Fizyka dla politechnik - Tom III - Fale - Andrzej Januszajtis - PDF-A

ę+-

Jest to znowu równanie ruchu harmonicznego, tym razem po łuku koła ę — ę msin (tut 4- 9) o amplitudzie (kątowej) ę m i częstości kołowej

a więc o okresie

T=2n

26

Przykład. Wahadło fizyczne. W rzeczywistości ciężarki nie są punktowe i nie ma nieważkich i nierozciągliwych nici. Rzeczywiste wahadło jest po prostu zawieszoną obrotowo bryłą. Jedyne założenie, jakie przyjmiemy, to to, że bryłę będziemy uważali za sztywną. Przy wychyleniu osi łączącej środek ciężkości z osią obrotu o kąt ę powstaje moment zwrotny o wartości M = mgr sin
Rys. 14. Wahadło fizyczne. Tutaj moment zwrotny M = mgr siną) jest także wywołany przez składową ciężaru i możemy napisać I = —mgr sin q>, gdzie / jest momentem bezwładności względem osi obrotu, a r — promieniem ruchu środka ciężkości. Dla małych wychyleń sin ę « ę , co prowadzi do równania ruchu .. , mgr
Jego rozwiązaniem jest (p =
o) = a okres

Wahadło waha się tym wolniej, im większy jest moment bezwładności i mniejsza odległość środka ciężkości od osi obrotu.

27

Przykład. Wahadło torsyjne. Nazywamy tak tarczę (płaski walec) zawieszoną na drucie, którego drugi koniec jest nieruchomy. Przy obrocie o kąt ę powstaje proporcjonalny do niego moment zwrotny M = —tę .

A

Rys. 15. Wahadło torsyjne. Koniec A jest sztywno zamocowany. Moment zwrotny M jest wprost proporcjonalny do kąta skręcenia ę

Stalą skręcenia t znajdujemy jako stosunek momentu skręcającego do kąta skręcenia. Łatwo go odczytać, jeżeli na drucie zaczepimy lusterko i puścimy na nie promień, który po odbiciu pada na zakrzywioną skalę. Równanie drgań skrętnych ma postać l ę = —t ę , albo

ę + -ę = o. Są to więc drgania harmoniczne ę = ę msin (mt + 3) 0 częstości kołowej co = 1 okresie

T =

2n

W odróżnieniu od poprzednich przykładów otrzymane wzory są słuszne w całym zakresie ważności prawa Hooke’a, a więc także dla stosunkowo dużych wychyleń.

28

§ 2. Energia drgań Drganiom oscylatora towarzyszą przemiany energii. Z wychyleniem x (nie za dużym!) związana jest energia potencjalna Ep = 2 kx2. W oscylatorze sprężystym jest ona energią odkształcenia sprężystego, czyli energią sprężystą. Biorąc pod uwagę zależność F = —kx można ją także wyrazić jako Ep = i\F \x = Fx, gdzie przez F oznaczono średnią wartość siły. Ze względu na x = \F\k~i możliwa jest jeszcze jedna postać wzoru na energię sprężystą

W czasie ruchu drgającego wychylenie i siła zmieniają się okresowo, a energia potencjalna zmienia się wraz z ich kwadratem. Ciało drgające o prędkości x = v ma także energię kinetyczną Ek = \m x 2 = jm u2, która zmienia się okresowo wraz z kwadratem prędkości. Okres zmian obu postaci energii nie jest więc taki, jak wychylenia czy prędkości, tylko taki, jak ich kwadratów. W układach zachowawczych albo konserwatywnych suma energii potencjalnej i kinetycznej zwana energią mechaniczną pozostaje stuła Ep + Ek = const, czyli w przypadku oscylatora sprężystego $ kx2 + j m i 2 = E0 = const, przy czym sumaryczną wartość energii oznaczyliśmy przez E0. Że oscylator sprężysty jest układem zachowawczym, wykazaliśmy już wyżej. Energia w ruchu harmonicznym. Podnosząc do kwadratu wzór na wy­ chylenie x = x msin (cot + 9) 29

i mnożąc go przez { k otrzymujemy Ep = ^ k*2 sin2 {cot + 8). Podniesienie sinusa do kwadratu powoduje, że wszystkie wartości ujemne stają się dodatnie, a okres zmienności staje się dwa razy mniejszy. Wynika to również ze wzoru sin2a = ^(1—cos2a): okres zmienności funkcji sin2 a jest taki, jak cos 2a. Dla a = cot mamy 2a = 2cot, co oznacza podwojenie pulsacji (stałą fazową pomijamy, bo nie wpływa na okres), czyli dwukrotne zmniejszenie okresu. Podstawiając k = mco2, otrzymujemy Ep — 2 mco2x 2 sin2(cot + 9). Prędkość w ruchu harmonicznym znajdziemy jako pochodną wychylenia względem czasu v — x = coxmcos(cot + 9). Podnosząc ją do kwadratu i mnożąc przez połowę masy otrzymujemy energię kinetyczną Ek = \m x 2 = \ mco2 x2 cos2 (cot + 3). Suma obu postaci energii Ep+ Ek = j mco2 x 2 sin2 (cot 4- 5) + \ mco2 x 2 cos2(cot + $) = i mco2x 2 jest stała. Całkowita energia mechaniczna nie zmienia się w czasie. Jej wartość jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy Ep+ Ek = E0 = im co2x i.

Rys. 16. Suma obu postaci energii mechanicznej w ruchu harmonicznym (bez oporów) jest stała. Okres zmienności Ep i Ek jest dwa razy mniejszy niż okres ruchu (dolny wykres)

30

Stąd 2 _ 2 E 0 _ 2E0 m mco2 ~ k ’

co stwierdziliśmy już wcześniej. Kwadrat maksymalnego wychylenia jest miarą całkowitej energii mechanicznej oscylatora. Jeżeli nie ma strat energii, amp­ lituda drgań pozostaje stała w czasie drgań. Poszczególne postacie energii zmieniają się okresowo. Ze względu na stałość ich sumy ubytek jednej z nich oznacza wzrost drugiej i odwrotnie. Gdy energia potencjalna spada do zera, energia kinetyczna osiąga maksimum

Ekm = \m v i

=

%mco2x i,

przy czym vm = o x m oznacza amplitudę (maksymalną wartość) prędkości. Z kolei, gdy energia kinetyczna staje się równa zeru, energia potencjalna osiąga maksymalną wartość

Epm = ± k x m 2. Oba te maksima są sobie równe

\ma>2x 2m = %kxl = E0.

Przykład. Ciężarek na ważkiej sprężynie. W układach rzeczywistych nie ma nieważkich elementów. Masę sprężyny ms, na której wisi drgający ciężarek, wolno nam pominąć tylko wtedy, gdy jest o wiele mniejsza od masy ciężarka m. Jeżeli tak nie jest. musimy ją uwzględnić. W tym celu wybieramy element dć długości sprężyny odległy o £ od zamocowanego końca. Jeżeli swobodna długość sprężyny (bez ciężarka) wynosi /, to masa elementu wynosi . df dm = — ms.

m o o

:
f mg Rys. 17. Ciężarek na ważkiej sprężynie. Element d{ sprężyny ma masę dm = (d£//)ms

31

Przemieszczenie elementu sprężyny jest wprost proporcjonalne do jego odległości od punktu zamocowania. W punkcie zamocowania (£ = 0) jest równe zeru, przy wzroście £ rośnie, a na swobodnym końcu (£ = l) osiąga wartość równą wychyleniu x ciężarka. W odległości £ jest równe (£//) x. Jego pochodna względem czasu (i/I)x oznacza prędkość. Energia kinetyczna elementu sprężyny wynosi

1

1 msx 2

dEks = -m s

2 l3

i 2 d i.

Stąd energia kinetyczna całej sprężyny 1 WjX2 /3

2

2~P~1 Dodając do tego energię kinetyczną ciężarka im x 2 otrzymujemy Eł = 3(m + 3"is) x 2. Układ ma taką energię, jak oscylator ze sprężyną nieważką, w którym masę ciężarka powiększono o 2 masy sprężyny. Nazywamy ją masą efektywną sprężyny. W tym przypadku me, = i msWzrost masy powoduje też zwolnienie drgań. Przykład. Ciężarek na ważkim pręcie. Niech pręt jednorodny o długości / ma masę mp. Element długości dx waży . dx dmp = — mp. Ugięcie t] zmienia się od zera w punkcie zamocowania (x = 0) do y na swobodnym końcu (x = ()■ Pochodna ugięcia względem czasu tj oznacza prędkość. Drgający element długości pręta ma energię kinetyczną dE4p = ^ y d x ą 2,

Ldx

? -----------

I

Rys. 18. Ugięcie pręta ważkiego

a cały pręt = J dEtp = O

32

| ą 2 dx. ^ » O

Jak wiemy, amplituda prędkości wiąże się z amplitudą wychylenia zależnością

'i™= Podstawiając to do wzoru na energię pręta i dodając podobnie wyrażoną energię ciężarka otrzymujemy energię kinetyczną układu

£»* = ^ nua2 y i +

a 2 J r ii dx .

Jest to wartość maksymalna, bo wykorzystujemy w niej maksymalne wartości (amplitudy) ugięć t\m i ym. Jeżeli masa pręta jest niewielka w porównaniu z masą ciężarka, nie popełnimy wielkiego błędu, biorąc za ym i ugięcia statyczne

(E oznacza moduł Younga, / — moment bezwładności przekroju względem osi). Z ich stosunku znajdziemy 3 lx2— $ x 3 3lx2—x 3 T ~ y==- ^ ~ y oraz 1 ( vV ' 33 jV d x = f J(9/2X4- 6/x5 + x6)dx = — ly2.

Stąd maksimum energii kinetycznej

Ekm = lo S y l (m + r& m p). Efektywna masa pręta wynosi

mcf = M m p. Obliczmy jeszcze pulsację (ze wzoru na Ekm) 2Ekm (m+mef)y 2 lub, ze względu na Ekm = Epm = 3E/y2/(2/3) = iF y, 3E l /3(m+ f k m p)' Jak widać ciężarek zaczepiony na ważkim pręcie drga z mniejszą częstością (dłuższym okresem) niż w przypadku pręta nieważkiego.

3 — Fizyka dla politechnik

33

Przykład. Skręcany pręt. Praktycznym odpowiednikiem wahadła torsyjnego może być jednostronnie zamocowany jednorodny pręt o długości /, z przytwierdzoną na swobodnym końcu tarczą, na którą działa moment M związany z wychyleniem o kąt ę. Niech moment bezwładności tarczy względem osi obrotu wynosi /. Podobnie jak to było w przypadku wahadła torsyjnego M = —xę,

Rys. 19. Skręcany pręt ma moment bezwładności l p, a tarcza /

przy czym stała t zależy od modułu sztywności pręta G i momentu bezwładności jego przekroju l p względem osi

T

I

Równanie ruchu ma postać ... Glp i(p = — r

GIp

ip+ -jf

Tarcza drga harmonicznie z częstością kołową

0} = lub okresem

34

zLz

n

Energia sprężysta „

E

p

1 2

I M 2/ 2 GI„

1 Gl , 2 l ^

= - M t p = --------- = -------- ~
energia kinetyczna tarczy Ek = j-[q>2. Jeżeli pręt jest cienki, można pominąć jego energię. W czasie drgań 1 GI Ep + Et = - —^ ę 2+ - I ę 2 = E0 = const,

przy czym energia całkowita E0 = ~

£ i

zależy od amplitudy wychylenia ipm lub prędkości kątowej „,.

Drgania elektryczne. Na okładkach kondensatora o pojemności C nałado­ wanego do napięcia U znajduje się ładunek q, na jednej dodatni na drugiej ujemny. Jak wiadomo q = CU. Jeżeli zewrzemy okładki za pomocą przewodu (cewki) o indukcyjności L, popłynie przezeń prąd o natężeniu i = 4

i po pewnym czasie napięcie na kondensatorze spadnie do zera. Ale przy przepływie prądu przez cewkę, powstanie w niej siła elektromotoryczna samoindukcji dl $ — — L - j - — —L q dt opóźniająca zanikanie prądu, który płynie dalej, i dopiero wtedy spada do zera, gdy kondensator naładuje się do napięcia —U, takiego samego jak na początku, ale o przeciwnej biegunowości. Zaczyna płynąć prąd w przeciwnym kierunku, kondensator się rozładowuje, w cewce powstaje siła elektromotory­ czna skierowana przeciwnie niż poprzednio, prąd przez to zanika wolniej i osiąga wartość zero, gdy ładunki znajdą się znowu na okładkach konden­ satora. Obwód osiąga stan wyjściowy i cały proces, zwany drganiami elektrycz­ nymi, powtarza się cyklicznie. Opisany obwód jest oscylatorem elektrycznym. Równanie drgań znajdziemy z II prawa Kirchhoffa

35

I3)

Om

0=0

C)

-O m

d)

y=o

0m

e)

. fc 1 —

I I —

/=0 T505ł5CłT'-J

Im

—

1=0

I I —

-

-Im

w

1= 0

Rys. 20. Przebieg drgań elektrycznych w obwodzie LC: a) Kondensator naładowany do napięcia U„, przez cewkę prąd nie płynie, b) o \ T później — kondensator całkowicie rozładowany, maksimum prądu w cewce, c) o i T później — kondensator naładowany do —Um, prąd nie płynie, d) po J T — kondensator rozładowany, w cewce maksimum prądu płynie w przeciwną stronę, e) po czasie T (okres) — powrót do stanu wyjściowego. Zaznaczono pole elektryczne w kondensatorze i magnetyczne w cewce

W każdej chwili napięcie na kondensatorze, czyli na końcach cewki jest równe sile elektromotorycznej samoindukcji. Ponieważ

więc C

= —Lq

albo

Otrzymane równanie drgań jest formalnie takie samo, jak dla oscylatora sprężystego. Wychyleniu x odpowiada ładunek q, przyspieszeniu x pochodna q itd. Rozwiązanie ma postać q = qmsin (wt + .9), gdzie qm jest amplitudą (maksymalną wartością ładunku). W opisanych drganiach 9 = i n (q = qm dla t = 0), a częstość kołowa a> =

i-

Okres drgań T = 2n J L Ć rośnie wraz z indukcyjnością cewki i pojemnością kondensatora. 36

W obwodzie drgającym nic się nie porusza (mechanicznie), nie ma wychylenia, zmienia się tylko ładunek na okładkach kondensatora. Odpowied­ nikiem siły zw ro tn ej, czyli czynnikiem zwrotnym jest siła elektro m o to ryczn a indukcji. Widać to szczególnie wyraźnie, jeżeli się ją przedstawi w postaci L q = ~ h qJej wartość jest wprost proporcjonalna do ładunku (odpowiednika wy­ chylenia) ze znakiem minus. Mechanicznym odpowiednikiem tego równania jest m x — — kx.

Widoczna jest też analogia m ięd zy stałą sp rężystą k a odw rotnością pojem ności 1/C o ra z m ięd zy m asą m a ind u kcyjn o ścią L , w yra ża ją cą bezw ładność elektryczn ą . Ważną właściwością drgających obwodów elektrycznych jest ich liniowość także przy dużych wartościach ą. Energia obwodu drgającego. Odpowiednikiem energii potencjalnej oscylato­ ra sprężystego jest w obwocjzie drgającym energia konden sa to ra (energia pola elek tryczn eg o )

1

1ą 2

2 qV = 2 C “ E” '

Jeżeli q odpowiada wychyleniu, to n a tężen ie prądu i = q je s t odpow iednikiem prędkości. Ponieważ odpowiednikiem masy jest indukcyjność, energię „k in e ty czn ą ” można wyrazić jako

Jest to energia m a g n e ty czn a c e w k i (energia pola m agnetycznego). Przy założonych warunkach początkowych ładunek kondensatora zmienia się zgodnie z równaniem q = q m cos o t (9 =

|rc). Natężenie prądu w cewce / = q = — (oq„ sin cot = — I m sin co t, 37

g d z ie I m = coqm je s t a m p lit u d ą n a t ę ż e n ia p r ą d u . 1

Eei =

,

cos2 w/

oraz E m = - L w 2q l ń n 2 G)t. A le

2C

2

LC

2

c z y li

E el = - L e o 2 c o s 2 ( 0 t S u m a o b u p o s t a c i e n e r g ii z w a n a e n e r g iq e le k tr o m a g n e ty c z n ą , E e, + E m — ^ L to 2 q l, ( c o s 2 w t + s i n 2 a>t)

Rys. 21. Energia obwodu drgającego. Suma energii elektrycznej i magnetycznej jest stała (jeżeli nie ma oporu „omowego”) j e s t w ię c s t a ła E ei + E m = | L e o 2 q m = E 0 = c o n s t . W a r to ś ć tej sta łej

En

l<łm 2 C

je s t r ó w n a m a k s y m a ln e j w a r to ś c i k a ż d e j z o b u p o s t a c i e n e r g ii, k tó r e w c z a s ie d r g a ń p r z e c h o d z ą w s ie b ie n a w z a je m .

38

Postać zespolona. Niekiedy bardzo wygodny jest opis drgań za pomocą wielkości zespolonych. Dla ilustracji wróćmy do równania jednowymiarowego ruchu drgającego wzdłuż osi x: x + co2x = 0. Poszukajmy rozwiązania w postaci x = Ac2'. Oczywiście x = ■/. Acu , x = k2 AeM. Po podstawieniu do równania wyjściowego i skróceniu przez AcM otrzymujemy tzw. równanie charakterystyczne A2+ w 2 = 0 , które ma dwa pierwiastki ż|.2 = ± J - t O 1 = ± j«0, gdzie j = v / —1 jest jednostką urojoną. Prowadzi to do zespolonej postaci rozwiązania równania ruchu * i ,2 = A e±Jm lub po zastosowaniu wzoru Eulera dla liczb zespolonych

Xi.2 = zl(cosw (±j sinwtj. Otrzymany wynik jest sumą wyrazów rzeczywistych i urojonych x = Re(x)±j lm(.x) fw dalszym ciągu ograniczymy się do znaku plus). Zarówno część rzeczywista

Re U) = A cos (ot, jak i urojona

lm(x) = A sin
39

a) A m p litu d ę A tr a k tu je m y j a k o r z e c zy w istą . Rozwiązanie ogólne jest sumą części rzeczywistej i urojonej x = /t1cos(t>t+i42sino>t. b) A m p litu d ę tr a k tu je m y j a k o ze sp o lo n ą A

= A oć*

i wykorzystujemy tylko rzeczywistą część rozwiązania zespolonego x = Re (A e i"“) = /40cos(o)< + 3), lub jego część urojoną x = Im(v4ei“,‘) = /40 sin (eoH-8). Uwzględniając rozwiązanie z ujemnym wykładnikiem można też napisać x = Re(/te_J“ ) = i40 cos(ait—9) lub x = Im(Ae_i"<) = A0 sin(—m t + 9 ) , co jednak nie wnosi nic nowego. Posługując się wielkościami zespolonymi musimy pamiętać, że se n s J iz y c z n y m a ją ty lk o c zę ści rze c zy w iste . Zwykle prowadzi się rachunek na liczbach zespolonych, a część rzeczywistą wydziela dopiero w ostatecznym wyniku. Niekiedy wygodna jest także interpretacja graficzna (wektorowa). O pisu ze sp o lo n e g o n ie m o żn a sto so w a ć d o w y ra że ń nielin io w ych (np. x2, N/ x itp.). Wektory fazowe. Liczbę zespoloną z = rel

a = rcosy, a na oś urojoną

b

= r sin
Rys. 22. Graficzna interpretacja liczby zespolonej. Faza

40

Moduł wektora

|r| = J a 2 + b 2, a faza

b

arctg-.

Jeżeli kąt

z = re 1M, ■ to wektor przedstawiający liczbę zespoloną wiruje z prędkością kątową w tym przypadku w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Rys. 23. Wirujący wektor fazowy. Rzuty końca wykonują ruch harmoniczny wzdłuż osi Ze względu na to, że z = rejwl = rcos«t+jrsina>f, taki wektor przedstawia zarazem d rg a n ia h a rm o n ic zn e o a m p litu d z ie r i c zę sto śc i k o ło w e j w . Koniec wektora zakreśla okrąg, a jego rzuty na osie poruszają się ruchem harmonicznym prostym: x

= Re (z) = rcosort,

y

= Im (z) = rsinwf = rcos(mt+ « i).

Wektor o długości równej amplitudzie drgań, nachylony do osi (rzeczywistej) pod kątem równym fazie, nazywamy w e k to re m fa z o w y m albo fa z o r e m . R u c h h a rm o n ic zn y o zn a c z a w irow anie fa z o r ó w .

Obroty fazorów. Mnożąc liczbę zespoloną przez j = y j — 1 otrzymujemy jz = jre^ = jr(cos«/>+jsinę>) = r(jcosę>-sin
(j2 = -1). Stąd j r e '* =

r (—sin + f)].

41

Wektor reprezentujący otrzymaną liczbę zespoloną jest nachylony do osi rzeczywistej pod kątem q>+ f Mnożenie przez j oznacza zatem obrócenie wektora r o kąt prosty w lewo (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Podobnie podzielenie przez j, czyli pomnożenie przez —j

1_ 1 j y^r

y/^T = (y ^ i)2

-y^T =->

interpretujemy jako obrót o kąt prosty w prawo. Podobne wyniki daje różniczkowanie i całkowanie.

Rys. 24. Pomnożenie fazora przez j oznacza obrót o n/2 „w lewo”, podzielenie — obrót o tt/2 „w prawo” Pochodna liczby zespolonej d 2 = --(reJ">) = irc,9
Rys. 25. Różniczkowanie liczby zespolonej oznacza mnożenie przez tp i obrót o n/2 w lewo, całkowanie — dzielenie przez (j> i obrót o n/2 w prawo. Podwójne różniczkowanie jest równoznaczne z pomnożeniem przez

42

co oznacza pomnożenie wektora r przez w i obrót o f w lewo. Powtórne różniczkowanie z = j i co = —rej“‘ co2 daje w wyniku wektor co2 razy większy i obrócony o 7t, czyli przeciwnie skierowany do z. Mamy tu wygodny opis przyśpieszenia skierowanego przeciwnie do wychylenia ,

z = —c02Z. Przy całkowaniu efekt jest odwrotny f zdr = — r e a , = - - z .

JOJ

0)

Otrzymamy wektor amplitudy jest w razy mniejszy i obrócony o

w lewo.

§ 3. Drgania złożone D o t y c h c z a s r o z p a tr y w a liś m y

drgania proste i jednowymiarowe,

tz n . z a c h o d z ą c e

r ó w n o le g le d o je d n e j z o s i u k ła d u lu b o g ó ln ie j d r g a n ia o j e d n y m s w o b o d y , c z y li ta k ie , w

k tó r y c h

d o je d n o z n a c z n e g o

w y s t a r c z a ła j e d n a w s p ó łr z ę d n a . O b e c n ie z a jm ie m y się

jedno-

o k r e ś le n ia

s t o p n iu

p o ło ż e n ia

drganiami złożonymi

wielowymiarowymi.

i

Zasada superpozycji.

Ł ą c z ą c z e s o b ą r ó ż n e o s c y la t o r y a lb o „ o b c ią ż a j ą c ”

d a n y o s c y la t o r r ó ż n y m i s iła m i, o tr z y m u je m y w

w y n ik u

d r g a n ia , k t ó r e s ą

w y p a d k o w ą d r g a ń w s z y s t k ic h u k ła d ó w i o d w s z y s t k ic h s ił lic z o n y c h o s o b n o . W y c h y le n ie w

d a n e j c h w ili j e s t s u m ą

w y c h y le ń

k a ż d e g o e le m e n t u

u k ła d u

w y w o ła n y c h p r z e z k a ż d y c z y n n ik o s o b n o , o c z y w iś c ie z u w z g lę d n ie n ie m a k t u a l­

zasada superpozycji. Opiera się ona na liniowym związku między wychyleniem a silą, leżącym u podstaw wszelkich ruchów harmonicznych i wynikającej stąd liniowości równań ruchu. M a t e m a t y c z n ie m o ż n a s f o r m u ło w a ć z a s a d ę s u p e r p o z y c j i n a s t ę p u ją c o : J e ż e li f u n k c j e / , i f 2 s p e łn ia ją r ó w n a n ie r u c h u , n y c h faz. J e st t o tz w .

t o s p e łn ia j e ta k ż e ic h lin io w a k o m b in a c j a

f = A f i + Bf2, g d z ie

A

i

B

s ą s t a ły m i d o w o ln y m i. N a p r z y k ła d j e ż e li r o z w ią z a n ie r ó w n a n ia

r u c h u h a r m o n ic z n e g o m a p o s t a ć

x = x msin(a)t + 9), to s u m a n

x = X x mis\n((oit + 9i) i=1 r ó w n ie ż s p e łn ia t o r ó w n a n ie .

43

Składanie drgań. W najprostszym przypadku dodawane drgania mają tę Ograniczymy się do dwóch drgań w tym samym kierunku różniących się w fazie o 9

sam ą czę sto ść i ró żn e am plitudy.

x x = A t s i n c o t, x 2 = A 2

sin (cot + 9 ) = A 2 ( cos 9 sin t o t + sin 9 c o s c o t) .

D o d a w a n ie m o ż n a p r z e p r o w a d z ić a lg e b r a icz n ie x = x ! + x 2 = ,41 s in o u t+ /i2 c o s 3 s in c o t + .4 2 sin 3cos< u f

= (v4x+ A 2 cos 9) sin cot+ A 2 sin 9 cos cot y/(A . + A 2cos 9¥ + A2sm29 . =v 1 2 -[Mi +j42cos3)sincuf+,42sin9cosc«t]. y/(A t + /12cos 3)24- /I2 sin2.9

Oznaczmy , + .4, cos 3 ■ - = cos ę , * J { A V+ A 2 cos 9)2 + A 2 sin2 9 A

A 2 s in 9

—

y / { A x + A 2 cos 3)2 + A \

(łatwo Teraz

zauważyć,

że

= sin ę sin2 9

warunek

sin2ę>+ cos2

jest

spełniony).

x = y / ( A i + A 2 cos 3)2 + A 2 sin23 (cos ę sin cot + sin ę cos cot) = A c o s (c o t + (p),

*

gdzie wypadkowa amplituda A

= y / { A t + A 2 cos 9)2 + A \ sin2 9 ,

a stała fazowa

ę

= arc tg

A 2 sin 9 X1+ /42cos5 ‘

W ynik dodaw ania z a le ży od ró żn icy f a z drgań składow ych. Dla 3 = 0, 2n, 4tt itd. amplituda wypadkowa przybiera największą wartość (wzmocnienie drgań)

■^maje 44

A^Ą~A2,

a dla 9 = n , 3n , 5 n itd. najmniejszą (osłabienie drgań) ^min

A 2•

W skrajnym przypadku (dla A , = A 2 — A ) A max — 2 A , a v4min = 0 (wyga­ szenie drgań). Dodawanie fazorów. Wynik superpozycji można interpretować geometrycznie jako sumę wektorów fazowych o amplitudach (długościach) A , i A 2 nachylonych do siebie pod kątem S i wirujących w płaszczyźnie, w której się znajdują, z prędkością kątową u>. Wartość sumy A jest równa długości przekątnej równoległoboku utworzonego przez wektory A , i A 2, a jej kąt nachylenia do wektora A t wynosi 0 łuk koła. Ze wzrostem liczby drgań amplituda wypadkowa A rośnie i maleje cyklicznie przechodząc przez zero, gdy N A 9 = n - 2 n (n — liczba całkowita). Jeżeli N AS < 2it, a AS jest dostatecznie małe, możemy długość linii łamanej utożsamiać z długością łuku rN A9 = N A A .

Rys. 26. Superpozycja drgań jako dodawanie fazorów Stąd promień koła _ N A A r ~ NA9'

Wypadkowa A jest długością cięciwy A

= 2r sin

NA9

2NAA NA9

. NA9

sin-

= N AA

s in ( ^ )

Rys. 27. Superpozycja N fazorów o jednakowej amplitudzie A A i stałej różnicy faz AS

45

Podstawiając iVA.9 = ę otrzymujemy

Dudnienia.

J e ż e li d r g a n ia s k ła d o w e r ó ż n ią s ię a m p litu d a m i, c z ę s t o ś c ia m i

i fa z a m i

yt = A, sinajjt, y 2 = A 2 s in (co2t + 3 ), t o w y n ik d o d a w a n ia y = y l + y 2 = A 1 s in C D j f + A j S in j c t ^ H - S ) b ę d z ie b a r d z ie j s k o m p lik o w a n y . P r z e k s z ta łc a ją c a r g u m e n t (o2t + &

=

( u , f — [(tu j —

a>2) t — 9 ]

i p o d s t a w ia j ą c d o w z o r u n a s u m ę w y c h y le ń , o tr z y m u je m y y = A 1 s in c u 1t + / l 2 s i n { ( y 1f — [(coj — a>2) t — 9 ] } , c o m o ż n a d o p r o w a d z ić d o p o s t a c i y = A s in jo jjt — ę ) . S ta łe A i ę

z n a jd z ie m y , r o z w ija ją c o b a w y r a ż e n ia

y — A x s i n a ) l t + A 2 s i n o > j t c o s [(tUj — o i2) t — 9 ] — A 2 c o s ( o ^ s in [(co t — co2) £ — 9 ] , y = A s in n j j t c o s c p — A c o s tW jfs in ę i p o r ó w n u j ą c w s p ó łc z y n n ik i p r z y s in c o ^ i c o s a ^ r -4 1 + /4 2 c o s [ ( a ) 1 — (0 2 ) t — &} — A c o s ę , A 2 sin [(o jj — a>2) t — # ] = ^4 s in

.

A m p lit u d a d r g a ń w y p a d k o w y c h z a le ż y o d c z a s u

i z m ie n ia się o d w a r to ś c i A l + A 2, g d y c o s in u s p o d p ie r w ia s tk ie m je s t r ó w n y 1, do

46

A t — A 2, g d y j e s t

rów n y

— 1 (d la

At = Ax = A

od

2A

do

0). O k r e s

z m ie n n o ś c i w y n o s i

2n

T=

0}1 — Q)2, a często ść v

1

Q)1

2-

T ~ 2 n

J e ż e li c z ę s t o ś c i o b u d r g a ń le ż ą w z a k r e s ie s ły s z a ln o ś c i, w p r a w n e u c h o s ły s z y tz w . to n k o m b in a c y jn y o c z ę s t o ś c i v, k tó r y p r z y m a łe j r ó ż n ic y c z ę s t o ś c i (p o n iż e j 1 6 H z ) p r z e c h o d z i w r y tm ic z n e p o w t a r z a n ie s ię m a k s im ó w a m p lit u d y , z w a n e d u d n ie n ia m i. v n a z y w a m y w t e d y c z ę s to ś c ią d u d n ie ń

*m

i w

m

m

i \ m

i w

m

i w

N

m

,

y=y> + /2

Rys. 28. Superpozycja drgań o częstościach pozostających w stosunku v,/v2 = ^ prowadzi do dudnień o częstości vd = \/Td = Vj—v2

D u d n ie n ia u ła t w ia ją p o r ó w n a n ie c z ę s t o ś c i d w ó c h o s c y l a t o r ó w (n p . p r z y s t r o je n iu in s tr u m e n t ó w ), c z y li w y k r y w a n ie i p o m ia r m a ły c h r ó ż n ic c z ę s t o ś c i. D r g a n ia w y p a d k o w e są o p ó ź n io n e w fa z ie w z g lę d e m p ie r w s z e g o d r g a n ia s k ł a d o w e g o ( y j ) . R ó ż n ic a fa z z a le ż y o d c z a s u

A 2 s in [(o jj — u)2) t — 9 ] ę = a rc tg + / ł 2 c o s [(a ij — a>2) t — 9 ]

i z m ie n ia s ię o d ę = 0 d la a r g u m e n tu w n a w ia s ie k w a d r a t o w y m r ó w n e g o 0 , n, 2 tc itd . d o tp = A 1! A l d la n ie p a r z y s te j w ie lo k r o t n o ś c i ^ jt.

47

Modulacja drgań. Przez odpowiednią superpozycję możemy uzyskać drga­ nia o amplitudzie będącej okresową funkcją czasu, na przykład A

= A l c o s to 1t + A 2,

czyli x

= (A t co s co t t + A 2) c o s o jt = 4 1cos1r+ /42coscof.

Drgania takie nazywamy m od u lo w a n ym i (o modulowanej amplitudzie), oj jest pulsacją drg a ń p o d sta w o w y ch (nośnych), oj1 — drgań m odulujących. Przekształ­ cając iloczyn cosinusów costot cosco^ = \ [cos (co —co^ t + cos (co + cot) t] dochodzimy do wyrażenia x =

^ .41cos (to —

cos (to+ ł2cosa)t.

Rys. 29. Drgania modulowane o częstości nośnej co i modulującej col

Oprócz częstości nośnej oj mamy do czynienia z dwiema częstościami pobocznymi oj + a)1 i co—cot. Drgania modulowane znalazły zastosowanie w telekomunikacji: drgania nośne mają częstość radiową, zmiany amplitudy zachodzą z częstością akustyczną. Zamiast x we wzorach występuje napięcie U. Oprócz modulacji amplitudy stosuje się także modulację częstości (częstot­ liwości). Drgania z modulowaną częstością spełniają zależność x = A cos [oj + B cos tOjt) t,

gdzie stała B ma wymiar pulsacji.

48

Analiza drgań.

K a ż d ą c ią g łą fu n k c ję o k r e s o w ą m o ż n a r o z ło ż y ć n a s z e r e g

F o u r ie r a

f ( t ) = A 0 + A 1d (Ot + A 2e 2i°3,+ . . . + A -

icot + A - 2e ~ 23
+ 00 =

przy czy m s t a w ie n ie

I

A Ć ' io t,

n j e s t lic z b ą c a łk o w it ą . F iz y c z n ie in te r p r e tu je m y t o j a k o p r z e d ­ drgań

z ło ż o n y c h

za

pom ocą

su m y

n ie s k o ń c z e n ie

w ie lu

drgań

h a r m o n ic z n y c h o c z ę s t o ś c ia c h b ę d ą c y c h w ie lo k r o t n o ś c ią p o d s t a w o w e j c z ę s t o ­ ś c i co. A b y o b lic z y ć w s p ó łc z y n n ik A 0 (c z y li w y r a z z e r o w y : n = 0 ), s c a łk u je m y s z e r e g w z g lę d e m c z a s u w g r a n ic a c h o d t — 0 d o t = 2n/a> = T (o k r e s p o d ­ s t a w o w y ). P o n ie w a ż fu n k c j a e"j“ ! j e s t o k r e s o w a , w ię c d la w sz y stk ifc h n ^ 0

2*/a> f

a

A„e"ico,d t =

o

a

= - r ^-(e2nnj— e ° ) = 0

njco

njco

i p o z o s t a j e t y lk o 2it/co

i

2n !
f(t)dt=

o

i o

2 jr

A 0 dt = — A 0.

(o

S tą d

Z e r o w y w y r a z j e s t ś r e d n ią w a r t o ś c ią fu n k c ji / (r) w o k r e s ie T. A b y o b lic z y ć d a ls z e w s p ó łc z y n n ik i, m n o ż y m y k a ż d o r a z o w o o b ie s t r o n y r ó w n o ś c i w y jś c io w e j p r z e z c z y n n ik

i c a łk u j e m y w ty c h s a m y c h g r a n ic a c h . Z n ik a ją w ó w c z a s

w s z y s t k ie w y r a z y o n r ó ż n ią c y m się o d d a n e g o i p o z o s t a j e t y lk o A „ (d la n — 1, A lt d la n — 2 A 2 itd .). S tą d d la d a n e g o n

(fi

A„ = y - j f ( t) e ~ nieo‘dt, la

o

co 2n/co A —n — ~z

2 tc

4 — Fizyka dla politechnik

f / ( t ) e " Jo" d r . o

49

A b y p r z e jś ć d o p o s t a c i r z e c z y w is te j, łą c z y m y p a r a m i w y r a z y z A n i A

(O

2*/<0

A ne"im‘ = — (c o s ncot + j s in ncot) { J f ( t ) c o s ncot d t

2rc

o

2n/o

J / ( t ) sin ncot d t } ,

—j

o A _„e

co . , 2”/" "J“ ‘ = — (c o s ncot —j sin ncot) { J f ( t ) c o s ncot d t Z7C

0

2n/co —j

J / (t) s in ncot d t } .

o P o w y m n o ż e n iu i d o d a n iu o tr z y m a m y

2n/ta A„ e ”Jo>l + A _ „e - n)mt = — c o s ncot

71

f / ( t ) c o s ncot d t

o

2n/to —

s in ncot

71

J / (t) s in ncot d t .

o

P o d s t a w ie n ie d o s z e r e g u d a je w w y n ik u

/(t) = J30 00

sin o)t+B2sin 2cot+ ... + C 1coscot + C2cos2cot+ ... 00

= Y jB„sin ncot + £ Cncos ncot, o

o

_________________________

p rzy czy m

■®o ~ T ( t ) ~~

co 2,t/®

B n = — f / ( t ) sin ncot d t ,

^

o_______________'

co 2l^“ C„ = — j / (t) c o s ncot d t. 71 o

A n a liz y d r g a ń z ło ż o n y c h m o ż e m y d o k o n y w a ć ta k ż e n u m e r y c z n ie i g r a fic z ­ n ie.

Funkcje nieokresowe. Podstawiając do szeregu Fouriera wzory na współczynniki przedstawiamy go w jednolitej postaci, trzeba tylko pamiętać, że zmienna całkowania nie musi być jednoznaczna z czasem

50

t występującym w wyrazach szeregu. Oznaczmy ją przez r. Teraz

n=+oo -. f(t) =

I

n= - oo

2nla) O

j/(c)e-«“ dT

+® CO2n^f0 = £ — f /(T)e"j<0<'_I|dT. - od^TC o Funkcja / (t) jest okresowa, można więc równie dobrze całkować w granicach od —f do f (? = Jt/co) + oo

j

/ « - !

+ 772

-o o

2

2nnj

I / W e T (l r)dt.

*

-r/2

Z uzyskanej postaci łatwo przejść do funkcji nieokresowej, którą można uważać za graniczny przypadek funkcji okresowej z okresem rozciągniętym od —oo do + oo. Podstawiając l / T=Av otrzymujemy + oo

+ T /2

/(« )= I Av { / ( T)e2""i<‘-'>ivdt. - to

- T /2

Z definicji całki wynika, że dla T rozciągniętego do nieskończoności, czyli dla Av dążącego do zera £j(nA v)A v = j J (v)dv, -CO -00 gdzie J oznacza całkę po

t

z poprzedniego wyrażenia Otrzymujemy stąd tzw. całkę Fouriera

f(t) = J [ J

/(T )e 2”Jv(,_t)dT] dv = J e2"jv' [ J f ~ CO “ <30 —Q0 ~50

dv

albo, oznaczając całkę w nawiasach kwadratowych przez F(v), +

00

f(t) = j F(v)ei2“” dv. —OO

F(v) nosi nazwę transformaty Fouriera funkcji /(f). Doszliśmy do ważnego wyniku: Nieokresowąfunkęjęf(t) można wyrazić jako ciągłą sumę (całkę) drgań harmonicznych o amplitudach przedstawionych przez transformaty Fouriera, zależne od v + 00

F(v) = | / (T)e“ 2”ivtdT. “ 00 Daje to możliwość analitycznego przedstawienia funkcji, których w inny sposób nie da się tak dogodnie wyrazić. Łącząc wielkości w pary i stosując wzór Eulera, podobnie jak to czyniliśmy przedtem, możemy przedstawić całkę Fouriera w postaci rzeczywistej

00

+00

f (t) = 2 J”[ j / (t) cos 2irv (t—i) ck] dv. 0

—oo

51

Uogólnienie równań. W ogólnym przypadku siła zwrotna jest wektorem F = —kr, gdzie r jest wektorem położenia równoznacznego z wychyleniem ze stanu równowagi. Siły spełniające ten związek nazywamy ąuasi-sprężystymi, niezależnie od ich natury. Uogólnione równanie ruchu ma postać wektorową mr = —kr albo f + — r = 0.

m

Podstawiając r = AeA', i = X1 AeAl i dzieląc przez eM otrzymujemy równanie charakterystyczne ż2+ - = 0 m

o pierwiastku

Rozwiązanie ogólne ma postać r = Aj ej<0I + A2e~j"‘ albo w postaci rzeczywistej r = Bj cos tot + B2 sin cot, przy czym stałe Aj, A2 oraz Bj, B2 są wektorami. Ich wartość znajdziemy z warunków brzegowych. Jeżeli np. dla t = 0 r = r0 i r = v0, to widać od razu, że Bj = r0. Różniczkując po czasie, otrzymujemy r = —B2cos cot, co dla t = 0 daje v0 = cuB2, czyli B2 = v0/
52

Otrzymane wychylenie jest sumą dwóch wektorów o kierunkach r0 i v0 i wartościach zmieniających się okresowo z częstością kołową co = yjk/m. Wprowadzimy układ współrzędnych x i y, równoległych odpowiednio do r0 i v0 (tzn. o wersorach x°||r0, y°||v0). Teraz x = r0 cos o t, vo ■ y=— sin tut. co

Rys. 30. Elipsa jako ogólny tor ruchu' harmonicznego a zarazem wynik złożenia dwóch prostopadłych drgań różniących się w fazie o n/2

Podnosząc do kwadratu i dodając stronami dochodzimy do równania elipsy = 1

o półosiach r0 i v0/a>, będącej ogólnym torem ruchu. Zmiana kąta między początkowym wychyleniem r0 i prędkością v0 zmienia nachylenie osi (ukośny układ współrzędnych). Tylko przy v0||r0 otrzymujemy drgania liniowe. Drgania dwuwymiarowe. Ograniczymy się do ruchów płaskich (z = 0). Przyjmiemy, że drgania składowe są prostopadłe do siebie, wzdłuż osi x i y, o amplitudach x m i ym, różniące się w fazie o 9, x = x mcoscot, y — ymcos(a)t—3). 53

Ujemna stała fazowa oznacza, że drgania wzdłuż osi y spóźniają się względem drgań wzdłuż osi x. W chwili t = 0 wychylenie w kierunku osi x jest maksymalne (x = xm), a y < ym. Rozpatrzmy przypadki szczególne w zależności od różnicy faz. y

X

Rys. 31. Składanie prostopadłych drgań o tych samych częstościach i amplitudach w zależności od różnicy faz 9

a) Przy zerowej różnicy faz (9 = 0):

torem ruchu jest prosta

stanowiąca przekątną prostokąta xy. Składanie drgań prowadzi tu do drgań liniowych. b) Przy różnicy faz 0 < 9 < §: Eliminując z równań wyjściowych parametr t, np. przez podstawienie cos cat = x/xm, sin a>t = 1 —(x/xm)2, otrzymujemy

czyli

Torem ruchu jest elipsa o osiach nachylonych do osi układu. 54

c) Przy różnicy faz 9 = §: x = xmcosot, y = ymcos (cot —f) = ymsin cot. Podnosząc oba wychylenia do kwadratu i dodając stronami dochodzimy do równania elipsy

o osiach leżących na osiach układu. To samo otrzymalibyśmy, podstawiając do poprzednio otrzymanego równania sin 9 = 1 i cos 9 = 0. Kierunek obiegania elipsy łatwo znaleźć: dla t = 0 , x = x m, y = 0 , tzn. punkt znajduje się na osi x najdalej od początku układu. W miarę upływu czasu x maleje, a y rośnie, dla t = J (cot = n/2) x staje się równe zeru, a y osiąga maksimum ( y = ym), po czym maleje, podczas gdy rośnie bezwzględna wartość ujemnej teraz współrzędnej x itd. Jak widać obieg jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Takie drgania nazywamy eliptycznymi lewoskrętnymi. To samo dotyczy całego zakresu różnicy faz 0 < 9 < n. d) Przy różnicy faz 9 = n: x = x mcos (Ot, y = ymcos (cot —rc) = - y mcos cot. Stąd

Drgania zachodzą po prostej o ujemnym współczynniku nachylenia, czyli nachylonej pod kątem rozwartym do osi x. e) Przy różnicy faz n < 9 <2n: Ruch odbywa się po elipsie, kierunek obiegu jest zgodny ze wskazówkami zegara (drgania eliptyczne prawoskrętne). Dla 9 = §n osie elipsy pokrywają się z osiami układu. f) Przy różnicy faz 9 = 2n: ruch identyczny jak przy 9 = 0. Jeżeli amplitudy obu drgań składowych są sobie równe x m = ym = r, a 9 = (2n + 1)55

(n ~ O, 1, 2, .. O, to otrzymujemy ruch po okręgu, przy czym dla 0 < 9 < n obieg jest lewoskrętny , dla n < 9 < 2tl — prawoskrętny. Niekiedy stosuje się nazwę: drgania kołowe lewo- lub prawoskrętne. Tę samą analizę można przeprowadzić, stosując zespoloną postać wzorów x = xmeJ<0', y = ymej<" '“ 9). Stosunek wychyleń Y

-L —

Y

P

y

v

™

ym

jest rzeczywisty dla 3 = 0 lub n. Odpowiadają temu drgania liniowe. Ze­ spolonemu stosunkowi wychyleń przy pozostałych wartościach różnicy faz odpowiadają drgania eliptyczne. Zwróćmy uwagę, że superpozycja dwóch drgań kołowych lewoskrętnego i prawoskrętnego

x 2

— xme " J(w,_S),

daje w wyniku drganie liniowe x 1+ x 2 = xme•W2(eJ^“'~ 3/2)+ e -J'<‘“‘~3/2,) = 2x„, eW2 cos (cot —$9), zachodzące wzdłuż prostej nachylonej pod kątem -]-3 do osi rzeczywistej.

Różne częstości. Jeżeli składane drgania różnią się także częstościami ĆOj ^ C02 ,

różnica faz nie jest już stała. Przy niewielkiej różnicy częstości Atu x = xmcos o)tt, y = ymcosco2t = ymcos [ 0 ^ + (a>2—

= ymcos(a>lt + Acot)

różnica faz 3 = Aco t jest liniową funkcją czasu. Drgający punkt, przebiega krzywe odpowiadające różnym wartościom 3, zbliżone do elips i przechodzące

Rys. 32. Przy składaniu drgań różniących się także częstościami powstają figury Lissajous

56

kolejno jedna w drugą, a z biegiem czasu równomiernie pokrywające cały prostokąt 2xm2ym. Nazywamy je figurami Lissajous. Przy wymiernym stosunku częstości obu drgań tor staje się krzywą zamkniętą. Dla cuj = co2 figury Lissajous przechodzą w omówione już poprzednio elipsy lub linie proste. Występowanie figur Lissajous świadczy o różnicy częstości i pozwala na jej wykrycie i zmierzenie.

§ 4. Drgania tłumione W dotychczasowych rozważaniach pomijaliśmy opory ruchu, zdefiniowane jako siły zależne od prędkości v i przeciwnie do niej skierowane

F„p=

—f(v)

v°.

Ich cechą charakterystyczną jest dyssypatywność: praca oporów ruchu jest zawsze ujemna, a energia ulega nieodwracalnemu rozproszeniu w postaci ciepła. Rozróżniamy następujące rodzaje oporów ruchu: a) Tarcie poślizgowe albo kolumbowskie, stałe przy stałej sile N dociskającej do siebie ślizgające się ciała T = p0N (p0 — współczynnik tarcia statycznego). b) Lepkość albo tarcie wewnętrzne, czyli tarcie przy ślizganiu się po sobie warstw danej substancji, przy niezbyt dużych prędkościach wprost propor­ cjonalne do prędkości

przy czym współczynnik / jest wprost proporcjonalny do współczynnika lepkości. Będziemy go nazywali współczynnikiem oporów ruchu. c) Opór hydrodynamiczny, proporcjonalny do kwadratu prędkości (przy niezbyt dużych prędkościach) F„ = / V .

W dalszym ciągu ograniczymy się do oporów wprost proporcjonalnych do prędkości. 57

Równanie drgań tłumionych. Wstawiając siły oporów do równania drgań otrzymujemy mx = —kx —f x lub

Stosunek k/m jest kwadratem częstości kołowej drgań nietłumionych. Dla odróżnienia od częstości drgań tłumionych będziemy ją odtąd oznaczali przez C0n

m

COo-

Zdefiniujemy jeszcze tzw. współczynnik tłumienia f P=2 m i wprowadzimy obie wielkości do równania ruchu X + 2fix + G)oX = 0. Otrzymaliśmy standardową postać równania drgań tłumionych. Jak dodat­ kowy wyraz zależny od prędkości wpływa na kształt rozwiązania? Można się spodziewać, że tarcie po pewnym czasie stłumi drgania, a więc amplituda będzie malała. Z drugiej strony opory ruchu hamują drgania, co powinno prowadzić do wzrostu okresu. Najkrótsza droga do rozwiązania prowadzi przez podstawienie x — AeXl. Stąd x = AAeXt oraz x = A2 AeXl. Podstawiając to do równania wyjściowego A (A2+ 2j6A+ a>o) e2‘ = 0 58

i skracając przez AeM (^ 0 ), otrzymujemy tzw. równanie charakterystyczne X2 + 2/U + e<>o = 0, które przy małych wartościach /? (w porównaniu z co0) ma dwa pierwiastki = ~ 0 ± j ^ / c o ^ p 2. Oznaczając y/(0l - P2 =

CO

możemy je zapisać w postaci X — —fi i jen. Oczywiście j = y j — 1 jest jednostką urojoną. Rozwiązanie ma postać x = ^ 1e(~''+j®>t + /42e( - ',_j0,)' = e~fit(Aleiw, + A2e~imt). Podstawiając

i wykorzystując związek e ^ + e-j?

-----------= cos ę otrzymujemy rozwiązanie rzeczywiste x = ^ Oe"^'cos((yt + S). Łatwo sprawdzić, że zależność x = /ł0e -plsin(cot+ $) również spełnia równanie wyjściowe. Wykres drgań tłumionych. Rozwiązanie zespolone w postaci z = A 1e~l,,ei(0t 59

lub po podstawieniu zespolonej amplitudy A 1 = /40ejS z = A0e~fit ej(“,±S) możemy interpretować geometrycznie jako wektor (fazor) o malejącej długości (amplitudzie) A = A0e~fit,

Rys. 33. Wykres drgań tłumionych i jego geometryczna interpretacja — wirujący fazor o malejącej długości, którego koniec zakreśla spiralę logarytmiczną

wirujący w płaszczyźnie Gaussa z prędkością kątową co, nachylony pod kątem cot + ,9 do osi rzeczywistej. Koniec spiralę logarytmiczną. Rozwiązanie rzeczywiste jest rzutem z osi. Ma ono dwie składowe: „rzeczywistą” (rzut na oś

a w danej chwili wektora zakreśla wektora na jedną rzeczywistą)

x = A0e~pt cos (cot + 9) i „urojoną” (rzut na oś urojoną) y = zl0e -/)tsin(cot + $). Ściśle biorąc nie jest to ruch okresowy, bo nie ma pełnej powtarzalności. Przyjęto jednak uważać go za drgania o częstości co = J o Ą - f i 2 < co0 mniejszej niż częstość co0 drgań nietłumionych i o wykładniczo malejącej amplitudzie A = A 0e~pt 60

zwane drganiam i tłum ionym i. Stała fazowa 3 wiąże się z początkową wartością wychylenia, która wynosi A 0 sin 3 — jeżeli posłużymy się rozwiązaniem o postaci sinusoidalnej lub A 0 cos 3 dla postaci cosinusoidalnej. Jak wiadomo, wynika to tylko z wyboru początku rachuby czasu (chwili włączenia zegara). Dekrement logarytmiczny. Czynnik wykładniczy e~fit wyrażający zanik amplitudy w czasie nosi nazwę czynnika tłumienia. Jego wartość w ciągu okresu T wynosi _ ę —2łt/S/ta _ g ~ <5

Wykładnik <5 =

f]T = 2 td co

nazywamy logarytm icznym dekrementem tłumienia. Nietrudno go znaleźć jako logarytm stosunku dwóch kolejnych amplitud A(t)

A 0e ~ pt

A (t+ T)

A 0e ~ fi(t+T)

l n — --- — = l n - —

= ln

e ~ 0t _„^ = f i T = 5 .

e 0‘e

Ze względu na fi = j]2 m można stwierdzić, że

dekrement tłum ienia je s t

w p rost proporcjonalny do współczynnika oporów ruchu f T S = ^ ~ T = — f, 2m 2m

co pozwala łatwo wyznaczyć ten ostatni f _2m

2m

A (t)

J ~ Y ó ~ Y [nA ( t+ r y

jeżeli znamy m i T i zmierzymy stosunek amplitud. W praktyce lepiej jest wziąć stosunek amplitud dla odstępu czasu równego kilku (n) okresom ln

-4(0 A(t + nT)

— ln A ę-Ht +nT) =

n f t T = nó.

Wówczas współczynnik oporów 2m j

A (i)

n T n A(t + nT)'

61

Znajomość dekrementu tłumienia ma znaczenie m.in. w technice pomiaro­ wej, np. przy dokładnym ważeniu albo podczas mierzenia krótkotrwałych impulsów prądowych za pomocą czułego galwanometru. Wróćmy do częstości kołowej drgań tłumionych. Przy słabym tłumieniu (p
Podstawiając ją do wzoru na dekrement oraz uwzględniając fl = f/2m, otrzy­ mamy

Stała sprężysta k i masa m, które odwrotnie wpływają na częstość drgań, jednakowo wpływają na tłumienie: im większe k i m, tym szybszy zanik amplitudy. Niekiedy dogodne jest wyrażenie dekrementu logarytmicznego w funkcji różnicy dwóch kolejnych amplitud AA = A (t)—A (t + T). Oznaczając A (t+ T ) przez A mamy A (t) = A + AA i stąd

Rozpisując to na szereg mamy

Przy słabym tłumieniu AA

S

A i wolno pominąć wszystkie wyższe wyrazy. Pozostaje

AA

~A

W pierwszym przybliżeniu dekrement logarytmiczny jest równy względnemu zanikowi amplitudy po jednym okresie. Czas relaksacji. Nazywamy tak czas t, po którym amplituda zmaleje e razy A(t) A (t + t) Stąd

czyli

0r =l

62

= e.

albo

Czas relaksacji jest odwrotnością współczynnika tłumienia. Można go też wyrazić za pomocą dekrementu 1T

T

X~ p T ~ 7 '

Dobroć i straty energii. Energia oscylatora tłumionego w skrajnym wy­ chyleniu, tj. dla x = A(t), jest wyłącznie energią potencjalną E ^ h k A ^ t). Po okresie T energia spada do wartości E2 = $kA 2(t + T). Podstawiając A{t) = A i A(t + T) = A —AA otrzymujemy Ex = \ k A 2, E2 = \k ( A 2- 2 A A A + A A 2). W czasie jednego okresu strata energii wynosi AE = E x—E2 = kA AA —j k A A 2. Dzieląc ją przez E = %kA2 otrzymujemy względny ubytek energii na okres AE _ 2 AA E ~ A

( A A \2 [ A ) '

Dla słabego tłumienia można pominąć drugi wyraz AE E

AA A

2<5.

Względna strata energii na okres jest w przybliżeniu równa podwojonemu dekrementowi tłumienia. Jej odwrotność pomnożona przez 2n

Q=

n 5

63

nosi nazwę dobroci oscylatora. Jest ona tym większa, im mniejsze są straty energii. Można ją także wyrazić w postaci n nco a) ^/cxĄ —oo2 j T = 2nf}=Z2f}= 2fi albo przy bardzo słabym tłumieniu „

co0

km

U km

e,,2?=Vm4 r i r

Dobroć oscylatora rośnie ze wzrostem masy i stałej sprężystości, ma­ leje — co jest oczywiste — ze wzrostem oporów ruchu. Wróćmy do energii oscylatora tłumionego. Energia potencjalna maleje z kwadratem amplitudy Ep — $kx2 = $kA źe~ 2p‘sin2{ot + 8). Po czasie t = T jej względny ubytek wyniesie

Czynnik zaniku energii jest równy kwadratowi czynnika zaniku amplitudy. Jak widać

Podobnie dzieje się z energią kinetyczną. Ze względu na x = A0e~pt [co cos (cot + 9) —/i sin (cot + 9)] mamy łtlX ^ 1 Ek = —~—-= -m A oe~2fit [co cos (cot-l-9) —/? sin (cot+ 9)]2 i czynnik zaniku energii (względna strata energii) _ Ek 64

-2/iT = e -2 s

E

Rys. 34. Straty energii w drganiach tłumionych

Suma energii również maleje. Zróżniczkujmy ją względem czasu E = ^ (^ m x 2+ ^ k x 2) = (mx + k x )x . Z równania drgań wynika, że wyrażenie w nawiasie jest siłą oporów ruchu mx + kx = —f x . Stąd E = —f xx = —f x 2. Pochodna energii jest równa mocy traconej na opory ruchu. W ostatecznym efekcie energia ulega rozproszeniu w postaci ciepła. Oscylator silnie tłumiony. Jeżeli współczynnik tłumienia ma dużą wartość w porównaniu z częstością drgań nietłumionych /? > <■)„. to oba pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste >*1.2 = - /? + Rozwiązanie ogólne

jest kombinacją wyrazów wykładniczych. Stałe A x i A 2 zależą od warunków początkowych. Ruch jest aperiodyczny. W szczególnym przypadku może dojść do maksimum wychylenia w jedną stronę, do drgań nie dochodzi nigdy. 5 — Fteyka dla politechnik

65

Poszczególne wyrazy zanikają z różną szybkością, zależną od współczynnika tłumienia — najwolniej wyraz z wykładnikiem —yjfi2 —colt — a wyraz z wykładnikiem dodatnim rośnie.

Rys. 35. Aperiodyczny zanik amplitudy w ruchu silnie tłumionym w zależności od czynnika tłumienia f}

Tłumienie krytyczne. Nazywamy tak przypadek pośredni, gdy współczyn­ nik tłumienia jest równy pulsacji drgań nietłumionych

czyli / = 2 m fi = 2 y / k m .

Równanie charakterystyczne ma tylko jeden pierwiastek żi,2 = ż = —/i. Oprócz rozwiązania x t - A te~pt istnieje jeszcze drugie x2 = A 2te~p‘. Rozwiązanie ogólne jest sumą x = (A l + A 2t)e~pt. Stałe A l i A 2 zależą od warunków brzegowych. Na przykład, jeżeli dla t = 0 x = x 0 i x = v0, czyli x (0) = A t = x 0, x(0) = - 0 A 1+ A2 = v0, 66

to A 2 = v0 + fix0, i stąd X = O o + (v0 + Px0)t]e 7jz względu na P > y /p 2—co%zanik wychylenia jest szybszy niż w poprzednim przypadku. Przykład. Przyrząd balistyczny. Balistycznymi nazywamy przyrządy do pomiaru krótko­ trwałych impulsów. N a przykład w galwanometrze balistycznym impuls prądu powoduje od­ chylenie ruchomego elementu (wskazówki lub lusterka) od równowagi z prędkością v0 zależną od wielkości impulsu i bezwładności układu. Impuls trwa zbyt krótko, by przyrząd mógł pokazać pełne wychylenie. Układ jest krytycznie tłumiony. Sformułujemy warunki brzegowe (początkowe): dla t = 0, x = 0 i x = v0, czyli X(0) = Ay = 0

Rys. 36. Wychylenie przyrządu balistycznego wzór na wychylenie otrzymuje postać x = A 2te ft. Stąd x = A 2e e, —pA 2te~f'. Dla t = 0 x(0) = A 2 = t>0. Ostatecznie x = v0te~fl. Czas, po którym wskaźnik się zatrzyma, znajdziemy z równania x = v0e~f ‘ —fiv0te~f' = 0, którego rozwiązaniem jest /?t — ł. Wychylenie osiąga wtedy maksimum x

■

e/?’

Zwróćmy uwagę, że silniejsze tłumienie jest niekorzystne, bo wydłuża czas zaniku wychylenia, który jest najkrótszy przy tłumieniu krytycznym.

67

Tłumienie w obwodzie. Analizując zjawiska zachodzące w obwodzie drgają­ cym złożonym z kondensatora i cewki, pominęliśmy opór elektryczny. W rze­ czywistości cewka indukcyjna i przewody łączące mają skończony opór. Dla wygody będziemy nadal uważać je za bezoporowe, a ich opór za skupiony w dołączonym szeregowo oporniku. Można się spodziewać, że przy przepływie prądu na oporze będzie się wydzielało ciepło i całkowita energia złożona z energii elektrycznej kondensatora i energii magnetycznej cewki będzie pomniejszona o zależne od czasu straty energii dEr = i2R dt - q2R dr

r L

R

Rys. 37. Obwód drgający z opornikiem, który gra rolę analogiczną do oporów ruchu w układach mechanicznych

(podobnie jak przedtem oznaczyliśmy ładunek kondensatora przez q). Stąd Lq2 _ d / l2+ ~ = —Rq2 dr \2C

E =

czyli ^ q q + Lqq + Rq2 = 0 albo w bardziej typowej postaci

Porównując to z równaniem drgań tłumionych oscylatora sprężystego x + 2fix + oĄx = 0, widzimy, że oba równania są formalnie identyczne. Wielkości fi odpowiada stosunek R/2L, a cofi = \/LC, zgodnie z tym, co stwierdziliśmy przy omawianiu obwodu nietłumionego. 68

Identyczne równania mają identyczne rozwiązania. Dla R /2 L 4 l / j L C , czyli R2 1 4Z? ^ L Ć (tzn. przy słabym tłumieniu) mamy ą = q0e 2L sin (cot + &), gdzie q0 jest stałą o wymiarze ładunku, zależną od warunków brzegowych: w chwili t = 0 ładunek w kondensatorze (jednego znaku) wynosi «7 (0 ) = q0 sin R

Amplituda zmian ładunku q0e 2L zanika wykładniczo z dekrementem logarytmicznym §

R j ,_ R '2 k 2L 2La>

R tc L co’

a współczynnik dobroci wynosi Leo ~R' Częstość drgań tłumionych co =

n

r2 ~ 4 l 2< 0}°

ić

i

jest mniejsza niż nietłumionych. Przy bardzo słabym tłumieniu Q

Laię R

Zwróćmy uwagę, że

I

c

/ i .

L/C ma wymiar oporu. Dla R2/4L2 = 1/LC, czyli dla

R = 2 / — —/?kryt tłumienie jest krytyczne. Kondensator rozładowuje się zgodnie ze wzorem R q = (Ai + A2t)e ~2L* 69

przy czym stała A t oznacza ładunek q0 dla t = 0, a stałą A 2 znajdziemy różniczkując powyższą zależność względem czasu R

—t R -śrt R q = - — q0e 2L + A 2e 2L‘ - ^ - , 4 2te 2L 2L* i podstawiając dla t = 0, q = i0 R h ~ ~ 2 L qo + A2Stąd , R A 2 = 1o+ 2l 9o i ostatecznie

q = q0e 2L' + ( i0+ ^ q 0 ] te

Na koniec przy tłumieniu silniejszym niż krytyczne, tzn. dla R > 2 y/L/C , otrzymujemy

przy czym stałe A t i A 2 mają wymiar ładunku. Można je znaleźć z warunków brzegowych. Niekiedy bardziej interesujące są zmiany natężenia prądu. Znajdujemy je przez różniczkowanie. W przypadku periodycznym . . R l = q = ~ 2 L qo&

sin

/ 1 2L + J l c ~ 4L2<1oG r

r


fe~I?'+9|+ COS

R2 L C ~ 4Z?COSl ,Z ^ “ S ? ' + 9■)-

O "*:

co można też zapisać prościej

co

(tot 4- 9)

Jeżeli chcemy znaleźć zmiany napięcia, możemy wykorzystać wzór na prąd rozładowania kondensatora dq dU i = ~T= C — , dt dt z którego wynika

i scałkować otrzymane równanie U = ^ q Qcoe~pt cos(cot + 3) ——sin(cot + $) dt, otrzymując ogólną zależność U = e P*

sin (cot + 9) + B2 cos (cot + 3)]

z dwiema stałymi o wymiarze napięcia możliwymi do wyznaczenia, jeżeli znamy warunki brzegowe.

§ 5. Drgania wymuszone Poprzednie rozdziały były poświęcone drganiom swobodnym, rola czynnika zewnętrznego, np. siły, sprowadzała się do wywołania początkowego wy­ chylenia (odkształcenia), po czym czynnik znikał i drgania zachodziły swobod­ nie, bez jego udziału. Charakterystyczną dla danego oscylatora częstość drgań swobodnych nietłumionych

nazywamy także częstością drgań własnych. Amplituda jest stała. Opory ruchu, takie jak np. opór ośrodka, są także czynnikiem zewnętrznym, który wpływa na ruch, zmniejszając jego amplitudę A = A0e pt 71

i częstość co = y /c o l-fi2, a w granicznym przypadku całkowicie uniemożliwia drgania. Jednak opory ruchu nie mogą same wywołać drgań. Jeżeli do układu przyłożymy okresowo zmienny czynnik zewnętrzny, np. siłę, powstaną drgania, których częstość będzie taka sama, jak częstość zmian (drgań) czynnika. Takie drgania nazywamy wymuszonymi. Rozróżniamy przy tym dwie fazy tego zjawiska: a) stan przejściowy zwany także nieustalonym („rozkołysanie” układu) o amplitudzie zmiennej w czasie, b) stan ustalony albo stacjonarny, w którym amplituda osiągnęła już ostateczną wartość.

Rys. 38. Wzrost amplitudy drgań wymuszonych w funkcji czasu

Stan ustalony. Jeżeli siła wymuszająca drgania jest harmoniczną funkcją czasu F = F0 sin Qt, przy czym F0 jest jej maksymalną wartością, a Q częstością kołową, to równanie drgań ma postać mx = —k x —f x + F0 sin Qt, czyli p .. f . k x 4— x H— x = — sin Qt. m m m Współczynnik przy drugim wyrazie oznaczymy jak poprzednio przez 2/3 (podwojony współczynnik tłumienia), a przy trzecim jako o;,2, (kwadrat często­ 72

ści drgań własnych). Współczynnik przy sin Qt ma sens przyśpieszenia, jakie uzyskałby punkt o masie m pod wpływem stałej siły równej amplitudzie siły wymuszającej drgania. Oznaczymy je przez a0

Teraz x + 2/3x + a>lx = a0 sin Qt. Z teorii równań różniczkowych wiadomo, że ogólne rozwiązanie takiego równania jest sumą całki ogólnej odpowiedniego równania jednorodnego x + 2px + a)ox = 0 , czyli znanego nam już równania drgań tłumionych oraz całki szczególnej danego równania. W rozwiązaniu równania drgań tłumionych amplituda zależy od czasu, a więc odpowiada ono stanowi nie ustalonemu, który omówimy później. Zgodnie z doświadczeniem możemy się spodziewać, że w stanie ustalonym drgania będą harmoniczne o częstości takiej samej, jak siła, która je wymusza, czyli Q, ale spóźnione w fazie o 6. Szukamy więc funkcji postaci x = A 1 sin Qt + A2 cos Qt — A sin(f2t —9), gdzie amplituda A = J A\ + A\, a różnica faz 9 = arc —A J A 1). A i 9 moż­ na znaleźć różniczkując dwukrotnie x względem czasu, wstawiając do rów­ nania różniczkowego i porównując współczynniki przy sin Qt i cos Qt. Jednak łatwiej jest założyć zespoloną postać siły wymuszającej F = F0eiQt, co prowadzi do równania x + 2^ x + o)qX =

a0ejfiI

i poszukiwać zespolonego rozwiązania x = AeiiQt~e). Stąd x =}QAQiin,- e\ x = —Q2 73

i po podstawieniu do równania wyjściowego otrzymujemy - Q 2A ^ a t ~ 9) + } 2 p Q A ^ a t - e) + ( o l A e HSi,~ e) = a 0e ia ‘

lub po podzieleniu obu stron przez ej(fir_S) A (
Moduł otrzymanej liczby zespolonej jest równy a0 — y jA 2 (ct>o—fi2)2 + A 2-4/ł2Q2 — A y/(a>o —Q2)2+ 4f}2Q2

Rys. 39. Geometryczna interpretacja zespolonej amplitudy drgań wymuszonych

i stąd

oraz

6 = arc tg

2pQ coo —Q2

Rezonans wychylenia. Otrzymaliśmy bardzo istotny wynik: amplituda drgań wymuszonych zależy od ich częstości. Przeanalizujmy przebieg tej zależności, zaczynając od małych częstości. Dla Q = 0, czyli w przypadku stałej siły F0 amplituda drgań przechodzi w wychylenie statyczne A=

mai'2 o

k

s

Przy wzroście częstości i niewielkich oporach ruchu (tzn. małym p) wpływ drugiego wyrazu (4fś2Q2) pod pierwiastkiem mianownika jest nieznaczny, przeważa pierwszy wyraz (a>o —FI2)2, który dla Q < oj0 maleje ze wzrostem £2. 74

Powoduje to wzrost amplitudy, która przy pewnej częstości Qr osiąga maksimum. Zjawisko to nazywamy rezonansem, a Qr częstością rezonansową. Maksimum amplitudy odpowiada minimum mianownika. Zróżniczkujmy względem częstości wyrażenie pod pierwiastkiem i przyrównajmy pochodną do zera 4 - [(<»§ - Q2)2 + 4jS2Q2] = 2 (co l - Q2) ( - 20) + 8p2Q ai2 = 4Q3-4co20Q + Sp2Q = 0,

Rys. 40. Krzywa rezonansowa, czyli zależność amplitudy drgań wymuszonych od częstości (Qr — częstość rezonansowa, Am — amplituda w rezonansie, Ast — am­ plituda statyczna)

czyli 4Q [O2— (cop —2/?2)] = 0 Stąd częstość (pulsacja) rezonansowa Qr =

o)q—2fi2.

Rezonans zachodzi przy częstości nieco mniejszej niż częstość drgań własnych. Podstawiając częstość rezonansową do wzoru na amplitudę, znajdujemy jej wartość w rezonansie A

F°

m y/(a>ź - cog + 2/i2)2+ 4fi2{oĄ -

2j82)

F° m yf4p2(fi2+ cog- 2[i2)

czyli Fq Fo 2m$yJw% —$2 fo t’ 75

gdzie / = 2mfi jest współczynnikiem oporów ruchu, a a> = ^/coo —{I2 — częs­ tością drgań tłumionych. Przy dalszym wzroście częstości mianownik wyrażenia na amplitudę znowu rośnie, a sama amplituda maleje dążąc asymptotycznie do zera przy częstości rosnącej do nieskończoności. Wykres amplitudy w funkcji częstości nosi nazwę krzywej rezonansowej. Opóźnienie w fazie. Wychylenie drgań stacjonarnych x = A e iiS},~ e)

lub w postaci rzeczywistej x =

= sin (Qt —6) = x msin (Qt—9) m J ((o l —Q2)2 + 4P2Q\2

jest opóźnione w fazie o 0 względem zmian siły wymuszającej, która zmienia się jak sin£łt. Różnicę faz można przedstawić w postaci

6 — arc tg

2j3Q 2j8(ft/q>g) = arc tg a>o—Q2 1- (Q2/coo)

Różnica faz rośnie z częstością od 0 = 0 dla 0 = 0 (przypadek statyczny) do 0 = k dla O —>oo. Dla bardzo małej częstości wychylenie jest zgodne w fazie z siłą wymuszającą, przy bardzo dużej częstości — przeciwne. Z dala od rezonansu wzrost fazy z częstością jest powolny, w pobliżu rezonansu szybki (przy małych oporach). Różnicę faz w rezonansie otrzymamy podstawiając do wzoru częstość rezonansową 0r - arc tg

2/V cog-2/?2 = arc tg (Do —tol + ip 2

P

Rys. 41. Opóźnienie fazy drgań w stosunku do zmian siły wymuszającej w zależności od częstości

76

czyli

Zauważmy jeszcze, że dla Q = a>0 różnica faz przybiera wartość Krzywa rezonansowa. Przekształcając wzór na amplitudę drgań wymuszo­ nych możemy ją wyrazić w funkcji stosunku Q/a>0: =

m y/{(Oo —&2)2+ 4f}2Q2

ma>o >/( 1—Q2/a>o)2 +

4/?2Q2/a)o

Fn k V [ l - ( Q / a ) 0)2] 2+ [2 {f3/0){Q/a)0)Y Ale F0/k oznacza wychylenie statyczne. Stąd

^ [ 1 - (f? K )2] 2+ [2 (P/0 i p/(o0, aby wyrazić amplitudę drgań wymuszonych w porównaniu z wychyleniem statycznym. W rezonansie

Qr = sW 0-2 p 2 =

ca0N/ l

—2(p/o)())2

Rys. 42. Uniwersalne krzywe rezonansowe w zależności od współczynnika tłumienia, im większe /?, tym słabszy rezonans. Dla fl > ftkT rezonansu nie ma

77

i stąd

1

*mr Xs*

x / [ 2 ( P / a j . f y + 2 (P/a>0) y i - 2

__________1________ ~ Itflc o jJ l-ifilo io f co przy małym tłumieniu (dla j3/co0
__

0

gdzie Q jest współczynnikiem dobroci układu (przy słabym tłumieniu co « a>0) i zarazem współczynnikiem wzmocnienia. Wyprowadzony wzór pozwala na szybkie oszacowanie wzrostu amplitudy w rezonansie przy słabym tłumieniu. Na przykład dla fi = 0,01 co0, Q = 50 i otrzymujemy xmr = 50 xs„ co jest na ogół nie do przyjęcia w realnych układach (mechanicznych). Przy f}/a>0 = 0,03, Q = x mr/x st = 16. Z taką amp­ litudą można się liczyć konstruując skrzydła samolotu.

Ostrość rezonansu. Miarą ostrości rezonansu jest tzw. szerokość połówkowa, czyli szerokość w połowie wysokości. Aby ją wyznaczyć, trzeba znaleźć częstości, przy których amplituda jest równa połowie amplitudy rezonansowej. 78

Musimy więc rozwiązać równanie xm Xmr

F J [m >/( a ) l- Q 2)2+ 4p2Q2'] F0l(2mfim)

1 2’

_______ 2/ho_______ _ 1 y /i^ W + lW

" 2'

Rozwiązanie to ma postać Q 2 = 2 — $ 2 ± 2 J ? )

lub Q12 = co

V

1,2

\+2 j l - - ^ . - v ca co2

Przy słabym tłumieniu można odrzucić wyraz kwadratowy pod pierwiast­ kiem i zostanie =

/ l ± 2 ^ /3 — -

Rozwijając w szereg i pomijając dalsze wyrazy, co jest dopuszczalne dla fi <| co, otrzymujemy

QU2 m co f l + y 3 - J = co+ V 3 /?.

Rys. 44. Szerokość połówkowa AQ jest szerokością w połowie wysokości

79

Szerokość połówkowa wynosi więc AQ k,Q 1- Q 2 = 2^/3 p. Jak widać rezonans jest tym ostrzejszy (maksimum węższe), im słabsze jest tłumienie, tzn. im mniejsze są opory ruchu. Szerokość połówkową można też wyrazić za pomocą dekrementu logaryt­ micznego (ó = j3T)

AQx 2 ^ 3 ^

albo współczynnika dobroci

Im większe Q, tym ostrzejszy rezonans. Rezonans prędkości. Różniczkując względem czasu wzór na wychylenie

bez trudu znajdujemy prędkość x =)Q AeHn,- e\ Pomnożenie przez j oznacza obrót wektora fazy, c~yli przesunięcie w fazie o 90°. Prędkość i wychylenie różnią się w fazie o Jeżeli wychylenie opisuje funkcja x=

m J io il —Q2)2+ Ajj2Q2

sin (Qt—0) = x msin (Qt —0),

to prędkość x=

m y/((joo —Q2)2 + 4j82Q2

cos (Qt —0),

co można też otrzymać bezpośrednio różniczkując wychylenie w postaci

80

rzeczywistej. Amplituda prędkości

^

_________ ___

m niy/(ajź~Q 2)2 + 4p2Q2 zależy od częstości podobnie jak wychylenie, z tą jednak różnicą, że dla Cl = 0, x m = 0, a maksimum osiąga dla częstości równej częstości drgań własnych Cl — o)0. Zjawisko to nazywamy rezonansem prędkości. Wartość amplitudy prędkości w rezonansie jest równa Fo /'

Rys. 45. Rezonans prędkości zachodzi przy częstości równej częstości drgań własnych m0

Opóźnienie fazowe prędkości 0 zmienia się z częstością Cl podobnie jak w przypadku wychylenia. Jeżeli uwzględnimy zamianę funkcji sinus na cosinus cos (Clt —0) = sin (Clt —0 + §), to faktyczna różnica faz między prędkością a siłą wymuszającą 0' = 0 - § i odpowiednio zmienia się zakres zmian: od 6' — —f dla Cl = 0 do 0' = f dla Cl = oo. W rezonansie (Cl = a>0) 6' = 0, czyli prędkość jest zgodna w fazie z siłą wymuszającą drgania. Porównajmy to z wychyleniem, które z wyjątkiem Cl = 0 jest zawsze opóźnione w fazie względem siły.

6 — Fizyka dla politechnik

81

Przypadki szczególne. Lewa strona równania drgań wymuszonych m x + fx + kx

= F 0 sin O t

składa się z trzech wyrazów, z których każdy opisuje co innego: m x wyraża bezwładność, / x — o p o ry ruch u , a k x — sp rę ży sto ść . Przedyskutujemy teraz przypadki szczególne, w których przewaga jednego z tych czynników jest tak wielka, że wpływ pozostałych można pominąć. W praktyce oznacza to pominięcie odpowiednich wyrazów w równaniu, a) P rze w a g a sp rężysto ści. Równanie redukuje się do kx

= F 0 sin O t,

czyli p x (F J k

=

sin O t = x„ sin O t

jest wychyleniem statycznym) oraz p i

= O ——cos O t. k

Amplituda wychylenia

jest stała. Amplituda prędkości x m = O j - = Q x«

rośnie wprost proporcjonalnie do częstości. b) P rze w a g a o p o ró w . Równanie wyjściowe przybiera postać /.< = F0 sin O t,

£a k

O

Rys. 46. Amplituda wychylenia x m i prędkości x „ w zależności od częstości przy przewadze sprężystości

82

czyli prędkość Si

= — sin S2t. f

Proste całkowanie prowadzi do wychylenia p x =

----- -c o s Q t.

IO

a Rys. 47. Amplitudy wychylenia i prędkości przy przewadze oporów ruchu Jego amplituda

maleje hiperbolicznie z częstością. Amplituda prędkości

jest stała i równa prędkości, przy której opory ruchu są równe amplitudzie siły wymuszającej F0. c) P rze w a g a b ezw ła d n o ści. Teraz równanie sił wygląda następująco: m ii

= F 0 sin Q t,

czyli p Si — — m

sin Ot.

Pierwsze całkowanie daje w wyniku prędkość x = ----- —cos Q t

mu

83

a drugie — wychylenie ; sin Qt m d2 o amplitudzie xm

Fq mQ2

Rys. 48. Amplitudy wychylenia i prędkości przy przewadze bezwładności odwrotnie proporcjonalnej do kwadratu częstości, podczas gdy amplituda prędkości

xm £o

md

jest odwrotnie proporcjonalna do częstości. Porównanie z krzywą rezonansową prowadzi do wniosku, że w zakresie małych częstości decydujący jest wpływ sprężystości, a przy dużych częstościach bezwładności. Znaczenie oporów ruchu omówimy osobno.

Wpływ oporów ruchu. Już poprzednio stwierdziliśmy, że wysokość obu amplitud rezonansowych: wychylenia

i prędkości

84

z a le ż y o d o p o r ó w r u c h u . I m w ię k s z e o p o r y , ty m m n ie js z a a m p litu d a . O p o r y ru ch u s p ła s z c z a j ą p r z e b ie g k r z y w e j r e z o n a n s o w e j i z m n ie js z a ją c z ę s t o ś ć r e z o n a n ­ sow ą

Qr = s/u>o~2p2,

Rys. 49. Wpływ oporów ruchu na krzywe rezonansowe wychylenia i prędkości a g d y p r z e k r a c z a ją w a r to ś ć k r y t y c z n ą

u n ie m o ż liw ia ją r e z o n a n s ( c z ę s t o ś ć r e z o n a n s o w a s t a je s ię u r o jo n a ). C z ę s t o ś ć , p r z y k tó r e j w y s t ę p u j e r e z o n a n s p r ę d k o ś c i i i = M o­ n ie z a le ż y o d o p o r ó w r u c h u , k tó r e w p ły w a j ą t y lk o n a a m p litu d ę . W e ź m y te r a z p o d u w a g ę d r u g i p r z y p a d e k g r a n ic z n y , g d y w o g ó le n ie m a o p o r ó w ru ch u

(8 = 0 . 85

W ó w c z a s w y c h y le n ie

x = _ .

m(o)o —Q2)

a p ręd k o ść

■_ S2F0 X m((Oo —Q2) W

ty m p r z y p a d k u o b a r e z o n a n s e z a c h o d z ą p r z y tej sa m e j c z ę s t o ś c i

Qr = o}0 r ó w n e j c z ę s t o ś c i d r g a ń w ła s n y c h , a a m p lit u d y r e z o n a n s o w e s ta ją s ię n ie s k o ń ­ c z e n ie w ie lk ie

W r e a ln y c h u k ła d a c h n ig d y n ie d o c h o d z i d o n ie s k o ń c z e n ie w ie lk ie j a m p litu d y , b o j u ż w c z e ś n ie j u le g n ą p r z e r w a n iu s p r ę ż y s t e lu b ą u a s i- s p r ę ż y s te w i ę z i u k ła d u . P r z y w ie lk ic h w y c h y le n ia c h p r z e s ta je t e ż o b o w ią z y w a ć p r a w o H o o k e ’a. M o ż n a u n ik n ą ć z n is z c z e n ia z m ie n ia ją c Q i z w ię k s z a j ą c tłu m ie n ie .

Rys. 50. Wpływ oporów ruchu na różnicę faz dla wychyleń 0 i prędkości 0'. Im mniejsze opory ruchu, tym przebieg jest bliższy linii łamanej

O p o r y r u c h u w p ły w a ją ta k ż e n a p r z e b ie g r ó ż n ic y fa z , k tó r y w m ia r ę i c h . m a le n ia z b liż a s ię d o lin ii ła m a n e j. J e ż e li n ie m a o p o r ó w , t o p r z y S2 = co0 o p ó ź n ie n i e f a z o w e r o ś n ie o d w a r t o ś c i 0 = 0 d la m n ie js z y c h c z ę s t o ś c i d o n d la w ię k s z y c h . O d p o w ie d n i o

w a r t o ś c i 0' (p r z y r e z o n a n s ie

p r ę d k o ś c i) w y n o s z ą

— n /2 i + n / 2 . R e z o n a n s e le k t r y c z n y . J e ż e li d o o b w o d u , z ło ż o n e g o z o p o r n ik a o o p o r z e R , cew ki

o

in d u k c y j n o ś c i

L

i

k o n d en sa to ra

o

p o je m n o śc i

C

s z e r e g o w o d o łą c z y m y ź r ó d ło z m ie n n e j s iły e le k t r o m o t o r y c z n e j S =
86

p o łą c z o n y c h

Rys. 51. Siła elektromotoryczna
p o w s t a n ą w n im e l e k tr y c z n e d r g a n ia w y m u s z o n e , k t ó r y c h r ó w n a n ie z n a jd z ie m y w y p is u j ą c p r a w o K ir c h h o ffa : s u m a s p a d k ó w n a p ię ć n a o p o r z e U R = R I, c e w c e (r ó w n a s ile e le k t r o m o t o r y c z n e j s a m o in d u k c ji) dl Ul = L dt k o n d en sa to rze

r ó w n a s ię s ile e le k t r o m o t o r y c z n e j w y m u s z a ją c e j d r g a n ia dl a R I + L —— (- — = S n s in S i t . dr C P o d s t a w ia j ą c / = q m o ż n a o tr z y m a ć r ó w n a n ie

p o d o b n e d o r ó w n a n ia d r g a ń m e c h a n ic z n y c h m \ + f.\ + k\

=

F 0 s in f t f .

P o s łu g u j ą c s ię a n a lo g ią L d o m , R d o f i i o )0 = y J l / L C

ą

1 /C d o k o r a z p o d s t a w ia j ą c fi = R / 2 L

o d r a z u m o ż e m y n a p is a ć r o z w ią z a n ie s t a c jo n a r n e

=

qms i n ( Q t - e ) ,

87

w k tó r y m

j e s t a m p lit u d ą ła d u n k u , a o p ó ź n ie n ie w fa z ie w y n o s i

W c ią g a j ą c L p o d p ie r w ia s te k i p o d s t a w ia j ą c w a r t o ś ć co0 o tr z y m u je m y

L2 [ i - £ 3 2j + R 20 2 = Q2 M o ż e m y w ię c p r z e d s t a w ić a m p lit u d ę ła d u n k u w c z ę ś c ie j s p o t y k a n e j p o s t a c i

P o d o b n ie u c z y n im y z r ó ż n ic ą fa z

P o c h o d n a ła d u n k u w z g lę d e m c z a s u d a je n a t ę ż e n ie p r ą d u / = q = Q ą m c o s ( Q t — 6) = I m c o s ( Q t — 0 ), g d z ie I m = Q ą m j e s t a m p lit u d ą p r ą d u

88

k tó r a , p o d o b n ie j a k a m p lit u d a ła d u n k u , z a le ż y o d c z ę s t o ś c i. R ó ż n ic z k u j ą c a m p lit u d ę ła d u n k u w z g lę d e m Q i p r z y r ó w n u ją c p o c h o d n ą d o z e r a , z n a le ź lib y ś ­ m y c z ę s t o ś ć r e z o n a n s o w ą , p r z y k tó r e j q m o s ią g a m a k s im u m . J e d n a k fiz y c z n ie z n a c z n ie b a r d z ie j in t e r e s u ją c y j e s t r e z o n a n s p r ą d ó w , z a c h o d z ą c y w te d y , g d y p ie r w ia s te k w m ia n o w n ik u o s ią g a m in im u m . W a r u n k ie m t e g o j e s t z e r o w a n ie s ię w y r a z u w n a w ia s ie

Q L- —

= 0.

QC S tą d c z ę s t o ś ć r e z o n a n s o w a

Rys. 52. Rezonans prądów w obwodzie w zależności od oporu. R 2 > R,. Częstość drgań własnych a>0 = \/L C R e z o n a n s z a c h o d z i p r z y c z ę s t o ś c i r ó w n e j c z ę s t o ś c i d r g a ń w ła s n y c h . N ie p o w in n o n a s t o d z iw ić . R e z o n a n s p r ą d ó w j e s t o d p o w ie d n ik ie m

rezo n a n su

p r ę d k o ś c i w u k ła d a c h m e c h a n ic z n y c h , a te n o s t a t n i z a c h o d z i, g d y c z ę s t o ś ć d r g a ń z r ó w n a s ię z c z ę s t o ś c ią d r g a ń w ła s n y c h . T a k ż e z a k r e s z m ia n r ó ż n ic y fa z m ię d z y n a t ę ż e n ie m p r ą d u a s iłą e le k t r o m o t o r y c z n ą w y m u s z a j ą c ą d r g a n ia j e s t ta k i s a m , j a k p r z y r e z o n a n s ie p r ę d k o ś c i: o d z e r o d la c z ę s t o ś c i r e z o n a n s o w e j) d o

Impedancja.

d la m a ły c h c z ę s t o ś c i (p r z e z

+ | ji p r z y d u ż y c h c z ę s t o ś c ia c h .

W ie lk o ś ć w m ia n o w n ik u w z o r u n a a m p lit u d ę p r ą d u

89

m a w y m ia r o p o r u . N a z y w a m y j ą oporem p ozorn ym obw odu a lb o im pedancją. Jej s k ła d n ik a m i s ą : o p ó r „om ow y” R , o p ó r indukcyjny Q L i opór pojem nościow y

1/S2C.

I m p e d a n c j a j e s t w y p a d k o w y m o p o r e m o b w o d u , p r z e z k t ó r y p ły n ie p r ą d

z m ie n n y . G e o m e t r y c z n y c h a r a k te r d o d a w a n ia s k ła d n ik ó w im p e d a n c ji n a jle p ie j o d d a j e o p is z e s p o l o n y . J e ż e li r ó w n a n iu n a p ię ć (p r a w u K ir c h h o fła ) n a d a m y p o sta ć

/ R + L ^ + ^ = ^°ej°'

Rys. 53. Geometryczna interpretacja impedancji

i p o d s t a w im y n a t ę ż e n ie p r ą d u w p o s t a c i I = J „ e j
UL = P o m n o ż e n ie

p rzez j

= }Q L I meil!i,~9) = j £ 2 L I . in te r p r e tu je m y j a k o

obrót

o

9 0 °.

P o d o b n ie

b ę d z ie

z n a p ię c ie m n a k o n d e n s a t o r z e

C3

jQ C m

QC

M in u s o z n a c z a , ż e o p ó r p o j e m n o ś c io w y m a p r z e c iw n y z w r o t n iż f lL . O b a s ą p r o s t o p a d łe

do- o si

r z e c z y w is te j.

I m p e d a n c ję

m ożem y

in t e r p r e t o w a ć j a k o

w e k t o r w p ła s z c z y ź n ie G a u s s a

z=R+r L- ^ ) n a c h y lo n y p o d k ą te m 9 d o o s i r z e c z y w is te j. O p ó r in d u k c y j n y j e s t s k ie r o w a n y z g o d n ie z o s i ą u r o jo n ą , o p ó r p o j e m n o ś c io w y p r z e c iw n ie . O p ó r o m o w y R m a k ie r u n e k o s i r z e c z y w is te j.

90

A m p lit u d ę p r ą d u z m ie n n e g o m o ż n a w ię c p r z e d s t a w ić w p o s t a c i

z w a n e j p r a w e m O h m a d la p r ą d u z m ie n n e g o . T a n g e n s r ó ż n ic y fa z z n a jd u je m y j a k o s t o s u n e k o p o r u u r o j o n e g o d o r z e c z y w is t e g o

0 = a r c t g ------ -------- . J e ż e li o p ó r o m o w y j e s t t a k m a ły , ż e m o ż n a g o p o m in ą ć , a o b a s k ła d n ik i oporu

u r o j o n e g o s ą s o b ie r ó w n e , c o z a c h o d z i, g d y c z ę s t o ś ć Q j e s t r ó w n a

c z ę s t o ś c i d r g a ń w ła s n y c h co0, a m p lit u d a r e z o n a n s o w a n ie o g r a n ic z e n ie r o ś n ie . J e s t t o p r z y p a d e k a n a lo g ic z n y d o b r a k u o p o r ó w w u k ła d z ie m e c h a n ic z n y m . W r z e c z y w is t o ś c i n a t ę ż e n ie p r ą d u , j a k i e m o ż e m y c z e r p a ć z e ź r ó d ła , n ie m o ż e p r z e k r o c z y ć p r ą d u z w a r c ia

o d w r o t n ie p r o p o r c j o n a ln e g o d o o p o r u w e w n ę t r z n e g o R w ź r ó d ła s iły e le k t r o ­ m o t o r y c z n e j. J e ż e li o p ó r w e w n ę tr z n y j e s t z b y t m a ły , c ie p ł o J o u le ’a w y d z ie la j ą c e s ię p r z y p r z e p ły w ie p r ą d u m o ż e z n is z c z y ć o b w ó d . .P o d o b n i e

ja k

w

u k ła d a c h

m e c h a n ic z n y c h

o s tr o ś ć

rezo n a n su

m ożem y

w y r a z ić z a p o m o c ą p a r a m e t r ó w o b w o d u . S z e r o k o ś ć p o łó w k o w a

g d z ie d o b r o ć

n a b ie r a n o w e g o s e n s u j a k o s t o s u n e k o p o r u in d u k c y j n e g o p r z y c z ę s t o ś c i co d o r z e c z y w is t e g o (co j e s t c z ę s t o ś c ią d r g a ń t ł u m io n y c h , d r g a n ia w y m u s z o n e z a ­ c h o d z ą z c z ę s t o ś c ią (2). W

o b w o d a c h e le k t r y c z n y c h z r e g u ły u t o ż s a m ia się

co z ct)0 i w t e d y

91

Impedancja mechaniczna. Posługując się analogią między drganiami mechanicznymi i elek­ trycznymi można wprowadzić mechaniczny odpowiednik oporu pozornego

Z-Ę zwany impedancją mechaniczną. Om (opór bezwładnościowy) odpowiada oporowi indukcyjnemu, a k/O (opór sprężysty) pojemnościowemu. Amplituda prędkości

Rys. 54. Geometryczna interpretacja impedancji mechanicznej a amplituda wychylenia

Stosunek amplitudy siły do amplitudy wychylenia nazywa się niekiedy współczynnikiem sprężystości (sztywności) dynamicznej

ki = — = OZ = J O 2/ 2+ (O2 m —k)2.

*m

Także i tutaj współczynnik dobroci przy częstości a) otrzymuje postać

lub w przybliżeniu przy małych /

Składniki amplitudy. Całkując prędkość w postaci zespolonej

j. _

F

piWi-e)

Z otrzymujemy zespolone wychylenie

x= 92

OZ

przesunięte w fazie o

względem prędkości. Podstawiając zespoloną postać impedancji

5) i przekształcając wzór na amplitudę, możemy ją przedstawić jako sumę dwóch składników k

-Jfp / Q Z2

Qm---Fo____O Q

Z2

xa+ x,.

Pierwszy z nich o module

.

Fof Q Z2

FJ Q

jest przesunięty w fazie o %n (czynnik j). Nazywamy go amplitudą absorpcyjną. Drugi, rzeczywisty, a więc zgodny w fazie z siłą F, o module

nosi nazwę amplitudy sprężystej. Korzystając ze wzoru Ż = ^ y / (o>0 —&o)2 + 4p2Q2 można je także zapisać w postaci 2{iQ

F0

0 m(w20-(22)2+W2Q2’ *

!

F0 cup —Q2 m (coo—ff2)2+4/?2ft2

Przedstawimy teraz wychylenie rzeczywiste (w stanie ustalonym) x = xmsin(f2t —6) = x mcos 0 sin Q t—xmsin 0cos Qt = 4 sin Q£ + Bcos £2t w zależności od obu amplitud. Stała przy sinusie

A-

n X” COS

F° 2ff1^ GZ Z

F°2PQ

F°2m/? OZ2

m [(cog-fi2)2 + 4/?2£22]

jest amplitudą absorpcyjną, a stała przy cosinusie . F0 m (o>g-fl2) F0 a> l-Q 2 x „ sm V — QZ QZ - m {w2 _ Q l)2+Ąp2Q2 - A*

93

amplituch) sprężystą. Zatem wychylenie

x — /40sinOt + .4scosflt. Amplituda absorpcyjna osiąga maksimum wraz z amplitudą prędkości, tzn. dla Q = co0. W tym samym miejscu amplituda sprężysta, przechodzi przez zero. Ich wypadkowa osiąga maksimum dla Si = Si, = ^/oĄ —2fj2 (rezonans wychylenia). Ze względu na różnicę faz (90 ) można sumować osobno rzeczywistą część x„ i urojoną v, lub odwrotnie.

2(3 Rys. 55. Amplitudy: absorpcyjna A a i sprężysta A, w funkcji częstości O

Dopływ energii. Podtrzymywanie drgań układu wymaga dostarczania energii. Moc siły wymuszającej jest iloczynem wartości siły i prędkości F

P d — F x = F 0 sin Q t •~

Łj

F2 cos (Q t —0) = -£■sin Q t cos (Dr —0). Ła

Średnią moc w ciągu jednego cyklu drgań (tzn. w ciągu czasu T) znajdujemy jako średnią całkową j r p2 t Fd = ^ P* dt ~ f sin Dr cos (Dr - 0 ) d t -

s

—

Fi f [sin D r (cos D r cos 6 + sin D r sin 0)] d r = Zdi o f i

T

T

= -== [cos 6 1 sin D r cos D r d r + sin 0 J sin2 D t d r ] . o o Nietrudno się przekonać, że pierwsza całka T i T l J sin D r cos Q t d r = J d (sin2 D r ) = — sin2 D r = 0 ,

94

podczas gdy druga T \T 1 / 1 J sin2f2rdt = - J(1 —cos2f2t)dr = m f —2 q-sin s* 2Qt

T U O = 2L T

i stąd średnia moc dostarczana przez siłę F — F2 F2 Pd = x=sin^ = —^cos0', 2Z 2Z gdzie 0' ~ 0 + \n jest różnicą faz prędkości i siły (0 — wychylenia i siły). Jeżeli istnieją opory ruchu, to moc rozpraszaną znajdujemy jako iloczyn Pr = / x i = f x 2 ^ f .F —i cos2(Q t-0). Z2 Średnia moc w ciągu okresu pr

- -f f / o M

cos2

(Qt- 0) d r =

T

^ J [ l+ c o s 2 ( f 2 r - 0 ) ] d

i

fF l 2T Z 2

J c o s2

r

(Qt- 0 ) d r =

=

[t+Ł

™ 2

czyli ostatecznie, jeżeli podstawimy f/Z = cos 0' (z interpretacji wektorowej) Pr — cos 0'. ' 2Z Jak widać

Moc dostarczana zużywa się całkowicie na pokonywanie oporów ruchu. Dla 0' = 0, czyli w rezonansie wartość mocy osiąga maksimum. Mamy wtedy do czynienia z najszybszym dopływem energii. Praca siły wymuszającej w ciągu okresu T F lT W = j F ddt = FdT = - ^ - c os0', o zależy od różnicy faz między prędkością a siłą. Dla —%k < 0'< % k jest dodatnia, co oznacza, że siła dostarcza układowi energii; dla 0' > jest ujemna, tzn. układ oddaje energię. Dla 0' = it odpływ energii jest najszybszy. 95

2? Rys. 56. Przęciętna moc dostarczana przez czynnik wymuszający drgania w zależno­ ści od częstości. Szerokość połówkowa AQ = 2/?

Wykorzystując związek Z

Xm

możemy przedstawić wzór na moc w postaci Pa = 2Fq

COS

= 2r l F n0-X „ ( ; .

Energia w rezonansie. Średnia moc zużywana na podtrzymanie drgań w stanie ustalonym jest równa średniej mocy rozproszonej Pd = Pr =

= ^ f G 2x l.

Spróbujemy ją wyrazić za pomocą składowych amplitudy. Jak łatwo stwierdzić, kwadrat amplitudy wychylenia ..2

n

1

m

m2 [(tog - Q 2)2+

Pr =

^ fQ 2(A2+ A 2)

Stąd

albo po podstawieniu / = 2flm Pr - mf}Q2 (A2+ A 2). 96

4/?2Q2] “

n (m g -fl2)2+ 4P Q 2

m2 [(mg - Q2)2+

4j82G2] 2

s + fl ’

Można to także zapisać w postaci P, - mPQVm = mfO* ^

+*!)’& ‘

ir „ F oW * 2 0 m[_((o20 - Q 2)2+ 4p2Q2-\ czyli Pr = Pd = i F 0QAa. Znajdźmy jeszcze średnią energię kinetyczną Ek = 2 tnx2 = %mQ2

cos2(Qt —0) = $mS22x 2 — im£22(A2 + A 2)

(średnia wartość kwadratu cosinusa jest równa £) i energię potencjalną Ep = j k x 2 = jmcolx2 = = jmcoo [A2 sin2 Sit + 2AaAssin Qt cos Sit+ A 2cos2 Sit = =ima>l(A2+ A 2). Suma obu energii E = Ek+ Ep = im (Si2+ cog) (Al + Al) jest średnią energią mechaniczną. Jak widać średnia energia kinetyczna i poten­ cjalna Ek = ^mSi2 (A2a + Al) ± ^mcoo (Al + Al) = Ep

nie są sobie równe. Tylko dla Si = co0 (w rezonansie) Ek = Ep. Suma średnich energii wynosi wtedy E = ^ mml (Al + Al) = ^mficol (Al + A l)^ = ^~ = const. Sens tej zależności staje się wyraźniejszy, jeżeli podstawimy czas relaksacji i = 1/jS: E = \ P rx. Średnia energia drgań dla Si — co0 jest połową iloczynu średniej mocy rozpraszanej na oporach ruchu i czasu relaksacji. Czas relaksacji ma określony 7 — Fizyka dla politechnik

97

sens fizyczny — jest to czas, po którym amplituda drgań tłumionych maleje e razy, A

— A _. e

q /*10C

—

Moc lub energia maleje przy tym tak, jak kwadrat amplitudy (A0e~i*)2 = więc odpowiedni czas relaksacji jest dwa razy krótszy Tc = łr (e~2^T/2 = e _1 = 1/e). Nazywamy go czasem relaksacji energii. Teraz E = P. x. W rezonansie (dla Q = o>0) średnia energia drgań jest iloczynem średniej mocy i czasu relaksacji energii. Szerokość połówkowa. Jak stwierdziliśmy, absorpcja (pochłanianie) mocy w stanie ustalonym wynosi 2 Fo ®Aa

PF2 0Q2 m [(
i dla Q = co0 osiąga maksimum równe p

_ jBFlcol _ Fl m 4m/ś2coo 4pm’

można więc napisać p

= p

Ą P az

- ( m8 - O j )j + 4£!G2'

Przebieg tej zależności podobnie jak i innych zależności energetycznych jest także krzywą rezonansową, ale o nieco innym kształcie, niż poznane już przez nas krzywe wychylenia czy prędkości. Wynika to stąd, że do wzorów na energię i moc wchodzą kwadraty tamtych wielkości, co czyni krzywą bardziej symetryczną a rezonans ostrzejszym. Aby się o tym przekonać, znajdźmy szerokość połówkową. Dla częstości Ql/2 moc absorbowana jest równa połowie wartości rezonansowej P (a ll2) = iP(
Wynika stąd P(Qll2) _ 4P2Q\,2 _ 1 Pm (a>o —£?i/2)2+ 4/?2i21/2 2 czyli 4/?2Qi /2 = 2 ("o —^i/2)2 + 2p2Q2/2> co prowadzi do równania (m I - Q \ I2)2 = 4p2Q\j2 lub ostatecznie ^l/2"b2/?f2l/2 —COq = 0. Pierwiastki równania mają postać

^1/2 = s/ w o + P 2 ± P Odejmując je od siebie otrzymujemy szerokość połówkową = 2p, podczas gdy dla rezonansu wychylenia A = 2 sf i p , rezonans był y/3 razy szerszy. Podstawmy jeszcze P = 1/t = 1/2 r e (odwrotność czasu relaksacji), Aexe = 1.

Stąd

Szerokość połówkowa rezonansu energetycznego jest odwrotnością czasu relaksacji energii. Normalizacja krzywych energetycznych. Zestawimy poznane dotąd krzywe rezonansowe i ich wartości w rezonansie: a) Amplituda wychylenia

;

*

m^/(wo- O2)2+4p2Q2 99

częstość rezonansowa

Qr = J w l-lfi1, wartość w rezonansie

Fo

x.

2m/l J o l - P2

Stąd Ifis/w p —fi2

yJjml-Oi2)2+4/}2Q2 b) Amplituda prędkości QFn

Qxm,

m yj(a>l —H1)2 + 4j}2Q2

Qr = co0, P *mr = r - 2; = yJo i 2 0- P

2mp

2Xmr,

2pQ ■J(coo—£22)2 + 4ji2Q2 c)

Amplituda absorpcyjna 2 0QFo “ m[(coo —Ś22)2+4(I2Q2~\’

Qr = m0, Aar =

Fn 2m[S
4j82co0Q A„ = A, °r [ K - Q 2)2 + 4i?2Q2] ' d)

Kwadrat amplitudy wychylenia

2

fg m2 [(
(amplituda sprężysta

(mg-fl2)F0 m [(
100

^ 2+ /t 2 5

dla Q = w0 przyjmuje wartość As = 0)

Q, = Jw 20-2p2, Fn 4 m2/?2(w g-/?2)’ 4p2(co20 - p 2) " e)

'”'( w g - f i 2)2 + 4£2fi2

2 —

mr4p2F0

Kwadrat amplitudy prędkości x i=

Q2po m2 [(wg -

7 2

Q2)2 + 4P2Q2] ~ Q X m ~ 2 ^ p A“

Fl 4 m2fr

H = T ^ r 2= ^ l - p 2)x2mr x i = xm f)

4P2Q2 (wg —fl2)2 + 4p 2Q2

. 2mfśQ

A„.

Średnia moc absorbowana Pa = mPQ2(A2 + A 2) = m pn2x l = mPx2m = $Q F 0Aa

lub

P®2F2o

_

P“~ m[_((o20 - Q 2)2 + 4p2Q2y — coni

Pa =

4mfi

= m[ixi, = mfi (wg - fi2) ;

4 /w

P„ = P„ r (wg —fi2)2 + 4p2Q2

g)

Średnia energia drgań E = ^m(wg + fl2)x 2 = i(w g + fl2)(Xg + ^[s2) = Fg (wg + ft2) 4m[(wg-£22)2+4(?2fl2] ’ fir = w0>

_ Fo 1 1_ Er ~ W 2 ~ 2mXmr ~ 2pPar ~ %°Par' 2f}2 (wg + Q2) E = E, r (wg —Q2)2 + 4fl2Q2

101

Dwie pierwsze krzywe, opisujące rezonanse wychylenia i- prędkości, mają podobny charakter; różnią się jedynie częstością rezonansową. Pozostałe krzywe, opisujące rezonans energetyczny, mają jednakowy mianownik. Można go przedstawić w postaci M = ( « g - f i 2)2+4/?2fi2 = [ K - f i ) ( w 0 + fi)]2+4/?2fi2. W pobliżu rezonansu (dla fi bliskiego co0) możemy przyjąć w przybliżeniu

0, stąd

M » (to0—Si)2+ 4 m l + 4/?2tt»o = 4uĄ [(a>0 - fi)2+ /J2] . Podstawiając w licznikach

a>o + Si2 * 2too oraz

fi2 = C(>o i przyjmując słabe tłumienie ()S2 jednakowej postaci

R (Q )x R r

a>o), możemy sprowadzić wszystkie krzywe energetyczne do

(o>0-fi)2+ j82'

Taka krzywa rezonansowa, symetryczna względem rezonansu, znajduje częste zastosowanie w różnych działach fizyki. Rr oznacza wartość w rezonansie, czyli przy fi = co0. Wygodnie jest

Rys. 57. Porównanie symetrycznej krzywej rezonansowej z krzywą wychylenia. Skalę dobrano tak, by amplitudy były jednakowe. Szerokość połówkowa rezonansu wychylenia jest y / l razy większa niż dla rezonansu energii

102

znormalizować krzywą wprowadzając nową zmienną R

e(Q) = - = K r

P (co0-a?+ p2

lub po prostu zakładając, że R r = 1. Rozwiązując równanie

P2

1

(oj0— fll/2)2 + /i2

2

łatwo stwierdzimy, że szerokość połówkowa znormalizowanej krzywej rezonansowej jest taka sama, jak poprzednio

^1/2 = W0±2/?, czyli = 2p .

Stan nieustalony. Pełne rozwiązanie równania drgań wymuszonych p x + 2/fcć + a>ox = — sin Qt m lub ogólniej x + 2f}x + a>ox = — e*42' m zawiera także całkę ogólną równania jednorodnego x + 2/3x + (OoX = 0, czyli równania drgań tłumionych. Całka ta ma postać x x = e"ł‘(i41ej", + y42e -jo,0 = /ł0e “*"ej(tot+9) lub, jeśli ograniczymy się do części „urojonej”, Xi = /ł0e~*"sin(
:sin (Qt —0). m y/(ti>O—i32)2+ 4p2Q‘

Rozwiązanie zupełne jest superpozycją dwóch drgań: jednego o częstości w = y/a > l-p 2 103

i wykładniczo zanikającej amplitudzie ^ (0 = A 0e~fit oraz drugiego o częstości a> = Q równej częstości siły wymuszającej i amplitudzie, której wartość x

m y/{o)l —Q2)2 + 4P2Q2

zależy od częstości drgań, a dla częstości rezonansowej co = Qr osiąga maksimum równe Fo Xm r

Istotne jest tutaj to, że wartość amplitudy drugiego składnika nie zależy od czasu. Na początku drgań mamy zatem stan nieustalony. Na drgania wymuszone 0 częstości Q nakładają się drgania tłumione o częstości a). Wynik zależy od warunków początkowych, które wpływają na wartość stałych A0, 5, x mi 0 oraz od oporów ruchu wyrażonych przez czynnik tłumienia fi. Ponieważ x m 1 6 zależą od częstości drgań O, amplituda wypadkowa także od niej zależy.

Rys. 58. Narastanie amplitudy drgań wymuszonych przy zbliżaniu się do rezonansu przy słabym tłumieniu

104

Przy malej różnicy częstości Q i co mamy do czynienia ze słabnącymi w czasie dudnieniami, których częstość wynosi a>d = Q—a>. Im mniejsza jest różnica obu częstości, tym rzadsze dudnienia. Dla (2-* co częstość dudnień maleje do zera, a ich okres rośnie do nieskończoności. Jeżeli opory są małe, znika różnica między częstością drgań tłumionych co i nietłumionych co0, a rezonans następuje, gdy Q = co0. Dudnienie o nieskończenie długim okresie można interpretować jako asymptotyczny wzrost amplitudy do wartości rezonansowej.

Rys. 59. Trójwymiarowy wykres stanu przejściowego w drganiach wymuszonych. Przy zbliżaniu się częstości drgań do częstości rezonansowej (tutaj co0) okres dudnień Id rośnie

Składnik odpowiadający stanowi nieustalonemu nazywamy transjentem lub składnikiem przejściowym. Ściśle biorąc drgania wypadkowe nie są okresowe, ich częstość, będąca kombinacją częstości czynnika wymuszającego i częstości transjentu, zmienia się w czasie zbliżając się do częstości Q w miarę zaniku transjentu. Czas zaniku transjentu zależy od oporów, im większy czynnik /?, tym szybszy zanik. Najprościej można go wyrazić za pomocą czasu relaksacji. Po t = r = l//i amplituda transjentu zanika 1/e razy, po 2r, (1/e)2 itd. Na przykład po t = 5t transjent jest e5 « 200 razy słabszy niż na początku i jego wpływ jest nieznaczny. 105

X

t

T

Rys. 60. Przykład superpozycji drgań przejściowych (transjentu) o okresie T, (drgań tłumionych) i wymuszonych o okresie T

i Rozpatrzmy jeszcze bilans mocy. Znajdziemy go mnożąc równanie sił mx + / x + kx = F przez prędkość x. Stąd P = mxx + fx 2 + kxx = Fx. Pierwszy wyraz jest pochodną energii kinetycznej

a trzeci potencjalnej (sił sprężystości)

Stąd moc dostarczona

P = Fx = ^ ( E k + Ep) + fx 2.

W stanie nieustalonym amplitudy wychylenia i prędkości zmieniają się w czasie i suma energii zmienia się wraz z nimi. Dopiero po osiągnięciu stanu

106

ustalonego E k + E p = co n st, czyli

s

(£ * + £ ' ) - °

i moc dostarczana staje się równa rozproszonej

F = f x 2.

II

R u c h falowy § 6. Opis fali Falą nazywamy zaburzenie lub zespół zaburzeń rozchodzących się w prze­ strzeni. Zaburzenie może mieć postać impulsu lub drgań. W ogólnym przypad­ ku wyraża je funkcja

Rys. 61. Przykład zaburzenia: odkształcenie napiętego węża gumowego wywołane uderzeniem. Wygląd w chwili t

np. wychylenie w funkcji czasu. Zaburzenie rozchodzi się z prędkością c zwaną prędkością fali, jego ruch powoduje, że wychylenie zależy także od położenia wyrażonego wektorem r : ^ = ^(r, t). 109

t cAf

f(f)

^(f+Af)

Rys. 62. To samo o At później: odkształcenie przesunęło się o cA t nie zmieniając kształtu (c — prędkość rozchodzenia się zaburzenia)

W ogólnym przypadku \J/ nie musi być wychyleniem, może to być każda wielkość, której zmiana oznacza odejście od stanu równowagi i wywołuje powstanie czynnika zwrotnego, przywracającego równowagę. Nazywamy ją funkcją falową, i/t jest funkcją wielu zmiennych. Przy ustalonym położeniu, np. r = r0 funkcja falowa =
Rys. 63. Dla danego x funkcja ij/ (x, t) podaje przebieg drgań w czasie

Jeżeli ustalimy czas (f = t0) i/t

=

i/ t (r ,

t 0) ,

Rys. 64. Dla danego t funkcja 110

(x, t) opisuje przestrzenny kształt zaburzenia

otrzymamy przestrzenny rozkład wychyleń w danej chwili, czyli kształt zaburzenia. W szczególnym przypadku t = 0 otrzymujemy postać początkową

Fala jednowymiarowa. Rozpatrzmy przypadek jednowymiarowy: Zaburze­ nie rozchodzi się wzdłuż osi x układu laboratoryjnego z prędkością c. W układzie poruszającym się wraz z zaburzeniem, jego kształt opisany funkcją >A= iM*') nie zmienia się w czasie. Ze względu na transformację położenia x! = x —ct w układzie laboratoryjnym funkcja falowa ma postać ij/ = i/t (x —ct).

Rys. 65. Istota procesu falowego: w każdym punkcie, do którego doszła fala, drgania powtarzają się w tym samym kształcie z opóźnieniem At koniecznym do dotarcia fali

Jest to jednowymiarowa funkcja falowa. Możemy sprawdzić, że i w tym układzie po dowolnym czasie At i/r [x + c At —c (t + Af)] = i/t (x —ct) kształt impulsu pozostaje nie zmieniony. W przypadku ruchu w przeciwną stronę (w stronę ujemnych x): i/t = i//(x + ct). Równanie fali. Zróżniczkujemy jednowymiarową funkcję falową względem współrzędnej x (przy t = const) d\1/ dx

# dx! d = T ox ox ox“;W, (x + <*)]•!

d\j/ dx' 111

i względem czasu (przy x = const) di// dt

dip dx' 8x' dt

d\jj dt

_ dij/ ^~Cd x ‘

+c

di// dx’

Stąd

Powtórne różniczkowanie daje d21// dt2

d21// dx2

2 d2ij/ C dx2

1 d2il/ c2 dt2 ’

Otrzymaliśmy równanie fali jednowymiarowej. Spełnia je dowolna funkcja typu il*{x + ct). Łatwo wykazać, że spełniona jest zasada superpozycji. Miano­ wicie, jeżeli istnieją dwa rozwiązania w postaci fal i//, i ij/2, to podstawiając je do równania falowego

dVi dx2

1 d2il>i c2 dt2

oraz d2i)/2 1 d2il/2 dx2 c2 dt2 i dodając stronami otrzymujemy d2ij/l d2il/2~ dt2 + dt2 ’


1 d2

Ogólnie można sformułować zasadę superpozycji następująco: Jeżeli funk­ cje ij/1(x, t), i//2(x, t), , i/y„(x, t) są rozwiązaniami równania falowego, to ich 112

lin io w e k o m b in a c je

n •M*, 0 = £ C t^j(x, t) i= 1 t a k ż e s p e łn ia ją t o r ó w n a n ie ( C t o z n a c z a d o w o ln e s ta le ).

Fala harmoniczna. Jeżeli funkcja falowa ma postać $ (x,

t) — A

sin k (x + c t)

lub i// ( x , t) = A

cos k ( x

+ c t) ,

falę nazywamy h a r m o n ic z n ą . Łatwo sprawdzić, że podane funkcje spełniają równanie falowe. Na przykład dla funkcji sinusoidalnej d2\l/

— k 2A

dx2

sin k ( x + c t)

[ — k 2c 2A

sin k ( x + ct)]

Podstawiając do funkcji falowej w początku układu \p(t) =

A

—

x

1 d2i/r ? ~di2 '

= 0 otrzymujemy drgania harmoniczne

sin /c( + cf) = /I sin(+ ket) = + A sin ket.

Znak minus nie jest istotny, bo zawsze można tak dobrać stałą fazową, żeby go usunąć, jeżeli jest niewygodny. Jak widać iloczyn k c jest częstością kołową i stąd oj

Z

kolei dla

t

x=

2n

— 0 otrzymamy przestrzenny kształt zaburzenia A

2% sin k x —A sin — x , cT

który jest harmoniczną funkcją współrzędnej x. Jej cechą charakterystyczną jest o k r e s o w o ś ć p r z e s tr z e n n a : dodanie do x (lub odjęcie) całkowitej wielokrot8

Fizyka dla politechnik

113

ności iloczynu cT nie zmienia wartości funkcji il/(x + ncT) = A sin

2 jix _ . 2n (x + ncT) = A sin -— + n2n = cT ' cT

= A s i n ^ x = il/(x).

Rys. 66. Długość fali jest okresem przestrzennym

Ów okres przestrzenny, czyli iloczyn prędkości fali i okresu drgań X = cT

Rys. 67. Każda krzywa przedstawia wychylenie w innej chwili. Maksima i minima fali przesuwają się wzdłuż osi z prędkością c, ale ich odległość, czyli długość fali X pozostaje nie zmieniona

nosi nazwę długości fali. Jest to odległość, w której wartości funkcji falowej w danej chwili się powtarzają. Wprowadzony przez nas współczynnik

114

oznacza liczbę długości fal mieszczącą się w długości 2n. Nazywamy go liczbą falową. Dzieląc go przez 2n otrzymujemy /c' = A = i 2k A’ czyli odwrotność długości fali albo liczbę fal przypadających na jednostkę długości. Wprowadzając te oznaczenia można nadać funkcji opisującej jedno­ wymiarową falę harmoniczną następujące postacie:

itp. Funkcję falową możemy też wyrazić jako zespoloną ij/ = Aeiikx±t jest funkcją położenia i czasu. W początku układu (x = 0)
W punkcie o współrzędnej x w tym samym czasie 0 = kx. W ogólnym przypadku należy uwzględnić stałą fazową cp: ), a dla x — 0 i t = 0 \ji = A sinę. Pochodna fazy względem czasu daje wartość pulsacji 80 a pochodna względem współrzędnej x 80 2n = k — 2nk' = 8x T liczbę falową. Dzieląc je przez siebie 80/8t 8x co 2n X X 80/8x ~ ~8t = ± I = ± ^ T2 k ~ ± f = ± C ’ otrzymujemy stosunek długości fali do okresu, czyli prędkość fali. Jest to prędkość przemieszczania się powierzchni stałej fazy. Nazywamy ją prędkością fazową. Jak widać

albo, uwzględniając inne wprowadzone wyżej zależności, 2nv = Xv. 2k/X Fala płaska. Powierzchnie stałej fazy opisane równaniem 0 = kx ± cot + 116

ę

= const

mogą być płaszczyznami. Taką falę nazywamy płaską. Najprostszy jest opis wektorowy. Nadajmy wielkości k sens wektora prostopadłego do płaszczyzny stałej fazy. Jeżeli na tej płaszczyźnie leżą dwa punkty P i P0, których położenia opisują wektory r i r0, to z założonej prostopadłości wynika (r -r 0)k = 0, czyli, dla stałego punktu P0, k r = k r0 = const. Jednowymiarowym odpowiednikiem tego związku dla k || x będzie k x = const. Harmoniczna zmienność zaburzenia w czasie (drgania harmoniczne) prowadzi do harmonicznego rozkładu w przestrzeni. Dla t = 0 [// (x) = A sin kx lub ogólniej \j>{r) = /łeJkr.

Rys. 68. Powierzchnia stałej fazy w fali płaskiej jest płaszczyzną prostopadłą do wektora k o równaniu kr = const

Możemy sobie teraz wyobrazić zbiór równoległych płaszczyzn stałej fazy. Dla każdej z nich k r = const i i/r (r) = const. Długość fali stanowi okres przestrzenny. Aby móc to wektorowo opisać, wprowadzimy wektor jedno­ stkowy k° = k/k. Teraz f/j (r + nźk°) = t/r (r), czyli, biorąc pod uwagę, że k k° = k, ^ e j k ( r + nAk°) _

^ g jk i-g jn A *

117

w zgodności z tym, co podaliśmy wcześniej. Wektor

nosi nazwę wektora falowego. Wprowadzając go do funkcji falowej otrzymuje­ my tj, = /4ej(kr±“,), przy czym amplituda A, wektor k i częstość kołowa w są stałe. Powierzchnię, do której w danej chwili dochodzi zaburzenie, nazywamy czołem fali. Ponieważ czas zużyty na przebycie drogi od miejsca pierwotnego zaburzenia, czyli źródła fali, jest dla wszystkich punktów czoła fali taki sam, faza będzie w nich też jednakowa. Wynika stąd, że czoło fali jest powierzchnią stałej fazy. Traktując drgania źródła jako ciągłą sekwencję zaburzeń, możemy uważać wszystkie powierzchnie stałej fazy za szereg kolejnych czół fali. Powierzchnie jednakowej fazy są więc równoznaczne z czołami fali. W przypa­ dku fali płaskiej czoło fali jest oczywiście płaszczyzną lub ściślej: falą płaską nazywamy falę, której czoło jest płaszczyzną. Opisuje ją wyżej wyprowadzone równanie k r = const

k

Rys. 69. Czoło fali płaskiej jest płaszczyzną o równaniu k r = const przesuwającą się z prędkością c

118

lub w innej postaci o = const. -r-k1 0 r = —k°r / c Także i w ujęciu wektorowym nietrudno pokazać, że czoło fali przemieszcza się z prędkością c. Przemieszczenie punktu czoła w ciągu dt wynosi dr. Faza pozostaje stała, czyli J

i/c(r, t) = i/c(r + dr, t + dr)

albo ^gj(kr±£Dt) _ ^gj[k(r +dr)±«o(t +dt)] Stąd kdr + codt

=

0,

czyli dr co dr = k ' Fala trójwymiarowa. W układzie kartezjańskim wektor falowy ma trzy składowe k = kxx° + kyy° + kzz° i jego wartość k = y jk l + ky+ kz . Trójwymiarowa funkcja falowa ma postać i/ r ( x ,

y, z, t) = AeHkxX+k>y+k*z±
lub, wprowadzając cosinusy kierunkowe \f/ = /4ej[*(«*+/»j’+y*)±«ot] Dwukrotne różniczkowanie względem współrzędnych

d2\(i dy2

W

82ij/ dz2

y2k2tj/

,

119

oraz względem czasu a ? -" " * prowadzi do równania d2\jf dx2

82\j/ 82ij/ = - {a.2+ P2+y2)k 2\j/. 8y2 + 8z2

Ale suma kwadratów cosinusów kierunkowych
8 2 t/r

8 2ijf

7'ł' ~ T“ł" tbc2 dy2 8z2

k 2 B 2ij/

O) 8t2 '

Iloraz co/k ma wymiar prędkości. Otrzymane wyrażenie jest równaniem fali trójwymiarowej. Wprowadzając laplasjan funkcji falowej

82ij/ 82\!f + 82i//

v V - - = 3 +

8x2 ' 8y2 ' 8z2

możemy je doprowadzić do postaci

przy czym a> C= k jest prędkością rozchodzenia się fali, czyli prędkością fazową. W tej postaci równanie falowe opisuje dowolną falę w przestrzeni. Równanie (harmoniczne) można przedstawić ogólniej jako ■Mr, t)= Aei(kr±
,

1 5 / , di/r\ 2 di// ć)V dr*

120

otrzymujemy równanie fali w układzie sferycznym

d2i/> 2 8$

1 82*ji

dr2 + r dr

c2 8t2 '

które można sprowadzić do postaci

d2

1 82

Jego rozwiązaniem jest dowolna funkcja argumentu r± c t. Zatem nfr = / ( r ± c t ) i stąd <1*= ~ f( r ± c t) . r Dla fali harmonicznej

r

r

(ze względu na kc —
t

ł Rys. 70. Fala kulista

121

W ogólnym przypadku równanie fali sferycznej na postać

ijt = /f(r)ej(kr±“‘+,,). gdzie A(r) jest dowolną funkcją r.

Fala spolaryzowana. Jeżeli wielkość \|/, której zaburzenie rozchodzi się w postaci fali, jest wektorem o stałym kierunku w przestrzeni, falę nazywamy spolaryzowaną liniowo. Można ją przedstawić w postaci \|/ = A /(k ° r -c f ), gdzie A ma stałą wartość i kierunek A = const,

a / jest dowolną funkcją argumentu w nawiasie. Wektor k° wyznacza kierunek rozchodzenia się zaburzenia. Jeżeli zaburzenie ma postać fali harmonicznej, to \|/ = Aej(kr~“(). Niech \Jt będzie wektorem bezźródłowym, czyli spełniającym warunek div\|t = Agradej(k,-“° = jk Aei(kr' “l) = 0. Wynika stąd, że k A = 0. Wektor A jest w tym przypadku prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali (fala poprzeczna). 122

Wyodrębniając rzeczywistą i urojoną część wektora amplitudy A = Ax+jA2 stwierdzamy, że w ogólnym przypadku wektory Ax i A2 prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali mają różne kierunki. Aby lepiej zrozumieć zachodzące procesy, wyobraźmy sobie dwie fale liniowo spolaryzowane rozchodzące się wzdłuż osi z układu kartezjańskiego 0 wektorach amplitudy Ax i Ay prostopadłych do siebie. Przedstawimy je w postaci \|ix(z, t) = x° Ax cos (kz—(ot), vl/y(z, t) = y°Ay cos (kz—cot + 3) (3 — różnica faz). Fala wypadkowa ma postać v|/(z, t) = i|ix(z, t)-M|r,(z, *)■ Jeżeli obie fale są zgodne w fazie, to fala wypadkowa vj>(z, t) = (x°Ax +y°Ay) cos (kz —cot) jest także liniowo spolaryzowana. Tak samo będzie, gdy fale składowe są przeciwne w fazie \)/(z, t) = (x°Ax- y°Ay) cos (kz-cot), tylko płaszczyzna drgań będzie inna. W przypadku jednakowych amplitud Ax = Ay = A0 1 różnicy faz będącej nieparzystą wielokrotnością jk \J/X= x0A0 cos (kz —cot), \|/j, = y°A0 sin (kz —(ot), wektor fali wypadkowej \j/ = v40 [x° cos (kz - cot) + y° sin (kz - cot)] wiruje zgodnie ze wskazówkami zegara (dla obserwatora patrzącego w kierun­ ku rozchodzenia się). Łatwo się o tym przekonać, jeżeli zestawimy wartości i kierunki w chwili t = 0 (kiedy z = z0) \|/x = x°A0 cos kz0, i|/„ = y°A0 sin kz0 i w chwili t - kzjoo 'I'* = x°^o> * , = 0.

123

W czasie T (okres), w którym fala przesunie się o A, wektor \|/ wykona jeden pełny obrót. Tego rodzaju polaryzację nazywamy kołową — w tym przypadku prawoskrętną. Wektor \j/ może też wirować w drugą stronę (polaryzacja lewoskrętna). Warunkiem prawoskrętności jest różnica faz 3 = —ln:±2mt,

Rys. 72. Fala spolaryzowana kołowo w płaszczyźnie x, z, prawoskrętna. Przestrzen­ ny rozkład amplitudy

a warunkiem lewoskrętności S = %n±2nn. Wówczas fala wypadkowa ma postać v|/ = ^40 [x°cos (kz —cot) —y° sin (kz —tut)]. Dwie fale kołowe o jednakowej amplitudzie spolaryzowane przeciwskrętnie dają w wyniku falę spolaryzowaną liniowo \|/ = 2,40x0 cos (kz —wt). Jeżeli w trakcie wirowania wektora \|t jego amplituda się zmienia, polaryzację nazywamy eliptyczną. Wówczas il/x = Ax cos (kz —cot), ij/y = Ay cos (kz —wt + d). Stąd — cos (kz —cot) cos ó —sin (kz —cot) sin <5 = . =

A„

cos 3 —sin (kz—cot) sin 3,

czyli — —— cos ó = —sin(kz—cof)sin<5. A.. A r 124

Z drugiej strony sin (kz —cot) = y j 1—cos2(kz —a>t) = /1 — Podstawiając do poprzedniego związku i podnosząc do kwadratu otrzymuje­ my 'a ~'Six Sty a cosó h

sin23, H

®

czyli cos (5 = sin2 3. Jest to równanie elipsy nachylonej do osi x pod kątem a, którego tangens tg 2x =

2/4r/4„cosó A \ - A 2y

Przy różnicy faz 3 = ±(2n + l)^rc kąt a = 0 i wielka oś elipsy leży na osi x. Równanie elipsy przybiera postać A 2y

Al

■

Przy Ay = Ax — A0 polaryzacja eliptyczna przechodzi w kołową l/^ + lAy = A%. Także polaryzację liniową można uważać za szczególny przypadek eliptycznej. Przy różnicy faz 3 = ±2nn

a przy 3 = ± (2n + 1) tc

§ 7. Fala w ośrodku Ośrodek, w którym rozchodzi się fala, możemy traktować w uproszczeniu jako zbiór oscylatorów. Zaburzenie (np. drgania), rozchodzące się w postaci fali, wymusza drgania oscylatorów, do których dochodzi, te z kolei przekazują 125

energię dalej. Aby oscylatory mogły przekazywać energię następnym, musi istnieć między nimi sprzężenie. W przypadku układów mechanicznych sprzęże­ nie może być sprężyste lub bezwładnościowe, w układach elektrycznych pojemnościowe lub indukcyjne. Pośrednicząc w przekazywaniu zaburzenia oscylatory nie przenoszą się wraz z falą, drgają tylko wokół położenia równowagi. Przekazywanie zaburzenia oznacza przekazywanie energii. Każdy ośrodek przenoszący falę ma impedancję Z, będącą wypadkową impedancji poszczególnych oscylatorów. Jeżeli nie ma czynników dysspatywnych, tzn. rozpraszających energię, np. tarcia w układach mechanicznych lub oporu omowego w elektrycznych, fala rozchodzi się bez strat energii i jej amplituda nie zmienia się. Impedancja zawiera wówczas tylko wyrazy rzeczy­ wiste. Jeżeli istnieje czynnik dyssypatywny, którego nie wolno pominąć, w impedancji pojawia się składowa urojona. Amplituda fali rozchodzącej się w ośrodku maleje. Taką falę nazywamy tłumioną.

Rys. 73. Fala poprzeczna: drgania zachodzą prostopadłe do kierunku propagacji

Jeżeli drgania odbywają się prostopadle do kierunku propagacji (czyli do prędkości), falę nazywamy poprzeczną. Fala, w której drgania zachodzą równolegle do prędkości, nosi nazwę podłużnej. Fale mechaniczne mogą być poprzeczne lub podłużne, elektromagnetyczne — tylko poprzeczne.

£

Rys. 74. W fali podłużnej drgania zachodzą równolegle do kierunku propagacji

Rozróżniamy trzy rodzaje prędkości związanej z ruchem falowym: a) prędkość drgającej cząstki v, czyli prędkość punktu (oscylatora) w jego ruchu drgającym. 126

b) prędkość fazową c, czyli prędkość rozchodzenia się powierzchni stałej fazy utożsamianą zwykle z prędkością fali. c) prędkość grupową cg, czyli prędkość przemieszczania się maksimum amplitudy fali złożonej. Zasada Huygensa. Czoło fali jest powierzchnią stałej fazy, czyli miejscem geometrycznym punktów o tej samej fazie drgań. Małe źródło drgań wytwarza fale w przybliżeniu kuliste, które rozchodzą się we wszystkich kierunkach. Mały fragment czoła fali w dużej odległości od źródła możemy w przybliżeniu traktować jako falę płaską. W ośrodku jednorodnym i izotropowym, w którym prędkość fali jest stała, jest ona w każdym miejscu prostopadła do czoła fali. Prostą prostopadłą do czoła fali, wskazującą kierunek rozchodzenia się fali, będziemy nazywali promieniem.

B

B'

Rys. 75. Zasada Huygensa wyjaśnia przemieszczanie się czoła fali płaskiej. Promienie prostopadłe do czoła fali AB są do siebie równoległe

Każdy punkt czoła fali drga z tą samą fazą, powtarzając drgania źródła, odległego o r, z opóźnieniem r t=c i przekazując zaburzenie innym punktom; można go więc uważać za źródło kolejnych zaburzeń i dalszych fal. I taka jest istota zasady Huygensa: Każdy punkt czoła fali można .uważać za źródło nowej fali. Ponieważ mamy do czynienia ze źródłami punktowymi, więc te wtórne fale będą kuliste. Ich obwiednia tworzy nowe czoło fali wypadkowej. Zasada Huygensa stwarza 127

możliwość wyznaczania czół fali i prostopadłych do nich promieni przy przechodzeniu fali przez przeszkody i daje dobre wyniki, pod warunkiem, że nie bierzemy pod uwagę wtórnych fal biegnących wstecz.

Rys. 76. Zasada Huygensa na przykładzie fali kulistej. Promienie rozchodzą się ze źródła fali S na wszystkie strony

Fala na granicy ośrodków. Granica ośrodków oznacza skokową zmianę impedancji z R x na R2, co w praktyce oznacza zmianę prędkości rozchodzenia się 7. na c2.

Rys. 77. Fala na granicy ośrodków o impedancjach R, i R2

W najprostszym przypadku, kiedy granica ośrodków jest prostopadła do kierunku rozchodzenia się fali, który przyjmiemy jako oś x (fala płaska), mamy do czynienia z falą padającą, tzn. biegnącą w kierunku granicy ośrodków (w stronę dodatnich x), opisaną równaniem y, = /ł,ejto(t-*/cl>, 128

falą odbitą, biegnącą w kierunku przeciwnym (w stronę ujemnych x)

y\ = B lei<0(l+Xlc') i falą przepuszczoną (w drugim ośrodku) y 2 = A 2ei
a moc można wyrazić jako iloczyn siły i prędkości P = F y = R y 2, napiszemy bilans mocy w postaci Ą R ^A 2=

+ %R2a)2A2.

Stąd R XA \ = R xB l + K2A \. Znajdziemy teraz liczbowe zależności między amplitudami. Przekształcając ostatni związek R A A \- B l) = Rt (A1+ B 1) ( ^ 1- B 1) = R 2A l i uwzględniając Ay + B t = A 2, otrzymujemy ^ ( A x- By ) = A 2.

9 -

Fizyka dla politechnik

129

Podstawienie do prawa ciągłości daje B-2 skąd bez trudu otrzymujemy Bj _ B2 /4i R 1+ R 2 oraz, ze względu na Bi/A 1 = (A2/,4Ł) —1 (prawo ciągłości), A 2 R-i —B-2 2R, ---= ------------h 1 = --------- . A t R l + R2 R l -{-R2 Stosunek amplitud fali odbitej i padającej nazywamy amplitudowym współczyn­ nikiem odbicia, a amplitud fali przepuszczonej i padającej amplitudowym współczynnikiem przepuszczania. (Używa się też nazwy refleksja i transmisja). Oznaczając je odpowiednio przez kr i k, mamy ^ _ By _ R i B2 ' B 1+ R 2 k —— — 1 B 1+ R 2 Im większy jest skok impedancji na granicy ośrodków, tym większa amplituda fali odbitej. W granicy przy R 2 = 0, B t = A x i A 2 = 2AX( A 2 jest tu amplitudą na granicy). W drugim przypadku granicznym, gdy R2 = oo, odbicie jest zupełne i B t = A x (w praktyce R 2 = 0 oznacza c2 — 0 i w ośrodku 2 nie ma fali). Odbicie i przepuszczanie energii. Stosunek energii (mocy) odbitej do padającej ^ R ^ B l

B\

\ R xoi2A \ ~ ~ Ą nosi nazwę współczynnika odbicia energii. Analogicznie stosunek mocy przepu­ szczonej do padającej \ R 2(o2A l _ R y A ^ ^ R l(o 2A 2 ~ R XA\

nazywamy współczynnikiem przepuszczania (transmisji) energii. Oznaczając je odpowiednio przez ker i k et i korzystając z poprzednich zależności otrzymuje­ 130

my

oraz

Łatwo zauważyć, że przy R 1 = R 2 (/cer = kr = 0) nie ma odbicia, a transmisja osiąga maksimum (ket = k, = 1). Odpowiednie wartości amplitud wynoszą Bx = 0, A 2 = A 1. Prawa odbicia i załamania. Linię prostopadłą do czoła fali nazywamy promieniem. W fali płaskiej promienie są równoległe do siebie i mają ten sam kierunek propagacji. W fali kulistej promienie rozchodzą się we wszystkie strony ze wspólnego środka — źródła fali. Promień jest linią prostą tylko w ośrodku jednorodnym. Za pomocą promieni można sformułować prawa odbicia fali od granicy ośrodków. 1) Promień padający, promień odbity i normalna do powierzchni granicz­ nej w punkcie padania leżą w jednej płaszczyźnie, zwanej płaszczyzną padania. 2) Kąt padania (między promieniem padającym a normalną do powierz­ chni granicznej) jest równy kątowi odbicia (między normalną a promieniem odbitym). Oznaczając pierwszy z nich jako au drugi jako a\ mamy a i = a'iW podobny sposób formułujemy prawa załamania.

Rys. 78. Prawa odbicia i załamania ( /Ł oznacza promień padający, / j — odbity, l 2 — załamany, AB — granicę ośrodków)

131

3) Promień załamany leży w płaszczyźnie padania 4) Stosunek sinusów kątów padania (at) i załamania (a2) jest równy stosunkowi prędkości fali w obu ośrodkach sina1 sina2

Cj c2

Prawo załamania nazywamy też prawem Snella. Kąt załamania to kąt między normalną do powierzchni granicznej a promieniem załamanym. Stosunek prędkości nosi nazwę względnego współczynnika załamania

W tym przypadku jest to współczynnik załamania ośrodka drugiego względem pierwszego. Stąd sin aj = n2i ■ sina2 Załamanie i odbicie często występują razem — część fali się załamuje, a część odbija. Mówimy wtedy o odbiciu częściowym. Prawa odbicia i załamania są empiryczne, tzn. wynikają z doświadczenia. Można je uzasadnić na podstawie zasady Huygensa. Każdy punkt powierzchni granicznej, do którego doszła fala padająca, staje się źródłem nowej fali. Fala odbita porusza się w tym samym ośrodku co padająca

Rys. 79. Prawa odbicia i załamania wynikają z zasady Huygensa. Czoła fali odbitej (F'i) i załamanej (F2) są obwiedniami fal elementarnych o promieniach proporcjonal­ nych do prędkości fali w ośrodku

132

i ma tę samą prędkość c ,. Czoło fali odbitej jest symetryczne do czoła fali padającej. Osią symetrii jest normalna do powierzchni granicznej w punkcie padania. Promienie są prostopadłe do czoła fali i stąd wynika równość kątów padania i odbicia. Fala załamana porusza się w drugim ośrodku z prędkością c2 # c, i w tych samych odstępach czasu przebiega drogą inną niż fala padająca w ośrodku pierwszym. Wynika stąd, że czoło fali załamanej jest nachylone pod innym kątem do powierzchni granicznej (z wyjątkiem przypadku, gdy fala pada prostopadle). Odległości przebywane w danym czasie w obu ośrodkach są proporcjonalne do prędkości. Z zależności geometrycznych bez trudu dochodzimy do prawa Snella (kąt między czołem fali a powierzchnią graniczną jest taki sam, jak między promieniem a normalną do tej powierzchni). Zasada Fermata. Prawa odbicia i załamania wynikają z zasady podanej najpierw przez Hcrona z Aleksandrii — w odniesieniu do odbicia od płaskiej powierzchni — a potem przez Fermata. Według tej zasady zaburzenie rozchodzi się po takiej drodze, aby czas przejścia między dwoma punktami byl najkrótszy. We współczesnej uogólnionej formie zapisujemy to jako

Bd s = i— c

extr.

Czas przejścia zaburzenia między punktami A i B jest ekstremalny. Tego rodzaju zagadnienia rozwiązuje się metodami rachunku wariacyjnego. Wielkość ds jest elementem toru zaburzenia, a c prędkością propagacji. W szczególnym przypadku, gdy punkt A, przez który przechodzi promień padający, jest odległy o a od powierzchni granicznej i o x od normalnej w punkcie padania, a punkt B, przez który przechodzi promień odbity odpowiednio o b i o y = l —x, przy czym l jest odległością między rzutami punktów A i B na powierzchnię graniczną, mamy v/ a 2 + x2+ y /b 2+ ( l - x f c c

Rys. 80. d ( As, — { — 1+ dx\ c

Prawo odbicia wynika z zasady Fermata t — £ A s/c = extr., czyli A s,\ — ) = 0. Stąd a' = a v )

czyli dt _

x

l —x

d* cs/a2+x2 Cyjb2+ (/—x)2 133

Ale x

— ---- = sina, y ja 2 + x 2 l-x

■ ---- —sina,

%/b 2+ ( l - x ) 2 gdzie a jest kątem padania, a a? kątem odbicia. Jak widać sin a = sin a', czyli a - a'. Kąt padania jest równy kątowi odbicia.

Rys, 81. Zasada Fermata d / As! As; = 0, czyli d * \ Cl c2

wyjaśnia

także

prawo

załamania.

Tutaj

n21

Jeżeli B jest po drugiej stronie powierzchni granicznej, to czas przejścia między oboma punktami wyraża się wzorem y /a 2 + x 2 _ J b 2+ ( l - x ) 2 "b ,

t

Cl

C2

a warunek ekstremum prowadzi do związku

... - i L ____ l~ xc1%/fl2 + x2

....= n

cly J b 2+ (l —x)2

czyli sin a

sin /?

Cl

c2

gdzie a jest kątem padania, a /? załamania. Jest to prawo Snella, normalnie przedstawiane w postaci sina

c,

— „ = — = «2isin [i c2 134

Transport energii. Istotą fali jest rozchodzenie się stanu drgań bez roz­ chodzenia się materii. Ponieważ z drganiami wiąże się energia, więc roz­ chodzenie się drgań oznacza transport energii. Jeżeli w ośrodku rozchodzi się fala harmoniczna i// = ^ ej(kr+"t+a) to cząstki ośrodka drgają zgodnie z tym wzorem. Dla danego r iloczyn k r jest stały i można go włączyć do stałej fazowej k-r + 5 = q>. Wychylenie cząstki ośrodka wynosi ijj = y4 ej(»t+v) Prędkość drgań jest pochodną wychylenia względem czasu $ = jcozlej(o>,+,',). Ograniczając się do wyrażeń rzeczywistych możemy napisać i// = A sin (ojt + ę) oraz — Aa> cos (o)t+ ę). Jeżeli gęstość ośrodka jest równa q, to masa cząstek w elemencie objętości dF wynosi d m = gdV, a ich energia kinetyczna dEk = jij/2dm = jq A 2oj2 cos2 (ajt + ę)dV. Jak wykazaliśmy, dla oscylatora sprężystego średnia energia potencjalna jest równa średniej energii kinetycznej. W tym przypadku d Ep = d Ek = \ q A 2oj2 cos2 (ojt + ę)dV. Całkowita energia ma wartość dwa razy większą d£

= d E k + d E p = q A 2oj2 cos2 (ojł + ę ) d V .

Znajdźmy jeszcze gęstość energii qe

d£

= — =

qA 2oj2 cos2 (o)t

+ ę).

135

Wyrażenie to można uogólnić dla całej przestrzeni wypełnionej falami tego samego rodzaju qe

— q A 2 o >2 co s 2 (k •r ± ft»t + <5)

lub dla fali płaskiej rozchodzącej się w kierunku x qe

= qA 2co2 cos2 (a>t —kx + S).

Maksima gęstości energii rozchodzą się wraz z miejscami maksymalnego wychylenia z prędkością fazową c. Dla scharakteryzowania przepływu energii wprowadzimy strumień mocy

W przypadku fali płaskiej energia przenoszona w ciągu czasu dt przez powierzchnię S prostopadłą do kierunku propagacji wynosi d E = gEScdt =
gęstością strumienia mocy lub natężeniem promieniowania. Jak widać 1=

qec.

df=(>£ Sc df

I 1

cdf Rys. 82. Transport energii i wektor Poyntinga 136

W ogólnym przypadku powierzchnia S może być skierowana dowolnie. Wprowadzamy wówczas wektor natężenia promieniowania zwany też wek­ torem Poyntinga

przy czym dS„ jest rzutem elementu powierzchni dS na płaszczyznę prostopad­ łą do kierunku propagacji opisanego przez wektor prędkości fali c°. Ponieważ cc0 = c, więc wektor Poyntinga I = QfC. Zwróćmy uwagę, że ze względu na proporcjonalność gęstości energii do kwadratu amplitudy, także i natężenie promieniowania jest do niej pro­ porcjonalne I

= 0v42co2 c o s 2 ( k r ± c 0 t + <5)c.

A oto jak się oblicza strumień mocy przechodzący przez skończoną powierzch­ nię S 0 =

fids = Je£cds. s

s

Za pomocą wektora Poyntinga można sformułować zasadę zachowania energii dla obszaru o objętości V zamkniętego powierzchnią S, przez który przechodzą fale. Szybkość zmian energii, czyli moc tracona przez obszar jest równa gęstości strumienia mocy wychodzącej z ograniczającej go powierzchni dE 8t

-J ld S . s

Energia zawarta w objętości V da się wyrazić za pomocą gęstości energii E=

v

dV,

a do strumienia można zastosować twierdzenie Gaussa J /d S = Jd iv Id P . S

V

Bilans mocy otrzymuje postać

i stąd ostatecznie =

—div I

=

—div ( q e c ) .

Szybkość zmian gęstości energii jest równa minus dywergencji wektora gęstości strumienia. Otrzymany związek, zapisywany zwykle w formie ^

+ div(e£c) = 0

jest słuszny dla obszarów, w których nie ma źródeł fali. W ośrodku bez dyspersji (tzn. gdy prędkość c nie zależy od częstości — p. §9) prędkość przepływu energii jest równa prędkości fazowej.

§ 8. Interferencja Interferencją nazywamy nakładanie się fal prowadzące do ich wzmocnienia lub osłabienia w poszczególnych miejscach w zależności od różnicy faz. W przypad­ ku wzmocnienia mówimy o interferencji konstruktywnej, a w przypadku osłabienia o interferencji destruktywnej. Warunkiem uzyskania interferencji jest spójność interferujących fal. Fale nazywamy spójnymi, jeżeli różnica ich faz nie zależy od czasu. Oznaczając fazy przez ę x i ę 2, możemy napisać warunek spójności Aę =

—ę 2 = const.

Podobnie określa się spójność źródeł fali. W wyniku nakładania się (superpozycji) fal o tej samej częstości okreś­ lonych równaniami i/^ = zl1ej("t+*l) = ^ e ^ e ^ 1, ^ 2 = A 2ei(03,+q,2) = A 2eicote ^

powstaje fala wypadkowa \j/ =

+

= ( A ^ 1+ A ^ 2) ^ 021 = /4ej(“' +?,),

której amplitudę znajdziemy ze wzoru A2 =

( A 1ei ",1 + A 2ei ‘l,2) ( A 1e~>(l,i+ A 2e - ^ ) =

= A 21 + A l + A 1A 2 [ej(*1~<,’2>+ e~j<',’1~,;,,2)], 138

czyli ostatecznie

A 2 = A 2 + A l + 2A 1A 2 cos(ę 1 —cp2),

Rys. 83. Przy nakładaniu się fal mamy do czynienia z superpozycją drgań. Warunkiem interferencji jest stałość różnicy faz w członie interferencyjnym 2 A 1A 2 cos( ( p1 —
a fazę ze wzoru

tg 9

A x sm
Iloczyn 2Al A 2 cos{ę 1 —ę l) nazywamy wyrazem (członem) interferencyjnym. W wyniku interferencji powstaje fala harmoniczna o tej samej częstości co fale składowe, lecz różnej amplitudzie i stałej fazowej. Jeżeli fale składowe są spójne, człon interferencyjny ma określoną wartość zależną od różnicy faz i stałą w czasie. W przypadku fal niespójnych różnica faz zmienia się z okresem T= 7 j - T 2. Przy długim czasie obserwacji średnia wartość członu interferencyjnego (2A 1A 2 c o s {

jest równa zeru i kwadrat amplitudy wypadkowej A 2 = A \+ A \. Mamy tu do czynienia ze zwykłym sumowaniem energii, która jest propor­ cjonalna do kwadratu amplitudy — interferencji nie obserwujemy. Przy stałej różnicy faz (fale spójne) człon interferencyjny jest stały w czasie i wynik interferencji zależy od różnicy faz. Dla A

ność n) otrzymujemy maksymalną amplitudę wypadkową Amax = A.\ + A 2. Dla A ę = (2n + l)rc (nieparzysta wielokrotność rc) amplituda wypadkowa jest najmniejsza Amin = |Aj

A2|.

Dodawanie natężeń. Funkcja falowa może być wielkością wektorową. Odpowiednie fale składowe zapiszemy dla odmiany w postaci rzeczywistej t|r,(r, t ) = Aj cos(kjr—cor + ^j), 'M r>0 — A2cos(k2r—cot + Ó2). Natężenie (strumień mocy na jednostkę powierzchni) jest wprost proporcjonal­ ne do średniej wartości kwadratu funkcji falowej / ~ < r> , który znajdziemy z zależności *112 = Oh + t y 2)2 = 'l'i+'ki+2'l/1'|/2Stąd natężenie I = /j + / 2 + / l 2 , przy czym / 2 ~ , a człon interferencyjny I l2 ~ j(^2). Aby obliczyć tę ostatnią średnią, trzeba znaleźć iloczyn '1'i'h = A jA2 cos(kjr—t]. Stąd średnia 1 t+T <'ki'l/2> = ~ j 1 i

= iA ,A 2cos(k1r + ń1- k 2r - 5 2).

Wykorzystaliśmy tutaj oczywiste zależności = = , 140

przy czym różnica faz q>= kjT —k2r + <5j —S2. Jeżeli wektory amplitud są do siebie prostopadłe, tzn. Aj 2. A2, to człon interferencyjny / 12 = 0

i natężenia się sumują / = / t + / 2. Częściej bywa, że oba wektory są równoległe, tzn. A,||A2. Wówczas /

12 = A t A 2 c o s
W podobny sposób znajdziemy pozostałe natężenia A\ fi = < = 2 ’ / 2 = < = y .

Stąd fi 2 =

2 y /r jlc o s q >

i natężenie wypadkowe / = / j + J 2 4- 2 , / j j J 2 c o s

które dla (p = 2 kn (parzysta wielokrotność tc) osiąga maksimum fmax — f l + / 2 + 2 N/ / 1/ 2 ,

a dla = (2fc+l)7i (nieparzysta wielokrotność Jt) — minimum fm in =

f l + f 2

2 y/ l 1I 2 -

Jeżeli amplitudy fal składowych są równe Aj = A2, to natężenia fal są równe f i = f 2 = fo i natężenie wypadkowe i

(P

1 = 2/ 0 (1 + cos ę>) = 4/ 0 cos2 — 141

osiąga wartości ekstremalne / min = 0 i 7max = 4I0. W szczególnym przypadku jednakowych amplitud fal składowych, czyli A x = A z w wyniku interferencji konstruktywnej otrzymujemy ^ max = 2 A u a w wyniku interferencji destruk­ tywnej zfmin = 0 . Dotychczas rozpatrywaliśmy nakładanie się drgań nie biorąc pod uwagę rozkładu przestrzennego, z jakim zawsze mamy do czynienia w fali. Z równania fali płaskiej rozchodzącej się wzdłuż osi x tj/ = Aeila>t-kx-61 wynika, że stała fazowa w poprzednio rozpatrywanym przypadku jest funkcją współrzędnej x ę (x , S) = — (kx + d). Stąd ^ _ ^ ej[cot+«>(x,a)] albo biorąc tylko moduł części urojonej i podstawiając do funkcji fal składowych = A i sin [cot -I- cpj (x, <5)], 1/^2 = A2 sin [cot + (p2 (x, S)].

Wynik jest oczywiście taki sam, jak poprzednio, ale widać teraz, że różnica faz Aę = k x 1 + 51— (kx 2 + d2) = k (x l —x 2) + d 1 —ó2 jest związana z różnicą stałych fazowych 8 l —8 2 i różnicą współrzędnych x y —x2, zwaną też różnicą dróg. Najczęściej tak się dobiera współrzędne, by x x i x 2 oznaczały odległość od źródeł fali. Podstawiając wyrażenie na liczbę falową możemy wyrazić różnicę dróg w jednostkach długości fali k (x 1 —x 2) = ^ j ( x 1 - x 2) = 2 n Xl Uogólniając związki interferencyjne na dowolnie wiele fal otrzymujemy N

"A= [ I V * ] ejco
YjAfiW* = A e^ 142

i stąd ip = Aei2){A 1e~iVl + A 2e~i
ip = Y, A; cos (ęt ±cot) = A cos (ę ± cot) i

kwadrat amplitudy wypadkowej

£

A 2 =

i= 1

A t + 2

£ j > i i

£ A =1

iA j c o s ( < P i - < P j )

(j jest tutaj wskaźnikiem), a tangens stałej fazowej

tg V>=

YuA i sin
Dla N źródeł niespójnych o tej samej amplitudzie A x i przypadkowych fazach ,—(pj) jest z jednakowym prawdopodobieństwem większy i mniejszy od zera, czyli ,(t) —<£>;(£)]> = 0 i stąd / = N I j. Natężenie wypadkowe jest sumą natężeń składowych. Natomiast dla źródeł spójnych (przy ę t = ę ) A 2 = Z A f + 2 Z Z A iAj = ( Z A f . 143

Jeżeli Aj — A t = const, to A 2 = (N A t)2 = N 2A \. Taka sama relacja zachodzi między natężeniami w maksimum /

1 max

= n 2IJ l *

Interferencja prowadzi do geometrycznego wzrostu natężenia w miejscach maksimum natężenia. Na przykład dla N = 2 i / , = J0

jak to już wyżej stwierdziliśmy. Interferencja fal sferycznych. W przypadku dwóch fal sferycznych o tych samych częstościach

różnica faz wynosi

S/nt + ęjj —ę>i P

0-2 Rys. 84. Wynik interferencji fal sferycznych w punkcie P zależy od różnicy dróg A r...

Rys. 85. ... a powierzchnie maksimów i minimów tworzą hiperboloidy obrotowe (w przekroju — hiperbole )

144

a minimum 1 = 0 dla ę = (2n+ l)rt, czyli

(2n+l)n + = --------- *----------' Obydwa równania określają hiperboloidę obrotową.

Fale stojące. Rozważmy superpozycję fali płaskiej biegnącej w kierunku osi x i^ = Aeiio>'~kx) = Aei<0(,~xlc)

oraz takiej samej fali biegnącej w przeciwną stronę ijf2 = /4ejt" <'+jc/c)+a], gdzie 8 jest różnicą faz obu fal. Fala wypadkowa powstaje w wyniku superpozycji =

+t//2 = Ae>(“' +a/2) [ej("x/c+a/2) + e ~j (
= 2/1 cos

0 cJ (“‘+,/2>= 2,4 c o s ( ^ + ^ e j<“t+3/2).

Czynnik ej(eot+a/2) interpretujemy jako wypełniający przestrzeń stan drgania o tej samej fazie, którego amplituda _

[2 n

(5\

^st = 2zlCOSI y X + - I

zależy od współrzędnej x, przyjmując maksymalną wartość równą 2 A w miejs­ cach, gdzie 2tc <5 —x + - = nn. a minimalną — równą zeru — w miejscach, gdzie 2n

T

8 ,,n x + - = (2 n + 1)- .

Maksima amplitudy noszą nazwę strzałek, minima — węzłów. Mimo nieustannego przepływu energii miejsca węzłów i strzałek są stałe. Taką falę nazywamy stojącą. Gdy (5 = 0, wzory się upraszczają. Dla strzałek mamy 2%x/X, = ntt, czyli X x = n2’ 10 -

Fizyka dla politechnik

145

Rys. 86. Rozkład amplitud fali stojącej. Odległość między sąsiednimi strzałkami S lub węzłami W jest połową długości fali

a dla węzłów x = (2 n + l)^ . Odległość między sąsiednimi strzałkami (lub węzłami) wynosi x»+ i-x„ = UZatem długość fali stojącej równa się podwojonej odległości między sąsiednimi węzłami lub strzałkami. Układ, w którym wzbudzono falę stojącą, drga jako całość z tą samą częstością. Obwiednia amplitudy jest cosinusoidą. Wszystkie punkty między sąsiednimi węzłami mają tę samą fazę drgań. Przy przejściu przez węzeł faza zmienia się na przeciwną. W ogólnym przypadku i// w równaniu fali stojącej może oznaczać każdą wielkość, której periodyczne zmiany rozchodzą się w postaci fali. Możemy więc mówić o strzałkach i węzłach wychylenia, ciśnienia, prędkości, natężenia pola elektrycznego czy magnetycznego itp. Interferencja przy różnych częstościach. Rozpatrzmy dwie płaskie fale harmoniczne o jednakowych amplitudach A i różnych częstościach co1 i co2

Rys. 87. Dodawanie drgań przy różnych częstościach i amplitudach

146

rozchodzące się wzdłuż osi x, opisane równaniami ij/ ! = y4ej('tix-t0lt), \jj2 = Aei(k2X~a>2,). W wyniku ich nałożenia powstaje fala wypadkowa Ą, — Ą |“e j (klJC—COlł)

—

^

a w chwili początkowej (t = 0 ) 11/ = A leikiX + eik2X];

wielkość kx' 2 jest bezwzględną wartością wektora falowego (ściślej jego składową równoległą do osi x). Wprowadźmy średnią wartość k 0 taką, że k t = k 0 —Ak i k 2 = k 0 + Ak. Oczywiście k 0 = 2 (ki + k2) oraz A/c = i(/c2 -fc 1). Podstawiając to do wyrażenia opisującego postać fali w chwili t = 0 otrzymujemy ^

^ |~ej

+

_j_ej <*°—

Ograniczając się do części rzeczywistej uzyskujemy tf/ = A [cos (k0 + Ak)x 4- cos (k0 —Afc)x] = 2A cos (Akx) cos k 0x .

Rys. 88. Zmiany amplitudy przy dodawaniu drgań o różnych częstościach i am­ plitudach. Jeżeli A = A„ to A m ax = 2 A i*U A m in, = 0 r

Obie fale składowe są zgodne w fazie dla x = 0, a maksimum amplitudy wynosi 2A. W miarę oddalania się od początku układu różnica faz rośnie ze względu na różne częstości. W punkcie, w którym fale są przeciwne w fazie, amplituda wypadkowa równa się zeru (fale się znoszą). Amplituda wypadkowej 147

fali harmonicznej zależy od położenia. Opisuje ją czynnik A! = 2A cos Akx. Jest on obwiednią fali, czyli linią ograniczającą wartość maksimów (por. dyskusję dudnień).

§ 9. Dyspersja Jeżeli obie interferujące fale mają jednakową prędkość cx = c 2 = c, fala wypadkowa i jej obwiednia poruszają się z tą samą prędkością. Bywają jednak ośrodki, w których prędkość fali zależy od częstości. Zjawisko takie nazywamy dyspersją i opisujemy zależnością c = c(co). Dyspersja zmienia obraz interferencji. Na przykład w przypadku dwóch fal o zbliżonych częstościach i co2, i współczynnikach k l i k 2 prędkości fazowe wynoszą

032 ki Jeżeli co1 jest większe od a>2 i k t większe od k2, a dyspersja jest taka, że prędkość rośnie z częstością, to cx > c2. Wyobraźmy sobie obserwatora (układ współrzędnych), który porusza się z prędkością c2 fali wolniejszej. W jego układzie fala ta jest nieruchoma, porusza się tylko fala szybsza (o prędkości cx), co prowadzi do znacznie szybszego przemieszczania się obwiedni fali wypad­ kowej. Prędkość ruchu obwiedni jest w tym przypadku różna od prędkości fazowej obu fal składowych. Nazywamy ją prędkością grupową. Aby ją znaleźć, wypiszemy równanie fali wypadkowej c2

ij, _

Ą [ g j <*1* - °>1

g j (*2* -

i wyrazimy k i co za pomocą wartości średnich k 0 — ł(^i + k2), a>o = ł ( c t > i +

cd2) ,

przy czym /cx = k 0 + Ak, k 2 = k 0 —Ak, coj = u>0 + Ao), 0 —Aoj. Teraz ^

4 _

148

|-e j Uko + Ak) * - (coo + Ara)»] + g j [(ko - A t) X - (0)0 - Ato) I ] ] _

A e i(kox-o>ot) [-gj (A kx- Acot) _|_ e - j (Ak x - Acot)-] ^

czyli biorąc tylko część rzeczywistą ip = 2 A cos (Akx - Acot) cos (k0x —co0t). Czynnik A' = 2A cos (Akx —Aa>t) opisuje postać obwiedni, która w tym przypadku zmienia się w czasie. Zmiany te są powolne, bo Aco jest mała. Fala wypadkowa rozchodzi się z prędkością fazową

Analogicznie prędkość przemieszczania się obwiedni, czyli prędkość grupowa Aco W granicy, przy Ak dążącym do zera, otrzymujemy bardziej ogólną postać dco

Prędkość grupowa i prędkość fazowa. Wróćmy do zależności między prędkością fazową a częstością co = kc i wprowadźmy ją do wzoru na prędkość grupową dco C® d k

d (kc) dk

Ze względu na związek k = 4n/X mamy

Stąd 4n X2 dc X 4jtdź’ 149

czyli ostatecznie

Jeżeli c(k) jest funkcją rosnącą, dyspersję nazywamy normalną. Pochodna dc/dż jest wtedy dodatnia i prędkość grupowa jest mniejsza niż fazowa. W przypadku gdy c(k) maleje ze wzrostem długości fali (dyspersja anomalna) cg >c. Paczka falowa. Falę harmoniczną możemy scharakteryzować podając liczbę falową (lub wektor) k i częstość kołową a), które można także wyrazić za pomocą długości fali k ,

2 tt

fc= T i częstości (częstotliwości) v co = 2kv. Postać fali (płaskiej) opisuje najogólniej funkcja zespolona \j/ = AeHkx±m,) lub jej części: urojona Imi]/ = A t sin(kx±cot) i rzeczywista Ret/' = A 2 cos(kx±(ot). Obie funkcje nie są zlokalizowane, lecz rozciągają się na całą dziedzinę współrzędnej x od —oo do + oo. Wystarczy jednak nałożyć na siebie dwie fale harmoniczne o bliskich liczbach falowych k 2 i k 2 i tej samej amplitudzie A, żeby uzyskać pewien stopień lokalizacji: wzmocnienie drgań w jednych miejscach i osłabienie w innych. Zwiększając liczbę odpowiednio dobranych fal uzys­ kujemy jeszcze większe skupienie drgań. Jeżeli liczba fal składowych dąży do nieskończoności, różnice liczb falowych i częstości nieskończenie maleją, w granicy dochodzimy do ciągłego rozkładu k i co, a suma zmienia się w całkę ■t

V 'v

Rys. 89. Monochromatyczna fala płaska wypełnia nieskończoną przestrzeń

150

Fouriera

il/(x ,t)=

+00 J A{t)eHkx~at)dk, — 00

przy czym A(k) jest amplitudą określoną jako funkcja liczby falowej. Jej odpowiedni dobór pozwala uzyskać przez nałożenie nieskończonej liczby nieskończenie mało różniących się fal zlokalizowany impuls falowy o dowol­ nym kształcie. Taki impuls nazywamy pakietem lub paczką falową.

Rys. 90. Przez nałożenie nieskończonej liczby fal o nieskończenie bliskich częstoś­ ciach powstaje zlokalizowana paczka falowa Przykład. Kształt pakietu. Wybierając amplitudy składowe postaci A(k) = A0e _
j A 0e~"2^k~ko)2eJ(kx~m ,dk — 00

i stąd postać fali wypadkowej (dla t = 0) 00 il/(x)= J X0e"'r2<'I' ' Io)V “ dk. - 00 Aby to obliczyć, wprowadzimy nową zmienną e = k —k0. Oczywiście dfi = dfe i 00

00

■/»(*)= j A0ę - ° 1,:2e>fko+eUdE = A0ej‘°* j e - ^ - ^ d e .

— 00

” 00

Przekształcając wykładnik pod całką v2 e h 2- je * = a2e2- je* - ^

v2

/ x \ 2 X2 = [ o t - j —J + ^ =

i podstawiając do poprzedniego wyrażenia otrzymujemy ^(x) = A0ej‘M J e ' ' 1(‘" J*/2"2)łe - ^ /4,'1ds = —ao = A 0c ‘kox

J

e - ff2 (e - j* /2 < r2)2 d g^

151

Wprowadzenie zmiennej x

(&'/ — de) redukuje powyższe wyrażenie do postaci

iHx) = A0e*°*e-*2liĄ‘’2) i e " ^ JdZ. Wartość zawartej w nim całki wynosi

a i stąd

Taki jest kształt otrzymanego pakietu falowego.

Jeżeli prędkość fazowa fal składowych zależy od długości fali (dyspersja), a więc także od liczby falowej c — c(k), pakiet porusza się z prędkością grupową

Rys. 91. Paczka (obwiednia) porusza się z prędkością grupową cg, fale przepływają przez nią z prędkością fazową c

Średnia wartość prędkości fazowej wynosi

W ośrodku dyspersyjnym częstość kołowa zależy od liczby falowej i zależność co = ck nie jest liniowa. Dla liczb falowych zawartych w przedziale [k —A/c/2 , k + A/c/2] istnieje rozrzut (pasmo) prędkości grupowych

152

Ze względu na cg = dco/d/c można to zapisać także jako ó2oj

Ac„

W

| Ak. ko

Rozrzut prędkości powoduje, że paczka się rozpływa, tzn. jej szerokość Ax = Ax 0 + Acgt rośnie w czasie. W ośrodku niedyspersyjnym (ca/k = c — const), prędkość grupowa jest równa prędkości fazowej i paczka falowa porusza się bez deformacji. Prędkość paczki falowej. Wróćmy do ogólnej postaci paczki falowej otrzymanej przez superpozycję fal harmonicznych ij>= f ^ (k )ej(fc*““') dfc. — 00

Jeżeli liczby falowe fal składowych są bliskie danej wartości k0, funkcja A(k) ma dla tej wartości ostre maksimum, a przy oddalaniu się od niego dąży do zera. Częstość kołowa co jest funkcją k. Przy braku dyspersji wszystkie fale składowe mają tę samą prędkość c = co/k, taka sama jest też prędkość paczki, czyli prędkość grupowa to

Cg" c ~ T Jeżeli ośrodek, w którym rozchodzi się fala, przejawia właściwości dyspersyjne, częstość tu jest bardziej złożoną funkcją k, także stosunek co/k zależy od k (czyli pośrednio od długości fali X). Jeżeli maksimum A(k) jest dostatecznie ostre, funkcja ta różni się wyraźnie od zera tylko w pobliżu k = k0 i można rozwinąć częstość kołową co(k) na szereg Taylora wokół tego punktu tu(k) = co(fc0) + ^ ^

(k—k0)2+ ...

(fc-fc°)+ —

Oznaczmy co(k0) = co0. Pomijając dalsze wyrazy otrzymujemy ( dcA co = to0+ ^ — J (k—k0). Podstawiając to do wzoru na fazę pakietu falowego i przekształcając otrzymujemy k x —cot = kx —co0t —

dco dw | (k - k 0)t = | (fc—k0)t = (k —k0)x + k0x —co0t — dk ko d k ko

= k0x —co0t+ ( k - k 0) x —

dco dk

t , ko -

czyli g j (fcje —«ot) _

g j t k o J t - o J o O g j t t - M I * - (d <0/dfc)k,,<] _

Pierwszy czynnik nie zależy od k i możemy go wyciągnąć przed znak całki opisującej postać pakietu falowego. Teraz 00

_

e j0

J

A (ty g j
(dw/dfc)k0t]

153

Czynnik przed całką opisuje falę harmoniczną o liczbie falowej k0 i częstości co0, całka przedstawia obwiednię pakietu. Jest ona sumą (superpozycją) fal, z których każda zawiera czynnik x —(dco/dfc)to t, czyli rozchodzi się z prędkością (dco/d/c)ko. Z tą samą prędkością porusza się także ich obwiednia, czyli paczka falowa. Jej wartość

jest prędkością grupową. Fale przepływające przez paczkę, o fazie opisanej wyrażeniem k0x —co0t, rozchodzą się z prędkością fazową

mn W ogólnym przypadku mamy do czynienia z wektorem falowym k, dowolnie skierowanym w przestrzeni. Szereg opisujący częstość kołową przyjmuje postać co(k) = co (fc0) + (Vw)*0( k - k 0)+ ..., a funkcja falowa

k = k0±—^ , y/2 0 a stąd szerokość połówkowa

154

Rys. 92. Klasyczna relacja nieoznaczoności: im większe a, tym ostrzejsze maksimum funkcji A (k) i bardziej rozmyte maksimum funkcji A (x), Ak A x = 1 W podobny sposób można zdefiniować szerokość połówkową funkcji falowej 0) jako odległość A x, na której wartość jej obwiedni spada od maksimum równego AosJ n /a (dla x = 0) do wartości

razy mniejszej. Rozwiązaniem równania

e-*W ) = e-l /2

U 3

Aa2

2

jest X -

y jlo

i taka sama jest szerokość połówkowa Ax = i j l o . Tego rodzaju definicja szerokości połówkowej nie jest jedyną możliwą, ale jest wygodna i zbliżona do statystycznego pojęcia odchylenia standardowego. Można ją stosować do scharak­ teryzowania kształtu funkcji o dowolnej postaci. Szerokości Ak i Ax określa się niekiedy jako nieoznaczoność liczby falowej i położenia maksimum. Mnożąc je przez siebie otrzymujemy związek

zwany twierdzeniem o szerokości pasma lub klasyczną relacją nieoznaczoności: Nieoznaczoność położenia jest odwrotnie proporcjonalna do nieoznaczoności liczby falowej. Dla uzyskania dokładnie zlokalizowanego maksimum (Ax = 0) konieczny jest nieskończony rozrzut liczb falowych (Ak = oo) i odwrotnie: fali niezlokalizowanej, czyli rozciągniętej na całą przestrzeń (Ax = oo) odpowiada Ak = 0; czyli ściśle określona liczba falowa. Wielkości związane relacją nieoznaczoności nazywamy komplementarnymi. Ze względu na równość

,

27t

2n,

kx — — et = — Av t = mt A

A

można się spodziewać, że podobną parę wielkości komplementarnych stanowią częstość kołowa i czas. Istotnie, także i one spełniają relację nieoznaczoności Aco At = 1.

155

§ 10. Ruch w ośrodku sprężystym Odkształceniem ciała nazywamy zmianę rozmiarów i objętości pod wpływem czynników zewnętrznych — np. sił lub zmian temperatury. Odkształceniu może towarzyszyć zmiana kształtu (postaci). W wyniku odkształcenia cząstki ciała przemieszczają się z położeń równowagi tak długo, aż wywołane przez przemieszczenie siły ze strony innych cząstek zrównoważą siły powodujące przemieszczenie i ustalą się nowe położenia równowagi. Pojawianie się tych sił świadczy o istnieniu między cząstkami więzów. Jeżeli po ustąpieniu czynników wywołujących przemieszczenia cząstki wracają do pierwotnych położeń, od­ kształcenie nazywamy sprężystym. Odkształcenie sprężyste jest więc odwracalne. Więzi między cząstkami są wtedy sprężyste. Odkształcenia nieodwracalne nazywamy plastycznymi. Ośrodek, w którym występują odkształcenia sprężyste, nosi nazwę sprężys­ tego. Ośrodek odkształcający się plastycznie będziemy nazywali plastycznym. W ośrodkach sprężystych wyróżniamy sprężystość objętości — jeżeli ośrodek stawia opór przy zmianach objętości — i sprężystość postaci — gdy opór powstaje przy zmienianiu kształtu. Ciała stałe wykazują sprężystość objętości i postaci, ciecze — tylko sprężystość objętości. Ciała sprężyste spełniają prawo Hooke’a, czyli wykazują liniową zależność między odkształceniami i naprężeniami, które z kolei są proporcjonalne do sił powodujących odkształcenia. Przy dużych odkształceniach ciała przestają być sprężyste. Tensor odkształceń. Przyczyną przemieszczeń punktów ciała może być: a) przemieszczenie ciała, b) odkształcenie. Niech rozpatrywany punkt P o współ­ 157

rzędnych y 2, x 2, x 3 (piszemy tak dla wygody zamiast x, y, z) ma po przemieszczeniu współrzędne x 1 + ^1, x 2 + ^2, x 3 +
Rys. 93. W wyniku odkształcenia ciała punkt P (xt , x 2, x3) przemieszcza się do P '(x1 + f 1) x 2+ £2, x 3 + £3), przy czym = Z euxj

mamy do czynienia z równoległym przemieszczeniem wszystkich punktów, czyli przemieszczeniem ciała. W najprostszym przypadku odkształcenie jest liniową funkcją położenia £ = ex, gdzie

jest odkształceniem względnym (w praktyce utożsamiamy współrzędne z roz­ miarami ciała). W przypadku trójwymiarowym każda składowa odkształcenia jest funkcją trzech współrzędnych £i = %iix li x 2* -*3)’ a mianowicie £1 = en x 1 + e l2 x 2 + e 13 x 3,

158

£2

=

e 2 1 * 1 + ^ 2 2 x 2 + e 2 3 x 3>

£3

=

g 31 X 1 + ^ 3 2 x 2 + e 3 3 X 3-

Wypisany powyżej układ opisuje odkształcenie jednorodne. Przyjmując kon­ wencję powtarzalności (powtarzanie się wskaźników oznacza sumowanie) można go zapisać krócej

przy czym i = 1, 2, 3, a j (także równe 1, 2, 3) jest wskaźnikiem sumowania. Zapis należy czytać następująco: £ =

i

Każdy współczynnik e oznacza odpowiednie odkształcenie względne

Współczynniki etl = łj1/x 1, e 22 = £2/* 2> e 33 = £3/x 3 (przy odkształceniu liniowym) są wydłużeniami względnymi przy rozciąganiu wzdłuż osi x 1( x 2 lub

Rys. 94. Przy przemieszczeniu PP' kąt odchylenia jest dodatni (krawędź równoległa do półosi + x 2 obraca się ku półosi + x 3), a przy przemieszczeniu PP" ujemny. Dla innych krawędzi można podać analogiczne zależności

x3. Jeżeli inne składowe się zerują,i eu , e22 i e 33 nazywamy odkształceniami głównymi, a odpowiednie osie — osiami głównymi. Przy ściskaniu odkształcenia są ujemne. Na wykresie odkształceń odkształcenie względne oznacza tangens

159

kąta odchylenia (obrotu) krawędzi równoległej do odpowiedniej osi. Kąty odchylenia uważamy za dodatnie, gdy odpowiednia krawędź obróci się w kierunku od jednej do drugiej dodatniej pólosi współrzędnych. W szczegól­ nym przypadku niektóre kąty są równe. Na przykład przy e 12 = —e21 mamy do czynienia z czystym obrotem (bez odkształcenia), przy e 12 = e21 z czystym ścinaniem (bez obrotu), a przy e 12 = y, e21 = 0 z prostym ścinaniem. Kąt y nazywamy kątem ścinania.

Ogólnie biorąc współczynniki cy i ej( opisują odkształcenie postaci i obrót. Oznaczając część współczynnika opisującą odkształcenie postaci przez s, a obrót przez co możemy napisać el 2 — e12 + £«i 2, e 21 — e 21 +
Przyjmiemy następujące definicje: e 12 = ł ( e 12 +

e 2l)>

e21 = ł ( e21 + e 12)> <^12 = 2(e 12 ~ e 2l)»

<^21 —ł (e21 ~ e 12)>

czyli £ 12 =

£ 21

oraz tuł2 = —(o2i. Zapiszemy to w ogólnej postaci 2 \d xj

°3'j 160

dxt

1 (K t d l 2 VSxj dXi

— składowe odkształcenia,

— składowe obrotu.

Dla i = j składowe ey opisują odkształcenia normalne, a dla i # j czyste odkształcenie postaci. Z kolei, gdy i = j, a o)i} = —co,, = 0, istnieją tylko trzy składowe obrotu, po jednej dla każdej osi. Zespół 9 wartości ey jest tensorem odkształcenia £ 11 £ 12 £ 13> £21 £ 22 £23> £ 31 £ 32 £ 33-

Ze względu na 8y = z}i spośród tych elementów tylko 6 jest niezależnych (tensor symetryczny). Przy dużych odkształceniach przemieszczenie od jednej składowej może wpływać na drugie. Przy małych odkształceniach efekt ten można pominąć. Całkowita zmiana kąta (tangens kąta) odchylenia krawędzi jest sumą kątów (tangensów) dla obu krawędzi e 12 + e 21 =

£ 12 + £ 21 =

2 f i 12 =

2 f i2 1 ,

np. kąt ścinania jest równy podwojonej wartości odpowiedniej składowej tensora odkształcenia. Odkształcenie dzielimy na czysto objętościowe (zmiana objętości bez zmiany kształtu) i czysto postaciowe (zmiana kształtu bez zmiany objętości). Zmianę objętości sześcianu elementarnego możemy znaleźć następująco: V+AV ----- ——

=

( l + £ l l ) ( l + £ 2 2 ) ( l “b £ 3 3 ) ~

l " b £ l l + £22 " h £ 33 5

czyli względne rozszerzenie (zwane też dylatacją)

Czyste odkształcenie postaciowe, zwane też dewiacyjnym, znajdziemy odej­ mując 3 (AF/P) od każdej składowej odkształcenia przy rozciąganiu (tzn. od e n , e22 i £33). W ten sposób powstaje tensor odkształceń dewiacyjnych £1 1 ~ 3 0

£ 12

£13j

£ 21

e2 2 ~ 3 $ £23>

£ 31

£ 32

£ 33

Wprowadzając funkcję <5(<5y = 1 dla i = j, 5tj = 0 dla i # j) i stosując konwen­ cję sumowania zapiszemy tensor odkształceń w postaci Sij = i O&ij+ (£y —3 6&ij)'

11 — Fizyka dla politechnik

161

Pierwszy wyraz po prawej stronie opisuje odkształcenie objętościowe, a drugi (w nawiasie) dewiacyjne. Wektor przesunięcia. Odkształcenia składowe wektora przesunięcia

£2, £3 można traktować jako

S = {lX | + £2xS + {3 X§, gdzie x?, x2, x° są wersorami współrzędnych x t , x2, x3. Przesunięcie s punktu P można wyrazić za pomocą przesunięcia s0 pobliskiego punktu P 0 w na­ stępujący sposób: f i = Śto + r g r a d ^ , Ś2 = ^ 2o + r-grad<^2, <^3 = ^3o + r-grad^3,

czyli s = s0 -|-(rgrad)s.

Rys. 97. Związek między odkształceniami bliskich punktów P0 i P: wektor przesunięcia s = s0 + (r • grad)s

Gradient wektora, jaki się tu pojawił, można obliczać za pomocą operatora nabla (rgrad)s = (r-P)s. Przez r oznaczono wektor P 0P. W wyniku odkształcenia punkt P 0 przemieszcza się do P'0, punkt P do F . Wektor r' łączący P '0 i F zależy od r i s, r' = r + ( s —s0) = r + (rgrad)s. 162

Wprowadzenie wektora przesunięcia s pozwala wyrazić względne odkształ­ cenie objętościowe (rozszerzenie) 0 w postaci

V

8xx 8x 2 8x 3

= divs.

Tensor naprężeń. Siły działające na element objętości ciała dzielimy na objętościowe i powierzchniowe. Siły objętościowe działają na każdą cząstkę wewnątrz elementu, powierzchniowe tylko na ograniczających go powierzch­ niach. Do sił objętościowych należy na przykład siła ciężkości. Siły powierzch­ niowe pochodzą od sąsiednich elementów. Dzieląc je przez powierzchnie, na które działają F i rozkładając na normalne i styczne do powierzchni otrzymujemy naprężenia — normalne i styczne. Jeżeli krawędzie sześcianu są równoległe do osi x lf x 2, x 3, otrzymujemy tensor naprężeń Cy, o składowych (Tj!
°22

°23>

°31

a 32 f f 3 3 -

Rys. 98. Elementarny sześcian i naprężenia: normalne (
it13,

Naprężenia normalne
równoległe do Xj. Dla i # j jest ono naprężeniem stycznym albo ścinającym. Uważamy je za dodatnie, gdy działa na ściankę położoną dalej na osi, do której jest prostopadła, .a jest równoległe do dodatniej części innej osi. Podobnie jak było z odkształceniami tensor naprężeń też jest symetryczny °ij = a Ji

i ma tylko sześć niezależnych składowych. Jeżeli przy odpowiednim wyborze osi istnieją tylko trzy różne od zera składowe C u, < t22, u33, to nazywamy je naprężeniami głównymi, a odpowiednie proste równoległe do osi x 1# x 2, x 3 — osiami głównymi. W materiałach izotropowych główne osie odkształceń są zarazem głównymi osiami naprężeń i często wynikają z symetrii. Na przykład dla pręta w kształcie walca jedna oś pokrywa się z osią pręta, a pozostałe dwie są do niej prostopadłe. Analogicznie do przypadku odkształcenia w tensorze naprężeń wyróżniamy składowe objętościowe — zwane czasem hydrostatycznymi — i dewiacyjne. Jeżeli naprężenia główne są takie same a ll =

°2 2

=

°33 =

ł

°12 =

°23 =

ff31 =

0,

a ii

= —P>

to naprężenie jest czysto hydrostatyczne. Ciśnienie hydrostatyczne p ma znak minus, bo traktujemy je jako ściskające. W przypadku niejednakowych naprężeń głównych ciśnienie hydrostatyczne znajdziemy ze wzoru P =

— i f f j ; == — 3 ( f f l l + ° 2 2 + ° 3 3 )

(pamiętajmy o konwencji sumowania). Naprężenia dewiacyjne są związane ze składowymi ścinającymi Oy. Tensor naprężeń można wyrazić za pomocą funkcji 8 = -p<5lV+ (ff0 + p<50). Równowaga ciała sprężystego. Jak wiadomo warunkiem równowagi bryły jest zerowanie się sił i momentów sił. Oznaczając przez / gęstość siły (stosunek siły do objętości), a przez o naprężenie, napiszemy równania równowagi Jfd F + fo d S == 0, J(r xf)dK+$(r xo)dS = 0, przy czym naprężenia traktujemy jako wektory. Całkę z naprężeń bierzemy po zamkniętej powierzchni otaczającej rozpatrywany element o objętości dV. W przypadku sześcianu oblicza się sumę odpowiednich iloczynów dla wszyst­ 164

kich ścianek. W praktyce wyrażamy wszystkie wielkości za pomocą składo­ wych. Na przykład równanie siły dla składowych Xj ma postać J/id K -H ^ d S ! = jT^dF+fOruCOsaj + a21co$P1+o'3 i cos}’i)dS1. Tutaj dój jest powierzchnią ścianki prostopadłej d o x 1 , a a 1,/?1,y i są kątami nachylenia składowych naprężenia crn , a 21 i .
= 0llX? + CT2lX2 + 03lXg

(wskaźnik 1 oznacza składową równoległą do Xj) i korzystając z twierdzenia Gaussa ^ at dS = jdiytfjdF oraz powtarzając ten zabieg wobec pozostałych składowych-i podstawiając do równań równowagi otrzymujemy układ /l+ d iv „ 1 , / l + ^

t ^ ^g 21 + S
dx2

dx3

r ,. - d(T12 / 2 + div
-

^^13 23 ^0"33 + + = 0. dx1 8x 2 ĆÓC,

Tensor oi} jest oczywiście symetryczny. W zapisie skróconym

Siły objętościowe można też przedstawić w postaci Ft = fmiQdV, gdzie f mi jest stosunkiem siły do masy elementu gdV, czyli masową gęstości siły (o wymiarze przyśpieszenia). Stąd fi ~ fmiQ• Podstawiając to do równań równowagi otrzymujemy układ doij +fmi6 —0 dXj 165

lub ogólniej I------------------------I

e/m i + d l V
Uogólnienie prawa Hooke’a. Prawo Hooke’a wiązało odkształcenie z na­ prężeniem w przypadku jednoosiowego stanu napięcia. W uogólnionej formie stanowi związek między tensorami odkształceń i naprężeń. Wybierzmy jako osie współrzędnych główne osie odkształceń, w ciele izotopowym równoznacz­ ne z głównymi osiami naprężeń. Napiszmy prawo Hooke’a dla pierwszej osi (Tj - Eet (naprężenia i odkształcenia główne oznaczamy pojedynczymi wskaźnikami). Rozciąganie lub ściskanie wzdłuż danej osi powoduje odkształcenie poprzeczne (rozszerzenie lub zwężenie) w przekroju prostopadłym do tej osi. Miarą względnej wielkości tego odkształcenia jest współczynnik Poissona v. Na­ prężenie a 2 wywołuje w kierunku równoległym do odkształcenie ve2 = vo 2/ E , a naprężenie
V

1+V

ff3)J

=

jjt> 2 - v (*3 + ffl)J

=

E1 = - ^ [ f f l - v ( f f 2 +

° T

1

1 + V

1

fi2

=

S3

=^[ ^3-v(f fi +ff 2)j

-

1 + v K + ff2 + ^ 3) V

l + v (CTl +
r

V

1 =

E

ff3

1 + v ^ l + f f 2 + ff3 )

Transformując to na dowolny układ współrzędnych i wykorzystując fakt, że wyrażenia Si i + e22 + £33 = divs = const oraz £ h S22 + e 22 £3 3 + S 33 s i 1 ~ (fi? 2 + s § 2 + £ 32 )

= £j

“ł"£2 £3~ł"£3

™

są niezmiennikami transformacji (nie zależą od układu odniesienia), do­ chodzimy do bardziej ogólnej zależności między tensorami obejmującej także ścinanie

166

l+ v f £ 11 “

“ j H

V

~J

V

f f l l - j ^ ; ( f f l l + f f 22 + ff33)

1+ £12

>

l + vf V ~| £22 ——£~ <72 2 - |- ^ ( 0 'l l + ^22 + ^ 33) > l + vf £ 33 — —g -

^ ( a U + < T 2 2 + CT3 3 )

e31

=

° 12»

E 1

>

V

c

fi2 3 =

1

V ff3 3 ~ Y

=

+V Ec ° 2 3 >

1+

V

E ff31-

Stojący przed każdym wyrażeniem współczynnik l+ v _ 1 E ~ 2G jest połową odwrotności modułu ścinania G (zależność między modułami podaliśmy już wcześniej). Przy wszechstronnym jednorodnym ściskaniu o 11 = cs22 = 033 = p możemy, wykorzystując wzór na rozszerzenie (dylatację) 0 = £ u +£22 + 633 i definicję modułu ściśliwości K, wyrazić go następująco: 0 K = — P

1 —2v (011+022 Ep

+ ff33)

3(1 -2v) E

Ponieważ rozciąganie musi prowadzić do przyrostu objętości, współczyn­ nik Poissona nie może być większy niż \ v ^ 0,5 (inaczej moduł ściśliwości byłby ujemny). Dla materiałów nieściśliwych v = 0,5 i K = 0. Czasem przydaje się odwrotny układ równań E 0 i i - t l 1 + V

E 022 — , , 1 +V

— . , 1 + v

012

—

£

1 + V

12>

E

V £ 2 2 + j __2 V t £ l 1 + £ 2 2 + £ 3 3 /

E 033

E

V £ U + j _ 2 V (£ 1 1 + £ 2 2 + e 33)

V

023 =

E

,

£ 33 + j _ 2 V (£ 1 1 + £ 22

+ £ 33)

£ 23>

031 =

1 + V

e 31 •

Równania elastodynamiki. Wstawmy do równań naprężeń wartości od­ kształceń £v

2 \8Xj

dxj

31

167

i podstawmy uzyskane stąd naprężenia do podanych wcześniej równań równowagi

Dla składowej w kierunku xx otrzymujemy rr 2. d^ 2ć, + _ 25v (3 2£x . d2t 2 d2j A dx2 + 3xt dx2 + dx L s x \ i :2v 2(1 + v) 1^3/ e

fi +

P t i \ ć2 z 2 ^ | ^ 2^ 1 = 0, 3x2 dx1dx2 3x13xi 3x\

J

skąd, po niezbyt uciążliwych przekształceniach,

[’'{i+i^^(f;+I;+§;) [

fi +

E 2(1+ v)

fż +

E 2(l + v)

A+

E 2(l + v) [ F l ^

2

1 —2vSx2\ćbcx
= 0, = 0, =

0.

albo w zapisie wektorowym

Są to ogólne równania ruchu dla przesunięć, odkształceń i naprężeń w izotropowych ciałach sprężystych zwane też ogólnymi równaniami elastodynamiki. Pozwalają one na rozwiązywanie zagadnień ruchu w ciałach sprężystych, o ile znamy warunki brzegowe na powierzchni ciała. Energia odkształcenia. Praca odkształcenia sprężystego zamienia się bez strat na energię potencjalną. Wynika to z zachowawczości sił sprężystości. Poziomem odniesienia jest energia ciała nieodkształconego, którą uważamy za zerową. Energia odkształcenia jest zawsze dodatnia. Dla rozpatrywanego elementu objętości d Ep = gEdV, gdzie qe jest gęstością energii. Wybierzmy za osie układu współrzędnych główne osie odkształceń. Jeżeli sześcian elementarny podlega wyłącznie 168

wszechstronnemu rozciąganiu (bez ścinania), to ścianka prostopadła do osi x t odkształci się o ( l+ e 2) ( l+ e 3) i działająca na nią siła powierzchniowa będzie równa
Ale wartości £, i e2 są dużo mniejsze od jedności i można je pominąć. Aqe = ffjAe,. Przechodząc do granicy przy A£1->0 otrzymujemy _ Sqe CT‘ det ' Podobnie jest dla pozostałych osi. Podstawiając to do równań naprężeń mamy

Układ ten jest spełniony przez funkcję

Korzystając z niezmienników transformacji, np. £j + £ 2 + £3 = £ n +£22 + 633

oraz przekształcenia £1+62 + 63 = (ei + £ 2 + £3)2- 2 ( 6 1e2 + E2e3 + £3£1) = (£11 + e22 + fi33 )2 ~ 2 [fiu £32 +622633 +633611 ~ ( e12 +

fi23

+

63

l)] 169

możemy wyrazić gęstość energii w funkcji odkształceń dla dowolnego układu współrzędnych

QE(sij) =

2(1 + v)

1 —v 1 — 2v

(e l 1 + £22 + e 33)2

— 2 ( e n £ 2 2 + £ 2 2 e 33 + e 3 3 e l l ) + 2 ( 8 x 2 + ^ 2 3 + e 3 l )

»

przy czym, tak jak poprzednio 8qe Gęstość energii określa się niekiedy jako potencjał sprężysty. Jego jednostką jest oczywiście J m - 3 .

§ 11. Fale w ośrodkach sprężystych Weźmy pod uwagę nieograniczony ośrodek sprężysty, na który nie działają żadne siły zewnętrzne. Jedynymi siłami objętościowymi są siły bezwładności —ms. Jeżeli gęstość ośrodka jest równa q, to gęstość siły bezwładności wynosi / = ~QS, a równania ruchu mają postać

*

E V2s + -— — graddivs 1—2v 2(1+ v)

(>ś = 0.

Korzystając ze znanej zależności V2s = graddivs—rotrots napiszemy es

' 2(1- v ) 2 ( 1 + v)

1 — 2v

grad divs —rotrots

Rozłóżmy teraz s na dwie składowe S = SJL+S2

170

spełniające warunki rotSj = 0,

divs! ^ 0,

divs2 = 0,

rots2 =£ 0.

Składowa Sj jest więc wektorem bezwirowym i niesolenoidalnym, s2 — wiro­ wym i solenoidalnym. Ze względu na divs = 0 (rozszerzenie objętościowe) możemy pierwszą składową interpretować jako zaburzenie czysto objętoś­ ciowe. Zerowanie się rotacji przesunięcia świadczy, że elementarne objętości nie obracają się. Ze względu na niezależność przesunięcia od x 2 i x3 odpowiednie składowe dywergencji (dł;2/ d x 2 i d£3/5x3) znikają i pozostaje ,• 5^ divs = - — ćbcj i równanie ruchu przybiera postać d 2£ 1 =

£(l-v)

d2^

(1 + v ) ( l — 2v) d x 2 ’

8 dt2

czyli d2ę i _ E

1—v

q (1

dt2

d2^

+ v ) ( l — 2 v) d x j

Porównanie z ogólnym równaniem fali prowadzi do wniosku, że otrzymane równanie opisuje falę rozchodzącą się wzdłuż osi x t . Wychylenie (odkształ­ cenie) jest w tym przypadku równoległe do kierunku propagacji. Jest to zatem fala podłużna o prędkości '

Ci

£ (l~ v )

/ 2 G ( l — v)

e (l+ v )(l-2 v )

\]

q ( 1 - 2 v)'

W składowej s2 ze względu na divs2 = 0 = 0 nie ma odkształcenia objętoś­ ciowego (zgęszczeń i rozrzedzeń), mamy tu do czynienia z czystym ścinaniem. Wychylenie jest prostopadłe do kierunku propagacji. Odpowiednie składowe spełniają związki d2£2 .

dt2

=

dt2

E

d2t 2

2q {\ + v ) dx\ E

’

82^

2 Q (l+ v )8 x 2, 171

opisują więc falę poprzeczną o prędkości propagacji

Jak widać prędkość fal podłużnych jest większa niż poprzecznych. Stosunek prędkości £ i = Z2*1-* ) c2 v 1 —2v zmienia się od y j l dla v = 0 (ośrodek doskonale ściśliwy — np. gaz) do nieskończoności dla v = 0,5 (ośrodek nieściśliwy). Dla realnej wartości pośred­ niej v = 0,25, c t = y / 3 c 2. A oto prędkości fal sprężystych w niektórych metalach w nvs-1 : alumi­ nium c2 = 640, c2 = 316, stal cx = 810, c2 = 330, miedź c1 - 460, c2 = 226, ołów Cj = 220, c2 —70. Przykład. Fale w pręcie. Dotychczas rozpatrywaliśmy falę sprężystą w ośrodku nieograniczo­ nym. Ciała rzeczywiste są ograniczone, co prowadzi do określonych warunków brzegowych, innych niż w ośrodku nieograniczonym. Jeżeli w myśli wyodrębnimy z takiego ośrodka cienki walec, czyli pręt, o nieskończonej długości i poddamy go rozciąganiu, kontrakcja poprzeczna będzie utrudniona, bo jego pobocznice wiążą się z otaczającym ośrodkiem (więzi sprężyste)

Rys. 99. Rozciągany pręt swobodny podlega kontrakcji

Rys. 100. W pręcie wyodrębnionym z ośrodka kontrakcja jest utrudniona.

i odkształcenie wywoła naprężenia. Pręt swobodny podlega kontrakcji bez dodatkowych napfężeń. Widać stąd, że zaburzenie będzie się rozprzestrzeniać w pręcie swobodnym inaczej niż w ośrodku nieskończonym. Niech oś pręta będzie osią x . Wycinając w myśli z pręta element o długości dx i przekroju S (równym przekrojowi pręta) możemy określić wydłużenie względne w jednym

172

przekroju jako (5t,!dx)x, a w drugim jako dx. X

dm = pSdx Rys. 101. Różnica wydłużeń w przekrojach ograniczających wycięty z pręta element prowadzi do różnicy naprężeń, które pomnożone przez pole przekroju S dają wypadkową siłę SE(82i/8 x 2)dx — dm(d2ę/dt2). Można stąd znaleźć prędkość fali

Wypadkową sił związanych z tymi odkształceniami znajdziemy jako różnicę dx.

FX = SE

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona siła ta musi być równa iloczynowi masy elementu gSdx i przyśpieszenia £

przy czym pominęliśmy wskaźnik x. Stąd d2£ _ E d 2£ di2

q dx2

Otrzymaliśmy równanie fali podłużnej, biegnącej wzdłuż pręta z prędkością

inną niż w ośrodku nieskończonym o tym samym module sprężystości E.

Fala sprężysta na granicy ośrodków. Na początek rozpatrzmy podłużną falę sprężystą biegnącą prostopadle do granicy ośrodków wzdłuż osi x. Powierzch­ nia graniczna leży w płaszczyźnie y, z. Po dojściu do niej fala wywołuje przesunięcie równoległe do osi x i wytwarza dwie fale: odbitą, biegnącą wstecz w pierwszym ośrodku, i przepuszczoną, biegnącą w dotychczasowym kierunku w drugim ośrodku. Fale traktujemy jako płaskie, opisane zależnościami £ — x°Ae'M t~x/Ci)

— fala padająca,

= _ x°y4'eJ“
— fala przepuszczona, 173

przy czym i oznacza przesunięcie, A — amplitudę, — prędkość propagacji w pierwszym ośrodku, c2 — w drugim, a primami wyróżniono falę odbitą (prim) i przepuszczoną (bis).

Rys. 102. Fala sprężysta (podłużna) na granicy ośrodków. Przemieszczenie w fali padającej wynosi Ł. odbitej przepuszczonej l;"

Sformułujemy oczywiste warunki graniczne: 1) Na powierzchni granicznej wypadkowe przesunięcie musi być w obu ośrodkach takie samo, i + i' = i", czyli A - A ' = A”. 2) Ze względu na trzecią zasadę dynamiki wektory napięcia po obu stronach powierzchni granicznej muszą się równoważyć (
o';x)x°+{ozx + a'zx - a"zx) y0 + K * +
Ale ze względu na zerowanie się wszystkich składowych odkształceń z wyjąt­ kiem &xx

di dx

ł0* | cto(t-x/ci)^ Ci

di' dx

■— z4'e-’<0
8x 174

J ” Ą"ęŚMl-xlCT,) c2

pozostają tylko niezerowe składowe naprężenia

ci

1“ 2v1

__ _ j ^ 2 G 10 z vi )

Cx

°xx —

o"xx =

1

1—

2vx

jro(1+x/Cl) >

a

jft* 2 G 1(1 —V]) | / >ejm(t -x/Cł)^

cl

1 — 2 v2

przy czym skorzystaliśmy z zależności v

£ll + i--- ; r ( £ll +622 + e33) ! 1 — 2v

czyli dla G = E/[2(l +v)] oraz crn = axx,

en

= exx i s22 = e33 = 0 mamy

2G(1 —v) l_ 2 v

(należy pamiętać o różnych wartościach modułu ścinania G i współczynnika Poissona v w obu ośrodkach). W ten sposób drugi warunek graniczny redukuje się do postaci 0-

^ XX

Podstawiając wartości naprężeń otrzymamy G i d - v i ) (A + A') c1( l - 2 v 1)

G2( l - v 2) f c2( 1 - 2 v2)

Prędkości fali (podłużnej) w obu ośrodkach są równe ci

2G)(1 - v t) Q( l - 2 V l ) ’

f2Gt ( l - v2) C2

Q( 1 ~ 2

v2 )

‘

Stąd Qi ci (A + A1) _ 02C2 An -~ T ~ a albo q

1 c 1 ( A + A ’) =

q

2c2 A " .

175

Stąd i z pierwszego warunku granicznego (A —A' = A") możemy wyrazić stosunki amplitud, czyli współczynniki: odbicia __ A _ &2C2 6 1C1 A Q2c2 + Ql c1 i transmisji A" A

2 q 1c 1 62 c 2 ~ł~Qi*'i

Z porównania wyprowadzonych wcześniej ogólnych zależności między oboma współczynnikami a impedancjami (różnica znaku wynika z uwzględ­ nienia znaku £') otrzymujemy K=

R2- R i r 2+ r 2 2R R 2+R

Stwierdzamy, że impedancja ośrodka (ściślej: impedancja właściwa) jest iloczynem gęstości i prędkości fali Rt = ^ c , ^■2 ~ &2C> czyli-ogólnie R=

QC.

Współczynnik odbicia można też przedstawić w postaci '

J R J R J -l (R J R J + r

wygodnej dla dyskusji. Jeżeli różnica impedancji ośrodków jest duża, tak że ich stosunek jest dużo większy lub dużo mniejszy od jedności, to \kr\ « 1 i mamy do czynienia z prawie zupełnym odbiciem

natomiast gdy impedancje są takie same (R 2 = Rj), odbicia nie ma A' = 0. 176

Takie same zależności otrzymuje się dla fal poprzecznych. Zauważmy jeszcze, że impedancję można wyrazić za pomocą stałych sprężystych. Dla fal podłuż­ nych 2qG(1 — v) J - 1 —2v ’ a dla poprzecznych R = JeG . Przy padaniu ukośnym mamy do czynienia z dwiema falami odbity­ mi: podłużną i poprzeczną, niezależnie od tego, jakiego rodzaju jest fala padająca. Fale stojące w prętach. Najprostszym sposobem wytworzenia fali stojącej w układzie jest wywołanie interferencji fali biegnącej z falą odbitą od powierzchni granicznej. Rozmieszczenie strzałek i węzłów zależy od warunków odbicia. Jeżeli fala biegnąca w danym ośrodku odbija się od ośrodka o większej impedancji R, to jej faza zmienia się na przeciwną. Jeżeli ośrodek odbijający ma impedancję mniejszą niż dany ośrodek, faza przy odbiciu nie zmienia się. Dzieje się tak dlatego, że na granicy ośrodków zarówno prędkość drgań cząsteczek ośrodka, jak i naprężenie (lub ciśnienie) muszą się zmieniać w sposób ciągły. W rezultacie przy odbiciu od ośrodka o większej gęstości i sprężystości obserwujemy interferencję destruktywną, czyli osłabianie się fal. W miejscu odbicia powstaje węzeł fali stojącej. Przykładem może być zamocowany koniec pręta czy struny. Natomiast przy odbiciu od ośrodka o mniejszej gęstości a)

^ ////////,

Rys. 103. Odbicie fali na przykładzie węża gumowego. Przy odbiciu od ośrodka o większej impedancji (a) faza zmienia się o ji, przy odbiciu od środka o mniejszej impedancji (b) faza się nie zmienia 12 — Fizyka dla politechnik

177

i sprężystości interferencja jest konstruktywna, fale się wzmacniają i w miejscu odbicia powstaje strzałka. Przykładem może być swobodny koniec pręta. Opisane zjawiska można wyjaśnić jeszcze prościej: zamocowanie utrudnia drgania, koniec swobodny drga swobodnie. Przy odbiciu całkowitym (zupełnym), które może nastąpić tylko wtedy, gdy impedancja ośrodka odbijającego jest o wiele większa lub o wiele mniejsza niż danego, amplituda fali odbitej jest taka sama, jak fali padającej. Natomiast jeżeli stosunek impedancji jest bliski jedności, przy odbiciu następuje znaczne zmniejszenie amplitudy. Energia przechodzi do drugiego ośrodka wraz z falą przepuszczoną lub załamaną przy padaniu pod kątem. Pręt lub napięta struna stanowią układy w przybliżeniu jednowymiarowe. Oznacza to,'że można w nich zaniedbać nieosiowe składowe fali. Rozmiesz­ czenie strzałek i węzłów fali stojącej, wzbudzonej w takim układzie, zależy od warunków brzegowych. Pręt może być zamocowany z obu stron lub z jednej strony, sttuna tylko obustronnie. W miejscu zamocowania fala odbija się od ośrodka o dużej impedancji i występuje zmiana fazy. Na swobodnym końcu zachodzi odbicie od ośrodka o mniejszym oporze falowym, a więc bez zmiany fazy. Przykład. Układy obustronnie otwarte. Przykładem takiego układu jest pręt o długości l i swobodnych końcach. Wychylenie w punkcie odległym o x o d źródła fali, którym jest na przykład jeden ze swobodnych końców, wyraża się wzorem

yi =y0sintuf t-^J. Po odbiciu bez zmiany fazy od drugiego swobodnego końca fala wraca do rozpatrywanego punktu. Ponieważ jej droga od wyjścia ze źródła wynosi 2l —x, przeto wychylenie będzie tutaj równe y2 = y0sin cal t -

21—x

Po dodaniu otrzymujemy równanie fali wypadkowej

co(l—x) .

I ^ V CJ

-no t —- ) , y = 2y„cos—:-----: sinco( wielkość A — 2y0cos--------c jest zależną od położenia amplitudą fali wypadkowej. Fala odbita od końca pręta odbija się powtórnie od drugiego końca, biegnie z powrotem do pierwszego końca, w którym się znowu odbija itd. Warunkiem powstania fali stojącej jest, aby podczas każdego przejścia przez dany punkt fala miała tę samą fazę — inaczej nie wystąpi stan ustalony. Ponieważ od przejścia przez dany punkt do powrotu w tym samym kierunku fala przebiega.drogę 21, przeto każdorazowe opóźnienie

178

w fazie wynosi 4n l

(o2l Aq>=c

X

Aby nastąpiło wzmocnienie, opóźnienie to powinno być równe całkowitej wielokrotności 2n 4%l

— = 2nn X i warunek wzmocnienia otrzymuje postać X= ~. n W długości układu musi więc się mieścić całkowita wielokrotność połowy długości fali

'* 4 Położenie strzałek lub węzłów wyznaczymy z warunku ekstremum amplitudy
lub

0,

czyli (o(l —x)

c

7t

= ^2

Strzałkom odpowiadają parzyste wartości liczby całkowitej k oraz k = 0, węzłom — wartości nieparzyste. Wziąwszy pod uwagę, że

a)

2n

c

cT

2n X’

nadamy warunkowi ekstremum amplitudy postać . l-x

2” ~

71

- kr

Stąd po prostym rachunku otrzymujemy x = l—k~. 4 Ponieważ X = 2l/n, więc x = l—k — 2n i ostatecznie

2n —k x = — — /. 2n

179

N a przykład w najprostszym przypadku (n = 1) strzałki powstają w miejscach x = l (k = 0) i x = 0 (k — 2), czyli na końcach pręta. Węzeł (k = 1) powstaje w środku długości. Dla większych n, czyli dla krótszych fal rośnie liczba strzałek i węzłów między skrajnymi strzałkami. Oczywiście k nie może być większe niż 2n. Wartość n nazywamy rzędem fali harmonicznej, a częstości odpowiadające różnym wartościom n — częstościami harmonicznymi.

n=3 x Rys. 104. Fale stojące w układach obustronnie otwartych Przykład. Układy obustronnie zamknięte. Typowym przykładem takiego układu jest pręt obustronnie zamocowany. W równaniach wyjściowych musimy uwzględnić zmianę fazy o n przy odbiciu od końca pręta y t = y0sina>( t —^ j,

yi = y0s i n | ^ f —

—tiJ.

Po analogicznych jak uprzednio przekształceniach‘otrzymujemy amplitudę fali wypadkowej A = 2y0cos27t Amplituda osiąga ekstremum, gdy

czyli dla x =

'" (‘ "D i-

Fala dwukrotnie odbita ma fazę przesuniętą o 2 jc, czyli nie zmienioną. Wobec tego warunek powstawania fali stojącej jest taki sam jak poprzednio

X

180

21 n'

Po podstawieniu i przekształceniu otrzymujemy wzór na położenie strzałek i węzłów

x =

2 n -(k -i)l 2n

W najprostszym przypadku (w = 1) strzałka (k = 2) powstaje w połowie długości, węzły (k = 1 i k = 3) na końcach pręta. Wyższe harmoniczne (n = 2, 3 itd.) wytwarzają dodatkowe węzły i strzałki między węzłami skrajnymi. Oczywiście k nie może być mniejsze niż 1.

x

Rys. 105. Fale stojące w układach obustronnie zamkniętych

Przykład. Układy jednostronnie zamknięte. Przykładem takiego układu jest jednostronnie zamocowany pręt. Równania wyjściowe, amplituda i jej ekstrema pozostają takie, jak w przypadku układu obustronnie otwartego. Zmieni się jedynie warunek powstawania fali stojącej, bo odbicie ze skokiem fazy zachodzi tylko przy jednym końcu pręta. Fala powracająca na dane miejsce po odbiciu od obu końców pręta ma fazę przesuniętą o n. Wobec tego warunek wzmocnienia zmieni się na

co — + 7i = 2nn, c

czyli

2n—= (2n—1)tc. A Stąd

po podstawieniu do wzoru na x otrzymamy

x =

2n—(k + l)j

2n—1 181

W najprostszym przypadku (n = 1) strzałka przypada dla x = I, czyli na swobodnym końcu, węzeł (k = 1) dla x = 0, czyli w miejscu zamocowania. Strzałki i węzły wyższych harmonicznych powstają między końcami pręta.

x Rys. 106. Fale stojące w układach jednostronnie zamkniętych

Drgania własne. Dzięki wzmocnieniu amplitud podczas kolejnych po­ wrotów na dane miejsce fala stojąca może trwać w układzie nawet po usunięciu zewnętrznego bodźca, który ją wywołał. W zasadzie możliwe jest powstanie nieskończenie wielu fal harmonicznych. Nazywamy je drganiami własnymi, a ich częstości częstościami drgań własnych. Warunkiem wytworzenia drgań własnych jest podziałanie bodźcem zewnętrznym o częstości równej jednej z części harmonicznych. Następuje wtedy rezonans i w układzie powstają fale stojące. Z reguły wzbudza się wiele drgań harmonicznych równocześnie. Składowe harmoniczne różnią się nie tylko częstością, ale i amplitudą. Niektórych składowych może brakować. Opory ruchu (tarcie, lepkość, plas­ tyczność) ograniczają wzrost amplitudy i powodują zanikanie drgań. Przykład. Fala w strunie. W odróżnieniu od pręta struną nazywamy ciało wydłużone doskonale wiotkie, tzn. nie wykazujące oporu przy zginaniu (w stanie nie napiętym). Dopiero napięcie, czyli przyłożenie sił rozciągających F, powoduje, że struna się prostuje i może wykonywać drgania poprzeczne. Główną przyczyną jest nierównoległość sił działających na przekroje

dx

. da

F(x+dx)

B Rys. 107. Siły działające na element dx napiętej struny dają wypadkową Fy prostopadłą do niego

182

ograniczające rozpatrywany odcinek struny. Wybierając jako oś x styczną do elementu o długości dx, a jako oś y prostą prostopadłą (tak żeby wygięta struna leżała w płaszczyźnie x, y) stwierdzamy, że wektor siły napinającej na jednym końcu odcinka jest nachylony do osi x pod kątem a, a na drugim końcu pod kątem a + d a . Wypadkowa obu sił F sin (a+ d a)—F sina ma kierunek osi y (tzn. jest prostopadła do odcinka struny). Kąt a jest bardzo mały i możemy napisać sina a tg a = 8y/8x. Wypadkowa

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki siła ta jest iloczynem masy elementu dm — gS dx i przyśpieszenia 82y/8t2 82y

F, = eSdx^-. Podstawiając

oraz F — < j S (a — naprężenie rozciągające) i opuszczając wskaźnik x otrzymamy 82y 82y gS d x —T = a S —4 d x , 8t2 8x2 czyli 82y

a 8 2y

8t2

g o x 2’

a to jest równanie fali poprzecznej o prędkości

c-

F— Ve

IŁ . es

V

zależnej od napięcia struny. Oprócz niej możliwe są także fale podłużne o równaniu

82f._ E 8 ^ 8t2

g 8x2’

czyli o prędkości

niezależnej od napięcia a. Także w strunie mogą powstać fale stojące i zachodzić drgania własne. Struna stanowi układ obustronnie zamknięty. Na jej końcach (x = 0 i x = l) powstają węzły, a między nimi strzałki i węzły, których liczba zależy od rzędu harmonicznej. Położenia ekstremów amplitudy znajdziemy ze wzoru takiego samego, jak dla obustronnie zamocowanego pręta x =

2 n -(k -l)i

Tn 183

Warunkiem powstawania fali stojącej jest, podobnie jak w pręcie, k

2/ n

Podstawiając

otrzymamy stąd dla n-tej częstości harmonicznej

n " 21

v = —c. Dla fal poprzecznych v = 2

£. l\jQ

Jest to tzw. wzór Taylora bardziej znany w postaci _ n

IFl

gdzie F jest siłą rozciągającą, a m/l masą jednostki długości (m/l — q V/1 = eS)- Częstości własne drgań podłużnych n

V"2= 2/ są większe niż poprzecznych, bo zgodnie z prawem Hooke’a a = eE naprężenie jest mniejsze niż moduł Younga (w większości materiałów nie jesteśmy w stanie osiągnąć e = 1).

Energia fali sprężystej. Rozpatrzmy fale podłużną biegnącą np. wzdłuż pręta o osi pokrywającej się z osią x układu kartezjańskiego. Wychylenie cząstek, do których doszła fala, oznaczymy przez Dla fali płaskiej, biegnącej

c=YF ć — 1df

x

Rys. 108. Fala podłużna w pręcie. Prędkość drgań v jest skierowana tak samo (lub przeciwnie) jak prędkość rozchodzenia się fali

184

w kierunku dodatnich x, mamy i = f(x -c t), przy czym prędkość c jest dana wzorem

-

s

Zgodnie z prawem Hooke’a odkształceniu £ odpowiada naprężenie

Drgające cząstki uzyskują prędkość v=

dł 6t

skierowaną wzdłuż osi pręta. Nietrudno zauważyć, że --= 8t

lf(X 8xL

—C—

— Ct ) ] =

—

c— . 8x

Na przykład dla fali harmonicznej, czyli wychylenia w postaci £ = A sin k(x —ct) = A sin(kx—a>t), ^ = kAcos(kx—mt), 8x a prędkość dŁ — = —(oA cos (kx —cot) = --^-kA cos (kx —cot) = -r -ir -, k kdx 8t czyli, wobec co/k — c, rzeczywiście 8t

= _ c 8A 8x

Naprężenie rozprzestrzenia się w postaci fali a = EkAcos(kx —a>t), zwanej falą naprężeń (zwróćmy uwagę na różnicę faz między a i a £)• Energia kinetyczna odcinka pręta o długości Ax i przekroju S wynosi X Ek = leSA x\~-~ 185

Energia potencjalna jest równa pracy odkształcenia. W naszym przypadku odcinek Ax wydłuża się (lub skraca) o A£ = ^~Ax = e.Ax, dx gdzie e jest wydłużeniem jednostkowym (właściwym). Odpowiada temu siła Hooke’a F = ESe. Znajdziemy jej pracę AW

—

f ES A x ^ d e = ESAx fede = l-ES Axe2, i dx o 2

czyli energię potencjalną

przy czym wykorzystaliśmy zależność między modułem Younga a prędkością fal E = gc2. Suma energii wynosi

Dzieląc przez objętość A F = S A x otrzymujemy stąd gęstość energii

Gęstość energii potencjalnej można też wyrazić jako

Ze względu na podany wyżej związek między pochodnymi czasowymi i przestrzennymi oba wyrazy w nawiasie w wyrażeniu na qe są sobie równe, tzn. gęstość energii potencjalnej jest równa gęstości energii kinetycznej

To samo dotyczy średnich wartości energii

186

czyli , podobnie jak to było w ruchu harmonicznym. Biorąc pod uwagę dwa przekroje w miejscach Xj i x 2, na które działają siły So2 i —So-! (przy rozciąganiu) i obliczając pracę tych sił znajdujemy d W — So2v2dt —Sa1vl dt = (o2v2—(r1vl)Sdt.

Rys. 109. Siły a,S pochodzące od naprężeń w obu przekrojach wykonują pracę na drogach n,df równą (ct2u2 —o ^ rjS d f. Można stąd znaleźć bilans mocy

Praca ta jest równa przyrostowi energii

d£ = d W — (a2v2—a l vl)Sdt =

Pdt.

Bilans mocy ma postać P = — = (?2Sv-, —(t, Sv<. dt 11 Iloczyn oSv jest strumieniem mocy. Wprowadzając wektor Poyntinga, w tym przypadku (dla przepływu mocy w kierunku dodatnich x) / = —ov, otrzymujemy P = (Il - I 2)S, gdzie /j = —o l vl jest gęstością strumienia mocy dopływającej, a I 2 = —
stwierdzamy, że gęstość strumienia jest dodatnia, czyli że energia przepływa w stronę dodatnich x, tzn. zgodnie z kierunkiem rozchodzenia się fal. 187

Ze względu na zgodność w fazie odkształcenia względnego d£/dx i prędko­ ści 8%/dt energia kinetyczna i potencjalna drgających cząstek są także zgodne w fazie w fali bieżącej. W przypadku fali stojącej, np. 11 — 2/łsin/cxcoscot

mamy Ż = —2o)A sinkxsina»£ oraz

Odkształcenie jak również proporcjonalne do niego naprężenie a = 2EkAcoskxcosa>t są zgodne w fazie z wychyleniem, a przeciwne do prędkości. Minima (węzły) energii kinetycznej odpowiadają maksimom (strzałkom) energii potencjalnej i odwrotnie, podobnie jak to było w oscylatorze harmonicznym.

§ 12. Ruch w płynie Płyn w spoczynku. Charakterystyczny dla płynów brak sprężystości postaci przejawia się w znikaniu naprężeń stycznych — o ile możemy pominąć lepkość (płyn idealny). Siły lepkości występują, gdy istnieją różnice (gradient) prędko­ ści między ślizgającymi się po sobie warstwami płynu. Jeżeli płyn spoczywa, nie ma lepkości — płyn można uważać za idealny. Bez względu na to, jaki wybierzemy układ współrzędnych, pozostają tylko naprężenia główne o jed­ nakowych wartościach
°33 —

~P-

dF = -p d S

Rys. 110. W płynie nie m a naprężeń stycznych. N a element powierzchni działa tylko, skierowane do wewnątrz parcie —pdS

188

Ciśnienie p traktujemy jako ujemne, bo działa na ścianki rozpatrywanego elementu płynu od zewnątrz do środka — przeciwnie do naprężeń — element jest ściskany. Podstawiając do równań równowagi fi -f div a u = 0, gdzie fi oznacza i-tą składową gęstości siły f(= F /V ), a ai{ — odpowiednie naprężenie główne (i = 1, 2, 3), otrzymujemy

8p

8ovl /l =

8xv'

8p 8x 2’ dp

3(T 7 2

/2 =

dx2 8033

8x 3

fz =

dx3

albo f=

8 p xV l° ++ a d-----x p p x*0 2 ++ a d ----3>

8x

8Xn

8x,

czyli ostatecznie f = gradp. Jest to podstawowe równanie hydrostatyki. Wprowadzając zamiast siły objętoś­ ciowej f (gęstości siły) siłę masową (masową gęstość siły) o wymiarze przy­ śpieszenia

możemy je wyrazić w postaci -gradp. 6 Równanie obejmuje zarówno ciecze, jak gazy. Ze względu na małą ściśliwość wewnątrz niezbyt dużego obszaru cieczy gęstość jest wszędzie taka sama q = const. Natomiast w gazach gęstość zależy od ciśnienia. Z równania stanu gazów doskonałych

189

(p — masa cząsteczkowa, T — temperatura bezwzględna, R — stała gazowa) mamy m p e ~ V ~ i[ fp i przy stałej temperaturze gęstość jest wprost proporcjonalna do ciśnienia Q_= P_ Qo Po Szczególnie prosto przedstawia się rozwiązanie równań hydrostatyki dla sił potencjalnych, gdy fm= - = -g ra d U, gdzie U jest potencjałem. Teraz 1 —grad U = -gradp 8 albo grad U H— gradp = 0. 8

Gdy q = const (w cieczach nieściśliwych) oznacza to, że

czyli powierzchnie stałego ciśnienia są zarazem powierzchniami stałego poten­ cjału (ekwipotencjalnymi). Taką powierzchnią jest na przykład powierzchnia cieczy w polu grawitacyjnym. Prawa przepływu idealnego. W płynie poruszającym się pojawiają się siły bezwładności (jeżeli ruch jest przyśpieszony) i lepkości (jeżeli płyn nie jest idealny). Podobnie jak poprzednio będziemy odnosili się do jednostki objętości lub masy. Siły bezwładności wyrażają się wzorem Ffc = —ma = —mi, stąd gęstość sił bezwładności F* f* = V 190

-er.

Wprowadzając je do równania hydrostatyki otrzymamy dla płynu idealnego f - Q f = gradp,

czyli r = v = ----- gradp. e e Pochodna prędkości jest oczywiście przyśpieszeniem. Wygodnie jest odróż­ niać zmiany prędkości czysto czasowe od zmian przestrzennych, wywołanych przemieszczeniem w polu prędkości (w punkcie r prędkość wynosi v , a w r + dr jest v + dv). Przyśpieszenie „czasowe” będziemy określać jako pochodną cząst­ kową 8\/dt, a „przestrzenne” jako dv/dt. Ponieważ w polu wektorowym zmiana wektora (w tym przypadku prędkości) dv = (drgrad)v, co jest równoważne zmianom składowych dv; = dr-grad v{, przeto przyśpiesze­ nie przestrzenne (konwekcyjne) —-grad lv = (v-grad)v. Przyśpieszenie całkowite jest sumą obu składowych. Podstawiając je do wzoru na r otrzymujemy podstawowe równania hydrodynamiki dla płynu doskonałego, czyli tzw. równania Eulera

e

—+ (vgrad)v = fm-- g ra d p . Drugą podstawową zależnością jest równanie ciągłości. Szybkość wypływu cieczy przez zamkniętą powierzchnię S otaczającą rozpatrywany obszar określamy jako tzw. wydatek — stosunek wypływającej masy do czasu. W obszarze nie ma źródeł, wydatek musi być równy szybkości zmniejszania się

Rys. 111. Szczególny przypadek równania ciągłości: w płynie idealnym S l vl = S2v2. Iloczyn Sv oznacza objętość przechodzącą przez dany przekrój na jednostkę czasu

191

masy cieczy w obszarze

(iloczyn vdS ma wymiar V/t pomnożony przez gęstość czyli m/t, a całka po prawej stronie oznacza masę). Jest to całkowa postać równania ciągłości. Stosując do iloczynu g\, czyli gęstości strumienia m/t, prawo Gaussa |pvdS = | div(pv)dE s V otrzymujemy różniczkową postać równania ciągłości div(e,) -

do

Rozpiszmy otrzymany układ równań na składowe kartezjańskie: 8vx dvx + vx dt dx + V^ + V '■dz dv dv„ dVy dvy z+ v* ^ +vy -d i+v‘ ~dt dx dz Svz

dv*<

dv*>

3(ęvx) d(gvy) d(gvz) dx dy dz

Q Q8x ’

Q

Qdy

dv* U _ Idp g g d z’ _dg d t'

Iloczyny vidvi/dxi sprawiają, że równania Eulera są nieliniowe i niemożliwa jest superpozycja rozwiązań. Dla stanu stacjonarnego

i podstawiając znaną w teorii pól wektorowych zależność (v-grad)v = ^gradv2—vxrotv otrzymujemy równania Eulera w postaci ig rad v 2 —vxrotv = f —-gradp. 2 g 192

W przypadku niestacjonarnym mamy — +-g ra dv 2- v x rotv = fm— grad p, ot

2

Q

z wyraźnie rozdzieloną częścią wirową vxrotv i bezwirową ^ grady2 (gradient jest wektorem bezwirowym). Potencjał prędkości. Całkowanie równań Eulera upraszcza się dla przepływu bezwirowego, tzn. gdy w całym obszarze rotacja prędkości znika

rotv = 0. W tym przypadku można przedstawić prędkość jako gradient skalarnej wielkości # zwanej potencjałem prędkości v = grad#. Oznacza to, że poszczególne składowe prędkości w układzie kartezjańskim są pochodnymi potencjału względem współrzędnych 80 80 80 v = -t—x +----V -t—yv ++ ~zr~z” 8x 8y 8z

Równanie ciągłości cieczy nieściśliwej div(pv) = 0, czyli diw = divgrad# = 0 przechodzi W równanie Laplace’a

v2o

820

820

82
8x2

dy2 * 8z2

Znanymi metodami można stąd wyznaczyć rozkład (pole) potencjału, a stąd pole jego gradientu, czyli prędkości. Ze względu na istnienie potencjału prędkości przepływ bezwirowy nosi też nazwę potencjalnego. Równanie Eulera dla takiego przepływu ma postać -grady2 = f „ - -gradp. Q

13

— Fizyka dla politechnik

193

Równanie Bernoulliego. Jeżeli płyn znajduje się w polu sił potencjalnych fm= —grad U i przepływ jest bezwirowy (rotv = 0), równania Eulera redukują się do postaci ^gradv2 - —grad U —- grad p 2 Q albo g n u l^ + U + ^ -0 . Oczywistym rozwiązaniem jest v2 p — h U + - = const 2 Q albo po pomnożeniu przez gęstość %gv2 + gU + p = const. Otrzymaliśmy tzw. równanie Bernoulliego słuszne także dla przepływu wirowego, ale tylko wzdłuż danej linii prądu (stycznej do prędkości), podczas gdy przy przepływie bezwirowym jest spełnione wszędzie. W najczęstszym przypadku, gdy przepływ zachodzi pod działaniem sił ciężkości, U jest potencjałem grawitacyjnym U = gh i równanie Bernoulliego przekształca się 2 Qv2 + ggh + p = const.

Wielkość poznaczą tutaj aktualne ciśnienie w danym przekroju, ph = ggh — ciśnienie hydrostatyczne, pd = i gv2 — ciśnienie dynamiczne, czyli wywierane przez płynącą ciecz. W tej postaci prawo Bernoulliego jest równaniem ciśnień Pd + Ph + P = constSuma ciśnień dynamicznego, statycznego i aktualnego w przekroju jest stała. Dzieląc obie strony przez gg przechodzimy do równania wysokości v2 p — hn-1— = const. 2g gg Pierwszy wyraz po lewej stronie nazywamy wysokością prędkości (hv = v2/2g), drugi wysokością położenia, a trzeci wysokością ciśnienia 194

(hp = p/gg). Suma wysokości pozostaje stała podczas przepływu hv+ h + hp = const. Równanie Bernoulliego stosuje się zwykle do dwóch przekrojów oznaczanych wskaźnikami 1 i 2

QVI *-y +e9hi+Pl=!Y +Q9h2+P2. QVi

Rys. 112. Równanie (prawo) Bernoulliego dla dwóch przekrojów. Różnica sił parcia p i S 1—p2S2 porusza płyn Można stąd obliczyć jedną niewiadomą. N a przykład dla dwóch miejsc na tej samej wysokości = h2 mamy

Qvt 2

+ Pi-

Jeżeli prędkość rośnie, ciśnienie maleje (zjawisko Magnusa). Jeżeli płyn przepływający z prędkością vt zostaje całkowicie zahamowany (v2 = 0), ciśnienie w tym przekroju będzie większe niż w pierwszym przekroju o całą wartość ciśnienia dynamicznego

Zauważmy też, że ze względu na równanie ciągłości, które w tym przypadku ma postać

S1t>i = ^2 ^2’ przepływ przez miejsca o mniejszym przekroju — np. w rurach —jest szybszy i zgodnie z prawem Bernoulliego ciśnienie jest tam mniejsze (ciśnienie dynamiczne — większe).

Przepływ warstwowy. Przepływ płynu jest równoznaczny z procesem ścinania, a jednostkowa prędkość przepływu y jest funkcją naprężenia ścinają­ cego y= Wielkość y jest pochodną kąta ścinania, czyli szybkością jego zmian. Nazywamy ją prędkością odkształcenia i mierzymy w s-1 . Jeżeli nie ma naprężeń (o = 0), to nie ma odkształcenia (y = 0). Przy niewielkich naprężeniach można rozwinąć y(o) na szereg potęgowy i ograni195

c z y ć s ię d o w y r a z u lin io w e g o

O t r z y m a liś m y prawo przepływu Newtona. W s p ó łc z y n n ik g n o s i n a z w ę lepkości dynamicznej. J e g o o d w r o t n o ś ć (1 /rj) n a z y w a m y płynnością. L e p k o ś ć m ie r z y m y w N - s - m ~ 3 = k g - s - 1 m ~ 2 . C z ę ś c ie j s p o t y k a s ię r ó w n o w a ż n ą p o s t a ć p r a w a p r z e p ły w u

przy czym

dv/dz

ru c h u ), a

n a p r ę ż e n ie

oznacza

gradient prędkości (w s p ó łr z ę d n a z j e s t

ś c in a ją c e j e s t s t o s u n k ie m

s iły

p r o s t o p a d ła d o

le p k o ś c i (s ty c z n e j) d o

p o w ie r z c h n i p r z e s u w u

F S tą d

siła lepkości

P r z e p ły w s t o s u j ą c y s ię d o p r a w a N e w t o n a n a z y w a m y

warstwowym,

laminarnym

a lb o

p o n ie w a ż m o ż n a g o p r z e d s t a w ić m o d e l o w o j a k o ś liz g a n ie s ię p o

Rys. 113. Między warstwami cieczy lepkiej odległymi o dz występują różnice prędkości o gradiencie du/dz = tg a ... S

Fs Rys. 114. ... i proporcjonalne do niego siły lepkości (S jest powierzchnią styku warstw, rj — współczynnikiem lepkości)

196

sobie warstw płynu. Siły lepkości styczne do powierzchni granicznych są analogiczne do sił tarcia, dlatego lepkość nazywamy także tarciem wewnętrz­ nym. Warstwy szybsze pociągają za sobą warstwy wolniejsze i odwrotnie: warstwy wolniejsze hamują warstwy szybsze. Niekiedy stosuje się także współczynnik lepkości kinematycznej

gdzie q jest gęstością płynu. Przypomnijmy sobie zależność między modułem ścinania a modułem Younga 2(1 +v)’ czyli E = 2(1 +v)G. W cieczy nieściśliwej przepływ zachodzi bez zmiany objętości. W tym przypadku współczynnik Poissona (stosunek poprzecznego skrócenia do podłużnego wydłużenia) jest równy

i stąd E = 3G. Podstawiając to do prawa Hooke’a otrzymujemy a 6 = 3G' Prawo przepływu Newtona jest podobne do prawa Hooke’a, w którym lepkość gra rolę ścinania G. Stąd e

o 3*1

(e oznacza szybkość wydłużenia przy jednoosiowym rozciąganiu). Przy dużych lepkościach odkształcenie zachodzi bardzo powoli. Należy pamiętać, że lepkość maleje (płynność rośnie) ze wzrostem temperatury. Jeżeli w wyniku działania sił ścinających (stycznych) powstaje ścinanie sprężyste (kąt odkształcenia) y, i przepływ laminaray o szybkości y2, to 197

prawa Hooke’a i Newtona mają postać
7i =

czyli a a —H— = 0. G

rj

Stąd
rj

albo po scałkowaniu z uwzględnieniem warunków początkowych (dla t —0, a = ff0) o- = <70e_tG/',= oqq~'Ix, gdzie 1

nosi nazwę czasu relaksacji naprężeń. Dla odkształcenia przy rozciąganiu T

3ą E'

Rys. 115. Naprężenie zanika wykładniczo. Czas relaksacji e = 2,71828 razy

198

t

odpowiada zanikowi

Natomiast przy stałym naprężeniu (o = const) a

a

Jak widać, czas relaksacji można interpretować jako czas przemiany odkształcenia sprężystego = a/ G) w lepkościowe (y2) przy stałym na­ prężeniu. Jeżeli czas t jest znacznie dłuższy niż czas relaksacji, substancja wykazuje płynność. Przy krótkich czasach t właściwości sprężyste przeważają. Dobrą ilustracją jest tutaj silikonowy kit, który można powoli wylewać z naczynia (t P r) albo uformować w kulkę i odbijać jak piłkę (t t). Ogólne prawa przepływu. Chcąc uogólnić równania Eulera na przepływy lepkie, musimy dodać wyraz opisujący siły lepkości. Aby móc go wyrazić we właściwej postaci, wrócimy do wzorów teorii sprężystości i skorzystamy z poznanej, analogii między prawem przepływu Newtona a prawem Hooke’a, która pozwala podstawić zamiast przesunięć odpowiednie składowe prędkości t>, = a zamiast modułu ścinania G współczynnik lepkości *). Mamy więc

czyli we współrzędnych kartezjańskich

Zakładamy, że płyn jest nieściśliwy 6

= E | | + « 2 2 + E33 =

czyli także ^11 + Ś 2 2 + ®33 — O -

Przejdźmy teraz do zależności między naprężeniami a odkształceniami. Z pierwszej z nich

Podobnie G22 = 2GS22 * ogólnie

~ 2Ge33 oraz
= 2Gfi|j. 199

Podstawiając wartości pochodnych «0 i współczynnik lepkości otrzymujemy

"Ww (8v

dvx dx' *22

:

*33

■

Ol 2 — *21 —>1

dvy dy’

dvĄ

*23 = *32 =

dvz d z'

*31 =*13 = »łl

Z naprężeniami możemy związać wektor wypadkowej gęstości sił lepkości o składowych d0 n ^

d0 2 . e e r31

V* ‘

5 * + dy + dz

[_5x2

dy2

dz2

ó x \d x

( J 2vx . d2vx . d2v, _ d2cx , ó 2 i ^ dx2

^

dy

dy2

dz / J

dxdy

\

Ale ze względu na nieściśliwość d iw = ć n + e 22 + ś 33 = 0, Przeto

dxdz

x dx

dz2 )

j *

L = nV2vKPodobnie będzie dla pozostałych składowych

/, = »|V2V /,= 1V2«,„ a wektor gęstości siły f = ąV2v. Uważnego czytelnika może zdziwić, że w porównaniu z dotychczasową postacią równania równowagi /,+ d iv « , = 0 zmienił się tutaj znak gęstości siły. Jest to zrozumiałe, jeżeli weźmiemy pod uwagę, że siły lepkości są siłami oporu. Korzystając z zależności V2v = g rad d iw —rotrotv = —rotroty (bo di w = 0 ) i przechodząc do masowych gęstości sił (f m = f / g ) , możemy uzupełnić równanie Eulera o wyraz opisujący lepkość

ov

l n

— +(vgrad)v = fm— gradp— rotrotv. dt g g Jest to tzw. równanie Natiera-Stokesa. Dla przepływu bezwirowego (potencjalnego) rotv = 0 i wyraz lepkościowy znika. Oczywiście w dalszym ciągu obowiązuje równanie ciągłości div(pv) = 0 , wykorzystaliśmy je już pisząc di w = 0 (dla cieczy nieściśliwej g = const i dg/dt = 0 ). 200

§ 13. Fale w płynach Prędkość fali w płynie. P łyn am i nazywamy ciecze i gazy. P łyn y doskonałe są pozbawione sprężystości postaci: nie występują w nich naprężenia poprzeczne (ścinające) i z tego względu mogą się w nich rozchodzić tylko fale podłużne w postaci zgęszczeń i rozrzedzeń. R o lę naprężenia spełnia tutaj ciśnienie p, które w zgęszczeniu jest większe niż średnie, a w rozrzedzeniu mniejsze. Ponieważ wymiar ciśnienia (N/m2) jest taki sam, jak naprężenia er w ciele sprężystym, możemy napisać drugą za sadę dyn am iki w postaci (nielepkie)

8p 8x

albo d 2Ę _

1 8p

8 t2

q

8x '

Drugim związkiem, jaki wykorzystamy, będzie równanie ciągłości 8q ^+divfov) = 0 lub dla składowej w kierunku osi x (fala podłużna) 8q

8 /

8 t + 8x

8£\ _

\ 8 t)

8q

J q BŁ

88,

8t + d x s i + e e i ~ ° -

Dla słabych zaburzeń drugi wyraz jest mały i można go pominąć. Stąd 8q 8^ n d i+ e d i ‘ °Z równania stanu, np. dla gazów doskonałych p V = —R T

P

albo m

p

e = V = R T P’ gdzie p jest masą cząsteczkową, T — temperaturą bezwzględną, a R = 8,3144 J-mol_1-K_1, wynika, że gęstość zależy od ciśnienia. Różniczkując ją względem ciśnienia dg dp

dedP dKdp 201

i podstawiając g = m/V, czyli m V2

dę dV

Q_ V’

otrzymamy d £ ___ ę d K = dp V dp ®

dV Vdp

Wprowadzając tzw. moduł ściśliwości 1 dV K ~ ~V~dp uzyskujemy stąd dp Obliczymy obecnie pochodną gęstości względem czasu dg = dgdp = K dp dt dp dt ® 8t i podstawimy do równania ciągłości

Stąd po podzieleniu przez g K ^ P

dt

+

± SJ= dp d d l = 8x8t 8t 8tdx

czyli Kp + — = const. 8x Różniczkując to względem x otrzymujemy 5p = _ a ^ 8x 8x2 albo inaczej 8p 8x 202

1 82t

K 8x2’

co po podstawieniu do drugiej zasady dynamiki daje równanie fali dt2

Kg dx2

o prędkości 1

_

fdp

~Vd °

Rys. 116. Przy doskonałej wymianie ciepła z otoczeniem (powolne procesy) gaz rozpręża się i spręża izotermicznie, przy braku wymiany ciepła (szybkie procesy) — adiabatycznie (x jest wykładnikiem adiabaty)

Wartość współczynnika ściśliwości zależy od tego, czy zmiany objętości płynu zachodzą adiabatycznie (bez wymiany ciepła z otoczeniem) czy izoter­ micznie (bez zmiany temperatury, co wymaga doskonałej wymiany ciepła z otoczeniem). W ośrodku gazowym zmiany te można uważać za adiabatyczne. Z pierwszej zasady termodynamiki d Q = mcvdT+ pdV= 0 ('Q oznacza ciepło, a cv tzw. izochoryczne ciepło właściwe). Z równania stanu gazów doskonałych otrzymujemy przez różniczkowanie pdV+ Vdp = - R d T , ł* czyli pdV — —R dT —Vdp V203

i po podstawieniu do pierwszej zasady termodynamiki ( R m \c v+ - d T = Vdp. \ R Wielkość w nawiasie jest tzw. izobarycznym ciepłem właściwym R C „+ - = Cp = xcv, przy czym współczynnik X -

-

c ^

± * !ł

=

1+ Ł

C„ zależy od budowy cząsteczek gazu. Dla cząsteczek jednoatomowych wynosi 1,67, dwuatomowych 1,4, trójatomowych i bardziej złożonych 1,33. Ogólny wzór z+2 x = ----z pokazuje zależność od liczby stopni swobody cząsteczek z. Zestawmy obydwa równania —pdV= mcvdT, Vdp = mcpdT i podzielmy je stronami pdV Vdp

1 x

albo _

^ = x = l Vdp xp

Podstawiając otrzymany współczynnik ściśliwości do wzoru na prędkość fali otrzymujemy

Prędkość jest tym większa, im większe ciśnienie i im mniejsza gęstość gazu. Równanie stanu pozwala na wyrażenie prędkości w jeszcze wygodniejszej 204

postaci. Ponieważ p

RT

Q

H

więc xR T c =

P r ę d k o ś ć f a l s p r ę ż y s ty c h w g a z i e r o ś n ie z te m p e r a tu r ą , a m a le je z e w z r o s te m m a s y c z ą s te c z k o w e j g a zu .

Także w c ie c z a c h ź l e p r z e w o d z ą c y c h c ie p ło traktujemy zachodzące przemia­ ny jako a d ia b a ty c z n e i stosujemy odpowiednią wartość współczynnika ściśliwo­ ści K . Procesy zachodzące w c ie c z a c h d o b r z e p r z e w o d z ą c y c h musimy uważać za iz o te r m ic z n e .

Fale powierzchniowe. Najczęściej spotykanymi i najdawniej badanymi falami tego typu są f a l e n a w o d z ie . Mimo pozornej prostoty są one bardzo skomplikowane i niełatwe do analitycznego opisania. Zastosujemy równania Eulera do dużego zbiornika z wodą, przy czym pominiemy tarcie

Q

przy czym g oznacza p r z y ś p ie s z e n ie g r a w ita c y jn e , czyli Skorzystajmy z oczywistego związku

m a so w ą g ę s to ś ć s iły

c ię ż k o ś c i.

(v-grad)v = !gradv2—v x rotv nietrudnego do wyprowadzenia za pomocą operatora nabla. Rotacja prędkości znika, bo ruch jest bezwirowy. Teraz dv

1

Ot

2

,

1

— + -g rad v 2 = g — gradp.

Q

Wprowadzimy jeszcze potencjał prędkości # v = grad# i grawitacyjny Vg g - -g ra d P 0. Równanie wyjściowe otrzymuje postać

205

czyli po scałkowaniu 80 1, . . . . p ^ 7 +~(grad 0 ) 2 = — + F + c o n s t. ot 2 Q Jest to odpowiednik równania Bernoulliego. Drugim równaniem jest rów­ nanie ciągłości diw = divgrad4> = 0 .

Rys. 117. Układ odniesienia przy rozpatrywaniu fal w zbiorniku z wodą

Przyjmijmy osie x i y układu kartezjańskiego na dnie zbiornika równoległe do nieodkształconej powierzchni cieczy, przy czym oś x będzie kierunkiem propagacji, a oś y kierunkiem, w którym nie istnieje składowa drgań (prędkość cząstek nie ulega zmianom). Oś z jest skierowana pionowo w górę. Wprowadzi­ my nową zmienną £ = x —ct. Oczywiste są związki 80 _ 80 80 808£ _ 80 8t Stąd po wstawieniu do równania Eulera 80 1 " CW + 2

80

+

80 8z

-------- grz + const. Q

Podobnie z warunku ciągłości otrzymujemy

820 820 dę2

+ -

8z

= 0,

przy czym uwzględniono, że 80/8y = 0 i wstawiono wartości potencjału grawitacyjnego (V = —gz). 206

Sformułujmy teraz warunki brzegowe. Na dnie naczynia, czyli dla z = 0 znika pionowa składowa prędkości 80 = 0, 8z a na powierzchni cieczy ciśnienie jest stale równe atmosferycznemu, co oznacza, że przyrost ciśnienia 3 7 = | j + vgrad p = ^ + grad ^ grad p = 0 ,

czyli 8p 80 8p 80 8p 8t 88, 8x + 8z 8z Załóżmy rozwiązanie z rozdzielonymi zmiennymi * = m m tak dobrane, żeby dla z = 0, d/z/dz = / z = 0. Podstawiając to do warunku ciągłości, mamy Ą f ź ' + f J i' =

o

albo ftt

fn

-jr = —7 - = const, Jz

Ję

czyli, gdy oznaczymy stałą przez C2: f i'

=

-c %

fź' = - C 2/ z. Są to równania takiego samego typu, jak dla ruchu harmonicznego z pochodnymi względem współrzędnych zamiast pochodnych czasowych. Ogólne rozwiązania mają postać Ą = ai ^ c + a2e~i^c, fz

= biezC+b 2e-zC.

Z rzeczywistej części pierwszego z nich mamy Ą = /41cos(C^) + /42sin(C^). Z warunków brzegowych dla z = 0 wynika

(f =c<6'-^=°' )0

207

czyli

Stąd

b l = b2 — b.

f z = 2bcosh(Cz). Zakładając, że potencjał

£ =

O tam gdzieĄ

-O

oraz przyjmując 2A 2 b

= A

otrzymujemy

0 = y4cosh(Cz)sin[C(x—ct)], a stąd składowe prędkości d0 vx = — = /! Ccosh (Cz)cos [C (x—ct)], ox d0 vz = — = y4Csinh(Cz)sm[C(x—ct)]. oz Wielkość C gra rolę liczby falowej k = oj/ c. Częstość kołowa fali wynosi (o = Cc, a długość fali

możemy więc napisać

czyli vx = Ł4cosh(fcz)cos[fc(x —ct)], vz = kA sinh (fcz)sin [7c(x—ct)]. Wróćmy do warunku brzegowego na powierzchni. Przyjmując głębokość wody w zbiorniku równą h i ciśnienie otoczenia (atmosferyczne) p0, otrzymujemy jako wartość stałej w równaniu Eulera dla 0 = 0

Podstawiając to do równania i pomijając kwadraty pochodnych poten­ cjału, co jest usprawiedliwione przy małych amplitudach (przy A 2
Wzór ten można stosować, jeżeli prędkość v jest dostatecznie mała w porów­ naniu z prędkością fali. Poszukamy teraz związku między prędkością fali a głębokością zbiornika. W tym celu wróćmy do pochodnej ciśnienia (w tym samym przybliżeniu) dp dp 8p d

h

2n lub

Rys. 118. Na głębokiej wodzie prędkość i długość fali nie zależą od głębokości, na płytkiej /. = eT = s /y h T

Na głębokiej wodzie fale wykazują dyspersję (prędkość propagacji zależy od ź) natomiast na płyciźnie, czyli dla h < k, tgh(2 iih/k) w 2 nh/k i kwadrat prędkości jest równy potencjałowi grawitacyjnemu, co oznacza, że prędkość

nie zależy od długości fali. 14

— Fizyka dla politechnik

209

Kształt fali na wodzie. Jeżeli w równaniu ciśnień p = p 0 + Qg(h —z) + kQcAcosh(kz)cos[k(x —ctY\ podstawimy p = p0, to uzyskamy równanie przekroju powierzchni cieczy, czyli kształt fali. Rozwiązując je względem z otrzymamy z x h-\— >lcosh(/c/z)cos[/c(x —cr)] (przybliżenie polega na wstawieniu do argumentu coshJt zamiast z). Jak widać, powierzchnia ma kształt hiperbolicznej cosinusoidy. Interesującym zagad­ nieniem są tory cząstek. W dotychczas rozpatrywanych przypadkach cząstki drgającego ośrodka wykonywały ruch harmoniczny wokół położenia równo­ wagi. Tory cząstek powierzchni wody znajdziemy całkując składowe prędkości vx = x = fc/4cosh(fcz)cos[k(x —et)], vz — ż = kA sinh (kz) sin \_k(x —ct)] względem czasu. A oto wynik Ą x —x 0 = ——cosh(kz0)sin[fc(x0 —ct)], z —z0 = —sinh(kz0)cos [fc(x0 —cf)]. Podnosząc do kwadratu i dodając możemy się przekonać, że (x -* o )2 (z - z0)2 = . [(/4/c)cosh(kz0) ] 2 [(/4/c)sinh(kz0) ] 2

Rys. 119. Fala na wodzie. Tory drgających cząstek są okręgami (w ogólnym przypadku elipsami)

Jak widać tory cząstek są elipsami zakreślanymi wokół położeń równowagi wyznaczonych przez współrzędne x0, z0. Okres obrotu jest równy okresowi 210

fali, czyli czasowi, po którym czoło fali przemieści się o X. Zatem X 9

C

00

czyli , 2 jt /. = — c. 00

Sens powyższego wzoru polega na tym, że co oznacza tu nie tylko częstość kołową, ale także średnią prędkość kątową krążących po elipsach cząstek. Na szczytach fal prędkość cząstek dodaje się do prędkości fali, a w dolinach odejmuje. Jednak klarowniejszy obraz uzyskamy w układzie współrzędnych poruszających się wraz z falą, czyli takim, w którym grzbiety i doliny fali są nieruchome, a cała ciecz porusza się z prędkością — c. Dla uproszczenia założymy, że cząstki cieczy zakreślają okręgi o promieniu r. Prędkość cząstek na szczytach fali wynosi 2 nr vt = - c + — c,

a w dolinach 2 nr v2 ■ —c — —c.

Stosując do przepływu cieczy w tym układzie równanie Bernoulliego 2 8 V2i + P + Qgr = %gv2 + p-Qgr,

gdzie ± r jest amplitudą wahań wokół nie zakłóconego poziomu cieczy i podstawiając wartości prędkości v \ - v \ = 4gr =

8 nrc2

X ’

znajdziemy prędkość fali

określoną poprzednio jako prędkość fali na głębinie. Stąd długość fali „ 27IC2 A = --------g

211

Wzory te pozwalają wyznaczyć długość i prędkość rozchodzenia się fali wytworzonej przez zanurzony w cieczy obiekt drgający z częstością co lub długość i częstość kołową fali wzbudzonej przez wiatr o prędkości c. Zauważmy jeszcze, że jeżeli fala jest tak wielka, że sięga do dna, cząstki poruszające się po dolnych odcinkach elips lub okręgów trą o dno, co hamuje ruch dolin fal. Biegnące z nie zmniejszoną prędkością grzbiety fal załamują się i spadają w doliny. Na tym polega zjawisko przyboju. Fale kapilarne. W dotychczas rozpatrywanych falach główną rolę od­ grywała siła ciężkości, dzięki której odchylona od poziomu powierzchnia cieczy znowu do niego powraca. Tego rodzaju fale nazywamy grawitacyjnymi (na ciećzy). Siła ciężkości nie jest jedynym czynnikiem przywracającym równowagę powierzchni cieczy. Oprócz niej występują jeszcze siły napięcia powierzch­ niowego, stawiające opór przy zwiększaniu powierzchni cieczy. Współczynnik napięcia powierzchniowego o definiujemy jako współczynnik proporcjonalności między pracą powiększania powierzchni cieczy a jej wzrostem d W=
s

F d W= F d x = o d S = 0/ dx

Rys. 120. Napięcie powierzchniowe: do powiększenia powierzchni błonki mydlanej rozpiętej na ramce z drutu zamkniętej ruchomą poprzeczką / potrzebna jest siła F = al. Współczynnik napięcia powierzchniowego a mierzymy w N • m ‘ 1 = .1 ■m 2

Praca ta jest równa wzrostowi energii potencjalnej dW = d Ep. Stąd

Jak widać napięcie powierzchniowe mierzymy w J-m -2 lub N m _1. Napięcie powierzchniowe wynika z międzycząsteczkowych sił spójności (sił van der Waalsa), których wypadkowa na powierzchni cieczy działa w głąb. Napięcie

powierzchniowe wody wynosi 0,073 N-m-1, alkoholu etylowego 0,023 N-m-1, rtęci 0,48 N -m -1, eteru 0,017 N -m -1 itd. (wszystkie wartości przy 20°C). Napięcie powierzchniowe powoduje wzrost ciśnienia pod zakrzywioną powierzchnią. Jeżeli główne promienie krzywizny w danym miejscu oznaczymy przez R j i R 2, to powierzchnię elementu utworzonego z dwóch elementów luku s2 = R 1
Rys. 121. Na skutek napięcia powierzchniowego ciśnienie pod zakrzywioną powierz­ chnią cieczy wzrasta, a) widok, b) przekrój z siłami i ich wypadkową, która rośnie z krzywizną 1 R powierzchni

Jeżeli każdy promień wzrośnie o dr, to powierzchnia zwiększy się o d(AS) = {R1+dr){R2 + dr)(p1(p2- R 1R 2ę 1(p2 = {Ry + R J d r ę ^ , przy czym pominęliśmy małe wyrazy wyższego rzędu. Można to przedstawić w postaci d(AS) = AS(R i + R2)dri
_1_ J _ Ri + R 2 ASdr = dV, R 2+ R 1 Rl&2

gdzie d V — ASdr oznacza przyrost objętości. Praca powiększenia powierzchni wynosi dW = pdV= ad(AS) = ff(-J -+ 4 -J d K \ R 2 Kj / Stąd ciśnienie pod zakrzywioną powierzchnią

213

Jeżeli oba promienie są jednakowe (J?x = R 2 = R), mamy 2(7

P = 7T W każdym przypadku ciśnienie pod zakrzywioną powierzchnią jest od­ wrotnie proporcjonalne do jej promienia. Im mniejszy promień, tym większe ciśnienie pochodzące od napięcia powierzchniowego. Widać stąd, że napięcie powierzchniowe jest tym większe, im mniejsze (bardziej zakrzywione) są zmarszczki na powierzchni cieczy, czyli im mniejsza długość fali (większa częstość). W przypadku krótkich fal napięcie powierzchniowe przeważa nad ciężkością. Takie fale nazywamy kapilarnymi. Powróćmy do równania Eulera dla fal powierzchniowych. Jeżeli fale są dostatecznie krótkie, a amplituda mała, możemy pominąć zarówno potencjał grawitacyjny, jak i kwadrat gradientu prędkości i pozostaje tylko d& p — = ----- 1-const dt

q

oraz warunek ciągłości divgrad<£ = 0 , czyli dla fali płaskiej p

d
- = const + c —r ■, 8 d£ d 2 4>

W

d 2
n

+ ~ fc> ~ 0'

W odróżnieniu od poprzedniego przypadku przyjmiemy osie x i y na powierzchni nie zakłóconej cieczy. Dla

i taka jest wartość stałej, a równanie przybiera postać d

dt

Z drugiej strony ciśnienie na powierzchni z = 0 jest sumą ciśnienia atmo­ sferycznego i ciśnienia od napięcia powierzchniowego. Stąd 30 - 8 dt 214

=

<7

Drugi warunek brzegowy wynika z powierzchniowego charakteru fal kapilar­ nych: w głębi cieczy, czyli dla z = —oo, mamy

Stosując, podobnie jak poprzednio, metodę separacji zmiennych, dochodzi­ my do rozwiązania równania ciągłości

ot

—kpołefczcos[fc(x —ct)],

z którego przez dwukrotne całkowanie znajdujemy ’2n QCK 2n 1 QC a = —— złcos — (x — ct ) = —- — /łcos — (x -c t) , ka a 2 na przy czym w czynniku wykładniczym przyjęto z = 0. Prędkość fal kapilarnych znajdziemy z oczywistego związku _ d

215

Prędkość fal kapilarnych jest odwrotnie proporcjonalna do długości fali. Na tej zależności opiera się jedna z metod wyznaczania napięcia powierzch­ niowego. W ogólnym przypadku, kiedy na powierzchni cieczy istnieją fale i grawita­ cyjne, i kapilarne, ich prędkość znajdujemy ze wzoru c=

’gX 2n 2n^~ qXa ‘

Różniczkując ten wzór względem długości fali i przyrównując do zera dc dl

g 2n

2na gX2 =

2 fgk + 2na

\j 2n

0

gX

stwierdzamy, że prędkość fali ma minimum przy długości fali

Wartość tej najmniejszej prędkości zwana prędkością krytyczną

Krytyczna długość fali dla wody wynosi 1,73 cm, czemu odpowiada cmin = 23 cm s-1. Fale znacznie dłuższe mają charakter grawitacyjny, znacznie krótsze — kapilarny. Fale o dużej amplitudzie nie stosują się do powyższych wzorów, a ich prędkość zależy od amplitudy. Prędkość grupowa fal wodnych. Stwierdziliśmy, że fale powierzchniowe na wodzie wykazują dyspersję. Ich prędkość fazowa c zależy od długości fali X lub, ujmując rzecz ogólniej, częstość kołowa co jest funkcją liczby falowej k = 2n/A. Znajdźmy tę zależność. Prędkość fazową fal grawitacyjnych można przed­ stawić w postaci c - x = 7 l 'g h m Stąd co = 216

gktgh(kh).

Jest to związek dyspersyjny dla fal wodnych przy małej amplitudzie. Można stąd znaleźć prędkość grupową gkh _ dco _ S,tgh^ + Cosh 2(/c/j) _ 1 fg tah(bh^ ( , u______ 2 fch_____ Cg~ d k ~ 2y/gktgh{kh) ~ 2 \ j k tg + 2cosh(A.7i)sinh(k/i) czyli 1 / 2kh \ Cg~ 2 C\ + śinh( 2 k/i)J'

Na głębokiej wodzie pozostaje z tego c9

1

2C

-2

-

czyli prędkość grupowa jest dwa razy mniejsza niż fazowa. Przypomnijmy tu, że prędkość grupowa jest prędkością przepływu energii, a fazowa — zmian fazy. Energia rozchodzi się na głębokiej wodzie dwa razy wolniej od zmiany fazy. Na płytkiej wodzie sinh (2kh) -> 2kh i prędkość grupowa zrównuje się z fazową cg = c » y/gh.. Przedstawiając w podobny sposób prędkość fal kapilarnych

otrzymujemy związek dyspersyjny (o = a stąd prędkość grupowa 3 fok

dw

3

d k = 2 \]~ q = 2 °' która jest półtora raza większa niż fazowa. W ogólnym przypadku związek dyspersyjny ma postać co I

'd k

q

’

217

czyli oj =

a prędkość grupowa

dw 2

k3

? -+ -k k q 2c

1 Cgr + 3cl 2 c

gdzie cgr oznacza prędkość fazową fal grawitacyjnych na powierzchni cieczy, a ck — kapilarnych. Dla fal bardzo długich (dużych k) znika ck, dla bardzo krótkich (małych k) cgr, c staje się równe odpowiednio cgr lub ck i wracamy do poprzednich wzorów.

§ 14. Fale głosowe Głosem albo fałami akustycznymi (dźwiękowymi) nazywamy fale podłużne rozchodzące się w ośrodku sprężystym. Potrafimy dzisiaj wytwarzać fale głosowe o częstościach rzędu 100 MHz i więcej. Przeciętne ucho słyszy dźwięki o częstości od 16 Hz do 20 kHz. Fale o częstości poniżej 16 Hz noszą nazwę infradźwięków. Do infradźwięków należą między innymi fale sejsmiczne po­ wstające przy trzęsieniu ziemi. Fale o częstości powyżej 20 kHz, zwane ultradźwiękami, znajdują coraz szersze zastosowanie w technice. Gdy częstość przekracza kilkaset MHz, mówimy o hiperdźwiękach. Bardzo często określa się jako głos wszelkiego rodzaju fale sprężyste. Prędkość głosu wynika z wyprowadzonego już wcześniej wzoru

gdzie K = —óV/ Vdp jest modułem ściśliwości ośrodka, a g — jego gęstością. Dojdziemy teraz do niego w inny sposób, dający lepszy wgląd w charakter propagacji fali głosowej. Fala podłużna polega na rozchodzeniu się w ośrodku, np. w pręcie, kolejnych zgęszczeń i rozrzedzeń. W ciągu małego czasu At zgęszczeme tworzące czoło fali przyśpiesza cząstki ośrodka o Ar, nadając im przyśpieszenie a = Av/At. Siła przyspieszająca jest równa iloczynowi nadwyżki ciśnienia Ap w czole fali i pola przekroju S pręta. Druga zasada dynamiki 218

Al/

V

—
Rys. 122. W czasie At cząstki ośrodka przyśpieszone o Ar przebywają drogę Ar At, a zaburzenie (fala) o prędkości c drogę cAf

w tym przypadku ma postać . o Af ApS = m — , At

przy czym m jest sumą mas przyśpieszanych cząstek, czyli wszystkich cząstek, do których dotarło czoło fali rozprzestrzeniającej się z prędkością c. Ponieważ w czasie At zaburzenie ogarnęło objętość V= Sc At, to m = gV= gScAt. Podstawiając do drugiej zasady dynamiki otrzymujemy Av ApS = gScAt — = gSc Av, czyli Ap = gcAv. Ale . 2AV 2a v gcAv = gc2,— = —g c -, c V bo przy stałym przekroju stosunek prędkości jest równy stosunkowi objętości Av _ AyAtS _ _ AV c cAtS V Tutaj AV oznacza zmniejszenie objętości V na skutek tego, że w czasie At, w ciągu którego fala wypełniła objętość V, cząstki z pierwotnego czoła fali, poruszające się z prędkością Au, rozprzestrzeniły się na objętość AK Stąd 219

nadwyżka ciśnienia

Ap = - S ą ­ czyli ’W

AP AV/V

przy czym skorzystaliśmy z definicji modułu ściśliwości. Dla dal stałych moduł ściśliwości jest odwrotnością modułu Younga i prędkość głosu wyraża się wzorem

Na przykład dla stali E = 2 1 0 11 N-m-2 , q = 7,8* 103 k g m - 3 i c m 5 k m -s '1; dla wody K = 5* 10“ 10 m 2 N -1, q = 103 k g m - 3 i c = 1,4 km-s-1. Dla gazów, jak to już poprzednio podaliśmy K = l/xp, gdzie x = cp/cv jest wykładnikiem przemiany adiabatycznej. Korzystając z równania stanu gazów otrzymujemy jak wyżej

gdzie R jest stałą gazową, T — temperaturą bezwzględną, a p — masą cząsteczkową. Na przykład dla azotu (p = 28 g mol-1) w temperaturze 293 K (20°C) mamy c = 350 m/s. Ze względu na obecność tlenu, który jest cięższy od azotu (p = 32 g mol-1) prędkość głosu w powietrzu jest nieco mniejsza (c = 340 m/s). Energia akustyczna. Natężenie dźwięku, czyli gęstość strumienia energii (mocy) jest bezwzględną wartością wektora Poyntinga ^ ~ 8ec> gdzie qe jest średnią gęstością energii, równą sumie średnich gęstości energii kinetycznej i potencjalnej 1 T?

Qe = Qk + Qp = 2 ^

1 C2

+ 2 ~E

(q bez wskaźnika oznacza gęstość ośrodka). Jak wiadomo średnie wartości obu postaci energii są w fali sprężystej równe 8k

220

—

Qp-

Stąd gęstość energii eE = 2Qk = e i2Dla fali harmonicznej i = j4sin(kx —wt) mamy = ~(oAcos(kx—a>t) i średni kwadrat prędkości cząstek (ze względu na = o)2 A 2 2A 2 = i RvŁ. |

ł

Warto zauważyć, że gdy natężenie jest stałe (/ = const), stały jest także iloczyn częstości i amplitudy toA = const, czyli im wyższa jest częstość dźwięków o tym samym natężeniu, tym mniejsza jest amplituda. Ciśnienie akustyczne. Rozchodzenie się fali akustycznej w ośrodku jest złożonym zjawiskiem, w którym mamy do czynienia ze zmiennymi polami odkształceń, prędkości i naprężeń. Naprężenie wiąże się z odkształceniem (wychyleniem) poprzez prawo Hooke’a

W ośrodku izotropowym — na przykład płynie — zastępujemy naprężenie tzw. ciśnieniem akustycznym Edt di di Ap —x- = Qc ^r — c dt dt dt przy czym wykorzystujemy związki dA = J J A dx c dt oraz E=

qc2

= Rc,

gdzie R jest oporem falowym ośrodka. Dla fali sinusoidalnej' mamy Ap — —QctoAcos(kx—(ot)= —Apmcos(kx—a>t), gdzie amplituda ciśnienia akustycznego Apm - gctoA = RoiA.

Rys. 123. Zmiany ciśnienia akustycznego Ap są opóźnione w fazie o n/2 względem wychylenia Z

Ciśnienie akustyczne jest nadwyżką ciśnienia ponad stałą wartość ciśnienia w ośrodku, związaną ze zgęszczeniami i rozrzedzeniami w przepływającej fali akustycznej. W przypadku rozrzedzenia „nadwyżka” ciśnienia jest oczywiście ujemna. Podnieśmy ciśnienie akustyczne do kwadratu (Ap)2 = (Apm)2 cos2(kx —cot) i znajdźmy jego średnią wartość (Ap)2 = (ApJ 2 (cos2(kx —(ot)} = łigcwA)2 (jak wiadomo (cos2(kx —a>t)} = |). Porównując to ze wzorem na natężenie dźwięku otrzymujemy 2

2

qc

i stwierdzamy, że średni kwadrat ciśnienia akustycznego <(Ap)2> = gcl = RI jest proporcjonalny do natężenia. Współczynnikiem proporcjonalności jest opór falowy. Wyciągając pierwiastek znajdziemy tzw. średnią kwadratową

222

w a r to ś ć c iś n ie n ia

Pe = n/< AP2> = yfociOpór falowy powietrza pod normalnym ciśnieniem i w temperaturze 20°C wynosi R = q c = 440 kg-m- 2 -s-1. Łatwo stąd obliczyć, że np. dla / = 10“ 12 W-m -2 (próg słyszalności przy v = 1000 Hz) ciśnienie akustyczne pe = 2-10 " 5 Pa (1 paskal = 1 N-m-2), dla / = 10-8 W-m -2 (cicha rozmowa) pe = 2* 10“ 3 Pa. Fortissimo orkiestry symfonicznej (/ = 10“ 2 W-m-2) daje pe = 2 Pa, a bezmyślnie eksploatowane wzmacniacze dyskotekowe (/ = 1 W-m-2) pe — 20 Pa. Takie ciśnienie powoduje nieodwracalne uszkodzenie uszu. A oto wartości oporu falowego przy t = 20°C dla innych ośrodków w kg-m- 2 -s-1 : woda 1,49-106, rtęć 13,6-106, guma 1,4-106, polistyren 2,3-106, aluminium 16,9-106, stal 45,6-106. Przekształcając wzór na amplitudę ciśnienia możemy wyrazić w innej postaci opór falowy

Z podanego wyżej wzoru na ciśnienie akustyczne Ap = —qcojA cos(kx—a>t) mogłoby się wydawać, że jego średnia wartość jest równa zeru z uwagi na = = / A lub, wyrażając tę ostatnią w funkcji amplitudy ciśnienia

1 (APm)2

2

QC2

‘

Odbicie i załamanie głosu. Na granicy dwóch ośrodków o różnym oporze falowym q c fale głosowe ulegają odbiciu i załamaniu. Rozpatrzmy płaską falę harmoniczną biegnącą w ośrodku o oporze falowym q 1 c 1 pod kątem a do normalnej do powierzchni granicznej. Opisuje ją równanie \j/ j = /Ijsinfkjf —(ot).

223

Fala odbita ij/\ = A\ sin(ki r —oit) biegnie pod kątem a' do normalnej, a fala załamana \j/2 = ył2 sin(k2r —
Na powierzchni granicznej musi być po obu stronach takie samo ciśnienie akustyczne (ze względu na III zasadę dynamiki Newtona — równość akcji i reakcji), a także normalne składowe prędkości cząstek (nadwyżka pędu oznaczałaby dodatkowe ciśnienie). Pociąga to za sobą równość argumentów sinusów (faz) w każdej chwili. Warunkiem tego jest równość iloczynów skalarnych k t r = k't r = k 2 r. Jak widać promienie padający, odbity i załamany leżą w jednej płaszczyźnie. Przedstawiając wektory falowe w postaci

gdzie k° jest wektorem jednostkowym w kierunku rozchodzenia się fali, otrzymujemy k?r Cl

ki°r ct

k°2r c2

Aby wyjaśnić znaczenie tych związków, zapiszemy je w układzie kartezjańskim 0 osi x prostopadłej do granicy ośrodków, na której leżą osie y i z, tak obrócone, żeby wektor k? leżał w płaszczyźnie xy. Dla punktów w płaszczyźnie granicznej wektor położenia ma tylko składowe y i z. Składową y wersora k° jest po prostu sina, (wersor ma długość równą jedności), wersora ki0 — sin«i, k 2 — sina2. Iloczyny skalarne redukują się do y sin aj, ysina'j 1 ysina2, a warunki graniczne otrzymują postać ysinaj

ysina'i

ysina 2

ci

C\

C2

Z pierwszego z tych równań otrzymujemy «i= a 'x , 224

tzn. kąt padania równa się kątowi odbicia. Drugie równanie daje sinocj cl ---- = = w2i, sina 2 c2 czyli prawo Snella. Wielkość n21 jest względnym współczynnikiem załamania, czyli współczynnikiem załamania drugiego ośrodka względem pierwszego.

Rys. 124. Prawa odbicia i załamania dla głosu są takie same jak dla innych fal

W ten sposób potwierdziliśmy prawa odbicia i załamania dla fal akustycz­ nych. Podobnie jak dla wszelkich innych fal przy kącie padania takim, że sina, = n21, otrzymujemy a 2 = Kąt a, nazywamy granicznym agr = arcsinn 2 iJeżeli kąt padania jest większy od granicznego «1

>

a gr ,

odbicie jest całkowite — nie ma fali załamanej. Rozpatrując stosunki amplitud możemy znaleźć współczynniki odbicia i transmisji — takie same jak dla każdej fali sprężystej ^ _ 8 2 C2 ~ Q l Cl 8

k = '

2 ^ 2 "b @1 ^1

28 i c 1 + 8 l cl

8 2 c2

Stojące fale akustyczne. Rozpatrzmy odbicie płaskiej fali harmonicznej od sztywnej ścianki. „Sztywność” oznacza, że opór falowy ścianki jest bardzo duży — o wiele większy niż opór falowy ośrodka, w którym biegnie fala. Współrzędną x wygodnie jest liczyć nie od źródła tylko od ścianki. Falę 15

— Fizyka dla politechnik

225

biegnącą w jej stronę opisuje równanie ^ = 4sin(cor + k.x;) = /4sin co^t + ^ a falę odbitą £1 = /fsin jjw ^ t—^ +

przy czym S oznacza różnicę faz. Znajdźmy odpowiadające im prędkości drgań ' x\ Uj = (fj = co/łcos <«( t + H \s C/ \ t/i -

Ż,\ =

C D /1'C O S

0)

+S V

c)

Tutaj coA i a>A' są amplitudami prędkości. Ponieważ w miejscu x = 0 znajduje się sztywna i nieruchoma ścianka, drgania są tam niemożliwe i całkowita prędkość jest równa zeru v = Wi + t/j = cu.4cos cot + cozTcos (cot + <5) = 0 , czyli /4coscot + y4'cos(cot + ó) = 0. Jeżeli przy odbiciu nie ma straty energii, amplituda fali nie zmienia się A = A', czyli cos cot = —cos(cot + ó), a stąd wynika, że S = TC.

-M-M)))((()))

=I

Rys. 125. Przy odbiciu fali głosowej od sztywnej ścianki faza zmienia się na przeciwną

226

Przy odbiciu od sztywnej ścianki i w ogóle od przegrody z materiału o znacznie większym oporze falowym faza zmienia się na przeciwną. Wracając do fali odbitej możemy napisać v\ = coA cos

(

L V

x\

J

cj

=

— oj

A cos co ( t — L V
czyli dla wychyleń = —,4 sin co t X W wyniku superpozycji z falą padającą powstaje fala stojąca sin

(

x\

S r-t-j-

5 = Śi + Śi =

\

—A sin co ( t —x \ CJ L V c) \

„ „ . cox = 2A sm — cos cot, c której węzły (o amplitudzie 0 ) powstają w miejscach odległych od ścianki o nc X x„ = — 7i = n co 2 (n = 0 , 1 , 2 ...), a strzałki (o amplitudzie 2 A) w miejscach x„ = (2 n + l)^. Zwróćmy uwagę, że analogicznie warunki dla prędkości v = 17!~\~v\ = cu^coscoj t + - \ —coAcosco(t —„ , . cox . = 2co,4sm — smcut c

w s w s w Rys. 126. Przesunięcie węzłów i strzałek wychylenia i ciśnienia w stojącej fali akustycznej 227

będą takie same, jak dla wychyleń, natomiast dla nadwyżek ciśnienia (czyli ciśnienia akustycznego), które się nie odejmują tylko sumują Ap = Apl + Ap\

- qcv1—qcv’i =

2qco}A cos — cos cot,

będą odwrotne niż dla wychyleń i prędkości. Strzałki ciśnienia wystąpią tam, gdzie węzły wychylenia i prędkości, a węzły tam gdzie ich strzałki. Sztywna ścianka uniemożliwia drgania, ale sprzyja wahaniom ciśnienia, podczas gdy brak ścianki, czyli otwarte połączenie z dużym obszarem o stałym ciśnieniu uniemożliwia jego zmiany. Źródła dźwięku. Źródłem fal głosowych są drgające struny, pręty, słupy powietrza, membrany i ogólnie biorąc ciała sprężyste dowolnego kształtu. Gdy je pobudzić do drgań za pomocą bodźców zewnętrznych, powstają w nich fale stojące. Głos wzmacnia się stosując odpowiednie pudła rezonansowe, nieraz 0 bardzo skomplikowanych kształtach. Wzmocnienie w takim rezonatorze polega na skupieniu energii fal w ograniczonej przestrzeni i wypromieniowaniu ich w określonym kierunku. Coraz szersze zastosowanie znajdują elektroakus­ tyczne źródła dźwięku. Rozkład węzłów i strzałek oraz częstości drgań własnych w układach jednowymiarowych są stosunkowo łatwe do znalezienia. W ciałach dwu1 trójwymiarowych mamy do czynienia ze skomplikowanymi liniami, a nawet powierzchniami węzłów i strzałek. Linie węzłów tworzą tzw. figury Chladniego. Można je zademonstrować doświadczalnie. Jeżeli posypiemy powierzchnię drgającego ciała proszkiem, jego ziarenka będą mogły się zatrzymać tylko w miejscach, gdzie amplituda drgań jest zerowa, czyli na liniach węzłów. Przykład. Drgania słupów powietrza. Z drgającymi słupami powietrza mamy do czynienia na przykład w instrumentach dętych. W zależności od warunków brzegowych możemy je traktować jako układy obustronnie otwarte i jedno- lub obustronnie zamknięte, w których powstają fale stojące. W miejscu, gdzie pobudza się układ do drgań, na przykład przy stroiku albo ustniku, czyli tam, gdzie się wdmuchuje powietrze, powstaje strzałka. W otwartym końcu rury rezonansowej drgania zachodzą swobodnie i także powstaje strzałka, na końcu zamkniętym mamy węzał. Położenie węzłów i strzałek jest takie samo, jak w odpowiednio zamocowanych prętach, a mianowicie: 1) Układ obustronnie otwarty — np. piszczałka otwarta o długości l

gdzie n i k są liczbami całkowitymi. Parzystym k odpowiadają strzałki, a nieparzystym k — węzły. W najprostszym przypadku (n = 1) strzałki powstają na końcach (x = 0 i x = /), a węzeł w połowie długości (x = iO- Dla większych n między skrajnymi strzałkami pojawiają się dodatkowe węzły i strzałki. Długość fali wyraża się wzorem

21 n

228

2) Układ jednostronnie zamknięty — np. piszczałka zamknięta x

2n-(fc + l)

2n-l

l.

Tutaj dla n = 1 i k = 1 otrzymujemy węzeł na zamkniętym końcu piszczałki. Ponieważ na otwartym końcu może powstać tylko strzałka, długość fali jest równa

41

K 2/i —ł ’ czyli dla n = 1 jest dwa razy większa niż w piszczałce otwartej. Przy nie zmienionej prędkości propagacji jest to równoznaczne z dwukrotnym zmniejszeniem częstości, czyli obniżeniem wysokości dźwięku.

Rys. 127. Piszczałka otwarta (a) i zamknięta (b). Zamknięcie piszczałki obniża częstości drgań (wydłuża falę) dwukrotnie. Pokazano węzły i strzałki Zakrycie piszczałki obniża jej dźwięk o oktawę (tzn. dwukrotnie — por. dalej). 3) Układ obustronnie zamknięty — np. rura zamknięta na obu końcach x —

2 n -(k -l)[ 2n

l.

Węzły powstają na końcach, dla n = 1 mamy strzałkę w środku. Przy wyższych n między węzłami powstaje n strzałek. Długość fali wyraża się wzorem takim samym, jak dla piszczałki otwartej

2/ n We wszystkich przypadkach strzałkom drgań odpowiadają węzły zmian ciśnienia (minima ciśnienia akustycznego), a węzłom drgań strzałki ciśnienia. Wynika to z zależności Ap - qc— = gcv. ot Ekstrema ciśnienia akustycznego pokrywają się z ekstremami prędkości drgań v, czyli są przesunięte w fazie o ^rt względem wychyleń {. Podobnie jak w prętach każdej fali stojącej odpowiada drganie własne (postać albo mod) o określonej częstości harmonicznej. Rozkład amplitud drgań harmonicznych w zależności od częstości tworzy widmo akustyczne decydujące o barwie dźwięku.

229

Dwu- i trójwymiarowe źródła dźwięku. Przykładem powierzchniowego źródła dźwięku może być membrana — dwuwymiarowe uogólnienie struny. Gdy brak sił zewnętrznych, membrana jest wiotka — może drgać dopiero wtedy, gdy się ją napnie. Prędkość fal sprężystych w membranie zależy od naprężenia. W przypadku jednorodnego stanu napięcia (gdy a x = a2 — a3) prędkość fali poprzecznej wyraża się wzorem

Membrany znajdują zastosowanie w instrumentach perkusyjnych — bębnach, kotłach itp. W membranach można również wytworzyć fale stojące. Węzłom i strzałkom w układzie jednowymiarowym odpowiadają tutaj linie węzłów i strzałek. Równanie fali w dwu wymiarach ma postać

dx2 8y2

c2 8t2

a 8t2 ’

przy czym £ oznacza odkształcenie poprzeczne, tzn. w kierunku osi z, podczas gdy osie x i y leżą w płaszczyźnie napiętej i nie odkształconej membrany (w ogólnym przypadku membrana w stanie równowagi nie musi być płaska). Poszukamy rozwiązania (fali stojącej) postaci £ = A (x, y)sin(a>£ + <5). Podstawiając je do równania falowego otrzymujemy 82A . 82A . (o2q . — r- sin(w£ + 5) -I- — 5- sin (
82A

m2Q

"TT+~ ttH -----^ 8x 8y a = Na brzegu napiętej membrany nie może być wychyleń. W przypadku membrany kołowej warunek ten przybiera postać dla r = y / x 2+ y2 = R,

A = 0.

Dla wygody wprowadzimy współrzędne biegunowe r i
1 82A


-rdr{r fr ) +72W +— A = 0’ które można rozwiązać przez separację zmiennych, tzn. jeżeli rozwiązanie jest iloczynem A = Av(ę)A r(r). Podstawiając je do poprzedniego równania otrzymujemy układ

d2A„ ? + l2A„ = 0, d(f> l d / d/lA

( (o2q

rd /(r'd7)+( _^ 230

l2\

^ ) '4r = 0.

w którym / jest stałą. Pierwsze z tych równań ma rozwiązanie ogólne A0 = C coslę + D sinlę. Drgania muszą być jednoznaczne, więc

A9(
Rys. 128. Funkcje Bessla dwóch pierwszych rzędów. Miejscom zerowym od­ powiadają częstości drgań własnych membrany co oznacza, że / jest liczbą całkowitą lub zerem. Rozwiązaniem drugiego równania jest funkcja Bessla rzędu /

która się zeruje dla argumentu w rs[ą[a = j 1, j 2<■■■>Jn■ Można stąd znaleźć częstości własne

Rys. 129. Przykład linii węzłów kołowej membrany

231

gdzie R jest promieniem membrany. Przestrzenny rozkład amplitudy drgań opisują tzw. funkcje własne A n,i

(C„,,cosl

znikające na liniach węzłowych tworzących siatkę okręgów i promieni. Dla membrany prostokąt­ nej o bokach a i b funkcje własne mają postać . , . (m+l)tcx . ( n + l) 7ty Am„ = A sin------------sin----- ;----- , a b a odpowiednie częstości dla całkowitych m i n wynoszą

co„

o({m + 1)2 (n + 1) a 2 + b2

Rys. 130. Figury Chladniego, czyli linie węzłów dla płyty kwadratowej przy jednej z częstości własnych

W podobny sposób można znaleźć linie węzłów w drgających płytach i czaszach (np. dzwonach), ale konieczność uwzględnienia sztywności płyty komplikuje rachunki. Przykład. Rezonator kulisty. Jako przykład przestrzennego źródła dźwięku rozpatrzymy rezonator kulisty, czyli naczynie w kształcie kuli o objętości V zakończone cienką rurką o długości / i przekroju S. W rurce powietrze o masie m = qSI i gęstości q drga jako całość; z przesunięciem jej o dx wiąże się zmiana objętości powietrza w kuli o dV=s Sdx.

232

Towarzyszy temu zmiana ciśnienia. Zakładając, że przemiana jest adiabatyczna, tzn. do­ statecznie szybka, by nie zdążyło dojść do wymiany ciepła z otoczeniem, mamy dK Sdx dp = - x p — = - * P — (k jest wykładnikiem adiabaty). Mnożąc ciśnienie przez powierzchnię przekroju rurki otrzymujemy siłę działającą na powietrze w rurce Jr, S2dx dF = Sdp = —xp—— . Siła ta jest quasi-sprężysta, tzn. proporcjonalna i przeciwnie skierowana do wychylenia dx dF = —kd x ,

gdzie współczynnik proporcjonalności

S2 k = xp— .

Można stąd znaleźć częstość drgań k

\J

m

xpS2/V qSI

hep S \]

q

VI

albo biorąc pod uwagę, że yjxplą jest prędkością głosu,

U VI

Rys. 132. „Oddychająca” kula zmienia promień harmonicznie

Taka jest częstość drgań własnych rezonatora, który jest źródłem fali kulistej. Szczególnym przypadkiem rezonatora kulistego jest tzw. oddychająca kuła, czyli elastyczny (np. gumowy) zbiornik kulisty o objętości ulegającej periodycznym sinusoidalnym zmianom na skutek zmian ciśnienia powietrza drgającego wewnątrz. Jeżeli początkowy promień kuli wynosi R0, a bardzo mała zmiana promienia SR, to chwilowy promień R = R0 + SR sin mt, a objętość 4 , 4 , / SR V f óR V V = ~ n R 3 = —k R qI 1 + — sinwt I = T0I 1 + — sin w f) . 3 3 \ R0 / \ / Dla SR < R0 możemy w wyrazie sześciennym ograniczyć się do pierwszych dwóch wyrazów. Stąd ( 16R • V= Vo I 1 -l------ smeof

V R«

233

Wprowadzając tu małą zmianę objętości zdefiniowaną jako 38R

= 4nR ldR = 6V

otrzymujemy V= K0 + <5Ksin(Bf. Rezonator tego typu również wytwarza fale kuliste. Ciśnienie akustyczne w odległości r od środka kuli można znaleźć ze wzoru Ap =

eu)2óV

------ sin co Aur

t +c -

W ogólnym przypadku można niekiedy znaleźć analitycznie częstości drgań własnych układów trójwymiarowych oraz powierzchnie i linie węzłowe, ale jest to trudny problem — łatwiejszy do rozwiązania jedynie w przypadku ciał symetrycznych. Jak się okazuje częstości drgań własnych zależą głównie od objętości V oraz promienia r otworu koniecznego do pobudzenia i promienio­ wania fal. Częstość podstawowa w przybliżeniu wynosi co0 = c

*2r

Psychofizyczna charakterystyka dźwięków. Dźwięki słyszalne charakteryzujemy podając: 1) częstość drgań odbieraną przez ucho jako wysokość dźwięku, 2 ) amplitudę, wyczuwaną jako głośność (natężenie) dźwięku, 3) widmo akustyczne, które słyszymy jako barwę dźwięku. Wysokość, głośność i barwę nazywamy znamionami dźwięku. Cały świat przeżyć muzycznych opiera się na świadomym kształtowaniu wysokości (melo­ dyka), współbrzmień (harmonika), głośności (dynamika) i barwy dźwięków (instrumentacja) przez kompozytorów i wykonawców.

Rys. 133. Dźwięki 1 i 2 różnią się częstością drgań, a więc także wysokością. W tym przypadku oba dźwięki tworzą oktawę (v! = 2 v2)

Wysokość. Wysokość dźwięku oceniamy przez porównanie z tonem wzorcowym o częstości 440 Hz określanym jako a 1 (a razkreślne). Odstęp między dźwiękami (lub tonami) mierzony stosunkiem częstości nazywamy interwalem. W stosowanym niegdyś stroju naturalnym podstawowe interwały definiowano następująco:

234

V2/V!

V2/Vl mała sekunda wielka sekunda mała tercja wielka tercja kwarta czysta kwinta czysta

16/15 9/8 6/5 5/4 4/3 3/2

8/5 5/3 9/5 15/8

seksta mała seksta wielka septyma mała septyma wielka oktawa

2

Wybierając dźwięk podstawowy i biorąc dźwięki oddalone o interwały: sekundy wielkiej, tercji wielkiej, kwarty czystej, kwinty czystej, seksty wielkiej, septymy wielkiej i oktawy, tworzymy gamę (skalę) durową, którą możemy następnie przedłużyć w górę i w dół, i ustalamy tonację. Kolejne dźwięki gamy C-dur mają nazwy c, d, e, f, g, a, h, c' (górne c jest już w kolejnej, wyższej oktawie: jeżeli dolne c było „małe”, górne będzie razkreślne, jeżeli dolne było razkreślne, górne będzie dwukreślne itd.). C2

C,

C

c

c1

c2

c3

c‘

c5

c6

— i----------1----------- 1---------- 1---------- 1---------- 1---------- 1---------- 1---------- 1---------- 1--------------

16

32

64

128

256

512

1024

2048

4096

8192 v (Hz)

Rys. 134. Zakres częstości muzycznych (9 oktaw). Częstości w stroju naturalnym Rozróżniamy oktawy: subkontra, kontra, wielką, małą, razkreślną, dwukreślną, trzykreślną itd., i oznaczamy, np. dla dźwięku a: A2, Alt A, a, a 1, a2, a 3 itd. Drugim rozpowszechnionym typem skali jest gama molowa, mająca zamiast wielkich małe tercje i seksty (mol harmoniczne). Obydwa typy zwane w muzyce trybami tworzą razem system dur-mol panujący w muzyce europejskiej od XVIII do XX wieku. Strój naturalny, choć zapewniający najczystsze współbrzmienia, był niewygodny, bo utrudniał modulację, czyli przejście od jednej tonacji do drugiej — zwłaszcza odległej. Na przykład drugi dźwięk (sekunda) w tonacji G-dur wyraża się stosunkiem częstości f '2 = f i bardzo bliskim, ale jednak różnym od wielkiej seksty w skali C-dur (f). Różnica wynosi zaledwie f i —f = 4g wysokości dźwięku, ale wprawne ucho ją usłyszy! Różnice te rosną w miarę zwiększania odległości między tonacjami (tzn. zwiększania liczby znaków przykluczowych). Odległe tonacje wydawały się rozstrojone. Z tego względu na przełomie XVII/XVIII w. wprowadzono tzw. strój temperowany, w którym interwał oktawy dzieli się na 12 równych interwałów o stosunku częstości, 5 = ^ f l m 1,059 równoważnych małej sekundzie. Kolejne interwały uzyskujemy jako odpowiednią potęgę małej sekundy A = 5" według następującego schematu: n wielka sekunda mała tercja wielka tercja kwarta czysta kwarta zwiększona

n

3 4 5

ó2 = S3 = <54 = <55 =

6

56 = 1,414

2

1,122

1,183 1,260 1,335

kwinta czysta mała seksta wielka seksta mała septyma wielka septyma oktawa

7 8

9 10 11 12

S7 = <58 = 59 = <510 = <5n = d12 =

1,498 1,587 1,682 1,782 1,888 2

Skala złożona z kolejnych 12 małych sekund (półtonów) w stroju temperowanym (gama chromatyczna) nosi nazwę dwunastotonowej. Strój temperowany nie brzmi tak czysto, jak naturalny, ale umożliwia grę we wszystkich tonacjach. Pierwszym kompozytorem, który zrobił konsekwentny użytek ze stroju temperowanego, był Jan Sebastian Bach. Głośność. Głośność dźwięku zależy od energii niesionej przez fale głosowe, czyli natężenia dźwięku, proporcjonalnego do kwadratu amplitudy. Ze względu na fizjologiczne właściwości ucha

235

dźwięki o tej samej amplitudzie mogą mieć różną głośność w zależności od częstości. Dźwięków poniżej 16 Hz i powyżej 20 kHz nie słyszymy w ogóle. Największą czułość ucho przejawia w zakresie 2-3 kHz. Za głośność wzorcową przyjmujemy głośność dźwięku o częstości 1 kHz i natężeniu I0 = 10-12 W -m '2 odpowiadającemu progowi słyszalności przy tej częstości (przez natężenie rozumiemy stosunek mocy przenoszonej przez falę do powierzchni, przez którą fala przechodzi — por. wyżej).

Rys. 135. Dźwięki 1 i 2 mają tą samą wysokość (częstość) i różną amplitudę. Dźwięk 2 jest głośniejszy Ig042/zł,)2 = 21g(/t2/zt,) razy Głośność dźwięku o tej samej częstości i innym natężeniu I określamy z prawa Webera-Fechnera

Głośność wyrażamy w belach (b). Często stosowaną jednostką jest 1/10 bela, czyli decybel (db). Na przykład, jeżeli I = 1000/o, to głośność dźwięku wynosi fi = lg 1000 = 3 b = 30db. Jak widać, głośność zmienia się proporcjonalnie do logarytmu natężenia. Głośność dźwięków o innej częstości porównujemy z głośnością dźwięku o częstości 1 kHz. Wynik wyrażamy w fonach. Na przykład, jeżeli dany dźwięk wydaje się tak samo głośny, jak dźwięk o częstości 1000 Hz i głośności fi db, to jego głośność określamy jako fi fonów.

Rys. 136. Orientacyjny przebieg krzywych głośności w zakresie słyszalności. Skala głośności po prawej stronie (w db) odpowiada osi pionowej dla v = 1000 Hz. Krzywe kreskowane przedstawiają głośność w fonach 236

Na wykresie głośności w funkcji częstości (zwykle logarytmu częstości) obszar słyszalności mieści się między dolną granicą, czyli progiem słyszalności i górną granicą zwaną progiem bólu. Próg słyszalności zależy od częstości i ma minimum w obszarze największej czułości. Próg bólu wynosi około 120 db i praktycznie nie zależy od częstości. Barwa dźwięku. Fale stojące wzbudzone w źródłach dźwięku mają różne częstości. Poszczegól­ ne składowe harmoniczne różnią się amplitudami. Ucho słyszy pierwszą składową (częstość podstawowa) i z jej częstością wiąże wysokość dźwięku, choć zdarzają się instrumenty, w których słyszy się dolną lub górną oktawę (tzw. instrumenty transponujące). Sumę wszystkich harmonicz­ nych słyszymy jako barwę. Natężenie (amplitudy) poszczególnych harmonicznych w zależności od ich częstości przedstawiamy na wykresie zwanym widmem akustycznym. Im bogatszy w harmonicz­ ne dźwięk, tym bogatsza barwa i bardziej złożony wykres drgań — tzn. wychylenia w funkcji czasu. A

»,

v2

I

.

V3

ł>4

V

Rys. 137. Widmo akustyczne podaje amplitudę lub natężenie tonów harmonicznych w zależności od częstości Na przykład dźwięk skrzypiec jest bogatszy w harmoniczne niż dźwięk fortepianu. Wiąże się to z bardziej skomplikowanym kształtem pudła rezonansowego i innym sposobem pobudzania struny do drgań. W zależności od kształtu widma akustycznego zjawiska akustyczne dzielimy na: 1) tony — o widmie w postaci prążka o określonej częstości i amplitudzie, 2) dźwięki — o widmie złożonym z wielu prążków, o określonych częstościach i amplitudach, 3) szmery — o widmie ciągłym. Wykres drgań dla tonu jest zwykłą sinusoidą lub cosinusoidą. Wpływ składowych harmonicz­ nych dźwięku zwanych też alikwotami, prowadzi do bardziej skomplikowanych krzywych

Rys. 138. Każdy składnik widma oznacza ton sinusoidalny o odpowiedniej częstości i amplitudzie 237

Rys. 139. Widmo akustyczne tonu (a), dźwięku (b) i szmeru (c)

periodycznych, które jednak dają się rozłożyć na sinusoidy (analiza fourierowska). Wykres szmeru jest nieperiodyczny. Głośny, gwałtownie narastający szmer nazywamy hukiem. Większość realnych zjawisk głosowych stanowi mieszaninę dźwięków i szmerów. Tony sinusoidalne, jakie możemy uzyskiwać z generatora elektroakustycznego, są ubogie w barwę i nie dają zadowolenia uszom. Akustyka pomieszczeń. Decydującą rolę w akustyce wnętrz odgrywa odbicie i pochłanianie fal dźwiękowych od ścian ograniczających pomieszczenie oraz mebli i zasłon, a nawet ubrań ludzi znajdujących się wewnątrz. Przy każdym odbiciu następuje pochłanianie i zmniejszenie amplitudy. Jeżeli odbicie zachodzi z niewielkimi stratami energii, powstaje pogłos — do uszu dochodzą oprócz fal idących bezpośrednio od źródła także fale wielokrotnie odbite i opóźnione w czasie. Przy opóźnieniu mniejszym niż ^ s ucho nie rozdziela dźwięków odbitych od dochodzących bezpośrednio, co utrudnia zrozumienie. Z drugiej strony, przy bardzo silnym tłumieniu, to znaczy, kiedy dźwięki są silnie pochłaniane przy odbiciu i pogłos w ogóle nie występuje, mowa i muzyka brzmią głucho i słabo. Dla porównywania różnych pomieszczeń pod względem akustycznym służy wielkość zwana rewerberacją. Jest to czas, po którym natężenie dźwięku spada milion razy. Pomieszczenie ma dobrą akustykę,jeżeli czas rewerberacji wynosi t = 0,5—1,5 s. Powyżej t = 5s akustykę uważa się za złą. Czas rewerberacji zależy od zdolności pochłaniania dźwięków przez elementy pomieszczenia. Zdolność pochłaniania charakteryzujemy wartością współczynnika absorpcji dźwięku, czyli stosun­ kiem natężenia pochłanianego do padającego. Otwarte okno ma współczynnik absorpcji równy jedności (a = 1) gładki beton — bliski zeru (a = 0,015). Dla miękkich materiałów a = 0,5—0,9. Pochłanianie dźwięku w pomieszczeniu charakteryzujemy wielkością

A238

Rys. 140. Natężenie głosu w pomieszczeniu zanika wykładniczo. Milionkrotnemu zanikowi odpowiada czas rewerberacji t gdzie S, oznacza powierzchnię i-tego elementu ograniczającego pomieszczenie, a a, jego współczyn­ nik absorpcji. Czas rewerberacji wyraża się wzorem

gdzie V jest objętością pomieszczenia, a k — współczynnikiem wyznaczanym empirycznie. Dla zmniejszenia rewerberacji często stosuje się silnie tłumiące materiały porowate.

Zjawisko Dopplera w akustyce. Przy wzajemnym ruchu źródła dźwięku i obserwatora rejestrowana częstość drgań ulega zmianie: przy zbliżaniu dźwięk jest wyższy niż przy oddalaniu. Odpowiednie wzory były już wy­ prowadzone zarówno w przypadku klasycznym, jak i relatywistycznym. Pokażemy tutaj jak łatwo dojść do nich, wychodząc od równania fali płaskiej w postaci zespolonej 11/ = ^ ej(kr_<0').

Rys. 141. Transformacja iloczynu kr przy przejściu do ruchomego układu od­ niesienia prowadzi do zmiany częstości a>’ = co—ku (zjawisko Dopplera) 239

Wektor r opisuje położenie w układzie związanym z obserwatorem. Jeżeli (przy nieruchomym źródle) obserwator porusza się z prędkością u, a wektor położenia w układzie ruchomym oznaczymy przez r', to z transformacji położeń r = r' 4- ut wynika równanie fali Ij/ ~

/ 4 e j(k r' + ko<-cur) _

^4 e j [ k r '- ( « - k u ) r ]

Jak widać odbierana częstość drgań co' = co—ku zmienia się o —ku. Jeżeli prędkość obserwatora jest przeciwna do kierunku propagacji (ku < 0), tzn. jeżeli obserwator zbliża się do źródła, częstość drgań rośnie, jeżeli prędkość obserwatora jest zgodna z kierunkiem rozchodzenia się fali (ku > 0), częstość maleje. Obliczając różnicę częstości co' —co = —ku = ——k°u, c znajdujemy dla zbliżania (k°u = —u) co' —co

co

v' —v v

u c’

a dla oddalania (k°u = u) co' —co co

v' —v v

u c

Oba wzory można również przedstawić w postaci co = albo

gdzie plus odpowiada zbliżaniu, a minus — oddalaniu. Efekt jest tym silniejszy, im większa jest prędkość w. Jeżeli obserwator porusza się z prędkością głosu c, to przy zbliżaniu v' = 2v, czyli wysokość dźwięku wzrasta o oktawę. Przy oddalaniu v' = 0, bo dźwięk w ogóle nie dotrze do obserwatora. Jeżeli porusza się źródło, zależności wyglądają inaczej. Wynika to stąd, że w czasie, w którym wysłane przez źródło zaburzenia na przykład zgęszczenie (maksimum) fali akustycznej, przebiegnie daną drogę ct, źródło poruszające się 240

Zr

użtT

Ob

uobT'

-------------------- i , .

ety

ct2 cty + u ^ T ’ = u trT + Ct2 ty +T = T+ t2

Rys. 142. Najprostsze wyjaśnienie zjawiska Dopplera: w czasie T między emisją dwóch kolejnych maksimów (okres) ruchome źródło przebiega drogę uźr T, w czasie V między nadejściem dwóch kolejnych maksimów ruchomy obserwator przebiega drogę uobT'; c tŁ jest drogą pierwszego maksimum od źródła do obserwatora, ct2 drogą drugiego. Z wypisanych równań bez trudu dochodzimy do wzoru T ' = (c*ułr)/(c± uol)T, w którym minusy opisują zbliżanie, a plusy oddalanie obserwatora lub źródła

z prędkością u przebędzie drogą ut i o tę wartość zmieni się odległość między źródłem a zaburzeniem. Przyjmijmy dla wygody t = T (okres drgań). Stąd droga zaburzenia s = cT= X, a odległość od źródła s' = X ± uT = X ± - c T = ( 1 + - X. c V c Ponieważ po okresie T źródło wysyła nowe zaburzenie, więc powyższy wzór opisuje zmienioną na skutek ruchu odległość między maksimami, czyli długość fali X' =

X.

Plus określa tutaj oddalanie, a minus — zbliżanie. Stąd już łatwo przejść do częstości , c c V X' (1=F u/c)X' czyli, ze względu na c/X = v, (1 + w/c)' Rozwijając to na szereg v' = v^ ± ^ + ...j przekonujemy się, że tylko dla m c, kiedy można pominąć dalsze wyrazy, nie ma różnicy między ruchem obserwatora i źródła. Ze wzrostem prędkości źródła różnica rośnie. Na przykład dla u = c przy oddalaniu otrzymujemy V = v/2, czyli obniżenie dźwięku o oktawę, a przy zbliżaniu v' = oo!16 16 — Fizyka dla politechnik

241

IV

Fale e le k tro ­ m a g n e ty c z n e § 15. Opis fali elektromagnetycznej Do rozprzestrzeniania się fal sprężystych niezbędny jest ośrodek ważki i sprężysty. Miarą ważkości jest gęstość, sprężystość określają stałe: moduł Younga, moduł ścinania, moduł ściśliwości lub ciśnienie. Dzięki sprężystości powstaje siła zwrotna, ważkości (masie) towarzyszy bezwładność — w rezul­ tacie istnieją warunki do przekazywania stanu drgań z miejsca na miejsce, czyli do przepływu fali. Te same wielkości: q i E (G, K lub p) określają opór falowy ośrodka. Z drugiej strony bezwładność i sprężystość umożliwiają gromadzenie energii i jej przepływ przez ośrodek. Fala elektromagnetyczna polega na rozchodzeniu się w przestrzeni zaburzeń pola elektrycznego i magnetycznego. Odpowiednikiem bezwładności (masy) jest indukcyjność, sprężystości — pojemność. Indukcyjne właściwości ośrodka wyraża przenikalność magnetyczna pp0, mierzona w henrach na metr. Miarą właściwości pojemnościowych jest przenikalność elektryczna xe0 w faradach na metr. Dzięki indukcyjności możliwe jest gromadzenie energii magnetycznej, pojemność umożliwia gromadzenie energii elektrycznej. W odróżnieniu od fal sprężystych fale elektromagnetyczne mogą także rozchodzić się w próżni. Równanie fali elektromagnetycznej. Możliwość powstawania fal elektro­ magnetycznych wynika z równań Maxwella. Oto jak można wychodząc z nich dojść do równania falowego: Wyobraźmy sobie, że w jakimś obszarze istnieje źródło zmiennego pola elektrycznego o natężeniu K w postaci zmieniającej się 243

Rys. 143. Dookoła odcinka przewodu, w którym płynie zmienny prąd elektryczny (drgającego dipola), powstają siły pola elektrycznego i magnetycznego, rozchodzące się w postaci fali elektromagnetycznej

konfiguracji ładunków i układu zmiennych prądów będącego źródłem zmien­ nego pola magnetycznego o indukcji B. W pustej przestrzeni poza źródłami równania Maxwella redukują się do układu cB rotK = dt' rotB = e0/i0

8K dt’

divK = 0, divB = 0, przy czym s0 i /i0 oznaczają odpowiednio przenikalność elektryczną i mag­ netyczną próżni. Utwórzmy pochodną przestrzenną (rotację) drugiego rzędu indukcji magnetycznej 8K rot rotB = e0/x0rot dt 6°^05t r° tK> czyli biorąc pod uwagę drugie równanie Maxwella mamy d2B rotrotB = £oAt° dt2 • Za pomocą operatora nabla można wyprowadzić tożsamość rotrotB = graddivB —V2B. Ale divB = 0 (czwarte równanie) i rotrotB = —V2B. Podstawiając to do poprzedniego równania otrzymujemy

244

a to jest równanie falowe. W podobny sposób znajdziemy równanie dla pola elektrycznego

Zmiany pola elektrycznego i magnetycznego rozchodzą się w postaci fali. Współczynnik przy pochodnej czasowej jest odwrotnością kwadratu prędkości. Stąd sama prędkość 1 Podstawiając tu wartości stałych e0 = 8,854-10~12F-m -1 , p0 = 47i• 10~7 H m -1 i biorąc pod uwagę, że iloczyn FH mm

C Ys Vm Am

A s V-s _ s2 Vm Am m2

jest odwrotnością kwadratu jednostki prędkości otrzymujemy c = 2,998-108 m s _1 = c0. Fale elektromagnetyczne rozchodzą się w próżni z prędkością światła. Należa­ ło się tego spodziewać. Już dawniej, przy omawianiu względności pola magnetycznego, stwierdziliśmy, że p0 = l/e0Co. Wartość c0 potwierdzono pomiarami w zakresie częstości od 100 kHz (długie fale radiowe) do 1018 Hz (promienie y). Płaska fala elektromagnetyczna. Równanie falowe w postaci ogólnej (z laplasjanem) przedstawia falę trójwymiarową. W układzie kartezjańskim wektor natężenia pola elektrycznego (tzw. wektor elektryczny), wyrażony przez swoje składowe ma postać K = Kxx° + Kyy° + K zz°. Każda składowa z osobna spełnia równanie falowe. Na przykład dla składowej K x mamy 2rr

d2K x

245

Jeżeli ta składowa zmienia się tylko w zależności od z, a w kierunkach x i y jest stała, z powyższego równania pozostaje tylko d2K x d2K x 8z2 ~ Soti° dt2 ‘ Jednym z rozwiązań równania jest, jak łatwo sprawdzić przez podstawienie,

Kx = K mf [ z -

K mf ( z - c t ) , eo^o

Rys. 144. Fala elektromagnetyczna przedstawiona za pomocą wektora elektry­ cznego K

Rys. 145. Fala elektromagnetyczna przedstawiona za pomocą wektora magnetycz­ nego B

gdzie K mjest stalą, a / — dowolną funkcją argumentu z —ct. Funkcja / określa postać fali poruszającej się w kierunku dodatnich z-ów. Jest to fala płaska. Podobną falę poruszającą się w przeciwną stronę opisuje funkcja Kx = K mf ( z + ct), będąca również rozwiązaniem równania falowego. Jeżeli częstość zmian pól co jest stała, falę nazywamy monochromatyczną. Równanie płaskiej fali monochromatycznej biegnącej w kierunku dodatnich 246

z ma postać K = K mei{kz~(0t) = K me~3(
(O k’

w zgodności z tym, co podano w poprzednich rozdziałach. Wielkość

jest liczbą falową. Podstawiając a> = 2nv, gdzie v jest częstością drgań, możemy dojść do znanej zależności c = Av. Fala spolaryzowana. Jeżeli wektor pola ma stały kierunek w przestrzeni — np. równoległy do osi x, fala jest spolaryzowana liniowo. Możemy to zapisać w postaci K = x °K mxe j (kz-cot) Wektor K ma zwrot dodatni lub ujemny w zależności od chwilowej wartości fazy. Podobnie można opisać falę spolaryzowaną równolegle do osi y. K

Rys. 146. Wektor K (lub B) fali niespolaryzowanej (a) zmienia kierunek w sposób nie uporządkowany, w fali spolaryzowanej liniowo (b) zachowuje stały kierunek

247

Dodając do siebie dwie zgodne w fazie fale spolaryzowane w kierunkach prostopadłych otrzymujemy również falę liniowo spolaryzowaną K = (x0K mx + y°K my)eiikz~mt) (i odwrotnie, każdą falę spolaryzowaną można rozłożyć na dwie fale spolaryzo­ wane w kierunkach wzajemnie prostopadłych). Wektor natężenia pola leży tutaj W płaszczyźnie x, y. Kąt a jego nachylenia do.osi x łatwo znaleźć

Weźmy pod uwagę spolaryzowaną liniowo falę monochromatyczną K = Kmej('iz“ “t), gdzie Km jest dowolnym stałym wektorem. Pole K musi spełniać równania Maxwella, między innymi pierwsze 8KX dK dK divK = --- -H-------I------ = 0 . dx dy dz W rozpatrywanej fali płaskiej pole jest niezależne od współrzędnych x i y (w równaniu występuje tylko z) i stąd dx

dy

W równaniu Maxwella pozostaje tylko dK, = 0, dz a to oznacza, że składowa K z nie zależy od współrzędnej z. Podstawiając do równania fali otrzymujemy Kz = Kmzej(kz-“,) = const, a to jest możliwe tylko dla Kmz = 0, czyli Kz = 0. Stąd wynika, że wektor Km, który wybraliśmy dowolnie, musi być prostopadły do z, a wraz z nim także wektor K. Dotyczy to każdej fali płaskiej, nie tylko spolaryzowanej. Kierunki pól. Sprawdźmy teraz kierunek wektora indukcji magnetycznej (wektora magnetycznego) B w fali płaskiej. Dla wygody przyjmiemy oś x zgodną z kierunkiem wektora elektrycznego K = x0Kmej<*z- t'>,). 248

Podstawiając to do drugiego równania Maxwella otrzymujemy ag = ro t[x 0Kmej(,t2- " ')]. ot Aby to obliczyć, wyrazimy rotację wektora elektrycznego za pomocą składowych rotK =

dy

i \ x o + 8Kr* .-8K. " M t° oz 8z 8x J J

i

/8 K yV 8K. \8 x dy

W naszym przypadku istnieje tylko składowa K x zależna tylko od współrzędnej z. Stąd ~

= y°jkK m^ ~ MK

Całkując to po czasie, otrzymujemy g

k. e j(fcz-cor) J O) m y O __JS

Ze względu na co/k = c0 mamy is B = y° —2*©j<**—*“*>= y°B e^kz~mt\ co gdzie Bm = K m/c0. Podobne rachunki można przeprowadzić dla przeciwnego kierunku propagacji. Wprowadzając wektor k o kierunku propagacji, napisze­ my ogólne równanie fali płaskiej dla wektora elektrycznego K = Kmej(kT~0>,) = x0Kmej(kr_eo,), wektora magnetycznego B = y0Bmej(kr-0),) oraz relację między nimi a wektorem falowym k

B = —(k°xK). c0 249

Wszystkie trzy wektory są do siebie prostopadle. Ponieważ wektor k ma ten sam zwrot i kierunek, co wektor prędkości fali c 0 , możemy stwierdzić, że w płaskiej fali elektromagnetycznej prostopadłe do siebie wektory pola elektrycznego i magnetycznego pozostają w płaszczyźnie prostopadłej do prędkości propagacji, tzn. fale elektromagnetyczne są poprzeczne. X K

z

Rys. 147. Wektory K, B i k° w fali elektromagnetycznej są wzajemnie prostopadłe, a przy polaryzacji liniowej zachowują stale kierunki

Wróćmy do zależności między amplitudami obu pól

Ze względu na dużą wartość prędkości światła c0 amplituda pola mag­ netycznego w fali elektromagnetycznej jest zwykle bardzo mała. Na przykład dla stosunkowo dużej wartości K m = 1 V-m-1 mamy Bm = 3,3-10-9 T. Z a le ż n o ś c i fa z o w e . Opisując falę elektromagnetyczną tak dobraliśmy układ współrzędnych, żeby oś z była kierunkiem propagacji. Jeżeli w danej chwili oś x jest zgodna z kierunkiem wektora natężenia pola elektrycznego, to wektor ów ma tylko składową x

K = Kx = x° K meHkz~wt) lub, ograniczając się do części rzeczywistej i korzystając z równości k = a>/c0,

Jedyną różną od zera składową indukcji magnetycznej By znajdujemy z drugiego równania Maxwella dB 8K X n — = — -y 8t 8z 250

przez całkowanie By(z,t) =

i

dt

Zatem By zmienia się w czasie tak samo jak Kx. Jest to oczywiście niezależne od wyboru współrzędnych. Otrzymany wniosek można uogólnić dla każdej fali elektromagnetycznej, nie tylko spolaryzowanej. Wektory elektryczny i magnetyczny drgają zgodnie w fazie.

Rys. 148. Drgania elektryczne i magnetyczne (w dielektrykach) są zgodne w fazie

Elektromagnetyczna fala kulista. Czoło fali i w ogóle powierzchnie stałej fazy w fali kulistej mają kształt kuli. Równanie takiej fali tj/ = /4(r)ei(k'+ “,i spełnia różniczkowe równanie falowe. Najczęściej mamy do czynienia z falą kulistą, której amplituda maleje odwrotnie proporcjonalnie do r,

$ = d:ej«u-+<»o r

W praktyce fale elektromagnetyczne kuliste wychodzą ze źródła punktowego (tzn. takiego, którego rozmiary można zaniedbać) i rozchodzą się odśrodkowo. Odpowiada temu znak minus w wykładniku

r Zamiast
K=

K0 r i(tr-q>M r

C

>

251

Rys. 149. Fala kulista o amplitudzie zanikającej z odległością

indukcję magnetyczną

j(kr-ort)

albo inne wielkości charakteryzujące falę, jak D, H, potencjały V i A itp. Każdą falę niezbyt blisko źródła można uważać za kulistą, a jej dostatecznie mały wycinek za falę płaską. Wzajemne kierunki wektorów elektrycznego, magnetycznego i propagacji oraz relacje fazowe pozostają w fali kulistej takie same, jak w płaskiej.

§ 16. Fala w ośrodku izotropowym Równanie fali w ośrodku nieprzewodzącym różni się od równania fali w próżni tylko wchodzącymi w nie stałymi materiałowymi, które zmieniają prędkość rozchodzenia się. Zasadniczą zmianę mogłaby wprowadzić obecność ładunku przestrzennego, ale w dielektrykach jednorodnych jego gęstość jest stała i nie wpływa na procesy falowe. W przewodnikach równanie falowe musi uwzględ­ niać prąd przewodzenia i związane z nimi straty energii prowadzące do absorpcji fali. Fala w dielektryku. Równanie falowe w izotropowym ośrodku nieprzewo­ dzącym o względnej przenikalności elektrycznej x i przenikalności magnetycz252

nej /j, przyjmują postać V2K = xe0nn0

d 2K

sF ’

82B X£0(XH0 ^ 2 •

V2B

Prędkość propagacji wynosi 1

1

1

gdzie przez c0 = lA /e0/i0 oznaczono prędkość fali w próżni, a n nosi nazwę współczynnika załamania ośrodka. Ponieważ x jest zawsze większe od jedno­ ści, a n bardzo bliskie jedności (z wyjątkiem ferromagnetyków, dla których jest bardzo duże), przeto współczynnik załamania n= jest zawsze większy od jedności. Prędkość fali elektromagnetycznej w ośrodku jest mniejsza niż w próżni. Korzystając z tego wzoru trzeba pamiętać, że przenikalność elektryczna przy zmiennych polach elektrycznych zależy od częstości, co prowadzi do dyspersji. Równania fali płaskiej w ośrodku izotopowym są takie same, jak w próżni. Na przykład dla fali biegnącej wzdłuż osi z K = Kmej<**_“*>, B = Bmej(‘z_t0'), przy czym liczbę falową k wyrażamy za pomocą prędkości fali w ośrodku c Naturalnie długość fali

v

nv

n

jest n razy mniejsza niż w próżni, jako że częstość drgań v nie ulega zmianie. 253

W ośrodku izotropowym, podobnie jak w próżni, wektory elektryczny i magnetyczny pozostają prostopadle do kierunku propagacji B = -(k°xK). c Fala na granicy dielektryków. Fala elektromagnetyczna padająca na granicę między dwoma ośrodkami nieprzewodzącymi ulega odbiciu i załamaniu. Do opisu zjawisk zastosujemy układ współrzędnych kartezjańskich, w którym osie x i y są równoległe do płaszczyzny granicznej, oczywiście oś z jest do niej prostopadła. W dostatecznie dużej odległości od źródła fale można uważać za płaskie. Falę padającą na granicę ośrodków opisuje równanie Kj = K 1e^kir_" l(+il) falę odbitą __ I f ' ~j(k ir-c> W + 3i) K '1 — ,vml e >

a załamaną K p H k 2 r - o > 2t + S2) K 2 ~ ,vm2e —

Rys. 150. Odbicie i załamanie fali elektromagnetycznej na granicy dwóch dielekt­ ryków

Analogiczne równania dla wektora magnetycznego można otrzymać ze związ­ ków B = - k° x K c zastosowanych do każdego ze składników. 254

Warunki graniczne wynikają ze sformułowanych już dawniej (w II tomie) praw załamania dla pól statycznych: linie pól załamują się na granicy ośrodków z zachowaniem ciągłości stycznych składowych wektorów natężenia K, i Ht (H = B/nn0). W rozpatrywanym przypadku warunki te można zapisać jako

lub, z uwagi na K, = Ksin(z°, K) = |z° x K|, z ° x K 1+ z 0 x Ki = z0 x ^ 2 -

Rys. 151. Składowe pola elektrycznego na granicy dielektryków. Składowe styczne są zachowane

Podobne zależności można wypisać dla pola magnetycznego. Podstawiając K 1, K \ i K 2 otrzymujemy

Warunek ten musi być spełniony w każdej chwili wszędzie na powierzchni granicznej (dla z = const), tzn. niezależnie od t i r. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy zawsze i wszędzie będzie kjr —a>1t + 51 = k^r —coit + ^i = k2r —a>2t + ó2 niezależnie od czasu. Warunkiem tego jest co1

= a/, = co2 =

oj,

co potwierdza znany fakt doświadczalny: odbicie i załamanie nie zmienia częstości drgań. Warunki ciągłości otrzymują teraz postać kir + 5 t = kir + ó'! = k2r + <52. 255

Przekształcając lewą równość mamy ( k ^ k j ) r = <5j —(5j = const (różnica stałych fazowych jest stała). Otrzymaliśmy równanie płaszczyzny prostopadłej do różnicy wektorów k Ł—kj. Oba wektory są w jednym ośrodku, o tej samej prędkości fali ct . Wobec nie zmienionej częstości co ich moduły

są równe, a to oznacza prostopadłość wektora k j —kj do granicy ośrodków, czyli równoległość do kierunku normalnej z°. Zatem promienie padający i odbity leżą w płaszczyźnie prostopadłej do powierzchni granicznej. Można to zapisać jako z° x (k 1—kj) = 0, czyli, oznaczając kąt padania przez cc1, a odbicia przez aj, k1sina1 = fcjsinaj i stąd, wobec

= k\,

Kąt padania równa się kątowi odbicia. Przekształcimy teraz drugie (prawe) równanie ciągłości (kŁ—k2)r = d2—£>! = const. Jest to równanie płaszczyzny prostopadłej do różnicy wektorów kŁ—k2 i z°. Różnica wektorów nie ma składowej stycznej z° x (kŁ—k2) = 0. Stąd, oznaczając kąt załamania (między z° i k2) jako a2 mamy fcj sinaj = /c2sina2. Podstawiając wartości wektorów propagacji, czyli liczby falowe k = co/c, otrzymujemy

co .

co .

— sin oc1 = —sina2, C1 C2 256

czyli prawo Snella sina, sina2

c, c0/n, c2 c0/n2

gdzie c2 jest prędkością fali w drugim ośrodku, n, i n2 oznaczają bezwzględne współczynniki załamania obu ośrodków, a n2i — względny współczynnik załamania ośrodka drugiego względem pierwszego. W szczególnym przypadku gdy początek układu wybierzemy w płaszczyź­ nie padania, na powierzchni granicznej mamy r± z ° i iloczyny skalarne stają się równe kr = krcos(k, r) = fcrsina. Podstawiając do równania ciągłości mamy k1rsina, + <5, = k^rsina, + (5, = k2rsina2 + d2, a ponieważ k,sina, = k\ sina, = k2sina2, więc <5, = 5', = ó2. Odbicie i załamanie nie zmienia stałej fazowej (ściślej biorąc może wystąpić skok fazy o n przy odbiciu, co jednak nie zmienia wartości funkcji okresowej). Wzory Fresnela. Wyprowadzone przez nas uprzednio prawa załamania są zgodne z doświadczeniem, ale nie kompletne. Nie można z nich na przykład znaleźć relacji między natężeniami fali padającej, odbitej i rozproszonej. Relacje między natężeniami wymagają znajomości relacji między amplitudami. Znajdziemy je teraz dla fali spolaryzowanej o ogólnym równaniu K = Kmej(kr_0>,), przy czym wielkości związane z falą padającą oznaczymy wskaźnikiem 1, odbitą 1', a załamaną 2. W każdym przypadku odpowiadające pole magnetycz­ ne można znaleźć z relacji k° x K = cB, co oznacza, ze

17 — Fizyka dla politechnik

257

y

Rys. 152. Odbicie i załamanie przy wektorze elektrycznym prostopadłym do płaszczyzny padania ...

Oś z leży w płaszczyźnie padania (k°, z) i jest prostopadła do granicy ośrodków. Rozpatrzymy dwa przypadki. a) Natężenie pola elektrycznego jest prostopadłe do płaszczyzny padania, czyli równoległe do płaszczyzny granicznej. Warunek ciągłości składowych stycznych daje dla pola elektrycznego N ml + K'ml = K m2

Rys. 153. ... i warunek ciągłości składowych stycznych

a dla prostopadłego do niego pola magnetycznego —H l costx1+H\cosa'1 = —H2cosa2, gdzie a.l oznacza kąt padania, oc'i — odbicia, a a2 — załamania. Ponieważ w każdym przypadku Wo 258

Woc

oraz a1 = ax, przeto - A - ( ^ t —K'1)cosoc1 ł1ici

1

----- K 2cosa,. /* 2C 2

Ze względu na zgodność faz taka sama będzie relacja między amplitudami. Podstawiając c1 = c0/n i i c2 = c0/n2, mamy — (Kml- K 'ml)cosal = — Km2 cosa2. A*1 A*2 Stąd i z warunku ciągłości dla K m otrzymujemy szukane zależności / \ = (n1/p 1)cosa,1~ (n2/p2)cosa2 = VXmiA (n i/M iJc o sa ^ ^ /^ jc o sa j ''-L’ oraz / KmA = 2(n1/ju1)cos«1 = \K mi)± (n1/n 1)cosa1+(n2/n2)cosa2 '-1-' Pierwszy z tych stosunków jest amplitudowym współczynnikiem odbicia, drugi — amplitudowym współczynnikiem przepuszczania. Dla większości ośrodków (np. dla wszystkich dielektryków) p /v 1 i wzory się upr3.szcz3.j£|

*r.

n1cos ccl —n2cos a2 n1cosa1+ n2cosa2’ 2«1cosa1 cosax+ n2cosa2

Wskaźnik _ L przypomina o prostopadłości wektora elektrycznego do płasz­ czyzny padania. b) Natężenie pola elektrycznego leży w płaszczyźnie padania. Tutaj warunki ciągłości składowych stycznych wyglądają następująco: Kmi cos aj —K'ml cos +

= K m2cosa2,

= Hm2.

Drugi z nich trzeba przepisać w postaci 1 l Km. ml + — p 1cl

1 K 'm l =

K m2*

A*2C 2

259

Rys. 154. Odbicie i załamanie przy wektorze elektrycznym równoległym do płaszczyzny padania...

Rys. 155. ... i odpowiedni warunek ciągłości składowych stycznych

W podobny sposób jak poprzednio dochodzimy do wzorów K

K

Kn Kml.

—(«i//*i)cosa2 (n2/fi2) cos a j + (n J fi t) cos a2’

Xn2

2(ni/|ł1)cosa1 (n2/fi2)c°soti + ( n 1/fil) cosa2’

.*-1.

Dla fi » 1 mamy

K

n2cosa,1—n1cos
260

Podstawiając współczynniki załamania z prawa Snella n2 n1

sinocj sina2

i wykorzystując zależności trygonometryczne, możemy dojść do związków sin^! —a2) sin(aj + a2)’ 2sina2cosax sin (aj + a2) (znaki plus i minus odnoszą się do założonego zwrotu pola) oraz

Jeżeli fala pada prostopadle na granicę ośrodków, czyli a, =
Różnice między współczynnikami znikają. Jeżeli kąt padania rośnie, maleją oba współczynniki transmisji, a rośnie wartość (ujemnego) współczynnika odbicia dla składowej prostopadłej. Współ­ czynnik odbicia dla składowej równoległej, gdy a1+ tx2 = przechodzi przez zero i zmienia znak na ujemny. Kąt padania ap, przy którym to zachodzi, zwany kątem polaryzacji albo kątem Brewstera, łatwo znaleźć z prawa Snella sina. sina2

sina. sin(27t —a )

n, p 261

czyli n2 arctg—. »i

Rys. 156. Współczynniki transmisji k, i odbicia kT dla składowej równoległej i prostopadłej do płaszczyzny padania w zależności od kąta padania. Kąt polaryzacji ap = arctg(n2/nj)

Nazwa kąta polaryzacji pochodzi stąd, że przy al = ap obie fale — odbita i załamana, są całkowicie spolaryzowane w prostopadłych do siebie płaszczyz­ nach (przy niespolaryzowanej fali pierwotnej).

Rys. 157. Przechodzenie fali z ośrodka mniej do bardziej przezroczystego. Dla a 2 > agr obserwujemy całkowite odbicie

262

Jeżeli fala przechodzi z ośrodka o większym współczynniku załamania do ośrodka o mniejszym współczynniku załamania (n1 > n2), to w miarę wzrostu kąta padania rośnie także większy od niego kąt załamania i przy tzw. kącie granicznym (al = agr) osiąga wartość a2 = 90°. Z prawa Snella sina! sina2

n2

sinagr 1

możemy znaleźć kąt graniczny . ”2 a„ = arcsin —. "1

Współczynniki odbicia przy a = agr przyjmują wartość 1: K1

nxcos agr—n2cos a2 nt cos agr + n2cos a2

nt cosagr HjCos agr

K

n2cos agr—n1cos a2 n2cos agr + nt cos a2

n2cosctgr = n2cos agr

Nazywamy to całkowitym wewnętrznym odbiciem. Zmiana fazy przy odbiciu. Wzory Fresnela sinfaj —a2) sin(a1+ a2)

sin(a2—a x) sin(a1+ a2)’

2sina2cosa1 sin (aj + a2) = tg(«x- « 2) rH tg(ax+ a2)’ k,

Ssinajcosaj sin(a1+ a2)cos(a1—a2)

pozwalają się zorientować w zależnościach fazowych. Znak współczynników k wiąże się ze zwrotem amplitudy fali odbitej K'mi względem padającej Kml. Znak minus oznacza odwrócenie fazy, czyli skok w fazie o n. Rozpatrzmy najpierw odbicie „zewnętrzne”, czyli przy n2 > nx. Przy zmianach kąta padania od 0 do 90° kąt załamania zmienia się od zera do agr = arcsinn21. Znak współczynnika odbicia składowej prostopadłej nie zmienia się: jest cały czas ujemny. Przy a x = ap = arctg n21 (kąt Brewstera) mianownik osiąga wartość 263

1 (bo oc1+tx2 = 2^)> ale dla at > ap pozostaje nadal dodatni, więc cały ułamek nie zmienia znaku. Inaczej wygląda przebieg współczynnika odbicia składowej równoległej, który jest dodatni, gdy licznik i mianownik mają zgodne znaki.

Rys. 158. Skok fazy składowej równoległej i prostopadłej przy odbiciu od ośrodka mniej przezroczystego (n2 > n j

Warunkiem tego przy a1 > oc2 jest a1+ tx2 < irc, czyli aj < ap. Dla at = ap, kr = 0 a przy a! > txp( £rc), fcr < 0 , co interpretujemy jako skok fazy 0 k. Aby znaleźć przesunięcia fazowe przy odbiciu wewnętrznym, czyli przy n2 < n l , rozpiszemy wzory na współczynnik odbicia (

_ x

k

sina 1 cosa 2 —cos aj sin a 2 sinajCosa 2 + cosajSina 2

cosajSina 2 —sina 1 cosa 2 sina 1 cosa 2 + cosa 1 sina 2

tg a i- tg «2 l- tg a jtg a 2 rU

1 + tg a t tga 2 tg a j+ tg a 2

sinaiCOsa2 —cosa 1 sina 2 cos aj cos a 2 —sin aj sin a 2 cos a j cos a 2 + sin a j sin a 2 sin a t cos a 2 + cos a j sin a 2 1 skorzystamy ze związków n, . sina. sin a 2 = — sina, = ------ , «2

»2 1

r---- :--- 2 L sin2“ l 1 / 2----- -r~2— cosa 2 = ^ /l —stnal = / I ------2— = — yjn 2x —s u r a ,.

V

n 21

n 21

Dla aj > agr wyrażenie pod pierwiastkiem jest ujemne, więc cosa 2 = — x/sin 2 a. —nfi «21 264

(oczywiście n2i — n2/nl < 1). Podstawiając to do wzorów Fresnela mamy sina, . j r-r-^--------5c o sa j---------sinaj — y/s m ‘Loil —n21 ‘21

k'x = sin «!

nn

‘ 21

v/sin 2 a 1 —nfi + cos oc1

sina, *21

coso^ —j N/sin 2 a 1 —n cos a 1 +j 's u r a ,1 —n "21 oraz, po nieco żmudniejszym rachunku, cos — y ~y jń n 2 ______ ” 21____________ Ku — cos —i - x/sin 2 a 1 —n2i ^21

Podstawiając oba współczynniki jako ilorazy liczb zespolonych kr = ^ - r - = e - 2^ Q&+3

(5|| = 2
v/sin 2 a 1 —nfi cos a 1

nl 1 cos a t

które nie są jednakowe. Ze względu na n21 < 1 skok fazy przy odbiciu wewnętrznym jest większy dla składowej równoległej niż dla prostopadłej. Wynikającą stąd różnicę faz między składowymi S = <5„ —<5X = 2 (
tg/sin2g1— l+tg
Prześledzimy przebieg skoku fazy w zależności od kąta padania. Dopóki kąt padania jest mniejszy od granicznego (sin2 aj < n li), stosujemy poprzednie wzory. W liczniku wyrażenia na współczynnik odbicia składowej prostopadłej mamy —a 2 < 0, co kompensuje znak minus przed ułamkiem. Współczynnik odbicia jest więc dodatni, czyli nie ma skoku fazy przy odbiciu. Powyżej kąta granicznego skok fazy rośnie, zgodnie ze wzorem wyprowadzonym z wyrażenia zespolonego i dla fali ślizgającej się wzdłuż granicy ośrodków (ax = 90°) osiąga wartość tl. Dla składowej równoległej stosujemy wzór na kr, przy czym wobec oc1—oc2 < 0 wyrażenie jest ujemne, co oznacza skok fazy o n. Dla ct1+ a 2 = czyli gdy kąt padania jest równy kątowi polaryzacji, skok fazy jest równy zeru (także krj| = 0 ) i przy dalszym wzroście a x pozostaje zerowy do a t = agr, po czym rośnie zgodnie z wyprowadzoną zależnością do n dla a t = 90°.

Rys. 159. Skok fazy przy odbiciu od środka bardziej przezroczystego (n2 < n,)

Ze wzoru na różnicę faz między składowymi widać, że dla
Rozwiązaniem jest sinam = n21

1+ nh’

a wartość maksymalnej różnicy faz wynosi ni- nl Sm = 2 arctg * = 2 arctg l n in2 2 n21 Przypomnijmy jeszcze, że między falą załamaną a padającą nie ma różnicy faz. Wzory Fresnela to potwierdzają. Dyspersja w dielektryku. Jak wiadomo, z dyspersją mamy do czynienia, jeżeli prędkość fazowa i współczynnik załamania zależą od częstości, co zwykle 266

wyrażamy w postaci zależności od długości fali. Jeżeli funkcja c(A) jest rosnąca, dyspersję nazywamy normalną, gdy zaś maleje ze wzrostem długości fali, dyspersja jest anomalna. Stwierdziliśmy, że dla dielektryków przenikalność magnetyczna n w 1, a względna przenikalność elektryczna x zależy od często­ ści, w wyniku czego prędkość fali zależy od A. Ponieważ — z wyjątkiem tzw. obszaru rezonansowego — współczynnik załamania fali w dielektryku n = y/X ,

a co za tym idzie i względna przenikalność elektryczna x rosną z częstością co, czyli maleją ze wzrostem długości fali. Prędkość fali

zachowuje się odwrotnie, tzn. rośnie wraz z A. Dyspersja w dielektryku jest więc normalna — oczywiście poza obszarem absorpcji, gdzie jest anomalna. Jeżeli c(A) jest funkcją rosnącą, jej pochodna dc/dA jest dodatnia i prędkość grupowa

jest mniejsza od fazowej (w obszarze absorpcji — większa). Równanie telegraficzne. Wykazaliśmy, że z równań Maxwella można bez większego trudu dojść do równania fal elektromagnetycznych. Pominęliśmy przy tym ładunki elektrostatyczne i prądy stacjonarne. Jeżeli nie można ich zaniedbać, równania Maxwella przybierają postać rotK =

SB sT’

rotH =

SD 8t +j>

divD = gq, divB = 0. Wprowadziliśmy tutaj indukcję elektryczną D = xe0K, natężenie pola magnetycznego H = — B, W*o 267

gęstość prądu elektrycznego (prądu przewodzenia), proporcjonalną do natęże­ nia pola elektrycznego (prawo Ohma) j —?K (y jest przewodnością) oraz przestrzenną gęstość ładunku swobodnego Qą. Podstawiając te zależności i stosując operator nabla, doprowadzamy równania Maxwella do postaci dB ~dt’

Vx K

dK v dK o v V xB = xe0nfj.0 w + W o »K - « ^ + f K ,

VK = — , X£q

VB = 0, przy czym oznaczono

WoJ = PPomnóżmy wektorowo operator nabla przez drugie równanie i podstawmy V x K = rotK z pierwszego

d d2B dB V x(V xB ) = « - ( V x K ) ł / 5 ( V x K ) = - « ^ - - j 5 - . Z drugiej strony V x(V x B) = V(VB)—V2B = —V2B (ze względu na VB = 0). Po podstawieniu do poprzedniego równania mamy 8t2

dt

Podobnie dla natężenia pola elektrycznego V

x

(Vx K ) = - | ( 7

k

B

Biorąc pod uwagę, że V x (V x K) = V(VK) —V2K = V 268

( ) - V2K \™o )

otrzymujemy V2K —a

82K ~dF

Ładunek przestrzenny może wystąpić tylko w naładowanym lub spolaryzowa­ nym dielektryku. Jeżeli go nie ma, gq = 0. Wypiszemy oba równania w jedno­ litej formie dla takiego przypadku z przywróceniem pierwotnych oznaczeń 8 2K X£ofifi° s t 2 '

8K }t

8 2B X * o W o d t2

8B

- w

-o.

a -0.

Otrzymany układ, noszący nazwę równań telegraficznych, opisuje zjawiska zachodzące we wszelkiego rodzaju ośrodkach przewodzących i nieprzewodzących, w których nie ma ładunku przestrzennego. W ośrodkach nieprzewodzących (7 = 0 ) 82K V2K = xe0pp0— r> * B=

XE0 H f l 0 - 0 ^ 2 ,

i powracamy do normalnych równań falowych. Nietrudno stwierdzić, że natężenie pola magnetycznego i indukcja elektryczna też spełniają równania falowe 82H

V2H V2D = XE0pp0

82D

Istnieją więc fale natężenia pola elektrycznego, indukcji magnetycznej, natężenia pola magnetycznego i indukcji elektrycznej. Prędkość propagacji wyraża się ogólnym wzorem 1

A oW o 269

W ośrodku przewodzącym nie możemy pominąć w równaniach telegraficznych wyrazów pp0yK i /i/i0yB zawierających różną od zera przewodność y. Ograniczymy się do pola elektrycznego F a la w p r z e w o d n ik u .

V 2 K — xs0nfi0K —pp0yK = 0.

Dla prostoty założymy, że mamy do czynienia z falą płaską, rozchodzącą się w kierunku z, co oznacza, że znikają pochodne względem współrzędnych x i y. Równanie wyjściowe redukuje się do 82K 82K 8Kr ~ł xeo Wo ~ ^ r w*o y 8z 8t = 0 8t 82K 82K 8K y _ s f - ™ 0W o ^ / - w 0y dt 82K z 8z2

82K Z dt2 - w 0y- dt

0.

Ze względu na znikanie dywergencji oraz pochodnych względem x i y ma­ my 8Kr 8K„ 8K„ +-+ 8x 8y 8z

8K„ = 0 8z

i z ostatniego równania zostaje 82K Z 8KZ -X«oW o - ^ 2 --- fift°y ~ 8 f = albo inaczej 82K Z | y 8KZ_ Q dt2 xe0 dt Proste całkowanie daje y

K z = const + K0,e «o‘, czyli pole zanikające wykładniczo. Składowa w kierunku rozchodzenia się fali (różna od zera!) nie jest periodyczna. Potwierdza się i tutaj poprzeczny charakter fal elektromagnetycznych. Równania pozostałych składowych mają rozwiązania okresowe Kx,y = K mx
270

oraz możliwe do znalezienia rozwiązania aperiodyczne, które nas tutaj nie interesują. Różniczkując Kx i Ky względem czasu ±j c o K ^ z ) ^ ,

dt d2K Xty dt2

i podstawiając do równań otrzymujemy dla każdej składowej (po skróceniu przez czynnik wykładniczy) d2k

± xs0pp0(O2 K mx
d

lub, jeżeli wybierzemy górne znaki, J J T ’y -

W o 1 (i y -

x e 0 &>) K mx,y =

0.

Wprowadźmy współczynnik propagacji a zdefiniowany równaniem P P o C o Q y - x e 0co) = a 2,

i ograniczmy się do składowej K x d 2K„ d z2

-a2

= 0.

Jak łatwo się przekonać przez podstawienie, rozwiązanie ma postać IS _ 1/ a zmiany pola mają postać drgań K

— rK %-mOx,y^ ażc

j

których amplituda maleje wykładniczo z odległością (K 0 jest wartością dla z = 0). Zgodnie z naszym założeniem mamy do czynienia z falą płaską. Aby się o tym przekonać, trzeba podstawić współczynnik propagacji a = yi/ Mx0a)(jy-xe0a)) do wyrażenia na Kxy. Dla uproszczenia przyjmiemy, że y > xe0
271

Z teorii liczb zespolonych (ze wzorów Moivre’a) mamy

Stąd a » ( 1 +j) i ostatecznie

a to jest równanie fali płaskiej o amplitudzie Kmx,y

^m O

■Z

x,y^

__

KmOx,yG

Współczynnik przy z, czyli część rzeczywista współczynnika propagacji, a ss będący miarą zaniku fali w przewodniku, nosi nazwę stałej tłumienia. Równą mu co do wartości część urojoną nazywamy stałą fazową. Z kolei w fazie fali płaskiej a odpowiada liczbie falowej k

co

a « —, c co pozwala znaleźć prędkość fali w przewodniku

zależną jak widać od częstości. Mnożąc licznik i mianownik pod pierwiastkiem przez e0 i biorąc pod uwagę, że e0/i0 = 1 / , otrzymujemy c q

' 2 b0co

'2 e0(o

ąy

c0 ’

gdzie c0 jest prędkością fali elektromagnetycznej w próżni. Jej stosunek do 272

prędkości fali w ośrodku jest współczynnikiem załamania

W podobny sposób znajdziemy długość fali

a

' 2' juju0yaj'

Powyższe wzory zawodzą przy bardzo dużych częstościach drgań. Można je stosować dó fal radiowych, ale nie do światła ani tym bardziej do promieni gamma czy Róntgena. Rozbieżności wynikają stąd, że w rzeczywistości „stałe” x, p. i y zależą od częstości, zwłaszcza przy dużych częstościach. Prawidłowego opisu, zgodnego z doświadczeniem, dostarcza fizyka atomowa. Na koniec zwróćmy uwagę, że w odróżnieniu od dielektryków w ośrodku przewodzącym występuje różnica faz między drganiami pola elektrycznego i magnetycznego. Dla dowodu wyraźmy współrzędną z za pomocą wektora propagacji k = (
Podstawiając do wzoru na natężenie pola elektrycznego mamy K

_

K

e ~ ( “ i + j* 2)k °r + j o t _

p - a i k ° r + j ( 0) l - a 2 k ° r )

Związane z tym pole magnetyczne znajdziemy z równań Maxwella <5B -gj- = —rotK = [Kmx grade

+j«2)k°r-je

= -((*! + ja 2) [Kmx k°e~aik',r +j(®'-*2k'’r>-| = ( a t + j a 2) [ k ° x K m e _ a ik °r + j(“ '-« 2 k H'-)j

przez całkowanie B *= f Bdt = - 1-* 1*2 [k° x K g-ctik°r +j(co[-ot2k°r)-| J jco " J «2 ~ J «1 [k° x K] CO

18 — Fizyka dla politechnik

273

(w dielektryku mieliśmy B = (l/c)k° x K). Pomnożenie przez liczbę zespoloną jest równoważne z przesunięciem w fazie. Ponieważ a , —ia, 1 r, . ^ -O)2 - L= -OJV a i + a i e J' więc przyjmując (l/a») s /a 2i+ « lK m = Bm otrzymamy B = Bme_aik°rej(<0,_kOr+a),

*

gdzie różnica (opóźnienie) fazy wynosi d = arctg

Kryterium przewodnictwa. Jeżeli w danym ośrodku nie możemy pominąć ani prądu przewo­ dzenia j = yK = yKmei“' (jednostkę urojoną oznaczamy tu przez i), ani prądu przesunięcia (por. tom II)

8D

8K

i’ =-8r=M°-dP to drugie równanie Maxwella przybiera postać rotH = jp+j. Prąd przesunięcia występuje w dielektryku, prąd przewodzenia w przewodniku. Stosunek ich wartości i

yK

jP

xb0K

yk

yK ixe0coK

y i xe0co

może stanowić kryterium odróżniające przewodnik od dielektryka. Umownie przyjmuje się, że kiedy y/xe0a> > 100, ośrodek jest przewodnikiem, dla xe0a>/y > 100 — dielektrykiem. Między tymi wartościami leżą półprzewodniki. Na przykład dla miedzi [y = 5,8-107 S m ~1 (S = simens = i x * 1] mamy y ^ 1018 XB

00)

O)

co oznacza, że do częstości 1016 Hz, co odpowiada ultrafioletowi, miedź jest przewodnikiem, a powyżej 102° Hz (promienie Róntgena) zachowuje się jak dielektryk. Przeciętny dielektryk ma y « 10-15 S-m-1 i x * 10; w tym przypadku y

czyli można pominąć prąd przewodzenia w całym zakresie częstości fal elektromagnetycznych. 274

Impedancja falowa. Rozpatrzmy falę elektromagnetyczną płaską rozcho­ dzącą się w kierunku z w ośrodku dielektrycznym o stałych x i y. Niech wektor elektryczny ma kierunek x Kx —

sin (tut —kz),

a wektor magnetyczny kierunek y Hy = Hmsin((ot —kz). Z równania Maxwella „ 5B rotK = ~ H t =

3H

rozpisanego na współrzędne wynika dHy _ dK x - W o dt dz Podstawiając wartości składowych otrzymujemy —y y 0o)Hmcos(cot —kz) = —kK mcos(cot —kz), czyli tu

W o j H m = y y 0cHm = Km. Wprowadźmy wartość prędkości fali c=

1

xs0y y 0

Teraz Wo iiH^ — _ AK* . (----xe„

czyli H„

H.

Sprawdźmy wymiar otrzymanej wielkości. Natężenie pola elektrycznego mierzymy w V-m-1, magnetycznego w A-m-1. Dzieląc je otrzymujemy V-m - 1 V ^ T —~r — A-m 1 A 275

czyli jednostki oporności. Stosunek składowych

przedstawia impedancję falową ośrodka. Podstawiając e0 = 8,854-10 12 F ’m \ H m - 1 oraz x = 1, p = 1 otrzymujemy

p 0 = 4 n - 10- 7

' 4 tt- 10“ 7 T h 8,854-10-12 / f

376,7 Q

jako impedancję próżni. Równanie fali „elektrycznej” w przewodniku ma postać IS

_

fr-

_ - m r c o z / c o p jc o (n z /c o - 1) _

p - (nco /co) (
lub, oznaczając pierwszy wykładnik przez a, Kx = K me-"e-> M. Dla fali „magnetycznej” przesuniętej w fazie o (5 mamy Hy =

H me ~ aze ~ i(cot~ a).

Podobnie jak poprzednio 8Hy —MMo dt

8K X dz

Stąd bez większego trudu otrzymujemy - a K t = - j pp()coH, i po nieco żmudnych rachunkach dochodzimy do impedancji falowej, będącej wielkością zespoloną Kx Hy

ipp0o) __ lpp.0(O_.ti
Można ją przedstawić jako wektor Z = R + jX =

276

1+j

27

x /2 V

7

Im (Z)

Z x=

2r

Rys. 160. Impedancja falowa w ośrodku przewodzącym

lub, mnożąc licznik i mianownik ułamka pod pierwiastkiem przez xs0, w funkcji impedancji próżni Z 0

(kąt fazowy ó = 45°). Dla przykładu przy v = 3-109 Hz (/„ = 10 cm) w miedzi xcoe0/y = 2,9 -10“ 9 oraz n k x & 1 i Z — 0,02 Dla y — oo (nadprzewodnik) Z = 0 i wektor elektryczny znika. Naskórkowość. Prąd stały jest równomiernie rozłożony w całym przekroju jednorodnego przewodnika. Możemy to wyrazić za pomocą gęstości prądu

|j| = const. Inaczej przedstawia się sprawa z prądami szybkozmiennymi. Rozpatrzmy prostoliniowy przewód o przekroju kołowym, w którym płynie prąd /. Jeżeli promień przekroju wynosi r0, to średnią gęstość prądu możemy wyrazić jako

Gęstość prądu zmienia się w czasie tak, jak natężenie prądu. Wewnątrz przewodu spełnione są równania

rot H = j = yK. Stąd

y

i możemy napisać

1

-ro tj =

SH . ł(tt 277

Utwórzmy jeszcze jedną rotację

ÓH

1

- r o tr o tj = —/i/i0 r o t— . y ot Z drugiej strony

5j

<5H rotdt

8t

i stąd

1

.

3j

- r o tr o tj = - W o T ' y ot Przekształcimy teraz podwójną rotację gęstości prądu wykorzystując równanie ciągłości (divj = 0 ) rotrotj = graddivj —V2j = - V 2j i ostatecznie V2>= Wo7ItWybierzmy współrzędne cylindryczne z osią z wzdłuż osi przewodu, czyli tak, że wektor j ma kierunek z°. Rozwiązanie musi zmieniać się okresowo, a jego amplituda zależy od odległości od osi j = z°jm(r)c'"“ (dla uniknięcia nieporozumień i oznacza tutaj jednostkę urojoną). Podstawiając do równania wyjściowego otrzymujemy V2; m = i co w układzie cylindrycznym przyjmuje postać

d2;m 1 djm .

.

- 7 T + - - ; ---- ia w t 0 yjm = 0 . dr r dr Wygodnie jest podstawić tutaj

=a

V~i

i wprowadzić zmienną x zdefiniowaną jako

W rezultacie otrzymujemy tzw. równanie Bessla zerowego rzędu

d2/

1 dL

dx2

xdx

Jm

Jego rozwiązaniem jest funkcja Bessla J 0{x), której wartości można znaleźć w tablicach. Wracamy do pierwotnych zmiennych i = A J 0{ar)eiM = A J

278

-ia>nn0yr)ei,at.

A oznacza tzw. czynnik amplitudy. W razie potrzeby można go wyznaczyć całkując gęstość prądu po przekroju, co musi dać w wyniku natężenie prądu fjd S = / s jako funkcję A. Funkcje Bessla zmiennej zespolonej J 0( ^ / —ix) są zespolone. Ich części rzeczywiste i urojone są stabelaryzowane jako

= berW> Im[J0(> /-ix)] = beiWTeraz j = A [ber (Japp. 0y r) + i bei {^/a>pp0y r)] eiroI = A [ber 2(Jo>pp0yr) + bei2 (y/ copp0y r) e i(“‘+i), gdzie faza

c

Ł bei(V®Żwy'") ■— ber (^/co ppQyr)

o = arc tg -------

także zależy od odległości od osi przewodu. W materiałach ferromagnetycznych (duże p) zależność j i 5 od r jest widoczna nawet dla prądów wolnozmiennych, np. przy v = 1 Hz.

Rys. 161. Rozkład gęstości prądu w przewodniku walcowym o promieniu r0 przy różnych częstościach w3 > a>2 > a>i (d — grubość naskórka) W przypadku dużych częstości gęstość prądu wewnątrz przewodu jest mała i przyjmuje większe wartości tuż pod powierzchnią. Podobnie jest z polem elektrycznym, które jest również wypierane pod powierzchnię. Zjawisko to nazywamy naskórkowością. Jako grubość naskórka przyjmuje się odwrotność wyprowadzonej poprzednio stałej zaniku amplitudy

279

Łatwo stwierdzić, że jest to odległość, na której amplituda fali w przewodniku zmaleje e razy A(z + d)

A e - « z+d>

Dla miedzi (p « 1, y = 5,8‘107 M f i- m '1) przy v = w/2n — 60 Hz grubość naskórka wynosi d k .9 mm, przy v = 1 MHz, d = 66 pm, a przy v = 30 GHz, d = 0,38 gm. Jeszcze efektowniejsze jest porównanie grubości naskórka z długością fali. Na drodze równej długości fali

2tc

2nd

a

amplituda fali o wysokiej częstości maleje e','2”/" = e2” = 535,5 raza! Taka fala praktycznie nie wnika do przewodnika, wszystko dzieje się tuż. pod powierzchnią. Z tego względu blacha lub folia przewodząca jest dobrą osłoną przed falą o wysokiej częstości. Opór przewodnika jest w istocie oporem naskórka, którego grubość maleje ze wzrostem częstości, pociągając za sobą wzrost oporu. Jeżeli przewód ma kształt walca o długości / i promieniu r. to jego opór (opór naskórka) jest równy

I

R = ------- -,

y2nrd

podczas gdy opór dla prądu stałego

Stąd R

=

Ir ynrz -2d

-------- r-------- =

r R n ----- .

°2 d

Podstawiając grubość naskórka mamy

1 2nr

W*0cu 2y

wtpyco

Dla przykładu opór kabla miedzianego o średnicy 5 mm i długości 1 m wynosi przy v = 0 (prąd stały) około 8 1 0 " 4 oma, a przy v = 50 MHz (d = 21 pm) około 0,2 £2. Także impedancję falową ośrodka można przedstawić za pomocą grubości naskórka

Prędkość fali w przewodniku. Prędkość fazowa dana jest wzorem

co

c = — = zv. k Przy dostatecznie dużej częstości zamiast k można podstawić stałą zaniku amplitudy o (jak to już wyżej robiliśmy)

a>

/ 2 co

c « -= V

280

/ ------ = cod. V

W V /’

przy czym d jest grubością naskórka. Podobnie można wyrazić długość fali w przewodniku

i współczynnik załamania

c Przy małej grubości naskórka współczynnik załamania może być duży (przeciwdziała temu spadek n ze wzrostem częstości ro). Ogólnie biorąc przewodniki silnie załamują falc elektromag­ netyczne. Zależność od częstości ilustrują następujące dane: dla miedzi przy v = 60 Hz (długość fali w próżni X0 = 5000 km) c = 3,2 m -s -1 i n = 9,5-107; przy v = 1 MHz (ż0 = 3 km) c = 410 m -s-1, n — 7,3-105, a przy v = 30 GHz (ż0 = 1 cm), c = 72 km -s ' 1 i n = 4,2-103. Dla porównania w dielektryku (n « ^fić) wartość n nie przekracza 5. Zależność od częstości drgań prowadzi do dyspersji. Tradycyjnie wyraża się ją jako zależność prędkości fazowej (lub współczynnika załamania) od długości fali. W przewodniku prędkość fazowa c rośnie wraz z częstością, czyli maleje ze wzrostem długości fali. Dyspersja jest anomalna. Prędkość grupowa jest większa od fazowej. Odbicie od przewodnika. Jeżeli płaska fala elektromagnetyczna pada prostopadle do granicy ośrodków, tzn. wektor k jest równoległy do z°, to wektory elektryczny i magnetyczny są równoległe do powierzchni granicznej (fala elektromagnetyczna jest poprzeczna), a ich wartości są równe składowym stycznym. Oznaczając je w fali padającej jako K x i J f,, odbitej jako K\ i H \ , a przepuszczonej jako K 2 i H 2 możemy wyrazić warunki ciągłości w postaci

K1+K'1=K2, tfj + H j = H 2. Wprowadzimy impedancje falowe ośrodków Z Ł i Z 2. Jak wiadomo Z = K J H y, czyli w naszym przypadku

Podstawiając to łatwo znajdziemy współczynnik odbicia

r

K\

Z 2- Z

Kl

Z 2+ Z

K2

2Z 2

i przepuszczania

~KX~ Z 2+ Z

281

Jeżeli fala biegnąca w próżni lub powietrzu pada prostopadle na powierzchnię doskonałego przewodnika (Z 2 = 0), odbicie jest całkowite

- 1,

fc - Z * - Z -

" Z2+ Z1

a współczynnik przepuszczania

2Z2 K = Z 2+ Z j

=

0.

Rys. 162. Odbicie fali elektromagnetycznej od dobrego przewodnika jest prawie całkowite

Dobry przewodnik, np. metal, dobrze odbija fale elektromagnetyczne. W przypadku dielektryków mamy Z = ,/(/y i 0/>c«0) i stąd

Jeżeli fala biegnie w próżni lub powietrzu (jit = równy współczynnikowi załamania

= 1, n 2 ~ • )* t0 stosunek impedancji jest

Z i_—Vr*2-~ n21. Jeżeli fala pada na przewodnik, impedancja Z 2 jest zespolona Z 2 = R + jX

1+j

J is

gdzie R =X =

282

Wo
/ w 0m

y

natomiast Z , jest impedancją próżni

i stad

[i*o ^

/ HH0m 1

lub, przyjmując p « 1

Znajdźmy jeszcze zespolony współczynnik odbicia Ki

R + }X -Z 0

1—Z 0/R + j

1—^ /2 y/(pco)-t-j

Oczywiście impedancja próżni jest znacznie większa niż opór rzeczywisty drugiego ośrodka, .a ich stosunek Z 0/R jest znacznie większy od jedności. Z powyższych wyrażeń łatwo znaleźć współczynnik odbicia energii |Z 2 - Z t|2 |Z 2 + Z 1|2

( 1 - Z 0/R )2 + 1 (1 + Z 0/R )2 + 1

przy czym pominięto bliskie zeru wyrazy R 2/Z o ■ Wzory są słuszne w szerokim zakresie fal elektromagnetycznych aż do podczerwieni. N a przykład zmierzona wartość (1 —ker) dla srebra przy X = 12 pm wynosi 1,15%, a przy X = 25,5 pm, 1,13% wobec obliczonych 1,3% i 1,15%. Dla miedzi zmierzono odpowiednio 1,6% i 1,17%, obliczono 1,4% i 1,27%, a dla platyny 3,5% i 2,82% wobec obliczonych 3,5% i 2,96% itd.

§ 17. Energia fali elektromagnetycznej Fala elektromagnetyczna polega na rozchodzeniu się zaburzeń pola elektrycz­ nego i magnetycznego. Zaburzenia obu pól są ze sobą powiązane: zgodnie z równaniami Maxwella zmiany pola elektrycznego wytwarzają wiry pola magnetycznego, a zmiany pola magnetycznego — wiry magnetyczne. Pole elektryczne niesie ze sobą energię o gęstości (w próżni) Qel =

2

£0 K 2 .

Gęstość energii pola magnetycznego wynosi em = y 0H2. 283

Ze względu na D = e0K i B = /i0H oba wzory można też wyrazić za pomocą odpowiednich indukcji e«. = ł KD = - i - D I2, 2 s0 ś?m = łB H = - ^ B 2. Łączna gęstość energii obu pól wynosi 8e = łe 0 K2 + K H 2 = ł(KD + BH) = ^ D 2 + - ^ B 2. 2 e0

2 h0

Fala elektromagnetyczna niesie ze sobą tę energię. Strumień energii elektromagnetycznej. Rozpatrzmy falę płaską rozchodzącą się w próżni w kierunku dodatnich z. Opisują ją równania K = x °K mei(kz- cot), g

_

yO g

g j( k z - e o t)

Ograniczymy się do części rzeczywistej i znajdziemy średnią gęstość energii (na jeden okres) 1 r <0 e> = [e0 ^mcos2(cyt —kz) + fi0H i cos2(wf —/cz)]df Zi o = ^( eQK l + n 0 H 2J .

Mnożąc ją przez prędkość fali c (w ogólnym przypadku powinna to być prędkość grupowa — w próżni cg = cQ) otrzymujemy średnią gęstość strumie­ nia mocy (stosunek strumienia do pola przekroju poprzecznego), czyli natęże­ nie fali = <8e>co = j ( E 0K i + H0Hi).

I =0ec H

=5 (*0^ +00^ )

Rys. 163. Rozchodzeniu się zaburzeń (fali) pola elektrycznego i magnetycznego towarzyszy transport energii o gęstości gE. Gęstość strumienia energii jest wartością wektora Poyntinga. IiT = %qec

284

Skorzystajmy z zależności Km

MoHm Km

1 C0

y/~£oMo

albo po podniesieniu do kwadratu Mo#m = e0 Mo^m, czyli H0H i = e0K 2m. Jak widać, średnie gęstości energii obu pól w próżni są równe

Strumień energii w ośrodku. Jeżeli ośrodek jest izotropowy, o stałej dielektrycznej x i przenikalności magnetycznej p, natężenie pola magnetycz­ nego wynosi

a prędkość fali w przypadku ogólnym

x/*£0MMo n Ze względu na związek B = (l/c)(k° x K) mamy I = K x H = K x (k° x K) \/^oMMo _ ^o ^ 2 MMo

S>

2

V MMo

oraz średnio I*sr = -2 k° K2 . K

/xe

0 = r k° — K 2. MMo Na przykład przy amplitudzie wektora elektrycznego rzędu 1 V m 1 strumień mocy w powietrzu (x = p = 1) wynosi i-^A o/Mo ~ 1,4* 10~ 3 W-m~2. W wodzie (x = 80) w tych samych warunkach byłoby około 9 razy więcej. Zauważmy, że w dielektryku pierwiastek po prawej stronie jest odwrotnoś­ cią impedancji falowej ośrodka

Z = 285

czyli I = -k °K 2 Z oraz Iśr = — k°K 2. Sr 2 Z Natężenia (gęstości strumienia) wynoszą odpowiednio K2 Z ’

/

K 2 Z co pozwala wyrazić średnią gęstość energii elektromagnetycznej w postaci 1'0 ^ m

/^ o

^m

itd .

Stąd średni strumień mocy hr =

2 c 0 £0 K l

albo, ze względu na K m = fi0cHm oraz e0fi0c2 = 1,

Ar

l^O ^oH o^O ^m ^m

2

Wektor o wartości równej gęstości strumienia mocy o kierunku k° (kierunek propagacji) jest wektorem Poyntinga. Jego wartość średnia wynosi lir = $K mHmk°, natomiast wartość chwilową, ze względu na prostopadłość K i H do kierunku propagacji (fala poprzeczna), można zapisać jako I = K x H = — K x B = — KmxB me2j(kr" 0,,) Ho

Ho

Rys. 164. Średnia wartość wektora Poyntinga jest równa połowie iloczynu amplitud, wartość chwilowa jest iloczynem chwilowych natężeń pól

286

albo, wyrażając gęstość energii każdego z pól w ośrodku (dielektryku) jako ^KD, I = £Qe ~ (KD)c. Znajdźmy jeszcze strumień mocy w przewodniku. Tutaj impedancja falowa jest zespolona K

, ' w ^ e ił

Z ~H

a jej argument <5 = 45°. Biorąc tylko część rzeczywistą mamy Km= Re(Z)tfm= y ^ H m i stąd średnia wartość wektora Poyntinga 1

i

/ śr = - K mH„ 21

Składniki energii w ośrodku. Energia fali elektromagnetycznej jest sumą energii pól elektrycznego i magnetycznego. Odpowiadają im składniki gęstości energii w ośrodku Q

e

=

8e\ +

Q m

=

? x e 0 K

2 +

^nii0 H

2 .

Proporcje między energiami pól najłatwiej znaleźć z wyrażenia na impedancję. W dielektryku

W fali spolaryzowanej Kx = K i Hy — H. Podnosząc do kwadratu i prze­ kształcając otrzymujemy xs0K 2 = nn0H 2, czyli podobnie jak w próżni C el =

Qm -

Gęstości energii obu pól są sobie równe, co oczywiście nie przeszkadza ich zmienności. Wektory elektryczny i magnetyczny drgają równomiernie — bez różnicy faz. Inaczej będzie w przewodniku. Tutaj impedancja (zespolona) Z= — = f H y

V

c y

287

Biorąc pod uwagę tylko moduł mamy Hli0o) czvli Wo H 2 =

xs„K2. X £0 l0

Gęstości energii pól nie są sobie równe. Ich stosunek gm _

y %£q (D

zależy od przewodności ośrodka i częstości drgań. Bilans energii. Wektor Poyntinga jako iloczyn wektorowy natężenia obu pól pojawił się trochę nieoczekiwanie. Dojdziemy do niego w bardziej elegancki sposób. Wyobraźmy sobie obszar o objętości Vwycięty w niedyspersyjnym ośrodku izotropowym i otoczony powierzchnią S. Energia pola elektromagnetycznego zawartego w tym obszarze jest całką z gęstości energii E = if(x £ 0 K2 + Wh>H2)dF, V

a szybkość jej zmian w czasie (moc) wynosi eE = 5 1 [ I ( « . K2+ I ł ,: H M n - \ 1 1 ■ ( »oK J ■+« io H 2)d iV dt

2 dt

= J (xe0K — + /ią0H - ^ ) d F

»

lub, podstawiając xe0K = D i ^,u0H = B, dE dt

-f(‘

Ale z równań Maxwella mamy ^

ot

= r o tH - j,

SB — = —rotK dt

(j jest wektorem gęstości prądu). Stąd dF — = f [K (rot H —j) —H rot K] d K Ot

288

Ir

Skorzystajmy z tożsamości div(K xH ) = H rotK —K rotH . Teraz dE — = —J jK dF—J div(K x H)dF. Ol

y

y

'

Pierwszy wyraz po prawej stronie przedstawia moc wydzielającą się w postaci ciepła Joule’a. Do drugiego wyrazu można zastosować twierdzenie Gaussa J div(K x H )d F = (j)(K x H)dS. Jak widać, wyrażenie przedstawia strumień mocy przechodzącej przez powierz­ chnię ograniczającą obszar V i nie będącej ciepłem Joule’a. Może to być tylko strumień mocy przenoszony w postaci fali. Wyrażając go za pomocą wektora Poyntinga J(K x H)dS = | IdS s

s

stwierdzamy, że ten ostatni rzeczywiście ma postać I = K x H. Napiszemy jeszcze bilans mocy

— = —J jK d V—J(K x H)dS = - J j K d P - f l d S = Ot

y

g

V

S

= —JjK dF—JdivIdK V

V

Rys. 165. Bilans energii przy przepływie fal elektromagnetycznych. Energia wydziela się w postaci ciepła Joule’a Pj i energii fal Pem.91 19 — Fizyka dla politechnik

289

Energia obszaru wydziela się w postaci ciepła Joule’a i energii fal elektromag­ netycznych (energii promieniowania). Jeżeli nie ma strat na ciepło Joule’a (nie ma prądu przewodzenia), bilans mocy redukuje się do równania 3F —- + f d iv Id F = 0 dt }v przypominającego równanie ciągłości. Istotnie, różniczkując je po objętości i wracając do definicji wektora Poyntinga 1 = e*c,

otrzymujemy równanie ciągłości będące w istocie prawem zachowania energii

Obliczmy jeszcze prędkość transportu energii I

2(K x H)

° 3 ~ qe ~ xe0K 2 + p p 0n 2 ’

co po podstawieniu zależności między natężeniami obu pól daje wartość 1

— = c “ oWo równą prędkości fazowej (ze względu na założony brak dyspersji). Energia odbita i przepuszczona. Wzory Fresnela podają relacje między amplitudami fali padającej, odbitej i załamanej na granicy ośrodków. Można z nich znaleźć relacje między natężeniami, proporcjonalnymi do kwadratu amplitud. Stosunek natężenia fali odbitej do padającej , ^er

/i cos a.\ 1\ 7I l cos
czyli współczynnik odbicia energii, nosi także nazwę rejlektancji. Stosunek natężenia fali przepuszczonej (załamanej) do padającej u

&et

I 2cos
czyli współczynnik przepuszczania (transmisji) energii, nazywamy także transmitancją. Cosinusy kątów padania i załamania (a.1 i a 2) oznaczają, że bierzemy

290

Rys. 166. Do definicji reflektancji k„ i transmitancji fee,

pod uwagę rzut poprzecznego przekroju wiązki (prostopadłego do kierunku propagacji) na powierzchnię graniczną. Podstawiając natężenia, czyli średnie wartości wektorów Poyntinga, otrzymujemy k =

= /K ^y =

k 2

\KmlJ oraz ,,

_

Kgf —

2^ /x

2e 0/ ( ^ 2 M o ) K

2 s/ x

1e 0l ( p . i H o ) K \ z o s a .1

j—

2

l c o s oc

_----------------- —

v /y.2! f i 2cosy.2 ]2

= V ^ c o s a ,/^ ,y _ y ^ //^ c o s o ^ \K-imJ

■ s/ x 1//j.1cosa.1

Dla yUŁ = //2 = 1 w dielektrykach ostatni związek się upraszcza f ^/^ co so tj (2 _ n2 cosa 2 j2 /Cgf — i »Cj — Kf t^ cosoc x 1cosx1 lub biorąc pod uwagę prawo Snella , _ sin aj cos a 2 j2 tg a x )2 ket = ~ k, —kt . sina 2 cosa 1 tga 2

291

Dla składowych drgających równoległe i prostopadłe do płaszczyzny padania należy wstawić odpowiednie współczynniki k —k2 k,eri = k2 ri ’ " " e r || n 'r | | ’ n2cosa 2 «2 cosa 2 k2 k2, t kKet I, Kt ket ^ = n cosa! n, cos a j

Rys. 167. Rellektancja i transmitancja składowej prostopadłej do płaszczyzny padania w zależności od kąta padania

Rys. 168. Reflektancja i transmitancja składowej równoległej

Przy padaniu prostopadłym (at = aj = a 2 = 0) znika różnica między współ­ czynnikami dla składowych — *Ir-er±

( n2 - « l V \n 2 + n j

Ir “ ketL

4n2«t («2 + »i)2’

Jeżeli kąt padania rośnie do 90° (fala styczna do powierzchni granicznej) reflektancja rośnie do jedności, a transmitancja maleje do zera. Wynika to z zachowania się amplitudowych współczynników odbicia kr i przepuszczania kt. 292

Zwróćmy jeszcze uwagę, że z prawa zachowania energii dopływającej i odpływającej od powierzchni AS, na którą pada fala, wynika /! AS cos a 5 — I\ AS cos a'j + I 2AS cos a 2 i korzystając ze związku / = (n/c0)K 2 mamy WjK^jCosaj = n , ^ 1 cosa'1 + n 2 K^ 2 cosa2, a stąd przy aj = aj *m2i ( n2K l 2cos«2 = j J
1.

Suma reflektancji i transmitancji równa się jedności. Łatwo sprawdzić, że współczynniki dla składowych także spełniają tę zależność. Odbicie całkowite. Wróćmy do fali padającej prostopadle na granicę ośrodków. Współczynnik reflektancji »2 - » i Y = ( l-rcj/rc2y n2 + n j \ 1 + n1/n2J jest tym większy, im większa jest różnica między współczynnikami załamania. W granicy, gdyby było n2 $>nx, zbliżałby się do jedności, ale praktycznie zawsze się od niej różni, bo najmniejsza wartość pierwszego współczynnika wynosi nx = 1, a największa wartość drugiego nie przekracza n2 = 3. Pod­ stawiając te wartości otrzymujemy zaledwie k er

= 0,25,

czyli 25%. Odpowiadająca wartość transmitancji wynosi kel = 1 -0,25 = 0,75. Większą reflektancję otrzymuje się przy odbiciu od powierzchni metalu, np. dla srebra przy 2 = 1 2 pm (podczerwień) ket— 1,15%, czyli ker= l —ket = 98,75%. Dla światła widzialnego reflektancja srebra wynosi według tych wzorów 95,3% wobec zmierzonej 93,5%. Współczynnik załamania jest oczywi­ ście zespolony, część rzeczywista Re(ń) = 0,181, urojona (różna od rzeczywis­ tej!) Im(n) = 3,66. Inne metale mają mniejszą reflektancję, np. złoto 85,1%, miedź 73,2%, platyna 70,1% (wartości zmierzone wynoszą odpowiednio 88,2%, 89,0% i 66,3% i silnie zależą od długości fali). 293

Rys. 169. Reflektancja naparowanych warstw srebra, glinu, złota i miedzi w zależno­ ści od długości fali. Zakreskowano zakres światła widzialnego

Jak widać, nawet w zwierciadle metalowym część fali przechodzi do drugiego ośrodka. Całkowite odbicie jest możliwe tylko jako odbicie wewnętrz­ ne, czyli gdy fala biegnąca w ośrodku o większym współczynniku załamania (w przypadku światła mówi się o ośrodku gęstszym optycznie) pada na granicę między nim a ośrodkiem o mniejszym współczynniku załamania (rzadszym optycznie). W tych warunkach kąt załamania jest większy niż kąt padania. W miarę wzrostu kąta padania kąt załamania rośnie i przy tzw. granicznym kącie padania osiąga maksymalną wartość a2 = 90°, czyli fala załamana biegnie wzdłuż granicy ośrodków. Kąt graniczny można znaleźć z prawa Snella n2 1 sinaBr — = — = ■ J ?0 = sin OCgr, nt n12 sin 90 czyli . n2 . 1 a„r = arcsin — = arcsin — , «1

«12

przy czym oczywiście n2 < nt . Jeżeli n2 = 1 (próżnia lub powietrze), to n 12 oznacza po prostu współczynnik załamania gęstszego ośrodka (n12 = n1). Przy kącie padania większym od granicznego mamy do czynienia z cał­ kowitym odbiciem. Już dla ctx = agr otrzymujemy reflektancję _ e'L k er"

2 _ s i n ^ - o t z ) = sin2(agr —; 7t) =

r±

s in ^ ^ + ocz)

- b2 - tg2( « l - g2) r" tg 2(a 1 + a2)

sin2(agr+ 5 Ji) tg2(«gr~2ft) tg 2 (agr + ^7t)

,

Ściśle biorąc fala w drugim ośrodku istnieje, ale strumień energii płynie wzdłuż powierzchni granicznej. Energia nie przechodzi przez powierzchnię 294

graniczną dotąd, dopóki stan jest stacjonarny, a fala nieskończenie rozciągła. W przypadku ograniczonej wiązki na brzegach wiązki energia przenika do drugiego ośrodka. A

Rys. 170. Przebieg amplitudy fali przy całkowitym odbiciu od granicy ośrodków Absorpcja w przewodniku. Zanik amplitudy fali w przewodniku V

—

TĆ

A ~«Z

A “ ( « l + j « 2 )z

__

lub jeżeli się ograniczymy do części rzeczywistej A = /40 e “**, (a — stała tłumienia) świadczy o jej absorpcji (pochłanianiu) w ośrodku. W przewodniku, gdzie y g> xeQa>, część rzeczywista stałej propagacji jest równa urojonej (stała tłumienia jest równa stałej fazowej)

“l =

S i® T— = “2 = ff

stała propagacji

pfi0yco V 2 +i V

2

=

gdzie <5 = 4 TT. Impedancja falowa wyraża się wzorem Z=

ffo mcw

Prędkość fazowa fali jest równa

a długość fali

A= ^ = 2tt G I . k V tipoy<0 Chwilowe wartości wektora elektrycznego i magnetycznego są równe

»

|Z|

6

295

Zmniejszanie się amplitudy oznacza zmniejszanie się energii fali, która jest proporcjonalna do iloczynu amplitud. Tracona moc wydziela się w postaci ciepła Joule’a. W obszarze w kształcie walca lub graniastosłupa o polu przekroju S i długości l w kierunku propagacji moc ta jest równa

i

i P = j y K 2dV = $ y K 2Sdz =

K O _ ySKjp

-l)e 2i"‘ =

2 (
J e ' 2" e 2j,“' - lz)dz

0

ySK 20(o~jk) 2(a2 + k2)

(1 - e " 2<’,)e2i“'.

Podstawiając wartość a i biorąc tylko części rzeczywiste, znajdujemy

P = t K2m0S

2nti0cc>

2 Z

przy czym skorzystaliśmy z faktu, że czynnik pierwiastkowy po prawej stronie jest odwrotnością rzeczywistej części impedancji Z.

t Rys. 171. Moc wydzielona w ośrodku pochłaniającym fale jest różnicą strumieni mocy przez podstawy Z drugiej strony, biorąc wektor Poyntinga przez obie powierzchnie S (prostopadłe do kierunku propagacji) I = K x H, a ściślej jego jedyną składową I z i podstawiając wartości natężeń pól, następnie zaś obliczając średnią, znajdujemy ,

Nadwyżka mocy wnoszonej przez fale jest różnicą strumieni mocy przez obie powierzchnie S l i S2 prostopadłe do I (oczywiście S 1 = S2 = S)

JM S+ S,

J 4 dS = L

- e ' 2" ’ = P, 2 ^ 2

\Z \

przy czym przyjęliśmy na ściance, przez którą fala wchodzi, z = 0, a na drugiej z = /. Jak widać: różnica mocy wnoszonej i wynoszonej jest równa średniej mocy zaabsorbowanej przez przewodnik i wydzielonej następnie w postaci ciepła Joulea. Absorpcja w dielektryku. Nawet w dielektryku doskonałym, w którym przewodność y — 0, fala może ulegać osłabieniu w wyniku pewnych procesów atomowych lub molekularnych. Absorpcję energii możemy opisać, przypisując ośrodkowi zespoloną przenikalność elektryczną

x = Xi + jx 2. 296

Podstawiając do równania fali płaskiej k

w

\ = V ffioWo =

=

+ j J‘ 2)«oWo

mamy K = Km0 eJ
2 n 1n2 = x 2,

z których wynika x2

x 1± v / x f + x l

»1 -------^ 2

"

2 =2r—• ni

Przyjmując, że jt2 < j i , , ostatecznie otrzymujemy Wi ^

x 2,

n2 ~

,—

2y/xl

Zatem

v/xi+jx 2

x ,-j

*2

Dla wszystkich dielektryków można przyjąć /r = 1. Kładąc c = c0ly fx [ zapiszemy równanie fali w dielektryku w postaci

VX|

X2

JC — K ~pl< °ii-— z)e,-
^

^

c°

c

v x ic o

»

z której wynika, że zanik amplitudy na skutek absorpcji wyraża się wzorem

(0X2 =

K

mo

C

2V xiC o

(0X2 =

^m O ^

Co

•

Stała tłumienia ct)x2

con2

2 ^ c0

co

nie jest wprost proporcjonalna do częstości, jakby się mogło wydawać, lecz zmienia się w sposób bardziej złożony, bo n2 także zależy od częstości. N a skutek molekularnych procesów absorpcji powietrze atmosferyczne nie przepuszcza promieni podczerwonych w zakresie długości fal od 1 0 ~ 3 do 10“ 5 tn, a szkło — przeźroczyste dla światła widzialnego — nie przepuszcza ultrafioletu. Dla fal radiowych dielektryki są przeźroczyste, a urojona część współczynnika załamania nie odgrywa roli. Wyjaśnienie obserwowanej zależności od częstości daje kwantowa teoria promieniowania.

297

V

O p ty k a falow a § 18. Fala w ośrodku anizotropowym Anizotropią nazywamy zależność właściwości ośrodka od kierunku. Rozróż­ niamy anizotropię naturalną, jaką wykazuje na przykład większość kryształów, podczas gdy gazy, ciecze i pozostałe ciała stałe są w normalnych warunkach izotropowe, oraz anizotropię wymuszoną — gdy ośrodek przestaje być izo­ tropowy pod wpływem zewnętrznych naprężeń albo silnych pól elektrycznych i magnetycznych. Właściwości ośrodka zależą od właściwości atomów i cząs­ teczek oraz od ich uporządkowania. Atomy i cząsteczki ośrodka mogą być elektrycznie izotropowe lub anizotropowe, ale dopiero ich uporządkowanie może prowadzić do anizotropii ośrodka. Gazy, ciecze i ciała amorficzne (bezpostaciowe) są izotropowe, bo ich atomy, cząsteczki i jony, są bezładnie zorientowane. Izotropowe są również kryształy regularne (kubiczne). Kryształy nieregularne są anizotropowe dzięki kierunkowemu uporządkowaniu swoich anizotropowych składników strukturalnych. Istotą oddziaływania wzajemnego fali elektromagnetycznej z ośrodkiem jest ich interferencja z falami wtórnymi wypromieniowanymi przez cząstki ośrodka na skutek ich polaryzacji pod działaniem pola elektrycznego fali. Teoria tego oddziaływania i płynące z niej wnioski znajdują zastosowanie głównie w optyce. Ponieważ ciała przeźroczyste są niemagnetyczne, będziemy z reguły pomijali przenikalność magnetyczną p w 1. Zwróćmy jeszcze uwagę, że podobnie jak wiele innych właściwości, także i anizotropia może zależeć od częstości drgań, czyli pośrednio od długości fali. Kryształy anizotropowe w danym zakresie częstości mogą być izotropowe w innym zakresie. Wiąże się to z dyspersją. 299

Elipsoida Fresnela. W dielektrykach izotropowych stałe materiałowe takie, jak polaryzowalność a, podatność elektryczna % i względna przenikalność elektryczna x są niezależne od kierunku, a wektory momentu dipolowego pd, polaryzacji P i indukcji elektrycznej D są równoległe do natężenia pola K. Wyrażamy to wzorami Pd = ae0K, „ N P = ~yPd = X£oK> D = xe0 K, przy czym N jest liczbą cząsteczek w objętości V. W ciałach anizotropowych stałe a, x i x są dla różnych kierunków różne. Ponieważ pozostają przy tym wzajemnie proporcjonalne, ograniczymy się do przenikalności elektrycznej i do wektora indukcji, który można przedstawić we współrzędnych kartezjańskich w postaci D x = X l l S 0 ^ x ' ^ , i l 2 E0 ^ - y ^ ' }Cl 3 E0

D y = X2 i £qK x "ł“ %22^0^y D z = X31SQK x + X 32£oK} + y 33Eo K zJak widać przenikalność elektryczna jest tutaj tensorem. W dielektrykach tensor ten jest symetryczny, tzn. Xji =

x ij.

Prowadząc we wszystkich kierunkach promienie z początku układu i od­ kładając na nich odcinki równe względnym przenikalnościom elektrycznym (w odpowiedniej skali) otrzymujemy elipsoidę zwaną elipsoidą Fresnela. Jej osie noszą nazwę głównych, a odpowiadające im wartości x lt x 2, x 3 głównych wartości względnych przenikalności elektrycznych ośrodka. Równanie elipsoidy

300

Fresnela ma postać

przy czym przyjęliśmy taki układ współrzędnych, by x, y, z były osiami głównymi (zamiast x t , x 2, x 3 można tu napisać xx, xy, xz). Biorąc pod uwagę, że współczynnik załamania nf = ■ sj x i, otrzymujemy równanie elipsoidy współ­ czynników załamania (indykatrysy optycznej)

w którym nx, n2, n3 są głównymi wartościami współczynników załamania. Jeżeli wszystkie trzy wartości główne są różne (xt # x 2 # x3), ośrodek (kryształ) nazywamy dwuosiowym. Należą tu siarka rombowa, gips, mika, topaz, aragonit (węglan wapnia) itp. Kryształy, dla których dwie wartości główne są równe (np. x 2 = x 3 # x x), noszą nazwę jednoosiowych. Elipsa Fresnela jest w tym przypadku obrotowa, oś symetrii (obrotu — tutaj oś 1) nosi nazwę osi optycznej. Dla wszystkich kierunków prostopadłych do osi optycznej wartości x (i n) są jednakowe. Jeżeli przy tym x l > x 2 = x3, kryształ jest optycznie dodatni, jeżeli zaś x x < x 2 = x 3 — optycznie ujemny. Optycznie dodatnie są np. kryształy kwarcu (dwutlenku krzemu), rutylu, kalomelu, cynobru, a ujemne — kalcyt, turmalin, apatyt i azotan sodu. Z przedstawionej zależności D od K wynika, że ogólnie biorąc wektor indukcji nie jest w dielektryku anizotropowym równoległy do natężenia pola, z wyjątkiem kierunków głównych osi, np. D = Xj £0K, gdy Ky = Kz = 0 itd. Fala płaska w krysztale. Równania Maxwella dla kryształów przezroczys­ tych, a więc dielektryków, dla których j = 0 i p w 1, mają postać dB

r o t K =

-

_

rotH =

rD H t’

=

-

^

dH

0 _

divD = 0, divH = 0. 301

Ze względu na nierównoległość K i D gęstość energii musimy zapisać w postaci 6e

= U KD + HB)

Ponieważ, ze względu na / i » l , anizotropii magnetycznej możemy nie uwzględniać, przeto gęstość energii 8e

= 2 (KD + ,u0 H 2).

Bilans energii zapiszemy następująco:

gdzie I jest wektorem Poyntinga. Podstawiając wyrażenie na gęstość energii mamy dgE dt

1/

SD 5K _ 5H 2 ( K aT + a D + 2 ' ‘o H a r

Ale D = xe0K (nawet jeśli x jest tensorem). Stąd aK ĆK 8T>„ v T¥ — D = xe0— K = - K = K rotH . dt 0 dt dt Poza tym aii dt

rotK Mo

i ostatecznie ^ = K ^ + /i0 H ^ = K r o tH - H r o tK = -d iv (K x H ), dt dt dt z czego wynika, że wektor Poyntinga wyraża się wzorem takim samym, jak w ośrodku izotropowym I = K x H. Przechodzącą przez kryształ falę płaską opisują równania K = Kmej(kr-, D = Dmej H = Hme j(kr-“ ')5 przy czym k oznacza wektor propagacji prostopadły do czoła fali. 302

Wypiszmy pochodne natężenia pola elektrycznego dK = -jcoK, 3t rotK = — x K = j(k x K), 3 divK = — K = jkK. dr Podobne związki można napisać dla wektorów D i H. Wstawiając je do równań Maxwella otrzymujemy j(k x K) = jco/x0 H, j(k x H) = —jcoD, jk D = 0, jk H = 0, a stąd k x K = n0(oH, k x H = —a>D, kD = 0, kH = 0 . Biorąc pod uwagę także wektor Poyntinga I = K x H możemy ustalić relacje przestrzenne. Wektor H jest prostopadły do wszystkich pozostałych wektorów, które wobec tego muszą leżeć w jednej płaszczyźnie. Jednocześnie

K

k

Rys. 173. Wektory indukcji D, natężeń pól K i H, propagacji k i Poyntinga I w ośrodku anizotropowym. Wektor Poyntinga jest prostopadły do płaszczyzny [K, H], wektor propagacji do [D, H]

303

indukcja D jest prostopadła do wektora propagacji k, a natężenie pola elektrycznego K do wektora Poyntinga. Zatem jeżeli nierównoległe wektory D i K tworzą np. kąt ę, to taki sam musi być kąt między wektorami k i I. Wektor Poyntinga określający kierunek transportu energii nie jest więc równoległy do wektora propagacji określającego kierunek rozchodzenia się czoła fali, czyli powierzchni stałej fazy. Wyrażając wektor magnetyczny z pierwszego równania jako H = — kxK i wstawiając do drugiego — k x (k x K ) = -^ -[k (k K )-K k 2] = -coD H0a> fi0u) oraz uwzględniając związek k = /ck° = " k° = ^ k ° , C„ cn gdzie k° jest wersorem k, n — współczynnikiem załamania, cn — prędkością światła w ośrodku, a c0 = 1 — prędkością światła w próżni, do­ chodzimy do równania D=

że

[K —k° (k° K)] = e0 n2 [K —k° (k°K)]. A*0Co

Rozpisując je na współrzędne w układzie osi głównych i biorąc pod uwagę, = Di/Xi£0 (i = I, 2, 3) mamy Di = s0n2

„2 D ——a,(k°K) = — Z)(- 8on2ai(k0K),

gdzie a; są cosinusami kierunkowymi wektora k. Oczywiście Y

j

=

“ l + a 2 + «3 =

1•

Wyznaczymy składowe indukcji Xi£0n D; = n2—Xi a i ( k ° K

) ,

a następnie pomnożymy je przez odpowiednie a, i dodamy. Z lewej strony mamy teraz sumę txlD1+a.2D2+ ct3D3 = k ° D = 0. Wobec tego \n — 304

nA—x 1 nr —x-i )

o(koK ) = o.

czyli n2 x,a? n2x 2a? n2 x,a? —2~— 1 + i — + , = O n —xt

—x 2

n

n ~x3

Nie wolno nam skracać przez n (współczynnik załamania zależy od kierunku), ale możemy w każdym wyrazie podzielić licznik i mianownik przez n2 x;:

Otrzymaliśmy tak zwane równanie Fresnela, z którego można obliczyć nie­ znane n. Równanie jest kwadratowe (względem n2), więc należy się spodziewać dwóch wartości współczynnika załamania: nt i n2 (pierwiastki ujemne od­ rzucamy). Prędkość fali w krysztale. Wróćmy do wzoru na gęstość energii, znajdźmy jej wartość. Wartości bezwzględne wektorów H i D wynoszą |H| = H = — |k x K| = — - |K| sin(k, K). p0w p0coc„ Ponieważ wektor k jest prostopadły do D, więc sin(k, K) = cos FqC„ Podobnie znajdujemy wartość D D = ---- |k x H| = —|H x k| = ——H = —^ K c o sffl.. O) (O (OC„ lu0c„ Stąd gęstość energii

6e =

^(KD + /r0H2) = i(KDcos
2 \Moc

rK2 cos2
Ponieważ wektor Poyntinga I = K x H, a kąt między wektorem elektrycz­ nym i magnetycznym jest prosty, więc wartość bezwzględna / = KH =

_1_

K 2cosq>r.

F0c« 20

— Fizyka dla politechnik

305

Porównanie z wyrażeniem na gęstość energii daje I •— Q e

cosęr —f?£Cr>

przy czym wprowadziliśmy tzw. prędkość radialną (prędkość promienia) cr. Jest to prędkość przepływu energii o kierunku wektora Poyntinga I — Qe c t -

Rys. 174. Kierunkowi promienia r odpowiadają w krysztale na ogół dwa czoła fali płaskiej f u f2 (a), dwom równoległym czołom fali (b) — dwa promienie rt , r2. Kierunek normalnej nie musi się pokrywać z promieniem

Wprowadzona przedtem prędkość propagacji c„, zwana też prędkością nor­ malną, jest rzutem prędkości radialnej na kierunek normalnej do czoła fazy

Rys. 175. Prędkość radialna cr jest prędkością przepływu energii (wektor Poyntinga), prędkość normalna — prędkością rozchodzenia się powierzchni stałej fazy (czoła fali)

306

Jest to prędkość rozchodzenia się powierzchni stałej fazy. Można tu wprowa­ dzić współczynnik załamania promienia, czyli radialny co cr

nr = — = ncos(pr.

Wprowadźmy jeszcze trzy prędkości główne, zdefiniowane jako

i wstawmy uzyskane stąd wartości x t = cl/cf do równania Fresnela. Otrzymu­ jemy w wyniku równanie kwadratowe 2

2

2

«1 <*3 ---:--- 1-------« 2--- 1-------:-= 0 c 2„ -c 2i ~ c2 l - d2 ^ c2 l - c l2 ^5

z którego można znaleźć dwie składowe prędkości normalnej cnl i cn2, odpowiadające obu wartościom współczynnika załamania 1

«i

9

Rozpatrzmy bardziej szczegółowo prędkość fali w kryształach jednoosiowych, czyli takich, dla których

y., = v ...

Powyższym stałym odpowiadają prędkości główne

Podstawiając je do równań Fresnela mamy a? + a | <*3 = 0. + c^ —c^ cH 2 —c L ^27W '-II ^p 307

Oznaczymy kąt między wektorem propagacji k a osią x 3 = z przez y. Teraz a 3 = cos2 y, af + ai = 1 —cos2y = sin2y i stąd cos2y sin2y + - ^ t = 0. p ( p — (p c2^n - czw Mnożąc obie strony przez (c2 —c2w)2 (c2 —c2) otrzymujemy równanie ( d - c 2wj(c 2 - c 2)sin2y + (c2 - c 2w)2 cos2y = 0 o pierwiastkach c2

ZW *

c22 = c2wcos2 y + c2 sin2y. Wprowadźmy pojęcie powierzchni prędkości (fazowych) zdefiniowanej jako miejsce geometryczne końców odcinków odkładanych we wszystkich kierun­ kach z początku układu i mających długości równe (w wybranej skali) odpowiednim prędkościom. Jak widać, w kryształach jednoosiowych mamy dwie takie powierzchnie: kulistą i elipsoidalną. Falę odpowiadającą powierz­ chni kulistej, tzn. taką, dla której prędkość propagacji cnl jest we wszystkich kierunkach jednakowa, nazywamy zwyczajną. Druga fala o prędkości cn2 zależnej od kierunku y i powierzchni prędkości tworzącej elipsoidę nosi nazwę nadzwyczajnej, y jest kątem między kierunkiem propagacji a osią optyczną: dla y = 0 , tzn. gdy wektor falowy k jest równoległy do osi optycznej, prędkości fali zwyczajnej i nadzwyczajnej — stają się równe.

Rys. 176. Powierzchnie prędkości kryształów jednoosiowych: a) ujemnego, b) dodatniego. W kierunku osi optycznej 0 0 ', ce = c2W

W kryształach jednoosiowych dodatnich (xe > x zw) czw > ce, w ujemnych (Xe < J^zw) l-zw *■- • W podobny sposób można znaleźć równanie powierzchni prędkości dla kryształów dwuosiowych: 1(Cn ~ 308

cl)(Cn ~ C2) + a 2 (c2 — C2)(c2 —C3) +

(c2 —C2)(c2 —C2) = 0.

Powierzchnia ta jest elipsoidą, wprawdzie nie obrotową, ale mającą, jak każda elipsoida, dwa przekroje kołowe przechodzące przez jej środek. Można zatem wyróżnić dwa kierunki, czyli dwie osie optyczne, wzdłuż których prędkość propagacji jest niezależna od kierunku (ściślej od kierunku wekto­ ra D).

Rys. 177. W krysztale dwuosiowym istnieją dwa kierunki (osie), wzdłuż których prędkość propagacji c„ = c,

Prędkość fazową w zależności od kątów y1 i y2 między kierunkiem propagacji, a osiami optycznymi znajdujemy ze wzoru cl = \ \c\ + c\ + (cf - cl) cos (y! ± y2)]. Jeżeli przyjmiemy układ współrzędnych x = c„al , y = c„a2, z = c„a3, to kąty yl5 y2 między wektorem k a osiami 1 i 2 są dane równaniem c o sy x = otx sin /ł + oc3 cos/?,

cosy2 = —ocjsin/ł + ocjcos/i, gdzie P jest kątem między osiami optycznymi a osią z (osie są symetryczne względem z). Równanie powierzchni prędkości wyprowadzono korzystając m. in. z zależności ai + o£2 + a 3 = 1 , która umożliwiła eliminację a 2 = 1 —a? —a3, oraz c\ , a z drugiej strony zawsze pozwala do nich wrócić. Polaryzacja fali w krysztale. Stwierdziliśmy, że w ośrodku anizotropowym fala rozdziela się na dwie fale o różnych prędkościach, które można znaleźć z równania Fresnela. Wartościom prędkości normalnej cnl, cn2 odpowiadają natężenia pola Kx, K2 i wektory indukcji D x, D 2. Z zależności *;£<)«1.2 A t .2 — ‘1,2 ' -X,

2) = ,2cnl,2£0 r2 «i(k°Ki,2). -i —cnl,2

Utwórzmy iloczyn

r 2 cn2eo (k°K x)(k°K2) Ln

Di\Di2 —

1

(c f-c lJic f-c lz)

309

i pomnóżmy licznik i mianownik przez (cfn —c^2), a następnie przekształćmy dodając i odejmując w liczniku cf

pr.,y czym przez A oznaczyliśmy czynnik niezależny od i. Dodając do siebie iloczyny dla wszystkich osi otrzymamy

bo odjemna i odjemnik w nawiasie t.. równe z~ru na mocy. równania Fresnela, spełnionego przez cni i cn2. Ale suma iloczynów skicdo- ych jest równoznaczna z iloczynem skalarnym obu wektorów indukcji ^ D n Dl2 = B 1D 2 = 0. Zerowanie się iloczynu skalarnego świadczy o prostopadłości wektorów-czynników. Przechodząc przez kryształ nieregularny fala elektromag­ netyczna rozdziela się na dwie fale drgające we wzajemnie prostopadłych kierunkach (w rzeczywistości oba kierunki drgań nie zawsze są dokładnie prostopadłe). To samo dotyczy wektorów natężenia pola. Wprowadziliśmy już wyżej pojęcie polaryzacji jako uporządkowania drgań. Jeżeli drgania wektora charakteryzującego falę — w naszym przypadku K — zachodzą stale w jednej płaszczyźnie, fala jest liniowo (płasko) spolaryzo­ wana. Płaszczyznę drgań wyznaczają wektory K i c(k). prostopadła do niej jest płaszczyzna polaryzacji określona przez wektory H i c. Możemy teraz uściślić pojęcie polaryzacji liniowej: fala jest spolaryzowana liniowo, gdy płaszczyzna polaryzacji w nieruchomym układzie współrzędnych jest stała. Wektor K pozo­ staje wtedy równoległy do ustalonej prostej. Oddziaływanie fal elektromagnetycznych z ośrodkami anizotropowymi można opisać następująco: fala rozdziela się na dwie fale o różnych prędkoś­ ciach spolaryzowane liniowo w płaszczyznach wzajemnie prostopadłych. W kryształach jednoosiowych mamy falę zwyczajną i nadzwyczajną, w dwu­ osiowych obie fale są nadzwyczajne. W fali zwyczajnej wektor indukcji Dzwjest prostopadły do osi optycznej kryształu i wektora propagacji (prostopadłego do czoła fali). Jeżeli płaszczyznę wyznaczoną przez k i oś optyczną nazwiemy 310

główną, to Dzwjest prostopadłe do płaszczyzny głównej. Prędkość propagacji

gdzie współczynnik załamania dla fali zwyczajnej

W kierunkach prostopadłych do osi optycznej kryształy jednoosiowe wykazują izotropię. Wynika stąd, że wektor natężenia pola Kzw jest równoległy do Dzw (cpr = 0), a prędkość radialna jest równa normalnej C uCrzw — Lzw*

Fala zwyczajna rozchodzi się więc podobnie jak fale w ośrodkach izo­ tropowych — stąd jej nazwa. I I

Rys. 178. Orientacja wektorów w fali zwyczajnej. Oś optyczna jest prostopadła do płaszczyzny rysunku

W fali nadzwyczajnej wektor De jest prostopadły do Dzw i k, leży więc w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektor propagacji i oś optyczną (w płasz­ czyźnie głównej). Prędkość fali nadzwyczajnej

a współczynnik załamania fali nadzwyczajnej

zaleźć' od kierunku propagacji. Zależność tę obrazuje elipsoida obrotowa, a ściślej jej przekrój płaszczyzna k, De. Przekrój ten jest elipsą. Prędkość ce można znaleźć z podanych uprzednio wzorów. Natomiast kierunki wektorów wzajemnie prostopadłych wek.orów związanych z danym kierunkiem propaga311

I

Rys. 179. Wektory charakteryzujące falę nadzwyczajną w krysztale 0 0 ' — oś optyczna)

(e — czoło

fali,

cji k pokrywają się z osiami elipsy, otrzymanej przez przecięcie elipsoidy Fresnela płaszczyzną prostopadłą do k. Wektor K fali nadzwyczajnej leżący także w płaszczyźnie głównej nie jest równoległy do wektora D, a prostopadły do K wektor Poyntinga nie jest równoległy do wektora propagacji. Kąt ę między nimi jest zarazem kątem między prędkością radialną, a normalną C ne = cos ę r. --cre Kąt ten zależy od kierunku propagacji. Dla k skierowanego wzdłuż osi optycznej lub prostopadłej do niej (y = 0 lub y = jtz) ę r = 0 . Zdefiniujemy jeszcze stopień polaryzacji. Bardzo często polaryzacja fali jest tylko częściowa. Taką falę można traktować jako superpozycję fali spolaryzo­ wanej o natężeniu Ip i fali niespolaryzowanej o natężeniu / —7p, gdzie I jest sumą obu natężeń. Stosunek natężenia fali spolaryzowanej do natężenia sumarycznego

nosi nazwę stopnia polaryzacji. Dla fali całkowicie spolaryzowanej Ip = I i P=l Podwójne załamanie. Zależność prędkości rozchodzenia się fal w krysz­ tałach anizotropowych od kierunku propagacji i orientacji (polaryzacji) wek­ torów elektrycznych prowadzi do rozdwajania się promieni padających na powierzchnię kryształu. Jeżeli k, jest wektorem falowym normalnym do czoła 312

fali padającej, a k 2 do czoła fali załamanej, to fazy drgań po obu stronach granicy ośrodków wyrażają się wzorami

r

Warunek ciągłości dla dowolnego wektora na granicy ośrodków i dowol­ nego czasu t można sformułować jako

czyli

a to oznacza, że różnica wektorów w nawiasie jest prostopadła do powierzchni granicznej. Z jednej strony tej powierzchni, w ośrodku I, mamy tylko jedną wartość prędkości c1. W najprostszym przypadku, gdy fala (światło) pada z próżni lub powietrza, cx = c0. Z drugiej strony, w anizotropowym ośrodku 2 istnieją na ogół dwie możliwe wartości prędkości c'2 i c2. Kierunki wektorów są takie, że różnica wektorów k 2/c 2 —k°/cx pozostaje prostopadła do granicy ośrodków. Z tego wynika, że wektory k 2 i k 2 mają różne kierunki. Jednej fali padającej odpowiadają dwie fale załamane o różnych kierunkach propagacji. Są one oczywiście spolaryzowane w kierunkach wzajemnie prostopadłych. Zjawis­ ko to nazywamy podwójnym załamaniem, a odpowiednią właściwość kryształów dwójlomnością. Jeżeli przyjmiemy oś z układu kartezjańskiego prostopadle do płaszczyzny granicznej, czyli x i y leżące na granicy ośrodków, to warunek prostopadłości różnicy wektorów k°/c do x, y przybiera postać (dla obu c2)

x k \x + ykjy Xk'2x+yk'2y _ c1

ć2

x / c 2 x + y / c 2y

c'2

Aby to było spełnione wszędzie na granicy (dla dowolnych x i y), musi zachodzić

313

Rys. 180. Podwójne załamanie: jednemu promieniowi padającemu odpowiadają dwa załamane o różnych prędkościach c'2 i c'{ i różnych wektorach propagacji k '2 i k'2'

a to oznacza, że wszystkie wektory falowe leżą w tej samej płaszczyźnie (to nie zawsze musi być słuszne). Oznaczając kąt padania przez a t, a oba kąty załamania przez a 2 i a2, możemy napisać sina, cl , 7 = T = n 215 sina 2 c2

~

sina,

„

Każda z fal załamanych spełnia prawo Snella. Trzeba jednak pamiętać, że c'2 i c'2 zależą od kierunku, a więc pośrednio od kąta padania — inaczej mówiąc zależą od niego współczynniki załamania. W kryształach jednoosiowych współczynnik załamania fali zwyczajnej

nzw

Cj ^2 zw

~~:

sina!

nie zależy od ot1. Jak już była o tym mowa, wektor indukcji fali zwyczajnej pozos ajw prr topadły do płaszczyzny głównej kryształu (określonej przez oś optyczną i kierunek propagacji). Współczynnik załamania fali nadzwyczajnej

c2e 314

sina, sina2e

«e(ai)

zależy od kąta między wektorem k2e,, a osią optyczną,, a pośrednio od kąta padania. To samo dotyczy prędkości. Wektor indukcji fali nadzwyczajnej leży w płaszczyźnie głównej. Dotychczas rozpatrywaliśmy kierunki propagacji. Jak wiemy, w ogólnym przypadku kierunki promieni są odchylone od kierunków propagacji o od­ powiednie kąty ę r. Dotyczy to oczywiście tylko promieni nadzwyczajnych, promień zwyczajny ma kierunek propagacji, czyli pozostaje normalny do czoła fali. Współczynnik załamania promienia zwyczajnego jest taki sam, jak współczynnik załamania fali zwyczajnej

«r z

podczas gdy współczynnik radialny dla fali nadzwyczajnej ! n„ = necos
> n, w Cn n0cos(pr

ce cos (pj

Bieg promieni przy podwójnym załamaniu można wyznaczyć opierając się na zasadzie Huygensa. Każdy punkt powierzchni kryształu, do którego doszło czoło fali padającej, traktujemy jako źródło dwóch fal elementarnych w krysz­ tale: zwyczajnej i nadzwyczajnej, różniących się prędkościami. Powierzchnia prędkości fali zwyczajnej jest kulą, jej przekrój jest zawsze kołem, ni;: uleżnie od orientacji. Powierzchnia prędkości fali nadzwyczajnej jest elipsoidą, jej przekrój przez płaszczyznę rysunku jest elipsą w przypadku k: ysziałów dwuosiowych, a elipsą lub kołem (w zależności od orientacjo ,\ kryształach jednoosiowych i właśnie ten przypadek rozpatrzymy bardziej szczegółowo. Jeżeli chcemy wyznaczyć bieg promieni, to musimy wziąć pod uwagę powierzchnie prędkości radialnych, które różnią się od powierzchni prędkości normalnych rozmiarami. W pierwszym i drugim ośrodku czoła fali płaskiej, czyli powierzchnie stałej fazy są płaszczyznami — znajdujemy je jako obwied­ nie powierzchni prędkości, czyli płaszczyzny styczne do odpowiednich elemen­ tarnych powierzchni prędkości. W krysztale anizotropowym mamy dwie takie płaszczyzny, jedną dla fali zwyczajnej, drugą dla nadzwyczajnej. Są one 315

nachylone pod różnymi kątami. W ośrodku izotropowym (np. powietrzu), z którego fala pada na kryształ, mamy jeden promień prostopadły do czoła fali. W punkcie padania (na powierzchni kryształu) promień ten rozdziela się na dwa promienie biegnące wewnątrz kryształu pod różnymi kątami. Można je znaleźć łącząc punkt padania z punktami, w których płaszczyzny stałej fazy stykają się z powierzchniami prędkości radialnych, a ściślej ich przekrojami (kołami i elipsami) na płaszczyźnie rysunku.

Rys. 181. Podwójne załamanie: oś optyczna 0 0 ' leży w płaszczyźnie padania i tworzy kąt ostry z powierzchnią kryształu AB. Zaznaczono kierunek wektora K: prostopadły (•) do płaszczyzny rysunku i równoległy (—)

Bieg promieni załamanych zależy od orientacji płaszczyzny padania (utworzonej przez promień padający i normalną do powierzchni kryształu w punkcie padania) w stosunku do osi optycznej. Jeżeli oś optyczna leży w płaszczyźnie padania i tworzy kąt ostry z powierzchnią kryształu oba promienie załamane leżą w płaszczyźnie padania. Promień zwyczajny jest prostopadły do czoła fali zwyczajnej, a drgania wektora elektrycznego za­ chodzą prostopadle do płaszczyzny głównej, która w tym przypadku pokrywa się z płaszczyzną padania. Promień nadzwyczajny, załamany bardziej niż zwyczajny (w krysztale dodatnim) lub mniej (w krysztale ujemnym) nie jest prostopadły do czoła fali nadzwyczajnej, bo styczna do elipsy na ogół nie jest prostopadła do promienia (z wyjątkiem punktów leżących na osiach), a wektor elektryczny drga w nim równolegle do płaszczyzny głównej. Przy padaniu prostopadłym nie obserwujemy załamania, oba promienie biegną dalej po normalnej, tylko z różnymi prędkościami. Jeżeli płaszczyzna padania nie jest równoległa do osi optycznej, tzn. nie pokrywa się z płaszczyzną główną, to promień zwyczajny nadal pozostaje w płaszczyźnie padania, natomiast promień nadzwyczajny już w niej nie leży — pod tym względem prawo Snella nie jest tu spełnione, ale czoło fali 316

nadzwyczajnej nadal jest prostopadłe do płaszczyzny padania. Jeżeli przy tym fala pada na granicę ośrodków prostopadle, tzn. kąt padania a t = 0 , w ośrod­ ku są nadal dwa promienie: zwyczajny, który biegnie w przedłużeniu promie­ nia padającego — po prostopadłej (czyli azw = 0 ), oraz promień nadzwyczajny, który się załamuje pod kątem oc2e. Można go wyznaczyć podobnie jak przy padaniu ukośnym, biorąc pod uwagę, że czoła obu fal, także fali nadzwyczajnej, są równoległe do granicy ośrodków. Punkt styczności czoła fali zwyczajnej z kulistą powierzchnią prędkości, wyznaczający kierunek promienia zwyczaj­ nego, powstaje na prostopadłej do granicy; punkt styczności czoła fali nadzwyczajnej z elipsoidą, której oś (oś optyczna) jest nachylona do granicy, jest przesunięty w bok, co prowadzi do odchylenia promienia nadzwyczajnego. Wektoty elektryczne są zorientowane tak jak poprzednio.

Rys. 182. Orientacja osi taka jak poprzednio, promienie padają prostopadle do powierzchni. Czoła fali /„ i / 2W są równoległe do powierzchni kryształu. Promień zwyczajny jest przedłużeniem padającego

Z kolei gdy oś optyczna kryształu jednoosiowego jest równoległa do powierzchni, a płaszczyzna padania jest do niej prostopadła, oba promienie załamane pozostają w płaszczyźnie padania i spełniają prawo Snella — w tym sensie, że oba współczynniki załamania są stałe, niezależnie od kąta padania. Właśnie w tych warunkach określa się podawane w tablicach wartości ne dla różnych ośrodków. Na przykład kalcyt (szpat islandzki) ma nzv/ = 1,658, ne — 1,486, jest więc kryształem ujemnym (ne < nzw), kwarc (nzw = 1,543, ne = 1,552) — dodatnim. Przykładem kryształu praktycznie izotropowego jest lód (nzw = 1,309, ne = 1,310). Wszystkie podane wartości dotyczą światła o długości fali X = 0,589 pm (żółtego). W rozpatrywanej geometrii pole elektryczne promienia zwyczajnego jest równoległe, a nadzwyczajnego prosto­ padłe do płaszczyzny padania. Przy padaniu prostopadłym nie obserwujemy tutaj odchylenia promienia nadzwyczajnego — tylko jego prędkość jest inna 317

Rys. 183. Tutaj oś optyczna jest równoległa do powierzchni i prostopadła do płaszczyzny rysunku. Zwróćmy uwagę na kierunki drgań wektora K

niż dla promienia zwyczajnego. W krysztale ujemnym fala nadzwyczajna wyprzedza zwyczajną, w dodatnim się opóźnia. W podobny sposób można stwierdzić, że gdy oś optyczna jest równoległa do granicy ośrodków i do płaszczyzny padania, oba promienie załamania pozostają w płaszczyźnie padania, a kąty załamania są takie, że ich stosunek tg^ 2 zw = ^ tg *2* ne '

Rys. 184. Orientacja taka sama, ale dla promieni prostopadłych do powierzchni i obróconej o 90 płaszczyźnie rysunku. Oba promienie załamane biegną w prze­ dłużeniu padającego, ale z różnymi prędkościami

318

Rys. 185. Oś optyczna równoległa do powierzchni i do płaszczyzny padania. Oba punkty styczności czół fali z powierzchniami prędkości leżą na prostej prostopadłej do powierzchni. Wynika stąd, że tga 2 zw/tg a2c = cJcT„

Także i tutaj przy padaniu prostopadłym promienie załamane biegną w prze­ dłużeniu promienia padającego. Polaryzacja przy odbiciu. Wzory Fresnela, które wyprowadziliśmy wcześ­ niej, podają współczynniki odbicia i przepuszczania, czyli relacje między amplitudami fali padającej K ml, odbitej K'ml i załamanej Km2. Z zależności tych można stwierdzić, że przy odbiciu i załamaniu fala elektromagnetyczna ulega polaryzacji. Polaryzacja ta jest częściowa, a gdy fala pada pod kątem Brewstera, czyli takim, przy którym promień załamany jest prostopadły do odbitego, całkowita. Przypomnijmy sobie wzór Brewstera « ! = « , = arctgn21,

Rys. 186. Przy kącie odbicia równym kątowi polaryzacji (z,, = arctgti,,) natężenie składowej wektora elektrycznego równoległej do powierzchni odbijającej spada do zera,...

319

Rys. 187. ... pozostaje tylko składowa prostopadła. Promień odbity jest więc całkowicie spolaryzowany. Promień załamany jest spolaryzowany częściowo — przeważa składowa równoległa do powierzchni granicznej

ap nazywamy także kątem polaryzacji. Doświadczenie wskazuje, że promienie odbity i załamany są spolaryzowane we wzajemnie prostopadłych kierunkach. Wektor elektryczny w promieniu odbitym jest prostopadły, a w załamanym równoległy do płaszczyzny padania. Fakt ten jest zgodny ze wzorami Fresnela. Na przykład podstawiając do wzoru na amplitudę składowej równoległej promienia odbitego = ap, czyli a, +oe2 = %n, otrzymujemy r,

^mln — "

„

t g ( O i - a 2)

^

t g ( a 1 — a 2)

n

----;----: —^M l.-- . /i X--- —u* 'tgfo+flta) 11 tg(iTt)

W fali odbitej pod kątem Brewstera nie ma więc składowej równoległej. Składowa prostopadła K'mll

U

sin(a2 - a 1) 1 sm(a1 + a2)

^

sin(a2 —a j

jest różna od zera. Wektor K drga prostopadle do płaszczyzny padania. Przy innych kątach padania obie składowe zmieniają się w zależności od a x. Nachylenie (azymut) wypadkowego wektora amplitudy każdej składowej można znaleźć ze stosunku amplitud. Oznaczając go przez 9 mamy (ze wzorów Fresnela) | tg S 'i| =

t g f lj

cos(a 1 —a2) cosfaj + a2)

oraz tgS 2 = tgS 1 cos(a1- « 2). Ponieważ cos(a1 —a2) > cos(a 1 + a2), więc |tg9'i| > t g ^ . Odbicie powięk­ sza azymut, a kierunek polaryzacji obraca się w stronę normalnej do płaszczyzny padania. Z kolei azymut promienia załamanego jest mniejszy niż odbitego. Załamanie obraca kierunek polaryzacji w stronę płaszczyzny pada320

nia. Także i tutaj przy a t = ap otrzymujemy tg3'i = t g ^

cos(ax—a2) C O S ( i7 l)

= oo,

co oznacza, że wektor elektryczny jest prostopadły do płaszczyzny padania ($i = 90°). Z kolei azymut amplitudy wektora elektrycznego fali załamanej jest mniejszy niż odbitej. Załamanie obraca kierunek polaryzacji w stronę płasz­ czyzny padania, ale ze wzoru wynika, że tgS 2 = 0 tylko przy a, —a 2 = %n, więc wypadkowy wektor elektryczny nie może drgać w płaszczyźnie padania. W odróżnieniu od fali odbitej, polaryzacja fali załamanej nigdy nie jest całkowita. Także przy rozpraszaniu na bardzo drobnych cząstkach czy niejednorod­ nościach następuje całkowita polaryzacja światła rozproszonego w kierunku prostopadłym do wiązki pierwotnej, a częściowa w kierunku ukośnym. Przykład. Polaryzatory. Urządzenia, za pomocą których otrzymujemy fale spolaryzowane, nazywamy polaryzatorami. Najprostszy sposób polaryzowania fali elektromagnetycznej polega na przepuszczeniu jej przez siatkę równoległych drutów. Składowa natężenia pola elektrycznego równoległa do drutów pobudza elektrony przewodnictwa do ruchu harmonicznego wzdłuż drutów, od końca do końca, tam i z powrotem, i generuje w ten sposób prąd zmienny o częstości takiej samej, jak częstość fali. Druty siatki stają się źródłem fali takiej samej, jak padająca, lecz przeciwnej w fazie. Superpozycja prowadzi do wygaszenia składowej równoległej do drutów; przechodzi przez siatkę tylko fala o wektorze elektrycznym prostopadłym do drutów — a więc spolaryzowana. Energia składowej pochłoniętej zamienia się przy tym na ciepło Joule’a. Polaryzator siatkowy jest najwygodniejszy do stosowania w zakresie radiowym. W 1960 roku G. Bird i M. Parrish zbudowali tego typu przyrząd dla bliskiej podczerwieni. Napylając złoto na matrycę z tworzywa sztucznego uzyskali zagęszczenie 2160 złotych nitek na jednym milimetrze!

Rys. 188. Druciana siatka przepuszcza tylko składową pola elektrycznego prosto­ padłą do drutów, jest więc polaryzatorem fali elektromagnetycznej

Normalnie stosowane przyrządy do polaryzacji światła wykorzystują opisane wyżej zjawiska zachodzące przy odbiciu, załamaniu i podwójnym załamaniu. Warto przy okazji zwrócić uwagę na mechanizm powstawania światła: normalne źródło światła emituje szeregi elementarnych ciągów falowych, które są spolaryzowane liniowo, ale kierunek polaryzacji jest dla każdego ciągu inny. Stała pozostaje tylko częstość drgań — w granicach, na jakie pozwala skończona długość ciągu

21 — Fizyka dla politechnik

321

(monochromatyczna jest tylko fala nieskończona). W rezultacie zwykłe światło jest niespolaryzowane lub spolaryzowane częściowo. Najprostszym polaryzatorem optycznym jest płasko-równoległa płytka ze szkła, na którą pada (z próżni lub powietrza) wiązka światła pod kątem Brewstera %p = arctgn (polaryzator odbiciowy). N a przykład, jeżeli współczynnik załamania szkła wynosi n = 1,52, to kąt ap = 56°40'. Światło odbite jest całkowicie spolaryzowane, a wektor elektryczny („świetlny”) drga w nich prostopadle do płaszczyzny padania. Ten najprostszy polaryzator jest jednak bardzo niedoskonały. Znajdując z prawa Brewstera kąt załamania a2 = 90° —56°40' = 33°20' i podstawiając do wzoru na współczynnik odbicia składowej prostopadłej znajdujemy sin(ot, —
sin(a!+a2)

= 0,3958.

Współczynnik odbicia energii (reflektancja) jest jeszcze mniejszy ker± = fc,2± « 0,16. Natężenie światła spolaryzowanego stanowi zaledwie 16% padającego na polaryzator. Resztę energii — 84% niesie promień załamany. Nasuwa się myśl, żeby wykorzystać polaryzację przy przechodzeniu światła przez ośrodek (polaryzator transmisyjny). Ale prómień załamany jest tylko częściowo spolaryzowany. Żeby uzyskać stopień polaryzacji bliski jedności, trzeba przepuścić światło przez większą liczbę — co najmniej 20 płytek. Wprawdzie rosną przy tym straty natężenia — przy 20 płytkach wynoszą 41%, przy 25 płytkach 66 %, ale i tak są mniejsze niż przy odbiciu. W praktyce mimo swoich wad oba typy polaryzatorów są w użyciu. Najczęściej stosuje się jednak polaryzatory z materiałów dwójłomnych, takich jak kalcyt (szpat islandzki) i turmalin. Zasada jest prosta: puszcza się światło na kryształ i usuwa jeden z promieni załamanych. Z wielu przyrządów tego typu najpopularniejszy jest pryzmat Nicola, zwany często po prostu nikolem. Składa się on z dwóch odpowiednio wyciętych kryształów kalcytu sklejonych warstewką balsamu kanadyjskiego, którego współczynnik załamania promienia zwy­ czajnego (n = 1,550) jest mniejszy niż w kalcycie (n = 1,658). Pryzmat jest tak sklejony, że gdy światło pada wzdłuż osi nikola, promień zwyczajny pada na powierzchnię przecięcia pod kątem większym od granicznego, wobec czego ulega całkowitemu wewnętrznemu odbiciu. Promień nadzwyczajny przechodzi przez nikol bez załamania —jest tylko równolegle przesunięty. Jego pole elektryczne drga w płaszczyźnie prostopadłej do granicy ośrodków (tzn. do płaszczyzny sklejenia). Strata natężenia jest stosunkowo niewielka. Wadą nikola jest nieznaczna domieszka polaryzacji eliptycznej związana z nachyleniem podstaw pryzmatu względem osi.

Rys. 189. Pryzmat Nicola usuwa promień zwyczajny przez całkowite odbicie od warstewki balsamu kanadyjskiego B. Obie połówki pryzmatu są z kalcytu (OO' — oś optyczna)

322

Wszystkie kryształy dwójłomne w jakimś stopniu pochłaniają światło. Absorpcja jest selektyw­ na, współczynnik absorpcji zależy od długości fali, ale także i od orientacji wektora elektrycznego. Promień nadzwyczajny jest pochłaniany inaczej niż zwyczajny. Właściwość tę nazywamy dichroiz­ mem. Najbardziej znanym kryształem dichroicznym jest turmalin, zaliczany do kamieni półszlachet­ nych, o dość skomplikowanym składzie chemicznym, np. N aFe 3 B3Al6Si60 2 (0 H)4. Płytka turmalinowa grubości 1 mm wycięta równolegle do osi optycznej pochłania prawie całkowicie promień zwyczajny. Wadą takiego polaryzatora jest znaczne osłabienie przepuszczanego promienia nadzwyczajnego oraz niewielkie rozmiary kryształu, co ogranicza przekrój wiązki.

A

B

Rys. 190. Współczynniki załamania światła w krysztale dichroicznym w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach w zależności od częstości co. Obszary, w któ­ rych dn/do) < 0 (A i B) odpowiadają pasmom absorpcji

Najlepszym współczesnym polaryzatorem do polaryzacji liniowej jest polaroid wynaleziony przez E. H. Landa. Przez odpowiednią obróbkę (rozciąganie na gorąco i impregnację jodem) folii poliwinylowej uzyskuje się równoległy układ długich łańcuchów molekularnych, wzdłuż których mogą się poruszać związane z jodem elektrony przewodnictwa. Powstała struktura działa podobnie jak polaryzator siatkowy, ale ze względu na o wiele większe zagęszczenie „drucików” (nitek) molekularnych polaryzuje światło, absorbując około 99% składowej o polu elektrycznym równoległym do nitek, a przepuszczając przeszło 80% składowej prostopadłej. Wytwarza się obecnie polaroidy dla praktycznie całego zakresu światła widzialnego (z wyjątkiem fioletu). Ważną zaletą jest łatwość uzyskiwania dużych rozmiarów i powierzchni rzędu ł m2.

Rys. 191. Polaroid absorbuje składową drgającą równolegle do osi, a przepuszcza składową prostopadłą

323

Polaryzacja kołowa i eliptyczna. Jeżeli między dwiema składowymi fali spolaryzowanymi w kierunkach wzajemnie prostopadłych istnieje różnica faz, wektor amplitudy fali obraca się w mniej lub bardziej skomplikowany sposób w płaszczyźnie prostopadłej do kierunków polaryzacji. Przy różnicy faz 5 = i różnych amplitudach fala jest spolaryzowana eliptycznie

a gdy K mx = K my = K m - kołowo £

_

£ ^ [ x 0 e j ( l i z - c » ! ) _ |_ y 0 e j(liz-cor + n /2 )j

Wektor pola elektrycznego o stałej długości K m wiruje w płaszczyźnie x, y prostopadłej do kierunku propagacji z. Prędkość kątowa a>jest stała, koniec wektora zakreśla okrąg. Jeżeli patrzymy w kierunku z, kierunek wirowania jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Taką polaryzację nazywamy lewoskrętną. Przy różnicy faz frc polaryzacja będzie prawoskrętna. Przy polaryzacji eliptycznej długość wektora Km zmienia się od Kmx do K my, a jego koniec zakreśla elipsę w prawo lub lewo, w zależności od różnicy faz 5. Przy zerowej różnicy faz elipsa przechodzi w prostą nachyloną pod kątem 45° do osi układu, a polaryzacja staje się liniowa. Jak otrzymać światło spolaryzowane eliptycznie? Rozważmy płytkę wyciętą z kryształu jednoosiowego równolegle do osi optycznej. Puszczając na nią prostopadły promień światła otrzymujemy dwa promienie — zwyczajny i nadzwyczajny, biegnące w tym samym kierunku

Rys. 192. Różne prędkości promienia zwyczajnego i nadzwyczajnego w materiale dichroicznym prowadzą do różnicy długości fali i różnicy faz zależnej od grubości płytki

324

z różnymi prędkościami. Jeżeli promień padający jest spolaryzowany liniowo w płaszczyźnie tworzącej z płaszczyzną główną kąt cp — różny od zera i ^ir, to między oboma promieniami w płytce powstaje różnica faz zależna od drogi promieni w płytce. Wynika to z różnicy prędkości, czyli różnych współczynników załamania obu promieni. Obierając jak poprzednio oś z w kierunku propagacji możemy wyrazić fazy obu promieni jako

i = m t—2n (p = cot —kz —z, czyli, wobec A = n/A0 (/.0 oznacza długość fali w próżni),

2nn A0

ę = (ot— -—z. Podstawiając wartości współczynników n2W i ne i odejmując, dochodzimy do różnicy faz ó —
Zo

gdzie z (droga w płytce) zmienia się od 0 do (i (grubość płytki). Po przejściu przez płytkę d = - r - ( n ^ - n e)d. Jeżeli grubość płytki jest taka, że różnica faz jest równa 2kn (k — liczba całkowita), to wynik jest taki, jak przy braku różnicy faz, światło wychodzące jest spolaryzowane liniowo w tej samej płaszczyźnie, co padające. Dla <5 = (2fc+l)jt kierunek polaryzacji przy przejściu przez płytkę obraca się o i n (promień wychodzący jest spolaryzowany prostopadle do padającego). Przy wszystkich innych różnicach faz promień wychodzący, powstały z superpozycji promienia zwyczajnego i nadzwyczajnego, jest spolaryzowany eliptycznie. Gdy <5 = (2k+l)tt/2, osie elipsy pokrywają się z kierunkami drgań w obu promieniach. Amplitudy drgań zależą od kąta między płaszczyzną polaryzacji promienia padającego a płaszczyzną główną płytki. Jeżeli kąt ten jest równy 45°, amplitudy obu promieni są równe i otrzymujemy polaryzację kołową. Najmniejsza grubość płytki polaryzującej kołowo (przy 5 = )?t) wynosi

Taka płytka nosi nazwę ćwierćfalówki, bo daje różnicę dróg optycznych (iloczynów nd) obu promieni — równą i długości fali światła padającego

l^zw ^„|d|/4 4^0* W podobny sposób można znaleźć grubość pólfalówki, czyli płytki, w której różnica dróg optycznych promienia zwyczajnego i nadzwyczajnego jest równa połowie długości fali (<5 = rt)

d i IZ

Ćwierćfalówka zmienia polaryzację liniową na eliptyczną (i odwrotnie), półfalówka obraca płaszczyznę polaryzacji o 90°, a gdy pada na nią światło spolaryzowane kołowe lub eliptyczne zmienia polaryzację prawoskrętną w lewoskrętną (i odwrotnie).

325

K U ft+ 1 )

(^rw™ne)

Aę.

Rys. 193. Płytka ćwierćfalowa obraca płaszczyznę drgań o tc/2 Płytki ćwierćfalowe i półfalowe i inne tego rodzaju noszą ogólną nazwę retarderów, czyli płytek opóźniających. W praktyce wykonanie płytek o grubości podanej przez powyższe wzory byłoby bardzo trudne. Grubość stosowanych płytek jest o wiele większa, ale zawsze taka, żeby były spełnione warunki

(4fc+l) ż0 1,4

l»z w -»,| 4 ’

(2k+l)A0 “ 1/2 — *------------- :~r-

|nzw ne| 2

Rys. 194. Kompensator Babineta. Przesuwając po sobie kliny zmieniamy grubość dt + d2

Istnieje wiele różnych typów retarderów, ale nie będziemy ich tutaj omawiać. Osobną grupę stanowią przyrządy wytwarzające regulowane opóźnienie faz, zwane kompensatorami. Z reguły mają one postać dwóch ślizgających się po sobie klinów z kalcytu lub kwarcu. Od położenia klinów zależy grubość. Opóźnienie w każdym klinie znajdujemy ze wzorów takich samych, jak poprzednio, a sumaryczna różnica faz

2n

<5 = — (dl - d 2)\nzw- n e\. /l-o Analiza światła spolaryzowanego. Każdy polaryzator może także służyć jako analizator, czyli przyrząd do wykrywania polaryzacji. Jeżeli na analizator pada światło niespolaryzowane, to jego 326

natężenie po przejściu przez przyrząd, jest wprost proporcjonalne do natężenia I 0 światła padającego / = kpI 0 = const (kp można określić jako współczynnik przepuszczania dla analizatora) i nie zależy od orientacji osi analizatora (przy obrocie wokół kierunku propagacji nie zmienia się). Natomiast jeżeli światło padające jest spolaryzowane w płaszczyźnie nachylonej pod kątem 9 do płaszczyzny głównej analizatora, to przepuści on tylko składową równoległą do płaszczyzny głównej, czyli K mcos9. Ponieważ natężenie światła jest wprost proporcjonalne do kwadratu amplitudy, więc

l = kpI0 cos29.

Rys. 195. Prawo Malusa (P — polaryzator, A — analizator, ap — kąt odchylenia od pionu (osi y) składowej K przepuszczanej przez polaryzator, aa — przez analizator, 9 = aa—ap; przyjęto, że kp = 1)

Otrzymany związek nosi nazwę prawa Malusa. Jeżeli rozpatrujemy osobno promień zwyczaj­ ny i nadzwyczajny, to dotyczy on promienia zwyczajnego. Dla promienia nadzwyczajnego

h = kpI 0sin2S. Oczywiście Ilyl + Ie = kpI0 (zgodnie z zasadą zachowania energii), co można wykazać doświadczalnie. Jeżeli światło padające pochodzi z polaryzatora, to 9 jest kątem między płaszczyznami głównymi polaryzatora i analizatora. Przy 9 = 0, czyli równoległych płaszczyznach polaryzacji obu przyrządów, powracamy do poprzedniego wzoru. Całe światło spolaryzowane, a ściślej taki jego ułamek, który odpowiada przezroczystości przyrządu, jest przepuszczone. Kiedy przyrządy skrzyżujemy (9 = 90°), / = 0, co oznacza, że światło przez analizator nie przechodzi. Możemy więc rozpoznać światło liniowo spolaryzowane, przepuszczając je przez analizator i obracając go. Światło, które w pewnych pozycjach wygasa, jest całkowicie spolaryzowane. Jeżeli promień przepuszczony nie gaśnie całkowicie, tylko ulega osłabieniu, światło jest spolaryzowane częściowo lub eliptycznie. Światła spolaryzowanego kołowo nie da się wykryć tą metodą. Aby rozpoznać takie światło, trzeba użyć dodatkowo płytki ćwierćfalowej, zmieniającej polaryzację kołową na liniową lub półfalową i dopiero wtedy obracać analizatorem. Można też zastosować kompensator.

327

Skręcenie płaszczyzny polaryzacji. Niektóre ośrodki, takie jak na przykład kwarc, skręcają o pewien kąt płaszczyznę polaryzacji promieni biegnących wzdłuż osi optycznej. Substancje takie nazywamy optycznie czynnymi. W zależności od tego czy obrót płaszczyzny polaryzacji dla patrzącego w kierunku propagacji zachodzi zgodnie, czy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dzielimy je na dodatnie (prawoskrętne) i ujemne (lewoskrętne).

Rys. 196. Wektor K liniowo spolaryzowanej fali w substancji optycznie czynnej można rozłożyć na dwie składowe Kp i K, spolaryzowane kołowo i obracające się w przeciwne strony i różną prędkością. Po pełnym obrocie składowej Kp składowa K, obróci się o 2n + <5, a wypadkowa K o ę = 5/2 i takie będzie skręcenie płaszczyzny polaryzacji Istota zjawiska polega na tym, że ośrodek optycznie czynny rozkłada liniowo spolaryzowane światło monochromatyczne na dwie fale spolaryzowane kołowo o przeciwnych kierunkach wirowania wektora świetlnego (elektrycznego) K = Ki + Kp (l oznacza lewoskrętność, p — prawoskrętność). Obie fale mają tę samą częstość to, ale różne prędkości c, i cp (a więc także różne długości fali). Po przejściu warstwy ośrodka o grubości I powstaje między nimi różnica faz

Jeżeli c, < c^ to po przejściu przez ośrodek wektor K, spóźnia się w fazie względem wektora K, o S > 0. Wektor wypadkowy obraca się w prawo. Gdy c, > cp, substancja jest lewoskrętna. Wartość kąta skręcenia jest proporcjonalna do grubości warstwy, przez którą przechodzi światło ę = al. Stałą a nazywamy skręceniem właściwym. W roztworach substancji optycznie czynnych (typowym przykładem jest roztwór cukru) skręcenie jest wprost proporcjonalne do stężenia C (masowego)

328

Tutaj q jest gęstością, d — skręceniem właściwym roztworu. Mierząc kąt skręcenia (np. ustawienie naczynia z roztworem między skrzyżowanymi nikolami i obrót analizatora o

Rys. 197. Sacharymetr. Skręcenie płaszczyzny polaryzacji jest wprost proporcjonalne do stężenia C (P — polaryzator, A — analizator, R — roztwór cukru) Kąt skręcenia płaszczyzny polaryzacji w roztworach jest niewielki. Przy stężeniu cukru 100 g/1 i grubości warstwy 10 cm, ę = 6,65° (przy oświetleniu światłem sodowym). Dla porównania płytka kwarcowa o grubości 1 mm skręca płaszczyznę polaryzacji światła żółtego o 21,7°, a fioletowego o 48,9°. Największą skręcalność właściwą — do 17000°/mm — mają niektóre ciekłe kryształy. Dwójłomność wymuszona. Podwójne załamanie wynika z anizotropii kryształu. Można ją wymusić także w ośrodku izotropowym poddając go działaniom czynników zewnętrznych, takich jak siły odkształcające, pole elektryczne, pole magnetyczne itp. Powstawanie anizotropii pod wpływem naprężeń mechanicznych nazywamy zjawiskiem elastooptycznym, pod wpływem pola elektrycznego — zjawiskiem elektrooptycznym (Kerra), pod wpływem pola magnetycznego — zjawi­ skiem magnetooptycznym itp. Miarą powstałej anizotropii może być różnica współczynników nzvt —ne = (czw—ce)/c0. W przypadku zjawiska elastooptycznego jest ona wprost proporcjonalna do naprężenia normalnego (ściskającego lub rozciągającego) a

nz„ —ne = ko, gdzie k jest współczynnikiem elastooptycznym. Umieszczając odkształcony obiekt przeźroczysty między polaryzatorem a analizatorem, możemy obserwować kolorowy obraz interferencyjny, w którym linie barwne (izochromaty) odpowiadają stałym naprężeniom. Mamy więc możność obserwowania rozkładu naprężeń. W zjawisku Kerra różnica współczynników jest proporcjonalna do kwadratu natężenia zewnętrznego pola elektrycznego (wzór Kerra)

tte tizw /i/.,, K., gdzie ż 0 jest długością fali w próżni. Stała Kerra /} rośnie z długością fali i szybko maleje ze wzrostem temperatury. Zjawisko Kerra obserwuje się głównie w ciekłych i stałych dielektrykach. Komórką Kerra nazywamy kondensator z umieszczonym między okładkami przezroczystym dielektrykiem. Jeżeli dielektryk jest ciekły (zwykle nitrobenzen), zanurza się w nim okładki. Ważną zaletą jest łatwość regulacji pola przez zmienianie przyłożonego do okładek napięcia. Przy U = 0 komórka jest izotropowa i światło przechodzi przez nią bez zmiany stanu polaryzacji. Jeżeli komórka znajduje się między skrzyżowanymi nikolami czy polaroidami, analizator nie przepusz­ cza światła. W miarę wzrostu napięcia komórka Kerra wprowadza coraz większą różnicę faz 329

Rys. 198. Komórka Kerra. Różnica faz fi = 2nllW 2/d2 (/} — stała Kcrra). Przy skrzyżowanych polaryzatorach natężenie przepuszczanego światła rośnie wraz z napięciem U. (Plt P2 — polaryzatory, N — naczynie z cieczą polarną, A, B — elektrody, U — napięcie modulujące)

między promieniem zwyczajnym i nadzwyczajnym, w wyniku czego analizator przepuszcza coraz więcej światła, osiągając maksimum przy napięciu

gdzie d jest odległością między okładkami, a / — długością komórki. Wynika to ze wzoru na różnicę faz i wzoru Kerra, do którego podstawiamy K z = U/d:

fi = ~ ( n e~nIW) = InlfiKl = aq


a maksimum uzyskujemy dla 6 = n. Dzięki małej bezwładności (czas opóźnienia za zmianami napięcia jest rzędu 10" 9-1 (T 10 s) komórka Kerra znajduje m.in. zastosowanie w fotografii szybko zachodzących procesów. Używa się jej także jako zaworu optycznego — np. w technice impulsowej i przy pomiarach prędkości światła.

Rys. 199. Zjawisko Faradaya: skręcenie płaszczyzny polaryzacji w podłużnym polu magnetycznym (U — napięcie modulujące, V — stała Verdeta) Zjawisko magnetooptyczne Faradaya zachodzi, gdy zewnętrzne pole magnetyczne jest równo­ ległe do kierunku propagacji i polega na obrocie płaszczyzny polaryzacji. K ąt skręcenia jest proporcjonalny do pola magnetycznego (indukcji) B ę = VBl,

330

V nosi nazwę stałej Verdeta. W zjawisku Cottona-M outona, które jest magnetycznym odpowied­ nikiem zjawiska Kerra (przy polu prostopadłym do kierunku propagacji), różnica wpółczynników jest proporcjonalna do kwadratu natężenia pola Hz

n « - " z . = CX0H Stała Cottona-Moutona C także zależy od temperatury. Urządzenia wykorzystujące wyżej opisane zjawiska do sterowania stanu polaryzacji przechodzącego światła noszą nazwę modulato­ rów światła.

§ 19. Interferencja i dyfrakcja światła Zjawiska interferencji i dyfrakcji rzadko występują oddzielnie. Z interferencją, czyli konstruktywnym i destruktywnym nakładaniem się fal w zależności od różnicy faz, zapoznaliśmy się już w sposób ogólny. Tutaj omówimy bliżej interferencję fal elektromagnetycznych na przykładzie światła. Dyfrakcją nazywamy uginanie się fal, czyli odchylenie od prostoliniowego rozchodzenia się. Zachodzi ona na obiektach o małych rozmiarach (słowo „mały” oznacza tutaj: porównywalny z długością fali). W przypadku światła dyfrakcję można obserwować przy rozmiarach rzędu mikrometra. Promienie ugięte na krawędziach i otworach interferują ze sobą tworząc układy prążków. Jak później zobaczymy, w pewnych warunkach możemy także obserwować dyfrakcję na większych przeszkodach. Zarówno interferencja, jak i dyfrakcja są przejawem falowej natury światła. Dla zrozumienia interferencji podstawowe jest pojęcie spójności, wiążące się z mechanizmem powstawania światła. Przy wyjaśnianiu dyfrakcji posługujemy się zmodyfikowaną zasadą Huygensa, traktując każdy punkt obiektu, na który pada fala, jako źródło fali wtórnej. Oba zjawiska mają liczne i ważne zastosowania. Rozważmy najprostszy przypadek interferencji, kiedy obie interferujące fale biegną w tym samym kierunku i mają tę samą częstość, a różnią się tylko fazami. Ich wektory elektryczne można przedstawić następująco: Kx = Kml ej= Kml eJ>1e-/(kr“0>,), K2 = Rm2 ej(kr_. Czynnik wykładniczy ze stałą fazową

włącza się do amplitudy zespolonej

331

W wyniku interferencji uzyskuje się falę o wektorze elektrycznym K = ^ K i = Kmej(kr- “'). Odpowiednie wektory magnetyczne można znaleźć ze wzoru B = -(k° x Km)ej(kr_e0,). c Natężenie jest równe średniej wartości wektora Poyntinga I = ^ e 0ck°(K J2. W naszym przypadku Kmjest zespolone, więc zamiast kwadratu bierzemy iloczyn liczb sprzężonych I = ^ £ock°(KmK:,). Rozkładając amplitudę zespoloną na składowe prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali, który przyjmiemy jako z, mamy K = 'L(*°Ax,ei**, + y0A„e*«), k:

= x ( x0^ k

e‘ j^ k+ y ° ^ e “j^ k)-

Stąd po wymnożeniu K mK* = Y ,A Xi Axk eiiq>xi~‘l,xk) + £ AyiAyk e HVyi ~ ^ ik

ik

(podwójny wskaźnik oznacza podwójne sumowanie). Mamy więc do czynienia z addytywnym nakładaniem się natężeń każdej składowej osobno. W dalszym ciągu będziemy uwzględniali jedną składową i pominiemy wskaźniki. Natężenie fali wypadkowej jest wartością bezwzględną wektora Poyntinga / = !/« , ik

przy czym

ye0c

hk — ~ Y K 2mk oraz hk + h i =

+

= xe0cXm;Xm)lcos(ę>,-ę)t) = 2 j l uIkk cos(
Natężenie całkowite jest sumą natężeń poszczególnych fal Ikk i członów interferencyjnych I ik + Iki, wynikających ze wzajemnych oddziaływań. Dla dwóch fal otrzymujemy / — / i + / 2+

cos(ę>i

^>2)’

w zgodności z tym, co stwierdziliśmy w ogólnym rozdziale o falach. Dla N fal N

N

ik

ik

N

=z ik

N

+ 2 X \Zhihk cos(ę{-
Kryterium interferencji jest istnienie członów interferencyjnych, zależnych od różnicy faz. Jeżeli człony te są równe zeru, pozostaje tylko pierwsza suma

i mamy do czynienia ze zwykłym dodawaniem natężeń. Spójność. Interferencję można uzyskać tylko przy świetle spójnym, czyli takim, w którym różnica faz nie zależy od czasu. Powstawanie światła jest procesem wewnątrzatomowym. Poszczególne akty emisji zachodzą w czasie t — —10~8—10-9 sekundy. Powstają elementarne ciągi falowe o długości równej drodze, jaką światło może przebiec w ciągu tego czasu, a więc rzędu kilkudziesięciu centymetrów. Ze względu na ograniczenie w czasie i przestrzeni ciąg falowy nie może być ściśle monochromatyczny (por. relację nieoznaczono­ ści) i reprezentuje raczej pasmo częstości wokół średniej częstości co. Akty emisji mogą zachodzić jeden po drugim. Kolejne ciągi falowe na ogół różnią się fazą. Uzyskanie interferencji jest uwarunkowane istnieniem wyrazu interferencyj­ nego ^12+^21 — 2 s j

COSA
gdzie Atp jest różnicą faz. Wyraz ten dla dwóch spotykających się ciągów jest na ogół różny od zera, ale bardzo krótkotrwały. Jeżeli interferujące ciągi pochodzą z niespójnych źródeł, różnica faz jest co chwilę inna i średnia wartość członu interferencyjnego < / l 2 + / 2 1) = 0.

Interferencji nie ma, obserwujemy tylko sumowanie się natężeń. 333

- w vw i/w—i - vw w

>■Aę> ^const

Rys. 200. W świetle niespójnym różnica faz między dwiema wiązkami jest co chwila inna

Interferencja może wystąpić tylko wtedy, gdy różnica faz między na­ kładającymi się wiązkami jest stała w czasie, czyli gdy wiązki są spójne. Najprostszym sposobem uzyskania wiązek spójnych jest rozdzielenie wiązki pochodzącej z jednego źródła i nakładanie powstałych w ten sposób wiązek. Wiązki składają się z wielu ciągów o zmiennych fazach, ale spotykające się składowe kolejnych ciągów mają zawsze tę samą różnicę faz zależną od geometrii.

■ =JW 1 W\ w “ -

W

-

-

W

V

--t / w

- n

>i® = const

Rys. 201. Wiązki spójne: fazy poszczególnych ciągów się zmieniają, ale różnica faz pozostaje stała (w narysowanym przypadku A ę = n)

Jedynymi znanymi źródłami światła spójnego w skali makroskopowej są lasery. Różnica faz. W decydującym o interferencji członie interferencyjnym występuje różnica faz spotykających się fal. Dla dwóch fal w jednym ośrodku Aę = (krj —cof-t-ói)—(kr2 —a>t + d2) = k(rj —r2) + ó1—S2. Na przykład dla składowej x 2n Aę = k{x1- x 2) + d1- d 2 = — (xt - x 2)-t-óx-<52. Różnica faz może pochodzić od różnicy dróg x i —x 2 i od różnicy stałych fazowych —<5a. Różnica dróg oznacza różnicę odległości od źródeł interferujących fal. Dla fal zgodnych w fazie (w miejscu powstawania) dt = Ó2 i różnica faz A(p = Y ^ X l~ Xl)' Wyrazimy długość fali w ośrodku za pomocą długości fali w próżni

334

gdzie n jest współczynnikiem załamania (bezwzględnym, tzn. względem próżni). Teraz &

lub, jeżeli każda wiązka biegnie w innym ośrodku, A ę = ^ ( n 1x 1 - n 2x2). A0 Iloczyn współczynnika załamania i drogi w ośrodku (tzw. drogi geomet­ rycznej) nosi nazwę drogi optycznej s„ = ns.

s

ż. 2 Łs.

vwwRys. 202. Tej samej drodze geometrycznej w różnych ośrodkach odpowiadają różne drogi optyczne. Dla n 2 > n 1 mamy A2 < i n 2s > nts.

Różnicę faz można więc sprowadzić do różnicy dróg optycznych

Aę = y -(S n t-sB2)Aq

Zwróćmy uwagę na ciekawe właściwości drogi optycznej. Po pierwsze: sn ż0

ns ż0

s A

Stosunek drogi optycznej do długości fali w próżni jest taki sam, jak drogi geometrycznej do długości fali w ośrodku. Po drugie czas przejścia przez światło takich samych dróg optycznych w różnych ośrodkach jest stały s ns t = - — — = const c c0

. , (gdy ns = const) 335

tzn. jednakowe drogi optyczne oznaczają jednakowe czasy przejścia, a jeżeli źródła wiązek emitują światło zgodne w fazie, jednakowe są także różnice faz. Stwierdziliśmy, że warunkiem interferencji jest spotkanie się wiązek światła o określonej i stałej w czasie różnicy faz. Od tej różnicy zależy wynik interferencji. Maksymalne wartości wyrazu interferencyjnego (cosA = +1)

Rys. 203. Sama spójność nie wystarcza do interferencji, dodatkowym warunkiem jest

nAs < c0t

prowadzą do interferencji konstruktywnej, minimalne (cosAtp = 0 ) dają inter­ ferencję destruktywną. Spójność wiązek nie jest jednak warunkiem dostatecz­ nym. Aby dwa ograniczone ciągi falowe mogły się spotkać w danym miejscu, różnica dróg optycznych musi być mniejsza niż długość ciągu w próżni c0r (t jak poprzednio jest czasem emisji). Warunkiem interferencji dwóch wiązek jest więc także n1sl —n2s2 < c0x. W tym samym ośrodku («j = n2 — n) warunek się upraszcza n fs j-S j) <

c

S. — S , =

<

0t ,

czyli

1

2

co n

— T =

CT.

Różnica dróg geometrycznych musi być mniejsza niż długość ciągu w ośrodku. Długość ciągu nazywa się niekiedy rozmiarem interferencji.

336

Rys. 204. W jednym ośrodku, np. w powietrzu, wystarczy, by As < c0t Krzyżujące się wiązki. Jeżeli interferujące wiązki pochodzą z dwóch spójnych źródeł punktowych, położonych np. na osi x i odległych od siebie o 2d, a początek układu przyjmiemy w połowie odległości między źródłami, to różnica faz w punkcie x , y, z wynosi As = N/(.v-d )2+ y 2 + z2- v/(x +
Rys. 205. W narysowanym przypadku różnica dróg wynosi As = v/(x +d)2 + z2 —y /( x —d)2 + z2. Dla As = id w P pozostanie punkt jasny, a dla As = ( 2 k + \ ) X / 2 — ciemny (współrzędną y pominięto) Zakładamy, że oba promienie biegną w ośrodku o współczynniku załamania n = 1. Różnicy dróg As odpowiada różnica faz

2n A

A

22

-

Fizyka dla politechnik

337

gdzie k jest liczbą całkowitą. Powierzchnie te są hiperboidami obrotowymi zakreślonymi wokół osi z. Dla dużej odległości z = r > d (w praktyce jest to odległość ekranu, na którym obserwujemy prążki, od źródeł) możemy rozwinąć As na szereg i ograniczyć się do pierwszych wyrazów. Stąd As

2 dx dx ------- H—r ( x J + y 2 + b2)+ r r

2dx

Z warunku wzmocnienia znajdujemy położenie jasnych prążków po obu stronach osi z

i prążków ciemnych (2 k + l)X r

X>= ± "

...

Znajdźmy jeszcze odległość między sąsiednimi prążkami, np. odpowiadającymi liczbom k i k+ I, (k + l)Ar kXr 2d

rX

2d~d2

To samo otrzymamy dla prążków ciemnych. Odległość między prążkami jest tym większa (wyraźniejszy efekt), im większy jest stosunek odległości ekranu do odległości między źródłami.

Rys. 206. Bipryzmat Fresnela (Z ,, Z 2 — źródła pozorne)

Przykład. Bipryzmat Fresnela. Praktyczną realizacją układu dwóch źródeł jest bipryzmat lub podwójne zwierciadło Fresnela. Faktycznie źródło jest jedno, ale przyrząd rozdziela wiązkę na dwie — załamane (w pryzmacie) lub odbite (w zwierciadłach). Źródłami interferujących wiązek są obrazy pozorne, z których wiązki wydają się wychodzić. Dla przypomnienia: obraz pozorny to taki, który tworzą przedłużenia promieni po drugiej stronie przyrządu. Odległości Ax między prążkami interferencyjnymi odpowiada odległość kątowa X r 338

2d'

Rys. 207. Podwójne zwierciadło Fresnela. Warunek wzmocnienia: 2dx/r = kX ( Z ,, Z 2 — źródła pozorne) Interferencja w cienkich warstwach. Weźmy pod uwagę płasko-równoległą warstwę ośrodka o współczynniku załamania n (bezwzględnym tzn. względem powietrza lub próżni) i malej grubości h. Światło padające na powierzchnię zewnętrzną rozdziela się na wiązkę odbitą, która nas w tej chwili nie interesuje i załamaną, którą oznaczymy jako a. Ta ostatnia doznaje odbicia na drugiej powierzchni (część przepuszczona dalej również nas nie interesuje) i powtórnego załamania na pierwszej powierzchni (tutaj nie interesuje nas część odbita), po czym może interferować z wiązką b odbijającą się w tym miejscu i równoległą do wiązki pierwotnej. Oznaczymy kąt padania przez a j, załamania przez a 2. Różnica dróg optycznych jest równa drodze światła w warstwie ośrodka (pomnożonej przez współczynnik załamania)

^na

2 nh

cosa 2

Rys. 208. Interferencja w cienkich warstwach. Różnica dróg As = Ih ^ /n 2—sin 2 a ,. W ostatecznym rachunku trzeba uwzględnić zmianę fazy na przeciwną przy odbiciu promienia h

339

minus dodatkowa droga wiązki b w pierwszym ośrodku (tj. powietrzu) wynikająca stąd, że punkt, w którym zachodzi interferencja (punkt wyjścia promienia a z ośrodka), jest odległy od punktu wejścia o 2 h tg a 2 snb = 2 /itga 2 sina,. Wypadkowa różnica dróg optycznych = s„a- s „6 =

2nh cosa

— 2h tg a 2 sina,.

Biorąc pod uwagę zależności cosa 2 = y / l —sin 2 a 2 = (1 /n)y/n2—sin 2

tg“z =

,

sina 2

(l/n)sina,

sina,

y / i —sin 2 a 2

(i/n)y/n2—sin 2 a ,

\ / n 2 —sin 2 a,

otrzymujemy As„ = 2k ( ”2 ■ ------Sin- g l - ) = 2łis/ n J —sin 2a ,. \ y / n 2—sin 2 a, y /n 2 —sin 2 a , / Przy sformułowaniu warunków wzmocnienia (prążek jasny) i osłabienia (prążek ciemny) należy uwzględnić skok fazy o tt przy odbiciu promienia b od ośrodka mniej przeźroczystego

2n

A
nA

A

2n

2

Odpowiada temu przyrost różnicy dróg optycznych As„(ji) = nAs(n) = ~ = y o połowę długości fali w próżni. Teraz możemy napisać warunki wzmocnienia 2 hv/n 2 - s i n 2 a 1 = y + U 0 = (2 fc+ l ) y , -

czyli hy/n2 —sin2ctt = (2 k + l ) -A ^o oraz osłabienia (wygaszenia) 2 hv /n 2 - s i n 2 a, = y + ( 2 k - l ) - ~ = U „,

czyli hv y/n 2—sin 2 a , = k ~2 ,

340

przy czym k jest liczbą całkowitą, która nie może przekraczać kilkudziesięciu (inaczej różnica dróg stałaby się większa niż długość ciągu falowego). W dotychczasowych rozważaniach zakładaliśmy po cichu, że warstwa jest płasko-równoległa, a rozbieżność wiązki równa zeru (ograniczające promienie są równoległe do siebie). Oba warunki są niemożliwe do ścisłego spełnienia. Zarówno grubość warstwy, jak i kąt padania promieni mogą się zmieniać. Jeżeli zmienna jest grubość, a kąt padania jest z wystarczającym przybliżeniem stały; obserwujemy jasne prążki w miejscach, w których grubość spełnia warunek

2k+ l

A0

y /n 2—sin 2 aj 4 Nazywamy je prążkami równej grubości. Jeżeli mamy stałą grubość, obserwujemy prążki równego nachylenia dla promieni o kątach padania a.k, które można znaleźć ze wzoru

y /n 1—sin 2 at

2 k + i X0 h

7 '

Pojawianie się prążków interferencyjnych stwarza możliwość bardzo dokładnej kontroli grubości cienkich warstw, gładkości powierzchni i w ogóle pomiaru bardzo małych długości (rzędu 0,1-0,01 ż0) i kątów. O partą na nich technikę pomiarową nazywamy interferometrią. Ze względu na zależność od długości fali trzeba używać światła monochromatycznego. W białym świetle powstaje mieszanina kolorowych prążków. Przy większej zdolności odbijania wykorzystuje się odbicie wielokrotne. Natężenie prążków. Warunkiem możliwości zaobserwowania interferencji jest dostateczna ostrość i natężenie prążków. Ostrością nazywamy stosunek odległości prążków do ich szerokości. Szerokość prążka 2A xi/2 wynika z jego profilu, czyli rozkładu natężenia, mierzy się ją w połowie wysokości. Oznaczając odpowiadającą różnicę faz przez 2e otrzymujemy jako definicję ostrości

2% n 2e

e,

X 2 A.v,/2’

Rys. 209. Ostrość prążków interferencyjnych definiujemy jako stosunek odległości między prążkami do szerokości połówkowej

341

przy czym Ax natomiast szerokość prążka o wysokości /„ znajdujemy z odpowiadającej jej różnicy faz, która dla / = i / 0 wynosi A