. Czynnik wykładniczy ze stałą fazową
włącza się do amplitudy zespolonej
331
W wyniku interferencji uzyskuje się falę o wektorze elektrycznym K = ^ K i = Kmej(kr- “'). Odpowiednie wektory magnetyczne można znaleźć ze wzoru B = -(k° x Km)ej(kr_e0,). c Natężenie jest równe średniej wartości wektora Poyntinga I = ^ e 0ck°(K J2. W naszym przypadku Kmjest zespolone, więc zamiast kwadratu bierzemy iloczyn liczb sprzężonych I = ^ £ock°(KmK:,). Rozkładając amplitudę zespoloną na składowe prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali, który przyjmiemy jako z, mamy K = 'L(*°Ax,ei**, + y0A„e*«), k:
= x ( x0^ k
e‘ j^ k+ y ° ^ e “j^ k)-
Stąd po wymnożeniu K mK* = Y ,A Xi Axk eiiq>xi~‘l,xk) + £ AyiAyk e HVyi ~ ^ ik
ik
(podwójny wskaźnik oznacza podwójne sumowanie). Mamy więc do czynienia z addytywnym nakładaniem się natężeń każdej składowej osobno. W dalszym ciągu będziemy uwzględniali jedną składową i pominiemy wskaźniki. Natężenie fali wypadkowej jest wartością bezwzględną wektora Poyntinga / = !/« , ik
przy czym
ye0c
hk — ~ Y K 2mk oraz hk + h i =
+
= xe0cXm;Xm)lcos(ę>,-ę)t) = 2 j l uIkk cos(
Natężenie całkowite jest sumą natężeń poszczególnych fal Ikk i członów interferencyjnych I ik + Iki, wynikających ze wzajemnych oddziaływań. Dla dwóch fal otrzymujemy / — / i + / 2+
cos(ę>i
^>2)’
w zgodności z tym, co stwierdziliśmy w ogólnym rozdziale o falach. Dla N fal N
N
ik
ik
N
=z ik
N
+ 2 X \Zhihk cos(ę{-
Kryterium interferencji jest istnienie członów interferencyjnych, zależnych od różnicy faz. Jeżeli człony te są równe zeru, pozostaje tylko pierwsza suma
i mamy do czynienia ze zwykłym dodawaniem natężeń. Spójność. Interferencję można uzyskać tylko przy świetle spójnym, czyli takim, w którym różnica faz nie zależy od czasu. Powstawanie światła jest procesem wewnątrzatomowym. Poszczególne akty emisji zachodzą w czasie t — —10~8—10-9 sekundy. Powstają elementarne ciągi falowe o długości równej drodze, jaką światło może przebiec w ciągu tego czasu, a więc rzędu kilkudziesięciu centymetrów. Ze względu na ograniczenie w czasie i przestrzeni ciąg falowy nie może być ściśle monochromatyczny (por. relację nieoznaczono ści) i reprezentuje raczej pasmo częstości wokół średniej częstości co. Akty emisji mogą zachodzić jeden po drugim. Kolejne ciągi falowe na ogół różnią się fazą. Uzyskanie interferencji jest uwarunkowane istnieniem wyrazu interferencyj nego ^12+^21 — 2 s j
COSA
gdzie Atp jest różnicą faz. Wyraz ten dla dwóch spotykających się ciągów jest na ogół różny od zera, ale bardzo krótkotrwały. Jeżeli interferujące ciągi pochodzą z niespójnych źródeł, różnica faz jest co chwilę inna i średnia wartość członu interferencyjnego < / l 2 + / 2 1) = 0.
Interferencji nie ma, obserwujemy tylko sumowanie się natężeń. 333
- w vw i/w—i - vw w
>■Aę> ^const
Rys. 200. W świetle niespójnym różnica faz między dwiema wiązkami jest co chwila inna
Interferencja może wystąpić tylko wtedy, gdy różnica faz między na kładającymi się wiązkami jest stała w czasie, czyli gdy wiązki są spójne. Najprostszym sposobem uzyskania wiązek spójnych jest rozdzielenie wiązki pochodzącej z jednego źródła i nakładanie powstałych w ten sposób wiązek. Wiązki składają się z wielu ciągów o zmiennych fazach, ale spotykające się składowe kolejnych ciągów mają zawsze tę samą różnicę faz zależną od geometrii.
■ =JW 1 W\ w “ -
W
-
-
W
V
--t / w
- n
>i® = const
Rys. 201. Wiązki spójne: fazy poszczególnych ciągów się zmieniają, ale różnica faz pozostaje stała (w narysowanym przypadku A ę = n)
Jedynymi znanymi źródłami światła spójnego w skali makroskopowej są lasery. Różnica faz. W decydującym o interferencji członie interferencyjnym występuje różnica faz spotykających się fal. Dla dwóch fal w jednym ośrodku Aę = (krj —cof-t-ói)—(kr2 —a>t + d2) = k(rj —r2) + ó1—S2. Na przykład dla składowej x 2n Aę = k{x1- x 2) + d1- d 2 = — (xt - x 2)-t-óx-<52. Różnica faz może pochodzić od różnicy dróg x i —x 2 i od różnicy stałych fazowych —<5a. Różnica dróg oznacza różnicę odległości od źródeł interferujących fal. Dla fal zgodnych w fazie (w miejscu powstawania) dt = Ó2 i różnica faz A(p = Y ^ X l~ Xl)' Wyrazimy długość fali w ośrodku za pomocą długości fali w próżni
334
gdzie n jest współczynnikiem załamania (bezwzględnym, tzn. względem próżni). Teraz &
lub, jeżeli każda wiązka biegnie w innym ośrodku, A ę = ^ ( n 1x 1 - n 2x2). A0 Iloczyn współczynnika załamania i drogi w ośrodku (tzw. drogi geomet rycznej) nosi nazwę drogi optycznej s„ = ns.
s
ż. 2 Łs.
vwwRys. 202. Tej samej drodze geometrycznej w różnych ośrodkach odpowiadają różne drogi optyczne. Dla n 2 > n 1 mamy A2 < i n 2s > nts.
Różnicę faz można więc sprowadzić do różnicy dróg optycznych
Aę = y -(S n t-sB2)Aq
Zwróćmy uwagę na ciekawe właściwości drogi optycznej. Po pierwsze: sn ż0
ns ż0
s A
Stosunek drogi optycznej do długości fali w próżni jest taki sam, jak drogi geometrycznej do długości fali w ośrodku. Po drugie czas przejścia przez światło takich samych dróg optycznych w różnych ośrodkach jest stały s ns t = - — — = const c c0
. , (gdy ns = const) 335
tzn. jednakowe drogi optyczne oznaczają jednakowe czasy przejścia, a jeżeli źródła wiązek emitują światło zgodne w fazie, jednakowe są także różnice faz. Stwierdziliśmy, że warunkiem interferencji jest spotkanie się wiązek światła o określonej i stałej w czasie różnicy faz. Od tej różnicy zależy wynik interferencji. Maksymalne wartości wyrazu interferencyjnego (cosA> = +1)
Rys. 203. Sama spójność nie wystarcza do interferencji, dodatkowym warunkiem jest
nAs < c0t
prowadzą do interferencji konstruktywnej, minimalne (cosAtp = 0 ) dają inter ferencję destruktywną. Spójność wiązek nie jest jednak warunkiem dostatecz nym. Aby dwa ograniczone ciągi falowe mogły się spotkać w danym miejscu, różnica dróg optycznych musi być mniejsza niż długość ciągu w próżni c0r (t jak poprzednio jest czasem emisji). Warunkiem interferencji dwóch wiązek jest więc także n1sl —n2s2 < c0x. W tym samym ośrodku («j = n2 — n) warunek się upraszcza n fs j-S j) <
c
S. — S , =
<
0t ,
czyli
1
2
co n
— T =
CT.
Różnica dróg geometrycznych musi być mniejsza niż długość ciągu w ośrodku. Długość ciągu nazywa się niekiedy rozmiarem interferencji.
336
Rys. 204. W jednym ośrodku, np. w powietrzu, wystarczy, by As < c0t Krzyżujące się wiązki. Jeżeli interferujące wiązki pochodzą z dwóch spójnych źródeł punktowych, położonych np. na osi x i odległych od siebie o 2d, a początek układu przyjmiemy w połowie odległości między źródłami, to różnica faz w punkcie x , y, z wynosi As = N/(.v-d )2+ y 2 + z2- v/(x +
Rys. 205. W narysowanym przypadku różnica dróg wynosi As = v/(x +d)2 + z2 —y /( x —d)2 + z2. Dla As = id w P pozostanie punkt jasny, a dla As = ( 2 k + \ ) X / 2 — ciemny (współrzędną y pominięto) Zakładamy, że oba promienie biegną w ośrodku o współczynniku załamania n = 1. Różnicy dróg As odpowiada różnica faz
2n A
A
22
-
Fizyka dla politechnik
337
gdzie k jest liczbą całkowitą. Powierzchnie te są hiperboidami obrotowymi zakreślonymi wokół osi z. Dla dużej odległości z = r > d (w praktyce jest to odległość ekranu, na którym obserwujemy prążki, od źródeł) możemy rozwinąć As na szereg i ograniczyć się do pierwszych wyrazów. Stąd As
2 dx dx ------- H—r ( x J + y 2 + b2)+ r r
2dx
Z warunku wzmocnienia znajdujemy położenie jasnych prążków po obu stronach osi z
i prążków ciemnych (2 k + l)X r
X>= ± "
...
Znajdźmy jeszcze odległość między sąsiednimi prążkami, np. odpowiadającymi liczbom k i k+ I, (k + l)Ar kXr 2d
rX
2d~d2
To samo otrzymamy dla prążków ciemnych. Odległość między prążkami jest tym większa (wyraźniejszy efekt), im większy jest stosunek odległości ekranu do odległości między źródłami.
Rys. 206. Bipryzmat Fresnela (Z ,, Z 2 — źródła pozorne)
Przykład. Bipryzmat Fresnela. Praktyczną realizacją układu dwóch źródeł jest bipryzmat lub podwójne zwierciadło Fresnela. Faktycznie źródło jest jedno, ale przyrząd rozdziela wiązkę na dwie — załamane (w pryzmacie) lub odbite (w zwierciadłach). Źródłami interferujących wiązek są obrazy pozorne, z których wiązki wydają się wychodzić. Dla przypomnienia: obraz pozorny to taki, który tworzą przedłużenia promieni po drugiej stronie przyrządu. Odległości Ax między prążkami interferencyjnymi odpowiada odległość kątowa X r 338
2d'
Rys. 207. Podwójne zwierciadło Fresnela. Warunek wzmocnienia: 2dx/r = kX ( Z ,, Z 2 — źródła pozorne) Interferencja w cienkich warstwach. Weźmy pod uwagę płasko-równoległą warstwę ośrodka o współczynniku załamania n (bezwzględnym tzn. względem powietrza lub próżni) i malej grubości h. Światło padające na powierzchnię zewnętrzną rozdziela się na wiązkę odbitą, która nas w tej chwili nie interesuje i załamaną, którą oznaczymy jako a. Ta ostatnia doznaje odbicia na drugiej powierzchni (część przepuszczona dalej również nas nie interesuje) i powtórnego załamania na pierwszej powierzchni (tutaj nie interesuje nas część odbita), po czym może interferować z wiązką b odbijającą się w tym miejscu i równoległą do wiązki pierwotnej. Oznaczymy kąt padania przez a j, załamania przez a 2. Różnica dróg optycznych jest równa drodze światła w warstwie ośrodka (pomnożonej przez współczynnik załamania)
^na
2 nh
cosa 2
Rys. 208. Interferencja w cienkich warstwach. Różnica dróg As = Ih ^ /n 2—sin 2 a ,. W ostatecznym rachunku trzeba uwzględnić zmianę fazy na przeciwną przy odbiciu promienia h
339
minus dodatkowa droga wiązki b w pierwszym ośrodku (tj. powietrzu) wynikająca stąd, że punkt, w którym zachodzi interferencja (punkt wyjścia promienia a z ośrodka), jest odległy od punktu wejścia o 2 h tg a 2 snb = 2 /itga 2 sina,. Wypadkowa różnica dróg optycznych = s„a- s „6 =
2nh cosa
— 2h tg a 2 sina,.
Biorąc pod uwagę zależności cosa 2 = y / l —sin 2 a 2 = (1 /n)y/n2—sin 2
tg“z =
,
sina 2
(l/n)sina,
sina,
y / i —sin 2 a 2
(i/n)y/n2—sin 2 a ,
\ / n 2 —sin 2 a,
otrzymujemy As„ = 2k ( ”2 ■ ------Sin- g l - ) = 2łis/ n J —sin 2a ,. \ y / n 2—sin 2 a, y /n 2 —sin 2 a , / Przy sformułowaniu warunków wzmocnienia (prążek jasny) i osłabienia (prążek ciemny) należy uwzględnić skok fazy o tt przy odbiciu promienia b od ośrodka mniej przeźroczystego
2n
A
nA
A
2n
2
Odpowiada temu przyrost różnicy dróg optycznych As„(ji) = nAs(n) = ~ = y o połowę długości fali w próżni. Teraz możemy napisać warunki wzmocnienia 2 hv/n 2 - s i n 2 a 1 = y + U 0 = (2 fc+ l ) y , -
czyli hy/n2 —sin2ctt = (2 k + l ) -A ^o oraz osłabienia (wygaszenia) 2 hv /n 2 - s i n 2 a, = y + ( 2 k - l ) - ~ = U „,
czyli hv y/n 2—sin 2 a , = k ~2 ,
340
przy czym k jest liczbą całkowitą, która nie może przekraczać kilkudziesięciu (inaczej różnica dróg stałaby się większa niż długość ciągu falowego). W dotychczasowych rozważaniach zakładaliśmy po cichu, że warstwa jest płasko-równoległa, a rozbieżność wiązki równa zeru (ograniczające promienie są równoległe do siebie). Oba warunki są niemożliwe do ścisłego spełnienia. Zarówno grubość warstwy, jak i kąt padania promieni mogą się zmieniać. Jeżeli zmienna jest grubość, a kąt padania jest z wystarczającym przybliżeniem stały; obserwujemy jasne prążki w miejscach, w których grubość spełnia warunek
2k+ l
A0
y /n 2—sin 2 aj 4 Nazywamy je prążkami równej grubości. Jeżeli mamy stałą grubość, obserwujemy prążki równego nachylenia dla promieni o kątach padania a.k, które można znaleźć ze wzoru
y /n 1—sin 2 at
2 k + i X0 h
7 '
Pojawianie się prążków interferencyjnych stwarza możliwość bardzo dokładnej kontroli grubości cienkich warstw, gładkości powierzchni i w ogóle pomiaru bardzo małych długości (rzędu 0,1-0,01 ż0) i kątów. O partą na nich technikę pomiarową nazywamy interferometrią. Ze względu na zależność od długości fali trzeba używać światła monochromatycznego. W białym świetle powstaje mieszanina kolorowych prążków. Przy większej zdolności odbijania wykorzystuje się odbicie wielokrotne. Natężenie prążków. Warunkiem możliwości zaobserwowania interferencji jest dostateczna ostrość i natężenie prążków. Ostrością nazywamy stosunek odległości prążków do ich szerokości. Szerokość prążka 2A xi/2 wynika z jego profilu, czyli rozkładu natężenia, mierzy się ją w połowie wysokości. Oznaczając odpowiadającą różnicę faz przez 2e otrzymujemy jako definicję ostrości
2% n 2e
e,
X 2 A.v,/2’
Rys. 209. Ostrość prążków interferencyjnych definiujemy jako stosunek odległości między prążkami do szerokości połówkowej
341
przy czym Ax natomiast szerokość prążka o wysokości /„ znajdujemy z odpowiadającej jej różnicy faz, która dla / = i / 0 wynosi A
£
V
Konieczny jest jeszcze profil prążka. Zależy on od współczynników odbicia kr i przepuszczania k,. W przypadku cienkiej warstwy (płytki płasko-równoległej) musimy uwzględnić odbicie i przepu szczanie na powierzchni zewnętrznej — odpowiednie współczynniki oznaczymy jako kr i k, — oraz wewnętrznej o współczynnikach k'r i k',. Przy każdym odbiciu amplituda fali zmienia się kr lub k'r razy, przy przepuszczaniu k, lub k't razy. Fala, która dochodzi do drugiej powierzchni, jest falą przepuszczoną przez pierwszą powierzchnię. Przy danej polaryzacji ze wzorów Fresnela wynika, że k'r = —kr. Jeżeli amplituda fali padającej wynosi K ml, to amplitudy fal, które przeszły przez płytkę beź odbicia oraz po 2. 4 itd. wewnętrznych odbiciach, wynoszą odpowiednio K„,k,k'„ Kmlk,k',kt, K m,k,k',ki itd. Każda z nich jest przesunięta w fazie względem poprzedniej o
2 jr
A
'•o
gdzie a 2 jest kątem załamania. Ponieważ każdemu przesunięciu w fazie odpowiada czynnik eJ4v, sumę amplitud po drugiej stronie można wyrazić jako Km2 = K mtk,k’,[ I + k? eja* + k?e‘'2Sv+ ... + k 2,N~u e gdzie N oznacza liczbę podwójnych odbić wewnątrz płytki. Suma tego szeregu jest równa
*"• - K.„l J_ fc2ej4v KIK‘Ponieważ kr < ł, a N jest duże, należy wykorzystać wzór lim k2N = 0
N-+CD i ostatecznie
K — —rv» Kl j "■ml
K.flt
'
co prowadzi do natężenia (w postaci rzeczywistej)
342
Maksima natężenia (prążki jasne) otrzymujemy, gdy różnice dróg kolejnych fal są wielokrot nością długości fali, czyli przy różnicach faz A
k' +---- i - f f l iS-----\ * W * i* ' co w granicy dla N —♦ oo (długa płytka) prowadzi do amplitudy
, i -(KK+klW* ml ' \ —k}e>Av i do natężenia [1 -(k,k', + k2)] 2 + 4(k,k', + fcr2) sin 2(iAę>) ( l- / c ?)2 + 4fcr2 sin 2(iAę>)
lr
1
Wyrażenie to można uprościć korzystając ze związku k,k’, + kr = 1 , możliwego do znalezienia, jeżeli wyrazimy k„ k', i kr jako funkcję kąta padania a, i współczynnika załamania tt. Podstawienie do poprzedniego wzoru daje 4fc?sin2(jA>) 1 (1 —k?)2 + 4 k 2 sin 2(2Aę>)
1
Maksimum natężenia fali odbitej uzyskujemy dla sin 2(^Aę>) = 1, czyli A
^
-
1.
Możemy teraz powrócić do ostrości prążka (w świetle przechodzącym). Z równania
,z
kfk!,2 !> (1 —fe2)2 +4/c 2 sin 2 (jA(p)
2
po podstawieniu sin 2($Aę>) = 2e oraz k,k', = 1 —k } otrzymujemy t. =
1- k ?
343
a stąd
Jak widać, ostrość prążków zależy wyłącznie od współczynnika odbicia. Z drugiej strony przy wzroście współczynnika odbicia maleje natężenie przepuszczonego światła. Prążki są węższe, ale słabsze. Podobne wzory można otrzymać dla interferujących promieni odbitych. Znajdźmy jeszcze odległość między prążkami. Warunek maksimum dla fali przechodzącej (lub minimum dla fali odbitej) odpowiada kątowi załamania 2kn l 0 kX0 cos ot, = r —r — = r - r 2nh2n 2 nh To samo dotyczy prążków równego nachylenia przy oświetleniu przez źródło rozciągłe (niepunktowe). W tym przypadku linie przyjmują kształt pierścieni. Różniczkując powyższą zależność mamy —2n/isina 2Aa2 « A0 A/c, a stąd kąt między sąsiednimi maksimami (odległość kątowa dla Ak = 1)
Odległość kątowa zależy od kąta padania, a przy stałym kącie padania jest tym większa, im cieńsza warstwa. Warto zwrócić uwagę, że w skrajnym przypadku, gdy na płytkę (warstwę) pada fala płaska, linie równego nachylenia są zlokalizowane w nieskończoności. Aby móc je obser wować, trzeba skupić odbite lub przepuszczone promienie równoległe za pomocą soczewki.
Zasada Huygensa-Fresnela. Dyfrakcją (ugięciem) nazwaliśmy odchylenie biegu promieni od prostoliniowości, zachodzące na przeszkodzie ograniczają-
Rys. 210. Zasada Huygensa wyjaśnia dyfrakcję — w tym przypadku fali płaskiej — na krawędziach przesłony. Strzałki A i B pokazują kierunki ugiętych promieni
344
cej czoło fali. Przeszkoda zmienia amplitudę i fazę w pewnym rejonie czoła fali i w wyniku następuje ugięcie. Z reguły towarzyszy temu interferencja ugiętych promieni i powstają prążki interferencyjne. Do wyjaśnienia dyfrakcji stosuje się między innymi zasadę Huygensa, ale nie w jej pierwotnej postaci, która nie jest w stanie opisać obserwowanej zależności od długości fali, tylko w postaci poprawionej przez Fresnela. Każdy swobodny punkt czoła fali jest źródłem wtórnej fali kulistej o nie zmienionej częstości, a amplituda drgań w dowolnym innym punkcie wynika z superpozycji tych fal. Czoło fal możemy zatem traktować jako ciągły układ źródeł spójnych o stałej częstości i stałych różnicach faz. Przy sumowaniu amplitud musimy uwzględnić różnice faz, a jeśli trzeba, także kierunki.
Rys. 211. Dyfrakcja Fresnela — z falą kulistą (a) i Fraunhofera — z falą płaską (b). W przypadku (a) promienie są rozbieżne, w przypadku (b) równoległe. Tutaj promienie ugięte przestają być równoległe, dla obserwacji prążków w dyfrakcji Fraunhofera wprowadza się soczewkę skupiającą S między przesłonę P a ekran E
Rozróżniamy dwa główne rodzaje dyfrakcji. Jeżeli źródło punktowe, z którego wychodzi fala, jest na tyle blisko przesłony, że musimy traktować falę jako kulistą, mamy do czynienia z tzw. dyfrakcją Fresnela. Przy dużej odległości od źródła falę można uważać za płaską: w tym przypadku mówimy o dyfrakcji Fraunhofera. Nie udało się dotychczas opracować ścisłej teorii dyfrakcji obejmującej wszystkie przypadki. Najłatwiej znaleźć opis matematy czny dyfrakcji na przeszkodach symetrycznych i o prostych kształtach, np. na szczelinach, otworach okrągłych i prostokątnych oraz układach szczelin, czyli siatkach dyfrakcyjnych. Aby móc obserwować dyfrakcję, rozmiary przeszkody nie mogą być zbyt duże — np. w porównaniu z odległością od źródła czy ekranu. Ciąg źródeł spójnych. Rozpatrzmy układ N źródeł spójnych fal, położonych na linii prostej, przy czym odległość między sąsiednimi źródłami wynosi d. Załóżmy, że wszystkie wytworzone przez nie fale mają tę samą fazę. Punkt obserwacji znajduje się w dużej odległości, tak że promienie biegną do niego 345
Rys. 212. Ciąg źródeł spójnych. W narysowanym przypadku kolejne różnice faz wynoszą n (przy 9 = 0 byłyby równe zeru). Różnice dróg są wielokrotnością dsin.9.
prawie równolegle, pod kątem 9 do normalnej do linii źródeł. Różnice dróg między sąsiednimi promieniami wynoszą d sin 9. Amplitudy fal docierających do punktu obserwacji są jednakowe, ze względu na różnice dróg różne są tylko fazy. Sumaryczne natężenie pola elektrycznego wynosi K
= Km[e^>
W tym przypadku można stosować wzory skalarne. Wyciągając wspólne czynniki przed nawias mamy Ję
—
K m e ~ iat
e ikr' [ 1
e
- »- i ) _J _e iłc<»-3- r i ) ^
_|_e j * ( r N - n ) j
Różnica fazy między sąsiednimi promieniami wynosi ę = k0nd sin 9 = fct/sin9 = k(r2—rt), gdzie n jest współczynnikiem załamania ośrodka, a k0 — liczbą falową (wartością wektora k w próżni). Oznaczając dalsze różnice faz jako 2
W rezultacie K = Kme " jm,ejIłri+(N' 1)^ V f ^sm(i
otrzymujemy
K = K mei(kR~a,)
( sin&Nq>)\ \ sin(£
Natężenie proporcjonalne do \K K * (K* — wielkość zespolona sprzężona z K) jest równe , sin2(|Ncp) ° sin2(i) °sin 2(łę>)
4 / 0 cos2(i
Rys. 213. Natężenie prążków dyfrakcyjnych dla liniowego ciągu 6 źródeł spójnych w zależności od kąta ugięcia 8 . Maksima główne M 0, M t , M 2 są przedzielone maksimami pobocznymi (po 4 między każdą parą sąsiednich maksimów głównych)
Należy pamiętać, że różnica faz ę, a wraz z nią wypadkowe natężenie, zależą od kąta ugięcia równoznacznego z kątem obserwacji. Maksima 347
występują dla takich 3m, przy których ę = 2mn (m = O+1 ± 2 + ...). Z uwagi na ę = kd sin 9 mamy d sin.9m= m/.. Przy ę = 2mn wyrażenie na natężenie / staje się nieoznaczone. Stosując regu/f de VHópitala otrzymujemy sin2(jN«jg) sin2 fi
2
czyli wartość natężenia w maksimach
W kierunku prostopadłym do układu (9 = 0) mamy główne maksimum rzędu zero (m = 0 ), a dla kąta takiego, że N ę = Jt pierwsze minimum. Dla d < /. istnieje tylko zerowy prążek. Przykładem liniowego układu źródeł fal radiowych może być interferometr do obserwowania promieniowania kosmicznego o długości fali 2 = 21 cm, emitowanego przez atomy wodoru, zbudowany w Australii w 1951 r. Układ składa się z 32 parabolicznych anten rozmieszczonych na długości 244 m w kierunku wschód-zachód. Inny taki układ w obserwatorium Mullarda w Cambridge, służący do obserwacji fal o częstości 81,5 MHz (2 = 3,68 m), a później 160 MHz (2 = 1,87 m) ma 435 m długości. Stanowi on swoistą siatkę dyfrakcyjną dla fal radiowych.
Dyfrakcja Fraunhofera. Zwiększając do nieskończoności liczbę N źródeł punktowych zawartych w ograniczonym odcinku o długości l, otrzymujemy w granicy źródło ciągłe, które w zakresie optycznym może służyć jako model np. pojedynczej szczeliny o szerokości mniejszej niż długość fali świetlnej /.. Zgodnie z zasadą Huygensa-Fresnela każdy punkt źródła (czoła fali w szczeli nie) emituje kulistą falę wtórną opisaną równaniem
X
Rys. 214. Źródło ciągłe
348
(r jest odległością od punktu obserwacji). Wielkość Q nazywamy wydajnością źródła. Niech oś x pokrywa się z kierunkiem rozmieszczenia źródeł, a oś z przyjmujmy w płaszczyźnie obserwacji. Odcinek Ax; linii źródeł zawiera N AxJl źródeł punktowych. Jego przyczynek do natężenia pola w punkcie obserwacji wynosi Q N A xt K t = —sin(cot —kr / Suma natężeń po wszystkich Ax, ą K = 2 j-sin(cor —kri)Axi, rt gdzie jednostkowa wydajność źródła <ł = 7 lim (NQ) i N-»oo (pamiętajmy, że przy zwiększaniu liczby źródeł maleje ich wydajność Q, bo całkowita wydajność jest skończona). Zagęszczając podział do nieskończoności otrzymujemy 1/2 sm (cot —kr) , K = q J --------------dx, r 1/2 -
przy czym r jest funkcją x. Z dyfrakcją Fraunhofera mamy do czynienia przy odległości od punktu obserwacji znacznie większej niż rozmiary źródła (r > /)• W tym przypadku odległość r jest zawsze bliska odległości R środka źródła od punktu obserwacji, można więc napisać q d K = —sin((ot—kr)dx, gdzie q/R gra rolę amplitudy. W argumencie (fazie) sinusa nie możemy pominąć zależności r od x r = R cos 3 = R ^ /i —sin 2 3 = R ale możemy rozwinąć pierwiastek w szereg i opuścić dalsze wyrazy. Pod stawiając do wzoru na dK i całkując od —1/2 do 1/2 otrzymamy ql sin (%kl sin 9) sin ((ot —kR). R ^fc/sin9 349
Oznaczając argument sinusa w liczniku przez y y = %kl sin 9 możemy uprościć zapis „ ql siny . K =— sin(a>r —kR) i wyrazić natężenie jako
m
1 / q l\2 f siny
=(K \
2W
bowiem
m
2
V ~
Dla 9 = 0, siny/y = 1 i otrzymujemy główne
-
Stąd m -
Jeżeli wyrazimy y w funkcji długości fali (podstawiając k = 2n/X) nl . Q
y = js m 9 ,
to łatwo stwierdzimy, że przy / > /. natężenie szybko spada do zera, gdy 9 odchyla się od zera, czyli gdy kierunek ugięcia odchyla się od normalnej do szczeliny (siny przybiera tylko wartości od 0 do 1, a przy dużym l, y jest duże). Prążek centralny jest wówczas bardzo ostry, dalsze są słabo zaznaczone. Z kolei przy l X, siny w y i 7(9) = I 0 = const, wynik jest więc taki, jak dla punktowego źródła emitującego fale sferyczne. Z tego wszystkiego wynika, że długość szczeliny nie gra ważnej roli. Istotne dla dyfrakcji jest ograniczenie czoła fali przez przegrodę. Szczelinę wydłużoną można rozpatrywać jako prawie nie ograniczoną w kierunku wydłużenia. Natomiast ważne jest ograni czenie poprzeczne. Zamiast szczeliny możemy równie dobrze wziąć liniowy ciąg źródeł w poprzek szczeliny (wzdłuż osi y). Jest to równoważne pocięciu szczeliny na szereg wąskich pasków o długości l i szerokości dy. Niech łączna szerokość wynosi b. Stosując przybliżenie Fraunhofera możemy napisać y = \kb sin9, 350
Rys. 215. Dyfrakcja na pojedynczej szczelinie
przy czym kąt 9 mierzymy w płaszczyźnie y, z. Podobnie jak poprzednio m
- '.{ * ? ) '■
W tym przypadku długość źródła (linii w poprzek szczeliny) b jest niewielka, co sprawia, że oprócz ostrego prążka centralnego występują także słabsze, ale M )/I0
Rys. 216. Natężenie prążków przy dyfrakcji Fraunhofera na pojedynczej szczelinie. Podano miejsca i natężenia maksimów. Odcięta y = (kb/2) sin 9
351
widoczne prążki wyższych rzędów. Ekstrema występują tam, gdzie d/ r 2 siny(ycosy —siny) _ n ~7~ — *0 3 = 0. d y
y
Minima (/ = 0) mamy, gdy siny = 0, czyli przy y = + łi, ± 2 n , ± 3 k , ..., natomiast maksima znajdujemy z równania ycosy —siny = 0 , czyli tgy = y. Stąd dochodzimy do miejsc jasnych prążków y = ±l,43037t, ± 2,45907t, ±3,4707 ti, ±4,4774Tt o natężeniach / = 0.047/o, 0,017 /0, 0,008/ 0, 0,005/o, ... Dyfrakcję na pojedynczej szczelinie można zaobserwować także bez soczewki. W podobny sposób można znaleźć położenie prążków dla otworu kołowego. Całki sprowadzają się w tym przypadku do funkcji Bessla, a natężenie można przedstawić w postaci szeregu 2\ , 1 1 m / = / r 1 —-m + - . 2 312!
2
Rys. 217. Dyfrakcja na okrągłym otworze
352
gdzie nr sin .9 (r — promień otworu). Stąd otrzymuje się kąty ugięcia 9 odpowiadające kolejnym maksimom i minimom. Obraz dyfrakcyjny składa się z jasnej plamy środkowej otoczonej ciemnymi i jasnymi pierścieniami. Pierwsze ciemne pierścienie powstają przy kątach ugięcia spełniających warunek sin9 = 0,61-; 1,116— r r
Rys. 218. Natężenie i rozkład pierścieni przy dyfrakcji Fraunhofera na kołowym otworze o promieniu r
Jasne pierścienie między nimi mają natężenia / = 0,017/o; 0,004110 itd. Są więc dużo słabsze od plamy środkowej, na którą przypada 84% całego światła przechodzącego przez otwór. Rozmiary jasnej plamy wynikają ze średnicy pierwszego ciemnego pierścienia. Przy małych kątach ugięcia 23
— Fizyka dla politechnik
353
A9 ~ sin .9 = 0,61 A/r i promień pierwszego pierścienia na ekranie A /= 1,22^/, gdzie d —2 r jest średnicą geometryczną otworu, a / — ogniskową soczewki skupiającej wiązkę. Na przykład przy d = 0,5 mm, / = 1 m i A = 5-10“ 5 cm otrzymujemy 5 1 0 -5 Al = 1,22— - r 102 = 0,122 cm. 5-10 £ Teoria dyfrakcji Kirchhoffa. Dyfrakcja może nastąpić tylko na przegrodzie ograniczającej propagację fali. Ścisła teoria powinna zawierać rozwiązania równań falowych w obrębie przegrody i w pozostałej przestrzeni, i dostarczać informacji o natężeniu polaryzacji i innych charakterystyk światła — także w obszarze za przeszkodą. W praktyce musimy stosować metody przybliżone, oparte na zasadzie Huygensa-Fresnela. Wielkością charakteryzującą falę będzie jedna z obu składowych wektora elektrycznego, prostopadłych do kierunku propagacji z, czyli K x lub K y. Oznaczmy ją ogólnie przez K. Natężenie będzie jak zwykle proporcjonalne do K 2. Wielkość K spełnia równanie falowe V2K
1 d2K c2 dt2 '
Jeżeli fala jest harmoniczna i monochromatyczna, to zależność od położe nia i czasu ma postać K = K m{x, y, zje-*01, co prowadzi do zależności od położenia (równania charakterystycznego) V2K m+ k2K m = 0, przy czym, jak zwykle, k — co/c = In/A. Wprowadźmy falę sferyczną, wy chodzącą z punktu P obszaru całkowania, opisaną równaniem ejkr Utwórzmy wielkość KmgradK^ — K'mgrad.Km i zastosujmy do niej prawo Gaussa. Otrzymujemy znane twierdzenie Greena )(KmgradX'm- X 'mgradK JdS = j(K mP2K'm- K 'mF2K J d V — f k2(K'mK m—K mK'm)dV = 0. 354
Rys. 219. Powierzchnia S zamyka rozpatrywany obszar, kula S0 otacza punkt P. Zwróćmy uwagę na różny zwrot dS na obu powierzchniach
W punkcie P, K'm staje się nieskończenie wielkie (bo r = 0). Aby ominąć tę trudność, otoczymy P małą kulą o promieniu r0. Wewnętrzna powierzchnia kuli S0 = 4nrl staje się w tym miejscu granicą obszaru całkowania, a normalna do niej jest skierowana do środka, do punktu P. W równaniu Gaussa musimy więc rozbić całkę powierzchniową na dwie — po powierzchni zewnętrznej obszaru i po wewnętrznej powierzchni kuli. Podstawiając wartości K'm mamy
s
+
/Cmgrad—------—gradKmjdS = 0. So
Przy zmniejszaniu r do zera w drugiej całce znika wyraz (eik'/r)gradKm, bo dS maleje jak r2, a w mianowniku mamy r. W pozostałym wyrazie otrzymujemy przez różniczkowanie
Po pomnożeniu przez dS = —4nr2r° w granicy dla r-> 0 otrzymujemy
i stąd
355
gdzie Km(P) jest wartością w punkcie P. Podstawiając do równania Gaussa otrzymujemy tzw. wzór Kirchoffa
s wyrażający zaburzenie w punkcie P jako całkę po powierzchni ograniczającej zawierający go obszar — np. powierzchni przegrody z otworkiem o powierz chni AS. Ścisłe rozwiązanie jest bardzo trudne, ale możemy wprowadzić przybliżenie, zakładając: a) że fala w otworze jest taka, jak gdyby nie było przegrody, b) że po drugiej stronie w obszarze zamkniętym przez przegrodę nie ma zaburzenia — z wyjątkiem co najwyżej obszaru przylegającego do krawędzi otworu. Matematycznie brak zaburzenia oznacza Km = 0 i gradKm= 0.
Rys. 220. Wzajemna orientacja wektorów r°, R°, n° i dS w otworze
Rozpatrzmy bardziej szczegółowo przypadek sferycznej fali pierwotnej, czyli fali wychodzącej z punktowego źródła Q, opisanej równaniem Km
eikR R
Teraz
oraz, jak poprzednio,
356
przy czym R jest wektorem łączącym źródło fali pierwotnej Q z danym punktem otworu, a łączy z nim punkt obserwacji P. Ze względu na R°dS = cos(n°, R°)dS = n°R° dS (n° oznacza kierunek normalnej do powierz chni otworu) mamy
r
1
K - W - 4n A f
p j k ( r + R)
rR
^ - H k ) n V - ^ + j f c ) n 0R 0Jd S .
Gdy odległości źródła i punktu obserwacji są znacznie większe od długości fali, co praktycznie zawsze ma miejsce, można pominąć 1/r i l/R w porównaniu z k = 27t/ż. a stąd j
e jk (r + R)
KJ P ) = ^ I - ^ - ( n ° r 0 - n 0R0)d S. Jeżeli także r i R są większe od rozmiarów otworka, to można je uważać za stałe, z wyjątkiem wykładnika, gdzie są pomnożone przez duże k i jeszcze bardziej uprościć wzór Kirchhoffa
Oba ostatnie wyrażenia są symetryczne względem r i R, a więc niewrażliwe na zamianę punktu obserwacji i źródła. Załóżmy teraz, że mamy do czynienia z płaską przegrodą z niewielkim otworem. Osie x i y układu kartezjańskiego przyjmiemy w płaszczyźnie przesłony, jego początek niech leży w otworze (np. w środku), oś z (prostopadła do przesłony) wskazuje w stronę, po której się znajduje punkt obserwacji. Źródło światła ma więc współrzędne X, Y, Z, a punkt obserwacji x, y, z.
Rys. 221. Dyfrakcja na kołowym otworze w płaskiej przegrodzie. Element otworu ma współrzędne £ i rj (równoległe do x i y), źródło Q — X i Y, punkt obserwacji P —x i y
357
Wybierzmy element powierzchni otworu, oznaczmy jego współrzędne przez £ i ij. Odległości źródła i punktu obserwacji od elementu powierzchni otworu r = y /( x - ę ) 2 + (y - ti) 2+ Z2, R = y/ ( X - t ) 2+ (Y -v )2 + Z \ a odległości od początku układu współrzędnych (£ = t] = 0 ) x 2+ y2 + z2,
r0 =
R0 = ^ X 2 + Y 2+ Z 2, co pozwala wyznaczyć ich cosinusy kierunkowe a=
x r
«°
P = Łr , X R.
Y R-
o
Po
Sumę r + R można rozłożyć na szereg r + R = y/ { x - ę ) 2 + {y -ti)2 + z2 + y/ ( X - £ ) 2 + {Y-ri)z + z2 1
1 2
r0
2
+ R0
+ . . . = r 0 + /?<, + # ( £ , łj).
Możemy teraz ściślej sformułować podział zjawisk dyfrakcyjnych: jeżeli źródło i punkt obserwacji są tak odległe od ekranu (przeszkody), że można pominąć wyrazy kwadratowe, zawarte w $(£, rj), mówimy o dyfrakcji Fraunhofera, jeżeli nie — o dyfrakcji Fresnela. Podstawmy jeszcze otrzymane wyrażenie do całki Kirchhoffa K m(P)
—n°R°) e j k ( r 0 +^o) J gj = j(n°r°2krR
i)
'
Weźmy teraz pod uwagę dwie dopełniające się przesłony, tzn. takie, że otwór jednej leży tam, gdzie druga go nie ma, przy czym występuje zgodność kształtów i powierzchni. Jeżeli np. w nieskończonym arkuszu wytniemy otwór, to arkusz z otworem i wycięta część dopełniają się. Matematycznie oznacza to, że suma amplitud od obu przesłon K ml i Kml (każdej z osobna) daje w punkcie obserwacji P amplitudę, jaka byłaby bez przesłony. Jeżeli zgodnie z optyką 358
b)
a)
Rys. 222. Przesłony dopełniające się: a) otwór w nieskończonej przegrodzie, b) przegroda o rozmiarach i kształcie otworu. Według zasady Babineta ich obrazy dyfrakcyjne mają jednakowe natężenie
geometryczną światło do P nie dociera, czyli K m(P) = 0, to Kml +^m 2 —0 . Prawo to nosi nazwę zasady Babineta. Stąd K mi = —Kml i po podniesieniu do kwadratu K 2mX = K%,2, czyli
Natężenia obrazów dyfrakcyjnych przesłon dopełniających się są jednakowe. Przykład. Siatka dyfrakcyjna. Istotą dyfrakcji Fraunhofera jest równoległość promieni. Można ją zrealizować za pomocą soczewek. Jeżeli punktowe (tzn. bardzo małe) źródło światła umieścimy
Rys. 223. Dyfrakcja Fraunhofera przy użyciu soczewek. Zaznaczono różnicę dróg między skrajnymi promieniami. Dzieląc szczelinę na strefy i dodając fazory ...
359
\
\ t
/
Rys. 224. ... uzyskujemy linię łamaną (a). Fazory 1 i 2 pochodzą od skrajnych stref. Przy
w ognisku soczewki, to po przejściu przez soczewkę otrzymamy wiązkę równoległą. Także z drugiej strony przesłony umieszcza się soczewkę i studiuje obraz dyfrakcyjny w płaszczyźnie przechodzącej przez jej ognisko. Zastosujemy teraz teorię Kirchhoffa do dyfrakcji na szczelinie (bardzo wydłużonym otworze) o szerokości b. Obraz jest niezależny od współrzędnej y i całka Kirchhoffa (wyrazy liniowe) uzyskuje postać b
K J P ) = C f e j‘ta’- “,«d£,
o
gdzie C jest stałym współczynnikiem zespolonym (C = [j(n°r ° —nR)/(2żrR)] cJt(r+R>). Całkę możemy zinterpretować graficznie jako sumę fazorów. W tym celu dzielimy szczelinę na strefy o szerokości A£. Przy przechodzeniu od strefy do strefy różnice faz rosną o k(a0—a)A£ i taki będzie kąt między fazorami pochodzącymi od sąsiednich stref. Amplitudy wszystkich fazorów są jednakowe i w wyniku otrzymujemy ciąg linii łamanych, które przy Ać malejącym do zera (całka jest granicą sumy) przechodzą w luki kół. Gdy ciąg się zamyka w wielobok (w granicy koło), wypadkowa staje się równa zeru i otrzymujemy ciemny prążek, natomiast, gdy wypadkowa osiąga maksimum (średnica koła), prążek jest jasny. Warunkiem maksimum jest k(a0—a)b = (2n+ l)n, czyli (ze względu na k = 2n/X)
(a0-a)ó = (2 n + \Ą , a warunkiem minimum k(a0—cc)b = 2nn, czyli (a0 —a)b = nA. Z dodawania fazorów można też znaleźć stosunki amplitud i natężeń. Gdybyśmy zasłonili połowę szczeliny, w miejscach dotychczasowych minimów otrzymalibyś my jasne prążki, bo dodajemy połowę fazorów. Zestawiając obok siebie dużą liczbę N takich szczelin w odstępach d otrzymujemy siatkę dyfrakcyjną. Maksima natężenia będą tam, gdzie (a0—a)d = m l, bo wypadkowe natężeń od poszczególnych szczelin są tam zgodne w fazie. Prążki ciemne powstają tam, gdzie wypadkowe fazory od poszczególnych szczelin tworzą zamknięte wieloboki. Liczbę całkowitą m nazywamy rzędem prążków. Warunkiem powstania prążka ciemnego jest, by różnica
360
Rys. 225. Przy zwielokrotnieniu szczelin do dyfrakcji od każdej szczeliny z osobna dochodzi interferencja wiązek światła przepuszczanych przez różne szczeliny o róż nicach dróg As' faz między fazorami od pierwszej i ostatniej (lV-tej) szczeliny wynosiła 271. Różnica faz między fazorami od sąsiednich szczelin w pobliżu maksimum m-tego rzędu musi więc być równa 2mn + 2n/N. Stąd otrzymujemy warunek minimum
% (a0-oi)d = m k+ — i kąt jego obserwacji (a0 i a są cosinusami kierunkowymi prostych łączących źródło i punkt obserwacji z początkiem układu). Warunki maksimów i minimów można wyrazić za pomocą kątów padania 90 i ugięcia 9. Cosinusy kierunkowe są sinusami tych kątów (uwaga na znak!) a 0 = —sin90,
a = —sin9. Prążki jasne powstają, gdy d(sind—sin90) = mk, a ciemne, gdy
361
dla ciemnych. Są to maksima i minima główne. Amplituda osiąga maksimum gdy suma przesunięć w fazie N ę = (2m+ 1) ji, a minimum, gdy N ę = 2mn. Z tego ostatniego wzoru znajdziemy różnicę faz między kolejnymi fazorami w pobliżu minimum
ę = + 2 m—. v ~ N Zwróćmy uwagę, że dla m = 0, N, 2N itd. mamy w tych miejscach maksima. To są właśnie maksima główne. Między sąsiednimi maksimami głównymi powstaje N — 1 minimów i N —2 maksimów wtórnych.
a)
AA AA AA AA AA AA AA AA AA AA AA AA AA AA
Rys. 226. Rozkład prążków przy dyfrakcji na 4 szczelinach: a) maksima wywołane interferencją 4 wiązek, b) obraz dyfrakcyjny pojedynczej szczeliny, c) wynik nałożenia obu obrazów. Zwróćmy uwagę na wygaszanie maksimów obrazu (a) w miejscach minimów (b) W rzeczywistej siatce maksima główne mają różne amplitudy. Wypadkowy obraz dyfrakcyjny jest wynikiem nałożenia obrazu od N szczelin (z jednakowymi amplitudami) i obrazu od pojedynczej szczeliny (z różnymi amplitudami). Ponieważ kąt ugięcia zależy od długości fali, przy oświetleniu światłem białym siatka dyfrakcyjna może służyć do otrzymywania i obserwacji widma, tzn. jako spektroskop. Siatka rozkłada światło białe na jego składniki, powstają barwne widma dla każdego m gdzie indziej. Wielkość m nazywamy rzędem widma. Widma różnych rzędów częściowo zachodzą na siebie. Na przykład, jeżeli
X2
m
m+l’ to widmo m + 1 rzędu barwy długości fali ź 2 zachodzi na widmo m-tego rzędu barwy 2,. W środku ekranu powstaje biały czworobok, a po bokach barwne widma kolejnych rzędów. W odróżnieniu od widma uzyskanego z pryzmatu, światło fioletowe ugina się mniej niż czerwone. Najmniejszą względną długość fali, jaką można rozróżnić (zmierzyć) za pomocą siatki dyfrakcyjnej, określa jej zdolność rozdzielcza. Znajdziemy ją następująco: jeżeli fala o długości 2 + AA ma maksimum w kierunku a, czyli (a0 —ct)d = m(X + Aż),
362
a minimum dla fali o długości A ma wypaść w tym samym miejscu, tzn. (a0- a ) d = mA+— N
to względna różnica długości fali AA_
1
~A~mŃ' Zdolnością rozdzielczą nazywamy jej odwrotność
A AA
= mN,
czyli iloczyn rzędu widma i całkowitej liczby szczelin.
Strefy Fresnela. Jeżeli odległości źródła i ekranu są niewielkie, musimy uwzględnić sferyczność fali. Każdy punkt czoła fali pierwotnej, które jest powierzchnią kuli (jeżeli pochodzi ona z punktowego źródła), staje się źródłem kulistej fali wtórnej. Niech w danej chwili czoło fali pierwotnej, która dotarła do przeszkody (np. otworu) będzie kulą o promieniu R. Amplituda fali w punkcie obserwacji P zależy od powierzchni AS części czoła fali ograniczonej przez przeszkodę oraz kąta a, jaki promień dochodzący do P tworzy z osią symetrii i kąta /? między tymże promieniem a normalną do powierzchni kuli w punkcie ugięcia, zwanego kątem ugięcia. Oba te kąty są oczywiście od siebie zależne. Powierzchnię AS dzielimy na strefy pierścieniowe (strefy Fresnela) tak dobrane, żeby różnice odległości od sąsiednich linii ograniczających strefy do punktu obserwacji były równe połowie długości fali, czyli żeby fale wychodzące z sąsiednich stref miały przeciwne fazy. Różnice dróg promieni dochodzących do punktu obserwacji od granic kolejnych stref są równe połowie długości fali.
Rys. 227. Schemat konstrukcji stref Fresnela
363
Oznaczając promienie stref przez
Qk
mamy
Qk - R 2~ ( R - h ) 2 = rk —(r0 + h)2, przy czym rk jest odległością danego punktu (granicy strefy) od punktu obserwacji, r0 — najmniejszą taką odległością (na osi), a h — odległością od rzutu danego punktu na oś do punktu przecięcia osi z powierzchnią kuli. Łatwo ją stąd znaleźć ■
d -rl 2 (R + r 0Y
Rys. 228. Rysunek pomocniczy do obliczania promieni stref Fresnela
Z definicji stref wynika .A h = r0 + k~, czyli r l - r l = kr0k + k2[ - \ * kr0A (A
r0). Podstawiając to do wyrażenia na h otrzymujemy
Powierzchnia czaszy kulistej o promieniu gk Ł„ „ , 2nRrn A , n R r 0 , ASk = 2%Rh = k —----- -- = k ----- —X k R + r0 2 R + r0 zawiera k stref Fresnela. Powierzchnia jednej strefy jest różnicą między 364
powierzchniami czasz dla k + 1 i k AS = ASk+1—ASk =
R + r0
Są to wzory przybliżone. Powierzchnie stref są jednakowe. Amplituda fal dochodzących do punktu obserwacji nie zależy od k, tylko od odległości rk i kąta między rk a normalną do strefy. Obie te wielkości rosną wraz z numerem strefy k, co powoduje zmniejszanie się amplitudy. Oznaczając amplitudy cząstkowe przez ak mamy ak- 1 > ak >
ak+l-
Fazy fal od sąsiednich stref są przeciwne, więc amplituda wypadkowa od wszystkich stref Ak = al —a2- \ - ... + #* (minus odnosi się do k parzystego). Przy nieparzystej liczbie stref Ak jest większe niż przy parzystej. Dzieląc każdą amplitudę na połówki możemy napisać dla nieparzystej liczby stref
2 V2 "
a2+ -
+
...
+
ak- 2
a dla parzystej '‘
2+
f-
ak-3
^ 2
+
" ' +
a k - l \ , &k - 1
T-~a' - ' + - 2 r+ - 2
Ze względu na równomierne malenie amplitudy wraz z k przyjmujemy aL =
a k - 1 + a ) t+ l
Wyrazy w nawiasach są więc równe zeru i dla nieparzystej liczby stref otrzymujemy
a dla parzystego k A
**1 . a k - 1
Ak = ~2+ ~~2
Uk'
Wprowadzając przybliżenie ak- k w ak (przy dużych k) możemy zapisać ak-1
2
ak
k
2 365
i wzór na sumę amplitud się upraszcza
A
_ £ ł + f^
Ak ~ 2 ± 2 ’
gdzie plus odnosi się do nieparzystej liczby stref, a minus do parzystej. Znajdźmy teraz promienie stref Fresnela. Ze wzoru qI = rk —(r0 + h)2 przy h <ś r0 wynika 6k = r l - r l - 2 r 0h = r l~ r 20 - k
rl ■X. R + r,
Podstawiając tu r\ —r\ = kr0X mamy Qk = krQX[ 1 -
R + r,
— kr0X
R + r0- f o R + r.
= k _r o R
R + r0
X,
czyli
W otworze o promieniu q mieści się więc QQ(R + r0) X r0R stref Fresnela. Dla fali płaskiej (R P r0) k - l Xr0 ~ ' Oczywiście g/r0 = tgij/, gdzie \j/ jest kątem, pod jakim widać granicę otworu z punktu obserwacji (P). Z powyższych wzorów wynika, że liczba stref, a zatem i oświetlenie w punkcie P zależą od r0. Jeżeli punkt P wędruje wzdłuż osi, oświetlenie to słabnie (parzysta liczba stref), to rośnie (k nieparzyste). Przy ustalonych R i r0 oświetlenie zależy od stosunku promienia otworu do długości fali. Gdy rozmiary otworu rosną, rośnie liczba stref, ale jednocześnie ze wzrostem k maleje ak. Dla k-* oo, ak->0. Dla nieskończenie wielkiego otworu (odsłonięta cała powierzchnia falowa) mamy
366
Zwróćmy uwagę, że przy nieparzystej liczbie stref w otworze A
Ak k
^ 1
^ Ir
A
=+ v 2 2
^
oświetlenie jest większe niż przy całkowicie odsłoniętym czole fali! Najjaśniej szy obraz uzyskujemy dla k = 1 (otwór zawiera jedną strefę) di
Cli
A l = J + T ==ai’ czyli przy promieniu otworu 3=
r0R , R + r0
Dla dużych otworów Ak jest bliskie A i oświetlenie przestaje zależeć od rozmiarów otworu. Podobnie działoby się przy prostoliniowym rozchodzeniu się światła, tzn. w optyce geometrycznej. Przy zwiększaniu rozmiarów otworu przechodzimy więc do optyki geometrycznej. We wzorze Kirchhoffa oznacza to, że pominięte przez nas wyrazy kwadratowe grają dominującą rolę. Dyfrakcję można obserwować tylko na dostatecznie małych otworach (w porównaniu z r i R). Przykład. Wpływ odległości ekranu. Dla przykładu weźmy otwór o promieniu q = 5 mm oświetlony falą płaską (R = oo) o długości X = 5- 10“ 7 m i punkt obserwacji (ekran) w odległości r 0 = 50 cm. Liczba stref Fresnela w tych warunkach wynosi 5 1 (T 3 5-10~7 -0,5
= 100,
co odpowiada optyce geometrycznej. Jeżeli jednak ustawimy ekran w odległości 50 m, w otworze zmieści się tylko jedna strefa i zaobserwujemy wyraźną dyfrakcję (przy dostatecznie silnym źródle światła). W podobny sposób możemy rozpatrywać dyfrakcję na dowolnego kształtu otworach i dopełniających je przesłonach (zgodnie z zasadą Babineta będzie taka sama) oraz na krawędziach i w obszarze geometrycznego cienia.
Dyfrakcja Fresnela. A oto jak można zastosować teorię Kirchhoffa do dyfrakcji Fresnela, czyli przy wiązkach rozbieżnych (i zbieżnych). Przyjmujemy jak poprzednio punktowe źródło w miejscu X, Y, Z i punkt obserwacji P w miejscu x, y, z, przy czym początek układu leży na osi z, tutaj łączącej źródło i P. W otworze £ i tj są odpowiednimi współrzędnymi na powierzchni otworu (£||x, ri\\y). Oznaczając mierzoną na osi odległość źródła od początku układu przez R0, a punktu obserwacji (ekranu) przez r 0 możemy przedstawić wzór Kirchhoffa w postaci
367
przy czym stała A wynika ze związku n°r° —nr = A ( Ę - — Z Ro ro W naszym przypadku, jeżeli oznaczymy cosinusy kierunkowe jako a, /?, y, to Z z ~ R 0 ~ r 0 ~ y°’ Rc Ro
ro
yl
i liniowa (fraunhoferowska) część funkcji ?)2 Ć> = +2 r20 2 R 20
1 (a0£ + jM )2
Rr
Podstawienie do całki daje K JP ) = - 7 - % - e JWro+*o)JJej5(^ +,rf5»«ł»8+,',)d{di;. Ar0A0 Wygodne jest wprowadzenie nowych zmiennych u i v zdefiniowanych jako
*“W:(£+J “ro{21' 0
Teraz
368
Rys. 229. Schemat dyfrakcji na krawędzi. Na ekranie zaznaczono obszar geometrycz nego cienia
Przyjmijmy teraz, że źródło światła ma postać długiej szczeliny równoległej do y, a przesłona stanowi półpłaszczyznę o krawędzi równoległej do szczeliny (oś r\ jest także do niej równoległa). Przesłona nie musi być prostopadła do osi. Przyjmując r\ = 0 (także a = 0) mamy K J P )~
e j*
2 (ro + R0)
I eJ”“2du, Ul
gdzie dolna granica całki Ui = hy0 h jest tutaj wysokością krawędzi nad osią LP. Jeżeli h > 0, punkt obserwacji leży w geometrycznym cieniu, jeżeli h < 0, powinien być oświetlony. Wchodzą cą do wyżej wypisanej zależności całkę można znaleźć jako f e j*“2du = C (oo)-C (u 1)+ jS (o o )-jS (« l), «l przy czym C i S oznaczają tzw. całki Fresnela
24
-
Fizyka dla politechnik
169
Obie funkcje są nieparzyste, tzn. C( —x ) = -C (x ), S( —x) = —S(x). Nietrudno sprawdzić, że C(oo) = S(oo) = o°
i
Stąd
:
| eJ?"2du = - - ti- C ^ j- j S C w i ) ui ZZ Natężenie jest proporcjonalne do iloczynu amplitud sprzężonych Km(P)K*m(P)
A2 4(r0 + R 0)2
2
2“
W dużej odległości od krawędzi u1-* —oo, C(mj) i *S(u1) —»■— Odpowiadające natężenie jest proporcjonalne do wielkości 2 (r0 + R 0r
W pozostałym obszarze I =
~ c w ) 2+ ( i - s < » , > ) ] .
Na granicy cienia /
= O i stąd
k 4'
Rys. 230. Dodawanie fazorów od stref równoległych do krawędzi
370
I/Io 1,37
O
u
Rys. 231. Rozkład natężeń na granicy cienia geometrycznego (na lewo od 0)
Oświetlenie rośnie monotonicznie już w obszarze cienia, tak że na granicy ma wartość | / 0, w obszarze „oświetlonym” rośnie aż do pierwszego mak simum, większego niż J 0 (1,37 70), potem spada do 0,78 / 0, znowu rośnie i spada, ale w mniejszym stopniu itd., dopóki nie osiągnie w pewnej odległości od krawędzi, poziomu I0. Mamy więc do czynienia z równoległymi do krawędzi zanikającymi prążkami dyfrakcyjnymi. Maksima, wypadają dla u = 1,2; 2,35; 3,1 itd. Jakim to odpowiada odległościom? Jeżeli oświetlamy przesłonę falą płaską, to 1/J?0 = 0 i wzór na u się upraszcza
co pozwala nam znaleźć współrzędną £ mierzoną od krawędzi
Prążki będą tym dalej od krawędzi, im większa jest odległość r 0 ekranu obserwacyjnego. Przy ż = 6 -10_ 7 m i odległości ekranu np. 1,2 m odległości prążków wyraża się wzorem
(u jest bezwymiarowe). W rozpatrywanym przypadku pierwsze prążki powstają w odległości 0,8; 1,4; 1,9 mm od krawędzi geometrycznego cienia. Odsunięcie ekranu cztery razy dalej zwiększa odległości dwukrotnie, kosztem czterokrot nego zmniejszenia jasności. W podobny sposób można znaleźć obraz dyfrakcyjny dla szczeliny. Natężenie dla szczeliny prostokątnej o szerokości 2d jest proporcjonalne do
371
przy czym
«i = 7o(c-<0 u2 = y0(c +
f2 (r0 + Ro) Xr0R0 2 (r0 +J?0)
*r0R 0
a c jest rzędną środka otworu, wyznaczającą położenie osi łączącej źródło światła (punktowe) z punktem obserwacji. Dla —d < c < d punkt obserwacji jest w obszarze geometrycznie oświetlonym, a dla c < —d lub c > d w geomet rycznym cieniu. Odkładając S(u) w funkcji C(u) otrzymujemy tzw. spiralę Cornu. Powstaje ona z dodawania fazorów od prostokątnych stref Fresnela w granicy przy Ai*->0. Amplitudy znajdujemy łącząc punkty na poszczegól nych gałęziach spirali. Dla przesłony w postaci półpłaszczyzny otrzymuje się prążki takie, jak poprzednio.
Skorowidz Absorpcja w przewodniku 296 n. adiabata 203 akustyka 220 n. - pomieszczeń 238 alikwoty 238 amplituda 10 - absorpcyjna 93, 100 - drgań tłumionych 63 n. ---- wymuszonych 74 n., 85, 92 n. - prędkości 92, 100 - rezonansowa 75, 86 , 92 - rzeczywista 40 - sprężysta 93, 100 - wychylenia 92, 99 - zespolona amplitudowy współczynnik odbicia 130, 259 analiza drgań 49 n. - funkcji nieokreślonej 51 - światła spolaryzowanego 326 n. analizator 326 n. anizotropia naturalna 299 - ośrodka 299 - wymuszona 299 Barwa dźwięku 234 bel 236 bezwładność 83, 192 bilans energii 288 n., 302 - mocy 106, 129, 187, 296 bipryzmat Fresnela 338 Całka Fouriera 49 - Fresnela 368 n. całkowite wewnętrzne odbicie 263, 24 charakterystyka dźwięków 232 n. ciąg falowy 333 - źródeł spójnych 345 n. ciepło Joule’a 289 ciśnienie akustyczne 221 n.
ciśnienie dynamiczne 184 - hydrostatyczne 194 - pod zakrzywioną powierzchnią 213 - w płynie 189 - w przekroju 194 czas relaksacji 62 n. ---- energii 98 ---- naprężeń 198 częstości poboczne 48 częstość 10 n. - akustyczna 13 - -drgań swobodnych nietłumionych 71 tłumionych 60 n. własnych 71, 182 - dudnień 47, 105 - harmoniczna 237 - kołowa 10 n. - nośna 48 - optyczna 13 - podstawowa 237 - radiowa 13 - rezonansowa 75, 85, 100 częstotliwość 12 człon interferencyjny 139 n., 336 n. czoło fali 118, 131 czynnik amplitudy 279 czynniki dysspacyjne 14, 126 czyste ścinanie 162 Ćwierćfalówka 325 n. Decybel 236 dekrement logarytmiczny 61 n. dewiacja 161 dichroizm 323 długość ciągu falowego 326 - fali 114, 253 - swobodna sprężyny 21 dobroć 64 n., 78, 91 n. dodawanie fazorów 45, 360 n.
373
dodawanie natężeń 140 drgania 9 n. - dwuwymiarowe 53 n. - elektryczne 35 n. - eliptyczne 55 - harmoniczne 10 n., 41 n. - kołowe 56 - modulowane 48 - modulujące 48 - płyt i czasz 232 n. - słupów powietrza 228 n. - swobodne nietłumione 71 - tłumione 57 n., 68 - własne 71, 84 - wymuszone 71 n., 87 - złożone 43 n. droga geometryczna 335 - optyczna 355 n. dudnienia 46 n., 105 dur-mol 235 dwójlomność 313 n. dylatacja 163 dynamika muzyczna 234 n. dyfrakcja 331 n., 344 n. - Fraunhofera 345, 348 n. - Fresnela 345, 367 n. - na krawędzi przesłony 369 n. otworze kołowym 352 n. ---- szczelinie 348 n., 371 n. wielu szczelinach 360 n. dyspersja 148 n., 209 - anomalna 150 - fal na wodzie 209 - normalna 150 - w dielektryku 266 n. dyssypatywność 57 działania na liczbach zespolonych 42 dźwięki 237 elektryczne drgania wymuszone 87 elipsoida Fresnela 300 - współczynników załamania 301 energia akustyczna 220 - cewki 37 - drgań 14 n., 37 n„ 106, 135 tłumionych 63 n. - elektromagnetyczna 38 - fali elektromagnetycznej 283 n. - sprężystej 184 n. - kondensatora 37 - odbita 294 - odkształcenia 170
374
energia pola elektrycznego 37, 283 n. magnetycznego 37, 283 n. - promieniowania 290 - przepuszczona 290 - sprężysta 29 - w rezonansie 94 n. Fala 109 n. - elektromagnetyczna 243 n. - - na granicy ośrodków 254 n. - w dielektryku 252 n. ---- przewodniku 270 n. - harmoniczna 113 - jednowymiarowa 111 n. - kulista 121, 251 n. - monochromatyczna 246 - nadzwyczajna 308 n. - naprężeń 185 - odbita 129, 173 n., 224 n., 254 n. - padająca 128, 173 n., 224 n., 254 n., 313 n. - płaska 116 n. ---- w krysztale 301 n. - podłużna 126, 171, 183 - poprzeczna 122, 126, 172, 183, 270 - sferyczna 121, 356 - spolaryzowana 122, 247 n. - sprężysta 170 n. ---- na granicy ośrodków 173 n. - trójwymiarowa 119 n. - w strunie 182 n. - załamana 313 - zwyczajna 308 n. fale akustyczne 218 n. - dźwiękowe 218 n. - głosowe 218 n. - grawitacyjne 212 - kapilarne 212 n. - na wodzie 205 - powierzchniowe 205 n., 214 - stojące 145 n., 177 n. ---- w pręcie 172, 178 n. faza 11, 115 - początkowa 11, 115 fazory 41, 45, 60 figury Chladniego 228 - Lissajous 57 fon 239 funkcja falowa 109 n. funkcje Bessla 231 n., 278 n., 352 n. - własne 232
Galwanometr balistyczny 67 gama 234 gazy 189 n. gęstość energii 168 n., 16, 302 - siły 164, 189, 205 głos 218 n. głośność 234 n - wzorcowa 236 główne wartości przenikalności 300 gradient prędkości 196 grubość naskórka 280 Harmonika 234 hiperdźwięki 218 huk 238 Impedancja 89, 126, 176 n. - akustyczna 221 - falowa 275 n. - mechaniczna 92 impuls 109 indukcyjność 35 n., 243 indykatrysa optyczna 301 infradźwięki 218 interferbncja 138, 331 n. - destruktywna 138, 336 - fal sferycznych 144 - konstruktywna 138, 336 - i dyfrakcja światła 331 n. - w cienkich warstwach 339 n. interferometria 341 interwały muzyczne 233 instrumentacja 234 izobaryczne ciepło właściwe 203 izochoryczne ciepło właściwe 204 Kąt Brewstera 261 n., 319 n. - graniczny 225, 267 - polaryzacji 261 n. - ścinania 195 - ugięcia 363 kierunki pól w fali elektromagnetycznej 248 komórka Kerra 329 n. kompensatory 326 kryształy dwuosiowe 301 n. - jednoosiowe 301 n. - optycznie dodatnie 301 n. ---- ujemne 301 n. kryterium przewodnictwa 272 n. krzywa rezonansowa 76 n., 85, 98 n. kształt fali na wodzie 210 n.
Lepkość 57, 190, 196 - dynamiczna 196 - kinematyczna 197 liczba falowa 115 - stopni swobody 204 - stref Fresnela 366 n. linie węzłów i strzałek 230 Ładunek przestrzenny 269 Maksima główne 249 n., 360 n. - poboczne 347 n., 360 n. masa a indukcyjność 37 - efektywna pręta 33 sprężyny 32 masowa gęstość siły ciężkości 205 membrana 230 n. miara lokalizacji 154 międzycząsteczkowe siły spójności 212 n. moc absorbowana 101 - rozproszona 96, 107 modulacja amplitudy 48 - częstości 48 - drgań 48 moduł sprężystości liniowej 23 n. ---- postaciowej 23 - sztywności 24 - ścinania 24, 167, 197 - ściśliwości 23, 167, 202, 220 moment dipolowy 300
Napięcie powierzchniowe 210 n. - w strunie 183 naprężenia dewiacyjne 164 - główne 164 - normalne 163 - objętościowe 164 - styczne 164 naprężenie 22 n. - ścinające 23, 164 naskórkowość 277 n. natężenie dźwięku 218 n. - obrazów dyfrakcyjnych 359, 371 n. - prążków interferencyjnych 341 n. - promieniowania 136 n., 289 - światła przy interferencji 332 n. ---- spolaryzowanego 327 nikol 322 n. normalizacja krzywych rezonansowych 99 n.
375
Obraz pozorny 338 obrót bez odkształcenia 160 obszar słyszalności 236 odbicie całkowite 178, 225, 263, 282, 291 n. - częściowe 132 - fali 129 n. elekromagnetycznej 254 n., 281 n. - głosu 223 n. - od przewodnika 281 oddychająca kula 233 n. odkształcenie 22, 157 n. - jednorodne 158 n. - liniowe 22 - normalne 163 - objętościowe 22 , 161 - plastyczne 157 - postaciowe 161 - sprężyste 157 - względne 22, 158 ogólne prawo przepływu 199 okres 9, 18, 22, 25 n., 34 n. okresowość przestrzenna 113 n. opory ruchu 13, 57, 82 opór akustyczny 221 - bezwładnościowy 92 - elektryczny 68 , 90 - falowy 221 - hydrodynamiczny 57 - indukcyjny 90 n. - naskórka 280 - omowy 90 n. - pojemnościowy 90 n. - pozorny 90 n. - skupiony 68 oscylator elektryczny 35 - sprężysty 20 n. oscylatory 12 n., 63 n., 125 osie główne 161, 164, 300 - optyczne 308 n. ostrość prążków interferencyjnych 341 n. - rezonansu 78, 91 Paczka fal 159 n. pakiet fal 151 n. pasmo częstości 331 - prędkości 152 pierwsza zasada termodynamiki 203 piszczałka otwarta 228 - zamknięta 229 płaszczyzna padania 131 - polaryzacji 310., 318 n.
376
płyn idealny 188, 190 n. - w spoczynku 189 n. płynność 196 płytka ćwierćfalowa 325 - półfalowa 325 płytki opóźniające 326 podatność elektryczna 300 podstawowe równania hydrodynamiki 190 hydrostatyki 189 podwójne załamanie 312 n. pogłos 237 pojemność elektryczna 35 n. Polaroid 321 polaryzacja eliptyczna 124 n., 324 n. - fali 122 n. - kołowa 124 n., 324 n. - lewoskrętna 124, 324 n. - liniowa 12n., 324 - prawoskrętna 124, 324 n. - przy odbiciu 319 n. ---- rozpraszaniu 321 polaryzacja w krysztale 309 n. polaryzator odbiciowy 322 - optyczny 322 n. - siatkowy 321 - transmisyjny 322 polaryzatory 321 n. polaryzowalność 300 potencjał grawitacyjny 205 - prędkości 193, 205 - sprężysty 170 powierzchnia prędkości 308 n. powierzchnie ekwipotencjalne 190 - stałej fazy 117 n. powierzchniowy moment bezwładności 25 półfalówka 325 n. prawa odbicia 131, 225, 256 n. - załamania 131, 225, 256 n. prawo Hooke’a 20 n., 157 n„ 166, 197, 199, 221
- Kirchhoffa 35, 90 - Malusa 327 - Ohma dla prądu zmiennego 91 - przepływu Newtona 196 n. - Snella 132 n„ 225, 257, 294, 314 - Webera-Fechnera 236 prążki dyfrakcyjne 360 n., 371 n. - główne 347 n. - interferencyjne 341 n. - poboczne 347 n. - równego nachylenia 341
prążki równej grubości 341 prędkość fal grawitacyjnych (wodnych) 216 ---- kapilarnych 215 ---- sprężystych 172 n., 203 n. - -fali 109, 126 n„ 172, 183, 251, 269 elektromagnetycznej 253, 269 nadzwyczajnej 312 na wodzie 209 n., 215 podłużnej 183 poprzecznej 183 ---- w cieczy 205 ------- dielektryku 269 ------- gazie 203 n. ------- krysztale 305 n. ------- przewodniku 272 n. nadzwyczajnej 311 - fazowa 115 n., 120, 127, 149 n. - głosu 218 n. - grupowa 127, 148 n. ---- fal wodnych 216 n. - krytyczna 216 - normalna 306 n., 314 n. - odkształcenia 195 - paczki falowej 151 - radialna 308 n., 314 n. - transportu energii 290 pręt o swobodnych końcach 178 profil prążka interferencyjnego 342 promieniowanie 136 n. promienie stref Fresnela 366 n. promień 127, 131 - nadzwyczajny 316 - zwyczajny 316 proste ścinanie 160 próg bólu 236 - słyszalności 236 pryzmat Nicola 322 n. przemiana adiabatyczna 203 n., 233 - izotermiczna 203 przemieszczenie 157 przenikalność elektryczna 243 n., 252 n., 264, 297, 390 - magnetyczna 243 n., 252 n. przepływ bezwirowy 193, - idealny 10 n., - laminamy 196, - niestacjonarny 193, - potencjalny 193, - stacjonarny 192, - warstwowy 195, przesunięcie 162,
przesłony dopełniające się 359, przyspieszenie czasowe 191, - grawitacyjne 205, - przestrzenne 191, pulsacja 10, 33, 48, Reflektancja 290 n., relacja nieoznaczoności 154 n., relaksacja naprężeń 198, retardery, 326 rewerberancja 238, rezonans 74 n., - elektryczny 86 n., - mechaniczny 74 n., - prądów 89, - prędkości 80 n., - wychyleń 74, 94, rezonator kulisty 232 n., rozkład gęstości prądu 279, rozmiar interferencji 336, rozpraszanie 321, rozszerzenie względne 161 n., rozwiązanie ogólne 19, 39, 103 - szczególne 19, 39, 103 równania elastodynamiki 167 n. - Eulera 191 n„ 199 n„ 205, 214, - Maxwella 243 n., 248 n., 267 n., 288, 301 n. - równowagi 164 n. równanie Bemoulliego 194 n., 206 - charakterystyczne 39, 52, 59, 65 n. - ciągłości 191 n., 202, 206 - ciśnień 164 - drgań 9 n., 16 n., 25 n., 52 n. ---- tłumionych 58 n. ---- wymuszonych 72 n. fali 111 n., 120 n., 183 n., 203, 253, 269 ---- elektromagnetycznej 243 n. - Fresnela 306 - Naviera-Stokesa 200 - stanu gazów 189, 203 - telegraficzne 267 n. - wysokości 194 równowaga ciała sprężystego 164 n. różnica dróg 142, 338 n. - fali w rezonansie 76 - faz 250, 334 n. ---- w fali elektromagnetycznej 250 n. rząd widma 362 Sacharymetr 329 siatka dyrakcyjna 359 n.
377
siatka dyfrakcyjna jako spektrometr 362 siła elektromotoryczna 35 n. - lepkości 196 - zwrotna 13 n., 37 siły masowe 189 - objętościowe 163, 189 - powierzchniowe 163 - quasi-sprężyste 16, 52 - spójności 212 - van der Waalsa 212 skala dwunastotonowa 236 składanie drgań 44 n. składniki amplitudy 92 n. składowe harmoniczne 182, 255 n. skręcany pręt 34 n. skręcenie płaszczyzny polaryzacji 328 n. - właściwe 328 n. słupy powietrza 228 n. spirala Cornu 372 spójność 138, 331 n. sprężystość 82 - objętości 157 - postaci 157 sprzężenie oscylatorów 126 stała Cottona-M outona 331 - fazowa 11, 272 - Kerra 329 n. - skręcenia 28 - sprężysta 16, 37 - tłumienia fali 272, 296 - Verdeta 330 n. stan nieustalony 72, 103 n. - przejściowy 72 - stacjonarny 72 - ustalony 72 stojące fale akustyczne 225 n. stopień polaryzacji 312 straty energii 63 n. strefy Fresnela 361 n. strój naturalny 234 - temperowany 234 strumień energii w ośrodku 285 n. - mocy 136, 187, 299 struna 182 n. strzałka ugięcia 25 strzałki 145, 179 n., 227 n. - i węzły ciśnienia 228 n. --------energii 188 substancje optyczne czynne 328 n. - prawo- i lewostronne 328 n. sumowanie energii 139
378
superpozycja drgań 44 n., 56, 103 - fal 112, 138, symetryczna krzywa rezonansowa 102 , szereg Fouriera 49, szerokość pasma 154 n., - połówkowa 79 n., 91, 98, 155, szmery 237, szybkość wydłużania 197, Ścinanie 23 n., 160, - bez obrotu 160, średnia wartość ciśnienia 223, Tarcze 57, - kulombowskie 57. poślizgowe 57 - wewnętrzne 57, 197 tensor naprężeń 163 - odkształceń 155 n. dewiacyjnych 161 teoria dyfrakcji Kirchhoffa 354 n. tłumienie krytyczne 66 , 69, 85 - w obwodzie 68 ton 237 - wzorcowy 234 tonacja 234 tor ruchu drgającego 18, 54 n., 59 tory cząstek fali wodnej 210 transformata Fouriera 51 transjent 105 transmitancja 290 transport energii 135 n. twierdzenie o szerokości pasma 156 układy jednostronnie zamknięte 181, 229 - obustronnie otwarte 178, 228 - obustronnie zamknięte 180 ultradźwięki 218 uogólnione prawo Hooke’a 166 Wahadło fizyczne 27 - matematyczne 26 - torsyjne 28 warunek ciągłości 129, 255 - spójności 138 warunki dyfrakcji 331, 349, 358 - graniczne 174 n., 255 n., 311 n. - interferencji 138, 331 n. - równowagi 164 ważka sprężyna 31 n. ważki pręt 32 wektor amplitudy 122
wektor elektryczny 245 n. - falowy 118, 249 - fazowy 40 - magnetyczny 248 n. - Poyntinga 137, 187, 286 n., 302 n. - przesunięcia 162 węzły 145 n., 179 n., 227 n. widmo akustyczne 229 n. wielkości komplementarne 156 współczynnik absorpcji dźwęku 239 - elastooptyczny 329 - lepkości 196 n. ---- dynamicznej 196 ---- kinematycznej 197 - napięcia powierzchniowego 212 n. - odbicia 130, 176, 225, 259 n., 282 n. ---- energii 130, 283, 290 - oporów ruchu 57, 61 - przepuszczania 130, 259 n. ---- energii 130, 290 - Poissona 24, 167, 197 - propagacji 271 n. - refleksji 130 - sprężystości 16, 37 dynamicznej 92 - tłumienia 58, 63 - transmisji 130, 176, 225 - załamania 132, 267, 273, 281, 297, 301, 305, 314 n. wydajność źródła 349 wydatek 191 wydłużenie 22 wykładnik adiabaty 204, 220 wyraz interferencyjny 139
wysokość ciśnienia 194 - dźwięku 234 n. - położenia 194 - prędkości 194 względny współczynnik załamania 132 wzory Fresnela 267 n. wzór Brewstera 319 n. - Eulera 39 - Kirchhoffa 256 n. - Taylora 184 Zasada Babineta 359 - Fermata 133 n. - Huygensa 127, 132, 331 n. - Huygensa-Fresnela 344, 348 - superpozycji 112 n. - zachowania energii 17, 129, 137 n. zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnej 362 n. zjawisko Cottona-M outona 331 - Dopplera 240 n. - elastooptyczne 329 - Faradaya 329 n. - Kerra 329 n. - magnetooptyczne 329 n. - Magnusa 195 zmiana fazy przy odbiciu 177 n., 263 n. znamiona dźwięku 234 związek dyspersyjny 218 n. zwierciadło Fresnela 338 Źródło dźwięku 228 - fali 118 - punktowe 356
379