7. FalkiCyfrowo

Przykład analizy czasowo-częstotliwościowej

Amplituda

c ze rwie ñs zy_01_35_m.wav 1.0 0.0 -1 . 0 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000 2.0

D1

1.8 D2

1.6

 D WT 

1.4 D3

1.2 1.0

D4 0.8 0.6

D5

0.4 0.2

D6 0

100

200

300

400

500

600

Cz as [m s ]

700

800

900

1000

0.0

1

2

Haar

Funkcja Haara  1 dla 0  t < 0,5   H (t )  1 dla 0,5 < t  1  0 dla pozostalych 

3

Falka Meyera

4

Funkcja skalująca Meyera

5

Dekompozycja sygnałów S m 1  S m  W m

sm1  Sm1

sm  Sm

wm Wm

s m 1 ( t )  s m ( t )  wm ( t )

sm1 (t )   cm1,n m1,n (t ) n

gdzie  m1,n  nZ generuje zbiór Sm+1

s m ( t )   cm,n  m, n ( t ) n

wm ( t )   d m,n m,n ( t ) n

Gdzie cm,n i dm,n są odpowiednio dobranymi współczynnikami,  m,n nZ generuje zbiór Sm natomiast  m,n nZ generuje zbiór Wm

6

Kwadraturowe filtry zwierciadlane

cm,n   hk  2 n cm1,k dla każdego m, n  Z k

d m,n   g k  2 n cm1,k dla każdego m, n  Z k

k nowe  2n  k stare

H ( f )  G( f )  1 2

2

7

Porównanie filtrów zwierciadlanych

Dla falek: Meyera, Daubechies rzędu 2, Daubechies rzędu 12 a)

b)

-1 0 -2 0 -3 0

-5 0 0 .0

-2 0 -3 0 -4 0

H G 0 .2 5

-1 0

-5 0 0 .0

0 .5 0

Cz ę s to tliw o ś ć [f/fs ]

Fa z a [ra d ia n /  ]

Fa z a [ra d ia n /  ]

-5 -1 0 -1 5 -2 0

-1 .0 -1 .5 -2 .0 -2 .5 -3 .0 0 .0

0 .5 0

0 .2 5

0 .5 0

H G

5

-0 .5

-3 0 0 .0

H G Cz ę s to tliw o ś ć [f/fs ]

0 .0

-2 5 0 .2 5

-3 0

-5 0 0 .0

0 .5 0

H G

0 .5

0

Cz ę s to tliw o ś ć [f/fs ]

-2 0

Cz ę s to tliw o ś ć [f/fs ]

H G

5

0 .2 5

-1 0

-4 0

H G

Fa z a [ra d ia n /  ]

-4 0

0

Am p litu d a [d B ]

0

Am p litu d a [d B ]

Am p litu d a [d B ]

0

c)

0 -5 -1 0 -1 5 -2 0 -2 5

0 .2 5

Cz ę s to tliw o ś ć [f/fs ]

0 .5 0

-3 0 0 .0

0 .2 5

0 .5 0

Cz ę s to tliw o ś ć [f/fs ]

8

Schemat dekompozycji sygnału d M g 1

cMg

dM g 2

cM g  2

c M g 1

c

dM d



m 1, n nZ

c M d 1

cM d

 d m,n nZ  cm,n nZ

dla M d  m  M g otrzymujemy oraz jeden sygnał podstawowy

d  

M g 1

m,n nZ m M d

c 

M d ,n nZ 9

Schemat 3-poziomowej dekompozycji falkowej

10

Rekonstrukcja zdekomponowanego sygnału

~ cm1,n   hn2 k cm,k   g~n2 k d m,k k

dM d

cM d

k

d M g 1

d M d 1

cM d 1

c M d 2

cM g 1

cM g

11

Spektakularna prezentacja analizy i syntezy sygnału

H

2

cm

2

~ H

c m1

 G

2

dm

2

cm1

~ G

12

Schemat rekonstrukcji falkowej (3 poziomy)

13

Charakterystyki filtrów generujących funkcje skalujące i falki |H_d2(w)|

|H_d12(w)|

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3

-2

|G_d2(w)| 1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0 -2

-1

0

1

0

1

2

3

2

3

|G_d12(w)|

1

-3

-1

2

3

-3

-2

-1

0

1

14

Dyskretna transformacja falkowa

DWT od. ang. Discrete Wavelet Transform

cm1,n  s(n)

sm1 (t )   cm1,n m1,n (t ) n

cm,n   hk  2 n cm1,k k

d m,n   g k  2 n cm1,k k



DWT  d m ,n n , d m 1,n n ,..., d m  M ,n n , cm  M ,n n

 15

Przykład DWT i CWT

Ka n a ł p ra w y S yg n a ł a m p litu d a

1

0

-1 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

0.2

0.4

0.6

0.8 1.0 Cz a s [s ]

1.2

1.4

1.6

1.8

DW T p o z io m

5 4 3 2 1 0.0 32 CW T s ka la a

24 16 8 1 0.0

16

Dekompozycja obrazu wykorzystująca filtrację jednowymiarową sLL ( x , y )

sL ( x , y ) ~ H ( x) ~ H ( y)

x2

y2

sLH ( x , y )

s ( x, y)

~ G ( x)

x2 sHL ( x , y )

sH ( x , y ) ~ H ( x) ~ G ( y)

x2

y2

sHH ( x , y ) ~ G ( x)

x2 17

Rekonstrukcja obrazu

sLL ( x, y)

x 2

sL ( x , y) H ( x)

+

y 2

sLH ( x , y)

x 2

H( y)

s ( x, y)

G( x )

+

sHL( x, y)

x 2

sH ( x, y)

H( x)

G( y)

+

y 2

sHH ( x, y)

x 2

G( x)

18