R, V' istnieje przekształcenie liniowe V' spełniające warunek V' jest podprzestrzenią przestrzeni F. Przekształcenie liniowe V' jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy kerę> = {0 }. Obrazem przekształcenia liniowego : F —>• V' nazywamy zbiór V' jest podprzestrzenią przestrzeni F '. V' jest przekształceniem liniowym, to istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe i/r : F / ker i m ę takie, że ^ o k = ę, gdzie funkcja k : V —f F / ker = W. Mianowicie dla dowolnej funkcji / g C(o,7>mamy / G k e tę <£=+ ę { f ) = 0 +=+ /(1 ) —5 /(6 ) = 0 4=4 f € W. Zachodzi też równość ę>(C(o,7)) = R, gdyż dla każdej liczby a G R i funkcji stałej f{x) = - a / 4 zachodzi równość a = "([xi, x2]). 274. Endomorfizm cp przestrzeni wektorowej M3 określony jest danym wzorem. Obli czyć îo2([xi, x2, x3]). [6 ,10,4]; c) [2, - 1 ] 1-* [0,13,5], [4, 3] f * [10,1,15]; d) [3,1] f * [5,17, 9], [7, 8] f * [6 , 0,4]. 298. Przekształcenie liniowe [3,5], [0, 2,1] f * [1; 1]; b) [1,1,1] f * [1,1], [5,1, 3] f * [3, 9], [3,0,1] i-»- [5, 9]; c) [2,1,0]h> [1,5], [5, 3,4] f * [0,7], [4, 2,1] [2,9]; d) [ 3 ,l ,l ] i - * [4,7], [0,1, 3] * * [5 ,1 1 ], [2 , 1, 0] f * [1,0]. 299. Przekształcenie liniowe ę : R 3 -* R 3 określone jest przez dane przyporządkowa nia. Korzystając ze wzoru (4.12), obliczyć ęo([*i, * 2, * 3]). a) [1,1,0]!-* [7,3, 8], [ 1 , 2 , 1 ] ^ [6,4,6], [4, 5, 5] [7,9, 6]; b) [2,1,1] i-* [1,2,1], [1,2,0] h* [1, 3,0], [7,1, 5] h* [0, —1,1]; ([*!, *2, *3]) = [3*i —*2 + * 3, 2*i + *3, 2*i - 2*2 + 3*3]: a) lin([0 , 1, 0], [0 , 0 , 1]); b) lin([l, 0 , - 1], [ 1, 2 , 1]). Rozwiązanie. Ad a). Dana podprzestrzeń nie jest niezmiennicza względem endo morfizmu ę, gdyż ) jest postaci au . . . a\k 0 ... 0 «il «i+ 1.1 _ «nl ([x1, x2]) = [3xi + 6x 2,5xi + 4x2]. W przy padku gdy odpowiedź jest pozytywna, wskazać wartość własną, której odpowiada ten wektor. a) [1,1]; b) [5,4]; c) [4, 2]. ). Wektor v e V nazywamy wektorem dołączonym rzędu pierwsze go endomorfizmu ę odpowiadającym wartości własnej Ao, jeśli wektor w = ( ) = {1; 4}. Ad Ai = 1. Ponieważ liczba 1 jest poczwórnym pierwiastkiem wielomianu Fip(X), więc wyznaczamy podprzestrzenie V/x), F ® , . . . aż do uzyskania podprzestrzeni mają cej wymiar 4. Korzystając z równości ( K jest funkcjonałem liniowym na przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy można ją określić wzorem postaci K określony na skończenie wymiarowej przestrzeni V jest symetryczny (antysymetryczny) wtedy i tylko wtedy, gdy jego macierz r w dowolnej bazie przestrzeni V jest symetryczna (antysymetryczna). ■ K w bazach jest funkcjonałem ujemnie określonym, to w pewnej bazie ma on formę -*3. I wreszcie, jeśli funkcjonał V '. Przypuśćmy w tym celu, że ax, .. ., an, bx, . . . , b n są skalarami, przy których zachodzi równość a xvx + ■.. + anvn = bxvx + . .. + bnvn. Wtedy (ai - bx)v! + . . . + ( « „ - bn)vn = 9. ■ K określona wzorem ę{xx, . . . , x„) = x f jest przekształceniem liniowym, mimo że wielomian X \ nie jest formą liniową zmiennych X x, . . . , X n. 249; Oznaczmy wymiary przestrzeni V i ker R określona wzorem (pif + W) = / 0X/ ( * ) dx. d) Dla dowolnych / , g e C(ol00) równość / + W = g + W zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy /(w ) = gin) dla każdego n e N. Żądanym izomorfizmem jest np. funkcja ę : C(0iOO) / W -» R°° określona wzorem (pif + W) = (/(1 ), / ( 2 ) , . . . ) . e) Warstwy wyznaczone przez macierze [a,7], [b,7] e M(2, R) są takie same wtedy i tylko wtedy, gdy aX2 = bX2 i a2x = b2x. Żądanym izomorfizmem jest np. funkcja K określona wzorem ę (A + W) = tr A. 556. Funkcje, którymi trzeba się posłużyć, mogą być następujące: a) R°°, R2, Zy, (W) C W, wystarczy zauważyć, że ę = (cp + a idy) —a idy i skorzystać z pierwszej części rozwiązania. /O) I:' E: EI: . 428. a) Np. B = ([1,0, 0], [-3 ,1 ,0 ], [-5 , 5,1]), x \ + Ą - 8*f; b) np. B = ([1,0,0], [-2 ,1 ,0 ], [12, -4 ,1 ]), x \ + x \ + 7*f; c) np. B = ([1,0,0], [-3 ,1 ,0 ], [10, -3 ,1 ]), x \ + x \ + 4jtf; d) np. B = ([1,0,0], [-2 ,1 ,0 ], [13, -5 ,1 ]), x f + Ą - 21x\\ e) np. B = ([1,1,0], [0,1,0], [0, -2 ,1 ]), 5xf + x \ - 4xf, f) np. B = ([1, - 3 , -4 ], [0,1,1], [0,0,1]), 5xj + x \ + x\, g) np. B = ([1,1,0], [1, -1 ,0 ], [-5 , 3,1]), x f - x \ + 15^2; h) np. B = ([1,1,0], [1, -1 ,0 ], [-4 , -2 ,1 ]), x \ - x \ - 8*f. 429. a) Np. ([1,0,0,0], [-3,1, 0, 0] , [ - 3 ,0 ,1 , - 1 ], [5, -2,0 ,1]) , X1 ~ X2 ~ 9*3 + 4x\\ b) np. ([1,0,0,0], [—1,1,0,0], [6, - 4 ,1 ,0 ], [-1 4 ,7 , -2 ,1 ]), x \ + x \ — jĄ —3*2;
fflS f
Y) = f { Y , x y , d) ę : R[X, Y] -> R[X, F], 3) = l+i, +>]; ' •/ e) (p ■M°° ->■ ?K(a/i)n^ f) (p '■C(-OO.OO) ^ C(_oo,C»)> (« » (/» W = / ( * - 1). 223. Przekształcenie liniowe tp : i2 -> M2 dane jest przez poniższe przyporządkowania. Obliczyć ^ ([x i,x 2]). a) [1, 3] h* [1,1], c) [3,1] i-> [4,5];
224.
225.
226.
227.
228.
229.
[3, 7][5,7]; b) [4, 5] h* [4,7], [3,4] h* [3, 5]; [5, 3][8 ,3], d) [3, 5] [1,1], [5,7] h* [3, 7]; e) [1,2] t-* [4, 9]; [4,1] h* [9,8],f)[4,9] [8 ,7], [5,13] [3,0]. Przekształcenie liniowe ę : Z2 —> Z2 dane jest przez poniższe przyporządkowania. Obliczyć ę{[xx, x2]). a) [1, 5] h* [3, 5], [3,4] h* [5,6];b)[1,1] h* [2, 1], [6 , 3] h* [5,4]; c) [0,1] h* [4, 5], [5, 6 ] h* [1,3];d)[1,2] h* [5, 1], [6 ,1] h* [5,4] Przekształcenie liniowe tp M3 dane jest przez poniższe przyporządkowania. Obliczyć
230. Poniższe podprzestrzenie Wi i W2 przestrzeni wektorowej M3 spełniają warunek R3 = Wi © W2. Wyrazić analitycznie rzutowanie przestrzeni M3 na podprzestrzeń W\ wzdłuż podprzestrzeni W2:
a) b) c) d) e) f)
W i= lin ([l, 0 , 0 ], [0 , 1, 0 ]), W! = lin([1 ,0 ,0 ], [0,1,1]), Wj = lin([l, 1,1]), W\ : xi + 2x 2 - 3x 3 = 0, Wi : xx - 2x2 + 4x 3 = 0, W i = lin([4, 3, 5]),
W2 = lin([l, 1, 1]); W2 = lin([0, 7, 8]); W2 = lin([l, 1, 0], [0,1,2]); W2 = lin([5, —2, 0]); W2 = lin([l, 5, 2]); W2 : x i - 5 x 2 + 2x 3 = 0. .
231. Sprawdzić, że jeśli ę : F -> V' i i/r : V' —> V" są przekształceniami liniowymi, to funkcja (i/r o ę) : F -> V" też jest przekształceniem liniowym. 232. Wykazać, że jeśli funkcja ę : V -> V jest izomorfizmem przestrzeni wektoro wych, to funkcja ę ~ l : F ' —> F też jest izomorfizmem przestrzeni wektorowych.
233. Wykazać, że dla dowolnych przestrzeni wektorowych Fi i V2, określonych nad tym samym ciałem K , przestrzenie wektorowe V\ x V2 i V2 x Fi są izomorficzne. 234. Niech W < V. Wykazać, że dla każdego przekształcenia liniowego
jądrpl objaz przekształcenia liniowego"
a) [5,1] i-» [4, 6 ,2], [ 1 , 3 ] ^ [5,4, 6 ]; b) [1, 6] ^ [1,0 , 1], [4, 5] m. [4, 3, 6 ]; c) [3, 5] f> [5, 0 , 6], [5,6]f f [4,O, 3]; d) [1,1] f> [3,1,1], [4,5] f * [4 ,0, 6 ], [O,3] [5,4, 3]; e) [3,4] f> [6 ,4 ,5 ], [1,6] [2, 6 ,4], [6 ,1] [5,1, 3]; f) [4, 6] [1, 6 ,5], [5, 3] [4,4,1], [5,1] f* [6 ,4 ,1 ], 239. Wykazać, że dane podprzestrzenie W0 i Wi przestrzeni wektorowej C(0,i) są izo morficzne: W0 = { / € C(o,i) : /(O ) = 0},
W3 = { f e C ^ d : /( 1 ) = 0}.
240. Niech W = { / e C{a%b) : f ( a ) = 0}. Wykazać, że C(ai6) = W x R.
jg4
Rozwiązanie. Wektor [xi, x2, x3, x4] należy do jądra przekształcenia q>wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest układ równań
— x2 — x2 + x3 4xi — 4 x 2 —x 3
i
241. Niech W = { / 6 C(a,b) ■/(.&) = f ( b ) = 0}. Udowodnić, że C(a,b) = W x R x 1, 242. Wykazać, że jeśli zbiór S je st bazą przestrzeni wektorowej F i funkcja ę : F -» F' jest izomorfizmem przestrzeni wektorowych, to zbiór
4 -4
(4.2)
9 x 4 = 0.
0 -3 ‘ “ 1 -1 " 1 -1 0 -3 0 -3 ' 1 -3 —»■ 0 0 1 -3 —> 0 0 1 -6 0 0 -1 3 0 0 0 0 -1 -9
Widać stąd, że wektory [1,1, 0,0], [3, 0, 3,1] generują przestrzeń keręi. Ponieważ po nadto są one liniowo niezależne, więc tworzą bazę jądra. Jeśli wektory v\, v2, u3, v4 tworzą bazę przestrzeni R4, to ich obrazy
I I 4.2. Jądro i obraz przekształcenia liniowego
Wobec tego możemy postępować tak jak w przykładzie 24. Ponieważ elementy wiodące w postaci schodkowej macierzy układu (4.2) znajdują się w pierwszej i trzeciej kolum nie, więc bazę przestrzeni im
Jądrem przekształcenia liniowego ę : V -* F ' nazywamy zbiór ker ę := {u € F : ę(v) = 9'}, gdzie 9' oznacza wektor zerowy przestrzeni F '. Jądro przekształcenia liniowego
Zadania 245. Sprawdzić, że jądro przekształcema liniowego ę : V -» V' jest podprzestrzenią przestrzeni F.
(= {
(4.1)
ÓX4 = 0,
[xi, x2, x3, x4] = [s + 3i, s, 3i, t] = s [l, 1,0, 0] + 1 [3, 0, 3,1].
244. Wykazać, że twierdzenie z zadania 243 nie jest prawdziwe, jeśli ciało K jest ciałem skończonym. Wskazówka. Można wykorzystać fakt, że dla każdego a e GF(ę) zachodzi równość a9 = a.
dim F = dimkerę; -+• dimimęj.
3x4 = 0,
XI
Odczytujemy stąd rozwiązanie x x = s + 3i, x 2 = s, x3 = 31, x4 = t, gdzie s, t e R. Zatem przynależność [x\, x2, x3, x4] € k e rę zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy przy pewnych s, t e M prawdziwe są równości
Wykazać, że funkcja ę jest przekształceniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego i e { 1 ,..., m} wielomian f t ( X \ , . . . , X n) jest formą liniową zmiennych X u . . . , X n.
Obraz przekształcenia liniowego cp : V -> V' jest podprzestrzenią przestrzeni F '. Jeśli funkcja ę : V —> V' jest przekształceniem liniowym i. dim F < oo, to zachodzi równość
' 1 -1 1 -1
[ / l ( * I , ■ • • , X „ ), • • • , f m ( X 1j • • • j -Tn)3*
imę> := ę (V )
Xi
Rozwiązujemy ten układ, wykonując operacje elementarne na wierszach odpowiadają cej mu macierzy:
y (
Przykład 5 6 . Znaleźć po jednej bazie jądra i obrazu przekształcenia liniowego
i
246. Wykazać, że przekształcenie liniowe ę : V —> V' jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy ker
248. Sprawdzić, że jeśli funkcja ę : F -> V' jest przekształceniem liniowym i V = 'I " lin (u i,.. •, v„), to im(
c) [xi - 4 x 2 + 5x3 + 3x4, xi - 4x2 + 6x 3 + 5x4, xi - 4x 2 + 7x 3 + 7x4]; d) [xi —2x2 + 4x3 —3x4, xi —2x 2 + 4x3 —3x4, 2xi —4x2 + 8x 3 —6 x4]; ; e) [2xi —4 x2 + 3 x4, 4 x i —8x 2 + 5x4,5 x x — 10x2 + 8x4]. 252. Znaleźć po jednej bazie jądra i obrazu przekształcenia liniowego cp : R 3 -» R4, i którego wartość w dowolnym punkcie [xi, x2, x3] g R 3 jest równa: a) [xi —3x2 —5x3, xi —3x 2 —5x 3, *1 —3x2 —5x3, x x —3x2 —5x3]; b) [xi + 2x2 + 4x3, 3xi + x 2 + 7x3, 2xi + 5x2 + 9x3, 6x2 + 6x3]; c) [xi - x2 + x3, 2xi —x2 + 2x3, 3xi —x 2 + 4x 3,4 x t —2x2]; d) [4xi — x 2 — 5 x 3, 4 x i — x 2 — 5x3, 8x Ł— 2x2 — 10x3,4xi — x 2 — 5x3]; e) [3xi —4x2 + x 3,4 x x —2x2, l x x + 4x2 —3x3, 3xi + x 2 —x3]. 253? Niech m, n G N i niech K = GF(g). Określić liczbę N takich przekształceń linio wych ę : K n -> K m, które spełniają dany warunek: a) dimkerę; = k, gdzie 0 < k < n; b) dimimę? = Z, gdzie 0 < l < m.
I
4.3. Przestrzeń wektorowa ilorazowa
Niech F będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K, a W jej podprzestrzenią. Wtedy W jest dzielnikiem normalnym grupy addytywnej (F, + ) i wobec tego można utworzyć grupę ilorazową V / W . Co więcej, wzór a . (u + W) = (ou) + W
(a G K, v G F )
,
(4.3)
określa mnożenie warstw tworzących grupę ilorazową F / W, a czwórka ( F / W; K \ +; •) jest przestrzenią wektorową. Przestrzeń tę nazywamy przestrzenią ilorazową przestrzeni wektorowej F przez podprzestrzeń W. Funkcja k : V -> F /W określona wzorem k (v) = v + W jest epimorfizmem prze strzeni wektorowej F na przestrzeń V /W . Nazywamy ją homomorfizmem naturalnym lub też homomorfizmem kanonicznym. Jeśli W jest podprzestrzenią przestrzeni F i dim F < 00 , to zachodzi równość dim (F / W) = dim F - dim W.
Przykład 57. Wyznaczyć warstwy przestrzeni wektorowej 7L\ względem jej pod przestrzeni W = lin([l, 0, 0, 0], [0 ,0 ,0 ,1 ]). Zbudować tabelki działań w przestrzeni ilorazowej W. Rozwiązanie. Mamy W = {[0,0, 0, 0], [1,0, 0, 0], [0,0,0, 1], [1, 0, 0,1]}. Zgod nie z określeniem warstw obliczenia mogą przebiegać następująco: [0 , 1, 0 , 0] + W = {[0 , 1, 0 , 0],[1, 1, 0 , 0 ], [0 , 1, 0 , 1], [ 1, 1, 0 , 1]}, [0 , 0 , 1, 0 ] + W= {[0 , 0 , 1, 0],[ 1, 0 , 1, 0 ], [0 , 0 , 1, 1], [ 1, 0 , 1, 1]}, [ 1, 1, 1, 1] + W= {[1, 1, 1, 1],[0 , 1, 1 , 1], [ 1, 1, 1, 0], [0 , 1, 1, 0]}. Mamy zatem Z4/W = {W, [0, 1, 0, 0] + W, [0,0, 1, 0] + W, [1, 1, 1,1] + W}. Ozna czając przez A, B i C warstwy wyznaczone odpowiednio przez wektory [0 ,1 ,0 ,0 ], [0, 0 , 1, 0 ] i [ 1, 1, 1, 1], otrzymujemy następujące tabelki działań w przestrzeni ilorazo wej Z4/W = [W, A, B, C}: + w A B C
W W A B C
A B C A B c W C B C W A B A W
• w A B C 0 w W W W 1 w A B c
Aby obliczyć sumę dowolnych dwóch warstw, obliczamy sumę dowolnego wektora z pierwszej warstwy i dowolnego wektora z drugiej warstwy. Warstwa, do której należy otrzymana suma wektorów, jest-sumą wyjściowych warstw. Mamy np. B + C = A, gdyż np. [0,0,1,0] g B, [1 ,1 ,1 ,1 ] e C oraz [0 ,0 ,1 ,0 ] + [1,1,1,1] = [1 ,1 ,0 ,1 ] e A. Podobnie za iloczyn dowolnej warstwy przez skalar przyjmujemy tę warstwę, do której należy iloczyn dowolnego wektora należącego do danej warstwy przez ten skalar. Przykład 58. Niech W = {(U n)^ e R°° : ax = a2 = 0}. Opisać warstwy prze strzeni wektorowej M°° względem podprzestrzeni W. Korzystając z tego opisu, udowod nić związek R°°/ W = R 2. Rozwiązanie. Dla dowolnych ciągów vx = (U n )^, v2 = (bn)^=l należących do R00 mamy + W 4= + u i - v2 G W 4=> (an - &„)“ , G W 4=+ ai —bx = a2 — b2 = 0 4=+ ax = bx, a2 = b2.
m 6 v2
Zatem dwa ciągi należą do tej samej warstwy wtedy i tylko wtedy, gdy ich pierwsze wyrazy są takie same i ich drugie wyrazy są takie same. Każda warstwa względem W jest więc jednoznacznie określona przez parę uporządkowaną liczb rzeczywistych, z których pierwsza jest pierwszym wyrazem ciągów należących do tej warstwy, a druga jest drugim wyrazem tychże ciągów. Z opisu warstw wynika, że funkcja ę : R 00/ W -* R 2 dana wzorem
A oto diagram ilustrujący to twierdzenie:
(bn)°l=i i skalarów a, b e R zachodzą równości "
F -------------
»- imę; c W
= ę({aan + bbn)™=l + W) = {aax + bbu aa2 + bb2] = a l a u a ú + b[bu b2] = acp({an)f=l + W) + b
i
Zadania
254. Zbudować tabelki działań w podanej przestrzeni ilorazowej: a) Z f/W , gdzie W = {[0,0,0], [1,0,0]} {Uwaga. Przyjąć oznaczenia A = [0,1,0] + W, B = [0,0,1] + W, C = [0,1,1] + W); b) %\! W, gdzie W = lin([l, 1, 0, 0], [0 ,0 ,1 ,1 ]) {Uwaga. Przyjąć oznaczenia A = [1 ,0 ,0 ,0 ] + W, B = [0 ,0 ,1 ,0 ] + W, C = [1 ,0 ,0 ,1 ] + W); c) Z2/ W, gdzie W = lin([l, 2]) {Uwaga. Przyjąć oznaczenia A = [1,0] + W, b = [i, i] + d) I?2/ W , gdzie W — lin([l, 1,0], [0,0,1]) {Uwaga. Przyjąć oznaczenie A = [1, 0 , 0 ] + W). 255. Opisać warstwy przestrzeni wektorowej F względem jej podprzestrzeni W. Korzy stając z tego opisu, udowodnić związek V / W = V', jeśli: a) V = R 00, W = {(«„)“ ! e R°° : a2 = 0}, V' = M; b) F = R°°, W = {(«„)“ ! € M°° : a x = 4a2 = 5a3}, F ' = M2;
wy,
c)
F
=
C ( 0, i ) ,
W =
{ / € C ( o ,i ) :
J
f(x )
dx = o },
F '
=
R ;
d) F = C(0,oo), e) f)
W = { / e C(0,oo) : / \ / ( « ) = ° | . F ' = R°°; nsN F = M(2, R), W = {[a,7] 6 M(2, R) : a12 = a2x = 0}, F ' = R 2; F = M(n, K), 1F = [A 6 M(«, K ) : tr A = 0}, V' = K.
I : 4.4. Twierdzenia o izomorfizmach przestrzeni wektorowych Pierwsze twierdzenie o izomorfizmie przestrzeni wektorowych brzmi następująco: Je śli funkcja
Przykład 59. Niech F = C(0,7) i W = { f e C(0l7) : /( 1 ) = 5/(6)}. Korzy stając z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie przestrzeni wektorowych, wykazać, że V/W = R. Rozwiązanie. Wystarczy wskazać epimorfizm przestrzeni wektorowych ę : F -> R, taki że kei
(4.4)
Funkcję
Zadania 256. Korzystając z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie przestrzeni wektorowych, wykazać, że prawdziwy jest związek V / W = V', jeśli przestrzenie V , V ' i W są odpowiednio równe: a) C(0,i), R2, { / G C(0il) : /(0 ) = / ( ! ) = 0};
m b)
C(0,oo)> K00»[ /
GQo,oo) : A
f (
n )
>
nsN
to dla dowolnego wektora v = x m + . . . + xnvn e V współrzędne y x, . . . , y m w bazie ( jego obrazu
c) M(n, K), K, {A € M(n, ¿T) : tr A = 0}; d) R°°, R°°, { (an) Z i e R°° : A
" yi
= o);
fceN
e) R4, R2>{[*i> x2, x3, x4] e R4 : jcj —3x4 = x2 + x4 = 0}; f) R4, R2, {[jci, x2, x 3, x4] e R 4 : x i —x2 = x 2 — 4x3 = x i — 4x3 = 0}; g) lĄ, Z7, {[xx, x2, x 3] € lĄ : xi + 4 x 2 + 5 x 3 = 3xi + 5x2 + x 3 = 0};
j) C(0,i), M, { / € C{0,i) : j
f ( x ) dx = o j.
257. Niech W\ i W2 będą takimi podprzestrzeniami przestrzeni wektorowej V, że V = ..
’ Wi ® W2. Wykazać, że V / W x = W2 i V /W 2 = Wj.
_ x„ _
_ J'm . Niech B = (x>i,. . . , v„), C — (wx, . . . , wm) i V = (ux, . . . , upJ będą odpowiednio bazami przestrzeni wektorowych V, V', V" i niech ę e L(V; V'), 1jr 6 L(V'; V"). Zachodzi wtedy równość MBv { f °
259. Korzystając z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie przestrzeni wektorowych,
wykazać następujące tzw. trzecie twierdzenie o izomorfizmie przestrzeni wektoro wych: jeśli przestrzenie V, W i U spełniają warunek U < W < V, to W / U < V /U i ponadto (V / U ) / ( W / U ) = V / W .
(4.6)
Przykład 60. Przekształcenie liniowe
258. Korzystając z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie przestrzeni wektorowych,
wykazać następujące tzw. drugie twierdzenie o izomorfizmie przestrzeni wekto rowych: dla dowolnej przestrzeni V i jej podprzestrzeni Wx i W2 prawdziwy jest związek {Wx + W2) / W x = W2/(W \ fi W2). Wskazówka. Rozpatrzyć funkcję ę : W2 ->■ (W! + W2)/W \ określoną wzorem cp(w2) — w2 + Wx.
(4.5)
= M b c (
a b h) M(2, K), K 1, j|^ “ “ J e M(2, K) : a = c = o j; c d i) M(2, K), K 2Ą [ ac bd ^ e U ( 2 , K ) : a = b ,c = d ^ ,
X\
[11,7] = 2 [3 ,1] + 5 [1 ,1].
Zgodnie z definicją macierzy przekształcenia liniowego zachodzi więc równość Mscisp) 0 2 4 5 Przykład 61. Przekształcenie liniowe
Wmi
4.5. Reprezentacja macierzowa przekształcenia liniowego
Niech B = (vi, . . . , vn) i C = ( wx, w m) będą odpowiednio bazami przestrzeni wektorowych V i V' i niech ę e L (F ; V')- Macierzą przekształcenia cp w bazach B i C nazywamy macierz M bc (
P ([5 ,1]) = —7 [1 ,1] + 3[4, 3] = [5,2], *>([11, 2]) = —8[1,1] + 5[4, 3] = [12,7], Mamy teraz do czynienia z sytuacją taką jak w przykładzie 54, gdzie przekształcenie li niowe było określone przez swoje wartości na wektorach tworzących bazę jego dziedzi ny. Przedstawiamy więc dowolny wektor [xi, x2] e l 2 w bazie B, po czym wykonujemy obliczenia:
|5 Przykład 62. Przekształcema liniowe (p : R3 -»■ R 2 i f wzorami: ę([x\, x 2, x3]) = [4xj + 3x2 + x3, 5xx + 4x 2 + 2x3], ^ ([x i, x2]) = [3xi —x2, 5xi —3x2, 7xi —5x2].
określone są.
o (p){[xx, x 2, x3]).
Wykorzystując wzór (4.6), obliczyć
Reprezepiaciąmaoiercowaprzejt ?tarceqia »nowego a)
B = C = ([1, 0], [0,1]),M b c (
b)
B = ([8 , 2 ], [ 7 , 1 ]),
liii 1 -3 8 -5
C = ([ 6 ,7 ] , [4,5]),
c) B = ( [ - 8 , 5], [0 , 7]),
1 2 1 -1
M BC{
C = ([5, 8], [ 1, 6]),
1 7 4 0
MBC(.
Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorem (4.6) mamy 3 -1 -3 -5
M(rjr o ę ) = M(r(r) ■M(cp) =
d)
...
1 ' 7 5 = 5 3 -1 3 1 -3
4 5
Stąd odczytujemy wartość (ijr o ę){[xx, x2, x3]). Odpowiedź. [7xi + 5x2 + x3, 5xi + 3x2 —x3, 3xi + x 2
■3 x 3] .
261.
e)
B = ([2 , 1 ], [ 1 , 3 ]),
C = ( [ 1 , 1 ], [4, 5 ]),
a) ([ 1, 0 , 0], [0 , 1, 0 ], [0 , 0 , 1]),
' 0 b)
0 1 -8
2 -9
'
"
;
c)
1 -1 0 6
3
M BC(
([ 1, 0], [0 , 1]),
b)
([1,1,1],
[2,1,0], [ 3 ,-1 ,1 ]), ([9, 2], [6 ,7]),
c)
([1,1,0],
[1,3,1], [6 ,
2 9
1 -2
d)
([5,4, 2],
[1,1, 0], [2,2, 1]),([3,1], [2,1]),
e) ([1,1,1], [7, 6 , 3], [11, 9,2]), 266.
4 -7
262.
r 1 -1 3 -4
5,2]), ([1,0],[0,5]),
([1,1], [5,4]),
'
określone jest wzorem
' -1
MBC(
265. Przekształcenie liniowe cp : R3 R2 dane jest przez macierz Mbc(
Wskazać macierz M(q>) przekształcenia liniowego ę : R — ; określonego wzorem: a)
C = ([2 , 13], [3 ,1 7 ]),
1 ~l
Zadania 260.
B = ( [ 1 ,1 ], [ 1 ,6 ] ),
2
5
0 1 0
0 0 2 1 1 1
1 2 4 2 -3 0 5 7 3 5
11 1
-1
-2
0
Niech A e M(2, R). Sprawdzić, że funkcja ę : M(2, R) M(2, R) określona wzorem ę (X ) = A X jest endomorfizmem przestrzeni M(2, R). Znaleźć macierz Mb(
a b c d
i
B
(
1 0 0 0
’
'o r '0 0 ' 0 0 » 1 0
' o o 0 1
)'
267.
Rozwiązać zadanie otrzymane z poprzedniego przez zastąpienie w nim wzoru ę (X ) = AX. wzorem ę (X ) = XA.
268.
Dane są: baza B przestrzeni wektorowej R2, wzór określający endomorfizm ę tej przestrzeni oraz macierz Mbc(
269.
9 + 3 x 2] ,
bc^
1
2 2
Dane są: baza C przestrzeni wektorowej M2, wzór określający endomorfizm
122
270.
a) C = ([-2 ,0 ], [7,1]), (p[x!, X2] = [Xi, Xi — 2X2],
M bc(
b) C = ( [ - 1, 6], [0,5]), cp[x1 , X2 ] = [Xi — X2 , 4 x i + X2 ],
M bc (
P rz e k s z ta łc e n ia lin io w e ę : R w z o ra m i. W y k o r z y s tu ją c w z ó r a)
ę»([x i , x
2] )
^ ( [ x i , x 2 , x 3] ) b)
? ) ( [ x i , x 2] )
f ( { x x, x 2, x 3\) 271.
=
y \ _ x 3 x4 J /
(4.6), o b l i c z y ć
M (^3) = { M ( ę ) f
4
3
-1
-1
' 22 - 4 2 ' 7 -1 3
Odpowiedź■ ?>3([x 1, X2]) = [22xi —42x2,7xi — 13x2].
3x2],
L
Zadania
[ x i + x 2 + x 3 , 4 x i + 4 x 2 + 5 x 3];
272. Endomorfizm cp przestrzeni wektorowej R 2 określony jest wzorem ę>([xi,x2]) = [xi + 2x2, Xi]. Obliczyć ę>4 ([xi, X2]).
[ 7 x i - 3 x 2 - 4 x 3 , 4 x i + x 2 — 5 x 3] .
=
cp : M(2, R)
: [XI +
2 X2
->
R3 i
ir :
R 3 -»■
€ o k r e ś lo n e s ą w z o ra m i:
+ 3x3 + 9x4, XI + X3 + 8x 4, X2 + 2x3 + 8x 4],
(4.6), o b l i c z y ć { f o ę) ^
^
273. Niech n e N i niech endomorfizm
lK[*i> xii *3!) = 4*1 —x 2 — 3x3 + (5xi + 2 x 2 —7x 3)i.
@ pi
3
( f o ę > ) ( [ x i , x 2] ) .
= • [ 2 x i + 5 x 2 , 2 x i + 4 x 2 , * 1 + 4 x 2] ,
W y k o rz y s tu ją c w z ó r
' 4 -6 ' _ 1 -1
S tą d m o ż e m y o d c z y t a ć p o s z u k i w a n y w z ó r .
określone śą poniższymi
[2 x i + X 2, - 5 x i - 4 x 2 , 4 x i +
=
P rz e k s z ta łc e n ia lin io w e
A\Xl *2T)
1 2
i i/r :
->
Rozwiązanie. Mamy
3 5
^
4.6. Przestrzeń wektorowa przekształceń liniowych i algebra endomorfizmów
Jeśli V i F ' są przestrzeniami wektorowymi nad tym samym ciałem K, to następują ce wzory określają dodawanie wewnętrzne w zbiorze L (F ; V') i mnożenie elementów zbioru L(V; V') przez skalary: (4.7) e L (F ; F')> v € V), {ę + f ) ( v ) =
275. Przekształcenia liniowe ę, f e L(R3, R2) określone są wzorami:
[x i + 2 x 2 + 3 x 3, 4 x i -
f { [ x 1 , x 2 , x 3] ) =
[ x i + 3 x 2 + * 3 , 3 x i + x 2 + 4 x 3] .
x 2 + 5 x 3] ,
Obliczyć: a) (ę + ^ )([x i, x2, x3]); b) (3ę>)([xi, x2, x3]); c) (4
4 3 1 1 2 0
b) M(2
c) M((p — 3ijr).
277. Sprawdzić, że dla każdego automorfizmu ę przestrzeni wektorowej K n zachodzi równość M (ęo)M(ęo-1) = I. Wykorzystując tę równość, obliczyć ę ~ l ([xx, x 2, x3]), jeśli
3 ° Macierz przejścia o d bazy B = (l y ,..'., v„) d o bazy B' = (v j, . . . , 1/ ) jest macierzą w bazie B automorfizmu przestrzeni wektorowej V określonego przez przypo r z ą d k o w a n ia Ul vj, U2 H * v'2, ..., V„ M - v'n. 4° Zachodzi też równość A = M b
279. Niech układy B = (vu . . . , vn) i C = O i , . . . , wm) będą odpowiednio baz przestrzeni wektorowych V i V', określonych nad tym samym ciałem K. Wiado mo, że funkcja M bc ■L(Vj V') -»■ M(m x n, K ) jest izomorfizmem przestrzeni wektorowych. Dla dowolnych k e { 1, ... , m }, l e { 1 ,..., n] przyjmijmy oznaczę- ' nie
gdzie
au = { J ’ g
\=
^ ;
-
a) Dla każdego j e {1,. .., n} znaleźć wartość
le{l,...,n)
d) W bazie (ę>n, ę \2,
= A
r;
Xn
= [xi + 4x 2,2 x i + 3x2], = [2xi + 8x2, 5xi + 7x2], = [3xi + 8x2, 9xi + 8x2], = [4xi + 8x2, 7xi + 7x2].
vn
=
x 'i
Xi
’
(4.11) _
Xn
_
Przykład 64. Znaleźć macierz A przejścia od bazy B = ([3,4], [5, 7]) do bazy B' = ([1,1], [7, 8]) przestrzeni wektorowej M2.
Niech B = ( « i , . . . , v„) i B' = (u j, . . . , v'n) będą dowolnymi bazami przestrzeni wekto rowej V i niech skałary ay, gdzie i, j e { 1 , . . . , n}, będą określone przez równości: = an v i + a 2iv2 + . . . + a „ i v n, = « 12^1 + a22v2 + . . . + an2vn,
■k
= A-1
i f i 4.7. Zmiana bazy
v[ v2
(4.10)
oraz
= [9xi+ 4x 2,4 x i + 9x2], = [6x 1 + 3x2, 4xj + 7x2];
’
b)
' x{ "
Xi
Rozwiązanie. Sposób 1° (na podstawie definicji). Przedstawmy dowolny wektor [a, i ) ] e l 2 w bazie B: [#. b] = x [3 ,4] + y [5 ,7]. Równość ta jest równoważna z następującym układem równań:
(4 9) '
« I n ^ l + &2nV2 + . . . + a n n V„.
Macierz [ay] e M(n, K) nazywamy macierzą przejścia od bazy B do bazy B'. Uwagi. 1° Wprost z powyższego określenia widać, że y-ą kolumnę macierzy przej ścia od bazy B do bazy B' tworzą współrzędne w bazie B j-ego wektora bazy B'. 2° Występującą w powyższej definicji bazę B często nazywa się bazą starą, a ba zę B' bazą nową. Uwadze 1° można więc nadać brzmienie: kolejne kolumny macie rzy przejścia są utworzone przez współrzędne kolejnych wektorów nowej bazy w starej bazie.
{
3x + 5y 4x + 7y
a, b.
Układ ten ma rozwiązanie: x = l a — 5b, y = —4a + 3b. W szczególności zachodzą równości: [1,1] = 2[3,4] —[5,7]
[7, 8] = 9[3,4] —4 [5 ,7].
2 9 -1 - 4 Sposób 2° (z wykorzystaniem własności macierzy przejścia od bazy do bazy). Oznaczmy przez Ai i A2 macierze przejścia odpowiednio od bazy kanonicznej do bazy
Stąd A =
•m T
4,J.Przeksztalcenią UnJoweJ
B i do bazy B '. Otrzymujemy wtedy: A = A ^A 2= Zatem A =
"3 5 ' 4 7_
-1
' 1 7‘ 1 8_
r
7 -5 -4 3
' 1 7 ' _1 8
_
287. Macierze przejścia od bazy B do bazy B' i od bazy B" do bazy B' są odpowiednio "3 7 ' '5 5 ' równe i . Wyznaczyć macierz przejścia od bazy B" do bazy B. . 1 4 .7 8.
2 9' -1 - 4
288. Znaleźć macierz przejścia od bazy B' do bazy B" przestrzeni wektorowej R3, wie dząc, że macierze przejścia od bazy B do baz B' i B" są odpowiednio równe
2 9 1 -4
"
Zadania 281. Na podstawie definicji znaleźć macierz przejścia od bazy B do bazy B' przestrzeni ;
wektorowej M2, jeśli: a) B ■ ([1,1], [3, 2]), b) B ([7, 3], [9,4]), c) B ■ ([5,2], [4,1]), ([2 , - 1], [ 1, 0 ]), d) B
B' = ([3,4], [9, 8]); F = ([1,0], [16, 7]); B’= ([9, 3], [ - 1, 2 ]); B' = ([6 , - 3 ] , [3,1]).
J
290. Dane są współrzędne pewnego wektora v e R 2 w bazie B = ([3, 1], [4, 5]). Ko rzystając ze wzoru (4.11), obliczyć współrzędne tego wektora w bazie C:
|
*;
do bazy B' przestrzeni wektorowej M3, jeśli: a) B = ([1, 2 , 3], [1, 3,4], [1, 5, 7]), B' = ([2, 3,4], [4,4, 5], [6 ,3,4]); b) B = ([5,2,4], [3,1,1], [5,1,2]), B' = ([5, 3, 6], [6 , 1, 0], [5 , 2 ,4]); c) B = ([1,1,1], [4, 3,5], [5, 5,4]), B' = ([6 , 5, 7], [9, 9, 8], [9, 8 , 9]). 284. Korzystając z własności macierzy przejścia, znaleźć macierz przejścia od bazy B \
do bazy B' przestrzeni wektorowej Z |, jeśli: a) B = ([1,0, 0], [1,1, 0], [1,1,1]), B' = ([1, 0,0], [0,1,0], [0,0,1]); b) B = ([4, 2, 3], [3,4,0], [0,1,4]), B' = ([2 ,2,2], [1, 3, 3], [0,1,4]); c) B = ([4,0,4], [1,2,0], [3,1,1]), B' = ([4,1,2], [3, 3,2], [1,4,4]). 285. Macierze przejścia od bazy B do bazy B' i od bazy B do bazy B" są odpowiednio ;
2 —1
*
1 7
"2 0 -1 ' 6 2 7 6 1 1
289. Macierz przejścia od bazy B do bazy B' = ([4 ,7], [9, 7]) jest równa Znaleźć bazę B.
283. Korzystając z własności macierzy przejścia, znaleźć macierz przejścia od bazy B
równe
i
■■■■;
282. Korzystając z własności macierzy przejścia, znaleźć macierz przejścia od bazy B '
do bazy B' przestrzeni wektorowej M2, jeśli: a) B = ([4, 5], [7, 8 ]), B' = ([7, 11], [1, 5]); b) B = ([8 , 3], [13, 5]), B' = ([1,0], [4,1]); c) B = ([7, —4], [—6 ,5]), £?' = ([2,13], [1,12]); d) B = ( [ 5 , - 3 ] , [-4 ,4 ]), B' = ([2,10], [8 ,0]).
1 2 -3 " 3 4 -5 4 5 -8
j • Wyznaczyć macierz przejścia od bazy B' do bazy B"■
286. Macierze przejścia od bazy B do bazy B" i od bazy B' do bazy B" są odpowiednio
5 1' 3 9' równe | „ / , 11i 1 , , 1. Wyznaczyć macierz przejścia od bazy B do bazy &. 7 11 _ _ - 1 1
a) 5 ,1
C = ([5,2], [1,1]);
b) 4 ,3
C = ([2,1], [1,1]);
c) 1,1
C = ([2,1], [1,3]);
d) 7 , - 1
C = ([7, 1], [8, 1]).
l | <£ 1
291. Wyrazić współrzędne xj, x 2 dowolnego wektora v e M2 w bazie B = ([—1, 3], [1, -5 ]) jako funkcje współrzędnych x{, x'2 tego wektora w bazie B' = ([-1 , 1], [3, -1 ]).
[
4.8. Twierdzenie o macierzach przekształcenia liniowego w różnych bazach
Niech Ai będzie macierzą przejścia od bazy B — (vx, . . . , vn) do bazy B' = {v[,. . . , v'n) przestrzeni Vx i niech A 2 będzie macierzą przejścia od bazy C = (wx, . . . , wm) do bazy C = (w'v iu'm) przestrzeni V2. Jeśli cp € L(Vi; V2), to M b 'C'(
(4.12)
W szczególności, jeśli A jest macierzą przejścia od bazy B do bazy B' przestrzeni V i
* Przykład 65. Znaleźć macierz M p a to ) endomorfizmu
r 5 9 ~1 24 ,
C = ([-1 , 7], d . - 6 » . C' = ([5, —6 ], [—4,5]).
(j M(
Rozwiązanie. Przez Au A2, A3 i A4 oznaczmy macierze przejścia od bazy kano nicznej odpowiednio do baz B, B', C i C. Oczywiście zachodzą równości: II cn •<
'3 5 ' ’ -1 - 1 ' Ar\ 2 , a 2= 4 3 .
' -1
l '
,
a 4=
7 ~6 .
5-4* -6 5_
Wskazane obliczenia prowadzą do równości M&aiP) —
r 9 n
1 5 -25 ‘ _ _ ' 20 _ 15 - 2 0 5_
.
1
j
Przykład 66. Przekształcenie liniowe ę : B 2 M3 dane jest wzorem x2]) = [3xi - x 2,5x 1—2x2, 9x 1- 4 x 2]- Wyznaczyć macierz MBci
i 3 2 5
-1
Rozwiązanie. Zauważmy, że obhczenie ę{[Xl, x2, x3]) jest równoznaczne z wyznaj czeniem macierzy M(ę), Połóżmy £ = ([3 ,1 .1 ]. [2.1.0]. [6 . 4 >3]) 1 ([ . J. • ; Ponadto przez A oznaczmy macierz przejścia od bazy kanonicznej przestrzeni bazy B. Z treści zadania wynikają równości ,;h3j M b s (
' 8 9 13 ‘ 6 2 5
i
5 1 4 2
1 2
-1
*
1 1 4 -3 0 " ' 1 4 1 5 0 1 1 0 1 7 0 5 2 1 -3 ■>«s Przykład 67. Przekształcenie liniowe
=
”3 2 6 ' 1 1 4 A= 1 0 3
1 -1
-6 3
-6
2
1
2
‘4 1 -5 ' _3 -4 1_
Rozwiązanie. Oznaczmy przez Ai i A2 macierze przejścia od bazy kanonicznej przestrzeni M2 odpowiednio do baz B i C . Ponieważ macierzami przejścia od baz B i C do bazy kanonicznej przestrzeni B 2 są odpowiednio macierze Aj-1 i A2 \ więc na mocy związku (4.12) otrzymujemy równości \/f f,„\ ■Aj 4- l li/f c /(
13 5 ' -_1 n -2 -4
3
Przykład 68 . Endomorfizm ę przestrzeni M2 dany jest przez macierz Mscifp) = 5 1 , gdzie B = ([2,1], [4, —1]) i C = ([1, —1], [2, 5]). Korzystając ze wzoru 4 2 (4.12), obliczyć ę ( i x \ , x2]).
Rozwiązanie. Oznaczmy przez Ai i A 2 macierze przejścia od baz kanonicznyd| przestrzeni R2 i R3 odpowiednio do baz B i C. Na mocy wzoru (4.12) otrzymujemy Mbc(
9 13 ' 1 2 5 _' 5
Stąd ęj([xi, x2, x3]) = [4*1 + x 2 - 5x3, 3xx - 4x2 + x3].
Ponieważ macierz przejścia od bazy B do bazy B' jest równa Aj"1A2, a od bazy C do bazy C jest równa A21A4) więc zgodnie ze wzorem (4.12) otrzymujemy MB'c(
II r— —1 Os OO
M r \
mbc(< p)=
Ponieważ macierzą przejścia od bazy B do bazy kanonicznej przestrzeni B 3 jest macierz 4 - 1, więc zgodnie ze wzorem (4.12) otrzymujemy
15
9
.
2
4 '1_1
1 -1
1 ' 1 4 ‘ ' 6 1 -2 _
' 3 7 ' _4 7 _
Wobec tego cp([x\, x2]) = [3xi + l x 2, 4xi + l x 2].
I.
Zadania
292. Przekształcenie liniowe
C = ([4,4], [ - 4 , -5 ]), C' = ([0,1], [4, 3]); £ = ([4,4,1], [3,0, 1], [4, 3,1]), C = ([ 1, 2], [2 , - 1]), b) £ ' = ([4,4,1], [5, 8 ,1], [3,1, 1]), C = ([3,1], [—5,0]). 293. Endomorfizm ę przestrzeni wektorowej B 2 ma w bazie kanonicznej macierz r 5 71 2 4 . Znaleźć macierz tego endomorfizmu w podanej bazie: a)
a) ([1,0], [-1 ,1 ]);
b) ([7, 5], [6 , 3]);
c) ([5, - 3 ] , [4, 3]).
P i
fM Ę
z leci 1 1nioi
• Zn a 294. Endomorfizm ę przestrzeni wektorowej R 2 ma w bazie B macierz leźć macierz tego endomorfizmu w bazie C, jeśli: a) B = ([1, 2], [3,5]), C = ([4,7], [1,4]); b) B = ([-1 .1 ], [8 ,1]). C = ([2 ,7], [1 , 8]); c) B = ([3,1], [1, 2]), C = ([5, 5], [2 , - 1]); d) B = ([1,1], [4, 2]), C = ([9,7], [9,5]). 295. Niech B = ([4, 1], [9, 2]), C = ([-3 , - 5 ] , [4,7]), C = ([-1 , - 5 ], [1,4]). Zna leźć bazę B' przestrzeni wektorowej R 2, wiedząc, że dla pewnego endomorfizmu
M bc ((P)
5 7 4 6
c) [1, 2, 3] 1-^ [2,4, 3], d) [1, —1,0] h* [5, 8 , 0],
296. Mając poniższe dane i korzystając ze wzoru (4.12), wyznaczyć macierz M bcW) przekształcenia liniowego
[5,1, 0] m- [4, 5 , 6]; [3,2,1] h* [9, 8 , 3],
300. Endomorfizm cp przestrzeni wektorowej R 2 określony jest przez swą macierz M b c (
b) MBc (
7 6
B
= ([11,1], [10, 1]), C = ([1, 2 ], [3, 5]);
c) M bc W) =
5 9 3 5
B
= (P,7], [5,11]), C = ([1,2], [3,1]);
d) MBc (
5 2 9 4
B
= ([7, 3], [4 , 1]),
7 5 10 8
[4, 3, 3] h* [4, 5, 7], [2, 1,2] h* [5, 5, 6],
C = ([2 , 1], [ 1, 3]).
301. Dane są baza B przestrzeni wektorowej R 2 oraz macierze M{cp) i M b c (
M(
"35" -4
6
,
.
MscifP) =
1 1
7 9
302. Wykazać, że relacja ~ podobieństwa macierzy do macierzy określona w zbiorze M(n, K) jest relacją równoważności.
I > 4.9. Podprzestrzenie niezmiennicze Niech funkcja
111^ ^ Stąd dla dowolnych a, & 6 1 otrzymujemy ę ia l l, 0, - 1 ] + M l. 2.1]) = «
zmu
£
Zadania
303. Zbadać, czy dana podprzestrzeń przestrzeni wektorowej R 3 jest niezmiennicza względem endomorfizmu cp przestrzeni B 3 określonego wzorem ę{[x\, x 2, x3]) = [xi - x 2 - x 3,2 x 2 - * 3 , 3x3]: a) lin ([1 , 0 , 0 ]); b) lin ([ 1, 0 , 0], [0 , 0 , 1]); c) lin ([1, 0 , - 1], [ 1, - 1, 1]); d) lin ([0 , 1, 0]); e) lin ([ 1, 0 , 0 ], [0 , 1, 0 ]); f) l i n ( [ l , - 1, 1], [ 1, 1, - 1]). 304. Zbadać, czy dana podprzestrzeń przestrzeni wektorowej R 3 jest niezmiennicza względem endomorfizmu ę przestrzeni R 3 określonego wzorem
a) Hn ([1,1, -1 ]); b) lin ([3,2, 1], [1, 0,1]); c) lin ([0,7, - 4 ], [4, - 3 ,0 ]); d) lin ([1,1,1]); e) lin ([1,0,0], [0,1, 0]); f) lin ([l, 0 , - 1 ] , [4 ,2 ,-5 ]). 305. Wykazać, że wszystkimi podprzestrzeniami przestrzeni R[X] niezmienniczymi względem różniczkowania są podprzestrzenie [0], R[X] oraz podprzestrzenie R„[X], gdzien eMU{0). 306. Niech B\ = (nx vk) i B2 = (ujt+i,. . . , v„) będą odpowiednio bazami podprzestrzeni W] i W2 przestrzeni wektorowej V. Mech ponadto V = Wj © W2. Sprawdzić, że podprzestrzeń Wj jest niezmiennicza względem endomorfizmu ę przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy w bazie B = ( t ą , . . . , u*, vk+i, . . . , v„) macierz Mg (9 ) jest postaci on
. . . a\k
Oki
a-kk
G k,k + 1
0
0
at+i,*+i
0
0
«i,*+i
...
ain «in «i+l,n
«nn «n,i+l Sprawdzić, że podobnie podprzestrzeń W2 jest niezmiennicza względem endomor fizmu
«ii 0 «i+l,i «i+l.i+l «n,i
«n,i+1
0
«i+l,n
Wywnioskować stąd, że podprzestrzenie Wx i W2 są niezmiennicze względem en domorfizmu
0
« 11
«ii
«il
«ii
0
o
0
0
«i+i,i+i
^ jt+ l tn
0
o
«n,i+l
O-nn
307. Sprawdzić, że jądro i obraz dowolnego endomorfizmu ę przestrzeni V są podprze strzeniami niezmienniczymi względem
i l 4.10. Wektory i wartości wtasne endomorfizmu, diagonalizacja Niech funkcja ę : V -* V będzie endomorfizmem przestrzeni wektorowej V. Jeśli niezerowy wektor v g V spełnia przy pewnym skalarze X € K warunek
ffl
M
H
J-
^
PrzeteztatGenaTh^
Dla każdej wartości własnej A endomorfizmu (p przestrzeni wektorowej V zbiór {u g V : ę(v) = Au} jest niezerową podprzestrzenią przestrzeni V , niezmienniczą względem endomorfizmu
^ ^ , więc 12 5
'Ciało K nazywamy ciałem algebraicznie domkniętym, jeśE każdy wielomian / € K[X\ stopnia do datniego ma pierwiastek w ciele K , Ciało C jest, a ciało K nie jest algebraicznie domknięte.
4 —A 1 12, 5 - A
Fv (k)
= (A - 4)(A - 5) - 12
■'k2 —9A + 8 = (A - 1)(A - 8). Stąd wszystkimi wartościami własnymi endomorfizmu
1 ' ’ Xi '
. 12 4
.
.
' 0 ' .0 .
Mamy więc | 3xr + x2 = 0, 112xj 4- 4x2 = 0 i w rezultacie x 2 = —3xx. Stąd wszystkimi wektorami własnymi endomorfizmu ę o wartości własnej 1 są wektory postaci [jti, —3xi], gdzie x\ =£ 0 . Podobnie niezerowy wektor v = [xu x 2] jest wektorem własnym o wartości własnej 8 wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość ' -4
1 ' " Xi " 3 _ . *2 . 12
' 0' 0 _
Ponieważ otrzymane równanie ma rozwiązanie x2 = 4xi, więc wektorami własnymi endomorfizmu ę o wartości własnej 8 są wektory postaci [xi, Ax{\, gdzie xi ^ 0.
-8 e M(2, M). Znaleźć macierz diagonalną B -4 podobną do macierzy A oraz macierz odwracalną C, taką że B = C~lAC. Przykład 71. Niech A
Rozwiązanie. Traktujemy macierz A jako macierz pewnego endomorfizmu
1 -k 3
-4-A
= (A - 7)(A + 4) + 24 = A2 - 3A - 4 = (A + 1)(A - 4). Jak widać, wielomian FA{k) ma dwa pierwiastki Ai = —1 i A2 = 4. Ponieważ liczba tych pierwiastków jest równa wymiarowi przestrzeni V, więc istnieje baza przestrzeni V utworzona przez wektory własne endomorfizmu
■8 - 8 ' _3 -3 _
' 0 '
’
*i
(A
0
X2
*2 . I 8xj — 8x 2 = 0 , -
0
0,
' 0
' Xi
r 3 3
_
[ 3xj —3x2 = 0, { xi - x2 =
0
. *2 .
■0 '
’
47)
0 ‘
' Xi '
_ 0
. *2
3xj 3xi
- 8r 2
=
0,
- 8x 2
=
0,
{ 3xi
- 8x 2
=
0,
V2 = [8 , 3],
«1 = [ 1, 1].
Otrzymane wektory uj i v2 są wektorami własnymi endomorfizmu
Mamy tu A = - 3 6 < 0, skąd wynika że wielomian. FA(X) nie rozkłada się na czyn niki liniowe nad ciałem R. Niech B będzie macierzą diagonalną podobną do macierzy A. Ponieważ macierze podobne mają takie same wielomiany charakterystyczne, więc wielomin FB(X) też nie rozkłada się na czynniki liniowe. Z drugiej strony jest oczy wiste, że wielomian charakterystyczny macierzy diagonalnej jest iloczynem czynników liniowych. Otrzymana sprzeczność dowodzi, że macierz A nie jest diagonałizowałna. Ad c). Mamy tutaj FA(X) = (X —2)2. Sposób 1° Widać, że endomorfizm
Przyjmijmy teraz, że B := M b (
' -1 0 ' ' 1 8' , c = 0 4 _ 1 3_
Przykład 72. Zbadać, czy dana macierz A e M (2, R) jest diagonałizowałna: a)
"6 1 ' 16
;
b)
"7 -9 " ; 2 1_
" 3 -1 " c) _ 1 1_
Rozwiązanie. W każdym z trzech punktów traktujemy macierz A jako macierz pew nego endomorfizmu ę przestrzeni wektorowej M2 w bazie kanonicznej. Ad a). Mamy tu Fa (X)
6 —X 1 1 6 -X
7-X 2
-9 1-X
' 0" 0
x2
0, 0,
X\ — x 2
x2. Z obliczeń tych wynika, że zbiór wektorów własnych endomorfizmu ę o wartości wła snej 2 wraz z wektorem zerowym tworzą jednowymiarową podprzestrzeń lin([l, 1]) przestrzeni M2. Nie istnieją więc dwa liniowo niezależne takie wektory własne. Ponie waż nie istnieje baza przestrzeni R 2 utworzona przez wektory własne endomorfizmu
(A - 6)2 - 1 = (A - 5)(X - 7).
Przykład 73. Wykazać, że macierz A
1 2 -1
nie jest diagonałizowałna.
3 4 -2
Wynika stąd, że endomorfizm ę ma dwie wartości własne. Istnieje więc baza B przestrze ni R 2 utworzona przez wektory własne endomorfizmu
=
X\ — x 2
0 4
o o 1____ 1
(A + 7) [
Ad A2 ■4:
- 1:
i i S i4 i____ i
Ad Aj :
(.X - 7)(A. - 1) + 18 = X2 - 8A + 25.
Rozwiązanie. Jak zwykle traktujemy A jako macierz pewnego endomorfizmu
wektory własne o wartości własnej 2 , rozwiązujemy równanie “ 0 ' 0 0
-8
1
B, więc zgodnie z zależnością (4.13) na stronie 127 zachodzi równość B = C~lAC. Mamy zatem -8
_1_ U 1 II
. Obliczyć A".
Odpowiedź. A n
Rozwiązanie. Znajdziemy najpierw macierz diagonalną B i macierz nieosobliwą C taką, że £ = C -1 AC. (Należy tu odnotować, że nie dla każdej macierzy kwadratowej A takie macierze B i C można dobrać.) Ponieważ z równości A = C B C ~ l wynika związek A n = C B nC~l , więc obliczenie potęgi A n sprowadzi się w tym przypadku do obliczenia «-tej potęgi macierzy diagonalnej B. Potraktujmy macierz A jako macierz pewnego endomorfizmu ę w bazie kanonicznej przestrzeni ]Ł2. Obliczamy najpierw wielomian charakterystyczny macierzy A: 4 -A
Fa (X)
3 -1 — A
3A - 28
8 3' 8 3 .
■X! ' .
*2
’
XI ‘
.
*2
-
.
' 0 ' _
0
' 0 ' 0
+ 3x2 = 0 , + 3x2 = 0 , { 8xx + 3x2 vi =.[3, -8],
0,
_
0 '
1 ' 1 -1 '
3(—4)" T -8 (—4)" T
' 11
-
8
3
.
-1
3
3(—4)" + 8 • 7" - 8(—4)n + 8 - 7 ”
-3(—4)" + 3-7" 8 (—4)n + 3-7"
8 • T + 3 (—4)" 3 • T - 3 (—4)" 8 • T - 8(—4)" 3 • T + 8 (—4)"
II
Przykład 75. Obliczyć VA, jeśli A
10 6
Rozwiązanie. Należy rozwiązać równanie X 2 = A. W tym celu znajdziemy naj pierw macierz diagonalną B podobną do A i taką macierz nieosobliwą C, że B = C~lAC. Następnie, korzystając z równoważności: X 2 = A 4 = » X 2 = CB C~l
24
= (A —4)(A + 1)
wprowadzimy niewiadomą pomocniczą Y = C~lX C (wtedy X = C Y C ~l) i rozwiąże my równanie Y 2 = B. W ostatnim kroku wyznaczymy odpowiednie wartości X. Obliczamy najpierw wielomian charakterystyczny macierzy A:
(A + 4)(A —7).
Zatem Sp (A ) = {—4; 7}. Ponieważ pierwiastki wielomianu charakterystycznego są po jedyncze, więc istnieje baza B przestrzeni R 2 zbudowana z wektorów własnych o warto ściach własnych —4 i 7. Wyznaczymy jedną z takich baz. Ad Aj = —4: • Ad A2 = 7: (A+47)
1 ' ' (-4 )"
!
3
'3 _
1
A n = C B nC~l =
O
Po łatwych obliczeniach otrzymujemy stąd, że wektory własne o wartości własnej 2 są postaci i [4,1,4], gdzie t € R \ {0}. Zatem wszystkie te wektory należą do jednowy miarowej podprzestrzeni lin([4,1,4]) przestrzeni wektorowej R 3. Nie istnieją więc dwa liniowo niezależne wektory własne endomorfizmu ę o wartości własnej 2 . Otrzymaliśmy sprzeczność. Przykład 74. Niech n e N i niech A
jest macierzą przejścia od bazy kanonicznej do bazy
1
~ Xi = X2 _ x3 _
{A - 21)
3, 1
Ponieważ macierz C
{A -II) ‘ -3
3
_
_
’ Xi " *2
.
.
0
_
0
_
-3xi 4- 3x2 = 0, 8xi — 8x 2 = 0 , { x2
=
-1
6
3 —A
(A - 10) (A - 3) + 6
= A - 13A + 3 6 = (A —4)(A —9).
' 0 ' _
10- A
Zatem Sp (A) = {4; 9}. Postępując podobnie jak w poprzednim przykładzie, wnioskuje my, że wektorami własnymi o wartościach własnych 4 i 9 są np. odpowiednio wektory [1, 6] i [1,1], Możemy więc przyjąć, że B = ([1, 6 ], [1, 1]). Wówczas
' 0 '
*i X2
Fa (A)
X i,
v2 = [1, 1].
Wektory [3, —8] i [1,1] są wektorami własnymi endomorfizmu cp o wartościach wła snych odpowiednio —4 i 7 i wobec tego w bazie B := ([3, —8], [1,1]) endomorfizm
B := MB(v)
4 0 0 9
Przyjmijmy oznaczenie Y =
-1 6
Wtedy równanie Y 2 = B jest równoważne z na-
stępującym układem równań: a2 + bc b(a + d) c(a + d ) cb + d 2
= = = =
4, 0, 0, 9.
Nie może tu być a + d = 0, bo wtedy mielibyśmy a2 = d2 i w przypadku tym równania pierwsze i czwarte byłyby ze sobą sprzeczne. Musi więc być a + d ^ 0. Otrzymujemy
trudniejszy do rozwiązania układ równań: a2 + bc b(a + d ) c(a + d) cb A-d2
to otrzymalibyśmy następujący
= 10, = -1 , = 6, = 3.
d)
315. Sprawdzić, czy dany wektor jest wektorem własnym endomorfizmu ę przestrzeni wektorowej R 2 określonego wzorem
324.
317. Wyznaczyć wartości własne i wektory własne endomorfizmu ę przestrzeni wekto rowej R2, którego wartość
326.
318. Wyznaczyć wartości własne i wektory własne danej macierzy A e M(3, R): -6
9 -7 6 -4
0 '
0 0
"2
;
b)
-1
1-
6 -3
4
1 -1
2
;
1
;
d>
".7 - 1 ' 4 3_
h)
' 8 -5 ' 1 4_
1 I
c) g)
;
€ M(2, K) jest diagonalizowalna, jeśli ciało K
c)
” 2 -1 1 " 1 1 1 0 1 1
323.
325.
327.
4 -2 3 -1 6 -6 " -5 -5 _-4
1 1 ; 4 _
b)
1 4 “ 1 4 ; 1 3_
e) -
4 -4 4 -4 _ 1 -1
8 8 2 _
' 6 - 4 1 5 -3 1 _ -4 4 0
C)
1 -4
1"
0 -3
1
_0 - 6 ;
f)
2_
" -7 2 6 ' -4 2 3 _ -8 2 7
"3 -2 1 ' '8 -7 1 ' ' -11 5 5 6 -6 4 ; 8 -7 1 -12 5 6 h) i) 6 -5 3 8 -8 1 -12 6 5 Wykazać, że endomorfizm
316. Sprawdzić, czy dany wektor jest wektorem własnym endomorfizmu
"8
;
jest następujące: a) Q; b) R; c)C; d )Z 5; e ) Z 7; f) Z n322. Znaleźć macierz diagonalną B podobną do danej macierzy A 6 M(3, R), jeśli taka macierz B istnieje. Znaleźć też wtedy macierz odwracalną C taką, że B = C ~ A C .
Zadania
a)
. 1 3 . ' 6 -5 ' f> _4 - 6
321. Zbadać, czy macierz A
a)
I
'- 4 8 '
1
a ^ c d
b)
"5 1 ' e) _ 6 4 ;
Uwaga. Łatwość, z jaką rozwiązaliśmy równanie Y 2 = B, zawdzięczamy temu, że wyrazy b\2 i b2l macierzy B były równe 0. Gdybyśmy równanie X 2 = A rozwiązy wali bezpośrednio, tzn. kładąc od razu X
;
1
a)
1 ł ^ Tt 0 tH 1 1
1‘ 3_
'6
1 1 Lh <1
Iloczyny CYC 1 są szukanymi rozwiązaniami równania X 2 = A. ' 16 - 1 ' t ' -4 6 9 _, ± - 6
4 " '5 6 ' '3 6 ' 1 6 b) ; _ c) d) 4 0 ; ! 6 2 5 . 1 3. 320. Znaleźć macierz diagonalną B podobną do danej macierzy A e M(2, R), jeśli taVa macierz B istnieje. Znaleźć też wtedy macierz odwracalną C, taką że B = C -1AC . a)
' 2 0 ' ' 2 0 ' , ±l _0 3 _ _0 -3 _
Odpowiedź.
319. Wyznaczyć wartości własne i wektory własne danej macierzy A e M(2, Z7):
1------ 1 HH-* ł 1
wówczas b = c = O i dalej a2 = 4 oraz d 2 = 9. Wszystkimi rozwiązaniami równania Y 2 = B są więc macierze:
' 0 0 B BA
(4.14) e)
gdzie 0, 1 e M(n, K). ,a n--1 e K. Sprawdzić, że jeśli 0 1 0
0 0 1
.. .. ..
0 0 0
0
0
..
1
~ a0 -ai -a 2
•
-6 10 -5 9
1n
n
(4.15)
~ a n-1 _
-171 ;
b) A ma dokładnie jedną wartość własną i A nie jest macierzą trójkątną; c) A nie ma żadnej wartości własnej; d) A ma dokładnie dwie wartości własne; e) A ma dwie wartości własne i A nie jest macierzą trójkątną. 331. Wskazać jedną macierz A e M(3, Q) spełniającą podany warunek. Wskazówka. W punktach a), c), d) i f) pomocne może być zadanie 329. a) A ma dokładnie jedną wartość własną i A nie jest macierzą trójkątną; b) A ma dokładnie trzy wartości własne; c) A ma dokładnie trzy wartości własne i A nie jest macierzą trójkątną; d) A nie ma żadnej wartości własnej; e) A ma dokładnie dwie wartości własne; f) A ma dwie wartości własne i A nie jest macierzą trójkątną. 332. Znaleźć widmo różniczkowania
71
c)
- 71
'6
-3 4 -1
d)
g)
” 9 4 -6 ' 3 1 -3 9 4 -6
' 4 3 ' 3 4
Tl
j
3' 6
h)
' 5 1' _1 5
n
" 3 2 -1 " 1 4 -1 4 8 -2 336. Obliczyć pierwiastek kwadratowy z danej macierzy o elementach zespolonych: i)
-1 1 1 1 1 1
a)
4 10 2 5
e)
-4
-2
10
5
;
j)
;
b)
'- 4 8 ' -5 9
c) ' 5
f)
' 20 5 ' 19 6 ;
g)
k)
1'
4 8 _;
'2 1
1 i \Q r-*i
330. Wskazać jedną macierz A e M(2, M) spełniającą podany warunek. Wskazówka. W punktach b), c) i e) można wykorzystać zadanie 329. a) A ma dokładnie jedną wartość własną;
'7 - 8 ' b) _ 6 —7 _ ; 71 3 2' f) _- 1 6 ;
;
1 1 1"
to Fa (K) = ( - l ) n(An + On-ik 1 + . .. + a{k + a0)- Wywnioskować stąd, że każdy wielomian G e stopnia n, mający współczynnik (—1)" przy k n, jest wielomianem charakterystycznym pewnej macierzy B e M(n, K).
334. Niech
-4 -9
13 30
1
AB 0 ‘ ' I A ' B 0 _ 0 /
a)
T-l
-A I
335. Niech n e N . Obliczyć: 1
328. Wykazać równość z zadania poprzedniego, wykorzystując równości (3 19) na b. 755 i (3.24) na s. 85 oraz związek
;
'6 3 ' d) _ 5 4 J :
h)
' -6
5
. ~2 1
0. Jeśli
Niech / e jRT[X], przy czym char K a
l' a
0
Postać kanoniczna Jordana
0 1
0 0
0 0
0 0
a
1
0
a
:jjj
6 M(n, K), 0 0
0 0
to macierz /(A ) jest następująca: " /(a ) 0
u
5.1. Macierze Jordana
/'( * ) /(fl)
h rw
0 0
0 0
0 0
Klatką Jordana stopnia n, gdzie n e N \ {1}, nazywamy macierz postaci a
1
. .
0
0
0 0
0 0
0 0
. . . .
a
1
0
a
€ M(n, K)
/(a )
(a € K),
Przykład 76. Niech n 6 i. Obliczyć A", jeśli: (a e K ).
4 1 0 4
a) A
Macierzą Jordana nazywamy dowolną macierz postaci r Ai A2
0
5 0 0 0
b) A
1 5 0 0
0 0 7 0
0 0 1 7
Rozwiązanie. Ad a). Należy obliczyć /(A ), gdzie /(X ) = X". Ponieważ macierz A jest klatką Jordana, więc wystarczy wyznaczyć odpowiednią macierz (5.2). W naszym przypadku mamy /( 4 ) = 4" i /'( 4 ) = n4n_1. Stąd Ar
o gdzie Ai, . . . , A r są klatkami Jordana. Niech / e iT[X] i niech
4" n4 "-1 0 4"
A"
Ad b). Wykorzystamy tu wzór (5.6) w przypadku, gdy r = 2, /(X )
Ai A2
A =
/(A a)
/(A) = 0
5 1 0 5
a2=
5” n5"_1 0 5"
a2=
Ai
Ar J 0 gdzie A i , . . . , A r są dowolnymi klatkami kwadratowymi. Wówczas zachodzi równość /(A,)
(5.2)
/ '( a ) /( « )
0
a klatką Jordana stopnia 1 nazywamy macierz postaci [a] e M(l, K )
( ¿ d t / ^ 1^ ) 1 ( ^ j i / (n- 2)(*)
Dla każdej macierzy kwadratowej A o elementach z ciała algebraicznie domkniętego istnieje macierz Jordana B podobna do A. Jeśli Bi i j ?2 są dwiema macierzami Jordana podobnymi do macierzy A, to Bi i B2 różnią się co najwyżej kolejnością klatek Jordana. O macierzy Jordana B podobnej do macierzy A mówimy, że jest ona postacią Jor dana macierzy A.
U 0
■ • ( ^ 2)1/ (n~2)(*) .
f(a )
A"
7 1 _0 7 _ * - ?n b7»-1 -
ATI
0
T
j
więc
0
(5.1) / ( A r)
Ponieważ
: X" oraz
A"
'
Ai
0
0
a 2
n _
r A? 0
0
An2„
0 ' 5" nS" - 1 0 0 0 5" 0 7" n T ~ x 0 0 7" 0 0 0
■
Zadania
Dla każdego i e N zbiór Vxf : = { v e V : ( < p ~ A<>id)*u = Q}
' 1 1' b) A = _0 1 _9
' 6 1 0■ d) A =
338. Niech A
0 6 1 0 0 6
;
4 1 0 0 4 1 0 0 4
e) A
c) A =
' 9 1 0 ' 0 9 0 . 0 0 4
u *0 (1) C V,(2) (3) C r- .. . *o C F *0 Co więcej, ciąg V ^ \ V™, najpierw ostro wzrasta, apotem się stabilizuje, tzn. istnieje wskaźnik p e N,taki żeVx[ 1] C v n dla 2 < * ^ p oraz y m = y(k+i) d k każdego k > p. Elementami różnicy < +1) \ Vxf są wektory dołączone rzędu l odpowiadające wartości własnej Ao-
Dla danego wielomianu /(A ) obliczyć /(A):
c) A3 - 3A2 - 8A + 23; d) A4 - 5A3 + 3A2 339. Niech "3 1 0 0 3 1 0 0 3 A=
0 0 0 0 0 0 - -1 0 0 0 0
0 0 0 1 -1
'
e M (5 , R ).
Dla danego wielomianu /(A) obliczyć /(A ): a) A2; b) A3; c)4A2 + 1 0 A + l ; d) 2A3 - 5A2 - 6A + 2. 340. Udowodnić, że dla żadnego a e K nie istnieje macierz diagonalna podobna do a 1 macierzy A 0 a
|
jest podprzestrzenią niezmienniczą względem endomorfizmu ę. Ponadto zachodzą in kluzje
ł
' 8 1‘ a) A = _ 0 8 _5
1 O 03 03 ł-* 1........ 1
337. Niech « e N. Obliczyć A", jeśli:
5.2. Znajdowanie bazy Jordana endomorfizmu o jednej wartości własnej
Niech
Jeśli każdy niezerowy wektor przestrzeni V j est wektorem własnym endomorfizmu ę o wartości własnej A0, to w każdej bazie B przestrzeni V macierz M B(cp) ma postać diagonalną, gdyż wtedy MB{ę) = A07. Niech W < V. Wektory vi, v2, . . . , ut e V nazywamy liniowo niezależnymi wzglę dem podprzestrzem W, jeśli są one liniowo niezależne oraz lin (vu v2, .. vk) n W = {0}. Bazą przestrzeni V względem podprzestrzeni W nazywamy każdy układ wek torów nr, v2, . . . , v m przestrzeni V, który po uzupełnieniu dowolną bazą podprzestrzeni W tworzy bazę przestrzeni V. Wektory v i,v 2, . . . , v k przestrzeni V są liniowo niezależne względem podprzestrzeni W wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek / \
(aiV! + . . . +-akvk e f = 4 a i = 0 , . „ , ą = o ) .
ai,...,aic^K
/
Każda przestrzeń V ma bazę względem dowolnej swej podprzestrzeni W . Każdy układ wektorów przestrzeni V liniowo niezależny względem podprzestrzeni W można uzupełnić do bazy przestrzeni V względem W. Poniżej przedstawimy sposób konstrukcji bazy jordana endomorfizmu ę «-wymia rowej przestrzeni V takiego, że Fv (A) = (—1)"A", Wyznaczamy najpierw ciąg podprzestrzeni {0} C F « C
C . . . C yta = v o * d = y
Następnie znajdujemy wektory vu vk tworzące bazę przestrzeni F0W względem podprzestrzeni F0(p . W kolejnym kroku uzupełniamy układ wektorów
m Wektory otrzymane w kolejnych etapach zapisujemy w postaci tablicy: I n
v\
Vk
(p(vk)
p-ty ęP
Wi
Wyznaczamy teraz podprzestrzenie V0(1), F0(2), ...aż do uzyskania przestrzeni K5. Mamy
Wi
[xi, x2, x3, x4, x5] G Vq^ 4= * ę)([xi, x2, x3, x4, x5]) = [0 , 0 , 0 , 0 , 0] •4=4- [x4, 0, 0, 0, x3] = [0,0,0, 0, 0] •4=^ x3 = x4 = 0.
. .. ę p ł (wi) q>p 2(wx) . .. ęP 2(io/) . . . Si . .. sr
Stąd VqI} = lin (eu e2, e5). Dalej mamy
Bazą Jordana endomorfizmu ę jest następujący układ B: (ęp~l (v\), cpp- 2(v i ) , . . . ,
(5.3)
Wobec tego macierzą endomorfizmu cp w bazie B jest macierz Jordana o klatkach Jordana takich samych stopni co klatki macierzy MB(i/r) i odpowiadających wartości własnej Ai. Przykład 77. Znaleźć bazę Jordana B i wyznaczyć macierz MB(
8 x 3,
xi +
8x4
+ x 5, —x i — x 4 +
Stąd V0(2) = M5. Ponieważ podprzestrzeń V0(2) jest równa całej przestrzeni M5, więc mo żemy przystąpić do wyznaczania wektorów bazy B. W pierwszym etapie znajdujemy takie dwa wektory przestrzeni R5, które wraz z trójką tworzących bazę przestrzeni V0(1) wektorów eu e2, e5 tworzą bazę przestrzeni Vq(2), czyli M5. Możemy, rzecz jasna, przy jąć, że tymi dwoma wektorami są e3 i e4. W etapie drugim znajdujemy dowolny wek tor dopełniający obrazy wektorów e3 i e4 przez cp do bazy przestrzeni V0(I). Ponieważ
0 0 0 0 0
6 x 5 ].
Rozwiązanie. Ad a). Znajdziemy najpierw wielomian charakterystyczny Fę (A) en domorfizmu cp. Ponieważ w bazie kanonicznej (ei, e2, e3, e4, es) przestrzeni R 5 endomorfizm cp ma macierz ' 0 0 0 1 0 0 00 0 0
M(
0
0 0
0
00 0 0
0
010
F A A)
0
0 0 0 0
-A
Stąd Sp(
0 0 0
0 0
-A 0 1
1 0 0
-A
0 0 0 0
Vq(3) = R 5 P0(2) = lin(ei, e2, e3, e5) V0(1) = lin(ei, e2 — e3, e5)
0
0
-A
(—A)(—1)1+1
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
'
Ad b). Podobnie jak w punkcie (a) uzyskujemy równości Fv (A) = —A5 oraz Sp(ę>) = {0}. Konstrukcję bazy Jordana B przedstawia diagram:
0 0
więc -A
Etapl: e3 e4 EtapU: e5 ex e2
V0(2) = R 5 V^l) = lin(ei, e2, e5)
Bazę B tworzą spisywane od dołu wektory występujące w kolejnych kolumnach otrzy manego diagramu. W naszym przypadku B = (es, e3, ex, e4, e2). Z konstrukcji bazy B wynika, że zachodzi równość
ę przestrzeni M5, którego wartość cp([x\, x 2, x3, x 4, x5]) jest równa:
c)
[xi, x2, x3, x4, x5] G Vq(2) 4 = ^ ę>2([xi, x2, x3, x4, x5]) = [0,0, 0, 0, 0] •4=^ io([x4, 0, 0,0, x3]) = [0,0,0,0,0] 4= ^ [0, 0, 0,0,0] = [0,0, 0, 0, 0].
-A
0
0 0 0
-A 0 1
0 0
-A
0 0 0
0
-A
Etap I: e4 Etap U: e2 + 7e3—e5 Etap EU: 8 e i + 8es ei e2 — e3
W etapie pierwszym znaleźliśmy wektor e4 dopełniający wektory e\, e2, e3 i es do ba zy przestrzeni 14®. W etapie drugim znaleźliśmy obraz przez ę wektora e4. Ponieważ (2) obraz ten wraz z trójką wektorów e\, e2 — e3 i es tworzy już bazę podprzestrzeni V0 , więc wyznaczenie tego obrazu kończy etap drugi. W etapie trzecim znaleźliśmy obraz wektora e2 + l e 3 — es przez cp, a następme obraz ten, czyli wektor 8ei + 8^5 dopełni liśmy wektorami ei i e2 — e3 do bazy podprzestrzeni Vq(1). Możemy więc przyjąć, że
Przykład 78. Niech
(8ei + 8e5, e2 + 7e3 - «5, e4, «i, «2 - e3) i wtedy zachodzi równość 3 ■
MB(ę0 =
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
"
Znaleźć postać Jordana B macierzy A oraz macierz odwracalną C € M(3, Q taką że B = C~l AC. . ’ ’
Ad c). Mamy tu FP(A) = —(A - 7)5 i wobec tego Sp(ę>) = {7}. Wynika stąd, F - 7 idW = — (z°b- zad- 324) oraz Sp(ę? — 7id) = {0}. Metodą przedstawioną ZB imktach (a) i (b) konstruujemy teraz bazę Jordana endomorfizmu ę - 7 id. w pu PKorzystając z równości ,ę _ 7 id) ([*1>* 2, *3*4, *5])
v= [0 , X \ — X 2 — X 3 , X 2 + * 3 , * 1 + * 4 + X 5 , - X l -
n z y s k u je m y
* 4 - * 5],
związek V7(1) = lin(e2 —e3, e4 — es). Z kolei równość (<9 - 7 id)2[*i, x2, x 3x4, x 5] = [0 , —xi, x u 0 , 0]
Rozwiązanie. Potraktujemy macierz A jako macierz pewnego endomorfizmu
powadzi do związku F7(2) = lin(e2, e3, e4, e5). I wreszcie z zależności
"0 1 0 " Odpowiedź Na przykład B =
(ę»-7 id)3[*i, x2, *3*4, jc5] = [0 , 0 , 0 , 0 , 0 ] nioskujemy, że V7(3) = R3. Kolejne etapy wyznaczania wektorów bazy Jordana endo^orfizmu
t/d )
Etap I: ex Etap U: e2 + e4 — es e4 Etap DL e3 - e 2 e4 - e5
: lin(e2, e3, e4, e5) : lin(e2 —e3,e4 — es)
przyjmując że B = (e3 - e2, e2 + e4 - e5, ei, e4 - e5, e4), otrzymujemy równość 0 0 0 0 0
M b (
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
M b (
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
■
"7 1 0 0 0 7 1 0 0 0 7 0 + 77 = 0 0 0 7
0 0 0 1
0 0 0 0 7
baza Jordana B endomorfizmu (p — 7 id jest też bazą Jordana endomorfizmu
Z atem
na M b ( v )-
['
0 0 0 0 0 0
'
oraz C =
1 0 0 1 1 0 1 0 1
"
Zadania
341. Znaleźć bazę Jordana B i wyznaczyć macierz MB{(p) endomorfizmu ę przestrzeni wektorowej M5, którego wartość ę([x\, x 2, x 3, x4, x5]) jest równa: a) c) e) g) i) j)
0 " 0 0 1 0
Stąd
' 0 1 0 0 0
€ M(3, € ).
A:
b) [jc3, 0 , 0 , x 2, xi]; d) [ 0 , 0 , x i + x 2, 0 , x i + x 2 - x 4]; [x2 - r 3, r 3, 0 , 0 , x 4]; f) [jc2 + l x 3, x3, 0,0, 4 jc4]; [x2 + x4, x 3, 0 , x 5, x 3]; h) [x2, x 3 + x4, 0 , 0 , x3 + *4]; [x2 — 2x3 + x 4 — 2 x 5 , x 3 —x 5 , 0 , x 5 , 0 ]; [4ri + x 2 — 4x5, 0, xi - r 5, 0 ,4xx + x2 — 4jc5]; [*4,* 3, r 5, 0 ,;ti]; [ Q , x5, Q , x 2 ,x iY ,
k) f e - *3, * 2 - * 3 + * 5 , *2-*3-*5.0]; 1)
[0 , * 5 ,* 3 + * 4 - * 5 .* 1 - * 3 — * 4 + * 5 . 0 ];
1)
[0 ,
r i —4 ^ 5 , 0 , 2 n —5 r 2 — 82:5 , 0 ] ;
m ) [ x 2 , 2 x 2 4r x 3 — 2 x 4 + x s , 0 , 2 x 2 + x 3 — 2 x 4 + * 5 , 0 ];
n)
[6x1 + 9*2 — 3*3 + 3 * 4 +
15*5, —4 x x — 6 * 2 + 2*3 — 2*4 — 10*5, 0, 0, 0].
342. Znaleźć bazę Jordana B i wyznaczyć macierz M b (
5 Po-Lć kanoniczna --------------------------------------------343 . Znaleźć postać Jordana B danej macierzy A e M (3,! oraz taką macierz C ę GL(3, E), by zachodziła równość B = C -1 AC: " 0 1 -1 " a) _
0 0 0 0
1 ; 0 _
"4 1 1" 0 4 1 d) 0 0 4
0 ' 0 ; 0 _
c)
2 ' 1 0 ; 0 1
f)
" 2 -1 4 -2 _ 8 -4
b)
1 "-i 3 i - 2 - -5 1 _ - i 3
" 1 -1 0 0
e)
4 2 2f 7 1 1 7
-1 -1
.
344. Znaleźć postać Jordana B danej macierzy A e M(4, E) oraz taką macierz C g GL(4, E), by zachodziła równość B = C _1 AC: .■
a)
2 1" 7 -1 5 - 5 10 3 4 ; 0 0 0 5
20 8 0
b)
5 1 2 1 1 3 0 1 -1 1 4 -1 0 0 0 4
‘
Przykład 79. Znaleźć bazę Jordana B oraz macierz M b (sp) endomorfizmu
345. Niech a e i i i n e M \ {1}. Znaleźć postać Jordana macierzy a
«12
(213
0
a
«23
0 0
0 0
0 0
• • Ul,n -1 • • U2,n-1
. . .
a 0
Ul Tl
a2n U«—l,n a
gdzie Ol2«23 • • • • • an-i,n t6 0 . 346. Niech a ,* e K , n e N \ {1} i niech A będzie klatką Jordana stopnia n odpowia dającą wartości własnej a. Znaleźć postać Jordana B macierzy x A oraz macierz S e GL(n, K) spełniającą warunek B = S~l ■x A - S.
Z tego diagramu odczytujemy, że jedną z takich baz jest układ («5, e2, e2, e4). Ad X2 = 4. Wykorzystując równość (cp —4id)[*i, * 2, * 3, *4. *5] = [0, —3*2, —3*3, —3*4 , —*1 + *3 —3*5], otrzymujemy F4(1) = lin(3ei —es). Ponieważ wymiar podprzestrzeni F4(1) jest już równy krotności pierwiastka X2 = 4 wielomianu FV(X), więc w następnym kroku znajdujemy bazę Jordana endomorfizmu
(
5.3. Znajdowanie bazy Jordana endomorfizmu - przypadek ogólny
Niech
r) jedyną wartością własną endomorfizmu cp obciętego
Etap I: e3 Etap U:es e2 e4
1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0
4
Przykład 80. Znaleźć bazę Jordana B oraz macierz Mb (sp) endomorfizmu
* 4 , * 5 . * 6] =
[-* 1
-
4 * 2 , *1
+
3* 2,
5*3 +
* 6, X 4 + * 5 ,
5*5, — * 5 + 5*6].
Rozwiązanie. Obliczamy najpierw wielomian charakterystyczny endomorfizmu ę, otrzymując FV(X) = (A — 1)3(A —5)3. Ponieważ liczba 1 jest potrójnym pierwiastkiem wielomianu Fę (A), więc wyznaczamy podprzestrzenie Fj{1), . . . , F ® , gdzie k jest naj mniejszą liczbą naturalną taką, że dim F® = 3. Korzystając z równości (ęo —id ) ( [ * i ,* 2 , * 3 ,* 4 ,* 5 ,* 6 ] ) = [—2 * 1 - 4 * 2 , * 1 + 2 * 2 , 4 * 3 + * 6 , * 5 , 4 * 5 , - * 5 + 4 * 6],
uzyskujemy związek v }l) = lin(2ei - e2, e4). Następnie obliczamy
a) <9([*i,. . . , *„]) = [a*i, axx, . . . , axx]; b)<9([*i,.. .,*„]) = (*i + .. . + * „ ) [ 1 , 1 , . . . , 1];
0p - id)2([*i, x 2, x3, x4, x5, *6])
= [0,0,16*3 —*5 + 8* 6, 4* 5, 16*5, —8*5 + 16*6]. ,(2) lin(ex, e2, e4). Konstrukcję bazy Jordana endomorfizmu ę - id Wynika stąd, że Vx obciętego do podprzestrzeni v /2) przedstawia diagram: (2) lin(ei, e2, e4) Etap I: ex 1 AD lin(2 ei —e2, e4) Etap U: -2ex + e2 e4 Jedną z baz Jordana endomorfizmu ę — id obciętego do podprzestrzeni f / 2) jest więc układ (—2ex + e2, ex, e4). Następnie bierzemy pod uwagę pierwiastek potrójny A2 = 5. Najpierw otrzymujemy AD lin(e3), F5 = lin(e3, e6) i V5 — lin(e3, e4 + 4 e5, e6). Mamy tu dim F5 1 = 3, Następujący diagram przedstawia konstrukcje bazy Jordana endomorfizmu ę —5 id ob ciętego do podprzestrzeni F5(3): F5{3) = lin(e3, e4 + 4e5, e6) 1/( 2) lin(e3, e6) (1) : lin(e3)
c) <9([*i,. . . , *„]) = [axx + axn, 0 , . . . , 0, axx + «*„]. 349. Znaleźć postać Jordana B danej macierzy A € M (3,1 GL(3, R), by zachodziła równość B = C _1 AC:
“1 2 1' a)
d)
Etap I: e4 + 4e5 Etap U: —4e6 Etap DI: —4e3
1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 1 0 0 5 1 0 0 5 _
1 -4 -2 -1 4 -8
9
b)
1' 1 ; 1
e)
" 6 1 --6 " 8 2 --8 ; 4 1 -_4 _ " 3 -3
a)
c)
II
0 0
1 0
5 -5 5 -5
0 0‘ 0 0 1 0 -7 8
Zadania
347. Znaleźć bazę Jordana B i wyznaczyć macierz MB(
wektorowej R6, którego wartość
" 2 0 -4 " 4 1 -7 2 0 -4
f)
' 1 1 -1 " 8 5 -6 8 4 -5
4
7 1 0 -1 - 5 1 —4 2 0 1 7 0 4 0 -4 3
"
b)
1
;
-l
1 0 0 0 -1 0 0 -4 4 1 1 8 -4 0 1
"
0 0 1 1 -2 1 1 -1 4 4 6 -1
d)
4 4 -2
5
5.4. Pewne zastosowania postaci kanonicznej Jordana -9
Przykład 81. Niech n e N i A
Z
1" 1 ;
1 -1 2 -6
c)
350. Znaleźć postać Jordana B danej macierzy A e M(4, R) oraz taką macierz C e GL(4, R), by zachodziła równość B = C -1 AC:
Zatem bazę Jordana endomorfizmu ę — 5 id obciętego do podprzestrzeni Fg tworzą np. wektory —4e3, —4e6 i e4 + 4e5. Łącząc otrzymane bazy Jordana rozważanych obcięć endomorfizmów ę — id oraz <9 —5 id, otrzymujemy bazę Jordana B endomorfizmu ę. Możemy więc przyjąć, że S = (—2ex + e2, ex, e4, —4e3, —4es, e4 + 4 e5). Wówczas 1 0 0 0 0 0
0 1 0 _° 1 1
oraz taką macierz C e
1
. Obliczyć A n.
Rozwiązanie. Znajdziemy najpierw macierz Jordana B podobną do macierzy A oraz macierz C e GL(2, € ), taką że B = C~l AC . Mamy F a (X)
7-X 1
-9 1 -A
(A - 7 )(A - 1) + 9 = A2 - 8A + 16 = (A - 4)2.
Stąd Sp(A) = {4}. Wyznaczymy teraz podprzestrzeń F4(1): ' 3 - 9 ‘ ' *i ' 1 - 3 _ . *2 . +=£■*1 = 3*2
■0 ' _
0
_
3 * i — 9*2 =
0
* i — 3* 2 =
0
[* 1,* 2] e lin ([3 ,1]).
Zatem V4(1) = lin([3,1]). W konsekwencji V4(2) = Jordana B i wskazujemy macierze B i C :
S n : iś:!!:
b =«3. n , d . o d ,
Ponieważ zachodzi równość '4 ” n4n_1 Bn 0 4"
2. Konstruujemy odpowiednią ba/^ '4 1 ‘ m0 4 _ 5
b
' 3 1‘ /-i C -- _ 1 0 _
5.5. Ciągi i szeregi macierzy
(zob. przykład 76 na s. 145),
O macierzy A = [ay ] e M (r x s, C) mówimy, że jest granicą ciągu macierzy (An)n6N> gdzie An - r [ajj - (n)i] e M (r x s, C) dla każdego n e N, jeśli spełniony jest warunek
więc zgodnie ze wzorem A" = CBnC~1 otrzymujemy 3 1
4" n4”~x 0 4"
1 0
ajf = , /\ / \ nlim — •* ¡S{l,...,r] j 6{1 i) Piszemy wtedy lim A n = A. (GCM)
'4 n ' ' 0 1' .0 4 _ _ 1 - 3 _ 12 3 n + 4 4 n
A1-1 =4
n-+ oo
3n + 4 —9n n 4 —3n
Atl—l
i)
1)
n-+ oo
n -+ oo
7 -4 6 -3
b)
-2 1 -1 0 1 2
3 0
' 14 - 6 ' 30 - 1 3 _ ;
c)
‘ -9 -4
25 ' 11 _ ;
d)
f)
6 -2 0 1 -3
g)
15 -
h)
j)
7 -1 4 3
k)
7 1 1 7
1)
" 5 2 -6" "0 -2 1' -5 -2 6 ; m) 1 -2 1 ; 4 1 -6 0 1 -1
'- 1 8 ' 0 3_
6
a)[ 1 10 ■ '8i 1 ' e) _4 5 _ ;
;
b)
' -8 -6
12 '
9 ;
'- 3 4 ' f) _ - 4 5 ;
c)
g)
-8
_ -1 8
1 4
n—>00
1 1 2V 2 - 1 2 0
6 2 -1
6 '
13
' 7 -1 ' .
4
1 1 .
;
d)
' 13 24 ' 6
_
-1
(An)neN jest takim ciągiem macierzy ze zbioru M (r x s, C), że lirn^ A„ = A, to dla każ dej liczby zepolonej a ciąg macierzy (a A„)ngMjest zbieżny i przy tym zachodzi równość lim (aA „) = aA.
n-> oo
Niech YlkLoakZk będzie szeregiem potęgowym o wyrazach zespolonych zbieżnym w kole D : |z| < R do funkcji /( z ) i niech A 6 M(Z, € ), gdzie Z 6 N \ {1}. Jeśli Sp(A) c D, to szereg YlkLo akAk jest zbieżny, a jego sumę oznaczamy przez /(A ). W szczególności, jeśli 1 0 o o X 1 o o G M(Z, € ), A
0 13
2 4'
h)
n~+oo
n -+ oo
4 1 -1 " -3 0 1
n)
n -+ oo
oraz (an)nGNjest ciągiem liczb zespolonych zbieżnym do a, to ciąg macierzy (a„ A„)nen jest zbieżny i przy tym zachodzi równość lim (anA n) = aA. W szczególności, jeśli
352. Obliczyć pierwiastek kwadratowy z macierzy: , f 15
n —y o o
W szczególności, jeśli (A„)„sn jest takim ciągiem macierzy ze zbioru M (r x s, € ), że lim. A„ = A, to dla dowolnych macierzy C 6 M (p x r, € ) i D e M(s x t, C) zachodzą TI-+O0 równości lim (CA„) = CA i lim (AnD ) = AD. 71-+00 71-+00 Jeśli (A„)nepj jest takim ciągiem macierzy ze zbioru M (r x s, C), że lim A„ = A
351. Niech n e N. Obliczyć n-tą potęgę danej macierzy:
e)
Jeśli (A„)nSN i (Bn)n€N są takimi ciągami macierzy ze zbioru M (r x s , € ), że lim A n 71—>00 = A oraz lim Bn = B, to lim (A„ + B„) = A + B. Jeśli (A„)n6N i (-BnjneN są takimi ciągami macierzy ze zbiorów odpowiednio M(r x s, C) i M (j x t, C), że lim A„ = A oraz lim B„ = B, to lim (A„B„) = AB.
Zadania
a)
353. Wykazać, że macierz kwadratowa A jest nilpotentna (tzn. A k = 0 przy pewnym k 6 N) wtedy i tylko wtedy, gdy Sp(A) = {0}. . 354. Wykazać, że niezerowa macierz nilpotentna nie jest podobna do żadnej macierzy diagonalnej. Wskazówka. Zobacz zadanie 353.
0
0
.
gdzie |A| < R, to zachodzi równość /W
6 /(A)
f ( X ) ¿ /" (A )
0
/(k )
/ '( A )
o V a- 2)(k) c W• (' - 3)(A) (i—3)!
0
0
0
o
(5.4) /W
Niech macierze A , B e M (/, C) i C e GL(/, C) spełniają warunek 5 = C~%A C T - « ŚMszereg £ „ =0 0 ,5 “ jest zbieżny, to zbieżny jest szereg £ “ 0 ««A« i przy tym zachodzi-' rownosc *{■ 9°^ OO' --.f-rp’ (5.5) 2^n„4n = C-
Korzystając teraz ze wzoru (5.5), otrzymujemy równości exp A = exp(CBC-1) = C • exp I? • C_1 2 1 ' ' e 5 e5 0 -1 -1 0 0 e5 1 2 2 1 -1 O
n= 0
n=0
a„A” są zbieżne i
Jeśli szeregi n=0
= e
n=0
Ai
0 1
' 2 3' _ —! -1
'
0 -1 '
.
1
2
-1 ' 2 _ 5r
-
.
3
41
L-i
A2
A=
F- Zadania Ar
0
[¡355. Obliczyć granicę:
00
to szereg E , anAn jest zbieżny i przy tym zachodzi równość «=0
a) lim TI-+OO
/(Ai) / ( A 2)
/(A )
(5.6)
Obliczyć exp A.
Rozwiązanie. Jak zwykle, znajdziemy najpierw macierz Jordana B podobną do ma cierzy A oraz macierz C e GL(2, € ) taką, że B = C~l AC. Obliczenia mogą przebiegać tu następująco: r 7 —A 4 -1 3 —A
n sin — n J
/ ( A r) J 7 4 -ł 3
Przykład 82. Niech n e N i A
1H)"
%/n
°
O
Fa W =
1 1
O 1
(A —7)(A —3) + 4 = A — 10A + 25 = (A —5) .
4=0
b) lim
n—►00
£4=0 (_1)
4* Ir
4= 0
(m:/6)2* (2k)!
1
£ ( - d4+1 4=1
356. Udowodnić równość (5.4) ze s. 157. 357. Niech szereg potęgowy E 4L0 akZk 0 wyrazach zespolonych będzie w kole D : \z\ < R zbieżny do funkcji /(z ) . Niech ponadto Ai A2
Stąd Sp(A) = {5}. Wyznaczymy teraz podprzestrzeń V5(1): _
4" 2 - 1 —2 _
. (n/6)2k+l (2k + 1)!
£ (-i>
"
Xi
.
*2 .
"
' 0 ‘ _
0
_
4=4
2*! + 4x 2 = O —xi —2x 2 = O
4=4 xi = —2x2 4 = 4 [xi,x2] 6 lin ([2 ,-1 ]). Zatem Vs(1) = Un([2, —1]). W konsekwencji Vs(2) = C2. Konstruujemy odpowiednią bazę Jordana B i wskazujemy macierze B i C: 2 1' ' 5 1‘ c — S n: S = (t2 .-l],[1 .0 ]).« 0 5 _ 1 0 — _ -1 0 Zgodnie ze wzorem (5.4) zachodzi równość exP 5 =
T e5 e5 0
g5
O
O
Ar
gdzie A i , . . . , Ar są klatkami Jordana odpowiadającymi wartościom własnym Ai, . . . , Ar odpowiednio. Wykazać, że jeśli {Ai, . . . , Ar} c D, to szereg E 4I 0 akAk jest zbieżny. 358. Wykazać że jeśli szereg potęgowy E t i o akZk o wyrazach zespolonych jest w kole D : \z\ < R zbieżny do funkcji /( z ) i macierz A € M(Z, C) spełnia warunek Sp(A) c D, to szereg E 4I 0 akAk jest zbieżny. Wskazówka. Zobacz zadanie 357. 359. Obliczyć exp A, jeśli macierz A jest następująca:
1
a)
' 2 1' 6 3 ;
b)
4 2' _- i ! ;
c)
' 7 - 1' ; 4 11 _
d)
'- 8 6' -1 2 9 _
e) i)
f) 13 -2 0 6 -9
1■ 1 ;
0 0 -1
0
g)
■ -4 2 " j) _ - ! 0 5 ;
;
” -1 ł)
■ -1 1 4 ' ; . ~ 25 9
' 20 - 1 2 ' ; . 30 —!8 _
■ 3 1‘ k) - 2 ó ;
" 0 -1 0 " 2 2 1 ; 1 1 1
m)
0 -1
i) " -4 -5 -9
~ 25
20
1 4 " 0 5
X *
0
exA = eax
— 21
1
0
■• •
d)
. ..
(5.7)>
1
X i
" A!
0
^
0
e)
;
f)
■7 r
.°
7 .
' 3 -4 ' _ ! -! ;
”5 1 0 ' i)
0 5 1 0 0 5
;
;
j)
c)
'6 1 ' 16
(5-9)
"8 1 0 " 0 8 0 ; 0 0 6
;
d)
1 2 '
g) .
-1 2
-1
TT
1
0
TT
0
0
0
TT
2
e)
-1 8' 4^ — -3 .
h) r —4 —i
-2
■
2
;
k)
f)f
4 f+ 2
-1 0
4 8" -2 -4 ; 0
4
-3
2
-1
-4 -5
i) ' i)
0
0
1
1 — TT
0
0
— TT
0
0
TT
n—>oo
365. Niech A e GL(m, C) i A„ 6 GL(m, C) dla każdego n e N, Wykazać, że jeśli lim A„ = A, to lim A“ 1 = A-1.
5.6. Macierze funkcyjne
exAr
0
Ar
~2 1
;
.
h)
'3 1 '
' 1 - 3' 6
"4 0 0 k)
0 0 1 0 0 0
Każdą macierz funkcyjną A = A(x) można zapisać w postaci
7
"
amipc) a2n(x)
G-m1(x) nm2(x) ... . £Łmn(x)
.3 1.
.
DEFINICJA 3. Macierzą funkcyjną nazywamy macierz, której elementy są funkcja mi określonymi na pewnym przedziale.
<3u(x) an (x) a2l(x) a22(x)
362. Dla danej macierzy A i dowolnej liczby zespolonej x obliczyć exA:
b)
-2 4
c)
+ 3
(5.8)
exA = S e ^ S - 1.
4 0 0 5 ;
1
b)
0
gXA =
Wykazać też, że jeśli A jest dowolną macierzą zespoloną, B jest macierzą Jordana podobną do A i macierz S e GL(n, C) spełnia warunek B = S~l AS, to zachodzi równość
a)
1 1
364. Niech A € M(m, C) oraz A„ e M(m, € ) dla każdego n e N. Wykazać, że jeśli lim A„ = A, to lim det A„ = det A. n—>oo
Sprawdzić, że jeśli A \ , . . . , A r są dowolnymi zespolonymi macierzami kwadrato wymi (w szczególności klatkami Jordana), to prawdziwa jest implikacja A=
'- 1 2 ' g) * _ - l 2 _ j
_
0
10
-4 j + 6
j)
xn
■• • (n—2)1
25
10
—4 n
1 9
(n -l> !
x
0
TT +
a)
361. Korzystając z zadania 346, wykazać, że jeśli a, x e C, n e N i macierz A ę M(n, C) jest klatką Jordana odpowiadającą wartości własnej a, to zachodzi rów ność 11
-5 4 ' 1, 1
1 1
363. Obliczyć sin A oraz cos A, jeśli macierz A jest następująca:
.
ni —2 4 —1 ni + 2
360. Obliczyć exp A i exp(exp A), gdzie A
'4 m)
' -10 . 9 ' .
n)
' 1 2 0 "0 -3 -1 ł). 4 4 -1
"0 4 0 ' 0 4 0 i 4 -4 4
' 8 -9 ' h) _ 4 —4 _
.
DEFINICJA 4. Niech A = [aiy(x)] będzie macierzą funkcyjną i niech dla dowol nych i e {1 ,.. ., m}, j e {1 ,.. ., n} funkcje ay(x) będą różniczkowalne. Pochodną macierzy A nazywamy macierz [a'i} (jc)] i oznaczamy ją przez A'. O macierzy A mówi my wtedy, że jest macierzą różniczkowalną.
Jeśli macierze różniczkowalne A i B, skalar c e C, macierz stała C i funkcja różniczkowalna a = a(x) są takie, że prawa strona poniższej równości ma sens, to również lewa strona tej równości ma sens i ponadto równość ta jest prawdziwa:
K"£Ł7KzfistSńówarife?ffi&'dl&i^|dóiro2wlą^%dńTalpei«fiyonfuWaclóW’ JfglEtSmmmmmmBmbmmsiaśmilmaikB&śBmwsBii (cA)' = CAB)' = (iCA)' = (AC)' = (a A)1= (A"1)' =
cA', A'B + AB', CA', A'C, a'A + aA’, —A_ 1A'A_1.
(5.11; (5.12)
gdzie a ,7 e C dla i, j e (1, . . . , « } oraz / i , . . . , / « są danymi funkcjami. Jeśli / j = O, . . . , / / ! = 0 , to o uMadzie równań (5.19) mówimy, że jest on jednorodny. Jednorodnym układem równań, odpowiadającym układowi (5.19), nazywamy układ równań yi yi
(5.13; (5.U; (5.15)(5.16):
Wprowadźmy oznaczenia:
5. Całkę nieoznaczoną f A(x\cW ; funkcyjnej A(x) określamy wzorami: J oznaczoną £ A (x) ^
« 1 1 « 12
yi
Y=
/
f [«;; M l &c Ja
an(x) dx
(5 17)
U
[f«
r(x) d*
(5.18)
(5.20)
y'n = amyi + an2y2 + . . . + annyn.
D EFIN ICJA
[aij Cx)]dx
'■a i i y i + o -n y i + ■• ■+ a \ ny n , '■« 2 1 3h + d 22y 2 + . ■• + a 2 n Jn ,
•
■« l n
«21 «22 • • «2n
A = _Yn-_
«nl
an2 -
F =
* « nn
Korzystając z tych oznaczeń, układ równań (5.19) możemy zapisać w postaci
Y' = A Y + F,
(5.21)
Y' = AY.
(5.22)
a układ równań (5.20) w postaci
j p Zadania 366. Zróżniczkować daną macierz funkcyjną: " ln* ** 1 r x- 5J
/ 368. Obliczyó całkę oznaczoną:
/
Niech B będzie macierzą Jordana podobną do macierzy A i niech macierz S e GL(n, € ) spełnia warunek B = S~lAS. Dokonując w równaniu (5.21) podstawienia Y := SexBC, gdzie C = C(x) jest nowym niewiadomym kolumnowym wektorem funkcyjnym, otrzy mujemy nową postać rozwiązania ogólnego równania (5.21):
s in i cos arcsin* arccos* i ssiiin i xex i ccco s i i l n i
Y = SexB J e~xBS~l , F (*)dbc. d i.
W szczególności rozwiązanie ogólne Y równania (5.22) jest następujące: Y = SexBC,
r 1 r e* 5i 4 b) Jo L S+T sin(jw)
tg i d i. di; sin5 i a rc tg i j a) J -1 u 369. Wykazać równości (5.10)-(5.16). 370. Wykazać, że dla każdej macierzy A e M(n, Q zachodzi równość (exA)' = AexA.
jr 5j . zastosowanie macierzy do rozwiązywania pewnych układów 1 równań różniczkowych 1 o
DEFINICJA 6. Układem n równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu yi, ■ ■ ■ , yn nazywamy układ równań postaci
n ie w ia d o m y ch
yi = auyi + «i 2y2 + y'2 = a2iyi + o-iiy%+
•• • + a inyn + f i , ■. • + a2nyn + f i ,
y'n = dniyi + Gniyi + . . . + annyn + /„,
(5.23)
(5.19)
(5.24)
gdzie C jest dowolnym stałym wektorem kolumnowym. Przykład 83. Rozwiązać układ równań 3^ ?2"
- y i - 3y 2, 3yi - 7y2-
Rozwiązanie. Mamy tu A= Jak zwykle rozpoczynamy od wyznaczenia wielomianu charakterystycznego ma cierzy A: Fa (X)
—1 —X -3 3 - 7 -A (A + 1)(A + 7) + 9 = A2 + 8A+ 16 = (A + 4)2.
164
5 i nc k_non u g jo ior* H
Zatem Sp(A) = {—4}. Prawdziwe są równoważności:
jśfa mocy wzoru (5.24) uzyskujemy więc związki
' 0 ‘
3xj ■3x2 = 0, ' 3 - 3 ' " Xj 3xi - 3x 2 = 0. _ 3 - 3 _ _ x2 . . 0 Wnioskujemy stąd, że V.•d) ■4 =lin([l, 1]). W konsekwencji F ® = R2. Etapy konstrukcji bazy Jordana: I : [1,0], H : [3,3].
.
"l _
3 x - } -1 3*
3
X
0 1 ’
Cl ’
.
C2
.
c2
F2
~ 4x
Fi = (ci + c2(3x + l))e~4x, y2 = (ct + 3c2x)e~4x.
| yx = (A sin 8x + fi cos 8x)e6x, | y2 = (fi sin 8x —A cos 8x)e6*.
’
*i
’
.
*2
.
Rozwiązanie. Mamy tu
Ad X2 = 6 —8 ż.
' 0 ■ 0
_
' Si - 8 ' 8 8z
.
Xi '
■0 '
*2
_
.
0
Można wziąć np. i>i = [ż, 1], Można wziąć np. v2 = [1, i]. Przyjmujemy więc, że B = ([z, 1], [1, z']) i wówczas zachodzą równości B = M b (
i Fi = 7yi - 6 y2 + 3e4* + 7, | y2 = 4yi — 3y2 + e4x + 1.
= (k - 6 Y + 64 = (k - 6 - 8i)(k - 6 + Si).
Stąd Sp(A) = [6 + 8z, 6 —8z'}. Ad ż-i = 6 -1- 8z.
' 6 + 8z 0 0 6 — Si
(A, fi € R)
Przykład 85. Rozwiązać układ równań
Obliczenia mogą więc przebiegać następująco:
-8 ' 8 —8ż
(ci,c 2 e €).
Rozwiązanie to jest rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy bj = —a2 i b2 = —a\. Dlatego też dokonujemy następujących podstawień: ax := —A/2, a2 := B/2, bj := —B/2, b2 := A /2, przy czym A i fi są dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Otrzymujemy wtedy następujące ogólne rozwiązanie rzeczywiste:
A =
' -Si
c\ie8lx + c2e 8,x c\e8ix + C2ie~8,x
yi = [(—aj — b\i — a2i + b2) sin 8x + (ajz' — bj+ a2 + b2i) cos 8x]e6x, J 2 = [(aii — b i + a 2 + b2i) sin 8x + (ai + b\i + a2i —b2) cos 8x]e6*.
|
Rozwiązanie. Mamy tu
6 —k
_ = e6x
. C2 .
{ {
i y\ = 6 y i - 8y2, I y'2 = 8yi + 6y2.
-8
.
yj = [(ai + b \i) i(cos 8x + z sin 8x) + (a2 + b2z')(cos 8x —i sin 8x)]e6*, y2 = (aj + bji)(cos Sx + i sin 8x) + (a2 + b2i ) i (cos 8x —i sin 8x)e6x,
Przykład 84. Znaleźć zespolone i rzeczywiste rozwiązania układu równań
6 ■k
Cz
3 c i + 3 c2 x
.
Ponieważ c\ i C2 są dowolnymi liczbami, więc w szczególności możemy dokonać pod stawienia 3ci := ci. Otrzymujemy w ten sposób końcowe rozwiązanie
FA(.k) =
.
Wyodrębnimy teraz wszystkie rozwiązania rzeczywiste. W tym celu podstawiamy cj := aj + bji, c2 := a2 + b2i, gdzie a\, a2, b\, b2 e R. Korzystając ze wzorów Eulera, otrzy mujemy równości:
.
3 c i + c 2 ( 3 x + 1) — — P e
'
(ciie8,x + c2c 8lx)e6x (cie8ix + c2ze 8,x)e6x,
yi
’ Cl " _
ł
3
4x
„~4x •6
H
' 3 1' _3 0
Ci
Dany układ równań ma zatem następujące ogólne rozwiązanie zespolone:
Zgodnie ze wzorem (5.24) otrzymujemy równości F
’
’ Cl ‘
00 1
1 x 0 1
H
exB = e~4x
e s,x
00
-4 1 0 -4
fi := M b (
[2 ]
¿ e (6 -8 i)x
6x f ie8ix
.... 1
II
3 1 3 0
U
Przyjmujemy więc, że B = ([3, 3], [1,0]). Mamy wtedy
e (6+8i)x
g
e (6 -S i)x
0
e (6 -8 i)x
" ¿g (6 + 8 /)i
-ti
~ e (6+8i);c
i 1 1 i
Y = SexBC
,
"1 1' c_ O -1 i
^
I
'7 - 6 ' .
4 ~3
F= .
' 3e4x + 7 " e4x + 1
Obliczenia mogą więc przebiegać następująco: FA(k) = Stąd Sp(A) = {1,3}.
1 —k 4
-6 -3 - k
= k 2 - Ak + 3 = (k - 1)(A - 3).
.ułpfcjji,
Ad X} = 1. ' Xi ' ’ 6 —6 4 —4 _ . X2 .
Ad A-2 = 3. '4 - 6 1 .4 — 6 J
' 0 ‘ 0_
' _x2 _ Xi
y'i = 7yi — 9y2 — 7 sin4x — 3 cos4x, y2 = 3yi- — 5y2 + 9 sin4x + 5 cos4x;
' 0 ' 0 _
y'i = 4yi — 3y2 + 3y3,
Można wziąć np. V2 = £3 2}
Możbs wziąć np. vj — [1, 1].
y 2 = 8yi — l y 2 + 8y 3,
Przyjmujemy więc, że B = ([1,1], [3, 2]), i wówczas zachodzą równości: ' 1 0" i 0 3_
B = MsifP)
■1 3 ' s — 1 2_
S"1=
F3 = 4yi —4y2 + 5y3;
-2
y[ = 9yi - 5y2 - 9y3, y2 = Fi + 5y2 — y3, F3 = 4yj —5y2 —4y3;
1
Zgodnie ze wzorem (5.23) otrzymujemy równości
F=
o \
m
ex 3eSx ex 2e3x ex 3e3x ex 2eZx ex 3e3x e? 2e3x
°
A
i
]/[ ]/[
e~x
0
-2
,-3 x
0 e“3*
-11 - 3 e 4x 6 + 2e4x
-lle~x — 3e3x 6e~3x + 2ex
3
1 -1
7 + 3e4x l + e 4x
dx
dx
lle~x — e3x + ci —2e~3x + 2ex + C2
5 + Se4x + c\ex + 3cie3x 7 + 3e4x + c\ex + 2c2e3x Otrzymaliśmy więc następujące rozwiązanie: yj = 5 + 5e4x + cje* + 3c2e3x, y2 =r 7 + 3e4x + a e x + 2c2e3x.
Zadania 371. Znaleźć rzeczywiste rozwiązania układu równań: [y| = 8 j i - 3 y 2>
a) [ yi = 9fi - 4 y 2;
d)
f y[ = 9yi -
y2,
[y2= yi + 7yr,
b) e)
y[ — 8fi - 3 y 2 ~28x,
g) y ' = 4 y j — 5y2 + 6 e5x;
9yi - 5y2, -
= yi ~ j 2, = Fi + y2; h)
[Ft = 5 y 1 — y2 + 5sin3z, i) [ y ' = 9 y x — y 2 + 3cos3jc;
c)
f)
y'i = y i + 5y2, y 2 = y i + 5 y 2; - 3yi - y 2,
=8 yi - y2;
y ’\ = 7yi - 4y2 + x - 3, „ y2 = 4yi - 3y2 + 2 x + 4;
| y [ = 7yi + 4y2 - 30sin5x, I y' = —y x 4 - 3y2 — 10 sin5jc;
i y[ = 8 yt - 4y2 + 8e_2j:,
k) [y'2 = 7y1 ~ 3 y 2 ~7e~2x;
y 2;
1)
{
- „ - ~Fi + 4y 2 - 2ex, yi = —2yi + 3y2 + 8e3x;
dx
n)
Fi yiyi-
P)
Fi = 4yi + 4y 2 - 5y3 y.2 — Fi + 6y2 - 4y3 F3 = Fi + 3y2 — y3
Fi + 2y2 — 2y3 Fi + 6 y2 — 4y3 2 yi + 8 y2 — 6y3
O niezerowej ¿-macierzy A M = [zziy(¿)] e M(m x n, KTM) mówimy, że jest kmacierzą diagonalną normalną, jeśli istnieje liczba naturalna r e {1, . . . , min(m, «)}, przy której zzjj ( ¿ ) , . . ., arr (¿) są wielomianami unormowanymi spełniającymi warunek a u M f e M ] . . . |arr(kj oraz <3yM = 0 dla dowolnej pary (i, j ) <£ {(1 , 1) , . . . , (r, r)}. przyjmujemy ponadto umowę, że ¿-macierz 0 jest ¿-macierzą diagonalną normalną. Na przykład poniższe ¿-macierze są diagonalne normalne: i
0
0
0
¿
0
0
0
¿ 5
¿
1
+
,_
6.1. Postać diagonalna normalna A-macierzy
Macierzą wielomianową (lub też ¿.-macierzą) nazywamy macierz, której elementami są wielomiany pewnej zmiennej ¿ i o współczynnikach z ustalonego ciała K. Stopniem wielomianowym ¿-macierzy nazywamy najwyższy ze stopni wielomianów będących elementami tej ¿-macierzy. W szczególności stopień wielomianowy ¿-macierzy 0 jest równy —oo. Uwaga. Stopień wielomianowy iloczynu A{k)B(k) ¿-macierzy A M i B(k) może być mniejszy niż suma stopni wielomianowych ¿-macierzy A(k) i B(k). Jasne jest, że każdą ¿-macierz stopnia wielomianowego h, gdzie h e N, można przedstawić w postaci khA k + kh~lAh-1 + . . . + ¿Aj + A0, gdzie A0, Aj, ..., A;, są macierzami niezależnymi od ¿ oraz A* y 0 . Przekształceniami elementarnymi ¿-macierzy nazywa się przekształcenia następują cych typów: 1° Przestawienie dwóch dowolnych wierszy lub dwóch kolumn macierzy; 2° Pomnożenie dowolnego wiersza lub kolumny przez skalar różny od 0. 3° Dodanie do dowolnego wiersza innego wiersza pomnożonego przez dowolny wie lomian tp(k) lub dodanie do dowolnej kolumny innej kolumny pomnożonej przez dowol ny wielomian ę(k); Dwie ¿-macierze nazywamy równoważnymi, jeśli jedną z nich można otrzymać z drugiej w wyniku pewnego skończonego ciągu przekształceń elementarnych. Każde przekształcenie elementarne jest odwracalne. Co więcej, przekształcenie od wrotne do dowolnego przekształcenia elementarnego jest przekształceniem elementar nym. Z powyższego stwierdzenia wynika, że wyżej określona relacja równoważności ¿-macierzy istotnie jest relacją równoważności. L em at. Każda k-macierz A M = [
i
0
0
0
h -i
"
O
k
+
: w : <•
> -* u>
Macierze wielomianowe
0
0
0
0
0
0
0
0
0
■¿ }
0 " 0 ¿2 -t^ 0 0
Jasne jest, że każda ¿-macierz diagonalna normalna A M = [a,yM ] e M(m x n, £ [¿ 1) jest jednoznacznie określona przez swoje elementy akk (¿), gdzie k = 1, . . . ..., min(m, n). Dla takich k zamiast a ^ M pisze się zazwyczaj Ek(k). Każda ¿-macierz A M 6 M (m x n, K M ) jest równoważna z dokładnie jedną kmacierzą diagonalną normalną. O macierzy diagonalnej normalnej C{k) równoważnej z ¿-macierzą A M mówimy, że jest postacią diagonalną normalną ¿-macierzy A M , a wielomiany E \ ( k ) , E s(k), gdzie s = min(m, n), nazywamy wielomianami niezmienniczymi ¿-macierzy A M . Niech A M e M(w x n, KM ) - Dla każdego k e { 1 , . . . , min(m, n)} wielomianem Dk(k) ¿-macierzy A(¿) nazywamy największy wspólny dzielnik wszystkich minorów stopnia k k -macierzy A(k). Przyjmujemy ponadto, że Do(k) = ł. Uwaga. Przyjmujemy, że największy wspólny dzielnik takiego układu wielomianów, w którym przynajmniej jeden wielomian jest różny od 0 ; jest wielomianem unormowa nym. Ponadto przyjmujemy, że największy wspólny dzielnik układu samych wielomia nów zerowych jest równy 0 . Jeśli ¿-macierze A M , B(k) 6 M(m x n, K M ) są równoważne oraz k e {1,... ... , min(m, u)}, to wielomiany Dk(¿) tych ¿-macierzy są takie same. Jeśli A M € M(m x n, K M ) jest ¿-macierzą diagonalną normalną, to dla każdego k e {1, . . . , min(m, n)} zachodzi równość Dk(k) = E iik) ■... ■Ek(k)
(6.1)
oraz wynikająca z niej równość Dk{k) Ek(k) =
Dk-xQ,y 0,
jeśli Dk{ k ) ź 0 , jeśli Dk(k)
(6 .2)
0.
Dowolne ¿-macierze A M , B(k) e M(m x n, K M ) są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają takie same czynniki niezmiennicze. Przykład 86 . Za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzić do postaci dia gonalnej normalnej ¿-macierz: ' ¿ -4 0
0 ¿ -5
m
Rozwiązanie. Dokonując przekształceń elementarnych, kolejno otrzymujemy O
*- 5 . (3) ->.
Objaśnienia: (1) - dodajemy drugi wiersz do wiersza pierwszego, (2) - drugą kolumnę pomnożoną przez (—1) dodajemy do kolumny pierwszej, (3) - pierwszy wiersz pomnożony przez A —5 dodajemy do wiersza drugiego, (4) - pierwszą kolumnę pomnożoną przez —k + 5 dodajemy do kolumny drugiej. . Wynika stąd, że postacią diagonalną normalną danej A-macierzy jest A-macierz 0 (A-4KA-5) •Mamytu£ 1(A) = l , £ 2(A) = ( A - 4 ) ( A - 5 ) .
Zadania
(A2 —1)(A + 2) 0 0
w2
W2
-
Wi
1)
0
. _
W\ w- - W x
/
—A. + 1 _ -A. + 1
~t~X —2 2A.2 - 2
K2 h»- K2 + (A+ 2)Ki
-A -|- 1 A2 -|- A —2 0 A2 - A i
i
1
0
A2 - 1 A2 + A - 2 ■ Ki H». Kt - K2 _ 2A2 - A - 1 2A2 —2
o
0
A(A)
1
0 1
1 0 0 0
0
A(A - 2) o
0 0
Rozwiązanie. Wykonując wskazane operacje elementarne, otrzymujemy:
T— t + ^i
'(A - 1 K A -2 )
Znaleźć postać diagonalną normalną fi (A) A-macierzy A (A) oraz takie A-macierze od wracalne P(A) i <2(A), przy których zachodzi równość fi (A) = P (A) A (A) Q (A).
0
O
' 4A2 + 5 4A2 + 8A 4A2 + 4A 4A2 + 3 3A2 + 7A 3A2+ 3A g) 5A2 + 4 4A2 + 9A 4A2+ 4A 373. Znaleźć postać diagonalną normalną danej A-macierzy:
A2 - 1 A2 + A - 2 2A2 - A - 1 2A2 —2
A(A)
1
A2 - 4A + 3 A2 - 2A - 8 A2 - 25A2 + 2A 24
e)
A —2 2A A - l 2 -A 1 2A A3
0)
(6.3)
Dowolnego przekształcenia elementarnego wierszy A-macierzy A (A) można doko nać, mnożąc tę A-macierz z lewej strony przez A-macierz, którą otrzymuje się jako wynik tego przekształcenia wierszy macierzy jednostkowej. Podobnie, dowolnego przekształ cenia elementarnego kolumn A-macierzy A (A) można dokonać, mnożąc tę A-macierz z prawej strony przez A-macierz będącą wynikiem tego przekształcenia kolumn macierzy jednostkowej. A-macierze odpowiadające przekształceniom elementarnym są odwracalne.
>I ł— ‘
A2 - 2A A2 • -4 A2 —2A —8 A2 - 16
a)
fi(A) = P (A) A (A) <2(A).
Przykład 87. Niech
372. Za pomocą przekształceń elementarnych doprowadzić do postaci diagonalnej nor malnej A-macierz: A 1 A2 - - 1 A' - 1 A2 a) b) c) 0 A (A- l )3 (A- l )2 2A2 •A 2A3 + A2 <0
Każda A-macierz odwracalna jest równoważna z macierzą jednostkową. A-macierze A(A) i B(k) są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy przy pewnych ^-macierzach odwracalnych P(A) i Q (A) zachodzi równość
1
0
‘ A - 4 A —5 " (2) 1 A —5 " _ A + 5 A - 5_ 0 X~ 5 . ' 1 A —5 (4) ' 1 0 _ 0 (A —4)(A —•5> . 0 (A —4)(A —5)
>•
1
»1
A-macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest skalarem różnym od 0 . A-macierze odwracalne w M(n, 2śT[A]) tworzą grupę.
A(A — 1) _
fi(A).
Pierwsza operacja jest tożsama z pomnożeniem A-macierzy A(A) z prawej strony przez 0 0
.0 0
(A-- 1)(A2 —4) 0 0 (A + 1) (A2 —4)
A-macierz Q\(k)
Mówimy, że A-macierz kwadratowa P (A) 6 M(n, K [A]) jest odwracalna, jeśli przy pew nej A-macierzy Q(A) e M(n, jST[A]) zachodzi równość P(A) Q(k) = /.
, czyli przez tę A-macierz, którą otrzymuje się jako wy-
nik tejże operacji na macierzy jednostkowej I. Podobnie druga operacja elementarna jest tożsama z pomnożeniem przekształcanej A-macierzy z lewej strony przez A-macierz Plik) =
IÜ 6.2. A-macierze odwracalne
-1 1
* ^
-1 1
czyli przez A-macierz będącą wynikiem tej operacji na macierzy
I. Natomiast wykonanie operacji K2 i-> K2 + (A + 2) Ki jest równoznaczne z pomnor i a + 2 *". I wreszcie żeniem A-macierzy z prawej strony przez A-macierz Q2(k) 1 0 pomnożenie pierwszego wiersza A-macierzy przez —1 jest tożsame z pomnożeniem tej
P fi2 / ip c rre oa realne ¿.-macierzy z lewej strony przez ¿.-macierz P2(X) =
Zachodzi więc równość-,.
i
'- 1 0 ' _ -1 1 _
,
* ®
B(X) = P2(X) Px(X) A(X) Qi(X) Q2(X). Wobec tego B(X) = P(X)A(X)Q(X), gdzie '- 1 0 '
P(X) = P2(X)Px(X)
0 1
1 0 ' 1_
_- !
173
378. Wskazać tę ¿-macierz elementarną, pomnożenie przez którą z prawej strony dowolnej ¿-macierzy A M e M(3, R M ) jest równoznaczne z wykonaniem danej ■ operacji elementarnej na ¿-macierzy A M : / a) pomnożenie pierwszej kolumny przez 7; f b) przestawienie drugiej kolumny z trzecią; c) dodanie drugiej kolumny pomnożonej przez ¿ + 6 do kolumny pierwszej. 379. Wskazać ¿-macierz odwrotną do danej ¿-macierzy elementarnej: -
oraz QM = G iM & M
1 0 ' ' 1 ¿+ 2 ' _- ! 1 _ 0 1
Przy tym P(X) i Q(X) jako iloczyny ¿-macierzy odwracalnych są ¿-macierzami odwra calnymi.
1 Ü Zadania
a)
" ¿ - 1 X2 - 2 ¿ 3 - 3 " e) ¿ 4 - 1 ¿ 5 - 5 ¿ 6 —6 d) _ ¿ 7 - 1 ¿ 8 —8 ¿ 9 —9 375. Wskazać, z jaką operacją elementarną wykonaną na ¿-macierzy A(X) sM (3, R M ) ' równoznaczne jest pomnożenie z lewej strony ¿-macierzy A M przez daną ¿-macierz: 0 1 0 0 0 4
;
b)
0 1 0 1 0 0
c)
" 1 0 0 ' 0 0 1 0 1 0
' i ;
b)
0 0 " 0 1 0 0 ¿3 1
C)
c) A M =
0 0 1
2° K2 ^
d) A(¿)
¿2 — 2¿
K2 - XK i \
¿ -I- 3 0 0 ¿+ 4
1 0 0 ¿2
BiX)
1
B(X)
¿ 4 -1 X 2 X -|- 3 ¿ -|- 4
Io K\ i—> K\ —K 2, 4° W2 h* W2 - W u 381.
0
B(X) =
B(X)
K2 - (¿ + 2)K ú 0
0 ¿ 2 + 7¿ + 12
Io K x h». K x 4 - K2, 2 o W2 h+W2 - Wu 4 o K2 h + K 2 + (X2 + 6X + 8)K u 5o W2
0 0 ' 1 0 ¿2 + 9 0 1
377. Wskazać tę ¿-macierz elementarną, pomnożenie przez którą z lewej strony do wolnej ¿-macierzy A M e M(3, R M ) jest równoznaczne z wykonaniem danej operacji elementarnej na ¿-macierzy A (¿): a) pomnożenie pierwszego wiersza przez 9; b) dodanie trzeciego wiersza pomnożonego przez ¿ —5 do wiersza pierwszego; c) przestawienie pierwszego wiersza z drugim.
;
W2, 2o W2 h> W2 - 4¿Wi, 3o K2
Io Wi H* Wi
1 0
' 1 0 0 " 0 4 0
0 0
4¿ -|-1 5¿ 2 -|- 9¿ + 2 4¿ 5¿ 2 + 8¿
b) A(¿)
376. Wskazać, z jaką operacją elementarną wykonaną na ¿-macierzy A(X) eM (3, ¡^[¿]) równoznaczne jest pomnożenie z prawej strony ¿-macierzy A M przez daną ¿-macierz: a)
b)
Io Ki » K x — K2,
2¿ 2¿2 2¿ 4¿ 2 + 1 4¿ 3 + ¿ 6¿ 8¿2 + 1 8¿3 + ¿ + 4
a)
;
X2 + X X2 X2 — 2X X2 —2¿
a) A M
1
"0 0 1"
0 1 0 0 0 3
' i 0 0 ' 0 0 i c) 0 i 0
"
1 0 0 1
380. Sprawdzić, że dany ciąg przekształceń elementarnych doprowadza poniższą ¿macierz A M € M(2, R M ) do postaci diagonalnej normalnej B(X). Wskazać odpowiadające temu ciągowi ¿-macierze odwracalne P(X) i Q(X), przy których zachodzi równość B(X) = P(X)A(X) Q(X).
374. Sprawdzić, czy dana ¿-macierz jest odwracalna: ¿3 + l ¿ ¿+ 1 ¿+ 5 ¿ 2 -j- 1 ¿ 2 -ł- 4¿ -|- 1 a) b) ¿ + 4 ¿ - 1 c) ¿2 1 ¿ ¿+ 4
" 1 0 0 '
“ i ¿2 0
' 1 0 0 "
1 ¿4-2 -1 - ¿ - 1
3o Wx Wx W2 - Wx-,
(X + 2)W2,
1 0 0 1
2o K2 h* K2 + (¿ + 2 ) K U 5o W2 t-* \W 2.
3o K i
-K u
Sprawdzić, że dany ciąg przekształceń elementarnych doprowadza poniższą Xmacierz A M G M(3, R M ) do postaci diagonalnej normalnej B(X). Wskazać odpowiadające temu ciągowi przekształceń elementarnych ¿-macierze odwracal ne P M i <2M. przy których zachodzi równość B(X) = P(X)A(X)Q(X). ' 1
a) A M =
0
'
0
¿ + 1 ¿ ¿3 - ¿ 2 ¿2
0
Io W2 b+ W 2 - ( X + V ) W \ ,
¿2
,
B(X) =
'1 0 0 " 0 ¿ 0 0 0 ¿2
2° W3 i-^ W3 - ¿ 2Wi,
3° K3
K s + ( X - X 2)K2;
r
6. -Macierze wiGlomiana
-1 —A. 5 -4 9 -A .
B - XI = ł->
1 5 ¿(—A.2 + 7A —2) 9 - X
i->
1
0 _ I ( —A2 + 7A —2) A2 — 8A + 11
0 0 A2 —8A + 11 0 ' 1 0 A2 —8A + 11 _
1
0
X1 - I X A -l
1
(A - X I ) 0
1 2 —7A + L -(A 5
A —3 1
1 0
1
0
1
(B - XI)
2) 1
0
KA + 2) 1
1 0
0
(B — XI)
I(A2 -7 A + 2) 1
1
' 1 -5 ‘
0
0
L i (A + 2) 1 1
0
A2 —7A + 7 1
1
+ (B - XI)
25 0 25 5
(A - XI)
0
A —3 1
1 -ł 0 1
B — XI
-1
r i 0 ' (A - XI) _ A2 - 7A + 7 1 _ A(A2 -7 A + 2) 1_ -i -i “ 1 0 ‘ 1 0 ' ' 1 - 1 ■ ‘ 1 -5 ' 1_ 0 1 _A -3 1 0 _ i(A + 2) 1 _
1 5 (—A2 + 7A —2) 1_
1f 5
1
.
°_
8
_ ' 25 0 " _ 25 5 _
1 0 25
-5 5 {aC)~lA{aC).
1 0
-5 5 Sprawdzenie. Ponieważ det C ^ O , więc macierz C jest odwracalna. Zamiast spraw dzić równość B = C~lAC, wystarczy sprawdzić równość równoważną CB = AC. Mamy CB
1 0 ' '- 1 5 '
_-5
5_
_
-4 9
5'
-1 _
~ 15
.
2 0
.
oraz
'4 1 ' 1 0 ' _5 4 _ _ - 5 5 _
-1 .
5'
- 1 5
2 0
.
Zatem wszystko się zgadza.
I
Zadania
0
A2 —7A + 7 1
5 0 4A2 - 28A + 33 5
Jasne jest, że jeśli B - X I = P ( X ) ( A - XI)Q(X), to przy każdym a e K \ {0} zachodzi też równość B — XI = (aP(X))(A — XI) QQ(X)). Wobec tego możemy przyjąć, że • P(X) =
0
382. Podzielić lewostronnie z resztą A-macierz P(X) przez A-macierz A—XI, jeśli P(X) i A są odpowiednio równe:
W równości (6.4) możemy więc przyjąć P(A)
8
Możemy więc ostatecznie przyjąć, że C
AC = 0 1
20A + 5 0 8 A + 33 5
Zauważmy, że jeśli B = C-1AC i a e K \ {0 to również B
Stąd 1
oH
0
4A
20 0
i w konsekwencji C
_
1
'- 1 5 ' -4 9 _
+
' 5 0' '- 1 5 ' _ 33 5 _ + _ —4 9 _ Zatem C~
porównując prawe strony tych równości, otrzymujemy związek 1
20A + 5 0 8A + 33 5
”1
1 O oN <
Ponieważ postaci diagonalne nonnalne A-macierzy A — X I i B — XI są takie same więc macierze A i B są podobne. ’i Przystępujemy teraz do wyznaczenia macierzy C. Zastępując każde z wykonanych przekształceń elementarnych mnożeniem przez odpowiednią A-macierz, otrzymujemy równości: ' 1
0
4A 0 5 —28A + 33
"1 0 0 A2 —8A + 11
I-*
0
P(X) + (B — XI)
]77
5 0 4A2 —28A + 33 5
Obliczamy teraz resztę z dzielenia lewostronnego A-macierzy P(X) przez B — XI, gdyż reszta ta jest równa C~l.
a)
-A 2 ■3A -|- 4 —2A2 + 5A + 1
—3A2 — |—A — |—6 ' 1 0 ' ■4A2 + 9A + 2 » 0 2
b)
—2A2 + 7A + 5 .—2A2 -|- 3A -|- 5
-A2 - 6A + 5 ' A2 + 5A + 4 _
3
-2
c)
2A3 + A2 - 2A + 3 —3A3 + 7A2 + 2A + 8 ' -A 3 - 6A + 7 —3A3 + 5A2 + 5A + 2 _
d)
—4A3 + 7A2 —5 -5A 3 +4A 2 + A + 5 •2A3 + 7A2 —7A —8 -3A 3 + 7A2 + 5A + 4
e)
A3 + 2A2 + A + 5 —2A3 + 3A + 4
-2A3 - 4A2 - 4A + 7 3A3 +4A 2 +6A + 3
-1
-3 >
' 2 -1 ' 4 -4 _
4 3 3 2
f -r*6 Macierze wielomianp
Rozwiązanie. Pełna informacja o zestawie klatek Jordana, tworzących postać J0r- ' dana macierzy A, jest zawarta w czynnikach niezmienniczych £ 4 (A), E2(A) i F.'2rn ¿-macierzy A - XI. Dlatego znajdujemy najpierw postać diagonalną normalną A-macie rzy A - XI. Dokonując przekształceń elementarnych, otrzymujemy - 3 -A -3 -1
A —XI (2)
4 8 5- A 3 1 3 - A
0
1
0
1
0
0 0 0 2 - A -A 2 + 8A - 12 0 1- A 4A - 4
(3)
0
0
0 2 —A
( = 2 -A)
i
|
0
0 O 2 —A —X2 -j- 8A —12 0 1- A 4A - 4
° 0 1-1
11
2 - A —A2 + 8A — 12 -1 4
-(A - 1)(A - 2) .
Wynika stąd, że D3(A) = (A - 1)(A - 2)2. Zgodnie ze wzorami (6.2) ze s. 169 zachodzą więc równości: £j(A) = 1, £ 2(A) = 1 i £ 3(A) = (A — 1)(A — 2)2. Wobec tego prawdziwy jest związek "1 0
A —A/ ~
0 2 0 0 0 1
386. Udowodnić, że każda macierz kwadratowa A jest podobna do macierzy AT. 387. Znaleźć brakujące czynniki niezmiennicze A-macierzy A —XI stopnia piątego, wie
dząc, że: a) c) e)
0
0 1 0 _ 0 0 (A — 1)(A —2)2
Ze związku tego odczytujemy, że postać Jordana macierzy A jest zbudowana z następu jących dwóch klatek Jordana:
(A) £ 3(A) £ 3(A)
= A(A2 — = A + 1, = A + 2,
£ 5
4) (A —5)2;b) £ 4(A) = £ 5(A) =
(A) = (A —6 )4; A2 —1;d) £i(A ) = A + 1; (A + 2)3;f) £ 4 (A) = £ 5(A) = A2.
£ 5
388. Wyznaczyć czynniki niezmiennicze A-macierzy A —XI, wiedząc, że klatki Jordana tworzące macierz Jordana A są następujące: a)
[1], [2], [3], [4],
c)
3 1 0 3 , [4], [4], [ 6 ];
e)
8 1 0 8
g)
5 1 0 0 5 1 0 0 5
( = 1 -A),
2 - A —A2 + 8A — 12 1 —A 4A - 4 (A -l)
“2 1 0 ' i
Zadania
widzimy, że D 2(A) = 1. Dalej mamy 1
1 0 0 “ 0 2 1 0 0 2
1
Objaśnienia: ( 1) — do kolumny pierwszej dodajemy kolumnę drugą, a następnie do kolumny trzeciej dodajemy kolumnę drugą pomnożoną przez A —3, (2) — trzeci wiersz pomnożony przez odpowiednie wielomiany dodajemy do wier sza pierwszego i do wiersza drugiego, (3) — przestawiamy najpierw wiersz pierwszy z trzecim, a następnie kolumnę drugą; 1 pierwszą. Otrzymana A-macierz ma takie same wielomiany Di (A), D2(A) i D3(A) jak ¿-ma cierz A —XI. Ponieważ jednym z minorów stopnia 1 uzyskanej A-macierzy jest det[l], czyli 1, więc Di (A) = 1. Biorąc pod uwagę minory 1
"
1- A 4 4A - 4 2 - A 5 —A —A2 + 8A — 12
(i).
1- A 0 4A - 4 2 - A 0 -A2 + 8A - 12
Zatem postacią Jordana macierzy A jest każda z macierzy
[5];
b) [lj, [ 1], [1], [1], [1]; d)
0 1 0 0
0 8 , [8 ];
f)
2 1 0 2
■7 1 " 0 7 ;
h)
8 1
1
0 1 0 0
[9];
, [2 ], [2 ], [2];
" 1 1 0 " 0 1 1 0 0 1
[ 1] , t - 6].
389. Wyznaczyć układ klatek Jordana, z których zbudowana jest macierz Jordana A, jeśli pełny układ czynników niezmienniczych A-macierzy A —XI jest następujący: a) £i(A) = £ 2 (A) = £ 3(A) = £ 4 (A) = 1, £ S(A) = A(A— 1)(A —2)(A —3)(A—4); b) £i(A) = £ 2(A) = 1, E 3(A) = A - 3, £ 4(A) = £ S(A) = A2 - 9; c) Ei(A) = E 2(A) = £ 3(A) = £ 4(A) = 1, £ 5(A) = (A - 7)5; d) Ei (A) = e) Ej (A) = f) Ej (A) = g) £i(A) = Es(X) =
E 2(A) = E 3(A) = 1, £ 4(A) = (A - 9)2, £ s (A) = (A - 9)3; E 2(A) = £3 (A) = E 4(A) = £ S(A) = A - 5; 1, E 2(A) = E 3(A) = £ 4(A) = A, £ 5(A) = A2; £ 2(A) = 1, £ 3(A) = £ 4(A) = A + 6 , (X + 6 )(A —4)2;
h) £i(A) = £ 2(A) = £ 3(A) = 1, £ 4(A) = A - 2, £ s(A) = (A2- 4)2; i) Ei (A) = £ 2(A) = £ 3 (A) = 1, £ 4(A) = A, £ 5(A) = A2(A- 1)(A - 8 ).
^•6 Macjęrae wijlgnianti'"
-7 1 -4 1
390. Wykorzystując A-macierze, zbadać, czy macierz
jest podobna do
-1 2 danej macierzy: --1 1 '
'2
a)
1
_0 d)
0 2 0 1
b)
0 2 -3 -1 4 -5 0 1 -1
;
e)
3' 5 ; 0 _ _“2 1 "1 0 0 " 1 1 2 ł 7 -3 10 - 4
c)
“ -1 -3 _ -4
Funkcjonały I ich formy
3 -1 " 6 -2 7 -2
1 -3 ' 5 1 -1 4 1 -1
' 0 f)
0 0 1
391. Wykorzystując A-macierze, zbadać, czy dane dwie macierze są podobne:
_3
2 3
_1 2 3 _ 0 0 - 2 "
"2 0 0" c)
b)
2 1 1 _0 0 2 _
-
2 2
2
10
3_
d)
-2
4 3 1“ 2 0 _
' 1 0 --1 ' ' 1 1 4 ' 1 3 2 ł 0 1 3 4 2 1 6 2 1 392. Znaleźć postać kanoniczną Jordana danej macierzy, wykorzystując jej A-macierz charakterystyczną: "2
e)
a)
0 0 4 1 0 0 -4 0
" 4 2 0
,
" 6 -7 -3 ' 2 _2 -1 ;
-2 0 0 1 1 2
b)
3 - 4 -1
;
f)
' -2 1 3 ' -2 4 2 0 i i _
"1 -4 c)
0'
0 -2
_4 -5
1
—4 _
" 1 0 2 '
" i 0 2 '
1 1 2 ; _0 2 2 _
2 1 0 ; _2 1 0 _
2 0 1 _2 2 2 _
b)
' 2 2 1'
' 2 2 2' d)
1 1 1 1 1 1
c)
;
e)
0 1 1 0 2 0
' 1 2 1' ;
f)
0 0 1 0 2 2
394. Rozwiązać zadanie 345, wykorzystując A-macierz A —XI. Wskazówka. Aby wy znaczyć wielomian D„_i(A), rozpatrzyć minor stopnia n — 1 macierzy A — XI, zawierający elementy an , a23, ... , a„_i,„.
(7.1)
gdzie c i , . . . , c„ są ustalonymi skalarami, a x j , . . . , xn są zmiennymi przebiegającymi ciało K. Jeśli funkcjonał liniowy ę jest określony wzorem (7.1), to dla każdego k e {1, . . . , n} zachodzi równość ck = ę{vk). Funkcję cixi + . . . + cnx„ zmiennych x x, . . . , x n nazywamy formą liniową (lub kró cej: formą) funkcjonału liniowego cp w bazie B. Skalary c i , . . . , c„ nazywamy współ czynnikami tej formy lub też współczynnikami funkcjonału ę w bazie B. Jeśli funkcjonał liniowy cp e V* ma w bazach B i B' przestrzeni V odpowiednio formy axx\ + . . . + a„xn i b\X\ + . . . + bnxn, to 1
a)
' 0 1 0'
Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K. Funkcjonałem liniowym na prze strzeni V nazywamy dowolne przekształcenie liniowe przestrzeni V w przestrzeń wek torową K. Zbiór wszystkich funkcjonałów liniowych na przestrzeni wektorowej V na zywamy przestrzenią sprzężoną z przestrzenią V i oznaczamy symbolem V*. Niech układ B = (u j, . . . , v„) będzie dowolną bazą przestrzeni wektorowej V. Funkcja
i___
"6 -6 -2 "9 -7 -3 " "4 -6 - 2 " 2 -1 -1 2 1 -1 2 - 3 - 1 ; e) d) ; f) 2 -3 1 3 - 4 2 2 —3 —1 393. Znaleźć postać kanoniczną Jordana danej macierzy o elementach z ciała Z3, wyko rzystując jej A-macierz charakterystyczną:
| ; 7.1. Funkcjonały liniowe i ich formy
ai " ii
a)
' 0 0 0 1 1' 0 2 0 , 3 2 1 0 . ~2 1 3 _ "5 -3 6 ' " 1 2 7 -6 8 » 4 0 _ 3 -2 2 _3 1
. bn _
*>• H
1 1“ " 1 1 1 " 0 -1 0 , 2 0 1
' 2
:
_ an _
gdzie A jest macierzą przejścia od bazy B do bazy B'.1 Jeśli dim V = n, to również dim V* = n. Dla dowolnej bazy B = (vx, . . . , v„) przestrzeni V bazę B* = {cp\ , . . . ,
bn] = [ax, . . . , an]A.
w&sm ib b b I żoną z bazą B2. Jeśli dla każdego i e {1 ,..., n] współczynnikami formy funkcjonału w* w bazie B\ są kolejno skalary cn , . . . , c,„ oraz C = [cy ] € M(n, K), to zachod2j równość A C = 1. (7.3) Przykład 91. Funkcjonał liniowy cp na przestrzeni wektorowej R3 ma w bazie B = ([1,1,1], [1,2,2], [1,1,0]) formę* 1+ 3* 2—* 3. Znaleźć formę tego funkcjonału w bazie C = ([3,4,3], [1,0,0], [4,5, 6 ]).
Zadania ; 395. Sprawdzić, że dana funkcja jest funkcjonałem liniowym: a) ę : R 2 R, ę({x 1, x2]) = 5xi + 4x2; b) ę : R 3 R,
Rozwiązanie. Niech b\xx+b2x2+ b2x 2 będzie szukaną formą. Znajdziemy najpierw macierz przejścia A od bazy B do bazy C: "1 1 1" A =
-1
1 2 1 1 2 0
; 396.
"3 1 4 " " 1 2 4 " 4 0 5 = 1 -1 1 3 0 6 0 -1 1
Zatem zgodnie ze wzorem (7.2) otrzymujemy 397. "
bx " b2 = Ar
_ t>3 _
1
3
"
'
=
-1
1 1 1 2 -1 0 4 1 -1
1
"
3
3"
'
=
-1
-1 8
Stąd funkcjonał p m a w bazie C formę 3x\ —x2 + 8x 3. Oznacza to, że zachodzi równość
398.
. 1
. 1
400.
f ¥*([5,3]) = 0, U 2([7,4]) = 1.
Równości te prowadzą do następujących układów równań: 5a + 3b = 1, l a + 4b = 0
399.
i 5c + 3d = 0, \ l c + 4d = 1.
Układy te mają jednoznaczne rozwiązanie a = —4, b = l , c = 3 ,d = —5. Zatem B* = (
Sposób 2° Przyjmijmy oznaczenie B* = (cpx, cp2), gdzie ę x([xi, x2]) == cn x x + ci2x2 oraz ę>2([xi, x2]) = c2Ixi + c22x2. Zgodnie ze związkiem (7.3) zachodzą równości -1 ' _4 ' 5 7' 7‘ Cli Cl2 4 _ _ 3 3 5 _ c 22 _ . C21 Zatem ę>i([xi, x2]) = -4 x i + 7x2 i
401.
402. 403.
404. 405. 406.
e) ę : C(a.6) R,
^gpjnkcjonały dwulimowe 1n;hformy
t:
407. Znaleźć formy liniowe (w bazie kanonicznej przestrzeni wektorowej R2) funk.. cjonałów liniowych tworzących bazę sprzężoną z daną bazą przestrzeni wektoro-'
408.
409.
410.
411.
412.
413.
414.
wej i®2: a) ([1,2], [0,1]); b) ([1,0], [1,1]); c) ([3,4], [4,5]); d) ([4, 9], [5,1 11) Znaleźć formy liniowe (w bazie kanonicznej przestrzeni wektorowej Z2) funk cjonałów liniowych tworzących bazę sprzężoną z daną bazą przestrzeni wektoro wej Z2: a) ([1,0], [1,1]); b) ([1,2], [1,3]); c) ([4, 0], [1, 3]); d) ([ 1, 2 ], [3,4]). Znaleźć formy liniowe funkcjonałów liniowych (w bazie kanonicznej przestrze ni R3) tworzących bazę sprzężoną z daną bazą przestrzeni wektorowej R 3: a) ([1,2,4], [1,3,4], [2, 5, 9]); b) ([1,1,1], [5,4,5], [0, 3,1]); c) ([1,5,1], [2,7,4], [1,3,2]); d) ([1, 0 , - 3 ] , [2, 3,1], [3,5, 3]). Znaleźć formy liniowe (w bazie kanonicznej przestrzeni wektorowej Z3) funk cjonałów liniowych tworzących bazę sprzężoną z daną bazą przestrzeni wektoro wej Z3: a) ([1,0,0], [1,1,0], [1,1,1]); b) ([1, 2, 3], [1, 3,0], [2,4, 0]); c) ([1,2,1], [1,1, 3], [2,4, 3]); d) ([1, 3,4], [1,4, 6 ], [0, 1,1]). Wyznaczyć tę bazę przestrzeni wektorowej R3, z którą sprzężona jest dana baza przestrzeni (R3)*, gdzie x x, x 2 i x2 oznaczają współrzędne w bazie kanonicznej przestrzeni R3: a) (—4xi + x 2 + 3x3, 4xi —x 2 — 2x3, x x —x 3); b) (xi - 2x2 + 5x3, *2 — 4x3, —X! + 2x2 —4x3); c) (8xi —3x2 —x3, 7xi —2x2 —2x3, —9xi + 3x2 + 2x3); d) (xi 4- 4x2 + 5 x 3 , —x 2 —x3, xi + 5x2 + 5x3). Znaleźć w bazie sprzężonej z bazą ([1, 2, 3], [3,0, 2], [3,4,1]) współrzędne funkcjonału liniowego ę określonego na przestrzeni wektorowej Z \ wzorem ę([xx, x 2, x3]) = xi + 3x2 + 3 x 3 . Niech B* i B2 będą bazami sprzężonymi z bazami odpowiednio B x i B2 i niech A i A* będą macierzami przejścia odpowiednio od bazy B\ do bazy B2 i od bazy B* do bazy 0 |. Znaleźć zależność między macierzami A i A*. Udowodnić, że jeśli (u j, . . . , u„) jest bazą przestrzeni wektorowej V i 1 < m < n,~. to funkcjonały liniowe cpx, . . . , c p m określone na przestrzeni V. są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość
cpi(vn) : m.
rz
"
_j
7.2. Funkcjonały dwuliniowe i ich formy
Niech Vx, V2 i V będą przestrzeniami wektorowymi nad tym samym ciałem K. Funkcję 1 ip:Vxx V 2 -+ V nazywamy przekształceniem dwuliniowym, jeśli spełnione są warunki: (PD 1) / \ l
/\
/ \
a.beK m,B,16V,1 V2HV2
ęp
(p d 2)
A
A
A
cp(vj, av2 + bv'2) = a ę ( v x, v2) + bę (v i, v2).
a.beK vxeVi v2,v'2eV2
Zbiór wszystkich dwuliniowych przekształceń przestrzeni Vx x V2 w przestrzeń V oznaczamy przez 1.( 14, V2; V ). Tworzy on przestrzeń wektorową względem natural’• nie określonych działań dodawania i m nożenia przez skalar. Jeśli Vx = V2, to zamiast ' L(Fi, Ui; V) piszemy 1.2( 14 ; V). Elementy zbiora L(14, 14: K) nazywamy funkcjona łami dwuliniowymi.
r
Przekształcenie dwuliniowe cp e L 2 (Vj; V) nazywamy symetrycznym, jeśli dla do. wolnych wektorów vx, v 2 6 Vx zachodzi równość cp(vx, v2) = cp(v2, v\), i nazywamy t antysymetrycznym, jeśli zachodzi równość ę ( v x, v2) = —
. m
i=1
n
2=1
m
n
=E E
c
i a
)
j=l 7=1
Jeśli funkcjonał dwuliniowy cp : Vx x V2 K jest określony wzorem (7.4), to dla dowolnych i e [ 1, . . . , m} oraz j e {1 , . . . ,n } zachodzi równość atj = ę (v x, wj). Funkcję zmiennych x x, . . . , xm, y x, . . . , y„ stojącą po prawejstrome równości (7.4) , nazywamy formą dwuliniową funkcjonału dwuliniowego ę w bazach B i C, a skalary 5 ati nazywamy współczynnikami tej formy. Macierz [ay] € M(m x n, K ) nazywamy macierzą funkcjonału dwuliniowego
i
Niech B i C będą macierzami przejścia odpowiednio od- bazy B do bazy B' prze, strzeni wektorowej Vx i od bazy C do bazy C przestrzeni wektorowej V2. Jeśli A i A' są 415. Funkcjonały liniowe na przestrzeniach R 3 i Z | dane są przez ich formy w bazach . macierzami funkcjonału dwuliniowego cp : Vx x V2 -> K odpowiednio w bazach B i C kanonicznych: x x + x 2 + 4x3, 4xi + x2, 2 x x + x2 + x3. Korzystając z zadania oraz B' i C , to 414, wykazać, że funkcjonały te tworzą bazę przestrzeni (R3)*, a nie tworzą bazy A! = B rA C. (7.5) przestrzeni (Zj) *.
|^ 3 Funkcjonały r>sartratowe i ich formy
Jeśli dim Vx < oo i dim V2 < oo, to rząd macierzy funkcjonału dwuliniowego w lA t ( V u V2; K ) w bazach B i C nie zależy od wyboru tych baz. Nazywamy go rzędem ' funkcjonału dwuliniowego ę. i Przykład 93. Niech funkcjonał dwuliniowy ę : R 2 x R 3 R dany będzie wzorem q([x\,x2], [yi.yi, ya]) = 9xiyx + 5xxy2 + 7xjy 3 + 4xzy x + 2x2y 2 + 3x2y 3 i niech B = ([!> —5]), C = ([—1, 1,1], [—1, 2, 0], [ 1 , 1 , —2]). Znaleźć macierz A! tego funkcjonału w bazach B i C oraz obliczyć rząd funkcjonału
rzestrzem i t r i lii3, przez B macierz przejścia od bazy kanonicznej przestrzeni M/ do bazy B i przez C macierz przejścia od bazy kanonicznej przestrzeni R 3 do bazy C. Poniewaz " -1 1 1" 1 3 ‘9 5 7‘ 1 2 1 i C= B = - 4 —5 4 2 3 1 0 -3 więc zgodnie ze wzorem (7.5) otrzymujemy równości T A '= B * A C =
fi ¡
- 4 | r "9 5 -7 i T - l 1 1 2 ^4 2 3
1 1
1 0 -3
-1 1 0
4 3 0
ponieważ rz A = 2, więc funkcjonał ę ma rząd równy 2.
Funkcjonał dwuliniowy ę : R 2 x ! 3 ->■ R ma w bazach kanonicznych przestrzeni M2 i R 3 formę xiyi + xiy 2 - Xiy3 + 3x2yi + 4x 2y2 - 5x2y3. Znaleźć formę tego funkcjonału w bazach B = ([7, - 2 ] , [3, - 1]) i C = ([2,1,1], [ 1, 1, 1], [ 1,0, 1]). 421. Funkcjonał dwuliniowy ę : R 3 x R 3 -*■ R ma w bazie kanonicznej przestrzeni R 3 formę Xiyi + x xy2—2xxy3+3x2yi + x 2y2+4x 2y3+5x3yi —3x3y2. Znaleźć formę tego funkcjonału w bazach B i C, wiedząc, że B = ([2 , 1, —2], [0,1, —1], [2 ,2 , —4 ]) iC = ([4,3,1], [2,1,1], [1,1,1]). 420.
422. Niech A będzie macierzą funkcjonału dwuliniowego (p : Vx x V2
K w bazach B = (v i , . . . , vm) i C = ( wx, w „ ) odpowiednio przestrzeni Vx i V2. Wykazać, że dla dowolnych wektorów v = xii>i + . . . + x mvm i w = y xw x + . . . + ynw„ zachodzi równość [
Niech B będzie dowolną bazą «-wymiarowej przestrzeni wektorowej V. Wykazać, że funkcjonał dwuliniowy ę : V x V -»■ K jest symetryczny wtedy i tylko wtedy, gdy jego macierz A w bazie B jest symetryczna. 424. Niech B będzie dowolną bazą «-wymiarowej przestrzeni wektorowej V. Wykazać, że funkcjonał dwuliniowy
425. Niech A będzie macierzą funkcjonału dwuliniowego
B = (i>i,. . . , vm) i C = ( wx, w „ ) przestrzeni odpowiednio Vx i V2. Niech ponadto ę x oraz ę 2 będą endomorfizmami przestrzeni odpowiednio Vx i V2, a B i C macierzami tych endomorfizmów w bazach B i C. Sprawdzić, że funkcja tjr : Vx x V2 - y K określona wzorem t(r(u, w) =
§1! Zadania 416. Funkcjonał dwuliniowy f i : l 3 x l 3 - > I m a w.bazie kanonicznej przestrzeni M3 formę xiyi + 4xjy2 - xiy 3 + 2x2y! + l x 2y2 - 3x 2y3 + x3yi + 5x3y2. Wyznaczyć macierz A funkcjonału
426.
i
Niech V i V' będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem o charakterystyce róż nej od 2. Wykazać, że każde przekształcenie dwuliniowe ę : V x V -> V7 przed stawia się jednoznacznie w postaci sumy
7.3. Funkcjonały kwadratowe I ich formy
Uwaga. W paragrafie tym zakładamy, że K jest ciałem o charakterystyce różnej od 2, tzn. ciałem, w którym 1 + 1 ^ O.2 Niech funkcja ę : V x V K będzie funkcjonałem dwuliniowym symetrycznym. Funkcję 0 : V — K określoną wzorem 0 (u) = cp(v, v) nazywamy funkcjonałem kwa dratowym na przestrzeni V wyznaczonym przez funkcjonał cp. Funkcję 0 : V -» K 2Cialami o charakterystyce różnej od 2 są np. ciała Q, 1 i C, a także ciata Z p, gdzie p jest liczbą pierwszą różną od 2 .
~ w ~ ^ 3 , kn^onaly Kwadrato.-.s 1ich farmy
7 Funk
190
nazywamy funkcjonałem kwadratowym, jeśli jest ona funkcjonałem kwadratowym wy znaczonym przez pewien funkcjonał dwuliniowy symetryczny określony na przestrze ni VJeśli 0 jest funkcjonałem kwadratowym na przestrzeni V, to istnieje dokładnie jeden funkcjonał dwuliniowy symetryczny
0 (XiVt + . . . + x nvn) =
n
E E
(7.6)-
Przykład 94. Funkcjonał kwadratowy 0 na przestrzeni wektorowej R 2 określony i jest wzorem 0{[x\, x2]) = x f + 8x ^ 2 + 5 x |. Znaleźć funkcjonał dwuliniowy syme tryczny
=
(x i
=
( x i + x 2 + 2 x 3)2 + x f — x | + x 2x 3 .
x2
+ 2x 3)2 — ( x 2 + 2x 3) 2 +
yi —xi
x 2 + 2 x3,
J2 =
X2,
J3 =
*3-
w bazie, w której współrzędnymi są yi, y2, y3, funkcjonał 0 m a formę 0 (v) = y \ + yf - y \ + y2y3. Dalsze przekształcenia przebiegają następująco:
aijXiXj.
i=i j=i Wielomian zmiennych x i , . . . , x„ stojący po prawej stronie równości (7.6) nazywamy formą kwadratową funkcjonału 0 w bazie B, natomiast macierz symetryczną [ay] e M(n, K) nazywamy macierzą funkcjonału kwadratowego 0 w bazie B. Rząd macierzy funkcjonału kwadratowego 0 w bazie B przestrzeni wektorowej V nie zależy od wyboru bazy.B. Rząd ten nazywamy rzędem funkcjonału kwadratowego 0 . | Bazę B skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej V" nazywamy bazą kano niczną funkcjonału kwadratowego 0 określonego na przestrzeni V, jeśli macierz funk cjonału 0 w tej bazie jest diagonalna. TWIERDZENIE LAGRANGE’A. Każdy funkcjonał kwadratowy określony na skoń czenie wymiarowej przestrzeni V ma bazę kanoniczną.
+
Wprowadzamy teraz nowe współrzędne wzorami:
2x|
+
3xf
+
0{V)
-■yf +
( y | + y2y3>
= y \ + (y2 + \ y 3) - ( |y 3)2 = y\ +
(y 2 +
|y s )2
■ y i
- f y 32 -
Wobec tego nowe współrzędne zi, z2, Z3 wprowadzamy za pom ocą wzorów: Zl : ^ 1. Z2 Z3
y2
5 J 3,
J3-
W tej bazie przestrzeni R3, w której współrzędnymi są z i , z2, Z 3 , funkcjonał 0 ma formę 0(V)
■■Zj + Z l
2 4—7 3’
Zatem baza ta jest bazą kanoniczną funkcjonału 0 . Aby wyznaczyć wektory tej bazy, wyrazimy wyjściowe współrzędne xi, x2, x3 przez współrzędne zi, z2, z3: * i = y i - y 2 - 2y3 = X2 = y i = Z2 - JZ3, X3 = y3 = Z3.
zi
- (z2 - 5Z3) ' 2Z3 = Zl — z 2
§Z 3 ,
(7.7)
Niech B = («i, v2, v3). Ponieważ ciągami współrzędnych wektorów v u v2, v 3 w ba zie B są odpowiednio ciągi (1 ,0 ,0 ), (0,1,0) i (0,0,1), więc zachodzą równości vx = [1,0,0], v2 = [—1, 1,0], v3 = [—§, — 1]. Dokonując bowiem we wzorach (7.7) pod stawień zi h> 1, z2 h* 0 , Z3 t-> 0 , otrzymujemy współrzędne wektora v\ w bazie kanonicznej przestrzeni M3. Podobnie podstawienia zi m>- 0, z 2 i-> 1, Z3 f-> 0 oraz zi ^ 0 , z2 0 , Z3 i-> 1 pozwalają wyznaczyć współrzędne wektorów v2 i v3 w bazie kanonicznej przestrzeni R3. Odpowiedź. Na przykład B ([1 ,0 , 0 ], [—1, 1, 0], [—| , —i , 1]) i wówczas mamy 4>(zi[l, 0 , 0 ] + z 2[—1, 1, 0] + z3[—§, — 1]) = ¿1 2— z \ r+ zz2 - 4fz fAd b). Ponieważ w danej formie kwadratowej nie występuje kwadrat żadnej ze zmiennych xi, x2, x3, więc możemy zastosować podstawienie *1 =
5 x 2x 3
■yi
y i + y 2,
x 2 = y i - y2, *3 = y3-
US 7 3 Funkc orrfy k ■adnto,1e I ich lorrny
1933
sia
Obliczamy najpierw wyznaczniki
Otrzymujemy wtedy
0(v)
y \ - y \ - 5(yi + y2)y 3 + 7(yx
y 2) y 3
A i = det[an ] = det[l] = 1,
: y \ - y \ + 2yiy3 - I2 y 2y3-
_
Dalej postępujemy tak jak w punkcie (a). Mamy mianowicie A j = det
0 ( v ) = (y 2 + 2 yiy3) - y \ - 12y2y3 = (yi + y-ił — y \ — y \ — 12y2y3. Nowe współrzędne zi, Zi, zj określamy wzorami + y3,
zi = j i J 2,
Z2 : Z3 :
?3Funkcja 0 jako funkcja zmiennych zi, z2, z3 wyraża się następująco: = z\; z? “ = z? = z? Wobec tego stosujemy podstawienie 0 (v )
h h h
z \ - z2 - 1 2 z 2z 3 (z2 + 12z2z3) - z3 [(z2 + 6z3)2 - 36zf] (z2 + 6 z3)2 + 3 5 z 3 .
z2
■Zl, Z2 + 6 z 3 , Z3-
Otrzymujemy wtedy 0(v)
- û + 35f,2
Bazę kanoniczną funkcjonału 0 znajdujemy podobnie jak w punkcie (a). Mianowicie wyprowadzamy najpierw równości x x = tx + t2 — 7i3, X2 — t\ — i2 + 5i3, x3 = r3. Z równości tych odczytujemy, że układ ([1,1,0], [1, —1, 0], [—7, 5,1]) jest bazą kano niczną funkcjonału 0 . Mamy przy tym 4>(xi[l, 1,0] + x2[l, - 1 , 0] + * 3[—7,5,1]) = x \ - x \ + 35xf. Przykład 96. Metodą Jacobiego znaleźć formę kanoniczną i bazę kanoniczną funk cjonału kwadratowego 0 określonego na przestrzeni wektorowej R 3 i mającego w pew nej bazie B = (vi, v2, u3) formę x \ + 8xf + 5xf + 6xix 2 + 2xix 3 + 8x 2x3.
a n a.\2 aXj a21 a22 a 23 aji a22 ajj
1 3 3 8
«11 #12 #21 #22 _
det A
-1,
-5.
Przyjmujemy też umowę, że A 0 = 1. Ponieważ A x 0, A 2 ■£ 0 i A j fz 0, więc do danej formy funkcjonału 0 można zastosować metodę Jacobiego i przy tym metoda ta prowa dzi do pewnej bazy kanonicznej B' = (v'v v2, v3) funkcjonału 0 , w której funkcjonał ten ma formę 0 ( x xv{ + x 2v2 + XjV3)
o Ao . X\ “1—~~x2 + Al 1 A2 * Aj j
1
■x\ + 1 ' 5'
Wektory bazy B' są określone przez warunki: 1° Macierz przejścia C = [cy] od bazy B do bazy B' jest gómotrójkątna, tzn. jest ona postaci ^ #n Ci2 Ci3 0 c22 c2j 0 0 Cjj 2° Jeśli ę oznacza funkcjonał dwuliniowy symetryczny wyznaczający funkcjonał 0 , to zachodzą równości:
ę(v[, vx) = 1,
ę(v'j, vx) = 0,
(7.8)
Zauważmy, że np. wartość
3 c i2 +
C l3 + 3 c 23 +
0, 1,
Cl2 + 3 c 22 : 8 c 22 :
C jj
= 0,
3 c i 3 + 8 c 23 + 4 c 33 = 0 , C i3 + 4 c 23 + 5 c 33 =
1.
Rozwiązując powyższe układy równań (najlepiej za pomocą wzorów Cramera), otrzy mujemy równość
Rozwiązanie. Macierz A = [ay] funkcjonału 0 w bazie B jest następująca: "1 3 1 3 8 4 1 4 5
A 2 = det
Odczytujemy stąd, że B' = (vx, 3vx poprawność obliczeń. Mamy
1
3
0
-1
0
0
u2, -f «i + |u 2 + |u 3). Sprawdzimy jeszcze
^ 4 . Funkcjonały kwadrati^Ena rzeczywistej przestrzeni Wektorowej ___________ ~
i» 0 0 ' 1 3 -1 0
Cr A C =
4
_
5
1 5
1
" 1 3 1 3 8 4 _ 1 4 5
1 5
3
— 45
0 - -1
1 5 1 5
1
' 1 3 1" = 0 1 -1 1 0 0 _
0
0
3 - 45. -1 5
0
5 J
1
0
431. Metodą Jacobiego znaleźć formę kanoniczną i bazę kanoniczną funkcjonału
kwadratowego 0 określonego na przestrzeni wektorowej R3 i którego wartość 0 ([xi, x2, x3]) jest równa: a) x 2 + 5 x | + 1lx f + 4xix 2 + 6x 1X3 + 14x2X3; b) x 2 + 5xf + 15x2 —4xix 2 —8x 1X3 + 16x2X3;
' 1 =
0 0 ■ 0 -1 0 0 0 jc1 _
c) x 2 + 8x 2 —8x 2 —6xix 2 + 8x 1X3 — 14x2X3; d) 6x 2 + x \ + 6xix 2 + 10xiX3 + 8x 2X3; e) 3x 2 + 8xf + x | + 10xix2 + 2x 1X3 + 4x 2X3; f) 3x 2 + 2xf + 9x 2 + 2 x xx 2 + 10xix3 + 8x2x3.
Zatem zgodnie ze wzorem (7.5) otrzymana baza B' istotnie jest bazą kanoniczną funk cjonału 0 , a formą funkcjonału 0 w tej bazie jest wielomian x 2 — xf + | x 2.
Zadania
432. Metoda Jacobiego, zastosowana do funkcjonału kwadratowego 0 danego w pew nej bazie B przestrzeni wektorowej V, prowadzi do formy kanonicznej aiX 2 +
427. Funkcjonał kwadratowy 0 określony na przestrzeni wektorowej R 3 ma w bazie B = ([1.1. —1]. [1. 0 .1 ]. [1 .1 .0 ]) formę 5x ^ + 6x | + 4x f + 8x 1x 2+ 8xix 3+ 10x 2x3. Sprawdzić, czy baza kanoniczna przestrzeni M3 jest bazą kanoniczną funkcjonału
.. ,+ a nX 2 i do bazy kanonicznej B' = ( v [ , , v'n). Zbadać, do jakiej formy kano nicznej i jakiej bazy kanonicznej prowadzi ta metoda zastosowana do funkcjonału kwadratowego a 0 , gdzie a e K \ {0}.
0.
433. Obliczyć liczbę funkcjonałów kwadratowych na n-wymiarowej przestrzeni wekto-
428. Funkcjonał kwadratowy 0 na przestrzeni wektorowej R3 ma w bazie kanonicznej przestrzeni R 3 daną formę. Metodą Lagrange’a znaleźć bazę kanoniczną i odpo wiednią formę kanoniczną tego funkcjonału:
rowej V określonej nad ^-elementowym ciałem K. 434. Znaleźć formę kanoniczną funkcjonału kwadratowego 0 określonego na przestrze ni K n i mającego w pewnej bazie B przestrzeni K n formę XX=i Ylj= 10 ajXiXj, gdzie <2fc 7^ 0 przy pewnymk e [ 1, . . . ,
a) 0 ([ x i, x2, x3]) = x 2 + 2x f + 21 x 2 + 2x\x% + 4 x i x 3 — 6x 2X3; b) 0 ( [ x u x2, x3]) = x \ + 5xf + 39x 2 + 4xix 2 — 8x 1X3 — 8x 2x3; c) 0{[xi, x2, X3]) = x 2 + 10x 2 + 14x2 + 6x ix 2 — 2x 1X3; d) 0{[xi, x2, X3]) = x 2 4- 5xf -F 7 x | + 4x¡x 2 — 6x 1X3 — 2x 2X3; e) ^ ( [ * 1,
x 2, x 3] )
=
f ) 0 { [ x \ , x 2 , X 3] ) =
6xf
i
+ x f — 2 x i x 2 — 4 x i x 3 + 4 x 2x 3 ;
15x2 + 2 x | + x | +
4x¡x 2 +
u
b) 0 Q x i, x2, x3]) = 2x 2 + 3 x | + x | + 3xix 2 + 2xix 3 + x 2x3; c) 0 ([xi, x2, x3]) = 3 x i x 2 + 4 x j x 3 + x2x3.
:
1
0 - 1
:
7.4. Funkcjonały kwadratowe na rzeczywistej przestrzeni wektorowej
2 x 1 X 3 — 2 x 2X 3 ;
g) 0 { \ x u x 2, x3]) = x xx 2 - 3xix 3 + 5x 2x3; h) 0 ([ x i, x2, x3]) = xix 2 + 2x!X3 + 4x 2x3. 429. Funkcjonał kwadratowy 0 na przestrzeni wektorowej R4 ma w bazie kanonicznej przestrzeni R4 daną formę. Metodą Lagrange’a znaleźć bazę kanoniczną i odpo wiednią formę kanoniczną tego funkcjonału:
Niech n e N. Jeśli 0 jest funkcjonałem kwadratowym rzędu m na n-wymiarowej rzeczy: wistej przestrzeni wektorowej V, to istnieje baza B' przestrzeni V , w której funkcjonał 0 ma formę postaci ± x [2 ± x 2' 2 ± .. . ± x'2. TWIERDZENIE 1 (Prawo bezwładności dla form kwadratowych). Jeśli 0 jest funk cjonałem kwadratowym na rzeczywistej przestrzeni wektorowej V mającym w bazach B = (ui, . . . , v n) i B ' = (v [ , v ' J f o r m y
a) x 2 + 8x f + 7x 2 + x | + 6xix 2 + 8x 1X3 + 2xŁx 4 + 20x 2X3 + 2x 2x 4 + 8x 3x4; b) X2 + 2xf + 19x2 + 3x 2 + 2xix 2 —4xtx 3 + 6x 1x 4 + 4x 2x 3 + 8x 2x 4 — 8x 3x4; c) x 2 —2x 2 + 7x 2 — 2xtx 2 + 2xix 3 + 4xix 4 — 2x 2x 3 — 6x 2x 4 + 8x 3x4; d) xix 2 + X1X3 — 3xix 4 + 3x 2X3 —x 2x 4 — 4x 3X4. 430. Znaleźć bazę kanoniczną funkcjonału kwadratowego 0 określonego na przestrzeni wektorowej poniższym wzorem oraz formę funkcjonału 0 w otrzymanej bazie: a) 4>([*i, x2, x3]) = x 2 + 2 x | + x 2 + 2xix 2 + 3xix 3 + 4x 2x3;
..
x f + . . . + x 2p - x 2+1 - .. . - x2+?
i
x f + . . . + x '2 - x'r2+1 - . . . -
X l2+ S ,
to p = r oraz q = s. Różnicę p — q liczb p i q występujących w twierdzeniu 1 nazywamy sygnaturą funkcjonału kwadratowego 0 . Funkcjonał kwadratowy 0 na rzeczywistej przestrzeni wektorowej V nazywamy do datnio określonym, jeśli 0 ( v ) > 0 dla każdego wektora v e V \ {6}- Jeśli 0 ( v ) ¿z
196
FunKCiomty i ich fermy
dla każdego wektora v e V, to mówimy, że funkcjonał kwadratowy 0 jest dodatnio półf ’ określony. W analogiczny sposób określamy funkcjonały kwadratowe ujemnie określone i ujemnie półokreślone. Niech
A 2 > 0,
A d b). M a cie rz fu n k cjo n a łu k w ad rato w eg o
1 —1 2 “ - 1 4
2
f 435.
Ak : =
« 12
a 22
• ■ a\k ■■ a2k
ak1 awi
■ akk
A 2 > 0,
A 3 < 0,
...,
( -l)M n >0.
Przykład 97. Korzystając z kryterium Sylvestera, zbadać, czy dany funkcjonał kwadratowy na przestrzeni wektorowej R 3 jest dodatnio określony: a) x2, *3]) = 3* 3 + x \ + 7*f + 2 * 1*2 + 6* 1*3 + 8* 2*3; b) 0 ([* 1 , * 2 , * 3]) = * 1 + 4*| + 8*3 —2* 1*2 + 4* 1*3 + 2 *2*3 • Rozwiązanie. Ad a). Zgodnie z określeniem funkcjonał kwadratowy 0 ma macierz 3 1 3 1 1 4 t 3 4 7 Mamy tu Aj = det [3] = 3,
A2 =
3 1 1 1
= 2,
A3 =
Zadania K o rzy stając z k ry teriu m S y lv estera, zb ad ać, c z y d an y fu n k cjo n a ł k w a d ra to w y n a p rze strzen i w ek to ro w ej R 3 j e s t d o d atn io o k reślo n y : b ) 0 ( [ * i , * 2 , * 3]) = 5 x f + * | + 8* f + 4 * 1*2 4- 2 * 1*3 + 6 * 2* 3 ;
Niech 0 będzie funkcjonałem kwadratowym na «-wymiarowej rzeczywistej prze strzeni wektorowej V ,a A = [ay] e M(m, R) niech będzie jego macierzą w dowolnej bazie B przestrzeni V . Funkcjonał 0 jest ujemnie określony wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A spełnia warunki: A\ < 0,
1 8 .
a) 0 ( [ * i , * 2 , * 3]) = * 3 + 3 * | + 7 * 3 + 2 * 1*2 + 4 * 1* 3 ;
c) 0 ( [ * 1 , * 2 , * 3]) = * 1 + * | —*3 + 4 * 1*2 + 2 * 2* 3 ; d) 0 ([* i, * 2>* 3]) = 2*3 + 3* 3 + 9* 3 + 2* 1*2 4" 4* 1*3 4" 10 * 2*3■
gdzie A a dla każdego k e {1,..., «} jest wyznacznikiem określonym wzorem ¿*21
.
poniew aż A ! = 1 > 0 , A 2 = 3 > 0 i A 3 = 3 > 0 , w ięc n a m o c y k ry te riu m S y lv estera dany fu n k cjo n a ł k w ad rato w y je s t d o d atn io określony.
A„ > 0,
¿*ii
1
3 1 3 1 1 4 3 4 7
-19.
Ponieważ A 3 < 0, więc dany funkcjonał kwadratowy nie jest dodatnio określony.
436.
O b liczyć, d la ja k ic h w arto ści p ara m etru X fu n k cjo n a ł k w ad rato w y 0 n a p rz e strz e n i w ektorow ej R 3 d an y w zo rem 0 ([* 1 , * 2, * 3]) = 5 * 3 + 2 * f 4 - X x \ 4 - 6 * 1* 2 + 6 * 1*3 44 * 2*3 je s t d o d atn io określony.
437.
N iec h B b ę d z ie b a z ą p rze strzen i w ek to ro w ej R " . W y k azać, ż e fu n c jo n a ł k w a d ra to w y 0 n a p rze strzen i R " je s t d o d atn io o k reślo n y w ted y i ty lk o w ted y , g d y je g o m acierz w b a z ie S j e s t p o sta ci C TC , g d zie C e G L (n , R ).
. i«»! i
8
\
Mifjloczyn^kaiari|if przeatrzemfelintfärnn
Kanonicznym (lub też zwykłym) iloczynem skalarnym w przestrzeni wektorowej R" nazywamy funkcję <•, •) : R" x M? -» R określoną wzorem ([jtą,. . . , i yn]) = H /:= l Xkyic-
Przestrzenie unitarne
Kanonicznym aub też zwykłym) iloczynem skalarnym w przestrzeni wektorowej Cn nazywamy funkcję <•, •) : C" x C" -> C określoną wzorem ([xi,. . . , xn], [yi, . . . , y n]} = J2k= 1 Xkyk-
Niech V będzie przestrzenią unitarną. Normą (lub też długością) wektora v e V nazywamy liczbę rzeczywistą nieujemną y( u, u) . Normę wektora v oznaczamy przez 11v11. Wektor v € V nazywamy wektorem unormowanym, jeśli 11v 11 = 1. Jeśli V jest przestrzenią unitarną nad ciałem K , to dla dowolnych a e K i v e V zachodzi równość ll«u|| = l#l l|u||.
Umowa. W całym tym rozdziale symbol K oznacza ciało R lub ciało C.
.
8.1. Iloczyn skalarny, przestrzenie unitarne
Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K. Iloczynem skalarnym w prze strzeni V nazywamy funkcję (•,•): V x V -> K spełniającą warunki: (IS 1)
/ \ (v, w) = {w, v), v,weV
(avi+bv2,w) = a{vx, w ) + b { v 2,vu},
(IS 2) a ,b eK v\tvz,weV
a s 3)
/\
{v, v) > o.
i»=V\{0)
Przestrzenią unitarną nazywamy parę (V, (•, •)), gdzie V jest przestrzenią wektoro wą, a <•, •) jest iloczynem skalarnym w przestrzeni W Jeśli wiadomo, jaki iloczyn skalamy w przestrzeni V jest określony, to samą prze strzeń V nazywamy przestrzenią unitarną. Iloczyn skalamy ma następujące własności: aS 4) Ą ( v , 0 ) = (0,v)=O, veV
a s 5)
Ą (v ,v )> 0 , veV
a s 6)
/\
(V, U)! + w2) = (u, Wi) + (u, w2),
V,Wl,W2€V
{v,aw) =a(v, w).
aS 7) a z K u,ui€V
Z definicji iloczynu skalarnego oraz z własności aS 6), a s 7) wynika, że funkcja (•,•): V x V ->• 1 określona na rzeczywistej przestrzeni wektorowej jest iloczynem skalarnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest dodatnio określonym funkcjonałem dwulinio wym symetrycznym.
(8 . 1)
Jeśli V jest przestrzenią unitarną, todla dowolnych wektorów v, we V zachodzą nierówności |(u, w)I < ||u|| • ||m|| ||u + w\\ < 11u i1+ ||iu|| I N I -
I N
(nierówność Schwarza), (nierówność Minkowskiego),
< ||v —w||.
(8.2) (8.3) (8.4)
Ponadto równość w (8.2) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wektory u i w są liniowo zależne. Jeśli V jest przestrzenią unitarną, to funkcja d : V x V —> R + U {0} określona wzorem d(v, w) = ||u — w\ \ jest metryką w zbiorze V. Jeśli V jest rzeczywistą przestrzenią unitarną, to kątem między niezerowymi wekto rami v , w e V nazywamy liczbę a e (0 , n) spełniającą warunek (u, w) (8.5) cos cc = -------------. I N I - I N I
Zgodnie z powyższą definicją mamy a = arc cos
(u, w)
■ .
(8.6)
INI • I N I
Wektory v i w należące do przestrzeni unitarnej V nazywamy ortogonalnymi aub też prostopadłymi), jeśli (v, w) = 0 . Piszemy wtedy v ± w. Mówimy, że podprzestrzenie Wj i W2 przestrzeni unitarnej V są ortogonalne aub też prostopadłe), jeśli (wx, w2) = 0 dla dowolnych w\
[ 0 1 llocz,n SKiiirny przc'trzen e unitarne
200#}
Rozwiązanie. Ad a). Zgodnie ze wzorem (8.5) otrzymujemy równości: cosa
(»1. vz) _ 1 _ V2 |Vll l»2ll ~ V l - V 2 ~ 2 '
441. Podać przykład iloczynu skalarnego w przestrzeni wektorowej M(2, € ). 442. Dla dowolnych macierzy A = [ay ], B = [£0-] e
i=i }=1
( V l , V 2) Iw ill - I I V 2 II
V Î - V Ï 2
Wykazać, że zachodzi równość (A, B) = tr (BTA) = tr (A B T).
Stąd a = t t / 6 . Przykład 99. W przestrzeni wektorowej nionebyły warunki: [1,0] X [1, 2], ||[1,0]|
M(n, € ) iloczyn skalamy(A,B)
określony jest wzorem
Zatem a = it/4. Ad b). Podobnie jak wyżej, uzyskujemy równości: cosa
440. Podać przykład iloczynu skalarnego w przestrzeni wektorowej
• określić taki iloczyn skalamy, by speł2, 11[1, 2] 11= 4.
Rozwiązanie. Jeśli istnieje iloczyn skalamy
■0, ■■4, a + 4b + 4c- : 16.
443. Zbadać, dla jakich wartości paramétra a wektor
mowany.
(a, - , j , - , . . . ) e l2 jest unor 2 4 8
r 00 1 °° Uwaga. I2 = |( a n)~ 1 € R 00 : Y ^ al < °°}> <(«-.)S=i> (bn)%Li) = J 2 anb"n—1 n=l 444. Wykazać, że dla dowolnych wektorów u, v przestrzeni unitarnej zachodzi równość I|k + v| |2 + 1|h —v \|2 = 2(| |m| |2+1 |u| |2). Zilustrować graficznie tę równość w przy padku przestrzeni unitarnej R2. 445. Wykazać, że w rzeczywistej przestrzeni unitarnej równość ||« || = ||v|| zachodzi
wtedy i tylko wtedy, gdy u + v X u — v. 446. Wykazać, że w rzeczywistej przestrzeni unitarnej równość ||m + u|| = | | n - u | |
Stąd a = 4, b = - 2 , c = 5 i wobec tego
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy u ± v . 447. W przestrzeni unitarnej R 2 z iloczynem skalarnym określonym wzorem
([-*hi *2]) [yu y2]> = *iyi + X i y 2 4- *2^1 4 2x2y2 4 > 0,
A 2 = 16 > 0.
Zatem zgodnie z kryterium Sylvestera odpowiedź jest pozytywna. Wynika stąd, że zna leziona przez nas funkcja ę jest żądanym iloczynem skalarnym.
obliczyć kąt między danymi wektorami: a) [ 1, 0 ], [0 , 1]; b) [ 1, 0], [ 1, - 1]. 448. W przestrzeni unitarnej C(_U ) z iloczynem skalarnym (/, g) = /_^ f ( x ) g ( x ) d*
obliczyć kąt między daną parą funkcji:
g |i Zadania
a) / ( * ) = sin(7t*), g(*) = cos(n*);
b) / ( * ) = * 2, g(x) = x + y/3.
449. W przestrzeni wektorowej R 2 określić taki iloczyn skalamy, by spełnione były wa
438. Sprawdzić, czy funkcja ę : l 2 x R2.— R określona danym wzorem jest iloczynem skalarnym w przestrzeni M2:
runki:
a) (p{[xx,* 2], [yi, yj]) = * iji + *iy 2 + * 23*1 + 2*2y2; b) ę>([*lt *2], [yi, y2l) = 3*iyi + 4*iy2 + 4*2yx 4- 5*2y2; c)
b) II (1,0] U = 1, U[0,1] H = 4V2 i < ([1,0], [0,1]) =
a) [1, 0] X [1,1], [0,1] X [2,1] i U[1,0] | | = 2 ; it/4.
450. Niech V będzie przestrzenią unitarną. Wykazać, że dla dowolnych v , v x, . . . , v n
€ V warunek v X lin(vi,. . . , vn) jest spełniony wtedy i tylko wtedy, gdy u X u* dlakażdego k e {1, . . . , n}. 451. Niech V będzie przestrzenią unitarną. Wykazać, że dla dowolnych v x, . . . , v n ,
w x, . .. ,w m e V warunek lin(i)i,. . . , v„) X linfwi, . . . , w m) jest spełniony wtedy i tylko wtedy, gdy u,- X uij dla dowolnych i e {1,. .. , m), j e {1,.. •, «}•
jjga***-—
8.2. Dopetnienie ortogonalne podprzestrzeni {nienieffl ortogonalnym podprzestrzeni W przestrzeni unitarnej V nazywamy /biór nnłam tli ^Lokreślcny-- następująco:
459. Niech F = C(o,2) będzie przestrzenią unitarną z iloczynem skalarnym określonym wzorem {/, g) = / 02 f ( x ) g ( x ) dr. Niech ponadto
Wi = j / e F :
/\
/W = 0}
* 6 ( 0 ,1 )
Wx := i u e V : Ą v i weW
w \.
jnienie ortogonalne dowolnej podprzestrzeni W przestrzeni unitarnej F jest podDr°zestrzeniąPrzestrzeni
i
W2 = l f e V : / \ / ( r ) = o ł. J *e(l,2m)
Sprawdzić, że wtedy W; ■+ W2X = { / e F : /( 1 ) = o j
oraz
(Wj D W2)x = F.
Wywnioskować stąd, że w przypadku tym Wx + W¿- § (Wi (1 W2)Ł.
p i Zadania
460. Wykazać, że jeśli W\ i W2 sąpodprzestrzeniami skończenie wymiarowej przestrze ni unitarnej F spełniającymi warunek F = Wi © W2, to F = Wj1 © W^-
^52- Niech podprzestrzeń IF przestrzeni F = IR4 będzie określona następująco:
461. Niech F = C(o,i). Sprawdzić, że jeśli
W := {[*!> * 2 , -*3 . xą]
6 M4
: ^ + x 2 —*3 + x4 = x\ — x2 + *3 —x 4 = 0 }.
Wi = { / 6 F : /( 0 ) = 0}
oraz
W2 = j / e F : V
/\
/ ( * ) =
ceR jce(0,l)
Znaleźć jedną z baz podprzestrzeni 1F J „ rawdzić, że dla dowolnej przestrzeni unitarnej F zachodzą równości {0}x — V
to F = Wi © W2, ale nieprawdą jest, że F = TFX © W ^. Wskazówka. Zob. zad. 458.
popełnienie ortogonalne Ax dowolnego podzbioru A przestrzeni unitarnej F okre-
L li 8.3. Bazy ortogonalne, ortogpnalizacja
45 ’ ślamy następująco:
Ax := ju 6 F :
(v , w) = o j. ui€A
Sprawdzić, że Ax jest podprzestrzenią przestrzeni F oraz to, że jeśli A c B C F, [o Bx C Ax . Wykazać równość Ax = (lin(A))x . 4
Sprawdzić, że dla dowolnych podprzestrzeni IFi i W2 przestrzeni unitarnej F zachodzi równość (W3 + W2)x = Wx n Wx . Sprawdzić, że dla dowolnych podprzestrzeni TFj i W2 przestrzeni unitarnej F zachodzi związek Wx + Wx C (W! n W2)x .
457 W przestrzeni unitarnej l1 (zob. zad. 443) dana jest podprzestrzeń
W = { ( « „ ) ” ! e m°° : V
/\a„= o ).
M sN n>M
Wykazać, że Wx = { (0 )^ } . Wywnioskować stąd, że jeśh Wj i W2 są podprzestrzeniami przestrzeni unitarnej F, to - ogólnie rzecz biorąc - ze związku 1FX = nie wynika równość W\ = W2. -s W przestrzeni unitarnej C(o,p z iloczynem skalarnym (/, g) = / J / ( x ) g ( r ) d r ' ¿gna jest podprzestrzeń W := { / € C(0,i> : /(O ) = 0}. Wykazać, że Wx = {0}. Wywnioskować stąd, że (W -*-)-1 ^ W.
Bazę przestrzeni unitarnej F nazywamy bazą ortogonalną, jeśli wektory tej bazy są pa rami prostopadłe. Jeśli ponadto wektory bazy ortogonalnej są unormowane, to bazę tę nazywamy bazą ortonormalną. Współrzędne dowolnego wektora przestrzeni unitarnej w bazie ortonormalnej tej przestrzeni wyrażają się w szczególnie prosty sposób. Mianowicie, jeśli wektory tworzą bazę ortonormalną przestrzeni unitarnej F , to dla każdego wektora v € V zachodzi równość v = (u, ui)i/i + . . . + (u, vn)vn.
(8.7)
Jeśli niezerowe wektory v \ , . . . ,v n przestrzeni unitarnej F są parami ortogonalne, to są one liniowo niezależne. Każda skończenie wymiarowa przestrzeń unitarna ma bazę ortonormalną. Opiszemy metodę Grama-Schmidta znajdowania bazy ortonormalnej dowolnej nwymiarowej przestrzeni unitarnej F. Niech układ ( w i ,. . . , wn) będżie dowolną bazą przestrzeni F. Wektory vi, . . . , v n tworzące bazę ortonormalną tej przestrzeni okre ślamy rekurencyjnie. Przyjmujemy najpierw, że = w\/\\wi\\. Jeśli n > 1, k e {1, . . . , n — 1} i znane już są wektory v \ , v k, to wektor vk+l określamy wzorem Vft+i = 4+1 / 114+i 11>w którym V'k+l = Wk+1 ~ {Wk+l, Ul)Ul - .. . - (Wfc+i, vk)vk.
( 8 .8 )
i
204
j|f|f
Ilustrację geometryczną równości (8 .8) stanowią następujące rysunki:
ortogonaln1' ortrgo^iliz ica
^
;
_________ 1
^
= [5,1, 1,5] - [3, 3, 3, 3] - [2, - 2 ,0 , 0] = [0 , 0 , - 2 , 2], «3- ¡ l i i i = ^ [ 0 . 0 . - 2 - 2] = ^ [ 0 , 0 , - 1, 1],
l Zatem B = {\ [1,1,1,1], ^ [1, - 1 , 0, 0], & [0,0, - 1 , 1]) i wobec tego W
V2
ySW 2
= (V , V \ ) V i + (u, V2 }V2 + (u, u3)u3 = 1 - 1 4 [i; 1, 1,1] + \ ■1 [1, - 1 , o, 0] + I ( - 3 ) [0,0, - 1 , 1] = |( [ 7 ,7, 7,7] + [1, - 1 , 0 , 0] + [0,0, 3, -3 ]) = [4, 3, 5, 2].
(w2,Vl)Vl
Ul
Szukanym rzutem prostopadłym wektora v na podprzestrzeń W jest wektor w = [4,3,5,2].
Jeśli W jest skończenie wymiarową podprzestrzenią przestrzeni unitarnej V, to V = W © Wx . Jeśli V = W © Wx i v = w + w', gdzie w € W i w’ e W 1-, to wektor w nazywamy rzutem prostopadłym wektora u na podprzestrzeń W. Jeśli wektory ui, ..., u„ tworzą bazę ortonormalną podprzestrzeni W, to rzutem prostopadłym wektora u e V na podprzestrzeń W jest wektor w = (u, ui)ui + . . . + .
[ - Zadania 462.
a) v\ = I[4, 3,0], v2 = |[3 , - 4 , 0], u3 = [0, 0,1]; b) vx = |[ 1 , 4, 8 ], u2 = | [ —4, - 7 ,4 ] , u3 = |[2 , - 2 ,1 ] ;
(V , Vn ) V„.
c) m = | [ 1, 2 , 2 ], u2 = 5 [2 , 1, - 2], u3 = I[ 2 , - 2 , 1];
Przykład 100. Stosując proces ortogonalizacji Grama-Schmidta do podprzestrzeni W = lin([l, 1,1,1], [2,0,1,1], [5,1,1,5]) przestrzeni unitarnej R 4 ze zwykłym ilo czynem skalarnym, wyznaczyć bazę ortonormalną B podprzestrzeni W. Znaleźć rzut prostopadły w wektora u = [6 ,5, 3,0] na podprzestrzeń W.
463.
Rozwiązanie. Przyjmijmy oznaczenia w x = [1,1,1, 1], w2 = [2, 0,1,1], w3 = [5,1,1,5]). Obliczenia przebiegają tu następująco: w‘ = iI rN rI = 2 [1*11 v '2
=
Sprawdzić, czy dane wektory tworzą bazę ortonormalną przestrzeni unitarnej R3:
w2
a) lin([l, 1,1,1], [3, 3,1,1], [7,5, 3,1]); b) łin([2,2 ,1 ,0 ], [4,1, 8 , 2], [9, - 3 , 6 , 2]); c) lin([5, 3,1,1], [11, 5,1,1], [13,1, 3,1]);
1]’
d) lin([5, - 4 , 2 , - 2 ], [7, - 2 , 2, - 1 ], [9, 3,11, 3]);
- (w 2, Vi)m = [2 , 0 , 1 , 1 ] - ([2 , 0 , 1 , 1 ], i [ 1 , 1 , 1 , l ] ) i [ 1 , 1 , 1 , 1 ]
= [2 , 0 , 1, 1] - |<[2 , 0 , 1, 1], [1, 1, 1, 1])[ 1, 1, 1, 1] = [2,0,1,1] - | • 4 • [1,1,1,1] = [1, - 1 , 0 , 0], U2
e) lin([l, 2, - 3 ,1 ] , [4, 3, - 3 , - 4 ], [ - 9 , 2 , 4 , 2]). 464.
465.
V3 = W J - ( W j , V i ) v x
- (U)3, V2 ) v 2
- ([5,1,1,5],21I [1,1, 1, l]) i [ 1 , 1 , 1, 1] - ([5,1,1,5], j . [1, - 1 , 0 , 0 ] ) ^ [1, - 1 , 0 , 0]
[5,1,1,5]
= [5,1,1,5] - 1 • 12[1,1,1,1] - i ■4[1, - 1 , 0 , 0]
d) ui = 1[6, - 2 , - 3 ], u2 = I[3, 6 ,2], u3 = f[2, - 3 , 6 ], Stosując proces ortonormalizacji Grama-Schmidta, znaleźć bazę ortonormalną da nej podprzestrzeni przestrzeni unitarnej R 4 z kanonicznym iloczynem skalarnym:
W przestrzeni unitarnej C(_i,i) z iloczynem skalarnym (/, g) = / j j f ( x ) g ( x ) dx znaleźć bazę ortonormalną podprzestrzeni lin(l, X, x 2). Wyznaczyć rzut prostopadły wektora u na podprzestrzeń W przestrzeni unitarnej R4: a) u = [7,11, - 7 ,5 ] , W = lin([l, 1, - 1 , -1 ]); b) u = [5,0,7,1], W = lin([l, 1,1,0]); c) u = [7, 6 , 5, - 5 ], W = lin([l, 2,0,2], [7,4,4, 6 ]); d) u = [9 ,-1 ,1 1 ,1 1 ], W = li n ( [ l , 3 , 5 , 1], [3,1,13,1]);
e) v = [7, 5,1,10], W = lin([3, 0,4,0], [6 ,4, 8 , 3], [4,4, - 3 , 3]); f) v = [7, 5,1, - 5 ], W = lin([3, 9, - 1 , 3], [3, 1,9, - 3 ], [8 , 2,4,4]); g) v = [4, - 4 , 8 ,4], W = lin ([3 ,1, 1, 5], [7, 3, 3, 9], [5,1, —5, 5]); h) u = [1, 1, - 1 , 3], W = lin([l, 1,1, - 1 ], [2, 0, 3,1], [1, 3,5,1]); i) u = [5,4, - 3 , - 4 ], W = lin([l, 1,1,1], [5, 5, 9,1], [4,7, 7,4]); j) u = [5, 7 , 4 , - 4 ] , W = lin([l, —1,1, —1], [7, —5,5, —7], [—3 , 1 , 1 , 1]). 466. Podprzestrzeń W przestrzeni unitarnej V = R 5 określona jest następująco: W = lin([l, - 2 , 1,2, - 5 ], [1, - 1 , 1, - 2 ,4 ] , [1, 2, 5, - 2 , 1], [1, - 3 , 0, 0,1]). Nie wyznaczając bazy ortonormalnej podprzestrzeni W, znaleźć rzut prostopadły u) wektora v = [9, 5, 2, 6 ,11] na podprzestrzeń W. 467. Niech V = R4, W = łin([l, - 1 , 1 , - 1 ] ) i v = [5, 5,7, - 1 ], Wyznaczyć rzut prostopadły wektora v na podprzestrzeń W3-.
*— ■*T Macierz A e GL(n, C) nazywamy macierzą unitarną, jeśli A~l = A '. Niech A = ( C i , . . . , C n) e M(n, € ), gdzie C i , . . . , C„ oznaczają kólumny macierzy A. Macierz A jest unitarna wtedy i tylko wtedy, gdy (C,-, Cj) = Sij dla i, j e (1 ,.. .,« }, gdzie {•, ■) jest kanonicznym iloczynem skalarnym w przestrzeni wektorowej Cn. Jeśli V jest przestrzenią unitarną skończonego wymiaru i B jest bazą ortonormalną w przestrzeni V, to endomorfizm ę przestrzeni V jest przekształceniem unitarnym wtedy i tylko wtedy, gdy macierz M b (
468. Sprawdzić, że dla dowolnej podprzestrzeni W przestrzeni unitarnej V zachodzi in kluzja W c (W1-)-1-. Wykazać, że jeśli ponadto dim W < oo, to zachodzi równość (W-1)-1- = W. 469. Wykazać, że jeśli V jest skończenie wymiarową przestrzenią unitarną, to dla do wolnych podprzestrzeni Wx i W2 tej przestrzeni prawdziwy jest związek
w2-+ w2 = (wxn w2)x.
470. Niech B = (vx, . . . , v n) będzie bazą przestrzeni wektorowej V i niech C = O i , . . . , wm) będzie bazą ortonormalną przestrzeni unitarnej W. Wykazać, że je śli
I
M b (
Ai 0
0 ... A2 . . .
0
0
0
K
0
Ostatnie twierdzenie ma następujący odpowiednik dotyczący przestrzeni unitarnych rzeczywistych: Jeśli
8.4. Przekształcenia i macierze unitarne
Niech (Vi, {•, ->i) i ( V2, (-, -)2) będą przestrzeniami unitarnymi. Przekształcenie liniowe ¡p :Vi -> V2 nazywamy przekształceniem unitarnym, jeśli spełniony jest warunek (PU)
A
m b (
cosai —sinai sinai cosai
((P(v),
V,W€V\ Uwagi. 1° Jeśli Vx i V2 są rzeczywistymi przestrzeniami unitarnymi, to zamiast „przekształcenie unitarne” mówimy też „przekształcenie ortogonalne”. 2° Zamiast (•, O i {•, -)2 często pisze się po prostu (-, •). Każde przekształcenie unitarne jest różnowartościowe. Niech Vj i V2 będą przestrzeniami unitarnymi i niech funkcja ę : Vx V2 będzie przekształceniem liniowym. Jeśli dim V\ < oo, to następujące warunki są równoważne: (I) ę jest przekształceniem unitarnym; (U) ||
cosa* —sma* sina* cosa*
Zadania 471. Sprawdzić, że dana macierz jest unitarna: V2 I r V2 4 3 2 2 5 b) a) 53 4 ■ji V2 5 _ 2 2 _ 5
c)
2(1 + 0
_ 2 (1 — 0
|( 1
0
5(1 + o
r
i
2
2 1
3
3
3
1
2
3
2
3
3
2
1
3
3
3 _
2
d) _
e)
i
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
' i 2 1 2 1 2 1 2
Geometria afiniczna
472. Wykazać, że macierz diagonalna 0
X] 0 0 0 X2 0 0
0
0
0
6 M(n, C)
...
jest unitarna wtedy i tylko wtedy, gdy |Xfc| = 1 dla każdego* € {1, 473. Wykazać, że jeśli A jest macierzą unitarną, to | det A | = 1. 474. Wykazać, że jeśli A jest macierzą unitarną, to macierz AT też jest unitarna. Wy wnioskować stąd, że macierz A jest unitarna wtedy i tylko wtedy, gdy wiersze ma cierzy A tworzą układ ortonormalny względem kanonicznego iloczynu skalarnego w przestrzeni C". 475. Wykazać, że macierze unitarne należące do GL(ra, € ) tworzą grupę. (Grupę tę oznacza się przez U(n).) 476. Wykazać, że macierz przejścia od bazy ortonormalnej do bazy ortonormalnej skoń czenie wymiarowej przestrzeni unitarnej jest macierzą unitarną. 477. Wykazać, że jeśli macierz unitarna A jest gómotrójkątna, to jest ona diagonalna. 478. Wykazać, że jeśli macierz unitarna A jest dolnotrójkątna, to jest ona diagonalna.
l
9.1. Przestrzenie afiniczne
Przestrzenią afiniczną nazywamy trójkę (A, F, co), gdzie A jest zbiorem, V jest prze strzenią wektorową nad dowolnym ciałem K oraz cojest funkcją taką, że &>: A x A —> V i spełnione są warunki: (PA 1) dla dowolnych elementów p e A i v e V istnieje dokładnie jeden element q e A taki, że co(p, q) = v, (PA2) = co(p, r).
dla dowolnych elementów p, q, r e A zachodzi równość co(p, q)+co(q, r)
Jeśli dla danego zbioru A wiadomo, o jaką przestrzeń afiniczną (A, V, co) chodzi, to często dla uproszczenia wypowiedzi sam zbiór A nazywamy przestrzenią afiniczną. Ele menty zbioru A nazywamy punktami przestrzeni afinicznej, natomiast wektory należące do zbioru V nazywamy wektorami swobodnymi przestrzeni A.
479. Wykazać, że każda wartość własna endomorfizmu unitarnego ma moduł równy 1. 480. Wykazać, że jeśli ę jest endomorfizmem unitarnym przestrzeni unitarnej F , to jego wektory własne o parami różnych wartościach własnych są ortogonalne.
p
^ ^ rMq q)
Umowa. Niech n e I i niech K będzie ciałem. Jeśli element zbioru K n traktuje my jako punkt przestrzeni afinicznej, to zapisujemy go w postaci (a\ , . . . , an). Ten sam element traktowany jako wektor zapisujemy w postaci [a\ , . . . , an). Niech (A, V, co) będzie przestrzenią afiniczną i niech p e A. Funkcję cop : A -*■ V określoną wzorem cop(q) = co(p, q) nazywamy mapą liniową zaczepioną w punkcie p. Układ (cop)psA nazywamy atlasem liniowym. Wprost z warunku (PA 1) wynika, że każda mapa liniowa jest bijekcją. Wymiarem przestrzeni afinicznej (A, V, co) nazywamy wymiar przestrzeni wektoro wej V. Niech V będzie dowolną przestrzenią wektorową. Przez przestrzeń wektorową V z kanoniczną strukturą afiniczną rozumiemy przestrzeń afiniczną (V, V, co), gdzie funk cja to : V x F -» F jest określona wzorem to (w, w) = w —v, przy czym znak —oznacza tu odejmowanie wektorów. W szczególności przestrzeń K n z kanoniczną strukturą afi-
.211
niczną nazywamy «-wymiarową przestrzenią afiniczną współrzędnych (nad ciałem K). jeśli (A, V, co) jest przestrzenią afiniczną, to dla każdego punktu p e A zachodzi równość co(p, p) = 0 . Jeśli (A, V, co) jest przestrzenią afiniczną, to dla dowolnych punktów p , q e A za chodzi równość co(q, p) = —co(p, q). Niech (A, V, co) będzie przestrzenią afiniczną i niech p e A oraz v e V. Jedno znacznie określony punkt q e A spełniający warunek co(p, q) = v, nazywamy sumą punktu p i wektora v. Sumę tę oznaczamy przez p + v. Sumę p + (—u) nazywamy różnicą punktu p i wektora v. Różnicę tę oznaczamy przez p — v. Zgodnie z podaną definicją dla dowolnych p , q e A i v € V mamy q= p+v
(9.1)
Jeśli (A, F, co) jest przestrzenią afiniczną, to dla dowolnych punktów p , q e A i wektorów v, w e V zachodzą równości: p + co(p, q) co(p, p + v) co{p + v ,q ) co(p, q + v) + v, q + w) (p + v) + w
— q; = v; = co(p, q) — v; = co(p, q) + v ; = co(p, q) + w — v; = p + (v + w).
(9.2) (9.3) (9.4) (9.5) (9.6) (9.7)
Dla dowolnych punktów p, q e A i dowolnych wektorów v, w e V prawdziwe są następujące implikacje zwane prawami skracania: p + v = p + w ==>■ v = w, p + v = q + v =$■ p = q.
(9.8). (9.9)
W przestrzeni K nz kanoniczną strukturą afiniczną dla każdego punktu ( x i , . . . , xn) e K n i każdego wektora [yi, . . . , y„] e K n zachodzą równości: (*1, ... , * „ ) + [yi, . . . , y„] = (*i + yi, (xu . .. ;x„) - [y i,. . . , y„] = (*i - yi,
+ y„), - y„).
(9.10) (9.11)
Przykład 101. W przestrzeni afinicznej M4 z kanoniczną strukturą afiniczną obli czyć: a) ©((4,7, 8 , - 6), (5,7, 9,1)); b) (1, - 4 , 5 , 0 ) + [3, 5,4, 6 ], Rozwiązanie. Ad a). Zgodnie z określeniem przestrzeni afinicznej IR4 otrzymujemy równości ©((4,7, 8 , - 6 ), (5,7,9,1)) = [5,7, 9,1] - [4,7, 8 , - 6] = [1,0,1,7]. Ad b). Zgodnie ze wzorem (9.10) natychmiast otrzymujemy równość (1, - 4 , 5,0) + [3,5,4, 6] = (4, 1, 9 , 6 ).
Przykład 102. Niech A = R+ x R+, F = R 2 i niech funkcja © : A x A — F bę dzie określona wzorem ©((xi, x2), 'Oh, y2)) = [log2(yi/*i), log2(y2/x 2)]. Sprawdzić, że trójka (A, V, co) jest przestrzenią afiniczną. Rozwiązanie. Ad (PA 1). Niech p = (alt a2) e A i niech [bu b2] 6 V. Wykażemy, że równanie co(p, q) = [bi, b2] o niewiadomej ą ma dokładnie jedno rozwiązanie ą e A. Podstawiając q = (x i , x 2), widzimy, że rozważane równanie jest równoważne z układem równań 1log2 * 1— = Ł bu' ai i *2 . log2 — = b2. 0-2
Jedynym rozwiązaniem tego układu jest jti = a{2bl, x2 = a22bl. Wobec tego q = {a\2bl, a22bl). Jasne jest, ż e q e A. Ad (PA 2). Niech p , q , r € A i niech p ■ (*u X2), q = (yi, y2) i r = (Zl, z2), Wówczas co(p,q)+co(q,r)
^1 ł ^2 iit)g2 — h , log , 2— y* + 1log2 — , log2 — X\ x2 yi yz.
= [log 2 ( 2 1 . £ i ) , l o g 2 ( ^ . £ i ) l \^i y i) \*2 yz/. Zatem postulat (PA 2) jest spełniony.
:l
i Zl l 22 l°g 2 — X\ , l°g 2 ~ x2
: co(p,r).
Zadania
481. Niech V będzie dowolną przestrzemą wektorową i niech funkcja co : V x V -> V będzie określona wzorem co(v,w) = w — v. Sprawdzić, że trójka (F, F, co) jest przestrzenią afiniczną. 482. Niech F będzie dowolną przestrzenią wektorową i niech funkcja ą : F x F - > F , gdzie a jest ustalonym skalarem, będzie określona wzorem coa(v, w) = a (w — v). Sprawdzić, dla jakich a e K trójka (F, F, coa) jest przestrzenią afiniczną. 483. Wyprowadzić równości (9.10) i (9.11). 484. W przestrzeni afinicznej M4 z kanoniczną strukturą afiniczną obliczyć: a) ©((3,1, 0, 5), (7, 1, 8 ,4)); b) (1, - 4 , 5 , 0 ) + [3,5,4, 6 ]; c) ( 1 , - 4 , 5 , 0 ) + [9,4, 8 , 3]. 485. Wykazać równości (9.2)-(9.7). 486. Wyprowadzić prawa skracania (9.8) i (9.9). 487. W przestrzeni afinicznej R+ x M+ z przykładu 102 wyprowadzić odpowiedniki wzorów (9.10) i (9.11), a następnie obliczyć: a) ©((2,1), (4, 8)); b) (1,5) + [4,0]; c) (8 ,7) - [1,5].
^ ~ rr " f
,"> ^’C^G/oraebiąa
488. Niech n e N i niech Fi, . . . , F„ będą przestrzeniami wektorowymi nad tym samym ' ; ciałem K. Sprawdzić, że jeśli (Ai, Vu coi ) , . .. , (A„, F„, con) są przestrzeniamiafinicznymi i funkcja co : (Ai x ... x A„) x (Ai x . . . x A„) -» Vj x . . . x Vn jest określona wzorem co((pu ■■■>Pn), (9i. ■• • >In)) = (
r
przekrój dowolnej niepustej rodziny (p, + Wt)teT podprzestrzeni afinicznych prze strzeni afinicznej A jest zbiorem pbstym lub podprzestrzenią afiniczną przestrzeni A. Dla każdego niepustego podzbioru B przestrzeni afinicznej A istnieje najmniejsza (w sensie inkluzji) podprzestrzeń afiniczna przestrzeni A zawierająca B. Najmniejszą podprzestrzeń afiniczną przestrzeni A zawierającą zbiór B ozna czamy przez af (B). Jeśli B = {pi ,. . . , p„}, to zamiast af ({pi,. . . , p„}) piszemy af(pi> • • • >Pn)Układem bazowym przestrzeni afinicznej (A, F, co) nazywamy każdą parę (po, (wr)isr), gdzie p0 £ A i (ur)rer jest dowolną bazą przestrzeni F. Przykład 103. Znaleźć przedstawienie liniowe poniższej podprzestrzeni M prze strzeni afinicznej R 4 i określić jej wymiar: i xi - x2 — *3 — 6x4 = 4, ' 1 2xi — 5x 2 — x 2 — 7^4 = 9.
9.2. Podprzestrzenie afiniczne
Niech trójka (A, V,co) będzie przestrzenią afiniczną. Dla dowolnego punktu p 6 A i podprzestrzeni W przestrzeni F podzbiór p + W określamy następująco: p + ł F : = { p 4 - i u : u ) e W}. podprzestrzenią przestrzeni afinicznej A (lub też podprzestrzenią afiniczną prze_' A) nazywamy każdy podzbiór przestrzeni A, który jest postaci p + W, gdzie p e A i W jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej F . Przedstawienie podprzestrzeniafinicznej w postaci p + W nazywamy przedstawieniem liniowym tej podprzestrzeni. jeśli zbiór p + W jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni A, to dla każdego punktu q g p + W zachodzi równość p + W = q + W. Jeśli dla pewnych punktów p u p2 £ A i podprzestrzeni Wu Wz przestrzeni F zachodzi równość pi + Wi = p2+ W2, to Wi = W2. Zatem każdapodprzestrzeń afiniczna wyznaczajednoznacznie pewną podprzestrzó wektorową. Mówimy, że podprzestrzeń afiniczna p\ + IFj jest równoległa do podprzestrzeni l p2+ W2 przestrzeni afinicznej A, jeśli W\ c W2. Jeśli Wi = W2, to o podprzestrzeniach tych mówimy, że są one ściśle równoległe. / Niech zbiór p0 + W będzie podprzestrzenią przestrzeni afinicznej (A, F, co) i mech funkcja co': (po + W) x ( p o + W) -> W będzie obcięciem do podzbioru (po + W) x ( po + ^ funkcji co. Wówczas trójka (po + W, W, co') jest przestrzenią afiniczną. Fakt ten można sformułować następująco: każda podprzestrzeń afiniczna jest przestrzenią afi niczną. Podprzestrzeń afiniczną o wymiarze 1 nazywamy prostą. Podprzestrzeń afiniczną o wymiarze 2 nazywamy płaszczyzną. H Podprzestrzeń afiniczną o wymiarze n — 1 przestrzeni afinicznej o wymiarze n na zywamy hiperpłaszczyzną. Każda hiperpłaszczyzna w przestrzeni afinicznej K n z kanojuczną strukturą afiniczną ma równanie postaci
strzeni
oijci + . . . + anxn = a , gdzie fli, • • •. a«, a e K oraz a,- ^ 0 przy pewnym i £
Rozwiązanie. Rozwiązujemy najpierw układ równań określający podprzestrzeń M: ' 1 -1 2
-5
-1 _1
-6 4 ‘ ' 1 -1 _ 7 9 —>■ 0 - 3
-1 -6 4 ' ‘ 1 -4 —^ 1 5 1_ _ 0 -3
0 -1 5 ' 1 5 1
Widać stąd, że dany układ równań ma rozwiązanie xi = 5 + As + t, x2 = s, x 2 = 1 + 3s — 51, Xą =
i,
gdzie s , t £ R. Wobec tego dla każdego punktu (jci, x2, x 2, x4) £ M przy pewnych i , t £ R zachodzą równości (xu x2, x3, x4) = ( 5 + 4s + t,s, l + 3s —51, t) = (5,0,1,0) + [4s + 1, s, 3s — 51, r] = (5,0,1,0) + s[4,1, 3, 0] + r[ł, 0, - 5 ,1 ] . Wynika stąd równość M = (5, 0,1, 0) + lin ([4,1, 3, 0], [1, 0, —5,1]). Ponieważ wek tory [4,1, 3, 0] i [1,0, —5,1] są liniowo niezależne, więc dimM = 2. Zatem M jest płaszczyzną. Przykład 104. Znaleźć układ równań określający płaszczyznę M = (7,4, 5,9) + lin ([3,1,2,4], [7, 3,5,8]). Rozwiązanie. Niech ( x i,x 2, x3, x4) £ R4. Warunek (xt, x2, x3, x4) £ M jest speł niony wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie liczby r, s £ R, przy których zachodzi równość (*!, x 2, x3, x4) = (7,4, 5,9) + r [ 3 , 1, 2,4] + s[7,3,5, 8].
(9.12)
Zatem (*i, *2, x 3, x4) e M wtedy i tylko wtedy, gdy poniższy układ równań o niewia; domych r i s ma rozwiązanie 3r r 2r 4r
+ + + +
Is 3s 5s 8s
= x\ = x2 = x3 = xą
—7, —4, — 5, — 9. :5 fj|
Rozwiązujemy ten układ równań, kolejno otrzymując '3 1
7 3
2 5 4 8
*i
— 7 *2
*3 *4
—4 —5 —9
W\ m- Wi - 3W2 W3 w - W3 - 2W2 W ą Hi- W4 - 4W2
■~S' "0 - 2 1
0 -1
0 -4
Wi Hi- Wi - 2 W3 " 0 Wą m- W4 - 4 W3 1 ----------------------- ^
*2
—2*2 + —4*2
*3
—1
3
—4 +3
0
*2 — 2*3 *2 — 2 * 2 + *3 4*2 — 4*3 + *4
■
+ 3
+
0 Xl +
0 -1 0
+5~ —4
* 1 — 3*2
3
*4
+ 7
|fS
Zadania
p+491. Znaleźć przedstawienie liniowe danej prostej a) *i = 3 + 1, *2 = 4 — t, * 3 = 6t; b) c) af ((1, 1,1), (5, 6 , 7)); d) *1 + 3*2 + 4*3 = 4, ~ e) 3*i + 8*2 + 5*3 = 11;
492. Znaleźć przedstawienie liniowe danej podprzestrzeni M przestrzeni afinicznej i określić jej wymiar: a) af ((1, 2, 3,4), (8 , 5, 7, 9)); b) af ((1, 0,0, 1), (2, 1,4, 5), (1, 0 ,1 ,1 )); c) af ((0, 2, 1, 3), (2, 3, 4, - 1 ) , (4 ,4 ,7 , - 5 ) ) ; d) *i —*2 —9*3 — 8 * 4 = 1 ; e ) 4 * i + 5*2 — 3*3 — *4 = —8 ; f)
—5
h) Widać stąd, że równanie (9.12) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzą równości Xi +
X2 — 2*3
= 1,
Otrzymany układ równań określa płaszczyznę M. Co więcej, przedstawia on płasz c/\/nc M jako część wspólną dwóch hiperpłaszczyzn, gdyż każde z równań tego układu określa pewną hiperpłaszczyznę w przestrzeni M4.
—S -3
2+ 5 9 + 3t
2 + i
—2
= rz
—5
_ -3
0 8 + 2r
*i — *2 + *3 + x 4 = 7, *i + 5*2 — 2*3 = 18, 3*i + 3*2 —4*3 — 2*4 = 12;
*i = l +
493.
2 -2 + i _ 494.
Jasne jest, że rząd ostatniej macierzy jest nie większy od 1 wtedy i tylko wtedy, gdy .s = —l i t = —4. Zatem co(po, p{) = [1,1,2] i wobec tego / = (4, —1, 3) + lin ([1,1.2])
1, 3;
8*4 =
g) i 2x1 — 6x2 + 5x3 ~ 3x4 = 5> { 3 * i - 9 * 2 + 7 * 3 - 4*4 = 8 ; *1 + 2 * 2 +
i)
1, *3 = 5?, *4 = 4 — 3i; 4s + 8 i, 3s + I t , 1) 5s + 51, 5s + 91;
r + As + 31,
*3 +
*4 = 1,
*i + 4*2 + 5*3 + 3*4 = 7, 5*i + 9*2 + 3*3 + 4*4 = 2; *1 = 5 + r — s *2 = 6 — 3r + 4s *3 = 2r + s *4 = 2 — v + 3s
— t, + 6 1, + It, + 7i;
+ 8s + 5i, —4s + i, m) 1) + s + 4i, + I s + 8i. Znaleźć układ równań liniow ych określający daną podprzestrzeń afiniczną prze strzeni M4: a) ( 3 ,1 ,9 ,- 1 ) + lin ([4, 3 , - 6 , 1]); b) ( 1 , 0 , 1 , 1 ) + lin ([3, 5 ,7 , 8 ]); c).(l, 6 , 7, 5) + lin ([1, 5, 4, 4], [1, 4, 2, 3]); d) (3, 6 , 8 , 6 ) + lin ([2, 5, 7, - 3 ] , [1, 3 ,4 , - 1]); e) (3, 5, 0, 5) + lin ([1, 1, 9, 0], [2, 1, 7,1], [3,4, 8 ,4]); f) (0, 0 ,1 , 3) + lin ([1, 1, 0, 0], [0, 1, 7,10], [0,0,5,7]). *2 = 3 + 4r + Ss + 51, *3 = 9 + 7r + 6 s + 7 1, *4 = 5 + 6 r + 2s + 4 i;
Rozwiązanie. Dowolne punkty p\ € l i i p 2 e l2 można przedstawić w postaci Pi = (4 —s, 1+ s, 5) i p 2 = (1, 8 + 3i, 1 + i), gdzie s, t e E. Punktypo, p \ i p i \ leżą na jednej prostej wtedy i tylko wtedy, gdy wektory co(po, pi), = [—5 ,2 — s.2j i co(po, p i) = [—3 ,9 + 31, —2 + i] rozpinają co najwyżej jednowymiarową podprze ; strzeń przestrzeni wektorowej E 3, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy rząd odpowiedniej macierzy nie przewyższa liczby 1. Mamy rz
3 * i — 4 * 2 + 5*3 + 7 * 4 = 4 * i — 5*2 + 4*3 +
j) *1 = 9 + t, *2 = *1 = 7+ r + *2 = 1+ r + k) *3 = r + *4 = r +
4*2 —4*3 + * 4 = 5.
Przykład 105. W przestrzeni afinicznej M3 znaleźć prostą l przechodzącą prze? j punkt po — (4, —1,3) oraz przecinającą proste l\ = (4, 1,5) + lin ([—1,1,0]) i l2 = ( 1, 8 , 1) + lin ([0,3,1]).
w przestrzeni afinicznej E 3: x t = 31, x 2 = 4, *3 = 7 + i; af ((1, 0, 1), (9, 8 , 9)); i *1 + *2 *3 = —1, [ 4*i + *2 — 2*3 = 0.
*1 = 4 + r *2 = 3r *3 = 1 + 4r *4 = 5r
Zbadać wzajemne położenie danych prostych Zi i l2 w przestrzeni afinicznej E 3: , , f 3*i + 4*2 + 2*3 = 3, , . i *i + *2 + 2*3 = 4, 1 [4*i + 5 * 2 + 3*3 = 5, \ 3*i — *3 = 1;
rz&mis
(¡g ira
i *1 + 4^2 + 3X3 = 1> b ) ll : 1 2 x i + 5 x 2 + 4 x 3 = 5 , i 2xi + x2 +
^
1
: |
x2
+
d) h : {i; i g X ¿1 z 5; ') '> ; i 4S + « i £
Z U.
J
2
x i + 3 x 2 + 8x 3 =
' 1 3 x i + 4x 2 +
9x3
13,
=
19;
fe = <'• >•«■+“” a5’ - 3’ >»■
497. Niech A =
fe = ( 1 , 1,3 ) + lin ([4,5, -71);
o '>: { £ ; + £ : £ : S : 495.
Xi + 2x2 + 4x 3 + X4 = 3, 3xi + 3x2 + 5x 3 + 4x4 = 4; h) af ((1 ,0 , 1, - 1 ) , (4, - 1 , 4 , - 2 ) , (3, 0 ,5 , - 3 ) ) , af ((0, 0, 0, - 2 ) , (5, 0, 5, - 7 ) , ( - 5 ,4 , 5, - 5 ) ) ; 1) af (( 1 ,1 ,0 ,0 ), (3, 3, 1,4), (6, 6, 2, 7)), a f((0 ,0 , 1, 1), (0 ,0 , 2 ,7 ), (1,1, 2, 6)).
2 ' 1 4 x i + 7 x 2 + 6x 3 = 2 ;
x 3 = 6, 3x3 = 4,
g) af ((0, - 2 ,1 , 1), (4 ,0 , - 3 , 3 ) , (2 ,0 , - 1 ,1 ) ) ,
7 . i 2 xi —7X2 —4X3 — 8 ,
^ a .a u + E n a i.Ł m
Z b a d a ć w z a je m n e p o ło ż e n ie d a n e j p ro s te j
l
i p ła s z c z y z n y
L
w p r z e s t r z e n i a fin ic z -
n e j IR4 : a)
b)
{ 3* ; + g
( 1 . 0 , 2 , 1 ) + l i n ( [ 3 , —4 , 1 , 1 ] ) ,
( 1 , 2 , 0,4 ) +
lin ( [ 1 ,
+ £
{¿ ]X ttX tT +t
1 , 1 , 1] ) ,
498. Dla danej podprzestrzeni B przestrzeni afinicznej R 3 znaleźć taki nkłaH (p0, p i , . . . , p n) punktów, że n = dim B oraz B = af(p0. p i , . . . , p „ ) :
Z \
= ó -'
c)
( 0 ,1 ,0 ,2 ) + lin ( [2 ,1 , 3 , 5 ]),
( 3 , 4 , 0 , 1 ) + l i n ( [ 1 , 0 , 2 , 7 ] , [4 , 3 , 5 , 1 ]);
d)
( 1 , 0, 1 , 0) + l i n ( [2 , 4 , 1 , 1 ] ) ,
(0 , 1 , 1 , l ) + l i n ( [ 1 , 0 , 1 , 3 ] , [ 1 , 2 , 0 , 1 ] ) ;
i Xl
\ A 1 < 3) « o « -7W e ) a f ( ( 4 , 1 , —5 , 3 ) , ( 5 , —2 , —5 , 7 ) ) ,
0
496.
+ *
( 5 ,4 ,0 ,1 ) + !in ([ 2 ,1,3, 0]),
{^ + £
+ 3 x 2 + X 3 + 2X 4 = 8 , ^ ^ ^ = 5;
+ £
; £
1 \
g ) a f ((1 , 3 , 3 ,1 ) , ( 1 ,4 , 5 ,4 ) ) ,
a f ((0 , 3 , 0 , 1 ) , ( 1 , 7 , 5 , 1 ) , (5 , 5 , 1 , 4 ) ) ;
h ) a f ( ( 1 ,0 ,0 ,0 ) , (4 ,1 , 3 ,1 ) ) ,
a f ( ( 0 , 0 , 1 , 0 ) , ( 1 , 0 , 5 , 0 ) , ( 8, 3 , 6 ,
Li
Z b a d a ć w z a je m n e p o ło ż e n ie d a n y c h p ła s z c z y z n
i
L2
{(x i,x 2,X3) € M3 : Xj + x:2 + X3 = 5}, V = R2 oraz
a) (1 ,1 , 1) + lin ([5, 5,4]); b) (—1, 0, 2) + lin ([l, 0 ,4 ], [0,1,4]); c) (0, 1 , 1 ) + lin ( [ 1 ,- 1 ,1 ] , [7, 1,5], [2 ,2 ,1 ]).
499. Znaleźć przedstawienie liniowe prostej l w przestrzeni afinicznej R3, która prze chodzi przez dany punkt p 0 i przecina dane proste l\ i l2: a) (1, 5 ,1 ),
(0, 2 ,1 ) + lin ([3 ,1 ,4 ]),
(0, 3 ,5 ) + lin ([2, - 1 , 2]);
b) ( 1 , 1, 0 ),
(1 ,4 , 0) + lin ([1,1, 1]),
([0, ,1 1,,--1 ]); (5, 7, 6) 6 ) + lin ([0
c) ( 1, 0 , 1),
(3,1,5) + lin ([1,2,5]),
d) ( 1, 0 , 0 ),
(1,1, 1 ) + lin ([3,4,7]),
2xi —x 2 + x 3 = 7, 4xj - x2 —x 3 = 3;
3 )).
w p r z e s t r z e n i a f i n ic z -
5xi + x2 ■■3X3 a : 5; .
3 x j + 5 x 2 ■ ■4x3
nej M4: a)
(0 , 0 , 0 , 1 ) + lin ( [ 1 , 0 , 1 , 0 ], [ 5 , 1 , 4 , 1 ] ) ,
e) (1, 5, —1),
( 1 , 1 , 1 , 1 ) + lin ( [ 2 ,1 ,1 ,1 ] , [ 4 ,1 ,3 ,1 ] ) ; b ) ( 1 , 0 , 0 , 1 ) + lin ( [ 1 ,1 , 5 , 4 ] , (2 , 1 ,5 , 3 ]), ( 2 , 1 , 0 , 0 ) + l i n ( ( 1 , 1 , 1 , 0] , [ 1 , 1 , 2 , 1 ] ) ; Xl + 2 x 2 +
X3 +
X4 = 2 ,
i
1 2xi + 7x2 — 5x3 + 6x4 = 4;
i xi —4 x 2 + 3x 3 —x4 = 1, 1 2 x i — 5x 2 — X3 — X4 = 0,
f 3xi —7 x 2 + 5x3 —2 x4 = 4, | 4 x i — 9x 2 + X3 — x 4 = 8 ;
i xi +
x2 +
X3
= 3 ,
[ x i + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 6 ,
Xi +
4x2 +
4 x 3 + 3x 4 = 9,
[ 2xi +
x2 +
3x3 + 5x4 = 6 ;
|
f) (6 , - 1 , 0 , 0) + lin ([ 1, - 1, 2 , 1], [6 , - 2 , 1 , 1]), Xi + 2 x 2 +
{
x 2 — X4 = 2 ,
3xi + 7x2 + 2x3
= 5;
f) (1 ,3 ,5 ),
xj + 2x2 —*3 = 2 , 2xi —4x2 + X3 = —2,
g) ( 1, 1, 1),
3xj
X l + 6 x 2 + 3X3 + 4 x 4 = 0 ,
1 xi + 5x2 + 3x3 + 3x4 = 1.
Xi + x 2 —x 3 = —1, xi —2x2 + 4 x3 = 10,
Xl
■x2 + X3 = 5, •x 2 —X3 = 1,
3xj —x 2 —2x3 = 0, Xl + X2 + x 3 = 9; Xi + 2 x 2 — x 3 = 5 , 5 x i + 4 x 2 — 3x 3 =
13;
i 2xj + x 2 —2x 3 = 1, | 4xi — x2 — x 2 = —4.
500. W przestrzeni afinicznej R 4 znaleźć prostą l przechodzącą przez punkt po oraz przecinającą prostą l i płaszczyznę L, jeśli a) po = (1 ,0 ,1 ,0 ), ( = (1,1, 5 , 4 ) + lin ( [0 ,- 2 , 1,1]), L = (1 ,1 ,1 ,1 ) + lin ( [1 ,1 ,1 , 0 ] , [ 0 , 3,4, 3]); b) po = (1 ,2 ,4 , 5), l = (0, 0 ,0 ,2 ) + lin ([0 ,0 ,1 ,1 ]), L = ( 1, 0 , 0 , 1) + lin ([0 , 1, 1, 0], [ 1, 0 , 0 , 2 ]).
istnieje płaszczyzna p + W spełniająca 501. Zbadać, czy w przestrzeni afinicznej dane warunki: a) (1 ,4 ,1 ,4 ), (5,9,4, 8), (1, 6 , 2, 5) 6 p + W, [8 , 0, 1, 3] e W; b) (3,0 , 1,1), (O, l , 0 , ł ) € p + W, [1, 2, 3, 0], [4, 3, 7, 1] e W ; c) ( 1,1 ,1 ,1 ), (1 ,2 ,3 ,4 ) e p + W, [2, 3 ,1 ,2 ], [2,4, 3, 5], [4 ,7 ,4 ,7 ] e W; d) (1,0 ,0,1) e p + W, [2, 5, 1, 3], [4, ł, 4, 2], [O, 9, - 2 ,4 ] e W. 502. Wykazać, że prosta przechodząca przez dwa różne punkty p x = (aj, a2) i p 2 (¿>i, b2) przestrzeni afinicznej R 2 ma równanie: ■*i *2 1 *1 ■a\ x2 - a 2 = 0 ; a x a2 1 = 0. b) a) bi - Ul b2 — a2 bi b2 1
II o
o;
503. Korzystając z zadania poprzedniego, znaleźć równanie prostej przechodzącej przez dane dwa punkty przestrzeni afinicznej M2: a) pi = (4,4), p2 = (7 ,10); b) pi = (8 , 1), p 2 = (5, 2); c) pi = (1.1). P2 = (9,11); d) p i = (1,4), p 2 = (5,11). 504. Wykazać, że jeśli punkty p i = (au a2, a3), p 2 = (bx, b2, b3), p 3 = (cu c2, c3) przestrzeni afinicznej R 3 nie leżą na jednej prostej, to płaszczyzna af(pu p 2, p 3) ma równanie: 1 * i *2 *3 *i — ax * 2 - a 2 * 3 - a 3 ai a2 a3 1 = 0. -a 3 a) bi - f l i b2 — a2 b3 bi b2 b3 1 Cl - a x Cl - a 2 c3 - a 3 Cl c2 c3 1 505. Korzystając z zadania poprzedniego, znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez dane trzy punkty przestrzeni afinicznej R3: a) pi = (1,0,1), p2 = (3,1,0), p 3 = (1,1, 6); b) pi = (3,4, 3), p2 = (5,5, 2),p3 = (9,1, 2); c) pi = (0,2,1), p 2 = (7,0,1), p 3 = (2,4, 3). 506. Wykazać prawdziwość następującego uogólnienia wyników z zadań 502 i 504: je śli punkty pi = (au, . . . , ain), p 2 = (a2i , . . . , a ^ ) , . . . , pn = (ani , . . . , ann) przestrzeni afinicznej K n rozpinają hiperpłaszczyznę, to hiperpłaszczyzna ta ma równanie: xi —au x 2 —ai2 . . . x n ai„ a2i — au a22 —ax2 . . . a ^ —ai„ = 0: a)
ani —au
b)
an2 — ax2
Xl
x2
xn
au
ai2
ain
ani an2
a„„
ann
'• 0 .
ain
507. Sprawdzić, czy dane punkty przestrzeni afinicznej M+ x R+ z przykładu 102 ze s. 211 leżą na jednej prostej: a) (3, i), (6 ,4 ), (12, 8);
b) (1, 1), (2,4), (4,16);
c) (5, |) , (5V 2,7), (80, 896);
d) ( i, i) , (4,4), (8 , 8).
508. Wykazać, że podprzestrzenie pi + Wx i p 2+W 2 przestrzeni afinicznej A mają punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek co(pu Pi) e Wi + W2. 509. Wykazać, że dowolne dwie proste w przestrzeni afinicznej A są zawarte w pewnej co najwyżej trójwymiarowej podprzestrzeni przestrzeni A. 510. Zbadać, czy dane podprzestrzenie afiniczne przestrzeni R 4 są równoległe: a) (5, 5,4, 5) + lin ([2, 1,0,1]), af ( ( 5 , 4, 3,4), (1,2, 3, 2)); x i + 2x2 + 5 * 3 — 3 * 4 = 5 , j 3*i + x 2 + * 4 = 5, (0 , 1, 1, 0) + lin ( [ - 1, 2 , 0 , 1], [0 , - 1, 1, 1]); .
i 5 *1 + *2 + 3 * 3 + * 4 = 0, | 4 *1 + * 2 + *3 + * 4 = 1,
f *1 - *2 + | *1 + * 2 +
- * 4 = 4, *3 + *4 = 4;
9*3
d) {2*i + 4*2 —4*3 + 2*4 = 1, {*i + 2*2 —2*3 + * 4 = 7; e) {*3 + *4 = 5,
{*i + *2 = 0.
511. Sprawdzić, czy w przestrzeni afinicznej R 4 płaszczyzna L jest równoległa do hiperpłaszczyzny H, jeśli, . 1 11*1 • *2 - 3*3 + 2*4 = ■ 1 9*1 . * , - 2 * 3 + *4 =
-4 , -3 ,
H : *1 + * 2 - 3 * 3 + 4*4 = 5.
512. W przestrzeni afinicznej R 4 dane są prosta l i płaszczyzna L. Znaleźć równanie ogólne hiperpłaszczyzny H spełniającej warunki l C H i L [| H: a)✓ l = (1, + lin ([3, -7 1,0,7 — 2]), 0), yy (5, 5, 3, 0), (6 , 3, 3, 1)); V ? -1j ,2,1) —7 J /s L = af ((4,4,4, •» -Tj -Tj K/J, b) / = af ((1, 1, 1, 0), (1, 5 ,1 ,4 )),
L : l 2 x i + X z ~ _*3 {
8*1 -
c) l :
*2 -
3*3
+
7*4
4v, - r , -
x, + 2 r , = +
+
5*3
= 1, ■* 4 =
— 1;
,
= 14,
6* , - * 2 - 2 * 3 + 4 « . = 9,
*i
Ł:
* .- 3 « + 7 « -* 4 = h « + 3 « - « = 2.
12x' -
513. Niech Px — p x + Wx i P2 = p2 + W2 będą podprzestrzeniami afinicznymi. Zna leźć najmniejszą (w sensie inkluzji) podprzestrzeó P3, zawierającą Px i do której równoległa jest podprzestrzeń P2. 514. Wykazać, że hiperpłaszczyzny a i * i + . . .+a„xn = a i b i * i + . . .+b„xn = b są rów noległe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skalar c € K \ {0}, taki że {bx, . . . , bn] = c[ax, . . . a,¡].
515.
Wytaai, że w każdym trójkącie tr,y środkowe przecioają sif w ,ed„ym puntcj ,
516. Obliczyć liczbę prostych w przestrzeni afinicznej K n, gdzie K = GF(q).
^
517. Obliczyć liczbę płaszczyzn w przestrzeni afinicznej K n, gdzie K = GF(q) i n > 518. Niech k e { 1 ,..., n]. Obliczyć liczbę ¿-wymiarowych podnrzestrzeni
przestrzeni K", gdzie K = GF(? ).
9 .3 . Przekształcenia
^ 2
poaprzestrzem afirncznych;
afiniczne
Niech (A, V, co) i (A', V', co') będą przestrzeniami afinicznymi. Dla dowolnej funkcji j ■A -* A' następujące warunki są równoważne: (P F 1)
V
A " ' ( / O 7)» /( ? ) ) =
V
A
V
V A
ęteuy.y') p.geA
(pfż )
=
PsL(V,V') PSA u€V
(PF 3)
+ u) = /(Po) + cp(v).
Punkt p e A nazywamy punktem stałym przekształcenia afinicznęgo / ■.& _» a jeśli f ( p ) = p. N iec h (A, y, co) b ęd z ie p rz e strz e n ią a fin ic z n ą i n ie c h vQ e V . P rz e su n ię c ie m (lu b też tran slacją) p rz e strz e n i A o w ek to r v0 n azy w am y fu n k c ję / : A -a- A o k re ślo n ą w zo rem f( p ) = p + v0. Niech (A, y,
f€UV,V') PosA U€V Przykład 106. Wyznaczyć zbiór punktów stałych przekształcenia afinicznęgo / : R2 -> R 2 określonego wzorami:
Warunki (PF 1), (PF 2) i (PF 3) można zilustrować diagramami:
AxA ■
0)
+
A xy
y
{po}xy / X cp
/
f *
A 'x V '
yi — 4ri + 6x 2 ■+■12, y2 = xi + 3x2 + 4.
A'
if(Po)} x V'
A'
Funkcję / : A A' nazywamy przekształceniem afinicznym, jeśli spełniony jest Ictórykolwiek z warunków (PF 1), (PF 2) lub (PF 3). Uwaga. Wielu autorów przyjmuje dodatkowo, że przekształcenie afiniczne jest funk cją równowartościową.
Bijektywne przekształcenie afiniczne nazywamy izomorfizmem afinicznym. Niech B = («i. • • •. v„) i C = (tu i,. . . , wm) będą dowolnymi bazami przestrzeni wektorowych odpowiednio V i V' z kanoniczną strukturą afiniczną. Funkcja / : V -> V' iest przekształceniem afinicznym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją układy skalarów (ar) ¡s(x ,m) oraz (a j)i6(i„..,n ). takie że dla każdego wektorami n i+ . . . + A : nu„ e V.; j€( 1,-nl równość wx ymwm, gdzie z a c h o d z i
f ( x x vi
+
. . .
+
x n v „ )
=
y j
+
. . .
Rozwiązanie. Punkt (x i,x 2) € R 2 jest punktem stałym przekształcenia / wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest układ równań .
Xj = 4xi -f- 6x2 ~F 12, x 2 = Xi + 3x 2 + 4, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy xi + 2x2 = —4 . Odpowiedź. Zbiorem punktów stałych przekształcenia afinicznęgo / jest prosta x i+ 2x2 =
—4 .
Przykład 107. Znaleźć wzór analityczny określający symetrię / względem prostej (2,1) + lin ([4,3]) wzdłuż prostej (2,1) + lin ([1,1]).
+
yi = a u *i + « 12*2 + • • • + alnx n + au yi = Cl2\X\ + <222*2 + . .. + a2nXn + d2, ym= am\Xi 4- am2x 2+ . . . + amnx n -f am.
Rozwiązanie. Ponieważ dla każdego wektora [a, b\ e K2 zachodzi równość
Q ^2)
[a, b] = (a — b)[4, 3] + ( - 3 a + 4 6 )[1 ,1], więc zgodnie z definicją dla każdego punktu (xi, X2) e M2 mamy
*j'Jj. jfT*
¿Geometria a6niczn|
/((* !, *2 )) = / ( i 2’ !) + (*i - 2, *2 - 1]) = / ( ( 2 , 1) -ł- (*1 —*2 — 1)[4, 3] + (—3*! + 4*2+ 2 )[1 ,1]) = (2,1) + (*i —*2 — 1)[4, 3] — (—3*! + 4*2-f 2 )[1 ,1] = (7*! - 8*2 - 4 , 6x 1 - 7 * 2 - 4 ).
Zatem f( ( x u * 2)) = (2 * i -
1
:} %
529. W y zn aczy ć s k a lę k i śro d e k p je d n o k ła d n o śc i / p ła sz c z y z n y R 2 o k re ś lo n e j w zo rem
/ ( ( * 1. * 2)) = (3*i - 4 , 3*2 + 8).
530. S p ra w d z ić
.
■
‘'
8*2 - 4 , 6 * ł - 7 * 2 - 4 ).
^
g p
z a d a ń *3
M ech (®2>®2> ^ b ęd zie p rz e strz e n ią a fin ic z n ą z k a n o n ic z n ą stru k tu rą afinicz519- bd m 1. ^ ecjj (•£+ x R + , R 2, co') b ę d z ie p rz e strz e n ią a fin ic z n ą z fu n k c ją co' okre-
a/((*i, j i) , (*2, y2)) ślo M. wzorem '
Llo g + .lo g ,*
*1
Jl_ • Sprawdzić, że funkcja
532. W y k azać, ż e w p rz e strz e n i afin iczn ej R 2 o b raz em p ro ste j A x x + B x 2 + C = 0 p rz e z towmnoan rfizm oauró iu afin iczn y y i = « 11* 1 + + 2*2 + a x, y 2 — a 2\ x x + u 22* 2 + cz2 je s t p ro sta
. jj2 3R+ x R + o k reślo n a w zo rem / ( ( * , y ) ) = ( 2X, 2y) je s t izom orfizm em afinicznym-
h (A , V, co), (A ', V ', co') i (A ", V ", co") b ę d ą p rz e strz e n ia m i afin iczn y m i. W y520. b*1 ¿e jeśli funkcje / : A -> A ' i g : A ’ - > A " są przekształceniami afiniczny• to'ich złożenie g o f te ż je s t p rz e k sz ta łc e n ie m afin iczn y m . ifazać że je ś li fu n k cja / : A -> A 'je s t p rz e k sz ta łc e n ie m afin iczn y m , to odpo521. wiadające m u -przekształcenie lin io w e ę> . y y ' j e st je d n o z n a c z n ie o k reślo n e przez funkcję / •
au I a 2i a
523. WyKaz“ . 7„g>¿e fun k cja o d w ro tn a d o izo m o rfizm u afin iczn eg o je s t izo m o rfizm em afiulcznymcb (A, k , co) b ęd zie p rz e strz e n ią afin iczn ą. S p raw d zić, ż e p rz e su n ię c ie p rze524. enj ą o w ektor vq e V je s t p rz e k sz ta łc e n ie m afin iczn y m . W y k azać, ż e p rzev tałcenie afiniczne / : A -»■ A je s t p rz e su n ię c ie m o p ew ie n w ek to r w ted y i ty l® wtedy, gdy p rzek ształcen ie lin io w e ę z n im sto w a rz y szo n e je s t to ż sam o ścią n a przestrzeni V. dzić, że jed nokładność o śro d k u w d o w o ln y m p u n k c ie po i o d o w o ln ej sk ali 525’ * jest przekształceniem afinicznym . n tó a f : R 2 R 2 jest jednokładnością płaszczyzny o danym środku p i danej 526‘ skali k. Obliczyć /(( * 1, *2)).
b ) p = (l,3 ),fe = 4;
c) p = (4,7), k = - 1 .
«cja f : R2 -4 R2jest jednokładnością płaszczyzny o środku w punkcie (a, b) 527’ i o skali k. Obliczyć /( ( * 1, *2)). nvcia / : ®3 -*■ ® 3 Je s t je d n o k ła d n o śc ią p rz e strz e n i o śro d k u w p u n k cie 528’ (o b, c) i stał» k. O bliczyć / ( ( * i , *2, * 3) ) .
«12 ai —*j
a22
a2 ~ x2
b
c
■0.
(9.14)
I
533. S fo rm u ło w ać i u d o w o dn ić u o g ó ln ie n ie tw ie rd z en ia z z a d a p o p rz e d n ie g o .
Wskazówka. U o g ó ln ien ie to m a d o ty c zy ć ró w n a n ia o b raz u h ip e rp ia sz c z y z n y p rz e z au to m o rfizm afin iczn y p rz e strz e n i K n, g d z ie n > 2. 534. W y zn aczy ć z b ió r p u n k tó w sta ły c h p rz e k sz ta łc e n ia afin iczn eg o / : M 2 śło n eg o w zo ram i:
o ^ a ć , że p rzek ształcen ie lin io w e o d p o w iad a ją ce izo m o rfizm o w i afin iczn em u 522’ jest izom orfizm em p rze strzen i w ek to ro w y ch .
a) p = (2,1), k = 5;
jvy UUlilZ
...... 2 . 41 —»• A ' je s t p o d p rz e s trz e n ią p rz e strz e n i afin iczn ej A '. W y k azać te ż , ż e je ś li p o d p rz e strz e ń f + W- j e s t ró w n o le g ła d o fp(oqd p+rz eUstrz ). e n i q + U , to p o d p rz e strz e ń / ( p + W ) je s t ró w n o le g ła d o p o d p rz e strz e n i
i J i = 3 * ! + 7 *2 -
1,
! okre-
i y i = 9 * x - 6 *2 - 2 ,
y 2 = a * i + 6 *2 + 1 ;
c) | yi = 5*! + 3*2 + 5, | y 2 = 4*i + 4*2 — 7 ;
I y 2 = 4 * ! — 2 *2 — 1 ;
I yt = 3*1 + 8*2 —6, j y 2 ~ * i + 5 * 2 — 3.
fi
535. W y zn aczy ć z b ió r p u n k tó w sta ły c h p rze k szta łc en ia afin iczn eg o / : śło n eg o w zoram i:
a)
' yi = 3*i + 7*2 + 4*3 — 5, \ y 2 — * 1 + 2*2 + 2 * 3,
I y3 = 3*! + 3*2 + 6*3 - 3 ;
b)
I yi = 2*i + 5*2 —3*3 —4 , c)
3*i + 3*9 + *3 - 6 , *1 + 2*2 3*3 + 1, : 2* i + * 2 + 8*3 8;
' 3*2 + * 3 •4, _^ _ :)j ' 8*2 + 2*3 Ky i = * 1 + 5*2 - 2*3 - 4 ; [ y 3 = 3 * 5 - 5* 2 + 2 * 3 - -3, 1. - 5*2 + 2*3 1. 5 3 6 . W yk azać, ż e zb ió r p u n k tó w sta ły c h p rze k szta łc en ia afin iczn eg o / : A je s t zb io rem pu sty m , alb o je s t p o d p rze strzen ią a fin iczn ą p rz e strz e n i A . y2 =
* 1 + 6*2 - 3*3 - 4 ,
*okre-
c
A alb o
5 3 7. Z n aleźć w zo ry o k reślające p rze k szta łc en ie afin iczn e p rz e strz e n i a fin ic z n e j R 2 w sie b ie d an e p rz e z p rzy po rząd k o w an ia: a ) (1 , 3 ) b ) (1 ,
(3 , 5 ),
( 2 ,1 )
( 0 ,6) ,
( 4 ,0 ) ^
0 ) i-> ( 4 ,5 ) ,
( 1 ,1 )
(3 , 3 ),
( 3 ,1 ) u - (9 , 5 );
( 2 ,3 ) (->
( 5 ,5 ) ,
( 3 ,5 )
c ) ( 1 ,1 ) h * ( 6 , 3 ),
(0 ,1 1 ); (4 , 7 );
d) (1,1) h* ( -5 ,4 ) ,
£
(2, 5) n-> (0,4),
( 1 , - 1 ) + lin ([4,1]);
c) (1,1) + lin ([4, 1]),
(1.1) + lin ([3,1]);
d) ( 4 , 5 ) + lin ([2 , 1]),
( 4 ,5 ) + lin ([1,3]);
e) (3 , 0) + lin ([ 1, - 1]),
(4, - 2 ) + lin ([-3 ,4 ]);
f) (1,3) + lin ([7, 3]),
(3 ,4 )+ lin ([2,1]);
g) (0, 1) + lin ([2 , 1]),
(3.1) + lin ([1,2]);
h) 3xi — 5x2 = 11,
Xi - 2x2 = 4;
i) 2*i —5x2 = —5,
x\ —2 x 2 = —2 .
inf
p s P .q e Q
539. Niech A = M3. Znaleźć wzór określający symetrię / względem płaszczyzny £
wzdłuż prostej l, jeśli L i l są odpowiednio równe: a) (5 , 1,2) + lin ([ 1,0 ,1 ], [0,1,0]),
(5,1, 2) + lin ([0,1,1]);
b) (1,1,0) + lin ([1,2, 3], [2,1,1]),
(1,1,0) + lin ([1,1, 1]);
c) (3,0,0) + lin ([2,0,1], [5,1,0]),
(6 ,1 ,0 ) + lin ([1, 0, 1]);
d) jci —5x2 + 3*3 = 1,
(1,0,0) + lin ([0,4,7]).
540. Niech A = R3. Znaleźć wzór określający symetrię / względem prostej l wzdłuż j paszczyzny L, jeśli l i L są odpowiednio równe: a) (2 , 1,4) + lin ([ 1, 1, 0 ]),
(2 , 1,4) + lin ([ 1, 0 , 1], [0 , 1, 0 ]);
b) (0 , 0 ,4) + lin ([1,1, 0]),
(0 , 0 ,4) + lin ([1, 0 , 1], [2 , 1, 0]);
c) (1,2, 3 ) + lin ([1,3,2]),
(1,0,1) + lin ([1,2,0], [0, 1,1]);
d) (1,0,1) + lin ([1,0,3]),
4*1 - 4x2 - x 3 = 3.
-;
541. Znaleźć ogólną postać przekształcenia afinicznego f : A —> A' (tzn. odpowiedniki
wzorów (9.13)), jeśli przestrzenie afiniczne (A, V, co) i (A ', F ', co') określone są następująco: a) A =
x
'?,co((xux2 ) , (y i , y 2) )
c) A = l 2, A' = R+ x R+, V' d) A =
i
yi
*1
yi A' = A; *2.
' t a * , I n * ' , A' xt L xi
2, co/((x u x 2), (yu yi))
,co((xi,x2), (y i,y 2))
*
l n — ,ln —
I n * ,ta * . Xi *2 J
yi —* 1, ln Z ł , a ' = : X2 J
WWW .
b) A = 1+ x R+, F =
2, 0 ) ( ( * i ,* 2), (y j, y2)) ■
.f
Przestrzeń afiniczną (A, F, ca), gdzie F jest przestrzenią unitarną, nazywamy przestrze nią euklidesową. Niech (A, F, co) będzie przestrzenią euklidesową. Wektor v e F nazywamy ortogo nalnym Gub też prostopadłym) do podprzestrzeni afinicznej p + W przestrzeni A, jeśli v A- W. Podprzestrzenie afiniczne p + W i q + U nazywamy ortogonalnymi Gub też pro stopadłymi), jeśli W JL ¡7, tzn. jeśli dla dowolnych wektorów w e W i u e U zachodzi relacja w A. u. Niech (A, F, co) będzie przestrzenią euklidesową. Odległością punktów p , q e A nazywamy liczbę ||co(p, q)\\. Odległość tę oznaczamy przez d(p, ą). Odległością dowolnych niepustych podzbiorów P i Q przestrzeni euklidesowej A nazywamy liczbę
J
b) ( 1, - 1) + lin ([ 1, 0 ]),
'u
'
538. Znaleźć wzór analityczny określający symetrię / względem pierwszej z danych
prostych wzdłuż drugiej prostej: ( 1. 0) + lin ([2 , 1]); a) ( 1 ,0 ) + lin ([3,1]),
9.4. Przestrzenie euklidesowe
d ( p ,q ).
Odległość tę oznaczamy przez d(P, Q). Jeśli po + W jest dowolną podprzestrzenią afiniczną skończonego wymiaru prze strzeni euklidesowej A i p e A, to istnieje dokładnie jeden punkt p' e po + W taki, że spełniony jest warunek co(p, p') _L W. Jeśli po + W jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni euklidesowej A, to przez każdy punkt p g p0 + W przechodzi dokładnie jedna prosta przecinająca zbiór po + W i prostopadła do po + W. Niech po + W będzie podprzestrzenią afiniczną przestrzeni euklidesowej A. Rzutem prostopadłym punktu p <£ pó + W na podprzestrzń po + W nazywamy punkt przecięcia się z tą podprzestrzenią prostej przechodzącej przez punkt p przecinającej zbiór po + W i prostopadłej do po + W. Rzutem prostopadłym punktu p € po + W na podprzestrzń po + W nazywamy punkt p. Rzutem prostopadłym podzbioru B zbioru A na podprzestrzeń afiniczną po + W nazywamy zbiór rzutów prostopadłych punktów należących do zbioru B na podprzestrzeń po + W. Z powyższej definicji wynika wprost, że rzutem prostopadłym punktu p e A na podprzestrzeń afiniczną p0 + W jest punkt p' e po + W jednoznacznie określony przez warunek co(p, p') X W. Niech Q będzie podprzestrzenią afiniczną przestrzeni euklidesowej A i niech p e A. Wtedy d(p, Q) = d(p, p'), gdzie p' jest rzutem prostopadłym punktu p na podprze strzeń Q. Niech po+ U i qo+ W będą podprzestrzeniami afinicznymi przestrzeni euklidesowej A i niech dla punktów pi e p0+ U i q% e q0+ W będą spełnione warunki
(9.15)
Przykład 108. Obliczyć odległość między prostą l i płaszczyzną L danymi w prze strzeni euklidesowej R 4 przez układy równań:
-Ł XI XI
3x2 + x 3 — x 4 — 2, 5^2 + 2 x 3 + 3x4 = 3, 2X 2 —
X3 — 5X 4 =
* 1
+
■{ 3xi +
— 1;
X 2
“b
X 3
2X2 + X3
3x4 : 2, 5X4 : 13.
i i i i l i -1----M ŁWM
Jo
W
i i a..«
d) P = af ((1 ,0 ,4 , 0), (4,4, 5, 5), (5, 5, 7, 8)); e) P = af ((0,4, 5 ,- 1 ) , (1,'4, 5, 0), (3, 9,7, 6)); f) P : xi + 2x3 —x4 = 2;
Rozwiązanie. Postępując podobnie jak w przykładzie 103, znajdujemy następujące przedstawienia liniowe prostej l i płaszczyzny L: 1 = ( 1 ,0 ,1 ,0 ) + lin ([1,1, 2,0]), L = (9, - 7 ,0 ,0 ) + lin ([1, - 2 , 1, 0], [ - 1 ,4 , 0,1]). Warunki p e l i q € L są spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy przy pewnych r , s , t e R zachodzą równości p = (1 + 1, t, 1 + 2t, 0)
i
q = (9 + r — s, —7 —2r + 4s, r, s).
g) P : 7x\ + 3x2 —X3 —X4 = 8, 3xj + X2 + X3 —X4 = 4. 544. Zbadać, czy dane podprzestrzenie przestrzeni euklidesowej M4 są do siebie prosto padłe: a) af ((0, 1, 2,1),
(1,1, 5,5)),
af ((3, 1, 0,1), (4,
b) af ((1, 0, 1, 1),
(4, 5, 0,1)),
af ((4, 6,1,
3), (5,4, 6, 1»;
c) af ((3, 3 ,4 ,4 ),
(4, 5 ,5 ,5 )),
af ((4,5, 8,
1), (5,4, 9, 1), (7, 6,0,4));
d) af ((1 ,4 ,1 ,4 ), (4, 5, 5,4)),
Dla takich punktów p i q mamy a)(p, q) = [8 —t + r — s, —7 —t —2r + 4s, —1 —2t + r, 5]. Na to, by spełnione były obydwa warunki co(p, q) ± .lic o { p ,q ) X L potrzeba i wystar cza, by zachodziły równości (co(p,q), [1,1, 2 ,0 ]) {(o(p,q), [ 1 ,- 2 , 1,0]) (co(p, < ?),[-!, 4, 0 ,1 ])
0, 0, 0.
Otrzymujemy więc układ równań -1
21 -36
61 + r +
3s t + 6r — 9s 3t — 9r + 18s
0, 0, 0.
Układ ten ma rozwiązanie t = 0, r = —2, 5 = 1. Wnioskujemy stąd, że jeśli co(p, q) = [5,1, —3,1], to co(p, q) _L l i co(p, q) X L. Zatem zgodnie ze wzorem (9.15) otrzymu jemy d{l, L ) = d(p, q) = \\co(p, ? )|| = ||[ 5 ,1, - 3 , 1]|| = y/52 + \ 2 + (—3)2 + l 2 = 6.
8,5, - 3 )) ;
af ((0 ,0 ,4 , 0), (1,1, 3, 1), (5 ,1 ,0 , 3));
e) af ((0 ,0 ,1 , 0), (1 ,1 ,1 , 0), (1, 0, 1, 1)), af((0, 1 ,0 ,1 ), (1 ,0 ,1 ,0 ), (0 ,1 ,1 ,1 )); f) af ((1, 1, 1, 1), (1, 2, 3,4), (4, 3, 2, 1)), af ((3, 5,4, 1), (4,4, 3, 2), (3, 6,1, 0)); Xi —X3 —4X4 = 3, x 2 — x 3 — M = 5;
g)
a f((4 ,4 ,4 ,0 ),( 7 ,5 ,0 ,5 )) ,
j
h)
a f ( ( l,4 ,0 ,l ) ,( 4 ,5 ,4 ,6 ) ) ,
3xi —4X2 —X3 + x4 = J 4xi —7x2 — 3x3 = 6 ;
i) af((3,0, 1, 1), (4, 0, 4, 5), (5, 1 ,6,8)),
J xi + X j
j) af ((1, 0, 2, 1), (1, 1, 2, 5), (3, 3, 5, 6)), k)
{
Xi — x 2
- x 3 = - 1,
|
1) xx
0,
; X3 =
x2 = x4
3x 2 + x4 = 8 , 4x 2 — 5; X 3
=
3xi + 4x2 "b X3 — 5x4 = 1,
4xj
+
7x2
~ b -^ * 3
+ x2 x3
x4 = 1, l;
|
2x2 + x 3 —4x4 = 4;
X I
[ x2
x 4 = 1,
{
+
1,
—
6 x 4
=
4;
-2;
X1 + x 2 + X3 + X4 = 1,
i i] Zadania 542. Sprawdzić, czy w przestrzeni euklidesowej K.3 dany wektor jest prostopadły do prostej xi + X2 —X3 = 7, x\ — X2 + 3x3 = 5: a) [5, 2,1]; b ) [ 0 ,4 ,- 8 ] ; c) [1,2,3]; d ) [7 ,l,5 ], 543. Sprawdzić, czy wektor v = [1, 0,2, —1] jest prostopadły do danej podprzestrzeni afinicznej przestrzeni euklidesowej K4: a) P = (1,2, 3,4) + lin ([3 ,1 ,1 ,5 ]); b) P = (1 ,1 ,1 ,1 ) + lin ([4, 1,0,4], [2, 0, - 1 ,0 ]);
1)
m)
n)
xj
2x2 —
X1
x 2 ~ b x3 =
X
i 3xi +
1 2xx -
X 3
+
3
X 4
—
:
x4 = 1, : 5,
x 2 = 1,
X1 + x 2 = 2 , 3xi + x3 —x4 = 4, x2 +
X
4
=
1 ,
x \
~ b
6 ,
{
X !
=
X 3
x2 +
X 4
: x4; = 4,
xj + 4x4 = 5, X 3
= 3.
545. Znaleźć równanie płaszczyzny w przestrzeni euklidesowej R 3 przechodzącej przez punkt p = (1, 0, 1) i prostopadłej do wektora v = [3, —4, 1].
i A
jg p p S S M S ^ ^
4^ |<[iech A = ^ *Znaleźć przedstawienie liniowe prostej l przechodzącej przez da-
ny punkt p, przecinającej daną płaszczyznę £ i prostopadłej do tej płaszczyzny ] Obliczyć odległość d punktu p od płaszczyzny £:
a) p = b) p = c) p = d) p = e) p =
(4,5, 8, 7), £ (4, 8 , 0,1), £ ( 1,1 ,1 ,1 ), L (1,0,0,1), £ (7, 2 , 1, 1), £
= = = = =
(4, 6,0 , 0) + lin ([0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]); (5,0,1, 5) + lin ([1, 0, 0, - ł ] , [0, 1, 0, -1 ]); (7,1, 0 ,2) + lin ([ 1, 2 ,0 ,0 ], [ 1 , 0, 1, 2]); (10, 5 , 6 , 0) + lin (( 1 , 1 , 1 , 1], [2 , 0, 0,1]); (0 , 1, 6 , 6 ) + lin ([ 1, 1 , 1 , 1], [0 , 1, 1 , 0]).
;
547. Wykazać,, że w dowolnym trójkącie trzy wysokości przecinają się w jednym punk cie. Wskazówka. W dowolnym trójkącie P Q R oznaczyć przez S punkt przecię cia się wysokości opuszczonych z wierzchołków P i Q, a następnie z równości (P -S , R - Q ) = 0, { Q - S , R —P ) = 0 wyprowadzić związek (R ~ S , P —Q) = 0 i odpowiednio go zinterpretować. 548. Wykazać, że symetralne trzech boków dowolnego trójkąta przecinają się w jednym
punkcie. 549. Wykazać, że w dowolnym trójkącie P Q R punkty S1, S 2 i S3 odpowiednio przecię cia środkowych, wysokości i symetralnych boków trójkąta leżą na jednej prostej (zob. zad. 515,547 i 548). Wskazówka. Wyrazić punkty S\, S2 i S3 przez punkty P q i R, a następnie sprawdzić, że 5) = ^S2 4- f Ą . 550. W przestrzeni euklidesowej (A, V, co) znaleźć rzut prostopadły punktu p na podprzestrzeń afiniczną P, a następnie obliczyć odległość punktu p od P:
a) A = R2, p = (-1 ,4 ), P = (0, 3) + lin ([3,4]); b) A = K3, P = (4,1,0), P :
=
c) A = R3, P = (3, 4, —1), P : x\ + x 2 —X3 = 2; d) A = R4, P = (1. o, 1, 0 ), P = (7, 5, 2 , 3) + Iin ([l, 0 , - 1 , 0 ], [3 , 1 , 0 , - 2]); e) A = R4 z kanoniczną strukturą afiniczną i iloczynem skalarnym (£cii x 2, * 3 , * 4], [yi, y2, y 3 , J 4]) = J^iyi + x iy 2 4 - X2y i + 3x 2y 2 - f x 3y 3 + 2 x 4 ^ 4,
p = (1,5, 0,1), P = (4,2,9, 0) + lin ([2, 1,5, 1]); f)A = ! + x M+ x R+, F = K3, co((Xu x2, x3), (y ,, y2, y3)) . yi , y2 . y3 I log—, log—Jo g — ([^ i,x 2,x 3], [yi, y2, y3]) = Xiyi + x 2y2 + x 3y3, Xi x2 x3. p = (100, | , 6), P : 180x 3x2 = 50x2x | = 9. 551.
W przestrzeni euklidesowej ! 3 znaleźć rzut prostopadły l' danej prostej / na płasz czyznę £, jeśli: a) / = (3, - 1 , 4) + lin ([4, - 1 , 2]), £ : x x - x2 + 3x3 = 5;
b) / = (5,0,0) + lin ([0,1,1]), £ : xi + x2 + x 3 = 4; C) l = (3,4, -4 ) + lin ([1, - 5 , 3]), £ : xj + 3x2 - 4x 3 = 5; d) 1= (-2 ,7 ,4 ) + lin ([5,1, -9 ]), L : 3 x 1+ 5x2 - 7x 3 = 1.
Pręestrzepie eukildesbwe ^
*
l i l i i
552. Obliczyć odległość między parą prostych danych w przestrzeni euklidesowej! p3. a) h = (2,5, 8) + lin ([1, 6 , 4]), h = ( - 9 , 3, - 7 ) + lin ( [ - 1, o, 4 ]); b) h = (0, 5, 3) + lin ([-1 , 1, 3]), h = (9, 1, 1) + lin ([2, 1 ,—1]); c) lx = af ((6 , 0,5), (7,5, 6 )), h = af ((9,4, 9), (13, 0, 5)); d) h = af ((1,1, 2), (5,4,1)), h = af ((0, 5,19), (6 , 6 , 17)); 2xj + x 2 ■*3 1, xi + 5x 2 x 3 . 9, e) li : J x 2 = —1 , 2x i + 2x 2 x3 9; Xi Xj + 2x 2 + x 3 = 5, •2x2 — 2x 3 3, f)Zi : J 2xi + 5x 2 + x 3 = ' 0, 3xi • 9x2 + 4x 3 9; 3 x i + 2x 2 +
g ) h = (5,1,10) + lin ( [ 1 ,- 4 , 3]), h ) £ = ( 0 ,5 ,1 ) + lin ([0,4, 3]),
2x3
9x| + 4x 2 + 2x 3
h
X2
=
X3 =
5, 1.
, 553. W przestrzeni euklidesowej Rp4 4 obliczyć odległość między prostą Zi płaszczyzną £: a) Z = (3, 3, 0,11) + lin ( [ l, 0, - 2 , 0]), £ = (3 ,4 ,5 , 0) + lin ([1, 6 , 0,1], [2, 0, 1, 1]); b) Z = (2, 2, 0 , 0 ) + lin ([1,2,2,0]), £ = ( 8 ,2 ,0 , 3) + lin ([1,1, 2, 1], [2, 0, 3, 1]); c) Z = (6 , 1, 5, 0) + lin ([1,4,2, -1 ]), £ = (4, 0 ,0 ,1 ) + lin ([0 ,1 ,0 ,0 ], [0 ,0 ,1 , 1]); d) Z = (1 ,0 ,1 ,4 ) + lin ([1,2, 2,1]), £ = (1 ,1 ,0 , 8) + lin ([1,4, 5,5], [4, 6 , 5, 0]); x j + 4 x 3 - 2 x 4 = 36, x 2 = 7. 554. Obliczyć odległość między parą prostych danych w przestrzeni euklidesowej R4: a) (0,4, - 2 ,4 ) + lin ([1 ,0 ,0 ,1 ]), ( - 2 , 5, 9,1) + lin ( [ - 7 , 1,4, 0]); b) (2 , 1, 6 , 0 ) + lin ([ 1, 1, 1, - 1]), ( 8 , 1,4 , 8) + lin ([l, 2 , 9 , 0 ]); c) (4, 7, 1, 5) + lin ([1,1,4, 2]), (5, 8 , 2,4) + lin ([1, 1 . 3, 1]); d) (1 ,1 ,1 ,0 ) + lin ([1,0,0,1]), (8 , 7 ,1 ,1 ) + lin ([1, 2, 0, 2]). e) Z = (5, 0, 5,0) + lin ([0,1, 0, 1]),
£ :
555. Wykazać, że w przestrzeni euklidesowej R" zbioremwektorów prostopadłych do / hiperpłaszczyzny H : axxi + . . . + anx„ = a jest podprzestrzeń lin ( [ « ! ,..., a j ) .
Rozwiązani3 i odpowiedzi 5. a) b) c) d) e)
x = 1, x2 = - 3 , x3 = 2; b) *1 = - 1 , x2 = O, x3 = 2; !■ a' u}cład sprzeczny; d) x x = 7, x2 = 1, x3 = 2; ss 2, *2 = 3, x3 = —5; f) układ sprzeczny; ^ _= - 2 - 1, x 2 = 3 + t, x3 = t; h) x x = 1, x2 = - 2 , x3 = 1; Xl s= 1 + 1, x2 = 1 —2i, x3 = f; j) X! = 8, x2 = - 9 , x3 = 7; ^ ^ 14 + 5i, x2 = 3 + 21, x3 = i; ^ 6 - 22s + 17i, x2 = —3 + 16j - 12i, x3= s, x4 = t; ^ ^ 55 4 + i. x2 = l + 4i, x3 = i; \ __ _9 - 35 — 7t, x2 = 5, x3 = 13 + 9i, x4 = f; m) m Xl =5 1 - 4i, x2 = 3 + 1, x3 = i; Xl 5= 6 - 14s + 8i, x2 = —3 + 95 - 5t, x3= s , x4 = i; °, Xl ar 2, JC2 = - 1 , x3 = 7; q) xi = 19, x2 = 1, x3 = 5, x4 = 2; ^ Xl 55 5 + 3f, x2 = 7 + 4i, x3 = f; s) układ sprzeczny; * Xl 5=4, x2 = 5, x3 = - 6 ; u) xt = 4 , x2 = 5, x3 = - 6 , x4 = 5; , r, ==5 + 3f, x2 = 4 + 71, x3 = t ; w) xi = 3, x2 = - 8 , x3 = 4 , x4 = 7;
f)
d) X
b) 2X2 —7X + 10;
8. a) dji,
= 3,x 2 = 2,
b) ¿Zń—j,n—iś
F((ż, j) ) = i
73
16 5
C) Clji—iji—j .
9. a) r = 3, ki = 1, k2 = 2, k3 = 3; c) r = 3, ki = 1, k2 = 3, k3 = 4. 10. a) Tak;
b) nie;
c) tak.
11. a) Nie;
b) tak;
c) tak.
b) r = 2, ki = 1, k2 = 3;
12. a) xj = 5, x2 = —7, x3 = 4;
_ 6X +13.
= 0,x2 = 2,
R,
. 23 _ . 54
c)X 2 - 5 X + 9;
W, =50, *2 = 4, X3 = 1; b) układ sprzeczny; i aj c) n 554 + Z. *2 = 1 + 3/, x 3= /;d) XI e) układ sprzeczny; f) xi = 3, x2 = 4; j Xl 5=4, x2 = 4, x 3 = 0, x 4= 1;h) xi y jfj s: 3/, X2 = 4 + 5 + i, x 3 = 4 + 25 + 2i, x4 = 5, x5 = i; .. _ 1 + 4s, X2 = 5 , x 3 = 3, x4 = 1 + 2t, x5 = i. JjAl ~
F : {1, 2, 3} x {1, 2, 3}
7. Wiersze: [ 73 16 89 ], [ 23 54 12 ]; kolumny:
„ = 3 , ^ = 1. * 3 = 4 ; r, 5=3 - 2f, x2 = - 1 + i, x3 = 5 - i, x4 = t\ * „ .— 7 + 2r —5s — l i i , x2 = 3 —r + 5 4- 2r, x3 = r, x4 = 5, xs = t.
a)X3 + 2X + 2;
: {1, 2, 3} x {1, 2, 3} -> M, A((ż, j) ) = zy; : {1, 2, 3} x {1, 2} —»■R ,B((i, j) ) = i + 3; : {1,2, 3} x {1, 2, 3} — R , C((i, j) ) = z + j - 1; : {1,2, 3,4} x {1, 2, 3,4} R, D((z\ j) ) = NWD(Ż, ])■ : {1,2, 3, 4} x {1, 2, 3,4} -> R , F((ż, y)) = ( - l ) y ;
6. £mn.
v) **
x) , y) . i)
A B C D F
x3= 3; x 3= 1;
b) xi = —1 + 2i, x2 = 1 + i, x3 = t; c) układ sprzeczny; d) xi = 4, x2 = 11, x3 = 5; e) xi = 11, x2 = —8, x3 = 5; f) xi = 1, x2 = —7, x3 = 2; g) xi = 2, x2 = 4, x3 = - 5 , x4 = 1; h) układ sprzeczny; i) xi = 5, x2 = 6, x3 = —1, x4 = 4; j) xi = 3 —t, x2 = 1 —2i, x3 = 4 + 3i, x4 = t; k) xi = 1 —25 + 1, x2 = 2 + 45 —5t, x3 = 5, x4 = t ; 1) xi = 3 + 5i, x2 = 1 + 21, x3 = i; ł) xi = 4 —35 + 1, x2 = 7 —5s + 2f, x3 = 5 , x4 = t; m) układ sprzeczny; n) xi = 2, x2 = 1, x3 = —4, x4 = 5, X5 = —6;
J
89 " 12
1 g p,^RozwiązaniaJ otlpgwiedzi 42^ - i —
•ffiss 0 ) J C l= 5 p) Xl =
+ 7 f,* 2 =
1, * 2 =
)X 3 - 3 X 2 - 4 Z
+
1 ' d)2X 3 - 7 X 2 - X j 4. a ) * i = 5 ,* 2 = b) x i =
Dodając do obu jej stron lewostronnie wektor —u i prawostronnie wektor —u>, wnio skujemy, że v + w = w + u.' Stąd i z dowolności wektorów v, w, e V> wynika przemienność grupy (V; + ). 26. Dla każdego a e G należy przyjąć, że 0 • a = 9 i 1 • a = a. Wtedy - jak łatwo sprawdzić - spełnione są warunki (PW 2)-(PW 5) i G jest przestrzenią wektorową na mocy zadania 25. Uwaga. Zamiast posłużyć się zadaniem 25 można skorzystać z faktu, że każda grupa G, w której a + a = 9 dla każdego a e G, jest abelowa.
3 + 4 i , * 3 = f; 8, * 4 = 4 , * 5 =
O, x 3 =
-5 , x6 =
b ) X 3 - 4 X 2 + 9;
13;
-7 . c )3 X 2 - 5 X
+
3;
+ l5.
3, *3 = 4>
1 + 4 i, X2 =
3 + 5 i,
= i;
* 3
c ) u ld a d s p r z e c z n y ; ¿ ) x
e ) * 1
i =
—
s , x 2
3
+
=
2
5 i ,
+
* 2
2 s
=
+
4 ,
* 3
3 1, * 3
=
=
3
i ;
i , * 4
+
=
i ;
f ) u k ła d s p r z e c z n y ; g)
=
h) x i = 15
1. *2 = 3 +
r
5 , x 3 = O, * 4 = 3 ;
+ 5s +
a) [ 8 , 7 , 8 , 0 ] ;
2t , x 2
=
r, x 3
b ) [ 5 , - 5 , 0 , 3 5 ];
= s, * 4 =
t. 4 , 6 ];
c) [ - 1 , 0 -
d ) [O ,- 2 , 1 , - 9 ] ;
' e) [1 0 , 8 , 5 , - 7 ] , l 6 , a) [ 1 . 5 , 5 , - 1 ] ;
b) [ 4 ,5 ,- 4 ,7 ] ;
c ) [ 3 , - 4 , O, § ] ;
d ) [1 , 3 , O ,- 1 ] .
. a) [ 2 , 1 . ° 1 ;
b ) [ 4 , 2 , 1 ];
c) [ 1 ,2 ,0 ] ;
d ) [ 4 ,4 ,2 ] ,
18 . a) t5 ’ 4 ’ 3 ] ;
b ) [ l , 6 , 6 ];
c) [ 1 ,6,4 ];
d) [5 , 2 , 6], „
1 1
19 . a) 4 * i -
8 *2 =
20;
b) 4*i + 5xz =
27. Nie jest. Dana czwórka nie spełnia postulatu (PW 3), gdyż np. (1 + 1) 0 ( 1, 1) = (2 , 1), ale 1 0 ( 1, 1) + 1 0 ( 1, 1) = (2 , 2). 29. a) Tak; b) tak; c) tak; d) tak; e) nie; f) nie; g) tak. 30. a) Tak; b) tak; c) tak; d) tak; e) nie; f) nie; g) tak; h) tak; i) tak; j) nie; k) tak; 1) tak. 31. a) Tak; b) nie; c) nie; d) tak; e) nie; f) tak; g) tak; h) nie; i) tak; j) tak. 32. a) Tak; b) nie; c) tak; d) nie; e) tak; f) tak; g) nie. 33. a) Tak;
b) tak;
c) nie;
34. a) Tak;
b) nie;
c) nie;
38. a) Tak; b) W y s ta r c z y s p r a w d z ić , ż e ( v -
6>;
(-u ;)] =
p r a w d z iw e s ą i m p l i k a c j e : av + bw = bv + aw
= +
av + bw — bv — a w
= 4 - (a v ^ b v ) + ( b w - a w ) = 9 (a -
= 4
b ) v — (a — b ) w = 9
=>■
(a -
= 9
b ) v + (b -
= 4- (a — b ) ( v - w )
Stąd a — b = O l u b v — w = 6 i w o b e c t e g o a = b l u b v =
a)w = 9
= 9 .
l)(o + w ) = =
(1 + l ) u + (1 + l - i) + l - o +
l'U)
=
u
+
u
+
uj
+
p o d o b n ie , k o r z y s t a j ą c z w a r u n k u ( P W 3 ) , u z y s k u j e m y z w i ą z k i (1 +
l)( w + w ) = 1 • (v + w ) + 1 ■( v +
10) =
v +
Z ach od zi w i ę c r ó w n o ś ć U + U + U1 + U1 =
U+
W
+
V+
w.
c) tak;
w +
d) nie; e) nie;
f) tak.
*1 —4*2 = 0 , 41. a) Np. ] 3*2 —*3 = 0 , v 5*2 + *4 = 0 ;
b) np.
*i + *2
■4*4
* 2 + *3
2*4;
0, 0;
*1 + 2*2 + * 3 = 0 , 4*i + 5*2 —*4 = 0; •i e) np. 2*i + *2 + * 3 —*4 = 0;
l)io
l - u; +
b) nie;
42. a) Tak;
b) nie;
c) nie;
i 2*i - 2*2 + * 3 = 0 , { 2*i —*2 + *4 = 0; f) np. 5*i + 4*2 —7*4 = 0. d) tak; e) nie; f) tak; g) tak;
43. a) Nie;
b) tak;
c) tak;
d) nie;
44. a) Nie; b) nie; j) tak; k) tak. 45. a) Tak; b) tak; 46. a) Tak; b) tak;
c) tak;
d) nie;
c) np
w.
25. K o r z y s ta ją c n a j p i e r w z w a r u n k u ( P W 2 ) , o t r z y m u j e m y r ó w n o ś c i (1 +
d) tak; e) nie.
39. a) Tak; b) nie; c) nie; d) tak; e) tak; f) tak. 40. a) Np. *3 = 0; b) np. *1 —3*2 + 5*3 = 0; c) np. *1 + 5*2 —2*3 = 0; d) np. 2*i —*2 —3*3 = 0; e) np. *1 —*2 = 0, *1 —*3 = 0; i) np. *1 + * 3 = *2 + 7*3 = 0 .
w ) + [(—v ) + w ] = 6;
e) W y s ta r c z y s p r a w d z ić , ż e a v + ( ~ a ) v = d i a v + a ( — v ) = 9 . ^
d) tak.
37. a) ([1, 0, 0, 5], [0 ,1 ,0 , 6 ], [0, 0,1, -5 ]); b) ([1 ,0 ,1 ,1 ], [0,1, 1, 2]); c) ([1, 0, - 1 ,0 ] , [0 ,1 ,2 , 0], [0, 0, 0,1]); d) ([1,0, - 2 , - 5 ] , [0,1, 3,7]); e) ([ 1 , 0 , 0 , 0], [0 , 1 , 0 , 0 ], [0 , 0 , 1 , 0 ], [0 , 0 , 0 , 1]); f) ([ 1, 0 , 1, 2], [0 , 1, 1, 1]).
12.
23 . a) W y s t a r c z y s p r a w d z i ć , ż e ( v + w ) + [ ( - u ) +
1
v +
w.
u ).
47. a) Tak;
b) tak;
c) nie. c) nie; c) nie.
d) tak.
e) tak; e) tak;
f) nie; f) nie;
g) tak; g) tak;
h) tak. h) tak. h) nie;
i) nie;
fff|lFozto|ązania i odpowiedzi
. będzie liniowo zależnym poduHadem uldadu (ot)Ier wektorów prze48. ^ i e -Sektorowej V. Jeśli zbiór T' jest skończony, a zbiór T jest nieskończony, to strzen1 st z definicji liniowej zależności nieskończonego układu wektorów; t6za wy ^ t nieskończony, to z liniowej zależności układu (v,)!eT' wynika, że j6Śli 1 kończony podukład (o„ , . . . . o j uMadu (u,)fs r jest liniowo zależny. Wtepewien ^ jest tez skończonym, liniowo zależnym podukładem uldadu (v,),s r. dy ’vnilc’a liniowa zależność uldadu (vt)ieT- Rozpatrzmy jeszcze przypadek, gdy' ^ T s a zbiorami skończonymi. Niech V — {ii, . . . , t n} i niech skalary a j . . . , ^ ^ l takie że a{t # 0 przy pewnym k e {1, . . . , «} i zachodzi równość " « iji + ••• + < Or„ = 9. Określmy u&ad
skalarów wzorem
_ i dla t e {ii,...,f„}, a' “ { 0 dla i e r \ { f i , . . . , i „ } .
5 0 . Z j ana 1
zależnyX za tego zadania wynika natychmiast z tezy zadania 48. 51‘
Zob. przykład 18;
b) zob. przykład 18.
3 vWiście podukład utworzony przez jedną funkcję 5“ jest liniowo niezależ53- a) S my teraz dowolną liczbę n e N. Załóżmy, że każdy «-elementowy po, danego uldadu wektorów jest liniowo niezależny i rozpatrzmy dowolny dU7n-elementowy podukład uldadu (5“ )csm utworzony przez funkcje 5C1*, ..., i” j gi+>*, gdzie ci < c2 < • •• < cn+i. Niech liczby ax, . . . , a n, an+x będą takie, że zachodzi równość ax5CiX + . . . + a„5CnX+ an+15c"+l* = 0. (10.1)
^
• lac tę równość stronami przez 5c"+lJt, a następnie przechodząc do granicy przy oo otrzymujemy an+i = 0. Wobec tego zachodzi równość a 15c,'c + . . . + an5CnX = 0.
cy zwożenia indukcyjnego wnioskujemy stąd, że ax = 0 , . . . , an = 0. W re-Pn = 0 dla każdego k s {1, 1}, co dowodzi liniowej niezależności Epatowanego uldadu wektorów. __ b = c = 0, to dane wektory są zerowe i wobec tego tworzą one układ 54- ^ qW0zaieżny. Jeśli a ^ 0 lub b ^ 0, lub c ^ 0, to teza wynika z równości ,r
c(a«i - bv2) + b(cv2 - av3) + a(bv3 - cvx) = 0.
1
r?i *
“
's l f z 35-
56. Jeśli char K ^ 2, to wektory u + i o i u — tosą liniowo niezależne. Jeśli char K = 2,
to wektory te są liniowo zależne! 57. Wystarczy zauważyć, że zachodzi równość (tą — v2) + (v2 — v3) + . . . + (u„_i — vn) + (vn — vx) = 9. 58. Załóżmy, że spełnione są warunki zadania. Niech skalary a x, . . . , an, a będą takie, że przynajmniej jeden z nich jest różny od 0 i zachodzi równość a xvx + . . . + a nvn + a v = 9
( 10 .2 )
(takie skalary istnieją na mocy liniowej zależności wektorów v x, . . . , vn, v). Załóż my, że a = 0. Wtedy zachodzi równość a xv x + . . . + anvn = 9. Stąd i z liniowej niezależności wektorów vx, . . . ,v„ wynikają związki a x = 0 , . . . , an = 0. Związki te wraz z równością a = 0 przeczą określeniu skalarów a x, . . . , a n, a. Zatem a ^ 0 i wobec tego z równości ( 10 .2) wynika, że
a ^ o przy pewnym i e T oraz zachodzi równość £ t6r a,v, = 0 . Zatem S i C(«.)
^
T
V =
a
Ul -
. . .
a
vn.
Teza zadania jest więc prawdziwa. 59. Niech liczby a, b e Q spełniają warunek a ■1 + b^fp = 0. Jeśli byłoby & ^ 0, to prawdziwy byłby związek */p = —a /b e Q. Przeczyłby on niewymiemości liczby ^fp. Zatem b = 0. Ale wtedy również a = 0. Stąd teza. 60. a) w x lub w2, lub u>3; b) w2; c) w x; d) w x lubio3; e) w x lub w2. 61. a) w x, w3 b) WX, Wą c) w x, w3 e ) w x, w 2
lub lub lub lub
w x, wą, lub.to2, w3, lub w2, w 4; W2, Wą, lub W3, Wą] w x, wą ; d) w x, w4; w x, w 3, lub 101, 104, lub w 2, wą , lub w3, w 4.
62. a) Tak; b) nie; c) nie d) tak; e) nie; f) tak; g) nie; h) nie. 63. a) [a, b] = (3a - 4b)[7,5] + ( - 5 a + 7&)[4, 3]; b) [a, b] = (13a - 17fo)[4, 3] + ( - 3 a + 4&)[17,13]; 3a — b —5 a + 4 b [1, 3]. c) (a, b] = — — [4, 5] + ---------64. a) 3 ,4 , 8,1 ; 65. a) (3 ,1 , 8);
b) 4, 5, - 7 , 1 . b) (2, - 7 , 8);
c) (4,
- 5 ,4 ) .
66. B = .([5 , 3], [7, 5]).
67. B = ([9, 7], [6 , 5]). 68. a) Tak;
69. a) b) c) e)
b) nie;
c) nie;
d) tak;
e) tak;
f) nie.
Np. {[4 ,1 ,0 ,0 ], [9 ,0 ,1 , 0], [ - 8 , 0 ,0,1]}; np. {[1, 0, 3 ,0 ], [0 ,1 ,4 ,0 ], [0 ,0 ,5 ,1 ]}; np. {[1 1 , 2 , 1 , 0], [ 1 , 1 , 0, 1 ]}; d) np. {[1 , - 2 , 1 , 0], [ - 1 8 , 2 1 , 0, 1 ]}; np. {[1, - 1 ,2 ,1 ] } ; f) np. {[3 ,1 ,4 ,7 ]}.
£n
a'
'
'10 Roz '
' odijivy]|
\in ([4 , o, 1, 0], [0, 1, 0 , 0], [0 , 0 , 0 , 1]};
+ 10 Roz 1 jiin a i odpo cdzi
(qk - 1)(qk - q ) - . . . - ( q k - qk~1). Wobec tego zachodzi równość
T ' { H , 0 . 1 , 0 ] , [0 , 1 , 2 , 0 ] , [0 , 0 , 1 , 1 ] } ;
70-
b) T 1 0,2,2], [0,1,1, 3]}; d) np. {[4,0,0, 1], [0, 0,1, 0]}; C) !!« 1,4,2, 3]}; f) np. {[2, 0 ,1 ,0 ], [4,0,0,1]}. e) ®P*1 , q. b) Nie istnieje takie x\ c) * ^ 15; d) x - dowolne; 3 i * ^ 5 ; f ) * ^ 2 i * ^ 6. G) * ' '
{X3 „ 8 , X 2 - 4 , Z - 2 } .
1% w n 0 - 1. 11. f°>l ’ 2' W ’ b) ([1’ ° ’ °* 2]’ [0’ ^ ° ’ - U ’ ° ’ 1]>; 74. a) ’ ’ _ 2i _ i], [0 , 1,3, 3]); d)([1, 0, 0,2], [0,1, 0, - 1 ], [0,0, 1, 1]); ) ([1, o! 0 , 0], [0 , 1. 0 , - 1], [0 , 0 ,1, 2 ]); f) ([ 1, 0 , 2 , 4 ] , [0 , 1, 1, 1]). ,n 0 0,5], [0,1,0,1], [ 0 ,0 , 1, 5]); b) ([1, 2 ,5 ,0 ], [0, 0, 0,1]); 75. a) UJ. 3’ 5>4]); d) ([1) o, o, 1], [0 , 1, 0 ,5], [0 , 0 , 1,5]).
„
78. a){[I-"2' ®
b) {[1,1,5]};
c){[3,4,0]}.
79. a)Np- U1-*>1>11>t2>°>
°1}; b) np. {[0 , 0 , 1, - l ] } ; ‘ c) np. (P. 3. " 1 .4]}; d) 0; e) np. {[2,7, 6 , 9]}; 0 np. {fi. 3. b 9]> [2, 7, 3,1]}; g) np. {[3, 1,0, 5]}.
*
bazy- sdyż np- w t t °r « • ■■ ■■ ■• ■> -
81. Bazg («i. •••>«") mozna utworzyć w następujący sposob: wybieramy nainierw do wolnywektorniezerowy u, € *« (n a ? n _ ! sposob5w); n a s t ę p n i e b t a a T S ^ i „y wektor n2 * bn(ią) (na 9 - 9 sposobów), z kolei wybieramy dowolny wektor V3 i bufo,vi) (na 9 - 9 sposobów) itd. W ostatnim, tj. «-tym kroku bierzemy dowolny wektor »„ i Im (vx, ., (na ^ _ ę „_, sposobó^ Uzysk sp0SÓb^ aŁat n a lic ; b a t S h T flOW° “ eZaleŻny 1 wobec teg ° tworzy on bazę prze strzeni K . Łącznaliczba takich baz jest więc równa (qn —l ) ( q n —q) ,..(q n ~ q n~ )
g2> Oznaczmy szukaną liczbę podprzestrzeni przez N . Wykonując jfc pierwszych kroków w procedurze opisanej w rozwiązaniu zad. 81, znajdujemy b L (u Z pewnej ^ 3 ^ 3 podprzestrzeń przestrzeni K n. Zgodniez zadaniem SUiczba różnych baz każdej ¿-wymiarowej podprzestrzeni W przestrzeni K n jest równa
<10'3)
83. a) ([7,9], 8 + X 2, 5); b) ([9, 3], 12 - 9 X \ 15); c) ([5, —2], 7 + AX + 7X2, 3). 84. a) Np. {(1,0), (0,1), (0, i)}; b) np. {(1,0), (*, 0), (0, 1), (0, X ), (0, X 2)}; c) np. {(1 , 0 , 0 ), (i, 0 , 0 ), (0 , 1, 0 ), (0 , 0 , 1), (0 , 0 , /)}; d) np. {(X 2, [0,0], 0), (Z, [0,0], 0), (1, [0, 0], 0), (0, [1, 0], 0), (0, [0,1], 0), (0, [0, 0], 1)}. 85. Dla dowolnych wektorów u>i + u>2, w[ + w'2 6 W3 + W2, gdzie wu w[ e Wi i w2, w'2 6 W2, oraz dla każdego a e K mamy
\fn (ii, 3>3’ 2^ [3’ 5’ 6’ 5]^’ dim w = 2; 16- a) ifl, 1,3. Tl. t3 - 4 - 9 - 171.r i t1*25’ 91. t4J’t 5’ 9’ 27»o .’ dim W = 4; h iT np* r* n- • ~ * -t r a r -i m 1 1 o n ttt c)np- {[1,2> 9’ 3]> [4.5,1, 3], [1, —1, + g]^ d d) np. {t°> 3- - 1’ ł l> [9, 6 ,4,5]}, dim W = 2 ; e) np- {P. 5 .5 . 8], [5, 7,4, 9], [3, 6 , 5, 6]}, dim W = 3 ; f) np. {[1,4. 61>£5>6’ 12>2]}, dim W = 2. ni a) Np- it1’4’3’ 51’ f3,0> 5> w = 2; b) np- (£3,4>3.4], [5 ,0 ,2 , 6 ], [4, 3,5,5]}, dim W = 3 ; c „p. {[1, 5, 6 ,4]], dim W = 1; d) np- {[£> £’ 9’ £1» t1’ 2>3.4], [3, 5, 6 ,1]}, dim W = 3 e) np. ifl. 4,1.5], [3,1, 6 ,4]}, dim W = 2 .
(an - i)(q n - q) ■■.. ■(qn - dk~1} )■
(uą + w2) + (uij + w'2) = (tui + uij) + (w2 + w'2) € Wi + W2, eWi 6w2 a(w\ + w2) = aw\ + aw 2 e W\ + W2. Stąd Wi + W2 < V. Ponieważ dla każdego wektora uii e W) prawdziwy jest związek w x = w i+ 9 e W1+W 2, więc Wi c Wi+W2- Podobnie W2 c W i+W 2. Wobec tego zachodzi inklu zja Wi U W2 C Wj + W2. Niech teraz W będzie dowolną podprzestrzenią przestrzeni V spełniającą warunek Wi U W2 c W. Aby wykazać, że W\ + W2 jest najmniej szą podprzestrzenią przestrzeni V, zawierającą obie podprzestrzenie Wx i W2, należy sprawdzić, że Wx + W2 c W. Jednakże ostatnia inkluzja wynika z oczywistejdla dowolnych wektorów uii e Wi i ui2 e W2 przynależności w x + w2 e W. 86. a) Tak;
b) nie;
c) tak;
d) tak;
87. a) [7,7, 7, 9] + [0, - 5 , 8 , - 1 ] ; b) c) [9,4, 3, - 1 ] + [ - 3 ,5 , 3, - 5 ]; d) e) [1, 8 , 8 ,0] + [0,1, - 1 , 0]; f) g) [4,7, 6 , 3] + [1, 1, - 8 ,4]; h) i) [1,4, - 4 , 5 ] + [1 ,1 ,4 ,3 ], 88. a) Tak; b) nie; c) tak; d) tak.
e) nie. [8 ,0, 2,0] + [ - 3 , 6 ,7 , 1]; [5, 5, 5, 0] + [4,2, 3, 6 ]; [8 ,4, - 1 , 2] + [-6 ,1 5 , 2, 3]; [4, 7, 6 , 3] + [9, 2, - 5 , 5];
89. W $4 Wx + W2. Suma algebraiczna Wj + W2 nie jest sumą prostą. 90. Np. W x + W2 : 2xi - 5x2 + *4 = 0. 91. Np. W\ + W2 : *1 + *2 + *3 + *4 = 0. 95. Wi + . . . + W„ = lin (Wi U . . . U Wn). 96. Jeśli spełnione są warunki zadania, to ią = ui + av2 przy pewnych K \ {0}. Wtedy v2 = (—1/a)w + ( l/a )v x. Stąd teza.
w € W ia e
Wymiary podprzestrzeni Wx, W2, Wx + W2 i Wi n W2 są odpowiednio równe: a) 1 2 ,2 ,1 ; b) 2 , 2 ,4 ,0 ; c) 2, 2, 3,1; d) 1, 2, 3, 0; e) 1, 3, 3,1; f) 1 3 ,4 ,0 ; g) 2 ,2, 3,1; h) 2, 2, 2, 2; i) 2, 2, 3,1; j) 2, 2 ,4 ,0 ; ¿ ¿ 2 , 3 , 1 ; 1)3, 2, 3, 2; 1)2, 2, 3,1; m) 2, 2 ,4 ,0 .
9
Niech pewien wektor w e W\ + W2 przedstawia się jednoznacznie w postaci sumy w = wi + w2, gdzie w x e Wx i w2 € W2, i niech suma algebraiczna W\ + W2 nie będzie sumą prostą. Z ostatniego założenia wynika, że pewien wektor w e Wi+W2 ma dwa różne przedstawienia w = w[ + w2 = w " + w2, gdzie w[, w" e Wx, w'v w'2 e W2 i w[ £ w" oraz w2 4 tuj,'. Zachodzi wtedy równość 9 = {w[ m") + (u 2 — WD ’ gdzie mj — w" 9,w'2 — w2 ^ 9 i przy tym u/j — w" e Wx oraz w2 — w2 6 W2. Ze związków tych wynika inne przedstawienie wektora w w postaci odpowiedniej sumy, a mianowicie w = {wx+w[ — u") + {w2+ w 2—w2). Sprzeczność. Uwaga. Można też rozumować następująco. Ponieważ suma W! + W2 nie jest sumą prostą, więc biorąc niezerowy wektor ą 6 ffj fi W2, otrzymujemy następujące inne przedstawienie wektora w w postaci odpowiedniej sumy w = (wi + wo) + O 2 - w0), gdyż wx + wq g W), w2 - w0 e W2 i w x + w0 wx. Sprzeczność.
99.
Niech / e Map(R, R) i niech / = /1 + f 2, gdzie f x e Wu f 2 e W2. Z zachodzą cych dla każdego x € R równości / ( * ) = f x(x) + f 2{x) i f { —x) = f x{x) - f 2(x) wnioskujemy, że
f ^ x ) = -----------------
1 f2(x) = -------------
.
dowolny niezetowy wektor wk e Wk i wprowadźmy oznaczenia
101. Mamy / = f i + f 2 + h , gdzie f x(x) = f i x ) - { f i l ) - f{0 ))x - /(0 ) , f 2{x) = { f { l ) ~ f ( 0 ) ) x i f 3{x) = f{0). j 02. => Załóżmy, że suma algebraiczna Wi + . . . + Wn niezerowych podprzestrzeni przestrzeni V jest sumą prostą i weźmy dowolne wektory w x, . .. , wn, takie że yjk g Wk\{9] dla każdego k e {1,..., n}. Niech ponadto ax, .. ,,a n^będą skalarami tf.inmi. że axw x + . . . + • anwn = 9. Wtedy ze związku axwx + . . . + anwn = Owi + ... + 0wn oraz z jednoznaczności przedstawienia każdego wektora w e Wx + ■•■ + W„ w postaci odpowiedniej sumy wynikają równości ax = 0, ..., an = 0. Zatem wektory w x, .. ., wn są liniowo niezależne. <= Zmóżmy, że suma algebraiczna Wx+ . . . + W„ niezerowych podprzestrzeni przestrzeni V nie jest sumą prostą. Niech w x, . . . , wn, w'v . . . , w'n będą wektorami spełniającymi następujące warunki: Wk, w'k e Wk dla każdego l e { l . . . , s } , ą ^ ¡4 przy pewnym k e [ l , n } , w x + . . . + wn = w[ + . . . + w'n. Zachodzi wtedy równość (wx — wi) + . . . + {w„ — w' ) = 9. Dla każdego k e ustalmy
wk 4= w’k , . Wk = wk,
n _ J 1, jeśli { J \ 0, jeśli
dk =
Wk ^
w k’
wk = w’k .
Zauważmy, że wówczas e W* \ {^} dla każdego k e {1, . . . , n}. Ponadto wekto ry w*,. . . , w* są liniowo zależne, gdyż zachodzi równość oą w* + .. . + anw* = 9, a przy tym ak dla pewnego i e ( l , . . , , 4 Stąd teza. 20 9 + 2i 8 + 5i 103. a) b) 32 7 9 - 8 / _ ; c) d)
105. 106. 107.
109.
111 .
3+ i 5 + 5i
;
e)
' -1
3
10
1
'4 1 4 ' b) _ 3 3 0 _ ;
;
5-2 i 7+ i
f)
1 + 2i 9-41
' 0 1 0 '
' 4 0 3 ' ; d) . 2 3 4 - 2 1 4 '1 4 ' '3 -6 ' 1 -5 ' 0 11 ' a) ; c) _ 0 5 _ ; d) 5 —4 ; b) . 1 ~ 2 . - 1 5 . ‘ 1 4 7 ' 1 9 “ 2 5 8 a) At = 5 3 ; b) B t = 3 6 9 7 6 [aij] e M(m x n, K), AT = [6 y], (AT)T = [cy]. Jasne jest, że Niech A (AT)T M(m x n, K). Ponadto dla dowolnych i € {1,..., m }, j € { 1 ,..., n) zachodzą równości cy = bjX= aXj. Stąd teza. a) Odnotujmy najpierw, że {A + B)T, Ar + B J € M(n x m ,K ) . Przyjmijmy oznaczenia: A = [ay]', B = [by], Ar = [ay], B T = [¿?+], A + B = [cy], (A + B f = [ci,], AT + S T = [dy]. Dla dowolnych i g {1,.. ., n}, j 6 {1,..., m) mamy wtedy ej . — Cji == aji + bji oraz dy = aij + b'ij = •v> ' 2 2 2 “ 3 1 2 “ 5 2 1' 2 1 1 3 4 1 ; b) 5 5 2 ; c) a) 4 4 2 5 3 4 7 8 3
104. a)
Sprawdzenie pokazuje, że tak określona funkcja f x jest parzysta, a funkcja f 2 jest nieparzysta. Zatem funkcja / ma jednoznaczne przedstawienie w postaci / = f x+ f 2, gdzie f x e Wx i f 2 € W2. 100. Można przyjąć np. V = R2, Wi = lin ([l, 0]), W2 = lin ([0, 1]), W = lin ([1, 1]) i rozpatrzyć wektor [1,1].
wk - w'k, jeśli . wk, jesh
w.
d)
1 0
1 1
;
5
5
1
8 10
11
4
7
2
1 2 ” 1 2 3 ; f) 2 3 6
;
e)
14 8 ” 3 3 2 “ 8 11 3 5 2 ; h) 2 _ 4. 4 _2 2 “ 6 7 5 ‘ 6 5 2 “ 5 5 2 7 5 3 ; k) j) 2 3 1 1 . 5 2 2 " “ 1 3 " 0 ; c) 1 3 ; b) 112 . a) 1
2 3 4 2 4 8 4 4 6
" 2
“
g)
0
c)
1
;
; i) -1 0 -2
2 2 4 3 4 4 4 8 6
i) “5 5 7 -1
-3 0
11
5
7 7
7
11
2 “ 2 ; 1
d)
3 3 2
2 1
2
w §10 Rdz1;rama I odpowiedzi
‘ 6 ‘ i)
10
3" 2 4 6 ; 3 6 9
"1 2
f 5 3 5 3 2 3 e) 5 3 5
;
f)
j) [ 5 - 6 4 ] ;
;
g)
k) [ 6
'3 -3 4 -5 10 ];
2 ' ; 4
‘3 5 '
h)
. 5 9 -
119.
«i
0
0
a\
0
0
1) [ 14 ].
113.
3 0 2 1 3 0 0 4 4
114. a)
1 3 4 4
e)
;
b)
4 2 4 1 0 3 1 0
f)
0 2 0 3 0 0
1 1
2 1 1
3 3 1 4 1 3
3 4
c)
1
;
j)
k)
2 0
1
2 0
0 0
" 1 3 2 “ 3 3 2 d) _3 0 1 _
1 3 3 4 1 3 i 0 4 2 -
g)
1 0
3
3 1 1 3 4 3
1)
‘ 3 0 2 “ 0
h)
0
_0 2
1 1
' 1 3 2 ' 0 4 0
a) Oznaczając przez C obliczany iloczyn, otrzymujemy 1 1 1 " / ■ 100 100 100 100 1 3 4 2 1 4 V 100 100
' 12 “ 300 300 300 " — 800 800 800 — 30 29 700 700 700
b)
117. Np. A = ’ aibi
1 1
6
17 10
6 "
17 17
121 a)
1 0 0 " 0 1 0 0 0 1
0
118. 0
" 93 ‘ b) 96 ; 96
1 0 ,B 1 0
. . 0 atbt . . 0 •. . » ^nbn 0 . 0
0 0 1 1
Tl »
0 -1 -1
b)
”
"
-1 0
-1 -1 0
—sm na cos na
cos n a sin n a
c)
j
“
123, Niech A = [ay] i B = [by] będą macierzami gómotrójkątnymi należącymi do zbioru M (n, K ) i niech A B = [cy]. D la dowolnych i, j e {1 ,. .. , n), takich że i > j , mamy wtedy cy = E
/-i aikbk] = E aikbkj + E
/-i aikbk] = ] P (0 ■bkj) + E ^ ' * • 0 ) = 0 .
k —1
&=1
k —l
k —i
Zatem istotnie macierz A B jest gómotrójkątna. 124. Zob. rozwiązanie zadania poprzedniego, 125. a) 8 ;
b) 80.
126. a) Przyjmijmy oznaczenia A = [ay], B = [by], A + B = [cy]. Mamy wtedy n
tr(A + B ) = E
n
n
c‘‘ = E < fl» +
i —1
= E
1=1
n
aii + E ż>i'' = h A + trB. 1=1
i= l
b) Przyjmijmy oznaczenia A = [ay], a A = [by]. Zachodzą wówczas równości
' 288 294 294 ' = 770 783 783 671 690 683
n
n
n
tr(aA) = E bu = 52 a a ‘> = a E flfi = i=l ¡=i i=i
a br A.
c) Przyjmijmy oznaczenia A = [ay], B = [by], A B — [cy] i B A = [
300699 300800 300202 301698 301798 301196 299700 299802 299209
’ 16 18 14 ' a) 34 35 27 ; 61 67 52
rL!■
' 5 1 2 ~ 100 ' — 3 4 1 100 4 1 3 100
°n _ " an nan -i b) 0 an
1 0
1
0 0
120. a)
0 0 0 0
o o o o o o o o o o o o
.
M S
ii
tr(AB) = ' 66 ‘ c) 57
oraz
E
¿=1
ii
ca =
n
E E
j=1 A=1
/i n n = • £ dtl = ^ ■ £ ^ k=1 fe=l i=l
&ik&ki
n /i = • £ ■ £ ° « b“ ■ 1=1 fc=l
127. Z jednej strony dla dowolnych A, B e M (n, C) zachodzą równości tr(A B -B A ) = tr(AB) —tr(BA) = 0. Z drugiej zaś strony tr / = n. Stąd teza. 129. Przy oznaczeniach zadania mamy (AB)T e M (p x m , K ) i BTAT e M (p x m , K ). Przyjmując oznaczenia: A = [ay], AT = [a^], B = [by], BT = [b^], AB = [cy],.
§|o Rozwiązaniaj odpóWiedzi
( A B f = l Ą l ’ bTaT = Wyl.
dowolnych i e
otrzymujemy równości
j e {1, . . .
cij ~ cj ‘ = T . aikbki k=1
n dij =
n
bkidjk =
i=l
aJkbki.
*=1
Stąd [cy] = [4y], czyli dana równość jest prawdziwa. t 30. Korzystając z równości (AB)T = BTAT (zob. zad. 129) oraz (AT)T = A (zob. zad 107), otrzymujemy (AAT)T = (AT)TAT = AAT. Stąd teza. j 32. a) 1;
b) - 1’
c>
d) 1;
e) 1;
f) - 1.
l 33. a)au; b) flll«22U33 + «12«23«31 + «13«21«32 - «12«21«33 —ai3«22«31 ~ «11«23«32j 34. a) 24; j 35. a) Tak;
b) 120; c )«!. b) tak;
c) nie;
d) nie.
j 36. a) - I b) + : C1 + ; d) - ; e) +; f) + . j 37. a)k = 2, / = 4; b )^ = 3 ,/ = 4; c)k = 5 ,/ = 4; d )* = 2 ,/ = 5. J38. a) fl76«42«15«54«27 ' «23«6i;
b) «76«42«15«54a27 ' «21 003■
J39. a) flll«22«33«44, «11«23«34«42, «1I«24«32«43; b) a[I<224«32«43, «12«21«34«43, «14«22«31«43; C) fll2«2I«34«43, «13«21«32«44, «i4«2ia33«42; d) fll4«21«33«42, «14fl22fl31«43, «14«23«32«41140. +Ullfl24«35«42«53, +«12024035043051>+«13a24«35a41<252, —Ull«24«35«43«52, —«12024035041053, ~Ol3«24a35a42«51. 141. Ze znakiem +. 142. (-D r>gdzie r = n ( n - l) / 2 .
/ 1 2 3 4 5 \ 143. a) Permutacja cr = ^ 2 3 i 4 2 y e
i est jedyną, której odpowiada
iloczyn różny od 0. Ponieważ sgncr = - 1, więc dany wyznacznik ma wartość —ai5«23a3I«44«52, CZyli —1; b) Niech
.
-c "M W iiiĄ p
Wobec tego mamy
d ) « n «22 ■... -ann; e) ę - i ) n(n-D/2alna2,n-i ■■■■■ani.
„
b'ika'kj =
*=1
t
W = Sgncr • «15‘222«31a43a54 + Sgn T • «15«22«31«44«53 = ( - 1) • 1 • 2 ■5 • 1 • 4 + 1 • 1 • 2 ■5 • 2 • 3 = - 4 0 + 60 = 20 .
n
0iaZ
^
e
/ 1 2 3 4 5 \
144. W macierzy występującej w zadaniu pewien wiersz (również peWna kolumna) skła da się z samych zer. Ponieważ każdy z n! iloczynów składających się na wyznacz nik tej macierzy zawiera po jednym czynniku z każdego wiersza; więc w każdym takim iloczynie występuje czynnik 0. Stąd teza. 145. Przypuśćmy, że na przecięciu wierszy o numerach ij , .. . , ¿t oraz kolumn o nume rach j j , . . . , ji w macierzy występującej w zadaniu znajdują się same zera i rozpa trzmy dowolny iloczyn wchodzący w skład wyznacznika tej macierzy. Występuje w nim m. in. po jednym czynniku z każdego z wierszy o numerach z'i,..., i*. Ponie waż n —l < k , więc przynajmniej jeden z tych k czynników leży w którejś z kolumn o numerach j u . . . , ji i wobec tego jest on równy 0. W pozostałych bowiem n —l kolumnach może występować co najwyżej n — l czynników. Zatem rozpatrywany wyznacznik jest równy 0 , gdyż każdy składający się na niego iloczyn jest równy 0 . 146. a) Należy obliczyć liczbę takich iloczynów n różnych od zera czynników, z któ rych każdy jest z innej kolumny i z innego wiersza. Zauważmy, że jeśli do takiego iloczynu wchodzi czynnik c,-, gdzie i < n — 1, to wchodzą do niego również wy razy c/+i , .. ., cn- \ . Co więcej, każdy iloczyn zawierający któryś z wyrazów c,- jest wyznaczony jednoznacznie przez najmniejszy wskaźnik k taki, że c* należy do te go iloczynu. Wskaźnik ten można ustalić na n — 1 sposobów. Jedynym różnym od zera iloczynem niezawierającym żadnego c,- jest a\ ■ ■an. Stąd szukana liczba jest równan. b) 2n~x. 148. Oznaczmy daną sumę przez S, a kolejne kolumny macierzy A przez A i , .. ., A„. Je śli układ C/ i,..., in) wskaźników nie jest permutacją liczb 1, to odpowiedni składnik sumy S jest równy 0. Stąd i ze związku (3.10) wynikają równości: S = ^ ' det(ACT(i),. . . , Aar(n))
= Y 2 sgn o- • det(Ai,. . . , A„) a e S fl
= det(Ai,. . . , A„) Y 2 sgncrcrsS„
Jeśli n > 2, to liczba permutacji parzystych należących do S„ jest równa liczbie permutacji nieparzystych należących do S„. Zatem sgncr = 0 i wobec tego S = 0. 149. a) 10; b) 13; c) 5; d) 11; e)4; f) 15. 150. a) 1; b) cos(jc+y); c) sin(x+ y); d) sin(x —y); e) cos(x —y); f) cos 2x.
g^Rozwiązsniaj^odpowiedzt 151. a) 21;
b) 10;
152. a ) - 3; b) 4; 153. a) 8 ;
j) 0;
c)0;
d) - 1 ;
c) 1;
d) 1;
b ) -4 0 ; c) 17; k)3; 1 )-4 .
e) 2; f) 65; e )-5 ;
d ) 6;
e)-4 ;
f) 1; f)46;
g) 11;
h)48;
g) 0; h) 3;
i) -1 .
g ) - 6;
h) 2;
i) 27. i)-4;
c2j = an + a\Ej + . . . + a„_ 1e "_1 = ej f{£j)
154. a) 4;
b) 49;
c) 9; d) - 3 ;
155. a) 1;
b) 2;
c) 1; d) 3; e)4;
e) 24;
f) 3. cnj = a2 + a3£j + . . . + a„£n j 2 + a r f 1 = e " 1 / (S j ).
f) 2.
156. Wystarczy do trzeciej kolumny dodać kolumny pierwszą i drugą pomnożone odpo wiednio przez 100 i 10. 157. a) Wystarczy dodać pierwszy wiersz do drugiego;
b) Wystarczy dodać drugi wiersz do trzeciego i zauważyć, że w otrzymanym wy znaczniku drugi wiersz dzieli się przez 2, a trzeci przez 5; c) Wystarczy do jednej z kolumn dodać sumę dwóch pozostałych. 158. Wystarczy do ostatniej kolumny dodać kolumnę pierwszą pomnożoną przez 10"-1 drugą pomnożoną przez 10 itd., i wreszcie kolumnę przedostatnią pomnożoną przez 10. Wtedy ostatnią kolumnę tak otrzymanego wyznacznika będą tworzyły liczby mu ..., mn. Teraz wystarczy wyłączyć czynnik w z ostatniej kolumny przed znak wyznacznika. 160. a) (n - 1)!;
166. Wprowadźmy oznaczenie DnV„ — det [c,7]. Zauważmy, ¿e dla każdego j zachodzą równości C\j — a\ + a2ej + . . . + ane‘n- 1 / t e ) .
b) bib2 ■... • bn\
c) (x - a)n~l [x + (« - l)a];
d) ( - l ) n(n + l)a i <22 • • ■• • a„. 161. Jeśli n = 2, to żądana równość przybiera postać x -1
aQ a i+ x
■x 2 + axx + ao
i widać, że w tym przypadku jest ona prawdziwa. Oznaczmy teraz dany wyznacz nik przez Wn(ao, . . . , an-\). Zakładając prawdziwość dowodzonego związku dla liczby n i rozwijając wyznacznik Wn+l(a0, . . . , a„_,, a„) względem pierwszego wiersza, otrzymujemy równości W„+i(ao. fln-i. an) = xWn(au . . . , a„) + ( - l ) n+2a 0( - l ) " = x(xn + a„x"-1 + . .. + a2x + a i ) + a0 = x n+l + anx n + . . . + axx + a0.
Z kolejnych kolumn wyznacznika det [c,7] wyłączamy teraz przed znak wyznacz nika odpowiednio czynniki / t e ) , • • • / t e ) - Uzyskujemy wtedy równość DnVn = /( £ i) ■• ■• •/ t e ) U„. Zatem zależność (3.14) jest prawdziwa. Obustronne podziele nie równości (3.14) przez Vn jest dopuszczalne, gdyż Vn jet różnym od 0 wyznacz nikiem Vandermonde’a (zob. zad. 162). 167. Oznaczmy rozważany wyznacznik przez W„. a) Postępując tak jak w zadaniu 166, otrzymujemy równość WnVn = /( e i) • • • ■• / t e ) d e t [ e " _,+1]. Zauważmy, że wyznacznik det[e"-i+1] różni się od wy znacznika V„ jedynie kolejnością wierszy. Co więcej, aby pierwszy z nich prze kształcić w drugi, należy dokonać (n — 2) + (n — 3) -j-. . . + 1 = (n — l)(n — 2)/2 odpowiednich przestawień wierszy sąsiednich. Wynika stąd związek Wn Vn = ( _ l ) (n-i)(«-2)/2 f (s{) • . . . • / t e ) V„ i W konsekwencji równość (3.16). b) Aby wyznacznik D„ z zadania 166 przekształcić w wyznacznik W„, należy do konać (n — 2) + (n —3) + . . . + 1 = (n — l)(n —2)/2 odpowiednich transpozycji wierszy sąsiednich. Stąd i z równości (3.15) wynika związek (3.16). 168. Aby uzyskać prawą stronę dowodzonej równości, wychodząc od wyznacznika sto jącego po stronie lewej, wystarczy wykonywać kolejno następujące operacje: 1° do pierwszej kolumny dodajemy sumę pozostałych kolumn; 2° z pierwszej kolumny wyłączamy przed znak wyznacznika czynnik n — 1; 3° odejmujemy pierwszą ko lumnę od każdej z pozostałych kolumn; 4° do pierwszej kolumny dodajemy sumę pozostałych kolumn; 5° z każdej z kolumn oprócz pierwszej wyłączamy przed znak wyznacznika czynnik —1. 170. Ponieważ zachodzi równość det(AAT) (xf + x \ + x \ + x| ) 4 i x \ występuje w det A ze współczynnikiem —1, więc det A := —(x\ + x \ + x \ + x 2)2. Podobnie det B = ~ ( y f + y \ + y \ + yf)2. Położywszy Zi = x\y\ + x 2y2 + x 3y3 + x4y4,
Równość z zadania 161 zachodzi więc na mocy zasady indukcji zupełnej.
z 2 = x ty2 - x 2yi - x3y4 + x4y3,
Z3 = ^iy3 + X2y 4 - x 3y i - x 4y2,
162. [(*n-Xl)(x„ —x 2) ■. . . ■(xn - X n~ i ) ] ■[(xB_x —X1)(x„_1 — X 2) • . . . • (jcn_j —X„_2)] • ... • [ te - * i) te - x2)] • (x2 - xi)
(= n 163. acn. 164. a.
z4 =
x \y4
- x 2y 3 + x 3y 2 - x 4y x,
otrzymujemy związek AB1=
Zl -Z 2 -z 3 -Z 4
Z2 Zl z4 -Z 3
Z3 -z 4
z4 Z3
Zl Z2
-Z2 Zl
uZyskujemyrównośćdet(ABT) = {z\+ z\+ z\+ z \)2 ■Aledet(A£T) Takj^^o-, Aby otrzymać tożsamość Eulera, wystarczy teraz spierwiastkować det(A ^wność det A • det B = det(AB), pamiętając przy tym o takim wyboobustronf® hv po obu stronach otrzymanej równości współczynniki np. przy x?y 2 rze zn8^ _
Obliczmy dopełnienia algebraiczne Hi, Hk odpowiednio elementów dk\, dkk macierzy H. Korzystając z założenia indukcyjnego, otrzymujemy równości
Hx = ( - 1) (m+fc)+(m+l)
ażmy.że prawdziwa Jest implikacja j7l. a) ZauW
yi ' XI x 2 X3 , B = X2 y3 x3 Xl X X _ X3 _ x2
y2 yi y3
Zł Z3 " Zl Z2 _ Z2 z 3 Zl _ "
ya yz
==>■ AB =
Zi
Z3
teraz skorzystać z twierdzenia Cauchy’ego. Wystarczy . , . ... . Jako po1* 1wyJścia mozna przyjąc ^P^kację
gdzie
X3
Xl
X2
x3
XX
X2
1
1
1
, B =
yi yz _ yz
yz yi y3
i i i
"
Zl
= $ AB =
Z3
z2 Zl _Y Y
X " X 3
x _.Xl+X2 + J£:3 oraz ^ = yt + y2 + Jb- Mamy det A = x[ + x \ + Ą - xix2 - xix3 - x2x3, det B = y \ + y\ + y\ - yiy2 - y m ~ yzY3bliczyć det(AB), zauważmy najpierw, że XY = zi + z 2 + Z3. Mamy
Aby o'
■z\ + z\ +
. • alm
bn
D _
bml dx2
0
. ..
0
■
bmk dik
d k -1,2 • ■ dk~ixk
dii
d \k
d k - 1,2
d k - l,k
det A ■Dki,
det H = dk\H\ + . . . + dkkUk — dki det A • Dk\ + . . . + dkk det A ■Dkk = det A (dkiDki + . . . + dkkDkk) = det A • det B . Zatem w przypadku gdy n = k, żądana równość jest prawdziwa. Sposób 2° Dokonując przekształceń elementarnych typu (W 1) i (W 3) wier szy macierzy, prowadzących od macierzy A i D do ich postaci schodkowych A' i D' odpowiednio, uzyskujemy równości det A' = (—1)* det A, detD' = (—1)* detD , gdzie k i l oznaczają odpowiednie liczby przestawień wierszy. Biorąc teraz za punkt 0
i wykonując operacje elementarne odpowiadające wy-
D
- Z2Z3-
gdzie B' jest pewną macierzą. Zachodzi przy tym równość
■ •
det
•
0
.
.
0
dxx
■ • Kk • • dik
0
. .
0
dki
■
dkk
B' D'
= (—l)fc+/ det
A 0
B D
Biorąc pod uwagę powyższe związki, otrzymujemy równości A B 0 D
= (—l)*+'d e t
A! 0
B' D'
(—1)A+/ det A' detD '
= (—l )4 det A' • (—l / det D' = det A detD . -
B' D'
A! B' występują 0 D' same zera, więc wyznaczniki tych macierzy równe są iloczynom elementów ich T A! B' 1 głównych przekątnych. Wynika stąd równość det o D ' = ^et ^ '
blk
«ml
A' 0
A' 0
Ponieważ pod głównymi przekątnymi macierzy A', D' i
det Ki
• ZZ-mm . .. 0
żej wymienionym operacjom elementarnym, otrzymujemy macierz
i teraz powołać się na twierdzenie Cauchy’ego. Wystarczy A B , A = [au], B = [bij], $ 1° Przyjmijmy oznaczenia H := 0 D 172. SPoS‘ i Zastosujemy indukcję względem n. Jeśli n = 1, to wystarczy rozwinąć D 55 ^¿jk H względem ostatniego wiersza. Załóżmy, -ztiaC Zfll*1macierzy U —J — 0 * że równość jest * ^ a ’«/a dla liczby n = k — 1 i rozpatrzmy przypadek, gdy n = k. Macierz H nrawuz*wd 0!a wtedy Pos On
0
bik
-
Z2 + Z3 ) - 3Z2Z3
- 2zi)(Zl +
Z3 - Z1Z2 - Z1Z3
*11
gdzie Dki jest dopełnieniem algebraicznym elementu ¿4i macierzy D. Podobnie uzyskujemy ogólną równość H, = det A • D*,-. Rozwijając wyznacznik macierzy H względem ostatniego wiersza, otrzymujemy
wyjscia macierz (Z3 + Z2
. • a lm
= (—1)*+1 det A •
det(AB) = 3zz + z3X Y + z2XY - 2ztZF - 3z2z 3 = 3zj A+
dli
Zatem dowodzona równość jest prawdziwa.
Korzystają z tezy zadania 172 i ze związku (3.5) na s. 70, otrzymujemy równości 173. det
' A 0 C D
= det
' A 0 ' C D
T
= det
' At 0
cT ■ Z>T
detAT det DT = det A detD. 74
p o k o n u ją c ;
(przestawiamy najpierw np. wiersz (m-t-l)-szy w m A B fokach o m pozycji w górę, następnie czynimy podobnie z wierszem (m + 2 )-gim : i następnymi). Ponieważ wyznacznik otrzymanej macierzy jest równy det 5 detC (zob. zad. 173) oraz każde przestawienie dwóch wierszy powoduje zmianę znaku wyznacznika, więc istotnie zachodzi dowodzona równość, postępujemy tu podobnie jak w dowodzie równości (3.19).
J 76. a) ' 4'1 b)25; C)9; d)7° ; e)3° ; f)5 ‘ 178. a)Tak; nie; nie; d'1tak‘ Wystarczy zauważyć, że A 2 + A —I = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A (A + /) = /. a b A I. Wskazówka. Zob. rozwiązanie zadania 179. 180. A c c 181. Jeśk A, B e GL(m, Z ), to zachodzą równości (A B )(B ~lA~ ) = A i B B - ^ A - 1 = Al A ' 1— (A/) A-1 = AA -1 = / . Podobnie sprawdza się, żże (B~~l A~~1)(AB) = /. Stąd teza. 182. Wystarczy sprawdzić, że (aA)(a_ 1A_1) = / . -2197 3660 ^ 183. „1464 2439 16-15-2" 5 • 2"+2 —20 2n+4 - 15 184. 12 - 3 • 2n+2 ' -8 3 ■ ' 7 -9 ’ ; b) 186. a) - 3 4 _ 11 ~ 4 . ’ -4 d) 5 -7 5 0 187. a) 3 3 ; 6 2 -1
-8 7
10 - 2 -7 1
-1
-1
-3
3 1 ' -9 1 3 -2
6 0
e).
mn przestawień wierszy sąsiednich, można daną macierz blokową prze
kształci«ić w macierz
188. a)
e)
1
-3 1 d) -5 3
b)
'3
b)
4 7
e)
3 4
5 " -7 -7 1 -2 -1 189. a) 5 4 -3
“6 4 ' c) _ 2 2 _ ;
2 ' ; 6
6
4 , 1 17 _ - 1
-2 -4 "
c) ł
f)
2 -1
d) 4 -3
-3 ' 5 _
‘4 6 ' . 4 5 .
190. a)
1 1 0
d)
g)
' -3 -4 -2 ' 2 3 2
3 -1
f)
_1
" 2 - 1 1 " 4 - 1 0 b) 5 0 -1 3 _
1 2 3 5 0 5 3 4 1
" 1 ;
1 -1 ' 1 -1 ; -1 0
h)
2 -1 2
4 -8 4
-8
12 —4 " c)
- 1 "
2 2 -1
1 0
e)
7 -5 2
1 1
4
1 2 "
-1 0
0 1
1 1 _
' 0 4 2 0 3 1 > f) 0 5 2
1 -1 “ 1 ; 0
-4 3
i)
' 2 4 1
1 3 " 3 6 1
1
191. Zauważmy, że zachodzą równości (zob. zad. 129): Ax(A_1)t = (A- 1A) 1
I.
Stąd teza. 192. Zauważmy, że macierz gómotrójkątna jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy jej głównej przekątnej są różne od 0 . Obierzmy dowolne wskaźniki i, j e {1,...,«}, takie że i < j . Skreślając z-ty wiersz oraz j- ą kolumnę macierzy A, uzyskujemy macierz gómotrójkątną [ak], w której a!kk = 0 dla i < k < j . Dla rozważanych wskaźników z, j zachodzą więc równości A,y = 0. Z tych równości i ze wzoru (3.22) wynika, że istotnie macierz B jest gómotrójkątna. Rozważmy teraz równość B A = 1. Ponieważ macierze A i B są gómotrójkątne, więc dla każdego z 6 {1, . . . , « } równość Ylk=i bikau = 1 redukuje się do równości buciu = 1. Pierwsza z dowodzonych równości jest zatem prawdziwa. Po dobnie dla dowolnych i, j e {1 , . . . , n), takich że i < j , równość Y^k=\ bikakj = 0 redukuje się do równości J2l=i bikCkj = 0. Stąd wynika druga z dowodzonych równości. 193. Zob. rozwiązanie zadania 192. 1 -4 1 “ ' 1 2 194. a) 0 1 -1 0 -1 ; b)
' 1 3 ’
0
. 3
1 -1 0 1 0 0 0 0
4 .
' 8 -1 5 -2 b) 7 2
1
1 “
'1 0
-2 - 9 1 7 0 - 3
■d)
d)
0
1 -1 0 ' -1 -5 4 ’ 1 0 -1
0
6 " -1 -1 _
0
' -1 e)
0 0 0
3
c)
-1 0 1 1
-7 i
1 -i 0 -i 0 0
2 " -1 0 j 1
3
0 ' 0 -1
■ —TT~
1 10 hoł jz n 11 nap i nz
0 ' 0 0 r 1 1 0 0 1 9 0 1 1 f) 0 -1 _ 0 7 6
-1 4 g) 1 8 _
2 - -3 - 2 r 1 -2 1 3 1 1 0 1 0 1 0 b) 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 -1 -1 4 O l97. przyjmij^
9
0 0 O O 0 0 0 •1 0 0 •1 -1 1 0 1 2 O 0 -1 1 oznaczenia:
0 0 0 1 2 -1 1 2
k)
0 o -1 5 2
0 -1 2 -4
I
A '
' I
1
. 0
5 ""3
. 0
0 0
1 0 0 0 1 1 0 0 1
1 0 4 0 1 0 0 0 1
0 0
b)
1 3 0 0 1 0 0 0 1
1 0 1 0 1 0 0 o 1
1 O O O 1 1 0 o 1
c)
1 0 1 0 1 0 0 0 1
o
1 o o 1 o 2 0 1
1 O 2 O 1 0 0 O 1
203. a)
0 0
0 -1
0 0 2 i
'3
1
0 0 1
leni-
Roipawiemy cztery przypadki: l i i < i < »- 1 < J ^ "• Mamy Wtedy CiJ = Ł
O ij.
l
a
a | < i < n, n + 1 < j < 2n. Zachodzą wtedy równości cy = &ik(-ak,j-n) ^ 4- T U aikSk,j-n = ~ ai,j-n + aiJ-n = 0. _ ^ _ B _ry^ i ^ 2n, 1 < j < n. W tym przypadku oczywista jest rownosc c,7 = 0. ”+ 1 ^ 2n, n + 1 < j < 2n. Zachodzą tu równości c,7 = J2l=i h - n A j - n
, Pomnożenie trzeciej kolumny przez 3; 199- a' . jjgoie trzeciej kolumny pomnożonej przez 4 do kolumny pierwszej;
200. a)
201. a) '1 0 202- a) 0
*”
0 " 0 ;
b)
0 0 1 ■ 0 1 0 ; 1 0 0 _
b)
1 0 0 ~ 0 0 1 ; 0 1 0 _
4 0 0 1 0 0 1
“ ;
b)
0 1 0 1 O O 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 6 1
c) “ c)
;
1
0 0 3 1 0 O 0 1
1 0 0 1 o) •» 0 0
0 0
204. a) Np.
1 7
1 3 O 1 0
O 1
1 O O O 1 8 0
0
1
0 " "1 0 0 " ' 1 0 0 “ 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 1 0 -1 1
9
1 " ■ 1 0 0 " " 1 0 0 ~ ■ 1 0 O' 1 0 0 1 3 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 ' 1 0 0 0 0 1
1 O 0 " 0 1 0 -1 0 1
■1 0 O 3 1 0 0
1
0
" 1 0 0 " ■1 O 7 " "1 O O" 0 1 0 0 1 0 0 1 6 0 1 1 0 0 1 0 O 1
1 1 O O 1 O O 0 1
1 O O O 1 O 0 4 1
1 O 3 O 1 O O O 1
c) np.
1 0 0 " ■ 1 0 0 " ■ 1 0 0 ■ “ 1 0 -1 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 _ _4 0 1 _0 3 1_ _0 0 1
" 1 O 0 O 1 2 _0 0 1
d) np.
e) np. _
1 0 1
b) np.
“
0 0
0
5 0
1
" 1 0 f)
.
.
0
■1 0 4 " " 1 0 0 " " 1 0 0 ■ " 1 0 O" 0 1 0 0 1 5 0 1 0 0 1 O e) _0 0 1 _0 0 1 _ _0 1 1 _ 1 0 1 _
■0 Wobec tógo cy = 5,/ dla dowolnych i, j e { l , . . . , 2«}. Stąd teza. . pomnożenie drugiego wiersza przez 5; 198-^ tawienie drugiego wiersza z trzecim; ) j 0daiue trzeciego wiersza pomnożonego przez 2 do wiersza pierwszego.
0 " 0 ; 1_
0
f)
■1 0 0 " ' 1 0 0 1 d) 0 1 5
3
- A '
■" 1 0 O "
e)
9
-1 -1 1 0 0
■ 1 -4 0 " 1 0 ; 0.
1. “ 0 1 0 ; 1 0 0
d)
2 1 3 ' 1 -1 3 — 4 5 1 0 1 1 1 0 0 i) O -1 -1 0 0 0 -1 0 O 0
[%],
A = iaij 1*
“0 0
0 0 0 1
1 O O 0 1 O 2 0 1
1 O O 3 1 O 0 O 1
1 0 0 " " 1 1 0 ■ " 1 0 0 " " 1 0 5 " [- 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 O O 3 O 1_ O 0 1_ _0 1 1_ _0 0 1 _ _O 1 0 0 " " 1 2 0 ' ■1 0 0 ■ ~ 1 0 1 ■ - 1 0 1 0 0 1 0 O 0 1 0 0 1 O 1 0 1 0 0 1 O 0 3 1 0 0 1 _
0
0
—
-
1 - -1 1_ O O 0 1 3 0
1
9
{G5S§£?5
f 1i Roz i^nl 11 ndpo\ rdzi 207. a) *1 = 5, X2 = 1;
5, x2 = -2; 12, *2 = - 7 ; 10 7 16 d) x\ = 4, *2 = 7; e) xi r.*2 1 t, - y - i — .,„ ,X 2 : U ’ ' * i7 ’ 17’ g) xi = 4 , x 2 = 3 ,x 3 =: -- l ; h)xi =: 3, x 2 = O, x3 = 5; i)xi = 4,x2 = - l , x 3 = - 3 ; j)* i = 11, *2 = ~ 7 , x 3 = 4 ; 12 „ 2. 1 V k) jci = 3, x2 = —5, jc3 = 1; 1) = —, *2 b) jcj
7» *3
'7>
ł) *1 = 1, x2 = 1, x 3 = 2, x* = —1; m) X\ = 4, x2 = —5, x 3 = O, X4 = 6.
d)
6 -8 -1
3 -7 ' 3 10 ; 1 1 -3
l)
3 -5 -1
j)
4 6 -9 1 -1
O -1 0 1
1 1 1 2
-5 -10 -3
-5 3 7 2
m)
206. a)
1 e) 3
" 1 - 6 1" -1 10 - 2 ; 1 -1 3 3
h)
-7 5 3 2 -1 -1 2 -3 O
-1 0 ' 0 0 ; 0 -1 1 1
3 -1 - 4 -1 1 17 4 4 -1 - 7 1 -1 - 1
0 2 -1
-7
0
3
n)
0 -1 1 O
0 1 -2 1 -1 -2 4 0 2 -1 1 0 1 1 -2 0
;
d)
-
3 0 -1 " -4 6 0 -6 3 ; 9 -5 -2 - 6 1 3 -3 1
2 -1 1 1 0 2 0 -4
f)
1, x2 = 3; b ) x i = 4 , x2 = 6, x2 = O, x 3 = 2; e) xi = 1, x2 = 3 , 2:3 = 5; g) xi = 3, x2 = 1, x 3 = 4, x4 = 4;
5; c) x\ = 5, x2 = 0; 5, x2 = 1 , 2:3 = 4; 2, x 2 = 4, x 3 = 5; i) xi = 3, x2 = 1, x3 = O, x4 = 2,
209. W = 0. Gdyby było W ^ O, to dany układ równań byłby'cramerowski i rozwiąza nie zerowe byłoby jedynym jego rozwiązaniem. 210. a) 2;
b) 3;
c) 2
d) 4;
211. a) 3;
b) 1; c) 2 b) 3; . c) 3 b) 2; c) 1
d) 4.
212. a) 2; 213. a) 2;
e) 2;
f) 3.
d) 3. d)3;
e) 2.
214. a) Tak;
b) nie;
c) tak;
215. a) rz A
1, 2,
jeśli 171'= 4, jeśli m 4;
c) rz A
1, 2,
jeśli m € {4; 5}, jeśli m {4; 5};
d) nie;
e) tak;
b) rzA
f) tak. 1, 2,
d) rz A
f)rzA
jeśli m e {—3; 1}, jeśli m <£ {—3; 1}; 0, jeśli m = —5, 1, jeślim = 2, 2, jeślim {—5; 2}; 2, 3, 4,
jeśli m = 0, jeśli m = 5, jeśli m {0; 5}.
216. Wektory vu . . . , v„ tworzą bazę przestrzeni K n wtedy i tylko wtedy, gdy rz[atj] = n. Ostatni warunek jest spełniony jedynie wówczas, gdy jedyny minor stopnia n macierzy [ay ] jest różny od 0.
0 " 0 -1 0 1 -1 0 1
2 l —4 -3 6 -1 4 -2 -3 3 -1 -3
208. a) x\ = d) x\ = f) xi = h) =
1, jeśli m = 0, e ) r z A = { 2 , jeśli m = 1, 3, jeślim = 1 g {0; 1);
4 -5 3 -3 1 0 1 1 -1
3 ' 4 -1 0 ; 1 -3 0 -1 0
-1
-25 8 1 8 -4 1 1 1 -1
7 -4 -4 1 2 O O 1
1)
;
9 -5 “ -1 1 -5 2
1" 0 1 -1 1 -1 1 -1 0 -1 1 0 2 1 -1 -1
k)
2 4 1
2 3 1
4 -2 c );
;
e)
" 4 -1 f) -1
217. a) Nie; b)tak; c)tak; d)nie; e)nie; f)tak; g)nie; h)tak. 2 " -2 -1 -1
218. a) Nie; b)tak; c)nie; d)tak. 219. a) Np. x1 = 8 + 7i,jt2 = 5 + 3i, x 3 = i; b) układ sprzeczny; c) xi = 3, x2 = —7, x3 = 5;
d) np. x\ = —1 + 5i, X2 = —2 + 9t, *3 = t; e) układ sprzeczny; f) np. x x — 3 + s + 4t, x 2 — 5 + s + 5i, *3 = s, x4 = t; g) np. xi = 3 —s + 4r, X2 = 5 —2s + 7t, x 3 — 8 — 4s + 9t, x4 = s, x 5 = t. 220. a) *i = 4, x2 = 1, *3 = 3; b) układ sprzeczny; c) np. x\ = 4 + 1, X2 = 1 + 3t, *3 = t; d) np. x\ = 2 + 4s + 5i, *2 = 4 + 3s, *3 = s, x4 = t. 221. a) Np. {[1, 0,4, 0], [0 ,1 ,5 ,0 ], [0, 0, 9,1]}; b) np. {[1,0,0,6], [0,1,0, - 7 ] , [0 ,0,1, 8]}; c) np. {[5, - 4 , 1, 0], [-2 ,1 ,0 ,1 ]} ; d) np. {[5,1,1, 0], [ 0 ,0 ,0 , 1]}; e) np. {[1, 0, - 4 , - 1 ], [0,1, - 7 , ł]}; f) np. {[1,4,1, 0], [ -1 , - 3 , 0,1]}; g )n p .{ [3 ,5 ,4 ,l]} ; h) np. { [3 ,-1 ,1 ,0 ], [4,2,0,1]}; i) 0; j) np. {[3,1,2,1]}. 223. a) [4*i —x2,7 x x — 2 x 2]; c) [*i + X2,3xi - 4x2]; e) [2xi + X2 , x\ + 4x2];
b) [xx, 3xi — x 2]; d) [2*i - x2, 7xx - 4x2]; f) [ ll* i —4x2, 13*1 —5*2].
224. a) [5*i + *2, 6*i + 4* 2J; b) [2 *i, 5*i + 3*2j; c) [*i + 4 * 2, 3*i + 5x 2]; d) [3*i + * 2, 4*2]. 225. a) [* 1, 3*i - *2, *1 + * 2]; b) [*1 + *2, 2*i + 5*2, *1 - 2*2]; c) [3*i —4*2, 4*i —5*2,2*] —*2]; d) [*1 —4*2, 2*2, 3*i —7* 2]. 226. a) [*1 + 3*2 + 4* 3, *2 + 5*3,2*i —*2 + * 3]; b) [2*i + 5*2 —3* 3, *1 + 3*2 —4* 3, *1 + *2 + * 3]; c) [*1 + *2, *2 + 2* 3, *1 + *2 - * 3]; d) [*1 —*2 + * 3, 5*i —4*2 + 3* 3, 7*i —5*2 + 4* 3]. 227. Homotetia o współczynniku a jest automorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy a £ 0. 228. Niech v, v' € V oraz a ,b € K. Niech ponadto wektory w x, uĄ e Wx i w2, w'2 e W2 będą takie, że v = w x + w2 i v' — w{ + w'2. Mamy wtedy Tt\{ąv + bv’) = 7Ti (a (w x + w2) + b(w[ + w ’^ . = it\ {{awi + bw'j) + (aw2 +
231. Dla dowolnych skalarów a, b e K i wektorów vx, v2 e V przy założeniach zadania mamy (\/r o
= idv(avx + b v 2) = a v x + b v 2 = a ę ~ l (v'x) + b ę ~ l
233. Wystarczy sprawdzić, że funkcja
229. Zob. rozwiązanie zadania poprzedniego. 230. a) b) c) d) e) f)
[*1 - * 3, *2 - *3,0]; [*1, 8*2 —7*3,8*2 —7* 3]; [2*i —2*2 + *3, 2*i —2*2 + * 3, 2*i —2*2 + * 3]; [—4*i — 10*2 + 15*3,2*i + 5*2 —6 *3 , *3]; [2*i —2*2 + 4*3, 5*i —9*2 + 20*3,2*i —4*2 + 9* 3]; (-* 1 + 5*2 - 2* 3)[4, 3,5].
.
Zatem funkcja ę ~ x spełnia warunek (PL) i wobec tego jest ona przekształceniem liniowym. Ponieważ funkcja ę ~ l jest też bijekcją (jako ftmkcja odwrotna do bijekcji), więc jest ona izomorfizmem przestrzeni wektorowych.
= aw 1 + bw[ = airi(u) + bu 1(1/) .
Stąd teza zadania.
o ę){avx + bv2)
Na mocy warunku (II) wynika stąd równość (ax - bx)v[ + . . . + (fl„ - bn)v'n = 9'. W konsekwencji aiuj + . . . + anv'n = bxv'x + ... + bnv'„,
1 Q Rozwiązani?i
256 : S S?
S
^
‘S
^ ^ S
g
waż przy pewnych n e N oraz vx vn e B Tax, . . . , an e K zachodzi równość v = axvx + . . . + anvn, więc prawdziwa jest też równość
^ . 1 - . *• * * * * J ~ **■
v' = ax
m yw 236. a) Tak; b)nie; 237. a) Tak; b)tak; 238. a) Tak; b) tak;
c)tak; c)tak; c) nie;
d)tak; dl nied) nie;
Stąd wektor v' jest kombinacją liniową wektorów ze zbioru ę(B). e)taJc. „■> ’ ^ nie' e) ’ :
239. Wystarczy sprawdzić, że np. innfccja = /( 1 - *) j e s t t o r W *
nie.
„ ’ 0taŁ o t e i,Ma wz0„ m <
240. Na przykład funkcja ę , C(a 4 ^ " borow ych. f(a ), f(a)) jest - j a k łatwo sprawdzć * ® okrs^ n a wzorem „ Uwaga. W zapisie (f ~ f (a) , / (a)) . Amorfizmem przestrzeni i L ~ ( / ~~ / W „»acza IM * . <*»»W /(« ) o z a a L S S “ 241. Dla każdej funkcji / s ism, e jąca postać mx + r i spełniająca wa^nk, 7 ? ^
jedna funkcJa h e c
b
-
a
X
-
~
F
T
f
^
.
242. Wykażemy najpierw u, w , zhiom przy pewnych n 6 N liniową oraz „J,niezależność ..., ^ ę a . v> , 1 • • . -f- yt = £j/
f
(
)
,
m
) '
Przypuśćmy, że zachodzi równość
gdzie 5'jest wektorem zerowym przestrzen. " ’ 00.4) wektor vk e B spełnia warunek v( = Mr„ “ K • Nlech dla każdego k e f l „i A + = (I05)
^
skąd
V(axvx + ..
, ri„vK) = mW] ^ '
(10.6)
i wobec tego
GIKI + . . . ^ Q v _ Q anV„— t),
= f ( * i + y i , . . . , x „ + y n) = tfi(*i + yi) + • • • + an(xn + yn) = (axx x + . . . + anx n) + (axy x + . ■■+ anyn) = /( * ! , .. . , * „ ) + f ( y x, . . . , y„) =
x a
oraz
tycznej do wyprowadzenia twierdzenia La!»-a . je się w analizie matemaizomorfizm
Zauważmy najpierw, że wystarczy dowieść żądaną tezę w przypadku, gdy m = 1. <= Niech / będzie formą liniową zmiennych X x, .. ., X n. Oznacza to, że przy pewnych ax, . . . ,a„ e K zachodzi równość f ( X x, X n) = axX x + . . . + anX„. Jeśli funkcja ę : K n -»■ K jest określona wzorem ę([xx, . . . , * „ ] ) = / ( * i , . . . , *„)> to dla wektorów [jci , . . . , *„], [yi,. . . , y„] e K n i dowolnego skalara a zachodzą równości
’
układ równan nie w = ( /W “ /(*))/(& ~ a), r ^ ( h f , , f - h e W. (Uwaga. R óżnicę tego typu Wyi_n af ^ ) ) / (b — a). Mamy wtedy
W W ) = (f(x ) V
(10.8)
(10 7)“
“ Zjirciiri -r *■“ «*•:
istotnie wektory v[,...,v'n są liniowo niezależne S° 6 i 1- •••-«)• Zatem Wykażemy, że zbiór ęo(S) generuje przestrzeń v \ r wektoremprzestrzeni W i niech wektor n c i/ spełnia , ' warunek v będzie dowolnym u' =
ę([xx,
*„]) =
Przyjmijmy oznaczenia ax =
jST[JCi, . . . , X n, X„+x], takie że f ( x u . . . , xn, x„+i) = f * ( x u x„+1) dladowolnych xx, . . . , xn, x„+i 6 K. Wielomian g := / - / * można przedstawić w po staci gi.XXj • • ■j X ni = go(żćl, ■• • , -Xn) + gl(Xi, . . . , X n)X n+i + . . . + gr(.x 1, . . . , Z„)Z^+1, gdzie gr(X u . . . , X n) ^ 0. Na mocy założenia indukcyjnego przy pewnych x i , . .. , x n € K zachodzi związek gr(x i , x „ ) ^ 0. Rozpatrzmy teraz wielo mian w jednej zmiennej Z„+i określony następująco: = g(xj , . . . , xn, Z n+i). Ponieważ w ^ 0, więc przy pewnym x„+i e K prawdziwy jest związek w (xn+1) ^ 0. W rezultacie g ( x i , . . . , x„, x„+i) ^ 0. Z otrzymanej sprzeczności wnioskuje my, że jeśli / ( x j , . . . , x„, xn+i) = / * ( x i , . . . , x„, xn+1) dla dowolnych x i , ... , x„,x„+x e K, to zachodzi równość wielomianów f ( X x, . . . , X n, X n+x) = f * ( X i .........X n, X n+1). 244. Jeśli K = GF(g), to w pierścieniu Z [ Z j , . . . , Z„] np. wielomiany f i ( X u X„) = X x i / 2( Z i , . . . , X n) = X f są różne, ale / i ( x l t . . . , xn) = f 2(xi , . . . , x„) dla dowolnych x i , . . . , x„ e K. Wobec tego funkcja
(p{a\Vi + . . . + akvk + ak+\Vk+x + . . . + anvn) a xę(vi) + . . . + ak
Zatem wektory ę (v k+x),
wnioskujemy, że 6,- = 0 dla każdego i e {1,...,«}. W szczególności bk+x = . . . = 6„=0. ■ Wykazaliśmy więc, że dim i m ę = n — k, skąd wynika żądana równość. 250. {[5,7,1]}. 251. a) Np. {[2,1,0, - 7 ], [1, 0, 1, -5]} i {[1, 3, 5], [5,1,4]}; b) np. {[4,1, 0, -3]} i {[1, 1, 0], [ -1 , 5, 3], [1, —4,4]} (ponieważ dimimę) = 3, więc za bazę przestrzeni i m ę można przyjąć dowolną bazę przestrzeni R 3); c) np. {[4, 1, 0, 0], [7,0, - 2 , 1]} i {[1, 1, 1], [5, 6,7]}; d) np. {[2,1, 0,0], [ - 4 , 0 , 1 , 0], [3, 0, 0, 1]} i {[1,1, 2]}; e) np. {[2, 1,0,0], [0, 0,1, 0]} i {[2,4, 5], [3, 5, 8]}. 252. a) Np. {[3,1, 0], [5, 0,1]} i {[1,1,1,1]}; b) np. {[2, 1, -1]} i {[1, 3,2,0], [2,1,5, 6]}; c) np. 0 i {[1,2, 3,4], [1,1,1,2], [1,2,4,0]}; d) np. {[1,4,0], [5,0,4]} i {[1,1, 2,1]}; e) np. {[1,2,5]} i {[-4, - 2 , 4,1], [1,0, - 3 , -1]}. 253. a) Załóżmy najpierw, ż e l ^ k ^ n — l i n ^ m + k. Jądrem o wymiarze k może być dowolna fc-wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni K n. Zgodnie z zadaniem 82 liczba sposobów wyboru takiego jądra jest równa {ąk - 1){qk - g) • . . . • (g* - g*“ 1) ' Mając już ustalone jądro/bierzemy jakąkolwiek bazę tego jądra i uzupełniamy ją wektorami vx, . . . , vn- k do bazy przestrzeni K n. Następnie na qm — 1 sposobów wybieramy wartość ę ( v x), po czym na gm—g sposobów wybieramy wartość ę (v 2) itd., aż wreszcie na qm — qn~k~l sposobów wybieramy wartość ę (v n- k). Wobec tego szukana liczba N jest równa iloczynowi (g" - l)(g" - g) ■... ■(g* 1k- 1) (qm (qk - 1)(g* - g) - . . . • (g* - qK
m q m~q)
■{qm - qn-k~ 1).
Jeślik = O in ^ m, to N = (qm — l)(g m —g) - . . . ■(g”‘ —g"n_1). Jeśli k = n, to N = 1. W przypadku gdy n > tn + k, zachodzi równość N = 0. b) Ponieważ n = l + dim ker ę (zob. równość (4.1)), więc wystarczy skorzystać z wyniku z punktu (a), podstawiając w nim zamiast k liczbę n — l. 254. a) +
w A B C
W W A B C
b) jak w (a);
A A
W c B
B B C W A
C c B A W
•
0 1
w w w
A W A
B W B
C W c
1Q R n c|Zdma 11 c)
A B
W W A B
A A B W
+ W A
W W A
A A W
+
w d)
B B W A
0 1 2 • 0 1
W
w w
W W W
w
A W A B
B W B A
a
b
* ( [ - ] )
[a - b, c - d]; 4 j) C{o,i) —> R, (p if) — /o f ( x ) 257. Wystarczy rozpatrzyć rzutowania odpowiednio 7T2 : V —> W2 i tvx : V -> Wi (zob. zad. 228 na s. 110). i) M(2, K ) -> K 2,
» ([i
])
258. Przy oznaczeniach z zadania dla dowolnych w2, w2 e W2 i a, b e K mamy
A W A
',55. a) Dwa ciągi należą do tej samej warstwy wtedy i tylko wtedy, gdy ich drugie wyrazy są takie same. Żądanym izomorfizmem jest np. funkcja ę : R°°/ W -»■ 8. określona wzorem ę{(a„)^Lj + = a2; b) Zauważmy najpierw, że warunek ax = 4ö2 = 5a3 jest równoważny z układem równości ax - 4a2 = 0 ,a x - 5a3 = 0. Ciągi (a„)“ j, ( K ) ^ wyznaczają tę samą warstwę wtedy i tylko wtedy, gdy ai —4a2 = bx — 4b2 oraz ax — 5a3 = bx — 5b3. Żądanym izomorfizmem jest więc np. funkcja ip : R °°/W ->■ R 2 określona wzorem + W) = [ax - 4a2, fli - 5a3]. c) Dla dowolnych f , g e C(0,i) równość f + W = g + W zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy / 0X/( * ) d* = / J g(x) d*. Żądanym izomorfizmem jest np. funkcja
p i Ci Roz iąz^r a odpo , t,azi
\a , c];
Zatem cpjest przekształceniem liniowym. Aby wyznaczyć ker
+
(ibv 2)
+
= a(ui + W) + b(v 2+ W) = a(p(v 1 + U) + bcp(v 2+ U). Wyznaczymy teraz jądro przekształcenia liniowego cp. Dla dowolnej warstwy v + U e V / U mamy v + U e ker cp 4 = 4 q>(v + U) = W 4= 4 v + W = W 4= 4 v € W 4 = 4 v + U 6 W /U . Stąd k e i ę = W / U i wobec tego W /U < V /U . Należy jeszcze sprawdzić, że im cp = V / W . Związek ten jest oczywisty, gdyż dla dowolnej warstwy v + W e V / W zachodzi równość v + W = (p(v + U). Teraz wystarczy powołać się na pierwsze twierdzenie o izomorfizmie przestrzeni wektorowych. 260. a)
4 5 1 7
6 8
b)
-1 -4
11 5
c)
1
9
0 1 -2 0
W feto Rozwiązania} odpawledzi ^ 261. a) [4xi + 7 * 2 , 3xi +
6 x 2 ,2x!
+ 5x2];
b) [O, xi — 8x2, 2xi — 9x2];
c) [xi —x2, 6 x2, 4xj — 7x2].
262. a)
4 -1 7 -3
b)
4 -3
d) [x i
—3 x 2 ,
'5
0 '
' 9 1 ' c) _ - 5 o ;
'7
d) _ 4
9 ' -2 _
265. a) [*i - x 2 + 2x3, 3xi - 4x2 + 5x3]; c) [x2 - 2x3, xi + 4x 2 - 3x3];
e) [4xx - x2,5xi - 2x2].
266. MB(
267. MB{ę) =
a b O O
O O a b
d) [4xi + x2 - 4x3, xi + 3x 2 - 5x3];
2
1
-5 -3
c)
f) [ 5 X1 - |x 2 + |x 3, xi - 2x2 + * 3, §xi - |x 2
\x 3l
278. Jako kontrprzykład wystarczy wziąć dowolne niezerowe przekształcenie liniowe ę i przyjąć, że ijr = —
i Wi, jeśli / - j jeśU z
J, 7^ J-
b) 9£>ii([jci, x2]) = [xi, 0,0], ę n ( l x u x2]) = [x2, 0,0],
O O c d b) C = ([1,1], [5,4]).
269. a) B = ([1,0], [4,1]);
b) B = ([3,7], [2, 5]).
280. a) Nie;
b) tak.
6 6 ' 281. a) _ - ł 1 _;
b) [4xi + 7x2, 5xi + 4x2].
271. 3xi + 5x2 + 5x 3 + 4x4 + (7xi + 3x2 + 3x3 + 5x4)*•
282. a)
7 -3
272. [llxi + 10*2,5xi + 6x2]. 273. Macierze M(
283. a)
1 2 2 5 -1 -3
'5 1 ' 0 5 ’
.
' 8 6 2 ' b) _ 2 4 0 _ ;
279. a) Ponieważ funkcja
268. a) C = ([4,1], [7,2]); 270. a) [xi, 8xi + 3x2];
4
;
e) |[3 x i + 2x2 —x3, 8xi + 17x2 —6x 3, —4xt —6x2 + 3x3];
b) [5xa - x2 - 4x3, 3xj - 4x2 + x3];
e) [4xi - 5 x 2 + x3, 3xi - 4x2 + 2x3]. a O b O O b O d O c O O d
' 5 4 3' .
b) [xi + x2, xi + 2 x 2]; d) [xi, 3xi + x2];
275. a) [2xi + 5x2 + 4x 3, 7 x ¡'+ 9x3]; b) [3xi + 6 x 2 + 9x3,12xi —3x2 + 15x3]; c) [xi - x2 + 9x3, 7xi - l x 2 + 8x3].
277. a) [xi —x2, - x i + x2 + x3, xi - x3]; b) [—5xi + 3x3, 5xi —x2 —2x3, —3xi + x2 + x3]; c) [—13xi + 5x2 —6x 3, 3xi —x2 + X3, 5xi —2x2 + 3x3]; d) [xi + 4x2 - 2x3, —2x2 + x3,2xi —x2];
7
x i + 8x 2];
274. [3xi + 5x2 — 5x3, 7xi + l l x 2 —5x3,4xi + 6x2 —2x3].
276. a)
' 1 3 -2 ' 0 -1 1
c)
-5
8x i — 5 x 2] ;
c) [2 x i 4- 5 x 2 ,
;
. 0 1 '4 1 0 ' b) . 8 7 3 _ ;
4 4 ; 7 _ 5
263. a)
264. a)
;
263
JÉsálllSJ
' 2 5 10 ' 0 25 _ i
' 125
75 '
i
' 625 600 ' 0 625
0 125 . Na tej podstawie można postawić hipotezę, że dla każdego n e N zachodzi równość M(ę>")
5"
n ó "“ 1
0
5"
Dowód indukcyjny potwierdza tę hipotezę. Wobec tego prawdziwy jest związek
b)
9 -5
5 ' 6 ; -5
3 4 5 1
286.
2 7 3 8
' 1 3 ' c) _ ! - 4 _ ;
7 -4
b)
” 1 4 0 ' 284. a) 0 1 4 ; 0 0 1 285.
' 4 1 ' _ -3 1 ;
b)
2 0 -1
c) -1 1 2 0 1 0
b)
0 1
;
c)
d)
8 *
-
' 1 1 0 “ 1 4 1 0
9 -
d)
c)
4 1 l 0 0 l 1 3 0
3 0
-1 5 6 4 7 3
2 4 0 ~ 1 0 1 0 1 1 -
Z
>fo " «
3 4
288.
1 1 4 2 1 5 1 1 5
301. a) C = ([4,11], [0,4]);
289. B = ([2,1], [1,3]). 290. a) 3,4; b) 5, 14; c)3,l;
Xi'. 2x\ —7*', *2: ■4*2 292. a)
8 8 9 7 8 10
293. a)
8 3 3 1 ' 5 13 " 1
5 .
b)
;
b)
X, =
-7 -4
4*i • • 7 * 2 , *i • 2*2.
7 9 3 4
4 3 7 5 ;
b)
oraz
2 1
' 4 3 ' _ 4 6 _;
c) c)
0 i 1 9 '7
1'
9 3
;
9 3' d) _ - l 1 _
295. B' = ([6,1], [9,2]). ' 1 -1 1 ' '5 7 4 ' ' 1 8 0 ' ' 0 1 3 ' 0 1 0 _ ; b) . 1 2 3 . ; c) _ 0 - 4 0 ; d) . 1 4 1 . 297. a) [*i - *2, 3*i - 2*2,5*i - 3*2];
296. a)
b) [7*i + 3 * 2 ,5 * i + * 2 , 3*i + *2];
c) [*i + 2*2, 4*i - 5*2, 3*i + *2]; d) [2*i — *2, 8*i — 7*2,4*i - 3*2].
-
3*2 -
*3];
299. a) [3*i + 4*2 - 5*3, *, + 2*2 - *3, 4*i + 4*2 - 6 * 3]; b) [3*i - *2 — 4*3, 5*i - *2 - 7 * 3, 4 *1 — 2*2 —5 * 3];
c) [*1 - *2 + *3, 2*i - 5*2 + 4*3, *1 + x2]; d) [4*i - * 2 - * 3 , 5 * i - 3*2 - * 3 , 3 * 3 ].
a) [7*i, 1 2 * i + * 2];
b) [2*i, 3 * i + 4 * 2];
+ 6*2].
= (C ^C j-^ A itC iC a) = (CiC 2) - 1Ai(CiC2). Wynika stąd, że A3 A i. Zatem relacja «a jest przechodnia. Ponieważ relacja «a jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, więc jest ona relacją równoważności. 303. a) Tak;
b) nie;
c) tak;
d) nie;
e) tak;
f) tak.
304. a) Tak;
b) nie;
c) tak;
d) nie;
e) nie;
f) tak.
305. Niech W będzie podprzestrzenią przestrzeni M[X] niezmienniczą względem róż niczkowania. Załóżmy, że do W należy pewien niezerowy wielomian / i połóżmy m := st / . Wtedy do W należą wielomiany / , / ' , / " , . . . , / (m) odpowiednio stopni m, m —1, m —2 , . . . , 1,0. Ponieważ wielomiany te generują podprzestrzeń Mm[Z], więc Mm[X] c W. Widać stąd, że jeśli najwyższym stopniem wielomianów nale żących do W jest liczba n e N U [0], to W = Mn[X], Jeśli dla każdej liczby k e N do W należy pewien wielomian stopnia wyższego niż k , t o W = R[X]. 309. Niech
312. Niech
d) [*1 - *2 + 2 * 3 , 2 * i - 4*2 + 5 * 3].
d) [*1 + 4* 2, 2*i
A3 = C ^ A 2C2 = C ^C C fU iC O C z
311. Niech cp(W) c W i ir{W) c W. Wówczas dla każdego wektora w e W mamy {cp + ir)(w) = cp(w) + Tjr(w) G W, gdyż
b) [4*i + 4*2 — 7 * 3, 5 * i + 2 * 2 — 6 * 3]; 5 * 2 , 4* i
więc
310. Załóżmy, że q>{W) c W i c W. Dla każdego wektora w e W mamy wtedy (ifr o cp)(w) = ilr(
298. a) [*1 + 3*2 - 5*3,3*i + 4*2 - 7*3]; c) [3*i -
b) C = ([1, 3], [4, 5]).
302. Z zachodzącej dla każdej macierzy A G M(n, K ) równości A = I ~ lA I wynika, że A A. Zatem relacja ~ jest zwrotna. Załóżmy, że macierze A, B e M(w, K) spełniają warunek B A. Ponadto niech C będzie taką macierzą odwracalną, że B = C~lAC. Wtedy A = CBC~X = BC~l . Stąd A & B. Wobec tego relacja «a jest symetryczna. Niech macierze A u A 2, A3 spełniają warunki A 2 ^ A : i A 3 ^ A2. Niech po nadto macierze odwracalne Ci i C2 będą takie, że A 2 = Cj^AiCj i A3 = C^~1A2C2. Zachodzą wtedy równości:
d) - 1 , 3.
291. Ponieważ macierz przejścia od bazy B do bazy B' jest równa zgodnie ze wzorem (4.10) ze strony 125 zachodzą równości:
3 00 .
i
-4 -5
287.
294. a)
M
c) [7 * i - * 2, 9 * i • 2* 2];
314. Niech cp(W) c W. Aby wykazać, że (jp + a idy)(W) c W, wystarczy w zadaniu 313 przyjąć / = X + a . Można też bezpośrednio zauważyć, że dla każdego w € W prawdziwe są związki (
315.
a) Tak, 9;
b)nie;
316.
a) Tak, 2;
b)tak, 5;
317.
c)nie.
a) Sp(p) = {5; 7}; wektorami własnymiowartościwłasnej 5są wektorypostaci [i,—i], gdzie i e R \ {0}, a o wartości własnej 7 są wektory postaci[i, f], gdzie i ę i \ { 0 ); b) Sp(ęo) = {0}; wektorami własnymi o wartości własnej 0 są wektory postaci [31, i], gdzie t e R \ {0 }; c) Sp(
318. a) Sp(A) = {—1; 0; 2}; wektorami własnymi o wartości własnej —1 są wektory postaci [2 f, 31, 0], gdzie i e l \ {0 }, wektorami o wartości własnej 0 są wektory postaci [0 , 0 , i], gdzie t € K \ {0 }, a o wartości własnej 2 są wektory postaci [i, i, i], gdzie i e l \ {0 }; b) Sp(A) = {1}: wektorami własnymi o wartości własnej 1 są wektory postaci [0 , t, i], gdzie f e E \ {0 }; c) Sp(
' 3 0 ’ " 1 1 ' ,c = 0 5 _ _ -1 1 _
b) np. B
' -5 0 ' 8 1' ,C — 0 4 _ _ -1 1 _
c), d) macierz A nie jest diagonalizowalna; e) np. B
2 0 0
7
,C
‘ -4 0 ' " 1 5 ' ,C = _ 2, 2 _ 0 4
c)tak, -1 .
1
1
-3
2
g), h) macierz A nie jest diagonalizowalna. 321. a) Nie;
b) tak;
c) tak;
d) nie;
e) nie;
" 0 1 1 " 1 0 0" 1 1 1 a) Np. B = 0 2 0 ,c = _ 0 0 4 _ _ 2 0 2 “
b) np. B = _
0 0 0 0 0 0 0 0 2
'
,c = _
" -1 0 0 0 0 0 c) np. B = 0 0 1
f) tak.
"
2 4 1 1 0 4 1 1 0 —
,c =
" 1 1 1 1 1 0 2 3 0
d) macierz A nie jest diagonalizowalna; 1 0 1" 1 1 1 -2 4 0 _
e) np. B =
" 0 0 0 " 0 1 0 ,c = _0 0 2 _
f) np. B =
" 2 1 0 " " 0 0 0 " 1 4 3 0 1 0 ,c = 2 0 1 0 0 1
g) np. B =
' -1 0 0 ' 0 0 0 ,c = 0 0 1
3 1 1' 10 3 2 8 3 2
h) macierz A nie jest diagonalizowalna; i) np. B =
' -1 0 0
0 5 ' ' 1 0 0 “ 1 6 2 - 1 0 ,C = 0 -1 6 0 1
323. Przypuśćmy, że ę jest monomorfizmem i pewien wektor v ^ 6 spełnia warunek cp(v) = 0 • v. Wtedy
u).
1 325. Niech wektor v e V \ {0} spełnia warunek
, .. ... . .. f AB 328. Z relacji (4.14) i (3.24) wynika, ze macierze B
0 BA
329. Zob. zad. 161. 5 0 330. a) Np. 0 5 d) np.
' 1 0 0 2
2 —2 • 3" 1 335. a) *■ 2 - 3 n+1- 5 5 • 3”+1 — 15 6 - 5 - 3 "
e) np.
0 1
-1 -2
0 -4 1 5
c) np.
0 1
-1 0
0 0 1 0 _ 0 1
f 4 -3 (-l)n 4 (-l)"-4 b){ -3 — 3(—1)" 4 ( - l ) ” - 3
c)
4 • 3" —3 • 2" 3 . 2" —3n+1 4 ■3" —2n+2 2n+2 —3n+1
e)
2(—1)" —4" 2 ( 4 " - ( - 1 ) (—1)" —4" 2 • 4" — (—1),r n ) .i-’
[
7" + 1 7" - 1 7" — 1 7" + 1 1 -1 1
k)
Są p0‘
0 ±[
g)±5 h) ± i £
7" Ą- 3n+i 7” - 3"
; d)
6" + 4 " 6" —4"
h )' 2
4 2
6" - 4" 6" + 4"
" 5 • 3" - 6 2- 3" - 2 3 ; j) 1 5-3" - 6 2- 3 " - 2 2n+1 2 1-2" 3 • 2" - 2 1 - 2 " 2"+3 - 8 4 - 3 - 2 "
10 5
-2 5
6 + 2z 2 —i
6 5
b) ±
1 -1 1 4 2 ,± -4 10
3 - 7 " 3«+1 3 - 7" + 3"
f ) r 2 - 4" - 5" 2(5" - 4") ' t} 44" — 5" 2 • 5" —4"
2" - 1 2" - 1 1 1 2" - 1 2" - 1
2n+i _ ! 2” - 1 2"+2 - 4
e ) ± [
b)np.
; c) np.
334. Mamy tu FP(X) = X2 — (a + c)X + ac —b2. Ponieważ wyróżnik A otrzymanego trójmianu kwadratowego, równy (a —c)2 + 4b2, jest nieujemny, więc trójmian ten ma pierwiastek rzeczywisty. Stąd teza.
336. a) ±
dobne i wobec tego mają one jednakowe wielomiany charakterystyczne. Zgodnie z równością (3.19) zachodzi więc związek FAB(X) • (—X)n = (-X )n • FBA(X). Stąd teza.
; b)np.
333. Np. ęj((ai, a2, a3, ...)) = (0, au a2, . . . ) .
Fb a (X).
0 1 . f 0 0 1 B
1 0 0 0 2 0 0 0 3
0 -4 5 0 0 5 1 0 0 0 0 0 d).np. 1 0 0 ; e)np. 0 1 0 ! f) np. 1 0 -1 0 1 0 0 0 2 -i 1 2 _J — I— 0 332. Sp(ę>) _ .. . gdyż dla każdego a € K funkcja eax jest wektorem własnym różnicz kowania o wartości własnej a.
g)5
Zatem w przypadku gdy det A ^ 0, teza zadania jest prawdziwa. Załóżmy teraz, że det A = 0 i A = [a,y]- Wówczas dla macierzy kwadratowej X = [Xy] stopnia n, traktowanej jako macierz o elementach z ciała funkcji wymiernych K {X n, X n , . . . , X n„), warunek detX ^ 0 jest spełniony w sposób oczywisty. Dla macierzy X i B zachodzi więc równość FXb (X) = Fb x (X). Doko nując n2 podstawień Xy := ay (i, j e {1,...,«}) w otrzymanej równości dwóch wielomianów n2 + 1 zmiennych, uzyskamy żądany związek FAB(X) = FBA{X).
0 0 -1 1 0 -3 0 1 -3
331. a) Np.
11 4 f)±
124+
'4
] ’± 3 [ -5
4 -5 ‘ 2 - 3 ,’ ± -3 _ 2
n }
1 14
9 5
15 5 19 1
S]•4 ‘ 8 -5 1
6-4-3" “ -3 6-4-3"
6 - 2i 2+ z
"
25 19 12 + 6z 4 — 3z
5 11
3 7
" 64 48 12 ‘ 0 64 48 ; 338. a) 0 0 64 d)
339. a)
c)
" gn
n6n 1 G ) * " 2 1 6" n6n 1 ; 0 ó”
' 6" 0 d) 0
0 0
e)
0 0 4"
n9n~l 9n 0
■ 464 466 126 • 4 63 " 466 ; 0 464 b) 0
" 7
464
0
0 0
c)
16 7 0
9 " 16 7
5 33 39 O 5 33 0 0 5 9 0 0 0 0
6 9 0 0 0
1 6 9 0 0
0 0 0 0 0 0 1 -2 0 1
"
.
67 34 4 0 0 0 67 34 0 0 0 0 67 0 0 0 0 0 -5 2 0 0 0 0 -5
" 27 27 9 0 27 27 0 0 27 b) 0 0 0 0 0 0 "
,
“ -7 0 0 d) 0 0
18 -7 0 0 0
13 18 -7 0 0
340. Sposób 1° Przypuśćmy, że macierz diagonalna B = na C =
x z
0 0 0 3 --1
0 0 0 --1 0
"
0 0 0 0 0 0 1 10 0 1
q ^
c) Sp(ę>) = {0}. Np. B ■ (e4, e2, es, ej, e3). Odpowiedni diagram i macierz M b (
'
i macierz odwracal-
są takie, że B = C _1AC. Wtedy C S = AC, czyli zachodzą
równości: xb yc zb tc
= = = =
ax + z, ay + t, az, at.
Z pierwszej i trzeciej równości wynika, że z
341. a) Sp(ę>) = {0}. Np. B = (e2, e3, es, e\, e4). Odpowiedni diagram i macierz M b (
d) Sp(ęj) = {0}. Np. B = (e3 + e5, ej, - e 5, e4, ej - e2). Odpowiedm diagram i macierz M b (
0. Podobnie z równości drugiej
i czwartej wynika, że t = 0. Zatem macierz C jest postaci
x
y
0
o
i wobec tego
C jest macierzą osobliwą. Sprzeczność. Sposób 2° Niech B będzie macierzą diagonalną podobną do A. Ponieważ FA(A) a 0 Ffl(A), więc Fb (X) = (X — a)2. Stąd B . Dla każdej macierzy C e 0 a C~lAC GL(2, K ) mamy wtedy C B C 1 = C (a /)C 1 = a l ^ A. Równość 5 nie zachodzi więc dla żadnej macierzy odwracalnej C.
v0(2) f 0(1)
lin(ej,e2, e4, e5) lin(ei,e5)
(ej, e2 — ej, e3, es, e4). Odpowiedni diagram i macierz
I: D: DI:
es es — ej e\
e4 es
‘ 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
f) Sp(ęj) = {0}. Np. B = (ej, 7ej + e2, e3,4 e5, e4). Odpowiedni diagram i macierz M b (
1 1 RoAUizanla I nipo»*leazi-
g) Sp(
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
e2 + e4, es). Odpowiedni 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 1 0 0
j) Sp(ęp) = {0}. Np. B = (4ex + e3 + 4e5, ej, ej + e5, e2, e4). Odpowiedni diagram i macierz Mg(ę>) są następujące: 0 1 0 0 0 V 0(2 ) = E 5 0 0 0 0 0 T /O ) lin (ei + e5, e3, e4) 0 0 0 1 0 I: e, e2 0 0 0 0 0 E: 4ej + e3 + 4es ej + es e4 0 0 0 0 0 k) Sp(ęi) = {0}. Np. B = (ej + e2 + e3, e2 + e4, e5, ex, e4). Odpowiedni diagram i macierz Mg(ę>) są następujące: 0 1 0 0 0 I: V0(3) = E 5 0 0 1 0 0 es E: 0 0 0 0 0 = En (ej, e2, e3, e4) e2 + e4 0 0 0 0 0 = lin(ej, e2 + e3, e4) EI: ej + e2 + e3 ej e4 0 0 0 0 0 1) Sp(
e\ e4 es e3 —e4 e2 —e3 + e4
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
f : 273
ł) Sp(ę>) = {0}. Np. B = (—5e4, e2 + 2e4, ex,4 e x + e5, e3). Odpowiedni diagram i macierz Ms((p) są następujące: y (3) ms /((2) = lin (4ej + e5, e2, e3, e4) V0 Vq15 = lin (4ej + es, e3, e4) I: ej E: e2 + 2e4 EI: -5e 4 4ex + e5 e3
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
m) Sp(ę>) = {0}. Np. B = (ex, e2 + e4, e3, 2e3 + e4, e3 - e5). Odpowiedni diagram i macierz M b (
En (ej, e2 —2 e3, 2 e3 + e4, e3 •e5) lin (ej, 2 e3 + e4, e3 - e5) e3 e2 + e4 ex 2 e3 + e4 e3 — es
0 0 0 0 0
n) Sp(ę>) = {0}. Np. B = (6 e4 —4e2, ex, ex + 2e3, e3 + e4, 5e3 + diagram i macierz Mg(
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
e5). Odpowiedni 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
342. a) SpfoO = {0}. Np. B = (2 4 ,12X2+ 2 4 Z , X 4, 6X + 6 , X3). Odpowiedni diagram i macierz Mg (99) są następujące: ' 0 1 0 0 0 r&) :E4[X] X 4 I: 0 0 1 0 0 o /(2) 0 0 0 0 0 12X 2 + 24X X 3 E: o /O) ; lin (1, X) 0 0 0 0 1 24 6X + 6 Et 0
0
0
0
0
24, 2 4 X + 3 6 ,12X2+ 24X + 14,4X 3+ 6X 2+ 4X + 1, X ;ierz M b (
X4 I: : E 4IX*] : lin (1, X, X 2, X 3) E: 4X 3 + 6 X 2 + 4X + 1 12X2 + 24X + 14 : lin (1, X, X 2) Et 24X + 36 ■lin (1, X) IV: 24 V: :lin(l)
' 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
r ° 1 0 “ 0 0 1 343. a) B = 0 0 0
346. Przypadek* = 0 jest banalny. Załóżmy więc,'że * ^ 0. Ponieważ FxA = {ax—X)n, więc Sp(*A) = {a*}. Przyjmijmy, że ę jest endomorfizmem przestrzeni wektoro wej K n, takim że M(ę>) = A. Wówczas M(*ę0 = x A . Łatwo można sprawdzić, że dim Vf£ = 1 (równość ta dotyczy endomorfizmu x
' 1 -1 0 “ i np. C = 0 1 0 0 0 1
' 2 1 0 " ' 0 1 0 ‘ 0 0 4 0 0 0 , c = b) np. B = 8 0 1 0 0 0 c) B
O 1 O O O 1 0 0 0
i np. C ■
d) B
4 1 0 0 4 1 0 0 4
i np. C
e) np. B =
-1 2 -1
1 1 0 0 1 0 0 0 1
~ -1 0 0 “ " 1 1 0 " 0 1 0 , c = 0 1 2 » 0 0 1 0 0 1
“ -2 " 6 1 0 “ 0 0 6 -1 , c = f) np. B = 0 0 6 -1
344. a) Np. B
b) np. B
-1 1 1 0 -1 0
■5 0 0 0
1 5 0 0
0 1 5 0
0 ‘ 0 0 5
5
C—
" 4 1 0 0 " 0 4 1 0 , c = 0 0 4 0 0 0 0 4
s =
0
1 1" “ 2 0 1 0 1 1 1 1 lub C = 0 0 1 0 0 -2 -1 0 -2 0 0 1 -8 0 0 0 0 0 2 2 -2 0
1 -1 1 0
0 5 2 1
0 1 1 0 0 0 0 -1
^23^-3 *b • ■ • ~b
Cl2 n x n
~b
e6 —ex + e$
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 4 0
0 0 0 0 0 4
- 0 0 0 0 0 _ 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 1_
Np. B — {ei + e4 —e5, ex, —ex + es, es, e2, e3).
^ 2 ,n —l x
^ n —2,n—l x n —I
Ad l i = 0: V0(2) = lin (ei, e4, e5, e6) y0(1) = lin (e4, ei - e5) ,
V4(1) = lin (e2, e3) I: e2 e3
aXnx n = 0,
~b
0 0
. . x~n
Ad A.2 = 4:
aifn- i x n- i + n—1
0
. . . .
347. a) FV(X) = X4(A. - 4)2.
I: ex II: e\ + e4 —es
345. Widać, że Fa(X) = (—1)"(X—a)n i wobec tego Sp(A) = {a}. Związek [jci, . . . , x„] e Va(1) jest - jak łatwo sprawdzić - równoważny z układem równości a n x 2 + ai3x3 + . .. +
' x- 1 0 0 *-2
&n—2,r:
=
0,
—
0,
®n—l ,n x n =
0*
Jednakże równości te są prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy xn = 0, xn- i = 0, . . . , x 2 = 0. Zatem Va(1) = lin (ej) i wobec tego dim Va(1) = 1. Wynika stąd, że postać Jordana macierzy A jest klatką Jordana stopnia n odpowiadającą wartości własnej a.
b) i>(k) = A3(k - l)3. Ad Xx = 0: r® lin (e3, e4, e5) o (i) ; lin (e3, e4 —es)
I: II:
e4 e4 —e5 e3
Ad X2 = 1: rm : lin (ei —e3 - e4, e2, e6) /w ' lin (e2, e6) I: ex — e3 — e4 H: e2 e6 Np. B = (e4 —e5, e4, e3, e2, ex — e3 — e4, es).
PflpIow Pi6PmI 1Q Rozważania 'PiD
pa c ) F p W = & - 3 )3
m
■4)3
'
‘ 2 1 0 ' " 1 1 3 ' e) np. B = 0 2 0 , c = 1 0 1 0 0 2 2 0 0
Ad M = 3: y W = l i n (fi\, e z , e-$ — e 5)
ei ez + es ez
I:
d ) — l i n (e%, ez — e$)
H:
Vs
ez
ez — ez + es
jj.
_ g 2 + ez + e4 — e5
N p. B —
(e 2
—
e3
es
+ e 5, e l , e 2 > —
62
+
63
+
1 3 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0
Ad Xz — 4: V® = lin (ez — ez — e4, e2 — ez+ es, e¡) n (1) = lin {ez — ez — e4, e5) I:
10 Rozwiązania 1 odpo rdz
64
0 0 3 0 0 0
0 0 0 4 0 0
0 0 0 1 4 0
0 0 0 0 0 4 J
f) np. B =
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
350. a) Np. B
' ■6 5 , e z — e z + e s , e $ ).
■ -1 0 0 0
3 4 8 . a ) F , W = ( - D n^ - 1a - a ) . O
0
yQ(1) = lin {e2, ez, . . . , en), yd) = lin {e\ + e2 + ... + en), N p . B — ( e 2 . e z, ■■ ■, e„, e i + e 2+ ■■. + e n)
O
O
...
O
O
O
...
O
a
b)F„W = ( - l ) n^ “ 1( A - » ) . V0(1) V«
' 6n))
lin ( e i — ez, e¡ — ez, . . . , e ¡ l i n ( e i + • • ■+ e „ ) ,
Np. B =
(6 1
— e 2 , ■• • . e i —
6«. 61
+
• • • + en)
O O
O
O
O
O
O
n
" -1 0 0 ‘ ' 0 1 0 " 0 1 1 , c = 1 4 1 0 0 1 1 4 0
b) np. B
Vo(1) Np* B "
34 9 . a) B =
lin {e\ — en, ez, e z,. . . , en-i). lin(ei + e n), (6 1
6n, 62»6 3 » *
' 1 1 0 " 0 1 1 0 0 1
b) np. B ■
c) np. B ■
d) np. B ■
* . j e¡i—\ , e x
en )
' 1 4 1" 0 0 0 ' 0 8 0 0 2 1 , C 1 4 0 0 0 2
-1 0 0
1 0 -1 0 0 3
2 O -1 1 1 O 1 O 1 1 O O 2 1 2
O O
... ...
d) np. B
1 0 0 0
O
O O O 2a
0 0 1 0
c) np. B
351. a)
"1 2 0 " i np. C = 0 0 1 0 1 0
-2 0 0 0 0 0 0 0 1
O
1 -1 0 0
4 1 0 0 0 4 0 0 0 0 5 1 0 0 0 5
c )F ,W = ( - D nXn- 1( A- 2 a) . O
0 " 0 , c = 0 8
c)
10« —An
25 n 10« + 1
2 . 3”+1 - 5 - 2 " 5 - 3"+1 - 1 5 - 2 "
1 0 4 -4 1 -3 1 O
C =
1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 3
1 O
2 O
;
O 1 O O
0 1 0 0
0 0 1 0
O -4 2 -4
0 " 0 0 1
O O 1 O
0 0 0 1 o o -2 1 1 -2 O 1
5 • 2" - 4 2 —2n+1
b)
5 . 2n+1 - 10 5 - 2"+2
-1 2 - 3 " + 2 O 3"
d)
«+ 1 —« « _ n 4 .1
e)(-l)" g)
0 " 0 _ , c/-* = 1 1
3n+i _ 2 2 - 2 - 3 " 3"+1 - 3 3 - 2 - 3 " 1
1 0 0 0 " 0 1 0 0 -5 0 1 0 -5 0 1 0
f)
■ 5 - 2" - 4 20 - 5 • 2"+2 ' 2" - 1 5 - 2"+2
2”+1 - 2 - 3 " 3 ■2”+1 —5-3"
. l [ 2 - 3 " - 2 4-3"+ 4 h) 4[ 3" + 1 2 - 3 ” - 2 i) k)
1 r 3n+1 —2"+1 2"+I + 2 • 3"+1 3 • 2" + 3"+1 2 • 3" - 3 • 2" 8" 8"
+
-
6” 6"
8" 8"
-
+
6" 6”
1) 2("-
j) 5"D/2
5 -f- 2« 4«
(« + 1)V2 2«
—« 5-2«
(1 —ń)*j2
¡1(1 Rozwiązania 1 odpowiedzi <- ^
r -i 1) (-3 ) "
n)
3n + ! -3 » 6n 3 ć 1 -2
352. a) *
-2 2
(n > 1);
n+ 2 —2n w2 n
-rc n2 + 3n n 2?z 2 —2n -- /,2r n n“ t i -j~ 2
n - n 2» 1 ,±;
9
e)±
^
/»(A) 0
: lim
/„'(A) /„(A)
żi/ń'(A) /„'(A)
... . ..
1 t/ T 3)u 2)(A) v W /’«
(^ //-« (A ) ¡ria ./„ < « > «
0
...
o
/.w
71—> 0 0
0
6 1 22
27
“ 14 4
/i—>-oo
6 11
1 11
,A , 1 ' 6 h)±. _1
b )± d )± f)± 4 1 10 i
-8
-6 3 < i :
/(X) 0
12 9 ,±
0
^ r / (' - 2)(A) (¿ 3 j!/(W)CA)
o V (/- 2)W
0
/(A )
0
357. Przez /„(z) oznaczmy n-tą sumę częściową szeregu YlhLoakZk> czyli sumę 2Za=o akZk- Mamy wtedy
-1
-2 12 6 . “4
■a , 1
/ r Ai
9 ' 24 .
o d p o ^ j ^ ^ jest t ^ ą liczbą naturalną, że Ak = 0, to B k = 0 i w konsekwencji 0 gk = 0. Stąd i ze wzoru (5.2) na s. 145 wynika, że Ai Ar = 0. rrvl A1 _ o /AA n _ / „A rłj__ j - ___ ¡¡i — 1-' ’ ' ’ _ . . . Wobec tego Sp(B) = {0}. Ale Sp(A) — SofRl * tego Ai : 0. - mwzoru (5.2) wynika, że jeśli k jest liczbą naturalną większą od stopnia Stąd i z* klatek Bu ■■■, Br,to B \ = 0, B k = 0. Wtedy B k = 0 i wobec tego każdej; również Ak = 0. • h B będzie macierzą diagonalną podobną do niezerowej macierzy nilpotentnej 354 . ^ ie^ tedy sp(5) = Sp(A) = {0} i wobec tego B = 0. Sprzeczność, gdyż jedyną ierzą podobną do macierzy zerowej jest macierz zerowa. 1 e 2 b) Ja In 2 355. a) 2 w mwadżmy oznaczenie /„(z) = 2Zt=o akZk- Wówczas z teorii funkcji analitycz356. ™p wja(jom0) że w kole |z| < 1? dla każdej liczby m 6 N istnieją pochodne W . . ,) i■ponadto prawdziwe n r a w d z iw są związki J („,)(Z / (m )( z ) .
\
a2
/»(A) = /»
-1 3 5 3 4 4 k) i 9 1) ± - 2 -1 -6 -4 -1 0 6 M(«> 20 i niech B będzie macierzą Jordana podobną do A, zbudowaną jordana Bu Br odpowiadających wartościom własnym Ai, Ar
lim /„(m)(z)
/'(A ) ¿ /" (A ) . . . /(A ) /'(A ) .
0
6 2
0
1
1
16 -1 1 ; 4 20
rc—>00 •f—^ i=0
0
g^ó
i
ZI9?
Stąd i ze wzoru (5.2) na s. 145 wynikają równości n lim Y ] a kA k = lim /„(A)
—n n 1 -2 n
-1 0 -1 8
—2 2 , i -6 5
c)±
353. ^
i -i
2
o o o
r
V. 0 f /«(A i) /«(Aa)*
Ar . / r /(Al)
0
/ ( A 2)
----- > n-*oo /»(Ar) _
0
0
0
/(A r) -
Stąd teza. 358. Niech szereg J2u=o akZk i macierz A spełniają warunki zadania. Ponadto niech ma cierz Jordana B i macierz odwracalna C będą takie, że B = C - 1AC. Oznaczając przez /„(z) sumę X!Lo a*z*> otrzymujemy n n M A ) = M C B C - 1) = ^ T a ^ C S C - 1)* = J 2 akCBkC - 1 k=0
k~0
C ■Y , a kB k • C - 1 = C • /„(B ) • C - 11 ----- ►C • / ( B ) ■C ~ \ n—»■00
k=Q
Stąd teza. 359. a)
1
2e5 + 3 e 5 - 1 5 1 6e 5 —6 3e5 + 2
c) e9
-1 4
-1 3
d)
b)
2 e 3 —e 2 2e 3 —2e 2
9 —8e 6e —6 12e — 12 9e —8
2e2
'
'■‘'■źpytę ?
Trr1"T-rrp— jyn. nr*cs— 10 Roz/.iqzania i odpo.M'dzi
e)
4e —3e2 2e2 - 2 e 6e — 6e2 4e2 —3e
g)
10e2 - 9 15e2 - 15
-9 -25
f) e 1
6 —6e2 ' 10 - 9e2
i)
6e3 - 5e 3e3 —3e
lOe - 10e3 6e —5e3
j)
e5 —e4 2e4 —2e5 2e5
» ie
1 - 2 - •1 " 4 5 3 ; 2 3 3
m) §
m)
3 — e 5 1 e5 —2 ” 1 - e 5 1 e5 — 1 n) _ 3 - 2 e 5 1 2e5 —2 _
1 ' 3 -4 ] 360. exp A exp(exp A) = e 1 - i J361. Przyjmijmy oznaczenia występujące w zadaniu 346 i w jego rozwiązaniu. Jeśli x — 0, to exA = I. W przypadku gdy x ^ 0, mamy = SeBS~1 0 . . .
0
*~2
0
0
X
0
. . .
0
X2
0
0
0 0
. . .
x~n
i 2! 1
‘ 1 0
1 1
0
o :
—i
1 0
X
. . .
0 0
. . .
xn
0
e4x 0 O „5*
d)
1 4
f) ex h) e‘Ax
b) el x
3e4x + 1 „4x 3e4x —3 e4* + 3 1 + 2x x
—4x 1 —2x j ;
cos 3x — sin 3x 2 sin 3x
1
X
0
1
1
e)
e) e4x g) ex
C)5 l-3 x x
1
X
1F=W-
0
0
1
-9x 1 + 3x
-2
4
-1
2
„4x
j r —x -2x2+ 1
„3x
1
„3x a 3x
2xe3x e3x + x e 3x 2xe3x x e 3x 2xe3x — 1 xe3x + 1
1 'V 3 - 6 -4 2 V2 ‘ - 1 4
7
„5x
' -1 0
9 V3 +'6
0 ' -1 ;
' i o ■ ' 3 _0 ! _ 9
b)
1 ' 1 + 6V3 ’2 4*j3
- 1 " V2 " 3 —4 3 .’ 2
g)
0 0 o o
h)
j
-1 ' -3 _
1 0 ' 0 1 ’
' 3V 3-2 _2V 3-2
e 1 e
25 -10
10 -4
f)
—9«j3 1-6V 3 .
1 ' -1 _
3-3V 3 ‘ 1 ' 3-2V 3 3 —2y/3 . ’ 2 . 2 - 2 V 3
3V 3-3 ' 3V 3-2 .
3 -4 2 -3
-4-V 3 2
2 4 - V3
1 - 4V3 -2 V 3
2V3 1+4V3
-i ' 5 - 4 ' V2 ' 1 0 ' ; 6 - 5 0 ! 2 ’ 2
cos 2x sin2x sin 2jc cos 2x
—sin 3x cos 3x + sin 3x
„4x
e3x + xe3x xe xe
X2
tn—13! Y n —2
,2x + eSx _ e5x
c)
d)
2!
Jx
a)
1 («-D! (n-~2j!
Otrzymana równość jest też prawdziwa, gdy x == 0. 362. a)
0 0
„4x
1 1
x e Sx eSx 0
363. Macierze sin A oraz cos A są odpowiednio równe:
' 1 -4 ‘ 1 - 3 _’
= g S B S?—
j)
0 0
2x2 4“ 2x -f-1 2x —2x2 —2x + 1 4x2 + 4x 4x
De~
1 0 1 0 1 1 0 0 1
2e4 — <
k)
a 4x
5 —4e 2e —2 1 0 - 1 0 e 5e —4
;
„4x
1 0
1)
- e 8x
1 x \x 2 0 1 ^ 0 0 1
i) e5x
-9 -5
7 4
h) e2
4 11
k)
2 -1 0
4 -2 0
8 ' -4 0
5
‘ 1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 o
j)
■
;
-1 o o
-1 o o
■ 0 1 1" 0 0 0 i) 0 0 0
-1 0 o
o -1 o
o o -1
2 " “ 1 0 2 0 1 0 0 -1
364. Połóżmy A = [a,y] oraz A n = [ay0] dla każdego n e N. Korzystając z własności granic ciągów liczbowych, otrzymujemy równości
dla dowolnej klatki Jordana. Wobec tego dla dowolnych klatek Jordana Ai, . . . , Ar prawdziwa jest implikacja ■ Ai
0 “
A=
det A. c e S ,,
Stąd teza zadania.
i a \ f . Korzystając z tezy zadania 364, otrzymujemy równości — [A[f]
lim An 1 = lim ■
n-+ oo
n^-oo d e t A n
1 lim n~±oo det A„
lim [Ay}] lJ
n~+co,~
5x e x e~ ^ eX
e5x + Ci
b)
1
_
368. a)
x
ln5
iJx - 4/5 1 ; 5*ln5 _
c)
1 \f \- X 1
—sinx 1
V l-A
b)
y2 = 4x — | + e5x + 4cie 4x + c2e7x;
i) yi — (ci + c2x)e2x — sin3x, (x — l)ex + C2
e —1
1
ln 2
2 / tc
y2 = (.B sinx —A cosx)ex;
yi = 5x + H + e5x + c\e~Ax + 3c2elx, g)
h) yi = x + 4 + cie~x + 2c2eSx,
x sinx + cosx + C3 |x 2 lnx — | x 2 + C4
0 o
y2 = (ci + c2x )e 8x;
f) yj = (A sin 2x + B cos 2x)e*, y2 = 2[(A + B) sin 2x + (B —A) cos 2x]e*; COSX
sin ex + C3 esinx + C4
0 0
-ci + c2e6x;
d) yi = [ci + c2(x + l)]e8*,
ee* + C 2
sinx —x cosx + Cj b)
yi
+ 3c2e *;
y2 = (cj + 5xc2)e4x;
e) yx = (A sinx + B cosx)ex,
1
;
y2 = Ci«
[ci + (5x + l)c2]e4x,
c) yi = 5ci + c2e°
Zatem dowodzona teza jest prawdziwa. X
b) yi
c\e5x + c2e a6x
n->oo
367. a)
(10.9)
ArexAr
(zob. równości (5.9), (5.13) i (5.14)). Wobec tego dowodzony związek jest praw dziwy dla każdej zespolonej macierzy kwadratowej A. 371. a) yi
1 [Ay] det A
1 . lim A lim detA„ rU-»oo !?]
2J Ź
A e,xA
{exA)' = (S exB S-1)' = S (exB )' S“ 1 = SBexBS~i
365. Dla dowolnych i, j e m] oraz n e N połóżmy A = [ay] i A„ = [af])], a przez Ay i A-"} oznaczmy dopełnienia algebraiczne odpowiednio elementów ety
_
0
Zatem żądana równość jest prawdziwa dla każdej macierzy Jordana. Wynika stąd, że jeśli A jest dowolną zespoloną macierzą kwadratową, B - podobną do niej ma cierzą Jordana, a macierz odwracalna S spełnia warunek B = S-1 AS, to zachodzą równości AexA = SBexBS~l oraz
_1—
0
Ar
0
366. a)
" Aiex4‘ II
«
aeS „,
1
n-+ oo
H
a(n) lim det A„ = lim Y"' sgno af}n, ■... • aj: ■'■maim)
n —>oo
369. Ad (5.16). Różniczkowałność macierzy A 1 wynika ze wzoru na macierz odwrot ną. Aby otrzymać równość (5.16), wystarczy zróżniczkować obie strony równości A-1 A = I. 370. Jeśli A jest klatką Jordana stopnia n, odpowiadającą wartości własnej a, to korzy stając ze wzoru (5.7), łatwo znajdujemy macierze (exA)' oraz AexA. Okazuje się, że macierze te są sobie równe, skąd wynika, że dowodzona równość jest prawdziwa
j,{
y2 = 2x + 6 + 2c\e~x + c2eSx. y2 = [3ci -f- (3x — l)c2]e2x + 3 cos 3x;
yi = [2ci + c2(2x + l)]e5* + 3 sin 5x + cos 5x, y2 = (—ci —c2x)eSx + sin5x + 2cos5x;
k) yi = 2e~2x + 4ciex + c2e4x,
y2 = le~ 2x + lc \e x + c2e4x;
j. i yi = ex + 4e3x + (A + B)ex sin 2x + (B —A)ex cos 2x, ' | y2 = ex + 4e3x + Aex sin 2x + Bex cos 2x; 1)
yi = 3c\e4x + c2e ^ + 5 sin4x + 2cos4x, y2 = cie4x + c2e-2x + 4sin4x —cos4x;
m) yi = 3ci + c2ex, y2 = 8ci + c2ex + c3e*, y3 = 4ci + c3ex\ n) yi = c\e~x + 2c2, y2 = cxe~x + c 2 + c^e21, y3 = 2cxe~x + 2c2 + c3e„2x. Cl —c2e5x + c3(l —x)e5x, c2e5x + c3(l + x)e5x, o) : ci —c2e5x c^xe-,5x.
ĘĘĘE
IW i: P)
Ji = [Cl + c2(x + 4) + c3(x2 + 8x)Je3x, y2 = [ci + c2(x + 3) + c2(x2 + 6x + 2)]e3x, y3 = [ci + c2(x + 3) + c3(x2 + 6x)]e3x;
i
d)
0
1
;
1 Ns /
b)
r A -l o
' 1 0 372. a) ; 0 A2 _
O 1 O X2 ■6X + 8
e)
'A 0 c) _ 0 A2
'1 0 0 0 A 0 g) _ 0 0 A2 + A
373. a)
1 0 0 A(A —1)(A - 2 ) 0 0
0 0 A(A —1)(A —2)
b)
1 0 0 (A2 - 1)(A2 - 4 ) 0 0 0 0
f)
374. a) Tak;
b) nie;
d) tak;
b) P(A) =
O O O (A2 - l ) ( A 2 - 4 )
e) nie.
376. a) Przestawienie drugiej kolumny z trzecią; b) dodanie trzeciej kolumny pomnożonej przez A.3 do kolumny drugiej; c) pomnożenie drugiej kolumny przez 4. 9 0 0 0 1 0 0 0 1
' 7 0 0 " 378. a) 0 1 0 _0 0 1 " 1 0 0 ' 379. a) 0 1 0 0 0 31 _
b)
1 0 X —5 0 1 0 0 0 1
b)
1 0 0 0 0 1 0 1 0
b)
1 o o
380. a) P(A) = / , Q(A) =
-A2 0 1 0 0 1
1 -A -1 A + 1
c)
c)
;
A+ 3 -A- 4
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 A+ 6 1 0 0 0 1 ' i 0 0 " c) 0 0 1 0 1 0
c) P(A) =
QW =
o o 1 0 0 1
1 1-A 0 1 -1 -1
1 -A - 2 0 1 1 A2 + 6A + 8 1 A2 + 6A + 9
Q(M
A+ 3
2 .
1 -A -l -A2
QW
- A -2
1 0 ‘ 1 I . 2
375. a) Pomnożenie trzeciego wiersza przez 4; b) przestawienie pierwszego wiersza z trzecim; c) dodanie pierwszego wiersza pomnożonego przez X2 + 9 do wiersza trzeciego.
377. a)
c) P (X) =
381. a) P(A) =
0 0 (A2 — 1)(A2 —4) 0
c) tak;
1 -1 -4A 4A + 1
d) P(A) =
1 O O A2 + 13A •68
0 0 A 0 ; 0 A3 + A2 _
b) P (A) =
' -l l
A+ 2 -A -l 1 0
, «2(A)
0
1
0 0
0 0 1
, G(A)
0 A -A 2
1
1 0 0 0 1 -A 0 0 1
1 0 0 " " - 1 A+ 1 1 ' 1 1 0 , <2(A) = 1 -A -2 1 -2 1 0 0 1
382. P(A) = (A — XI)S(X) + R, gdzie S(X) i R są odpowiednio równe: a)
A+ 4 3A + 2 2 A - 1 4A — 1
b)
A+ 1 A+ 4 2A - 1 -A
c) d) e)
0 4 3 4 7
1
0
-8
2A2 - A - 1 3A2 —4A —2 " “ 0 8 ' A2 - 2A + 1 3A2 —2A — 1 0 0 9 4A2 —A —3 5A2 + 3A + 4 0 0 ' ł 2A2 + A — 1 3A2 + A + 3 0 0 _9 —A2 + 2 2A2 + 3 A + 4 '0 6 2A2 + A — 1 —3A2 - 4A - 5 0 1
" 2A + 1 4A + 3 3 f) 3A - 1 3A + 2 3 3A — 1 5A + 4 3
9
" 2 1 4 ' 2 3 5 0 1 0
g)
A+ 1 A -l _ A+l
h)
' -A 2 - A + 4 5A " " 0 - 1 - A 2 -3A + 1 4A 0 -6 2A2 4 A - 4 —8A 0 -8
5 —2A - 1 " 4 -3A -2 3 -A - 3
" 0 1 0 ' 0 0 1 0 0 0
9
0 " 0 0
§286; uadlrim feyicaM cłgkj^ j ^ ^
*>i'r^f;r=«V30>-R^jManiaY^
287
.
383. £(A) = S(A)(A - XI) + R, gdzie S(X) i R są odpowiednio równe: a)
3A + 2 4A + 5 X + 1 2X + 2
b)
X -3 4
c)
- X + 2 A+ l 1 r 5 - 5 -3A + 4 4A J ’ [ 1 - 9
e) 1, 1, A - 8, (A - 8)2, (A - 8)2; f) 1, A - 2 , A- 2 , A- 2 , (A .-2)2; g) 1, 1, 1, 1, (A —5)3(A —7)2; h) 1, 1, 1, A - 1, (A - 1)3(A + 6).
3A + 1 3 9 5AJ* [ 1 0
389. a) [0], [1], [2], [3], [4]; 7 0 0 0 0
c)
1 0 0 0 71 0 0 07 1 0 00 7 1 00 0 7
d)
d)
A+l 2X
e)
A2 4“ 2X + 3 X + 5 A + 3A —1 X + l
e) [5], [5], [5], [5], [5];
f)
X2 Az + 1 2X2 X2 — 2
g)
4 1■ 0 4 _ , 1-6], [ - 6 ] , [-6];
i)
0 1' 0 0 , [0], [1], [8].
g)
h)
3A + 4 "I [" 3 —8 X - 1J ’ [ 3 - 6
b) [3], [3], [3], [-3 ], [-3];
5 5 5 1
3A + 3 X + 1 —A. -2A+1 A- 2 —2A 2A —3 2A+1 —4A
1 1 2 8 6 0
0 0 0 0 0 6
h)
2 1 0 2
b) nie;
c) tak;
d) tak;
e) nie;
f) tak.
391. a) Tak;
b) nie;
c) tak;
d) tak;
e) tak;
f) nie.
.
386. Wystarczy sprawdzić, że A-macierze A — XI oraz A T —XI są równoważne.Fakt ten wynika z równości A T — XI = (A —AI ) T oraz stąd, że A-macierze A —XI i (A —AI ) T mają takie same wielomiany D^(A). 387. a) E 1(X) = b) E d A) = c) £i(A) = d) £ 2(A) = e) Ei (A) = f) £i(A) =
0 1 0 0
390. a) Tak;
392. a)
■0 0 0 ' j
f)
' 9 1' 0 9
[0], [0], [0]; -2 0
1 -2
[2];
3 5 4
- a2 + a 4 —3A 1 " ■ - 5 0 0 —A2 + 1 1 -A 2 » 0 0 0 4 7 7 —3A2 + 1 2 —2A —3 _ A2 + l 1 A + 3 A2 2 A —2 2A2 0 A + 1
" 9 1 0 ' 0 9 1 0 0 9
E2(X) = E3(X) = £ 4(A) = 1; £ 2(A) = £ 3(A) = 1, £ 4(A) = A - 6; £ 2(A) = 1, £ 5(A) 1; £3 (A) = £ 4(A) = £5 (A) = A+ 1; £ 2(A) = 1, £4 (A) = A + 2; £ 2(X) = 1, £ 3(A) = A .
388. a) 1, 1, 1, 1, (A —1)(A —2)(A —3)(A—4)(A —5); b)A — 1, A - l , A - l , A - l , A - l ; c ) l , 1, 1, A- 4 , (A —3)2(A —4)(A —6); d) 1, 1, 1, A2, A2(A - 9);
" 1 1 0 " ' 0 0 0 ■ " -1 1 0 ' 0 1 1 ; b) np. * 0 1 0 ; c) np. 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 -3
d) np.
a)
' 0 1 0 ' " 2 1 0 " 0 0 0 ; e) np. 0 2 0 ; f) 0 0 0 0 0 2
1 1 0 0 1 1 J 0 0 1_
d) np.
"0 0 0 ' 0 0 0 ; 0 0 1
’ 4 1 0 ' 0 4 0 0
1
4
b) np.
' 0 1 0 " 0 0 0 _0 0 2
c) np.
"0 0 0 " 0 1 0 _0 0 2
e) np.
' 2 1 0 " 0 2 0 ; 0 0 2
f) np.
" 1 1 0 " 0 1 0 0 0 1
394. Jasne jest, że Dn(X) = (A —a)n. Ponieważ spośród wszystkich iloczynów składa jących się na wymieniony we wskazówce minor tylko jeden, a mianowicie ai2a23 • . .. • a„-i^n, nie dzieli się przez A — a, więc (A — a) \ D„_i(A). Stąd i z wa runku Dn-i(X)\Dn(X) wynika, że D„-i(A) = 1. Z równości D„(A) = (A —a)n i £„_i(A) = 1 wnioskujemy, że postać Jordana macierzy A jest klatką Jordana stopnia n odpowiadającą wartości własnej a.
f'288 396. a)xi + x 2 + x3;
b) 3xi + 4x2 - x3; c)7xi4-2x3;
397. a) x\ + 4x2 + 4x3;
b) 3xj + 2x2 + 4x3;
d) x, - 3x2.
c) 3xi + x2 + x3;
d) 2x2.
d) 3 x j + 409.
398. 9xi + 7x2399. a) x i + x 2 + 3x3; b) 3xi - x2 + 5x3; c) 4x2 - 2x3; d) llx! + 4x2 - 5x3. 400. a) xi + 5x3;
b) 3xi + 4x3;
c) 5xi + 2x2 + 3x3;
■4 “ "4" r bi ~ 1 1 = A i ( A ? r i = ( a i 1 a 2? b2 7 7 b2 —
'4 1 1" ' 3 1 1" 0 1 1 l 3 1 _1 1 2d l 1 -1 "4 1 1 " 1 3 1 1 1 -1
-
1~ -4 5
1
_4 1 7
4 1 1 3 1 1
1 -1 0 1 5 -3 -1 - 2 3
c) 2xi —x3, —7x\ + x 2 + 2 x 3, 1 3 x i —2x2 —3x3; d) 4xj —3x2 + Jt3, —15xi + 12x2 —5x3,9xi —l x 2 + 3x3. 410.
x\ + 6 x 2 , x 2 + 6 x 3 , x 3 ; b ) 5x3, 5xi + x2, 5xi + 3x2 + x3; c) X j + 4x2 4" 5x3, 2 x j 4- 6x2, 5xi 4~ 2x2 4~ x3; d) 2xi 4-x2 4- 6x3, 6xi 4" 6x2 4~ x3, 5xi 4" 2x2 4- 6x3. a)
411. a) ([1,2,1], [1,1,1], [1,4,0]); c) ([2,4, 3], [3,7,3], [4, 9,5]);
413. Niech Bx ( w f , . . . , w*), A wtedy
Sij = w *(W j) = ( ¿ 4
5
, «£). b *2 mamy
uj'k I K ) = J 2 akivk(Wj) = 2—j akiVk
k—l
k=1
aijV[ 1=1
n
-6 -8
= J 2 J l a k i a l j VU v l ) = E
k=l 1=1
403. a = 1, b= 4, c = 2. 404. Niech B = (vu i B' = (v'v . . . , v'n). Dla każdego j e {1,..., n] przy
założeniach twierdzenia zachodzi równość bj = ę(v'j) = ę i 2 - ż aij Vi) = 2 l ai}7>i.vi) = ¿ 2 aUai¡=i ;=i ¡'=1
Zatem równość (7.2) na s. 183 jest prawdziwa. 405. x i , . . . , x„. 406. Połóżmy A = [ay]. Wtedy dla dowolnych i, j <={1 ,... ,n] mamy
J„ = uf(u,j) = u f ( £ > « » » ) = E « , i » , * W = E ‘ « c>* = E C' « « ¿=1 Jfc=l k=l k=1 Stąd CA = I i w konsekwencji AC = I. 407. a) xi, —2x3 4- x2; b) x\ —x2, x2; c) —5x! + 4x2, 4x 3 —3x2; d) —llxi + 5x2, 9xj —4x2. b) 3xi + 4x2, 3xj + x2;
b ) ([ 4 ,4 , 1], [2,1,0], [3,4,1]); d) ([0, -1 ,1 ], [5, 0 ,- 1 ] , [1,1,- 1]).
BJ («i [atjl A* = [afA. Dla dowolnych i, j e
1
7 ,b = 9.
408. a) x\ — x2, x2;
7xi —x2 —x3,2xj + x2 —x3, —4x\ + x3;
412. 1,4, 3.
Zatem formy funkcjonałów ę i \jr w bazie B2 są takie same i wobec tego
xi + 2 x 2 .
b ) l l x i + 5 x 2 — 1 5 x 3 , —2 x i — x 2 + 3 x 3 , —x i + x 3 ;
d) 4x! 4- x 2 4- 6x3.
401. Równość ę = ij/ jest prawdziwa. Oznaczmy bowiem przez A\ i A2 macierze przejścia od bazy kanonicznej przestrzeni R3 odpowiednio do baz Bi i B2. Wtedy macierz A xlA2 jest macierzą przejścia od bazy B\ do bazy B2. Oznaczając przez bu b2, b2 współczynniki formy funkcjonału
a)
4x2,
c) 4xi + 2x2, 2x2;
E
° « V
k=1 1=1
h
=
Y 2 a k ia kJ-
k=1
Stąd (A*)T A = I, wobec czego A* = (A-1)T. 414. Oznaczmy przez A macierz występującą w zadaniu. => Oczywiście rz A < m. Przypuśćmy, że funkcjonały
1 4 -1 , 2 7 -3 1 5 O
416. A
425. Dowód dwuliniowości funkcjonału f nie sprawia żadnych trudności. Połóżmy A = [ a y ] , B = [bij], C = [ c y ] i D = [ d y ] . Dla dowolnych i e {l ,...,m} oraz j e [ 1 , . . . , n} mamy wtedy
r z ę = rzA = 2.
418. A e Mim x n, K) i A —[a/yJ, gdzie atj = a,fey- dla i e {1,.,., 419. a) x iji + Sxiy2 + x2y x + 4x2y2; c)4xly l + 5 x 1y2 - x 2y l + x 2y2;
m
j e [ i , ...
\ \ b kivk, T c i j w i )
b) x iy l + xlj2 + 3x2yi + 4x2y2d) 9xiyi + 5xlj2 + 7xm + 4x2’y 2.
k= 1
m
n
=
420. 4xxy\ + 3xiy2 + 4xxy3 + x2yi + x2y2 + 2x2y3.
k= 1 1=1
421. l x a i - x ty2 + 4xiy3 + 8x2yi + 4x2y2 + 6x2y3 + 4x3yi - 4x3y2 + 8x3y3. 422. Odnotujmy najpierw, że każda ze stron dowodzonej równości jest macierzą o wy miarach 1 x 1. Mamy H y 0 2L > W 1
a
m n ,
,
_ Wl ) = y ^ x,yiail 1=1 7=1 i=1 f=1
'i=- 1l 7=1
J
oraz ’ yi ’
r m
1 = Y ^ X ia n , . . . , ^ ^XiQin 1 L i=i ,=i J
[jy, ■• •, *m3 A _ yn _
m
" yi
\ . V
/
J
L . , . .
-i
423. Niech 0 = Oh, ■■■,vn) i niech A = [ay]. Jak wiadomo, ay =
= J2Y^aibj
i= i j = i
i= l 7=1 n
n
n
= J 2 ' E , aibjaji = Y H 2 bi ai(p(vi' u<)= n Y l b}vJ' 1 2 biV‘) = ^{w, v). 1=1 7=1
1=1
m
7
ji
b ^ CB V ( v k , W l) = 'Y l J 2 b k‘ CUa kl = X ) Y l b k ia klC lj. k= 1 1= 1 k= 1 1=1
Stąd D = B7A C. 426. Przypuśćmy, że równość ę =
i
Stąd (ps(v, w) = \[
i
cpa(v, w) = \[
. yn .
Zatem dowodzona równość jest prawdziwa.
n
n
Z otrzymanych równości wynika, że jeśli żądane przedstawienie istnieje, to jest ono jednoznaczne. Weźmy teraz dowolne wektory v, w e V i zauważmy, że zachodzą równości
[E ( E * » » ) » ] = [ 1=1 E 7=1 E w 4 7=1 i= l
n
m
¡=1
a
n
7= 11=1
7'=1
7
Zatem z symetryczności macierzy A wynika symetryczność funkcjonału dwuliniowego ę. 424. Zob. rozwiązanie zadania 423.
Zatem przekształcenia (ps i ę>a określone przez równości (10.10) istotnie są przekształce niami dwuliniowymi odpowiednio symetrycznym i antysymetrycznym. 427. Oznaczmy przez A macierz funkcjonału
437. 4= Niech B —-(ty,. . . , vn), C — [ c y ] e GL (u, R ) i niech CTC będzie macierzą funkcjonału kwadratowego 0 w bazie B. Mamy wtedy
c) np. ([ 1, 0 , 0 , 0], [1, 1, 0 , 0 ], | [ 1, 1, 2 , - 1], | [—3, - 1, 0 , 1]), 2 - 4 x ? + r 2■*1 d) np. ([1 ,1 ,0 ,0], [1, - 1 , 0 , 0], [-3 , - 1 ,1 , 0], [-2,2,1,1]),
xx
x \ - x \ - 3xf. 0(v) = 0 ( x lv1 + .. . +x„u„) = [xi .. . x„]CTC
430. a) Np. ([1, 0 , 0]), [4 , 1, 0], [4, 2 , 1], x 2 + Ą + x32;
b) np. ([1,0 ,4]), [4,1, 3], [ 0 ,0 ,1], x 2 + 3xf + x f; c) np. ([1,1,2]), [0 ,1,1], [0 ,1,4],
H CUXJ j =1
3x2 + x 2 + 4x32.
431. a) B = ([1, 0 , 0], [ - 2 , 1, 0], [-1 , -1 ,1 ]), x 2 + x 2 + x32; j =1
b) B = ([1, 0, 0], [2,1,0], [ - 4 , 0, -1 ]), x \ + xf - x2;
E ‘
c) B = ([ 1, 0 , 0], [ - 3 , - 1, 0 ], [1 1 ,5 , 1]), x \ - Ą + xf; d) B = ([A,0,0], [1, -2 ,0 ], [-7 ,9 ,3 ]),
- 2xf + 3x2;
e) B = ([A, 0 , 0], [5, -3 ,0 ], [-2 ,1 ,1 ]), fx 2 - 3x 2 + x2; f ) B = ([|, O, 0], [—| , | , 0], [y|, 13, —15]),
+ jX2 — 13X3.
432. Metoda Jacobiego, zastosowana do funkcjonału kwadratowego a&, prowadzi do formy kanonicznej (a1/a)X 21 + . .. + (an/a )X 2n i do bazy kanonicznej B" = ((l/a)ui,. . . , (1 /a)v'n). Dla dowodu tych tez rozważmy macierz A = [ay] funk cjonału 0 w bazie B. Wówczas macierzą funkcjonału a
przestrzeni V, a ta z kolei jest równa liczbie macierzy symetrycznych stopnia n o elementach z ciała K, czyli jest równa qn(n+1)/2.
E ( E ^ ) 2. <■=1 j =1
j-i L j=l
Widać stąd, że funkcjonał 0 jest nieujemnie określony. Przyjmuje on wartość 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego i e {1, . . . , n) zachodzi równość Y .% 1 cijxj = 0. Ponieważ macierz [ c y ] jest nieosobliwa, więc układ powyższych równości jest spełniony jedynie wtedy, gdy X] = 0 , . . . , x„ = 0. Zatem 0 (v ) = 0 jedynie wtedy, gdy v = 8. Funkcjonał 0 jest więc dodatnio określony. => Załóżmy, że funkcjonał kwadratowy 0 na przestrzeni R" jest dodatnio określony, a układ B' = (v v'n) jest taką bazą przestrzeni R", w której funk cjonał 0 ma formę x'x + . .. + x ' 2. Oznaczmy przez C macierz przejścia [ c y ] od bazy B' do bazy B. Zgodnie ze wzorem (4.10) na s. 125 dla każdego wektora v = xjUi + ... + xnvn = x'xv\ + ... + x' u' € M" zachodzą równości 4 - . .. nr I -4 y-j/ 2 0 (v) = 0(x[v[ + . .. + x > ' ) = x I, 2 ~t n ,2 2 ( E w ) + . . . + ( e ^ ) Ei=1 (E -• ł j=i j =1 j =1
^ v)2
Ostatnia suma pojawiła się już w pierwszej części rozwiązania. Korzystając z wcze śniejszych obliczeń, widzimy, że Xi
434. Zauważmy, że zachodzi równość
" ^ \2 E z 2 a‘aJx ‘xj = { z 2 a‘x o ■ i=1 j=l i=1 Przyjmijmy, że wskaźnik k spełnia warunek ak ^ 0 i określmy nowe współrzędne x [,. . . , x' wzorami: x\ = x i , ..., x'k_x = xk- X, x'k = ]T"=1 a,x/, xk+l = xk+i, x' = x„. Wtedy w bazie, w której współrzędnymi są x [, . . . , x 'n, funkcjonał 0 ma formę x'k . 435. a) Tak; 436. X > 2.
b) nie;
c) nie;
d) tak.
0 ( v ) = 0 ( x i V i + . . . + x nvn) = [xj . . . x„]C C
Zatem macierzą funkcjonału 0 w bazie B jest macierz CTC. Macierz C jest nieosobliwa jako macierz przejścia od bazy do bazy. 438. a) Tak;
b) nie;
c) nie.
439. Ponieważ funkcja ę~l : V' ->■ V jest izomorfizmem przestrzeni wektorowych (zob. zad. 232), więc dla dowolnych a, b e K i v \ v[, v'2, w' e V' prawdziwe są równości
^fg|ąą^,!g
..........
'
_
ssi
Stąd teza. Uwaga. Żądana równoważność wynika też z zadania 445. Biorąc bowiem dowolne wektory «', u' należące do rzeczywistej przestrzeni unitarnej V i kładąc u = u' + v', v = u' —u' w równoważności z zadania 445, otrzymujemy, że ||«' + t/|| = |M —u'|| wtedy i tylko wtedy, gdy 2«' X 2v’. Wystarczy jeszcze zauważyć, że 2u' X 2v' wtedy i tylko wtedy, gdy «' X u'.
oraz (av[ + bv'2, w') = {(p~l {av[ + bv'2), p~l {w')} = {a9 ~X(,v[) + bę~l(y2),
= a(?>_1(ui)> = a(v'1,w ') + b ( v 2, w1).
447. a) n/4;
Ponadto prawdziwe są implikacje:
448. a) 0;
v' 7^ 0' = » ę>~\v') jk 6 = 4 -
(p~l {v')) > 0 = 4- (u', u') > 0.
Zatem funkcja (-, •) : V' x V' -> K spełnia warunki (IS 1)-(IS 3) i wobec tego jest ona iloczynem skalarnym.
441. Np.
" «1 S l " s4 _ . , —T
" Zl Z2 . 23
; Z l^ l
+
2S 2
Z
+
Z
3J 3
+
Z
4S 4 .
T 442. Przyjmując oznaczema B = [by], B A = [cy] i korzystając z równości z zadania 126 c, otrzymujemy -= rT
tr(ABT) = tx(B TA) = ¿ c iy = ¿ ¿ b ^ o = Y 2 Y Z ai^ ! 1 • 1** •—, 7 = 1 7= 1 7=1
= ^
B '>-
443. ± — • v+w
y
—
V
4 =
(«
4
+
V,
n
m
X
u — u) = 0
1=1
11« u ||2 u v) (u u v) 4=4 IMI2 + M v) + (v, u) + IMI2 = IMI2 - M v) - (u, u) + IMI2 4=> 4{u, v) = 0 4=4- {«, v) = 0 4=4 u i v . =
»
{ «
+
V,
+
=
4=1 1=1
[y1.y 2.y 3.y 4] -L [0 , - 1, 0 , 1].
Otrzymujemy w ten sposób następujący jednorodny układ równań liniowych:
446. Dla dowolnych wektorów u, v rzeczywistej przestrzeni unitarnej V mamy <
n
= Y Y Y 2 akbi •0 = °-
452. Układ równań określający podprzestrzeń W ma rozwiązanie x x = 0, x2 = s — t, x3 — s, xó, = t, gdzie s . t e l . Wobec tego jedną z bazprzestrzeni W jest zbiór {[0,1,1,0], [0,—1,0,1]}. Wektor u = [yi, y2,y3, y j e V spełnia warunek u e W x wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest układ warunków
y2 + y3
—
m
4=1 1=1
[y1.y 2.y 3.y 4] J - [0 , 1, 1, 0] i
Stąd teza. O li2 =
n
Stąd teza.
v —w -----
4=4 IMI2 - (u, v) + (u, u) - ||u ||2 = 0 ^ = H M I 2 - I M I 2 = 0 4=4 IM
11« +
Zatem u X w. Z dowolności wektora w wynika, że u X lin(ui,. . . , u„).
4=1
v/
445 Jeśli V jest rzeczywistą przestrzenią unitarną, to dla dowolnych u, v e V mamy U
(u, w) = (u, GiUi + ... + anvn) = (v, aiUi) + . . . + (v, a„vn) = ai(v, ni) + ... + a^{v, u„) = a [ ■0 + ... + • 0 = 0.
(u, m) = { Y ^ a kvk, Y 2 biWi) = Y 2 Y l akbi (Vk’ ^
0
J-
450. =4 Oczywiste. 4= Załóżmy, ż e r X ą dla każdego k e [1 , . . . , n}, i weźmy dowolny wektor w e lin (ui,. . . , u„). Ponieważ przy pewnych a\ , . . . , an e K zachodzi związek w = axvi + . .. + anvn, więc korzystając z własności (IS 6) i (IS 7) iloczynu skalarnego, otrzymujemy równości
m
nia mówi, że w dowolnym równoległoboku suma kwadratów długości przekąt nych jest równa sumie kwadratów długo ści wszystkich boków.
V
449. a) (Ml, x2], [yi, y2]) = 4xxy x- 4xty2 - 4x2y\ + 8;t2y2; b) (Mj, x2], [yi, y2]) = xiyi + 4*iy 2+ 4x2yi+ 32x2y2.
451. =4- Oczywiste. 4= Załóżmy, że u,- X wj dla dowolnych i 6 [ 1 , . . . , m], j e [1,...,«}, i weź my dowolne wektory u e lin (ui,. . . , vm) i w e lin ( w i , w „ ) . Wtedy przy pewnych skalarach a\ , ...., am i b i , . . . , b„ zachodzą związki u = J2k=i akVk, w = 5 Z"_i bfWi i prawdziwe są równości
Zatem równość (A, B ) — tr ( 5 A) jest prawdziwa.
u+
b) n/4.
;= i
i= i
444, W przypadku gdy V = R2, teza zada
b) 0.
V,
—
=
o,
U )
-yz + y4 = 0 . Szukaną bazę B podprzestrzeni Wx stanowi dowolny układ ftmdamentalny roz wiązań układu (10.11). Ponieważ układ (10.11) ma rozwiązanie ogólne yi = s, y2 = t, y3 = —t, y4 = i, gdzie s , t e R, więc można przyjąć B = [[1, 0 , 0 , 0], [0 , 1 , - 1, 1]}.
^ j.
^
! 1
h
*
* ____ _____ 10 Rozwiązania i odpowiedzi^
454. Jeśli A = 0, to Ax = V i (lin (A))x = {0}x = V. Załóżmy teraz, że A ^ 0. Dla dowolnych vu v2 e A1, w g A i a e K mamy (Ul + 1)2, w) = (vi, w) + {v2, w) = 0 {avi, w) = a{v\, w) = a ■0 = 0 .
+ 0 = 0,
Stąd «i + «2 e A1 i av\ g Ax . Zatem istotnie Ax < V'. Inkluzja 2?x c Ax wynika z inkluzji A c B w sposób oczywisty. Ponieważ A c lin (A), więc (lin (A))x C Ax . Weźmy teraz dowolne wektory v e Ax i w 6 lin(A). Ponieważ u) = aiioi + . .. + anwn przy pewnych ą.\,. . . , an G K i u)i,... , wn G A, więc <». »> = <*. ¿ W *=1
) = ¿ 5 ( 1 » . «»*> = ¿ ¡ 5 • 0 = 0. k—i k=1
Stąd v € (lin (A))x . Z dowolności wektora v wynika, że Ax c (lin (A))x , 455. Niech v G {W\ + W2)x . Wtedy v _L w dla każdego w e W\ + W2. Ponieważ WU W2 C W 1 + W2, więc w szczególności v J_ tui i v JL w2 dla dowolnych wi e Wl i w 2 e W2. Wobec tego v e Wx i u € W2 , a w konsekwencji v e Wx n W2 . -i- nfi W: W-L Stąd i z dowolności wektora v wnioskujemy, że (Wi + W2)x-1- rC W Wx 2 Weźmy teraz dowolny wektor v e Wx fi W^. Wówczas dla każdego wektora wi + w2 e Wi + W2, gdzie wi e W\, w2 g Wj, zachodzą równości
10 .Rorwiązania i odpowfaizl,
.
b 'A _ "
Zatem v e (W,i+W2)x- Stąd i z dowolności wektora v wynika związek WXC\W2 C (Wx + W2)x. Łącząc otrzymane inkluzje, uzyskujemy żądaną równość. 456. Sposób 1° Weźmy dowolny wektor 10j + w2 e Wx + W2 , przy czym loj e Wx i w2 e W2 . Dla każdego id e Wi fi W2 mamy, wtedy {w[ + w2, w) = (tuj, tu) + (w2, tu) = 0 + 0 = 0. Stąd teza. Sposób 2° Ponieważ W, n W2 c F i i Wx n W2 C W2, więc Wx c (Wi n W2)x oraz W2 C (Wi fi W2)x . Wynika stąd, że zbiór (W n W2)x jest jedną spośród podprzestrzeni zawierających WjX i W2 . Wobec tego zawiera się w nim najmniejsza podprzestrzeń zawierająca Wx i W2 , czyli podprzestrzeń Wx + W2 . 457. Przypuśćmy, że («„)“ , e /2 i (an) ~ } f (0)~ v Niech n0 € N będzie takim wskaźnikiem, że a „0 f 0 i niech wyrazy ciągu ( h « ) ^ będą określone wzorem , _ i 1 dla n = no, " ~~ 1 0 dla n f no. Wtedy (&„)“ , G W i <(a„)“ „ (bn)™=l) Ź 0. Stąd (a„)“=1 i Wx i wobec tego Wx = {(0)“ j}.
> 7
458. Przypuśćmy, że f e C{o,i) i / i=- 0. Z cią głości funkcji / i z warunku / ^ 0 wynika, że w pewnym podprzedziale (a, b) przedziału (0 , 1) dla każdego x G (a, b) zachodzi nierów ność f ( x ) > 0 albo dla każdego x G (a,b) za chodzi nierówność f i x ) < 0. Określmy funk cję g g W wzorem g(x) =
(x —a)(b — x) dla 0 dla
x e {a, b), x £ {a, b).
Wtedy (/, g) 7^ 0 i wobec tego / £ Wx . Stąd teza. 459. Wykażemy najpierw, że Wx = W2. Jasne jest, że W2 c Wx . Weźmy teraz dowol ną funkcję h G V \ W2. Z ciągłości funkcji h wynika, że w pewnym podprzedziale (a, b) przedziału ( 1, 2) funkcja h przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie lub wy łącznie wartości ujemne. Dla funkcji / : (0, 2) -> R określonej wzorem (x — a)(x — b) dla x e { a , b ) , 0 dla x g ( a , b ) ,
fix )
W2 i podobnie mamy f € W\ i (/, h) f i 0. Stąd h £ Wx . Zatem istotnie W x W2+Wi = Wi+W2. W2 = Wj. Z otrzymanych związków wynika, że W x +W2 Ponieważ oczywisty jest związek Wj
(u, wi + w 2) = (u, wi) + (u, 1U2 ) = 0 + 0 = 0.
__
+
W2
= {/
G
y : f i l ) = 0},
więc pierwsza z równości jest prawdziwa. Druga równość wynika wprost ze związ ku Wi n w 2 = {0}. 460. Jeśli spełnione są założenia, to zgodnie z zadaniami 455 i 453 mamy w x n w2x
{6}.
Zatem suma algebraiczna Wx + W2 jest sumą prostą. Przyjmując oznaczenia dim V = n, dim Wj = n \ , dim W2 = n2, otrzymujemy równości dim (Wx © W^1) = dim Wx + dim W2 = (n —n\) + (n —« 2) = «• Stąd teza. 461. Równość V = Wi©W2 wynika zjednoznaczności przedstawienia dowolnej funkcji / G V w postaci / = g + h, gdzie g e Wj i ft G Wj. Mianowicie funkcje g i h są określone wzorami gix) = f i x ) — /( 0 ) , hix) = /(0 ). Drugi związek wynika z równości Wx = {0} (zob. zad. 458) oraz z równości W2 = { / e V : fo f i x ) ó x = 0 }. 462. a) Tak;
b) nie;
c) tak;
d) tak.
463. a) B = ( |[ 1 , 1,1,1], |[ 1 , 1, - 1 , -1 ], ¿ [ 1 ,- 1 ,1 , - 1 ] ) ; b) B = i \{ 2 , 2 , 1, 0 ], i[ 0 , - 3 , 6 , 2 ], a f [5, - 4 , - 2 , 0 ]);
469. Przyjmijmy oznaczenia dim V = n3. Mamy wtedy
c) B = ( |[5 ,3,1,1], ¿[1, - 1 , - 1 , -1 ], § t t , - 3 , 3,1]); d) B = (A[5, - 4 ,2 , -2 ], i [2 ,2 ,0 , 1], ^ [ - 2 , 1 , 9 , 2 ] ) ;
dim (l+i n l+2)x = n - dim (J+i fi l+2) = n - n 3
e) B = (* § [1,2, -3 ,1 ], =§ [3,1,0, -5 ], =§ [ - 5 ,5 ,1 , -2 ]).
=
{ |[1 ,1, - 1 , -1]},
iu =
oraz dim (l+x + 1+2X) = = = =
464. 465. a) B
[5, 5, - 5 , -5 ];
b) B = {^[1,1,1,0]}, w = [4,4,4,0];
d) B = {A[l, 3,5,1], A[l, - 5 , 3, -1]}, w = [3, i; 13,1];
f) B = { i[ 3 ,9, - 1 , 3], i [ 3 , 1,9, -3 ], *§[5, - 3 , 0 ,4]}, w = [3,5,4,0]; g) B = ( |[ 3 ,1,1,5], A[l, 1,1, -1 ], i [ 3 ,1, - 5 , -1]}, w = [1,1,7, 5]; h) B = {Ą[l, 1,1, -1 ], >§[l, - 1 , 2,2], aj{S[-2, 2,1,1]}, w = i [ - l , - 1 , 1 , 3]; i) B = {A[l, 1,1,1], ^ [ 0 , 0 , 1, -1 ], ^ [ - 1 , 1 , 0 ,0]}, w = [1,0 , 1,0]; j) B = {i[l, - 1 ,1 , -1 ], |[ 1 , 1, - 1 , -1 ], | [ —1,1,1, -1]}, w = [2,4,1, -7 ],
v — w = {v — w, u)u = (u, u)u — (w , u)u = (v , u)u = ^ • 98 • [4,2,0 , 5, 2] = [8,4,0,10,4]. Wobec tego w = v —(v —w) = [1,1,2, —4,7]. 467. Niech vx := Ą [ l , - 1 , 1,-1]. Wtedy W = lin (ty) oraz ||m|| = 1. Szukanym rzutem jest wektor v — {v , i>i)ui, czyli wektor [3,7,5,1]. 468. Jeśli u; e W, to oczywiście w e (W3-)-1. Niech dim W < oo i niechv £ W. Ponieważ wtedy V = W @ Wx , więc v = w + w' przy pewnych jednoznacznie określonych to e W i u/ e Wx . Ponieważ v £ W, więc w' ^ d. Wobec tego mamy
Wynika stąd, że v £ (W-1-)-1-. Zatem istotnie (W-1)1- = W.
(tu ', tu') > 0 .
oraz A-i -
5(1-0 Wystarczy sprawdzić, że (A,-, Aj) = Su dla dowolnych /, j e [1, 2}: (Ai, Aj) = ¿ ( l + i ) • A(l—0 + ¿ ( i - i ) ■¿ ( i + 0
1(1-0 1(1 + o 1,
(Al, A2) =
¿ (1 + 0 •5 ( 1 + 0 + 5 ( 1 - 0 • | ( l - 0 = 3 ■2/ + A • ( - 2 i) = o,
(A2, A2) =
¿(1—0 •| ( l + 0 + 5 (1 + 0 • | ( l - 0 = | ■2 + A . 2 = 1.
Iloczynu (A2, A x) nie musimy obliczać, gdyż (A2, A x) = (Ai, A2) = 0 = 0. 472. Zgodnie ze wzorem zz = |z|2, zachodzącym dla każdego z e € , równość AAT = I przybiera postać
466. Znajdujemy najpierw bazę ortonormalną podprzestrzeni Wx , uzyskując równość W = lin (u), gdzie u = A[4,2,0 , 5,2]). Ponieważ v - w e WŁ, więc zachodzą równości
(tu , tu') + (tu ', tu') =
¿(1 + 0
471. Ad c). Mamy tu A = (Ai, A2), gdzie Ai =
e) B = {i[3,0,4,0], A[0,4 , 0 , 3], |[4 ,0 , -3,0]}, w = [7, 8,1, 6];
(tu + tu', tu') =
dim T+x + dim 1+2X - dim (T+x n 1+2X) (n — ni) + (n - n2) — dim (l+i + l+2)x 2« —ni —n2 — (ti —dim (l+i + W2)) 2n — n i —n2 — { n - (nx + n2 - n3)] = n — n3.
Stąd i ze związku Wx +W2 C (l+i n i+2)x (zob. zad. 456) wynika żądana równość. 470. Wystarczy zauważyć, że
c) B = {¿[1,2,0 ,2], |[2, -1,2,0]}, w = [5, 0 , 4,2];
( u , tu') =
: n, dim Wi _ n 1; dim T+2 = n2 i dim (l+i n J+2)
|Ai|2 0 0 |A2|2 0
0
0 0 0
... ...
0 0
: I.
|A„|2
Jasne jest, że równość ta zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy |A*I k e {1,..., n).
1 dla każdego
473. Niech A będzie macierzą unitarną. Mamy wtedy A • AT= /, skąd det ^A ■A1^ = 1. Aby uzyskać żądaną równość, wystarczy zauważyć, że det^A • AT] = det A • det ( a T)
=det A • det A = det A • det A = Idet A I2.
474. Niech A będzie macierzą unitarną. Korzystając ze związków A-1 = AT, (AT) 1 = (A-1)T (zob. zadanie 191) i AT = AT (zob. zadanie 108), otrzymujemy równości (At )_1 = (A_1)T = (AT)T = (AJ)*. Zatem macierz ATjest unitarna na mocy definicji.
g Sprawdzimy, że zbiór U(n) jest podgmpą grapy GL(n, C). Oczywiście / e U(n).
' Weźmy dowolne macierze A, B e U(n). Mamy wtedy (A fi)"1 = B~lA~l = B1 • AT = ( A ■B )T = A B 1 (zob. zadania 181,129,131,107). Stąd AB e U(n). Ponadto zachodzą równości A ^ T = AtT = ( f i f j = J = A = (A- 1)” 1 (zob. zadania 108, 107, 110). Zatem (A-1)-1 = A-lT i wobec tego macierz A~l jest unitarna. 476 Niech macierz A = [ay] będzie macierzą przejścia od bazy ortonormalnej B = («!,..•! vn) do bazy ortonormalnej B' = {v[,. . . , v'n) przestrzeni unitarnej V. Dla dowolnych i, j e {1,...,«} z jednej strony mamy (nj, uj) = Sy, z drugiej zaś strony zachodzą równości n
n
n n
{v[, v'j) = \ J 2 a kivk, y^atjVi) = k=l 1=1 k=l1=1 Zatem dla dowolnych i, j e ( l , . . . , n ) zachodzi równość
481. Ponieważ dla dowolnych p , v e V istnieje dokładnie jeden wektor q e V , taki i e q - p = v, więc spełniony jest postulat (PA 1). Spełnienie, postulatu (PA 2) wynika ntychmiast z zachodzącej dla dowolnych wektorów p , q , r e V równości iq - p) + (r - q) = r - p. 482. Jeśli V f {0}, to trójka (V, V, coa) jest przestrzenią afinicznądlakażdego a e K \ { 0}. Jeśli V — {9}, to trójka (V, V, coa) jest przestrzenią afiniczną dla każdego a e K. 483. Przyjmując oznaczenie (xi, . . . , x„) + [yi,. . . , y„] = ( z i , . . . , z„), otrzymujemy następujące warunki równoważne: (*!,.. ., xn) + [yi,. . . , y„] = (zi,. . . , Zn), coiix 1, . . . , x„), (zi,. . . , z«)) = [yi,. . . , y„], [Zł - X i , . . . , z„ - x„] = [yi,. . . , y„], Zi - j :i = y i , . . . , Zn -
n
vt) =
akiaif.
Zl = *1 + yi, . . . , z„ = Xn + y„, izu ■■■, Zn) = {Xl + y i Xn + y n).
k=l
n
'y \ o-ki&kj = f j ■
= y„,
Zatem równość (9.10) jest prawdziwa. Korzystając z tej równości i z określenia różnicy punktu i wektora, otrzymujemy równości:
k=1
Stąd AT A = I. Transponując obie strony ostatniej równości, otrzymujemy zwiąX —T zek A A = I, skąd wynika, że A A = I. Wobec tego A jest macierz unitarną. 477. Niech macierz A spełnia warunki zadania. Zachodzi wtedy równość A = (A )-1 i macierz A jest dolnotrójkątna. Na mocy zadania 193 wynika stąd, że macierz A jest dolnotrójkątna. Ponieważ A jest macierzą górno- i dołnotrójkątną, więc A jest macierzą diagonalną. 478. Zob. rozwiązanie zadania 477. 479. Jeśli
A1A2 = 1 =>• A1A2A2 = X2 = + A1IA2I2 = A2 =>• Ai = X2. Jeśli więc Ai f X2, to A]A2 / 1.
(* 1, . . . , xn) - [yi,. . . , y„] = (jci, . . . , xn) + ( - [ y i , . • •, y„j) = (jci, . . . , x„) + [—y i , . . . . - y „ ] = (*1 - y i,
- yn)-
Wobec tego równość (9.11) też jest prawdziwa. 484. a) [4, 0, 8, -1 ];
b) (9, 5,1,0);
c) (8,1,7,0).
485. Ad (9.2). Wystarczy w (9.1) przyjąć v = coip, q). Ad (9.3). Wystarczy w (9.1) przyjąć q = p + v. Ad (9.4). Na mocy warunku (AF 2) i równości (9.3) otrzymujemy coip + v , q ) = coip, q) ~ coip, P + v) = coip, q) ~ v. Ad (9.5). Podobnie jak wyżej, mamy coip, q + v) = coip, q) + coiq, q + v) = coip, q) + v. Ad (9.6). Korzystając z równości (9.4) i (9.5), otrzymujemy coip + v ,q + w)= co{p + v,q) + w = c o i p , q ) - v + w = coip,q) + w - v . Zatem równość (9.6) zachodzi. Ad (9.7). Zgodnie ze wzorem (9.1) dowodzona równość jest równoważna ze związ kiem coip+v, p+{v+w)) = w. Korzystając ze wzorów (9.4) i (9.5), otrzymujemy coip + v, p + iv + w)) — coip + u, p) + (u + w) = coip, p) — v + v + w = w. Zatem wzór (9.7) jest prawdziwy.
10
486. Niech p ,q e A i v , w e V . Wówczas zgodnie z równością coip, p) = 9 i wzorem (9.6) otrzymujemy
lodpowjBga
c) np.
Podobnie p + u = ^ + u =>• m(p + u ,^ + n) = 0 +=+•
c) (4, ¿ ) .
, yi , yi , J3 489. a) Np. coiixu x 2, x 3), (yi, y2, y3)) = log2 — , log2 — , log2 x 3 xi xz yz b)np. coiixi,x2), (yi,y2)) yi -jci,log2
1, 0;
d) np,
6x4 = 7;
5*! 7xi
■3 x 3
8xx
■3xą
■3 x 2
5, 4, ' 5;
Xl + X 2 — x 3 X2 + X4
{ 4xj
1, 12.
f) np. x i - x 2 - l x 3 + 5*4 = 8 .
495. a ) Z c L ; b) Zn L = { (0 ,1 ,-1 , 3)}; c) Z || L, Zn L = 0; d) l D L = 0,1 $ L; e ) Z c L ; f) ZD L = {(7, 5, 3, 1)}; g) Z| L, Zn L = 0; h) Z || L, Zn L = 0. 496. a) L x || L 2, L x f L2; b) L x = L2; c) Li O L 2 = {(1, 3, - 1 , -4)}; d) Li O L2 = {(3,0,1,5)}; e) Li O L 2 = (1,1,1,0) + lin ([1,2, -3 ,1 ]); f) Li n L2 = (1, 0,1,0) + lin ([1, -1 ,2 ,1 ]); g) Li n L2 = 0, Li h) Li n L 2 = 0, Li L2; i) Li || L2, L x f L 2.
Xz.
490. Zgodnie ze wzorem (9.6) dla dowolnych p ,q € A
i v , w e V prawdziwe są równoważności
491. a) Np. (3,4,0) + lin ([1, -1 ,6 ]);
x3 -
b) np.
494. a) ¿i O Z2 = {(1, —1,2)}; b) lx II h, h n h = 0; c) h = l2; d) Zi || l2, l\ n l2 = 0 ; e)Z1 =Z2; f) Zi f l /2 = {(—l, —4 , —5)}.
(*i>*2) + b u y2] = ixi 2 n ,x 22 *), ixu x2) - [yu y2] = ixx2 ~y' , x z2 ~n ).
p + v = q + w 4=+ coip + v, q + w) = 9 4=4- coip, q) + u) — v = 9 4=+ coip, q) — n —w.
6 x 1 — 2x2 + x 3 = x\ —x 2 + x 4 =
e) np. 4xx + 5x 2 -
487. Odpowiedniki wzorów (9.10) i (9.11) są następujące: b) (16; 5);
x 2 — 3x4
X3 + 6^4
p + v = p + w ==*> co(p + v , p + w) = 9 ■ś ~f coip i p) w ~ v = 9 < >■ w —v = 9 <= >■v = w.
Wyniki obliczeń: a) [1,3];
7, 4,, 3;
x \ — 4 xą
493. a) Np.
V —w
b) np. (0,4,7) + lin ([3,0,1]);
c) np. (1,1,1) + lin ([4,5,6]); d) np. (1,0,1) + lin ([1,1,1]); e)np.(l, 1,0) + lin ([1 7 ,-7 ,1 ]); f) np. (1,0, 2) + lin([l, 2,3]). 492. a) dimM = 1, np.M = (1,2,3,4) + lin ([7,3,4,5]); b) dimM = 2, np.M = (1,0,0,1) + lin([1,1,4,4], [0,0,1,0]); c) dimM = 1, np.M = (0,2,1,3) + lin ([2,1, 3, -4 ]); d) dimM = 3, np.M = (1,0,0,0) + lin ([1,1,0,0], [9,0,1,0], [8,0,0,1]); e) dimM = 3, np.M = (0,0,0, 8) + lin ([1,0,0,4], [0,1,0,5], [0,0,1, -3 ]); f) dimM = 2, np.M = (7,5,0,0) + lin ([9, 8,1,0], [3,4,0,1]); g) dimM = 2, np. M = (5,0, - 1 ,0 ) + lin ([3,1,0,0], [-1 ,0 ,1 ,1 ]); h) dimM = 1, np. M = (2, 0, -8 ,1 3 ) + lin ([1,1,3, -3 ]); i) dimM = 2, np. M = ( -5 , 3,0,0) + lin ([3, -2 ,1 ,0 ], [1, -1 ,0 ,1 ]); j) dimM = 1, np. M = (9,1, 0, 4) + lin ( [l, 0,5, -3 ]); k) dimM = 3, np.M = (7,1,0,0) + lin ([1,1,1,1], [4,3,5,5], [8,7,5,9]); 1) dimM = 2, np.M = (5, 6,0,2) + lin ([1, - 3 , 2 , -1 ], [ - 1, 4, 1, 3]); 1) dimM = 2, np.M = (1, 3,9, 5) + lin([1,4,7,6], [4,5,6,2]); m) dimM = 3, np.M = (4,0,1,0) + lin ([1,3,4,5], [8, - 4 ,1 ,7 ], [5,1,4, 8]).
497. a) Tak;
b) tak;
c) nie;
d) nie;
e) tak;
L2;
f) nie.
498. a) ((1,1,1), (6 , 6 ,5)); b) ((-1,0,2), (0, 0, 6 ), ( - 1, 1, 6)); c) ((0,1,1), (1,0,2), (7, 2,6)). 499. a) (1,5,1) + lin ([1, -1 ,2 ]); b) (1,1, 0) + lin ([ 1, 2 , 1]); c) ( 1 , 0 , 1 ) + lin ([1,1, 3]); d) każda prosta postaci ( 1, 0 , 0) + lin i[a - 1, a + 1, 2 a]), gdzie a f 7; e) (1, 5, - 1 ) + lin ([1, -1 ,2 ]); f) nie istnieje taka prosta; g) (1,1,1) + lin ([3,4, 5]). 500. a) (1, 0,1,0) + lin ([0,1,1,1]); 501. a) Tak;
b)nie;
c)tak;
b) (1,2, 3,4) + lin ([1,2,1, 0]).
d)nie.
502. Ad a). Dla dowolnego punktu p = ixx,x 2) e R 2 mamy
P 6 aSipi,pz) 4=4 p e p x +lin(
d) 7*i - 4x 2 = - 9 . 504. Zob. rozwiązanie zadania 502.
505. a) 3*i - 5*2 + *3 = 4 ; b) *j + 4*2 - 6*3 = 1; c) 2*i + 7*2 —9*3 = 5. 506. Zob. rozwiązanie zadania 502. 507. a) Nie;
b) tak;
c) tak;
d) nie.
508. =+ Niech p e (px + VPi) n (p2 + W2). Wtedy co(pi, p) e Wx i w(p2, p) e W2. Wobec tego mamy co(pi, pi) = a>(pi, p) + co(p, p2) —
515. Rozpatrzmy dowolny trójkąt PQR i oznaczmy przez S punkt, przecięcia, się jego środkowych opuszczonych z wierzchołków P i Q (zob. rysunek). ’ Środki boków PQ, PR i QR są odpowiednio równe (P + 0 / 2 , (P + R )/2 i (Q + R)/2. Po nieważ punkt S leży na środkowej przechodzącej przez wierzchołek P, więc przy pewnym r e i zachodzi równość S = P + *[(<2 + P )/2 — P], Podobnie przy pewnym y e R zależność S = Q + y[(P + R)/2 - Q\ wynika stąd, że punkt S leży na środkowej przechodzącej przez punkt Q. Przy pewnych * , y e i zachodzi więc związek P +*
4= Niech wektory w x e Wi i W2 € W2będą takie, że co(px, p 2) = w x + w2. Wówczasp i + w i e p i + W\ oraz p x+ w x = p x+co(px, p 2) —w2 = p 2 —w2 e p 2+ W 2. Oznacza to, że punkt pi + w x należy do obu podprzestrzeni.
Stąd kolejno otrzymujemy 2P + x Q + x R - 2 x P = 2Q + y P + y R - 2 y Q , (2 —2* —y)P + (* —2 + 2y) Q + (* - y)R = 0, (* —2 + 2y)(Q — P) + (* — y)(R — P ) = 0.
509. Niech h i h będą dwiema prostymi w przestrzeni A i niech punkty p x, p2, qx, q2 spełniają warunki p\ e lx, P2 e lx, p x ^ P2, qx e h, q2 e I2, q\ ^ <72- Jasne jest, że proste h i h są zawarte w podprzestrzeni p i+ lin ((pi, p 2), co(px, qx), o>(qx, q2)). 510. a) Tak;
b) tak;
c) nie;
d) tak;
Z ostatniej równości oraz z liniowej niezależności wektorów Q —P i R —P wynika, że liczby *, y spełniają układ równań
e) nie.
511. Tak. 512. a) 5*i - *2 + 4*3 —7*4 = 5; c) 4*i + 3*2 —5*3 —*4 = 6.
| * —2 + 2y ( * - y = 0.
b) 3*i + *2 + 4*3 —*4 = 8;
0,
Układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie * : y = 2/3 i wobec tego
513. P3 = Pi + (Wi + W2). 514. Hiperpłaszczyzny fli*i + . . . + anx n = a i ¿>i*j + . .. + bnxn = b są równolegle wtedy i tylko wtedy, gdy podprzestrzenie liniowe Wx i W2 określone przez równa nia W\ : «1*1+ ... + a„x„ = 0 i W2 : b\x\ + .. . + bnx n = 0 są takie same, czyli wtedy i tylkowtedy, gdy dim (Wxn W2) = n - 1. Ponieważ podprzestrzeń Wx n W2 jest określona przez układ równań
2 (Q + R P+ -
S l =L
S= R+ zi
(ioi2)
Z założenia wektory [« i, . . . , «„], [bx, . . . , bn] są niezerowe i wobec tego waru nek (10. 12) jest równoważny z istnieniem takiego c e K, że [bx, . . . , b n] = c[fli, ■••>««]•
łp + ł g + ł p 3 3 3
Otrzymany punkt £ leży na środkowej przechodzącej przez wierzchołek R, gdyż przy pewnym z e M (mianowicie przy z := §) zachodzi równość
W n W, : i axXl '*'••• + anx n = 0, \ b\X\ + . . . + bnx n = 0, więc równość dim (Wj n W2) = n — l zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek
:
)■
Zatem punkt S leży na każdej ze środkowych trójkąta PQR. 516. q”
xq” - l q - 1
517. q n-2 W ~ m n~l 1) (q2 - l)(q - l) ' 518. qn~k
(qn - 1)(?»-> - 1) (qk - 1)(q k- 1 1)
n -k + l .
0? 1) l^ l)
11* -Ą x ^ r >
”
f
3
10 Rozwiązań a. io dppw jed z i||
520. Sposób 1° Niech przekształcenia liniowe cp : V -*■ V' i ijr : V' -» V" bę dą takie, że dla dowolnych punktów p ,q e A i p', q' e A' zachodzą równości c o ffip ), f i s )) =
i niech funkcja / : A -> A' będzie izomorfizmem afinicznym. Niech prze kształceniu / odpowiada przekształcenie liniowe cp : V -* V'. Przypuśćmy, że ui, «2 € F i
w}0^m W Zatem / i cp spełniają warunek (PA 2) definicji i wobec tego / _1 jest izomor fizmem afinicznym. ' ' Sposób 2° Niech p' e A' i v' 6 V'. Wtedy p' = f i p ) i v' cp{v) przy pewnych p e A i u e V. Mamy wówczas .—
,
_
• f ~ l ip' + v') = f ~ l i f i p ) +
f
1ip').+
Zatem f ~ l jest przekształceniem afinicznym na mocy warunku (PF 2). 524. Niech funkcja / : A -> A będzie przesunięciem przestrzeni A o dowolny wektor vq. Dla dowolnych p e A i u e V mamy wtedy f i p + v) = ip + v) + v0 = ip + vo) + v = f i p ) + idy (u). Zatem funkcja / spełnia warunek (PF 2) i przy tym przekształceniem liniowym odpowiadającym przekształceniu / jest iduPrzypuśćmy teraz, że / : A -»■ A jest przekształceniem afinicznym takim, że dla dowolnych p e A iu e V zachodzi równość f { p + v) = f i p ) + u. Wykażemy, że / jest przesunięciem o pewien wektor. Niech p0 będzie dowolnym ustalonym punktem przestrzeni A i niech wektor v0 e V będzie określony przez warunek fipo) = po + v0. Dla dowolnego punktu p e A mamy wtedy f i p ) = fiP o + coip0, p)) = fip o ) + coipo, p) = ipo + V0) + coipo, p) = ipo + coipo, p)) + Vo = p + Vo. Wynika stąd, że / jest przesunięciem przestrzeni A o wektor uo. 525. Niech funkcja / : A —> A będzie jednokładnością o środku w punkcie po i skali k, czyli niech dla każdego punktu p e A zachodzi równość f i p ) = po+k-coipo, p). Wtedy dla każdego u e V otrzymujemy fip o + v) = p o + k - coipo, po + v) = po + kv. Zatem jednokładność / jest przekształceniem afinicznym, gdyż spełnia ona waru nek (PF 3). Przy tym odpowiednim przekształceniem liniowym jest funkcja okre ślona worem
b) (4*i - 3 ,4*2 —9);
c) (8 —x x, 14 —x2).
527. (feti + (1 - k)a, kx2 + (1
- k)b).
528. (fctj + (1 - k)a, kx2 + (1
- k)b, fec3 + (1 - k)ć).
529. k = 3 ,p = {2, - 4 ). 531. Wystarczy zauważyć, że jeśli cp jest przekształceniem liniowym odpowiadającym przekształceniu afinicznemu / , to zachodzi równość f i p + W) — f i p ) +
10. Roz/.iijzima 1 odpo.vcdzi 532 Korzystając ze wzorów Cramera, wyrażamy najpierw współrzędne dowolnego " punktu (x\ , x2) e R 2 przez współrzędne y i , y2jego obrazu przez dany automorfizm afiniczny: xi = WxJ W i x 2 = WXJ W , gdzie y\ ~ « i ai2 y2 — a2 «22
«u «21
yi yi
ax a2
W=
i
axx ax2 a2X 0-22
Punkt (yi, y2), będący obrazem punktu (xi, x2), należy do obrazu danej prostej wtedy i tylko wtedy, gdy A*! + Bx2 + C = 0, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość '12 «i — yx ¡22 a2 — y2
_ g
axx ax —y x a2X a2 — y2
^
fln
«12
_ g
a2X a22
Zapisując lewą stronę powyższej równości za pomocą jednego wyznacznika i do konując zmiany oznaczeń yi i->- x x, y2 (->• x2, otrzymujemy równanie (9.14). 533. Uogólnienie: w przestrzeni afinicznej K n obrazem hiperpłaszczyzny A xx x + . . . 4A„x„ + An+1 = 0 przez automorfizm afiniczny określony wzorami (9.13) jest hiperpłaszczyzna o równaniu
an «21
«12 «22
•
« In
■ •
«2n
«1 - Xl «2 — X2 =
«nl
« n2
Ai
A2
• •
«nn
«n -
0.
Xn
■ A„
An+1 Dowód tego uogólnienia przebiega tak jak dowód w przypadku, gdy n = 3 (zob. rozwiązanie zadania 532). •
534. a) {(4, —1)}; b) prosta 4xx —3x2 = 1; c) 0; d) prosta x x + 4x2 = 3. 535. a) {(5,1, -3)}; b) prosta ( -1 , 3,1) + lin ([-10,13,1]); c) płaszczyzna xi + 5x2 - 3x3 = 4; d) 0. 536. Niech funkcja
4==> Po +
ę(v) = v.
Wystarczy teraz zauważyć, że zbiór tych wektorów v e V , które spełniają warunek tp(v) = v jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej V. 537. a) b)
c)
X2 + 1,
y2- ■ x x
2x2 + 4;
yi = 5X! - 3x2 + 4, y2 = 4xi -
x2;
J
538. a) /((X i, x2)) = (5xj - 12x2 - 4, 2xi - 5x 2 - 2); b) / ( ( x 1, x2)) = (xi - 8x 2 - 8, x 2 - 2); c) / ( ( x i , x2)) = (7xi - 24x2 + 18.2xx — 7x 2 + 6);
d) f ( ( x x, x2)) = ( j x x - |x 2 + f , fxi - \ x 2 + f e) / ( ( x 1, x2)) = (7xi + 6x 2 - 18, - 8x 1 — 7x 2 + 24); f) f ( ( x 1, X2)) = (13xi — 28x2 + 7 2 , 6x 1 — 13x2 + 36); g) / ( ( * i , * 2)) = ( f * i - f ^2 + 5 , 5*1 - f ^2 + f ) ; h) / ( ( x 1, x2)) = (—llx i + 20x 2 + 44, —6x 1 + 11 x 2 + 22); i) /((x i, x2)) = (9xi —20x2 + 20,4xi —9x2 + 10). 539. Wartość / ( ( x 1, x 2, x3)) jest równa: a) (xi, 2xi + x 2 —2x 3 — 6 , 2xi —x 3 - 6);
b)
(3xi — 10x2 + 6x3 + 8 , 2xi —9x2 + 6x3 + 8 , 2xi — 10x2 + 7x3 + 8);
c) (3xi — 10x2 —4x3 —6 , x 2, 2xi — 10x2 — 3x3 — 6); d) (xi, —8xj + 41x2 —24x 3 + 8, —14xi + 70x2 —41x3 + 14). 540. Wartość f ( ( x x, x2, x3)) jest równa: a) (xi — 2x 3 + 8, 2xi —x 2 — 2x3 + 6 , —x3 + 8); b) (3xi —4x 2 — 2x3 + 8, —x 2,4 x i — 4x 2 — 3x 3 + 16); c) (3xi — 2x 2 + 2x3 —4 , 12xx —l x 2 + 6x 3 — 14, 8x 1 —4x 2 + 3x3 —6); d) (7xi — 8x 2 —2x3 —4, —x2, 24xi —24x2 — 7x 3 — 16). 541. a) / ( ( x 1, x2)) b) / ( ( x i , x 2)) c) /( ( x 1, x2)) d) / ( ( x 1, x2))
= (« 1X1UX212, a 2x f ‘x 222), (ai, <22 > 0); = (fln ln x 1 + a i 2 lnx 2 + a i ,a 2iln x i + a 22 hiX2 + a2); = (axea" xi+a*x\ a2ea2lxl+ai2Xl), (ax, a2 > 0); = (flnxi + al2 lnx 2 + ax, a2xx x + 022 hiX2 + a2).
542. a) Tak;
b) tak; c) nie;
d) tak.
543. a) Tak;
b) tak; c) nie;
d) nie;
544. a) Tak; h) tak;
b) nie; c) tak; d) tak; e) tak; f) nie; g) nie; i) tak; j) nie; k) nie; 1) tak; ł) tak; m) nie; n) tak.
e) tak;
f) tak;
545. Np. 3xi —4x 2 + x 3 = 4.
yx = x 1 + 2x2 - 4, y2 = 3xi + x 2 1 ; yi ■: 3X[
'
d)
y i : : X l + X2 — 7, yz : 4Xl —X2 + 1.
546. a) / = b) l = c) Z= d) Z = e) Z=
(4,0, 8,7 ) (4, 8, 0 , 1 ) (1, 1, 1, 1) ( 1 , 0, 0, 1 ) ( 7 , 2, 1, 1)
+ + + + +
lin ([0, 1,0, 0]), d = 1; lin ([1,1, - 1 ,1 ] ) , d = 2; lin ([4, - 2 , - 2 , - 1 ] ) , d = 5; lin ([3,1, 2, - 6]), d = 5-Jl\ lin ( [ 2 , 1 , - 1 , - 2 ] ) , d = 3-s/lO.
g) tak.
I 1,0 Rozwiązania i odpowiedzi^ , ^ 310
■i p —S i? —2 ) = 0, (¡2 —ó, i? —P) = 0 sąrównoważne ze związkami 547. Równości { P , R ) - { P , Q) — (S, R) + {S, 0 = 0 S C I
\*
/ n
o \
i d
n \
/ a
n \
.
t a
/-\\
{Q, R) - {Q, P) - {S, R) + {S, P) = 0.
(P — Q, R) + (S, Q - P ) = 0 , {R, P - Q) - {S, P - Q) = 0, (R - S, P - Q) = 0. Z uzyskanej równości wynika, że wysokość opuszczona z wierzchołka R też przechodzi przez punkt S. Stąd teza. dowolny trójkąt przez S punkt przecięcia się symei 48 Rozpatrzmy dowolny uuj^ąi. lPQR iAoznaczmy UZjL ' tj-ainych boków PQ i PR (mb. rysunek) \s - 0 U P Sposób 1° Wystarczy spostrzec, że z równości || j - p * > ■ > ....mita równość 115 P il = 115 _ 2 J|| — IIS " RW w y n ik a równość ||S —P\ JJ~ Q -Sposób 2° Podobnie jak w rozwiązaniu za dania 547, z układu równości l ± Q - S , Q - P ) = o, P + R ■S , R - P ) = 2
0
•owadzamy związek wypro i ± ^ - S , R - Q } = 0. Wynika z niego, że symetralna boku QR też prze chodzi przez punkt S. • • że Si = -P + 32 + 5 ^ (zob. rozwiązanie zad. 515). Wyrazimy teraz 549. Wiemy JuZ’ „ ^ ty P, Q i R- Przyjmijmy umowę, że dla dowolnego wektora punkt ¿2 P z rozumiemy wektor [b, —a]. Jasne jest, że v _L v x dla v __ [a, b] 6 - * g 2 Ponieważ punkt S2 jest punktem przecięcia prostych ^ n 7 i O + sCF-P)* , więc przy pewnych r . s e l zachodzi równość p
+
r (R ~ U’
* P
+
r(R-Q)x = Q + s ( R - p y
przy takich r, smarny
O —P = r(R — Q)x — s{R — P ) x.
0 , więc
= r
Odejmując te związki stronami, uzyskujemy równość Stąd kolejno otrzymujemy
i li f t ś i P
{ Q - P, R ~ P) = r{(R - Q) x , R - P). Ponieważ {(R — Q) x , R — P)
(P, R) - < 0 i?) + (S, Q) - (S, F) = 0.
19 -
Aby wyznaczyć wartość parametru r, mnożymy tę równość skalarnie przez R —P :
r\
oraz
.
( Q - P , R ~ P) { ( R - Q)*, R - P )
i wobec tego s2 = p +
P, R ~ .p ') (p _ ¡2 )><. ( ( R - Q) X, R - P) Podobnie uzyskujemy równość 2
ę
Q+ R
1 i Q - p ’R - P )
,»
n ,x
2 2 {(i? — 0 X, R — P) Z uzyskanych związków wnioskujemy, że zachodzą równości 3
'
jó i + 5 S3 = | P + |<2 + j R = Ą . Stąd teza. 550. a) (3,7), 5; b) (4, 9, - 6), 10; c) (1,2, 1), 2V3; d) (3, 4, 3, 5), 7; e) ( 2 ,1 ,4 ,-1 ), 9; f ) ( l , 5 , ^ ) , 3 . 551. a) V = (5, 0 , 0) + lin ([3, 0 , - 1]); b) V = (4 , 0 , 0) + lin ( [ - 2 , 1, 1]); c) V = (0 , 3 , 1) + lin ( [ - 2 , 2 , 1]); d) V = ( 1, 1, 1) + lin ( [ - 1, 2 , lj). 552. a) 13; b) 5^2; c) V l4; d) 15; e) 3; f) 0; g) 7; h) 0. 553. a) 11; b) 3^3 ; c) 0; ' d) V7; e) 5. 554. a) 9; b) 10; c) 0; d) 6. 555. Niech p + W będzie przedstawieniem liniowym hiperpłaszczyzny H. Należy wy kazać równość Wx = lin ([ar, . . . , a n]). Z warunku dim W = n — 1 wynika, że dim Wx = 1. Wobec tego wystarczy sprawdzić, że [ a i , . . . , anJ e Wx oraz [«1, ■• •, an] ^ [0 , . . . , 0 ]. Dla dowolnych punktów (*1, . . . , x„), (yi,. . . , y„) e R" prawdziwe są im plikacje: (* !,. .. , xn), (yi, . . . , y n) e p + W = + ai*i + ... + anxn = a, aiyi + . .. + any„ = a + o,\(yi X\) -j- . .. On(y„ x n) = 0 - + [ u i , . . . , onJ _L [yj x i , . . . , y„ x n] = + [ar,. . . , a„] ± co((xu ■■■, xn), (yi,. . . , y„)). Zauważmy, że gdy punkty (*1, ...,*„), (yi,. . . , y„) przebiegają zbiór p + W, to wektory oj((jci, . . . , xn), (yi,. . . , y„)) przebiegają całą podprzestrzeń W. Stąd [ai, . . . , an] 6 W1 . Z treści zadania wynika też, że wektor [ a j , . . . , an] jest niezerowy.
Spis literatury
Banaszak G., Gajda W., Elementy algebry liniowej, cz. I i II, wyd. I, WNT, Warszawa 2002. Białynicki-Birula A., Algebra, t. 40, BM, wyd. I, PWN, Warszawa 1971. Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, t. 48, BM, wyd. I, PWN, Warszawa 1976. Gleichgewicht B., Algebra, wyd. I, PWN, Warszawa 1975. Jeśmianowicz L., Łoś J., Zbiór zadań z algebry, wyd. HI, PWN, Warszawa 1966. Koźniewski T., Wykłady z algebry liniowej, I, wyd. IV, Wydawnictwo UW, Warszawa 2006. Koźniewski T., Wykłady z algebry liniowej, II, wyd. I, Wydawnictwo UW, Warszawa 2006. Lang S., Introduction to Linear Algebra, wyd. n , Springer-Verlag, Nowy Jork 1986. Rzymowski W., Macierze i operatory, wyd. I, Wydawnictwo UMCS, Lublin 2004. Sołtysiak A., Algebra liniowa, wyd. III, Wydawnictwo UAM, Poznań 2003. Szymiczek K., Wykłady z algebry dwudniowej, wyd. I, Uniwersytet Śląski, Katowice 1991. Więsław W., Algebra geometryczna, wyd. I, Uniwersytet Wrocławski, Wrocław 1974. Wowk Cz., Algebra liniowa w problemach i zadaniach, wyd. I, Uniwersytet Szczeciński, Szcze cin 1990. W języku rosyjskim: ATaHacHH JI. C ., ATai-iacnn B . A ., CSopnuK 3adau n o zeoM em puu, ^raciB I, H3,ą. I, H 3n;aTejifcCTBo , jIIpocBemeHue” , M o c ra a 1973. ATanacHH JI. C ., C ßopnuK sadan no zeoM em puu, *mcTi>II, H3n. I, PisflaTeJiŁCTBo „ IIp o CBememie” , M o c ra a 1975. HicpaMOB X. ü ., 3ada%HUK n o jiu n u e u H o u ajizeßpe, H3fl. I, EfeflaTejibCTBO „Hayrca”,
MocKBa 1975. IIpocKypHKOB H. B., CSopnuK 3ada% n o JiunueuH ou ajizeßpe, H3u. V, H3,gaTejiŁCTBO „Hayrca”, Mocraa 1974. $aAneeB ü . K., ComhhckhM H . C., CßopnuK 3ada% n o e u c w e ü ajizeßpe, H3fl. XVHI, I43 flaTejibCTBo „ H a y s a ” , M o c ra a 1977.
Skorowidz
Atlas liniowy 209 automorfizm przestrzeni wektorowej 107 Baza Jordana endomorfizmu 146 -kanoniczna 42 - funkcjonału kwadratowego 190 -nowa 124 -ortogonalna 203 - ortonormalna 203 - przestrzeni wektorowej 42 - względem podprzestrzeni 147 -standardowa 42 -stara 124 - zero-jedynkowa 42 Całka nieoznaczona macierzy 162 - oznaczona macierzy 162 ciało algebraicznie domknięte 134 Długość wektora 199 dopełnienie algebraiczne elementu 71 - ortogonalne podprzestrzeni 202 Element układu 30 - wiodący macierzy 19 endomorfizm przestrzeni wektorowej 107 epimorfizm przestrzeni wektorowych 107 Forma funkcjonału dwuliniowego 187 - liniowego 183 - kwadratowa funkcjonału kwadratowego 190 fundamentalny układ rozwiązań 102 funkcjonał dwuliniowy 187 - antysymetryczny 187 --symetryczny 187 -kwadratowy 190 - dodatnio określony 195
półokreślony 196 — ujemnie.określony 196 półokreślony 196 — wyznaczony przez funkcjonał dwuliniowy tryezny 189 -liniowy 183 Granica ciągu macierzy 157 grupa liniowa 80 Hiperpłaszczyzna 212 homomorfizm kanoniczny 114 -naturalny 114 Iloczyn macierzy 60 —skalamy 198 --kanoniczny 199 — zwykły 199 inwersja 65 izomorfizm przestrzeni wektorowych 107 Jądro przekształcenia liniowego 112 jednokładność 221 jedynka wiodąca macierzy 19 Kanoniczny iloczyn skalamy 199 kąt między wektorami 199 klatka Jordana 144 kolumna macierzy 18 kombinacja liniowa układu 30 — wektorów 31 kryterium Sylvestera 196 Macierz 18 —dolnotrójkątna 60 -elementarna 85 —funkcjonału dwuliniowego 187
macierz funkcjonału kwadratowego 190 -funkcyjna 161 - gómotrójkątna 60 -jednostkowa 60 —Jordana 144 -kwadratowa 18 -nieosobliwa 80 -nilpotentna 157 -odwracalna 80 -odwrotna 80 -poszerzona układu 101 -przejścia od bazy do bazy 124 - przekształcenia liniowego 118 -różniczkowałna 161 -sprzężona 60 - transponowana 60 -układu 101 -wielomianowa 168 macierze podobne 127 maksymalny układ liniowo niezależny 42 mapa liniowa zaczepiona w punkcie 209 metoda eliminacji niewiadomych 11 -Gaussa 11 - Grama-Schmidta 203 -Jacobiego 192 -Lagrange’a 190 - rugowania niewiadomych 11 minor macierzy 71 monomorfizm przestrzeni wektorowych 107 Nierówność Minkowskiego 199 -Schwarza 199 noima wektora 199 Obraz przekształcenia liniowego 112 odległość podzbiorów 225 -punktów 225 operacja elementarna na wierszach 19 ortogonalizacja Grama-Schmidta 203 : Permutacja liczb 1 ,. . . , n 65 -nieparzysta 66 -parzysta 66 -zbioru { l , . . . , n j 65 pierwsze twierdzenie o izomorfizmie 116 płaszczyzna 212 pochodna macierzy 161 podobieństwo macierzy 127 podprzestrzenie ortogonalne 199,225 -prostopadłe 199,225 : -równoległe 212 podprzestrzeń afiniczna przestrzeni 212
- generowana przez układ 31 - przez wektory 31 -niezmiennicza 131 - przestrzeni afinicznej 212 - wektorowej 30 - rozpięta na wektorach 31 -własna 134 podukład układu 30 postać diagonalna normalna k-macierzy 169 - Jordana macierzy 145 - schodkowa macierzy 18 - zredukowana macierzy 19 powłoka liniowa układu wektorów 31 prawo bezwładności dla form kwadratowych 195 prosta 212 przedstawienie liniowe podprzestrzeni afinicznej 212
przekątna główna macierzy 18 - poboczna macierzy 18 przekształcenie afiniczne 220 -dwuliniowe 187 - antysymetryczne 187 - symetryczne 187 - elementarne kolumn 86 - elementarne wierszy 19 -liniowe 107 -ortogonalne 206 -unitarne 206 przestrzenie wektorowe izomorficzne 107 przestrzeń afiniczna współrzędnych 210 -eukłidesowa 225 -ilorazowa 114 - liniowa 27 - skończenie wymiarowa 42 - sprzężona z przestrzenią 183 -unitarna 198 -wektorowa 27 - rzeczywista 28 - z kanoniczną strukturą afiniczną 209 --zespolona 28 -współrzędnych 28 przesunięcie 221 punkt przestrzeni afinicznej 209 - stały przekształcenia afinicznego 221 Rozwinięcie wyznacznika względem kolumny 71 wiersza 71 różnica punktu i wektora 210 rząd funkcjonału dwuliniowego 188 --kwadratowego 190 -macierzy 96
rzut prostopadły podzbioru 225 — punktu 225 — wektora 204 Skalar 27 stopień wielomianowy 168 suma algebraiczna podprzestrzeni 54 - prosta podprzestrzeni 54 - punktu i wektora 210 - układów 30 sygnatura funkcjonału kwadratowego 195 symetria względem podprzestrzeni afinicznej 221 - punktu 221 Ślad macierzy 60 Translacja 221 twierdzenie Cauchy’ego 71 - Kroneckera-Capellego 101 -Lagrange’a 190 -Laplace’a 71 - ogólne 78 Układ bazowy przestrzeni afinicznej 213 - elementów zbiom 30 -jednorodny stowarzyszony 101 - równań cramerowski 93 — jednorodny 94 - liniowych 11 - różniczkowych liniowych pierwszego rzędu 162 - wektorów liniowo niezależny 37 zależny 37
wektor 27 - dołączony 146 - ortogonalny do podprzestrzeni afinicznej 225 - prostopadły do podprzestrzeni 199 afinicznej 225 -przeciwny 27 - swobodny 209 -własny 133 - zerowy 27 wektory generujące przestrzeń 31 - liniowo niezależne względem podprzestrzeni 147 - zależne 36 -ortogonalne 199 -prostopadłe. 199 widmo endomorfizmu 133 wielomian charakterystyczny endomorfizmu 134 - macierzy 134 wielomiany niezmiennicze L-macierzy 169 wiersz macierzy 18 współczynnik kombinacji liniowej wektorów 31 -przy niewiadomej 11 współczynniki formy dwuliniowej 187 - liniowej 183 - funkcjonału liniowego 183 wymiar przestrzeni afinicznej 209 - wektorowej 42 wyraz wolny układu równań liniowych 11 wyznacznik cykliczny 77 -macierzy 66 - Vandermonde’a 76 wzory Cramera 94 Znak permutacji 66 zwykły iloczyn skalamy 199
Wartość własna 133
*"'"7gis śni''a
