3.4 - Fizyka relatywistyczna 47-57

ELEMENTY FIZYKI RELATYWISTYCZNEJ Czas i przestrzeń. ZłoŜone pojęcia fizyczne moŜna sprowadzić do pojęć prostszych.

E

F

l a

m

l

V

t

l

l

I

t

ΦΒ

Pojęcie długości umoŜliwia wprowadzenie takich pojęć przestrzennych jak powierzchnia, kąt płaski, objętość i kąt bryłowy.

S

Pojęcia masy i ładunku są niezbędne do określenia rodzaju ciała, a czas i przestrzeń są niezbędne do określenia stanu fizycznego w jakim to ciało się znajduje.

F

m

W podobny sposób moŜna określić strukturę pojęcia strumienia indukcji magnetycznej. Pojęcie to sprowadzamy do pojęć prostszych, takich jak: indukcja, powierzchnia i kąt. Te z kolei sprowadzamy do pojęć: natęŜenie prądu, długość, siła itd. Ostatecznie, kaŜdą złoŜoną wielkość fizyczną moŜna sprowadzić do takich wielkości elementarnych jak masa (m), ładunek elektryczny (q), czas (t) i długość (l).

t

B

q

α

Pojęcie energii moŜna sprowadzić do pojęcia siły, przemieszczenia i kąta. Siłę moŜna sprowadzić do pojęcia masy i przyspieszenia. Pojęcie kąta moŜna określić przy pomocy pojęcia długości. Przyspieszenie moŜna określić przy pomocy prędkości i czasu. Prędkość moŜna sprowadzić do pojęcia przemieszczenia i czasu.

l

α l

Pojęcia elementarne powstały na bazie doświadczenia. Pojęcia czasu i przestrzeni są charakterystyczne dla kaŜdej istoty ludzkiej i powstają samorzutnie jako efekt przypadkowych doświadczeń. KaŜde doświadczenie, zamierzone lub przypadkowe, zachodzi w określonych warunkach i moŜe prowadzić do błędnych wyników.

a

Jakie są własności czasu i przestrzeni?

t

V

l

t

Pierwszym, który określił własności czasu i przestrzeni był Izaak Newton (1643 - 1727). Wprowadził on pojęcie czasu absolutnego i przestrzeni absolutnej. Według Newtona, czas płynie zawsze i wszędzie jednakowo. śadne zjawisko nie ma wpływu na bieg czasu. Przestrzeń ma zawsze i wszędzie te same własności i stanowi swoistą scenę, na której zachodzą

róŜne zjawiska fizyczne. W oparciu o tak rozumiane pojęcia czasu i przestrzeni powstała fizyka zwana klasyczną. Pod koniec XIX w. znane były jednakŜe juŜ zjawiska, których wyjaśnienie stało się moŜliwe dopiero po zmianie poglądów na czas i przestrzeń. Taka zmiana poglądów nastąpiła na początku XXw., po ogłoszeniu przez Alberta Einsteina (1879 1955) tzw. szczególnej teorii względności. Miało to miejsce w roku 1905. Zmiana poglądów na

47

czas i przestrzeń wywołała przewrót w fizyce. Powstała wtedy tzw. fizyka relatywistyczna. W świetle zasad fizyki relatywistycznej, prawa i zasady fizyki klasycznej mają charakter przybliŜony. Transformacje Galileusza

Klasyczne poglądy na czas i przestrzeń moŜna wyrazić w postaci pewnego układu równań, zwanego transformacjami Galileusza. WyraŜają one związek między oceną czasu i połoŜenia dokonaną przez dwóch obserwatorów, z których jeden porusza się ruchem prostoliniowym jednostajnym względem drugiego obserwatora. y

y’

y y’

• P(x,y,z) (x’,y’,x’) V

O

’ o o

O’ x

z

•

r V

x’

x’

z’

Układ odniesienia x’,y’,z’, w którym znajduje się obserwator O’ porusza się z prędkością V względem układu x,y,z, w którym znajduje się obserwator O. W chwili t = 0 początki układów współrzędnych pokrywały się. KaŜdy z obserwatorów ma określić w swoim układzie współrzędnych miejsce i czas pewnego zjawiska fizycznego (np. wybuch petardy). Pomiędzy współrzędnymi połoŜenia i czasu podanymi przez poszczególnych obserwatorów istnieją następujące związki

x' = x − Vt  y' = y  z' = z  t' = t 

x = x'+ Vt  y = y'  z = z'  t = t' 

Korzystając z takiego układu równań, moŜna przewidzieć ocenę miejsca i czasu jaką poda jeden z obserwatorów, jeśli znana jest ocena drugiego obserwatora. Gdyby prędkość układu obserwatora O’ była skierowana dowolnie, a nie w kierunku osi ox, to transformacje przyjęłyby postać:

 x ' = x − Vx t  y' y − V t  = y   z' = z − V z t  t' = t

 x = x '+ V x t  y = y '+ V t  y   z = z' + V z t  t = t'

Transformacje Galileusza są oczywiste, co oznacza, Ŝe są zgodne z powszechnie przyjętymi własnościami czasu i przestrzeni określonymi przez Newtona.

48

x

Transformacje Lorentza W roku 1905 Albert Einstein zrewidował klasyczne pojęcia przestrzeni i czasu stwierdzając, Ŝe ruch bezwzględny nie istnieje. Postulaty Einsteina mają następującą postać; 1. Nie ma wyróŜnionego układu współrzędnych. Prawa i zasady fizyki muszą mieć tę samą postać matematyczną, gdy je wyraŜamy za pomocą współrzędnych dowolnego układu inercjalnego. 2. Prędkość światła nie zaleŜy od doboru układu odniesienia. Drugi postulat Einsteina stoi w sprzeczności z transformacjami Galileusza, co oznacza, Ŝe transformacje te są nieścisłe. Z drugiej strony jednak, dla układów poruszających się z niewielkimi prędkościami, wnioski płynące z transformacji Galileusza są zgodne z doświadczeniem. Poszukiwania nowych transformacji, spełniających postulaty Einsteina, muszą się ograniczać do zaleŜności liniowych. Wynika to z pierwszego postulatu Einsteina. Poszukiwane transformacje muszą równieŜ przechodzić w transformacje Galileusza, przy prędkościach układów odniesienia znaczne mniejszych od prędkości światła. Przyjmijmy, Ŝe poszukiwane transformacje y y’ mają postać:

x' = kx + Lt

P V

t' = Mx + Nt O

x’

O’

gdzie k, L, M i N są to pewne stałe. Niech punkt P przemieszcza się w kierunku osi OX z z’ z prędkością, której wartość w układzie X,Y,Z wynosi u, a w układzie X’,Y’,Z’ wynosi u’. Zastępując zmienne przez ich nieskończenie małe przyrosty otrzymujemy:

x

dx' = kdx + Ldt dt' = Mdx + Ndt Dzieląc powyŜsze równania przez siebie stronami, otrzymujemy:

dx' kdx + Ldt = dt' Mdx + Ndt Licznik i mianownik wyraŜenia po prawej stronie dzielimy przez dt i otrzymujemy:

dx +L dx' ku + L dt ⇒ u' = = dx dt' Mu + N M +N dt k

Jeśli punkt P spoczywa w układzie odniesienia O’, to względem O porusza się z prędkością V. Wynika stąd równanie:

0=

kV + L ⇒ kV = − L MV + N

49

Jeśli punkt P spoczywa w układzie O, to względem O’ porusza się z prędkością - V.

L ⇒ NV = − L N

−V =

Jeśli punkt P porusza się z prędkością światła, to w obu układach odniesienia ma on prędkość c (wynika to z drugiego postulatu Einsteina).

c= Otrzymujemy stąd: PoniewaŜ jednak:

Otrzymujemy zatem:

kc + L Mc + N

Mc 2 + Nc = kc + L kV = − L

NV = − L

i

Mc 2 + kc = kc − kV

⇒

, stąd:

M=−

N=k

k V c2

W ten sposób współczynniki L, M i N zostały wyraŜone przez współczynnik k:

L = − kV

M=−

k V c2

N=k

Poszukiwane transformacje przyjmują zatem postać:

x' = kx − kVt  t' = − k Vx + kt  c2 x' = k( x − Vt)   t' = k  t − Vx      c2  Układy O i O’ są równowaŜne, zatem przyjmując, za nieruchomy układ O’, a układ O - za poruszający się z prędkością - V , otrzymujemy:

x = k (x'+ Vt')   t = k  t'+ Vx'      c2  Wstawiając za x’ i t’ otrzymane wcześniej wyraŜenia otrzymujemy:

 xV    x = k  k (x − Vt) + Vk  t − 2    c  

50

x = k 2 x − k 2 Vt + k 2 Vt − k 2 V 2  V2  k 1 − 2  = 1  c  2

⇒

x c2

k=

1 V2 1− 2 c

Poszukiwane transformacje mają zatem postać:

x' = k (x − Vt )  y' = y  z' = z   t' = k  t − xV      c2 

lub:

x = k (x'+ Vt')  y = y'  z = z'   t = k  t'+ x' V      c2 

PowyŜszy układ równań jest nazywany transformacjami Lorentza.

Długość w układach inercjalnych

RozwaŜamy pręt, nieruchomy w układzie O’. W stosunku do O pręt porusza się z prędkością V. Długość pręta w ocenie obserwatora O’, względem którego pręt jest w spoczynku wynosi l0. Obserwator O, w stosunku do którego pręt się porusza, ocenia jego długość na l. KaŜdą z tych długości moŜna wyrazić jako róŜnicę y y’ współrzędnych końców pręta:

l 0 = x '2 − x 1' = k (x 2 − Vt) − k (x 1 − Vt)

V l0 O z

O’

l

x1’ x1

x2’ • x2

•

z’

l 0 = k (x 2 − x 1 ) = kl x’ x

l=

1 l0 k

Z powyŜszych rozwaŜań wynika, Ŝe długość przedmiotu poruszającego się względem obserwatora jest mniejsza od długości tego samego przedmiotu nieruchomego. y

Przypuśćmy teraz, Ŝe pręt jest nieruchomy w układzie O, a w stosunku do O’ porusza się z prędkością o wartości V. Długość tego pręta w ocenie obserwatora O jest l0, a obserwator O’ ocenia jego długość na l. Określając długość za pomocą współrzędnych końców otrzymujemy:

y’

V l

O z

•

x1’ • x1

l0

•

x2’ O’ • x2 z’

l0 = x 2 − x1

x’ x

51

(

) (

)

l 0 = k x '2 + Vt' − k x 1' + Vt'

(

)

l 0 = k x '2 − x '1 = kl

⇒

l=

1 l0 k

Wynika stąd, Ŝe równieŜ i w tym przypadku pręt poruszający się względem obserwatora będzie oceniony jako krótszy. Nie ma w tym sprzeczności, poniewaŜ zgodnie z pierwszym postulatem Einsteina, układy inercjalne są sobie równowaŜne. Łatwo sprawdzić, Ŝe skrócenie pręta poruszającego się w stosunku do pręta nieruchomego wynosi:

∆l l 0 − l V2 = = 1− 1− 2 l0 l0 c Przy prędkości równej 30 km/s (prędkość Ziemi na orbicie) skrócenie wynosi 0,0000005%, a przy prędkości 150 000 km/s (połowa prędkości światła) - otrzymujemy 13,4%. Przy prędkości 290 000 km/s skrócenie to wynosi juŜ 74,4%. Czas w układach inercjalnych RozwaŜamy dwa układy odniesienia poruszające się względem siebie z prędkością V skierowaną zgodnie z osią ox. W układzie O’ zachodzi pewne zjawisko czasowe, którego czas trwania w ocenie obserwatora O’ wynosi ∆t0. Czas trwania tego samego zjawiska w ocenie obserwatora O wynosi ∆t. Takim zjawiskiem moŜe być np. ruch wskazówek zegara. Oceniany przedział czasu moŜna określić jako róŜnicę dwóch momentów: y

x' V   t = k  t'+ 2   c 

∆t = t 2 − t1

y’ ∆t0 ∆t V

O z

O’

x’ • x

z’

x' V  x' V    ∆t = k  t '2 + 2  − k  t '1 + 2    c  c 

x’ x

(

∆t = k t '2 − t '1

•

)

∆t = k∆t 0 Wynika stąd, Ŝe czas trwania tego samego zjawiska oceniany przez obserwatora względem którego ciało, którego to zjawisko dotyczy jest w ruchu, y y’ pozostaje dłuŜszy od czasu trwania tego zjawiska w układzie odniesienia, względem którego ciało ∆t0 ∆t pozostaje w spoczynku. Czas w układzie V odniesienia poruszającym się względem obserwatora płynie zatem wolniej. O z

x’ • x •

O’ z’

x’ x

Przypuśćmy teraz, Ŝe zegar jest nieruchomy w O. W ocenie obserwatora O, czas przesuwania się wskazówek na tarczy zegara wynosi ∆t0, a w ocenie obserwatora O’ jest on równy ∆t.

52

xV   t' = k  t − 2   c 

∆t = t '2 − t 1'

xV  xV    ∆t = k  t 2 − 2  − k  t 1 − 2  = k ( t 2 − t 1 )   c  c  ∆t = k∆t 0 Wynik zatem jest taki sam. RóŜnica w ocenie czasu, przy prędkościach duŜo mniejszych od prędkości światła jest zupełnie nieistotna, ale staje się znaczna przy duŜych prędkościach. Dla prędkości układu stanowiącej 99,99% prędkości światła, czas ∆t jest 70,7 razy dłuŜszy od czasu ∆t0. Czas podróŜy do gwiazdy odległej o ok. 70 lat świetlnych w rakiecie poruszającej się z prędkością 0,9999 c, dla obserwatora na Ziemi jest równy ok. 70 lat. Dla pasaŜera tej rakiety, czas trwania tej podróŜy byłby równy niespełna rok. Relatywistyczne skrócenie czasu znajduje doświadczalne potwierdzenie w badaniach czasu Ŝycia nietrwałych cząstek. Jeśli badane cząstki poruszają się ze znacznymi prędkościami w stosunku do obserwatora, to czas ich Ŝycia jest wielokrotnie dłuŜszy od czasu Ŝycia tych samych cząstek pozostających w spoczynku względem obserwatora. Prędkość w układach inercjalnych RozwaŜamy dwa układy odniesienia poruszające się względem siebie z prędkością V skierowaną wzdłuŜ osi ox. Punkt materialny porusza się równieŜ w kierunku osi ox.

y

V

z

Jego prędkość w ocenie obserwatora O’ wynosi V1, a w ocenie obserwatora O jest równa V2. PołoŜenie punktu i czas, w którym je określono, określają współrzędne związane ze sobą transformacjami Lorentza:

y’

O z’

V1 V2

O’

x = k (x'+ Vt')

x’

x' V   t = k  t'+ 2   c 

x

RóŜniczkując te równania otrzymujemy:

dx = k( dx'+ Vdt') dx' V   dt = k  dt'+ 2   c  Dzieląc powyŜsze równania przez siebie stronami otrzymujemy:

dx' +V dx dx'+ Vdt' dt' = = ⇒ dx' V dx' V dt dt'+ 2 1+ c dt'c 2

53

V2 =

V1 + V VV 1 + 12 c

Masa w układach inercjalnych RozwaŜamy dwa ciała, które w ocenie obserwatora O’ mają jednakowe masy i poruszają się w kierunku osi ox z jednakowymi prędkościami u, y y’ skierowanymi przeciwnie. Jeśli nastąpi zderzenie idealnie niespręŜyste, to ciała te nieruchomieją w układzie O’. Obserwator O ocenia prędkości tych V ciał w swoim układzie jako niejednakowe: m1 m2

u1 O

u2

O’

u1 =

x’ x

z

z’

u+V uV 1+ 2 c

u2 =

−u + V uV 1− 2 c

Prędkość tych ciał po zderzeniu staje się równa prędkości układu O’ i wynosi V. Masy tych ciał w ocenie obserwatora O są równe odpowiednio m1 i m2. PoniewaŜ zgodnie z pierwszym postulatem Einsteina prawa i zasady fizyki mają taką samą postać matematyczną w kaŜdym układzie inercjalnym, to z zasady zachowania pędu otrzymujemy:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = (m 1 + m 2 ) V m1

u+V −u + V = m2 = (m 1 + m 2 )V uV uV 1+ 2 1− 2 c c uV = a otrzymujemy: c2

Stosując podstawienie:

−u + V  u+V   m1  − V = m 2  V −   1+ a   1− a  m 1 ( u + V − V − Va ) 1+ a

=

m 2 ( V − Va + u − V )

⇒

m1 1 + a = m2 1 − a

1− a

u 2 + 2uV + V 2 c 2 + 2ac 2 + a 2 c 2 − u 2 − 2uV − V 2 = 1 + 2a + a 2 (1 + a ) 2 u 2 − 2uV + V 2 c 2 − 2ac 2 + a 2 c 2 − u 2 + 2uV − V 2 c 2 − u 22 = c 2 − = 1 − 2a + a 2 (1 − a ) 2

c 2 − u 12 = c 2 −

PoniewaŜ jednak zachodzi związek: 2ac = 2uV , to otrzymujemy:

c −u = 2

2 1

c 2 − u 22 =

c 2 + a 2c 2 − u 2 − V 2

(1 + a ) 2

c +a c −u −V 2

2

2

2

c 2 − u 22 (1 + a ) = c 2 − u 12 (1 − a ) 2 2

⇒ 2

(1 − a ) 2

54

PoniewaŜ jednak zachodzi związek:

m1 1 + a m1 , to otrzymujemy: = = m2 m2 1 − a

c 2 + u 22 . c 2 − u 12

Oznacza to, Ŝe ciała o jednakowych masach w jednym układzie odniesienia mają róŜne masy w drugim układzie odniesienia. Jeśli prędkości ciał w ocenie obserwatora O’ są równe V (u = V), to dla obserwatora O drugie ciało pozostaje w spoczynku. Masę tego ciała oznaczamy m0. Masę ciała pierwszego oznaczamy m (m1 = m). Po zmianie oznaczeń

m otrzymujemy: = m0

c2 = c2 − V 2

1 1−

2

V c2

=k

⇒

m = km 0

Masa ciała poruszającego się względem obserwatora jest zatem większa od masy tego samego ciała pozostającego w spoczynku. Relatywistyczny przyrost masy stanowi istotny problem podczas przyspieszania cząstek w akceleratorach cyklicznych. Związek między masą i energią Elementarny przyrost Energii kinetycznej ciała jest równa pracy wykonanej podczas rozpędzania tego ciała i wynosi:

dE = F ⋅ dx

Z drugiej zasady dynamiki otrzymujemy:

F ⋅ dt = dp , a zatem: dp p ⋅ dp dE = dx = dp ⋅ v = dt m

(1)

Korzystając ze związku między masą i prędkością otrzymujemy:

m0

m=

v2 1− 2 c 2 2 2 2 m c − m0c = p 2 lub: f(m,p) = m 0 c = m c − p . 2

2

2

2

2

Lewa strona powyŜszego równania ma wartość stała, a prawa jest funkcją masy i pędu. Pochodne cząstkowe funkcji f(m,p) mają postać:

∂f = −2p ∂p df ( p ) = −2p ⋅ dp

∂f = 2mc 2 ∂m df ( m) = 2mc 2 ⋅ dm

RóŜniczka zupełna funkcji f(m,p) jest równa zeru, a zatem:

55

df ( m, p ) = 2mc 2 ⋅ dm − 2p ⋅ dp = 0 pdp = mc 2 dm pdp = c 2 dm m Podstawiając powyŜszą zaleŜność do równania (1) otrzymujemy:

dE = c 2 ⋅ dm Dowolnie duŜa zmiana energii ciała wynosi zatem:

∆E = mc 2 − m 0 c 2 lub:

∆E = ∆m ⋅ c 2

Wzrost energii kinetycznej cząstki jest związany ze wzrostem jej prędkości. Wzrost prędkości powoduje przyrost masy cząstki, a zatem zmiana energii jest związana ze zmianą masy ciała. Energia kinetyczna jest równa:

E k = ∆mc 2 E k = (m − m 0 )c 2 = (km 0 − m 0 )c 2 E k = m 0 c 2 (k − 1) Energia kinetyczna nie jest wyjątkiem. KaŜda zmiana energii ciała jest związana ze zmianą masy, przy czym zachodzi związek:

∆E = ∆mc 2 E 0 = m 0 c 2 - energia spoczynkowa ciała E = mc 2

- energia całkowita ciała.

Klasyczny wzór określający energię kinetyczną ciała ma charakter przybliŜony. PrzybliŜoną zgodność obu zaleŜności moŜna wykazać korzystając z rozwinięcia dwumianu w szereg Maclaurina:

(1 + x ) m 1 V2 1− 2 c

= 1+

m( m − 1) 2 m( m − 1)(m − 2) 3 m x+ x + x +. . . 1! 2! 3!

 V  = 1 − 2   c  2

−

1 2

1  3 1 − −  2 2  V  2  2  V 2  2 = 1+ − +  − 2  +. . . 1!  c 2  2!  c  −

56

1 V2 1− 2 c

V2 3 V4 = 1+ 2 + + ... 8 c4 2c

    1 2 Ek = m 0 c − 1 2   V  1− 2    c 2    V2 3 V4 3 V4 2 V Ek = m 0c  1 + 2 + + .. .−1 = m 0 c  2 + + . . . 4 4 8 c 8 c  2c   2c  2

m0V2 3 m0V4 Ek = +. . . + 2 8 c2 Dla prędkości V duŜo mniejszej od prędkości światła juŜ drugi składnik szeregu jest bliski zeru, a ponad to, zgodnie z zasadami fizyki klasycznej nie ma róŜnicy między masą ciała w spoczynku (m0) i masą ciała w ruchu (m). Energię kinetyczną wyraŜamy zatem wzorem:

mV 2 Ek = 2 Dla prędkości jakie mają ciała na Ziemi, rozbieŜności w ocenie energii ze wzoru klasycznego i relatywistycznego są bez znaczenia. Dla przykładu moŜna wyliczyć, Ŝe energia kinetyczna pociągu o masie 1000 ton jadącego z prędkością 100 km/h obliczona ze wzoru klasycznego, róŜni się od rzeczywistej o około 2,5.10-6J.

57