1 Ocena niepewnosci pomiaru

POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY KATEDRA ELEKTROTECHNIKI TEORETYCZNEJ I METROLOGII

Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu:

Systemy pomiarowe Kod przedmiotu: KS 04456

Ćwiczenie nr 1

OCENA NIEPEWNOŚCI POMIARU

Opracował: dr inż. Jarosław Makal

Białystok 2010

Wszystkie prawa zastrzeżone. Wszystkie nazwy handlowe i towarów występujące w niniejszej instrukcji są znakami towarowymi zastrzeżonymi lub nazwami zastrzeżonymi odpowiednich firm odnośnych właścicieli.

Laboratorium Systemów pomiarowych

2

Ćwiczenie nr 1: Ocena niepewności pomiaru

Cel ćwiczenia: Zapoznanie się z teorią niepewności i zastosowanie jej w praktycznych pomiarach inżynierskich. Nabycie umiejętności szacowania wyniku pomiaru oraz prawidłowego jego zapisu.

1.

WSTĘP

Zagadnienia teoretyczne i praktyczne oceny niedokładności pomiaru należą do teorii błędu. Niestety, była ona i jest nadal dziedziną nie lubianą przez inżynierów. Nie doczekała się też powszechnie akceptowanego i stosowanego kanonu. Fakt ten był z pewnością jednym z powodów powstania teorii niepewności przyjętej jako obowiązującej przez międzynarodowe organizacje metrologiczne i inne organizacje związane z metrologią. Głównym źródłem wiedzy o niepewności pomiaru jest wydany w 1993r. (i poprawiony w 1995r.) przez ISO, Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement przetłumaczony na język polski i wydany przez Główny Urząd Miar pod tytułem Wyrażanie niepewności pomiaru. Przewodnik [6]. Teoria niepewności jest niesłusznie uważana jako konkurencyjna dla teorii błędu i ją zastępująca. Jednak trzeba ją znać i stosować wszędzie tam, gdzie wymagają tego przepisy.

2.

WIADOMOŚCI PODSTAWOWE

Jak wiadomo, błąd prawdziwy jest różnicą między wartością zmierzoną ŷ zwaną też estymatą wartości prawdziwej Ỹ, a wartością prawdziwą Ỹ wielkości mierzonej Y. Niestety, wartość Ỹ jest zawsze nieznana dla wykonującego pomiar, a więc również nie zna on wartości błędu prawdziwego. Kompletny wynik pomiaru powinien zawsze obejmować estymatę ŷ wartości prawdziwej Ỹ oraz miarę niedokładności wartości zmierzonej ŷ, czyli miarę rozbieżności znanego wyniku pomiaru ŷ i nieznanego Ỹ. Sam wynik pomiaru bez miary jego niedokładności nie ma żadnej wartości. Wie o tym każdy metrolog, ale wielu inżynierów, niestety, nie przyjmuje tego do wiadomości. Wg [6] niepewność (uncertainty) definiowana jest jako: „parametr, związany z wynikiem pomiaru, charakteryzujący rozrzut wartości, które można w uzasadniony sposób przypisać wielkości mierzonej”.

2.1 Modelowanie pomiaru W większości przypadków wielkość mierzona Y nie jest mierzona wprost, ale jest określona z wielu innych wielkości X1, X2, X3, ... Xn. za pomocą zależności funkcyjnej Y=f(X1, X2, X3, ...Xn). (1)

Laboratorium Systemów pomiarowych

3

Ćwiczenie nr 1: Ocena niepewności pomiaru

Wielkości wejściowe X1, X2, X3,...Xj, Xj+1,... Xn, od których zależy wielkość wyjściowa Y mogą być same potraktowane jako wielkości mierzone i mogą zależeć od innych wielkości. Zbiór wielkości wejściowych można podzielić na: -wielkości X1, X2, X3... Xj, których wartości i niepewności są bezpośrednio określone przez aktualny pomiar. Te wartości i niepewności można otrzymać, np. z pojedynczej obserwacji, powtórzonych obserwacji lub oceny opartej na doświadczeniu. -wielkości Xj+1... Xn, których wartości i niepewności zostały wniesione do pomiaru z zewnętrznych źródeł, takich jak wielkości związane z używanymi wzorcami, certyfikowanymi materiałami odniesienia i danymi aparatury pomiarowej (również danymi odniesienia zaczerpniętymi z literatury). Estymatę wielkości mierzonej Y, oznaczoną przez ŷ, oblicza się z równania pomiaru dla estymat xˆ1 , xˆ 2 , xˆ3 ,...xˆ j , xˆ j +1...xˆn wartości wielkości wejściowych X1, X2, X3, ... Xn . Stąd estymata wyjściowa ŷ będąca wynikiem pomiaru jest dana jako (2) yˆ = f ( xˆ1 , xˆ2 , xˆ3 ,...xˆ j , xˆ j +1...xˆn ) . Estymata odchylenia standardowego estymaty wielkości wyjściowej (inaczej wyniku pomiaru) ŷ, nazywana złożoną niepewnością standardową i oznaczana przez uc ( yˆ ) , jest określana na podstawie estymat Si odchyleń standardowych σi estymat xˆ1 , xˆ2 , xˆ3 ,...xˆ j , xˆ j +1... xˆn wielkości wejściowych, które to estymaty są nazywane niepewnościami standardowymi i oznaczane przez u ( xˆi ) . -niepewność standardowa złożona (combined uncertainty) wyznacza się jako wartość funkcji innych wielkości zwanych wejściowymi, wyrażoną w postaci zależności od wariancji lub estymat wariancji (to jest od kwadratów niepewności) wartości wielkości wejściowych przyjmowanych do obliczenia wyniku pomiaru; -niepewność standardowa u ( xˆi ) (standard uncertainty) jest to niepewność wyniku pomiaru wyrażona jako odchylenie standardowe (przy założeniu, że wynik pomiaru xˆi modelowany jest zmienną losową, której wartości są równe poszczególnym wynikom szeregu pomiarów wykonywanych w niezmienionych 2 warunkach) u ( xˆi ) = σ ( xˆi ) , lub pierwiastek z estymaty wariancji s ( xˆi ) , jeżeli wariancja jest nieznana; Uwaga 1.: Każdą estymatę xˆi wielkości wejściowej Xi i związaną z nią niepewność standardową u ( xˆi ) wyznacza się na podstawie rozkładu możliwych wartości wielkości wejściowej Xi. Ten rozkład prawdopodobieństwa może być

Laboratorium Systemów pomiarowych

4

Ćwiczenie nr 1: Ocena niepewności pomiaru

oparty na częstości, to jest na seriach obserwacji, albo może to być rozkład dany a priori. Metoda typu A obliczania składowych niepewności standardowej opiera się na rozkładach częstości, podczas gdy metoda typu B obliczania składowych niepewności opiera się na rozkładach danych a priori. W obu przypadkach rozkłady są modelami matematycznymi stosowanymi do oddania stanu naszej wiedzy. Od strony fizycznej można to wyjaśnić następująco. Istnieje wiele źródeł niepewności pomiaru, wśród nich są: a) niepełna definicja wielkości mierzonej; b) niedoskonała realizacja definicji wielkości mierzonej; c) nie reprezentatywne próbkowanie – próbka mierzona może nie reprezentować wielkości mierzonej; d) wpływ czynników zewnętrznych (również niedoskonały pomiar warunków otoczenia); e) rozdzielczość przyrządów pomiarowych (w tym też skończona ich czułość oraz subiektywne błędy w odczytywaniu wskazań); f) przybliżenia i założenia wynikające z metody pomiarowej; g) niedokładność wzorców i wartości przypisanych materiałom odniesienia; h) niedokładne wartości stałych i innych parametrów otrzymywanych ze źródeł zewnętrznych do pomiaru, a używanych w procedurze przetwarzania danych; i) zmiany w powtarzanych obserwacjach wielkości mierzonej w pozornie identycznych warunkach. Każda z tych przyczyn „wnosi” swój wkład do złożonej niepewności pomiaru. Niektóre można wyznaczyć na podstawie otrzymanego rozrzutu wyników serii pomiarów, inne ocenia się na podstawie przewidywanych rozkładów prawdopodobieństwa. Wymienione przyczyny nie muszą być od siebie niezależne. Niektóre z nich, np. od a) do h) mogą się składać na przyczyny typu i). Składniki niepewności klasyfikuje się na dwie kategorie w zależności od metody ich obliczania. Kategorie te odnoszą się do niepewności i nie są czymś zastępczym dla słów „przypadkowy” i „systematyczny”. Np. niepewność poprawki od znanego oddziaływania systematycznego może być w niektórych przypadkach obliczona metodą typu A, a w niektórych metodą typu B; to samo może dotyczyć niepewności charakteryzującej oddziaływania przypadkowe. Niepewność typu A wyznacza się metodami statystycznymi, a niepewność typu B wyznacza się innymi metodami.

Laboratorium Systemów pomiarowych

5

Ćwiczenie nr 1: Ocena niepewności pomiaru

3.

OCENA NIEPEWNOŚCI TYPU A

Jak już zostało powiedziane, niepewność standardową typu A ocenia się za pomocą metod statystycznych. Na podstawie serii N niezależnych obserwacji xˆ k wielkości wejściowej Xi (1
1 N xi = ∑ xˆk N k =1

(3) 2

oraz wariancję eksperymentalną s2 obserwacji, estymującą wariancję σ rozkładu prawdopodobieństwa wielkości Xi, będącą kwadratem odchylenia standardowego eksperymentalnego

1 N 2 ∑ ( xˆ k − xi ) . N − 1 k =1

s 2 ( xˆ k ) = σ 2 ( x k ) =

Najlepszą estymatą wariancji średniej arytmetycznej σ ( xi ) = σ 2

s 2 ( xˆk ) . s ( xi ) = N 2

(4)

2

N

jest (5)

Stąd niepewność standardowa typu A jest równa N

∑ ( xˆk − xi ) 2

u A ( xˆi ) = s ( xi ) =

4.

k =1

N ( N − 1)

.

(6)

OCENA NIEPEWNOŚCI TYPU B Dla estymaty xˆi wielkości wejściowej Xi (j
powtarzanych obserwacji, estymatę jej wariancji u ( xˆi ) albo niepewność standardową u ( xˆi ) określa się na drodze analizy naukowej opartej na wszystkich dostępnych informacjach o możliwości zmienności Xi. Zestaw tych informacji może obejmować: • poprzednie dane pomiarowe; • specyfikacje wytwórców; • dane kalibracyjne przyrządów i elementów pomiarowych;

Laboratorium Systemów pomiarowych

6

Ćwiczenie nr 1: Ocena niepewności pomiaru

• posiadane doświadczenie wraz z ogólną znajomością zjawisk i właściwości przyrządów i metod pomiarowych; • niepewności przypisane danym odniesienia zaczerpniętym z podręczników. 2

Dla wygody, oszacowane w ten sposób wartości u B ( xˆi ) i u B ( xˆi ) nazywane są wariancją typu B i niepewnością standardową typu B (odpowiednio). W praktyce najczęściej mamy do czynienia z sytuacją obliczania niepewności typu B na podstawie znanych parametrów metrologicznych aparatury pomiarowej. Z reguły stosowaną aparaturę charakteryzuje się za pomocą wartości błędu granicznego ∆g. Rozkład błędów aparatury może być różnorodny, najczęściej przyjmuje się rozkład jednostajny (inaczej nazywany równomiernym lub prostokątnym). p

-∆g ∆ Rys.1. Rozkład jednostajny

Dla rozkładu jednostajnego wariancję i odchylenie standardowe określają zależności 2

uB =

∆2g 3

;

Laboratorium Systemów pomiarowych

uB =

∆g 3

7

;

(rozkład jednostajny)

(7)

Ćwiczenie nr 1: Ocena niepewności pomiaru

5.

OKREŚLANIE ZŁOŻONEJ NIEPEWNOŚCI STANDARDOWEJ

Analizowany jest przypadek, gdy wielkość mierzona Y jest funkcją wielu wielkości wejściowych X1, X2, X3,...Xj, Xj+1,... Xn,. Dodatkowo zakłada się, że wszystkie wielkości wejściowe są niezależne, czyli nieskorelowane. Złożona niepewność standardowa uc ( yˆ ) jest dodatnim pierwiastkiem 2

kwadratowym ze złożonej wariancji uc ( yˆ ) danej jako 2

∂f  2  u ( xˆi ) uc ( yˆ ) = ∑  ∂ x i =1  i  2

n

(8)

gdzie f jest funkcją podaną w równaniu (1) i (2), a każde u ( xˆi ) jest niepewnością standardową obliczaną metodą typu A albo metodą typu B. Pochodne cząstkowe ∂ f ∂ xi są równe ∂ f ∂ X i policzonym dla estymat

xi = xˆi . Nazywane są one często współczynnikami wrażliwości i opisują jak estymata yˆ wielkości wyjściowej Y zmienia się wraz ze zmianami wartości estymat xˆ1 , xˆ 2 , xˆ3 ,...xˆ n wielkości wejściowych X1, X2, X3, ... Xn. Równanie (8) wyraża tzw. prawo propagacji niepewności. Pytanie 1.: Jak złożyć ze sobą niepewności u A ( xˆi ) i u B ( ∆x ) obliczone dla przypadku pomiaru bezpośredniego (jedna wielkość wejściowa X)? Wartość estymaty xˆ mierzonej wielkości wejściowej X przyjmuje się jako równą sumie średniej arytmetycznej x serii N pojedynczych obserwacji i poprawki addytywnej ∆x korygującej zniekształcające wynik pomiaru.

oddziaływania

systematyczne

xˆ = x + ∆x

(9) Wartości tej poprawki nie można wyznaczyć dokładnie. Zakłada się takie (hipotetyczne) powtarzanie serii obserwacji, które pozwoli spełnić warunek centryzacji rozkładu poprawki (wartość oczekiwana poprawki jest równa zero) E(∆x)=0

(10)

Współczynniki wrażliwości

∂ xˆ

∂ xˆ

= 1, ∂(∆x) więc złożona niepewność standardowa estymaty xˆ jest zgodnie z (8) równa ∂x

=1

Laboratorium Systemów pomiarowych

oraz

8

Ćwiczenie nr 1: Ocena niepewności pomiaru

2

2

 ∂ xˆ   ∂ xˆ  2  u (∆x) = u 2 ( x ) + u 2 (∆x) uc ( xˆ ) =   u 2 ( x ) +   ∂x   ∂(∆x) 

(11)

u2 (x) = σ 2 (x) = σ 2 / N

(12)

2

gdzie

2

2

i jest liczona metodą typu A, czyli u A ( xˆ ) = u ( x ) , 2

2

2

natomiast u (∆x) jest liczone metodą typu B, czyli u B ( xˆ ) = u ( ∆x ) . Ostatecznie, więc otrzymujemy

2

2

2

u c ( xˆ) = u A ( xˆ) + u B (∆xˆ)

6.

(13)

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI ROZSZERZONEJ 6.1. Podstawowe definicje

-niepewność rozszerzona U ( xˆi ) (expanded uncertainty) jest to wielkość określająca przedział wokół wyniku pomiaru, taki, że można oczekiwać, iż obejmie on dużą część wartości, które w uzasadniony sposób można przyporządkować wielkości mierzonej. Oblicza się ją jako krotność złożonej niepewności standardowej (14) U ( xˆi ) = k p ⋅ uc ( xˆi ) . -współczynnik krotności kp nosi nazwę współczynnika rozszerzenia (coverage factor). Jego wartość zależy od przyjętego poziomu ufności p. Wyjaśnienie pojęcia „poziom ufności”: Jeżeli χ ( xˆi ) jest przedziałem niepewności określonym wokół znanego wyniku pomiaru xˆi , to prawdopodobieństwo tego, że prawdziwa wartość ~ x leży wewnątrz tego przedziału jest większe od p

Pr{~ x ∈ χ ( xˆi )} > p . Przedział niepewności wyznaczany jest jako

χ ( xˆi ) = [xˆi − U ( xˆi ), xˆi + U ( xˆi )].

Laboratorium Systemów pomiarowych

9

(15)

Ćwiczenie nr 1: Ocena niepewności pomiaru

Aby powiązać z przedziałem χ ( xˆi ) pewien poziom ufności p, trzeba jawnie lub domyślnie założyć rozkład statystyczny wyników pomiaru. WAŻNE: Dla rozkładu jednostajnego (równomiernego) współczynnik rozszerzenia kp w zależności od poziomu ufności, będzie miał wartość

kp = 3 ⋅ p Powyższą wartość stosuje się gdy mamy pomiar jednokrotny (pojedynczy) lub gdy niepewność typu B jest dużo większa (uA ≤ 0,1uB ) od niepewności typu A. W pozostałych przypadkach (w szczególności przy pomiarach pośrednich) w praktyce inżynierskiej najczęściej przyjmuje się kp=2 (dla poziomu ufności p=0,95).

7.

PRZYKŁADY

(na podstawie [1], [2], [3] i [6]) Przykład 1. Woltomierzem cyfrowym o rozdzielczości cztery cyfry i błędzie granicznym równym 2x10-3 odczytu + 2 cyfry (ostatnia cyfra ma wartość 10-2 V), zmierzono siedmiokrotnie napięcie na zakresie 100V. Otrzymano następujące wartości: Ui=(80,42; 80,92; 80,31; 80,76; 80,54; 80,43; 80,12) V. Obliczyć niepewność pomiaru napięcia na poziomie ufności p=0,95.

Rozwiązanie Wartość średnia mierzonego napięcia

1 N 1 7 563,5 U = ∑U i = ∑U i = = 80,50V N i =1 7 i =1 7 Niepewność standardowa obliczana metodą typu A 7

∑ (U i − U ) 2 u A = sU =

i =1

7 ⋅ (7 − 1)

=

0,4374 = 0,102049 ≈ 0,1020 V 42

Niepewność standardowa typu B (na podstawie danych producenta woltomierza) przy założeniu, że rozkład prawdopodobieństwa błędu miernika jest rozkładem równomiernym będzie równa

uB =

∆g 3

Laboratorium Systemów pomiarowych

=

0,002 ⋅ U + 0,01 ⋅ 2 = 0,1045V 3

10

Ćwiczenie nr 1: Ocena niepewności pomiaru

Wartości obu niepewności są porównywalne, więc żadna z nich nie jest dominująca. Niepewność złożona wg (13)

u c = u A 2 + u B 2 = 0,1460 V Oba składniki niepewności standardowej są tego samego rzędu, więc przyjmujemy kp=2, przy poziomie ufności p=0.95. Niepewność rozszerzona U = k p ⋅ u c = 2 ⋅ 0,1460 = 0,292 ≈ 0,30 V

Wynik pomiaru napięcia można zapisać jako

U x = U ± U = (80,50 ± 0,30) V (ze wsp. rozszerzenia kp=2 dla p=0,95). Przykład 2. Długość pewnego elementu zmierzono czterokrotnie za pomocą suwmiarki i uzyskano następujące wyniki pomiaru: d=(81,7; 82,2; 80,5; 79,2) mm. Obliczyć i zapisać wynik pomiaru dla poziomu ufności p=0,95 i p=0,99. Przyjąć błąd graniczny suwmiarki jako 0,1mm.

Rozwiązanie Wartość średnia mierzonej długości

1 N 1 4 323,6 d = ∑ di = ∑ di = = 80,9 mm . N i =1 4 i =1 4 Odchylenie standardowe średniej wartości długości 4

2 ∑ (d i − d )

u A = sd =

i =1

=

4 ⋅ (4 − 1)

5,38 = 0,669 ≈ 0,67 mm . 12

Zakłada się równomierny rozkład błędu suwmiarki, stąd

uB =

∆g 3

=

0,1 = 0,057 mm . 3

Ponieważ uA jest dużo większe od uB, więc możemy tą ostatnią wartość pominąć w obliczeniach. Złożona niepewność standardowa

u c = u A 2 = 0,67 mm . Współczynnik rozszerzenia kp przyjmujemy jako kp =2 dla p=0,95 kp =3 dla p=0,99

Laboratorium Systemów pomiarowych

11

Ćwiczenie nr 1: Ocena niepewności pomiaru

Stąd niepewność rozszerzona

2 ⋅ 0,67 = 1,34 ≈ 1,4 mm U = k p ⋅ uc =  3 ⋅ 0,67 = 2,01 ≈ 2,0 mm Wynik pomiaru zapisujemy w następującej postaci Długość elementu d=(80,9±1,4) mm (kp=2 dla p=0,95) d=(80,9±2,0) mm (kp=3 dla p=0,99).

Przykład 3. W celu obliczenia rezystancji wewnętrznej źródła napięcia stałego wykonano 10 pomiarów napięcia w stanie jałowym woltomierzem (3½ cyfry) o rezystancji 10MΩ, błędzie granicznym (0,5% + 1 cyfra) i rozdzielczości 1mV (1,372; 1,371; 1,371; 1,373; 1,370; 1,371; 1,370; 1,371; 1,372; 1,371) V oraz 5 pomiarów prądu zwarcia tego źródła (2,29; 2,25; 2,24; 2,28; 2,31) A amperomierzem (2½ cyfry) o rezystancji 20mΩ i błędzie granicznym (0,5%+2 cyfry). Podać wartość rezystancji wewnętrznej tego źródła na poziomie ufności 95%. Rozwiązanie Wartość średnia i odchylenie standardowe średniej napięcia i prądu są równe odpowiednio

U = 1,3712 V

u AU = 0,0003V

I = 2,274 A

u AI = 0,0129 A

Niepewność typu B pomiaru napięcia i natężenia prądu

u BI

∆ gV

0,005 ⋅ 1,3712 + 0,001 = 0,0045V 3 3 ∆ gA 0,005 ⋅ 2,293 + 0,01 ⋅ 2 = = = 0,0182 A 3 3

u BU =

=

Niepewność złożoną pomiaru napięcia obliczamy jako

u cU = u AU 2 + u BU 2 = 0,00032 + 0,0045 2 = 0,0045V Niepewność złożoną pomiaru prądu obliczamy jako

u cI = u AI 2 + u BI 2 = 0,01292 + 0,01822 = 0,0224 A ≈ 0,022 A

Laboratorium Systemów pomiarowych

12

Ćwiczenie nr 1: Ocena niepewności pomiaru

Wartość mierzonej rezystancji Rw=f(U,I)

Uˆ U 1,3712 ˆ Rw = Rw = = = = 0,603 Ω I 2,274 Iˆ Po uwzględnieniu niezerowej rezystancji amperomierza

Rˆ w = 0,603 − 0,020 = 0,583 Ω Ponieważ jest to przypadek pomiaru pośredniego, więc niepewność złożoną standardową (właściwie jej kwadrat) pomiaru rezystancji wyraża się wzorem (8)

∂f u c ( Rw ) = ∑  i =1 ∂ xi 2

2

2

2

2

 2  ∂R   ∂R   u ( xˆ i ) =  w  u 2 (Uˆ ) +  w  u 2 ( Iˆ) =  ∂U   ∂I   2

2

 −U  2 1 2 =   u cU +  2  u cI = I   I  = 0,4398 2 ⋅ 0,0045 2 + 0,2652 2 ⋅ 0,0224 2 = 0,0000392

u c ( Rw ) = 0,0063 Ω Do obliczenia niepewności rozszerzonej należy przyjąć wartość współczynnika rozszerzenia kp=2 dla p=0,95 stąd U = k p ⋅ u c ( Rw ) = 2 ⋅ 0,0063 = 0,0126 ≈ 0,013 Ω . Zapis wyniku pomiaru jest następujący R w = (0,583 ± 0,013) Ω (dla kp=2 i p=0,95).

Laboratorium Systemów pomiarowych

13

Ćwiczenie nr 1: Ocena niepewności pomiaru

8.

PODSUMOWANIE

Każdy inżynier dokonujący jakiegokolwiek pomiaru powinien mieć na uwadze ewentualne źródła niepewności (str.5) i jeśli jest to możliwe wyeliminować je lub przynajmniej zminimalizować. Przedstawione w skrócie informacje o wyznaczaniu niepewności pomiaru nie wyczerpują całości zagadnienia, które jest dosyć złożone szczególnie w pomiarach o największej dokładności. Trzeba wtedy uwzględnić wszystkie wielkości wpływające oraz wszystkie poprawki podane w świadectwach kalibracji przyrządów pomiarowych. Dokładne omówienie tych problemów znajduje się m.in. w publikacji [6]. W praktyce inżynierskiej, na szczęście, nie ma konieczności tak dokładnego i szczegółowego wyznaczania niepewności pomiaru. Tym niemniej, wszędzie tam gdzie jest to konieczne, należy taki sposób stosować. Przy ocenie wyników pojedynczych obserwacji trzeba zwracać uwagę, czy któryś z nich nie jest obarczony nadmiernym błędem (wtedy powtarzamy pomiar, o ile jest to możliwe).

9.

PRZEBIEG ĆWICZENIA

UWAGA: W celu właściwego wykorzystania czasu przeznaczonego na wykonanie ćwiczenia, w zespole powinny być przynajmniej dwa kalkulatory z funkcjami statystycznymi.

Zagadnienie 1. Dokonać jednoczesnego pomiaru prądu w przedstawionym na rys. obwodzie za pomocą: - amperomierza magnetoelektrycznego (np. LM-3: zakres 750 mA), - multimetru cyfrowego (funkcja pomiaru prądu DC) - pomiaru napięcia woltomierzem cyfrowym (DC) na oporniku wzorcowym Rw=1Ω.

Zasilacz

Ix

A1

(0÷1 V) Igr<1000mA

A2 Rw

Vc

Nie zmieniając wartości prądu wykonać pomiary kilkakrotnie, co ok. 60 s. Wyznaczyć niepewność wyniku pomiaru dla poziomu ufności p=0,99. Otrzymane wyniki pomiarów i obliczeń zestawić w formie tabeli i skomentować (obowiązkowo!). Zapisać w tabelach wyrażenia określające błędy graniczne stosowanych przyrządów pomiarowych.

Laboratorium Systemów pomiarowych

14

Ćwiczenie nr 1: Ocena niepewności pomiaru

a) amperomierz magnetoelektryczny LM-3: klasa dokładności k= 0,5 , zakres pomiarowy Z=750mA, ilość działek z= . Ii obliczony błąd graniczny przyrządu N mA

1. 2. . .

∆grI=…………..…..+…….…….…….=

Odch. st. średniej s( I ) =

s 2 ( Iˆ) = N

. Σ

u 2 A= u2B = kp= uC= Niepewność rozszerzona U= kp· uC = Zapis wyniku pomiaru

Ī=

b) amperomierz cyfrowy ………….: błąd graniczny ∆gr=………………………. (1) rozdzielczość: …….. , ilość cyfr , zakres pom. Z= …………………… ∆gr= Ii N mA

1. 2. .

odchylenie standard. średniej s( I ) =

s 2 ( Iˆ) = N

. . Σ

u 2 A= Ī= u2B = k p= uC= Niepewność rozszerzona U= kp· uC = Zapis wyniku pomiaru

Laboratorium Systemów pomiarowych

15

Ćwiczenie nr 1: Ocena niepewności pomiaru

c) woltomierz cyfrowy: błąd graniczny ∆grU=…………………………………… (1) rozdzielczość: , ilość cyfr: , zakres pom. Z= ……………… rezystor wzorcowy RW= 1Ω: kl. dokładn. k= 0,02, błąd graniczny ∆grR= Ui ∆grU= N mV

1. 2. . .

odchylenie standard. średniej s(U ) =

. . .

∆grR=

s 2 (Uˆ ) = N

Σ u2Au=

Ū= Wartość natężenia prądu Ī= Ū/Rw=

u2Bu= ucu= uBR=

Postacie i wartości współczynników wrażliwości ∂I

∂U

=

∂I

= ∂Rw Złożona niepewność standardowa dla natężenia prądu

kp = Niepewność rozszerzona U= kp· uC = Zapis wyniku pomiaru

Zagadnienie 2. Obliczyć objętość V kształtki walcowej mierząc kilkakrotnie jej wysokość h suwmiarką, a średnicę d mikrometrem. Wyniki zapisać w tabeli 1. Wyznaczyć niepewność standardową typu A pomiaru wysokości oraz pomiaru średnicy. Następnie obliczyć niepewność standardową złożoną przyjmując błąd graniczny suwmiarki jako 0,1 mm i mikrometru 0,01 mm. Obliczyć współczynniki wrażliwości funkcji pomiaru dla wartości estymat i na podstawie zależności (9) wyznaczyć niepewność pomiaru pośredniego (tzw. niepewność standardową złożoną). Zapisać wynik pomiaru przyjmując dla p=0,95 współczynnik rozszerzenia kp=2. Zestawić wyniki obliczeń w tabeli 2.

Laboratorium Systemów pomiarowych

16

Ćwiczenie nr 1: Ocena niepewności pomiaru

Tabela 1. d mm

Lp. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 N x = ∑ xˆi N i =1

V=πd2h/4 mm3

h mm

2 V =π ⋅d ⋅h

4

=

∆ grd =

∆ grh = d =

h =

Tabela 2.

u 2A ( x i )

x1

xi

u B2 ( x i )

=

2

∆2gri 3

u c2 ( x i )

2 ∂ f   ∂ x  ⋅ u c ( xi ) i 

mm

d h 2

2

 ∂V  =  ∂d   

 ∂V  =  ∂h    2

2

 ∂V   ∂V  2 2 u (V ) =   ⋅ uc (d ) +   ⋅ uc (h ) =  ∂d   ∂h  2 c

Vˆ = V =

+

=

u (Vˆ ) = k p ⋅ u c (V ) =

Zapis wyniku pomiaru:

10. OPRACOWANIE WYNIKÓW W sprawozdaniu należy zamieścić udokumentowane rozwiązania przedstawionych zagadnień. We wnioskach powinny być wymienione w miarę możliwości wszystkie źródła ewentualnych niepewności wraz z dyskusją nt. sposobu ich uwzględnienia lub przyczyn ich pominięcia. Do wykonania niezbędnych obliczeń można wykorzystać arkusz kalkulacyjny MS EXCEL.

Laboratorium Systemów pomiarowych

17

Ćwiczenie nr 1: Ocena niepewności pomiaru

11. PYTANIA I PROBLEMY

a) Co wiesz nt. błędu pomiaru? b) Jak definiowana jest niepewność pomiaru? Podaj znane określenia. c) Wymień potencjalne źródła niepewności pomiaru i spróbuj określić metodę ich obliczania (typu A lub typu B). d) Zdefiniuj odchylenia standardowe: serii pomiarów i średniej z pomiarów. e) Wymień sposoby zmniejszania niepewności pomiaru. f) Jak wygląda prawidłowy zapis wyniku pomiaru? Podaj przykłady. Literatura: [1] Jaworski

J.M.: Błąd i niepewność pomiarów pośrednich. Pomiary, Automatyka, Robotyka, nr 10, 1999r.; [2] Jaworski J.M.: Niedokładność, błąd i niepewność pomiaru. Pomiary, Automatyka, Robotyka, nr 7-8, 1999r.; [3] Kalus-Jęcek B., Kuśmierek Z.: Wzorce wielkości elektrycznych i ocena niepewności pomiaru. Politechnika Łódzka, Łódź 2000, ISBN 83-7283-0134; [4] Taylor J.R.: Wstęp do analizy błędu pomiarowego. PWN, Warszawa 1995r., ISBN 83-01-11820-2; [5] Turzeniecka D.: Analiza dokładności wybranych przybliżonych metod oceny niepewności. Wyd. Polit. Poznańskiej, Poznań 1999, ISBN 83-7143-171-6; [6] Wyrażanie niepewności pomiaru. Przewodnik. Główny Urząd Miar, 1999, ISBN 83-906546-1-x.

Laboratorium Systemów pomiarowych

18

Ćwiczenie nr 1: Ocena niepewności pomiaru

Wymagania BHP Warunkiem przystąpienia do praktycznej realizacji ćwiczenia jest zapoznanie się z instrukcją BHP i instrukcją przeciwpożarową oraz przestrzeganie zasad w nich zawartych. Wybrane urządzenia dostępne na stanowisku laboratoryjnym mogą posiadać instrukcje stanowiskowe. Przed rozpoczęciem pracy należy zapoznać się z instrukcjami stanowiskowymi wskazanymi przez prowadzącego. W trakcie zajęć laboratoryjnych należy przestrzegać następujących zasad: • Sprawdzić, czy urządzenia dostępne na stanowisku laboratoryjnym są w stanie kompletnym, nie wskazującym na fizyczne uszkodzenie. • Sprawdzić prawidłowość połączeń urządzeń. • Załączenie napięcia do układu pomiarowego może się odbywać po wyrażeniu zgody przez prowadzącego. • Przyrządy pomiarowe należy ustawić w sposób zapewniający stałą obserwację, bez konieczności nachylania się nad innymi elementami układu znajdującymi się pod napięciem. • Zabronione jest dokonywanie jakichkolwiek przełączeń oraz wymiana elementów składowych stanowiska pod napięciem. • Zmiana konfiguracji stanowiska i połączeń w badanym układzie może się odbywać wyłącznie w porozumieniu z prowadzącym zajęcia. • W przypadku zaniku napięcia zasilającego należy niezwłocznie wyłączyć wszystkie urządzenia. • Stwierdzone wszelkie braki w wyposażeniu stanowiska oraz nieprawidłowości w funkcjonowaniu sprzętu należy przekazywać prowadzącemu zajęcia. • Zabrania się samodzielnego włączania, manipulowania i korzystania z urządzeń nie należących do danego ćwiczenia. • W przypadku wystąpienia porażenia prądem elektrycznym należy niezwłocznie wyłączyć zasilanie stanowisk laboratoryjnych za pomocą wyłącznika bezpieczeństwa, dostępnego na każdej tablicy rozdzielczej w laboratorium. Przed odłączeniem napięcia nie dotykać porażonego.

Laboratorium Systemów pomiarowych

19

Ćwiczenie nr 1: Ocena niepewności pomiaru