Haykin S. - Systemy Telekomunikacyjne Tom 1

. J a k d łu g o b łą d fazy p o zo staje stały, n a w yjściu d e te k to ra m am y niezniek ształco n ą w ersję o ry g in aln eg o sy gnału inform acyjnego m(t). W p rak ty ce m am y jed n ak d o czynienia z b łędem fazow ym zm ieniającym się p rz y p a d k o w o w czasie, co jest spow od o w an e p rzy p a d k o w y m z m ian o m zach o d zący m w k an ale telekom unikacyjnym . W efekcie czynnik co s , p rzez k tó ry m n o żo n y je st sygnał w yjściow y d e te k to ra , zm ienia się także p rz y p a d k o w o w czasie, co je st oczyw iście zjaw iskiem n iep o żąd an y m . N ależy więc zad ab ać o to , ab y u trz y m ać lo k a ln y o sc y la to r o d b io rn ik a w d o k ład n y m synchronizm ie zarów no jeśli c h o d z i o częstotliw ość, ja k i o fazę, z falą n o śn ą u ży tą w n a d a jn ik u d o generacji sygnału zm o d u lo w an eg o D S B -S C . Z ło żo n o ść całego system u je st ceną, ja k ą płaci się za w yelim inow anie fali no śn ej celem zm niejszenia przesyłanej m ocy.

O dbiornik Costasa Jed n ą z m e to d u zy sk a n ia p rak ty czn ej realizacji o d b io rn ik a synchronicznego, d o g o d n eg o d la dem odulacji fal D S B -S C , jest odbiornik C ostasa3) o schem acie blokow ym , p o k a z a n y m na rys. 3.15. O d b io rn ik te n sk ła d a się ty lk o z d w ó ch d e tek to ró w k o h e re n tn y c h zasilan y ch tym sam ym sy g n ałem w ejściow ym , a m ian o w icie p rzy ch o d zącą falą D SB -SC 4 ecos(27t/cr)m (t), lecz o o d d zieln y ch sygnałach o sc y lato ra lo k aln eg o z fazam i w k w a d ra tu rz e w zględem siebie. C zęstotliw ość o scy la to ra lo k aln eg o d o s tra ja się d o częstotliw ości nośnej f c, co d o której

142

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

Kanał /

Sygnał DSB-SC /4Ccos [2irfc t) m ( t )

Kanał Q Rys. 3.15. O d b io rn ik Costasa

zak ład a się, iż je st z n a n a a priori. D e te k to r g ó rn eg o k a n a łu zw any je st detektorem koherentnym synfazow ym lub kanałem I, a d e te k to r d o ln eg o k a n a łu detektorem koherentnym kwadraturow ym lu b kanałem Q. T e d w a d e te k to ry p ra c u ją w zam k n ięty m u k ład zie ujemnego sprzężenia zw rotnego z a p ro je k to w a n e g o w ta k i sp o só b , ab y zapew nić synchronizację o scy lato ra lo k aln eg o z falą n o śn ą. A by p o z n a ć d ziałan ie teg o o d b io rn ik a przypuśćm y, iż sygnał o scy lato ra lo kaln ego m a tę sa m ą fazę, co fala n o śn a A cco s(2 n fct) u ży ta przy generacji p rzy ch o d ząceg o sygnału D SB-SC. W ty ch w a ru n k a c h n a w yjściu k a n a łu / p o jaw ia się p o ż ą d a n y zd em o d u lo w an y sygnał m{t), a n a w yjściu k a n a łu Q o trzy m u jem y zero, co jest sp o w o d o w a n e efektem zera k w ad ratu ro w eg o . Z ałó żm y dalej, iż faza o scy lato ra lo k aln eg o odchyli się o d swej nom inalnej w arto ści o m ały k ą t (p rad ian ó w . S ygnał w yjściow y k a n a łu / p o z o sta n ie w ów czas w zasadzie nie zm ieniony, a n a w yjściu k a n a łu Q pojaw i się niew ielki sygnał, p ro p o rc jo n a ln y d o sin (p ~ , d la m ały ch
3.5. F I L T R A C J A W S T Ę G

143

Jest oczyw iste, iż stero w an ie fazy w o d b io rn ik u C o sta sa ustaje w raz z ustan iem m odulacji i przy p o n o w n y m jej p o jaw ien iu się należy przyw rócić syn ch ro n izację fazow ą. N ie je st to p o w ażn y p ro b le m przy o d b io rze sy gnału m ow y, gdyż zsy n ch ro n izo w an ie się faz przebiega zw ykle n a tyle szy b k o , iż nie za u w aża się żad n y ch zniekształceń dźw ięku.

Z w ie lo k ro tn ia n ie k w a d ra tu ro w e fa li nośnej Efekt z era k w a d ra tu ro w e g o zach o d zący w d e te k to rz e k o h e re n tn y m m oże zo stać w ykorzys­ tan y w p rz y p a d k u ta k zw an eg o kw adraturow ego zw ielokrotniania fa li nośnej lu b inaczej kwadraturowej modulacji am plitudy (Q A M ). W tym system ie dw ie fale zm o d u lo w an e D SB -SC (pochodzące o d dw u fizycznie niezależnych sygnałów inform acyjnych) zajm u ją to sam o pasm o, a je d n a k m o g ą być z m o d u lo w a n e ta k , iż n a w yjściu o d b io rn ik a o b a sygnały inform acyjne w y stęp u ją oddzielnie. Jest to zatem ukiad zachow ujący szerokość pasma. S ch em at b lo k o w y system u z k w a d ra tu ro w y m zw ielo k ro tn ian iem fali nośnej zo stał przedstaw io n y n a rys. 3.16. N a d a w c z a s tro n a teg o system u (rys. 3.16a) sk ład a się z dw óch oddzielnych m o d u la to ró w iloczynow ych, n a k tó ry c h w ejścia p o d a w a n e są dw ie fale nośne o tej sam ej częstotliw ości, lecz p rzesu n ięte w zględem siebie w fazie o - 9 0 sto p n i. N a d a w a n y sygnał s(r) je st su m ą sygnałów w yjściow ych o b u tych m o d u la to ró w iloczynow ych i wynosi: s(i) = A cm 1(i)cos(27t/cr ) + 4 cm2(i)sin(27t/ci)

(3.20)

gdzie m f t ) o ra z m2(i) — d w a ró żn e sygnały in fo rm acy jn e p o d a w a n e n a wejścia m o d u la to ró w iloczynow ych. T a k więc s(t) zajm u je k a n a ł o szerokości 2 W i o częstotliw ości środkow ej rów nej częstotliw ości nośnej f c, gdzie W je st szero k o ścią p a sm a każdego z sygnałów inform acyjnych m ^ t), m 2{t). Z g o d n ie z ró w n an iem (3.20), m ożem y ro z p a try w a ć czynnik 4 m ,( r ) ja k o sk ład o w ą synfazow ą zw ielo k ro tn io n eg o sygnału śro d k o w o p rzep u sto w eg o s(r), a czynnik —A cm 2{t) ja k o je g o sk ład o w ą k w a d ra tu ro w ą . O d b io rc z a s tro n a system u p o k a z a n a z o sta ła n a rys. 3.16b. Z w ie lo k ro tn io n y sygnał s(t) p o d aw a n y je st ró w n o cześn ie n a d w a oddzielne d e te k to ry k o h e re n tn e , d o k tó ry ch d o ch o d zą tak że d w a sygnały z lo k aln eg o g e n e ra to ra fali nośnej o tej sam ej częstotliw ości, lecz przesunięte w fazie o —90 sto p n i. Sygnał w yjściow y d e te k to ra g ó rn eg o w ynosi — A ^ m f t ) , 1 ^ a sygnał z d e te k to ra d o ln eg o m a p o sta ć — A 'cm 2(t). A by system d ziałał p raw id ło w o , należy zachow ać w łaściw e zależności fazow e i am p litu d o w e pom iędzy o scy lato ram i lokalnym i użytymi p o nadaw czej i o d b io rczej stro n ie system u. A by zach o w ać n iez b ęd n ą sy n ch ro n izację m o żn a posłużyć się o p isan y m wcześniej o d b iornik iem C o stasa. In n ą pow szechnie sto so w a n ą m e to d ą je st w ysyłanie sygnału pilotują­ cego zn ajd u jąceg o się p o za p asm em sy g nału zm o d u lo w an eg o . W tej o statn iej m etodzie, typow y sy g n ał p ilo tu jący sk ła d a się z to n u sin u so id aln eg o o m ałej m ocy, k tó reg o częstotliw ość i faza zw iązan a jest z falą n o śn ą c(t). W o d b io rn ik u , sygnał p ilo tu jący zo staje w ydzielony za p o m o c ą o d p o w ie d n io n a stro jo n e g o u k ła d u filtrującego, a n astęp n ie p rzesu n ię­ ty na o d p o w ied n ią częstotliw ość, d o sto so w a n ą d o użycia w d e te k to rz e k o h eren tn y m .

3 .5 .

Filtracja wstęg

K olejnym zag ad n ien iem , ja k ie chcem y te ra z p rze d y sk u to w ać je st proces tak ieg o p rze­ kształcania z m o d u lo w a n eg o sygnału D S B -S C , ab y w ygenerow ać sygnał z częściow o stłum ioną w stęgą b o czn ą (VSB) lub sy g n ał z m o d u la c ją jed n o w stęg o w ą (SSB). Z godnie

144

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

a

b

Rys. 3.16. System z k w ad ratu ro w y m zw ielokrotnianiem fali nośnej: a) nadajnik, b) odbiornik

z in tu ic ją należy sądzić, iż w łaściw ą m e to d ą osiągnięcia tego celu je st m etoda dyskrym inacji częstotliwości, o p a r ta n a zasto so w an iu o d p o w ied n ieg o filtru, d o łączo n eg o n a wyjście m o d u la to ra iloczynow ego, p o zw alającego n a w ygenerow anie zm o d u lo w an eg o sygnału D SB -SC . D o b ó r o d p o w ied n ich p a ra m e tró w filtru zależy oczyw iście o d w y m ag an eg o ro d zaju m odulacji. W eźm y p o d uw agę u k ład p rzed staw io n y n a rys. 3.17a, gdzie u(t) o znacza sygnał w yjściow y m o d u la to ra iloczynow ego o postaci: u(t) = Acm (t) co s (2n/ct) N iech H ( f ) o zn a c z a tran sm itan cję filtru d o łączo n eg o n a wyjście m o d u la to ra iloczynow ego. W id m o z m o d u lo w a n eg o sygnału s(f) w y tw o rzo n eg o p o przejściu u(r) p rzez filtr wynosi:

3.5. F I L T R A C J A W S T Ę G

145

a Sygnał inormacyjny

Modulator iloczynowy

m (t)

u ( t )

Filtr środkowoprzepu stówy H < f)

Sygnał zmodulowany

s(t)

I

A r

Sygnał zmodulowany

cos

( 2 n f r i)

Modulator iloczynowy

s(t)

A

\

«’(()

Filtr dolnoprzepustowy

Sygnał ----------- zdemodulowany " ¿

0

cos (2 n / ( i)

Rys. 3.17. a) Schem at blokow y u k ład u przetw arzania wstęg bocznych, b) d e te k to r koherentny

d la o d tw arzan ia sygnału inform acyjnego

S{f) = U { f ) H [ f ) = - y [ M ( / - / c ) + M ( / + / f) ] / / ( / )

(121)

gdzie M ( f ) — tra n s fo rm a ta F o u rie ra sygnału inform acyjnego m(t). N a sz p ro b lem p o leg a na znalezieniu tran sm itan c ji H ( f ) , p rz y k tó rej w ytw orzony sygnał zm o d u lo w an y s(i) m a tak ie w idm o, a b y o ry g in aln y sy g n ał in fo rm acy jn y m(r) m ógł z o sta ć o d tw o rz o n y n a p o d staw ie s(r) za p o m o cą detekcji k o h eren tn ej. Pierw szy e ta p p ro c e su detekcji k o h ere n tn ej obejm uje m nożenie zm o d u lo w an eg o sygnału s(t) p rzez lo k aln ie w y g en ero w an ą falę sin u so id aln ą A 'cc o s ( 2 n f t), zsy n ch ro n izo w an ą z falą n o śn ą A cco s(2 n fct) z a ró w n o co d o częstotliw ości ja k i fazy (rys.3.17b). M ożem y więc napisać: v(t) = A 'cco s(2 n fct) s(t) T ran sfo rm u jąc p o d a n ą relację w dziedzinę częstotliw ości o trzy m u jem y tra n sfo rm a tę F o u rie ­ ra sygnału r(f) o postaci: V i f ) = - ^ [ S ( / - / c) + S ( / + / c)]

(3.22)

P o d staw iając ró w n a n ie (3.21) d o (3.22) o trzy m am y zatem :

VU) = +

i

) + H ( f + f c)] + i

2fc)

+ M ( f + 2 f c) H ( f + m

<3'23)

S kładow e w ielkoczęstotliw ościow e sy g n ału v(t) rep rezen to w an e p rzez d ru g i sk ład n ik ró w ­ n an ia (3.23) elim in o w an e są za p o m o cą filtru d o ln o p rzep u sto w e g o z rys. 3.17b, d a ją c w efekcie sygnał w yjściow y v0{t), k tó re g o w idm o o k re śla p o zo stały składnik: 10 S ystem y te le k o m u n ik a c y jn e cz. 1

146

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

Kif) =

[ / / i f —f c ) + H ( f + f c)]

(3.24)

Aby uzyskać niezn iek ształco n e o d tw a rz a n ie o ry g in aln eg o sy gnału in form acyjnego m( t ) na w yjściu d e te k to ra k o h e re n tn e g o , w y m ag an e jest, a b y w id m o Va( f ) było p rze sk alo w an ą w ersją w idm a M { f). O z n a c z a to , iż tra n sm ita n c ja H ( f ) p o w in n a spełniać w arunek: (3.25) gdzie H ( f c), b ęd ąca w a rto śc ią tra n sm ita n c ji / / ( / ) przy częstotliw ości / = f c je st stałą. G d y w idm o p a sm a p o d staw o w e g o M ( f ) jest zerow e p o za przedziałem częstotliw ości — W ^ f ^ W, w y m ag an e jest, a b y ró w n a n ie (3.25) było sp ełn io n e jed y n ie d la częstotliw ości / z teg o przedziału. P o n a d to , d la u p ro szczen ia dyskusji, przyjm ujem y H ( f c) = 1/2. W aru n ek d la tra n sm ita n c ji H ( f ) p rzy jm u je więc o stateczn ie postać: (3.26) W a ru n e k ten d aje d u ż ą sw o b o d ę przy w y b o rze tran sm itan cji H{ f ) , ja k p o k ażem y dalej w p u n k ta c h 3.6 i 3.7. T a k czy inaczej, z ró w n a n ia (3.24) i w a ru n k u (3.26) w ynika, iż sygnał w yjściow y d e te k to ra k o h e re n tn e g o z rys. 3.17b jest o k reślo n y w zorem : (3.27) R ó w n an ie (3.21) o k reśla w idm o sygnału zm o d u lo w an eg o s(t). B iorąc p o d uw agę, iż sygnał s(r) je st sygnałem pasm o w y m , sform ułujem y te ra z je g o opis w dziedzinie czasu z rozłożeniem n a sk ła d o w ą synfazow ą i sk ład o w ą k w a d ra tu ro w ą , z użyciem m eto d y opisanej w p u n k cie 2.12. W szczególności, w yrazim y s(i) w p o staci kanonicznej: s(r) = Sn(t)cos (2nfct ) —se (i) sin (2nfct)

(3.28)

gdzie S j ( t ) — sk ład o w a synfazow a sygnału s(t), a sQ(t) — sk ła d o w a k w a d ra tu ro w a . P rzy w yznaczaniu składow ej S j ( t ) zau w ażm y , iż jej tra n sfo rm a ta F o u rie ra je st zw iązan a z tra n sfo r­ m a tą F o u rie ra całego sy g n ału s(f) w sp o só b n astęp u jący (zobacz zad a n ie 2.29):

(3.29) P o d staw iając ró w n a n ie (3.21) d o (3.29) o trzy m u jem y tra n sfo rm a tę F o u rie ra składow ej s,(t) w postaci:

S.if) = “ 4 A * ( / ) [ / / ( / - / c) + H {f+ fe)l (3.30) = ~ A cM ( f ) , - W ^ f < W gdzie w d ru g im w ierszu w y k o rzy stan o w a ru n e k (3.26) n ało żo n y n a tra n sm ita n c ję H{f ) . Z ró w n a n ia (3.30) otrzy m u jem y , iż sk ład o w a synfazow a zm o d u lo w an eg o sy gnału s(f) jest o k re ślo n a w zorem : (3.31) R óżni się o n a o d o ry g in aln eg o sy g n ału in form acyjnego m( t ) jed y n ie o stały w spółczynnik skali.

3.5. F I L T R A C J A W S T Ę G

147

P rzy w y zn aczan iu składow ej k w a d ra tu ro w e j sQ(i) sy gnału s{t) zauw ażm y, iż jej tra n sfo rm a ta F o u rie ra je st zw iązan a z tra n sfo rm a tą F o u rie ra całego sy gnału s(f) w sp o só b n astęp u jący (zo b acz za d a n ie 2.29):

gdzie indziej

(3.32)

P o d staw iają c ró w n a n ie (3.21) d o (3.32) otrzym ujem y:

S Qi f ) = 4 ^ M ( / ) [ H ( / - / C) - H ( / + / C)]

(3.33)

R ów nanie to sugeruje, iż m o ż n a w y g en erow ać sk ład o w ą sG(f), za w yjątkiem czy n n ik a skalującego, p rzep u szczając sy g n ał in fo rm acy jn y m(t) p rzez d o d a tk o w y filtr o tran sm itan cji zw iązanej z tra n sm ita n c ją filtru z rys. 3.17a w sp o só b następujący: (3.34) N iech m '(r) o zn acza o d p o w ied ź teg o filtru n a w ym uszenie m(r). S k ład o w a k w a d ra tu ro w a sygnału s(t) w yrazi się w ów czas zależnością:

(3.35) P o d sta w ia ją c ró w n a n ia (3.35) i (3.35) d o (3.28) o trzy m u jem y n a stę p u ją c ą k an o n ic z ­ ną form ę sy g n ału s(f):

(3.36) R ów nanie (3.36) p o zw ała, z d o k ła d n o śc ią d o w sp ó łczy n n ik a sk alu jąceg o 1/2, n a utw orzenie układu o schem acie b lo k o w y m z rys. 3.18, będącego p rzy k ład em z a sto so w a n ia m etody dyskrym inacjifazy d la generacji fali m o d u lo w an ej s{t). W zw iązku z tym należy zau w aży ć dw a istotne fakty: 1. S kłado w a synfazow a s,(r) je st zu p ełn ie niezależna o d p o staci tra n sm ita n c ji H ( f ) fiłtru śro d k o w o p rzep u sto w eg o u k ła d u z rys. 3.17a g en eru jąceg o falę m o d u lo w a n ą s(i), d o p ó k i spełnia o n w aru n ek o k re ślo n y ró w n a n iem (3.26). 2 M o d y fik acja w id m a d o k o n y w a n a p rzez u k ła d o tran sm itan cji H { f ) o g ra n ic z a się jed y n ie do składow ej k w a d ra tu ro w e j se (t). Rola składow ej k w a d ra tu ro w e j p o leg a jed y n ie n a takiej interferencji ze sk ład o w ą synfazow ą, aby zre d u k o w a ć lu b w yelim inow ać, zależnie o d k o n k re tn e g o zasto so w an ia, m o c je d n ej ze wstęg boczn y ch sy g n ału z m o d u lo w a n eg o s(t). P rz e d sta w io n e d o tą d ro zw ażan ia n o szą c h a ra k te r ogólny. W n a stęp n y ch dw u p u n k tach ro z p a trz y m y generację sygnałów z m o d u lo w an y ch VSB i SSB, ja k o szczególnych przypadków sy g n ału s(t) zdefiniow anego ró w n an iem (3.36).

10*

148

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

Fala zmodulowana

s(t)

Rys. 3.18. Schemat blokowy metod dyskryminacji fazy dla przetwarzania wstęg bocznych

3 .6 .

M o d u lacja z częściow o stłum ioną w stęg ą boczną4)

Z a k ła d a ją c , iż chcem y w ygenerow ać sygnał z m o d u lo w an y z częściowo stłum ioną wstęgą boczną (VSB), zaw ierający p o zo stało ść dolnej w stęgi stw ierdzam y, że ró w n an ie (3.26) jest spełnione w p rz y p a d k u z a sto so w a n ia filtru śro d k o w o p rzep u sto w eg o o tra n sm ita n c ji H ( f ) p okazan ej n a ry su n k u 3.19, gdzie d la p ro s to ty zilu stro w a n o jed y n ie c h a ra k te ry sty k ę am p litu d o w ą d la d o d a tn ic h częstotliw ości. Jest o n a ta k zn o rm alizo w an a , a b y \H (J)\ była ró w n a 1/2 d la częstotliw ości fali nośnej / . W a rto zauw ażyć, iż n a ra sta ją c e zbocze c h arak te ry sty k i w zakresie odcięcia m a w o to czen iu częstotliw ości nośnej / sym etrię nieparzystą. In n y m i słow y, w ew n ątrz p rzed ziału przejściow ego / —f , < | / | < / + / , sum a w arto ści \ H( f ) \ , d la d o w o ln y ch d w u ró w n o o d d a lo n y c h częstotliw ości leżących o d p o w ied n io pow yżej i poniżej / , je st ró w n a jed n o ści; / je st szero k o ścią częściow o stłu m io n ej wstęgi bocznej. Z au w a żm y tak że, iż zew n ątrz interesującego n a s z a k re su częstotliw ości (tzn. l/l > / + MO* tra n sm ita n c ja H { f ) m oże m ieć d o w o ln y c h a ra k te r. O d p o w ie d n ia c h a ra k te ry sty k a d la filtru w y tw arzająceg o sk ład o w ą k w a d ra tu ro w ą zm o d u lo w an eg o sy g n ału VSB, zg o d n ie z ró w n an iem (3.34), p rze d sta w io n a z o sta ła na rys. 3.20. R y su n k i 3.19 o ra z 3.20 o d n o sz ą się d o z m o d u lo w an eg o sygnału VSB zaw ierającego p o zo stało ść do ln ej wstęgi bocznej. W p rz y p a d k u zm o d u lo w an eg o sygnału VSB zaw ierające­ go p o z o sta ło ść górnej w stęgi, w yniki są p o d o b n e z następ u jący m i różnicam i: g ó rn e zbocze c h a ra k te ry sty k i H { f ) m usi m ieć w o b szarze tłu m ien ia, w o to czen iu częstotliw ości n o ś n e j/., sym etrię n iep arzy stą, a przebieg tej c h a ra k te ry sty k i w dolnej p a rtii je st dow olny. S tan o w i to

3.6. M O D U L A C J A Z C Z Ę Ś C I O W O S T Ł U M I O N Ą W S T Ę G Ą B O C Z N Ą

149

Rys. 3.19. C h arak tery sty k a am plitud ow a filtru VSB; p o k az an o tylko częstotliwości dodatnie

Rys. 3.20 C haraktery styka am plitu dow a filtru służącego d o w ytw arzania składowej kw adraturow ej fali VSB

efekt z a stą p ie n ia z n a k u m in u s w węźle su m acyjnym zn ajd u jący m się n a w yjściu u k ła d u z rys. 3.18 przez zn ak plus.

Sygnały te le w iz y jn e R ozw ażania n a te m a t m o d u lacji z częściow o stłu m io n ą w stęgą b o czn ą byłyby niekom pletne bez w zm ianki n a te m a t jej roli w telew izji5*. D o k ła d n e d a n e dotyczące fo rm atu m o d u lacji używanej przy tran sm isji sygnałów w ideo, c h arak te ry zu jące system T V zależą o d dw u czynników: 1. Sygnał w ideo cechuje d u ż a szero k o ść p asm a i zn acząca ro la sk ładow ych o m ałych częstotliw ościach, co su g eru je zasto so w an ie m o d u lacji z częściow o stłu m io n ą w stęgą. 2. U k ład y elek tro n iczn e sto so w an e przy d em o d u lacji sy gnału w o d b io rn ik u p o w in n y być p ro ste i d la te g o tanie; sugeruje to z kolei zasto so w an ie detekcji obw iedni, d o czego w ym agane je s t d o d a n ie fali nośnej d o fali zm o d u lo w an ej VSB. W o d n iesien iu d o p u n k tu 1 należy je d n a k p odkreślić, iż choć p o d staw o w y m dążeniem je st zac h o w an ie p asm a o zad an ej szerokości, w k om ercyjnych system ach TV przesyłany sy g n ał n ie jest d o k ła d n ie sygnałem zm o d u lo w an y m w system ie VSB. P o w ó d bierze się stą d , iż m o ce w ysyłane p rzez n a d a jn ik są b a rd z o w ielkie, a zatem sta ra n n e filtrow anie w stęg b o czn y ch byłoby zb y t kosztow ne. Z a m ia st tego f i l t r V S B um ieszcza

150

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

się w o d b io rn ik u , gdzie p o zio m m ocy jest niski. Ja k o ść całego system u je st ta k a sam a, ja k w p rz y p a d k u k o n w en cjo n aln ej m o d u lacji z częściow o stłu m io n ą falą n o śn ą, za w yjątkiem pew nej d o d a tk o w o traco n ej m ocy i p asm a. U w agi te zilu stro w an e zo stały n a rys. 3.21. W szczególności, n a rys. 3.2l a p o k a z a n o w yidealizow ane w id m o tra n sm ito w a n e g o sygnału TV . P rzesy łan a jest g ó rn a w stęga boczna, 25 p ro c e n t w stęgi dolnej o ra z fala n o śn a wizji. C h a ra k te ry sty k ę częstotliw ościow ą filtru VSB k ształtu jąceg o w idm o, zn ajd u jąceg o się w o d b io rn ik u , p o k a z a n o n a rys. 3.2lb . S zerokość k a n a łu T V sto so w a n a w A m eryce P ó łn o cn ej w ynosi 6 M H z, ja k to zazn aczo n o n a rys. 3.2lb . P a sm o to nie ty lk o spełnia w y m ag an ia zw iązane z tran sm isją zm o d u lo w an eg o sygnału wizji w system ie VSB, lecz pozw ala n a przesyłanie sygnału fonii, m o d u lu jąceg o sw ą w łasn ą falę n o śn ą. W arto ści p o d a n e n a osi częstotliw ości (rys. 3.21a, b) o d n o sz ą się d o ty p o w eg o k a n a łu TV . Z g o d n ie z tym i ry su n k am i, częstotliw ość n o śn a wizji w ynosi 55,25 M H z, a częstotliw ość n o śn a fonii 59,75 M H z. Z au w ażm y je d n a k , że in fo rm acja z a w a rta w k a n a le T V leży w widmie pasma podstawowego ro z­ ciągającego się o d w arto ści 1,25 M H z poniżej częstotliw ości nośnej wizji, d o w artości 4,5 M H z pow yżej tej częstotliw ości.

a

= 2 3 « £ 2 .25 3

oi-o = >* O F" O) E

co 2 ■o 3 £ to o

so ICO ?C c "O ' ę CO O < c c

foni

WIZJI

Nośna

Nośna

fonii ca co c

tu 5 o

V (O 2 E ca 5

Pasmo kanału 6 MHz

Rys. 3.21. a) W yidealizowane w idm o am p litu d y nadaw anego sygnału TV, b) charakterystyka am plitu dow a filtru kształtującego VSB, znajdującego się w o dbiorniku

3.7. M O D U L A C J A J E D N O W S T Ę G O W A

151

O d n o śn ie p u n k tu 2, zasto so w an ie detekcji obw iedni (w sto su n k u d o fali z m o d u lo ­ w anej w system ie V SB plu s fala n o śn a) w yw ołuje zniekształcenia sy gnału w ideo odzys­ kiw anego n a w yjściu d e te k to ra . Z n iek ształcen ia te w yw oływ ane są za przyczyną składow ej k w ad ratu ro w ej zm o d u lo w an ej fali VSB, w sp o só b p rze d sta w io n y dalej.

Zniekształcenia sygnału info rm acyjn eg o U żyw ając w y rażen ia (3.36), z a d a n e g o w p o staci czasow ej, m o żn a określić zniekształcenia przebiegu sy g n ału inform acyjnego, p o w stające w d e te k to rz e obw iedni. D o d a n ie d o tego w yrażenia sk ła d n ik a o d p o w iad a jąc e g o fali nośnej /lf cos(27t/f r) p o m n o żo n eg o przez w spół­ czynnik ka p o w o d u je, iż zm o d y fik o w an y sy gnał p o d a w a n y n a wejście d e te k to ra o b w ied n i m a postać: ■s(i) = 'ł f [ 1 + y

m (/)] cos (2 Jt/Ct ) —^ - k aA cm' (t)sin (2 n fct)

(3.37)

gdzie sta ła ka o k re śla g łęb o k o ść m odulacji. N a w yjściu d e te k to ra obw iedni pow staje sygnał a(r) o p isan y n astęp u jący m w yrażeniem : -i r 1/2 a(t) = A c

1 + j k am( t )

+

j k am'(t)

1/2

j k am(t)

1+

(3.38)

Z ró w n a n ia (3.38) w idać, iż za zn iek ształcen ia o d p o w ied zialn y jest czynnik m '(t), p o w o d u jący pojaw ienie się składow ej k w a d ra tu ro w e j zm o d u lo w an eg o sy gnału VSB. Z n iek ształcen ia te m ogą zo stać z re d u k o w a n e d w o m a sposobam i: • P o p rzez zm niejszenie głębokości m o d u lacji określonej w spółczynnikiem ka. • P o p rzez zw iększenie szerokości częściow o stłum ionej w stęgi bocznej, co zm niejsza sk ład o w ą ka. O bie te m eto d y są w p ra k ty c e używ ane. W telewizji kom ercyjnej, szero k o ść częściow o stłum ionej w stęgi bocznej (w ynosząca o k o ło 0,75 M H z, co o d p o w ia d a jed n ej szóstej całego pasm a) u sta la się tak , ab y zn iek ształcen ia sp o w o d o w a n e przez sk ład o w ą m'(t) m ieściły się w dopuszczaln y ch g ran icac h , gdy g łęb o k ość m o d u lacji w ynosi praw ie 100 procent.

3 .7 .

M o d u la c ja je d n o w s tę g o w a

R ozpatrzm y z kolei w y tw arzan ie sygnału zm o d u lo w an eg o SSB, zaw ierającego jed y n ie g ó rn ą wstęgę boczn ą. Z p ra k ty cz n e g o p u n k tu w idzenia, przy generacji tego sy gnału najbardziej surow e w y m ag an ia d o ty c z ą elim inow anej wstęgi bocznej. Jej najbliższa sk ład o w a często t­ liwość o d d a lo n a je st o d p o żąd an ej w stęgi górnej o d w u k ro tn ą w a rto ść najniższej często tliw o ­ ści sygnału in fo rm acy jn eg o (m odulującego). J a k stą d w ynika, ab y m ożliw e było w ytw orzenie zm o d u lo w an eg o sy g n ału SSB, w id m o sy gnału in form acyjnego p o w in n o m ieć lu k ę e n e r­ getyczną w o k ó ł częstotliw ości zerow ej, ja k n a rys. 3.22. W a ru n e k ten spełniony jest w sp o só b n a tu ra ln y w p rz y p a d k u sygnałów m ow y, d la k tó ry c h p o d a n a lu k a energ ety czn a m a szerokość o k o ło 600 H z (tzn. rozciąga się o d — 300 d o + 300 Hz). M o ż n a w ów czas w ytw orzyć

152

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

górnow stęgow y sy g n ał SSB za p o m o c ą filtru śro d k o w o p rzep u sto w eg o , k tó re g o c h a ra k te ry s­ ty k a a m p litu d o w a w sp o só b idealny d o p a so w a n a jest d o częstotliw ości nośnej f c, ja k p o k a z a n o n a rys. 3.23a. P rz y m u ją c w id m o sygnału inform acyjnego ja k n a rys. 3.22, o trzy m am y o d p o w iad a jąc e m u w idm o sy gnału SSB p rzed staw io n e na rys. 3.23b. P ro je k tu ją c filtr śro d k o w o p rz e p u sto w y d la u k ła d u generującego sygnał SSB o schem acie b lo k o w y m ja k n a rys. 3.17a, m usim y spełnić trzy p o d staw o w e w ym agania:

—

H

h— Luka energetyczna

Rys. 3.22. Widmo sygnału informacyjnego m(t) z luką energetyczną wokół środka układu współrzędnych

Rys. 3.23. a) Wyidealizowana charakterystyka amplitudowa filtru środkowoprzepustowego. b) widmo sygnału SSB z górną wstęgą boczną

153

3.7. M O D U L A C J A J E D N O W S T Ę G O W A

4 , cos (ŻTr/jf)

A 2 cos [ 2 n f 7 t)

Rys. 3.24. S chem at blokow y dw ustopniow ego m o d u la to ra SSB

• P o ż ą d a n a w stęga b o c z n a leży w ew n ątrz p a sm a p rzep u sto w eg o filtru. • E lim in o w an a w stęga b o czn a leży w ew n ątrz p asm a zap o ro w eg o teg o filtru. • Z ak res przejściow y, o ddzielający p a sm o p rzep u sto w e od p a sm a zap o ro w eg o , je st d w a razy większy o d najniższej częstotliw ości sygnału m o d u lu jąceg o . T en rodzaj w y m ag ań n ało żo n y c h n a c h a ra k te ry sty k ę w ym aga sto so w a n ia filtrów o dużej selektyw ności, realizo w aln y ch w p ra k ty c e jed y n ie za p o m o cą re z o n a to ró w k w arco w y ch 6’. W p rz y p a d k u konieczn o ści w y g en ero w an ia sy gnału SSB zajm u jąceg o o wiele wyższe p a sm o częstotliw ości, n iż sy g n ał z p asm a p o d staw o w eg o (np. przy przeniesieniu sygnału m o w y d o rad io w eg o p a sm a w ielkich częstotliw ości), o d p o w ied n i filtr staje się niezw ykle tru d n y d o z a p ro je k to w a n ia ze w zględu n a n iem ożność w ydzielenia p o żą d a n e g o p asm a w p ro sty m u k ład zie z rys. 3.17a. W tej sytuacji n iezbędne staje się przejście d o m eto d y m o d u lacji w ielo k ro tn ej, co łagodzi w y m ag an ia o d n o śn ie selektyw ności s to ­ sow anych filtrów . P odejście takie, z zasto so w an iem m o d u lacji d w u sto p n io w ej, p rz e d ­ staw io n o n a schem acie z rys. 3.24. S ygnał SSB s ^ f) o trzy m y w an y n a w yjściu pierw szego filtru śro d k o w o p rz ep u sto w eg o służy ja k o sygnał m o d u lu jący d ru g ieg o m o d u la to ra ilo­ czynow ego w y tw arzająceg o sygnał D S B -S C o w idm ie sym etrycznie ro złożonym w okół drugiej częstotliw ości nośnej f 2. O d s tę p częstotliw ości p o m iędzy w stęgam i bocznym i tego sygnału D S B -S C w ynosi efektyw nie tyle, co p o d w o jo n a w arto ść pierw szej częstotliw ości nośnej / „ co czyni w zględnie p ro sty m usunięcie n iep o żąd an ej w stęgi bocznej za p o m o cą drugiego filtru śro d k o w o p rz ep u sto w eg o i w ygenerow anie tym sam ym sy gnału SSB s 2(t).

Opis czasow y zm o d u lo w an eg o sygnału SSB Z ajm iem y się o b ecn ie o p isem zm o d u lo w an eg o sygnału SSB s(t) w dziedzinie czasu. R o z p a tru ją c w y id ealizo w an ą c h a ra k te ry sty k ę częstotliw ościow ą H { f ) ja k na rys. 3.23a, z ró w n a n ia (3.34) o trzy m u jem y c h a ra k te ry sty k ę H Q( f ) o d p o w ied zialn ą za generację sk ła d o ­ wej k w ad ratu ro w ej sQ(i), ja k n a rys. 3.25. U żyw ając definicji funkcji signum s g n (f), na p o d staw ie rys. 3.25 o trzy m u jem y w yrażenie: H q (J) = —js g n ( / )

(3.39)

k tó re ro zp o zn ajem y ja k o tran sm itan c ję tra n sfo rm a to ra H ilb e rta (zobacz p u n k t 2.10). In n y m i słow y, fu n k cja m '(t) w ró w n a n iu (3.36) je st d o k ła d n ie transform atą H ilberta oryginalnego sygnału in fo rm acy jn eg o m(i). O zn a czając tę tra n sfo rm a tę H ilb e rta p rzez m(r), m ożem y w sp o só b fo rm aln y o p isać zm o d u lo w an y sy gnał SSB, zaw ierający ty lk o g ó rn ą w stęgę boczną, w następującej postaci: s(t) = j A cm (t)cos(2nfct ) - ~ A cm (t)sm (2 n fct)

(3.40)

154

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

Rys. 3.25. Charakterystyka amplitudowo-fazowa filtru kwadraturowego dla modulacji jednowstęgowej z górną wstęgą boczną o znacza to, iż filtr o d p o w ied zialn y z a generację składow ej k w ad ratu ro w ej sy gnału s(t) w m o d u la to rze z rys. 3.18 stan o w i tra n s fo rm a to r H ilb erta. W p rz y p a d k u , gdy chcem y w ygenerow ać zm o d u lo w an y sy g n ał SSB, zaw ierający jed y n ie d o ln ą w stęgę boczną, w ystarczy zastąp ić zn ak m in u s w węźle su m acy jn ym na w yjściu u k ła d u z rys. 3.18 zn ak iem plus. M o d u la to r SSB o p a rty n a schem acie b lo k o w y m ja k n a rys. 3.18, w sp o só b tu opisany, nazyw any je st modulatorem H artleya.

D em odulacja sy g n a łó w SSB Z d em o d u lo w an y sy g n ał n0 (f) o k reślo n y ró w n an iem (3.27) uzyskiw any je st przy założeniu idealnego sy n ch ro n izm u fazow ego i a m p litu d o w eg o m iędzy oscylatorem d e te k to ra k o h e re n ­ tnego z rys. 3.17b i o scy lato rem zn ajd u jący m się w m o d u la to rz e z rys. 3.17a. M o ż n a to zapew nić d w o m a sposobam i: • P rzesyłając p ilo tu jący sy g n ał n o śn y o p ró c z w ybranej w stęgi lub • stosu jąc w o d b io rn ik u w y so k o stab iln y o sc y la to r n a stro jo n y n a tę sam ą częstotliw ość co fala nośna. W tej drugiej m etodzie, nie d o u n ik n ięcia je st pew ien błąd f a z y (f>sygnału o sc y la to ra lo kalnego w sto su n k u d o fali nośnej użytej d o generacji o d b ieran ej fali zm o d u lo w an ej s(r). Z ap isu jąc sygnał o sc y la to ra lo k a ln eg o przez A'ccos(2itfet + ) o trzy m u jem y po p ro sty ch p rzek ształ­ ceniach sy g n ał z d em o d u lo w an y (dla p rz y p a d k u , gdy przesyłam y w stęgę g ó rn ą) o postaci: vo(t) = - ^ A cA'[m{t)cos
(3.41)

W o d ró żn ien iu o d w yidealizow anego p ro cesu detekcji k o h eren tn ej o p isan eg o rów naniem (3.27), sy g n ał z d e m o d u lo w a n y v j t ) z ró w n a n ia (3.41) zaw iera n ie p o ż ą d a n ą sk ład o w ą p ro p o rc jo n a ln ą d o m(t)sin, k tó rej nie m o ż n a u su n ąć p o p rzez filtrację. T a n ie p o żąd an a sk ład o w a p o jaw ia się ja k o zniekształcenie fazowe. A by to p o k azać, d o k o n u je m y tra n sfo r­ m acji F o u rie ra p rzeb ieg u v j t ) z ró w n a n ia (3.41) i otrzym ujem y: K (t) = j A cA '[M (/)co s(/> + M { f ) sin]

(3.42)

N a p o d staw ie definicji tran sfo rm a ty H ilb e rta m(r) w iem y, iż tra n sfo rm a ta F o u rie ra sygnału m(t) zw iązan a je s t z tra n sfo rm a tą F o u rie ra sygnału ory g in aln eg o m(t) zależnością

155

3.8. P R Z E S U W C Z Ę S T O T L I W O Ś C I

M ( f ) = —j s g n ( f ) M ( f )

(3.43)

P o d sta w ia ją c ró w n a n ie (3.43) d o (3.42) p o pew nych u p ro szczen iach uzyskujem y zależność:

;

j A cA'cM(f)Qxę{-)\

/> 0

1

(3.44)

- , 4 c/i;M (./jexp(jtf>),

/< 0

Błąd fazy (f> sy g n ału w yjściow ego o sc y la to ra lo k aln eg o p o w o d u je zatem zniekształcenia fa zo w e po leg ające n a ty m , iż k a ż d a sk ład o w a o ry g in aln eg o sygnału in form acyjnego m (t) d o zn aje w tra k c ie d em o d u lacji w o d b io rn ik u stałego przesunięcia fazow ego o a rg u m e n t (f>. T e zniekształcenia fazow e m o g ą być d o p u szczaln e w p rz y p a d k u k o m u n ik acji głosow ej, gdyż ucho ludzkie jest w zględnie niew rażliw e n a zn iek ształcen ia fazow e; obecn o ść ty ch zn iek ształ­ ceń fazow ych d a je w o d b io rn ik u tzw. „efekt k a c z o ra D o n a ld a ” . N a to m ia st przy transm isji m uzyki i sygnałów w ideo, o b ecn o ść zniekształceń fazow ych w p o staci stałej różnicy faz jest stan o w czo nied o p u szczaln a.

3 .8 .

Przesuw częstotliwości

P o d sta w o w a o p e ra c ja z w ią z an a z m o d u la c ją jed n o w stęg o w ą je st w istocie je d n ą z p o staci przesuwu częstotliwości i d lateg o m o d u la c ja jed n o w stęg o w ą z n a n a jest rów nież p o d nazw ą przemiana częstotliwości, mieszanie lu b heterodynowanie. O p e ra c ję tę d o b rz e ilu stru je w idm o sygnału p o k a z a n e n a rys. 3.23b w p o ró w n a n iu z w idm em sy gnału ory g in aln eg o z rys. 3.22. W szczególności, w id m o sy g n ału in fo rm acyjnego zajm ujące n a rys. 3.22 p a sm o o d / a d o f b d la częstotliw ości d o d a tn ic h , jest n a rys. 3.23b przesu n ięte d o w yższych częstotliw ości o w arto ść częstotliw ości nośnej f c; w idm o sygnału in form acyjnego d la częstotliw ości ujem nych uległo sym etrycznem u p rzesunięciu w dół. O p is a n ą ju ż k o n cep cję p rze su w an ia częstotliw ości m o żn a u o g ó ln ić w n astęp u jący sposób. P rzyjm ijm y, iż fala z m o d u lo w a n a s Ł(i) m a w idm o ro zło żo n e sym etrycznie w zględem częstotliw ości nośnej f x, a w y m ag an e jest przesunięcie teg o w id m a w g ó rę tak , ab y n o w a w arto ść częstotliw ości nośnej w y n o s iła /2. A by to u zyskać sto su je się m ieszacz p o k a z a n y na rys. 3.26, p o d o b n ie ja k n a schem acie b lo k o w y m z rys. 3.17a. M iesza cz ten jest u k ład em złożonym z m o d u la to ra iloczynow ego i filtru śro d k o w o p rzep u sto w eg o . F iltr je st tak zap ro jek to w an y , a b y szero k o ść je g o p a sm a p rzep u sto w eg o b y ła ró w n a szerokości p asm a zm o d u lo w an eg o sy g n ału Sj(i) w ystępującego n a wejściu m ieszacza. K luczow ym pro b lem em jest d o b ó r częstotliw ości o sc y la to ra lo k aln eg o d o łączo n eg o d o m o d u la to ra iloczynow ego. N iech f o zn acza tę częstotliw ość. Z p o w o d u przesu w u częstotliw ości d o k o n y w a n e g o przez m ieszacz, częstotliw ość n o ś n a / , p rzy ch o d ząceg o sy gnału zm o d u lo w an eg o zo staje zm ien io n a o w arto ść ró w n ą f ; m am y zatem :

Fala zmodulowana Si ( t ) o częstotliwości nośnej f i

¿¿cos Rys. 3.26. Schemat blokowy mieszacza

156

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

f 2 ~ fi + f W yznaczając stąd f uzyskujem y: f = f 2- f i W relacji tej zało żo n o , ż e / 2 > / , i w ów czas częstotliw ość n o śn a zo staje podw yższona. Jeśli n a to m ia st / , > j 2, częstotliw ość n o śn a zo staje obniżona, a o d p o w ie d n ia częstotliw ość o scy lato ra lo k aln eg o wynosi: f= fi~ f2 W a rto zauw ażyć, iż m ieszanie je st o p e ra c ją liniow ą. W zw iązku z tym położenie wstęg bocznych w zględem częstotliw ości nośnej sygnału n a w yjściu m ieszacza jest tak ie sam o, ja k d la jeg o sy g n ału w ejściow ego.

3 .9 .

Zw ielo kro tn ian ie i m nożenie częstotliw ości^

In n y m w ażnym procesem p rz e tw a rz a n ia sygnałów je st zwielokrotnianie, przy k tó ry m za p o m o cą pew nej liczby sygnałów niezależnych uzyskuje się sygnał złożony, um ożliw iający transm isję przez w spólny k a n a ł k o m u n ik acy jn y . C zęstotliw ości ak u sty czn e przesyłane przez k an ały telefoniczne o b ejm u ją p rzy k ła d o w o zak res o d 300 d o 3100 Hz. A by p rzesłać pew ną liczbę takich sygnałów p o p rze z te n sam k a n a ł należy je ta k rozdzielić, a b y ze so b ą w zajem nie m e interferow ały, a więc by m ogły zo stać ro zd zielo n e p o stro n ie odbiorczej. W tym celu stosuje się sep arację sygnałów w częstotliw ości a lb o w czasie. M e to d a częstotliw ościow ej separacji sygnałów nazyw a się zwielokrotnianiem częstotliw ościow ym (F D M ), a m e to d a separacji sygnałów w czasie no si nazw ę zwielokrotniania czasow ego (T D M ). W tym punkcie zajm iem y się system am i F D M , a system y T D M ro z p a trz m y w rozdziale 6. S chem at b lo k o w y system u F D M p o k a z a n o n a rys. 3.27. O przychodzących sygnałach inform acyjnych z a k ła d a się, iż są ty p u d o ln o p asm o w eg o , lecz ich w idm a niekoniecznie p rzy b ierają w arto ści niezerow e aż d o częstotliw ości rów nej zeru. N a każdym wejściu sygnałow ym zn ajd u je się filtr d o ln o p rz e p u sto w y służący d o u su w an ia sk ładow ych w ielkoczęstotliw ościow ych nie odgryw ających isto tn ej roli w rep rezen tacji sygnału, lecz zdolnych d o z a k łó c a n ia p o zo stały ch sygnałów inform acyjnych przesyłanych we w spólnym kanale. Te filtry d o ln o p rz ep u sto w e m o g ą być p o m in ięte ty lk o w p rzy p a d k u , gdy sygnały wejściowe m a ją d o stateczn ie o g ran iczo n e w idm a. O d filtro w an e sygnały z o sta ją p o d a n e na w ejścia m o d u la to ró w p rzesu w ający ch ich w idm a w ta k i sp o só b , aby w zajem nie n a siebie nie zachodziły. Sygnały n o śn e o o d p o w ied n ich częstotliw ościach, niezbędne d o u zy sk an ia p raw id ło w eg o p rzesu n ięcia w idm , uzyskiw ane są za p o m o cą g en erato ra. Jeśli chodzi o m o d u lację, to m o ż n a użyć jed n ej z m e to d o p isan y ch w p o p rzed n ich p u n k ta c h teg o ro zd ziału . Je d n a k najczęściej sto so w a n ą przy z w ie lo k ro tn ia n u m eto d ą m odulacji je st m o d u la c ja je d n o w stęgow a, przy k tó rej w p rz y p a d k u sygnałów m ow y w ym agane je st w przybliżeniu tak ie sam o p a sm o częstotliw ości, ja k d la oryginalnego sygnału akusty czn eg o . W p rak ty ce, k ażd em u sygnałow i w ejściow em u p rzy zn aw an e jest pasm o o szero k o ści 4 k H z. F iltry p asm o w e p o k ażd y m m o d u la to rz e m a ją n a celu ograniczenie p a sm a każdej z fal m o d u lo w an y ch d o z g ó ry o k reślo n eg o zakresu. Sygnały w yjściow e ty ch filtró w są p o łą cz o n e rów nolegle, tw o rzą c w spólny k an ał. P o stro n ie odbiorczej zn ajd u je się b a n k filtrów śro d k o w o p rzep u sto w y ch o w ejściach połączonych rów nolegle, służący d o częstotliw ościow ego rozdzielenia sygnałów inform acyjnych. O ry ­ ginalne sygnały inform acyjne o d zy sk iw an e są n astęp n ie za p o m o cą oddzielnych d e m o ­

157

3.9. Z W I E L O K R O T N I A N I E I M N O Ż E N I E C Z Ę S T O T L I W O Ś C I

Filtry dolnoprzepustowe Filtry Wejścia Modulatory środkowoinformacyjne przepustowe

Filtry dolnoFiltry przepustowe środkowo- Demodulatory Wyjścia przepustowe informacyjne

spólny anał

Generator częstotliwości nośnej

1

1 1 i1 1

Nadajnik

! I i1 I

Generator częstotliwości nośnej Odbiornik

Rys. 3.27. Schem at blokow y system u F D M

d u lato ró w . N ależy zauw ażyć, iż system F D M z rys. 3.27 d ziała ty lk o w je d n y m k ieru n k u . D la zapew nienia tran sm isji d w u stro n n e j, ja k to m a m iejsce n a p rzy k ład w telefonii, w y m ag an e jest podw ojenie całego system u zw ielo k ro tn iająceg o , przy czym poszczególne b lo k i drug iego system u, w k tó ry m tra n sm isja w szystkich sygnałów zach o d zi z p raw a n a lewo, w ystępują w p o rzą d k u o d w ró co n y m . P rzykład 2 P rak ty czn a realizacja system u F D M o b ejm u je zw ykle cały szereg kolejnych m o d u lacji i dem odulacji, ja k p rz e d sta w io n o n a rys. 3.28. Pierw szy e ta p z w ie lo k ro tn ia n ia łączy 12 wejść akustycznych w grupę pierw otną, w k tó re j n-ty sygnał w ejściow y m o d u lu je falę n o śn ą o często tliw o ści/,. = 6 0 + 4 « k H z , gdzie n — 1 ,2 ,..., 12. D o ln e w stęgi boczne są n astęp n ie selekcjonow ane za p o m o cą filtracji śro d k o w o p rzep u sto w ej i łączone w g ru p ę liczącą 12 dolnych w stęg b o czn y ch (po jed n ej d la k ażd eg o w ejścia akustycznego). G ru p a p ierw o tn a zajm uje w ięc p a sm o częstotliw ości 6 0 + 1 0 8 kH z. N astęp n y k ro k w h ierarch ii F D M stanow i łączenie p ią tk i g ru p p o d staw o w y ch w grupę wtórną. D o k o n u je się tego, m o d u lu ją c « -tą g ru p ą falę n o śn ą o często tliw o ścif c = 372 + 48« k H z, gdzie n = 1 ,2 ,...,5 . T u ta j ta k ż e selekcjonuje się dolne w stęgi b o czn e p o p rze z filtrację, a n astęp n ie łączy je w g ru p ę w tó rn ą zajm u jącą pasm o 312 + 552 k H z. G ru p a w tó rn a je st w ięc p rz y sto so w a n a d o p rzesy łan ia 60 niezależnych sygnałów ak u sty czn y ch . P o w o d em tw o rzen ia g ru p y w tó rn ej o p isan y m sp o so b em jest fak t, iż ekonom icznie u z a sa d n io n e jest sto so w an ie filtrów spełniających z a d a n e w y m ag an ia, jedynie dla o g ran iczo n ej szerokości pasm a. W p o d o b n y sp o só b , g ru p y w tó rn e łączy się w grupy trzeciego stopnia, a te z kolei w grupy czw artego stopnia.

158

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

Częstotliwości nośne grup (w kH z)

Częstotliwości nośne kanałów akustycznych (w k H z )

\

kH z

108

\612

104 100 96 92 88

84 80 76 72

Grupa wtórna licząca 5 grup pierwotnych

68

64

Kanał akustyczny

Grupa pierwotna 12 kanałów akustycznych

Rys. 3.28. Ilustracja poszczególnych etapów m odulacji w systemie F D M

3 .1 0 . M o d u lacja kąta W p o p rzed n ich p u n k ta c h tego ro zd z ia łu b ad aliśm y w pływ w olnych zm ian am p litu d y sinusoidalnej fali nośnej w ta k t sy g n ału z p a sm a p o d staw o w eg o (sygnału inform acyjnego). Istnieje także in n y sp o só b m o d u lacji sin u so id aln ej fali nośnej, a m ianow icie modulacja kąta, w k tó rej k ą t fali nośnej zm ien ian y je st w ta k t sygnału m odulującego. W tej m etodzie m o d u lacji u trzy m y w an a je s t sta ła a m p litu d a fali nośnej. W ażn ą cechą m o d u lacji k ą ta jest w iększa o d p o rn o ść n a szum y i interferencje, niż w p rz y p a d k u m o d u lacji am p litu d y . Ja k je d n a k pokażem y w ro zd ziale 5, ta p o p ra w a ja k o śc i o sią g a n a je st kosztem zw iększenia p asm a transm isji; inaczej, m o d u la c ja k ą ta p o zw ala n a p ra k ty c z n ą realizację w ym iany szerokości p a sm a n a polepszenie w łaściw ości szum ow ych. T a k i k o m p ro m is nie je st m ożliw y w p rz y p a d ­ k u m o d u lacji am plitudy.

D efin icje p o d s ta w o w e N iech 0,.(r) o zn acza k ą t zm o d u lo w an ej fali nośnej, będący z zało żen ia fu n k cją sygnału inform acyjnego. P rzy jm u jem y zatem fa lę zm odulow aną kątow o o postaci: s(f) = A cco sld ¡(tj]

(3 45)

gdzie A c a m p litu d a fali nośnej. W czasie pełnego o k resu a rg u m e n t OĄt) zm ienia się o 2n rad ian ó w . G d y 0,(i) zm ienia się m o n o to n ic z n ie w raz z czasem , śred n ia częstotliw ość liczona w hercach, d la p rzed ziału o d t do t + A t w ynosi:

159

3.10. M O D U L A C J A K Ą T A

,

^

fM

6,(1 + A i ) - 0 , ( O = 2nA,

(146)

D efiniujem y częstotliw ość chwilową sy g n ału z m o d u lo w an eg o k ą to w o s(/) w sp o só b n a ­ stępujący: m

=

A iW A i-0

(f + A i ) - 0

(3.47)

2nAt 1

0 0 ,(0

2it

di

Z atem , zgodnie z ró w n a n iem (3.45), m ożem y in te rp re to w a ć sygnał zm o d u lo w an y k ąto w o s (0 ja k o w iru jący w sk aż o długości A c i arg u m en cie 0,(t). P rę d k o ść k ą to w a tego w skazu m ierzo n a w ra d ia n a c h n a sek u n d ę w ynosi d 0 ,(i)/d t, zg o d n ie z ró w n an iem (3.47). W n ajp ro stszy m p rz y p a d k u n iezm o d u lo w an ej fali nośnej, k ą t 0 ,(0 wynosi: 0,(0 = 2 n fct + (f)c i odpow iedni w sk aż w iruje ze sta łą p ręd k o śc ią k ą to w ą ró w n ą 2n fc. S tała je st w arto ścią fazy chwilowej 0 ,(0 w chw ili t = 0. Istnieje n iesk ończenie w iele sp o so b ó w , n a k tó re k ą t 0 ,(0 m o że być zm ieniany w ta k t sygnału in fo rm acy jn eg o (m odulującego). R o zp atrzy m y je d n a k ty lk o dw ie, pow szechnie stosow an e m eto d y , m o d u lację fazy i m o d u lację częstotliw ości, zdefiniow ane n astęp u jąco : 1. M odulacja f a z y ( PM) je s t postacią modulacji kąta, p rzy której kąt 0 ,(0 zm ienia się liniowo wraz z sygnałem inform acyjnym m(t), zg o d n ie z zależnością:

0,(0 =

2 n f ct + k pm (t)

(3.48)

S k ład n ik 2 n fct rep rezen tu je k ą t niezmodulowanej fali nośnej; sta ła k p je st czułością fa zo w ą m o d u la to ra , w y ra ż o n ą w ra d ia n a c h n a w olt przy założeniu, iż sygnał m(t) jest napięciem . D la w ygody, w ró w n a n iu (3.48) p rzy jęto , iż faza n iezm o d u lo w an ej fali nośnej w ynosi zero przy i = 0. Z m o d u lo w a n y fazow o sy g n ał s (0 je st w dziedzinie czasu o p isan y rów naniem : s (0 = A ccos [2 jcf ct + k pm (tj]

(3.49)

2. M odulacja częstotliwości ( F M ) je s t postacią modulacji kąta, p rzy której częstotliw ość ch w ilo w a f(t) zmienia się liniowo wraz z sygnałem inform acyjnym m (t), zgodnie z zależnością: (3.50)

/ , ( 0 = / c + fc/ m (0

S k ład n ik f c rep rezen tu je częstotliw ość niezmodulowanej fali nośnej; sta ła k f jest czułością częstotliwościową m o d u la to ra , w y ra ż o n ą w h ercach n a w olt p rzy założeniu, iż sygnał m(t) jest napięciem . C a łk u ją c ró w n a n ie (3.50) w zględem czasu i m n o żąc w ynik p rzez 2n otrzym ujem y: t

0,(i) = 2itfct + 2 n k f j m (t)d t o

(3.51)

gdzie d la w ygody założyliśm y, iż k ą t n iezm o d u lo w an ej fali nośnej w ynosi zero d la i = 0. S ygnał z m o d u lo w a n y częstotliw ościow o je st w ięc w dziedzinie czasu o p isany rów naniem : t

s(t) = A eco& (2nfct + 2itkf $m( t ) dt ] o

(3.52)

Rys. 3.29. Przykłady sygnałów A M , P M i F M uzyskiwanych przy m odulacji pojedynczym tonem : a) fala nośna, b) sinusoidalny sygnał m odulujący, c) sygnał zm odulow any am plitudow o, d) sygnał zm odulow any fazowo, e) sygnał zm odulow any częstotliwościowo

3.10. M O D U L A C J A K Ą T A

161

K o nsekw encją tego, że k ą t 0,(r) zależy o d sygnału inform acyjnego m(f) w sposób opisany ró w n an iem (3.48) lub w p o staci całki z ró w n an ia (3.51) jest fakt, iż przejścia przez zero sygnału P M lu b sygnału F M nie m a ją ju ż idealnej regularności; przejścia przez zero m ają miejsce w chw ilach czasu, w których przebieg zm ienia zn ak od w artości ujem nych n a d o d atn ie lub vice versa. Jest to je d n a z cech o d ró żn iający ch sygnały P M i F M o d sygnału A M . In n a w ażna cecha p o leg a n a tym , iż obw iednia sygnałów P M i AM jest sta ła (rów na am plitudzie fali nośnej), podczas gdy obw iednia sygnału A M zależy o d sygnału inform acyjnego. P o d a n e ró żn ice p o m ięd zy sy g n ałam i zm o d u lo w an y m i a m p litu d o w o , a sygnałam i zm o d u lo w an y m i k ą to w o , d la p rz y p a d k u m o d u lacji sin u so id aln ej, zilu stro w a n o n a rys. 3.29. N a rys. 3.29a i 3.29b p o k a z a n o o d p o w ied n io sin u so id aln ą falę n o śn ą i sin u so id aln ą falę m o d u lącą. N a ry su n k ac h 3.29c, d, e p rz e d sta w io n o o d p o w ied n io sygnały A M , P M i F M . Ja k w ynika z tych ry su n k ó w , ro z ró żn ien ia p o m iędzy sy g n ałam i zm o d u lo w an y m i P M i F M d o k o n a ć m o ż n a je d y n ie p o ich p o ró w n a n iu z sygnałem m o d u lu jący m . W sk azu je to na bliskie pokrew ieństw o sygnałów P M i F M . C o więcej, p o ró w n a n ie w zo ró w (3.49) i (3.52) u jaw n ia, iż sygnał F M m oże być f

ro zp atry w an y ja k o sy g n ał P M , w k tó ry m fala m o d u lu ją c a je st p o staci J m( t ) d t zam iast m(i). 0 O znacza to , iż sy g n ał F M m oże być g en ero w an y w ten sp o só b , iż najpierw całk u je się sygnał m(t), a n astęp n ie w y n ik zo staje użyty ja k o sygnał w ejściow y m o d u la to ra fazy, ja k n a rys. 3.30a. O d w ro tn ie , sy g n ał P M m o ż n a w y g enerow ać ta k , iż n ajp ierw ró żn iczk u je się sygnał m(t), a n astęp n ie w ynik zo staje użyty ja k o sygnał w ejściow y m o d u la to ra częstotliw ości, ja k na rys. 3.30b. M o ż n a w ięc w y d ed u k o w ać w szystkie w łaściw ości sygnałów P M , n a p o d staw ie odpow iednich w łaściw ości sygnałów F M i vice versa. Z tego w zględu sk o n cen tru jem y się dalej n a sy g n ałach F M . a Fala modulująca

Fala FM

A c cos (2tt f c t)

Fala modulująca

Układ różniczkujący

Modulator częstotliwości

Fala PM

A e cos (2 irfct) Rys. 33 0 . Ilustracja zw iązku między m odulacją częstotliwości a m odulacją fazy: a) schemai

blokow y generacji fali AM z użyciem m o d u la to ra fazy, b) schem at blokow y generacji fali PM z użyciem m o d u la to ra częstotliwości 11 S ystem y te le k o m u n ik a c y jn e cz. I

162

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

3 .1 1 . M o d u la c ja częstotliwości Sygnał F M s(t) zdefiniow any ró w n an iem (3.52) jest nieliniow ą fu n k cją m o d u lu jąceg o sygnału m(i), co czyni m o d u lację częstotliw ości nieliniowym procesem modulacyjnym . W rezultacie, inaczej niż d la m o d u lacji a m p litu d y , w idm o sy gnału F M nie jest w p ro sty sp o só b zw iązane z w idm em sygnału m o d u lu jąceg o ; jeg o a n a liz a jest znacznie tru d n iejsza, niż w p rz y p a d k u sygnału A M . J a k w ięc d o k o n a ć an alizy w idm ow ej sy gnału F M ? P ro p o n u je m y udzielić o d ­ pow iedzi n a to w ażne p y ta n ie w sp o só b em piryczny, p o stę p u ją c w sp o só b następujący: • R o zp atrzy m y m ożliw ie n ajp ro stszy p rzy p ad ek , a m ianow icie m o d u lację je d n o to n o w ą w w aru n k a c h , kiedy p o w staje w ąsk o p asm o w y sygnał F M . • N astęp n ie ro zp a trzy m y b ard ziej o g ó ln y p rzy p ad ek , d o ty czący ta k ż e m o d u lacji je d n y m to n em , lecz gdy sy g n ał F M je st szero k o p asm o w y . D alej ta k p o stę p u ją c d o ch o d zi się d o jeszcze b ardziej sk o m p lik o w an eg o p rz y p a d k u w ieloto n o w eg o sy g n ału F M 8). T ym nie będziem y się je d n a k zajm ow ać, gdyż naszym b ezp o śred n im celem jest u stalen ie em pirycznej zależności m iędzy p asm em tran sm isy jn y m sygnału F M , a pasm em sy g n ału inform acyjnego. Ja k dalej zobaczym y, d w u sto p n io w a an aliza w idm ow a z a p ro p o n o w a n a w cześniej zapew ni n am d o stateczn y w gląd w ro z p a try w a n e zjaw iska, a b y um ożliw ić ro zw iązan ie p o staw io n eg o p ro b lem u . W eźm y p o d uw agę sin u so id aln y sygnał m o d u lu jący d a n y zależnością: m(t) = A mc o s(2 n fmt)

(3.53)

C zęstotliw ość ch w ilow a o d p o w ied n ieg o sy gnału F M jest rów na:

Jiiti =/c + M m COS(2rc/mi) =

(3.54)

= fc + A /c o s (2 n fmt) gdzie: A/ = ks A

(3.55)

W ielkość A/ n az y w a n a je st dewiacją częstotliwości, b ęd ącą m ak sy m aln y m odchyleniem częstotliw ości chw ilow ej sy g n ału F M o d częstotliw ości n o śn e j/,. P o d sta w o w ą cechą sygnału F M jest w ięc p ro p o rc jo n a ln o ść dew iacji częstotliw ości A /d o am p litu d y sy gnału m o d u lu jącego i jej niezależność o d częstotliw ości teg o sygnału. Ja k w ynika z ró w n a n ia (3.54), k ą t 0,(t) sy gnału F M wynosi: 0 ,(0 = 2 7 iJ /(r)d f = 0 (3.56)

S to su n ek dew iacji częstotliw ości A / d o częstotliw ości m o d u lu jącej f m nosi nazw ę w skaźnika modulacji sy g n ału F M . O z n a c za ją c g o p rze z (i piszem y: (3.57) oraz: 0 ,(0 = 2 n fct + fi sin(2n f mt)

(3.58)

3.11. M O D U L A C J A C Z Ę S T O T L I W O Ś C I

163

Ja k w ynika z ró w n a n ia (3.58), w sensie fizycznym p a ra m e tr fi je st dew iacją fazy sy gnału F M , czyli m ak sy m aln y m odchyleniem k ą ta d^t ) o d w arto ści 2 n fct odn o szącej się d o p rz y p a d k u niezm odu lo w an ej fali nośnej; w skaźnik fi je st w ięc m ierzony w rad ian ach . S am sy g n ał F M m a postać: s(r) = A c co s \2%fc i + /? sin (2 it/mt)]

(3.59)

W zależności o d w arto śc i w sk aźn ik a m o d u lacji fi, m o żn a w yróżnić d w a ro d za je m odulacji częstotliw ości: • Wąskopasmowa m o d u la c ja F M , gdy fi jest m ałe w sto su n k u d o jed n eg o ra d ia n a . • Szerokopasm ow a m o d u la c ja F M , gdy fi je st duże w sto su n k u d o jed n eg o ra d ia n a . R o zp atrzy m y te ra z k o le jn o o b a w ym ienione p rzy p ad k i.

W ąskopasm ow a m odulacja często tliw o ści W eźm y p o d uw agę ró w n a n ie (3.59), o p isujące sygnał F M przy sin u so id aln y m sygnale m odulującym . D o k o n u ją c je g o rozw inięcia o trzy m u jem y wzór: s(i) = Accos(2ii/j)cos[i5sin(2T ę/mr)] — - X t sin ( 2 ^ . i n [ ^ m ( 2 t f j ) ]

(3-60)

Z ak ład ając, iż w skaźnik m o d u lacji fi je st m ały w sto su n k u d o je d n e g o ra d ia n a , m o żn a przyjąć n astęp u jące przybliżenia: c o s[/isin (2 jt/mr)] ^ 1 oraz: sin [0 s in (2 ji/mŁ)] a 0sin(2ic/mf) R ów nanie (3.60) u p raszcza się w ów czas d o postaci: s(t) as A ccos(2it/cf) —/M esin (2it/cr)sin (2Jt/mi)

(3.61)

R ów nanie (3.61) o p isu je p rz y b liżo n ą p o sta ć w ąsk o p asm o w eg o sy gnału F M , w ytw orzonego przy sin u so id aln y m sygnale m o d u lu jący m / l mcos(2rc/mf). P o zw ala o n a u tw o rzy ć schem at blokow y m o d u la to ra , p o k a z a n y n a rys. 3.31. W m o d u la to rz e tym , fala n o śn a /łccos(2jt/ff) sk iero w an a zo staje d w iem a d ro g am i. Je d n a z nich jest b ezp o śred n ia; d ru g a zaw iera układ przesuw ający fazę o —90 sto p n i o ra z m o d u la to r iloczynow y, d a ją c n a wyjściu zm o d u lo w an y sygnał D SB -SC . P o odjęciu o b u tych sygnałów , n a w yjściu całego u k ła d u pow staje w ąskopasm ow y sy g n ał F M , zaw ierający je d n a k pew ne zniekształcenia. Id ea ln y sy g n ał F M m a sta łą obw iednię, a d la p rz y p a d k u sin u so id aln eg o sygnału m odulującego o częstotliw ości f m, k ą t O^t) je st też sin u so id ą o tej sam ej częstotliw ości. Sygnał zm odulo w an y , w y tw o rz o n y p rzez m o d u la to r w ąsk o p asm o w y z rys. 3.31, ró żn i się je d n a k o d sygnału id ealnego w d w u isto tn y ch asp ek tach : 1. O b w ied n ia zaw iera resztkow ą m o d u lację a m p litu d y i d lateg o zm ienia się w czasie. 2. P rzy sin u so id aln ej fali m o d u lu jącej, k ą t 0,(i) zaw iera zniekształcenia harm oniczne w form ie trzeciej i czw artej h arm o n iczn ej częstotliw ości m o d u lu jącej f m. O g ran iczając je d n a k w skaźnik m o d u lacji d o w arto ści fi < 0,3 ra d ia n a , m o ż n a ograniczyć wpływ resztkow ej m o d u lacji A M i h arm o n iczn ej m o d u lacji P M d o d o p u szczaln eg o poziom u. P o w ra c a ją c d o ró w n a n ia (3.61), m ożem y je sp ro w ad zić d o postaci: s(t) as A ccos{2%fct ) + ^ f i A e {cos [ 2 n (fc + f j f ] - co s [2ti(fc- f j t ] } 11*

(3.62)

164

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

Fala m o d u lu ją ca

Modulator iloczynowy

W ąskopasm ow a fala FM

Fala nośna A c cos(2 nfct)

W ą s k o p a s m o w y m o d u la to r fazy

Rys. 3.31. Schem at blokow y jednej z m etod generacji w ąskopasm ow ego sygnału FM

P o d a n e w yrażenie je st nieco p o d o b n e d o o d p o w ied n ieg o w zoru definiującego sygnał A M , p o d an eg o w p rzy k ład zie 1, i m ająceg o n a stę p u ją c ą postać: 1 W O = ^ ccos(2jrycf) + — ¿i,4c{cos [2 rt(/f + / m)t] + cos [2 it(/c —/ m)f]}

(3.63)

gdzie n ~ g łęb o k o ść m o d u lacji sygnału A M . P o ró w n u ją c ró w n a n ia (3.62) i (3.63) w idzim y, iż w p rzy p a d k u m o d u lacji sin u so id aln ej, p o d staw o w a ró żn ica pom iędzy sygnałem A M i w ąsk o p asm o w y m sygnałem F M polega n a tym , iż z n a k składow ej różnicow ej w ą sk o p a s­ m ow ego sy g n ału F M je st ujem ny. W ąsk o p a sm o w y sygnał F M w ym aga więc w zasadzie takiej sam ej szerokości p a sm a (tzn. 2/m) ja k sygnał A M . M o żliw a je st też rep rez en ta cja w ąsk o p asm o w eg o sygnału F M za p o m o cą w ykresu w skazow ego p o k aza n eg o n a rys. 3.32a, gdzie w skaż fali nośnej p rzy jęto o fazie początkow ej rów nej zeru. Jak w idać, w y p ad k o w a w skazów o b u p rąż k ó w bocznych je st zaw sze p ro s to p a d ­ ła d o w skazu fali nośnej. Z tego p o w o d u , w skaż całego sy gnału w ąsk o p asm o w eg o F M m a w przybliżeniu ta k ą sa m ą am p litu d ę , ja k w skaż fali nośnej, lecz je st z n ią niezgodny w fazie. Jeśli p o ró w n a ć ten w ykres z w ykresem z rys. 3.32b rep rezen tu jący m sygnał A M zauw ażam y, iż w tym o sta tn im p rz y p a d k u w sk aż w y p adkow y rep rezen tu jący sygnał A M m a am p litu d ę ró żn ą od a m p litu d y fali n o śn ej, lecz je st z n ią zaw sze zg o d n y w fazie.

Szerokopasm ow a m odulacja często tliw o ści Z ajm iem y się te ra z w yznaczeniem w id m a sygnału F M zm o d u lo w an eg o pojedynczym tonem , o pisaneg o ró w n an iem (3.59) p rzy dow olnej w arto ści w sk aźn ik a m o d u lacji W ogólności, sygnał F M zm o d u lo w an y przebiegiem sin u so id aln y m je st sygnałem nieokresow ym , c h y b a że częstotliw ość n o ś n a /; jest c a łk o w itą w ielo k ro tn o ścią częstotliw ości m o d u lu jącej f m. A nalizę tak ieg o sy g n ału m o żn a je d n a k uprościć, sto su ją c zesp o lo n ą rep rezen tację sygnałów środkow opasm o w y ch , o p isa n ą w ro zd ziale 2. Z a k ła d a m y , iż częstotliw ość n o śn a f c jest d o stateczn ie d u ż a (w p o ró w n a n iu z szero k o ścią p a sm a sygnału F M ), ab y zap isać ró w n an ie (3.59) w postaci: s(r) = R e [A cexp(j27ę/;r + j^ s in (2 rr/mr))] = = Re[s(r)exp(j2ji/"t.f)] gdzie s(r) - o b w ied n ia zesp o lo n a sy g n ału F M s(f) zdefiniow ana ja k o :

(364)

3.11. M O D U L A C J A C Z Ę S T O T L I W O Ś C I

165

Suma wskazów dla częstotliwości bocznych

r4"'

Górna częstotliwość boczna

., , Nośna •

Górna częstotliwość boczna Dolna częstotliwość boczna

,v

dla częstotliwości bocznych

Rys. 33 2 . Porównanie wykresów wskazowych wąskopasmowej fali F M i fali A M przy modulacji sinusoidalnej: a) wąskopasmowa fala F M , b) fala A M

ś(t) = Acex p [jfisin (2 n fmt)]

(3.65)

Z atem w o d ró żn ien iu o d sy g n ału F M s(t), o b w ied n ia zesp o lo n a s(f) je st o k reso w ą funkcją czasu, o częstotliw ości p o d staw o w ej rów nej częstotliw ości m o d u lu jącej f m. M ożem y więc rozw inąć s(i) w zesp o lo n y szereg F o u rie ra o postaci: co

s(t) =

X n

cnexp(j2nn fmt)

(3.66)

= — co

gdzie zesp o lo n y w sp ó łczynnik F o u rie ra c„ o k re ślo n o w zorem : l/2 /m Cn =f m i s (i)e x p (—j2rc/mi)d i = U2fm = fm K J expD/?sm (27i/mi ) —j2jtn/mr] di -1/2 f m D efiniujem y n o w ą zm ienną: x = 2 n fmt

(3.67)

(3.68)

R ów nanie (3.67) m o że te ra z zo stać n a p isa n e w now ej postaci: cn =

2n

i ex p [ j(fisin x —nx)] d x

(3.69)

C ałk a p o p raw ej stro n ie ró w n a n ia (3.69) je st z d o k ła d n o śc ią d o stałeg o m n o ż n ik a fu n kcją Bessela pierw szego rodzaju n-ego rzędu9) o d a rg u m e n tu ¡i. F u n k c ja ta je st zw ykle o zn aczan a sym bolem J„(fi) i m a postać:

166

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

1 71 = ~2n ^

e x p W s in * - " * ) ] d i

(3.70)

zgodnie z k tó rą ró w n an ie (3.69) re d u k u je się d o postaci: = A J M

(3.71)

P o d staw iają c ró w n an ie (3.71) d o (3.66) o trzy m u jem y n astęp u jące rozw inięcie o b w ied n i zespolonej sy g n ału F M , zap isan e z a p o m o c ą funkcji B essela J M s(f) = A C £

J n(f})exp(j2nnfmt)

(3.72)

n - — co

P o d staw iają c dalej ró w n a n ie (3.72) d o (3.64) otrzym ujem y: s(i) = Ą R e

£ _ n = - co

X (/O exP D 2rc (X + r?/m)r] 1 J

(3.73)

Z m ien iając k o lejn o ść su m o w a n ia i b io rą c część rzeczyw istą p raw ej stro n y ró w n a n ia (3.73) dostajem y: oo

Z

SW = A c

X .( /* ) c o s

[ 2 n (fc + nfm)t]

(3.74)

n = — oo

Jest to p o sz u k iw a n a p o sta ć szeregu F o u rie ra zm o d u lo w an eg o pojedynczym to n em sygnału F M s(i) d la dow olnej w arto ści p. D y sk re tn e w id m o sy gnału s(r) m o żn a o trzy m ać b io rąc tran sfo rm a ty F o u rie ra o b u s tro n ró w n a n ia (3.74); m am y zatem : S (f) = —

t

+

+

(3.75)

n = - oo

N a ry su n k u 3.33 p o d a n o w ykresy funkcji Bessela J M w funkcji w sk aźn ik a m odulacji (1 d la różn y ch całk o w ity ch d o d a tn ic h w arto ści n. M o ż n a uzyskać lepszy w gląd w zachow anie się funkcji B essela J„(P), b io rą c p o d uw agę n astęp u jące w łaściw ości (zobacz d o d atek 4): 1. D la p arzy sty ch n zach o d zi ró w n o ść J„(P) = —J - n(P), a zatem d la k ażd eg o n:

J M

= ./_ „ ( $ ,

X 0?) = ( - 1 Y J - n ( P)

a

d la

n iep arzy sty ch

n:

(3.76)

2. D la m ałych w arto ści w sk aźn ik a m o d u lacji p otrzym ujem y: J M

~ 1

a w = { J M

- 0,

(3.77) n > 2

3. I

J 2n ( P ) = 1

(3.78)

n = - co

B io rąc p o d uw agę ró w n a n ia od (3.75) d o (3.78) o ra z krzyw e z rys. 3.33, m ożem y poczynić n a stę p u ją c e obserw acje: 1. W id m o sy g n ału F M zaw iera falę n o śn ą i n ie sk o ń c z o n ą liczbę sygnałów h arm o n iczn y ch rozm ieszczonych sym etrycznie p o o b u s tro n a c h częstotliw ości nośnej, w odległościach o d p o w ie d n io /m,2 /m, 3/m,.... P o d ty m w zględem istnieje tu zasad n icza ró żn ica w sto su n k u

167

3.11. M O D U L A C J A C Z Ę S T O T L I W O Ś C I

JnW

0

Rys. 333. Wykresy funkcji Bessela pierwszego rodzaju d o m o d u lacji A M , gdzie p rz y sin u so id aln y m sygnale m o d u lu jący m p o w staje ty lk o je d n a p a ra p rąż k ó w bocznych. 2. W szczególnym p rz y p a d k u , gdy fi je st m ałe w sto su n k u d o jed y n k i, ty lk o w spółczynniki Bessela J 0(fi) i J x{fi) p rz y b ie ra ją n iep o m ijaln e w arto ści ta k , iż sygnał F M sk ła d a się w p ra k ty c e jed y n ie z fali no śn ej i pojedynczej p a ry p rą ż k ó w boczn y ch o częstotliw ościach f c ± f m. O d p o w ia d a to szczególnem u p rz y p a d k o w i m o d u lacji w ąsk o p asm o w ej F M ro z p a ­ trz o n e m u u p rzed n io . 3. A m p litu d a fali no śn ej zm ien ia się w funkcji fi zg o d n ie z J 0(fi). O z n a c z a to, iż w o d ró żn ien iu o d sy g n ału A M , a m p litu d a składow ej nośnej sygnału F M zależy o d w sk aź n ik a m o d u lacji fi. F izy czn a in te rp re ta c ja tej w łaściw ości zw iązan a je st ze stało ścią o b w ied n i sygnału F M , gdyż śred n ia m o c tak ieg o sy g n ału , w y dzielan a n a o p o rz e o w arto ści 1 o m a je st w ów czas rów n ież sta ła i w ynosi: (3.79) G d y fala n o ś n a zo staje zm o d u lo w a n a, tw o rz ą c sygnał F M , m o c p rąż k ó w boczn y ch m oże p o w stać jed y n ie k o sztem m ocy fali nośnej, p rzez co a m p litu d a tej fali staje się zależn a o d fi. Z au w ażm y , iż śre d n ią m oc sy g n ału F M o trzy m ać m o żn a ta k ż e n a p o d staw ie ró w n a n ia (3.74), m am y w tedy: 1 p = -¿a ?

00 x J im fl= —oc

(3.80)

168

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

P o d sta w ia ją c ró w n an ie (3.78) d o (3.80) stw ierdzam y, iż w yrażenie opisujące śred n ią m oc P red u k u je się, ja k p o w in n o , d o p o staci (3.79). PRZY K ŁA D 3 W tym p rzy k ład zie p rag n iem y prześledzić sp o só b , w ja k i zm ian y a m p litu d y i częstotliw ości sin u so id aln eg o sy g n ału m o d u lu ją ceg o w pływ ają n a k ształt w idm a sygnału F M . Z acznijm y od p rzy p a d k u , gdy częstotliw ość sy g n ału m o d u lu jąceg o jest u stalo n a, lecz je g o am p litu d a ulega zm ianie, p o w o d u ją c z kolei zm ian y dew iacji częstotliw ości A/.' P rzy ustalonej i-i,o

a

(k

<

k

II ł .

- Ą '2A/|

/

H*—2 A / —H

Rys. 3 3 4 . D yskretne w idm a am p itu d y sygnału F M , znorm alizow ane w stosunku do am p litu d y fali nośnej dla przy p ad k u m odulacji sinusoidalnej o stałej częstotliwości i różnych ap litu d . P o k a z a n o tylko w idm a dla częstotliwości dodatn ich

3.11. M O D U L A C J A C Z Ę S T O T L I W O Ś C I

169

częstotliw ości m o d u lu jącej f m u zyskujem y w id m o am p litu d o w e z m o d u lo w an eg o sygnału F M ja k n a rys. 3.34, gdzie przyjęto /ł = 1 ,2 ,5 . W id m o to z o stało zn o rm alizo w an e w sto su n k u d o a m p litu d y n iezm o d u lo w an ej fali nośnej. R ozw ażm y n astęp n ie p rzy p ad ek , gdy a m p litu d a sy gnału m o d u lu jąceg o jest u sta lo ­ na; tzn. dew iacja częstotliw ości p o zo staje sta ła , a częstotliw ość m o d u lu ją c a f m ulega zm ianie. U zyskujem y te ra z w id m o a m p litu d o w e z m o d u lo w an eg o sy gnału F M ja k n a rys. 3.35, gdzie przyjęto (i = 1 ,2 ,5 . S tw ierdzam y, iż przy u stalo n ej dew iacji A / w ra z ze w zrostem w sk aźn ik a

2 A f ------------- J Rys. 3 3 5 . D yskretne w idm a am plitudy sygnału F M , znorm alizow ane w sto su n k u do am p litu d y fali nośnej, dla przy p ad k u m odulacji sinusoidalnej o różnych częstotliwościach i stałej am plitudzie. P o k azan o tylko w idm a częstotliwości d o d atn ich

170

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

fi w zrasta liczb a p rą ż k ó w m ieszczących się w u stalo n y m przedziale częstotliw ości f c— A f < | / | < f c+ Af. G d y /? d ąży d o n iesk o ń czo n o ści, szero k o ść p asm a zajm o w an eg o przez falę F M d ąży d o w arto śc i granicznej 2 A f co je st sp raw ą b a rd z o isto tn ą .

Szerokość pasma transm isyjnego syg n ałó w FM W teorii, sy g n ał F M zaw iera n iesk o ń czo n ą liczbę p rąż k ó w boczn y ch ta k , iż p a sm o w y m ag an e d o p rzesy łan ia teg o sy g n ału je st ta k ż e nieskończone. W p ra k ty c e je d n a k efektyw na szerokość p asm a sygnału F M o g ran icza się d o sk o ń czonej liczby p rążk ó w bocznych, przy założonym poziom ie zniekształceń. M o ż n a zatem określić efektyw ną szerokość p asm a, w y m ag an ą d la transm isji sy g n ału F M . Z aczn ijm y o d p rz y p a d k u , gdy sygnał F M jest zm o d u lo w an y za p o m o cą po jed y n czeg o to n u sin u so id aln eg o o częstotliw ości f m. D la teg o ro d z a ju sygnału F M , a m p litu d y p rąż k ó w b o czn y ch o d d a lo n y c h o d częstotliw ości nośnej f c o więcej niż je d n ą dew iację A f d ą ż ą szybko d o zera, ta k iż p a sm o je st stale szersze o d pełnego zak resu zm ian częstotliw ości, lecz p o z o sta je m im o w szystko ograniczone. D la dużych w arto ści w skaźnika m odulacji /?, szero k o ść p a sm a zb liża się d o pełnego zak resu zm ian częstotliw ości 2Af, p o zo sta jąc niew iele o d niego w iększa. Z drugiej stro n y , d la m ałych w arto ści w sk aźn ik a m odulacji fi, w id m o sy g n ału F M o g ran icza się efektyw nie d o częstotliw ości nośnej / i jednej p ary częstotliw ości bocznych f c± J m ta k , iż szero k o ść p asm a jest bliska 2/m. M ożem y więc p o d ać p rzy b liżo n y w zó r d o o b liczan ia szerokości p a sm a tran sm isy jn eg o sygnału F M zm o d u lo w an eg o p o jed y n czy m sygnałem sin u so id aln y m o częstotliw ości f m, o postaci: B T ^ 2 A f + 2 f n, = 2 A f ( l + j \

(3.81)

P o d a n y w zór em p iryczny zn an y je st p o d n azw ą reguły C arsona101. A by d o k ład n ie j o szaco w ać w y m ag an ia o d n o śn ie szerokości p asm a sy gnału F M , m o żn a posłużyć się definicją w y n ik ającą z zac h o w an ia m ak sy m aln ej liczby isto tn y ch p rążk ó w bocznych, k tó ry c h a m p litu d y są w iększe od pew nej w ybranej w artości. D o g o d n ie jest przyjąć, iż w arto ść ta w ynosi 1 p ro c e n t a m p litu d y n iezm o d u lo w an ej fali nośnej. W ten sp o só b definiujem y szerokość pasma fa li F M ja k o odstęp m iędzy takim i dwiema częstotliw oś­ ciami, poza któ rym i żaden z prążków bocznych nie przew yższa 1 procenta am plitudy niezmodulowanej fa li nośnej. T a k zd efin io w an a szero k o ść p asm a w ynosi 2nmax/ m, gdzie j mjest częstotliw ością m o d u lu ją c ą , a nmax najw iększą liczbą całk o w itą n spełn iającą w aru n ek \J„{fi)\ > 0,01. W a rto ść nmax zm ienia się w raz ze w skaźnikiem m o d u lacji fi i m o żn a ją w yznaczyć za p o m o c ą tab lic w arto ści funkcji B essela W tab licy 3.1 p o d a n o całk o w itą liczbę znaczący ch p rąż k ó w b o czn y ch (leżących z a ró w n o poniżej ja k i pow yżej częstotliw ości nośnej) d la ró żn y ch w artości fi, o b liczo n ą n a p o d staw ie wyżej p o d a n e g o k ry teriu m 1 p ro ce n ta . S zero k o ść p a sm a B , o b liczo n a tą m e to d ą m oże być p rz e d sta w io n a w postaci uniwersalnej krzyw ej, zn o rm alizo w an ej w sto su n k u d o dew iacji częstotliw ości A /i w ykreś­ lonej w funkcji w sk aźn ik a (i. K rzy w a ta p o k a z a n a z o sta ła n a rys. 3.36, gdzie poszczególne p u n k ty o trz y m a n e n a p o d staw ie tab licy 3.1 zostały p o łączo n e najlepiej p rzy stającą d o nich linią ciągłą. Z au w ażm y , iż w raz ze w zrostem w sk aźn ik a m o d u lacji fi, p asm o zajm o w an e przez isto tn e p rą ż k i b o czn e m aleje d o asy m p to ty czn ej w arto ści rów nej pełnem u zakresow i zm ian częstotliw ości fali nośnej w w y n ik u m o d u lacji. O zn a cza to , iż przy m ałych w artościach w sk aźn ik a m o d u la c ji w y k o rzy stan ie p a sm a je st gorsze, niż przy w iększych w arto ściach /?. P rzejd źm y te ra z d o ogólniejszego p rz y p a d k u d o w o ln eg o sy gnału m o d u lu jąceg o m{t), d la k tó re g o najw yższa częstotliw ość w idm a w ynosi W. A by oszaco w ać szero k o ść pasm a, w y m ag an ą d la tran sm isji sygnału F M z m o d u lo w an eg o ta k im sygnałem , w ystarczy w ziąć p o d

3.11. M O D U L A C J A C Z Ę S T O T L I W O Ś C I

171

fi

Rys. 3.36. K rzyw a uniw ersalna d la obliczania 1-procentow ej szerokości pasm a fali FM

Tablica 3.1. L IC Z B A IS T O T N Y C H P R Ą Ż K Ó W BO CZN Y CH SZ E R O K O PA SM O W E G O SYGNAŁU D L A R Ó Ż N Y C H W S K A Ź N IK Ó W M O D U L A C JI W skaźnik m odulacji fi

0,1 0,3 0,5 1,0 2,0 5,0 10,0 20,0 30,0

FM

Liczba prążków bocznych 2" max 2 4 4 6 8 16 28 50 70

uw agę n ajg o rszy p rz y p a d e k m o d u lacji p ojed y n czy m przebiegiem sin u so id aln y m . N a p o ­ czątek w yznaczym y w spółczynnik zw an y indeksem modulacji D, o k reślo n y ja k o sto su n ek dew iacji częstotliw ości Ą f o d p o w iad ającej m ak sy m aln ej am p litu d z ie sygnału m o d u lu jąceg o m{t), d o najw iększej częstotliw ości m o d u lu jącej W, gdy m am y d o czynienia z p rzy p ad k iem ekstrem aln y m . In d e k s modulacji D odgrywa ta ką sam ą rolę p rzy modulacji niesinusoidalnej, co w skaźnik m odulacji fi w przypadku modulacji sinusoidalnej. Z a stę p u ją c więc fi przez D o ra z f m przez W i w y k o rz y stu ją c regułę C a rs o n a (3.81) o ra z krzyw ą u n iw ersaln ą z rys. 3.36, otrzym ujem y sze ro k o ść p asm a sygnału F M d la p rz y p a d k u m o d u lacji niesinusoidalnej. Z p rak ty cz n e g o p u n k tu w idzenia, reg u ła C a rs o n a z an iża nieco p asm o w y m ag an e w sys-

172

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

ternach F M , p o d czas gdy k rzyw a u n iw ersaln a z rys. 3.36 w pew nym sto p n iu zaw yża jeg o n iezbęd n ą w ielkość. W y b ó r szerokości p asm a, m ieszczącej się w g ra n ic a c h w yznaczonych przez o b ie p o d a n e reguły, uznać należy za w łaściw y d la w iększości p rak ty czn y ch zastosow ań. P rzy k ła d 4 W A m eryce P ó łn o cn ej, m a k sy m a ln a w arto ść dew iacji A /d la radiow ej transm isji F M zo stała u sta lo n a n a 75 k H z. Jeśli p rzy jąć częstotliw ość m o d u lu ją c ą W — 15 k H z, co stan o w i ty p o w ą „m ak sy m aln ą” częstotliw ość p a sm a ak u sty czn eg o przy tran sm isji F M , o trz y m a się w arto ść in deksu m o d u lacji w yn o szącą o d p o w ied nio:

S to su jąc w zó r C a rs o n a (3.81), w k tó ry m zastęp u jem y /? przez D o ra z j m p rzez W, o trzy m u jem y p rzy b liżo n ą szero k o ść p rze n o szo n eg o p a sm a d la sy gnału F M rów ną: B T = 2(75 + 1 5 ) = 180 k H z O d p o w ie d n ia szero k o ść p a sm a sy g n ału F M o trz y m a n a n a p o d staw ie w ykresu z rys. 3.36 wynosi: B t = 3 ,2 d / = 3,2 x 75 = 240 k H z W zó r C a rs o n a d a je w ięc p a sm o o 25 p ro c e n t węższe, n iż krzyw a u n iw ersaln a z rys. 3.36.

Generacja syg n ałó w FM Istn ieją w zasad zie dw ie p o d sta w o w e m eto d y generacji sygnałów zm o d u lo w an y ch często t­ liw ościow e, a m ianow icie pośrednia i bezpośrednia. W m etodzie p ośredniej, sygnał m o d u lu ją ­ cy zo staje n ajp ierw u ży ty d o w y tw o rzen ia w ąsk o p asm o w eg o sy gnału F M , p o czym sto su je się pow ielanie częstotliw ości, celem zw iększenia dew iacji częstotliw ości d o w ym aganego p o zio ­ m u. W m eto d zie b ezp o średniej n a to m ia st, częstotliw ość n o śn a zm ien ian a jest b ezp o śred n io w ta k t w ejściow ego sy g n ału inform acyjnego. N ajw ażniejsze cechy o b u tych m e to d z o sta n ą p rzed staw io n e dalej. P ośrednia m odulacja F M n>. U p ro szczo n y sch em at b lo k o w y system u pośredniej m o d u lacji F M p o k a z a n o n a rys. 3.37. S ygnał in fo rm acy jn y (m odulujący) m(i) zo staje scałkow any, a n astęp n ie m o d u lu je fazę o sc y la to ra kw arcow ego; zasto so w a n ie k w arcu zap ew n ia d o b rą

Sygnał z p asm a podstaw ow ego

Sygnał FM

Rys. 3 3 7 . Schem at blokow y pośredniej m etody generacji szerokopasm ow ego sygnału F M

3.11. M O D U L A C J A C Z Ę S T O T L I W O Ś C I

173

Sygnał FM s ( t ) 0 częstotliwości nośnej f c 1wskaźniku modulacji G

Sygnał FM s ’ ( t ) 0 częstotliwości nośnej n f c 1wskaźniku modulacji nft

Rys. 3.38. Schemat blokowy powielacza częstotliwości

stabilizację częstotliwości. A by zm inim alizow ać zn iek ształcen ia zw iązane z m o d u lacją fazy, m ak sy m aln a d ew iacja fazy, a więc i w skaźnik m o d u lacji /?, m u szą b y ć u trzy m y w an e n a niskim poziom ie, co je st ró w n o z n aczn e z g en ero w an iem w ąsk o p asm o w eg o sy gnału F M . Sam w ąsk o p asm o w y m o d u la to r fazy m o że być realizow any w u k ład zie z rys. 3.31. W ą sk o p a s­ m ow y sygnał F M zo staje n astęp n ie pow ielony w częstotliw ości za p o m o c ą pow ielacza częstotliw ości ta k , a b y o trz y m a ć sy g n ał F M o w ym aganej szerokości pasm a. Powielacz częstotliw ości sk ła d a się z bezinercyjnego u k ła d u nieliniow ego za k tó ry m n astęp u je filtr śro d k o w o p rz ep u sto w y , ja k p o k a z a n o na rys. 3.38. B ezinercyjność u k ład u nieliniow ego sp ro w a d z a się d o tego, iż nie zaw iera o n elem entów zdolnych d o m ag azy n o w a­ nia energii. R elacja wejście — w yjście d la tak ieg o u k ła d u m oże z o sta ć w y rażo n a w n a ­ stępującej ogólnej postaci: u (f) = O jS li) + a 2s2(t) + ... + a„.s"(i)

(3.82)

gdzie a i , a 2,...,a n — w spółczynniki w y n ik ające z p u n k tu p racy u k ład u , a n — najw yższy stopień nieliniowości. In n y m i słow y, bezinercyjny u k ład nieliniow y je st u k ład em opisanym w ielom ianem n-tego sto p n ia . S ygnał w ejściow y s(t) jest sygnałem F M o k reślo n y m n a ­ stępująco: s(i) =

A

c

cos

+

diJ

a jego częstotliw ość ch w ilow a w ynosi: f ( t ) = f c + k f m(t)

(3.83)

C zęstotliw ość śro d k o w ą filtru śro d k o w o p rzep u sto w eg o z rys. 3.38 u sta la się n a w arto ść rów ną nfc, g d z i e / j e s t częstotliw ością n o śn ą p rzy ch o d ząceg o sy gnału F M s(i). P o n a d to , filtr jest ta k z a p ro je k to w a n y , ab y jeg o szero k o ść p asm a była n razy w iększa od szerokości p asm a sygnału s(i). W p u n k cie 3.13, pośw ięconym nieliniow ym zjaw iskom w system ach F M , opiszem y sk ład o w e w id m a w n o szo n e za p o śred n ictw em nieliniow ych czy n n ik ó w drugiego i trzeciego s to p n ia w y stęp u jący ch w relacji wejście-wyjście opisanej ró w n an iem (3.82). O becnie p o p rze sta n iem y n a stw ierdzeniu, iż p o filtracji śro d k o w o p rzep u sto w ej, sygnału w yjściow ego u k ła d u nieliniow ego r(f), o trzy m u jem y now y sygnał F M o p isan y zależnością: s'(t) = ^4ćcos |^2jrn/ci + 2 n n k f J m (i)dr o

(3.84)

którego częstotliw ość ch w ilow a w ynosi: f'i(t) = nfc + nkf m(t)

(3.85)

P o ró w n u jąc w zory (3.85) i (3.83) w idzim y, iż nieliniow y u k ład p rzetw arzający z rys. 3.38 d ziała jak pow ielacz częstotliw ości. S topień pow ielenia częstotliw ości je st o k reślo n y p rzez najw yż­ szy sto p ień n w w y rażen iu n a relację w ejście-w yjście z ró w n a n ia (3.82), ch arak tery zu jąceg o bezinercyjny u k ła d nieliniow y.

174

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

Sygnał

Rys. 3.39. Schem at blokow y szerokopasm ow ego m o d u la to ra częstotliwości do przykładu 5

P rzy k ład 5 N a ry su n k u 3.39 p o k a z a n o u p ro szczo n y sch em at b lo k o w y ty pow ego n a d a jn ik a F M (o p arteg o n a m eto d zie pośredniej), używ anego d la transm isji sygnałów akustycznych w zakresie o d 100 H z d o 15 k H z. W ąsk o p asm o w y m o d u la to r fazy o trzy m u je sygnał nośny o częstotliw ości/ , = 0 ,1 M H z g en ero w an y przez o sc y la to r kw arcow y. S ygnał F M na wyjściu n a d a jn ik a p o w in ien m ieć częstotliw ość n o śn ą f c = 100 M H z o ra z m in im aln ą dew iację częstotliw ości ró w n ą A f = 1 5 kH z. W celu o g ran icze n ia zniekształceń h arm o n iczn y ch p ro d u k o w a n y c h przez w ąsk o ­ p asm o w y m o d u la to r fazy, o g ran iczam y w arto ść w sk aźn ik a m o d u lacji Pi tego m o d u la to ra do w arto ści m ak sy m aln ej 0,3 ra d ia n a . P rzyjm ijm y zatem w a rto ść Py = 0 , 2 ra d ia n ó w , d o b rze spełn iającą to ograniczenie. P rzy najniższej częstotliw ości m o d u lu jącej 100 H z dew iacja częstotliw ości sy g n ału n a w yjściu w ąsk o p asm o w eg o m o d u la to ra fazy w ynosi A /, = 20 Hz, a przy najw yższej częstotliw ości m o d u lu jącej 15 k H z jest ró w n a A /, = 3 k H z. K ry ty czn a sy tu acja zach o d zi w ięc d la najniższych częstotliw ości, gdyż dew iacja częstotliw ości jest w ów czas znacznie m niejsza, niż d la najw yższej częstotliw ości m odulującej. N ależy zatem spełnić w ym aganie, ab y przy najm niejszej częstotliw ości m odulującej 100 H z dew iacja częstotliw ości z o sta ła p o d w y ższo n a d o 75 kH z. A by uzyskać n a w yjściu n a d a jn ik a dew iację częstotliw ości A f = 75 k H z niezbędne staje się użycie pow ielacza częstotliw ości. W szczególności d la naszego p rz y k ła d u , przy A/x = 20 H z o ra z A f = 75 k H z, całk o w ity m n o ż n ik częstotliw ości w ynosi 3750. P rzy b ezpośred n im p o m n o żen iu częstotliw ości przez ta k ą w arto ść, n a w yjściu n a d a jn ik a o trz y m a ­ m y znacznie w yższą częstotliw ość n o śn ą , niż w y m ag an e 100 M H z. D la w ygenerow ania sygnału F M m ająceg o z a ró w n o w y m ag an ą dew iację częstotliw ości ja k i częstotliw ość n o śn ą, konieczne sta je się więc za sto so w a n ie dwustopniowego powielania częstotliw ości ze sto p n iem p o śred n im p rzesu n ięcia częstotliw ości, ja k n a rys. 3.39. N iech n y i n 2 o zn aczają odp o w ied n ie m n o żn ik i częstotliw ości ta k , iż zach o d zi rów ność: Af

75000

_

= A /7 =

20

= 3750

(3'86>

C zęstotliw ość n o śn a n lf i sy g n ału n a w yjściu pierw szego pow ielacza częstotliw ości zo staje p rzesu n ięta w d ó ł d o w arto ści ( f 2 — n p o p rze z zm ieszanie z falą sin u so id a ln ą o częstotliw oś c i/2 = 9,5 M H z, d o sta rc z a n ą przez d ru g i o sc y la to r kw arcow y. C zęstotliw ość n o śn a sygnału n a w ejściu d ru g ieg o m n o żn ik a częstotliw ości m usi być ró w n a f c/ n 2. P o ró w n u ją c te dw ie częstotliw ości otrzy m u jem y rów ność:

3.11. M O D U L A C J A C Z Ę S T O T L I W O Ś C I

175

Tablica 3.2. W A R T O Ś C I C Z Ę S T O T L IW O Ś C I N O Ś N E J 1 D E W IA C JI

C Z Ę S T O T L IW O Ś C I W R Ó Ż N Y C H P U N K T A C H S Z E R O K O P A S M O W E G O M O D U L A T O R A C Z Ę S T O T L IW O Ś C I Z RYS. 3.39 Wyjście m o d u la to ra fazy

Wyjście pierwszego powielacza częstotliwości

Wyjście mieszacza

W yjście drugiego powielacza częstotliwości

Częstotliwość nośna

0,1 M H z

7,5 M H z

2,0 M H z

100 M H z

Dew iacja częstotliwości

20 Hz

1,5 k H z

1,5 k H z

75 kH z

fi-n Ji = — n2 z k tó rej p o p o d staw ien iu w arto ści uzyskujem y w arunek:

= 0,1 M H z, f 2 = 9,5 M H z o ra z f = 100 M H z

100 9,5 —0 ,l n , = ------

(3.87)

n2

R ozw iązując ró w n a n ia (3.86) i (3.87) w zględem n x o ra z n 2 o trzy m u jem y w artości: n i — 75,

n 2 = 50

U żyw ając p o d a n y c h m n o ż n ik ó w częstotliw ości o trzy m u jem y z b ió r w artości, k tó re zeb ran o w tablicy 3.2. Bezpośrednia m odulacja F M . W system ie bezpośredniej m o d u lacji F M częstotliw ość chw ilow a fali nośnej p o d leg a b e zp o śred n io z m ian o m w ta k t sy gnału inform acyjnego, co dzieje się, gdy używ am y u k ła d u zn an eg o p o d n azw ą oscylatora sterowanego napięciem. Jednym ze sp o so b ó w realizacji ta k ie g o u k ła d u jest zasto so w an ie o scy lato ra d rg a ń sin u so id al­ nych z o b w o d em rezo n an so w y m o dużej selektyw ności, decydującym o generow anej częstotliw ości, stero w an eg o p o p rz e z sym etryczne zm iany p rzy ro sto w e w arto ści je g o elem en­ tów reak tan cy jn y ch . P rzy k ład em tak ieg o u k ła d u je st tzw. oscylator H a rtleya , p o k a z a n y n a rys. 3.40. Z a k ła d a m y , iż sk ła d o w a p o jem n o śco w a o b w o d u rezo n an so w eg o decydującego o częstotliw ości d rg a ń o sc y la to ra sk ła d a się z k o n d e n s a to ra o stałej pojem ności, zabocznikow anego d o d a tk o w y m k o n d e n sa to re m o pojem ności zależnej o d napięcia. Ich w y p ad -

-Ih

Rys. 3.40

CU)

O scy lato r H artleya

176

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

k o w a p o jem n o ść re p re z e n to w a n a je st n a schem acie z rys. 3.40 przez elem ent C(t). K o n d e n s a to r o p o jem ności zależnej o d n ap ięcia, zw any inaczej waraktorem lu b warikapem, stanow i p o jem n o ść o w arto śc i zależnej o d n ap ięcia p rzy ło żo n eg o d o je g o zacisków . T a k ą po jem n o ść ste ro w a n ą napięciem m o ż n a uzyskać, p rzy k ład o w o , za p o m o c ą d io d y złączow ej p — n sp o lary zo w an ej w k ie ru n k u zap o ro w y m ; im w iększe jest napięcie w steczne n a takiej diodzie, ty m m niejsza p o jem n o ść d io d y . C zęstotliw ość d rg a ć o sc y la to ra H artley a z rys. 3.40 jest o k re ślo n a w zorem :

m

=

(3.88)

1

2 x y /{ L t + L J C {t) gdzie: C(r) — c a łk o w ita p o jem n o ść k o n d e n s a to ra stałego i k o n d e n s a to ra stero w an eg o napięciem , L x i L 2 — in d u k cy jn o ści o b w o d u rezo n an so w eg o o scy lato ra. Z a k ład am y , iż d la sinusoidalnej fali m o d u lu jącej o częstotliw ości f m p o jem n o ść C(t) w yraża się zależnością: C(t) = C 0 + ACcos(2xt/mi)

(3.89)

gdzie: C 0 — c a łk o w ita p o jem n o ść przy b ra k u m odulacji, a AC — m ak sy m aln a zm ian a pojem ności. P o d staw ia ją c (3.89) d o (3.88) otrzym ujem y: -

1/2

f ( t ) = f 0 \ 1 + '^ r" C o s (2 ir/mi) o

(3.90)

gdzie / 0 — n ie m o d u lo w a n a częstotliw ość d rg a ń , rów na: fo =

1 2 n v 'C 0(L , + L 2)

(3.91)

P rzy zało żen iu , iż m a k sy m a ln a zm ian a p ojem ności AC je st m a ła w p o ró w n a n iu z p o jem n o ś­ cią C 0 w y stęp u jącą przy b ra k u m odulacji, m ożem y a p ro k sy m o w a ć ró w n a n ie (3.90) zależnością: m

= /o

AC 1 —— - c o s (2 tc/ 2C 0

(3.92)

Niech: AC 2C 0

Af f0

(3.93)

C zęsto tliw o ść ch w ilow a o scy lato ra m o d u lo w an eg o w częstotliw ości, p o p rze z zm iany pojem ności je g o o b w o d u rezo n an so w eg o , w y raża się w ów czas p rzy b liżo n y m w zorem : i ( t ) =* /o + A/"cos(2ir/mt)

(3.94)

R ów nan ie (3.94) je st p o szu k iw an ą zależnością o k reślającą częstotliw ość chw ilow ą fali F M , przy zało żen iu m o d u lacji sinusoidalnej. A by w ygenerow ać szero k o p asm o w y sygnał F M o w ym aganej dew iacji często tliw o ­ ści, m o ż n a użyć m o d u la to ra p o k a z a n e g o n a rys. 3.41, sk ład ająceg o się z o scy lato ra stero w an eg o napięciem o ra z szeregu pow ielaczy częstotliw ości i m ieszaczy. Z a p o m o c ą tego u k ła d u m o ż n a uzyskać d o b rą stab ilizację częstotliw ości o scy lato ra, sta łą p ro p o rc jo n a ln o ść m iędzy zm ia n am i częstotliw ości wyjściow ej, a zm ianam i napięcia w ejściow ego o ra z dew iację częstotliw ości n iezb ęd n ą d o realizacji szerokopasm ow ej m o d u lacji F M .

3.11. M O D U L A C J A C Z Ę S T O T L I W O Ś C I

w (r)

Oscylator sterowany napięciem

177

Filtr Powielacz środkowoc z ę sto tliw o ł-> przepusto ści wy

Powielacz częstotliwo-f-*ści

Szeroko­ pasmowa fala FM

Oscylator o stałej częstotli­ wości Rys. 3.41. Schem at blokow y szerokopasm ow ego m o d u la to ra częstotliw ości z oscylatorem

sterow anym napięciem

m[ t )

Rys. 3.42. Schem at blokow y szerokopasm ow ego u k ład u stablilizacji częstotliw ości ze

sprzężeniem zw rotnym

N a d a jn ik F M p ra c u ją c y w u k ład zie realizującym o p isa n ą ju ż m eto d ę b ezp o śred n ią m a je d n a k tę w adę, iż częstotliw ość n o śn a nie je st g e n e ro w a n a przez o sc y la to r o wysokiej stabilności. T rz e b a zatem w p ra k ty c e zapew nić pew ne d o d a tk o w e śro d k i, za k tó ry ch p o m o cą częstotliw ość n o śn a będzie ste ro w a n a przez stab iln e ź ró d ło częstotliw ości, ge­ nerow anej p rzez o sc y la to r kw arcow y. J e d n a z m eto d tak ieg o stero w a n ia z o sta ła p rz e d ­ staw io n a n a rys. 3.42. Sygnał w yjściow y z g e n e ra to ra F M je st p o d a w a n y n a wejście m ieszacza w raz z sygnałem uzyskiw anym za p o m o cą o scy lato ra kw arcow ego. N a w yjściu tego m ieszacza o trzy m u je się sy g n ał o częstotliw ości różnicow ej. S ygnał ten przychodzi następnie n a w ejście d y sk ry m in a to ra częstotliw ości i dalej n a filtr d o ln o -p rzep u sto w y . D y sk ry m in a to r częstotliw ości je st u k ład em , w k tó ry m a m p litu d a n ap ięcia w yjściow ego jest p ro p o rc jo n a ln a d o częstotliw ości chw ilow ej w ejściow ego sy gnału F M . Jeg o d ziałan ie zostanie p rz e d sta w io n e w n astęp n y m p o d p u n k cie. G d y n a d a jn ik F M generuje falę n o śn ą o praw idłow ej częstotliw ości, sy g n ał n a w yjściu filtru d o ln o p rzep u sto w e g o je st rów ny zeru. Jak iek o lw iek od ch y len ie częstotliw ości nośnej n a d a jn ik a o d w arto ści nom inalnej pow oduje je d n a k p o jaw ien ie się n a w yjściu filtru d o ln o p rzep u sto w e g o d y sk ry m in a to ra stałego n ap ięcia w yjściow ego o z n a k u o k re ślo n y m przez k ieru n ek o d ch y len ia częstotliw ości n ad ajn ik a od tej w arto ści nom inalnej. N ap ięcie to zo staje p o o d p o w ied n im w zm ocnieniu podane n a o s c y la to r stero w an y napięciem n a d a jn ik a F M tak , a b y zm ienić częstotliw ość o scy lato ra w k ie ru n k u przyw rócenia n o m in aln ej w arto ści częstotliw ości nośnej. 12 S ystem y te le k o m u n ik a c y jn e cz. 1

178

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

D em odulacja sygnałów FM Demodulacja częstotliwości je st p ro cesem po zw alający m o d zy sk ać o ry g in aln y sygnał m o d u ­ lujący n a p o d staw ie sy g n ału z m o d u lo w an eg o częstotliw ościow o. C h o d z i tu o utw o rzen ie u k ła d u o c h a rak te ry sty c e o d w ro tn ej d o tej, ja k ą m a m o d u la to r częstotliw ości, co m o żn a zrealizow ać w sp o só b b ez p o śre d n i lu b p o śred n i. O piszem y tu b ezp o śred n ią m eto d ę d em o d u lacji częstotliw ości z użyciem u k ła d u zn an eg o p o d n azw ą d y sk ry m in a to ra często t­ liwości, d la k tó re g o a m p litu d a chw ilow a n a w yjściu jest w p ro st p ro p o rc jo n a ln a d o częstotliw ości chw ilow ej w ejściow ego sy gnału F M . W n astęp n y m p o d p u n k c ie p o d a m y n a to m ia st p o śre d n ią m eto d ę d e m o d u lacji częstotliw ości, w k tó rej sto su je się in n y szeroko zn an y u k ła d zw an y p ę tlą fazow ą. D yskrym inator częstotliwości sk ła d a się zasad n iczo z obwodu rezonansowego pracującego na zboczu krzyw ej rezonansowej, p o k tó ry m n astęp u je d etektor obwiedni. Idealny ro z stro jo n y o b w ó d rezo n an so w y m a czysto u ro jo n ą c h a ra k te ry sty k ę am p litu d o w o -fazo w ą, liniow o zależn ą o d częstotliw ości w ew n ątrz z a d a n e g o p rzed ziału częstotliw ości. W eźm y pod uw agę c h a ra k te ry sty k ę p rze d sta w io n ą n a rys. 3.43a, o p isa n ą za p o m o c ą zależności:

« ,( /) = < i 2 n a { f + f - ^ .

- /- * ! - u f H

(3.95)

gdzie indziej gdzie a — stała. Z ajm ijm y się o szaco w an iem odp o w ied zi tego u k ła d u s x(i) n a sygnał F M ¿(i), o częstotliw ości nośnej f c i szero k o ści p a sm a B T. Z a k ła d a m y przy ty m , iż w idm o sygnału s(t) je st zerow e p o z a p rzed ziałem częstotliw ości f c —B Tj 2 < | / | < / c + B T/2. A by oszacow ać odpow ied ź s(i) d o g o d n e o k a z u je się zasto so w an ie p ro c e d u ry opisanej w p u n k cie 2.13, polegającej n a z a stą p ie n iu ro z stro jo n e g o o b w o d u rezo n an so w eg o p rzez ró w n o w ażn y filtr d o ln o p rz ep u sto w y zasilan y sygnałem an ality czn y m w ejściow ego sy gnału F M s(t). N iech H x( j j o z n a c z a c h a ra k te ry sty k ę am p litu d o w o -fazo w ą u k ła d u , p o d a n ą n a rys. 3.43a. C h a ra k te ry s ty k a ta z w iąz a n a je st z fu n k cją H 1{ f ) za p o m o c ą relacji: H iif-fc ) =

/> 0

(3.96)

U żyw ając ró w n a ń (3.95) i (3.96) o trzy m u jem y zależność:

j4 rc a (/+ ^ \ H y U j = <( V 2 / 0,

2 2 gdzie indziej

(3.97)

z ilu stro w a n ą n a rys. 3.43b. W ejściow y sygnał F M s(t) je st d a n y ró w n an iem (3.52), k tó re tu d la w ygody pow tarzam y : s(t) = Ą.cos|^27r/ct + 2 n k f j m (r)dr P rzy jm u jąc, iż częstotliw ość n o ś n a f c je st d u ż a w p o ró w n a n iu z szero k o ścią p a sm a sygnału z m o d u lo w a n eg o s(t), o d p o w ia d a ją c a m u o b w ied n ia zesp o lo n a m a postać:

3.11. M O D U L A C J A C Z Ę S T O T L I W O Ś C I

179

Rys. 3.43. a) C h a ra k tery sty k a częstotliw ościow a idealnego rozstrojonego obw odu rezonansow ego, b) ch arak tery sty k a częstotliw ościow a u k ład u pracującego n a zboczu krzywej rezonansow ej, c) ch arak tery sty k a częstotliw ościow a filtru dolnoprzepustow ego rów now ażnego idealnem u rozstrojonem u obw odow i rezonansow em u, k om plem entarnem u w sto su n k u d o o b w o d u o charakterystyce z rys. 3.43a

(3.98) N iech s t (i) o zn acza obw iednię zesp o lo n ą odp o w ied zi z rys. 3.43b n a w ym uszenie s(i). Z g o d n ie z te o rią p o d a n ą w punkcie 2.13, tra n sfo rm a ta F o u rie ra sy gnału Sj (t) m a postać: 12»

180

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

S ,( /) = | h ,( /) ś c o

j2na[ f +

B

B r T W

),

0,

2

^

,

Br

—L

2

(3.99)

gdzie indziej

gdzie S ( f ) — tra n s fo rm a ta F o u rie ra o b w ied n i zespolonej s(t). W iedząc, iż m nożenie tra n sfo rm a ty F o u rie ra d a n e g o sy g n ału p rzez czynnik j2rc/jest ró w n o w ażn e ró żn iczk o w an iu tego sygnału w dziedzinie czasu (zobacz p u n k t 2.3), z ró w n a n ia (3.99) uzyskujem y:

śj (0 = a p ^ + j r c B Ts(i)

(3.100)

P o d staw iając ró w n a n ie (3.98) d o (3.100) otrzym ujem y: ś l ( t ) = j n B Ta A c lH—r — m(f) exp j2rck/ j'm (f)di B o

(3.101)

P o ż ą d a n a c h a ra k te ry sty k a u k ła d u m a zatem postać: s ,(i) = R e [ s , (i)exp(j27t/i)] = = n B Ta A c 1 + - —i-m (t) cos 2%fct + 2 n k f ] m ( t ) d t + ^ Bt j L ^ o

(3.102)

Sygnał Sj(f) jest h y b ry d o w o z m o d u lo w a n y m sygnałem , k tó re g o z a ró w n o a m p litu d a ja k i częstotliw ość fali nośnej zm ien iają się w ta k t sygnału inform acyjnego m{t). G d y je d n a k sp ełn io n e zo stan ie n astęp u jące ograniczenie: 2k f B

m(t) < 1,

d la w szystkich t

m ożem y zasto so w a ć d e te k to r o b w ied n i d o o d tw o rze n ia zm ian am p litu d y , a więc do o trzy m a n ia o ry g in aln eg o sy g n ału inform acyjnego, z d o k ła d n o śc ią d o czy n n ik a stałego. Sygnał w yjściow y d e te k to ra o b w ied n i będzie w ów czas m iał postać: 2k l^i (01 = n B Ta A c\ 1 + — ^ m (i) B

(3.103)

S k ład o w a sta ła n B r a A c p o praw ej stro n ie ró w n a n ia (3.103) je st p ro p o rc jo n a ln a d o n ach y len ia a c h a ra k te ry sty k i o b w o d u p racu jąceg o n a zboczu krzyw ej rezonansow ej. S ugeruje to , iż sk ła d o w ą sta łą m o ż n a w yelim inow ać, o d ejm u jąc od sygnału w yjściow ego d e te k to ra o b w ied n i |śj(i)| sygnał z w yjścia o ddzielnego d e te k to ra obw iedni, p o p rzed zo n eg o kom plem entarnym rozstrojonym obwodem rezonansowym o c h arak te ry sty ce H 2{ f ) (rys. 3.43c). C h a ra k te ry sty k i am p litu d o w o -fazo w e o b u tych u k ład ó w spełniają zależność: H 2{t) = H ¿ —f )

(3.104)

N iech s 2(r) o zn acza od p o w ied ź o b w o d u k o m p lem en tarn eg o n a sygnał F M s(i). S to su jąc p ro ced u rę an a lo g ic z n ą d o ju ż o p isan ej, zn ajd u jem y obw iednię przeb ieg u s(t) o postaci: |s2(i)t = 7i B - r a A

. [ - ! H

(3.105)

3.11. M O D U L A C J A C Z Ę S T O T L I W O Ś C I

181

gdzie s 2(f) — o b w ied n ia zesp o lo n a p rzeb ieg u s2(t). R óżnica m iędzy d w o m a sygnałam i z ró w n a ń (3.103) o ra z (3.105) wynosi: s0(t) = |s i ( f ) | - |s 2(i)l = 4 n k f a A cm(t)

(3.106)

i nie zaw iera ju ż sk ład o w ej stałej. M o ż n a zatem zrealizow ać idealny dyskrym inator częstotliwości w u k ład zie zło żo ­ nym z dw u ro z stro jo n y c h o b w o d ó w rezo n an so w y ch o c h a ra k te ry sty k a c h am p litu d o w o-fazow ych zw iązan y ch zależnością (3.104), p o łączo n y ch k a sk a d o w o z d e te k to ra m i obw iedni, k tó ry c h w yjścia d o c h o d z ą d o w ęzła sum acyjnego, ja k n a rys. 3.44a. U k ła d ten zw any jest zrów now ażonym dyskrym inatorem częstotliwości. W yidealizow any u k ład z rys. 3.44a m o żn a zrealizo w ać z d o b ry m przybliżeniem w układzie p o k a z a n y m n a rys. 3.44b. D o ln y i g ó rn y o b w ó d rezo n an so w y tego u k ła d u zostaje d o stro jo n y d o częstotliw ości leżącej o d p o w ie d n io pow yżej i poniżej niezm odulow anej częstotliw ości no śn ej f c. N a ry su n k u 3.44c p o d a n o w ykresy c h a ra k te ry sty k am p litu d o w y ch tych o b u o b w o d ó w o ra z w y p ad k o w ą c h a ra k te ry sty k ę całego u k ła d u przy założeniu, iż o b a o bw ody m a ją d u ż ą d o b ro ć Q. Dobroć Q o b w o d u rezo n an so w eg o jest m ia rą ja k o ści całego opisyw anego u k ła d u . Jest o n a fo rm aln ie zdefiniow ana ja k o 2 k razy sto su n e k m aksym alnej energii zm ag azy n o w an ej w o b w o d zie w czasie je d n e g o o k resu , d o energii traco n ej za okres. W p rzy p a d k u rów noległego (lub szeregow ego) o b w o d u rezo n an so w eg o R L C , d o b ro ć Q jest rów na sto su n k o w i jeg o częstotliw ości rezonansow ej d o szerokości 3-decybelow ego p asm a przenoszenia o b w o d u . W p rz y p a d k u rów noległych o b w o d ó w rezo n an so w y ch R L C u k ład u z rys. 3.44b, o p ó r R stan o w i głów nie s tra ty w łasne indukcyjności o b u obw odów . L iniow ość użytecznego zak re su c h a ra k te ry sty k i w ypadkow ej z rys. 3.44c, sym et­ rycznego w zględem częstotliw ości f c, je st o k re ślo n a przez o d stę p p o m iędzy częstotliw ościam i rezonansow ym i o b u o b w o d ó w . J a k w ynika z rys. 344c, o d stę p 3 B m o żn a u zn ać za zadow alający, przy czym 3-decybelow e p a sm o k ażd eg o z o b w o d ó w w ynosi 2B. N a wyjściu om aw ianego d y s k ry m in a to ra częstotliw ości w ystąpią zn iek ształcen ia sp o w o d o w a n e n a ­ stępującym i przyczynam i: 1. W idm o sy g n ału w yjściow ego F M s(f) nie je st w rzeczyw istości zerow e przy częstotliw oś­ ciach leżących p o za przedziałem f c - B r/2 < / < f c + B T/2. 2. Sygnały w yjściow e filtrów rezo n an so w y ch nie są d o k ła d n ie rzecz b io rą c sygnałam i o o g ran iczo n y m w idm ie i d late g o d o ln o p rzep u sto w e filtry R C n a w yjściach u k ład ó w dio d o w y ch d e te k to ró w o b w ied n i w n o szą pew ne zniekształcenia. 3. C h a ra k te ry sty k i filtrów rezo n an so w y ch nie są liniow e w całym zak resie częstotliw ości p asm a w ejściow ego sy g n ału F M s(t). M im o to, p rzy o d p o w ied n im za p ro je k to w a n iu , po zio m zniekształceń w noszonych w skutek w ym ienionych czy n n ik ó w d a je się u trzy m ać w d o p u szczaln y ch granicach.

Z w ie lo k ro tn ia n ie syg n ałó w stereofonicznych F M 12) Zwielokrotnianie sygnałów stereofonicznych jest fo rm ą z w ie lo k ro tn ia n ia z podziałem często t­ liwości (F D M ), słu żącą d o p rzesy łan ia d w u o ddzielnych sygnałów za p o m o cą tej sam ej fali nośnej. Jest o n o sz e ro k o sto so w an e w rad io fo n ii F M d o przesy łan ia dw u różnych elem entów p ro g ra m u (np. d w u ró żn y ch sekcji o rk iestry , w o k alisty i a k o m p a n ia to ra ) ta k , a b y uzyskać w ym iar p rzestrzen n y m uzyki o d b ieran ej przez słuchacza. P rz y u sta la n iu n o rm d la stereofonicznej tran sm isji radiow ej F M należy b ra ć pod uwagę d w a czynniki: 1. T ran sm isja p o w in n a o g ran iczać się d o p rzy zn an y ch k a n a łó w fonicznych F M . 2. P o w in n a b y ć k o m p a tib iln a z m o n o fo n iczn y m i o d b io rn ik a m i radiow ym i.

182

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

a

Fala FM

Sygnał z pasma podstawowego

Fala FM s(t)

Rys. 3.44. Symetryczny dyskryminator częstotliwości: a) schemat blokowy, b) schemat ideowy, c) charakterystyka częstotliwościowa

3.11. M O D U L A C J A C Z Ę S T O T L I W O Ś C I

183

a

Rys. 3.45. a) Multiplekser w stereofonicznym nadajniku FM , b) demultiplekser w odbiorniku stereofonicznym FM Pierw szy czynnik d eterm in u je d o p u szczaln e p a ra m e try częstotliw ościow e, w łącznie z d ew ia­ cją częstotliw ości. D ru g i czy n n ik je s t p o w o d em o g ran iczeń n a k ła d a n y c h n a p o sta ć przesyła­ nego sygnału. N a ry su n k u 3.45a p rzed staw io n o schem at blokow y system u zw ielokrotniającego, stosow anego w n ad ajn ik a ch stereofonicznych F M . N iech m,(r) i m r(t) oznaczają odpow iednio sygnały o d b ieran e przez lew y i praw y m ikrofon, po stro n ie nadaw czej system u. Są one podaw ane n a wejście p ro steg o u k ła d u generującego sygnał sum aryczny m,(t) + m r(t) o ra z sygnał różnicowy m ,(t)—m r(t). Sygnał sum aryczny p o zo staje w swej pierw otnej postaci sygnału o paśm ie podstaw ow ym ; jest o n przeznaczony d o o d b io ru m onofonicznego. Sygnał różnicow y oraz p o d n o śn a o częstotliw ości 38 k H z (otrzym yw ana z o scy lato ra kw arcow ego 19 k H z poprzez p o d w ajan ie częstotliw ości), są p o d aw a n e n a wejścia m o d u la to ra iloczynow ego, dając na jeg o wyjściu zm o d u lo w a n ą falę D SB-SC. O p ró c z sygnału sum acyjnego i zm odulow anej fali DSB-SC, zw ielo k ro tn io n y sygnał m(t) zaw iera także sygnał p ilo ta o częstotliw ości 19 kH z, służącej ja k o częstotliw ość odniesienia d la detekcji koherentnej sygnału różnicow ego, za­ chodzącej w o d b io rn ik u stereofonicznym . Z w ielo k ro tn io n y sygnał m(t) jest postaci:

184

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

m(t) = [m ł(0 + mr (i)] + [m /( i ) - m r(i)]cos(47i/cf) + /Ccos(27t/c0

(3.107)

gdzie: f c = 19kH z, a K a m p litu d a to n u pilotującego. Z w ie lo k ro tn io n y sygnał m(t) m o d u lu je w częstotliw ości g łó w n ą częstotliw ość n o śn ą d a ją c o stateczn ą p o stać n a d aw an eg o sygnału. P ilo to w i n a d a je się o d 8 d o 10 p ro c e n t dew iacji górnej częstotliw ości pasm a; am p liu d ę K w ró w n a n iu (3.107) d o b ie ra się ta k , ab y spełnić ten w arunek. W o d b io rn ik u stereofonicznym , zw ielo k ro tn io n y sygnał m(t) jest o d tw a rz a n y w procesie d em o d u lacji częstotliw ości o d b ieran ej fali F M , a n astęp n ie p o d a w a n y n a wejście demultipleksera p o k a z a n e g o n a rys. 3.45b. P oszczególne sk ład o w e zw ielo k ro tn io n eg o sygnału m(t) z o sta ją w ydzielone z a p o m o c ą o d p o w ied n ich filtrów . S ygnał p ilo tu jący o d tw o rzo n y z a p o m o cą w ąsk o p asm o w eg o filtru n astro jo n e g o na 19 k H z zo staje n astęp n ie p o d d an y p o d w a ja n iu częstotliw ości, ab y uzyskać sygnał p o d n o śn ej o częstotliw ości 38 kH z. Sygnał p o d n o śn ej um ożliw ia d etek cję k o h e re n tn ą zm o d u lo w an ej fali D SB -SC , a co za tym idzie o d tw o rzen ie sygnału różnicow ego m f t ) — m r(t). F iltr d o ln o p rz e p u sto w y p asm a p o d ­ staw ow ego, zn ajd u jący się w górnej gałęzi u k ła d u z rys. 3.45b je st ta k zap ro jek to w a n y , aby przepuszczał sy g n ał su m acy jn y m,(i) + mr(i). N a koniec, p ro sty m a trix e r d o k o n u je o d ­ tw o rzen ia sygnałów k a n a łu lew ego m,(t) i k a n a łu p raw eg o m ft) , k tó re zo stają d o p ro w a d z o n e d o o d p o w ied n ich głośników .

3 .1 2 . Układ z pętlą fa zo w ą Pętla fa z o w a (P L L ) jest u k ład em z u jem nym sprzężeniem zw ro tn y m , k tó re g o d ziałan ie jest blisko zw iązan e z m o d u la c ją częstotliw ości. M oże być sto so w a n a d o synchronizacji, p o d ziału /p o w ielan ia częstotliw ości o ra z pośredniej d em o d u lacji częstotliw ości. C elem naszego za in te re so w a n ia będzie to o sta tn ie zastosow anie. P ę tla fazow a sk ła d a się zasa d n iczo z trzech p o d staw o w y ch bloków : układu mnożącego, filtru pędow ego i oscylatora przestrajanego napięciem (V CO ), połączonych w pętli sprzężenia zw ro tn eg o , ja k n a rys. 3.46. V C O je st g e n e ra to re m fali sinusoidalnej, której częstotliw ość zależy o d p rzy ło żo n eg o napięcia p o ch o d ząceg o ze ź ró d ła zew nętrznego. K ażdy m o d u la to r częstotliw ości m o że więc pełnić rolę g e n e ra to ra V C O . Z ałóżm y, że g e n e ra to r V C O z o sta ł ta k n astro jo n y , iż przy napięciu sterującym rów nym zeru spełnione są d w a n astęp u jące w arunki: 1. C zęstotliw ość V C O je st d o k ła d n ie ró w n a częstotliw ości niezm odulow anej fali nośnej f c. 2. Przebieg n a w yjściu g e n e ra to ra V C O jest przesunięty w fazie o 90° w zględem nie"zm o d u lo w an ej fali nośnej. Z ałóżm y, że n a wejście pętli fazow ej d ziała sygnał F M o postaci: s(f) = 4 csin[2rc/t.r+ 0 , ( 0 ]

(3 108)

gdzie A c a m p litu d a fali nośnej. P rzy sygnale m o d u lu jący m m(t), k ą t 0 , ( 0 je st pow iązany z m(t) za p o m o c ą całki:

Fala FM

e

s(t) r

{

t

i

ł

)

Filtr pętlowy

y{/l

)

Oscylator sterowany napięciem

Rys. 3.46 P ętla fazowa

3.12. U K Ł A D Z P Ę T L Ą F A Z O W Ą

185

t A t) = 2 n k f j m (t)d t O

(3.109)

gdzie k f — czułość częstotliw ościow a m o d u la to ra częstotliw ości. N iech sygnał w yjściow y g e n e ra to ra V C O p ętli fazow ej będzie o p isa n y rów naniem : r(t) = / ł t,cos[2rc/ft + 0 2(r)]

(3.110)

gdzie A v — a m p litu d a d rg a ń g e n erato ra . G d y n a wejście g e n e ra to ra V C O d ziała napięcie sterujące u(r), k ą t (i) za p o m o c ą całki: r


(3.111)

gdzie k v — czułość często tliw o ścio w a g e n e ra to ra V C O , m ierzo n a w h ercach n a wolt. Z a d a n ie m pętli fazow ej je st w ygenerow anie na w yjściu g e n e ra to ra V C O tak ieg o napięcia r(t), k tó re g o k ą t fazow y (z d o k ła d n o śc ią d o ustalo n ej po czątk o w ej różnicy faz 90 stopni) je st ta k i sam , ja k faza w ejściow ego sy gnału F M s(t). Z m ien n o ść czasow a k ą ta 0 ,( t ) sygnału s(t) m oże być rezu ltatem m o d u lacji sygnałem inform acyjnym m(f) ja k w ró w n an iu (3.109), kiedy p rag n iem y o d tw o rzy ć x(t) celem estymacji sy gnału m(t). P rzy innych zasto so w an iach p ętli fazow ej, zm ien n y w czasie k ą t fazow y (¡>1(t) sygnału p rzy ch o d ząceg o s(r) m oże być n ie p o żąd an y m przesunięciem fazy w noszonym p rzez fluktuacje zach o d zące w k an ale telek o m u n ik acy jn y m ; w tym o sta tn im p rz y p a d k u p rag n iem y uzyskać śledzenie fazy sygnału w ejściow ego (i) tak , a b y w ytw orzyć sygnał o tak im sam ym kącie fazow ym d o celów detekcji k o h ere n tn ej (dem odulacji synchronicznej). A by zro zu m ieć d ziałan ie p ętli fazow ej k o nieczne jest utw o rzen ie odpow iedniego modelu pętli. D alej p rzed staw im y najpierw jej m odel nieliniow y, k tó ry zo stan ie n astęp n ie zlinearyzow any, celem u p ro szczen ia dalszej analizy.

N ie lin io w y m odel p ętli fa z o w e j13* Z g o d n ie z rys. 3.46, p rzy ch o d zący sygnał F M s(t) i sygnał w yjściow y g e n e ra to ra V C O r(t) są p o d a w a n e n a u k ład m nożący, n a w yjściu k tó reg o p o w stają dw ie składow e: 1. S k ład o w a o wielkiej częstotliw ości, re p re z e n to w a n a p rzez sk ład n ik o podwojonej częstot­ liwości: k mA cA v sin [4nfct +
A sin [ « M O - < M 0 ]

gdzie km — wzmocnienie układu mnożącego, m ierzo n e w w o lta c h - 1 . F iltr p ęd o w y w y stęp u jący w pętli fazow ej je st filtrem d o ln o p rzep u sto w y m , k tó reg o odpow ied ź n a sk ła d o w ą o wielkiej częstotliw ości m o żn a p o m in ąć. G e n e ra to r V C O też przyczynia się d o w y tłu m ien ia tej składow ej. P rzy pom inięciu składow ej o wielkiej częstotliw ości (tzn. sk ład o w ej o p o d w o jo n ej częstotliw ości), na w ejściu filtru p ęd o w eg o d ziała sygnał: e(t) = k mA tA v s i n [ 0 c(f)] gdzie 0 e(i) — błąd f a z y zdefiniow any jak o :

“

(3.112)

186

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

0 C(O = 0 1 ( 0 - 0 2 ( 0 = 0 1( O - 2 n / c J y ( i ) d i

(3.113)

F iltr pętlow y, w o d p o w ied zi n a sy g n ał e(f), w y tw arza sygnał w yjściow y u(r), k tó ry m o żn a zap isać w p o sta ci splotu: CO

y (0 =

f e{x)h {t-x )d t

(3.114)

— co

gdzie h(t) — od p o w ied ź im p u lso w a filtru pędow ego. Z a p o m o c ą ró w n a ń o d (3.111) d o (3.113) zn ajd u jem y zależność p o m iędzy k ą ta m i fazow ym i e(i) o ra z 0 X(O, w p o stac i n astęp u jąceg o nieliniow ego ró w n a n ia różniczkow o-całkow ego, o p isu jąceg o w łaściw ości d y n am iczn e pętli fazowej:

di

^

dt

- 2- n ................................................. K 0 J s i n [ 0 e(r)]/i(t —r ) d r

( 3 ,1 5 ,

CO

gdzie K 0 — parametr wzmocnienia pętli, o k reślo n y zależnością: K 0 = k mk v A c A v

(3.116)

A m plitudy A c i A v są m ierzo n e w w o ltach , w zm ocnienie u k ła d u m n o żąceg o k m w w o lta c h " *, a czułość często tliw o ścio w a k v w h ercach n a w olt. Ja k w ięc w y n ik a z ró w n a n ia (3.116), p a ra m e tr K 0 m a w ym iar częstotliw ości. R ó w n an ie (3.115) p o zw ala n a u tw o rzen ie sch em atu blokow ego pętli fazow ej, p o k a z a n e g o n a rys. 3.47. W m o d elu opisyw anym tym schem atem uw zględniono tak że zw iązek p o m ięd zy sygnałam i v(t) o ra z e(t), o p isa n y ró w n a n ia m i (3.112) i (3.114). M o d el ten p rz y p o m in a ja k w idać sch em at b lo k o w y z rys. 3.46. U k ła d m nożący, zn ajd u jący się n a w ejściu p ętli fazow ej z a stą p io n y tu z o sta ł w ęzłem różnicow ym i nieliniow oś­ cią sin u so id aln ą, a g e n e ra to r V C O in teg rato rem . N ieliniow ość sin u so id aln a w m o d elu z rys. 3.47 pow iększa zn aczn ie tru d n o ść analizy d z ia ła n ia pętli fazow ej. P o m o c n a staje się w ięc linearyzacja tego m o d elu , ta k ab y ułatw ić analizę, zach o w u jąc jed n o cześn ie d o b ry p rzy b liżo n y o p is zac h o w an ia się pętli w w ybranych ro d z a ja c h pracy. T y m się te ra z zajm iem y.

Liniow y m odel p ę tli fa zo w e j G d y b łąd fazy 0 e(i) je st zerow y m ów im y, że p ę tla fazow a zn ajd u je się w synchronizmie. W p rzy p a d k u , kiedy cf)e(t) p rzy b iera d la w szystkich czasów w arto ści m ałe w p o ró w n a n iu d o jed n eg o ra d ia n a , m o ż n a zasto so w a ć przybliżenie:

©, W)

Rys. 3.47. Nieliniow y m odel pętli fazowej

3.12. U K Ł A D Z P Ę T L Ą F A Z O W Ą

187

Rys. 3.48. M odele pętli fazowej: a) m odel linearyzow any, b) m odel uproszczony dla przy p ad k u , gdy w zm ocnienie je st d u żo większe od jedności

sin [ 0 ,( t) ] *
(3-117)

słuszne z błędem nie p rzek raczając y m 4 p ro c e n t d la 4>e(t) m niejszego o d 0,5 ra d ia n a . W tak im p rzy p ad k u m ów im y, że p ę tla z n a jd u je się w stan ie bliskim synchronizmu, a sin u so id aln ą nieliniow ość z rys. 3.47 m o ż n a p o m in ąć. M o żn a w ów czas za stą p ić pętlę fazow ą m odelem liniow ym , p o k a z a n y m n a rys. 3.48a. Z g o d n ie z tym m odelem , b łą d fazy (j>e(t) je st zw iązany z fazą (f>i(t) z a p o m o c ą liniow ego ró w n a n ia ró żn iczk o w o -całk o w eg o postaci: ^ ^ - + 2 n K 0 f (j>e( x ) h ( t- T ) d T = ^ ^ di _ ro di

(3.118)

T ran sfo rm u jąc ró w n a n ie (3.118) w dziedzinę częstotliw ości i ro zw iązu jąc je w zględem tran sfo rm aty F o u rie ra #«,(/) fazy chw ilow ej (pe(t), tra k to w a n e j ja k o funkcja tra n sfo rm a ty F o u rie ra # j ( / ) fazy chw ilow ej otrzym ujem y:

= TT u j ? ™

(3 1 1 9 )

F u n k c ja L ( f ) z ró w n a n ia (3.119) je st zd efin io w an a następująco: H f ) = K 03^p~

(3.120)

gdzie H { f ) — c h a ra k te ry s ty k a am p litu d o w o -fazo w a filtru pętlow ego. W ielkość L ( f ) zw an a jest ch a ra kterystyką amplitudowo-fazową otwartej pętli. P rzypuśćm y, iż d la w szystkich w artości częstotliw ości / leżących w p aśm ie p o d staw o w y m , m o d u ł funkcji U f ) p o zo staje dużo w iększy o d jed n o ści. W ów czas, ja k w y n ik a z ró w n a n ia (3.119),
188

i. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

J a k w idać n a rys. 3.48a, tra n s fo rm a ta F o u rie ra V ( f) sygnału w yjściow ego pętli fazowej v(t) zw iązan a je st z fu n k cją
,3.121)

K o rzy stają c z ró w n a n ia (3.120) m ożem y napisać: V ( f) =

(3.122)

V

P o d staw iają c ró w n an ie (3.119) d o ró w n a n ia (3.122) otrzym ujem y:

(/)=

l + U f)

* l(/)

<3 -123'

P rzy założeniu |L (/)| » 1 m ożem y ap ro k sy m o w ać ró w n an ie (3.123) następująco: V ( f) =

(3.124)

O dpow iednie ró w n a n ie w dziedzinie czasu m a postać:

2nkv

di

(3.125)

Przy zało żen iu , iż m o d u ł c h a ra k te ry sty k i o tw artej pętli L ( f ) je st d o stateczn ie duży w interesu jący m n as zakresie częstotliw ości, p ę tla fazow a m oże być więc tra k to w a n a ja k o u k ład różniczkujący, k tó re g o sy g n ał w yjściow y je st d o d a tk o w o m n o żo n y przez czynnik stały l/2jifct„ ja k n a rys. 3.48b. U proszczony m o d el z rys. 3.48b um ożliw ia p o śre d n ią m eto d ę z a sto so w a n ia pętli fazow ej ja k o d e m o d u la to ra częstotliw ości. G d y sygnał w ejściow y pętli jest sygnałem F M , ja k o p isany ró w n an iem (3.108), k ą t
(3.126)

R ów nanie (3.126) stan o w i, iż w p rz y p a d k u gdy p ę tla fazow a zn ajd u je się w stanie synchro n izm u , jej sy g n ał w yjściow y t'(i) jest p rak ty czn ie (z d o k ład n o ścią d o stałego czynnika kf ! K ) ta k i sam , ja k o ry g in aln y sygnał inform acyjny m(i); d o k o n a n a zo staje zatem d e m o d u la cja częstotliw ości p rzy ch o d ząceg o sy g n ału F M s{t). Is to tn ą cechą pętli fazow ej p racu jącej w c h a ra k te rz e d e m o d u la to ra jest to, żc szero k o ść p asm a p rzy ch o d ząceg o sy g n ału F M m oże znacznie p rzek raczać p a sm o sam ego filtru pętlow ego opisyw anego za p o m o cą c h a ra k te ry sty k i H (f). T a o sta tn ia c h a ra k te ry sty k a bow iem m o że i p o w in n a być o g ran ic z o n a d o p a sm a pod staw o w eg o . S ygnał sterujący o sc y la to ra V C O zajm uje w ów czas ta k ie sa m o p asm o , ja k sygnał info rm acy jn y m(r), p o d czas gdy sy g n ał w yjściow y tego o sc y lato ra jest szero k o p asm o w y m sygnałem zm o d u lo w an y m częstotliw ościow o, k tó reg o częstotliw ość chw ilow a p o zo staje d o k ład n ie ró w n a częstotliw o­ ści p rzy c h o d ząceg o sygnału F M . Jest to p o p ro stu p o w tó rn y m stw ierdzeniem fak tu , iż pasm o z m o d u lo w a n eg o sygnału F M jest zn aczn ie szersze o d p asm a sy gnału inform acyjnego, odp o w ied zialn eg o za jeg o generację.

3.12. U K Ł A D Z P Ę T L Ą F A Z O W Ą

189

Z ło ż o n o ść p ętli fazowej je st o k re ślo n a przez ty p c h a ra k te ry sty k i H ( f ) filtru pętlow ego. N a jp ro stsz ą p o stać p ętli uzyskuje się w p rzy p a d k u , gdy H ( f ) = 1; to znaczy gdy nie m a w ogóle filtru pętlow ego. W tym p rz y p a d k u p ętla fazow a n o si nazw ę pętli fa zo w ej pierwszego rzędu. W p rz y p a d k u pętli fazow ych w yższych rzędów , c h a ra k te ry sty k a H ( f ) p rzy b iera b ard ziej z ło ż o n ą postać. R ząd pętli fazow ej o k reślo n y je st sto p n iem w ielom ianu m ian o w n ik a transmitancji pętli zamkniętej, określającej tra n sfo rm a tę V ( f ) sygnału w yj­ ściow ego w funkcji tra n sfo rm a ty ja k to w ynika z ró w n a n ia (3.123). P o d staw o w y m o g raniczeniem jest w p rz y p a d k u p ętli fazow ej pierw szego rzędu fakt, iż p a ra m e tr w zm o cn ien ia K 0 k o n tro lu je z a ró w n o szerokość p asm a pętli, ja k i zak res trzy m an ia (synchronizacji) częstotliw ości pętli; przy czym zakres częstotliwości trzymania jest to zak res częstotliw ości, d la k tó re g o p ę tla p o zo staje w stan ie sy n ch ro n izm u w zględem sygnału w ejściow ego. Z tego w zględu p ę tla pierw szego rzęd u je st rz a d k o sto so w a n a w p rakty ce. D lateg o w dalszej części teg o p a ra g ra fu będziem y zajm o w ać się tylko p ętlą fazow ą d ru g ieg o rzędu.

Pętla fa z o w a drugiego rzędu D la u stalen ia uw agi ro z p a trz y m y obecnie pętlę fa zo w ą drugiego rzędu z filtrem pętlow ym 0 c h arak te ry sty c e am p litu d o w o -fazo w ej o postaci: HU j= \ + y f

(3.127)

gdzie a — stała. F iltr ten sk ła d a się z in te g ra to ra (ze w zm acniaczem operacyjnym ) 1 bezpośred n ieg o p o łączen ia, ja k p o k a z a n o n a rys. 3.49. P o d sta w ia ją c ró w n an ie (3.127) d o (3.119) uzyskujem y n a stę p u ją c e ró w n a n ie ro zp atry w an ej pętli:

Ąf)

eU'

1+

Uiflłal + CG/)2/«X 0]

(3 128)

(3-128)

D efiniujem y te ra z częstotliwość własną pętli: (3.129)

f. = J a K „ o raz współczynnik tłumienia:

(3.130)

‘ - ' I r

___

2 T u fZ

Rys. 3.49. F iltr pędow y dla pętli fazowej drugiego rzędu

190

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

P rzek ształcim y te ra z w zó r (3.128) w p ro w ad zając p a ra m e try /„ o ra z £: 0 ///J 2 A

f )

i

+

i

c

a

m

+

w

f

< 3 1 3 1 )

Z ałóżm y, iż p rzy ch o d zący sy g n ał F M w y tw arzan y je st przy m o d u lacji pojedynczym to n em sinusoid aln y m , d la k tó re g o faza w ynosi: 0 ,( i ) = /*sin(2*/m0

(3.132)

W tym p rz y p a d k u , z ró w n a n ia (3.131) o trzy m u jem y w yrażenie n a b łąd fazy w postaci:
(3.133)

gdzie a m p litu d a e0 i faza ij/ w y rażają się o d p o w ied n io zależnościam i: ó o raz

M im /M

{n-(sjfyi2+4c2(fjf,ryi2 i// = yn —ta n - i1

( 3 - 1 3 4 )

(3-135)

N a ry su n k u 3.50 w y k reślo n o a m p litu d ę (pe0 b łęd u fazy, zn o rm a liz o w a n ą w zględem Af/fn, w funkcji f j f n d la ró żn y ch w arto ści £. Jest oczyw iste, iż d la w szystkich w arto ści w spółczyn­ n ik a tłu m ien ia £, przy u stalo n ej w arto ści dew iacji częstotliw ości A/, b łąd fazy je st niew ielki przy m ałych częstotliw ościach m o d u lu jący ch , o siąg a m ak sim u m d la częstotliw ości/*, = /„ ,

Rys. 3.50. C h arak tery sty k a am p litu d o w a błędu fazy pętli fazowej drugiego rzędu

191

3.12. U K Ł A D Z P Ę T L Ą F A Z O W Ą

a dalej s p a d a p rz y w yższych częstotliw ościach m o d u lu jący ch . W a rto zauw ażyć, iż m ak sy m al­ n a w arto ść b łęd u fazy zm niejsza się w raz ze w zrostem w sp ó łczy n n ik a (. T ra n s fo rm a ta F o u rie ra sy g n ału w yjściow ego p ętli zw iązan a jest z tra n sfo rm a tą 4>Jf) 23 p o m o c ą ró w n a n ia (3.121); a w ięc p rzy c h arak te ry sty ce H ( f ) opisanej w zorem (3.127) otrzym am y:

w

= ^

( 1+?

) ^

(3136)

W św ietle definicji d a n ej ró w n a n ia m i (3.129) o ra z (3.130), w zó r (3.136) p rzy b iera postać: 2

Hi

fi kf k v

V { f) =

* e (f)

(3.137)

P o d staw iają c ró w n a n ie (3.131) d o (3.137) o trzy m u jem y wzór:

G//U[i+2C(j/zrj3

V {f) = ( r . Ź n Z s . r . n i K ( / > 1 + m i f / f n ) + df/fn)

(3*138)

D latego, d la fazy sy g n ału w ejściow ego < ^ (0 określonej ró w n an iem (3.132), sygnał w yjściow y pętli fazow ej jest rów ny: u(i) = A 0cos{2nfmt + ol)

(3.139)

gdzie a m p litu d a A 0 i faza a w y n o szą o d p ow iednio: ( W

_

JA.r\ — 0

{

u

-

(

f l + f

j f

y

y

+

W 4 t;2v

] 1' 1 M

2 y

12

( 3 1 4 0 )

oraz

a = ta n

" W J to

(3.141)

_1 Z ró w n a n ia (3.140) w idać, że a m p litu d a A 0 o siąg a m ak sim u m ró w n e A f/k v d la ( f j f n) = 0; m aleje ze w zrostem f j f n, d ą ż ą c d o z e ra przy ( f j f n) -» co. W ażn a cech a p ętli fazow ej d ru g ieg o rzęd u p o leg a n a tym , że przy sygnale w ejściow ym F M p o w stały m p rz y sin u so id aln ej fali m o d u lu jącej o stałej am p litu d zie (gdy dew iacja częstotliw ości p o z o sta je stała) i zm ieniającej się częstotliw ości, c h a ra k te ry sty k a częstotliw ościow a pętli w yznaczająca b łą d fazy 0 e(r) stan o w i o d p o w ied n ik filtru śro d k o w o przepusto w eg o [z o b a c z ró w n a n ie (3.134)], lecz c h a ra k te ry sty k a w yznaczająca sygnał w yjściow y p ętli t;(i) o d p o w ia d a c h a rak te ry sty ce filtru d o ln o p rzep u sto w e g o [z o b a c z ró w n an ie (3.140)]. D lateg o , p o p rz e z o d p o w ied n i d o b ó r p a ra m e tró w £ i f n w yznaczających p o stać c h arak te ry sty k i częstotliw ościow ej pętli, m ożliw e je st u trzy m y w an ie n a tyle m ałego błędu fazy, b y p ę tla fazo w a p ra c o w a ła w zakresie liniow ym , a jed n o cześn ie sygnał m o d u lu jący (inform acyjny) b y ł o d tw a rz a n y n a w yjściu pętli z m inim alnym i zniekształceniam i. Jest to jed n ak o g ran iczen ie zachow aw cze, jeśli ch o d zi o m ożliw ości u zy sk iw an ia sy n ch ro n izm u pętli. N ależy tu p rzy jąć sensow ną regułę m ó w iącą, iż p ę tla p o w in n a zn ajd o w ać się w stan ie sy n ch ro n izm u , gdy w a rto ść m a k sy m a ln a b łę d u fazy 0 eO (w ystępująca w p rz y p a d k u , gdy częstotliw ość m o d u lu ją c a f m je st ró w n a częstotliw ości w łasnej p ętli /„) p o z o sta je zaw sze m niejsza o d 90 sto p n i.

192

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

Eksperyment komputerowy II

Wchodzenie pętli fazowej w synchronizm14)

G d y p ę tla fazow a je st sto so w a n a d o detekcji k o h ere n tn ej (d em o d u lacji synchronicznej), p ętla m usi n ajp ierw zsy n ch ro n izo w ać się z sygnałem w ejściow ym , a n astęp n ie śledzić za zm ia n a m i czasow ym i jeg o k ą ta fazow ego. M am y tu d o czynienia z p ro cesem wchodzenia pętli w synchronizm, a n astęp n ie z p ro cesem n a d ą ż a n ia za zm ian am i k ą ta sy gnału w ejściow ego, zw an y m procesem śledzenia. P rzy w chodzeniu pętli w sy n ch ro n izm , a p rzy ­ puszczalnie ta k ż e w stan ie śledzenia, b łą d fazow y 4>e(t) pom iędzy sygnałem w ejściow ym s(t) a sygnałem w yjściow ym r(r) o scy lato ra V C O p o z o sta je duży, przez co nie jest m ożliw e sto so w an ie m o d elu liniow ego pętli, p o d a n e g o na rys. 3.48a. W tym p rz y p a d k u niezbędne staje się za sto so w a n ie m o d elu nieliniow ego z rys. 3.47. A naliza nieliniow a p rocesu w ch o d zen ia pętli w sy n ch ro n izm , o p a rta na tym o sta tn im m o d elu w y k racza je d n a k p o za za k res tej książki. W o b ecn y m eksperym encie zasto su jem y sym ulację k o m ­ p u tero w ą d o z b a d a n ia p ro c e su w ch o d zen ia w sy n ch ro n izm , a b y u zyskać pew ien w gląd w n ie k tó re cechy teg o procesu. W eźm y p o d u w ag ę p ętlę fazow ą d ru g ieg o rzędu o n astęp u jący ch p ara m etra ch : P a ra m e tr w zm o cn ien ia w pętli

C zęstotliw ość w łasna

/ , = 4 - Hz

W sp ółczynnik tłu m ienia

i = 0,3; 0,707; 1,0

N a ry su n k u 3.51 p rze d sta w io n o zm ian y błędu fazy (¡>e{t) w funkcji czasu, d la trzech w arto ści w spółczynnika tłu m ien ia (, przy k ro k u częstotliw ości w ynoszącym 0,125 H z. U zyskane

0.6

0,4

0

5

10

15

20

25

30

C zas t (s) Rys. 3.51. O dpow iedź jed n o stk o w a błędu fazy e(t) przy różnych w artościach w spółczynnika tłum ienia ć

193

3.13. N I E L I N I O W E Z J A W I S K A W S Y S T E M A C H F M

w ykresy w sk az u ją n a to , iż w spółczynnik tłu m ien ia £ = 0,707 zap ew n ia najlepszy k o m p ro m is pom iędzy szy b k o ścią d o ch o d ze n ia d o sy n ch ro n izm u , a oscylacyjnym c h a ra k te re m tego procesu. N a ry su n k u 3.52 p o d a n o zm ian y częstotliw ości chw ilow ej o sc y la to ra V C O w funkcji czasu d la n astęp u jący ch p a ra m e tró w p ętli fazow ej, przy trzech różnych k ro k a c h zm ian częstotliw ości sygnału wejściow ego: 50 P a ra m e tr w zm o cn ien ia w p ętli K 0 = “ Hz 2n C zęsto tliw o ść w łasn a

f„ = “

W sp ółczynnik tłu m ien ia

C = 0,707

Z n

Hz

P rzebieg n a ry su n k u 3.52a o d p o w ia d a k ro k o w i częstotliw ości A / = 0,125 H z, d la k tó reg o b łąd częstotliw ości i b łąd fazy są ró w ne zeru po zak o ń czen iu p ro cesu w chodzenia w sy n ch ro n izm (tzn. p o dojściu pętli d o sta n u ustalonego). P rzeb ieg na ry su n k u 3.52b o d p o w ia d a k ro k o w i częstotliw ości A / = 0,5 Hz; dynam iczne w łaściw ości pętli w czasie w chodzenia w sy n ch ro n izm są tu bardziej sk o m p lik o w an e. C h o ciaż w arto ść u sta lo n a błędu częstotliw ości w ynosi tak że zero, w pętli zach o d zi zjaw isko zw ane poślizgiem cyklu. W ystępuje tu m ianow icie b łąd fazy w ynoszący 2n rad ian ó w , o d p o w iad ający p o ­ ślizgowi o jed en cykl. P rzebiegi n a ry su n k ac h 3.52c o ra z 3.52d o d n o szą się o d p o w ied n io d o k ro k ó w częstotliw ości 7/12 H z i 2/3 Hz. P ę tla d o zn aje poślizgu o d p o w ied n io o d w a i trzy cykle. P oślizg cyklu je st zjaw iskiem n iep o żąd an y m , p o n iew aż p o w o d u je w zrost b łęd u fazy w funkcji czasu. B łąd ten m o że n aw et n a ra s ta ć w sp o só b nieograniczony, jeśli nie będzie się go k o n tro lo w a ć w o d p o w ied n i sposób.

3 .1 3 . N ie lin io w e zjaw iska w systemach F M W p o p rzed n ich trzech p u n k ta c h zajm ow aliśm y się te o rią m o d u lacji częstotliw ości o ra z m etodam i uzy sk iw an ia m o d u lacji i d em odulacji. Z ak o ń czy m y te ra z ro zw ażan ia n a tem at m odulacji częstotliw ości, ro z p a tru ją c nieliniow e zjaw iska zach o d zące w system ach F M . Nieliniowości w y stęp u ją w takiej czy innej form ie, we w szystkich u k ła d a c h elektrycznych. N ależy ro z p a try w a ć d w a p rzy p a d k i nieliniow ości: 1. O nieliniow ości m ów im y, że jest silna, gdy w p ro w a d z o n a z o sta ła d o u k ła d u w sp o só b św iadom y i k o n tro lo w a n y d la k o n k re tn e g o zasto so w an ia. Z a p rzy k ład u k ład ó w z silną nieliniow ością m o g ą służyć m o d u la to ry k w a d rato w e, ograniczniki i pow ielacze często t­ liwości. 2. O nieliniow ości m ów im y, że je st słaba, gdy p o ż ą d a n e je st liniow e d ziałan ie u k ład u , a nieliniow ości o c h a ra k te rz e p aso ży tn iczy m są rez u ltatem nieidealności tego u k ład u . S k u tk iem istn ien ia ta k ic h słabych nieliniow ości jest ograniczenie użytecznego p o zio m u sygnałów w u k ład zie, co stan o w i p o w ażn y p ro b lem przy je g o p ro jek to w an iu . W obecn y m p u n k cie z b a d a m y efekty w yw oływ ane przez słabe nieliniow ości, w ystępujące przy m o d u lacji często tliw o ści15>. W eźm y p o d uw agę k a n a ł telek o m u n ik acy jn y , k tó re g o w łaściw ości o k reśla n a ­ stęp u jąca n ielin io w a relacja wejście-wyjście: y0(i) = a 1u1.(r) + a 2i.’?(i) + a 3r l ( 0 13 S ystem y te le k o m u n ik a c y jn e

c l

.

1

(3.142)

194

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A Q

gdzie: y,(f) i v0(t) o d p o w ied n io sy g n ał w ejściow y o ra z w yjściow y, a lt a 2, a 3 — stałe w spółczynniki. R ó w n an ie (3.142) je st o b ciętą w ersją ró w n a n ia (3.82) sto so w an eg o ju ż przy ro z p a try w a n iu p o w ielan ia częstotliw ości. O k a n a le o p isan y m ró w n an iem (3.142) m ów im y, że jest bezinercyjny, gdyż sy g n ał w yjściow y r 0(i) je st funkcją w arto ści chw ilow ej sygnału w ejściow ego t?f(t) (tzn. w opisie tym nie w ystępuje zjaw isko m ag azy n o w an ia energii). P rag n iem y w yznaczyć efekt zw iązany z tra n sm isją fali zm o d u lo w an ej częstotliw ościow o przez k a n a ł o p o d a n y c h w łasnościach. Sygnał F M je st o k reślo n y w zorem : vi(t) = / ł ccos [2rc/cf + 0 (r)]

3.13. N I E L I N I O W E Z J A W I S K A W S Y S T E M A C H F M

195

c

d

Rys. 3.52. Z m ian y częstotliw ości chwilowej o scy lato ra pętli fazowej sterow anego napięciem d la różnych k ro k ó w zm iany częstotliw ości A /: a) A / = 0,125 Hz, b) A / = 0,5 Hz, c) A / = 7/12 H z, d) A/ = 2/3 H z

gdzie:

(f>(t) = 2 n k f $ m ( t) d t o

196

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

D la p o d a n e g o sy g n ału w ejściow ego, z ró w n a n ia (3.142) otrzym ujem y: »•(0 = a i A ecos[2icf( t + 0 ( 0 ] + a 2/l^ c o s 2 [2 n f ct + <£(*)] +

(3.143)

+ a 3,4;!cos3 [2 Kfct + («)] P o d n o sz ą c sk ła d n ik i tego w y rażen ia o d p o w ied n io d o k w a d ra tu i d o sześcianu o raz d o k o n u ją c red u k cji w yrazów p o d o b n y ch , uzyskujem y w yrażenie:

(3.144)

Sygnał w yjściow y k a n a łu z a w ie ra więc sk ład o w ą sta łą o ra z trzy sk ład o w e zm o d u lo w an e częstotliw ościow o o częstotliw ościach nośnych f c, 2f c, 3f c; w n o szo n e o d p o w ied n io przez liniow y, k w a d ra to w y i sześcienny sk ład n ik w yrażenia (3. 142). W celu w y o d rę b n ie n ia p o ż ą d a n e g o sy gnału z w yjścia k a n a łu f 0(i), tzn. składow ej o częstotliw ości nośnej f c, k o n ieczn e je st jeg o oddzielenie o d najbliżej p o łożonej na osi częstotliw ości składow ej o częstotliw ości nośnej 2f c. N iech A /o z n a c z a dew iację często tliw o ­ ści przy ch o d ząceg o sy g n ału F M vĄt), a W najw yższą częstotliw ość z a w a rtą w sygnale inform acyjnym m(t). S to su jąc regułę C a rs o n a o ra z zauw ażając, iż dew iacja częstotliw ości w o k ó ł d rugiej h arm o n iczn ej częstotliw ości nośnej je st p o d w ó jn a, o trzy m u jem y w aru n ek konieczny, k tó re g o spełnienie zap ew n ia w ydzielenie p o żą d a n e g o sygnału F M o często tliw o ­ ści nośn ej f c o d składow ej o częstotliw ości nośnej 2f c. M a on postać: 2 X ~ ( 2 A /+ W ) > / c+ A / + W lub f > 3 A /+ 2 J F

(3.145)

S tosując filtr śro d k o w o p rz e p u sto w y o częstotliw ości środkow ej f c i szerokości p asm a p rzep u sto w eg o 2 A / + 2 W, sy g n ał w yjściow y k a n a łu red u k u je się d o postaci: (3.146) W idzim y zatem , iż jed y n y m efektem przejścia sygnału F M przez k a n a ł nieliniow y ze zniekształceniam i am p litu d o w y m i, z a o p a trz o n y w o d p o w ied n i filtr, jest ty lk o z m ia n a jeg o am plitu d y . Inaczej niż w p rzy p a d k u m o d u lacji am p litu d y , m o d u lacja częstotliw ości jest o d p o rn a n a zn iek ształcen ia p o w stające przy tran sm isji przez k a n a ł nieliniow y. Z tego w łaśnie w zględu, m o d u la c ja częstotliw ości je st szero k o sto so w a n a w m ikrofalow ych system ach k o m u n ik ac ji radiow ej i satelitarn ej: um ożliw ia o n a sto so w an ie silnie nieliniow ych w zm ac­ niaczy i n a d a jn ik ó w dużej m ocy, co p o zw ala n a uzyskiw anie m ak sy m aln y ch m ocy przy częstotliw ościach radiow ych. S ystem y F M są je d n a k b a rd z o w rażliw e n a nieliniow ości p o w o d u jące zniekształ­ cenia fa zo w e , czego zresztą m o żn a się in tuicyjnie spodziew ać. C zęsto sp o ty k an y m w m ik ro ­ falow ych sy stem ach radiow ych ro d zajem zniekształceń fazow ych je st tzw. konwersja A M - P M . Je st o n a w ynikiem zależności c h a ra k te ry sty k fazow ych rep eteró w i w zm acniaczy sto so w an y ch w ty ch system ach, o d am p litu d y chw ilow ej sygnału w ejściow ego. W praktyce.

3.14. O D B I O R N I K S U P E R H E T E R O D Y N O W Y

197

konw ersja A M -P M c h a ra k te ry z o w a n a je st za p o m o c ą stałej K , m ierzonej w sto p n iach n a dB, k tó rą m o ż n a in te rp re to w a ć ja k o m a k sy m a ln ą zm ian ę fazy, p rzy p a d a ją c ą n a 1 dB zm iany obw iedni n a w ejściu. G d y fala F M p rze sy ła n a jest przez m ikrofalow e łącze rad io w e, d o zn aje o n a n iep o ż ąd a n y c h zm ian am p litu d y , sp o w o d o w a n y ch przez szum y i interferencje za­ chodzące w czasie transm isji. G d y ta k a fala F M przejdzie p rzez re p e te r z k o n w ersją A M -P M , sygnał w yjściow y będzie m iał n ie p o ż ą d a n ą m o d u lację fazy; będzie w ięc zniekształcony. W ażne jest u trzy m y w an ie konw ersji A M -P M n a o d p o w ied n io niskim poziom ie. D la p rzy k ład u , w p rz y p a d k u d o b re g o re p e te ra m ik ro falo w eg o sta ła K jest m niejsza o d 2 sto p n i n a dB.

3 .1 4 . O dbiornik su p erh etero d yn o w y16) W system ach radiofonicznych, z a ró w n o o p a rty c h n a m o d u lacji a m p litu d y ja k i m odulacji częstotliw ości, z ad a n iem o d b io rn ik a jest nie ty lk o d etek cja p rzy ch o d ząceg o sygnału zm o d u lo w an eg o , lecz p o n a d to w ypełnianie w ielu innych funkcji system u: • Dostrajanie się do częstotliwości nośnej, p rzez co d o k o n u je się w y b o ru p o żą d a n e g o sygnału (tzn. p o żąd a n ej stacji radiow ej lu b telewizyjnej). • Filtracja, w y m a g an a w celu o d d zielen ia sy gnału p o żą d a n e g o o d in n y ch sygnałów m o d u lo w an y ch , ja k ie p rzy c h o d z ą d o o d b io rn ik a . • Wzmacnianie, m ające n a celu k o m p en so w an ie s tra t m ocy sygnału, zach o d zący ch w trak cie transm isji. Odbiornik super heter o d yn ow y stan o w i ty p o d b io rn ik a , w k tó ry m trzy w ym ienione funkcje, a szczególnie pierw sze dw ie, d o k o n y w a n e są w sp o só b elegancki i p rak ty czn y . W o d b io rn ik u tym u n ik a się w szczególności p ro b le m u sk o n stru o w a n ia p rze straja n eg o filtru o dużej (i zm iennej) d o b ro ci. P ra k ty c z n ie w szystkie b u d o w an e o b ecn ie o d b io rn ik i rad io w e i telewi­ zyjne, są to o d b io rn ik i su p erh etero d y n o w e. O d b io rn ik o m aw ian eg o ty p u sk ła d a się w zasadzie ze sto p n ia wielkiej często tliw o ­ ści (w.cz.), m ieszacza w raz z o scy lato rem lo k aln y m , sto p n ia pośredniej częstotliw ości (p.cz.), d e m o d u la to ra i w zm acn iacza m ocy. T y p o w e p a ra m e try częstotliw ościow e p ro d u k o w a n y c h obecnie o d b io rn ik ó w rad io w y ch A M i F M zo stały p o d a n e w tablicy 3.3. N a ry su n k u 3.53 p rzed staw io n o sch em at b lo k o w y o d b io rn ik a su p erh etero d y n o w eg o A M z d e m o d u la to re m w p o staci d e te k to ra obw iedni. P rz y c h o d z ą c a fala z m o d u lo w a n a a m p litu d o w o zo staje o d e b ra n a przez an ten ę o d b io rczą i w zm o cn io n a w sto p n iu wielkiej częstotliw ości, n a stro jo n y m n a częstotliw ość n o śn ą o d b ieran ej fali. M ieszacz w ra z z o scy lato rem lo k aln y m (o stro jo n ej częstotliw ości) d o k o n u je o p eracji heter od y nowania, z a p o m o c ą k tó rej sygnał p rzy ch o d zący p o d leg a konw ersji polegającej n a p rzesu n ięciu g o n a z góry o k re ślo n ą i u sta lo n ą częstotliwość pośrednią, zw ykle n iższą o d częstotliw ości nośnej sy gnału przychodzącego. T o przesunięcie T ablica 3 3 . T Y P O W E P A R A M E T R Y C Z Ę S T O T L IW O Ś C IO W E O D B IO R N IK Ó W AM i F M O d b io rn ik Z ak res odbieranych częstotliw ości C zęstotliw ość pośrednia S zerokość p asm a p.cz.

AM

FM

0 ,5 2 5 -1 ,6 0 5 M H z 0,455 M H z 10 kH z

8 8 -1 0 8 M Hz 10,7 M H z 200 kH z

198

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

A ntena Głośnik

Rys. 3.53. P odstaw ow e elem enty o d b io rn ik a A M ty p u superheterodynow ego

częstotliw ości d o k o n y w a n e je s t bez n a ru sz e n ia relacji p o m iędzy w stęgam i bocznym i a sygnałem nośnym . W rezultacie h e te ro d y n o w a n ia p o w staje n o śn a częstotliw ość p o śred n ia o k reślo n a w zorem : fiF

= /

r f

~ /

lo

(3.147)

g d ń e : fw — częstotliw ość o scy la to ra lo k aln eg o , a f RF — częstotliw ość n o śn a przychodzącego sygnału w.cz. C zęsto tliw o ść f IF nazyw am y częstotliw ością p o śre d n ią (p.cz.), gdyż nie je st to an i częstotliw ość o ry g in aln eg o sy g n ału w ejściow ego, an i częstotliw ość sy gnału inform acyj­ nego, o trzy m y w an eg o n a w yjściu o d b io rn ik a . U k ład sk ład ający się z m ieszacza i o scy lato ra lo kalneg o n azy w an y je st często pierw szym detektorem , a w łaściw y d e m o d u la to r nazyw a się w ów czas drugim detektorem. B lok po śred n iej częstotliw ości sk ła d a się z je d n e g o lu b w iększej liczby w zm acniaczy rezonansow ych, o szero k o ści p a sm a od p o w iedniej d la d a n e g o ro d z a ju o d b ieran eg o sygnału. B lok ten je s t decydujący, jeśli ch o d zi o w zm ocnienie i selektyw ność całego o d b io rn ik a. Z w yjścia b lo k u po śred n iej częstotliw ości sygnał p o d aw a n y jest n a d e m o d u la to r, k tó reg o zad an iem jest odzyskiw anie sy g n ału inform acyjnego. P rzy z asto so w a n iu d e te k to ra k o h e re n t­ nego, w o d b io rn ik u zn ajd o w a ć się m usi odp o w ied n ie ź ró d ło sy gnału k o h eren tn eg o . K ońcow ym procesem zach o d zący m w o d b io rn ik u jest w zm ocnienie m ocy o d zy skiw anego sygnału inform acyjnego. M ieszacz o d b io rn ik a su p erh etero d y n o w eg o d o sta rc z a sy gnału pośredniej często t­ liwości, gdy częstotliw ość o d b ie ra n e g o sy gnału jest w iększa lu b m niejsza o d częstotliw ości o scy lato ra lo k aln eg o o w a rto ść ró w n ą częstotliw ości pośredniej. Są więc dw ie tak ie częstotliw ości o d b ieran e , a m ian o w icie | f LO ± f IF\, d la k tó y c h n a w yjściu m ieszacza pojaw i się sygnał pośredniej częstotliw ości f IF. P o ja w ia się w ięc m ożliw ość jed n o czesn eg o o d b io ru dw u sygnałów , k tó ry c h częstotliw ość ró żn i się o p o d w o jo n ą w a rto ść częstotliw ości pośredniej. D la p rz y k ła d u , o d b io rn ik n a stro jo n y n a częstotliw ość 1 M H z i m ający częstotliw ość p o śre d n ią ró w n ą 0,455 M H z będzie o d b ie ra ł d o d a tk o w o sygnał lustrzany o częstotliw ości 1,910 M H z. K a ż d y o d b io rn ik o tej częstotliw ości p ośredniej, n a stro jo n y n a d o w o ln ą częstotliw ość, je st w ięc n a ra ż o n y n a interferencję sygnału lu strzan eg o m ającego częstotliw ość o 0,910 M H z z w yższą o d częstotliw ości sy gnału p o żąd an eg o . S k o ro fu n k cją m ieszacza jest w ytw arzan ie sy g n ału o częstotliw ości różnicow ej, nie je st o n w stan ie ro zró żn ić sygnału p o żą d a n e g o o d sy g n ału lu strzan eg o i k ażd y z nich sp o w o d u je pojaw ienie się n a wyjściu m ieszacza sy g n ału o częstotliw ości pośredniej. Jed y n y m p rak ty czn y m sp o so b em p o zb y cia się interferencji sy g n ału lu strzan eg o jest zasto so w a n ie w b lo k u wielkiej częstotliw ości (tzn. pom iędzy a n te n ą a m ieszaczem ) sto p n i o dużej selektyw ności, c o faw oryzuje sygnał p o żąd a n y d y sk ry m in u jąc jed n o cześn ie n ie p o ż ą d a n y sygnał lu strzan y . E fektyw ność tłu m ien ia niepożą-

3.15. P O D S U M O W A N I E I D Y S K U S J A

199

d an y ch sy g n ałó w lu strzan y ch w zra sta w raz z liczbą selektyw nych sto p n i w b lo k u wielkiej częstotliw ości o ra z ze w zrostem sto s u n k u częstotliw ości pośredniej d o częstotliw ości sygnału odbieranego. P o d sta w o w a ró żn ica m iędzy o d b io rn ik iem su p erh etero d y n o w y m A M i F M p o leg a na z a sto so w a n iu o g ra n ic z n ik a -d y sk ry m in a to ra częstotliw ości w c h a ra k te rz e de­ m o d u la to ra F M . W system ie F M , in fo rm acja p rzek azy w an a je st za p o śred n ictw em zm ian częstotliw ości chw ilow ej sin u so id aln ej fali nośnej, k tó rej a m p litu d a p o zo staje stała. K a ż d a z m ia n a a m p litu d y fali nośnej n a wejściu o d b io rn ik a jest więc w ynikiem szum u lu b interferencji. Ogranicznik amplitudy, zn ajd u jący się b ezp o śred n io za blokiem częstotliw ości p o śred n iej, m a za z a d a n ie u su n ąć zm ian y a m p litu d y p o p rze z ucięcie w ie­ rzchołków fali zm o d u lo w an ej n a w yjściu b lo k u p.cz. na z a d a n y m poziom ie. P o w stająca w ten sp o só b fala p ro s to k ą tn a jest n a stę p n ie z a o k rą g la n a z użyciem filtru śro d k o w o p rzep u sto w eg o u su w ająceg o h arm o n iczn e częstotliw ości nośnej. S ygnał na w yjściu filtru staje się w ięc znów sin u so id aln y , a jeg o a m p litu d a p rak ty czn ie nie zależy od am p litu d y fali nośnej n a w ejściu o d b io rn ik a (zobacz Z a d a n ie 3.51).

3 .1 5 . P od su m o w an ie i dyskusja W tym ro zd ziale p o zn aliśm y z a sa d y m o d u lacji z falą ciągłą (C W ) i n ie k tó re w ażne m eto d y generacji i d em o d u lacji sygnałów zm o d u lo w an y ch . P rzy tej an alo g o w ej form ie m o d u lacji stosuje się sin u so id a ln ą falę n o śn ą, k tó rej a m p litu d a lub k ą t zm ieniane są w ta k t sygnału inform acyjnego. R o zró żn iam y w ięc d w a ro d za je m o d u lacji C W : m o d u lację am p litu d y i m odulację k ąta . M o d u lację a m p litu d y m o ż n a z kolei podzielić n a cztery typy, w zależności od ro d zaju w id m a sy g n ału zm o d u lo w an eg o . T e cztery typy m o d u lacji a m p litu d y i ich p rak ty czn e zalety są n astępujące: 1. S ta n d a rd o w a m o d u la c ja a m p litu d y (AM ), przy k tó re j o b ie w stęgi boczne, d o ln a i g ó rn a, są przesyłane w całości, w raz z falą nośną. W rezultacie, d e m o d u la c ja sygnału AM d o k o n y w a n a je st w o d b io rn ik u w raczej p ro sty sp o só b , n a p rz y k ła d z użyciem d e te k to ra obw iedni. Z teg o w zględu k o n w en c jo n a ln a m o d u la c ja A M je st pow szechnie sto so w an a w o d b io rn ik a c h radiofonicznych, gdzie m am y d o czynienia z je d n y m n ad ajn ik iem dużej m ocy i d u ż ą liczbą o d b io rn ik ó w , k tó re p o w in n y być w zględnie tanie. 2. M o d u la c ja dw u w stęg o w a bez fali nośnej (D SB -SC ), przy k tó rej p rzesy łan a je st ty lk o d o ln a i g ó rn a w stęga boczn a. U sunięcie fali nośnej o zn acza, iż m o d u la c ja D SB -SC w ym aga znacznie m niej energii d o p rzesłan ia d an eg o sygnału inform acyjnego, niż sta n d a rd o w a m o d u lacja A M . T a p rzew ag a m o d u lacji D S B -S C n a d p ełn ą m o d u lacją A M zo staje je d n a k o siąg n ięta za cenę zw iększonej złożoności o d b io rn ik a . M o d u lacja D S B -S C jest więc d o b rze d o sto so w a n a d o komunikacji z punktu do punktu, gdzie m am y d o czynienia z jed n y m n ad ajn ik iem i je d n y m o d b io rn ik iem . P rzy tym ro d z a ju k o m u n ik acji zm niej­ szenie przesyłanej energii staje się sp raw ą n ajisto tn iejszą i użycie bardziej sk o m ­ plik o w an eg o o d b io rn ik a je st w pełni u zasad n io n e. 3. M o d u lacja je d n o w stę g o w a (SSB), przy k tó re j tra n sm ito w a n a jest jed y n ie g ó rn a lu b d o ln a w stęga boczn a. M o d u la c ja ta stan o w i o p tim u m w tym sensie, iż w ym aga najm niejszej energii o ra z najm niejszej szerokości p a sm a k a n a łu d o przesy łan ia sy gnału inform acyjnego z je d n e g o p u n k tu d o drugiego. Z teg o w zględu, sp o śró d zn an y ch ty p ó w m o d u lacji C W , m o d u la c ja SSB je st p refero w an a przy tran sm isji przew odow ej sygnałów m ow y na duże odległości, g d y ż um ożliw ia zw iększenie odległości p o m iędzy wzmacniakami, k tó re są znacznie d ro ższe o d pro sty ch u rząd zeń końcow ych. W zm acn iak jest to p o p ro stu

200

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

szero k o p asm o w y w zm acniacz używ any w p o śred n ich p u n k ta c h linii przesyłow ej, służący d o sk o m p e n so w a n ia tłu m ien ia p rzesy łan eg o sygnału. SSB jest tak że preferow anym ro d zajem m o d u lacji C W w p rz y p a d k u , gdy m am y d o czynienia z kanałem selektyw nym częstotliwościowo. Z an ik i o d b io ru (tzw. fading) m ają m iejsce w łączności radiow ej w ów czas, gdy m am y d o czynienia ze zjaw iskiem wielodrożności, kiedy o d b ie ra n y sygnał zaw iera dw ie lu b więcej sk ład o w y ch d o cierający ch o d n a d a jn ik a d o o d b io rn ik a różnym i d ro g am i. W rezultacie m oże zachodzić znoszenie się pew nych sk ład n ik ó w n a d ro d ze interferencji, a s tą d zn aczn e n aw et zm iany m ocy o d b ieran eg o sygnału. O fadingu m ów im y, że jest selektyw ny częstotliw ościow o, gdy zjaw isko to silnie zależy o d częstotliw ości sygnału tra n sm ito w a n e g o d ro g ą rad io w ą. P rzy m o d u lacji SSB przesyłana je st ty lk o je d n a w stęga b o c z n a i d la te g o ten ty p m o d u lacji jest najm niej p o d a tn y n a fading selektyw ny częstotliw ościow o. 4. M o d u la c ja z częściow o stłu m io n ą w stęgą b o c z n ą (VSB), przy k tó rej „praw ie" cała je d n a w stęga o ra z „szczątki" d rugiej w stęgi bocznej są przesyłane w o d p o w ied n i k o m p le m e n ta r­ ny sposób. M o d u la c ja VSB w y m ag a k a n a łu o szerokości p asm a, pośredniej w sto su n k u do w ym aganych d la system ów SSB i D C B -S C , przy czym oszczędność n a paśm ie m oże być zn aczn a, gdy m am y d o czynienia z szero k o p asm o w y m i sygnałam i m o d u lu jący m i, ja k w p rzy p a d k u sygnałów telew izyjnych i szybkiej tran sm isji danych. System y D S B -S C , SSB i VSB są p rzy k ład am i modulacji liniowej, przy k tó rej sygnał m o d u lo w an y opisyw any je st k an o n iczn y m w yrażeniem : s(t) = s, (i) cos (2 n f ct) —sQ(t) sin (2 n f ct ) S k ład o w a synfazow a s,(t) je st p rz e sk a lo w a n ą w ersją sygnału inform acyjnego m(tj. S k ład o w a k w a d ra tu ro w a sQ(i) p o w staje n a to m ia st p o p rze z liniow ą filtrację sygnału m(t). Z godnie z z a sa d ą superpozycji, sy g n ał w yjściow y s(t) m o d u la to ra liczony je st ja k o su m a odpow iedzi m o d u la to ra n a poszczególne sk ład o w e sy gnału m(r). W tab licy 3.4 z e b ra n o w yrażenia opisujące sk ład o w e s,(i) o ra z SQ(i) w funkcji m(i), d la sygnałów m o d u lo w an y ch D SB -SC , SSB i VSB p rzy zało żen iu jed n o stk o w ej a m p litu d y fali nośnej. Z w ykła m o d u lacja am p litu d y nie

Tablica 3.4. R Ó Ż N E P O S T A C IE M O D U L A C JI L IN IO W E J

T y p m odulacji

Składow a synfazow a s,(t)

D SB-SC SSB: a) przesyłana w stęga g ó rn a

m(t)

Składow a k w ad ratu ro w a

K o m en tarz

sQ(i) 0

m(f) = sygnał inform acyjny

jj m {t ) = tran sfo rm ata H ilberta sygna­

-m (t)

łu m(i) b) przesyłana w stęga d o ln a

y " i(0

-y rn (t)

VSB: a) przesyłana stłum iona wstę­ ga d o ln a b) przesyłana stłum iona wstę­ ga g ó rn a

\

m ( t )

y m ( i)

y w 'W m'(t) = wyjście filtru o transm itancji H q ( j j d la m{t). H Q( f ) zdefiniow ane

w zorem (3.34)

3.15. P O D S U M O W A N I E / D Y S K U S J A

201

spełnia ściśle b io rą c definicji m o d u lacji liniow ej w odniesieniu d o sy gnału inform acyjnego. Jeśli bow iem s ,( f ) je st sygnałem A M w y tw o rzo n y m pzez sygnał info rm acy jn y m , (f), a s2(f) jest sygnałem AM w y tw o rzo n y m przez sygnał info rm acy jn y m2(i), to fala A M w y tw o rz o n a przez sum ę m jft) plu s m 2{t) nie je st z pew nością ró w n a Sj(i) plus s2(t). M im o to, odchylenie od liniow ości fali A M je s t raczej n ieisto tn e ta k , iż w iele p ro c e d u r m atem aty czn y ch o b o w iązu ją­ cych d la m o d u lacji liniow ej m oże być n a d a l sto so w an y ch . D la p rz y k ła d u , rep rezen tacja śro d k o w o p rz e p u sto w a m oże być n a d a l sto so w a n a d la fali A M , przy czym sk ład o w a synfazow a w ynosi Sj(i) = 1 + k a m(t), gdzie k a jest czułością a m p litu d o w ą m o d u la to ra , a sk ład o w a k w a d ra tu ro w a jest zero w a sQ(f) = 0. M o d u la c ja k ą ta dzieli się n a m o d u lację częstotliw ości (F M ) i m o d u lację fazy (PM ). P rzy m o d u lacji F M częstotliw ość chw ilow a sin u so id aln ej fali nośnej zm ienia się p ro p o r­ cjonalnie d o a m p litu d y sy g n ału inform acyjnego. W p rz y p a d k u m o d u lacji P M n ato m iast, faza fali nośnej zm ienia się p ro p o rc jo n a ln ie d o am p litu d y tego sygnału. C zęstotliw ość chw ilow ą definiuje się ja k o p o c h o d n ą fazy chw ilow ej w zględem czasu, z d o k ła d n o śc ią d o stałego czy n n ik a 1/(2 7t). M o d u la c je F M i P M są więc ściśle ze so b ą pow iązane; jeśli znam y w łaściw ości je d n e j z nich, m ożem y określić też w łaściw ości drugiej. Z tego w zględu, a także d lateg o , iż m o d u la c ja F M jest pow szechnie sto so w a n a w radiofonii, w iększość m ateriału dotyczącego m o d u lacji k ą ta p o św ięco n o m o d u lacji F M . W o d ró ż n ie n iu o d m o d u lacji a m p litu d y , proces m o d u lacji F M je st procesem nieli­ niow ym . Z g o d n ie z tym , an a liz a w id m o w a sy gnału F M jest znacznie trudniejsza, niż an aliza sygnału A M . M im o to , b a d a ją c p rz y p a d e k jed n o to n o w ej m o d u lacji F M , byliśm y w stan ie uzyskać znaczny w gląd we w łaściw ości w idm ow e sygnału F M . W szczególności, w y p ro w a­ dziliśm y em p iryczny w zór, zn an y ja k o reguła C a rso n a , p ozw alający oszacow ać w p rzy ­ bliżeniu szero k o ść p a sm a B T zajm o w an eg o p rzez sygnał F M . Z g o d n ie z tą regułą, p asm o B r zależy o d po jed y n czeg o p a ra m e tru : w sk aźn ik a m o d u lacji (i w p rz y p a d k u je d n o to n o w e j m odulacji F M lu b ilo razu dew iacji D d la m o d u lacji F M sygnałem niesinusoidalnym . P rz y m o d u lacji F M , a m p litu d a fali nośnej, a zatem i p rzesy łan a m oc, p o zo stają stałe. T o w łaśnie stan o w i o isto tn ej przew adze m o d u lacji F M n a d m o d u la c ją A M , jeśli chodzi 0 zw alczanie w pływ u szu m ó w i interferencji p o stro n ie odbiorczej system u. P ro b lem em tym zajm iem y się w ro zd ziale 5, p o u p rzed n im z a p o z n a n iu się z te o rią p ra w d o p o d o b ie ń stw a 1 teo rią p ro cesó w sto ch asty czn y ch w n astęp n y m rozdziale. P rzew ag a ta staje się tym w yraźniejsza, im bardziej w z ra sta w skaźnik m odulacji (iloraz dew iacji), gdyż rośnie w ów czas o d p o w ied n io szero k o ść p a sm a sy gnału przesyłanego. M o d u lacja częstotliw ości pozw ala n a u zyskanie p rak ty cz n e g o k o m p ro m isu pom iędzy szero k o ścią p a sm a k a n a łu a polepszeniem w łaściw ości szum ow ych, czego nie u d aje się u zyskać w p rz y p a d k u m o d u lacji am plitudy.

PRZYPISY I LITERATURA 1) T erm iny „fala ciągła” i „h eto ro d y n o w an ie” zostały po raz pierwszy użyte przez R eginalda Fessendena we wczesnych latach 1900-nych. 2) Szczegółowy opis m o d u la to ra pierścieniow ego używ anego d o w ytw arzania sygnałów m odulow anych D SB-SC, zobacz T u ck er (1953). 3) O d b io rn ik C o sta sa zo stał tak nazw any n a cześć swego w ynalazcy; zobacz C o stas (1956). 4) W punkcie 3.6 o p isa n o dw ie m etody generacji sygnału VSB, je d n ą o p a rtą n a schem acie z rys. 3.17a, a d ru g ą n a schem acie z rys. 3.18. W m ało przejrzystym artykule, Hill (1974) p odaje in n ą m etodę czasowej reprezentacji sygnałów VSB. Sygnał VSB jest w tej m etodzie zapisany w postaci iloczynu w ąskopasm ow ej „obw iedni” i sygnału SSB.

202

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

5) Z b ió r arty k u łó w dotyczących techniki telewizyjnej; zobacz książkę w ydaną przez Rzeszewskiego

(iyo4j. 6) D yskusja do ty cząca w ym agań n ak ład an y ch n a filtry przy generacji sygnałów m odulow anych SSB zobacz p racę K u rth a (1976). 7) O pis d ziałania transm isji ze zw ielokrotnianiem ; zobacz Bennett (1970, ss. 213 h- 218). D o d atk ow e inform acje n a tem at system ów F D M zaw arte są w opracow aniach: „T ransm ission System s for C o m m u n icatio n s”, Bell T elephone L ab o rato ries, ss. 1 2 8 + 1 3 7 (W estern Electric, 1971) oraz „Reference D a ta for R adio E ngineers”, In tern atio n al T elephone an d T elegraph C o rp o ra tio n ss. 30.23 + 30.27 (H. Sam s, 1968). 8) W p rzy p ad k u w ielotonow ego sygnału F M , sygnał m odulujący składa się z szeregu składow ych sinusoidalnych, dow olnych lu b pow iązanych ze so b ą zależnością harm oniczną. A naliza w idm ow a w ielotonow ych sygnałów F M ; zobacz książki: Blacka (1993) i P a n te ra (1965). 9) F unkcje Bessela odgryw ają w ażną rolę w rozw iązaniu pew nego ró w n an ia różniczkow ego, a także przy m atem atycznym form ułow aniu wielu problem ów fizyki. Szczegółowe om ów ienie tego zag ad ­ nienia; zobacz W ylie, B arrett (1982, ss. 572-625). T ablicę funkcji Bessela p o d a n o w d o d a tk u 4, na końcu książki. 10) Reguła C a rso n a do ty cząca szerokości pasm a sygnałów F M zo stała tak nazw ana n a cześć jej twórcy; C arso n i F ry (1937) napisali je d n ą z wczesnych klasycznych p rac n a tem at teorii m odulacji częstotliwości. 11) P ośrednia m eto d a generacji szerokopasm ow ych sygnałów F M zo stała po raz pierwszy za­ p ro p o n o w an a przez A rm stro n g a (1936). A rm stro n g był także pierwszym , k tó ry zw rócił uwagę na o dporność szum ow ą m odulacji częstotliwości. 12) Z w ielokrotnianie sygnałów stereofonicznych zw iązane je st zw ykle z transm isją rad io w ą z użyciem m odulacji częstotliw ości. M o żn a tu je d n a k stosow ać także m odulację am plitudy; szczegółowy opis p o d a n o w p racy M enniego (1978). 13) G dy pętla fazow a sto so w an a je st d o dem odulacji fali F M , musi zostać najpierw zsynchronizow ana z przychodzącym sygnałem F M , a następnie n ad ążać za zm ianam i fazy tego sygnału. W okresie w chodzenia w synchronizm , błąd fazy e(t) m iędzy przychodzącą falą F M a sygnałem wyjściowym oscylatora V C O jest duży, co w ym aga zastosow ania m odelu nieliniow ego z rys. 3.46. Pełny w ykład analizy nieliniowej pętli fazowej; zobacz G a rd n e r (1979), Lindsey (1972) i Viterbi (1966). W stępny opis właściwości pętli fazowej zo stał przedstaw iony przez S akrisona (1968, rozdział 10). Z b ió r arty k u łó w n a tem at pętli fazowej i jej zastosow ań; zobacz, podręcznik w ydany przez L indseya i S im o n a (1977). 14) K om puterow a sym ulacja pętli fazowej; zobacz książkę Jeruchim a, B alab an a i S h an m u n g an a (1992 ss. 578-597). 15) Szczegółowy opis właściwości i efektów system ow ych dotyczących słabych nieliniow ości, zobacz „T ransm ission System s for C o m m u n icatio n s”, Bell T elephone L ab o rato ries, ss. 237 + 278 (W estern Electric, 1971). 16) Szczegółowy opis d ziałan ia o d b io rn ik a superheterodynow ego; zobacz R a d io Engineerina handbook wyd. H enney ( 1959, ss. 19.34 + 19.41).

ZADANIA Zadanie 3.1 F a la n o śn a o częstotliw ości 1 M H z jest m o d u lo w a n a z g łębokością 50 p ro c e n t przez przebieg sin u so id aln y o częstotliw ości 5 k H z. O trz y m a n y sygnał A M je st p o d aw a n y n a wejście o b w o d u rezo n an so w eg o z rys. Z3.1, n a stro jo n e g o n a częstotliw ość n o śn ą, o d o b ro c i Q = 175. W yznaczyć n ap ięciow y sygnał zm o d u lo w an y n a zaciskach tego o b w o d u . J a k a je st głębokość m odulacji teg o sygnału?

3.15. P O D S U M O W A N I E I D Y S K U S J A

Źródło prądowe fali AM

203

R

^

Sygnał wyjściowy

I

Rys. Z3.1

Zadanie 3.2 D la d io d y p ó łp rzew o d n ik o w ej p-n, p rą d d io d y i zw iązany je st z napięciem w n a jej zaciskach zależnością: v i = I.

exp

-

-1

gdzie: / 0 — z w ro tn y p rą d nasycenia, a VT — napięciow y o d p o w ied n ik te m p e ra tu ry , o k reślo n y wzorem : kT V t

=

gdzie: k — sta ła B o ltzm an n a, w y ra żo n a w d żu lach n a kelvin, T — te m p e ra tu ra bezw zględna w sto p n ia c h K elvina, a e — ła d u n e k elek tro n u . W te m p e ra tu rz e pokojow ej, VT = 0,026 V. a) R ozw inąć i w szereg p o tęg o w y w zględem u, uw zględniając sk ład n ik i aż d o v3. b) N iech: v = 0 ,0 1 c o s(2 jt/mi) + 0,01cos(2T t/ct) V gdzie f m = 1 k H z o ra z f c = 100 kH z. W yznaczyć w id m o p rą d u d io d y i. c) O k reślić p a ra m e try filtru śro d k o w o p rzep u sto w eg o , służącego d o w ydzielenia z p rą d u dio d y sy g n ału A M o częstotliw ości nośnej f c. d) J a k a je st g łęb o k o ść m o d u lacji teg o sygnału A M ?

Zadanie 3.3 D an y jest elem ent nieliniow y o n astęp u jącej c h arak te ry sty ce prądow o-napięciow ej: i0 = aitfi + a 3yj gdzie: a , i a 3 — stałe. W yjaśnić, ja k o p ierając się n a o m aw ian y m elem encie utw orzyć: a) m o d u la to r iloczynow y, b) m o d u la to r am plitudy.

Zadanie 3.4 N a ry su n k u Z 3.2 p rz e d sta w io n o sch em at modulatora kwadratowego. Sygnał p o d aw a n y na elem ent nieliniow y je s t n a tyle m ały, iż m o ż n a ograniczyć się d o o p isu w postaci ch arak tery sty k i k w ad rato w ej: y2(r) = a l v ï ( t ) + a 2 v2i (t) gdzie: a v a 2 — stałe, v j (?) — napięcie w ejściow e, a v2{t) — napięcie w yjściow e. N apięcie wejściowe o k re śla zależność: u i (i) = A cc o s { 2 n fct) + m(t) gdzie m(r) — sy g n ał inform acyjny, a A cc o s { 2 n fct) — fala nośna.

204

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

Rys. Z3.2 a) W yznaczyć napięcie w yjściow e v 2(t). b) P o d a ć c h a ra k te ry sty k ę częstotliw ościow ą o b w o d u rezo n an so w eg o z rys. Z3.2, przy k tó rej u k ła d w y tw arza sygnał A M o częstotliw ości nośnej f c. c) Ile w ynosi czułość a m p litu d o w a tego sygnału A M ?

Zadanie 3.5 D an y je st sygnał A M o postaci: s(i) = Ą . [ l + p c o s(2 7 t/mt)]co s(2 rc/ci) gdzie m o d u lu jący sy g n ał sin u so id aln y m a częstotliw ość f m. N iech w spółczynnik m odulacji w ynosi p = 2, a częstotliw ość n o ś n a /£je st o w iele w iększa o d częstotliw ości/*,. Sygnał A M s(r) jest p o d a w a n y n a w ejście id ealnego d e te k to ra obw iedni, w ytw arzającego sygnał wyjściowy t/i) .

a) R ozw inąć przebieg u (i) w szereg F o u rie ra . b) Ja k i je st sto su n ek a m p litu d y d rugiej h arm o n iczn ej d o a m p litu d y składow ej podstaw ow ej sygnału t>(f)?

Zadanie 3.6 W eźm y p o d uw agę detektor kw adratow y, k tó re g o elem ent nieliniow y m a ch a ra k te ry sty k ę o postaci: v2(t) = a , gdzie: a x, a 2 — stałe, a (i)» ^ ( 0 — o d p o w ied n io napięcie w ejściow e i wyjściowe. Sygnał w ejściow y A M w y raża się zależnością: v x (0

= Ą [ l + kflm(r)]cos(2Tt/c0

a) W yznaczyć sygnał w yjściow y D2(r), b) P o d a ć w aru n k i, przy spełnieniu k tó ry c h sygnał inform acyjny m(r) m oże być odzyskany z sy gnału v2(t). Z adanie 3.7 Sygnał A M o p o staci s( 0 = 4 c[ l + kam(f)]cos(27i:/cr) jest p o d a w a n y n a wejście u k ła d u z rys. Z3.3. Z a k ła d a ją c , iż \kam(t)\ < I d la w szystkich t , o ra z że sygnał inform acyjny m(r) m a w id m o o g ran iczo n e d o przedziału a częstot-

3.15. P O D S U M O W A N I E I D Y S K U S J A

Układ kwad ratujący

205

Układ pierwia­ stkujący

Filtr dolnoprzepustowy

v 3(r)

Rys. Z3.3

Rys. Z3.4

liwość n o śn a sp ełnia w aru n ek f e> 2 W p o k azać, iż sygnał m(r) m oże zo stać odzyskany z sygnału w yjściow ego r 3(i) u k ła d u p ierw iastkującego.

Zadanie 3.8 W eźm y p o d uw agę sy g n ał inform acyjny m (r) o w idm ie p o k a z a n y m n a rys. Z3.4. P rzesyłane p asm o w ynosi W = 1 k H z. S ygnał ten jest p o d aw a n y n a wejście m o d u la to ra iloczynow ego w raz z falą n o śn ą A cc o s (2 n fct). N a w yjściu m o d u la to ra p o w staje sygnał m o d u lo w an y D SB -SC . S ygnał te n przychodzi n astęp n ie na wejście d e te k to ra k o h eren tn eg o . Z a k ła ­ d ając id ealn ą sy n ch ro n izację p o m ięd zy falam i nośnym i w m o d u la to rz e i d etektorze, w yznaczyć w idm o sy g n ału w yjściow ego d e te k to ra , d la dw u w artości częstotliw ości nośnej: a ) fc = k H z, b) f c = 0,75 k H z. J a k a je st najniższa w arto ść częstotliw ości nośnej, d la k tó rej k a ż d a sk ład o w a sy g n ału z m o d u lo w an eg o s(t) jest jed n o zn acz n ie o k reślo n a przez sy g n ał m(i)? Z adanie 3.9 N a ry su n k u Z3.5 p rz e d sta w io n o sch em at b lo k o w y modulatora zrównoważonego. Sygnał na wejściu g ó rn eg o m o d u la to ra A M w ynosi m(i), a sygnał n a wejściu d o ln eg o m o d u la to ra AM jest ró w n y —m(t); o b a m o d u la to ry m a ją ta k ą sam ą czułość a m p litu d o w ą. P o k azać , iż sygnał wyjściowy s(i) m o d u la to ra zró w n o w ażo n eg o jest zm o d u lo w an y m sygnałem D SB -SC .

Rys. Z3.5

206

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

Zadanie 3.10 N a ry su n k u 3.10 p rz e d sta w io n o sch em at m o d u la to ra pierścieniow ego. Z ałóżm y, iż w szystkie d io d y są identyczne, a tra n sfo rm a to ry iealnie zró w n o w ażo n e. N iech R o zn acza o p ó r obciążen ia n a w ejściu i w yjściu m o d u la to ra (zak ład ając id ealn e tra n sfo rm a to ry o p rzek ład n i 1:1). W yznaczyć n ap ięcie w yjściow e m o d u la to ra w o b u p rz y p a d k a c h , p rzed staw io n y ch o d p o w ied n io n a rys. 3.1 Ob i 3.10c. P o k a z a ć tym sam ym , iż o b a te napięcia w yjściow e są rów ne co d o a m p litu d y , a przeciw ne jeśli ch o d zi o biegunow ość.

Zadanie 3.11 M o d u lo w an y sy g n ał D S B -S C z o sta ł zd em o d u lo w an y za p o m o c ą d e te k to ra k o h eren tn eg o . a) O szaco w ać w pływ b łęd u A/ lo k alnej częstotliw ości nośnej d e te k to ra , m ierzonego w zględem częstotliw ości nośnej p rzy ch o d ząceg o sy gnału D SB -SC . b) D la p rz y p a d k u sin u so id aln ej fali m odulującej p o k azać, iż obecn o ść tego b łę d u często t­ liw ościow ego p o w o d u je dudnienia sy g n ału zd em o d u lo w an eg o z częstotliw ością A f. D la z ilu stro w a n ia o d p o w ied zi naszk ico w ać przebieg tego sy gnału zd em o d u lo w an eg o .

Zadanie 3.12 R ozw ażm y sygnał D S B -S C o postaci: s(r) = A cc o s ( 2 n f ct)m{t) gdzie: Ą .cos(2rcf ct) — fala n o śn a , a m(f) — sygnał inform acyjny. T e n sygnał zm o d u lo w an y p o d aw a n y je st n a elem ent nieliniow y o c h a ra k te ry sty c e k w ad rato w ej o postaci: y(t) = s 2(t) Sygnał w yjściow y y(t) je st n a stę p n ie p o d aw a n y n a wejście filtru w ąsk o p asm o w eg o o c h a ra k ­ terystyce am p litu d o w ej rów nej jed n o ści w paśm ie przep u sto w y m , częstotliw ości środkow ej 2f c o ra z szerokości p a sm a A f. Z ałó żm y , iż p a sm o A f je st n a tyle m ałe, a b y w idm o sygnału y(t) p o zo staw ało p raw ie stałe w całym p aśm ie p rzep u sto w y m filtru. a) W yznaczyć w idm o sy g n ału w yjściow ego y(i) elem en tu nieliniow ego. b) P o k azać, iż sy g n ał u(i) n a w yjściu filtru jest w przybliżeniu sin u so id aln y i wynosi: A2 v(t) = - ^ £ A / c o s ( 4 j t / cf) gdzie: E — en ergia sygnału inform acyjnego m(t).

Zadanie 3.13 R ozw ażm y k w a d ra tu ro w y system ze zw ielo k ro tn ian iem fali nośnej z rys. 3.16. Z w ie lo k ro t­ nio n y sy g n ał s(i) z w yjścia n a d a jn ik a z rys. 3.16a je st przesyłany k an ałem telek o m u n ik acy j­ nym o c h a ra k te ry sty c e H { f ) . Z w yjścia teg o k a n a łu sygnał przychodzi n a wejście o d b io rn ik a z rys. 3.16b. W ykazać, że w arunek: H ( f c+ f ) = H * ( f - f ) ,

O ^ f^ W

je st k o n ieczn y d o o d tw o rze n ia sygnałów m , (i) i m 2(t) n a o d p o w ied n ich w yjściach o d b io rn ik a: f c o zn acza częstotliw ość n o śn ą , a W szero k o ść p a sm a sygnału inform acyjnego. W skazówka: W yznaczyć w id m a o b u sygnałów w yjściow ych o d b io rn ik a.

3.15. P O D S U M O W A N I E I D Y S K U S J A

207

Zadanie 3.14 N iech w o d b io rn ik u k w a d ra tu ro w e g o system u ze zw ielo k ro tn ian iem fali nośnej z rys. 3.16 lo k aln y sy g n ał n o śn y służący d o d em o d u lacji je st o b a rc z o n y błędem fazy <}> w sto su n k u d o ź ró d ła fali no śn ej zn ajd u jąceg o się w n a d a jn ik u . Z a k ła d a ją c b ra k zn iek ształceń w k a n a le k o m u n ik acy jn y m , łączącym n a d a jn ik z o d b io rn ik ie m w ykazać, iż ten b łą d fazy sp o w o d u je przesłuchy m iędzy d w o m a zd em o d u lo w an y m i sy g n ałam i o trzy m y w an y m i n a o b u w yjściach o d b io rn ik a. P rzesłu ch em nazyw am y zjaw isko polegające n a tym , iż pew na część sy gnału inform acyjnego p o jaw ia się n a w yjściu o d b io rn ik a , należącym d o innego sy gnału in fo rm acy j­ nego i vice versa.

Zadanie 3.15 D la pew nego ty p u stereofonicznego sy g n ału A M sto su je się zw ielo k ro tn ian ie k w ad ratu ro w e. Sygnał n o śn y .4ccos(27t^.i) m o d u lu je tu m ian o w icie sygnał sum acyjny: m i ( 0 = U 0 + m ,(t)+ mr(t) gdzie. U 0 sk ła d o w a sta ła słu żąca d o n a d a w a n ia składow ej nośnej, m l — sygnał lewego k an ału akusty czn ego , a m r(t) — o d p o w ied n io sygnał praw ego k an ału . K w a d ra tu ro w a sk ład o w a n o śn a ,4esin (2 7 i£ i) m o d u lu je z kolei sygnał różnicow y: m2(t) = m f t ) - m r{t) a) P o k azać, iż z a p o m o c ą d e te k to ra o b w ied n i m o ż n a w ydzielić z sygnału zw ielo k ro tn io n eg o k w a d ra tu ro w o sk ład o w ą su m acy jn ą m,(t) + mr(i). J a k zm in im alizo w ać zniekształcenia sygnału w y tw arzan eg o p rzez d e te k to r obw iedni? b) P o k azać, iż d e te k to r k o h e re n tn y jest w sta n ie w ydzielić sk ład o w ą ró żn ico w ą m ,( i) - m r(i). c) Jak o trzy m u je się sygnały p o ż ą d a n e m,(t) o ra z m r (t)?

Zadanie 3.16 Jed n o to n o w y sy g n ał m o d u lu ją cy m(t) = A mc o s ( 2 n f mt) z o sta ł użyty d o w y tw o rzen ia sygnału VSB o postaci:

s(t) = ^ a A mA cco& l2n(fc + f J Q + j A mA J L l-a )c o & l2 n (ft - f J t ] gdzie a sta ła m n iejsza o d jed n o ści, rep rez en tu jąca tłum ienie górnej częstotliw ości bocznej. a) Z naleźć sk ła d o w ą k w a d ra tu ro w ą sy g n ału VSB s(t) b) Sygnał VSB plu s fala n o śn a A cc o s ( 2 n fct) z o sta ją przepuszczone prżez d e te k to r obw iedni. W yznaczyć zn iek ształcen ia p o w o d o w a n e przez sk ład o w ą k w a d ra tu ro w ą . c) Ile w ynosi w a rto ść stałej a, d la k tó rej te zn iek ształcen ia są najw iększe?

Zadanie 3.17 P okazać, iż sk ła d o w ą k w a d ra tu ro w ą sygnału VSB m o ż n a o trzy m ać przepuszczając tra n sfo r­ m atę H ilb e rta sy g n ału inform acyjnego p rzez filtr g ó rn o p rzep u sto w y . N aszk ico w ać c h a ra k ­ terystykę a m p litu d o w ą i fazow ą tego filtru.

208

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

Zadanie 3.18 D la sygnału in fo rm acy jn eg o o postaci: »w = w yznaczyć i n aszk ico w ać przebiegi zm o d u lo w an e n astęp u jący ch typów : a) M o d u lacja a m p litu d y o głębokości 50 procent. b) M o d u lacja d w u w stęg o w a bez fali nośnej. c) M o d u la c ja jed n o w stęg o w a z n ad aw an iem jed y n ie górnej w stęgi bocznej. d) M o d u la c ja jed n o w stęg o w a z n ad aw an iem jed y n ie dolnej w stęgi bocznej.

Zadanie 3.19 N a ry su n k u 3.24b p o k a z a n o sch em at b lo k o w y d w u sto p n io w eg o m o d u la to ra SSB. Sygnał wejściow y m(t) stan o w i sy g n ał m ow y zajm u jący p asm o częstotliw ości od 0,3 d o 3,4 kH z. C zęstotliw ości o scy lato ró w w y n o s z ą :/, = 100 k H z , / 2 = 10 M H z. a) W yznaczyć wstęgi boczne w szystkich sygnałów zm odulow anych w ystępujących w układzie. b) P o d a ć w ym agania, ja k ie m uszą spełniać filtry zn ajd u jące się w układzie, ab y sygnał w yjściow y s2(i) był sygnałem SSB zaw ierającym jed y n ie g ó rn ą w stęgę boczną. Jak ie jest p a sm o częstotliw ości zajm o w an e p rzez sygnał s2(i)?

Zadanie 3.20 O sc y la to r lo k a ln y służący d o d em o d u lacji sygnału SSB s(t) jest o b a rc z o n y błędem częstotliw ości A / m ierzo n y m w sto su n k u d o częstotliw ości nośnej f c n a d a jn ik a sygnału s(t). P ró cz tego zach o d zi pełny sy n ch ro n izm p o m iędzy o scy lato ram i o d b io rn ik a i n ad ajn ik a. W yznaczyć sy g n ał z d e m o d u lo w a n y w dw u n astęp u jący ch przy p ad k ach : a) Sygnał SSB s(i) zaw iera jed y n ie g ó rn ą w stęgę boczną. b) Sygnał SSB s(t) zaw iera jed y n ie d o ln ą w stęgę boczną.

Zadanie 3.21 N a ry su n k u Z3.6 p rze d sta w io n o sch em at blokow y m etod y Weavera służącej d o generacji m o d u lo w an y ch sygnałów SSB. S ygnał inform acyjny (m odulujący) m (t) jest ograniczony częstotliw ościow o d o zak re su f a^ \ f \ ^ f b- P o m o cn icza fala n o śn a d la pierw szej pary m o d u la to ró w iloczynow ych m a częstotliw ość / 0 b ęd ącą częstotliw ością śro d k o w ą tego pasm a, a m ianow icie: f fa +fb Jo ~ 2 F iltry d o ln o p rz ep u sto w e zn ajd u jące się w k a n a le synfazow ym i k an ale k w a d ratu ro w y m są identyczne, k ażd y o częstotliw ości górnej rów nej ( f b—f a)/2. F a la n o śn a d la drugiej pary m o d u la to ró w iloczynow ych m a częstotliw ość f c, k tó ra jest w iększa od ( f b—f a)/2. N a ­ szkicow ać w id m a sy g n ałó w w ró żn y ch p u n k ta c h m o d u la to ra z rys. Z3.6 i n a tej podstaw ie p o k azać, że: a) D la dolnej w stęgi bocznej, sk ład o w e p o ch o d zące z kanałów : synfazow ego i kw adratu ro w eg o , m a ją p rzeciw n ą po lary zację, a p o zsu m o w an iu ich n a wyjściu m o d u la to ra d o ln a w stęga b o czn a zo staje w yzerow ana. b) D la górnej wstęgi bocznej, sk ład o w e p o ch o d zące z kanałów : synfazow ego i kw adra tu ro w e g o , m ają je d n a k o w ą polaryzację, a p o zsu m o w an iu ich n a wyjściu m o d u la to ra d o ln a w stęga b o czn a zo staje p o d w o jo n a. __ c) J a k m o ż n a zm odyfikow ać u k ła d z rys. Z3.6, ab y n a d a w a n a była ty lk o d o ln a w stęga boczna?

209

3.15. P O D S U M O W A N I E I D Y S K U S J A

Modulator iloczynowy

»'(O

-

Filtr dolnoprzepustowy

-

Modulator iloczynowy

t cos

Faia SSB

t cos

( 2 i r f 0 t)

Modulator iloczynowy

'

-

Filtr dolnoprzepustowy -

Modulator iloczynowy

sin

sin ( 2 7r/0 r)

[ 2 i r f c t)

f ( 2 i r f c t)

Rys. Z3.6

Zadanie 3.22 a) N iech su(t) o zn acza sy g n ał SSB m ający jed y n ie g ó rn ą w stęgę b o czn ą, a su(l) będzie jego tra n sfo rm a tą H ilb erta. W ykazać, że z a c h o d zą zależności:

2

m{t) = — ls u(t)co s(2 n Jct) + śus m { 2 n f cty] A oraz M t ] = —7 - [śu(i ) cos (2 jc / c t) —su(i) sin (2 jx^ i )] Ac gdzie: m(t) sygnał inform acyjny, m(t) je g o tra n sfo rm a ta H ilb erta, f c — częstotliw ość n o śn a o ra z A c - a m p litu d a fali nośnej. b) W ykazać, iż o d p o w ied n ie ró w n a n ia d la sygnału SSB s,(t) m ająceg o jed y n ie d o ln ą w stęgę boczną m ają postać:

2

m{t) = —— [s, (i) cos (2 n ./f i ) 4- ś, sin (2 jt

i)]

oraz m (i) = — —[sj(i)co s(2 n f ct ) — ś,(i)sin(2Tr / f i)] C

c) K o rzy stają c z w y n ik ó w p u n k tó w a) i b), u tw o rzy ć sch em at b lo k o w y o d b io rn ik a słu żą­ cego d o d em o d u lacji sygnału SSB.

Zadanie 3.23 W eźm y p o d u w ag ę falę m o d u lo w an ą o postaci: s(t) = A cco s(2 jt / ci) + m (t)cos(27i f ct) — m (i)sin (2 ji f ct) 14 S ystem y te le k o m u n ik a c y jn e cz. 1

rep reze n tu jąc ą falę n o śn ą p lu s sygnał SSB, przy czym m(r) — sygnał inform acyjny, a m(t) — je g o tra n s fo rm a ta H ilb erta. W yznaczyć w aru n k i, w k tó ry ch id ealn y d e te k to r obw iedni przy sygnale w ejściow ym s(r) zapew ni n a w yjściu d o b rą ap ro k sy m ację sygnału inform acyj­ nego m(r).

Zadanie 3.24 a) Sygnał inform acyjny m(t) m a sk ład o w e sin u so id aln e o częstotliw ościach 100, 200 i 400 Hz. Sygnał ten p o d a w a n y je st n a w ejście m o d u la to ra SSB, w raz z falą n o śn ą o częstotliw ości 10 k H z, przy czym w y tw arza n a je st ty lk o g ó rn a w stęga boczna. O sc y la to r lo k aln y d e te k to ra k o h ere n tn eg o , sto so w an eg o d o o d zy sk iw an ia sygnału m(t), w y tw arza falę sin u so id a ln ą o częstotliw ości 100,02 k H z. W yznaczyć w idm o am p litu d o w e i fazowe sy g n ału n a w yjściu d e te k to ra. b) P o w tó rzy ć tę an alizę przy jm u jąc, iż przesyłana jest jedynie d o ln a w stęga boczna.

Zadanie 3.25 •

W idm o sygnału m ow y m (t) w ynosi zero poza przedziałem częstotliw ości f a < | / 1< f b. Aby zapew nić o c h ro n ę inform acji, sy g n ał ten p o d a w a n y je st n a wejście skramblera, będącego układem sk ład ający m się z k a sk a d o w o p o łączo n y ch n astęp u jący ch bloków : m o d u la to ra iloczynow ego, filtru g ó rn o p rz ep u sto w eg o , d ru g ieg o m o d u la to ra iloczynow ego o ra z filtru d o ln o p rzep u sto w eg o . F a la n o śn a p o d a w a n a n a pierw szy m o d u la to r iloczynow y m a częstotliw ość f c, a fala p o d a w a n a n a d ru g i m o d u la to r iloczynow y m a częstotliw ość ró w n ą f b + fó o b ie fale o am p litu d zie jed n o stk o w ej. F iltry: g ó rn o - i d o ln o p rzep u sto w y , m ają ta k ą sam ą częstotliw ość g ra n ic z n ą f c. P rzyjąć, iż f c> f b. a) W yznaczyć przebieg s(t) sy g n ału w yjściow ego sk ra m b le ra i naszkicow ać je g o w idm o. b) P o k a za ć , iż o ry g in aln y sy g n ał m ow y m (i) m oże być o d zy sk an y n a p o d staw ie sygnału s(i) z użyciem deskramblera, iden ty czn eg o ja k u k ład sk ra m b le ra ju ż opisany. Z adanie 3.26 W eźm y p o d uw agę falę SSB: s(t) = m (i)cos(27r/cf ) - m ( i) s in ( 2 jr /cf) g d z ie :/. częstotliw ość n o śn a , m(t) — sygnał inform acyjny, a m(t) — jeg o tra n sfo rm a ta H ilb erta. T a fala m o d u lo w a n a p o d a w a n a je st n a wejście nieliniow ego elem en tu o c h a ra k ­ terystyce k w ad rato w ej o postaci:

y(t) = S 2(t) W ykazać, iż sy g n ał w yjściow y y(t) zaw iera sk ład o w ą o częstotliw ości rów nej podw ojonej częstotliw ości n o śn ej, lecz o fazie zm ieniającej się w czasie, co czyni n iep rzy d atn y m odzyskiw anie fali no śn ej p rzez p o d n o szen ie d o k w ad ratu .

Zadanie 3.21 M e to d a u ży w a n a p rz y o d zy sk iw an iu fali nośnej w system ach m o d u lacji SSB p o leg a na p rzesy łan iu d w u częstotliw ości p ilo tu jący ch , d o b ra n y c h o d p o w ied n io w sto su n k u d o przesyłanej w stęgi. Z o sta ło to zilu stro w an e n a rys. Z 3.7a d la p rzy p a d k u , gdy tra n sm ito w a n a

3.15. P O D S U M O W A N I E / D Y S K U S J A

211

i(f!

jest d o ln a w stęga boczn a. W ty m p rz y p a d k u , dw ie częstotliw ości p ilo tu jąc e j \ o ra z f 2 są następujące: f , = f c- W - A f oraz /2=X +

a

/

gdzie: f c — częstotliw ość n o śn a , a W — szerokość przesyłanego pasm a. W arto ść A / zo stała tak d o b ra n a , a b y sp ełn iać zależność: W

n =

a7

gdzie n — liczb a n a tu ra ln a . O d zy sk iw an ie fali nośnej d o k o n u je się za p o m o c ą u k ład u o schem acie b lo k o w y m ja k n a rys. Z 3.7b. Sygnały w yjściow e d w u filtrów w ąsk o p asm o w y ch o częstotliw ościach śro d k o w y c h o d p o w ied n io / j o ra z J 2 są następujące: (i) = A l c o s ( 2 n f l t + 2) F iltr d o ln o p rz e p u sto w y je st ta k zap ro jek to w an y , ab y przep u szczał sk ład o w ą różnicow ą sygnału w yjściow ego pierw szego u k ła d u m n o żąceg o , n a k tó re g o w ejścia p rzy ch o d zą sygnały t>x(t) o ra z y2(i). a) P o k az ać , iż sy g n ał w yjściow y u k ła d u z rys. Z 3.7b jest p ro p o rc jo n a ln y d o sy gnału fali nośnej A cc o s ( 2 n f ct), gdy k ą ty fazow e 4>l o ra z
14*

=

01 l+ n

212

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

W yjście

Rys. Z3.8

b) D la p rz y p a d k u , gdy tra n sm ito w a n a jest g ó rn a w stęga b o czn a, częstotliw ości p ilotujące w ynoszą odpow iednio: fi = fc ~ * f o raz fi = i+ W + A f Ja k zm odyfikow ać u k ład o d zy sk iw an ia fali nośnej z rys. Z 3.7b, a b y go d o sto so w a ć d o tego p rzy p ad k u ? J a k a je st o d p o w ie d n ia relacja p o m iędzy , o ra z
at +

C O S (2 71f OL! )

bij]

+ COS (2 71f

bt + fi j ) ]

[co s (2 %fa t + a 2) + co s (2 k f bt + 0 2)] [co s (2 i i / 0t + a 3) + co s(2 7 i/fc+ 0 3)] a w y tw o rz o n e sygnały D S B -S C z o sta ją zsum ow ane, a n astęp n ie przesłane w spólnym kanałem . W o d b io rn ik u , d e m o d u la cję uzyskuje się m n o żąc sum ę sygnałów D SB -SC

213

3.15. P O D S U M O W A N I E l D Y S K U S J A

Filtr środkowoprzepustowy

co s k 2 v f(t)

Rys. Z3.9

oddzielnie przez k a ż d ą z fal n o śn y ch , a sk ład o w e n ie p o ż ą d a n e usuw a się za p o m o c ą o d p o w ied n ich filtrów . a) W yznaczyć w aru n k i, ja k ie p o w in n y sp ełn iać k ą ty fazow e a ,, a 2, o ra z /?l5 /?2, /?3, ab y sygnał w yjściow y fc-ego d e m o d u la to ra w ynosił m k(t), gdzie k = 1, 2, 3, 4. b) O kreślić m ak sy m aln y o d stę p częstotliw ości nośnych f a o r a z / 6 w sto su n k u d o szerokości p asm a sy g n ałó w w ejściow ych, a b y o p isan y u k ład d ziałał praw idłow o.

Zadanie 3.30 Z ad an ie to dotyczy p ro c e su m ieszan ia częstotliw ości w o d b io rn ik u su p erh etero d y n o w y m . D la u stalen ia uw agi ro z p a trz m y sch em at b lo k o w y mieszacza p o k a z a n e g o n a rys. Z3.9, skład ająceg o się z m o d u la to ra iloczynow ego z o scy lato rem lo k aln y m o zmiennej częstotliwo­ ści f o ra z filtru śro d k o w o p rzep u sto w eg o . S ygnał w ejściow y jest falą A M zajm u jącą p asm o 10 k H z, a jeg o częstotliw ość n o śn a m oże p rzy jm o w ać d o w o ln ą w arto ść z przedziału 0,535-1,605 M H z; p a ra m e try tak ie są ty p o w e d la rad io fo n ii A M . N ależy p rzesu n ąć te n sygnał do p asm a częstotliw ości leżącego w o k ó ł ustalonej częstotliwości pośredniej (p.cz.) w ynoszącej 0,455 M H z. W yznaczyć z ak re s stro jen ia o scy lato ra lo k aln eg o , zapew niający p o d an e w ym agania.

Zadanie 331 N a ry su n k u Z 3 .10 p o k a z a n o sch em at b lo k o w y heterodynowego analizatora widma. S k ła d a się on z o sc y la to ra o zm iennej częstotliw ości, u k ła d u m nożącego, filtru śro d k o w o p rzep u sto w eg o o raz m ie rn ik a w arto śc i skutecznej. S ygnał z o sc y la to ra m a am p litu d ę A, a jeg o częstotliw ość zm ienia się w zak resie o d f 0 do f 0 + W, gdzie f 0 jest częstotliw ością śro d k o w ą flitru, a W szero k o ścią p a sm a sygnału. Z a k ła d a m y , iż / 0 = 2 W, p a sm o p rzep u sto w e filtru A / jest m ałe w p o ró w n a n iu z f 0, a c h a ra k te ry s ty k a a m p litu d o w a tego filtru w paśm ie p rzep u sto w y m w ynosi jed en . W yznaczyć w a rto ść sk u tec zn ą sy gnału m ierzo n ą n a w yjściu a n a liz a to ra , gdy na wejście filtru d o ln o p rz e p u sto w e g o przychodzi sygnał g(t).

Sygnał wejściowy

g(t)

Oscylator o zmiennej częstotliwości

Rys. Z3.10

214

5. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

A

O

/f + A/

Rys. Z 3 .ll

Sygnał \nadanyA

* Echo

fc

fc -A f

Rys. Z3.12

Zadanie 3.32 N aszkicow ać przebiegi fal P M i F M zm o d u lo w an y ch sygnałem p iło k ształtn y m z rys. Z 3 .ll.

Zadanie 3.33 W radarze z modulacją częstotliwości, częstotliw ość chw ilow a n ad aw an ej fali nośnej zm ien ian a je st zgodnie z rys. Z 3.12, z użyciem tró jk ą tn e g o sy g n ału m o d u lu jąceg o . C z ę sto t­ liw ość chw ilow a o d b ie ra n e g o sy g n ału ech a z o sta ła n a rys. Z3.12 n a ry so w a n a linią przeryw aną, p rz y czym t je st o p ó źn ien iem sy g n ału o d b ie ra n e g o w zględem sy gnału n a d a w a ­ nego. O b a te sygnały są p o d a w a n e n a w ejścia m ieszacza, p rzy czym zach o w y w an a jest sk ład o w a o częstotliw ości różnicow ej. Z a k ła d a ją c , ż e / 0 t « 1, określić śred n ią liczbę cykli zd u d n io n eg o sygnału n a w yjściu m ieszacza w czasie jed n ej sekundy, w fukcji m aksym alnej dew iacji A /c z ę s to tliw o ś c i nośnej, o p ó źn ien ie t o ra z częstotliw ość p o w ta rz a n ia f 0 sygnału n adaw an eg o .

Zadanie 3.34 C zęstotliw ość chw ilow a fali sin u so id aln ej w ynosi f c- A f d la \ t \ ^ T / 2 o ra z f c d la \t\> 7/2. W yznaczyć w id m o tej fali zm o d u lo w an ej częstotliw ościow o. Wskazówka: P odzielić p o d a n y p rzed ział czasow y n a trz y zakresy: - o o < r < - T / 2 , - T / 2 ^ i < 7 7 2 o raz 772 < t < o o .

Zadanie 3.35 M o d u la c ja jed n o w stęg o w a m oże być ro z p a try w a n a ja k o h y b ry d o w a fo rm a m o d u lacji am p litu d y i m o d u lacji fazy. W yznaczyć obw iednię o ra z częstotliw ość chw ilow ą fali SSB w n astęp u jący ch d w u p rzy p a d k ach : __ a) G d y n a d a w a n a je s t ty lk o g ó rn a w stęga boczna. b) G d y n a d a w a n a je st ty lk o d o ln a w stęga boczna.

3.15. P O D S U M O W A N I E I D Y S K U S J A

215

Zadanie 3.36 W eźm y p o d u w ag ę w ąsk o p asm o w y sy g n ał F M o p isany p rzy b liżo n ą zależnością: s(i) a: A cc o s ( 2 n f ct ) - p A cs \ n { 2 n fct ) s m ( 2 n f mt) a) W yznaczyć o b w ied n ię teg o sygnału m o d u lo w an eg o . Ja k i jest sto su n ek m aksym alnej d o m inim alnej w arto śc i tej obw iedni? N aszk ico w ać przebieg zależności tego sto su n k u w fukcji w sp ó łczy n n ik a fi przy jm u jąc, iż /? p rzy b iera w arto ści z przedziału 0 < /? < 0 ,3 . b) W yznaczyć m o c śred n ią w ąsk o p asm o w eg o sygnału F M , w y rażo n ą w p ro c e n ta c h , w sto su n k u d o m ocy średniej niezm odulow anej fali nośnej. N aszk ico w ać przebieg zależności tego sto s u n k u w funkcji w sp ó łczy n n ik a przyjm ując, iż fi p rzy jm u je w artości z p rzed ziału 0 < / ł < 0 ,3 . c) R ozw ijając w yrażenie n a k ą t fazow y 0,(r) w ąsk o p asm o w eg o sygnału F M s(i) w szereg potęgow y, p rz y o g ran iczen iu w sk aźn ik a m o d u lacji fi d o w arto ści m ak sy m aln ej 0,3 ra d ia n a , w y k azać że: 0,.(r) — 2 K f ct + p ń n ( 2 n f mt ) - ~ ~ s i n 3(2rc/mi) ,Ile w ynosi w arto ść w sp ó łczy n n ik a zaw arto ści h arm o n iczn y ch d la fi = 0,3?

Zadanie 337 S in u so id aln a fala m o d u lu ją ca m(t) = A mcos(2% fmt) jest p o d a w a n a n a wejście m o d u la to ra fazy o czułości fazow ej k p. N iezm o d u lo w an a fala n o śn a m a częstotliw ość f c i a m p litu d ę A c. a) W yznaczyć w idm o o trzy m y w an eg o sygnału zm o d u lo w an eg o fazow o zak ład ając , iż m ak sy m aln a dew iacja fazy flp = k p A m nie p rz e k ra c z a 0,3 rad ian a. b) S k o n stru o w ać w ykres w skazow y teg o sy gnału zm o d u lo w an eg o i p o ró w n a ć go z a n a lo g i­ cznym w ykresem d la o d p o w ied n ieg o w ąsk o p asm o w eg o sygnału F M .

Zadanie 3.38 P rzypuśćm y, iż d la sy g n ału zm o d u lo w an eg o fazow o z z a d a n ia 3.37, m a k sy m a ln a w arto ść dew iacji fazy fip nie p o d leg a o g raniczeniu. T a k i sygnał m o d u lo w an y zo staje przepuszczony przez idealny filtr śro d k o w o p rz ep u sto w y o częstotliw ości środkow ej f c i paśm ie prze­ pustow ym ro zciąg ający m się o d f c— l,5 /m d o f c+ 1,5f m. W yznaczyć obw iednię, fazę i często t­ liwość chw ilow ą w funkcji czasu, d la sygnału zm o d u lo w an eg o n a w yjściu filtru.

Zadanie 339 F a la n o śn a z o sta ła z m o d u lo w a n a często tli w ościow o sygnałem sin u so id aln y m o często tliw o ­ ści f m i am p litu d z ie A m. a) W yznaczyć w arto ści w sk aźn ik a m o d u lacji /?, d la k tó ry ch sk ład o w a n o śn a sygnału F M zo staje w y zero w an a. P rz y obliczeniach m o ż n a w ykorzystać w arto ści funkcji J 0(p) p o d a n e w tablicy 1 w d o d a tk u 4. b) W pew n y m ek sp ery m en cie p rze p ro w ad zo n y m d la f m = 1 k H z, o k a z a ło się, że przy zw iększaniu a m p litu d y fali nośnej A m p o czy n ając o d zera, sk ła d o w a n o śn a zm odulow anej fali F M w y zero w ała się p o raz pierw szy d la A m = 2 V. J a k a je st czułość częstotliw ościow a m o d u la to ra ? D la jak iej kolejnej w arto ści A m sk ład o w a n o śn a p o n o w n ie się w yzeruje?

216

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

Zadanie 3.40 Sygnał F M o w sk aźn ik u m o d u lacji ^ je st przesy łan y p o p rzez idealny filtr śro d k o w o p rzep u stow y o częstotliw ości śro d k o w ej f c i szerokości p a sm a 5/ m, przy czym f c jest częstotliw ością n o śn ą, a f m częstotliw ością sin u so id aln ej fali m odulującej. W yznaczyć w idm o am p litu d o w e sygnału n a w yjściu filtru.

Zadanie 3.41 F a la n o śn a o częstotliw ości 100 M H z jest m o d u lo w a n a częstotliw ościow o falą sin u so id aln ą o am p litu d zie 20 V i częstotliw ości 100 kH z. C zułość częstotliw ościow a m o d u la to ra w ynosi 25 kH z/V . a) W yznaczyć p rzy b liżo n ą szero k o ść p asm a tego sygnału F M , p o słu g u jąc się regułą C arso n a. b) O k reślić szero k o ść p a sm a przy przesyłaniu ty lk o tych częstotliw ości bocznych, k tó ry ch a m p litu d y przew yższają 1 p ro c e n t a m p litu d y niezm odulow anej fali nośnej. D o obliczeń w ykorzystać k rzyw ą u n iw ersaln ą z rys. 3.36. c) P o w tó rzy ć p o d a n e obliczenia za k ła d ając , iż a m p litu d a sygnału m o d u lu jąceg o m a dw a razy w iększą w artość. d) P o w tó rzy ć p o d a n e obliczenia z ak ład a jąc , iż częstotliw ość sygnału m o d u lu jąceg o m a dw a razy w iększą w artość.

Zadanie 3.42 D an y je st szero k o p asm o w y sygnał P M u zy sk an y w w yniku m o d u lacji falą sin u so id aln ą A mc o s ( 2 n f mt), z użyciem m o d u la to ra o czułości fazow ej rów nej k p ra d ian ó w na w olt. a) P o k azać, iż m ak sy m aln a dew iacja fazy teg o sygnału P M je st d u ż o w iększa od jed n eg o ra d ia n a , a szero k o ść p a sm a tego sygnału zm ienia się liniow o w raz z częstotliw ością sygnału m o d u lu jąceg o f m. b) P o ró w n a ć te p a ra m e try szero k o p asm o w eg o sygnału P M z od p o w ied n im i p a ra m e tra m i szero k o p asm o w eg o sy g n ału F M .

Zadanie 3.43 N a ry su n k u Z3.13 p o k a z a n o sch em at b lo k o w y analizatora widma p racu jąceg o w czasie rzeczyw istym , n a zasad zie m o d u lacji częstotliw ości. A nalizow any sygnał g(f) o ra z z m o d u lo ­ w any częstotliw ościow o sy g n ał s(f), są p o d a w a n e n a w ejścia u k ła d u m nożącego, a jeg o sygnał w yjściow y #(i)s(f) z o staje przep u szczo n y p rzez filtr o odp o w ied zi im pulsow ej h{t). Sygnały s(r) o ra z h{t) są liniowymi sygnałami F M , k tó ry ch częstotliw ości chw ilow e zm ieniają się w sp o só b przeciw ny, zgodnie z w yrażeniam i: s{t) = cos(27i f ct — n k t 2) h(t) = c o $ ( 2 n fct + n k t 2)

Filtr

Wyjście

3.15. P O D S U M O W A N I E 1 D Y S K U S J A

217

gdzie k — sta ła . P o k az ać , iż o b w ied n ia sy gnału n a w yjściu filtru je st p ro p o rc jo n a ln a d o w idm a a m p litu d o w e g o sygnału w ejściow ego g{t), przy czym zm ien n a k t o d g ry w a rolę częstotliw ości f . W skazówka: Z asto so w ać n o ta c ję zesp o lo n ą o p isa n ą w rozdziale 2 w za­ sto so w an iu d o an alizy sygnałów śro d k o w o p asm o w y ch i filtrów śro d k o w o p rzep u sto w y ch .

Zadanie 3.44 Sygnał F M o dew iacji częstotliw ości rów nej 10 k H z i częstotliw ości m o d u lu ją e j 5 k H z jest p o d aw an y n a w ejścia d w u pow ielaczy częstotliw ości p o łączo n y ch k ask ad o w o . Pierw szy pow ielacz p o d w a ja częstotliw ość, a d ru g i p o tra ja . O k reślić dew iację częstotliw ości o ra z w skaźnik m o d u lacji sy g n ału F M o trzy m y w an eg o n a w yjściu d ru g ieg o pow ielacza. J a k a jest ró żn ica częstotliw ości sąsied n ich p rą ż k ó w boczn y ch tego sygnału F M ?

Zadanie 3.45 Sygnał F M jest p o d a w a n y n a wejście elem en tu nieliniow ego o c h a ra k te ry sty c e k w ad rato w ej, d la k tó re g o napięcie w yjściow e u 2 zw iązan e jest z napięciem n a wejściu u l za p o m o cą zależności: 172 = a l'l

gdzie a — stała. W yjaśnić, dlaczego za p o m o cą tak ieg o elem en tu m ożliw e je st uzyskanie sygnału F M o w iększej dew iacji częstotliw ości, niż dew iacja sy gnału w ejściow ego.

Zadanie 3.46 N a ry su n k u Z3.14 p o k a z a n o u k ła d decydujący o częstotliw ości o sc y la to ra napięciem . M o d u lację częstotliw ości uzyskuje się tu ta j p o d a ją c sygnał A ms i n ( 2 n f mt) plu s sk ła d o w ą sta łą U h n a u k ła d dw u diod w a ra k to ro w y c h szeregow o n a zaciski rów noległego o b w o d u L C , przy czym L = 200 p H i P o jem n o ść każdej z d io d w a ra k to ro w y c h jest zw iązan a z napięciem U n a jej p o m o c ą ró w n an ia:

stero w an eg o m o d u lu jący dołączonych C = 100 pF. zaciskach za

c = ioo i r 1/2 pF N ie m o d u lo w a n a częstotliw ość d rg a ń o sc y la to ra w ynosi 1 M H z. Sygnał w yjściow y V C O p o d aw a n y je st n a pow ielacz częstotliw ości w ytw arzający sygnał F M o częstotliw ości nośnej 64 M H z i w sk aźn ik u m o d u lacji ró w n y m 5. W yznaczyć: a) w a rto ść napięcia po lary zacji U b o ra z b) am p litu d ę A m fali zm o d u lo w an ej przyjm ując, iż f m = 10 kH z.

Zadanie 3.47 Sygnał F M o postaci: s(i) = . , 4

27t f ct + 2 n k f j m ( t ) d t \

Rys. Z3.14

218

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

Fala FM

s(t)

Dekoder obwiedni

Sygnał wyjściowy

Rys. Z3.15 Fala FM

Sygnał wyjściowy Rys. Z3.16

je s t p o d a w a n y n a w ejście u k ła d u z rys. Z3.15, sk ład ająceg o się z filtru g ó rn o p rzep u sto w eg o R C o ra z d e te k to ra obw iedni. P rzyjm ujem y, iż a) rezystancja R jest m a ła w p o ró w n a n iu z re a k ta n c ją k o n d e n s a to ra C d la w szystkich isto tn y ch sk ładow ych sygnału s(i) o ra z b) d e te k to r o b w ied n i nie o b ciąża filtru. W yznaczyć sygnał o trzy m y w an y n a w yjściu d e te k ­ to ra obw iedni za k ła d ając , iż /cr lm(r)| < f c d la w szystkich t. Z adanie 3.48 W d y sk ry m in ato rze częstotliw ości z rys. 3.44b oznaczam y o d stę p częstotliw ości re z o n a n ­ sow ych o b u rów noległych o b w o d ó w rezo n an so w y ch L C przez 2 k B , gdzie 2 6 jest 3-dB szerokością p a sm a o b u o b w o d ó w , a k jest w spółczynnikiem skalującym . P rzyjm ujem y, iż o b a o b w o d y m a ją d u ż ą d o b ro ć Q. a) W ykazać, iż w y p ad k o w a c h a ra k te ry sty k a o b u o b w o d ó w m a przy częstotliw ości śro d ­ kow ej f c nachylenie ró w n e 2fc/B (l + k 2)312. b) N iech D o zn acza dew iację sy g n ału w yjściow ego, m ierzo n ą w odniesieniu d o linii p rostej przecinającej tę c h a ra k te ry sty k ę w p u n k cie / = f c. N ary so w ać w ykres D w funkcji ó dla k = 1,5 w zakresie - k B ^ b ^ k B , gdzie ó = f —f c. Z adanie 3.49 D an y jest u k ła d d em o d u lacji częstotliw ości ja k n a rys. Z3.16, w k tó ry m w ejściow y sygnał F M s(t) przech o d zi p rzez linię o p ó źn iającą, k tó ra d la sy gnału o częstotliw ości nośnej f daje przesunięcie fazy ró w n e n /2 rad ian ó w . Sygnał z w yjścia linii jest odejm o w an y o d sygnału w ejściow ego F M , a u zy sk iw an y przebieg zo staje p o d d a n y detekcji obw iedni. D e m o d u la to r ten zn ajd u je zasto so w an ie przy detekcji m ikrofalow ych sygnałów F M . Z a k ła d a ją c , że sygnał s(t) je st o postaci: s(t) = .4 cco s [2 rc/ c i + /? sin (2 p rzean alizo w ać d ziałan ie o p isan eg o m o d u la to ra w p rzy p a d k u , gdy indeks m o d u lacji p jest m niejszy o d jed n o ści, a o p ó źn ien ie T linii opóźniającej je st d o stateczn ie m ałe, aby słuszne były przybliżenia: c o s (2 n f mT ) ~ 1 o raz s in (2 n f mt) ^ 2 rc/mT

3.15. P O D S U M O W A N I E I D Y S K U S J A

219

Sygnał wyjściowy

Fala FM Rys. Z3.17

Zadanie 3.50 N a ry su n k u Z3.17 p o k a z a n o sch em at b lo k o w y detektora działającego na zasadzie licznika przejść przez zero, służącego d o d em o d u lacji sygnałów F M . S k ła d a się o n z o g ran iczn ik a, g e n e ra to ra im p u lso w eg o w y tw arzająceg o k ró tk i im puls, gdy sygnał w ejściow y przechodzi przez zero, o ra z filtru d o ln o p rze p u sto w e g o w ydzielającego p o ż ą d a n y sygnał m odulujący. a) W ykazać, iż częstotliw ość ch w ilow a sygnału w ejściow ego F M je s t p ro p o rc jo n a ln a do liczby przejść p rzez zero w p rzedziale czasow ym o d t - ( T J 2 ) d o t + ( T J 2 ) , podzielonej przez 7 j. Z ałożyć, iż sy g n ał m o d u lu jący p o zo staje w zasadzie stały w tym przedziale czasu. b) Z ilu stro w ać d ziałan ie o m aw ian eg o m o d u la to ra na p rzy k ład zie p iło k ształtn eg o sygnału m o d u lu jąceg o z rys. Z 3 .l l .

Zadanie 3.51 P rzypuśćm y, iż sy gn ał o d e b ra n y w p ew nym sytem ie F M zaw iera resz tk o w ą m odulację am p litu d y o d o d a tn ie j am p litu d z ie a(t), ja k p o k a z u je zależność: s(t) = a ( t ) c o s [ 2 n f ct + (t) je st zw iązan a z sygnałem m o d u lu jący m m(f) w sp o só b następujący: (t). P o k az ać , iż sy g n ał w yjściow y id ealnego d y sk ry m in a to ra częstotliw ości, w ytw orzony p o d w pływ em sy g n ału s(f), je st p ro p o rc jo n a ln y d o iloczynu a(r)m(f). Wskazówka: Aby p rzedstaw ić z m o d u lo w a n ą falę s(f), zasto so w a ć zapis zesp o lo n y p o d a n y w rozdziale 2.

Zadanie 3.52 a) M o d u lo w a n a fala s(i) z z a d a n ia 3.51 przychodzi n a wejście idealnego ogranicznika am p litu d y , k tó re g o sy g n ał w yjściow y z{t) je st o p isan y zależnością: + 1, s ( t) > 0

z (i) = sg n ls(tj] =

— 1, s ( l) < 0 P o k a z a ć iż sy g n ał w yjściow y o g ran iczn ik a m a n astęp u jące rozw inięcie w szereg F o u riera:

z(t, = ^ £ 4 - ^ c o s [ 2 j i / , t ( 2 > i + l) + ( 2 n + l)
l

b) P rzyjąć, iż sy g n ał z w yjścia o g ran iczn ik a je st p o d a w a n y n a filtr śro d k o w o p rzep u sto w y o c h a ra k te ry sty c e am plitudow ej rów nej jed n o ści w paśm ie p rzep u sto w y m o szerokości B T

220

3. M O D U L A C J A C I Ą G Ł A

i częstotliw ości środkow ej rów nej częstotliw ości nośnej f c. B r je st przy tym rów ne szerokości p a sm a przesyłanego sygnału F M w b ra k u m o d u lacji am p litu d y . Z a k ła d a ją c , iż f c jest d u ż o w iększe od B T, w ykazać, iż sygnał na wyjściu filtru przyjm uje postać: 4 >-(i) = - c o s [ 2 7 i / cr + 0 (r)] K P o ró w n u ją c te n sy g n ał z o ry g in aln y m sygnałem s(f) o k reślo n y m w z a d a n iu 3.51, sk o m en ­ to w ać p ra k ty c z n ą użyteczność o trzy m an eg o w yniku.

Zadanie 3.53 a) W eźm y p o d uw agę sy g n ał F M o częstotliw ości nośnej f o trz y m a n y przy sygnale m o d u lu jący m m(f). Z ałó żm y , iż f c je st d o stateczn ie w ielka, a b y m ó c tra k to w a ć ten sygnał F M ja k o sygnał w ąsk o p asm o w y . Z n aleźć p rzy b liżo n ą p o sta ć tra n sfo rm a ty H ilb e rta tego sygnału. b) D la szczególnego p rz y p a d k u sin u so id aln ej fali m odulującej m(t) = / ł mcos(2jr Jmt), znaleźć d o k ła d n e w yrażenie n a tra n sfo rm a tę F lilb erta sygnału F M . Ja k i je st w tym p rzy p a d k u b łąd ap ro k sy m acji zasto so w an ej w p rz y p a d k u a)? Z adanie 3.54 Jednowstęgowa modulacja kąta o k re ślo n a je st za p o m o cą zależności: s(t) = e x p [ - ^ ( f ) ] c o s [ 2 j r / ci + 0 (i)] gdzie (t) — tra n s fo rm a ta H ilb e rta funkcji fazow ej a f c — częstotliw ość nośna. a) P o k az ać , iż w idm o sy g n ału z m o d u lo w an eg o s(t) nie m a sk ładow ych o częstotliw ościach należących d o p rzed ziału —f c < f < f c i jest przy tym nieograniczone. b) D a n a je st fu n k cja fazow a o postaci: j>(t) = P sin (2 n f mt) gdzie (i — w skaźnik m odulacji, a f m — częstotliw ość m o d u lu jąca, w y p ro w ad zić odp o w ied n ie w yrażenie o p isujące falę z m o d u lo w a n ą s(r).

Rozdział 4

Procesy losowe 4 .1 .

W stęp

W rozdziale 2 zajm o w aliśm y się tra n s fo rm a tą F o u rie ra ja k o a p a ra te m m atem aty czn y m opisującym sygnały determ inistyczne i ich przesyłanie p rzez liniow e filtry stacjo n arn e; za sygnały d eterm in isty czn e u w aża się przy tym klasę sygnałów , k tó re m o d elo w an e są przez o k reślo n e funkcje czasu. W niniejszym rozdziale p o d ejm u jem y d alszą prezen tację p o d ­ staw ow ych z ag a d n ie ń n iezb ęd n y ch d la lepszego zro zu m ien ia system ów telek o m u n ik acy j­ nych. W szczególności zajm iem y się o p isem staty sty czn y m sygnałów losowych, k tó re często uw aża się z a d ru g i filar telekom unikacji. P rzy k ład y sygnałów losowych n a p o ty k a się w p rak ty czn ie k ażd y m system ie telekom u n ik acy jn y m . M ów im y o sygnale „losow ym ” w tedy, g d y z góry nie m o żn a określić, ja k ą sygn ał p rzy jm ie w arto ść. R ozw ażm y d la p rz y k ła d u system ra d io k o m u n ik acy jn y . Sygnał o d b ieran y w ta k im system ie zazw yczaj sk ła d a się z sygnału niosącego informację, z losowej składowej zakłóceniowej (interferencyjnej) i z szumu odbiornika. Sygnał niosący inform ację m oże być n a p rzy k ład sy g n ałem m ocy, k tó ry w typow y sp o só b em itu je p rzy p ad k o w e porcje energii o losow ym czasie trw a n ia . S k ład o w a interferencyjna m oże sk ła d a ć się z roz­ p ro szo n y ch fal elek tro m ag n ety czn y ch , w ysyłanych przez in n e system y telek o m u n ik acy jn e działające w p o b liżu o d b io rn ik a radiow ego. G łó w n y m źró d łem szum ów o d b io rn ik a jest szum termiczny sp o w o d o w a n y p rzez p rz y p a d k o w e ru ch y elek tro n ó w w p rze w o d n ik ach i p o d zes­ p o łach w w ejściow ej części o d b io rn ik a . T a k więc stw ierdzam y, że sygnał o d b ieran y m a całkow icie losow y c h a ra k te r. C h o ciaż nie je st m ożliw e o d g ad n ięcie w arto ści sy gnału losow ego z w yprzedzeniem , m oże o n być o p isa n y za p o m o c ą sw ych w łaściw ości sta tystyczn ych , ta k ich ja k m o c śred n ia sygnału losow ego lu b ro z k ła d w idm ow y u śred n io n y d la takiej m ocy. D y scy p lin ą m a te m a ty ­ czną, k tó ra zajm u je się c h a ra k te ry sty k ą stasty sty czn ą sygnałów losow ych je st teoria prawdo podob ieństwa. R o zp o czy n am y ten rozdział, d o tyczący procesów losow ych, o d p rze g ląd u pew nych p o d staw o w y ch definicji teo rii p ra w d o p o d o b ie ń stw a , a b y przejść n astęp n ie d o przeg ląd u pojęć d o ty c zą cy c h zm iennych losow ych i procesów losow ych. P ro ces losow y sk ła d a się ze zb io ru (rodziny) funkcji p ró b , z k tó ry c h k a ż d a zm ienia się losow o w czasie. Z m ien n a losow a o trzy m y w an a je s t przez obserw ację p ro cesu losow ego w określonej chw ili czasu.

Teoria p raw d o p o d o b ie ń s tw a Teoria prawdopodobieństwa11 o p isu je sferę zjaw isk, k tó re w sp o só b ja w n y lu b u w ik łan y m ogą być m o d elo w an e p rzez ek sp ery m en ty z w ynikiem p o dlegającym p raw o m przypadku {szansy). C o więcej, jeśli ek sp ery m en t ta k i p o w tó rzy m y , to w ynik m oże się różnić z p o w o d u w pływ u procesów p rzy p ad k o w y ch , w zględnie m ech an izm ó w losow ych. E k sp ery m en t tak i nazyw am y eksperymentem losowym. N a p rzy k ład ek sp ery m en t ta k i m oże p o leg ać n a oczekiw aniu na w ynik rz u tu p raw id ło w ą m o n etą . W ta k im eksperym encie m ożliw y w ynik p ró b sk ła d a się z „reszek” i „o rłó w ”. D o k ła d n iej rzecz u jm u jąc, ab y opis d o starcz y ł ek sp ery m en tu p rzy p ad k o w eg o , w y m ag an e jest spełnienie trzech w aru n k ó w : 1. E k sp ery m en t je st p o w ta rz a ln y w identycznych w aru n k ach . 2. P rzy każd ej p ró b ie w ynik n ie d a je się przew idzieć. 3. D la dużej liczby p ró b w eksperym encie, w yniki w y k azu ją sta ty sty c zn ą prawidłowość; o zn acza to, że o k reślo n y średni w ynik p ró b daje się ustalić przy w ielokrotnym p o w ta rz a n iu ek sp ery m en tu .

Częstość zdarzeń a p ra w d o p o d o b ie ń s tw o N iech przypadek A o zn acza je d e n z m ożliw ych w yników ek sp ery m en tu losow ego. N a przykład d la rz u tu m o n e tą p rz y p a d e k A m o ż n a p rzy p isać „reszk o m ”. P rzy p u śćm y , że d la n w ykon an y ch p ró b , p rz y p a d e k A zd arzy ł się N „ (A ) razy. M ożem y więc p rzy p isać sto su n ek N„(A)/n d o p rz y p a d k u A. W oczyw isty sp o só b częstość względna jest nieujemną liczbą rzeczyw istą mniejszą lub równą jedności. O zn a cza to:

(4.1) Jeśli w ynik A nie zd arzy się w żad n ej z p ró b , to N n(A)/n = 0. Jeśli z drugiej stro n y p rzy p ad ek A zdarzy się we w szystkich n p ró b a c h , to N n(A )/n = 1. M ów im y, że eksperym ent w ykazuje statystyczną prawidłowość, jeśli d la jak ieg o k o l­ wiek ciągu n p ró b w zględna częstość N n(A)/n zbieżna jest d o tej sam ej granicy, o ile tylko liczba p ró b staje się d u ża. W ydaje się n am w tedy n atu raln e, że m ożem y zdefiniow ać prawdopodobień­ stwo zdarzenia A jako:

™

- .“"

. f i r 1)

G ra n ic a w ystępująca w ró w n a n iu (4.2) nie p o w in n a być ro z p a try w a n a w sensie m atem aty cz­ nym . Raczej trak tu jem y ró w n an ie (4.2) ja k o stw ierdzenie, że p raw d o p o d o b ień stw o zdarzenia jest długo term in o w ą p ro p o rc ją zdarzeń, w k tó ry ch określony przypadek A z d a rz a się w długiej serii p ró b . N a p rzy k ład w eksperym encie z rzucaniem m o n etą m ożem y oczekiw ać, że n a m ilion przypadkow ych rzutów , o k o ło p o ło w a p o w in n a o k azać się reszką. P ra w d o p o d o b ień stw o zd arzen ia m oże też być w intencji skłonnością p ró b y w eks­ perym encie d o dostarczenia a k u ra t takiego w yniku, czyli zdarzenia. D la wielu zastosow ań w inżynierii i teorii gier zasto so w an ie definicji p raw d o p o d o b ień stw a zd arzen ia w edług ró w n an ia (4.2) je st dozw olone. Jed n ak że d la wielu innych zasto so w ań definicja ta k a jest nieadekw atna. W eźm y n a p rzy k ład analizę statystyczną ry n k u giełdowego: ja k m ielibyśm y osiągnąć p o w arzaln o ść w tego ro d z a ju eksperym encie? Bardziej satysfakcjonujące podejście

4.2. T E O R I A P R A W D O P O D O B I E Ń S T W A

223

polega n a u stalen iu właściwości, k tó re p o w in n a m ieć k a ż d a m iara p raw d o p o d o b ień stw a, zap o stu lo w an iu ich ja k o aksjomatów, a n astęp n ie um otyw ow aniu tych ak sjo m ató w przez in terp retaq 'e w zględnej częstości zdarzeń.

A ksjom aty te o rii praw dopodobieństw a G d y p rzep ro w ad zam y przy p ad k o w y eksperym ent, n a tu ra ln y m jest spodziew ać się różnych rezultatów , ja k ie są skłonne przy tym w yniknąć. Z tego p o w o d u w ygodnie jest myśleć o eksperym encie ja k o o przestrzeni złożonej z p u n k tó w definiujących m ożliw e wyniki. D la k-tego w yniku ek sp ery m en tu m ożem y p rzy p o rząd k o w ać p u n k t zw any punktem próbki, k tó ry oznaczam y sk. C ałk o w ity zb ió r p u n k tó w p ró b ek o d p o w iad ający zagnieżdżeniu w szystkich m ożliwych w yników ek sp ery m en tu nazyw am y przestrzenią próby, k tó rą oznaczam y przez S. Przez zdarzenie rozum iem y alb o pojedynczy p u n k t p ró b k i, alb o też pew ien zb ió r p u n k tó w próbki. W szczególności całk o w ita przestrzeń p ró b y S nazyw ana jest zdarzeniem pewnym; zerow y zb ió r 0 nazyw any jest zdarzeniem zerowym w zględnie niemożliwym, n ato m iast pojedynczy p u n k t p ró b k i nazyw any jest zdarzeniem elementarnym. R ozw ażm y d la p rzy k ład u zdarzenie polegające n a rzuceniu k o stk ą d o gry. W tym eksperym encie m am y sześć m ożliw ych w yników : p o k aże się n am jed y n k a, dw ójka, trójka, czw órka, p ią tk a lub szó stk a ja k o układ k ro p ek na w ierzchniej pow ierzchni kostki. Jeśli przyporządkujem y pojedynczy p u n k t p ró b k i d la każdego z m ożliw ych w yników , to m ożem y otrzym ać jed n o w y m iaro w ą przestrzeń p ró b y sk ład ającą się z sześciu p u n k tó w , ja k p o k aza n o n a rys. 4.1. Z d arzen ie elem en tarn e polegające n a stw ierdzeniu „w ypadła szó stk a” o d p o w iad a punktow i (6 ). Z drugiej stro n y p rzy p ad ek opisujący stw ierdzenie „pojaw iła się p arzy sta liczba k ro p ek ” o d p o w ia d a p o d zb io ro w i (2, 4, 6} w przestrzeni próby. Z auw ażm y, że te rmin „zdarzenie” jest stosow any zam iennie, ab y opisać p o d zb ió r, w zględnie stwierdzenie. Jesteśm y ju ż gotow i, ab y sform ułow ać fo rm aln ą definicję praw dopodobieństw a. System prawdopodobieństwa sk ład a się z trzech pojęć: 1. Przestrzeni próby S zdarzeń (wyników) elementarnych. 2. K la sy $ zdarzeń, k tó re są p o d p rzestrzen iam i w S. 3. M iary prawdopodobieństwa P{ ) p rzy p o rząd k o w an ej każdem u zdarzeniu A w klasie
P(S) = 1

(4.3)

(ii)

0 < P(A) ^ 1

(4.4)

(iii)

Jeśli A + B jest sumą dwu wzajemnie wykluczających się zdarzeń rozłącznych w klasie S , to P (A + B) = P (A ) + P{B)

(4.5)

W łasności (i), (ii) i (iii) zn an e są ja k o aksjom aty prawdopodobieństwa. A ksjom at (i) stw ierdza, że p raw d o p o d o b ień stw o zd arzen ia pew nego jest rów ne jedności. A ksjom at (ii) podaje, że p raw d o p o d o b ień stw o zd arzen ia jest nieujem ną liczbą rzeczyw istą m niejszą lub rów ną jedności.

^

Punkt próbki

-•------------• ----------•-----------•----------- • ----------• ----

Rys. 4.1

^

P rzestrzeń p ró b y dla

2

3

4

5

n/

Jednowymiarowa przestrzeń próby

6

eksperym entu polegającego na rzucaniu k o stk ą do gry

224

4. P R O C E S Y L O S O W E

A ksjom at (iii) stw ierdza, że p raw d o p o d o b ień stw o sum y dw u zd arzeń rozłącznych jest sum ą p raw o d p o d o b ień stw tych zdarzeń. Te trzy ak sjo m aty w ystarczają dla opisu eksperym entów o skończonej przestrzeni próby. C hociaż aksjom atyczne podejście d o teorii p raw d o p o d o b ień stw a jest ab strak cy jn e w swej n atu rze, to w szystkie trzy ak sjo m aty m ają sw oje w łasne interpretacje w kontekście częstości względnej. A k sjo m at (ii) o d p o w ia d a ró w n an iu (4.1). A ksjom at (i) odpow iada granicznem u przy p ad k o w i ró w n a n ia (4.1), kiedy zdarzenie A zd arza się we wszystkich n próbach. A by zin terp reto w ać ak sjo m at (iii) zanotujm y, że jeśli zdarzenie A zd arza się N n(A) razy w n p ró b a c h i zdarzenie B p rzytrafia się N n(B) razy, w tedy zdarzenie łączne „A lub B” (k tó re m ożna też przedstaw ić ja k o „A i B", poniew aż A i B nigdy nie w ystępują w tej sam ej próbie) zd arza się w N n{A) + N J B ) p ró b ach . S tąd w ynika N n{A + B) = N„(A) + N„{B), i m am y zatem: N„(A + B ) _ N n(A) | N n(B) n

n

n

o postaci m atem atycznej p o d o b n ej d o a k sjo m atu (iii). A ksjom aty (i) (ii) i (iii) stan o w ią uw ikłaną definicję p raw d o p o d o b ień stw a. M ożem y zatem op ierając się n a tych a k sjo m ata ch p o d ać podstaw ow e właściwości p ra w d o p o d o b ie ń st­ wa, ja k o p isan o dalej. Właściwość 1 P (A )= l-P (A ) gdzie A (oznaczające negację „nie A ”) je s t zdarzeniem dopełniającym do A. U życie tej właściwości p o m a g a nam prześledzić przypadek zdarzenia niem ożliwego. Aby to udow odnić, w yrazim y przestrzeń p ró b y S ja k o sum ę dw u naw zajem w ykluczających się zdarzeń A i A; S = A +A W tedy zastosow anie ak sjo m ató w (i) i (iii) daje: 1 = P ( A ) + P(A) z czego bezpośrednio w ynika ró w n an ie (4.6). Właściwość 2 Jeżeli M zdarzeń rozłącznych A v A 2, ... A M ma własność: A l + A 2 + ... + A M ^ S

(4.7)

w tedy tw orzy się u k ład zupełny i zachodzi rów ność: P(A Ł) + P ( A 2) + ... + P ( A m ) = 1

(4.8)

Aby ud o w o d n ić tę w łaściwość, najpierw zastosujem y ak sjo m at (i) d o ró w n an ia (4.7) aby napisać: P (A j + A 2 + ... + A m) = 1 N astępnie uogólniam y ak sjo m at (iii) pisząc: P ( A , + A 2 + ... + A m) = P i A j + P ( A 2)+... + P ( A m) Stąd w ynika ju ż rów nanie (4.8). O ile w szystkie M zdarzeń są jednakowo prawdopodobne (czyli m ają to sam o p raw d o p o d o b ień stw o w ystępow ania) w tedy ró w n an ie (4.8) upraszcza się do: P W

= -TT M

* = 1 ,2 , . . . , M

4.2. T E O R I A P R A W D O P O D O B I E Ń S T W A

225

W łaściwość 3 Jeśli zdarzenia A i B nie są rozłączne, wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia łącznego „A lub B" równa się: P (A + B) = P (A ) + P(B) - P (A B )

(4.9)

gdzie P (A B ) jest prawdopodobieństwem zdarzenia łącznego „A i B '\ P ra w d o p o d o b ień stw o P (A B ) nazyw ane jest prawdopodobieństwem łącznym. Jego interpretacja za p o m o cą częstości względnej jest następująca: P (A B ) ~ lim ( N n iA B ) ^ n-*x\

n

(4.10)

/

gdzie N n{AB) oznacza, ile razy zdarzenie A i B w ydarzy się jednocześnie w n p ró b ach eksperym entu. A ksjom at (iii) jest specjalnym przypadkiem ró w n an ia (4.9); gdy A i B są rozłączne, to P (A B ) jest zerem i ró w n an ie (4.9) red u k u je się d o postaci identycznej z rów naniem (4.5).

P raw dopodobieństw o w a ru n k o w e W yobraźm y sobie, że p rzep ro w ad zam y eksperym ent, w w yniku k tó reg o m ogą w ystąpić dw a zdarzenia A i B. N iech P(B\A) o zn acza p raw d o p o d o b ień stw o zdarzenia B p o d w arunkiem , że zaszło zdarzenie A. P raw d o p o d o b ień stw o P (B /A ) nazyw ane jest prawdopodobieństwem warunkowym B jeśli A . Z ak ład ając, że A m a p raw d o p o d o b ień stw o niezerow e, w arunkow e p raw dopo d o b ień stw o P(BjA) zdefiniow ane jest jako:

gdzie P (B A ) — łączne p raw d o p o d o b ień stw o A i B. U zasad n iam y definicję w aru nkow ego p raw d o p o d o b ień stw a danego rów naniem (4.11) przez p o d an ie jego in terpretacji ja k o częstości względnej. P rzypuśćm y, że w ykonujem y eksperym ent, w k tó ry m b ad am y w ystępow anie p a r A i B. N iech N n(AB) o znacza liczbę razy, w k tó ry ch łączne zdarzenie A B przytrafiło się w n pró b ach . P rzypuśćm y, że w tych sam ych n p ró b ach zdarzenie A w ystąpiło N J A ) razy. P oniew aż zdarzenie łączne A B o d p o w iad a w ydarzeniu się zaró w n o A ja k i B, więc w ynika stąd, że N n(A) m usi zaw ierać w sobie N„(AB). Innym i słow y zachodzi: Ń n(AB)

^

N h{A) " Stosunek N„(AB)/N„(A) reprezentuje w zględną częstość zd arzen ia B pod w arunkiem , że zdarzyło się A . D la d u ży ch n stosunek ten ró w n a się p raw d o p o d o b ień stw u P(B\A); czyli: P iB lA , .

lim ' N ’ (A S) n ~ + NM )

lub rów now ażnie: W

= lim I ^ „ . A N„(A)/n

15 S ystem y te le k o m u n ik a c y jn e cz. 1

4. P R O C E S Y l . n s O W F .

R ozpoznając, że P (B A ) = lim ' Nn('AB) oraz m

m

.-«A

"

dostajem y w ynik z ró w n an ia (4.11). M ożem y przepisać ró w n an ie (4.11) jak o : P (A B ) = P (B \A )P (A )

(4 12)

O czyw istym jest, że m o ż n a rów nież napisać: P (A B )= P (A \B )P (B )

(4. \ 3)

M ożem y zatem stw ierdzić, że prawdopodobieństwo łączne dwu zdarzeń może być wyrażone ja k o iloczyn prawdopodobieństwa warunkowego zdarzenia A pod warunkiem B i prawdopodobieństwa warunku. Z an o tu jm y , że p raw d o p o d o b ień stw o w aru n k o w e P{B\A) i P(A\B) m ają w zasadzie te sam e właściwości ja k różne p o p rzed n io zdefiniow ane praw dopodobieństw a. M ogą zaistnieć sytuacje, w k tó ry ch p raw d o p o d o b ień stw o w aru n k o w e P{A\B) i p raw d o p o d o b ień stw a P (A ) i P(B) są łatw e d o bezpośredniego w yznaczenia, ale życzeniem naszym jest znalezienie p raw d o p o d o b ie ń stw a w arunkow ego P{B\A). Z ró w n ań przez (4.12) i (4.13) w ynika, że o ile P (A ) ¿ 0, to m ożem y w yznaczyć P(B\A) przez skorzystanie z zależności: PfRHłP(B]A) ~

P(A)

<4 1 4 >

Z ależność ta stanow i p rzy p ad ek szczególny reguły Bayesa. W y obraźm y sobie, że p raw d o p o d o b ień stw o w aru n k o w e P(B\A) p o p ro stu ró w n a się elem entarnem u p raw d o p o d o b ień stw u zd arzen ia B, to znaczy: P(B\A) = P(B) W tych w aru n k ach p raw d o p o d o b ień stw o zdarzenia łącznego A B rów na się iloczynowi elem entarnych p raw d o p o d o b ień stw zd arzeń A i B: P (A B ) = P (A ) P(B) tak więc P{A\E) = P(A) O znacza to, że p raw d o p o d o b ień stw o w aru n k o w e zd arzen ia A , zak ład ając przytrafienie się zd arzen ia B, ró w n a się p o p ro stu elem en tarnem u p raw d o p o d o b ień stw u zdarzenia A. W idzim y więc, że w tym k o n k re tn y m p rzy p a d k u znajom ość w ystąpienia jednego zdarzenia nie m ów i nam nic więcej o p raw d o p o d o b ień stw ie drugiego zdarzenia, niż wiedzielibyśm y nie m ając takiej znajom ości. Z d arzen ia A i B spełniające takie w aru n k i nazyw ane są statystycznie niezależnymi.

Przykład 1

Symetryczny kanał binarny

R ozw ażm y dyskretny kanał bez pamięci stosow any d o przesyłania danych binarnych. K an ał nazyw any je st dyskretnym, jeśli zo stał zap ro jek to w an y d o przesyłu inform acji typu d y sk ret­ nego. Jest bez pamięci, poniew aż w dow olnej chwili wyjście k an ału zależy jedynie od wejścia

4.2. T E O R I A P R A W D O P O D O B I E Ń S T W A

227

w tym czasie. N ieuniknionej obecności szum ów w k an ale zaw dzięczam y błędy czynione w o d bieran y m stru m ien iu d an y ch binarnych. W szczególności, przy w ysłaniu sygnału 1, przypadkowo p rzy trafia się błąd i o d b ieram y sygnał 0, lu b vice versa. Z ak ład am y , że k a n a ł jest sym etryczny, co oznacza, że p raw d o p o d o b ień stw o o d e b ra n ia sygnału 1, gdy w ysłano sym bol 0, jest tak ie sam o, ja k p raw d o p o d o b ień stw o o d e b ra n ia sym bolu 0, gdy w ysłano sym bol 1. A by w pełni opisać p ro b ab ilisty czn ą n a tu rę tak ieg o sygnału, potrzebujem y dwu zbiorów p raw d o p o d o b ień stw . 1. Prawdopodobieństwa a priori w ysłania sy m bolu b in arn eg o O i l — w ynoszą one: P (^ o ) =

P o

oraz P (A l) = p l gdzie A 0 i A v o zn aczają p rzy p ad ek n a d a n ia odpow iednio sym bolów 0 i 1. Z auw ażm y, że Po + Pi = I2. Warunkowe prawdopodobieństwa błędu — w ynoszą one: P (B 1\ A o ) = P ( B 0\A i) = p gdzie B 0 i B l oznaczają zd arzen ia polegające n a o d e b ra n iu odpow iednio sym bolów 0 i 1. P raw d o p o d o b ień stw o w aru n k o w e P IB JA q ) jest p raw d o p o d o b ień stw em o d eb ra n ia sym ­ bolu 1, o ile w ysłano sym bol 0. D ru g ie p raw d o p o d o b ień stw o w aru n k o w e P i B ^ A ^ jest p raw d o p o d o b ień stw em o d eb ra n ia sy m b olu 0, p o d w arunkiem , że w ysłano sym bol 1. W ym agane jest w yznaczenie prawdopodobieństw a posteriori P (A 0|B0) i P fA J P j). P raw ­ d o p o d o b ień stw o w aru n k o w e P ( A 0\B0) jest praw d o p o d o b ień stw em , że sym bol 0 był wysłany, o ile o d e b ra n o sym bol 0. D ru g ie p raw d o p o d o b ień stw o w aru n k o w e P iA ^ B ^ jest praw dopodobieństw em , że w ysłano sym bol 1, jeśli o d eb ra n y był sym bol 1. O b y d w a te w arunkow e p raw d o p o d o b ie ń stw a o d n o szą się d o zdarzeń, k tó re obserw uje się „p o fakcie”; stąd też w ynika nazw a p raw d o p o d o b ie ń stw „a p o sterio ri”. S k o ro zd arzen ia B Q i B x są naw zajem rozłączne, to n a podstaw ie a k sjo m atu (iii) mamy: P (B 0\A0) + P ( B 1\A0) = i M o żn a więc napisać: P (B 0|A0) = l - p P o d o b n ie m ożem y napisać: P (B iM j) = 1 —p Stosow nie d o tego, m ożem y użyć diagramu prawdopodobieństwa przejścia p o k azanego n a rys. 4.2, ab y sym bolicznie przedstaw ić b in arn y k a n a ł telekom unikacyjny opisany w tym przy­ kładzie; term in „p raw d o p o d o b ień stw o przejścia” o d n o si się d o w aru n k o w eg o p ra w d o p o d o ­ bieństw a błędu. R ysunek 4.2 klarow nie w skazuje n a (założoną) sym etryczną n a tu rę kanału; stąd też i nazw a, „b in arn y k a n a ł sym etryczny”. Z ry su n k u 4.2 w yprow adzam y n astęp u jące wnioski: 1. P raw d o p o d o b ie ń stw o o d eb ran ia sy m b o lu 0 d an e jest przez: P (B 0) = P (B 0|/40) P (A 0) + P (B 0|A j) P i A J = (1 - p ) Po + pPl 15*

228

4. P R O C E S Y L O S O W E

Rys. 4.2 D iagram p raw d o p o d o b ień stw przejścia dla sym etrycznego k an ału binarnego

Bl

2. P raw d o p o d o b ień stw o o d e b ra n ia sy m b olu 1 d an e jest wzorem :

P ( B l)

=

+

=

PPo + 0 “ P)Pi

S tąd ju ż przez zastosow anie reguły Bayesa otrzym ujem y:

P(,o|Bo), «

j

_

P(Ba) =

a-m

( 1 - r t P o + PP ,

=

a - m PP o + ( 1 - P ) P

i

Te dw a p raw d o p o d o b ień stw a a posteriori stanow ią poszukiw any wynik.

4 .3 .

Zm ienne losowe

N ależy d o zw yczaju, szczególnie gdy posługujem y się term inologią przestrzeni próby, by myśleć 0 w yniku eksperym entu ja k o o zm iennej, k tó ra m oże poruszać się p o zbiorze p u n k tó w z p ró b y 1której w arto ść o k reślona jest przez eksperym ent. Funkcja, której dziedzinąjest przestrzeń próby i której zakres jest pewnym zbiorem liczb rzeczywistych, nazywana je s t zmienną losową eksperymentu. Jed n ak że nazw a ,im ie n n a losow a” budzi pew ne kontrow ersje. P o pierwsze słow o „losow a” nie jest użyte w sensie rów nego p raw d o p o d o b ień stw a zdarzeń, d la którego pow inno być zarezerw ow ane. P o drugie słow o ,im ie n n a ” nie o znacza zależności (względem w yniku eksperym entu), k tó ra o d p o w iad ałab y istotnej części jeg o znaczenia. P o m im o to, term in ten jest ta k g łęb o k o zak o rzen io n y w literaturze dotyczącej p raw d o p o d o b ień stw a, że jeg o używ anie jest n a d a l przyjęte. G d y w ynik eksperym entu stan ow i zdarzenie s, to zm ienna losow a o znaczana jest przez X (s) lu b p o p ro stu X . N a przykład, przestrzeń p ró b y reprezentująca w ynik rzutów k o stk ą d o gry stan o w i z b ió r sześciu p u n k tó w p ró b ek , k tó re m o żn a uw ażać za liczby całkow ite 1,2,..., 6. Jeśli te ra z ro zp o zn am y p u n k t p ró b k i k ja k o zdarzenie, że k n ap raw d ę pojaw ia się gdy w yrzucim y k o stk ę, to funkcja X ( k ) = k jest zm ienną losow ą ta k ą , że X (k) rów ne jest liczbie kropek, k tó re u k ażą się gdy rzucim y k o stk ą. W tym p rzy p a d k u zm ienna losow a przyjm uje jedynie d y sk retn y zb ió r w artości. W tak im p rzy p a d k u m ów im y, że m am y d o czynienia z dyskretną zmienną losową. Bardziej precyzyjnie, zm ienna losow a X m oże przyjąć jedynie skończoną liczbę w artości w jak im k o lw iek skończonym okresie obserw acji. Jeśli je d n a k zm ienna lo sow a X m oże przyjąć jak ąk o lw iek w artość w całym zakresie obserw acji, to X nazyw ana je st zmienną losową ciągłą. N a przykład, zm ienna losow a reprezentująca am p litu d ę napięcia szum ów w określonej chw ili czasu jest ciągłą zm ienną losow ą, gdyż m oże o n a przyjąć jak ąk o lw iek w arto ść z zak resu o d plus d o m inus nieskończoności.

229

4.3. Z M I E N N E L O S O W E

A by k o n ty n u o w ać, będziem y potrzebow ali probabilistycznego o p isu zm iennych losowych, k tó ry spełni zadanie rów nie d o b rze dla d yskretnych ja k i ciągłych zm iennych losowych. R ozw ażm y zm ienną losow ą X i p raw d o p o d o b ień stw o zdarzenia X < x. O znaczym y je ja k o p raw d o p o d o b ie ń stw o P (X ^ x). Jest oczywiste, że p raw d o p o d o b ień stw o to jest funkcją zmiennej fikcyjnej x. A by uprościć n aszą notację, piszemy: Fx(x) = P (X < x )

(4.15)

F unkcja F x {x) n azy w an a jest dystrybuantą kumulatywną lu b p o p ro stu dystrybuantą zm iennej losowej X . Z auw ażm y, że F x (x) jest funkcją x, a nie zm iennej losow ej X . Jed n ak że zależy o n a od p rzy p o rząd k o w an ia d o zm iennej losow ej X , co uspraw iedliw ia użycie X ja k o indeksu dolnego. D la dow olnego x, d y stry b u a n tą F x (x) w yraża p raw d o podobieństw o. D y stry b u a n tą F x ( x ) m a n astęp u jące w łasności, w ynikające w prost z ró w n an ia (4.15): 1. D y stry b u an tą F x (x) m a w artości ograniczone d o zakresu m iędzy 0 a 1. 2. D y stry b u a n tą je st m o n o to n ic z n ą niem alejącą funkcją x; to znaczy: F x (x J < F x (x 2)

jeśli x , < x 2

(4.16)

C zęsto użytecznym byw a altern aty w n y opis p raw d o p o d o b ień stw a zm iennej losowej X . P oleg a o n a n a używ aniu pochodnej dystrybuanty, a m ianowicie: fx ( * ) =

(4.17)

F x(x )

co daje w w yniku fu n kcję gęstości prawdopodobieństwa f x (x) zm iennej losowej X . Z w róćm y uwagę, że różniczkow anie w ró w n an iu (4.17) w y k o n an e jest w zględem zm iennej fikcyjnej x. P ochodzenie nazw y funkcja gęstości bierze się z faktu, że p raw d o p o d o b ień stw o zdarzenia x , < X < x 2 wynosi: P ( x , < X ^ x 2) = P ( X ^ x 2) - P ( X ^ x t ) = F x (x 2) - F x {X i) = (4-18) =

¡fx ( x ) d x

xi P raw d o p o d o b ień stw o w przedziale jest zatem rów ne polu zaw artem u p o d funkcją gęstości p raw d o p o d o b ień stw a w tym że przedziale. P o d staw iając x x = — oo w ró w n an iu (4.18) i zm ienia­ jąc nieco n o tację łatw o stw ierdzam y, że d y stry b u a n tą zdefiniow ana jest za p o m o cą funkcji gęstości p raw d o p o d o b ie ń stw a w n astępujący sposób: F x (x) =

¡fx(S ) dę

(4.19)

— CO

P oniew aż F x(co) = 1, co o d p o w iad a p raw d o p o d o b ień stw u zd arzen ia pew nego, a Fję(— co) = 0, co o zn acza p raw d o p o d o b ień stw o zd arzen ia niem ożliw ego, w ięc znajdujem y z ró w n an ia (4.18), że: co

i

fx (x )d x

=

1

(4.20)

— CO

Wcześniej w zm iankow aliśm y, że d y stry b u a n tą m usi być zaw sze m o n o to n iczn ą i niem alejąca. O znacza to, że jej p o ch o d n a, czyli funkcja gęstości p raw d o p o d o b ień stw a m usi zaw sze być nieujem na. W zw iązku z tym m ożem y p o d su m o w ać, że fu n kcja gęstości prawdopodobieństwa musi zawsze b yć nieujemną funkcją o polu całkowitym równym jedności.

230

4. P R O C E S Y L O S O W E

Rys. 43. Rozkład jednostajny: a) funkcja gęstości prawdopodobieństwa, b) dystrybuanta

P rzykład 2

R ozkład jednostajny

O zm iennej losowej X m ów i się, że m a rozkład jednostajny (jest rów nom iernie rozłożona) w przedziale (a, b), jeśli jej funkcja gęstości p raw d o p o d o b ień stw a jest rów na: 0, 1 /* (* ) =

b -a 0,

a < x śb

(4.21)

x > b

D y stry b u a n ta ro z k ła d u X m a zatem postać: 0, x —a F x ix ) =

x < a a < x <6

(4.22)

x> b N a rysu n k u 4.3 p o k a za n o w ykres funkcji gęstości p raw d o p o d o b ień stw a o raz d y stry b u an ty dla rów nom iernie rozłożonej zm iennej losow ej X .

Przypadek kilku zm iennych losow ych D otychczas koncentrow aliśm y naszą uw agę n a sytuacjach, w k tó ry ch w ystępuje pojedyncza zm ienna losow a. Jed n ak że w ek sperym entach często sp o ty k am y się z sytuacją, że w ynik w ym aga opisu z a p o m o cą k ilk u zm iennych losow ych. T era z zajm iem y się przypadkiem opisyw anym przez dw ie zm ienne losowe. O p is probabilistyczny ta k d o k o n a n y m oże być łatw o rozszerzony n a p rzy p ad ek dow olnej liczby zm iennych losowych. R ozw ażm y dw ie zm ienne losow e X i Y. D efiniujem y łączną dystrybuantę dwu­ wymiarową F x Y(x, y) ja k o prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X jest mniejsza lub równa określonej wartości x i że zmienna losowa Y je s t mniejsza lub równa określonej wartości y. Z m ien n e losow e X i Y m o g ą być dw iem a jednow ym iarow ym i zm iennym i losow ym i lu b składow ym i pojedynczej dw uw ym iarow ej zm iennej losowej. W każdym z p rzy p ad k ó w w spólna przestrzeń p ró b ek stan o w i płaszczyznę xy. Ł ączn a d y stry b u a n ta F x Y{x, y) jest praw dopodobieństw em , że w ynik ek sp ery m entu będzie stanow ił p u n k t p ró b k i leżący w ćw iart­ ce ( — co < X 5$; x, — co < 7 < y) łącznej przestrzeni próby. O zn acza to, że: F x,r(*> y) = P ( X < x ,

y)

(4.23)

4.3. Z M I E N N E L O S O W E

231

W y o b raźm y sobie, że łączna d y stry b u a n ta F x Y(x, y) je st wszędzie ciągła i że p o ch o d n a cząstk o w a

istnieje i je st wszędzie ciągła. N azyw am y funkcje f x Y(x, y) łączną funkcją gęstości praw­ dopodobieństwa zm iennych losow ych X i Y. D w uw ym iarow a d y stry b u a n ta F x y(x, y) jest m o n o to n iczn ą funkcją o b u zm iennych x i y. S tąd na podstaw ie ró w n an ia (4.24) w ynika, że łączna funkcja gęstości p raw d o p o d o b ień stw a F x y(x, y) je st zaw sze nieujem na. R ów nież całkow ita ob jęto ść p o d w ykresem dw uw ym iarow ej łącznej funkcji gęstości p ra w d o p o d o b ie ń st­ w a m usi być ró w n a jedności, ja k zap isan o dalej: oo

oc

f

J / „ ( { , n )d id „ = l

-

CO -

(4.25)

00

F u n k c ja gęstości p raw d o p o d o b ie ń stw a d la pojedynczej zm iennej losow ej (pow iedz­ m y X ), m oże b y ć o trzy m an a n a podstaw ie łącznej funkcji gęstości p raw d o p o d o b ień stw a z d ru g ą zm ienną losow ą (pow iedzm y F), w następujący sposób. P o pierwsze zanotujm y, że: CO

F x(x ) =

f “

X

f /x ,r ( Î .ij) d Î d ii

(4.26)

CO — 00

Stąd różniczkując obie stro n y ró w n a n ia (4.26) w zględem x otrzym ujem y p o ż ą d a n ą zależność: CO

fx ( x ) =

i fx .A x * r i dr1

(4.27)

T a k więc funkcja gęstości p raw d o p o d o b ień stw a f x ( x ) o trzy m y w an a jest z łącznej funkcji gęstościf XfY{x, y) p o p ro stu przez scałkow anie jej w zględem w szystkich m ożliw ych w artości niepożądanej zm iennej losow ej Y. S tosując p o d o b n ą arg u m en tację d la drugiego w ym iaru otrzym uje s i ę / y(y). F u n k c je gęstości p raw d o p o d o b ień stw a f x (x) i / y(y) noszą nazw ę gęstości prawdopodobieństwa rozkładów b r z e g o w y c h T a k w ięc łączna funkcja gęstości p ra w d o p o d o ­ bieństw a f x y(x, y) zaw iera całą m ożliw ą inform ację o łącznych zm iennych losow ych X i Y. W y o b raźm y sobie, że X i F są dw iem a ciągłym i zm iennym i losow ym i o łącznej funkcji gęstości p raw d o p o d o b ień stw a / * , y(x, y). F u n k cja gęstości widmowej prawdopodobieństwa warunkowego, że zajdzie Y o ile X = x zdefiniow ana jest jako: f ( Vbć) = -k r t* » y) fM f x (x)

(4.28)

przy założeniu, ż e f x (x) > 0, gdzie f x (x) jest gęstością brzegow ą X . F u n k c ja / r (y|x) m oże być uw ażana za funkcje zm iennej y, przy dow olnej, ale ustalonej w arto ści zm iennej x. S pełnia o n a odpow iednio w szystkie w y m ag an ia dotyczące zwykłej funkcji gęstości p raw d o p o d o b ień stw a, ja k p o k aza n o dalej: f Y(y\x) ^ 0 oraz J f r (y\x) d y = 1 ~

CO

Ang. marginal densities (przyp. tłum).

232

4. P R O C E S Y L O S O W E

Jeśli zm ienne losow e X i Y są statystycznie niezależne, to znajom ość w yniku X w żad en sp o só b nie m oże m ieć w pływ u na ro zk ład Y. R ezultat jest taki, że funkcja gęstości p raw d o p o d o b ień stw a w aru n k o w eg o /y (y|x) red u k u je się d o gęstości ro zk ład u brzegow ego f Y{y) w postaci: fr(y\x) = f Y(y) W takim p rz y p a d k u m ożem y zapisać łączną funkcję gęstości p raw d o p o d o b ień stw a zm iennych losow ych X i y ja k o iloczyn ich o d p o w iednich gęstości ro zk ład ó w brzegow ych, co p o k aza n o dalej: fx,r(x> >’) = f x ( * ) f r ( y ) R ów now ażnie m ożem y stw ierdzić, że jeśli łączna funkcja gęstości p raw d o p o d o b ień stw a dw u zm iennych losow ych X i F ró w n a się iloczynow i ich gęstości rozkładów brzegow ych, to X i Ysą statystycznie niezależne.

4 .4 .

Średnie statystyczne

P o przedyskutow aniu pojęcia p raw d o p o d o b ień stw a w raz z niektórym i jeg o uzupełnieniam i, nadszedł czas n a poszukiw anie sp o so b ó w w yznaczania średniego zach o w an ia się w yników pow stających w ek sperym entach losow ych. Wartość oczekiwana w zględnie średnia lub przeciętna zm iennej losowej X jest definiow ana jak o : 00 J x f x {x)ćx

Px = E\_X1 =

(4.29)

- co

gdzie E — operator średniej statystycznie oczekiwanej. O zn acza to, że śred n ia p x w yznacza środek ciężkości p o la p o d krzyw ą gęstości p raw d o p o d o b ień stw a zm iennej losowej X . A by dać interpretację w artości oczekiw anej p x piszem y całkę w ró w n an iu definicji (4.29) ja k o granicę sum y aproksym ującej w n astępujący sposób. N iech {x k\k = 0, ± 1 , ± 2 , ...} oznacza zb ió r p u n k tó w rów noodległych n a p ro stej rzeczywistej: Xk = ( k + ~ 2 ^ ^

k = 0, ± 1, ± 2 , ...

(4.30)

gdzie A — odległość m iędzy sąsiednim i p u n k tam i. M ożem y w tedy przepisać ró w n an ie (4.29) w postaci: £ [ 2 f ] = lim

00

(k + 1)A

Y,

J

A -* 0 fc= - oo

x ,J x(x )d x =

kA

/

A A\ = hm X x kP x k- — < X < x t + — A- 0*=- oc \ ^ ^

(4.31)

D la fizycznej in terp retacji sum y p o praw ej stro n ie ró w n an ia (4.31) w yobraźm y sobie, że czynim y n niezależnych obserw acji zm iennej losow ej X . N iech N n(k) oznacza, ile razy zm ienna losow a X w y p ad ła w fc-tym przedziale:

4.4. Ś R E D N I E S T A T Y S T Y C Z N E

233

Jeśli liczba obserw acji n będzie w zrastać, to sto su n ek N„{k)/n będzie dążyć d o p raw d o p o d o b ie ń ­ stw a P( x k —A / 2 < X < x k + A/2). O d p o w iednio, m ożliw a staje się ap ro k sy m acja w artości oczekiw anej zm iennej losowej X przez:

przy czym n jest duże

(4.32)

R ozpoznajem y teraz w ielkość p o praw ej stro n ie ró w n an ia (4.32) p o p ro stu ja k o „p róbkę średnią”. S um a w zięta jest p o w szystkich w artościach x k, k tó re waży się przez liczbę przypadających n a nie zdarzeń; p o zsum ow aniu su m a dzielona jest przez całkow itą liczbę obserw acji d ając w w yniku średnią z p ró b ek . F aktycznie, ró w n an ie (4.32) stanow i podstaw ę do obliczenia w artości oczekiw anej £ [ X ] .

F u n k cja zm iennej losowej N iech X oznacza zm ienną losow ą i niech g ( X ) będzie funkcją o w artościach rzeczywistych zdefiniow aną n a osi liczb rzeczywistych. W ielkość, k tó rą otrzym ujem y d ek laru jąc arg u m en t g ( X ) ja k o zm ienną losow ą, będzie rów nież zm ienną losow ą, co zaznaczym y jako: Y=g(X)

(4.33)

Aby znaleźć w arto ść oczekiw aną zm iennej losow ej Y, m oglibyśm y oczywiście znaleźć funkcję gęstości p raw d o p o d o b ień stw a / r (y) i n astępnie zastosow ać w zór standardow y: 00

E L Y ] =

J y fy(y)d y

P rostsza je d n a k p ro c e d u ra polega n a napisaniu: £ [< ? (* )]=

¡ g ( x ) f x { x) óx

dow olną funkcję g ( X ) zm iennej losow ej X . P rzykład 3 Niech Y = g ( X ) = cos{X) gdzie X — zm ien n a lo sow a rów nom iernie ro zło żo n a w przedziale ( —n, n), to znaczy:

W edług ró w n a n ia (4.34) oczekiw ana w arto ść Y wynosi:

(4.34)

234

4. P R O C E S Y L O S O W E

M o m en ty W szczególnym p rzy p ad k u , gdy g ( X ) = X n na podstaw ie ró w n an ia (4.34) otrzym ujem y n-ty moment ro z k ła d u p raw d o p o d o b ień stw a zm iennej losowej X , to znaczy; X'

£ [X "] =

{ x nf x ( x ) d x

(4.35)

— X>

N ajw ażniejszym i m o m en tam i zm iennej X są dw a pierw sze m om enty. T a k więc podstaw ienie n = 1 w ró w n a n iu (4.35) czyni p rzeciętną zm iennej losowej, o p isan ą ju ż wcześniej, podczas gdy podstaw ienie n = 2 d aje średniokw adratow ą wartość z X: CC)

E [ * 2] =

f x 2f x ( x ) d x

(4.36)

X

M ożem y też zdefiniow ać m om enty centralne, k tó re po p ro stu są m o m en tam i różnic pom iędzy zm ienną lo sow ą X a jej średnią p x . T a k więc n-ty m o m en t cen traln y wynosi: E (X-Px)H =

1 ( x - n x f f x {x) d x

(4.37)

D la n = 1 m o m en t cen traln y jest oczyw iście zerem , p odczas gdy d la n = 2 d ru g i m o m en t centralny nazyw any je st wariancją zm iennej losowej X i zapisyw any jest w zorem : cc

v a r[A ^ = E ( X - p x )

=

J ( x - ą x)2f x ( x ) d x

(4.38)

X

W ariancja zm iennej losow ej X je st zw yczajow o o zn aczan a sym bolem < j \- Pierw iastek k w ad rato w y z w ariancji, czyli o x nazyw any jest odchyleniem standardow ym zm iennej losow ej X . W arian c ja o x zm iennej losow ej X w pew nym sensie jest m iarą jej „przypadkow ości”. O kreślając w ariancję a \ ograniczam y tym sam ym efektyw ną szerokość funkcji gęstości p raw d o p o d o b ień stw a f x (x) zm iennej losow ej X w otoczeniu średniej p x . Precyzyjne tw ier­ dzenie n a tem at takiego ograniczenia pochodzi od Czebyszew a. N ierów ność C zebyszew a podaje, że d la dow olnej d o d atn iej liczby e, praw dziw a jest zależność P (IX -p xl * e ) ś

(4.39)

s2

N a podstaw ie tej nierów ności w idać, że śred n ia i w ariancja stanow ią częściow y opis ro zk ład u praw dop o d o b ień stw a. N a p o d staw ie ró w n a ń (4.36) i (4.38) m ożem y stw ierdzić, że w ariancja o x i w artość przeciętna £ [ X 2] są pow iązane relacją: = E\_X2 - 2 p xX +

/i2 ]

= £ [ X 2] - 2px E l X ] + p 2x = £ [ X 2] -

(4.40)

przy czym w w ierszu d ru g im użyliśm y właściwości liniowości o p e ra to ra w artości oczekiw anej £ . R ów nanie (4.40) ukazuje, że jeśli p rzeciętna p x jest zerem , to w ariancja o \ i w artość śred n io k w ad rato w a £ [ X 2] są sobie rów ne.

Funkcja charakterystyczna In n ą w ażną śred n ią statystyczną je st fu n k cja charakterystyczna 4>x (v) ro zk ład u p ra w d o p o d o ­ bieństw a zm iennej losowej X , k tó rą definiuje się ja k o w arto ść oczekiw aną zespolonej funkcji w ykładniczej exp(juX ) w postaci:

4.4. Ś R E D N I E S T A T Y S T Y C Z N E

235

co

x(v) = £[expG t>*)] =

f f x (x)exp (jo x )d x “

(4.41)

CC

gdzie v — rzeczyw iste, a j = v — 1. In n y m i słowy, funkcja ch arak tery sty czn a (¡>x {v) jest (z w yjątkiem zm iany z n a k u w w ykładniku) tra n sfo rm a tą F o u rie ra funkcji gęstości p raw ­ d o p o d o b ień stw a f x ( x ) . W relacji tej zasto so w an o exp(jox) w m iejsce e x p (-ju x ), ab y spełnić konw encję p rzy jętą w teorii p raw d o p o d o b ień stw a. R ozp o zn ając zm ienne i> o ra z x ja k o analogie zm iennych 2 n f o ra z ł w transform acie F o u rie ra m ożem y odpow iednio w yprow adzić n astęp u jącą o d w ro tn ą relację w ynikającą z analogii d o odw rotnej tran sfo rm aty F ouriera: 1 /x W =

00 i
(4.42)

Z ależność ta m oże być w ykorzystyw ana d o w yznaczania funkcji gęstości p raw d o p o d o b ień stw a f x (x) zm iennej losowej X n a p o d staw ie jej funkcji charakterystycznej x (v).

Przykład 4

Gaussowska zmienna losowa

Gaussowska zm ienna losowa jest często sp o ty k a n a w analizie statystycznej ró żn o ro d n y ch system ach fizycznych, w łączając system y telekom unikacyjne. N iech X oznacza zm ienną losow ą o rozkładzie G a u ssa z w arto ścią śred n ią fix i w ariancją o \. F u n k c ja gęstości p raw d o p o d o b ie ń ­ stw a takiej zm iennej losow ej zdefiniow ana jest jako: f ( \ 1 ( f x (x) = — = — e x p y j 2% o x

(x ~ t l x)2 \ — f - 1, 2ax

\

- co <

X

< 00

(4.43)

J

M ając tę funkcję gęstości p raw d o p o d o b ie ń stw a m ożem y łatw o dowieść, że śred n ia z tak zdefiniow anej zm iennej losow ej X faktycznie ró w n a je st n x a w ariancja w ynosi o \ \ przy czym w ykonanie o d p o w iednich przekształceń pozostaw ia się ja k o ćwiczenie d la C zytelnika. W przykładzie niniejszym , życzeniem naszym będzie w yznaczenie m o m en tó w wyższego rzędu n a podstaw ie funkcji charakterystycznej gaussow skiej zm iennej losowej X . R óżniczkując n -k ro tn ie obie stro n y ró w n a n ia (4.41) w zględem u i p o d staw iając o = O otrzym ujem y wynik: co

d" do"

= u r i x% (x)dx


C ałk a p o praw ej stro n ie rów ności o d p o w iad a M-temu m om entow i zm iennej losow ej J M ożem y więc napisać: (4.44) Ł=0 O tó ż funkcja ch arak tery sty czn a zm iennej losow ej X G a u ssa o średniej fix i w ariancji o x d a n a jest ja k o (por. zad a n ie 4.1):
(4.45)

R ów nania (4.44) i (4.45) p o k azu ją w ja sn y sp o só b , że m om enty wyższych rzędów gaussow skiej zm iennej losow ej są jednoznacznie o k reślone przez średnią ¡ix i w ariancję c x . Faktycznie,

236

4. P R O C E S Y L O S O W E

proste przekształcenia tej p a ry ró w n ań p ozw alają w ykazać, że m om enty cen traln e zm iennej X są następujące 1 x 3 x 5...(n — 1)
M o m en ty łączne R ozw ażm y n astępnie p a rę zm iennych losow ych X i Y. Z b ió r średnich statystycznych w ażnych w tym p rzy p ad k u stan o w ią m om enty łączne; są to m ianow icie w artości oczekiw ane iloczynów X ‘ Y \ przy czym i o ra z k m ogą p rzyjm ow ać d o d a tn ie całkow ite w artości. M ożem y więc napisać: CO 00 X 'Y k = i $ x ‘y kf X' Y(x, y ) d x d y (4.47) -

CO -

00

M om entem łącznym o w yjątkow ym znaczeniu je st korelacja zdefiniow ana przez £ [ X Y ] , co o d p o w iad a i = k = 1 w ró w n a n iu (4.47). K o relacja w ycentrow anych zm iennych losow ych X — E[X~\ i Y - £ [ Y ] , czyli m o ­ m ent łączny: co v [ * Y ] = £ [ ( X - E [ X ] ) ( Y - £ [ y ] ) ]

(4.48)

nazyw any jest kowariancją X i Y. W y p ro w adzając ą x = £[AT] i p Y = E [Y ] m ożem y rozw inąć rów nanie (4.48), ab y o trzy m ać wynik: c o v [X Y ] = E [ X Y j - ą x fiY

(4.49)

N iech a \ i rrY oznaczają w ariancje odpow iednio X i Y. W tedy k ow ariancja X i Y zn o rm alizo w an a w zględem o x o Y n azy w an a je st współczynnikiem korelacji X i Y: co v [X Y ] P =

gx g y

(4.50)

M ów im y, że dw ie zm ienne losow e X i Ysą nieskorelowane w tedy i ty lk o w tedy, gdy ich kow ariancja jest zerem , to znaczy w tedy i ty lk o w tedy, gdy: covC X Y ] = 0 M ów im y też, że są o n e ortogonalne w tedy i ty lk o w tedy, gdy ich korelacja jest zerem , to znaczy w tedy i tylko w tedy jeśli: EIXY] = 0 Z ró w n an ia (4.49) w ynika, że jeśli je d n a ze zm iennych losow ych X i Y lu b obie n ara z m ają zerow e średnie i p o n a d to są o rto g o n aln e, to w tedy są o n e nieskorelow ane i vice versa. Z an o tu jm y też, że jeśli X i Ysą statystycznie niezależne, to w tedy są nieskorelow ane; o d w ro tn e jed n ak tw ierdzenie nie zaw sze jest praw dziw e.

4 .5 .

Przekształcenia zm iennych losowych

P roblem , k tó ry często pojaw ia się w opisie statystycznych system ów telekom unikacyjnych polega n a w yznaczaniu funkcji gęstości p raw d o p o d o b ień stw a zm iennej losowej Y pow iązanej z in n ą lo sow ą X za p o m o cą transform acji: Y=g(X)

4.5. PRZEKSZTAŁCENIA ZM IENNYCH LOSOWYCH

237

x Rys. 4.4

T ransform acja wzajemnie jed n o zn aczn a zm iennej losowej X

Istnieje p o trz eb a ro z p a trze n ia d w u oddzielnych przypadków : jed en to przekształcenia jednoznaczn e (m onotoniczne) i d ru g i to transform acje w ieloznaczne (niem onotoniczne). R ozpatrzym y o b a te p rzy p ad k i p o kolei.

Przekształcenia m onotoniczne N iech X będzie ciągłą zm ien n ą losow ą o funkcji gęstości p raw d o p o d o b ień stw a f x (x). N iech 7 = g ( X ) będzie m o n o to n ic zn ą różniczkow alną funkcją X , ja k zaznaczono n a rys. 4.4. Z ałóżm y, że czynim y nieskończenie m ałe zm iany d x i dy zm iennych x i y. W tedy zakładając, że:

y = g(x)

(4.51)

M ożem y napisać: y + dy = g ( x + d x )

dg g-(x) + - ^ d x dx

(4-52)

gdzie d g /d x — p o c h o d n a funkcji g (x) w zględem x. R ozw ażm y te ra z zdarzenie (y < Y ^ y + dy). N a rys. 4.4 widzimy, że zdarzenie to daje identyczny w ynik ja k zdarzenie (x < X < x + dx). Stosow nie d o tego, p raw d o p o d o b ień stw a tych dw u zdarzeń m u szą być rów ne, czyli: P (y <

y + d y ) = P (x < X < x + dx)

W yrażając p o p rzez funkcje gęstości p raw d o p o d o b ień stw a f x (x) i f Y( y l m ożem y przeform ułow ać rów ność p raw d o p o d o b ień stw zd arzeń (x < X < x + d x ) i (y < Y < y + dy) ja k następuje: /r ( y ) d y = f x ( x ) d x przy czym z a k ła d a się, że funkcja g(x) jest m onotonicznie ro sn ącą funkcją, ja k zazn aczo n o na rys. 4.4. G d y b y z drugiej stro n y g(x) była funkcją m o n o to n iczn ie m alejącą, to zachodziłoby: f r (}’) d y = ~ f x ( x ) d x M ożem y zw iązać o b a te w yniki pisząc: /r(y )|d y | = f x (x)\dx\

(4.53)

4. PROCESY LOSOWE

238

W ażna relacja z ap isan a rów n an iem (4.53) m oże być ro zp a try w an a ja k o zasada zachowania prawdopodobieństwa przy w zajem nie jed n o zn aczn y m przekształceniu ze zm iennej losowej X d o innej zm iennej losow ej Y zdefiniow anej ja k o funkcja zm iennej losowej X . A by o trzy m ać funkcję gęstości p raw d o p o d o b ień stw a f Y(y) czynim y dw a kroki: • dzielim y o b ie stro n y ró w n an ia (4.53) przez |dy|, • d o w ynikłego stą d w yrażenia pod staw iam y o d w ro tn ą zależność x = g ~ l (}’)M ożem y w tedy napisać:

|d y /d x |

|d
(4.54)

co stanow i poszukiw ane w yrażenie d la w zajem nie jednoznacznej transform acji zm iennych losowych.

Transform acje w ieloznaczne Rozw ażm y n astępnie bardziej ogólny p rzy p ad ek transform acji w ieloznacznej y = g (x), w której kilka w artości x m oże b y ć tran sfo rm ow anych n a je d n ą w arto ść y. W tym p rzy p ad k u w zór określający funkcję gęstości p raw d o p o d o b ień stw a zm iennej losowej Y w przeliczeniu na funkcję gęstości p raw d o p o d o b ień stw a zm iennej losowej X jest ja k następuje:

fr(y) = E # | r T \dg/dx*

(4.55) x

k

~

9

~

'

(

y

)

gdzie x k — ro zw iązania ró w n an ia #(x) = y, znak zaś m odułu użyty jest poniew aż p ra w ­ dop o d o b ień stw o m usi być d o d atn ie. Ja sn e jest, że jeśli d la w ybranej w artości y rów nanie to m a n rozw iązań, to w yrażenie n a funkcję gęstości p raw d o p o d o b ień stw a f Y(y) zaw iera w danym punkcie n składników . A by uw idocznić, że ró w n an ie (4.55) faktycznie obow iązuje, rozw ażm y sytuację przedstaw ioną n a rys. 4.5, n a k tó ry m m ożem y zobaczyć, że ró w n an ie g(x) = y m a trzy pierw iastki x 1( x 2 i x 3. P o d o b n ie rów nanie: 3 (x + dx) = y + d y

m a trzy pierw iastki x x + d x 3> x 2 + d x 2, x 3 + d x 3. Z darzenie (y < y + dy) m a m iejsce o ile w ystąpi którekolw iek z trzech zd arzeń ( x t < X =$ x , + d x t ), (x 2 < X ^ x 2 + d x 2) lub (^3 < X < x 3 - f d x 3). Jeśli dy jest nieskończenie m ałe, to trzy p rzy p ad k i zw iązane ze zm ienną losow ą X są naw zajem rozłączne i m ożem y w tedy napisać: P (y < Y < y + dy) = < X s$ x 1 + d x 1) + P ( x 2 < X s$ x 2 + d x 2) + + P (x 3 < X < x 3 + d x 3)

4.5. PRZEKSZTAŁCENIA ZM IENNYCH LOSOWYCH

239

Stosow nie d o tego m ożem y za p o m o cą funkcji gęstości p raw d o p o d o b ień stw a f x (x) i f Y(y) napisać:

fr(y)dy = f x ( x 1) d x 1 + fx {x2) \d x 2\ + f x ( x 3) d x 3 przy czym w d ru g im członie zastosow aliśm y m o d u ł w różniczce d x 2, poniew aż drugie zdarzenie z rys. 4.5 m a u jem n ą p o c h o d n ą d y /d * w punkcie x 2 ja k o „uw stecznioną” k o m p o n en tę. P o podzieleniu stro n a m i przez d y otrzym ujem y szczególną p o stać ró w n an ia (4 .55 ). P rzykład 5 R ozw ażm y p o n o w n ie tran sfo rm atę Y = c o s * przy czym zm ienna losow a X jest ro zło żo n a rów nom iernie w przedziale ( —ze, n). Z ad an ie polega na znalezieniu funkcji gęstości p ra w ­ dopodobień stw a d la Y. N a ry su n k u 4.6 przedstaw iającym w ykres Y = c o s * w interesującym n as przedziale widzim y, że d la — 1 < Y < 1 ró w n an ie co sx = y m a dw a rozw iązania, m ianow icie = —c o s _ 1(y) i x 2 = c o s _ 1(y), B iorąc y = cosx dostajem y: dy — = —sinx dx F unkcja gęstości p raw d o p o d o b ień stw a * d a n a jest jako: r i \

fx (x ) =

r i <

2n

0,

— tr < x < n p o zostałe x

Z atem stosując ró w n an ie (4.55) d o ak tu aln eg o p ro b lem u otrzym ujem y: 1 1 Jriy) —------ 7=-- ,, H "r-.... l i i y j 1 - y 2 2 lty J 1 —y

1 = ------ 7:.... d la — 1 < y < 1 71^1 - y 2

W arto zastosow ać to w yrażenie d o w yznaczenia w artości oczekiw anej zm iennej Y. O trzym uje­ my mianowicie:

E [T \ = ? yfr(y)dy = J — t = = f dy = - —y -oo

- 1

1 —y

11

/ i 1

= o

>-=-i

co pozostaje w zgodzie z w ynikiem otrzym anym w przykładzie 3, ja k zresztą być pow inno.

Rys. 4.6. Z m ienna losow a

Y=

cos X

240

4 .6 .

4. P R O C E S Y L O S O W E

Procesy stochastyczne

N ajistotniejszym p ro b lem em w analizie statystycznej system ów telekom unikacyjnych jest opis sygnałów stochastycznych, ta k ich ja k sygnał m ow y, sygnał telewizyjny, k o m puterow e dane cyfrowe i szum y system ow e. T ak ie sygnały stochastyczne m ają dw ie charakterystyczne cechy. P o pierw sze są o n e funkcją czasu, zdefiniow anego w pew nym przedziale obserw acji. P o drugie, sygnały są p rzy p ad k o w e w tym sensie, że nie jest m ożliw y d o k ład n y opis analizow anych przebiegów , pó k i nie przeprow adzim y eksperym entu. O pisując zatem sygnały przypadkow e znajdujem y, że każdy p u n k t p ró b y w przestrzeni p ró b jest funkcją czasu. C ałk o w ita przestrzeń p ró b lu b b iblioteka złożona z funkcji czasu stan o w ią proces stochastyczny zw any też losowym. N ierozłączną częścią takiego procesu będzie założenie o istnieniu ro zk ład u p raw d o p o d o b ień st­ wa, k tó ry zdefiniow any jest w odpow iedniej klasie zbiorów w przestrzeni p ró b ta k , ab y m óc m ówić w sp o só b g o d n y zaufania o p raw dopodobieństw ie ró żn o ro d n y ch zdarzeń. R ozw ażm y zatem eksperym ent losow y określony przez w artości s z pewnej prze­ strzeni prób S, przez zb ió r zd arzeń zdefiniow any w przestrzeni p ró b S, i przez p raw d o p o d o b ie ń ­ stw a tych zdarzeń. P rzypuśćm y, że p rzy porządkow ujem y k ażd em u p u n k to w i p ró b y s funkcję czasu zgodnie z regułą: * ( i,s ) ,

(4.56)

gdzie 2 T — całkow ity przedział obserwacji. D la ustalo n eg o p u n k tu p ró b y Sj w ykres funkcji X(t , Sj) w funkcji czasu t nazyw any jest realizacją lub fu n kcją próby procesu losowego. Aby uprościć zapis oznaczm y tę funkcję p ró b y jako: X j(t)

=

(4.57)

X ( t ,S j)

N a rysu n k u 4.7. p rzed staw io n o z b ió r funkcji p ró b y {xJ(i)lj = 1, 2 N a podstaw ie tego rysunku notujem y, że d la u stalo n eg o czasu tk w ew nątrz przedziału obserw acji, zb ió r liczb 1(ifc)» -^2(^ft)*—

s l)>2f(tfc, S2) ,..., X ( t k, S„)}

u stan aw ia zm ienną losową. P o praw ej stro n ie m am y więc indeksow any zb ió r (rodzinę) zm iennych losow ych { X ( t , s)}, k tó ra nazyw a się procesem losowym. D la uproszczenia zapisu zw yczajow o przyjęła się p ra k ty k a p o m ijan ia s i oznaczania procesu losow ego przez X(t). M ożem y zatem form alnie zdefiniow ać proces losow y X(t) ja k o z b ió r fu n kcji czasu wraz z regułą prawdopodobieństwa, która przyporządkow uje prawdopodobieństwo każdem u znaczącem u zda­ rzeniu związanem u z obserwacją jednej z fu n kcji prób procesu losowego. P o n a d to m ożliw e jest rozróżnienie pom iędzy zm ienną losow ą a procesem losow ym w następujący sposób: • D la zm iennej losow ej, w ynik losow ego eksperym entu odw zorow uje się w liczbę. • D la p ro cesu losow ego, w yniki losow ego eksperym entu odw zorow uje się w przebieg, który jest funkcją czasu.

4 .7 .

Stacjonarność

W iele procesów losow ych m a w ażną właściwość: charakterystyka statystyczna procesu je st czasowo niezmienna. A by uściślić to stw ierdzenie, rozw ażm y proces losow y X (t) rozpoczęty w chwili r = — co. N iech -A(ii), X ( t 2), ..., X(t k) oznaczają odpow iednio zm ienne losow e otrzym ane w w yniku obserw acji procesu losow ego X (t) w chw ilach t l t t2,...,tk. D y stry b u an ta łączna takiego zb io ru zm iennych losow ych w ynosi F XUi), ...., x fc). W y o b raźm y sobie następnie, że przesuw am y w szystkie chwile obserw acji o u sta­ lony czas t , otrzy m u jąc w ten sp o só b now y z b ió r zm iennych losow ych X ( t ] + 1),

241

4.7. S T A C J O N A R N O Ś Ć

Rys. 4.7. Zbiór funkcji prób

X ( t2 -\-x),...,X (tk + T). D y stry b u a n ta łączn a tego drugiego zb io ru zm iennych losow ych wynosi FX{,i+T) x(tk +x)(x i **)• P ro ces losow y nazyw any jest ściśle (silnie) stacjonarnym, jeśli spełniony jest n astępujący w arunek: •Px(i, + t)

x(łk+T)(x i> -’x *) =

x"-x k)-

(4.58)

przy czym spełnienie w a ru n k u dotyczy dow olnych czasów przesunięcia t , w szystkich k i w szystkich w yborów czasów obserw acji t u t2,..., tk. Innym i słow y proces losowy X(t) rozpoczęty w chwili czasu t = — cc, je st ściśle stacjonarny, jeśli dystrybuanta łączna zbioru zmiennych losowych otrzym anych przez obserwację procesu losowego X (i) jest niezmiennicza względem umiejscowienia początku osi czasu t = 0. P o d o b n ie, dw a procesy losow e X(t) i Y(t), o b a rozpoczęte w chwili czasu t = — co, nazyw ane są łącznie stacjonarnymi jeśli obydw ie d y stry b u an ty łączne zm iennych losow ych X ( t x), X ( t2),..., X ( t k) i 7(1/), y(r2' Y ( r ' - ) są niezm iennicze w zględem um iejscow ienia p o czątk u osi czasu t = 0 d la w szystkich k i j i w szystkich m ożliw ych w yborów czasów obserw acji ’ —’ ^k tx,t2 , - , t j P o w racając d o ró w n an ia (4.48) m ożem y rozróżnić dw a szczególnie interesujące przypadki: 1. D la k = ł m am y Pi'(«)(x ) = Px(i+r)(x ) = F x(x ) 16 S ystem y te le k o m u n ik a c y jn e cz. 1

d la w szystkich i i t

(2.59)

242

4. P R O C E S Y L O S O W E

r«i N

\

\

\

' \ \ \

\

*3

' ..... r

h

-

b's J

•

a 2

Ewentualna realizacja przebiegu funkcji próby --------------------------------- t

Rys. 4.8. Ilu stracja p raw d o p o d o b ień stw a zdarzenia łącznego

O zn acza to, że dystrybuanta pierwszego rzędu stacjonarnego procesu losowego jest niezależna od czasu. 2. D la k = 2 i t = —t L m am y Fx{tl), *(,2)(*i> x 2) = F * )0), * (t

)(x „ x 2)

d la w szystkich i , i i 2

(2.60)

O zn acza to, że dystrybuanta drugiego rzędu stacjonarnego procesu losowego zależy jedynie od różnicy czasu pom iędzy czasam i obserwacji, nie zależy n ato m iast o d poszczególnych czasów w ybranych d la obserw acji procesu losowego. P o d a n e dw ie właściw ości niosą ze so b ą głębokie im plikacje względem statystycznej param etryzacji stacjo n arn eg o procesu losow ego, co zostanie przedyskutow ane w punkcie 4.8. P rzykład 6 R ozw ażm y trzy o k n a przestrzenne ulo k o w ane d la czasów t v t 2, t 3 i przedstaw ione n a rys. 4.8. Życzeniem naszym jest obliczenie p raw d o p o d o b ień stw a o trzy m an ia funkcji p ró b y x(r) procesu losow ego 2f(t), k tó ra przechodzi przez ten z b ió r okien, to znaczy p raw d o p o d o b ień stw a łącznego zdarzenia: A = {a,- < X { t j < bx) ,

i = 1, 2, 3

P raw d o p o d o b ień stw o to, w yrażone za p o m o cą d y stry b u an ty łącznej jest rów ne: P(A) = F X{tl ),x(i2).x(t3)Q) u

f atuj).x{t2h x(r3)(a i> «2» « 3)

Przyjm ijm y teraz, że pro ces losow y X(i) jest stacjonarny. S tacjo n am o ść im plikuje, że p raw d o p o d o b ień stw o przejścia tego zbioru funkcji p ró b przez o k n a z rys. 4.9a jest rów ne p raw d o p o d o b ień stw u przejść tego sam ego z b io ru funkcji p ró b przez odpow iednie o k n a , lecz przesunięte w czasie, ja k n a rys. 4.9b. P odkreślm y, że obydw a w ym ienione zbiory niekoniecznie sk ład ają się z tych sam ych funkcji prób.

4 .8 .

W artość średnia, funkcje korelacji i kowariancji

W eźmy p o d uw agę stacjo n arn y pro ces losow y X(t). D efiniujem y średnią procesu 2f(f) ja k o w arto ść oczekiw aną zm iennej losowej o trz y m a n ą przez obserw ow anie procesu w pew nej chwili t, co w yraża zależność:

243

4.8. W A R T O Ś Ć Ś R E D N I A , F U N K C J E K O R E L A C J I I K O W A R I A N C J I

1

a

i 1

L

'*1

-

u3

h + * + r

U 2

h + r

r

Rys. 4.9

Ilu stracja pojęcia stacjonarności w przykładzie 6

CC p x (t) = E i X i t ) 2 = i x f m {x)dx -

(4.61)

CO

przy czym f X(t) (x) je st pierw szego rzędu funkcją gęstości p raw d o p o d o b ień stw a procesu. Z ró w n an ia (4.59) w nioskujem y, że d la stacjo n arn eg o procesu losow ego funkcja f Xit) (x) jest niezależna o d czasu t. K o n sek w en tn ie średnia wartość stacjonarnego procesu losowego je s t stała, a m ianowicie: p x (t) = p x

d la w szystkich t

(4.62)

Definiujem y fu n kcję autokorelacji procesu losowego .V (t)jako w arto ść oczekiw aną iloczynu dw u zm iennych losow ych X (t j) i X ( t 2) otrzy m an y ch przez zaobserw ow anie procesu X(t) w chw ilach odpow iednio i , i f 2. M am y zatem : R x ( h > h ) — E L X ( t l ) X ( t 2) ]

—

co

co

J

J

co

x ix 2 f x ( ii ),

x < r 2

) ( x

i >

x

2 )

d

x

i

d

x

2

(4.63)

~ CO

gdzie: /x x 2) — drugiego rzędu funkcja gęstości p raw d o p o d o b ień stw a procesu. Z ró w n an ia (4.60) w ynika w niosek, że d la stacjo n arn eg o procesu losow ego funkcja fx « l), *«2),(x i- x 2) zależy jedynie o d różnicy czasów obserw acji i , i t 2. T o z kolei im plikuje, że funkcja autokorelacji stacjonarnego procesu losowego zależy jed yn ie od różnicy czasów t 2 — t v ja k następuje: K * ( i i ,i 2) = K x(i2 —i t)

d la w szystkich

i t2

(4.64)

P odobnie, fu n k cja autokow ariancji stacjo n arn eg o p rocesu losow ego zapisuje się jako: Qr(*i> *2) = -E[(-^(*i)—/far) (-^(*2) —A**)] = R x(t 2 ~ t i ) ~ P x

(2.65)

R ów nanie (4.65) p o k azu je, że p o d o b n ie ja k funkcja autokorelacji, funkcja au to k o w arian cji stacjonarn eg o p ro c e su losow ego X(t) zależy ty lk o od różnicy czasów t 2 — t v R ów nanie to pokazuje rów nież, że jeśli znam y w arto ść średnią i funkcję autokorelacji, to bez tru d u w yznaczym y funkcję autokow ariancji. W arto ść śred n ia i au to k o relacja są przeto w y star­ czające, aby n a p isa ć pierw sze d w a m o m enty procesu. 16*

244

4. P R O C E S Y L O S O W E

Jed n ak że są dw ie w ażne spraw y, k tó re p o w in n y być pieczołow icie odnotow ane: 1. Ś rednia p o zbiorze realizacji i funkcja au to k o relacji d o starczają jedynie częściowego opisu ro zk ład u p ro cesu losow ego 2. W aru n k i (4.62) i (4.64) obejm ujące odpow iednio średnią i funkcję autokorelacji nie są w ystarczające, ab y zag w aran to w ać sta c jo n a m o ść procesu losow ego X(t). P om im o tego, prak ty czn e rozw ażania często d y k tu ją konieczność zadow olenia się jedynie częściowym opisem procesu za p o m o cą średniej i funkcji autokorelacji. Proces losow y, d la którego w aru n k i z ró w n a ń (4.62) i (4.64) są spełnione nazyw any jest procesem losow ym stacjonarnym w szerszym sensie2) (stacjo n am o ść słaba). O czyw iście w szystkie procesy silnie stacjo n arn e są rów nież stacjo n arn e w szerszym sensie, ale nie w szystkie procesy słabo stacjo n arn e są ściśle stacjonarne.

W łaściw ości funkcji autokorelacji D la w ygody zapisu, przedefiniujm y funkcję autokorelacji procesu stacjo n arn eg o X{t) do postaci: ^ x (T) = £ [-^ (f + t).Y (f)]

d la w szystkich t

(4.66)

T ak zap isan a funkcja au to k o relacji m a następujące w ażne właściwości: 1. Ś red n io k w ad ratu ro w a w arto ść procesu m oże być o trzy m an a z R x(x) p o p ro stu przez podstaw ienie t = 0 w ró w n a n iu (4.66) w edług w zoru: R*(0) = E l X 2(t)j

(4.67)

2. F u n k cja autok o relacji R x (x) jest p arzy stą funkcją t , czyli: R x(z) = R x( - z )

(4.68)

W łaściw ość ta w ynika w p ro st z definiującego ró w n an ia (4.66). O d p o w ied n io m ożem y bow iem zdefiniow ać funkcję au to k o relacji R x(z) jako: R ^ z ) = E [ X ( t) X ( t - z ) ] 3. F u n k cja autok o relacji R J z ) m a m ak sim u m co d o m o d u łu d la t = 0, czyli: (4.69) A by w ykazać tę w łaściw ość, rozw ażm y nieujem ną wielkość: E [ ( E ( t+ z ) ± X ( t) ) 2] ź 0 R ozw ijając sk ładniki d w u m ian u i b io rąc ich w artości oczekiw ane dostajem y: E [ X 2(t + z ) ] ± 2 E [ X ( t + z)X (t)] + E [ X 2(t)] ź 0 co w świetle ró w n a n ia (4.66) i (4.67) upraszcza się do: 2 R A 0 )± 2 R x(x) > 0 R ów now ażnym będzie zapis -R * < 0 ) < R ^ z ) < Rx(0) z k tó re g o w p ro st w ynika ró w n an ie (4.69). Fizyczne znaczenie funkcji au to k o relacji R ^ z ) polega n a d o starczan iu opisu w spółzależności dw u zm iennych losow ych otrzym anych z zaobserw ow ania procesu X{t)

4.8. W A R T O Ś Ć Ś R E D N I A , F U N K C J E K O R E L A C J I I K O W A R I A N C J I

245

Rys. 4.10. F unkcje autokorelacji d la procesów losow ych w ielozm iennego i szybkozm iennego

w chw ilach odległych o z. S taje się zatem oczywiste, że im szybciej proces losow y Jf(f) zm ienia się w funkcji czasu, tym szybciej funkcja autok o relacji R x(z) m aleje względem sw ego m aksim um ^ * (0 )w m iarę w zrostu t, ja k p o k a z a n o n a rys. 4.10. O p a d a n ie to m oże być scharakteryzow ane przez czas dekorelacji z 0 taki, że d la t > x0 w ielkość funkcji au to k o relacji R x(z) pozostaje poniżej pewnej zadanej w artości. M ożem y zatem zdefiniow ać czas z 0 dekorelacji stacjo n arn eg o w szerszym sensie procesu losow ego X(t), o zerow ej zadanej w artości średniej, ja k o czas niezbędny, ab y w ielkość funkcji au to k o relacji R*( t) zm alała np. d o 1 p ro cen ta w artości m aksym alnej R*(0).

Przykład 7

Fala sinusoidalna o fazie przypadkowej

R ozw ażm y sygnał sinusoidalny o fazie przypadkow ej zdefiniow any w postaci: 2f(t) = A c o s ( 2 n f t + 0 ) gdzie. A i f znaczy:

stałe, 0

zm ien n a losow a równomiernie rozłożona w przedziale ( —n, n), to

m = < 2xc fre/ (6) v.0,

gdzie indziej

O znacza to, że zm ienna losow a 0 m oże z jed n ak o w y m p raw d o p o d o b ień stw em przyjm ow ać jakąkolw iek w arto ść z przedziału ( - « , n). F u n k cja autokorelacji procesu X(t) je st rów na: Rx(z) = £ [ X ( i + t)A:(i)] = E [ A 2 c o s ( 2 n f t + 2n/c r + (9) c o s ( 2 n f t + 0 ) ] = A2 A2 = — E [co s ( 4 n f t + 2 n fcz + 20)-] + — E [cos ( 2 n f r)] =

=

A2 " 1 a 2 ~ 2 ~ J ^ c o s ( 47i^f + 2 n f z + 2 6 ) d 6 + - y - cos(2ji^.t)

Pierwszy człon p o scałkow aniu d aje zero, otrzym ujem y więc: A2 R xiz) = — co s(2 ji/ct)

(4.70)

co p o k azan o n a w ykresie z rys. 4.11. w idzim y więc, że funkcja autokorelacji fali sinusoidalnej o fazie p rzy p ad k o w ej jest inną sinusoidą o tej sam ej częstotliwości, lecz w dziedzinie raczej „czasu z” n iż w oryginalnej dziedzinie czasu.

246

4. P R O C E S Y L O S O W E

Rys. 4.11

Funkcja autokorelacji fali sinusoidalnej o losowej fazie

Przykład 8

Przypadkowa fala binarna

N a ry su n k u 4.12 p o k a z a n o funkcje p ró b k i x(r) procesu X (r) będącego p rzy padkow ym ciągiem symboli binarnych 1 i 0. C zynim y następujące założenia: 1. Sym bole 1 i 0 reprezentow ane są przez im pulsy o am plitudzie odpow iednio + A i — A w oltów i o czasie trw an ia T sekund. 2. Im pulsy nie są zsynchronizow ane i półczas oczekiw ania td n a sta rt pierw szego kom pletnego im pulsu d la d o d atn ich czasów przyjm uje ró w n o p raw d o p o d o b n e w artości leżące gdziekol­ w iek m iędzy 0 i T sekund. T a k więc td jest w artością p ró b y rów nom iernie rozłożonej zm iennej losow ej Td z jej funkcją gęstości p raw d o p o d o b ień stw a zdefiniow aną jak o : 0 ^ td^ T frjti = \ T 0,

gdzie indziej

3. D la dow olnego przedziału czasow ego ( n — 1 )T < f —td < n T , gdzie n jest całkow ite, obec­ ność 1 lu b 0 o k reślo n a jest przez praw idłow y rzu t m onety; w szczególności, jeśli w yrzucony jest orzeł, to m am y 1, a jeśli reszka, to m am y 0. O b y d w a sym bole są ró w n o p raw d o p o d o b n e i obecność 1 lu b 0 w d o w o ln y m przedziale czasu jest niezależna o d obecności w innych przedziałach czasu. S k o ro poziom y am p litu d —A i + A zdarzają się z jed n ak o w y m p ra w d o p o d o b ie ń st­ wem , to w ynika stąd n atychm iast, że E [ X (r)] = 0 d la w szystkich r i dlatego średnia p o zbiorze realizacji procesu jest zerow a. A by znaleźć funkcje au to k o relacji R x(tk, i,) m usim y oszacow ać w arto ść E [ X (ifc) A'(i,)] przy czym X (tk) i X (i,) są zm iennym i losow ym i otrzym anym i z obserw acji procesu losow ego X (i) odpow iednio d la czasów tk i i,. R ozw ażm y najpierw p rzy p ad ek gdy |ifc—t Ł| > T. W tedy zm ienne losow e AT(tk) i X(t , ) zd arzają się w odm iennych o d stęp ach m iędzy im pulsam i i są z tego p o w o d u niezależne. M am y więc: E l X ( t k) X ( t J ] = E l X ( t k) - ] E l X ( m = 0 , \tk - ti\ > T xłf| +A

0

h

- i . i -

Rys. 4.12

Funkcja próby losowej fali binarnej

4.8. W A R T O Ś Ć Ś R E D N I A , F U N K C J E K O R E L A C J I I K O W A R I A N C J I

R x

247

(t )

Rys. 4.13 -

T

0

T

T

F u n k cja autokorelacji losowej fali binarnej

R ozw ażm y następnie p rzy p ad ek gdy |rk- f {| < T, przy czym t, = 0 i f, < tk. W takiej sytuacji w idzim y n a rys. 4.12, że zm ienne losow e X ( t k) i X ( t l) p rzy p ad ają n a ten sam okres im pulsu w tedy i ty lk o w tedy, gdy opóźnienie td spełnia w aru n ek td < T — |ik - f{|. O trzym ujem y w ten sp o só b warunkową wartość oczekiw aną:

U średniając ten w ynik p o w szystkich w artościach td otrzym ujem y: E l X ( t k) X ( t i) j =

J

A 2f T (td)dtd =

o

d

T-1(*- *,1 Ą l = i O

=

P o d o b n e rozum ow anie p rzep ro w ad zo n e d la jakiejkolw iek innej w artości tk d o p ro w ad za do w niosku, że funkcja autok o relacji losowej fali binarnej reprezentow anej przez funkcję p o k azan ą n a rys. 4.12 jest funkcją jedynie różnicy czasów x = tk - t h co zapisuje się:.

(4.71) W ynik ten w ykreślono n a rys. 4.13.

Funkcje korelacji w zajem nej Rozw ażm y n astępnie bardziej ogólny p rzypadek dw u procesów losow ych X ( t ) i 1(0 o funkcjach au to k o relacji od p o w ied n io R x (t,u) i R Y(t,u). D w ie fu n kcje korelacji wzajemnej procesów X ( t ) i Y(t) zdefiniow ane są jako: R xy(t,u) = E{X(t )Y[u)l

(4.72)

Rr x ( t ,u ) = E l Y ( t ) X ( u j ]

(4.73)

oraz

gdzie: i i u — chw ile czasu, w których proces jest obserw ow any. W tym p rzy p ad k u właściwości korelacyjne o b u procesów losow ych AT(t) i F(i) m o g ą być przedstaw ione w następującej wygodnej p o staci m acierzowej:

248

4. P R O C E S Y L O S O W E

R x (t,u)

(4.74)

RM ) = R y x ( t ’ u)

co nazyw am y m acierzą korelacji procesów losow ych X (r) i Yfr). Jeśli procesy losow e X (r) i Y{t) są obydw a stacjo n arn e w szerszym sensie, w tedy m acierz korelacyjna m oże być n ap isan a w postaci:

R ( t) =

(4.75)

gdzie t = t — u. F u n k c ja korelacji w zajem nej w ogólności nie jest p arzy stą funkcją t , ja k to m iało miejsce d la funkcji autokorelacji, an i też nie m a m aksim um w p o czątk u układu. Jednakże podlega o n a następującej sym etrii (por. zad an ie 4.12): R xy {t ) = R yx ( - t)

P rzykład 9

(4.76)

Procesy o m odulacji kw adra tu r owej

Rozw ażm y p a rę kwadraturowo modulowanych procesów 2f,(t) i X 2(t), k tó re pozostają w następującym zw iązku d o p ro cesu stacjo n arn eg o w szerszym sensie X(r): 2f,(t) = X (t)co s(2 n fct + 0 ) X 2(t) = X (t)sm (2 n fct + 0 ) gdzie: f c — częstotliw ość n o śn a, a zm ienna losow a 0 m a ro zk ład rów nom ierny w przedziale (0 ,2%). C o więcej, 0 nie zależy o d AT(i). P ew na funkcja korelacji w zajem nej m iędzy X l{t) i X 2(t) d a n a jest przez: R l2(x) = E l X 1( t ) X 2(t-x)-] = = E l X ( t ) X ( t - x)cos(2n/ct + 0)sin(2rc/cr - 2%J'cz + 0 ) ] = = E[_X{t)X{t - i)]£ [c o s (2 jt/ct + 0 )sin (2 ji/ci - 2nfcx + 0 j ] = =

E

Csin (47l/cf “

ln f c T

+

2 & )~

(4.77)

sin(27t/cT)] =

przy czym w ostatniej linijce poczyniliśm y użytek z rów nom iernego ro zk ład u zm iennej losowej 0 reprezentującej fazę. Z auw ażm y, że d la t = 0 czynnik sin(2n/cT) je st zerem i stąd: R 12(0) = E i X l( t ) X 2(tj] = 0 W ynik ta k i pokazuje, że zm ienne losow e o trzy m an e przez rów noczesną obserw ację w pewnej ustalonej chw ili czasu t k w ad ratu ro w o m o d u lo w an y ch procesów X ,(t) i X 2(t) są o rto g o n aln e względem siebie.

249

4.9. E R G O D Y C Z N O Ś Ć

4 .9 .

Ergodyczność

Wartości oczekiw ane lu b średnie w zbiorze realizacji p rocesu stochastycznego X( t ) stanow ią średnie „w p o p rzek procesu”. N a przykład śred n ia procesu stochastycznego X(t) d la pew nego ustalonego czasu tk o zn acza w arto ść oczekiw aną zm iennej losow ej X ( t k), k tó ra opisuje zbiór w szystkich m ożliw ych wartości funkcji p ró b procesu obserw ow anych w chwili t = tk. N atu ra ln ie m ożliwe jest tak że zdefiniow anie uśrednień po czasie z prób „długotrwałych”, czyli sk ró to w o uśrednień po czasie, co oznacza uśrednienie „w zdłuż p rocesu”. P ojaw ia się zainteresow anie porów naniem zależności m iędzy uśrednieniam i p o zbiorze realizacji a uśrednieniam i p o czasie, gdyż uśrednianie czasow e stanow i p rak ty czn y do stęp n y środek d la estym acji uśrednień po zbiorze realizacji. K luczow e p ytanie oczywiście brzm i: kiedy m ożliw e jest podstaw ienie uśrednień czasow ych w m iejsce uśrednień p o zbiorze realizacji? D la z b a d a n ia tej kwestii rozw ażm y funkcję p ró b y x (i) p ro cesu X{t) stacjo n arn eg o w szerszym sensie z przedziałem czasu obserw acji zdefiniow anym ja k o —T ^ t < T. Staioprądowa wartość x(f) je st zdefiniow ana przez średnią czasową: =

(4.78)

Z rozum iałym jest, że śred n ia czasow a p x( T ) jest zm ienną losow ą, której w arto ść zależy od okresu obserw acji i o d w yboru, k tó ry z przebiegów czasow ych będzie p ró b k ą , w ybieraną z procesu losow ego X( t ) i p o d sta w ian ą d o ró w n a n ia (4.78). P oniew aż proces AT(i)jest z założenia stacjonarn y w szerszym sensie, więc (po zm ianie kolejności o p era to ró w u śred n ian ia i cał­ kow ania) w arto ść śred n ia p o czasie p x{T) będzie d a n a przez:

£ W

B

=

jf

f £ [* (t)]d i =

f M

t = ttr

(4 -7 9 >

gdzie n x — uśrednienie p o zbiorze realizacji p rocesu losow ego X{t). Stosow nie d o tego średnia czasow a p x ( T ) reprezentuje estym ację nieobciążoną średniej p o zbiorze realizacji p x . M ów im y, że proces X{t) jest ergodyczny w sensie średniej jeśli spełnione są dw a w arunki: • Ś rednia p o czasie p x( T ) zbliża się w granicy d o średniej p o zbiorze realizacji p x w m iarę, ja k czas obserw acji T zd ąża d o nieskończoności, czyli: lim p x( T ) = p x T -o o

• W arian cja p x( T \ tra k to w a n a ja k o zm ienna losow a dąży w granicy d o zera w m iarę ja k czas obserw acji T d ąży d o nieskończoności, to znaczy: lim v a r [jUj/T)] = O T ~ * co

In n ą śred n ią czasow ą w zbudzającą szczególne zainteresow anie jest funkcja a u to ­ korelacji R x( t , T ) zdefiniow ana z a p o m o cą funkcji p ró b y x(r) obserw ow anej w przedziale czasu — Ts$ t ^ T. Z g o d n ie z rów naniem (4.78) m ożem y form alnie zdefiniow ać uśrednioną po czasie fu n kcję autokorelacji d la funkcji p ró b y x(i) ja k następuje: 1

R JiT,t) = —

T

f x(f + r)x (f)d t

(4.80)

250

4. P R O C E S Y L O S O W E

T a d ru g a śred n ia p o czasie rów nież p o w in n a być ro z p a try w a n a ja k o zm ienna losow a o własnej w artości średniej i w ariancji. N a p o d o b ień stw o ergodyczności względem średniej, m ożem y powiedzieć, że x (i) jest e r g o d y c z n y w s e n s i e f u n k c j i a u t o k o r e l a c j i , jeśli spełnione są następujące dw a w aru n k i graniczne: lim R x ( x , T ) = R z j t)

r-co

lim v a r [ R x( t , T ) ] = 0

r-oo

M o żn a oczywiście, p o d o b n ie dalej postępując, definiow ać ergodyczność w jeszcze ogólniejszym sensie, ro z p a tru ją c statystykę wyższego rzędu procesu X(r). W praktyce je d n a k opisane wcześniej: ergodyczność śred n ia i ergodyczność w funkcji autokorelacji są najczęściej (ale nie zawsze) uw ażane za w ystarczające31. Z an o tu jm y też, że użycie ró w n ań (4.79) i (4.80) d la obliczenia w artości średnich p x( T ) i R x(t, T ) w ym aga, ab y proces X ( t ) był stacjo n arn y w szerszym sensie. In n y m i słowy, ab y proces losow y byl ergodyczny, pow inien być stacjo n arn y w szerszym sensie; o d w ro tn e tw ierdzenie jest je d n a k niekoniecznie praw dziw e.

4 .1 0 . Transmisja procesu stochastycznego przez filtr liniow y Przypuśćm y, że proces losow y 2f(i) przy łożony jest na wyjście liniow ego stacjo n arn eg o filtru o odpow iedzi im pulsow ej /i(t), p o w o d u jąc pow stanie n a wyjściu tego filtru now ego procesu losow ego Y(r), ja k n a rys. 4.14. O p isan ie ro zk ład u p raw d o p o d o b ień stw a w yjściow ego procesu losow ego Y(i) naw et, jeśli ro zk ład p raw d o p o d o b ień stw a wejściowego procesu losow ego jest d o kładn ie określony d la — co < t < co, je st w ogólności zagadnieniem trudnym . W niniejszym punkcie m am y zam iar określić czasow ą p o stać zależności m iędzy wejściem a wyjściem filtru w celu w yznaczenia średniej i funkcji au to k o relacji w yjściow ego procesu losow ego Y(i) w yrażonych przez te funkcje w ejściow ego procesu X ( t ) , przy założeniu, że X { t ) jest procesem losow ym stacjo n arn y m w szerszym sensie. R ozw ażm y najpierw średnią z wyjściowego procesu losow ego Y(t). Z definicji mamy: pf,t) = £ [ J tt) ] = E

J h ( x l ) X { t - x 1) d x

(4.81;

gdzie: r , — zm ienna „fikcyjna”. W iedząc, że w artość oczekiw ana E [ X ( t j ] jest sk o ń czo n a dla wszystkich t, o ra z że system jest stabilny, m ożem y zam ienić porządek operacji uśredniania i całk o w an ia w zględem x 1 w ró w n an iu (4.81) i napisać co

co

J h ( x 1) E [ X ( t - x J ] d x 1 = —oo

j

h (x l ) p x( t - x l) d tj

(4.82)

- co

Jeśli wejściowy pro ces losow y X ( t ) je st stacjo n arn y w szerszym sensie, to średnia p ^ t ) jest stałą p x i w tedy m ożem y uprościć ró w n an ie (4.82) d o postaci:

*{*)■

Odpowiedz' impulsowa h(t)

------------►Kir)

Rys. 4.14

Transmisja procesu losowego przez filtr liniowy

4.10. T R A N S M I S J A P R O C E S U S T O C H A S T Y C Z N E G O P R Z E Z F I L T R L I N I O W Y

251

oc

% = Rx i M ?i) d*i = HxH(0)

(4.83)

- co

gdzie t f (0) — od p o w ied z system u d la zerow ej częstotliw ości, a więc stało p rąd o w a. R ów nanie (4.83) stw ierdza, że śred n ia procesu losow ego Y(r), ja k i pojaw ia się n a wyjściu liniow ego system u stacjonarn eg o w odpow iedzi n a proces wejściowy X (i) jest ró w n a średniej z A^i) pom nożonej przez stało p rąd o w ą od p o w ied ź system u, co jest intuicyjnie zadow alające. R ozw ażm y n astępnie funkcję autokorelacji w yjściow ego p rocesu losow ego Y[t). Z definicji m am y: R y( t , u ) = E [Y{t)Y(ui} gdzie: t i u — dw ie w artości czasu, d la k tó ry ch obserw uje się proces wyjściowy. M ożem y zatem użyć całki splotu, ab y napisać: co

cc

J

/.(T .W i-r.ld T , j

Ry(l,U) = E

_ - cc

/i(t2) X ( u —r 2) d r 2

(4.84)

- cc

T u taj rów nież, w iedząc, że śred n io k w a d rato w a w arto ść E [ X (2t,) ' ] jest sk o ń czo n a d la w szystkich t, i że system je st stabilny, m ożem y zam ienić kolejność u śred n ian ia i całk o w an ia w zględem x y i t 2 w ró w n an iu (4.84), ab y otrzym ać: co

00

Ry(t,u)=

J dTt /i(Ti) J ć x 2h(x2) E l X ( t - x 1) X { u - x 2)] = -C O

-

co

=

CC

co

(4.85)

f d r ^ T i ) J dx2h(x2)Rx{ t - x u u - x 2) -co - co

Jeśli wejście X(r) stanow i proces stacjo n arn y w szerszym sensie, to funkcja autokorelacji X(t) jest jedynie zależna o d różnicy pom iędzy czasam i obserw acji t — x 1 o ra z u — x2. P o d staw iając więc x = t — u d o ró w n a n ia (4.85 ) m ożem y napisać: co

co

i

i h ^ i ) h { x 2) R x { x - x 1+ x 2) d x l d x 2

— CO -

(4.86)

CO

P o ró w n u jąc ten w ynik z o trzy m an y m d la /ir m ożem y stw ierdzić, że jeśli wejściem stabilnego liniow ego filtru stacjo n arn eg o stanow i proces stacjo n arn y w szerszym sensie, to wyjście filtru stanow i rów nież stac jo n a rn y w szerszym sensie proces losowy. S k o ro jRy(0) = E [ Y2(t)], to w ynika stąd, że śred n io k w ad rato w a w arto ść wyjściowego procesu losow ego Y(t) o trzy m y w an a jest przez podstaw ienie t = O w ró w n an iu (4.86). W ten sposób dostajem y wynik: 00

E [laW ]=

i

00

i M r,)MT2)R,(T2 - T 1) d r 1dT2

(4.87)

co — 00

k tó ry je st stałą.

4 .1 1 . W id m o w a gęstość mocy Ja k d o tą d zajm ow aliśm y się opisem procesów lo so w y ch -stacjo n arn y ch w szerszym sensie przesyłanych w system ach liniow ych i b ad an y c h w funkcji czasu. T era z zw rócim y się w k ieru n k u an alizy ch arak tery sty k procesów losow ych w system ach liniow ych za p o m o cą

252

4. P R O C E S Y L O S O W E

a p a ra tu z dziedziny częstotliw ości. W szczególności chcielibyśm y w yprow adzić ekw iw alent częstotliw ościow y d la w yniku z ró w n an ia (4.87) definiującego śred n io k w ad rato w ą w arto ść na wyjściu filtru. Z definicji, odpow iedź im pulsow a liniow ego filtru stacjo n arn eg o jest ró w n a o d w ro t­ nej tran sfo rm acie F o u rie ra z tran sm itan cji system u. M ożem y więc napisać CU h ( z l ) = J i/(/)e x p (j2 jr/T 1) d / (4 8 g)

-

00

P o d staw iając to w yrażenie w m iejsce 00

CO

/i ( t , ) w

ró w n an iu (4.87) d o staje się:

00

£ [ y 2(i)] = - 1h 1 [1 j f/(/)e x p (j2 7 r/t1) d / fc(T2)Kx(T2 - Tl)d T jd T 2 = -

-

00 -

c o L "— “ CC co

co

oo

J 4/W )

i

~ co

—oo

x dT2/i(T2) f

—X

(4.89) / M T2 - Ti ) e x p ( j 2 n / r , ) d T 1

Zdefiniujm y teraz n o w ą zm ienną w ostatniej całce p o praw ej stronie ró w n an ia (4.89) T = Tj - T

j

W tedy m ożem y przepisać ró w n an ie (4.89) w postaci: CO co qo £ [ y 2(t)] = J d f H { f ) J dT2/i(T2)expO'27i/T2) f R x(t)ex p ( - ) 2 n fz ) d r ""CU —X — CO

(4.90)

Jednakże śro d k o w a całk a p o praw ej stro n ie ró w n a n ia (4.90) jest p o p ro stu w ielkością zespoloną sprzężoną H * { f ) względem tran sm itan cji H ( f ) filtru, co pozw ala uprościć o statnie rów nanie do postaci: 00 a) E i Y 2(ł)']= J d / |/ / ( / ) |2 J Kx(t)e x p (—j2jc/t) d t — CU

—

(4.91)

on

M ożem y jeszcze bardziej uprościć ró w n an ie (4.91), gdyż o sta tn ia całka jest p o prostu tran sfo rm atą F o u rie ra z funkcji au to k o relacji R x(t ) wejściowego procesu losow ego X(t). W szczególności m ożem y w prow adzić definicje now ego p aram etru : cc

SA f)=

J ^ T )e x p (-j2 jt/r)d T - cu

(4 .9 2 )

F u n k q ’a Sx( f ) n azyw ana je st widmową gęstością m ocy lub widmem m ocy procesu losow ego X(t) stacjonarnego w szerszym sensie. T a k więc p o d staw iając ró w n an ie (4.92) d o (4.91) otrzym ujem y p o żąd an ą relację: 00 CO

R ów nanie (4.93) stw ierdza, że średniokwadratowa wartość na wyjściu stabilnego liniowego filtru stacjonarnego w odpowiedzi na proces stacjonarny w szerszym zakresie równa je s t całce po całym zakresie częstotliwości z widmowej gęstości m ocy wejściowego procesu losowego pomnożonej przez kwadrat modułu transmitancji filtru . Jest to p o ż ą d a n a d la nas re la g a w dziedzinie częstotliwości o d p o w iad ająca relacji z dziedziny czasu w postaci ró w n an ia (4.87). A by prześledzić fizyczne znaczenie w idm ow ej gęstości m ocy w yobraźm y sobie proces losow y X ( f ) przechodzący przez idealny filtr w ąskopasm ow y o charakterystyce am plitudow ej skupionej w o k ó ł środkow ej częstotliw ości £ ja k p o k a z a n o n a rys. 4.15; to znaczy:

253

4.11. W I D M O W A G Ę S T O Ś Ć M O C Y

I//
10

_

L_

_L

-fc

-t

{

Rys. 4.15 C h arak tery sty k a am p litu d o w a idealnego filtru w ąskopasm ow ego

l/+ £ l < | a / \m n =

(4.94)

I /+ /J > |

a/

gdzie A /— p asm o filtru. W tej sytuacji n a podstaw ie ró w n a n ia (4.93) znajdujem y, że jeśli pasm o filtru Af jest w ystarczająco m ałe w p o ró w n an iu ze śro d k o w ą częstotliw ością f e i S x{f ) jest funkcją ciągłą, to śred n io k w ad rato w a w arto ść procesu n a wyjściu filtru w ynosi w przybliżeniu: £ [ T 2(i)]^ (2 A /)S * < /f)

(4.95)

F iltr przepuszcza je d n a k ty lk o te sk ładow e częstotliw ości wejściowego procesu losow ego X(t), k tó re leżą w w ąskim paśm ie częstotliw ości A /sk u p io n y m w okół częstotliw ości ± f c. T a k więc ^ x ( f c) reprezentuje częstotliw ościow ą gęstość m ocy średniej wejściowego procesu X(t) liczoną d la / = / c- W y m iar gęstości m ocy w idm ow ej w yraża się d lateg o w w atach n a herc.

W łasności w id m o w e j gęstości mocy W idm ow a gęstość m ocy S x ( f ) i funkcja au to k o relacji R x(z) procesu losow ego X(t) sta c jo n a r­ nego w szerszym sensie tw o rzą p arę tra n sfo rm a t F o u riera, w której z i / s ą interesującym i nas zm iennym i, a m ianow icie: cc

sx(f)=

i £ x (t)ex p ( - j27r/r) d t - CO

(4.96)

CC'

R x(r) =

i S * (/)e x p (j27/T )d/ —ao

(4.97)

R ów nania (4.96) i (4.97) są podstaw ow ym i relacjam i teorii analizy w idm ow ej procesów losowych, a w spólnie zap isan e stan o w ią, to co zazw yczaj nazyw ane byw a relacjami Ein­ steina- W ienera-Chinczina4). R elacja E insteina-W ienera-C hinczina pokazuje, że jeśli albo funkcja autokorelacji, albo gęstość m ocy w idm ow ej p ro cesu jest znana, to d ru g a z nich m oże być d o kładnie w yznaczona. O b ie te funkcje ujaw niają różne aspekty inform acji o korelacji procesu. O gólnie panuje p rzek o n an ie, że d la celów praktycznych bardziej użytecznym „p aram etrem ” jest w idm ow a gęstość en erg ii T e ra z p rag n iem y zastosow ać p arę pow yższych relacji d o w yprow adzenia pew nych ogólnych w łaściw ości w idm ow ej gęstości m ocy procesu stacjo n arn eg o w szerszym sensie.

254

4. P R O C E S Y L O S O W E

Właściwość 1 Wartość gęstości widmowej m ocy p rzy zerowej częstotliw ości dla procesu losowego stacjonarnego w szerszym sensie równa się całkow itej powierzchni pod wykresem fu n k c ji autokorelacji; to znaczy: CC

S * (0 )=

i K x(t) d r

(4.98)

— co

W łaściw ość ta w ynika bezpo śred n io z ró w n an ia (4.96) przez podstaw ienie / = 0.

Właściwość 2 Wartość średniokwadratowa procesu losowego stacjonarnego w szerszym sensie równa się całkowitemu polu pod wykresem widmowej gęstości m ocy, to znaczy: E [ X 2( t ) ] = J S J f ) d f

(4.99)

— CO

W łaściw ość ta w ynika bezpośrednio z ró w n a n ia (4.97) przez podstaw ienie t = 0 i wiedząc, że R*(0) = E [ X 2(t j].

Własciwosc 3 Widmowa gęstość m ocy procesu losowego stacjonarnego w szerszym sensie je st zaw sze nieujemna; to znaczy: $x(f) ^ 0

d la w szystkich /

(4.100)

T a w łaściw ość je st b ezp o śred n ią konsekw encją faktu, że w arto ść śred n io k w ad rato w a E [ Y 2(t)] z ró w n a n ia (4.95) m usi b y ć zaw sze nieujem na.

Właściwość 4 Widmowa gęstość m ocy procesu losowego o wartościach rzeczyw istych je st parzystą funkcją częstotliwości; to znaczy: S x( - f ) = S x( f )

(4.101)

W łaściw ość ta jest łatw a d o o trzy m an ia przez podstaw ienie —/ zam iast / w ró w ­ naniu (4.96): QC S * ( - / ) = } R*(T)exp(j2it/T) d t N astępnie, p o d staw iając - r zam iast t i rozpoznając, że

- t) = R x (r), d o staje się:

CC'

$x(-f)=

i K*(T)exp(—j27t/r)dT = S x(Jj - co

co stanow i p o żą d a n y wynik.

Właściwość 5 Widmowa gęstość m ocy, jeśli ty lk o odpowiednio znormalizowana, ma własności przypisyw ane zw ykle fu n kcji gęstości prawdopodobieństwa. N orm alizacja, ja k ą m am y tu taj n a myśli, d o k o n u je się w zględem całkow itego pola p o d w ykresem w idm ow ej gęstości m ocy (tzw. w artości średniokw adratow ej procesu). R ozw aż­ m y przeto funkcję:

255

4.11. W I D M O W A G Ę S T O Ś Ć M O C Y

Pxd) =

S jAJ) (4.102)

—

W świetle właściwości 2 i 3 notujem y, że PxĘ f) ^ 0 dla w szystkich f C o więcej, całkow ite pole p o d funkcją Px( f ) ró w n a się jedności. S tąd w ynika, że zn o rm alizo w an a p o stać w idm ow ej gęstości m ocy, zdefiniow ana w ró w n an iu (4.102) zachow uje się p o d o b n ie ja k funkcja gęstości p raw d o p o d o b ień stw a. W ram ach użytecznego zasto so w an ia właściwości 5 m ożem y zdefiniow ać d la procesu X{t) stacjo n arn eg o w szerszym sensie p asm o środkow okw adratow e (rms) (ang. root mean square bandwidth) w następującej postaci:

(4.103)

Jak ju ż w ykazaliśm y w rozdziale 2, p asm o rm s jest szczególnie interesujące z teoretycznego p u n k tu w idzenia, nie jest je d n a k łatw e d o zm ierzenia w lab o ra to riu m . -

Przykład 10

Fala sinusoidalna o fazie przypadkowej (kontynuacja)

R ozw ażm y proces losow y X{t) = A c o s (ln fct + 0 ) , przy czym 0 jest rów nom iernie rozłożoną zm ienną losow ą w przedziale ( — k , jt). F u n k cja au to k o relacji tego procesu losow ego d a n a jest rów naniem (4.70), k tó re d la w ygody przepisujem y: R xi*) =

—

c o s ( 2 t i/ ct )

B iorąc tran sfo rm atę F o u rie ra z o b u stro n tej zależności znajdujem y, że w idm ow a gęstość m ocy procesu sinusoidalnego X(t) wynosi: S XU ) = ^ - W

- f c) + d < f + m

(4.104)

czyli sk ład a się z p ary funkcji delta w ażonych przez czynnik A 2¡A i w ystępujących w p u n k tach ± f r ja k n a rys. 4.16. Z an o tu jm y , że pole całkow ite p o d funkcją d elta rów na się jedności. Stąd całkow ite pole p o d S x ( f ) ró w n a się, ja k należy oczekiw ać A 2¡2.

Przykład U

Losowa fala binarna (kontynuacja)

Rozw ażm y p o n o w n ie losow ą falę b in a rn ą składającą się z ciągu jed y n ek i zer reprezen­ tow anych przez w artości od p o w ied n io + A i —A W przykładzie 8 pokazaliśm y, że funkcja autokorelacji tego losow ego procesu m a k ształt fali tró jk ątn ej, ja k p o k aza n o poniżej:

Rys. 4.16

o

W idm ow a gęstość m ocy fali sinusoidalnej o fazie przypadkow ej

256

4. P R O C E S Y L O S O W E

Rys. 4.17

Widmowa gęstość mocy losowej fali binarnej A2 1 R jfc )-

|t| t

r

Itl < T

O, W idm ow a gęstość m ocy p ro cesu w ynosi zatem : S x ( f ) = i A 2( y - ~ ^ e x p (-j2 ji/r)d T Stosując tran sfo rm atę F o u rie ra z funkcji tró jk ątn ej obliczoną w przykładzie 7 z rozdz. 2 dostajem y: S * (/) = A 2Tsinc2( f T )

(4.105)

co w ykreślono n a rys. 4.17. P o n o w n ie w idzim y, że w idm ow a gęstość m ocy jest nieujem na d la w szystkich / i że jest p arzy stą funkcją f Z auw ażając, że R x(0) = A 2 i stosując właści­ w ość 3 znajdujem y, że pole całkow ite p o d S x{f), czyli innym i słow y m o c średnia losowej fali binarnej, w ynosi A 2. W ynik z ró w n an ia (4.105) m oże zo stać uogólniony w następujący sposób. Z auw ażm y, że w idm ow a gęstość energii im pulsu p ro sto k ątn eg o g(t) o am plitudzie A i czasie trw a n ia T d a n a jest przez: * J J ) = /42T 2sinc2( /7 ')

(4.106)

M ożem y zatem przepisać ró w n an ie (4.105) w zależności o d S J J ) jak o : SAf) =

(4.107)

R ów nanie (4.107) stw ierdza, że d la losowej fali binarnej, w której sym bole 1 i 0 reprezentow ane są odpow ied n io przez im pulsy g(t) i —g(t), w idm ow a gęstość m ocy S x( f ) jest ró w n a w idm ow ej gęstości energii S J J ) impulsu prostokątnego g(t), podzielonej przez czas trwania sym bolu T.

Przykład 12

Mieszanie procesu losowego z procesem sinusoidalnym

W p rak ty c e często n a p o ty k a n a jest sytuacja, polegająca n a mieszaniu (tzn. m nożeniu) procesu losow ego X(f) stacjo n arn eg o w szerszym sensie z falą sin u so id aln ą cos(2itfct + 0 ), przy czym faza 0 je st zm ien n ą losow ą rów nom iernie ro zło żo n ą w przedziale ( 0 ,2rc). D o d a n ie losow ej fazy

4.11. W I D M O W A G Ę S T O Ś Ć M O C Y

257

w tak i sp o só b w ynika jedynie z fak tu , że początek osi czasu jest w ybierany a rb itraln ie o ile X{t) i c o s 2 tifct + 0 ) p o c h o d zą ze źró d eł fizycznie niezależnych, co zazwyczaj m a miejsce. N asze zainteresow anie zm ierzać będzie w k ieru n k u określenia w idm ow ej gęstości m ocy procesu losow ego Y(f) o k reślo n eg o w następujący sposób: 0

Y(t) = X (t)co s(2 n fct + 0 )

(4.108)

S tosując definicję funkcji au to k o relacji procesu stacjo n arn eg o w szerszym sensie i zauw ażając, że zm ienna losow a 0 jest niezależna o d Y(f), znajdujem y, że funkcja au to k o relacji procesu Y(r) d a n a jest w postaci: R Y(x) = E l Y ( t +z ) Y ( t )- ] = = E [ X ( t + T)cos(2%fct + 2Kfcx + 0 ) X { t ) c o s ( 2 n f ct + 0 y ] = = £ [ Y ( i + x ) X (i)] E [co s (27t/ci + 2nfcx + 0)cos(27t/fi + 0 ) ] =

(4.109)

= y R x(t ) £ [ cos(27i/ ct ) + cos(4ji/ct + 2nfcx F 2 0 ) ] =

= ^ E x(x)cos(2nfcx) Poniew aż w idm ow a gęstość m ocy jest tran sfo rm a tą F o u rie ra funkcji autokorelacji, więc n a tej podstaw ie zapisujem y d la gęstości w idm ow ych m ocy procesów losow ych Y(r) i F(t) n a ­ stępującą relację: S y i f ) = j [ S x( / - / c) + Sx ( / + / C)]

(4.110)

Stosow nie d o ró w n an ia (4.110) w idm ow a gęstość m ocy procesu losow ego Y(r) zdefiniow anego rów naniem (4.108) o trzy m y w an a jest w n astępujący sposób. N ajpierw przesuw am y dane w idm o gęstości m ocy S x(^) procesu losow ego Y (i) w p raw o o w arto ść fc, następnie w lewo o w arto ść f p d o d ajem y o b a przesunięte w idm a i dzielim y w ynik przez 4.

Zależności pomiędzy widmowymi gęstościami mocy dla losowych procesów wejściowego i wyjściowego N iech Sy{f) oznacza w idm ow ą gęstość m ocy w yjściow ego procesu Y(t) otrzym anego przez przesłanie p ro cesu losow ego Y (i) przez filtr liniow y o transm itancji H { f ). R ozpoznając na podstaw ie definicji, że w idm ow a gęstość m ocy procesu losow ego jest ró w n a transform acie F o u riera z funkcji au to k o relacji procesu, i używ ając ró w n an ia (4.86), otrzym ujem y w tak im przypadku: Sy(f)=

] Ry(x)exp(-i2nfx)dx = —00

= -

CO

CO

0C'

i

i

i ^(^i)/i('i:2) ^ x ( T - T I + T 2) e x p ( - j 2 ii/T )dt,dT 2dT

00 -

( 4 .1 1 1 )

c o ~ CO

N iech x — x 1 + x 2 = t 0 lub, zam iennie, t = x0 + x l — x2. W tedy za p o m o cą podstaw ienia do rów nania (4.111) stw ierdzam y, że Sy( f ) m oże być w yrażone ja k o iloczyn trzech członów transm itancji H ( f ) filtru, transm itancji zespolonej sprzężonej w zględem H ( j ) i widm owej gęstości m ocy S x( f ) wejściowego procesu losow ego X(t). M ożem y więc uprościć rów nanie (4.111) d o postaci: 17 S ystem y te le k o m u n ik a c y jn e cz. 1

258

4. P R O C E S Y L O S O W E

S y( f ) = H ( f ) H * ( f ) S x( f )

(4.112)

N a koniec znajdujem y, że \H(J)\2 = H ( f ) H * { f ) , a więc zależność pom iędzy w idm ow ą gęstością m ocy w ejściow ego i wyjściow ego procesu losow ego w yraża się w dziedzinie częstotliw ości wzorem: (4.113) R ów nanie (4.113) stw ierdza, że widmowa gęstość m ocy procesu wyjściowego Y(f) równa je st widmowej gęstości procesu wejściowego X (r) pom nożonej przez kw adrat modułu transm itancji H ( f ) filtru . Z a p o m o cą takiej zależności m ożem y określić wynik przejścia procesu losow ego przez stabilny, liniow y, stacjo n arn y filtr. Z p u n k tu w idzenia obliczeniow ego ró w n an ie (4.113) zazwyczaj jest łatw iejsze d o w ykorzystania, niż jeg o o d p o w ied n ik z dziedziny czasu w postaci ró w n an ia (4.86), gdzie w ystępuje funkcja autokorelacji. P rzykład 13

F iltr grzebieniowy

R ozpatrzm y filtr z rys. 4.18a składający się z linii opóźniającej i urządzenia sum ującego. N aszym życzeniem jest d o k o n a n ie oceny w idm ow ej gęstości m ocy n a wyjściu filtru Y{t), pod w arunkiem , że w idm ow a gęstość m ocy n a wejściu filtru X (f) je st ró w n a S x(f). T ran sm itan cja tego filtru w ynosi: H ( f ) = 1 - e x p ( —)2 n fT ) = 1 —cos(27i/T) + jsin(27t/T ) K w ad rat m o d u łu H { j j jest równy: \H(f)\2 = [1 —cos(2rc/7)]2 + sin2(2rc/T) = 2 [1 -c o s (2 rc /T )] = 4 sin 2(n/T ) co p o k a za n o n a w ykresie z rys. 4.18b. Z p o w o d u okresow ego k ształtu tej ch arak tery sty k i częstotliw ościow ej filtr z rys. 4.18 a zn an y jest pod nazw ą filtru grzebieniowego.

a

+ SXU\

Y(t )

1 Opóźnienie • T

/ Rys. 4.18. F iltr grzebieniow y: a) schem at blokow y, b) ch arak tery sty k a częstotliw ościow a

4.11. W I D M O W A G Ę S T O Ś Ć M O C Y

259

W id m o w a gęstość m ocy n a w yjściu filtru w ynosi zatem : S y i f ) = 4 s in 2(ir/D S * (/) D la częstotliw ości / o w artościach m ałych w p o ró w n an iu d o 1 /7 m am y: sin (:i/T j ~ n f T P od tak im w aru n k iem m ożem y ap ro k sy m o w ać w yrażenie n a Sy( f ) ja k następuje: S y i f ) * 4 * 2/ 27 2S*
(4.114)

P oniew aż różniczkow anie w dziedzinie czasu o d p o w iad a m nożeniu przez j2 n f w dziedzinie częstotliw ości, więc n a p o d staw ie ró w n a n ia (4.114) w idzim y, że d la przebiegów wejściowych o m ałej częstotliw ości Filtr grzebieniow y z rys. 4.18a d ziała ja k filtr różniczkow y.

Zależność pom iędzy w id m o w ą gęstością m ocy a w id m e m am plitudy funkcji próby Pragniem y te ra z pow iązać w idm ow ą gęstość m ocy S * (/) bezpośrednio z w łaściw ościam i w idm ow ym i funkcji p ró b y x (i) p ro cesu A'(r) stacjo n arn eg o w szerszym zakresie, k tó ry jest ergodyczny. A by funkcja p ró b y x (i) była tran sfo rm o w aln a w sensie F o u rie ra m usi być o n a jed n ak bezw zględnie całkow alna, czyli: cc

j |x (r)|d i < co — co

W arunek ten nigdy nie m oże być spełniony przez jak ąk o lw iek funkcję p ró b y x(f) o nieskoń­ czonym czasie trw ania. A by m ó c zasto so w ać tran sfo rm ację F o u riera, w eźm y p o d uw agę obcięty segm ent funkcji x(f), zdefiniow any w przedziale obserw acji — 7 ^ t < 7 T a k więc posługując się sym bolem X ( J \ T ) dla oznaczenia tran sfo rm aty F o u rie ra ta k zdefiniow anej obciętej funkcji p ró b y , m ożem y napisać: r X { f , T ) = J x (i)ex p (-j2 T c/r)d r -T

(4.115)

Z ak ład ając, że proces losow y stacjo n arn y w szerszym sensie jest rów nież ergodyczny, m ożem y w yznaczyć funkcję au to k o relacji R ^ t ) procesu losow ego AT(r) stosując w zór na uśrednienie p o czasie (por. p u n k t 4.9): 1 R x ( x ) = lim —

T j x(f + T)x(t)dt

T -oo 2 1 _ T

(4.116)

T rak tu jąc x(t) ja k o sygnał m ocy m ożem y utw orzyć n astęp u jącą p a rę tran sfo rm at F ouriera: 1 —

T 1 ^ x ( i + r ) x ( t ) d t ^ ± — |A ( / , 7 ) |2

(4.117)

P a ra m e tr p o lewej stro n ie jest uśred n io n ą p o czasie funkcją autokorelacji. P a ra m e tr p o praw ej stronie nazyw any je st periodogramem, k tó reg o w ym iar je st tak i sam ja k w idm ow ej gęstości mocy. T erm in tak i je st je d n a k m ylący, poniew aż p erio d o g ram jest funkcją częstotliw ości, a nie okresu. P o m im o tego, m a o n szerokie zastosow anie. W ielkość ta była p o czątk o w o używ ana przez staty sty k ó w d o oceny okresow ości sezonow ych tren d ó w w ciągach danych. 17*

260

4. P R O C E S Y L O S O W E

S tosując w zór n a o d w ro tn ą tran sfo rm a tę F o u rie ra d o p ary tran sfo rm at F o u riera z ró w n an ia (4.117) m ożem y w yrazić u śred n io n ą p o czasie funkcję au to k o relacji funkcji próby x ( t) za p o m o c ą p erio d o g ram u w następujący sposób: ■E ¡ ^ (t + i ) x m =

I

T )|2exp(j2ię/T)d/'

(4.118)

Stąd, p o d staw iając ró w n an ie (4.118) d o (4.116) otrzym uje się: R x{ x ) = \ i m

} |X ( /;7 1 |2exp(j2Jr/T)d/

(4.119)

r - ' oc> - 0 0

D la ustalonej w artości częstotliw ości / p erio d o g ram jest zm ienną losow ą w tym sensie, że jeg o w arto ść zm ienia się w przypadkow y sp o só b pom iędzy je d n ą funkcją próby procesu losow ego a d ru g ą. T a k więc d la danej funkcji próby x(t), p erio d o g ram nie jest zbieżny w jakim kolw iek statystycznym sensie d o żadnej w artości granicznej przy T dążącym do nieskończoności. S k o ro tak , to byłoby błędem zam ieniać porządek całk o w an ia z operacją granicy w ró w n an iu (4.119). W yobraźm y sobie jed n ak , że stosujem y operację u śred n ian ia do o b u stro n ró w n an ia (4.119) w zględem zb io ru w szystkich funkcji p ró b procesu losow ego i konstatujem y, że d la procesu ergodycznego funkcja au to k o relacji R x(z) pozostaje p o tej operacji bez zm ian. W tedy, poniew aż k a ż d a funkcja p ró b y procesu ergodycznego przyjm uje w końcu praw ie w szystkie sp o so b y zachow ania każdej innej funkcji próby, więc m ożem y napisać: CO

1 R jAT ) = l i m J ~ - £ [ | W , D | 2]ex p (j2 7 i/t)d / T - « - er, 2 T

(4.120)

T eraz m ożem y zm ienić p o rząd ek całk o w an ia i przejścia d o granicy, ab y otrzym ać: R ^ ) ==

f i( M m —1 E l \ X ( f , T ) \ 2l ^ W ( i 2 n f x ) d f -

T

(4.121)

Stąd p o ró w n u jąc ró w n a n ia (4.121) i (4.97) otrzym ujem y p o ż ą d a n ą relację pom iędzy w idm ow ą gęstością m ocy S x{ f ) procesu ergodycznego a w idm em am p litu d y \ X ( f , T ) \ uciętej funkcji próby procesu: S X( J ) = lim £ [ | X ( / , D | 2] = T-oo (4.122) x (i)ex p ( —j2rc/i)df W ażne jest ab y zan o to w ać, że w ró w n an iu (4.122) nie jest m ożliwe wzięcie T-> cc zanim nie przeprow adzi się operacji uśredniania. R ów nanie (4.122) stanow i m atem aty czn ą podstaw ę dla estym acji5) w idm ow ej gęstości m ocy ergodycznego procesu losow ego dla funkcji p ró b y x(t) tego procesu, obserw ow anej w przedziale ( - T, T).

W idm a w zajem n e gęstości mocy P odobn ie, ja k w idm ow a gęstość m ocy d o sta rc z a m iary d la ro zk ład u w funkcji częstotli­ wości w pojedynczym procesie losow ym , ta k sam o w idm a w zajem ne gęstości m ocy są źródłem m iary d la w spółzależności częstotliw ościow ych pom iędzy d w o m a procesam i losowymi.

4.11. W I D M O W A G Ę S T O Ś Ć M O C Y

261

W szczególności, niech X(ł) i Y(t) b ęd ą dw om a łącznie stacjo n arn y m i w szerszym sensie procesam i losow ym i z funkcjam i korelacji w zajem nej oznaczonym i przez R XY{t) i R vx(t). D efiniujem y w tedy widma wzajemne gęstości m ocy S XY(J) i S YX( f ) d la tej p ary procesów losow ych ja k o tra n sfo rm a ty F o u rie ra z ich odpow iednich funkcji korelacji w zajem nych, ja k p o k azan o niżej: X S xy U ) = i ^ r(T )exp(-j2K /r)dT (4.123) — X

oraz CO

Syx(f)=

i « rx (t)exp(-j27t/T )dT

(4.124)

- X

F unkcje korelacji w zajem nych i w id m a w zajem ne gęstości m ocy tw o rzą zatem p ary tran sfo r­ m at F o u riera. Z g o d n ie z ta k ą um ow ą, używ ając odw rotnej tran sfo rm aty F o u riera m ożem y napisać: 00 J S *t.(/)exp(j27c/T)d/

R xy (t ) =

(4.125)

- X

oraz CO

R yx W =

J S YX( f ) exp(j2 n fi) d f -

(4.126)

CO

W idm a w zajem nej gęstości m ocy S XY(Jj i S YX( f ) niekoniecznie są rzeczywistym i funkcjam i częstotliw ości f Jed n ak że p o d staw iając zależność R XY(T) = R y x i - T ) d o ró w n an ia (4.123) i n astęp n ie b io rąc ró w n an ie (4.124) znajdujem y, że S XY(Jj i S YX(J) są pow iązane relacją: $ x y(f) = S y x ( ~ f ) = S f x ( f )

(4.127)

Przykład 14 Przypuśćm y, że procesy losow e A^f) i Y(f) m ają zerow ą średnią i są o b a stacjo n arn e w szerokim sensie. R ozw ażm y sum aryczny proces losowy: Z (i) = * ( t ) + Y(t) Z adanie polega n a w yznaczeniu w idm ow ej gęstości m ocy d la Z(f). F u n k cja au to k o relacji d la Z (f) d a n a jest przez: R & u ) = E [ Z (t)Z («)] = E [ ( X ( t ) + Y ( t ) ) ( X ( u ) + Y(u))] = = £[A :(i)A :(u)] + £ [Y (f)} JM)] + £ [Y (i)Y (u )] + £ [y (f)Y (« )] = = R x(t,u) + R XY(t,u) + R YX(t,u) + R Y{t,u) D efiniując t = t — u m ożem y zapisać: R z {t) = R ^ t ) + R xy (t ) + R yx(t ) + R ^ z )

(4.128)

przy czym procesy losow e X(t) i F(i) są tak że stacjo n arn e w szerokim sensie. Z atem , biorąc tran sfo rm atę F o u rie ra z o b u stro n ró w n an ia (4.128) dostajem y: S z i f ) = £ * ( / ) + S*y(/) + S YX( f ) + S Y(Jj

(4.129)

262

4. P R O C E S Y L O S O W E

W idzim y więc, że w idm a w zajem ne gęstości m ocy S XY(J) i S YX( f ) reprezentują składow e spektralne, k tó re m uszą być d o d a n e d o w idm ow ych gęstości m ocy p ary skorelow anych procesów losow ych, ab y m o żn a było o trzy m ać w idm ow ą gęstość m ocy d la sum y tych procesów. K iedy procesy losow e i\T(f) i Y(t) stacjo n arn e w szerszym sensie nie są skorelow ane, to w idm a w zajem ne gęstości m ocy S XY( f ) i S YX( f ) są zerow e, i z tego p o w o d u ró w n an ie (4.129) redukuje się d o postaci: S z i/) = S * (/) + S»{/>

(4.130)

M ożem y uogólnić ten o sta tn i w ynik stw ierdzając, że jeśli m am y pew ną liczbę procesów losow ych o zerow ej średniej i stacjo n arn y ch w szerszym sensie, a p o n a d to nieskorelow anych ze sobą, to w idm ow a gęstość m ocy sum y tych procesów ró w n a jest sum ie ich gęstości w idm ow ych. P rzykład 15 R ozw ażm y n astępnie p ro b lem przesyłania dw u procesów łącznie stacjo n arn y ch w szerszym sensie poprzez p arę oddzielnych, stabilnych, liniow ych filtrów stacjonarnych, ja k p o k a z a n o na rys. 4.19. W szczególności przypuśćm y, że proces losow y 2f(i) jest wejściem filtru o odpow iedzi impulsowej h t ( t \ i że proces losow y Y(r) jest wejściem filtru o odpow iedzi im pulsow ej h 2(t). N iech V{t) i Z (i) o zn aczają procesy losow e n a odpow iednich wyjściach filtrów. F u n k cja korelacji wzajem nej procesów V(t) i Z(t) m a zatem postać: R y M

= E[V(t)Z(u)-] = = E

? h l(Tl) X { t - x i ) d x l L-CO

j

/i2(T2) y ( u - T 2)dT

—00

(4.131)

OC

co

i

i h l (zl ) h 2(x2) E [ _ X ( t - x l) Y ( u - x 2i ] d z l dT2 =

=

— c o — CC

00

co

J

J h 1{xl) h 2(x2) R XY( t - x l , u - z 2) d z 1d x :

= —

OD “

00

gdzie R xr(t, u) — funkcja korelacji w zajem nej pom iędzy X(r) i F(f). P oniew aż wejściowe procesy losowe są (hipotetycznie)łącznie stacjo n arn e w szerszym sensie, m ożem y więc położyć t = t - u i przepisać rów nanie (4.131) ja k następuje: E vzU)=

CO 00 i i h 1( t 1) h 2{x2) R XY( x - T l + T2) d x 1d x 2

(4.132)

— CC — CO

B iorąc tran sfo rm a tę F o u rie ra z o b u stro n ró w n an ia (4.132) i stosując p ro ced u rę p o d o b n ą d o tej, k tó ra p ro w ad ziła d o w yprow adzenia ró w n an ia (4.93), otrzym ujem y wreszcie

Yit)

Z U)

Rys. 4.19 P a ra oddzielnych filtrów

4.12. P R O C E S Y G A U S S O W S K I E

263

S y j f ) = H 1{ f ) m ( f ) S Xy i f )

(4.133)

gdzie: H x( f ) i H 2( f ) są tran sm itan cjam i o d p ow iednich filtrów na rys. 4.19, n ato m iast f / f ( / ) jest zespoloną sprzężoną o d H 2(f). T a k a jest p o ż ą d a n a relacja pom iędzy w idm am i w zajem nym i gęstości m ocy procesów wyjściow ych a o d pow iednim i w idm am i procesów wejściowych.

4 .1 2 . Procesy gaussowskie M ateriał, k tó ry zap rezen to w an o d o ty ch czas w dyskusji n a te m a t procesów losow ych cechow ał się dość ogólnym podejściem . W niniejszym rozdziale zajm iem y się w ażną ro d zin ą procesów losow ych zn an y ch p o d nazw ą procesów gaussow skich61. U czyńm y przypuszczenie, że obserw ujem y proces losow y A (i) d la przedziału czasu startu jąceg o w t = 0 i trw ającego d o t = T. Z ałóżm y również, że w ażym y proces losow y A(i) przez pew n ą funkcję g(t), a n astępnie całkujem y iloczyn g(t)X(t) w tym przedziale obserw acji, otrzym ując zm ienną losow ą Y zdefiniow aną w postaci: T

Y = J g(t)X(t)dt 0

(4 . 134 )

Proces Y jest liniowym funkcjonałem procesu X(t). R óżnica pom iędzy funkcją a funkcjonałem jest b a rd z o istotna. N a przykład su m a Y =

«¡Aj, w której a, są stałym i, a A , są zm iennym i

i= 1 losowym i, stan o w i liniow ą/tm /ce/f A ,: d la k ażdego obserw ow anego zb io ru w artości zm iennych losow ych A,- m am y o d p o w ied n ią w arto ść zm iennej losow ej Y. Z drugiej stro n y w ró w n an iu (4.134) w artość zm iennej losow ej Y zależy o d przebiegu zm ian, Junkcji argumentu g(t)X{t) w obrębie całkow itego przedziału obserw acyjnego o d 0 d o T. T a k więc funkcjonał jest wielkością, k tó ra zależy raczej o d całkow itego przebiegu jednej lu b wielu funkcji, niż o d pewnej liczby zm iennych dyskretnych. Innym i słowy, dziedziną funkcjonału jest raczej z b ió r lub przestrzeń funkcji dopuszczalnych, niż o b sz a r w przestrzeni w spółrzędnych. Jeśli w ró w n an iu (4.134) funkcja w agi g(t) jest tak a, że śred n io k w ad rato w a w artość zmiennej losowej Yjest sk o ń czo n a, i jeśli zm ienna losow a Y jest zm ienną losow ą o rozkładzie Gaussa d la k ażd eg o g(t) w tej klasie funkcji, w tedy proces A(r) nazyw any jest procesem gaussowskim. Innym i słowy, proces A(t) jest procesem gaussow skim , jeśli każdy liniow y funkcjonał z X(t) jest gaussow ską zm ienną losow ą. W przykładzie 4 podaliśm y po d staw ow ą ch arak tery sty k ę gaussow skiej zm iennej losowej. M ów im y, że zm ien n a losow a Y m a ro zk ład G au ssa, jeśli jej funkcja gęstości p raw d o p o d o b ień stw a m a postać: fr(y) = —7 = — e x p f y /iH a r V

to -» * 2oł

(4.135)

gdzie: g Y — średnia, a — w ariancja zm iennej losowej Y W ykres tej funkcji gęstości p raw d o p o d o b ień stw a d a n y jest n a rys. 4.20 d la specjalnego p rzy p ad k u , kiedy gaussow ska zm ienna lo sow a Y jest znorm alizowana i m a zerow ą śred n ią g Y i jed n o stk o w ą w ariancję o Y, co zapisuje się: fr iy ) =

y

Taki zn o rm alizo w an y rozkład G au ssa zw yczajow o zapisyw any jest ja k o ^ ( 0 , 1 ) .

264

4. P R O C E S Y L O S O W E

Rys. 4.20 Z norm alizow any ro zk ład G aussa

Proces gaussow ski m a dw ie po dstaw ow e zalety. P o pierw sze, proces ten m a wiele właściwości, k tó re um ożliw iają uzyskiw anie w yników analitycznych; będziem y d y skutow ać te praw idłow ości w dalszej części rozdziału. P o drugie, procesy przypadkow e i losow o kreow ane przez zjaw iska fizyczne b a rd z o często są takie, że m odel gaussow ski jest stosow any d o ich opisu. Idąc dalej, w ykorzystanie m odelu gaussow skiego d o opisu takich zjawisk fizycznych jest zazwyczaj potw ierdzane w eksperym entach. T a k więc szerokie rozpow szechnienie zjawisk fizycznych, d la których m o d el gaussow ski jest adekw atny, w raz z łatw ością, z k tó rą przychodzi posługiw ać się procesem gaussow skim w sensie m atem atycznym , czynią proces gaussow ski bardzo w ażnym przy stu d io w an iu system ów telekom unikacyjnych.

C entralne tw ie rd ze n ie graniczne Centralne twierdzenie graniczne d o starcza m atem atycznego uspraw iedliw ienia d la zasto so w a­ nia p ro cesu gaussow skiego ja k o m odelu d o opisu znacznej liczby ró żn o ro d n y ch zjawisk fizycznych, w k tó ry ch o b serw o w an a w poszczególnych chw ilach czasu zm ienna losow a jest w ypadkow ym w ynikiem dużej liczby pojedynczych przypadkow ych zdarzeń. A by sform ułow ać to ważne tw ierdzenie przyjm ujem y, że X i t i = 1 ,2 ,...,/V, jest zbiorem zm iennych losowych, k tó re spełniają następujące w arunki: 1. Z m ienne X t są statystycznie niezależne. 2. Z m ienne A , m ają te sam e ro zk ład y p raw d o p o d o b ień stw a o w artości średniej g x i w ariancji O zm iennych X i ta k zapisanych m ów i się, że tw orzą zb ió r niezależnych i identycznie rozłożonych zm iennych losow ych. N iech te zm ienne losow e będą znorm alizowane ja k następuje: 5j =

( X i — n x),

tak więc m am y £ [1 3 = 0 oraz v a r [YT] = 1

» = 1 , 2 , . . . . AT

265

4.12. P R O C E S Y G A U S S O W S K I E

Zdefiniujem y zm ien n ą losow ą

V

t

=

r>

Centralne tw ierdzenie graniczne stwierdza, że rozkład prawdopodobieństwa VN przybliża znorm alizowany rozkład Gaussa .4 ( 0 ,1 ) w granicy, g d y N dąży do nieskończoności. W ażne jest jed n ak , ab y zd ać sobie spraw ę, że cen traln e tw ierdzenie graniczne daje jedynie „graniczną” p o stać ro z k ła d u p raw d o p o d o b ień stw a znorm alizow anej zm iennej losowej VN, gdy N d ąży d o nieskończoności. G d y N jest skończone czasam i okazuje się, że granica w postaci ro z k ła d u G au ssa jest relatyw nie niezbyt d o b rą ap ro k sy m acją faktycznego ro zk ład u p raw d o p o d o b ień stw a V » i to p o m im o tego, że N jest całkiem duże.

W łaściw ości procesu gaussowskiego K olejno opiszem y te ra z pew ne użyteczne właściwości, ja k ie m a proces gaussow ski. W łaściwość 1 Jeśli proces gaussowski X(t) przyłożony jest na wejście stabilnego filtru liniowego, w tedy losowy proces Y(t) na wyjściu tego filtr u je st również procesem gaussowskim. W łaściw ość tę m o żn a łatw o w yprow adzić stosując definicję p rocesu gaussow skiego o p arteg o n a ró w n a n iu (4.134). R ozw ażm y sytuację przedstaw ioną na rys. 4.14, gdzie m am y liniowy stacjo n arn y filtr z procesem losow ym X{t) na wejściu i procesem losow ym Y(i) na wyjściu. Z ak ład am y , że proces A"(r) jest procesem gaussow skim . Procesy losow e Y(r) i X(r) pozostają w relacji przez całkę splotu: T

Y(r) = J /i(t —t ) A T ( t ) d r o

0 ^ i < oc

(4.136)

Z akładam y , że od p o w ied ź im p u lso w a h(t) jest tak a, że śred n io k w ad rato w a w arto ść wyj­ ściowego procesu losow ego Y(i) jest sk o ń czo n a d la w szystkich t w przedziale 0 ^ t < co, d la k tó ry ch Y(i) jest zdefiniow ane. A by zad em onstrow ać, że proces Y(f) jest procesem gaussow skim , m usim y najpierw pokazać, że jak ikolw iek liniow y funkcjonał procesu jest gaussow ską zm ienną losow ą. T o znaczy, że jeśli zdefiniujem y zm ienną losową: ao

T

Z = j g ¥( t ) j h ( t - x ) X ( z ) d z d t o o

(4.137)

to w tedy Z m usi być g au sso w sk ą zm ienną losow ą dla każdej funkcji g Y(t) takiej, że śred n io k w ad rato w a w arto ść Z jest skończona. Z am ieniając kolejność całk o w an ia w ró w n an iu (4.137) dostajem y: T

Z — J g(z)X(z)dz 0 przy czym

(4.138)

oc

d(r) = i g Y{ t ) h ( t - z ) d t o

(4.139)

poniew aż X(t) je st n a podstaw ie uczynionych hipotez procesem gaussow skim , więc na podstaw ie ró w n a n ia (4.138) w ynika, że Z m usi być gaussow ską zm ienną losow ą. W ten sposób w ykazaliśm y, że jeśli wejście A (i) filtru liniow ego je st procesem gaussow skim , to w tedy wyjście

266

4. P R O C E S Y L O S O W E

Y(i) jest rów nież procesem gaussow skim . Z auw ażm y rów nież, że chociaż d o w ó d ten był przep ro w ad zan y przy założeniu stacjo n arn eg o filtru liniow ego, to w nioski są praw dziw e d la dow olnego stabilnego system u liniow ego.

Właściwość 2 R ozw ażm y zbiór zm iennych losowych lub prób A ^ ) , X (r2),..., X(t„) otrzym anych przez obserwacje procesu losowego w chwilach r ^ , . J e ż e l i X( t ) je st procesem gaussowskim, w tedy cały zbiór zm iennych losowych je st łącznie gaussowski dla dowolnego n, p rzy czym n-krotna łączna fu n kc ja gęstości prawdopodobieństwa je st określona w sposób zupełny przez zbiór średnich: ^(»j) =

(£,-)],

l = 1 ,2 ,...,«

i przez zb ió r funkcji au to kow ariancji: C x ( h ’ ti) = £[(2f(f*)—/**<»*))

k , i = 1 ,2 ,...,«

W łaściw ość 2 często sto so w an a jest ja k o definicja procesu gaussow skiego7*. Jed n ak że definicja ta je st trudniejsza w zastosow aniu, niż o p a rta na ró w n an iu (4.134), k tó re opisuje efekty filtracji procesu gaussow skiego. M ożem y rozszerzyć w łaściw ość 2 na dw a (lub więcej) procesów w sp o só b n a ­ stępujący. R ozw ażm y zb ió r zm iennych losow ych A^r,), X (i2),...,A:(fn), fiu ,), Y[u2),...,Y (u m) otrzym anych przez obserw ację procesu losow ego X(t) d la czasów {f(, i = 1 ,2 ,...,« } , i drugiego procesu losow ego Y(f) d la czasów {uk, k = 1 ,2 ,..., m}. M ów im y, że procesy AT(r) i Y{t) stanow ią łącznie proces gaussowski, jeżeli m ieszany zb ió r zm iennych losow ych jest w spólnie gaussow ski dla jakiegokolw iek « lub m. Z auw ażm y, że o p ró cz średniej i funkcji korelacji d la procesów losow ych A-)/) i Y{t) z o so b n a, m usim y jeszcze znać funkcję kow ariancji wzajem nej:

dla każdej pary obserw acji w chw ilach (rf, uA). T a d o d a tk o w a w iedza jest z a w a rta w funkcji korelacji w zajem nej R xr(to uk) o b u procesów A'(i) i y(i).

Właściwość 3 Jeśli proces gaussowski je st stacjonarny w szerszym sensie, to proces ten je st stacjonarny również w ścisłym sensie. W łaściw ość ta w ynika w p ro st z w łasności 2.

Właściwość 4 Jeśli zm ienne losowe X ( it ), X ( t 2) , . . . , X ( t J, otrzym ane przez próbkow anie procesu gaussowskiego w chwilach t l , t 2,...,t„, są nieskorelowane, to znaczy: E [(2f(ik) —Pxuk)) (2f(ii)—/^(ij))] — 0 ,

i

k

to te zm ienne losowe są sta tystyczn ie niezależne. Im plik acją tej właściwości jest fakt, że łączna funkcja gęstości p raw d o p o d o b ień stw a zbioru zm iennych losow ych A ^ ) , X ( t 2),...,X(t„) m oże być w yrażona ja k o iloczyn funkcji gęstości p raw d o p o d o b ień stw a pojedynczych zm iennych losow ych w tym zbiorze.

4.13. S Z U M Y

267

4 .1 3 . Szum y W system ach telekom unikacyjnych przez term in szum rozum ie się raczej pojęciow o zb ió r fal nniepożąd an y ch , k tó re zakłócają przebieg transm isji i p rzetw arzania sygnałów , i n ad którym i b rak jest kontroli. W p rak ty ce sp o ty k am y się w system ach telekom unikacyjnych z w ielom a różnorodn y m i, potencjalnym i źró d łam i szum ów . Ź ró d ła szum ów m ogą pochodzić z zew nątrz system u, (np. szum atm osferyczny, szum galaktyczny, szum w ytw orzony przez człowieka), m ogą też istnieć w ew nątrz system u. W ażne źró d ła szum ów należące d o drugiej kategorii, to szum y p rąd ó w lu b nap ięć w o b w o d ach elektrycznych pochodzące od przypadkow ych flu ktu a cji8). T en rodzaj szum u stanow i isto tn e ograniczenie w w aru n k ach transm isji i detekcji sygnałów za p o m o cą elem entów elektronicznych w ystępujących w system ach telek o m u n ik a­ cyjnych. P rzy k ład em d w u nagm innie w ystępujących w o b w o d ach elektrycznych fluktuacji są szum y śrutow e i szum y term iczne.

Szum śru to w y Szum śru to w y pow staje w elem entach elektronicznych takich ja k d io d y i tran zy sto ry z p ow odu dyskretnej n a tu ry przepływ u p rą d u w tych urządzeniach. N a przykład, w obw odzie elektrycz­ nym z fotodetektorem , im puls p rąd o w y po w staje każdorazow o, gdy źró d ło św iatła o stałej intensyw ności sp o w o d u je em isję elek tro n u z fo to k ato d y . E lektrony są em itow ane w n atu raln y sposób w przy p ad k o w y ch chw ilach oznaczanych przez zk, przy czym — od < k < cc. Z ak ład am y przy tym , że p rzy p ad k o w e em isje elek tro n ó w n astęp u ją w przeciągu długiego czasu. D lateg o całkow ity p rą d płynący przez fo to d etek to r m oże być zapisany w postaci nieskończonej sum y im pulsów p rąd o w y ch , a m ianow icie: X

X(t)=

£ k =

-

h ( t - x t)

(4.140)

cc

gdzie h{t —r k) — im puls p rąd o w y generow any w chwili Tk. P roces X (t) zdefiniow any przez rów nanie (4.140) jest procesem stacjo n arn y m , k tó re m u n a d a n o nazw ę szum śrutow y9). L iczba elek tro n ó w N(t) em itow anych w przedziale czasu (0,<) o k reśla dyskretny proces stochastyczny, k tó reg o w arto ść w zrasta o jed n o ść w raz z każdym przypadkiem emisji elektronu. N a ry su n k u 4.21 p o k a z a n o funkcję p ró b y takiego procesu. N iech średnia w artość liczby elek tro n ó w v, em ito w an y ch pom iędzy czasem t a i + f 0 będzie zdefiniow ana w zorem : £ [ v ] = Xt0

(4.141)

P a ra m e tr X jest stałą n azy w an ą w ykładnikiem procesu. C ałk o w ita liczba elektronów em itow a­ nych w przedziale ( i , i + i 0), to znaczy v = N ( t + t 0) - N(t) odw zorow uje rozkład Poissone'a o w artość średniej rów nej Xt0. W szczególności p raw ­ dopodobieństw o, że k elek tro n ó w będzie w yem itow ane w przedziale czasu (t, t + 10) zdefiniow a­ ne jest jak o : P (v = k) =

fv«

k = 0 ,1 ,...

(4.142)

N iestety, szczegółow a analiza statystyczna p rocesu szum u śrutow ego 2if(r) zdefiniow anego rów naniem (4.140) je st dość tru d n y m zad an iem m atem atycznym . T u ta j po p ro stu przytoczym y w yniki d o tyczące d w u pierwszych m o m en tó w procesu:

268

4. P R O C E S Y L O S O W E

Rys. 4.21 F u n k cja p ró b y procesu zliczania Poissone’a

• Ś rednia X (i) wynosi: co

Px = * i h(t)dt -X

(4.143)

gdzie X — w ykładnik procesu, a h(t) — kształt im pulsu prądow ego. • F u n k c ja au to k o w arian cji z AT(t) wynosi: co

C x (t ) = X j h(t)h{t + T)dt

-

(4.144)

00

W ynik w tej p o staci zn an y jest ja k o twierdzenie Campbella. W szczególnym przypadku, gdy im puls h(t) m a kształt p ro sto k ą tn y o am plitudzie A i czasie trw an ia T, śred n ia procesu X (r) szum u śrutow ego w ynosi XAT, a funkcja kow ariancji jest rów na: C x ( T )

J

W

[0,

T

-

M

\

r

\

<

T

\r\>T

czyli tw orzy k ształt tró jk ą tn y p o d o b n y d o przedstaw ionego n a rys. 4.13.

Szum term iczny Szum term iczny w yw odzi10) sw ą nazw ę od szum u elektrycznego spow odow anego p rzy p ad ­ kow ym i ru ch am i elek tro n ó w w półprzew odnikach. Ś red n io k w ad rato w a w arto ść napięcia VTN szum u term icznego, pojaw iającego się n a zaciskach o p o ru i m ierzonego w paśm ie A /h erc ó w w ynosi we w szystkich praktycznych p rzy p ad k ach £ [ * r . n ] = 4fcTRĄf w o ltó w 2

(4.145)

gdzie k — stała Boltzm anna ró w n a 1,38 x 10“ 23 dżuli n a stopień K elvina, T — te m p e ra tu ra bezw zględna w sto p n iach K elvina, a R — o p ó r w om ach. N a rysunku 4.22a przedstaw iono m odel szum iącego o p o ru w p o staci zastępczego obwodu 7hevenina składającego się ze źródła napięciow ego szum ów o śred n io k w ad rato w ej w artości £ [ F ^ ] połączonego w szereg z ideał-

4.13. S Z U M Y

269

a

Rys. 4.22 Schem aty zastępcze szum iącego o p o ru a) źródło zastępcze Thevenina. b) źródło zastępcze N o rto n a

nym , bezszum nym oporem . A tlem atyw nie m ożem y użyć schematu zastępczego N ortona z rys. 4.22b, w k tó ry m źró d ło p rąd o w e szum ów um ieszczone jest rów nolegle z idealną bezszum ną k o n d u k tan cją. Ś red n io k w ad rato w a w arto ść p rą d u z g en erato ra szum ów ró w n a się: E U tn I =

K

E IT r/y ] = 4 k T G A /a m p e r2

(4.146)

gdzie G = i / R k o n d u k tan cja. Będzie interesujące zanotow ać, że n a podstaw ie centralnego tw ierdzenia granicznego, zasto so w an eg o w obec wielkiej liczby elek tro n ó w w oporze w y k o n u ją­ cych ruchy p rzy p ad k o w e statystycznie niezależne, otrzym uje się w ynik w skazujący n a opis szum u term icznego przez ro zk ład gaussow ski o zerow ej w artości średniej. O bliczenia szum ow e m ogą uw zględniać w artości m ocy, gdzie często k o rzy sta się z twierdzenia o dopasowaniu na m aksim um mocy. T w ierdzenie to głosi, że m aksym alna m ożliw a m oc p rzek azy w an a jest ze źró d ła o rezystancji R d o obciążenia o rezystancji R t w przypadku, gdy R, = R. M ów im y w tedy, że u k ład p racuje w warunkach dopasowania, poniew aż m oc w ytw orzona w źródle sygnału dzielona jest w połow ie m iędzy w ew nętrzną rezystancję źródła i rezystancję obciążenia, przy czym m oc d o starczo n a d o rezystancji obciążenia stanow i tzw. moc dysponowaną. S tosując tw ierdzenie o dopasowaniu na maksimum m ocy d o zastępczego o bw odu T h ev en in a z rys. 4.22a lu b zastępczego o b w o d u N o rto n a z rys. 4.22b, m ożem y stwierdzić, że szum iący o p ó r w y tw arza dysponowani/ moc szumów równą k TAJ' w atów .

Szum biały A naliza szum ow a system ów telekom unikacyjnych często opiera się n a w yidealizow anej form ie szum u, k tó rem u n ad aje się nazw ę szum biały, a k tó reg o w idm ow a gęstości m ocy nie zależy od częstotliw ości pracy. P rzym iotnik „biały” m o żn a in terp reto w ać w tym sensie, że św iatło białe zaw iera stałe w idm o częstotliw ości z w idzialnego zakresu p ro m ien io w an ia elektrom agnetycz­ nego. W yrazim y w id m o w ą gęstość m ocy szu m u białego reprezentow anego przez fu n kcję próby w(t) w postaci:

Sw if) =

(4147)

przedstaw ionej n a rys. 4.23a. W ym iarem N 0 są w aty n a herc. P a ra m e tr N 0 zazwyczaj odnosi się d o sto p n ia w ejściow ego o d b io rn ik a w system ie telekom unikacyjnym . P a ra m e tr ten m oże być w yrażony jak o : N 0 = kTe

(4.148)

270

4. P R O C E S Y L O S O W E

Sw(f)

a

/

0

b

RW(T)

Rys. 4.23

0

r

C h arak tery sty k i szum u białego: a) w idm ow a gęstość mocy, b) funkcja autokorelacji

gdzie k sta ła B oltzm anna, a Te — zastępcza tem peratura szumów odbiornika11). Zastępcza temperatura szum ów system u zdefiniowana je st ja k o tem peratura, w której stabilizowany termicznie szum iący rezystor po podłączeniu na wejście idealnej bezszum nej wersji system u dostarczałby tej samej dysponowanej m ocy szum u na wyjściu system u, co m oc dysponowana wytwarzana w realnym system ie przez w szystkie istniejące w nim źródła szumów. R ów now ażna te m p e ra tu ra szum ów m a tę w ażną cechę, że zależy jedynie od p a ra m e tró w system u. P o niew aż funkcja au to k o relacji jest o d w ro tn ą tran sfo rm a tą F o u rie ra w idm ow ej gęstości m ocy, więc d la szum u białego w ynika zależność: =

(4.149)

T ak więc funkcja au to k o relacji szum u białego sk ład a się z funkcji delta w ażonej przez czynnik N 0/2 w punkcie z = 0, zgodnie z rys. 4.23b. Z an o tu jm y , że R w(z) je st zerem d la z ^ 0. O dpow iednio, jakiekolw iek dw ie różne p ró b k i szum u białego, bez w zględu n a to, ja k blisko względem siebie p o b ran e, stan o w ią p arę nieskorelow aną. Jeśli szum biały w(i) jest rów nież gaussow ski, to obydw ie p ró b k i są rów nież statystycznie niezależne. W pew nym sensie, biały szum gaussow ski reprezentuje k rań co w y przykład „przypadkow ości”. T a k zdefiniow any szum biały m iałby, ściśle m ów iąc, nieskończoną m oc średnią i ja k o tak i nie byłby fizycznie realizow alny. P o m im o to, szum biały m a właściwości opisane m atem atycznie p ro sty m i zależnościam i, ja k np. ró w n an ia (4.147) i (4.148), co czyni go użytecznym d o analizy statystycznej system ów. U żyteczność procesów statystycznych zw iązanych z szum em białym w analizie system ów liniow ych stan o w i an alo g ię w zględem użyteczności funkcji delta i odpow iedzi im pulsow ej. P o d o b n ie ja k efekt im p u lsu w ejściow ego m oże być zaobserw ow any d o p iero po przesłaniu go przez system o skończonym paśm ie, tak też i efekt szum u białego obserw ow any je st d o p iero p o przesłaniu go przez p o d o b n y system . N a tej podstaw ie m ożem y w nioskow ać, że d o p ó k i p asm o p rocesu szum ow ego n a wejściu system u jest znacznie w iększe o d p asm a system u ja k o takiego, d o p ó ty m ożem y m odelow ać proces przypad k o w y za p o m o cą szum u białego.

4.13. S Z U M Y

271

Rys. 4.24. Charakterystyki szumu białego odfiltrowanego dolnoprzepustowo: a) w idm ow a gęstość m ocy,

b) funkcja autokorelacji

Przykład 16

Idealny szum biały po filtracji dolnoprzepustowej

Przypuśćm y, że p rzy k ład am y szum gaussow ski w (i) o zerow ej w artości średniej i gęstości w idm ow ej N 0/ 2 d o idealnego d o ln o p rzep u sto w eg o filtru o charakterystyce am plitudow ej rów nej jed n o ści w ew nątrz p asm a B. G ęsto ść w idm ow a m ocy szum u n(t) pojaw iająca się na wyjściu filtru i p rzed staw io n a n a rys. 4.24a w ynosi więc:

\f]>B

(4-150>

F unkcja au to k o relacji przebiegu n(i) o trzy m y w an a jest przez o d w ro tn ą tran sfo rm a tę F o u riera gęstości w idm ow ej m ocy p o k azan ej n a rys. 4.24a: B jy p * ( t) = } — ^-exp(j27t/T )d/= Ar0 B sinc(2B r) -B

(4.151)

*

F unkcja au to k o relacji w tej postaci w ykreślona zo stała n a rys. 4.24b. W idzim y, że R N(x) osiąga w artość m ak sy m aln ą N 0 B w p o czątk u uk ład u, i że m a przejścia przez zero d la t = ± k/2B, przy k = 1 ,2 ,3 ,... P o n iew aż hipotetycznie szum wejściowy w(t) jest szum em gaussow skim , więc w ynika stąd, że o g ran iczo n y w paśm ie szum n ( tj n a wyjściu filtru rów nież jest szum em gaussow skim . Przypuśćm y teraz, że n(i) jest p ró b k o w an y z częstością 2B p ró b ek na sekundę. N a podstaw ie

4. PROCESY LOSOWE rys. 4.24b m ożem y spodziew ać się, że o trzy m an e p ró b k i szum u będą nieskorelow ane, a poniew aż są gaussow skie, więc b ęd ą też statystycznie niezależne. P row adzi to ku dalszym w nioskom , że łączna funkcja zb io ru gęstości p raw d o p o d o b ień stw a zbioru p ró b ek szum ow ych otrzym anych w p o d an y sp o só b stan o w ić będzie iloczyn z poszczególnych funkcji gęstości praw do p o d o b ień stw a. Z an o tu jm y też, że k ażd a z p ró b ek szum u m a śred n ią ró w n ą zeru i w ariancję ró w n ą N 0 B.

Przykład 17

Szum biały filtrowany przez dolnoprzepustowy filtr RC

Rozw ażm y te ra z biały szum gaussow ski w(t) o średniej rów nej zero i gęstości N 0/2 przyłączony n a wejście do ln o p rzep u sto w eg o filtru R C p o k azanego na rys. 4.25a. T ran sm itan cja filtru wynosi: H ( f ) = ------- --------

1 +}2nfRC W idm ow a gęstość m ocy szum u n(i) pojaw iającego się na wyjściu d o ln o p rzep u sto w eg o filtru R C będzie zatem rów na: s*N{i fn) =

N «!2 1 + (2 n f R C ) 2

Przypom nijm y te ra z n astęp u jącą p arę tran sfo rm at F o u rie ra z p rzy k ład u 3 w rozdziale 2 (w której użyjem y zm iennej t w m iejsce t ja k o zm iennej d la rozstrzygnięcia naszego problem u):

c x p (- f l | t | ) i ± ^ r ! w

<4 1 5 2 >

gdzie a — stała. P o d staw iając teraz a = 1/ R C m ożem y o trzy m ać funkcję au to k o relacji od filtrow anego szum u n(r) w postaci:

4 RC

1\

RC

(4.153)

w ykreślonej n a rys. 4.25c. C zas dekorelacji r 0 p o k tó ry m R N(r) o p a d a do, pow iedzm y, 1 procen ta swej m aksym alnej w artości N J 4 R C i w ynosi 4,61 RC. W ynika stąd, że jeżeli będziem y p ró b k o w a ć szum n a wyjściu filtru z szybkością ró w n ą lub m niejszą o d 0,217/R C próbek n a sekundę, to o trzy m an e p ró b k i będą w zasadzie nieskorelow ane, i b ęd ąc p ró b k am i gaussow skim i, b ęd ą statystycznie niezależne.

Eksperyment komputerowy gaussowskim

Autokorelacja fali sinusoidalnej sumowanej z białym szumem

W tym eksperym encie k o m p u tero w y m pośw ięcim y się opisow i statystycznem u procesu losow ego X ( t ) składającego się z fali sinusoidalnej A c o sfż ir^ i + Q) i składow ej procesu w postaci białego szum u gaussow skiego W (t), m ającego zerow ą śred n ią i gęstość w idm ow ą N J 2. O zn acza to, że m ożem y napisać: X (t) = A co s(2 n fct + 0 ) + W(t)

(4.154)

gdzie: (9 — zm ienna losow a o rozkładzie rów nom iernym w przedziale ( - n, n). J a k się m o żn a spodziew ać, obydw ie składow e p ro cesu X (i) są niezależne. F u n k cja au to k o relacji X ( t ) będzie zatem su m ą funkcji autok o relacji sygnału (fali sinusoidalnej) i składow ej szum u, czyli: K*(T) = ^ c o s ( 2 r c / cT) + -y.<5(T)

(4.155)

4.13. S Z U M Y

273 R Szum biały w{t\

Szum

«(/)

Rys. 4.25. Charakterystyki szumu białego odfiltrowanego układem RC:

a) dolnoprzepustowy filtr RC, b) widmowa gęstość mocy przebiegu n(t) z wyjścia filtru, c) funkcja autokorelacji szumu n(t)

R ów nanie to p o k azu je, że d la | t | > 0 funkcja au to k o relacji R * ( t ) m a tę sam ą p o stać przebiegu sinusoidalnego c o sk ład o w a sygnału. M ożem y więc uogólnić p o d an y w ynik stw ierdzając, że obecność składow ej sygnału zakłóconej przez add y ty w n y szum biały m oże być w ykryta za pom ocą a lg o ry tm u obliczającego funkcję au to k o relacji sum arycznego procesu X{t). P rzep ro w ad zo n y dalej eksperym ent m a n a celu w ykonanie obliczeń za p o m o cą dwu następujących m etod: 1) u śred n ian ia p o zbiorze, 2) u średniania p o czasie. G ó rn y przebieg 18 S ystem y te le k o m u n ik a c y jn e cz. 1

274

4. P R O C E S Y L O S O W E

z rys. 4.26a p o k azu je sygnał sinusoidalny o częstotliw ości f c = 0,002, fazie 6 = —n /2 i czasie trw an ia uciętym d o skończonej w artości T = 1000; am p litu d a A tego sygnału u stalo n a jest ja k o y / l celem u zyskania jed n o stk o w ej m ocy średniej. D o ln y przebieg na rys. 4.26a pokazuje pojedynczą realizację x(f) p rocesu losow ego X (t) składającego się z sygnału sinusoidalnego i addytyw nego białego szum u gaussow skiego; w idm ow a gęstość m ocy szum u d la tej realizacji w ynosi ( N 0/ 2) = 1000. O ryginalny sygnał sinusoidalny zaledw ie daje się o d ró żn ić w przebiegu x(i). A by przeprow adzić obliczenia metodą uśredniania po zbiorze realizacji, w celu w yznaczenia funkcji au to k o relacji m usim y p o stęp o w ać następująco: • obliczam y iloczyn x (i + r)x (i) w pew nej ustalonej chwili t i d la pew nego określonego przesunięcia czasow ego t , przy czym x (i) jest pojedynczą realizacją losow ego procesu *(f),

• p o w tarzam y obliczenia iloczynu x (i + t)x (i) d la M niezależnych realizacji (czyli funkcji prób) procesu losow ego X(t), • obliczam y średnią z o trzy m an y ch obliczeń dzieląc sum ę przez M, • pow tarzam y sekw encję obliczeń d la różnych w artości t . W yniki obliczeń p rzed staw io n o n a rys. 4.26b d la M = 50 realizacji. O trzy m an y o b ra z jest w idealnej zgodności z te o rią rep rezen to w an ą przez ró w n an ie (4.155). M o żn a więc zan o to w ać w ażny w niosek, że proces u śred n ian ia p o zbiorze wyczyszcza e sty m a to r praw dziw ej funkcji autokorelacji Kx (t) procesu losow ego X (i). C o więcej, obecność sygnału sinusoidalnego jest w jasn y sp o só b uw idoczniona n a w ykresie R x {t) w zględem t. A by uzyskać uśrednioną po czasie estym ację funkcji au to k o relacji procesu X(t ) odw ołujem y się d o ergodyczności i stosujem y w zór (por. rów nanie (4.80)): R x {r) = lim R x{t, T ) r-®

(4.156)

gdzie R x(t , T ) — u śred n io n a p o czasie funkcja autokorelacji: 1 R x( r , T ) = —

r J x (i + T )x(i)df

(4.157)

F unkcja x(r) w ró w n a n iu (4.157) jest o k reślo n ą realizacją procesu X (i), n ato m iast 2 T jest całkow itym przedziałem obserw acji. Zdefiniujm y więc fu n kcję z oknem czasowym (x(r), * r(f) = Ł (0,

—T ^ t ^ T . • . . . . gdzie indziej

(4-158)

M ożem y więc przepisać ró w n a n ia (4.157) w postaci: R x(*>T) = ^ - J x r (i + r ) x r ( i) d t Li _^

(4.159)

D la określonego przesunięcia czasow ego x m ożem y obliczyć R x( x , T ) bezpośrednio na podstaw ie ró w n an ia (4.159). Jest je d n a k bardziej efektyw nym z p u n k tu w idzenia obliczeniow e­ go posłużyć się m eto d ą pośrednią o p a rtą n a transform acie F o u riera. W tym celu p o pierwsze m ożem y zan o to w ać, że u śred n io n a p o czasie funkcja autokorelacji R J t , T ) w zięta z ró w n an ia (4.159) m oże być u w ażan a za p rzesk alo w an ą fo rm ę splotu w dziedzinie i , czyli R X(*,T) = 2 ^ * r(T )* x r ( - T )

(4.160)

4.13. S Z U M Y

275

gdzie gw iazdka o zn acza splot, a x t (t) to p o p ro stu funkcja z o k n em czasow ym z argum entem t zam ienionym przez r. N iech X T( f ) o zn acza tran sfo rm atę F o u rie ra w zględem x r (t); zw ażm y przy tym , że X r ( f ) jest tak ie sam o ja k tra n sfo rm a ta F o u rie ra X (/, T ) zdefiniow ana w rów naniu (4.115). P oniew aż sp lo t w dziedzinie t tran sfo rm u je się na iloczyn w dziedzinie częstotliwości. M am y więc p a rę tran sfo rm a t F ouriera: R x( i , T ) — ~ \ X T( f ) \ 2

(4.161)

P a ra m e tr \ X T{ f ) \ 2/ 2 T rozpoznajem y ja k o p erio d o g ram procesu A^(i). R ów nanie (4.161) jest m atem atyczną fo rm ą zap isu twierdzenia o korelacji, k tó re form ułuje się następująco: Dla określonej fu n k c ji próby w ziętej z procesu losowego Junkcja autokorelacji tej próby uśredniona po czasie stanowi wraz z periodogramem, otrzym anym na podstawie tej sam ej fu n k c ji próby, parę transformat Fouriera. Jesteśm y ju ż teraz p rzy g o to w an i d o o p isan ia pośredniej m eto d y obliczania uśred­ nionej p o czasie funkcji au to k o relacji R x(t, r): • obliczam y tran sfo rm atę F o u rie ra X T{ f ) funkcji x r (r) z o k n em czasowym , • obliczam y p erio d o g ram \ X T{ f ) \ 2/2T, • obliczam y o d w ro tn ą tran sfo rm a tę F o u rie ra z \ X T{ f ) \ 2/2T. W celu p rzep ro w ad zen ia dalszych obliczeń za p o m o cą techniki kom puterow ej przyjęte jest stosow anie algorytm ów szybkiej tran sfo rm aty F o u rie ra (FFT ); opis algorytm ów F F T zam ieszczono w punkcie 2.15. P rzy rów nom iernym p ró b k o w a n iu x t (t) p ro ced u ra o b ­ liczeniowa o p isa n a dalej d o starcza p o żąd an y ch w yników w postaci R x( x , T ) dla t = 0 ,A ,2 A ,...,(1 V -1 )A , gdzie A — okres p ró b k o w an ia, n a to m ia st N — całkow ita liczba próbek przyjęta w obliczeniach. N a ry su n k ach 4.26c i 4.26d przedstaw iono wyniki o trzy m an e przy podejściu d o „estym acji” funkcji au to k o relacji za p o m o cą m eto d y pośredniej u średnian ia p o czasie, w k tó rej zasto so w an o ten sam zestaw p aram etró w , ja k i przedstaw iono na rys. 2.46b d la m eto d y u śred n ian ia p o zbiorze. S ym bol R x (r) zastosow any na rys. 4.26d m a podkreślić fakt, że opisane tu taj obliczenia stanow ią „estym ację” funkcji autokorelacji R x ( t).

N a ry su n k u 4.26e p rzed staw io n o estym ację funkcji R x ( r) za p o m o cą u średnian ia po czasie d la trzech różnych sto su n k ó w sygnału d o szum u, m ianow icie - 1 0 , 0, + 1 0 dB. Stosunek sygnału do szum u zdefiniow any je st następująco: CXTD_

A 2/ 2

A 2T

N 0/(2 T )

N0

(4162)

N a p o d staw ie w yniku przedstaw ionego n a rys. 4.26 m ożem y uczynić następujące obserwacje: • U średnianie p o zb io rze i uśrednianie p o czasie stanow ią podejścia d o starczające identycz­ nych w yników o d n o śn ie funkcji autok o relacji R x ij), co oznacza, że opisyw any tu proces X (i) je st faktycznie ergodyczny. • M eto d a p o śre d n ia u śred n ian ia p o czasie, o p a rta n a algorytm ie F F T , d o starcza efektywnej m etody estym acji R x (t) za p o m o cą techniki kom puterow ej. • W m iarę w zro stu sto su n k u sygnału d o szum u, d o k ład n o ść num eryczna estym acji polepsza się, co je st intuicyjnie satysfakcjonujące. 18*

276

4. P R O C E S Y L O S O W E

OJ

-O 3 CL

E

<

Rys. 4.26. a) Przebieg na górnym rysunku pokazuje wycinek oryginalnej sinusoidy Aco$(2nfct \ dla A = y / l , / c = 2/N = 0,002, t = 0 zaszumioną wersję sygnału sinusoidalnego

,

—1; wykres dolny przedstawia

4.13. S Z U M Y

277

b

2>° 1,5

’,0 0,5 Rx (t) 0,0

-0,5

-

1,0

' 0

200

400

600

800

1000

r

C

0,5 S

-----------------------------------------------------r

°'4 0,3

i --------------------------

--------------- 1------------------------------------------------------ »----------------------------------------------- -----

-

•

-

-

-

Tk °-2 " o .1

0,0

•

O

-

200

400

600

800

1000

/ 0,5 S

o,4 0,3

'■<

Th. ^ 0,1 0.0

490

495

500

505

510

/ b) u śred n io n a po zbiorze funkcja au to k o relacji R x ( t ) d la SN R = O dB, N = 1000, M = 50, c) p erio d o g ram ; przebieg górny pokazuje w ykres p erio d o g ram u d la „p ró b ek ” częstotliw ości od 0 d o 1000, n ato m iast przebieg dolny ukazuje pow iększony wycinek w ykresu d la próbek częstotliw ości o d 490 do 510,

4. P R O C E S Y L O S O W E

d) funkcja au to k o relacji /?*(?) obliczona ja k o o d w ro tn a tran sfo rm ata F o u rie ra p erio d o g ram u z rys. 4.26c,

4.13. S Z U M Y

279

:

r e) w ykresy R x (x) dla zm iennego sto su n k u sygnału d o szum u SN R : —10,0, + 1 0 dB (poczynając o d pierwszego wykresu)

280

4. P R O C E S Y L O S O W E

Zastępcze pasmo szum ów W przykładzie 16 m ieliśm y okazję zaobserw ow ać, że jeśli źró d ło szum u białego o zerow ej średniej i w idm ow ej gęstości m ocy N J 2 p o d łączo n e jest na zaciski wejściowe idealnego filtru dolnoprzep u sto w eg o o p aśm ie B i ch arak tery sty ce am plitudow ej rów nej jedności w tym paśm ie, to śred n ia w yjściow a m o c szum u [lu b ekw iw alentnie R N(0)] jest ró w n a N 0 B, W przykładzie 17 obserw ow aliśm y, że d la tak ieg o sam ego źró d ła szum ów podłączonego na wejście zw ykłego d o ln o p rzep u sto w eg o filtru R C z rys. 4.25a, odp o w ied n ia w arto ść średniej am plitudy wyjściowej m ocy szum u jest rów na N 0/{4RC). D la takiego filtru pasm o połow y mocy, a więc p asm o 3 dB ró w n e jest l/(2nRC). W tym p rzy p ad k u p o now nie stw ierdziliśm y, że średnia m o c szu m u n a wyjściu jest p ro p o rc jo n a ln a d o pasm a. M ożem y uogólnić pow yższe stw ierdzenie, aby dotyczyło o n o w szystkich rodzajów filtrów d o ln o p rzep u sto w y ch p o p rzez zdefiniow anie rów now ażnego p asm a szum ów w n a ­ stępujący sposób. P rzypuśćm y, że m am y źró d ło szum u białego o zerow ej średniej i gęstości w idm ow ej m ocy N 0/2 p o d łączo n e n a wejście dow olnego filtru dolnoprzepustow ego o transm itancji H( f ) . Ś rednia m oc szum u ja k i pojaw ia się n a wyjściu, w ynosi więc: oo

* o u t=

2

ac (4.163)

. CO

przy czym w dolnej linijce ró w n a n ia zrobiliśm y użytek z fak tu , że ch arak tery sty k a am p litu d o w a \H(f)\ je st p arzy stą funkcją częstotliw ości. R ozw ażm y n astępnie to sam o źró d ło szum u białego przyłączone d o wejścia idealnego filtru d o ln o p rzep u sto w eg o o tran sm itan cji stałoprądow ej H (0) i paśm ie B. W tym p rzy p ad k u średnia m o c szum u n a wyjściu wynosi: N oat = N 0B H 2(0)

(4.164)

M ożem y te ra z p o ró w n ać śred n ią m o c n ap isan ą powyżej z tą, k tó ra w ystępow ała w ró w n an iu (4.163) i n a tej podstaw ie określić zastępcze pasmo szumów w postaci: CO

J \ H ( f ) \ 2d f 0 _____________________

H 2(0)

(4.165)

T ak więc p ro ce d u ra obliczania zastępczego p asm a szum ów sp ro w ad za się d o zastąp ien ia dow olnego filtru do ln o p rzep u sto w eg o o tran sm itan cji H { J ) przez rów now ażny idealny filtr dolnoprzepustow y o tran sm itan cji stało prądow ej H{0) i o paśm ie B, zgodnie z rys. 4.27. W p o d o b n y sp o só b m ożem y też definiow ać zastępcze p asm o szum ów d la filtrów pasm ow oprzepustow ych.

Rys. 4.27 w Ilu stracja definicji zastępczego pasm a szum ów

4.14. S Z U M W Ą S K O P A S M O W Y

281

4 .1 4 . Szum w ąskopasm ow y Jednym z za d a ń , ja k ie staw ia się przed o d b io rn ik am i w system ach telekom unikacyjnych jest wstępne przetw arzanie odbieranego sygnału. T a k a w stępna p ro c e d u ra polega na zasto so w an iu filtru w ąskopasm ow ego o paśm ie d o statecznym d o p rzesłania interesującego n as sygnału w sp o só b niezniekształcony, lecz jednocześnie nie n a tyle szerokim , by dopuścić d o n ad m iaru szum ów n a wejściu o d b io rn ik a. P roces szum ow y pojaw iający się n a wyjściu takiego filtru nazyw any jest szum em wąskopasmowym. S kładow ym w idm ow ym w ąskopasm ow ego szum u w ycentrow anym d o o k o ła pew nych częstotliw ości środkow ych ± f eja k n a rys. 4.28a o d p o w iad a funkcja p ró b y n(t), k tó ra d la takiego procesu pojaw ia się w kształcie nieco p o d o b n y m d o fali sinusoidalnej o częstotliw ościf c, przy czym kształt ulega p o w o ln em u falow aniu zaró w n o p o d względem am p litu d y, ja k i fazy, zgodnie z rys. 4.28b. R ozw ażm y n astęp n ie szum n(t) w ytw orzony n a wyjściu filtru w ąskopasm ow ego w odpow iedzi n a funkcję p ró b y w(f) procesu w postaci białego szum u gaussow skiego o zerowej średniej i jed n o stk o w ej w idm ow ej gęstości m ocy, k tó ry przyłączono n a wejście filtru; w(t) i n(t) są funkcjam i p ró b y odpow iednich procesów W(t) i N(t). N iech H ( J ) oznacza transm itancję ro zpatryw an eg o filtru. O d p o w ied n io d o tego, m ożem y w yrazić w idm ow ą gęstość m ocy S N( f ) szum u n(t) za p o m o cą H { f ) w postaci:

b

Rys. 4.28. a) Widmowa gęstość mocy szumu wąskopasmowego, b) funkcja próby szumu wąskopasmowego

282

4. P R O C E S Y L O S O W E

S N( f ) = IW ) l

(4.166)

W rzeczyw istości jak ikolw iek n ap o ty k an y w p rak ty ce szum w ąskopasm ow y m oże być m odelow any przez przyłożenie białego szum u n a wejście odpow iedniego filtru w sp o só b tu opisany (por. zad an ie 4.28). W niniejszym punkcie życzeniem naszym będzie reprezentacja w ąskopasm ow ego szum u n(t) za p o m o cą synfazowej i k w ad ratu ro w ej składow ej w sp o só b p o d o b n y d o opisanego w punkcie 2.12 d la szum u w ąskopasm ow ego. W yprow adzenie tu taj przedstaw ione opiera się na pojęciu sygnału analitycznego i pojęciach pokrew nych, k tó re były przedyskutow ane w rozdziale 2. N iech n + (t) i n(f) o zn aczają od p ow iednio sygnał analityczny i obw iednię zespoloną w ąskopasm ow ego szu m u n(i). Z ak ład am y , że w idm o m ocy szum u n{t) w ycentrow ane jest w okół częstotliw ości f c. M ożem y w tedy napisać: n + (t) = n (t)+ jn (i)

(4.167)

h{ł) = n +(r)ex p (—j2ic/f i)

(4.168)

oraz

gdzie h(t) — tran sfo rm a ta H ilb erta n(t). S am a obw iednia zespolona h(t) m oże zostać w yrażona w postaci: n(i) = n ,( r ) + jn 0 (i)

(4.169)

Stąd łącząc ró w n an ia (4.167) d o (4.169),znajdujem y, że składowa synfazow a n;(f) i składowa kwadraturowa nQ(t) w ąskopasm ow ego szu m u n(t) są odpow iednio opisane w zoram i: n ,(t) = n(t)cos{2nfct)+ h (t)s in (2 n fct)

(4.170)

nQ(t) = h{t)cos(2%fct ) - n { t ) s m ( 2 n f ct)

(4.171)

oraz

Elim inując n(f) z ró w n ań (4.170) i (4.171) dostajem y p o ż ą d a n ą fo rm ę kanoniczną reprezentacji w ąskopasm ow ego szu m u n(t), o p isan eg o wzorem : n(t) = n ,(t)co s{2 n fct ) - n Q(t)sin (2 n fct)

(4.172)

P o d staw iając (4.170) d o (4.172), m o żn a otrzy m ać pew ne ważne właściwości sk ła d o ­ wych synfazow ych i k w ad ratu ro w y ch szum u w ąskopasm ow ego, co o p isan o w dalszym tekście. W łaściwość 1 S y n f azowa składowa nj(t) i kwadraturowa składowa nQ(t) wąskopasmowego szum u n(t) mają obydwie zerową wartość średnią. W celu u d o w o d n ien ia tej właściwości najpierw zaobserw ujem y, że szum fi(f) otrzym uje się p o przesłaniu n(t) przez filtr liniow y (tzn. przez tra n sfo rm a to r H ilberta). Stosow nie d o tego ń(i) będzie m ieć zerow ą średnią, poniew aż n(r) m a zerow ą średnią w ynikającą z tego, że jest w ąskopasm ow y. P o n a d to n a podstaw ie ró w n ań (4.170) i (4.171) widzim y, że n,{t) i nQ(i) są w ażonym i sum am i n(i) i ń(i). S tąd z kolei w ynika, że tw orzące k w ad ratu rę sk ładow e n,(t) i ne (r) obydw ie m ają zerow ą średnią. W łaściwość 2 Jeśli w ąskopasm ow y szum n(t) je s t szum em gaussowskim, to jeg o synfazow a składowa n,(t) i składowa kwadraturowa nQ(t) mają obydwie charakter gaussowski.

4.14. S Z U M W Ą S K O P A S M O W Y

283

A by u d o w o d n ić tę w łaściw ość zw róćm y uw agę na to, że h (i) jest w yprow adzone z n(t) za p o m o cą liniow ej operacji filtracji. Z ate m jeśli n(t) jest szum em gaussow skim , to n(t) jest rów nież szum em gaussow skim , w zw iązku z czym n(t) i n(t) są łącznie szum am i gaussow skim i. Stąd w ynika z kolei, że tw orzące k w a d ra tu rę składow e n,(t) i nQ(t) są łącznie szum am i gaussow skim i, p o n iew aż w ynikają ja k o sum y w ażone łącznie gaussow skich procesów . W łaściwość 3 Jeśli wąskopasm owy szum n (t) je s t stacjonarny w szerszym sensie, to je g o składowa synfazowa nj(t) i składowa kwadraturowa nQ(t) są łącznie stacjonarne w szerszym sensie. Jeśli «(i) je st sta cjo n arn e w szerszym sensie, to będzie tak rów nież z jeg o tran sfo rm a tą H ilberta fi(i). Jed n ak że sk o ro tw orzące k w a d ra tu rę składow e n,(t) i nQ(t) są w ażonym i sum am i n(t) i nQ(t), funkcje zaś w ag, czyli co s(2 n fet) i sin(2nfct), są zm ienne w czasie, to nie m ożem y bezpośrednio p rzy p o rząd k o w ać stacjo n arn o ści w szerszym sensie d o n,(t) i nQ{t). Aby więc przeprow adzić dow ó d m usim y w yznaczyć funkcje au to k o relacji tych składow ych. S tosując ró w n a n ia (4.170) i (4.171) znajdujem y, że sk ład o w a synfazow a i k w ad ­ ratu ro w a n,(t) i nQ(t) w ąskopasm ow ego szum u n(t), m ają te sam e funkcje autokorelacji, a m ianow icie (por. zadanie 4.30): V

T) = R »q W = R N W c™ ( 2 n f cx) + R N{x)sm{2nfcx)

(4.173)

a ich funkcje korelacji w zajem nej wynoszą: R Ni n q W = - R NqNiW = R Nsi n( 2nf cx ) - R N{x)cos(2nfcx)

(4.174)

gdzie R n — funkcja au to k o relacji z n(t), a R N(x) — tran sfo rm a ta H ilb erta z R N(x).N a podstaw ie ró w n ań (4.173) i (4.174) w idzim y, że funkcje korelacji R Nj (x ), R N (r) i R N N(t) składow ych tw orzących k w a d ra tu rę n ^ i) i nQ(i) zależą jedynie o d przesunięcia czasow ego x. W pow iązaniu zw łaściw ością 1 otrzym ujem y więc dow ó d n a to ,ż e n 7(i)i MQ(r) są stacjo n arn e w szerszym sensie, o ile oryginalny w ąskopasm ow y szum n(i) jest stacjo n arn y w szerszym sensie. W łaściwość 4 Z arów no szum synfazow y n,(t) ja k i kw adraturow y nQ(t) mają tę samą widmową gęstość mocy, która pozostaje w następującej relacji do widmowej gęstości m ocy S N( f ) oryginalnego wąskopas­ mowego szum u n(t): C m

_ C

\ S N( f - f c) + S N{ f + f c),

V / ) - S » e( / ) - 1 0,

g d z ie in d z ie j

(4175)

gdzie założono, że S N{ f ) zajm uje przedział częstotliw ościfc- B < | / | < f + B, p rzy c z y m fc > B. D la u d o w o d n ien ia tej właściwości bierzem y tran sfo rm atę F o u rie ra o b u stro n ró w n an ia (4.173) i k o rzy stam y z faktu, że F I R n (*)] = - j s g n f / J F t R ^ T ) ] = —jsg n i f ) S N{ f )

<4.176)

O trzy m u jem y w ten sposób w ynik / ) = V / > = | c S» ( / - / J + S » ( / + / t) ] - { [ S K( / - / <) s g n ( / - / t) + - S N( f + f c ) sg n ( / + / c)] = J S y ( f —f ) [ 1 - sgn ( f - f c)] + + w 5 N( / + / C) [1 + sgn ( / + fcj]

(4.177)

4.

284

e

PRO C ESY LOSOWE

sg n l/-/c)

o

--------- ------- ----------- -.................

! \fc

f

- \

sgn [f + f e 1

f

+1 c

~ /c

0

f

Rys. 4.29. a) W idm ow a gęstość m ocy S N( f ) typow a d la w ąskopasm ow ego szum u n(f), b), c) wersje z przesunięciem częstotliw ościow ym SN( f ) w kierunkach przeciw nych, d) funkcja signum sgn(i), części e) i f) reprezentują wersje s g n ( /) przesunięte w przeciw nych kierunkach

T eraz m ając w idm ow ą gęstość m ocy S N( f ) oryginalnego szum u w ąskopasm ow ego n(t) zajm ującego przedział częstotliw ości f c- B ś \f \ ś f c + B, przy czym f c > B, zgodnie z rys. 4.29a, znajdujem y, że funkcje S N( f —f c) i S N( f + f c) są p o staci odpow iednio ja k na rys. 4.29b i 4.29c. N a ry su n k u 4.29d, e, f p rzed staw iono odpow iednio przebiegi s g n (/), sg n ( f —f c ) i sg n ( f + f c ). M ożem y p rzeto uczynić n astęp u jące obserw acje: 1. D la częstotliw ości zad anych w przedziale m amy: sgn ( f - f c) = - 1 oraz sgn i f + f c ) = + 1

285

4.14. S Z U M W Ą S K O P A S M O W Y

Stąd, p o d staw iając otrzym ane w yniki d o ró w n an ia (4.177) dostajem y: S N, ( f ) = S HQ{ f ) = S N( f - f c) + S N( f + f c),

-B

B

2. D la 2 f - B < / < 2 fc + B m am y: sgn i j - f c ) = 1 oraz

SNif + f c) = o z w ynikiem w skazującym n a to, że S Nj{f ) i S N ( f ) są obie zeram i. 3. D la —2f c— B < —2f c + B m am y:

sN( f - f c) = 0 o raz sgn ( f + f ) = - 1 z w ynikiem takim , że rów nież i tu taj, zaró w n o S Nj{ f ) ja k i S N ( / ) są rów ne zeru. 4. P o za zak resam i częstotliw ości, w ym ienionym i w 1, 2, 3, zaró w n o S N{ f —f c) ja k i i S N( f + f c) są zeram i, a więc rów nież S Nj{ f ) i S Nq( / ) są zeram i. Ł ącząc w szystkie te w yniki, otrzy m u jem y relację zdefiniow aną w ró w n an iu (4.175). W konsekw encji tej właściwości m ożem y d o k o n a ć w yodrębnienia synfazow ej skła­ dowej n7(f) i k w ad ratu ro w ej składow ej nQ(t) z d o k ład n o ścią d o czynników skalujących, z w ąskopasm ow ego szu m u n(t) za p o m o cą sch em atu p o k azan eg o n a rys. 4.30a, gdzie obydw a do lnoprzep u sto w e filtry m a ją częstotliw ości graniczne rów ne B. Schem at p o k azan y na rys. 4.30a m oże być ro zp a try w an y ja k o analizator. Jeśli d a n a jest synfazow a sk ład o w a n7(t) i k w a d ra tu ro w a sk ład o w a n Q(t), to m ożliw e jest w ygenerow anie w ąskopasm ow ego szum u n(r) za p o m o cą sch em atu p o k aza n eg o n a rys. 4.30b, k tó ry m oże być uw ażany za syntetyzator.

b

Rys. 4 3 0 . a) W ydobycie synfazowej i k w ad ratu ro w ej składow ej z procesu w ąskopasm ow ego, b) generacja procesu w ąskopasm ow ego n a podstaw ie synfazowej i k w ad ratu ro w ej składow ej

286

4. P R O C E S Y L O S O W E

W łaściwość 5 Składowe n,(t) i nQ(t) mają taką samą wariancję, ja k wąskopasm owy szum n(t). W łaściw ość ta k a w ynika bezpośrednio n a podstaw ie ró w n a n ia (4.175), zgodnie z k tó ry m całkow ite pole p o d krzyw ym i w idm ow ej gęstości m ocy n,(t) i nQ(t) jest tak ie sam o ja k pole pod k rzyw ą w idm ow ej gęstości m ocy n(t). S tąd n,{t) i nQ{t) m ają ta k ą sam ą średniokw adratu ro w ą w artość ja k n(r). W cześniej pokazaliśm y, że poniew aż n{t) m a zerow ą średnią, to n,(t) i nQ{t) rów nież m ają zerow e średnie. S tąd w ynika więc, że n,{t) i nQ(t) m ają tę sam ą w ariancję co w ąskopasm ow y szum n(t). W łaściwość 6 Widma wzajemne gęstości m ocy kw adraturowych składowych szum u wąskopasmowego są czysto urojone, co zapisuje się ja k o :

W

>

-

- jo ,

gdzie indziej

(41?8)

A by u d o w o d n ić tę w łaściw ość, bierzem y tran sfo rm aty F o u rie ra z o b u stro n ró w n an ia (4.174) i b io rąc p o d uw agę w zór (4.176) otrzym ujem y:

S NjNQi f ) =

+

y

[ S

*

- S

( / - / c

)

n q

s g

n

N , ( J ) =

~

( f - f c)

Ss ( f

•

+

y

[ S N ( / - / c ) - S ,v ( / + X ) ] +

+

/c

)

s g

n

( / +

£

) ]

=

( 4 . 1 7 9 )

«

= y S IV( / + / J C l + s g n ( / + / [) ] - i s iv| / - X ) [ l —sgn ( / —/ c)] P o stęp u jąc dalej zgodnie z p ro c e d u rą p o d o b n ą d o opisanej w dow odzie właściwości 4 m ożem y pokazać, że ró w n an ie (4.179) red u k u je się d o postaci podanej w ró w n an iu (4.178). W łaściwość 7 Jeśli wąskopasmowy szum n(t) je st szum em gaussowskim o zerowej średniej i widmowej gęstości m ocy S N( f ) , która je st lokalnie sym etryczna dookoła częstoliwości środka pasma ± f c, to wtedy syn/azow y szum n,{t) i kw adraturow y nQ(t) są statystycznie niezależne. D la u d o w o d n ien ia tej w łaściw ości stw ierdzam y, że jeśli S N( f ) jest lokalnie sym etrycz­ na w okó ł ± f c, to: S Ni f ~ f c) = S N( f + f c),

(4.180)

W konsekw encji znajdujem y n a p o d staw ie ró w n an ia (4.178), że w idm a w zajem ne gęstości m ocy będących w k w ad ratu rze składow ych ^ ( r ) i n Q(t) są zerow e d la w szystkich częstotliwości. T o z kolei oznacza, że funkcje korelacji w zajem nej R NjN (t) i R N „ (t) są rów ne zeru d la w szystkich t, co m o żn a zapisać: E\_N ,(tk + x ) N Q(tJ] = 0

(4.181)

i co z kolei im plikuje, że zm ienne losow e N , ( t k + 1) i N Q(tk) (otrzym ane przez obserw acje szum u synfazow ego w chw ili tk + t i szum u k w ad ratu ro w eg o odpow iednio w chwili tk) są o rto g o n aln e dla w szystkich t. O w ąskopasm ow ym szum ie n(t) zak ład a się, że jest szum em gaussow skim o zerowej średniej; stą d n a podstaw ie właściw ości 1 i 2 w ynika, że zaró w n o N , ( t k + t) ja k i N Q(tk)

287

4.14. S Z U M W Ą S K O P A S M O W Y

są szum am i gaussow skim i o zerow ej średniej. W ten sp o só b konkludujem y, że poniew aż N , ( t k + 1 ) i N Q(tk) są o rto g o n aln e i m ają zero w ą średnią, to są o n e nieskorelow ane, a poniew aż są szum am i gaussow skim i, więc są statystycznie niezależne d la w szystkich t. Innym i słow y synfazow y szum n,(t) i k w ad ratu ro w y szum nQ(t) są statystycznie niezależne. W zgodności z w łaściw ością 7 m ożem y w yrazić funkcję gęstości p ra w d o p o d o b ie ń st­ w a zm iennych losow ych Nj ( t k + x) i N Q(tk) (dla dow olnego opóźnienia r) ja k o iloczyn ich funkcji gęstości p raw d o p o d o b ie ń stw a w n astępujący sposób: f N , ( t k + z ) N Q (tk ) ( n l ’ n Q ) = f s l Uk + x)(n l ) f s Q l,k ) ( n Q) =

gdzie a 2 — w ariancja oryginalnego w ąskopasm ow ego szum u n(t). R ów nanie (4.182) jest w ażne jedynie w p rzy p ad k ach , gdy gęstość w idm ow a S N{ f ) szum u n(t) jest lokalnie sym etryczna d o o k o ła ± f c. W innych p rzy p a d k a ch ró w n an ie jest spełnione jed y n ie d la t = 0 lu b d la tych w artości t , d la k tó ry c h n,(t) i nQ(t) nie są skorelow ane. W p o d su m o w an iu m ożem y więc stw ierdzić, że jeśli w ąskopasm ow y szum n(r) m a zerow ą średnią, jest stacjo n arn y i jest gaussow ski, to w tedy jego tw orzące k w a d ra tu rę składow e nt (t) i nQ(t) obydw ie m ają średnie rów ne zeru, są w spólnie stacjo n arn e i łącznie stan o w ią szum gaussow ski. W celu w yznaczenia w idm ow ej gęstości m ocy z n,{t) i nQ(t) m ożem y p o stąp ić ja k następuje: 1. P rzesuw am y w idm ow ą gęstość m ocy S N( f ) oryginalnego szum u w ąskopasm ow ego n(i) w jej części o d o d a tn ic h częstotliw ościach w lew o o w ielkość f c . 2. P rzesuw am y część S N(J) o ujem nych częstotliw ościach w p raw o f c. 3. D odajem y ta k otrzym ane przesunięte w idm a w celu otrzym ania pożądanych SNi( f ) i S Nq{/).

Przykład 18

Filtracja szumu białego przez idealny filtr pasmowoprzepustowy

R ozw ażam y biały szum gaussow ski z zerow ą śred n ią i w idm ow ą gęstością m ocy N 0/ 2, k tó ry przesyłany jest przez idealny filtr p asm ow oprzepustow y o jednostkow ej charakterystyce am plitudow ej w ew nątrz p a sm a przepustow ego, przy czym filtr ten m a częstotliw ość śro d k o w ą f i p asm o 2B. C h a ra k te ry sty k a w idm ow ej gęstości m ocy filtrow anego szum u n(t) będzie tak a, ja k p o k a z a n a n a rys. 4.3 la . Z ad an iem naszym będzie określenie funkcji autokorelacji d la n(t), ja k rów nież je g o składow ych: synfazowej i kw adraturow ej. F u n k c ja au to k o relacji z n{t) jest o d w ro tn ą tra n sfo rm a tą F o u rie ra charakterystyki w idm ow ej gęstości m ocy przedstaw ionej n a rys. 4.3la: ~fc+B N n /f+B N n R N( t ) = i - T - ex p (j2 ą/r) d / + f — - e x p G 2 7 r /i) d / = - f c - B

1

f c - B

1

= N 0 B s i n c ( 2 B x ) [ c x p ( —}2 n fc T ) + exp(j2jr/c-r)] =

(4.183)

= 2 N 0 B smc(2Bx)cos(2Kfcz) co p o k a z a n o n a w ykresie z rys. 4 .3 Ib. C h a ra k te ry sty k a gęstości w idm ow ej z rys. 4 .3 l a jest sym etryczna w okół ± f c. S tąd znajdujem y, że o d p o w ied n ia c h arak te ry sty k a gęstości w idm ow ej d la składow ej synfazowej szum u tij{t) i d la składow ej k w adraturow ej szum u n Q(i) jest tak a, ja k p o k a z a n o n a rys. 4.3lc.

288

4. P R O C E S Y L O S O W E

f

* N [T)

■ ty/) = W / )

-8

O

8

/

Rys. 4 3 1 . C h arak tery sty k i idealnego szum u białego odfiltrow anego w sposób pasm ow oprzepustow y: a) w idm ow a gęstość mocy, b) funkcja autokorelacji, c) w idm ow a gęstość m ocy składow ej synfazowej i kw adraturow ej

F unkcja autok o relacji d la n,(t) i nQ(t) w ynosi dlatego (por. przykład 16): =

Przykład 19

r n

q (?)

= 2Af0 JSsinc(2Br)

(4.184)

Transmisja szumu białego przez Filtr rezonansowy o dużej dobroci

Rozw ażm y obecnie p asm o w o p rzep u sto w y filtr R L C przedstaw iony n a rys. 4.32a. T ran sm itan cja tego filtru w iążąca napięcie w yjściow e z napięciem wejściowym, je st postaci

4.14. S Z U M W Ą S K O P A S M O W Y

289

u Szum biały

K

u■{/)

Szum n(fl

Rys. 4 3 2 . a) F iltr R L C , b) w idm ow a gęstość m ocy przebiegu szum ow ego n(r) z wyjścia filtru w ytw orzona przez szum biały z wejścia, c) w idm ow a gęstość m ocy synfazowej i k w ad ratu ro w ej składow ej przebiegu «(i)

H(f) =

R R +}2nfL+(l/j2nfC)

(4.185)

C zęstotliw ość rezo n an so w a filtru wynosi: 1 fc =

(4.186) 2% y / T c

n ato m iast d o b ro ć Q je st zdefiniow ana wzorem : l Q

=

R

M ożem y zatem p rzepisać rów nanie (4.185) w postaci: 19 S ystem y te le k o m u n ik a c y jn e cz. 1

(4.187)

290

4. P R O C E S Y L O S O W E

(4.188) Jeśli d o b ro ć Q filtru będzie d u ż a w sto su n k u d o jedności, to m ożem y ap ro k sy m o w ać rów nanie (4.188) w następujący sposób:

H(f)c

(4.189) i

+

j

2 Q

(

/

+

m

’

/

<

0

Przypuśćm y, że p o dłączam y n a wejściu tego filtru źró d ło napięciow e generujące biały szum gaussow ski, o zerow ej średniej i o w idm ow ej gęstości m ocy N 0/2. G ęsto ść w idm ow a m ocy szum u pojaw iającego się n a w yjściu filtru jest d a n a w zorem :

S N( f ) *

(4.190)

co p o k az a n o n a w ykresie rys. 4.32b. T a k więc odpow iednie w idm ow e gęstości m ocy składow ej synfazowej szum u n7(i) i składow ej k w ad ratu ro w ej szum u nQ(t) są opisane w przybliżeniu wzorem: (4.191) co p o k az a n o graficznie n a rys. 4.32c. P o ró w n u jąc tę o sta tn ią relację z w idm ow ą gęstością m ocy z przykładu 17 d la szum u filtrow anego d o ln o p rzep u sto w o członem R C widzim y, że o b a wzory m ają w zasadzie p o d o b n ą postać. O zn a cz a to , że składow e: synfazow a i k w a d ra tu ro w a szum u n(i) n a wyjściu filtru w ąskopasm ow ego z rys. 4.32a m ają efektyw nie tę sam ą ch arak tery sty k ę co proces szum ow y w ytw orzony n a sk u tek filtracji szum u białego przez odpow iedni filtr dolnoprzepustow y RC.

Przedstaw ienie szumu w ąskopasm ow ego za pom ocą obw iedni i składow ych fazow ych D otychczas rozw ażaliśm y op is szum u w ąskopasm ow ego n(r) za p o m o cą je g o składow ych synfazow ych i k w ad ratu ro w y ch . M ożem y je d n a k rów nież przedstaw ić szum n(t) za pom ocą obw iedni i fazy w n astępujący sposób: «(i) = r (t) cos [ 2 i z f i + ^ (i)]

(4.192)

r(t) = [n?(i) + 4 ( r)]1' 1

(4.193)

gdzie

oraz (4.194)

4.14. S Z U M W Ą S K O P A S M O W Y

a

291

b

>

Rys. 4.33. Ilu stracja u k ład u w spółrzędnych d la przedstaw ienia szum u w ąskopasm ow ego: a) w przeliczeniu n a sk ład o w ą synfazow ą i k w ad ratu ro w ą, b) za po m o cą obw iedni i fazy

Funkcję r(t) nazyw a się obwiednią szum u n(t), a funkcję nazyw a się fa z ą n(t). R ozkłady p raw d o p o d o b ień stw a r(r) i i¡/(t) m o g ą być w następujący sp o só b o trzy m an e z ro zk ład ó w odpow iadających przebiegom nr(t) i nQ(/). N iech N , i N Q oznaczają zm ienne losow e otrzym ane przez obserw ację (w pew nym ustalo n y m czasie) procesów losow ych reprezentow anych przez odpow iednie funkcje p ró b y nt (t) i nQ(i). Z an o tu jm y , że N , i N Q są niezależnym i gaussow skim i zm iennym i losow ym i, o zerow ej średniej i w ariancji o 2, sk ąd m ożem y w yrazić ich łączną funkcję gęstości p raw d o p o d o b ień stw a w postaci: (4.195) O dpow iednio więc, p raw d o p o d o b ie ń stw o łącznego zdarzenia, że N j zn ajd u je się w przedziale pom iędzy n{ a n , + d n t , i że N Q leży pom iędzy nQ a nQ+ d n Q (tzn., że p a ra zm iennych losow ych N j i N q leży w spólnie w zacienionym obszarze z rys. 4.33a) d an e jest relacją: (4.196) Zdefiniujm y przekształcenie (por. rys. 4.33a) n, = rcosi//

(4.197)

nQ = rsinij/

(4.198)

W granicznym sensie m ożliw e jest przyrów nanie d w u elem entarnych pól zacienionych n a rys. 4.33a i 4.33b i n ap isanie d n , d n Q = r d r d i/r

(4.199)

N iech teraz R i W oznaczają odpow iednie zm ienne losow e o trzy m an e przez obserw ację (przy pew nym czasie r) procesów losow ych reprezentow anych przez obw iednię r(i) i fazę i}{t). W tedy p o d staw iając ró w n an ia (4.197), (4.198) i (4.199) d o (4.196) znajdujem y, że p raw d o p o d o b ień stw o łącznego położenia zm iennych losow ych R i T w ew nątrz zacienionego obszaru n a rys. 4.33b jest równe: 19*

292

4. P R O C E S Y L O S O W E

r 2n
/ exP l

r -

drdi//

2a

T ak więc łączna funkcja gęstości p raw d o p o d o b ień stw a d la R i V wynosi:

2na

exp

(4.200)

2
T a funkcja gęstości p raw d o p o d o b ie ń stw a jest niezależna o d k ą ta i)/, co oznacza, że zm ienne R i ¥ są statystycznie niezależne. M ożem y więc w yrazić f R^ (r ,ip ) ja k o iloczyn f R(r) W szczególności zm ienna lo sow a ip rep rezentująca fazę jest równomiernie rozłożona w ew nątrz zakresu 0 d o 2 k , zgodnie ze w zorem : 0 ^

^ 2n (4.201)

gdzie indziej W ten sp o só b funkcja gęstości p raw d o p o d o b ień stw a zm iennej losowej R jest postaci: r / 3 exP l f R(r) = j
r -

r^ O

2a2

(4.202)

0,

gdzie indziej

gdzie
a f v {v) = a f J r )

(4.204)

W tedy m ożliw e staje się przepisanie ro zk ład u R ayleigha z ró w n an ia (4.202) w znorm alizow anej postaci: oexp

U'

v> 0

fv(o ) =

(4.205)

0

. ,

gdzie indziej

Rys. 4.34

R ozkład R ayleigha

4.15. S Y G N A Ł S I N U S O I D A L N Y Z S Z U M E M W Ą S K O P A S M O W Y M

293

Z ależność (4.205) zo stała p o k a z a n a n a w ykresie z rys. 4.34. M ak sim u m funkcji/*, (o) w ystępuje przy u = 1 i ró w n e jest 0,607. Z a n o tu jm y rów nież, że w przeciw ieństw ie d o ro zk ład u G au ssa, ro zk ład R ayleigha je s t zerem d la ujem nych w artości v. Jest tak , poniew aż obw iednia r(i) m oże przyjm ow ać jed y n ie d o d a tn ie w artości.

4 .1 5 . Sygnał sinusoidalny z szumem w ąskopasm ow ym N astęp n y n asz k ro k to d o d a n ie fali sinusoidalnej A cos(2rcf ct) d o szum u w ąskopasm ow ego n(f), przy czym A i / są obydw ie stałym i. Z ak ład am y , że częstotliw ość fali sinusoidalnej jest tak a sam a, ja k n o m in a ln a częstotliw ość n o śn a szum u. F u n k c ja p ró b y w zięta z sum y fali sinusoidalnej i szu m u m oże być w y rażo n a jak o : x(r) = A cos(2rc/cf)+ n(i)

(4.206)

P rzedstaw iając w ąsk o p asm o w y szum n(i), w p o staci sum y je g o synfazow ej i k w ad ratu ro w ej składow ej m ożem y napisać: x(r) =

r i,

0 )c o s(2 k /c i) - n Q(t) sin (2 ti/ct)

(4.207)

gdzie = A + nĄt)

(4.208)

Z akładam y, że n (i) je st szum em gaussow skim o zerow ej średniej i w ariancji a 2. Stosow nie więc m ożem y stw ierdzić co następuje: 1. Z aró w n o w)(i) ja k i nQ(t) są szum am i gaussow skim i i są statystycznie niezależne. 2. Ś rednia n'j(0 w ynosi A , n a to m ia st śred n ia nQ(i) ró w n a się zeru. 3. W arian cja zaró w n o d la nj(i) ja k i nQ(t) w ynosi a 1. M ożem y więc w yrazić łączną funkcję gęstości p raw d o p o d o b ień stw a zm iennych losow ych N'i i N q o d p o w iad ający ch n)(i) i nQ(t) w n astępujący sposób:

fN’r NQ(n'i,nQ) - ^ ^ - e x p

M - A ) 2 + n 2Q 2a2

(4.209)

N iech r(r) o zn acza obw iednię znajdujem y, że: r ( t ) = { In', (t)] 2 + n \ (t)}112

(4.210)

ip(t) = arctg

(4.211)

N aślad u jąc p ro c e d u rę p o d o b n ą d o w yprow adzenia ro z k ła d u R ayleigha w p o p rzed n im punkcie stw ierdzam y, że łą czn a fu n k cja gęstości p raw d o p o d o b ie ń stw a zm iennych losow ych R i tP, odpow iadających r(f) i \p(t) w pew nym ustalonym czasie t, o p isan a jest zależnością: . , ,, /w f r .« -

r

(

r2 + A 2 — 2 A rco s if/ \ ^ ----)

(4.212)

Stw ierdzam y, że je d n a k w ty m p rz y p a d k u nie m ożem y w yrazić łącznej funkcji gęstości p ra w d o p o d o b ie ń stw a /* ,p(r,i/0 ja k o iloczyn f R(r) i / * ^ ) . D zieje się tak , poniew aż m am y teraz człon zaw ierający w artości o b u zm iennych losow ych p o m n o żo n y ch przez siebie w postaci

294

4. P R O C E S Y L O S O W E

rcosip. S tąd R i »P są zależnym i zm iennym i losow ym i d la niezerow ych w artości am plitudy A składow ej fali sinusoidalnej. Szczególne nasze zainteresow anie w zbudza funkcja gęstości p raw d o p o d o b ień stw a d la R. W celu obliczenia tej funkcji całkujem y ró w n an ie (4.212) p o w szystkich m ożliw ych w artościach ip o trzy m u jąc gęstość brzegow ą: / »

= ¡ f R^(r,ij/)d \j/ = r e

x

p

I e x p ^ c o s^ W

(4.213)

C ałk a p o praw ej stro n ie ró w n an ia (4.213) m oże być ro z p o z n a n a ja k o całk a definiująca zm odyfikowaną fu n kcję Bessela pierwszego rodzaju zerowego rzędu (por. d o d a te k 4); czyli: 1 /•(*> = ^

i exp(xcosi/r)diA

T ak więc w p row adzając zm ien n ą x = A r jo 2jesteśm y w stanie przepisać ró w n an ie w zw artej formie: =

(4.214) (4.213)

(4.215)

T a k zap isan a relacja nosi nazw ę rozkładu R ice’a l3). P o d o b n ie, ja k w p rzy p ad k u ro zk ład u R ayleigha, m ożliw e jest uproszczenie graficznej prezentacji ro zk ład u Rice’a przez podstaw ienie: _ r (4.216)

o A a = — a

(4.217)

fy(o ) = fffR(r)

(4.218)

M ożem y teraz w yrazić ro zk ład Rice’a z ró w n an ia (4.215) w znormalizowanej postaci: / K(t))ex p ^

02 + fl2 — j l 0(av)

(4.219)

k tó rą p rzed staw io n o n a w ykresie z rys. 4.35 d la w artości p a ra m e tru a rów nych 0, 1, 2, 3 ,4 , 5. N a podstaw ie w ykreślonych krzyw ych m ożem y d o k o n a ć następujących spostrzeżeń 1. G d y a jest ró w n e zeru, to ro zk ład Rice’a red u k u je się d o ro z k ła d u Rayleigha. 2. G d y a je st duże, to w okolicy v — a ob w iednia ro zk ład u jest w przybliżeniu krzyw ą G aussa, a m a to m iejsce w tedy, gdy am p litu d a fali sinusoidalnej A znacznie przew yższa a , czyli pierw iastek k w ad rato w y średniej m ocy szum u n(i).

4 .1 6 . Podsum ow anie W iększa część m ateriału przed staw io n eg o w tym rozdziale dotyczyła ch arak tery sty k i specjalnej g ru p y procesów losow ych, o k tó ry ch w iadom o, że są stacjo n arn e w szerszym sensie i ergodyczne. Im plik acją stacjo n arn o ści w szerszym sensie jest fakt, że m ożem y rozw inąć częściowy op is procesów losow ych za p o m o cą dw u p aram etró w uśrednianych p o zbiorze: (1) średniej, k tó ra jest niezależna o d czasu i (2) funkcji autokorelacji, k tó ra zależy jed y n ie od

4.16. P O D S U M O W A N I E

295

t'

Rys. 4 3 5 .

Rozkład Rice’a

różnicy pom iędzy chw ilam i czasu, w k tó ry ch d o k o n u je się d w u obserw acji p ro cesu 14). E rgodyczność um ożliw ia n a m użycie średnich p o czasie ja k o „estym atorów ” interesujących nas param etrów . Średnie p o czasie obliczane są za p o m o cą funkcji p ró b y (tzn. pojedynczej realizacji) p ro cesu losow ego. In n y m w ażnym p a ra m e tre m p ro cesu losow ego jest je g o w idm ow a gęstość mocy. F u n k cja au to k o relacji i w idm ow a gęstość m ocy stan o w ią p arę tran sfo rm a t F o u riera. W zory, k tó re definiują przeliczanie w idm ow ej gęstości m ocy n a funkcję au to k o relacji i vice versa znane są ja k o relacje E insteina— W ienera— C hinczina. W tablicy 4.1 prezentujem y p o stać graficzną funkcji au to k o relacji i w idm ow ych gęstości m ocy pew nych w ażnych procesów losow ych przestudiow anych w tym rozdziale. W szystkie procesy opisane w tej tablicy p o w in n y z założenia m ieć zerow ą średnią i jed n o stk o w ą w ariancję. P rz ed staw io n a tab lica p o w in n a zapew nić C zytelnikow i wyczucie pro b lem ó w takich, jak: (1) w spółzależność m iędzy funkcją au to k o relacji a w idm ow ą gęstością m ocy procesów losowych, (2) ro la filtracji liniow ej w k ształto w an iu funkcji au to k o relacji lub, ekw iw alentnie, widm owej gęstości m ocy p ro cesu m ającego p o stać szum u białego. K o ń co w e p a rtie rozdziału d o ty czą procesów szum ow ych, k tó re są gaussow skie o w ąskim paśm ie, będących rodzajem odfiltrow anych szum ów , pojaw iających się n a wejściach idealnych o d b io rn ik ó w telekom unikacyjnych. G aussow ski c h a ra k te r procesów oznacza, że zm ienne losow e otrzy m y w an e przez obserw ację wyjścia filtru w pew nym u stalo n y m czasie m ają rozkład G au ssa. W ąsk o p asm o w a n a tu ra szum u oznacza, że m oże o n b y ć przedstaw iony poprzez sk ład o w ą synfazow ą i k w ad ratu ro w ą. O b ie te składow e są dolnopasm ow e, są procesam i gaussow skim i, k ażd y o zerow ej średniej i w ariancji rów nej tej, k tó ra zw iązana jest z oryginalnym w ąsk o p asm o w y m przebiegiem szum ow ym . A lternatyw nie m ożem y przedstaw ić w ąskopasm ow y szum gaussow ski za p o m o cą obw iedni o rozkładzie R ayleigha i za p o m o cą fazy o rozk ład zie rów nom iernym . K ażd y ze sp o so b ó w o p isu wiąże się z pew nym specyficznym zakresem zasto so w ań , co p o k azan o w n astęp n y ch rozdziałach tej książki. M a te ria ł przedstaw iony w ty m rozdziale zo stał w całości ograniczony d o rzeczyw is­ tych procesów losow ych. M o żn a go uogólnić n a zespolone procesy losow e. Pow szechnie

296

4. P R O C E S Y L O S O W E

Tablica 4.1. F U N K C JE A U TO K O R EL A C JI I W ID M O W E G Ę S T O Ś C I M O C Y W Y B R A N Y C H P R O C E S Ó W L O S O W Y C H O Z E R O W E J Ś R E D N IE J I JE D N O S T K O W E J W A R IA N C JI

4.16. P O D S U M O W A N I E

297

Tablica 4.1. cd.

s p o ty k a n y m r o d z a je m z e s p o lo n e g o p r o c e s u lo s o w e g o je s t z e s p o lo n y d o ln o p a s m o w y p ro c e s o c h a r a k te r z e g a u s s o w s k im , k t ó r y p o ja w ia się p r z y r o z p a tr y w a n iu ró w n o w a ż n e j re p re z e n ta c ji d la w ą s k o p a s m o w e g o s z u m u g a u s s o w s k ie g o n (t). W p u n k c ie 4.14 stw ie rd z iliśm y , ż e s z u m n(t) je s t je d n o z n a c z n ie z d e fin io w a n y z a p o m o c ą sy n fa z o w e j s k ła d o w e j n ,(i) i k w a d r a tu r o w e j s k ła d o w e j n Q(t). W e k w iw a le n tn y s p o s ó b m o ż e m y z a p r e z e n to w a ć s z u m w ą s k o p a s m o w y n ( t) z a p o m o c ą o b w ie d n i z e s p o lo n e j n(r) z d e fin io w a n e j w z o re m n ,( t) + jn Q(f). W c e lu z a p o z n a n ia się z e s ta ty s ty c z n ą c h a r a k te r y s ty k ą o b w ie d n i z e s p o lo n e j ń (f) o d s y ła m y C z y te ln ik a d o d o d a t k u 7.

PRZYPISY I LITERATURA 1) W stępny kurs teorii praw dopodobieństw a obejm uje książka H am m inga (1991). W stęp d o teorii praw dopodobieństw a i procesów losowych w ujęciu inżynierskim , por. Leon G arcia (1989) i H elstrom (1990); pierwszy rozdział książki L eona G arcii zaw iera dyskusję interpretacyjną m odeli praw ­ dopodobieństw a. D o k ład n e p o trak to w an ie problem u m ożna znaleźć w p o z G ray i D avisson (1986), Papoulis (1984), W ong (1983), Feller (1968) i D o o b (1953). P odstaw y teorii praw dopodobieństw a są w poz. F in e (1973), Jeffreys (1957), K olm ogorov (1956). 2) W praktyce sp o ty k a się często inną w ażną grupę procesów losowych, których średnia i funkcja autokorelacji w ykazują okresow ość w postaci:

+ T, t2 + 7 ) = Rx( i,, f2) dla wszystkich i, i ć2. P roces losow y X (t) spełniający tę p arę w arunków nazyw any jest cyklostacjonarnym (w szerszym sensie). C yklostacjonam ość m odelu procesu X (i) d odaje now y w ym iar, m ianow icie okres T, w cząstkow ym opisie procesu. Przykładem procesu cyklostacjonarnego m oże być sygnał telewizyjny otrzym any w w yniku w ybierania rastrow ego przypadkow ego pola o b razu TV , względnie proces m odulacji otrzy m an y przy zm ienności am plitudy, fazy lub częstotliwości fali sinusoidalnej. D okładniej­ sza dyskusja procesów cyklostacjonam ych d o stęp n a je st w książce F ran k sa (1969), str. 204— 214 i w publikacji G a rd n e ra i F ra n k sa (1975). 3) D okładniejsze om ów ienie zagadnienia ergodyczności znajduje się w p o z G ray i D avisson (1986). 4) Tradycyjnie, rów n. (4.96) i (4.97) znane są w literaturze ja k o relacje W ienera—C hinczina w uznaniu pionierskich p rac N o rb e rta W ienera i A. I. Chinczina; ich oryginalne publikacje por. W iener (1930) i C hinczin (1934). O dkrycie zapom nianej pracy A lberta E insteina dotyczącej analizy szeregów czasowych (dostarczonej d o Swiss Physical Society w lutym 1914 r. Podczas sp o tk an ia w Bazylei) ujaw nia, że E instein n a wiele lat przed W ienerem i Chinczinem przedyskutow ał funkcję autokorelacji i jej zależność o d w idm owej zaw artości szeregów czasowych. Angielskie tłum aczenie arty k u łu Einsteina w ydrukow ano w I E E E A S S P M agazine, vol. 4, O c to b e r 1987. T o specjalne w ydanie zawiera również artykuł W . A. G a rd n e ra i A. M . Y aglom a om aw iający oryginalną pracę Einsteina.

298

4. P R O C E S Y L O S O W E

5) Dalsze szczegóły n a tem at estym acji w idm a m ocy m ożna znaleźć w poz. B lackm an i T ukey (1958), Box i Jenkins (1976), M arple (1987) i K a y (1988). 6) R ozkład G au ssa i zw iązane z nim procesy gaussow skie nazyw ane są w uczczeniu pam ięci wielkiego m atem atyka C. F . G aussa. W wieku 18 la t G auss odkrył m etodę najm niejszych kw adratów dla dopasow ania praw dopodobnej w artości w ciągu pom iarów pewnej wielkości. N astępnie G au ss użył m etody najm niejszych kw adratów d la dopasow ania o rb it planet n a podstaw ie danych pom iarow ych po czym opublikow ał tę procedurę w książce z 1809 ro k u zatytułow anej Teoria ruchu C ia ł N iebieskich. Zbierając dane n a tem at błędów obserw acji, rozw inął teorię rozkładu Gaussa. R ozkład ten znany jest również ja k o rozkład norm alny. Częściowo ze względów historycznych przyjęło się, że m atem atycy posługują się term inem norm alny, natom iast inżynierowie i fizycy używ ają nazwy gaussowski. 7) Łączna funkcja gęstości praw dopodobieństw a w ektora gaussow skiego o w ym iarze (n, 1) w postaci

*(*,) X ( t 2)

X =

jest zdefiniow ana jako:

/x ( x )

=

c

n

e

e x p [ ~

t

( x -

, , ' ) T c *

1

gdzie wskaźnik górny T oznacza transpozycję oraz p* = średni w ektor X = £ [ X ] C x = m acierz kow ariancji X = £ [ ( X - p y) ( X - p x)r ] C* 1 = transpozycja m acierzy kow ariancji C y I C x | = wyznacznik m acierzy kow ariancji C x Z w yprow adzeniem tej funkcji m ożna zapoznać się w poz. T hom as (1969, str. 128— 144), D avenpotr i R oot (1958, str. 147— 154) i Sakrison (1968, str. 87— 97). 8) D okładne om ówienie szum u elektrycznego zaw ierają poz. V an der Ziel (1970) i zbiorcza praca w ydana przez G u p tę (1977). 9) W stępne om ówienie zjaw iska szum u śrutow ego prezentuje H elstrom (1990). Bardziej szczegółowe potraktow anie tem atu zaw iera publikacja Yue, L ugananiego i Rice’a (1978). 10) Szum term iczny najpierw badany był eksperym entalnie przez J.B . Jo h n so n a w 1928 r., w związku z czym czasam i nazyw any byw a „szum em Jo h n so n a”. E ksperym enty Jo h n so n a zostały teoretycznie potw ierdzone przez N yquista (1928). 11) Bezszumność odb io rn ik a m oże zostać również pom ierzona za p o m o cą tak zw anego w spółczynnika szum ów. Zależność pom iędzy współczynnikiem szum ów i zastępczą tem peraturą szum ów wy­ prow adzono w d o d a tk u 6 n a końcu tej książki 12) R ozkład Rayleigha nazyw any jest tak d la uczczenia zasług angielskiego fizyka o nazw isku J. W. Strutt i tytule lord Rayleigh. 13) R ozkład Rice’a zawdzięcza swą nazwę dzięki uhonorow aniu Stephena O. Rice’a za jego oryginalny wkład zrelacjonow any w dw u publikacjach, jak ie ukazały się w 1944 i 1945 roku. 14) Statystyczna charakterystyka system ów telekom unikacyjnych zaprezentow ana w tej książce ograni­ czona jest d o pierwszych dw u m om entów , czyli średniej i funkcji autokorelacji (lub rów now ażnie funkcji autokorelacji) stosow nego procesu losowego. Jednakże, gdy proces losow y przesyłany jest przez system nieliniowy, w ażna część inform acji zaw arta jest w m om entach wyższego rzędu odpow iedniego procesu wyjściowego. P aram etry używ ane dla scharakteryzow ania wyższego rzędu m om entów w dziedzinie czasu nazyw ane są kum ulantam i (lub pólniezmiennikamiy, ich w ielowym iarowe transfor­ m aty F o u rie ra noszą nazwę poliw idm czyli widm n-w ym iarow ych. D yskusję wyższego rzędu kum ulantów i poliw idm w raz z ich estym acją n ap o tk ać m ożna w publikacjach Brillingera (1965) i N ikiasa i R aghuveera (1987).

4.16. P O D S U M O W A N I E

299

Rys. Z4.1

ZADANIA Zadanie 4.1 a) P okaż, że funkcja ch arak tery sty czn a gaussow skiej zm iennej losow ej oznaczonej przez X , m ającej średnią p x i w ariancję a \ je st rów na;
i 1x 3x 5

jo

dla " parzystych

d la n nieparzystych

Zadanie 4.2 Z m ienna losow a X o ro zk ład zie G au ssa , zerow ej średniej i w ariancji a \ tran sfo rm o w an a jest przez odcin k o w o liniow y p ro sto w n ik o ch arak tery sty ce wejścia-wyjścia danej przez relację (por. rys. Z4.1):

jo ,

X <

o

F unkcja gęstości p raw d o p o d o b ień stw a nowej zm iennej losow ej Y o p isa n a jest wzorem :

y

>

0

a) P o d aj fizyczne przyczyny pow odujące ta k ą m atem aty czn ą p o stać w yniku. b) W yznacz w artości stałej k przez k tó rą w ażo n a je st funkcja <5(y).

Zadanie 4.3 Z m ienna lo so w a X o rozkładzie gaussow skim , zerow ej średniej i w ariancji o \ tran sfo rm o w an a jest przez u k ład o k w ad rato w ej ch arak tery sty ce zdefiniow anej w postaci (por. rys. Z4.2) 7= X2 W ykaż, że fu n k cja gęstości p raw d o p o d o b ień stw a nowej zm iennej losowej F zdefiniow ana jest przez rozkład chi o dwu stopniach sw obody:

300

4. PROCESY m snW F

Y

Y

=

X

2

X s

j

0

y

+ V J

Rys. Z4.2

y ^0 y < 0 Wskazówka: z n a jd ź p r a w d o p o d o b ie ń s tw o P ( V ^ y ) w d w u p r z e d z ia ła c h y < 0 i y ^ 0.

Zadanie 4.4 Rozw aż proces losow y X (i) o postaci: X (t) = sin(2nfl) w k tó ry m częstotliw ość / je st zm ien n ą losow ą rów nom iernie ro zło żo n ą w przedziale (0, W). P okaż, że X (i) jest niestacjonarny. Wskazówka: zb ad aj funkcje p ró b y p rocesu losow ego X (i) d la częstotliw ości / = W/4, W/2 i W.

Zadanie 4.5 R ozw aż proces sinusoidalny: -V(f) = .4cos(2n/cr) gdzie częstotliw ość f c — stała, a a m p litu d a A — rów nom iernie rozłożona:

0,

w pozostałych przypadkach

określ czy proces ten jest, czy nie jest stacjo n arn y w ścisłym sensie.

Zadanie 4.6 Proces losow y X (i) jest zdefiniow any jako: X (i) = A co s(2 n fct) gdzie A — zm ien n a lo sow a o rozkładzie G au ssa, zerow ej średniej i w ariancji a \. T en proces losowy przyłożony jest n a wejście idealnego in teg rato ra, w ytw arzając wyjście: Y(i) = J X ( t) d t O a) O kreśl funkcję gęstości p raw d o p o d o b ie ń stw a wyjścia Y(t) w określonym czasie tk. b) O kreśl czy Y(t) jest stacjonarny. c) O kreśl czy 7(i) jest ergodyczny.

301

4.16. P O D S U M O W A N I E

Zadanie 4.7 N iech X i Y b ę d ą statystycznie niezależnym i zm iennym i losow ym i o rozkładzie G aussa, k a ż d a o zerow ej średniej i jed n o stk o w ej w a ria n c ji Zdefiniuj proces gaussow ski Z (f) = X cos(2nr) + Ysin(27tt) a) W yznacz łączn ą funkcję gęstości p raw d o p o d o b ie ń stw a zm iennych losow ych Z (r,) i Z (r2) o trzy m an ą przez obserw ację Z (f) d la czasów o d p o w ied n io fj i t 2. b) C zy pro ces Z (r) je st stacjo n arn y ? D laczego?

Zadanie 4.8 U dow od n ij n astęp u jące dw ie w łaściw ości funkcji au to k o relacji R x (t) procesu losow ego X(t): a) Jeśli AT(i) zaw iera sk ład o w ą sta ło p rą d o w ą ró w n ą A, w tedy K *(t) będzie zaw ierać składow ą stałą ró w n ą A 2. b) Jeśli X (f) zaw iera sk ład o w ą sin u so id aln ą, w tedy R x (x) będzie rów nież zaw ierać składow ą sinuso id aln ą o tej sam ej częstotliw ości.

Zadanie 4.9 F a la p ro s to k ą tn a x(i) z rys. Z 4.3 o stałej am plitudzie A , okresie T0 i opó źn ien iu rd, reprezentuje funkcję p ró b y p ro cesu losow ego X (t). O p ó źn ien ie jest losow e i opisane przez funkcję gęstości p raw dop o d o b ień stw a;

- 2 To ^ t< i ^ 2 T° w p o zo stały ch p rzy p ad k ach a) O k reśl funkcję gęstości p raw d o p o d o b ie ń stw a zm iennej losowej X ( tk) otrzym anej przez obserw ację p ro cesu losow ego X (i) w chw ilach i*. b) W yznacz śred n ią i funkcję au to k o relacji o d AT(t) za p o m o cą u śred n ian ia p o zbiorze. c) O kreśl śred n ią i funkcję au to k o relacji o d X (t) z a p o m o c ą u śred n ian ia p o czasie. d) U stal czy X ( t) jest stacjo n arn y w szerszym sensie. W ja k im sensie jest o n ergodyczny?

Zadanie 4.10 F a la b in a rn a sk ład a się z losow ego ciągu sym boli 1 i 0, p o d o b n e g o d o opisanego w przykładzie 8, z je d n ą różnicą: sym bol 1 jest te ra z rep rezentow any przez im puls o am plitudzie A w oltów

Rys. Z 43

302

4. P R O C E S Y L O S O W E

Rylrl (woltów)2 3

57

4r

-3 7

-2 7

0

7

r

27

37

4/'

57

r

Rys. Z4.4

a sym bol 0 jest reprezentow any przez zero w oltów . W szystkie inne p a ra m e try są takie sam e ja k poprzednio. W ykaż, że d la tej now ej losow ej fali binarnej AT(t): a) F u n k c ja au to k o relacji ró w n a się:

b) G ęstość w idm ow a m ocy jest rów na: S x (J ) =

S in e 2

C /T)

Jak i p ro cen t m ocy z aw arty je st w składow ej stałej fali binarnej?

Zadanie 4.11 Proces losow y Y(f) sk ła d a się ze składow ej stałej rów nej ^ 3 / 2 w oltów , składow ej okresow ej g(t) i składow ej losowej AT(i). F u n k c ja au to k o relacji Y(t) p o k a z a n a jest n a rys. Z4.4. a) J a k a je st średnia m oc składow ej okresow ej g(t)l b) J a k a jest śred n ia m o c składow ej losow ej X (i)?

Zadanie 4.12 R ozw ażm y p arę procesów losow ych X ( t) i Y(t) stacjo n arn y ch w szerszym sensie. P o k aż, że funkcje korelacji w zajem nej R x y(x) i R yx (x) tych procesów m ają n astęp u jące właściwości: a ) ^ x r ( T) = R y x ( ~ x) b) |K „ M I « ! [ * ! « > ) + * ,(< » ] gdzie: R x (t) i R y(x) — funkcje au to k o relacji odpow iednio d la X { t) i Y(t).

Zadanie 4.13 R ozw aż d w a filtry liniow e p o łączo n e k ask ad o w o , ja k n a rys. Z4.5. N iech X (t) będzie procesem stacjo n arn y m w szerszym sensie o funkcji autokorelacji R x (t). N a w yjściu pierw szego filtru pojaw ia się proces losow y V(t) a n a w yjściu drugiego filtru p o jaw ia się proces Y(r). a) Z n ajd ź funkcję autok o relacji d la Y{t). b) Z n ajd ź funkcję korelacji w zajem nej R vy(x) d la V(t) i Y(i).

4.16. P O D S U M O W A N I E

303

h, Ił)

X(t)------ *■

U(t) ------m

A2(f)

*-VMr)

Rys. Z4.5

Rys. Z4.6

Zadanie 4.14 Proces losow y Z (i) sta cjo n arn y w szerszym sensie przyłożony jest n a wejście liniow ego stacjonarn eg o filtru o odpow iedzi im pulsow ej h(t), p o w o d u jąc n a wyjściu proces y(i). a) P o k aż, że funkcja korelacji w zajem nej R yx(x) m iędzy wyjściem Y(t) i wejściem X ( t) ró w n a jest sp lo to w i odpow iedzi im pulsow ej h(z) i funkcji au to k o relacji R*(x) z wejścia, zgodnie z relacją: co

R

i h (u )R x ( T - u ) d u

y x ( '* ) = —

00

P o k aż, że d ru g a funkcja korelacji w zajem nej R x r (z) je st rów na: oo

Rxr(T) =

J h ( - u ) R x( r - u ) d u — CO

b) Z n ajd ź w idm o w zajem ne gęstości m ocy $ r x ( f ) i S x r(f)’ c) Z akład ając, że pro ces X (i) je st szum em białym o zerow ej średniej i w idm ow ej gęstości m ocy N J 2 , p o k aż, że:

S kom entuj p rak ty czn ie znaczenie tego w yniku.

Zadanie 4.15 N a ry su n k u Z 4.6 p rzed staw io n o w idm ow ą gęstość m ocy p rocesu losow ego X (i). a) W yznacz i n aszkicuj funkcję autok o relacji R x {r) procesu X(f). b) J a k a jest s ta ło p rą d o w a składow a m ocy z a w a rta w X (i)? c) J a k a je st z m ien n o p rąd o w a m oc w X (i)? d) Jak ie częstotliw ości p ró b k o w an ia d o starczą nieskorelow anych p ró b ek X (i)? C zy te p ró b k i są statystycznie niezależne?

304

4. P R O C E S Y L O S O W E

Rys. Z4.7

Zadanie 4.16 P a ra procesów szum ow ych n x(i) i n2(i) p o w iązan a jest relacją «2 0 ) = n l (t)cos(2Ttfct + Q ) - n 1(t)sin{2nfct + 6)

gdzie: f — stała, a 6 — w arto ść zm iennej losow ej 0 o funkcji gęstości p raw d o p o d o b ień stw a zdefiniowanej wzorem: f f e ( 0 ) = < 2* (0 ,

0 < 6

2%

w in n y ch przypadkach

Proces szum ow y n , (i) je st stacjo n arn y a jeg o w idm ow a gęstość m ocy p o k a z a n a je st n a rys. Z4.7. Z n ajd ź i w ykreśl o d p o w ied n ią w idm ow ą gęstość m ocy d la n2(t).

Zadanie 4.17 Losow y sygnał telegraficzny X (i) o p isan y jest przez funkcję autokorelacji; R*(T) = e x p ( - 2 u |T |) gdzie o — stała, p o d an y jest n a d o ln o p rzep u sto w y filtr R C z rys. Z4.8. W yznacz w idm ow ą gęstość m ocy i funkcję au to k o relacji p ro cesu losow ego n a wyjściu filtru.

Zadanie 4.18 Wyjście g e n erato ra d an e jest w zorem : X (t) = A c o s ( 2 n ft- & ) gdzie: A — stała, a / i 0 — niezależne zm ienne losowe. F u n k cja gęstości p raw d o p o d o b ień stw a d la 0 zdefiniow ana je st w zorem :

fM

f 4 -, = < 2* ( .0 ,

W ejście

0 < 61 < 2n w innych p rzy p ad k ach

Wyjście

Rys. Z4.8

305

4.16. P O D S U M O W A N I E

Y

Rys. Z4.9 Z n ajd ź w idm ow ą gęstość m ocy d la X ( t) za p o m o cą funkcji gęstości p raw d o p o d o b ie ń ­ stw a d la częstotliw ości / C o stanie się z tą w idm ow ą gęstością m ocy, gdy częstotliw ość / przyjm ie sta łą w artość?

Zadanie 4.19 S tacjonarny pro ces gaussow ski 2f(r) m a zero w ą śred n ią i w idm ow ą gęstość m ocy S x (f). W yznacz funkcję gęstości p raw d o p o d o b ie ń stw a zm iennej losowej otrzym anej przez obserw ację procesu X (t) w pew nej chw ili tk.

Zadanie 4.20 Proces gaussow ski X (i) o zerow ej średniej i w ariancji przesyłany jest przez prostow nik dw upołów kow y o p isan y zależnością m iędzy wejściem a wyjściem z rys. Z4.9. P okaż, że funkcja gęstości p raw d o p o d o b ie ń stw a zm iennej losow ej Y (it ), o trzy m an a przez obserwację p ro cesu losow ego Y (i) n a w yjściu p ro sto w n ik a w chwili tk, zapisuje się w następujący sposób: 1 f n t k)iy) = ) N rc 0,

exp/ -

y

Zadanie 4.21 Niech 2f(t) będzie stac jo n arn y m procesem gaussow skim o zerow ej średniej i funkcji a u to ­ korelacji K x ( t ) . P ro ces ten przy ło żo n o n a wejście u k ła d u o charakterystyce kw adratow ej danej przez relację wejścia-w yjścia (por. rys. Z4.2) Y(t) = X 2(t) gdzie y(f) — wyjście. a) S tosując w ynik z z a d a n ia 4.3 pokaż, że śred n ia z y(f) w ynosi R x (0). b) P o k aż, że fu n k cja au to k o w arian cji z F (i) jest ró w n a 2 R |(t).

Zadanie 4.22 S tacjonarn y pro ces gaussow ski X (i) o średniej ¡xx i w iariancji a \ przesyłany jest przez dw a filtry liniow e o o d p o w ied ziach im pulsow ych /i, (r) i h 2(t), w w yniku czego uzyskiw ane są procesy 7 (t) i Z (t), ja k p o k a z a n o n a rys. Z4.10. a) W yznacz łą cz n ą funkcję gęstości p raw d o p o d o b ień stw a zm iennych losow ych Y (tt ) i Z ( t 2). b) Jak ie w a ru n k i są konieczne i d o stateczn e d o tego, ab y y (fj) i Z ( t 2) były statystycznie niezależne? 20 S ystem y te le k o m u n ik a c y jn e cz. i

306

4. P R O C E S Y L O S O W E

X U ) O

Rys. Z4.10 h it)

T

O

t

T

Rys. Z 4 .1 1

Zadanie 4.23 S tacjonarny pro ces gaussow ski X (t) o zerow ej średniej i w idm ow ej gęstości m ocy S x ( f) przyłożony je st do liniow ego filtru o odpow iedzi im pulsow ej h(t) p okazanej n a rys. Z 4 .ll. W chwili T n a wyjściu filtru p o b ra n o p ró b k ę Y p rocesu losow ego. a) W yznacz śred n ią i w ariancję z Y. b) Ja k a jest fukcja gęstości p raw d o p o d o b ień stw a z Y1

Zadanie 4.24 R ozw aż proces gaussow ski d la szum u białego o zerow ej w artości średniej i w idm ow ej gęstości m ocy N 0/2, k tó ry przy ło żo n o n a wejście górn o p rzep u sto w eg o filtru R L z rys. Z4.12. a) Z n ajd ź funkcję au to k o relacji i w idm ow ą gęstość m ocy procesu losow ego n a wyjściu filtru. b) Ja k a jest śred n ia i w arian cja n a ty m wyjściu?

Zadanie 4.25 Biały szum w(t) o w idm ow ej gęstości m ocy N J 2 przyłożony jest na wejście d o ln o p rzep u stow ego filtru B utterw ortha rzędu n, k tó reg o odpow iedź am p litu d o w a zdefiniow ana jest wzorem:

R

Rys. Z4.12

307

4.16. P O D S U M O W A N I E

Szum biały

Filtr pasmowoprzepustowy

Filtr dolnoprzepustowy

Hi(f)

Wyjście

»2 (fi cos [ 2 i r f e t)

Rys. Z4.13

a) W yznacz zastępcze p asm o szum ów d la tego filtru dolnoprzepustow ego. b) Ja k a jest g ran iczn a w arto ść zastępczego p asm a szum ów , gdy n dąży d o nieskończoności?

Zadanie 4.26 Proces w p o staci szum u śru to w eg o X (t) zdefiniow any w rów n. (4.140) je st stacjonarny. D laczego?

Zadanie 4.27 Biały szum gaussow ski o zerow ej średniej i w idm ow ej gęstości m ocy N J 2 przyłożony jest d o układu filtrującego p o k aza n eg o n a rys. Z4.13. Szum n a w yjściu filtru dolnoprzepustow ego oznaczono sym bolem n(t). a) Z n ajd ź w idm ow ą gęstość m ocy i funkcję au to k o relacji d la n(i). b) Z n ajd ź śred n ią i w ariancję d la n(i). c) J a k a je st częstotliw ość, z k tó rą n(i) m oże być p ró b k o w an y w ten sposób, ab y otrzym ane p ró b k i były w zasadzie nieskorelow ane? Z adanie 4.28 N iech X { t) będzie procesem stacjo n arn y m o zerow ej średniej, funkcji au to k o relacji R x (t) i w idm ow ej gęstości m ocy S x (f). Z naleźć filtr liniow y o odpow iedzi im pulsow ej h(t) takiej, że po przyłożeniu n a wejście szu m u białego o w idm ow ej gęstości m ocy N J 2, wyjście filtru rów ne będzie X (i). a) W yznacz w aru n ek , ja k i m usi spełniać odpow iedź im pulsow a h(t), ab y sp ro stać p o sta ­ w ionym w ym aganiom . b) Jak i je st o d p o w iad ający tem u w aru n ek nałożony n a tran sm itan cję H { f) filtru? c) N a p o d staw ie k ry te riu m P aley a-W ien era (p atrz p u n k t 2.9) znajdź w ym agania odnośnie S x ( f ) zapew niające przyczynow ość filtru.

Zadanie 4.29 Rozw aż w ąsk o p asm o w y szum n(i) z tra n sfo rm a tą H ilb e rta o zn aczo n ą przez h(t). 20*

308

4. P R O C E S Y L O S O W E

a) P o k aż , że funkcje korelacji w zajem nej n(t) i ń(r) d a n e są relacjam i:

R nnW = - £ * (?) o raz * W ? ) = k N(x) gdzie R N(t) — tra n sfo rm a ta H ilb e rta funkcji au to k o relacji R N(x) szu m u n(t). Wskazówka: Z astosuj wzór: AM 1 jf -n— (A-)HJ n(f) — — dż

K

t-A

b) P o k aż, że R Nf,(0) = 0. Z adanie 4 3 0 W ąskopasm ow y szum n(t) m a zerow ą śred n ią i funkcję au to k o relacji R N(x). Jego w idm ow a gęstość m ocy S N( f ) w y cen tro w an a jest d o o k o ła ± f c. T w orzące k w ad ratu rę składow e n,(t) i nQ{t) szum u n(t) zdefiniow ane są przez su m y w ażone: n,{t) = n(i)cos(2rc/ci) + n(i)sin(27t/cr) oraz nQ(t) = h(t)cos(2nfct) - n ( t) s in ( 2 n fct) S tosując w ynik z części a) z a d a n ia 4,29 po k aż, że nf (t) i nQ(t) m ają funkcje korelacji ?) =

r nq W

= R N^ )c o s (2 n fcT )+ R N(T)sm{2Tifcx)

o raz r

n

,

n

q {*)

=

~

r

n q

jv ,( ? )

= R N{r)sm(2KfcT ) - k N{z)cos{2nfc T)

Z adanie 431 W idm ow a gęstość m ocy w ąskopasm ow ego szum u «(r) jest ta k a , ja k n a rys. Z4.14. C zęsto t­ liwość n o śn a jest ró w n a 5 Hz. a) Z n ajd ź w idm ow e gęstości m ocy synfazowej i k w ad ratu ro w ej składow ej z n(r). b) Z n ajd ź ich w id m a w zajem ne gęstości m ocy.

Rys. Z4.14

4.16. P O D S U M O W A N I E

309

Rys. Z4.15

Z adanie 4 3 2 R ozw aż szum gaussow ski n(t) o zerow ej w artości średniej i w idm ow ej gęstości m ocy S N( /) pokazanej n a rys. Z4.15. a) Z n ajd ź funkcję gęstości p raw d o p o d o b ie ń stw a d la obw iedni n(t). b) J a k a jest śred n ia i w ariancja tej obw iedni? R ozw aż pro b lem p ro p ag acji sygnałów przez ta k zw any kanał telekom unikacyjny z zam kam i czyli kanał losowy. Z adanie 4 3 3 R ozw aż p ro b lem p ro p ag acji sygnałów w ta k zw anych losowych kanałach telekom unikacyjnych lub inaczej w kanałach telekom unikacyjnych z zanikiem sygnałów. P rzykładem takiego k an ału m oże być jonosfera, k tó ra zapew nia odbicie z p o w ro tem w k ieru n k u Ziem i sygnałów krótkofalow ych (dużej częstotliw ości), um ożliw iając w ten sp o só b transm isje radiow e, o dużym zasięgu. In n y m p rzy k ład em takiego k an ału będzie radiokom unikacja podwodna. P ro sty m odel p ro p ag acji w tak im k a n a le p rzed staw io n o n a rys. Z4.16, n a k tó ry m za­ k ro p k o w a n y o b szar oznacza o śro d ek o losowej charakterystyce rozpraszania w tym sensie, że pojedyncza w iązk a fal p ad ający ch n a ten o śro d ek d o ciera d o o d b io rn ik a w postaci

Wiązka padająca

Antena nadawcza

Rys. Z4.16

Ośrodek rozpraszający

Strumień rozproszony

Antena odbiorcza

znacznej liczby wiązek rozproszonych. Sygnał tran sm ito w an y ró w n y jest AQxp{]2nfc t). Z ró b założenie, że w szystkie ro zp ro szo n e prom ienie p ro p a g u ją z tą sam ą p ręd k o ścią średnią. Jed n ak że k ażd y pro m ień ro zp ro szo n y ró żn i się w fazie i am plitudzie o d w iązki padającej, w w yniku czego k-ty ro zp ro szo n y pro m ień daje się opisać w postaci A kexp (j2 n fc t +j<9k), gdzie am p litu d a A k i faza 0 k pow oli i losow o zm ieniają się w czasie. W tak ich okolicznościach przyjm ij, że &k stan o w i zb ió r niezależnych o d siebie zm iennych losow ych o rozkładzie rów nom iernym . a) Jeśli sygnał o d b ieran y m a postać: x(f) = r (i)exp [j2nfc t + \j/ (i)] to pokaż, że zm ienna losow a R , o trz y m an a przez obserw ację obw iedni o d b ieran eg o sygnału w czasie t m a ro zk ład R ayleigha i że zm ienna losow a i¡/, o trzy m an a przez obserw ację fazy w ustalonym czasie, m a ro zk ład rów nom ierny. b) Założyw szy, że k a n a ł zaw iera bezpośrednią dro g ę transm isji sygnału** tak, że sygnał odbierany zaw iera sk ładow ą sin u so id aln ą o częstotliw ości f po k aż, że w tym p rzy p ad k u obw iednia o d b ieran eg o sygnału m a ro zk ład Rice’a.

** Poza ośrodkiem rozpraszającym (przyp. tłum.).

Rozdział 5

Szum w układach modulacji z falą ciągłą 5 .1 .

W p ro w ad zen ie

W rozdziale 3, studiow aliśm y z pozycji całkow icie determ inistycznych teorię i techniki m odulacji z falą ciągłą (CW ) (tzn. m odulacji am p litu d y (A M ) i m odulacji częstotliw ości (FM )). N astęp n ie w rozdziale 4 w yposażyliśm y się w n arzęd zia m atem atyczne p o trzeb n e d o statystycznej ch arak tery zacji losow ych sygnałów i szum ów . O becnie jesteśm y ju ż gotow i d o podjęcia stu d ió w n a d system am i m odulacji C W zw racając naszą uw agę w stro n ę oceny w pływ u szum ów n a ich funkcjonow anie, dzięki czem u m ożem y rozw inąć głębsze zrozum ienie telekom unikacji analogow ej. A by p o d ją ć an alizę szum ów w system ach m odulacji C W , m usim y w y k o n ać kilka rzeczy. Pierw szą i najistotniejszą rzeczą jest m ieć model odbiornika. P rzy form ułow aniu takiego m odelu, stosuje się zazw yczaj przedstaw ienie szum u o d b io rn ik a (szum kan ału ) ja k o addytyw nego, białego i gaussowskiego. T e upraszczające założenia um ożliw iają n am w niknięcie w podstaw o w e m echanizm y od d ziały w an ia szum ów n a pracę o d b io rn ik a. C o więcej, stan o w ią o n e porów naw czy u k ła d o d n iesien ia przy ocenie ch arak tery sty k szum ow ych różnych układów m odulacji i d em odulacji CW . M ateriał niniejszego rozdziału u ło żo n o w sp o só b następujący. W punkcie 5.2 opisujem y m o d el o d b io rn ik a i definiujem y pew ne p a ra m e try ilościow e ch arak tery zu jące jego właściwości szum ow e. N a stęp n e trzy p u n k ty d o ty czą szum ów w o d b io rn ik ach A M , m ianow icie dw uw stęgow ych ze stłu m io n ą falą n o śn ą, jednow stęgow ych i stan d ard o w y ch o d b io rn ik ó w z m odulacją am p litu d y . N astęp n ie d y sk u to w an y jest szum o d b io rn ik ó w F M , k tó ry ch analiza jest zad an iem ju ż nieco trudniejszym . R ozdział kończy się analizą p o ró w n aw czą właściwości szum ow ych system ów A M i F M .

5 .2 .

M o d e l odbiornika

Idee zw iązane z modelowaniem są fu n d am en taln e przy analizie w szystkich system ów fizycznych, w łączając w to system y telekom unikacyjne. P o p rz e z m odelow anie polepszam y zrozum ienie m ożliw ości i o g ran iczeń system u. P rzy form ułow aniu m odeli d la stu d io w an ia szum ów w o d b io rn ik ach C W pow inniśm y m ieć w pam ięci następujące uwagi:

5. S Z U M W U K Ł A D A C H M O D U L A C J I Z F A L Ą C I Ą G Ł Ą Sygnał modulowany s(t)

Filtr pasm ow o­ przepustowy

+

Sygnał wyjściowy *1 0

Szum

.

Demodulator *

----------------

i

Rys. 5.1. Model szumiącego odbiornika • M odel d o starcza ad ek w atn eg o o p isu szum u o d b io rn ik a, będącego przedm iotem pow szech­ nego zainteresow ania. • M odel bierze p o d uw agę w ew nętrzną filtrację i ch arak tery sty k i system u zw iązane z m o d u la ­ cją. • M odel taki jest d o statecznie p ro sty , ab y d ać m ożliw ość analizy statystycznej system u. W tej kon k retn ej sytuacji, p ro p o n u je się użycie modelu odbiornika z rys. 5.1, p o k azan eg o w swej najprostszej postaci. N a ry su n k u tym , s(i) o znacza n ad ch o d zący sygnał zmodulowany, a w{t) przedstaw ia wejściowy szum odbiornika. Sygnał odbierany jest zatem złożony z su m y s(t) i w(t); jest to sygnał, k tó ry o d b io rn ik m a przatw arzać. F iltr pasm owoprzepustowy m o d elu z rys. 5.1 reprezentuje w spólne filtrow anie przez w zm acniacze rezonansow e użyte w o d b io rn ik u w celu w zm ocnienia sygnału przed jeg o dem odulacją. P asm o tego filtru śro d k o w o p rzep u sto w eg o jest tak d o b ran e, aby przesyłać sygnał m o d u lo w an y s(r) bez zniekształceń. C o d o demodulatora przestaw ionego n a rys. 5.1, jeg o u k ład w ynika n atu raln ie z ro d zaju zastosow anej m odulacji. P odczas p rzep ro w ad zan ia analizy szum ow ej system u telekom unikacyjnego, do zwyczajowej p rak ty k i należy założenie o szum ie w(r), że jest addytyw ny, biały i gaussowski. M o żn a więc oznaczyć przez N 0/2 gęstość w idm ow ą m ocy szum u w(t), zdefiniow aną d la d o d atn ich i ujem nych częstotliw ości; w obec czego JV0 stanow i średnią moc szum u na wejściu odbiornika przypadającą na jed n o stkę pasma. Z ak ład am y rów nież, że filtr pasm ow oprzepustow y w o d b io rn ik u z rys. 5.1 jest idealny i m a pasm o rów ne p asm u transm isji B T sygnału m odulow anego s(r) i częstotliw ość śro d k o w ą ró w n ą częstotliw ości nośnej f c. T o o statnie założenie uspraw iedliw ione jest d la dw uw stęgow ej m odulacji (D SB-SC) ze stłu m io n ą nośną, dla m odulacji am p litu d y (A M ) i d la m odulacji częstotliw ości (FM ); m o d u lacja jednow stęgow a (SSB) i m o d u lacja ze szczątkow ą w stęgą b oczną (VSB) w ym agają o d ręb n eg o p o trak to w an ia. Przyjm ując, że częstotliw ość śro d k o w a filtru pasm ow oprzepustow ego jest identyczna jak częstotliw ość n o śn a X m ożem y m odelow ać w idm ow ą gęstość m ocy S N( f ) szum u n(t), k tó ra w ynika w efekcie transm isji szu m u białego w(t) przez filtr p o k aza n y n a rys. 5.2. W typow ym p rzy p ad k u częstotliw ość f jest d u ż a w p o ró w n a n iu d o p asm a przenoszenia B T. M ożem y dlatego tra kto w a ćfiltro w a n y szum n (i)ja k o szum w ąskopasm ow y reprezentow any przez postać kanoniczną: n(t) = n/ (i)cos(27t/ci ) - n Q(r)sin(27r/ct)

(5.1)

gdzie nĄt) synfazow a składow a szum ów i nQ(t) — kwadraturowa składowa szumów, a obydw ie składow e m ierzone są w relacji d o fali nośnej / ł ccos(2rc/cr). O dfiltrow any sygnał x(t) przed dem odulacją zdefiniow any jest jak o : x(t) = s(t) + n(t)

(5.2)

P o stać sygnału s(t) zależy o d ty p u zastosow anej m odulacji. W każdym w y p ad k u średnia m oc szum ów n a wejściu d e m o d u la to ra ró w n a jest całkow item u polu p o d krzyw ą w idm ow ej gęstości m ocy S N( f ) . N a podstaw ie rys. 5.2 łatw o stw ierdzić, że śred n ia m oc szum u ró w n a się N 0 B T. Jeśli p o sta ć s(f) je st znana, to jesteśm y w stanie w yznaczyć śred n ią m o c sygnału n a wejściu

5.2. M O D E L O D B I O R N I K A

313

Rys. 5.2. W yidealizow ana ch arak tery sty k a szum u filtracji pasm ow oprzepustow ej

d em o d u lato ra. Jeśli m o d u lo w an y sygnał s(i) i przefiltrow any szum n(t) sum ują się n a wejściu d e m o d u la to ra zgodnie z ró w n an iem (5.2), w tedy m ożem y przystąpić d o zdefiniow ania wejściowego stosunku sygnału do szumu, (SN R )„ ja k o stosunku uśrednionej m ocy zmodulowanego sygnału s(f) do średniej m ocy filtrow anego szum u n(t). Jed n ak że bardziej użyteczną m iarą w łaściw ości szum ow ych będzie wyjściowy stosunek sygnału do szum u (SN R)q, zdefiniowany ja k o stosunek średniej m ocy zdemodulowanego sygnału informacyjnego do średniej m ocy szum ów zm ierzonych na wyjściu odbiornika. W yjściowy stosunek sygnału d o szu m u d o sta rc z a intuicyjnej m iary opisującej w ierność z ja k ą proces dem odulacji w o d b io rn ik u o d tw arz a sygnał inform acyjny n a podstaw ie sygnału m o d u lo w an e­ go w obecności szum u addytyw nego. A by k ry teriu m tak ie było d o b rze zdefiniow ane m usi zachodzić addytyw ność pom iędzy sygnałem o d tw arzan ej w iadom ości a zakłócającym przebie­ giem szum ow ym n a wyjściu d e m o d u lato ra. W aru n ek tak i jest spełniony w idealny sposób w p rzy p a d k u o d b io rn ik a z detekcją k o h eren tn ą. Z drugiej strony, jeśli o d b io rn ik w yposażony jest w d e te k to r obw iedni ja k przy stan d ard o w ej m odulacji A M , w zględnie d y sk ry m in ato r częstotliw ości ja k przy m odulacji F M , w tedy konieczne jest założenie, że poziom filtrow anego szum u «(r) jest n a tyle niski, że uspraw iedliw ia zastosow anie sto su n k u sygnału d o szum u na wyjściu ja k o m iary właściw ości szum ow ych odbiornika. W yjściow y sto su n ek sygnału d o szum u zależy m iędzy innym i o d typu m odulacji zastosow anej w n ad a jn ik u ja k rów nież o d ty p u dem odulacji zastosow anej w odbiorniku. C en n a inform acja z a w a rta jest w p o ró w n a n iu wyjściowego sto su n k u sygnału d o szum u d la różnych m odulacji - dem odulacji. Jed n ak że a b y tak ie p o ró w n an ie m iało znaczącą w artość, m usi być czynione n a p o d staw ie w spólnej bazy w dalej opisany sposób: • M o d u lo w an y sygnał s(i) przesyłany przez każdy z system ów m usi ch arak tery zo w ać się tą sam ą średnią m ocą. • Szum n a w ejściu o d b io rn ik a w(£) pow inien m ieć u stalo n ą m oc średnią m ierzoną w paśm ie inform acyjnym W. Stosow nie d o tego, ja k o u k ład odniesienia m ożem y zdefiniować stosunek sygnału do szumu w ka­ nale (SNR)C, czyli stosunek średniej m ocy sygnału modulowanego do średniej m ocy szumu w paśmie informacyjnym, mierzonych na wejściu odbiornika. Stosunek ta k i m oże być uw ażany za stosunek sygnału d o szum u, k tó ry m ógłby w ynikać przy transm isji sygnału inform acyjnego m (t) w w yniku niem odulow anego przesyłu bezpośredniego w paśm ie podstaw ow ym , zgodnie z m odelem z rys. 5.3. Z ało żo n o przy tym , że po pierwsze m oc sygnału inform acyjnego n a wejściu filtru dolnoprzepustow ego w yregulow ana jest n a ten sam poziom , co m oc średnia sygnału m odulow anego i po drugie, że filtr dolnoprzepustow y przepuszcza sygnał inform acyjny i tłum i szum spoza pasm a.

Sygnał informacyjny o mocy równej mocy fali zmodulowanej

Filtr dolnoprzepustowy o paśmie W

Wyjście

w it)

Rys. 5.3. Schem at transm isji w paśm ie podstaw ow ym d la sygnału inform acyjnego o założonym paśm ie W, zastosow any w celu obliczenia sto su n k u sygnału do szum u w kanale

C elem p o ró w n an ia różnych system ów m odulacji (CW ) z falą ciągłą do k o n u je się normalizacji funkcjonalnej charakterystyki odbiornika przez podzielenie sto su n k u sygnału do szum u n a wyjściu przez stosunek sygnału d o szum u w kanale. W ten sposób pow staje definiq'a współczynnikii jakości o d b io rn ik a znanego ja k o współczynnik poprawy stosunku sygnał-szum, w następującej postaci: w spółczynnik popraw y sto su n k u sygnał-szum =

(SN R)0 (SNR)C

(5.3)

Oczywiście, im większa w artość tego w spółczynnika tym lepsze są właściwości szum owe odbiornika. M oże być o n rów ny jedności, mniejszy o d jedności lub większy od jedności w zależności od typu zastosow anej m odulacji. W następnych czterech p u n k tach zastosujem y opisaną ju ż koncepcję w celu prze­ prow adzenia analizy (1) odbiorników D SB -SC stosujących detekcję k o h eren tn ą (2) odbiorników SSB o detekcji koherentnej (3) odbiorników A M posługujących się detekcją obw iedni (4) odbiorników F M w yposażonych w dyskrym inację częstotliwości; rozpatrzone zo stan ą rów nież inne rozw iązania stosow ane d la dużych poziom ów szum u. O d b io rn ik i takie należą d o typow ych przykładów system ów m odulacji C W , m ających różne właściwości szumowe.

5 .3 .

Szumy odbiorników D S B -S C

A naliza szum ow a o d b io rn ik a D SB -SC z detekcją ko h eren tn ą należy d o najprostszych spośród uprzednio w ym ienionych przypadków . N a rysunku 5.4 p o k azan o m odel o d b io rn ik a D SB-SC z detektorem koherentnym . Z astosow anie takie w ym aga pom nożenia filtrow anego sygnału x(f) przez lokalnie generow aną falę sinusoidalną cos(2n f ct) i następnie dolnoprzepustow ej filtracji iloczynu. W celu uproszczenia analizy przyjm iem y, że am p litu d a lokalnie generow anej fali sinusoidalnej ró w n a jest jedności. A by je d n ak taki schem at dem odulacji funkcjonow ał p o p raw ­ nie, konieczne jest zsynchronizow anie lokalnego generatora co do fazy i częstotliwości z oscylatorem generującym falę nośną w nadajniku. Z akładam y, że udało się osiągnąć taką synchronizację. S kładow a D SB -SC filtrow anego sygnału x(i) w yraża się wzorem: s(t) = C A cc o s (2 n fct)m (t)

(5 .4 )

gdzie A cco s(2 n f ct) — sinusoidalna fala nośna, a m(t) sygnał inform acyjny. W w yrażeniu n a s(i) z rów nania (5.4) w ystępuje czynnik skalujący C, który m a n a celu zapewnić, ab y składow a sygnałow a s(i) była m ierzona w tych sam ych jed n o stk ach , co addytyw na składow a szum ow a n(t). Z ak ład a się, że m(i) jest funkcją p ró b y procesu stacjonarnego o zerowej średniej, d la którego w idm ow a gęstość m ocy S M( f ) ograniczona jest przez m aksym alną częstotliw ość W; oznacza to, że W jest pasmem informacyjnym. C ałkow ita m oc P rów na jest całkow item u polu p o d krzyw ą widmowej gęstości mocy, co m ożna p o k azać jako:

5.3. S Z U M Y O D B I O R N I K Ó W DSB-SC

Filtr r(r) pasmowoprzepustowy

Sygnał DSB- SC

sit)

315

vit) Filtr Mieszacz — >- dolno­ przepustowy

y it)

cos {2irfc t)

Szum

wit)

Rys. 5.4. Schemat odbiornika DSB-SC z detekcją koherentną

P=

I S « (/)d /

(5.5)

F ala n o śn a jest statystycznie niezależna względem sygnału inform acyjnego. Aby podkreślić tę niezależność, n o śn a po w in n a dysponow ać p rzy p ad k o w ą fazą, k tó ra jest rów nom iernie rozłożona w zakresie 2 it radianów . W rów naniu, k tó re definiuje s(i) ten przypadkow y k ąt fazowy został pom inięty d la w ygody opisu. Stosując w ynik z przykładu 12 w rozdz. 4 dotyczący m odulow anego procesu losow ego m ożem y w yrazić m oc średnią składow ej s(t) sygnału m odulow anego D SB -SC ja k o C 2A 2cP /2. P rzy gęstości w idm ow ej szum u N J 2 średnia m oc szum u w paśm ie inform acyjnym W wyniesie W N 0. Stosunek sygnału do szum u w kanale system u D SB -SC wyniesie zatem: rcM P ic dsb -_ C2A2' (SNR) 2W VP^

(5.6)

gdzie stała C 2 zabezpiecza bezw ym iarow ość całego wyrażenia. N astępnym naszym życzeniem będzie wyznaczenie stosunku sygnału d o szum u na wyjściu system u. Stosując w ąskopasm ow e przedstaw ienie filtrow anego szum u n(t) m ożem y wyrazić całkow ity sygnał n a wejściu d etek to ra koherentnego w postaci: x(i) = s(f) + n(i) = C A cc o s (2 n fct)m (t)+ n ,(ł)c o s(2 n fct ) - n Q( t) s m ( 2 n ft)

(5.7)

gdzie «/(î) i nę(t) synfazow a i k w ad ratu ro w a składow a n(t) względem nośnej. Sygnał n a wyjściu m o d u lato ra iloczynow ego w ynosi zatem: u(i) = x(i)cos(27t/cf) = ^ - C A cm { t) + ^ n ,( t) + + y [C A cm (t) +

(i)] cos (4 k £ i) —y AcnQ(i) sin (4rcf j )

D olnoprzepustow y filtr w detektorze koherentnym usuw a z v(t) składow e o dużej częstotliwości dając n a wyjściu o d b io rn ik a sygnał w postaci: y(t) = y C A cm ( t ) + ^ n,(t)

(5 .8)

R ów nanie (5.8) prow adzi d o następujących wniosków: 1. Sygnał inform acyjny m(i) i składow a synfazow a szum ów n/(t) filtrow anego szum u n(t) pojaw iają się n a wyjściu w addytyw ny sposób.

2. Składow a k w ad ratu ro w a ne (i) szum u n(t) jest całkowicie tłum iona przez d etek to r kohe­ rentny. O bydw a te wyniki pozostają niezeleżne o d stosunku sygnału d o szum u n a wejściu. T a k więc detekcja k o h eren tn a o d ró żn ia się n a tle innych technik dem odulacji w ażną właściwością: wyjściowa składow a inform acyjna nie podlega zniekształceniom , a składow a szum ow a zawsze pojaw ia się addytyw nie względem sygnału inform acyjnego, niezależnie o d wejściowego stosunku sygnału d o szumu. S kładow a sygnału niosąca inform ację rów na jest n a wyjściu o d b io rn ik a CAcm(t)/2. D latego m oc średnia tej składow ej m oże być w yrażona ja k o C 2A 2P /4, przy czym P jest m ocą średnią sygnału inform acyjnego m (f), a C jest wcześniej w zm iankow anym czynnikiem skalującym zależnym o d systemu. W przypadku m odulacji D SB -SC filtr pasm ow oprzepustow y z rys. 5.4 m a p asm o B T rów ne 2 W, ab y pom ieścić g ó rn ą i d o ln ą wstęgę sygnału m odulow anego s(t). W ynika stąd, że średnia m o c filtrow anego szum u n(f) ró w n a się 2 WV0. Z właściwości 5 szum u w ąskopasm ow ego opisanej w punkcie 4.14 wiemy, że średnia m oc (dolnopasm ow ego) szum u synfazowego nt (t) jest tak a sam a ja k m oc (pasm ow oprzepustow ego) szum u filtrow anego n(t). Poniew aż n a podstaw ie rów n. (5.8) składow a szum ów n a wyjściu o d b io rn ik a w ynosi n,(t)/2, więc w ynika stąd, że średnia m oc szum u n a wyjściu o d b io rn ik a wynosi: Iw N o W yjściowy stosunek sygnału d o szum u w o d b io rn ik u z detekcją ko h eren tn ą wynosi zatem: fSNRI )o

C 2 A iP /4 W N J2

C 'l A 'i P 2 WN0

<5'9>

P orów nując rów nania (5.6) i (5.9) otrzym ujem y w spółczynnik popraw y stosunku sygnał-szum (SNR), (SNR)C DSB-SC

= 1

(5.10)

Zanotujm y, że czynnik C 2 jest w spólny zarów no d la stosunku sygnału d o szum u na wyjściu odbiornika ja k i d la kanału, przez co następuje jego redukcja przy obliczaniu w spółczynnika popraw y. Z anotujm y też, że d la wyjścia z d etek to ra koherentnego w o d b io rn ik u z rys. 5.4 pracującego w systemie m odulacji D SB -SC przesunięte wstęgi sygnałow e sum ują się koherentnie, podczas gdy przesunięte wstęgi szum u sum ują się niekoherentnie. O znacza to, że stosunek sygnału d o szum u na wyjściu o d b io rn ik a d w u k ro tn ie przew yższa stosunek sygnału do szum u na wejściu detek to ra koherentnego.

5 .4 .

Szum y odbiorników SSB

Rozw ażm y teraz przypadek o d b io rn ik a z detekcją koherentną, w którym n a wejście nadchodzi fala m od u lo w an a (SSB) z pojedynczą w stęgą boczną. Załóżm y, że przesyłana jest jedynie dolna wstęga, a więc m ożem y wyrazić falę m o d u lo w an ą w postaci: s(t) = ^ C A cs(2nfct ) m ( t ) + ^ C a cs m (2 n fct)m(t)

(5.11)

5.4. S Z U M Y O D B I O R N I K Ó W S S B

317

gdzie m(r) — tran sfo rm a ta H ilberta sygnału inform acyjnego m(t). P o d o b n ie ja k poprzednio, aby zapew nić zgodność jed n o stek fizycznych d la składow ej szum owej n(i) i składow ej sygnału s(f) w prow adza się zależny o d system u czynnik skalujący C. M ożem y poczynić następujące spostrzeżenia odnośnie synfazow ych i k w adraturow ych składow ych s(t) w rów n. (5.11): 1. Składow e m(t) i m(r) są względem siebie ortogonalne. Jeśli zatem założym y, że sygnał inform acyjny m a średnią ró w n ą zeru, co jest rozsądnym założeniem , to w yniknie n am z tego b rak korelacji m iędzy m (t) i m(t); stąd zaś w ynika addytyw ność w idm ow ych gęstości mocy. 2 T ran sfo rm ata H ilb erta m{t) otrzym yw ana jest p o przejściu sygnału m(t) przz filtr liniowy o transm itancji —js g n ( /) . K w a d rat transm itancji ró w n a się jedności d la wszystkich f . W idzim y zatem , że m(t) i m(t) m ają ten sam poziom w idm ow ej gęstości mocy. Stosując procedurę p o d o b n ą ja k w punkcie 5.3 znajdujem y zatem , że składow e synfazowa i k w ad ratu ro w a sygnału m odulow anego s(f) w noszą jed n ak o w ą m oc C 2A 2P/%, przy czym P jest średnią m o cą sygnału inform acyjnego m(i). Ś rednia m o c s(i) w ynosi więc C 2A \P /4. R ów na się o n a połow ie m ocy uzyskiw anej w o d b io rn ik u DSB-CS, co jest intuicyjnie słuszne. Ś rednia m oc szum u w paśm ie inform acyjnym W w ynosi W N 0, podobnie ja k w o d b io rn ik u D SB-CS. T a k więc stosunek sygnału d o szum u w kanale o d b io rn ik a koherentnego z m odulacją SSB rów ny jest: C 2 a 2P (SNR)CiSSB =

4 WN0

(5.12)

W system ie SSB pasm o transm isji B T wynosi W, zgodnie z ilustracją z rys. 5.5a, przy czym częstotliw ość śro d k o w a w idm ow ej gęstości m ocy S N( f ) w ąskopasm ow ego szum u n(t) m a dewiację ró w n ą W/2 względem częstotliwości nośnej f . M ożem y zatem wyrazić n(t) jako: (5.13) P o d sum arycznym wpływem sygnału m odulow anego s(r) i szum u n(t) wyjście detek to ra koherentnego przyjm uje postać: y(f) = ^ C>lcm (r)-t-^M / (r)c o s(7 rm )-t-^ n Q(r)sin (jt^ t)

(5.14)

Składow a k w ad ratu ro w a m(t) m odulow anego sygnału inform acyjnego s(f) została, ja k należało­ by oczekiwać, w yelim inow ana z wyjścia d etek to ra, jed n ak składow a k w ad ratu ro w a szum u w ąskopasm ow ego n(r) pojaw ia się teraz n a wyjściu o d b io rn ik a w odróżnieniu o d przypadku odbiornika DSB-SC. S kładow a inform acyjna n a wyjściu o d b io rn ik a rów na się C A cm(t)/4, co pozw ala wyrazić średnią m oc odtw arzanego synału inform acyjnego ja k o C 2A 2P /\6 . S kładow a szum ow a na wyjściu o d b io rn ik a w ynosi [n,(i)cos(ii W t)+ nQ(i)sin(7i Wi)]/2. Aby wyznaczyć średnią m oc szum u n a wyjściu m usim y rozw ażyć co następuje: 1. W idm ow a gęstość m ocy zarów no d la n ,( t\ ja k i d la nQ(t) jest tak a, ja k przedstaw iono na rys. 5.5b. 2. F ala sinusoidalna cos(n W t) jest niezależna zarów no o d n,(t), ja k i o d n Q(t). T a k więc w idm ow a gęstość m ocy nj(t) = nf (t)cos(^lTi) otrzym yw ana jest przez przesunięcie S Nl( f ) o W/2 w lewo, następnie o W/2 w praw o, zsum ow anie przesuniętych w idm i podzielenie w yniku przez 4, zgodnie z przykładem 12 z rozdz. 4. W idm ow a gęstość m ocy n£(i) = nQ(t)sin(n\Vt) otrzym yw ana jest w podobny sposób. O trzy m an e tą m etodą w idm ow e gęstości m ocy n't (t) i «¿(i) p o k a z a n o w postaci szkicu n a rys. 5.5c.

318

5. S Z U M W U K Ł A D A C H M O D U L A C J I Z F A L Ą C I Ą G Ł Ą

V / > = VvQ(/)

_ !iO !i 2

2

/

• S (/ l = V-VQ( / )

c

-W o W

/

Rys. 5.5. A naliza szum ow a system u m odulacji SSB stosującego detekcję koherentną: a) w idm ow a gęstość m ocy szum u w ąskopasm ow ego n(t) n a wejściu d e te k to ra koherentnego, b) w idm ow a gęstość m ocy synfazowej i k w ad ratu ro w ej składow ej n(t) w odniesieniu do

/c -m c) w idm ow a gęstość m ocy składow ych nr (t) = n ,( t) c o s ( n W T ) i nQ.(t) = nQ( t) s m ( n W T )

Z rysunku 5.5c widzimy, że średnia m oc składow ej szum u n}(t) i «¿(r) wynosi W N J2 . Stąd n a podstaw ie rów n. (5.14) wyjściowa średnia m oc szum u w ynosi W N JA . W ten sposób stwierdzam y, że wyjściowy stosunek sygnału d o szum u w system ie o m odulacji SSB w nadajniku i koherentnej detekcji w o d b io rn ik u d an y jest przez: (s n

r

) o .s s b

C 2A 2P = AW^

(5.15)

319

5.5. S Z U M Y O D B I O R N I K Ó W A M

T ak więc n a podstaw ie ró w n ań (5.12) i (5.15) w spółczynnik popraw y stosunku sygnał-szum takiego system u wynosi: (SNR) q (SNR)C SSB

= 1

(5.16)

ponow nie widzimy, ja k upraszcza się czynnik C 2. P o ró w n u jąc rów n. (5.10) i (5.16) stw ierdzam y, że przy takiej samej średniej mocy nadawanego sygnału ( lub m ocy zawartej w zmodulowanym sygnale informacyjnym) i przy takiej samej średniej m ocy szumu w paśmie informacyjnym, odbiornik S S B będzie miał identyczny wyjściowy stosunek sygnału do szum u ja k odbiornik D SB-SC , o ile w obydwu odbiornikach będzie stosowana detekcja koherentna dla odtworzenia sygnału informacyjnego. C o więcej, w obydw u przypadkach właściwości szum ow e o d b io rn ik a są identyczne, ja k przy bezpośrednim przesłaniu sygnału inform acyjnego w obecności szum u o tak im sam ym poziom ie. Jedynym efektem procesu m odulacji jest przeniesienie sygnału inform acyjnego d o innego pasm a częstotliwości w celu ułatw ienia transm isji przez k a n ał pasm ow oprzepustow y.

5 .5 .

Szum y odbiorników A M

Przeprow dzim y teraz w następnej kolejności analizę szum ow ą system u m odulacji am plitudy (AM) w ykorzystującego d etek to r obw iedni w odbiorniku, zgodnie z m odelem przedstaw ionym n a rys. 5.6. P rzy pełnym sygnale A M zaró w n o wstęgi boczne ja k i fala n o śn a przesyłane są zgodnie z relacją: s(t) = A ct 1 + kam (i)]cos(2rc/cr)

(5 . 17 )

gdzie A cc o s (2 n fct ) — fala nośna, m(r) — sygnał inform acyjny, a ka — stała określająca głębokość m odulacji. W w yrażeniu n a składow ą s(r) sygnału m odulow anego am plitudow o z rów n. (5.17) nie m a potrzeby użycia czynnika skalującego, poniew aż m ożna sensow nie założyć, że am plituda nośnej A c w yraża się w tych sam ych jed n o stkach co addytyw na składow a szum ow a. P o d o b n ie ja k w p rzy p ad k u odb io rników D SB -SC przeprow adzim y analizę szum ow ą odbiornika A M najpierw przez wyznaczenie stosunku sygnału d o szum u w kanale, następnie zaś stosunku sygnału d o szum u n a wyjściu. M oc średnia składow ej nośnej w sygnale AM wynosi A 2C/ 2. Ś rednia m oc składowej niosącej inform ację AJ<.jn{t)cos{2nfct) ró w n a jest A 2ck 2aP /2, przy czym P jest średnią m ocą sygnału inform acyjnego m{t). Średnia m oc pełnego sygnału A M s(t) rów na jest przeto A2(l + fcaP)/2. P o d o b n ie ja k w system ie DSB-SC, średnia m oc szum u w paśm ie inform acyjnym rów na się W N 0. S tosunek sygnału d o szum u w kanale A M wynosi więc: iCXTD, (s

n

r

) c .a

m

-

A 2( l + k 2aP) 2 WN0

Filtr pasm owo­ przepustowy

Sygnał AM s ( t )

(5-18)

~

x(t)

Detektor obwiedni

Sygnał wyjściowy y ( t )

Szum

w(D

Rys. 5.6. Model szumiącego odbiornika AM

320

5. S Z U M W U K Ł A D A C H M O D U L A C J I Z F A L Ą C I Ą G Ł Ą a

b

+ kam(t)]

Rys. 5.7. a) Wykres wskazowy fali AM z szumem wąskopasmowym w przypadku dużego stosunku fali nośnej do szumu, b) wykres wskazowy fali AM z szumem wąskopasmowym dla małego stosunku fali nośnej do szumu Aby określić wyjściowy stosunek sygnału d o szum u najpierw przedstaw im y odfilt­ row any szum n(t) w przeliczeniu n a jego składow e synfazow ą i k w adraturow ą. M ożem y więc zdefiniować sygnał filtrow any x(f) przyłożony d o d etek to ra obw iedni w o d b io rn ik u m odelu ja k n a rys. 5.6 w następujący sposób: x (f) =

s (i) + n (i) =

[A c + A ckam(t) 4 - « / ( £ ) ] c o s ( 2 tt

r) —

( r ) s i n ( 2 tcf

t)

( 5 .1 9 )

W arto także przedstaw ić składow e sygnału x(f) za pom ocą w skazów ja k na rys. 5.7a. N a podstaw ie tego w ykresu w skazow ego wyjście o d b io rn ik a bez tru d u w yznacza się jako: y(i) = obw iednia x(i) = {[A c+ A J ijn (t) + n ^ i)]2 + n&(t)}1/2

(5.20)

Sygnał y(f) definiuje wyjście idealnego d e tek to ra obw iedni. F aza x(r) nie m a dla nas żadnego znaczenia, gdyż idealny d etek to r obw iedni jest całkow icie nieczuły n a zm iany fazy sygnału x(r). W yrażenie definiujące y (i) jest nieco skom plikow ane i w celu otrzym ania przejrzystych wyników pow inno ulec uproszczeniu. W szczególności chcielibyśm y aproksym ow ać wyjście y(t) przez sum ę składow ej inform acyjnej i składow ej szum owej. O gólnie jed n ak biorąc jest to trudne d o osiągnięcia. K iedy je d n a k średnia m oc fali nośnej jest duża w p o rów naniu ze średnią m ocą szumów, czyli kiedy o dbiornik pracuje zadow alająco, w tedy człon sygnałow y A c{ \ + kjn(t)~\ będzie duży w p o ró w n an iu d o członów szum ow ych n,(t) i nQ(i) przynajm niej praw ie przez cały czas. W tedy m ożem y przybliżyć wyjście y(i) ja k o (por. zadanie 5.8): y t f - A t + A J i M Ą + n ii t )

(5.21)

O becność członu stałoprądow ego A c w sygnale y(i) z ró w n an ia (5.21) na wyjściu detektora obw iedni spow odow ana jest przez dem odulację nadaw anej fali nośnej. C złon ten m ożem y pom inąć, gdyż nie w ykazuje o n żadnych zw iązków z sygnałem inform acyjnym m(i). W dow olnym przypadku składow a stała m oże być usunięta przez k o n d en sato r blokujący. T a k więc jeśli zaniedbam y człon stałoprądow y A c w ró w naniu (5.21), to pozostała część z dokładnością d o czynników skalujących tw orzy przebieg wyjściowy p o d o b n y do wyjścia o d b io rn ik a D SB-SC z detekcją koherentną. W konsekw encji wyjściowy stosunek sygnału d o szum u dla o d b io rn ik a A M w yposażonego w d etek to r obw iedni w ynosi w przybłiżerniu:

' S N R ) o .a m = |

g

( 5 .2 2 )

5.5. S Z U M Y O D B I O R N I K Ó W A M

321

R ów nanie (5.22) obow iązuje jed n a k tylko przy spełnieniu następujących w arunków : 1. Średnia m o c szum ów jest m ała w p o ró w naniu d o średniej m ocy fali nośnej n a wejściu detek to ra obwiedni. 2. Czułość am p litu d o w a ka w yregulow ana jest n a głębokość m odulacji m niejszą lub rów ną 100 procent. N a podstaw ie ró w n ań (5.18) i (5.22) otrzym ujem y następujący w spółczynnik popraw y stosunku sygnał-szum d la m odulacji am plitudow ej: (SNR)0

k 2aP

(SNR)C AM

(5.23) 1 +

W porów naniu zatem d o odpow iedniego w spółczynnika d la o d b io rn ik a DSB-SC, k tó ry d la detekcji koherentnej rów ny jest jedności, odpow iedni w spółczynnik popraw y stosunku syg­ nał-szum o d b io rn ik a A M z detekcją obw iedni stanow i wielkość m niejszą o d jedności. Innym i słowy właściwości szumowe odbiornika A M są zaw sze gorsze, niż dla odbiornika D SB-SC. P o w o d o w an e je st to stra ta m i m o cy n a d a jn ik a , w ynikającym i z p rzesy łan ia nośnej ja k o sk ła ­ dow ej fali A M .

Przykład 1

M odulacja tonem pojedynczym

Rozw ażm y k o n k retn y przypadek fali m odulow anej przez pojedynczą falę sinusoidalną o częstot­ liwości f m i am plitudzie A m zap isan ą wzorem: m(t) = A mc o s (2 n fmt) O dpow iednia fala A M d a n a jest wzorem: s(0 = A cl l +/icos(27rymt)]cos(27t/f i) gdzie fi = k aA m — w spółczynnik głębokości m o d u lacji Średnia m oc fali m odulującej m (t) w obciążeniu stanow iącym o p ó r o w artości 1 om wynosi: p

= [

a

I

N a podstaw ie ró w n an ia (5.23) otrzym ujem y:

2

(SNR)0

k lA L

- a J

j

\c

(5.24)

(S N R l A M

i

Ą

k

u

i

2

+

k

G d y fi = 1, co o d p o w iad a 100 p ro cen t głębokości m odulacji, dostaje się w spółczynnik popraw y stosunku sygnał-szum rów ny 1/3. O znacza to, że przy rów ności innych czynników , system AM stosujący detekcję obw iedni w celu uzyskania tej samej jakości charakterystyk szum ow ych, m usi przesyłać trzy razy większą m oc średnią niż system z tłum ioną falą n o śn ą i detekcją koherentną.

Efekt progow y O pisane funkcjonow anie d etek to ra obw iedni zm ienia się zupełnie, jeśli stosunek nośnej d o szum u jest m ały w sto su n k u d o jedności, a człon szum ow y dom inuje. W takim p rzy p ad k u bardziej przydatne jest przedstaw ienie w ąskopasm ow ego szum u n(t) w zależności o d obw iedni r(i) i fazy t/di), ja k p o k az a n o dalej: 21 S ystem y te le k o m u n ik a c y jn e cz. 1

322

5. S Z U M W U K Ł A D A C H M O D U L A C J I Z F A L Ą C I Ą G Ł Ą

n(t) = r(i)cos[(27c/ci + ^(r)]

(5.25)

O dpow iedni w ykres w skazow y sygnału wejściowego d etek to ra x(t) = s(t)+ n (t) został przed­ staw iony n a rys. 5.7b gdzie ja k o sygnał odniesienia w ybrano szum , poniew aż stanow i o n tutaj składow ą dom inującą. O p ró cz w skazu szum ów narysow ano w skaż reprezentujący sygnał A c[ l + kam{t)'] tw orzący ze w skazem szum ów k ąt \p{t) rów ny fazie n{t). N a rysunku 5.7b założono, że przynajm niej przez w iększą część czasu am p litu d a nośnej A c jest m ała w p o ró w ­ naniu z obw iednią szum ów r(r), co czyni stosunek nośnej d o szum u bardzo m ałym . W tedy możliwe jest pom inięcie kw adraturow ej składow ej sygnału względem szum u i wyznaczenie na podstaw ie rys. 5.7b przybliżonej w artości sygnału na wyjściu d e tek to ra obwiedni: y(r) ~ r(t) + A ccos[}J/(tj] + A X m {t)co sli]/(tj]

(5.26)

Relacja ta w skazuje n a b rak składow ej n a wyjściu detektora, k tó ra byłaby ściśle proporcjonalna d o sygnału inform acyjnego m(r) w przypadku, gdy stosunek nośnej d o szum u jest mały. O statn i człon w yrażenia definiującego y(f) zaw iera sygnał inform acyjny m(t) pom nożony przez szum w postaci cos [f/(tj]. N a podstaw ie p u n k tu 4.14 m ożem y przypom nieć, że faza ip(t) w ąskopas­ m ow ego szum u n(t) jest rów nom iernie rozłożona w przedziale 2 n radianów . W ynika stąd całkow ita u tra ta inform acji w tym sensie, że wyjście d etek to ra zupełnie nie zaw iera sygnału inform acyjnego m(t). T a k a u tra ta inform acji w detektorze obw iedni pracującym przy m ałym stosunku nośna-szum nazyw ana jest efektem p ro g o w y m 1'. Przez próg rozum ie się wartość stosunku nośna-szum, poniżej którego właściwości szumowe detektora pogarszają się znacznie szybciej niż proporcjonalnie do spadku stosunku nośna-szum. W ażnym jest podkreślenia, że każdy nieliniowy d etek to r (w tym d etek to r obw iedni) przejaw ia efekt progow y. Z drugiej jed n ak strony efekt tak i nie w ystępuje w przypadku d e tek to ra koherentnego. Szczegółowa analiza efektu progow ego w detektorach obw iedni jest skom plikow ana i z pew nością w ykracza p o za poziom przyjęty w tej książce. M ożem y jed n ak poczynić pewien wgląd w efekt progow y czyniąc następujące oszacowanie. N iech R oznacza zm ienną losow ą otrzym aną przez obserw atora procesu obw iedni n a podstaw ie funkcji próby r(t) przy pewnym ustalonym czasie. Intuicyjnie oczekujem y, że d etek to r obw iedni będzie pracow ał w ew nątrz obszaru progow ego, jeśli praw dopodobieństw o przekroczenia przez zm ienną losow ą A c am plitudy fali nośnej będzie np. rów ne 0,5. Z drugiej strony, jeśli to sam o praw dopodobieństw o wyniesie 0,01, to d etek to r obw iedni spełni oczekiw ania norm alnej pracy bez u traty inform acji i bez efektu progow ego. O cenę stosunków fali nośnej d o szum u odpow iadających takim proaw dopodobieństw om ilustruje następujący przykład.

Przykład 2 O bw iednia r(t) w ąskopasm ow ego szum u n(t) m a rozkład Rayleigha, opisany w punkcie 4.14; a zatem:

gdzie on — w ariancja szum u n(t). W system ie A M w ariancja o* rów na jest 2 W N 0. Stąd praw dopodobieństw o, że obw iednia R szum u w ąskopasm ow ego n(f) jest duża w porów naniu do am plitudy nośnej A„ definiuje się wzorem:

Ac

Ac ^ ” " 0

(5.27)

323

5.6. S Z U M Y O D B I O R N I K Ó W F M

Zdefiniujm y stosunek nośna-szum jako: o_

średnia moc nośnej średnia m oc szumu w paśmie modulowanego sygnału informacyjnego

(5-28)

Poniew aż pasm o sygnału A M ró w n a się 2 W, więc średnia m oc szum u w tym paśm ie rów na się 2 W N 0. Średnia m oc nośnej ró w n a się A 2c/2. Stosunek nośna-szum w ynosi więc:

P=

A* (5.29)

4 W N0 przepisać

P ( R ^ A C) = e x p (—/?)

(530)

Rozw iązując P (R ^ A c) = 0,5 względem p m amy: p = ln2 = 0,69 P odobnie d la P ( R ^ A C) = 0,01 dostaje się: p = ln 100 = 4,6 T ak więc przy sto su n k u nośna-szum 10 log10 0,69 = —1,6 dB, d etek to r obw iedni jest znacznie przesunięty w ob szar pracy podprogow ej, podczas gdy d la stosunku nośna-szum 10 lo g i0 4,6 = 6,6 dB oczekujem y, że d etek to r będzie pracow ał w odpow iedni sposób. Zazwyczaj dla osiągnięcia dostatecznej wierności o d tw arzania potrzebujem y stosunku sygnału d o szum u znacznie większego o d 6,6 dB, stąd też efekty progow e rzad k o tylko stanow ią czynnik limitujący pracę odbiorników A M z detekcja obwiedni.

5 .6 .

Szum y odbiorników FM

N a koniec zw rócim y uw agę w stro n ę analizy szum ów w system ach z m odulacją częstotliwości (FM ), dla k tó ry ch w prow adzam y m odel o d b io rn ik a pokazany n a rys. 5.8. P o d o b n ie ja k poprzednio szum w(i) przyjm ujem y w postaci białego szum u gaussow skiego o zerowej średniej 1 gęstości w idm ow ej N J 2 . O d b ieran y sygnał F M s(r) m a częstotliwość nośną f i pasm o przesyłania B T, stą d tylko zn ik o m a część m ocy leży poza pasm em częstotliwości f c+ B T/2 d la dodatnich częstotliwości. P o d o b n ie ja k w p rzy p ad k u A M , filtr pasm ow oprzepustow y m a częstotliwość środk o w ą /e i pasm o B T, k tó re pozw ala przesłać sygnał F M w zasadzie bez zniekształceń. Zazwyczaj Filtr

Szum

t»U)

Rys. 5.8. Model szumiącego odbiornika FM 21*

Dolnoprzepustowy

324

5. S Z U M W U K Ł A D A C H M O D U L A C J I Z F A L Ą C I Ą G Ł Ą

B t jest m ałe w p o ró w n an iu d o częstotliwości środkow ej tak, iż m o żn a posłużyć się w ąskopasm ow ą reprezentacją sygnału n(t), będącego odfiltrow aną wersją szum ów o d b io rn ik a w (t\ przeliczoną n a składow e synfazowe i kw adraturow e. W system ie F M inform acja przesyłana jest za pośrednictw em zm ian częstotliwości chwilowej sinusoidalnej fali nośnej, której am p litu d a pozostaje wielkością stałą. W ynika stąd, że jakiekolw iek zm iany am plitudy nośnej n a wejściu odbiornika w ynikać m ogą jedynie z szum ów lub zakłóceń. A by usunąć takie przypadkow e zm iany am plitudy stosuje się ogranicznik am plitudy, dołączony d o wyjścia filtru pasm ow oprzepustow ego m odelu o d b io rn ik a z rys. 5.8, który obcinając falę m o d u lo w an ą z wyjścia filtru czyni j ą sym etryczną względem osi zera am plitudy. Integralną część ogranicznika stanow i następny filtr pasm ow y, który zao k rąg la falę p ro sto k ątn ą pow stałą p o obcięciu, tłum iąc tym sam ym harm oniczne częstotliwości nośnej. T ak więc wyjście filtru ponow nie przybiera p o stać sinusoidy, której am p litu d a praktycznie nie zależy od am plitudy fali nośnej n a wejściu odbiornika. D yskrym inator w m odelu o d b io rn ik a z rys. 5.8 składa się z dw u części: 1. Członu różniczkującego o liniow ym zboczu i czysto urojonej transm itancji liniow o zmiennej z częstotliwością. W ytw arza o n falę m odulow aną hybrydow o, której zaró w n o am p litu d a jak i częstotliwość zm ieniają się w tak t sygnału inform acyjnego. 2 D etek to ra obw iedni, k tó ry daje n a wyjściu przebieg o zm iennej am plitudzie, odtw arzając w ten sposób sygnał informacyjny. Człon ze zboczem liniowym i d etek to r obw iedni zazwyczaj zaprojektow ane są ja k o integralne części pojedynczego u k ład u fizycznego. Filtr podetekcyjny, oznaczony ja k o „dolnoprzepustow y filtr p asm a podstaw ow ego” m a pasm o dostateczne d o przesyłania najwyższych składow ych częstotliwości sygnału inform acyj­ nego. F iltr ten usuw a pozapasm ow e składow e szum u z wyjścia d y sk ry m in ato ra i zapew nia w ten sposób m inim alny poziom szum u n a wyjściu. F iltrow any szum n(t) n a wyjściu filtru środkow oprzepustow ego z rys. 5.8 definiowany jest przez rozwinięcie n a składow ą synfazow ą i k w ad ratu ro w ą w postaci: n(t) = nI(t)c o s(2 n fct ) - n Q(t)sm (2 n fct) R ów now ażna definicja polega n a w yrażeniu n(t) z pom ocą obw iedni i fazy za pom ocą wzoru: n(t) = r(r)co s[2 ic/cf + 1p(tj]

(5.31)

przy czym obw iednia wynosi: r(t) = [n J(0 + Hfi(t):]I/2

(5.32)

faza natom iast w yraża się zależnością: \{/(t) = arctg

(5.33)

O bw iednia r(i) (zobacz p u n k t 4.14) m a rozkład Rayleigha, n ato m iast faza i//(t)jest rów nom iernie rozłożona w przedziale 2 n. N adchodzący sygnał F M zdefiniow any jest wzorem: s(f) = Accos 2 n f t + 2 n k f J m (i)di

(5.34)

gdzie A c— am p litu d a fali nośnej,f .— częstotliwość nośna, kf — czułość częstotliw ościow a, a m(r) — sygnał inform acyjny. Z auw ażm y też, że ja k w przypadku standardow ej m odulacji A M , przy m odulacji F M nie m a potrzeby w prow adzania czynników skalujących d o definicji sygnału

5.6. S Z U M Y O D B I O R N I K Ó W F M

325

m odulow anego s ( t \ poniew aż m o żn a przyjąć, że am plituda A c m a te sam e jed n o stk i co addytyw na sk ładow a szum ow a n(t). A by kontynuow ać, napiszemy: t

0 ( 0 = 2 n k f $ m (t)dt 0

(5.35)

M ożem y zatem w yrazić s(t) w pro sty sposób: s(r) = A ccos [2 K fct + 0 ( 0 ]

(5.36)

Z aszum iony sygnał n a wejściu filtru pasm ow oprzepustow ego wyniesie zatem : x(r) = s(t)+ n (t) = A cc o s [ 2 n fct + 0 ( 0 ] + r ( 0 c o s [ 2 n / Ci + 0 ( O ]

(5.37)

Pouczająco będzie przedstaw ić x(i) w postaci w ykresu w skazow ego z rys. 5.9. N a wykresie tym um ieszczono człon sygnałow y w roli sygnału odniesienia. F aza 0 (0 w ypadkow ego w skazu reprezentującego x (0 m oże być w yznaczona bezpośrednio z rys. 5.9 w postaci:

n,, ^ f Kt)sin[0(i)— 0(f) } 0(i) = 0 ( 0 + arc tg <----------------------- — -— >

(5 381

S U c+ r ( O c o s [ 0 ( O - 0 ( O ] J O bw iednia x(t) nie jest d la nas istotna, gdyż jakiekolw iek zm iany obw iedni n a wyjściu pasm ow oprzepustow ym obcinane są przez ogranicznik am plitudy. Chcielibyśm y teraz zająć się wyznaczeniem błędu spow odow anego przez obecność filtrow anego szum u n(i) i objaw iającego się odchyłką częstotliwości chwilowej fali nośnej. Z akładając idealny dyskrym inator m am y wyjście pro p o rcjo n aln e d o & (t)/2n przy czym ^ (i) jest pochodną 0(t) względem czasu. B iorąc pod uwagę złożoność w yrażenia definiującego 9(t) m usim y w szakże poczynić pew ne upraszczające przybliżenia, a b y nasza analiza m ogła dostarczyć pożytecznych wyników. Założym y, że stosunek nośnej d o szum u m ierzony n a wejściu dyskrym inatora jest duży w stosunku d o jedności. N iech R oznacza zm ienną losow ą otrzym aną przez obserw ację (w pewnym ustalonym czasie) procesu obw iedni z funkcją p ró b y r(i) w ynikłą z szum u n(r). T eraz przynajm niej przez w iększą część czasu zm ienna losow a K jest m ała w p o rów naniu d o am plitudy nośnej A c i przez to w yrażenie n a fazę 0(t) upraszcza się znacznie, a mianowicie: 0(r) - 0 ( 0 + - ^ - s in [ 0 ( 0 - 0 ( 0 ]

(5.39)

lub inaczej, za p o m o cą w yrażenia 0 ( 0 danego rów naniem (5.35): * r(t) 0(0 ^ 2TC f m (0d r + — - sin[0 (0O A c

0(r)]

(5.40)

Wyjście d y sk ry m in ato ra wyniesie zatem: u(i) = ^ " ~ £ - * kf m (t)+ n4(t)

(5.41)

gdzie człon szum ow y nd(t) zdefiniowany jest jako: nd(0 =

M O sin [0(0 -

0(0]}

(5.42)

W idzim y więc, że jeśli zapew niono duży stosunek nośnej do szum u, to wyjście dyskrym inatora o(t) sk ład a się z oryginalnego sygnału inform acyjnego lu b fali m odulującej m(t) pom nożonego

326

5 . S Z U M W UKŁADACH M O D U L A C JI Z FALĄ CIĄGŁĄ

Rys. 5.9. W ykres w skazow y fali F M z szum em w ąskopasm ow ym w p rzy p ad k u dużego sto su n k u fali nośnej d o szum u

przez stały czynnik kf i d o d an eg o d o składow ej szum owej nd(t). M oglibyśm y teraz zastosow ać poprzednio definiow any stosunek sygnału d o szum u na wyjściu w celu oceny jakości odbiornika F M . Z anim to jed n ak w ykonam y, p o staram y się uprościć w yrażenie definiujące nd(t). J a k w ynika z w ykresu w skazow ego, pokazanego n a rys. 5.9, efekt zm ienności fazy \J/(t) szum u w ysokopasm ow ego pojaw ia się w odniesieniu d o składow ej sygnału
nd(t) - ^ ^ - ^ - { r ( i ) s in ['A(0]}

(5.43)

W takim przypadku jed n ak , n a podstaw ie ró w n ań definiujących r(t) i i(/(t) stw ierdzam y, że składow a k w ad ratu ro w a nQ(t) odfiltrow anego szum u n(t) wynosi: nQ(t) = KO sin O ( i) ]

(5.44)

M ożem y więc przepisać rów nanie (5.43) w postaci: %

1 . ' ^

2

dnQ(t)

i^ S r

(5.45)

O znacza to, że szum addytyw ny nd(t) pojawiający się na wyjściu dyskrym inatora określony jest efektywnie przez amplitudę nośnej A c i składową kwadraturową nQ(t) wąskopasmowego szumu n(t). W yjściowy stosunek sygnału d o szum u zdefiniow any jest ja k o stosunek średniej m ocy sygnału d o średniej m ocy szum u n a wyjściu. Składow a inform acyjna n a wyjściu dyskrym inatora, a zatem i wyjście filtru dolnoprzepustow ego w ynosi kf m(t) zgodnie z rów naniem (5.41). Stąd wynika, że średnia m oc sygnału n a wyjściu rów na się k jP , gdzie P jest śerdnią m ocą sygnału informacyjnego. D la w yznaczenia średniej m ocy szum u n a wyjściu zanotujm y, że szum nd(t) n a wyjściu dyskrym inatora jest proporcjonalny d o pochodnej czasowej składow ej kw adraturow ej szum u nQ(t). Poniew aż zróżniczkow anie funkcji względem czasu o d p o w iad a pom nożeniu jej transfor­ m aty F o u riera przez j2rc f więc logicznie w ynika z tego m ożliwość otrzym ania procesu szum ow ego nd(i) w w yniku przepuszczania nQ(t) przez filtr liniow y o transm itancji równej:

327

5.6. S Z U M Y O D B I O R N I K Ó W F M

O znacza to, ż e gęstość w idm ow a m ocy SNi( f ) szum u nd(t) pozostaje w następującej relacji do gęstości w idm ow ej m ocy S Nq{ / ) k w adraturow ej składow ej n Jt): (5.46) Jeśli filtr pasm ow oprzepustow y w m odelu o d b io rn ik a z rys. 5.8 m a idealną charakterys­ tykę częstotliw ościową opisaną pasm em B T i środkow ą częstotliwością / „ to p o d o b n y kształt charakterystyki gęstości widmowej m ocy będzie m ieć w ąskopasm ow y szum n(t). T o z kolei oznacza, że k w ad ratu ro w a składow a nQ(t) w ąskopasm ow ego szum u n(r) będzie m ieć idealną charakterystykę dolnoprzepustow ą przedstaw ioną na rys. 5.10a. O dpow iadająca tem u gęstość w idm ow a m ocy szum u nd(t) p o k azan a jest n a rys. 5.1 Ob; a więc:

2 w pozostałych przypadkach

(5.47)

W m odelu o d b io rn ik a z rys. 5.8 wyjście d y sk ry m in ato ra dołączone jest d o filtru dolnoprzepustow ego o paśm ie rów nym pasm u inform acyjnem u W. D la szerokopasm ow ej m odulacji F M zazwyczaj okazuje się, że W jest m niejsze o d B T/2, przy czym B T jest pasm em transm isji sygnału F M . O znacza to, że składow e szum u nd(t) pozostające poza pasm em zostaną wyeliminowane. Stąd gęstość m ocy w idm ow ej S No( f ) szum u n0(t) pojaw iającego się na wyjściu odbiornika zdefiniowana jest jako: \/H W (5.48) w pozostałych przypadkach co pok azan o n a rys. 5.10c. Średnia m oc szum u na wyjściu w yznaczona jest przez scałkow anie gęstości widm owej m ocy S No( f ) o d — W d o W O trzym ujem y w ten sposób wynik: , . /V w 2 N 1F3 Średnia m oc szum u n a wyjściu = — J f 2d f = — ^ — ¿ c -W

(5 49 )

Z anotujm y, że średnia m oc szum u n a wyjściu jest odw rotnie proporcjonalna d o średniej m ocy fali nośnej A 2J 2 . K onsekw encją tego jest fakt, że w system ach F M w zrost m ocy fali nośnej prow adzi d o zjawiska obniżenia szumów. P oprzednio wyznaczyliśm y średnią m oc sygnału n a wyjściu ja k o k}P . T eraz pod w arunkiem , że stosunek nośnej d o szum u jest znaczny, m ożem y podzielić średnią m oc sygnału na wyjściu przez średnią m oc szum u n a wyjściu z rów nania (5.49), aby otrzym ać stosunek sygnału do o rn u n i 1 • szumu:

iSNRt 3^ ^ P3 (SNR)aFM - —

(5.50)

Średnia m oc w m odulow anym sygnale s(r) w ynosi , .12c/. , aioulim nu*.- « u m u w paśm ie inform acyjnym rów na jest W N 0. T a k więc stosunek sygnału d o szum u w kanale wymesie:

(s n ri-

-

iś :

(«D

5. S Z U M W U K Ł A D A C H M O D U L A C J I Z F A L Ą C I Ą G Ł Ą

328

2

2

SN j f )

LM

-w

w

f

Rys. 5.10 A naliza szum ow a o d b io rn ik a F M : a) w idm ow a gęstość m ocy składow ej k w ad ratu ro w ej nQ(i) w ąskopasm ow ego szum u «(i), b) w idm ow a gęstość m ocy szum u /id(t) n a wyjściu dyskrym inatora, c) w idm ow a gęstość m ocy szum u n„(t) n a wyjściu o d b io rn ik a

D zieląc stosunek sygnału d o szum u n a wyjściu przez stosunek sygnału d o szum u w kanale otrzym ujem y następujący w spółczynnik popraw y stosunku sygnał-szum d la m odulacji częstot­ liwości: (SNR)0

3 k}P

(SNR)C FM

~W r

(5.52)

W punkcie 3.10 stwierdziliśmy, że dew iacja częstotliwości A /je s t p ro p o rcjo n aln a d o czułości częstotliwościowej k f m o d u lato ra. Z definicji w ynika również, że w spółczynnik dewiacji D rów ny jest dewiacji częstotliwości A / podzielonej przez pasm o inform acyjne W. Innym i słowy, w spółczynnik dewiacji D jest proporcjonalny d o sto su n k u k f P l,1/W. N astępnie z ró w n an ia (5.52) w ynika, że w spółczynnik popraw y stosunku sygnał-szum szerokopas­ m owego system u F M jest k w ad rato w ą funkcją w spółczynnika dewiacji. Z kolei zaś pasm o transm isji B T szerokopasm ow ej F M w przybliżeniu jest proporcjonalne d o w spółczynnika dewiacji D. M ożem y zatem stwierdzić, że jeśli stosunek nośnej do szumu jest znaczny, to wzrost pasma transmisji B T powoduje odpowiednio kwadratowy przyrost stosunku sygnału do szum u na wyjściu i kw adratow y przyrost współczynnika poprawy stosunku sygnał-szum system u F M . M ożna

5.6. S Z U M Y O D B I O R N I K Ó W F M

329

więc o d n o to w ać w ażny w niosek, w ynikający z tego stwierdzenia, że w przeciwieństwie do m odulacji am plitudy, m odulacja częstotliwości stanow i efektywny m echanizm d la wym iany pow iększonego p asm a transm isji n a polepszenie właściwości szum ow ych systemu. Przykład 3

M odulacja tonem pojedynczym

Rozw ażm y przypadek sygnału m odulującego w postaci sinusoidalnej fali o częstotliwości f m i przyjm ijm y, że w arto ść szczytow a dewiacji wynosi A f Z m odulow any sygnał F M zdefiniowany jest więc jako: , + Y ~ sin(2n f mt) s(t) = = Ą ccos o s j^ 2 tc n £f ct M ożem y zatem napisać: r A/ 2 n k f J m (t)df = —— sin(27t f mt) o Jm Różniczkując stronam i względem czasu i w yznaczając m(f) mamy: Af m(t) = — cos(2n f mt) Kf W ynika stąd, że średnia m oc nadaw anego sygnału inform acyjnego m (t) w ydzielona n a oporze o w artości 1 om dołączonym d o wyjścia ró w na jest: P =

( A /) 2 2k2

P odstaw iając ten wynik d o w zoru (5.50) podającego stosunek sygnału do szum u n a wyjściu dostaje się: (SN R) = 3 A ‘ {A f)2 = ł * Ł ( Jo.™ ą N ()W ^ ĄN qW gdzie fi = A J/fF stan o w i w skaźnik m odulacji. B iorąc rów nanie (5.52) d la oceny odpow iadającego tym w aru n k o m w spółczynnika popraw y sto su n k u sygnał-szum dostaje się: (SNR)0 (SNR).

3 (A fY ™

2

2

3 =

2

(5-53)

W ażne jest ab y podkreślić, że w skaźnik m odulacji fl = A f / W określony jest przez pasm o W filtru dołączonego d o w yjścia d etek to ra, nie m a natom iast w zasadzie zw iązku z częstotliwością m odulującą / m, ch o ć sam filtr projektow any jest tak, aby przeniósł całe w idm o danego sygnału inform acyjnego. Jeśli określim y pasm o system u ja k o W, to sinusoidalny sygnał inform acyjny 0 częstotliwości f m będzie cechow ać się tym sam ym wyjściowym stosunkiem sygnału d o szum u niezależnie o d położenia częstotliwości f m w paśm ie pom iędzy 0 a W Szczególne zainteresow anie budzi porów nanie właściwości szum ow ych system ów AM 1 F M . M o ż n a ocenić je w poglądow y sposób przez porów nanie w spółczynników popraw y stosunku sygnał-szum o b u system ów w p rzy p ad k u sinusoidalnego sygnału m odulującego. Przy głębokości m odulacji rów nej 100 procent w systemie A M z m odulacją tonem pojedynczym , na podstaw ie p rzy k ład u 1 mamy: (SN R )0 (SN R )C AM

3

330

5. S Z U M W U K Ł A D A C H M O D U L A C J I Z F A L Ą C I Ą G Ł Ą

P orów nując ten wynik z podobnym , otrzym anym w rów naniu (5.53) dla w spółczynnika popraw y stosunku sygnał-szum w systemie F M widzimy, że polepszenie właściwości szum owych m odulacji częstotliwości w p o ró w n an iu d o m odulacji am plitudy m oże m ieć miejsce wtedy, gdy: 3 czyli

P

>

3

=

0 ,4 7 1

M ożem y zatem określić mniej więcej (i = 0,5 ja k o granicę przejścia o d w ąskopasm ow ej F M do szerokopasm ow ej F M . Stwierdzenie to, o p a rte na rozw ażaniach szum ow ych stanow i dodatkow e potw ierdzenie podobnych w niosków poczynionych w punkcie 3.10 przy rozw ażaniu pasm a fal FM .

Efekt chw ytania Inherentną właściwością system ów F M jest m inim alizacja wpływu sygnałów niepożądanych (np. szumu, zgodnie z wcześniej przeprow adzoną dyskusją), odnosząca się także d o zakłóceń w ytw arzanych przez inny sygnał zm odulow any częstotliwościowo, którego składow e w idm a leżą w pobliżu częstotliwości nośnej pożądanej fali F M . Jednakże tłum ienie zakłóceń w odbiorniku F M zachodzi popraw nie jedynie w przypadku, gdy interferencja jest słabsza niż pożąd an y sygnał wejściowy F M . G d y interferencja zaczyna być silniejszą z dw u składow ych, odbiornik synchronizuje się względem silniejszego sygnału i w ten sposób w ytłum ia pożądane wejście F M . G dy o b a sygnały są mniej więcej jednakow ej mocy, odbiornik synchronizuje się kolejno raz z jednym , a raz z drugim sygnałem . Zjaw isko to znane jest ja k o efekt chwytania i stanow i dalszą charakterystyczną cechę m odulacji częstotliwości.

Efekt progow y FM Sform ułowanie relacji (5.50) definiującej stosunek sygnału do szum u w odbiorniku F M ważne jest jedynie w przypadku stosunku nośnej d o szum u znacznie większego o d jedności, a otrzym yw ane­ go z pom iaru wielkości n a wejściu dyskrym inatora. Eksperym entalnie m ożna stwierdzić, że w m iarę gdy szum n a wejściu o d b io rn ik a p rzyrasta pogarszając stosunek nośnej d o szum u, to w pewnej chwili następuje załamanie się pracy o d b io rn ik a F M . Pierwsze objaw y tego zjaw iska to pojedyncze trzaski słyszane n a wyjściu odbiornika, przy dalszym zaś pogarszaniu stosunku nośnej d o szum u, pojedyncze trzaski nagle zlewają się w jed en świszczący dźwięk. W pobliżu punktu załam ania rów nanie (5.50) przestaje obow iązyw ać, gdyż daje wyższe w stosunku do rzeczywistych w artości sto su n k u sygnału d o szum u na wyjściu. Zjaw isko to znane jest ja k o efekt progowy3) F M . P ró g zatem zdefiniowany jest ja k o m inim alna w artość stosunku nośnej d o szum u, przy której efekt pracy F M nie jest jeszcze znacząco pogorszony w p o rów naniu z w artościam i przewidyw anym i przez w zory obow iązujące d la sto su n k u sygnał-szum dla szum u o m ałym poziom ie mocy. R ozpocznijm y jakościow y opis efektu progow ego F M o d przypadku, gdy sygnał jest nieobecny, w zw iązku z czym nośna nie jest zm odulow ana. W tedy łączny sygnał na wejściu dyskrym inatora daje się zapisać w postaci: .x(r) = [ Ą + ni (t)]cos(2Tt/ct ) - n c(r)sin(27r/cr)

(5.5 4)

gdzie n f t ) i nQ(t) oznaczają odpow iednio synfazow ą i kw adraturow ą składow ą w ąskopasm ow ego szum u n(t), w sto su n k u d o fali nośnej. Relacje fazowe pom iędzy poszczególnym i składow ym i x(r) z rów nania (5.54) ujm uje wykres w skazow y z rys. 5.11. P rzypadkow e zm iany am plitudy i fazy

5.6. S Z U M Y O D B I O R N I K Ó W F M

331

Rys. 5.11

W ykres w skazow y d la reprezentacji ró w n an ia (5.54)

składow ych nr (i) i nQ(t) pow odują ru ch w czasie p u n k tu P , (czyli k o ń ca w skazu opisującego x(r)) d ookoła p u n k tu P 2 (czyli k o ń ca w skazu reprezentującego nośną). D la dużych stosunków fali nośnej d o szum u składow e tij(t) i nQ(t) są znacznie mniejsze od am plitudy fali nośnej A c przez co wędrujący p u n k t P , z rys. 5.11 znajduje się przez większość czasu w okolicy p u n k tu P 2. W ten sposób k ą t 0(i) osiąga w przybliżeniu w artość nQ(t)/Ac z dokładnością d o w ielokrotności 2n. Z drugiej strony, gdy stosunek nośnej d o szum u jest niski, w ędrujący p u n k t P x o d czasu d o czasu zakreśla trajektorię w pobliżu p o czątk u układu, przez co k ą t 8(t) zwiększa się lub zm niejsza o 2n. N a rysunku 5.12 p o k azan o z grubsza, ja k zm iany 6(t) zaznaczone n a rys. 5.12a w ytw arzają im pulsopodobne składow e w dziedzinie ^(f) = dO/dt. Wyjście dyskrym inatora v(t) rów ne jest przy tym & (t)/2iz. W ym ienione składow e im pulsow e m ają różne w ysokości zależne od tego, jakie będzie zbliżenie w ędrującego p u n k tu P x względem p o czątk u układu 0, jednakże pole wszystkich tych im pulsów ró w n a się w przybliżeniu ± 2 n radianów , co ilustruje rys. 5.12b. G d y sygnał pokazany n a rys. 5.12b przejdzie przez podetekcyjny filtr dolnoprzepustow y, to n a wyjściu o d b io rn ik a pojaw ią się odpow iednio poszerzone im pulsopodobne składow e, k tó re słychać ja k o trzaski odbiornika. T rzaski pow stają tylko w tedy, gdy faza 0(r) zm ienia się o ± 2 n radianów . N a podstaw ie w ykresu w skazow ego z rys. 5.11 m ożem y odtw orzyć w arunki niezbędne przy pow staw aniu trzasków . Kliknięcie o d b io rn ik a następuje w d o d atn ią stronę, gdy obw iednia r(t) i faza \j/(t) w ąskopasm ow ego szum u n(i) spełniają następujące warunki: r(t) > A c ij/(t) < t t < ij/(t)+dif/(t) # (* ) >0 dr W arunki tak ie oznaczają zm ianę fazy 6(t) o 2% w elem entarnym czasie dt, w k tó ry m faza szum u w ąskopasm ow ego w zrasta o elem entarną w artość dif/(t). P odobnie, kliknięcie odbiornika następuje w ujem ną stronę przy spełnieniu w arunków : r(t) > A c t¡/(t) > — n > dij/ dt

<0

W arunki te oznaczają, że faza 9(t) zm ienia się o —2n rad ian ó w w elem entarnym czasie dt. Stosunek nośna-szum zdefiniowany jest zatem w postaci: Ac P =

2B tN q

(5.55)

G d y p w zrasta, zw iększa się rów nież średnia liczba kliknięć n a jed n o stk ę czasu. Jeśli liczba ta staje się znacząco d u ż a m ów im y o w ystąpieniu efektu progow ego. S tosunek sygnału do szum u n a wyjściu oblicza się ja k następuje: 1. Z a sygnał wyjściowy uw aża się wyjście o d b io rn ik a pom ierzone w w arunkach nieobecności szum u. Ś rednia m o c sygnału n a wyjściu obliczana jest przy założeniu m odulacji sinusoidalnej

5. S Z U M W U K Ł A D A C H M O D U L A C J I Z F A L Ą C I Ą G Ł Ą

Rys. 5.12. Ilustracja impulsopodobnych składowych w ff(t) = d9(t)/dt wytworzonych przez skoki fazy kąta 6(t) o 2n; a) i b) są wykresami odpowiednio 6(t) i 9'(t) wytw arzającej dew iację częstotliwości A/ rów ną B T/2, tak ab y fala nośna doznaw ała zm ian w pełnym zakresie wejściowego p asm a częstotliwości. 2. Średnia m oc szum u n a wyjściu obliczana jest w w arunkach nieobecności sygnału; oznacza to brak m odulacji fali nośnej i jednocześnie b rak ograniczeń nałożonych n a w artość stosunku p nośnej d o szumu. N a tej podstaw ie, teoria4) pozw ala n a w yznaczenie krzywej I z rys. 5.13 reprezentującej wykres wyjściowego sto su n k u sygnału d o szum u w funkcji stosunku nośnej d o szum u w przypadku, gdy stosunek B T/2 W rów ny jest 5. K rzyw a ta ujaw nia, że stosunek sygnału d o szum u odbiega znacz­ nie od funkcji liniowej w przypadku, gdy stosunek p nośnej d o szum u obniża się d o poziom u mniejszego od 10 dB. K rzyw a II z rys. 5.13 pokazuje wpływ m odulacji na stosunek sygnału do szum u n a wyjściu przy jednoczesnej obecności szum u i sygnału m odulującego (który z założenia jest sinusoidalny). Ś rednia m o c sygnału n a wyjściu w łaściw a d la krzywej II m oże być efektywnie uznana za identyczną ja k d la krzywej I. Średnia m o c szum u n a wyjściu jest jednakże silnie zależna od obecności sygnału m odulującego, co pow oduje zauw ażalną różnicę w przebiegu krzywej I i II. W szczególności gdy p zm niejsza się o d nieskończoności, to wyjściowy stosunek sygnału do szum u odbiega o d liniow ego c h ara k te ru względem p o ile p wynosi oko ło 11 dB. Efektyw na liczba kliknięć w ciągu sekundy zw iększa się, gdy w obecności sygnału następuje m odulacja nośnej. Eksperym entalnie stw ierdza się, że pojedyncze kliknięcia słyszalne są n a wyjściu o d b io rn ik a przy stosunk u nośnej d o szum u rów nym o k o ło 13 dB, co w y p ad a jedynie nieco powyżej poziom u przew idyw anego przez teorię. W y p ad a też zanotow ać, że zwiększenie liczby kliknięć n a sekundę przy obecności m odulacji pow oduje nieco ostrzejszy spadek wyjściowego sto su n k u sygnału do szum u p o d sam ym poziom em progow ym .

5.6. S Z U M Y O D B I O R N I K Ó W F M

333

m *0 o

ST Z (f ) O) o

3

E 3

N to O T3 nj c o> >» < /) (D c 3 0

"35

1 O

■MMI

'to • «Mk 5

4

6

8

10

12

14

16

S tosunek nośnej do szum u 10 logio p , d B Rys. 5.13. Z ależność wyjściowego sto su n k u sygnału d o szum u od sto su n k u nośnej d o szum u na wejściu. W p rzy p ad k u krzywej I, średnia m oc szum u na wyjściu obliczona je st przy założeniu b ra k u m odulacji fali nośnej. W p rzy p ad k u krzyw ej II średnia wyjściowa m oc szum u o bliczona je st d la nośnej zm odulow anej przez sygnał w form ie sinusoidy. O bydw ie krzywe I i II o trzy m an o n a podstaw ie wyliczeń teoretycznych

Z przeprow adzonej dyskusji w ynika, że w praktycznych przypadkach m ożna uniknąć zjawisk progow ych w odbiornikach F M , jeśli stosunek nośnej d o szum u p jest rów ny lub większy od 20 co o d p o w ia d a 13 dB. N a podstaw ie ró w n an ia (5.55) znajdujem y więc, że u tra ta sygnału inform acyjnego n a wyjściu dyskrym inatora jest zaniedbyw ana jeśli:

3 3 4 ___________________________

5. S Z U M W U K Ł A D A C H M O D U L A C J I Z F A L Ą C I Ą G Ł Ą

Al 2B t N 0

3*20

lub jeśli średnia m o c przesyłana A l ¡2 spełnia w arunek: A2 ~ > 20B t N 0

(5.56)

Przy w ykorzystaniu tego w zoru postępujem y w następujący sposób: 1. D la zadanego w skaźnika m odulacji fi i pasm a inform acyjnego IF wyznaczym y reguły C arso n a lub za pośrednictw em krzywej uniwersalnej z rys. 3.36 pasm o B T fali F M . 2. D la zadanej średniej m ocy szum u N 0 przypadającej n a jed n o stk ę pasm a, stosujen (5.56) aby określić m inim alną w artość średniej przesyłanej m ocy A l/2 , k tó ra niezfy uzyskania pracy ponadproeow ej.

Redukcja progu FM D la niektórych zastosow ań m odulacji częstotliwości, w tym dla kom unikacji satelitarnej, jesteśm y zainteresow ani obniżeniem progu szum ow ego o d b io rn ik a F M tak, aby odbiornik spełniał wym ogi pracy przy m inim alnym poziom ie m ocy sygnału. O bniżenie p ro g u m oże być uzyskane przez zastosow anie w o d b io rn ik u F M d em odulatora z ujem nym sprzężeniem zw rotnym 51 (zwyczajowo określanego m ianem demodulatora F M F B ) lub przez zastosow anie demodulatora z pętląfazow ą. Idea takiej grupy układów zw anych demodulatorami z rozszerzonym progiem przedstaw iona została n a rys. 5.14. Rozszerzenie p ro g u przedstaw ione n a tym rysunku, m ierzone jest w p o ró w n an iu ze standardow ym dyskrym inatorem częstotliwości (bez sprzężenia zwrotnego).

poszerzony

Rys. 5.14. Poszerzenie p ro g u F M

do szumu, dB

5.6. S Z U M Y O D B I O R N I K Ó W F M

Fala FM

335

Filtr pasmowo przepustowy

Ogranicznik i dyskryminator

Filtr dolnoprzepustowy pasma podstawoweg

Sygnał wyjściowy

3

Generator sterowany napięciem

Rys. 5.15. Demodulator FM FB

Schem at blokow y d em o d u lato ra F M F B 6) zam ieszczono n a rys. 5.15. W idzim y, że lokalny oscylator konw encjonalnej wersji o d b io rn ik a F M zastąpiony został przez generator sterow any napięciem (VCO), k tó reg o chw ilow a częstotliwość regulow ana jest przez sygnał dem odulow any. W celu zrozum ienia zasad y funkcjonow ania tego o d b io rn ik a w yobraźm y sobie przez chwilę, że odłączyliśm y V C O od o b w odu przez otw arcie pętli sprzężenia Załóżm y, że na wejście o d b io rn ik a przyłożono szerokopasm ow y sygnał F M , podczas gdy d o drugiego wejścia mieszacza dochodzi sygnał z V C O sterow anego tym sam ym sygnałem, lecz o nieco mniejszym indeksie m o d u la c ji W yjście m ieszacza stanow i różnicow a składow a częstotliw ości poniew aż składow a sum acyjna usuw ana jest przez filtr pasm ow y. M o żn a podejrzew ać, że dew iacja na wyjściu m ieszacza będzie niewielka, gdyż w ynika o n a z różnicy d w u dewiacji obu fal F M dochodzących d o mieszacza, których w artości chw ilow o choć duże, są praw ie jednakow e. W zw iązku z tym o b a w spółczynniki m odulacji odejm ą się d o siebie i w ypadkow a fala F M na wyjściu m ieszacza będzie m iała w spółczynnik m odulacji o znacznie mniejszej wartości. T a k a fala F M o zm niejszonym indeksie m odulacji m oże zostać przesłana przez filtr pasm ow y o szerokości pasm a stanow iącej zaledw ie ułam ek tej, k tó rą stosuje się w szerokopasm ow ych system ach F M , a potem jest zm odulow ana. Staje się teraz jasne, że drugi szerokopasm ow y sygnał F M podłączony d o m ieszacza m oże być otrzy m any przez sprzężenia zw rotne wyjścia dyskrym in ato ra częstotliwości z wejściem generatora V CO . P okażem y teraz, że jeśli stosunek nośnej d o szum u jest odpow iednio duży, to stosunek sygnału d o szum u w o d b io rn ik u F M F B jest tak i sam ja k w konw encjonalnym odbiorniku F M o takim sam ym sygnale n a wejściu i takiej samej m ocy szum ów . Przyjm ijm y chw ilow o, że nie m a żadnego sprzężenia zw rotnego w dem odulatorze. G d y n a wejściu ogranicznika-dyskrym inatora występuje łącznie niem odulow ana fala nośna A ccos(2nfct) i w ąskopasm ow y szum n(t): n(t) = n,(t)cos(2Kfct) - nQ(t)sin(27i/cr) faza całego sygnału x(t) n a wejściu ogranicznika-dyskrym inatora w ynosi w przybliżeniu nQ(t)/Ac o ile stosunek nośnej d o szu m u jest znaczny. O biednia x(t) nie m a d la n as specjalnego znaczenia, skoro ogranicznik usuw a wszystkie w ah ania obwiedni. T a k więc cały sygnał n a wejściu dyskrym in ato ra częstotliwości składa się z fali o m ałym indeksie m odulacji fazy spow odow anym przez składow ą nQ{t) szum u będącą w k w ad ratu rze fazy względem nośnej. P o przyłożeniu sprzężenia zw rotnego, V C O generuje sygnał zm odulow any częstotliwościowo, który zm niejsza indeks m odulacji fazy, a w zw iązku z tym i k w ad ratu ro w ą składow ą nQ(t) szum ów n a wyjściu filtru pasm ow oprzepustow ego. W idzim y więc, że d o p ó k i stosunek nośnej d o szum u jest odpow iednio duży, o dbiornik F M F B nie jest czuły n a synfazow ą składow ą nt{t), podczas gdy dem odulow ałby o n kw adraturow ą sk ładow ą n ^ t) dokładnie w tak i sam sposób, w jak i byłby

dem odulow any użyteczny sygnał zm odulow any. Poniew aż sygnał i szum kw adraturow y redukow ane są w podobnym stopniu przez przyłożenia sprzężenia zw rotnego, więc stosunek sygnału d o szum u w paśm ie podstaw ow ym nie zależy od sprzężenia zw rotnego. D la dużych stosunków nośnej d o szum u stosunek sygnału d o szum u w paśm ie podstaw ow ym o d b io rn ik a F M F B jest więc taki sam ja k d la konw encjonalnego o d b io rn ik a FM . Przyczyna, dzięki której o dbiornik F M F B jest w stanie poszerzyć próg, polega na tym, że w odróżnieniu o d konw encjonalnego o d b io rn ik a F M , w ykorzystuje o n w ażną inform ację daną a priori. C hodzi m ianow icie o to, że choć częstotliwość nośna odbieranej fali F M m a zazwyczaj d u żą dewiację częstotliwości, to zm iany tej dewiacji odbyw ają się z prędkością określoną przez pasm o podstaw ow e. D em o d u lato r F M F B jest w zasadzie filtrem śledzącym, jedynie d la w olnozm iennych składow ych szerokopasm ow ego sygnału F M i w zw iązku z tym jego odpow iedź zaw iera jedynie w ąskie pasm o szum u skupione d o o k o ła chwilowej częstotliwości nośnej. P asm o szum u, n a k tó re reaguje odbiornik F M F B , rów ne jest dokładnie pasm u szum u śledzonem u przez V CO . W końcow ym w yniku oznacza to zdolność o d b io rn ik a F M F B do realizacji poszerzenia progu o o k o ło 5 -7 dB, co stanow i ważne ulepszenie przy projektow aniu system ów F M o m inim alnej mocy. P o dobnie d o d em o d u lato ra F M F B , pętla fazow a (opisana w rozdziale 3) stanow i także filtr typu śledzącego i w zw iązku z tym reaguje na pasm o szum ów dokładnie rów ne pasm u szum ów śledzonem u przez V C O . P otw ierdza się w praktyce, że dem odulatory z pętlą fazow ą7’ zapew niają zdolność „rozszerzania” progu za pom ocą stosow nie prostych obw odów . N iestety wielkość „rozszerzenia” progu nie jest przew idyw alna przez żad n ą z istniejących teorii i zależy od param etrów sygnału. W yniki osiągane w typow ych zastosow aniach nie są tak d o b re ja k dla dem odulatorów F M F B i zaw ierają się, z grubsza biorąc, w zakresie kilku (rzędu 2 d o 3) decybeli.

5 .7 .

Preemfaza i deemfaza FM

W punkcie 5.6 stwierdziliśmy, że w idm o gęstości m ocy szum u n a wyjściu odbiornika F M wykazuje k w ad rato w ą zależność względem częstotliwości pracy; fakt ten ilustruje rys. 5.16a. W idm o gęstości m ocy typow ego źró d ła inform acji p o k azan o n a rys. 5.16b; sygnały au d io i wideo zazwyczaj w ykazują p o d o b n y kształt widma. W szczególności stw ierdzam y, że w idm o gęstości m ocy sygnału inform acyjnego typow o cechuje się zboczem opadającym d la większych częstot-

Rys. 5.16 a) W idm ow a gęstość m ocy szum u na wyjściu o d b io rn ik a F M , b) w idm ow a gęstość mocy typow ego sygnału inform acyjnego

5.7. P R E E M F A Z A 1 D E E M F A Z A F M

Filtr preemfazy

->

Nadajnik FM

337

Odbiornik FM

Filtr deemfazy

Sygnał informacyjny i szum

Rys. 5.17. Z asto so w an ie preem fazy i deem fazy w system ie F M

liwości. Z drugiej strony, w idm o gęstości m ocy szum u wyjściowego rośnie w raz ze w zrostem częstotliwości. W sum ie więc w okolicy / = + W ta gęstość w idm ow a jest względnie nieduża, podczas gdy poziom szum u n a wyjściu jest względnie wysoki. W tej sytuacji jasn e jest, że sygnał inform acyjny nie jest w stanie w ykorzystać w efektywny sposób przydzielonego m u pasm a. W ydaw ałoby się logicznym , że najprostszym sposobem popraw ienia charakterystyki szumowej byłoby ograniczenie p a sm a w filtrze dolnoprzepustow ym za detektorem , ab y stłum ić znaczną część m ocy szum u przy jedynie niewielkiej stracie m ocy sygnału inform acyjnego. Podejście takie zazwyczaj je d n a k jest nie d o przyjęcia, poniew aż zniekształcenie inform acji spow odow ane ograniczeniem p asm a filtru, aczkolw iek nieduże, m oże okazać się tru d n e d o zaakceptow ania. T ak jest np. w p rzy p ad k u m uzyki, gdyż m ożem y stwierdzić, że choć tony o wysokich częstotliwościach niosą jedynie m ały ułam ek całkow itej m ocy sygnału m uzycznego, to w noszą bardzo wiele jeśli chodzi o estetyczne w alory słuchow e utw oru. Bardziej satysfakcjonujące podejście d o efektywnego w ykoreystania przydzielonego pasm a częstotliwości o p iera się n a zastosow aniu preemfazy w n adajniku i deemfazy w odbiorniku, zgodnie ze schem atem z rys. 5.17. W m etodzie tej stosuje się sztuczne uw ypuklenie składow ych o wysokich częstotliw ościach sygnału inform acyjnego, przed m odulacją w nadajniku, a więc zanim szum y d o trą d o odbiornika. W efekcie w idm ow a gęstość m ocy składow ych sygnału inform acyjnego o niskich i w ysokich częstotliw ościach zostaje ta k w yrów nana, ab y sygnał zapełnia! całe przydzielone pasm o częstotliwości. N astępnie n a wyjściu dyskrym inatora w odbiorn ik u przeprow adzana jest operacja odw rotna, zw ana deem fazą i polegająca na takim stłum ieniu składow ych o w ysokich częstotliwościach, aby odtw orzyć oryginalny rozkład m ocy sygnału inform acyjnego. W trakcie tego procesu, wyższe składow e częstotliwości szum ów n a wyjściu d y sk ry m in ato ra ulegają stłum ieniu, efektywnie zw iększając stosunek sygnału d o szum u n a wyjściu układu. K om ercjalne system y transm isji i o d bioru radiow ego szeroko bazują n a opisanych procesach preem fazy i deemfazy. A by wyjście o d b io rn ik a odtw arzało zniekształconą wersję oryginalnego sygnału inform acyjnego, m usi zachodzić idealna o d w ro tn o ść transm itancji pom iędzy filtrem preemfazy w n adajnik u i filtrem deem fazy w odbiorniku. Jeśli więc H ^ f f ) będzie oznaczać transm itancję filtru preem fazy, w tedy transm itancja H ^ i f ) filtru deem afazy m usi w idealny (przy zaniedbaniu opóźnienia transm isji) sposób spełniać w arunek:

Hde(f) =

(5.57)

Taki w ybór transm itancji uniezależnia średnią m oc sygnału n a wyjściu o d b io rn ik a o d procesu preemfazy i deemfazy. P o p rzed n io d o k o n a n a analiza szum ów w system ach F M o w ysokim stosunku nośnej do szum u d o starcza następującego w yniku odnośnie w idm ow ej gęstości szum u n /t) n a wyjściu dyskrym inatora: 22 S ystem y te le k o m u n ik a c y jn e cz. 1

338

5. S Z U M W U K Ł A D A C H M O D U L A C J I Z F A L Ą C I Ą G Ł Ą

SNJJ) = i

l/K W "

At ’

—

2

(5.58)

w pozostałych przypadkach P o przesłaniu przez filtr deemfazy, n a jeg o wyjściu, zm odyfikow ana w idm ow a gęstość m ocy szum u d an a jest zależnością \Hde(f)\2S NJ J ). B iorąc p o d uwagę, że zwykle pasm o W filtru dolnoprzepustow ego za detektorem jest mniejsze o d B T/2, znajdujem y zm odyfikow aną średnią m oc szum u n a wyjściu o d b io rn ik a w następujący sposób: N w Ś rednia m oc szum u n a wyjściu z deem fazą = — j J f 2\H J J ) \ 2d f Ac _w

(5.59)

Poniew aż średnia m oc n a wyjściu o d b io rn ik a m a zapew nioną idealną niezależność o d procedur preemfazy i deem afazy, więc w ynika stąd następujące polepszenie stosunku sygnału d o szum u będące wynikiem użycia preem fazy w nadajniku i deemfazy w odbiorniku: j _ średnia m oc szum u n a wyjściu bez preem fazy i deem afazy średnia m oc szum u n a wyjściu z preem fazą i deem afazą Średnia m oc szum u n a wyjściu bez preem fazy i deemfazy wynosi, ja k wcześniej pokazano, (2N 0W 3/3Ac). T a k więc po uproszczeniu się w spólnych członów w spółczynnik uspraw nienia / wyrazi się jako: 2W 3

/ = -

(5.61)

3 1 m

A

/ w

-w N ależy podkreślić, że w spółczynnik ten w yprow adzono przy założeniu w ysokiego stosunku fali nośnej do szum u n a wejściu d y sk ry m in atora w odbiorniku. Przykład 4 l

Prosty, popularnie stosow any filtr preem fazy uw ypuklający wyższe częstotliwości zdefiniowany jest przez transm itancję opisaną wzorem: if tfp e (/ )= l +

/o

T a transm itancja jest ściśle realizow ana za pom ocą u k ład u w zm acniającego z filtrem R C przedstaw ionego n a rys. 5.18a, o ile R « r, o raz 2n/C r « 1 w ew nątrz interesującego nas pasm a. W zm acniacz z rys. 5.18a m a n a celu usunąć tłum ienie w prow adzone przez człon R C d la niskich częstotliwości. P a ra m e tr częstotliwościowy / 0 rów na się 1/(2nCr). K om plem entarny filtr deem fazy w odbiorniku określony jest przez transm itancję: H dc( f ) =

1

k tó ra m oże być zrealizow ana z a p o m o cą prostego układu R C z rys. 5.18b. Polepszenie wyjściowego sto su n k u sygnału d o szum u w o d b io rn ik u F M wynikłe z zastosow ania filtru preem fazy i deem fazy z rys. 5.18b wyniesie:

5.8. P O D S U M O W A N I E I D Y S K U S J A

c

a

b

Rys. 5.18 a) F iltr preemfazy b) filtr deem fazy

2W 3

W /o )3

3 [ W / 0)-a rctg (W 7 /0)]

(5.62)

-V 1 + (f/fo)2 W radiofonii F M m am y typow ą w artość f 0 = 2,1 kH z i m ożem y racjonalnie założyć pasm o W = 15 kH z. T ak i zestaw w artości zapew nia 1 = 22, co oznacza polepszenie o 13 dB wyjściowego sto su n k u sygnału d o szum u w odbiorniku. W przypadku b rak u preemfazy i deem fazy poziom sygnału w ynosi o k o ło 40-50 dB względem poziom u szum u n a wyjściu. W ynika stąd zatem , że użycie prostych filtrów preem fazy i deem fazy pokazanych n a rys. 5.18 m oże dać istotne polepszenie charakterystyki szum owej odbiornika. Użycie opisanego prostego liniowego filtru preem fazy i deemfazy stanow i przykład, ja k m ożna w ykorzystać różnice charakterystyk sygnału i szum u d o uzyskania polepszenia właściwości szum ow ych system u F M . T akie p ro ste sposoby filtracji spotyka się rów nież w technice zapisu dźw ięku n a taśm ie m agnetycznej. W szczególności pozytyw ne wyniki uzyskano w układach nagryw ania n a taśm ę m agnetyczną korzystających z nieliniowej preem fazy i deemfazy. Techniki tak ie8) (znane ja k o D olby-A , D olby-B i systemy DBX) stosują kom binację filtracji i kom presji zakresu d y nam iki celem zm niejszenia w pływ u szum ów , zwłaszcza przy niskim poziom ie sygnału.

5 .8 .

Podsum ow anie i dyskusja

P o d am y teraz ogólne w nioski z analizy szum owej system ów m odulacji C W i zaprezentujem y p o ­ rów nanie podstaw ow ych cech poszczególnych technik m odulacji. P o ró w n ań d o k o n am y przy za­ łożeniu, że m o d u lacja w ynika z przyłożenia fali sinusoidalnej. Aby osiągnąć znaczące wyniki p o ­ rów nań, m usim y założyć istnienie identycznych stosunków sygnału d o szum u w kanałach kolej­ nych porów nyw anych systemów. W ym agania dotyczące p asm a transm isji pow inny być d o łą­ czane ja k o inform acja n a tem at rozpatryw anych system ów podczas przeprow adzania porów nań. Znorm alizowane pasm o transmisji stosow ane w takich okolicznościach zdefiniow ane jest wzorem: ( 5.63 ) 22*

340

5. S Z U M W U K Ł A D A C H M O D U L A C J I Z F A L Ą C I Ą G Ł Ą

Stosunek sygnału do szumu w kanale, dB

Rys. 5.19. P o ró w n an ie ch arak tery sty k szum ow ych d la różnych system ów m odulacji o fali ciągłej (CW); K rzyw a I: pełna A M , /i = 1. K rzyw a II: D SB-SC, SSB. K rzyw a III: F M , = 2. K rzyw a IV: F M , /? = 5. (K rzyw e III i IV w ykazują polepszenie 13 dB przy zastosow aniu preem fazy i deemfazy)

gdzie: B T — pasm o transm isji m odulow anego sygnału, a W — p asm o inform acyjne. Czynim y następujące spotrzeżenia: 1. W pełnym systemie A M stosującym detekcję obw iedni wyjściowy stosunek sygnału d o szum u przy założeniu m odulacji sinusoidalnej d an y jest [p o r. rów nanie (5.24)] wzorem:

(SNR)o = 2 i V ISNR)c Zależność tę określono przy założeniu ¡i — 1 ja k o krzyw ą I n a rys. 5.19. N a początku krzywej występuje efekt progow y A M . Z norm alizow ane pasm o transm isji B „ rów na się 2, poniew aż w pełnym system ie A M przesyłane są obydw ie wstęgi boczne.

5.8. P O D S U M O W A N I E I D Y S K U S J A

341

1 Stosunek sygnału d o szum u n a wyjściu w przypadku detekcji koherentnej w systemie DSB-SC lu b SSB d a n y jest przez rów nania (5.19) i (5.16): (SNR)0 = (SNR)C Zależność tę przedstaw ia krzyw a II z rys. 5.19. W idzim y więc, że charakterystyka szum ow a system ów D SB -SC lub SSB z detekcją ko h eren tn ą przewyższa o 4,8 dB pełny system A M z detekcją obw iedni. N ależy zanotow ać, że ani system D SB -SC an i SSB nie ujaw nia efektów progow ych. P o d względem w ym agań co d o p asm a transm isji, m am y Bn = 2 dla D SB-SC i Bn = 1 d la SSB. T a k więc w śród rodzin system ów A M , m odulacja SSB stanow i o p tim u m pod względem ch arakterystyk szum ow ych i oszczędności pasm a. 3. W przypadku system u F M wyjściowy stosunek sygnału d o szum u przy założeniu m odulacji sinusoidalnej d a n y jest w zorem (5.53): (SN R )„ = | / ? 2(SNR) c gdzie fi — indeks m odulacji. Relacja ta p o k azan a jest d la p = 2i p = 5 ja k o odpow iednio krzyw a III i krzyw a IV n a rys.5.19. K ażd a z krzywych uwzględnia 13-dB polepszenie, uzyskane przez zastosow anie preem fazy w n adajniku i deemfazy w odbiorniku, zgodnie z opisem z p u n k tu 5.7. U niw ersalna krzyw a z rys. 3.36 pozw ala na określenie w ym agań staw ianych pasm u transm isji, k tó re są następujące B„ = 8

d la p = 2

B„ = 16

d la P = 2

W idzim y więc, że w porów naniu do system u SSB, stanow iącego optym alną formę m odulacji liniowej, w system ie szerokopasm ow ej F M o znorm alizow anym paśm ie Bn = 8 m ożem y uzyskać polepszenie jakościow ego sto su n ku sygnału d o szum u rów ne 20,8 dB, podczas gdy dla pasm a B „ = 16 polepszenie to wyniesie 28,8 dB. W artości te znakom icie ilustrują polepszenie charakterystyk szum ow ych osiągalne przy zastosow aniu szerokopasm ow ej F M . Jednakże cena, ja k ą m usim y zapłacić za takie ulepszenie, ujaw nia się w postaci poszerzonego pasm a. Oczywiście zak ład a się przy tym , że system F M pracuje powyżej progu, ab y polepszenie szum ów było realizowalne. W podsum ow aniu całej dyskusji w ynika wiele znacząca konkluzja, że w przeciwieńst­ wie d o m odulacji am plitudy, m odulacja częstotliwości zapew nia zdolność polepszania ch arak ­ terystyk szum ow ych kosztem poszerzenia p asm a transm isji. O graniczenie to przebiega zgodnie z praw em kw adratow ym opisującym m aksim um tego, n a co nas stać w m odulacji C W (czyli w telekom unikacji analogowej). W następnym rozdziale opiszem y m odulację im pulsow ą z kodow aniem , k tó ra stanow i podstaw ę transm isji analogow ych sygnałów inform acyjnych w cyfrowych system ach telekom unikacyjnych, zapew niając istotny postęp w tej dziedzinie.

PRZYPISY I LITERATURA 1) D okładna analiza efektu progowego w odbiornikach A M podał M iddleton (1960, str. 563 + 574). Jakościow a dyskusja tego efektu znajduje się u D ow ninga (1964, str. 71). 2) U zasadnienie krytycznego założenia leżącego u podstaw uproszczenia rów nania (5.43) znajduje się u Rice’a (1963). 3) D okładną analizę efektu progowego w odbiornikach F M zawierają prace Rice’a (1963) i Schwartza, B ennetta i Steina (1966, str. 129+163).

342

5. S Z U M W U K Ł A D A C H M O D U L A C J I Z F A L Ą C I Ą G Ł Ą

4) Rysunek 5.13 pochodzi z książki Rice’a (1963). Popraw ność krzywej teoretycznej II na tym rysunku została potw ierdzona eksperymentalnie; zobacz Schwartz, Bennett i Stein (1966, str. 153). Pewne wcześniejsze prace eksperym entalne dotyczące zjawiska progowego w systemach F M opisał C rosby (1937). 5) Pom ysł użycia sprzężenia zw rotnego w dem odulatorze F M ja k o pierwszy podał Chaffee (1939), n a długo przed nadejściem epoki telekom unikacji satelitarnej. 6) O pis dem odulatora F M F B zamieszczony w punkcie 5.6 opiera się n a publikacji Enloe (1962); zobacz też Roberts (1977, str. 166-181). 7) D la pełnej dyskusji efektów progowych w pętlach fazowych zobacz G a rd n er( 1979, str. 1 7 8 -1 9 6 ) i Roberts (1977, str. 200 - 202). 8) D okładny opis systemów D olby cytow any w końcowej części p u n k tu 5.7 m ożna obejrzeć u Stremlera (1990, str. 732 -7 3 4 ).

ZADANIA Zadanie 5.1 F unkcja próby x(t) = Ącos(2Tc/cf)-f w(t) przyłożona jest n a wejście dolnoprzepustow ego filtru R C z rys. Z5.1. A m plituda A c i częstotliwość f są stałymi, a w(zj jest białym szum em gaussow skim o zerowej średniej i widm owej gęstości m ocy N J 2. Z najdź w yrażenie n a stosunek sygnału d o szum u na wyjściu, uw ażając składow ą sinusoidalną x(i) za sygnał użyteczny. Zadanie 5.2 Załóżm y następnie, że funkcję próby x(i) z zadania 5.1 przyłożono na wejście filtru R L C z rys. Z5.2., k tó ry d o stro jo n o d o częstotliwości f c składowej sinusoidalnej. Załóżm y, że d o b ro ć Q filtru jest duża w sto su n k u d o jedności. Z najdź w yrażenie n a wyjściowy stosunek sygnału d o szum u traktując składow ą sinusoidalną x(r) ja k o sygnał użyteczny.

R

Sygnał wejściowy

c

Sygnał wyjściowy

Rys. Z5.1

Rys. Z5.2

5.8. P O D S U M O W A N I E I D Y S K U S J A

343

sN(fi watów / Hz

-4 0 0

0

400

/ { kHz)

Rys. Z 5 3

Zadanie 5.3 Sygnał m odulow any D SB -SC przesyłany jest przez zaszum iony kanał, w k tó ry m w idm ow a gęstość m ocy szum u odpow iada wykresowi z rys. Z5.3. P asm o inform acyjne rów ne jest 4 kH z, a częstotliw ość n o śn a 200 kH z. Z akładając, że średnia m oc fali m odulow anej m a w artość 10 W określ wyjściowy stosunek sygnału d o szum u odbiornika.

Zadanie 5.4 W yznacz w artość funkcji autokorelacji i funkcji korelacji wzajem nej d la synfazowych i kw adraturow ych składow ych szum u w ąskopasm ow ego na wejściu detek to ra koherentnego dla: a) system u D SB-SC, b) system u SSB posługującego się dolną w stęgą i c) system u SSB stosują­ cego gó rn ą wstęgę.

Zadanie 5.5 W odbiorn ik u z detekcją k o h eren tn ą fala sinusoidalna w ytw arzana przez generator lokalny obarczona jest błędem fazy 0(t) względem fali nośnej cos(2n fct). Z akładając, że 9(t) jest funkcją próby o zerowej średniej, jest procesem gaussow skim z w ariancją a | , i że przez przew ażającą część czasu m aksym alna w artość 0(t) jest m ała w p o rów naniu z jednością, znajdź błąd średniokw adratow y na wyjściu o d b io rn ik a dla: a) m odulacji D SB -SC i b) m odulacji SSB. Błąd średniokw adratow y zdefiniow any jest ja k o w arto ść oczekiw ana z pierw iastka z różnicy pom iędzy wyjściem z odbiornika a składow ą sygnału inform acyjnego n a wyjściu odbiornika.

Zadanie 5.6 Niech sygnał inform acyjny m(i) będzie przesyłany za pom ocą m odulacji z pojedynczą wstęgą boczną. G ęstość w idm ow a m ocy m(f) rów na jest:

{

to,

gdzie a i W stałe. Biały szum gaussow ski o zerowej średniej i gęstości widm owej m ocy N 0/2 dodaw any jest d o fali zm odulow anej SSB na wejściu odbiornika. Z n ajd ź wyrażenie na sto­ sunek sygnału d o szum u n a wyjściu odbiornika.

Zadanie 5.7 r

Średnia m o c szu m u n a jednostkę pasm a m ierzona n a wejściu o d b io rn ik a A M w ynosi 1 0 " 3 w ata na herc. F a la m o d u lu jąca jest sinusoidalna, m oc nośnej to 80 kilow atów , m oc wstęg bocznych rów na jest 10 kilow atów n a wstęgę. P asm o inform acyjne rów ne jest 4 kH z. Z akładając, że

5. S Z U M W U K Ł A D A C H M O D U L A C J I Z F A L Ą C I Ą G Ł Ą

344

w odbio rn ik u zastosow ano d etek to r obw iedni, w yznacz wyjściowy stosunek sygnału do szumu. O ile decybeli system ten jest gorszy od system u m odulacji DSB-SC?

Zadanie 5.8 Rozw aż wyjście d etek to ra obw iedni opisanego rów naniem (5.20), k tó re d la aktualnych potrzeb przepisujem y poniżej: >’(i) = {IA C+ A ck i/n (t) + n,{t)']2 + n ^ t ) } il2 a) Przyjm ij, że praw dopodobieństw o zdarzenia: |ne (f)| > eAc\l + k/n(t)\ jest rów ne lub mniejsze od <5tł n ato m iast a « 1. Jakie jest praw dopodobieństw o, że wpływ składowej kw adraturow ej będzie nQ(f) pom ijalny? b) Przypuśćm y, że ka d o stro jo n o względem sygnału m (t) w taki sposób, że praw dopodobieństw o zdarzenia:

A ^ + k j n i t f l + nĄt) < 0 rów ne jest S2. Jakie jest praw dopodobieństw o, że przybliżenie: y(t) ~ A £ \+ k jn (t)-] + n,(t) będzie spełnione? c) Skom entuj znaczenie w yniku z części b) w przypadku, gdy ii, i S 2 są m ałe w porów naniu z jednością.

Zadanie 5.9 N iem odulow ana nośna o am plitudzie A c i częstotliwości f c i pasm ow o ograniczony szum biały są sum ow ane, a następnie przesyłane przez idealny d etek to r obw iedni. Z ró b założenie, że gęstość w idm ow a m ocy m a w artość N J 2 i pasm o m a w artość 2 W i środek przy częstotliwości nośnejX- W yznacz stosunek sygnału d o szum u na wyjściu w przypadku, gdy stosunek nośnej d o szum u jest wysoki.

Zadanie 5.10 W odbiorniku A M działającym przy sygnale zm odulow anym sinusoidalnie z głębokością m odulacji 80 procent stosunek sygnału d o szum u n a wyjściu w ynosi 30 dB. a) Jak i stosunek nośnej d o szum u od p o w iada tym w arunkom ? b) O ile decybeli m ożem y zmniejszyć stosunek nośnej d o szum u t^k, aby system pracow ał tuż p o n ad progiem ?

Zadanie 5.11 O ceń stosunek sygnału d o szum u n a wyjściu system u ze stłum ioną w stęgą boczną, w którym odbiornik stosuje detekcję koherentną. Szum dodaw any n a wejściu detek to ra jest w ąskopas­ mowy.

Zadanie 5.12 Rozważ system m odulacji fazy (PM ), w k tó ry m fala zm odulow ana d a n a jest wzorem s(t) = A ccos[2Ttfct + k pm(t)']

5.8. P O D S U M O W A N I E I D Y S K U S J A

345

gdzie: k p — stała, a m(f) — sygnał inform acyjny. Szum addytyw ny n(f) n a wejściu d etek to ra fazy jest równy: n(t) = n,(t)cos(2Kfct) - nQ(t)sin(2nfct) Z akładając, że stosunek nośnej d o szum u na wejściu d etek to ra jest duży w porów naniu z jednością wyznacz: a) wyjściowy stosunek sygnału d o szum u i b) w spółczynnik popraw y stosunku sygnał-szum system u. P orów naj swój w ynik z przypadkiem system u F M o m odulacji sinusoidalnej.

Zadanie 5.13 W systemie F D M stosuje się m odulacje jednow stęgow ą dla 12 niezależnych kanałów fonicznych i następnie przesyła w ynikający z tego sygnał całkow ity za pom ocą m odulacji częstotliwości. K ażdy sygnał m ow y m a m o c średnią P i zajm uje pasm o częstotliwości 0,3-3,4 kH z; system przydziela sygnałow i pasm o 4 kH z. D la każdego z sygnałów m ow y przesyłana jest jedynie dolna wstęga. F ale podnośnych zastosow ane w pierwszym stopniu m odulacji zdefiniowane są wzorem: ck(t) = A kcos{2nkf0t),

0 < k ^ 11

Sygnał odbierany składa się z przesyłanych sygnałów F M puls biały szum gaussow ski o zerowej średniej i widm owej gęstości m ocy N 0/ 2. a) N aszkicuj w idm ow ą gęstość m ocy sygnału w ytw orzonego n a wyjściu dyskrym inatora, uw zględniając zarów no sygnał ja k i składow ą szum ow ą. b) Z najdź zależności, ja k ie pow inny spełniać am plitudy podnośnych A k, ab y zm odulow ane przebiegi sygnałów m ow y m iały jed n ak o w e stosunki sygnału d o szumu.

Zadanie 5.14 W dyskusji dotyczącej p ro g u F M przedstaw ionej w punkcie 5.6, podaliśm y w arunki dla zaistnienia d o d atn ich i ujem nych „kliknięć” n a wyjściu odbiornika, w yrażając je za pom ocą obw iedni r(t) i fazy if/(i) w ąskopasm ow ego szum u n(t). Spróbuj sform ułow ać ponow nie te w arunki w zależności o d składow ych synfazowej n,(t) i kw adraturow ej nQ(t) szum u n(t).

Zadanie 5.15 Stosując filtr preem fazy p o k azan y n a rys. 5.18a i biorąc sygnał m ow y ja k o falę m odulującą m am y d o czynienia z sytuacją, w której nad ajn ik F M w ytw arza sygnał w istocie swej zm odulow any częstotliw ościow o d la dolnych częstotliwości akustycznych i zm odulow any fazowo d la górnych częstotliwości akustycznych. W yjaśnij przyczyny tego zjawiska.

Zadanie 5.16 Przypuśćm y, że transm itancje filtrów preem fazy i deemfazy w system ie F M przeskalow ano w następujący sposób:

oraz

HJf) = l(i+i/Zfó) C zynnik skalujący k należy do b rać w tak i sposób, ab y średnia m oc uw ydatnionego przez preem fazę sygnału inform acyjnego p o została n a tym sam ym poziom ie, co dla oryginalnego sygnału inform acyjnego m(t).

346

5. S Z U M W U K Ł A D A C H M O D U L A C J I Z F A L Ą C I Ą G Ł Ą

a) Z n ajd ź w artość k, k tó ra spełnia p o d an e w ym aganie w przypadku, gdy w idm ow a gęstość m ocy m (t)jest rów na:

s „ (/) = j i + u k i 2 ’ U),

gdzie indziej

b) Ja k a w artość w spółczynnika polepszenia stosunku sygnał-szum I odpow iadać będzie zastosow aniu takiej pary filtrów preem fazy i deemfazy? P orów naj ten stosunek z otrzy­ m anym w przykładzie 4. W spółczynnik polepszenia stosunku sygnał-szum I zdefiniow any jest rów naniem (5.60). Zadanie 5.17 System m odulacji fazy (P M ) stosuje się p arę filtrów preem fazy i deemfazy, k tó re zdefiniowane są wzoram i: H J f ) = 1+ f Jo

oraz

-^deC/) — t . /- r , c

\

1 + (l///0)

Pokaż, że p o p raw a wyjściowego sto su n k u sygnału d o szum u spow odow ana zastosow aniem tej pary filtrów jest rów na: j

_

Wo arctg (W/f0)

gdzie W pasm o inform acyjne. O blicz polepszenie stosunku sygnał-szum w przypadku, gdy W — 15 k H z i J0 = 2,1 kH z, a po tem porów naj swój wynik z odpow iadającą m u w artością w systemie F M .

Rozdział 6

Modulacja impulsowa 6 .1 .

W stęp

W modulacji ciągłej (CW), której poświęciliśmy rozdziały 3 i 5, pewien p a ra m e tr sinusoidalnej fali nośnej był zm ieniany w sp o só b ciągły w ta k t sygnału inform acyjnego. Zupełnie inaczej jest w m odulacji im pulsow ej, k tó rą zajm iem y się w tym rozdziale. W modulacji impulsowej1}, pewien p a ra m e tr ciągu im pulsów zm ienia się w ta k t sygnału informacyjnego. R ozróżniam y dw a rodzaje m odulacji impulsowej: analogową modulację impulsową oraz cyfrową modulację impulsową. W analogow ej m odulacji im pulsowej, ja k o fala n o śn a służy okresow y ciąg im pulsów , a pewien p a ra m e tr każdego im pulsu (np. am plituda, szerokość lub położenie) zm ieniany jest w sp o só b ciągły, zgodnie z odpow iednią w artością próbki sygnału inform acyjnego. Zatem , przy analogow ej m odulacji im pulsow ej, inform acja przesyłana jest w zasadzie w formie analogow ej, lecz transm isja zachodzi jedynie w dyskretnych chw ilach czasowych. N ato m iast przy analogow ej m odulacji im pulsow ej, sygnał inform acyjny reprezentow any jest w formie dyskretnej zarów no w czasie, ja k i am plitudzie, co pozw ala n a jego transm isję w postaci dyskretnej, ja k o ciągu zakodowanych impulsów. T a form a transm isji sygnału nie zawiera składowej ciągłej. Z astosow anie im pulsów kodow anych d o transm isji analogow ych sygnałów infor­ m acyjnych stanow i istotę telekom unikacji cyfrowej. O becny rozdział m o żn a zatem p o trak to w ać ja k o łącznik pom iędzy telekom unikacją analogow ą i cyfrową w naszym procesie studiow ania zasad działania system ów telekom unikacyjnych. Zaczniem y ten rozdział o d przedstaw ienia procesu próbkow ania, stanow iącego podstaw ę w szystkich system ów m odulacji im pulsowej. N astępnie przedstaw im y m odulację am plitudy im pulsów , stanow iącą najprostszą p o stać analogow ej m odulacji im pulsowej. N astęp ­ nie opiszem y zw ielokrotnianie z podziałem czasow ym , często używ aną m etodę w spólnego użytkow ania jed n eg o k an ału d o przesyłania wielu sygnałów inform acyjnych, będące naturalnym uogólnieniem m odulacji am plitudy im pulsów . N aszą dyskusję dotyczącą analogow ej m odulacji impulsowej zakończym y rozpatrzeniem m odulacji położenia im pulsów , będącej in n ą w ażną m etodą m odulacji impulsowej. P o zo stałe p u n k ty tego rozdziału są pośw ięcone dyskusji różnych typów cyfrowej m odulacji im pulsow ej, ich praktycznych zalet, ograniczeń i modyfikacji.

348

6 .2 .

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

Proces próbkowania

W iększość m ateriału dotyczącego reprezentacji sygnałów i system ów, przedstaw ionego d o ­ tychczas w tej książce, zostało pośw ięcone sygnałom i system om ciągłym zarów no w czasie ja k i w częstotliwości. W różnych p u n k tach rozdziału 2 rozpatryw ana była jed n ak reprezentacja sygnałów okresow ych. W szczególności, ja k w ynika z rów nania (2.88), transform ata F ouriera sygnału okresow ego o okresie T0 stanow i nieskończony ciąg delta funkcji, przy częstotliwościach będących całkow itym i w ielokrotnościam i częstotliwości podstaw ow ej f 0 = l/7 0. N a podstaw ie tego faktu m ożem y stwierdzić, iż okresow ość sygnału w dziedzinie czasu pow oduje efekt próbkow ania w idm a tego sygnału w dziedzinie częstotliwości. M ożem y pójść o k ro k dalej korzystając z właściwości dualności transform aty F ouriera, a m ianowicie zauw ażyć, iż p ró ­ bkow anie sygnału w dziedzinie czasu pow oduje okresow ość w idm a tego sygnału w dziedzinie częstotliwości. T o ostatnie zjaw isko stanie się przedm iotem rozw ażań w dalszej części obecnego punktu. e Proces próbkowania jest zazwyczaj opisyw any w dziedzinie czasu. W takiej postaci stanow i on podstaw ę cyfrowego przetw arzania sygnałów i telekom unikacji cyfrowej. Z a pom ocą procesu próbkow ania, sygnał analogow y przekształcany jest n a odpow iadający m u ciąg próbek, zazwyczaj rozm ieszczonych rów nom iernie w czasie. Aby proces ten m iał znaczenie praktyczne’ trzeba oczywiście d o b rać właściwą częstość p ró b k o w an ia tak, aby ciąg próbek jednoznacznie określał oryginalny sygnał analogow y. Stanow i to podstaw ę tw ierdzenia o próbkow aniu, którego w yprow adzeniem się teraz zajmiemy. W eźmy pod uw agę dow olny sygnał g(t) o skończonej energii, określony n a całej osi czasu. W ycinek tego sygnału g(t) p o k azan o n a rys. 6.la . Załóżm y, iż próbkujem y sygnał g(t) pobierając jego w artości rów nom iernie, co 7; sekund. W rezultacie otrzym ujem y nieskończony ciąg próbek odległych względem siebie o Ts sekund, oznaczany ja k o {g(nTJ}, gdzie n przybiera wszystkie możliwe w artości całkow ite. W ielkość Ts nazyw am y okresem próbkowania, a jej o d w ro tn o ść ^ = l/T s częstotliwością próbkowania. T a k a idealna form a p ró b k o w an ia nazyw ana jest próbkowaniem chwilowym. N iech g6(i) oznacza sygnał otrzym yw any przez indyw idualne m nożenie przez w spół­ czynniki wagi, będące w yrazam i ciągu liczb {g(nTs}, elem entów okresow ego ciągu im pulsów D iraca, pow tarzających się z okresem opisany zależnością (zobacz rys. 6.Ib): co

g ,( t) =

I

g (n T J Ó (t-n T J

(61)

n = — co

Sygnał gs(t) nazyw any jest impulsowym sygnałem spróbkowanym. C zynnik 6 { t - n T J reprezentuje im puls D iraca wzięty w chwili czasu t = nTs. N a podstaw ie definicji funkcji d elta przedstaw ionej w rozdziale 2 wiemy, iż tak a w yidealizow ana funkcja m a pole rów ne jedności. M ożna więc rozpatryw ać m nożnik g{nTs) w rów naniu (6.1) ja k o „wagę” przypisaną funkcji delta S ( t - n T s). Funkcję delta m n o żo n ą przez ten w spółczynnik wagi m ożna zatem dokładnie aproksym ow ać i pom ocą im pulsu p ro stokątnego o czasie trw ania A t i am plitudzie g (nT $A v, im mniejsze At, tym lepszą aproksym ację uzyskam y. Im pulsow y sygnał sp ró b k o w any gs(t) m a p o d o b n ą postać m atem atyczną, ja k transform ata F o u riera sygnału okresow ego. Ł atw o to stwierdzić porów nując rów nanie (6.1) określające sygnał g6(t) z transform atą F o u riera sygnału okresow ego w yrażoną rów naniem (2.88). Sugeruje to, iż możliwe jest w yznaczenie transform aty F o u riera im pulsow ego sygnału spróbkow anego gs(t) n a podstaw ie zasady dualności transform aty F o u riera względem pary transfor­ m at określonej rów naniem (2.88). P o stęp u jąc w ten sposób i w ykorzystując fakt, iż funkcja delta jest parzystą funkcją czasu, otrzym ujem y poszukiw aną transform atę o postaci:

6.2. P R O C E S P R Ó B K O W A N I A

349

Rys. 6.1. P roces p ró b k o w an ia: a) sygnał analogow y, b) w ersja tego sygnału o trzy m an a w w yniku p ró b k o w an ia chw ilow ego (idealnego)

m

- f .

t m—

(6.2) co

gdzie: G {f) — tran sfo rm ata F o u rie ra oryginalnego sygnału g(t), a f s — częstotliwość p ró b ­ kow ania. R ów nanie (6.2) stanow i, iż proces równomiernego próbkowania analogowego sygnału o skończonej energii powoduje powstawanie widma okresowego o okresie równym częstotliwości próbkowania. In n e w ażne w yrażenie opisujące transform atę F o u riera im pulsow ego sygnału spróbkow anego gs(t) m o żn a otrzym ać licząc transform atę F o u riera obu stro n rów nania (6.1) i biorąc pod uwagę, iż tran sfo rm ata F o u riera funkcji delta ó(t —n7j) wynosi e x p ( —]2 n fQ . N iech G JJj oznacza transform atę F o u riera funkcji gs(t). M ożem y napisać: Gs( f ) =

t

9 ( n T J e x p ( - j2 7 t/r j

(6.3)

II= —00 P o d an a relacja nosi nazw ę transformaty Fouriera z czasem dyskretnym 2). M o żn a ją interpretow ać jak o rozwinięcie w zespolony szereg F o u riera okresow ej funkcji częstotliwości Gs(Jj, przy czym ciąg próbek {g(nTs)} określa w spółczynniki tego rozwinięcia. W yprow adzone relacje pozostają słuszne d la dow olnego analogow ego sygnału g(t) o skończonej energii i nieskończonym czasie trw ania. Z ałóżm y teraz, iż sygnał ^(r) jest sygnałem o ograniczonym paśmie, nie zaw ierającym składow ych o częstotliwości wyższej niż W H z. Innym i

350

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

G(f) C(0>

-w

o

w

2H'G(0>

Rys. 6.2. a) W idm o sygnału g(t) o ograniczonym paśm ie, b) w idm o spróbkow ancj wersji sygnału g(t) przy okresie p ró b k o w a n ia T = 1/2 W

słowy, tran sfo rm ata F o u riera G {f) sygnału g(t) m a ta k ą własność, iż G {f) wynosi zero d la | / | > W, ja k na rys. 6.2a; kształt w idm a p o k azan y n a tym rysunku służy jedynie celom ilustracyjnym . Przyjm ijm y także, iż w y b ran o okres pró b k ow ania Ts = 1/2 W. W takim przypadku, odpow iednie widmo Gs( f ) spróbkow anego sygnału g6(t) m a postać z rys. 6,2b. P odstaw iając w artość Ts = 1/2 W d o ró w n an ia (6.3) otrzym ujem y: 03

GÓ( / ) =

n

z

9-

n — — co

2W

lexp

-

(6.4)

Jak w ynika z ró w n an ia (6.2), transform atę F o u riera sygnału g6(t) m o żn a też zapisać w postaci:

GsU) —f G ( f ) + f s

Y. G(/—m/) m= —co,m# O

(6.5)

Stąd, przy spełnieniu następujących dw u w arunków : 1- G iJ) = O d la | / | > W 2- fs = 2 W z rów nania (6.5) otrzym ujem y wzór:

G( f ) = iw

G^

( 6.6)

- W < f < w

P odstaw iając rów nanie (6.4) d o (6.6) m ożem y także napisać:

Gt f ) = 4 ; i , Z y { T7T, )exPl 2 W nJ - _ ^ \ 2 W

w < f< w

(6.7)

351

6.2. P R O C E S P R Ó B K O W A N I A

D latego, jeśli w artości p ró b ek g{n/2W ) sygnału g(t) są określone dla wszystkich czasów , to transform ata F o u rie ra G(t) tego sygnału jest jednoznacznie określona przez swą transform atę F ouriera z czasem dyskretnym z rów nania (6.7). Poniew aż jed n ak sygnał g(t) jest jednoznacznie związany z funkcją G(t) poprzez o d w ro tn ą transform atę F o u riera m ożna stwierdzić, iż sygnał g(t) jest też jednoznacznie określony poprzez zb ió r swych p ró b ek g{n/2W ) d la — oo < n < co. Innym i słowy, w ciągu p ró b ek {g{n!2W )) zaw arta jest cała inform acja o sygnale g(t). Zajm iem y się teraz problem em odtw arzania sygnału g(t) na podstaw ie ciągu próbek {g{n/2W)}. P odstaw iając rów nanie (6.7) d o w zoru na odw rotną transform atę F o u riera okreś­ lającą sygnał g(t) w zależności o d G { j\ otrzym ujem y w z ó r g ( t) =

J G {f) expQ2nft) d f =

£

^ ^ ^ e x p ^ -^ ^ e x p (j2 7 t/i)d /

Zm ieniając kolejność sum ow ania i całkow ania uzyskujem y stąd zależność:

C ałk a z ostatniego ró w n an ia daje się łatw o obliczyć i uzyskujem y końcow y w z ó r V1

f n \ sin(27tW —nx)

e(t) = ¿ - A w F e n W

=

* n g\ —

Z n—

-n n )

“

(6.9) )s m c (2 W t-n ),

— OO < t < 00

cci

R ów nanie (6.9) stanow i w zór interpolacyjny, um ożliw iający odtw orzenie oryginalnego sygnału g(t) n a podstaw ie ciągu jego p ró b ek {g(n/2W )}, przy czym funkcja sine (2 WY) pełni rolę funkcji interpolacyjnej. K a ż d a p ró b k a jest m n o żo n a przez odpow iednio opóźnioną wersję funkcji interpolacyjnej, a wszystkie ta k otrzym ane składniki zostają zsum ow ane ze sobą, dając poszukiw any sygnał g(t). M ożem y zatem sform ułow ać twierdzenie o próbkowaniu d la sygnałów o ograniczonym paśm ie i o skończonej energii. S k ład a się o n o z dw u rów now ażnych części: 1. Sygnał o ograniczonym paśmie i skończonej energii, nie zawierający składowych widma, o częstotliwości przekraczającej W Hz, je st jednoznacznie opisany za pomocą próbek wziętych w punktach odległych o jednakow y przedział czasu, równy 1/2 W sekund. 2. Sygnał o ograniczonym paśmie i skończonej energii, nie zawierający składowych widma o częstotliwości przekraczającej W Hz, m oże zostać dokładnie odtworzony na podstawie znajomości jego próbek w ziętych w punktach odległych o jednakow y przedział czasu, równy 1/2 W sekund. Częstotliw ość p ró b k o w a n ia ró w n a 2 W próbek n a sekundę, niezbędna d la sygnału o paśm ie ograniczonym d o zak resu W/ herców , nosi nazw ę częstotliwości Nyąuista', jej odw rotność 1/2 W (m ierzona w sekundach) jest nazyw ana przedziałem N yąuista. P o d an e w yprow adzenie tw ierdzenia o pró b k o w an iu o p arte jest n a założeniu, iż sygnał g(t) m a ograniczone pasm o. W praktyce jed n ak żaden sygnał inform acyjny nie jest dokładnie sygnałem o ograniczonym paśm ie co pow oduje, iż gęstość próbkow ania staje się zbyt mała. W rezultacie, pro ces p ró b k o w an ia prow adzi d o zjaw iska zw anego aliasingiem częstotliwościowym (czyli nak ład an iem się w idm — przyp. tłum.). Zjaw isko aliasingu polega na tym , iż składow e w idm a sygnału o w ysokich częstotliwościach zachodzą n a składow e niskoczęstotliwościowe, ja k pok azan o n a rys. 6.3. W ypadkow e w idm o, zobrazow ane krzyw ą ciągłą na rys. 6.3b, odpow iada

352

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

f Rys. 6.3. a) W idm o sygnału, b) w idm o spróbkow anej wersji tego sygnału przy zbyt małej częstotliw ości p ró b k o w an ia, gdy w ystępuje zjaw isko aliasingu

zbyt m ałej częstotliwości p ró b k o w an ia sygnału o widm ie z rys. 6.3a. D o zw alczania zjaw iska aliasingu stosuje się w praktyce d w a następujące środki zaradcze: 1. Przed próbkow aniem stosuje się filtr antyaliasingowy służący d o tłum ienia tych składow ych w idm a sygnału o wielkich częstotliw ościach, k tó re nie są niezbędne d o przesyłania informacji niesionej przez sygnał. 2. O dfiltrow any sygnał jest p ró b k o w an y z częstotliwością nieco większą od częstotliwości N yąuista. Z astosow anie częstotliwości p ró b k o w an ia nieco większej od częstotliwości N y q u ista m a dodatkow o tę zaletę, iż ułatw ia zaprojektow anie filtru odtwarzającego stosow anego d o odzyskiw ania sygnału oryginalnego n a podstaw ie jego wersji spróbkow anej. R ozw ażm y dla przykładu sygnał inform acyjny p o d d an y filtracji antyaliasingow ej (za p o m o cą filtru dolnoprzepustowego), o w idm ie pokazanym n a rys. 6.4a. O dpow iednie w idm o tego sygnału po spróbkow aniu p o d an o n a rys. 6.4b, przy czym częstotliwość próbkow ania jest nieco większa od częstotliwości N yąuista. Z godnie z rys. 6.4b, m ożna stwierdzić, iż przy projektow aniu filtru odtw arzającego należy spełnić następujące w ym agania (zobacz rys. 6.4c): • F iltr odtw arzający jest filtrem dolnoprzepustow ym o paśm ie przepustow ym rozciągającym się od —W d o W , określonym poprzez pasm o filtru antyaliasingowego. • F iltr m a pasm o przejściowe rozciągające się (dla dodatnich częstotliwości) o d W d o f s - W , gdzie f s jest częstotliwością próbkow ania. F akt, iż filtr odtw arzający m a do b rze określone pasm o przejściowe oznacza, iż jest o n fizycznie realizowalny.

6 .3 .

M odulacja amplitudy impulsów

Obecnie, gdy rozum iem y ju ż istotę procesu próbkow ania, nadszedł czas, ab y form alnie zdefiniować m odulację am p litu d y im pulsów , będącą najprostszą, a zarazem podstaw ow ą m etodą m odulacji im pulsowej. W modulacji amplitudy impulsów (PA M ), amplitudy impulsów po­ wtarzających się ze stałą częstotliwością są zmieniane proporcjonalnie do odpowiednich sprób-

6.3. M O D U L A C J A A M P L I T U D Y I M P U L S Ó W

353

ó 5(fi

/

i- /

/

/

/

\

/

\

\

\ \

/

/

\ \ \

\

/

\ \

* U'

-U

- 11'

/

\

\

o

N.

i U'

i.

/, - W

\ \

\ \

A*w

c Amplituda

Rys. 6.4. a) W idm o sygnału inform acyjnego p o d d an eg o filtracji antyaliasingow ej, b) w idm o spróbkow anej wersji tego sygnału przy założeniu, że częstotliw ość p ró b k o w an ia je st w iększa od częstotliw ości N y ąu ista, c) ch arak tery sty k a am p litu d o w a filtru odtw arzającego

kowanych wartości analogowego sygnału informacyjnego; im pulsy te m ogą być p ro sto k ątn e lub też mieć inny odpow iedni kształt. T a k zdefiniow ana m odulacja am plitudy im pulsów przypom ina nieco próbkow anie naturalne, przy k tó ry m sygnał inform acyjny jest m nożony przez okresow y ciąg im pulsów prostokątnych. W przypadku próbkow ania naturalnego, każdy tak zm odulow a­ ny im puls m a w ierzchołek o wysokości zm ieniającej się w raz z sygnałem inform acyjnym , podczas gdy przy m odulacji P A M im pulsy pozostają prostokątne. P róbkow aniem naturalnym zajm iem y się szerzej w zad an iu 6.1. Przebieg czasow y sygnału P A M został zilustrow any n a rys. 6.5. Linią przeryw aną zaznaczono n a ty m rysunku sygnał inform acyjny m(f), a ciąg im pulsów prostokątnych zm odulow anych am plitudow o, zaznaczony linią ciągłą, reprezentuje odpow iedni sygnał PA M s(r). G eneracja sygnału P A M przebiega w dw u etapach: 1. Próbkowanie chwilowe sygnału inform acyjnego m(t) z okresem Ts sekund, przy czym częstotliw ość p ró b k o w an ia f s = 1/Ts w ybiera się zgodnie z tw ierdzeniem o próbkow aniu. 2. Wydłużenie czasu trw ania każdej p ró b k i d o pewnej stałej w artości T. W technice uk ład ó w cyfrowych te dw ie operacje noszą łącznie nazw ę „próbkow ania z zapam ięty­ waniem”. Jed n y m z w ażnych pow odów celowego w ydłużenia czasu trw an ia sygnału każdej próbki jest uniknięcie nadm iernej szerokości p asm a k an ału transm isyjnego, gdyż szerokość ta jest 23 S ystem y te le k o m u n ik a c y jn e cz. 1

f

354

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

Rys. 6.5 P ró b k i o płaskich w ierzchołkach

proporcjo n aln a d o czasu trw an ia im pulsu. T en czas trw an ia T nie m oże być jed n ak dow olny, ja k n a to w skazuje rozum ow anie przedstaw ione dalej. N iech s(t) oznacza ciąg im pulsów prostokątnych, generow any w sposób zilustrow any na rys. 6.5. O trzy m an y sygnał P A M jest o postaci: co

s(r)=

X

m ( n T jh ( t- n T s)

( 6. 10)

n = — cc

gdzie: Ts — okres próbkowania, a m fiiT j w artość próbki sygnału m(f), pobranej w chwili t = nT^ Funkcja h(t) oznacza tu stan d ard o w y im puls p ro sto k ątn y o jednostkow ej am plitudzie i czasie trw ania T, zdefiniow any następująco (rys. 6.6a): 0 < t< T h[t) =

t = 0,

t= T

(6. 11)

gdzie indziej S próbkow ana chw ilow o wersja sygnału m(t) jest zdefiniow ana wzorem: co

m s( t) =

X

m in T M t-n T J

(6 .12)

n — — oo

gdzie ó(t — n T ) — przesunięta w czasi funkcja z im pulsem h(t) otrzym am y zależność: CC'

oc

CC

mó( t) * h ( t) =

J ms( t) h ( t- x ) d t = i X m («T s) ó ( t - n T s) / i ( i - T ) d T = 00 — cri n — — co OC cc> = X m (nTJ J S (x—n T J h (t—t)d x 71 = — 00 - cc

(6.13)

Stosując w zór określający przesunięcie d elta funkcji otrzym ujem y: co

(6.14) rr — — co

Z rów nań (6.10) i (6.14) w ynika, iż sygnał P A M s(i) jest m atem atycznie rów now ażny splotow i sygnału m,5(i), będącego chw ilow o sp ró b k o w an ą wersją sygnału inform acyjnego m(i) z im pulsem h{t), a mianowicie:

6.3. M O D U L A C J A A M P L I T U D Y I M P U L S Ó W

355

a

s{t) = ms(t) * h{t)

(6.15)

B iorąc transform atę F o u riera obu stro n row nam a (6.15) i w ykorzystując właściwość, iż splotow i dw u funkcji czasu odpow iada iloczyn ich transform at F ouriera, otrzym ujem y równość: (6.16) gdzie S {f) = F [s (t)], M fU ) = F[mt(t)~] oraz H ( f) = F [/i(r)]. Z rów nania (6.2) w ynika, ii transform ata F o u rie ra A f / / ) jest zw iązana z tran sfo rm atą F o u riera M { f) oryginalnego sygnału inform acyjnego m(t) w sposób następujący: CO

a

i

m

- m

(6.17)

k= ~ Q O

gdzie f s = 1/T s — częstotliwość próbkow ania. P odstaw iając zatem rów nanie (6.17) do (6.16) otrzym am y: 23*

356

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

S (f)= f

I

M ( f - k f s) H ( f) -

(6.18)

OC'

D an y jest sygnał P A M s(t), którego transform ata F o u riera S ( f ) jest określona rów naniem (6.18). Jak odtw orzyć n a tej podstaw ie oryginalny sygnał inform acyjny m(r)? Ja k o pierwszy k ro k n a tej drodze, m ożem y przepuścić sygnał s ( t ) przez filtr dolnoprzepustow y, którego charakterystyka am plitudow a m a postać, ja k n a rys. 6.4c; przyjęto tu, iż pasm o zajm ow ane przez sygnał inform acyjny jest ograniczone i w ynosi W, a częstotliwość p ró b k o w an ia w ynosi £ i jest większa o d częstotliwości N y q u ista 2 W. Z rów nania (6.18) w ynika pon ad to , iż w idm o sygnału na wyjściu filtru wynosi M ( f) H ( f) . Sygnał ten jest taki, ja k gdyby oryginalny sygnał inform acyjny m(t) przepuszczony został przez jeszcze jed en filtr dolnoprzepustow y o charakterystyce am plitudow o-fazow ej H {f). N a podstaw ie rów nania (6.11), tran sfo rm ato ra F o u riera im pulsu p ro sto k ątn eg o h(t) jest określona zależnością: H ( f ) = T s in c (/T )e x p ( - j n f T )

(6.19)

przedstaw ioną n a rys. 6.6b. Jak stąd w ynika, poprzez zastosow anie p ro sto k ątn y ch próbek przy generacji sygnału P A M w prow adzone zostały z n ie k s z ta łc e n ia a m p litu d o w e o raz o p ó ź n ie n ie T/2. Efekt ten jest jed n ak niewielki w p o ró w naniu ze zm ianam i przesyłanego sygnału w funkcji częstotliwości, spow odow anym i skończonym rozm iarem ap ertu ry wybierającej w telewizji. Zgodnie z tym faktem , zniekształcenia spow odow ane zastosow aniem m odulacji am plitudy im pulsów d o przesyłania analogow ego sygnału inform acyjnego nazyw ane są e fe k te m a p e rtu r o w y m .

Zniekształcenia te m ogą zostać skorygow ane, jeśli d o układu d o d am y u k ła d w y r ó w ­ n u ją c y , połączony kask ad o w o z dolnoprzepustow ym filtrem odtw arzającym , ja k w układzie pokazanym n a rys. 6.7. U k ład w yrów nujący m a za zadanie zm niejszyć tłum ienie filtru odtw arzającego w paśm ie przepustow ym w raz ze w zrostem częstotliwości tak, aby skom pen­ sować efekt aperturow y. C h arak tery sty k a am plitudow a idealnego układu w yrów nującego m a postać: 1 1 nf \ H ( ß \ ~ s in c ( /T ) " sin(n fT ) W ym agana k o rek ta jest w praktyce niewielka, przy w spółczynniku bowiem wypełnienia 77T t < 0,1 odpow iednie zniekształcenia am plitudow e nie przekraczają 0,5% , co pozw ala w zasadzie n a pracę naw et bez uk ład u w yrów nującego. T ransm isja sygnału P A M n ak ład a raczej surow e w ym agania n a charakterystyki am plitudow e i fazowe kanału, a to z uwagi na względnie krótki czas trw ania przesyłanych impulsów. P o n ad to , właściwości szum ow e system ów P A M nie są nigdy lepsze, niż w przypadku transm isji sygnału w paśm ie podstaw ow ym . Z godnie z tym , przy transm isji n a duże odległości, systemy P A M używ ane są jedynie w charakterze m etody przetw arzania inform acji przy zw ielokrotnianiu z podziałem czasowym , po czym przechodzi się d o innej postaci m odulacji impulsowej. Z asady zw ielokrotniania z podziałem czasow ym zo stan ą przedstaw ione w następ­ nym punkcie tego rozdziału.

Sygnał PAM s(t)

Filtr odtwarzający

Układ wyrównujący

Sygnał informacyjny m (t)

Rys. 6.7. Odtwarzanie sygnału m{t) na podstawie sygnału s(f)

6.4. Z W I E L O K R O T N I A N I E Z P O D Z I A Ł E M C Z A S O W Y M

6 .4 .

357

Zwielokrotnianie z podziałem czasowym

Tw ierdzenie o p ró b k o w an iu stanow i p o dstaw ę d la przesyłania inform acji zaw artej w sygnale inform acyjnym m(r) o skończonym paśm ie w postaci ciągu jego próbek pobieranych ró w ­ nom iernie z częstotliw ością nieco zwykle większą o d częstotliwości N yąuista. Isto tn ą cechą procesu p ró b k o w an ia jest oszczędność czasu. T ransm isja ciągu próbek sygnału inform acyjnego zajm uje bow iem k a n a ł telekom unikacyjny w czasie stanow iącym jedynie d ro b n y ułam ek każdego okresu p ró b k o w an ia, a w olny przedział czasowy pom iędzy sąsiednim i próbkam i m oże być w ykorzystany przez inne, niezależne źródła inform acji n a zasadzie pracy z podziałem czasowym. P row adzi to d o p o w stan ia system u ze zwielokrotnianiem z podziałem czasowym ( W M ), zapew niającego łączne użytkow anie w spólnego k an ału telekom unikacyjnego przez dużą liczbę niezależnych źródeł inform acji bez ryzyka w zajem nych interferencji poszczególnych sygnałów. K oncepcja system u T D M została przedstaw iona n a rys. 6.8. K ażdy sygnał in­ form acyjny zostaje n a w stępie p o d d a n y prealiasingow ej filtracji dolnoprzepustow ej celem usunięcia częstotliwości, k tó re nie są niezbędne d la adekw atnej reprezentacji transm itow anego sygnału. W yjścia filtrów dolnoprzepustow ych są dołączone d o przełącznika, zrealizow anego zwykle ja k o elektroniczny układ przełączający. Przełącznik ten spełnia dwie funkcje: (1) pobiera w ąską p ró b k ę każdego sp o śró d N sygnałów inform acyjnych, z częstotliwością f nieco większą od 2 W, gdzie W jest częstotliw ością graniczną filtru prealiasingow ego, oraz (2) rozm ieszcza sekwencyjnie p o b ran e N próbek w ew nątrz każdego przedziału próbkow ania Tf T a d ru g a funkcja stanow i podstaw ę procesu zw ielokrotniania z podziałem czasowym. P o przejściu przez układ przełączający, zw ielokrotniony sygnał podaw any jest na wejście modulatora impulsowego, k tó reg o zadaniem jest przekształcanie zw ielokrotnionego sygnału do postaci dogodnej do jego transm isji przez wspólny kanał. Proces zw ielokrotniania z podziałem czasow ym pow oduje oczywiście JV-krotne rozszerzenie pasm a zajm ow anego przez sygnał, gdyż system m usi „wcisnąć” N próbek pobranych z N niezależnych źródeł inform acji w przedział czasowy rów ny jed n em u okresow i próbkow ania. P o stronie odbiorczej system u, o d eb ran y sygnał jest p o d aw an y n a wejście demodulatora impulsowego, dokonującego operacji odw rotnej w sto su n k u d o tej, ja k a zachodzi w m odulatorze im pulsow ym . W ąskie próbki otrzym yw ane n a wyjściu d em o d u lato ra im pulsow ego są kierow ane n a odpow iednie dolnoprzepustow e filtry odtw arzające za pom ocą przełącznika, k tó ry działa synchronicznie w stosunk u d o przełącznika znajdującego się w nadajniku. Synchronizacja ta jest niezbędna dla praw idłow ego działania całego system u. Sposób, w ja k i się tej synchronizacji dokonuje, zależy oczywiście o d m etody m odulacji im pulsow ej używanej w system ie do przesyłania zw ielokrotnionego ciągu próbek. System T D M jest bard zo wrażliwy na zjaw isko dyspersji zachodzące we w spólnym kanale, tzn. n a zm iany am plitudy w funkcji częstotliwości, czy też brak proporcjonalności fazy w stosunku d o częstotliwości. D o k ład n a korekcja zarów no charakterystyki am plitudow ej ja k i fazowej k an ału jest w ięc niezbędna d la zapew nienia zadow alającego działania całego systemu. Problem ten zostanie szczegółow o przedyskutow any w rozdziale 7. W pierwszym przybliżeniu m ożna jed n a k stwierdzić, iż system T D M jest o d p o rn y n a nieliniowe zniekształcenia w kanale, będące źródłem przesłuchów , gdyż poszczególne sygnały inform acyjne nie są jednocześnie przesyłane przez kanał.

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

Rys. 6.8. Schemat blokowy systemu T D M

358

6.5.

MODULACJA POŁOŻENIA IMPULSÓW

6 .5 .

359

M odulacja położenia impulsów

W każdym system ie m odulacji im pulsow ej m o żn a posłużyć się m etodą pow iększenia szerokości pasm a zajm ow anego przez ciąg im pulsów , w celu polepszenia właściwości szum ow ych systemu. M o żn a tego d o k o n ać poprzez reprezentację spróbkow anych w artości sygnału in­ form acyjnego za p o m o cą innego niż am p litu d a p aram etru im pulsu. W modulacji czasu trwania impulsów (P D M ), próbki sygnaiu informacyjnego powodują zm iany czasów trwania poszczególnych impulsów fa li nośnej. T a p o stać m odulacji występuje także pod nazw ą modulacji szerokości impulsu lu b modulacji długości impulsu. Sygnał m odulujący m oże zm ieniać m om ent przedniego, tylnego albo obu zboczy im pulsu. N a rysunku 6.9c m om ent w ystępow ania tylnego zbocza im pulsu zm ieniany jest w ta k t sygnału inform acyjnego, w tym przypadku sinusoidalnego (rys. 6.9a). O kresow a p ro sto k ą tn a fala n o śn a m a p o stać ja k n a rys. 6.9b. W m odulacji P D M , w ystępow anie im pulsów o długim czasie trw an ia pow oduje w zrost m ocy sygnału, nie zw iązany z przekazyw aniem większej ilości inform acji. Jeśli pozbędziem y się tej bezużytecznej m ocy fali P D M tak , ab y zachow ać jedynie inform ację o czasach przejść, a

‘lurrruujLn d

Czas ----------- ► Rys. 6.9. Ilustracja różnych postaci modulacji położenia impulsów dla przypadku sinusoidalnej fali modulującej: a) fala modulująca, b) impulsowy sygnał nośny, c) fala PDM , d) fala PPM

360

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

otrzym am y bardziej spraw ny typ m odulacji, znany p o d nazw ą modulacji położenia impulsów (PPM ). W m odulacji P P M , położenie impulsu, mierzone w stosunku do jego położenia przy braku modulacji, zmieniane je st w takt sygnału informacyjnego, ja k p o k azan o n a rys. 6.9d, dotyczącym przypadku m odulacji falą sinusoidalną. Niech 7¡ oznacza okres próbkow ania. G d y p ró b k a m{nTJ sygnału inform acyjnego m(f) m oduluje położenie M-tego im pulsu, otrzym ujem y sygnał P P M o postaci: 00 X g ( t - n T s- k

s (t)= n

=

-

m (nT f)

(6.20)

cc

gdzie: k p — czułość m o d u lato ra P P M , a g(t) — stosow any im puls standardow y. Im pulsy tw orzące sygnał P P M s(f) m uszą być oczywiście rozłączne; czego w arunkiem koniecznym jest spełnienie zależności: <7(0 = 0,

| i | > y —fcp|m (i)|max

(6.21)

z której w ynika następujący w arunek: U « W I«»* < - 5 -

(6.22)

Im w artość A:p| m(z) |max bliższa jest połow y okresu p ró b k o w an ia 7’, tym węższy m usi być im puls stan d ard o w y g(t), aby poszczególne im pulsy sygnału P P M s(t) nie oddziaływ ały na siebie i tym szersze będzie pasm o zajm ow ane przez ten sygnał. Przy spełnieniu w arunku (6.21) i przy b rak u interferencji m iędzy sąsiednim i im pulsam i sygnału P P M s(r), spróbkow any sygnał m (nTJ m oże być d o k ład n ie odtw orzony w procesie dem odulacji. C o więcej, z twierdzenia o próbkow aniu w ynika, że jeśli tylko sygnał inform acyjny m(t) m a ograniczone pasm o, to oryginalny sygnał m(t) m oże być także odtw orzony bez zniekształceń n a podstaw ie sygnału P P M s(t).

Generacja fal PPM Sygnał P P M opisany rów naniem (6.20) m ożna w ygenerow ać używ ając układu o schemacie blokow ym ja k n a rys. 6.10. Sygnał inform acyjny m(t) jest najpierw przekształcany do postaci sygnału P A M za p o m o cą prostego układu próbkująco-pam iętającego, w ytw arzającego sygnał schodkow y u(i). Z auw ażm y tu, iż czas tw ania im pulsu T tego układu p ró b k u ­ jąco-pam iętającego jest rów ny okresow i p ró b k o w an ia Przebieg sygnału u (i) został przed­ staw iony n a rys. 6.1 lb d la p rzy p ad k u sinusoidalnego sygnału inform acyjnego m(i) z rys. 6.1 l a Sygnał «(i) jest następnie dodaw any d o sygnału piłokształtnego z rys. 6.1 lc, a uzyskany sygnał sum acyjny v{t) p o k azan o n a rys. 6.l i d . Sygnał r(f) jest podaw any n a wejście detektora

6.5. M O D U L A C J A P O Ł O Ż E N I A I M P U L S Ó W

361

m(t)

t

r

Rys. 6.11

f

G en eracja sygnału P P M : a) sygnał inform acyjny, b) aproksym acja sch o d k o w a sygnału inform acyjnego, c) sygnał piłokształtny, d) sygnał sum acyjny będący sum ą sygnałów b) i c), e) ciąg „im pulsów ” użytych d o generacji sygnału P P M

progowego, w ytw arzającego bard zo w ąski im puls (aproksym ujący im puls D iraca) za każdym razem, gdy sygnał v(t) m alejąc przechodzi przez zero. O trzym yw any tym sposobem ciąg im pulsów i(t) p o k azan y jest z kolei n a rys. 6.11e. W yjściowy sygnał P P M s(i) w ytw arzany jest w ten sposób, iż ciąg im pulsów i(t) podaw any jest n a wejście filtru o odpowiedzi im pulsowej zdefiniowanej przez im puls stan d ard o w y g{t).

Wyjście

o

Poziom progowy

W ejście Rys. 6.12 C h arak tery sty k a wejście-wyjście elem entu progow ego

Detekcja fal PPM W eźmy p o d uw agę falę P P M s(f) z próbkow aniem rów nom iernym , zdefiniow aną rów naniam i (6.20), (6.21) i załóżm y, iż sygnał inform acyjny (m odulujący) m(f) m a ograniczone pasm o. Działanie jednego z typów odbiornika P P M obejm uje następujące kolejne funkcje: • Przekształcanie odbieranej fali P P M n a falę P D M z tym sam ym rodzajem m odulacji. • C ałkow anie fali P D M z użyciem układu o skończonym czasie całkow ania, co jest rów now ażne obliczaniu pola każdego im pulsu fali P D M . • P róbkow anie sygnału wyjściowego in teg rato ra ze stałą częstotliwością, celem w ytw orzenia fali PA M , której am plitudy im pulsów są proporcjonalne d o próbek m (nTJ oryginalnej fali P P M s(f).

• D em odulację fali P A M w celu odtw orzenia sygnału inform acyjnego m(f). W szystkie p o d an e operacje są liniowe. P o n ad to , odbiornik P P M zaw iera p o stronie wejścia elem ent nieliniowy zw any elementem progowym. C harakterystyka wejście-wyjście idealnego elem entu progow ego została przedstaw iona n a rys. 6.12, gdzie poziom odcięcia został norm alnie ustalony n a o k o ło połow ę szczytowej am plitudy im pulsu odbieranej fali P P M . Rola elem entu progow ego polega n a zachow aniu pozycji zboczy odbieranych im pulsów (zmienianych przez szumy) i usuw anie wszystkiego innego. Elem ent ten w ytw arza praw ie „prostokątne im pulsy o strom ych przednich i tylnych zboczach, występujących w tych sam ych m om entach czasu, co odpow iednie zbocza im pulsów odbieranych. D ziała o n w przybliżeniu ja k o „element usuw ający szum ” w tym sensie, iż końcow y poziom szum ów n a wyjściu o d b io rnika zostaje znacznie zredukow any poprzez usunięcie całego szum u zaw artego w odbieranej fali P P M , za w yjątkiem szum u w ystępującego w pobliżu przednich i tylnych zboczy impulsów. Sygnał wyjściowy elem entu progow ego zostaje zróżniczkow any, a następnie w ypros­ tow any jednopołów kow o, przez co uzyskuje się bardzo krótki im puls (aproksym ujący im puls D iraca) za każdym razem , gdy am plituda kolejnego im pulsu odbieranej fali P P M przekracza zadany poziom odcięcia. N a rysunku 6.13a p o k aza n o n-ty im puls fali P P M , a na rys. 6.13b krótki im puls otrzym yw any w sp o só b ju ż opisany, gdy im puls P P M przekracza zadany poziom . N a rysunku 6.13c p o k azan o ten sam im puls odpow iednio opóźniony, a rys. 6.13d im puls P D M uzyskiwany n a wyjściu opisyw anego detektora. P o przekształceniu odbieranej (zaszumionej) fali P P M na falę P D M o takiej samej m odulacji, dalszą funkcją o d b io rn ik a jest odtw orzenie oryginalnego sygnału pasm a p o d ­ staw ow ego m{t), czym się dalej zajmiemy.

Szumy przy modulacji położenia im pulsów W systemie P P M , przesyłana inform acja z a w a rta jest we względnych położeniach m o d u lo w a­ nych im pulsów . O becność szum u addytyw nego zakłóca praw idłow e funkcjonow anie system u poprzez w prow adzanie przypadkow ych zm ian czasów pojaw iania się poszczególnych impulsów.

363

6.5. M O D U L A C J A P O Ł O Ż E N I A I M P U L S Ó W

S U -

n

P

n T , -

m i n T , ) )

Opóźniona wersja sygnału wyjściowego układu progowego

.

d

— -------------------------------------- i—------------------------

/

(

n

-

j

1 \T l

T

,

impuls PDM

^A *

Rys. 6.13. D etekcja niezaszum ionego sygnału P P M

Aby uzyskać o d p o rn o ść szum ow ą system u, należy zapew nić tak m ały czas n arastan ia im pulsów, ab y przedział czasu, w k tó ry m szum m oże w prow adzić zakłócenie był bardzo krótki. Szum addytyw ny nie w pływ ał by bow iem n a położenie im pulsów wówczas, gdyby były o n e idealnie prostokątne, gdyż obecność szum u w prow adza tylko zakłócenia „pionow e”. O dbieranie idealnie p ro sto k ątn y ch im pulsów w ym aga je d n a k nieskończenie szerokiego p asm a kanału, co jest oczywiście niem ożliwe. P rzy ograniczonej w praktyce szerokości k an ału transm isyjnego, odbierane im pulsy m ają zawsze skończony czas n arastan ia i działanie o d b io rn ik a P P M jest zakłócane przez szumy. P o d o b n ie ja k w systemie z m odulacją fali ciągłej, właściwości szum ow e system u P P M opisuje się z a p o m o cą stosunku sygnał-szum n a wyjściu układu. Analogicznie, polepszenie właściwości szum ow ych uzyskiwane w system ie P P M w stosunku d o przesyłania sygnału inform acyjnego w paśm ie podstaw ow ym , m ożna oceniać za pom ocą w skaźnika jakości zdefiniow anego ja k o iloraz stosunku sygnał-szum na wyjściu układu P P M i stosunku sygnał-szum w kanale. O bjaśnim y to n a przykładzie system u P P M z zastosow aniem ciągu im pulsów kosinusoidalnych ze składow ą stałą i m odulacji sinusoidalnej.

364

6. M O D U L A C J A I M P I ! I \ H W A

a

A

Poziom progowy

- T

O

- 1

I

T

b

T -^ | T

Rys. 6.14. A naliza szum ow a system u P P M : a) niem odulow any ciąg im pulsów , b) ilustracja

wpływu szum ów n a czas detekcji im pulsu

Przykład 1

Stosunek sygnał-szum w systemie P P M z modulacją sinusoidalną

W eźmy p o d uw agę system P P M , w k tó ry m im pulsow a fala n o śn a m a w przypadku brak u m odulacji postać ja k n a rys. 6.14a. S tandardow y im puls tej fali nośnej m a kształt cosinusoidalny ze składową stałą, dogodny d o celów naszej analizy. Im puls ten, o śro d k u d la t = 0 i oznaczany ja k o g(t) jest określony zależnością: 9(t) = y [ i +cos(7tB r t)],

-

t < T

(6.23)

gdzie B t = l/T. Czas pojaw iania się takiego im pulsu m o żn a określić przykładając go n a wejście idealnego elem entu progow ego o charakterystyce wejście-wyjście, pokazanej na rys. 6.12, a następnie obserw ując jego sygnał wyjściowy. Z akładam y, iż poziom odcięcia został ustalony na połowę am plitudy im pulsu, a m ianow icie A /2, ja k na rys. 6.14a. G d y am p litu d a przychodzącego im pulsu nie przekracza tego poziom u, sygnał wyjściowy jest rów ny zeru, a dla im pulsów o am plitudzie większej o d poziom u odcięcia jest stały. T ran sfo rm ata F o u riera im pulsu g(t) wynosi: A sm (2K f/B T) G (/) =

2 K f ( l - 4 f 2/ B 2T)

M a ona, ja k p o k azan o n a rys. 6.15, pierwsze zera p izy / = ± B T i jest m ała na zew nątrz tego przedziału. M o żn a więc przyjąć, iż pasm o potrzebne d o przesyłania takiego im pulsu wynosi B t . O znaczm y m aksym alną m iędzyszezytow ą w artość odchylenia pozycji im pulsu ja k o Tr W ówczas, w odpow iedzi n a sinusoidalny sygnał m odulujący, m iędzyszezytow ą w artość sygnału

6.5. M O D U L A C J A P O Ł O Ż E N I A I M P U L S Ó W

365

Rys. 6.15

W idm o am p litu d y im pulsu cosinusoidalnego z d o d a tn ią sk ład o w ą stałą

wyjściowego odbiornika, ró w n a d w ó m am plitudom będzie w ynosiła K T P gdzie K jest stałą zależną od konstrukcji odbiornika. W arto ść skuteczna tego sygnału wyniesie natom iast K T J l y J l , a o d pow iadająca jej średnia m oc sygnału wyjściowego o d b io rn ik a (na oporze obciążenia rów nym 1 Q) będzie rów na; K 2T 2

KTS

8

2^2

W obecności szum u addytyw nego zarów no am p litu d a ja k i położenie im pulsu zostanie zakłócone. P rzypadkow e zm iany am plitudy im pulsu zostają w yelim inow ane przez zastosow anie elem entu progow ego. P o zo stają n atom iast przypadkow e zm iany pozycji im pulsu spow odow ane szum em i te uczestniczą w szum ach w ystępujących n a wyjściu odbiornika. Będziemy dalej zakładać, iż m oc szum ów n a wyjściu o d b io rn ik a jest m a ła w p o rów naniu z m ocą szczytową impulsu. W ówczas, jeśli w pewnej chwili am p litu d a szum u w ynosi U„ czas w ykrycia im pulsu zostanie zm ieniony o m ałą w artość t , ja k n a rys. 6.14b. W pierwszym przybliżeniu, nachylenie im pulsu g(t) w chwili t = — 7/2 wynosi U J x . B iorąc p o d uw agę rów nanie (6.23) m ożem y więc napisać: U„ x

d 0{t) Ii = - T/2 dt

tiB t

Rozw iązując to rów nanie względem T=

A

t

otrzym ujem y wzór:

2 Un %b

(6.24)

ta

Błąd t położenia im pulsu g(t) w ytw orzy średnią m oc szum ów n a wyjściu o d b io rn ik a rów ną K 2 £ [ t 2], gdzie E — o p e ra to r statycznej w artości oczekiwanej. Z akładając, iż szum na wejściu odbiornika m a w idm ow ą gęstość m ocy ró w ną N J 2 , otrzym ujem y średniokw adratow ą w artość am plitudy Un w paśm ie B r rów ną: E I U 2- ] = B T N 0

(6.25)

P o uw zględnieniu ró w n ań (6.24) oraz (6.25) otrzym ujem y następujący wynik: Ś rednia m oc szum ów n a wyjściu = K 2 E [ t 2] =

4K 2 N . TE2 B t A 2

W yjściowy stosunek sygnał-szum przy m odulacji sinusoidalnej jest więc równy:

(6.26)

366

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

)o

* 2 T l !8

n2B T T 2A 2

4 K 2 W ,/*2 B r A 2

32iV0

(6-27)

r

Średnia m oc P przesyłana w system ie P P M nie zależy od rodzaju sygnału m odulujące­ go. M ożem y więc określić P uśredniając m oc pojedynczego im pulsu fali P P M za okres próbkow ania Ts, otrzym ując zależność: 3A2

1 T*/2

P = Y1 S

i

- T s t2

fl2(i)di = Tą irsR1*T~

(32)16.28)

M oc średnia szum ów w paśm ie inform acyjnym IFjest rów na W N0. Stosunek sygnał-szum kanału wynosi zatem: /c»m

3X 2/ 4 r , g r

3A2

WN„

4 Ts B t W N q

C

(6,29)

Polepszenie sto su n k u sygnał-szum w system ie P P M z im pulsem cosinusoidalnym wynosi: (S N R )0 _ n 2 (S N R )C

24

r

s

(6.30)

Przyjm ując, iż sygnał inform acyjny jest p ró bkow any z częstotliwością N yąuista, otrzym ujem y Ts = 1/2 W. O dpow iednia w artość w skaźnika jakości obliczona ze w zoru (6.30) wyniesie (n2/192)(B T/ W ) 2 i będzie w iększa od jedności, jeśli B , > 4,41 W. Stw ierdzam y także, iż szum ow y wskaźnik jakości system u P P M jest proporcjonalny d o k w ad ratu znorm alizow anej szerokości pasm a transm isji B r/W. W analizie szum owej przeprow adzonej dla system u P P M założyliśmy, iż średnia m oc szum u addytyw nego n a wejściu o d b io rn ik a jest m ała w p o rów naniu d o szczytowej m ocy im pulsu. W szczególności przyjęto, że są d w a przejścia przez poziom odcięcia d la każdego im pulsu, jed n o dla przedniego, a drugie dla tylnego zbocza tego im p u lsu Szum gaussow ski będzie miał przypadkow e w yskoki wywołujące d o d atk o w e przejścia przez poziom odcięcia, m ylnie inter­ pretow ane przez układ ja k o im pulsy sygnału użytecznego. P o d a n a analiza pom ija więc te fałszyw e impulsy, wywoływane przez wysokie w artości chw ilow e szumu. Fałszywe im pulsy m ają oczywiście skończone, choć niewielkie praw dopodobieństw a pojaw ienia się gdy szum jest gaussowski niezależnie o d tego, ja k m ałe jest odchylenie stan d ard o w e w p o rów naniu z am plitudą im pulsu sygnału użytecznego. P rzy zw iększaniu p asm a transm isji d o nieskończoności, tow arzy­ szący tem u w zrost średniej m ocy szum ów spow oduje na tyle częste pojaw ianie się fałszywych impulsów, iż następuje całkow ita u tra ta sygnału inform acyjnego na wyjściu odbiornika. W praktyce więc w system ach P P M występuje niekorzystny efekt progowy.

6 .6 .

Relacja szerokość pasma — poziom szumu

P od względem właściwości szum ow ych, system P P M stanow i optym alny rodzaj analogow ej m odulacji im pulsowej. A naliza szum ow a system u P P M przeprow adzona n a podanym przy­ kładzie pokazuje, iż zarów no system y m odulacji położenia im pulsów (P P M ), ja k i system y m odulacji częstotliwości (FM ) w ykazują p o d o b n e właściwości szum owe, a mianowicie: 1. O b a system y m ają szum ow y w skaźnik jakości proporcjonalny d o k w ad ratu pasm a tran s­ misyjnego, znorm alizow anego w sto su n ku d o szerokości pasm a zajm ow anego przez sygnał. 2. O b a system y w ykazują efekt progow y, w ystępujący przy zm niejszaniu stosunku sygnał-szum.

6.7. P R O C E S K W A N T O W A N I A

367

P raktyczną konsekw encją właściwości 1, jeśli chodzi o polepszenie właściwości szum owych system u kosztem zw iększenia szerokości p asm a transm isji, ta k w przypadku m odulacji fali ciągłej (CW ) ja k i analogow ych system ów m odulacji im pulsow ej, jest to iż należy postępow ać zgodnie z zależnością kwadratową (6.30). Pytanie, ja k ie tu nasuw a brzmi: Czy m o żn a uzyskać zależność korzystniejszą o d kw adratow ej? O dpow iedzią na nie jest w yraźne tak, a cyfrowa modulacja impulsowa jest właściwym sposobem n a jej uzyskanie. Z astosow anie takiej m etody oznacza radykalne odejście o d m odulacji CW . W szczególności, w podstaw ow ej m etodzie cyfrowej m odulacji im pulsowej, ja k ą jest modulacja impulsowo-kodowa (P C M )3), sygnał inform acyjny jest reprezentow any w postaci dyskretnej zaró w n o w czasie, ja k i am plitudzie. T a form a reprezentacji sygnału pozw ala na transm isję sygnału inform acyjnego w postaci ciągu zakodowanych impulsów binarnych. M ając taki ciąg, wpływ szum ów o d b io rn ik a n a końcow y sygnał wyjściowy system u m o żn a sprow adzić do pom ijalnego poziom u, czyniąc p o p ro stu średnią m oc przesyłanej binarnej fali P C M dostatecznie d u żą w p o ró w n an iu ze średnią m o cą szumów. D w a podstaw ow e procesy składające się n a generację binarnej fali P C M , to próbkowanie i kwantowanie. P roces p ró b k o w an ia prow adzi d o reprezentacji sygnału inform acyj­ nego w czasie dyskretnym ; d la jego właściwego w ykorzystania należy kierow ać się twierdzeniem o próbkow aniu, opisanym w punkcie 6.2. Proces kw antow ania n ato m iast polega na uzyskaniu dyskretnej reprezentacji w artości sygnału inform acyjnego. K w antow anie jest now ym procesem , k tó ry zostanie opisany szczegółow o w następnym punkcie tego rozdziału. Ł ączne zastosow anie p ró b k o w an ia i kw antow ania pozw ala n a przesyłanie sygnału inform acyjnego w postaci zakodow anej. U m ożliw ia to z kolei uzyskanie zależności wykładniczej szum ow ego w skaźnika jakości system u od szerokości p a sm a przesyłanego sygnału. Z ostanie to w ykazane w następnym punkcie.

6 .7 .

Proces kw antow ania4*

Sygnał analogow y, tak i ja k sygnał m ow y, m a ciągłe w idm o am plitudow e i dlatego jego próbki m ają am plitudy przyjm ujące dow olne w artości rzeczywiste. Innym i słowy, w każdym skończonym zakresie am p litu d sygnału m oże w ystąpić nieskończenie wiele poziom ów am plitudy tego sygnału. N ie jest je d n a k konieczne przesyłanie dokładnych w artości am plitud próbek. Ludzkie zmysły bow iem (ucho lub oko), będące ostatecznym odbiornikiem każdej informacji, rozróżniają jedynie skończone różnice natężenia sygnału. O znacza to, iż oryginalny sygnał analogow y m oże zo stać z pow odzeniem zaaproksym owany innym sygnałem o dyskretnym zbiorze am plitud, w ybranym z dostępnego zbioru na podstaw ie zasady m inim alnego błędu. Istnienie skończonego zbioru dyskretnych poziom ów am plitudy jest podstaw ow ym w arunkiem realizowalności m odulacji im pulsow o-kodow ej. Jest przy tym oczywiste, że jeśli te dyskretne poziom y am plitudy b ęd ą dostatecznie bliskie, sygnał aproksym ujący będzie praktycznie nie d o odróżnienia o d oryginalnego sygnału analogow ego. K w antow anie am plitudow e jest zdefiniowane ja k o proces transform acji am plitudy próbki m (n T ) sygnału inform acyjnego m (t) w chwili t = nTs na am plitudę dyskretną v(n T j należącą d o skończonego zbioru m ożliwych am plitud. W tej książce będziem y stale zakładać, iż proces k w an to w an ia jest bezinercyjny o raz chwilowy, co oznacza, iż efekt transform acji w chwili t = nTs nie zależy o d wcześniejszych ani późniejszych próbek sygnału inform acyjnego. T a prosta form a kw antow ania, choć nieoptym alna, jest jed n ak często stosow ana w praktyce. G d y m am y d o czynienia z kw antyzatorem bezinercyjnym, m ożem y uprościć notację, opuszczając zależność o d czasu. Z am iast oznaczenia m(nTs) będziemy więc dalej pisać po prostu

368

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

a ■1, Próbka analogowa

Kwantyzator m

9 0)

Próbka dyskretna v

mA -

1

mk

f ’A

m k 4 1

m

Rys. 6.16. O pis k w an ty zato ra be/inercyjnego

m, ja k pokazano n a schem acie blokow ym k w an ty zato ra z rys. 6.16a. N astępnie, ja k n a rys. 6.16b, am plitudę sygnału m zaopatrzym y w indeks k, jeśli leży o n a w zadanym przedziale: T :{mk < m ^ m k +1},

k = \,2 ,...,L

(6.31)

gdzie L — liczba wszystkich poziom ów am plitudy danego kw antyzatora. A m plitudy mk, k = 1,2,..., L są nazyw ane poziomami decyzyjnym i lub progami decyzyjnymi. N a wyjściu kw antyzatora, indeks k przetw arzany jest na am plitudę vk reprezentującą wszystkie am plitudy leżące w przedziale T; am plitudy vk, k = 1,2,...,L noszą nazw ę poziomów reprezentacji lub poziomow rekonstrukcji, a od stęp m iędzy d w om a sąsiednim i poziom am i reprezentacji nazyw any jest przedziałem kwantowania. Sygnał wyjściowy k w an ty zato ra v rów ny jest zatem vk, jeśli p ró b k a sygnału wejściowego m należy d o przedziału T k. O dw zorow anie (zobacz rys. 6.16a): v = 9(m)

(6.32)

opisuje charakterystykę kw antyzatora, k tó ra jest z definicji funkcją schodkow ą. R ozróżniam y kw antyzatory z kwantowaniem równomiernym i z kwantowaniem nie­ równomiernym. W kw antyzatorze z kw antow aniem rów nom iernym , poziom y reprezentacji są równoodległe; w innym p rzy p ad k u m am y d o czynienia z kw antow aniem nierów nom iernym . W tym punkcie zajm iem y się jedynie przypadkiem k w an ty zato ra z kw antow aniem ró w n o ­ miernym ; kw antyzatoram i z kw antow aniem nierów nom iernym zajm iem y się w następnym punkcie tego rozdziału. C h arak tery sty k a k w an ty zato ra m oże być typu „z zaokrąglaniem’'1 lub „z obcinaniem". N a rysunku 6.17a p o k azan o charakterystykę wejście-wyjście kw antyzatora z kw antow aniem rów nom iernym i z zaokrąglaniem , którego cechą jest to, iż początek jego charakterystyki leży n a śro d k u poziom ego odcinka funkcji schodkow ej. N a rysunku 6.17b p o k azan o odpow iednio charakterystykę wejście-wyjście k w an ty zato ra z kw antow aniem rów nom iernym i z obcinaniem , gdzie początek charakterystyki leży na środku pionow ego

Poziom wyjściowy

Poziom wyjściowy

Poziom wejściowy

Rys. 6.17. Dwa typy kwantowania: a) z zaokrągleniem, b) z obcinaniem

Poziom wejściowy

369

6.7. P R O C E S K W A N T O W A N I A

1 przebieg wejściowy

Czas Rys. 6.18. Ilustracja procesu kwantowania. (Na podstawie pracy Bcnnctt’a, 1948. za pozwoleniem AT&T) odcinka funkcji schodkow ej. Z auw ażm y, iż obie charakterystyki kw antyzatorów z k w an ­ tow aniem rów nom iernym są sym etryczne względem początku układu współrzędnych.

Szum kw an tow ania Z astosow anie kw an to w an ia w prow adza błąd, k tó ry m ożna zdefiniować ja k o różnicę między sygnałem wejściowym m, a sygnałem wyjściowym v. Błąd ten zw any jest szumem kwantowania. N a rysunku 6.18 zilustrow ano typow y przebieg szum u kw antow ania w funkcji czasu, w przypadku kw antow ania rów nom iernego z zaokrąglaniem . N iech sygnał wejściowy m k w an ty zato ra będzie sp ró b k o w an ą w artością zmiennej losowej M o w artości średniej zero. (G dy sygnał wejściowy m a w artość średnią różną o d zera, m ożna ją zawsze odjąć o d sygnału wejściowego kw antyzatora, a następnie znów d o d ać d o jego sygnału wyjściowego.) K w an ty zato r g( j odw zorow uje wejściową zm ienną losow ą M reprezen­ tującą ciągły zbiór am plitud, n a d y skretną zm ienną losow ą V; ich odpow iednie w artości spróbkow ane m o ra z v są zw iązane rów naniem (6.32). O znaczam y przez Q zm ienną losow ą reprezentującą błąd k w an to w an ia w artości spróbkow anej q. M ożem y napisać: q = m —v

(6.33)

oraz odpow iednio: Q = M -V

(6.34)

G dy sygnał wejściowy M m a zerow ą w artość średnią, a k w an ty zato r m a sym etryczną charakterystykę, ja k n a rys. 6.17, jego sygnał wyjściowy V a stąd i błąd kw antow ania Q m a też zerow ą w arto ść średnią. T a k więc celem statystycznej oceny jakości kw antyzatora za pom ocą stosunku sygnał-szum n a jego wyjściu, w ystarczy określić jedynie w artość średniokw adratow ą błędu k w an to w an ia Q. W eźm y zatem pod uwagę sygnał wejściowy m o ciągłej am plitudzie zmieniającej się w przedziale ( —m ^ , Przyjm ując kw antow anie rów nom ierne z zaokrąglaniem , ja k n a rys. 6.17b, znajdujem y następującą w artość rozdzielczości kw antyzatora: 24 S ystem y te le k o m u n ik a c y jn e cz. I

370

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

A = 2"W (6.35) gdzie L — całkow ita liczba poziom ów reprezentacji. W przypadku kw antow ania rów nom ier­ nego, błąd kw antow ania Q przyjm uje spróbkow ane w artości z przedziału —A / 2 ^ q ^ A/2. Jeśli rozdzielczość A jest dostatecznie m ała (tzn. liczba poziom ów reprezentacji L jest dostatecznie wielkaX rozsądne jest przyjąć, iż błąd kw antow ania Q jest zm ienną losow ą o rozkładzie równomiernym, a wpływ szum u kw antow ania n a wejściu k w an ty zato ra jest taki, ja k w w ypadku szum u term icznego. M ożem y wówczas wyrazić funkcję gęstości praw dopodobieństw a błędu kw antow ania Q w następującej postaci: / c (?) = { a ' 0,

- A /2 < « « A /2 gdzie indziej

Aby ta zależność była je d n a k spełniona, trzeba zapewnić, aby przychodzący sygnał nie spow odow ał przepełnenia kw antyzatora. Z w arunku, iż średnia w artość błędu kw antow ania wynosi zero, jego w ariancja o 2Q jest ró w na w artości średniokw adratow ej: J/2

4 =

f q2f Q(q)dq = E [ £ 2]

(6.37)

—a / 2

Podstaw iając rów nanie (6.36) d o (6.37) otrzym ujem y: 1 0,2 4 = -

A2 (6.38)

a ^

-a /2

Zazwyczaj, liczba k ze zbioru L, opisująca k-ty poziom reprezentacji kw antyzatora, jest przesyłana d o o d b io rn ik a w postaci binarnej. Niech R oznacza liczbę bitów na próbkę w binarnym zapisie k o d u tej liczby. M ożem y wówczas napisać: L = 2*

(6.39)

lub w rów now ażnej postaci: R = log2 L

(6.4(

Podstaw iając teraz rów nanie (6.39) d o (6.35) otrzym ujem y w zór określający rozdzielczo* kw antyzatora w postaci: A =

2 ™ m ax

(6.41)

2* Z ró w n ań (6.38) i (6.41) uzyskujem y zależność: it£ — — m 2 J~2R a Q ~ ^ m max^

(6.42)

Niech P oznacza średnią m oc sygnału inform acyjnego m(t). Stosunek sygnał-szum na wyjściu kw antyzatora z kw antow aniem rów nom iernym w yraża się wzorem:

,s “

1

■i

' &

’

6.7. P R O C E S K W A N T O W A N I A

371

Rów nanie (6.43) pokazuje, iż stosunek sygnał-szum n a wyjściu k w an ty zato ra w zrasta wykładniczo ze w zrostem liczby bitów n a próbkę, R. B iorąc p o d uwagę, że w raz ze w zrostem liczby bitów R, w zrasta p ro p o rcjo n aln ie szerokość p a sm a k an ału transm isyjnego B r m o żn a stwierdzić, iż bin arn a reprezentacja sygnału inform acyjnego (w postaci m odulacji im pulsow o-kodow ej) jest m etodą znacznie lepszą zaró w n o od m odulacji częstotliwości (F M ) ja k i m odulacji położenia im pulsów (P P M ), jeśli chodzi o korzyści uzyskiw ane przy zw iększaniu szerokości pasm a kanału dla popraw ienia właściwości szum ow ych system u. Stw ierdzenie to opiera się je d n a k na założeniu, iż w system ach F M i P P M czynnikiem krytycznym jest szum odbiornika, podczas gdy w systemie m odulacji z kodow aniem binarnym krytyczną rolę pełni szum kw antow ania. T en ostatni tem at będzie om ów iony dokładniej w punkcie 6.9.

Przykład 2

Sinusoidalny sygnał modulujący

R ozpatrzm y teraz szczególny przypadek sinusoidalnego sygnału m odulującego o am plitudzie A w z w ykorzystaniem całego zakresu przetw arzania kw antyzatora. M oc średnia sygnału (wydzielana n a op o rze obciążenia 1 Q) wynosi:

C ałkow ity zakres przetw arzania k w an ty zato ra w ynosi 2 A m, gdyż w artość chw ilow a sygnału m odulującego zm ienia się w granicach o d - A m d o A m. M ożem y więc przyjąć = Am i wówczas z ró w n an ia (6.42) uzyskujem y m oc średnią (wariancję) szum u kw antow ania w p o ­ staci: o 2q= j

A 1 2 -™

Stosunek sygnał-szum n a wyjściu k w an ty zato ra z kw antow aniem rów nom iernym jest wówczas równy:

( S N R ) °

=

A

0

k

^

( 2 2 *

]

( 6 M

)

W yrażając stosunek sygnał-szum w decybelach otrzym ujem y zależność lOlog lo(S N R )0 = 1,8 + 6 R

(6.45)

W artości tego sto su n k u d la różnych w artości L oraz R p o d an o w tablicy 6.1. D ane te pozw alają łatw o ocenić liczbę bitów n a próbkę, w ym aganą d o otrzym ania pożądanego stosunku sygnał-szum n a wyjściu układu.

T ablica 6.1. S T O S U N E K S Y G N A Ł U D O S Z U M U K W A N T O W A N IA P R Z Y R Ó Ż N E J L IC Z B IE P O Z IO M Ó W R E P R E Z E N T A C JI

24*

L iczba poziom ów reprezentacji, L

L iczba b itó w /p ró b k ę, R

Stosunek sygnału d o szum u (dB)

32 64 128 256

5 6 7 8

31,8 37,8 43,8 49,8

372

6 .8 .

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

Modulacja im pulsow o-kodow a

P o zapoznaniu się z procesam i pró b k o w ania i kodow ania, m ożem y przystąpić d o opisu m odulacji im pulsow o-kodow ej k tó ra, ja k uprzednio w spom niano, jest najbardziej podstaw ow ą form ą cyfrowej m odulacji im pulsowej. W modulacji impulsowo-kodowej (PC M ), sygnał informacyj­ ny je st reprezentowany w postaci ciągu zakodowanych impulsów, co uzyskuje się przez przetworzenie sygnału do postaci dyskretnej zarówno w czasie ja k i w amplitudzie. Podstaw ow ym i operacjam i, jakie dokonyw ane są w n ad ajn ik u system u P C M są: próbkowanie, kwantowanie o raz kodowanie, jak pok azan o n a rys. 6.19a; filtr dolnoprzepustow y, poprzedzający układ próbkujący, m a na celu zapobiec zjaw isku aliasingu sygnału inform acyjnego. O peracje kw antow ania i kodow ania dokonyw ane są zw ykle w tym sam ym układzie, zw anym przetwornikiem analogowo-cyfrowym (A/C). Podstaw ow ym i operacjam i, jak ie zachodzą w odbiorniku są natom iast: regeneracja sygnałów zniekształconych, dekodowanie o raz rekonstrukcja ciągu skw antow anych impulsów, ja k pok azan o n a rys. 6.19c. W razie potrzeby, regeneracja m oże być także dokonyw ana w punktach pośrednich drogi transm isji sygnału, ja k to przedstaw iono n a rys. 6.19b. W p rzypad­ ku zw ielokrotniania z podziałem czasowym , ab y cały system działał popraw nie, konieczna staje się synchronizacja o d b io rn ik a z nadajnikiem . Dalej zo stan ą opisane poszczególne układy tw orzące system PC M .

Próbkowanie O dbierany sygnał inform acyjny jest p ró b k o w any zą p o m o cą ciągu w ąskich im pulsów p ro sto k ą t­ nych tak, ab y uzyskać w przybliżeniu próbkow anie chwilowe. Aby zapew nić bezbłędne odtw arzania sygnału inform acyjnego przez odbiornik, zgodnie z tw ierdzeniem o próbkow aniu.

a Sygnał PCM

b

Rys. 6.19. Podstawowe elementy systemu PCM

373

6.8. M O D U L A C J A I M P U L S O W O - K O D O W A

częstotliwość p ró b k o w an ia pow inna być większa o d podw ojonej najwyższej częstotliwości W w idm a sygnału inform acyjnego. W praktyce zawsze stosuje się antyaliasingow y filtr dolnoprzepustow y przed układem próbkującym , ab y zaw czasu pozbyć się częstotliwości wyższych o d W. U k ła d próbkujący pow oduje więc zredukow anie analogow ego sygnału inform acyjnego (o skończonym czasie trw ania) d o skończonej liczby jego w artości dyskretnych w ciągu każdej sekundy.

K w an to w anie S p róbko w an a w ersja sygnału inform acyjnego zostaje następnie skw antow ana, dając now ą reprezentację tego sygnału, tym razem d y skretną zarów no w czasie ja k w am plitudzie. Proces kw antow ania m oże być rów nom ierny, ja k opisano w punkcie 6.7. Jed n ak przy pew nych zastosow aniach w ygodne jest użycie zm iennej odległości pom iędzy poszczególnym i poziom am i reprezentacji. D la przykładu, zakres napięć d la sygnału mowy, biorąc o d w artości szczytowej dla głośnej rozm ow y, d o jego najm niejszych w artości przy cichej rozm ow ie, w ynosi oko ło 1000 d o 1. Z a pom ocą kw antyzatora z kwantowaniem nierównomiernym, m ającego ta k d o b ra n ą charakterys­ tykę, ab y jego zdolność rozdzielcza w zrastała w m iarę oddalania się o d początku współrzędnych, m ożna uw zględnić stosunkow o rzad k o zdarzające się duże w artości am plitud sygnału, dodając jeden duży schodek końcow y d o tej charakterystyki. Innym i słowy, m ałe w artości sygnału, wym agające d o k ład n eg o odtw arzania, są faw oryzow ane n a koszt dużych. T ym sposobem uzyskuje się praw ie stałą d o k ład n o ść procentow ą w przeważającej części zakresu am plitud sygnału wejściowego. W efekcie całkow ita liczba poziom ów kw antow ania jest mniejsza, niż w przypadku k w an to w an ia rów nom iernego. U życie k w an to w an ia nierów nom iernego jest rów now ażne przepuszczeniu sygnału inform acyjnego przez kompresor, a następnie poddanie sygnału z wyjścia kom presora k w an ­ tow aniu rów nom iernem u. Szczególnym rodzajem kom presji stosow anym w praktyce jest kom presja o tzw. prawie p 5), określonym następującym wzorem: u =

log(l + p \m \)

(6.46)

lo g (l+ /x )

gdzie: m o raz v — odpow iednio znorm alizow ane napięcie wejściowe i wyjściowe, a p — stała dodatnia. N a ry su n k u 6.20a p o d a n o w ykres zależności (6.46) dla różnych w artości p. K w antow anie rów nom ierne w ystępuje gdy p = 0. Przy zadanej w artości p, odw rotność nachylenia charakterystyki kom presji, definiująca przedziały kw antow ania, jest rów na pochod­ nej |m | względem |u|, tzn.: d |m | —

—

d|i>|

lo g (l + p ) =

----------------------------------------( 1

+

/ * | m

| )

( 6 . 4 7 )

p

Jak stą d w ynika, p raw o p nie jest ani liniowe, an i logarytm iczne, lecz m ożna je uw ażać za w przybliżeniu liniow e d la m ałych poziom ów sygnału wejściowego, gdy p \m « 1 o raz prawie logarytm iczne d la dużych poziom ów sygnału wejściowego, gdy z kolei p\m \ » 1. In n y m często używ anym w praktyce praw em kom presji jest ta k zw ane prawo A, zdefiniow ane w zorem :

l+ io g z r

1 1

a

1« l+ lo g (X |m |) 1 + lo g A

1 ’

A

(6‘48)

374

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

O

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 O

O 0,2

Znormalizowany sygnał wejściowy

0,4

0,6

0,8

1,0

Znormalizowany sygnał wejściowy

|m|

Rys. 6.20. Prawo kompresji: a) prawo p, b) prawo A zilustrow anym n a wykresie z rys. 6.20b. Przyjm ow ane w praktyce w artości p aram etru A (odpow iadającem u stałej p w poprzedniej zależności) są bliskie 100. Przypadek A = 1 odpow iada kw antow aniu rów nom iernem u. O dw rotność nachylenia charakterystyki kompresji, jest rów na pochodnej |m | względem |p|; tzn.:

(6.49)

Przedziały kw an to w an ia leżące powyżej środkow ego odcinka liniowego, m ające dom inujący wpływ przy m ałych sygnałach, są zm niejszane o czynnik A\(l + log>ł). O znacza to w praktyce tłumienie rów ne około 25 dB, w p o ró w n an iu z kw antow aniem rów nom iernym . Aby praw idłow o odtw orzyć względne poziom y am plitud poszczególnych próbek sygnału, w odbiorniku należy zastosow ać układ o charakterystyce kom plem entarnej w stosunku do charakterystyki kom presora. U kład tego typu nazywa się ekspanderem. W idealnym przypadku obie charakterystyki pow inny być dokładnie odw rotne względem siebie tak, ab y pom ijając wpływ kwantowania, sygnał wyjściowy ekspandera był dokładnie taki sam, ja k sygnał na wejściu kom presora. Połączenie układu kompresora i ekspandera nazyw ane jest kompanderem. W sto so w an y ch obecnie sy stem ach P C M , u k ła d k o m p a n d e ra nie w ytw arza d o kładnej repliki nieliniow ej krzyw ej k o m p resji, p o k azan ej n a rys. 6.20. Z ap ew n ia o n raczej odcinkam i liniową ap ro k sy m ację p o rz ą d a n e j krzyw ej. U żyw ając d o stateczn ie dużej liczby o d cinków liniow ych, ap ro k sy m a c ja ta k a je st b a rd z o bliska krzyw ej d o k ład n ej, co zo stan ie zilustrow an e w przykładzie 3 n a k o ń c u teg o p u n k tu .

K odow anie P o p o d d an iu go procesom p ró b k o w a n ia i k w an to w an ia, p o sta ć analogow ego sygnału inform acyjnego (w paśm ie podstaw ow ym ) zostaje o g raniczona d o dyskretnego zbioru w artości, lecz p o stać ta nie jest najlepiej przystosow ana d o transm isji za pośrednictw em linii przesyłowej czy też d ro g ą radiow ą. A by skorzystać z zalet p ró b k o w a n ia i k w an to w an ia, celem

375

6.8. M O D U L A C J A I M P U L S O W O - K O D O W A

T ablica 6.2. B IN A R N Y SY STEM L IC Z E N IA D LA R = 4 L iczba po rząd k o w a poziom ów reprezentacji 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

N u m er poziom u w yrażony ja k o sum a p o tęg liczby 2 *

2° 21 2 1 + 2° 22 22 + 2° 22 + 2 1 22 + 2 ‘ + 2° 23 23 23 23 23 23 23 23

+ + + +

+

2°

+ 21 + 21 +

2°

22 22 22 + 22 +

+ 2° 2' 21 +

2°

Liczba b in arn a 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

uczynienia przesyłanego sygnału bardziej o d p o rn y m n a szum y, interferencje i inne szkodliw e wpływy zw iązane z kanałem , trzeb a posłużyć się procesem kodowania pow odującym zam ianę dyskretnego zb io ru w artości p ró b ek n a inną, dogodniejszą form ę sygnału. D ow olny sp o só b reprezentacji k ażd eg o dyskretnego zb io ru w artości, rozum iany ja k o szczególne u p o rz ą d ­ kow anie zdarzeń dyskretnych je st zw any kodem. K ażd e ta k ie dyskretne zdarzenie należące d o k o d u jest zw ane elementem kodu lub symbolem. D la przykładu, obecność lub b rak im pulsu jest sym bolem . Szczególne u p o rząd k o w an ie sym boli, używ ane w kodzie d o reprezentacji pojedyn­ czej w artości zb io ru dyskretnego jest nazyw ane słowem kodow ym lu b znakiem. W kodzie binarnym, k ażd y sym bol m oże przybierać je d n ą z dw u różnych w artości lub cech, tak ich ja k obecność lu b b ra k im pulsu. T e dw a sym bole k o d u b in arn eg o są zw yczajow o oznaczane przez 0 i 1. W kodzie trójkow ym , każd y sym bol m oże przybierać je d n ą z trzech różnych w artości lu b cech, i p o d o b n ie je st d la innych kodów . Je d n a k najw iększą korzyść J e ś li chodzi o w pływ szum ów kanału transm isyjnego uzyskuje się używ ając kodu binarnego, g d yż symbol binarny najlepiej znosi stosunkow o w ysoki poziom szum ów i jest łatw y do zregenerowania. Z ałóżm y, iż k ażd e słow o w kodzie b in arn y m sk ład a się z R bitów: bit jest akronim em angielskiego słow a binary d ig it* \ zatem R o znacza liczbę bitów na próbkę. Z a p o m o cą takiego k o d u m ożem y więc zapisać 2R różnych liczb. P rzykładow o, p ró b k a sk w an to w a n a d o jednego sp ośród 256 poziom ów , m oże zo stać zap isan a w postaci 8-bitow ego słow a kodu. Istnieje w iele sp o so b ó w uzy sk iw ania w zajem nie jed n o zn aczn ej o d pow iedniości pom iędzy p o z io m a m i reprezentacji, a słow am i k o d u . J e d n ą z d o g o d n y ch m eto d jest w yrażenie liczby p o rząd k o w ej d an eg o p o zio m u rep rezen tacji w postaci liczby binarnej. W b in arn y m system ie liczenia, m iejsce każdej cyfry b in arn ej zw iązan e jest z pew ną p o tęg ą liczby 2, ja k p o k a z a n o w tablicy 6.2, d la p rz y p a d k u czterech bitó w n a p ró b k ę (tzn. R = 4). Istnieje k ilk a kodów liniow ych p rzy d a tn y ch d o rep rezen tacji sym boli b in arn y ch 1 i 0 za p o m o c ą sy g n ałó w elektrycznych, a m ianow icie: 1. K o d unipolarny, w k tó ry m sym bol 1 jest rep rezen to w an y przez im puls o stałej am p litu d zie i z a d a n y m czasie trw an ia, a sym bol 0 p rzez b ra k im pulsu, ja k n a rys. 6 .2 la . C yfra b in arn a (przyp. tłum.).

376

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

Dane binarne

O

l

i

o

0

i b

I — l i n —i i_ r r

ii

nn n

n_

o

—i 1i i i i

i r

o

-J Pui ln i r - —in Ui—iL_

o

f

Bit odniesienia

Czas

Rys. 6.21 Sposoby reprezentacji danych binarnych: a) unipolarny, b) bez p o w ro tu d o zera (N RZ), c) z pow ro tem d o zera (RZ), d) bipolarny z pow ro tem d o zera (BRZ), e) bifazow y — M anchester, 0 kodow anie różnicow e

2. K o d bez pow rotu do zera (N R Z ), w k tó ry m sym bole 1 i 0 są rep rezen to w an e o d p o w ied n io przez d o d a tn ie i ujem ne im p u lsy o takiej sam ej am p litu d zie, ja k n a rys. 6.21b. 3. K o d z pow rotem do zera (RZ), w k tó ry m sym bol 1 jest rep rezen to w an y przez d o d a tn i im puls p ro s to k ą tn y o szero k o ści p o łów kow ej, a sym bol 0 p rzez brak im pulsu, ja k na rys. 6.2 lc. 4. K o d bipolary z pow rotem do zera (BRZ), w k tó ry m używ a się trzech p o zio m ó w am p litu d y , ja k n a rys. 6.21d. D o d a tn ie i u jem ne im pulsy o jed n ak o w ej am p litu d zie są m ianow icie na zm ian ę używ ane d o rep rezen tacji sy m b o lu 1, a b ra k im pulsu zaw sze d la sy m b o lu 0. U ży teczn a w łaściw ość k o d u B R Z p o leg a n a tym , iż w idm o m ocy tran sm ito w an eg o sy gn ału nie m a składow ej stałej i niew ielką zaw arto ść sk ład o w y ch m.cz. w p rz y p a d k u , gdy sym bole 1 i 0 p o jaw iają się z je d n a k o w y m p raw d o p o d o b ień stw em . 5. K o d bifazow y (ko d M a n chester), p rze d sta w io n y n a rys. 6.2le. Jest to m e to d a k o d o w a n ia , przy k tó rej sym bol 1 je st rep rezen to w an y przez p arę im pulsów : d o d a tn i i ujem ny, przy czym o b a te im pulsy m a ją ta k ą sam ą a m p litu d ę i połów kow y czas trw an ia. P rzy sym bolu

6.8. M O D U L A C J A I M P U L S O W O - K O D O W A

377

O, p o la ry za c je o b u tych im p u lsó w są przeciw ne. K o d M a n c h e ste r nie zaw iera składow ej stałej, lecz sto su n k o w o zn aczące w id m o m.cz, niezależnie o d staty sty k i sygnału. W pew ­ nych z a sto so w a n ia c h je st to w łaściw ość isto tn a. 6. K odow anie różnicowe, przy k tó ry m in fo rm acja je st z a k o d o w a n a p o p rze z przejścia sygnału, ja k z ilu stro w a n o n a rys. 6.2 lf. W p rz y p a d k u b in a rn e g o sy gnału P C M p o k a z a n e ­ go n a ty m ry su n k u , przejście rep rezen tu je sym bol 0, a b ra k przejścia sym bol 1. Jest oczyw iste, iż sy g n ał z a k o d o w a n y ró żn ico w o m o że zo stać o d w ró c o n y bez zm ian y jeg o znaczenia. O ry g in a ln a in fo rm acja b in a rn a o d tw a rz a n a jest przez p o ró w n y w an ie p o la ry z a ­ cji sąsied n ich sy m b o li celem u stalen ia, czy przejście m a miejsce, czy też nie. Przebiegi p o k a z a n e n a rys. 6.21a d o 6.21 f, ilu stru ją k o d o w an ie b in arn eg o stru m ien ia d an y ch 01101001. Z au w ażm y , iż n ie z o sta ło przy tym zasto so w an e k ształto w an ie im pulsów . Z ag ad n ien ie k sz ta łto w a n ia im p u lsó w i je g o k o rzy stn y w pływ n a szero k o ść p a sm a sygnałów P C M zo stan ie p rze d sta w io n e w ro zd ziale 7.

Regeneracja N ajw ażn iejszą cech ą sy stem ó w P C M je st m ożliw ość o d d ziały w an ia na po zio m w pływ u zniekształceń i szu m ó w p o w stający ch przy transm isji sygnałów P C M przez k an ał. P olega o n a n a o d tw a rz a n iu p raw id ło w eg o sy g n ału P C M za p o m o cą ła ń c u c h a repeterów regenera­ cyjnych rozm ieszczonych w d o statec zn ie m ałych o d stę p a c h w zdłuż k a n a łu transm isyjnego. R ep eter regeneracyjny, o schem acie b lo k o w y m ja k n a rys. 6.22, spełnia trzy p o d staw o w e funkcje: w yrów nyw anie, synchronizacja i podejm owanie decyzji. U k ład w yrów nujący k ształtu je o d b ie ra n e im p u lsy ta k , a b y sk o m p en so w ać w pływ zniekształceń am p litu d o w y ch i fazow ych sp o w o d o w an y ch k szta łte m c h a ra k te ry sty k i k an ału . U k ła d y sy n ch ro n izu jące w ytw arzają okresow y ciąg im pulsów , o trzy m y w an y za p o m o cą im pulsów o d b ieran y ch , służący d o p ró b k o w a n ia w y ró w n y w an y ch im p u lsó w w ta k ich chw ilach czasu, w k tó ry c h stosunek sygnał-szum je st m ak sy m aln y . K a ż d a ta k a p ró b k a jest p o ró w n y w a n a z o k re ślo n ą u p rzed n io w arto ścią progow ą w u k ład zie decyzyjnym . W czasie p rzezn aczo n y m n a tran sm isję każd ego b itu je st p o d e jm o w a n a decyzja, czy o d e b ra n y sym bol je st je d y n k ą czy zerem zależnie o d tego, czy p rzek ro czo n y z o sta ł p o zio m p ro g o w y , czy też nie. P o p rzek ro czen iu p o zio m u progow ego, „czysty” now y im p u ls re p rez en tu jąc y sym bol 1 zo staje w ysłany d o n a stęp n eg o repetera. W p rz y p a d k u przeciw nym , w ysłany zo staje in n y „czysty” now y im puls, rep rezen tu jący tym razem sym bol 0. T y m sp o so b em u n ik a się ak u m u lacji zn iek ształceń i szum ów w zdłuż k a n a łu tran sm isy jn eg o p o d w a ru n k ie m je d n a k , iż zak łó cen ia nie są na tyle duże, a b y sp o w o d o w ać b łęd n e zad ziałan ie p ro c e su decyzyjnego w system ie. W idealnym p rz y p a d k u , p om ijając opóźnienie, reg en ero w an y sy g n ał je st d o k ła d n ie ta k i sam , ja k o ry g in aln y sygnał n a wejściu

Zniekształcona fala PCM

Rys. 6.22. Schemat blokowy repetera regeneracyjnego

Zregenerowana fala PCM

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

k a n a łu transm isyjnego. W p ra k ty c e je d n a k reg en ero w an y sygnał ró żn i się nieco od oryginalnego, a to z d w u isto tn y ch pow odów : 1. N ie u n ik n io n a o b ecn o ść szum ów i interferencji k a n a łu p o w o d u je sp o rad y c zn e błędy w d ziałan iu u k ła d u decyzyjnego rep etera, w p ro w ad zając błędne b ity d o regenerow anego sygnału. 2. G d y o d stę p czasow y p o m ięd zy o d b ieran y m i im p u lsam i d o zn aje odchyleń o d w artości nom in aln ej, p o jaw ia się jitte r * ] pozycji reg en ero w an eg o im p u lsu , co p o w o d u je zn iek ształ­ cenia o d b ieran e g o sygnału.

D ekodow anie P ierw szą o p eracją d o k o n y w a n ą w o d b io rn ik u jest regeneracja (tzn. o d tw o rzen ie pierw otnego k ształtu i oczyszczenie z szum ów ) o d b ie ra n y c h im pulsów . Z reg en ero w an e im pulsy zo stają n astęp n ie p o g ru p o w a n e w słow a k o d o w e i zd ek o d o w an e (tzn. p o d d a n e przekształceniu o d w ro tn em u ) celem u zy sk an ia sk w an to w a n eg o sygnału P A M . P ro ces dekodow ania sp ro w a ­ d za się d o generacji im p u lsu o am p litu d zie będącej liniow ą su m ą w szystkich im pulsów d an eg o słow a k o d o w eg o , k tó re g o k ażd y im puls b ra n y jest z w agą zależn ą o d jeg o pozycji w słowie (2°, 2 1, 2 2, 2 3,...,2R~ 1), przy czym R je st liczbą bitó w n a p ró b k ę.

Filtracja K o ń co w ą o p e ra c ją zach o d zącą w o d b io rn ik u jest odzyskiw anie sygnału inform acyjnego, polegające n a p rzep u szczan iu sy g n ału w yjściow ego d e k o d e ra przez filtr d o ln o p rzep u sto w y o częstotliw ości granicznej rów nej szerokości p asm a sygnału W. P rzy założeniu, iż d ro g a transm isji sy g n ału nie w p ro w ad z a błędów , sygnał odzyskiw any p rzez o d b io rn ik nie zaw iera szum ów , z a w yjątkiem p o czątk o w y ch zniekształceń w p ro w ad zan y ch przez sam proces k w an to w an ia.

Z w ielo kro tn ian ie W system ach, gdzie sto su je się pro ces P C M , używ a się też z reguły zw ielo k ro tn ian ia poszczególnych źró d eł inform acji w system ie z podziałem czasow ym , przy k tó ry m każde źró d ło zach o w u je sw oją in d y w id u aln o ść przy p rzech o d zen iu o d p o w iad ające g o m u sygnału od n a d a jn ik a d o o d b io rn ik a . In d y w id u aln o ść ta jest n astęp stw em łatw ości, z ja k ą poszczegól­ ne ź ró d ła inform acji m o żn a d o łączać lu b o d łączać d o /o d sy stem u zw ielo k ro tn iająceg o z podziałem czasow ym . W ra z ze w zrostem liczby niezależnych źró d eł inform acji m aleje przedział czasow y, ja k i m o ż n a przeznaczyć d la pojedynczego sygnału, gdyż sygnały w szystkich źró d eł m u szą zm ieścić się w przedziale ró w n y m o d w ro tn o ści częstotliw ości p ró b k o w a n ia system u. T o z kolei o zn acza, że d o p u szczaln a d ługość słow a kodow ego reprezen tu jąceg o p o jed y n czą p ró b k ę ulega zm niejszeniu. Z drugiej je d n a k stro n y , im pulsy stają się tym tru d n iejsze d o w y g en ero w an ia i przesyłania, im k ró tszy jest czas ich trw an ia. C o więcej, gdy im p u lsy sta ją się zb y t k ró tk ie, w szelkie nieidealności śro d k ó w transm isji zaczynają zak łó cać p raw id ło w ą p ra c ę całego system u. W p ra k ty c e staje się więc konieczne ograniczenie liczby niezależnych k a n a łó w w poszczególnych g ru p a c h system ów zw ielo k ro t­ n ian ia z po d ziałem czasow ym .

*' Z n an y w polskiej literatu rze także p o d nazw ą drżen ie f a z y (przyp. tłum.).

6.8. M O D U L A C J A I M P U L S O W O - K O D O W A

Synchronizacja A by system P C M ze zw ie lo k ro tn ian ie m z p o d ziałem czasow ym fu n k cjo n o w ał popraw nie, w szystkie o p era cje zac h o d zące w o d b io rn ik u , z uw zględnieniem czasu p o trz e b n e g o na transm isję i regenerację sygnałów , p o w in n y być zg o d n e w czasie z tym i ja k ie zach o d zą w n ad ajn ik u . S p ro w ad z a się to o g ó ln ie b io rą c d o w y m ag an ia, a b y lo k aln y zeg ar o d b io rn ik a był zsy n ch ro n izo w an y z zegarem zn a jd u ją cy m się w n a d a jn ik u , przy czym zeg ar o d b io rn ik a pow inien być o p ó źn io n y o w arto ść czasu p o trz e b n e g o n a przesyłanie sygnałów inform acyj­ nych od n a d a jn ik a d o o d b io rn ik a . Je d n y m z m ożliw ych sp o so b ó w synchronizacji zegarów n a d a jn ik a i o d b io rn ik a jest zap a m ięty w an ie elem en tu k o d u lu b im pulsu n a d aw an eg o na k o ń cu ram ki (będącego słow em k o d o w y m uzyskiw anym ko lejn o z każdego niezależnego ź ró d ła inform acji) a n astęp n ie p rzesy łan ie tego im p u lsu jed y n ie co d ru g ą ram k ę. W tym p rzy p a d k u o d b io rn ik zaw iera u k ła d p o szu k u jący takiej k o m b in acji je d y n e k i zer, w której w ystępują o n e n a p rzem ian z częstością ró w n ą połow ie częstotliw ości ram k i, zap ew n iając tym sam ym sy n ch ro n izację m iędzy n ad ajn ik iem a o d b io rn ik iem . G d y d ro g a tran sm isji zo staje p rzerw an a, je st b a rd z o m ało p ra w d o p o d o b n e , aby zegary n a d a jn ik a i o d b io rn ik a p o k azy w ały w długim okresie ten sam czas. Z uw agi n a to, trz e b a przyjąć w procesie sy n ch ro n izacji o d p o w ied n ią p ro c e d u rę detekcji im pulsów sy n ­ chronizujących. P ro c e d u ra ta sp ro w a d z a się d o sp ra w d z a n ia elem entów k o d u jed n eg o p o drugim , aż p o jaw i się im p u ls sy n ch ro n izu jący. G d y zo stan ie w ykryte, iż d a n y elem ent k o d u jest d o stateczn ie długi, a b y m o ż n a by ło stw ierdzić b ra k im pulsu synchronizującego, zeg ar o d b io rn ik a zo staje cofnięty o je d e n elem ent k o d u , a n astęp n ie d o k o n u je się sp raw d zen ia kolejnego elem en tu k o d u . T e n proces przeszukiw ania je st p o w ta rz a n y d o m o m e n tu w ykrycia kolejnego im p u lsu sy n ch ro n izu jąceg o . C zas w ym agany d o u zy sk an ia synchronizacji jest oczywiście zależny o d tego, kiedy n a s tą p i przyw rócenie praw idłow ej transm isji sygnału. P rzy k ład 3

S ystem T l

W tym p rzy k ład zie opiszem y p o d sta w o w e p a ra m e try pew nego system u P C M , z n an e g o p o d nazw ą system u telefonii nośnej T l6), zap ew n iającego przesyłanie 24 k an ałó w telefonicznych, p rzeznaczo n eg o p o cz ą tk o w o d la p racy n a k ró tk ie odległości w m iejskim ru c h u telefonicz­ nym . System T l z o sta ł p o raz pierw szy w p ro w ad zo n y w S tan ach Z jed n o czo n y ch przez firm ę Bell System ju ż w e w czesnych la ta c h sześćdziesiątych. W ra z z jeg o pojaw ieniem się zo stała zain icjo w an a te n d e n cja d o w d ra ż a n ia system ów telek o m u n ik acji cyfrow ej. System T l zo stał n astęp n ie p o o d p o w ied n im z a a d a p to w a n iu w p ro w ad zo n y w całych S ta n a c h Z jednoczonych, K an ad zie i Jap o n ii. S tan o w i o n p o d sta w ę d la całej h ierarch ii system ów w yższego rzędu ze zw ielo k ro tn ian iem k a n a łó w , sto so w an y ch obecnie z a ró w n o d o transm isji n a duże odległości, ja k i telek o m u n ik acji w w a ru n k a c h gęsto z a lu d n io n y ch sk u p isk m iejskich. S ygnał m o w y (m ęskiej lu b kobiecej) je s t w zasadzie o g ran iczo n y d o zak resu częstotliw ości o d 300 d o 3100 H z co o zn acza, iż sk ład o w e w idm a leżące p o za tym p asm em nie w pływ ają w p ra k ty c e n a zro zu m iało ść o d b ie ra n e g o głosu. U k ład y telefoniczne p rzy ­ sto so w an e d o teg o zak resu częstotliw ości d ziałają w sp o só b całkow icie zadow alający. Sygnał m ow y p rzed p ró b k o w a n ie m p o d d a je się zatem z reguły filtracji d o ln o p rzep u sto w ę j, przy częstotliw ości gran iczn ej o k o ło 3,1 k H z. S k o ro w ięc W = 3,1 k H z, n o m in a ln a w arto ść częstotliw ości N y ą u is ta w ynosi 6,2 kH z. O d filtro w an y sygnał m ow y p ró b k u je się zw ykle z nieco w yższą częstotliw ością, a m ianow icie 8 k H z, co stan o w i standardow ą częstotliw ość p ró b k o w a n ia w system ach telefonicznych. J a k o k o m p a n d e r w system ie T l sto so w an y je st u k ła d o ch arak tery sty ce odcinkam i liniowej (składającej się z 15 o d cin k ó w liniow ych), zap ew n iający w przybliżeniu logarytm icz-

380

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

Tablica 6.3. 15 -S E G M E N T O W A C H A R A K T E R Y S T Y K A K O M P A N D E R A (g = 255) Liczba segm entów liniow ych

D ługość przedziału

R zuty końcow ych p u n k tó w segm entów n a oś poziom ą

0

2

±31

la , lb

4

±95

2a, 2b

8

±223

3a, 3b

16

±479

4a, 4b

32

±991

5a, 5b

64

±2015

6a, 6b

128

± 4063

7a, 7b

256

±8159

ne p raw o g o ró w n a n iu (6.46), p rz y czym stała g = 255. A p ro k sy m acja d o k o n y w a n a jest w tak i sp o só b , iż k o ń co w e p u n k ty poszczególnych o d cin k ó w leżą n a krzyw ej kom presji z ró w n a n ia (6.46), a ich rzu ty n a o ś p io n o w ą są rozm ieszczone ró w n o m iern ie. W tablicy 6.3 p o k a z a n o rzu ty p u n k tó w k o ń co w y ch tych o d cin k ó w na oś p o zio m ą i ro z m ia ry schodków poszczególnych o d cin k ó w . T a b lic a z o sta ła zn o rm a liz o w a n a w sto su n k u d o liczby 8159, tzn. w szystkie w arto ści są rep rezen to w an e przez liczby całkow ite. O d cin ek 0 a p ro k sy m ac ji jest odcinkiem w spółliniow ym , p rzech o d zący m przez p o czątek u k ła d u w spółrzędnych; zaw iera o n łącznie 30 ró w n o m iern ie rozm ieszczonych p o zio m ó w decyzyjnych. O d c in k i liniow e la , 2a,..., l a leżą p o n a d osią p o zio m ą, p o d czas gdy o d cin k i \ b ,2 b ,...,l b p o d osią p o zio m ą; każd y z tych 14 o d cin k ó w zaw iera 16 ró w n o m iern ie rozm ieszczonych p o zio m ó w decyzyjnych. D la o d cin k a w spółliniow ego 0, p o zio m y decyzyjne n a w ejściu k w a n ty z a to ra w ynoszą ± 1, ± 3 ,..., ± 3 1 , a o d p o w ied n ie p o zio m y rep rezen tacji n a w yjściu k w a n ty z a to ra są ró w n e 0, ± 1,..., ± 1 5 . D la o d cin k ó w w spółliniow ych l a i lb , p o zio m y decyzyjne n a w ejściu k w an ­ ty z a to ra w ynoszą ± 3 1 , ± 35,..., ± 9 5 , a o d p o w ied n ie p o zio m y rep rezen tacji na wyjściu k w a n ty z a to ra są ró w n e ± 16, ± 17,..., ± 3 1 itd., d la w szystkich dalszych o d cin k ó w liniow ych. W system ie m am y łącznie 31 + (1 4 x 16) = 255 p o zio m ó w rep rezen tacji zw iązanych z o p isa n ą p o sta c ią 15-odcinkow ej c h a ra k te ry sty k i k o m p a n d e ra . A by uw zględnić tę liczbę poziom ów rep rezen tacji, w k ażd y m z 24 k a n a łó w telefonicznych uży w an y jest k o d b in arn y o słow ie 8-bitow ym . Pierw szy bit p o k azu je, czy w ejściow a p ró b k a sy gnału je st d o d a tn ia , czy ujem na; bit ten przyjm uje w arto ść 1 d la d o d a tn ie g o i 0 d la ujem nego z n a k u p ró b k i. K olejne trzy b ity słow a k o d u słu żą d o identyfikacji segm entu, d o k tó re g o zalicza się d a n a p ró b k a p o d w zględem am p litu d y , a cztery o sta tn ie bity są p rzezn aczo n e d o identyfikacji k o n k re tn e g o p o zio m u rep rezen tacji w ew n ątrz d an eg o odcinka. P rzy częstotliw ości p ró b k o w a n ia 8 k H z, k a ż d a ra m k a z w ielo k ro tn io n eg o sygnału zajm uje czas 125 ps. S k ład a się o n a m ianow icie z 24 słów 8-bitow ych, plus pojedynczy bit d o d aw a n y n a k o ń cu ram k i i służący d o synchronizacji. K a ż d a ra m k a sk ła d a się więc z (24 x 8 ) + 1 = 193 bitów . K ażd y bit trw a 0,647 j i s , a w y n ik ająca stą d szybkość transm isji w ynosi 1,544 m eg ab itó w n a sek u n d ę (M b/s). P o z a sygnałem ak u sty czn y m , system telefoniczny m usi przesyłać specjalne sygnały sterujące. T a inform acja sygnalizacyjna p o trz e b n a je st d o p rzesy łan ia im pulsów n u m ero w y ch o ra z telefonicznych sygnałów p o c z ą tk u i k o ń c a rozm ow y. W system ie T l o d b y w a się to

6.9. S Z U M Y S Y S T E M Ó W P C M

381

w sp o só b n astęp u jący : p o każdej co szóstej ram ce, najm niej znaczący (tzn. ósm y) bit każdego k a n a łu telefonicznego jest usuw any, a n a jeg o m iejsce d o d a w a n y jest bit sygnalizacyjny, co daje śred n io 7 — b ita n a k ażd y w ejściow y sygnał telefoniczny. C iąg bitó w sygnalizacyjnych jest w ięc p rzesy łan y z szy b k o ścią ró w n ą częstotliw ości p ró b k o w a n ia podzielonej przez 6, tzn., 1,333 k ilo b itó w n a sek u n d ę (kb/s).

6 .9 .

S zum y system ów P C M

D w a głów ne ź ró d ła szu m ó w w pływ ają n a p rac e system ów P C M : 1. Szum kanału, p o jaw iający się w d o w o ln y m m iejscu p o m iędzy w yjściem n ad ajn ik a, a wejściem o d b io rn ik a . Szum k a n a łu w ystępuje zaw sze, o d chw ili załączenia system u. 2. Szum kw antow ania, w p ro w ad z an y p rzez n a d a jn ik i p rzen o szo n y aż d o w yjścia o d b io rn ik a. O d m ien n ie, n iż szum k a n a łu , szum k w a n to w a n ia jest za leżn y od sygnału w tym sensie, iż zn ik a o n z chw ilą o d łączen ia sy g n ału inform acyjnego. O b a w ym ienione ź ró d ła szu m ó w w y stęp u ją jed n o cześn ie z chw ilą, gdy system P C M zaczyna działać. T rad y cy jn e ujęcie p o leg a je d n a k n a oddzielnym tra k to w a n iu o b u tych źró d eł szum ów ta k , iż m o ż n a prześledzić ich w pływ n a w łaściw ości system u. G łó w n y sk u te k w yw ołany przez szum k a n a łu p o leg a n a w p ro w ad zan iu błędnych bitów d o o d b ie ra n e g o sygnału. W p rz y p a d k u b in a rn e g o system u P C M , o b ecn o ść błędnych bitó w o zn acza, iż sy m b o l 1 z o staje m ylnie u zn an y za sym bol 0 i vice versa. Jest rzeczą ja s n ą , że im częściej p o ja w ia ją się b łęd n e bity, ty m b ardziej sygnał w yjściow y o d b io rn ik a ró żn i się od ory g in aln eg o sy g n ału inform acyjnego. W iern o ść przesy łan ia inform acji w system ie P C M w obecności szu m ó w k a n a łu m o że b y ć m ierzo n a w k a te g o ria c h średniego praw dopodobieńst­ wa błędu sym bolu, k tó re je s t d efiniow ane ja k o śred n ie p ra w d o p o d o b ie ń stw o tego, iż z re k o n stru o w a n y sy m b o l n a w yjściu o d b io rn ik a ró żn i się o d sy m b o lu w ysłanego przez n ad ajn ik . Ś rednie p ra w d o p o d o b ie ń stw o b łęd u sym bolu, zw an e też sto p ą błędu, z a k ła d a , iż w szystkie b ity o d e b ra n e j fali b in a rn e j m a ją je d n a k o w ą w ażność. G d y je d n a k je st bardziej isto tn e z re k o n stru o w a n ie a n alo g o w e g o p rzeb ieg u o ry g in aln eg o sy gnału inform acyjnego, m oże zaistn ieć p o trz e b a n a d a n ia ró żn y ch wag błęd o m poszczególnych sym boli. P rz y ­ k ład o w o , b łąd n ajb ard ziej zn acząceg o b itu sło w a k o d o w eg o (rep rezen tu jąceg o sk w a n to w a n ą p ró b k ę sygnału inform acyjnego) je st b ard ziej szkodliw y, n iż b łą d najm niej znaczącego bitu tego sam ego słow a. A by zo p ty m alizo w ać d ziałan ie system u w obecności szu m u k a n a łu , należy zm inim alizow ać śred n ie p ra w d o p o d o b ie ń stw o b łęd u sym bolu. W ty m celu m o d elu je się zazw yczaj szum k a n a łu p o jaw iający się n a w ejściu o d b io rn ik a , ja k o ad d y ty w n y , biały i gaussow ski. W pływ szu m u k a n a łu m o ż n a uczynić p ra k ty c z n ie p o m ijaln y m , zap ew n iając o d p o w ied n ią w a rto ść sto s u n k u energii sy gnału d o gęstości w idm ow ej szum u, przez o d p o w ied n i d o b ó r odległości p o m ięd zy rep eteram i system u P C M . W tej sytuacji działanie system u P C M je s t o g ran iczo n e głów nie p rzez szum k w an to w a n ia . Z d y sk u sji dotyczącej szu m u k w a n to w a n ia p rzed staw io n ej w p u n k ta c h 6.7 i 6.8 w ynika, iż szum k w a n to w a n ia p o zo staje w zasad zie p o d k o n tro lą p ro je k ta n ta system u. M o ż n a g o u czy n ić p o m ijaln ie m ałym , w p ro w ad zając o d p o w ied n ią liczbę p o zio m ó w rep rezen tacji k w a n ty z a to ra o ra z o d p o w ie d n i w y b ó r k o m p a n d e ra , d o p a so w a n e g o d o n a d a ­ w anego sy g n ału inform acyjnego. Z a sto so w a n ie P C M p o zw ala więc n a zb u d o w a n ie system u telek o m u n ik acy jn eg o odpornego n a szum k a n a łu w sp o só b nieo siąg aln y d la jak ieg o k o lw iek system u m o d u la c ji z falą ciągłą lu b in n eg o an alo g o w eg o system u m o d u lacji im pulsow ej.

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

Tablica 6.4. W P Ł Y W S T O S U N K U E b/ N 0 N A P R A W D O P O D O B IE Ń S T W O B Ł Ę D U Eb/ N 0

P raw d o p o d o b ień stw o błędu Pe

4,3 dB 8,4 10,6 12,0 13,0 14,0

10"2 10 4 10 6 10"8 1 0 - '° 10 12

D la szybkości bitow ej 10s b/s jest to jed en błąd co każde 1 0 " 3 sekundy 1 0 " ' sekundy 10 sekund 20 m inut 1 dzień 3 m iesiące

Próg błędu T e o ria p o zw alająca n a w yliczenie błędów w system ach P C M zo stan ie przez n a s ro z p a trz o n a w n astęp n y m rozdziale. T u ta j pow iem y ty lk o , iż średnie p ra w d o p o d o b ie ń stw o b łęd u n a jed en sym bol w o d b io rn ik u P C M z k o d o w a n ie m b in arn y m , p o w o d o w a n eg o istnieniem białego addytyw nego szu m u gaussow skiego zależy ty lk o o d czy n n ik a Eb/ N 0, stosunku energii nadawanego sygnału przypadającej na jed en bit Eb, do widm owej gęstości m ocy szum ów N (). Z auw ażm y, iż sto su n e k E b/ N 0, jest liczbą bezw ym iarow ą m im o, iż w ielkości E b i N Q m ają ró żn ą in terp retac ję fizyczną. W tab licy 6.4 przedstaw iliśm y d a n e u k azu jące w pływ tego sto su n k u d la p rz y p a d k u b in a rn e g o sy stem u P C M z k o d o w an iem N R Z . D a n e z o statn iej k o lu m n y tej tab licy p o d a n o d la szybkości bitow ej 105 b/s. Z d an y ch zam ieszczonych w tablicy 6.4 ja s n o w ynika, że istnieje tu o k reślony próg błędu (dla o k o ło 11 dB). G d y E b/ N 0, leży poniżej tego p ro g u , liczba błędów w o d b io rn ik u znacząco w zrasta, p o d czas gdy pow yżej p ro g u w pływ szum u k an ało w eg o jest p ra k ty c z n ie do pom inięcia. In n y m i słow y, przy założeniu, iż sto su n e k Eb/ N 0 przew yższa p ró g błędu, szum k an ało w y nie m a p rak ty czn ie w pływ u n a ja k o ść o d b io ru , co je s t w łaśnie celem w p ro w ad zen ia system u P C M . G d y je d n a k E b/ N 0 sp ad n ie poniżej p ro g u błędu, n astęp u je o stry w zro st liczby błędów w odbiorze. Z e w zględu n a to , iż błędy u k ła d u decyzyjnego p o w o d u ją p o w staw an ie niepraw idłow ych słów k o d o w y ch stw ierdzam y, iż przy dużej częstości w y stęp o w an ia błędów , z re k o n stru o w a n y n a w yjściu o d b io rn ik a sygnał m a ło p rz y p o m in a o ry g in aln y sygnał inform acyjny. P o ró w n u ją c w arto ść p ro g u błędu w ynoszącego 11 dB d la system u P C M z k o d o ­ w aniem N R Z , z w a rto śc ią 60-70 dB w y m ag an ą p rzy tran sm isji sy gnału m ow y w system ie z m o d u lacją a m p litu d y w idzim y, iż P C M w ym aga znacznie m niejszych energii sy gnału m im o, iż śred n ia m oc szu m u w system ie P C M ulega R -k ro tn e m u zw iększeniu n a sk u te k R -k ro tn eg o zw iększenia p asm a, p rzy czym R jest liczbą bitó w p rzy p ad ający ch n a je d n o słow o k o d o w e (tzn. bitów n a próbkę). W w iększości system ów tran sm isy jn y ch , w pływ y szum ów i zak łó ceń w p ro w a d z a ­ nych przez poszczególne o d cin k i k a n a łu su m u ją się. P rz y zad an ej ja k o śc i całkow itej danej transm isji, im d alsza je st fizyczna o d leg ło ść p o m iędzy n ad ajn ik iem i o d b io rn ik iem , tym ostrzejsze sta ją się w y m ag a n ia o d n o śn ie pojedynczego łącza w system ie. Je d n a k w p rzy p a d k u system u P C M , ze w zględu n a m ożliw ość d o w o ln ie częstego reg en ero w an ia sygnału, w pływ zniekształceń am p litu d o w y ch i fazow ych o ra z zniekształceń nieliniow ych jed n eg o łącza (jeśli ty lk o nie są z b y t znaczne) nie m a p ra k ty c z n ie w pływ u n a zreg en ero w an y sygnał stan o w iący wejściow y sy g n ał n a stę p n eg o łącza. W idzieliśm y także, iż w pływ szum u k an ało w eg o m o żn a uczynić p rak ty czn ie p o m ijaln y m , gdy sto su n e k E b/ N 0 p rz y p a d a pow yżej p ro g u . Z atem

6.10. W Ł A Ś C I W O Ś C I . O G R A N I C Z E N I A I M O D Y F I K A C J E S Y S T E M U P C M

383

w p rak ty ce, w y m ag an ia d o ty czące tran sm isji w łączu P C M nie zależą praw ie o d długości k a n a łu k o m u n ik acy jn eg o . I n n ą w aż n ą cechą system u P C M je st je g o odporność na interferencje sp o w o d o w an e obcym i im p u lsam i lu b przesłucham i. Ł ączn y w pływ szum u k an ało w e g o i interferencji p o w o d u je w zrost p o z io m u pro g o w eg o , n iezb ęd n eg o d o praw idłow ej p racy system u P C M . G d y je d n a k zap ew n i się o d p o w ied n i m arg in es p ro g u błędu przy p ro je k to w a n iu system u, będzie o n zd o ln y d o p ra c y n aw et w obecności w zględnie w ysokiego p o zio m u interferencji. In n y m i słow y, system P C M je st system em odpornym .

6 .1 0 . W łaściw ości, ograniczenia i m odyfikacje systemu P C M System m o d u lacji im p u lso w o -k o d o w ej (P C M ) p o w stał historycznie b io rą c ja k o najb ard ziej k o rzystny system m o d u lacji d o tran sm isji an alo g o w y ch sygnałów inform acyjnych, ta k ich ja k sygnał m ow y i sy g n ał telew izyjny. Z alety system u P C M w ynikają w szystkie z sam ej zasady zastosow ania zakodow anych im pulsów dla reprezentacji sygnałów analogow ych, co w y ró żn ia go od w szystkich in n y ch ty p ó w m o d u lacji analogow ej. W ażne zalety system u P C M są następujące: 1. O dporność n a szum y k an a ło w e i interferencje. 2. E fektyw na regeneracja z a k o d o w a n y c h sygnałów w zdłuż d ro g i transm isji. 3. E fektyw na, z g o d n a z p raw em w ykładniczym , m ożliw ość w ym iany zw iększonego p asm a k a n a łu n a lepszy sto su n ek sygnał-szum . 4. Jed n o lity fo rm a t d la tran sm isji ró żn y ch ro d zajó w sygnałów z p a sm a podstaw ow ego; stąd m ożliw ość je g o in tegracji z innym i ro d z a ja m i d a n y c h cyfrow ych, w ram ach w spólnych sieci teleinform atycznych. 5. W zględna łatw ość d o łą c z a n ia lub o d łączan ia poszczególnych źródeł inform acji d o system u ze zw ielo k ro tn ian iem z po d ziałem czasow ym . 6. B ezpieczna te le k o m u n ik a c ja z użyciem specjalnych system ów m o d u lacy jn y ch lu b szyf­ rujących. Z alety te o siąg a się je d n a k k o sztem zw iększenia złożoności system u i szerokości przesyłanego p asm a. O b a te p ro b le m y z o sta n ą teraz k o lejn o om ów ione. M im o, iż system P C M o b ejm u je wiele złożonych o p eracji, w szystkie o n e m o g ą być obecnie realizo w an e w sp o só b ek o n o m iczn y przy zasto so w an iu d o stę p n y c h na ry n k u sta n d a rd o w y c h i/lu b p ro d u k o w a n y c h n a zam ów ienie układów scalonych bardzo wielkiej skali integracji (VLSI). In n y m i słow y, jesteśm y w p o sia d a n iu o d p o w ied n ich technologii w y­ tw a rz a n ia elem en tó w n iezbędnych d o realizacji system ów P C M . C o więcej, w raz z ciągłym rozw ojem tech n o lo g ii u k ład ó w V L S I, m o ż n a sp o d ziew ać się stałeg o w zro stu liczby zasto so w ań sy stem u P C M d o tran sm isji sy g n ałó w analogow ych. T a m je d n a k , gdzie p ro s to ta u k ła d o w a jest najw ażniejszą zaletą, m o żn a sto so w ać m o d u lację d elta, ja k o altern aty w ę m o d u lacji im p u lso w o -k o d o w ej. P rzy m o d u lacji delta, sygnał p asm o w y je s t św iadom ie „ n a d p ró b k o w a n y ”, celem u p ro szczen ia p rocesu k w a n ­ to w an ia, n iezb ęd n eg o przy tw orzeniu k o d o w an e g o sygnału; m o d u lacji d e lta pośw ięcony zo stan ie p u n k t 6.11. P rz e c h o d z ą c d o p ro b lem u szero k o ści p asm a m ożem y stw ierdzić, iż w y m ag an ia dotyczące szero k o ści p asm a w system ie P C M m ogły stan o w ić p rz e d m io t tro sk i jed y n ie w przeszłości. O b ecn ie n a to m ia st, nie jest to ju ż pro b lem em , a to z dw u różnych po w o d ó w . P o pierw sze, w zrasta d o stę p n o ść szerokopasm ow ych kanałów telekom unikacyj-

384

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

nych co o zn acza, iż szero k o ść p a sm a nie je st ju ż ro zu m ian y m w trad y cy jn y m sensie ograniczeniem system ow ym . L ib eralizacja teg o o g ran iczen ia sta ła się m ożliw a dzięki satelito m telek o m u n ik acy jn y m o ra z stałem u w zrostow i u d ziału linii św iatłow odow ych w sieciach telek o m u n ik acy jn y ch ; o m ó w ien iu k a n a łó w telek o m u n ik acy jn y ch teg o ro d zaju pośw ięcony z o sta ł o sta tn i ro zd ział tej książki. D ru g im p o w o d em je st z asto so w a n ie w yrafinow anych m eto d kom presji danych, dzięki czem u stało się m ożliw e usunięcie red u n d a n cji zw iązanej nierozłącznie z sygnałem P C M , i zre d u k o w an ie ty m sam y m szybkości bitow ej przesy łan eg o sygnału, bez pow ażniej­ szego zm niejszenia ja k o śc i system u. W efekcie, bardziej zło żo n e p rzetw arzan ie (po w o d u jące w zrost k o sztó w realizacji system u) p o zw ala n a zm niejszenie szybkości system u, co z kolei o b n iża n iezb ęd n ą szero k o ść p asm a. P o d staw o w y m p o w o d em , m otyw ującym zm niejszanie przepływ ności bitow ej je st zapew nienie bezpiecznej telek o m u n ik acji za p o śred n ictw em k an ałó w radiow ych, m ających z n a tu ry m a łą pojem ność. Z ag ad n ien ie k o d o w a n ia m ow y przy niskich przepływ nościach bitow ych z o sta n ie ro z p a trz o n e w p u n k cie 6.13, p o d k ątem p rzetw arzan ia sygnałów . D o sp raw y k o m p resji d a n y c h w szerszym aspekcie teo rii inform acji pow rócim y w ro zd ziale 10.

6 .1 1 . M o d u lacja delta W system ie m odulacji delta1'* (D M ), p rzy ch o d zący sygnał info rm acy jn y zo staje p o d d a n y n a d p ró b k o w a n iu (tzn. p ró b k o w a n iu z częstotliw ością d u ż o w iększą o d częstotliw ości N yąuista), a b y celow o zw iększyć ko relację pom iędzy sąsiednim i p ró b k a m i sygnału. M a to na celu um ożliw ienie p ro ste g o sp o so b u k w a n to w a n ia przy tw o rzen iu z a k o d o w a n e g o sygnału. W swej p o d staw o w ej p o staci, D M stan o w i aproksym ację schodkow ą n a d p ró b kow anej w ersji sygnału inform acyjnego, ja k p o k a z a n o n a rys. 6.23a. R ó żn ica m iędzy sygnałem w ejściow ym i je g o a p ro k sy m a c ją zo staje sk w a n to w a n a przy d w ó ch tylko poziom ach , a m ianow icie + A, o d p o w ied n io d la ró żn ic d o d a tn ic h i ujem nych. T ym sposobem , gdy a p ro k sy m a c ja zn ajd zie się poniżej w arto ści sy gnału w kolejnym okresie p ró b k o w a n ia , zo staje o n a zw ięk szo n a o w a rto ść A. G d y n a to m ia st znajdzie się o n a pow yżej

b

Ciąg binarny na wyjściu o o modulatora

i

o

i

1

1

Rys. 6.23. Ilustracja modulacji delta

i

i

o

i— o o

o o o

o

385

6.11. M O D U L A C J A D E L T A

w artości sy g n ału w d a n y m okresie p ró b k o w a n ia , zo staje o n a zm n iejszo n a o w a rto ść A. Jeśli tylko sygnał n ie zm ien ia się zb y t szy b k o w czasie jed n eg o o k re su p ró b k o w a n ia , ap ro k sy m acja sch o d k o w a p o z o sta je w g ran icach ± A w zględem sy gnału w ejściow ego. O z n a c za ją c sy g n ał w ejściow y przez m(t), a jeg o sc h o d k o w ą ap ro k sy m ację przez mq(t), p o d sta w o w a z a s a d a m o d u lacji d e lta m oże z o sta ć sfo rm alizo w an a za p o m o cą n astęp u jąceg o z b io ru relacji, zap isan y ch w czasie dyskretnym : e(nTs) = m (nTs) — m q(nTs — Ts)

(6.50)

eq(nTs) = A sgn[c(nT s)]

(6.51)

mą{nTs) = m q(nTs - Ts) + eq(

n

T

(6.52)

gdzie Ts — o k res p ró b k o w a n ia ; e(n7^) — b łąd sy g n ału , będący ró żn icą pom iędzy o b e c n ą w a r­ to ścią p ró b k i m (n T J sygnału w ejściow ego i o sta tn ią jej ap ro k sy m a c ją , tzn. m (nTs) — — m q(nTs — Ts); n a to m ia st eq(nTs) — sk w a n to w a n a w ersja e{nTx). W yjściow y sygnał kw anty z a to ra , eq(nTs) zo staje n a stę p n ie zak o d o w an y , d a ją c w w y n ik u p o ż ą d a n y sygnał D M . N a ry su n k u 6.23a p o k a z a n o sp o só b , w ja k i ap ro k sy m a c ja sch o d k o w a m q(t) n a d ą ż a za zm ian a m i sy g n ału w ejściow ego m(i) w sp o só b o p isan y ró w n a n ia m i (6.50) d o (6.52), a n a rys. 6.23b o d p o w ie d n i ciąg b in a rn y n a w yjściu m o d u la to ra d elta. Jest oczyw iste, iż w system ie m o d u lacji d elta, szy b k o ść p rzesy łan ia inform acji jest ró w n a częstotliw ości p ró b k o w a n ia / S = V T S. P o d sta w o w ą z a le tą m o d u lacji d e lta jest jej p ro sto ta . Z m o d u lo w a n y sygnał m o żn a bow iem w y g en ero w ać n a p o d staw ie sp ró b k o w a n e j wersji p rzy ch o d ząceg o sygnału in fo r­ m acyjnego w u k ład zie m o d u la to ra sk ład ająceg o się z kom paratora, kw a ntyzatora i akum ulato­ ra, p o łączo n y ch ze s o b ą w sp o só b p o k a z a n y n a rys. 6.24a. Szczegółow y sch em at m o d u la to ra w ynika b e zp o śred n io z ró w n a ń (6.50) d o (6.52). K o m p a ra to r o b licza różnice dw u sygnałów w ejściow ych. K w a n ty z a to r sta n o w i u k ła d „tw ardego” ogranicznika o c h a ra k te ry sty c e będącej p rzesk alo w an ą w ersją funkcji signum. Sygnał w yjściow y k w a n ty z a to ra jest p o d a w a n y na wejście a k u m u la to ra , d ająceg o n a stęp u jąc y sygnał: mq(nTs) = A £ sgn [e(iT J] = £ eq(iTs) £= 1

(6.53)

i = l

będący w ynikiem ro z w ią z an ia ró w n a ń (6.51) i (6.52) w zględem m q(nTs). T ym sposobem , w m om encie p ró b k o w a n ia nT „ a k u m u la to r d o d a je (lub odejm uje) d o w arto ści ap ro k sy m acji w arto ść A, w zależności o d z n a k u sy g n ału b łęd u e(nTs). Jeśli sygnał w ejściow y m(nTs) jest większy od o statn iej w arto ści ap ro k sy m acji, mq(nTs), m am y d o czynienia z d o d a tn im przyrostem + A. Jeśli n a to m ia st sygnał w ejściow y je st m niejszy, d o ap ro k sy m acji d o d a n y zo staje p rz y ro st ujem ny —A. T y m sp o so b em , a k u m u la to r n a d ą ż a za w arto ściam i p ró b e k sygnału w ejściow ego z d o k ła d n o śc ią d o je d n e g o k ro k u (o am p litu d zie + A lu b —A) n a cykl p ró b k o w a n ia . W o d b io rn ik u p o k a z a n y m n a rys. 6.24b, ap ro k sy m a c ja sc h o d k o w a mq(t) zo staje z re k o n s tru o w a n a w ten sp o só b , iż ciąg d o d a tn ic h lu b ujem nych im pulsów wy­ tw arzan y ch n a w yjściu d ek o d era, p rzech o d zi przez a k u m u la to r p o d o b n ie ja k w n ad ajn ik u . Leżący p o z a p asm em szum k w an to w a n ia , o b ecn y w sygnale sch o d k o w y m w ielkiej często t­ liw ości mq(t), zo staje o d filtro w an y za p o m o c ą filtru d o ln o p rzep u sto w eg o , ja k n a rys. 6.24b, k tó reg o p a sm o je st ró w n e p a sm u z ajm o w an em u przez o ry g in aln y sygnał inform acyjny. M o d u la c ja d e lta p o d leg a dw u ro d z a jo m błędów k w a n to w a n ia , k tó ry ch przy­ czynam i są: (1) zniekształcenia zw iązan e z przepełnieniem zb o cza o ra z (2) szum śru to w y . N a p o c z ą tk u zajm iem y się przepełnieniem , a n astęp n ie szum em śrutow ym . 25 S ystem y te le k o m u n ik a c y jn e cz. I

386

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

L

J Akumulator

b

1 W ejście

Wyjście

J Akumulator Rys. 6.24. System D M : a) n ad ajn ik , b) odbiornik

Z auw ażm y, iż ró w n an ie (6.52) je st cyfrow ym o d p o w ied n ik iem całk o w a n ia w tym sensie, iż rep rezen tu je a k u m u la cję d o d a tn ic h i ujem nych p rzy ro stó w a m p litu d y A. P o d o b n ie, oznaczając b łą d k w a n to w a n ia przez q(nTs), o trzy m u jem y rów ność: mq(nTs) = m (nTs) + q (n T J

(6.54)

B iorąc p o d uw agę ró w n a n ie (6.50) o trzy m u jem y stą d sygnał w ejściow y k w an ty za to ra : e(nTs) = m (nTs) - m ( n T s - T J - q ( n T s - T s)

(6.55)

P o m ijając b łą d k w a n to w a n ia q(nTs — Ts), p o zo stałe sk ład n ik i sygnału w ejściow ego k w an ­ ty z a to ra stan o w ią pierw szą różnicę w steczną sy gnału w ejściow ego, k tó ry m o żn a uw ażać za cyfrow e przybliżenie p o ch o d n ej sy g n ału w ejściow ego lu b inaczej m ów iąc, za o d w ro tn o ść w sto su n k u d o p ro cesu c a łk o w a n ia cyfrow ego. Jeśli w ziąć p o d uw agę m ak sy m aln e nachylenie ory g in aln eg o przebiegu w ejściow ego m(t), w aru n k iem n a to a b y ciąg p ró b e k {mq(nTs)} n a ra sta ł ta k szy b k o ja k w ejściow y ciąg p ró b e k {m(nTs)} tam , gdzie nachylenie sygnału m(t) osiąga m ak sim u m , je st nierów ność: A d m(t) — 3= m ax dt Ts

(6.56)

G d y w aru n e k te n nie jest sp ełniony, w a rto ść p rz y ro stu A staje się zb y t m ała, ab y przybliżenie sch o d k o w e mq(t) n a d ą ż a ło za stro m y m o d cin k iem przebiegu w ejściow ego m{t) i w rezultacie

6.11. M O D U L A C J A D E L T A

387

Zniekształcenie prz< zbo

Aproksymacja schodkow a '

mq (t)

Rys. 6.25 Ilustracja błędu k w an to w an ia w m odulacji delta

o p ó ź n ia się w zględem m(t), ja k n a rys. 6.25. S tan ta k i n azyw any je st przeciążeniem zbocza, a w y n ik ający s tą d b łą d k w a n to w a n ia nosi nazw ę zniekształcenia (szumu) przeciążenia zbocza. P o n iew aż m ak sy m aln e nachylenie ap ro k sy m acji schodkow ej mq(t) je st u stalo n e p o p rzez w y b ó r w ielkości sc h o d k a A, ro sn ąc e i m alejące o d cin k i przeb ieg u sch o d k o w eg o m q(t) przylegają d o linii p ro sty c h . Z teg o p o w o d u , m o d u la to r d e lta o stałej w ysokości sc h o d k a jest często n azy w an y liniow ym m odulatorem delta. W o d ró ż n ie n iu od zn iek ształcen ia zw iązanego z przeciążeniem zbocza, szum śrutow y p o ja w ia się, gdy sch o d ek A je st zb y t w ysoki w sto su n k u d o lo k aln eg o n ach y len ia c h arak te ry sty k i p rzeb ieg u w ejściow ego m(t), co po w o d u je, iż przebieg sch o d k o w y m ą(t) oscyluje w o k ó ł sto su n k o w o p łask ieg o o d c in k a tego przeb ieg u w ejściow ego; zjaw isko to jest też p o k a z a n e n a rys. 6.25. S zum śru to w y je st an alo g iczn y d o szu m u k w a n to w a n ia w system ie P C M . W idzim y więc, że istnieje p o trz e b a zapew nienia d u żeg o ro z m ia ru sc h o d k a dla o b sz a ru szybkich zm ian sy g n ału o ra z m ałego ro z m ia ru sc h o d k a d la o b szaró w , w k tó ry ch sygnał zm ien ia się w olno. J a k stą d w ynika, w y b ó r o p ty m aln eg o ro z m ia ru sch o d k a, m inim alizującego w a rto ść śre d n io k w a d ra to w ą szum u k w a n to w a n ia w liniow ym m o d u la to ­ rze d e lta będzie re z u ltatem k o m p ro m isu p o m iędzy zniekształceniam i p rzep ełn ien ia zbocza, a szum em śru to w y m . A by sp ro sta ć ty m w y m ag an io m , należy uczynić m o d u la to r d elta „ad a p ta c y jn y m ” w tak im sensie, że ro z m ia r sc h o d k a będzie się zm ieniał zg o d n ie ze zm ianam i sygnału w ejściow ego81.

M o d u lacja d elta-sigm a Ja k u p rz e d n io w sp o m n ian o , sy g n ał w ejściow y k w a n ty z a to ra , p rzy k o n w en cjo n aln ej m o d u la ­ cji d elta, m oże b y ć ro z p a try w a n y ja k o a p ro k sy m a c ja pochodnej p rzy ch o d ząceg o sygnału inform acyjnego. W łaściw ość ta sta n o w i w adę m o d u lacji d e lta p o leg ającą n a ty m , iż zak łó cen ia tran sm isji, ta k ie ja k szum , p o w o d u ją ak u m u lacy jn y b łą d d em o d u lo w an eg o sygnału. W a d ę tę m o ż n a p o k o n a ć z a p o m o c ą całkow ania sy gnału inform acyjnego p rzed m o d u lacją d elta. Z a sto so w a n ie tak ieg o c a łk o w a n ia m a jeszcze n astęp u jące zalety: • S kładow e niskoczęstotliw ościow e sy g n ału w ejściow ego p o d leg ają preem fazie. • K o re la c ja p o m ięd zy sąsiednim i p ró b k a m i sy gnału w ejściow ego m o d u la to ra d e lta zostaje zw iększona, co d aje w efekcie polepszenie og ó ln y ch p a ra m e tró w system u, poprzez zm niejszenie w arian cji sygnału błędu n a w ejściu k w an ty za to ra . • B udo w a o d b io rn ik a z o staje uproszczona. M o d u la c ja d e lta z całk o w an iem n a w ejściu je st n azy w an a m odulacją delta-sigm a9) (D -IA f). B ardziej p recy zy jn ie p o w in n o się j ą n azy w ać m odulacją sigm a-delta, gdyż całk o w an ie jest d o k o n y w a n e w łaściw ie przed m o d u lacją d elta. M im o to, p o p rze d n io p o d a n y term in jest szeroko sto so w a n y w literaturze. 25*

388

6. M O D U LACJA IMPULSOWA

N a ry su n k u 6.26a p o k a z a n o sch em at b lo k o w y system u m o d u lacji delta-sigm a. N a tym schem acie, sy g n ał in fo rm acy jn y m (t) m a fo rm ę a n a lo g o w ą co o zn acza, iż m o d u la to r im pulsow y sk ła d a się tu ta j z tw ard eg o o g ran iczn ik a, za k tó ry m zn ajd u je się u k ła d m nożący. N a d ru g ie wejście teg o o sta tn ie g o p o d a w a n y jest sygnał z zew n ętrzn eg o g e n e ra to ra im pulsow ego (zegara), d a ją c w efekcie sygnał k o d o w a n y je d n y m bitem . Z asto so w an ie całk o w a n ia n a w ejściu n a d a jn ik a w ym aga oczyw iście deem fazy, a m ianow icie różnicz­ k o w an ia w o d b io rn ik u . P o trz e b a teg o ró żn iczk o w an ia zo staje je d n a k w yelim inow ana z p o w o d u je g o red u k cji z całk o w an iem zach o d zący m w k o n w en cjo n aln y m o d b io rn ik u D M . O d b io rn ik system u z m o d u la c ją d elta-sig m a je st p o p ro s tu filtrem d o ln o p rzep u sto w y m , ja k p o k a z a n o n a rys. 6.26a. C o więcej, c ałk o w a n ie je st ja k w iad o m o o p e ra c ją liniow ą. M o ż n a więc uprościć b u d o w ę n a d a jn ik a z a stę p u ją c d w a in te g ra to ry 1 o ra z 2 u k ła d u z rys. 6.26a jed n y m in teg rato re m um ieszczonym p o k o m p a ra to rz e , ja k n a rys. 6.26b. T a o sta tn ia w ersja system u m o d u lacy jn eg o d elta-sig m a je st nie ty lk o p ro stsza, niż u k ła d z rys. 6.26a, lecz p o zw ala n a in teresu jącą in te rp re tację m o d u lacji d elta-sig m a ja k o „w ygładzonej” wersji 1-bitow ej m o d u lacji im p u lso w o -kodow ej: T erm in gładkość o d n o si się d o faktu, iż całk o w an ie n a w yjściu k o m p a ra to ra m a m iejsce p rzed k w an to w a n ie m , a term in 1-bitow y o zn acza jed y n ie, iż k w a n ty z a to r je st w istocie tw ard y m o g ran iczn ik iem o dw u tylko p o zio m ach reprezentacji.

6 .1 2 . R óżnico w a m odulacja im p u ls o w o -k o d o w a G d y sy g n ał m ow y lu b sygnał w ideo je st p ró b k o w a n y z częstotliw ością nieco w yższą od częstotliw ości N y q u ista , o trzy m y w an y sygnał sp ró b k o w a n y w ykazuje silną korelację pom iędzy sąsied n im i p ró b k am i. T a silna k o relacja o zn acza, iż w śred n im sensie sygnał nie zm ienia się zb y t szy b k o w czasie pom iędzy sąsiednim i p ró b k a m i co o zn acza z kolei, że różnice pom iędzy nim i m a ją m n iejszą w arian cję, n iż sam sygnał. G d y te silnie sk o relo w an e p ró b k i zo stan ą z a k o d o w a n e w sta n d a rd o w y m system ie P C M , o trz y m a n y stą d za k o d o w a n y sygnał zaw iera redundancję informacyjną. O zn a cza to że sym bole, k tó re nie są a b so lu tn ie konieczne d o p rzesłan ia d an ej inform acji, g en ero w an e są w w y n ik u sam ego p rocesu k o d o w an ia. P oprzez usunięcie re d u n d a n cji pow stałej w w y n ik u k o d o w a n ia o trzy m u je się sygnał bardziej efektyw nie zak o d o w an y . Jeśli zn a m y d o sta tec zn ie d u ż ą część sy gnału n ad m iaro w eg o , m ożem y w y d ed u k o w ać resztę lu b p rzy n ajm n iej d o k o n a ć n ajb ard ziej p ra w d o p o d o b n e j estym acji. W szczególno­ ści, jeśli z n a n e je st przeszłe zach o w an ie się sygnału d o pew nego m o m e n tu czasu, m o żn a d o k o n a ć d ed u k cji o d n o śn ie przyszłych w arto ści tego sygnału; proces ta k i nazyw a się pow szechnie predykcją. Z ałó żm y , iż sy g nał m(i) z p a sm a p o d staw o w eg o je st p ró b k o w a n y z c z ę s to tliw o ś c ią / = 1/TS, w w yniku czego p o w staje ciąg sk o relo w an y ch p ró b e k odległych od siebie o Ts sek u n d ; ciąg ten oznaczym y p rzez {m(nTs)}. F a k t, iż m ożliw e je st d o k o n a n ie predykcji przyszłych w arto ści sygnału m(t), stan o w i m otyw ację d o zrealizo w an ia p ro cesu kw antow ania różnicow ego w u k ład zie o schem acie b lo k o w y m z rys. 6.27a. W u k ład zie tym sygnał w ejściow y k w a n ty z a to ra je st o p isan y rów naniem : e(nTs) = m (nTs) - m { n T s)

(6.57)

i stano w i różnicę m iędzy n ie sk w a n to w a n y m sygnałem sp ró b k o w a n y m m(nTs) a jeg o predykcją, o zn a c z o n ą p rzez m(nTs). Jest o n a w y tw arzan a z użyciem u k ła d u zw an eg o filtrem predykcyjnym , k tó re g o sygnałem w ejściow ym je st sk w a n to w a n a w ersja sp ró b k o w a n e g o

389

6.12. R Ó Ż N I C O W A M O D U L A C J A I M P U L S O W O - K O D O W A

O o> 03 c

o

O) < cD

01 o>* ct □ fll

2

o (0 3 (0

E 2 i

I ii

O) O UJ W -

S & l

1 Z3 Q_ 0) B

O

CL

Ï

Nadajnik

T

c 03 T033

C

>X o — 03 -V. (Ü Ć

o — 03 — x co c •*CJ> O c>*?= (/) .E 5

jO

(/) .E

e

Rys. 6.26. Dwie równoważne wersje systemu modulacyjnego delta-sigm a

O "O uS LU

> à O c V) o T3 d •— 0) tf IL C L

c k. •o -O

O d b io rn ik

, r 6 o

t

390

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

Wyjście

Rys. 6.27. System D P C M : a) n ad ajn ik , b) odbiornik

sygnału w ejściow ego m(nTs). S ygnał różnicow y e(nTs) jest n azy w an y błędem predykcji, gdyż o k reśla o n w arto ść, o k tó rą filtrow i p red y k cy jn em u nie u d aje się d o k ła d n ie przew idzieć w artości sygnału w ejściow ego. P ro sty m , a je d n a k efektyw nym podejściem d o realizacji filtru predykcyjnego jest zasto so w an ie filtru zaw ierającego linię opóźniającą z odczepam i, k tó rej podstaw o w e o p ó źn ien ie je st ró w n e o k resow i p ró b k o w a n ia . S chem at b lo k o w y tego filtru p o k a z a n o n a rys. 6.28, gdzie p red y k c ja m (nTs) jest zm o d e lo w a n a w p o staci kom binacji liniow ej p przeszłych w arto ści p ró b e k sk w an to w an eg o sy gnału w ejściow ego, gdzie p — rząd predykcji. K o d u ją c sy g n ał w yjściow y k w a n ty z a to ra ja k n a rys. 6.27a, o trzy m u jem y o d m ian ę m odulacji P C M , z n a n ą p o d n azw ą różnicow ej m odulacji im puhow o-kodow ejl0) (D P C M ). T en w łaśnie z a k o d o w a n y sy g n ał używ any je st d o transm isji. Sygnał w yjściow y k w a n ty z a to ra m a postać: eq{nTs) = e(nTs) + q(nTy)

(6.58)

gdzie q{nTs) b łąd k w a n to w a n ia . Z g o d n ie z rys. 6.27a, sygnał w yjściow y k w a n ty z a to ra eq{nTs) d o d a w a n y je st d o p red y k o w a n eg o sygnału m{nTs), a sygnał w ejściow y filtru predykcyjnego je st o postaci: m q{n T j = m{nTs) + eq(n Ts)

(6.59)

6.12. R Ó Ż N I C O W A M O D U L A C J A I M P U L S O W O - K O D O W A

Skwantowany Opóźnienie

m „ ( « 7 , - 2 7,)

391

,n [ „ T r t , T s + I \

Opóźnienie

| Opóźnienie 1

Ts

Rys. 6.28. F iltr z linią opóźniającą ja k o filtr predykcyjny

P o d staw iają c ró w n a n ie (6.58) d o (6.59) otrzym ujem y: m q(n T j = m (nTs) + e(n7;) + q (n T J

(6.60)

N a p o d staw ie ró w n a n ia (6.57) stw ierd zam y, iż su m a sk ła d n ik ó w m (n T J + e(n T J jest ró w n a sygnałow i w ejściow em u m(nTs). M o ż n a więc p rzep isać ró w n an ie (6.60) w postaci: m q(nTs) = m{nTs) + q{nTs)

(6.61)

reprezentującej sk w a n to w a n ą w ersję sy g n ału w ejściow ego m(nTs). O zn a cza to , iż niezależnie od w łaściw ości filtru p red y k cy jn eg o , sk w a n to w a n y sygnał n a wejściu filtru predykcyjnego ró żn i się o d o ry g in aln eg o sy g n ału w ejściow ego m (nTs) jed y n ie o b łąd k w a n to w a n ia q{nTs). A zatem , jeśli p re d y k c ja je st p raw id ło w a, w arian cja błędu predykcji c(n 7 ;)jest m niejsza od w ariancji sy g n ału m(nTs) ta k , iż k w a n ty z a to r o d an ej liczbie p o zio m ó w m o że być tak d o stro jo n y , ab y je g o b łą d k w a n to w a n ia m iał m niejszą w ariancję, niż ta ja k ą m o żn a uzyskać w p rz y p a d k u , gdy sy g n ał w ejściow y m{nTs) je st k w an to w a n y b ezp o śred n io , ja k w s ta n d a r­ dow ym system ie P C M . O d b io rn ik służący d o re k o n stru o w a n ia sk w an to w an ej wersji sygnału w ejściow ego zo stał p rze d sta w io n y n a rys. 6.27b. S tan o w i o n d ek o d e r o d tw arz ają cy sk w a n to w a n y sygnał błędu. S k w a n to w a n a w ersja o ry g in aln eg o sygnału w ejściow ego zo staje o d tw o rz o n a na podstaw ie sygnału w yjściow ego d e k o d e ra , z użyciem tego sam eg o filtru p redykcyjnego, ja k i użyty z o sta ł w n a d a jn ik u z rys. 6.27a. P rzy b ra k u szum u w k anale, z a k o d o w a n y sygnał na wejściu o d b io rn ik a je st ta k i sam ja k z a k o d o w a n y sygnał n a w yjściu n a d a jn ik a . W rezultacie, o d p o w iad ający m u sy g n ał w yjściow y o d b io rn ik a jest ró w n y mq{nTs) i ró żn i się o d ory g in aln eg o sy g n ału w ejściow ego m{nTs) jed y n ie o b łąd k w a n to w a n ia q(nT!.) będący w ynikiem k w a n to w a n ia b łę d u predykcji e(nTs). J a k w id ać n a p o d staw ie p rzep ro w ad zo n ej analizy, przy b ra k u szum ów , filtry predykcyjne n a d a jn ik a i o d b io rn ik a p ra c u ją n a tym sam ym ciąg u p ró b e k mq(nTs). M a ją c to n a uw adze, d o k w a n ty z a to ra n a d a jn ik a d o d a n a z o sta ła p ę tla sprzężenia zw rotnego, p o k a z a n a n a rys. 6.27a. R ó żn ico w a m o d u la c ja im p u lso w o -k o d o w a obejm uje m o d u lację d e lta ja k o p rz y p a ­ dek szczególny. P o ró w n u ją c m ianow icie system D P C M z rys. 6.27 z system em D M p o k a z a n y m n a rys. 6.24 zauw ażam y, iż są o n e w zasadzie p o d o b n e , lecz są m iędzy nim i dw ie isto tn e różnice: zasto so w an ie je d n o b ito w e g o (dw upoziom ow ego) k w a n ty z a to ra przy m o d u ­ lacji d elta, o ra z zastąp ien ie filtru p red y k cy jnego przez pojedynczy elem ent o p ó źn iający (tzn. zerow y rz ą d predykcji). M ów iąc p ro sto , system D M je st 1-b ito w ą w ersją system u D P C M .

392

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

O d m ien n ie, n iż w sta n d a rd o w y m system ie P C M , zaró w n o D P C M ja k D M m a ją n ad ajn ik i, w k tó ry ch z a sto so w a n o sprzężenie zwrotne. O b a system y: D P C M o ra z D M , p o d leg ają zn iek ształcen io m p rzep ełn ien ia zbocza, gdy sy g n ał w ejściow y zm ien ia się zb y t szybko, a b y filtr p redykcyjny m ó g ł za nim nadążać. P o d o b n ie ja k P C M , system y D P C M p o d leg ają ta k ż e szum ow i k w an to w a n ia .

Zysk p rzetw arzan ia S to su n ek sygnał-szum n a w yjściu system u D P C M p o k a z a n e g o n a rys. 6.27 je st z definicji równy: oh (S N R )0 = - f

(6.62)

O q

gdzie o h — w aria n cja o ry g in aln eg o sy gnału w ejściow ego m (nTs) przy założeniu, iż jeg o w arto ść śre d n ia w ynosi zero, a o \ — w arian cja b łęd u k w a n to w a n ia q(nTs). R ów nanie (6.62) m oże zo stać p rzed staw io n e, ja k o iloczyn d w u czynników , w sp o só b następujący:

iSNR)"=(^f)(lf) =

G

r ( S N R ) a

<6

6 3 )

gdzie ct! — w arian cja b łęd u predykcji. C zy n n ik (S N R )Q je st stosunkiem sygnału do szumu kw antow ania, zdefiniow anym n astęp u jący m w zorem : {S N R ) q = - 4 oQ

(6.64)

D ru g i czynnik, Gp je st zyskiem przetw arzania uzyskiw anym w u k ład zie k w a n to w a n ia różnicow ego, zdefiniow anym następ u jąco:

GP =

_ 2


(6.65)

W ielkość Gp, jeśli je st w iększa od jed n o ści, stan o w i zysk sto su n k u sygnał-szum o trzym yw any w u k ład zie k w a n to w a n ia różnicow ego z rys. 6.27. D la d a n e g o sygnału inform acyjnego z p asm a p o d staw o w eg o , w arian cja o h je st u stalo n a, ta k iż Gp zo staje zm ak sy m alizo w an y p o p rzez u zy sk an e m in im u m w arian cji o l błędu predykcji e(nTs). Z g o d n ie z tym , naszym celem p o w in n o być ta k ie z a p ro je k to w a n ie filtru predykcyjnego, a b y tę w arian cję zm i­ nim alizow ać. W p rz y p a d k u sygnałów m ow y o k azu je się, iż o p ty m a ln a p rzew ag a system u D P C M n ad sta n d a rd o w y m system em P C M , p o d w zględem sto su n k u sy gnału d o szum u k w an ­ to w an ia, w ynosi w g ran icac h o k o ło 4-11 dB. W iększe polepszenie zach o d zi p o przejściu od b ra k u p redykcji d o p red y k cji pierw szego rzędu, przy czym pew ien d o d a tk o w y zysk m o ż n a o siąg n ąć p o p rze z zw iększenie rzęd u filtru predykcyjnego d o o k o ło 4 lu b 5. P oniew aż, ja k w ynika z ró w n a n ia (6.45), 6-decybelow y szum k w a n to w a n ia o d p o w ia d a w arto ści 1 b itu na p ró b k ę, p rzew ag a system u D P C M m o że b y ć tak że w y ra żan a w k ateg o rii szybkości transm isji. P rz y stały m sto s u n k u sy g n ału d o szu m u k w a n to w a n ia o ra z założonej często tliw o ­ ści p ró b k o w a n ia 8 k H z, zasto so w an ie m o d u lacji D P C M p o zw ala n a zw iększenie szybkości transm isji o o k o ło 8-16 k b /s (tzn. 1-2 b itó w n a p ró b k ę) w sto su n k u d o stan d ard o w ej m o d u lacji P C M .

6.J3. K O D O W A N I E M O W Y P R Z Y M A Ł E J S Z Y B K O Ś C I B I T O W E J

393

6 .1 3 . K odo w anie m o w y przy małej szybkości bitow ej Z asto so w an ie m o d u lacji P C M p rz y sta n d a rd o w e j szybkości transm isji (szybkości bitow ej) 64 k b /s w y m ag a szerokiego p a sm a k a n a łu . W pew nych zasto so w an iach , ta k ich ja k bezpieczna tra n sm isja za p o m o c ą k a n a łó w radiow ych, m ający ch z reguły m ałą p rzep u s­ tow ość, szero k o ść p a sm a k a n a łu stan o w i czysty zysk. P rz y z a sto so w a n ia ch teg o ro d zaju w ystępuje is to tn a p o trz e b a kodow ania m ow y p rzy m ałej szybkości bitowej, p rzy zachowaniu akceptow alnej wierności lub ja ko ści o d tw a rzanian>. A by u zy sk ać k o d o w a n ie m ow y p rzy m ałej szybkości bitow ej, k o d e r sygnałow y o zad an ej k o n fig u racji po w ien ien z o sta ć zo p ty m alizo w an y z a ró w n o za p o m o c ą w yko rzys­ tania właściwości sta ty sty c zn y c h sygnału m ow y, ja k i właściwości słuchu ludzkiego. Filozofia p ro je k to w a n ia teg o ty p u u k ła d ó w m a n a w zględzie d w a cele: 1. U sunięcie red u n d acji sy g n ału m ow y ta k dalece, ja k to jest m ożliw e. 2. P rzezn aczen ie m ożliw ej d o u z y sk a n ia liczby b itó w d la k o d o w a n ia pozostałej zaw artości sygnału m ow y, nie zaw ierająceg o red u n d acji, w sp o só b efektyw ny z p u n k tu w idzenia percepcji m ow y. P rzy zm niejszaniu szybkości b in arn ej o d 64 k b /s (używ anej w sta n d a rd o w e j m o d u lacji P C M ) d o 32 k b /s o ra z d o 16 k b /s, u k ła d y sto so w an e d o u su w an ia red u n d acji o ra z p rzy d zielan ia bitó w sta ją się c o ra z b ard ziej sk o m p lik o w an e. J a k o reguła, w zak resie o d 64 d o 8 k b/s, n a k ła d y obliczeniow e (m ierzone liczbą o peracji m n o żen ia i d o d a w a n ia ) w y m ag an e do k o d o w a n ia m o w y w zrastają o je d e n rz ą d w ielkości przy zm niejszaniu szybkości bitow ej 0 połow ę, przy niezm iennej w przybliżeniu ja k o śc i m owy. W tej sytuacji, opiszem y k ró tk o dw a u k ład y sto so w an e d la k o d o w a n ia m ow y, jed en n a szyb k o ść 32 k b /s, a d ru g i n a 16 kb/s.

A daptacyjna ró żn ico w a m odulacja im p u ls o w o -k o d o w a Z m niejszenie liczby b itó w p rzy p a d a ją c y ch n a je d n ą p ró b k ę o d 8 (jak w sta n d a rd o w y m system ie P C M ) d p 4 w y m ag a jed n o czesn eg o z a sto so w a n ia kw antow ania adaptacyjnego 1predykcji adaptacyjnej. W ty m k o n tek ście, term in „ad a p ta c y jn y ” o zn acza d o sto so w a n ie się d o zm ian p o zio m u a m p litu d y i w id m a w ejściow ego sy gnału m ow y. Z m ian y jak o ści p rz e tw a rz a n ia w y stępujące przy zm ian a ch o só b m ów iących o ra z ja k o ści m ow y, czynią k onieczn y m łączne z asto so w a n ie a d a p ta cy jn eg o k w a n to w a n ia i predykcji ad ap tacy jn ej, ab y m im o ty ch z m ia n ja k o ś ć tran sm isji b y ła lepsza. System k o d o w a n ia cyfrow ego, w k tó ry m sto su je się z a ró w n o k w a n to w a n ie a d a p ta c y jn e ja k i pred y k cję a d a p ta c y jn ą nosi nazw ę adaptacyjnej różnicow ej m odulacji im pulsow o-kodow ej (A D P C M ). K w a n to w a n ie a d a p ta c y jn e d o k o n y w a n e je st w k w a n ty z a to rz e p racu jący m ze zm iennym w czasie p rzed ziałem k w a n to w a n ia A (nTJ, gdzie Ts — o k re s p ró b k o w a n ia . Z a k ła d a się, iż w k ażd y m m o m en cie czasu, o k reślo n y m p rzez in d ek s n, k w a n ty z a to r a d a p ta c y jn y m a sta łą c h a ra k te ry sty k ę am p litu d o w ą. P rz ed z iał k w a n to w a n ia A (nT s) zm ienia się w ta k i sposób, ab y w a ria n c ja o h była d o p a so w a n a d o sy gnału w ejściow ego m(nTj). Z a ch o d zi m ianow icie rów ność: A (nTs) = cf>óM{nTs)

(6.66)

gdzie (j) — sta ła , a ó M(nTs) — estym ata o d ch y len ia sta n d a rd o w e g o (będąca p ierw iastk iem k w ad ra to w y m z w arian cji o h ). P rz y n ie sta c jo n a rn y m sygnale w ejściow ym , odchylen ie s ta n d a rd o w e o u (nTs) zm ien ia się w czasie. P ro b le m k w a n to w a n ia ad ap tacy jn eg o p o leg a z a te m , zg o d n ie z ró w n a n ie m (6.66), n a ciągłym obliczaniu esty m aty <7M(nTJ.

394

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

R ealizacja p ro cesu o p isan eg o ró w n a n ie m (6.66) m oże b y ć d o k o n y w a n a n a dw a sposoby: 1. K w antow anie adaptacyjne, z estym acją progresyw ną (A Q F), przy k tó ry m n iesk w an to w an e P ró b k i sygnału w ejściow ego sto so w an e są d o z n a jd o w a n ia esty m at progresyw nych odchyleń sta n d a rd o w y c h o M (n Ts) 2. K w antow anie adaptacyjne z estym acją w steczną (AQB), przy k tó ry m p ró b k i sygnału z w yjścia k w a n ty z a to ra sto so w an e są d o z n a jd o w a n ia esty m at w stecznych odchyleń sta n d a rd o w y c h o M(nTs). U k ład A Q F w ym aga z a sto so w a n ia bufora w celu zap a m ięty w an ia n iesk w an to w an y ch p ró b ek w ejściow ego sy g n ału m ow y, p o trz e b n y c h w o k resie uczenia. W y m ag an a jest także b ezp o śred n ia tra n sm isja inform acji o p o zio m ie sygnału (typow o o k o ło 5 -6 bitó w n a p ró b k ę) d o zd aln eg o d e k o d e ra , o b ciążając system d o d a tk o w ą inform acją uboczną, k tó rą trz e b a przesyłać d o o d b io rn ik a . C o więcej, opóźnienie p rz e tw a rz a n ia (w ynoszące d la m ow y o k o ło 16 m s) zach o d zące przy o peracji k o d o w a n ia , czyni system A Q F nie­ p rzy d atn y m w n ie k tó ry c h z asto so w an iach . P ro b lem y transm isji inform acji o poziom ie sygnału, k o n ieczn o ść sto so w a n ia b u fo ra, a tak że o p ó źn ien ie zw iązan e n ieo d łączn ie z sy­ stem em A Q F , są w szystkie d o un ik n ięcia p rzy zasto so w an iu system u A Q B . W tym o statn im układzie sto su je się p o p rz e d n ie d a n e z w yjścia k w a n ty z a to ra celem uzyskania inform acji niezbędnej d o o b liczan ia p rzedziału k w a n to w a n ia A{nTs). W p ra k ty c e p re­ ferow any jest więc system A Q B . N a ry su n k u 6.29 p o k a z a n o sch em at b lo k o w y k w a n ty z a to ra a d a p ta c y jn e g o z es­ tym acją w steczną. Jest to u k ła d z nieliniow ym sprzężeniem zw ro tn y m ; nie je st więc sp raw ą oczyw istą czy je st o n stabilny. P rz y zało żen iu je d n a k , iż sygnał w ejściow y k w a n ty z a to ra m(nTs) je st ograniczony, o g ran iczo n e są także: e sty m a ta w steczna ó M{nTs) i o d p o w ia d a ją c y jej przedział A (nT s); w tych w a ru n k a c h system jest stabilny. S to so w an ie p red y k acji a d ap tacy jn ej w system ie A D P C M jest u zasa d n io n e ze w zględu n a to , iż sy g n ał m ow y jest z zasady sygnałem niestacjonarnym . P o w o d u je to, iż funkcja a u to k o re la c ji o ra z w id m o w a gęstość m ocy teg o sygnału są zm iennym i w czasie funkcjam i sw ych arg u m en tó w . U k ład y p red y k cy jn e d la sygnałów tego ty p u m u szą b y ć więc n iestacjo n arn e, czyli inaczej m ów iąc a d a p ta c y jn e . P o d o b n ie , ja k w p rz y p a d k u k w a n to w a n ia ad ap tacy jn eg o , istnieją d w a sp o so b y realizacji system ow ej p rocesu p red y k cji adaptacyjnej: 1. P redykcja adaptacyjna z estym acją progresyw ną (A P F ), w k tó re j n iesk w an to w an e p ró b k i sygnału w ejściow ego służą d la o k reślan ia e sty m a t w spółczynników p re d y k to ra . 2. P redykcja adaptacyjna z estym acją w steczną (APB), w k tó rej p ró b k i sygnału z wyj­ ścia k w a n ty z a to ra i b łąd predykcji, słu żą d o o k reślan ia e sty m a t w spółczynników p red y k to ra. R ealizacja w system ie A P F m a je d n a k te sam e w ad y (inform acja u b o czn a, b u fo r i opóźnienie), co o m aw ian y wcześniej system A Q F . W ad ty ch nie m a system A P B w u k ład zie p o k a z a n y m na

Wejście m

Koder

( n T s)

Estymator v poziomu

V"* Dekoder

Estymator poziomu

Rys. 6.29. Kwantowanie adaptacyjne z estymacją wsteczną (AQB)

Wyjście

6.13. K O D O W A N I E M O W Y P R Z Y M A Ł E J S Z Y B K O Ś C I B I T O W E J

395

Rys. 6.30. P red y k cja a d a p ta c y jn a z estym acją w steczną (APB)

rys. 6.30, w k tó ry m b lo k u k ła d u logicznego predykcji ad ap tacy jn ej służy d o obliczania ak tu a ln y c h w arto ści w sp ó łczy n n ik ó w p re d y k to ra . W u k ład zie tym , o p ty m a ln e w spółczy n­ niki p re d y k to ra są esty m o w an e n a p o d staw ie sk w an to w an y ch i tra n sm ito w a n y c h danych; m ogą być więc u a k tu a ln ia n e ta k często, ja k trzeb a, n aw et z p ró b k i n a p ró b k ę. Z g o d n ie z tym , system A P B je st p refero w an ą m e to d ą predykcji, w p o ró w n a n iu z system em A D P C M . M e to d a p rz e tw a rz a n ia sy g n ałó w z n a n a ja k o algorytm najm niejszych średnich kw adratów (L M S ) z a sto so w a n a w u k ład zie p re d y k to ra , w raz z k w a n ty z a to re m predykcyjnym , p o zw a la ją n a sk o n stru o w a n ie z a ró w n o k o d e ra ja k i d e k o d e ra p rac u jąc eg o w sp o só b synchroniczny. Jeg o zalety przy szybkości 32 k b /s są n a tyle duże, iż system A D P C M stan o w i obecnie z a a k c ep to w an y n a sk alę m ię d z y n a ro d o w ą s ta n d a rd przy k o d o w a n iu sygnałów m ow y ta k , ja k s ta n d a rd P C M p rz y szybkości 64 k b /s. O p is a lg o ry tm u L M S będzie p rzed staw io n y w ro zd ziale 7.

A daptacyjne ko d o w a n ie subpasm ow e System y P C M i A D P C M są k o d e ra m i p racu jący m i w dziedzinie czasu w tym sensie, iż sygnał m ow y je st w nich p rze tw a rz an y w dziedzinie czasu ja k o sygnał ob ejm u jący pojedyncze, całe pasm o. O p iszem y te ra z k o d e r p rac u jący w dziedzinie częstotliw ości, w k tó ry m sygnał m ow y je st dzielo n y n a p ew n ą liczbę su b p asm , z k tó ry c h k ażd e je st k o d o w a n e oddzielnie. K o d e r tego ty p u je st zd o ln y p rz e tw a rz ać d o p o staci cyfrow ej sygnał m ow y z szybkością 16 k b /s przy ja k o ści p o ró w n y w aln ej d o tej, z ja k ą p rzetw arza system P C M o szybkości 64 k b/s. D o u zy sk an ia takiej ja k o śc i w y k o rzy stu je się p raw ie o k reso w y c h a ra k te r m ow y dźw ięcznej o ra z cechę m ech an izm u słyszenia z n a n ą ja k o m askow anie szum ów . Z g ło sk i dźw ięczne generow ane są za p o m o c ą p ra w ie o k reso w eg o dźw ięku w y d aw an eg o p rzez stru n y głosow e, p odczas gdy głoski bezdźw ięczne są g en ero w an e z a p o m o c ą dźw ięku p rzy p a d k o w eg o w y tw arzan eg o przy tu rb u le n tn y m przepływ ie pow ietrza. B ardziej szczegółow y opis p o w sta w a n ia o b u ro d zajó w głosek z uw zględnieniem różnic m iędzy nim i, z o sta ł p o d a n y w d o d a tk u 1. O k re so w o ść głosek dźw ięcznych p rzejaw ia się w tym , iż ludzie m ów ią z c h a ra k ­ tery sty czn ą częstotliw ością dźw ięku. O k re so w o ść p o zw a la n a pred y k cję tej częstotliw ości, przez co o sią g a się dalsze zm niejszenie p o z io m u b łęd u p red y k cji w ym agającego k w a n ­

396

6. M O D U LA C JA IM PU LSOW A

to w an ia, w p o ró w n a n iu z ró żn ico w ą m o d u la c ją im p u lso w o -k o d o w ą, w k tó re j nie w ystępuje p red y k cja w ysokości dźw ięku. L iczb a b itó w n a p ró b k ę , ja k ą trz e b a przesyłać, zo staje przez to znacznie z re d u k o w a n a bez pow ażniejszej u tra ty ja k o śc i sy gnału m owy. L iczba b itó w n a p ró b k ę m oże zo stać jeszcze b ardziej zm n iejszo n a przy w ykorzys­ ta n iu ch arak tery sty czn eg o d la p ro cesu percepcji zjaw iska m askow ania szum ów. U ch o ludzkie nie o d b ie ra szu m ó w w d a n y m p aśm ie częstotliw ości, jeśli ty lk o ich po zio m jest co najm niej o 15 dB niższy o d p o zio m u sy g n ału zajm u jąceg o to sam o p a sm o częstotliw ości. O z n a c z a to, iż w zględnie d u ży b łąd k o d o w a n ia (o d p o w ied n ik szum u) m o ż n a to lero w ać w po b liżu form antów , co p o zw ala o d p o w ied n io zre d u k o w ać szybkość k o d o w a n ia . C zęstotliw ości form antow e (lub p o p ro s tu fo rm an ty ) są to częstotliw ości rezo n an so w e to ru głosow ego. F o rm a n ty zależą o d k sz ta łtu i w y m iaró w teg o to ru . W p rzy p ad k u adaptacyjnego kodow ania subpasmowego (ASBC), kształtow anie w idm a szum ów d o k o n y w an e jest z a p o m o cą adaptacyjnego przyporządkow ania bitów. L iczba bitów użytych d o k o d o w an ia każdego su b p asm a zm ienia się w sp o só b dynam iczny i dzielona jest odpow iednio z innym i su b p asm am i tak , iż d o k ład n o ść k o d o w an ia zapew niana jest k a ż d o ­ razow o tam , gdzie w ym aga tego ch a ra k te ry sty k a sygnału m ow y w dziedzinie częstotliw ości. S u b p asm a niosące m ałą lu b zerow ą energię m ogą być przy tym naw et wcale nie kodow ane. S chem at b lo k o w y u k ła d u a d a p ta c y jn e g o k o d o w a n ia su b p asm o w eg o z o sta ł p rzed ­ staw io n y n a rys. 6.31. P a s m o m ow y z o stało tu p o d zielo n e n a pew ną liczbę przylegających d o siebie pasm częstotliw ości z a p o m o c ą b a n k u (zestaw u) filtrów śro d k o w o p rzep u sto w y ch (zwykle w liczbie czterech d o ośm iu). S ygnał w yjściow y każdego z filtrów zo staje n astęp n ie przesunięty w częstotliw ości za p o m o c ą p ro c e su m o d u lacy jn eg o ró w n o w ażn eg o m o d u lacji jednow stęgow ej ta k , a b y s ta ł się sygnałem d o ln o p asm o w y m . O trz y m a n y sygnał zostaje p o d d a n y p ró b k o w a n iu (lub p o w tó rn e m u p ró b k o w a n iu ) z częstotliw ością nieco w yższą o d częstotliw ości N y ą u is ta (tzn. rów nej p o d w ó jn ej szerokości d a n e g o subpasm a), a n astęp n ie za k o d o w a n y cyfrow o z użyciem system u A D P C M o u sta lo n y m (zw ykle pierw szym ) rzędzie predykcji. S p ecjalna stra te g ia k o d o w a n ia z o sta ła p rzy jęta d la k ażd eg o su b p a sm a , w zależn o ­ ści o d k ry te riu m percepcji przyjętego d la d a n e g o p asm a. In fo rm acja d o ty c z ą c a przydzielenia b itó w je st p rzesy łan a d o o d b io rn ik a , c o p o zw ala n a in d y w id u aln e d ek o d o w an ie poszczegól­ nych su b p asm i ich p o w tó rn e zm o d u lo w an ie d la u zy sk an ia p ierw o tn eg o rozm ieszczenia tych su b p asm n a skali częstotliw ości. O s ta tn ią o p e ra c ją jest su m o w an ie celem u zy sk an ia sygnału w yjściow ego, b ęd ąceg o bliskim o d p o w ied n ik iem o ry g in aln eg o sy gnału m owy. Z ło żo n o ść a d a p ta c y jn e g o k o d e ra su b p asm o w eg o o szybkości 16 k b /s jest o k o ło 100 razy w iększa, niż k o d e ra P C M o szybkości 64 k b /s, zapew niającego ta k ą sam ą ja k o ś ć o d tw arzan ia . W w y n ik u w ielkiej liczby o peracji ary tm ety czn y ch d o k o n y w a n y c h przez ad ap tac y jn y k o d e r su b p asm o w y , w p ro w a d z a o n o p ó źn ien ie 25 ms; nie sp o ty k a n e w k o d e ra c h system u P C M . O p ó źn ien ie to nie m a zn aczen ia przy z a sto so w a n ia ch obejm ujących zap am ięty w an ie sygnałów m o w y tak ich , ja k np. „telefoniczna se k re ta rk a ”.

6 .1 4 . P o d su m o w an ie i dyskusja W tym ro zd ziale p rzed staw iliśm y d w a p o d staw o w e, d o p ełn iające się zarazem procesy: • Próbkowanie, zac h o d zące w dziedzinie czasu; proces p ró b k o w a n ia sta n o w i łącznik pom iędzy przebiegiem an alo g o w y m i je g o rep rezen tacją w czasie dyskretnym . • K w antow anie, zach o d zące w dziedzinie am p litu d ; proces k w a n to w a n ia stan o w i łącznik pom iędzy przebiegiem an alo g o w y m i je g o rep rezen tacją w dziedzinie a m p litu d d y sk re t­ nych.

6.14. P O D S U M O W A N I E I D Y S K U S J A

397

Kodery ADPCM

Sygnał mowy Bank filtrów dla analizy subpasmowej

Adaptacyjny układ przydzielania bitów

MuitipieKser Do kanału

b

Rys. 6 3 1 . A daptacyjny system z kodow aniem subpasm ow ym : a) n ad ajn ik , b) o d b io rn ik

♦ P ro ces p ró b k o w a n ia o p ie ra się n a tw ierdzeniu o próbkow aniu k tó re stan o w i, że sygnał o ściśle o g ran iczo n y m paśm ie, n ie m ający sk ład o w y ch częstotliw ościow ych w yższych o d W Hz, je st rep rez en to w a n y w sp o só b je d n o z n a c z n y przez ciąg p ró b e k w ziętych w ró w n o m iern y ch o d stęp ach czasu, z częstością ró w n ą lu b w iększą o d częstotliw ości N y ą u is ta rów nej 2 W p ró b e k n a sek u n d ę. W procesie k w a n to w a n ia w yk o rzy stu je się fak t, iż człow iek ja k o o stateczn y o d b io rc a , je st w stan ie ro zró żn ić za p o m o c ą sw oich zm ysłów jed y n ie sk o ń czo n e różnice p o zio m ó w am p litu d y . P ro ce s p ró b k o w a n ia stan o w i p o d sta w ę d z ia ła n ia w szystkich system ów m odulacji im pulsow ej, d o k tó ry c h należą: a n a lo g o w a i cyfrow a m o d u la c ja im pulsow a. R óżnica m iędzy nim i p o le g a n a tym , iż w sy stem ach analogow ej m o d u lacji im pulsow ej zach o w an y zostaje a n a lo g o w y c h a ra k te r am p litu d y sy gnału inform acyjnego, p o d czas gdy w system ach analogow ej m o d u la c ji im pulsow ej sto su je się tak że k w an to w an ie, celem u zy sk an ia rep rezen ­ tacji sy g n ału in fo rm acy jn eg o będącej sygnałem d y sk retn y m z a ró w n o w czasie ja k i a m ­ plitudzie. A n a lo g o w a m o d u lacja im p u lso w a p o w staje w w y n ik u zm ian je d n e g o z p a ra m e tró w przesy łan y ch im pulsów , tak ieg o ja k a m p litu d a , czas trw a n ia lu b położenie. M ów im y

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

w ów czas o d p o w ied n io o m o d u lacji a m p litu d y im pulsów (PA M ), m o d u lacji czasu trw an ia im pulsó w (P D M ) i m o d u lacji p o ło żen ia im pulsów (P P M ). P rz y zw ielo k ro tn ian iu z p o ­ działem czasow ym (T D M ) pew nej liczby k an ałó w , p rzetw arzan ie sy gnału zaczyna się zw ykle o d m odulacji P A M . Jeśli bow iem zasto so w ać w tym p rz y p a d k u system P D M lu b P P M , trz e b a zabezpieczyć się p rzed tym , ab y przy pełnej głębokości m o d u lacji im puls d an eg o sygnału in fo rm acyjn eg o nie zn alazł się w przedziale czasow ym należącym d o innego sygnału inform acyjnego. O g ran iczen ie to p o w o d u je złe w y k o rzy stan ie p rzestrzen i czasow ej w sys­ tem ach telefonicznych ch a rak te ry z u ją cy ch się w ysokim i w sp ółczynnikam i szczytu, co przem aw ia za sto so w an iem w telefonii system ów P D M 12’ lu b P P M . P o n a d to , m im o iż system P P M je st b ard ziej w y d ajn y niż system P D M , są o n e o b a dalekie od ideału, jeśli chodzi o m ożliw ości u zy sk an ia p o lep szo n y ch w łaściw ości szum ow ych za cenę pow iększania szerokości p a sm a transm isji. W sy stem ach cyfrow ej m o d u lacji im pulsow ej, an alo g o w e sygnały inform acyjne przesyłane są w p o staci ciągu z a k o d o w a n y c h im pulsów , uzyskiw anych dzięki łącznem u sto so w an iu p ró b k o w a n ia i k w an to w a n ia . M o d u la c ja im p u lso w o -k o d o w a je st w ażnym rodzajem cyfrowej m o d u lacji im pulsow ej, o b d a rz o n y m u n ik aln y m i zaletam i, k tó re uczyniły z niej p refero w an ą form ę m o d u lacji przy tra n sm ito w a n iu ta k ich sygnałów analogow ych, ja k sygnał m ow y i sy g n ał telew izyjny. D o zalet m o d u lacji im pulsow o-kodow ej należy o d p o rn o ść n a szum y i interferencje, efektyw na regeneracja zak o d o w an y ch im pulsów w zdłuż d ro g i tran sm isji o ra z je d n a k o w y fo rm at przy różnych ro d zajach sygnałów z p asm a podstaw ow ego. M o d u la c ja d e lta i ró żn ico w a m o d u la c ja im p u lso w o -k o d o w a to dw ie użyteczne o d m ian y cyfrow ej m o d u lacji im pulsow ej. P o d sta w o w ą zaletą system u m odulacji d e lta jest jeg o p ro s to ta u k ład o w a. W przeciw ieństw ie d o niej, ró żn ico w a m o d u la c ja im p u lso ­ w o -k o d o w a w y m ag a zw iększenia k o m p lik acji system u, za cenę polepszenia jeg o jak o ści. Polepszenie ja k o śc i o siąg an e je st p o p rzez zasto so w a n ie predykcji w celu usunięcia sym boli n ad m iaro w y ch z p rzy ch o d ząceg o stru m ien ia d an y ch . D alsze polepszenie ja k o śc i system u różnicow ej m o d u lacji im p u lso w o -k o d o w ej jest m ożliw e dzięki zasto so w an iu ad ap tacy jn o ści celem uw zględnienia staty sty czn y ch zm ian d an y ch w ejściow ych. T ym sp o so b em w y m ag an a w system ie m o d u lacji im p u lso w o -k o d o w ej szero k o ść p a sm a zo staje znacznie z re d u k o w an a bez pow ażniejszego p o g o rsze n ia ja k o śc i system u. W a rto w tym m iejscu sp o jrzeć krytycznie na ró żn e system y m o d u lacji im pulsow ej o p isan e w ty m rozdziale. T e rm in „ m o d u lacja im p u lso w a ” je st w łaściw ie m ylący, gdyż w szystkie jej ro d zaje, ta k an alo g o w e ja k i cyfrow e, są ściśle b io rą c m eto d a m i kodowania źródłowego. M ów im y ta k z teg o p ro ste g o p o w o d u , iż sygnał inform acyjny nie przestaje być, p o w szystkich p ro cesach zw iązanych z m o d u lacją im pulsow ą, sygnałem p asm a pod staw o w eg o . T a w łaściw ość sy g n ału z m o d u lo w an eg o im p u lso w o w y raża się w tym , iż niezależnie o d k o n k re tn e g o opisu, m oże o n być przesyłany p o p rze z k a n a ł o paśm ie p o d staw o w y m o d o stateczn ej szerokości. M a te ria ł p rzed staw io n y w n astęp n y m rozdziale z o sta ł pośw ięcony tran sm isji w p aśm ie p o d staw o w y m d an y ch , rep rezen to w an y ch ja k o ciągi im pulsów . Jest też isto tn e a b y rozum ieć, iż p rocesy m o d u lacji im pulsow ej są stratne w tym sensie, iż p ew n a in fo rm acja z o staje s tra c o n a w rezultacie d o k o n y w an e g o w tych system ach p rzetw arzan ia. D la p rzy k ład u , przy m o d u la c ji a m p litu d y im pulsów , sto su je się zw ykle filtrację p realiasin g o w ą (d o ln o p rze p u sto w ą) p o p rze d zającą proces p ró b k o w a n ia ; p o w o d u je to u tra tę inform acji, gdyż sk ład o w e w ielkiej częstotliw ości u w ażan e za nieistotne, są usuw ane z sygnału przez filtr. S tra tn a n a tu ra m o d u lacji im pulsow ej je st najb ard ziej w idoczna w p rz y p a d k u m o d u lacji im p u lso w o -k o d o w ej ch arak tery zu jącej się generow aniem szum u

6.14. P O D S U M O W A N I E I D Y S K U S J A

399

k w a n to w a n ia (tzn. zakłóceniam i); n a d a w a n y ciąg z a k o d o w a n y c h im pulsów nie zapew nia nieskończonej precyzji w y m aganej d ła d o k ła d n e j rep rezen tacji p ró b e k analogow ych. M im o to, u tra ta info rm acji w procesie m o d u lacji im pulsow ej p o z o sta je pod kontrolą projektanta system u co o zn acza, iż m oże j ą uczynić n a tyle m ałą, a b y nie była d o strz e g a n a przez k o ń co w eg o u ż y tk o w n ik a system u. M a te ria ł teg o ro zd z ia łu p o św ięconego m o d u lacji im pulsow ej z o sta ł p rzed staw io n y z p ersp ek ty w y p rz e tw a rz a n ia sygnałów . P o w ró cim y d o m o d u lacji im p u lso w o -k o d o w ej i jej o d m ia n y zw anej ró żn ico w ą m o d u la c ją im p u lso w o -k o d o w ą w ro zd ziale 10, pośw ięconym z kolei ty m a sp e k to m system ów telek o m u n ik acy jn y ch , k tó re zw iązan e są z te o rią inform acji. U zyskam y p rzez to głębszy w gląd w d ziałan ie ty ch system ów z p u n k tu w idzenia technik k o d o w a n ia źródłow ego.

PRZYPISY I LITERATURA 1) K lasyczną książką n a tem at m odulacji im pulsow ej jest p ra c a B lacka (1953). Bardziej szczegółowo zajm uje się tym problem em Row e (1965). 2) P oprzez p ró b k o w an ie tran sfo rm aty F o u rie ra z czasem dyskretnym (p u n k t 6.2) w dziedzinie częstotliw ości, otrzym ujem y d y sk retn ą tran sfo rm atę F o u rie ra (D F T ) o m ów ioną w rozdziale 2. 3) M odulacja im pulso w o -k o d o w a zo stała w ynaleziona przez Recvesa w 1937 r. H istoryczne ujęcie tego w ynalazku, zobacz a rty k u ł Reevesa(1975). W książce J a y a n ta i N o lla (1984) p rzed staw io n o w sposób najbardziej w yczerpujący m o d u lację im pulsow o-kodow ą, różnicow ą m odulację im pulsow o-kodo­ w ą, m odulację delta o ra z ich odm iany. K siążk a w ydana przez Ja y a n ta (1976) zaw iera zb ió r ważnych p rac n a tem at k w an to w an ia i k o d o w an ia przebiegów. 4) Z agadnienie szum u k w an to w an ia w system ach P C M zo stało szczegółow o ro zp atrzo n e w artykule B ennetta (1948) o ra z w książce Row e’a (1965, ss. 311 h- 321). 5) P raw o p stosow ane w kom presji sygnału zo stało o p isan e przez S m itha (1957). Jest o n o stosow ane obecnie w S tanach Z jednoczonych, K an ad zie i Jap o n ii. W E uropie stosow ane jest przy kom presji sygnału praw o A; to p raw o kom presji zo stało o p isan e w p racy C atterm o le (1969, ss. 133 h- 140); om ów ieniu o b u tych ro zk ład ó w pośw ięcony jest także arty k u ł K a n ek o (1970). 6) O pis oryginalnej wersji system u T l P C M p o d a n o w arty k u le F u ltza i P en ick a (1965). O p is po­ d an y w przykładzie 3 je s t o p a rty n a zaktualizow anej wersji tego system u; zobacz H enning i P an (1972). 7) O ryginalnym i pracam i n a tem at m odulacji d elta są: Schouten, D eJager, G reefkes (1952) o ra z D eJager (1952). A rtykułem przeglądow ym n a tem at m odulacji d elta jest p raca Schindlera (1970). 8) A daptacyjnej m odulacji d elta pośw ięcona jest p raca A bate (1967); zo b acz także arty k u ł Ja y an ta i N olla (1984). 9) M odulację delta-sigm a o p isan o w książce Ja y a n ta i N o lla (1984, ss. 399,400); zobacz także arty k u ł Inose, Y asuda i M u ra k am i (1962). 10) R óżnicow ą m odulację im pulsow o-kodow ą w ynalazł C utler; w ynalazek opisano w patencie w yda­ nym w 1952 r. W łaściw ości szum ow e system ów P C M i D P C M zostały p o ró w n an e w pracy Ja y an ta (1974); zobacz także książkę R ab in era i Schafcra (1978, R ozdział 5). 11) K odow anie m ow y przy m ałych szybkościach bitow ych o m ó w io n o w arty k u le Ja y a n ta (1986); zobacz także pracę J a y a n ta i N olla(1984, ss. 188 - 2 1 0 , 2 9 0 - 311), o raz F la n a g a n a i in. (1979). Z naczna część m ateriału przedstaw ionego w punkcie 6.13 zo stała n ap isan a n a podstaw ie tych prac. 12) M odu lacja czasu trw an ia (szerokości) im pulsu znalazła użyteczne zastosow anie w sterow aniu ko m p u tero w ym , gdzie jest używ ana d o przesyłania inform acji cyfrowej z k o m p u tera d o sterow anych urządzeń. W tym zastosow aniu, szerokość im pulsu przyjm uje je d n ą ze skończonego zbioru m ożliw ych w artości, przez co działanie k o n tro le ra u p o d a b n ia się d o d ziałan ia przekaźnika. Jeśli chodzi o szczegóły, zobacz pracę V an lan d in g h am a (1985, ss. 1 7 6 - 178).

400

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

ZADANIA Zadanie 6.1 P rzy próbkow aniu naturalnym , an alo g o w y sy g n ał g(t) je st m n o żo n y przez o k reso w y ciąg im pulsów p ro sto k ą tn y c h c(t). M a ją c d a n ą częstotliw ość p o w ta rz a n ia fali p r o s to k ą tn e j/ o ra z czas trw a n ia k ażd eg o z im p u lsó w p ro sto k ą tn y c h T (p rz y w a ru n k u f s T » 1), należy: a) W yznaczyć w id m o sy g n ału s ( i) o trzy m y w an eg o w w yniku p ró b k o w a n ia n atu raln eg o ; m o ż n a założyć, iż czas t = 0 o d p o w ia d a śro d k o w i im p u lsu p ro sto k ą tn e g o sygnału c(i). b) P o k a za ć , iż o ry g in a ln y sy g n ał m(f) m o że z o sta ć d o k ład n ie z re k o n stru o w a n y n a podstaw ie jeg o w ersji sp ró b k o w a n e j w sp o só b n a tu ra ln y , jeśli sp ełn io n e je st tw ierdzenie o p r ó b ­ kow aniu.

Zadanie 6.2 O kreślić częstotliw ość N y ą u is ta i p rzed ział N y q u ista d la n astęp u jący ch sygnałów : a) g(t) = sine (200t) b) g(t) = sin e2(2000 c) g(t) = sine (2000 + sin e2(2000

Zadanie 6.3 a) W ykreślić w id m o fali P A M pow stającej p o d w pływ em sy gnału m odulującego: m (t) = A mc o s (2 n fmt) z a k ład a jąc częstotliw ość m o d u lu ją c ą /m = 0,25 H z, o k res p ró b k o w a n ia / = 1 s o ra z czas trw a n ia im p u lsu T = 0,45 s. b) U żyw ając id ealn eg o filtru o d tw arzająceg o , w ykreślić w idm o sy gnału n a wyjściu teg o filtru. P o ró w n a ć u zy sk an y w ynik z tym , ja k i się uzyska przy b ra k u efektu ap ertu ro w eg o .

Zadanie 6.4 W tym z a d a n iu oszacujem y k o rek cję w y m ag an ą d o uw zględnienia efektu ap ertu ro w eg o w system ie P A M . C zęsto tliw o ść p racy w y n o si/ = f j 2, c o o d p o w ia d a najw yższej składow ej częstotliw ościow ej sy g n ału in fo rm acy jn ego przy częstotliw ości p ró b k o w a n ia rów nej często t­ liw ości N y ą u ista . N aszk ico w ać zależność l/sinc(0,5T /T s) w funkcji T/Ts i n a tej podstaw ie określić k o re k tę w y m ag an ą gdy T /T s = 0,1.

Zadanie 6.5 W eźm y p o d uw agę falę P A M tra n s m ito w a n ą p rzez k a n a ł z b iały m szum em gaussow skim i m inim alnej szerokości p asm a B T = 1 /2 Ts, gdzie Ts jest okresem p ró b k o w a n ia . Szum m a zero w ą w arto ść śred n ią, a w id m o w ą gęstość m ocy N J 2. W sygnale P A M u ż y to stan d ard o w ej funkcji im pulsow ej gr(r) m ającej tra n sfo rm a tę F o u rie ra o postaci:

G(f) = I W

1/1 < B t

10,

|/ | > B t

R o z p a tru ją c sin u so id a ln ą falę m o d u lu ją c ą , przy głębokości m o d u lacji 100% , p o k azać, iż P A M o ra z przesyłanie o ry g in aln eg o sy gnału w paśm ie p o d staw o w y m d a ją je d n a k o w e w spółczynniki sygnał-szum przy ta k ic h sam ych średnich m o cach przesy łan eg o sygnału.

6.14. P O D S U M O W A N I E I D Y S K U S J A

401

Z ad an ie 6.6 D w adzieścia cztery sygnały ak u sty c zn e zo stały ró w n o m iern ie sp ró b k o w a n e , a n astęp n ie zw ielo k ro tn io n e w system ie z p o d ziałem czasow ym . W o p eracji p ró b k o w a n ia użyto p ró b ek p ro sto k ą tn y c h o czasie trw a n ia ró w n y m 1 ps. O p e ra c ja z w ie lo k ro tn ia n ia w ym aga z a ­ sto so w an ia sy n ch ro n izacji, d la k tó rej d o d a je się je d e n d o d a tk o w y im puls o tak im sam ym czasie trw a n ia 1 ps. G ó r n a częstotliw ość k ażd e g o k a n a łu ak u sty czn eg o w ynosi 3,4 kH z. a) P rzy jm u jąc częstotliw ość p ró b k o w a n ia 8 k H z, w yliczyć odległość pom iędzy kolejnym i im p u lsam i z w ielo k ro tn io n eg o sygnału. b) P o w tó rzy ć te o b liczen ia z a k ła d a ją c p ró b k o w a n ie z częstotliw ością N y ąu ista. Z ad an ie 6.7 D w anaście ró żn y ch sy g n ałó w inform acyjnych, każd y o p aśm ie 10 k H z, m a ją zo stać zw ielo k ro tn io n e i przesłane. W yznaczyć m in im aln ą szero k o ść p asm a, w y m ag an ą przy każdej z m eto d , jeśli z w ie lo k ro tn ia n ie /m o d u la c ja je st typu: a) F D M , SSB. b) T D M , P A M . Z ad an ie 6.8 W pew nym system ie telem etrycznym P A M z a sto so w a n o zw ielo k ro tn ian ie czterech sygnałów wejściowych: s,(i), i = 1 ,2 ,3 ,4 . D w a z ty ch sygnałów : s t (i) i s 2(i) m a ją p a sm a o szero k o ści p o 80 H z, a d w a p o z o sta łe sygnały: s 3(i) i s4(i) p a sm a o szerokości p o 1 k H z. S ygnały s 3(i) i s4(t) są p ró b k o w a n e z częstotliw ością 2400 p ró b e k n a sekundę. T a częstotliw ość p ró b k o w a n ia zostaje p o d zielo n a p rzez 2R (tzn. c a łk o w itą p o tęg ę dw u), ab y u zyskać częstotliw ość p ró b k o w a n ia sygnałów s,(r) i s 2(t). a) Z n aleźć m a k sy m a ln ą w a rto ść R. b) B iorąc w arto ść R znalezioną w punkcie (a), zap ro jek to w ać system zw ielokrotniający, w k tó ry m najpierw zachodzi zw ielokrotnianie sygnałów s 1(f) i s2(r), a uzyskany tym sposobem now y sygnał s 5(f) zostaje n astępnie zw ielokrotniony w raz z sygnałam i s 3(f) i s4(r). Z adanie 6.9 N iezm o d u lo w an y ciąg im p u lsó w pew nego system u P P M je st p o k a z a n y n a rys. Z6.1. P o zio m odcięcia o d b io rn ik a u s ta lo n o n a A j 2. a) P rzy jm u jąc m o d u lację falą sin u so id a ln ą o głębokości 100% i szum n a wejściu o d b io rn ik a o zerow ej w arto ści średniej i w idm ow ej gęstości m ocy N J 2, określić sto su n ek sygnał-szum n a w yjściu o d b io rn ik a o ra z polepszenie sto su n k u sygnał-szum d la tego system u. Z ałożyć w ysoki szczytow y sto su n e k im p u lsu sy gnału d o szum u. b) D la p rz y p a d k u , gdy sy g n ał in fo rm acy jn y jest p ró b k o w a n y z częstotliw ością N y ąu ista, znaleźć szero k o ść p a s m a transm isji, przy k tó re j polepszenie sto su n k u sygnał-szum dla tego system u je st w iększe o d jedności.

26 S y stem y te le k o m u n ik a c y jn e cz. 1

402

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

Zadacie 6.10 N a ry su n k u Z6.2 p o k a z a n o n iem o d u lo w an y ciąg im pulsów P D M . Im p u ls P D M sk ład a się z im p u lsu p ro sto k ą tn e g o o czasie trw a n ia D o ra z d w u d o d a tk o w y c h segm entów , przedniego i tylnego, identycznych ja k o d p o w ied n ie p o łó w k i im p u lsu P P M z rys. 6.14. U k ład obcinający w o d b io rn ik u jest u staw io n y n a p o zio m po ło w y szczytow ej am p litu d y im pulsu, p rzez co usuw an y je st cały szum , za w yjątkiem niepew ności o d n o śn ie czasu w y k ry w an ia p o c z ą tk u i k o ń ca im p u lsu z o niew ielkiej w arto śc i bliskiej w yliczonej d la p rz y p a d k u system u P P M z p rzy k ład u 1. P rzyjąć, iż je d n o ze zboczy im p u lsu zm o d u lo w an eg o w szerokości je st u stalo n e za p o m o cą p o zb aw io n eg o szum ów sy g n ału odniesienia. a) W yznaczyć w yjściow y sto su n ek sygnał-szum teg o system u P D M . b) W yznaczyć sto su n ek sygnał-szum k an ału . c) P o ró w n a ć szum ow y w sk aźn ik ja k o ści teg o system u P D M ze w skaźnikiem o d p o w ied n ieg o system u P P M .

Zadanie 6.11 a) S ygnał sin u so id aln y o am p litu d zie 3,25 V je st p o d aw a n y n a wejście k w a n ty z a to ra z zao k rąg lan iem , k tó re g o sy g n ał w yjściow y m oże p rzy jm o w ać w arto ści 0, ± 1, ± 2, ± 3 V. N ary so w ać przebieg n ap ięcia w yjściow ego k w a n ty z a to ra d la jed n eg o k o m p letn eg o o k resu n ap ięcia w ejściowego. b) P o w tó rzy ć w ykres d la p rz y p a d k u , gdy k w a n ty z a to r je st z o b cin an iem , a jeg o sygnał wyjściowy m o że p rzy jm o w ać w arto ści ± 0 ,5 , ± 1 ,5 , ± 2 ,5 , ± 3 ,5 V.

Zadanie 6.12 D a n e są n astęp u jące ciągi zer i jedynek: a) N ap rzem ien n y ciąg jed y n ek i zer. b) D łu g i ciąg sam ych jed y n ek , p o k tó ry m n astęp u je długi ciąg sam ych zer. c) D ługi ciąg sam y ch jed y n ek , p o k tó ry m n astęp u je pojedyncze zero, a n astęp n ie z n o w u długi ciąg sam ych jedynek. N aszkico w ać p rzeb ieg k ażd eg o z ty ch ciągów za p o m o c ą n astęp u jący ch m eto d reprezentacji sym boli 1 i 0: a) K o d u n ip o larn y . b) K o d b ip o larn y z p o w ro te m d o z e ra (BRZ).

Zadanie 6.13 T o z a d a n ie m a n a celu p o k azać, iż w id m o w a gęstość m ocy fali P C M zależy o d fo rm atu użytego d o rep rezen tacji zer i jed y n ek . P rzy jm u jąc, iż je d y n k i i z era w ystępują z jed n a k o w y m

6.14. P O D S U M O W A N I E I D Y S K U S J A

403

Rys.

Z6J

p raw d o p o d o b ie ń stw em , a sym bole w przyległych o k n a c h czasow ych są statystycznie niezależne, w yznaczyć i n a ry so w a ć w ykres w idm ow ej gęstości m ocy fali P C M d la każdego z form atów : a) K o d u n ip o larn y . b) K o d bifazow y M an ch ester.

Zadanie 6.14 Sygnał o postaci: m (t) = 6 s in (2 iti)F je st przesyłany z a p o m o c ą 4 -b ito w eg o b in a rn e g o system u P C M . K w a n ty z a to r je st z z a o k rą g ­ laniem , o p rzed ziale k w a n to w a n ia 1 V. W ykreślić o trzy m y w an ą falę P C M d la jed n eg o pełnego o k resu sy g n ału w ejściow ego. Z ało ży ć częstość p ró b k o w a n ia cztery p ró b k i na sekundę, d la p ró b e k b ran y ch przy: t = ± 1 /8 , ± 3 /8 , ± 5 /8 ,..., sekundy.

Zadanie 6.15 N a ry su n k u Z6.3 p o k a z a n o sy g n ał P C M , w k tó ry m d o reprezentacji b in arn y ch sym boli 1 i 0 u ży to n ap ięć o d p o w ie d n io + 1 V o ra z — 1 V. Z asto so w an e tu słow o k o d o w e sk ład a się z trzech bitów . W yznaczyć s p ró b k o w a n ą w ersję sygnału an alo g o w eg o , n a p o d staw ie k tó reg o o trz y m a n o ten sy g n ał P C M .

Zadanie 6.16 W eźm y p o d uw agę k w a n ty z a to r z k w an to w an iem ró w n o m iern y m , o p isan y relacją wejś­ cie-wyjście ja k n a rys. 6.17a. P rzyjm ijm y, iż n a wejście tego k w a n ty z a to ra p o d aw a n y jest sy gnał p rz y p a d k o w y o ro z k ła d z ie gaussow skim o zerow ej w arto ści średniej i w ariancji jed n o stk o w ej. a) Ja k ie je st p ra w d o p o d o b ie ń stw o , iż a m p litu d a sy gnału w ejściow ego przyjm uje w arto ści n a zew n ątrz p rzed zia łu o d —4 d o + 4 ? b) W y k o rz y stu ją c w yniki p u n k tu (a) p o k azać, iż sto su n ek sygnał-szum n a w yjściu k w an ­ ty z a to ra je st d a n y zależnością: (S N R )0 = 6 R - 7,2 dB gdzie R — liczb a b itó w n a p ró b k ę. M o żn a przyjąć, iż sygnał w ejściow y k w a n ty z a to ra przyjm uje w a rto śc i z p rzed ziału o d —4 d o ± 4 . P o ró w n a ć w yniki p u n k tu (b) z w ynikam i z p rz y k ła d u 2.

Zadanie 6.17 W pew nym system ie P C M zasto so w an o k w a n ty z a to r, p o k tó ry m n astęp u je 7-bitow y k o d er b in arn y . P rę d k o ś ć b ito w a tego system u w ynosi 50 • 106 b/s. a) Ja k ie je s t m a k sy m a ln e pasm o sy g n ału inform acyjnego, przy k tó ry m ten system d ziała z a d o w a la ją c o ? 26*

404

6. M O D U L A C J A I M P U L S O W A

b) O k reślić sto su n e k sygnału d o szu m u k w a n to w a n ia n a w yjściu system u, przy sinusoidalnej fali m odulującej o częstotliw ości 1 M H z n a w ejściu u k ła d u , dającej g łęb o k o ść m o d u lacji 100%.

Zadanie 6.18 W ykazać, iż w p rz y p a d k u k w a n ty z a to ra z k w an to w a n ie m n ieró w n o m iern y m , w a rto ść śred n io k w a d ra to w a b łęd u k w a n to w a n ia w ynosi (l/1 2 )Z ,A fp (, gdzie A, — szerokość /-tego przedziału k w a n to w a n ia , a p, — p ra w d o p o d o b ie ń stw o tego, iż a m p litu d a sygnału w ej­ ściow ego leży w ew n ątrz /-tego przedziału. P rzyjąć, iż szerokość p rzed ziału A, je st m ała w p o ró w n a n iu z odchyleniem sygnału w ejściow ego.

Zadanie 6.19 D a n y je st łań cu ch (n — 1) rep e teró w reg enerujących, przy łącznej liczbie n decyzji sekw encyj­ nych p o d ejm o w an y ch o d n o śn ie b in arn ej fali P C M , w łączając w to decyzję k o ń co w ą p o d ejm o w an ą przez o d b io rn ik . P rzy jąć, iż każd y sym bol b in arn y przesy łan y w system ie m a niezależne p ra w d o p o d o b ie ń stw o p j o d w ró cen ia przez k tó ry k o lw iek z repeterów . N iech pn reprezentuje p ra w d o p o d o b ie ń stw o tego, iż d a n y sym bol b in a rn y z o sta ł błędnie o d tw o rz o n y w w yniku p rzesłan ia go p rzez cały system . a) W ykazać, iż zach o d zi rów ność: p. = | [ i - ( i - 2 P, n b) Ile w ynosi w a rto ść p„, gdy p t jest m ałe, a n niezbyt duże?

Zadanie 6.20 W eźm y p o d uw agę falę sin u so id a ln ą o częstotliw ości f m i am p litu d zie A m, p rzy c h o d zącą n a wejście m o d u la to ra d e lta o szerokości k ro k u A. P o k azać , iż zniekształcenie p rzep ełn ien ia zbocza zajdzie w p rz y p a d k u , gdy: *

> —A _ m 2 n f mTs

gdzie Ts — o k res p ró b k o w a n ia . J a k a je st m a k sy m a ln a m oc, ja k ą m o żn a przesłać bez zniekształceń p rzep ełn ien ia zbocza?

Zadanie 6.21 D la system u D P C M p rze d sta w io n eg o n a rys. Z 6.4 p o k azać, iż przy b ra k u szum ów w k anale, filtry p red y k cy jn e n a d a jn ik a i o d b io rn ik a p ra c u ją przy nieco ró żn y ch sy g n ałach w ejściow ych.

Zadanie 6.22 W eźm y p o d uw agę p red y k cję pierw szego rzęd u o p isa n ą zależnością: ń ( n T J = w m (nT s— Ts) gdzie: m (nTs) — p ró b k a sy g n ału sta c jo n a rn e g o o zerow ej w arto ści średniej, Ts — okres p ró b k o w a n ia , a w — stała, a) P o k az ać , iż b łą d predykcji:

6.14. P O D S U M O W A N I E l D Y S K U S J A

405

Kwantyzator i koder Wejście m

/

( n T s)

W yjście

t

Kanał

Dekoder -

t

1

Filtr predykcyjny Nadajnik

Filtr predykcyjny Odbiornik

Rys. Z6.4

e(nTs) = m (nTs) - m ( n T s) m a w arian cję rów ną: 2wR OE =
2

o ra z , że o d p o w ia d a ją c a te m u w arto ść (xf wynosi: _

° £ m in

—

R h m 2-

c) P o d a ć w a ru n e k n a to , a b y crf było m niejsze o d a

Rozdział 7

Transmisja w paśmie podstawowym 7 .1 .

W stęp

W p o p rze d n im ro zd ziale o p isaliśm y techniki zw iązan e z p rzem ian ą an alo g o w y ch syg­ nałów n iosących inform ację w sygnały cyfrow e. B yw ają je d n a k i inne okoliczności, w k tó ry c h w p ra k ty ce sp o ty k a m y się z w ytw arzan iem d an y ch cyfrow ych; d an e te m ogą n a p rzy k ład rep rezen to w ać w yjście ja k ie g o ś ź ró d ła inform acji o d y sk retn ej w ew nętrznej n atu rze (np. wyjście z k o m p u tera). W tym rozdziale będziem y stu d io w ać transm isje d an y ch cyfrow ych (jakiegokolw iek p o ch o d zen ia) w kanale z pasm em podstaw ow ym 1\ T ran sm isję sygnałów m o d u lo w an y ch w k a n a le pasm ow oprzepustow ym o b ejm u je m ateriał n astęp n eg o rozdziału. In fo rm acja cyfrow a zajm uje szerokie w idm o, a isto tn a je g o część leży w zakresie niskich częstotliw ości. T ran sm isja d an y ch cyfrow ych w paśm ie p o d staw o w y m w ym aga zatem , ab y p a sm o d o ln o p rz e p u sto w e z a sto so w a n e w k an ale było d o stateczn ie duże, ab y pom ieścić isto tn e sk ładow e w idm ow e stru m ie n ia d an y ch . W typow ym p rzy p a d k u je d n a k m am y d o czy n ien ia z k a n a łe m dyspersyjnym w tym sensie, że jeg o c h a ra k te ry sty k a częstotliw ościow a o d b ie g a zn aczn ie o d p rz y p a d k u idealnego filtru d o ln o p rzep u sto w eg o . W w yniku tran sm isji d a n y c h p rzez tak i k a n a ł k ażd y przesłany im puls je st nieco zm o d y fik o ­ w any przez w pływ sąsiednich im pulsów , co po w o d u je, że w ystępuje zjaw isko an alo g iczn e do zw ykłej interferencji, n azy w an e interferencją m iędzysym bolow ą (ang. intersym bol interference (.I S I )). In terferen cja m ięd zy sy m b o lo w ą stan o w i głów ną przyczynę b łęd n eg o o d b io ru bitów re k o n stru o w a n e g o p rzez o d b io rn ik stru m ie n ia d an y ch . W celu zap ew n ien ia korelacji tych błędów , zm uszeni jesteśm y d o rozciąg n ięcia k o n tro li n a d k ształtem im pulsów n a cały system . Z tej też przyczyny w iększość m a te ria łu niniejszego ro zd ziału p o św ięco n o w takiej czy innej form ie m e to d o m kształtow ania impulsów. Jeszcze je d n y m źró d łem b łędów tran sm isji d a n y c h przez k a n a ł p o d staw o w y jest w szechobecny szum odbiornika (szum k an ału ). O czyw iście szum i ISI p o w stają w system ie jednocześnie. Je d n a k ż e a b y zrozum ieć, w ja k i sp o só b m a ją o n e wpływ n a c h arak te ry sty k i fu n k cjo n aln e system u, p ro p o n u je m y ro zw ażen ie ich oddzielnie. R o zp o czn iem y zatem rozdział o d o p isu fu n d am en taln y ch w yników teorii telekom unikacji, dotyczących detekcji sygnałów im pulsow ych o zn an y m kształcie, w obecności ad d y ty w n eg o szum u białego.

7.2 . F I L T R D O P A S O W A N Y DO S Y G N A Ł U

407

U rządzeniem , k tó re najlepiej zdaje egzam in przy detekcji tak ich im pulsów , je st liniow y filtr stacjo n arn y z n a n y ja k o filtr dopasow any d o sy g n a łu 2), k tó ry nazw ę sw ą w yw odzi od d o p aso w a n ia o d p o w ied zi im pulsow ej d o sy gnału im pulsow ego.

7 .2 .

Filtr d o p a s o w a n y do sygnału

P o d staw o w y p ro b lem , ja k i często w ynika p rzy stu d io w an iu system ów telek o m u n ik acy jn y ch polega n a detekcji im p u lsu p rzesy łan eg o p rzez k a n a ł zak łó can y ad d y ty w n y m szum em , przychodzącym n a wejście o d b io rn ik a . D la celów dyskusji przedstaw ionej w niniejszym punkcie założym y, że w łaśnie szum je st p o d staw o w y m źró d łem o g ran iczeń system ow ych. R ozw ażm y zatem m o d el o d b io rn ik a p rze d sta w io n y n a rys. 7.1, zaw ierający liniow y filtr sta c jo n a rn y o odpow iedzi im pulsow ej h(t). W ejście filtru x(r) sk ła d a się z sygnału im pulsow ego g{t) o d k szta łc o n e g o przez ad d y ty w n y szum w(r), a m ianow icie: x(t) =

0 (f) +

w(f)

(7.1)

w k tó ry m T o k reśla a rb itra ln ie w y b ra n y p rzedział obserw acji. Im pulsow y sygnał g(t) m oże p rzed staw iać so b ą sym bol 0 lub 1 w cyfrow ym system ie telek o m u n ik acy jn y m , w (i) jest funkcją p ró b k i szu m u b iałego o zerow ej średniej i gęstości w idm ow ej m o cy N 0/2. Z a k ła d a się przy tym , że o d b io rn ik m a w iedzę o d n o śn ie przeb ieg u im pulsu sygnałow ego g(t). Ź ró d łem niepew ności p o z o sta je szum vv(f). P rzy o d b io rz e o k reślo n eg o sy gnału ,x(i) zad an iem o d b io rn ik a je st d etek cja sygnału im pulsow ego g(t) w o p ty m aln y sposób. A by spełnić ta k ie w ym aganie m usim y zo p ty m alizo w ać b u d o w ę filtru w ta k i sp o só b , a b y efekty szum u na wyjściu filtru zo stały zm inim alizow ane, a przez to ab y n a stą p iła p o p ra w a ja k o ści detekcji sygnału im pulsow ego g(t). P o n iew aż filtr je st liniow y, więc jeg o wyjście y(t) m oże być w yrażone w postaci: (7.2) a składniki g0(t) i n(t) są w y tw arzan e o d p o w ied n io na p o d staw ie sk ładow ych sy gnału i szum u sygnału w ejściow ego jc(t). P ro ste sfo rm u ło w an ie w ym agania, a b y sk ła d o w a sygnałow a g 0{t) była znacznie w iększa o d składow ej szum ow ej n(t), sp ro w a d z a się d o w a ru n k u , ab y m oc chw ilow a sygnału g0(t), m ierzo n a d la czasu t = T b y ła m ożliw ie d u ż a w p o ró w n a n iu ze śred n ią m o cą szu m u w yjściow ego n(t). O zn a cza to zapew nienie m ak sim u m szczytow ego impulsowego stosunku sygnału do szum u zdefiniow anego w zorem : I9 o(T )\2 £ [ « 2(i)]

(7.3)

Liniowy filtr stacjonarny o odpowiedzi impulsowej h ( t )

u-ft)

V

U l)

(

T

)

Próbka w chwili t= T

Rys. 7.1 Odbiornik liniowy

408

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M

gdzie: |^ 0( T )|2 — m o c ch w ilow a sy g n ału w yjściow ego, E — o p e ra to r statystycznej w artości oczekiw anej, n a to m ia s t £ [ n 2 (i)] — m ia ra średniej wyjściowej m ocy szum u. W y m ag an e jest ta k ie o k reślen ie o d p o w ied zi im pulsow ej h(t) filtru, by w yjściow y sto su n e k sy gnału d o szum u z ró w n a n ia (7.3) o siąg n ął m ak sim u m . N iech G ( f ) o zn acza tra n sfo rm a tę F o u rie ra zn an eg o sy gnału g(t) a / / ( / ) tran sm itancję filtru. W te d y tra n s fo rm a ta F o u rie ra w yjściow ego sygnału g0(t) jest ró w n a ), p o d czas g d y sy g n ał 0 o(r) m o że być o trz y m a n y n a p o d staw ie o d w ro tn ej tra n sfo r­ m aty F o u riera: CO


J H ( f ) G ( /) e x p ( j2 n /f ) d / - CC

(7.4)

S tąd przy p ró b k o w a n iu w yjścia filtru w czasie t = T, przy nieobecności szum u w o d b io rn ik u , m am y: CO

f /J(/)G (/)e x p (j2 7 c /7 -)d /

(7.5)

- cc

R ozw ażm y n a stę p n ie w y n ik d z ia ła n ia sam ego ty lk o szum u n a w yjściu filtru. W idm o w a gęstość m ocy S N( f ) szu m u w yjściow ego n(t) ró w n a jest gęstości w idm ow ej m ocy szum u w ejściow ego w(t) p o m n o żo n ej przez k w a d ra t m o d u łu tran sm itan cji H ( f ) ( p o r. p u n k t 4.10). P o n iew aż w(f) je st b iały m szu m em o stałej gęstości w idm ow ej N 0/2 , w ięc w ynika stąd , że: N, (7.6) s * (/) = ^ - I W ) l 2 Ś rednia m oc szu m u n(t) n a w yjściu filtru w ynosi więc: CO

E l n 2( t ) l =

jV

00

J S N( f ) d f = - ^ - f \ H ( f ) \ 2d f -C C

2

“

(7.7)

CO

T a k więc, p o d sta w ia ją c ró w n a n ia (7.5) i (7.7) d o ró w n a n ia (7.3) m ożem y przepisać w yrażenie n a szczytow y im p u lso w y sto su n e k sy gnału d o szum u w postaci: oc ( H (f)G (f)e x p { } 2 n fT )d f\ n =

- co

(7.8)

Z a d a n ie m naszym będzie znalezienie, przy zad a n ej G ( /) , szczególnej p o staci tran sm itan cji filtru H ( f ) , k tó ra uczyni rj m ak sy m aln y m . W celu znalezienia ro zw ią zan ia ta k p o staw io n eg o p ro b lem u opty m alizacji, zasto su jem y w zględem licznika ró w n a n ia (7.8) w ynik zn an y w m atem aty ce ja k o n ieró w n o ść S chw arza. W y p ro w ad zen ie nierówności Schw arza p o d a n o w d o d a tk u 5, w k tó ry m w y k azano, że jeśli m am y dw ie zesp o lo n e funkcje 4>i(x) i 2(x) zm iennej rzeczyw istej x , spełniające w arunki: co

i l
o ra z X

i l
409

7.2. F I L T R D O P A S O W A N Y DO S Y G N A Ł U

to m ożem y napisać: '?

00

« — co

00 oc f |
(7.9)

— co

R ów ność (7.9) sp ełn io n a je st w tedy i ty lk o w tedy, gdy (7.10)


gdzie k — d o w o ln a stała, g w iazd k a zaś o zn acza w ielkość zesp o lo n ą sprzężoną. P o w ra c a ją c d o ro zp o częteg o z a d a n ia w idzim y, że o d w o łu jąc się d o nierów ności S chw arza (7.9) i p o d sta w ia ją c 0 i( x ) = H ( f ) o ra z $ 2 (x) = G ( /) e x p ( jji/T ) , jesteśm y w stanie przepisać licznik ró w n a n ia (7.8) w postaci: 00 i H (f)G (f)e x p ij2 n fT )d f —00

00

€

X

i \H ( J ) \2d f \ |G ( / ) | 2 d / — co

(7.11)

— co

S to su jąc ten w ynik d o ró w n a n ia (7.8) m ożem y przedefiniow ać szczytow y im pulsow y sto su n ek sy g n ału d o szu m u w postaci: I |G ( / ) | 2 d / W 0 -oc

(7.12)

P ra w a stro n a tej zależności nie zależy o d tra n sm ita n c ji H ( f ) filtru, lecz jed y n ie o d energii sygnału i gęstości w idm ow ej m ocy szum u. W konsekw encji szczytow y im p u lso w y sto su n ek sygnału d o szu m u rj będzie m ieć m ak sim u m , gdy H ( f ) w y b ran e będzie ta k , ab y spełnić w aru n ek rów ności, a więc: 1 ™ * = ^ - i I C ( /) l 2 d / iV 0

(7.13)

-w

O d p o w ie d n io H { f ) p rzy jm u je w a rto ść o p ty m a ln ą o zn ac zo n ą p rzez H opt( f ) . A by zn aleźć tę w arto ść sto su jem y ró w n an ie (7.10), k tó re p rzy b iera te ra z postać: tfop. ( / ) =

( / ) exp ( —j 2 t t / T )

(7.14)

gdzie G * ( /) — funkcja zesp o lo n a sp rzę żo n a w zględem tra n sfo rm a ty F o u rie ra sygnału w ejściow ego g(t), n a to m ia st k — czynnik skalujący o o d p o w ied n im w ym iarze. N a p o d staw ie p o d an ej zależności stw ierdzam y, że z w yjątkiem czy n n ik a /cexp( —j2 itf T ) tra n sm ita n c ja filtru o p ty m aln eg o je st ta k a sa m a ja k zesp o lo n e sp rzężo n e w idm o sy gnału wejściowego. R ó w n an ie (7.14) o k re śla filtr o p ty m a ln y w dziedzinie częstotliw ości. Aby sc h a ra k ­ teryzow ać ten filtr w dziedzinie czasu, bierzem y o d w ro tn ą tra n sfo rm a tę F o u rie ra H op{( f ) z ró w n a n ia (7.14) i o trzy m u jem y o d p o w ied ź im p u lso w ą filtru o p ty m aln eg o w postaci: hop,(t) = fc J G * ( / ) e x p [ —j 2 n / ( T —i ) ] d / “X

(7.15)

P o n iew aż d la rzeczyw istego sy g n ału
(7.16)

00

R ów nan ie (7.16) pokazuje, że z d o k ład n o ścią d o czy n n ik a skalującego k, odpow iedź im p u lso w a filtru o p ty m aln eg o je st o d w ró c o n ą w czasie i o p ó ź n io n ą w ersją sy gnału w ejścio­

410

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M

w ego g{t); a więc jest o n a „ d o p a so w a n a ” d o sy gnału w ejściow ego. T a k zdefiniow any liniow y filtr sta c jo n a rn y n azy w an y je st filtrem d o p a so w a n y m d o sygnału. Z a n o tu jm y , że jed y n e założenie ja k ie poczyniliśm y przy w p ro w ad zen iu o p isu filtru d o p aso w an eg o , a dotyczące szum u w ejściow ego w(t) by ło tak ie, że jest o n sta c jo n a rn y i biały o zerow ej średniej i gęstości w idm ow ej m ocy N J 2.

W łaściw o ści f ilt r ó w dopasow anych Z a n o tu jm y , że filtr, k tó ry je st d o p a so w a n y d o sy gnału im pulsow ego g(t) o czasie trw a n ia T, sch arak tery zo w an y jest p rzez o d p o w ied ź im pulsow ą, k tó ra stan o w i o d w ró c o n ą w czasie i o p ó ź n io n ą w ersję w ejścia g(t), co zap isu jem y ja k o : *»opt(0 = k g ( T - t ) In n y m i słow y, o d p o w ied ź im p u lso w a hopt(t) jest zd efin io w an a jed n o zn aczn ie, z w yjątkiem je d n a k o p ó ź n ie n ia T czy n n ik a sk alu jąceg o k, p rzez k ształt im pulsu sygnałow ego g(t), d o k tó reg o filtr jest d o p aso w a n y . W dziedzinie częstotliw ości filtr d o p aso w a n y sc h a ra k ­ tery zo w an y je st p rzez tran sm ita n cję, k tó ra z d o k ła d n o śc ią d o czy n n ik a o p ó ź n ie n ia stanow i zespolone sprzężenie tra n sfo rm a ty F o u rie ra sy g n ału w ejściow ego g(t), czyli: = /c G * (/)e x p (—j 2 7 t /T ) N ajistotniejszy w ynik obliczeń d o ty czący d ziałan ia system ów p rze tw arzan ia sygnałów za p o m o cą filtrów d o p a so w a n y c h je st być m o że następujący: • S zczyto w a impulsowa w artość stosunku sygnału do szum u dla filtró w dopasowanych zależy tylko od stosunku energii sygnału do gęstości widmowej m ocy szum u białego na wejściu filtru. W celu zd efiniow ania tej w łaściw ości ro zw ażm y filtr d o p a so w a n y d o zn an eg o sygnału g(r). W takiej sytuacji tra n sfo rm a ta F o u rie ra z w yjścia filtru d o p aso w an eg o g0(t) jest rów na: G . i f ) = t f opl( / ) G ( / ) = k G * ( /) G ( /) e x p ( —j 2 n f T ) = = k |G ( / ) |2e x p ( —j 2 i t / T ) S to su jąc ró w n a n ie (7.17) w e w zorze n a o d w ro tn ą tra n sfo rm a tę F o u rie ra znajdujem y, że wyjściem filtru d o p a so w a n e g o d la czasu t = T jest: QO g J T ) = k f G0( / ) e x p ( j 2 j t / 7 T) d f = k

oc J G ( / ) l 2d /

Z a p o m o cą tw ierd zen ia energ ety czn eg o R ayleigha w ynik ten u p raszcza się do: g0( T ) = k E

(7-18)

gdzie £ — en erg ia sygnału im pulsow ego g(t). N astęp n ie p o d staw iając ró w n a n ia (7.14) d o (7.7) znajdujem y, że śred n ią w yjściow ą m o c ą szum u jest: E [ " 2(!)] =

f | G ( / ) | 2d / = k 2N 0E /2

(7.19)

CO

gdzie p o n o w n ie uczyniliśm y u ży tek z tw ierd zen ia energetycznego R ayleigha. Z tego p o w o d u szczytow y im pulsow y sto su n ek sy g n ału d o szu m u m a m ak sy m aln ą w artość: (kE)2

2E

(k2N 0E/2) ~ N 0

( 7 -20)

7.2. F I L T R D O P A S O W A N Y DO S Y G N A Ł U

411

a g ( ‘>

A

O

T

b Wyjście filtru

C

Rys. 7.2. a) Im puls prostokątny, b) wyjście filtru dopasow anego, c) wyjście in teg rato ra

N a podstawie równania (7 .2 0 ) widzim y, że zależność od kształtu przebiegu g(t) na wejściu zo stała całkow icie zn iw elo w an a przez filtr d o p aso w a n y . A zatem o ceniając zdolność o d b io rn ik a z filtrem d o p a so w a n y m d o zw alczan ia ad d y ty w n eg o gaussow skiego szum u białego stw ierdzam y, że w szystkie sygnały o tej sam ej energii m a ją tę sam ą efektyw ość. Z an o tu jm y , że energię sy g n ału E p o d a je się w dżulach, a gęstość energii w idm ow ej N J 2 w yraża się w w atac h n a herc, ta k więc sto su n ek 2 E /N 0 jest bezw ym iarow y; p o m im o to k ażd a z tych w ielkości m a o d m ien n e znaczenie fizyczne. O d n o sim y się d o E / N 0 ja k o stosunku widmowego gęstości energii sygnału do szumu.

Przykład 1

F iltr dopasowany do impulsu prostokątnego

R ozw ażm y sy g n ał g{t) w p o staci im p u lsu p ro sto k ą tn e g o o am p litu d zie A i czasie trw a n ia T, p o k a z a n y n a rys. 7.2a. W przykładzie ty m o d p o w ied ź im p u lso w a h(t) filtru d o p aso w an eg o m a d o k ła d n ie te n sam kształt, co i sygnał. S ygnał w yjściow y g0(t) w y tw o rzo n y przez filtr d o p a so w a n y w odpow iedzi n a sy g n ał w ejściow y g(t) m a k ształt tró jk ą tn y , p o k aza n y na rys. 7.2b. M a k sy m a ln a w artość sygnału w yjściow ego g0(t) ró w n a je st k A 2T, czyli ró w n a jest energii sy g n ału w ejściow ego g(t) p rzesk alo w an ej przez czynnik k\ ta m ak sy m aln a w arto ść p rz y p a d a w chw ili i = T zgodnie z rys. 7.2b.

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M

Impuls prostokątny

-X>

'O------- >-

Próbkowanie w chwili

i= T

**ys. ^*3

U k ład całkujący z próbkow aniem

W specjalnym p rz y p a d k u , gdy im puls je st p ro sto k ą tn y , filtr d o p aso w a n y m oże zo stać zrealizo w an y za p o m o c ą u k ła d u z n an e g o ja k o układ całkująco-próbkujący, k tó reg o sch em at b lo k o w y p o d a n o n a rys. 7.3. In te g ra to r o b licza p o le im pulsu p ro sto k ą tn e g o , a p o w stający sygnał w yjściow y p o d leg a n astęp n ie p ró b k o w a n iu w chw ili t = T, przy czym T jest czasem trw a n ia im p u lsu . N a ty c h m ia st p o czasie t = T in te g ra to r p o w ra c a do w aru n k ó w p o czątk o w y ch ; stą d w y n ik a też n azw a o b w o d u . N a ry su n k u 7.2c p rzed staw io n o k ształt przebiegu w yjściow ego u k ła d u c a łk u ją c o -p ró b k u ją c e g o d la p rz y p a d k u im pulsu p ro sto k ą tn e g o z rys. 7.2a. W idzim y, że d la r ^ Tw yjście tego o b w o d u m a k sz ta łt przebiegu identyczny ja k ten , k tó ry p o jaw ia się n a w yjściu filtru d o p aso w an eg o .

7 .3 .

Stopa błędu zw iązana z szumem

W p u n k cie 6.9 p rzed staw iliśm y ja k o śc io w ą dyskusję w pływ u szum u n a działanie za­ kłóconeg o b in arn eg o system u P C M . T eraz, gdy m am y d o dyspozycji filtr d o p a so w a n y ja k o o p ty m aln y d e te k to r zn an eg o im p u lsu , z ad d y ty w n y m szum em białym , jesteśm y ju ż p rzygoto w an i d o w y p ro w ad zen ia w zo ru p o d a ją c e g o sto p ę błędu sp o w o d o w a n ą przez szum w tak im system ie. W celu k o n ty n u o w a n ia analizy, rozw ażm y system b in a rn y P C M p rau jący w kodzie bez pow rotu do zera (N R Z ). W k o d zie ty m sym bole 1 i 0 rep rezen to w an e są p rzez d o d a tn ie i ujem ne im pulsy p ro s to k ą tn e o rów nej am p litu d z ie i jed n a k o w y m czasie trw an ia. M odel szum u z a k ła d a a d d ytyw n y gaussow ski szum biały w(i), o zerow ej średniej i o gęstości w idm ow ej m ocy N 0/2; założenie o gaussow skim c h a ra k te rz e szum u będzie p o trzeb n e w dalszych obliczeniach. W p rzedziale czasu 0 s ygnał o d b ie ra n y m oże być zatem zap isan y w postaci: _ f + ^ + w (0» { —/4 + w(r),

gdy w ysłano sym bol 1 gdy w ysłano sym bol 0

(7.21)

gdzie Tb cza s trw ania bitu, n a to m ia s t A — amplituda transm itowanego impulsu. Z a k ła d a się, że w o d b io rn ik u je st in fo rm acja o czasach p o c z ą tk u i k o ń c a k ażd eg o przesyłanego im pulsu; innym i słow y, o d b io rn ik z w yprzedzeniem wie, ja k i jest k ształt im pulsu, nie m a je d n a k d an y ch n a te m a t p o lary zacji im p u lsu . P rzy z a d a n y m zaszu m io n y m sygnale x (t) o d o d b io rn ik a w ym aga się, a b y w k ażd y m p rzedziale sygnałow ym p o d ejm o w ał decyzję, czy n a d a n y m sygnałem by ło 1 czy 0. S tru k tu ra o d b io rn ik a sto so w a n a d o p o d ejm o w an ia teg o p rocesu decyzyjnego p rze d sta w io n a je st n a rys. 7.4. W je j sk ład w ch o d zą filtr d o p a so w a n y z d o łączo n y m układem p ró b k u jący m , a n a stę p n ie u rząd zen ie decyzyjne. F iltr d o p a so w a n o d o im pulsów p ro s to k ą t­ nych o am p litu d zie A i czasie trw a n ia Tb, w y k o rzy stu jąc inform ację o synchronizacji bitów , d o stę p n ą d la o d b io rn ik a . O trz y m a n e w w y n ik u wyjście filtru d o p a so w a n e g o p ró b k o w a n e jest p o zak o ń czen iu k ażd eg o o k resu sygnałow ego. O b ecność szum u w(/) p o w o d u je d o d a n ie p rzy p ad k o w o ści d o sy g n ału w yjściow ego filtru d o p aso w an eg o . N iech y o zn acza w a rto ść p ró b k i o trz y m a n ą p o d k o n iec każdego o k resu syg­ nałow ego. W a rto ść p ró b k i y p o ró w n y w a n a je st z n astaw n y m progiem X w urządzeniu

7.3. S T O P A B Ł Ę D U Z W I Ą Z A N A Z S Z U M E M

Filtr ^ dopasowany

Fala PCM

s(ł)

413

o

\

>■>

Układ decyzyjny

Próbkowanie przez czas Tb Biały szum gaussowski

1 jeśli j > A O jeśli y < A

Próg

A

vf(t) Rys. 7.4. O d b io rn ik dla o d b io ru transm isji w paśm ie podstaw ow ym fali binarnej P C M

stosującej kodow anie N R Z

decyzyjnym . Jeśli p ró g z o sta ł p rze k ro czo n y , o d b io rn ik p o d ejm u je decyzję n a k o rzy ść sy m b o ­ lu 1; jeśli nie, z a p a d a d ecyzja o d n o śn ie sy m b olu 0. Z a a d o p to w a n o przy tym konw encję, że gdy w arto ść p ró b k i y d o k ła d n ie ró w n a się w ysokości p ro g u X, to o d b io rn ik p o p ro s tu zgaduje, k tó ry sym bol z o sta ł przesłany; p o d ję ta decyzja je st ta k a sam a, ja k przy rzucie m o n ety praw idłow ej, w w y n ik u k tó re g o nie z o sta n ie n a ru sz o n e śred n ie p ra w d o p o d o b ie ń stw o błędu. N ależy w ziąć p o d uw agę d w a m ożliw e ro d zaje błędów : 1. Sym bol 1 z o sta ł w y b ran y , p o d czas gdy w rzeczyw istości n a d a n o 0; b łąd ten nazyw am y błędem pierwszego rodzaju. 2. S ym bol 0 z o sta ł w y b ran y , p o d czas gdy faktycznie w ysłano 1; b łąd ten nazyw am y błędem drugiego rodzaju. W celu w yznaczenia śred n ieg o p ra w d o p o d o b ie ń stw a błędu, rozw ażm y te dw ie sytuacje oddzielnie. P rzypuśćm y, że w y słan o sy m b o l 0. W tedy, zg o d n ie z ró w n an iem (7.21) sygnał o d b ieran y je st rów ny: x (t) = - A + w(t),

0 ^ t^ T „

(7.22)

W yjście z filtru d o p aso w a n e g o , p ró b k o w a n e w czasie t = Tb,w ynosi o d p o w ied n io (jeśli założyć w świetle p rz y k ła d u 1, że k A T b jest rów ne jed n o ści w celu uproszczenia prezentacji): Ts

i

t„

y = f x (t)d i = - A + — J w (f)dt 0

*b

(7.23)

O

co rep rezen tu je w a rto ść p ró b k i zm iennej losow ej Y W zw iązku z ty m , że szum w(i) je st biały i gaussow ski, m ożem y sc h ara k tery z o w a ć zm ien n ą losow ą Y w n astęp u jący sposób: • Z m ien n a lo so w a Y jest g au sso w sk ą zm ien n ą losow ą o średniej w arto ści rów nej — A. • W a ria n c ja zm iennej losow ej Y jest rów na: i

r * T> e n w (t)w (u )d td u j = 1 b Lo O \ rbT, [ T>Tt T 2 i i E l* > (t)w (u j]d td u = i i R J t , u )d td u 1b 0 0 1b 0 0

(7.24)

gdzie R w(t, u) je st fu n k cją au to k o re la c ji szum u białego w(/). P o n iew aż szum w(f) je st biały z gęstością w id m o w ą N 0f 2, więc m am y:

Rw(t>

u) = -y-«5(f-w)

(7.25)

gdzie S ( t — u) — p rzesu n ięta w czasie fu n k cja d e lta D iraca. S tąd , p o p o d staw ien iu ró w ­ n a n ia (7.25) d o (7.24) dostajem y:

* r = ~=y J i - = - 5 ( r - u ) d i d u = * h

fi

c\

(7.26)

2 Tb

F u n k c ja gęstości p ra w d o p o d o b ie ń stw a zm iennej losow ej Y p o d w aru n k iem , że w ysłano sym bol 0, je st rów na:

(7.27) F u n k c ję tę p o k a z a n o n a w ykresie z rys. 7.5a. N iech P e0 o zn acza w arunkow e prawdopodobień­ stw o błędu pod warunkiem, że wysłano sym bol zero. P ra w d o p o d o b ie ń stw o to zdefiniow ane je st przez zacieniow ane p o le p o d krzyw ą f Y(y\0) rozciągające się o d p ro g u X d o nieskończoności; o d p o w ia d a o n o zakresow i w arto ści zało żo n y ch d la y o ile decyzja z a p a d a n a k o rzy ść sym bolu 1. P rzy nieobecności szum u, wyjście filtru d o p a so w a n e g o y p ró b k o w a n e w czasie t = Tb je st rów ne - A . G d y szum jest obecny, y p rzy jm u je o d czasu d o czasu w a rto ść w iększą o d X, i w tym p rz y p a d k u pow staje błąd. P ra w d o p o d o b ie ń stw o teg o błędu, w a ru n k o w a n e w zględem okoliczności w ysyłania sym bolu 0, zdefiniow ane je st w zorem : CO

^eO ~ P(y > X | w y słan o sym bol 0) =

J f Y{y 10)dy = a

(7.28)

Jeśli chcem y p o su n ą ć się dalej, będziem y p o trzeb o w ali p rz y p o rz ą d k o w a ć o d ­ p o w ied n ią w a rto ść d la p ro g u X. P rz y p o rz ą d k o w a n ie tak ie w y m ag a znajom ości praw ­ dopodobieństw a priori sy m b o li b in arn y ch 0 i 1, o zn aczo n y ch o d p o w ied n io przez p 0 i P v O czyw iste jest, że zaw sze m u si zachodzić: Po+Pi = 1

(7.29)

Rys. 7.5

b

A

A

Analiza wpływ u szum u k an ału na system P C M ; a) funkcja gęstości p raw d o p o d o b ień stw a zmiennej losowej Y n a wyjściu filtru dopasow anego, gdy transm itow any jest sym bol 0, b) funkcja gęstości praw dopodobieństw a, gdy tran sm ito w an y jest sym bol 1

7.3. S T O P A B Ł Ę D U Z W I Ą Z A N A Z S Z U M E M

415

W tym , co dalej n a s tą p i założym y, że sy m b o le 0 i 1 p o jaw iają się z ró w n y m p ra w d o p o d o ­ bieństw em , a więc w ty m p rz y p a d k u m am y: Po - P i -

(7.30)

2

C o więcej, gdy szum je st nieobecny, m ożem y z a n o to w a ć przyjęcie p rzez w a rto ść p ró b k o w a n ą z wyjścia filtru d o p a so w a n e g o w arto ści —A , gdy w ysłano sym bol 0 i w arto ści + A gdy w ysłano sym bol 1. T a k więc, w św ietle ró w n a n ia (7.30) ra c jo n a ln e będzie u stalić p ró g w połow ie m iędzy tym i dw iem a w arto ściam i, czyli: (7.31) O d p o w ied n io d o tego, ró w n an ie (7.28) n a w aru n k o w e p ra w d o p o d o b ie ń stw o b łęd u pierw ­ szego ro d z a ju przyjm ie postać:

(

7

'

3

2

)

Z definiujm y te ra z n o w ą zm ienną: y+ A

z =

(7.33) s / N 0/ T b

k tó ra p o m o że zm ienić n a m form ułę ró w n a n ia (7.32) do:

Pe0 = ~ 7 T I e x p ( - z 2)dz v K J eJ tĘ

(7.34)

gdzie Eb — energia transm itowanego sygnału na jeden bit, zdefiniow ana w zorem : E b = A 2Tb

(7.35)

W tym p u n k cie sta je się d la n as w ygodne w p ro w ad zić definicję ta k zw anej komplem entarnej Jitnkcji błędu: erfc(u) =

2

00

— J e x p ( —z 2) d z 71 u

(7.36)

Z godnie z d y sk u sją w d o d a tk u 7, k o m p le m e n ta rn a funkcja błędu je st ściśle zw iązan a z ro zk ład em G au ssa. M o ż n a więc w k o ń cu przek ształcić p ra w d o p o d o b ie ń stw o w aru n k o w e błędu P e0 za p o m o cą k o m p le m en tarn ej funkcji błędu w n astęp u jący sposób: Teo =

Eb

erfc ‘ * ’ *' N 0

(7.37)

Z ało ży m y n astęp n ie, że w ysłano sym bol 1. W tak im p rz y p a d k u g aussow ska zm ien n a lo so w a ^ re p re z e n to w a n a przez w a rto ść p ró b k i y z w yjścia filtru d o p a so w a n e g o m a śred n ią + A i w arian cję N 0/2T b. Z au w ażm y też, że w p o ró w n a n iu d o sytuacji, gdy w ysłano sym bol 0, śre d n ia zm iennej losow ej Y u leg ała zm ianie, je d n a k w arian cja je st d o k ła d n ie ta k a sam a ja k p o p rz e d n io . W a ru n k o w a fu n k cja Y gęstości p ra w d o p o d o b ie ń stw a w p rzy p ad k u , jeżeli w y słan o sym bol 1, w ynosi więc:

416

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M

f

r

W

)

s

s

7 F J7 n^ NT 0/T h

\

e x p (

~

V ^ ) N 0/T„ )

( 7 J 8 )

co w yk reślo n o n a rys. 7.5b. N iech P el o zn acza w arunkow e prawdopodobieństwo błędu, jeżeli wysłano sym bol 1. P ra w d o p o d o b ie ń stw o to zdefiniow ane jest p rzez zacien io w an e p o le p o d krzyw ą f Y( y \ i ) ro zciąg ające się o d — oo d o p ro g u A, co o d p o w ia d a zakresow i w arto ści przyjętych d la y w p rz y p a d k u decyzji k o rzy stn ej d la sym bolu 0. P rzy nieobecności szum u, wyjście filtru d o p a so w a n e g o y p ró b k o w a n e w czasie t = Tb jest ró w n e + A. G d y p o jaw ia się szum , y sp o rad y czn ie p rzy jm u je w arto ść m niejszą o d A, co sta n o w i przyczynę p o jaw ien ia się błędu. P ra w d o p o d o b ie ń stw o tego błędu, w aru n k o w e w zględem w ysłania sy m b o lu 1, zdefiniow ane jest przez: P ei = P ( y < A | w y słan o sym bol 1) =

1

i

(

°

' _

/

?. j / y(> jl)d y =

1 ) 2 ''1 h

\ ex P — y j % N0/T b -00 V N 0/T„

)d y

( 7 J 9 )

U stalają c w arto ść p ro g u ta k ja k u p rz e d n io n a A = 0 i podstaw iając: y-A

= —z

y jN J T b łatw o zn ajd u jem y , że Pel — PeO- W y n ik te n je s t oczyw iście k o n sek w en cją u stalen ia p ro g u p o śro d k u z a k re su —A , + A , co ju ż u p rz e d n io było uspraw iedliw ione w obec założenia ró w n eg o p ra w d o p o d o b ie ń stw a sy m b o li O i l . K a n a ł, w k tó ry m w aru n k o w e p ra w d o p o d o ­ b ień stw a P el i P e0 są ró w n e n azy w an y jest binarnie sym etrycznym . D la w yznaczenia średniego p ra w d o p o d o b ie ń stw a w y stąp ien ia błędu sym bolu w o d b io rn ik u zan o tu jm y , że o b y d w a m ożliw e wcześniej ro zw ażo n e ro d zaje błędów są naw zajem w ykluczającym i się p rz y p a d k a m i p racy o d b io rn ik a , w tym sensie, że jeśli w określo n ej chw ili p ró b k o w a n ia w ybierze się sym bol 1, w tedy pojaw ienie się sym bolu 0 jest w ykluczone i vice versa. C o w ięcej, P e0 i P ei są p ra w d o p o d o b ie ń stw a m i w arunkow ym i, z k tó ry ch P e0 z a k ła d a , że w y słan o sym bol 0 i P el z a k ła d a , że w ysłano sym bol 1. Z tego p o w o d u średnie prawdopodobieństwo przekłam ania sym bolu P e w o d b io rn ik u d a n e je st przez: (7.40)

Pe = PoPeO + PlPel gdzie Po * P i — p ra w d o p o d o b ie ń stw a

a

priori sym bolów b in a rn y c h o d p o w ied n io 0 i 1.

P o n iew aż P el = P e0 i p 0 = p l = — w zgodności z ró w n an iem (7.30), więc otrzym ujem y:

2

Pe — Pel — P eO lu b (7.41) U d a ło się n a m w ten sp o só b p o k a z a ć , że średnie prawdopodobieństwo błędu sym bolu w binarnie kodow anym odbiorniku P C M zależy je d y n ie od E b/ N 0, czyli stosunku transm itowanej energii na bit sygnału do gęstości widmowej szumu.

7.4. I N T E R F E R E N C J A M I Ę D Z Y S Y M B O L O W A

417

®

CL 3 *C -S 43* CO

•c CD 43 O TJ O CL O "O $r o •

Rys. 7.6 P raw d o p o d o b ień stw o błędu w o d b io rn ik u P C M

D o w y k reślenia n a rys. 7.6 średniego p ra w d o p o d o b ie ń stw a błędu sy m b o lu P e w funkcji bezw ym iarow ego sto su n k u E J N 0 zastosow aliśm y w zór (7.41). N a p o d staw ie ry su n k u stw ierdzam y, że p ra w d o p o d o b ie ń stw o błędu P e zm niejsza się b a rd z o szybko w m iarę ja k , w zrasta sto su n ek E J N 0, przez co naw et b a rd z o niew ielki p rzy ro st energii n ad aw an eg o sygnału m o że uczynić o d b ió r im pulsów b in a rn y c h praw ie w olnym od błędów , w analogii d o dyskusji p rzep ro w ad zo n ej u p rzed n io w p u n k cie 6.9. Z au w ażm y je d n a k , że w w aru n k a c h p rak ty czn y ch p rzy ro st energii sy gnału pow inien być ro z p a try w a n y w k o n te k ś­ cie porów n aw czy m w zględem ro zp a try w a n e g o p o zio m u energii; na p rzy k ład 3-dB p rzy ro st E b/ N 0 jest znacznie łatw iejszy d o spełnienia przy niew ielkim poziom ie E b niż w tedy, gdy pow iększym y ten p a ra m e tr o rz ą d wielkości.

7 .4 .

Interferencja m iędzysym bolow a

W im pulsow ych system ach tran sm isy jn y ch działających w p aśm ie p o d staw o w y m , n a ­ stęp n ą g ru p ę zjaw isk p o w o d u jący ch błędy b itó w stan o w i interferencja m iędzysym bolow a (ang. IS ł — intersym bol interference), p o jaw iająca się w tedy, gdy m am y d o czynienia z dyspersją w k an ale. W pierw szym rzędzie je d n a k m usim y sobie z a d a ć kluczow e pytanie: jeśli zad an y je st in teresujący n a s k ształt im p u lsu , ja k będziem y w ykorzystyw ać tę in fo r­ m ację przy tran sm isji d an y ch w system ie M -w artościow ym ? O d p o w ied ź sp ro w ad za się do zasto so w an ia dyskretnej modulacji impulsowej, w k tó rej a m p litu d a , czas trw a n ia lub pozycja przesłanych im pulsów są zm ieniane w d y sk retn y sp o só b w zależności o d k o n k retn eg o stru m ien ia d an y ch . Je d n a k ż e w p rz y p a d k u transm isji d an y ch cyfrow ych w paśm ie p o d ­ staw ow ym zasto so w an ie dyskretnej modulacji am plitudy impulsów (P A M ) jest najb ard ziej efektyw ne z p u n k tu w idzenia w y k o rzy stan ia m ocy i pasm a. O d p o w ied n io d o tego, ograniczym y n aszą uw agę d o d y sk retn y ch sytem ów P A M . R ozpoczniem y przy tym , ro z p a tru ją c n ajp ierw p rzy p ad ek d an y ch b in arn y ch ; w dalszej części ro zd ziału rozw ażym y bardziej o g ó ln y p rzy p ad ek d an y ch M -w artościow ych. R ozw ażm y zatem system transmisji binarnej P A M w ogólnej p o staci przedstaw ionej n a rys. 7.7. N ad c h o d zący ciąg b in a rn y {bk} sk ład a się z sym boli 1 i 0, każd y o czasie 27 S ystem y te le k o m u n ik a c y jn e cz. I

418

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M

A

V

s/> a>

SA

d>

w■m

E

o

.o

8

co c

5

W CO J* :

E

ctP

1= U .

m c

'z

c ji

co

T> CO Z Q0

rt 06

7.4. I N T E R F E R E N C J A M I Ę D Z Y S Y M B O L O W A

419

trw a n ia Tb. M o d u la to r am plitudy impulsów zam ien ia ten ciąg b in a rn y n a now y ciąg k ró tk ich im pulsów (przybliżających im p u ls delta), k tó ry c h a m p litu d a ak je st w postaci:

*

_ J +1

jeśli sy m b o l bk je st 1

( —1

jeśli sym bol bk je st 0

(?-42)

T a k w y tw o rzo n y ciąg k ró tk ic h im p u lsó w p rzy ło żo n y je st d o filtru nadajnika o odpow iedzi im pulsow ej g(t), w y tw arzająceg o sy g n ał w yjściow y o postaci: ^(0 = Z a^ ( i - fc7b)

(7.43)

S ygnał s(t) je st n astęp n ie m o d y fik o w an y w w yniku tran sm isji p rzez kanał o o d ­ pow iedzi im pulsow ej /i(t). D o d a tk o w o w k a n a le n a stę p u je su m o w an ie sy g n ału w ejściow ego o d b io rn ik a i p rzy p a d k o w eg o szu m u . Z aszu m io n y sygnał x (t) je st n astęp n ie przesyłany p rzez filtr odbiornika o o d p o w ied zi im pulsow ej c(t). S y g n ał w yjściow y filtru p ró b k o w a n y jest synchronicznie w zględem n a d a jn ik a , p rzy czym chw ile p o b ie ra n ia p ró b e k o k reślan e są przez sygnały zegarow e lu b sygnały synchronizacji, zazw yczaj o d tw a rz a n e n a p o d staw ie przebiegów z w yjścia filtru o d b io rn ik a . W k o ń cu ta k w y tw o rzo n y ciąg p ró b e k zo staje użyty przez urządzenie decyzyjne w celu o d tw o rz e n ia sygnału ory g in aln eg o . W szczególności a m p litu d a każdej z p ró b e k p o ró w n y w a n a je st d o progu. Jeżeli p ró g A z o sta ł p rzek ro czo n y , decyzja d o k o n y w a n a je st n a k o rzy ść sy m b o lu 1. Jeśli p ró g X nie z o sta ł p rzek ro czo n y , decyzja d o k o n y w a n a je st n a k o rzy ść sy m b o lu 0. Jeżeli a m p litu d a p ró b k i d o k ła d n ie ró w n a się w arto ści p ro g u , rz u t m o n ety praw idłow ej określa, k tó ry z sym boli z o sta ł n a d a n y (tzn. o d b io rn ik o d g ad u je wynik). W yjście filtru o d b io rn ik a zapisujem y jak o : y(t) = g Z ak P (^ -^ T b) + n(t)

(7.44)

k

gdzie p czynnik sk alu jący , n a to m ia st im puls p(t) pow inien b y ć zdefiniow any. A rg u m en ­ tow i im p u lsu p (t — kT b) należy n a d a ć d o d a tk o w e o p ó źn ien ie i 0, ab y ró w n a n ie (7.44) uw zględniało efekt o p ó ź n ie n ia tran sm isji sy gnału przez system . Z e w zględu n a uproszczenie zapisu, w ró w n a n iu (7.44) o p ó źn ien ie to z o stało pom inięte, co nie n a ru sz a ogólności tego ró w n an ia. S k alo w an y im p u ls pp{t) o trzy m yw any je st p rzez p o d w ó jn y sp lo t, w skład k tó reg o w chodzą o d p o w ied ź im p u lso w a g(t) filtru n a d a jn ik a , o d p o w ied ź im p u lso w a h(t) k a n a łu i o d p o w ied ź im p u lso w a c(i) filtru o d b io rn ik a , co zapisuje się w postaci: p p (t) = g (t)* h { t)* c { t)

(7 .4 5 )

gdzie g w iazd k a o zn acza o p eracje sp lo tu . Z a k ład am y , że im puls p(i) jest znorm alizow any gdy przyjm iem y: P (°) = 1

(7.46)

co uspraw iedliw ia użycie czy n n ik a p ja k o czy n n ik a skalującego, k tó ry rep rezen tu je zm iany a m p litu d z d a rz a ją c e się w trak cie tran sm isji p o p rze z system . P o n iew aż sp lo t w dziedzinie czasu tra n sfo rm u je się n a iloczyn w dziedzinie częstotliw ości m ożem y użyć tra n sfo rm a ty F o u rie ra , a b y zm ienić ró w n an ie (7.45) d o ró w n o w ażn ej postaci: f* P (f) = G ( f ) H ( f ) C ( f )

(7.47)

gdzie: P ( f ) , G ( f ) , H ( f ) i C ( f ) o zn aczają o d p o w ied n io tra n sfo rm a ty F o u rie ra p(t), g(t), h(t) i c(t). 27*

420

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M

N a koniec, czło n «(i) w ró w n a n iu (7.44), rep rezen tu je szum w y tw o rzo n y n a w yjściu filtru o d b io rn ik a , sp o w o d o w a n y przez a d d y ty w n y szum w (i) n a w ejściu o d b io rn ik a . Zazw yczaj m o d u lu je się szum w(t) ja k o biały czu m gaussow ski o zerow ej średniej. Sygnał w yjściow y y{t) filtru o d b io rn ik a jest p ró b k o w a n y w chw ilach r, = iTb, (przy czym i przyjm uje w arto ści całkow ite), c o m o ż n a zap isać [w św ietle ró w n a n ia (7.46)]: 00

W i - P

CO

£ k

+ co

=

+

£

W W -k n j+ n « ,)

(7.48)

k —- co k * i

W ró w n a n iu (7.48) pierw szy czło n p a t rep rezen tu je w kład i-tego tra n sm ito w a n e g o b itu . D rugi człon rep rezen tu je efekt szczątkow y w szystkich p o zo stały ch bitó w p odczas d e k o d o w a n ia i-tego b itu ; ten szczątkow y efekt zw iązany z w ystęp o w an iem im pulsów p o p rzed zający ch i n astęp u jący ch p o chw ili p ró b k o w a n ia t { n azyw any jest interferencją m iędzysym bolow ą (ISI). O sta tn i człon n(tt) rep rezen tu je p ró b k ę szum u d la czasu t,. P rzy b ra k u z a ró w n o ISI ja k i szum u, m ożem y n a p o d staw ie ró w n a n ia (7.48) napisać:

y (ii) = W i co w skazuje, że w ta k ic h id ealnych w a ru n k a c h i-ty przesyłany bit d e k o d o w a n y jest popraw nie. O b ecn o ść IS I i szu m u je st je d n a k n ieu n ik n io n a, przez co błędy w p ro w ad zan e są d o je d n o s tk i decyzyjnej n a w yjściu o d b io rn ik a. D lateg o przy p ro je k to w a n iu filtrów n a d a jn ik a i o d b io rn ik a m in im alizu je się w pływ szum u i IS I, a p rzez to um ożliw ia d o starczen ie d an y ch cyfrow ych d o m iejsca ich p rzezn aczen ia z najm niejszą m ożliw ą sto p ą błędu. W ta k ich sy stem ach ja k n a p rzy k ład w telefonii, gdzie sto su n ek sy gnału d o szum u jest duży, d ziałan ie system u o g ran iczo n e jest w p rzew ażający m sto p n iu raczej przez IS I, niż przez szum ; innym i słow y m ożliw e jest pom inięcie czy n n ik a n(i,). W p aru n astęp n y ch p u n k ta c h założym y, że p o d a n y w aru n ek je st spełniony, czyli że m ożliw e je st sk o n ce n tro w an ie uw agi n a ISI i tech n ik ach jej k o n tro lo w a n ia . W szczególności będziem y p o szukiw ali ta k ie g o k sz ta łtu im p u lsu p(t), d la k tó reg o ISI m o że zo stać k o m p letn ie w yelim inow ana.

7 .5 .

Kryterium Nyquista dla niezniekształconej transmisji binarnej w paśmie p o d s ta w o w y m

T ra n sm ita n c ja k a n a łu i k sz ta łt przesyłanego im pulsu są zazw yczaj znane, w zw iązku z czym nasz p ro b le m d o ro zw iązan ia p o leg a n a w yznaczeniu tra n sm ita n c ji filtrów n a d a jn ik a i o d b io rn ik a ta k , ab y um ożliw ić z re k o n stru o w a n ie o ry g in aln eg o b in a rn e g o ciąg u d an y ch {bk}. O d b io rn ik d o k o n u je teg o przez wybieranie a n astęp n ie dekodowanie o d p o w ied n ich ciągów w spółczynników ( a j z w yjścia y(t). W y b ieran ie to polega n a p ró b k o w a n iu wyjścia y(r) w chw ilach t = iTb. Dekodowanie w ym aga, ab y w ażony sk ła d n ik im pulsow y ak P (iT b — k T b) d la k = i był w olny o d IS I sp o w o d o w an eg o p rzez zachodzenie n a siebie „o g o n ó w ” w szystkich in n y ch w ażo n y ch sk ład n ik ó w p o ch o d zący ch o d im pulsów , d la k tó ry ch k ^ j . W y m ag an ie to z kolei p ro w a d zi d o konieczności kontroli całkow itego k sz ta łtu im p u lsu p(t), czyli d o w aru n k u :

(7.49)

7.5. K R Y T E R I U M N Y Q U I S T A D L A N I E Z N I E K S Z T A Ł C O N E J T R A N S M I S J I

421

gdzie p(0) = 1 ze w zględu n a u czy n io n ą n orm alizację. Jeśli p(t) spełnia w a ru n e k z ró w n a n ia (7.49), to w yjście o d b io rn ik a y(r.) d a n e ró w n a n ie m (7.48) u p rasz cza się (po z a n ie d b a n iu członu szum ow ego) do: y(i.) = pcij

d al w szystkich i

co im p lik u je zerow y w pływ interferencji m iędzysym bolow ej. S tą d w aru n ek z ró w n a n ia (7.49) zap ew n ia idealny odbiór p rzy nieobecności szumu. Z p u n k tu w idzenia p ro je k to w a n ia , w a rto p rz e tra n sfo rm o w a ć w aru n ek (7.49) w dziedzinę częstotliw ości. R ozw ażm y ciąg p ró b e k {p(nTh)}, przy czym n = 0, ± 1 , ± 2 , ... Z dyskusji p rzep ro w ad zo n ej w ro zd ziale 6 n a te m a t p ro cesu p ró b k o w a n ia p rzy p o m in am y sobie, że p ró b k o w a n ie w dziedzinie czasu w p ro w ad za o k reso w o ść w dziedzinie często tliw o ­ ści. W szczególności m o żem y napisać: CO

P>( f ) = R t

I P ( f - n R t) k = - cc

(7.50)

gdzie: R b = 1jT b — szy b k o ść b ito w a, m ierzo n a w b itach n a sek u n d ę (b/s); P 6( f ) — tra n sfo r­ m a ta F o u rie ra n iesk o ń czo n eg o ciąg u o k reso w eg o o o k resie Tb funkcji d elta, k tó ry c h p o la są w ażone p rzez o d p o w ied n ie w arto ści p ró b e k p(t). O zn a cza to , że P 6( f ) m oże być zap isan a w postaci:

P,(f)=

co

co

i

I

[p(m P h ) ~ ~ m T b)~\ e x p (—j 2 n / f ) d i

(7.51)

oc m — - co

N iech liczba c a łk o w ita m = i —k. W tedy i = k o d p o w ia d a m = 0 i p o n a d to i # k o d p o w ia d a m # 0. S to so w n ie d o teg o n a d ła d a ją c w a ru n e k z ró w n a n ia (7.49) n a w arto ści p ró b e k p(t) w całce z ró w n a n ia (7.51) dostajem y: X'

pA f)=

i p (0 )ö { t)e x p (—} 2 n f t ) d t = p(0)

(7.52)

przy czym posłużyliśm y się tu ta j w łaściw ością filtracji funkcji delta. P o n iew aż w ró w n an iu (7.46) m am y p(0) = 1, to z ró w n a ń (7.50) i (7.52) w ynika w a ru n e k sp ro w a d zen ia interferencji m iędzysym bolow ej d o zera X X

P ( f - n R b) = T,

(7.53)

n — — oc

M o żem y te ra z sfo rm u ło w ać kryterium N y q u ista 3) dla niezniekształconej transmisji w paśmie podstaw ow ym przy nieobecności szum u: Funkcja częstotliwości P ( f ) eliminuje interferencję m iędzysym bolow ą dla próbek branych w odstępach czasu Tb pod warunkiem, że fu n kcja ta spełnia równanie (7.53). Z au w ażm y , że P ( f ) o d n o si się d o system u ja k o całości, w łącznie z filtrem n a d a jn ik a , k an ałem i filtrem o d b io rn ik a w zgodności z ró w n a ­ niem (7.47).

Idealny kanał Nyquista N a jp ro s ts z a d ro g a d o spełnienia ró w n a n ia (7.53) p ro w ad zi p rzez określenie funkcji często t­ liw ości P ( f ) ja k o fu n k c ji prostokątnej, a m ianow icie:

Ww

(7.54)

1

f rect ( —— 2W \2 W przy czym całk o w ite p a sm o W sy stem u definiuje się ja k o : W= Rb

i (7.55)

2 Tb

S tosow nie d o ro zw ią za n ia o p isan eg o ró w n a n ia m i (7.54) i (7.55), nie p o trz e b n e są żad n e częstotliw ości p rz e k raczając e co d o m o d u łu połow ę częstotliw ości bitow ej. W y n ik a stąd , że je d n ą z m ożliw ości u zy sk a n ia k sz ta łtu sygnału, k tó ry zap ew n iałb y zero w ą interferencję m iędzysym bolow ą, b y ło b y zdefiniow anie sy gnału w p o staci fu n k c ji sine: sin (2 TcWr) =

2 XWt

= SmC(2 W t)

<7 '56>

S zybkość b ito w a o w arto śc i R b = 2 PFjest n azy w an a szybkością N yąuista, podczas gdy W n azyw ane je st pasm em N yąu ista. O d p o w ie d n io n azw a idealny kanał N yąuista będzie opisyw ać im p u lso w y system tran sm isji w p aśm ie p o d staw o w y m o p isa n y a lb o w dziedzinie częstotliw ości p rz e z ró w n an ie (7.54), a lb o w dziedzinie czasie przez ró w n a n ie (7.56). N a ry su n k u 7.8a i 7.8b p o k a z a n o w ykresy o d p o w ied n io P ( f ) i p(t). N a ry su n k u 7.8a p o k a z a n o d la d o d a tn ic h i ujem nych częstotliw ości w y k res zn o rm alizo w an ej funkcji często t­ liwości P ( J ) . N a ry su n k u 7.8b d o d a n o rów nież o k resy p ró b k o w a n ia i o d p o w iad ające śro d k o m o k resó w chw ile p ró b k o w a n ia . F u n k c ja p(t) m o że b y ć u w a ż a n a za o d p o w ied ź im pulsow ą id ealn eg o filtru d o ln o p rz e p u sto w e g o o c h a ra k te ry sty c e am p litu d o w ej w paśm ie p rzep u sto w y m rów nej 1/2 W i p aśm ie W. F u n k c ja p(t) m a w a rto ść m a k sy m a ln ą w p o c z ą tk u u k ła d u i p rzech o d zi p rzez w arto ści ró w n e zeru p rzy całk o w ity ch w ielo k ro tn o ściach czasu trw a n ia b itu Tb. Jest oczyw iste, że jeśli o d b ie ra n y k sz ta łt fali y (i) p ró b k o w a n y je st w chw ilach f = 0, ± T b, ± 2 7;, ..., to w ów czas im p ulsy zefiniow ane ja k o p p ( t- iT „ ) o dow olnych am p litu d a ch p i in d ek sach i = 0, ± 1 , ± 2 ,..., nie b ęd ą p rzejaw iać w zajem nej interferencji. W aru n ek ten , d la p rz y p a d k u ciąg u b itó w 1011010 zilu stro w a n o n a rys. 7.9. P o m im o tego, że id ealn y k a n a ł N y ą u is ta faktycznie zap ew n ia ek o n o m iczn o ść p asm a w ty m sensie, że ro zw iązu je p ro b lem zerow ej interferencji m iędzysym bolow ej przy m in im aln y m m ożliw ym paśm ie, to je d n a k p o jaw iają się dw ie p ra k ty c z n e przeszkody, k tó re kw alifikują ten k a n a ł ja k o tru d n y i n ie p o ż ą d a n y o b iek t p rzy p ro je k to w a n iu system u: 1. K a n a ł ta k i w y m ag a c h a ra k te ry sty k i am p litu d o w ej P ( f ) płaskiej o d - W d o + W i zero ­ wej p o za ty m zakresem . C h a ra k te ry s ty k a ta k a nie je st realizo w an a fizycznie z p o w o d u nieciągłości n a k ra ń c a c h p a s m a ± W. 2. F u n k c ja p(t) o p a d a ja k l / | i | d la d u ży ch |i|, co o znacza m ałe n ach y len ie sp ad k u . R ów nież i ten fa k t sp o w o d o w a n y je st nieciągłością P ( f ) d la ± W. S k u tk iem teg o p rak ty czn ie nie istnieje m arg in es b łędów w chw ilach p ró b k o w a n ia w o d b io rn ik u . D la o cen y w pływ u o m aw ian y ch błędów taktow ania ro zw ażm y p ró b k ę z y(r) d la t = A t, p rz y czym A t je s t b łędem ta k to w a n ia . W celu u p ro szczen ia ro zw ażań , m ożem y określić p raw id ło w y czas p ró b k o w a n ia t t ja k o ró w n y zeru. P rzy nieobecności szum ów jest więc:

7.5. K R Y T E R I U M N Y Q U I S T A D L A N I E Z N I E K S Z T A Ł C O N E J T R A N S M I S J I ...

423

W '= 2T>

i rb

j Momenty próbkowania

Rys. 7.8 a) Idealna ch arakterystyka am plitudow a, b) idealny kształt im pulsu podstaw ow ego

Przedziały bitowe

sin [ 2 n W ( A t - k T b)] y ( * t ) = M Z ak P (4 t~ /c T b) = p Z a>

2 n fV (A t-k T „ )~

(7.57)

P o n iew aż z definicji 2 WTb = I, m ożliw e staje się przep isan ie ró w n a n ia (7.57) w postaci: . . . . p ń n (2 viW A t) „ (-1 )* « * y(A t) = p a 0 sm c(2W At)-\ £ n k (2 W A t-k ) k* 0

(7.58)

Pierw szy czło n p o praw ej stro n ie ró w n a n ia (7.58) definiuje p o ż ą d a n y sym bol, p o d czas gdy p o zo stałe sk ład n ik i szeregu rep rez en tu ją interferencję m ięd zy sy m b o lo w ą sp o w o d o w a n ą przez błędy ta k to w a n ia A t przy p ró b k o w a n iu w yjścia y(t). N iestety, o m aw ian y szereg m oże o k a z a ć się ro zb ieżn y co p ro w ad zi d o b łęd n y ch decyzji o d b io rn ik a.

424

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M Ciąg binarny

1

o

o

1

1

o

C zas Rys. 1 3 . Seria im pulsów sine odp o w iad ająca ciągowi 1011010

W id m o cosinusoidalne M ożliw e je st przezw yciężenie p rak ty czn y ch tru d n o śc i n a p o ty k a n y c h w id ealn y m k an ale N y q u ista przez rozszerzenie p a sm a o d m in im aln ej w arto ści W = R J 2 d o w arto ści reg u lo w a­ nej w p rzedziale o d W i 2 W. P o sz u k a m y takiej funkcji częstotliw ości P ( f ) by spełniała w aru n ek b ard ziej sk o m p lik o w an y n iż ten zw iązany z idealnym k an ałem N y q u ista; z a ­ ch o w am y m ianow icie trzy człony z ró w n a n ia (7.53) o g ran iczy m y p a sm o in teresu jący ch n as częstotliw ości d o [ - W, W ], zg o d n ie z p o d a n ą zależnością: P (f) + P ( f - 2 W ) + P (f+ 2 W ) =

1 (7.59)

2W'

M ożliw e jest w ynalezienie k ilk u funkcji o o g ran iczo n y m paśm ie, k tó re spełniają ró w n an ie (7.59). Szczególną p o sta c ią funkcji P ( jj, k tó r a m a wiele p o żą d a n y c h cech, je st widmo cosinusoidalne. C h a ra k te ry s ty k a częstotliw ości, o k tó re j m ow a, sk ład a się z płaskiej części i części o p ad ającej op isan ej fu n k cją sin u so id aln ą ja k następuje: 1

P( f ) =

0 ^ |/ | < / ,

1 “ Sin ^ W - 7 j \

] } ’h * 1/1 < 2

( 7-60)

i/l ^ 2 W - f x P a ra m e tr częstotliw ościow y f x i p a sm o W p o w iązan e ze so b ą w n astęp u jący sposób: «

/.

7.5. K R Y T E R I U M N Y Q U I S T A D L A N I E Z N I E K S Z T A Ł C O N EJ T R A N S M I S J I

425

b

Rys. 7.10. O dpow iedzi przy różnych indeksach sp ad k u zbocza: a) ch arak tery sty k a częstotliwościowa, b) odpow iedź czasow a

gdzie p a ra m e tr a n azy w an y jest indeksem spadku-, w skazuje o n ile je st nadmiaru pasma w p o ró w n a n iu d o ro zw iązan ia idealnego. Ściślej, p asm o tran sm isji B T o k reślo n e jest zależno ścią 2 W - f = W {\ + ot). C h a ra k te ry s ty k a częstotliw ościow a P if) , zn o rm a liz o w a n a przez p o m n o żen ie przez 2 W, p o k a z a n a jest n a w ykresie z rys. 7.10a d la trzech w arto ści a, a m ianow icie O, 0,5; 1. W idzim y, że d la a = 0,5 lu b 1 fu n k cja P ( f ) m aleje sto p n io w o w p o ró w n a n iu d o idealnego k a n a łu N y q u is ta (tzn. a = 0) i d lateg o je s t łatw iejsza d o p rak ty czn ej realizacji. F u n k c ja P i f )

426

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M

w ykazuje rów nież n ie p a rz y stą sym etrię w zględem p a sm a N y q u ista W, czyniąc w ten sp o só b m ożliw e spełnienie w a ru n k u z ró w n a n ia (7.59). O d p o w ie d ź czaso w a p(t) je st o d w ro tn ą tra n sfo rm a tą F o u rie ra funkcji P (f). S to su jąc więc P ( f ) zd efin io w an e w ró w n a n iu (7.60) o trzy m u jem y w w y n ik u (por. zad a n ie 7.9):

P(t) =

(sinc(2^)(1C _ ° ; ^ ‘l2)

P.«>

co p rz e d sta w io n o n a w ykresie z rys. 7.10b d la a = 0; 0,5 i 1. F u n k c ja p(t) je s t iloczynem dw u czynników : czy n n ik a sine (2 Wi) c h a ra k te ry ­ zującego idealny k a n a ł N y q u ista i d ru g ieg o czy n n ik a, k tó ry o p a d a ja k l / |f |2 d la dużych |f|. P ierw szy z ty ch czy n n ik ó w zap ew n ia przejścia p(t) przez zero w p o żą d a n y c h chw ilach p ró b k o w a n ia ró w n y ch t = i T przy czym i je st liczbą c a łk o w itą (d o d a tn ią lu b ujem ną). D ru g i z czy n n ik ó w zm niejsza ro zciąg n ięte w czasie zb o cza im p u lsó w d o p o zio m u znacznie poniżej p o z io m u o trzy m y w an eg o w id ealn y m k a n a le N y q u ista i to w tak i sp o só b , by tran sm isja fal b in a rn y c h za p o m o c ą ta k ic h im pulsów b y ła w zględnie niezależna o d błędów czasu p ró b k o w a n ia . R ealnie b io rąc, d la p rz y p a d k u a = 1 m am y najm niejsze nachylenie zbocza, p rzy k tó ry m a m p litu d y oscylacji p(t) są najm niejsze. T a k więc sto p ień interferencji m iędzysym bolow ej w ynikającej z błędów ta k to w a n ia zm niejsza się w m iarę ja k indek s sp a d k u a ro śn ie o d z e ra d o jedności. Szczególny p rz y p a d e k , gdy a = 1 ( tz n ./j = 0) zn an y je st p o d n azw ą c h a ra k te ry sty k i o spadku zbocza z pełnym cosinusem, d la k tó re j c h a ra k te ry sty k a częstotliw ościow a z ró w n a n ia (7.60) u p raszcza się d o postaci:

P(f)=J4W\

+ cos| ^ 1 . \2 W

0 < l/l < 2 W

\f\>2W

(7'63)

O d p o w ie d n io d o tego, o d p o w ied ź czaso w a u p raszcza się d o postaci: sinc(4WT) p(,) = i —i 6 i y 2t 2

*7 6 4 >

O d p o w ied ź ta m a dw ie in teresu jące w łaściwości: 1. D la t = ± T J 2 = ± 1/4 W m am y p{t) = 0,5; o zn acza to, że szerokość im p u lsu m ierzo n a w poło w ie w ysokości je st d o k ła d n ie ró w n a czasow i trw a n ia b itu Tb. 2. Istn ieją przejścia przez zero d la t = ± 3 T / 2 , , ± 5 7 ^ 2 ,..., k tó re p o jaw iają się o p ró cz zw ykłych p rzejść p rzez zero w y stęp u jących d la czasów t = ± T b, ± 2 T b,... O b y d w ie te w łaściw ości są niezw ykle użyteczne w p rz y p a d k u w y b ieran ia sygnałów ta k tu ją c y c h z sy g n ału o d b ie ra n e g o i u ży w an ia ich n astęp n ie d la celów synchronizacji. Jed n ak że cena, ja k ą z a to płacim y, p o leg a n a p o d w o jen iu p a sm a k a n a łu w p o ró w n a n iu do idealnego k a n a łu N y q u ista o p isan eg o d la p rz y p a d k u a = 0.

Przykład 2

W ymagania pasmowe w systemie T l

W p rzy k ład zie 3 z ro zd z ia łu 6 opisaliśm y fo rm a t sy gnału w system ie n o śn y m T l , o p a rty m na 8-bitow ym słow ie P C M i p rze zn aczo n y d la z w ie lo k ro tn ia n ia 24 niezależnych sygnałów m ow y. P o k azaliśm y , że czas trw a n ia b itu o trzy m y w an eg o w tym system ie sygnału zw ielo k ro tn io n eg o z p o d ziałem czasow ym (w łączając w to b it ram k i) wynosi: Tb = 0,647 ps

7.6. K O D O W A N I E O P O Z I O M A C H S K O R E L O W A N Y C H

427

Z a k ła d a ją c , że używ am y id ealnego k a n a łu N y ą u ista , o trzy m u jem y m in im aln e p a sm o tran sm isji B T system u T l (dla a = 0):

;

B t = W = - — = 772 k H z

27

B ardziej je d n a k re a ln a w arto ść k o n ieczn eg o p a sm a tran sm isji w y n ik a z zasto so w a n ia c h arak te ry sty k i o zb o czu z p ełn y m co sin u sem i a = 1. W ta k im p rz y p a d k u d o stajem y w ynik: B t = W( 1 + « ) = 2 W = - i - = 1,544 M H z h Z ain tereso w a n ie nasze w zbudzić m o że p o ró w n a n ie w y m ag ań p asm o w y ch tra n s ­ misji w system ie T l z w y m ag an iam i o d n o śn ie m in im aln eg o p asm a w ró w n o w ażn y m system ie ze zw ielo k ro tn ien iem z p o d ziałem częstotliw ościow ym (F D M ). N a p o d staw ie ro zd ziału 3 p rzy p o m in am y sobie, że ze w szystkich tech n ik m o d u lacji C W użycie m o d u lacji je d n o w stęgow ej (SSB) staw ia najniższe z m ożliw ych w y m ag ań w zględem pasm a. P rzy sto so w u jąc więc system F D M z m o d u la c ją SSB d o tran sm isji 24 niezależnych ź ró d e ł m ow y, przy założeniu p asm a 4 k H z n a k ażd e źró d ło m ow y, k a n a ł m usi zap ew n ić n astęp u jące p asm o transm isji: B t = 24 x 4 = 96 k H z Jest to więcej niż o rz ą d w ielkości m niej niż m in im aln e z a p o trz e b o w a n ie n a p a sm o w sy­ stem ie T l .

7 .6 .

K od ow an ie o poziom ach skorelow anych

D o ty ch czas tra k to w a liśm y interferencję m iędzysym bolow ą ja k o zjaw isko n iep o żąd an e, k tó re p o w o d u je p o g o rszen ie fu n k cjo n aln y ch c h a ra k te ry sty k system u. Ju ż sam a nazw a in terferen cja zap o w iad a zjaw isk o szkodliw e. M im o to, d o d a ją c w k o n tro lo w a n y sp o só b interferencję m ięd zy sy m b o lo w ą d o sy g n ału przesyłanego, m ożliw e jest u zy sk an ie szybkości sym bolow ej rów nej 2 W sym boli n a sekundę, czyli szybkości N y ą u ista , w k a n a le o paśm ie W herców . U k ład y teg o ro d z a ju n o szą nazw ę u k ład ó w kodow ania z korelacją poziom ów lub układów z odpowiedzią czą stko w ą * \ P ro je k to w a n ie ta k ich u k ład ó w o p a rte je st n a n a ­ stępującej przesłance: p o n iew aż z n a n a je st interferencja m ięd zy sy m b o lo w ą w p ro w a d z o n a do przesyłanego sygnału, więc jej w pływ m o że być in te rp re to w a n y w o d b io rn ik u ja k o w ynik determ inistyczny. W ten sp o só b k o d o w an ie z p o zio m am i sk o relo w an y m i m oże być ro zp a try w an e ja k o je d n a z p rak ty czn y ch m e to d osiągnięcia m ak sy m aln ej teoretycznej szybkości 2 W sy m b o li n a sek u n d ę w p aśm ie W herców , ja k p o stu lo w a ł ju ż N y ą u ist, p ro p o n u ją c sto so w an ie realizo w an y ch Filtrów o d p o rn y c h n a zakłócenia.

K odow anie duobinarne P o d staw o w e k o n cep cje k o d o w a n ia z k o relo w an iem p o zio m ó w m o g ą zo stać te ra z zilu st­ ro w an e n a p rzy k ład zie kodowania duobinarnego, przy czym p rzed im ek „ d u o ” o d n o si się d o p o d w o jen ia p rzep u sto w o ści tran sm isji p ro ste g o system u b in arn eg o . T a szczególna p o stać k o d o w a n ia z k o relacją p o zio m ó w jest ró w nież n azy w an a odpowiedzią częściową I rodzaju. R ozw ażm y w ejściow y ciąg b in a rn y {bk} sk ład ający się z n iesk o relo w an y ch sym boli b in a rn y c h 1 i 0, k ażd y o czasie trw a n ia Tb. P o d o b n ie ja k p o p rze d n io , ciąg ten je st p o d aw a n y

428

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M

Dwupoziomowy r-

Filtr

Rys. 7.11. Schem at ko d o w an ia d u o b in am eg o

n a wejście m o d u la to ra a m p litu d y im p u lsów w y tw arzająceg o d w u p o zio m o w y ciąg k ró tk ich im pulsów (przybliżających im p u ls jed n o stk o w y ), k tó ry c h a m p litu d a ak d a n a je st w zorem : jeśli sy m b o l bk je st 1 jeśli sy m b o l bk je st 0

(7-65)

G d y ciąg tak i p rzy ch o d zi n a w ejście kodera duobinam ego, zo staje o n p rzetw o rzo n y na trój poziom ow y sygnał wyjściowy, z p o zio m am i - 2 , 0, + 2 . By zrealizow ać ta k ą tran sfo rm ację, m o żem y z a sto so w a ć u k ła d p o k a z a n y n a rys. 7.11. D w u p o zio m o w y ciąg {afc} zo staje n ajp ierw p rzep u szczo n y p rzez p ro sty filtr z pojed y n czy m elem entem o p óźniającym i su m ato rem . D la k a żd e g o je d n o stk o w e g o im p u lsu p o d a n e g o n a wejście filtru d o stajem y dw a je d n o stk o w e im p u lsy o dległe w czasie o Tb se k u n d n a w yjściu filtru. M ożem y zatem w yrazić wyjście ck k o d e ra d u o b in a m e g o ja k o su m ę a k tu a ln e g o im p u lsu w ejściow ego ak i jeg o poprzedniej w arto ści a k_ k, czyli (7.66) Jed n y m ze sk u tk ó w tra n sfo rm a c ji op isanej p rzez ró w n a n ie (7.66) je st p rz e m ia n a ciągu w ejściow ego {ak} z n iesk o relo w an y ch d w u p o zio m o w y ch im pulsów n a ciąg {cfc} sk o relo w a­ nych im p u lsó w tró jp o zio m o w y ch . T a k o re la q 'a pom iędzy sąsiednim i im pulsam i, m oże być ro z p a try w a n a ja k o in terferen cja m ięd zy sy m b o lo w a sztucznie w p ro w a d z a n a d o n a d aw an eg o sygnału. O czyw iście ta k w p ro w a d z o n a in terferen cja m ięd zy sy m b o lo w a je st p o d k o n tro lą p ro je k ta n ta , c o jest p o d s ta w ą k o d o w a n ia korelacyjnego. Id e a ln y elem en t o p ó źn iając y o czasie o p ó ź n ie n ia Tb sek u n d m a tran sm itan cję e x p (—j2rt/T il), ta k że tra n sm ita n c ja p ro ste g o filtru z linią o p ó ź n ia ją c ą z rys. 7.11 w ynosi 1 + exp ( —j2 n fT b). P o k a sk ad o w y m p o łączen iu teg o filtru z id ealn y m k an ałem N y ą u ista d o staje się zatem całk o w itą tra n sm ita n c ję w postaci: H \ = ^NyqUIS. ( / ) [ l + e x p ( - j 2 7 r / T b)] = = H NyqUiSt(/)[expO ‘7tA ,) + e x p ( - j K / r ft) ] e x p ( - j n / T fc) =

(7.67)

= 2 H NyqujSt(/)co s(7 t/T 6)exp ( —j v f T b) gdzie: in d ek s I w H ,( J j — o zn acza o d n o śn ą k lasę odp o w ied zi częściow ych. D la idealnego k a n a łu N y ą u is ta o p aśm ie W = \/2 T b m am y (przy z a n ie d b a n iu czy n n ik a skalującego Tb) h

. m N y ąrn st

- i 1’

i /l ^ V 2 t ; w

in n y c h

p r Z y p a< J k a c h

'

*

7.6. K O D O W A N I E O P O Z I O M A C H S K O R E L O W A N Y C H

2 T,

429

27,

/

Rys. 7.12 C haraktery styka częstotliwościowa filtru z konw ersją d u o b in am ą: a) charakterystyka am plitudow a, b) ch arak tery sty k a fazowa

W te n sp o só b łączn a c h a ra k te ry sty k a częstotliw ościow a u k ła d u k o d o w a n ia d u o b in a m e g o m a p o sta ć połów ki funkcji cosinus, czyli: H ^

= |2cos(7u/Tb)e x p ( -j7 t/T b),

l/l < 1/27; w innych p rzy p a d k ach

(7.69)

gdzie c h a ra k te ry sty k a a m p litu d o w a i c h a ra k te ry sty k a fazow a m ają p o sta ć ja k n a rys. 7.12a i 7.12b. Z a le tą takiej c h a ra k te ry sty k i częstotliw ościow ej je st łatw o ść jej ap ro k sy m o w a n ia w p rak ty ce, co sp o w o d o w a n e je st ciągłością tej c h arak te ry sty k i n a k ra ń c a c h pasm a. N a p o d staw ie pierw szego w iersza ró w n a n ia (7.67) i definicji t f Nyquisl( / ) z ró w n a n ia (7.68) stw ierd zam y , że o d p o w ied ź im p u lso w a o d p o w ia d a ją c a tran sm itan cji / / , ( / ) sk ła d a się z dw u im p u lsó w sine N y ą u ista , p rzesu n ięty ch w sto su n k u d o siebie w czasie o Tb sek u n d zgodnie ze w zorem (z d o k ład n o śc ią d o czy n n ik a skalującego): h ,(t) =

sin (jci/ Tb)_+ sin [tt(r - Tb)/Tb] n /T b T b2 sm (n t/T b) nt{Tb- t )

sin(7t£/7j,)

sin (jtZ/ 7^,)

K t/T h

n ( t - T b) /T b

(7.70)

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M hxU)

Rys* 7.13. O dp ow ied ź im pulsow a dla filtru z kodo w aniem du o b in arn y m

O d p o w ied ź im p u lso w ą h,(t) w y k reślo n o n a rys. 7.13, z k tó re g o w ynika, że m a o n a ty lk o dwie ro zró żn ialn e w arto ści w chw ilach p ró b k o w a n ia . P rz e d sta w io n a tu p o sta ć hj{t) stanow i p o n ie k ą d w ytłum aczenie, dlaczeg o o d n o sim y się d o tak ieg o ty p u k o d o w a n ia korelacyjnego ja k o d o k o d o w a n ia z o d p o w ied zią częściow ą. O d p o w ied ź n a sygnał w ejściow y ro zciąg a się na więcej n iż jed e n p rzed zia ł sygnałow y; u jm u jąc to innym i słow y, o d p o w ied ź w jak im k o lw ie k przedziale sygnałow ym je s t „częściow a”. Z au w ażm y też, że zbocze h,{t) o p a d a ja k l / |r |2, a więc z nachyleniem sp a d k u o d l/|t|, k tó re n a p o ty k a się w id ealn y m k a n a le N y ąu ista. O ry g in aln y ciąg d w u p o zio m o w y { a j o d zy sk an o n a p o d staw ie ciągu {ck}, co w ynika z ró w n a n ia (7.66). W szczególności niech ak będzie estym atorem o ry g in aln eg o im pulsu ak o d tw a rz a n e g o p rzez o d b io rn ik w chw ili i = kTb. W ted y o d ejm u jąc p o p rz e d n i esty m ato r dk _! o d ck otrzym ujem y: a* = c * - A - ,

(7.71)

Jest oczyw iste, że jeśli ck będzie o d e b ra n e bez b łęd u a p o p rzed n i e sty m a to r dk_ , posłużył w chw ili t = { k - l ) T b d o praw id ło w ej decyzji, to rów nież i bieżący e sty m a to r dk będzie praw idłow y. T e c h n ik a w y k o rzy sty w an ia przechow yw anego e sty m a to ra p o p rzed n ieg o sym ­ b o lu n azy w an a je st decyzyjnym sprzężeniem zwrotnym. W idzim y więc, że p rzed chw ilą o p isa n a p ro c e d u ra detekcji jest w zasadzie odw róceniem o p eracji uzyskiw anej w n a d a jn ik u za p o m o c ą p ro steg o filtru z linią o p ó ź ­ niającą. Istnieje je d n a k i p o w ażn y m a n k a m e n t takiej p ro c e d u ry detekcji, gdyż w ystąpienie jed n eg o b łęd u p o w o d u je ten d en cję d o je g o propagacji p rzez wyjście. O czyw iście zw iązan e jest to z faktem , że d ecyzja o d n o śn ie bieżącego w ejścia ak u zależn io n a je st o d p o p raw n o ści decyzji poczynionej w zględem u p rzed n ieg o w ejścia ak _ v P ra k ty c z n y sp o só b u n ik n ięcia zjaw iska p ro p a g a c ji p o leg a na użyciu prekodera p o p rzed zająceg o k o d e r d u o b in a rn y , zg o d n ie z ry su n k iem 7.14. O p e ra c ja k o d o w a n ia w stępnego p rz e p ro w a d z o n a n a ciąg u b in a rn y m {bk} p o w o d u je konw ersję tego ciągu n a inny ciąg b in a rn y {dk} zdefin io w an y przez: dk = bk <$dk_ i

(7.72)

gdzie sym bol ® — suma modulo-2 liczb b in a rn y c h bk i dk _ v S um ow anie ta k ie jest ró w n o w ażn e dw uw ejściow ej o p eracji logicznej ALBO*», k tó rą m o żn a z ap isać w n astęp u jący sposób:

*' Ang. E X C L U S IV E -O R (przyp. tłum.)

431

7.6. K O D O W A N I E O P O Z I O M A C H S K O R E L O W A N Y C H

ejściowy Wyjściowy ciąg trzypoziomowa

— Próbka w chwili

{c*}

ł = k Tb

Prekoder Rys. 7.14. Schemat przetwornika duobinarnego z prekoderem; szczegółowy schemat kodera

duobinarnego podano na rys. 7.11 [sy m b o l 1 [sy m b o l 0

jeśli a lb o sym bol bk a lb o sym bol dk _ k je st 1 w p o zo stały ch p rz y p a d k a c h

(7.73)

Z a k o d o w a n y w stępnie ciąg b in a rn y {dk} jest p o d a w a n y n a w ejście m o d u la to ra am p litu d y im pulsów d a ją c w o d p o w ied zi d w u p o zio m o w y ciąg k ró tk ic h im pulsów {afc}, przy czym , tak ja k p o p rzed n io , ak = ± 1 . T e n ciąg k ró tk ic h im pulsów przy ch o d zi n a wejście k o d e ra d u o b in a rn e g o w n astęp stw ie czego p o w staje ciąg {c*}, k tó ry je st zw iązany z ciągiem {ak} n a stę p u ją c ą zależnością: (7.74)

ck — ak + ak -1

Z auw ażm y, iż w przeciw ieństw ie d o liniow ej o p eracji k o d o w a n ia d u o b in a rn e g o , k o d o w a n ie w stępne o p isan e ró w n a n ie m (7.72) je st o p eracją nieliniową. S tosując łącznie ró w n a n ia (7.72) i (7.74) otrzym ujem y: 0 + 2

jeśli sy m b o l d a n y c h bk jest 1 jeśli sym bol d an y ch bk je st 0

(7.75)

co zilu stro w an o dalej w p rzy k ład zie 3. N a p o d staw ie ró w n a n ia (7.75) m ożem y o trzy m ać n a stę p u ją c ą regułę decyzyjną p ro w a d z ą c ą d o detekcji o ry g in aln eg o ciągu {bk} m a ją c d an y ciąg {ck}: jeśli \ck\ < 1, jeśli \ck\ > 1,

pow iedzm y sym bol bk jest 1 pow iedzm y sym bol bk je st 0

(7.76)

G d y |cfc| = 1 o d b io rn ik p o p ro s tu d o k o n u je w sp o só b p rzy p a d k o w y decyzji n a korzyść sy m b o lu 1 lub 0. D la realizacji tej reguły decyzyjnej, d e te k to r sk ła d a się z p ro sto w n ik a, k tó reg o w yjście p o ró w n u je się w u rząd zen iu decyzyjnym z p ro g iem rów nym 1. S chem at b lo k o w y ta k ieg o d e te k to ra p o k a z a n o n a rys. 7.15. U ży teczn ą cech ą o m aw ian eg o d e te k to ra je st fak t, że d la je g o d ziałan ia jest p o trz e b n a jed y n ie zn ajo m o ść bieżącej p ró b k i sy gnału w ejściow ego. D la te g o też w układzie d e te k to ra z rys. 7.15 zjaw isko p ro p ag a cji b łę d u nie w ystępuje.

Przykład 3

Kodowanie duobinarne z kodowaniem wstępnym

R ozw ażm y ciąg d an y ch b in a rn y c h 0010110. D la d o k o n a n ia k o d o w a n ia w stępnego tego ciągu, c o w y m ag a sprzężenia zw ro tn eg o w yjścia z w ejściem p re k o d e ra , d o d ajem y je d e n bit

432

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M

!<*>

Hc*l>

Prostownik

Urządzenie • decyzyjne

— =*-

bk - 1 jeśli IcrI < 1

—

bk = 0 jeśli lckl > 1

Próg = 1 Rys. 7.15. D e te k to r dla o dtw arzan ia pierw otnego ciągu binarnego n a podstaw ie wyjścia k o d era d u o b in arn eg o w yposażonego w prekoder

Tablica 7.1. IL U S T R A C JA P R Z Y K Ł A D U 3 K O D O W A N IA D U O B IN A R N E G O C iąg b in a m y { b j P rek o d o w an y ciąg {dk} D w upoziom ow y ciąg { a j Wyjście k o d era d u o b in arn eg o { c j C iąg b in arn y o trzy m an y z zastosow ania reguły decyzyjnej z równ. (7.76)

1 + 1

0 1 +! +2 0

0 1 + 1 +2 0

1 0 -1 0 1

0 0 -1 -2 0

1 1 + 1 0 1

1 0 -1 0 1

0 0 -1 -2 0

d o ciągu w yjściow ego teg o p re k o d e ra . D o k o n u je m y a rb itra ln e g o w y b o ru — b it ten będzie 1. Z ró w n a n ia (7.73) o k reślam y ciąg {¿ik} n a w yjściu p re d e k o d e ra z a p isu jąc go w d ru g im w ierszu tablicy 7.1. D w u b ieg u n o w ą p o sta ć p re k o d o w a n e g o ciąg u {dk} zam ieszczono w w ierszu trzecim tab licy 7.1. N a koniec, sto su ją c ró w n an ie (7.74) uzyskujem y d u o b in a rn y ciąg wyjściowy k o d e ra o p o zio m ach a m p litu d d an y ch w w ierszu czw artym tablicy 7.1. D etek cja o ry g in aln eg o ciąg u d a n y c h za p o m o c ą reguły decyzyjnej z ró w n a n ia (7.76) pozw ala u zy sk ać ciąg b in a rn y , p o d a n y w w ierszu p ią ty m tablicy 7.1. T en o sta tn i w ynik w skazuje n a p o p ra w n o ść detekcji o ry g in aln eg o ciągu b in a rn e g o w p rz y p a d k u b ra k u szum ów .

Z m o d y fik o w a n e ko d o w an ie duobinarne W d u o b in a rn e j technice k o d o w a n ia tra n sm ita n c ja H { f) i w konsekw encji rów nież w idm ow a gęstość m ocy przesyłanego im p u lsu jest n iezero w a d la / = 0. S tan o w i to cechę n ie p o żąd an ą w pew nej g ru p ie zasto so w ań , p o n iew aż wiele k an ałó w telek o m u n ik acy jn y ch nie m oże tra n sm ito w a ć składow ej stałej. N ie d o sta te k ten m oże ulec sk o ry g o w an iu przy po słu żen iu się odpowiedzią częściową IV ro d za ju lu b zm odyfikow aną techniką duobinarną, sto su jącą przedział korelacyjny z d w u liczb b in arn y ch . T en specyficzny ro d zaj k o relacji o siąg a się za p o m o cą odjęcia d w u im p u lsó w a m p litu d o w o z m o d u lo w an y ch rozdzielonych w czasie o 2 Tb sekund, co p o k a z a n o n a schem acie b lo k o w y m z rys. 7.16. P re k o d e r w p ro w ad za opóźnienie o w artości 2 Tb sekund. W yjście zm o d y fik o w an eg o d u o b in a rn e g o filtru konw ersji p o zo staje w n a ­ stępującej relacji d o w ejściow ego d w u p o zio m o w eg o ciągu {ak} z w yjścia m o d u la to ra am p litu d y im pulsów : ck = ak - a k _ 2

(7.77)

R ów nież i w ty m w y p ad k u stw ierdzam y, że g enerow any jest sygnał trój poziom ow y. D la ak = ± 1 w arto ść ck p rzy jm u je je d n ą z trzech w arto ści + 2, 0, - 2. C a łk o w ita tra n sm ita n c ja filtru z linią o p ó ź n ia ją c ą p o łączo n ą k ask ad o w o z ideal­ nym k a n a łe m N y ą u is ta z rys. 7.16 d a n a je st w postaci:

7.6. K O D O W A N I E O P O Z I O M A C H S K O R E L O W A N Y C H

433

> > C CO

| s fc i

co :=*

% cfl

E ^

N łd

CO 3

—

^

iii

0) T3 O 0)

CC

28 S y stem y te le k o m u n ik a c y jn e cz. 1

434

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M

H , v( / ) = 7/Nyquist( / ) [ l - ex p ( -j4 7 i/T 6)] = (7.78)

= 2j77Nyquis.(/)sin(27i/Ti )exp( - } 2 n f T b)

gdzie in d ek s IV w H lv( f ) w skazuje n a p rzy n ależn o ść d o klasy o d p o w ied zi częściow ych, n a to m ia st f7Nyquist( / ) zdefiniow ane je st ró w n an iem (7.68). M am y zatem c h a ra k te ry sty k ę częstotliw ościow ą całeg o u k ła d u w p o sta ci p o łó w k i o k resu funkcji sinus, zg o d n ie ze w zorem : HMD =

2jsin(27u/Tb)e x p (—j27i/Tfo),

| / | < 1/2Tb

0,

gdzie indziej

(7.79)

N a ry su n k ac h 7.17a o ra z 7.17b p rzesta w io n e są o d p o w ied n io c h a ra k te ry s ty k a am p litu d o w a i fazow a k o d e ra d u o b in a rn e g o . U żyteczną cechą zm od y fik o w an eg o k o d e ra d u o b in a rn e g o jest faktyczny b ra k sk ład o w ej n a wyjściu. D zięki tej w łaściw ości zm odyfikow ane k o d o w an ie d u o b in a rn e d o b rz e n a d a je się d o w y k o rz y sta n ia w p o w iąza n iu z tran sm isją o pojedynczej w stędze bocznej. Z a n o tu jm y też, że ta d ru g a p o sta ć k o d o w a n ia z k o relacją poziom ów w ykazuje p o d o b n ą ciągłość n a k ra ń c a c h p a sm a ja k i k o d o w a n ie d u o b in arn e. Z pierw szego w iersza ró w n a n ia (7.78) i z definicji t f Nyquist( / ) w ró w n a n iu (7.68) w ynika, że o d p o w ied ź im p u lso w a zm o d y fik o w an eg o k o d e ra d u o b in a rn e g o sk ła d a się z dw u im pulsów sine (N y ą u ista) p rzesu n ięty ch w czasie o 2T„ se k u n d w zględem siebie, co (z d o k ład n o ścią d o cz y n n ik a skalującego) zap isu je się tak:

Rys. 7.17 C h arak tery sty k a częstotliwościowa zm odyfikow anego filtru z konw ersją duobinarną: a) ch arak tery sty k a am plitudow a, b) charakterystyka fazowa

7.6. K O D O W A N I E O P O Z I O M A C H S K O R E L O W A N Y C H

435

Rys. 7.18. O dpow iedź im pulsow a zm odyfikow anego filtru z konw ersją d u o b in a m ą h (t ) - s in ^ / ^ ) nt/T„

_ n ( t - 2 T b)/Tb

sin (n t/T b)

sin(7c t/T b)

2 T f c m ( n t/ T b)

n t/T b

n ( t - 2 T 2)/Tb

M (2Tb- t )

(7-80)

Tę o d p o w ied ź im p u lso w ą p rze d sta w io n o n a w ykresie 7.18, n a k tó ry m w y k azan o , że m a trzy ro zró żn ialn e p o zio m y w chw ilach p ró b k o w a n ia . Z a u w a ż m y też, że ta k ja k w p rz y p a d k u zw ykłego k o d o w a n ia d u o b in a rn e g o d la zm o d y fik o w an eg o k o d o w a n ia d u o b in a rn e g o zbocza funkcji hjy(t) z a n ik ają ja k l / |i |2. P ro c e d u ra p re k o d o w a n ia służy d o elim inacji m ożliw ości p ro p ag a cji błędów w system ie zm o d y fik o w an y m d u o b in a rn y m , przy czym je st o n a p o d o b n a d o stosow anej w p rz y p a d k u zw ykłego system u d u o b in a rn e g o . W szczególności przed w ygenerow aniem zm odyfikow anego sy g n ału d u o b in a rn e g o sto su je się su m o w an ie logiczne m o d u lo -2 w zglę­ dem sygnałów odległych w czasie o 2Tb se k u n d (por. lew a część sch em atu z rys. 7.16), a m ianow icie: ¿k = bk © dk _ 2 _ (sy m b o l 1 { sy m b o l 0

jeśli a lb o sym bol bk a lb o sym bol dk_ 2 je st 1

(7.81)

w p o zo stały ch p rzy p a d k ach

gdzie {bk} — p rzy ch o d zący b in a rn y ciąg d an y ch , a {dk} — ciąg n a w yjściu p re k o d e ra . C iąg {4*} w y tw o rzo n y w fazie k o d o w a n ia w stępnego je st n astęp n ie przesyłany d o m o d u la to ra am p litu d y im p u lsó w i dalej d o zm o d y fik o w an eg o d u o b in a rn e g o filtru konw ersji. C y fra ck n a w yjściu z rys. 7.16 ró w n a jest — 2 ,0 , + 2 przy założeniu, że m o d u la to r am p litu d y im p u lsó w sto su je d w u b ieg u n o w e przed staw ien ie d la p re k o d o w a n e g o ciąg u {dk}. M o ż n a też stw ierdzić, że z d e te k o w a n ą cyfrę bk n a w yjściu o d b io rn ik a m o żn a o trzy m ać na podstaw ie cyfry ck, za n ie d b u ją c p o p ro s tu jej b ieg u n o w o ść (znak). W szczególności, m ożliw e jest sfo rm u ło w an ie n astęp u jącej reguły decyzyjnej: jeśli |ck| > 1,

pow iedzm y sym bol bk je st 1

jeśli |ck| < 1,

pow iedzm y sy m b o l bk je st 0

^7‘82^

Jeśli ck = 1, to o d b io rn ik d o k o n u je p rzy p a d k o w eg o o d g ad n ięcia n a k o rzy ść sy m b o lu 1 lu b 0. P o d o b n ie ja k w p rz y p a d k u k o d o w a n ia d u o b in a rn e g o , m ożem y z a n o to w a ć c o następuje: • W nieo b ecn o ści szu m u k an ału , zd ek o d o w an y ciąg b in a rn y {hk} je st d o k ła d n ie ta k i sam , ja k o ry g in aln y ciąg b in a rn y { 6 J n a w ejściu n ad ajn ik a. 28*

436

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M

• Z a sto so w a n ie ró w n a n ia (7.81) w y m ag a d o d a n ia d w u d o d a tk o w y c h b itó w d o p re k o d o w a nego ciąg u {a*}. P o s ta ć ciągu {bk} zd ek o d o w an eg o za p o m o cą ró w n a n ia (7.82) je st ta k a sam a, niezależnie o d w y b o ru tych d w u d o d a tk o w y c h bitów .

Uogólniona fo rm a ko d o w an ia z korelacją p o zio m ó w (k o d o w a n ie z o d p o w ie d zią częściow ą) T e ch n ik a d u o b in a m a m a zak re s korelacji ob ejm u jący je d n ą liczbę b in a rn ą , n a to m ia st dla zm odyfikow anej tech n ik i d u o b in a rn e j o b ejm u je o n dw ie liczby b in arn e. W p ro sty sp o só b n a rz u c a się w ięc m yśl, by u o g ó ln ić o b ie w ym ienione techniki d o b ardziej ro zb u d o w an y ch postaci, z n a n y c h p o d zb io rczą n azw ą kodow ania z korelacją poziom ów lu b kodowania z odpowiedzią częściową. T ak ie uogólnienie p rz e d sta w io n o n a rys. 7.19, przy czym H Nyquist( / j zdefinio w an o w ró w n a n iu (7.68). W u k ład zie z a sto so w a n o linię o p ó ź n ia ją c ą z odczepam i, k tó ry c h w agi w ynoszą o d p o w ied n io : w0 wAf_ 1. W szczególności ró żn e klasy u k ład ó w k o d o w a n ia z o d p o w ied zią częściow ą m o ż n a u zyskać b io rą c w aż o n ą k o m b in ację liniow ą N idealnych im p u lsó w (sine) N y ą u ista , a m ianow icie:

Wejściowy ciąg dwupoziomowy

Wyjściowy ciąg wielopoziomowy

{Ok}

{c*}

Idealny kanał

^Nyquista (0

Próbka w chwili

t = kTb

Opóźnienie

późnienie

Opóźnienie

Opóźnienie

“W-t Filtr z linią opóźniającą i odczepami

Rys. 7.19. Schemat uogólnionego kodowania korelacyjnego

7.7. T R A N S M I S J A M - W A R T O Ś C I O W Y C H S Y G N A Ł Ó W P A M

437

Tablica 7.2. R Ó Ż N E K LASY S C H E M A T Ó W K O D O W A N IA O O D P O W IE D Z I C Z Ę Ś C IO W E J T yp klasy

N

I II III IV

2 3 3 3

V

5

w0 1 1 2 1 -1

wi 1 2 1 0 0

n>2

w3

w4

N azw a %

K odo w an ie d u o b in arn e

1 -1 -1 2

Z m odyfikow ane kodow anie duo binarn e 0

-1

H t ) = X w«sinc ( ^ r - n «= o

\

h

(7.83)

O d p o w ied n i w y b ó r w ag o d czep ó w w ró w n a n iu (7.83) p ro w ad zi d o ró ż n o ro d n y c h k ształtó w w idm , za p ro jek to w an y ch z m yślą o in d y w id u aln y ch zasto so w an iach . T ab lica 7.2 prezentuje d an e d la 5 ró żn y ch klas u k ła d ó w k o d o w a n ia o odpow iedzi cząstkow ej. N a p rz y k ła d d la k o d o w a n ia d u o b in a rn e g o (k lasa I o d p o w ied zi cząstkow ych) m am y: w0 = + 1 Wj = + 1 o ra z wn = 0 d la n ^ 2. W p rz y p a d k u zm odyfikow anego k o d o w a n ia d u o b in a rn e g o (o d ­ pow iedź częściow a klasy IV) w agi są następujące: w0 = + 1 w, = 0 w2 = - 1 i w„ = 0 d la n

3.

U żyteczne cechy u k ład ó w k o d o w a n ia z o d p o w ied zią częściow ą m o ż n a p o d su m o w ać następu jąco : • tran sm isja d an y ch b in a rn y c h p rzez fizyczny k a n a ł o paśm ie p o d staw o w y m m oże być o siąg n ięta d la szybkości bliskich szybkości N y ą u is ta przy z asto so w a n iu realizow alnych filtrów o sto p n io w o o p a d a ją c y c h ch ara k te ry sty k ach . • ró żn e k ształty w idm m o g ą być w y tw arzane, w zależności o d k o n k re tn y c h zasto so w ań . Jed n ak ż e ta k ie p o ż ą d a n e c h a ra k te ry sty k i uzyskuje się za pew ną cenę: a b y uzyskać to sam o śred n ie p ra w d o p o d o b ie ń stw o b łęd u w obecności szum u, co w an alo g iczn y ch system ach b in arn y ch P A M , w y m ag an y je st w iększy sto su n ek sygnału d o szum u, p o n iew aż zw iększyła się liczba używ anych p o zio m ó w sygnału.

7 .7 .

Transmisja M -w a rto ś c io w y c h sygnałów P A M

W system ie b in a rn y m P A M o p aśm ie p o d staw o w y m z rys. 7.7, m o d u la to r a m p litu d y im pulsów w y tw arza im pulsy b in arn e, a w ięc im pulsy o je d n y m z d w u m ożliw ych poziom ów am plitu d y . Z d rugiej stro n y w M -w artościow ym system ie P A M o paśmie podstaw ow ym (M -P A M ) m o d u la to r a m p litu d y w y tw arza je d e n z M m ożliw ych p o zio m ó w am p litu d y , gdzie M > 2, a w szczególnym p rzy p a d k u z ilu stro w an y m n a rys. 7.20a jest to system czterowartościowy (M = 4) o ra z b in a rn y ciąg d a n y c h 0010110111. N a ry su n k u 7.20b um ieszczono p o zio m y elek try czn e rep rezen tu jące cztery m ożliw e d w u b ity (p ary bitów ). W system ie

438

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M

a Da n e

0

0

1

0

1

1

0

1

1 1

binarne

b Dwu bit

A m plituda

00

- 1 .5

01

- 0 .5

10

+ 0.5

11

+ 1.5

Rys. 7.20. Wyjście system u czteropoziom ow ego: a) kształt impulsu, b) reprezentacja 4 możliwych dw ubitów

M -w arto ścio w y m źró d ło inform acji p o słu g u je się alfabetem złożonym z M sym boli. P oszczególnym sy m b o lo m o d p o w ia d a ją ich p o zio m y a m p litu d y n a w yjściu m o d u la to ra am p litu d y im pulsów . W su m ie więc M ro zró żn ialn y ch p o zio m ó w a m p litu d y p rz e z n a ­ czone je st d o tran sm isji. R ozw ażm y zatem M -w arto ścio w y system P A M z alfabetem sygnałow ym zło żo n y m z M ró w n o p ra w d o p o d o b n y c h i staty sty czn ie niezależnych sym boli, k tó ry c h czas trw a n ia w ynosi T sek u n d . O d n o sim y się d o 1 /T ja k o d o szybkości sym bolowej system u w yrażonej w sym bolach na sekundę lu b bodach. P o u czający m b y ło b y pow iązać szybkość sy m bolow ą w ty m system ie z szybkością w system ie b in a rn y m P A M , w k tó ry m w arto ść M ró w n a je st 2, a k o lejn e w arto ści 1 i 0 są tak że ró w n o p ra w d o p o d o b n e i staty sty czn ie niezależne, n a to m ia st czas trw a n ia d o w o ln eg o sy m b o lu w ynosi Tb sekund. W o p isan y ch p rzez n a s w a ru n k a c h system b in a rn y P A M w y tw arza inform ację z szybkością ró w n ą l/T b b itó w n a sekundę. Z ao b serw u jm y , że w system ie cztero w arto ścio w y m P A M , p rzy k ład o w o , cztery m ożliw e sy m b o le m o g ą być rep rezen to w an e p rzez d w u b ity 00, 01, 10 i 11. W idzim y więc, że k ażd y z sy m b o li rep rezen tu je 2 bity inform acji, w zw iązku z czym 1 b o d rów ny je st 2 b ito m n a sekundę. M o żem y u o g ó ln ić ten w ynik przez stw ierdzenie, że

7.8. K O R E K C J A L I N I Ą O P Ó Ź N I A J Ą C Ą Z O D C Z E P A M I

439

w M -w arto ścio w y m system ie P A M , 1 b o d ró w n y je st lo g 2 M bitó w n a sek u n d ę, a czas trw a n ia T sy m b o lu w M -w arto ścio w y m system ie P A M zw iązany je st z czasem trw a n ia Tb sy m b o lu w ró w n o w ażn y m b in arn y m system ie P A M relacją: T = 7 > g 2M

(7.84)

D lateg o , przy zad a n e j szerokości p a sm a k a n a łu , sto su jąc system M -P A M jesteśm y w stanie przesyłać inform ację lo g 2 M razy szybciej, niż w ró w n o w ażn y m b in a rn y m system ie P A M . P rzy tym sam ym śre d n im p ra w d o p o d o b ie ń stw ie b łęd u n a sym bol, system M -P A M w ym aga je d n a k p rzesy łan ia w iększej m ocy. S tw ierd zam y m ianow icie, że d la M d u ż o w iększego od 2 i gdy średnie p ra w d o p o d o b ie ń stw o b łęd u sy m b o lu jest m ałe w p o ró w n a n iu d o 1 tra n s ­ m ito w a n a m oc m usi być zw iększona o czynnik M 2/lo g 2M w p o ró w n a n iu d o system u b in arn eg o P A M . W system ie M -w arto ścio w y m o paśm ie p o d staw o w y m pierw szą funkcją, m o d u la to ­ ra am p litu d y n a w ejściu n a d a jn ik a je st k o n w ersja sekw encji sym boli p o ch o d zący ch ze źró d ła inform acji n a M -w arto ścio w y ciąg im p u lsów P A M . N astęp n ie, p o d o b n ie ja k w system ie b in arn y m P A M , ten ciąg im p u lsó w je st k sz tałto w an y p rzez filtr n a d a jn ik a i w ysyłany przez k a n a ł telek o m u n ik acy jn y , w k tó ry m n a stę p u ją zn iek ształcen ia przesyłanego sy gnału zw iąza­ ne z szum em i zakłó cen iam i. O d e b ra n y sygnał jest n astęp n ie przep u szczan y p rzez filtr o d b io rn ik a i p ró b k o w a n y z o d p o w ie d n ią częstotliw ością, u trzy m y w an ą w synchronizm ie w zględem n a d a jn ik a . K a ż d a p ró b k a p o ró w n y w an a jest z z a d a n y m i w arto ściam i progowym i (znanym i też p o d n azw ą p o zio m ó w obcięcia), a n astęp n ie p o d ejm o w an a jest decyzja, k tó ry z sym boli był faktycznie n a d a n y . W idzim y więc, że p ro je k to w a n ie m o d u la to ra am p litu d y im pulsów i u rząd zen ia p o d ejm u jąceg o decyzje w M -w arto ścio w y m system ie P A M jest bardziej sk o m p lik o w an e, niż w system ie b in arn y m P A M . Błędy p o jaw iające się n a w yjściu o d b io rn ik a sp o w o d o w an e są interferencją m iędzysym bolow ą, szum em i n ied o k ład n o ściam i w synchronizacji. F iltry n a d a jn ik a i o d b io rn ik a p ro je k to w a n e są z m yślą o zm in im alizo w an iu tych błędów . P ro c e d u ry używ ane przy p ro je k to w a n iu ta k ich filtrów p o d o b n e są d o p ro c e d u r d y sk u to w an y c h w p u n k ta c h 7.4 i 7.5, o d n o szący ch się d o b in a rn y c h system ów P A M o paśm ie podstaw ow ym .

7 .8 .

Korekcja linią opóźniającą z odczepam i

Pierw szym k an ałem telek o m u n ik acy jn y m , ja k i przychodzi n a m yśl w p rz y p a d k u tran sm isji d an y ch cyfrow ych (np. d an y ch k o m p u tero w y ch ) je st kanał telefoniczny, c h a ra k te ry z u ją c y się dużym sto su n k iem sy g n ału d o szum u. Je d n a k ż e k a n a ł telefoniczny je st ograniczony w paśmie, co d la ty p o w eg o p o łączen ia m ięd zy m iastow ego zilu stro w a n o n a rys. 7.21. N a rys. 7.2la , p o k a z a n o tłu m ien n o ść w łasn ą (w trąceniow ą) tego k a n a łu w funkcji częstotliw ości; przy czym tlumienność wtrąceniową (w dB) definiuje się ja k o 101og10(P 0/ P 2), gdzie P 2 je st m o cą d o sta rc z a n ą p rzez k a n a ł d o obciążenia, a P 0 to m o c ja k a byłaby d o sta rc z o n a d o teg o sam ego o bciążen ia, o ile p o d łąc zo n o by je b ezp o śred n io d o ź ró d ła (tzn. przy usu n ięciu k an ału ). N a ry su n k u 7 .2 l b p o k a z a n o o d p o w ied n ie w ykresy fazy i o p ó źn ien ia (grupow ego) obw iedni w funkcji częstotliw ości; definicję o p ó ź n ie n ia g ru p o w eg o p o d a n o w p u n k cie 2.14. R ysunek 7.21 ja s n o ilu stru je d y sp ersy jn ą n a tu rę k a n a łu telefonicznego. E fektyw ne podejście d o szybkiej transmisji d an y ch cyfrow ych p rzez ta k i k a n a ł p o leg a n a w zajem nej k o m b in acji dw u p o d staw o w y c h operacji p rzetw arzan ia sygnałów : • D y sk re tn a m o d u lacja P A M , o b ejm u jąca k o d o w a n ie a m p litu d y kolejnych im pulsów na o k reso w y ciąg im pulsów o d y sk re tn y m zb io rze m ożliw ych p o zio m ó w am p litu d y .

440

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M Q

Częstotliwość (kHz)

o

C c 3 t/) a> fc! cl

Rys. 7.21. a) C h a ra k tery sty k a am p litu d o w a dla typow ego połączenia m iędzymiastowego, b) opóźnienie obw iedni i ch arak tery sty k a fazowa dla typow ego połączenia m iędzym iastow ego (Bellamy, 1982)

• S chem at m o d u lacji liniow ej, zap ew n iający zach o w an ie p a sm a d o stateczn eg o d la tra n s ­ misji k o d o w a n e g o ciąg u im p u lsó w przez k a n a ł telefoniczny. System w swej części o d b io rczej d o k o n u je d em o d u lacji i synchronicznego p ró b k o w a n ia o d b ieran eg o sygnału, n a stę p n ie zaś p rzech o d zi d o decyzji o d n o śn ie tego, ja k ie sym bole zostały faktycznie n a d an e . W rezu ltacie dyspersji k sz ta łtu im pulsów w k a n a le telefonicznym często o b serw u je się, że liczb a p o zio m ó w a m p litu d y m ożliw ych d o detekcji je st w większym sto p n iu o g ra n ic z o n a przez interferencję m iędzysym bolow ą, niż przez szum addytyw ny. W zasadzie bow iem , jeśli k a n a ł je st d o k ła d n ie zn an y , to istnieje re a ln a m ożliw ość dow olnego

441

7.8. K O R E K C J A L I N I Ą O P Ó Ź N I A J Ą C Ą Z O D C Z E P A M I

■g N

$& 1 •a o

■ a a N

M fS

i

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M

o g ran icze n ia interferencji m iędzysym bolow ej w chw ilach p ró b k o w a n ia przez sto so w n ą p arę filtrów n a d a jn ik a i o d b io rn ik a , ta k a b y k o n tro la całk o w iteg o k sz ta łtu im p u lsu przebiegała w sp o só b u p rz e d n io o p isan y . F iltr n a d a jn ik a um ieszczony je st b ezp o śred n io p rzed m o d u la ­ to rem , p o d czas gdy filtr o d b io rn ik a z n a jd u je się b ezp o śred n io za d e m o d u la to re m . T a k więc p o d w zględem w szystkiego co d o ty czy interferencji m iędzysym bolow ej, m ożem y uw ażać tran sm isję d an y ch w k a n a le telefonicznym za tran sm isję w paśm ie podstaw ow ym . W p rak ty ce je d n a k nieczęsto ro z p o rząd zam y u p rzed n ią w iedzą o d n o śn ie d o k ła d ­ nych c h a ra k te ry sty k k an ału . P o ja w ia się rów nież n ieu n ik n io n y p ro b lem b ra k u precyzji w ynikający w tra k c ie fizycznej realizacji filtrów n a d a jn ik a i o d b io rn ik a . W efekcie tych w szystkich zjaw isk m am y zaw sze d o czynienia z resztkow ym i zn iekształceniam i IS1, co stan o w i czy n n ik o g ran iczający szy b k o ść tran sm isji d an y ch system u. K o m p en sac ję’ re­ sztkow ych w ew nętrznych zn iek ształceń m o żn a w y k o n ać przy użyciu p ro cesu zw anego korekcją. F iltr używ any d o realizacji tego p ro cesu n azyw any jest korektorem (ang. equalizer). E lem en tem d o b rz e n ad ają cy m się d o w y k o rz y sta n ia p rzy p ro je k to w a n iu liniow ych filtrów k o rek cy jn y ch je st filtr z lin ią o p ó ź n ia ją c ą z odczepam i, k tó re g o szkic p o k a z a n o na rys. 7.22. W celu sym etryzacji, całk o w itą liczbę o dczepów w y b ra n o ja k o (2JV + 1), z w agam i oznaczo n y m i p rzez w _ N, ..., w _ l , w0 , w t ,..., w N. O d p o w ied ź im p u lso w a tak ieg o filtru w ynie­ sie więc: h (t)=

£

wkó ( t - k T )

(7.85)

k= -N

gdzie; ¿(i) sym bolu.

fu n k cja d e lta D ira c a , n a to m ia st o p ó źn ien ie T w y b ra n o ró w n e czasow i trw an ia

W y o b ra ź m y sobie, że filtr k o rek cy jn y z linią o p ó ź n ia ją c ą z o d czep am i jest p o łączo n y k a sk a d o w o z system em liniow ym o odp o w ied zi im pulsow ej c(i), zg o d n ie ze schem atem b lo k o w y m z rys. 7.23. N iech p(t) o zn a c z a o d p o w ied ź im p u lso w ą w system ie z k o rek to re m . W ted y p(t) ró w n e je st sp lo to w i c(i) z h{t), co p ro w ad zi d o zależności: N

p(t) = c(t) * h(t) = c(t) * £

wk«5(r - k t)

k= - N

Z m ieniając k o lejn o ść su m o w a n ia i splotu: p (0 =

z

vvkc ( i) * < 5 ( r - k T ) =

k - -N

£

wkc ( t - k T )

(7.86)

k= -N

przy czym sk o rzy staliśm y tu z w łaściw ości filtracyjnej funkcji d elta. B io rąc ró w n an ie (7.86) w chw ilach p ró b k o w a n ia t = n T d o stajem y dyskretną sumę splotową: P(nT) =

£

wkc ( ( n - k ) T )

(7.87)

k = - iV

Z au w ażm y , że ciąg {p{nT)} je st dłuższy o d ciąg u {c{nT)}.

Odpowiedź impulsowa, p (t)

Rys. 7.23 Połączenie kaskadow e systemu liniowego i k o re k to ra z linią opóźniającą z odczepam i

443

7.8. K O R E K C J A L I N I Ą O P Ó Ź N I A J Ą C Ą Z O D C Z E P A M I

W celu całkow itej elim inacji interferencji m iędzysym bolow ej m usim y spełnić w aru n ek N y ą u is ta d la niezniekształconej tran sm isji p rzy to czo n y w ró w n a n iu (7.49), przy p o d staw ien iu T w m iejsce Tb. Z a k ła d a się, że p(r) zdefiniow ano w ta k i sp o só b , że spełniony jest w aru n ek n o rm alizacji p(0) = 1, zg o d n ie z ró w n an iem (7.46). T a k więc, ab y zapew nić b ra k interferencji m iędzy sy m b o lam i należy spełnić w arunek: n = 0

p (n T ) =

0

o.

Jed n ak że, ja k w y n ik a z ró w n a n ia (7.87), m am y d o dyspozycji jed y n ie (2N + 1 ) regulow anych w spółczynników . S tąd spełnienie naszego w a ru n k u m ożliw e jest jed y n ie w przybliżeniu w n astęp u jący sposób: n = 0

p (n T ) =

(7.88)

n = ± 1, ± 2 ,..., ¿IV

l :

D la u p ro szczen ia notacji, niech n -ta p ró b k a odpow iedzi im pulsow ej c(t) będzie zap isan a jak o : (7.89)

c„ = c(nT )

W tedy n a k ła d a ją c w aru n ek z ró w n a n ia (7.88) n a d y sk re tn ą sum ę sp lo tu z ró w n a n ia (7.87) otrzym u jem y u k ład (2N + 1) ró w n ań : ¿V

n = 0

Z k =

WkCn-k = í

- N

•

(7.90)

n = + 1* + 2 ,..., ± N

ł

1

co m o żn a zap isać w ró w n o w ażn ej p o staci m acierzow ej: ‘

co

...

• • 4

CN - 1

Í

# #

•

C2N

C -

n

C

N—1

—

C-2N

0

9

4

0

• ...

CN CN + 1

C -N + i

é ••

9

Cq

C~1

C-2

c i

c 0

C -l

C2

Cl

C0

•

• é

•

• 4

CN + i

•••

C

N

-

WN - 1

C-N

W0

C _ ,y + j

W,

0

0

•

9

9

0

•

4

1

...

0

C _ ^ _ j

4

• •

•

c*

...

.

WN .

---

(7.91)

1

4

0

m

m

F iltr w y ró w n u jący z lin ią o d czep o w ą o p isan y ró w n an iem (7.90) lub rów now ażnym ró w n an iem (7.91) tra k to w a n y je st ja k o korektor z wym uszaniem zera. T a k i u k ła d jest o p ty m aln y w ty m sensie, że m inim alizuje o d k ształcen ia w ierzchołkow e (interferencję m iędzysym bolow ą). M a o n ró w n ież tę m iłą cechę, że je st w zględnie łatw y d o zrealizow ania. T eorety czn ie im dłuższy filtr zo stan ie w y k o n a n y (tzn. przy N d ążący m d o nieskończoności), tym d o k ład n iej będzie nasz u k ła d spełniał idealny w aru n ek o k reślo n y p rzez k ry teriu m N y ą u ista d la niezniekształconej transm isji.

444

7 .9 .

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M

Korekcja adaptacyjna

S trateg ia z w ym uszaniem z era o p isa n a pow yżej d o b rz e spisuje się w w a ru n k a c h la b o ra to ry j­ nych, gdy m am y d o stę p d o system ów , k tó re m a ją być p o d d a n e k o rek cji i znam y w spółczynniki system u c _ N, . . . , c _ l , c 0, c i ,...,c N p o trz e b n e przy ro zw iązy w an iu ró w n a n ia (7.91). W śro d o w isk u telek o m u n ik acy jn y m k a n a ł je st je d n a k zazw yczaj n iestacjo n arn y . D la p rzy k ład u w przełączanej sieci telefonicznej zn ajd u jem y d w a czynniki w noszące w kład w zn iek ształcen ia im p u lsó w n a ró żn y ch liniach łączeniow ych (łączach): • R óżnice w c h a ra k te ry sty k a c h tran sm isy jn y ch poszczególnych łączy, k tó re m o g ą d ziałać w spólnie w ty m sam ym czasie. • R óżnice w liczbie łączy n a m ag istralach . W w yniku opisyw anych zjaw isk k a n a ł telefoniczny staje się losow y w tym sensie, że je st je d n y m ze z b io ru m ożliw ych realizacji fizycznych. W konsekw encji użycie k o n k retn eg o u k ła d u w yró w n u jąceg o z a p ro je k to w a n e g o n a p o d staw ie średnich ch arak te ry sty k k an ału m oże o k a z a ć się n ie ad ek w atn y m sp o so b em redukcji interferencji m iędzy sym bolam i. D la w y k o rzy stan ia pełnych m ożliw ości tran sm isji istnieje więc p o trz e b a korekcji a d ­ a p tacy jn ej5*. P ro ces k o rek cji nazyw am y a d a p ta c y jn y m w tedy, gdy u k ład k o re k to ra sa ­ m oczynnie i w sp o só b ciągły d o p a so w u je się p o d w zględem o d d ziały w an ia n a sygnał wejściowy. W śró d ró żn y ch filozofii k o rek cji ad ap tacy jn ej w system ach transm isji d an y ch p o jaw ia się korekcja przedkanalow a w n a d a jn ik u i pokanatow a w o d b io rn ik u . Pierw sze podejście w y m ag a k a n a łu ze sprzężeniem zw ro tn y m , rozw ażm y więc jed y n ie korekcję a d a p ta c y jn ą p o stro n ie odbiorczej system u. K o re k c ja ta k a m oże być o siąg n ięta zanim jeszcze n a stą p i tran sm isja d an y ch , p o p rzez u k ształto w an ie filtru przy użyciu o d p o w ied n ich ciągów treningowych przesyłanych przez k a n a ł tak , aby w yregulow ać p a ra m e try filtru na w arto ści o p ty m aln e. T y p o w y k a n a ł telefoniczny zm ienia się w niew ielkim sto p n iu p odczas przeciętnej tran sm isji d an y ch , ta k więc k o re k c ja p rzed zaistnieniem połączenia za p o m o cą ciągu tren in g o w eg o je st w y starczająca d la w iększości p rzy p a d k ó w n a p o ty k a n y c h w p rak ty ce. J a k ju ż w zm ian k o w aliśm y filtr korekcyjny je st um ieszczony za filtrem o d biorczy m w o d b io rn ik u . W ty m p u n k cie zajm iem y się system em korekcji ad ap tacy jn ej o p a rte j n a za­ sto so w an iu linii o p ó źn iającej z odczepam i, synchronicznym w tym sensie, że odległość czasow a m iędzy poszczególnym i o d czep am i je st u trzy m y w an a na tym sam ym poziom ie, co czas trw a n ia T n a d a w a n e g o sy g n ału (tzn. ja k o d w ro tn o ść szybkości transm isji). T a k i u k ład jest n ie ty lk o p ro sty w realizacji, ale rów nież zd o ln y d o zrealizo w an ia w ym aganych c h a ra k te ry sty k funkcjonalnych. *

A lg o rytm najm niejszych k w a d ra tó w R ozw ażm y k o re k to r z lin ią o p ó ź n ia ją c ą z odczepam i, k tó re g o w agi odczepów m o g ą być stro jo n e w sp o só b p rze d sta w io n y n a rys. 7.24. C iąg (x(nT )} p rzy ło żo n y n a je g o wejście p o w stał w sk u tek tran sm isji ciąg u b in a rn e g o p rzez nieznany k an ał, k tó ry je st zaró w n o dyspersyjny ja k zaszum iony. Z a k ła d a się, że pew ne form y k sz ta łto w a n ia im pulsów zo stały ju ż uw zględnione w p ro jek cie system u transm isyjnego. S taw ian e je st w ym aganie co d o korekcji łącznych zjaw isk zniekształceń resztk o w y ch i szum u w system ie, k tó re m o żn a spełnić za p o m o cą u k ła d u ad ap tacy jn eg o .

445

Rys. 1.24. Elementy filtru adaptacyjnego

1.9. K O R E K C J A A D A P T A C Y J N A

7. T R A N S M I S J A

WP A Ś M I E PODSTAWOWYM

D la u p ro szczen ia zap isu przyjm ujem y: x„ = x (n T )

(7.92)

yn= y W

(7.93)

W tedy wyjście y n k o re k to ra z lin ią o p ó ź n ia ją c ą w odp o w ied zi n a w ejściow y ciąg {x„} zdefiniow ane je st p rzez d y sk re tn ą sum ę sp lo tu (por. rys. 7.24):

y n =

Z

N

(7.94)

WkXn- k

gdzie w* — w aga k-tego o d czep u , a 2 N + 1 — całk o w ita liczba odczepów . W agi odczepów stan o w ią w spółczynniki filtru ad ap tacy jn eg o . Z a k ład am y , że ciąg wejściowy {*„} m a sk o ń czo n ą energię. A d a p ta c ja m o że z o sta ć o siąg n ięta przez obserw ację błędu m iędzy p o żąd a n y m a rzeczyw istym k ształtem im p u lsó w m ierzo n y ch n a w yjściu filtru w chw ilach p ró b k o w a n ia i posłużen ie się tym b łędem d o w y zn aczan ia k ie ru n k ó w zm ian w w agach odczepów , ta k ab y zbliżyć się d o o p ty m aln e g o zestaw u w artości. Je d n ą z m e to d a d a p ta c ji jest kryterium zniekształcenia w ierzchołka, k tó re m in im alizu je o d ch y łk i w w ierzchołkach im pulsów , zdefi­ niow ane przez najn iek o rzy stn iejszy p rzy p ad ek interferencji m iędzysym bolow ej n a wyjściu k o re k to ra . K o n cep cja a d a p ta c y jn e g o u k ła d u k o re k to ra o p a rte g o n a pow yższym k ry teriu m o p iera się n a koncepcji w y m u szan ia zera, opisanej w p o p rz e d n im punkcie. Jed n ak że u k ład ten będzie o p ty m a ln y ty lk o w p rz y p a d k u , gdy zniekształcenie w ierzchołka na jeg o wejściu nie p rze k ra cz a 100% (tzn. in terferen cja m ięd zy sy m b o lo w a nie je st zb y t duża). A lternatyw nie, m o żn a p rzyjąć ta k ż e kryterium najmniejszych kwadratów, k tó re je st bardziej ogólne w zasto so w an iach ; filtr a d a p ta c y jn y bazu jący na k ry te riu m najm niejszych k w a d ra tó w w ydaje się też m niej w rażliw y n a zak łó cen ia ta k to w a n ia , niż u k ła d o p a rty n a k ry te riu m zniekształceń w ierzchołków . S to so w n ie d o tego, użyjem y więc k ry teriu m najm niejszych k w a d ra tó w dla z a p ro je k to w a n ia k o re k to ra ad ap tacy jn eg o . N iech an o zn a c z a pożądaną odpow iedź zdefiniow aną w ram ach dw ubiegunow ej reprezentacji n-tego przesyłanego sy m b o lu b in arn eg o . N iech en o zn acza sygnał hłędu zdefiniow any przez ja k o ró żn ic a p o ż ą d a n ą o d p o w ied zią u k ła d u a rzeczyw istą o d p o ­ w iedzią y n, czyli: en = an ~ y n

(7.95)

P ow szechnie sp o ty k a n e w p ra k ty c e, z p o w o d u d o g o d n ej p o staci m atem aty czn ej, k ry teriu m błędu średniokw adratow ego je st zdefiniow ane p rzez funkcję kosztu: S = £ l>»]

(7.96)

gdzie E o p e ra to r staty sty czn y w arto ści oczekiw anej. S to su jąc ró w n a n ia (7.94) i (7.96) obliczam y g ra d ie n t b łęd u śre d n io k w a d ra to w e g o g w zględem w agi k-tego odczepu w ki o trzy m u jąc w yrażenie: = —2E

= — 2 E [e„x„_ t ]

(7.97)

W arto ść o czek iw an a p o praw ej stro n ie ró w n a n ia (7.97) jest u śre d n io n ą p o zb io rze korelacją w zajem ną p o m ięd zy sygnałem błędu e„ a sygnałem w ejściow ym x„ w ziętym z opóźnieniem o k p ró b ek ; to znaczy:

7.9. K O R E K C J A A D A P T A C Y J N A

447

R ex(k) = E[_enx n_ k]

(7.98)

M ożem y więc u p ro ścić ró w n a n ie (7.97) d o postaci: di dwk

= - 2 R ,J k )

(7.99)

W a ru n e k o p ty m alizacji d la m in im u m b łęd u śre d n io k w a d ra to w e g o m oże być teraz w y rażon y w p ro sty sposób: di dwk

= 0

d la k = 0, +

N

(7.100)

W św ietle ró w n a n ia (7.99), w a ru n e k tak i jest ró w n o w ażn y w y m ag an iu , że R ex(k) = 0

d la k = 0, ± 1,..., ± N

(7.101)

T a k w ięc, dla zapewnienia minimum błędu średniokwadratowego, korelacja wzajemna pom iędzy ciągiem błędów wyjścia {e„} a ciągiem wejściowym {x„} musi mieć zera dla (2N + 1) składowych, 0 opóźnieniach całkow itych odpowiadających indeksom wag poszczególnych odczepów filtru. T en w ażny w ynik n azy w an y je st zasadą ortogonalności. P o d sta w ia ją c ró w n a n ia (7.94) i (7.95) d o (7.96) i rozw ijając człony szeregu znajdujem y, że b łą d śre d n io k w a d ra to w y i je st d o k ła d n ie fu n k cją d ru g ieg o rzęd u w ag odczepów w _ N,...,w _ l , w0, w L,..., wN. D ziałan ie k o re k to ra realizującego k ry teriu m o p ty m a l­ nego b łę d u śre d n io k w a d ra to w e g o m o że być zatem zo b ra z o w a n e w p o staci w ielow ym iarow ej w ypukłej pow ierzchni, p o d o b n ej w kształcie d o m isy, będącej p a ra b o lic z n ą funkcją w ag odczepów . P ro ces a d a p ta c y jn y p o p rze z sukcesyw ne n a stra ja n ie w ag filtrów m a za zad an ie ustaw icznie nak iero w y w ać się n a dno m isy; w tym jed y n y m p u n k cie śre d n io k w a d ra to w y b łąd 1 przyjm u je sw ą m in im aln ą w a rto ść i min. Jest zatem intuicyjnie u zasa d n io n e, że kolejne d o stro je n ia w ag o d czep ó w b ęd ą zm ierzać w k ie ru n k u najszybszego s p a d k u pow ierzchni błędów (tzn. w k ie ru n k u przeciw nym d o w e k to ra g ra d ie n tu d i / d w k , — N ^ k ^ N ) , p ro w ad zący m zgodnie z oczek iw an iam i k u m in im u m b łęd u śre d n io k w a d ra to w e g o i min. T a k a p o d sta w o w a id ea algorytm u najszybszego spadku, o p isan eg o rek u ren cy jn ą zależnością. 1 di wk( n + \ ) = wk{ n ) - — p — ,

k = 0, ± 1,..., ± N

(7.102)

gdzie p — m a ła sta ła d o d a tn ia , z w a n a param etrem stopniowania, n a to m ia st czynnik 1/ 2 z o sta ł w p ro w ad zo n y celem u p ro szczen ia z czynnikiem 2 w ró w n a n iu definiującym d i / d w k. W skaźnik n o p isu je liczbę iteracji. P o d staw ien ie ró w n a n ia (7.99) d o (7.102) daje: w * (n + l) = wk(n) + p R ex(k),

k = 0, ± 1 ,..., ± N

(7.103)

U życie a lg o ry tm u najszybszego sp a d k u w ym aga w iedzy o d n o śn ie funkcji korelacji w zajem nej R ex(k). Je d n a k ż e w iedza ta nie je st d o stę p n a , o ile o b ra c a m y się w sferze oto czen ia, k tó re jest n a m nieznane. M ożem y p o k o n a ć tę tru d n o ść sto su ją c estym ator chw ilow y d la funkcji korelacji w zajem nej R ex{k). P recyzując, jeśli w eźm iem y ja k o p o d sta w ę ró w n a n ie definiujące (7.98), m ożem y sk o rzy stać z n astęp u jąceg o esty m ato ra: R J k ) = enx„„k,

k = 0, ± 1,..., ± N

(7.104)

W p o d o b n y sp o só b m ożem y zasto so w a ć e sty m a to r vvk(n) zam iast w agi odczepu w*(n). P ro c e d u ra użycia tak ich esty m ato ró w w ró w n a n iu (7.103) p ro w a d zi d o aproksym acji za

448

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M

Rys. 7.25 Przedstaw ienie algorytm u L M S za p o m o cą grafu przypływ u sygnałów

p o m o cą a lg o ry tm u najszybszego sp a d k u . M o żem y w yrazić now y w zór rek u ren cy jn y o p i­ sujący zm iany w sp ó łczy n n ik ó w w ag o d czepów u k ła d u a d a p ta c y jn e g o w n astęp u jący sposób: vv*(n+ l) = wk{n) + genx n_ k,

k = 0, ± 1,..., ± N

(7.105)

T en alg o ry tm z n a n y je s t p o d nazw ą algorytm u najmniejszych kw adratów (L M S — least mean square) \ R o z p a tru ją c n ja k o in d ek s d la p o p rzed n iej iteracji, m am y w„(n) ja k o „ sta rą w arto ść 11 fc-tej w agi o d czep u , i genx„ _k ja k o „k o rek cję” służącą d la o b liczan ia „now ej wartoś__ w*(n+ 1). A lg o ry tm L M S je st p rzy k ład em system u ze sprzężeniem zw ro tn y m , zilu stro w an eg o schem atem b lo k o w y m z rys. 7.25. D la te g o a lg o ry tm ten m oże o k azać się rozbieżny, (co ró w n o zn aczn e je st z n iestab iln o ścią filtru ad ap tacy jn eg o ). N iestety, zach o w an ie zbieżności alg o ry tm u L M S je st tru d n e d o p rze an a liz o w an ia. P o m im o tego, jeśli p rzy p o rząd k u jem y p a ra m e tro w i k ro k u rek u ren cji g niew ielką w arto ść, to p o dużej liczbie iteracji o k aże się, że zachow anie a lg o ry tm u L M S je st z g ru b sza p o d o b n e d o a lg o ry tm u najszybszego sp ad k u , k tó ry je d n a k ż e zam ia st e s ty m a to ra szu m ow ego p o słu g u je się a k tu a ln y m g rad ien tem w celu obliczenia w ag odczepow ych. M o żem y u p ro ścić sfo rm u ło w an ie a lg o ry tm u L M S p o słu g u jąc się m acierzow ą fo rm ą zapisu. N iech w e k to r x„ o w y m iarze ( 2 N + 1) x 1 o zn acza w ejścia odczepów układu: Xn

[ X n + lf’—’ X n + l > X H>Xn - l > —>Xn- f f ] T

(7.106)

gdzie in d ek s g ó rn y T tra n sp o z y c ja m acierzy. O d p o w ied n io , niech w e k to r wn o w ym iarze ( 2 iV + l) x 1 o zn acza w agi o d czep ó w u k ład u : = [vv_ił(n),...,vv_ł (n), w 0 (n), w ^ n ) , ...,w iv(M j]r

(7.107)

M ożem y te ra z posłu ży ć się zap isem m acierzow ym , a b y przekształcić su m ę sp lo tu z ró w n a n ia w z w a rtą form ułę: = x nr w„

(7.108)

gdzie x„ wn iloczyn skalarny w ek to ró w x„ i w„. M ożem y te ra z zapisać p ro c e d u rę a lg o ry tm u L M S w n a stę p u ją cy sposób: 1. Z ain icju j a lg o ry tm przez u staw ien ie w x = 0 (tzn. w yzeruj w szystkie w agi odczepów k o re k to ra d la n = 1, co o d p o w ia d a czasow i t = T).

7.9. K O R E K C J A A D A P T A C Y J N A

449

2. D la n = 1, 2,..., oblicz:

yn= x«r -

y„

*„+1 = Wn + /iCnXB gdzie /i — p a ra m e tr k ro k u rekurencji. 3. K o n ty n u u j obliczenia d o p ó k i nie z o sta n ą osiągnięte w a ru n k i sta n u ustalonego.

D ziałanie korektora Istn ieją d w a ro d za je fu n k cjo n o w an ia filtrów ad ap tacy jn y ch , a m ianow icie m o d treningow y i m o d decyzyjny, co p o k a z a n o n a rys. 7.26. P o d c z a s modu treningowego tra n sm ito w a n y jest zn an y ciąg, k tó re g o zsy n ch ro n iz o w an a w ersja g en ero w an a jest w o d b io rn ik u i n astęp n ie (po czasie rów nym o p ó źn ien iu transm isji) p rz y k ła d a n a na wejście filtru a d a p ta c y jn e g o ja k o p o ż ą d a n a odpow iedź; w agi o d czep ó w u k ła d u są przy tym d o sto so w y w an e zg o d n ie z a lg o ry t­ m em L M S. P o p u la rn ie sto so w an y m ciągiem tren in g o w y m je st ta k zw any ciąg pseudolosow y (PN ), będący ciągiem d eterm in isty czn y m o w łaściw ościach p o d o b n y c h d o szum u; pełną dyskusję ta k ic h ciągów p rz e p ro w a d z o n o w rozdziale 9. G d y pro ces tren in g o w y jest zak o ń czo n y , filtr a d a p ta c y jn y p rzełączan y je st n a drugi rodzaj pracy: m od sterowany decyzyjnie. W tym ro d z a ju p racy sygnał błędu zdefiniow any jest jako: en = a „ - y n

(7.109)

gdzie y„ — w yjście filtru d la czasu t = nT, a an — k o ń co w y (niekoniecznie) p raw idłow y e sty m a to r n a d an e g o sy m b o lu an. A więc, przy n o rm aln ej p racy decyzje p o d ejm o w an e przez o d b io rn ik są w łaściw e z du ży m p raw d o p o d o b ień stw em . O zn a cza to rów nież utrzym yw anie się praw id ło w y ch esty m a to ró w błędu przez w iększą część czasu, co z kolei um ożliw ia saty sfak cjo n u jącą p racę u k ła d u ad ap tacy jn eg o . Id ąc dalej, filtr ad ap tacy jn y p racu jący w m odzie stero w an y m decyzyjnie je st w sta n ie n a d ą ż a ć za w zględnie pow o ln y m i zm ian am i w ch arak tery sty ce k an ału . O k azu je się, że im w iększy je st p a ra m e tr k ro k u g, tym szybsze są m ożliw ości śledzenia przez k o re k to r ad ap tacy jn y . Je d n a k ż e duży p a ra m e tr k ro k u g m oże sp ro w a d zać n ieak cep to w aln ie d u ży nadm iarowy błąd średniokw adratow y, zdefiniow any ja k o przew yż­ szenie śred n io k w ad rato w ej w arto ści b łęd u sy gnału p o n a d m in im aln ą o siąg aln ą w arto ść S’min (k tó ra je st w ynikiem o p ty m aln ej n astaw y w ag odczepów ). Z n ajd u jem y więc, że p rak ty czn y

Filtr adaptacyjny

U rządzenie decyzyjne G enerator ciągu treningow ego

Rys. 7.26. Ilustracja dwu rodzajów pracy korektora adaptacyjnego 29 S ystem y te le k o m u n ik a c y jn e cz. 1

450

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M

w y b ó r o d p o w ied n iej w arto ści p a ra m e tru k ro k u rekurencji p sp ro w a d z a się d o uczynienia k o m p ro m isu p o m ięd zy szybkim śledzeniem a red u k cją n ad m iaro w eg o b łęd u śred n io k w ad ratow ego.

Sposoby realizacji W ażn ą z a le tą a lg o ry tm u L S M je st łatw o ść je g o realizacji. M eto d y realizacji k o re k to ró w ad ap tacy jn y ch m o ż n a podzielić n a trzy kategorie: analogową, cyfrow ą z wbudowanym konstrukcyjnie oprogramowaniem o ra z cyfrow ą z program ow alnym pakietem co o p isa n o dalej: 1. P odejście an alo g o w e o p ie ra się p rzed e w szystkim n a w y k o rzy stan iu technologii p rzy­ rządów o sprzężeniu ładunkow ym (C C D ). P o d staw o w y o b w ó d realizujący C C D sk ła d a się z rzęd u tra n z y sto ró w p o lo w y ch o szeregow o p o łączo n y ch d ren a ch i źró d łach , przy czym d ren y są sp rzężo n e p o jem n o ścio w o d o b ram ek . Z estaw n astaw n y ch w ag odczepów p rzech o w y w an y jest w pam ięci cyfrow ej, a m nożenie cyfrow ych w arto ści w ag odczepów filtrów przez an a lo g o w e w arto ści p ró b e k o d b y w a się w an alo g o w y sp o só b . T o podejście p rzed staw ia so b ą o d p o w ied n i p o te n c ja ł w tych zasto so w an iach , w k tó ry ch szybkość tran sm isji je st zb y t d u ż a d la tech n ik i cyfrow ej. 2. W z asto so w an iach filtrów a d a p ta c y jn y c h o p a rty c h n a technice cyfrowej z w b u d o w an y m k o n stru k cy jn ie o p ro g ra m o w a n ia m (hardwire digital) wejście u k ła d u je st n ajp ierw p ró b ­ k o w an e a n astęp n ie k w a n to w a n e w sp o só b p rz y d a tn y d la p rzech o w y w an ia w rejestrach przesuw nych. Z estaw reg u lo w an y ch w ag filtrów rów nież zap am ięty w an y je st w rejestrach przesuw nych. U k ła d y logiczne zap e w n iają w ykonyw anie niezbędnych operacji a ry t­ m etycznych (tzn. m n o żen ia i akum ulacji). W tym d ru g im podejściu, sto su je się układy, k tó ry c h jed y n y m z ad a n iem jest zapew nienie korekcji. Jest to je d n a z najszerzej sto so w a ­ nych m eto d realizacji k o re k to ró w a d a p tacy jn y ch , n a d a ją c a się jednocześnie d o w y k o n a ­ n ia w tech n o lo g ii V LSI. 3. U życie p ro g ra m o w a ln e g o p ro c e so ra cyfrow ego, n a p rzy k ład w p o staci mikroprocesora, p o zw ala n a u zy sk an ie elastyczności d ziałan ia, gdyż filtracja a d a p ta c y jn a p rzy b iera funkcję ciągu ro zk a zó w m ik ro p ro c e so ra . W aż n ą zaletą tak ieg o podejścia jest m ożliw ość w ykorzy­ sta n ia tych sam y ch u k ła d ó w w system ie z p o d ziałem czasow ym , d o w y k o n y w an ia szeregu funkcji p rz e tw a rz a n ia sygnałów , ta k ich ja k filtrow anie, m o d u la c ja i d em o d u lacja w m o d e­ mie (m odulator — demodulator) sto so w an y m d la tran sm isji d an y ch cyfrow ych poprzez k a n a ł telefoniczny.

Korekcja z decyzyjnym sprzężeniem z w ro tn y m A by lepiej zro zu m ieć ja k d z ia ła k o re k c ja a d a p ta c y jn a , rozw ażm y k a n a ł o paśm ie p o d ­ staw ow ym i o odpow iedzi im pulsow ej rep rezen to w an ej przez ciąg p ró b ek {hn}, przy czym h,i = h (n T ). O d p o w ie d ź teg o k a n a łu n a w ejściow y ciąg {x„}, przy b ra k u szum ów , d a n a jest przez d y sk re tn ą sum ę sp lo to w ą. J7» = L M * - * = fco*«+ k

+ I k< 0

(7.110)

k> 0

Pierw szy człon ró w n a n ia (7.110) rep rezen tu je p o żąd a n y sym bol d an y ch . D ru g i człon p o w staje z im p u lsó w o d p o w ied zi im pulsow ej k a n a łu zw anych prekursorami, k tó re pojaw iły się w cześniej niż g łó w n a p ró b k a h0 zw iązan a z p o ż ą d a n y m sym bolem d an y ch . T rzeci człon sk ład a się z postkursorów o d p o w ied zi im pulsow ej k an ału , k tó re zdarzyły się później niż głów na p ró b k a h0. P re k u rso ry i p o stk u rso ry odp o w ied zi im pulsow ej k a n a łu z o b ra z o w a n o na

7.9 . K O R E K C J A A D A P T A C Y J N A

Prekursory

451

Postkursory

Rys. 7.27. O dpow iedź im pulsow a k an ału opisanego d y sk retn ą sum ą splotu

rys. 7.27. Id ea k o rek cji z decyzyjnym sprzężeniem zw ro tn ym 11 p o leg a na użyciu d an y ch z decyzji uczynionych w zględem p re k u rso ró w odp o w ied zi im pulsow ej k a n a łu p odczas zaan g ażo w an ia się system u w ocenę p o stk u rso ró w ; ab y je d n a k proces przebiegał p raw id ło w o w y m ag an a je st oczyw iście p o p ra w n o ść decyzji. P rzy p u śćm y , że w aru n ek ten jest spełniony i u k ład k o re k to ra ze sprzężeniem z w ro tn y m je st w sta n ie zapew nić polepszenie c h a ra k ­ terystyk fu n k cjo n aln y ch k o re k to ra z linią o p ó ź n ia ją c ą z doczepam i. K o re k to r z decyzyjnym sprzężeniem zw rotnym sk ła d a się z blo k u w ejściow ego, u k ła d u sprzężenia zw ro tn eg o i u rzą d ze n ia decyzyjnego, p rzed staw io n y ch n a rys. 7.28. Blok w ejściow y sk ła d a się z filtru z linią o p ó ź n ia ją c ą , k tó rej odczepy odległe są o okres, czyli o d w ro tn o ść szybkości transm isji. P rzezn aczo n y d o k o rek cji ciąg d an y ch p o d łączan y je st na wejście tego u k ład u . W skład układu sprzężenia zw ro tn eg o w chodzi inny filtr z linią o p ó źn iającą z odczepam i; rów nież i w tym filtrze odczepy są rozm ieszczone z o d stęp em ró w nym o d w ro tn o ści szybkości tran sm isji. N a wejście u k ła d u sprzężenia zw ro tn eg o p o d a n o inform acje o decyzjach uczynionych przy detekcji p o p rze d n ich sym boli ciąg u w ejściow ego. Z a d a n ie układu sprzężenia zw ro tn eg o p o leg a n a elim inacji, d ro g ą o d ejm o w an ia, tej części interferencji m iędzy sym bolam i, k tó ra pojaw iła się w p o p rz e d n io d etek o w an y ch sym bolach, przy jed n o czesn y m zach o w an iu e sty m a to ró w d la n astęp n y ch p ró b ek . Z w róćm y uw agę, że w łączenie u rząd zen ia decyzyjnego w skład p ętli sprzężenia czyni k o re k to r urząd zen iem nieliniowym, k tó re je st tru d n iejsze w an alizie o d zw ykłego k o re k to ra z linią z odczepam i. P o m im o to , k ry teriu m błędu najm niejszych k w a d ra tó w m oże posłużyć d o u zy sk an ia dającej się m atem aty czn ie rozw iązać o ptym alizacji k o re k to ra z decyzyjnym sprzężeniem zw ro tn y m . Rzeczywiście, alg o ry tm L M S m oże być użyty zaró w n o d o a d a p ta cy jn eg o stro je n ia w ag o d czep ó w to ru głów nego, ja k i to ru sprzężenia zw rotnego, o p a rte g o n a wspólnym sygnale błędu. A by to sprecyzow ać, niech w e k to r c„ o znacza

Rys. 7.28. Schemat blokowy układu z decyzyjnym sprzężeniem zwrotnym 29*

452

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M

k o m b in ację w ag odczepów b lo k u w ejściow ego i u k ła d u sprzężenia zw ro tn eg o zap isan y ch w zorem :

c_ =

(1)' « (2 )

n

gdzie w e k to r wj,11 o zn acza w agi o d czep ó w b lo k u w ejściow ego i wj,2) o zn acza w agi odczepów układu sp rzężen ia zw ro tn eg o . N iech ro zszerzo n y w e k to r v„ o znacza k o m b in ację p ró b ek w ejściow ych o b u u k ład ó w . (7.112) gdzie x„ — w e k to r wejść o d czep ó w b lo k u w ejściow ego, a„ — w e k to r w ejść odczepów (czyli bieżących i u p rze d n ich decyzji) w u k ład zie sprzężenia zw ro tn eg o . W spólny sygnał b łęd u d an y je st w zorem :

e„ = an-c„r vn

(7.113)

gdzie in d ek s g ó rn y T o z n ac z a tran sp o zy cję m acierzy, a a„ — b ieg u n o w a rep rezen tacja n-tego przesyłanego sy m b o lu b in a rn e g o . A lg o ry tm L M S d la k o re k to ra z decyzyjnym sprzężeniem zw rotn y m o p isan y je s t p rzez ró w n an ia: w i1i i = w i I) + / i 1eI1x „

( 7. H 4 )

^ i = « l 2)+ W

(7.115)

gdzie i /z2 zw rotnego.

.

p a ra m e try k ro k u rek urencji o d p o w ied n io to ru głów nego i sprzężenia

K o re k to r z decyzyjnym sprzężeniem zw ro tn y m zap ew n ia k o rzy stn e w łaściw ości system u p rzy obecności u m iark o w an ej lub silnej interferencji m iędzysym bolow ej, co sp raw d zo n o n a p rz y k ła d w ek sp ery m en tach ze zjaw iskiem z a n ik u (fa d in g u ) w k a n a le radiow ym .

7 .1 0 . W ykres o czko w y W p o p rze d n ic h p u n k ta c h teg o ro zd ziału p rzed y sk u to w aliśm y ró żn e techniki rozw iązyw ania p ro b lem ó w zw iązanych z w pływ em ta k ich zjaw isk ja k szum y o d b io rn ik ó w i interferencja m iędzysym bolow a n a d ziałan ie im pulsow ych system ów tran sm isy jn y ch p racu jący ch w p a ś­ m ie p o d staw o w y m . T o , co się n a p ra w d ę liczy w końcow ej analizie, to um iejętność oceny sum arycznego w pływ u czy n n ik ó w w ym ienionych p rzed chw ilą n a globalne c h arak te ry sty k i fu n k cjo n aln e całego system u w w a ru n k a c h operacyjnych. Jednym z eksp ery m en taln y ch narzędzi, p o zw alający ch n a głębszy w gląd w ocenę zjaw isk jest tak zw any wykres oczkow y, k tó ry p o w staje przez naniesienie n a pojedynczy w ykres w szystkich m ożliw ych realizacji interesujących n a s sygnałów (np. sy g n ału o d b ieran eg o , w yjścia o d b io rn ik a), obserw ow anych w o k reślo n y m p rzedziale czasu. N azw a w ykresu Oczkowego bierze się z p o d o b ień stw a w ykresu w p rz y p a d k u fal b in a rn y c h d o ludzkiego oka. W ew nętrzny o b sz a r w ykresu Oczkowego n azy w an y je st roztw arciem oczka. W y k res o czk o w y d o sta rc z a wielu użytecznych inform acji o d n o śn ie ch arak te ry sty k fu n k cjo n aln y ch system ów tra n sm isji d an y ch , ja k p o d a n o n a rys. 7.29. W szczególności m o żn a stw ierdzić co następuje:

7.10. W Y K R E S O C Z K O W Y

453

Optymalny czas próbkowania Odchyłki w i chwilach Nachylenie zbocza równe wrażliwości na błędy

Margines sygnału względem szumu

Rozrzut czasów przejść przez zero Przedział czasu, w którym sygnał może być próbkowany

Rys. 7.29. Interpretacja wykresu oczkowego

• Szerokość o tw arcia o k a definiuje przedział czasu, w którym sygnał odbierany m oże bvć próbkow any bez wystąpienia błędów interferencji międzysymbolowej; jest przy tym oczyw is­ te, że uprzy w ilejo w an ą chw ilą p ró b k o w a n ia będzie chw ila czasu p rz y p a d a ją c a na najszersze o tw arcie oka. • Czułość system u względem błędów synchronizacji o k re ślo n a jest przez nachylenie p o c h o d ­ nej opisującej p rę d k o ść p rzy m y k an ia o k a w funkcji czasu p ró b k o w a n ia . •

W ysokość otwarcia oka, przy o k reślo n y m czasie p ró b k o w a n ia , definiuje margines szumu w system ie.

P rzy dużej interferencji m iędzysym bolow ej przebiegi z górnej części w ykresu oczkow ego krzyżują się z przebiegam i z dolnej części, ze sk u tk iem tak im , że o k o jest zupełnie zam knięte. W takiej sytuacji niem ożliw e jest uniknięcie błędów zw iązanych z łączn ą obecnością interferencji m iędzysym bolow ej i szu m u w system ie. W p rz y p a d k u system ów M -w arto ścio w y ch w ykres zaw iera (M - 1) oczek, z g ro m a ­ dzonych p io n o w o je d n o n a d d ru g im i tw o rzący ch liczbę M d y sk retn y ch p o zio m ó w am p litu d y użytych d o k o n stru k c ji p rzesy łan eg o sygnału. P rzy ściśle liniow ym system ie losow ych d an y ch w szystkie te o czk a byłyby identyczne. W p rak ty ce je d n a k często m ożliw e jest rozró żn ien ie asy m etrii w w ykresie oczkow ym , k tó re sp o w o d o w an e są nieliniow ościam i w k an ale k o m u n ik acy jn y m .

Eksperyment komputerowy Wykresy oczkowe dla systemów binarnych i czteropoziomowych R ysunki 7.30a i 7.30b p rze d sta w iają w ykresy oczkow e d la transm isji w system ie P A M o paśm ie p o d staw o w y m , o d p o w ied n io d la M = 2 i M = 4. K a n a ł nie m a o g ran iczeń co d o pasm a, a sym bole w ź ró d le są w ynikiem p racy k o m p u tero w eg o g e n e ra to ra liczb losow ych. W o b u p rz y p a d k a c h u ży to im pulsów cosinus. P a ra m e try zasto so w an e d la generacji w ykresów Oczkow ych są n astępujące: p a sm o N y ą u is ta W = 0,5 H z, in d ek s zb o cza a = 0,5. W p rzy p a d k u b in arn y m M = 2 czas trw a n ia sym bolu T i czas trw a n ia b itu Tb są identyczne, przy czym Tb = 1 s. D la p rz y p a d k u M = 4, m am y T = 7j,log2 M = 2Tb. W o b u p rz y p a d k a c h stw ierdzam y, że oczka są o tw a rte , co w skazuje n a n iezaw o d n ą p rac ę system u. R y su n k i 7 .3 l a i 7 .3 lb p o k a z u ją w ykresy oczkow e d la tych sam ych system ów transm isji im pulsow ej w paśm ie p o d staw o w y m , stosujących te sam e co p o p rze d n io p ara m etry , lecz ty m razem w w a ru n k a c h o g ran iczen ia p asm a. W szczególności k a n a ł jest teraz o cen ian y n a p o d staw ie m o d elu z d o ln o p asm o w y m filtre m Buttrw ortha, k tó reg o c h a ra k te ry sty k a częstotliw ościow a zd efin io w an a je st w postaci:

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M

0,5 •N

5 0,0 O CL ■O O -0,5

0

0,5

1 ^

1,5

2 i(s)

Chwila próbkowania

Rys. 7 JO

Chwila próbkowania

W ykres oczkowy sygnału odbieranego bez ograniczeń co do pasm a: a) M = 2, b) M = 4

1 W

) \

=

gdzie N — rząd filtru, a / 0 —3-dB częstotliw ość graniczna. W eksperym encie k o m p u tero w y m p o k a z a n y m n a rys. 7.31 z a sto so w a n o n a stę p u ją c e w artości: N = 25

i /o = 0,975 H z

P asm o w y m ag an e przez system tran sm isji P A M w yliczono jak o : B t = VP(1 + a ) = 0,75 H z

7.10. WYKRES OCZKOWY

455

1,5

1,0 0,5 'N

X}

dl w

0,0

arUi o

-0 ,5 -1 ,0 -1 ,5

Chwila próbkowania

1,5

1 ,0

0,5 » -N Tl U

w1 |


0,0

o. T l W

o

-0 ,5 -1 ,0

-1 ,5 - i—

o

1,5

0,5

4 Chwila próbkowania

2

i(s)

Rys. 7.31 W ykres oczkowy sygnału odbieranego, gdy charak terystyka k an ału jest ograniczona co d o pasm a: a) M = 2, b) M = 4

P o m im o tego, że częstotliw ość odcięcia p a sm a k a n a łu je st w iększa o d a b so lu tn ie koniecznej, jej w pływ n a p a sm o p rzep u sto w e o b serw o w an y je st ja k o sp ad ek w w ielkości o tw arc ia oczka. W m iejsce d o ty ch czaso w y ch d y sk retn y ch w arto ści przy t = 1 s (p o k azan y ch n a p o p rzed n ich ry su n k ach ) p o ja w ia się te ra z ro zm aza n y obszar. G d y b y śm y w dalszym ciągu zm niejszali p asm o k a n a łu , o czk o zam y k ało b y się jeszcze bardziej, aż w k o ń cu nie byłoby ju ż ro zp o zn aw aln e żad n e oczko.

456

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M

7 .1 1 . P od su m o w an ie i dyskusja W tym ro zd ziale zajm o w aliśm y się b a d a n ie m w pływ u szum ów i interferencji m iędzysym bolow ej n a c h a ra k te ry sty k i fu n k cjo n aln e im pulsow ych system ów transm isji w paśm ie podstaw o w y m . In terferen cja m iędzysym bolow a (ISI) różni się o d szum u tym , że istnieje w p o staci interferencji sygnałowo zależnej, k tó ra p o w staje w sk u tek odchyleń ch arak tery sty k i częstotliw ościow ej k a n a łu , w zględem c h a ra k te ry sty k i id ealn eg o filtru d o ln o p rzep u sto w eg o (czyli k a n a łu N yquista); p o n a d to in terferen cja ta zn ik a, gdy sygnał zo stan ie w yłączony. W rezultacie tych od ch y leń im p u ls o d b ie ra n y p rzez o d b io rn ik i o d p o w ia d a ją c y o k reślo n em u sym bolow i p o zo staje p o d w pływ em n astęp u jący ch zjaw isk (1) rozciągniętych w czasie zboczy im pulsów o d p o w ia d ają cy c h p o p rz e d n im sy m b o lo m i (2) n a ra sta ją c y c h zboczy im pulsów reprezen tu jący ch n a stę p n e sym bole. Z ależnie od sto su n k u sy g n ału o d b ie ra n e g o d o szum u m ożem y ro zró żn ić trzy różne sytuacje, k tó re p o w sta ją w im pulsow ych system ach transm isji z pasm em podstaw ow ym w k an ale o u stalo n y ch ch arak tery sty k ach : 1. Wpływ I S I je s t pom ijalny w porównaniu do wpływu szumu. W tym p rzy p a d k u praw idłow ym podejściem jest z asto so w a n ie filtru d o ln o p rzep u sto w eg o , zrealizow anego przez filtr o p ty m aln y , liniow y i sta c jo n a rn y d o k o n u ją c y m ak sym alizacji szczytow ego im pulsow ego sto su n k u sy g n ału d o szum u. 2. Stosunek sygnału do szum u p rzy odbiorze je s t dostatecznie duży, aby możliwe było pominięcie efektów szum owych. W tym p rz y p a d k u zachodzi p o trz e b a zabezpieczenia o d b io rn ik a przed w pływ em IS I w p ro cesie o d tw a rz a n ia przychodzących d an y ch w o d b io rn ik u . S pecjalna u w aga m usi być p o św ięco n a k o n tro lo w a n iu k sz ta łtu o d b ieran y ch im pulsów . T a k sfo rm u ło w an e z ało żen ia p ro jek to w e m o g ą być osiągnięte n a dw a sposoby: • P osłużenie się w idm em c o sin u so id aln y m d la og ó ln eg o u k sz ta łto w a n ia c h arak te ry sty k i częstotliw ościow ej system u tran sm isji w paśm ie podstaw ow ym . • Z asto so w a n ie k o d o w a n ia z k o rek c ją p o zio m ó w lub k o d o w a n ia z o d p o w ied zią cząstkow ą, co sp ro w a d z a się d o celow ego d o d a w a n ia ISI d o sygnału tran sm ito w an eg o . 3. I S I i szum mają porów nyw alny wpływ. R ozw iązanie p ro b lem u w tym p rz y p a d k u w ym aga łącznej o p ty m alizacji filtrów n a d a jn ik a i o d b io rn ik a . N ajp ierw sta ra m y się zred u k o w ać ISI d o z e ra w chw ilach p ró b k o w a n ia , w y k o rzy stu jąc w tym celu o d p o w ied n i k ształt im pulsu, n astęp n ie z aś sto su jem y n ieró w n o ść S chw arza d o osiągnięcia m aksym alizacji w yjściow ego sto su n k u sygnału d o szu m u w chw ilach p ró b k o w a n ia 8). Jeśli je d n a k k a n a ł należy d o losow ych w sensie przynależności d o zb io ru pew nych m ożliw ych realizacji fizycznych, a je st to d o ść często sp o ty k a n e w p rzy p a d k u śro d o w isk a telek o m u n ik acy jn eg o , w tedy użycie filtrów stałych z a p ro jek to w a n y ch w edług średnich c h a ra k te ry sty k k a n a łu m o że o k azać się niew ystarczające. W tego ro d z a ju sytuacjach preferuje się w y k o rzy stan ie k o re k to ra a d a p tacy jn eg o , um ieszczonego za filtrem o d biorczym w o d b io rn ik u . Z a d a n ie u k ła d u a d a p ta c y jn e g o sp ro w a d z a się d o a u to m aty czn eg o k o m p e n ­ so w an ia zm ian c h a ra k te ry sty k i częstotliw ościow ej k a n a łu p odczas transm isji. P ro s ta i zarazem w ysoce efektyw na m e to d a realizacji tego u k ła d u p o leg a n a w y k o rzy stan iu filtru z linią o p ó ź n ia ją c ą z o d czep am i przy jed n o czesn y m z asto so w a n iu a lg o ry tm u najm niejszych k w a d ra tó w L M S d o regulacji w ag odczepów . S k o n stru o w an e tą m e to d ą u rząd zen ie zdolne jest do d z ia ła n ia w n iestac jo n arn y m śro d o w isk u w łącznej obecności efektów ISI i szum ów o d b io rn ik a . P ra k ty c z n ą w arto ść ta k ie g o u rzą d zen ia p o tw ie rd z a fakt, że praw ie każd y w spółcześnie sto so w an y k o m ercy jn y m o d em (m o d u la to r-d e m o d u la to r) d la tran sm isji d a ­ nych cyfrow ych p rzez k a n a ł telefoniczny o p ro filu ak u sty czn y m m a in teg raln ie w b u d o w an y ad ap tac y jn y filtr korekcyjny.

7.11. P O D S U M O W A N I E I D Y S K U S J A

457

PRZYPISY I LITERATURA 1) Klasyczne książki n a tem at transm isji w paśm ie podstaw ow ym to Lucky, Salz i W eldon (1968) oraz Sunde (1969). D okładniejsze p o trak to w an ie różnych aspektów tem atu m ożna znaleźć w książkach G itlina, H ayesa i W cinsteina (1992), P ro ak isa (1989) i Benedetto, Biglieriego i C astellaniego (1987). 2) W yprow adzenie charakterystyk filtrów dopasow anych po raz pierwszy w ykonał N o rth w poufnym raporcie (R aport L a b o ra to riu m RCA PT R -6C , czerwiec 1943), k tó ry został o publikow any w 20 lat później; chodzi o publikację N o rth a (1963). P o d o b n y wynik został o trzym any niezależnie przez Van Vlccka i M iddletona, którzy „ukuli” term in „filtr d o p aso w an y ” (ang. „m atched filtr”); p a trz publikcja Van Vlecka i M id d leto n a (1964). Przeglądow y m ateriał dotyczący filtrów d opasow any ch i ich właściwości jest zaw arty w pracach T u rin a (1960, 1976). 3) K ryterium o p isan e rów naniam i (7.49) lub (7.53) sform ułował najpierw N yquist w ram ach studiów nad teorią transm isji telegraficznej; do klasyki należy publikacja N yquista z 1928 roku. T o kryterium cytow ane jest w literaturze ja k o pierwsze kryterium N yquista. W następnej publikacji z 1928 roku N yquist opisał m etodę, nazyw aną w literaturze drugim kryterium N yquista. D rug a m etoda w ykorzys­ tuje raczej informacje zaw arte w czasach przejść od jednego d o innego sym bolu w sygnale odbiorczym , niż inform acje zaw arte w d ek o d o w an iu w ycentrow anych próbek. D yskusja pierwszego i drugiego kryterium p o d an a jest w pracy B ennetta(1970, pp. 78— 92) i w publikacji G ibb y i Sm itha (1965). Trzecie kryterium przypisyw ane N yquistow i przedyskutow ał Sunde (1969); patrz też publikacje P asu p a th y (1974) i S ay ara i P asu p ath y (1987). 4) K odo w anie o poziom ach częściowo skorelow anych i kodow anie z odpow iedzią częściową stanow ią w pew nym sensie synonim ; obydw a term iny stosow ane są w literaturze. Ideę ko d o w an ia korelacyj­ nego zapoczątkow ał Lender (1963). P raca Lendera została uogólniona dla transm isji danych binarnych przez K retzm era (1966). Dalsze szczegóły dotyczące techniki kodow ania korelacyjnego zaw iera książka G itlina, H ayesa i W einsteina (1992); patrz też publikacje P asu p ath y (1977), K abali i P asu p ath y (1975), Sousa i P asu p a th y (1983). 5) Pionierskie prace z dziedziny korekcji adaptacyjnej kanałów telefonicznych zapoczątkow ał Lucky (1965, 1966). O d tego czasu op u b lik o w an o liczne schem aty filtrów adaptacyjnych, zapew niających korekcję w poszczególnych synchronicznych system ach transm isji danych. Prace przeglądow e z tej dziedziny, to a rty k P ro ak isa (1975) i Q ureshiego (1982, 1985). Różne aspekty korekcji adaptacyjnej przedy sku tow ano dok ładnie w książkach G itlina, H ayesa i W einsteina (1992, rozdział 8) i P ro ak isa (1989, rozdział 6). 6) A lgorytm L M S zapoczątkow ali W idrow i Hoff, Jr. (1960). D o k ład n ą analizę zbieżności algorytm u L M S podali H aykin (1991, str. 314— 336) i W idroe i Stearns (1985, rozdział 6). 7) K orekcja z decyzyjnym sprzężeniem zw rotnym najpierw opisana była w raporcie A ustina (1967). O ptym alizacja k o re k to ra z decyzyjnym sprzężeniem zw rotnym nacelow ana n a m inim um błędu średniokw adratow ego najpierw została osiągnięta przez M onsena (1971). Przejrzysty opis tem atu zaprezentow ano w książce G itlina, H ayesa i W einsteina (1992, str. 50Q 510). 8) Ł ączną optym alizację filtrów n ad ajn ik a i odbiornika, przy łącznej obecności interferencji międzysymbolowej i szum u, przedyskutow ano u S h an m u g am a (1979, str. 197— 201).

ZADANIA Z ad an ie 7.1 R ozw aż sy g n ał s{t) p o k a za n y n a rys. Z7.1. a) W yznacz o d p o w ied ź im p u lso w ą filtru d o p a so w a n e g o d o teg o sygnału i naszkicuj ją ja k o funkcję czasu. b) W ykreśl wyjście d o p aso w an eg o filtru w funkcji czasu. c) J a k a je st w a rto ść szczytow a n a wyjściu?

458

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M i (i)

A 2

O

T

2

A 2

Rys. Z7.1

Zadanie 7.2 N ależy z a p ro je k to w a ć filtr d o p a so w a n y , k tó ry m a m ieć p o sta ć filtru z linią o p ó źn iającą z odczepam i ze zb io rem w ag odczepów {wk, k = 0,1,..., K } . Jeśli d a n y je st sygnał o czasie trw an ia T sek u n d , d o k tó re g o filtr je st d o p aso w a n y , to z n a jd ź w arto ść wk. P rzyjm uje się założenie, że sy g n ał je st p ró b k o w a n y ró w n o m iern ie.

Zadanie 7.3 R ozw aż im p u ls p ro s to k ą tn y zdefin io w an y w postaci: (A , git) = < (0 ,

O ^ t ^ T w in n y ch p rzy p a d k ach

N ależy d o k o n a ć a p ro k sy m acji filtru d o p a so w a n e g o d o sy gnału g(t) za p o m o c ą idealnego filtru d o ln o p rze p u sto w e g o o p aśm ie B ; n ad rz ęd n y m celem je st o p ty m alizacja szczytow ego im pulsu sto su n k u sy g n ału d o szum u. a) O k reśl o p ty m a ln ą w a rto ść B, d la k tó re j idealny filtr d o ln o p rzep u sto w y zapew nia najlepszą a p ro k sy m a c ję filtru d o p aso w an eg o . b) O ile decybeli id ealn y filtr d o ln o p rz e p u sto w y jest gorszy o d filtru d o p aso w an eg o ?

Zadanie 7.4 F a la b in a rn a P C M używ a k o d o w a n ia z przeryw aniem fali nośnej d o przesy łan ia sym boli 1 i 0; sym bol 1 je st rep re ze n to w an y przez im p u ls p ro s to k ą tn y o czasie trw a n ia Tb i am p litu d zie A. Szum ad d y ty w n y n a w yjściu o d b io rn ik a je st biały i je st szum em gaussow skim o zerow ej średniej i w idm ow ej gęstości m ocy N 0/2 . Z a k ła d a ją c , że sym bole 1 i 0 z d arzają się z rów nym p raw d o p o d o b ie ń stw em , zn ajd ź w yrażenie n a śred n ie p ra w d o p o d o b ie ń stw o błędu n a w yjściu o d b io rn ik a sto su jąc filtr d o p a so w a n y o p isan y w p u n k cie 7.3.

Zadanie 7.5 System b in a rn y P C M , sto su jący k o d N R Z , fu n k cjo n u je tu ż p o n a d progiem b łęd u ze średnim p raw d o p o d o b ie ń stw em b łęd u ró w n y m 1 0 ' 6. P rzypuśćm y, że p o d w o jo n o szybkość tra n s ­ misji. Z n ajd ź n o w ą w arto ść średniego p ra w d o p o d o b ie ń stw a błędu. M ożesz użyć d an y ch zaw arty ch w tab licy 1 z d o d a tk u 7 d o oceny k o m p lem en tarn ej funkcji błędu.

7.11. P O D S U M O W A N I E 1 D Y S K U S J A

459

Zadanie 7.6 Sygnał ciągły w czasie p o d leg a p ró b k o w a n iu i n astęp n ie jest przesyłany ja k o sygnał P C M . Z m ien n a lo sow a n a w ejściu u rzą d ze n ia decyzyjnego w o d b io rn ik u m a w arian cję ró w n ą 0,01 V o lt2. a) Z a k ła d a ją c użycie k o d u N R Z , w yznacz am p litu d ę im pulsu ja k ą trz e b a przesyłać, ab y śred n ia s to p a błędu nie p rzek ro czy ła 1 b itu na 108 bitów . b) Jeśli d o d a tk o w o o b ecn o ść interferencji p o g o rszy sto p ę błędów d o 1 bitu na 106 bitów , to ja k a je st w aria n cja interferencji?

Zadanie 7.7 W system ie b in a rn y m sym bole 0 i 1 m a ją prawdopodobieństwa a priori o d p o w ied n io p0 i p v W a ru n k o w a funkcja gęstości p ra w d o p o d o b ie ń stw a zm iennej losow ej F (o w arto ści p ró b k i _y) o trz y m a n a z p ró b k o w a n ia filtru d o p a so w a n e g o w o d b io rn ik u z rys. 7.4 n a k o ń cu przedziału sygnałow ego m a oznaczenie / r (y|0) p o d w aru n k ie m w ysłania sy m b o lu 0. P o d o b n ie f Y( y |1) o znacza w a ru n k o w ą funkcję gęstości p ra w d o p o d o b ie ń stw a z Y; o ile w ysłano sym bol 1. N iech X o zn acza p ró g za sto so w a n y w o d b io rn ik u tak i, że jeśłi w a rto ść p ró b k i przek ro czy X, to o d b io rn ik zdecyduje n a k o rzy ść sy m b o lu 1; w innym p rz y p a d k u zdecyduje o n a n a korzyść sym bo lu 0. P o k a ż, że o p ty m a ln y p ró g ż opt, d la k tó re g o średnie p ra w d o p o d o b ie ń stw o błędu jest najm niejsze, d a n y je st przez ro zw iązanie relacji: _ Po /y(¿oP.|0)

Pl

Zadanie 7.8 K sz ta łt im pulsu p(t) system u b in a rn e g o P A M o p aśm ie p o d staw o w y m zdefiniow any jest jak o : p(f) = sin c ( ^ r ) gdzie Tb — czas trw a n ia b itu w ejściow ych d a n y c h b in arn y ch . P o zio m y am p litu d y n a wyjściu m o d u la to ra im pulsow ego są + 1 i — 1, zależnie o d tego, czy n a w ejściu sym bol b in a rn y jest o d p o w ied n io 1 lu b 0. N aszkicuj k sz ta łt fali n a w yjściu filtru o d b io rn ik a w odp o w ied zi n a d an e w ejściow e 001101001.

Zadanie 7.9 W yznacz o d w ro tn ą tra n sfo rm a tę F o u rie ra funkcji częstotliw ości P( f ) zdefiniow anej w ró w ­ n a n iu (7.60).

Zadanie 7.10 S ygnał an alo g o w y je st p ró b k o w a n y , k w an to w a n y i za k o d o w a n y w falę b in a rn ą P C M . D an e teg o system u P C M są następujące: częstotliw ość p ró b k o w a n ia = 8 k H z liczba p o zio m ó w rep rezen tacji = 64 F a la P C M p rzesy ła n a je st p rzez k a n a ł o paśm ie p o d staw o w y m przy z asto so w a n iu dyskretnej m odulacji am p litu d y im pulsów . W yznacz m inim alne p asm o p o trzeb n e d la transm isji fali P C M , jeśli k ażd y im p u ls m oże p rzy jm o w ać n a stę p u ją c ą liczbę p o zio m ó w am p litu d y : 2, 4 lu b 8.

460

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M

Zadanie 7.11 R ozw aż b in a rn y system P A M o p aśm ie p o d staw o w y m z a p ro je k to w a n y d la k o sin u so id alnego w id m a P( f ) . O d p o w ie d n i im p u ls p(t) zdefiniow any je st w ró w n a n iu (7.62). W ja k i sp o só b zm ieni się ten im puls, gdy z a p ro je k to w a n y system będzie m ial liniow ą c h a ra k te ry sty k ą fazow ą.

Zadanie 7.12 K o m p u te r w ysyła d a n e b in a rn e z szy b k ością 56 k b/s. W yjście k o m p u te ra w spółpracuje z system em b in a rn y m P C M o p aśm ie p o d staw o w y m z a p ro je k to w a n y m d la w idm a kosinusoidalnego. W yznacz p a sm o tran sm isji w ym agane d la k ażd eg o z w ym ienionych indeksów zbocza: a = 0,25; 0,5; 0,75; 1,0

Zadanie 7.13 Przelicz d a n e z z a d a n ia 7.12, jeśli k ażd y z b ió r trzech kolejnych liczb b in a rn y c h z wyjścia k o m p u te ra je st za k o d o w a n y w je d e n z o śm iu m ożliw ych p o zio m ó w am p litu d y , a o trzy m an y sygnał przesyłany jest z w y k o rzy stan iem o śm io p o zio m o w eg o system u P A M z a p ro je k ­ to w an eg o d la w id m a k o sin u so id aln eg o .

Zadanie 7.14 Sygnał an alo g o w y je st p ró b k o w a n y , k w a n to w a n y i z a k o d o w a n y w falę b in a rn ą P C M . Z a sto so w an o liczbę 128 p o zio m ó w reprezentacji. N a k o ń cu każdego słow a k o d u reprezen­ tującego p ró b k ę sy g n ału an alo g o w eg o d o d a n o im puls sy n chronizujący. O trz y m a n a w ten sp o só b fala P C M p rzesy łan a jest przez k a n a ł o paśm ie 12 k H z za p o m o cą czteropoziom ow ego system u P A M o w idm ie k o sin u so id aln y m . In d ek s zb o cza je st ró w n y jedności. a) Z n ajd ź szy b k o ść b ito w ą w (b/s) z k tó rą in fo rm acja tra n sm ito w a n a je st przez k an ał. b) Z n a jd ź częstotliw ość, z ja k ą p ró b k o w a n y jest sygnał analogow y. J a k a jest m ak sy m aln a m ożliw a w a rto ść składow ej o najw yższej częstotliw ości w sygnale analogow ym ?

Zadanie 7.15 F a la b in a rn a P A M m a być tra n sm ito w a n a przez k a n a ł o paśm ie p o d staw o w y m przy m ak sy m aln y m o siąg aln y m p aśm ie 75 k H z. C zas trw a n ia b itu w ynosi 10 ps. Z n a jd ź w idm o k o sin u so id aln e spełniające tak ie w ym agania.

Zadanie 7.16 T echniki k o d o w an ia: d u o b in a m a , tró jk o w a i b ip o la rn a m ają je d n ą w sp ó ln ą cechę: w szystkie posługują się trzem a p o zio m am i am p litu d y . W ja k i sp o só b różni się te c h n ik a d o u b in a m a o d dw u pozostałych?

Zadanie 7.17 S tru m ień d a n y c h b in a rn y c h 001101001 p rzy ło żo n o n a wejście sy stem u d o u b in arn eg o . a) W ykreśl w yjście k o d e ra d o u b in a rn e g o i o d p o w ied n ie wyjście o d b io rn ik a , bez p rek o d era. b) W y o b raźm y sobie, że z p o w o d u błędu w tran sm isji, p o zio m n a wejściu o d b io rn ik a w y tw o rzo n y przez d ru g ą cyfrę s p a d ł d o zera. W ykreśl p o n o w n ie wyjście o d b io rn ik a .

Zadanie 7.18 P o w tó rz zad a n ie 7.17, z a k ła d a ją c użycie p re k o d e ra w n ad ajn ik u .

7.11. P O D S U M O W A N I E 1 D Y S K U S J A

461

Sumator modulo-2 Ciąg binarny złożony z jedynek (1) i z e r (0)

Bipolarna reprezen­ tacja ciągu binarnego

Rys. Z7.2

Zadanie 7.19 S chem at p o k a za n y n a rys. Z7.2 m oże być ro z p a try w a n y ja k o k o d e r różnicow y (składający się z su m a to ra m o d u lo -2 i po jed y n czeg o elem en tu o p ó źn iająceg o ) p o łączo n y w szereg ze specjalnym ro zw iązan iem k o d e ra k o relu jąceg o (w skład k tó re g o w ch o d zą pojedynczy elem ent o p ó źn iający i su m ato r). P ojedynczy elem ent o p ó źn iający p o k a z a n o na rys. Z7.2, poniew aż je st o n w sp ó ln y m elem entem z a ró w n o k o d e ra różnicow ego ja k i k o d e ra korelującego. W k o d erze różnicow ym przejście rep rezen to w an e jest przez sym bol 0 a b rak przejścia p rzez sym bol 1. a) Z n a jd ź c h a ra k te ry sty k ę częstotliw ościow ą i c h a ra k te ry sty k ę im pulsow ą k o d e ra k o re lu ją ­ cego w chod ząceg o w sk ład sch em atu p o k a z a n e g o n a rys. Z7.2. b) P o k a ż , że schem at ten m o że być użyty d o k onw ersji stan ó w logicznych u n ip o larn eg o ciąg u b in arn eg o (p rzyłożonego n a wejście) na rep rezen tację b ip o la rn ą ciąg u w yjściow ego. M o żesz zilu stro w ać tę konw ersję ro zw ażając ciąg 010001101. C elem znalezienia o p isu k o d o w a n ia z p rzeryw aniem fali nośnej, b ip o la rn e g o i różnicow ego d la ciągów b in arnych, zo b ac z p u n k t 6.8.

Zadanie 7.20 R ozw ażm y losow ą falę b in a rn ą x (i) w k tó re j 1 i 0 z d a rz a ją się z rów nym p ra w d o p o d o b ie ń st­ wem , sym bole w sąsiad u jący ch p rzed ziałach czasow ych są statystycznie niezależne, przy czym sym bol 1 o d p o w ia d a A w o lto m a sym bol 0 zero w oltom . T a p rzełączan a fala b in a rn a p rzy ło żo n a jest d o o b w o d u z rys. Z7.2. a) S to su ją c w ynik z z a d a n ia 7.19 p o k aż, że w idm ow a gęstość m ocy fali b ip o larn ej y(t) pojaw iającej się n a w yjściu u k ła d u ró w n a się: S Yi f ) = TbA 2 sin2 ( n f T J s in c 2 ( u f T„) b) W ykreśl w id m o w ą gęstość m ocy d la fali z p rzery w an iem nośnej o ra z b ip o larn ej fali b in arn ej i p o ró w n a j je. 4

Zadanie 7.21 S trum ień d a n y c h b in a rn y c h 011100101 p rzy ło żo n y je st n a wejście zm odyfikow anego system u d u o b in arn eg o . a) W ykreśl w yjście zm o d y fikow anego k o d e ra d u o b in a rn e g o i o d p o w ied n ie wyjście o d b io r­ n ik a, bez p rek o d e ra. b) P rzy p u śćm y , że w sk u tek błędu w tran sm isji, po zio m w y tw o rzo n y przez trzecią cyfrę sp ad ł d o zera. W ykreśl now e wyjście o d b io rn ik a .

462

7. T R A N S M I S J A W P A Ś M I E P O D S T A W O W Y M

m(f )

Wyjście

Próg

Rys. Z7.3

Zadanie 7.22 P o w tó rz z a d a n ie 7.21 z a k ła d a ją c użycie p re k o d e ra w n ad ajn ik u .

Zadanie 7.23 R ozw ażm y M -w arto ścio w y system o p aśm ie p o d staw o w y m m ający M d y sk retn y ch p o z io ­ m ów am p litu d y . M o d el o d b io rn ik a je st taki, ja k p o k a z a n o na rys. Z7.3, a je g o działanie p o d leg a n astęp u jący m założeniom : a) S k ład o w a sy g n ału w fali o d b ie ran e j je st rów na: m (0 = I X sine gdzie 1 /T — szy b k o ść tran sm isji w b o d ach . b) P ozio m y a m p litu d y w y n o szą an, = ± A / 2, ± 3 4 /2 ,..., ± ( A f - 1 )4 /2 , jeśli M jest parzyste i = 0, ± 4 ,..., ± ( M — 1 )4 /2 jeśli M je st nieparzyste. c) W szystkie p o zio m y są ró w n o p ra w d o p o d o b n e , a sym bole tra n sm ito w a n e w sąsiednich p rzed ziałach czasu są staty sty czn ie niezależne. d) Szum w(i) n a w yjściu o d b io rn ik a je st biały i gaussow ski o zerow ej średniej i gęstości w idm ow ej m ocy N J 2 . e) F iltr d o ln o p rz ep u sto w y jest id ealn y o paśm ie B - 1/2 T. f) P o zio m y p ro g ó w użyte w u rzą d zen iu decyzyjnym w ynoszą 0, ± 4 ,..., ± { M - 3 ) 4 /2 i jeśli M je st p arzy ste i ± 4 / 2 , ± 3 4 /2 ,..., ± ( M —3 )4 /2 jeśli M je st nieparzyste. Ś rednie p ra w d o p o d o b ie ń stw o b łęd u sy m b o lu w tym system ie zdefiniow ane je st przez:

p °

n M

r

( ń\

2^

gdzie o- — od ch y len ie sta n d a rd o w e szu m u n a wejściu u rzą d zen ia decyzyjnego. P o k aż, że te ogólne ró w n an ie je st spełnione, w y zn aczając P e d la n astęp u jący ch trzech przypadków : M = 2, 3, 4.

Zadanie 7.24 P rzypuśćm y, że w M -w arto ścio w y m system ie o paśm ie p o d staw o w y m P A M o ra z M ró w n o p ra w d o p o d o b n y c h p o zio m ach am p litu d y , zgodnie z opisem z z a d a n ia 7.23, średnie p ra w d o p o d o b ie ń stw o b łęd u sy m b o lu P e je st m niejsze o d 1 0 “ 6, ta k ab y uczynić błędy w d e k o d o w a n iu p o m ijaln y m i. P o k aż , że m in im a ln a w a rto ść sto su n k u sygnału d o szum u przy o d b io rze w tak im system ie d a n a je st w przybliżeniu przez: (SN R )*.min^ 7 , 8 ( M 2 — 1)

463

7.11. P O D S U M O W A N I E / D Y S K U S J A

Wyjście

Rys. Z7.4

Z ad an ie 7.25 N ie k tó re system y rad io w e d o z n a ją zniekształceń wielodrożnych przypisyw anych obecności więcej niż jednej d ro g i p ro p ag acji pom iędzy n ad ajn ik iem i o d b io rn ik iem . R ozw ażm y k an ał, k tó re g o o d p o w ied ź n a sygnał s(t) zdefiniow ana je st (przy b ra k u szum u) jak o : x(f) = K , s ( r - r 01) + K 2 s ( i - i 02)

gdzie K x i K 2 — stałe, a t0l i r02 o p isu ją opóźnienie transm isji. P ro p o n u je się użycie filtru z linią o p ó źn iającą z trzem a o d czep am i z rys. Z 7.4 d la w y ró w n an ia w ielodrożnej transm isji sp o w o d o w an ej przez ta k i kanał. a) W yznacz tran sm ita n cję k an ału . b) W yznacz p a ra m e try filtru z lin ią z odczepam i w yrażając je za p o m o c ą K „ K 2, t0i i i 02 przy założeniu, że K 2 « K , i t 02 > to v Z adan ie 7.26 N iech ciąg { x (n T )} o zn acza wejście k o re k to ra z linią o p ó ź n ia ją c ą z odczepam i. P o k aż, że in terferen cja sy m b o lo w a jest całkow icie elim in o w an a przez ten u k ła d p o d w aru n k iem , że jeg o tra n sm ita n c ja sp ełnia w arunek: T H