TEZY I WZORY

Rozdział 1 1) 2)

p≡p p ≡~~p

zasada toŜsamości zasada podwójnego przeczenia

3)

~(p∧~p)

zasada sprzeczności

4)

p∨~p

zasada wyłączonego środka

5)

(p→~p)→ ~p

6)

(p∧q)→ p

prawo redukcji do absurdu prawo symplifikacji

7)

(p∧q) ≡ (q∧p)

prawo przemienności koniunkcji

8)

p → (p∨q)

prawo addycji

9)

(p∨q) ≡ (q∨p)

prawo przemienności alternatywy

10)

~(p∧q) ≡ (~p∨~q)

11)

~(p∨q) ≡ (~p∧~q)

12)

[(p→q ∧p] → q

pierwsze prawo de Morgana drugie prawo de Morgana modus ponendo ponens

13)

[(p→q ∧~q] → ~p

modus tolendo tollens

14)

~p→ (p→ q)

prawo Dunsa Szkota

15)

(p→ q) → (~q→ ~p)

prawo transpozycji

16)

(p≡q) ≡ (q≡p)

prawo przemienności równowaŜności

17)

[p∧(q∧r)] ≡ [(p∧q)∧r]

prawo łączności koniunkcji

18)

[p∨(q∨r)] ≡ [(p∨q)∨r]

prawo łączności alternatywy

19)

[p∧(q∨r)] ≡ [(p∧q)∨(p∧r)]

20)

[p∨(q∧r)] ≡ [(p∨q)∧(p∨r)]

21)

[p→ (q→ r)] ≡ [q→ (p→ r)]

prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji prawo komutacji

22)

[(p∧q)→ r] → [p→ (q→ r)]

prawo eksportacji

23)

[p→ (q→ r)] → [(p∧q)→ r]

prawo importacji

24)

[(p→ q) ∧ (q→ r)] → (p→ r)

prawo sylogizmu hipotetycznego

25)

[(p→ r)∧(q→ r)∧(p∨q)] → r

prawo dylematu konstrukcyjnego

strona 1 z 4

kaŜde zdanie jest równowaŜne z samym sobą kaŜde zdanie jest równowaŜne zdaniu powstałemu przez podwójne jego zanegowanie dwa zdania wzajem sprzeczne nie są oba prawdziwe, jedno z nich jest prawdziwe, a jedno z nich jest fałszywe w przypadku dwóch zdań wzajem sprzecznych, wyłączona jest jakaś trzecia, środkowa ewentualność, dwa zdanie wzajem sprzeczne nie są oba fałszywe, co najwyŜej jedno jest fałszywe, co znaczy ze drugie jest prawdziwe jeŜeli dane zdanie implikuje swoją negację, to ta negacja jest prawdziwa koniunkcja dwóch zdań implikuje pierwsze z nich koniunkcja pierwszego zdania i drugiego zdania jest równowaŜna koniunkcji drugiego zdania i pierwszego kaŜde zdanie implikuje alternatywę, której jest składnikiem alternatywa pierwszego zdania i drugiego zdania jest równowaŜna alternatywie drugiego zdania i pierwszego, kolejność składników jest nieistotna negacja koniunkcji zdań jest równowaŜna alternatywie negacji tych zdań negacja alternatywy zdań jest równowaŜna koniunkcji negacji tych zdań jeŜeli pierwsze zdanie implikuje drugie i jest tak jak stwierdza pierwsze zdanie, to jest teŜ tak, jak stwierdza drugie zdanie jeŜeli pierwsze zdanie implikuje drugie i nie jest tak jak stwierdza drugie zdanie, to nie jest tak, jak stwierdza pierwsze zdanie gdy zdanie jest fałszywe, to implikuje ono dowolne zdanie gdy jedno zdanie implikuje drugie, to negacja drugiego implikuje negację pierwszego równowaŜność pierwszego zdania z drugim jest równowaŜna równowaŜności drugiego zdania z pierwszym wskazuje na równowaŜność złoŜonych koniunkcji, róŜniących się tylko usytuowaniem czynników wskazuje na równowaŜność złoŜonych alternatyw, róŜniących się tylko usytuowaniem czynników wskazuje równowaŜność swoiście złoŜonej koniunkcji ze swoiście złoŜoną alternatywą wskazuje równowaŜność swoiście złoŜonej alternatywy ze swoiście złoŜoną koniunkcją wskazuje ono na równowaŜność swoiście przekształconych implikacji implikacja o złoŜonym poprzedniku implikuje implikację o swoiście złoŜonym następniku implikacja o złoŜonym następniku implikuje implikację o swoiście złoŜonym poprzedniku gdy pierwsze zdanie implikuje drugie, a drugie zdanie implikuje trzecie zdanie, to pierwsze zdanie implikuje trzecie gdy jedno zdanie implikuje dane zdanie i drugie zdanie implikuje dane zdanie i jest tak jak stwierdza pierwsze lub drugie zdanie, to jest tak, jak stwierdza zdanie implikowane przez kaŜde z tych zdań

Rozdział 2 1)

/\x(A) → \/x(A)

2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11)

/\x/\y(A) ≡ /\y/\x(A) \/x\/y(A) ≡ \/y\/x(A) \/x/\y(A) → /\y\/x(A) ~/\x(A) ≡ \/x ~(A) ~\/x(A) ≡ /\x ~(A) /\x(A) ≡ ~\/x ~(A) \/x(A) ≡ ~/\x ~(A) /\x(A → B) → [/\x(A) → /\x(B)] /\x(A → B) → [\/x(A) → \/x(B)] /\x(A ∧ B) ≡ /\x(A) ∧ /\x(B) 12) \/x(A ∨ B) ≡ \/x(A) ∨ \/x(B)

prawo zastępowania duŜego kwantyfikatora przez mały kwantyfikator prawo przestawiania duŜych kwantyfikatorów prawo przestawiania małych kwantyfikatorów prawo przestawiania małego kwantyfikatora z duŜym prawo negowania duŜego kwantyfikatora prawo negowania małego kwantyfikatora prawo zastępowania duŜego kwantyfikatora prawo zastępowania małego kwantyfikatora prawo rozkładania duŜego kwantyfikatora względem implikacji prawo rozkładania małego kwantyfikatora względem implikacji prawo rozkładania duŜego kwantyfikatora względem koniunkcji

13)

prawo rozkładania małego kwantyfikatora względem alternatywy prawo składania duŜego kwantyfikatora względem alternatywy

14)

prawo rozkładania małego kwantyfikatora względem koniunkcji

/\x(A) ∨ /\x(B) → /\x(A ∨ B) \/x(A ∧ B) → \/x(A) ∧ \/x(B) 15) /\x(A ≡ B) → [/\x(A) ≡ /\x(B)] 16) /\x(A ≡ B) → [\/x(A) ≡ \/x(B)]

prawo ekstensjonalności dla duŜego kwantyfikatora prawo ekstensjonalności dla małego kwantyfikatora

Rozdział 3

Z = Y ≡ /\x(x ∈ Z ≡ x ∈ Y) Z ⊂ Y ≡ /\x(x ∈ Z → x ∈ Y) 3) Z ⊆ Y ≡ [/\x(x ∈ Z → x ∈ Y) ∧ \/x(x ∉ Z ∧ x ∈ Y)] 4) Z krzyŜuje się z Y ≡ [\/x(x ∈ Z ∧ x ∈ Y) ∧ \/x(x ∈ Z ∧ x ∉ Y) ∧ \/x(x ∉ Z ∧ x ∈ Y)] 5) Z wyklucza się z Y ≡ ~ \/x(x ∈ Z ∧ x ∈ Y) 1)

2)

/\x(x ∈ Z ∪ Y ≡ x ∈ Z ∨ x ∈ Y) /\x(x ∈ Z ∩ Y ≡ x ∈ Z ∧ x ∈ Y) 3) /\x(x ∈ Z - Y ≡ x ∈ Z ∧ x ∉ Y) 4) /\x(x ∈ Z’ ≡ x ∈ U ∧ x ∉ Z) 1) 2)

1)

(Z ⊂ Y ∧ Y ⊂ X) → Z ⊂ X

2)

Z ⊂ (Z ∪ Y)

3)

Z ∪ (Y ∪ X) = (Z ∪ Y) ∪ X

4)

(Z ⊂ X ∧ Y ⊂ X) → (Z ∪ Y) ⊂ X

5)

(Z ∩ Y) ⊂ Z

6)

Z ∩ (Y ∩ X) = (Z ∩ Y) ∩ X

7)

[(Z ⊂ Y) ∧ (Z ⊂ X)] → Z ⊂ (Y ∩ X)

8)

Z ∩ (Y ∪ X) = (Z ∩ Y) ∪ (Z ∩ X)

dla dowolnych trzech zbiorów - jeśli pierwszy z nich zawiera się w drugim, a drugi zawiera się w trzecim, to pierwszy zbiór teŜ zawiera się w trzecim kaŜdy zbiór zawiera się w sumie powstałej z niego i dowolnego innego zbioru dla dowolnych trzech zbiorów - suma pierwszego i sumy drugiego oraz trzeciego z nich jest identyczna z sumą powstałą z sumy pierwszego i drugiego oraz trzeciego z nich dla dowolnych trzech zbiorów - jeśli pierwszy z nich zawiera się w trzecim i drugi zawiera się w trzecim, to i suma pierwszego oraz drugiego zbioru zawiera się w trzecim iloczyn dwóch dowolnych zbiorów zawiera się w pierwszym z nich dla dowolnych trzech zbiorów - iloczyn pierwszego oraz iloczynu drugiego i trzeciego z nich jest identyczny z iloczynem powstałym z iloczynu pierwszego i drugiego z nich oraz trzeciego zbioru dla dowolnych trzech zbiorów - jeśli pierwszy z nich zawiera się w drugim i pierwszy zawiera się w trzecim, to pierwszy zawiera się teŜ w iloczynie drugiego zbioru z trzecim dla dowolnych trzech zbiorów - iloczyn pierwszego oraz sumy drugiego i trzeciego z nich jest identyczny z sumą iloczynu pierwszego i drugiego z nich oraz iloczynu pierwszego i trzeciego z nich

strona 2 z 4

9)

Z ∪ (Y ∩ X) = (Z ∪ Y) ∩ (Z ∪ X)

10)

Z-Y⊂Z

11)

Z ⊂ Y → (X - Y ⊂ X - Z)

12)

Z - (Y ∪ X) = (Z - Y) ∩ (Z - X)

13)

Z - (Y ∩ X) = (Z - Y) ∪ (Z - X)

14)

Z ∪ Z’ = U

15)

Z ∩ Z’ = ∅

16)

(Z ∪ Y)’ = Z’ ∩ Y’

17)

(Z ∩ Y)’ = Z’ ∪ Y’

dla dowolnych trzech zbiorów - suma pierwszego oraz iloczynu drugiego i trzeciego z nich jest identyczna z iloczynem sumy pierwszego i drugiego z nich oraz sumy pierwszego i trzeciego z nich róŜnica dwóch dowolnych zbiorów zawiera się w pierwszym z nich. Dodajmy, Ŝe nie zawiera się w drugim z nich dla dowolnych trzech zbiorów - jeśli pierwszy z nich zawiera się w drugim, to róŜnica trzeciego i drugiego z nich zawiera się w róŜnicy trzeciego i pierwszego z nich dla dowolnych trzech zbiorów - róŜnica pierwszego oraz sumy drugiego i trzeciego z nich jest identyczna z iloczynem róŜnicy pierwszego i drugiego z nich oraz róŜnicy pierwszego i trzeciego z nich dla dowolnych trzech zbiorów - róŜnica pierwszego oraz iloczynu drugiego i trzeciego z nich jest identyczna z sumą róŜnicy pierwszego i drugiego z nich oraz róŜnicy pierwszego i trzeciego z nich suma dowolnego zbioru i jego dopełnienia jest identyczna ze zbiorem pełnym, czyli z przyjętym uniwersum iloczyn dowolnego zbioru i jego dopełnienia jest identyczny ze zbiorem pustym dopełnienie sumy dwóch dowolnych zbiorów jest identyczne z iloczynem dopełnienia pierwszego zbioru i dopełnienia drugiego zbioru dopełnienie iloczynu dwóch dowolnych zbiorów jest identyczne z sumą dopełnienia pierwszego zbioru i dopełnienia drugiego zbioru

Rozdział 4

/\x [x ∈D(R) ≡ \/y(xRy)] 2) /\x [x ∈¯ D(R) ≡ \/y(yRx)] 3) /\x [x ∈P(R) ≡ x ∈D(R) ∨ x ∈¯ D(R)]

dziedzina relacji R

1) 2)

relacja zwrotna - relacja podobieństwa relacja zwrotna w zbiorze Z - relacja podobieństwa w

1)

przeciwdziedzina relacji R pole relacji R

Relacja R jest zwrotna ≡ /\x (xRx) Relacja R jest zwrotna w zbiorze Z ≡ /\x∈Z (xRx) 3) Relacja R jest niezwrotna w zbiorze Z ≡ ~ /\x∈Z(xRx) 4) Relacja R jest przeciwzwrotna w zbiorze Z ≡ /\ x∈Z ~ (xRx) 1)

Relacja R jest symetryczna w zbiorze Z ≡ /\ x∈Z /\ y∈Z (xRy → yRx) 2) Relacja R jest niesymetryczna w zbiorze Z ≡ ~/\x∈Z /\y∈Z(xRy → yRx) 3) Relacja R jest przeciwsymetryczna w zbiorze Z ≡ /\x∈Z /\y∈Z [xRy → ~(yRx)]

zbiorze studentów

relacja niezwrotna w zbiorze Z – relacja utrzymywania się

relacja przeciwzwrotna w zbiorze Z – relacja bycia szybszym

relacja symetryczna w zbiorze Z – relacja sąsiedztwa relacja niesymetryczna w zbiorze Z – relacja lubienia relacja przeciwsymetryczna w zbiorze Z – relacja starszeństwa

strona 3 z 4

1)

Relacja R jest przechodnia w zbiorze Z ≡ /\x∈Z /\y∈Z /\z∈Z (xRy ∧ yRz → xRz) 2) Relacja R jest nieprzechodnią w zbiorze Z ≡ ~/\x∈Z /\y∈Z /\z∈Z (xRy ∧ yRz → xRz) 3) Relacja R jest przeciwprzechodnią w zbiorze Z ≡ /\x∈Z /\y∈Z /\z∈Z [xRy ∧ yRz → ~(xRz)]

relacja przechodnia w zbiorze Z – relacja starszeństwa w zbiorze ludzi

relacja nieprzechodnia w zbiorze Z – relacja sąsiedztwa w zbiorze państw

relacja przeciwprzechodnia w zbiorze Z – relacja ojcostwa w zbiorze ludzi

1)

konwers relacji R1 (¯ R ) - relacja wyŜszości, jej konwersem Relacja R1 jest konwersem relacji R2 jest relacja niŜszości ≡ /\x /\y (xR1y ≡ yR2x) 2) Relacja R1 jest iloczynem względnym iloczyn względny relacji R2 i R3 - relacja bycia stryjkiem relacji R2 i R3 ≡ /\x /\y [xR1y ≡ \/z(xR2z ∧ zR3y)] 1)

1)

Relacja R jest spójna w zbiorze Z ≡ /\x∈Z /\y∈Z (x ≠ y → xRy ∨ yRx)

relacja spójności – relacja większości w zbiorze liczb naturalnych

Dwuczłonowa relacja R jest funkcją funkcja jednoargumentowa - zamiast pisać xRy piszemy y=f(x) jednoargumentową ≡ /\x /\y /\z (xRy ∧ xRz → y = z)

strona 4 z 4