1. Egzamin - [2011]

imię

nazwisko

gr.dz.

data

punkty

p.dod.

suma

oc.egz.

oc.zal.

oc.końc.

Egzamin z analizy mat. i alg. lin. — Informatyka sem.I — WERSJA A l Punktacja: zadania 1-14 po 2p., zad. 15 — 4p.. zad. 16 — 9p., zad. 17 — 6p., zad. 18 — 3p. 1. Jeżeli z = -2(cos %- + /sin =?), to Re,s =

, Im z =

arg z =

2. Jeżeli zi = 2(cosl + f sini), z-2 = 3(cos2 + i sin 2), to \ZiZ2 = ............. , arg(r 1 2 2 ) = ................ 3. Uzupełnić definicję: x = arcsiny <==> .... = ................ , gdzie :r G ............. i y G ............. 4. | < arccotz < ^ <==> x G .................. 5. Uzupełnić A. lim^fl=.

.......

6. Uzupełnić definicję:

— 2

C

'

"

lim n" - - -

x

^ = ........ D. lirn arccos -

lim /(.T) = a

,D C

gdzie /:D —r oraz

B. l i m S i n ( x ~ 2 ) =

, :r0 €

,a G , jest punktem skupienia są przestrzeniami metrycznymi.

7. Obliczyć bezpośrednio z definicji pochodną funkcji f (x) = sin x

8. Napisać wzór Taylora dla funkcji / G C<4(0: 2) takiej, że: / ( l ) = /'(l) = O, /"(l) = 13, /'"(l) = -3.

gdzie c jest pewną liczbą między

a

9. Uzupełnić zdania dotyczące funkcji różniczkowalnej / ] =^ /J e s t rosnąca w (a, b)

* \^x€(a.b)f'('j;)

• / j e s t rosnąca w (a,, b) =$"\tfxe(a.,b)f'(x)

]

LO. Jeżeli /'(«) = O, f (x) > O dla x G (u - l, u] i /'(z) < O dla x G (a. a + 1), to maksimum lokalnym / jest A. a

B. f (a) /•°

LI. Niech f (x) = l

C. («,/(«))

2

eł dt. Wówczas /'(.T) =

dla każdego x G

12. Jeżeli krzywa y = f (x), x G (a, b) jest wypukła, to leży ona (w poniższych zdaniach x0 jest dowolnym punktem z przedziału (a. b)) A. nad sieczną wyznaczoną przez (a. /(a)) i (b, f (b)) C. nad styczną w punkcie (:/-o,/(zn)) B. pod sieczną wyznaczoną przez (a./(«)) i (b, f (b))

D. pod styczną w punkcie (.T O ! /(ZO))

L3. Podać ogólną postać rozkładu na ułamki proste funkcji /(z) = ^u-^-iHa 2 -!) 2

L4. Całkami niewłaściwymi są 7_! arcsma-

.;_! arccos :r

70

arccotz

0

b

f

L5. Całką oznaczoną / f(x)dx (gdzie / : ............. —» ...... jest .............................................. ) nazywamy 7a

................................................................... . o ile ta granica dla każdego . , ma zawsze te sama skończona wartość i nie zależy od ..........................................................

16. Przed każdjan zdaniem wpisać P (jeśli jest ono prawdziwe) albo F (jeśli zdanie jest fałszywe). 1) Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. 2) Każdy ciąg ograniczony jest zbieżny. 3) Każda funkcja ciągła jest różniczko walna. 4) Każda funkcja różniczkowalna jest ciągła. 5) Każda funkcja ciągła w (a, b} jest całkowalna w (a, b). 6) Każdy ciąg rosnący ograniczony z dołu jest zbieżny. 7) Jeżeli .rn jest punktem izolowanym Dj, to / jest nieciągła w x0. 8) Funkcje nieciągłe mogą mieć własność Darboux. 9) V x e ( a . b ) u ( c . d ) f ' ( z )

> O => / jest rosnąca w (a, b) U (c, d).

17. Uzasadnić wybór w podpunktach 4 i 8 zadania 16. ad 4:

ad 8:

18. Narysować wykres jakiejś funkcji / określonej na R, która, ma skok skończony w O, natomiast krzy\ ma tvlko trzy asymptoty: x = l, y = —2, y = x. .