instrukcja C1 i C2

1

Ćwiczenie 3 i 4 PRÓBKOWANIE I ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW J. Walczak, P. Świszcz

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z podstawowymi ideami i twierdzeniami dotyczącymi próbkowania sygnałów a także odtwarzania sygnałów na podstawie znanych ciągów próbek. Innym celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodami analizy widmowej sygnałów, a w szczególności z zastosowaniem do tej analizy dyskretnego (DFT) i szybkiego (FFT) przekształcenia Fouriera.

1. Wprowadzenie Tematyka ćwiczenia dotyczy dwóch ważnych i ściśle ze sobą powiązanych działów teorii sygnałów: teorii próbkowania i metod analizy widmowej. Niektóre najważniejsze z problemów dotyczących rozpatrywanych w ramach ćwiczenia zagadnień omówiono poniżej w sposób skrótowy, dokładna analiza tych zagadnień opisana jest w pracy [1].

1.1. Próbkowanie sygnałów Polega ono na przekształceniu sygnału ciągłego w równoważny sygnał dyskretny (rys.1) a następnie w sygnał cyfrowy.

f(t)

f(h)

0

t

0

1

2

Rys.1. Próbkowanie sygnału ciągłego

Materiały dydaktyczne powielane

3

4

5 ... h

2

Przekształcenie takie powinno umożliwić odtwarzanie sygnału ciągłego f(t) na podstawie znajomości próbek f[n] sygnału dyskretnego z dowolną dokładnością. Warunki przy których możliwe jest odtworzenie sygnału wiążą się ściśle z właściwościami szeregu ShannonaKotielnikowa i twierdzeniem Shannona-Kotielnikowa. 1.1.1. Szereg Shannona-Kotielnikowa

W teorii próbkowania sygnałów o ograniczonej energii szczególne znaczenie posiada funkcja Sa (rys.2)  sin ω 0 t  ω t Sa (ω 0 t ) =  0   1

dla t ≠ 0 ,

(1) dla t = 0 .

Rys.2. Funkcja Sa Zbiór funkcji Sa oznaczony przez {en} określony wzorem: e h = 2 f m Sa (2 πf m ( t − hT)), h = 0,±1,±2…

(2)

gdzie: fm - częstotliwości Nyquista (por. rozdz.1.1.2) T=(2fm)-1 jest ortogonalny w przestrzeni sygnałów o ograniczonej energii lecz nie jest zupełny. Szereg Fouriera (uogólniony) wykorzystujący bazę {eh} (2) funkcji Sa nosi nazwę szeregu ShannonaKotielnikowa i jest określony wzorem:

Materiały dydaktyczne powielane

3 h=∞

f (t) =

∑ f [h]Sa (2πfm (t − hT))

(3)

h = −∞

Współczynniki f[h] tego szeregu są próbkami sygnału f(t) w chwilach czasu hT

f [ h] = f ( t ) t = hT = f ( hT) ,

(4)

gdzie T - okres próbkowania Poprzez wykorzystanie funkcji en (2) (rys.3) oraz próbek sygnału f[h] możliwe jest odtworzenie sygnału ciągłego na podstawie próbek

Rys.3. Zmodyfikowane funkcje Sa = {e n } Warunki przy których możliwe jest odtworzenie sygnału na podstawie próbek określa fundamentalne twierdzenie Shannona-Kotielnikowa. 1.1.2. Twierdzenie Shannona-Kotielnikowa

Twierdzenie to dla przypadku próbkowania równomiernego (ze stałym odstępem czasu T, rys.4) wyrazić można w następujący sposób: Jeżeli f(t) jest sygnałem o ograniczonym widmie F(jω): ≠ 0 dla F( jω ) =  = 0 dla

Materiały dydaktyczne powielane

ω < ωm ω ≥ ωm

(5)

4

to sygnał ten można przedstawić z dowolną dokładnością za pomocą szeregu ShannonaKotielnikowa. Próbki sygnału f(t) muszą być równoodległe o stały przedział próbkowania T, taki że:

T≤

π 1 = ω m 2fm

(6)

Częstotliwość ωm nazywamy częstotliwością Nyquista a czas T granicznym czasem próbkowania. Ilustrację cytowanego twierdzenie przedstawiono na rys.4, natomiast jego dowód zamieszczone w pracy [1]. f(t)

|F(jω)|

0

−ωm

t

0

ωm

ω

f(hT) T≤

8T

π ωm

6T

4T

2T T 0

T 2T

4T

6T

8T

hT

Rys.4. Ilustracja twierdzenia o próbkowaniu. W sytuacjach praktycznych rozważa się dwa przypadki próbkowania f0 =

1 > 2f m T

(7)

f0 =

1 < 2fm T

(8)

Przypadek (7) spełnia założenia twierdzenia Shannona-Kotielnikowa w przeciwieństwie do przypadku opisanego wzorem (8). Jeżeli częstotliwość próbkowania fo spełnia warunek (8), to występuje efekt nakładania się widma sygnału odtwarzanego nazywany aliasingiem, co prowadzi w efekcie do błędnego odtwarzania sygnałów. Okresowe powielanie widma sygnału odtwarzanego jest spowodowane operacja próbkowania sygnału. Ilustrację twierdzenia o próbkowaniu dla przypadków opisanych wzorami (7), (8) pokazano na rys.5. W sytuacji gdy

Materiały dydaktyczne powielane

5

niemożliwe jest spełnienie warunku (7) co zachodzi na przykład gdy sygnał f(t) posiada nieograniczone widmo, konieczne jest zastosowanie filtru dolnoprzepustowego o częstości odcięcia ωg≥ωm , przez co ograniczyć można błędy odtwarzania sygnałów spróbkowanych. |F(jω)|

−ω0

−ω1 −ωm 0

|F(jω)|

ω0

ωm ω1

a)

1 ωm

(

−ωm 0

ω

ω ) ωm

ω0

−ω1

ω

c)

ω ) ω0

ωm

0

−ωm

ω

d) F'(jω)

e)

(

1

ωm ω1

0

ω

1 ω0

1

−ω0 −ω1 −ωm

ωm

b)

−ω0 −ωm

−ω0

−ω1 −ωm 0 ωm

F'(jω)

ω0

ωm

−2ω0

ω0 +ωm ω

Π(

ω ) 2ω1

Π(

1

−ω1

ωm ω0

−ω0 −ωm 0

2ω0

ω

f)

0

ω ) 2ω1

1

ω1

ω

h)

−ω1

0

ω1

ω

g)

i)

−3ωm −2ωm −ωm 0

|F(jω)|

|F(jω)|

1

1

ωm

2ωm

f0 > 2fm

3ωm

ω

0 j)

f0 < 2fm

Rys.5. Ilustracja twierdzenia o próbkowaniu - przypadki niekrytyczne.

Materiały dydaktyczne powielane

ω

6

Błędy te są zależne (rys.6) od różnicy powierzchni pod charakterystykami widmowymi sygnału pierwotnego f(t) i sygnału spróbkowanego |F(jω)| ~ |F(jω)|

Sygnał pierwotny f(t) ~ Sygnał próbkowany f(t) |F(jω)|

−ωm

ωm

0

ω

Rys.6. Widmo sygnału pierwotnego i spróbkowanego Inne przyczyny błędów odtwarzania sygnałów spróbkowanych to: • przyjęcie założenia o istnieniu charakterystyki idealnego filtru dolnoprzepustowego, • charakter impulsów próbkujących, które nie stanowią ciągu idealnych impulsów Diraca lecz są sygnałem okresowym prostokątnym, rys. 7. |F(jω)| |K(jω)|

−ω0

−ω1 −ωm 0

ωm

ω1

ch-ki filtru

ω0

ω

Rys.7. Ilustracja próbkowania nieidealnego Analizę wymienionych błędów przeprowadza się najczęściej metodami numerycznymi. 1.2. Analiza widmowa sygnałów

Analiza widmowa dotyczy wszystkich występujących w technice sygnałów, do których zalicza się: sygnały o ograniczonej energii, sygnały o ograniczonej mocy średniej, sygnały okresowe, prawie okresowe, impulsowe a także stochastyczne. Celem metod widmowych jest analiza właściwości sygnałów i układów a także ich synteza z wykorzystaniem charakterystyk częstotliwościowych. Charakterystyki częstotliwościowe sygnałów definiowane są w różny

Materiały dydaktyczne powielane

7

sposób w zależności od klasy przebiegu których one dotyczą. Krótki przykład tych charakterystyk przedstawiono poniżej.1

1.2.1. Widmo Fouriera sygnałów okresowych

Każdy sygnał okresowy całkowalny z kwadratem a zatem należący do przestrzeni sygnałowej L2T można przedstawić w postaci szeregu Fouriera: h=∞

f (t) =

∑ Fhe

h = −∞

jhω 0 t

∞

= Re

∑ Fn e jhω t

(9)

0

h=0

gdzie: ω0 =

2π , T - okres przebiegu T

(10)

T

1 Fh = f ( t )e − jhω 0 t dt , h = 0,±1,±2,… T

(11)

Fh = 2Fh = 2 Fh e jϕ n

(12)

∫ 0

Widmem sygnału okresowego f(t) nazywamy zbiory {Fh, h=0,±1, ±2...}, {Fh , h = 0,1,2,...} .

Podobnie

widmem

amplitudowym

nazywamy

zbiory

{ Fh , h = 0,±1,±2,...} ,

{ Fh , h = 0,1,2,...} natomiast widmem fazowym nazywamy zbiory {arg Fh, h=0,±1,±2...}, {arg Fh , h = 0,1,2,...} , przy czym: arg Fh = arg F− h = arg Fh . Przykładowe widma Fh i Fh sygnału okresowego pokazano na rys.8, 9

1

Bez uwzględnienia charakterystyk dystrybucyjnych sygnałów, por. [1].

Materiały dydaktyczne powielane

(13)

8 |Fh|

|F-1|

|F1| |F0|

|F-2| |F-4| -h

-4

|F2|

|F-3|

|F3| |F4| -2

-3

-1

0

1

2

3

4

h

a) arg Fh

arg F1 -6

-5

-4

-2

-3

-1 0

arg F-6

arg F6

1

2

3

arg F-1

b)

Rys.8. Widma Fh sygnału okresowego

Materiały dydaktyczne powielane

4

5

6

h

9 |Fh|

a)

0

1

2

3

4

5

6

2

3

4

5

6

h

arg Fh

0

1

7

h

b)

Rys.9. Widma Fh sygnału okresowego Widma sygnałów okresowych mają zawsze charakter dyskretny, przy czym poszczególne prążki widma są rozmieszczane na osi częstotliwości w jednakowej odległości pomiędzy sobą. Szereg Fouriera (9) jest powszechnie wykorzystywany w teorii obwodów elektrycznych do analizy układów z przebiegami okresowymi i niesinusoidalnymi.

1.2.2. Widmo Fouriera sygnałów nieokresowych o skończonej energii

Widmem Fouriera F(jω) sygnału f(t) o skończonej energii nazywamy transformatę Fouriera tego sygnału: F( jω ) = F{f ( t )} =

∞

∫ f (t)e − jωt dt

−∞

gdzie: F - symbol transformaty Fouriera.

Materiały dydaktyczne powielane

(14)

10

Transformata Fouriera F(jω) sygnału f(t) jest funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej ω i może być przedstawiona w postaci wzoru: F( jω ) = F( jω ) e j arg F( jω ) = F( jω ) e jϕ ( jω )

Funkcje

(15)

F( jω ) i ϕ(jω) nazywamy widmem amplitudowym i fazowym sygnału f(t).

Wykresy tych funkcji nazywamy charakterystykami Bodego sygnału a wykres funkcji F(jω) na płaszczyźnie zespolonej Gaussa nazywamy charakterystyką Nyquista sygnału. Przykładowo dla sygnału jednostronnie wykładniczego e − at , a > 0 dla t > 0  f (t ) =   0 dla t < 0

(16)

widmo F(jω) określa wzór: ω

− jarctg 1 1 a F( jω ) = = e 2 2 a + ju a +ω

Sygnał (16) i jego charakterystyki widmowe przedstawiono na rys.10.

Materiały dydaktyczne powielane

(17)

11 f(t) 1

0

t |F(jω)| 1 2

0

ω ϕ(ω) π 2

0

ω

π 2

Rys.10. Funkcja jednostronnie wykładnicza i jej charakterystyki widmowe Widma sygnałów nieokresowych o skończonej energii mają zawsze charakter funkcji ciągłych. Charakterystyki widmowe wielu częściej występujących sygnałów podano w pracy [1]. 1.2.3. Dyskretny szereg Fouriera

Przy obliczeniach numerycznych szeregu Fouriera (9), (11) należy: • sumę nieskończoną (9) zastąpić sumą skończoną,

Materiały dydaktyczne powielane

12

• całkę (11) aproksymować sumą skończoną, • przy obliczeniach uwzględniać tylko skończoną liczbę wartości funkcji f(t), e jhω 0 t .

Tak więc przy obliczeniach numerycznych operuje się na ciągach próbek sygnału f(m)=f(mT0), m=0,1,2,.., N-1 równoodległych względem siebie o przedział czasowy T0: T0 =

T , N

(18)

gdzie: T - okres sygnału, N - liczba próbek. Dla ustalonego przedziału czasowego To (okresu próbkowania sygnału) pobór większej liczby próbek sygnału niż N nie wnosi żadnej dodatkowej informacji o sygnale f(t) z uwagi na jego okresowość, rys.11. f(t) f(h)

-T

0

T0 2T0

0

1 2

4T0

(N-1)T0 T

2T

N-1 N

t

h

Rys.11. Funkcje f(t), f(m) Podstawiając we wzorze (9) t=mT0 uzyskuje się zależność pomiędzy ciągiem próbek sygnału a ciągiem współczynników Fh szeregu Fouriera  j 2π  f ( mT0 ) = f ( m) = Fh  e N   h= −M  h= M

∑

przy czym:

Materiały dydaktyczne powielane

hm

h= M

=

∑ Fh Whm

h= −M

(19)

13

h = 0,±1,±2,..,± M m = 0,1,…, N − 1 (20)

N ≥ 2M + 1 w=e

j

2π N

W dalszym ciągu przybliżając (aproksymując) całkę (11) sumą skończoną uzyskujemy: 1 Fh = T

N −1

∑ T0f (mT0 ) e

m= 0

jh

2π T m T 0

1 = T

N −1

∑ f (m)w − hm

(21)

m= 0

Wzory (19), (21) wiążą ciągi współczynników Fouriera Fn sygnału z ciągami próbek tego sygnału. Można zauważyć, że ciąg współczynników Fouriera Fh obliczony na podstawie wzoru (21) jest okresowy (rys.12) i zawiera 2M+1 różniących się wyrazów co wynika z okresowości funkcji whm (20). f(m)

0

|Fh|

N T

1 2 3

m T0

-M

-2 -1 0

1 2

+M

h

T0 arg Fh

-M

-2 -1 0 1 2

M

h

Rys.12. Szereg Fouriera ciągu okresowego f(m) Odwzorowania (19), którego współczynniki określa wzór (21) nazywamy dyskretnym szeregiem Fouriera. Szereg ten wykorzystuje się przy obliczaniu współczynników Fouriera sygnałów okresowych na podstawie ciągu próbek tych sygnałów. Na podstawie wzorów (19), (21) można zauważyć, że w przypadku funkcji okresowych zawierających co najwyżej M harmonicznych dyskretny szereg Fouriera odtwarza te funkcje z zerowym błędem. Dla funkcji okresowych mających nieskończone widmo harmonicznych

Materiały dydaktyczne powielane

14

w szeregu (19) nie zostają uwzględnione harmoniczne o numerach większych niż M. Ponieważ (por. (20)): 2M + 1 ≤ N M<

N 2

(22)

to poprzez zwiększenie liczby próbek w okresie dokładność aproksymacji można dowolnie zwiększać. 1.2.4. Dyskretna transformata Fouriera

Polega ona na innej interpretacji wzorów (19), (21) opisujących dyskretny szereg Fouriera, który omówiono w poprzednim punkcie. Niech funkcja f(t) w przedziale obserwacji T (rys.13) opisana jest ciągiem próbek f(m), m=0,1,2,..,N-1. Rozróżnić należy dwa przypadki (rys.13). 1. Funkcja f(t) jest okresowa o okresie T. W tym przypadku funkcja ta opisywana jest szeregiem dyskretnym Fouriera (19), którego współczynniki określa wzór(21). 2. Funkcja f(t) jest nieokresowa lecz w przedziale obserwacji T (którego nie należy utożsamiać z okresem, rys.13) jest ona opisana tym samym ciągiem próbek co funkcja okresowa z punktu 1. Tym samym ciągowi czasowemu f(m) próbek funkcji f(t) zostaje przyporządkowany ciąg współczynników zespolonych Fn. Ciąg ten nosi nazwę dyskretnej transformaty Fouriera sygnału f(t)

Materiały dydaktyczne powielane

15 f(t)

0

1 2 3

N

t m

N

t m

f(t)

0

1 2 3

T = NT0

Rys.13. Interpretacja dyskretnego szeregu Fouriera i dyskretnej transformaty Fouriera Dyskretną transformatę Fouriera (DFT) można więc zdefiniować w następujący sposób: Niech będą dane dwa ciągi: • liczb rzeczywistych (czasowy) a0, a1,.., aN-1 • liczb zespolonych A0, A1, .., An-1

o jednakowej liczebności N. Odwzorowania: N −1

Ah =

∑ a mw − mh , h = 0,1,..., N − 1

(23)

m= 0 m −1

am =

∑ A h w mh , m = 0,1,..., N − 1

(24)

h=0

nazywamy odpowiednio prostym i odwrotnym dyskretnym przekształceniem Fouriera (DFT). 1.2.5. Szybka transformata Fouriera FFT

Obliczenia numeryczne dyskretnej transformaty Fouriera według wzorów (23), (24) wymagają wykonania N-1 operacji mnożenia oraz jednego dodawania N-1 składników

Materiały dydaktyczne powielane

16

A h = a 0 + a 1w − m + a 2 w −2 m +…+ a N − 1w − m( N − 1)

(25)

czyli prawie N2 operacji mnożenia. Dla ciągów zawierających dużą liczbę wyrazów n oraz wielokrotnych obliczeń (DFT) wydłuża to znacznie czas obliczeń. Redukcję liczby mnożeń umożliwiają algorytmy numeryczne noszące nazwę szybkich transformat Fouriera 9FFT). Omawianie tych algorytmów nie jest celem ćwiczenia. Można wykazać, że dla liczby próbek N = 2 s , s = 3,4,...

(26)

całkowita liczba mnożeń może być zredukowania do wartości (N log2N)/2. 2. Opis układu pomiarowego dla ćwiczenia C3 (Próbkowanie sygnałów)

Schemat ideowy stanowiska pomiarowego przedstawiono na rys.14. Stanowisko to składa się z następujących bloków funkcyjnych • generatora sygnałowego napięcia sinusoidalnego, trójkątnego i prostokątnego o

regulowanej amplitudzie i częstotliwości, • karty pomiarowej PC-LAB sprzężonej z komputerem IBM PC wyposażonym w niezbędne

oprogramowanie.

Generator sygnałowy Karta pomiarowa PC LAB Generator specjalizowany przebiegów odkształconych

IBM PC

Oprogramowanie - karty pomiarowej - PC DSP - do odtwarzania sygn.

Rys.14. Schemat ideowy stanowiska. Sygnały

z

generatora

sygnałowego

lub/i

generatora

przebiegów

odkształconych

doprowadzane są do karty pomiarowej skąd w postaci plików ASCII są zapisywane na dysku komputera. Dalsza obróbka tych plików przeprowadzana jest na drodze programowej z Materiały dydaktyczne powielane

17

wykorzystaniem pakietu PC DSP oraz specjalnego programu do odtwarzania sygnałów analogowych z próbek. 3. Opis układu pomiarowego dla ćwiczenia C4 (Analiza widmowa sygnałów)

Stanowisko to składa się z następujących przyrządów: • generatora sygnałowego napięcia sinusoidalnego, trójkątnego i prostokątnego o

regulowanej amplitudzie i częstotliwości , • analizatora widma, • oscyloskopu.

Literatura

1. Szabatin J.: Podstawy teorii sygnałów. WKŁ, Warszawa 1982. 2. Papoulis A.: Sygnały i układy. WKŁ, Warszawa 1988.

Materiały dydaktyczne powielane