vzniesienia wzgl~em srodka tarczy Ksif~iyca), to ten pomiar nalezy zast~pic pomiarem µ 0 =p-cxi1-"ß = p-ß, okreslaj~cych polozenie obiektu wzgl~dem kraw~dzi tarczy (patrz rys. 13.4). W ykonanie zdj~cia Ksi~iyca. Gl6wnym czynnikiem decyduj(};cym o dokladnosci pomiaru b~dzie ostrosc i wielkosc obrazu Ksi~iyca. Ostrose zdj~cia zaleiy od jakosci optyki, dokladnosci ustawienia ostrosci i czasu naswietlania. Obserwator ma wplyw na dwa ostatnie czynniki. Ze wzgl~du na drgania lunety spowodowane powiewami wiatru, turbulencjl'); atmosferycznq, lub wibracjami rnechanizmu prowadzenia czas naswietlania nie powinien przekraczac 1/ 30 sekundy. Wym6g kr6tkiego czasu ekspozycji i ch~c otrzyma.nia jak najwi~kszego obrazu Ks i~iyca s~ ze sob(! sprzeczne, gdyi zwi~kszanie rozmiar6w obrazu wymusza zwi~kszetüe czasu na8wietlania. Sprzecznosc t~ mozna zlagodzic lub jej uniknq,c, jesli uiyje si<2 negatywu o wysokiej czulosci oraz uJdadu optycznego o duiej swiatlosile. Pami~tac jednak nalezy, ze ze wzrostem czulosci negatywu rosnie jego ziarnistosc i dlatego czulosc negatywu nie powinna przekraczac 800 ISO. Negatywowy obraz Ksi~zyca powinien byc nie mniejszy nii 1 cm. Je§li ogniskowa lunety jest wi~ksza niz 1 m, zdj~cie najlepiej wykonywac w ognisku gl6wnym obiektywu. Z takiego zdj~cia mozna wyznaczyc wysokosci bardzo wielu krater6w i wzniesien. Poniewai. jednl! z mierzouych wielkosci jest promien tarczy Ksi~yca, a wielkosc t~ moina wyznaczyc najdokladniej mierz~c srednicf;) tarczy, wi~c zdjQcie, na kt6ryrn wykonywane b~d
Luneta lub teleskop o ogniskowej eo najmniej 1 metr. Ze wzgl~du na kr6tkotrwal~ nie jest konieczny ani paralaktyczny montaz, ani elektryczne prowadzenie lunety.
ekspozycj ~
14. Wyznaczanie odlegtosci do obiekt6w obracajqcych si~ wraz z obserwatorem Wprowadzenie Przedstawiona nizej metoda wyznaczania odleglosci moze byc stosowana tylko w ta!cich sytuacjach, kiedy obiekt i obserwator poruszaj'!- sif,l ze stal~ prf,ldkosci~ w tej samej plaszczyinie, a ich orbity sq, wsp6lsroclkowymi okr~gami. Sprawdzanie, czy wyrnienione warunki S(1 spelnione, wymagaloby closyc prostych, lecz dlugotrwalych obserwacji. Dlatcgo w tym zakresie konieczne hf,ldzie odwolanic sif,l do wynik6w obserwacji wykonanych przez innych. Na ich podstawie wskazac mozna wiele sytuacji, w kt6rych ruch ziemskiego obserwatora zachodzi n iemal w tej sarnej plaszczyinie, eo ruch obiektu. Przykladem moze byc ruch orbitalny Ziemi i .Jowisza, Ziemi i Saturna lub ruch orbital.ny Ziemi i wielu planetoid. :\"ieco gor7.ej warunek ten spelnia ruch orbitalny Ziemi i lVIarsa. Stosowanie tej met.ody do przypadku orbitalnego ruchu Ksi~zyca i ruchu obserwatora wzgl~dem srodka Ziemi jest nieco problematyczne, gdyz orbita Ksi~zyca jest nachylona do plaszczyzny, po kt6rej porusza sif,l obserwator (plaszczyzny r6wnoleznika), pod k(1t€m ok. 20° , a ponadto ma ona znaczn~ eliptycznosc7 , nie jest wif,lC spelniony ani warunek wsp6lplaszczyznowosci tor6w, ani ich kolowosci. Jednak nawet w6wczas, po cz~sciowym uwzglf,ldnieniu efekt6w powodowanych nachyleniem orbity i niejed.nostajnosci~ ruchu, przyblizone wyzna.czenie odleglosci do Ksi~zyca jest mozliwe. Rysunek 14.1 jest szkicem sytuacji, w kt6rej s~ spelnione ornawiane wyzej warunki - obserwator 0 i obiekt P poruszaj~ si~ w t ej sarnej plaszczyinie, po okr~gach o srodku w punkcie C , ze znanymi, stalymi pr~dkosciami k'!!towymi w 0 , w p, okre8lonymi wzgl!2dem uk!a.du odniesienia zwiq.zanego z gwiazdami ( nalezy podkreslic, ze sq. ro pr~dkosci, kt6re mozna by wyzna.czyc podczas obserwacji prowadzonych z punktu C, tymczasem realny obserwator obiega ten punkt po orbicie kolowej). W prowadzrny ;.eszcze nast".:pujq.ce oznaczenia: promien orbity obserwatora r 0 = ICOJ, promien orbity obiektu rp = ICPI, odleglosc od obserwatora do obiektu rop = IOPI. Dalsze rozwaia.nia b~d~ zrnierzaly do wyprowadzenia zaleznosci umozliwiajq.cych wyznatzenie promienia orbity r p i aktualnej odleglosci rop obiektu od obserwatora. 7 Obserwacje pozwalaj~ce stwierdzic istnienie wspomnianego nachylenia oraz eliptycznosc arbity Ksi~yca sq, opisane w rozdz. 5 (p. 5.4 i 5.5) .
184
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
Rys. 14.1. Obserwator 0 i obiekt P poruszaj<'!; po okr~gach o srodku C ze stalymi pr~dko sciami wo' w p
si~
Na rys. 14.l oraz rys. 14.2, kt6ry jest powi't)kszonym fragmentem rys. 14.1, zaznaczone polozenia obserwatora i obiekt u w dw6ch chwilach odleglych o
c
R ys. 14.2. Powi~kszony fra.gment rys. 14.1 . Linia kropkowana wskazuje kierunek do obiektu zarejesLrowany prze-~ obserwatora w punkcie 0
t 4. Wyznaczanie odleglosci do obiekt6w obracajcicych si~ wraz z obserwatorem
185
J<.tcy si~ w O' widzi obiekt wzdluz prostej O' P' . Wynika st(!d , ie kq.towe prze:mieszczenie obiektu na tle gwiazd, kt6re dostrzeze obserwator w czasic dt, b~dzie rovme dß, a obserwowan'!: przez niego k
rop
rop
W zwi~zku z tym obserwowa.nq, pr~dkosc k4towCJ:. obiektu wzgl~dem gwiazd n moina xyrazic w nast~pujq,cej postaci: [2 =
(rp /ro)wp COS'Y - wo COS 0 rop/ro ·
(1)
Dalsze rozwazania wygodniej b~dzie prowadzic, traktuj11c ro jako j ednostk~ Ddleglosci (ro = 1), a inne odleglosci wyra2'ac jako wielokrotno§ci ro . Przyjmijmy ..-i~ nast~pujCJ:.Ce oznaczenia:
rp R p=-, ro
7'Qp
Ro p= - .
ro
Wyraienie (1) przybierze w6wczas postac
n=
Rpwpcos1 - wocose _ Rop
(2)
Stosujq,c dwukrotnie twierdzenie cosinus6w do tr6jkq.ta OPC (z rys. 14.1), otrzymamy d·wie zalei nosci:
R i = 1+Rb p + 2Ro pcos e.
(3)
"'t1td cos1 = (Rop + cos 0)/ Rp, a zatem zaleznosc (2) rnozna zapisac w postaci umoiliwiaj<);cej obliczanie Rap:
Rop
Wp - WQ
=
Q
- Wp
cose.
(4)
Dr uga z zaleznosci (3) pozwala obliczyc promien orbity obiektu Rp: (5)
Ptrzymane zwiq,zki ( 4) i (5) mozna t raktowac jako rozwi
Cz~sc
186
II. Pomiary astronomiczne
liwe do wyznaczenia na podstawie wlasnych obserwacji. Wielkosci'!, kt6rej samodzielne wyznaczanie, choc ideowo proste, moze sprawiac trudnosci, jest kl}towa pr~dkosc wp. Praktyczne jej wyznaczenie byloby bardzo klopotliwe ze wzglQdu na koniecznosc dlugotrwalych obserwacji. Z tego powodu usprawiedliwione b~dzie korzystanie z odpowiednich wartosci wp podawanych w literatmze. W szczeg6lnych przypadkach, kiedy mozliwe b~dzie wyznaczenie k
Poniewai
dD
= dt =
pochodn~
wo - wp ( dB . dRop ) Rb p Rop dt sm 0 +
dRo p / dt mozna zast~pic wyrazeniem dRop
dB Ropsin()
dt Rop
+ cosB '
otrzymanym po obliczeniu pochodnej po czasie tozsamosci (5) (pami~taj(!c, ie Rp = const), a pochodn~ dO/dt mozna wyrazic jako r6znic~ dO/dt = D - wo, wi~c k
!Jt= R.l OP
(wo - wp)(D - wo)(1 + R cos() . OP
+ COS
())sinB.
Jesli skorzystamy jeszcze z zaleinosci (4), to ostatni zwicµek przybierze prostSZ<1: postac: (6) iJt = (D - wp )(wo+ wp - 252) tg B. Ostatecznie obok zaleinosci (4) i (5) otrzymalismy jeszcze jedn<1:, wi<'!:i<'!:C~ wielkosc poszukiwan
Zadanie Na podstawie zaleinosci (4), (5), (6) i po wykonaniu niezb~dnych obserwacji wyznacz odleglosc do jednego z nast~puj~cych obiektow: Marsa, Jowisza, Saturna, Urana, Neptuna, Ksi~zyca, planetoidy. Tabela 14.l umieszczona na koucu zadania zawiera niekt6re dane dotycz4ce wybranych planet i planetoid. JeSli b~dzie wyznaczana odleglosc do Ksi ~zyca, to jej ostateczn~ wartosc nalezy wyrazic w kilometrach. Jesli b~dzie wyznaczana odleglosc do planetoidy, to nalezy
14. Wyznaczanie odleglosci do obiekt6w obracajqcych
si~
wraz z obserwatorem
187
jq, wybrac z tabeli 14.1. P odano w niej tylko planetoidy o niemal kolowych orbitach lez(!Cych w plaszczymach nachylonych do plaszczyzny orbity Ziemi pocl bardzo malymi k<}tami . W chwili wykonywania obserwacji pozycj~ kazdej z planetoid na niebie mozna okreslic, uzywaj<}c prograrnu komputerowego.
Porady praktyczne \Vyznaczenie promienia Rp orbity obicktu i jego aktualnej odleglosci Rap wymaga obserwacyjnego wyznaczenia nastC2pUj(!.cych wielkosci: wo, wp, () , n lub wo, o, n, rJt. Wyznaczanie wo . J esli rozwazane bQdq. sytuacje, w kt6rych ruch obserwatora jest wynikiem obrotu Ziemi wok6J osi (torem ruchu obserwatora jest r6wnoleznik) lub wynikiem obiega.nia Slonca przez Ziemi<2 (torem ruchu jest orbita Ziemi), na wartosc wo nalezy przyjq,6 nast<2pujq.ce wartosci: wEB = 15,03° /h, Worb = 0,99° / dob<2. Wyznaczanie wp . Wyznaczanic okresu Tp obiegu obiektu wzglic.:d ern gwiazd {wp = 2n /Tp) mozna zastq.pic wyznaczeniern okresu Ts, po kt6rym powtarza siQ caka sama wzajemna konfiguracja obserwatora 0 i obiektu P wzglQdem srodka C (na przyklacl wyst(!.pienie opozycji lub g6rowania). Dia obiekt6w obiegaj<}cych ten sam SI'odek, powt6rzenie si~ takiej samej konfiguracji punkt6w 0, C, P jest r6wnowazne mzsamosci Tswo ± Tswp = 2n lub l/Tp = 1/To ± l /Ts (znak minus, gdy kierunki ruchu S<); zgodne, plus - gdy sce przeciwne). P roblem w tym, ze choc samodzielne wyznaczenie Ts jest proste, to w wypadku ruchu obserwatora i obiektu wok6l Slonca aas obserwacji musialby byc bardzo dlugi. Ten fakt mozna uznac za wystarczaj~ce usprawiedliwienie skorzystania z wartosci wp podawanych w literaturze. Wyznaczanie kqta () . Jest to k<}t w plaszczyfoie obu orbit pomi~dzy kierunkiem do punktu poloionego dokladnie po przeciwnej stronie sfery nieba niz Si-odek orbit (w dalszej cz~sci punkt ten bC2dzie oznaczany jako Y) i kierunkiem na badany obiekt. Zal6zmy, ze pomiar dotyczy planet lub planetoidy. Najmniej ambitny spos6b poznania tej wielkosci polegalby na skorzystaniu z clowolnego programu komputerowego przedstawiajq.cego polozenia planet i planetoid w dowolnej chwili. Niewiele wi~cej czasu zaj~loby wyznaczenie tego kq.ta na podstawie mapy nieba w nast~p uj <}cy spos6b: 1. Poniewai pozycja obserwowanego obiektu l.\"zgl~dem gwiazd jest znana, wiQC z m.apy mozna odczytac wsp6lrz~dne obiektu (ap, Öp ) . 2. Opieraj1!C si~ na dacie obserwacji, mozna obliczy6 pozycj<;J Slonca na ekliptyce i odczytae jego wsp6lrz<2dne (as, 80 ) . 3. Wsp6lrzC2dne punktu Y wynikaj
188
CzE:SC II. Pomiary astronomiczne
.6.a = tp - t 0 + 12h. 5. Z tr6jk
e
f4. Wyznaczanie odleglosci do obiekt6w obracajqcych okr~gach ,
si ~
wraz z obserwatorem_ _ _ _ _ _1_8_9
pr~dkoscil}
k
ze stal
jlIZ wspomniano, warunki tc
s~
Sprz~t
Potrzebna b
8 Wyznaczenie pr~dkosci chwilowej Ksi~yca WK wymaga zarejestrowania czasu i pozycji Ksi~zyca na tle gwiazd w kolejnych nocach, w chwilach jego g6rowania: (t9 1, a 1, 61) , (t 9 2 , a2 ,
Ak/(t9 2
-
l9 1).
K<.i,towa pr~dkosc obserwatora wzgl~dem Slonca powodowana ruchem obrotowym Ziemi zalezy od pory doby i w przybliieniu jest r6wna w@Re cosipcos[(G - 12)w@J/r0 , gdzie W E!;) j est pn,)dkoscici, kfl,tow11: obrotu Ziemi (ok 15° / h}, G - godzin<} wskazywanl} przez zegarek, ip sze rokosci
190
Cz~sc
---- II. Pomiary astronomiczne
Tabela 14.1. Obiekty, do kt6rych mozna stosowac opisam1 metod~
-
Planeta/ Ksif,lzyc
Nachylenie orb. do pi. ruchu obs. [0 ]
J\1imosr6d
1,85 1,3 2,5 0,8 1,8 18- 28
0,0933 0,0484 0,0557 0,0472 0,0086 0,0549
Mars Jowisz Saturn Uran Neptun KsiEi)zyc
-~-
~----··---~""-
Planetoidy o nachyleniach No. Nazwa. ; - - -·- - · ·
73 Klytia ! 122 Gerda 124 Alkeste 147 Prologeneia 149 Medusa 158 Koronis 167 Urda 178 Belisana 184 Dejopeja 203 Pompeja l 208 Lacri mosa 214 Aschera 215 Oenone 243 Ida. 277 Elvira 279 Thule 300 Geraldina 31 1 Claudia 1 317 Roxane 332 Siri 367 Amicitia 395 Delia. 462 E riphyla 534 Nassovia 1 586 Thckla 658 Asteria 673 Edda 708 Raphaela 720 Bohlinia 761 Brendelia 847 Aguia 975 Perseverautia 1128 Astrid U i23 Neckar 45 Calvinia
< 3° i mimosrodzie < 0,1
Nachylenie orb. do pt. ekl.[0 ]
Mimosr6d
·-
2,3780 1,6373 2,9491 1,9349 0,9361 1,0048 2,2079 1,9020 1 ,1471 3,1844 1,7526 3,4325 1,6906 1,1370 1,1555 2,3382 0,7463 3,2284 1,7615 2,8519 2,9432 3,3583 3,1906 3,2761 1,6217 1,5125 2,8749 3,4880 2,3642 2,1636 2,4798 2,5621 1,0173 2,5531 2,8872
Okr<"~'>
obiegu [lala]
· ~··-------
0,0425 0,0460 0,0780 0,0351 0,0650 0,0546 0,0366 0,0438 0,0809 0,0584 0,0129 0,0309 0,0341 0,0459 0,0902 0,0109 0,0490 0,0078 0,0859 0,0878 0,0963 0,0853 0,0858 0,0594
4,3494 5,7747 4,2627 5,5468 3,2063 4,8555 4,8209 3,8573 5,6624 4,5302 4,9220 4,2177 4,6034 4,8363 4,9007 8,8693 5,7524 4,9304 3,4562 4,6160 3,3054 4,6444 4,8714
0,066~~
5,3168 4,821.9 4,7201 4,3624 4,9147 4,8429 4,6420 4,7667 4,6531 4,8674 4,9221
0,0615 0,0085 0,0853 0,0168 0,0612 0,0961 0,0351 0,0446 0,0626 0,0795
-·----
4,9028
Okres obi~;;--·1 !doby]
-·
~
686,98 43~12,59
10759,22 30685,4 60189,0 27,32
-
J asnosc abs.
Jl
H jmag]
·--·9,0 7,9 8,1 8,3
10,8 9,3 9,3 9,4 8,3 8,8 9,0 9,5 7,3 9,9 9,8 8 ,6 9,6 9,9 10,0 9,5 10,7 10,4 9,2 9,8 9,2 10,5 10,2 10,6 9,7 10,8 10,3
10,4 10,7 10,6 9,9
0
f 4. Wyznaczanie odleglosci do obiektöw o bracaj
191
!fabela 14.1, cd. ·"'
~
Planetoid y o nachyleniach
----·
No. Nazwa 1269 R.ollandia 1289 K utaiss i 1336 Zeeland.ia. 1350 H.osselia. 1423 .Jose 1848 Delvaux 2209 T ia njin :1196 Sbuya.
< 3° i rnimos rodzie < 0,1
- ·"
Nachylenie or b. clo pi. ekl. [0 ) 2,7572 1,6063 3,1956 2,9363 2,9130
.. 0,0968 0,0602
0,0625 0,0855 0,0829 0,0451 0,0638
1,4463 2,6096 1,4995
M imosr6d
---
0,044.4
Okres obiegu
[lata] 7,6874 4,8393 4,8146 4,8352 4,8387
4,8662 4,8052 7,7056
Jasnosc abs. lJ
[magJ 8,8
10,7 10,6 10,8
10,5 10,9 10,9 10,7
Uta p lanet i planctoid podanc jest nachylcnie plaszczyzny or bity wzgl~dem pl aszczyzny orbity Ziemi, clla i\si~zyca - wzgl~dem p laszczyzny r6wnika ziernskiego. J asnosc widomfl m p lanetokly oblicza si~"' 7-alcznosc i m= H+5 log r + 5 logr 0 , gct,,,ie: r 0 - odleg losc planetoidy od S loiaca, ra: - odleglosc planctoidy od Zicmi [s AU) , H - j asnosc absolutna p lanetoidy, tz n. jasnosc widoma d la r 0 = 1,0 i rffi=l,O [AU ). Poniewaz re i re b!Jd~ dopiero wyznaczane, uzytecz nosc podanej zaleinosci jest problematyczna . Bardziej prnydatna ~zie nast~puj~ca wskaz6wka: jesli planetoida b~dzie znajdowala si<: po nad horyzontem okolo p61nocy, to Pei j asnosc widoma b<,?dzie w przyblizcniu r6wna lJ + 4 m.
15. Wyznaczanie odlegfosci do obiekt6w metodq paralaksy geocentrycznej Wprowadzen ie Niemal kaidy podr~cznik astronomii zawiera. wzmiankl? dotycz
r= -. €
{1)
Zacznijmy od obliczenia L , czyli rzutu odleglosci pomir;;dzy obserwatorami na kierunek prostopadly do prostej srodek Ziemi- obiekt w chwili obserwacji. Przyjmijmy, ze wsp6lrz~dne geogra.ficzne obserwator6w w chwili t dokonania pomiaru
193
fi_ Wyznaczanie odleglosci do obiekt6w metodq paralaksy geocentrycznej
---------
„----'
---- P1
Rys. 15.1. Obsenvatorzy 01 i 02 widz(! obiekt P w röinych punktach (P1, P2) na tle gwiazd. Punkt Oo jest m1ejscem na Ziemi, w kt6rym obiekt w chwili obserwacji jest w zenicie
wynoszl! cp 1, )11 oraz
Przestrzenna odleglosc D obserwator6w jest r6wna dlugosci wektora
r 2 - r 1:
Aby policzyc rzut tego odcinka na kierunek prostopadly do prostej lq.cz~cej srodek Ziemi i obiekt w chwili obserwacji, niezb~dne jest okreslenie kierunku tej prostej w ukladzie x, y , z . W chwili obserwacji prosta l~cz~a srodek Ziemi i obiekt przecina powierzchnif,l Ziemi w punkcie, w kt6rym obiekt jest w zenicie. Geograficzne wsp6lrzf,ldne tego punktu cp0 , >.0 mozna obliczyc na podstawie momentu g6rowania t 9 i wysokosci g6rowania h 9 badanego obiektu, kt6re zarejestruje jeden z obserwator6w: <.po =
(90° - h9 ),
gdzie t jest czasem , w kt6rym obaj obserwatorzy dokonali rejestracji pozycji obiektu , w Ea - pr~dkosci'! k~tow. SC): wsp6lrzf,ldnym geogra.ficznymi tego obserwatora (ip 1 , >. 1 lub
Cz~sc
194
II. Pomiary astronomiczne
biegun nieba
Rys. 15.2. Ilustracja do wzoru (3)
>. > 0, na zach6d >. < 0. Oba wyrazenia S(! scisle tylko w6wczas, gdy obiekt jest nieruchomy wzgl~dem gwiazd . .JeSli obiekt si~ porusza, to do pr~dkosci l<.ltowej ruchu obrotowego Ziemi naleiy dodac albo odj(!c od niej odpowiedni~ skladow~ pr~dkosci obicktu: >. 0 = >. - (t - t 9 )(we ± wf.),
Rzut D = Jr 2 -
r
1
= [cos
J na kierunek prostopadly do tego wektora jest r6wny (2)
gclzie kropka oznacza iloczyn skalarny wektor6w. By wyznaczyc odleglosc do obiektu, potrzebna jest jeszcze znajomosc k~to wego przesunifCCia c: obiektu wzglfCdem gwiazd. Moina je wyznaczyc konfrontuj4c obserwacje wykonane przez obu obserwator6w. Fotograficzna b4dz inna rejestracja pozycji obiektu przez obu obserwator6w moze dostarczyc wartosci a 1 , 81 oraz 82 , a 2 . Spos6b wyznaczenia tych wartosci jest standardowl!- procedurl!- opisanl!- w doclatku F. K
= sin 81sin82 + cos 81cos82 cos(a2 -
a1).
-
a:i) (3)
15. Wyznaczanie odlegtosci do obiekt6w metodq paralaksy geocentrycznej
Poniewai spodziewane przesuni~cia uproszczonej (patrz dodatek D):
b~dq,
195
bardzo male, moina skorzystac z formu ly
Podstawiaj(!.c obliczone wartosci L i c do wzoru ( 1), obliczymy poszukiwanc:t odleglosc.
Zadanie Wyznacz odleglosci do
Ksi~zyca,
Marsa, \i\Tenus lub bliskich planetoid.
Porady praktyczne rnetody. Dla ustalonej odleglosci L obserwator6w rnaksymalna odleglosc obiektu moiliwa do wyznaczenia zalezy od dokladnosci wyznaczenia przesuni~cia 6.c obiektu oraz od wartosci bl~du wzgl~dn ego p (p = 6.c/c:), kt6r
rmax
196
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
w dodatku F. Jesli obiektern zainteresowania jest Ksi~zyc, t o obserwatorzy musz
Sprz~t
Do wizualnego okreslenia pozycji obiekt6w wystarczy stoper oraz nieduia arnatorska luneta z mikrometrern. Funkcj~ mikrometru moze pelnic samodzielnie wykonana siatka nitek (pat rz doda :k A). Fotograficzna rejestracja pozycji obiektu wzgl~dem otaczaj~ych gwia.zd wymaga Junety lub teleskopu o ogniskowej 2: 2 m.
16. Wyznaczanie odlegtosci, promienia orbity i rozmiar6w Wenus
W prowadzenie Opisana nizej metoda osi
. IOPI s1no: = -R ,
w
.
8111 0:
IOPI = rzw(p - /') ,
"f ) .
rzw = -rzw - (p - 1·) = p- ( 1- Rw
Rw
p
Cz~sc
198
II. Pomiary astronomiczne
b)
a)
8
-0"
~
1 /
1
"
Rys. 16.l: a) Wzajemne poloi.enie Slo1'ica (S), Wenus (W) i Ziemi (Z); b) Powi~kszony fragment rys. a)
R ys. 16.2. Widok na Wenus (W) i pozycj~ obserwatora (Z) z kierunku prostopadlego do plaszczyzny wyznaczonej przez polozenia Ziemi, Wenus i Slonca
199
16. Wyznaczanie odleglosci, promienia orbity i rozmiar6w Wenus
Rys. 16.3. Tarcza Wcnus widoczna. z Ziemi
Poniewaz Rw /rzw = p, wi~c ostatecznie . 1 s1na = 1 - -.
(1)
p
Ta zaleznosc oraz zwiq,zek r/ = 90° + a pozwalaj(l wyznaczyc kq,t 17 na podstawie zmierzonych k(lt6w p, / (rys. 16.3). JeSli k
rw = rz - - = rz
sin e sin(90°+ a)
sin () cosa
= rz - - = rz
sin e
J(J/p)(2--y/p)
.
(2)
Stosujl!c twierdzenie sinus6w po raz drugi, obliczymy rzw:
rzw
sin >.
sin >.
= rz -.= sm(90° . = rz sm rJ + a) = rz ( cose -
cos( a + e) = rz(cosB - tgasint9) cos a
1 - 1/8
.
)
yf (1/ p)(Z _ II p) sme .
(3)
Poniewai w zaleinosciach (2) i (3) 4ty 'Y i p wystE2pUj
Zadanie Wyznaczyc odleglosc Ziernia-Wenus, promien orbity Wenus oraz promien planety w jednostkach astronomicznych.
Cz~sc
200
II. Pomiary astronomiczne
Porady praktyczne Do wyznaczenia promienia orbity Wenus i jej aktualnej odleglosci od Ziemi naleiy stosowac za}eznosci (2) i (3), CO wymaga obserwacyjnego wyznaczenia ~t6w 8 , ,, p.
Wyznaczanie -y , p. Z powodu malych wysokosci ponad horyzontem, na. kt6rych bywa widoczna Wenus, jej obra.z jest na og6l bardzo niestabilny. Dlatego precyzyjny pomia.r k.:1t6w pi / jest trudny. Najdokladniej moina to zrobic za pomoc~ lunety wyposazonej w mikrometr. Do wykonania niezb~dnych pomiar6w wystarczy najprostszy mikrometr, chocby wlasnej konstrukcji (patrz dodatek A). Poniewaz k~ty 'Y i p w zaleznosciach (2) i (3) \.vyst~puj~ wyl~cznie w postaci ilorazu 1·/ p , wi~c do wyznaczenia odleglosci nie b~dzie konieczne skalowanie mikrometru. Jesli turbulcncje atmosferyczne s~ silne albo ogniskowa lunety kr6tka (f < 1 m), to dokladnosc oceny stosunku / / p otrzymana z pomiar6w mikrometrycznych nie b~ dzie lepsza od dokladnosci, kt6r~ mozna osi~grnt:c, oceniaj
R ys. 16.4. Ogl~daj
Wyznaczanie B. Trzecim parametrem, kt6ry trzeba wyznaczyc na podstawie obserwacji, jest k~t () pomi~dzy kierunkiem na Slonce i \\lenus. Ze wzgl~du na dui~ jasnosc Wenus na og6l widac j~ jeszcze przed zachodem Slonca lub po jego wschodzie i mozliwy jest bezposredni pomiar. Wystarczajl:!;q dokladnosc pomiaru mozna uzyskae, uzywaji!C bardzo prostego k'!tomierza (patrz dodatek A). K(}.t e mozna r6wnie-7, obliczyc, o ile znane S(}. deklinacje obu obiekt6w i r6znica ich rektascensji albo deklinacja jednego z obiekt6w oraz T6znica ich dekli-
16. Wyznaczanie odleglosci, promienia orbity i rozm iar6w Wenus
201
nacji i rektascensji. Wykorzystuj
Jesli celem obserwacji jest oszacowanie odleglosci , to wystarczy arnatorska luneta lub teleskop o ogniskowej okolo 1 m (powiE2kszenie > 100) i prosty kq,tomierz wlasnej konstrukcji. Do wykonania dokladniejszego pomiaru odleglosci potrzebna b~ dzie luneta lub teleskop o znacznie wi<2kszej ogniskowej (f > 1,5 m), wyposazone w mikrometr z ruchom
1 7. Wyznaczanie odlegtosci, promienia orbity i rozmiar6w Jowisza Wprowadzenie Wszystkim planetom i ich ksi~iycom, tak jak kazdemu oswietlanemu przedmiotowi, towarzyszy cie{i. 0 obecnosci cienia Ziemi i cienia Ksi~iyca przekonujC); zjawiska zacmien Ksit;)iyca i Slor1ca. Cien Saturna bywa widoczny na tle pierscieni. 0 obecnosci cienia Jowisza przekonuje nas obserwacja jego ksi(;)zycow, ktore pojawiaj~ si~ lub znikaj1t w pewnym odd!aleniu od jego tarczy. Cienie innych planet nie ujawniaj~ swojej obecnosci, b~dz to z powodu braku ksi{;)iycow czy pierscieni, b1tdz z powodu zbyt malej ich jasnosci. Celem dalszej cz(;)sci tekstu jest pokazanie, jak moina wykorzystae obserwacyjne ustalenie poloienia cienia wzgl ~dem tarczy planety do wyznaczenia jej odleglosci. Zajmijmy si~ J owiszem. Wykonuj::i:c proste, lecz dlugotrwale obserwacje moglibysmy si~ przekonac, ze plaszczyzna jego orbity niemal dokladnie pokrywa si~ z plaszczyzn~ orbity Ziemi (plaszczyznq, ekliptyki). W dalszych rozwaianiach wzajemne nachylenie tych plaszczyzn zostanie zaniedbane. Nieco kr6cej trwaj<);ce (kilkunastodniowe) obserwacje przekonalyby nas, ze rowniei plaszczyzny orbit najjasniejszych ksi~zyc6w Jowisza (tak zwanych galileuszowych) : lo, Europy, Ganimedesa, Callisto, sq, nachylone do plaszczyzny orbity Ziemi pod bardzo malymi k~tami, a trzy sposr6d nich (Io, Europa, Ganimedes) przy kaidym obiegu Jowisza przechodz<}, przez cien planety (i tarcz~ Jowisza) niemal dokladnie wzdluz srednicy. Sp6jrzmy na rys. 17.1. Plaszczyzna tego rysunku pokrywa sif2 z plaszczyzn<); orbity Ziemi (Z) i Jowisza (J). Rozwaimy tr6.ik'!:t SJZ, kt6rego wierzcholkami Sll Slonce, planeta i Ziemia. Dlugosc boku SZ, oznaczona rz, jest promieniem orbity Ziemi i b~dzie traktowana jak wielkosc znana. Do wyznaczenia odleglosci do J owisza r = IZJI lub promienia jego orbity r J = ISJI niezb~dne jest obserwacyjne okreslenie dwoch kci:tow w trojk<);Cie SJZ. Z trzech kci:t6w tego t rojkci:ta (ß, /', e) z pewnosci~ najlatwiejszy do okreslenia jest k~t e, kt6ry moie byc zmierzony przez obserwatora bezposrednio. Moina by sq,dzic, ie z dw6ch pozostalych kq,tow latwiejszy do wyznaczenia jest k1tt 'Y· Jesli bowiem na podstawie obserwacji stwierdzilibysmy, ie prf2dkosci orbitalne Ziemi i Jowisza sci: stale, wyznaczylibysmy ich wartosci wz, WJ i okreslilibysmy czas wyst<);pienia opozycji Jowisza t 0 p, to w dowolnej chwili t kq,t / bylby r6wny /' = (wz - w1 )(t - t 0 p)· l\fankamentem tego
203
17. Wyznaczanie odleglosci, prornienia orbity i rozmiar6w Jowisza
Slonce
-ö-s 'i'
Rys. 17.1 . Z tr6jk~ta SJ Z moin.a wyznaczyc odleglosc r do Jowisza i promie11 r J jego orbity
sposobu post~powania bylaby koniecznosc dlugotrwalych obserwacji i niepewnosc ich rezultatu (gdyz przed rozpocz~ciem obserwacji nie bylibysmy pewni, czy na pewno WJ = const). Spr6bujmy wil2c wyznaczyc kq,t ß. K<}t ß mozna wyznaczyc na podstawie obserwacji jednego z ksi~zyc6w w chwili, .gdy wchodzi on w cien planety lub wla8nie z niego wychodzi. Pomoc~ w otrzymaniu
Rys. 17.2. Obserwacja ksi~zyca K w chwili jego wynurzaniasi~ (lub zanurzania) z cienia Jowisza J urnozliwia wyznaczenie k
204
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
potrzebnych zaleznosci b~dzie rys. 17 .2) pokazujq,cy fragment rys. 17 .1, obejmujl!cy: planet~ J , jej cien, ksif2zyc K i j ego orbit~ wok6l planety. P laszczyzna tego rysunku, tak jak rys. 17.1, pokrywa si~ z plaszczyznct: orbity Ziemi i orbity Jowisza. Jest on narysowany dla chwili, gdy ksi~zyc wynurza si~ z cienia pla.nety. Widok z Ziemi odpowiadaj(!cy tej samej chwili jest przedstawiony na rys. 17.3.
R ys. 17 .3. Widok z Ziemi na Jowisza i jego ksiQiyc wynurza.i
Z tr6jk
'
ß = ß' +e:+p,
tg ß
TE:
= IJ(OI'
IKOI = rJ'T/2 -
nast~pujct:ce
za-
(p + e:)2.
Z dw6ch ostatnich wzor6w otrzymujemy \vyrazenie: 7'€
tgß' =
IKOI = J'T/2 -
€
(o + c:) 2
(1)
kt6re w poh}:czeniu ze zwiq,zkiem ß = (3' +e:+p pozwala obliczyc ~t ß i jest w pel.ni satysfakcjonuj11ce, bowiem po prawej stronie obu zaleinosci wystf2pujq, wyl
rz sin 'Y
r =---
sinß
sin(ß'
+ e: + p)'
a poniewai 'Y = 180° - (} - ß, eo wynika .z rys. 17 .1, otrzymujemy ostateczn
(2)
W podobny spos6b, z tego samego tr6jk():ta SJZ, moiemy wyznaczyc promien orbity J owisza: 1'J
=
rz sin () sinß
rz sin(J =-----sin(ß' + e: + p) ·
(3)
17. Wyznaczanie odleglosci, promienia orbity i rozmiar6w Jowisza
Wyst<2puj~cy w
205
obu wyraieniach k~t ß' obliczamy z zaleznosci: tgß' =
€
)112 - (p + c)2
.
(4)
Obliczona wartosc r oraz zmierzone wa:rtosci p i 17 pozwalaj~ obliczyc promien .Jmvisza RJ = rp oraz promien orbity obserwowanego ksi~zyca rK = r17. Je8li rejestracja pozycji ksi~zyca wzgl~dem Jowisza b~dzie wykonywana za po'moc~ kamery CCD, to mozliwe b~dzie takie oszacowanie rozmiar6w wszyst kich .ksi~iyc6w zarejestrowanych na zdj~ciu. W dodatku H opisana jest procedura wyznaczania instrumentalnej jasnosci widomej obiekt6w, kt6rych obrazy zostaly zarejestrowane kamen~: CCD. Na podstawie definicji instrumentalnej jasnosci widomej r6inic~ jasnosci instrumentalnych Jowisza i ksi<2iyca moina wyrazic nast<2puj(!:co:
gdzie F1, FK .iyca. St~d
oznaczaj~
obserwowane na Ziemi oswietlenia od J owisza i jego
ksi~
Znikoma wartosc kq.towego promienia orbity ksi<2iyca 17 upowaznia nas do przyj~cia, iZ odleglosc do Jowisza i do jego ksi~iyca jest jednakowa. W6wczas stosunek obser1\\"0wanych oswietlen FK / FJ jest r6wny stosunkowi mocy swiecen ia tych obiekt6w L K / L J , a w konsekwencji (5)
Moc swiecenia Jowisza L1 lub jego ksi~zyca LK jest r6wna oswietleniu w odleglosci J od Slonca (r6wnemu L 0 /47rr] , gdzie L 0 jest moq promieniowania Slonca) mno:Zonemu przez powierzchni~ przekroju globu odbijaj~cego swiatlo (7r R] lub R'i) oraz przez wsp6lczynnik odbicia swiatla od powierzchni glob6w (CtJ lub O'.J{ ), &ak zwane albedo:
o uwzgl~dnieniu tych zwi~k6w zaleinosc (5) przybiera postac:
S
oluj~c s i ~ do wczesniejszych rozwazan, wartosci r oraz p moiemy uwazac za e. Wartosci wsp6lczynnik6w odbicia swiatla od Jowisza i jcgo ksi~zyc6w mozna ezc w wielu publikacjach, na przyklad cz~sto podawane s~ nast~puj~ce wartosci:
206
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
Cl'J ~ 0,5, Cl'fo ~ 0,5, Cl'.Europy ~ 0,7, aaanimedesa ~ 0,3, acallisto ~ 0,1. Arnbitny obserwator, pragn~y polegac w jak najwi<'i:kszyrn stopniu na wlasnych obserwacjach, m6glby post~pic w spos6b nastli)pUjl'tcy. Na podstawie samodzielnie wykonanych obserwacji powinien wyznaczyc albedo Jowisza10 aJ, a nasti;)pnie, podstawiaj~c za Cl:K graniczne wartosci albedo, kt6rymi s~ obdarzone ciala Ukladu Slonecznego (0,05 - Merkury, 0,75 - Wenus), okreslic prawdopodobny zakres rozmiar6w badanego ksi'i)iyca. Chociaz znaczny rozrzut otrzymanych wartosci nie wzbudzi zachwytu, to mimo wszystko b<'i:dzie to infonnacj a istotna. L ist~ parametr6w niezb~dnych do okreslenia promienia ksi~zyca zamyka wa.rtosc r6znicy jasnosci Jowisza i badanego ksi~yca (m1 - mK ), kt6r
R ys. 17.4. Interpretacjakctt6w p ,€,'I] przystosowaniu zaleinosci (2), (3) i (4) do obliczenia odleglosci Satuma
Jesli obserwator bli)dzie dysponowal instrwnentem optycznyrn o ogniskowej f 2'.. 3 m, pozwalaj<=1:cym uzyskiwae ostre obrazy obiekt6w, to wyprowadzone zaleznosci (2), (3), (4) mozna z pewnym przybliieniem zastosowac do oszacowania odleglosci Saturna (rys. 17.4). W tym wypadku do wyznaczenia k
17.
Wyz~nie
odleglosci, promienia orbity i rozmiar6w Jowisza
207
~t6w, zwlaszcza e, za pomocq, amatorskich teleskop6w b!2dzie obarczony znacznym bl!2dern) . Dla Saturna, tak jak i Jowisza, konieczne b!2dzie uwzgl~dnienie splaszczenia tarczy planety. Poniewaz obserwacyjne wyznaczenie splaszczenia jest moiliwe tylko w opozycji, konieczne b~dzie skorzystanie z publikowanych danych (stosunek prornienia biegunowego do r6wnikowego wynosi 0,94 dla Jowisza oraz 0,90 dla Saturna).
Zadanie Opiera.jq,c si~ na obserwacjach ksi~iyca Io wchodzq,cego w cien lub wychodzq,cego z cienia Jowisza„ wyznacz: aktualn
Porady praktyczne Z przedstawionych wyzej rozwaiaf1 wynika, ze wykonanie zadania b!2dzie wymagalo eyznaczenia kq,t6w e, €, p, 17, jak r6wniei pomiaru jasnosci instrumentalnej mJ Jowisza i mK ksi~zyca Io. Wyznaczanie kqta (). Jesli przed zachodem Slonca lub po jego wschodzie na niebie b~dzie widoczny Ksi~iyc, to k~t mozna zmierzyc bezposrednio (za pomoc~ 4tomierza zbudowanego z dw6ch listew, patrz dodatek A). Wiadomo bowiem, ze .kierunek obserwator-Ksi~zyc jest poiozony niemal dokladnie w plaszczyinie utwo:rzonej przez kierunki obserwator- Slonce i obserwator- J owisz (moina si!2 o tym prnekonac, wykonujll-C proste, lecz dlugotrwale obserwacje). Dzi!2ki tej wlasnosci b!t pomi~dzy Slof1cem i .Jowiszem b!2dzie r6wny sumie k~ta pomi~dzy Sloncem i Ksi~iycem (ten k~t trzeba zmierzyc przed zachodem Slonca lub po jego wscho~ie) oraz kq,ta pomi~dzy Ksi~iycem i J owiszem (ten k~t trzeba zmierzyc w chwili, gdy ponad horyzontem b!2dzie widoczny Ksi!2iyc i Jowisz). W tak przcprowadzonym pomiarze pomini!2te zostanie przesuni~cie Ksi~zyca wzglr~dem Slonca i Jowisza 71 okresie pomi~dzy obydwoma pomiarami, a le wplyw tego zaniedbania na dokladnosc kof1cowego rezultatu b~dzie znacznie mniejszy nii wplyw b lc.:d6w zwi~zanych z pomiarem innych wielkosci. Kq,t B pomi!2dzy kierunkami do Slonca i J owisza mozna r6wniei obliczyc, je-ili okre8lone zostanq, deklinacje obu obiekt6w (8s, OJ) i r6znica ich rektascensj i J:: wsJ). Z tr6jkq,ta sferycznego, kt6rego wierzcholkami SC!> biegun niebieski, Sloflce i .Jowisz, wynika bowiem, ze cos = sin 8s sin ÖJ + cos 88 cos OJ cos 6.as.J. Warmsci 8s, OJ , 6.as.J mozna wyznaczyc na wiele sposob6w. D eklinacj~ Slonca lub Jowisza mozna wyznaczyc na priyklad z zaleinosci 8 = h9 + cp - 90°, w kt6rej h9 jest wysokosci~ g6rowania obiektu,
e
e
Cz~sc
208
II. Pomiary astronomiczne
a mapa - wyznaczyc jego wsp6lrzr~dne as, ös). Deklinacj~ i rektascensj~ Jowisza moina wyznaczyc, ustalaj();c jego polozenie wzgl~dem gwiazd (do tego b~dzie potrzebna lornetka) i korzystajl!:c z mapy nieba. Natomiast r6znic~ rektascensji Slonca i J owisza (~etsJ) mozna wyznaczyc, notuj~ momenty g6rowania Slonca i Jowisza: t 98 , t 9 J. Jesli w 8 b ~clzie oznaczac pr~dkosc kl}tOwl!: ruchu dziennego Slonca (ws = 15° / h), to ~a sJ = wslt 9 s - t 9 JI· Ten spos6b obliczania ~O:sJ zaklada stal~ pozycj~ Jowisza wzgl~dem gwiazd. Tak oczywiscie nie jest, lecz powolnosc ruchu J owisza wzg.l~dem gwiazd (wJ < 0,5' / h) usprawiedliwia ta.ki spos6b liczenia D..as.J. Wyznaczanie c, p. K~ty c, p moina zrnierzyc w be:i:,posrednich obserwacjach wizualnych, za pomoc(); mikrometru albo z zarejestrowanego obrazu Jowisza i jego ksi~zyca w chwili wylaniania si~ ksi~zyca z cienia planety. Pomiaru kqt6w c, p na zarejestrowanych obrazach nalezy dokonywae z rozwagi'):. Na skutek r6znych zjawisk (dyfrakcja, rozpraszanie Swiatla W ukladzie fotogTafuj4cym) srednice obraz6w tarczy planety i wszystkich bardzo jasnych obiekt6w widocznych na zdj~ ciu b~dq. powi~kszone i b~d~ zalezaly od czasu naswietlania kliszy. Jednak czas niezb~dny do zarejestrowania obrazu ksi~zyca wylaniaj~cego si~ z cienia planety musi byc znacznie dluzszy od czasu potrz;ebnego do poprawnego na,Swietlenia jej ta.rczy. Je§li obra:t. ma byc rejestrowany na kliszy fotograficznej, to najwlasciwsze byloby wykonanie dw6ch zdjf2c: pierwszego (z dluzszym czasem naswietlania) rejestruj~cego ksi~zyc wylaniaj~cy si~ z cienia Jowisza i drugiego (z kr6tszym czasem naswietlania), na. kt6rym zarejestrowany b~dzie obraz tarczy planety (pozwalaj
p/aneta
2
Rys. 17.5. Niepoprawny spos6b pomiaru kl!t6w
e: i
p
Kl!:tY e, p powinny byc mierzone tak, ja.k pokazuje to rys. 17.3, a nie tak jak jest to przedstawione na rys. 17.5. Ten drugi spos6b spowodowalby wyst
7. Wyznaczanie odleglosci, promienia orbity i rozmiar6w Jowisza
209
gunowym, podczas gdy we wszystkich zaleznosciach, na podstawie kt6rych jest cbliczana odleglosc, wyst~puje promieil r6wnikowy (splaszczenie tarczy Jowisza jest r6wne 0,94). Wyznaczani e 'fJ · Wyznaczenie tej wielkosci zar6wno na podstawie obsenvacji wizualnych, jak i fotograficznych b'i)dzie wymagalo obserwacyjnego uchwycenia momentu najwif2kszego oddalenia ksi'i)iyca od planety i nie powinno nastrli)czac v;;i
luneta lub teleskop o ogniskowej nie mniejszej niz 1 m. Luneta musi byc wyposaiona w wyskalowany rnikrometr z ruchom;:e nit~ lub powinna umoiliwiac za.rejestrowanie obrazu za pomoc~ kamery CCD albo aparatu fotograficznego.
18. Badanie ruchu obrotowego Stonca
Wprowadzenie W warunkach amatorskich stwierdzenie ruchu obrotowego Sloilca i pomiar pr~dko sci tego ruchu s~ mozliwe tylko za pomoc<1: obserwacji polozenia ciemnych plam widocznych na jego powierzchni 11 . Ruch plam b~dzie wiernym odzwierciedleniem ruchu obrotowego zewn<2trznych warstw Slonca, o ilc plamy SC!: strukturami, kt6re nie poruszajq, si
211
13. Badanie ruchu obrotowego Slonca
x'
X
ekliptyka - rzul plaszczyzny
orbity Ziemi na sfert: nieba 1
D
R ys. 18.1. Wynik kilkakrotnego rejestrowania polozenia plamy na Slo11cu
praktyczne). Znajomosc dlugosci A, B oraz srednicy D Slonca pozwala wyznaczyc ~t porrti€2dzy osi'! obrotu Slonca a kierunkiem od Slonca do obserwatora (k
A D'
B cosh1 = ± A.
(1)
'vV zaleznosci od metody rejestrowania polozenia plam wartosci A, B, D mog(!. byc wyznaczane w roznych jednostkach, na przyklad lukowych, liniowych lub pikse~h. Ze wzgll2
Cz~sc
21 2
II. Pomiary astronomiczne
B
-;~::_fi,, '
kierunek osi obrotu Slonca
.....
'
R ys. 18 .2. Przestrzenne polozenie osi obrotu Slor1ca (prosta SO) jest. okreslone przez k(lt h pomi~dzy t
Rysunek 18.2 przedstawia wzajernne poloienie Ziemi (Z) i Slonca (S). Nachylenie h p6lnocnej p6losi obrotu Slonca do plaszczyzny orbity Ziemi mozna obliczyc, rozwiC!:ZUj
.
Jak widac) do obliczenia kq,ta h) opr 6cz h 1 , jest jeszcze potrzebna znajomosc k
+ (f -
~ cos(f - e) 14
J
r
e)] sin h1 = cos(f - e) sin h 1
1- (
~
(2)
Wykorzystano tozsamosc: cos(90° - h) = cos(h2 - 90°) cos(90° - h 1 ) + sin(h2 - 90°) x sin(90° - h.1.) cos 90°. Wi~cej szczeg616w dotycz
213
18. ßadanie ruchu obrotowego Slonca ~~~~~~~~~~~-
Kierw1ek, w kt6rym jest pochylona p6lnocna p6los obrotu Slonca, mozna okresla.C za pomocq, k~ta l pomiQdzy rzutem t ej p6losi na plaszczyznQ ekliptyki i kierunkiem do punktu r6wnonocy wiosennej (da punktu Barana). Z rys. 18.2 wynika, ie l
= >-0 + ß + 90° '
(3)
gdzie >. 0 jest kq,tem, o kt6ry przesunQlo siQSlonce w plaszczyfoie ekliptyki od momentu r6wnonocy wiosennej (tak zwa.na dlugo.sc ekliptyczna Slorica). Poniewaz ruch Slonca na tle gwiazd jest przejawem ruchu orbitaJnego Ziemi, wiQc prQdkosc k~towa Sionca jcst r6wna k~towej prQdkosci WEBorb tego ruchu. Zaniedbuj~c jej niewielkie zmiany, moina przyj(}C, ze W(f)orb = 360° / 365, 26/dobQ = 0,986° /dobQ, a. wtedy "'8 = WEJ:lor b ~d , gdzie ~d jest liczb~ dni, kt6re uplynQly od chwih r6wnonocy wiosennej. K~t ß, podobne jak k<:lt h, mozna obhczyc z tr6jk~ta sferycznego OBO'. Stosujq,c da t ego tr6jkci:ta twierdzenie sinus6w15 , otrzymujemy sin(90° - h 1 ) sin(90° - h) = sin ß sin 90°
. ß - cos h.1
sm
-
cos
h .
Po uwzglQdnieniu wyraien (1) i (2) ostatnia r6wno8c przybiera postac:
sinß =
±1/
(~)
2
+ [1 -
(~)
2 ]
cos2 (f- e) .
Zr6dlern nieokreslonsci znaku tego wyra.ienia jest wzor ( 1) na wartosc cos h 1 , za.tem :sposob wyboru znaku jest tu taki sam, ja.k wyboru znaku cosh1 . Zna.j<};c >.0 i ß, z zaleznosci (3) mozna wyznaczyc wa.rtosc k11ta. l okre.~laj 'lcego orientacj~ kierunku pochylenia osi obrotu Slonca (l = A0 + ß + 90°). Przyst11pmy teraz do wyznaczenia pr~dkosci ruchu obrotowego Slonca. Obserwacje toru ruchu plamy pozwalajq, wyznaczyc k
~dzie
Cz~sc
214
II. Pomiary astronomiczne
tor ruchu plamy
1 1 I
1 1
r '' ~, 1 1
1
,
'
'
Rys. 18.3. Widok plamy od strony bieguna slonecznego
prornien Slonca. Poniewaz kc:i:towe rozmiary Slonca SE): niewielkie (R0 /r « 1, wi
= - -"fT'- R0 cos 'P
Na obrazie tarczy Slonca odleglosci 'Yr b~dzie odpowiadala wsp6lrzE2dna x~lamy (w ukJadzie x'y' , kt6rego osie sci: zdefiniowane tak, jak na rys. 18.1), a promieniowi Slonca - polowa srednicy tarczy Slo{1ca D /2. Poniewaz obie odleglosci b~d'l: pomniejszone w tym samym stopniu ("Ir /x~Iamy = 2R0/D), wi~c .
sm ()
=
/ 2xplamy
D COS
=
2
I
xplamy
-~-'-
A
Jesli zalozymy, ze prE2dkosc k~towa ruchu obrotowego Slonca jest stala, to na podstawie dwukrotnego okreslenia pozycji tej samej plamy:
moinaj~ wyznaczyc
Tak wyznaczona wartosc prE2dkosci ruchu obrotowego obowiq,zuje dla szerokosci heliocentryczn~j
A
= arccosB.
(5)
Wyznaczaj"!;C pr~dkosc k<');tow~ plam polozonych na r6znych szerokosciach heliocentrycznych, mozna zbadac, czy Slonce obraca si<'( jak cialo sztywne, czy tez inaczej.
18. Badanie ruchu
obrotowego Slonca
215
Odpowiedzi wymaga jeszcze pytanie o wplyw, jaki na rezultaty pomiar6w (h, l , Wobs(cp)) wywiera ruch obserwatora, spowodowany ruchem orbitalnyrn Ziemi i jej ruchem obrotowyrn. Oba powoduj
Do wyznaczenia wa.rtosci w0 = lwd przydatny b~dzie rys. 18.4. Zapisuj
w0 = =
+ sin2 h) + 2w0obsW$orb sin h + w~orb
V
wbobs + 2wo obsWEEJorb sin h + w~orb.
(6)
Zauwaimy, ze gdy wartosci h zbliiaj~ si~ do 7r /2, to w0 staje si ~ coraz blizsze wartosci w0 abs + WE9orb · Nawet pobieine, kr6tkotrwale obserwacje wskazuj(!. na to, ze Weorb/W0obs < 0,1. J es}i Wi~C h Okazaloby Si~ bliskie 7r/2, to W0 ~ W0obs(l + WEE1orb/w0abs) ~ l ,l w0abs (r6inica miEidzy prEidkosciq, obserwowanq, z Ziemi i z ukladu nieruchomego wzgl~dem gwiazd jest znaczna). Wynika st~d wniosek, ze dla h bliskich 7r / 2 wskazane b~dzie uwzglf,ldnienie wplywu orbitalnego ruchu Ziemi na wyznaczon<'i wartosc pr~dkosci 4towej ruchu obrotowego Sloilca. Oszacujmy jeszcze wplyw orbitalnego ruchu Ziemi na wyznaczone wartosci h i l. Z rys. 18.4 widac, ze ruch orbitalny obserwatora powoduje zmniejszenie wartosci h, pozostawi aj~ niezmienion<}: wartosc l . K~t 6.h, o kt6ry zost anie zmniejszona wartosc h, rnozna obliczyc w prosty spos6b, gdyi AJ
COS u t=
W0obs · W 0 Woobs + W e o rb sin h = ---:=============================== woobsWo 2 + 2W$orbW0obs Sill · Ii + W ©orb 2 y/ w0obs
(7)
Na rys. 18.5 jest przedstawiona za.leinosc 6.h od k1l:ta h d la wartosci W0 obs i W$ orb r6wnych odpowiednio woobs = (27r /25)rad/dob~ oraz Wt!Jorb = (2n /365 , 2 4)rad/dob~. Widac, ie wplyw ruchu orbitalnego Ziemi na wyznaczon<}: wartosc h jest niewielki w calyrn zakresie mozliwych wartosci h . R.ozmycie plam
Cz~sc
216
II. Pomiary astronomiczne
obserwowana plaszczyzna toruplamy
©0obsCOSh
plaszczyzna orbity Ziemi
L ------------
---------------(plaszczyzna ek/iptyki)
w
R ys. 18.4. Orbitalny ruch Ziemi unoszl!cej obserwatora z pr<;idkosci
+
t.h (O} 4,0 i:----.-.-----.-.----,.----.--.-----.-----,
3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0
Rys. 18.5. Zale:inosc poprawki ßh wynikaj<):cej z orbitalnego ruchu Ziemi od wyznaczonej wartosci h
0,5 0
10 20
30
40
50
60 70
80 90 h (o}
i ich zmienny ksztalt spowoduj<:t, ie typowy blq,d wyznaczenia h bfildzie znacznie wi<;Jkszy nii wa.rtosc tej poprawki. Zastan6wmy si<;J jeszcze nad wplywem, jaki na wyniki pomiar6w wywiera ruch obserwatora wywolany ruchem obrotowym Ziemi. Rozwaian tych mozna by uniknq,c, jesli obserwacje pozycji plam bylyby wykonywane stale o tej samej godzinie. W takirn wypadku poloienie obserwatora podczas kaidej obserwacji b<;Jdzie stale wzglfi!dem srodka Ziemi (patrzci:c ze Sloi'1ca, obserwator ma zawsze to samo polo-
18. Badanie ruchu obrotowe~'-o_S_to_n_c_ a _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _~---------2_1_ 7
zenie wzgl~dem srodka Ziemi). By zorientowac si~ , jak duze r6znice mierzonych wartosci rnogq, byc powodow.ane wykonywaniem obserwacji o rüinych godzinach, policzmy pr~dkosc k(),towq. obserwatora wzgl~dem srodka Sloi1ca, spowodowan(!. ruchern obrotowym Ziemi. Rzut liniowej pr~dkosci obserwatora na kierunek styczny
gdzie w 8 jest pr~dkosci~ k
!{> -
218
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
Zadanie Wyznacz przestrzennC); orientacj~ osi obrotu Slonca wzgl~dem plaszczyzny orbity Ziemi i gwiazd (kC);ty h, l) oraz pr~dkosc kC);tOwC); w 0 ruchu obrotowego Slonca i zbadaj jej zaleznosc od szerokosci heliocentrycznej
Porady praktyczne Celem pomiaru jest wyznaczanie wartosci nachylenia h i kierunku nachylenia l osi obrotu Slonca, a takZe pr~dkosci k~towej ruchu obrotowego jako funkcj.i szerokosci heliocentrycznej: wo(
x;, x;
Rys. 18.6. Ekran do rejestracji poloienia plam
Rejestracja polozenia plam. Polozenie plam mozna rejestrowac fotograficznie lub na ekranie, na kt6ry rzutowany b'2dzie obraz Slonca. .Jesli polozenie plam jest rejestrowa11e na ekra11ie, to powinie11 011 byc odpowied11io przygotowa11y. Na przyklad moze 011 miec postac tak~, jak na rys. 18.6. OkrC);g ulatwi spelnienie warnnku, aby srednica obrazu Slonca w kazdej obserwacji byla taka sama (obraz Slonca powinien miec srednic"( nie mniejsz~ niz 8 cm) . Prosta stycz11a do okr~gu bt2dzie uzyteczna przy ustalaniu odpowiedniej pozycji ekranu. Podczas kazdej obserwacji pozycje obserwowanych plam trzeba nanosic na ten sam rysunek. Bardzo waine jest przemyslenie sposobu oznaczania pozycji plam i czasu obserwacji. By ulatwic sledzenie zmiany polozenia wybranej plamy podczas kolejnych obserwacji (pogoda moze uniemozliwic codzienne obserwacje) , wskazane jest, aby znaki oznaczaj~e pozycje plam odzwierciedlaly ich wielkosc i ksztalt. Dla ulatwienia sledzenia ruchu plam daty obserwacji oraz znal< okreslaj~cy polozenie plamy w kolejnych dniach mogC), byc zapisywane r6inymi kolorami. J esli obrazy tarczy Slonca b~dl.1- rejestrowane fotograficznie, to wyznaczenie wartosci A, B, f, x~, x2 b~dzie wymagalo zestawienia pozycji plam ze wszystkich
1'8. Badanie ruchu obrotowego Slonca
219
~~~~-~~~~~~~~~~~--~~~~~~~~~··~-------~~-
zdj~c na jednym rysunku. J esli obrazy Sloftca na pozytywach b~dq, jedna.kowych rozmiar6w (jesli byly wykonywane takim samym ukladem optycznym) i odpowiedmo duze (srednica > 10 cm), to obrazy z poszczeg6lnych pozytyw6w mozna skopiolli"ac na przejrzyst~ foli
220
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
ukladu wsp6lrzE2dnych x', y', dlatego przy fotograficznej rejestracji polozenia plam pomiary tych wielkosci nalezy wykonywac na folii lub rysunku zawieraj~cym wszystkie zarejestrowane polozenia. Obrazy Slonca dos t~pne w internecie. Nie ulega wq,tpliwosci, ze najbardziej satysfakcjonuj~ce jest analizowanie obserwacji przeprowadzonych samodzielnie. Jednak w ra.zie dlugotrwalego braku pogody moina wykorzystac obrazy Sloiica wykonywane teleskopem lVIWLT (Mees White Light Telescope) w obserwatorium M.ees Solar Observatory na Hawajach. Przykrosc wynikajci:ca z niemoznosci przeprowadzenia wlasnych obserwacji zrekompensowana zostanie niepor6wnanie wyiSZC1: jakosci~ tych obraz6w. S~ one dost~pne W sieci internetowej pod adresem http://www.solar.ifa.hawaii.edu/:tvfWLT /mwlt.html. Jak wynika z informacji uzyskanych od os6b robi
• Luneta z montazem paralaktycznyrn i nap~dem elektrycznym. e Uklad do rzutowania obrazu Slofica na ekran Jub aparat fotograficzny i filtr sloneczny.
19. Wyznaczanie temperatury fotosfer gwiazdowych na podstawie pomiar6w fotometrycznych W prowadzenie Dlugosci fal odpowiadajl:'l:cych fotonom, za posrednictwem kt6rych widzimy zar6wno naj bliisze otoczenie, jak i gwiazdy, zawarte S<'); w granicach 400-650 nm. \Ylasnosci promieniowania emitowanego przez gwiazdy w kaidym zakresie dlugo5ci fal zalei4 od stanu emitujq,cego je gazu. Badanie wlasno8ci promieniowania docieraj~cego od gwia~d moie wi~c byc, i jest, ir6dlem inforrnacji o parametrach fizycznych gazu, kt6ry je wyemitowal. Zr6dlem energii gwiazd sq. reakcje syntezy j~der, zachodz~ce w niewielkiej objiztosci otaczaj~cej srodek gwiazdy. Uwalniana w tych reakcjach energia pojawia si~ przede wszystkim w postaci foton6w r · Fotony te, z powodu duiej g~stosci materii, nie opuszczajq. gwiazdy, lecz S(!. niemal natychmiast absorbowane. Kolejne, nast~ puj(!.ce po sobie ak ty absorbcji i emisji foton6w skutkujq, przenoszeniem energii ze srodka gwiaz
222
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
informacji o parametrach fizycznych gazu buduj~ego fotosfer~ 17 . Z badai1 tych wia
B(T, .A)
2hc
2
1
= T5 exp (hcj >..kT) -
1
[
W ] m3 · sr ·
Okreslenie „podobna" oznacza., ie dla obserwowanego oswietlenia od gwiazdy F 0 (.A) [W /m3 ] mozna znalezc takq, sta.lq, a i temperatur<;) T, by w zakresie dlugosci fal obejmowanym porniarami 7.achodzila przybliiona r6wnosc: (1)
Mozna si~ domyslec, ie stala a powinna byc k~tem brylowym obejmujq,cym tarcz~ gwiazdy, czyli a = n R~/r 2 , gdzie R@ jest pronlieniem, zas r© - odleglosciq, gwiazcly. R6inica pomi(;ldzy obserwowanym strumieniem swiatla F©(>.) i aB(T, >..) zaleiy ocl dlugosci fali .A i temperatury T . Jako miar12 podobienstwa tych funkcji 2 moina przyjftc wartosc calki S = f>.>. 2 (F0 (.A) - aB(T, >..)) d>., w kt6rej a i T si:i: 1 tak dobrane, by calka osiq,gala minimum. Najlepsze dopasowanie obu funkcji (najmniejsz<} wartosc S) moina otrzymac d1a temperatur bliskich lub przewyzszaji:i:cych 20 000 K. Im nizsza jest temperatura T wymagana dla naj lepszego dopasowania, tym jest 0110 gorsze (tym wi<;)ksza b~dzie minimalna wartosc S). Zauwazmy, ze wlasnosc promieniowa.nia gwiazd opisywan a zaleznoscil'), (1) moie byc wykorzystana do wyznaczenia temperatury ich fotosfer. Wystarczyloby bowiem zarejestrowac widme gwiazdy, na jego podstawie okreslic funkcj(;l F@(.A), a nast(;lpnie znalezc wartosc T, dla kt6rej otrzymalibysmy najlepsze dopasowanie. W praktyce temperatury fotosfer gwiazd wyznacza si~ metodami omijaj'1:cymi koniecznosc rejestrowania widrn gwiazd - procedury pracochlonnej i wymagaj l!cej kosztownego sprz~tu. S
19. Wyznaczanie temperatury fotosfer gwiazdowych na podstawie pomiar6w fotometrycznych
22 3
jest spelniana, stosunek F@P.·d/ F©(>, 2 ) wartosci funkcji F©(.X) dla dw6ch r6znych d.lugosci fali zalezy wylq,cznie od t emperatury:
F®(>,i) B(T, >.1) F©(>.2) ~ B(T, >.2)" Dla dowolnie wybranych >. 1, >.2 prawa strona r6wnosci jest znan(! funkcj(! temperatury. Wynika st(!d, ie oszacowanie temperatury powierzchni gwiazd byloby mozliwe, gdybysmy potrafili eksperyment alnie okreslac stosunek oswietlenia F©(>.) 00. gwiazdy dla dw6ch r6inych dlugosci fali. =>raktyczna realizacja tej og6lnie zarysowanej idei musi jednak uwzgl~dniae znuany strumienia swiatla powodowane przez: materi~ mi<;;dzygwiazdow
Wyst'2pujq,ce tu symbole A i B wskazujci: na filtry uzyte do pomiar6w jasnosci, 'KSkafoik i ( od S}owa instrurnentalny) przypomina 0 tym , ze obliczona roinica jasnosci jest charakterystyczna dla calego ukladu pomiarowego. Instrumentalny wskainik barwy CI~ 8 jest wielküSciq, zaleinl!> od F@(>.) oraz od uzywanego ukladu optycznego. Uklad ten charakteryzu.il!: funkcje: o(.X) , f A(>.), f B(A) , e(.X) , gdzie o(>.) cbarakteryzuje oslabienie strumienia swiat la spowodowane przez optyk~ teleskopu, fA C>..) , fB(>.) okreslaj~ efekt dzialania uzytych filtr6w, e(>.) zas jest tak zwanq,. wydajnosci4 kwantow4 detektora (szczeg6ly w dodatku H). Dolne i g6rne granice ca lkowania (>. 1, >.2 oraz A3, >.4) obejmuj~ zakresy dlugosci fal , dla kt6rych funkcja podcalkowa osiq,ga niezerowe wadosci. 0 wielkosci tych zakres6w decydujq,, l'7 gl6wnej mierze, uiyte filtry. Przywolana juz zaleznosc (9) z dodatku H wskazuje jednoczesnie spos6b obliczania wskainika barwy CI~ 8 przy zalozeniu, ze obrazy g"''iazd s~ rejestrowane kamerq, CCD: i
Gl BA
= _
2'
S l (Va - NB ViJ1a)texpA og tla · (VA - NA VA ) t expB
(2)
Do jego wyznaczenia niezb~dne jest zarejestrowanie obraz6w gwiazdy wykonanych przez dwa r6zne filtry Ai B. Znaczenie wielkosci: VA, v1 1a, NA, texpA, Vs, Vb'a, ~B, texpB, oraz szczeg6lowa procedura post~powania prowadzq,ca do wyznaczania ich z obraz6w CCD sq, opisane w dodatku H.
Cz~sc
224
II. Pomiary astronomiczne
Jesli przyjmiemy, ze gwiazda swieci jak c.d.cz. i wykorzystamy zwici:zek (1), otrzymamy:
a po odwolaniu si~ do wzoru (2) uzyskamy zaleznosc temperatury fotosfer gwiazd:
umozliwiaj~cCJ:
szacowanie
Lew
CCD zbudowanych na bazie detektor6w KAF zr6dlem danych o ich wydajnosci kwantowej moie byc stwna internetowa www.kodak.com/go/ccd.
19. Wyznaczanie lemperatury fotosfer gwiazdowych na podstawie pomiar6w fotometrycznych
225
• Korzystaj~c z obraz6w gwiazd wykonanych przez dwa filtry, z zaleinosci (2) mozna obliczyc war tose wskainika barwy gwiazdy (C IhA )obs, a nast~pnie, uwzgl~d niaj(!c rezultaty poprzedniego kroku, wyznaczyc wartosc Tt~ wynikajqc~ z r6wnosci (3), kt6r4 mozna zapisac w postaci: (CJ~A)obs = (CI~ A)(T@))teor· Wartosc T@ mozemy traktowac jako temperatur~ fotosfery gwiazdy. Analityczne przygotowanie mozna by rzeczywiscie na tym zakoi'1czyc. Pozostaje jednak koniecznosc skomentowania wiarygodnosci rezultat6w, kt6re mozna otrzymac w wyniku takiego post~powania. Podstawowym zalozeniem, kt6re doprowadzilo do finalnych wzor6w (2)-( 4), bylo przyj~cie, ze gwiazdy swiec(!. ja.k c.d.cz. Zalozylismy r6wniez, ie osrodek pomi~dzy gwiazd~ i obscrwatorem jest pr6zniq,. Zalozenia te bardzo ulatwiaj~ teoretyczn~ analiz~ problemu, lecz otwarte pozostaj~ pytania: Czy, lub w ja.kim stopniu, mogq, one byc spelnione? J ak zaplanowac i wykonac obserwacje, by w najwi~kszym stopniu zagwarantowac ich spelnienie? Rzucajq,cym sii;: w oczy swiadectwem odmiennosci widm gwiazd od widma c.d .cz. jest obecnosc w widmach gwiazd linii absorpcyj nych. Posr6d linii widocznych w widma.ch gwiazd. szczeg6lnie silne sq, linie wocloru z serii Balmera, obecne w widmach niemal wszystkich gwiazd. S~ one zwi~zane z przejscia.mi elektron6w pomi~dzy poziomem n = 2 i wyzszymi . Dlugosci fal odpowiadaj~ce tym przejsciom mieszcz~ si~ w granicach 656,2- 364,6 nm 20 . Poniewa.Z wszystkie fotony o >. < 364,6 nm s4 w stanie jonizowa.C atomy wodoru z obsadzonymi poziornami n 2: 2, wi~c s~ one w fotosferze silnie absorbowane. Z tego powodu poza graniq serii Bahnera (>. < 364,6 nm) poziom widma ci<'!:glego moze byc obnizony. Jednoczesnie w zakresie dlugosci fali nieco wi~kszych od dolnej granicy serii Ba.1mera (364,6 nm < >. < 430 nm) odleglosci mi~dzy liniami sq, tak niewielkie, :ile gdy odpowi adaj ~ce im nat~zenie promieniowania b~dzie duze (linie b~d~ gl~bokie i szerokie), nakladanie si~ skrzydel tych linii takze moze spowodowac obniienie poziomu widma ciq.glego. Skutkiem tego w otoczeniu >. = 364,6 nm mozna spodziewac sii;? znacznych odst~pstw widm gwiazd od wiclma c.d.cz. (poziom widma ci~glego gwiazdy moze byc obnizony). Wielkosc tego obnizenia b~dzie na.jwi~k sza dla tych gwiazd, w kt6rych poziom energetyczny n = 2 jest silnie obsadzony, a jednoczesnie strumien promieniowania o dlugosciach fali >. ~ 364,6 nm b~dzie wzgl~dnie duzy. Zgodnie z przewidywanfami mechaniki kwantowej i obserwacjami ·wyst~puje to dla gwiazd o temperaturach fotosfer 7 000-10 000 K (typ widmowy A) . Inn~ przyczyn~ mozliwych r6znic pomi~dzy widmami gwiazd i widmami c.d.cz. jest bardzo szybki przyrost liczby linii absorbcyjnych w dlugofalowej CZ!ilsci widma, towarzysz~cy obnizaniu si~ temperatury fotosfery. Jest to wyra.Znie zauwaialne w gwiazdach o temperaturach nizszych od 7000 K (typ F). Podsumowuj~c, mozna stwierdzic, ze widma najbardziej zbliione do c.d.cz. majq, gwiazdy o temperaturach 15000-30000 K (typu >vidmowego 05- B5). Jesli wi~c obserwowane b~d~ gwiazdy nieznane (o niellnanych wskainikach barwy i typie widmowym), to o spelnieniu za20
Dlugosc fali >. = 364,6 nm jes t zwhizana z prz"'jsciem z poziomu n = 2 na n -+ oo ü onizacja atomu wodoru z poziomu n 2). Wartosc >. = 364,6 nm nazywa si~ granic,q serii Balmera. Dlugosc fali >. = 656,2 nm jest zwi
=
226
CZfi!SC II. Pomiary astronomiczne
·lozenia (1) (warunku zakladaj ~cego podobienstwo widm gwiazd i c.d .cz.) b~dziemy mogli wnioskowac dopiero po wyznaczeniu temperatury fotosfery badanej gwiazdy. Odr~bna kategoria proces6w prowadz4cych do r6inic w obserwowanych widmach gwiazd i widmach c.d.cz. jest zwü~zana z rozpraszaniem i absorbcj4 promieniowania zachodz4cymi zar6wno w atmosferze Ziemi, jak i w m.m. Procesy te najcz~sciej okreslane sq, mianem ekstynkcji atmosferycznej oraz ekstynkcji mi<~dzy gwiazdowej. Oba procesy maj(}; selektywny charakter, eo oznacza, ze ich intensywnosc jest funkcj4 dlugosci fali. Najog6lniej moina stwierd:r,ic, ze intensywnosc obu rodzaj6w ekstynkcj i (patrz dodatek I) jest odwrotnie proporcjonalna do n-tej pot~gi dlugosci fali , przy czym wartosc n zaleiy od dlugosci fali i wielkosci czctsteczek rozpraszajq,cych. Dla ekstynkcji atmosferycznej n maleje z dlugosciq, fali, od n ~ 4 dla >. ~ 400 nm do n ~ 0,2 dla >. ~ 600 nm. Dla ekstynkcji mi~dzygwiazdowej n ~ 1. Tak wi~c w obu wypadkach ze wzrostem dlugosci fali maleje zar6wno intensywnosc ekstynkcji, jak i tempo jej spadku. Skutkiem obu rodzaj6w ekstynkcji jest obniienie poziomu widma ciq,glego. Jest ono tym wi~ksze, im mniejsza jest dlugosc fali. Efekt ten jest obrazowo na:zywany poczerurienieniem, a w odniesieniu do efekt6w dzialania m.m. - poczerwienieniem mi~dzygwiazdowym 21 . Jak jui wspominano, wskainik barwy jest zdefiniowany jako r6znica instrumentalnych jasnosci widmowych gwiazdy obserwowanej przez dwa filtry: CI~B =mA - mh. Standardowo mA odnosi si~ do filtru bardziej kr6tkofalowego nii m},. Liczbowa wartosc tak definiowanych wskainik6w ba.rwy b ~dzie wi~c podwyzszana przez kaidy rodzaj ekstynkcji. Przyrost ten b~dzie tym wi~kszy, im bardziej kr6tkofalowe b~dzie pasmo przepuszczalnosci jednego z filtr6w. Jesli pasma przepuszczalnosci dw6ch filtr6w A, B mieszcz4 si~ w dlugofalowej cz~sci widma, na przyklad w zakresie 500- 700 nm, to wskaznik barwy zbudowany z jasnosci widomych wyznaczonych przez te filtry: CI~ 8 = m~ - mk, mozna w pierwszym przyblizeniu traktowac jako niezmieniony przez ekstynkcj~ atmosferyczn~. W badaniach profesjonalnych starannie analizowane s~ oba rodza.je ekstynkcji. Ekstynkcja atmosferyczna nie interesuje astronom6w jako taka i jest traktowana wyl'!:cznie jako czynnik zaburzaj <.}cy wla8ciw4 informacj~. W tym wypadku wysilek astronomow jest skierowany wylq,cznie na uwzgl~dn ienie jej wplywu na zarejestrowany strumief:t swiatla. Praktyczny sposob wykonania t ego zadania nie jest skomplikowany i zostal opisany w dodatku I. Rezulta tem tej procedury jest wyznaczenie wartosci jasnosci widmowej gwiazdy lub wskainika barwy, kt6re bylyby obserwowane poza atrnosfer~ Ziemi. Ekstynkcja mi~dzygwiazdowa jest przez astronom6w tra.ktowana z wi~kszym zainteresowaniem. Powody Sll- dwa. P o pierwsze, tak jak poprzednio, jej znajomosc jest konieczna do otrzymania prawdziwych jasnosci gwiazdy i prawdziwego wskaznika barwy. Po drugie, badanie jej prowadzi do poznania wlasnosci. osrodka pocl1laniaj4Cego promieniowanie (jest to jedna z wainych metod badan materii mi~dzygwiazdowej). Procedury umozliwiaj<.}ce samodzielne wyznaczenie ekstynk21
To samo zjawisko powoduje poczerwienienie S!onca i KsifJzyca, gdy znajduj~ sii: one smug~ dymu.
w pobliiu horyzontu lub gdy SC! widoczne przez
19. Wyznaczanie ~empera~ury fotosfer gwiazdowych na podstawie pomiar6w fotometryc2nych
227
cji rrli~dzygwiazdowej vvymagaj~ zmudnych przygotowan i SC!; trudne do wykona.nia w warunkach amatorskich.22 . Jednak odpowiednie zaprogramowanie obserwacji umozliwia stwierdzenie eo najmniej jej istnienia, a tym samym stwierdzenie obecnosci materii mi<;)dzygwiazdowej. Planuj<:);c wykorzystanie zaleznosci (2), (3) i ( 4) do ·wyznaczania temperatur Cotosfer gwiazd, nalezy pami~tac o poczynionych zaloieniach i uproszczeniach. By zminimalizowac blQdy b~d~e ich nast<;)pstwem, nalezy starac si~ spelnic warunki: ~ Jesli zakres planowanych obserwacji nie prze\viduje wyznacza.nia pozaatmosfe'rycznego wskainika barwy, to powinno si
• .Jcsli pla.nowany zakres obserwacji b~dzie obejmowal wyznaczanie pozaatmosferycznego wskainika barwy, to wskazane byloby uiycie trzeciego filtru, bardziej kr6tkofalowego niz dwa poprzednie, n a przyklad obejmuj
c
ötrzyman~ z
C},0 .
Zadania • Oszacuj temperatury fotosfer dw6ch lub trzech gwiazd, wybranych samodzielnie lub wskazanych przez prowadzq,cego cwiczenie. • Uwzgl~dniajq,c ekstynkcj~ atmosferycznq,, oszacuj temperatury fotosfer kilku gwiazd spelniaj~cych nast~puj(!Ce warunki: s~ polozonc w plaszczyinie Drogi Mlecznej w bliskich sobie kierunkach, znajdujq, SifC w bardzo r6znych odlegloscia.ch od Ukladu Slonecznego, maj(!. ten sam typ widmowy, mieszcz4cy sifil w zakresie 05- B5. Nast~pn ie sprawdi, czy istnieje zaleinosc pomi12dzy wyz11aczon~ temperatur~ a odleglosciq, gwiazdy. 22
Pa.tnr, !'v1. Kubiak, Gwiazdy i materia mit;;dzygwfozdowa, Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa 1994.
228
Cz~sc II. Pomiary astron~~icz ne
Porady praktyczne vVykonuj~c
kt6rekolwiek z proponowanych zadan, post~puj zgodnie z nast~pujci:cym harmonogramem czynnosci. 1. Obliczenie teoretycznych wskaznik6w barwy. Na podstawie informacji podanych przez producenta lub uzyskanych z innych ir6del zbuduj numeryczne postacie funkcji f x(>.) oraz e(>.). Wiarygodnosc rezultat6w pomiar6w w zasadniczym stopniu zaleiy od dokladnej znajomosci tych charakterystyk. Dla otrzymania graficznej lub numerycznej postaci teoretycznej zaleznosci wskaznika barwy CI~B od temperatury (wz6r (4)) wykonaj numeryczne calkowania f;..~2 B(T, >.)jx(>.)e(>.) d.A, w gra.nicach obejmuj.e < >.c), to uiywae nalciy nastQpuj~cych wskaznik6w barwy: c~B = m~ - mh, Ckc = mk - mb. 2. Przygotowanie obserwacji. Wybieraji:};c gwiazdy przewidziane do obserwacji, na1eiy pami~tae: by mialy one jasnosc umoiliwiaj~q otrzymanie w rniar~ jasnych obraz6w {by sygnal V w srodku obrazu gwiazdy byl wyrainie wyiszy nii tlo nieba) ; by w czasie dogodnym do obserwacji gwiazda byla na wysokosci nie mniejszej nii 40° ponad horyzontem; jesli zakladane jest por6wna11ie otrzymanych wynik6w z danymi katalogowymi, nalezy wybierac gwiazdy obj~te kataloganii podaj<);.cymi t,yp widmowy lub jasnosci pozwalaj~ce obliczyc wskainiki barwy w systemie fotometrycznym Johnsona- :tv1organa; informacje takie SC! zawarte w wielu katalogach gwiazd, a w szczeg6lnosci: Michigan Catalogue of HD stars, vol.l, 2, 3, 4, Henry Draper Catalogue and E:-ctension (Cannon+ 1918- 1924; ADC 1989), The Tycho-2 Catalogue. 3. Wykonanie obserwacji. Przez kaidy z filtr6w wykonaj eo najmniej jedno zdj
mb
1Y. Wyznaczanie temperatury fotosfer gwiazdowych na podstawie pomiar6w fotometrycznych
22 9
odleglosci zenitalnych, to opieraj<');c si~ na in formacjach podanych w dodatku I, wyznacz pozaatmosferyczne jasnosci i wskafoiki barwy 23 . 5. Wyznaczenie t emperatury i analiza wyniku. Korzystajq,.c z graficznej lub numerycznej postaci zaleznosci teoretycznego wskainika barwy od temperatury (przygotowanych w punkcie 1) i wartosci CI otrzymanych z obserwacji (patrz poprzedni krok) , wyznacz temperatury fotosfer gwiazd. Sprawdz, czy T@ (CJ~ 8 ) < T@(Clkc) . JeSli tak niejest, zastan6w si~ nad przyczynami niewlasciwej relacj i (zapis Te (CI1c) oznacza temperatur~ wynikaj
• Kamera CCD ze znan.). • Teleskop, luneta lub obiektyw fotograficzny o dowolnej srednicy. • Filtry barwne lub interferencyjne o znanych cha.rakterystykach. • Vlskazany, choc niekonieczny, mechaniczny montai umozliwiaj
23 Sporzqdi diagram (m \,sec z ) i nanie8 rezultaty obserwacji dla kaidego z filtr6w. Eks-
trapolujitc liniowo obserwacyjnq, zale:imosc pomi~dzy m\ i sec z do wartosci sec z z diagramu odczytaj pozaatmosferyczn
=
0, wprost
20. Wyznaczanie rozktadu g~stosci gwiazd, g~stosci centralnej i catkowitej liczby gwiazd w gromadach kulistych Wprowadzenie Gromady kuliste SC'!: obiektami o niewielkiej jasnosci widomej. Zobaczenie nawet najja.5niejszych z nich wymaga uiycia lornetki. Przez lornetkf,) lub nieduzci: lunet~ widac je jako koliste obloczki. Dopiero po kilkunastominutowym naswietlaniu kliszy fotograficznej lub kilkunastosekundowym naswietlaniu detektora CCD uwidacznia siQ ich dokladniejszy obraz: sferycznie-symetryczne skupisko gwiazd, kt6rych g~ stosc silnie rosnie ku centrum (patrz fot. 20.1). GQstosc gwiazd w centrum gromad kulistych jest tak duia, ie obrazy poszczeg6lnych gwia.zd s~ nierozdzielone. Po latach badan tych obiekt6w astronomowie sc:i: zgodni, ze gromady kuliste: • sq. sferycznie symetrycznymi skupiskami setek tysi~cy lub milion6w gwiazd, • sq. skladnikami naszej i innych galaktyk, • s~ najstarszymi znanymi obiekta.mi w galaktykach, • sq. rozloione sferycznie-symetrycznie wzgl~dem ceutr6w galaktyk, • poruszajq. si
.... '
. .. '
..•
„ •„
.." „ •. Fot. 20.1. Zdji;:cie gromady l'v115 wykonane
kamen~
.. Pictor 416 XTE, z czasem ekspozycji
t = 30 s, za posrednictwem teleskopu Meade LX200, 12" , f/3.3 (w pracowni astronomicznej Instytutu Fizyki Uniwersytetu w Bialyrnstoku)
si~
Tabe la 10.1. Groma d y kuliste naj bar d ziej nada j (\ce
Srednica obszaru emitujl),cego 90% swiatta
k~towa
Nazwa NGC Messier
Rektascensja o:
[h)
[m)
Deklinacja c5
[o] [')
d.o o b serwacji
J asnosc srednia 25 najja$niejszych gwiazd [mag]
Jasnosc calkowita [mag]
Odleglosc [kpc)
14
15,28
8,28
20,0
9
15,86
10,50
16,4
19
14,35
6,86
10,6
15,99
9,95
21,3
Srednica lqtowa
[']
["] 5024
M53
5053 5272
M3
5466
13
10,5
+18
26
13
13,9
+17
57
13
39,9
+28
38
14
03,2
+28
46
8,3
9,3
5904
M5
15
16,0
+02
16
10,7
20
14,07
6,69
8,1
6205
Ml 3
16
39,9
+ 36
33
12,9
23
13,85
6,43
6,3
16
45,6
+47
37
3,6
16,50
9,81
24,7
6229 6341
l\192
17
15,6
+43
12
12,3
12
13,96
6,94
7,9
6779
M56
19
14,6
+30
05
10,1
5
15,54
9,14
10,5
6838
M71
19
51 ,5
+18
39
10,2
15,00
7,90
2,6
20
31 ,7
+07
14
3,3
16,06
9,58
18,3
21
27,6
+ 11
57
9,4
14,44
6,96
10,5
6934 7078
Ml5
Na podstawie Gtobular-Cluster Cat alog, Arp 1965.
20
232
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
Te rozpoznane dotychczas wlasnosci gromad kulistych czyni<1; je jednymi z najbardziej interesuj~cych i wainych obiekt6w. Ich doldadne zbadanie ma duie znaczenie dla weryfikacji poprawnosci fundamentalnych teorii astronomicznych dotycz~ych ewolucji gwiazd, ewolucji galaktyk oraz ewolucji calego Wszechswiata. Celem tego zadania b~dzie okreslenie przestrzennej g~stosci gwiazd w gromadach kul.istych jako funkcji odleglosci od centrum gromady, wyznaczenie g~stosci gwiazd w centrum oraz oszacowanie liczebnosci calej gromady. Zadanie takie mozna b~dzie wykonac tylko dla gromad o znancj odleglosci. Najdogodniejszymi do \vykonania tego zadania b<2d~ gromady zamieszczone w tabeli 20.l. Najwainiejszym sposr6d wymienionych cel6w b~dzie okreslenie funkcji n(x, y, z) opisuj~ej przestrzenn~ g~stosc gwiazd w gromadzie. Znajomosc tej funkcji umozliwia astronomom weryfikacj~ modeli opisuj~cych wewn~trzn~ dynamik~ i ewolucj~ gromad, a poza tym umozliwia wyznaczenie g~stosci gwiazd w centnun gromady i l~cznej liczby gwiazd w groma
20. Wyznaczanie rozkladu g~stosci gwiazd, gi;stofo centralnej i calkowitej lic.zby gwiazd . . .
233
;
Rvs. 20.1
R ys. 20.2
d
-··· ........... ·:.-.:~·::.:·::.·.: ·········
·······
D
.. -· ·
.-··
/···/ /
......•••.....................
obraz gromady
R.ys. 20.3. Odleglosciom mierzonym na kliszy odpowiadaj<); odleglosci przestrzenne gromady
i grubosc wynosz(!: odpowiednio: rk = sd(xk - xc), ~r = sd~x , gdzie s jcst kq,tow(} skal~ obrazu24 , zas d - odleglosci
w takiej warstwie zalezy od jej obj~tosci oraz od g~stosci gwiazd w poszczeg6lnych miejscach warstwy. Naszym zadaniem bfi:dzie dob6r takiego typu funkcji n(r) i tal<11towa skala ohrazu jest to liczba jednostek ~towych przypadajl'lca na jeden pikse] lub na jednostk~ dlugosci obrazu. Jesli x jest wyraiane w pikselach, s zas w radianach/ piksel, to iloczyn sxd b~dzie o dleglosci~ wyrazonit w jednostkach, w kt6rych jest wyrazone d . Spos6b wyznaczenia skali obrazu jesl. opisany w dodatku E. 24
c;:~sc II. Pomiary astronomicz~,:
234
R ys. 20.4. Gwiazdy widocznc w prostok'ltnym fragmencie obszaru gromady (rys. 20.2) w rzeczywistosci rozmieszczone s~ w warstwie w kszta.lcic wa.lca
kiej jej szczegolowej postaci, dla ktorej przewidywa.naja.snosc mteor(xk) kazdej warstwy b~dzie zgodna z zaleinosci~ obserwowan
L.f=
N(rk ,ßr)
=
{ D/2
Jo
{D/2
n(rk,y)ßr2Jrydy
= 27rßr Jo
n(rk,y)ydy.
(1)
Zmienn(!; y , bQd
1-0. Wyznaczanie rozkladu g~stosci gwiazd, g~stosci centralnej i calkowitej liczby g.-viazd ...
235
.zrniennych otrzymamy V(D/2) 2 +r~
N(rk, 6 r) = 2Jr6 r {
(2)
n(r)r dr
J !rk l
lub (2a)
Obliczmy teraz jasnosc widom
N(xk, 6 x) . Patrzq,c na obraz gromady, jui na pierwszy rzut oka widac, ie j asnosci gwiazd nalez
L
17 N(Fl) F.sr, -_ "L rl N ,
(3)
przy czym sumowanie rozci(!:ga si~ na skonczon
F
ffiteor(Xk) - msr = -2 ,5 log -p., . sr
A poniewaz
F = F'srN(xk, 6 x, H ), wi~c ostatecznie
ffiteor(Xk) 25
= msr -
2,5 log N(xk , ß x, H)
(4)
W kaidym systemie fotometrycznym jasnosc widoma obiektu m jest zwi
236
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
lub
(4a) .Jak widac, do stworzenia konkretnej postaci modelowej funkcji mteor(xk) poza wymienianymi dotychczas wielkosciami (d) s, Xk, b,,x, H ) niezb~dne jeszcze b~dzie okreslenie wartosci msr oraz zaproponowanie konkretnej postaci funkcji n(r) . Dokladne okreslenie sredniej jasnosci widomej gwiazd wchodzClCych w sklad gromad kulistych jest zadaniem niemozliwym do wykonania nawet przez profesjonalist6w korzystaj
(5a)
(5b) przedstawione na rys. 20.5 dla kilku r6znych wartosci a:. 26 Najcz~ciej funkcja jasnosci jest podawana w postaci
20. Wyznaczanie rozkladu g~stosci gwiazd, g~stosci centralnej i calkowitej liczby gwiazd... a)
237
b) xl04
x i ()4
3.o- --... 1
~
R=2pc nc = 30 000 pc·3
1
~ 2,0
2,5
'.\
\\•. 1
a=3 ·~. ,,,. a =2 1 ·• '-./"' ·~·,< a = 1 <'\~
" 2,0
„
]
-~ 1,5
a =5
' "-
,
·~ 1,5
...,
* <.>
'
'"'
'
~ 1,0
gi; 1,0
-·- ........
0,5
0,5
--0
R=2pc nc = 30 000 pc-3
2
3
4
odleglo~c
5 6 7 8 9 od centrum r [pc]
10
II
0
2
3
········
4 5 6 7 8 9 odleglosc od centrum r [pc]
10 11
Rys. 20.5. Dwie proponowane funkcje rozkta.du gf,)stosci gwiazd w gromadach dla kilku wartosci pa.rarnetru a: a) funkcja opisana wzorem (5a.); b) funkcja opisana wzorem (5b)
Po okresleniu wartosci m 5 r, przetransponowaniu jasnosci instrumen:talnych mobs(xk) na jasnosci wizualne oraz wyborze funkcji n(r) mozna wykonac dopasowanie funkcji modelowych ffiteor(xk) opisanych wzorem (4a) do funkcji mobs(xk) wyznaczonej obserwacyjnie. Ten etap pracy, polegaj<'!CY na zmienianiu wartosci a, R, nc i obserwowaniu wp1ywu tych zmian na postac funkcji rnteor(Xk) i jakosc dopasowania, najlepiej wykonac numerycznie. Ostatecznym efektem b~d11 wartosci a:, R, nc precyzuj~ce najbardziej odpowieclniq, postac n(r). Dodatkowym rezultatem dopasowania b~dzie okreslenie wartosci Xe - parametru wyznaczajq,cego polozenie centrum gromady na obrazie. Dia bardziej dobitnego zobrazowania g~stosci gwiazd w gromadach kulistych, opr6cz pokazania funkcji n(r) w wartosciach bezwzgl'ildnych, mozna przedstawic j<}; w postaci n(r)/nsc, gdzie nsr jest sredni~ g~stosci"!: gwiazd w Galaktyce w otoczeniu Slonca (n51 >:::::: 0,l/ pc3 ). Jeszcze bardziej sugestywne byloby przedstawienie funkcji l(r) lub l(r)/lsr, gdzie l(r) jest sredni
Nc(p) = 47r Jo
n(r)r2 dr.
(6)
Calkowit'!; liczb~ gwiazd mozna obliczyc jeszcze inaczej. Jesli prostok<};tne obszary (xk, 6-x, H) , w kt6rych byla wyznaczana jasnosc wicloma, dokladnie stykaly si~ ze sob~ (Xk+J = Xk + 6-x), a ich l ~zna powierzchnia obejmowala calq. gromad<2, to za liczb ~ gwiazd w gromadzie mozna uwaiac sum~ liczby gwiazd we wszystkich prostok~tnych polach obliczon~ dla najlepszego dopasowania: I<
Ne= °L N(xk,6.x,H) = 27rsdßx k= l
K
L k=l
1sd.,j(H/2) 2+(xk-Xc) 2
n(r)rdr. sd jxk - xcl
(7)
238
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
Skladniki tej sumy zostaly juz obliczone przy budowaniu funkcji mieor(xk) · Jesli celem pomiaru mialoby byc wyznaczenie wylq,cznie calkowitej liczby gwiazd w gromadzic, to nie jest konieczne okreslanie funkcji rozkladu g~stosci gwiazd. Wartosc t~ mozna bowiem oblkzyc na podstawie przyj~tej wartosci sredniej jasnosci v.ridomej m~r gwiazd i wyznaczonej jasnosci widomej mc calej gromady w systemie fotometrycznym zblizonym do tego, w kt6rym zostalo okreslone m 5r (jasnosc mc nalezy wyznaczyc w kwadracie obejmujq,cym calq, gromad~) . Z definicji jasnosci instrumentalnej wynika bowiem, ze mc = msr - 2,5 log(NcFsr/Fsr) = msr - 2,5 log Ne, a stci:d otrzymujemy (8)
spelnione nast~pujq,ce warunki: • X1c+ 1 = Xk + L.'1 x, gdzie Xk, Xk+l sq, wspülrz~dnymi nstalonej kraw~dzi prostol«1t6w (xk, 11x, H), w kt6rych jest wyznaczana jasnosc widoma, o liczba prostokq,t6w ]( jest taka, ze K L.'1 x = H, • pomiar jasnosci mc byl dokonany w kwadracie o boku H obejmuj ~cym dokladnie ten sam fragment kadru, eo K prostokq,t6w (xk, 11x, H) , to calkowita liczba gwiazd w grornadzie obliczana kazd~ z opisanych metod (wzory (6), (7), (8)) powinna byc taka sama: Jesli
b~dq,
r sdH/ 2
41T Jo 0
n(r)r 2 dr
K
=L
N(xk, L.'1 x, H ) = 100,4 (mg„ - ma).
(9)
k=l
Zadanie Okresl funkcj~ g~stosci gwiazd, g~stosc centraln<'!· i calkowitq, liczb~ gwiazd w jednej z gromad kulistych wyszczeg6lnionych w tabeli 20.1.
Porady praktyczne 1. Rejestracja obrazu gromady. Obraz gromady nalezy zarejestrowac kamen:!: CCD. Obraz powinien obejmowac calq, gromad~ . Z tego wzgl~du wa.zny jest odpowiedni dob6r parametr6w kamery CCD i ukladu optycznego tworz4cego obraz (luneta, teleskop). Jesli krotszy z bok6w det ektora kamery CCD (potocznie nazywa.nego chipem) wynosi Y, to obraz gromady b~dzie s i~ miescil na detektorze, gdy ogniskowa. f ukladu optycznego b~dzie spelniala warunek J ::::; Y / , gclzie jest srednicq, gromady wyraion"! w radianach. Z wartosci dla gromad zamieszczonych w tabeli 20.1 widae, ie na przykla
20. Wyznaczanie rozkladu
g~stosci
gwiazd,
g~stosci
centralnej i calkowitej liczby gwiazd.. .
239
2. Redukcja obrazu i wyznaczenie jego kqtowej skali. Przed przyst~ pieniem do pomiar6w jasnosci mobs(Xk), mc nalezy dokonac podstawowej redukcji obrazu, polegajll-cej na odj~ciu od wykonanego obra:zu „kadru ciemnego" i „podzieleniu" rezultatu przez „kadr plaski" (patrz dodatek G). Skal~ obrazu mozna wyznaczyc ze zdj~ci a gromady lub innych zdj~c '"-'"Ykonanych tym samym ukladem optycznym. Jesli skala obrazu b~dzie wyznaczana z obrazu gromady, to ir6dlem informacji o wsp6lrz~dnych gwiazd moze byc obraz gromady, kt6ry moina uzyskac za posrednictwem narz~clzia internetowego Aladin (http://aladin.u-strasbg.fr/aladin.gml). Opis procedury wyznaczania skali obrazu jest zawa.rty w dodatku E. 3. Pomiary jasnosci widomych mobs(xk) , mc. Szerokosc ßx i wysokosc H prostok
V -N\lt1a
,
(10)
texp
gdzie V jest sum~ wartosci sygnalu pikseli, kt6rego fr6dlem jest gwiazda, N liczb~ pikseli , na kt6rych powstal obraz gwiazdy, \/tta - srednil} wartosciq. sygnalu dla tla nieba, texp - czasem ekspozycji obra.zu. Metoda wyznaczania tych wielkosci za pomoc
240
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
. w sklad gromady b~dzie wyznaczana z r6wnania
ffisr
= 111sr + 5 log d - 5
(11)
po przyj~ciu okreslonej wartosci na sredni
Do wykonania tego zadania niezb~dna jest luneta lub teleskop o ogniskowej spelniaj(!cej warunek f S Y · 3500/1/, w kt6rym Y jest szerokosci<'): matrycy detektora, zas ef/ - sredniCl:l: gromady wyraionQ: w minutach luku. Ze wzgh2du na koniecznosc wykonania kilkudziesi~ciosekundowej ekspozycji luneta powinna byc osadzona na montazu paralaktycznym z automatycznym prowadzeniem. Do wyznaczenia jasnosci instrumentalnych wybranych obszar6w kadru niezb'()dne b~dzie standardowe oprogramowanie wykorzystywane do analizy obraz6w CCD (na przyklad program PictorViewXT towarzysz4Cy kamerze Pictor 416 XTE) . \\i dodatku J SQ: przedstawione kody dw6ch program6w umozliwiajitcych por6wnywanie mteor(Xk) z mobs(xk) i wyznaczenie parametr6w a:, R, n c funkcji n(r), zdefiniowanych zaleinosciami (5a) i (5b).
21. Badanie rozktadu gwiazd w Galaktyce na podstawie zliczen gwiazd Wprowadzenie Podstawowa idea opisanej nizej metody badan przestrzennego rozkladu gwiazd jest wyj'ltkowo naturalna. Wykorzystujemy j
jasnosci widome mieszcz4si~ w okreslonych granicach. Rezultatem zliczen moie byc na przyklad funkcja N(m), kt6rej wartosc dla kaidego 1n jest r6wna liczbie gwiaid
m(
o jasnosci widomej m spelniajq,cej warunek m < czyli liczbie gwiazd, kt6re postrzegamy jako jasniejsze niz gwiazdy o jasnosci m). Funkcja N(m) powinna byc ci'lgla i niemalej'lca, wi~c do jej okreslenia wystarczy wyznaczyc wartosci N dla kilku lub kilkunastu wartosci m. Zaleznosc N(m) wyznaczona z obserwacji b~dzie w dalszej cz~sci tekstu oznaczana jako N°b5 (ifi). Poniewai zliczanie b~dzie obejmowalo ustalony obszar nieba, z kaidq, zaleinosci~ N°b 5 (m) b~d'l zwi'lzane trzy parametry: w, <.p, e, z kt6rych w jest l«item brylowym obejmuj~ym obszar nieba,
(
wsp61rz~dnych
Cz~sc
242
II. Pomiary astronomiczne
Rys. 21.1. Zar6wno kierunek obserwacji, jak i wielkosc .kJ!ta brylowego obj~tego obserwacj~ mozna okreslac za pomoc
staje si~ pytanie, czy jej poznanie pozwoli scharakteryzowac wszystkie te wptywana ni~ czynniki, a konkretnie, czy na podstawie sa.mego zliczenia gwiazd b~dzie rnoina opisac przestrzenny rozklad gwiazd i oblok6w nun. Powszechnie stosowana procedura prowadzq,ca w tyrn kierunku rozpoczyna si<2 od zbudowania teoretycznie mozliwych zaleznosci: Nwcpe(m,p1, P2 , . .. ,pn) - modeli, w ktorych Pi,P2, . .. ,pn bf,!dq, parametrami okreslaj<'):cymi: pr1;estrzennll g~stosc swiec~cych obiekt6w' ich jasnosc absolutn(!. lub polozenie i wlasnosci oblok6w materii mi~dzygwiazdowej. Da.lsze post<2powanie odbywa si~ zgodnie ze standa1:dowym scenariuszem. J ego celem jest znalezienie takiego zesta·wu wartosci parametr6w pi, P2, . . . , Pn, dla kt6rego otrzyrnamy najlepsze dopasowanie modelu Nwcpo(m,p 1 ,p2, . .. ,pn) do zaleznosci otrzymanej z obserwacji N~~~(m). Przyjmuje si~, ze o jakosci dopasowania decyduje wartosc wyrazenia
j ~ce
z S(p1,P2, ... ,pn) = L(Nwcpo(mi, P1, P2 , ... ,Pn) - Ni~~(mi)) 2 ,
(1)
i=l
w kt6rym i numeruje wartosci m, dla kt6rych byly wykonane zliczenia gwiazd, zas jest l
z
21. Badanie rozkladu gwiazd w Gala ktyce na podstawie zliczen gwiazd
243
leglosci w nieobecnosci oblok6w m.m., jak i wtedy, gdy gwiazdy wypelniajq, cal"!: przestrzen ze stal(!; g~stosci(!;, a w odleglosci, w kt6rej poprz€!dnio zaczynala si~ pustka, znajduje si~ pocz~tek g~stego obloku m.m. ChoCby z powodu takiej ewent ualnosci nie jest moiliwe wiarygodne wyznaczenie g~stosci przestrzennej gwiazd j rozlokowania oblok6w m.m. na podstawie sa.mych tylko zliczen obiekt6w. Zliczenia pozwol"!: okreslic charakterystyki jednego z wymienionych czynnik6w, o ile charakterystyki dw6ch pozostalych czynnik6w wplywajq,cych na liczb~ zliczen bf2d~ okreslone na podstawie innych obserwacji. J eSli celem zliczen ma byc zba.danie przestrzennego rozkladu gwiazd, to do wykonania tego zadania niezb~dna b~dzie znajomosc rozlokowania oblok6w m.m. i jasnosci absolutnych gwiazd. Obszern<'! wiedz~ o przestrzennym rozlokowaniu oblok6w w Galaktyce uzyskano z badan radiowych oraz badan poczerwienienia gwiazd. \1\Tynika z nich, ze dla szerokosci gala.ktycznych wi~kszych niz 30° i odleglosci obiekt6w nie przekraczaj~cych 500 pc pochlanianie 5wiatla przez m.rn. b~dzie niewielkie. J asnosci absolutne gwiazd oblicza si~ z r6wnania M = m - 5 log r + 5 po zmierzeniu jasnosci widomej m i odleglosci gwiazdy r albo na podstawie dwuargumentowej klasyfikacji widm gwiazd zwanej klasyfikacj
Zliczanie gwiazd o ustalonej jasnosci absolutnej Jako pierwszy rozwazmy przypadek zliczef1 gwiazd o ustalonej znaneJ Jasnosc1 absolutnej. Przyjmijmy, ie podj ~lismy si~ zliczania gwiazd, kt6rych jasnosc absolutna wynosi J...1. Warunkiem v.rykonania takich zliczen jest znajomosc (lub umiejf2tnosc okreslania) jasnosci absolutnych gwiazd. Typowa procedura obserwacyjncgo okreslania jasnosci absolutnej gwiazdy jest bardzo pracochlonna. Wymaga zarejestrowa.nia widma i jego oceny albo okreslenia jasnosci gwia.zdy \V kilku zakresach dlugosci fali. Dotychczasowe rezultaty tej ogromnej pracy s~ zawarte w ka.talogach spektroskopowych lub spektrofotometrycznych gwia.zd. Wynika st<'!
244
Czi:sc II. Pomiary astronomiczne
m
=NI+ 5 log r
- 5
lub
r = 10°·2 (m-M+5),
dr = 0,2ln10 · 10°·2
M+ 5)
dm.
(2) (3)
P oliczmy liczb~ gwiazd widocznych w kc:i:cie brylowym w, kt6rych jasnosci widome s~ zawarte w przedziale m, m + dm. Takie jasnosci widome majc:i: tylko te gwiazdy, kt6re mieszczq, si ~ w warstwie sferycznej ograniczonej sferami o promieniach r , r+dr spelniaj::i:cych r6wnosci (2) i (3) (patrz rys. 21.1). Liczba tych gwiazd jest r6wna obj~tosci tego obsz,aru wr 2 dr pomnozonej przez przestrzennc:i: g~stosc gwiazcl nipo (r) : dNwipfJM(m) = nipo111(r)wr 2 dr = 0,2ln10 · wn
(4)
W drugiej cz~sci tej r6wnosci dokonano zamiany zmiennych zgodnej z (2) i (3). Poszukiwanq. liczb~ gwiazd, dla kt6rych m < m, otrzymamy po zsumowaniu wszystkich gwiazd polozonych w odleglosci mniejszej niz 10°·2 (m-iw+ 5 ):
1
10o ,2 ( m-M + 5 )
NwipBM(m) =w
=A
1:
n
nipoM(m)l0°•6 m dm,
(5)
gdzie A = 0,2ln 10·w10°·6( 5 - M ) jest wielkosciq, stal
i
10o ,2 ( m
- M +5)
r 2 dr
= ~wn1100,6(m - llH5) = an1 l00,6m' gdzie a = ~w10°· 6 < 5 -M ) . Zaleinosc ta cz~sto jest przedstawiana w postaci logarytmicznej: log N
~.~ rozkladu
a)
4
gwiazd w Galaktyce na podstawie zliczen gwiazd
.
x l0-3
4
245 xl0-3
x l0·3
4.------....-----.
~
t,
:k 3
..!:J 3
s
"'
"O
~
s
]"' t ..,,
2 - -- - -- - -- -
·~
..,, •<.)
2
g
„, \.
500 1000 odleglosc r (pc]
0
b)
500 1000 odleglosc r (pc]
0
1500
' ,,'' ,
~ 1000
~
·~
„ (,)
0
1500
iE
-~
'"
, · ......
1
I I
500 I
:.:::
10 14 12 jasnosc widoma m [mag) 8
500 1000 odleglosc r (pc)
;,
iE
:
iE
~1000
]
·~
-~
~ 500
j
~
„
~
,
:1 :I :1 :1 J 1
~ 1 000
"O
500
l
1.·
I /
'
--- ' -. . . .... -·.
1500 ....--~-~--.,.._..,. , --.
I
0
,„,.
''
"\
~ "°
.,."' "°
.....
1 . 1
•(,)
0 8 10 12 14 jasnosc widoma m [mag)
8 10 12 14 jasnosc widoma m [mag]
R ys. 21.2. a) Trzy rodzaje funkcji przestrzennego rozkladu g~tosci gwiazd z r6:imymi wartosciami para.metr6w; b) zaleznosci N(m) dla funkcji g<;)Stosci gwiazd postulowanych na rys. a) dla t.f = 4 m ag, w = 0,03 sr
Druga funkcja pokazana na rys. 21.2a ma
nast~pujq,cq,
postac analitycznq,:
Gwiazdy S(!. do pewnej odleglosci r 1 rozlokowane ze stal~ g~stosci~ n 1 , a dalej ich g~sto8c spada wykladniczo w tempie zaleznym od pararnetru r2 . P arametrami funkcji s~: r1, r2, n 1 . Trzecia funkcja na rys. 21.2a ma postac
Cz~sc
246
II. Pomiary astronomiczne
Zgodnie z jej przebiegiem w zakresie odleglosci (0, r 1 ) g12stosc zmienia si~ od n 1 (dla r = 0) do n 2 (dla r = ri) : moie malec lub rosnl:!L Poza r 1 g~stosc gwiazd maleje w tempie zaleznym od r 2 . Para.metrami tej funkcji S
Zliczanie wszystkich gwiazd Dotychczasowe rozwazania dotyczyly zliczania gwiazd o ustalonej jasnosci absolutnej. Teraz rozwaimy przypadek zliczania wszystkich gwiazd widocznych w wyodr~bnionym kcteie brylowym. W tym wypadku do zbudowania modelowych funkcji Nwrpo(m) niezb~dna jest wiedza o prawdopodobiei1stwie, z kt6rym gwiazdy przybiera.i
0, 10 ~
/t/>(x)dx
~
-6 ~/
·~ 0,06
:
•(,)
~
:
M
so,os
0,04
1;li 0,02
o
2
4
6
s
10 12
14 16 18 20
jasnosc absolutna M [mag)
R ys. 21.3. Przebieg funkcji jasnosci tf>(M) oraz calk i .f~~ tf>(x) dx
Wartosci ef>(M) zamieszczone w trzeciej kolumnie tabeli odnosz
247
21. Badanie rozkladu gwiazd w Galaktyce na podstawie zliczen gwiazd
Tab ela 21.1. Funkcje jasnosci dla gwiazd cicigu glownego
M 1
1
-6 -5 -4
-3 -2 - 1
0 1 i
1
1
2 3 4 5
6 :
1 1
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
-
Sp
-
1,950. 10- 9 2,692. 10- 8 1,514 .10- 7 6,607. 10- 7 2,630 . 10·- 6 1,096. 10- 5 3,981 . 10- 5 1,479 .10- 4 3,981 .10- 4 1,000. 10 - 3 1,995 . 10- 3 2,818. 10- 3 3,631 .10- 3 4,266 . 10- 3 4.571 .10- 3 5.248 . 10-3 ' 6,457. 10- 3 8,913 .10- 3 1,288 .10- 2 1,660. io- 2 1,622 .10- 2 i ,318. 10- 2 9,550. 10-3 5,754 . 10- 3 2,512 .10- 3 3,802 . 10- 4 1,905. 10- 5
BOV ß2 V 84 V 85 V B7V AOV A5 V F2 V F8 V G5V KO V K5 V f(8 V MOV M2V M3V
-
-
-
-
-
l
= ij I/(M ) [pc]
J!~ (x) dx lpc- 3 ]
800,4 333,7 187,6 11 4,8 72,4 45,0 29,3 18,9 13,6 10,0 7,9 7,1 6,5 6,2 6,0 5,8 5,4 4,8 4,3 3,9 4,0 4,2 4,7 5,6 7,4 13,8 37,4
1,950 .10- 9 2,887 .10- 8 1.802 .10- 7 8.409. 10- 7 3,471. 10- 6 1,444 . 10-5 5.425. 10- 5 2'022. 10- 4 ' 6,003. 10- 4 J ,600. 10- 3 3,596. 10- 3 6,414. 10- 3 1,004. 10- 2 1,431 . 10- 2 1,888 . 10- 2 2,413 . 10- 2 3,059. 10- 2 3,950. 10- 2 5,238. 10-2 6.898. 10- 2 8:519. 10- 2 9,838. io- 2 1,079 .10- 1 1,137 . 10- 1 1,162 . 10- 1 1,166-10- 1 1,166. 10 - 1 )
_J
:-la podstawie: K . Leng, Astrofi ziczeskije Formuly, Mir , Moskwa 1978.
wartosci funkcji c/J(M) dla ws7.ystkich wartosci jasnosci absolutnych podanych w tabeli 21.1 (f~~ cjJ(M) dl\1), ot rzymamy liczb~ 0,117 /pc 3 , ktor
248
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
. czyli ncplJ(M1 , r)/ncpB(M2 , r) = (M1 )/(M2). Jest to r6wnoznaczne z przyj~ciem, ie zaleinosc nq,B(M, r) od odleglosci jest nast~pujq,ca:
n'Pe(M, r)
= 'f/
(6)
Przy takim zalozeniu przestrzenny rozklad g~stosci gwiazd w pelni opisuje bezwymiarowa funkcja 'l]cpe(r) . Calkujq,c wyrazenie (6) po calym zakresie jasnosci, otrzymujemy T/cpo(r) = r:~ nr.pe(M, r) dM / r:.~ (M) dJVI. Wartosc funkcji 1J
J 1
20
Vdysku
Jednocze8nie
n.pe(M, r) dM dV =
J'
-6
'/]cpB(r) dV
-6
Vdysku
liczb~ t~
;·20 (M) dM.
moina wyrazic jako iloczyn sredniej
g~stosci
gwiazd
.f~~
J
V..iysku
T/
1
20
(M) dM =
Vdysku
- 6
120 (M) dM, - 6
a st~d wynika wniosek, ie Jrv: '/]
m
m
m-
m,
dNwcpo(m ) = wr2 1Jr.pe(r)
(J
m- 5Iog r+5
_ 6
)
(M) dM dr.
249
21. Badanie rozkladu gwiazd w Galaktyce na podstawie zliczen gv;iazd
faczb~ wszystkich gwiazd spelniaj~cych wan mek rn < m otrzymamy sumuj(!c przyc-zynki dNwc,oo(m) pochodz<'!CC od wa.rstw po:lofonych w dowolnej odleglosci:
{'X> 2 ( rm-5logr+5 ) Nwipo(m) = w Jo r TJipo(r) } _ (M) dM dr. 6
Nieskonczonosc wyst<~puj~c~ w granicy pierwszej ca1ki moina zast~p ic wartosciQ. skof1czo111!, gdyi pocz~wszy od pewnej odleglosci nawet najja5niejsze gwiazdy (JYI = -6m) b~dq, zbyt slabe, hy spelniac wanmek m < m. Sposr6d wszystkich gwiazd o jasnosci absolutnej iVJ warunek m < sp elni~ tylko te, kt6rych odleglosc jest 0 2 5 mniejsza niz io • (m-M+ ) . Odlcglosc ta jest najwif~ksza dla gwiazd najja5niejszych o Al= - 6m i wynosi lü0 · 2Un- (- 5)+5} = lü0• 2
m
r 0,2{m+l l )
Nwc,oo(m) = w .fo
r 217ipo(r)
( Jm - 5 logr+5
_
)
(7)
6
Dia kaidej wartosci mi r cz~sc tego wyrazenia, a mianowicie J~-S logr+5 (M) dM, a)
0,4 .------,.----
0,4.....----.--- - - .
0,4.....--- - . . - --
s ----------
:s "'
]"' 0.2-
] 0,2 ·~
1---------t
.\
•(.)
] 0,1-
~
"„, ·,,,„
..... ,.
.„ •(.)
\
~ 0,1
............ ..
0
--..,
:k 0,3
io.3 ·~
-.
500
0
1000
odleglosc r (pc]
500
·' '
''
'
~----:'
1000
odleglosc r [pc) 1500~~-~-~---,
0
..... ..:..
500 1000 odleglosc r [pc]
1500 .--~-~-~-~ I I
i?
i?
I
~1000
~ 1000
]
]
·~
·~
_g 500
-ß"'
~
~
I I I I
•/
I
„.; / /
8 10 12 14 jasnosc widoma m [mag]
I
.'/ ,'/
500
O L-.i-....e~~=---..1--~ 8 10 12 14
jasnosc wjdoma m [magJ
I
"
/ /
O t--.u..:~ ~ - -~~_
_ L_
_J
8 LO 12 14 jasnosc widorna m [mag]
Rys. 21.4. a) Trzy rod:i:aje funkcji przestrzennego rozkladu gfi?stosci gwiazd z r6inymi warto5ciami paramctr6w; b) zaleznosci N(ii't.) dla funkcji g~tosci gwiazd postulowanych na rys. a) dla. w = 0,03 sr
Cz~sc
250
II. Pomiary astronomiczne '
'
ma scisle okreslonq. wartosc (patrz tabela 21.1, ostatnia kolumna) . Dlatego funkcja Nwcpo(fü) jest zalezna tylko od postaci 7Jcpe(r) . Na rys. 21.4 s~ przedstawione rezultaty numerycznego calkowania zaleznosci (7) po przyj~ciu na rJ'Pe(r) funkcji zaleznych od r w taki sam spos6b, jak w wypadku zliczen gwiazd o jedna.kowej jasnosci absolutnej. Tak jak na rys. 21.2a, tak i n a rys. 21.4a poka.zane Sl}; funkcje opisuj
O kres lanie i dob6 r parametr6w z liczen Niezaleznie ocl tego, czy zliczane b<;)dq, gwiazdy o ustalonej jasnosci absolutnej , czy tez wszystkie g•viazdy, szczeg6lnej uwagi wymaga problem doboru odpowiednicb parametr6w zliczen, czyli kq,ta brylowcgo, j asnosci absolutnej zliczanych gwiazd , jasnosci najslabs~ych zliczanych gwia.zd. Od wart.osci tych parametr6w zalezy bowicrn zakres odleglosci Lirst = [rst. wiarygodne statvstvczne n11n ' rsL 111ax ] , dla kt6rych bPd::i 'r: ~ J J wnioski wynikajl'!ce ze zliczeii. J akiekolwiek ro11wa2ania statystyczne clotycz~ce g~stosci gwiazd polozonych w odleglosci r , r + dr b
1fl2
r2
> -.
(8)
w
Tak sformulowany warunek jest r6wnowa.Zny zq.daniu, by w odleglosci r promien przekroju stoikowego k
= {.11/(M)),
wi~c
(9) Dla kaidej jasnosci absolutnej 1VI mozna r6wniez okreslic g6rny kres zasi
spelnia warunek: (10)
21. Badanie rozkladu gwiazd w Galaktyce na podstawie zliczen gwiazd
251
25000 :-·-·-·-·-·-·-· ..
ioooo:---·-···--· soo' j
i
-~ -~ 700 600
~ -~ 500
'"'
„
.
~N~ :g
. \~ mgr = 1om
-
~
\~
0
~-
~ }_ „ ~
b; ~
II
~
II !;!,
!;
200
.. .. ... ... „. :. . .
N
II
a i>=g 400 - -·[a · 'i."" ·-···.... 300
~ lllgr= 11m
1)
. .
lllgr = 9"'
.. .. .. ". . . ·.. ·.. .. ..
t·'.:::::~...:·,-·~-- ru
u~~-=-=---:--
11 !;!,
:a"' "~ '1... :;:;
= 0,01 sr
(<)
= 0,02 sr
Q)
=0,03 ST
(<)=
"O
0,04 ST
8
!".
!;
100
0
-6
·-·-·-·-·-·-·
-4
-2
2 4 6 8 jasnosc absolutna gwiazd M [mag]
0
10
12
14
R ys. 21.5. Okre5la.nie za.kresu wiarygod nych zliczeil
a
wi~c
odleglosc r max najdalszych zliczanych gwiazd jest r6wna (11)
Na rys. 21.5 s~ przedstawione zaleznosci Tmin(M,w) dla kilku wartosci k
a wartosc rkr z zaleznosci: Tkr (mgr, w) =
V~w::;1f
3 (
/
mgr, w
))
(12b)
lub (12c)
252
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
Tylko wtedy, gdy Af < lvhr, warunki (8) i (10) mog<:); byc spelnione jednoczesnie, czyli istnieje zakres odleglosci, w ramach kt6rego zliczenia maj ~ sens.Wartosc Tkr stanowi natomiast najmniejsz(!. odleglosc, dla kt6rej zliczenia gwiazd o jasnosci absolutnej M < Mkr b~dl:): wiarygodnym fr6dlem informacji. Z rys. 21.5 widac wyrainie, ze wartosc Tkr ba.rdzo sla.bo zaleiy od mgr, a znacznie silniej od k
Na rys. 21.5 zaznaczony jest przedzial ~rst = [120 pc, 430 pc] dla JV! ~ + 2m, w = 0,04 sr. Krytyczna jasnosc a.bsolutna A1kr dla. podanych wartosci jest w przyblizeniu r6wna +6m. J esli zliczane sc:t wszystkie gwiazdy, to zakres odleglosci ~rst , dla kt6rego zliczenia s~ wiarygodne, jest ograniczony od dolu odleglosciq, 1'kr(mgr,w); kt6r~ mozna obliczyc z warunk6w (12) , od g6ry zas - odleglosci(!. rmax, okreslanf! przez wyraienie (11), w kt6rym M = -6rn, Tmax = lOO,Z(mg, - (-6 )+ 5 ) = 100,2(mg,+ll) : mgr = 1om,
~rst =
[rkr (mgr, w) , 100,2(mgr+ll) ] ·
(14)
Na rys. 21.5 zaznaczono dwa za.kresy: ßrst ~ [80 pc, 25 000 pc] dla w = 0,02 sr i mgr = 11 m oraz ~rst ~ [230 pc, 10 000 pc] dla w = 0,04 sr i mgr = gm. Ch~c obniiania wartosci Tmin sklaniac moze do zliczen gwiazd w bardzo duzych k~tach brylowych . Pami~tac jednak nalezy, ze ze wzrostem k(!.ta brylowego wszelkie wnioski wyci(lgane ze zliczen odnosic si~ b~d~ do coraz wi~kszych obj~tosci dysku Galaktyki. Dodatkowym problemem moze byc trudnosc wyboru zwa.rtego obszaru nieba pozbawionego gromad lub asocjacji, kt6re b~d"!: burzyc statystyczny charakter zliczen. J esli celem zliczen jest okreslanie rozkladu gwiazd w Galaktyce, to wlasciwym sposobem wykonywania zliczen w duzych k(!.tach brylowych jest sumowanie wynik6w zliczen z odr~bnych, mniejszych p6l o takiej samej wartosci szerokosci galaktycznej . Niemal kaida ksi(!.Zka poswiecona a.stronomii w cz~sci opisuj~cej budow~ Galaktyki zawiera informacje, ie: Galaktyka jest zespolem kilkuset miliard6w gwiazd tworzq,cych skupisko przypominaj(!.ce ksztaltem plaski dysk, a Uklad Sloneczny jest poloiony niemal dokladnie w plaszczyinie dysku, w odleglosci okolo 2/ 3 promienia od jego centrum. Jakosciowe, bardzo zgrubne sprawdzenie stwierdzen o dyskowym ksztalcie Galaktyki i polozeniu Ukladu Slonecznego w plaszczyinie symetrii dysku
253
21. Badanie rozkladu gwiazd w Calaktyce na podstawie zliczen gwiazd
----- ---- -- -- n
= n0 /e
h(90°)
plaszczyzna symetrii dysku
obserwator
----- --- ------------ ------------------- ---- - -- - - -----· n =n0 /e
R ys. 2 1. 6. Gdyby Gala.ktyka miala ksztalt plaskiego dysku, a g~tosc gwiazd zmieniala si~ tylko w kierunku do niego prostopacllym, odleglosci h1. do umownej granicy dysku wyznaczone ze zliczen spelnialyby warnnek h(90° ) ::::: hi sin bi
jest mozliwe na podstawie prostych obserwacj i, mozliwych do wykonania bez iadnych przyrz(!:dow. Sq, one opisane w cz~sci I tej ksi~.Zki. Zliczenia gwia:t.:d opierajq,.ce si
Cz~sc
254
II. Pomiary astronomiczne
neczny jest polozony symetrycznie wzgl12dem granic dysku, jako miar12 grubosci dysku Galaktyki mozna przyjifc wartosc 2h(90° ). Natura badaii. statystycznych (usrednienia, zalozenia, przyblizenia) powoduje, ze ilosciowe rezultaty otrzymywane ze zlicze.n obiekt6w S(!- zawsze niepewne, lecz prawdopodobne. Nalezy o tym pami~tac przy analizie wynik6w zliczen.
Zadania Wykonaj jedno z nast12puj 4cych zadan: 1. P o przeprowadzeniu zliczen gwiazd dla kilku szerokosci galaktycznych b ~ ±30° , ±40° , ± 60° , ± 90° na podstawie katalogu The T,ycho-2 Catalogue okresl grubosc dysku Galaktyki. 2. Okresl grubosc dysku Galaktyki na podstawie samodzielnie wykona.nych zdj12c nieba. Zliczenia wykonaj dla szerokosci galaktycznych: b ~ 30°, 60° , 90°.
Porady praktyczne Realizuj<'!:C kt6rekolwiek z powyzszych zadan, postQpowac nalezy zgodnie z nastQpuj::tcym planem. l. Okresl najwi~ksz4 jasnosc widomc:t mgr, do kt6rej b12dzie prowadzone zliczanie. J esli zliczenia S
I0°·
21. Badanie rozktadu gwiazd w Galaktyce na podstawie zliczen gwiazd
255
3. Wybierz obszar nieba, w kt6rym b~d"!: wykonywane zliczenia. Nie powinien on zawierac gromad gwiazdowych i asocjacji, a jego centralny punkt powinien miec zakladan<'l szerokosc galaktyczn<'l· J esli k~t brylowy, w kt6rym maj ~ byc zliczane gwiazdy, musi byc duzy, to konieczne b~dzie sumowanie wynik6w zliczen prowadzonych na mniejszych polach, o tej sa.mej wartosci szerokosci galaktycznej, lecz r6znych dlugosciach. Je8li zliczenia maj'!; dotyczyc szerokosci galaktycznej b, to k~towe rozmiary pola obejmowanego zliczaniem, liczone w kierunku szerokosci galaktycznej tlb, nie powinny byc zbyt duie. Wskazane jest, by tlb < O,l5b. 4. Na podstawie katalogu lub wlasnych obraz6w nieba wykonaj zliczenia gwiazcl i okresl postac funkcji N~~0 (iii). Zliczeil dokonaj d la iii zawieraj<'lcych si~ w zakresie [7m , mgrJ. w odst~pach eo 0,5 111 • 5. Wykonaj calkowania (5) lub (7), znajduj4c parametry dla najlepszego dopasowania. Obliczenia te mozna przeprowadzic za pomocc:e program6w zamieszczonych w dodatku J lub program6w wlasnych. Do budowy modelowych zaleZnosci Nwipe(iii) na funkcje g~tosci gwiazd nwcp6M(r) lub r]
J . Stod6lkiewicz, Astrofizyka og6lna z elementami astrofizyki, PWN, Warszawa 1977; M. Jaroszynski, Calaktyki i budowa WszechSwiata, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa 1993.
256
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
st~pnia ogromn:'.!; liczb~ obszernych katalog6w gwiazd. Wybierajq,c katalog n alezy zwr6cic szczeg6ln<"!: uwag~ (czytaj~ jego opis, plik: „readme.txt„) na wartosc mgr jasnosci widomej, do kt6rej jest on kompletny. Dost~p do danych katalog6w odbywa si(;l za posrednictwem gotowych program6w. Umozliwiaj<"!: one wyszukiwanie gwiazd o cechach okreslonych przez uzytkownika. Mi(;ldzy innymi mozliwe jest wybieranie gwiazd z okreslonego obszaru nieba, o jasnosciach widomych zawieraj~cych si~ w przedziale ustalonym przez uzytkownika. Po wykonaniu selekcji podawana jest liczba wyselekcjonowanych gwiazd. Do zliczen gwiazd o okreslonej jasnosci absolutoej korzystac trzeba z takich katalog6w, w kt6rych sei: zawarte informacje pozwalajc.1ce okreslic jasnosc absolutnci: gwiazdy. Najlatwiej mozna to wykonac, poslugnj:'.!;C s ii;: kata.logami, w kt6rych s~ podane typ widmowy i klasa jasnosci. Najobszerniejszym katalogami spelniajc:µ;ymi ten warunek SC!:: III/31, III/51, III/80, III/133, III/214 Nlichigan Catalogue of HD stars, vols.l, 2, 3, 4, 5. Niestety, jasnosc widoma, do kt6rej katalogi SC!: kompletne, jest niewielka i nieprecyzyjnie okreslona. Z tego wzgl(;ldu zliczenia wykonane na podstawie tych katalog6w b i;:d<"!: malo wiarygodne. Do zliczen wszystkich gwiazcl najwygodniejszy w dosti;:pie jest kata.Jog I/259 The Tycho-2 Catalogue {Hog+2000), kt6ry zawiera 2539913 gwiazd. Katalog ten jcst kompletny do 11 ,5m. Zliczenia gwiazd na podstawie wlasnych obraz6w nieba. J edyn4 nadzieji;: wykonania zdji;:c nieba na tyle dobrych, by mogly byc podstaw:'.!; do zliczen gwiazd, stwarzaj ~ kamery CCD. Obrazy zapisane cyfrowo umoiliwiaj<"!: latw
21. Badanie rozkladu gwiazd w Galaktyce na podstawie zliczen gwiazd
257
Obliczanie kq,ta brylowego. Spos6b obliczania wielkosci k
dlem jest katalog gwiazd lub mapa nieba, to do obliczenia wartosci kl:);ta brylowego najwygodniejsze b~dq. wartosci wsp6lrz~dnych ograniczaj<):ce obszar zliczen:
=
r.p21fh cos0dcpd8 = (
1 'P I
ipi)(sin82 - sin81).
(J 1
Jesli
w=
LH
--:;:;::::::;;=::===;::=;:::::;=:~=====;::;:=
J(f2 + (L/ 2)2)(!2 + (H/2)2)
W typowych astronomicznych sytuacjach dlugosc ogniskowej jest znacznie wi~ksza od rozmiar6w kadru (L « f, H « f) i mozna poslugiwac si~ przyblizonym wyra.Zeniem w ~ LH/ j2. Jesli nie jestesmy pewni dlugosci ogniskowej , to z obraz6w dowolnie wybranych fragment6w nieba nalezy wyznaczyc kq,towe rozmiary pola widzenia obejmowanego kadrem: k<);tOW<); szerokosc l:!.L i k
Dodatek D Obliczanie odlegtosci kqtowej obiekt6w Kierunek jest podstawowym poj ~ciem , kt6rym poslugujemy si ~ przy okreslaniu poloien obiekt6w na niebie. Uzytecznosc poj~cia sfery niebieskiej 29 polega na tym, i e kaidemu kierunkowi moina na niej przyporzq,dkowac punkt, b~dq,cy p rzeci~c i em tego kierunku ze sfeq. Dzi~ki takiemu utoisamieniu wszelkie k~~towe relacje pomir;:dzy kierunkami moina zastq,pic relacjami pomi~dzy lukami k6l, kt6rych plaszczyzna przecina srodek sfery, lq,cz<1Cych punkty na powierzchni sfery. Podstaw<'l: dla wszelkich relacji pomi~dzy wieloma punktami na sferze SI! zwi
259
Dodatek 0. Obliczanie odlegloSci kqtowej obiekt6w
R ys. D.1. Tr6jk
boki irodek sfery nieba
tak zwane twierdzenie cosinus6w: cos a = cos bcos c + sin bsin ccosA, cos b = cos acos c + s in asin ccos B , cos c = cos bcos a + sin bsinacos C,
sin acos B = cos bsin c - sinbcos ccos A, sin a cos C = cos c sin b - sin c cos b cos A, sin bcos A = cosasinc - sinacosccosB, sinbcosC = coscsina- sinccosacosB , sin ccos A = cos asinb - sinacos bcos C, siu ccos B = cos bsina - sin bcos acos C. VI trakcie opracowywania obserwacji cz~to pojawia si~ potrzeba wyznaczenia kcitowej odleglosci pomi~dzy dwoma punktami lub gwiazdami 0 1 , 0 2 polozonymi na sferze nieba (rys. D.2). J esli a1, 81 , a2, 82 SC! wsp6lr'.t.~dnymi r6wnikowymi tych punkt6w , to k
260
Cz~sc
o1 ) cos(90° - 02) + sin(90° - o1 ) sin(90° sin 81 sin82 + cos o1 cos02 cos(o 1 - a2).
cost: = cos(90° =
II. Pomiary astronomiczne
82) cos(a1
-
a2) (1)
P otrzeba wyznaczania odleglosci kq.towej ponü<;:dzy dwoma gwiazclami pojawia si~ na przyklad przy wyznaczaniu skali obrazu fotograficznego lub cyfrowego. Sytuacja taka stanowi jednak przypadek szczeg6lny (ale czQSto wyst~pujct:cy), gdyz k
Jx
sin(90° - o1 ) sin 90°
~~~~~
=
x
sinx sin .6a
~~-
(2)
B
biegun nieba
Rys. D.2
Poniewai x < .6a, a. .6a jest niewielkie, wi~c sin .6a ~ .60:, sin x ~ x . Po uwzgl~d nieniu tych przybliien wyraienie (2) redukuje si~ do x ~ .6a cos o1 . Ostatecznie (3)
R6inica ponü~dzy scisll!- wartosci~ (t:1 ) obliczonq. z (1) i wartosci~ przyblizon
o
Dodatek E Skalowanie obraz6w nieba W wielu obserwacjach, w kt6rych korzysta si~ z obraz6w nieba, zachodzi potrzeba wyznaczenia skali s otrzymanego obrazu (wyrazanej na przyklad w 0 /mm lub ~ /pikse!). Do wyznaczenia tej wielkosci potrzebne jest zdj~cie nieba zawieraj~ce obrazy kilku gwiazd, wykonane tym samym ukladem optycznym, co obraz, kt6rego skal<;} chcerny wyznaczyc. Dalsza procedura post~powania jest nast~pujq.ca: • Wybierz trzy lub cztery gwiazdy poloione w r6znych miejscach kadru (nie naleiy wybierae gwia.zd lez
Dodatek F Wyznaczanie pozycji obiekt6w (a , 6) na podstawie znanych wsp6trz~dnych gwiazd W trakcie wykonywania lub opracowywania pewnych obserwacji zachodzi potrzeba wyznaczenia wsp6hz~dnych badanego obiektu lub punktu na sferze nieba na podstawie jego pozycji wzgl ~dem gwiazd o znanych wsp6lrz~dnych. Nizej SC!; przedstawione dwie metody wykonania tego zadania.
Wyznaczenie wsp6trz~dnych obiektu (a, 8) na podstawie obrazu fotograficznego lub cyfrowego J e§li obraz nieba zawiera duio gwiazd, to dobrego oszacowania wsp6lrz
danego obiektu mozna dokona.C poprzez por6wnanie otrzymanego obrazu z maPC'!· nieba, mapq, wygenerowan~ przez program komputerowy lub z map~ odpowiedniego fragmentu nieba pobran(!; z sieci komputerowej . Przy duiej g~stosci gwiazd na obrazie mozna w ten spos6b osi~gn~c dokladnosc si~gaj~q, 0,005 rozmiar6w pola obj~tego obrazem. Niestety, opisana wyzej sytuacja (duiej liczby gwiazd w ka.drz;e) zdarza si'i: rzadko. Najcz
90° - 80
«
1.
(1)
Dokladnosc wyznaczenia wsp6lrz
Oodatek F. Wyznaczanie pozycji obiekt6w
(a:, 8) ...
263
wi~c
warunek (1) jest dla nich spelniony pr aktycznie zawsze (poza bezposrednim bieguna). Dla obraz6w fotograficznych obejmuj(!.cych znacznie wi~ksze obszary nieba warunek (1) stanowi silniejsze ograniczenie. s~iedztwem
Rys. F.1. Szkic obrazu nieba: x, y - wsp61kartezjanskie, liczone na przyklad wzgl~dem lewego g6rnego naroznika obrazu, a, wsp6lrz~dne r6wnikowe rz~dne
o-
Na rys. F.1 imitujct-cym obraz nieba zaznaczono kilka gwiazd i polozenie obiektu, kt6rego wsp6l rz~dne a:, 8 chcielibysmy poznac. Liniami przerywanymi zostal narysowany domniemany przebieg linii wsp6lrz<;:
so:(a: - a:o)
= xcos-ysin,
s.s(o - oo) = xsin +ycosef>,
(2)
gdzie Sa, s0 SC! wsp6lczynnikami transformujc:i,cymi jednostki, w kt6rych wyraiane SI!- wsp6lrzf2dne a:, fJ (h, min , s lub stopnie), na jednostki x, y (mm lub piksele). Do wyznaczenia pi~ciu parametr6w transformacji (2) : Sa, s0 , a:o, Oo, cf>, potrzeba szesciu zaleznosci mi<2dzy nimi (zeby bowiem dokladnie okreslic , nalezy znae zar6wno sin , jak i cos ). Do zapisania tych zaleznosci bfildq potrzebne wsp6lrz(2dne kartezjanskie Xi, Yi oraz r6wnikowe a:i, 8i eo najmniej trzech gwiazd. Wsp6lrz~dne Xi, Yi nalezy wyznaczyc z obrazu . J esli na obrazie widac wi<2cej niz t rzy gwiazdy, to do wyznaczenia wsp6lczynnik6w transformacj i naleiy wybrac takie, by byly poloione w r6znych miejscach obrazu i tworzyly duiy tr6jk
oi
o
d8f3(dxi2 + dyf2) - dof2(
+ dy[3)
264
Cz~sc
daf 3 (dxi 2 + dyf 2) - daf 2 (dxf3
daf 3 d8i2
-
II. Pomiary astronomiczne
+ dyr3 )
daf 2d8f3
(3)
Sa;
s: _ s: uo - 01 -
x1
sin + Yt cos , So
gdzie: do:12
=
0'1 - a2,
dx12 = x1 - x2,
= a, -
da'l 3
0:3,
dx13 =Xi - x3,
dö12
= 81
- 82,
dy12 = Y1 - Y2,
d813
= 81 -
83,
dy13 = Y1 - y3.
Obliczenie szesciu parametr6w Sa, S5 , ao, Öo, sin, cosef> i podstawienie ich do wzor6w (2) umozliwi obliczanie wsp6lrz~dnych o:, 8 dowolnego punktu obrazu x, y: o: =
o:o
+
x cos
,
s: _ s: u - uo
+ y cos . + x sin S<)
(4)
Czy mozna wyznaczyc wsp6lrz~dne obiektu, je§li na obrazie widoczne S(!- tylko dwie gwiazdy? Odpowiedz brzmi - tak, o ile na podstawie innych obraz6w nieba \vykonanych tym samym ukladem mozemy poznac na przyklad wartosc kq,ta (zazwyczaj pozycj~ kadru filmu czy detektora CCD wzgl~dem osi obrotu nieba ustawia si~ tak, aby ::::; 180°). Jesli wielkosci cos , sin poznane na podstawie innych zdj~c oznaczymy odpowiednio przez a i b, to transformacje (2) b~d
=
ax - by,
s5(8 - 80)
= bx + ay.
(5)
Do wyznaczenia czterech nieznanych parametr6w transformacji sc„ s.5, ao, 80 wystarczci: wsp6lrz~dne Xi, Yi, ai, Ei dw6ch widocznych gwiazd. Podstawiajq,c je do (5), otrzymujemy
(6) (7)
Dodatek F. Wyznaczanie pozycji obiekt6w
(a, 8) .. .
265
Teraz, gdy znane s4 juz wszystkie wsp6lczynniki transformacji ( a, b, oraz Sen wsp6lrz~dne r6wnikowe dowolnego punktu obra.zu:
s6 , a 0 , 80 ), rnozna wyznaczyc a
= a0 +
ax -by Sa
,
_, 8 - oo
+
bx + ay
So
.
(8)
Wyznaczenie wsp6lrz~dnych obiektu jest mozliwe r6wnie:Z i wtedy, gdy na obrazie jest widoczna tylko jedna gwiazda. W6wczas na podstawie obraz6w nieba innych niz obraz zawieraj~y badany obiekt, lecz wykonanych tym samym ukladem i przy takim samym zorientowaniu kadru, wyznaczyc naleiy zar6wno ki!t c/J, jak i wsp6lczynniki skali sa, s 0 . Wartosci tych wsp6kzynnik6w nalezy wyznaczyc na podstawie obraz6w wykonanych dla tej samej deklinacji. Wartosci ao, Öo mozna b~dzie obliczyc, znaj4c wsp6lrz~dne jedynej widocznej gwiazdy: X1, Y1 oraz 01, 81. Korzystaj4c z tych wsp6lrz~dnych oraz poznanych z innych obraz6w wartosci a, b, Sco Sö , otrzymamy
Ostateczne r6wnania. umoiliwiaj4ce obliczenie wsp6 lrz~dnych obiektu s~ takie same jak r6wna.nia (8).
Wyznaczenie wsp6trz~dnych obiektu (a, 8) na pod stawie obserwacji w izualnych Do wyznaczenia wsp6l rz~dnych t(); metodq, jest potrzebny stoper, luneta i mikrometr. Standardowy mikrometr ma dwa zespoly nitek: nieruchome i ruchome. Obie grupy nitek sei: wzajemnie prostopadle. Nitki ruchorne SC): poruszane wyskalowanym b~bnem. K4t przypadaj4cy na jednostk~ metrycznej skali b~bna zaleiy od efektywnej ogniskowej obiektywu i mozna go wyznaczac w porniarach naziemnych ( na przyklad, obserwuj(!:C linijk~ lub wlasnor~cznie wykonan4 lat~ mierniczq. ustawion4 w znanej odleglosci) lub w pomiarach odleglosci ki!towej gwiazd o znanych wsp6lrz~dnych (patrz dodatek E). W wielu sytuacjach profesjonalny mikrometr mozna zast(!.pic wkladkq. okularowq,, kt6rq. moina wykonae sarnodzielnie (patrz dodatek A). Przyjmijmy, ze dysponujemy jui wyskalowanym rnikrometrem. Do pomiar6w r6znic .6.o:, .6.8 musi on byc odpowiednio ustawiony. J esli zesp6l r6wnoJeglych nitek ustawimy r6wnolegle do ruchu dziennego nieba, czyli tak, aby przy wylq,czonym nap<;:dzie lunety gwiazdy przesuwaly si~ wzdlui nitek, to ich kierunek b~dzie zgodny z kierunkiem liczenia rektascensji (a), a kierunek zmian deklinacji (8) b~dzie do niego prostopadly. .Jesli w polu widzenia mikrometru b~d4 jednoczesnie widoczne obiekt i gwiazda o znanych wsp6lrz~dnych (a©, 0 ), to za pomoc
o
266
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
odleglosci kll:towe .6..x, .6..y porni~dzy gwiazd
8 = 8@ ± .6..8.
Wyb6r wla.Sciwego znaku jest uzaleiniony od poloienia gwiazdy wzgl~dem obiektu. Procedurfi: wyznaczanja .6..t, .6..8 znak.omicie ulatwia kamera TV dol~czona do lunety. W tym wypa
Dodatek G Kamera CCD w astronomii (podstawowe poj~cia) Budowa i dziatanie kamery CCD Podstawowym elementem kamery CCD jest p6lprzewodnikowy detektor. Jest to prostokqtna, krzemowa plytka, podzielona na bardzo wiele elektrycznie niezaleznych element6w - pikseli - o rozmiarach rzE;ldu 0,01 mm kaidy. Piksele SC); uszeregowane w rz~dy i kolumny. Typowa plytka detektora w amatorskiej kamerze CCD ma powierzchniE;l kilkudzicsi~ciu milimetr6w kwadratowych i zawiera kilkaset tysi~cy pikseli. Potencjal pikseli jest dodatni wzgl~dem sciezek rozdzielajl!cych poszczeg6lne piksele. Material, z kt6rego s~ zbudowane, jest p6lprzewodnikiem. Fotony paclaj~ce na pikse! powoduj~ przenoszenie elektron6w z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa ( tak zwany wewn~trzny efekt fotoelektryczny). Dzi~ki dodatniemu potencjalowi pikse]a pojawiaj~ce si~ swobodne elektrony s~ w nim utrzymywane przez caly czas na$wietlania detektora. Liczba uwalnianych elektron6w jest proporcjonalna do liczby foton6w absorbowanych w pikselu. Liniowa zaleznosc pomi~dzy liczbCJ; foton6w absorbowanych przez piksel a liczb~ uwalnianych elektron6w jest spelniana w bardzo szerokirn zakresie oswietlef1. Jest to jedna ze wspanialych cech tego typu detektor6w . Im wi~cej elektron6w moie byc utrzymywanych w na§wietlanym pikselu, tym wi~kszy jest zakres oswietlen, dla kt6rego zachodzi wspomniana liniowa zaleznosc - tym lepsza kamera. Najwi~ksza liczba elektron6w, kt6ra moie byc utrzymywana w pikselu (pojemnosc piksela), jest proporcjonalna do jego wielkosci i do r6znicy potencjal6w piksela i scieiek rozdzielaj~cych . Typowe wartosci tej liczby zawier aj~ si~ w przeclziale od kilkudziesi~ciu do kilkuset tysi~cy. Po zakonczeniu na.Swietlania uklady elektroniczne kamery mierzq, liczb~ elektron6w zgromadzon(!. na kaidym z pikseli i przydzielajq, mu wartosc V (nazywanq, dalej sygnalem piksela31 ), proporcjonaln
Wa.rtosc sygnalu jest wyrazana w jednostkach 02naczanych skr6tem ADU (z ang. Ana-
logue to Digital Unit). Zakres wartosci sygnalu zaleiy od liczby bit6w przeznaczonych na zapis. Je51i na zapis jest przeznaczonych 16 bit6w, to zakres wartosci sygnalu wynosi 0-65 535.
Cz~sc
268
II. Pomiary astronomiczne
„ •
""
Fot. G.1. 'T'ak uwidacznia w kamerze CCD
si~
przeSwietlenie obrazu
w pikselu. Do komputera przekazywany jest plik zawierajq.cy informacje o polozeniu kaidego piksela i wartosci jego sygnalu. Je8li ilosc energii pochloni~tej przez pikse! jest nadmierna i liczba swobodnych elektron6w przekroczy maksymalnq, dopuszczalnq. wartosc, uzyskany obr az gwiazdy b~dzie wygl~dal tak, jak na fot. G.l (nadmierna liczba elektron6w uwalnianych w przeswietlonym pikselu przep lywa na sq.siednie piksele w kolumnie). 0 takim obra.zie mowi si~, ie jest przesaturowany (lub tez przeswietlony czy przesycony). Aby uzyskac poprawny obraz widocznego na fotografii obiektu, nalezaloby skr6cic czas ekspozycji.
Wydajnosc kwantowa kamery na detektor kamery przed dotarciem do aktywnej cz~sci piksela przez warstewk~ elektronicznych sciezek krzemu. Pewna liczba fotonow jest w niej pochlaniana i rozpraszana. Im jest ona grubsza, tym w i~cej straconych foton6w , tym mniejsza czulosc detektora. Do opisu czulosci detektora uzywa si~ poj~cia wydajnosci kwantowej (QE, z a ng. Quantum Efficiency) . Jest to stosunek liczby foton6w, kt6re spowodowaly pojawianie si~ w pikselu swobodnych elcktron6w, do calkowitej liczby foton6w padajq,cych na pikse!. Poniewaz procesy utrudniaj~e dotarcie fotonu do detektora zalez~ od dlugosci fali, wi~c i wydajnosc kwantowa e jest funkc.i
padaj~ce
przechoclz~
Dodatek G. Kamera CCD w astronomii (podstawowe poj~cia}
269
1,0 0,9 0,8 ; 0,7 2 ; 0,6
~ 0,5
V
-<>
cg 0,4 ~0,3
~ 0,2
!"'-
....
i\.
'\ "\
/
Cl
I
"-...
/
~
V 0, 1
R ys. G.1. Wydajnosc kwantowa detektora KAF-400E
0 300
400
500 600 700 800 dlugosc fäli [run]
"'
900 1000
w procentach. Na rys. G.l pokazano przebieg funkcji e(>.) detektora KAF-400E stosowanego w kamerze Pictor 416 XTE. Z definicji wydajnosci kwantowej i opisanego sposobu przypisywania pikselowi sygnalu V wynika, ze jesli energia foton6w padaj
(1) gdzie Ei jest energiq, foton6w o wszystkich dlugosciach fal docieraj<);cych do wn~trza piksela.
Format zapisu obraz6w astronomicznych - FITS Obrazy nieba wykonywane za pomoc<} kan1er CCD S<); zapisywane w specjalnym fonnacie, zdefiniowanym przez srodowisko astronom6w jui kilkadziesi
270
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
2880 bajt6w). Niewykorzystana cz~c, przeznaczona na nagl6wek, jest wypelniana znakami ASCII o kodzie dziesi~tnym 32 (spacja). Kaida linia nagl6wka rozpoczyna si~ od osmioznakowego slowa kluczowego opisuj~cego tresc zapisan
Wizualizacja obraz6w cyfrowych Wyswietlenie obrazu na ekranie monitora jest r6wnowazne odwzorowaniu wartosci sygnalu Vi poszczeg6lnych pikseli najasnosc piksell ekranowych Ji = f (Vi). Na og6l przy pierwszym wyswietleniu obrazu wartosc sygnalu jednego piksela detektorajest odwzorowywana na jasnosc jednego piksela ekranu. W obrazie powi~kszony m lub pomniejszonym relacja mi~dzy pikselami detektora i ekranu jest zmodyfikowana przez program. Odwzorowania Ji = J(Vi) oferowane przez programy do analizy obraz6w nieba mogq; byc r6zne (rys. G.2).
-----
- --- - - ------------- -------------- - -- - ~-
'
I
/
I
I
I I I
~
c
I
1
I
'S,
l
///
~
·~czeni4--------"
0
/
wartosc sygnalu pikseli V
VC2enii
l~alcm sygnalu pilcseli
Wldocznyeh jalco
I
F
sygnalu pikse~, zakres sygnalu pikse~
czuJI widocznycb jako sz:are
R ys. G.2. R6:ine postaci odwzorowania Ji (Vi)
Standardowe prograrny do analizy obraz6w nieba umoZliwiaj~ modyfikacj~ parametr6w odwzorowania Ji = f(Vi). Kazdy taki program dopuszcza mozliwosc okreslania zakresu wartosci sygnalu, kt6ry b~dzie odwzorowywany. Na przyklad w programie Pictor View do wypelniania tego zadania sluzy narz~dzie Image Scaling. Niekt6re z program6w wymagajq, podania wartosci granicznych tego zakresu: Vczerni> Vbieli . Inne zq,dajq, podania dolnej wartosci zakresu Vczerni i szerokosci zakresu skalowania Vbieli - Vczerni. Duzym ulatwieniem w wyborze najbardziej oclpowiednich wartosci granicznych odwzorowania Ji = f (Vi) jest obejrzenie postaci
histogramu obrazu. Kazdy z program6w do analizy obraz6w nieba pozwala wyswiet lic histogram kadru - czyli liczb~ pikseli jako funkcj~ ich sygnalu N(V) . Typowy histogram
Dodatek G. Kamera CCD w astronomii (podstawowe
poj ~cia)
271
przedstawiono na rys. G.3 . Wysokie maksimum histogramu wystf2puje dla wartosci najcz~sciej tych wla.Snie pikseli jest najwi~cej . Szerokosc tego maksimum jest miarq. fluktuacj il jasnosci tla nieba. Piksele, na kt6rych powstaj~ obrazy gwiazd , s~ zdecydowanie mniej liczne, a ich sygnaly obejmuj ~ znaczny zakres wartosci V .
V typowych dla tla nieba, a
zakres sygnalu pikseli tworzqcych obrazy gwiazd
I<
>I
~ •
~ zakres sygnalu pikseli
tworzqcych obraz tla nieba
IE ~
:J
>1
~zakres
~)
sygnalu pikseli tworzqcych obraz tla nieba
>\
:'.\
;'•f
..
zakres sygnalu pikseli tworzqcych obraz galaktyki
·:
.-:· :
'\Gwartosc sygnalu pikseli V
R ys. G .3. Typowy histogram obrazu gwiazd
;i~J~~' .
wartosc sygnah1 pikseli
v
Rys . G .4. Typowy histogram obrazu galaktyki
Typowy histogram obrazu galaktyki, mglawicy czy innego obiektu rozciq.glego, mglistego i wypelniajq.cego znaczn
Przygotowanie obrazu do analizy - kalibracja obrazu W profesjonalnej praktyce przed przyst
Cz~sc
272
II. Pomiary astronomiczne
Pierwszy z obraz6w pomocniczych, KG, to obraz otrzymany przy braku doswiatla do detektora. Brak sensu w tym stwierdzeniu jest pozorny, gdyz na skutek wielu r6znych zjawisk zachodz~cych w p6lprzewodnikowym materiale piksela w kaidym z nich, mimo braku fot on6w, pojawiq, sif2 swobodne elektrony. Ich liczba bf2dzie proporcjonalna do temperatury detektora i czasu. Og6lnie moina powiedziec, ze KG jest obrazern niedoskonalosci elektroniki kamery. By je zminimalizowac oraz zapewnic ich stabilnosc w czasie, kamery CCD sq, chlodzone (najcz~sciej termoelektrycznie). Drugi obraz potrzebny do redukcji ob.razu Z.r6dlowego, KP, mozna by nazwac obrazem bl~d6w optyki t eleskopu. Obraz ten wykonujemy po skierowaniu teleskopu na tlo o jednorodnej jasnosci. Najcz~sciej jest do tego celu wykorzystywa.ne tlo nieba, w chwili wieczornego zmierzchu lub tui przed switem. Chociai w tych okresach jasnosc nieba oglq,danego wzrokowo silnie zale~y od kierunku obserwacji, jednak pole widzenia typowego teleskopu jest tak male, ie wszelkic niejednorodnosci jasnosci s~~ zaniedbywalne. 1'·1imo jednorodnosci tla jego obraz okaze sif2 niejednorodny. Podstawow
gdzie skr6t OP oznacza obraz poprawiony, OZ - obraz ir6dlowy, texp - czas naswietlania obrazu ir6dlowego, if(p - czas na8wietlania kadru plaskiego, [...] norm - tak zwany obraz znormalizowany. Wskafoik i przypomina, ze wszystkie operacje arytmetyczne zapisane w powyzszym wyrazeniu sq, wykonywane na wartosciach sygnal6w poszczeg6lnych pikseli kazdego obrazu32 . Przed wykonaniem pelnej redukcji obrazu ir6dlowego z obrazu KP jest budowany odpowiedni kadr - [...]norm. Powstaje on poprzez odj~cie obrazu K C od obrazu J{ P i podzielenie tak powstalego kadru przez takci: liczb~ N , by wartosci sygnalu wszystkich pikseli byly jak najmniejsze, lecz spelnialy warunek: v:.norm i
=~ ) N [V.KP(t i KP
_ v;KC(t )] > 1 . i KP -
32 1\!Iimo ze wszystkie operacje na obrazach sprowadzajit si~ do operacji na pikselach, potocznie m6wi si~ o dodawaniu, odejmowaniu czy dzieleniu obraz6w.
Doclatek G. Kamera CCD w astronomii (poclstawowe poj~cia}
273
Vv
tak zmodyfikowanym obrazie zachowane sq, stosunki wartosci sygnal6w w poszczeg6lnych pikselach, to znaczy dla dowolnych i, k spelniony jest warunek:
[VKP _ VKC]i _ [VKP - VKC ]k -
['1i]norm Vk
Joorm
W praktyce procedura budowania kadru [.. . jest jeszcze bardziej rozbudowana33. Opisane operacje normalizacji SC!: wykonywane na ]{ P powstalym poprzez odpowiednie usrednienie kilku r6znych KP. Naszkicowany proces redukcji obraz6w jest obowi~zuj
33 Koniecznosc tego zabiegu wynika sl!id, ze na.jc~ciej kadry plaskie S
Dodatek H Wyznaczanie jasnosci obiekt6w z obraz6w nieba wykonanych kamerci CCD W prowadzenie Precyzyjny pomiar jasnosci widomej gwiazd lub innych obiekt6w z ich obraz6w uzyskanych kamer~ CCD jest procedur~ dosc skomplikowan~ zar6wno merytorycznie, jak i praktycznie. Wykonujci: jci: wyspccjalizowanc programy komputerowe. Korzystanie z nich przez osoby ucz<}ce si~ i nie majci:ce dostatecznych przeslanek, by ufac operacjorn wykonywanym przez te programy, nie jest ani wla.Sciwe, ani konieczne. Do wykonania orientacyjnych pomiar6w jasnosci wystarc~y metoda opisana ponizej. Wielkoscici: fizycznci: odpowiadaj~c
(1)
Dodatek H. Wyznaczanie jasnosci obiekt6w z obraz6w nieba wykonanych kamerq CCD
275
gdzie a jest parametrem specyficznym dla typu kamery CCD, zaleznym od konstrukcji sarnego detektora i elektroniki towarzyszc:i:cej kamerze. Niemal zawsze obraz gwiazdy jest tworzony na wielu pikselach detektora. Do kazdego piksela b~d~cego skladnikiem obrazu opr6cz foton6w pochodz<1;cych od obiektu docierajq. r6wniez fotony, kt6rych ir6dlem jest tlo nieba.3 '1 . Niech Ei'a oznacza energi~ foton6w pochloni~tych przez piksel, kt6rych ir6dlem jest tlo nieba, zas Ei - energi~ foton6w pochodz~cych od obiektu. Przy tych oznaczeniach calkowita energia foton6w zaabsorbowanych w pikselu jest r6wna Ei = Ei + E:1'·'. Rozwazmy pcw.ien fragment obrazu n.ieba obejmuj~y interesuj~y nas obiekt. Niech N oznacza li czb~ pikseli w wyodr~bnionym fragmencie obrazu. Uzywajq.c wprowadzonych oznaczen, sum~ wartosci sygnalu wszystkich pikseli z tego fragmentu obrazu mozna zapisac nast~puj~o: N
N
N
V= _LVi = a _L Ei +a _L era. i=l
i= l
(2)
i=I
Suma 2:~ 1
Ei wyst~pujq.ca po prawej stronie jest calkowit(!; energiq. foton6w pood obiektu, dzi~ki kt6rym na detektorze powstal jego obraz. VI/ dalszym tekscie b~dzie ona oznaczana symbolem E*. Tlo nieba nie ma stalej jasnosci. Mozna si~ o tym przekonac, sprawdzajq,c wartosci sygnalu pojedynczych pikseli z tla nieba. Zr6znicowanie sygnalu tla jest jednak niewielkie i ma charakter szumu. Wobec tego drugi czlon po prawej stronie wzoru (2) mozna zapisac w postaci chod~ych
'°' N
a ~ Etta = i i =l
'°' N
~ i= l
'°' N
aEtta = i
~ i=l
v..tta = NVtta t
'
gdzie vtta jest sredni~ wartosci<); sygnalu pikseli z tla nieba w pobliZu obrazu obiektu. Posluguj'!;C si~ nowymi oznaczeniami, zaleznosc (2) rnoina zapisae nast~puj~co:
V= aE* + Nvt•a. Jest wiele przyczyn powoduj(!cych, ie n iebo pomi~dzy gwiazdami nie jest czarne. Jednitz nich j est rozpraszanie swiatla gwiazd w pylc wypelniaj'lcym Uklad Sloneczny. G~tosc tego pylu, a wi~c i iloSc rozpraszanego swiatla, jest najwi~ksza w poblizu plaszczyzn orbit planet, czyli w obszarze pasa zodiakalnego. Podwyzszonajasnosc tla nieba w tym obszarze jest nazywana swiatlem zodiakalnym. Dodat.kowy, niejednorodny wklad do jasnosci tla nieba stanowi swiatlo gwiazd i galaktyk na tyle slabych, ze nie sit spostrzegane lub rejestrowane jako odr~bne obiekty. Przyczyn
276
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
Interesuj<):Ca nas energia foton6w zaabsorbowanych w pikselu , r6wna E*
V - Nvt ia
= ----a
(3)
zalezy od oswietlenia w szerokim zakresie dlugosci fal, kt6rego ir6cHem jest interesujC!:CY nas obiekt. Rozwazajq,c t~ zaleznosc, musimy uwzgl~dnic zmiany strumienia swiatla spowodowane przez osrodki materialne, przez kt6re swiatlo przechodzi. Strumien swiatla jest modyfikowany w pierwszej kolejnosci przez materi12 mi~ dzygwiazdowq,. Badanie zmian promieniowania powodowanych tym osrodkiem (a jest to gl6wnie absorbcja) daje mozliwosc ich uwzgl~dnien ia przy analizie odbieranego promieniowania, a ponadto jest waznym ir6dlem informacji o wlasnosciach materii mi12dzygwiazdowej . Obserwacje, kt6re w tym celu trzeba wykonac, wymagajitjednak profesjonalnego wyposazenia i SC!: dlugotrwale. Z tego wzgl~du uwzgl~d nianie wplywu tego osrodka na odbierany strumie6 promieniowania b~dz iemy pomijac . Kolejnym osrodkiem, przez kt6ry przechodzi swiatlo gwia:zdy, jest atmosfera Ziemi. Jej oddzialywanie na promieniowanie jest latwiejsze do oceny. Procedura obserwacyjna umozliwiajitca ocen12 wplywu atmosfery i wyznaczenie jasnosci obiektu, kt6r
Dodatek H. Wyznaczanie jasnosci obiekt6w z obraz6w nieba wykonanych kamerci CCD
277
Uzywaj4c tak zdefiniowanych wielkosci, energi~ fotonow o wszystkich dlugosciach fal, ktore dotr'l: do pikseli i utworZ
(4) 0 postaciach funkcji o(.X.), f(.X.) , e(.X.) decyduj'l: konkretne elementy optyczne i typ detektora, z ktorych zostal zestawiony uklad pomia.rowy. 0 l~cznym rezultacie ich dzialania decyduje iloczyn o(>.)f (>.)e(>.) i jest on charakterystycznq. funkcj(! kazdego uldadu pomiarowego. Iloczyn ten oznaczmy symbolem U(>.) . Wartosc tej funkcji jest stosunkiem energii foton6w o dlugosci fali >., kt6re wywolaly w detektorze oczekiwane efekty, do energii fotonow (o tej samej dlugosci fali) wpadaj~cych do teleskopu. Dolna >. 1 i g6rna >. 2 granice calki to minimalna i maksymalna wartosc >. , dla kt6rych spelniony jest warunek U(.X.) > 0. Przedzial dlugosci fal ograniczony wartosciami .X. 1 , .X. 2 nazywany jest pasmem czulo§ci ukladu. Ll!CZf!C zaleznosci (3) i (4), otrzymamy
(5) Wyraienie to cz~sciowo odslania jui zwi~zek pomi~dzy wielkosciarni mierza.lnymi lub znanymi a interesujl!C(! nas funkcj(): F*. W astronomii ze wzgl~dow historycznych i praktycznych do okre5lania jasnosci obiekt6w uzywa si~ tak zwanej jasno§ci widomej: m = m 0 - 2,5 log F*, gdzie F* jest oswietleniem w szerokim zakresie dlugosci fal mierzonym przy powierzchni Ziemi, za..~ m 0 pewn~ odpowiednio dobran(! stal():. Otrzymywana w ten spos6b liczbowa wartosc m jest nazywana wielko.frict gwiazdowq lub magnitudo i oznaczana na przyklad 3,4m lub 3,4 mag. Taka postae definicji jasnosci widomej wynikla przede wszystkim z ch ~ci nawi~zani a do historycznej skali jasnosci wprowadzonej przez Hipparcha36 . Inn~ korzysci
F*(>.)d,\. W c1,asie texp na powierzchni!;J S lustra lub obiektywu padnie energia StexpF*(...\)d.>.. Zgodnie z definicjami funkcji o(.>.), f(.>.), e(.>.) przez optykf;) teleskopu przejdzie energia StexpF *(.>.)o(.>.)d.>., przez filtr przejdzie energia StexpF*(.>.)o(.>.)J(.>.)d..\, a detektor zaabsorbuje encrgif;l StexpF*(.>.)o(>.)f(>.)e(.>.)d.>.. Ostatecznie obraz obiektu w zakresie dlugosci fali od ...\ 1 do .>.2 powstaJiie dzif;lki energii Stexp J;,2 F*(.>.)o(.>.)f(.A)e(..\)d...\. 36 Wedlug skali j asnosci wprowadzonej przez Hipparcha (200 lat p.n.c) gwiazdy byly podzielone na sze§c grup. Najja5niejsze sposr6d gwiazd widocznych golym okiem zaliczane byly do pierwszej grupy i nazywane gwiazdami pierwszej wielkosci gwiazdowej, gwiazdy slabsze nazywane byly gwiazdami drugiej wielkosci itd. Najslabsze gwiazdy widoczne golym okiem byly gwiazdami szostej wielkosci gwiazdowej.
278
Cz~sc II. Pomiary astronomiczne
a kaidy takj uklad charakteryzuje si~ pewnymi szczeg6lnymi wlasnosciami opisywanymi funkcj
m~ =
A2
mof - 2,5 log {
j A1
F *(>..)UJ(>..)d>..,
(6)
gdzie rnof jest dowolnq. stal~, kt6rej wartosc moze byc r6zna dla r6znych filtr6w. Najwa.zniejszym czynnikiem ograniczaj():cym dowolnosc wyboru tej stalej jest ch~c utrzymania lC}:cznosci z zapisami historycznymi. Jesli uklad pomiarowy jest taki, ie funkcja U1 (>.) jest niemal taka sama, jak dla oka, to wartosc stalej m 01 jest wybierana zazwyczaj tak, by otrzymywane wartosci mj byly zblizone do wartosci odpowiadaj():cych skali wprowadzonej przez Hipparcha (by na przyklad dla Wcgi, najja.Sniejszej gwiazdy w gwiazdozbiorJ!>e Lutni, otrzymac m} >==::: 0 111 ) . Symbol J wyst~pujq.cy w definicji (6) pojawia si~ z tego powodu, iz zazwyczaj uzywa si~ tego samego teleskopu i detektora, lecz kilku r6znych filtr6w: zmieniajq.c filtr, zmieniamy postac funkcji Ut(>.). Zwyczajowo do oznaczania r6znych filtr6w uzywa si~ oznaczen literowych , kt6re najcz~sciej wskazujq, na barw~ filtru (na przyklad U - ultraviolet, B - blue, R - red) . Przymiotnik „instrumentalna" uzyty w definicji podkresla zaleinosc definiowanej wielkosci od stosowanego urz
37 Opis niekt6rych mozna znaleic w ksi(lice: !VI. Kubiak, Gwiazdy i materia mi~dzygwiaz dowa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1994, s. 139. Najbardziej znanym jest system tr6jbarwny Johnsona- rvlorgana (tak zwany system UBV). Opr6cz okreslenia typu teleskopu i detektora zaklada on korzystarüe z trzech filtr6w oznaczanych literami V, B, V ( ultmviolet, blue, visible) , kt6rymi bardzo cz~sto oznacza si~ tei jasnosci widome wyznaczone przy zastosowaniu tych filtr6w.
Dodatek H. Wyznaczanie jasnosci obiekt6w z obraz6w nieba wykonanych kamerq CCD
279
Jesli w definicji jasnosci instrumentalnej (6) uwzgl~dn imy zaleznosc (5) , to mozna j~ zapisac w nast~puj
.
mj
= mof -
1 >.2 F*(>.)U1(>,)d>. = mo 1 >.
2,5log .
2,5 log
V -
Nvtia
,
(7)
texp
1
gdzie m 01 = mof + 2,5 log(Sa) wciqfe jest dowoln
zas w drugim
. . =er.
mi -m' B
A
AB
1:
2
F*(>.)UB(>.)d>.
1 "--------
= -2,5log-
1:12 F*(>.)UA(>.)d>.
(VB - NsVHa)texpA N v~'a) .
= -2,5 1og (VA -
A A
(9)
texpB
R6znica w jasnosci tej samej gwiazdy fotografowanej przez r6zne filtry nazywana jest wskainikiem barwy gwiazdy i oznaczana CI (ang. Color Index) . 'Nskaznik barwy CI jest nie tylko liczbowym wskainikiem tego, eo potocznie nazywamy barwq, gwiazdy, lecz przede wszystkim jest liczbowym wskainikiem okreslaj~ym pewne globalne cechy widma gwiazdy oraz temperatm~ fotosfery gwiazdy (patrz rozdz. 19). J ak widac z posta.ci zaleznosci (8) i (9), obliczanie roznicy jasnosci b~dzie w obydwu wypadkach wymagalo znajomosci czasow ekspozycji i wartosci V , N, vtia.
Wyznaczanie wartosci V, N , vtta - uwagi og61ne Nieza.leznie od tego, czy celem pomiar6w jest wyznaczenie jasnosci instrumentalnej pojedynczej gwiazdy (7), czy tez r6znicy jasnosci dw6ch r6znych gwiazd (8) lub tej samej gwiazdy (9), konieczne jest wyznaczenie wartosci V , N, vtia. \V profesjonalnych programach komputerowych przeznaczonych do ·wyznaczania jasnosci gwiazd pole, w ktorym jest obliczana sumaryczna wartosc sygnalu V, ma taki ksztalt, jak obraz gwiazdy - jest kolem. Srednica tego kola jest nazywana aperturq. Pomiar sygnalu tla nieba jest obliczany w pierscieniu, kt6rego promien wewn~trzny jest nieco wi ~kszy od apertury (rys. H.l). Skutkiem postanowienia, by nie korzystac z program6w wykonujq,cych pomiar jasnosci niemal automatycznie, b~dzie uzywanie bardzo elementarnych narz~dzi programowych, w kt6re jest wyposaiony kazdy program przeznaczony do analizy
280
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
./ .
obrazy gwiazd
~
pole pomiaru
sygn~alu tla nieba ,
obraz gwiazdy~ •
/
pole pomiani sygna./11 tla nieba
pole pomiani sygnalu gwiazdy
R ys. H.1. Typowy ksztah pol pomiaru sygnalu od gwiazdy i sygnalu tla nieba w profesjonalnych programach fotometrycznych
R ys. H.2. Tak mo:ina wykonac pomiary sygnalu gwiazdy i sygnalu tla nieba
obraz6w cyfrowych. Szczeg6lowa procedura pozwalaj~.ca wyznaczyc wartosci V , N , vt1a b~zie za.lezala od konkretnej wersji programu. w dalszym opisie przyj~to, ze uiywany jest program PictorView XT, zwi:µany z kamer4 CCD Pictor 416XTE. Program ten ma dwa narz~dzia szczeg6lnie przydatne do wyznaczenia interesujci:cych nas wielkosci: Star Statistics oraz Subimage Statistics. Za ich pomocq, mozna mi~dzy innymi poznae sredni~ wartosc Vsr sygnalu pikseli obj~tych wybranym przez uzytkownika prostok4tnym fragmentem obrazu (dalej - polem pomiarowym). Pomiar sygnalu od obiektu V i sygnalu tla vtta moie byc wykonywany tak, jak sugeruje rys. H.2. Jesli pole porniarowe b'ildzie obejmowalo tlo nieba, to vtta = vg;1a, a jesli obraz gwiazdy, to V = NVr,~, gdzie N jest liczb(l pikseli obj~tych polem pomiarowym, kt6r'! rnozna obliczyc na podstawie wsp6lrz~dnych naroznik6w tego pola. Tak wi~c w r azie stosowania omawianego programu jasnosc instrumentalnq, gwiazdy moina obliczae z nast~puj4cej zaleznosci: . N(V* _ v,t ta) mi = const - 2 5 locr sr sr '
0
texp
'
w kt6rej const jest dowoln
Dodatck H. Wyznaczanie jasnosci obiekt6w z obraz6w nieba wykonanych kamerq CCD
281
niemozliwy i stosowane sq, inne techniki wyznaczania jasnosci. W opisywanej tu procedurze „r~cznego" oblicza.nia j asnosci obickt6w ich obra:r.y musz(!. byc wyrainie rozdzielone pikselami o wartosciach sygnalu typowych dla tla nieba, przy doborze zas wielkosci pola, w kt6ryrn b~dzie obliczana wartosc V, nalezy kierowac siQ prostq, zasad~: lepsze jest pole zbyt duze niz zbyt male. Zasada ta wynika z postaci zaleznosci (7)- (9), w kt6rych odejmowany jest u.<§redniony sygnal tla, wi~c ewentualny blq,d wynikajq,cy z fluktuacji tla bQdzie duio nmiejszy niz bl
b)
,. A
Fot. H.1. Obrazy gwiazdy z kamery CCD: a) obraz kontrastowy ( Vbieli - Vczerni mi'i}kki (Vbieli - Vczemi = 300)
= 10), b) obraz
Wyznaczanie jasnosci instrumentalnej lub r6znicy jasnosci instrumentalnych ~ .J esli obrazy mierzonych obiekt6w s~ slabo skontrastowane z t lem obrazu (sygnaly pikseli tworz~ych obraz s~ niewiele w i~ksze od sygnal6w tla), to obraz powinien byc choc cz~sc iowo skalibrowany - czyli od obrazu ir6dlowego nalezy eo najmniej odj~c kadr ciemny, eksponowany tak samo dlugo, jak obra.z fr6dlowy (patrn dodatek G).
282
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
• Odczytujq,c wartosci sygnalu pikseli w otoczeniu obrazu lub skaluj
mt
Poprawienie jasnosci instrumentalnej na ekstynkcj~ atmosferycznq Wyznaczaj<}C jasnosc instrumentalnG!: tej samej gwiazdy w kilkugodzinnym przedziaJe czasu, latwo si ~ przekonac, ie ulega ona zmianom - im mniejsza jest k11towa odleglosc gwiazdy od zenitu, tym jasniejsza jest gwiazda (tym mniejsza jest liczbowa wartosc jasnosci instrumenta.lnej ). Przyczynq, tego efektu jest rozpraszanie i absorbcja prornieniowania w atmosferze Ziemi. LG):czny rezultat dzialania obu tych proces6w jest nazywany ekstynkcjq atmosferycznq. Intensywnosc ekstynkcji zaJeiy od masy powietrza, przez kt6r1J: przechodzi swiatlo, i od dlugosci fali. Mozna pokazac (patrz dodatek I) , ze zaleinosc ta ma postac m}(z ) = mb1 + K1 / cosz, gdzie m}(z) jest wyznaczonq, jasnosciq, instrumentalnq, dla odleglosci zenitalnej z, m&1 - jasnosci~ instrumentaln(!., kt6rq, wyznaczylibysmy poza atmosferG!: Ziemi, K1 wsp6lczynnikiem ekstynkcji. Jego wartosc zalezy od pasma czulosci ukladu pomiarowego, miejsca obserwacji oraz zapylenia, wilgotnosci i obecnosci w atmosferze r6znych aerozoli: pylu, dymu, mgly lub wysokich, rzadkich chmur. Ostatnia. grupa czynnik6w, z natury rzeczy zmienna, moze byc ir6dlem wielu klopot6w i bl~d6w . Wiarygodne wartosci K f i 1 mozna otrzymac tylko z obserwacji wykonywanych podczas nocy charakteryzujq,cych si~ niezmienn1J: przejrzystosci~ atmosfery. Wartosci K f dosyc silrue zalei1!- od miejsca obserwacji i chwilowych warunk6w atmosferycznych w czasie obserwacji. W mniejszym stopniu zalezq, r6wniez od pory roku. W dodatku I opisana jest procedura obserwacyjna umoiliwiaj<}ca wyznaczenie wsp6lczynnika ekstynkcji K1 i jasnosci pozaatmosferycznej . \Vyznaczenie 1 rn 01 umoiliwia por6wnywanie jasnosci r6znych gwiazd zmierzonych na r6znych odleglosciach zenitalnych, a jednocze8nie jest pierwszym krokiem prowadzq,cym do obliczenia jasnosci badanej gwiazdy w jednym ze standardowych system6w fotometrycznych.
mb
mb
Dodatek H. Wyznaczanie jasnosci obiekt6w z obraz6w nieba wykonanych karnerq CCD
283
Wyznaczanie jasnosci w wybranym systemie fotometrycznym Jak wspomniano wczesniej, jednym z najbardziej rozpowszechnionych i uznawanych na swiecie system6w fotometrycznych jest system Johnsona- Morgana (lub system UBV). W katalogach gwiazd lub na mapach komputerowych najcz~ciej jako jasnosc widoma jest podawana jasnosc wyznaczana przez filtr V w systemie Johnsona- Morgana„ Opr6cz niej sq. r6wniez podawane jasnosci wyznaczone przez inne filtry tego systemu. By m6c por6wnywac jasnosci tej samej gwiazdy wyznaczane w r6znych obserwatoriach, kazdy obserwator na podstawie jasnosci rnbA zmierzonej wlasnym ukladem pomiarowym powinien wyznaczyc jasnosc m~, kt6r
(10) Jak sugerujq. oznaczenia, f).m~s~ jest wielkosci'!: zalezn'!: od wlasnego systemu instrumentalnego i od systemu standardowego, a w szczeg6lnosci od filtr6w uzytych do pomiaru jasnosci w obu systemach fotoroetrycznych. Dla uproszczenia w dalszej cz~sci tekstu zamiast ~m~5,k stosowany b~dzie zapis f).mAB · Bardziej szczeg6lowa analiza relacji pomi~dzy m~ i mbA przekonuje, ze wartosc czynnika f).mAB powinna r6wniez zaleiec od typu widmowego gwiazdy. P otwierdzajq. to obserwacje, choc wynika z nich jednoczesnie, ze zaleznosc od typu widmowego jest slaba. Procedura wyznaczcnia f).mAB polega na wyznaczeniu pozaatmosferycznej jasnosci instrumentalnej möA takiej gwiazdy, kt6rej jasnosc m!J w standardowym systemie fotometrycznym jest znana. Jesli zmierzona pozaatmosferyczna jasnosc instrumentalna gwiazdy wyniosla mbA , a w standardowym systemie fotometrycznym jest ona r6wna m~ , to f).mAB = m~ - mhA· Do wykonania tej procedury niezb~dna jest znajomosc wsp6lczynnika ekstynkcji K A, gdyz mbA = m ~ (z) - K A / cos z. Wyznaczania wsp6lczynnika ekstynkcji moina unikn(!.c w6wczas, gdy interesuje nas wyznaczenie m~ dla gwiazd widocznych na tym samym obrazie, na podstawie kt6rego wyznaczamy f).mAB · W takim wypadku nalczy post~powac nast~puj~co : • Z obrazu nieba wybrac jednl} z gwiazd (o znacznej wartosci sygnalu, lccz nie przesaturowanq,), kt6ra w katalogu lub na mapie ma okre8lonq, jasnosc w standardowym systemie fotometrycznym m~ map , i wyznaczyc jej jasnosc instrumeni rnap z aJ · , · (lO) wym'ka, ze . m st map = m imap J\ imap( z ) t an~ l mA . z eznosc1 A +umAB =mA 8
0
m~ map -
KA/ cos z
+ f). mAs, a zatem rnozliwa do obliczenia wartosc f).mAB(z) =
m~map(z)
= - KA/cos z+ßmAB jest jednakowa dla calego obrazu (bowiem wszyst-
kie gwiazdy na obrazie SI:!; niemal w tej samej odleglosci zenitalnej). Wobec tego jasnosci widome dowolnej gwiazdy z tego obrazu w systemie standardowym b~dq. r6wne
284
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
• Jesli chcielibysmy byc bardziej precyzyjni i choc cz~ciowo uwzgl~dnic zaleznosc 6.mAB (lub 6.m AB(z)) od typu widmowego gwiazdy, to procedury opisane poprzednio nalezaloby '"Ykonac dla kilku gwiazd o r6inych typach widmowych, na przyklad dla gwiazd o typach B , F, K , wyznaczaj4c wartosci ß 8 mAB, ß FmA B , ß K mAa dla poszczeg6lnych typ6w widmowych. J esli znamy typ widmowy gwiazdy, kt6rej jasnosc chcemy wyznac7.yc, lub domyslamy si~, jaki on jest, naleiy uiyc wartosci ß m najbliZszej pod wzgl~dem typu widmowego. Je§li o typie widmowym badanej gwiazdy nie nie wiemy, naleiy przyj~ za ß mAB wartosc sredni(! z wartosci ß 8 mAB, 6.FmAB, 6. KmAB·
Procedura zliczania gwiazd J eden z dw6ch wariant6w wykonania zadania opisanego w rozdz. 21 zaklada zliczanie gwiarzd na podstawie samodzielnie wykonanych obraz6w nieba. Czynnosc zliczania polega na obliczeniu liczby gwiazd obj ~tych kadrem zdj ~cia, kt6rych jasnosci widome zawarte s4 w S(!.'>iaduj4cych ze sob4 przedzialach jasnosci o ustalonej szerokosci. Na uiyt ek tego zadania skorzystac moina z uproszczonej postaci zaleznosci (7). Jesli przyjmiemy zaloienie, ze profile obraz6w wszyst kich gwiazd widocznych w kad rze wytwarzaJ1e przez optyk~ teleskopu S(! jednakowe38 , to piksel obrazu kaidej gwiazdy maj4cy najwi~ksz~ wartosc sygnalu cvmax) a bsorbuje takq sam(! cz11:sc calkowitej energii foton6w tworzi:i:cych ten obraz. Poniewaz calkowita energia tworz(!ca obraz gwiazdy jest proporcjonalna do V - NVtla (wz6r (3)), a energia pochloni11:ta w najbardziej oswietlonym pikselu jest proporcjonalna do vmax - vtia) wi~c stosunek (V - N VLla)/( vmax - vt1a) b~dzie jednakowy dla kaidej z gwiazd na jednym kadrze. J e§li tak jest, to d la wszystkich gwiazd z tego samego kadru zaleznosc (7) mozna zapisac w nast~puj 4cej post aci: mi =
const - 2,5 log(vmax - v tla),
(11)
gdzie const jest dowoln~ stal~. Naleiy podkreslic, ze zaleinosc ta moze byc stosowana tylko do gwiazd z jednego kadru i tylko wtedy, gdy profile obraz6w gwiazd w kadrze sq. podobne. 0 profilach obraz6w gwiazd decyduje optyka ukladu i r6znego rodzaju zaburzenia mechaniczne, powoduj(!ce poruszru1ie si~ obr azu gwiazdy na detektorze w czasie trwania ekspozy~ji , na przyklad niestalosc prowadzenia teleskopu, powiewy wiatru. Zaburzenia mechaniczne b<;)dq, deformowaly w jednakowy spos6b obrazy wszystk ich gwiazd widocznych na jednym obrazie. Przyczynq, r6znic ksztaltu obraz6w gwiazd na jednym kadrze moze byc optyka teleskopu. R6znice te mog(! byc szczeg6Jnie duie, gdy uiywane s~ dodatkowe soczewki zmieniaj4ce ogniskow~ teleskopu lub obiektywy o kr6tkich ogniskowych, na przyklad o f < 50 mm. Jednak w typowych sytuacjach, gdy fotografowany jest obraz w ognisku gl6wnym Poj~cie profilu obrazu gwiazdy oznacza ksztalt powierzchni V(x, y) , gdzie x, y s~ wsp61pikseli w ukladzie, w kt6rym osie x, y s4 r6wnolegle do kraw~dzi , za$ pocz4tek ukladu pokrywa si~ z pikselem o najwi ~kszej wartosci sygnah1 V. 38
rz~dnymi
Dodatek H. Wyznaczanie jasnosci obiekt6w z obraz6w nieba wykonanych kamerq CCD
285
teleskopu czy lunety, a ~towe rozmiary pola obejmowanego kadrem nje przekraczaj
= -2,5 log(vmax -
vtta) + 6.m .
(12)
6. Oblicz granice przedzialow jasnosci m%t, na przyklad m~t = mgr - 1, m~t = mgr - 2, .. . ) m~t = mgr - 8. Korzystajll-C z zaleinosci ymax = 10o,4 (L:1.m - m•t) + vtla wyprowadzonej z wz-0ru (1 2), wyznacz wartosci sygnalu Vtax dla poszczeg6lnych ms{ vknax = ymax(m!n7. Dla kolejnych wartosci mit wyswietl na ekranie obrazy Zk, na kt6rych poziom czerni Vczemi = yknax . Kazdy z tych obraz6w zmien na negatywowy i wydrukuj. Na ka.Zdym z wydruk6w zapisz odpowiadaj4c'1 mu wartosc m%t (na obrazie Zk widoczne s~ tylko gwiazdy o jasnosciach m < m%t) . 8. Policz g•viazdy na kaidym z wydruk6w. W ydruki zav.rierajq_.ce duzq_. liczb<;] gwiazd nalezy przed rozpocz~ciem liczenia podzielic na mniejsze prostokq_.tne obszary. 9. Uwaga: By podczas wykonywania czynnosci opisanych w punkach 4, 7 i 8 nie pomin
286
Cz~sc
a) •'
•
•
b)
., ..··- · .•.. ·' .„ „ . ; • • ; !"' . . ,• ,· „; ·'· „. . „ •. ••
• •• • .•
"!.
...
.
.~
j
;. .•
:.- • '/ . ·~ •
,li
.
~ ~ ._ ;. ,
~
.9
. .'; (. '. .. ":·.„ ......•. „. . . . '„ •:•. •
••
.. 7j .
~
.t.
•
. ...
• •
.„ .
. l9
:
.
,
•
'.
\
.-: :
_,..*
~
'··""
Fot. H.2. a) Obraz kontrastowy (Vczerni kopia obrazu (Vczerni = v t la + O't ta, Vb ic li
=
•
„
.„..„.
yt.la
+ 4 0't.la'
Vczerni
„
• ~
-
·•
••
-~ ~ ,„._1
• • . •
.. . .
.
.:
..• '
II. Pomiary astronomiczne
!
•
.•,. .
„
.:,._„ .
vbieli - VC7.erni
= 1500)
"
= 300) ; b) „mi~kka"
Dodatek 1 Wyznaczanie wsp6tczynnika ekstynkcji atmosfery W prowadzenie Atmosfera Ziemi jest mieszaninq,. gaz6w atomowych, cz~steczek, aerozoli i pyl6w. Kazdy ze sklaclnik6w rozprasza i absorbuje cz12sc promieniowania docieraj<);cego spoza atmosfery. Int.ensywnosc obu tych proces6w zmniejsza si~ ze wzrostem dlugosci faU >. promieniowania. Sumaryczny efekt oddzialywania na swiatlo przez wszyst.kie skladniki atmosfery jest nazywany ekstynkcjg atmosferyczn
R ys. I. 1. Z powodu ekstyncji atmosferycznej oswictlenic od obiektu dla dowolnej dlugosci fali zaleiy od wysokosci i odleglosci zenitalnej
Rozwazmy ilosciowe zmiany oswielenia F* o ustalonej dlugosci fali , pochodz
F* (>., h - dh, z) - F* (>., h, z) = K-(>.)F* (>., h, z )p(h)dl.
(1)
Wsp6lczynnik proporcjonalnosci i>;(>.) jest nazywany wsp6lczynnikiem absorbcji. Jego wa.rtosc maleje ze wzrostem dlugosci fali: K.( >.) = a/ >.n, przy czym n :S 4 i zalezy od dlugosci fali , na przyklad n::::::: 4 dla >.::::::: 400 nm, n::::::: 1 dla >.::::::: 500 nm , n::::::: 0,2 dla >. : : : : 600 nm.
288
._ _ _ _ _ _ c_ z~ _s_ c_ll_ . Po~iary astronomiczne
J esli przyj~c, zgodnie z rysunkiem, ze atmosfera jest struktur~ plaskor6wnolegl
dh
dl = - - cosz
=
(2)
-seczdh.
Znak minus wynika z przeciwnych kierunk6w liczenia h i l: wzrostowi h odpowiada zmniejszanie si~ l. Wyrazenie (1) po uwzgl~dnieniu (2) mozna zapisac w postaci
dF* (>. ,h,z) F*(>.,h,z)
=
(') (I) dh p i secz .
r;,"
(3)
Scalkujmy t~ zaleznosc od g6rnej granicy atmosfery H do powierzchni Zierni, zaniedbuj 'lc refrnkcj~ astronom·icznq 39 : F*(>.,O,z)
1
dF''(>., h, z)
P•(>.,H)
F *(>.
' 1i, Z
) = 1;;(>.)secz
10
p(h)dh.
(4)
H
Zmienna z w funkcji F* (>., H) zostata pomini~ta , gdyz na granicy atmosfery za.leznosc od tej zmiennej znika. Poniewaz f .F*(>.,o ,z) } P·( >. ,H)
dF*(>. , h, z) =In F* (>., 0, z)
F *(>.,h,z)
F*(>., H ) 10 [2,5 logF*(>.,O,z) - 2,5logF*(>., H )} 2 ,5 lnlO
= ln
= 25 [m(>., H ) -
m(,\ 0, z) },
'
wi~c wz6r ( 4) mozna zapisac nasti2pUj(!:co:
m(>., 0, z) - m(>., H) = - 2 '5 1;;(>.)secz 1nl 0
1H
p(h)dh = K(>.) secz,
(5)
0
gdzie: m(>., 0, z) jest jasnosci'l wid01n'l gwiazdy obserwowan'l z powierzchni Ziemi dla odleglosci zenitalnej z (jasnosc instrumentalna), m(>., H) jest j asnosci~ widom'ltej samej gwiazdy, gdybysmy obserwowali .i.) = (2,5/ln 10)1;;(>.) f 0H p(h)dh - wsp6lczynnikiem ekstynkcji atmosferycznej (por. dodatek H), kt6rego zaleznosc od dlugosci fali jest taka sama, jak wsp6lczynnika absorbcji 1;;(>.) - maleje ze wzrostem dluZjawisko refrakcji astronomicznej, powodowane monotonicznci: zaleznosci
289
Dodatek 1. Wyznaczanie wsp61czynnika ekstynkcji atmosfery
gosci fali. Po zmianie oznaczen: m(>., H) wyrazenia (5) b<;)dzie nast~puj
= mt(>.),
m(>., 0, z)
= mi(>., z),
postac
(6) W praktyce zaleinosc (6) jest nieuiyteczna, gdyz dotyczy konkretnej dlugosci fali >., za$ w rzeczywistych obserwacjach pomiary jasnosci wykonywane SCJ: w szerokim zakresie dlugosci fal. Uog6lnienie wyrazenia (6) na przypadek rzeczywistych pomiar6w (>. ~ .6.>.) jest formalnie dosyc skomplikowane, lecz ostateczny wynik takich zabieg6w jest pozytywny. Okazuje si~, ze r6wniez dla obserwacji prowadzonych w pewnym zakresie dlugosci fal w pierwszym rz~clzie przyblizenia zaleznosc pomi(;)dzy jasnosciq, obserwowan
(8) lub CI~BA
= CI1A - (KB - KA)secz.
(8a)
Porady praktyczne Znajomosc wsp6lczynnik6w ekstynkcji K f dla filtr6w f uiywanych w obserwacjach jest niezmiernie cenna, gdyz umozliwia obliczanie (z zaleznosci (7) i (8a)) pozaatmosferycznych jasnosci i wskafoik6w barwy gwiazd. Wartosci K f s~ zaleine od °Kaidy filtr charakteryzuje tak zwany wsp6lczynnik transmisji, okre51aj~cy jego przepuszczalnosc, maji:i:cy niezerowe wartosci w pewnym zakresie ~.A. 4
290
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
miejsca obserwacji i a.ktualnego stanu przejrzystosci atmosfery. Wykorzystywanie do obliczef1 raz wyznaczonych wa.rtosci K f jest uprawnione tylko wtedy, gdy przejrzystosc atmosfery w chwili obserwacji jest taka sa.ma., jak w chwili wyznaczania wsp6kzynnik6w K f. Poniewa.i. warunki atmosferyczne w obserwatoriach poloionych na nizu europejskirn i w poblizu wi~kszych miast S
·1::
12,9
„c::
13,0
Q
...
13, 1
.s
~
13,2
';;j
~
13,3
0
a
..... ~
13,4 13,5 0
0,5
1,0
1,5
2,0 sec z
R ys. 1.2. Wyznaczenie instrumentalnej pozaatmosferycznej jasnosci widmowej gwiazdy i wsp6lczynnika ekstyncji atmosferycznej
Og6lny plan post~powania majq,cego na celu wyznaczenie wsp6lczynnika ekstynkcji K1 lub pozaatmosferycznych wartosci m~ 1 , CI~BA wynika z postaci zaleznosci (7) i (8a) (patrz rys. I. 2 i I.3): .i. Wyznacz m}(z) dla kilku wartosci z, posrod kt6rych powjnny znalezc si~ waitosci bliskie 60° oraz wartosci jak najblizsze 0°. " W ukladzie wsp6lrz~dnych (secz,m}(z)) zaznacz rezultaty wykonanych pomiar6w. ~ Do rozkladu punkt6w dopasuj prost~ m} = b + asec z (rys. l.2). Parametry tej prostej s~ poszukiwanyrni wielkosciami K f = a, m~ 1 = b. • Aby wyznaczyc wskainik barwy gwiazdy CI~AB> wykonaj procedur~ opisan~ w poprzednich punktach dla filtr6w A i B, a nast~pnie oblicz C I~AB = m 0A - möB (rys. l.3). Je.•fü wartosci m} dla kolejnych wartosci Z nie ukladaj<:l
291
Dodatek 1. Wyznaczanie wsp6kzynnika ekstynkcji atmosfery
12,8 ...----~---~-----..-----.-fi_ ltru _n_ ieb _1_ es+lj-e=-g o 1291--------1------1----,,,..c....-&~a~ mJ9=12m,93 --" 13,0 l----""'......-.j-----,,...q-----+----+-.
13, 1
13,2
13,3
9
36---J:=::=::::=r~~~F2;;;;::Ji ~:;~~~~ 13,41
mo;R =13m•
13,5 ' - - - - - - - ; " - = - - - - - - ' - , , - - - - - ' " , , . - - - _ , _---"0 0,5 1,0
Rys. 1.3. \Vyznaczanie instrurnentalnego pozaatmosferycznego wskaznika bar wy
sif;! wzdluz prostej (w trakcie obserwacji przejrzystosc atmosfery silnie si1;: zmienia), lepiej jest obliczac tJ..mi = m~ (z) - mk(z) dla kazdego obrazu (dla kazdego z), a nast~pnie dopasowac prost
I
DodatekJ Kody program6w obliczeniowych Programy do rozdziatu 20 Przedstawione nizej pliki kod6w program6w zostaly napisane i byly uruchamiane w srodowisku MatLab 5.3. Nawet jesli czytelnik nie ma dost~pu do tego srodowiska programowania i niemozliwe bE2dzie ich bezposrednie wykorzystanie, to dzii;:ki obszernym komentarzom opisuj~cym poszczeg6lne operacje bE2d~ one mogly byc pomoc1:1: w napisaniu wlasnych program6w w innym j~zyku programowania. Komentarze w kodach zamieszczonych program6w sq, pisane po znaku %. Program ,,n.m" zawiera dwie zdefiniowane funkcje, kt6re zostaly zaprezentowane w opisie zadania. Do tego pliku moina dole}czyc inne, wlasne funkcje. Program ,,n.m" jest wywolywany przez gl6wny program „Fi t . m" . Zadaniem tego prognu:nu jest dob6r takich wartüSci parametr6w wybra.nej funkcji n( r), dla kt6rych jest uzyskiwane najlepsze dopasowanie ffitcor(xk) do mobs(x1;:). Modyfikacja para.metr6w funkcji n(r) odbywa si~ za posrednictwem klawiatury. Opis znaczenia poszczeg6lnych parametr6w wejsciowych jest podany w komentarzach do programu. Vif trakcie dzialania programu w oknie „figure(l)" widoczny jest histogram mobs(xk), przebieg funkcji ffiteor(xk), wartosci parametrow specyfi.kuj"!Cych postac funkcji n(r) oraz wartosci parametru 8 wskazuj"!Cego na dokladnOSC dopasowania mteor(Xk) do 1nohs(Xk). W oknie „figure(2)" prezentowana jest aktualna postac funkcji n(r). Po zakonczeniu dzialania na ekranie wyswietlane s~ wartosci parametr6w funkcji n(r) dajq,cych najlepsze dopasowanie oraz calkowita liczba Ne gwia2d w gromadzie obliczana r6znymi metodami. Plik , ,n.rn'' function [n]=n(fno,Nc,R,Alfa,r); i f fno==l n=Nc. *exp ( -(r ./R) . - Alfa) ; end; if fno==2 where=find(r<=R); n(where)=Nc; where=find(r>R); n(where)=Nc.*(R./r(where)).-Alfa; end; 'l.plot(r,n,'r-');
Dodatek J. Kody program6w obliczeniowych
293
Plik ,,Fit.m" %Program umozliwia "r~czne" znajdowanie parametr6w funkcji opisuj qcej %rozklad g~stosci gwiazd w gromadzie .
%//// PODSTAWOWE DANE, WYNI KI POMIARÖW, WSTF,;PNE OBLICZENIA //// fno=2; %Numer okreslajqcy dopasowywanq funkcj~ %------------------------ PARAMETRY GROMADY ---------------- -----------Ms=7; %Srednia jasnosc absolutna w wizualnym sys. fotometrycznym, [mag] d=10000; %Odleglosc do gromady, [pc] ms=Ms+5*log10 (d) - 5; %Jasnosc widoma przeci~tnej gwiazdy gromady [mag] %-------------------- PARAMETRY OBRAZU GROMADY -----------------------texp=30; %Czas ekspozycji [s) s =l .8/ 206000; %Skala obrazu [radiany/pixel] Xc=369; %Wsp6lrz~dna x centrum gromady Vtla=2155; %Poziom sygnalu dla tla nieba %--- WYZNACZANIE WSPÖtCZYNNIKA TRANSFORMACJI JASNOSCI INSTRUMENTALNYCH %00 KATALOGOWYCH ---- ----N=100; %Liczba pikseli w polu obej mujqcym pojedyncze gwiazdy Vsr= [2347 . 1; 2298.3; 2281.45; 2365.14; 2378.89; 2255 . 2; 2880.93; 2181.16) ; %Sr. wartosci s ygnalu minstr=-2.5.*l og10 (N. * (Vsr-Vtla)./texp) ; %Jasnosci instrumentalne gwiazd mkat=[13 .64; 14 .34; 14.67 ; 13.96; 13.79; 14 .93; 12.38; 14 .78); {.Jasnosci katalogowe (wiz.sys.fotometryczny) mo=mkat-minstr; %Wartosci wsp6lczynnika transformacji dla poszczeg6l nych %gwiazd mo=mean(mo); %Sr ednia wartosc wsp6lczynnika transformacji %------------- POMIAR GLOBALNEJ JASNOSCI GROMADY, Nglob8 - --------------xylg= (240 74) ; %Wsp6lrz~dne x,y lewego, görnego naroznika prostokqta %pomiaru xypd= [511 330]; %Wsp6lrz~dne x,y dolnego, prawego naroznika prostokqta %pomiaru N=(xypd(1)-xylg(1)+1 ) * (xypd(2)-xylg (2)+1); %Liczba pikseli %w polu pomi arowym Vsr=2409; %Srednia wartosc sygnalu w polu pomiarowym mgl=- 2.5. *log10(N.*(Vsr-Vtla)./texp)+mo ; %Jasnosc widoma gr omady %(wiz.sys. fo tom.) [mag] Ngl ob8=10-(0.4*(ms-mgl )); %Li czba gwiazd w gromadzi e obliczona %z zaleznosci (8) %----------- WYNIKI POMIARÖW JASNOSCI W PROSTOK~TNYCH POLACH ----------Dx=15; %Szerokosc prostokqtöw w pikselach H=268; %Wysokosc prostokqtow w pikselach N=Dx*H; %Liczba pikseli w jednym prostokqcie Xk=[147, 163, 179, 195, 211, 227, 243, 259, 275 , 291, 307, 323 , 339, 355, 371, 387, 403, 419, 435, 451 , 467, 483, 499, 515 , 531 , 547, 563, 579]; %Wsp6lrz~dne x lewej kraw~dzi Vk=[2166,2166,2170,2170,2168,2187,2180,2189,2219,2233,2248,2330,2433,2870, ... , 3520,2747 , 2413,2312, 2265,2210,2192,2192,2171,2167 ,2177, 2176,2161,2161]; %Wart osci srednie sygnalu w prostokqcie
294
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
mkobs=-2 . 5.loglO(N.*(Vk-Vtla)./texp)+mo; %Jasnosei widome w wizualnym %systemie f otometryeznym figure(l); pl ot(Xk,mkobs,'b. ');hol d on; %Naniesienie wartosei mkobs %na wykres
%!////// POSZUKI WANIE NAJLEPSZEGO DOPASOWANIA POPRZEZ ZMIAN~ PARAMETRÖW % FUNKCJI n(r) ////////// %--- INICJACJA POCZf!TKOWYCH WARTOSCI PARAMETRÖW WYBRANEJ FUNKCJI n(r) --Ne=20000; dNe=2000; /,nadanie poezqtkowej wartosei [1/pe3] %i kroku zmiany g~stosei eentralnej R=l; dR=0.1; %nadanie poezqtkowej wartosci %i kroku zmiany promienia rdzenia gromady [pe] Alfa=3; dA=0.1 ; %nadanie poezqtkowej wartosci %i kroku zmi any wykladni ka pot~gi Xe=369; dXe=l; %nadanie poezqt kowe j wartosei %i kroku zmiany wartosci wsp. centrum gromady Xe zn=l; %wartosc poezqtkowa kierunku %zmi an parametr6t.t "1"-zwi~ks z . ,"-1"-zmniejsz. dr=0.1; %krok ealkowania funkcji n(r) [pc] NeOK=l; ROK=l; AlfaOK=l; XcOK=l; SOK=Sini; %--- ZMIANA PARAMETRÖW FUNKCJI n(r) I POKAZYWANIE WYNI KU ZMIAN ---exit=O; Ini=l ; InpNo=l; pidsdx=2*pi *d*S*DX; while exit==O i f Ini==O oldinpNo=InpNo; Opisakeji' '\n' ... I npNo=input( [ 'Klawisz 1- Zmiana Ne' '\n' .. . 2- Zmiana R' '\n' ... 3- Zmiana Alfa' '\n' ... 4- Zmiana Xe' '\n' .. . 7- Zmiana kroku ostatnio zmienianego parametru ' '\n ' ... 8- Zmiana znaku kr oku ' '\n' . . . 9- Czysc rysunek' ' \ n\' . .. 0- Koniee dzialani a programu ' '\n' '\n' ... Akcj a =']); switch InpNo ease 1. Nc=Ne+zn*dNc ; if (Nc<=O); Ne=Nc - zn*dNe; ' disp('Ne ujemne!');end ; case 2· R=R+zn*dR; if (R<=O); R=R-zn*dR; ' disp('R ujemne!');end ; ease 3; Al fa=Alfa+zn*dA; if (Alfa
przeei~tnej
gwiazdy
296
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
Ms= ' num2str(Ms,'%4 . 2f')]); disp(['Odpowiadajqea jej jasnosc widorna ms=' num2str(ms,'%4.2f')]); disp( [ 'Wartosc mo w transf. "m(katal og. )=mo+m(instr.)" mo=' num2str(mo,'%4.2f')]); disp(['Jasnosc widoma ealej gromady mglob=' num2str(mgl,'%4.2f')]); disp([' ']); if fno==1 disp('G~stosc gwiazd jest opisywana funkejq: '); disp(' n=Ne*exp(- (r/R)-alfa)'); end; if fno==2 disp('G~stosc gwiazd jest opisywana funkejq: '); disp(' n=Ne; dla r<=R'); disp(' n=Ne*(R/r)-alfa dla r>R'); end; disp('Najlepsze dopasowanie uzyskano dla:'); disp([' Ne = ' num2str(NeOK,'%5.0f')]); disp([' R =' num2str(ROK,'%4 . 2f') ' [pe] ']); disp([' Alfa=' num2str(Alfa0K,'%8.2f')]); disp([' Xe =' num2str(XeOK,'%4 . 1f')]); disp( ['Wykres tej funkeji jest widoezny w oknie "figure(2)" ']); disp(['Suma kwadrat6w r6znie S = ' num2str(SOK,'%4 . lf') ] ); disp([' ']); %------- Rysowanie najlepszej funkeji mkteo(Xk)i obliezenie Nglob zgodnie % z wyra2eniem (7)-----figure(l); plot(Xk,mkobs,'b. '); hold on; f or k=l:length(Xk) rd=d*S*abs(Xk(k)-XeOK); rg=d*S*sqrt((H/2)-2+(Xk(k)-Xe0K)-2); r=rd:dr:rg; ro=n(fno,NeOK,ROK,Al faOK,r); for i=l:length(r); f(i)=ro(i)*r(i); end; Nk(k) =pidsdx*trapz(f)*dr; mkteo(k)=ms- 2.5*1og10(Nk(k)); elear f; end; x=min(Xk):max(Xk); %Nowy wektor zmiennej niezaleznej plot(x,interpl(Xk,mkteo,x,'eubie'),'r- ' );%Narysowanie interpol owanego mkteo %na wektor x title( [ 'S=' num2str(SOK,'%10.0f')]); Nglob7=sum(Nk); %Dbl. liezby gwiazd zgodnie %z wyrazeniem (7) %----- Obliezenie liezby gwiazd w gromadzie zgodnie z wyrazeni em (6) r=O:dr:d*S*H/2; ro=n(fno,NeOK,ROK,AlfaOK,r); for i=l:length(r); f( i )=4*pi*ro(i)*r(i)-2; end; Nglob6=trapz(f)*dr; %0bliezanie globalnej liezby %gwiazd z ealki (6) disp(['Liezba gwiazd w gromadzie wyznaezona z ealki (6)=' num2str(Nglob6, ' %8.0f')]); disp(['Liezba gwiazd w gromadzie wyznaezona z ealki (7)=' num2str(Nglob7, 1 %8.0f')]);
Dodatek J. Kody program6w obliczeniowych
297
disp ( ['Liczba gwiazd w gromadzie wyznaczona z wyrazenia (8)=' nwn2str(Nglob8,'%8.0f ') ] ); %----------- Narysowanie najlepszej funkcji n(r) -------------figure(2); pl ot(r,ro,'r-'); grid on; title([' NcOK=' num2str(Nc0K ) ' ROK=' num2str(ROK) ' AlfaOK=' num2str(Alfa) XcOK=' num2str(Xc0K)]);
Programy do rozdziatu 21 Wykonanie zadania opisanego w rozdz. 21 wymaga przeprmvadzenia obliczen numerycznych. Proces obliczen dla jednego kierunku zliczen mozna podzielic na nast~puj~ce etapy: • Wprowadzenie wynik6w zliczeil gwiazd Nobs(mi) oraz wartosci k~ta brylowego w. • Zaproponowanie sparametryzowanych postaci funkcji opisujq,cej g~stosc gwiazd n(r,p1 , ... ,pn) lub 17(r,p1 , ... , Pn)· • Obliczenie calki (5) lub (7) dla okreslonego zestawu parametr6w p 1 , .•. ,Pn dla kaidej wartosci jasnosci widomej ilii, clla kt6rej wykonywano zliczenia. • Obliczenie wartosci funkcji (1), czyli sumy kwadrat6w r6znic pomi~dzy liczb<'lgwiazd wynikajl!c~ z zakladanego rozkladu g~tosci Nwpe(mi,P1,P2, . .. ,Pn) a liczbC1 gwiazd zliczonych N~~0 (mi)· Pliki kod6w program6w wykonujq,cych te etapy obliczefi - napisa.ne w srodowisku MatLab 5.3 - s~ zarnieszczone w dalszej cz~sci tego dodatku. Nawet jesli czytelnik nie ma dost~pu do tego srodowiska programowania i niemozliwe b~dzie ich bezposrednie wykorzystanie, to dzi~ki obszernym komentarzom opisujq.cyrn poszczeg6lne operacje przedstawione kody mogq. byc pomocq, w napisaniu wlasnych program6w w innym j~zyku programowania. Komentarze w kodach zamieszczonych program6w s~ pisane po znaku %. Tabela J. l zawiera og6lny opis zadai1 wykonywanych przez zamieszczone pliki kod6w program6w. W terminologii j~zyka MatLab wszystkie zamieszczone tu pliki sq, funkcjami . .Jesli b~d(!. one uruchamiane w srodowisku MatLab, to musz~ byc zainstalowane w tym samym katalogu. Pierwszym krokiem jest wpisanie do pliku „WynikiZliczen" rezultat6w wlasnych zlicze6 w formacie zgodnym z juz wpisanymi zliczeniami przykladowymi. Nast~pnie nalezy zdecydowac, kt6ra z funkcji pliku „ro" b~dzie stosowana do budowania teoretycznych zaleznosci lub dopisac do pliku wlasny typ funkcji n(r,p1 , ... ,Pn). Ta koncu naleiy uruchomic jeden z program6w: „Fit.JUan", „F i t _auto", „Fi t _scan", z odpowiednimi parametrami wejsciowymi . Spos6b wywolania poszczeg6lnych program6w, jak i znaczenie poszczeg6lnych pa.ra.metr6w SC! opisane w nagl6wkowym komentarzu kazdego programu.
Cz~sc
298
II. Pomiary astronomiczne
Tabela J .1 Nazwa pliku
Opis funkcji spelnianej przez prograrn
„vVyuikiZliczen"
Program zawierahcy wyniki zliczei1 gwiazd oraz k(lt brylowy, w kt6rym dokonywano zliczen. Kq,t brylowy jest obliczany ze wsp6lrz'ildnych röwnikowych za pomoc
,,ro .m"
Program postuluj'!CY trzy sparametryzowane typy ftmkcj i opisujiteych rozklad g~tosci gwiazd. Zestaw proponowanych funkcji mozna uzupelnic funkcj!J: wlasn
„Calka1 .m"
Program obliczajci:cy liczbQ gwiazd o ustalonej jasnosci absolutnej w okreslonym k!j,cie brylowym - obliczanie calki (5). Program ten jest wywolywany przez programy: „Fi t..man" , „Fi t_auto", „Fi t_scan"
„Calka2 .m"
Program obliczaj'!-Cy liczbi;: gwiazd o dowolnej jasnosci absolutnej w okreslonym k
„Fit...man"
Program wykonujll;CY zasadnicze zadanie - dob6r zestawu parametr6w Pl, .. . , Pn precyzujii:cych funkcj~ g~tosci gwiazd, dla kt6rych uzyskuje si'il najlepsze dopasowanie funkcji modelowej Nwpo(mi,P 1,P2, . .. ,pn) do fu nkcji otrzymanej z obserwacji Nobs( wpO m- i ) · Wart.osci poszczegölPl ,p2 , ... ,pn okresla. uzytkownik. Wy.nikiem dzialanych pa.rametr6w nia. programu sii wartosci pa.rarnetr6w Pl, p2, .. . , Pn dajlj;ce najmniejszii: sum~ kwadrat6w r6znic JV~~~(füi , pi,pz,. „ Pn) - N~~~(ih; ), czyli warto5c funkcj i ( l )
„Fit_auto"
Cel i rezultaty dzialania tego programu s11: takie same, jak „Fi t_Jßan" , z tlj; r6iniclj;, ie dob6r para.metr6w P1, P2, ... , Pn dla najlepszego dopa.sowania jest wykonywany automatycznie
,,Fi t _scan"
Celem dziala.nia tego programu jest graficzne przedstawienie zaleinosei wartosci funkcji ( l ) od pararnetr6w okreslaj
„Kat"
Program do obliczania wartosci k<1:ta brylowego dla r6znych danych wejsciowych. Program ten jest wywolywany przez progra.m „WynikiZliczen"
„Zakresy"
Program do obliczania zakresu odleglosci, w kt6rym zliczenia SC1; wiarygodne
Dodatek J.
Kody program6w obliczeniowych
299
function [w ,m,Ngw]=WynikiZliczen(no,mg:r); %Jest to funkcja zawierajqca wyniki zliczen. Jest wywolywana przez %programy: "Fi t_man", "Fit _auto" i "Fi ·t _scan". Zliczenia wlasne nalezy %wprowadzac do tego pliku na wz6r juz .z amieszczonych. Parametry funkcji %"Kat" podac zgodnie opisem funkcji "Kat" lub wprost wpisac juz obl iczone %wartosci w steradianach np."w=0.03;". %Macierz N jest dwukolumnowa. Liczba wierszy jest r6wna liczbie jasnosc1 %widomych, dla kt6rych wykonano zliczenia. Pierwszq kolumnq Sq wartosc i %jasnosci widomych, drugq liczba zliczonych gwiazd . Kolumny oddzielac %spacjq lub przecinkiem, wiersze srednikiem . Po wpisaniu zliczen %uaktualnic zmiennq "noMAX" (pierwsza linia kodu), kt6ra jest r6wna %liczbie wszystkich wpisanych zliczen. noMAX=6; %lqczna liczba wszystkich wpisanych zliczen switch no
%.............................................. .. .... . . . . . .......... . ... . %Zliczenia z katalogu I/259 The Tycho-2 Catalogue (Hog+ 2000); mgr=11-11.5
%..... . .•.. . ........................•.. . ........ . .................. ' . .... %--------------------------- b=86 --------------------------------------case 1; %RA:195-185 DEC:25-35 w=Kat(195,185,35,25) ; N= (3 0; 4 0; 5 5; 6 10; 6. 5 13; 7 24; 7. 5 36; 8 59; 8. 5 89; 9 146; 9. 5 227; 10 330; ... 10.5 485;11 710;11.5 1082;12 1508;13 1996;14 2013;15 2013;16 2013]; %- ======-----=-====- - ----=== b=70 - = - - = ========----=== - = = ==----=== ~ ==-
case 2 %RA:195-185 DEC:5-15 w=Kat(195,185,15,5); N=[7 28;7.5 45;8 73;8.5 108;9 182;9.5 302;10 428;10.5 697;11 1048; ... 11. 5 1499;12 2077;13 2501;14 2509;15 2509;16 2509]; case 3 %RA:170-210 DEC:60-70 w=Kat(210,170,70,60); N=[5 1;6 14;7 43;8 127;8.5 205;9 321;9.5 504 ; 10 764;10.5 1164;11 1781; ... 11.5 2703;12 3831;12.5 4801] ; %---------------------------- b=O -----------------------------------case 4 %RA:312- 317 DEC:42- 47 w=Kat(317,312,47,42); N=[7 19;7.5 29;8 45;8.5 63;9 104;9.5 166;10 279;10.5 422; ... 11 690;11.5 1122;12 1609;12.5 1957;13 2052;14 2060]; case 5 %RA:97- 102 DEC:7- 12 w=Kat(102,97,12,7); N=[5 3;6 5;7 18;8 46;9 156;10 419;10.5 649;11 1059;11.5 1649;12 2223; ... 12.5 2484;13 2540]; case 6 %RA: 45- 55 DEC:45-55 w=Kat(55,45,55,45); N=[5 6;5.5 13;6 17;6.5 27;7 41;7.5 70;8 107;8.5 171;9 264;9.5 435;10 677; 10.5 1101;11 1677;11.5 2579;12 3579;12.5 4113;13 4203]; otherwise disp('Brak zliczen o takim numerze! '); end; i f no<=noMAX; where=find(N(: ,1)<=mgr); m(where)=N(where,1);
300
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
Ngw(where)=N(where,2);end funct i on [ro ,r]=ro(fno,rp ,np,r); %Generowane Sq trzy funkcje opisujqce przestrzennq %(patr z r ys. J . 1)
g~stosc
gwiazd
%PARAMETRY WEJSCIOWE: %fno - numer funkcji rozkladu g~stosci %rp,np - Wektory parametr6w precyzujqcych postac wywolywanych funkcji. % Znaczenie wsp6lrz~dnych tych wektor6w zalezy od numeru %wywolanej funkcji % Dla funkcji fno=1 (patrz rys. J. l a) % rp(l) - odleglosc, od ktörej g~stosc zaczyna malec [pc] % rp(2) - decyduje o tempie zanikani a g~stosci poza r( l ) [pc] % np(l) - g~stosci gwiazd w otoczeniu Slonca (r bli skie 0) % np(2) - nieuzywane % Dla funkcj i fno=2 (patrz rys. J.1b) % np(l)- g~stosc gwi azd w otoczeniu Slonca % np(2)- g~stosc gwiazd w odleglosci=rp(l) % rp(l)- odleglosc, w ktörej g~stosc =np(2) [pc] % rp(2)- decyduje o tempie zanikania g~stosci poza rp(2) [pc] % Dla funkcji fno =3 (patrz rys . J. l c) % np(l)- g~stosc gwiazd w otoczeni u Slonca % np(2)- ni eu2ywane % r p(l)- odleglosc, od ktörej g~stosc zaczyna malec [pc] % r p(2) - decyduje o tempi e zanikani a g~stosci poza rp(2) [pc] %r -wektor wartosci odleglosci, dla kt6rych b~dzie obliczana g~stosc
%PARAMETRY WEJSCIOWE: %ro -wektor wartosci g~stosci, dla odleglosci okreslonych wektorem r %r -wektor wartosci odleglosci dla ktörych zostala obliczona g~stosc i f fno==l where=find(r<=rp(l)); ro(where)=np(l); where=find(r>rp(1)); ro(where)=np(l) *exp(- (r(where) - rp(l))/rp(2)); end; if fno==2 where=find(r<=rp(l) ); r o(wher e)=np(2)*exp((r(where) - rp(l)) .-2*log(np(l)/np(2))/rp(l)-2); where=find(r >rp(l)); ro(where)=np(2)*exp(-(r(where)-r p(l)) .-2/rp(2)-2); end; if f no==3 where=find(r<=rp(l)); ro(where)=np(l); where=find(r>rp(1)); ro(where)=np(1)*exp(-(r(where) - rp(1)) . -2/rp(2)-2); end;
Dodatek J. Kody program6w obliczeniowych
301 b)
a) x lO·l
3,0..--'-''-,---..--....--..--.----.----..-..---.---. i---""""l'·- nJ __.--- nl=0.0027, r1=200, r2=150 .!b2,5
4,0
-~ 1,5 •Q
·2 1,0 iß.
CO
0,5
n2_7·-,rl-"/\
r\
rl ';;'2,0 - --------- --- -- ~- nl \
nl=0.0005, n2=0.0035, r1 =600, r2=150
3,5
:§"
~
xJ(}-3
,,'"
~
-
3,0
~
1,5
/ „,........
i : : .-/-/. .
nl =0.002, rl=400, r2=50
\/ „. „
,'
„ \.
,„
~ 0,5l ,O <.,nJ/ / nl=0.002, n2=0.0025 r1=400, r2=250
'
•,
\.,,
''„ . . 0
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 odleglosc r [pc]
0
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 odleglosc r [pc]
rl 2,5 -!,,nl \ n 1=0.0025, rl =50, r2=350
\,(
c
] 1,5
·~1,0 ~
.8
~0, 5
\ - nl I\ rl '\
\\ '„,, '•...... „... „ ... _
0
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 odleglosc r [pc]
Rys. J.1. Graficzne postaci postulowanych funkcji rozkladu b) dla fno = 2; c) dla fno = 3
g~tosci
gwiazd: a) dla fno = l;
function [C,m] =Calkal(fno,rp,np,M,w,m,dr); i.Obliczanie liczby gwiazd o ustalonej jasnosci absolutnej =M , jaka b~dz ie i.widoczna w kqcie brylowym =w, o jasnosci widomej
302
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
·% % % % % % % % % % % % % % % % %M %w
Dla funkcji fno=l rp(l) - odleglosc, od kt6rej g~stosc zaczyna malec [pc] rp(2) - decyduje o tempie zanikania g~stosci poza rp(l) [pc] np(1) - g~stosci gwiazd w otoczeniu Slonca (g~stosc poczqtkowa [1/pc3]) np(2) - nieuzywane dla fno=l Dla funkcji fno=2 np(1)- g~stosc gwi azd w otoczeniu Slonca [1/pc3] np(2)- g~stosc gwiazd w odleglosci =rp(l) [1/pc3] rp(l)- odleglosc w kt6rej g~stosc =np(2) [pc] rp(2) - decyduje o tempie zanikania g~stosci poza rp(2) [pc]. Dla funkcji fno=3 np(1)- g~stosc gwiazd w otoczeniu Slonca [1/pc3] np(2)- nieuzywane rp(l)- odleglosc, od kt6rej g~stosc zaczyna malec [pc] rp(2)- decyduje o tempie zanikania g~stosci poza rp(2) [pc] . - jasnosc absolutna zliczanych gwiazd - kqt brylowy obj~ty zliczaniem ~.rn - wektor wartosci jasnosci widomej, dla kt6rych b~dzie liczona calka %dr - krok calkowania po odleglosc i [pc] %PARAMETRY WYJSCIOWE: %m - j.w . %C - liczba gwiazd o ustalonej jasnosci absolutnej =M, w kqcie % brylowym w, kt6rych jasnosc widoma
function [C,m]=Calka2(fno,rp,np,w,m,dr); %Obliczanie liczby wszystkich gwiazd widocznych w kqcie brylowym w %0 jasnosci widomej
Dodatek J. Kod y program6w obliczeniowych
303
% np(2)- WZGL~DNA g~stosc gwiazd w odleglosci =rp(l) % rp(l)- odleglosc w kt6rej g~stosc =np(2) [pc] % rp(2)- decyduje o tempie zanikania g~stosci poza rp(2) [pc]. % Dla funkcji fno=3 % np(l)- WZGL~DNA g~stosc gwiazd w otoczeniu Slonca % np(2)- nieuzywane % rp(l)- odleglosc, od kt6rej g~stosc zaczyna malec [pc] % rp(2)- decyduje o tempie zanikania g~stosci poza rp(2) [pc]. %w - Kqt brylowy obj~ty zliczaniem /.m - Wektor wartosci jasnosci widomych, dla kt6rych b~dzie liczona calka %dr- Krok calkowania po odleglosci [pc] l.P ARAMETRY WY JSCIOWE:
/.m - j. w. %C - Liczba gwiazd o dowolnej jasnosci absolutnej, w kqcie br ylowym w, %kt6rych jasnosc widoma
304
Czfi!SC II. Pomiary astronomiczne
%PARAMETRY WEJSCIOWE: %Cno - numer identyfikacyjny calki. % Cno=l obliczanie formuly (5)(zliczanie gwiazd o stalej jasnosci % absolutnej) % Cno=2 obliczanie formul y (7)(zliczanie wszystkich gwiazd) %Fno - numer dopasowywanej funkcj i gEistosci z pliku "ro .m": Fno=l lub =2 lub =3 %rlv ,r2v,nld,n2v- dwuwymiarowe wektory odnoszqce si~ do poszukiwanych % parametr6w rl,r2,nl,n2. Znaczenie poszczeg6lnych wsp6lrz~dnych % tych wektor6w jest nastEipujqce: X=[wart.pocz .X,krok_zmian_X]. % Np. :rlv=[100 10] ,r2v=[100 10]. % Wartosci wektora nld lub n2v zalezq od numeru liczonej calki. % I tak dla Cno=2 wsp6lrZEidne nld sq gEistosciq wzgl~dem g~stosci % sredniej i np. n1d=[1 0.1]. % Dla Cno=l, wartosci wsp6lrz~dnych nld sq zwyklymi g~stosciami % (w [1/pc3] ) i np. nld=[0.001 0.0001]. % Znaczenie parametr6w rl,r2,nl,n2 zalezy od rodzaju funkc ji % g~stosci (od wartosci Fno). Patrz opis w pliku "ro(fno,rp,np,r) " %M - Jasnosc absolutna gwiazd j est niezb~dna tylko wtedy gdy Cno=l. %Dno - Numer danych z pliku "WynikiZliczen". Dane nalezy przygotowac na % wz6r juz zamieszczonych . /.mlirn - G6rna wartosc jasnosci widornych, dla kt6rych b~dzie nast~powalo % dopasowanie (pobranych z pliku "WynikiZliczen"). %dr - Krok calkowania po odleglosci [pc] %PARAMETRY WYJSCIOWE : /.n1ok,r 1ok, r2ok - wartosci parametr6w dla najlepszego dopasowania i.m,C - wektor jasnosci i odpowiadajqcy mu wektor dopasowanej calki %W trakcie dzialania programu w nagl6wku rysunku podawane Sq nast~pujqce %wartosci : 1 l ub -1 - znak kroku, (p l/p2) - pl to aktualna wartosc %parametru, p2 krok w tym parametrze %S - suma(Nobs-Ndopas)-2 %Po zakonczeniu programu rysowana jest najlepsza z testowanych funkcji i %odpowiadajqcy jej zestaw parametr6w. %WYWOt.ANIE : [C,m,r1ok,r2ok,nlok,n2]=Fit_man(Cno ,Fno,rlv,r2v,n1d,n2,M,Dno,mlim ,dr); %lub Fit_man(Cno,Fno,rlv,r2v,nld,n2,M,Dno,mlim,dr); %Przyklad: Fit_man (2 ,1 ,[100 20] ,(100 20],[1 0. 1] ,(1 0.1],1,1 ,11,20) ; % Fit_man(2,2 ,[100 20] ,(400 40],[1 0.1] ,[1 0.1],1,6,11.5,20); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% nl=nld(l); dn1=n1d(2); %nadanie poczqtkowej wartosci i kroku g~stosci n1 n2=n2v(1); dn2=n2v(2); %nadanie poczqtkowej wartosci i kroku gEistosci n2 r1=r1v(1) ; dr1=r1v(2); %nadanie poczqtkowej wartosci i kroku rl [pc] r2=r2v(1); dr2=r2v(2); %nadanie poczqtkowej wartosci i kr oku r2 [pc] if Cno==l; dr=l; else dr=10; end %Krok calkowania po odleglosc i [pc] zn=1; %Wartosc poczqtkowa kierunku zmian parametr6w [w,rn,Ngw]=WynikiZliczen(Dno,mlim);%Pobranie wynik6w zliczen: kqta %brylowego, jasnosci, liczby gwiazd margines=(max(Ngw)-rnin(Ngw))/10; skala=[min (m)-0.5 max(m)+0.5 min(Ngw) - margines max(Ngw)+margines]; r2ok=1; rlok=l; nlok=l; n2ok=1; Sini=l0-20; Sok=Sini; exit=O; Ini=1; Ino=l ;
Dodatek
J. Kody program6w obliczeniowych
305
while exit==O i f Ini==O oldn=Ino; Ino=input([ '1-krok w Rl' '\n' .. . '2-krok w R2' '\n' . . . ' 3- krok w N1 ' '\n' .. . '4-krok w N2' '\n' .. . '5-zmiana kroku ostatnio zmienianego parametru' '\n' ... '6-zmiana znaku kroku' '\n' ... '7-czysc rysunek' '\n\' ... '0-koniec ' '\n' ... 'Wpisz cyfr~ ='] ); switch lno case 1 ; rl=rl+zn*drl; i f (rl<=O); rl=rl-zn*drl; disp('rl poza zakresem. ');end; case 2· r2=r2+zn*dr2; ' if (r2<=0); r2=r2-zn*dr2; disp ( ' r2 poza zakresem . ');end; case 3; nl=nl+zn*dnl; if (nl
306
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
title(['nlmin=' nwn2str(nlok) ' n2min=' num2str(n2ok) ' rlmin=' num2str(rlok) ' r2min=' num2str(r2ok) ' Smin=' num2str(Sok,'%10.0f') ] ); function [C,m,r1ok,r2ok,n1ok,n2]= Fit_auto(Cno,Fno,r1v ,r2v,nlv,n2,M,Dno,mlim); %Funkcja znajduje para.metry funkcji rozkladu g~stosci gwiazd: r1,r2,n1 %dla najlepszego dopasowania. Po zadaniu zbyt szerokich %zakres6w zmian parametröw lub daleko poza minimum program gubi si~. %Z tego wzgl~du do zgrubnej oceny polozenia minimum wskazane jest %wczesniejsze uruchomienie programu Fit_man . %PARAMETRY WEJSCIOWE: %Cno-numer calki % Cno=l obliczanie formuly (5)(zliczanie gwiazd o stalej jasnosci % absolutnej) % Cno=2 odpowiada obliczani u formuly (7)(zliczanie wszystkich gwiazd) %Fno- numer dopasowywanej funkcji g~stosci w pliku "ro.m": =1,2 lub =3 %r1v,r2v,n1v - Dwuwymiarowe wektory o skladowych b~dqcych granicami %przedzial6w, w kt6rych b~dzie poszukiwana najlepsza wartosc parametru. %Zakresy dolnych i g6rnych granic odleglosci: rl=[O 5000]; r2=[1 5000]; %Zakresy dla nl zalezq od calki: dla Cno=1 [0.00004 0.2] dla Cno=2 [0.5 3] . %Jesli zakresy podane na wejsciu b~dq wystawaly poza maksymalne, b~dq %obci~te na podanych granicach. %n2 - g~stosc uzywana przez funkcj~ fno=2 (g~stosci gwiazd wodleglosci r=r1). %Ze wzgl~du na mniejsze znaczenie funkcji fno=2, w ktörej ten %para.metr wyst~puje, a takze dla zwi~kszenia przejrzystosci %kodu progra.mu, zmiana wartosci tego para.metru jest mozliwa tylko % przez modyfikacj~ wartosci wejsciowej. %Znaczenie parametr6w nl,n2 zalezy od wybranej funkcji g~stosci %(od Fno). Opis w "ro(fno,rp,np,r)". Wartosci parametröw n1 lub n2 zalezq %od numeru calki.Jesli Cno=2, wartosci wsp6lrz~dnych nlv,n2 wyrazajq %g~stosc wzgl~dem g~stosci sredniej. Rozsqdny zakres nlv=[0.6 2]. %Gdy Cno=1, wartosci wsp6lrz~dnych nlv i n2 sq zwyklymi %g~stosciami ([1/pc3]), np. nlv=[0.0005 0.01]. Dobierajqc wartosci %granic dla Cno=1,kierowac si~ nalezy wartoscia.mi funkcji jasnosci %dla tej jasnosci absolutnej, kt6ra jest zliczana. %M -Jasnosc absolutna gwiazd . Jest uzywana tylko wtedy, gdy Cno=1. %Dno -Numer danych z pliku "Wyni kiZliczen". Dane w tym pliku nalezy % przygotowac na wzör juz za.mieszczonych. /.mlim-Graniczna wartosc jasnosci widomych, dla kt6rych b~dzie nast~powalo % dopasowanie (dane z pliku "WynikiZliczen" b~dq pobrane tylko do % tej wartosci) . %PARAMETRY WYJSCIOWE: /.m,C - wektor wartosci jasnosci i odpowiadajqcy mu wektor wartosci % dopasowanej calki %r1ok,r2ok,n1ok - wartosci parametr6w r1,r2,n1 dla najlepszego % dopasowania %WYWOtANIE: %[C,m,r1ok,r2ok,n1ok,n2] =Fit_auto(Cno,Fno,r1v,r2v,n1v,n2,M,Dno,mlim); %lub Fit_auto(Cno,Fno,r1v,r2v,n1v,n2,M,Dno,mlim); %Przyklad: Fit_Auto(2,1,[10 800] ,(10 800] ,(0.7 1.3] ,dowolne,dowolne,1,11);
Dodatek
J. Kody
program6w obliczeniowych
307
% Fit_Auto(l,1, (10 800] , (10 800] , (0.0001 0.0003] ,dowolna, 1 ,6,11.5); %Po zakoticzeniu dzialania programu rysowany jest rysunek z naniesionymi %zliczeniami, naj l epsze dopasowanie oraz podawane sq wartosci parametr6w %dla najlepszego dopasowania. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% i f r1v(1)<0; r lv(l)=O;end; if r1v(2)>5000; r1v(2)=5000;end; if r2v(l)<1; r2v(1)=1;end; i f r2v(2)>5000; r2v(2)=5000;end; if Cno==1;
if nlv(l)<0.00004; n1v(1)=0.00004;end; if n1v(2)>0.2; n1v(2) =0.2;end; else if n1v(l)<0.5 ; nlv( l) =0.5 ;end; if n1v(2)>3 ; nlv(2)=3; end; end; %Ustalanie przeszukiwanych zakres6w, wartosci startowej, kroku %poczqtkowego, kroku minimalnego. nlmin=n1v(1); n1max=n1v(2); n1ini=(n1v( 1)+n1v(2))/2; dnlini=abs(nlv(2)-nlv(l))/5; dnlmin=dn1ini/10; if Cno==1; if dnlmin<0.000001; dnlmin=0.000001;end; else i f dn1min
Cz~sc
308
II. Pomiary astronomiczne
i f S
Smin_r2=S; r2=r2+zn_r2dr2; if (r2>=r2max) l (r2<=r2min); if dr2>dr2min;r2=r2-zn_r2*dr2;dr2=min(abs(r2-r2min), abs(r2-r2max))/2; r2=r2+zn_r2*dr2; else exit_r2=1; end; end; %if poza granicq elseif S==Smin_r2; r2=r2+zn_r2*dr2; rpr2=rpr2+1; if rpr2==2; exit_r2=1;end; else if dr2>dr2min; dr2=dr2/Ndiv;r2=r2+zn_r2*dr2/2; zn_r2=- zn_r2;r2=r2+zn_r2*dr2;Smin_r2=Sini; else exit_r2=1; end end %(if S<=Smin_r2); if (exit_r2==1); if (rpr2==0); r2ini=r2-zn_r2*dr2; dr2ini=2*Ndiv*dr2;end; if(Smin_r2
Dodatek J. Kody program6w obliczeniowych
309
end %while dr1 disp( [ 'dla n1=' num2str(n1,formatn1) ' Smin=' num2str(Smin_r1,'%10.0f')]); if (Smin_rl
310
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
%decydujq o zakresie i kroku, o kt6ry zmieniana jest wartosc n1. %Przejscie do kolejnych wartosci n1 nast~puje po wcisni~ciu dowolnego %klawisza. W nagl6wku kazdego pojawiajqcego si~ rysunku funkcji sei %podawane wartosci r1 i r2, dla ktörych funkcja ma minimum. Zmiana %parametru n2 moze byc dokonana tylko poprzez %zmian~ parametru wejsciowego. 7.PARAMETRY WEJSCIOWE: %Cno - numer identyfikacyjny liczonej calki % Cno=1 obliczanie formuly (5)(zliczanie gw. o stalej jasnosci % absolutnej) % Cno=2 odpowiada obliczaniu formuly (7)(zliczanie wszystkich % gwiazd) %Fno - numer dopasowywanej funkcji g~stosci w pliku "ro.m": =1 lub =2 %r1v ,r2v,n1v- tr6jwymiarowe wektory odnoszqce si~ do poszukiwanych % parametr6w r1,r2,n1. Znaczenie poszczeg6lnych wsp6lrz~dnych tych % wektor6w jest nast~pujqce: % X=[dolna granica zakresu, g6rna granica zakresu, krok_zmian]. % Np.: r1v=[1 10000 10], r2v=[l 10000 10] .Wartosci wektora nl % zalezq od numeru liczonej calki. % Dla Cno=2 wartosci wsp6lrz~dnych nlv sq g~stosciq wzgl~dem % g~stosci sredniej np. nlv=[0 .5 3 0.1] . % Dla Cno=1 wartosci wsp61rz~dnych n1v Sq zwyklymi g~stosciami % (w 1/pc3), i np. n1v=[0.0005 0.01 0.0001] . % Znaczenie parametr6w rl,r2,n1 zalezy od rodzaju funkcji g~stosci. % Patrz opis w "ro(fno,rp,np,r)" %n2 - Ze wzgl~du na niewyst~powanie parametru n2 w funkcji fno=l i fno =3, % mniejsze znaczenie funkcji fno=2 a takze dla zwi~kszenia % przejrzystosci kodu programu, wartosc parametru n2 jest w % programie stala. Sterowanie jego wartoscici odbywa si~ poprzez % zmian~ wartosci wejsciowej. %M - Jasnosc absolutna gwiazd . Jest u:Zywana tylko wtedy, gdy Cno=l. %Dno - Numer danych z pliku "WynikiZliczen" . Dane w tym pliku nalezy % przygotowac na wz6r juz zamieszczonych. 7.mlim- G6rna wartosc jasnosci widomych dla ktörych b~dzie nast~powalo % dopasowanie. %PARAMETRY WYJSCIOWE: %r1ok,r2ok,nl ok,n2,Sok - wartosci parametr6w r1,r2,n1 i funkcji S dla % najlepszego dopasowania, kt6re wystqpilo % w trakcie dzialania programu. %WYWOtANIE : [rlok,r2ok,n1ok,n2,Sok]= %Fit_Scan(Cno,Fno,rlv,r2v,n1v,n2,M,Dno,mlim,dr) %lub Fit_Scan(Cno,Fno,r1v,r2v,n1v,n2,M,Dno,mlim,dr); %Przyklad: % Fit_Scan(2,1, [50 300 20], [50 300 20] ,[0.8 3 0.1] ,[l 1 1] ,1,1,11,20); % Fit_Scan(2,2, [50 600 20], [50 500 20], [0.8 2 0. 1] ,[0 . 5 3 0.1] ,1,1,11,20); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% [w,m,Ngw]=WynikiZliczen(Dno,mlim);
%Pobranie wynik6w zliczen: %kqt brylowy,jasnosci,liczby gwiazd. if Cno==l; dr=1; else dr=10; end %Krok calkowania po odleglosci [pc] r1ok=1; r2ok=1; nlok=1; Sok=l0-20; Sminlok=l0-20;
Dodatek J. Kody program6w obliczeniowych
311
imax=ceil((n1v(2)-n1v(1))/n1v(3))+1; jmax=ceil((r1v(2) - r1v(1))/r1v(3))+1; krnax=ce i l((r2v(2)-r2v(1))/r2v (3))+1; n1=n1v (1); for i=1: imax r1=r1v(1); for j=1: jmax r2=r2v(1); for k=l:kmax if (Cno==l); [v,m]=Calkal(Fno, [r l r2], [n1 n2] ,M,w,m,dr); else [v,m]=Calka2(Fno,[r1 r2] , [n1 n2] ,w,m,dr);end; S=sum((v-Ngw).-2) ; X(k,j )=r2; Y(k,j)=rl; Z(k, j )=S; if (S
'U'
:~
-e
8 7r._„...___...,. - 6 ~ 5 ~ 4 --=„ 23 -~
~
l
~o
500
Rys. J.2. Dia kaidego zestawu parametr6w rl ,
r2, nl , n2 program „Fit_scan" przedstawia zaleznosc od r1 i r2 funkcji okrcslaj
400 300
~
200 100 r2 [pc)
150 100 250 200 300
~ rl [pc]
50
°
312
Cz~sc
II. Pomiary astronomiczne
function w=Kat(FOVx_RA1,FOVy_RA2,f_DEC1,DEC2); %Obliczanie kqta brylowego. %PARAMETRY WEJSCIOWE: %Jako parametry wejsciowe mogq byc podane: % - dwa parametry: rozmiary pola widzenia zdj~cia wzdluz obu % kraw~dzi w stopniach (FOVx i FOVy, kolejnosc oboj~tna). % - trzy parametry: liniowe rozmiary kadru (FOVx i FOVy, kolejnosc % oboj~tna) i ogniskowa obiektywu f [mm] . % - cztery parametry: zakres wsp6lrz~dnych obszaru nieba, % RAmin,RAmax,DECmin,DECmax (w stopniach). %PARAMETRY WYJSCIOWE: wartosc kqta brylowego [sr] . rad=2*pi/360; if nargin==2; L=FOVx_RA1; H=FOVy_RA2; w=4*sin(rad*H/2)*sin(rad*L/2); elseif nargin==3; L=FOVx_RAl/2; H=FOVy_RA2/2; f=f_DECl; w=4*L*H/sqrt((f-2+L-2)*(f-2+H-2)); else rl=FOVx_RAl; r2=FOVy_RA2; dl=f_DECl; d2=DEC2; w=abs(rad*(r1-r2)*(sin(rad*d1)-sin(rad*d2))); end disp(['Kqt brylowy=' num2str(w,'%5.4f')]); function [rdst,rgst,Mst,rmin,rmax]=Zakresy(w,mgr,M); %Obliczanie zakresu odleglosci, dla kt6rego zliczenia Sq wiarygod.ne, %w zaleznosci od w,M,mgr . %PARAMETRY WEJSCIOWE: %Mogq byc podane dwa parametry i wtedy b~dq zinterpretowane: pierwszy %jako kqt brylowy, a drugi jako jasnosc graniczna mgr. %Jesli Sq podane trzy parametry, to pierwsze dwa b~dq zinterpretowane %jak wyzej, a ostatni jako jasnosc absolutna zliczanych gwiazd M. %PARAMETRY WYJSCIOWE: %Jesli Sq podane dwa parametry wejsciowe, na ekranie zostanq podane %wartosci Mst,rdst,rgst, czyli granice wiarygodnosci zliczen przy %zliczaniu wszystkich gwiazd, oraz najwi~ksza jasnosc absolutna gwiazd, %kt6re wiarygodnie uczestniczq w zliczeniach . Jesli sq podane trzy %parametry wejsciowe, na ekranie opr6cz wartosci Mst,rdst zostanq %wyswietlone wartosci rmin i rmax, czyli zakres odleglosci, dla kt6rych %zliczenia gwiazd o jasnosci M Sq wiarygod.ne. %WYWOtANIE: Zakresy(w,mgr,M); Mv=-4:0.2:16; rg=lo.-co.2.*(mgr-Mv+5)); r d=1/2*sqrt(pi/w).*(10./nMS(Mv)). -c1/3); where=find((rg-rd)>O); rdst=rd(max(where)); rgst=lO. -co.2.*(mgr+11));; Mst=Mv(max(where)); if margin==3; rmax=interp1(Mv,rg,M,'cubic'); rmin=interp1(Mv,rd,M,'cubic'); disp(['Mst =' num2str(Mst,'%3 . 1f') '[mag]']); disp(['rdst= ' num2str(rdst,'%6.0f') '[pc]']);
Dodatek J. Kody program6w obliczeniowych
disp(['rmin=' num2str(rmin,'%-6.0f') '[pc]' ' rmax=' num2str(rmax,'%6.0f') '[pc] ']); if M>Mst disp ( [ 'Dla podanych wartosci w, mgr, M rmax
313
Dodatek K Podstawowe wielkosci fizyczne i astronomiczne Niekt6re wartosci liczbowe 7r = 3,1415927 e = 2,7182818 ln 10 = 2,302585 radian = 57,29578° = 34377,37'103" = 206264,8" steradian = 3,2828 · 103 [0 ] 2 = 1,1818 · 107 ['] 2 = 4,2545 · 10 10
[" ]
2
Sta le fizyczne
1 Nazwa Stala grawitacji Pr~dkosc swiatla w pr6zni Stala Plancka tadunek elementarny Masa spoczynkowa elektronu Masa spoczynkowa protonu Stosw1ek masy protonu do masy elekt ronu Masa atomu wodoru Jednostka masy atomowej Stala gazowa Liczba A vogadra Stala Boltzmanna Stala. Stefana- Boltzmanna
_„
Symbol
G c h
e me
mp mp/ me mH u
R NA k (!
\l\lartosc w ukladzie SI
-
6,6726 · 10- 11 N. m 2 . kg- 2 2,9979 · 108 m · s- 1 6,6261 . 10- 34 J . s 1,6022. 10- 19 c 9,1094 . 10- 31 kg 1,6726. 10- 27 kg 1836,2 1,6735. 10- 27 kg 1,6605. 10- 27 kg 8,3145 J · mol- 1 · K- 1 6,0221 · 1023 mo1- 1 1,3807 · 10- 23 J · K - 1 5,6705 -10- 8 W · m- 2 . K - 4
315
Dodatek K. Podstawowe wielkosci fizyczne i astronomkzne
Jednostki i stale astronomiczne Nazwa
Wartosc
Symbol
J ednostka astronomiczna Rok swietlny Parsek Doba gwiazdowa H.ok gwiazdowy
1,495979 · 10 11 m 0,9,1608 · 1() 16 m = 0,307 pc 3,08568 . 1() 16 m = 206265 AU 8,61641 . HJ 4 s 365,256365 d6b sr. slon. = 3,155815. 107 s 365,242199 d6b sr. slon. = 3,155693. 107 s (71±3,5) km· s- 1 · Mpc- 1 ~ 1/(13,7 · 109 lat) (WMAP 2004 r.)
AU r.s . pc
R.ok zwrotnikowy Stala 1lubble'a
H
Podstawowe dane dotycz::ice Slonca Promien Masa Srednia g<%loSc Moc promieniowania Temperatura efektywna Okres obrotu na r6wniku Stala sloneczna Jasnosc obserwowana w pasmie V Jasnosc obserwowana, bolometryczna Jasnosc a bsolutna J asnosc absolutna, bolometryczna Typ widmowy i klasa jasnosci Wskaini ki barwy
R = 6,960 · L08 m M = 1,989 · 1030 kg Psr = 1,4 · 103 kg· m- 3 L = 3,85 · 1026 W Ter = 5780 J< P = 25,36 doby
S= 1372W·m- 2 V= -26,78 mag mbol - 26,85 mag Mv = 4,82 mag Mbol = 4,75 mag Sp G2V B - V = 0,68 mag, U - 8 = 0 ,17 mag
Parametry orbitalne i fizyczne P romien !km] Masa [kg]
=
=
Ks i~zyca
1738 7,346 . 1022
1Vlimosr6d orbity
0,05490
Sreclnia odleglosc od Ziemi [km]
384400
5091
G<%tosc s rednia. (g/cm3]
3,34
Nachylenie do ekliptyki
Albedo
0,068
Okres obiegu wzgl~dem Slonca (syn.) [doby sr. sl.]
29,5306
450
0 kres obiegu wzgl~dem gwiazd (syd.) (doby sr. s l.]
27,3216
Temperatura maksymalna (K]
Para metry o r bitalne i fizyczne p lanet Obiekt
<;>
21
Srednia Gwiazdowy Gwiazdowy Promien l\ilimosr6d Nachylenie r6wnikowy odleglosc okres obiegu okres obrotu do ekliptyki orbity planety [km J [AU] !doba sr. sl.J [doba sr.sl.)
Merkury 0,38710 Wenus 0,72333 Ziemia, 1,00000 Mars 1,52369 Jowisz 5,2037 Saturn 9,5803 Uran 19,1410 Neptun 30,1982 39,4387 Pluton
87,969 224,701 365,256 686,980 4332,589 10759,22 30685,4 60189,0 90465,0
59,7 -243,16 1,00 1,03 0,413 0,43 0,89 0,53 6,39
0,2056142 0,0068206 0,0167510 0,0933129 0,0484 0,0557 0,0472 0,0086 0,25
7°00' 3° 23' 0° 00' 1° 51' 1° 18' 2°29' 0° 461 1°46' 17° 10'
2439 6050 6378 3394 70850 60000 24500 25100 3200
Masa
jkgl 3,301. 1023 4.868. 1024 5 973. 1024 ' 6,420. 1023 1,898 · 1027 5,684·1026 8,685. 1025 1,030 . 1026 5,973. 1022
Srednia Splaszczenie ma,terii Albedo
g~tosc
[g/cm3]
(a - b)/a
5,42 5,25 5,517 3,96 1,33 0,68 1,60 1,65 0,6-1,7
0,00 1/30000 1/298,25 1/ 191,5 1/15,6 1/10,4 1/18,7 1/47 ?
0,058 0,76 0,39 0,15 0,51 0,50 0,66 0,62 0,16
Parametry orbitalne i fizyczne najjasniejszy ch
ksi~zyc6w
Srednia odleglo8c od Jowisza Nazwa ksif;;:iyca
Io Europa Ganirnedes Cal!isto
!kmJ
[min.
luku]
[prornieii planety]
421,6. 103 670,9. 103 1070. 103 1883. 103
2'1811 3'4011 5'5 1" 1 10 1811
5,90 9,40 15,00 26,36
Gwiazdowy okres obiegu [doba sr. sl.]
Mimosr6d orbity
1,76914 3,55118 7,15455 16,68902
0,00 0,00 0,00 0,01
Jowisza
Nachylenie do plaszczyzny orbity p lanety
[o] 0,04 0,47 0,19 0,28
Srednica
G~tosc
[km]
Masa (kg]
srednia. lg/cm3j
3630 3138 5262 4800
8,94 . 1022 4,8. 1022 1,48. 1023 1,08 . 1023
3,57 2,97 1,94 1,86
Masa [kg]
Gf;;stosc srednia [g/cm3 ]
Jasnosc widoma. Albedo w sredniej opozycji [mag] 0,5 0,7 0,3 0,1
5,0 5,3 4,6 5,6
~
.:::!
Parametry orbitalne i fizyczne najjasniejszych
ksi~zyc6w
Srednia odleglosc od Saturna Nazwa ksiEJ:iyca
Tetyda. Dione Rea Tytan
[kmJ
[rnü1.
[prornien
luku]
planety]
294,7. 103 377,4. 10 3 527,0 . 103 1222·103
0' 4811 J'Ol" ·1 '25"
4,88 6,24 8,71 20,22
31 1711
Saturna
Cwia.zdowy okres obiegu [doba sr. sl.]
Mimosr6d orbity
Nachylenie do plaszczyzny orbity planety
1,88780 2,73692 4,51750 15,94545
0,00 0,00 0,00 0,03
1,09 0,02 0,35 0,33
Srednica [km]
[o] 1050 1120 1530 5150
7,55. 1,05. 2,49. 1,35.
1020 1021 1021 1023
1,26 1,44 1,33 1,88
Jasnosc widoma Albedo w sredniej opozycji [mag] 0,7 0,6 0,3 0,2
10,2 10,4 9,7 8,3
Parametry fizy czne gwiazd ciqgu g l6wnego w zaleznos ci od ich typu w idmowego Sp
Ter
A1v
Mbol
Lbo1 / L 0
03
52500
-6,0
- 10,7
1,4. 106
- 10,3
9,9 .
105
7,9.
105
4,2.
105
. 105
4
-
c;; ~
5
6 7
8 9
BO 1
2 3 5
6 7
8
48000 44500 41000 38000 35800 33000 30000 25400 22000 18700 15400 14000 13000 11900
- 5,9 -5,7
-5,5 -5,2 -4,9 - 4,5 -4,0 -3,2 - 2,4 - 1,6 - 1,2 - 0,9 - 0,6 - 0,2
- 10,1 - 9,4
M /M0
120
60
R/R0 15
12
Sp
T ef
1\lfv
Mbol
Lbo1/L0
J\1/ Ai/ 0
R/ R0
FO
7200
2,7
2,6
6,5
1,6
1,5
2
6900
3,6
3,5
3,2
5
6450
3,8
3,6
2,9
1,3
1,3
8
6200
4,0
3,8
2,1
GO
6050
4,4
4,2
1,5
1,05
1,1
0,9
0,92
0,8
0,85
0,7
0,72
-8,9
2,6
-8,4
1,7. 105
23
8,5
2
5850
'1,7
4,5
1,]
- 7,8
104
19
7,8
5
5750
5,1
4,9
0,79
4
17
7,4
8
5600
5,5
5,1
0,66
1,6.
104
13
6,4
KO
5250
5,9
5,6
0,42
-4 ,7
5,7.
103
9,8
5,6
1
5100
6,1
5,7
0,37
- 3,5
1,9. 103
7,6
4,8
2
4900
6,4
6,0
0,29
-2,7
8,3.
10 2
5,9
3,9
3
4750
6,6
6,1
0,26
5,0.
102
4
4600
7,0
6,4
0,19
3,2 · 10
2
5
4350
7,4
6,7
0,15
1,8. 10
2
7
4050
8,1
7,1
0,10
- 7,1 - 5,9
- 2,1
- 1,6 - 1,0
9,7.
5,2 . 10
3,8
3,0
-
--·-
Sp
Ter
Mv
Mbol
10500
0,2
- 0,3
Lbo1 /L0
M/J'v/0
R/R0
Sp
Ter
Mv
Mbol
Lbo1/T,0
MO
3850
8,8
7,4
7,7. 10- 2 2
M/M0
R/%
0,5
0,60
0,3
0,45
0,2
0,27
i---
9
95
AO
9500
0,6
0,3
54
1
9250
1,0
0,8
2
8950
1,3
1,1
2,4
1
3700
9,3
7,7
6, 1. 10
35
2
3600
9,9
8 ,0
4,5 . 10- 2
26
3
3450
10,4
8,2
3, 6. 10- 2
.10 - 2
3
8700
1,5
1,3
21
5
8200
1.9
1,7
14
2,9
2,0
1,7
4
3350
11,3
8,9
1,9
5
3250
12,3
9,6
1, 1 . 10 2
1
7850
2,2
2, 1
10,5
6
3050
13,5
10,3
5, 3. 10 3
8
7600
2,ll
2,3
8,6
1
2950
14,3
10,8
3, 4 · 10 3
0,1
0,18
11,9
1, 2. 10- 3
0,06
0,1
8
2640
16,0
c;; ~
DanQ zapo~yczQpe i ksi~ki: M. l
1
320
Cz~sc
II. Pomiary astro nomiczne
~~~~~~~~~~~~~~~~
W skaznik b arwy (B - V) 0 (wolny od poczerwienienia m i ~ d zygwiazdo wego) w zaleznosci od typu widmowego i klasy jasnosci -..----.
-
Sp
V
III
II
l ab
05
-0,33
- 0,32
- 0,32
6
-0,33
- 0,32
7
-0,32
8
Sp
V
III
-0,31
FO
0,30
- 0,32
-0,31
2
-0,32
- 0,3l
- 0,31
-0,32
- 0,31
0,31
-0,29
-
VII
II
Iab
VII
0,30
0,25
0,17
0,29
0,35
0,35
0,30
0,23
0,35
5
0,44
0,43
0,3
0,32
0,42
8
0,52
0,54
0,58
0,56
0,50
GO
0,58
0,65
0,7l
0,76
0,56
2
0,63
0,77
0,81
0,87
0,60
9
- 0,3l
- 0,31
-0,31
- 0,27
BO
-0,30
- 0,29
- 0,29
- 0,23
1
- 0,26
- 0,2()
- 0,26
-0,19
5
0,68
0,86
0,89
1,02
0,68
2
- 0,24
- 0,24.
0,23
- 0,17
8
0,74
0,94
0,99
1, l tl
0,73
3
- 0,:W
- 0,20
-0,20
-0,13
KO
0,81
1,00
1,08
1,25
0,81
5
-0,17
- 0,17
- 0,16
- 0,10
1
0,86
1,07
l, 1tl
1,32
0,85
6
- 0,15
- 0,15
- 0,14
-0,08
2
0,9 1
l ,16
1,29
1,36
0,89
7
- 0,13
- 0,13
- 0,12
- 0,05
3
0,96
1,27
1,40
l ,'16
0,96
8
- 0,1 1
- 0,11
-0,10
- 0,03
- 0,15
5
1,15
1,50
1,49
1,60
9
-0,07
-0,07
- 0,07
- 0,02
- 0,06
7
1,33
1,53
1,57
1,63
AO
- 0,02
- 0,03
-0,03
- 0,01
0,00
MO
1,40
1,56
1,5
1,67
1
- 0,01
0,01
0,01
0,02
0,03
1
1,46
1,58
1,59
1,69
2
0,05
0,05
0,03
0,03
0,07
2
1,49
1,60
1,60
1,69
3
0,08
0,08
0,07
0,06
0,10
3
1,51
1,6 1
1,60
1,69
5
0,15
0,15
0, J1
0,09
0,16
4
1,54
1,62
1,76
7
0,20
0,22
0,16
0,12
0,22
5
1,64
1,63
1,80
8
0,25
0,25
0,18
0,14
6
1,73
1,52
7
1,80
1,50
8
1,93
1,50
-0,28
- 0,22
Da ne zapozyczo ne z ksiitik i: M. Ku bia k, Gwiazdy i m a.teri.a micdzygwiazclowa, Wydawnic lwo Naukowe PWN, Warszawa 1994.
Dodatek K. Podstawowe wie l ko~ci fizyczn_e_.i_a_st_ro_n_o_m_i_cz_n_e_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
32 1
W skaznik barwy (U - B) 0 (wolny od poczerwienienia mili)dzygwiazd owego) w zaleznosci od typu widmowego i klasy j asnosci Sp
V
05
-J , 19
6
III
II
lab
- 1, 18
- 1,17
- 1,17
- 1,17
7
-1,15
8
Sp
V
-1,17
FO
-1,16
-1,16
- 1,14
- 1,14
- 1,14
- 1,13
9
-1, 12
BO
Iab
VII
0,03
III II --0,08 0,12
0,15
-0,56
2
0,00
0,08
0,14
0,18
- 0,48
-1,14
5
0,02
0,09
0,16
0,27
- 1,13
-1,13
8
0,02
0,10
0,24
0,41
-0,30
- 1,12
- 1,12
- 1,13
GO
0,06
0,21
0,32
0,52
-0,20
- 1,08
- 1,08
- 1,08
-1,06
2
0,12
0,39
0,42
0,63
- 0,12
1
-0,95
- 0,97
- 1,00
-1,00
5
0,20
0,56
0,60
0,83
2
-0,81\
- 0,9 1
- 0,92
-0,93
8
0,30
0,70
0,78
1,05
3
- 0,71
- 0,74
0,82
- 0,83
KO
0,'15
0,811
0,95
1,17
5
-0,58
- 0,58
- 0,69
- 0,72
1
0,54
1,01
1,07
1,28
6
-0,50
- 0,51
- 0,62
-0,69
2
0,64
1,16
1,:33
1,32
7
-0,43
- 0,1\4
- 0,5'1
-0,63
3
0,80
1,39
1,58
1,60
8
-0,34
- 0,37
- 0,tltl
-0,55
- 1,02
5
1,98
1,81
1,74
1,80
9
- 0,20
- 0,20
-0,32
- 0,49
-0,90
7
1,21
1,83
1,79
1,84
AO
- 0,02
-0,07
-0,20
-0,38
- 0,79
MO
1,22
1,87
1,91
1,90
1
- 0,02
-0,01
- 0,12
- 0.29
-0,70
1
1,21
1,88
1,93
l ,90
2
0,05
0,06
-0,05
-0,25
-0,63
2
1,18
1,89
1,94
1,95
3
0,08
0,10
0,02
- 0,14
-0,60
3
1,16
1,88
1,77
1,95
5
0,10
0,11
0,08
- 0,08
- 0,58
4
1,15
1,73
2,00
7
0,10
0,11
0, 10
0,00
- 0,58
5
1,24
1,58
1,60
8
0,09
0,10
0,11
0,11
6
1,32
1,16
7
1,40
8
1,53
-
VII
-
Dane zapozyczo ne z ksiptiki: M. K ubiak, Gwiazdy i materia mi~dzygwiazdowa, Wydawn ictwo Naukowe PWN, Warszawa 1994.
Objasnienie uzywanych symboli
W spisie podano gl6wne znaczenie wielu uzywanych symboli. Niekt6re z nich w pewnych fragmentach tekstu mog~ miec odmienne znaczenie, ale wtedy jest ono scisle zdefiniowane.
Symbole oznaczajqce kqty a - rektascensja 8 - deklinacja p -
w -
k(l;towy promien obiekt6w k(l;towa srednica obiekt6w szerokosc geograficzna k~t brylowy
Symbole oznaczajqce inne wielkosci texp
-
A
-
P
-
iJ! L F F(>.)
-
o(>.) f(>.) e(>.) m
-
mi
-
mb M
-
efJ(M) -
czas naswietlania swiatlosila ukladu optycznego wartosc przeslony strumien swiatla w okreslonym kCl;cie brylowym [WJ strumien swiatla w pelnym k
Objasnienie uzywanych symboli
___
323
___,,__~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Symbole oznaczajqce wielkosci majqce ustalonq wartosc R'0 Re RK Rw
-
R1
-
T@
-
L0 w EB
-
w El1 0
-
w©
-
-
w EBorb -
W0
-
wI<
-
promien Sloi1ca (696 000 km) promien Ziemi (6378 km) promien Ksi~zyca (1738 km) promiefl Wenus ( 6050 km) promien Jowisza (70 850 km) srednia odleglosc Ziemi od Slonca (149 600 000 km) moc promieniowania Sloilca w zakresie widzialnym (3,85 · 1026 W) pr~dkosc ruchu obrotowego Ziemi wzgl~dem gwiazd (15,041° /h) pr~dkosc ruchu obrotowego Ziemi wzgl~dem Slonca (15° /h) pr~dkosc ruchu obrotowego sfery nieba wgl~dem horyzontu (w0 = wEB = 15,041° / h) srednia pr~dkosc k~towa orbitalnego ruchu Zierni (0,986° /
Skorowidz
albedo 98, 205 Albireo 36, 148 Aldebaran 32-33, 1'19-150 Algol 37, 87-92, 147, 149 -, badanie zmiennosci 87-92 Al.kor 36, 151 Altair 32-34, 148 Andromeda 32, 147, 149 Arktur 32, 33, 151 asteroi
doba gwiazdowa 26-27, 315 - sloneczna 26-27 Droga Mleczna, zob. Galakt.yka ekliptyka 52-54 ekstynkcja 226-228, 287-289 -atmosferyczna 226-228, 282, 287-289 - -, wsp6kzytmik 287-291 - mi~dzygwiazdowa 226-228 E uropa 206-207, 317 filtr 223-229, 276-279 F TTS 269-270 fotografowanie, dob6r parametr6w ekspozycji 132 - I
326 Gwiazda Polarna 33-34, 95, 96, 147, 148, 151 gwiazdy 23-28, 31-40, 86-105 - , barwy 86-87 -, gi:stosc przestrzenna w Galaktyce 106-116, 241-257 - - -, w gromadach kulistych 230-240 - , liczenie 109-116, 241-257 - , migotanie 86 -, najja§niejsze 32-34, 147-151 -, ruch dobowy wzgl~dem horyzontu 23-26 - , sezonowe zmiany poloienia 27-28 - wizualnie podw6jne 35-36, 147-151 - , wyznaczanie odleglosci 92-105 - zmienne 33, 36-37, 147-151 gwiazdozbiory 31, 32, 147-151 histogram obrazu 171, 233 horyzont 14-16, 145-146 Hubble'a prawo 119 - stala 119, 315 Io 202, 317
jasnosc widoma 93, 235-236, 277-283 - , instrumentalna 278-283 - - , w wybranym systemie fotometrycznym 283 - , t ransformacja 283 j ednostka astronorniczna (AU) 315
Skorowidz - , ruch na tle gwiazd 70-74 ksi~zyce Jowisza 202-209, 317 - Saturna 202, 317 Lew 32, 151 lornetka jako projektor obrazu 125-131 Lutnia 32, 14 Lyr c 36 Lab~dz
32, 148
magnitudo, zob. wielkosc gwiazdowa mapy nieba 143-157 Mala Niedzwiedzica 32, 147-148, 151 Maly Pies 150 .tvfaly W6z, zob. i\fala Niedzwiedzica Mars 80-85, 100, 183-190, 316 -, odleglosc i rozmiary 183-190 - , parametry ruchu orbitalnego 80-84 rnateria mi~dzygwiazdowa 226-227, 241-243, 254-255 Merkury 316 meteory 75-78 mglawice 39, 40-41, 147, 149, 150 miesi<'!:c gwiazdowy 70 - synodyczny 61 rnikrometr 124-125 Mira 37, 149 Mizar 36, 151 Ml3 39
Jowisz 80-84, 96-105, 183-190, 202-209, 316 - , jako pomoc przy wyznaczaniu odleglosci gwiazd 96-105 -, odleglosc i rozrniary 183-190, 202-209 - , parametry ruchu orbitalnego 80-84
Neptun 100, 180, 316 - , jako pomoc przy wyznaczaniu odleglosci gw iazd 96-105 - , odleglosc 180
kamera CCD 224, 267-273 J(apella 149-150 Kasjopea 32, 147-149 Kastor 150 k~t brylowy 110-115, 122-123, 257, 314 - , mierzenie 122-123 Keplera prawa 72 Ksi~:iyc 55-70, 161-174, 315 -, ciemna strona 55-61 -, fazy 61-65 -, formacje powierzchniowe 56, 175-182, - , libracje 65-67, 169 -, odleglosc i rozmiary 67-70, 161-174, 186, 195 - , obrazy 138-140 - , orbita 67-70 - , orbitalna pr~dkosc 4towa 72, 165-166
obrazy cyfrowe 269-273 - -, redukcja 271-273 - nieba 261-262 -, rejestrowanie na kliszy 132-142 - , skala kii,towa 141, 261 odleglosc gwiazd 92-105 - Jowisza 80-84, 183-191, 202-209 - 4towa obiekt6w 122-125, 258-260 - Ksi~yca 161-174, 186, 195 - Marsa, Saturna 80-85, 183-191 - planetoid 183-191 - Wenus 84-85, 197-201 Olbersa paradoks 117-118 Orion 32, 150 Orzel 32, 148 o5 obrotu nieba 145-146
L
Skorowidz paralaksa geocentryczna 192-196 parsek (pc) 315 Pegaz 147 Persei h, x 38, 147, 149 Perseusz 32, 147, 149-150 plamy na Sloncu 48-51, 210-220 Plancka funkcja 222 planeLy 79-85, 316 - , odnajdywanie 79 - , odleglosc i rozmiary 79-85, 183-191, 197-209 - , parametry ruchu orbitalnego 79-85 planetoidy 183-191 P lejady 38, 149-150 Pluton 316 p6kiei1 42-43 Procjon 32, 34, 150 programy numeryczne 292-313 punkL ßarana 146 Rea 317 rektascensja 146 Rigel 32, 34, L50 rok swietlny 315 rozmiary Jowisza 205, 316 - 4towe Ksi~iyca 67-70 - - Sloilca 42-47 - Ksi~iyca 161, 165, 169, 173, 315 - ksi ~iyc6w Jowisza 205, 317 - planet 316 - Sloilca 315 - Wenus 199, 316 - Ziemi 13-16, 316 r6j meteor6w 76-78 r6wnik niebieski 145 saturacja 268 Saturn 100, 316 - , jako pomoc przy wyznaczaniu odleglosci gwiazd 96-105 - , odleglosc i rozmiary 80-84, 183-190, 206 - , parametry ruchu orbitalnego 80-84 skala kll,towa obraz6w 141, 261 Sionce 42-54, 138-141, 210-220, 315 - , obrazy 44, 138-141, 218-220 - , rozmiary k~towe 42-46 - , ruch obrotowy 47-51 , 210-220 - , tor na tle gwiazd 52-54 Syriusz 32, 33-34, 150 systemy fotometryczne 278-283 swiatlo popielate 55 - , rozpraszanie 17-21
- zodiakalne 275 terminator 63, 175 Tetyda 317 Tytan 317 Uklad Sioneczny 107-109, 253-254, - - , poloienie w Galaktyce 107-109, 253-25-1 uklad wsp61rz~dnych horyzontalnych 144-145 - - r6wnikowych 146 uklady podw6jne 33, 35 - - wizualnie 35-36, 148-151 - - zacmieniowe 37 Uran 100, 316 - jako pomoc przy wyznaczaniu odleglosci gwiazd 96-105 - , odlcglosc 186 Wega 32, 33, 148 Wenus 79, 84-85, 197-201, 316 - , odleglosc i rozmiary 84-85, 197-201 - , parametry ruchu orbitalnego 84-85 - , widocznosc 79 widrna gwiazd 101-102, 225-226 Wielka Mglawica Andromedy 40, 147, l tl9 Wielka. Mglawica Oriona 39, 150 W ielka Niedzwiedzica 32, 151 W ielki Pies 150 W ielki W6z, zob. Wielka Niedzwiedzica wielkosc gwiazdowa 277 Wiena prawa 34 Wolarz 32, 151 Woinica 149-150 wskainik barwy 223-224, 228, 279, 289-291, 320-321 wsp6lczynnik transmisji filtru 276 - - ukladu optycznego 276 wsp6trz~dne obiektu 144-146, 262-266 WszechSwiat 117-120 - , wiek 119-120 wydajnosc kwantowa detektora 268-269 Ziemia 13-19, 46-47, 52-54, 316 - , cien 17-19 - , ksztalt orbity 46-47 - , poloienie plaszczyzny orbity wzgl~dem gwiazd 52-54 - , promien 13-16 znieksztalcenie tarczy Slo11ca i Ksi~iyca 21-22 zorze 19-22
