y 4 = 7;
(c)
y √ = 7,
x x y = 3.
√
⋆⋆⋆
35.(P) Trójkąt jest rozpięty na wektorach a, b. Wyrazić środkowe trójkąta przez a, b. 36. (P) Bokami równoległoboku są wektory a = (−3, 4), b = (1, 2). Wyznaczyć kąt ostry między przekątnymi równoległoboku. 37. Długości wektorów a, b wynoszą odpowiednio 3, 5. Znamy iloczyn skalarny a ◦ b = −2. Obliczyć (a − b) ◦ (2a + 3b) . 38. (P) Wyznaczyć równanie prostej, która przechodzi przez punkt P = (−1, 3) i tworzy kąt 120o z dodatnią częścią osi Ox. 39.(P) Napisać równania prostej (normalne, krawędziowe, parametryczne) przechodzącej przez punkty P1 = (2, 3), P2 = (−3, 7). 40.(P) Znaleźć punkty przecięcia prostej l : Czy punkt P = (4, 7) należy do prostej l? 41. Znaleźć punkt przecięcia prostych: k :
(
(
x = 4 − 2t, y = −6 + t
(t ∈ R) z osiami układu współrzędnych.
x = 1 − t, (t ∈ R), y =3+ t
l:
(
x= 2t, (t ∈ R). y =3− t
42.(P) Znaleźć równanie prostej, która przechodzi przez punkt P = (−1, 2) i jest (a) równoległa do prostej 3x − y + 2 = 0; (b) prostopadła do prostej x + y = 0. 43. Dla jakiej wartości parametru m, odległość punktów P = (1, 0) i Q = (m + 3, −2) jest równa 4? 44.(P) Wyznaczyć odległość punktu P0 = (−4, 1) od prostej l o równaniu 3x + 4y + 12 = 0. 45.(P) Znaleźć odległość prostych równoległych l1 , l2 o równaniach odpowiednio x − 2y = 0, −3x + 6y − 15 = 0. 5
46. Obliczyć wysokość trójkąta o wierzchołkach A = (0, 0), B = (−1, 3), C = (2, 5) opuszczoną z wierzchołka C. ⋆⋆⋆
47. (a) Dla jakich wartości parametrów p, q wektory a = (1 − p, 3, −1), b = (−2, 4 − q, 2) są równoległe? (b) Dla jakich wartości parametru s wektory p = (s, 2, 1 − s), q = (s, 1, −2) są prostopadłe? 48.(P) Znaleźć wersor, który jest prostopadły do wektorów u = (−1, 3, 0), v = (0, 1, 1) . 49.(P) Wyznaczyć cosinus kąta między wektorami p = (0, 3, 4), q = (2, 1, −2) . 50. (a) Obliczyć pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u = (−1, 2, 5), v = (0, 3, 2) . (b) Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A = (0, 0, 1), B = (3, 0, 0), C = (0, −5, 0) .
(c) Trójkąt ma wierzchołki A = (0, 0, 1), B = (2, 3, −2), C = (1, 1, 4) . Obliczyć wysokość trójkąta opuszczoną z wierzchołka C. 51. (a) Obliczyć objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach: a = (1, 2, 3), b = (0, 4, 1), c = (−1, 0, 2) . (b) Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach: A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 3), C = (0, 4, 1), D = (2, 2, 2) . (c) Dla czworościanu z punktu (b) obliczyć wysokość opuszczoną z wierzchołka A. 52. Znaleźć równania normalne i parametryczne płaszczyzny: (a) przechodzącej przez punkty P = (1, −1, 0), Q = (2, 3, 7), R = (4, 0, 1) ; (b) przechodzącej przez punkt A = (−2, 5, 4) oraz zawierającą oś Oz;
(c) przechodzącej przez punkt A = (−2, 5, 4) oraz prostopadłej do osi Oy. 53. (a) Płaszczyznę π : 2x + y − z − 7 = 0 zapisać w postaci parametrycznej. x =
t + s, (b) Płaszczyznę π : y = −2 − 2s, (t, s ∈ R) przekształcić do postaci normalnej. z = 3 + 3t − s 54. Znaleźć równanie parametryczne i krawędziowe prostej:
(a) przechodzącej przez punkty A = (−3, 4, 1), B = (0, 2, 1). (b) przechodzącej przez punkt P = (3, −1, 2) i przecinającej prostopadle oś Oy. 55. (a) Prostą l :
(
x + y − 3 = 0, zapisać w postaci parametrycznej. −y + z − 1 = 0
(b) Prostą l : x = 3, y = 2 − 2t, z = t (t ∈ R) zapisać w postaci krawędziowej. 56. Wyznaczyć punkt przecięcia: (a) prostej l : x = t, y = 1 − 2t, z = −3 + 2t (t ∈ R) oraz płaszczyzny π : 3x − y − 2z − 5 = 0;
(b) płaszczyzn π1 : x + 2y − z − 5 = 0, π2 : x + 2y + 2 = 0, π3 : x + y + z = 0;
(c) prostych l1 : x = 1 − t, y = 1, z = −3 + 2t (t ∈ R), l2 : x = t, y = 3 − 2t, z = 2 − 5t (t ∈ R).
6
57. Obliczyć odległość: (a) punktu P = (0, 1, −2) od płaszczyzny π : 3x − 4y + 12z − 1 = 0;
(b) płaszczyzn równoległych π1 : x − 2y + 2z − 3 = 0, π2 : −2x + 4y − 4z + 18 = 0;
(c) punktu P = (2, −5, 1) od prostej l : x = t, y = 1 − 2t, z = −3 + 2t (t ∈ R); (d) prostych równoległych l1 : (e) prostych skośnych
(
x + y + z − 3 = 0, x − 2y − z − 1 = 0,
l1 : x = 1 − t, y = 1, z = −3 + 2t (t ∈ R),
l2 :
(
x + y + z − 3 = 0, x − 2y − z + 4 = 0;
l2 : x = s, y = 3 − 2s, z = 1 − 5s (s ∈ R).
58. Wyznaczyć rzut prostopadły punktu P = (1, −2, 0) na: (a) płaszczyznę π : x + y + 3z − 5 = 0;
(b) prostą l : x = 1 − t, y = 2t, z = 3t.
59. Obliczyć kąt między: (a) płaszczyznami π1 : x − y + 3z = 0, π2 : −2x + y − z + 5 = 0; (b) prostą l :
(
x + y + z − 3 = 0, i płaszczyzną π : x + y = 0; x − 2y − z − 1 = 0
(c) prostymi l1 : x = −t, y = 1 + 2t, z = −3 (t ∈ R), l2 : x = 0, y = −2s, z = 2 + s (s ∈ R). ⋆⋆⋆
60.(P) Niech a = (3, −3, 0, 9), b = (1, 2, 1, 4) będą wektorami z przestrzeni R4 . Wyznaczyć wektory: 1 (a) x = 2a − b; (b) x = b + 3a. 3 61. Obliczyć: (a) odległość punktów A = (1, −2, 3, 0, 0), B = (0, 1, −2, 3, −4) w przestrzeni R5 ;
(b) kąt między wektorami a = (−1, 0, 2, 2), b = (0, −2, 1, −2) w przestrzeni R4 . 62. We wskazanej przestrzeni zbadać liniową niezależność układów wektorów: (a) R2 , a1 = (2, 3), a2 = (−1, 0); (b) R3 , b1 = (1, 2, 3), b2 = (3, 2, 1), b3 = (1, 1, 1) ;
(c) R4 , c1 = (1, 0, 0, 0), c2 = (−1, 1, 0, 0), c3 = (1, −1, 1, 0), c4 = (−1, 1, −1, 1) . 63. Zbadać, czy układy wektorów są bazami wskazanych przestrzeni liniowych Rn , (a) {(1, 2, 0), (−1, 0, 3), (0, −2, −3)}, R3 ;
(b) {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)), R4 ;
(c) {(1, −1, 0, 2), (1, 0, 3, 0), (0, 1, 3, 0), (0, 0, 0, 1)}, R4 . 64. Znaleźć bazy i wymiary podprzestrzeni: (a) A = (x, y, z) ∈ R3 : 3x + 2y − z = 0 ;
(b) B = (x, y, z, t) ∈ R4 : x = 2y = −t ;
(c) C = (u, v, x, y, z) ∈ R5 : u + v = 0, x + y + x = 0 .
65. Zbadać, czy przekształcenia są liniowe: (a) F : R2 −→ R, F (x1 , x2 ) = x1 − 3x2 ;
(c) F : R −→ R4 , F (x) = 0, x2 , 0, −3x ;
(b) F : R3 −→ R3 , F (x, y, z) = (−x, 5x + y, y − 2z); (d) F : R4 −→ R2 , F (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 x2 , x3 x4 ) . 7
66. Znaleźć macierze przekształceń liniowych w standardowych bazach: (a) F : R2 −→ R3 , F (x, y) = (x, y, x − y);
(b) F : R3 −→ R4 , F (x, y, z) = (y, z, x, x + y + z);
(c) F : R4 −→ R2 , F (x, y, z, t) = (x + y + z + t, y − t, ) . 67. (a) Uzasadnić, że obrót na płaszczyźnie R2 wokół początku układu współrzędnych o kat ϕ jest przekształceniem liniowym. Znaleźć macierz tego obrotu w bazach standardowych. (b) Pokazać, że symetria względem osi Oz w przestrzeni R3 jest przekształceniem liniowym. Znaleźć macierz tej symetrii w bazach standardowych. ⋆⋆⋆
68. Korzystając z interpretacji geometrycznej przekształceń liniowych znaleźć ich jądra, obrazy i rzędy: (a) L : R2 −→ R2 , obrót o kąt α = π/3 wokół początku układu; (b) L : R2 −→ R2 , rzut prostokątny na prostą x + y = 0;
(c) L : R3 −→ R3 , symetria względem płaszczyzny y = z; (d) L : R3 −→ R3 , obrót wokół osi Oy o kątπ/2.
69. Wyznaczyć jądra, obrazy oraz rzędy przekształceń liniowych: (a) L : R2 −→ R, F (x1, x2 ) = x1 − 3x2 ;
(b) L : R2 −→ R2 , F (x, y) = (x + y, 2x + 2y) ;
(c) L : R3 −→ R3 , F (x, y, z) = (−x, 5x + y, y − 2z) ; (d) L : R −→ R4 , F (x) = (0, x, 0, −x) .
70. Korzystając z definicji wyznaczyć wektory i wartości własne przekształceń liniowych: (a) symetria względem osi Oy w przestrzeni R2 ; (b) obrót w przestrzeni R3 wokół osi Ox o kąt π/6; (c) symetria w przestrzeni R3 względem płaszczyzny yOz; (d) rzut prostokątny na oś Oy w przestrzeni R3 . 71. Znaleźć wartości i wektory własne przekształceń liniowych: (a) L : R2 −→ R2 , F (x, y) = (x + y, 2x + 2y) ;
(b) L : R3 −→ R3 , F (x, y, z) = (−x, 5x + y, y − 2z) ;
(c) L : R4 −→ R4 , F (x, y, z, t) = (0, x, 0, y) .
⋆⋆⋆
72.(P) Napisać równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek o końcach A = (−1, 3), B = (5, 7) . 73.(P) Wyznaczyć współrzędne środka i promień okręgu x2 − 4x + y 2 + 6y + 2 = 0. 74.(P) Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC o wierzchołkach A = (0, 0), B = (8, 0), C = (0, 6). 75. Wyznaczyć równanie okręgu, o środku S = (3, 4) , który jest styczny do prostej l : 3x−4y −12 = 0. 76. Znaleźć równanie okręgu, który przechodzi przez punkty P = (3, 4), Q = (5, 2) i ma środek na osi Ox. 8
77. * Znaleźć równanie okręgu, który jest styczny do obu osi układu współrzędnych oraz przechodzi przez punkt A = (5, 8). Ile rozwiązań ma zadanie? 78. Znaleźć równanie stycznej okręgu x2 + y 2 = 25: (a) w punkcie (−3, 4);
(b) przechodzącej przez punkt (−5, 10);
(c) równoległej do prostej x − y − 4 = 0;
(d) prostopadłej do prostej x + 2y = 0.
79.(P) Wyznaczyć osie, współrzędne ognisk oraz mimośród elipsy
x2 y 2 + = 1. 16 9
80. Punkty F1 = (−5, 0) , F2 = (5, 0) są ogniskami elipsy. Znaleźć równanie tej elipsy, jeżeli jednym z jej wierzchołków jest punkt W = (0, −3) . 81. Naszkicować elipsę o równaniu 4x2 − 8x + 9y 2 + 36y + 4 = 0. 82.(P) Wyznaczyć osie, współrzędne ognisk oraz równania asymptot hiperboli
x2 y2 − = 1. 144 25
83. Narysować hiperbolę wraz z ogniskami i asymptotami: (a) 9 (y + 5)2 − 16 (x − 2)2 = 144;
(b) 4x2 − 25y 2 + 8x = 0.
84. Wyznaczyć współrzędne ogniska, wierzchołka oraz podać równanie kierownicy paraboli o równaniu: (a) y 2 = 12x; (b) y = x2 + 6x. 85. Napisać równanie paraboli, której: (a) kierownicą jest prosta y = −2, a punkt W = (−1, 6) – wierzchołkiem;
(b) kierownicą jest prosta x = 1, a punkt W = (5, 1) – wierzchołkiem.
86. Wykresy podanych funkcji są fragmentami pewnych krzywych stożkowych. Określić te krzywe i narysować: √ √ √ (a) y = 1 − 9 − x2 ; (b) y = 3 − x + 2; (c) y = 5 + 2x − x2 ; √ √ √ (d) y = 4 − x2 − 1; (e) y = 2 x2 + 16 − 3; (f) y = x2 − 4x + 13.
9
Przykładowe zestawy zadań z kolokwiów i egzaminów W rozwiązaniach zadań należy opisać rozumowanie prowadzące do wyniku, uzasadnić wyciągnięte wnioski, sformułować wykorzystane definicje, zacytować potrzebne twierdzenia (podać założenia i tezę), napisać zastosowane wzory ogólne (z wyjaśnieniem oznaczeń). Ponadto, jeśli jest to konieczne, należy sporządzić czytelny rysunek z pełnym opisem. Skreślone fragmenty pracy nie będą sprawdzane.
I kolokwium Zestaw A 1. Liczba z1 = 2 − i jest pierwiastkiem wielomianu W (z) = z 4 − 4z 3 + 3z 2 + 8z − 10. Znaleźć pozostałe pierwiastki wielomianu. 2. Korzystając ze wzoru de Moivre’a obliczyć
√
9
27 − 3i
3. Zapisać w postaci algebraicznej elementy pierwiastka
. Wynik podać w postaci algebraicznej.
√ 4 −4.
Zestaw B 1. Wyznaczyć i narysować zbiór liczb zespolonych z, które spełniają warunek |z − i + 2| |4i − 3| . 2. Podać w postaci algebraicznej elementy pierwiastka 3. Funkcję wymierną
q 3
(2 − 3i)6 .
4x3 − 3x2 − 2x − 3 rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste. x4 − 1
Zestaw C 1. Nie wykonując dzielenia znaleźć resztę z dzielenia wielomianu W (x) = 2x47 − 3x5 + 4 przez wielomian P (x) = x4 − 1. 2. Rozwiązać równanie (z − i)3 = (1 + 2i)3 . 3. Narysować zbiór liczb zespolonych z, które spełniają warunek |z − 1 − 3i| |z + 5|.
Zestaw D 1. Znaleźć pierwiastki zespolone wielomianu W (x) = x3 + x + 10. √ !8 1 + 3i 2. Korzystając ze wzoru de Moivre’a obliczyć . Wynik podać w postaci algebraicznej. 1−i 3. Narysować zbiór liczb zespolonych z, które spełniają warunek z 2 + 9 ¬ 5 |z + 3i| .
II kolokwium Zestaw A
0 1 −3 1. Rozwiązać równanie macierzowe X · 2 0 1 = [1, −2, 5] . 1 −1 4 10
2. Znaleźć rzut punktu P = (−2, 0, 3) na prostą l :
(
x − y + 2z − 3 = 0, 2x + y − z + 1 = 0.
2x − y + 3z = −3, x + y − z = 4, 3. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układ równań −x + 3y + 2z = 3,
x+ y + z =
2.
Zestaw B
1. Obliczyć odległość punktu P = (2, 1, 3) od prostej k :
x = 1 + t,
y = 2 − 2t, (t ∈ R). z = t
2. Napisać macierze przekształceń liniowych L : R2 −→ R3 , K : R3 −→ R2 , w bazach standardowych przestrzeni R2 , R3 , jeżeli L(x, y) = (x + 3y, −x, x − 2y), K(u, v, w) = (u − v + 2w, 2v − u). Wyznaczyć macierz złożenia L ◦ K. −1
1 0 0 −1 3. Rozwiązać równanie macierzowe: X · 2 −1 0 4 3 1
1 1 1 = 2 3 0 . 0 −1 −2
Zestaw C 1. Znaleźć równanie płaszczyzny, która zawiera punkty A = (1, 0, 4), B = (−2, 3, 5) oraz jest prostopadła do płaszczyzny π : x − 2y − 3z + 12 = 0. 2. Dane są punkty A = (1, 2, −1), B = (3, 1, 2). Na osi Oy znaleźć punkt C taki, aby pole trójkąta ABC było równe 10. 3. Układ równań
x − 2y + 3z = 0,
3x + y − z = 5, zapisać w formie macierzowej. Następnie korzystając z x − y + 2z = 2 macierzy odwrotnej wyznaczyć jego rozwiązanie.
Zestaw D 1. Znaleźć obraz symetryczny punktu P = (1, −2, 0) względem płaszczyzny π : 2x + y − z + 1 = 0. 2x + py − z =
p, 2. Dla jakich wartości parametru p układ równań − y + pz = −1, jest układem Cramera? −2 + 1z = 1 Dla p = 1 wyznaczyć x stosując wzory Cramera. 3. Jaką krzywą stożkową przedstawia równanie 4x2 + 16x − 25y 2 + 150y − 309 = 0? Znaleźć półosie i współrzędne ognisk.
Egzamin podstawowy Zestaw A 1. Nie wykonując dzielenia znaleźć resztę z dzielenia wielomianu x98 + 17x95 + x2 − 3x + 1 przez trójmian x2 + 1. 11
2. Obliczyć odległość punktu P = (1 − 2, 4) od prostej l : 3. Funkcję wymierną
(
x + y − z = 2, 2x − y + z = 4.
3x2 − 2x − 1 rozłożyć na ułamki proste. + x2 + x + 1
x3
T
1 1 1 0 2 3 −1 4. Rozwiązać równanie macierzowe X + 0 2 2 = −2 0 5 . 3 4 0 0 0 3
5. Jaką krzywą przedstawia równanie 16 (x − 1)2 − 9 (y + 3)2 = 144? Podać współrzędne środka i ognisk, długości półosi oraz równania asymptot krzywej oraz narysować ją.
Zestaw B
−1
1 0 0 1. Rozwiązać równanie macierzowe X + 0 2 0 0 0 3
0 −3 −1 = −2 0 1 . 1 2 0
2. Wiadomo, że x1 = 1 + i jest pierwiastkiem wielomianu x4 − 6x3 + 15x2 − 18x + 10. Wyznaczyć pozostałe pierwiastki zespolone tego wielomianu. 3. Obliczyć odległość punktu Q = (−2, 0, 1) od płaszczyzny: π :
x = 2
+ t, y = s − 2t, (s, t ∈ R). z =1−s
4. Korzystając ze wzorów Cramera wyznaczyć niewiadomą y z układu równań:
x − 2y + 3z = −5,
x
y − 2z = 5, + z = −1.
√ √ 18 5. Napisać wzór de Moivre’a i następnie obliczyć i 3 − 3 . Wynik podać w postaci algebraicznej.
Zestaw C √ 16 . Wynik podać w postaci algebraicznej. 1. Korzystając ze wzoru de Moivre’a obliczyć i 3 − 1
0 2 3 2. Metodą bezwyznacznikową obliczyć macierz odwrotną do macierzy: A = −2 0 2 . Sprawdzić 3 1 0 wynik wykonując odpowiednie mnożenie. 3. Trójkąt o wierzchołkach A = (−1, 0, 4), B = (1, 2, 5), C = (0, 3, −1) przesunięto o wektor v = (2, 3, −1) . Obliczyć objętość graniastosłupa pochyłego powstałego w czasie przesunięcia. 4. Wektory a1 = (1, 1, 0, 0), a2 = (0, 1, 1, 0), a3 = (0, 0, 1, 1) uzupełnić do bazy przestrzeni R4 . 5. Funkcję wymierną
5x3 + 3x + 4 . rozłożyć na ułamki proste. x4 − 1
12
Zestaw D 1. Rozwiązać równanie (z − i)3 + 1 = 0. Pierwiastki zapisać w postaci algebraicznej.
1 0 −2 4 −1 T 2. Wyznaczyć macierz X z równania 3 1 0 · X = −2 −1 . −3 2 −1 0 0 3. Znaleźć obraz symetryczny punktu P = (1, −2, 0) względem prostej l :
(
x + y − z + 3 = 0, 2x − y + 3z − 4 = 0.
z − 4 − i 1. 4. Narysować zbiór liczb zespolonych spełniających warunek: z+2
5. W bazach standardowych wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego L, które jest symetrią przestrzeni R3 względem osi Oy.
Egzamin poprawkowy Zestaw A 1. Funkcję wymierną
6x2 − 5x + 2 rozłożyć na sumę rzeczywistych ułamków prostych. x4 − 2x3 + x2 #
#
=
"
3. Znaleźć rzut prostopadły punktu P = (−1, 0, 3) na prostą l :
(
x + y = 3, y − z = 2.
2. Wyznaczyć macierz X z równania
"
2 −3 −1 2
#
·X
−1
·
"
1 1 1 0
4 3 . −2 −1
4. Wyznaczyć jądro i obraz przekształcenia liniowego L : R3 −→ R3 określonego wzorem L(x, y, z) = (x + y − z, 2x − y, 3y − 2z). 2x − x+ 5. Metodą eliminacji Gaussa rozwiązać układ równań −x + x+
y y 3y y
+ − + +
3z z 2z z
= −3, = 4, = 3, = 2.
Zestaw B
1. Podać wzór do wyznaczania pierwiastków n-tego stopnia liczby zespolonej z. Następnie obliczyć √ 3 −8i. Wynik podać w postaci algebraicznej. 2. Rozwiązać układ równań
(
x − 2y + 3z − 3t = −1, 2x − 4y + 8z − 6t = 4.
3. Znaleźć równanie prostej, która zawiera punkt A = (3, 0, −1) i przecina prostą l : x = 1 − t, y = 3 + 2t, z = 2 + t (t ∈ R) pod kątem prostym. 4. Dane są punkty A = (1, 2, 3) , B = (−1, 0, 6) , C = (1, 3, −1) , D = (2, p, 3) . Dla jakiego p, objętość czworościanu ABCD będzie równa 13?
5. Narysować zbiór liczb zespolonych, które spełniają nierówność z 2 + 4z + 4 |z + 2| |z − 3i| . 13
Zestaw C 1. Narysować zbiór liczb zespolonych, które spełniają nierówność |(1 − i) z − 2i| < |7 − i| . 2. Funkcję wymierną prostych.
x5 − x3 + x + 1 przedstawić jako sumę wielomianu i rzeczywistych ułamków x3 + x
3. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P = (1, 2, −3) i prostopadłej do prostej l:
(
x + y − z = 2, x + z = 0.
4. Obliczyć wysokość czworościanu o wierzchołkach A = (1, 0, −1), B = (2, 2, 2), C = (3, 4, 5), D = (−3, 4, −2) opuszczoną z wierzchołka D. −1
1 0 0 5. Rozwiązać równanie macierzowe 2 −1 0 4 3 1
1 1 1 1 −2 3 · Y + 0 4 1 = 2 3 0 . 2 5 0 0 −1 −2
Zestaw D 1. Jednym z pierwiastków wielomianu W (x) = 2z 3 + 5z 2 + 6z + 2 jest liczba wymierna. Znaleźć wszystkie pierwiastki zespolone tego wielomianu. −1
−2 4 −1 2. Rozwiązać równanie macierzowe X · 3 1 0 −1 0 0
=
"
#
1 −2 −3 . 0 −1 2
3. Podać interpretację pierwiastka n-tego stopnia liczby zespolonej z i obliczyć nik zapisać w postaci algebraicznej.
r √ 4
8
3i − 1 . Wy-
4. Trzy wierzchołki równoległoboku ABCD mają współrzędne: A = (1, 3, −1) , B = (0, 3, 4) , C = (2, −2, 5) . Znaleźć współrzędne czwartego wierzchołka i wysokość równoległoboku opuszczoną z wierzchołka C. x − 2y + z − 3t =
2, 5. Rozwiązać układ równań 2x + y − z − t = −3, x − 7y + 2z − 8t = 1.
Egzamin na ocenę celującą (styczeń 2016 r.) 1. Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczono parami różne niezerowe liczby z1 , z2 , z3 , z4 . Korzystając √ tylko z cyrkla i linijki skonstruować wszystkie elementy zbioru 4 z1 z2 z3 z4 . 2. Znaleźć pierwiastki zespolone wielomianu z 4 + 7iz 3 − 13z 2 + iz − 20. 3. Wiersze od drugiego do ostatniego wyznacznika stopnia n (n 2) wypełnić liczbami całkowitymi tak, aby po wpisaniu do pierwszego wiersza dowolnych liczb ze zbioru {0, 1, 2, . . . , 9} , wartość wyznacznika była liczbą z pierwszego wiersza (odczytaną w układzie dziesiętnym). 4. Podstawą ostrosłupa prostego jest prostokąt. Płaszczyzna przecina krawędzie boczne ostrosłupa i wyznacza na nich kolejno odcinki o długościach 3, 2, 4, k, licząc od wierzchołka. Metodami geometrii analitycznej w R3 znaleźć k.
14
