Kornelia Ciok-Kinetyka Projekt 1 popr

Kornelia Ciok Grupa dziekańska I Semestr V WIChiP

Kinetyka Procesowa Projekt I Wariant 10

Warszawa, 18.11.2014r.

Zadanie 1 Wyznaczyć profil w pełni rozwiniętego rozkładu prędkości w rurze o średnicy D = 18 mm dla wody w temperaturze 20ºC, jeżeli liczba Reynoldsa wynosi: a) Re = 600 b) Re = 5 · 105 Wyniki U(r) przedstawić w formie tabelarycznej i wykresu. Dane projektowe i tabelaryczne:    

Średnica rury Promień rury Gęstość wody w temperaturze 20 ºC Lepkość dynamiczna wody w temperaturze 20 ºC Liczba Reynoldsa

D = 18 [mm] = 0,018 [m] R=0,009 [m] ρ = 998,2 [kg/m3] μ = 0,001005 [Pa∙s] a) Re = 900 b) Re = 8 · 105

Ad. a) Gdy Re=600 mamy do czynienia z przepywem laminarnym, bowiem Re<1300. Prędkość średnią przepływu wyznaczę korzystając z równania Naviera-Stokesa dla płynów newtonowskich we współrzędnych cylindrycznych. Równanie to ma postać :

 1   U z  1  2U z  2U z  U z U U z U z  p  U z   g z  Ur  Uz        r   2 2 r r  z  z z 2   t  r r  r  r 

 

Analizując poszczególne człony równania, doszłam do wniosku, iż: -charakter przepływu nie zmienia się w czasie, a więc mamy do czynienia z przepływem ustalonym, dlatego: U z 0 t -założyłam, że przepływ jest w kierunku osi z, więc brak przepływu w kierunku osi r (Ur=0), stąd: U z Ur  0 r -analogicznie- brak przepływu w kierunku osi θ (Uθ=0): U  U z 0 r  -z równania ciągłości:  1  1     U       U z   0   r    U r    t r r r  z

2

po uproszczeniach następujących:   0 , ponieważ gęstość płynu nie zmienia się w czasie (gęstość nie zależy od położenia i t można ją wyłączyć przed różniczki) U r  0 (bo brak rucu elementów płynu zgodnie z kierunkiem osi r) , stąd r U 1  r    U r     1   r  U r     1  U r  r  r   0 r r r r r  r 

U r  0 oraz

oraz brak jest prędkości płynu w kierunku θ:    U       U    0 U   0 oraz   Wykorzystując te założenia, równanie ciągłości przyjmuje postać:  Uz  0 z a w równaniu Naviera- Stokesa: U z 0 z -brak rozkładu prędkości w kierunku θ: 1  2U z  0 r 2  2 -z równania ciągłości:  2U z 0 z 2 -nie ma składowej przyspieszenia ziemskiego g w kierunku z , stąd: g z = 0 Podstawiając wszystkie założenia, równanie Naviera-Stokesa upraszcza się do postaci:

0

 1   U z p    r  z r  r r 

   

Przyjmuję, że znany mi jest jednostkowy spadek ciśnienia w rurze i wynosi od tak więc

p P  x L

3

P L

Po analizie, mogę zapisać kolejną postać równania Naviera-Stokesa :

 1   U z   P    r   L r    r r  Przekształcając, otrzymuję postać: P  r    U z      r   L    r  r   0

Którą muszę scałkować. Po wykonaniu tej czynności, rozwiązaniem jest:



dU z P  r 2 r  C1 2 L dr

Natomiast dzieląc przez r i całkując po raz kolejny:



dU z C1 P  r   2 L dr r

P  r 2   U z  C1 ln( r )  C 2 4 L otrzymuję powyższe równanie. Stałe C1 i C2 wyznaczę korzystając z warunków brzegowych: - C1 - korzystam z warunku brzegowego, który mówi, że w osi przewodu występuje maksimum prędkości płynu, czyli: dU z dla r = 0 -> 0 dr -C2 – korzystam z warunku brzegowego, króry mówi, że przy ściance predkość jest równa 0: dla r  R 

D -> U z  0 2

Po podstawieniu warunków brzegowych:



P  0 2  r  0  C1 2 L

C1=0



P  R 2  0  0  C2 4 L

C2 

P  R 2 4 L

4

Równanie na profil prędkości przyjmuje postać: P  r 2 P  R 2 P  R 2  r 2 Uz     4 L 4 L 4 L



P Uz   R2 4  L



  r 2   1       R  

Jak wspomniałam przy wcześniejszej analizie problemu, prędkość maksymalna w przewodzie jest dla r = 0 i wynosi: P U max   R2 4  L Ogólna zaś postać równania (dla dowolnego położenia elementu płynu) przyjmie postać:   r 2  U z  U max  1       R   Spadek ciśnienia na jednostkę długości przewodu obliczam z równania Darcy – Weisbacha przedstawionego poniżej. Dzięki temu mogę otrzymać szukaną funkcję Uz(r): U  p    śr L 2 D 2

Dla przepływu laminarnego współczynnik strat λ obliczę ze wzoru: 64  Re W przypadku Re=600, λ = 0,1067 Prędkość średnią obliczę przekształcając wzór na liczbę Reynoldsa: Re 

U śr    D

 Re  U śr  D

Po podstawieniu wartości liczbowych , otrzymuję prędkość średnią: U śr = 0,0336 [m/s] Stosując wzór na prędkość maksymalną w przewodzie: 2 2 2 U   R2 U   R2 U  R U max    śr     śr     śr  2 D 4 4 R 4 16  mogę obliczyć jej wartość: Umax=0,0671 [m/s] 5

Równanie na rozkład prędkości wyprowadzone powyżej przyjęło posać:   r 2  U z  U max  1       R   a znając wartość Umax, mogę wyliczyć rowy rozkład zależny od zmiennej r.

  r 2  U z  0,0671  1       0,009   Obliczone zgodnie z powyższym równaniem wartości prędkości dla wybranych położeń r w przekroju przewodu przedstawia tabela (ujemne wartości r wskazują na symetryczny rozkład prędkości względem osi rury): r [m] 0,00900 0,00855 0,00810 0,00765 0,00720 0,00675 0,00630 0,00585 0,00540 0,00495 0,00450 0,00405 0,00360 0,00315 0,00270 0,00225 0,00180 0,00135 0,00090 0,00045 0,00000 -0,00045 -0,00090 -0,00135 -0,00180 -0,00225 -0,00270 -0,00315 -0,00360 -0,00405 -0,00450 -0,00495 -0,00540 -0,00585 -0,00630 -0,00675

r [mm] 9,00 8,55 8,10 7,65 7,20 6,75 6,30 5,85 5,40 4,95 4,50 4,05 3,60 3,15 2,70 2,25 1,80 1,35 0,90 0,45 0,00 -0,45 -0,90 -1,35 -1,80 -2,25 -2,70 -3,15 -3,60 -4,05 -4,50 -4,95 -5,40 -5,85 -6,30 -6,75

Uz [m/s] 0,0000 0,0065 0,0128 0,0186 0,0242 0,0294 0,0342 0,0388 0,0430 0,0468 0,0503 0,0535 0,0564 0,0589 0,0611 0,0629 0,0644 0,0656 0,0664 0,0670 Umax=0,0671 0,0670 0,0664 0,0656 0,0644 0,0629 0,0611 0,0589 0,0564 0,0535 0,0503 0,0468 0,0430 0,0388 0,0342 0,0294

6

-0,00720 -0,00765 -0,00810 -0,00855 -0,00900

-7,20 -7,65 -8,10 -8,55 -9,00

0,0242 0,0186 0,0128 0,0065 0,0000

Obliczone wartości Uz(r) przedstawię na wykresie, który zobrazuje profil cieczy dla wartości Re=600.

Profil prędkości cieczy w rurze dla Re = 600 0,08 0,07

Uz [m/s]

0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

0,00 -1 0 1 r [mm]

7

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ad. b) Gdy Re=500000, mamy do czynienia z przepływem burzliwym. Tutaj, aby wyznaczyć profil prędkości, muszę wyznaczyć profil w trzech obszarach: - przyściennej warstwie laminarnej - warstwie przejściowej - rdzeniu burzliwym Aby wyznaczyć owe profile prędkości, należy skorzystać z uniwersalnego równania rozkładu prędkości w postaci:

U   f (y ) 

Bezwymiarowa odległość od ściany: U  y  y



 Odległość od ściany: D y  r 2  Prędkość bezwymiarowa: U U   z* U  Prędkość dynamiczna: s U   naprężenia styczne [Pa] ν – lepkość kinematyczna [m2/s] U z – prędkość wody w rurze w kierunku z [m/s] ρ – gęstość wody [kg/m3] Współczynnik oporów wyznaczam z poniższej korelacji podanej w źródle dla rur gładkich (bowiem tu owy współczynnik zależy nie tylko od liczby Reynaldsa, ale także od chropowatości rur, w tym przypadku uznajemy jednak rury jako gładkie). Zakres stosowalności wzoru to 4*103


λ= 0,0196 Prędkość średnią wyliczam z przekształcenia wzoru na liczbę Reynoldsa:

U śr 

Re  D

8

Uśr. = 27,967 [m/s] Z równowagi sił wiadomo, że:

 s  A  p  S ,czyli: 2

 s   D L  p 

 D 4

Ze wzoru Darcy – Weisbacha: 2 U śr   p  L 2 D Mogę wyliczyć spadek ciśnienia, dzięki czemu po podstawienu do wzoru : 2  D  s   D L  p  4 Wyliczę naprężenia styczne:     U sr2 s  8 Znając wartość naprężeń stycznych, mogę obliczyć pręskość dynamiczną, a mianowicie: U 

    U sr 2

s  

8





1 2    U sr 8

U*= 1,384 [m/s] W zależności od bezwymiarowej odległości od ścianki y+, kolejne obliczenia muszę wykonać uwzględniając trzy podwarstwy. I. Podwarstwa laminarna (0< y+<5) Dla warstwy laminarnej istnieje zależność: U   y Po podstawieniu zależności na prędkość bezwymiarową i położenie bezwymiarowe: s  D    r    2   U 



Profil prędkości obliczam przekształcając równanie na prędkość bezwymiarową: U z  U  U 

Uz 

D   r 2 

 s 

2

9

Po podstawieniu zależności na naprężenia ścinające orzymuję: D    U śr2 .    r    2  Uz  8  Grubość podwarstwy laminarnej obliczę wiedząc, że na granicy owej podwarstwy (granica między podwarstwą laminarną a przyścienną) y+ = 5, a więc wstawiając tą wartość do przekształconego wzoru na położenie, otrzymuję: y   L   U  Stąd grubość podwarstwy laminarnej wynosi: δ L =3,64·10-6 [m] Zatem odległość od ścianki, na której zmieni się charakter podwarstwy wyniesie: D rlam.    L 2 r lam. = 0,008996 [m] II. Podwarstwa przejściowa ( 5  y   30 ): W tym przypadku zachodzi następująca zależność: U   3,05  5  ln( y  ) Profil prędkości w warstwie przejściowej wyznaczono wykorzystując zależności na prędkość bezwymiarową i położenie bezwymiarowe:  D    r     s   Uz    3.05  5  ln  s  2             Wstawiając do wzoru zależność wyprowadzoną dla podwarstwy laminarnej na naprężenia styczne, otrzymuję równanie opisujące profil prędkości w warstwie przejściowej:  D    r  2  2   U sr   U sr 2  Uz    3.05  5  ln     8 8         Grubość tej wartwy, czyli odległość między granicą warstwy laminarnej i granicą rdzenia burzliwego wynosi (pamiętając, że w tym przypadku y+=30): y    Pr z.   U  δPrz. = 2,18·10-5 [m] 10

zaś odległość tej warstwy od ścianki rury wynosi: D rPr z .    Pr z . 2 rPrz. = 0,008978 [m] III. Rdzeń burzliwy (y+>30) W przypadku tej podwarstwy, zachodzi zależność:

 

U   5,5  2,5  ln y 

Analogicznie do poprzedniego przypadku:  D     U 2 (  r)     U sr 2  sr  Uz   5,5  2,5  ln   2  8 8          Za pomocą programu Mathcad wyliczyłam wartości prędkości w zależności od r , korzystając z zależności wyprowadzonych dla odpowiednich podwarstw. Przepływ jest symetryczny względem osi przewodu, więc prędkość jest taka sama zarówno dla r jak i dla –r.

11

Otrzymane wyniki prezentuję w tabelach z uwzględnieniem trzech warstw.

Warstwa laminarna Vzlam y blam  rlam yrblam [m]  U [m/s] 0.009

z

0

Warstwa przejściowa rprze jr[m] y bp rzej  VzprzeUjzy[m/s] bprzej  0.00899636 6.918

Rdzeń burzliwy VzbuU rbu rz y bbr[m] rzzy bb urz  urz  [m/s] 0.00897818 19.385

0.00899988

0.221

0.00899585

7.825

0.00859999

29.452

0.00899977

0.443

0.00899535

8.627

0.0082218

31.755

0.00899965

0.664

0.00899484

9.345

0.00784362

33.126

0.00899953

0.886

0.00899433

9.996

0.00746543

34.105

0.00899942

1.107

10.591

0.00708724

34.867

0.0089993

1.329

0.00899331

11.138

0.00670905

35.492

0.00899919

1.55

0.0089928

11.646

0.00633086

36.02

0.00899907

1.772

0.00899229

12.119

0.00595267

36.479

0.00899895

1.993

0.00899178

12.562

0.00557448

36.884

0.00899884

2.215

12.978

0.0051963

37.246

2.436

0.00899127

0.00899872

2.658

0.00899076

13.37

0.00481811

37.574

0.0089986

2.879

0.00899025

13.741

0.00443992

0.00899849

37.874

3.101

0.00898975

14.094

0.00406173

0.00899837

38.15

0.00899825

3.322

0.00898924

14.429

0.00368354

38.405

0.00899814

3.544

0.00898873

14.749

0.00330535

38.643

0.00899802

3.765

0.00898822

15.055

0.00292716

38.865

0.00899791

3.987

15.348

0.00254898

39.075

0.00899779

4.208

15.629

0.00217079

39.272

0.00899767

4.43

15.898

0.0017926

39.458

0.00899756

4.651

16.158

0.00141441

39.635

0.00899744

4.873

0.00898567

16.409

0.00103622

39.804

0.00899732

5.094

0.00898516

16.65

0.00065803

39.964

0.00899721

5.316

0.00898465

16.884

0.00027984

40.118

0.00899709

5.537

0.00898415

17.11

-0.00009835

40.265

0.00899697

5.759

0.00898364

17.329

-0.00047653

40.406

0.00899686

5.98

0.00898313

17.541

-0.00085472

40.541

0.00899674

6.202

0.00898262

17.746

-0.00123291

40.671

0.00899663

6.423

0.00898211

17.946

-0.0016111

40.797

0.00899651

6.645

18.14

-0.00198929

40.918

0.00899639

6.866

18.329

-0.00236748

41.035

18.513

-0.00274567

41.148

18.692

-0.00312385

41.258

18.867

-0.00350204

41.364

19.037

-0.00388023

41.468

19.204

-0.00425842

41.568

-0.00463661

41.665

0.00899382

0.00898771 0.0089872 0.00898669 0.00898618

0.0089816 0.00898109 0.00898058 0.00898007 0.00897956 0.00897905 0.00897855

12

Otrzymane wyniki prezentuję na wykresie: Profil predkosci w calym zakresie 0.01

3

810

Promien r [m]

3

610

3

410

3

210

warstwa laminarna warstwa przejœciw a rdzeñ burzliw y 0

0

10

20

30

P redkos c [m/s ]

13

40

Zadanie 2 Ciecz binghamowska o gęstości ρ = 1900 kg/m3, lepkości plastycznej p = 1,8999999999999999 Pa∙s i granicy płynięcia τ0 = 43 Pa spływa ruchem laminarnym w szczelinie utworzonej przez dwie płaskie równoległe płyty o długości L = 36 m nachylone do poziomu pod kątem α = 60º. Odległość między płytami wynosi 2δ, gdzie δ = 6 mm. Ciśnienie w górnym przekroju szczeliny wynosi p1 = 1,8 bar, a w dolnym p2 = 1,8999999999999999 bar. Pomijając efekty końcowe, określić profil prędkości i naprężeń w szczelinie oraz obliczyć natężenie masowe przepływu cieczy na jednostkę szerokości szczeliny. Profile prędkości i naprężeń przedstawić w formie tabelarycznej i wykresu. Schemat układu:

Dane projektowe: ρ = 1900 [kg/m3] p = 1,8999999999999999 [Pa∙s] τ0 = 43 [Pa] L = 6 [m] α = 60º 2·δ = 2·6 = 12 [mm] p1 = 1,8 [bar] p2 = 1,8999999999999999 [bar] g = 9,81 [m/s2]

Gęstość cieczy Lepkość plastyczna cieczy Granica płynięcia Długość szczeliny Kąt nachylenia płyt do poziomu Odległość miedzy płytami Ciśnienie w górnym przekroju szczeliny Ciśnienie w dolnym przekroju szczeliny Przyspieszenie ziemskie

Korzystam z równania Naviera- Stokesa dla współrzędnych prostokątnych dla osi x:

U x U x U x   U x P   xx  yx  zx    g x    Ux  U y  Uz     x y z  x  x y z   t

 

xx , yx , zx – składowe wektora naprężeń [Pa] p - spadek ciśnienia w kierunku x [Pa/m] x

14

Dokonuję następujących uproszczeń równania: 

przepływ jest ustalony w czasie (jego charakter nie zmienia się w czasie), więc: U x 0 t



nie ma prędkości płynu wzdłuż osi y, stąd: Uy  0



nie ma prędkości płynu wzdłuż osi z, stąd: Uz  0 brak rozkładu prędkości względem osi z, więc: U x 0 z brak naprężeń wzdłuż osi x, więc:  xx 0 x







brak rozkładu naprężeń wzdłuż osi z, więc:  zx 0 z



z równania ciągłości:        U x     U y     U z   0 t x y z

Po dokonaniu uproszczeń: U y  0 - brak ruchu płynu w kierunku y

U z  0 - brak ruchu płynu w kierunku z  0 t Przepływ ustalony w czasie, a gęstość nie zależy od położenia. Stąd: U x 0 x Na tej podstawie stwierdzić można, że prędkość płynu nie zmienia się wzdłuż osi x.

Podstawiając do równania Naviera-Stokesa powyższe założenia, otrzymuję: P   yx   0  g x   x  y  , gdzie: P P1  P2  x L ze względu na to, że spadek ciśnienia w przewodzie ma charakter liniowy.

15

Natomiast składowa x przyspieszenia ziemskiego jest równa:

g x  g  sin  Po podstawieniu do równania ruchu:

P2  P1   yx     L  y   Po rozdzieleniu zmiennych i scałkowaniu otrzymuję zależność: P  P1  yx    g  sin   y  2  yC L Jako, że naprężenia w płaszczyźnie symetrii szczeliny są równe 0, z łatwością mogę wyznaczyć stałą C: Dla y = 0 ,  yx  0 0  g  sin  

Stąd stała C = 0 . Funkcja zależności naprężenia od współrzędnej y przyjmuje wówczas postać: P P  yx    g  sin   y  2 1  y L W poniższej tabeli przedstawiam wartość naprężeń  yx dla wybranych wartości współrzędnej y: τxy[Pa] y [mm] y [m] 6,00 5,50 5,00 4,50 4,00 3,50 3,00

0,00600 0,00550 0,00500 0,00450 0,00400 0,00350 0,00300

2,97 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50

0,00297 0,00250 0,00200 0,00150 0,00100 0,00050 0,00000 0,00050 0,00100 0,00150 0,00200 0,00250

2,97 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50

0,00297 0,00300 0,00350 0,00400 0,00450 0,00500 0,00550

86,9 79,6 72,4 65,1 57,9 50,7 43,4  0 =43,0 36,2 29,0 21,7 14,5 7,2 0,0 7,2 14,5 21,7 29,0 36,2  0 =43,0 43,4 50,7 57,9 65,1 72,4 79,6

16

6,00

0,00600

86,9

Profil naprężeo w szczelinie 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6

y [mm]

0

0

0

10

20

30

40 50 Naprężenia τ [Pa]

60

70

80

90

*na wykresie umieściłam ujemne wartości y tylko ze względu na to, iż profil ten jest symetryczny względem osi Ciecz binghamowska płynie tylko wówczas, gdy zostanie przekroczona graniczna wartość naprężeń zwana granicą płynięcia. W rozważanym przypadku projektowym płynięcie cieczy nastąpi w pobliżu ścianek. Muszę więc wyznaczyć współrzędną y0, przy której płyn przekroczy naprężenie graniczne płynięcia τ0 . Naprężenie towyznaczamę z następującego wzoru: P2  P1  y0 L Po wyznaczeniu y0 otrzymam:

 0    g  sin   y 0 

y0 

0   g  sin  

P2  P1 L

Po podstawieniu do wzoru wartości liczbowych otrzymuję:

y0  0,002971[m]  2,971 [mm]

17

Model reologiczny dla płynu binghamowskiego jest następujący:

 U x  y

 yx   0   p    0   p   

  

Przyrównując do wzoru na naprężenia  yx w funkcji y otrzymam:

 dU 

x     g  sin   y   0   p     dy 

P2  P1 y L

Wyznaczę teraz dU x w celu późniejszego scałkowania tej wartości, aby otrzymać U x :

P P      g  sin   2 1   y   0 L  dU x   dy  p Całkując otrzymuję: P2  P1  y 2    g  sin       0  y L  2  Ux  C  p Stałą C wyznaczam z warunków brzegowych: dla y = δ , U x  0

P P     0     g  sin   2 1   L  2  0 C  p Stąd: P2  P1   2    g  sin    0    L  2  C  2

p

Ostateczna postać równania na rozkład prędkości w zależności od y po uwzględnieniu stałej C:





P  P1   2  y 2    0    y     g  sin   2  L  2  Ux 

p

Posiadając wyprowadzone powyzsze równanie na Ux, mogę dla wybranych wartości y w przedziale od –δ do –y0 oraz od y0 do δ wyliczyć wartości tej prędkości. Warto zwrócić uwagę, że w przedziale od –y0 do y0 płyn nie będzie płynął i jego prędkość będzie równa prędkości dla y0 (prędkość stała, nie zmienia się). Obliczenia dla różnych wartości y przedstawiam w poniższej tabeli oraz na wykresie.

18

y [mm] 6,00 5,50 5,00 4,50 4,00 3,50 3,00 y0=2,97 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 y0=2,97 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00

6

y [m] 0,00600 0,00550 0,00500 0,00450 0,00400 0,00350 0,00300 0,00297 0,00250 0,00200 0,00150 0,00100 0,00050 0,00000 0,00050 0,00100 0,00150 0,00200 0,00250 0,00297 0,00300 0,00350 0,00400 0,00450 0,00500 0,00550 0,00600

Ux [m/s] 0 0,01059 0,01927 0,02605 0,03092 0,03389 0,03496 0,03496 0,03496 0,03496 0,03496 0,03496 0,03496 0,03496 0,03496 0,03496 0,03496 0,03496 0,03496 0,03496 0,03496 0,03389 0,03092 0,02605 0,01927 0,01059 0,00000

Profil prędkości cieczy binghamowskiej w szczelinie

y [mm]

5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

Prędkośd cieczy binghamowskiej Ux [m/s]

19

0,040

Aby obliczyć natężenie masowe przepływu cieczy na jednostkę szerokości szczeliny, obliczam najpierw natężenie objętościowe przepływu w przeliczeniu na jednostkę szerokości szczeliny, a następnie mnożę przez gęstość cieczy  . W Q   S S Objętościowe natężenie przepływu obliczam ze wzoru: S     y0  Q   U xl ( y ) dA  2  U x.( y ) dy  dz  2   U x.( y )  S dy  2  S    U x 0 dy   U x dy   0  A 0 0 0 y0

Po wstawieniu do powyższego równania profilu prędkości w zakresie od y0 do δ, a następnie po scałkowaniu i podzieleniu przez S:

   2   3  3   2  y0  y03  Q    g  sin   P    0   y0 2   2  U x 0  y0     S 6 p L  2 p     Tak więc przepływ objętościowy cieczy na jednostkę szerokości szczeliny wynosi: Q  3,489 10 4 [m3/(m·s)] S Wartość przepływu masowego cieczy na jednostkę szerokości szczeliny otrzymuję mnożąc stosunek Q/S przez gęstość cieczy:

W Q     0,66291 [kg/(m·s)] S S

20

Zadanie 3 Ciecz newtonowska wypełnia szczelinę pomiędzy dwoma poziomymi dyskami o promieniach R = 10 cm. Szerokość szczeliny wynosi B = 10 mm. Płyn o stałej gęstości  = 1700 kg/m3, którego lepkość ma być zmierzona, wypełnia szczelinę miedzy dyskami. Dolny dysk jest nieruchomy. Górny obraca się ze stałą prędkością kątową ω = 10 obr/min pod wpływem momentu obrotowego M = 2·10-3 Nm. Zakładając, że ruch cieczy jest uwarstwiony, obliczyć lepkość płynu wypełniającego szczelinę. Schametyczny rysunek z obranym układem współrzędnych:

Dane projektowe: Promień dysku Szerokość szczeliny między dyskami Gęstość badanej cieczy Prędkość kątowa górnego dysku Moment obrotowy

R = 10 [cm] B = 10 [mm]= 0,01 [m]  = 1700 [kg/m3] ω = 10 [obr/min]=const M = 2·10-3 [Nm]

W celu rozwiązania zadania, wykorzystuję równanie Naviera – Stokesa dla płynu newtonowskiego dla składowej θ: U U U U U U   U  Ur        r  U z     r r  r z   t 2    1 r U    1  U  2 U   2U   1 p               g r  r  r 2  2 r 2  z 2   r  r

 

W celu uproszczenia równania, stosuję pewne założenia: 

przepływ jest ustalony w czasie, więc: U  0 t

 ciecz nie płynie w kierunku r, stąd: Ur  0 U Ur    0 r 21

U r U  0 r  ciecz nie płynie w kierunku z, stąd: Uz  0 U Uz    0 z 

z równania ciągłości w postaci:

 1  1        r  U r       U        U z   0 t r r r  z

Wynikają następujące uproszczenia:  0 t , ponieważ gęstość płynu jest niezmienna w czasie Mamy do czynienia z ruchem uwarstwionym, a wówczas brak jest ruchu elementów płynu w kierunku r: U r 0 U r  0 oraz r Dlatego można zapisać: U 1  r    U r     1   r  U r     1  U r  r  r   0 r r r r r  r     U z      U z   0 z z , gdyż brak prędkości płynu w kierunku z. 2 U  U  U  2 U  1  U 0  0 0  0 2 2 2   , r  , r , r   Po uproszczeniu równanie ciągłości: U  0  U  0 Stąd w równaniu Naviera-Stokesa   brak rozkładu ciśnienia, dlatego : p 0 

U z  0 oraz



wektor przyspieszenia ziemskiego nie ma składowej θ , stąd:   g  0

22



prędkość kątowa nie ω nie zmienia się w kierunku r :

 0 r



  1 r  U      1  r 2        r  r r  r  r r 

    

  1   1  r 2 2            2  r  r 2  0     r    r  r  r r   r  r 





 2     2    0 r r

Po podstawieniu założeń, równanie Naviera-Stokesa mogę zapisać w postaci:  2U   0 z 2 Po podzieleniu przez µ, rozdzieleniu zmiennych i podwójnym scałkowaniu, równanie Naviera-Stokesa ma postać: U   C1  z  C 2 Stałe C1 oraz C2 obliczę podstawiając do równania warunki brzegowe: -Dla z = 0 -> U  0 -Dla z = B -> U    R Z warunku pierwszego, gdy z=0 , U  0 otrzymuję :

0  C1  0  C 2 Dlatego stała: C2 = 0 Z warunku drugiego, gdy z=B, U    R otrzymuję:

  r  C1  B Stąd: C1 

R B

Po podstawieniu wyliczonych wartości stałych C1 i C2, wyrażenie na prędkość liniową cieczy od zmiennych r i z opisuje wzór: R U  z B Należy przeliczyć prędkość kątową [obr/min] na [obr/s]. Mając wyznaczony profil prędkości: R U  z B Muszę wyznaczyć naprężenia, celu późniejszego wyznaczenia lepkości cieczy. Naprężenia definiowane są jako stosunek siły i powierzchni, na którą owa siła działa:

23



F A

oznaczenia: - naprężenia,  F - działająca siła, A - powierzchnia na którą działa siła, Znając promień i moment siły, mogę obliczyć wartość siły F:

F

M R

oznaczenia: M - moment działającej siły, R - ramię na którym działa siła, Tak więc łącząc oba powyższe równania, otrzymuję zależność na naprężenia:

M R A Ramię momentu sił oraz powierzchnia są zależne od promienia r, dlatego można ja zapisać : A = 2πrdr. Stąd ostateczny wzór:





M r  2    rdr

Moment siły przykładany do górnego dysku jest równoważony przez moment siły wynikający z naprężeń ścinających na ściance dysku, dlatego prędkość kątowa jest stała. Korzystając z tego założenia, otrzymuję: dU  1 U z   U  z        r   dz  z dU  dz Różniczka równania na prędkość liniową:

 z   

 r  d  z dU  B     r  dz dz B

Podstawiając, otrzymuję: r  z    B

24

Zastąpienie naprężeń ścinających powyższą zależnością, otrzymuję zależność na moment siły: Gdy podstawiono naprężenia: dU  dM     2    r 2  dr dz Ową zależność muszę scałkować od 0 do R, aby uzyskać całkowity moment siły: R

M   0

r B

 r  2rdr

Po scałkowaniu otrzymuję:

M 

 2 B

 R4 

Po przekształceniu powyższego wzoru, otrzymuję wzór na szukaną lepkość:

2M  B    R4 Po podstawieniu wartości liczbowych: 2  2 10 3  0,01  =0,764 10 4    0,1 60



Poszukiwana wartość lepkości płynu wynosi: μ = 7,64∙10-2 [Pa·s] Wzór na lepkość kinematyczną cieczy: ν= ν=4,494*10-4 [m2/s]

25

LITERATURA (1) „Przykłady obliczeń z termodynamiki i kinetyki procesów inżynierii chemicznej” S.Wroński R.Pohorecki J.Siwiński (2) „Laboratorium termodynamiki i kinetyki procesów inżynierii chemicznej” S.Wroński, R.Pohorecki (3) „Inżynieria chemiczna. Podstawy inżynierii chemicznej” J. Ciborowski

26