Kornelia Ciok-Kinetyka2 poprawiione PDF

Kornelia Ciok IChiP Semestr V

Kinetyka Procesowa Projekt II Wariant 10

Warszawa, 20.01.2015r.

Zdanie 1. Płyta drewniana o wymiarach 3 cm x 5 cm x 9 cm suszona jest w strumieniu powietrza. Początkowa wilgotność płyty wp = 32 %mas.[kgwody / kgsuchej płyty]. W warunkach suszenia efektywny współczynnik dyfuzji wody w płycie wynosi D = 10-9 [m2/s], a równowagowa wartość wody w drewnie wynosi 5 %mas. Obliczyć po jakim czasie wilgotność w środku płyty obniży się do wk = 19 %mas, jeśli dwie największe ściany są zaizolowane, a liczba Biota Bi = 2. Jaka będzie wówczas przeciętna wilgotność płyty? Obliczyć również wilgotność w środku płyty dla określonego uprzednio czasu suszenia w przypadku, gdyby tylko jedna z największych ścianek była zaizolowana.

a) Symbole: a b c D An Bi Fo Ck Cr Cp p wp wr wk Y Ya Yb Yc δi t μn

-

wymiar płyty [m] wymiar płyty [m] wymiar płyty [m] współczynnik dyfuzji wody w płycie [m2/s] współczynniki zależne od liczby Biota [-] Liczba Biota [-] liczba Fouriera [-] stężenie końcowe wody w płycie (ułamek masowy), stężenie równowagowe wody w płycie (ułamek masowy), stężenie początkowe wody w płycie (ułamek masowy ) stężenie początkowe wody w płycie (ułamek masowy), Początkowa wilgotność płyty [%mas] równowagowa wartość wody w drewnie [%mas] końcowa wilgotność płyty [%mas] stężenie bezwymiarowe w płycie skończonej o wymiarach a x b x c, stężenie bezwymiarowe w płycie o grubości a, stężenie bezwymiarowe w płycie o grubości b, stężenie bezwymiarowe w płycie o grubości c, grubość płyty [m] czas suszenia [s] współczynniki zależne od liczby Biota [-]

b) Dane projektowe: a = 3 [cm] = 0,03 [m]

wr = 5 [%mas]

b = 5 [cm] = 0,05 [m]

wk =19 [%mas]

c = 9 [cm] = 0,09 [m]

D= 10-9 [m2/s]

wp = 32 [%mas]

Bi = 2

2

c) Obliczenia: 1.Obliczenie po jakim czasie wilgotność w środku płyty obniży się do zadanej wartości. W celu wyznaczenia stężenia w środku skończonej płyty posłużę się regułą Newmana, która mówi, że stężenie bezwymiarowe w konkretnym punkcie w skończonej płycie jest równe iloczynowi stężeń bezwymiarowych dla odpowiednich punktów w trzech nieskończonych płytach, których grubości są równe wymiarom płyty skończonej.

Y  Ya Y bYc Stężenie bezwymiarowe opisane jest wzorem:

Y

Ck  Cr C p  Cr

Wilgotności wyrażone w kg wody/ kg suchej płyty zamieniam na stężenia wyrażone przez ułamki masowe za pomocą następującego wzoru:

wi Ci  100 w 1 i 100 Otrzymuję następujące wyniki: Cp = 0,242 [uł.mas] Cr = 0,048 [uł.mas] Ck = 0,160 [uł.mas] Za pomocą wzoru Y 

Ck  Cr obliczam końcowe bezwymiarowe stężenie w środku płyty. C p  Cr Y = 0,575

Wiem, ile wynosi stężenie w środku płyty, wiec aby otrzymać po którym stężenie będzie równe 0,575 wykonuję kolejne czynności : 

Dwie największe ściany są izolowane, dla takiego przypadku stężenie zmienia się wzdłuż dwóch najdłuższych boków: boku b oraz boku c. Dlatego stężenie bezwymiarowe w środku płyty będzie zależało od stężenia bezwymiarowego w połowie grubości nieskończonych płyt b i c.

Yb  Yc  Y 

Wzór opisujący stężenie bezwymiarowe w płycie nieskończonej w zależności od czasu jest następujący (wystarczającą dokładność uzyskuje się obliczając sześć kolejnych wyrazów ciągu dla różnych An i µn): 6  x    exp   n2  Fo Yi   An  cos  n n 1  i / 2 





Współczynniki An, oraz μn są to wartości tabelaryczne, odczytane dla liczby Bi = 2.

3

Tabela 1. Współczynniki zależne od liczby Biota1. 1 2 3 An 1,1784 -0,2367 0,0848 μn 1,0769 3,6436 6,5783 

5 0,0241 12,7223

6 -0,0157 15,8336

Definiuję liczbę Fouriera i wstawiam do wzoru

Fo 



4 -0,0414 9,6296

D t  i    2

2

Otrzymuję wzory na Yb , Yc oraz Y w postaci :

    6 0  D  t    2 Yb   An  cos  n   exp    n  2   b/2 n 1 b       2       6 0  D t    2 Yc   An  cos  n   exp    n  2   c/2 n 1 c       2      6 0  D t   Y   An  cos  n  exp    n2   2  n 1  b/2 b       2  



      6 0  D t     2  A  cos   exp   n    n   n  2 c/2  n 1 c         2   

      

Szukam takiego czasu t, dla którego wynik równania :    6 0  D t   Y   An  cos  n  exp    n2   2  n 1  b/2 b      2  

      6 0  D t     2  A  cos   exp   n    n   n  2 c/2  n 1 c        2   

będzie równy wartości stężenia otrzymanego za pomocą wzoru Y 

      

Ck  Cr  0,575. C p  Cr

Czas, po którym wilgotność w środku płyty obniży się do wk = 19 [% mas] wynosi: t = 352769 s = 97,991 h Dla obliczonego czasu Yb = 0,612 Yc = 0,939

1

Tabela : 5.6 [str.81] i 5.7 [str.82] W. Gogół ,,Wymiana ciepła-tablice i wykresy” wyd. 2, Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1972.

4

2.Obliczenie przeciętnej wilgotności płyty dla izolowanych największych ścian. Aby obliczyć przeciętną wilgotność płyty a wymiarach a x b x c obliczam średnią całkową stężenia bezwymiarowego dla płyt nieskończonych b i c na podstawie średniej całkowej. i

Yi śr 

 1 2 6 x    exp   n2  Fo dx An  cos  n    i / 2 0 n1  / 2 i  





Po podstawieniu wartości i scałkowaniu otrzymuję: Yb śr = 0,5007 Yc śr = 0,7903

Liczę stężenie bezwymiarowe :

Y = Yb śr ∙Yc śr = 0,439 Po przekształceniu zależności Y  stężenie w płycie:

Ck  Cr otrzymuję wzór z którego obliczam średnie C p  Cr

Ck śr  Y  C p  Cr   Cr

C k śr =0,1247 [uł. masowy] Średnia wilgotność w płycie :

wk śr 

ck śr

100

1  ck śr

wk śr  14,247 [% mas]

3. Wilgotność środku płyty w przypadku, gdy tylko jedna z największysz płyt jest zaizolowana. Stężenia bezwymiarowe Ya i Yb nie zmieniają się. Grubość płyty wynosi 2c, a układ współrzędnych zaczepiony jest w środku płyty.

D t

a) Obliczam liczbę Fouriera ze wzoru Fo 

 i    2

2

dla czasu t otrzymanego w pkt. 1

(t =352769 s = 97,991 h) i grubości płyty 2c czyli :

Fo 

b) Liczę Yc

D t

 2c   2

  

2

F0= 0,39197



6  c/2 2 Yc   An  cos  n   exp   n  Fo c   n 1



Yc = 0,6424

5

c) Stężenie bezwymiarowe dla płyty, która ma jedną ścianę zaizolowaną Y = 0,3695 Dla tej wartości Y : c = 0,12 w = 13,585 %

Zadanie 2. Krople wody o średnicy d = 0,7 [mm] i temperaturze tw = 70 [°C] opadają w suchym powietrzu o temperaturze tp = 80 [°C] i ciśnieniu 1 [atm]. Traktując opadanie jako niezakłócone oraz zakładając, że krople zachowują kształt kulisty – obliczyć: a) początkową szybkość parowania z parującej kropli [kg/s], b) czas opadania oraz wysokość z jakiej krople powinny spadać, aby ich średnica zmniejszyła się do dk = 0,4 [mm], c) czas odparowania z nieruchomej kropli przy tej samej co poprzednio zmianie średnicy. Pod ciśnieniem 1 [atm] i w temperaturze t = 25 [°C] współczynnik dyfuzji pary wodnej w powietrzu wynosi 2,64 · 10-5 [m2/s].

a) Symbole: dp dk D Do F G Gr kp Mw Mp pn R Re Sc Sh Tśr To tw tp W ρp ρw μp

-

Średnica początkowa kropli [m] Średnica końcowa kropli [m] Współczynnik dyfuzji powietrza w temperaturze średniej Współczynnik dyfuzji pary wodnej pod ciśnieniem 1 atm i w temperaturze [m2/s] Początkowa powierzchnia kropli wody [m2] Przyspieszenie ziemskie [m/s2] Liczba Gratshofa [-] Współczynnik wnikania masy od kropli do powietrza [-] Masa molowa wody [kg/mol] Masa molowa powietrza [kg/mol] Ciśnienie pary nasyconej [Pa] Stała gazowa [J/(mol∙deg)] Liczba Reynoldsa [-] Liczba Schmidta [-] Liczba Sherwooda [-] średnia temperatura kropli wody oraz powietrza [K], temperatura odniesienia [K], Temperatura wody [K] Temperatura powietrza [K] Szybkość parowania opadającej kropli [kg/s] Współczynnik rozszerzalności [m 3/mol] Gęstość powietrza w temperaturze średniej[kg/m3] Gęstość wody w temperaturze średniej [kg/m3] Lepkość dynamiczna powietrza w temperaturze średniej [Pa∙s]

6

μw

-

Lepkość dynamiczna wody w temperaturze średniej [Pa∙s]

b) Dane projektowe: d = 0,7 [mm] tw = 70 [°C] tp = 80 [°C]

P = 1 [atm] dk = 0,4 [mm] Do = 2,64 · 10-5 [m2/s]

c) Obliczenia 1.Początkowa szybkość parowania z parującej kropli [kg/s]. Początkowo muszę wyznaczyć wartości parametrów fizykochemicznych wody i powietrza w średniej temperaturze na granicy powietrza i kropli Średnia temperatura:

t sr 

tw  t p 2

 348,15K  75 C

Dane fizykochemiczne powietrza2 i pary3 dostępne są w literaturze, aby otrzymać wartości odpowiadające temperaturze średniej , przeprowadzam interpolację programie Math Cad. Zakładam, że popełnię niewielki błąd jeśli własności fizykochemiczne powietrza w temperaturze 75°C przyjmę jako średnią z własności w temperaturach 70 °C i 80 °C. W ten sposób otrzymuje poniższe wartości gęstości i lepkości powietrza: μp = 20,85 ∙ 10-6 [Pa s] ρp = 1,014 [kg/m3] μw = 3,805 ∙ 10-4 [Pa s] ρw= 974,8 [kg/m3] Wartość ciśnienia pary nasyconej w temperaturze t = 75 °C uzyskana w wyniku interpolacji: pn = 38618,72 [Pa] Obliczam współczynnik dyfuzji pary wodnej w powietrzu w średniej temperaturze przy powierzchni kropli: 3

 T 2 D  Do   sr   To  D = 3,331∙10-5 [m2/s] Obliczenie Liczby Reynoldsa: Bilans sił :   rogaz  u 2



2



 d

2

 d

3

( row  rogaz )  g 4 6 d  ( row  rogcaz )  g 4 2 3 rogaz  u

2

Tabela 2.1 W. Gogół ,,Wymiana ciepła-tablice i wykresy” wyd. 2, Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1972. 3 Tablice dla pary wodnej – Perry’s Chemical Engineers Handbook

7

Nie znam prędkości u , wiec obie strony równania mnożę przez liczbę Re2 wówczas otrzymam : gie

3

X  4 d  rogaz ( row  rogaz) 

2

3 migaz

X = λ*Re2 X= 1,019 ∙104 W zależności od tego jaka jest wartość parametry X program MathCad sam wybiera odpowiednie prawo do obliczenia prędkości opadania kropli : u 

gie

2

d  ( row  rogaz ) 

0.153d 

if X  0  X  48.8

18 migaz

1.14

 ( row  rogaz )

0.71

gie

0.71

 rogaz

0.29

5

0.43

if X  48.8  X  1.1 10

 migaz

1

1.74  



d  ( row  rogaz )  gie rogaz

 

2

5

if X  1.1 10

Gdzie wzór : 1. Prawo Stokesa 2. Prawo Allena 3. Prawo Newtona W ten sposób otrzymuję : u=2,6609 [m/s]

Re 

u  dp  p

p

 90,5859

Szybkość parowania: Szybkość parowania wody W określona jest równaniem:

W  k p  ( pn  p )  M w  F 

Do obliczenia W wykonuję kolejne czynności : Wyznaczam liczbę Shrwooda na podstawie odpowiedniej korelacji.4 1 2

Sh  2  0.6 Re  Sc 

Liczę liczbę Schmidta

Sc 

p p D

1 3

=0,61726[-]

Podstawiając wartości z równań, otrzymuję wartośc liczby Sherwooda. 

Z przekształcenia definicji na Sh otrzymuję wzór na współczynnik wnikania masy od powierzchni kropli do suchego powietrza:

4

Tablica A-21 z [S.Wroński, R.Pohorecki, J.Siwiński „Przykłady obliczeń termodynamiki i kinetyki procesów inżynierii chemicznej”] , Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1979 r.

8

Sh 

kp  d  R T D kp 

=6,86225 [-]

Sh  D R T  d

k p  1,1288 10 4 [mol/(m2·s·Pa)] 

Obliczam powierzchnię kropli.

F    d p  1,539 10 6 [m2] 2

Po podstawieniu wartości liczbowych do równania na szybkość parowania wody, przy założeniu, że ciśnienie cząstkowe pary wodnej w powietrzu jest równe 0, otrzymuję następującą wartość początkowej szybkości parowania:

W  k p  pn  M w  F  6,30619  109 [kg / s]

2.Czas opadania oraz wysokość z jakiej krople powinny spadać, aby ich średnica zmniejszyła się do dk = 0,4 mm. Czas opadania kropli Szybkość parowania kropli można także określić za pomocą równania bilansowego:

W 

    d 2 dd dm d  d3     w     w   [m2] dt dt  6  2 dt

Po przyrównaniu wzorów na szybkość parowania otrzymuję:

k p  pn  M w  F  

 w    d 2 dd 

2

dt

[m2]

Wykonuję szereg przekształceń

Sh  D     d 2 dd  pn  M w    d 2   w  R T  d 2 dt 1   1  u d   d   p  2  3    Sc   D 2  0.6  p         d 2 dd  pn  M w    d 2   w  R T  d 2 dt t

 dt  0

dk

 d

 w  R  T  d

 d   w   p   g  p    2  0 . 6   d    18   p  p    

1 2

 1   Sc 3   2  D  pn  M w  

dd

Po scałkowaniu powyższej zależności otrzymuję czas opadania kropli, podczas którego jego średnica zmniejsza się z 0,7 mm do 0,4 mm t 1= 1,733 [s]

9

Wysokość, z jakiej powinny spadać krople Aby obliczyć drogę h, jaką przebędzie kropla do momentu odparowania do zadanej średnicy dk wykorzystuję następującą zależność: dh = - u dt którą należy scałkować w odpowiednich granicach: h

t

0

0

 dh    udt h

dk

h   dh    0

dp

d   w   p   g 18   p



w  R  T  d 1   1  d   w   p   g 2   p 3   d   Sc   2  D  pn  M w 2  0.6   18   p  p      

dd

Po scałkowaniu i podstawieniu wartości liczbowych otrzymuję wartość: h = 3,541 m

3.Obliczenie czasu odparowania z nieruchomej kropli przy tej samej co poprzednio zmianie średnicy W celu obliczenia czasu odparowania nieruchomej kropli posłużę się ponownie zależnością wyprowadzoną z dwóch definicji szybkości parowania posłużę się równaniami :

W 

    d 2 dd dm d  d3     w     w   [m2] dt dt  6  2 dt k p  pn  M w  F  

 w    d 2 dd 

2

dt

[m2]

Sh  D     d 2 dd  pn  M w    d 2   w  R T  d 2 dt Korzystam z korelacji na liczbę Sherwooda5

Sh  2  0.5  Gr  Sc 

0.37

[m2]

Wcześniej wyliczone Sc =0,61726 Potrzebuję jeszcze wartości liczby Grashofa, którą opisuje zależność:

Tabelą A-21 z [S.Wroński, R.Pohorecki, J.Siwiński „Przykłady obliczeń termodynamiki i kinetyki procesów inżynierii chemicznej”] dla konwekcji swobodnej dla kulistych cząstek lub kropli 5

10

Gr 

gdzie  w 

g  d3   2

w

2



pn [m2] RTsr

w a, w 

M p  Mw

p

[m2]

Po podstawieniu danych otrzymuję następującą wartość współczynnika rozszerzalności: β = 1,08481 · 10-2 [m3/mol] oraz liczby Gratshofa dla dP początkowego: Gr = 3203 oraz Sh=5,334 Założenie Gr∙Sc <106 jest spełnione dla początku parowania, więc dobrana przeze mnie 0.37 korelacja określona wzorem Sh  2  0.5  Gr  Sc  jest słuszna. Później średnica kropli maleje, więc maleje liczba Gr i warunek ten jest nadal spełniony. Czas odparowania obliczam identycznie jak w punkcie 1, czyli rozdzielam zmienne i podstawiam korelację na liczbę Sherwooda. t

 dt  0

 w  R  T  d

dk

 d

 g d   pn  2  0.282     Sc   2  RT  sr w   3

2

0.37

   2  D  pn  M w 

dd [m2]

Czas odparowania nieruchomej kropli od początkowej do zadanej średnicy jest równy: t2 = 3,54 s

11

Literatura: 1) R. Pohorecki, S. Wroński „Kinetyka i termodynamika procesów inżynierii chemicznej” 2) S. Wroński, R. Podhorecki, J. Siwiński „Przykłady obliczeń z termodynamiki i kinetyki procesów inżynierii chemicznej” 3) W. Gogół ,,Wymiana ciepła-tablice i wykresy” wyd. 2, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1979. 4) Perry’s Chemical Engineers Hanbook.

12