— 2a0 = const. Przyspieszenie ma więc tylko składową radialną, co oznacza, że siły grawitacji są centralne. Wniosek ten można było wyciągnąć bez pośrednio ze stałości prędkości polowej, która świadczy o tym, że momenty sił względem środka masy są równe zeru. Aby obliczyć składową radialną x 2, i w równaniu można pominąć x 2. Teraz = RJsinód#d?> i możemy przystąpić do całkowania V
trzeba znaleźć drugą pochodną promienia wodzącego r = p /(l + ecos
pesirup (l + ecos
Ale p /(l + ecos
55
i radialną składową przyspieszenia ecos
pecos
1 +ecosę>
co2 =
_ pecoscp—p —pecosy 2 _ (l + ecosgs)2 m
4(Tq P Pr Przyspieszenie jest więc odwrotnie proporcjonalne do kwadratu wektora r, czyli do kwadratu odległości między obiema cząstkami. Trzeba jeszcze znaleźć współczyn nik proporcjonalności 4a%!p. Dla toru eliptycznego o polu S = n y p a 3 mamy l2 , (S Y iz2pa3 2 °0 = \^j.J = — f 2 ~ = n PC (pamiętajmy o III prawie Keplera!). Stąd ar = -■
4tz2C
Mając przyspieszenie, możemy wykorzystać równanie ruchu w układzie środka masy do znalezienia wartości siły mM 4it2C m+M r2 Znak minus opisuje zwrot siły — przeciwny do wektora r. Siły grawitacji są więc zwrócone w stronę środka masy. Wprowadzając wektor jednostkowy r° i odpowied nio przegrupowując, dochodzimy do prawa powszechnego ciążenia Ft = p a r
Fg = -
47t2C m+M
Mm r2
lub, oznaczając pierwszy czynnik literą G (stała grawitacji),
Ciała ważkie przyciągają się wzajemnie siłami wprost proporcjonalnymi do ilo czynu ich mas i odwrotnie proporcjonalnymi do kwadratu odległości. Przy okazji możemy nadać ściślejszą postać trzeciemu prawu Keplera a3 T2 ~
G(M + m) 4n 2
Jeżeli jedna z cząstek ma masę dużo mniejszą niż druga (m <§ M), można ją po minąć. Wówczas a3 GM T2 i w takiej właśnie postaci poznaliśmy to prawo w I tomie. 56
5. Rachunek księżycowy. Dodatkowym argumentem przekonującym nas, że siła grawitacji jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości, jest słynny księżycowy rachunek Newtona. Można go streścić następująco: Ziemia i Księżyc
Rys. 35. Schemat układu Ziemia-Księżyc. S — środek masy, M — masa Ziemi: m — masa Księżyca, r — odległość między środkami obu ciał. Ze względu na czytel ność nie zachowano skali.
tworzą układ obracający się dookoła środka masy, który znajduje się wewnątrz Ziemi. Wartości promieni wodzących Ziemi rz i Księżyca rK astronomowie wyzna czyli z wielką dokładnością. Łatwo stąd znaleźć stosunek mas Ziemi (M) i Księ życa (m): M m
= 81,3015.
Równie dokładnie znamy średnią odległość między środkami Księżyca i Ziemi: r = rK+ rz - 3,84400- 105 km i okres (tzw. syderyczny) obiegu Księżyca T = 27,3217 doby. Na podstawie tych danych można znaleźć przyspieszenie dośrodkowe Księżyca 4tc2 M im 4tc2 , m aK - rK'Y 2~ ~ YV{M]rr{)r ~ T T~ = 2’69024: 10" “^TWykorzystaliśmy tu oczywisty związek między promieniem wodzącym Księżyca a odległością między środkami obu ciał: rK =
M Mim -r = m+M 1 + (M/m) 57
Jeżeli silą dośrodkową działającą na Księżyc na orbicie jest siła grawitacji, to przyspieszenie dośrodkowe Księżyca jest przyspieszeniem swobodnego spadku w miejscu, gdzie znajduje się jego środek. Z kolei, jeżeli przyspieszenie to jest rze czywiście odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości, to stosunek przyspieszeń gR/aK = (r/R)2. Obliczmy ten stosunek: gR _ “
9,80665 2,69024-10-3
3645,27
i porównajmy go z kwadratem stosunku r/R znanego z obserwacji astronomicznych |
= 60,2672 = 3632,1.
Jak widać, obie wartości są bardzo bliskie sobie. Gdybyśmy wzięli pod uwagę, że orbita Księżyca jest w rzeczywistości elipsą, uzyskalibyśmy jeszcze lepszą zgodność. Obserwacje ciał niebieskich potwierdzają prawo powszechnego ciążenia. 6. Wyznaczenie stałej grawitacji. Jeżeli znamy postać prawa powszechnego cią żenia, to wyznaczenie stałej grawitacji sprowadza się do pomiaru sił przyciągania
Rys. 36. Zasada działania wagi skręceń. Siły grawitacji działające na kuleczki m skręcają beieczkę zawieszoną na druciku. Promień światła ze źródła Z odbity od lus terka L pokazuje podwójny kąt skręcenia na skali S. Znając stałą sprężystości drutu k i długość l beleczki oraz mierząc odległość r między środkami kul M i mw położeniu równowagi, możemy wyznaczyć stałą grawitacji.
między ciałami o znanych masach przy danej odległości środków. Metoda pomiaru musi być bardzo czuła, bo siły grawitacji są niezmiernie małe. Jednym z najczulszych przyrządów do mierzenia siły jest waga skręceń. Wyobraźmy sobie lekki pręt o dłu gości / z ciężarkami na końcach zawieszony poziomo na cienkim drucie tak, że może wykonywać drgania skrętne w płaszczyźnie poziomej. Oba ciężarki mają jednakowe 58
masy m. Za pomocą zdalnie uruchamianego urządzenia można przysunąć do nich dwie ciężkie kule o masach M na taką odległość, by po ustaleniu równowagi odleg łość między środkami każdej pary kul (małej i dużej) wynosiła r. Na ciężarki działają wówczas równe i przeciwne siły grawitacji F = GMm/r2, tworzące parę sił, której moment FI obraca pręt dookoła osi pionowej i skręca drut, dopóki nie zrównoważy go moment sił sprężystości, wprost proporcjonalny do kąta skręcenia
FI
Stałą proporcjonalności k można wyznaczyć z okresu drgań własnych wagi. Stąd stała grawitacji G=
kr2 IMm
Podstawiając M = 158 kg, m = 730 g, / = 1,83 m, r = 18 cm, k = 2,40 • 10-4 N ■m/rad i
2,40 • 10"4 G = = 6,7 • 10-11
N -m 2 kg2
Wychylenie
kg-*
Porównując ze sobą wartości stałej grawitacji uzyskane przy różnych masach M i m i różnych odległościach r między nimi, stwierdzamy, że są one w granicach błędu jednakowe. Każdy taki pomiar potwierdza prawo powszechnego ciążenia.
7. „Ważenie” ciał niebieskich. Znając stałą grawitacji, możemy wyznaczyć mas Ziemi z równania GMm m g= - p - , czyli dla powierzchni Ziemi (r = R, g = gR) M z = gRR 2 G ' 59
Stąd M — 5,98 • 1024 kg. W podobny sposób można wyznaczyć >masę Słońca. Przyspieszenie grawitacyjne Ziemi jest równoznaczne z jej przyspieszeniem dośrod kowym w ruchu orbitalnym Ms
gzr2 __ 47z2r3 G ~ GT2 '
Podstawiając r = 1,496- 10® km (jednostka astronomiczna) i T — 3,156- 107 s (1 rok) otrzymujemy M s = 1,99- 1030 kg = 332 000 M z . Masę Słońca można też wyznaczyć z trzeciego prawa Keplera. W taki sam sposób można znaleźć masę każdego ciała centralnego. Byłoby to niemożliwe, gdybyśmy nie znali wartości stałej grawitacji. Znając masy ciał niebieskich i ich rozmiary, możemy w elementarny sposób obliczyć ich gęstość. Na przykład gęstość Ziemi Mz V
5,98 • 1024 kg f w • (6,37 • 106 m)3
5,52 • 103
kg m3 ‘
Wartość ta wydaje się za duża. Przeciętna gęstość minerałów tworzących skorupę ziemską wynosi 2,83 • 103 kg/m3. Widocznie najcięższe minerały skupione są w pobliżu środka Ziemi. Badania sejsmiczne potwierdzają ten wniosek. Ziemia ma ciężki rdzeń o gęstości ok. 12 ■103 kg/m3 i średnicy ok. 7 tysięcy km.
§ 7. Parametry pola grawitacyjnego Aby w pełni opisać pole, trzeba znać jego źródła i przestrzenny rozkład wielkości charakteryzujących pole, tzn. natężenia, potencjału i energii. Źródła. Źródłami i obiektami oddziaływania pola grawitacyjnego są ciała waż kie. Charakteryzujemy je podając ich masy i rozmieszczenie. Mogą to być ciała punktowe (cząstki), układy ciał punktowych i ciała rozciągłe. W przypadku ciał punktowych musimy znać ich masy mi i wektory położenia r,. Masa układu ciał punktowych jest sumą mas poszczególnych cząstek
m=X!"1'Ciało rozciągłe opisujemy podając masę m i rozkład gęstości Ze względu na definicję gęstości
qw
funkcji położenia.
dm 6 ~ ~dV masa ciała jest rozciągniętą na całą jego objętość całką z gęstości: m = Jg(r)dV\ v 60
Natężenie. W polu sił definiujemy natężenie pola jako stosunek siły do wielkości charakteryzującej obiekty oddziaływania. Tą wielkością w polu grawitacyjnym jest masa. Wobec tego
Natężenie pola grawitacyjnego jest równoznaczne z przyspieszeniem swobodnego spadku. Mierzymy je oczywiście w m/s2. Potencjał. Natężenie pola grawitacyjnego cząstki
Rys. 37. Pole grawitacyjne cząstki (u góry) i zależność natężenia pola od odległości. Minus oznacza, że wektor g jest skierowany przeciwnie do promienia wodzącego.
tworzy sferyczne pole centralne o wartości odwrotnie proporcjonalnej do kwadratu odległości r od źródła. Jak już wykazaliśmy, takie pole jest solenoidalne (w obszarach nie obejmujących źródeł): divg = 0 i jak każde pole centralne jest bezwirowe rot g = 0; 61
musi więc mieć potencjał Vg, zdefiniowany wzorem g = —grad Vg. Aby wyjaśnić fizyczny sens potencjału grawitacyjnego, zastosujmy do pola gra witacji związek między siłą a energią potencjalną F = —grad£p. Zatem m grad Vg = grad Ep. Stąd
Potencjał grawitacyjny jest równy stosunkowi energii potencjalnej dala w polu grawitacyjnym do jego masy. Jednostką potencjału jest dżul/kg, czyli m2/s2. Jak potencjał grawitacyjny zależy od odległości od centrum? Z definicji dVg = —gdr. W polu cząstki
Zauważmy, że iloczyn r°dr = |r°| • |dr|cos(r°, dr) = dr jest rzutem przemieszczenia dr na kierunek promienia wodzącego, czyli po prostu zmianą jego długości. Wartość całki w wyrażeniu na potencjał nie zależy więc od toru całkowania. Jest to charakterystyczną cechą pola centralnego i w ogóle wszystkich pól potencjalnych. Teraz możemy już obliczyć całkę
Stała całkowania C zależy od wyboru poziomu odniesienia. Najczęściej przyjmuje się, że dla r = oo Vg = 0. Wówczas C = 0 i ostatecznie GM r Potencjał grawitacyjny w polu cząstki o masie M jest odwrotnie proporcjonalny do odległości od niej i wszędzie ujemny z wyjątkiem nieskończoności, gdzie przyjmuje wartość zero. To samo uzyskalibyśmy z całki oznaczonej r oo 00 GM r 00 r r
62
Rys. 38. Potencjał grawitacyjny cząstki w funkcji odległości od niej. Tego rodzaju przebieg nazywamy studnią lub jamą potencjału. W nieskończoności potencjał przyj muje wartość zerową.
Energia. Energia potencjalna w danym punkcie pola jest równa pracy przesu nięcia cząstki o masie m od tego punktu do nieskończoności: 00
00
Ep(r) = Wr->oo = J Fgdr = m $ gdr = mVg r
r
zgodnie z poprzednimi rozważaniami. W polu cząstki GMm
Podobnie jak potencjał, energia potencjalna w polu grawitacyjnym jest odwrotnie proporcjonalna do odległości od źródła pola i wszędzie ujemna. Dla r = oo Ep = 0. Jak już wspomniano, F9 = —gradE ,, czyli d Ep = -F „ d r. Pole grawitacyjne jest zachowawcze. W ruchu ciała pod wpływem sił grawitacji d£ = d £ K+ d £ p = 0 i zmiana energii kinetycznej d £ K = - d £ p = Fgdr. Można stąd obliczyć przyrost energii kinetycznej ciała rozpędzanego przez siły grawitacji — np. w czasie swobodnego spadku:
£" - £" ■ S( - ^ ri
r°)dr = GMm( ^ - t : \
przy czym, podobnie jak poprzednio, skorzystaliśmy z tożsamości r°dr = dr. 63
Prawo Gaussa. Dla pól centralnych typu w(r) = cr°jr2 prawo Gaussa ma postać
j>gdS=-4rcGEM Rys. 39. Grawitacyjne prawo Gaussa: strumień natężenia pola przez zamkniętą powierzchnię 5 jest wprost proporcjonalny do sumarycznej masy ciał wewnątrz niej — niezależnie od ich rozmieszczenia i kształtu. Minus oznacza, że wektor g wskazuje do środka (wektory powierzchni na zewnątrz).
W dalszym ciągu jako wielkość charakteryzującą pole wektorowe będziemy z reguły wybierali natężenie pola. Dla pola grawitacyjnego c — —GM i prawo Gaussa otrzymuje postać
czyli divg = —4it Gg(r), gdzie q — dM /dV oznacza gęstość wewnątrz obszaru całkowania. Jest to tzw. róż niczkowa postać prawa Gaussa.
§ 8. Zależności pola od rozkładu mas Przebieg pola grawitacyjnego zależy od rozmieszczenia ciał ważkich będących źródłami pola. Omówimy po kolei niektóre, najczęściej spotykane przypadki rozkładu mas i wyznaczymy wielkości charakteryzujące pole w zależności od położenia. Zauważmy, że w zasadzie wystarczy znalezienie rozkładu potencjału grawitacyjnego Vg(r). Natężenie pola znajdziemy przez różniczkowanie potencjału zgodnie z wzorem g (r) = - g ra d Kfl(r), a energię potencjalną z zależności Ep{r) = mVg(r). Ze względu na to, że pole grawitacyjne jest centralne, wystarczy podać zależność od odległości r od centrum. Masa punktowa. Wzory opisujące pole cząstki poznaliśmy już. Potencjał grawi tacyjny
i energia potencjalna _
GMm
są odwrotnie proporcjonalne do odległości. Natężenie pola
jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od centrum. Znając natężenie, możemy w razie potrzeby znaleźć siłę działającą na wprowadzoną w pole cząstkę próbną masie m : F - -
r2
Układ cząstek. Wielkości charakteryzujące pole są addytywne. Dla n cząstek, o położeniach opisanych wektorami rj, potencjały grawitacyjne dodają się. W punk5
Fizyka dla politechnik
65
cie o położeniu r
K(r) = -
Z
GM ,
\r - ri\ '
Bezwzględna wartość różnicy wektorów |r —rj| oznacza po prostu odległość punktu, w którym wyznaczamy potencjał od i-tej cząstki. Podobnie sumują się war-
Rys. 40. Potencjał w punkcie P jest sumą potencjałów pola cząstek układu. Różnica wektorów r—rl jest wektorem łączącym cząstkę M , z punktem P (punktem działania).
tości energii potencjalnej. Jeżeli w danym punkcie pola znajduje się cząstka próbna o masie m, to jej energia potencjalna n
Ep(t) = mV„(r) =
Natężenie pola jest ujemnym gradientem potencjału. Gradient sumy jest sumą gradientów. Stąd
gdzie (r,)° jest wersorem wektora |r-r',|. Aby uprościć zapis, skorzystamy z oczywistej tożsamości
66
Ostatecznie natężenie pola grawitacyjnego układu cząstek
g(r)=-J]
GMt(r - r | ) |r - r ||3
Jeżeli w danym punkcie pola umieścimy cząstkę próbną o masie m, będzie na nią działała siła
We wszystkich tych wzorach znak minus opisuje przyciąganie. Siły działające na cząstkę próbną są skierowane przeciwnie do wektorów r — . Ciała rozciągłe. Weźmy obecnie pod uwagę ciągły rozkład masy wewnątrz ob szaru o objętości V ograniczonego powierzchnią S. Niech cząstka próbna znajduje się w miejscu opisanym przez wektor położenia r, na zewnątrz obszaru V, czyli na
Rys. 41. Potencjał w punkcie P jest całką, tzn. sumą przyczynków od elementów masy dM całego ciała ważkiego, czyli obszaru o ciągłym rozkładzie masy. W ogólnym przypadku (ciało niejednorodne) gęstość q jest funkcją położenia; w ciałach jednorod nych (j> = const) gęstość wyciągamy przed znak całki i całkujemy po objętości. Na tężenie dg pola elementu dM w punkcie P jest skierowane przeciwnie do wektora
zewnątrz ciała będącego źródłem pola. Oznaczmy przez r' położenie wybranego różniczkowego elementu objętości dV tego ciała. Jeżeli w tym punkcie gęstość wy nosi o(r'), to masa elementu dM =
q(r')dV.
Daje on na zewnątrz przyczynek do potencjału grawitacyjnego w wysokości Gp(r')dF | r - r '| • 5*
67
Całkując po całej objętości ciała V, czyli po wszystkich r', otrzymamy sumaryczny potencjał w punkcie r:
V,(r)= - G $ V
g(r')dK | r - r '| '
W podobny sposób znajdziemy energię potencjalną
EP(r) = —mG
e(r ') d F lr-r'1
natężenie pola
i siłę działającą na cząstkę próbną
F(r) = -m G
\
q(r ') ( r - r ') d F
|r —r '|3
Dla ciał jednorodnych, czyli dla q (t ') = const, możemy gęstość wyrzucić przed znak całki i wzory znacznie się upraszczają. Można je też uprościć podstawiając «
Rys. 42. Rysunek podobny do poprzedniego, oznaczenia inne: położenie elementu dK opisuje wektor r (bez kreski), wektor łączący go z punktem P oznaczono po prostu przez r„ a jego wersor przez rj. 68
r . = r —r'. Wówczas K = l
r>
E m= _ m G C ^ > d K ,
t
r’
_ c fę(r%dF = J r»
c f ę(r> gdK > J r„
F = -m G J g(r'p |,dF = ~m G J
e(r')r°pdV
Powyższego uproszczenia nie można zastosować, jeżeli cząstek jest więcej. Przykład. Pole grawitacyjne kuli. Źródłem pola jest kula o masie M i promieniu R . Natężenie pola na zewnątrz kuli (r > R ) znajdziemy łatwo otaczając ją w myśli kulą o promieniu r. Z twierdzenia Gaussa j>gdS = —4tzGM. Zwroty wektorów g i dS są przeciwne, więc gdS = —g-dS. Na powierzchni kuli (r = const) natężenie pola jest stałe i można je wyłączyć przed znak całki. Stąd | gdS = —g | d S = —g-4 n r2. Wracając do prawa Gaussa otrzymujemy —4tcr 2g = —4nG M ,
Rys. 43. Natężenie pola na zewnątrz kuli znajduje się najprościej z prawa Gaussa dla kulistej powierzchni S = 47rr2. Jest ono takie samo jak w przypadku cząstki o masie M umieszczonej w środku kuli. 69
czyli g =
GM
albo w postaci wektorowej
g= —
GM \
Jak widać, natężenie pola grawitacyjnego na zewnątrz kuli jest takie samo jak dla tyle samo wa żącej cząstki. Obliczmy jeszcze potencjał
i energię potencjalną
Ep = mV„ =
GMm r
Nieco inaczej przedstawia się sprawa wewnątrz kuli (r < R). Dla uproszczenia założymy, że jest to kula jednorodna (o = const). Także i tutaj całkę w prawie Gaussa będziemy rachowali po
M(r) = -^ M 4 jtr 2g = -43tGM(r)
Rys. 44. Wewnątrz kuli natężenie pola grawitacyjnego jest wprost proporcjonalne do odległości r od środka kuli. W środku g = 0. powierzchni kuli D promieniu r, biorąc pod uwagę zawartą wewnątrz niej masę M (r) = 4o7w3/3, Jej stosunek do całkowitej masy kuli (r = R) wynosi M jr) _
ę - 5itr3
Stąd r3 M { r ) = — j-ltf. R3 70
r3
Prawo Gaussa otrzymuje postać . r3 § g d S = - 4 n GM—T . Podobnie jak poprzednio, na powierzchni kuli g = const oraz gdS = —gdS. Zatem (.3
cji gdS = —g ■4k t 2 = —4k G M —- , czyli GM g = ------ r R? lub w notacji wektorowej g = -
GM
Natężenie pola grawitacyjnego wewnątrz kuli rośnie liniowo wraz z odległością od środka kuli i jest wszędzie zwrócone w jego stronę. W samym, środku r = 0 i g = 0. Biorąc pod uwagę przebieg natężenia pola wewnątrz i na zewnątrz kuli, stwierdzamy, że na powierzchni kuli (r = R) wartość bezwzględna natężenia osiąga maksimum równe GM
gR ~
'
Rys. 45. Porównanie przebiegu natężenia (u góry) i potencjału pola grawitacyjnego kuli, r jest odległością od środka kuli. Natężenie pola osiąga największą wartość na powierzchni, krzywa potencjału ma tam punkt przegięcia. W środku kuli g = 0, a potencjał ma minimum o skończonej wartości. 71
Niekiedy — np. w polu grawitacyjnym Ziemi — wygodnie jest wyrazić natężenie pola za po mocą jego wartości na powierzchni. Jak łatwo stwierdzić, na zewnątrz kuli R2 g(r) = g R~ ,
r2
a wewnątrz niej r g(r) = g R— . Wróćmy teraz do potencjału wewnątrz kuli. Wyznaczymy go najprościej całkując natężenie pola w granicach od punktu, w którym chcemy znaleźć jego wartość do nieskończoności (dlaczego?). Drogę całkowania wygodnie jest rozdzielić na dwa odcinki — do powierzchni i od powierzchni do nieskończoności. V, = \ gdr = J g d r+ $ g d r . Podstawiając odpowiednie zależności g(r) i całkując z uwzględnieniem zwrotu wektorów otrzymamy GM
~W
R J rdr—GM ^
dr
7 1"
GM GM (R2~r2)~ 2R 3 R
W środku kuli (r = 0) potencjał osiąga minimum równe —GMI2R—GM jR = —2GM/2R. N a powierzchni kuli V, = —GMjR. Na zewnątrz kuli potencjał rośnie i w nieskończoności zmierza do zera zgodnie z wzorem V, = —GM/r.
Równanie Poissona. Z prawa Gaussa w postaci różniczkowej możemy przejść do równania Poissona dla pola grawitacyjnego. Mianowicie ze względu na związek g = —grad Vg mamy czyli
divg = —divgradF9 = —4 tżGq , _______________ W2Vg = 4tzGq .
Jak już uprzednio wykazaliśmy, rozwiązaniem tego równania jest potencjał skalarny Vs = k
s
gdV r
Wobec tego także potencjał grawitacyjny
spełnia równanie Poissona dla ciągłego rozkładu mas wewnątrz obszaru całkowania. Ten sam wzór całkowy możemy zastosować do mas punktowych, jeżeli wprowadzimy tzw. funkcję 6 Diraca. Dla danej współrzędnej — np. x — definiujemy ją następująco: dla wszelkich x # 0 <5(x) = 0, a dla x = 0, <5 = oo, przy czym + 00
j ó(x)dx = 1.
—W 72
Najcenniejszą właściwością funkcji S jest to, że spełnia związek + co
$ f(x)Ó (x)dx = f ( 0). — 00
Istotnie, zerowanie się funkcji d(x) dla r # 0 pociąga za sobą zerowanie się powyższej całki, a dla x = 0 możemy wyciągnąć /(O) przed znak całki, której wartość zgodnie z definicją funkcji • Diraca jest równa jedności.
9
S (0 ) =
oo
5(x*=0)=0 + CO
0
x
Jó(x)dx=1 — OO
Rys. 46. Przebieg funkcji <5 Diraca. Całkę z ó można rozumieć jako pole pod jej wykresem. Jest oczywiste, że d (x —x 0) ma dla x = x 0 takie właściwości jak funkcja 6 (x) dla x = 0. Stąd
+00 $ f ( x ) 8 ( .x - x 0)&x = f ( x 0).
—00
Taki sam wynik otrzymamy aia Każdego skończonego obszaru całkowania obejmującego punkt x = 0 dla funkcji ó(jc) lub x = x 0 dla funkcji d(x—x 0). W podobny sposób definiujemy trójwymia rową funkcję <5(r). Jest ona wszędzie równa zeru z wyjątkiem początku układu, gdzie przybiera wartość oo, przy czym $ <5(r)dF = 1;
V
V oznacza objętość obszaru obejmującego początek układu.
Oczywiście
J /(r)ó(r—r0)dK = /( r 0).
v
Dla kartezjańskiego układu współrzędnych <5(r) = ÓU)<5(y)ć(z).
Wróćmy teraz do układu n cząstek o masach M i i wektorach położenia r(. Funkcja <5(r) ma wy miar odwrotności objętości. Rozkład gęstości można przedstawić w postaci g(r) =
Af,<5(r-r,).
73
Podstawiając go do wzoru na potencjał, otrzymamy ę(r)dK
f 2 A f|d(r—r,)dF
|r—r '|' co jest równoznaczne z uzyskaną już przedtem postacią
Jeżeli wewnątrz obszaru całkowania nie ma cia' ważkich ({> = 0), potencjał grawitacyjny spełnia równanie Laplace’a W2Vg = 0. Niekulisty rozkład mas. Stwierdziliśmy uprzednio, że rozkład pola dookoła jednorodnej kuli jest taki sam, jak dla ciała punktowego. Wynika to z doskonałej symetrii rozkładu kulistego. A jak ' wygląda pole ciała dowolnego? Domyślamy się, że w jego sąsiedztwie przebieg pola będzie się różnił od pola kuli, upodabniając się do niego w miarę zwiększania odległości od ciała. Aby dokładniej wyznaczyć pole, wybierzemy jako początek układu współrzędnych dowolny punkt wewnątrz ciała.
Rys. 47. Niekulisty rozkład mas charakteryzują momenty rozkładu
= M,
K 2 = Q ,K 3 = \ r '2(3cos2a —l)gdF/2 itd. Wzór na potencjał odnosi się do dużych r.
Podobnie jak przedtem oznaczymy wektor położenia punktu, w którym wyznaczamy pole (tzw. punktu działania), przez r, a wektory położenia elementów objętości ciała przez r'. Jeżeli wektory r i r' tworzą kąt a, to odległość elementu objętości od punktu działania wynosi rp = yV2+ r '2—2/r'cosa = y/r2+ r '2- 2 r r '. Przekształćmy to do postaci
74
i podstawmy do wzoru na potencjał
i
r,
-c[
.
J r | / l + (r'I -2rr')/r*
.
Korzystając z wzoru (dla dużych r)
(1+*)"1'2 =
—
rozłożymy wyrażenie podcałkowe w szereg. Uwzględniając znaki i grupując według potęg wartości wektora r , otrzymujemy
Całki Ky, K i, K 3... noszą nazwę momentów rozkładu mas rzędu 1, 2, 3... Moment pierwszego rzędu., zwany monopolowym, oznacza po prostu masę ciała Ky = $ e d V = M . Moment drugiego rzędu, czyli dipolowy, jest równy zeru: K 2 = $ r°r'e d V = J r'cosagdK = 0, bo przy całkowaniu po całej objętości ciała równie często spotykamy dodatnie i ujemne wartości kosinusa kąta a. Moment trzeciego rzędu
*3=5
3(r°r')2—r '2
edV-
s-
2(3cos2a —1)
QdV
nosi nazwę kwadrupolowego. Jest on tensorem o złożonej strukturze. Następne wyrazy szeregu po tęgowego stanowią składniki momentu oktupolowego. Jak widać, pole w pobliżu ciał niekulistych odbiega od pola kuli czy cząstki. W miarę oddalania się przyczynki od momentów wyższych rzędów są coraz mniejsze i możemy je kolejno pomijać. W dostatecznie dużej odległości (miarą odległości jest tu stosunek r/r') pozostaje tylko moment monopolowy i pole ciała praktycznie nie różni się od pola kuli.
§ 9. Energia grawitacyjna Dotychczas rozpatrywaliśmy oddziaływania grawitacyjne w sposób uproszczo ny — w polu cząstki, układu cząstek czy ciała rozciągłych znajdowała się pojedyncza cząstka próbna. Oddziaływania są zawsze wzajemne. Cząstki tworzące układ także oddziałują ze sobą. Podział ciał na źródła i obiekty oddziaływania pola jest sztuczny i może prowadzić do błędów. W przypadku ogólnym mamy n wzajemnie oddziału75
jących cząstek. Oznaczając je wskaźnikami i i j możemy zsumować energie oddziały wań n—1 n mtmj E(rŁ, r 2 lr i - r j l
'
Wektory r f i r} opisują położenie cząstek z oddziałujących par. Aby uniknąć podwójnego liczenia każdego oddziaływania, sumując przestrzegamy warunku
Rys. 48. Energia grawitacyjna układu cząstek jest sumą energii oddziaływań między poszczególnymi parami cząstek. Każde z wzajemnych oddziaływań uwzględniamy raz, przestrzegając warunku, by i < j . Można też wziąć połowę sumy energii wszyst kich możliwych oddziaływań, z wyjątkiem i = j .
i < j. Można też policzyć każde oddziaływanie 2 razy i w ostatecznym rachunku wziąć połowę sumy:
z wyłączeniem nieoznaczoności dla i = j. Łatwo sprowadzić powyższe wzory do poprzednio poznanej postaci wyrażenia na energię w polu układu cząstek. Wystarczy w tym celu wybrać jedną z cząstek, np. i = 1, jako próbną. Sumując osobno wyrazy zawierające jej promień wodzący r lt otrzymamy « —1
n E
= —Gm1 j= 2
76
|rx —r7| 3
n
r W mimj U L Z—i |rt —r , | ' i = 2 j= 3
1
3
Jeżeli odległości wzajemne cząstek układu (z wyjątkiem cząstki próbnej) są stałe, to człon z podwójną sumą jest też stały i można go włączyć w stałą cechowania energii. Pozostaje tylko pierwszy człon, zależny od położenia cząstki próbnej i roz kładu mas. Ma on tę samą postać co wyprowadzony wcześniej wzór. M, |r - r ; | '
EP
Wróćmy jednak do energii grawitacyjnej w przypadku ogólnym. Dla ciał ciągłych elementy objętości mają postać g(r)dF i p(r')dF', a suma przechodzi w całkę Eg
G fr
S ^ O -in r . > |r —r | 2
Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest potencjałem grawitacyjnym. Stąd £ 9 = y $ e ( r ) F 9(r)dF .
= j j e ( r)vg(i-)dv Rys. 49. W przypadku ciał rozciągłych sumy przechodzą w całki, V , ( r ) jest potencjałem pola grawitacyjnego prawego ciała w punkcie r.
Rys. 50. Chcąc obliczyć energię grawitacyjną jednorodnej kuli o masie Af wybieramy element objętości w postaci powłoki kulistej o promie niu r i grubości dr i całkujemy iloczyn gęstości i potencjału po całej objętości kuli.
Przykład. Energia grawitacyjna kuli. Potencjał jednorodnej kuli o masie wynosi, jak wiadomo,
9
ZR 3
R
M
i promieniu
R
IR ?
77
Jako element objętości najlepiej wybrać powłokę kulistą o grubości dr, czyli Całkujemy po całej objętości kuli:
R _ GMe r ęiR i_ r2) . 47trIdr = _ 4JJ3 J
R 3
o
k q
Podstawiając
e
=
M /V =
*
G M
R r
(
R 5 \
d V
=
4 n r 2d r .
=
J
o
4
3A//4nJ?3 otrzymamy ostatecznie 3 5
G M 2
*
Ujemna wartość energii grawitacyjnej oznacza, że ma ona charakter e n e r g i i w ią z a n ia . Im mniej szy promień kuli, tym mniejsza energia. Brak minimum zależności E „ ( R ) świadczy o braku równowagi trwałej. Gdyby nie działały inne czynniki, to dało pod wpływem sił grawitacji kurczyłoby się stale wydzielając energię.
Gęstość energii grawitacyjnej. Prawa strona wzoru na energię pola grawitacyjnego zawiera pod całką iloczyn gęstości i potencjału. Obie te wielkości wiąże ze sobą rów nanie Poissona V 2V„ = 4nGę albo q = V2Vg/4nG. Stąd E^ ^ c W
‘ V-i V -
Aby móc obliczyć całkę, wykorzystamy związek div(KegradFe) = grad2F„+ VgV2V„ łatwy do wyprowadzenia za pomocą operatora nabla. Wyrażenie podcałkowe jest więc równe K„V2Vg = div( F„grad Vg) - g r a d 2Vg Ale grad
= —g. Stąd Ep = S^ g \ [div(K» gradF«) ~ 8 2W V -
=
[5
Do pierwszej całki możemy zastosować twierdzenie Gaussa j div( Vggrad Fg)dF = j KggradKgdS. Dla nieskończonego obszaru całkowania całka ta znika (dla S -*• oo Vg -* 0) i po zostaje tylko druga całka
78
Różniczkując ją możemy znaleźć gęstość energii „ 6e
_____ 8tiG ‘
dV
Żeby lepiej wniknąć w sens tego wyrażenia, zapiszemy je w postaci
Każdemu punktowi pola grawitacyjnego odpowiada określona gęstość energii pro porcjonalna do kwadratu wartości natężenia pola. Pole grawitacyjne jest wypełnione energią. Odnosi się to także do pola w próżni. Pojęcie próżni uzyskuje w ten sposób głębszy sens, daleki ou potocznego. Próżnia nie jest pustką!
Rys. 51. Gęstość energii pola grawitacyjnego jest określona lokalną wartością natężenia pola.
Rys. 52. Zależność lokalnej gęstości energii grawitacyjnej wewnątrz kuli od odległości od jej środka.
Przykład. Gęstość energii kuli. Dzieląc obliczoną uprzednio energię grawitacyjną jednorodnej kuli przez jej objętość otrzymujemy
Qe = —
3
G M 2
7 R
9
G M 2
20
~nS*
‘
Jest to średnia gęstość energii. Lokalna gęstość będzie się zmieniała jak kwadrat natężenia
esto = -
1 JOg
1 GM2 . 8n H6 r ’
osiągając na powierzchni kuli maksymalną wartość
= Oczywiście w środku kuli
1 GM2 8tc S* ' qb
—
0.
Ogólna teoria względności § 10. Współczesna teoria grawitacji Tak się paradoksalnie składa, że punktem wyjściowym współczesnej teorii gra witacji jest najstarszy eksperyment teorii klasycznej — doświadczenie Galileusza, omówione przez nas na początku rozdziału o grawitacji. Jak stwierdziliśmy, prowadzi ono do wniosku, że siła ciężkości jest wrost proporcjonalna do mas ciał, na które działa. Teraz postaramy się pogłębić ową interpretację. Masa ważka i bezwładna. Masa ciał występuje w dwojakiej roli jako miara bez władności, czyli masa bezwładna (inercjalna) i jako wielkość charakteryzująca źródła i obiekty oddziaływania grawitacyjnego, czyli masa grawitacyjna. Masa bezwładna mb występuje w drugiej zasadzie dynamiki Newtona; od niej zależy przyspieszenie ciała pod wpływem danej siły: F a = ---mb ' Masa grawitacyjna M g, mg występuje w prawie powszechnego ciążenia
Przyspieszenie swobodnego spadku ciała o masie grawitacyjnej mt i masie bez władnej mb wynosi F
6
Fizyka dla politechnik
GMg mg 0 r2 mb • 81
Rys. 53. Jeżeli masa bezwładna nie równa się grawitacyjnej, to przyspieszenie swo bodnego spadku przestaje być równe natężeniu pola grawitacyjnego.
Dotychczas zakładaliśmy tożsamość obu rodzajów masy. Czy takie założenie jest usprawiedliwione? Wynik doświadczenia Galileusza, czyli niezależność przyspie szenia swobodnego spadku od masy i rodzaju ciała upoważnia do wniosku, że masa bezwładna jest proporcjonalna do grawitacyjnej: mb = fang. Proporcjonalność jest tu równoznaczna z identycznością — stała proporcjonalności A zawiera się w stałej grawitacyjnej G. Jej wartość nie jest więc istotna, za to tym większej wagi nabiera dokładność doświadczeń stwierdzających tę proporcjonalność. Doświadczenie Newtona. Jeżeli uwzględnimy różnicę między masą bezwładną a grawitacyjną, to równanie drgań wahadła matematycznego o długości / dla małych
do zmienionego wzoru na okres wahadła. Zmiana materiału ciężarka powinna pro wadzić do zmiany okresu. Doświadczenia nie potwierdziły różnicy między obydwoma rodzajami mas. Jeżeli są one różne, to muszą być do siebie proporcjonalne. 82
wychyleń
8 mt q> = —co2
gdzie ca = 2 k / T oznacza częstość kołową. Stąd okres wahań T = 2n
l mb g m„ ‘
Jeżeli oba rodzaje masy są do siebie proporcjonalne, to okres wahań wahadła nie powinien zależeć od materiałn ciężarka. Współczesne wersje doświadczenia New tona potwierdziły stałość okresu z dokładnością do 10“ s. Doświadczenie Eotvosa. N a skutek wirowania Ziemi kierunek pionu odchyla się nieco w stronę równika. N a półkuli północnej rzut siły grawitacji na prostopadłą do lokalnego pionu płaszczyznę horyzontu będzie więc skierowany na północ, a rzut siły odśrodkowej — na południe. Oba te rzuty będą równe i przeciwnie skie rowane. Wyobraźmy sobie wagę skręceń w postaci lekkiej beleczki z małymi ciężar kami na końcach, zawieszonej na cienkim drucie. Siła odśrodkowa zależy tylko od szerokości geograficznej, siła grawitacji jest wprost proporcjonalna do lokalnej wartości natężenia pola grawitacyjnego. W polu jednorodnym na oba ciężarki dzia łają równoważące się dwójki sił i belka pozostaje w równowadze. W polu niejedno rodnym — np. przy granicy złoża ciężkich minerałów — na jeden z ciężarków działa większa siła grawitacji niż na drugi, siła odśrodkowa pozostaje oczywiście bez zmian i w rezultacie belka wagi ulega skręceniu, dopóki sprężystość drutu nie zrównoważy momentu skręcającego. Skręcenie odczytuje się przez oświetlenie złączonego z dru tem lusterka — promień odbity obróci się o kąt dwa razy większy niż kąt skręcenia. Przy dostatecznie odległej lunetce ze skalą, na którą pada odbity promień, można
Rys. 55. Wypadkowa sity grawitacyjnej F, i siły bezwładności (odśrodkowej) F» ma kierunek lokalnego pionu. Pozioma składowa siły grawitacji (na półkuli północnej) jest skierowana na północ, a siły odśrodkowej na południe. 6*
83
T
uzyskać czułość rzędu 10“ 4 radiana na dzidkę, co przy dostatecznie cienkim drucie odpowiada momentowi 10“ 18 N -m . Waga Edtvdsa jest więc bardzo czułym detektorem złóż — prawdziwą różdżką do wykrywania ukrytych pod ziemią skar bów! Jej czułość można wykorzystać do sprawdzenia proporcjonalności masy bez-
Rys. 56. Waga EótyOsa. Kulki A i B są z różnych materiałów. Jeżeli stosunek masy grawitacyjnej i bezwładnej jest dla każdego z nich różny, jeden z nich jest silniej przyspieszany przez siłę grawitacji. Powstały moment skręca beleczkę wagi, kąt skrę cenia można odczytać za pomocą zwierciadełka i lunetki L . Doświadczenia nie wy kazały momentu skręcającego. N S — kierunek północ-południe. Wymiary wagi I = 25-40 cm, h = 50-60 cm, masa ciężarków m = 15-20 g.
władnej i grawitacyjnej. Jeżeli na końcach wagi umieścimy ciężarki z różnych ma teriałów, a masy bezwładne nie są proporcjonalne do grawitacyjnych, belka wagi po winna ulec skręceniu (bo siła odśrodkowa jest proporcjonalna do masy bezwładnej, a siła ciężkości — do grawitacyjnej). Najdokładniejsze pomiary tego rodzaju wykazały proporcjonalność obu rodzajów mas z błędem względnym rzędu 10“ 9, przy czym trzeba było dobrze się natrudzić, żeby wyeliminować wpływ niejednorodności pola grawitacyjnego, wahania sztywności drutu, zmiany termiczne, zakłócenia magnetycz ne i elektrostatyczne. Ulepszona wersja doświadczenia Eotvosa z trójkątną belką i wykorzystaniem sprzężenia zwrotnego (doświadczenia Dickego i Braginskiego) pozwoliła zmniejszyć odchyłkę względną do 10“ 12. Oznacza to dokładność przeszło milion razy większą niż w doświadczeniach Galileusza. Proporcjonalność, czyli praktyczną identyczność masy bezwładnej i grawitacyjnej sprawdzono z wystarczającą pewnością. 84
Zasada równoważności. Równość masy grawitacyjnej i bezwładnej jest jednym z podstawowych praw natury, prowadzącym do ważkich konsekwencji. Ruch ciała jest określony z jednej strony przez grawitacyjne oddziaływania innych ciał, a z dru giej — przez jego bezwładność. Siły grawitacji są proporcjonalne do grawitacyjnej masy ciała, a siły bezwładności, pojawiające się w układach przyspieszanych — do masy bezwładnej. Równość obu rodzajów masy nasuwa myśl o równoważności grawitacji i bezwładności. Dodatkowym argumentem jest fakt, że przez odpowiedni dobór układu można usunąć pole grawitacyjne. Przykład. Wytwarzanie nieważkości. N a ciała w układzie przyspieszonym działa siła F ' = F + F * = F —ma, gdzie F oznacza siły oddziaływania ze strony innych ciał, a jest przyspieszeniem układu, a Ft = = —ma — siłą bezwładności. Jeżeli nie ma innych oddziaływań niż grawitacyjne, to F = mg i F ' = m(g—a). Wielkość w nawiasie można traktować jako wypadkowe natężenie pola F' g - a = — = g'. m Przy odpowiednim doborze przyspieszenia a możemy mu nadać dowolną wartość wytwarzając w ten sposób w układzie dowolne pole, w tym także stan nieważkości. Przy a = g (swobodny spadek) dla obserwatora wewnątrz układu pole grawitacyjne przestaje istnieć Dzięki telewizyjnym transmisjom
,9 Rys. 57. W układzie spadającym swobodnie siła bezwładności znosi siłę ciężkości. Wewnątrz układu pole grawitacyjne znika. Układ jest inercjalny — zasady dynamiki Newtona nadal obowiązują.
ze sztucznych satelitów Ziemi fakt znikania pola grawitacyjnego w swobodnie spadającym układzie jest powszechnie znany. Ale jak niewiele osób — nawet posiadających dostateczne przygotowanie naukowe — zdaje sobie sprawę z istotnego sensu tego zjawiska! Określiliśmy kiedyś układ inercjalny jako taki, w którym spełnione są zasady dynamiki Newtona. W układach przyspieszonych staje się to możliwe dopiero po wprowadzeniu „fikcyjnych” sił bezwładności. Inercjalnymi powinny więc być tylko układy nieprzyspieszone. Tymczasem transmisje ze sputników pokazują, że w swobodnie spadającym laboratorium ciała odosobnione poruszają się jednostajnie po linii prostej, a pod wpły wem siły uzyskują przyspieszenie odwrotnie proporcjonalne do ich m asy— jednym słowem, że zasady Newtona są spełnione. Układy swobodnie spadające musimy więc uważać za inercjalne. 85
Omawiając szczególną teorię względności, sformułowaliśmy zasadę fizycznej równoważności wszystkich układów inercjalnych, czyli nieprzyspieszonych. Musimy teraz ją rozszerzyć także na układy swobodnie spadające. Ale czy tylko na nie? Przy transformacji współrzędnych między różnymi układami siły bezwładności
Rys. 58. Obserwator wewnątrz układu nie odróżnia sił grawitacji od bezwładności. Zasada równoważności obowiązuje jednak tylko lokalnie — w dużych obszarach pole inercjalne różni się od grawitacyjnego.
przechodzą w siły grawitacji i odwrotnie, co wobec ich równoważności nie oznacza żadnej zmiany. Podobnie we wszystkich układach swobodnie spadających znika pole grawitacyjne. Biorąc to wszystko pod uwagę, musimy sformułować nową, ogól niejszą zasadę równoważności, zwaną też ogólną zasadą względności: Wszystkie układy odniesienia są fizycznie równoważne. Lokalne doświadczenia nie dają podstaw do wyróżnienia jakiegokolwiek układu czy klasy układów. Słowo lokalne jest bardzo istotne, bowiem przy dużej skali równoważność znika. Na przykład pole grawita cyjne możemy usunąć tylko w małym obszarze — nie ma takiego przyspieszonego układu, za pomocą którego dałoby się sprowadzić do zera całe pole grawitacyjne Ziemi czy Słońca. W każdym razie lokalnie można uważać pole grawitacyjne za pole przyspieszeń, niezależne od masy czy jakichkolwiek innych właściwości ciał, jakie w nim się znajdują. I odwrotnie: każde pole przyspieszeń możemy utożsamiać z grawitacyjnym. Jeżeli weźmiemy pod uwagę, że przyspieszenie jest drugą pochodną wektora położenia, czyli funkcją drugich pochodnych współrzędnych, dojdziemy do bezpośredniego związku grawitacji z geometrią. Siły grawitacji wynikają ze specy ficznej struktury czasoprzestrzeni, wywołanej obecnością ciał ważkich. W ten sposób doszliśmy do ogólnej teorii względności. Jak daleko nas zaprowadziła interpretacja doświadczenia Galileusza! 86
Grawitacja w ogólnej teorii względności. Dotychczas — zgodnie ze szczególną teorią względności — opisywaliśmy ruchy ciał w czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej zwanej przestrzenią Minkowskiego, w której interwal czasoprzestrzenny dwóch bliskich zdarzeń wyraża się wzorem ds2 = c2dt2—dr2 = c2dt2—dx2—dy2—dz2 stanowiącym uogólnione twierdzenie Pitagorasa. Interwał jest niezmiennikiem trans formacji Lorentza: x -v t ,
»
, y = y,
, z = z,
„ t-v x /c 2 t = -= = = = =
(w oznacza prędkość układu o współrzędnych primowanych, skierowaną wzdłuż równoległych osi x i x r), tzn. jest taki sam dla wszystkich obserwatorów inercjalnych. W nieobecności sił (czyli w nieobecności pól) cząstki materialne poruszają się po prostych (liniach świata) spełniających warunek v c2dt2 > dr2. Tor promienia świetlnego jest prostą o równaniu c2dt2 = dr2. Co zmienia w tym obrazie świata zasada równoważności? Główna zmiana polega na zastąpieniu „płaskiej” przestrzeni Minkowskiego „zakrzywioną” prze strzenią Riemanna, opisaną tensorem metrycznym o składowych (współczynnikach metrycznych) gi} ... Wskaźniki i , j odnoszą się do współrzędnych czasoprzestrzen-
ct
ct
x
Rys. 59. Czasoprzestrzeń w układzie inercjalnym. L — linia światła, czyli tor czasoprzestrzenny ciała poruszającego się ruchem przyspieszonym, S — linia świata światła.
Rys. 60. Pole grawitacyjne zakrzywia czasoprzestrzeń. Strzałkami zaznaczono kierunek pola (g) i kierunek wzrostu potencjału grawitacyjnego V,.
87
nych: współrzędnej t przypisujemy wskaźnik O, współrzędnej x — wskaźnik 1, y — 2, z — 3. Ze względu na to, że gij = gJt (tensor symetryczny) składowych jest tylko 10:gooi g il, £ 22. g33,gio, g 20, gso, g i 2, gis i g23- Przy zmianie układu odniesienia zmieniają się zarówno współrzędne, jak i odpowiadające im współczynniki me tryczne gij. Interwał czasoprzestrzenny wyraża się wzorem 3 ds2 = y
3 y
^
,
i=0 j= 0
przy czym znaki sumowania z reguły się opuszcza, tzn. piszemy ds2 = gtJdxidxi . ~ Wielkości x ‘ xJ oznaczają poszczególne współrzędne. Rozpisując tę sumę, otrzy mamy ds2 = goodt2+ g iid x 2+ g 22dy2+g33dz2+ g 1odxdt+ + g2odyd/+ gi0 dzdt+ g12dxd y + g 13dxdz+ g23dydz. Przez porównanie z wzorem na interwał w przestrzeni euklidesowej stwierdzimy, że goo — c2, g n = g22 = g 3 3 = —1, a pozostałe współczynniki są równe zeru. W przestrzeni zakrzywionej współczynniki metryczne są na ogół różne od zera. Zgodnie z zasadą równoważności tensor metryczny opisuje zarazem i czasoprze strzeń i pole grawitacyjne. Jak pole grawitacyjne wpływa na metrykę czasoprzestrzeni? Pole grawitacyjne jest lokalnie równoważne polu przyspieszeń. Ze względu na równoważność wszyst kich obserwatorów musimy przy obliczaniu przyspieszenia różniczkować współ rzędne względem czasu własnego, zdefiniowanego w szczególnej teorii wzglę dności przez dT = d * j / l - £ albo c2d r2 = c2df2| l —
= c2dt2 —v 2dt2 = c2dt 2—dr 2 = ds2.
Dla dwóch bardzo bliskich zdarzeń w danym punkcie (dx = dy = dz = 0) c2d r2 = = goodt2. Stąd d r = -~\/goo dt. c Czas własny jest ściśle związany z interwałem i jak on nie zależy od wyboru układu. Przyspieszenie jest czterowymiarowym wektorem (czterowektorem) spełniającym związek
88
czyli w notacji tensorowej a2 = gtjaW , gdzie a ‘, aJ są odpowiednimi składowymi przyspieszenia. W innym układzie od niesienia
Różniczkując transformacje Lorentza d 2x'
d2x _ d2t d r2 V d r2
d2t*
d2t d r2
d2/ _ d2y d r2 d r2 ’
d 2z' _ d2z d r2 d r2 ’
v d2x c2 dr2
możemy stwierdzić, że a '2 = a 2, czyli że we wszystkich układach, do których stosują się transformacje Lorentza, a — const. Z kolei z zasady równoważności wynika, że można zawsze dobrać taki układ przyspieszony, w którym pole w danym miejscu zniknie, czyli a' = 0. Wy maga to zerowania się wszystkich składowych czterowektora przyspieszenia d2x ' _ d2/ _ d V _ d2f d r2 d r2 d r2 d r2 Równanie toru swobodnie spadającej cząstki ma postać ^ g t j d x ,dxJ = Jds = extr. Opisuje ono tzw. linie geodezyjne (geodetyki), czyli linie świata, stanowiące najkrót sze (lub najdłuższe) połączenie dwóch zdarzeń. Ciała swobodnie spadające poruszają się więc po geodetykach. Geodetyki są nieeuklidesowymi odpowiednikami prostych torów cząstek w przestrzeni Euklidesa. W nieobecności pól innych niż grawitacyjne ciała poruszają się po geodetykach, którym odpowiada ds 2 > 0, a światło — po geodetykach z ds = 0. W nieobecności ciał ważkich przestrzeń jest euklidesowa. Można w niej wszędzie wprowadzić układ inercjalny o g00 = c2, g Ll = g22 = £33 = —1 i g ^ j = 0. Cia ła ważkie zmieniają metrykę czasoprzestrzeni. Całokształt zmian określa się zwykle 89
jako „zakrzywienie” czasoprzestrzeni przez pole grawitacyjne. Miarą zakrzywienia jest tensor krzywizny R tJ o 10 składowych będących kombinacją metrycznych współ czynników gij oraz ich pierwszych i drugich pochodnych względem współrzędnych. Dokładną postać tensora krzywizny można znaleźć w każdym obszerniejszym pod ręczniku fizyki teoretycznej. Równanie pola. Musimy teraz powiązać zakrzywienie czasoprzestrzeni z rozkładem wywołują cych je ciał. Ogólna teoria względności określa ten rozkład za pomocą tzw. tensora energii— pędu Tij, będącego funkcją gęstości, energii, pędu i ciśnienia materii. N a przykład dla ciał makroskopowych Tij = (j>+0B)uiUj+pg,j, przy czym p oznacza ciśnienie (lub naprężenie), qe — gęstość energii, a Ui,j są składowymi czterowektora prędkości. Od równań pola oczekujemy, by a) nie zależały od wyboru układu odniesienia, b) zawierały w sobie prawa zachowania energii-pędu i c) w przypadku słabych pól (małych prędkości) przechodziły w granicy w równania teorii Newtona. Tym warunkom czyni zadość układ 10 równań Einsteina
Rij~ 2SijR — ~ x Tij, w którym R oznacza charakterystyczną wielkość (inwariant) związaną z tensorem R ij , zwaną ska larną krzywizną przestrzeni. Współczynnik x jest odpowiednikiem stałej grawitacyjnej. Jego wartość wynosi
87z G
x = — — = 2,073 • 10"4V • k g -‘ -m -‘ . Dla słabego pola powyższe równanie redukuje się do równania Poissona w postaci
-4jtGg. Przywracając opuszczony znak sumowania, otrzymujemy
Z porównania z normalną postacią równania Poissona wynika goo = 2V ,+ C. Stałą całkowania wyznaczymy z warunku, że w nieobecności pola, czyli dla potencjału grawi tacyjnego V, = 0 goo = c2. Ostatecznie
przy czym K = l+ 2 V ,jc 2 wyraża wpływ pola o potencjale V,.
Dla pojedynczej cząstki (lub ciała o symetrii sferycznej) w pustej przestrzeni równania pola przechodzą w postać R u - 0, 90
będącą odpowiednikiem równania Laplace’a. Spełnia je tzw. element liniowy (in terwal) Schwarzschilda
ds2 = Kc2dt2 —-~dr2—r2 (d# 2 + sin2 #dę>2) , A wyrażony tutaj we współrzędnych sferycznych (r , ■&,
ds2 = c 2 dt2 - [dr2 + r 2 (d# 2 +sin 2 i?dęp2)]. Dla masy M w początku układu Vg = —GMIr i
zwana promieniem grawitacyjnym -lub promieniem Schwarzschilda charakteryzuje rząd wielkości efektów ogólnej teorii względności.
Rys. 61. Definicja promienia grawitacyjnego. Stosunek R ,/R jest miarą rzędu efektów ogólnej teorii względności. Dla wszystkich obserwowa nych ciał promień grawitacyjny jest mniejszy od geometrycznego.
Rys. 62. Obiekt o promie niu grawitacyjnym większym niż geometryczny nazywamy czarną dziurą.
Przykład: Promienie grawitacyjne d a l niebieskich. Promień Schwarzschilda jest wprost pro porcjonalny do masy ciała. Współczynnik proporcjonalności 2G/c3 = 1,5 • 10-27 m • kg-1. Dla Ziemi (M = 6 • 1024 kg) R , = 9 mm, dla Słońca (A/ = 2- 10so kg) R , = 3 km, dla Galaktyki (M = 1041 kg) R, = 1,5 • 1014 m. Znacznie ciekawszy jest stosunek promienia Schwarzschilda do rozmiarów ciała. Dla Ziemi (R s 6,4-10* m) stosunek ten wynosi 1 ,5 -10~9, dla Słońca (R x 1 • 10® m) 4,3 • 10-6, dla Galaktyki (R a 1021 m) 10~7. Największą wartość R,/R mają gwiazdy neutronowe, o promieniu geometrycznym zaledwie 3,3 razy większym niż grawitacyjny (R,/R = 0,3). Prawdopodobne jest też istnienie obiektów o R < R „ czyli tzw. czarnych dziur. 91
Wstawiając do równań linii geodezyjnych element liniowy Schwarzschilda i wy korzystując związek między interwałem a czasem własnym ds2 = c2d r2 można otrzymać równania toru cząstki próbnej o masie m w polu o symetrii sferycz nej. Jeżeli ograniczymy się do torów w płaszczyźnie & — tc/2, to możemy je zapisać w postaci
Mimo pozornie skomplikowanej formy tych równań, nie jest trudno rozeznać się w ich sensie. Mnożąc pierwsze równanie przez r 2 i przekształcając dochodzimy do postaci
+2r
dr d
d dr
= 0,
czyli dę> r 2 ---- == const = J, dr będącej odpowiednikiem całki momentu pędu. I rzeczywiście: w granicy klasycznej ( r = i) stała J przechodzi w J = r2— = — dr m ' gdzie L 0 jest stałym momentem pędu. Aby nadać bardziej czytelną postać drugiemu równaniu, pomnożymy je obustronnie przez j / K. Pamiętając, że poprawka K jest funkcją r, otrzymujemy d2< d r2
1 2 }/~K
d lt dr dr _ d dr d r dr ~ dr
= 0,
czyli = C. Równanie to opisuje wpływ pola grawitacyjnego na czas własny dr 92
Można je sprowadzić do zasady zachowania energii relatywistycznej mc2]/~K
= const.
W granicy (K = | / \ + 2Vę/c2) energia relatywistyczna przechodzi w:
czyli
Otrzymaliśmy wzór na interwał Schwarzschilda dla & = 7t/2.
W ten sposób omawiany układ równań sprowadza się do równania Schwarz schilda dla ciał poruszających się w polu sferycznym na płaszczyźnie # = 7t/2 (trzecie równanie), zmodyfikowanej zasady zachowania energii (drugie równanie) i relaty wistycznego odpowiednika prawa zachowania momentu pędu (pierwsze równanie). Cały układ jest relatywistycznym odpowiednikiem klasycznych równań ruchu w polu centralnym. Całkując go, możemy znaleźć tory ciał spadających w sferycznym polu grawitacyjnym. W słabym polu są one bardzo zbliżone do keplerowskich, różnice rosną wraz z poprawką K. Przykład. Równanie toru. Pomnóżmy trzecie równanie geodetyki przez —K :
i podstawmy r 2 (dtp/dr)2 = J 2jr 2 oraz (df/dr)2 = C 2 jK 2:
Zależność promienia wodzącego od czasu można przekształcić w równanie toru, dokonując zamiany zmiennych: dr
dr dtp
dr J
dr
dq> d r
dtp r 2 ’
Stąd
93
i ostatecznie
Przykład. Przejieie do torów Keplera. Podstawiając do równania toru wartości stałych dla sła bego pola (J = LQjm, C = ^ l + 2 E 0/mc2, K - 1—2GA//c2r), otrzymujemy dq>
La V \
mc2
mr2_ /TT -T5rV*i
£o+
c2r J GMm
Ll 2 mr 2
m 2r 2 \ |
c2r /
G M Ll c 2m r 3
Rys. 63. Klasyczna energia efektywna jest sumą energii potencjalnej i odśrodkowej. Minimum odpowiada promieniowi orbity kołowej.
Rys. 64. W przypadku relatywistycznym do energii efektywnej trzeba dodać ujemną poprawkę, odwrotnie proporcjonalną do sześcianu odległości od centrum. W centrum powstaje studnia potencjału. 94
Energia efektywna Ec, = -
GMm r
jest sumą energii potencjalnej Er , energii odśrodkowej E d i relatywistycznej poprawki do tej os tatniej G M Ll _
R„
c 2mr 3
r 2mr 2 ’
Ll
zależnej od stosunku promienia grawitacyjnego do odległości od centrum. Dla bardzo słabych pól (R, <§ r) poprawkę można pominąć i energia efektywna staje się równa
co prowadzi do torów keplerowskich.
§ 1 1 . Efekty ogólnej teorii względności Jak już wyżej stwierdziliśmy, wpływ pola grawitacyjnego na czasoprzestrzeń i zwią zane z nim odstępstwa metryki od euklidesowej są w naszym otoczeniu bardzo małe. Na powierzchni Ziemi wyrażają się ułamkiem 1,5 • 10-9 dla pola ziemskiego i 2 • 10“ 8 dla słonecznego. Nawet na powierzchni Słońca poprawka Schwarzschilda wynosi zaledwie 4,3 • 10-6 . Ogólnej teorii względności nie uwzględnia w praktyce ani balistyka ani geodezja i nawet astronauci, jak dotąd, nie musieli się z nią liczyć. Nie należy stąd wyciągać wniosku, że tak jest we wszystkich dziedzinach. Dzięki niezwykłej dokładności współczesnych metod pomiarowych jesteśmy w stanie wy kryć podstawowe efekty ogólnej teorii względności nawet na Ziemi, a najnowsze osiągnięcia kosmologii i astrofizyki byłyby bez niej niemożliwe. A oto krótki przegląd najważniejszych efektów i obserwacyjnych sprawdzianów relatywistycznej teorii grawitacji. 1. Obrót peryhelium. Jaki wpływ na ruchy planet może mieć malutka relatywistyczna poprawka do energii efektywnej? Analiza równań ruchu prowadzi do wniosku, że jej wynikiem jest dodatkowy obrót peryhelium orbity. W teorii klasycznej kąt, o jaki obraca się promień wodzący planety, wyraża się wzorem
Wygodniejsza dla naszego celu będzie postać
95
Dodajmy teraz pod pierwiastkiem poprawkę SEP i przekształćmy całe wyrażenie
Ponieważ 6EP jest znacznie mniejsze niż pozostała część energii, wyrażenie w drugim nawiasie można rozwinąć na szereg zgodnie z wzorem ]/T + x = l + j x + ... Pomijając dalsze wyrazy otrzymujemy
- ł / ł ( &- £'-2 S r ) Powróćmy do wzoru na kąt obrotu
rm»s
2<5£,,dr
' 8Lo" fmln *mi
fmlii £ 0dr
r»ai C SLo J
26E.dr
~ y “*■/ jśy Pierwszy człon przedstawia klasyczną część kąta obrotu promienia wodzącego. W ciągu jed nego okresu, czyli podwojonego czasu przejścia od peryhelium (/mm) do aphelium (rmai), promień wodzący obróci się o 27t. Drugi człon opisuje dodatkowy relatywistyczny obrót peryhelium, który oznaczymy przez ótp. Stąd zlę> = 27t+ dg>. Aby wyznaczyć kąt obrotu peryhelium, skorzystamy ze związku L 0dr
.
rnr* i dokonamy zamiany zmiennych
96
Podstawimy teraz znalezioną w poprzednim paragrafie wartość poprawki na energię G M Ll
SE . = -
r3
gdzie y — —G M L\jc 2m. Wyrażenie podcałkowe 2
"
^ r
7 P
7 '(l+ ccos9’) p
yecosq> P
Wykorzystano tutaj równanie przekroju stożka 1/r = (1+ecosęO/p (e — mimośród, p — pa rametr). Teraz
r 7dv
\ r xdE ,itp = J J p
0 ^ 0J D
0
cos?>dę> = — . D
Ale parametr zależy od momentu pędu: p = LlIG M m 2. Stąd 6
/ 2 m nyGM m 1 \ SL q>\\ L Lo0
L LoI
(mGMm3y
J}
Lo
Podstawiając wartość y otrzymujemy ostatecznie
N
1 II *5
6 nGzM 1 m 1
Rg = —3rc—- . P
Rys. 65. Obrót peryhelium Merkurego jest jednym ze sprawdzonych efektów ogólnej teorii względności. R , ■ — promień grawitacyjny Słońca, p — parametr elipsy {p == = **/«)•
Przewidywany przez teorię efekt jest bardzo mały i w najkorzystniejszym w naszym układzie pla netarnym przypadku Merkurego wynosi zaledwie 43,03" na stulecie. Jego zaobserwowanie jest tym trudniejsze, że istnieją inne, nierelatywistyczne zaburzenia wywołujące obrót peryhelium. Nąjsilniej zaburzają ruch Merkurego inne planety — przede wszystkim Wenus i Jowisz. Sumaryczny obserwowany obrót peryhelium Merkurego wynosi (574,10±0,4)"/100 lat, z tego zaburzenia od innych planet (531,50±0,7)"/100 lat, a resztę w wysokości (42,6 ± 1,1)"/100 lat musimy uznać za efekt relatywistyczny. Jak widać, błąd omówionego sprawdzianu jest rzędu 2,5%. Nie uwzględniono jednak w tych rachunkach wpływu momentu kwadrupolowego Słońca. Gdyby był on taki, jaki wy nika z obserwowanego kształtu Słońca, to powinien powodować obrót peryhelium orbity Merkurego o 3 do 4"/100 lat, a to prowadziłoby do rozbieżności z teorią rzędu 10%. 7
Fizyka dla politechnik
97
2. Odchylenie światła. W polu grawitacyjnym światło biegnie po liniach geodezyjnych o d r = 0. Podstawiając za d r element liniowy Schwarzschilda i ograniczając się do torów na płasz czyźnie ■&= tt /2 otrzymujemy równanie Kc 2dtx------dr2—r 2dę>2 = 0, K czyli po podzieleniu przez d r2 i pomnożeniu przez K
Ale r 2(dę>/dr)2 = / 2/r2 oraz df/dr = C/K. Stąd
y+ ^-cv= ° I dr \ 2
J2
Dokonując zamiany zmiennych dr
dr d
dr J
dr
d
dę> r 2
i dzieląc przez J 1 otrzymujemy 1 / d r \\2 2
C2c2
1i
+ k~ ^ = Przejście stąd do zwyczajnej postaci równania toru dr
r2
/C 2C2— ^ r K
dp “ ~ T y 1
jest proste, ale niewiele nam daje. Zamiast tego zastosujemy przybliżenie słabego pola, podstawiając K = 1 —Rgjr i J = Lo/m = co (dla światła m — 0). Teraz 1 / d r \\22
J _ _ R, _
r* \ dę> /
r2
r3
Rachunek będzie znacznie łatwiejszy, jeżeli wprowadzimy nową zmienną u = 1/r. Stąd ( l/r 4)(dr/dę>)2 = (d«/dę>)2 i równanie toru światła przechodzi w
Różniczkując je względem tp, otrzymujemy du d2u du du 2— + 2 a - ----- 3Rtu2—— = 0, dtp dtp dtp dtp czyli du / d2u
3
\
Pochodna dujdtp na ogół nie jest równa zeru. Wobec tego wystarczy zająć się równaniem d2u
3
Aby je rozwiązać, trzeba znaleźć całkę ogólną równania jednorodnego otrzymanego z przy równania lewej strony do zera i dodać do niej ctdkę szczególną, czyli jakąkolwiek funkcję, spełniającą 98
dane równanie. Równanie jednorodne d 2u dtp-
+« = 0
jest szczególnym przypadkiem naszego równania w braku pola grawitacyjnego (R„ = 0). Ma ono podobną postać jak równanie drgań harmonicznych i musi mieć takie samo rozwiązanie «i = Acosq>, czyli
1 1 r R
— = — cos© lub rcosę = R , gdzie R = 1/A.
rcostp=R
Rys. 66. Równanie rcosę> = R opisuje prostą położoną w odległości R od początku układu.
Jest to równanie linii prostej, odległej o R od początku układu. W nieobecności pola grawita cyjnego światło rozchodzi się prostoliniowo. Równanie niejednorodne rozwiążemy w sposób przybliżony. W tym celu wstawimy do jego prawej strony rozwiązanie równania jednorodnego d2«
3
— + « = t ^ 1=
3
t
i
R ^ 2CosV.
Jaka funkcja je spełnia? Nietrudno się przekonać, że szukana całka szczególna musi mieć postać «2 = Bcos2ę>+ Csin2?>. Stałe wyznaczymy przez dwukrotne zróżniczkowanie, wstawienie u2 i A2u1j ó ę 2 do lewej strony rozwiązywanego równania i porównanie współczynników. Kolejne działania: du — = 2(C—B)cosysinę>, d2« ——r — 2(C—,fl)(cos2ę>—sin2^ ) , d tp1
d2u
3
. , + u = (2C—B)cos2
99
Jak widać, współczynnik przy sin2ę> musi być równy zeru, a przy cos2ę>— równy 3RaA 2l2. Stąd B = i R , A 2,
C = R ,A 2
i całka szczególna równania niejednorodnego przybiera postać u2 = ^ R aA 2(cos2
1 1
1 1
— = — cosęH----R a — -(cos2?)+ 2 sin2®), r R 2 R2 czyli
1 -K. 2 R
rcosą> = R — — -—-(rco s2ęi-t-2rsin2ę>). Drugi człon wyraża relatywistyczne odchylenie Światła w polu grawitacyjnym. Nadamy mu czytel niejszą postać przez przejście do współrzędnych kartezjańskich. Ponieważ rcosęt = x, rsin y = y, więcrcos2ę> = x 2/r, rsin2
R. 2y2 2R Y y2
x
y
i stąd
9
dy = _ R ^ dx
+ R ‘
Rys. 67. K ąt odchylenia światła przez pole grawitacyjne jest podwojonym kątem nachylenia asymptoty jego toru do osi x. 100
K ąt między pierwotnym a końcowym kierunkiem biegu promieni jest oczywiście dwa razy więk szy. Ostatecznie
Dla promienia muskającego Słońce (/?, = 2,97 km, R = 6,96 • 105 km) przewidywany przez teorię kąt odchylenia światła wynosi 1,75". Pierwsze obserwacje pozornego przemieszczenia gwiazd przeprowadzane podczas zaćmienia Słońca od 1919 r. na ogół potwierdzały przewidywania teorii, ale ich dokładność nie była zbyt wielka. Najlepsze wyniki dają pomiary odchylenia fal radiowych kwazara 3C 279 podczas regularnych zaćmień przez Słońce (co roku 8 października). Średnia wy ników z ostatnich lat wynosi Aq> = 1,73"±0,05". Możemy uważać omówiony efekt za potwier dzony z błędem rzędu 4%.
3. Grawitacyjne opóźnienie zegarów. Dla dwóch bliskich zdarzeń w tym samym punkcie przestrzeni ds = c d r oraz dr = d
(pominięto dalsze wyrazy szeregu). Pole grawitacyjne wpływa na chód zegarów. W polu o symetrii sferycznej Vg = = -G M /r . Stąd
Im silniejsze pole (mniejsza odległość od źródła pola), tym wolniej płynie czas. Jeżeli w miejscu o potencjale Vg zsynchronizujemy dwa jednakowe zegary A i B, potem jeden z nich, np. B, przeniesiemy na jakiś czas do miejsca o potencjale V', a następnie przemieścimy go z powrotem dla porównania wskazań, to okaże się, że zegar, który przebywał w silniejszym polu spóźnia się. Stosunek zmierzonych upływów czasu wynosi tA _ 1 + VJc2 tB i+ r jc 2 • Czas wskazany przez zegar A
101
co po wymnożeniu i pominięciu bardzo małego wyrazu (Y9lc2)(Vg/c2) daje
/
AV„\
Rys. 68. W silniejszym polu grawitacyjnym zegary idą wolniej. AVt jest różnicą potencjałów grawitacyjnych w punktach B i A.
Zakładając Vg > Vg i oznaczając V'g—Vg = AVg mamy
tB- t A _ At _ AVg tB t c2 Opóźnienie zegara A względem B jest wprost proporcjonalne do różnicy poten cjałów grawitacyjnych. Przy niezbyt dużej wysokości h nad powierzchnią Ziemi potencjał grawitacyjny Vg = gh. Policzmy rząd wielkości efektu przy przeciętnej wysokości lotu pasażerskich samolotów odrzutowych (h = 10 km): At t
gh c2 =
10-10* 1017
'
Dokładność współczesnych zegarów umożliwia zmierzenie tego efektu. 4. Doświadczenie Hafele’a i Keatinga. W naszych dotychczasowych rozważaniach oba zegary były nieruchome. Jeżeli przeprowadzamy doświadczenie na Ziemi, to musimy uwzględnić jej obrót. Zegar A spoczywający na powierzchni Ziemi obraca się wraz z nią i ma z tego powodu prędkość vA = mRcoscp (co — kątowa prędkość obrotu, R — promień Ziemi,
Obie prędkości mierzymy w układzie związanym z Ziemią, ale nie biorącym udziału w jej wirowaniu. Znak plus odnosi się do lotu na wschód, minus — do lotu na zachód. Różna prędkość zegarów prowadzi do relatywistycznej dylatacji czasu
Rys. 69. N a szerokości geograficznej
wyrażonej wzorami szczególnej teorii względności
(tA i tB oznaczają wskazania zegarów nieruchomych). Wyraźmy teraz tB w funkcji t'A. Ze względu na tA = (1 - g h jc 2)tB, tn —
1-g h /c1
a stąd
«(,+ £M,+ $ )(,+ #
czyli (po wymnożeniu i opuszczeniu wyrazów wyższego rzędu) tB ~tA
/v
Pierwszy wyraz w nawiasie opisuje efekt ogólnej, a drugi szczególnej teorii względ ności. W październiku 1971 r., gdy grupa uczonych przygotowywała kosztowne 103
i trudne sprawdzenie obu efektów za pomocą aparatury, którą miano umieścić na sztucznym satelicie, Hafele i Keating wypłatali im naukowego figla, oblatując Ziemię samolotem z 4 zegarami cezowymi! Odbyli dwa loty — jeden na wschód, drugi na zachód — i po każdym z nich porównali wskazania zegarów z zostawionym na Ziemi zegarem kontrolnym. A oto zestawienie uzyskanych wyników z teoretycznymi prze widywaniami (STW — szczególna teoria względności, OTW — ogólna teoria względ ności, różnicę czasów podano w nanosekundach): Lot na wschód: STW: —184+18, OTW: 144±14, razem: -4 0 + 2 3 , średnia z pomiarów: —59+10. Lot na zachód: STW: 96+10, OTW: 179±18, razem: 275±21, średnia z po miarów: 273 ± 7. W ten prosty (i przyjemny!) sposób potwierdzono efekt grawitacyjnego opóź nienia zegarów z dokładnością do 10%. 5. Czas na karuzeli. Doświadczenia przekonują nas, że przewidywania ogólnej teorii względności są słuszne: w polu grawitacyjnym czas płynie wolniej. Gdyby prze bieg procesów życiowych nie zależał od innych czynników, to mieszkańcy górnych pięter powinni szybciej się starzeć! Zgodnie z zasadą równoważności powinniśmy oczekiwać takiego samego efektu we wszelkich polach przyspieszeń. Weźmy pod uwagę tarczę, obracającą się z prędkością kątową to. Prędkość punktu w odległości r od środka tarczy wynosi v = tor. Przyspieszenie związane z siłą odśrodkową m o żemy uważać za gradient potencjału
dr
o •
Stąd sam potencjał
Potencjał na wirującej tarczy jest wszędzie ujemny, a w środku tarczy rośnie do zera. Zegar B umieszczony na skraju tarczy będzie się opóźniał względem zegara A w środku zgodnie z wzorem tATrudno byłoby dowieść, że miłośnicy karuzeli rzeczywiście dłużej żyją! Zato doświadczenia z cząstkami jądrowymi wykazały, że średni czas życia mionów utrzy mywanych na orbicie kołowej w rurze akceleratora jest odpowiednio dłuższy niż mionów spoczywających. Zwróćmy uwagę, że obserwator związany z zegarem A (inercjalny) nie potrzebuje ogólnej teorii względności dla wyjaśnienia opóźnienia 104
zegara B — potraktuje je jako dylatację czasu wynikającą z tego, że B porusza się względem niego z prędkością w = tor. Zgodnie ze szczególną teorią względności
Rys. 70. Na obracającej się tarczy istnieje pole sił bezwładności o potencjale wprost proporcjonalnym do kwadratu odległości od środka. N a obwodzie tarczy zegary idą wolniej.
Natomiast obserwator B (nieinercjalny) odczuwa działanie pola siły odśrodkowej skierowanej od A do B i przypisuje opóźnienie swojego zegara temu, że znajduje się w silniejszym polu (miejscu o mniejszym potencjale) niż obserwator A. W rezultacie obaj obserwatorzy otrzymują jednakową wartość opóźnienia. To samo rozumowanie można zastosować do wyjaśnienia tej części efektu w doświadczeniu Hafele’a i Keatinga, która wynikła z różnicy prędkości obserwatorów A i B, związanej z ruchem obrotowym Ziemi. 6. „Paradoks” bliźniąt. Obserwatorzy A i B mają jednakowe, zsynchronizowane zegary. Obserwator B wyrusza w podróż kosmiczną. Po przebyciu drogi / zawraca i leci na Ziemię. Z wyjątkiem krótkich odcinków lotu przyspieszonego (start, zawró cenie, hamowanie) leci ze stałą prędkością v (względem Ziemi). Po powrocie na Zie mię zegar B wykaże opóźnienie. Pozostawiony na Ziemi obserwator A (inercjalny) wyjaśni je dylatacją czasu w ruchomym i przez prawie cały czas inercjalnym ukła dzie B :
105
Jak zwykle, zastosowaliśmy tu przybliżenie, polegające na rozłożeniu pierwiast ka w szereg i zastosowaniu tylko dwóch pierwszych wyrazów. Zgodnie ze szczególną teorią względności wszystkie układy inercjalne są równoważne. Z punktu widzenia
Rys. 71. Paradoks bliźniąt. W czasie swej podróży bliźniak 5 jest trzykrotnie w polu przyspieszeń — jednak istotne jest tylko pole w czasie zawracania. Różnica potencja łów grawitacyjnych wywołuje opóźnienie jego zegara. Fb oznacza siły bezwładności.
obserwatora B zegar A jest ruchomy — oddala się na odległość /, a potem wraca do B. Przez prawie cały czas porusza się ze stałą prędkością v, co prowadzi do dylatacji czasu A tA
rsj
Atg.
Oba efekty nie mogą wystąpić równocześnie. Doszliśmy do sprzeczności zwanej paradoksem bliźniąt. Błąd tkwi w przyjęciu układu B za inercjalny. W czasie swej podróży obserwator B trzykrotnie odczuwa działanie sił bezwładności. Z punktu widzenia ogólnej teorii względności znajduje się wtedy w polu „grawitacyjnym” . Zakładając, że jest ono jednorodne, możemy obliczyć różnicę potencjałów między B i A jako iloczyn przyspieszenia i odległości między obserwatorami A Vg = ax. Podczas startu i lądowania odległość jc jest praktycznie równa zeru i różnicę potencjałów można pominąć. Istotna dla upływu czasu jest różnica potencjałów 106
podczas zawracania. Można ją wyrazić jako AVg = al. Siły bezwładności są przy tym skierowane od A do B, co oznacza, że obserwator B znajduje się w silniejszym polu (mniejszy potencjał). Całkowita zmiana prędkości podczas zawracania wynosi 2v (prędkość zmienia się na przeciwną). Jeżeli zachodzi w czasie tB, to przyspieszenie a
2v
Z drugiej strony, odległość, na jaką oddalą się od siebie obaj obserwatorzy jest równa połowie iloczynu prędkości i czasu tB lotu jednostajnego tam i z powro tem: ł = $vtB. Stąd
Wyjaśnienie obserwatora A nie wymaga zmian, bo w jego układzie wystarczą wzory szczególnej teorii względności. Obserwator B musi stosować do tych okresów czasu, w którym jest nieinercjalny (siły bezwładności!) wzory ogólnej teorii względ ności. Z jego punktu widzenia zegar A w czasie trwania ruchu jednostajnego tB opóźnia się na skutek dylatacji i pokazuje
a w czasie zawracania, gdy B znajduje się $ polu grawitacyjnym, przyspiesza na skutek różnicy potencjałów AVg
Po powrocie musi więc wykazać upływ czasu A tA = łA+t'A = tB- 2 ^ t B+ t'B + -^ -tB = tB Ze względu na tA
tA i tB < tB można napisać
2c2 107
czyli
Nie ma już paradoksu: opóźnienie wykaże ten zegar (B), który doznał działania sił bezwładności. Jeżeli zastosujemy takie samo rozumowanie do procesów życio wych (np. mierząc czas liczbą uderzeń serca), to ten z dwóch obserwatorów, który został na Ziemi powinien szybciej się starzeć. 7. Przesunięcie prążków widmowych. Źródło punktowe wysyła światło o okresie T zmierzonym w nieobecności pola grawitacyjnego. Okres zmierzony w polu gra witacyjnym zależy od różnicy potencjałów między źródłem a zegarem. Jeżeli u nieścimy źródło w odległości r od ciała o masie M, wytwarzającego pole sferyczne, a ze gar — w nieskończoności, to różnica potencjałów jest równa GM/r i zmierzony okres
Okres się wydłużył, bo mierzący go zegar znajduje się w miejscu o większym potencjale (dla r < co Vg < 0) i jego wskazówki szybciej się poruszają. Częstość
B
*■ v
B
r
Rys. 72. Zegar B znajduje się w słabszym polu grawitacyjnym niż A, więc idzie szyb ciej. Zmierzony nim okres światła wysłanego z A jest dłuższy, a częstość drgań vA mniejsza niż vA. Wynik: przesunięcie ku czerwieni. N a dole zależność potencjału grawitacyjnego od odległości od centrum. 108
drgań jest odwrotnością okresu — większemu okresowi odpowiada mniejsza częs tość: ,
V* =
v 1 + GM/c2r
--------------------------
L \
GM c2r
I 1 ----------------
(Mam nadzieję, że Czytelnik przywykł już do operowania tymi przybliżeniami). Jeżeli cząstka wysyłająca światło znajduje się na powierzchni Słońca (r = Rs), a ze gar na Ziemi ( r » o o ) , to prążki widmowe powinny się przesunąć w stronę mniej szych częstości (większych długości fali). Przesunięcie względne Av _ v —v' v ~ v
GM c2Rs
2R s
£ 2,1 • 10-6.
Zmierzenie tego efektu jest bardzo trudne i wymaga lepszej znajomości procesów w heliosferze. Znacznie łatwiejsze są pomiary w przypadku tzw. białych karłów. Dla towarzysza Syriusza (M = 2 - 1030 kg, R = 1 ,7 -107 m) uzyskano Av/v = = 8,5 • 10“ 5. Jednak najlepsze potwierdzenie uzyskano za pomocą zjawiska Mossbauera (bezodrzutowa emisja i absorpcja promieniowania y) w polu grawitacyjnym Ziemi. Doświadczenie to było już opisane w I tomie. W jednym z późniejszych pomiarów tego rodzaju różnica poziomów wynosiła h = 12,5 m, co prowadzi do efektu Av v
1,36- 10“ 15.
W wyniku pomiaru uzyskano Av/v = 1,30- 10~15. Tą samą metodą udało się zmierzyć zmianę częstości na wirującej tarczy. Dla obserwatora w środku długość fali wysyłanej przez źródło na obwodzie zwiększa się, a częstość drgań zmniejsza w stosunku AX X
Av _ o)2R 2 v 2c2
gdzie co jest prędkością kątową, a R — promieniem tarczy.
8. Doświadczenie Shapiry. Przestrzeń opisana przez interwał Schwarzschilda różni się od euklidesowej współczynnikiem K przy różniczce współrzędnej ct i l/K przy różniczce współrzędnej r. Oznacza to, że w polu grawitacyjnym zegary idą wolniej i kurczą się miary długości. Odległość od centrum do danego punktu jest większa niż długość promienia wodzącego
Z = J |/ i / ( l -2 G M /c2r) dr £ 0 109
Znak równości odnosi się do bardzo dużych r. Zakreślając dookoła centrum o.crąg o promieniu r, czyli o obwodzie /„ = 2 itr, i dzieląc długość obwodu przez od ległość od środka stwierdzamy, że
Rys. 73. W polu grawitacyjnym opóźniają się zegary i kurczą miary długości. Od ległość mierzona mniejszą miarą będzie oczywiście większa.
Tego rodzaju nierówności są charakterystyczne dla przestrzeni nieeuklidesowych. Ponieważ pole grawitacyjne zmienia i drogę i czas, należy oczekiwać zmiany prędkości światła. Obliczymy ją z wzoru Schwarzschilda dla promienia biegnącego radialnie (& = 0, ds = 0) w słabym polu:
Rys. 74. A oto inna, wygodniejsza interpretacja: miary nie ulegają zmianie, ale zakrzywienie przestrzeni zmienia odległości. Odległość l od planety do Słońca jest większa niż promień orbity. Zakreskowano obszar silnego pola grawitacyjnego.
Stąd
110
Czas przejścia promienia w pobliżu centrum — np. sygnału radiowego wysłanego z Ziemi obok Słońca na Wenus (wtedy, kiedy znajduje się po drugiej stronie) i z powrotem — wynosi
t' = 2 = 2
J
dZ c'
S dl
dl S2 c ( l - R 9lr) dZ
r
Z
t+dt. ,----- *— ^ dl
W
Rys. 75. Zasada doświadczenia Shapiry. N a skutek zakrzywienia przestrzeni w polu grawitacyjnym sygnał radarowy wysłany tuż obok Słońca z Ziemi na Wenus opóźnia się o 8t. Eksperymenty potwierdziły ten efekt z dużą dokładnością. Przy okazji zmie rzono średnią odległość Ziemi od Słońca z błędem mniejszym niż 1 km.
Przez t = 2 $d//c oznaczono czas przejścia sygnału w przestrzeni euklidesowej. Obliczymy teraz opóźnienie dt. Oznaczając przez R odległość toru promienia od centrum i wybierając współrzędną x wzdłuż toru, mamy (Z — Ziemia, W — Wenus): XW .--------hi — 2 R t f dx _ 2R g \ / R 2+ x z + x z c
J z \ / R 2 + x*
c
] /r 2+
x^
-
xw
Dla R < x z i R < x w można rozwinąć oba pierwiastki w szereg i pominąć małe wyższych rzędów. Stąd t
~
2Rg\n 4xzXw
c R2 Podstawiając R g = 3 km, R = 7 • 105 km (promień muskający Słońce), x z = = 149,60 106 km, x w = 108,21 • 106 km, otrzymamy opóźnienie dt = 240 (jls, co odpowiada wydłużeniu drogi w jedną stronę o 36 km. Pomiary w latach 1968 i 1971 potwierdziły ten wynik z dokładnością do 3%. Jest to największa dokładność, z jaką zmierzono jakikolwiek efekt ogólnej teorii względności. Przy okazji wyznaczono jednostkę astronomiczną (średnią odległość Ziemia-Słońce) z dokładnością do 1 km! 9. Prędkość graniczna. Dzieląc odległość przebytą przez sygnał świetlny przez zużyty na to czas własny, otrzymamy lokalną wartoić prędkości światła dl _ dr_________1____ = c> _ d r “ j / l —R J r ^ l - R J r d t 1~ R J r 111
W próżni c = c0 = 3- 108 m/s. W danym miejscu stanowi ona prędkość graniczną — żadne ciało nie może się poruszać szybciej. Jeżeli jednak obserwator mierzy swoim zegarem prędkość świat ła przechodzącego przez miejsce, w którym pole jest słabsze (wyższy potencjał), to otrzyma w wyniku c
c> c
i-lA Y Jc2
(znak równości odnosi się do zerowej różnicy potencjałów). Dotyczy to również prędkości ciał materialnych— jeżeli obserwator znajdujący się w silniejszym polu mierzy ją (z oddali) w miejscu, gdzie pole jest słabsze, to stwierdzi jej wzrost. Różnica rośnie z odległością i przy dostatecznie dużej
-AVg
U c
tA
Rys. 76. Jeżeli obserwator A, znajdujący się w silniejszym polu grawitacyjnym mierzy swoim zegarem czas przelotu światła przez odcinek I w miejscu B, gdzie pole jest słabsze, otrzymuje prędkość większą niż graniczna c w jego układzie. Jednak dla obu obserwatorów lokalna prędkość nie jest nigdy większa od granicznej.
odległości prędkość może przekroczyć prędkość światła w układzie obserwatora. Nigdy jednak nie zaobserwuje on d a ł i sygnałów szybszych niż światło w układzie, gdzie się znajdują, bo mierzona przez niego z oddali wartość prędkości granicznej wzrasta w tym samym stosunku. Jednocześnie dla każdego obserwatora jego własna, zmierzona lokalnie prędkość graniczna jest równa c0. 10. Czarne dziury. Klasyczna energia efektywna planety GMm a E*t = ----------- + r 2mr1 ma minimum w odległości równej promieniowi orbity kołowej
a GMm1 ’ a przy zbliżaniu się do centrum rośnie do nieskończoności. Energia relatywistyczna
Ect — 112
GMm r
li
G M li
2mrx
rmfr*
h—
i
zawiera ujemną poprawkę, proporcjonalną do odwrotności sześcianu promienia. Przy małych r jej wpływ przeważa i energia efektywna maleje do minus nieskończoności. W odległości r
6G M
= 3R ,
pojawia się dodatkowe maksimum. Bliżej centrum możliwe są orbity, których mechanika klasyczna nie zna. Dla r < R , energia jest ujemna, co oznacza działanie sił przyciągających. Obszar o promie niu r = Rg, zwany kulą Schwarzschilda lub czarną dziurą, ma niezwykłe właściwości: a) H oryzon t zdarzeń. Dla obserwatora znajdującego się w odległości znacznie większej niż promień Schwarzschilda prędkość światła w miarę zbliżania się do czarnej dziury maleje zgodnie
Rys. 77. Powierzchnia czarnej dziury (obszar zakreskowany) jest horyzontem zda rzeń dla nieruchomych obserwatorów ( 1 ,2 , 3) poza nią. Im silniejsze pole, tym bar dziej zdeformowane są stożki czasoprzestrzenne. W przeszłości i przyszłości żadnego obserwatora nie ma czarnej dziury.
z wzorem
czyli dr 1 -R J r
± c d t.
Po scałkowaniu otrzymujemy równanie linii światła sygnału świetlnego c t = ± r + R ,ln | — ---- l j + C .
Wartość stałej C nie ma znaczenia dla dalszych rozważań. Dla bardzo dużych r linie światła prostują się: ct = ± r+ C ,
co oznacza, że można tam uważać układ za inercjalny, a przestrzeń za płaską. Dla r zmierzającego do Rg prędkość światła mierzona przez odległego obserwatora maleje do zera, a czas potrzebny, 8
Fizyka dla politechnik
113
by sygnał, a tym bardziej obiekt materialny, wysiany przez obserwatora dotarł do powierzchni czarnej dziury, dąży do nieskończoności. Czarna dziura je s t dla nieruchomego obserwatora z zew nątrz horyzontem zdarzeń. Nic nie może do niej wniknąć, ani się z niej wydostać. b) Spadek do czarnej dziury. Zupełnie inny jest punkt widzenia obserwatora poruszającego się po geodetyce w stronę czarnej dziury. W czasie spadku jego zegary idą coraz wolniej. Z zasady zachowania energii dla pola sferycznego
V l-R J r
|/l - I G M l & r
, - = const, | / l - o 2/c2
} / \ —tl2/c2
przez podniesienie do kwadratu otrzymujemy 1 -R J r ■------— - = const.
1 —o2/c2
Dla punktu toru określonego przez r = r0 1 —R ,lr 0
1 —R j r
1 —t>oIc2
1 —t>2/c2
v = v 0 mamy
Stąd 1- R ,! r
1-t> 2/c2
1 - R ,lr 0
l - i >Hc2
Jeżeli dla r = r0 v = 0 (początek spadania), to
= 1-
1 Rgfro
albo c
-R gjr 1 - R , /r0
V
(minus oznacza ruch w stronę malejących r). We wszystkich tych wzorach v jest prędkością określoną przy użyciu czasu lokalnego tr, a nie czasu t odległego obserwatora z zewnątrz. Ponieważ t, = (1 —R,,lr)t, to dr
1
dr
d t,
1 —R t lr
dt
Podstawiając to do poprzedniego wzoru dochodzimy do równania linii świata spadającego ciała w postaci dr
1- R J r
df7
1 - R ,!r0
lub dla obserwatora z zewnątrz dr dt
1- R J r 1- R J r o
Mimo zastosowania przybliżenia słabego pola, otrzymane wzory są słuszne i dla małych r. Jeżeli obserwator jest bardzo odległy, to mierzona przez niego prędkość ciała w miarę malenia r dąży do prędkości światła, co oznacza asymptotyczne zbliżanie się linii świata spadającego ciała do linii świata światła. W granicy dla r -► R, obie prędkości maleją do zera, co uniemożliwia osiągnięcie czarnej dziury.
114
Zegary obserwatora spadającego pokazują czas własny r różny od czasu t, mijanych zegarów ze względu na prędkość, z jaką się porusza i związaną z tym dylatacją czasu:
v*/c2
---- dr,
dr =
|/ 1 ~ R .tr albo, jeżeli podstawimy znalezioną przedtem wartość v 2jc2, d r,
dr =
^ 1 —-R./ro' Ale d/ ,= —dr/c|/l — (1 —i i (/r)/(l—/J,/r0) i stąd dr
1—Rtlr 1 —Rgjt0 co po scałkowaniu prowadzi do czasu spadku
Jeżeli spadek zaczyna się dostatecznie daleko (r0 > R,), to
Jak widać, dla obserwatora spadającego wraz z ciałem czas do chwili osiągnięcia czarnej dziury jest skończony. Po minięciu jej powierzchni spadek trwa dalej. Obierając jako górną granicę całko wania nie r = R , tylko r = 0 możemy obliczyć czas spadku do centrum:
c) Czasoprzestrzeń obserwatora spadającego. Dla uproszczenia rozpatrzymy spadek z punktu r0 = oo. Teraz
2
dr = —
d(r3/2),
czyli
/ 2 r 3/2 \ „ d ( ------ = + c r ) = 0,
\ 3 \fR .
I
co oznacza, że 2 r 3/2 ------==- + c r = const.
3 fR . Dla obserwatora spadającego stała może być tylko jego własna współrzędna r'. Stąd
2 r 3/2
T ~R.
-+ C T
2R , ( r \ 3/2 + CT.
Zatem stałym odległościom od centrum (r = const) odpowiadają w układzie spadającym linie
8*
115
r'—cr = const, czyli r' = cr+ const. W układzie (er, r') są to proste nachylone pod kątem 45°. Linia świata powierzchni kuli Schwarzschilda (r = Rj) przecina oś r' w punkcie r‘ = 2Re/3, a linia świata jej środka w r' = 0. Linie świata światła określa w tym układzie równanie
o. Rys. 78. Stożki czasoprzestrzenne obserwatorów spadających do czarnej dziury są też zdeforięowane, ale nie ma już horyzontu zdarzeń. Przeszłość obserwatora 1 nie obejmuje czarnej dziury, ale w przyszłości spadek do niej jest nieuchronny. Obserwa tor 2 już jest wewnątrz niej i nigdy jej nie opuści. Linie świata mijanych nieruchomych punktów są prostymi nachylonymi pod kątem 45°. N a osi rzędnych odłożono czas własny. Dla obserwatora spadającego promień czarnej dziury wynosi 2R,/3. Analiza przebiegu geodetyk światła z punktu widzenia obserwatora wykazuje, że światło ani ciała materialne nie mogą opuścić kuli Schwarzschilda i bez względu na to, w którą stronę wylatują, kończą swój ruch w centrum. Nietrudno też wykazać, że wewnątrz czarnej dziury nie ma ciał spoczy wających. Dla obserwatora spadającego na centrum prawa ruchu tracą symetrię względem inwersji czasu, bezwzględna przyszłość jego zdeformowanego stożka świetlnego leży całkowicie wewnątrz czarnej dziury. Docierają do niego wprawdzie sygnały z przeszłości poza nią, ale nie może na nie odpowiedzieć. Kierunek upływu czasu jest dla niego ściśle zdeterminowany. d) Czy można wykryć czarną dziurę? Zewnętrzny obserwator nieruchomy nie widzi czarnej dziury, jej powierzchnia stanowi dla niego horyzont zdarzeń: w skończonym czasie nic nie może jej osiągnąć. Obserwator spadający stwierdza możliwość, a dla r < 3R , nawet konieczność, wniknięcia do czarnej dziury, ale z oddali nie może zobaczyć jej wnętrza, bo żadne promienie stamtąd do niego nie docierają. W chwili osiągnięcia powierzchni czarnej dziury ciała znikają. Czy wobec tego zaob serwowanie takiego obiektu kosmicznego jest w ogóle możliwe? W każdym razie można zaobserwo wać pole grawitacyjne. Dostatecznie odległe ciała powinny w nim krążyć zgodnie z prawami Kep lera, co pozwoliłoby na wyznaczenie masy niewidzialnego źródła pola. Czarna dziura powinna też wciągać otaczającą ją materię międzygwiazdową, która musiałaby się przy tym silnie ogrzewać i wy syłać promieniowanie. W przypadku układu podwójnego byłoby to promieniowanie rentgenowskie, natomiast widmo materii ściąganej przez pojedynczą czarną dziurę powinno być takie jak dla bia 116
łych karłów. Wyzwolona energia wyraża się wzorem E = (R,jR)mc2, gdzie R oznacza promień obszaru. Powinniśmy więc oczekiwać ogromnych mocy promieniowania — rzędu 1030 W. Stadium czarnej dziury może osiągnąć gwiazda, która wypaliła swoje paliwo, jeżeli ma dosta tecznie dużą masę, nie mniejszą niż 3M s (M s — masa Słońca). Ciśnienie promieniowania przestaje wówczas równoważyć siły grawitacji, następuje tzw. zapaść {kolaps), czyli gwałtowne wciągnięcie materii gwiazdy do obszaru o r < Rg i powstaje czarna dziura. Jeżeli więc jakiś niewidzialny obiekt kosmiczny ma masę większą niż trzy masy Słońca i jego otoczenie jest źródłem nie pulsującego promieniowania rentgenowskiego o wielkiej mocy, to możemy podejrzewać, że jest on czarną dziurą. Astrofizycy dodają jeszcze jeden warunek: obiekt taki nie powinien mieć pola magnetycznego. Wszystkie te kryteria spełnia źródło promieni Roentgena w gwiazdozbiorze Łabędzia oznaczone symbolem Cygnus X I. Widzialnym składnikiem układu pod wójnego jest tam gwiazda HDE 226868 o masie równej 20 do 2SMs, oddalona od nas o 6000 lat świetlnych. Obliczona masa niewidzialnego składnika wynosi ok. 14M s . Jest bardzo prawdopo dobne, że Cygnus XI jest czarną dziurą. Jej promień powinien wynosić około 15 km. Omówiona wyżej zapaść grawitacyjna musi być straszliwym kataklizmem kosmicznym; do 40% masy gwiazdy może się przy tym wydzielić w postaci promieniowania. Jest zadziwiające, że ta katastrofa jest widoczna tylko dla tego, kto w niej bierze udział! Nieruchomy obserwator z zewnątrz stwierdzi tylko szybki zanik jasności gwiazdy. D la niego materia gwiazdy osiągnie powierzchnię kuli Schwarzschilda w nieskończenie odległej przyszłości, a szybkość jej zapadania się będzie dążyć do zera. Relatywistyczny Wszechświat pełen jest dziwów i pasjonujących zagadek. Nie potrafili byśmy ich opisać, ani tym bardziej rozwiązywać bez ogólnej teorii względności, będącej jednym z najwspanialszych tworów ludzkiego umysłu.
IV Pole ładunków § 12. Ładunek elektryczny Źródłami i obiektami oddziaływania poła elektrycznego są ciała naładowane. Przy pisujemy im ładunek elektryczny — dodatni lub ujemny. Ładowanie (elektryzowanie) ciał polega na pobieraniu przez nie ładunku od innych ciał lub na rozdzieleniu ła dunków i odprowadzeniu ładunków jednego znaku z pozostawieniem ładunków drugiego znaku. Podczas ładowania mamy do czynienia z przepływem prądu elek trycznego o natężeniu
Ładunek elektryczny możemy zdefiniować wzorem
Q = J/dt. o Całkę z natężenia prądu nazywa się często impulsem prądu. Istnieją przyrządy, jak np. galwanometr balistyczny, za pomocą których można mierzyć impuls prądu i zarazem doprowadzony ładunek. Jednostką ładunku jest kulomb, czyli ładunek przeniesiony w ciągu jednej sekundy przez prąd o natężeniu jednego ampera 1C = 1A • s. Wszystkie ładunki są całkowitą wielokrotnością pewnej najmniejszej porcji ładunku zwanej ładunkiem elementarnym równej e = (1,6021892 ± 0,0000046)- 10"19 C. 119
Rys. 79. Impuls prądu. Pole pod krzywą natężenia prądu oznacza ładunek.
Rys. 80. Zasada działania galwanometru balistycznego. P — promień światła, Z — zwierciadło. Pod wpływem impulsu prądu umieszczona w polu magnetycznym cewka wychyla się i wykonuje serię wahnięć o malejącej amplitudzie. Maksymalne wychylenie jest proporcjonalne do pola pod krzywą prądu, czyli do przeniesionego ładunku.
Ładunek elementarny niosą różne cząstki elementarne, wśród nich protony (ładunek +e) i elektrony ( —e). W elektrycznie obojętnym ciele makroskopowym ładunki dodatnie i ujemne kompensują się wzajemnie. Ładunek ciała naelektryzowanego dodatnio jest sumą nie skompensowanych ładunków protonów. Ciało naelektryzowane ujemnie ma nie skompensowany nadmiar elektronów. Cząstki ele mentarne są jedynymi nośnikami ładunku elektrycznego. Nie znamy ładunków nie związanych z nimi. Przykład. Elektryczność w człowieku. Ciało przeciętnego człowieka o masie 75 kg zawiera ok. 2,-3 • 1028 protonów i tyleż elektronów. Sumaryczny ładunek protonów wynosi 3,7 • 109 C, kompen 120
suje go taki sam ujemny ładunek elektronów. Wystarczyłby nie skompensowany nadmiar jednej miliardowej części tego ładunku, by między ciałem ludzkim a ziemią powstało gigantyczne napięcie 1,3 • 1011 V (dla uproszczenia rachunku zastąpiono człowieka kulą o takiej samej masie i gęstości). Odpowiadałaby temu energia 2,4- 1011 J — 28 milionów razy większa od grawitacyjnej! Przykład. Ładunek elementarny. W roztworach wodnych cząsteczki kwasów, zasad i soli ulegają dysocjacji, czyli rozpadowi na naładowane elektrycznie kompleksy, zwane jonami. Po zanurzeniu do roztworu elektrod i przyłożeniu napięcia przez elektrolit płynie prąd elektryczny: jony dodatnie (kationy) płyną do elektrody ujemnej {katody), a jony ujemne (aniony) do elektrody dodatniej {anody). Na elektrodach wydzielają się produkty całego procesu zwanego elektrolizą. Masa produktu o masie cząsteczkowej fi wydzielonego na jednej elektrodzie jest wprost proporcjonalna do ładunku przeniesionego w tym czasie przez jony o wartościowości w:
Jest to prawo Faradaya. Równoważnik elektrochemiczny k = fi/wF zawiera w mianowniku stalą Faradaya F, czyli ładunek, jaki musi przepłynąć, aby na elektrodzie wydzieliła się masa pjw , zwana równoważnikiem chemicznym. Odpowiada im przepływ N a (liczby Avogadra) jonów, z któ rych każdy niesie ładunek we. Stąd w m Z pomiarów uzyskano F = (96 484,56 + 0,27) C- mol-1. Dzieląc to przez stałą Avogadra Na = (6,022 045 + 0,000 031) • 1023 mol-1 otrzymujemy e = (1,602 189 ± 0,000 013)- 10-1S,C w zgodności z podaną wyżej dokładniejszą wartością ładunku elementarnego.
Zasada zachowania ładunku. Przy elektryzowaniu ciał mamy zawsze do czynienia z rozdzieleniem ładunków obu znaków — np. przy pocieraniu bursztynu wełną bursztyn ładuje się ujemnie, a wełna dodatnio. Nie można wytworzyć ani zniweczyć odosobnionych ładunków jednego znaku. Sumaryczny ładunek układu odizolowanego elektrycznie pozostaje stały. Stwierdzenie to nazywamy zasadą zachowania ładunku. Przykład. Tworzenie par. Oddziałując z polem elektromagnetycznym jądra, foton gamma o ener gii większej niż 1,02 MeV może dać początek parze elektronów. Zgodnie z zasadą zachowania ła dunku suma ładunków obu cząstek musi być dalej równa zeru — powstaje więc elektron dodatni (pozyton) i ujemny (negaton): y -* e* + e~ . Odwrotny proces, zwany anihilacją, prowadzi do zniknięcia obu elektronów: e++e~ -» 2y.
Rys. 81. W zjawisku tworzenia par zachowany jest ładunek i pęd, którego nadmiar przejmuje jądro atomu (obszar zakreskowany). 121
Zniknięcie tylko jednego elektronu wraz z jego ładunkiem oznaczałoby naruszenie zasady za* chowania ładunku. Zauważmy przy okazji, że w tego rodzaju przejściach musi być także spełnione prawo zachowania errfcrgii i pędu. W układzie środka masy suma pędów pary elektronowo-pozytonowej przed anihilacją równa się zeru. Wobec tego suma pędów po anihilacji również musi być równa zeru. Gdyby w wyniku anihilacji powstał tylko jeden foton, byłoby to niemożliwe (nie istnieją fo tony o p = 0) i dlatego muszą powstać dwa fotony o przeciwnych pędach. Do utworzenia pary wy starczy jeden foton, bo proces ten przebiega zwykle w pobliżu jądra atomu, które przejmuje nadmiar pędu. Odrzut jądra można zaobserwować na zdjęciach z komory Wilsona lub pęcherzykowej.
Gęstość ładunku. Najprostszym źródłem pola elektrycznego jest ładunek punk towy, czyli ładunek rozmieszczony w obszarze o pomijalnie małych rozmiarach — np. ładunek cząstki. W pobliżu ciała naładowanego nie możemy go traktować jako cząstki ani jego ładunku jako punktowego. Ładunek obszaru rozciągłego można przedstawić jako e = JpdK, gdzie V jest objętością, a
q
przestrzenną gęstością ładunku. Oczywiście
Podobnie definiuje się gęstość powierzchniową
i liniową
S oznacza pole naładowanej powierzchni, a / — długość naładowanego obszaru liniowego, np. nici). Całkowity ładunek powierzchni S wyraża się wzorem Q = J trdS, s a linii o długości l Q = J M l. i
Q + V Rys. 82. Naładowana cząstka (z lewej) ma ładunek punktowy. Obszar naładowany charakteryzuje gęstość ładunku. Ładunek obszaru jest całką z gęstości. 122
Q = JodS s
L Rys. 83. Obszar naładowany powierzchniowo (u góry) i liniowo. Ładunek obszaru jest całką z odpowiedniej gęstości.
A oto, jak można przedstawić gęstość ładunku w obszarze wypełnionym nała dowanymi cząstkami: Q(t) = ^ e , < 5 ( r - r (). i Tutaj r opisuje położenie punktu, w którym wyznaczamy gęstość, a rt — położenie ładunku punktowego Qt. Z funkcją <5 zapoznaliśmy się już wcześniej. Przykład. Gęstość ładunku elementarnego. Bombardując nukleony elektronami wielkiej energii stwierdzono, że ładunek protonu skupiony jest w obszarze o promieniu 1,37 • 10- ' 5 m. Gęstość ładunku w protonie
Q=
1,60-10-19
1,5
|7r(l,37 - 10-1*)3
jest niewyobrażalnie wielka. Dla porównania: liczba cząsteczek w 1 m3 powietrza w normalnych warunkach wynosi 2,7 • 10“ (liczba Loschmidta). Gdyby wszystkie te cząsteczki zjonizować przez odebranie im (albo dodanie) po jednym elektronie, gęstość ładunku wyniosłaby 2,7 • 1025 • 1,6 • 10-ł9 , C - ------------- 1------------ = 4,3-106—-
Rys. 84. Rozkład gęstości ładunku w protonie — według badań R. Hofstadtera i współpracowników. 123
Tego rodzaju stan materii nazywamy plazmą. Gęstość ładunku w plazmie z jaką mamy do czy nienia w praktyce — np. w płomieniu zapałki czy łuku spawarki— jest zwykle jeszcze mniejsza. Gęstość elektronów przewodnictwa w metalach jest rzędu 1022 n rr3, co odpowiada gęstości ła dunku rzędu 109 C - m -3 . Taka sama jest gęstość kompensującego go ładunku dodatnich jonów siatki krystalicznej.
§ 13. Pole elektryczne Jak wspomnieliśmy, ładunki elektryczne występują w dwóch rodzajach, określanych jako dodatnie (ładunek protonu) i ujemne (ładunek elektronu). Ładunki oddziałują ze sobą: ładunki tego samego znaku odpychają się, a różnych znaków przyciągają się. Wielkość siły oddziaływania i jej zależność od wielkości ładunków i odległości między nimi można znaleźć doświadczalnie.
Rys. 85. Ładunki różnoimienne przyciągają się, a jednoimienne odpychają.
Oddziaływanie między ładunkami elektrycznymi interpretujemy jako oddziały wanie między nimi a ich polami (między ładunkami a polami innych ładunków). Pole wytworzone przez ładunek elektryczny nazywamy polem elektrycznym. Natężenie pola. Jeżeli w obszar pola ładunku Q wprowadzimy próbny ładunek punktowy q, to między nim a polem działa siła F. Jej stosunek do ładunku q <■.1 '
Rys. 86. Na umieszczony w polu ładunek działa siła proporcjonalna do jego wartości. Stosunek siły do wartości ładunku ą jest natężeniem pola elektrycznego. W każdym punkcie pola mamy określoną wartość i kierunek natężenia K. 124
nosi nazwę natężenia pola elektrycznego. Wyrażamy je w niutonach na kulomb, czyli woltach na metr 2L =
C
N ’m =
C -m
j
C -m
= y_
m ‘
Wektor natężenia pola elektrycznego ma kierunek i zwrot siły działającej na umieszczony w danym punkcie ładunek dodatni. Właściwość tę można wykorzystać do jego pomiaru. Przykład. Wahadełko elektryczne. Lekka kuleczka, zawieszona na nieprzewodzącej nici, nała dowana ładunkiem q i umieszczona w polu elektrycznym odchyla się od pionu o kąt a. Dzieje się
Q —O
K=^ptgoo Rys. 87. Wychylenie wahadełka elektrycznego jest miarą natężenia pola. tak dlatego, że do siły ciężkości mg dodaje się działająca na ładunek kulki siła qK. Wypadkowa siła F = mg+qK. Odchylona nitka pokazuje jej kierunek. Ponieważ tg a = qKjmg, to fflgtgcc A = ---------- , W praktyce wahadełka elektrycznego używa się częściej do wyznaczania ładunku q. Odmianą wahadełka elektrycznego jest listek elektroskopu — przyrządu służącego do wykazywania obecności ładunków.
Prawo Coulomba. Za pomocą wahadełka elektrycznego można też ustalić za leżność siły oddziaływania elektrycznego od ładunków i odległości wzajemnej ciał naładowanych. Znacznie wygodniej jest — podobnie, jak zrobił to w roku 1785 August Coulomb — użyć do tego celu wagi skręceń. N a końcu nieprzewodzącej beleczki zawieszonej na sprężystej nici zamocowana jest metalowa kulka, którą można ładować przez dotknięcie naelektryzowaną pałeczką. Na łuku zakreślanym przez kulkę przy obrocie beleczki znajduje się jeszcze jedna identyczna kulka. Przy zetknięciu obu kulek ładunek rozdziela się po połowie i jednoimiennie naładowane kulki zaczynają się odpychać. W miarę odchylania się beleczki i wzrostu odległości między kulkami maleją siły odpychające i ich moment. Jednocześnie rośnie moment sił sprężystości nici. Kiedy oba momenty się zrównają, beleczka zatrzyma się w po25
łożeniu równowagi. Obracając beleczkę znanymi siłami, można stwierdzić, że kąt skręcenia nici jest wprost proporcjonalny do momentu skręcającego i odpowiednio wycechować wagę. Specjalna skala na obwodzie służy do odczytywania odległości między naelektryzowanymi kulkami. Zmieniając ładunki kulek przez ładowanie lub
Rys. 88. Schemat wagi skręceń. Współczynnik proporcjonalności między siłą oddzia ływania a podzielonym przez kwadrat odległości iloczynem ładunków jest związany z układem jednostek.
dotykanie taką samą nie naładowaną kulką i wykonując pomiary, można potwier dzić prawo Coulomba: siła oddziaływania między naładowanymi kulkami jest wprost proporcjonalna do iloczynu ich ładunków i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości ich środków. F = k Q<ł Stała proporcjonalności k ma ścisły związek z jednostkami. Jeżeli przyjmiemy k = 1 i wyrazimy siłę w dynach (ldyna = l g - c m - s -2 = 10~s N), a odległość w centymetrach, to ładunek musimy mierzyć w cm -)/dyn = cm3/2-g1/2-s-1 (elektro statyczna jednostka ładunku ESq). W układzie SI współczynnik k jest równy k =
M-m2 N •m2 1 = 8,98755179-109 S 9-109 4ne0 C2 C2
przy czym
e0 = (8,854187818±0,000000071) • 10-12 s 10“12/36tuC2/N • m2 jest przenikalnością elektryczną próżni. Czynnik 47t w mianowniku stosuje się dla uproszczenia niektórych wzorów (zapis zracjonalizowany). Ze względu na to, że N/C = V/m (jednostka natężenia pola), jednostkę współczynnika k można określić jako V • m/C, a stałej e0 jako C/V ■m. 126
Uwzględnianie znaków ładunków i kierunków sił prowadzi do ogólniejszej, wektorowej postaci prawa Coulomba F=
Qq 47ie 0r 2
+q
r
F +Q F Rys. 89. Siła między ładunkami jednoimiennymi ma zwrot zgodny z wektorem łą czącym ładunki i zwróconym w stronę ładunku próbnego, siła między ładunkami różnoimiennymi ma zwrot przeciwny.
F jest siłą działającą na ładunek q, a wektor r° ma zwrot od ładunku Q do q. Ładunki należy podstawiać z uwzględnieniem znaków. Iloczyn ładunków jednoimiennych będzie dodatni (odpychanie), a różnoimiennych ujemny (przyciąganie). Przykład. Wielkość sił elektrostatycznych. Kulomb jest jednostką dużą. Proste podstawienie do prawa Coulomba przekonuje nas, że dwa ładunki Q = q = 1 C umieszczone w odległości r = 1 km w próżni oddziałują na siebie siłą F = 9 1 0 9— 5— = 9 -K P N . ( 103)2
r
+v
Ikm
9kN
F=
Qq 4«e0r2
12;106t 9kN
GMm r2
Rys. 90. Porównanie sił elektrostatycznych i grawitacyjnych.
Łatwo sprawdzić, że aby uzyskać taką samą siłę grawitacji, trzeba by umieścić w tej samej odle głości ciała o masie M = m = 1,17- 1010 kg, czyli ważące tyle co 500 transatlantyków. A oto inny przykład: W słynnym doświadczeniu Rutherforda, które doprowadziło do odkrycia jądra atomu, 127
cząstki alfa, czyli jądra helu o ładunku + 2e zbliżały się na odległość r = 2-10"14 m do jąder ato mów złota o ładunku + 79e. Obliczmy siłę odpychania elektrostatycznego F = 9-109
2-79(1,6-10-19)2
(2- 10-14)2
= 110 N.
Zważywszy, że masy oddziałujących cząstek wynoszą 6- 10-27 i 3- 10~25 kg, musimy uznać tę siłę za olbrzymią. Pod jej działaniem cząstka alfa o prędkości 20 000 km/s może zmienić kierunek lotu o 180° w ciągu 2- 10” 21 s!
Pole ładunku punktowego. Prawo Coulomba stosuje się do ładunków punktowych. Dzieląc siłę oddziaływania przez próbny ładunek q otrzymujemy natężenie pola w funkcji odległości r od środka wytwarzającego je ładunku Q:
Natężenie pola ma kierunek i zwrot siły działającej na wprowadzony w jego obszar dodatni ładunek próbny. Znak licznika jest taki jak ładunku wytwarzającego pole. Pole elektryczne jest polem centralnym. Centrum pola stanowi wytwarzający je ładunek. Prawo Gaussa. Natężenie pola ładunku punktowego jest odwrotnie proporcjo nalne do kwadratu odległości od centrum. Dla pól centralnych typu w(r) = cr°/r2 prawo Gaussa ma postać
1dS„=dScos(p = dB
Rys. 91. Prawo Gaussa dla pola elektrycznego . o symetrii sferycznej.
128
Rys. 92. Całkowanie po powierzchni w prawie Gaussa możemy zastąpić całkowaniem po kącie bryłowym Q.
W naszym przypadku wektor pola K = Qi°/4nE0r2, więc c = Q/4 tze0 i prawo Gaussa wyraża się wzorem
Strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię zamkniętą jest wprost proporcjonalny do zawartego wewnątrz niej ładunku. Możemy się o tym przekonać w inny sposób — bezpośrednio z wzoru na natężenie pola:
Iloczyn r°dS = dScos(r, dS) = d Ą jest rzutem elementu powierzchni dS na płaszczyznę prostopadłą do promienia wodzącego. Wobec tego r°dS/r2 = dfJ oz nacza kąt bryłowy, odpowiadający elementowi dS i całkowanie daje w wyniku pełny kąt bryłowy 4n. Stąd rzeczywiście 4n
Ładunek Q jest zawarty wewnątrz powierzchni całkowania. Dla ładunków znaj dujących się na zewnątrz powierzchnię tę dzieli się na część widoczną z punktu, w któ rym znajduje się dany ładunek i część po przeciwnej stronie. Ze względu na różny znak iloczynu KdS na każdej z nich (dS ma zwrot normalnej zewnętrznej) obie całki mają też różne znaki, a że każda z nich daje w wyniku ten sam kąt bryłowy — kąt
| K d S = jK d S + jK d S = 0 s,
S2
Rys. 93. Ładunek znajdujący się poza powierzchnią S nie wpływa na pole wewnątrzniej, bo jego strumień jest równy zeru. 9
Fizyka dla politechnik
129
widzenia powierzchni od strony ładunku Q, więc obie całki znoszą się:
Si Sa Ładunki z zewnątrz nie dają żadnego przyczynku do strumienia natężenia pola przez zamkniętą powierzchnię. Jeżeli wewnątrz niej ładunek jest równy zeru, strumień natężenia przez nią jest także równy zeru, niezależnie od tego, co się dzieje na zewnątrz. Czy pole elektryczne jest solenoidalne? Solenoidalnym nazywamy pole o zerowej dywergencji. Sferyczne pole centralne ładunku punktowego opisane jest wzorem
K = — 9l— r° = /(r)r°. 47te0r2
Obliczmy dywergencję 6 2Q = 0. dr r 2rce0r 3 47te0r 3 Jest ona wszędzie (z wyjątkiem centrum) równa zeru. Stwierdzenie to jest szcze gólnym przypadkiem różniczkowego prawa Gaussa, do którego wrócimy później. Pole elektryczne jest solenoidalne w obszarach nie zawierających ładunków. Wynika to z opisanej prawem Coulomba odwrotnej proporcjonalności sił elektrostatycznych do kwadratu odległości. Dla takich pól dywergencja znika. Prawo Gaussa p a ścisły związek z prawem Coulomba, jest jednak od niego ogólniejsze. Spełnianie przez siły między ładunkami prawa Coulomba oznacza w istocie, że do pola elektrycznego stosuje się prawo Gaussa. divK
Sprawdzenie prawa Coulomba. Z tego, co dotychczas powiedziano, wynika, jak ważna jest dokładność wyznaczenia wykładnika przy r w prawie Coulomba. Opiera się ono na związanej z wartością tego wykładnika niewrażliwości pola w zamkniętym obszarze, np. wewnątrz wydrążonej metalowej kuli, na pojawianie się i znikanie ładunków zewnętrznych. Jeżeli w wydrążeniu nie ma ładunku, a zewnętrzna powierzchnia powłoki jest pokryta ładunkami o gęstości powierzchniowej o = const, to w dowolnym punkcie wewnątrz kuli przyczynek natężenia pola od dwóch przeciw ległych elementów dSt i dSt w tym samym kącie bryłowym dQ wynosi 1 4*6 0
r odSi L r"
odS2 I r; J ’
przy czym przyjęto, że natężenie pola jest odwrotnie proporcjonalne do r". Minus wynika z przeciw nego zwrotu natężenia pola od obu elementów. Oznaczmy kąt między elementem powierzchni a jego rzutem na powierzchnię prostopadłą do promienia wodzącego przez #. Kąt bryłowy, pod jakim widać oba elementy z danego punktu, wiąże się z elementem powierzchni zależnością d ii = = d S ico s# /ri = dS2cos#/rf. Stąd dla każdego z elementów dS =
r JdQ cos# ’
Podstawiając to do poprzedniego wzoru mamy odSi dK = 4tc£0COS# 130
Dla n = 2
dK =0
1,5m
Rys. 94. Tylko przy wykładniku n = 2 (w prawie Coulomba) natężenie pola w wol nym od ładunku wnętrzu naładowanej powłoki jest wszędzie równe zeru.
Rys. 95. Schemat aparatury, za pomocą której sprawdzono prawo Coulomba. Z — generator, W — wzmacniacz i galwanometr z odczytem świetlnym. Osłony z miedzi izolują wnętrze od przypadkowych zakłóceń z zewnątrz. W doświadczeniu Williamsa, Fallera i Hilla powłoki miały kształt dwudziestościanów. 9*
131
Jeżeli potraktujemy wykładnik n jako zmienną niezależną, to stwierdzimy, że pierwiastkiem otrzymanego wyrażenia jest n = 2. Dla n > 2 AK jest skierowane w stronę dalszego elementu powierzchni, dla n < 2 — w stronę bliższego. W obu przypadkach natężenie pola wewnątrz powłoki jest na ogół różne od zera. Tylko dla n = 2 K = 0 we wszystkich punktach wnętrza. Najdokładniej, jak dotąd, sprawdzili prawo Coulomba w 1971 roku Williams, Faller i Hill. D la zwiększenia dokładności metalowa powłoka o średnicy 1,5 m była dołączona do źródła napięcia zmiennego o amplitudzie 10 kV i częstości 4 MHz. Mimo ogromnej czułości aparatury wynik doś wiadczenia był negatywny — nie udało się wykryć pola wewnątrz kuli. Stwierdzono, że wykładnik w prawie Coulomba równa się 2 z dokładnością do 3 • 10~16. Dla porównania: w „klasycznym” pomiarze dokonanym przez Plimptona i Lawtona w roku 1936 przy użyciu napięcia stałego dokład ność wynosiła „zaledwie” 2 - 10~9. Jeszcze efektowniejszy był przeprowadzony w uniwersytecie Stanforda eksperyment ze swobodnym spadkiem elektronów w opróżnionym z powietrza i wolnym od pola obszarze wewnątrz metalowej komory. Łatwiej nam będzie docenić precyzję doświadczenia, jeżeli zdamy sobie sprawę, że działająca na elektron siła elektrostatyczna staje się równa grawitacyj nej już przy natężeniu pola K = 5,6 • 10-11 V • m_M Tak doskonałe opróżnienie komory z pola elektrycznego nie byłoby możliwe, gdyby nie jego odwrotna proporcjonalność do r 2.
Prawo Stokesa. W polu centralnym typu w(r) = cr°/r2 cyrkulacja wektora pola jest równa zeru i prawo Stokesa redukuje się do postaci
Przekonajmy się, że pole ładunku punktowego rzeczywiście spełnia tę zależność:
Rys. 96. Bezwirowość pola elektrostatycznego najłatwiej sprawdzić dla ładunku punktowego. N a odcinkach łuków całki krzywoliniowe z natężenia pola są równe zeru, na odcinkach promieniowych znoszą się wzajemnie. Dowolny kontur można aproksymować schodkową krzywą złożoną z odcinków łuków i promieni. Cyrkulacja po kontu rze zamkniętym jest równa zeru. 132
(skorzystaliśmy tu z tożsamości r°dr = )dr|cos(r, dr) = dr). Strumień rotacji pola jest więc równy zeru: jro tK d S = 0, podobnie jak sama rotacja rotK = 0. Pole elektrostatyczne jest bezwirowe. Wniosek ten ma charakter ogólny — odnosi się do pola dowolnego układu nieruchomych ładunków. Potencjał. Z bezwirowości pola elektrostatycznego wynika jego potencjalność: K = - g r a d F e. Potencjał elektryczny Ve znajdziemy przez całkowanie. W polu centralnym (sfe rycznym) grad f(r) = (d//dr)r°. Stosując to do pola ładunku punktowego otrzymuje my K =
dVe dr
-r° = -
47te0r
czyli Q dr, 4ne0r2
dVe
co po scałkowaniu prowadzi do wzoru Ve =
Q
47tc0r
+ C.
Najwygodniej jest wybrać taką wartość stałej C, żeby w nieskończoności potencjarównał się zeru. Tak będzie, jeżeli C — 0. W ten sposób Q Ve =
4ize0r
Ten sam wynik otrzymamy, wprowadzając granice całkowania od nieskończo ności do danego punktu: r
4ne0r
- i 47t£0r :
-dr.
f
Wyrażenie pod całką jest iloczynem bezwzględnej wartości wektora natężenia pola i rzutu wektora przemieszczenia elementarnego na jego kierunek (bo K||r). Wobec tego r
r
Ve = — J |K||dr|cos(K, dr) = - J Kdr 00
00
133
lub K = S Kdr. Otrzymaliśmy ważny związek między potencjałem a natężeniem pola elektrycz nego: potencjał jest równy liniowej całce z natężenia pola w granicach od danego punktu do nieskończoności. Tak obliczony potencjał zależy tylko od położenia.
Rys, 97. Potencjał pola jest całką z natężenia w granicach od danego punktu do nie skończoności.
Z powyższych wyrażeń łatwo znaleźć jednostkę potencjału [Ve] --------- = V. 1 m Potencjał elektryczny mierzy się w woltach. Napięcie elektryczne. Obliczymy teraz różnicę potencjałów między dowolnymi dwoma punktami pola — np. A i B. Potencjał w pierwszym z nich 00
VA = 5 Kdr> tA
Rys. 98. Napięcie jest całką z natężenia między danymi punktami. 134
a w drugim 00
VB = 5 Kdr. ra
Różnica potencjałów TB
UAB= VA — VB = J Kdr TA
nosi nazwę napięcia elektrycznego między punktami A i B. Mierzymy je oczywiście także w woltach. Przykład. Pole jednorodne. Jeżeli w jakimś obszarze natężenie pola jest stałe co do wartości i kierunku {pole jednorodne) K = const, to wzór na napięcie przyjmuje postać Uab
ra = K J dr = K (ra - r J . TA
S Uab“ KsABcos oł= Ks Rys. 99. W polu jednorodnym napięcie jest iloczynem natężenia pola i rzutu odległości między punktami na kierunek pola.
Oznaczając kąt między polem K a wektorem ta —rA przez a oraz bezwzględną wartość tego wektora — czyli odległość A B — przez Sab otrzymujemy Uab = K sabCOSo.. Iloczyn Sabcos a jest rzutem odcinka Sab na kierunek pola. W przypadku SabIIK mamy po prostu U
ab
= K sab, 135
czyli U ab
K = ------ . Sa b
Z twierdzenia Stokesa wynika, że napięcie między danymi punktami nie zależy od drogi całkowania (gdyby zależało, cyrkulacja po konturze zamkniętym, przecho dzącym przez te punkty nie mogłaby być dla wszystkich konturów równa zeru). Sprawdzimy ten wniosek na przykładzie pola ładunku punktowego:
Otrzymane wyrażenie jest funkcją wyłącznie rA i rB, tzn. współrzędnych punktów, między którymi wyznaczyliśmy napięcie. Nie ma w nim żadnej wielkości, która zmieniałaby się przy zmianie toru całkowania. Wróćmy jeszcze do potencjału. Wprowadzenie napięcia umożliwia nam określe nie potencjału jako napięcia między danym punktem a nieskończonością: V(r) = V(r) —K(co) = Urx. „Nieskończoność” przyjęto tutaj jako miejsce, w którym potencjał przybiera wartość zerową. W praktyce utożsamia się ją z ziemią. Potencjał jest więc równo znaczny z napięciem między danym punktem a ziemią.
* Rys. 100. Napięcie między punktami nie zależy od drogi całkowania.
Praca przemieszczania ładunku. Siła działająca na ładunek próbny w polu elek trycznym może go przemieszczać. Pole wykonuje przy tym pracę dfV = Fdr = qKdr = - q d V e. Przy przesunięciu skończonym rB WAB = q J Kdr = qUAB - q(VA- V B). TA
136
Praca przemieszczania ładunku jest równa iloczynowi ładunku i różnicy potencjałów Cnapięcia) między początkowym a końcowym punktem toru. Wartość pracy zależy tylko od wartości potencjału na początku i końcu toru, a nie zależy od jego kształtu. Jak wiemy, właściwość taką mają wszystkie pola zachowawcze. Jeżeli tor jest krzywą zamkniętą (A = B), to W
aa
= q(VA- V A) = 0.
Wa c b d a -
Wa c b + W BDA—
=q(VA—VB) + q(VB-VA) = 0 Rys. 101. Praca przemieszczania ła dunku jest iloczynem ładunku i róż nicy potencjałów.
Rys. 102. Praca przemieszczania ła dunku nie zależy od toru. Wniosek: pole elektryczne jest zachowawcze.
Praca przemieszczania ładunku po torze zamkniętym jest równa zeru. Wniosek ten można wysnuć z prawa Stokesa. Praca na torze zamkniętym jest iloczynem ła dunku i równej zeru cyrkulacji z natężenia pola. Stąd
WAA = g
Znak pracy zależy od znaków ładunków i kierunku przemieszczania. W przypadku ładunków jednoimiennych (znak plus) siły pola wykonują pracę dodatnią odsuwając ładunek próbny (rB > rA), w przypadku ładunków różnoimiennych (minus) do datnia jest praca przysuwania (rB < rA). Na torze zamkniętym rB = rA mamy rze czywiście WAA = 0. Ze związku między pracą a napięciem wynikają zależności między jednostkami: dżulem, kulombem i woltem 1J = 1 C V ,
czyli 137
Energia potencjalna. Przemieszczenie ładunku przez siły pola zachodzi na koszt energii pola. Przy zbliżaniu do siebie ładunków różnoimiennych lub oddalaniu jednoimiennych pole wykonuje pracę dodatnią, a jego energia się zmniejsza. Jeżeli pracę wykonują siły zewnętrzne wbrew siłom pola (np. zbliżając ładunki jednoimienne lub rozsuwając różnoimienne), praca sił pola jest ujemna, a jego energia wzrasta. Siły pola grają wtedy rolę oporów ruchu. Aby znaleźć energię potencjalną, trzeba wyrazić siłę jako ujemny gradient energii F = -g ra d E p , podstawić ją do wzoru na pracę przemieszczenia ładunku d W = Fdr = —gradEpdr = —dE„ i scałkować WAB = J Fdr = EP( A ) - E P(B). Z drugiej strony WAB = q(VA- V B) = - q V A- q V B. Porównując oba wyrażenia widzimy, że EP(A) = qVA i EP(B) = qVB. Ogólnie EP = qVe. Energia potencjalna ładunku próbnego jest równa iloczynowi ładunku i potencjału danym punkcie pola. W polu ładunku punktowego Q
Energia potencjalna jest taką samą funkcją odległości od centrum jak potencjał. Jej wartość charakteryzuje układ złożony z pola elektrycznego i wprowadzonego w dane miejsce ładunku próbnego. Dzieląc ją przez ładunek q uzyskujemy niezależną od niego wielkość potencjału
Potencjał elektryczny charakteryzuje pole w danym miejscu — niezależnie od wartości wprowadzonego weń ładunku. W tym miejscu możemy nadać potencjałowi nowy sens. Jak już stwierdziliśmy, potencjał w danym punkcie jest całką z natężenia pola 00
r 138
Rys. 103. Energia potencjalna charakteryzuje układ ładunków Q i q, potencjał cha rakteryzuje pole ładunku Q.
jest więc równy stosunkowi pracy przesunięcia dodatniego ładunku próbnego od danego punktu do nieskończoności (czyli ziemi) do wartości przesuwanego ładunku, Ve(r) = j
Wr„ .
Jest to zgodne z interpretacją potencjału jako napięcia między danym punktem a nieskończonością (ziemią). Zarazem nowy sens uzyskuje energia potencjalna: jest
Rys. 104. Potencjał pola jest stosunkiem pracy przesunięcia ładunku do nieskończo ności do wartości ładunku.
ona równoznaczna z pracą odprowadzenia dodatniego ładunku próbnego z danego punktu do nieskończoności (ziemi), gdzie Ep = 0. Znak energii jest taki jak potencja łu, tzn. w polu ładunku dodatniego wszędzie dodatni, a w polu ładunku ujemnego wszędzie ujemny, z wyjątkiem r = oo, gdzie przyjmuje wartość zero. 139
Graficzny obraz pola. Rozkład pola można przedstawić graficznie za pomocą linii poła i powierzchni ekwipotencjalnych. Linie pola są w każdym punkcie styczne do kierunku wektora natężenia pola. Różniczka linii pola musi spełniać oczywisty wa runek K x d r = 0,
Kxdr=0 Rys. 105. Definicja linii pola: iloczyn wektorowy natężenia pola i przemieszczenia wzdłuż linii pola jest równy zeru.
z którego można wyznaczyć ich przebieg. Na przykład w układzie kartezjańskim równanie linii pola przybiera postać (Kxx°+ K yy°+ K zz°) x (dxx0+dyy°+dzz°) = 0, czyli (Kzd y - K ydz)x° + (Kxdz - K zdx)y° + (Kydx - K xdy)z° = 0, co jest możliwe tylko wtedy, gdy wszystkie składniki są równe zeru: K zd y —K ydz = Kxd z —K zdx = Kydx - Kxdy = 0. Stąd wynika ostateczna postać równań linii pola dx _ dy _ dz T T ~ T ; ~~k 7 ‘
W podobny sposób można znaleźć równania linii pola i w innych układach współ rzędnych. Oto na przykład ich postać w układzie współrzędnych cylindrycznych dr Kr i sferycznych
rdcp ~K^
dz ~k 7
dr rdd rsinddę; ~K7 Kr W polu ładunku punktowego składowe K„ i Kv znikają i K — Kr oraz dr/K, # 0 dla niezerowych dr. Jest to możliwe tylko, gdy d# = dtp = 0, czyli gdy ■& - const, (p = const. 140
Rys. 106. Linie pola elektrycznego wychodzą z ładunku dodatniego, a wchodzą do ujemnego.
Linie pola są tutaj prostymi wychodzącymi z ładunku dodatniego lub wchodzącymi lo ujemnego, z uwagi na centralność pola taką postać linii pola można było prze widzieć i bez rachunku. Zanurzając małą elektrodę kulistą do płytkiego naczynia z olejem, w którym pływa zawiesina nieprzewodzących drobnych ciał, np. nasion lub ziarenek i doprowadzając do niej ładunek możemy to potwierdzić doświadczalnie.
Rys. 107. Linie pola układu dwóch ładunków różnoimiennych.
Rys. 108. Linie pola dwóch ładunków jednoimiennych.
Drugim elementem graficznego przedstawienia pola są powierzchnie ekwipotencjalne, czyli powierzchnie stałego potencjału. Ich równaniem jest Vt = const, czyli dVt = —Kdr = 0. 141
Ostatnie równanie oznacza po prostu, że każde przemieszczenie na powierzchni stałego potencjału jest prostopadłe do poła. Powierzchnie ekwipotencjalne są wszędzie prostopadłe do linii pola. W polu ładunku punktowego powierzchnie ekwipotencjalne przebiegają zgodnie z równaniem K =
= const,
47te0r
c. /li po prostu r = const; są więc współśrodkowymi powłokami kulistymi prostopadłymi do rozchodzących się radialnie linii pola. Ten sam wynik można uzyskać z równania Kdr =
47T£0r 2
r°dr =
Q dr = 0, 47T£0 f 2
spełnionego przez r = const.
=const
l d V .= — K d r = 0
Rys. 109. Definicja powierzchni ekwipotencjalnej: skalarny iloczyn natężenia pola i przemieszczenia po powierzchni ekwipotencjalnej jest równy zeru.
Przy kreśleniu linii pola i powierzchni ekwipotencjalnych (ściślej ich śladów) trzeba przestrzegać następujących warunków: linie pola zaczynają się i kończą na ładunkach, poza ładunkami są ciągłe i nie przecinają się (jednoznaczność pola), liczba linii przechodzących przez jednostkową powierzchnię prostopadłą do pola jest wprost proporcjonalna do wartości natężenia pola. Powierzchnie ekwipotencjalne prowadzi się w równych odstępach potencjału — wówczas ich zagęszczenie jest także miarą natę żenia pola (gradientu potencjału). Stosując się do tych warunków możemy uzyskać dość precyzyjny i poglądowy obraz niezbyt skomplikowanych pól. Superpozycja pól. Zasada superpozycji kryje się już w stwierdzeniu, że natężenie pola elektrycznego jest wprost proporcjonalne do wytwarzającego je ładunku. 142
Umieszczając w miejscu, gdzie znajduje się dany ładunek punktowy, drugi taki ładunek zaobserwujemy dwukrotny wzrost natężenia pola. Pole N ładunków umiesz czonych w jednym punkcie jest N razy silniejsze niż pole pojedynczego ładunku. Proporcjonalność do sumarycznego ładunku oznacza sumowanie pól kolejno dopro wadzanych ładunków. Także w przypadku, gdy ładunki znajdują się w różnych miejscach, pole w danym punkcie jest sumą pól poszczególnych ładunków. Pole elektryczne jest addytywne. Wielkości wektorowe dodaje się geometrycznie. Zasada». superpozycji odnosi się do dowolnej liczby ładunków.
Rys. 110.- Zasada superpozycji — pola ładunków sumują się.
Rys. 111. Kierunek linii pola wynika z sumowania sił.
§ 14. Pole układa ładunków Dodawanie pól należy rozumieć jako wektorowe dodawanie natężeń pola lub ska larne (algebraiczne) dodawanie potencjałów. I tak na przykład, jeżeli źródłem pola jest układN ładunków punktowych o położeniach opisanych wektorami r ,, r2, ...rN, potencjał w punkcie r wynosi N
N
Różnica r—r( jest wektorem łączącym i-ty ładunek z danym punktem, a jej war tość bezwzględna — odpowiednią odległością. Aby móc napisać wzór na natężenie pola, musimy wprowadzić wektory jednostkowe (r—rj)°: N
N
143
Siła działająca na umieszczony w polu ładunek próbny jest dana wzorem AT
F (,)-,K („ -
£ Y, 1
Q t( r - r ,)0 ( r - r ,)2 '
Nietrudno też znaleźć energię ładunku próbnego N
g V
£„(«•) = q Ve(r)
Ąne° iz i
Q.i
lr _ r i l ’
Należy odróżniać wyrażoną powyższym wzorem energię w polu układu ładunków od elektrostatycznej energii samego układu, którą omówimy osobno.
V»=
1 f 4 jc eo
Qi Ir -r J
Rys. 112. Potencjał pola układu jest sumą potencjałów poszczególnych ładunków. P — punkt działania, O — początek układu współrzędnych.
Otrzymane wzory można uprościć oznaczając przez r( wektory łączące ładunki Qt z punktem, w którym wyznaczamy pole. Wówczas
n__ł_ve,, 471e0 Z—i r,
I =_LVM 4 n e 0 Z—i r f
F_^_v»rL 4 n e 0 Z_J r f
oraz E - _ « _ y
•
47t£0 Z-i ar, ’
We wszystkich tych wzorach sumowanie należy przeprowadzać algebraicznie, tzn. z uwzględnieniem znaku ładunku. Pole dipola. Dipolem elektrycznym nazywamy układ dwóch jednakowych różnoimiennych ładunków Q i —Q, znajdujących się w stałej odległości od siebie. Wprowadzimy wektor 1 « r+ —r_ 144
łączący oba ładunki i skierowany od ładunku ujemnego do dodatniego (r+ i r_ opi sują położenia ładunków). Wektor Q razy większy
P« = Q1 nosi nazwę elektrycznego momentu dipola lub momentu dipolowego. Jego jednostką jest oczywiście kulombometr (C • m). W fizyce cząsteczkowej spotyka się jeszcze jednostkę zwaną debajem, przy czym 1 debaj = 1 ESą cm = 3,336- 10“ 30 C-m.
H
O
H
© -----------O -------------©
Pd = 0
0
Rys. 113. Dipol elektryczny. Moment elektryczny ma kierunek wektora łą czącego ładunki o zwrocie od ładunku ujemnego do dodatniego.
Rys. 114. Różny od zera moment di polowy cząsteczki wody wiąże się z jej kształtem. K ąt między ramionami jest równy 104,5°.
Przykład. Dipole cząsteczkowe. Cząsteczki mające stałe momenty dipolowe nazywamy po larnymi. Należą do nich między innymi cząsteczki o wiązaniu jonowym, tzn. powstałe z połączenia dwóch jonów — np. halogenki (chlorowcopochodne) potasowców. Oba jony są w tym przypadku jednowartościowe i ich powstanie można uważać za wynik przemieszczenia ładunku e = 1,6 • 1 0 '19C na odległość d równą sumie promieni jonów. Moment dipolowy cząsteczki powinien być równy p = ed.
Z pomiaru otrzymujemy z reguły mniejsze wartości. I tak na przykład w cząsteczce chlorku potasu (KC1) d = 2,7 A = 2,7 • 10- I ° m, z rachunku wypada więc p = 4,3 • 10-29 C- m (12,8 debaja), podczas gdy z pomiaru otrzymuje się 3,52 • 10-29 C • m (10,5 debaja). Dla KBr odpowiednie wartości wynoszą 4,5 i 3,49 • 10-29 C • m, dla K J 4,7 i 3,71 • 10~29 C ■m. Różnice wynikają z tego, że jony nie są punktami — pole każdego z nich zmienia rozkład ładunku w drugim jonie. Nie są to jednak różnice duże — dla porównania obliczony w taki sam sposób moment dipolowy cząsteczki chlorowodoru (HC1) wynosi 2,05- 10-29 C - m, podczas gdy pomiar daje p = 3,46- 10-JO C - m. Jak widać, w tym przypadku model jonowy jest niesłuszny. Z wielkości zmierzonego momentu dipolowego można wyciągać wnioski o strukturze cząsteczki. N a przykład, gdyby cząsteczka wody (H 20 ) była liniowa (H—O—H), jej moment dipolowy musiałby się równać zeru — ze względu na symetrię. Tymczasem z pomiarów uzyskuje się p = 6,17 • 10~3° C - m, co dowodzi, że oba mające nadmiar ładunku dodatniego atomy wodoru muszą się znajdować po jednej stronie ujemnie nała dowanego atomu tlenu. Cząsteczka wody ma więc strukturę trójkątną.
Wyznaczymy teraz pole elektryczne w dużej odległości r od środka dipola. Oz naczając odległości od obu ładunków przez r+ i r_ znajdziemy potencjał elektryczny 10
Fizyka dla politechnik
145
w danym punkcie metodą superpozycji y = __ Q________Q__ = Q r_ —r + * 47re0r + 47re0r_ 4 t:£0 r+r_ Ze względu na r P l można zastosować przybliżenie r+r_ = r2 i r_ - r + = /cos# (# jest kątem jaki tworzy promień r z osią dipola). Stąd v e
Qlcos& 4ne0r2
Przy dużej odległości od dipola wektor r ma kierunek bliski promieniom r+ i r _ ; kąt & można więc utożsamiać z kątem między wektorami r i 1. Wobec tego iloczyn Qlcos# można uważać za iloczyn skalarny £)Zcos$ = Qlr° = p,,r0 i ostatecznie V -
e
VdT°
4ne0r2
Rys. 11S. Pole dipola jest superpozycją pól obu ładunków. W dużej odległości można zastąpić r + i r_ promieniem r poprowadzonym ze środka dipola.
Pole dipola ma symetrię obrotową. W płaszczyźnie prostopadłej do osi dipola (& = 90°) i przechodzącej przez jego środek potencjał jest wszędzie równy zeru. Taka płaszczyzna jest więc powierzchnią ekwipotencjalną. W każdym innym kie runku potencjał jest odwrotnie proporcjonalny do kwadratu odległości od dipola. Ze względu na to, że r°/r2= —grad(l/r) można go też zapisać w postaci V. = -
4nec
-pdgrad-
Od potencjału łatwo przejść do natężenia pola. We współrzędnych sferycznych K = —grad Ve 146
1 dVe 1 dVe S K r° + «p° + r d& rsint? dq> dr -(■
Podstawiając wyprowadzony wyżej wzór na potencjał pola dipola, otrzymamy dVe _ dr
dVe _ d&
Qlcos& 2tce0r 3 ’
QZsin# 4ne0r2 ’
a stąd v
Q lc o s # _ o , Q }sini?o.,,
K = 2
^
r + 4 ^ *
Kr Rys. 116. Linie pola i przekroje powierzchni ekwipotencjalnych pola dipola. N a osi dipola natężenie ma tylko składową radialną, w płaszczyźnie symetrycznej — tylko składową azymutalną.
Pole dipola ma tylko dwie składowe: Kr = p,,cos&/2ne0r3 i K$ — pdsin^/4ire0r 3 — obie odwrotnie proporcjonalne do sześcianu odległości. W płaszczyźnie symetralnej ( — 90°) Kr = O i pozostaje tylko prostopadła do niej składowa K», w przedłużeniu zaś osi dipola — 0) występuje tylko składowa radialna Kr. Wypro wadzone wzory umożliwiają znalezienie pola dla każdego r i & (przy zachowaniu warunku r > /). 10*
147
Znajdźmy jeszcze linie pola dipola. W układzie współrzędnych sferycznych ich równania mają postać dr rd# _ rsin^dę? ~Kr ~ ~ K ^ ~ Kv ' Ze względu na to, że składowa Kę jest wszędzie równa zeru, powyższe równania sprowadzają się do dr d
7-
Kr ' ~ g ; - 2' 1* * * -
czyli do = 2ctg#d#. Po scałkowaniu ln r+ co n st = 21nsin#. Po rozwikłaniu dochodzimy do ostatecznej postaci równania linii pola (dla tp = const) sin2# — ----- = const. r Powierzchnie ekwipotencjalne opisane równaniem cos# — 5— = const r2 są do nich wszędzie prostopadłe. Dipol w polu. Korzystając z poznanych praw znajdziemy energię potencjalną dipola umieszczonego w polu elektrycznym, którego potencjał w ujemnym końcu dipola wynosi Vey a w dodatnim Ve+ A V e: E„ = -q V '+ q (V e+ AVe) = qAVe. Jeżeli ramię dipola / jest małe, zmianę potencjału na długości dipola można wy razić za pomocą gradientu potencjału lub natężenia pola K: AVe & Ig ra d Ve = -1K (strzałka 1 wskazuje od ładunku ujemnego do dodatniego). Stąd E„ = —qlK = —pdK = —paKcos&, gdzie # jest kątem między momentem dipolowym a natężeniem pola. Jak widać, w polu jednorodnym energia dipola jest najmniejsza przy jego równoległym ustawieniu do pola (# — 0). Jest to położenie równowagi trwałej. Na wychylony dipol działają siły przywracające równowagę. Ich moment można znaleźć jako pochodną energii: 148
M = ~ - ^ r = - K p tń n d . Minus oznacza, że moment obrotowy zmniejsza kąt odchylenia 0. Wprowadzając symbolikę wektorową mamy M = pd x K .
Rys. 117. Zewnętrzne pole obraca dipol tak, by kąt # = 0. Moment sił M jest wek torowym iloczynem momentu elektrycznego pj i natężenia pola K.
Dotychczas uważaliśmy pole za jednorodne (K = const). Wyobraźmy sobie teraz dipol ustawiony równolegle do pola niejednorodnego. Przy kącie = 0 moment obrotowy znika (M = 0). Siły działające na dipol mogą go tylko przesuwać. Można je wyrazić jako gradient energii potencjalnej F = -g ra d Ep = -g r& d (-p dK cosd), czyli dla # = 0 F = pdgradK. Siła wciąga dipol w kierunku wzrostu natężenia pola. Przykład. Dipol w polu cząstki. Natężenie pola ładunku punktowego K = QI4ite0r2, a jego gradient we współrzędnych sferycznych dK „ 1 8K 8K grad AT= ----- r°H-------- rrr-f)'0+ • -
F = F e- F A= p dgradK
Rys. 118. Pole niejednorodne wciąga dipol w kierunku wzrostu natężenia 149
co prowadzi do siły w postaci
p*Q ro
F
2ne0r3
Minus oznacza, że pole wciąga dipol w kierunku przeciwnym do r°, czyli w stronę ładunku Q. Ten sam wynik można otrzymać metodą dodawania sił. Na ładunek —q działa siła przyciągania F = —qQr°l4rte0r2, na + q siła odpychania F + = qQr°l4ize0(r+[)z. Dla K r mamy F = F .+ F + = —
_2lqQ_ 4iceor3
qQ 4-K£0
P‘Q ro 2 n S 0r 3
’
zgodnie z wzorem wyprowadzonym uprzednio.
Rozpatrywaliśmy dipol równoległy do pola. Dowolnie zorientowany dipol pole niejednorodne i wciąga i obraca. Obserwacja tego rodzaju zjawisk, np. przyciągania skrawków materiału przez potarty bursztyn, dała niegdyś początek elektrostatyce. Energia układu ładunków. Wprowadzony uprzednio wzór na energię potencjalną w polu układu ładunków Ol rt
EP = qVe =
Ep
4 x e 0r,2 + ^ 3 \4 ju e 0r)3 + 43te0r23)
Rys. 119. Energia układu trzech ładunków jest sumą energii dwóch.ładunków i energii oddziaływania trzeciego ładunku z pozostałymi dwoma.
odnosi się do ładunku próbnego, tzn. nie zakłócającego pola. W rzeczywistości każdy doprowadzony ładunek staje się częścią układu i zmienia jego pole. W jaki sposób uwzględnić te zmiany? Wyobraźmy sobie istniejący w jakimś miejscu odosobniony ładunek punktowy Q t . Jeżeli w punkcie odległym o r 12 umieścimy drugi ładunek punktowy Q2, to energia tak utworzonego układu wyrazi się wzorem Qi
47t£0r12 Niech teraz w punkcie odległym od pierwszego ładunku o r 13, a od drugiego o r23 pojawi się trzeci ładunek Q3. Do jego doprowadzenia konieczna jest praca 150
przeciw siłom pól obu ładunków równa Q3(Qi/4-r:s0r13+Q2l4n£Qr23). Energia układu jest sumą E P =
+
6 2 - 4 - ^ —
4ize0r12
Q 3
(- - ^ 1— \ 47te0ri3 t
+ 4 —
—
47ie0r23
Dla N ładunków N
N
Ep j
1
Qj 4ne0rJt
Warunek j < i oznacza, że oddziaływania (wzajemne!) między ładunkami każdej pary liczymy tylko raz. To samo można osiągnąć licząc każde oddziaływanie dwa razy i biorąc połowę sumy. Teraz warunek j < i nie jest już potrzebny i powstaje tylko j # i (j = i oznaczałoby oddziaływanie ładunku z samym sobą). Wzór na energię otrzymuje postać £' -
t i
j* i
Rys. 120. Energia układu ładunków jest połową sumy energii wszystkich wzajemnych oddziaływań.
Drugą sumę możemy uważać za potencjał pochodzący od wszystkich pozostałych ładunków (Qj) w miejscu, gdzie znajduje się dany ładunek (Qt). Oznaczając go przez Vt mamy V,
Qj 4ne0rji
Stąd N
151
Otrzymany wzór określa energię układu ładunków z uwzględnieniem wszystkich wzajemnych oddziaływań. Jest ona równa pracy koniecznej do utworzenia układu. Niekiedy zwie się ją energią własną.
Rys. 121. Brak ekstremów na krzywej zależności energii własnej dipola od jego dłu gości świadczy o jego niestabilności. Bez dodatkowych nieelektrycznych oddziaływań różnoimienne ładunki zbliżyłyby się, zetknęły i zobojętniły. Przykład. Energia własna dipola. W przypadku dipola Qi = Q, Q2 = —Q. Pierwszy ładunek znajduje się w polu drugiego, w miejscu o potencjale Vi = —Q/4ire0/, drugi — w polu pierwszego, w miejscu, gdzie V2 = QI4-rte0l. Podstawiając do wzoru na energię, otrzymujemy
E
1 ( -6 * , - o 1 \ _____
" 2 \ 4ne0l 4tzb0 i } 4ize0l Zależność energii własnej dipola od odległości między ładunkami (ramienia dipola) / jest krzy wą monotonicznie rosnącą — bez ekstremów, czyli bez położeń równowagi. Świadczy to, że taki układ ładunków jest niestabilny i może istnieć tylko wtedy, jeżeli jakieś siły zewnętrzne nie pozwalają różnoimiennym ładunkom przybliżać się do siebie. Przykład. Energia jonów w krysztale. Siatka krystaliczna soli kuchennej (chlorku sodu) składa się z gęsto upakowanych jonów sodu i chloru o ładunkach e i —e. W grubym przybliżeniu możemy je uważać za kule o promieniach odpowiednio 0,98 i 1,81 A (1 A = 10'*° m). Stała siatki d = 2,8 A jest sumą promieni stykających się jonów. Energia układu pary sąsiednich jonów jest równa własnej energii dipola
Ei
e2 4TZE0 d
-5 ,1 2 eV
Cl
Rys. 122. Cząsteczka chlorku sodu i jej energia elektryczna. 152
(1 eV = 1,60- 10-19 J). Jest to tylko część całkowitej energii oddziaływań elektrostatycznych, przy padającej na parę jonów (cząsteczkę NaCl) w krysztale. Można ją przedstawić w postaci
E.
ae1 4ne0d
Rys. 123. Sześć jonów sodu w najbliższym sąsiedztwie jonu chloru w krysztale chlorku sodu stanowi pierwszą strefę koordynacyjną o promieniu d (stała siatki). Energia oddziaływania między nią a jonem chloru jest sumą energii 6 dipoli cząsteczkowych. przy czym a jest stałą Madelunga. Aby ją obliczyć, trzeba uwzględnić wpływ oddziaływań pozosta łych jonów. W najbliższym sąsiedztwie danego jonu, czyli w tzw. pierwszej strefie koordynacyjnej o promieniu d znajduje się 6 jonów przeciwnego znaku, w drugiej strefie ( r = ]/2d ) — 12 jonów tego samego znaku, w trzeciej (r = j / I d) — 8 jonów przeciwnego znaku itd. Stąd 12e2
6e2 4ne0d
4ite0 ] /ld
Se1 4rze0} /U
4ne0d \
|/3
Szereg w nawiasie jest właśnie stałą Madelunga. Obliczając jego sumę, znajdziemy, że a = = 1,75. Stąd Ee = 1,75 ( —5,12) = —8,96eV, co jest niezbyt odległe od wyznaczonej doświadczalnie energii wiązania £* = —7,92 eV. Różnica wynika z nieuwzględnienia energii odpychania powłok elektronowych jonów. Poprawiony wzór ma postać E.
47te0d \ n i prowadzi do wartości Ee = —7,99 eV. Poprawka n = 9,4.
§ 15. Pole ciał Spotykane w praktyce ciała naładowane nigdy nie są punktami. Ładunek punktowy jest fikcją, która może służyć za model rzeczywistego ciała naładowanego tylko wtedy, gdy jego rozmiary nie mają znaczenia — np. jeżeli rozpatrujemy pole w dużej od ległości. Jeżeli to jest niemożliwe, musimy uwzględnić rozkład ładunku — liniowy, powierzchniowy lub przestrzenny. Rozpatrywany obszar może być wypełniony ła dunkiem w sposób ciągły lub tworzyć układ ładunków punktowych. W zależności od rodzaju rozkładu pole można wyznaczyć a) metodą superpozycji, b) stosując prawo Gaussa, c) rozwiązując ogólne równania pola (Poissona lub Laplace'a). Ta ostatnia metoda jest najogólniejsza, ale niekiedy bardzo trudna. 153
Ciągły rozkład ładunku. Jeżeli w jakimś obszarze ładunek jest rozmieszczony w sposób ciągły, należy w odpowiednich wyrażeniach zastąpić punktowe ładunki Qt elementami ładunku dQ. Ciągły rozkład ładunku oznacza, że gęstość ładunku li niowa A, powierzchniowa a lub przestrzenna g jest ciągłą funkcją położenia. Ozna czając ją ogólnie przez g możemy napisać e = e(r) =
d<2 dV
oraz d Q = gdV, przy czym dV jest elementem objętości obszaru. W przypadku rozkładu liniowego powyższy wzór sprowadza się do dQ = Ad/, powierzchniowego — do dQ = adS. Przy wyznaczaniu wielkości charakteryzujących pole musimy w odpowiednich wyrażeniach zastąpić sumy całkami rozciągniętymi na cały obszar wypełniony ła dunkiem. Całkowity ładunek obszaru e = SedK. V
W szczególności dla ładunku liniowego Q = $ Ad/, dla powierzchniowego Q = i = \a d S . s Jeżeli w danym obszarze ładunek występuje w różnych postaciach, obliczamy go jako sumę całek Q = (Ad/+ j
1 C Q(r')dV 4ne0 J |r —r'|
Tutaj r ' opisuje położenie elementów d V naładowanego obszaru, a |r —r'| jest odległością każdego elementu od tzw. punktu działania, czyli punktu, w którym wyznaczamy potencjał. Oznaczając |r —r'| = rp możemy napisać Ve{r) =
154
1 f Q(r’)dV 4ne0 J rp
Rys. 124. Potencjał ciągłego rozkładu ładunku znajdujemy przez całkowanie.
W przypadku rozkładu liniowego powyższy wzór przechodzi w postać
podobnie dla rozkładu powierzchniowego
Analogicznymi wzorami wyraża się natężenie pola
przy czym (r —r')° =
r-r'
r -r
jest wersorem wektora odległości elementu ładunku od punktu działania. Stąd spo tykany niekiedy zapis: K(r) =
1 47te0
( r - r > ( r ') d F |r —r '|3
Błędem byłoby interpretowanie ostatniego wzoru jako odwrotnej proporcjonal ności natężenia pola do sześcianu odległości! Nie wolno zapominać, że odległość występuje także w liczniku (w postaci wektorowej) i natężenie pola pozostaje nadal odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od danego elementu. Podobnie jak we wzorach na potencjał, wprowadzenie wektora rp = r —r' pro wadzi do uproszczenia zapisu
155
Stąd dla liniowego obszaru naładowanego K(r)
=- LC
r|A (r')d l
47te0 J i
i dla ładunku powierzchniowego 1 rrw ęas 47ue0 J rl Przykład. Pole pierścienia. Zastosujemy poznane wzory do wyznaczenia pola na osi pierścienia o promieniu R naładowanego ze stałą liniową gęstością A. W tym przypadku dQ = A dl i w punkcie odległym o r od elementu dl jego przyczynek do potencjału wynosi Ad/ d V .= - -------.
ĄTZE0r
Qz
K(P) = -
4 tcs0(R2+ z 2) 3/2
Rys. 125. Naładowany pierścień i jego pole. Wyrażając gęstość ładunku przez całkowity ładunek Q i długość (obwód) pierścienia A=
i
2k R podstawiając do poprzedniego wzoru otrzymamy
V'(r) = 871
Q f dl 2Re0
Ograniczymy się do osi pierścienia (r = const, Ve(r)
156
Q • 2nR =
S^Reor
Q 47
t s0r
dl = 2nR)
Wygodniej jest przedstawić potencjał w zależności od współrzędnej z, mierzonej na osi od płasz czyzny pierścienia. Oczywiście r 2 = R 2+ z 2 i stąd
V.(z) - ------- --------- . Ąne0 y R 2+ z2
Potencjał przybiera jednakowe wartości dla dodatnich i ujemnych z i ma maksimum dla z = = 0 (w środku pierścienia). Z kolei obliczymy natężenie pola K = —grad Ve. Najłatwiej będzie wyrazić składowe natężenia we współrzędnych cylindrycznych (>,
Ke Kf = -
1 dV« = 0, e ^ = 3z
Qz
4ite0(R2+ z2)3!2
= K.
W punktach położonych na osi pierścienia znika składowa radialna i azymutalna i pozostaje tylko składowa osiowa. Wektor natężenia pola jest równoległy do osi z. Po obu stronach pierścienia natężenie ma przeciwny znak, w środku K = 0. Przyrównując do zera pochodną dfif/dz, możemy stwierdzić, że w punktach odległych od płaszczyzny pierścienia o z = ± R /^ 2 , natężenie pola ma eks trema, równe ± g /6 ^ 3 7 re 0łJ2.
Zastosowanie prawa Gaussa. Teoretycznie biorąc zasada superpozycji daje nam możliwość wyznaczenia pola każdego rozkładu ładunków. Wystarczy tylko odpowiednio wybrać element obszaru, pomnożyć go przez wyrażoną w funkcji położenia gęstość ładunku i scałkować (zsumować) w odpowiednich granicach. W praktyce całkowanie może być niekiedy bardzo trudne lub wręcz niemożliwe. W przypadkach rozkładów o prostej symetrii możemy znacznie uprościć rachunki stosując prawo Gaussa — najczęściej w postaci całkowej: j KdS = i £o (przez Q należy rozumieć ładunek z uwzględnieniem znaku). Każdy rozkład ładunku wymaga dobrania odpowiedniej powierzchni, otaczającej ładunek. Przy symetrii sferycznej będzie nią powierzchnia kuli, przy cylindrycznej — walca. Właściwy dobór najwygodniejszej powierzchni całkowania jest kwestią pomysłowości i wprawy. Przykład. Pole powłoki kulistej. D ana jest powłoka kulista o promieniu R, naładowana równo miernie rozmieszczonym ładunkiem Q. Równomierne rozmieszczenie oznacza stałą gęstość powierz chniową
a
_Q _ 4tt R2
= const.
Jako powierzchnię całkowania wybierzemy powierzchnię kulistą o promieniu r współśrodkową z naładowaną powłoką. Ze względu na kulistą symetrię rozmieszczenia ładunku będzie ona powierz chnią ekwipotencjalną, a natężenie pola będzie na niej stałe i prostopadłe do niej. Prawo Gaussa 157
Rys. 127. Natężenie pola i potencjału naładowanej powłoki kulistej w funkcji odległości od środka.
Rys. 126. Pole powłoki kulistej ma symetrię sferyczną.
otrzymuje prostą postać j>KdS = *K §dS =* K - 4™-2 = — .
£0
Stąd K = (2/4ne0r 2, a po uwzględnieniu kierunku K Wewnątrz powłoki (r < R) $K dS = 4 w 1X = 0 (bo wewnątrz kuli Q = 0), co prowadzi do
K = 0. Od rozkładu natężenia do potencjału przejdziemy przez całkowanie. N a zewnątrz powłoki
00 ar A
'-S Kdr = •4tt£c S
~r*
e 4ise0r ’
a wewnątrz R
V.
oo
j K d r+ J Kdr = R
r
Q 4t: e0R
= const.
Wnętrze powłoki jest obszarem stałego potencjału i zerowego natężenia poła niezależnie od gęs tości i wartości ładunku na jej powierzchni (wykorzystaliśmy tę właściwość do sprawdzenia solenoidalności pola). Wartość potencjału wewnątrz jest taką sama jak na powierzchni. Podobny rozkład ma pole i potencjał każdej powierzchniowo naładowanej kuli — pod warunkiem, że ładunek jest na niej rozmieszczony równomiernie. Przykład. Naładowana kula. Rozpatrzmy teraz pole kuli równomiernie naładowanej ładunkiem przestrzennym o gęstości q. N a zewnątrz kuli pole jest takie samo jak poprzednio: K (r),
158
C 4ite0r 2
Vt{r) =
Q 4ne0r
Powierzchnia kulista o promieniu r utworzona wewnątrz kuli obejmuje część ładunku 4
-3
r3
= Q —- , G fr) = e ■- j nr 3 = — onR3 3 R3 R3 gdzie Q, jak poprzednio, oznacza całkowity ładunek kuli, a R jest jej promieniem. Z prawa Gaussa £ KdS = K -4nr*
Q_ r 3 e0 R 3
znajdziemy natężenie pola K(r) =
Q
4tzSoR3
Rys. 128. Do wyznaczenia pola kuli prowadzi się powierzchnie Gaussa na zewnątrz i wewnątrz kuli.
Rys. 129. Natężenie i potencjał równomiernie naładowanej kuli. W środku kuli natężenie pola jest równe zeru, a potencjał osiąga maksimum. N a powierzchni kuli krzywa na tężenia ma maksimum, a krzywa potencjału punkt przegięcia.
Jak widać, jego wartość rośnie liniowo wraz z odległością r od środka. W środku K = 0, a na powierzchni kuli K = Q/4Tte0 Rz. Potencjał wewnątrz kuli w A F .(r) = $ Kdr = j
AneoR3
3Q
Qr3
87re0i?
StcSoR 2
00 rdr+ J ^
3g
47te0r 2
r°dr =
/ ___ r»_\
8tze0R l
3R 1 )
Dla lepszej orientacji podstawimy wartość potencjału na powierzchni kuli V0 = QI4ne0R. Teraz
159
Jak widać, w środku kuli potencjał przybiera maksymalną wartość, półtora raza większą niż na powierzchni (dla r = O Ve = 3K0/2). Na zewnątrz kuli maleje odwrotnie proporcjonalnie do od ległości od środka kuli, podobnie jak w przypadku powłoki kulistej i ładunku punktowego. Zwróćmy jeszcze'uwagę, że znak potencjału jest taki sam jak znak ładunku kuli. W przypadku ujemnego ładunku Q w środku kuli wystąpi minimum potencjału. Pamiętając o zależności między potencjałem a energią, łatwo zrozumiemy, że minimum potencjału jest równoznaczne z minimum energii potencjalnej ładunku próbnego (dodatniego) umieszczonego w danym punkcie. Zastąpmy teraz naładowaną kulę kulistą chmurą ładunku ujemnego. Energia potencjalna dodatniego ładunku próbnego osiąga minimum w jej środku. Ogólnie biorąc każda chmura ładunku stanowi dla różnoimiennie naładowanej cząstki jamę potencjału.
X= const
-4 ~ l
Ąr
_ Q' K-2scrlt —
£q
-K=
Rys. 130. Potencjał pola kuli nała dowanej ujemnie ma w środku mi nimum (jama potencjału dla ładun ków dodatnich).
2weor
Rys. 131. Pole o symetrii cylindrycznej Powierzchnia Gaussa jest pobocznicą wal ca. Strumienie przez podstawy są równe zeru. Natężenie pola nie zależy od długości walca.
Przykład. Pole walca. Rozpatrzmy walec o promieniu R, nieskończenie długi (tzn. o lt> R) i równomiernie naładowany z liniową gęstością A. Otoczmy odcinek o długości l' powierzchnią walcową o promieniu r. Ze względu na cylindryczną symetrię rozkładu ładunku taką samą symetrię ma pole elektryczne. Wektor natężenia pola jest wszędzie prostopadły do pobocznicy powierzchni walcowej, która jest powierzchnią ekwipotencjalną. Suma strumieni pola przez podstawy jest równa zeru. Prawo Gaussa przybiera postać
Q' *o
,
<£ KdS = K -2 n rl' = — . Wyrażając ładunek Q' odcinka naładowanego walca przez gęstość liniową
Q'
=
W,
otrzymamy 2ne0r ’ czyli, po uwzględnieniu kierunku, K =
-r\
27t*or W otrzymanym wzorze nie występuje długość. Można go stosować do punktów dostatecznie 160
bliskich powierzchni i dostatecznie oddalonych od końców walca o skończonej długości. To samo dotyczy naładowanej nici, czyli walca o bardzo małym przekroju. Obliczmy jeszcze potencjał w polu walca: dr
V'{r) =
----- lnr+Koo, 2ns0
r
przy czym nie da się przyjąć Vx = 0, ponieważ zgodnie z założeniem walec sięga do nieskończoności. Otrzymane wzory opisują pole na zewnątrz walca. Wewnątrz K = 0 i Ve = const — podobnie jak w przypadku kuli. Przykład. Napięcie w polu kuli i walca. W praktyce najczęściej interesuje nas nie tyle wartość potencjału, co różnica potencjałów między dwoma punktami — powiedzmy A i B. W przypadku kuli wynosi ona Uab = VA— VB = -
-(JL--L ). 47re0 4jt«0i \ rA rB J]
r B- r A rArB
dla punktów położonych na zewnątrz niej. W polu walca napięcie również można obliczyć:
Rys. 132. Napięcie między punktami pola kuli zależy tylko od ich odległości od środka.
Rys. 133. Mimo nieokreślonej wartości potencjału pola walca napięcie można określić.
Przykład. Pole płaszczyzny. I w tym przypadku zakładamy nieskończone rozmiary płaszczyzny i równomierne jej naładowanie z powierzchniową gęstością a. Łatwo sobie wyobrażać, że linie pola są wszędzie prostopadłe do płaszczyzny — można to sprawdzić doświadczalnie — i wobec tego strumień pola przez każdą powierzchnię równoległą do nich musi być równy zeru. Prawo Gaussa możemy zastosować do każdego obszaru o płaskich podstawach o polu S równoległych do nałado wanej płaszczyzny i prostopadłej do niej powierzchni bocznej. Przykładem takiego obszaru może być graniastosłup lub walec obejmujący wewnątrz wycinek naładowanej płaszczyzny z ładunkiem Q' — aS. Z prawa Gaussa <|>KdS = K 2 S =
aS Cq
otrzymujemy K 11
a 2e01
F izy k a d la p o litech n ik
161
We wzorze brak rozmiarów płaszczyzny — natężenie pola dostatecznie blisko naładowanej płaszczyzny i dostatecznie daleko od jej krawędzi nie zależy od jej rozmiarów, ani od odległości od niej. Ponieważ także kierunek wektora natężenia jest wszędzie taki sam: prostopadły do płasz czyzny (ze zwrotem na zewnątrz — jeżeli płaszczyzna jest naładowana dodatnio i do wewnątrz, jeżeli jej ładunek jest ujemny), mamy tu do czynienia z polem jednorodnym. Brak zależności od od ległości można zrozumieć przez analogię do pola akustycznego. Niedoświadczonemu wydaje się, że jeżeli w wielkim mieście zamieszka wyżej, to hałas uliczny będzie w mniejszym stopniu docierał do jego mieszkania. Tymczasem mieszkąjąc wyżej, mamy większe pole widzenia (i słyszenia) i osłabienie natężenia hałasu jest kompensowane zbieraniem go z większej powierzchni. W wyniku tej kompensacji natężenie pola akustycznego pozostaje stale, dopóki nie zamieszkamy na takiej wysokości, 2; ktńrei widać Branice miasta.
Rys. 134. Pole równomiernie naładowanej nieskończenie wielkiej płaszczyzny jest jednorodne.
Rys. 135. Napięcie w polu płaszczyzny.
W polu nieskończonej płaszczyzny, podobnie jak w polu nieskończonego walca, nie możemy podać określonej wartości potencjału w danym punkcie pola 00
-
V .(r)= J Kdr = Koo-Kr, r
bo K„o ¥= 0. Natomiast bez trudu znajdziemy wartość napięcia między dwoma punktami pola: UAB = J Kdr = K (r»—r.0. TA
Iloczyn skalamy wektorów natężenia pola i przemieszczenia jest równy iloczynowi wartości natężenia i rzutu przemieszczenia na jego kierunek (czyli różnicy odległości od naładowanej płasz czyzny). W polu płaszczyzny dodatniej jest on dodatni dla rB > rA (potencjał maleje z odległością), w polu płaszczyzny ujemnej — odwrotnie. Jeszcze prościej wyglądają powyższe wzory w układzie kartezjańskim: jeżeli przyjmiemy oś x prostopadłą do płaszczyzny, to Kx = K i Ve(x) = Koo— —K„ a UAB = K(xb —x a).
Różniczkowe prawo Gaussa. Stosując ogólne prawo Gaussa
162
do obszaru wypełnionego ładunkiem o gęstości g i różniczkując obie strony względem objętości dochodzimy do zależności divK =
e0 dV
= _e_ e0 ’
zwanej różniczkowym prawem Gaussa. Dostarcza ona związku między rozkładem natężenia pola K(r) a rozkładem ładunku g(r). Znając jeden z nich, możemy wyzna czyć drugi. W polu poza obszarem naładowanym g = 0 i stąd divK = 0. Jeszcze raz potwierdziliśmy solenoidalność pola elektrostatycznego w obszarze pozbawionym ładunków, która jest jedną z jego najbardziej podstawowych właści wości. Równania Poissona i Laplace’a. W obszarze wypełnionym ładunkiem przestrzen nym o gęstości g(r) różniczkowe prawo Gaussa ma postać divK(r) = Podstawiając do niego związek między natężeniem pola a potencjałem K(r) = —gradFe (r), otrzymujemy równanie Poissona —divgrad F*(r) = — - , eo przedstawiane najczęściej w postaci Vł F*(r) =
Bq
Jeżeli w jakimś obszarze nie ma ładunku przestrzennego (g = 0), przechodzi ono w równanie Laplace'a V2Ve(r) = 0. Oba równania znajdują często zastosowanie przy wyznaczaniu rozkładu pola. Rozwiązaniem równania Poissona jest potencjał elektryczny w postaci
}
1 fe(r')d F _ 1 f e(r')dy 4ne0 J | r —r'| 4tc£0 J rp '
Aby go obliczyć, musimy znać rozkład gęstości ładunku j>(r') i warunki brzegowe. ii*
163
W praktyce całkowanie może być bardzo trudne. Rozwiązania szukamy zawsze w określonym układzie współrzędnych. Przykład. Jeszcze raz pole kuli. D ana jest kula o promieniu R i ładunku Q rozmieszczonym równomiernie bądź to w całej objętości (g = const), bądź na powierzchni (
1 32Ve 2 8V ' V, = — + ------— + dr2 r Br r 2sin20
B2Ve 7.
1 / S2K
+ctg& B
we ■ )-
Z symetrii rozkładu ładunku wynika, że potencjał nie zależy od współrzędnych
V. = V'(r). Odpowiednie pochodne znikają i otrzymujemy d2F« [ 2 dV€ r dr d r2
1 d / r 2 dr \
dVe \ = dr j
ę_ e0 ’
Równanie Poissona w tej postaci dotyczy wnętrza kuli naładowanej przestrzennie (objętościo wo). Wewnątrz kuli naładowanej powierzchniowo i na zewnątrz kuli niezależnie od rozmieszczenia ładunków mamy do rozwiązania równania Laplace’a 1
d / , dF «\
~ ^ d r ( r “d r ) = 0* czyli dr \
dr /
Dwukrotne całkowanie prowadzi do zależności A Ve = -------+ B , r w której A i B są stałymi całkowania — różnymi na zewnątrz i wewnątrz kuli. Oznaczmy je odpowie dnio przez At ,B z i A w, Bw. Znajdziemy je z warunków brzegowych: 1) w nieskończoności potencjał znika, 2) w środku kuli ma wartość skończoną, 3) i 4) na powierzchni kuli potencjał i natężenie pola powinny być ciągłe. Z pierwszego warunku wynika, że Bz = 0 i stąd A, V .( r > R ) = -----r Z drugiego warunku otrzymujemy wewnątrz kuli naładowanej powierzchniowo Vz(r ś R) = B w ~ const. Z trzeciego warunku dla r = R mamy B w = — ĆJL R ' Stałą A , wyznaczymy później. Natężenie pola znajdziemy z wzoru dVz „ K = —grad Vz = ---- -— r°. dr Na zewnątrz kuli A. „
K = - — r», 164
wewnątrz
K = O. Przejdźmy teraz do wnętrza kuli naładowanej przestrzennie. Równanie Poissona jest speł nione przez potencjał postaci or2
Aw
or2
oe0
f
oc0
K .= - Ą ----------- + B „ =
+B.
(podobnie jak poprzednio Aw = 0). Natężenie poła
K = gr . . 3s<>
N a zewnątrz potencjał i natężenie pola wyrażają się nie zmienionymi wzorami. N a powierzchni oba wyrażenia muszą być równe (trzeci warunek brzegowy) : A, _ R
g*2 + R -, 6 cq
A , _ eR R2 3B0 ’ co pozwala na wyznaczenie stałych
R3 Q ± n R 3 3e0
Az = -
g*2 3e0
B =
A l I eR2 = — R 6e0 2e0
47C£0 3<2 87te0R ’
przy czym podstawiono gęstość ładunku kuli q = QjV. Możemy teraz wyrazić potencjał i natężenie w ostatecznej postaci. Wewnątrz kuli naładowanej objętościowo ‘ K =
r t\-
36
2e0 \
3R2 /
er 3fio
Q r, 4ke0R3
U
8tt£0R \
r2\
3R2 / ’
wewnątrz kuli naładowanej powierzchniowo v .=
Q 471e0R
aR
®o
= const,
K = 0, przy czym podstawiono Q — 47rR2
K=
Q 47te0r ’ Q
4n e0r2
w zgodzie z wyrażeniami otrzymanymi uprzednio za pomocą prawa Gaussa. W danym przypadku całkowanie równań Poissona i Laplace’a jest na pewno bardziej skomplikowane. Zauważmy jeszcze, że na powierzchni kuli naładowanej powierzchniowo natężenie pola skacze od zera do wartości Q/4n e0R2 = a/eQ i warunek jego ciągłości nie jest tam spełniony. D o tych samych wyników można dojść posługując się podanym uprzednio gotowym wyrażeniem 165
na potencjał ładunków przestrzennych
edv 4jce0 lub powierzchniowych
1 r ’' = -A---47re0 \J ----r. '
Rys. 136. Promień łączący element powierzchni kuli z punktem działania wyrażony za pomocą współrzędnych sferycznych. Dla przykładu obliczymy tą metodą potencjał w polu naładowanej powierzchni kulistej. Po łożenie elementu dS i punktu działania opisują współrzędne r,
^
f T
aR 2sin&d&d(p
oR2 7
47r*° o o }/R 2+ r2-2R rcos&
sindd#
2eo J ] /R 2 + r2- 2 R c o s & ’
Rachunek staje się bardzo prosty, jeżeli zauważymy, że sinddd = i>drJ,/rR. Po uproszczeniu OR ' +ęR oR2 V.(r > R) = o----J dr* = -------2e°r •>R Bor
Q 4ne or
Jeżeli punkt działania leży wewnątrz kuli, całkujemy o d k - r d o k + r : oR O V,(r < R) = — ■= ---------- = const. e0 4ns0R Wybór najwygodniejszej metody nie zawsze jest łatwy.
Środek ładunku. W obszarze wypełnionym ładunkiem elektrycznym możemy wyróżnić punkt zwany środkiem ładunku, będący elektrycznym odpowiednikiem środka masy. Definiuje się go równaniem
Sr'ed K = r , S e d F = r 5G, czyli _ $ r 'e d r s_
Q
(rs jest wektorem położenia środka ładunku). 166
Umieśćmy teraz początek układu w środku ładunku; rs = 0, a r' oznacza we ktor położenia elementu naładowanego obszaru. Wektor położenia punktu, w którym wyznaczamy potencjał jest równy r = r ' + rp.
Rys. 137. Tutaj początek układu umieszczono w środku ładunku, a wzór na r, przedstawiono w postaci dogodnej dla rozwinięcia jego odwrotności w szereg.
Stąd r„ = r - r ' , czyli r, =
- y
Podstawmy to do wzoru na potencjał
W ten sposób wyraziliśmy potencjał w rozpatrywanym punkcie w układzie środka ładunku. Całkowanie przeprowadza się po wszystkich r' wewnątrz naładowanego obszaru. Promień wodzący r punktu, w którym wyznaczamy potencjał, pozostaje przy tym stały. Momenty rozkładu. Podobnie jak to czyniliśmy rozpatrując niekulisty rozkład mas, przy dostatecznie dużej odległości od naładowanego obszaru (r > r') możemy wy rażenie podcałkowe we wzorze na potencjał rozłożyć na szereg _1_ rP
1 [, r L
r '2—2rr' J3 (r'2 —2rr')2 + 2r2 8r4
1 rr' r + r3
r '2 3(rr')2 2r3 + 2 r s
r (r'2—2rr')3+ •• 16r6
3r'2(rr') 5frr')3 2r5 + 2r7 + 167
Po podstawieniu i wyłączeniu stałych przed znak całki
+J
^
\
^
V+- - ^ F
+ 4 K ^‘
+ ^ 47C£0'
+
przy czym K2, K2, K3 ... noszą nazwę momentów multipolowych rozkładu. Wskaźnik oznacza rząd momentu. Moment pierwszego rzędu (monopolowy) j j C , =S
Rys. 138. Potencjał dowolnego rozkładu ładunku w dostatecznie dużej odległości można przedstawić w postaci szeregu. K i , K 2, K 3 — momenty rozkładu (monopo lowy, dipolowy, kwadrupolowy).
zawiera pod całką rzut wektora r' na kierunek r. W przypadku gdy moment pierwsze go rzędu jest równy zeru (tzn. gdy ładunki dodatnie i ujemne kompensują się), mo ment drugiego rzędu opisuje wzajemne rozsunięcie ładunków obu znaków w kierunku wektora r. Łatwo się przekonać, że K2jest rzutem wektora momentu dipolowego danego rozkładu na kierunek r. Jeżeli w rozpatrywanym obszarze występują ładunki obu znaków, to moment drugiego rzędu jest sumą dwóch całek — dodatniej dla ładunków dodatnich i ujemnej dla ujemnych:
K2 = r°[Jr+qdV —Jr'_gdF] = r° \ (r;-rl)edF, przy czym oznaczono wskaźnikami plus i minus wektory położenia elementów ładun ku odpowiednich znaków. Różnica wektorów r+—rl jest wektorem łączącym parę elementów o przeciwnych znakach i skierowanym od ładunku ujemnego do dodat 168
niego. Mnożąc ją przez ładunek elementu gdV otrzymujemy moment dipolowy tej pary ładunków. Całkowanie oznacza sumowanie wszystkich możliwych par elemen tów, dając w wyniku wypadkowy moment dipolowy Pd = $r'edF. Stąd K 2 = r°p„ = AfCos(r°, p„). W ten sposób wyjaśniliśmy sens fizyczny momentu multipolowego drugiego rzędu. Jeżeli rozpatrywany obszar jest elektrycznie obojętny (jęj = 0), to moment dipolowy nie zależy od tego, gdzie obraliśmy początek układu współrzędnych. Jeżeli go przesuniemy na przykład o wektor b, to wszystkie współrzędne zmienią się też o b i moment dipolowy nie zmieni się: p' = S(r ' + b )g d F = Sr'ed K + b S ed F = p„ bo druga całka oznacza sumaryczny ładunek obszaru, a ten z założenia jest równy zeru. Moment trzeciego rzędu K 3 = i [ 3 $ ( r ° r ' ) 2e d F - \ r ' 2Qd v \ = \
$
[3 c o s 2(r°, r' ) - l ] r ,20dK
nosi nazwę momentu kwadrupolowego i jest w istocie tensorem. Momenty wyższych rzędów (oktupolowe i wyższe) są jeszcze bardziej skomplikowane. Momenty multipolowe charakteryzują rozkład ładunku: jego asymetrię, izotropowość, sumaryczny ładunek itp. W miarę oddalania się od obszaru naładowanego maleje udział momentów multipolowych, poczynając od najwyższych rzędów, i kształt powierzchni ekwipotencjalnych coraz mniej odbiega od kształtu kuli. W dos tatecznie dużej odległości pole ma symetrię sferyczną i niczym nie różni się od pola kuli lub cząstki o takim samym całkowitym ładunku i momencie dipolowym. Przykład. Układ dipoli. Potencjał ładunku punktowego maleje odwrotnie proporcjonalnie do odległości od niego, a pole — odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości. W odpowiednio dużej odległości od dipola elektrycznego pola jego różnoimiennych ładunków znoszą się i pozostaje tylko człon dipolowy — potencjał maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu, a natężenie pola do sześcianu odległości. Wreszcie układ dwóch dipoli o przeciwnych momentach jest źródłem poła o potencjale odwrotnie proporcjonalnym do sześcianu odległości i o natężeniu malejącym jak 1/r4. Taki układ dipoli jest najprostszym kwadrupotem. W ogólnym przypadku każdy ładunek, umiesz czony nie w środku układu ma różny od zera moment dipolowy, a każdy niesferyczny rozkład ła dunku — moment kwadrupolowy. Przykład. Moment kwadrupolowy jądra atomu. Rozkład dodatniego ładunku w jądrze można badać za pomocą elektronów wielkiej energii, a jego momenty — metodami rezonansu magnetyczne go. Pełny opis daje mechanika kwantowa. Momenty dipolowe jąder atomu są równe zeru. Momenty kwadrupolowe są równe zeru dla jąder o symetrii sferycznej <— np. dla 4He, 1gO. Jądra o momen cie kwadrupolowym różnym od zera można interpretować jako „spłaszczone” lub „wydłużone”. Odchylenie od symetrii sferycznej opisuje się podając stosunek A R jR , gdzie promień jądra R = 169
a)
©
b) Q© a
©
\
k ,= q , k 2= k 3= o
K, = Q K2= 2aQ K3= 0 K,=Q
c)
a
K2=aQ K3= o2Q
d)
( B> K,=0 <źp> a a b K3= —2dbQ 5 { P) Rys. 139. Momenty najprostszych układów ładunków. Układ b) jest dipolem, układ d) najprostszym kwadrupolem. Układy c) i d) mają różny od zera moment kwadrupolowy.
K3= 0
K3= f Z e ( b 2- a 2)
Rys. 140. Różny od zera moment kwadrupolowy jądra atomu świadczy o niekulistym kształcie. Z — liczba porządkowa, e — ładunek elektronu, a i b — półosie elipsoidy. = R 0A ll3 ( A — liczba masowa, R 0 = 1,07 • 10-15 m). Wartość momentu kwadrupolowego podaje się zwykle po podzieleniu go przez ładunek elektronu. Nietrudno się zorientować, że wyraża się ona w jednostkach powierzchni. I tak na przykład dla jądra iD moment kwadrupolowy Qtw/e = = +0,282- 10-30 m2 { A R j R = 0,04) dla ??C1 <2t ,/e = -7 ,9 0 - lO"30 m2 ( A R j R = 0,032). Jeszcze bardziej odbiegają od kształtu kulistego jądra 2| | U (Ck«/e = ±4,1 • 10-2* m2, A R j R = +0,083) i 27iLu (Gkw/e = + 8 ,0 - 10-2" m2, A R j R = 0,26). 170
Energia naładowanego ciała. Energię układu ładunków punktowych wyraziliśmy wzorem N
£ , = ł 2 i< 2 ' FiTraktując ciało naelektryzowane jako obszar wypełniony ładunkiem ciągłym zastąpimy ładunki punktowe Qt elementami ładunku dQ = gdV i wartości potencjału Vt wartościami funkcji Ve(r). Suma przechodzi w całkę E , = ł S Vt{t)Q(i)dV rozciągniętą na cały obszar naładowany. W przypadku ładunku powierzchniowego QdV = odS i ' £„ = ł 5 ^ ( r M r ) d S . s Otrzymane wzory wyrażają własną energię naładowanego ciała. W ogólnym przy padku gęstości: przestrzenna q i powierzchniowa o są też funkcjami położenia. Jeżeli tak nie jest, można je wyłączyć przed znak całki.
V
Rys. 141. Energia obszaru o ciągłym rozkładzie ładunku jest całką t iloczynu poten cjału i gęstości.
Przykład. Energia naładowane) kuli. W przypadku sferycznego rozkładu ładunku za element objętości najlepiej przyjąć warstwę kulistą zawartą między promieniami r i r+ d r. Wówczas d V = = 4 n r2dr. Potencjał w warstwie jest funkcją jej promienia:
Całkując po wszystkich warstwach od 0 do r = R otrzymujemy dla równomiernie naładowanej kuli
171
N a koniec, podstawiając g = 3QI4nR2, znajdujemy
E _ 3
'
r
e2
20 ne0R
Z kolei wewnątrz kuli naładowanej powierzchniowo oR Ve —----- = const,
«o
co prowadzi do energii w postaci Ep =
1 a2R f ------ \ d S 2 Co J
a2R , 2no2R 3 -------- 4tzR 2 = -----------
2s0
s0
lub po podstawieniu a = QI4izR2 E
r
%ite0R
W jednym i drugim przypadku energia jest dodatnia, a jej zależność od promienia kuli R jest funkcją monotoniczną — bez ekstremów. Oznacza to, że przy dowolnych rozmiarach naładowany obszar kulisty jest tworem niestabilnym, który nie mógłby istnieć, gdyby nie było innych nieelektrostatycznych sił nie pozwalających odpychającym się jednoimiennym ładunkom oddalić się od siebie.
Rys. 142. Energia naładowanej kuli jest odwrotnie proporcjonalna do promie nia.
Rys. 143. Energia naładowanej powłoki jest także odwrotnie proporcjonalna do promienia.
Przykład. Model elektronu. Niegdyś przypuszczano, że masa elektronu jest pochodzenia elek tromagnetycznego, tzn. że jego energia spoczynkowa jest energią pola elektromagnetycznego. Założymy tutaj, że masa elektronu m wiąże się tylko z polem elektrycznym. W takim razie mc2 = k
4 kc0R
gdzie c jest prędkością światła (w próżni), e — ładunkiem, a R — promieniem elektronu. Współ czynnik k zależy od rozkładu ładunku; dla rozkładu powierzchniowego k = i , dla objętościowego Jt = | . Stąd można znaleźć promień elektronu ke2 R = -- ---------- = k R 0. 4ne0mc 172
Wielkość e1
R0 = ----------- = 2,82-10"15 m 471e0mc2
jest znana jako klasyczny promień elektronu. Uwzględnienie pola magnetycznego prowadzi do współczynnika k = § lub czyli do promienia 3 R0 ^ ii ^ 5 Ko • Zagadnienia rozmiarów elektronu dotąd nie rozstrzygnięto. Skończone rozmiary nie dadzą się pogodzić z niektórymi postulatami teorii względności. Z drugiej strony, elektron nie może być punktowy, bo dla R -> 0 energia elektryczna rośnie do nieskończoności. Z tego samego powodu nie mogą w ogóle istnieć ładunki punktowe.
Rys. 144. Brak minimum energii naładowanej kuli świadczy o jej niestabilności. Aby taka kula mogła istnieć, konieczne są nieelektryczne siły skupiające.
§ 16. Pole w przewodniku Dotychczas rozpatrywaliśmy pole elektryczne w próżni. Pole w ośrodku material nym zależy od elektrycznych właściwości ośrodka, przede wszystkim od zdolności przewodzenia elektryczności. Ciała, w których ładunki mogą się swobodnie przemiesz czać, noszą nazwę przewodników, ciała o umiejscowionych ładunkach — dielektry ków. Istnieje liczna grupa ciał pośrednich między przewodnikami a dielektrykami zwanych półprzewodnikami. Właściwości elektryczne zależą od czynników zewnętrz nych, przede wszystkim od temperatury. W normalnych warunkach do przewodni ków zaliczamy metale, węgiel i elektrolity (roztwory kwasów, soli i zasad), do di elektryków — siarkę, parafinę, wosk itp. Nośnikami ładunku w ciałach stałych są elektrony, w elektrolitach głównie jony. Swobodne elektrony stanowią tylko ułamek wszystkich elektronów w metalu — w przybliżeniu przypada jeden taki elektron na atom. Wytworzone przez oderwanie elektronu dodatnie jony tworzą siatkę krysta liczną. Gruntowne zrozumienie elektrycznych właściwości ciał jest możliwe dopiero po poznaniu podstaw mechaniki kwantowej. Ładunki w przewodniku. Naładowany przewodnik ma nieskompensowany nad miar ładunków jednego znaku. Pod wpływem sił odpychania ładunki rozchodzą się 173
jak najdalej od siebie — na powierzchnię przewodnika. Naprawdę przemieszczają się tylko swobodne elektrony. Ładując ciało ujemnie, dostarczamy mu nadmiaru elektronów, które rozmieszczają się na jego powierzchni (ściślej — w powierzchnio wej warstwie o grubości rzędu dwóch odległości międzyatomowych). Ładując ciało
Rys. 145. Siły kulombowskie odpy chają swobodne ładunki jak najdalej — na powierzchnię przewodnika.
Rys. 146. Gdy kula jest naładowana dodatnio, elektrony uciekają przede wszystkim z powierzchni. Wynik jest taki sam jak poprzednio — przewodnik ładuje się powierzchniowo.
dodatnio, odbieramy mu elektrony z powierzchni; rezultat jest taki, jak gdyby roz mieściły się na powierzchni ładunki dodatnie. Procesy przemieszczania elektronów zachodzą w przewodniku bardzo szybko — w ułamku sekundy po doprowadzeniu lub odprowadzeniu ładunku wytwarza się już stan równowagi. Przykład. Wiaderko (puszka) Faradaya. Ładując elektrodę w kształcie wydrążonej kuli i prze nosząc na elektroskop ładunek z jej powierzchni wewnętrznej lub zewnętrznej, możemy stwierdzić, że ładunek gromadzi się na powierzchni zewnętrznej. Jeszcze prostsze jest doczepienie wydrążonej
Rys. 147. Ładunek z elektroskopu z wiaderkiem Faradaya można odprowadzić tylko przez połączenie z ziemią zewnętrznej strony wiaderka. Tego rodzaju ekspery menty przekonują nas, że ładunki znajdują się na powierzchni przewodnika. elektrody, zwanej w iaderkiem F aradaya, bezpośrednio do elektroskopu i naładowanie go. Aby teraz rozbroić elektroskop, musimy połączyć przewodnikiem zewnętrzną powierzchnię wiaderka z ziemią. Nie da się odprowadzić ładunku przez uziemienie wnętrza. Wszystko to świadczy, że wewnątrz wiaderka i w ogóle wewnątrz dowolnego naładowanego przewodnika nie ma ładunków elektrycz nych, które gromadzą się na jego powierzchni.
174
Jak widać, każdy przewodnik można uważać za ciało naładowane powierzchnio wo. Rozważając powierzchniowo naładowaną kulę stwierdziliśmy, że wewnątrz niej potencjał jest stały, a natężenie pola równe zeru. Wniosek ten można rozszerzyć na ciała przewodzące dowolnego kształtu. Naładowany przewodnik jest obszarem ekwipotencjalnym, tzn. wewnątrz niego i na jego powierzchni Ve — const, czyli K = - g ra d Ve = 0.
Rys. 148. Ciało przewodzące jest obszarem ekwipotencjalnym, a wewnątrz niego pole nie istnieje.
Pole i gęstość ładunku. Natężenie pola w pobliżu powierzchni ciała naładowanego jest ściśle związane z powierzchniową gęstością ładunku. Mogliśmy to zaobserwo wać przy wyznaczaniu pola naładowanej powłoki kulistej. Stosując wzór na natę żenie pola do obszaru tuż przy jej powierzchni (r = R), znajdujemy k
=
6 = JL 4-ke0R2 e0 "
Natężenie pola naładowanej płaszczyzny
W obu przypadkach natężenie pola jest wprost proporcjonalne do gęstości ła dunku na powierzchni o. Aby się przekonać, że zależność ta ma charakter ogólny,
Rys. 149. Stosując prawo Gaussa do małego walca obejmującego element AS mo żemy się przekonać, że tuż przy powierzchni przewodnika wektor natężenia pola jest do niej prostopadły, a jego wartość jest proporcjonalna do gęstości ładunku.
175
zastosujemy twierdzenie Gaussa. Obszarem całkowania będzie powierzchnia małego walca obejmującego element A S powierzchni przewodnika. Ponieważ wewnątrz prze wodnika pola nie ma, a powierzchnie boczne są prostopadłe do ekwipotencjalnej powierzchni ciała, strumień pola przez powierzchnię walca składa się tylko ze stru mienia przez zewnętrzną podstawę. Stąd | K edS = KnA S = * czyli K = Kn = ~ . eo Natężenie pola tuż przy powierzchni przewodnika jest równe lokalnej gęstości po wierzchniowej ładunku podzielonej przez przenikalność dielektryczną próżni. Wektor natężenia jest przy tym prostopadły do (ekwipotencjalnej) powierzchni przewodnika. Gdyby miał składową styczną, to pod jej wpływem swobodne elektrony musiałyby się przemieszczać. Byłoby to równoznaczne z powierzchniowym prądem elektrycznym. Zatem wprowadzając wersor normalnej zewnętrznej otrzymujemy
Otrzymane wyrażenie jest identyczne z uprzednio znalezionym wzorem na natę żenie pola powłoki kulistej, natomiast różni się od pola naładowanej płaszczyzny: K jest tu dwa razy większe. Istotna przyczyna kryje się w tym, że pole istnieje tylko po zewnętrznej stronie elementu powierzchni naładowanego przewodnika, podczas gdy płaszczyzna wytwarza pole po obu stronach i przy całkowaniu wliczamy stru mień przez obie podstawy walca (w przewodniku tylko przez podstawę zewnętrzną). Ostrza. Natężenie pola przy powierzchni przewodnika jest wprost proporcjo nalne do powierzchniowej gęstości ładunku. Doświadczenie wykazuje, że pole jest najsilniejsze w pobliżu występów i nierówności powierzchni. Może ono być tak silne, że wyciąga ładunki z przewodnika — „wiatr” elektryczny spływający z naładowanego ostrza może napędzać wiatraczek i gasić świecę. Wynika stąd, że gęstość ładunku na takim ostrzu jest największa. Dlaczego tak się dzieje? Wyjaśnienie jest proste. Gęstość ładunku powierzchniowo naładowanej kuli „
Q 4ti R 2
jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu promienia. Łącząc ze sobą dwie kule — małą i dużą, o promieniach Jix i R 2 i ładunkach Qt i Q2 — uzyskujemy przewodnik o wspólnym potencjale Ve. Przyrównując do siebie potencjały obu kul otrzymujemy 176
czyli Q t/R i = (łi/R i- Przechodząc do gęstości znajdujemy (Ti
_
Qi . 0,2 _ R-2 R\
R2
Ri
Gęstości ładunków połączonych kul są odwrotnie proporcjonalne do ich promieni. Wniosek ten można odnieść do lokalnych występów dowolnego przewodnika podsta wiając zamiast promieni kul promienie krzywizny powierzchni. Gęstość ładunku na powierzchni przewodnika jest (w przybliżeniu) odwrotnie proporcjonalna do lokalnego promienia krzywizny. To samo dotyczy natężenia pola. Tam gdzie promień krzywizny jest najmniejszy — np. na czubku ostrza — pole jest najsilniejsze. Ulot ładunków z ostrz można wykorzystać do ładowania i rozładowywania ciał — np. taśmy genera tora elektrostatycznego służącego do wytwarzania wysokiego napięcia.
g2
r,
Rys. 150. Gęstość ładunku na powierzchni połączonych ze sobą przewodzących kul jest odwrotnie proporcjonalna do promienia.
Przykład. Mikroskop połowy. Wyciąganie elektronów z przewodnika przez pole elektryczne nazywamy emisją potową. Aby mogło dojść do emisji, natężenie pola musi wynosić ok. 108 V • m-1 Wyobraźmy sobie cienkie wolframowe ostrze o promieniu krzywizny R0 — 100 A (10-8 m) umiesz czone w środku opróżnionej z powietrza kulistej szklanej bańki o promieniu R = 10 cm. Bańkę pokrywa od wewnątrz fluoryzujący ekran. Jakie musi być napięcie między ostrzem a ekranem, aby elektrony wyemitowane z ostrza utworzyły świecący obraz jego struktury? Podstawiając wzór na natężenie pola kuli K = Q/47i60r 2 do definicji napięcia otrzymujemy
(ze względu na R > R0 pominięcie drugiego składnika w nawiasie jest oczywiste). Ponieważ pole przy ostrzu K0 = QI4k e0Ro2 musi być większe niż 108 V/m, najmniejsza wartość napięcia wynosi U = KR0 = 108 10-8 m = I V. W praktyce stosuje się o wiele większe napięcie, bo wiązka elektronów dająca obraz na ekranie musi mieć większą energię. Elektrony poruszają się po promieniście rozchodzących się liniach pola. Powiększenie jest równe stosunkowi promieni R /R 0, czyli może osiągnąć 107. N a przeszkodzie stoją jednak efekty kwantowomechaniczne i rozmycie wiązki spowodowane poprzeczną składową ter micznego ruchu elektronów w ostrzu. Zmniejsza się je przez obniżenie temperatury i wpuszczenie12 12
Fizyka dla politechnik
177
do bańki małej ilości helu. Elektrony wyemitowane z ostrza jonizują napotkane atomy helu, a wiązki jonów wytwarzają obraz na ekranie. Taki mikroskop zwany jonowym umożliwia uzyskanie obrazu pojedynczych atomów.
+
Rys. 151. Wykorzystanie ostrza do wprowadzania i odbierania ładunku taśmy (T) w generatorze Van de Graffa. Napędzana silniczkiem taśma dielektryczna przenosi ładunek z zasilacza do wnętrza kuli.
Ładowanie przez indukcję. Umieszczając nienaładowane ciało przewodzące w polu elektrycznym innego ciała możemy stwierdzić, że pojawiają się na nim ładunki. Pole przesuwa swobodne elektrony przewodnika tworząc na jego powierzchni dwa ob szary z nadmiarem ładunków obu znaków. Zjawisko to nosi nazwę indukcji. Roz dzielone przez indukcję ładunki różnią się między sobą: ładunki przyciągnięte,
Rys. 152. Inny przykład zastosowania ostrza elektrycznego: mikroskop połowy. Ładunki (elektrony lub jony) wyciągane z ostrza przez pole dają na fluoryzującym ekranie E obraz jego struktury.
tzn. przeciwnego znaku niż źródło pola, są związane, ładunki odepchnięte — tego samego znaku — są swobodne. Przez uziemienie ciała można je odprowadzić do ziemi i pozostanie tylko ładunek związany. Odłączając ciało od ziemi i usuwając pole zamieniamy ładunki związane na swobodne. 178
Ciało uzyskało nadmiar ładunku — naładowaliśmy je. Ten sposób elektryzo wania ciała bez zetknięcia ze źródłem pola nosi nazwę ładowania przez indukcję. Zamiast uziemiać ciało można umieścić w polu dwie jego zetknięte połówki i rozdzielić je. Na każdej z nich pozostanie zaindukowany ładunek i w rezultacie otrzymujemy dwa ciała naładowane ładunkami przeciwnego znaku. Ten sposób stosujemy przy badaniu pola za pomocą płytek próbnych. Są to małe połączone ze sobą metalowe płytki na izolujących rączkach. Umieszczając je w polu, następnie rozdzielając i mierząc ich ładunki, możemy wyznaczyć ładunek indukcyjny i jego gęstość. A
B
A
B
B c)
Rys. 153. Ładowanie przez indukcję: pole kuli A rozdziela ładunki w kuli B. Odpro wadzając ładunki swobodne do ziemi i odłączając kulę ładujemy ją (bez zetknięcia z kulą A). Zaznaczono kreskami granicę między ładunkami. Po oddaleniu kuli A ła dunek związany zamienia się na swobodny.
c)
Rys. 154. Umieszczając połączone płytki próbne w polu elektrycznym ładujemy je przez indukcję. Po rozdzieleniu każda jest naładowana ładunkiem innego znaku. 12*
179
Wielkość indukowanego ładunku. Wkładając naelektryzowaną elektrodę do po łączonego z elektroskopem wiaderka Faradaya, obserwujemy rozchylenie się listków, na których gromadzą się odepchnięte ładunki tego samego znaku, co na elektrodzie. d)
Q=Q' Rys. 155. Naelektryzowana elektroda włożona do wiaderka Faradaya rozchyla — przez indukcję — listki elektroskopu (a), po jej wyjęciu listki wracają do poprzedniego stanu (b). Jeżeli chcemy sprawdzić, jaka jest wielkość indukowanego ładunku Q'(c), dotknijmy elektrodą dna wiaderka (d). Ładunek elektrody zobojętnia indukowany ładunek wiaderka, nie zmieniając rozchylenia listków elektroskopu. Wniosek: ła dunek indukowany jest równy indukującemu.
Na wewnętrznej powierzchni wiaderka gromadzą się związane ładunki przeciwnego znaku. He ich jest? Aby się o tym przekonać, wsuńmy elektrodę głębiej i dotknijmy nią dna wiaderka. Ładunki przeciwnych znaków na elektrodzie i wiaderku zobojęt niają się wzajemnie. Elektroskop nie wykazuje przy tym żadnej zmiany — rozchy lenie listków pozostaje takie samo jak przedtem. Gdyby ładunek zaindukowany na wiaderku był różny od ładunku elektrody, po zobojętnieniu pozostałaby nadwyżka ładunków jednego znaku i rozchylenie listków elektroskopu musiałoby się zmienić. Nie zmienione rozchylenie świadczy o tym, że ładunek wzbudzony przez indukcję na otaczającej elektrodę powierzchni wiaderka Faradaya jest równy ładunkowi elektrody, który go zaindukował. Po oddaleniu elektrody elektroskop pozostaje nadal naładowany. Jeżeli doświadczenie przeprowadzić bez zetknięcia elektrody z dnem wiaderka, to przy oddalaniu elektrody rozchylenie listków maleje z powro tem do zera, gdy rozdzielone przez indukcję ładunki łączą się i zobojętniają. Indukcja a prawo Gaussa. Z powyższych doświadczeń wynika, że ładunek indukowany na zamkniętej powierzchni równa się co do wartości umieszczonemu wewnątrz niej ładunkowi indukującemu. Wniosek ten jest słuszny dla dowolnego kształtu powierzchni. Znak ładunku indukowanego jest przeciwny niż indukującego. Jeżeli wewnątrz wydrążonego ciała przewodzącego umieścimy ładunek Q, to na wew nętrznej powierzchni zaindukuje się ładunek —Q. Wykażemy teraz, że jest to ekspe rymentalnym następstwem prawa Gaussa. W tym celu musimy sobie wyobrazić przeprowadzoną wewnątrz ciała zamkniętą powierzchnię otaczającą wydrążenie. 180
Ponieważ znajduje się ona wewnątrz przewodnika, strumień pola
< j>KdS = 0. Jeżeli w wydrążeniu nie ma ładunku, to K= 0 i wynik jest taki sam jak w prze wodniku bez wydrążenia. Po wprowadzeniu ładunku Q do wydrążenia całkowity strumień wewnątrz przewodnika nadal pozostaje równy zeru, a to jest możliwe tylko
Rys. 156. Równość ładunku indukującego i indukowanego wynika z prawa Gaussa.
wtedy, gdy sumaryczny ładunek wewnątrz powierzchni całkowania będzie nadal równy zeru. N a powierzchni wydrążenia musi się więc zaindukować ładunek —Q. Ładunek dodatni odepchnięty przez indukcję na zewnętrzną powierzchnię ciała nie gra roli w naszych rozważaniach, bo znajduje się na zewnątrz powierzchni całko wania. Wygląda to tak, jak gdyby przewodnik się bronił przed wniknięciem pola; pod wpływem pola zewnętrznego ładunki przesuwają się dopóki wewnątrz przewod nika pole nie zniknie. Jest to możliwe dzięki swobodzie przemieszczania się ładunków. Znikanie pola wewnątrz wydrążonego przewodnika (przy braku ładunków w wy drążeniu) znajduje częste zastosowanie, kiedy chcemy odseparować jakiś obszar — np. wnętrze aparatury pomiarowej — od pól zewnętrznych. Wydrążony przewodnik stanowi osłonę (ekran) elektrostatyczną. Metoda obrazów. Z doświadczeń i teorii wiadomo, że powierzchnia przewodnika jest powierzchnią ekwipotencjalną. Możemy więc zastąpić dowolnie wybraną po wierzchnię ekwipotencjalną przewodnikiem tego samego kształtu i o tym samym potencjale. Ten wniosek stanowi podstawę metody wyznaczania pola, zwanej me todą obrazów. Pole między ładunkiem a przewodzącą powierzchnią będzie takie samo jak pole między nim a takim samym ładunkiem przeciwnego znaku, umieszczonym w punkcie stanowiącym jego zwierciadlane odbicie („obraz”) w tejże powierzchni. Obraz ładunku najłatwiej znaleźć w przypadku płaskiej powierzchni ekwipotencjalnej: leży on wówczas po drugiej stronie płaszczyzny przewodzącej, na prostopadłej przechodzącej przez dany ładunek i w tej samej co on odległości od płaszczyzny. Przykład. Ładunek punktowy i płaszczyzna. Umieścimy wielką uziemioną płytę metalową w poiu ładunku punktowego Q. Przyjmiemy prostą, prostopadłą do płyty i przechodzącą przez ła dunek jako oś z. Odległość ładunku od płyty oznaczymy przez Zo. Odległość g danego punktu pola od osi z będzie drugą współrzędną walcową; ze względu na symetrię trzecia współrzędna nie gra 181
roli. Odległość r punktu, w którym wyznaczamy pole od ładunku Q, trzeba wyrazić za pomocą współrzędnych r = | / ( z - z 0)2+ e2. Potencjał od samego ładunku punktowego wyraża się wzorem
4tt£0 j/( z —z0)2+ e 2 Taki byłby potencjał, gdyby nie było płyty, w której pole indukuje ładunki o sumarycznej wartości —Q (ładunki tego znaku co Q uciekają do ziemi). Szukane wyrażenie ogólne musi zależeć
ve= ____
Q
4 j c £ 0\ / ( z - z 0 ) 2 + q 2
______ Q 43ts0V (z+z0)2+ e 2
Rys. 157. Pole między punktowym ładunkiem a uziemioną płaszczyzną przewo dzącą (powierzchnią przewodzącą) jest takie, jak gdyby w takiej samej odległości za płaszczyzną znajdował się taki sam ładunek przeciwnego znaku (obraz elektryczny)
od współrzędnych tak jak (tzn. musi dążyć do nieskończoności dla q = 0 i z = z0), a na uziemio nej płycie i po jej drugiej stronie (z < 0) powinno przybierać wartość zero. Prócz tego pole musi być wszędzie solenoidalne: divK = —diygradK, = 0. Wreszcie tuż przy powierzchni płyty (od strony dodatnich z) natężenie pola musi być pro porcjonalne do powierzchniowej gęstości ładunku indukowanego a: K = IgradKJ = — .
«o
Można się przekonać, że wszystkie te warunki spełnia potencjał postaci
X,
Q 47te0 |/ ( z —Zo)2+ff2
182
Q 4rc60 (z + zo)2+
Poprawka do potencjału jest równa obliczonemu w nieobecności płyty potencjałowi ładunku —Q umieszczonego na przedłużeniu osi z po drugiej stronie powierzchni płyty w punkcie z = —z<>, czyli w tej samej odległości od niej co ładunek Q. Taki ładunek nazywamy elektrycznym obrazem ładunku Q. Pole układu złożonego z ładunku punktowego i przewodzącej płyty jest więc takie samo jak pole dipola utworzonego przez ten ładunek i jego lustrzane odbicie w powierzchni płyty. Jest rzeczą oczywistą, że obraz elektryczny jest fikcją, szukanie go po drugiej stronie płyty byłoby takim samym nonsensem jak szukanie ludzi i przedmiotów po drugiej stronie zwierciadła. W rzeczywistości pole obrazu pochodzi od ładunków indukowanych na powierzchni płyty. Natężenie pola znajdziemy jako ujemny gradient potencjału. Jego składowa prostopadła do płyty jest równa SV, 8z
Q
I
z —z0
z+ z0
47T60 \ [ ( z - z 0)2+ e2]3/2
[ ( z - z 0)2 + e2]3/2
Łatwo stąd znaleźć rozkład ładunku na płycie
a
eaKx(z —0) ~ —
Qzo
2n(zo + Q2)311
Minus podaje znak ładunku indukowanego — przeciwny. niż znak ładunku Q. Sprawdźmy jeszcze, jaka jest jego wartość. Jako element powierzchni wybieramy kołowy pasek o promieniu q i szerokości do. Jego ładunek wynosi d Q = trdS =
Qzo
2 ^(zg+e2)3'2
• 2rrgdę =
Qzo6 dp (zS +e2)3' 2 '
Całkując po całej nieskończenie wielkiej powierzchni płyty otrzymujemy
S ie
(zg+ e2)2/2
= Q z0
1
00
-Q -
Vzo+e2 0
Sumaryczny ładunek indukowany na płycie jest rzeczywiście równy —Q.
Przykład. Przewodząca kula w polu ładunku punktowego. I tutaj zastosujemy metodę obrazów. N a początek rozważmy pole pary ładunków punktowych Q i Q'. Umieśćmy początek układu współ rzędnych biegunowych R i 8 w punkcie leżącym na przedłużeniu prostej łączącej oba ładunki, poza dunkiem Q' w odległości x od Q i x ' ou Q'. Jeżeli chcemy uważać Q' za el ektryczny o brąz ładunku 183
g , musimy znaleźć powierzchnię ekwipotencjalną o Vt = 0. Potencjał w dowolnym punkcie odległym o r od g i o r' od g ' wynosi g Q' y e — ___ ___ |___ ____ 4-Tce0r 4jte0r ' Wyrażając r i r ' za pomocą współrzędnych i odległości x i x ‘ mamy r 2 = R2+ x 2— 2Rxcos& oraz r'2 = R2+ x '2 —2Rx' cosR. Podstawienie do równania Ve(R, &) = 0 i podniesienie do kwad ratu prowadzi do związku Q2 R 2+ x 2-2R xcos& X [ x +X 2R cosd) g ”2 ~ R 2+ x '2—2/Łc'cosd ~ , I R 2 , „„ '
“
acM— r
+A:,-2 /łcosdl
Rys. 159. Obraz (Q') ładunku punktowego (g) w przewodzącej kuli. Aby uzyskać równoważność pól, w środku kuli trzeba umieścić dodatkowy ładunek przeciwnego znaku niż obraz. Związek ten powinien się spełniać dla wszystkich &. Może tak być tylko wtedy, gdy wyrażenia w nawiasach są identyczne, czyli gdy R1 = x x ' = const. Potencjał jest więc równy zeru na powierz chni kuli o promieniu R = ]/xx'. Rozpatrywany związek redukuje się do postaci ( g /g ') 2 = x /x ', czyli
- -
qĄ
umożliwiającej znalezienie środka kuli. Możemy teraz zastąpić kulistą powierzchnię zerowego potencjału taką samą uziemioną kulą przewodzącą. Przebieg pola na zewnątrz kuli nie ulega zmianie. Pole między punktowym ładunkiem g a przewodzącą kulą o promieniu R, której środek znajduje się w odległości x od ładunku jest więc takie, jak gdyby wewnątrz kuli, w odległości x ' = R 2/x od środka, pojawił się obraz elektryczny o ładunku Q' = —QRjx. Ów obraz elektryczny o ładunku przeciwnego znaku niż g jest po prostu środkiem ładunku indukowanego. Jeżeli kula nie jest uzie miona, jej całkowity ładunek pozostaje przy tym flie zmieniony. Możemy to opisać wprowadzając dodatkowy ładunek —g ' = Q Rjx w środku kuli. W dowolnym punkcie na zewnątrz kuli w odle głości r0 od jej środka potencjał wynosi
Fe = _ e _ + _ ^ ______ę i _ , 4ne0r
4ne0r'
4ize0r0
a na powierzchni kuli (r0 = R, Q j4ne0r+ Q '/4ne0r' = 0)
4 t ;£ o R
184
4n£oX
Możemy jeszcze obliczyć siłę przyciągania między ładunkiem punktowym a kulą:
F=
QQ! f
1
QR r
___1 J =
L(*— x')2 x 2 J 4Tte0x L(x2~ R 2y - i ] ** r ** -l], 47re0x3 ,(x 2- R 2)2
47re0
przy czym podstawiono x ' = R 2/x i Q' = —QRjx. Jeżeli powierzchnia kuli jest blisko punktowego źródła pola, jedynkę w nawiasie można pominąć. Stąd F = —
Rx
Q2 47te0
R2 4
(x —R)2(x+ R )2
tte
0
(x - K ) 2 - 4 R 2
4ne0-4 (x—R)2
Siła przyciągania jest w tym przypadku odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości ładunku od powierzchni kuli ( x —R), czyli taka sama jak między ładunkiem punktowym a przewo dzącą płaszczyzną. Natomiast, gdy x R, otrzymujemy F =
-
Q2R
x * - x * + 2 x 2R 2- R *
Q2R
2x 2R 2
Q2-2R3
4ne0x 3
(x2- R 2)2
4ne0x 3
x*
4ne0x s
Zwróćmy jeszcze uwagę na to, że na skutek rozsunięcia ładunków przez indukcję kula uzyskuje moment dipolowy o wartości QR R 2
Pd = Q 'x ---------------—
QR3 = ----------— .
Rys. 160. Pole indukuje w przewodzącej kuli dipol elektryczny o kierunku natężenia. Wielkość QI4ne0x 2 = K0 oznacza wartość natężenia pola elektrycznego w odległości x od odo sobnionego punktowego ładunku Q. Jeżeli jest on dostatecznie daleko kuli, pole w jej otoczeniu można uważać za w przybliżeniu jednorodne. Biorąc pod uwagę zwrot wektora K0 (od dodatniego ładunku Q na zewnątrz) i momentu dipolowego (od środka indukowanego ładunku ujemnego do środka kuli), napiszemy pd = 47ie0R3Ko = 3e0FK0, przy czym V = 4nR.3/3 oznacza objętość kuli. Indukowany moment dipolowy jest wprost proporcjo nalny do natężenia pola indukującego i do objętości kuli. Przykład. Kula w polu jednorodnym. Jeżeli pole możemy uważać za jednorodne, a tak jest gdy małą kulę umieścimy w polu odległego ładunku Q, to w dowolnym punkcie powierzchni kuli nor malna (tzn. radialna) składowa natężenia pola zewnętrznego wynosi K0cos#. Do tego trzeba dodać pole ładunku indukowanego, czyli pole dipola K , = Ko cos0+
PdCosd Qcos& - K0cos0+ 2ne0x 2 InsoR3 185
Podstawiając QI2ne0x 2 = 2K0, otrzymujemy stąd K , = 3AT0cos$. Mnożąc to przez stałą e0 znajdziemy powierzchniową gęstość ładunku a = e0Kr = 3e0K0cos&. Strefie neutralnej (a = 0) odpowiada 0 = ± tt/2. Granicą między ładunkami różnych znaków indukowanymi przez pole (jednorodne) jest okrąg otrzymany z przecięcia kuli pionową płaszczyzną prostopadłą do pola zewnętrznego i przechodzącą przez jej środek.
Rys. 161. Pole jednorodne indukuje w przewodzącej kuli dipol, którego pole na po wierzchni kuli jest 2 razy silniejsze niż pole zewnętrzne (suma — 3 razy silniejsza). K, — składowa radialna. Ogólne wzory na potencjał i natężenie pola można znaleźć z równania Laplace’a — w najwy godniejszych w tym przypadku współrzędnych sferycznych o początku w środku kuli: V2Ve =
d2V„ dr2
+
32Ve
2 8V, r
dr
r 2sin2#
1 [ d 2Ve
„ 8VĄ
7 n i 5 r +a,<>- s s j - 0-
dq>2
Szukany rozkład potencjału powinien być jednakowy na każdej płaszczyźnie równoległej do pola i przechodzącej przez środek kufi. Jeżeli oś z będzie równoległa do pola, to potencjał nie będzie zależał od współrzędnej
y t 82V2 r
dr
r2
VlCtg■» 8VZ _
8&2
r2
d&
Pomnożenie przez r2jV , V2 umożliwia rozdzielenie zmiennych r 2 d2Vy
2r 8Vx
dr2 + l \ ~ d T ~
1 d2V2 ~ ~ i\~ 8 8 2
ctgd 8V2 vT ~d& ’
Jeżeli równanie ma być spełnione dla dowolnych r i &, obie strony muszą się równać jakiejś stałej — powiedzmy k 2. Musimy zatem rozwiązać równania r 2 d2K,_j______ 2r dF, 1 ______1 y 2 dr2 y , dr 186
Ł2
d2V2 V2 d&2
ctg& dV2 _ V2
d& ~
'
Wygodniej będzie zacząć od drugiego z nich, będącego szczególnym przypadkiem tzw. równania Legendre'a. Jego rozwiązaniem są sferyczne funkcje harmoniczne typu 1
dl
,
,
gdzie = cos#, a / = 0 , 1 , 2 ... Dla 1 = 0 otrzymujemy P0 = 1, dla / = 1 P , = cos#, dla 1 = 2 P2 = \ (3cos2# —1) itd. Ograniczymy się do funkcji J*,. V2 = cos# spełnia równanie, jeżeli k 1 = 2. Uzyskaną wartość stałej wstawimy do drugiego równania. Po pomnożeniu przez V2 dK,
d2K,
■ A = °d r22 +2r~A-----2^ dr Wprowadzimy nową zmienną s, zdefiniowaną wyrażeniem r = e5, czyli ds = dr/r = dre- '. Teraz dK, dr
dK, d s d s dr
dV * ds
oraz d2K, d r2
d ( d V it - , \ ds \ ds /
ds
d2K,
dr
ds2
e-2‘- ^ e ds
Po podstawieniu wyjściowe równanie otrzymuje postać d2K,
dK,
—r r - - 2V' = °ds2r + - ds Rozwiązaniem tego równania jest funkcja
B
K, = Ae’+ Be~2’ = A r + — . r2 Szukany rozkład potencjału ma postać V, = V2Vi = M r+ — |cos#.
a składowe natężenia pola są równe 8V.
Kr = - —
cos#,
(oczywiście Kę = 0). Stałe A i B wyznaczymy z warunków brzegowych. Dla dużych r kula nie zakłó ca pola i K = K0, a K, = Kacos#. Stąd A = —K0. N a powierzchni kuli Ko = const niezależnie od #. Aby to było możliwe, musi być K,(P) = A R + B /R 1 = 0, czyli B = — AR3 = K0R3. Ostatecznie
K. = * 0( ^ - - r )
JSr0|-^ --ljsin # . 187
N a powierzchni kuli (r = R) otrzymujemy — podobnie jak w poprzednim przykładzie —
Kr = 3Kocos», K« = 0 oraz o = 3e0K<>cos#. Gęstość ładunku osiąga maksimum równe 3s0K0 dla 0 = 0. Granicę między obszarami ła dunków różnych znaków opisuje równanie # = tc/2. Oba obszary są sobie równe. Indukowany składnik jednego znaku jest równy
nl2 Q = J adS = J 3e0K0cos& ■lu R sia ^ d fi = 3e0K0n R 2.
o Całkowity ładunek kuli
n Q = J 3 £0 ^ 0 cos # •2 nł? sin &d&
o pozostaje równy zeru.
§ 17. Pole w dielektryku Najistotniejszą właściwością przewodników jest obecność swobodnych ładun ków — elektronów przewodnictwa. Pod wpływem pola zewnętrznego swobodne elektrony przemieszczają się tak długo, dopóki pole ładunków indukowanych nie
K +K r= 0
Rys. 162. Pole zewnętrzne rozdziela ładunki przewodnika dopóki pole wewnątrz niego nie stanie się równe zeru.
Rys. 163. Polaryzacja elektryczna: zewnętrzne pole wzbudza obojętne cząsteczki (u dołu) i obraca dipole cząsteczkowe.
sprowadzi pola wewnątrz przewodnika do zera. W odróżnieniu od przewodników idealne dielektryki nie mają swobodnie przemieszczających się ładunków; elektrony są w nich związane w atomach lub w cząsteczkach. Powłoki elektronowe nie są jed nak sztywne. Pod wpływem zewnętrznego pola ulegają odkształceniu, środki ła dunków obu znaków rozsuwają się, atomy i cząsteczki uzyskują moment dipolowy. 188
Powstałe w ten sposób dipole mogą się obracać. Cały ten zespół zjawisk nazywamy d ielektryczn ą . Wytworzone przez polaryzację ładunki indukowane znoszą pole wewnętrzne — w odróżnieniu od przewodników znoszą je jednak tylko częściowo. Oznaczmy przez pd powstały przez polaryzację moment dipolowy atomu czy cząsteczki. Wielkość
p o la ry za cją
czyli suma momentów dipolowych podzielona przez objętość dielektryka nosi nazwę w ekto ra p o laryza cji. Przez n oznaczono tutaj gęsto ść c zą ste c ze k (liczbę cząsteczek
Rys. 164. W ektor polaryzacji jest sumą momentów dipoli cząsteczkowych podzie loną przez objętość.
w jednostce objętości). Ponieważ moment dipolowy mierzy się w C • m, jednostką polaryzacji będzie C • m/m 3, czyli C/m2. Jest to jednostka powierzchniowej gęstości ładunku. Wyjaśnienie tej zbieżności podamy później. Przykład. Polaryzacja cząsteczki jednoatomowej. Wyobraźmy sobie uproszczony model cząs teczki w postaci centralnego ładunku punktowego Z e i jednorodnej kulistej chmury elektronowej o promieniu R i ładunku —Ze. Zewnętrzne pole elektryczne o natężeniu K rozsuwa środki ładunków, dopóki siła przyciągania między dodatnim jądrem a ujemną chmurą elektronową nie zrówna się
pd= Zex = oŁE0K Rys. 165. Pole zewnętrzne polaryzuje atomy i cząsteczki rozsuwając na odległość x środki ładunków, indukowany moment elektryczny jest proporcjonalny do natężenia pola. a — polaryzowalność atomowa, Z — liczba porządkowa, Z e — ładunek jądra. 189
z siłą oddziaływania pola na każdy ładunek. Oznaczmy rozsunięcie środków ładunków przez x. Przesunięty o x ładunek Z e oddziałuje tylko z częścią chmury elektronowej o promieniu x (oddziały wania z zewnętrzną częścią znoszą się) i ładunku Z ex3/R 3. Warunek równowagi sił napiszemy w postaci
r R3
Z e-Z e —— 4ne0r2
CZe)2x 4ne0R 3
ZeK.
Stąd Z ex = 4 tzb0R 3K. Lewa strona otrzymanej równości jest iloczynem ładunku i przesunięcia, czyli wartością mo mentu dipolowego. Zważywszy, że ładunek dodatni przesuwa się zgodnie z polem, a ujemny — przeciwnie, oraz że strzałka momentu dipolowego wskazuje od ładunku ujemnego do dodatniego, możemy nadać tej równości charakter wektorowy: P j = 4 tc£0J?3K = ae0K. Stała a nosi nazwę polaryzowalności cząsteczki. Współczynnik proporcjonalności między nią a sześcianem promienia może się różnić od 4re. Mimo grubych uproszczeń i nieuwzględnienia kwan towego charakteru wielkości opisujących atom otrzymaliśmy poprawny wynik: indukowany moment dipolowy cząsteczki jest proporcjonalny do natężenia pola. Mnożąc obie strony przez gęstość cząsteczek przechodzimy do wzoru makroskopowego P = nae0K = x eoKWektor polaryzacji jest proporcjonalny do natężenia pola. Bezwymiarowa stała proporcjonal ności x = nosi nazwę podatności elektrycznej dielektryku. Omówiony wyżej rodzaj polaryzacji nosi nazwę polaryzacji elektronowej. Jeżeli cząsteczki dielektryku mają trwały moment dipolowy (cząsteczki polarne), to w mechanizmie polaryzacji głów ną rolę gra obracanie dipoli. Polaryzację taką nazywamy dipolową. Im więcej dipoli cząsteczkowych przybierze kierunek równoległy do pola, tym większa jest polaryzacja. Także i w tym przypadku wektor polaryzacji jest wprost proporcjonalny do natężenia pola i można go wyrazić wzorem P = x«oK. W bardzo silnych polach powyższe wzory mogą nie być słuszne.
Ładunki w dielektryku. W przeciwieństwie do przewodników, w których ładunki mogą występować tylko na powierzchni, w dielektryku może istnieć także ładunek przestrzenny. Wybierzmy sobie pewien element dV objętości dielektryku, spolaryzo wanego przez pole zewnętrzne. Indukowany moment dipolowy cząsteczek zawartych w elemencie d V jest równy npddV = P d F . Potencjał pola dipola w odległości r wynosi dVe = —— P dFgrad— 47C 8 q
T
(brak minusa przy gradiencie oznacza, że wektor r ma zwrot od dipola do punktu działania). Całkując po całej objętości ciała, otrzymujemy K =
190
1 47te0
dV.
Korzystając, z wzoru
„P g ra d,1— = div—■-----divP, .P 1 „ r
r
r
można wyrazić tę całkę jako różnicę dwóch wyrażeń Ve =
[ div— d V — [ — divPdK. 47te0 J r 4ue0 J r ° v u v
Rys. 166. Rozsunięcie ładunków przez pole zewnętrzne wytwarza na powierzchni dielektryku ładunki polaryzacyjne o gęstości równej normalnej składowej wektora polaryzacji. Gęstość ładunku wewnątrz dielektryku jest równa ujemnej dywergencji polaryzacji. Iloczyn P d F jest momentem elektrycznym elementu objętości.
Korzystając z prawa Gaussa J d i v y dV = V
yPdS, s
dochodzimy wreszcie do ostatecznej postaci V' = -Ti — ( f l p d S - - ^ — [ — divPdF. 47te0 J r 4ne0 J r u s ° v W otrzymanych wzorach S oznacza pole powierzchni ciała nieprzewodzącego. Jaki jest ich sens fizyczny? Zauważmy, że pierwszy wyraz jest podobny do wyrażenia na potencjał ładunków powierzchniowych 1 f adS Ve = 4rte0 J r ’ w którym zastąpiono gęstość a normalną składową wektora polaryzacji (PdS = = PndS). Jest on więc potencjałem ładunków, wytworzonych na skutek polaryzacji na powierzchni dielektryku, a wartość normalnej składowej polaryzacji wyraża ich dowierzchniową gęstość (stąd zbieżność jednostek). Drugi wyraz opisuje potencjał 191
ładunku przestrzennego o gęstości qp
= —divP.
Ładunki wytworzone przez polaryzację tylko tym się różnią od normalnych (swobodnych) ładunków — np. ładunków doprowadzonych z zewnątrz — że nie mogą się swobodnie przemieszczać. Stosowana niekiedy nazwa ładunków „pozor nych” (w odróżnieniu od tzw. ładunków „prawdziwych” , czyli niepolaryzacyjnych) może prowadzić do niepotrzebnych nieporozumień. Ładunki polaryzacyjne są jak najbardziej realne. Na koniec zauważmy, że w dielektryku (i polu) jednorodnym, tzn. w takim, którego podatność jest wszędzie jednakowa divP = div^e0K = 0 i ładunek przestrzen ny znika (o = 0). Polaryzacyjny ładunek powierzchniowy znika tylko w braku pola zewnętrznego. Prawo Gaussa w dielektrykach. Różniczkowe prawo Gaussa wyraża się wzorem divK = -e- . e0 Zastosujemy je do dielektryków. W ogólnym przypadku musimy uwzględnić za równo ładunek swobodny, jak i polaryzacyjny. Gęstość ładunku swobodnego ozna czymy przez psw, polaryzacyjnego przez ppol. Wyrażając tę ostatnią dywergencją polaryzacji, otrzymamy divK
(o5W+ (/poi) = (^sw divP). s0 ^0 Wygodnie jest przenieść człon polaryzacyjny na drugą stronę. Po pomnożeniu przez Sq div(c0K-f P) = gsw. W dalszym ciągu będziemy pomijali indeks sw przy symbolu gęstości — tzn. przez o będziemy rozumieli gęstość ładunków swobodnych. Wektorowa wielkość pod znakiem dywergencji D = epK-f P nosi nazwę indukcji elektrycznej. Mierzy się ją w takich samych jednostkach jak po laryzację, tzn. w C/m2. Prawo Gaussa przybiera teraz prostą postać 1 I divD = q lub, jeżeli wyrazić je w postaci całkowej, j DdS = $ divDdK = JgdK = Q. 192
Strumień wektora indukcji przez zamkniętą powierzchnię jest równy zawartemu w niej ładunkowi swobodnemu. Ze względu na proporcjonalność wektora polaryzacji do natężenia pola (w dielektryku jednorodnym) możemy napisać D = £oK+X£ oK = ( l+ x ) e 0K = *e0K. Bezwymiarowy współczynnik * = 1+ X nosi nazwę stałej dielektrycznej ośrodka. Dla próżni ( j = 0) x = 1, dla suchego powietrza pod normalnym ciśnieniem jest w przybliżeniu taka sama (1,00059).
Rys. 167. Różnice między podstawowymi wielkościami charakteryzującymi pole: Natężenie pola K' w dielektryku jest x razy mniejsze niż na zewnątrz, indukcja D ' taka sama, wektor polaryzacji jest różny od zera tylko wewnątrz. x oznacza stałą dielektryczną, x — podatność dielektryku.
Polietylen ma x = 2,3, porcelana 6, mika 7. Z cieczy warto wymienić olej transfor matorowy (x = 2,2) i nie będącą właściwie dielektrykiem wodę (x = 81), która zawdzięcza wysoką wartość stałej dielektrycznej dużemu momentowi dipolowemu cząsteczek. Największe wartości stałej dielektrycznej — rzędu kilku tysięcy — mają materiały ferroelektryczne, polaryzujące się samorzutnie nawet bez pola zewnętrzne go. Typowym ferroelektrykiem jest tytanian baru. Stała dielektryczna ferroelektry ków zależy od natężenia pola zewnętrznego. W takich materiałach wypisany wyżej prosty związek między indukcją a natężeniem pola nie jest spełniony. Nie spełnia się on także w dielektrykach niejednorodnych. Iloczyn stałej dielektrycznej ośrodka i przenikalności próżni e = xe0 określa się niekiedy jako przenikalność elektryczną ośrodka. Podstawiając ją do poprzedniego wzoru mamy D = eK. 13
F izyk a dla politech nik
193
Także prawo Coulomba przybiera w dielektryku zmienioną postać F=
- Qq- , r ° = - L _ Q j - r o. 4nxs0r2 x 4łze0r2
Wartość siły jest więc w ośrodku dielektrycznym x razy mniejsza niż w próżni. Podobnym zmianom ulegają wzory na natężenie pola, potencjał i energię w polu ciał naładowanych. Trzeba jednak pamiętać, że tak zmienione wzory mają tylko
+
Rys. 168. Siła oddziaływania między ciałami naładowanymi zanurzonymi w cieczy dielektrycznej jest x razy mniejsza niż w powietrzu.
ograniczony zakres stosowalności — mianowicie do jednorodnej cieczy dielektrycz nej o stałej x. W ośrodku stałym oddziałujące na siebie ciała naładowane wywołują wewnętrzne naprężenia mechaniczne, które zmieniają elektryczne właściwości ośrodka. Natomiast wprowadzone przez nas wcześniej prawa elektrostatyki w próżni są zawsze słuszne, trzeba w nich tylko uwzględniać wszystkie ładunki — niezależnie od tego, czy powstały na skutek polaryzacji, czy doprowadzono je z zewnątrz. Przykład. Spolaryzowana kula. Jednorodna kula dielektryczna umieszczona w jednorodnym polu elektrycznym spolaryzuje się. Wektor polaryzacji jest proporcjonalny do natężenia pola. Po nieważ K = Ko = const, więc w całej objętości kuli także P = const, tzn. polaryzacja będzie jedno rodna. Na powierzchni kuli pojawiają się ładunki polaryzacyjne. Jaka będzie ich gęstość? Umieśćmy
Rys. 169. Dla znalezienia natężenia pola wewnątrz kuli dielektrycznej wybieramy element powierzchni w kształcie pierścienia, znajdujemy natężenie pola jego ładunków polaryzacyjnych w środku kuli i całkujemy po całej powierzchni. Ponieważ gęstość ładunków jest równa normalnej składowej wektora polaryzacji, więc ostateczny wynik zależy tylko od wartości polaryzacji. 194
początek układu w środku kuli i za oś przyjmijmy prostą równoległą do pola. Normalna do po wierzchni ma wszędzie kierunek promienia i tworzy kąt # z kierunkiem pola; taki sam jest kąt między wektorem polaryzacji a jego składową normalną. Gęstość ładunku powierzchniowego jest równa normalnej składowej polaryzacji a = P„ = —i*cos#. Znak minus wiąże się z przyjętym zwrotem wektora polaryzacji od ładunków ujemnych do dodatnich (składowa normalna ma zwrot przeciwny do normalnej zewnętrznej). Jak widać, gęstość ładunków jest proporcjonalna do kosinusa kąta #, jest więc największa na biegunach (# = 0 i # = -k ) i równa zeru na równiku (# = tc/2), który jest strefą neutralną. Znajdziemy teraz pole, jakie wytwa rzają powierzchniowe ładunki polaryzacyjne wewnątrz kuli. W tym celu utworzymy element po wierzchni kuli w postaci wąskiego pierścienia o promieniu 7?sin# (R jest promieniem kuli) i szero kości Rdfr. Pole pierścienia wynosi d 5 = 2rc/?sin#- Rd# = 27t/J2sin#d#, a ładunek dQ = adS = = —P cos# •2tcJJ2sin#d#. Natężenie pola tych ładunków w środku kuli będzie sumą przyczynków od wszystkich elementów. Łatwo stwierdzić, że przy obchodzeniu pierścienia suma składowych pros topadłych do osi daje w wyniku zero i wypadkowe pole jest sumą składowych osiowych Pcos2#sin#d#
2 jtJ?2/’ cos2# sin #d# dQ -cos# = — 47Te0R 2 ĄizsoR2'
dK’ =
2Sn
Całkując po wszystkich pierścieniach, otrzymujemy K '= -
r
r
p 1 • \ cos2#sin#d# = -------2e, » 2e0 L
P
—cos2# "I™ 3
Jo
3e0
Ze względu na symetrię osiową pole będzie takie samo dla wszystkich punktów wewnątrz kuli. Pole ładunków polaryzujących jest w tym przypadku jednorodne.
Rys. 170. Spolaryzowaną kulę można zastąpić dwoma rozsuniętymi na odległość 21 przeciwnie naładowanymi obszarami. Ten sam wynik można uzyskać bez całkowania. Przy braku pola zewnętrznego w dielektryku niepolarnym środki ładunku dodatniego i ujemnego pokrywają się. Pole kuli jest sumą pól dwóch pokrywających się kul naładowanych jednorodnie przestrzennym ładunkiem obu znaków. Potencjał każdej z nich w odległości r od środka (r < R) wyraża się wzorem ± qR 2 / ,
r1 \
±q
2s0 Pole zewnętrzne przesuwa środek każdego ładunku o jakąś na powierzchni kuli po dwóch przeciwległych stronach powstają ładunków polaryzacyjnych. Cała reszta objętości kuli pozostaje punktów działania od środka kulistego ładunku odpowiedniego
K- = 13*
g
2so
/
wielkość ±1-4 R. W rezultacie przeciwnie naładowane obszary obojętna. Oznaczając odległości znaku przez r+ i r_, mamy
r-
)' 195
Potencjał wypadkowy Ve = K«+ + F«_ =
0€q
Przypisując wektorowi 21 zwrot od ładunku ujemnego do -dodatniego możemy napisać r + = r —I, r_ = 1+r. Stąd r%—r l = —41r. Podstawiając o = nQ (n — gęstość cząsteczek, Q — ła dunek cząsteczki) możemy napisać nQ-21r
np4r
Pr
3e0
3®o
3e0
przy czym wykorzystaliśmy definicję momentu dipolowego pd = 2Q1 i sens fizyczny wektora pola ryzacji jako jego gęstości. Natężenie pola znajdziemy z wzoru K ' = —gradP, = —
3e0
grad(Pr).
Ze względu na P = const grad (Pr) = P (rozpisując iloczyn skalarny na współrzędne i różnicz kując, łatwo się przekonać, że składowymi gradientu są składowe wektora P) i ostatecznie
zgodnie z tym, co otrzymaliśmy poprzednio.
K =K 0+ K = K 0- (— 3PC0S1>r ° + R3Psi3 -'fr°) ' 3s0r 3 3£0r3 > Rys. 171. Wypadkowe pole spolaryzowanej kuli jest superpozycją pola zewnętrznego i pola ładunków polaryzacyjnych. Wewnątrz kuli pole jest jednorodne. W dużej od ległości można zastąpić kulę dipolem o momencie PK. Pole spolaryzowanej kuli na zewnątrz niej jest równoważne polu dipola o momencie ttp„V = = 4tc7?3P/3 (suma momentów dipolowych zawartych w objętości kuli V). Jego potencjał w od ległości r ( r > R) wynosi 47iR3Pr° R 3P cos# 3e0r2 ’
3-47T60r 2 a natężenie
K
196
2R3P cos#
3e0r3
r°+
R 3P sin# 3e0r3
Wyprowadzone wzory opisują pole spolaryzowanej kuli. Efektywne pole w obszarze, w którym znajduje się kula, jest sumą pola zewnętrznego i pola ładunków polaryzacyjnych K = K o + K '.
Wewnątrz kuli
K = K0- - ? - . 3e0
Pole wewnątrz dielektryka. Jak widać, pole wewnątrz dielektryku jest słabsze niż pole, w którym się on znajduje. Przez K rozumiemy średnie natężenie pola w dielektry-
Rys. 172. Pole w wydrążonej w dielektryku kulistej wnęce jest różnicą pola w die lektryku i pola wyciętej kuli.
ku jednorodnym (tylko takimi się tu zajmujemy). Rozpatrując polaryzację cząsteczek stwierdziliśmy, że wzbudzone momenty dipolowe są proporcjonalne do natężenia pola. O jakim polu tu mowa? Będziemy najbliżsi prawdy, jeżeli powiemy, że pole jest takie, ja k gdyby cząsteczka znajdowała się w małym kulistym wydrążeniu. Pole w tym wydrążeniu uzyskamy odejmując od średniego pola w dielektryku pole po laryzacyjne usuniętej kuli K+
KW
P 3e0 ‘
Pole to indukuje dipole cząsteczkowe o momentach pd = ae0Kw = ae0 | k + Mnożąc przez gęstość cząsteczek n uzyskujemy równanie
(«£)•
npd = P = nae0^K +
z którego można wyznaczyć polaryzację w funkcji średniego natężenia pola na e0K. 1 —na/3 Czynnik ułamkowy z prawej strony oznacza podatność elektryczną. Stąd na X = * - i = 1 - n a /3 ' 197
Powyższy związek między makroskopową stałą dielektryczną a polaryzowalnością cząsteczkową nosi nazwę równania Clausiusa-Mosottiego. Jest ono słuszne tylko dla dielektryków niepolarnych. Powierzchnie graniczne. Zastosujmy prawo Gaussa do powierzchni naładowanej z gęstością a. Utwórzmy walec o małej wysokości h i podstawach równoległych do aładowanej powierzchni, obejmujący jej element o polu żlS, tzn. o ładunku oAS. i
Rys. 173. Stosując prawo Gaussa do małego walca stwierdzimy, że różnica nor malnych składowych natężenia pola po obu stronach powierzchni materiału jest wprost proporcjonalna do gęstości ładunku na powierzchni.
W ogólnym przypadku wektor natężenia pola K tworzy kąt cc z osią walca. Strumień pola przez powierzchnię Gaussa wynosi
$ K dS+ J KdS s„ sb
aA S eo ’
przy czym rozdzieliliśmy strumienie przez powierzchnie podstaw Sp i pobocznicy Sb. Przy zmniejszaniu do zera wysokości walca strumień przez pobocznicę dąży do zera i pozostają strumienie przez podstawy Iim
s0
,
czyli K icosaj —K2cosa2 = K in—K 2n = — , przy czym K l i K2 oznacza natężenie pola po obu stronach naładowanej powierzchni. Iloczyny /ćjcosa, AT2cosa są wartościami składowych normalnych Kn wektora natężenia. Jak widać, ładunek powierzchniowy powoduje nieciągłość normalnej składo wej natężenia pola. Różnicę składowych normalnych określa się jako dywergencję 198
powierzchniową, pisaną przez duże D. Definiuje się ją jako DivK = lim - L - i KdS = ( K J . ~ (K 2)„. jy - , 0 zlo J Prowadzi to do zmienionej postaci różniczkowego prawa Gaussa
Znajdźmy z kolei styczną do naładowanej powierzchni składową natężenia pola. Wykorzystamy do tego bezwirowość (potencjalność) pola elektrostatycznego, z któ rej wynika zerowanie się cyrkulacji j K dr = 0.
Rys. 174. Obliczając cyrkulację po prostokątnym konturze o dążącej do zera wyso kości stwierdzimy, że po obu stronach powierzchni granicznej styczne składowe natę żenia pola są takie same.
Jako kontur całkowania obierzemy prostokąt o małej wysokości h tak poprowa dzony, by boki o długości A l przebiegały równolegle do naładowanej powierzchni po obu jej stronach. Wówczas
Styczne składowe natężenia pola tuż przy naładowanej powierzchni są po obu jej stronach jednakowe. Ładunek powierzchniowy wytwarza skok składowej normalnej, składowa styczna pozostaje ciągła. Dotychczas mówiliśmy o polu w pobliżu naładowanej powierzchni w sposób ogólny, traktując ją jako jakiś bliżej nieokreślony obszar z ładunkiem powierzchnio wym. Praktycznym przykładem takiego obszaru może być powierzchnia ciała, czyli
b)
Rys. 175. Różnica między przewodnikiem (a) a dielektrykiem (b ): wektor natężenia pola na zewnątrz przewodnika jest prostopadły do jego powierzchni, wewnątrz prze wodnika pole znika. Na powierzchni dielektryku linie pola się załamują, składowa normalna natężenia jest wewnątrz « razy mniejsza, składowe styczne są jednakowe. Skok wartości składowej normalnej jest proporcjonalny do różnicy gęstości ładunków swobodnych i polaryzacyjnych.
powierzchnia graniczna, rozdzielająca dwa ośrodki. Na powierzchni przewodnika mogą się pojawiać ładunki swobodne i indukcyjne, na powierzchni dielektryku — swobodne i polaryzacyjne. W każdym przypadku normalna składowa natężenia pola jest nieciągła; skok jej wartości jest proporcjonalny do lokalnej gęstości ładunku powierzchniowego. Przy powierzchni przewodnika
bo wewnątrz niego pola nie ma (K2 = 0), a na zewnątrz występuje tylko składowa normalna (Knl = K, K n = 0). Wektor pola jest prostopadły do powierzchni gra nicznej :
200
Wewnątrz spolaryzowanego dielektryku pole nie znika. Na powierzchni granicz nej pojawiają się ładunki polaryzacyjne. Dywergencja natężenia pola
Przestrzenna gęstość ładunków polaryzacyjnych była równa ujemnej dywer gencji polaryzacji. Gęstość powierzchniową można wyrazić podobnie, za pomocą dywergencji powierzchniowej ap = —DivP = - C P i„ - P 2n), przy czym P in i P2n są normalnymi składowymi wektora polaryzacji na zewnątrz i wewnątrz ciała (jeżeli ciało znajduje się w ośrodku nie polaryzującym się, P x = 0). Wracając do poprzedniego wyrażenia i mnożąc przez e0 mamy £o(Ki„—K 2n) = a ~ (Pin ~ P2n)
albo e 0 ^ 1 n + P ln — ( £0 ^ 2 n + P 2 n ) =
a
■
Ale e0K + P = D. Stąd D2n- D ln = DivD = oJeżeli na powierzchni granicznej nie ma ładunków swobodnych (a = 0), to DivD = 0 i Alu - D2nW tym przypadku składowe normalne wektora indukcji są po obu stronach takie same. Normalne składowe natężenia pola pozostają dalej nieciągłe: K in
K-2n
_
D in
sl
_
e2
_
D 2n
e2
_
*2
fil
a=0
Rys. 176. Linie indukcji elektrycznej załamują się na granicy ośrodków izotropowych tak samo jak linie natężenia pola, mimo że w przypadku indukcji składowe normalne są ciągłe, a „skaczą” składowe styczne. Prawo załamania: stosunek tangensów kątów padania i załamania jest równy stosunkowi stałych dielektrycznych.
201
Styczne składowe natężenia pola są po obu stronach równe K it = K 2t, co prowadzi do nieciągłości stycznej składowej indukcji Du _ eiKit _ x 1 x2 ' e2K 2t d 2, Załamanie linii pola na powierzchni graniczącej wyraża się wzorem tg«i _ K u ^ K 2n _ K 2n __ x t tg «2 Km K 2t K ln x2 Analogicznie do linii pola wprowadza się niekiedy linie indukcji, czyli linie, do których w każdym punkcie wektor indukcji jest styczny. Linie indukcji tym się różnią od linii pola, że zaczynają się i kończą tylko na ładunkach swobodnych (linie pola także na ładunkach polaryzacyjnych). Przy braku ładunków swobodnych linie indukcji powinny być ciągłe. Obecność ładunków polaryzacyjnych prowadzi do nie ciągłości normalnej składowej linii pola, bo każdy z nich stanowi początek lub ko niec jakiejś linii pola, nie wpływając przy tym na normalną składową indukcji. Natomiast nieciągłość stycznej składowej indukcji wynika bezpośrednio z ciągłości stycznej składowej natężenia, czyli z potencjalności pola. W rezultacie i linie pola, i linie indukcji załamują się na powierzchni granicznej. Stosunki wartości zmieniają cych się składowych są równe K 2n _ P u _ x \ K±n D2t x2 Stąd można wyznaczyć kierunki obu wektorów tg(*i = tg 0.2 =
K u
Du
K ln
S i .’
2,
D 2t
K 2n
02.
k
i znaleźć prawo załamania tg«i = *x_ tg a 2 x2 Energia pola. Uprzednio podawaliśmy wzór na energię potencjalną obszaru wypełnionego ładunkiem przestrzennym
V
202
V
W przypadku ładunku powierzchniowego dQ = adS i stąd £' = T $ K a d sy Zastosujmy powyższe wzory do układu złożonego z ciał przewodzących i ośrodka dielektrycznego. Jeżeli do układu doprowadzimy ładunek lub znajdzie się on w polu
Rys. 177. Energia układu złożonego z ciał przewodzących A i B i ośrodka dielektrycz nego jest energią pola w ośrodku (wewnątrz przewodników pola nie ma). Gęstość energii jest połową iloczynu wektorów indukcji i natężenia pola.
elektrycznym, na powierzchniach granicznych pojawią się ładunki powierzchniowe (indukcyjne i polaryzacyjne), a w ośrodku — ładunek przestrzenny. Energię poten cjalną opisuje wzór Ep = ^ V e6d V + ^ V eadS, V
s
przy czym pierwsza całka rozciąga się na całą objętość obszaru (z wyjątkiem wnętrza ciał przewodzących, gdzie K = 0), a druga — na wszystkie powierzchnie graniczne. Ze względu na to, że div(FeD) = FedivD + D grad Ve, mamy S VegdV = S FedivDdF = Jdiv(FeD ) d F - JD grad VedV = = $ div(FcD )d F + $ DKdF. Zastosujmy do przedostatniej całki prawo Gaussa 5 div(FeD)dF = J FJDdS v ' s i wykorzystajmy fakt, że na powierzchni przewodników D dS = —D„dS = —trdS’ (minus wynika z przeciwnego zwrotu wektorów D i dS). Zatem div(FeD )dF = - J Vea d S , 203
co prowadzi do wzoru na energię w postaci EP = ~ ~ $ J > d S + j J D K dK +1 $ VeadS, czyli E .- ^ D K c T . Jak widać, energia układu jest energią ośrodka, czyli obszaru wypełnionego polem (wewnątrz przewodników pola nie ma). Nasuwa się myśl, że jej źródłem jest pole, czyli, że jest ona energią pola. Wyrażenie ma charakter ogólny. Każdemu obszarowi wypełnionemu polem — nawet w próżni — możemy przypisać energię o gęstości
W próżni (x = 1, e = e0), D = e0K i można napisać Q* = i e 0K2. W dielektryku izotropowym D = x e 0K = e K i stąd qe
= $eK2.
Wreszcie w dielektryku anizotropowym (D nierównoległe do K) qe
= \D K cos (D, K).
Gęstość energii mierzymy w dżulach na metr sześcienny.
§ 18. Kondensatory Jak poprzednio stwierdziliśmy, każde ciało przewodzące stanowi powierzchniowo naładowany obszar ekwipotencjalny. Potencjał w polu takiego ciała
przy czym r' jest współrzędną elementu powierzchni ciała, a r odległością punktu pola od tego elementu. Całka rozciąga się na całą powierzchnię. Powierzchniowa gęstość ładunku jest funkcją położenia. Doprowadzenie dodatkowego ładunku po woduje proporcjonalny wzrost gęstości, która pozostaje proporcjonalna do całko witego ładunku przewodnika a = kQ. 204
Współczynnik proporcjonalności jest na ogół funkcją położenia k = fc(r'). Podstawiając to do wzoru na potencjał, otrzymamy
o
4ne0r
Wyrażenie pozostaje w mocy dla punktów powierzchni przewodnika, w których Ve = V0 = const. Ten stały potencjał możemy określić jako potencjał przewodnika.
Rys. 178. Przez doprowadzenie ładunku Q przewodnik ładuje się do potencjału V0. Pojemność elektryczna jest stosunkiem ładunku do potencjału. Całka w mianowniku zależy od rozmiarów i kształtu ciała przewodzącego.
Jak widać, musi on być wprost proporcjonalny do ładunku przewodnika. Wielkość grająca rolę współczynnika proporcjonalności, Vo_ = X k(r’)dS Q J 4ne0r ' jest funkcją współrzędnej r'. Jej odwrotność
nosi nazwę pojemności elektrycznej. Pojemność przewodnika zależy od jego rozmiarów i kształtu. Jednostką pojemności jest farad (F). Z definicji pojemności wynika, że
Przykład. Pojemność kuli. Potencjał odosobnionej kuli przewodzącej V0
Q 47ze0R
Stąd C=
4 tzs0R .
205
Pojemność kuli jest wprost proporcjonalna do jej promienia. N a przykład pojemność Ziemi, a ściślej pojemność przewodzącej kuli o takich samych rozmiarach (R = 6370 km), wynosi 711 [jtF. Pojemność jednego farada miałaby kula o promieniu 9 milionów kilometrów! Jak widać, farad jest jednostką dużą.
Rys. 179. Pojemność kuli jest proporcjonalna do jej pro mienia.
Rys. 180. Pole układu dwóch elektrod jest sku pione między nimi. Potencjał jest mniejszy niż w przypadku pojedynczej elektrody, pojemność — większa.
Powyższa definicja pojemności dotyczy odosobnionego przewodnika. Umiesz czony w pobliżu drugi przewodnik ładuje się przez indukcję: na jego powierzchni od strony pierwszego ciała pojawiają się ładunki przeciwnego znaku. Jeżeli drugi przewodnik jest uziemiony, pozostałe ładunki swobodne odpływają do ziemi. U
U=
Rys. 181. Pole kondensatora płas kiego istnieje praktycznie tylko w małej przestrzeni między okład kami.
Q(Rg-R ,)
43t£0R1R2
Rys. 182. Pojemność kondensatora ku listego jest tym większa, im większy jest iloczyn promieni okładek i im mniejsza ich różnica.
W przestrzeni między przewodnikami pole wzrasta, a na zewnątrz ulega osłabieniu. W rezultacie zmniejsza się także potencjał przewodnika, przy nie zmienionym ła dunku, co jest równoznaczne ze wzrostem pojemności. Można go bez trudu wykazać doświadczalnie. Pojemność przewodnika zależy od konfiguracji otaczających go ciał. Można sobie jednak wyobrazić i zbudować taki układ przewodników, w którym 206
pole skupione jest w ograniczonym obszarze, a na zewnątrz praktycznie nie istnieje. W tym przypadku pojemność układu nie zależy od otoczenia. Tego rodzaju układ nazywamy kondensatorem. Każdy z dwóch przewodników (okładek) tworzących kondensator ma stały potencjał. Napięcie między nimi U = Vl - V * = ± Q jest wprost proporcjonalne do ładunku (na każdej okładce znajduje się ładunek o tej samej wartości Q, znaki są przeciwne). Stosunek ładunku do napięcia
jest pojemnością kondensatora. W przypadu wielu bliskich sobie ciał przewodzących ładunek każdego z nich zależy od po tencjałów wszystkich przewodników. W ogólnym przypadku można go wyrazić jako
G< = £ C“ K‘* k
przy czym sumowanie obejmuje wszystkie ciała, także i to, którego ładunek obliczamy. Vk oznacza potencjał przewodnika k. Współczynniki Ci* mają sens pojemności wzajemnych przewodników i i k przy założeniu, że potencjał pozostałych przewodników jest równy zeru. Zależą one od postaci rozmiarów i wzajemnego usytuowania danej pary przewodników. W odróżnieniu od nich pojemność odosobnionego przewodnika określa się niekiedy jako pojemność wiosną. Przykład. Kondensator kulisty. Napięcie między dwiema współśrodkowymi przewodzącymi powłokami kulistymi o promieniach R t , R 2 (R2 > Ri) wynosi
g(-R2-* i) 4ne0R 1R2 Jest ono równoznaczne z napięciem między odpowiednimi punktami w polu wewnętrznej powłoki. Stąd pojemność Q
4tze0R i S 2
~U ~
R2- R 1
Powiększając zewnętrzną powłokę do nieskończonych rozmiarów powrócimy do wzoru na pojemność pojedynczej kuli lim C = R 2 -*
4ne0Ri
lim --------- ----- = 4ire0/?i. R 2 —* 00
Nieskończenie wielkiej elektrodzie możemy przypisać zerowy potencjał, czyli potencjał ziemi. Pojemność odosobnionego przewodnika jest więc równa pojemności kondensatora, którego jedną okładkę stanowi przewodnik, a drugą ziemia. 207
Przykład. Kondensator walcowy. Okładki takiego kondensatora mają postać współosiowych powłok walcowych o promieniach Rz i Rz (Rz > R t) i długości /. Napięcie między nimi wynosi U = —- - ln — . 2ne0l RL Stąd pojemność ^ Q 2k s 01 C = U = \n(R2/R i) Wzór jest słuszny tylko dla małej różnicy promieni (R z—R L ^ /).
Rys. 183. Pojemność kondensatora walcowego jest tym większa, im większa jest po wierzchnia okładek i im mniejsza różnica promieni.
Przykład. Kondensator piaski. W pobliżu równomiernie naładowanej płaskiej płyty pole jest jednorodne. Jeżeli umieścimy w odległości d drugą taką płytę, zaindukuje się na niej ładunek prze ciwnego znaku o takiej samej gęstości i natężenie pola między płytami wzrośnie dwukrotnie, a
a
2 Bq 2Sq
a
Q
£q
£qS
a na zewnątrz spadnie do zera (prawo Gaussa!). S oznacza pole powierzchni płyty. Napięcie między okładkami utworzonego w ten sposób kondensatora płaskiego wynosi U = Kd =
Qd £qS
Stąd jego pojemność Q e0S U ~ ~d~' Jest ona tym większa, im większa jest powierzchnia okładek i im cieńsza szczelina między nimi. Dla przykładu, przy d = 1 mm kondensator płaski o pojemności 1 (jlF musiałby mieć okładki o po wierzchni S = 113 m2. Zmniejszając odstęp między okładkami do 1 (im uzyskalibyśmy żądaną pojemność już przy S = 1130 cm2. 208
a
o
+0+
+ + + s+
Rys. 184. Pojemność kondensatora płaskiego jest tym większa, im większa jest po wierzchnia okładek i im mniejsza odległość między nimi.
Kondensator płaski można uważać za graniczny przypadek kondensatora kulistego lub walco wego o nieskończenie wielkich promieniach krzywizny okładek. Wzrost promieni do nieskończo ności jest równoważny zmniejszaniu się do zera odległości między okładkami. Wobec tego po emność kondensatora kulistego i walcowego o bardzo bliskich sobie okładkach powinna się wyrażać-
Rys. 185. Przy dużych rozmiarach i małej odległości między okładkami pojemność kondensatora kulistego wyraża się tym samym wzorem co płaskiego.
takim samym wzorem jak pojemność kondensatora płaskiego. I rzeczywiście, przyjmując R i = R t R i = R + d oraz zakładając d< ś R otrzymujemy dla kondensatora kulistego 4 n e0R ( R + d )
C ----------- d ‘ W liczniku można pominąć bardzo małą odległość elektrod i stąd 4Tte0R z
s0S
d
= ~ T 14
c = 14 Fizyka dla politechnik
209
(S = 4itR2 jest polem powierzchni kuli). Podobnie dla kondensatora walcowego C =
2ne0l
2ir e0l
R+d In R
H ' +t )
Mianownik rozłożymy na szereg
i po pozostawieniu tylko pierwszego wyrazu 2ne0l =
dlR
=
e0- 2 t x R l
e0S
d
~d~
S = 2n R l jes t polem pobocznicy walca).
Rys. 186. Także pojemność kondensatora walcowego o bardzo bliskich okładkach można wyrazić tym samym wzorem.
Jak widać, otrzymany wzór na pojemność kondensatora płaskiego odnosi się do kondensatorów dowolnego kształtu, jeżeli tylko rozstęp okładek jest dostatecznie mały w porównaniu z pozostałymi rozmiarami.
Łączenie kondensatorów. Kondensatory można łączyć w baterie. Przy połączeniu równoległym wszystkie kondensatory są pod tym samym napięciem U. Ładunki na okładkach kondensatorów są wprost proporcjonalne do pojemności Qt
= Ct U.
Całkowity ładunek baterii jest sumą ładunków kondensatorów (jak zwykle, mowa tu o ładunkach jednego znaku): e = S c < = t7Z c ‘210
Pojemność baterii = e_ = v
c t.
u
Przy łączeniu równoległym pojemności się sumują. W przypadku łączenia szerego wego doprowadzenie do jednej z okładek ładunku Q spowoduje (przez indukcję)
I
IK Ci-r- &Z-T-
Ci=
Q i ~ CiU
C= i r = ^ Rys. 187. W połączeniu równoległym pojemności kondensatorów sumują się.
pojawienie się takiego samego ładunku na wszystkich okładkach. Napięcia kon densatorów będą odwrotnie proporcjonalne do pojemności: U, =
Ct
Napięcie baterii jest sumą napięć kondensatorów
a jej pojemność
co łatwiej zapisać w postaci JL -Y -L .
c
Z_> c,
- ^ 1 -------- II— +Q - Q
-^ 1 —
+Q - Q
+Q - Q
Ui=-§T u = z u t= Q 2 :^ c=-
Zi/cŁ
Rys. 188. W połączeniu szeregowym sumują się odwrotności pojemności. 14*
211
Przy łączeniu szeregowym sumują się odwrotności pojemności. Łączenie równolegle stosuje się w celu zwiększenia pojemności przy nie zmienionym napięciu, a szeregowe w celu jej zmniejszenia. Bateria szeregowa umożliwia też wykorzystanie kondensato rów o małym napięciu przebicia. W praktyce często stosuje się łączenie mieszane. Kondensator z dielektrykiem. Kondensatory, które rozpatrywaliśmy dotychczas, miały między okładkami próżnię (kondensatory próżniowe). W praktyce można sto sować poznane wzory także do kondensatorów powietrznych.
Rys. 189. Wsunięcie dielektryku zwiększa pojemność kondensatora.
Jeżeli między okładki kondensatora wsuniemy dielektryk, zachodzą w nim pro cesy polaryzacji. Na powierzchni dielektryku pojawiają się ładunki polaryzacyjne o gęstości <*p = P„,
które indukują na okładkach ładunki powierzchniowe o tej samej gęstości. Ich znak jest przeciwny do ładunku polaryzacyjnego, tzn. taki sam jak pierwotnych ładunków okładek. Jeżeli kondensator jest dołączony do źródła napięcia, to napięcie U między okładkami pozostaje stałe. Stosunek pojemności C kondensatora z dielektrykiem do pojemności C„ kondensatora próżniowego wynosi = Q_ = a0 + ap = , , C o
£ o
7
< o
pn e0K
■
Ale wartość wektora polaryzacji jest wprost proporcjonalna do natężenia K0 pola powodującego polaryzację: Pn = X*oK 0 (nie piszemy K„, bo wektor natężenia pola jest prostopadły do powierzchni prze wodnika). Zatem w przypadku dielektryków izotropowych
212
czyli C = xC0. Pojemność kondensatora z dielektrykiem o stałej dielektrycznej x jest x razy większa niż pojemność takiego samego kondensatora próżniowego. W szczególności pojemność kondensatora kulistego ę _ 4v:xe0R 1R 2 _ R.2—Kj 1?2—k j (e = x e 0), walcowego _
27te/ In ^ /K i) ’
płaskiego C
d '
Rys. 190. Przy odłączonym źródle prądu wsunięcie dielektryku zmniejsza napięcie na okładkach kondensatora.
W opisywanym doświadczeniu napięcie było stałe. Jeżeli wsuniemy dielektryk między okładki naładowanego kondensatora odłączonego od źródła napięcia, stałe będzie nie napięcie tylko ładunek na okładkach. Napięcie v _ Q _
C
Q
_ u 0
xC0
x
jest x razy mniejsze niż bez dielektryku. W tym samym stosunku zmniejsza się na tężenie pola x
Kp 1+ Z ' 213
Stąd K ( l + X) = K 0 albo K = K0- XK . Iloczyn %K = P /e0 oznacza pole ładunków polaryzacyjnych; pole ulega osła bieniu, bo pole polaryzacyjne jest przeciwnie skierowane do pierwotnego. Znale zione wzory odnoszą się do kondensatorów dowolnego kształtu wypełnionego jed norodnym i izotropowym dielektrykiem. Energia kondensatora. Ładując przewodnik zmieniamy zarazem jego energię. Zmiana energii przy doprowadzeniu elementu ładunku jest równa pracy przeniesienia go z nieskończoności: dE = Ved Q. Ładunek przewodnika jest proporcjonalny do potencjału Q = CVe. Doprowadzenie elementu ładunku podwyższa potencjał o dVe: dQ = CdVe. Energia naładowanego ciała jest równa pracy ładowania
Można ją także wyrazić jako 1
2
fil
C '
W przypadku kondensatora praca ładowania jest równa pracy przenoszenia ładunku z jednej okładki na drugą: d W = ( V ,- V 2) dQ = UdQ. Naładowany kondensator ma energię u 1 E = $ UdQ = - j C U 2. o Oznaczmy przez E0 energię pustego kondensatora. Wprowadzenie dielektryku między okładki prowadzi do wzrostu pojemności C = ?cCo • 214
Praca ładowania kondensatora z dielektrykiem do tego samego napięcia koń cowego, czyli jego energia E = \C U 2 = ix C 0 U2 = x£0 jest x razy większa niż energia kondensatora pustego. Pochodzenie nadwyżki energii E -E 0 = (x -l)E 0 stanie się dla nas jasne, jeżeli przypomnimy sobie, że gęstość ładunków swobodnych na okładkach pustego kondensatora a = e0K (pole uważamy za jednorodne), a ła dunków polaryzacyjnych ap = P = (« —1)e 0K = (*: —1)
a
E0 = *E0.
Wydaje się, że taką samą energię powinniśmy uzyskać ładując pusty kondensator i wsuwając między okładki dielektryk. Tak jednak nie jest. Aby utrzymać stałe napięcie, musimy doprowadzić na okładki dodatkowe ładunki, kompensujące ła dunek polaryzacyjny o wartości QP
= - ~ Q o = (*-i )c 0 u.
Pracę ich doprowadzenia WP = QPU = ( x - l ) C 0 U2 wykonuje źródło napięcia (współczynnik \ znika, bo napięcie jest stałe). Energia końcowa E = E0+ W„ = łC 0 U2 + (x —1)C0 U2 = i« C 0t/2+ K « - l ) C 0t/2 = xE0 + ( x - l ) E o jest o ( x —l)E 0 większa niż w poprzednim przypadku. Skąd się bierze ta różnica? W czasie wsuwania dielektryk znajduje się w niejednorodnym polu. Na dipole cząste czkowe, a więc i na cały dielektryk działa siła wciągająca go w obszar pola. Znaleziona nadwyżka energii jest równa pracy tej siły. Wciąganie dielektryku między okładki kondensatora można wykazać doświadczalnie. Pozostaje jeszcze do rozpatrzenia naładowany kondensator odłączony od źródła napięcia. W tym przypadku stały jest ładunek okładek. Po wsunięciu dielektryku 215
energia kondensatora spada E =
1 Q2 2 C
1 e2 _ i L 2 xC0 x 0'
Tutaj praca wciągnięcia dielektryku odbywa się kosztem energii pola, którego natężenie maleje przy tym x razy.
Rys. 191. Pole między okładkami wciąga dielektryk. Przykład. Gęstość energii w kondensatorze. Dzieląc energię naładowanego kondensatora płaskiego z dielektrykiem 1 1 eS E = — C U 2 = ------- -U 2 2 2 d przez jego objętość V = S d , możemy łatwo otrzymać wzór na gęstość energii pola 1 eS U2 1 — eK2, 2 S d2 2 wyprowadzony uprzednio w nieco trudniejszy, ale bardziej pouczający sposób. qe =
------------------------------ - - =
Przykład. Elektrometr bezwzględny. Doświadczenie wykazuje, że okładki kondensatora przy ciągają się. Siłę przyciągania możemy znaleźć jako ujemną pochodną energii względem odległości
Rys. 192. Zasada działania elektrometru bezwzględnego. Mierząc siłę przyciągania między okładkami kondensatora można wyznaczyć natężenie pola między nimi. Potencjometr P pozwala na regulowanie napięcia U. Zderzak Z nie dopuszcza do zwarcia okładek. 216
między okładkami. Oznaczając tę ostatnią jako x otrzymujemy w przypadku kondensatora płaskiego d / CU2 \ ___ Bp SU 2 _d_ / 1 \ _ E0 S U 2 _ dx \
2
/
2
d jc \jc )
2x2
b0S K 2
2
Mierząc siłę można wyznaczyć natężenie poła K
2F - V - SpS
Siły przyciągania są stosunkowo małe. N a przykład przy napięciu U = 220 V i odległości okładek 1 mm F
8,85-10_12(2,2-10!)2
N
— = ------------------------ = 0,21-----. 5 2 m2 Przyrządy mierzące tą metodą natężenie pola lub napięcie noszą nazwę elektrometrów bezwzględ nych.
V Pole prądów
§ 19. Prąd elektryczny Dotychczas mieliśmy do czynienia z polami elektrostatycznymi, czyli polami ładunków, które można uważać za nieruchome. W szczególności stwierdziliśmy, że ciała przewodzące są obszarami stałego potencjału, a wewnątrz nich pole znika.
Rys. 193. Ładunki (dodatnie) płyną przez przewodnik w kierunku spadku potencjału. Natężenie prądu definiujemy jako pochodną ładunku względem czasu.
Obecnie weźmiemy pod uwagę pole ładunków ruchomych. Jeżeli w jakiś sposób wy tworzymy między końcami przewodnika różnicę potencjałów, co potocznie określamy jako przyłożenie napięcia, to przewodnik nie jest już obszarem ekwipotencjalnym, a wewnątrz niego pojawia się pole elektryczne o natężeniu K = -g ra d Ve. Pole to wprawia w ruch zawarte w przewodniku swobodne ładunki. Przepływ ładunków nazywamy prądem elektrycznym. Natężenie prądu można obliczyć jako 219
pochodną ładunku przepływającego przez dany przekrój względem czasu
Jego jednostką jest amper, czyli kulomb na sekundę s Jak pamiętamy, wzorzec ampera określa się na podstawie sił elektrodynamicz nych, czyli sił oddziaływania między przewodnikami z prądem. Gęstość prądu. Natężenie prądu opisuje przepływ prądu tylko ilościowo. Pełniej charakteryzuje przepływ ładunków wektor gęstości prądu o wartości równej pocho dnej natężenia prądu względem pola prostopadłego do kierunku prądu przekroju przewodnika Sn dJ
s Rys. 194. Wektor gęstości prądu ma kierunek prędkości ładunków dodatnich. Na tężenie prądu jest całką z gęstości po polu przekroju przewodnika.
Kierunek i zwrot wektora gęstości prądu jest taki jak prądu, tzn. zgodny z kie runkiem pola. Najprościej można go wyrazić za pomocą prędkości nośników ładunku. W przewodnikach metalicznych są nimi elektrony, w elektrolitach — jony dodatnie i ujemne. Dodatnie nośniki ładunku mają prędkość v zgodną z lokalnym natężeniem pola, nośniki ujemne — przeciwną ( —v). Za kierunek prądu przyjmuje się tradycyjnie kierunek ruchu nośników dodatnich opisany wersorem v°. Wektor gęstości prądu można więc przedstawić jako
Znaleziony wzór wiąże ze sobą wielkości makroskopowe (natężenie prądu, pole przekroju) i mikroskopowe (prędkość nośników ładunku). Objaśnimy go teraz z czysto mikroskopowego punktu widzenia. Przez dowolny przekrój przewodnika 220
0 polu S płynie prąd o natężeniu I. Niech stężenie (gęstość) nośników dodatnich 1 ujemnych wynosi odpowiednio n+ i prędkości v + i ©_, a każdy z nich niech niesie ładunek ±q. W ciągu czasu df przepłynie przez przekrój przewodnika tyle nośników danego znaku, ile ich się mieści w odcinku przewodnika o długości vdt, czyli o objętości Sbosacdt, przy czym a oznacza kąt między przekrojem S a prze krojem Sn prostopadłym do osi. Natężenie prądu otrzymamy mnożąc tę liczbę noś/S(t)
3 nl
s nl -L-
S(t+dt)
O—i*- L 0 -*i i o— o -+ L O— q O -^ , ■ii//O—*-o — CW-
K 3ĘE
i_
vdt n qScosa.vdt I = ------- dt------- = n q v S "
] = nqv Rys. 195. Ładunek przepływający w czasie d/ przez przekrój S„, prostopadły do kie runku ruchu jest sumą ładunków nośników zawartych w walcu o wysokości «df. Dzieląc go przez czas otrzymujemy natę żenie prądu, n — gęstość nośników.
i+
I= I++I-=£]nqvS
Rys. 196. Ładunki dodatnie poru szają się zgodnie z polem, ujemne — przeciwnie. Ruch ładunków ujem nych jest równoważny przeciwnie skierowanemu prądowi ładunków dodatnich. Natężenia obu prądów sumują się.
ników przez ich ładunek i dzieląc otrzymamy w ten sposób przeniesiony ładunek przez czas. Ładunki dodatnie przepływają przez przekrój w przeciwną stronę niż ujemne. Natężenie całkowitego prądu jest sumą prądów nośników dodatnich i ujemnych. W ogólnym przypadku , _ qn+Scosav+dt+qn_Scos
j=
qny 221
jest gęstością prądu. Sprawdźmy jeszcze wymiar: C • i r r 3 • m • s_ 1 = C • m r 2 • s " 1 = A • m~2. Powyższe wyprowadzenie opiera się na cichym założeniu, że w danym przekroju przewodnika wszędzie j = const. W ogólnym przypadku natężenie prądu wyraża się wzorem / = $ jdS = J qnvdS. s s Natężenie prądu jest skalarnym strumieniem wektora gęstości prądu przez pole przekroju przewodnika. Wyprowadzone wzory mogą posłużyć do wyznaczenia śred niej prędkości nośników ładunku, nadanej im przez pole elektryczne. Przykład. Prędkość dryfu. Pełny mikroskopowy opis zjawisk zachodzących przy przepływie prądu przez przewodnik może dać tylko fizyka kwantowa. W uproszczeniu można przyjąć, że elek trony przewodnictwa zachowują się analogicznie do cząsteczek gazu, tzn. wykonują chaotyczne ruchy K
v
cieplne o średniej prędkości równej zeru. Pole elektryczne nie wpływa na te ruchy, nadaje tylko elektronom dodatkową prędkość, w rezultacie chmura chaotycznie poruszających się elektronów przesuwa się (dryfuje) w kierunku działania sił pola. Prędkość występująca we wzorze na gęstość prądu jest prędkością dryfu. Możemy ją bez trudu obliczyć: v
) nee
Gęstość elektronów przewodnictwa n, zależy od rodzaju przewodnika. Miedź, która jest naj częściej stosowanym materiałem przewodzącym, zawiera ok. 8,5 • 1028 elektronów przewodnictwa w metrze sześciennym. Przez drut miedziany o przekroju 1 mm2 może płynąć, nie przegrzewając go, prąd o natężeniu nie większym niż 10 A. Odpowiadająca temu gęstość prądu j = 10 A/mm2 = = 107A/m2. Przy takim prądzie prędkość dryfu 107
8,5 • 1028- 1,6-10222
m = 7 ,4 - 10-4 — . s
Chmura elektronów porusza się przez przewodnik z prędkością mniejszą niż 1 mm/s, czyli znacznie wolniej od ślimaka! Przykład. Nośniki ładunku w metalach. Niejednokrotnie już stwierdziliśmy, że nośnikami ładunku w przewodnikach metalicznych są elektrony. Jak sprawdzić taką hipotezę? Wyobraźmy sobie cewkę złożoną z N zwojów drutu o promieniu r, zawieszoną tak, że może wykonywać drgania
Rys. 198. Schemat doświadczenia Ketteringa i Scotta. Płynący przez cewkę prąd I jest równoważny momentowi pędu L. Zmiana kierunku prądu oznacza zmianę mo mentu pędu o 2L. Uzyskana wartość stosunku masy do ładunku świadczy o tym, że nośnikami ładunku w metalach są elektrony. skrętne w płaszczyźnie poziomej. Jeżeli na jednostkę długości drutu przypada ri nośników ładunku (ze względu na kształt drutu wygodniejsza jest gęstość liniowa niż przestrzenna), to w całej cewce jest ich ri ■2nr • N. Przykładając do cewki napięcie, nadajemy im prędkość v. Ponieważ wszystkie nośniki znajdują się w tej samej odległości r od osi, cewka uzyskuje moment pędu L = m rvrix x 27trN = 2izr2Nmriv. Ze względu na / = n'ev riv = Ile. Oznaczając irr2 — S (przekrój cewki), mamy L = 2SN I— e (m — masa cząstki niosącej ładunek e). Jeżeli teraz wprawimy cewkę w drgania i w momencie przechodzenia przez położenie równowagi zmienimy kierunek prądu, będzie to równoważne zmianie momentu pędu nośników o 2L, czyli AL = 4 S N I - . e Taka zmiana momentu pędu spowoduje proporcjonalną do niej zmianę amplitudy (tj. maksy malnego kąta wychylenia 0 O). Ponieważ moment pędu L = Joi = 2n J /T ( / — moment bezwładnoś ci, oi — prędkość kątowa, T — okres drgań), względna zmiana amplitudy A&o _ A L _ 4S N IT m &o
L
2izJ
e
Mierząc ją, można stąd znaleźć charakteryzujący nośniki ładunku stosunek m/e. Przeprowadzenie opisanego eksperymentu jest niezwykle trudne. Aparatura musi być starannie ekranowana od zakłócającego jej działanie zewnętrznego pola magnetycznego, a napięcie doprowa dzone tak, by cewka mogła się swobodnie wahać. Pomiary Ketteringa i Scotta (1944 r.) dały w wy niku m/e = 5,69 • 10-12 kg/C, co się bardzo dobrze zgadza z oczekiwaną wartością dla elektronów (5,68568 ■10~12 kg/C). Także zwrot zmian momentu pędu odpowiadał ujemnemu ładunkowi e. Tego rodzaju doświadczenia przekonują nas, że nośnikami ładunku w metalach są rzeczywiście elektrony. 223
Równanie ciągłości. Wydzielmy w przewodniku obszar o objętości V ograniczony powierzchnią S, przez którą przepływa prąd (zazwyczaj S jest tylko częścią powierz chni granicznej). Zgodnie z zasadą zachowania ładunku szybkość jego ubywania
Rys. 199. Równanie ciągłości. Dywergencja gęstości prądu wypływającego jest równa szybkości spadku gęstości ładunku. W stanie stacjonarnym wypływ jest skompenso wany dopływem i divj = 0.
musi być równa natężeniu prądu wypływającego z danego obszaru, a szybkość przy rastania — natężeniu prądu dopływającego. Oznaczając gęstość ładunku przez ge możemy to zapisać następująco
v
s
(w przypadku prądu dopływającego znak minus z lewej strony znika, ale pojawia się z prawej, bo wektor j ma wtedy zwrot przeciwny do dS). Zastosujmy teraz do strumienia gęstości prawo Gaussa SjdS = 5 divjdF. s v Stąd
czyli
Otrzymany związek nosi nazwę równania ciągłości. W szczególnym przypadku, gdy ubytek ładunków jest skompensowany dopływem, mamy do czynienia ze sta nem stacjonarnym. Wówczas d ę jd t = 0 i równanie ciągłości przybiera postać divj = 0. 224
W stanie stacjonarnym gęstość prądu jest wektorem solenoidalnym. w niniejszym tomie będziemy się zajmowali wyłącznie prądami stacjonarnymi. Prawo Kirchhoffa. Sieć elektryczna jest układem przewodów złożonym z węzłów i oczek. Zastosujmy równanie ciągłości do węzła, czyli punktu, w którym zbiega
/
\ J jd S - E j- A - o £ ii= ° Rys. 200. Stosując prawo ciągłości do węzła sieci elektrycznej otrzymujemy prawo Kirchhofra: suma natężeń prądów dopływających do węzła jest równa zeru. Prądy odpływające liczymy jako ujemne.
się N przewodów o gęstościach prądu j* (/' = 1 ,2 , 3 , N). Otoczmy go zamkniętą powierzchnią S. Ze względu na zerowanie się dywergencji prawo Gaussa przybie ra postać N
$idS = V j (S, = 0, S
<= 1
przy czym symbolem Si oznaczono pola przekroju przewodów (w obszarze między przewodami prąd nie płynie). Ze względu na oczywistą równość j (Sj = Ii otrzymu jemy stąd 2 > « = o. Suma natężeń prądów dopływających i odpływających od węzła jest równa zeru. Związek ten nosi nazwę pierwszego prawa Kirchhoffa. Sumę należy rozumieć al gebraicznie, tzn. z uwzględnieniem znaku. Tradycyjnie przypisujemy prądowi dopływającemu do węzła natężenie dodatnie, a odpływającemu — ujemne. Prawo Ohma. Doświadczenie wykazuje, że natężenie prądu płynącego przez prze wodnik jest wprost proporcjonalne do napięcia U przyłożonego do jego końców’.
15 Fizyka dla politechnik
225
Związek ten nosi nazwę prawa Ohma. Wielkość l/R , grającą rolę współczynnika proporcjonalności, nazywamy przewodnością (konduktancją), a jej odwrotność R opornością lub oporem (rezystancją). Jednostką oporu jest 1 om (O) = 1 V • A-1.
u j
^ «wj i
M—
)
_____i—
^
S w
J
5
Rys. 201. Prawo Ohma. Natężenie prądu płynącego przez przewodnik jest wprost proporcjonalne do napięcia. Opór prze wodnika jest wprost proporcjonalny do długości i odwrotnie do pola przekroju.
dzenie prawa Ohma: a) schemat połączeń, b) wykres. Nachylenie prostej na wykresie jest tym większe, im mniejszy jest opór.
Opór jednorodnego i izotropowego przewodnika jest wprost proporcjonalny do jego długości l i odwrotnie proporcjonalny do pola przekroju S: R = Q»~sJest to tzw. „drugie” prawo Ohma. Wielkość qw nosi nazwę oporu właściwego (rezystywności). Jego jednostką jest om razy metr (Q • m). Odwrotność oporu właś ciwego 7
Qw nazywamy przewodnością właściwą (konduktywnością). Mierzymy ją oczywiście w i i -1 • m-1. Wartość przewodności właściwej charakteryzuje materiał. Najlepsze przewodniki metaliczne mają przewodność właściwą rzędu 107Q_1 • m-1 (srebro 6,4 • 107, miedź 5,9 • 107, złoto 4,1 • 107). Przewodności elektrolitów są znacznie mniejsze (stopiony chlorek sodu 3,7 • 102 O -1 • m_1), ale i tak większe niż półprze wodników (german 2,2 Q_1 • m-1), o wiele większe niż dielektryków (szkło 10-10-10-14, bursztyn 10-18 Q-1 • m-1). Wszystkie podane wartości odnoszą się do temperatury pokojowej. Ze wzrostem temperatury przewodność metali maleje, 226
a półprzewodników i elektrolitów wzrasta. W bardzo niskich temperaturach niektóre metale przechodzą w stan nadprzewodzący o nieskończenie wielkiej przewodności. Temperatury przejścia wynoszą od 0,01 do 18 K. Prawo Ohma można też zapisać w postaci U = IR . Jej sens sprowadza się do tego, że przepływ prądu o natężeniu / przez przewodnik o oporze R wiąże się ze spadkiem potencjału U określanym częściej jako spadek napięcia. Wzdłuż przewodnika z prądem potencjał maleje. Można to bez trudu wy kazać doświadczalnie. Spadek potencjału wzdłuż przewodnika z prądem wyko rzystuje się w dzielniku napięcia.
Rys. 203. Dzielnik napięcia. Spadek napięcia V jest wprost proporcjonalny do wy dzielonego oporu Rx.
Przykład. Łączenie oporów. Rozróżniamy dwa podstawowe sposoby łączenia oporników: szeregowe (kolejno jeden za drugim) i równolegle (z rozgałęzieniem). Opór przewodnika jest wprost proporcjonalny do jego długości, a odwrotnie proporcjonalny do pola przekroju. Szeregowe łą czenie jednakowych oporników jest równoznaczne ze zwiększeniem długości, równoległe nato-
n -D i
u u7 u-
£
ui- i£ R i
R=ZRt Rys. 204. Przy połączeniu szeregowym opory się sumują.
Rys. 205. Przy połączeniu równoległym sumują się odwrotności oporów.
miast ze zwiększeniem przekroju. Można więc z góry przewidzieć, że przy łączeniu szeregowym opór wypadkowy R układu będzie sumą oporów R 1, R 2, . . . R . poszczególnych przewodników. Aby tego dowieść, trzeba zsumować spadki napięć na poszczególnych oporach i wziąć pod uwagę, że płynie przez nie ten sam prąd IR = IR 2+ IR 2+ IR 2+ ... + IR b. 15*
227
Stąd n
R = ^ + ^2 + ^ 3 +
^ Rt*
Przy łączeniu równoległym opór wypadkowy będzie mniejszy niż każdy z łączonych oporów. N a każdym oporze mamy to samo napięcie U = IR = /i-R , = I 2 R 2 = ... = I nR »•
Prąd całkowity jest sumą prądów w odgałęzieniach (prawo Kirchhoffa) n I = /1 + /2 + / 3 +
+ ?B = T l /[.
Przedstawiając natężenie prądu jako stosunek napięcia do oporu możemy napisać U —
R
U
U
= —
+ —
R2
R2
U +
. . . + —
R„
v —i 1
=uy
—
Z_i Rt
.
Stąd
R
R t + R2 +
+ Rn
2_i Rt '
Zakres ważności prawa Ohma. Prawo Ohma oznacza prostą proporcjonalność natężenia prądu płynącego przez przewodnik do napięcia na jego końcach
Podstawiając związek między oporem a rozmiarami przewodnika, otrzymujemy
Aby prawo Ohma było spełnione, musi zachodzić — = const oraz qw =
const.
Pierwszy z powyższych warunków jest określony geometrycznym kształtem prze wodnika i spełnia się prawie zawsze, pozostaje więc do rozpatrzenia warunek drugi. Od czego zależy opór właściwy? Aby na to odpowiedzieć, powróćmy do mikrosko powego modelu przewodzenia. Załóżmy, że iloczyn stężenia nośników i wielkości ładunku jest jednakowy dla ładunków obu znaków, czyli że n+q+ = n_«_ = nq. Stąd natężenie prądu I = nqS(v++ v_). 228
Porównując z uprzednio znalezioną postacią prawa Ohma (7 = SU / qwI) możemy obliczyć opór właściwy 1 Uli 1 K g = ---------- !----- = ---------------- , nq v ++v_ nq ®+ +w_ przy czym K — U/l oznacza średnie natężenie pola wprawiającego w ruch ładunki wewnątrz przewodnika. Jak widać, opór właściwy zależy a) od iloczynu nq i b) od stosunku K /(v++w_). Opór nie zależy od napięcia tylko wtedy, gdy obie te wiel kości są stałe. Zatem prawo Ohma jest spełnione, gdy w czasie przepływu prądu stę żenie i ładunek nośników nie ulegają zmianie: n = const, q — const oraz gdy prędkości nośników są wprost proporcjonalne do natężenia pola: ®+ = u+K , v_ = u - K (w notacji wektorowej v+ = u+K, v_ = —uK). Wielkość
nosi nazwę ruchliwości nośników ładunku. Mierzy się ją w m • s_1/V • m-1 = m2/V • s. Prawo Ohma spełniają (w stałej temperaturze i niezbyt silnych polach) przewodniki metaliczne i elektrolity. Przy bardzo słabych polach jest ono spełnione także w ga zach i cieczach dielektrycznych. Pole uważamy za słabe, jeżeli nadawana przez nie prędkość dryfu nośników jest znacznie mniejsza niż prędkość ruchu cieplnego. K
v = uK Rys. 206. W niezbyt silnych polach prędkości nośników ładunku są wprost proporcjo nalne do natężenia pola (u — ruchliwość).
Przykład. Ruchliwość elektronów w metalach. Jak wynika z wyżej podanych wzorów, prze wodność właściwą przewodników omowych można przedstawić w postaci
y = — = qn(u+ + u-). Qw Dla przewodników metalicznych q = e i u+ = 0 (nośnikami są elektrony). Stężenie elektronów przewodnictwa jest takie jak atomów (w przybliżeniu przypada jeden elektron przewodnictwa na 229
atom). Stężenie atomów metalu o masie atomowej M i gęstości o wynosi _ N _ m N* _ eN*
” ~~V ~~V~M
A7 '
gdzie N a = 6,022 • 102 3 atomów/gramoatom jest stałą Avogadra. N a przykład dla miedzi = 8,96 g/cm3, M = 63,54 g/gatom): n
8,96 - 6,022-10 2 3 = 8 ,4 9 '102 2 cm “ 63,54
3
(5
=
= 8,49 - 1028 n r 3.
Podobne stężenia elektronów przewodnictwa mają inne metale. Przewodność właściwa miedzi y = 5,9- 107 O - 1 • m_1, ładunek elektronu e = 1,60- 10- 1 9 C. Stąd ruchliwość 7 ne
5 ,9 -10 7 a - ^ r n " 1 8 ,4 9 -1028- 1,60-10-19
V-s
Jest to wartość stosunkowo duża. Nośniki prądu (jony) w elektrolitach mają ruchliwości rzędu 10~8—10- 7 m 2 /V-s, a w gazach pod normalnym ciśnieniem 10- 4 m 2 /V-s. Przy obniżaniu ciśnienia ruchliwość rośnie odwrotnie proporcjonalnie do niego.
„Różniczkowe” prawo Ohma. Stosując prawo Ohma do elementarnego odcinka przewodnika o długości dr i przekroju dS możemy napisać
d' - i du Natężenie prądu wyrazimy za pomocą gęstości prądu d l = jdS, napięcie za pomocą natężenia pola d U = Kdr (dr ma zwrot taki jak gęstość prądu j), a przewodność przedstawimy jako 1 dS R ~ 7 ds ‘ (di = |dr|). Podstawiwszy to do prawa Ohma otrzymamy ]dS = ,if.Kdr. Jeżeli dS||dr (przekrój prostopadły do osi przewodnika), równanie można uproś' cić: j = yK. Gęstość prądu jest wprost proporcjonalna do natężenia pola. W zapisie wektorowym proporcjonalność oznacza także równoległość. Otrzymany związek nosi nazwę różniczkowego prawa Ohma. Odnosi się ono do każdego punktu przekroju przewod nika i jest spełnione w przewodnikach jednorodnych i izotropowych. W przewodnikach 230
anizotropowych y jest wielkością tensorową i j może nie być równoległe do K. N a przykład w układzie kartezjańskim jx
=
Y xxK x + Y x y K y
jy
=
V yxK x + YyyKy ^ Y y z ^ z >
Y x z K z ,
]z ~
y z x K x -b y z y K y ~ ł~ y zz K f
W dalszym ciągu ograniczymy się do ciał izotropowych. Różniczkowe prawo Ohma jest ogólniejsze niż prawo całkowe. Można je stosować do znajdowania lo kalnych wartości j lub K, czyli do wyznaczania pola gęstości prądu lub pola elek trycznego wewnątrz przewodnika z prądem. Umożliwia ono również znalezienie oporu przewodnika o nietypowym kształcie, do którego nie da się stosować prawa całkowego.
Rys. 207. Różniczkowe prawo O hm a: gęstość prądu jest wprost proporcjonalna do natężenia pola (y — przewodność właściwa).
Pole w przewodniku z prądem. Różniczkowe prawo Ohma wiąże gęstość prądu z natężeniem pola w danym punkcie. Jeżeli znamy rozkład (pole) jednej z tych wiel kości, to możemy wyznaczyć rozkład drugiej. Wykorzystamy teraz to, co już wiemy o polu gęstości prądu, aby dojść do ogólnego opisu pola wewnątrz przewodnika, przez który płynie prąd. Z prawa ciągłości i różniczkowego prawa Ohma, divj = divyK = ydivK = 0, wynika, że pole w przewodniku z prądem jest solenoidalne. Drugą podstawową właściwością pola przewodnika, przez który przepływa prąd (stały!), jest jego potencjalność. Koniecznym i dostatecznym warunkiem potencjalności jest zerowanie się rotacji (bezwirowość pola): rotK = 0. W przypadku pola elektrostatycznego znikanie rotacji wynikało z odwrotnej proporcjonalności natężenia pola ładunku punktowego do odległości od niego. Pole ciała rozciągłego można uważać za superpozycję pól ładunków punktowych. Wpra wienie ładunków w ruch powinno zasadniczo zmienić właściwości pola. Całokształt zmian rozpatrzymy później. N a razie ograniczymy się do prądu stałego i przepływu stacjonarnego, czyli takiego, przy którym nie zmienia się gęstość ładunku. To, że jedne ładunki znikają, a na ich miejsce pojawiają się inne, nie powinno wpływać na 231
potencjalność pola. W każdej chwili mamy do czynienia z takim samym, „zamro żonym” stanem średnim o tej samej gęstości ładunków. Rotacja pola pozostaje równa zeru, a natężenie pola jest nadal ujemnym gradientem potencjału: K = -g ra d Ve. Dotyczy to obszarów, w których nie ma źródeł napięcia. Pole elektryczne prze wodnika z prądem stałym jest bezwirowe i potencjalne, podobnie jak pole ładunków nieruchomych. Jednak w odróżnieniu od niego, wewnątrz przewodnika pole nie znika, a jego natężenie jest równe
zgodnie z różniczkowym prawem Ohma. Jeżeli przez powierzchnię przewodnika może płynąć prąd, to wektor natężenia pola nie może już być do niej prostopadły, jak w przy-
Rys. 208. Załamanie linii pola na granicy przewodników, przez którą płynie prąd. Normalne składowe gęstości prądu są jednakowe w obu ośrodkach.
padku pola elektrostatycznego. Na granicy dwóch omowych przewodników o przewodnościach właściwych y 1 i y 2 normalne składowe gęstości prądu spełniają związki j'i„ = y iK ln i j 2n = y iK 2n- Ze względu na zerowanie się dywergencji mamy h n - h n = Divj = y iK 2n- y i K ln = 0 (różnicę składowych normalnych definiowaliśmy uprzednio jako dywergencję po wierzchniową). Na powierzchni granicznej mamy więc do czynienia ze skokiem nor malnej składowej natężenia pola. Natomiast z zerowania się rotacji wynika, że cyr kulacja z natężenia pola jest też równa zeru (prawo Stokesa). Obliczając cyrkulację po prostokącie o dwóch bokach równoległych do powierzchni granicznej i małe prostopadłej do nich wysokości h, a następnie wyznaczając jej granicę przy h male jącą do zera, stwierdzimy, podobnie jak w polu elektrostatycznym, ciągłość składowe stycznej K 2t- K u = RotK = 0 (różnicę składowych stycznych określa się niekiedy jako rotację powierzchniową Rot K). Jak widać, na granicy między ośrodkami linie pola załamują się. Kąty 232
i oc2 między wektorami natężenia pola po obu stronach a normalną do powierzchni granicznej spełniają prawo załamania
K2tIK2„ _ K±n _ jinlYi
tg g2 _
K in
tg « l
jin lY l
czyli tg«2 tg ^
_
Yi_ Yi '
Jeżeli zewnętrzny ośrodek nie przewodzi prądu (doskonały izolator), to Y2 IY 1 ~ 0 i = 90°. Pole elektryczne wewnątrz przewodnika ma tylko składową styczną, po dobnie jak gęstość prądu. Dzieje się tak dlatego, że prąd nie może płynąć z prze wodnika do izolatora. Prąd i pole w przewodniku mają kierunek równoległy do po-
Rys. 209. Tutaj przewodnik graniczy z ośrodkiem nie przewodzącym. Prąd w prze wodniku płynie równolegle do powierzchni. Natężenie pola na zewnątrz nie jest prostopadłe do powierzchni.
wierzchni. Na zewnątrz, tj. w dielektryku, styczna składowa natężenia pola tuż przy powierzchni jest taka sama jak wewnątrz przewodnika. Do znalezienia składowej normalnej powyższe wzory nie wystarczają, bo z j — 0 i y = 0 nie wynika, że K = 0. Pole w dielektryku zależy od tego, czy przewodnik jest dodatkowo naładowany — niezależnie od przepływu prądu stacjonarnego, przy którym nie powstaje nadmiar ładunków jednego znaku. Pełny rozkład pola wewnątrz i na zewnątrz przewodnika można wyznaczyć tylko rozwiązując równanie Laplace'a V2Fe = 0, słuszne dla wszystkich solenoidalnych pól potencjalnych. Jest to jednak możliwe tylko w niektórych przypadkach. Przykład. Przewodzące płyty. Rozpatrując pole elektrostatyczne naładowanej płyty przewodzą cej stwierdziliśmy, że tuż przy powierzchni jest ono jednorodne. Jego natężenie
a s0
K= —
233
nie zależy od odległości od powierzchni (a oznacza powierzchniową gęstość ładunku). Linie pola są prostopadłe do płyty. Wewnątrz przewodnika mamy wszędzie K = 0. Jeżeli wzdłuż płyty płynie prąd o gęstości j, wewnątrz niej pojawia się pole elektryczne, którego linie przebiegają równolegle do powierzchni. Styczna składowa natężenia pola na powierzchni granicznej jest równa
Na przykład na powierzchni płyty miedzianej, przez którą płynie prąd o gęstości j = 1 A /mm* = = 106A/m2, składowa styczna wynosi K, = 106/(5,9 • 107) = 1,7 • 10-2 V/m. Czy to dużo czy mało? Aby to ocenić, można by przyjąć jakąś rozsądną wartość gęstości ła dunku a i obliczyć wypadkowe natężenie pola oraz nachylenie jego linii do powierzchni. Co jednak robić, jeżeli, jak to najczęściej bywa, podczas przepływu prądu płyta pozostaje nie naładowana? Łatwiej będzie ocenić wpływ przepływu prądu na linie pola, jeżeli obok płyty ustawimy drugą taką samą — powiedzmy w odległości d — i przyłożymy między nie napięcie U. Gdyby przez płyty prąd nie płynął, natężenie jednorodnego pola między nimi byłoby równe U Id. W naszym przypadku jest to po prostu wartość składowej normalnej
K,
U
~d'
K ąt nachylenia linii pola do normalnej do płyty znajdziemy z wzoru K,
jd
tg a = ----- = ------- . Kn yU Niech na przykład d = 1 cm i U = 10 V, czyli Kn = 1000 V/m. Stąd tg a = 1,7-10-5 i kąt nachylenia a = arctg 1,7 • 10- s = 3,5" nieznacznie różni się od zera. Linie pola są prawie prostopadłe do płyty. W tych warunkach wpływ przepływu prądu na rozkład pola jest bardzo mały. Gdybyśmy chcieli go zademonstrować doświad czalnie w taki sposób, w jaki demonstruje się przebieg linii pola elektrostatycznego, tzn. zanurzając elektrody w oleju z pływającymi ziarenkami (bardzo dobrze nadaje się do tego kaszka manna), to musielibyśmy zwiększyć styczną składową pola, stosując elektrody z materiału słabo przewodzącego (małe y), np. z drewna. Po przyłożeniu napięcia między równoległymi płytkami powstaje pole jed-
Rys. 210. Nachylenie linii pola podczas przepływu prądu przez przewodnik można pokazać za pomocą drewnianych płytek zanurzonych w płytkim naczyniu z olejem i kaszką manną. Ziarna kaszki pokazują linie pola. Gdy prąd nie płynie, linie pola są prostopadłe do płytek. Łącząc płytki A i B zworą C umożliwiamy przepływ prądu. Linie pola odbiegają od prostopadłości — tym bardziej, im bliżej zwory (spadek na pięcia wzdłuż przewodnika). 234
norodne o liniach prostopadłych do nich. Jeżeli zewrzemy elektrody łącząc je drewnianą zworą, linie pola przy płytkach odchylają się na skutek pojawienia się składowej stycznej. Odchylenie rośnie w miarę zbliżania się do zwory, bo przy przemieszczaniu się wzdłuż przewodnika z prądem skła dowa normalna maleje (dlaczego?). Przykład. Opór uziemienia. W wielu urządzeniach elektrycznych i elektronicznych staramy się, by obudowa miała stale zerowy potencjał, niezależnie od zmian potencjału wewnątrz. Dokonuje się tego przez połączenie jej za pomocą dobrego przewodnika z ziemią. Rozpatrzmy przewód uziemia jący zakończony kulą o promieniu a. Załóżmy, że bez uziemienia jej potencjał byłby równy V0.
4rc7a R=4~ Rys. 211. Opór uziemień a kuli jest odwrotnie proporcjonalny do jej promienia. Połączenie z ziemią powoduje przepływ prądu. Jakie jest jego natężenie? Na początek znajdziemy natężenie pola i gęstość prądu. Ze względu na symetrię zastosujemy współrzędne sferyczne. Rów nanie Laplace’a ma w tym przypadku postać
1
= 0,
r2
a jego rozwiązaniem jest funkcja V.
A + B. r
Stała 5 = 0 dla potencjału znikającego w nieskończoności. Natężenie pola wokół kuli wynosi
* = - ^ = 4 dr
r1
.
Traktując ziemię jako przewodnik omowy o przewodności y możemy znaleźć gęstość prądu A i =yK= y— . rz Prąd ten rozpływa się radialnie. Przy powierzchni kuli (r = a) j = yA ja 2. Natężenie prądu przez powierzchnię S = 4nax wynosi / = j S = 4 k yA . 235
Można stąd wyznaczyć stałą całkowania / A = ------4ny
i znaleźć potencjał kuli
I
V0
4nya
Stosunek / 4nya nosi nazwę oporu uziemienia kulistego (w ogólnym przypadku — oporu przejścia). Przykład. Upływność kondensatora. W elektrostatyce traktuje się dielektryk między okładkami kondensatora jako doskonały. W rzeczywistości jego przewodność, chociaż mała, jest różna od zera i płynie przezeń prąd upływności równy stosunkowi napięcia do oporu. Obliczenie oporu kondensa-
Rys. 212. Opór upływności kondensatora kulistego. tora wymaga znajomości rozkładu pola i gęstości prądu. N a przykład w kondensatorze kulistym o promieniach elektrod a i b (a < b), w odległości r od środka elektrody wewnętrznej Q
ab U0_ ________
47te0r 2
b —a r1
_
przy czym U0 = Q(b—a)jAnE0ab jest napięciem między okładkami (§ 14). Stąd gęstość prądu upływ ności J
ab yU 0 b —a r 2
Z natężenia tego prądu ab I - j-4 n r2 = 4 n y------- U0 b —a można obliczyć opór U0 1 b -a R = — - = --------------- . I 4n y ab Dla b = oo otrzymujemy stąd podany przedtem opór uziemienia kulistego. 236
W podobny sposób można znaleźć opór kondensatora walcowego o długości /:
1
ln(ó/a)
27zy
l
i płaskiego o powierzchni okładek S i rozstępie d:
Ostatni wzór wynika bezpośrednio z drugiego prawa Ohma. Wzór dla kondensatora walcowego znajduje zastosowanie przy obliczaniu oporu izolacji kabla koncentrycznego. Oto przykładowe war tości: a = 1,5 mm, b = 10 mm, y = 10-,2 n _1 • m-1. 100 m takiego kabla ma opór upływności R a 3 • 109O. Przy wszystkich obliczeniach zakładaliśmy, że spełnione jest prawo Ohma. W silnych polach to założenie n:„zc zawieść.
Rys. 213. Opór upływności kondensat tora cylindrycznego.
Rys. 214. Opór upływności kondensa tora płaskiego.
Prawo Joule’a. Podczas przepływu prądu przez przewodnik nośniki prądu muszą pokonywać opory ruchu. W ostatecznym efekcie stracona energia ogrzewa przewod nik. Wydzielone ciepło nosi nazwę ciepła Joule'a. Aby znaleźć jego wartość, przy pomnijmy sobie, że praca przeniesienia ładunku q między dwoma punktami jest ilo czynem ładunku i różnicy potencjałów W = qU. Różniczkując ją względem czasu otrzymamy moc wydzielającą się w postaci ciepła „
dW
dq rr
dU
W stanie ustalonym (U = const) drugi wyraz jest równy zeru. Pochodna dq/dt = I. Dla przewodników omowych otrzymujemy stąd różne postacie prawa Joule'a P = IU =
U2
A
= J 2R.
237
Można stąd obliczyć ciepło wydzielone w czasie t W = Pt = lU t = ~ t = P R t. R Mierzymy je naturalnie w jednostkach energii. Prawu Joule’a można też nadać postać różniczkową. Jeżeli wewnątrz przewodnika o długości / pole jest jednorodne, to U = KI. Wyrażając natężenie prądu jako całkę z gęstości ( / = JydS), otrzymujemy P = J jdSK l = J jK dV (iloczyn IdS = dV jest elementem objętości). W ogólnym przypadku wektory gęstości i natężenia pola mnoży się skalarnie: P = JjKdF. Wykorzystując różniczkowe prawo Ohma mocy
(j = yK = K / qw), znajdziemy gęstość
— = jK = yK 2 = ej 2.
§ 20. Siła elektromotoryczna Rozpatrzmy przewodnik mający kształt zamkniętej pętli o długości /. Z bezwirowości pola elektrycznego wynika, że cyrkulacja z jego natężenia wzdłuż przewodnika równa się zeru:
Ze względu na to, że prąd powinien płynąć równolegle do osi przewodnika, mamy j||dr i jdr = jds (dy = |dr|). Z definicji gęstości prądu otrzymujemy dla jednorod nego przewodnika o stałym przekroju S j = I/S i stąd
Druga całka jest równoznaczna z oporem przewodnika
W ostatecznym efekcie otrzymujemy IR = 0, czyli 1 238
=
0.
Natężenie prądu w zamkniętej przewodzącej pętli o niezerowym oporze jest równe zeru (mowa tu naturalnie o prądzie w stanie ustalonym). W pętli o oporze równym zeru (np. w nadprzewodniku) prąd może płynąć.
Rys. 215. Z zerowania się cyrkulacji z natężenia pola wewnątrz przewodnika wynika, że w zamkniętej pętli o skończonym oporze prąd sam przez się płynąć nie może.
Rys. 216. Do przepływu prądu konieczne jest zewnętrzne źródło o sile elektromotorycznej 8 .
Doszliśmy do zgodnego z doświadczeniem wniosku, że stały prąd może płynąć przez normalny przewodnik tylko wtedy, gdy istnieją zewnętrzne czynniki podtrzy mujące ruch ładunków. Ogólnie biorąc, działanie tych czynników, zwanych elektromo torycznymi lub ubocznymi, sprowadza się do wytworzenia w przewodniku dodatko wego pola o natężeniu Km. Różniczkowe prawo Ohma przybiera wówczas pos tać j = y(K + K J , a cyrkulacja z całkowitego pola nie jest już równa zeru: f (K + K J d r = IR . i Ponieważ cyrkulacja z wektora K w dalszym ciągu się zeruje, cyrkulacja z drugie go składnika jest różna od zera: f Kmdr = IR . i Powyższa całka nosi nazwę siły elektromotorycznej — w skrócie SEM. Będziemy ją oznaczali przez S \ & = f Kmdr. Siłę elektromotoryczną mierzy się oczywiście w woltach. Wyprowadzoną rów ność możemy napisać w postaci S = IR , 239
zwanej niekiedy uogólnionym prawem Ohma. R oznacza tu całkowity opór obwodu zawierającego źródło siły elektromotorycznej. Jeżeli w takim obwodzie, np. w oczku sieci elektrycznej, mamy N źródeł siły elektromotorycznej i n oporników, przy czym wszystkie te elementy są połączone szeregowo, prawo Ohma przechodzi w tzw. drugie prawo Kirchhoffa N
n
i
i
I X = I X Ri Rys. 217. Drugie prawo Kirchhoffa: W zamkniętym oczku sieci suma sił elektromo torycznych jest równa sumie spadków napięcia na oporach.
Suma czynnych sił elektromotorycznych jest równa sumie spadków napięcia na poszczególnych oporach obwodu. Sumowanie przeprowadza się algebraicznie, tzn. z uwzględnieniem znaków, które określa się zgodnie z następującą umową: silę elek tromotoryczną uważa się za dodatnią, jeżeli przy założonym kierunku obchodzenia obwodu przechodzimy przez źródło w stronę wzrostu potencjału, spadek napięcia — jeżeli mijamy dany opór w kierunku spadku potencjału (tzn. zgodnie z kierunkiem przepływu prądu).
Rys. 218. Przebieg potencjału wzdłuż odcinka obwodu. Przy założonym kierunku poruszania się od a do 6 spadek napięcia na oporze R jest dodatni (poruszamy się zgodnie z prądem), a siła elektromotoryczna — po przeniesieniu na drugą stronę równania— jest ujemna. 240
Va-V b= - g + lR Rys. 219. W tym przypadku musimy w prawie Kirchhoffa siłę elektromotoryczną uważać za dodatnią (zmiana znaku wiąże się z przeniesieniem jej na drugą stronę równania).
Zastosujemy teraz drugie prawo Kirchhoffa do najprostszego obwodu ze źródłem siły elektromotorycznej. Oznaczając opór źródła (opór wewnętrzny) przez R w, a sumę pozostałych oporów (opór zewnętrzny) przez R z, możemy napisać
- g + I R w+ IR t= 0 %= I Rw+1 Rz Rys. 220. Przebieg potencjału wzdłuż obwodu z ogniwem. Kierunek obchodzenia zaznaczono strzałką. Rw— opór wewnętrzny ogniwa, Rz — opór zewnętrzny.
albo Rz+Rw Iloczyn IRZ — U jest spadkiem napięcia na oporze zewnętrznym. Jak widać, jest on mniejszy od siły elektromotorycznej o spadek napięcia na oporze źródła U = £ - J R w. 16 Fizyka dla politechnik
241
Woltomierz przyłożony do biegunów źródła wskaże właśnie napięcie U. Tylko wte dy, gdy prąd nie płynie, U = S. Wykorzystujemy to w bezprądowej (kompensacyj nej)| metodzie pomiaru siły elektromotorycznej.
1= 0 — u = g R ys. 221. Bezprądowa (kompensacyjna) metoda wyznaczania siły elektro motorycznej ogniwa B. G — galwanometr.
Rys. 222. Mierząc prąd w obwodzie przy zmienia nym oporze Rz i odkładając na wykresie napięcie w funkcji prądu, otrzymujemy linię prostą. Jej prze cięcie z osią napięć daje wartość siły elektromoto rycznej.
Opór wewnętrzny źródła jest zawsze większy od zera. Jeżeli opór zewnętrzny zmniejszymy do zera, popłynie prąd zwarcia o natężeniu
Jest to największy prąd, jaki może popłynąć w obwodzie. Jego wartość jest ograni czona wartością oporu wewnętrznego. Sprawność obwodu. Zapiszmy prawo Ohma dla obwodu z ogniwem w postaci S = IR Z+ IR W i pomnóżmy obie strony przez natężenie prądu S I - P R Z+ I2R W. Otrzymany związek wyraża bilans mocy. Moc S I dostarczana przez źródło na pięcia jest równa sumie mocy wydzielanej na oporze zewnętrznym i wewnętrznym. Podstawiając I = S /(R Z+ R W) możemy nadać wyrażeniu na wydzielaną w obwodzie zewnętrznym moc użyteczną postać Pz = P R Z
S 2R Z (Rz + R w)2 ’
dogodną do dalszych rozważań. Różniczkując powyższy wzór względem R z i przy równując do zera dPs dR* 242
Ry/ Rz (RZ+ R VY
.2 _ n
Znajdziemy teraz warunek, by Pz = max: Rz = R w Stosunek mocy użytecznej do dostarczanej I 2R Z JRZ * = - i r =
. IR W x~ ~ r
Rys. 223. Użyteczna moc/*! wydzielana w obwodzie (na oporze zewnętrznym) jest największa, gdy opór zewnętrzny równa się wewnętrznemu. Moc wydzielana wewnątrz ogniwa (P w) maleje ze wzrostem oporu Rs. P, jest mocą zwarcia.
nosi nazwę sprawności obwodu. Jak widać, jest ona tym większa, im mniejszy jest opór wewnętrzny (dla Rw = 0 rj = 1). W przypadku gdy moc wydzielająca się na oporze zewnętrznym osiąga maksimum, sprawność obwodu jest równa 0,5.
n
Rys. 224. Sprawność obwodu rośnie ze wzrostem oporu zewnętrznego. Przy R j = Rw (maksimum mocy użytecz nej) n = o,5. 16*
Rys. 225. A oto sprawność w funkcji natężenia prądu. Przy zwarciu t) = 0. Zaznaczono punkt odpowiadający maksymalnej mocy użytecznej. 243
Źródła siły elektromotorycznej. Źródła SEM nazywamy potocznie źródłami na pięcia lub źródłami prądu. Warunkiem funkcjonowania źródła jest asymetria elek tryczna, wytwarzana przez działanie nieelektrycznego czynnika elektromotorycznego. W zależności od natury, czynniki elektromotoryczne można podzielić na mechanicz ne, cieplne, magnetyczne, chemiczne, promieniotwórcze itp. Przykład. Odśrodkowa SEM . O to przykład mechanicznego źródła napięcia: metalowa tarcza o promieniu R obraca się z prędkością kątową co. N a swobodny elektron metalu, znajdujący się w odległości r od osi obrotu, działa siła odśrodkowa F = muPr (m — masa elektronu). Siła ta sta-
Rys. 226. Centryfuga elektronów. Przy obrocie tarczy siła odśrodkowa wyciska elektrony ku obwodowi. Siła elektromotoryczna jest zbyt mała, by ją móc zmie rzyć.
nowi czynnik elektromotoryczny, przesuwający elektrony ku obwodowi. Dzieląc ją przez ładunek elektronu otrzymujemy równoważne natężenie poła mo>2r K = ----------. e M iędzy osią a obwodem tarczy powstaje siła elektromotoryczna r r ma>2r mo)2R 2 8 = ij> Kdr = ^ — - — dr = — ------(całkujemy tylko od 0 do R, bo poza tarczą 8 = 0). Dołączając za pomocą ślizgowych styków odpo wiedni przyrząd — np. czuły galwanometr — powinniśmy móc ją zmierzyć. Jak czuły powinien być ten galwanometr? D la R = 10 cm, o> = 1000 s-1 (e = 1,6 •10-19C , m = 9,1 •IO-31 kg) otrzy mujemy
9,1-10“31•io6. io-2 2-1,6-10-19
3 • 10-*V.
Pomiar tak małej siły elektromotorycznej okazał się praktycznie niemożliwy.
Ogniwa galwaniczne. Omówimy teraz nieco dokładniej mechanizm powstawania siły elektromotorycznej w chemicznych źródłach napięcia. Jeżeli zanurzymy metalową płytkę w roztworze elektrolitu, wystąpią tam dwa procesy. Z jednej strony, dodatnie jony metalu przechodzą do roztworu, co możemy określić jako rozpuszczanie się metalu w elektrolicie. Z drugiej strony, ruchy cieplne oraz rosnąca różnica potencja244
łów między metalem a roztworem powodują osiadanie jonów dodatnich pa powierz chni metalu. W rezultacie między elektrodą a roztworem ustala się ściśle określone napięcie, zależne od rodzaju obu ciał i stężenia jonów metalu w roztworze. Wartość napięcia, jakie ustala się między metalem a roztworem jego soli, gdy stężenie jego jonów jest równe jednemu gramorównoważnikowi na litr, nosi nazwę bezwzględnego normalnego potencjału elektrochemicznego. I tak na przykład cynk zanurzony w roz tworze własnej soli uzyskuje potencjał —0,50 V, kadm —0,13 V, miedź +0,61 V, rtęć +1,13 V. Potencjał elektrochemiczny można określić i dla innych substancji, np. wodo-
Rys. 227. Przy zanurzeniu metalu do roztworu jego soli (a) jony przechodzą do roztworu ładując go. Chmura jonów przy elektrodzie przeciwdziała zwiększaniu stężenia (b). Napięcie V w stanie równowagi jest potencjałem elektrochemicznym. W przechodzeniu jonów do roztworu dużą rolę gra silne pole cząsteczek wody (duży moment dipolowy).
Rys. 228. Jeżeli zanurzone do roztworu elektrody są jednakowe (a), skoki potencjału kompensują się. Aby wytworzyć siłę elektromotoryczną, elektrody muszą być różne (b). Przy przepływie prądu pojawiają się spadki napięcia na oporze wewnętrznym i zewnętrznym (c). 245
ru +0,274 V, tlenu +1,50 V, MnOz +0,99 V itd. Jeżeli zanurzymy w elektrolicie dwie różne elektrody, powstanie między nimi siła elektromotoryczna równa różnicy potencjałów elektrochemicznych. Wytworzony w ten sposób układ nosi nazwę ogniwa galwanicznego. Przykład. Ogniwo Daniella. W naczyniu znajdują się wodne roztwory siarczanu cynku (ZnS04) i siarczanu miedzi (CuS04), przedzielone ścianką z porowatej glinki, która uniemożliwia mieszanie g=l,11V Zn
Cu
(+H20) Rys. 229. Ogniwo Daniella. się roztworów, ale nie przeszkadza przepływowi jonów. Stosunkowo silne pole wewnętrzne cząste czek wody (duży moment dipolowy) powoduje dysocjację cząsteczek obu soli zgodnie z równaniami ZnS04 U Z n 2+ + S O I', CuS04 ^ Cu2+ + soi”. W jej wyniku w roztworach znajdują się jony cynku i miedzi. Jeżeli teraz do roztworu siarczanu cynku włożymy elektrodę cynkową, a do roztworu siarczanu miedzi — miedziową, między każdą z nich a roztworem ustali się skok potencjału. Tego rodzaju źródło napięcia nosi nazwę ogniwa Daniella. Siła elektromotoryczna jest równa różnicy potencjałów elektrochemicznych g = K c„-K z„ = 0,61— ( —0,50) = 1,11V. Elektroda o wyższym potencjale — w tym przypadku miedziana— jest oczywiście biegunem dodatnim, elektroda o niższym potencjale — cynkowa — biegunem ujemnym. Jeżeli dołączymy do biegunów zewnętrzny opór R, to nieskompensowane elektrony cynku zaczną płynąć przez prze wodnik do elektrody miedzianej. Na skutek tego zmniejszą się bezwzględne wartości potencjałów obu elektrod i ulegnie zakłóceniu równowaga między każdą z elektrod a roztworem, co z kolei spowoduje przejście do tego ostatniego dodatkowych dodatnich jonów cynku z jednej strony i osa dzenie się na drugiej elektrodzie dodatnich jonów miedzi. W ten sposób równowaga zostaje przywró cona i siła elektromotoryczna pozostaje bez zmian. Jak widać, w czasie pracy ogniwa elektroda cynkowa powoli się rozpuszcza, a na elektrodzie miedzianej osadza się miedź. Jednocześnie wewnątrz ogniwa pojawia się zgodny z prawem Ohma spadek potencjału na oporze wewnętrznym równy IR W, a w obwodzie zewnętrznym spadek IR Z. Suma tych spadków jest równa sile elektromotorycznej og niwa
/Rz+/R w— g . Oba te spadki zachodzą na odcinku o długości równej odległości elektrod. W odróżnieniu od nich oba spadki między każdą z elektrod a odpowiednim roztworem zachodzą w cienkiej, monomolekulamej warstwie roztworu tuż przy powierzchni elektrod i dlatego mamy pełne prawo nazy wania ich skokami potencjału.
246
Polaryzacja elektrolityczna. Budowa ogniwa Daniella wydaje się niepotrzebnie skomplikowana. Wystarczy zanurzyć elektrodę cynkową i miedzianą w roztworze kwasu siarkowego, by pojawiły się w nim jony miedzi i cynku i wystąpiły skoki po tencjału. Utworzone w ten sposób ogniwo Volty będzie miało taką samą siłę elektro motoryczną jak ogniwo Daniella. Jednak w tym przypadku mamy w roztworze dodatkowe jony wodoru (z dysocjacji kwasu siarkowego), które w czasie pracy
Rys. 230. Ogniwo Volty. Wydzielające się gazy prowadzą do zmian powierzchni elektrod i zmniejszania siły elektromotorycznej. Zjawisko to nazywamy polaryzacją.
ogniwa płyną do elektrody miedzianej i po zobojętnieniu wydzielają się na niej. Powstająca warstewka wodoru utrudnia kontakt miedzi z roztworem i zmniejsza siłę elektromotoryczną (potencjał elektrochemiczny wodoru jest o 0,34 V mniejszy niż miedzi), zwiększając zarazem opór wewnętrzny ogniwa. Opisane zjawisko nosi nazwę polaryzacji elektrolitycznej. Zmniejszenie siły elektromotorycznej można interpreto wać jako pojawienie się w układzie polaryzacyjnej siły elektromotorycznej, czyli siły przeciwelektromotorycznej — przeciwnego znaku do SEM ogniwa. Jak widaćpolaryzacja elektrolityczna stanowi zjawisko niekorzystne. Możemy mu przeciw, działać w taki sposób jak w ogniwie Daniella, tzn. stosując odpowiednie elektrolity i elektrody niepolaryzujące się (brak jonów wodoru) lub otaczając anodę warstwą depolaryzatora, który wiąże (utlenia) wydzielający się wodór i uniemożliwia wytwo rzenie się warstewki izolującej elektrodę od elektrolitu. Można też wykorzystać polaryzację do wytworzenia ogniwa odwracalnego, czyli akumulatora. Zmiany polaryzacyjne mogą także wystąpić na drugiej elektrodzie. Jednak w przy padku ogniwa Volty zachodzi tam tylko zobojętnienie reszty kwasowej S 0 4~ i ut worzenie się cząsteczek siarczanu cynku, które od razu z powrotem dysocjują nie wywołując zmian na elektrodzie. Gdybyśmy zastąpili cynk elektrodą ze szlachetnego metalu, zaobserwowalibyśmy wydzielanie się tlenu w wyniku reakcji syntezy kwasu siarkowego: 2S04 + 2H20 -» 2H2S 0 4 + 0 2. Przykład. Ogniwo Leclandiego. W najczęściej spotykanym „suchym” ogniwie Leclanchego katoda jest cynkowa, anoda — węglowa, otoczona depolaryzującą mieszaniną braunsztynu (M n02) 247
z grafitem. Elektrolitem jest roztwór salmiaku (NH4C1), którym nasyca się mączkę drzewną. Siła elektromotoryczna jest różnicą elektrochemicznych potencjałów dwutlenku manganu i cynku
Rys. 231. Ogniwo Leclanchego. Braunsztyn (M n 0 2) działa jako depolaryzator — wiążąc wodór nie dopuszcza go do katody. W „suchym” ogniwie Leclanchćgo zamiast cieczy mamy trociny, a elektroda cynkowa stanowi zewnętrzną osłonę.
Przykład. Akumulatory. Każde ogniwo, z którego czerpiemy prąd, prędzej czy później musi się rozładować. Możemy to wyrazić inaczej: całkowity ładunek, jaki można pobrać z ogniwa — zwany jego pojemnością — jest ograniczony. Tak zdefiniowaną pojemność — nie mającą oczywiście nic wspólnego z tym, co pod tą nazwą rozumiemy w elektrostatyce — mierzymy w amperogodzinach.
Rys. 232. Zamiast walczyć z polaryzacją można ją wykorzystać. Najpopularniejszym ogniwem polaryzacyjnym jest akumulator ołowiowy. Siła elektromotoryczna maleje z czasem; gdy spadnie poniżej 2V, akumulator należy naładować.
Przy odpowiednim doborze elektrod i elektrolitu powstaje ogniwo odwracalne, czyli akumulator. Przepuszczając przez rozładowany akumulator w przeciwnym kierunku prąd z innego źródła, można go z powrotem naładować. Najczęściej stosuje się akumulatory ołowiowe. Obie elektrody są z ołowiu, elektrolitem jest stężony roztwór kwasu siarkowego. Po zanurzeniu w elektrolicie elektro 248
dy pokrywają się siarczanem ołowiu (PbS04). Przy ładowaniu rozpuszcza się siarczan, katoda pokrywa się metalicznym ołowiem, a anoda jego dwutlenkiem. Podczas rozładowywania na obu elektrodach wydziela się siarczan ołowiu. Oba procesy można streścić równaniem ładowanie
2PbS04 + 2H ,Q --------------- >PbO, + Pb + 2H 2SO«. rozładowanie
Jak widać, przy ładowaniu stężenie kwasu w roztworze wzrasta, przy rozładowaniu maleje. Siła elektromotoryczna naładowanego akumulatora ołowiowego nieco przekracza 2V . Stężenie kwasu, a zarazem stopień jego naładowania można określić mierząc jego gęstość. W stosowanych coraz częściej akumulatorach żelazowo-niklowych w stanie nie naładowanym elektrody są pokryte wodorotlenkami żelaza Fe(OH)2 i niklu Ni(OH)2. Jako elektrolit służy roztwór ługu potasowego (KOH). W wyniku ładowania katoda ppkrywa się metalicznym żelazem, a anoda tlenkiem niklu (Ni20 3): ładowanie
Fe(OH)2 + 2Ni(OH), ~
- Fe + Ni20 3 + 3H20 .
rozładowanie
Siła elektromotoryczna w stanie naładowanym wynosi ok. 1,25 V. Zaletą akumulatorów żelazowoniklowych jest stosunkowo mały ciężar. Podobne właściwości mają akumulatory kadmowo-niklowe. Przykład. Ogniwa paliwowe. Najprostsze ogniwo polaryzacyjne można uzyskać, zanurzając dwie platynowe elektrody w roztworze kwasu siarkowego i przykładając napięcie z zewnątrz. Ta kie „ładowanie” wytwarza warstewkę wodoru na katodzie i tlenu na anodzie — powstaje ogniwo wodorotlenowe o sile elektromotorycznej 1,23 V. Jego pojemność jest bardzo mała — po odłączeniu napięcia zewnętrznego i zamknięciu obwodu prąd będzie szybko malał ze względu na szybkie wy czerpywanie się gazów w cienkich warstewkach przy elektrodach. Jeżeli zamiast ładować ogniwo
%=1,25V Pt
Pt
Rys. 233. Ogniwo paliwowe — w tym przypadku wodorotlenowe. Porowate elek trody są stale pokryte wtłaczanymi gazami. Oprócz energii elektrycznej ogniwo wy twarza wodę.
będziemy doprowadzali tlen i wodór z zewnątrz, powstanie ogniwo paliwowe. Elektrody działają katalitycznie, rozkładając cząsteczki wodoru na atomy, które następnie ulegają jonizacji. Dodatnie jony wodoru przechodzą do roztworu elektrolitu, którym może być na przykład zasada potasowa. W podobny sposób przy drugiej elektrodzie (anodzie) z cząsteczek tlenu powstają w roztworze 249
ujemne jony wodorotlenowe. W czasie pracy ogniwa jony wodorowe i wodorotlenowe w roztworze rekombinują z powrotem odtwarzając cząsteczki wody: 2H 2 + 0 2 -*• 2H 20 . Przy syntezie jednej cząsteczki wody wyzwala się energia wiązania równa 2,5 eV. Energia ta zamienia się bezpośrednio na energię elektryczną. Siła elektromotoryczna powinna wynosić 2,5/2 = 1,25 V. W praktyce uzyskuje się ok. IV . Istnieje wiele typów ogniw paliwowych pracujących na różnych paliwach. Zaletą ogniw paliwowych jest duża wydajność przetwarzania energii chemicznej w elektryczną. Ogniwo oparte na spalaniu wodoru wytwarza zarazem i energię i wodę, co może mieć znaczenie w astronautyce.
Obliczanie sieci. W ogólnym przypadku obwód prądu stałego składa się ze źródeł napięcia i elementów przewodzących połączonych w sieć elektryczną. Wielkością charakteryzującą źródło napięcia jest siła elektromotoryczna S , element przewodzący
Rys. 234. Sieć elektryczna zawiera nw węzłów i n0 oczek. Liczba niezależnych równań Kirchhoffa n, jest o 2 mniejsza niż suma węzłów i oczek.
charakteryzuje opór R. W sieci wyróżniamy punkty rozgałęzienia przewodów, czyli węzły, oraz zamknięte oczka. Razem mamy nw węzłów i n0 oczek. Do węzłów i oczek stosujemy prawa Kirchhoffa: = 0,
Dla nw węzłów można ułożyć tyleż równań Kirchhoffa, jednak jedno z nich będzie zależało od pozostałych. Liczba niezależnych równań wynosi «™ = nw- l . Podobnie dla n0 oczek
«r0 = 250
«o-l-
Dla oczek i węzłów mamy razem nr
wrw + w r(l —
n
w+ /io
2
niezależnych równań i tyleż możemy znaleźć niewiadomych wielkości (tzn. niezna nych sił elektromotorycznych i oporów). Przykład. Mostek Wheatstone’a. Aby wyznaczyć nieznany opór R „ połączymy go szeregowo ze znanym oporem wzorcowym R0. Do obydwu dołączymy równolegle kalibrowany drut oporowy o oporze proporcjonalnym do długości. Obie gałęzie (ramiona) obwodu zasila źródło siły elektromo torycznej S . Punkt połączenia oporów Rx i R 0 łączymy przewodem (mostkiem) z suwakiem ślizga jącym się po drucie oporowym. W mostku umieszczamy czuły galwanometr; zerowanie mostka polega na znalezieniu takiej pozycji suwaka, w której prąd wskazywany przez galwanometr staje się
h
ARX_ AU(Rq+Rx)2 Rx %RXR0 ARX . - ^ JL = mindla Rx=Ro Rx
Rys. 235. Mostek Wheatstone’a. Opornik Rt + R2 ma zwykle postać drutu oporo wego, stosunek oporów można zastąpić stosunkiem długości odcinków drutu. Od chyłka pomiaru zależy od czułości galwanometru i pozycji suwaka; minimum osiąga, gdy opór wzorcowy (R0) jest równy wyznaczanemu (/?„).
równy zeru. Zgodnie z prawem Ohma oznacza to, że oba końce mostka mają ten sam potencjał. Oznaczmy odpowiadające temu opory obu odcinków drutu przez Rt i R2 (Ri jest z tej strony co RXf R2 z tej co R0). Obwód zawiera 2 liczące się węzły (pozostałe nie dają żadnej informacji) i 3 oczka. Razem możemy ułożyć n, = 2 + 3 —2 = 3 równania. D la każdego węzła
/ = / 1+/2 ( / — prąd ogniwa, h , I 2 — prądy w ramionach). D la oczek
I i (.Ri +R2)= IiiRi+Ro) = &• 251
Można stąd znaleźć nieznane prądy w gałęziach &
II ~ Ri + Ri ' R ,+ R o
i opór Rx. Napięcie na końcach mostka U
= I1 R 1 —I 2 Rx =
SR2
3 Ra
_
R i R x - R i Ro
(*, + *,) { R x + R o )
Warunkiem zerowania jest R 2R x~ R 1 R 0 = 0, czyli
Rx
Ri
R0 R2 Stosunek i?! / R2 jest równy stosunkowi długości obu odcinków drutu Stąd nieznany opór
można je odczytać na skali.
Ri h „ Ro = ' . RoR2 l2
Rx =
W jakich warunkach pomiar jest najdokładniejszy? Odchyłka napięcia na galwanometrze {czułość galwanometru) zależy od dokładności oporu wzorcowego AU =
8U
~dRo
Ro.
Podstawiając znalezioną uprzednio wartość U i różniczkując, znajdujemy A U = --------— - ARo. (Rx+ R 0r Stąd A U (R ,+ R 0)2 «RX Względny błąd, z jakim wyznaczamy nieznany opór, jest równy ARo =
ARX
ARo
AU{Rx+Ro)*
~RX R0 ~ £ R XR0 Różniczkując go i przyrównując do zera, bez trudu znajdziemy warunek minimum błędu Rx = Ro równoznaczny z R i = R 2. Pomiar oporu za pomocą mostka Wheatstone’a jest tym dokładniejszy, im bliższe siebie są wartości Rx i R0, czyli im bliżej środka drutu oporowego znajduje się suwak wyzerowanego mostka. Dokładność znalezienia położenia równowagi jest tym większa, im czulszy jest galwanometr. Przy dużej czułości czynnikiem zakłócającym pomiar są dodatkowe napięcia niezależne od prądu w ob wodzie— np. siła elektromotoryczna zjawiska termoelektrycznego lub potencjały kontaktowe. 252
§ 21. Pole magnetyczne Źródłami i obiektami oddziaływania pola magnetycznego są ruchome ładunki. Hipo teza monopoli magnetycznych, które miały wytwarzać pole magnetyczne podobnie jak ładunki elektryczne wytwarzają pole elektryczne, jak dotąd nie znalazła potwier dzenia doświadczalnego. Ruchome ładunki spotykamy zarówno w przewodnikach z prądem, jak i w magnesach trwałych i w ogóle we wszelkich materiałach magnetycz nych, w postaci prądów atomowych. O tym, że przewodnik z prądem jest źródłem pola magnetycznego, przekonują nas liczne doświadczenia. Przykład. Doświadczenie Oersteda. Jednym z najprostszych przyrządów wykrywających pole magnetyczne jest obrotowo zamocowana igiełka magnetyczna, np. igła kompasu. Ustawiając ją pod lub nad przewodnikiem równolegle do niego, stwierdzamy, że przy przepływie prądu ustawia się ona prostopadle do przewodnika. Igiełka wskazuje lokalny kierunek sił pola: nad przewodnikiem
Rys. 236. Doświadczenie Oersteda. Prąd płynący w przewodzie odchyla igłę magne tyczną. Odchylenia po obu stronach przewodu mają przeciwne znaki.
będzie on przeciwny niż pod nim. Także zmiana kierunku przepływu prądu spowoduje odwrócenie kierunku pola. Zamiast igiełki kompasu można użyć obwodu w kształcie pętli, przez który przepływa prąd. W igiełce pole magnetyczne działa na prądy atomowe. Zastosowanie cewki, złożonej z wielu pętli (zwojów), wzmacnia efekt. Przykład. Oddziaływanie prądów. Do wykrycia pola magnetycznego przewodnika z prądem można użyć drugiego przewodnika równoległego do niego. Jeżeli oba prądy płyną w tym samym kierunku, przewodniki przyciągają się, jeżeli kierunki przepływu są przeciwne, odpychają się. Można to
W
UJ
Rys. 237. Przewody równoległe przyciągają się przy zgodnych kierunkach prądów, odpychają przy przeciwnych. 253
Rys. 238. Oddziaływanie między równoległymi prądami można badać za pomocą ruchomej ramki. wykazać za pomocą dwóch równoległych pasków cynfolii, które łatwo się odkształcają. Można też umieścić w pobliżu pionowego przewodnika obrotowo zamocowaną prostokątną ramkę, która odchyla się w jedną łub drugą stronę, w zależności od kierunku przepływu prądu.i Przykład. Linie pola. Konfigurację pola magnetycznego wytwarzanego przez różne źródła bada się za pomocą opiłek żelaznych, będących jak gdyby miniaturowymi igiełkami magnetyczny mi. W ten sposób można sprawdzić, że w odróżnieniu od linii pola elektrycznego, które zaczynają się i kończą na swobodnych ładunkach, linie pola magnetycznego są zamknięte i zawsze obejmują prądy elektryczne. W magnesach stałych wyróżniamy punkty maksymalnego zagęszczenia linii pola
S
Rys. 239. Posypując żelaznymi opiłkami kartkę przebitą przewodnikiem można stwierdzić, że linie pola mają kształt koncentrycznych okręgów. 254
-N
Rys. 240. Linie pola magnesu sztabkowego i solenoidu są identyczne,
zwane biegunami. Nazwy biegunów wiążą się z polem magnetycznym Ziemi. Biegun igiełki magne tycznej, który wskazuje na północ, nosi nazwę północnego, wskazujący południe — południowego. Różnoimienne bieguny przyciągają się, jednoimienne odpychają (magnetyczne prawo Coulomba) —
N
S Rys. 241. Północnym nazywamy ten biegun igiełki magnetycznej, który pokazuje północ.
Rys. 242. Biegun północny jest u tego końca solenoidu, który prąd opływa przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (jeżeli patrzymy z zewnątrz),
opierając się na tym, można zawsze ustalić, który z nich jest północny i który południowy. Przyjęto, że na zewnątrz magnesu linie pola mają kierunek od bieguna północnego do południowego, wew nątrz — odwrotnie.
Rys. 243. Bieguny jednoimienne odpychają się, różnoimienne — przyciągają.
Siła Lorentza. Przeprowadzając doświadczenia z ruchomymi ładunkami — np. z wiązką elektronów padających na fluoryzujący ekran — w polu magnetycznym, możemy stwierdzić, że działająca na nie siła, zwana siłą Lorentza, jest prostopadła do ich prędkości i do kierunku pola. Zmieniając ładunek q i prędkość v dojdziemy do wniosku, że wartość siły jest wprost proporcjonalna do iloczynu ładunku i prędkości oraz do sinusa kąta a między kierunkiem pola a prędkością: F ~ gcsina. Oznaczając współczynnik proporcjonalności przez B, możemy napisać F = Bgwsina. 255
Wielkość B nosi nazwę indukcji magnetycznej. Jest ona wektorem o kierunku pola. Iloczyn wartości prędkości i indukcji i sinusa kąta między nimi jest iloczynem wektorowym F = q v x B.
Rys. 244. Na ruchomy ładunek działa w polu magnetycznym siła Lorentza, prosto padła do płaszczyzny utworzonej przez prędkość ładunku v i indukcję magnetyczną B. Jej wartość jest iloczynem v i B oraz sinusa kąta między nimi. Zwrot siły Lorentza wynika z reguły śruby prawoskrętnej.
Powyższą równość można uważać za definicję wektora indukcji magnetycznej. Jaki jest jego sens fizyczny? Zauważmy, że jeżeli ładunki poruszają się prostopadle do pola, siła Lorentza przybiera wartość F = qvB. Stąd
Natężenie dowolnego pola sił określiliśmy uprzednio jako stosunek siły pola do wielkości charakteryzującej obiekt oddziaływania. Źródłami i obiektami oddziały wania pola magnetycznego są ruchome ładunki. Charakteryzującą je wielkością jest iloczyn qv. Jak widać, indukcja magnetyczna powinna właściwie nosić nazwę natę żenia pola magnetycznego. Ze względów historycznych tę ostatnią nazwę stosuje się do innej wielkości. W niniejszej książce będziemy stosowali tradycyjne nazwy. Jednostką indukcji magnetycznej jest 1 tesla (T). Z definicji wynika, że , N -s , N-m -s C-m ~ C-m 2
, Vs m2 '
Przykład. Zjawisko Halla. Siła Lorentza działająca na elektrony w przewodzącej płytce, umieszczonej w polu magnetycznym o kierunku prostopadłym do przepływu prądu, powoduje 256
wytworzenie napięcia między ściankami równoległymi do prądu i pola. Ścianka, do której płyną elektrony, ładuje się ujemnie, druga ścianka — dodatnio. Wytworzone pole o natężeniu K = Ujl, gdzie l jest odległością między ściankami, przeciwdziała sile Lorentza. W stanie równowagi obie siły są sobie równe:
eK. = ewB
Rys. 245. Zjawisko Halla. Siła Lorentza działa na elektrony przewodnictwa w płytce, przez którą płynie prąd, umieszczonej w poprzecznym polu magnetycznym. Wytworzo ne napięcie jest wprost proporcjonalne do indukcji B.
Odpowiadające napięcie jest równe U = KI = vBl. Średnią prędkość elektronów przewodnictwa znajdziemy z wzoru na natężenie prądu. Ponie waż I — nevS (n — gęstość elektronów przewodnictwa, S — przekrój płytki), przeto v = IjneS. Podstawiając to do wzoru na napięcie znajdziemy
neS N a przykład w płytce miedzianej (n s 8 • 10“ cm-3) o szerokości / = 0,5 cm i przekroju S = 5 - 10_2cm2, tzn. o grubości 0,1 cm przy prądzie I = 1 A prostopadłe pole magnetyczne 0 indukcji B = 1 T wytworzy poprzeczne napięcie U = 10"1 V, bardzo trudne do wykrycia. Sto sując zamiast miedzi półprzewodnik o znacznie mniejszej gęstości elektronów przewodnictwa, rzędu 1015 cm-3 , możemy uzyskać przy 1 = 1 mA napięcie U = 1 mV. Tego rodzaju płytki (halotrony) mogą służyć do pomiaru indukcji magnetycznej.
Solenoidalność pola magnetycznego. Strumień indukcji określa się podobnie jak strumień skalarny każdego innego wektora jako &m = $BdS. Zwykle nazywa się go strumieniem magnetycznym. Jednostką strumienia jest 1 weber (Wb) równy lWb = l T - m 2 = l ^ i - . m 2 = l V s . m2 Ze względu na to, że linie pola magnetycznego (linie indukcji) są krzywymi 17 Fizyka dla politechnik
257
zamkniętymi, strumień przez powierzchnię zamkniętą jest równy zeru:
B
Rys. 246. Strumień magnetyczny jest całką z indukcji po powierzchni, przez którą przechodzi.
Rys. 247. Pole magnetyczne jest sole noidalne. Liczba linii wchodzących do zamkniętej powierzchni S jest równa liczbie linii wychodzących.
Względność pola magnetycznego. Zdefiniowaliśmy pole magnetyczne jako takie, którego źródłami i obiektami oddziaływania są ruchome ładunki. Pojęcie ruchu jest związane z układem odniesienia. Jeżeli w jakimś układzie ładunek spoczywa, to dla znajdujących się w nim obserwatorów jego pole magnetyczne znika. Dostrzegają oni działanie sił, które obserwatorzy z innych układów uważają za magnetyczne, ale przypisują je innym przyczynom. Pole magnetyczne jest względne. Aby lepiej pojąć charakter tej względności, weźmy pod uwagę ujemny ładunek q znajdujący się w odległości r od prostoliniowego, nieskończenie długiego przewodnika, w którym płynie prąd o natężeniu /. Przepływ prądu przez przewodnik jest w istocie przepły wem ładunków ujemnych, tj. elektronów przewodnictwa; dodatnie jony siatki krystalicznej nie zmieniają swojego położenia. Gęstość ładunku każdego znaku w wybranym odcinku przewodnika o długości / określamy jako
258
gdzie Q oznacza ładunek danego znaku, a S — pole przekroju. W przewodniku jednorodnym jest ona wszędzie jednakowa - niezależnie od tego, jaki odcinek wybierzemy dla jej wyznaczenia (pamiętajmy, że przewodnik jest nieskończenie długi!). W czasie przepływu prądu przewodnik pozostaje elektrycznie obojętny — ina czej mówiąc, gęstości ładunków obu znaków pozostają jednakowe: Q- = e+Obojętny elektrycznie przewodnik nie oddziałuje na nieruchomy ładunek q. Wystarczy jednak wprawić ładunek w ruch z prędkością v w dowolnym kierunku, z wyjątkiem kierunku prostopadłego do płaszczyzny utworzonej przez ładunek i prze wodnik, by zaczęła nań działać siła. Obserwator z zewnątrz („laboratoryjny”) nazwie ją siłą Lorentza, a jej pojawienie się uzna za dowód, że przewodnik z prądem wytwarza pole magnetyczne. Nadając ładunkowi prędkość równoległą do przewodnika i mie rząc tę siłę przy różnych natężeniach prądu i odległościach, można stwierdzić, że indukcja magnetyczna wokół przewodnika będzie proporcjonalna do ilorazu Ijr.
>e're_V’- v 2/c2 F=qv
1 SoCz-2xr
R=_L__£oL_ B qv
2xr
e0c'
: = kU 0
H
^°H
Rys. 248. Względność oddziaływania między ruchomym ładunkiem i przewodnikiem z prądem. Dla obserwatora laboratoryjnego (a) gęstości ładunków obu znaków są jednakowe, przewodnik jest elektrycznie obojętny. Pole magnetyczne działa na ła dunek siłą Lorentza. Dla obserwatora poruszającego się wraz z ładunkiem q (b) gęstości obu rodzajów ładunków w przewodniku są różne, przewodnik ma nadmiar ładunków dodatnich. Ich pole (elektryczne) działa na ładunek q siłą F \ której wartość po przetransformowaniu do układu laboratoryjnego jest taka sama jak siły Lo rentza.
A jak opisze omówione zjawisko obserwator, dla którego ładunek q jest nieru chomy, tzn. obserwator znajdujący się w związanym z nim układzie odniesienia? Dla prostoty ograniczymy się do przypadku, kiedy prędkość v jest taka sama jak prędkość ładunków ujemnych w przewodniku, czyli v = v_. Dla takiego obserwatora 17*
259
elektrony przewodnictwa są nieruchome, natomiast przewodnik wraz z tkwiącymi w nim ładunkami dodatnimi porusza się z prędkością — Zgodnie ze szczególną teorią względności, odcinek przewodnika, któremu przypisywaliśmy długość /, ulegnie skróceniu i jego długość wyniesie /' = i f T v z/c2. Wymiary poprzeczne nie ulegną zmianie, więc S ' = S, podobnie nie zmieni się ładunek, który jest niezmien nikiem transformacji Lorentza (gdyby ładunek cząstek zależał od prędkości, można by ładować ciała, podgrzewając je). Zatem także Q' = Q. W takim razie dla obser watora związanego z ładunkiem q musi się zmienić gęstość ładunków w przewodniku i to dla każdego znaku w różny sposób. Dla ładunków dodatnich (poruszających się wraz z przewodnikiem)
_
e+
Q' _ Q = e+ rsr iS]/\—v2ic2 1/ 1 —v2/c2 '
Stosując wzór transformacyjny do znalezienia gęstości ładunków ujemnych, musimy zdać sobie sprawę, że w układzie związanym z ładunkiem q są one nierucho me, natomiast w układzie laboratoryjnym poruszają się z prędkością v. Wobec tego w tym właśnie układzie zajmowany przez nie obszar jest skrócony: ]/1 —v 2jc2 Stąd qL
=
—v 2jc2.
Zatem dla obserwatora związanego z ładunkiem q gęstość ładunków ujemnych maleje, a ładunków dodatnich rośnie. Wypadkowa gęstość jest równa ;+£?: =
e+ | / l —v 2jc
+ e - | / i -® 2/c2 =
q+ - j =
= | / l —v 2jc2 ’
przy czym wykorzystaliśmy równość obu gęstości w układzie laboratoryjnym. W układzie związanym z ładunkiem q przewodnik nie jest już elektrycznie obojętny, tylko tworzy liniowy obszar naładowany dodatnio z gęstością q'. Czytelnicy przypo minają sobie zapewne, że natężenie pola w odległości r od tak naładowanej nici (lub walca) wynosi K'
=
V 2ite0r
=
e'S 2 tie0r
=
q +Sv 2I c2 2izE0r | / l —v 2/c2
przy czym skorzystaliśmy z oczywistego związku między liniową i przestrzenną gęs tością ładunku A = T ~ W S " es Jak widać, według obserwatora związanego z q, ładunek ten znajduje się w polu elektrycznym o natężeniu K! i stąd pochodzi działająca nań siła. Jest ona skierowana 260
w stronę dodatnio naładowanego przewodnika (ładunek q jest ujemny), a jej wartość wynosi F = ąK' =
qQ+sv2 2tce0c2r ] / 1 —v 2jc2
Aby uprościć zapis, przedstawmy kwadrat prędkości w liczniku jako iloczyn: F =
qg+Sv-v 27T£0C2r j / l —v 2jc2
Iloczyn gęstości ładunku, pola przekroju przewodnika i prędkości nośników jest oczywiście natężeniem prądu: p+Stf = / . Stąd -
<łVl 2ite0c2r j / 1 —v 2/c2
Taką siłę dostrzega obserwator związany z ładunkiem q. Błędem byłoby sądzić, że jest ona równa sile Lorentza. Aby wrócić do układu laboratoryjnego, musimy sko rzystać z transformacji siły. W przypadku siły prostopadłej do ruchu (tzn. do pręd kości v) ma ona postać ]/1 —v 2(c2 Z porównania obu ostatnich wzorów wynika
i to jest właśnie siła Lorentza. Dzieląc ją przez iloczyn qv, znajdziemy indukcję magnetyczną w pobliżu rozpatrywanego przewodnika
qv
e0c2 •27tr
W ten sposób wykazaliśmy względność pola magnetycznego: to, co dla jednego obserwatora było polem magnetycznym, dla drugiego stanowiło pole elektryczne — i odwrotnie. Ściślej biorąc, należy mówić o względności obu pól — magnetycznego i elektrycznego — lub o względności pola elektromagnetycznego. Nasz rachunek przeprowadziliśmy dla szczególnego przypadku ładunku poru szającego się z prędkością równą prędkości nośników ujemnych w przewodniku. W przypadku ogólnym, znacznie trudniejszym rachunkowo, musielibyśmy osobno rozpatrywać równoległe i prostopadłe składowe prędkości i siły i stosować relaty261
wistyczne dodawanie prędkości. Oznaczając kąt między wektorami v i B przez a doszlibyśmy do wzoru F — qv
e0c2 • 2nr
sina.
Analizując kierunki i zwroty wektorów otrzymalibyśmy ostatecznie wektorową postać wzoru na siłę Lorentza: F = qvxB. Zasadniczy sens rachunku pozostałby nie zmieniony. Natężenie pola magnetycznego. Napiszmy wyprowadzone przez nas wyrażenie w postaci e0c2 2nr ' Pierwszy czynnik po prawej stronie nosi nazwę stałej magnetycznej lub magnetycznej przenikałności próżni. Nietrudno znaleźć jej wartość ^
1 3Ó7T- 109V-m-s2 „ tA_, V-s e0c2 9-1016C-m2 A-m = 1,256 637 061 44 • 10-6V • s • A -1 • m r 1
(bo e0 S 109/36tc C • V-1 • m_1, a prędkość światła w próżni c = 3 • 108 m • s ' 1). Wartość ta jest tak dokładna jak liczba n. Stała fi0 jest umownym mianowanym współczynnikiem wiążącym elektryczną przenikalność próżni z kwadratem prędkości światła. Łatwo dostrzec, że eof*o c2 = 1Drugi czynnik zależy od natężenia prądu i odległości od przewodnika. Oznaczamy go literą H i nazywamy natężeniem pola magnetycznego
Jednostką natężenia pola magnetycznego jest A • m-1. Natężenie pola jest wektorem (osiowym). W naszym przypadku możemy mu przypisać kierunek i zwrot wektora indukcji, co prowadzi (w próżni) do związku B = ^oH, mającego charakter ogólny, niezależnie od kształtu przewodnika i w ogóle od rodzaju i konfiguracji źródeł pola magnetycznego. 262
Podstawmy jeszcze uzyskaną zależność do prawa Gaussa
F =
= qK + qyx. B.
Dla składowej pędu równoległej do osi x
dPx ~dT
qKx + q (vxB )x - q(Kx+ v,B z- v zB,).
Mnożąc to wyrażenie przez dt/ds (5 jest interwałem czasoprzestrzennym — jednakowym dla wszyst kich układów inercjalnych) oraz biorąc pod uwagę, że v , = dy/dt, v z = dz/dt, otrzymujemy dpx
I dt dy dz\ dz = 9\ Kxd7 + & ~dT~B’ dT/'
Z kolei napiszmy bilans mocy dE
d ft
—ą 7 = - 7 — = « K v = q ( K xV x + K , v , + K zv z)
(siła Lorentza — prostopadła do prędkości — pracy nie wykonuje) i pomnóżmy go przez dt/ds i przez w„/cł : dE
c1 ds
dx
dv
dz \
= ~,q[Kx — + K , ~ + * , - - ) ds
d sj
ds
(prędkość unoszenia układu ruchomego v u jest równoległa do osi x). Po odjęciu stronami od wyra żenia na dpxjds otrzymujemy dt ds
-(
B y
5
3
* (
dy ds
+
263
Wypiszmy teraz transformacje Lorentza dla współrzędnych i czasu
Różniczkując je względem dz, możemy się przekonać, że dr dr
t>« dx _ dr' _ / . _ uJ c2 ds dr \ c1 ’
dy
d/
dz
dz'
dr
dr ’
dr
dr
Jak pamiętamy, pęd transformuje się jak współrzędne przestrzenne, a energia jak czas. Stąd
i po podzieleniu przez \ / l —wj/c2 i pomnożeniu przez dr/df'
Zgodnie z zasadą względności Einsteina wzór na siłę musi mieć w obu układach taką samą postać tzn. ~
dr
=
g{Ki+v'rB'z-v iB ;).
Jak widać, K i = K„
Podobnie znajduje się transformacje pozostałych składowych obu pól: B i = Bx , 264
Można uprościć zapis wprowadzając wektory i rozróżniając tylko składowe równoległe i prostopadłe do ruchu
Znalezione transformacje opisują względność pól elektrycznych i magnetycznych. Obserwator poruszający się prostopadle do jednego z tych pól stwierdzi w swoim układzie pojawienie się także drugiego pola. Przykład. Ruch przez pole. Z jaką szybkością trzeba się poruszać przez pole, żeby móc zmie rzyć efekty relatywistyczne? Pionowa składowa pola magnetycznego Ziemi w pobliżu bieguna wy nosi B = 0,62- 10_* T. W skrzydłach samolotu lecącego z prędkością głosu v , = 340 m/s < c nad biegunem powstaje pole elektryczne o natężeniu |v ,x B | = 3,4- 102 (m /s)-0,62- 10“* T = - 0,021 V/m (T = V • s/m2). Przy rozpiętości skrzydeł / = 10 m między ich końcami wzbudzi się napięcie (siła elektromotoryczna indukcji) U = KI = 0,21 V. Łatwo byłoby je zmierzyć, gdyby nie znacznie większe napięcie pochodzące od zmiennych pól atmosferycznych o natężeniu rzędu 100 V/m. Nasz samolot porusza się właśnie przez takie pole elektryczne i powstaje w nim dodatkowe pole magnetyczne o indukcji v uK/c2 = 3,4- 102 m/s - 100 V/m: (9- 10“ m2/s2) = 3,8- 10“ 12 T — o wiele za małe, by m ocje zmierzyć. Nawet w polach rzędu 10‘ V/m — najsilniejszych jakie potra fimy wytwarzać — efekt byłby niezauważalny. Całkiem inną sytuację mamy w fizyce atomowej. Atom wodoru o energii 100 keV (1,6 • 10"“ J) ma prędkość rzędu 5 • 10* m/s. Wystarczy prostopadłe do ruchu pole magnetyczne o indukcji 1 T, by w układzie związanym z atomem wytworzyło się pole elektryczne 5 • 106 V/m, ułatwiające joni zację, zwaną jonizacją lorentzowską.
Siła Ampćre*a. Rozpatrzmy odcinek d/ przewodnika, w którym płynie prąd o natężeniu /. Umieszczając go w polu magnetycznym o indukcji B, możemy się spodziewać, że podziała nań siła, będąca sumą sił Lorentza, działających na elek trony przewodnictwa. Spróbujemy ją teraz obliczyć. Rozpatrywany odcinek prze wodnika ma objętość dV = Sdl i zawiera ndV = nSdl elektronów przewodnictwa, 265
poruszających się ze średnią prędkością ve. Suma działających na nie sił Lorentza jest równa dF = —neSdlve x B . Znak minus jest związany ze znakiem ładunku elektronów. Prąd elektronów jest równoważny przeciwnie skierowanemu prądowi ładunków dodatnich o prędkości
Rys. 249. Siła Ampere’a. Źródłem pola są elementy przewodnika, którym przypisu jemy kierunek przepływu prądu.
v = —v e. Przypisując elementowi dl kierunek i zwrot prądu ładunków dodatnich, możemy nadać otrzymanemu wyrażeniu postać dF = neSwdlxB = /d lx B , bowiem iloczyn neSv oznacza natężenie prądu. Całkowitą siłę działającą na prze wodnik o długości / znajdziemy jako całkę F = /jd lx B . Siłę działającą na przewodnik z prądem w polu magnetycznym nazywamy silą Ampere'a. W przypadku przewodnika prostoliniowego i jednorodnego pola F = /Ix B . W ten sposób wychodząc od siły Lorentza doszliśmy do siły Ampere’a. Histo ryczna kolejność była odwrotna: najpierw zaobserwowano siły działające na prze wodniki z prądem (A. M. Am pćre— 1820), a siłę Lorentza zbadano dopiero po odkryciu promieni katodowych, kilkadziesiąt lat później. Moment magnetyczny. Umieśćmy w polu magnetycznym przewodnik w kształcie prostokątnej ramki, o bokach a i b, przez którą płynie prąd /. Niech normalna do płaszczyzny ramki tworzy kąt
Wypadkowy moment obracający ramkę pochodzi od sił działających na boki b, równych Fb = IbB. Siły te tworzą parę sił o ramieniu asin
Rys. 250. N a ramkę z prądem działają w polu magnetycznym dwie pary sił. Siły F«, —F„ rozciągają ramkę, siły Fb, —Fb obracają ją tak, by moment magnetyczny pm był równoległy do pola.
Przypisując polu powierzchni ramki ab = S kierunek normalnej do ramki i zwrot zgodny z ruchem śruby prawoskrętnej obracanej przez opływający ramkę prąd, możemy napisać M = iS x B = pmx B , przy czym wprowadziliśmy oznaczenie
pm= is. Wektor pm nosi nazwę momentu magnetycznego. Powyższa definicja stosuje się do ramki dowolnego kształtu. Jednostką momentu magnetycznego jest 1 A • m2. Przykład. Momenty magnetyczne atomów i jąder. W planetarnym modelu atomu wodoru elektron krąży dookoła jądra po kołowej orbicie o promieniu r. Równoważne natężenie prądu wynosi
a moment magnetyczny ev 1 Pm = — -----rc r2 = — evr. 2nr 2
Okrążającemu jądro elektronowi można przypisać moment pędu L = m ,v r . Wektor momentu pędu jest prostopadły do płaszczyzny orbity, a zwrot jego jest zgodny z regułą śruby prawoskrętnej. 267
Biorąc pod uwagę ujemny ładunek elektronu, zwiążemy moment magnetyczny z momentem pędu e
Stosunek wartości obu momentów Dm
€
y = — = ------- = -0,879 402 3-10^-kg'1 L
2m t
nosi nazwę w spółczynnika giromagnetycznego.
^~~2xne Rys. 251. Moment magnetyczny atomu (w tym przypadku wodoru) jest wprost proporcjonalny do momentu pędu elektronów. Ze względu na ujemny ładunek elek tronu zwroty wektorów są przeciwne, y nosi nazwę stosunku giromagnetycznego. Dla atomu wodoru w stanie podstawowym promień orbity r = 0,529 • 10-10 m, a prędkość elektronu v = 2,19 • 106 m • s-1. Wynikający stąd moment magnetyczny Pm = p B = £ •1,60 •10-19 •2,19 ■10® •0,529 •1 0 '10 = 9,27 •1 0'24 A - m 2 nosi nazwę m agnetonu Bohra. Magneton Bohra gra rolę jednostki atomowego momentu magnetyczr 'go. Najdokładniejsza aktualna wartość:
pa = (9,274 078 ±0,000 036) ■1 0 '24 A • m2. Jest to 'rtość bardzo mała. Dla porównania: moment magnetyczny pętli z drutu o powierzchni 50 m ir2 przez ’ ą płynie prąd 1 mA wynosi = 10
" 5 = 5 - 1 0 '8A -m 2.
Wypadkowy orbitalny i. poszczególnych elektronów
.ent magnetyczny atomu wieloelektronowego jest sumą momentów
Z
W zależności od wartości p m dzielimy substancje na diam agnetyki (p m = 0) i param agnetyki (p # 0). Ciała o bardzo silnych właściwościach magnetycznych noszą nazwę ferrom agnetyków . Także jądra atomów mają moment magnetyczny, którego jednostką jest m agneton jądrow y Pi = (5,050 824 + 0,000020)- 1 0 '27 A -m 2. Momenty magnetyczne atomów i jąder bada się metodami rezonansu magnetycznego. 268
Indukcja magnetyczna w ośrodku. Właściwości magnetyczne ciał charakteryzuje wektor namagnesowania (magnetyzacji), zdefiniowany jako przestrzenna gęstość magnetycznych momentów dipolowych: I _ X Pm J -------- v - .
a)
J» 0
\
/
£ Pr
b)
Pm
J
!/
V V V
H=0
t /
t B = fi0H + fi0J=fXju,0H
Rys. 252. W braku pola zewnętrznego (a) cząsteczkowe momenty magnetyczne mają przypadkowe kierunki. Pole H (b) obraca dipole zgodnie z polem. Namagnesowanie J jest gęstością momentów dipoli, przy czym bierze się pod uwagę tylko składowe równoległe do pola. Gdy wszystkie dipole ustawią się równolegle, wystąpi nasycenie magnetyczne.
Ponieważ momenty magnetyczne mierzymy w A • m2, a objętość w m3, jednostką namagnesowania jest l A - m -1. Zbieżność z jednostką natężenia pola nie jest przypadkowa: wielkość namagnesowania wiąże się z natężeniem pola wewnętrznego pochodzącego od dipoli atomowych i cząsteczkowych. Można stąd określić dodatkową („wewnętrzną”) indukcję magnetyczną B w = Po J .
Dodając ją do indukcji pola zewnętrznego (B = /z0H), znajdziemy indukcję wypadkową
B= Przyrost indukcji wyrażamy zwykle za pomocą bezwymiarowego współczynnika względnej przenikalności magnetycznej p:
B = p p 0H. Współczynnik przenikalności charakteryzuje magnetyczne właściwości ośrodka. W ciałach paramagnetycznych p jest nieco większe od jedności, w ciałach diamagnetycznych — nieco mniejsze. Różnicę p —1 = x 269
nazywamy podatnością magnetyczną. Jest to wielkość bardzo mała — rzędu 10"6, dodatnia dla paramagnetyków, a ujemna dla diamagnetyków. Jak widać, przenikalność magnetyczna obu rodzajów substancji p. = \ + x bardzo nieznacznie różni się od jedności. Osobną grupę stanowią substancje ferromagnetyczne o bardzo dużej dodatniej podatności i takiejż przenikalności — rzędu tysięcy, zależnej od natężenia pola. Znajdźmy jeszcze związek między namagnesowaniem a natężeniem zewnętrznego pola magnetycznego: J = — B - H = (w —1)H = xH . f*o Namagnesowanie jest wprost proporcjonalne do natężenia pola zewnętrznego. Współczynnikiem proporcjonalności jest podatność magnetyczna. Pole wewnętrzne jest tym silniejsze, im większa jest podatność ośrodka i im silniejsze pole zewnętrzne. W bardzo silnych polach proporcjonalność ta się kończy, występuje tzw. nasycenie magnetyczne.
Rys. 253. Krzywa magnesowania. W stanie nasycenia magnetycznego namagneso wanie J osiąga maksymalną wartość, a indukcja wykazuje słaby liniowy wzrost.
Przykład. Histereza magnetyczna. Natężenie pola magnetycznego wewnątrz długiego, gęsto nawiniętego solenoidu jest wprost proporcjonalne do natężenia płynącego przezeń prądu:
H=
NI ~T
Gdy prąd nie płynie, natężenie pola równa się zeru. Umieszczając w solenoidzie rdzeń ferro magnetyczny, a następnie przepuszczając przez uzwojenie prąd elektryczny możemy go namagne sować. Indukcja w rdzeniu rośnie z natężeniem pola zgodnie z wzorem B = po {H + J), początkowo dość szybko, potem wolniej. Wyjaśniamy to głównie wzrostem namagnesowania J. Dopiero z chwilą osiągnięcia nasycenia magnetycznego, które charakteryzuje niezależna od pola maksymalna wartość namagnesowania Jm% dalszy przebieg krzywej magnesowania jest liniowy: B = poJm+PoH = con st+ ^o # . 270
Ze względu na małą wartość stałej /i0 (4tc• 10-7 V ■s/A • m) nachylenie jest w tym obszarze bardzo małe. Wiele materiałów wykazuje bezwładność magnetyczną: przy zmniejszaniu natężenia pola do zera indukcja nie spada do zera, tylko zachowuje wartość zwaną pozostałością magnetyczną. Natężenie pola o przeciwnym kierunku, jakie trzeba zastosować, żeby usunąć pozostałość magnetyczną, nosi nazwę pola koercji. Przy dalszym zwiększaniu natężenia pola proces namagnesowania (przeciwnego) przebiega tak samo jak poprzednio. Przy pełnym cyklu zmian natężenia od jednego do drugiego nasycenia krzywa magnesowania tworzy pętlę histerezy magnetycznej. Pole pętli o wymiarze gęstości energii Vs A V •A •s J IBH | = — ------- ------- — = — m2 m m m3 jest miarą pracy przemagnesowania. W ostatecznym efekcie praca ta zamienia się na ciepło. Tam, gdzie chcemy je wykorzystać, stosujemy materiały o dużej pętli histerezy, zwane twardymi magne tykami. Magnetyków miękkich, prawie bez histerezy, używa się wszędzie tam, gdzie konieczne są rdzenie magnetyczne, ale trzeba uniknąć wyzwalania się ciepła — np. w transformatorach.
Rys. 254. Pętla histerezy magnetycznej w ferromagnetycznym rdzeniu solenoidu. Natężenie pola H zmienia się proporcjonalnie do natężenia prądu w solenoidzie. Pole pętli jest miarą rozproszonej energii, rozgrzewającej rdzeń.
Prawo Amp£re’a. Z wyprowadzonego uprzednio wyrażenia na natężenie pola magnetycznego prostoliniowego przewodnika z prądem
wynika, że H -2nr = / , Iloczyn 2nr jest długością okręgu zatoczonego promieniem r wokół przewodnika. Lewa strona powyższego związku jest równa cyrkulacji z natężenia po konturze kołowym. Zatem f Hdr = l.
271
Nietrudno dostrzec, że otrzymany związek, zwany prawem Ampire'a, odnosi się do dowolnego kształtu konturu. Mianowicie H dr = //|dr|cos(H , dr). Rzut przemieszczenia elementarnego wzdłuż konturu na kierunek prostopadły do promienia jest równy elementarnemu przemieszczeniu wzdłuż konturu kołowego o promieniu r: |dr|cos(H, dr) = rdq>.
Rys. 255. Prawo Ampóre’a: cyrkulacja z natężenia pola magnetycznego jest równa natężeniu prądu przepływającego przez kontur.
Rys. 256. Prawo Ampćre’a jest słuszne dla dowolnego konturu i dowolnej liczby prądów.
Obliczenie cyrkulacji sprowadza się do całkowania po kącie
272
ma, przy I = const, wszędzie tę samą wartość. Stąd 2rc
niezależnie od kształtu konturu. W ogólnym przypadku kontur całkowania może obejmować dowolną liczbę n przewodników. Natężenie / należy wówczas rozumieć jako sumę natężeń prądów w poszczególnych przewodnikach:
fH d r = £ / „ ; =i Prawo Ampere’a wyraża podstawową właściwość pola magnetycznego — jego wirowość. W polu bezwirowym — np. elektrostatycznym — cyrkulacja z natężenia jest równa zeru: <£Kdr = 0. Ze względu na to, że H = B///0, prawo Ampere’a można także przedstawić w postaci
Fizyka dla politechnik
273
całkowe wyraża ona wirowość pola magnetycznego. Obydwa prawa wykorzystamy później do wyznaczania pola. Jeżeli wewnątrz konturu całkowania nie ma prądów ( £ / = 0), prawa Ampere’a otrzymują postać H dr = 0,
rotH = 0
rotB = 0.
lub
rB UmjH d r= V A—VB rA
jest całką z natężenia pola do danego punktu do nieskończoności.
Rys. 258. Napięcie magnetyczne jest całką z natężenia między punktami A i B.
Takiemu polu można przypisać skalarny potencjał magnetyczny Vm (zwany też magnetostatycznym), zdefiniowany wzorem H = —grad Vm, czyli
^ (r) -
SH dr.
Jednostką potencjału magnetostatycznego jest 1 A. Podobnie całkę r»
J H dr = VA— VB — Um TA
określa się jako napięcie magnetyczne. Ciągnąc tę analogię dalej można sumę prądów 274
objętych danym konturem nazwać silą magnetomotoryczną
Do pojęć tych wrócimy przy obliczaniu obwodów magnetycznych. Często spotyka się inną definicję potencjału rhagnetostatycznego — wychodzącą nie z natężenia pola tylko z indukcji B = - g ra d J e Łatwo dostrzec, że
K = Jednostką tak określonego potencjału jest 1 V • s • A~l • m~‘ • A = 1 V • s • m-1, czyli 1 Wb/m. Wartości obu potencjałów są do siebie proporcjonalne.
Wektorowy potencjał magnetyczny. Z solenoidalności pola magnetycznego wynika, że można mu przypisać potencjał wektorowy A. Zdefiniujemy go wzorem B = rot A. Jak już poprzednio stwierdziliśmy, definicja taka nie jest jednoznaczna, bo dodanie do potencjału dowolnego wektora bezwirowego nie zmienia wektora indukcji. Aby przywrócić jednoznaczność, nałożymy na wektor A dodatkowy warunek: musi on także być solenoidalny divA = 0. Ściśle biorąc, tak zdefiniowany potencjał nadal nie jest jednoznaczny. Pełną jed noznaczność uzyskamy dopiero przez podanie warunków brzegowych. W wielu zagadnieniach wygodnie jest przyjąć, że potencjał wektorowy w nieskończenie wiel kiej odległości dąży do zera. Jaki jest fizyczny sens potencjału wektorowego? Zanim to rozstrzygniemy ustalmy jego jednostki. Rotacja jest równoznaczna z pochodną względem współrzędnych. Wymiar rot A będzie zatem wymiarem potencjału A podzielonym przez wymiar długości. Stąd znajdziemy jednostkę potencjału wektorowego jako iloczyn Vs Vs Wb — — . m = — - = ------- . nr m m Niekiedy można się spotkać z inną definicją potencjału wektorowego, związaną nie z indukcją tylko z natężeniem pola H = rot A'. Łatwo stwierdzić, że oba potencjały są do siebie proporcjonalne A A' = ---- . Po 18*
275
Jednostką tak zdefiniowanego potencjału jest 1
Am- m =
1A.
Widać tu związek między potencjałem wektorowym a natężeniem prądu. Jednak istotny sens tej wielkości znajdziemy w inny sposób. Wprowadźmy potencjał wekto rowy do różniczkowego prawa Ampere’a: rotB = ro tro tA = ^ojJak pamiętamy, rot rot = graddiv —div grad = grad div —V2. Ze względu na solenoidalność wektora A (divA = 0) otrzymujemy stąd ro tro tA = —V2A = —fi0j ostatecznie V2A =
Aoj •
Równanie to jest odpowiednikiem równania Poissona dla potencjału skalarnego i musi mieć podobne rozwiązanie „ i f o . f i dV4n J r r oznacza tutaj odległość od źródła pola do punktu, w którym wyznaczamy potencjał. Źródłem jest w tym przypadku element przewodnika z prądem o gęstości j. Jeżeli
Rys. 259. Wektorowy potencjał magnetyczny ma kierunek i zwrot elementu prądu.
przewodnik ma wszędzie ten sam przekrój S, to dV = Sdl. Biorąc pod uwagę, że gęstość prądu j = J/S i przypisując elementowi dl kierunek i zwrot gęstości prądu możemy zastąpić całkowanie objętościowe całkowaniem po długości przewodni ka: A
276
ifo f ^ S d i = A 4n 47c j rS
/dl r
Jak widać, dla danego przewodnika wartość potencjału wektorowego jest pro porcjonalna do natężenia płynącego w nim prądu. Kierunek i zwrot wynika z sumo wania przyczynków od poszczególnych elementów przewodnika. Każdy taki przy czynek dA = T^-Jdl ma zwrot i kierunek elementu dl. Iloczyn /dl nazywa się niekiedy elementem prądu. Z podanych wzorów można znaleźć składowe potencjału wektorowego. Na przykład w układzie kartezjańskim Ax
Mo C jxdV 4n J r ’
Ay
Mo f jy W 47r J r '
Az
Mo f j xd V
4n J
r
Rys. 260. Obliczanie potencjału wektorowego
Obliczenie potencjału wektorowego wymaga niekiedy wprowadzenia innego układu współrzędnych, w którym wektor r opisuje położenie punktu działania, a r ' — ele mentu prądu. Wzór ogólny ma w tym przypadku postać jdV _ Mo [ /dl A- M A 4n ) Ir—r'| 4n i |r—r'| • Znajdźmy jeszcze cyrkulację z potencjału wektorowego. Zgodnie z twierdzeniem Stokesa | Adr = JrotA dS = $BdS = &m. 277
Cyrkulacja z potencjału wektorowego po dowolnym konturze jest równa stru mieniowi magnetycznemu przez powierzchnię objętą tym konturem. Ten ważny związek wykorzystuje się często w praktycznych rachunkach. Przykład. Potencjał wektorowy w polu jednorodnym. Cyrkulacja z potencjału po konturze kołowym o promieniu r i środku w początku układu wynosi
Prawo Biota-Savarta. Przekształcimy teraz wyrażenie na różniczkę potencjału wektorowego ,. _ /zp/dl _ p 0Idl J_ 47tr 4n r i znajdziemy odpowiadający mu przyczynek do wektora indukeji dB = rotdA = V x
4ir
r
.
Korzystając z poznanych już wcześniej właściwości iloczynu mieszanego otrzymu jemy stąd dB = -
^ 47t
x V J_ r
czyli _ /i0/dl x r° 4nr2 tub „
278
po I f d lx r°
Jest to prawo Biota-Savarta zwane też prawem Laplace’a. r° jest wersorem pro mienia wodzącego łączącego element prądu /dl z punktem działania (punktem, w którym wyznaczamy pole). Prawo Biota-Savarta można też zapisać w postaci B =
Hol f d lx r J r3 ’
a także jako wzór na natężenie pola: dl x r°
Rys. 261. Prawo Biota-Savarta. Indukcja w punkcie P jest całką rozciągniętą na cały przewodnik.
Pole magnetyczne na granicy ośrodków. Wyznaczenie pola magnetycznego wymaga znajomości warunków brzegowych. W ogólnym przypadku w rozpatrywanym ob szarze znajdują się ciała o różnych właściwościach magnetycznych, tzn. o różnej
Rys. 262. Składowe normalne indukcji i natężenia pola na granicy ośrodków znaj duje się za pomocą prawa Gaussa. W granicy wysokość walca dąży do zera. 279
przenikalności fi. Najwygodniej jest rozpatrywać całą objętość danego ośrodka jako jeden obszar. Jest on wówczas ograniczony ośrodkami innej przenikalności. Rozpatrzmy powierzchnię graniczną między ośrodkami o współczynnikach prze nikalności magnetycznej i ^ 2. Utwórzmy obszar w postaci walca, którego pobocznica jest prostopadła do przecinającej ją powierzchni granicznej. Górna część walca znajduje się w ośrodku 1, a dolna w ośrodku 2. Pole podstawy walca oznaczymy przez J S , a wysokość przez h. Aby wyznaczyć indukcję magnetyczną po obu stronach powierzchni granicznej, oprzemy się najpierw na twierdzeniu Gaussa: całkowity strumień magnetyczny przez powierzchnię walca musi być równy zeru: 0 =
280
Cyrkulacja po całym konturze jest sumą całek po kolejnych bokach prostokąta. Całki po bokach równoległych do granicy ośrodków można łatwo wyrazić za po mocą składowych stycznych. W pierwszym ośrodku j H dr =
Alco&(Hl t AI) = HltAl,
Al
a w drugim J H dr = H2Alcos(H2, Al) = H 2tAl. At
H,t = H2t B i t __ f^-i
B« P*2 Rys. 263. Do wyznaczania składowych stycznych stosujemy prawo Ampćre’a.
Całki po bokach prostopadłych zmierzają do zera przy h dążącym do zera. W granicy Hi t A l—H 2tAl = 0 (minus wynika stąd, że każdy z obu boków równoległych przechodzimy w przeciw nym kierunku). Stąd Hlt = H 2t. Styczne składowe natężenia pola są po obu stronach takie same. Wobec tego styczne składowe indukcji muszą się różnić: Bu _ Pi Po Hit B2t p 2poH 2t
PX Pz
Wszystkie powyższe zależności są słuszne tylko w przypadku braku prądów powierzchniowych.
281
Znajdźmy jeszcze kąt, jaki tworzy wektor indukcji z normalną do granicy ośrod ków: tg
^it _ B2tfj,i _ B l n ~ B2np 2 ~ p 2 1^
tg k i tgoc-2
{i.,
Rys. 264. Załamanie linii pola na granicy ośrodków. Styczne składowe natężenia i normalne składowe indukcji nie ulegają zmianie.
Stąd wynika prawo załamania linii indukcji tg«l _ |_ tg a 2 p2 ' Wobec równoległości wektorów B i H tak samo będą się załamywać linie na tężenia pola.
§ 22. Wyznaczanie pola magnetycznego Pole magnetyczne układów przewodników z prądem można wyznaczyć jedną z nastę pujących metod: a) z prawa Ampere’a, b) z prawa Biota-Savarta, c) z równania Poissona dla wektorowego potencjału magnetycznego. Prawo Ampere'a jest bardzo wygodne, gdy mamy do czynienia z polami o dużym stopniu symetrii. Prawo Biota-Samrta stosuje się do wyznaczania pól przewodników o niezbyt skomplikowanych kształtach i w ogóle wszędzie tam, gdzie można obliczyć występującą w nim całkę. W najogólniejszych przypadkach trzeba korzystać z rów nania Poissona, co z reguły wiąże się z większymi trudnościami rachunkowymi. Jak już wspomniano, jednoznaczne wyznaczenie pola wymaga znajomości warunków brzegowych. W praktyce oznacza to znajomość rozmiarów i kształtu rozpatrywanego obszaru oraz przenikalności magnetycznych ośrodków.
282
Przykład. Pole przewodu prostoliniowego. Dany jest prostoliniowy przewodnik, przez który płynie prąd o natężeniu /. Indukcję magnetyczną w punkcie odległym od przewodnika o r znajdziemy z prawa Biota-Savarta dB = W*Q/ d l x P°
4nex
II iI
Rys. 265. Pole przewodnika prostoliniowego znajduje się za pomocą prawa BiotaSavarta. Całkowanie po długości zastąpiono całkowaniem po kątach. Przy nieskoń czonej długości kąty graniczne są proste. w którym fi oznacza względną przenikalność magnetyczną ośrodka. W powietrzu i próżni fi = 1 i prawo Biota-Savarta powraca do poprzednio poznanej postaci. Oznaczając przez /? kąt między wektorem p, łączącym element prądu /dl z punktem działania, a przewodnikiem możemy na pisać dB =
jUo/d/sin/9 4kqx
Przeprowadźmy teraz przez punkt działania płaszczyznę prostopadłą do przewodnika. K ąt a między nią a kierunkiem wektora g spełnia związek oc+/? = rr/2. Stąd dl sin /?
d/cosoc
e
e
Iloczyn d/cosa jest rzutem elementu dl na kierunek prostopadły do g i można go zastąpić ele mentem łuku £>da. Stąd d/sin/? e
gda. e
Poza tym
6=
cosec 283
Podstawiając to wszystko do prawa Biota-Savarta i całkując po kątach a, otrzymujemy
ii0ir B = -----4tt r
** a // / I \ cosada = ------ [sina2- s i n ( - a l)]. i 4 tt r
-O l
Kąty a, i a 2 odpowiadają końcom przewodnika. Dla przewodnika nieskończenie długiego (czyli dla punktów bliskich realnego przewodnika) a ( = a 2 = tt/2, co prowadzi do wartości indukcji
do których doszliśmy już przy omawianiu względności pola magnetycznego. Warunkiem stałości indukcji (lub natężenia pola) jest r = const. Jest to zarazem równanie linii pola w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika. Jak widać, są one współśrodkowymi okręgami. Wniosek ten jest zgodny z doświadczeniem. Przykład. Pole przewodnika cylindrycznego. Do wyznaczenia pola przewodnika w kształcie walca o promieniu R zastosujemy równanie potencjału wektorowego V2A = - p /io j.
Rys. 266. Pole magnetyczne przewodnika cylindrycznego ma w punktach takich jak P tylko składową styczną, potencjał wektorowy — tylko składową osiową. W środku przewodnika potencjał osiąga maksimum, indukcja jest równa zeru. Na powierzchni potencjał zmienia znak, a indukcja przechodzi przez maksimum.
284
Najdogodniejsze dla rozpatrywanego przypadku będą współrzędne cylindryczne q, tp, z o osi z pokrywającej się z osią przewodnika. Z podanego uprzednio ogólnego wyrażenia na różniczkę potencjału
47Tg wynika, że jest on wszędzie równoległy do osi walca, czyli że ma tylko składową A , = A. Rozpi sując laplasjan we współrzędnych cylindrycznych i biorąc pod uwagę, ie A v = Ae = 0 , otrzymujemy
e se \
—W
se )
nR 2 ’
przy czym wyrażono gęstość prądu (ściślej składową j , = j ) jako iloraz natężenia prądu i pola prze kroju przewodnika. Ze względu na symetrię cylindryczną Az nie zależy od ę i z i odpowiednie pochod ne znikają, co pozwala na zastąpienie promienia q odległością r od osi. Po scałkowaniu mamy 8AZ
Ir2 2nR2 '
-W * o
Stała całkowania jest równa zeru, bo d la r = 0 8Az/8r = 0 (inaczej, mielibyśmy tam niecią głość). Po rozdzieleniu zmiennych i powtórnym całkowaniu otrzymujemy wewnątrz przewodnika
przy czym przyjęto, że na powierzchni walca (r = R) potencjał wektorowy staje się równy zeru. N a zewnątrz przewodnika równanie potencjału przybiera postać
L ± L ^ r dr \
l\
dr I
= 0.
Stąd 8AZ _
C
-t
oraz Az = C ln— R (w drugim całkowaniu stała znika, bo na powierzchni przewodnika Az = 0). Aby znaleźć stałą C, trzeba znać pochodną 8Azldr na powierzchni walca. Mając potencjał wektorowy, możemy z kolei wyznaczyć indukcję. Z definicji B — rot A, czyli 1 8AZ
8 Aif
Br = ------------------ -- = 0, r 8
=
-----------------—
8AZ ------------------ —
8z
8r
8 Aa
Aip
8AZ -----------------------------
8r 1
8Ar
B*= dr + —r -------5 - =0 r 8q> Ze wszystkich składników indukcji powstaje więc tylko składowa B
1
B'
n ' 285
Indukcja wewnątrz przewodnika fi' jest równa
i
HHo 1 d ( r2 \ 4n dr 1 R 2 }
i*fi0I 2nR2
Stąd dla r = R otrzymujemy
Wo / B = -™ r N a zewnątrz
co dla r = R prowadzi do równania _ ^ _ fio ł R ~ 2nR * czyli C = —fioIj2n. W ten sposób dochodzimy do ostatecznego wzoru na potencjał na zewnątrz walca:
fio ł. r
A,
----- In — . 2n R
Wynikająca stąd indukcja
B= *± 2nr
jest taka sama jak w otoczeniu prostoliniowego przewodnika z prądem / umieszczonego w osi walca. Rozpatrywane zagadnienie można rozwiązać znacznie prościej za pomocą prawa Ampćre’a: |B d r = fifio ^ ł •
Rys. 267. Pole walca najłatwiej znaleźć z prawa Ampćre’a. Ze względu na symetrię jako kontur całkowania wybieramy linię stałego pola (fi = const), czyli koncentryczny okrąg o promieniu r. Jak pamiętamy, S I oznacza sumaryczne natężenie prądu wewnątrz konturu. Dla punktów na zewnątrz walca S I = ł i prawo Ampćre’a przyjmuje postać
2wfi = naI, 286
co natychmiast prowadzi do wzorów B =
Boi 2n r ’
I 2nr Kontur zakreślony wewnątrz przewodu obejmuje część prądu proporcjonalną do stosunku powierzchni
R2
/
(przy założeniu, że wszędzie j = const). Stąd 2nrB = fi/i0
r 2I
W
czyli B=
W ol 2nR2 r'
Z jakąż łatwośdą znajdujemy to, co poprzednio nastręczało tyle trudu! Należy jednak pamiętać, że zakres stosowalności prawa Ampćre’a jest bardzo ograniczony. Przykład. Pole pętli kołowej. Zaczniemy od znalezienia potencjału wektorowego. W tym celu w środku pętli zaczepimy początek układu kartezjańskiego o współrzędnych x i y leżących w płasz czyźnie pętli. Współrzędna z pokrywa się z jej osią. Szukamy potencjału w punkcie P o współrzęd-
Rys. 268. Pole pętli jest polem o momencie magnetycznym pm. r jest odległością od elementu prądu do punktu działania P, q — promieniem wodzącym. W dużej od ległości od małej pętli można utożsamić oba wektory. nych kartezjaóskich x, y, z i cylindrycznych o, ę, z. Jego odległość r od elementu d/ pętli można wyrazić za pomocą współrzędnych obu układów i promienia pętli R w następujący sposób: r 2 = (x —J?cos ę>)2+ (y —i? sin ę>)2+ z2 = g2—2/tecosę>-2/^ysinę>+R 2. Stąd r = j/g ł —2Rx cos
R2
= e | / i ----------- ^ ---------+ - ? -
287
W wyrażeniu na potencjał wektorowy występuje odwrotność odległości r:
_ ____________ 1____________ 2/?(*cosę>+ysinę)) , R 2
r 6 \
2q 2
+ e2
D la punktów dostatecznie odległych od pętli (g > R) można pominąć ułamek R 2Iq2, a prawą stronę równania rozłożyć na szereg zgodnie z wzorem (1 - * r 1' 2 =
l + y +
...
Ograniczając się do dwóch pierwszych wyrazów rozwinięcia otrzymujemy 1
1
/?(xcosę>+ysinęi)
r
e
Q3
— = ----f- ----------Z--------Podstawiając powyższe do wzoru Hol f dl i uwzględniając, że
Ax
dx
= —d/siny i dy = d/cosgj HoIR*? f i
J LQ +
4ti
Ho IR R yn
4re
e3
o ra zd / =
/{(jccosy+ysiny)
Rdip,
m am y
jsinępdy =
e3 hokR 2I
y
47t
g3
oraz
A,
HokR2! x 4:r
q3
Wielkość I txR2 = 1S jest wartością momentu magnetycznego p„ pętli, skierowanego wzdłuż osi z. Wobec tego składowe potencjału wektorowego są proporcjonalne do składowych iloczynu pn x p. W naszym przybliżeniu można utożsamić p i r, co prowadzi do wyrażenia A=
Ho 4 t : r3
pmx r ,
analogicznego do wyrażenia na potencjał dipola elektrycznego V, =
1 _ 1 Par0 = P if. 47te0r3 47te0r2
Oba potencjały różnią się tylko współczynnikami (różne wymiary) i rodzajem iloczynu wektorów p i r. Pole pętli z prądem jest równoważne polu dipola o momencie pm = / S. A oto bardziej elegancki wywód tego wzoru, wymagający jednak swobody w operowaniu wzo rami analizy pola. Potencjał wektorowy pętli możemy wyrazić jako całkę okrężną A
Hol £
dl
|r—r'|
(r' opisuje położenie elementu dl pętli, r — położenie punktu działania). Pomnożymy obie strony skalarnie przez dowolny wersor w° (co oznacza, że bierzemy pod uwagę rzut A na kierunek w°) 288
i przekształcimy je korzystając z prawa Stokesa w°A =
ui P ol r w w°dl 4tc 7 | r - r ,|
Hol Po 1 4tt
ro t-
r-r
-dS =
Po I 4 tc
S(v'xF^t) 1
dS.
Prim przy symbolu nabla przypomina, że obliczając rotację różniczkujemy względem wekto ra r'. Z postaci wyrażenia podcałkowego (mianownik!) wynika, że rotacja względem r różniłaby się tylko znakiem, co możemy symbolicznie zapisać jako V' = - V .
Rys. 269. Tutaj zastosowano inne bardziej ogólne oznaczenia. Iloczyn w°A jest rzutem potencjału wektorowego na kierunek wektora w°.
Podstawmy to do poprzedniej zależności i usuńmy minus, przestawiając czynniki iloczynu wektorowego
Jeżeli pętla z prądem jest mała i leży w początku układu, możemy pominąć r'. Ponieważ r jest stałe, całka przybiera wartość S/r. Iloczyn IS = pmjest momentem magnetycznym. Wykorzystu jąc właściwości iloczynu mieszanego, otrzymujemy
Powracając od składowej do wektora i biorąc pod uwagę, że V x p 0Pml4nr = V (l/47rr)x^0Pm dochodzimy do zależności
1
A = /lograd—— xp, Ąnr
Po r ° x p m
47T
r2
Po P .x r, 4 tt r3
Należy pamiętać, że jej zakres ważności ogranicza się do pętli o rozmiarach małych w porówna niu z odległością punktu działania. Inaczej mówiąc, opisuje ona poprawnie pole w dużych odleg łościach od pętli z prądem. 19 Fizyka dla politechnik
289
Aby wyznaczyć indukcję magnetyczną, trzeba znaleźć składowe rotacji potencjału wektorowego w danym układzie współrzędnych — np. w układzie kartezjańskim: Bx =
dAz
SA,
dy
dz
<^ B ,=
fioPm 3XZ 4 tc r 5 ’
fioPmy \ 4n r3 )
PoPrn 3yz 4* rs ’
dAz
* /. dx ~ dz \
dz dx
dy
1
i
B* —
d 1 fioPmX \ dz [ 4n r3 }
8(
8x \
fi0Pmx \ 47TT3 /
8 ( dy \
fioPmy \ 4n r3 )
PoPm / 1 4tt \ r 3
3Z2 1 r5 ;
Wzięto tutaj pod uwagę, że w zastosowanym przybliżeniu r = }/x 2+ y2 + z2. Transformacja do współrzędnych sferycznych daje B = - ^ ^ - c o s # r ° + - ° Pm sinółł0 2 nr3 4 nr3 oraz H = - ^ - c o s # r ° + - ^ _ s in # 8 - ° . 2nr3 4 jw3 Analogia do natężenia pola dipola elektrycznego K = — —— cos #r° H---- —— sin#9-° 2ne0r 3 47te0r 3 jest tu szczególnie wyraźna. Takie same równania opisują linie obu pól
sin2#
---------= const
r
i ich powierzchnie ekwipotencjalne (V, i Vm = const) cos# — — = const. r2 Z podanych wzorów nietrudno znaleźć indukcję na osi pętli (jc = y = 0, z a r, 8 a 0). B = Bz z° =
fi0Pm 2w 3 ’
czyli P o^R 2! ~
2nr3
p 0R2I ~
2r 3 '
Dla punktów na osi, położonych tak blisko, że nie wolno utożsamiać związku r 2 = R 2+ z2 ( R — promień pętli). Stąd
B=
MoPm
2n(R2+ z1)312 ' Wreszcie w środku pętli (z = 0) _ fioPm fio fn R 2 /Zol B ------------ --------------- z° = ------z , 2ttR 3 2 tzR 3 2R 290
qz
r można wrócić do
Rys. 270. Pole dipola magnetycznego jest takie samo jak elektrycznego (por. rys. 116). Zaznaczono linie pola i przekroje powierzchni stałego potencjału magnetostatycznego. czyli H =
—
2R
Z °.
Pole w środku pętli najłatwiej można znaleźć z prawa Biota-Savarta dB =
/t0/d/sin(dl,r°) 4w 2
Całkując po obwodzie okręgu (r = R, dlJLr0). Otrzymujemy b
2jtR = J ^ 2 L f dl = J ^L 4jtR2
J
2R
2R
Rys. 271. Pole w środku pętli najłatwiej znaleźć z prawa Biota-Savarta. 19*
291
oraz
Rozważenie kierunków i zwrotów umożliwia sprawdzenie, że pole ma kierunek i zwrot taki sam ja k wektor momentu magnetycznego. Przykład. Pole solenoidu. Pole wewnątrz nieskończenie długiego solenoidu o bardzo gęstym uzwojeniu można łatwo znaleźć za pomocą prawa Ampere’a. Jako kontur całkowania wybieramy prostokąt, którego dwa boki, o długościach l t2, są równoległe do osi, a dwa pozostałe, o długości h*t prostopadłe do niej. Jeden z boków równoległych przebiega wewnątrz solenoidu, a drugi na zewnątrz. Cyrkulacja po całym konturze jest sumą całek:
Ui
U*
Ut
Ui
^H dr= N I
SfH dr= 0 HL=NI
Rys. 272. Pole w środku bardzo długiego solenoidu znajdujemy z prawa Ampćre’a. Suma całek po odcinkach prostopadłych, przebiegających identyczne zmiany pola w przeciwnych kierunkach, jest równa zeru. Trzecia całka przebiega na zewnątrz solenoidu, w obszarze pola o tyle słabszego niż wewnątrz, że bez większego błędu można ją także pominąć. Pozostaje tylko pierwsza całka równa sumie prądów objętych konturem, czyli iloczynowi liczby zwojów N i natężenia prądu / : J Bdl = no NI.
tia Wewnątrz solenoidu możemy uważać pole za jednorodne. Porzucając niepotrzebne wskaźniki możemy napisać BI =
hoN I
lub B = H o - j- I = Poni, gdzie n = N jl oznacza gęstość uzwojenia. Jeszcze prostszy jest wzór na natężenie pola H = ni. Rzeczywisty solenoid ma skończoną długość / i pole wewnątrz niego odbiega od jednorodnego. Wyznaczymy rozkład pola na osi solenoidu w zależności od położenia. Wybierzmy element w kształ cie pierścienia o promieniu R i szerokości dz obejmującego ndz zwojów (przy założeniu bardzo dużej
292
gęstości zwojów, n). Promień łączący punkt działania z pierścieniem tworzy z osią kąt #. Łatwo stwierdzić, że dz = rd#/sin#. Prąd płynący w pierścieniu (suma prądów w ndz zwojów) wynosi Inrdft d l = ---------. sin# Ponadto R = r sin#. Natężenie pola prądu w pierścieniu (por. pole na osi pętli z prądem) wynosi R2d l
2r3
R 2Inrd& 2r3sin#
In ---- sin#d#.
2
Rys. 273. A tak wyznacza się rozkład pola wewnątrz solenoidu o dowolnej dłu gości. Całkowite pole znajdujemy jako całkę po całej długości solenoidu In In H = — ę sin#d# = — (cos#!—cos#2), 2 i 2 Si
przy czym kąty #i i # 2 odpowiadają końcom solenoidu. Opisując położenie punktu działania współrzędną z — np. mierzoną wzdłuż osi odległością od jednego z końców — mamy cos#! = z / |/z 2+ R 2, cos#2 = (z—/)/]/(z—l)2+ R z i ostatecznie
„ _ j a t __ i _________x - i 2 \ y z 2+ R 2
\
| / ( z - / ) 2 + R2 ) '
Zauważmy jeszcze, że dla nieskończenie długiego solenoidu # i = 0, #2 = * « wzór na natężenie pola wraca do poprzednio wyprowadzonej postaci H = n l. W solenoidzie o skończonej długości natężenie pola może osiągnąć powyższą wartość tylko w geometrycznym środku. W miarę oddalania się od środka pole nieznacznie słabnie. Przy końcach spadek natężenia jest szybszy. W punktach końcowych (z = 0 i z = I) mamy
H °’’
,n 1 2 -tfW+R2 ' 293
W przypadku długiego solenoidu ( R < l) natężenie pola na końcach jest w przybliżeniu dwa razy mniejsze niż w środku In
Ho.t
T'
Wróćmy jeszcze do wzoru ogólnego. Dzieląc licznik i mianownik lewego ułamka przez z, a pra wego przez z —l i rozkładając oba ułamki na szereg, otrzymujemy
1
- ,1 ^R2 + ••••,
] /z2 + R 2
V '+ $ z-l
V
]/ {z—l)2 + R 2
t
R2 (.z-Dia2
1+
~
R2 2 { z - l) 2 + -
Dla dużych z można pominąć wszystkie dalsze wyrazy. Podstawienie do wzoru na natężenie daje -
4
____ ± i .
l(!-0 “
!‘ J
Rys. 274. Pole rzeczywistego solenoidu odbiega od pola solenoidu nieskończenie długiego. Pomnożenie licznika i mianownika przez ic prowadzi do _ nlnR 2 r H
~
1
11
4* L(z-/)2 _ 1^J
lub fio n frR 2 r
4*
1
___ 1 1
L (r-0 2
** J '
Analogicznie wyrażenie dla dipola elektrycznego miało postać
* = _ G T _ J ____ J L l 47te0 L ( z - O 2
z2 J
Rolę „ładunku” magnetycznego zwanego też masą magnetyczną gra wielkość nlnR 2 o wymia rze momentu magnetycznego podzielonego przez długość — bo też jest ona liniową gęstością mo-
294
mentu magnetycznego prądu płynącego przez wszystkie zwoje solenoidu nlnR 2 =
N I tzR 2
/
Pm ~ T ‘
Pole jest w przybliżeniu takie, jak gdyby owe ładunki magnetyczne były skupione na końcach solenoidu w punktach zwanych biegunami. Pole solenoidu jest bardzo podobne do pola magnesu sztabkowego. Biegun północny znajduje się na końcu, z którego wychodzą linie pola; południowy — na końcu, do którego wchodzą. Przykład. Przewody równolegle. N a początku rozdziału o magnetyzmie omówiliśmy jakościowo oddziaływanie dwóch równoległych przewodów prostoliniowych. Jeżeli oba prądy płyną w tym samym kierunku, obserwujemy przyciąganie, jeżeli przeciwnie — odpychanie. Teraz przejdziemy od
Rys. 275. N a każdy element długości przewodnika z prądem h działa w polu magne tycznym prądu h siła Ampere’a (dF). Wynik: przewodniki o zgodnie skierowanych prądach przyciągają się.
rozważań jakościowych do ilościowych. Przyjmijmy, że natężenia prądów wynoszą I t i / 2, a odległość między przewodami r. Prąd h wytwarza w odległości r pole o natężeniu
i indukcji
Bt
Mf*oh Inr
Cujest przenikalnością magnetyczną ośrodka). Na element przewodu z prądem I2 działa siła Ampćre’a o wartości
MMoIJi ,,
d F = A |dIxB i| = --------- QI. 2 kr Siła ta jest prostopadła do przewodu, więc można było pominąć sin(dl, B) = 1. Stąd siła dzia łająca na jednostkę długości dF _
dl
fifio h h
2nr 295
Jeżeli / , =
Iz =
1 A, r = 1 m,
/i =
1, to
dF = MoP_ = 4n • lO-7 • 1 _ 2> 1Q_T_N dl
2nr
2n
m
Przeprowadzony rachunek wiąże się z definicją jednostki natężenia prądu elektrycznego.
Obwody magnetyczne. W praktycznych zastosowaniach pole magnetyczne jest skupione w ograniczonych obszarach, tworzących elementy obwodów magnetycznych. Takimi elementami mogą być różnego kształtu cewki z rdzeniami lub bez, pręty
b)
m
yp
lk
■ <—1flkfioSk
Z-■'"'m
Rys. 276. Obwody magnetyczne: prosty (a) i rozgałęziony (b). U dołu napisano odpowiedniki prac Kirchhoffa. Rolę siły elektromotorycznej spełnia iloczyn NI, rolę oporu właściwego iloczyn odwrotności przenikalności.
i jarzma z różnych materiałów para- lub ferromagnetycznych, wreszcie szczeliny magnesów. Każdy z elementów obwodu magnetycznego możemy w myśli pokrajać na cienkie „plasterki” i znaleźć przenikający je strumień magnetyczny 0 = $BdS (S jest polem przekroju rozpatrywanego plasterka). Z kolei podzielimy dany prosty obwód magnetyczny na k segmentów różniących się przenikalnością /tk oraz przekro jem Sk. Ich długości oznaczymy odpowiednio przez lk. Przez k-ty segment przechodzi strumień — ĄjS*, przy czym Bk jest przeciętną wartością prostopadłej do przekroju składowej indukcji.
296
Stąd Bk
Sk ' Podstawimy to wyrażenie do prawa Ampere’a dla konturu przechodzącego przez obwód X * L _ V _ f ł Ł . _ Wi J fi[i0 L—i fikf/0Sk N jest tutaj liczbą zwojów uzwojenia będącego źródłem przenikającego obwód stru mienia. Jeżeli pole nie ulega rozproszeniu otrzymane wyrażenie można zapisać w postaci
zwanej prawem Hopkinsona. Jest ono analogiczne do prawa Ohma dla obwodów elektrycznych. Strumień &m jest w całym obwodzie ten sam. Iloczyn N I jest silą magnetomotoryczną (i poprzednio nazywaliśmy tak sumę prądów objętych konturem całkowania)
Wyrażenie w mianowniku jest całkowitym oporem magnetycznym lub reluktancją
Podobnie jak opór elektryczny reluktancja elementu obwodu jest wprost pro porcjonalna do jego długości i odwrotnie proporcjonalna do pola przekroju. Wzór MXmk
ę PkPo “J*
jest odpowiednikiem drugiego prawa Ohma. Możemy teraz zapisać prawo Hopkin sona w prostszej postaci 0- =
£m
Z powyższych wzorów wynika, że opór magnetyczny szeregowo połączonych elementów obwodu magnetycznego jest sumą ich oporów magnetycznych Rm —
Rmk • 297
Rolę prądu gra w obwodzie magnetycznym strumień magnetyczny. Przedstawio na analogia umożliwia wprowadzenie prawa Kirchhoffa dla obwodów magnetycznych. Pierwsze z nich odnosi się do rozgałęzień obwodu: algebraiczna suma strumieni schodzących się w węźle jest równa zeru:
Drugie prawo Kirchchoffa dotyczy obwodów zamkniętych: algebraiczna suma iloczynów strumieni i oporów magnetycznych poszczególnych elementów zamkniętego obwodu magnetycznego jest równa sumie działających w nim sil magnetomotorycznych:
y] ®mkRmk — y
$mk-
Podstawiając £ i mi = 0 znajdujemy stąd stosunek strumieni w równolegle po łączonych elementach obwodu ^m2 _ Rml ^*1
Rffl2
i wzór na opór zastępczy takiego połączenia - L - y j _ . R-m R/nk
Rys. 277. Elektromagnes pierścieniowy. Indukcja w szczelinie jest tym większa, im mniejsza jej szerokość /. Przykład. Elektromagnes. Rozpatrzmy uproszczony model elektromagnesu w postaci toroidu, czyli cewki pierścieniowej o promieniu r i sile magnetomotorycznej N I z ferromagnetycznym rdzeniem przeciętym szczeliną powietrzną szerokości /. Opory magnetyczne rdzenia i szczeliny wy298
noszą odpowiednio 2n r —l
^rdz
flflpSrćz
Rszcz —
flp Sil
Z prawa Hopkinsona 2n r - l
NI |
/^« 0 ó)dz
/ /<0 S s z c z
(w powietrzu fi — 1). Jeżeli szczelina jest bardzo wąska (/ < r), to linie pola nie ulegają rozproszeniu i można założyć S,iz - S,ICZ = S. Wówczas wzór upraszcza się: 0
_
"
fifipNIS
2nr+ l(fi— 1)
Dla ferromagnetyku fi ► 1 i można pominąć jedynkę w nawiasie mianownika: fifi0 NIS 2nr+ fil
^
Znajdziemy stąd indukcję w szczelinie _
_
S
flfl0N I
2n r+ ftl
Ze względu na dużą wartość /< (rzędu kilku tysięcy) nawet nieznaczne powiększenie szczeliny pociąga za sobą silne osłabienie pola wewnątrz niej. Im silniejsze pole, tym trudniej je wytworzyć w dużym obszarze. Najsilniejsze elektromagnesy wytwarzają pole o indukcji kilku Tesli w objętości rzędu 1 cm2. Warto zauważyć, że indukcja w szczelinie ma tę samą wartość co w rdzeniu.
§ 23. Pole elektromagnetyczne Dotychczas rozpatrywaliśmy stałe pola elektryczne i magnetyczne, których pa rametry nie zmieniały się w czasie. Zwróciliśmy wprawdzie uwagę na względność obu rodzajów pola, lecz nadal traktowaliśmy je — zgodnie z doświadczeniem — jako niezależne od siebie. Zmianom pól elektrycznych i magnetycznych towarzyszą nowe efekty, ujawniające głęboki związek między nimi i sprawiające, że nie możemy ich rozpatrywać osobno. Pola elektryczne i magnetyczne są dwoma obliczami jed nego tworu fizycznego, zwanego polem elektromagnetycznym. Przykład. Doświadczenie Faradaya. Przemieszczając pręt z przewodnika w polu magnetycznym możemy zaobserwować pojawienie się napięcia elektrycznego między jego końcami. W tym celu wystarczy dołączyć do nich nieruchomy galwanometr. Jego wskazówka będzie się wychylała tylko podczas przemieszczania pręta, tym mocniej, im szybszy będzie ruch. Przy odwróceniu kierunku’ ruchu wychylenie zmieni znak. D o wytworzenia napięcia nie jest konieczny ruch pręta czy źródła 299
pola: galwanometr wychyli się także, jeżeli pręt spoczywa, a zmienia się pole. To samo zaobserwu jemy w przewodnikach dowolnego kształtu. Jeżeli zwiniemy przewód w cewkę, efekt będzie tym silniejszy im większa będzie liczba zwojów. Opisane zjawisko nosi nazwę indukcji elektromagnetycznej.
Rys. 278. Indukcja elektromagnetyczna. Między końcami przewodzącego pręta wzbudza się napięcie: w obwodzie zewnętrznym płynie prąd indukcyjny. Odwrócenie kierunku ruchu zmienia kierunek przepływu prądu. Uwaga: galwanometr nie bierze udziału w ruchu— jest poza polem.
Rys. 279. Do wzbudzenia siły elektromotorycznej przewodnik nie musi się poruszać — wystarczy, że zmienia się pole magnetyczne, w którym się znajduje. Przy oddalaniu magnesu prąd w solenoidzie płynie w przeciwnym kierunku niż przy zbliżaniu.
Siła elektromotoryczna indukcji. Przyczyną wytwarzania napięcia między koń cami pręta przesuwanego w polu magnetycznym jest siła Lorentza działająca na swobodne elektrony: F = evxB; jest ona największa, gdy prędkość pręta v jest prostopadła do indukcji B. Pod wpły wem siły Lorentza elektrony płyną wzdłuż pręta, przez co jeden z jego końców ładuje się ujemnie, a drugi dodatnio. Przepływ elektronów trwa, dopóki wytworzone w ten sposób pole nie zahamuje go. W stanie równowagi siła pola działająca na elektrony równoważy siłę Lorentza eK = e y x B . 300
g= -J (v x B )d l= -^ Rys. 280. Prawo Faradaya: siła elektromotoryczna jest równa szybkości zmian strumienia magnetycznego. Ujemny znak wiąże się z regułą Lenza.
Ustalone natężenie pola w pręcie K = vx B . Ma ono kierunek osi pręta. Napięcie między końcami pręta jest równe U = jK d l = - g . gdzie & oznacza indukowaną siłę elektromotoryczną. Jeżeli do końców pręta dołączymy nieruchomy zewnętrzny obwód, popłynie w nim prąd. Przy ruchu prostopadłym do pola |v x B| = vB i stąd $ = vBl, a prąd w obwodzie o oporze R vBl R ' Wróćmy do wzoru na siłę elektromotoryczną indukcji / = - S ^dl = - J(vxB)dl i przekształćmy występujący w nim iloczyn mieszany
Iloczyn dl x dr o wymiarze powierzchni jest prostopadły do obu wektorów-czynników, oznacza więc element powierzchni dS zakreślonej przez pręt przy przemiesz czeniu o dl, a zarazem — co znacznie ważniejsze — zmianę powierzchni obwodu. Wyrażenie w nawiasie jest szybkością zmiany tej powierzchni
301
Mnożąc ją skalarnie przez indukcję otrzymujemy szybkość zmian strumienia magnetycznego 0 przecinanego przez pręt w czasie jego ruchu, czyli strumienia objętego obwodem. W ten sposób dochodzimy do znanego wzoru Faradaya
odnoszącego się do przewodników dowolnego kształtu. Jeżeli zamiast pręta weźmiemy cewkę, siła elektromotoryczna będzie proporcjo nalna do liczby zwojów £ = -N
d0 ~dr *
Przykład. Betatron. Betatronem nazywamy indukcyjny akcelerator elektronów. N a elektron poruszający się z prędkością v w polu magnetycznym o indukcji B działa siła Lorentza F = evxB . Jeżeli prędkość jest prostopadła do pola, elektron porusza się po okręgu. Siła Lorentza jest siłą dośrodkową
mv2
------- = evB. R Można stąd znaleźć indukcję konieczną dla utrzymania elektronu na orbicie m v
p
B = ~eR ~ I r ’ przy czym przez p oznaczono pęd elektronu. Aby przyspieszać elektron, trzeba zmieniać pole mag netyczne. Zgodnie z prawem Faradaya zmiana strumienia magnetycznego prowadzi do powstania siły elektromotorycznej. Przyjmując za kontur całkowania orbitę elektronu napiszemy
,
d®
J
dr
S =
Rys. 281. W jednorodnym polu magnetycznym prostopadłym do prędkości elek tron porusza się po okręgu. Siła Lorentza jest siłą dośrodkową. Zmieniając strumień magnetyczny objęty orbitą można przyspieszać elektron. Cyrkulacja z równoważnego natężenia pola elektrycznego jest siłą elektromotoryczną indukcji, czyli czasową po chodną strumienia (minus pominięto). 302
czyli
1
K ----------------- , 2tcR dr przy czym pominęliśmy nieistotny minus. Różniczkując indukcję dB _ 1 dp dr eR dr i biorąc pod uwagę, że pochodna pędu jest siłą przyspieszającą elektron dp e d0 — = e K = -------------- , dr 2 k R dr otrzymujemy dB _
1
d0
~dt 2nRT ~d7 ' Strumień magnetyczny jest iloczynem średniej indukcji i pola przekroju orbity 0 = B tzR 2. Stąd dB
tzR2
dB
1 dB
dr" = ~2nRr d7 ~ ~ 2~ d7 ’ czyli B = \B . Jest to tzw. warunek betatronowy. Nabiegunniki elektromagnesu muszą być tak ukształtowane, żeby w każdej chwili indukcja magnetyczna na orbicie elektronu miała wartość równą połowie śred niej indukcji w obszarze objętym orbitą. Znajdźmy jeszcze maksymalną energię elektronu. Jeżeli maksymalna indukcja na orbicie jest równa Bm, to pęd elektronu Pm '
&RBm •
Dla obliczenia energii skorzystamy z wzoru relatywistycznego E = y p2c2+ m2c* ^ pc
Rys. 282. Nabiegunniki magnesu betatronu mają taki kształt, by indukcja na orbicie (wewnątrz opróżnionej z powietrza rury) miała wartość dwa razy mniejszą niż średnia w obszarze objętym orbitą. Maksymalna energia, jaką mogą uzyskać elektrony, jest wprost proporcjonalna do promienia orbity i maksymalnej wartości indukcji. 303
(w naszym przypadku pc > mc2). Stąd Em = ceRBm. Na przykład dla bstatronu, w którym Bm = 0,25 T i R = 0,5 m, Em = 37MeV.
dW =Fdr=Id$ Rys. 283. Praca przesuwania przewodnika z prądem w polu magnetycznym jest ilo czynem natężenia prądu i zmiany strumienia.
Energia w zjawisku indukcji. Rozpatrzmy prosty obwód elektryczny ze źródłem o sile elektromotorycznej S z, w którym płynie prąd I. Obwód zawiera ruchomy pręt o długości /. W polu magnetycznym o indukcji B na pręt działa przemieszczająca go siła Ampere’a F = II x B. Praca przesunięcia pręta o dr wynosi d W = J(lx B )d r = JB (drxl). Iloczyn dr x 1jest wektorem powierzchni dS zakreślonej przez pręt. Biorąc pod uwagę, że BdS = d0 , napiszemy d W = Id 0 . Praca przemieszczania pręta jest iloczynem natężenia prądu i zmiany strumienia magnetycznego. Jest ona wykonywana kosztem energii źródła. Pozostała część energii przy braku innych strat wydziela się w postaci ciepła Joule’a d Q = I 2Rdt. Energię dostarczoną przez źródło znajdziemy jako iloczyn siły elektromotorycz nej i natężenia prądu (tzn. mocy) oraz czasu. Napiszmy równanie bilansu energii I S zdt = I 2R d t+ Id 0 . Można stąd znaleźć natężenie prądu T _ S z -d & /d t £ • Otrzymany wzór wyraża prawo Ohma dla obwodu, w którym istnieje dodatkowa siła elektromotoryczna
304
Jest to siła elektromotoryczna indukowana przez pole magnetyczne w ruchomej części obwodu. Jej znak jest przeciwny do siły elektromotorycznej źródła 6 \. Jej działanie zmniejsza wypadkową siłę elektromotoryczną, co prowadzi do zmniejszenia prądu w obwodzie, a wraz z nim i przesuwającej pręt siły Ampere’a. Dochodzimy tu
Rys. 284. Reguła Lenza: indukowany prąd ma taki kierunek, żeby przeciwdziałać zmianom (siła Ampere’a hamuje ruch).
Rys. 285. Pole objęte spadającym pierścieniem rośnie. W pierścieniu indukuje się prąd, którego pole przeciwdziała wzrostowi pola zewnętrznego. Siły elektrodynamiczne hamują spadek pierścienia.
do wyjaśniającej sens znaku minus w prawie Faradaya reguły Lenza: znak indukowanej siły elektromotorycznej jest taki, że jej pojawienie się przeciwdziała zachodzącym zmianom (w naszym przypadku — przesuwaniu pręta). Reguła Lenza jest wyrazem prawa zachowania energii. Gdyby siła elektromotoryczna indukcji miała przeciwny znak, w obwodzie płynąłby coraz większy prąd, co z kolei zwiększałoby siłę Ampere’a. W rezultacie, energia źródła wydzielająca się w postaci ciepła i pracy mechanicznej musiałaby stale rosnąć — wbrew zasadzie zachowania energii. 20
Fizyka dla politechnik
305
Różniczkow e prawo Faradaya. W zór Faradaya na siłę e le k tr o m o to ry c zn ą in d u k cji
wyprowadziliśmy dla pręta stanowiącego ruchomą część obwodu poruszającego się w stałym polu magnetycznym. Odnosi się on jednak także do nieruchomego obwodu znajdującego się w zmiennym polu. Zmienia się przy tym sens wielkości dd>/dt. W przypadku ruchomego pręta oznaczała ona szybkość przecinania pola przez pręt (ściślej czasową pochodną strumienia przez powierzchnię objętą obwo dem). Zmiana strumienia wynikała z wywołanej przez ruch pręta zmiany powierzchni. W przypadku nieruchomego obwodu zmiana strumienia może pochodzić tylko od zmian pola. Indukowana siła elektromotoryczna powstaje przy zmianach strumienia magnetycznego — niezależnie od sposobu, w jaki one zachodzą. Co więcej — powstaje ona zawsze przy zmianach pola magnetycznego, nawet jeżeli nie ma w nim żadnego obwodu. Weźmiemy teraz pod uwagę dowolny kontur C, czyli zamkniętą krzywą, umiesz czoną w zmiennym polu magnetycznym. Siłę elektromotoryczną indukowaną w kon turze wyrazimy jako cyrkulację z natężenia pola elektrycznego 6=
r
Kdl =
dCP
Zastosujemy do niej twierdzenie Stokesa j Kdl = J rotKdS c s (S jest polem powierzchni rozpiętej na konturze C). Z drugiej strony, z definicji 0 = $BdS. s Różniczkując strumień względem czasu weźmiemy pod uwagę, że kontur jest nieruchomy, więc zmienia się tylko indukcja magnetyczna. Wracając do prawa Faradaya, mamy J rotKdS = - J i E d S , s s dt czyli rotK =
m dt •
Rotacja natężenia indukowanego pola elektrycznego równa się czasowej pochodnej indukcji pola magnetycznego. Minus wyraża regułę Lenza. Otrzymane równanie nosi nazwę różniczkowego prawa Faradaya. 306
Podstawiając B = rot A możemy wyrazić prawo Faradaya za pomocą potencjału wektorowego
czyli
Najprostszym rozwiązaniem tego równania jest
Do prawej strony można dodać każdą funkcję wektorową, której rotacja jest równa zeru, np. gradient dowolnej funkcji skalarnej. Ponieważ w przypadku pola niezależnego od czasu (dA/dt = 0) natężenie pola elektrycznego jest ujemnym gra dientem potencjału, funkcja ta oznacza po prostu potencjał elektryczny. Ogólny wzór ma postać K = ~
- P
dB
«
V~
dB:
K
Rys. 286. Różniczkowe prawo Faradaya: szybkość zmian indukcji jest równa rotacji indukowanego pola elektrycznego. Minus wyraża regułę Lenza. Pole magnetyczne indukowanego prądu jest skierowane przeciwnie do zmiany pola zewnętrznego. dB
Rys. 287. Inna postać prawa Faradaya: Natężenie indukowanego pola elektrycznego jest równe szybkości zmian potencjału wektorowego. 20*
307
Indukcyjność obwodu. Nawet w braku zewnętrznego pola magnetycznego obwód z prądem znajduje się w polu, które sam wytwarza. Z prawa Biota-Savarta, (jl0I dlx r'
471
r2
Rys. 288. Strumień własnego pola magnetycznego obwodu jest wprost proporcjo nalny do natężenia płynącego w nim prądu. Współczynnik samoindukcji (indukcyj ność) jest funkcją rozmiarów, kształtu i materiału elementów obwodu.
możemy znaleźć indukcję pola obwodu w danym punkcie:
4n y
r2
Całka rozciąga się po całej długości / obwodu. Strumień magnetyczny przeni kający obwód o powierzchni S,
sim--
S
S
1
jest proporcjonalny do natężenia prądu, co zapiszemy w postaci 0 = L I.
Wielkość
nosi nazwę indukcyjności lub współczynnika samoindukcji obwodu. Indukcyjność jest funkcją kształtu i rozmiarów obwodu. Jej jednostką jest 1 henr równy 1H = 1 308
V •s Wb = 1 A A ‘
Przykład. Indukcyjność solenoidu. Natężenie pola magnetycznego wewnątrz długiego solenoidu wynosi H = IN/l. Mnożąc przez iloczyn przenikalności znajdujemy indukcję
yv
B - w io l— .
N
f B= ftfi0—I
Nz L=fifŁ0—S Rys. 289. Indukcyjność solenoidu. Strumień całkowity jest sumą strumieni przez wszystkie zwoje. Indukcyjność jest tym większa, im gęściej nawinięto uzwojenie.
Przez każdy zwój solenoidu przechodzi strumień N
0 ' - /1/loI— S. Suma strumieni
N2
0 = N 0 ' = ii/io l - j - S = LI. Stąd współczynnik samoindukcji L =
N2
S.
Dla orientacji: indukcyjność solenoidu o długości / = 50 cm, mającego N = 5000 zwojów o promieniu r = 5 cm wynosi (w powietrzu) , V -s 50002 L = 4* • 10-7------------------ - 7t ■(0,05)2 m2 = 0,49 H. A - m 0,5 m Jest to indukcyjność duża. W radiotechnice używa się cewek o indukcyjności rzędu milihenrów. Indukcyjność pierścienia rozmiarów obrączki jest równa około 10"8 H.
Indukcja własna. Zmiany natężenia prądu w obwodzie powodują zmiany natężenia pola magnetycznego tego prądu, czyli pola, w którym znajduje się obwód. Na skutek 309
tego indukuje się silą e le k tr o m o to r y c z n a in d u k c ji w ła sn e j (samoindukcji)
W— “ Jeżeli kształt i rozmiary obwodu nie zmieniają się, to L — const i ostatecznie
Jest to prawo Faradaya dla samoindukcji. Minus po prawej stronie wyraża regułę Lenza. Wytworzona siła elektromotoryczna przeciwdziała zmianom, tzn. opóźnia wzrost lub spadek natężenia prądu. Nawet przy szybkim zamykaniu lub otwieraniu obwodu o dużej indukcyjności prąd narasta lub maleje powoli, tym wolniej im większa jest wartość L. Przykład. Zmiany prądu w obwodzie z samoindukcją. Rozpatrzmy obwód o oporze R i induk cyjności L zasilany ze źródła o sile elektromotorycznej S. Przy zamykaniu i otwieraniu obwodu
Rys. 290. Samoindukcja opóźnia wzrost prądu przy zamykaniu i spadek przy otwie raniu obwodu. Stała czasowa jest czasem, po którym natężenie prądu spadnie e = = 2,718 razy. Siła elektromotoryczna samoindukcji jest wprost proporcjonalna do szybkości zmian prądu.
powstaje siła elektromotoryczna indukcji własnej
Natężenie prądu znajdziemy z prawa Ohma
Cs*+ R
Jest to wartość chwilowa. Aby znaleźć prąd w funkcji czasu, podstawimy S w = —LAIjAt:
I= R
310
rozdzielimy zmienne
d/ f-IR
1 d, t = — L
i scaikujemy ln ( & - I R ) = - — t+ lnC . Stąd S - I R = Ce(-K/L)t. Niech w chwili początkowej (t = 0) natężenie prądu wynosi I 0. Jak widać, stała całkowania
C = S - I 0R. Podstawiając jej wartość i przekształcając, otrzymujemy wreszcie szukany przebieg prądu I = / 0e C - * / Ł ) t+ _ ( i- e(-*/i)'). Przy zam knięciu obwodu prąd początkowy I0 = 0 i zależność natężenia prądu od czasu ma postać / = — ( l - e ( - R/L)'). Natężenie prądu dąży asymptotycznie do wynikającej z prawa Ohma wartości S I R . Przy otwarciu obwodu siła elektromotoryczna znika, czyli § = 0 i przebieg prądu wyraża się wzorem / = / 0e<-R/L>'. Zanik prądu jest wykładniczy. W obu przypadkach szybkość zmian prądu zależy od równej stosunkowi indukcyjności do oporu: _ L T " ~R ' Łatwo sprawdzić, że ma ona rzeczywiście wymiar czasu
czasowej obwodu,
H _ V •s
7f
stałej
A _
A ~ ‘V " s-
Po czasie t = t wartość prądu otwarcia maleje e = 2,72 razy, po / = 2r e2 = 7,39, po / = = 5 r e 5 = 148 razy, wreszcie po 10 stałych czasowych prąd spada do 1/e10 = 4,54- 10“5 wartości początkowej, czyli w większości przypadków jest zupełnie do pominięcia. Przy typowych wartościach L = 1 mH i R = 1 ii stała czasowa wynosi 1ms.
Indukcja wzajemna. Rozpatrzymy dwa zamknięte obwody C, i C2 położone niedaleko siebie. Niech w pierwszym z nich płynie prąd o natężeniu Ą. Obwód z prą dem jest źródłem pola magnetycznego, w którym znajduje się drugi obwód. Aby zna leźć przenikający go strumień magnetyczny, posłużymy się wyprowadzonym uprzed nio związkiem między strumieniem a potencjałem magnetycznym, mianowicie: 0 C = j Adl c 311
(strumień pola przez powierzchnię ograniczoną obwodem jest równy cyrkulacji potencjału wektorowego po tym obwodzie). Oznaczmy przez 0 2 strumień pola, którego źródłem jest obwód CŁ, przez powierzchnię obwodu C2. Znajdźmy po tencjał w danym punkcie obwodu C2 pochodzący od elementu dlL obwodu C2: dA2
W oh dli 4nr12
(r12 jest odległością między elementem prądu a rozpatrywanym punktem drugiego obwodu). Całkowity potencjał jest całką po całym obwodzie, będącym źródłem pola: A2
W o h C dlL 47T W « fl2 '
Rys. 292. Sita elektromotoryczna indukcji wzajemnej jest wprost proporcjonalna do szybkości zmian prądu. Współczynnik indukcji jest funkcją rozmiarów, kształtu i kon figuracji sprzężonych indukcyjnie obwodów Ci i C2. 312
Strumień przenikający drugi obwód jest cyrkulacją z potencjału wektorowego po całym obwodzie 0 2 = J A2dl2 = c2
Wo 4n
dl3 C* Ct
Jak widać, jest on wprost proporcjonalny do natężenia prądu w pierwszym obwodzie: 02 — M l2I1. Wielkość
nosi nazwę współczynnika indukcji wzajemnej. Jego jednostką jest henr. W podobny sposób zdefiniujemy współczynnik indukcji wzajemnej, jeżeli prąd — powiedzmy I2 — płynie w drugim obwodzie: M 21 =
4 tz C i
c2
Ponieważ r12 — r21, więc oba współczynniki są równe: M 2i — M12. Jeżeli natężenie prądu w obwodzie, będącym źródłem pola, zmienia się w czasie (rozpatrujemy tu zmiany niezbyt szybkie), to zmienia się także strumień objęty drugim obwodem. Na skutek tego indukuje się w nim siła elektromotoryczna
d02 = -M ~~dT 12 df ’
tym większa im szybsze są zmiany prądu I 2. Minus wyraża, jak poprzednio, regułę Lenza. W ogólnym przypadku może się zmieniać także kształt i położenie obu obwodów. Wówczas M l2 # const i należy napisać
&2
dt
(M 12Jx).
Przykład. Transformator. Nawijając na wspólnym rdzeniu ferromagnetycznym dwa uzwojenia o liczbach zwojów Af, i Nly otrzymujemy transformator służący do zmiany napięcia i natężenia prądu zmiennego. Dzięki rdzeniowi cały strumień wytworzony przez uzwojenie pierwotne przechodzi przez 313
uzwojenie wtórne. Strumień w rdzeniu znajdziemy z prawa Hopkinsona #m
N Jt
Rm
Rm
0 - ---- = ------ , w którym 3 „ = N , h jest siłą magnetomotoryczną, a Rm oporem magnetycznym rdzenia. Cał kowity strumień w uzwojeniu wtórnym 0 2 = N20 ' =
W ili Rm
Stąd współczynnik indukcji wzajemnej
NtN2
*2 h
Mt2
Rm
Otrzymany wzór odnosi się do transformatora nie obciążonego (prąd w uzwojeniu wtórnym I 2 = 0).
Rys. 293. Przykładem sprzężonych indukcyjnie obwodów są uzwojenia transforma tora. Rdzeń ferromagnetyczny przeciwdziała rozpraszaniu pola. Przekładnia transfor matora jest równa stosunkowi liczb zwojów N. Obliczmy jeszcze przekładnię transformatora, czyli stosunek napięć w uzwojeniu wtórnym i pierwotnym. Napięcie w uzwojeniu pierwotnym znajdziemy z prawa Kirchhoffa
Ui =
= ~ 4 - { L J i), dr
przy czym współczynnik samoindukcji _
Nt& ' _ N l
h
1“ X
zmienia się ze względu na zmiany oporu magnetycznego. Z prawa Ohma ^
$ ~¥$ \ R i + Rw
mamy & —IiR w =
314
Ui =
I i R i — & i\
R, jest tutaj oporem uzwojenia pierwotnego. Spadek napięcia A Ri jest zwykle o wiele mniejszy niż siła elektromotoryczna samoindukcji
U, £ -
Napięcie w nieobciążonym uzwojeniu wtórnym jest równe indukowanej sile elektromotorycznej d , U2 = — — (AA 2/,). dt Podstawmy za L, i AA2 ich wartości:
Przekładnia transformatora
Vj_ Uy
~
At,
jest równa stosunkowi liczb zwojów w uzwojeniach. Przykład. Cewka zapłonowa. Przykładem wykorzystania zjawiska indukcji może być cewka indukcyjna służąca do wytwarzania iskry w cylindrze silnika samochodu. Składa się ona
Rys. 294. Zasada działania cewki zapłonowej. Siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu przy prżerywaniu prądu w obwodzie pierwotnym służy do wytwarzania iskry zapalającej mieszankę. AA 2 jest współczynnikiem indukcji wzajemnej, Lx i L2 są współczynnikami samoindukcji uzwojeń. z dwóch solenoidów nawiniętych na siebie. Oznaczmy długość cewki przez /, promień uzwojeń przez r. Przez uzwojenie pierwotne o Ny zwojach płynie prąd A. Uzwojenie wtórne ma N2 zwojów. Przez jeden zwój tego uzwojenia przechodzi strumień
Ni
0 = B S = /io— A w 2, a przez wszystkie zwoje 0 = N 20 ' = ft0 -—
Ar r r 2.
315
Zmiana prądu w uzwojeniu pierwotnym indukuje w uzwojeniu wtórnym siłę elektromotoryczną
S = -fi0
NtN2 l
d /Ł dr
= ~ Ml2
d/. dr '
Współczynnik indukcji wzajemnej
„ MJVa 2 M12 - /ł0---:— nr*. Niekiedy wygodne jest wyrażenie współczynnika indukcji wzajemnej za pomocą indukcyjności uzwojenia pierwotnego
Lt
H o -j-n r 2
i wtórnego
Jak widać, M 1 2 = i/ł-i Jk2 • W praktyce linie poła ulegają rozproszeniu i nie cały strumień wytworzony przez uzwojenie pierwotne przechodzi przez uzwojenie wtórne. W rachunku uwzględniamy to wprowadzając współ czynnik sprzężenia k =S 1: M 1 2 — k ] / L i L 2. W typowej cewce zapłonowej N x = 400 zwojów, N2 = 16 000 zwojów, / = 10 cm, r = 3 cm. Przez uzwojenie pierwotne płynie prąd I2 = 3 A przerywany w czasie rzędu 10“ 4 s. Współczynnik indukcji wzajemnej wynosi 400-16000
M i2 = 4 7T-10-7------------- 7t(0,03)2 = 0,23 H , 0,1 przy założeniu doskonałego sprzężenia między uzwojeniami (k = 1). Napięcie indukowane w uz wojeniu wtórnym d/i \*\ = M 1 2 ------= 6900 V dr wystarcza do wytworzenia kilkumilimetrowej iskry.
Energia magnetyczna. Napiszmy prawo Kirchhoffa dla obwodu zawierającego cewkę o indukcyjności L S = R I+ L — . dt
Mnożąc obie strony przez natężenie prądu I otrzymujemy bilans mocy S I = RI 2+L I ^ ~ . dt Moc pobierana ze źródła prądu o sile elektromotorycznej S jest sumą mocy wydzie lającej się na oporze R (ciepło Joule’a) i w cewce. Praca konieczna do tego, by natęże316
nie prądu osiągnęło w czasie i wartość I, wynosi i t i
i
t
W = J S lń t = R J I 2d t + L jj J ^ - d f = r \j / 2di + Idl. o h o b o Pierwszy wyraz po prawej stronie oznacza ciepło Joule'a. Drugi wyraz jest pracą wytworzenia pola magnetycznego w cewce. Pole cewki ma więc energię równą tej' pracy Em = i L I2,
"jj1Q = I2Rt
g ! t = I2Rt + -|-LI2 Rys. 295. Energia dostarczana przez źródło prądu jest sumą energii wydzielającej się na oporze w postaci ciepła JouIe’a i energii magnetycznej solenoidu.
zwaną energią magnetyczną. Pamiętając, że iloczyn L I = 0 m oznacza całkowity strumień magnetyczny w cewce, można przedstawić energię magnetyczną w postaci Em = Otrzymane wyrażenie można uogólnić na układ n dowolnych obwodów, z prą dami /(, przez które przechodzą strumienie magnetyczne 0 ,. Zmiany strumieni indukują w obwodach siły elektromotoryczne d&j di Na wytwarzanie pól magnetycznych zużywa się moc =
P =
i
=
d0( di
Energia magnetyczna w chwili T równa się całce z mocy
£ -=.w=si'‘Td '317
Jej wartość nie zależy od tego, w jaki sposób osiąga się końcowe wartości natężenia prądu i proporcjonalnego do niego strumienia magnetycznego. Załóżmy dla prostoty, że prąd i strumień zmieniają się wprost proporcjonalnie do czasu. Wartości chwilowe /, 0 zależą od wartości 7(7), 0 (T ) w następujący sposób:
0 =
' t.
Podstawiając je do całki, otrzymujemy
Odnosi się to do dowolnych czasów T. Stąd
£ m = iX/i0 ‘Możemy jeszcze wyrazić strumienie magnetyczne za pomocą współczynników indukcji własnej i wzajemnej 0 t — L,Ij + ^
M j,Ij.
i* i
Po podstawieniu, wzór na energię otrzymuje postać
i
i
Z"***j*i
Na przykład dla dwóch obwodów Em = \ L yl \ + \ L 2I \ + M i2I i i 2, bo M 2l = M 12. Współczynniki mogą być dodatnie lub ujemne, w zależności od tego, czy indukcja wzajemna wzmacnia czy osłabia pole w danym obwodzie. Niekiedy wygodniej jest przedstawić energię pola magnetycznego w sposób niezależny od konkretnego układu, tzn. wyrazić ją w funkcji natężenia pola i indukcji. Wyjdziemy od poznanego wcześniej wzoru na strumień: 0 t =
£- = T E f ' ‘Adll,
318
Iloczyny / ;dl w poszczególnych obwodach można wyrazić za pomocą gęstości prądu w elementach objętości / (dl = jdK. Przekształcenie to ma jeszcze jedną dodatkową zaletę. Mianowicie ze względu na to, że poza obwodami z prądem j = 0, można sumę całek po wszystkich obwodach zastąpić jedną całką po całej objętości £ . = jjA ld K . V
Podstawienie zależności j = ro tH daje £m= l $ A r o t H d K Wyrażenie podcałkowe można przekształcić posługując się symbolem nabla. Miano wicie związek V(A x H) = H(V x A) - A(V x H ), wynikający z przestawień czynników iloczynu mieszanego dokonanych tak, żeby operator V podziałał na oba interesujące nas wektory A i H, prowadzi do wyrażenia A(V x H) = H(V x A) - V(A x H ), czyli A rotH = H r o t A —div(AxH). Powracając do energii magnetycznej, mamy Em = i - j H r o t A d K - j J d i v ( A x H ) d F . Zastosujmy do drugiej całki po prawej stronie twierdzenie Gaussa $ div(A x H)d V = J (A x H )dS . Jeżeli rozpatrywany obszar rozciągniemy dostatecznie daleko, wartości A i H na powierzchni całkowania są praktycznie równe zeru, a wraz z nimi cała całka. Pozostaje Em = j j j H r o t A d K = yjjH BdK . Korzystając ze związku B = innych, równoważnych postaciach
można wyrazić energię magnetyczną w dwóch
319
Z tych wyrażeń łatwo znaleźć gęstość energii pola magnetycznego
lub
Przykład. Udźwig elektromagnesu. Elektromagnes składa się z dwóch jednakowych uzwojeń nawiniętych na dwóch ramionach tego samego ferromagnetycznego rdzenia. Przez uzwojenia płynie prąd /. Rdzeń jest zamknięty jarzmem zaopatrzonym w hak do zawieszania ciężaru. Niekiedy
Rys. 296. Udźwig elektromagnesu jest tym większy, im większe są: kwadrat siły magnetomotorycznej (NI) i pole przekroju szczeliny S.
np. przy przenoszeniu blach stalowych, sam podnoszony przedmiot zamyka rdzeń. Oznaczmy ciężar przedmiotu przez F. Odsunięcie elementu zamykającego rdzeń (zwory) o dh od rdzenia jest równo znaczne z wykonaniem przez siłę F pracy d W = Fdh. Jednocześnie zmniejsza się o d
Napiszemy teraz bilans energii S Id t = d W + I2R d t+ d E m (praca źródła prądu jest sumą pracy mechanicznej, ciepła Joule’a i zmiany energii magnetycznej). Podstawiając to do poprzedniego równania otrzymujemy po redukcji i przeniesieniu wyrazu I d 0 dW + dE m = I d 0 . Po podstawieniu d Em d W = I d 0 - % l d 0 = ± Id 0 . Stąd siła udźwigu _ dfV _ 1 dh 2
d0 dh
Aby ją znaleźć, trzeba wiedzieć, jak strumień magnetyczny zależy od szerokości szczeliny h. Podobne zadanie już rozwiązywaliśmy. Oznaczając przez l łączną długość rdzenia i zwory, a przez S pole przekroju rdzenia, otrzymamy
0 =
N 2I ~l
2h~
ftftoS
HHoS
N 2I l+2fih ’
HoS
czyli d
2,u2hoS N 2I (/+ 2 uh)2
i ostatecznie F_
S I fiUoNiy Ho \l+ 2nh }
Znak minus pokazuje, że siła,,stara się” zmniejszyć szczelinę h, czyli jest siłą przyciągania elektro magnesu. Przykład. Magnes stały. Chcąc znaleźć pole magnesu stałego, musimy przyjąć za podstawę fakt, że taki magnes sam wytwarza własne pole. Namagnesowanie zależy od krzywej histerezy materiału i od kształtu magnesu. Dla prostoty rozpatrzymy magnes toroidalny o długości l z małą szczeliną o długości s. Linie indukcji są prostopadłe do powierzchni nabiegunników i wszę-
Rys. 297. Magnes stały. Indukcja jest jednakowa w jarzmie i w szczelinie, pole w szcze linie jest Ijs razy silniejsze niż w jarzmie. 21
Fizyka dla politechnik
321
dzie ciągłe. Wartość indukcji B w szczelinie jest taka sama jak w jarzmie. Natężenie pola w szczelinie (jt = 1) jest równe B H , = ---- .
i«o
Ze względu na brak makroskopowych prądów cyrkulacja z natężenia po zamkniętej linii pola jest równa zeru: H l+ H ss = 0. Stąd pole w jarzmie ^ H ,s
l
Bs
Hol
Minus oznacza, że zwrot pola wewnątrz magnesu jest przeciwny niż na zewnątrz. N a wykresie mag nesowania otrzymany związek opisuje linię prostą. Maksymalna możliwa wartość indukcji leży na jej przecięciu z krzywą magnesowania materiału. N a skutek rozpraszania pola faktyczna wartość indukcji w szczelinie będzie mniejsza. W praktyce staramy się uzyskać możliwie dużą indukcję przy możliwie niewielkich rozmiarach magnesu, czyli uzyskać jak największą wartość stosunku energii pola w szczelinie do objętości magnesu. Energia pola w szczelinie jest iloczynem gęstości energii i objętości szczeliny Em = $BH,Ss (5 — pole przekroju). Podstawiając H, = Hljs (minus nie ma tutaj znaczenia), otrzymujemy Em = \B H S l = \B H V , gdzie V = SI jest objętością jarzma. Maksimum stosunku energii do objętości jest równoznaczne z maksymalną wartością iloczynu indukcji i natężenia pola w materiale B H = max. Kolejność postępowania jest taka: najpierw z wykresu B = f( B H ) znajdujemy indukcję odpo wiadającą maksymalnej wartości iloczynu BH, a potem łączymy linią prostą odpowiedni punkt krzywej magnesowania z początkiem układu (tzn. z punktem B lub H = 0). Wymiary jarzma i szcze liny znajduje się z nachylenia tej prostej.
Rys. 298. Aby znaleźć optymalną wartość stosunku długości jarzma l i szczeliny s magnesu stałego, wyznaczamy indukcję Bm odpowiadającą maksymalnej gęstości energii (prawy wykres) i prowadzimy prostą łączącą początek układu z odpowiadają cym jej punktem P krzywej magnesowania (lewy wykres). Jej nachylenie jest pro porcjonalne do szukanego stosunku l/s. 322
Przykład. Gęstość energii w solenoidzie. Energia magnetyczna cewki z prądem o natężeniu I E„ = \ L l 2. Indukcyjność L = fino
N2 -S
Rys. 299. Gęstość energii magnetycznej solenoidu jest proporcjonalna do kwadratu iloczynu gęstości uzwojenia i natężenia prądu. (wszystkie oznaczenia są takie jak poprzednio). Stąd Em
1 N 2I 2 y W o — — S-
Mnożąc prawą stronę przez /// i biorąc pod uwagę, że IS = V jest objętością cewki otrzymujemy Em =
1
N 2I 2
1
/ N I\2
Stąd gęstość energii em = ~ 2 fl/ l0\ T !
'
N a przykład w cewce o długości / = 20 cm, mającej N = 3000 zwojów o promieniu 4 cm, przy natężeniu 1 A gęstość energii magnetycznej wynosi (w powietrzu)
1 Qm ----- 471- 10' 2
141
J
m3 '
Dla porównania: gęstość energii w szczelinie nadprzewodnikowego elektromagnesu wytwarzającego indukcję 10 T sięga 4- 107J/m 3, a całkowita energia pola jest rzędu 5- 105 J.
Prąd przesunięcia. Prawo Ampere’a w postaci »Hdr = / lub ro tH = j odnosi się do prądu stałego. Obie strony drugiego z tych równań są wektorami solenoidalnymi: divrotH = divj = 0. 21*
323
W przypadku prądu zmiennego dywergencja gęstości prądu w jej dotychczasowym znaczeniu może nie być równa zeru. Jako przykład weźmiemy kondensator. W czasie ładowania lub rozładowania kondensatora prąd płynie w łączącym okładki prze wodzie, natomiast między okładkami zmienia się tylko pole elektryczne. W kon densatorze z dielektrykiem towarzyszą im krótkotrwałe prądy polaryzacyjne w di elektryku. Jeżeli chcemy, by prawo Ampere’a miało charakter ogólny, trzeba dodać do prawej strony wyraz przywracający jej solenoidalność. Nie jest trudno go znaleźć. Pole między okładkami charakteryzuje indukcja elektryczna D, zwana też przesu nięciem. Spełnia ona prawo Gaussa divD =
q,
w którym q oznacza gęstość ładunków swobodnych. Zróżniczkujmy obie strony względem czasu przy założeniu, że elementy układu nie zmieniają położenia 3 divD .. r» = div— 8z— 0 dt 3t
3ę_ d t'
Z równania ciągłości divj = —
dg dt
wynika = —divj albo
s
Rys. 300. Łącząc za pomocą przełącznika krzyżowego zaciski ogniwa (a, a) kolejno z kontaktami b~b i c-c przeładowujemy kondensator i zmieniamy indukcję wewnątrz niego. W obwodzie zewnętrznym przepływa prąd przewodzenia; zmiany indukcji są równoważne prądowi przesunięcia o natężeniu 324
Wektor j + dD/dt jest solenoidalny. Pochodna wektora indukcji ma wymiar gęstości prądu. Zmiany indukcji elektrycznej w jakimś obszarze są równoważne płynącemu przez niego prądowi o natężeniu
zwanemu prądem przesunięcia. Pochodna indukcji jest jego gęstością • dD h ~ dt ‘ Dla odróżnienia prąd związany z transportem ładunków przez przewodnik, o natężeniu / = JjdS będziemy nazywali prądem przewodzenia.
Rys. 301. Podobnie jak prąd przewodzenia, prąd przesunięcia wytwarza wirowe pole magnetyczne.
Podobnie jak prąd przewodzenia, tak i prąd przesunięcia jest źródłem pola mag netycznego. Można je znaleźć z prawa Ampere’a
fH d r= ;'-= S ^d s s
rotH = j„. W najogólniejszym przypadku, kiedy mamy do czynienia zarówno z transportem ładunków, jaki ze zmianami indukcji elektrycznej, prawo Ampere’a przybiera postać
fH d "'+ $
® dS
325
lub rotH = j+ jp = j + - ^ - . Ze względu na zależność D = s0K + P , gdzie P jest wektorem polaryzacji, prąd przesunięcia • _ 5D _ f K_ SP_ h ~ dt E° dt + dt jest sumą dwóch składników: właściwego prądu przesunięcia _
3K
lp ~ e° et ’ związanego ze zmianami natężenia pola elektrycznego, i prądu polaryzacji _ S P _
h
dt »
różniącego się od zera jedynie w ośrodku dielektrycznym. Równania Maxwella. Równania pola elektromagnetycznego, zwane prawami Maxwella obejmują: I. Prawo Faradaya dla indukcji elektromagnetycznej
II. Uogólnione prawo Ampere’a
III. Prawo Gaussa dla pola elektrycznego
IV. Prawo Gaussa dla pola magnetycznego | BdS = 0. Są to tzw. całkowe prawa Maxwella. 0 m oznacza strumień magnetyczny. Aby 326
nadać im bardziej symetryczną postać, zdefiniujemy strumień indukcji elektrycznej (strumień elektryczny) = $DdS. W drugim prawie Maxwella występuje jego pochodna. Poza tym uwzględnimy w pierwszym prawie możliwość istnienia źródeł siły elektromotorycznej a w dru gim — układu przewodów z prądami /,-. Całkowe prawa Maxwella uzyskują postać
Niekiedy wygodniejsze są różniczkowe prawa Maxwella I. rotK =
8B ~ d t'
II. r o t H = - f i f + h III. divD =
q,
IV. divB = 0. II
III
j!£ d S + I= jH d l
|D dS = Q
IV
^BdS=C
dlvB qe = y (d k + b h )
Rys. 302. Prawa Maxwella wiążą zmiany pól elektrycznych i magnetycznych (I i II) oraz wyrażają źródłowość pola elektrycznego (III) i bezżródłowość pola magnetycz nego (IV). Zmiana jednego pola wytwarza wir drugiego. Pole elektryczne i magnetycz ne to dwa oblicza jednego złożonego tworu zwanego polem elektromagnetycznym. Gęstość energii pola elektromagnetycznego jest potową sumy iloczynów indukcji i natężeń obu pól. 327
Jaki jest sens fizyczny tych praw? Pierwsze i drugie prawo Maxwella wiąże ze sobą zmiany obu pól. Zmianom pola magnetycznego towarzyszą zmiany pola elektrycz nego i odwrotnie. Oba pola mają charakter wirowy. W obszarach, w których istnieje zmienne pole magnetyczne, tworzą się wiry pola elektrycznego (rot K # .0), a zmien ne pole elektryczne prowadzi do powstawania wirów pola magnetycznego. Trzecie i czwarte prawo wyraża źródlowość pola elektrycznego i bezźródłowość (solenoidalność) magnetycznego. Porównanie tych praw prowadzi do wniosku, że nie istnieje magnetyczny odpowiednik ładunku elektrycznego. Prawa Maxwella, uzupełnione definicją indukcji elektrycznej D — ££qK = £0K + P i magnetycznej B = /i/i0H = /UoH + jMoJ oraz prawem Ohma i = yK,
stanowią najogólniejsze prawa makroskopowej teorii pola elektromagnetycznego, czyli zasady elektrodynamiki klasycznej. Gęstość energii pola elektrycznego jest sumą gęstości energii pola elektrycznego i magnetycznego Q* = Qe+ Qm = y (DK+BH). Teoria Maxwella nie obejmuje mikropól atomowych i cząsteczkowych, które wyjaśnia elektrodynamika kwantowa.
Skorowidz
Akumulator kadmowo-niklowy 249 — ołowiowy 248 i n. — żelazowo-niklowy 249 akumulatory 247 i n. amper 219, 296 amperogodzina 248 anihilacja 121 i n. aniony 121 asymetria elektryczna 244 Bateria kondensatorów 210 i n. betatron 302 i n. bezprądowy pomiar siły elektromotorycznej 242 bezwirowość pola 30 i n. ------ elektrostatycznego 133, 231 ------ grawitacyjnego 61 bezwładność a grawitacja 85 i n. — magnetyczna 271 bezwzględny normalny potencjał elektromecha niczny 245 bieguny magnetyczne 255, 295 bilans energii w elektromagnesie 321 ------ w zjawisku indukcji 304 i n. — mocy w obwodzie z ogniwem 237, 242 i n. ----------- z samoindukcją 316 i n. Całka energii 93 — momentu pędu 92 centralność pola 11 i n. ------ elektrycznego 128 ------ grawitacyjnego 55 centrum pola 11 cewka (solenoid) 292 i n., 309, 323 — indukcyjna 315 — zapłonowa 315 ciało próbne 17 ciągły rozkład ładunku 154 i n. ------ masy 67 i n. ciepło Joule’a 237 i n„ 304, 317 cyrkulacja 24 i n., 30, 31
cyrkulacja w polu elektrycznym 132, 137, 199, 232, 238 i n„ 306, 326 ------ magnetycznym 271 i n., 277,280, 326 czarna dziura 91, 112 i n. czas lokalny 114 — na karuzeli 104 i n. — w polu grawitacyjnym 101 i n. — w układzie nieinercjalnym 105 i n. — własny 88 czasoprzestrzeń a grawitacja 86 i n. — Euklidesa 87 — Minkowskiego 87 — obserwatora spadającego do czarnej dziury 115 — Riemanna 87 — zakrzywiona 87, 90 cząsteczki polarne 190 czterowektor przyspieszenia 88 i n. czynnik elektromotoryczny 239 — sprzężenia 316 — uboczny 239 Debaj 145 diamagnetyki 268 i n. dielektryk 173 dipol atomowy 269 — cząsteczkowy 145, 269 — elektryczny 144 i n., 169 w polu elektrycznym 148 i n. — magnetyczny 253, 269, 288, 294 diretissima 19 doświadczenie Dickego i Bragińskiego 84 — Eótvósa 83 i n. — Paradaya 299 i n. — Galileusza 51 i n. — Hafele’a i Keatinga 102 i n. — Ketteringa i Scotta 223 — Newtona 82 i n. — Oersteda 253 — Shapiry 109 i n. 329
dysocjacja cząsteczek 246 dywergencja 17, 21 i n., 28, 33, 36 — jako gęstość strumienia 22 — pola centralnego 43 — pola odwrotnie proporcjonalnego do kwad ratu odległości 43 — powierzchniowa 198, 232 — wektora położenia 24 — wersora położenia 43 Ekran elektrostatyczny 181 elektrodynamika klasyczna 328 elektroliza 125 elektromagnes 298 i n., 320 i n. elektrometr bezwzględny 216 i n. elektron 172 i n. elektrony 120 i n. — przewodnictwa 220, 223, 256 i n., 265 i n. elektroskop 125 elektryczność w ciele ludzkim 120 element liniowy 47 ------- Schwarzschilda 91 i n. emisja połowa 177 energia dipola elektrycznego 148, 152 — efektywna 95 i n. — elektryczna ciała 171 i n. ------ kuli 171 i n. — grawitacyjna 75 i n. ------ kuli 77 i n. — jonów w krysztale 152 i n. — kondensatora 214 i n. — magnetyczna 316 i n. — pola elektrycznego 202 i n. ------ grawitacyjnego 75 i n. — pola magnetycznego 318 i n. — relatywistyczna 93 — układu cząstek 75 i n. ------ ładunków 150 i n., 204 — w polu ciała rozciągłego 68 cząstki 63 ------ elektrycznym 138 i n. ------ grawitacyjnym 63 ------ ładunku punktowego 138 ------ sił 31 ---------- cząstek 66 ---------- ładunków 144 — w zjawisku indukcji 304 Farad 205 ferroelektryki 193 330
ferromagnetyki 268 funkcja delta Diraca 72 i n. funkcje harmoniczne 47 ------ sferyczne 187 — Legendre’a 187 Galwanometr balistyczny 119 gęstość 60 — energii pola grawitacyjnego 78 i n. ---------- elektromagnetycznego 328 ---------- elektrycznego 204 — energii pola magnetycznego 320 i n. ------ w kondensatorze 216 — ładunku 122 i n., 175 i n., 260 elektronu 123 ------ protonu 124 — prądu 220 i n., 230 i n. — strumienia 20 i n. — wydajności 36 — źródeł 37 gradient 17 i n., 31, 48 — funkcji potęgowej 42 — jako gęstość strumienia 20 — pola centralnego 42 — wzniesień 19 — promienia wodzącego 20 graficzny obraz pola elektrycznego 140 i n., 233 ---------- magnetycznego 254 i n. grawitacja 51 i n. — w ogólnej teorii względności 87 i n. grawitacyjne opóźnienie zegarów 101 — przesunięcie prążków widmowych 108 Halotron 257 henr 308 histereza magnetyczna 270 i n. horyzont zdarzeń 113 i n. Impuls prądu 119 indukcja elektromagnetyczna 299 i n. — elektrostatyczna 178 i n., 192 i n. — magnetyczna 255 „wewnętrzna” 269 — własna 309 i n., 316 — wzajemna 311 i n., 316 indukcyjność obwodu 308 i n. — solenoidu 309 i n., 316 indukowany moment dipolowy 185, 190 inercjalność swobodnie spadających układów 85
interwał czasoprzestrzenny 87 i n. — Schwarzschilda 91 i n. izohipsy 19 izolinie 13 izopowierzchnie 12 i n. Jama potencjału 160 jonizacja lorentzowska 265 jony 121, 173, 220, 244 i n. Kationy 121 koercja 271 kolaps grawitacyjny 117 kompensacyjny pomiar siły elektromotorycznej 242 kondensator 204 i n. — kulisty 207 i n. — płaski 208 i n. — powietrzny 212 — próżniowy 212 — walcowy 208 — z dielektrykiem 212 konduktancja 226 konduktywność 226 konwekcja 10 kula Schwarzschilda 113 — w polu elektrycznym 183 i n. kulomb 119 kulombometr 145 kwadrupol elektryczny 169 Laplasjan 35 — funkcji potęgowej 47 — pola centralnego 47 liczba Loschmidta 123 linie geodezyjne 89 — indukcji 202 — pola 13 i n. ------ centralnego 14 ------ elektrycznego 140 i n., 233 ------ magnetycznego 254 i n. — świata 87 i n. liniowa gęstość ładunku 122 lokalna prędkość światła 111 Ładowanie kondensatora 214 i n. — przez indukcję 178 i n. ładunek elektryczny 119 i n. — elementarny 119 i n. — indukowany 180 —' przestrzenny 190
ładunek punktowy 122, 138 i n., 149, 181 i n. ładunki dodatnie i ujemne 124 — polaryzacyjne 200 — swobodne 178, 200 i n. — w przewodniku 173 i n. — związane 178 łączenie elementów obwodu magnetycznego 297 i n. — kondensatorów 210 i n. — oporów 227 i n. Magnes stały 321 i n. magneton Bohra 268 — jądrowy 268 magnetyki 268 i n. — miękkie 271 — twarde 271 magnetyzacja 269 masa bezwładna 81 i n. — elektromagnetyczna 172 — grawitacyjna 81 i n. — inercjalna 81 i n. — magnetyczna 294 — ważka 81 i n. masy ciał niebieskich 59 i n. metoda obrazów 181 i n. metryka czasoprzestrzeni 88 miary długości w polu grawitacyjnym 109 mikroskop jonowy 178 — połowy 177 i n. moc użyteczna w obwodzie 242 i n. model elektronu 172 moment dipolowy 74, 145, 188 i n. — elektryczny 145 — kwadrupolowy 75 jądra atomu 169 — magnetyczny 266 i n. — monopolowy 75 — oktupolowy 75 — pędu atomu 268 momenty magnetyczne atomowe i jądrowe 267 i n. — multipolowe 75, 167 — rozkładu ładunków 167 i n. ------ mas 75 monopole magnetyczne 253 mostek Wheatstone’a 251 i n. Nabla 34 nadprzewodnictwo 227, 239 namagnesowanie 269 i n. 331
napięcie elektryczne 134 i n. — magnetyczne 274 nasycenie magnetyczne 270 natężenie pola 16 i n. ------ elektrycznego 124 i n. ---------- przy powierzchni przewodnika 175 — pola magnetycznego 262 i n. — prądu 220 i n., 261 niekulisty rozkład ładunku 167 i n. ------ mas 74 i n. nieważkość 85 normalna wartość przyspieszenia swobodnego spadku 53 normalne składowe pola elektrycznego 200 i n., 232 i n. ---------- magnetycznego 280 i n. nośniki ładunku 173 , 220 i n. ------ w metalach 223 Obliczanie sieci 250 i n. obraz elektryczny 181 i n. obrót peryhelium 95 i n. obszar ekwipotencjalny 175 obwód magnetyczny 296 i n. — ze źródłem napięcia 241 i n. — z samoindukcją 310 i n. oczka sieci elektrycznej 250, 251 odchylenie światła w polu grawitacyjnym 98 i n. oddziaływanie prądów 253 i n. „odśrodkowa” siła elektromotoryczna 244 ogniwa galwaniczne 244 i n. ogniwo Daniella 246 — Leclanchego 247 i n. — odwracalne 247 — paliwowe 249 i n. — Volty 247 — wodorotlenowe 249 ogólna teoria względności 81 i n. — zasada względności 86 oporność 226 opór elektryczny 226 — magnetyczny 297 i n. — przejścia 236 — uziemienia 235 i n. — wewnęfrzny 241 — właściwy 226 — zastępczy 298 — zewnętrzny 241 opóźnienie zegarów w polu grawitacyjnym 101 i n. orbity ciał niebieskich 53 i n. 332
ostrze 176 otwarcie obwodu 311 Paradoks bliźniąt 105 i n. paramagnetyki 268 i n. parametry pola grawitacyjnego 60 i n. pary elektronowe 121 plazma 124 płytki próbne 179 płyty przewodzące 233 i n. pochodne przestrzenne 21, 28, 34, 47 podatność elektryczna 190 — magnetyczna 270 podwójne mnożenie wektorów 34 i n. pojemność elektryczna 205 i n. — elektryczna kondensatora 207 kuli 205 i n. ------ przewodnika 206 — ogniwa 248 — własna 207 — wzajemna 207 pola składowych wektora 10 i n. polaryzacyjna 189 — cząsteczek 189 i n. — dielektryczna 189 i n. — dipolowa 190 — elektrolityczna 247 i n. polaryzowalność 190 pole bezwirowe 30, 39, 45 — bezźródłowe 33, 41, 44 i n. — centralne 11, 42 i n „ 44 i n. — cylindryczne 12 — dipola 144 i n., 287 i n. — dośrodkowe 11 — elektromagnetyczne 16, 299 i n. — elektrostatyczne 124 i n. — elektryczne 124 i n. ------ ciał rozciągłych 153 i n. ------ jednorodne 135 i n., 162, 185 i n. ------ kuli 158 i n., 164 i n. ------ ładunku punktowego 128 in., 138 i n., 149 i n., 181 i n. ------ na granicy ośrodków 198 in., 231 i n. ------ pierścienia 156 i n. — elektryczne płaszczyzny 161 i n., 181 i n. powłoki kulistej 157 i n. ------ walca 160 i n. ------ w dielektryku 188 i n., 197 i n. ------ w przewodniku 173 i n. ---------- z prądem 231 i n. — fizyczne 9
pole grawitacyjne 16, 51 i n. ------ ciała rozciągłego 67 i n. ------ cząstki 65 ------ kuli 68 i n. ------ niekulistego rozkładu mas 74 i n. — jądrowe 16 — jednorodne 13 — kołowe 11 — kuliste 11, 42 i n. — ładunków polaryzacyjnych 188 i n., 197 i n., 214 — ładunku punktowego 128 i n. — magnetyczne 253 i n. ------ na granicy ośrodków 279 i n. ------ pętli 287 i n. ------ przewodu 253, 258 i n., 283 i n. ------ solenoidu 292 i n. ------ wewnętrzne 269 — matematyczne 9 — niekulistego rozkładu ładunków 167 i n. — odśrodkowe 11 — płaskie 11 — potencjalne 31, 39 — prędkości 10 — przepływu 10 — przyspieszeń 86 — ąuasi-stacjonarne 17 — ruchomych ładunków 219 — sferyczne 11, 42 i n. — sił 16 — skalarne 9 i n. — solenoidalne 33, 41, 44 i n. — stacjonarne 17 — statyczne 17 — temperatur 10 — termiczne 10 — układu cząstek 65 i n. ------ dipoli 169 ------ ładunków 143 i n. — wektorowe 9 i n. — wirowe 33 — zmienne 17 półprzewodnik 173 poprawka relatywistyczna do energii efektywnej 95 i n. potencjalność pola grawitacyjnego 62 ------ elektrostatycznego 133 ------ magnetostatycznego 274 ------ w przewodniku z prądem 231 i n. potencjał elektrochemiczny 245 i n.
potencjał elektryczny 133 i n. — grawitacyjny 61 i n., 77 — ładunków polaryzacyjnych 191 — ładunku przestrzennego 192 — magnetostatyczny 274 — magnetyczny 274 i n. ------ wektorowy 275 i n., 282 i n. — skalarny 31 i n., 37, 40 i n. — wektorowy 34, 37, 41 powierzchnia dielektryku 198 i n. — magnetyku 279 i n. — przewodnika 200, 232 powierzchnie ekwipotencjonalne 12, 141 i n. powierzchniowa gęstość ładunku 122, 191 powłoki elektronowe 188 pozostałość magnetyczna 271 praca przemagnesoWania 271 — przemieszczania ładunku 136 i n. prawa Keplera 53 i n. — Kirchhoffa 225, 240 i n „ 250 i n „ 314, 316, 320 ------ dla obwodów magnetycznych 298 — Maxwella 326 i n. — Ohma 225 i n., 304, 314 prawo Ampere’a 271 i n., 282 i n. ------ różniczkowe 273 i n. ------ uogólnione 326 — Biota-Savarta 278 i n. — Coulomba 125 i n., 130 i n. ------ dla biegunów magnetycznych 255 ------ w dielektrykach 194 — Faradaya dla elektrolizy 121 ------ dla indukcji elektromagnetycznej 302,326 — Faradaya dla samoindukcji 310 różniczkowe 306 — Gaussa 29, 32, 35, 45 i n. ------ dla pola elektrycznego 128 i n., 157 i n., 176, 324 i n„ 326 --------------grawitacyjnego 64 i n. -------------- magnetycznego 258, 263, 280, 319, 326 ------ w dielektrykach 192 i n. ------ w zjawisku indukcji 180 i n. — Hopkinsona 297 i n., 314, 321 — Joule’a 237 i n. — Laplace’a 279 — Kirchhoffa pierwsze 225 i n. ------ drugie 240 i n. — Ohma 225 i n. — ■— drugie 226 333
prawo Ohma, zakres ważności 228 n. — powszechnego ciążenia 54 i n., 81 — Stokesa 29 i n., 33, 47, 132 i n., 273 — załamania linii pola elektrycznego 202, 233 magnetycznego 282 prąd elektryczny 119, 219 i n. — polaryzacji 326 — przesunięcia 323 i n. — przewodzenia 323 i n. — upływności 236 — zwarcia 242 prędkość dryfu nośników ładunku 222 — graniczna 111, 112 — połowa 53 — światła 110 i n. ------- lokalna 111 promienie grawitacyjne ciał niebieskich 91 promień grawitacyjny 91 — Schwarzschilda 91 proton 120 przenikalność elektryczna 193 ------ próżni 162 — magnetyczna 269 i n. ------- próżni 262 przepływ płynu 15 przestrzeń Euklidesa 87 — Minkowskiego 87 — Riemanna 87 przesunięcie elektryczne 178 i n., 192 i n. — prążków widmowych w polu grawitacyjnym 108 i n. przewodnik 173 i n. — anizotropowy 231 — jednorodny i izotropowy 230 przewodność 226 — właściwa 226 przewody równoległe 253 i n., 295 i n. przyelektrodowy skok potencjału 246 przyrost pola 18 przyspieszenie swobodnego spadku 51 i n., 61 punkt działania 74 Rachunek księżycowy 57 i n. reguła Lenza 305 relatywistyczne równania ruchu w polu central nym 93 reluktancja 297 i n. rezonans magnetyczny 268 rezystancja 226 rezystywność 226 334
rotacja 17, 24 i n., 31 i n., 48 — a cyrkulacja 24 — jako gęstość strumienia 26 — pola centralnego 44 — powierzchniowa 232 — wektora położenia 26 rozkład ładunku 143 i n., 154 i n. — mas 65 i n. równania Einsteina 90 i n. — linii pola 13 i n. — pola grawitacyjnego 90 i n. — Schwarzschilda 91 i n. — toru 92 i n. równanie ciągłości 224, 324 — Clausiusa-Mosottiego 197 i n. — Laplace’a 47 •------ dla pola elektrycznego 163 --------------- grawitacyjnego 74, 91, 233 — Legendre’a 187 — Poissona 39 i n. ------ dla pola elektrycznego 162 i n. ------ ------- grawitacyjnego 72, 90 --------------- magnetycznego 276, 282 i n. równoważnik chemiczny 121 — elektrochemiczny 121 równoważność bezwładności i grawitacji 85 i n. różniczka luku 47 różniczkowe prawo Ampćre’a 273 i n. ------ Gaussa 36, 65, 162 i n., 324 ------ Ohma 230 i n. ruchliwość elektronów w metalach 229 i n. —- nośników ładunku 229 Samoindukcja 308 i n. sieć elektryczna 250 i n. siła Ampćre’a 265 i n., 304 i n. — ciężkości 51 i ... — elektromotoryczna 238 i n. — — indukcji 300 i n., 316 i n., 320 polaryzacji 247 ------ , pomiar bezprądowy 242 ------ samoindukcji 310 i n. — Lorentza 255 i n., 300 i n. — magnetomotoryczna 275, 297 i n. — przeciwelektromagnetyczna 247 siły bezwładności 85 — elektrodynamiczne 253 i n., 295 i n. — między okładkami kondensatora 217 skalarna krzywizna przestrzeni 90 solenoid 292 i n., 309, 323
solenoidalność gęstości prądu 225 — pola elektrycznego 130, 163 — pola grawitacyjnego 61 ------ magnetycznego 257 i n., 263 ------ w przewodniku 231 spadek do czarnej dziury 114 i n. — napięcia wzdłuż przewodnika z prądem 227 spolaryzowana kula dielektryczna 194 i n. sprawność obwodu 242 i n. stała dielektryczna 193, 212 i n. — elektryczna próżni 126 — grawitacji 56 i n., 82 — Madelunga 153 — magnetyczna próżni 262 stan stacjonarny w przewodniku 224 i n. strefy koordynacyjne 153 strumień elektryczny 327 — indukcji elektrycznej 327 ------ magnetycznej 257 i n., 280, 296 i n. — magnetyczny257 i n., 280, 296 i n. — natężenia pola elektrycznego 129 i n. — pola 15 ------ skalarnego 15 ■— — wektorowego 15 — skalarny 15, 33 — wektorowy 15 styczne składowe pola 202, 232 i n., 281 i n. superpozycja pól 142 i n. szczególna teoria względności 86, 107 Środek ładunku 166 i n. Tensor energii-pędu 90 — gęstości prądu 221 — krzywizny 90 — metryczny 87 — symetryczny 88 teoria pola 9 tesla 256 testy ogólnej teorii względności 95 i n. tory Keplera 94 i n. transformacje pola elektromagnetycznego 263 i n. transformator 313 twierdzenie Gaussa 29, 32, 35, 45 i n. — o jednoznaczności 38 — Stokesa 29 i n., 33, 47 Udźwig elektromagnesu 320 i n. układ cząstek 65 i n.
układ dipoli 169 — ładunków 143 i n. ulot ładunku 177 uogólnione prawo Ohma 240 upływność kondensatora 236 i n. Waga E6tv6sa 83 i n. — skręceń 58 i n., 125 wahadełko elektryczne 125 warstwice 13 wartościowość 121 warunek betatronowy 303 warunki brzegowe 38, 42 ------ w polu elektrycznym 163 i n. -----------magnetycznym 282 i n. „ważenie” ciał niebieskich 59 weber 257 wektor bezwirowy 30 in. — polaryzacji 189 — solenoidalny 33 i n. — wirowy 32 węzły sieci elektrycznej 250 wiaderko Faradaya 174, 180 wiatr elektryczny 176 wirowość 32 — pola magnetycznego 273 i n. wirowy charakter pola elektromagnetycznego 328 współczynnik giromagnetyczny 268 — indukcji wzajemnej 313 — samoindukcji 308 i n. współrzędne cylindryczne 48 i n. — krzywoliniowe 47 — ortogonalne 47 — sferyczne 48 i n. wydajność źródeł 29, 36 wydatek płynu 16 wykrywanie czarnych dziur 116, 117 wyznaczanie pola 39 ---- — bezwirowego 39 ------ elektrycznego 153 i n. ------ magnetycznego 282 i n. ------ solenoidalnego 39 — stałej grawitacji 58 i n. — źródeł 36 i n. względność pola elektromagnetycznego 261,265 ------ magnetycznego 258 i n. wzory Greena 35 i n. wzór Faradaya na siłę elektromotoryczną in dukcji 302 335
Zachowawczość pola elektrostatycznego 137 ------ grawitacyjnego 63 zakrzywienie czasoprzestrzeni 90 załamanie linii pola elektrycznego 202, 233 — ------ magnetycznego 282 zamknięcie obwodu 311 zapaść grawitacyjna 117 zapis zracjonalizowany 126 zasada równoważności 85 i n.
zasada superpozycji 143 — względności 85 i n. — zachowania energii relatywistycznej 93 ładunku 12 zjawisko Hałla 256 i n. Źródło napięcia 244 i n. — prądu 244 i n. — siły elektromotorycznej 244 i n.
