Matematyka Korepetycje 2 Funkcje liniowe kwadratowe wielomianowe

LICEUM, TECHNIKUM

FUNKCJE LINIOWE, KWADRATOWE, WIELOMIANOWE

~

szczegółowe rozwiązania wraz z opisem zadań , z jakimi spotkasz się na lekcjach matematyki,

w zadaniach domowych i na klasówkach.

Spis treści

szOOku

O

unkcja liniowa - definicje ........................................ ........... ..... „ Podstawowe metody

rozwi ązywania uk ładów równań przy k łado we

z dwiema niewiadomymi Uk łady ni erówności

Równania i -

Q

liniowych

zadania

33

wartośc ią bcrn1zgl<;dną

........ . .. „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ . . „ „ „ . „ . „ ..... „

przyk ładowe

zadania

N i e równości

kwadratowe -

Równan ia i

nierówności wielomia nowe

Równania wielomianowe -

p rzyk ł adowe

przy kładowe

A. Równania dwukwadratowe

0

rozw i ązywane

przez

R ównania i

nierówności wymierne wymierne

zadania ......... „ defin icje

55

. „ „ . „ . .. .. .. .. .......... . .

69

na czynniki „

p rzykładowe

przyk ł a dowe

. „ „ . .. . „ ... „ . . „ . „

„ .. „ ....... . .. . .. . .. . .

76 76 80

zadania .. „ „ „ „ . „ . „ ............. .. 86

defin icje .. „ . „ . „ zadania „ „ .„ . „

przykładowe

41

43

. „.„„„„„„„„„„

zadania „ „ „ „ „ „

rozkład

w ielomianowe

N i e rów n ości

„„„„„„.„.„„ „ „„„„„ „„„.

„ „ . „ . „ . „ „ „ „ . „ . „ . .... „ .. „ „ . „ . „ „ .. „ . „ . . „ „ . . .. „

N i e równośc i

Równania wymierne -

16

. „ .... „ ... „ „ „ „ „ „ „ „ . . „ .. „ „ „ . „ „ „ „ „ „ „ . „ „ .. „ „ „ „ . „ . „ .

z

prq klado we zadania ...... ... .... „

Funkcja kwadratowa - de fi nicje .. „

B. Równania

....•..•• „ „ • • „ •.• „ „ .... . •

24

Równania kwadratowe -

d

9

.... .. . . .. .

nierówności

p rzykładowe

zadania ... „

„ .... . „ ...

liniowych

zadania

. „ . „ . „ „ „ „ . „ „ .. „ „.

.„ . „ „ .„ „ „ „ „ „ „ .. „ . „ „ .

„ . „ „ .•• „ . „ .•. „ . „ . „ „ .. „ .„.

95 95 I 08

3

tUtvl'(~A UtvłOWA ~fWlYAlYiA

tvit~fWlYO~(i •••1b9SiAlilDWE t'lETOJ)I( RoZ(J.)~Z'łWANIA tl~~ R@l.\lt-1).\1< L.lt-llOLilVl\.l Z JtUDM,A l-.\IE.~AJ)Ot1YM1 •••

Funkcja liniowa

szOOku

DEFI NICJE Funkcj ą liniową nazywamy fu nkcj ęx __,, y = ax + b, x E R, gdzie x jest argumentem funkcj i, Il jest współczy nni k i e m kierunkowym, b wyrazem wolnym.

Wykresem funkcj i x __,, y = ax + b, x E R, j est linia prosta nachylona do osi OX pod takim kątem a, że tga = a. Prosta ta przecina o ś OY w punkcie, którego rzędna równa s i ę b. dwie proste /: y = a,x + b , k :y= ai"· + b2 r ównolegle, to wspó łczynn ik i kierunkowe tych prostych

Jeżeli są

I Jl k P roste:

t;=;

są

równe

a,=a,

/ : y= a,x + b ,

k: y= a.,-r + b2 są prostopad łe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe spe!n iają warunek: a, · a2 = - I I 1- k t;=; a, · a1 = - I

P unkt A (111 , 11) tej prostej.

n ależy

do prostej wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia równanie

Twierdzenie: Funkcja li niowa y = ax + b, x E R jest: • ro snąca w R, wtedy gdy a > O, • malej ąc a w R, wtedy gdy a < O, • s tała w R, wtedy gdy a = O. Twier dzenie: Każd a fu nkcj a liniowa y = ax + b, gdy a

„ Ojest

funkcją różnowartośc iową.

9

Funkqa liniowa

Funkcja liniowa Rozwiązanie:

PRZYKŁAD:

wzór funkcj i liniowej y = ax + b. Poszukujemy współczynnika kierunkowego a i wyrazu wolnego b.

Na leży napi sać

l:y= - 5x= 1

Czy A (O, 1) na l eży do prostej r! Tak, bo po wstawieniu za x =O, za y = 1 otrzymujemy prawdziwe równanie l = 5·0+ 1 = 1 Czy B (I, 5) należy do prostej I? Nic, bo po wstawieniu za x = I , y 5= I ·5+I

5

*-4

To oznacza,

5 otrzymujemy równanie

spelniają

równanie

a =3

3x

Szukana prosta ma postać y

Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest równo legły do wykresu y- 2r ..- I i przechodzi przez punkt A( 1, 5). Rozwiązan ie:

Trzeba napisać wzór funkcji liniowej, czyli innymi słowy wyznaczyć y = ax-+ b. Poszuk ujcmywspółczynnika kierunkowego a i wyrazu wolnego b. .lak znaleźć a? Szukana prosta jest równoległa do prostej y = 2x + I. To oznacza, /c obie te proste mają równe współczynniki kierunkowe. Stąd a = 2. Mamy już a, więc szukana prosta ma postać y = 2r + b. J ak zn a leźć b? Wiemy, że prosta y = 2r + b przechodzi przez punkt A( I, 5). To oznacza, że wspólrzc;dnc tego punktu spełniają równanie tej prostej . A to oznacza, że po wstawieniu w miejsce x = 1 i w miejsce y = 5 otrzymamy równanie: 5 = 2 · I t- b. Inaczej 2 + b = 5. Stąd wyznaczymy b; b = 5 - 2 = 3. Szukana prosta ma postać y = 2r + 3.

y=2t+3

Odpow i edź

y = 3x + 7 ZADAN I E3 Znajdż

równanie prostej pl7cchod111cej przez punkt A( I , - 5) i nachylonej do osi OX pod kątem a = 120°. Rozwiązanie:

y = ar+ b,

3x + 2

-5=

W"""J, i< tg a: a. iatem wstaw~my"' a ~ 1lff i oblkzamy t~ warto~. korzystaj ąc ze wzorów redukcyjnych.

a = 120°

ctg 30° =

-./3

-J3

-./3x + b oraz --./3 · I + b -5 + -J3 = b y =--./Jx - 5 +-./3

y = I

b.

Szukana prosta to y = 3x + 7.

a=

ZADANlE2

ł

Jak znaleźć b? Wiemy, że prosta y = 3x + b p17cchodzi przez punkt B(- 2, I). To oznacza, że po wstawieniu w miejsce x = 2 i w miejsce y I otrzymamy równanie prawdziwe 1 = 3 · (-2) + b. Inaczej -6 + h I. Stąd b = 7.

a - tg 120° = tg (90° + 30°)

Odpowiedź

Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu y = i przechodzi przez punkt B( 2, I).

że współ czynni k i

1 3 x +2 . kierunkowe tych prostych

_ .!.· a =-1 / ·(- 3) 3

ZADANIE I

10

Jak znaleźć a? Szukana prosta jest prostopad ła do y

A ( I,

5)

Ma1ąc obliczony współczynnik kierunkowy a wstawiamy go do równania prostej, a następ-­ nie obliaamy współaynnik b. Korzystamy z fak· tu, le funkcja przechodzi przez punkt A(t. -5).

11

Funkcja liniowa

Funkcja liniowa

Odpowied ź

y= -..J3x

DEFINICJA Równaniem liniowym z jedną niewiadomą x nazywamy fo rm<; zdaniową postaci: ax + b = O, gdzie a, b e R.

5 + -./3

Równan ie liniowe ax + b = O może mieć jedno rozwiązanie , nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć żadnego rozw iązania.

ZADANlE4 Dla jakich wartości parametru 111 funkcja y = (3111 + 9)x - 3 jest: (a) rosnąca, (b) malejąca , (c) stała.

Równanie ax + b =O posiada: • jeden pierwiastek (równanie 07naczone) <=>a"* O. Rozwiązan iem jest

Rozw iązan i e:

Ad (a) Zgodnie z twierdzeniem, aby nasza funkcj a liniowa y = (3111 + 9)x - 3 byla rosnąca, wystarczy zalożyć, że wspólczynn ik kierunkowy a > O. Zatem:

3111 + 9 >o

•

nieskończen ie

wówczas x

b

a

wiele pierwiastków (równan ie nieoznaczone) <=>

a = O Ab= O. Rozwiązaniem są

wówczas x e R

• nie posiada pierwiastków (równan ie s przeczne)<=> a = O Ab"* O. Rozwiązani em są wówczas x e 0 .

3111 >-9 m >-3

ZADANIE I

Odpowiedź

Dla 111 e (-3, +oo) funkcja/(x) jest Ad (b) W przypadku, gdy funkcja ma

rosnąca.

Przeprowadż d yskusj<; na parametr „p ".

być ma l ejąca, nal eży zalożyć, że

a
3m + 9 < O

(p - 2).x + 3 - 4p =

Odpowiedź

Dla 111 e (-oo, - 3) fu nkcjaf(x) jest

3m =-9 /Il

=-3

Odpow i edź

mal ejąca.

nal eży rozwiązać

równanie a = O, czyli:

4p = 2x - 3, ze

wzgl ędu

Rozwiąza nie:

px - 2x - 4p + 3 = O

m <-3

3m + 9 = O

równania px

px - 4p = 2x - 3

3111 < -9

Ad (c) Natomiast, aby funkcja byla stala,

rozwiązalnośc i

Zaaniemy zadanie od prieksztakenia równania dopostadax+b•O Wnaszym przypadku a : p-2 zaś, b: 3-4p.

o

Przystępujemy teraz do przeanalizowania (w zal eżności od parametru µ), kiedy dane równanie ma jedno rozwiązanie, kiedy nies kończenie wiele, a kiedy nie ma w ogóle rozwiązań.

I) Równanie oznaczone wtedy, gdy: a "* O:

a = p - 2, czy li

p-2*0 P"*2

Dla m = 3 funkcja jest stała.

12

13

Funkqa liniowa Zatem dla p

Funkqa liniowa

* 2 równanie ma jedno rozwiązanie:

ZADAN I E2

(p - 2)x + 3 - 4p =O (p-2')x = 4p - 3 I :(p

Rozwiąż równanie

2)

x, w 7.ależności od parametru 111.

111x - I = 111'

Rozwiązan ie:

4p-3 x = p--::-:i:

Przekształcamy równanie do postaci (111 + I )x

1 + 111' = O i wówczas:

I) Równanie oznaczone =a * O: 111 + I *O

Odpowiedź

111* - l

. . ma Je . d no rozw1ązame: . . x = 4µ2· P 3 dl ap* 2 . Rownamc

Zatem rozwiązaniem jest:

(111+l)x+111'- l =O

2) Równanie nieoznaczone wtedy, gdy: a =O /\ b = O:

2

(m 1

I: (111

a = p-2

(111 + I )x = I - 111

b = 3 - 4p

= 1 -111'= {l-m){ I + 111) • 111+ I l t 111

*o i

3

.

P*2

4p

*o

Dochodzimy do sprzeaności,

3

ponieważ 2 "'~­

l.atem równanie przy tyeh warunkach nie ma roz-

•P * 4

wiązania.

Od powiedź

Nie istnieje takie p, d la którego rozwiązaniem równania będzie zbiór liczb rzeczywistych x e R. 3) Równanie sprzeczne wtedy gdy: a = O/\ b *O: p- 2=

oi

p=2

I)

r

Aby równanie miało nieskoflczenie wiele rozwiązań , muszą być speł ni one dwa warunki jednocześ ni e: p- 2

I

I)

3

4p

*o

Odpowiedź

Dla /11 * - I równanie ma jedno ro1wią1an i c x

2) Równanie nieoznaczone = a 111 + I = O /\

111' - 1 = O

111 =- I

{111 = 1 V 111

/\

p=2

Wówczas równanie ma postać: O· x + 3 - 8 =O

5 = O fałsz

O /\ h

m.

O:

1)

111=-I Odpowiedź

Dla /11 = - 1 równanie ma nicskoi1c1cnic wiele rozwiązań, czyli x e R.

3) Równanie sprzeczne= a

. 3 IJJ* 4

Ili

111 + I = O /\

111' - l

111= - I

{111

/\

*I

O/\ b * O:

*O /\ 111

*

I)

Odpowiedź

Zatem nie ma takiego 111, dla którego rozwiązaniem jest zbiór pusty.

Odpowiedź

Dla p = 2 równanie nic ma rozw iąza nia, czyli x e 0 . 14

15

Funkcja liniowa

.

Funkcja liniowa

PO DSTAWOWE M ET O DY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH Z DWIEMA N IEW IADOMYMI - przykła dowe zad ania Istnieje kilka sposobów rozwiązywania układów niewiadomymi: a) metoda podstawowa, b) metoda przeciwnych współczy nników, c) metoda geometryczna, d) metoda wyznaczników.

równań

Pam i ętaj szą,

liniowych z dwiema

tę

najdogodniej-

układu.

Teraz

x = r+6 { 3x + y = 25

Obliaam z pierwszogo równania x.

x = 1•+ 6 { 3 + 6) + y = 25

Wstawiam wyznaczony xdo drugiego równania.

x =y+ 6 { 3y + 18 + y= 25

wszystkimi metodami (tak dla przypomnienia):

Teraz drugie równanie zależy 1yłko od y. Obli· czarny. Plerwue równanie przepisuję .dla porządku ".

x=y+ 6 { 4y + 18 = 25

x+y=45+L...!

Układ

' trzeba

x =y+ 6 { 4y = 7 /: 4

3 uporządkować!

x~ y_ ~ x? /·ł =

Mnożę

2

x=r 6 3 { y= 4= 14

po to. by pozbyl ~ę ułamków.

{~ +.!'...:J. 2 -4,5 3 I- 6 -fi' . X - y 1,

t,

płerwszego

równa·

i(,

{ y=

14

x=

71

Pamiętaj o pomnożeniu wszystkich ałonów rów·

nania pflez zaznaaone liaby.

{

6' -~ = 6 ·4,5 +62 ..c...!_

1,

y= 14

Odpowi ~d ź

4 (x - y) - 6 = 3 (x y) { 3 (x - y}=27 + 2 (y 1)

Teraz trzeba wykonać zaznaczone działania i zre-dukować wyrazy podobne.

4x - 4y - 6=3x - 3y { 3x + 3y = 27 + 2y - 2

me na

Przenoszę niewiadome na lewą stronę, wiadoprawą. Pamiętaj o zmianie znaku.

x=7

4

3 1y=l4

li met oda - przeciwnych y=6 3x + y= 25

współczynników:

X

+ 4x - 4y - 3x + 3y = 6 { 3x + 3y - 2y = 25

WS1awiam wyliaony y do nia i znajduję /t.

x = I; + 6

_ ń6 . _!_ =1°1' . X - y

t,

16

postal

x =y +6 { 4y= 25 - 18

2

{

uporządkowana

można układ rozwiązal

I metoda - podstawiania (polega na obi iczan iu niewiadomej z jednego równania i wstawianiu do drugiego):

x?-~=x~y {

To jest

u·

o dostosowaniu metody do układu. Zawsze wybieraj która najszybciej doprowadzi cię do rozw iązan ia.

Poniższy ukł ad rozwiążę

x -y =6 { 3x+ y= 25

{

X

+ 3x -

MaL I.Tel 2.•1\.. ;!

p+ p= 6 + 25

Zauważ, że współczynn iki przy y są przeciwne i równe 1 i 1. Jelli równania układu dodamy stronami, to „y zniknie".

17

Funkcja liniowa

Funkcja liniowa 4x = 3 1 /: 4

Bardzo szybko otrzymaliśmy równanie jednej niewiadomej x.

31 3 x = - =7-

4

4

układ współrzędnych

Teraz rysujemy

i obydwie proste.

y

Teraz znalezioną wartość xwstawiam do któregoś (dowolnie wybranego) równania.

Teraz z wykresu należy odczytać współrzędne punktu p rzecięcia. Jak widzisz, jest to dość niewygodne i niedokład ne.

3

74 -y = 6 3

-y = - 7 - + 6 ;. (- l ) 4 3

y = 74 - 6 y=

3

14

Odpowiedź

3 x = 7-

4'

3 y = l4

III metoda - geometryczna: X

x - y= 6 { 3x + j'= 25

Z pierwszego i drugiego równania wyliczam y.

X '-= 7~.y = l ~ .

- y = -x + 6 1-(- 1) { y=-3x + 25

Zauważ, że otrzymaliśmy równania prostych. Te należy narysować w jednym układzie współrzędnych. Punkt przecięcia tych prostych jest rozwiązaniem układu.

proste

y= x - 6 { y =-3x + 25

Aby narysować proste, trzeba mieć dl a każdej z nich po dwa różne punkty, przez które odpowiednio każda z nich będzie przechodzić. Najprościej j est znal eźć punkt przecięcia z os ią OY oraz miejsce zerowe danej funkcji. Weźmy

pod uwagę,

OY: x = Oto y = - 6 mz. y = O to x = 6

fun kcję,

y

=

x - 6;

mz. y = O to x =

IV metoda - wyznaczn ików: W metodzie tej posługujemy s iQ twierdzeni em Cramera. Nie przytoczę całego twierdzenia, a tylko potrzebne wzo ry. Otóż, j eśl i dany j est układ równań:

to z tym układem można skojarzyć trzy wyznaczniki („liczby zapi sane w taki lTochę dziwny sposób") oznaczone W, W,,, W„

A(O, - 6)

·'

D(8~ , O)

y

a

b

m

n

= a·n - b·m

W=

C(O, 25)

2f = 8~

W - wyznaanik główny. tworzymy ze współczynników występujących przy xi y. Wartość tego wspótczynnika znajdujemy. mnożąc „na krzyż" tak jak jest zapisane we wzorze.

w„

X

y

Aby

c

b

występujących przy xzastępujemy kol um ną wyrazów wolnych (tych stojących po prawej stro-

k

n

= c ·n - k · b

W= X

18

Zal.: ii + b2 > o Zal.: w+ d > o

ax + by = c { mx + ny = k

8(6, O)

Dla funkcjiy = - 3x + 25 mamy punkty: OY: x = Oto y = 25

W tym punkcie jest rozwiązanie:

utworzyć

ko lu m nę współczynników

nie równości) .

19

X

y

a

c

=a·k-m·c

Wy = k

m w~, ~y Jeże li

teraz W :;t: O to

w

w'

_ _

y-

Wyróżni amy następujące

w

ma niewiadomymi:

Y

w

•

można zastosować

Zobacz, j ak to

UKŁAD MUSI .BY~ UPORZĄD~OYJANY ! Zapisane zosta~ „ wy~afoiej't współczynn iki stojące przy x i y. · · · ·

l ·x - l ·y =6 { 3 · X + 1 · y = 25 .\

y

1

-1

W= 3

•

X

y

6

-1

25

1

X

y

1

6

3

1 · 25 - 3 · 6 = 25 - 18 = 7

4

3 14

Odpowiedź

3 x= 74 20

Układ

nieoznaczony G W= O /\

Układ

ma nieskof1czenie wiele

Układ

sprzeczny q

Układ

nie ma rozwiązania x

zależności

w_x =

E

w w w '' y w ' }. =

O /\ Wv = O.

rozwiązań

w= o/\ cw_r :;t: o V

X=

R = {(x, y): x

~y :;t:

E

RA y

E

R}

O).

0.

od parametru m.

Zadanie zaczniemy od obliczenia wszystkich 'Aryznaczników tego układu równań.

25

I teraz wzory: x = w

w

W :;t: O.

Rozwi ązani e:

w

Y

G

X+ my= 3 { mx + 4y = 6 w

=

w - -7 -------1'....-

oznaczony

Przeprowadź dyskusję rozwiązalności układu równań:

=6 · 1 -25 · (- 1) = 6 + 25 = 31

X

I

ZADANIE 1

1

W =

W=

•

1 ·1 - 3 · (- 1) = 1 + 3 = 4

=

Układ

typy układów równań stopnia pierwszego z dwie-

Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie R = {(x, y) :

w praktyce:

x - y =6 { 3x + y = 25

y

Wiemy, że rozwiązaniem geometrycznym układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi są proste. W zależności od ich w zajemnego p ołoże­ nia na płaszczyźni e, dwie p roste mogą mieć: j edno rozwiązanie (proste przecinają się), nieskończenie wiele rozwiązań (proste pokrywają się) , bądź mo gą nie mieć żadnego rozwiązania (proste są równoległe, ale nie pokrywają się) .

nazywamy wyznacznikami bocznymi.

_ _ x

x-

W .tw-0rzymy przez zastąpienie kolumny wyrazó'\t.J stojących przy y, kolumną wyrazów wolńych.

3 y= 14

1

31

=4

3

=

74

m =4-m2

W= m

4

3

m

W= X 6

4

I

3

Wy = m

=

12 - 6m

=

6-3m

6 21

:·; :;;;·,;,;: ;;.-;: -'-:' · : ·: : . ·· ' "I<

1)

układ

oznaczony:

•

W :t= O ~ 4 - m :F O 2

(2 - m)(2 + m) :t= O m

:F

2 /\ m

'f:.

W X

=

JY=

układ

I2 - 6111 4-

,

'

r

·.

,

j eżeli

m = -2 to ukladu nie zbiór pusty).

•<

·

,

,, · :: "· , ·„. I

spełn i a żad n a

para liczb

1;; Funkc1·a liniowa1 >•

•

(rozw i ązaniem

"'o,

jest

ZADANIE2

-2

Dla /11 ER \ {- 2, 2}

1

posiada

dokładnie jedno rozwiązanie

6(2..;:o-nr) (2.--11i)(2 + I/I)

111 2

postaci:

Rozwiąż układ równań

liniowych:

(m - 2)x - 3y = m + I { x- my = 4

6 2 + I/I

Przeprowadź dyskusję rozwiaza l ności tego ukfadu ze względu na parametr

W 6 - 3m = --W 4 - 1112

X =------'--

3(2..;-nfJ

3

µ..-r;i)(2 + 111)

2 + 111

m.

Rozwiązanie:

Obliczymy wyznaczniki W, W, W 2)

układ

.\'

nieoznaczony:

(W = O/\ W, = O/\

m -2

W:.. = O) ~ (4 -

W=

m 2 = O/\ 12 - 6m = O/\ 6 = 3m = O)

=

111

(m = 2 v m = - 2) /\ m = 2 /\ m = - 2

układ

= (m - 2) · 4

W,=

x=

(W,, :t= Ov W:. :;t O)) ~ (4 -

(m = 2 v

/11

= - 2) /\ (m t:. 2 v

111 t:.

111 2 =

O /\ (12 - 6m :t= Ov 6 = 3111 :;t O))

- 2)

=- 2) /\Ili 'f:. 2 Widzimy, że jedynie m =- 2 spełnia te warunki. /11

Dla m = - 2 otrzymujemy: W = O, W„ = 24,

w„.= 12, zatem układ jest sprzeczny.

Zbierzmy teraz otrzymane wyniki: •

, _2_ ) jeżeli m E R \ {- 2, 2} to układ spefoia para liczb (_i__ m+ 2 m + 2

•

j eżeli

22

-m (111 + I) · I = 4m - 8 - m - I = 3111 - 9

4

(W= O/\

m = 2 to

4

m - 2 m +l

sprzeczny:

(111 = 2 V

-3 = (m + I) · (- m ) - (- 3) · 4 = - m2- m + 12 = (4 - m )(m + 3)

ma nicskol1czcnie

X+ 2y = J { 2x + 4y = 6 3)

+1

W= X układ

(m - 2) · (- m) - (- 3) · I = - 1112 + 2111 + 3 = (3 - m)(m + I)

-m

(2 - m)(2 + m) = O/\ 6(2 - m) = O/\ 3(2 - m) = O

Zatem rozwiązaniem tych warunków j est m = 2. Dla m = 2 otrzymujemy: W = W,, = W, = O, tak więc wiele rozwiązaó. i ma postać: ·

·'

-3

układ

I)

-m 2 -m + 12 - m 2 + 2m + 3

układ

y=

3111 - 9 3(m - 3) 3 = = - -- 1112+ 2111 + 3 - (111 - 3)(111+ I) m+ I

oznaczony:

Wt:.

O~ -m 2 + 2m + 3 t:. O

(3 -

/11 )(m

+ 1) =/: O

m =t 3/\m :t= - I

Dla m E R \ {-I , 3} rozwiązaniem j est para liczb postaci: - m 2 -m + 12 x = - m·' + 2m. + 3

. 3 i y =- m+I

spefoia nieskol1czenie wiele par liczb rzeczywistych

23

Funkcja liniowa

Funkcja liniowa 2)

układ

nieoznaczony:

(W = o/\ W„ = o/\

w,.=o)~ (C3 - m)(m + I) = O/\ (4 -

x>-!

x< - 2

-=:=!-2

m)(m + 3) =o/\

/\ 3(m - 3) =O)

I

-1

-3

1

~

=t o

X

Szukamy części wspólnej przedziałów. Niestety, rozwiązaniem jest zbiór pusty.

m :; 3 v m = - 1) /\ (m = 4 v m = -3) /\ m = 3

mE0 Nie istnieje takie m , dla którego

układ

ma

nieskończenie

wiele

rozwiązań.

Odpowiedź XE

3)

układ

0

sprzeczny:

(W = O/\ (Wx :;t: Ov

W,,:;t: O))~ (3 -

m)(m + I) = O/\ [(4 - m)(m + 3) :;t: Ov

ZADANIE 2

v 3(m - 3) :;t: O] 3 + Sx < 7x + 4 { 3x - 6 < 4x-9

(m = 3 v m = -1) /\ (m :;t: 4 /\ m :;t: - 3 v m :;t: 3) m= - 1

Dla m = - 1 układ jest sprzeczny, czyli

rozwiązaniem

Porządkujemy nierówności, przenosząc niewiadome na lewą stronę, a wiadome na prawą.

Sx - 7x < - 3 +4 { 3x - 4x< 6 - 9

jes t zbiór pusty.

- 2x < I /: (- 2) { - x < - 3 /: (-l)

UK.LADY NIERÓWNOŚCI LINIOWYCH - przykładowe zadania

Uważaj

na zmianę znaku.

ZADANIE 1

X+ 4 > 2 - 3x { 4 (x - 1) > 2 + 7x x + 3x >- 4 + 2 { 4x- 4 > 2 + 7x

Najpierw trzeba jedną i drugą nierówność uporządkować przez dokonanie zaznaczonych działań, a następnie przenieść niewiadome na lewą, a wiadome na prawą stronę.

24

{

x > -6~

{

x> - ~

X

>- l2

>3

-rJ_,_1---+---+----
3

Teraz ilustracja na osi liczbowej.

X

Odpowiedź

4x > - 2 { 4x - 7x > 4 + 2 4x > - 2 /: 4 { -3x > 6 /: (-3)

X

X E Pamiętaj, że przy dzieleniu przez liczbę ujemną zmienia się znak nierówności na przeciwny.

(3, +oo)

ZADANIE3 7 - 6x + 12 < 8x + I _ 10x ;. 6 2 3

Najpierw uwalniamy się od ułamków, mnożąc stronami nierówności przez odpowiednie liczby.

x< -

3

X

{ Teraz należy zilustrować otrzymane nierówności na osi liczbowej.

3x - 4 5

x - I Sx - 3 ;. 120 6 8

8 + - - > - - --

< -2

25

·' 3

7 - 6x

2

8r + I

f5 · - - ' + 6 · 12 < f5 · -'tl zl {

- 6 · lOx

Teraz wykonui·ę zaznaczone działania .

24 3x - 4 20 x - 1 1s 5x - 3 8. 120+1-W . - - > ..12-0' . - - ..12-0' . - $, ~. %,

3 (7 - 6x) + 72 < 2 (8x + I) - 60x { 960 + 24 (3x - 4) > 20 (x - I) - 15 (5.r - 3) 21 - 18x + 72 < I6x + 2 - 60x { 960 + 72t - 96 > 20x - 20 - 75x + 45

Teraz

przenoszę niewiadome na lewą stronę nie·

równości.

16x ł- 60x < - 72 t 2 - 2 l { 72-r - 20x t 75x > 960 + 96 - 20 + 45 - l 8x

26x <-91 { 127x > - 839 /: 127

{

Rozwiązaniem

839 X > - 127

Fun~cja

.

liniowa

tego typu nierównośc i jest półpłaszczyzna z brzegim lub bez to od tego, jaką mamy nierówność: ostrą czy słabą.)

ZADANIE 4 Rozwiąż układ nierówności:

x + )1>3 { 4x-2y > 6 Rozwiązanie:

Układy

tego typu

rozwiązujemy

X + V> 3 f-x { 4x - 2y > 6 I - 4x

y >-x + 3 { y<2x- 3

graficznie. Zpierwszego i drugiego równania wyliczamy y.

Pami ętamy o tym, te dzieląc strony nierówności przez liczbę ujemną, należy zmienić znak n~ prze· ciwny.

Teraz obydwie nierówności n a l eży zilus trować w układzie współrzędnych. Pamiętaj , że obydwie nierównośc i opisują półpfaszczyz ny:

7 x <-2

k:y=-x + 3

_J_._-+-+-
839 X> - 127

mz : (3, O) OY: (O, 3)

/: y Odpowiedź

=

2x - 3

Rysujemy najpierw proste o równaniach y= - x+ 3 { y = 2x- 3 pamiętając o tym, że dwa różne punkty wyznaaają

pros1<1.

OY: (O, -3)

XE (-~

2_)

127 ' 2

N ierówn ośc i ą stopnia

mz:

c23 , O)

Teraz w układzie współrzędnych zaznaczamy miejsca zerowe obu funkcji oraz miejsca przecięcia się z osi ą OY i rysujemy wykresy funkcji.

Definicja: ność

(Za leży

brzegu.

.

y >- x + 3 { -2y > -4x + 6 /: (-2)

X <- ~~

{

: ,· · ·

pierwszego z dwiema niewiadomymi nazywamy nierów-

postaci:

ax + by + c > O, lub ax + by+ c < O, lub ax + by+ c ~ O, lub ax + by+ c <::. O, przy założen iu a2 + b2 -:;t. O.

26

27

y Rozwiązaniem układu nierówności jest ta zakre· skowana czę5ć płaszayzny, bez prostych, ponie· waż obie nierówności w układzie są ostre.

N astępnie

trzeba wybrać właściwą

półpłaszczyznę.

y > - x + 3, wybieramy prawą część płaszczyzny (można to sprawdzić, x wybierając j akiś punkt na leżący do prawej strony prostej i sprawdzamy, czy zachodzi nierówność)

X

y < 2x - 3, wybieramy prawą stronę prostej (prawą część płaszczy­ zny).

Rozwiązaniem jest część płaszczyzny

Rozwiązaniem jest część wspólna zaznaczonych pólpłaszczyzn

Odpowi edź Rozwiązani em

(obszar, w którym

krzyżują się

li·

nie}.

j est

część

ZADANIE 5

krzyżuj ą s ię

linie, wraz z pogrubio-

Rozwiąż układ nierówności:

y;:::x { y;::: 3x

y>

~x+ 2

{ y S: - x - 1 2

Rozwiązanie:

Najpierw rysujemy w układzie współrzędnych prostek, I.

k: y= x

OY: A(O, O) oraz weź my inny punkt np. : B(2, 2) l: y = 3x OY: C(O, O) oraz drugi punkt, np.: D(l, 3) Obydwie proste rys ujemy w układz i e współrzędnych, półpłaszczyzny, które spe łniają obie nierówności.

28

wykresu, gdzie

nymi prostymi.

ZADANIE 6

Rozw i ąż układ n ierówności :

k: y = x I: y = 3x

Odpowiedź Rozw i ązaniem jest ta część

ws pólna zaznaczonych półpłaszczyzn.

wraz z krawędzią przedstawiona na rysunku.

następnie

zaznaczamy

Rozwiązanie:

k'. y

=

1 -x 2 +2

OY: A(O, 2) mz: B(-4, O) l l: y = l

2x -

Najpierw w układzie dwie proste:

współrzędnych

rysujemy

k:y = l x+ 2 2

/: y = l x2

1

OY: C(O, - 1) mz: D(2, O) 29

Po narysowaniu prostych w

układzie współrzędnyc h

wybieramy stosowne

y • - l:r+ I

pół­

' \

płaszczyzny.

y

.r =-2x I \

,

I\ I\

y

\ .J -

I\

•

\

j j JJJ1!~~;~~' ,

I\

J JJ J

\ tj

A

c

I

I

I\

I

X

2

'

' 'c'

2

\ \ \

-3

\

D

B

o c

-4

\

-4

X

I

Odpowiedź Częśc ią wspólną (rozwiązaniem)

~

\ I\

,I ,

jest pas, wraz

:l

prostymi, bo

ni erównośc i są

słab e .

ZADANIE 8 Rozw i ąż układ nierówności:

Odpowiedź

Zadanie to nic ma

rozw i ąza n ia,

pólpfaszczyzny nie

mają czQści

wspólnej.

ZADANIE 7

Rozwiąza nie:

Najpierw z pierwszej

Rozwiąż układ nierówności :

{

y ~ -2x

Rozwiązanie:

I

mz: B(2, O)

l: y =-2x OY: C(O, O) D(2, - 4) 30

nierów ności

wyliczymy y.

3x - 6y ~ 9 {y ~ - 1

y~ -2x + l

k: y =-2x + l OY: A(O, 1)

3x-6y ~ 9 { )'~ - l

Najpierw w układzie współrzędnych rysujemy zaznaczone proste: k:y=-2x+ 1 f. y =- 2x następnie obieramy półpłasmyzny i zaznaczamy aęść wspólną.

- 6y :::: - 3x+ 9 I : (- 6) { y::::- 1

{

y~~x- ~ y~

Teraz rysujemy w układzie współrzędnych dwie proste: k:

-1 I

3

2

2

y =-x - -

I

3

2

2

y = - x- -

l:y =-1.

31

' I'm1owa . L'>i[ F . ~flkqa „ ;..

„" . .

' " • :„., ,, " . •i,

1, .,

:

'>

'

,

,

•

'

, ,

•

'

'

''

„ '

k: y= x

3

OY: A (O, -2)

W układzie

OY: A(O, O), oraz drugi punkt

współrzędnych

zaznaczamy proste:

k:y = x f.x = 3

oraz część wspólną płaszayzn.

mz: B (3, O)

B(2 , 2)

/: y = - I Uest to funkcja

stała)

/: x = 3 Uest to prosta pionowa) y

}' =

I

X

Odpowied ź Rozwiązaniem jest część płaszczyzny między

pogrubionymi prostymi (wraz

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest część płaszczyzny (tam, gdzie krzyżują się linie), zawarta

z nimi).

między

ZADANIE 9 Rozwi ąż układ nierównośc i :

{x <3

lx ·YI = lxl · lYI

Rozw iąza n ie: nierówności

x - y> O 1-x {x<3 - y > - x ;. (- 1) {x <3 y
32

RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Z WARTOŚCIĄ BEZWZGLĘDNĄ ­ przykładowe zadania Przypomnijmy sobie kilka ważnych własności dotyczących wartości bezwzględnej.

x - y >O

Z pierwszej

prostymi (bez nich).

wyliczamy y.

-xl =lxl ly bI

Z :y ;t O

1

lxl =1-xl '1X2= lxl lxl ~ a <=> x ~ a v x ś - a lxl $ a <=> x ś a A x ~ - a lxl = lYI <=> x = y v x = -y Mal LT c1. 2. ark. J

33

Funkcja liniowa ZADANIE 1

Pierwsze równanie:

Rozwiąż nierówność

x2 - 5 = - 1 /+ S

13x - 61 > 8.

Rozwiąza nie:

Korzystam z własności ~tl

wartośc i

bezwzglq,dnej: stąd

>a<=> x >a v x <-a.

X =

Zatem

Drugie równanie:

13x - 61> 8 <=> 3x - 6 > 8 v 3x - 6 < - 8. z nierówności osobno, a nas tępnie bierzemy i otrzymujemy rozwiązan ie końcowe.

Rozwiązuj e my każdą

rozwiązań

3x - 6>8

sumę

tych

3x > 14 /:3

X =

lu b 3x < - 2 /:3

14

x>3

lub

l -t

2

.r < - -3

6

stąd

3x < - 8 + 6

3x>8+6

x2 - 5 = 1 /+ S x2 =

3x - 6 <-8

lub

- 2 lub X= 2.

-"6

lub

X=

"6.

Teraz zestawiamy wyniki:

„ X

x2

-

5 = - 1,

.,.i - 5 = I,

gdy

x =-2

gdy

X

=-../6

lub

x=2

lub

X =

..J6

Odpowi edź X E

{- 2; - ..J6; 2; °"6}

ZADA NIE 2

ZADAN IE 3

Rozwiąż

równanie: 1x2 - SI= l

Rozwiąż

równanie:

Rozw iązanie:

I sposób

Korzystamy zatem z bardzo wygodnej wlasnośc i dotyczącej wartości bezwzględ ­ nej:

Rozwiąz anie:

<'> lxl = U'I <=> x = y lub x = -y.

Nasze równanie

możemy zapisać

w postaci:

lx - s1=1 <=> IA.i _ SI = Ili·

Równania tego typu rozwiązujemy, stosując defin i cję wartości bezwzglq,dnej i wypisując wszystkie możliwe przypadki, dla których to co jest w module, jest nieujemne i ujemne.

2

Zatem

korzystając

z twi erdzenia (*>

x 2 - 5 =-I lub x 2 - 5 = 1. Rozwiązujemy

34

teraz

każde

2lxl + lx + 11= S.

lxl "•f-

{Xdla X ~ 0 - x dlax< O

21xl +lx+ li = 5

równanie osobno.

35

""''. '" .,

.„ ..

"łHfl''ll"l'!'tt11••·„, „ „.:. „. ·:· ·. ': .:„ ." " ; 11~' i. ł ~'-ti, 1!"11:B'-·.„:1; „ '>t:,::·. I, j <, ł '1< H j, ;. '~''' '•• } ! ,, , i ł '

1111„ 1

r&

x;::: O

1°

{

x+l;:::O 2x+x + 1= 5

lub

2°

{

X< 0 X + 1<0

j

.• .• '

,

•• <

.··" . . '

1

,

•

.·

,

"

.••

„

Funkc1·a liniowa

,

,

x< - L 1 { ) -2x - (x + I) = 5

- 2x - (x + l) =5 lub

lub 30

{;:~
lub

4°

2x - (x + 1) = 5

{

X<0 X+ L;:::

2

o

)

{XE (- J,0)

lub

- 2x + x + l =5 3) {

x;::: O I'

{

: :

~I

lub

x
2°

-2x+x+ I)=5

X

2'. 0

2x + x+1=5

zatem po ob liczeniach otrzymujemy

{ x =- 2

lub

1) {

~: =~

2) {

;= ~~l , O)

następujące układy

lub 3o

{

x ;::: O X< - 1

4o

lub

x=6

{

x
Teraz sprawdzamy dla ka żdego przypadku, czy znalezione x wspólnej poszczególnych przedziałów.

lub należy

do

częśc i

3) ( :

~~ 3

Widzimy,

że

jedynie x = -2 i x =

rozwiązaniem wyjściowego

4

3 należą do swoich przedziałów, czyli są

równania.

II sposób Rozwiązanie :

Możemy ograni czyć l iczbę

przypadków do trzech. W tym celu wyznaczymy których rozwiązujemy nasze równanie. Zaczniemy od wyznaczenia miejsc zerowych wyrażeń pod modułami x = O, x + l = O, czyli x = - 1, x = O. Na osi liczbowej zaznaczymy otrzymane liczby, które dz ielą oś liczbową na przedz iały i ocen iamy wartości wyrażeń x, x + 1 w tych przedziałach . przedziały, w

ZADANIE 4 Rozw i ąż równanie: °'1x2 - 4x + 4 = I O Rozwiąz anie:

Równanie powyższe możem y zap i sać inaczej . kiem mamy wzór skróconego mn ożen i a. -J

36

o

Za u ważmy, że

pod pie1wiast-

-Y(x- 2) 2 = 10 37

lx - 21 = 10 x - 2 = 10 lub x - 2 = - 10 X =

12 lub

X =

Korzystamy z własności Ixl = ../X', a następnie z własności lxl = IYl ~ x = y ·1X = - y

-8

Odpowiedź X E

{- 8, 12}

N\'E. \'RZ~RAYt) SI~ J ID 'RdlVllM/l'WI~ 1'1/U<'D ~V~l.Ą"PA l-IA 'BA~o Sk'oM\1..11<0!».l
38

Funkcja kwadratowa DEFINICJE Trójmianem kwadratowym w postaci ogólnej nazywamy x ~ y = ax2 + bx +c, gdzie a =I= O i x E R np.: y = - 5x2 + 6x - 2

funkcję:

a =-5, b = 6, c =-2

y=.r2- 1

a = I, b = O, c = - 1

y = 2x2+ x I y= - - x2 2

a = 2, b = 1, c = O a=

l

- b = O c= O 2' '

Scharakteryzujmy funkcjQ kwadratową y = ax2• Wykresem funkcji kwadratowej y = ax 2 , a =1= O jest parabola o w punkcie (0,0). J eże li a > O to ramiona paraboli skierowane są ku górze. Jeżeli a < O to ramiona paraboli są za wsze skierowane w dół. Rozchylenie ramion jest tym większe, im mniejsze jest lal.

w ierzchołku

PamiQtajmy poza tym, że funkcja y = ax2 jest parzysta, czyli jej wykres jest symetryczny względem os i OY. Aby otrzy mać funkcję y = ax2+ bx +c w następujący sposób:

należy

funkcj e y = ax2 p rzcksztakić

r,..=[p.vJ

y = ax2 ~ y = a(x-p) 2+ q. Wykresem funkcji y = ax2 + bx + c jest parabola przystająca do paraboli y = ax2.

Osią symetrii j est prosta x = -

:, zaś punkt przecięcia z 2

osią OY to (O, c).

41

Funkcja kwadratowa .

.

, " ·

DEFINICJA Wyrażeni e li= b 2 - 4ac nazywa my np. : y = - 5x2 + 6x - 2 a= - 5 b=6 c=-2

. ·

Funkcja kwadratowa Z apam i ętaj nasttepuj ące

wy różniki em

trój mian u k wad ra towego,

wane

przypadki

związa n e

z

funkcj ą kwadratową,

zilustro-

p o ni żej: y a > ()

V

wówczas

8 <0 (brnk picrwiaslków)

_

~----...::.i.....:::::.._

_

_

~

Parabola nie przecina osi OX, tojest równoznacz· ne z tym, że nie ma miejsc zerowych (trójmian nie ma pierwiastków).

X

li= (6) 2 - 4 ' (-5). (- 2) = 36 - 40 = - 4. DEF INICJ A Postać ka noniczna trójmianu y = ax2 + hx +c, a

:t=

O, x e R to:

(\

a
(brnk 111cf\viastków)

=a(x+ ;a) ~1 2

y

-

DEFINICJA Wykresem funkcji kwadratowej y w i erzc h ołek ma współrzG,dne:

-h

- (j,

r. = y =, .„. 2a' '" 4a

=

ax 2 + bx +c, a

::/=

(a ;e O)

UWAGA! z postaci kanonicznej fu nkcj i kwadratowej wierzchołek paraboli. Jeże li 6

x,

Parabola ma jeden punkt wspólny z osią OX, to jest równoznaane z tym, że ma jedno miejsce zerowe (podwójne) (trójmian ma jeden pierwiastek podwójny).

O jest para bo la, której

> O to trójm ian y = ax2 + bx + c

możemy odczytać

y

(a ::/= O) ma dwa pierw iastki :

-b - ...ft:, -b + .Jb. 2a-- ' x2 = 2a

Parabola przecina oś OX w dwóch punktach. to jest równoznaczne z tym, że ma dwa miejsca zerowe (trójmian ma dwa pierwiatki).

=-

Jeże l i 6 = O to trójmian y =

ax2 + bx + c (a =FO) ma j eden p ierwiastek

X

(podwój ny)

-b

x,.2= 2a-. Jeże li 6 < O to trójmiany =

DEF INICJA Postać iloczyn owa trój mian u y y = a(x - .Y) (x - x 2).

42

ax2 + bx + c (a

= ax2 •

:t=

O) nie ma pierwiastków.

RÓWNANIA KWADRATOWE - pr zykladowe zadania Definicj a

bx + c (a

:t=

O i li ~ O) dana jest wzorem

Równanie ax" + bx + c =O, a :1:- O i a, b, ce R nazywamy równaniem kwadratowym.

43

Funkcja kwadratowa

Funkcja kwadratowa

1

ZADANIE 1

Jest to bardzo typowe i podstawowe równanie, jednak bardzo łatwo się pomylić w rozwiązaniu, dlatego zapamiętaj sobie na całe szkolne życie, że równanie to ma dwa rozwiązania.

x = 21ubx =-2

bo (2)2

x 2- (--!5)2 = O

Czy widzisz wzór skróconego mnożenia? kwadratów) ~ - y = (x + y)(x- y).

(różnica

Skorzystam z tego wzoru: (x + --15) (x -

--15) = O.

Zauważ, że iloczyn dwóch wyrażefl jest równy zero wtedy, gdy jedno z nich

jest zerem,

= 4 ale także (- 2) = 4 2

czyli

Odpowiedź

X+ .f5 = 0 lub X - --IS= 0

x=2 1ubx= - 2

X= - ./5 lub X=

ZADANIE 2

--15.

Odpowiedź

X= oczywiście

---15

lub X = --IS

ZADANIE 5

x =O x2 = 9

ZADANIE 3 (x + 3)(x - 3) =O Równanie to nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych, to znaczy, że żadna liczba rzeczywista podniesona do kwadratu nie jest równa liczbie ujemnej (w tym przypadku - 1).

Odpowiedź XE

0

X

+ 3 = 0 lub

X=

X -

Znowu skorzystamy ze wzoru skróconego mno-

3= 0

żenia. Iloczyn dwóch aynników jest równy zero,

gdy jeden lub drugi jest zerem.

- 3 lu b X= 3

Odpowiedź

x

ZADANIE 4 Równanie to bami.

I sposób

można rozwiązać

dwoma sposo-

II sposób

x2 = 5

44

ZADANIE 6 x2 + 4 = 0

x2 = 5 X = --IS lub X=

= - 3 lubx = 3

x2 = - 4

- --15 Przenoszę 5 na lewą stronę jąc znak na przeciwny).

równania (zmienia-

Odpowiedź XE

0

45

n sposób

ZADANIE7 x 2 + 2x=O

I sposób

x 2 +2x= O

Równanie to

można rozwiązać

dworna sposo-

ł>ami. Zauważ, ie w obu składnikach występuje współ· ny wyraz x, który wyłączam przed nawias.

x(x + 2) = O

x1 -7x=O ti = (-7)2

x = Olubx= ·-2 II sposób

x2 +2:t=

O

ti = (2)2 - 4 · I · O= 4

ali'- + bx +c, a"' O

4 · I · O= 49

X

air + bx+c, a ;e O a= 1, b = 2, c= O

b2-4ac

- b-

7- 7 o = -- -= - = O 2 2

I znowu, iloayn dwóch wyrażeń jest równy zero, gdy jedno z nich jest zerem.

Korzystam ze wzorów na deltę i pierwiastki równania kwadratowego:

a = 1, b :: - 7. c = O

e. =

W:.= 7 I

X = Q l ~t b X+ 2 = 0

-

W:.

x, =27-

- b +.fi:, x, = -i-a -

Odpowiedź X =

0 lub X= 7

ó = b2- 4ac

-% = "'14=2 ~

' I

X

• 2

-2- 2 -4 = - --= - =-2 2. I 2 - 2 +2 o = - = -= O 2·1 2

Odpowiedź

- b- "ii x, =-za-

ZADANIE 9

- b+ ..fó x,= - i-a-· ti = 22 - 4 · l · I

=4 - 4 = O

Zatem X

12 •

Równanie to możesz rozwiązać. poslugując się wzorami na deltę i pierwiastki x,. x1 lub ... w pamięci! e. = b1- 4ac. Ponieważ li

=

O. korzystamy ze wzoru na pierwiastek podwójny

-2

-2

2.1

2

=-

- =-=-1

-b x,.l =ra·

x = Olub x= - 2 Odpowiedź

ZADANIE 8

,-rl- 7x = O I sposób J.:z -

7x =O

x(x - 7) = O x = O lubx - 7 = 0

x = O lub x = 7

46

x =- 1

x2 + 2x + 1 =O

Zauważ, że lewa strona równania to inaczej wzór skróconego mnożenia typu: (a + b)2 = a1 + 2ab -1 b1•

czyli (x + I ) 2 =O

x+l = O x= - 1 Odpowiedź

x=- 1

47

Funkcja kwadratowa

I

.

ZADANIE 10

-x2 + 2x - 1 = O / :(- 1) 2

x - 2\'. + l = O

t. = (-2)2 - 4 . l . 1 = 4 - 4 =o

przez - 1, aby ułatwić rachunki a= 1, b =- 2, c = 1

Dzielę

A=

Odpowiedź

b' -4ac.

Ponieważ .A

I

= O, równanie ma jeden pierwia-

stek podwójny

t. =o

Funkcja kwadratowa

.r =6

-·b

x,,,=2a·

Zatem

ZADANIE 13

Od powiedź

Aby

x2 +x - 2 = 0

i obliczam t. oraz pierwiastki.

Zatem

x= I

6 = (- 1)2-4 · ZADANIE 11

J

·(- 2)

6 = 1+8 = 9

9x2 - 30x + 25 = O

6 = (- 30)2- 4. 9. 25 6 = 900 - 900 =

ułatwić dalsze rachunki, dzielę równanie stronami przez (- 3)

- 3x2 - 3x +6 = 0 / :(- 3)

o

~=3

a = 9, b = - 30, c = 25 Znajduję

I:> = li- -

4ac i pierwiastek x, , =.=:iL . •

- I- 3 -4 ..\" = ---= - =-2 I

2. I

2

- 1 +3 2· I

2 2

2a

r = - = -= I

Zatem

. 2

x1.2 =

- (- 30) 30 5 =2·9 = 18 3

Odpowiedź

x = - 2 lub x = I

Odpowiedź

5

x= 3

ZADANIE 14

x 2 - 5x + 6 =O

ZADANIE 12

a = 1, b =- 5, c = 6

t. = (- 5)2 - 4 · I · 6 = 25 - 24 = I a = 4• b= - ic= _!_9 3'

~= I X

AO

5- 1 4

I

=2- =-2 =2 49

Funkcja kwadratowa

:

lub

ZADANIE l7

5+ J 6

x2= - 2

-4x2- 4x + 8 =O I : (- 4)

=2=3

Odpowiedź

Dzielę stronami przez (-4), aby ulatwić sobie obliczenia.

6= 12 - 4 . 1. (-2)= 1 + 8 = 9

x = 2 lubx = 3

~ =3

ZADANIE 15

- I- 3

-4

-!+3 2. 1

2 2

\'. = -2. I = -=-2 2

, I

a = - 2, b = 3, c = 7

- 2x2 + 3x + 7 = O

D. = (3) 2 - 4 . (- 2) . 7 = 9 + 56 = 65

Znajduję d

lub

= li - 4ac. \'.

. 2

- 3 - -%5 -4

XI =

=

- (3 + \1'65) 3 + \1'65 -4 = 4

= ~- =- = l

Odpowiedź

x = - 2Jub x = I

lub - 3 + \1'65

x2 =

- (3 =

-4

\1'65)

-4

3=

\1'65

ZADANIE 18

4

x2 =x

Odpowied ź

.t

3-

-%5

= ---

4

lub x =

3 + ,f65 4

Łatwe, prawda? Ale nie wolno dzielić przez x, dlatego, że x może być zeremi wtedy dzieliłbyś przez zero. Trzeba równanie uporzadkować, tzn. przenieść x na lewą stronę i wyłączyć wspólny czynnik przed nawias.

x(x - I)= O X =

0 lub

X =

1

Od powi ed ź

ZADANIE 16

x = O lub x = 1

3.x2 - 4x + 5 = O

a = 3, b = -4, c = 5

ZADANIE 19

6 = (- 4)2- 4. 3 . 5 = 16 - 60 = - 44 Ponieważ

6 < O, to powyższe równanie nie ma pierwiastków, zatem niem są x e 0 .

rozwi ąza­

x3 + 4x2 + 3 = x(x - 2)2 + 7x x 3 + 4x2 + 3 = x(x2 - 4x + 4) + 7x

Nie przerażaj się, to równanie tylko wygląda na bardzo skomplikowane. Najpierw trzeba je upo· rządkować, tzn. wykonać zaznaczone działania.

x 3 + 4x2 + 3 = x3 - 4x2 + 4x + 7x x 3 + 4x2 + 3 = x 3 - 4x2 + 1lx

f.J- + 4x + 3 - f.J- + 4x 2

SO

2

-

I lx = O

Przenosimy „wszystko" na lewą stronę i reduku· jemy wyrazy podobne. Okazuje się, że równanie sprowadza się do równa nia kwadratowego.

51

8x2 - l lx + 3 = O

Z ADANIE 21

Ll = (-11)2 - 4 . 8 . 3 = 121 - 96 = 25

(2x - 3)(x + 2) = (x + 7)(4 - x)

~=fil = S

2x2 + 4x - 3x - 6 = 4x - x2 + 28 - 7x

li - 5

x.

=

Znowu równanie trzeba uporządkowa ć, wykonując zaznaaone działania.

6

3

16- = 16 = 8

lub

2r2 + x - 6 = - 3x - x2 + 28

Redukujemy wyrazy podobne.

2x2 + ~ - 6 + 3x + x2 - 28 = O

Przenosimy wyrazy na lewą stronę.

3x1 + 4x - 34 = O

Rozwiązujemy

a = 3, b = 4, c =- 34

Ll = 42- 4 . 3. (-34) = 16 + 408 = 424 Odp owied ź

"'4 . .Yt 06 = 2 . \fJ06 2 . "1106 .l(-2 - "1106) = = 6 ~

równanie kwadratowe.

~ = .Y424 =

3 x= - lubx = l 8

X

ZADANIE 20

I

=

-4-

3

2-

"1106 3

lub

- 4x + 8 = - 3x2 + Sx + 2 - 4x + 8 + 3x

2

-

Sx

Równanie trzeba uporządkować.

x2=

2= O

il = (-3)2 - 4 · I · 2 = 9 - 8 = 1

6

=

~

-=

2 I· ~

3

3

3x2 - 9x + 6 = O I: 3

x2 - 3x + 2 = O

.l(-2 + ·~ I 06)

- 4 + 2 · "1IQ6

Odpowiedź

Teraz rozwiązujemy równanie kwadratowe obliaając A i pierwiastki.

X=

-2 + ~ -2 - "'106 lub x = 3 3

~=1

3- 1

2

2

2

X = ~=-= I

X

2

3+1 4 2 2

1

= - --=-= 2

O dpowied ź X=

1 lub X =

ZADANIE22 Podaj l iczbę różnych pierwiastków równania x 2 - 3x + 2m - I =O w zależności od parametru m. Rozwi ązanie: Zauważmy, że

i

a = 1, zatem równanie będzie zawsze równaniem kwadratowym.

I) równanie ma jeden pierw iastek wtedy, gdy il = O il = (- 3)2 - 4 · 1 · (2m - 1) = 9 - 8111 + 4 = l3 - 8111

13 - 8m = O - 8m = -13 I :(- 8)

52

53

Funkcja kwadratowa

13 8

,

·

' ·. · ,

.

,. , ,'

, : ', t2-

5 8

m =-= 1-

Rozwiązujemy równanie

kwadratowe zmiennej t.

6 = (5)2 - 4. 4 = 25 - 16 = 9

W:=J

2) równanie ma dwa pierwiastki wtedy, gdy Ci> O

13 - 8m > O

Ponieważ obliaaliśmy już wcześniej 6

l

= 13- Sm.

to skorzystamy z tego,

- 8111 > - 13 I :(- 8) 111

51 + 4 =o

I

,

5-3 = -- = l 2

5+3 t = -- =4 2 2

s

< 18

Wracamy do podstawienia x2 = t i otrzymujemy dwa równania kwadratowe do

3) równanie nie ma pierwiastków wtedy, gdy Ci> O

13 - 8m < O -8/11 < - 13

m>

1':. = 13 - Sm

/ :(- 8)

s 13

rozwiązania :

x2 = 4

lub

x2 = l

x=2

lub

x=-2 lub

O dpowiedź

Równanie x 2 - Jx +2m - 1 = Oposiada : 2 pierwiastki cl la /11 e • I pierwiastek dla /11 =

(-co, I ~) I~

• O pierwiastków dla /11 e (

I ~, +co).

równanie: X"

5x2 ... 4 = O.

NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE - p rzykładowe zadania

DEFINICJA N i e równość ax 2 + bx + c > O lub ax2 t bx + c ~ O lub ax2 + bx + c;;::: O lub a.,r:2 + bx + c < O, gdzie a -:t- O, a, b, c e R nazywamy nierównośc ią kwadratową, ZADANIE 1

W tym przypadku mamy do czynienia z równaniem dwukwadratowym, czyli z takim, w który zmienna jest w pot~dze czwartej i drugiej . Aby rozwiązać tego typu równanie, należy podstawić zmienną pomocn i czą. 5x2

I-

4=O

(x2) 2 - 5x2 + 4 = O niech x 2 = t,

Ałf./ rozwiązać tę nierównoSć. trzeba przenieść 4 na lewą stronę, a następnie zamienić róinicę na ilo-

-~-4< 0

czyn. korzystając ze wzorów skróconego mnożenia: al - li- = (a + b)(a - b).

(x + 2) (x - 2) < O

Rozwiązan i e:

-

x=-1.

{-J, -2, J, 2}

ZADAl\JE 23

x4

lub

Odpowiedź XE

Rozwiąż

x= I

I

>O

Zapamiętaj sobie, że po lewej stronie nierówno~ci kwadratowej jest trójmian kwadratowy.

X

+ 2 = Q lub X - 2 =

x = -2 lub x= 2

Ó

którego wykresem jest parabola. Tę parabolę trzeba narysować. Ale do tego potrzebne są miejsca zerowe trójmianu (stąd ten rozkład na czynniki liniowe (x + 2) (x- 2)).

" kV\!~ • dratowa ' , Funkqa

„

'

' '' '!

"' ,; „ · 11» , :·

J+

+\

-~

.<

„

'

· ·"

•

,

'

'

'

. :· "

,„ ·„: , , , '.!.'.:; ', :'.".">' '1'

'''

I

•

<'

l"'

.·

ZADANIE3

Rysujemy wykres nierówności. Parabola ma ramiona skierowane w górę, bo a = 1 (dodatnie!). Popatrz teraz na znak nierówności ( < ). Zatem trzeba znaleźć te argumenty x, dla których x1 - 4 przyjmuje wartości ujemne, czyli innymi słowy odpowiadający wykres leży pod osią · OX, Łatwo zauważyć, że do tej części wykresu należą x z przedziału ( - 2, 2). Jest to przedział otwarty obustronnie, ponieważ znak nierównośd jest <.

;

-x2 + 6x - 6 ~ 3x - 3

- x + 6x - 6 - 3x + 3 ś O Otrzymuję nierówność gdzie: a=-1, b = 3,c =-3-.

- x 2 + 3x - 3 ~O

Wyznaczam miejsca zerowe, korzystając z A= b1 -4ac i wzorów na pierwiastki e. > O ~=Y - 4

Odpowiedź

XE (-

Porządkuję n ierówność.

2

· (- 1) · (- 3) =9 - 12 =-3

2, 2)

-b- -./4 x, = - 2-a-b +{ii Xi = -2-a- ·

ZAPAM IĘTAJ!

I. Najpierw 2.

Znajdź

Ponieważ ~jest

nierówność uporządkuj.

że nierówność

ujemna, trójmian nie ma miejsc zerowych, ale to nie oznacza, nie ma rozwiązania.

miejsca zerowe trójmianu.

3. Narysuj wykres

+

nierówności.

+ X

4. Popatrz uważnie na znak nierówności i ustal in tresującą Cię część wykresu. 5. Zapisz odpowiedni przedział lub (< lub > przedzial otwarty,

~

lub

Rysuję parabolę.

sumę przedziałów

Wykres jest położony pod osią OX, bo a = -1 (ujemne!) nie przecina osi OX, bo t; < O, czyli funkcja nie posiada pierwiastków. Patrzymy na znak nierówności {S). Funkcja y + 3x - 3 osiąga wartości nie- , dodatnie, dla argumentów ze zbioru x E R.

= -/(-

~ przedział domknięty).

ZADANIE 2 Odpowiedź

x2 + 2x - 8 ~ 3x - 8 x2

Uporządkujmy nierówność.

+ 2x - 8 - 3x + 8 ~ O

Redukuję

XER

wyrazy podobne.

ZADANIE4 Znajduję

x(x - 1)~0

miejsca zerowe (sposób taki, jak przy równaniach).

x =O lubx =I

Obliaam miejsca zerowe

+'kq}/ . O

Odpowiedź

xE[O, l ] 56

1

X

Rysuję parabolę

bo a

(ramiona skierowane w

= 1 jest dodatnie).

2x 2 + 19 > 8x + 8 2

2x + 19 - 8x - 8 > O 2x2

górę,

na znak nierówności s. Funkcja y = t - x osiąga wartości niedodatnie dla argumentów x e [O, 1). ~

Redukuję

wyrazy podobne.

- 8x+ 11 > O

.0. = (- 8)2 - 4 · 2 · 11 = 64 - 88 = - 24

Patrzę

Porządkuję nierówność.

Szukam pierwiastków

nierówności.

znowu ujemna, ale postępujemy tak jak poprzednio.

Mat. C:r .;·,-, 2. ark. 5

57

Funkcja

kwadrato_~jl

· '. Rysuję parabolę.

+

Parabola jest w calości położona nad osią OX (a = 2 dodatnie). Patrzę na znak nierówności (> ). Funkcja y = 2x1 - 8x + 11 przyjmuje wartości dodatnie dla x e R.

+

1

X

0

·

Funkcja kwadratowa

b 6 = - = --=-3 2a 2 Rysuję parabolę.

Trójmian ma tylko jedno miejsce zerowe, ramiona skierowane do góry, bo a > O. Szukamy odpowiedniej części wykresu i znajdujemy tyl ko jeden punkt. Ponieważ funkcja y = x1 + 6x + 9 tylko dla argumentu x = - 3 osiąga wartość równą O, natomiast dla żad ne­ go argumentu funkcja ta nie osiąga wartości ujemnych.

X

+

Odpowiedź X E

+ -3

R

X

Odpowiedź X E

ZADANIE S 4x - 8 2 - x 2 + 5x - 2 ~-

{- 3}

Porządkuję nierówność

ZADANIE 7

.8. + xL 5x + Z2 O

x2 - x - 6 2 0

Redukuję

wyrazy podobne.

Znajduję

miejsca zerowe.

Rozwiązujemy nierówność kwadratową,

4x2 - 20 X + 25 > 0

= (- 20)2- 4 . 4 . 25 =

a= 4, b = -20, c „ 25.

.6 = (- 1)2 - 4 · I · (- 6) = I + 24 = 25

6

--ft:. = fil = 5

--ft:. = o

I 5 -4 x , = - 2 - =2= - 2

\" = - b = - (- 20) = 20 = ~ = 2 5 ·o 2a 2 ·4 8 2 '

1+ 5 6 \" = - - = -= 3 2 2

Iz,.

~

Znajduję A

i pierwiastki.

X

ności >.

Rysuję parabolę. l~amiona skierowane w górę. bo a > O. Patrzę na znak nierówności (
Funkcja y = 4x1 - 20x ·~ 25 osiąga wa rtości dodatnie dla x e (-«>; 2,5) v (2,5; + oo), czyli rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste poza

Funkcja y = ;(- - x- 6 osiąga wartości nieujemne dla argumentów x e (-oo, - 2] v (3, + «>).

24.

Odpowiedź

Odpowiedź X E

o

Rysuje parabolę a> O, dlatego jej ramiona skierowane są do góry. Znajduję aęść wykresu odpowiadającą nierów-

• 2

~

400 - 400 =

gdzie:

xeR\{2l}

(oo, - 2) U (3, +oo)

ZADANIE 6 x + 6x + 9 ~ 0

6. = 62 - 4 - 9 = 36 - 36 = o

58

Ponieważ nierówność

aę !:!.

jest

uporządkowana,

li-

i pierwiastki.

59

Funkcja kwadratowa1llllł!ltU!lllHllllUGIU1mmuummmmmmmmmwmnllfllłl!lłllHlłłlilillilłll!łłlłlłlllllllF WZORY V ItTE' A

=

Mamy funkcję y ax2 + bx + c, a # O i zakładamy, że !J. > O, czyli fun kcja posiada dwa różne pierwiastki. Wówczas możemy obliczyć sum~ i iloczyn miejsc zerowych. Aby nie liczyć za każdym razem pierwiastków funkcji kwadratowej, m oże my skorzystać ze wzorów Viete'a. Wyprowadźmy je: x, + x2=

-b - ~

2a

- b +.../li. +-- 2a

h - .../li. 2a

b - .../li. - b + .../li. 2a (- b - ~)- (- b (2a) 2

-tb

• oba pienviastki-ujemne

ZADANIE 1

Dana jest funkcja y = 3x2 + 5x - 2, (x 1, x 2 - pierwiastki trójmianu). Nie obl iczając miejsc zerowych tej fu nkcj i, oblicz wartości wy rażeó:

-b

=-z;-=-;

a) x ~ +

+ .../li.)

b) -

1

I

+ -= ? X2

XI

b2 - (b2 - 4ac) 4
Korzystamy ze wzoru skróconego

b2 - !J.

x;=?

mnożen ia

(m - n) · (m +n)-.. ni2 - 1i2. Wstawiamy za: ó. = b1 - 4ac. Rozwiązanie:

Twierdzenie: Wzory

Vićtc 'a

W trójmianie kwadratowym y wzory:

= ax 2 + bx + c, a #

O, jeże l i !J. ;;:: O zachodzą

Zadanie musimy zacząć od policzenia !J., aby m i eć gw arancj~, że i stnieją pierwiastki funkcji kwadratowej. Wówczas korzystamy ze wzorów Viete'a. L\ = (5)2- 4 · 3 · (-2) = 25 + 24 = 49 czyli Li > O

-b

X1 + x 2=a

Ad a) 2

x~

+ x; = (:r1 + .:\)

2

-

2x1x2 = ( - a/; ) -

2;;c =Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia (m + n) 2 = Ili + 2mn + rr. który musimy przeksztalcić do postaci

(m + n)l- 2mn = lli +nl. stosujemy vnory Viete'a, czyli wsta·

Wzory Vietc'a mają duże zastosowanie. Główn ie vrykorzystuje się je do badania znaków miejsc zerowych fu nkcji kwadratowej.

Następnie

wiamyza:

Twierdzenie:

Trójmian kwadratowy y = ax2 + bx + c, a # O, posiada: • pierwi astki

róż nyc h

znaków

!J. > O • x
<=> { x

gdzie: a = 3, b = - 5, c = - 2.

A d b)

!J. :?: 0

• pierwiastki jednakowych znaków <=> { X • oba pierwi astki dodatnie

60

1

. X

2

>0 A d c) x 3I + ,:r·23 = (x + ,x2) 3 - 3x'(:r22 - 3x 2Ix 2 = (:r' I + x 2)3 - 3x Ix2 (x + x I) = " I ' 2

61

..

.. .

ur

(~b)J - 3 (;).(-ab) =

=

2) x, :x2 >O Korzys~amy ze wzoru skróconego mn ożenia (x + Y)' "" x3 + 3xy2 + 3x1 y + y3, który musimy przekształcić do postaci takiej, aby następnie mozna byto skorzystać ze wzorów Viete'a.

125 + 90 215 26 =-= 7 27 27 27

c 2+m x 1 • x 2 = ;; = - - = 2 + m 1

Zgodnie z założeniem : 2+m>O czyli

ZADANIE 2

m>-2.

Dla . jakich . .wartości parametru m równanie x2 + 2mv "' + n·+ ' 2 -p1erwiastk1 tego samego znaku.

oma dwa rozne ,·

Odpowie dź

m >-2

Rozwiązanie:

Rozwiązaniem

l){t.>O 2) x 1 • x2 > O

m

Korzystamy ze "'fZOrów Viete'a (pierwiastki jed· nakowych znakow) oraz z faktu, że mają to być dwa różne pierwiastki LI > o.

l) t. >o

6 111 = 4

2

-

4m 2 -

4m - 8 >

o

4 · 4 · (- 8) = 16 + 128 = !44

~ = 12

E

(-oo, - 1) u (2, +oo) im > - 2

-2 Otrzymaliśmy w ten sposób nierówność kwadrat.ową ~miennej m. Aby ją rozwiązać, musimy po· liczyć 1e1 deltę 1rozwiązać jak zwyktą nierówność.

jest część wspólna obu warunków:

_.,__,~.

t. = (2m) 2 - 4(m + 2) = 4m2 - 4m - 8 zgodnie z założen i em

a = 1, c = m+2

-I

2

Iii

Odpowiedź

Dla m E (- 2, -1) u (2, +oo) równanie ma dwa różne pierwiastkijednakovvych znaków.

/)J

1n

I

4-12 = -= -1 8

ZADANIE 3

Wyznacz wa1tości parametru m, dla których równanie 2x2 - mx + 6 - m =O ma dwa pierwiastki ujemne.

4 + 12 m = - - =2 2

8

Roz~vi ązan ie:

Rysujemy parabolę a > O, zatem jej ramiona s~1erowane są do góry, posiada dwa pierwiast· k1'. które.zaznaczam na osim. Następnie odczy. tuJę dla Jakich m funkcja:

Wypisujemy układ warunków, które muszą wiastki (niekoniecznie różne), oba ujemne.

osiąga wartofo dodatnie, czyli odpowiadająca

me (- oo, -1) u Odpowiedź

m

62

E

(-XJ, - l)u(2,+XJ)

m.

(2, +<>0)

aby

i stniały

dwa pier-

I) t.;:::: O 2) x 1 + x 2 O

f(m) = 4m'-4m- 8 część wykresu leży nad osią

zachodzić,

Przystępujemy

1)

do

rozwiązani a

kolejno wszystkich warnnków.

t. ~o

t. = m2 - 8(6 - m) = m2 + 8m - 48

Najpierw obliczam

l!,.

63

m2 + 8m - 48 2': O

Rozwiązujemy nierówność kwadratową

!:!. = 64 - 4. (-48) = 64 + 192 = 256

nej m.

m

=

6 -m> O m<6

Ili

"6

zmien-

16

Odpowiedź

m<6 Rozwiązaniem

-8 + 16 2 =4

m2 =

m

E

(- ::.o, - 12) V (4, + oo) im < 6 im > O

_ jo

=i -- 12

...

zadania jest cz~ść wspólna wszystkich warunl<ów:

wt 4 6

Odpowiedź

m

Dla m e [4, 6) równanie postaci 2x2 - mx + 6 - O = O posiada pierwiastki ujemne. m

E

(-oo, - 12] v [4, + oo)

2) x 1 +x2 >O

-b

m

x, +x2=-; =2

Korzystam ze wzorów Viete'a

b

x, +112 =-a·

m > O 1·2 2

m >O Odpowiedź

m>O 3) x 1 • x 2 >O ,XI

c

6-m

· ,X=-= - 22 Cl

Korzystam k
x, ·x,• =!:.. a,

6-m - 2 - > 0 / ·2 64

65

Równania i nierówności wielomianowe WIELOMIANY DEFINICJA W ielomianem stopnia 11-tego jednej 7m iennej rzeczywistej x e R nazywamy funkcję postaci:

.„, a,, a0 e R, an::t: O. Liczby a,„ a,, ... , a nazywamy 11

współczynnikami

tego

w ie lo mianu. 'I\vierdzenie Dwa wielomiany są równe, wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej .

ZADANrE 1 Oblicz wartości W(l), W(- 2) dla wielomianu postaci W(x)

= 2,3 -

4x - 12.

Rozwiązanie :

W(x) =2x3 - 4x-12

W(l) = 2 · 13 - 4 · 1 - 12 = 2 - 4 - 12 = - 14 W(x ) = 2 · (- 2)3 - 4 · (- 2)

12 = - 16 + 8 - 12 = -8 - 12 = -20

69

Ró'wnania i nierówności wielomianowe , "

1

·

'

,,

', ,

,,

"

, ,

"

'

'

ZADANIE 2

a+ l = 2

Wyznacz współczynniki a, b, c, wiedząc, że W(x) =xs + axl + bx + c Wi(- I) = 1' W(O)= J, W(l) =- 1. '

3= b

Rozwiązanie :

a=2- I

Skoro.dla wielo.mianu W(x) zachodzą warunki : W(-1 ) = 1, W(O) =I, W(I) =- I to mozemy zapi sać następujący układ równań :

b=3

r 1 = (- 1)' +- a(- 1)2 + b(- 1) + c

l

Rozwiązujemy układ równań,

{ -Sc= - 12

{

a= I

b=3

zatem

{

-12

c=-

-S

12 c= S

l =c - I = I +a+h+c

Odpowiedź

e= I Do równania drugiego i trzeciego wstawiamy c= 1

r

a - b+c = 2 , a + b + c =-2

rc = I ) a - b= I

o,odajemy stronami równanie pierwsze do dru· g1ego 1 natychmiast obliczamy ,, = - 1

+

la+ h = - 3

są

równe dla a - l. b = 3, c = 2,4 .

DEFINICJA Pierwiastkiem wielomianu W(x) nazywamy jego miejsce zerowe, to znaczy taką li czbą r , że W(r) = O, Twierdzenie Reszta z dzielenia wielomianu W(x) pr7.CZ dwumian (x - r) jest równa W(r).

re = ]

t~==~

Ważnym

Odpowied ź

Szukany wielomian ma postać W(x) = xs - x2 _ 2:r + l. ZADANIE3

twierdzeniem jest tak zwane twierdzenie Bezoula.

Twierdzenie Bezouta Liczba r j est piervviastkiem wielom ianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) dzieli się przez (x - r) bez reszty. ZADANIE4

Wyznacz wartości parametrów a, b, c tak, aby wielomiany: W(x) = (a

Wielomiany W(x) i P(x)

3

+ l )x + 3.xl - Sex - 2, P(x) = 2t + bx 3

2-

l 2x - 2 były równe.

Rozwiązanie:

W(x) = (a + l)x3 + 3x2 - Sex - 2 P(x) = 2..r1 + bx 2 - I2t - 2

Sprawdź,

czy liczba r = 0,5 jest pierwiastkiem wielomianu: W(x) =li' + x3 + Sx2 - 2t + 2.

Rozwiązanie:

'

Dwa wi~lom!an~ są równe, gdy są tego samego st?pma 1ma1ą rowne współczynniki przy odpo· w1edmch potęgach zmiennej.

Porównujemy wspók zynniki przy odpowiednich potęgach obu wielomianów,

Aby sprawdzić, czy liczba r = O,S j est pierwiastkiem wielomianu W(x), należy skorzystać z definicji pierwiastka czyli s praw dz i ć równ ość W(r) = O. Zatem obliczamy wartość wielomianu dla r = O,S :

W(O,S)

=

2(0,S)'1 + (O,S) 3 + S(O,S) 2 - ·2(0,5) + 2 = O

Odpowiedź

Liczba r = 0,5 jest pierwiastkiem wielomi anu.

70

71

ownan,1~

•

' merow,ności wielomianowe

ZADANIE 5 Sprawdź _ , ' które +X3 - x• - 2.

liczby {3 ' - 2' I , - I , O} są, p1,e1wiastka1111 · . wielomianu . . Wi(x) = 2 ,.4 -'

Twierdzenie: Jeżeli liczby xl' x 2,

.•. ,

W(x) = a„x" + a„ x 11• 1 + ... + a,x + a0 ,

Z~od nie z definicją pi_erwiastka wielomianu wystarczy w1elom1anu dla tych liczb wynosi zero.

W(3) = 2. 34 + 33 - 2 = 162

sprawdz ić

czy wartość

I~

+ I ' - I! - 2 = 2 + I _ I. _ 2 = O

W(- I) = 2 - I - I - 2 = - 2

~id z im_y, że

po obliczeniu wszystkich d . . ian ma wa p1e1w1astki.

wartości spośród

\vvmie . h 1· b ·· J monyc 1cz

ZADANIE 6

„

W~znacz wartość parametru a tak, aby liczba = 2 mianu W(x) = xs + xJ + ax2 _ 8 _

była

pierwiastkiem

.·l wie o

Rozwiązanie

= xs + x3 + ax2 -

8, r = 2 Skoro Uczba 2 ma być pierwiastkiem naszego wiel?m 1anu. W(x), to aby policzyć parametr a nalezy rozwiązać równanie W(2) = o.

W(2) = O W(2) = 2 + 2 + a2 5

3

2

-

8

W(:r)

=

3x3 + 2x2 - 4x + 5 przez dwumian (x - I).

Na początek należy narysować tabclQ o takiej liczbie kolumn, jaki jest najwyż­ szy stopiel1 wielomianu, bez względu na to, czy są wszystkie pozostale czy nic. Sposób wypełnienia jej prezentujemy na poniższym przykładzie dla wielomianu stopnia trzeciego o współczynnikach odpowiednio: a„ a2, a 1, a0• III

11

r

o

a,,

a2

a1

ao

Zgodnie z tematem zadania mamy wielom ian postaci: W(x) = 3x2 + 2x2 - 4x + 5, który chcemy podzielić przez dwumian (x - 1). Wielomian jest stopnia trzeciego, zatem tabelka będzie wyglądać następująco:

O= 32+ 8 + 4a - 8

O= 32 + 4a III

4a = - 32

„

Odpowi edź

3

Dla a = - 8 pierwiastkiem wielomianu W(x) j est liczba 2 _

1

6

(x- 1)

s

I

R(x) = 6

Omówimy ten przykład krok po kroku, j ak uzupełnia się tabelę Hornera.

Twierdzenie: ~a~d~ ~vielomiano współczynnikach

72

-4

o s

I

II

3+ I• 2 , / s r = I - ._.3

a=-8

mk1 lm1owe lub

xJ

• ••• • (\"

Omówmy tę metodę na przykładzie. Mamy podziel ić w ielomian.

W(O) = O

W(x)

W(x) = a„(x - x,)(x - x2)

Uwaga ! Jak znajdować szybko wymierne pierw iastki wielomianu? Jak dzielić wielomian przez dwumian, nie stosując dzielenia pisemnego? Na te pytania odpowiemy sobie już za chwilę. Poznajffty metodę dzielenia wielomianu przez dwumian, stosując tak zwaną tabelkę Hornera.

+ 27 - 9 - 2 = 178

W(-2) = 2 . (-2)'1 + (- 2)3 - (- 2)2 - 2 = 32 - 8 -4 - 2 = 18

W

a„ ;t:. O, to wielomian ten możemy

zapisać w postaci iloczynowej:

Rozwiąza nie:

'ielom

•

x„ są pierwiastkami wielomianu:

1

W( I) = 2 ·

I

merozkładalne

rzeczywistych można rozłożyć na cz nczynniki stopnia drugiego < O). y

(~

73

'Równania i nierówności wielomianowe

.

W pierwszym wierszu wp isujemy wszystkie stopnic wielomianu, w drugim wierszu natomiast wszystkie współczynniki tego wielom ianu. Współczynn i k przy najwyższej potędze zaws7.e przepisujemy w trzecim wierszu w tej samej kolumnie. Przystępujemy do obliczeil. Mnożymy liczbę z kolumny III przez r = l i dodajemy do tego liczbę z kolumny II (u nas l · 3 + 2 = 5). Wynik 5 wpisujemy w II kolumnie, w trzecim wierszu. Następnie mnożymy tę liczbę 5 przez r = I i dodajemy liczbę z l kolumny (u nas 5 · 1 + (- 4) = l ). Wynik tego działania wpisujemy do kolumny I, do wiersza trzeciego. Jeszcze raz post((pujemy analogicznie, czyli liczbę I mnożymy przez r = I i dodajemy liczbę z kolumny O (u nas I · I + 5 = 6). Wynik wpisujemy do kolumny O, w wiersz trzeci. Na koniec wszystko odkreślam y, przepisując ostatni wiersz jako wiersz czwa1ty, przesuwając jednocześn ie wszystko o jedno miejsce w prawo. To co nam zostanie po prawej stronic tabeli, j est resztą z dzielenia. Patrz tabelka !!! W wyniku dzielenia wielom ianu W(x) = 3x3 + 2x~ - 4x + 5 przez dwumian (x - l) otrzymujemy wielomian Q(x) = 3x2 + 2x2 + I , i resztę R(x) = 6.

Ad b) W(x) =2x3 - 5x -7, P(x) =x-4

III

r=4

l ...

Il

2+ 1~0 I 2 / 8~ 2

I

o

-5

-7

27

101

(x - 4)

8

27

R(x) = 101

W(x) = (x - 4)(2x2 + 8x + 27) + 101 Definicja: (k-krotnego pierwiastka)

.

Liczba r jest k-krotnyrn pierwiastkiem wielomi anu W(x) wted~ 1 ty.lk~ \~te?y., gdy wielomian W(x) dzieli si(( przez (x - 1-)k bez reszty, ale me dzieli się JUZ prze7. (x - ,..y-i.

Możemy tera7. zapi sać wielomian w postaci: W(x) = Q(x)(x - I) + R(x), czyl i

ZADANIE 5

W(x) = (x - 1)(3x2 + 5x+ 1) + 6.

Lic/.by J i 2 są pierwiastkami wielom ianu W(x) . Z najdź współczynniki a, b tego wielomianu W(x) = x3 + ax 2 - bx + 6.

ZADANIE 4

Wykonaj dzielenie wielom ianu W(x) przez dwumian P(x), stosując tabelkę I lornera. a) W(x)

= - x4 + 2.r2

3x + I, P(.r)

=x + 2

W(l)

W(x) = - x4 + 2x2

IV

III

- 1+ „ OI _,/ 2 ... ... -I

Kolejny raz zastosujemy definicję pierwiastka wielomianu.

W(2) = O

Ad a)

Jx + I, P(x) = x + 2

=

I+a- b+6

O=a-b+7

II

I

o

W(2) = 8 + 4a - 2b + 6

2

-3

I

O='= 2a - 2b + 14

-2

I

-I

(x + 2)

2

-2

I

R(x)= - 1

W(x) = (x + 2)(- x3 + 2x 2 - 2x + I) - I

74

W(x) = x3 + ax2 - bx + 6

W(l) =O

b) W(x) =2x3 - 5x - 7, P(x) = x - 4

r =-~

Rozwiązani e

w ten sposób otrzymujemy uklad równai1 z dwiema niewiadomymi, który nas tępnie rozwiązujemy.

{

a - b+7=0 4a - 2b + 14 = O

75

{

a-b + 7 = 0 2a -b + 7 = O

Odejmujemy stronami równania i otrzymujemy a.

C'zyli r 2 = l lubx2 = 9.

a=O b=7

Pamiętajmy, że

x2 = 1

Odpowiedź

Szukany wielomian ma

postać

to

X

=-1

lub

x= I

to

x= - 3

lub

x =3

W(x) = x + 7x + 6. 3

Odpowiedź

RÓWNANIA WIELOMIANOWE - przykładowe zadania

XE

{-3, - 1, I, 3}

DEFINICJA Równanie W(x) = O, gd7.ic W(x) = a x" + a„-rr.i-1 + ... + a,x + a0 , a„ ~O nazywa-

ZADANIE 2

my równaniem wielom ianowym lub inaczej równaniem algebraicznym.

(x2 - 9 ) · (x2- 16) = I 5x2

A) Równania dwukwadratowe

x2 · x 2 - 16 · x 2 - 9 · x2 + 9 · 16 = I 5 · x 2

11

Najpierw trzeba równanie uporządkować po· 1mez wykonanie zaznaczonych działań .

x"- 16x2 - 9x2 + 144 = 15x2 x" - J 6x2 - 9x2 + 144 - I 5x2 = O

ZADANIE 1

x" - 1Ox2 + 9 = O Równanie rozwiążemy przez podstawienie. Niech x 2 = t (x2) 2 - I Ox2 + 9 = O

t2 - l0t + 9 =o ó=(-10)2 - 4 ·I· 9 = I00 - 36=64 ~=f64 =8

Przenoszę wszystkie czynniki dukuję wyrazy podobne.

x 4 - 40x2 + 144 = O.

a = 1, b == - 40, c =

Zauważ, że

nazwa „dwukwadratowe" jest uza· sadniona. Jednymi potęgami x są 4 i 2, a prze. 2 cież 4 = 2 • Zauważ, że

=

X' (Ą1, to wynika ze wzoru (a'T =il"". Teraz mamy równanie kwadratowe, w którym a = 1, b = - 10, c = 9. Liczymy !!i. i pierwiastki: 6

Niech x2 = t

I

równanie kwadratowe, które

rozwią·

przy pomocy A.

~=32 t = 40 - 32 = ~ = 4

= ll-4ac -b-..ft.

=

zuję

144.

D.=(-40)2 -4· 1·144 = 1600 - 576 = 1024

I

t,=-2a-i

Powstało

t2 - 40t + I44 = O

na lewą stronę, re-

-b+ ../1:,.

2

2

t = 40 + 32 = 72 = 36 2 2 2

2a

10 - 8 2 t = - - =- = I I 2 2

Teraz wracamy do podstawienia.

Czyli x 2 = 4 lub x 2 = 36.

x2 = t.

Stąd

Teraz należy wrócić do podstawienia. X=

76

- 2 lub

X=

2 lub

X =

-6 lub

X =

6. 77

•• <>d11owiedź

Odpowi edź X E

{-2, - 6, 2, 6}

.r = -

J~ - l

lub x =

~-

I

ZADANIE3 Równanie ków.

uporządkuję, pozbywając się

ulam·

ZA DA~IE4

-~ + 2..r'

- 15 =o

Niech x' = t (x3 )2 + 2x3 - 15 =O 2r~

+ x 2 - 20 = O

t2

Niechx 2 = t

2t2 +

6= Otrzymuję

20 = 0

I

równanie kwadratowe, gdzie

Liczę

ó = li - 4ac i pierwiastki.

~ =oo

- I + ""6f ""6f =- -4- 2 4

t

I

lub

Równanie (*) nie ma rozw i ązania w zbiorze liczb rzeczywistych, ponieważ liczba

oo) < o

czyli x e 0 78

2

2

2

-2 + 8 6 2 2

=--=-= 3

x 3 = 1, czyli x 3 = -5 lub x 3 = 3.

(**) x2 =

I tutaj już nie ma pulapki, bo pierwiastek trzeciego stopnia z liaby ujemnej istnieje (w R).

Zatemx =-~ lub x=~

pułapka!

4

/\ = lr - 4ac.

Wracamy do podstawienia

I

Jeden z pierwiastków jest ujemny, bo ""61 :::< 12,68857. Należy wrócić do podstawienia. (*) x2 = - (I + 400)

4 · l ·(- 15) = 4+60 = 64

Teraz stosuję wzory na ó i pierwia stki:

-2- 8 - 10 -= -=-5

t =I

- ( I + -JT6T) 4

- (1+

22 -

~ = %4 = 8

a = 2, b = 1, c = - 20.

.6. = 12 - 4·2·(- 20) = 1 + 160 = 161

I teraz

+ 2t- 15 = o

To równanie jest dwuszekienne, bo I' = (~)1 (ze wzoru: (
Odpow iedź

~-

I

Równanie (**) ma dwa rozwiązania ponieważ liczba --J-V t61 - l l.li b 4

x =-Vs lub x= ~ wielom ian o wspótczynnikach rzeczywistych można na czynniki liniowe lub czynnik i stopnia drugiego nierozkładalne. Rozw i ązując równanie wielomianowe, najp ierw postaramy się roz:łożyć na czynniki moż l iwie najniższego stopni a, czyli liniowe. Mamy kilka sposobów, za pomocą których możemy rozłożyć wielom ian na czynniki.

Jak

pamiętasz, każdy

rozłożyć

X -

- j -JT6T -

X-

4

I

79

rozkładu

Metody l)

Wyłączanie

wielomianu na czynniki:

inaczej

wspólnego czy1mika przed nawias.

2) Dzielenie wielomianu W(x) przez (x - r), gdzie r - pierwiastek W(x). 3) Grupowanie wyrazów. mnożenia:

• (a+ b)2 = a 2 + 2ab + b2

• (a -

a2- 2ab + b

• a2 - b 2 = (a - b)(a

Iloczyn trzech czynników jest równy zero, gdy jeden z nich jest zerem, tzn.

+ b)

X+

=o

lub

X-

lub

X= }

1=

o

=o

lub

X +

lub

X = - }.

1

Zauważ, że

- 1 pojawiło się dwa razy, to oznacza, że -1 jest pierwiastkiem podwójnym (to można zapisać np. tak - 1<2>).

• a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab+ b2 ) • a 3 - b3 = (a - b)(a2 +ab+ b2 ).

przez

1

x =-1

• (a - b)3 = a 3 - 3a 2b + 3ab2 - b 3

rozwiązywane

Czynnik (xl - 1) można rozłożyć na aynniki liniowe (korzystając ze wzoru skróconego mno· żenia i - b2 = (a - b) (a + b)).

(x+ I)(x2 - l)=O (x + l)(x-I)(x + l)=O.

2

• (a+ b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

B) Równania

(x + l)(x2 - l)=O Zatem mamy równanie:

4) Stosowanie wzorów skróconego

b) 2 =

x 2(x + I) - 1 · (x + l) = O

Od powiedź rozkład

XE

na czynniki

{- J(2i, 1}

ZADANIE 2 ZADANIE 1

x3 - 5x2 - x + 5 = O

x 3 +x2 - x - 1 =O

x2(x

Zapamiętaj

sobie jedną, podstawową zasadę: trzeba lewą stronę równania zamienić na iloczyn wyrażeń liniowych, tzn. postaci ax + b, lub kwadratowych nierozkładalnych ax2 + bx + c (Li< O, a :f: O). Na tym

właśn ie

A teraz

rozwiązanie:

polega

rozkład

x3 +x2 - x - I =O

l

·x3

+1

·x2 -

l · x-1 = O

na czynniki.

Rozkładamy na czynniki, grupując wyrazy. Z pierwszego i drugiego wyrazu wyłączymy przed nawias x2, natomiast z trzeciego i czwar· tego wyrazu wyłączymy -1 przed nawias. Na· stępnie wyłączamy wspólny czynnik (x- 5). Korzystamy ze wzoru: a1 - /j = (a ~· b)(a + b}.

- 5) - I (x - 5) = O

(x - 5)(x2 - 1) = O (x - 5) (x - 1) (x + 1) = O

Iloczyn trzech czynników jest równy zero, gdy któryś z nich jest zerem. Z pierwszego i drugiego składnika wyłączam xlprzed nawias.

x - 5=0

lub

x-1 = O

lub

X+ l = 0

x=5

lub

X =

l

lub

X=

-1

Odpowiedź

x 2 (x + I) - x - I = O

XE

{- 1, l, 5}

Teraz „coś" trzeba zrobić z trzecim i czwartm. To „coś" nie może być przypadkowe, a prowadzące do powstania wspólnego czynnika, który potem wyłączam przed nawias. x 2(x + 1) - (x + 1) = O

80

Powstal wspólny aynnik (x + 1), który wyłą­ czam przed nawias.

81

Równania i nierówności wielomianowe "':,:::;:'1.;: "::'::· ·

1:,; ::

1 '. :; •••

1loczyn dwóch czynników jest równy zero, gdy jeden z nich jest zerem.

ZADANIE 3 3x~

- IOx3 + JOx - 3 = O

3.\.-1 -

Następnie wyłączam wspólny aynnik przed na· wias. Zauważ, że X' - 1 można rozłożył na dwa aynniki, kwadratowe korzystając ze wzoru a' - li = (a - b) (a + b).

3 - IOx3 + IOx = O

3(.r - I) - I Ox(.r - I) = o

I)

Iloczyn trzech czynników jest równy zero, gdy

x =-1

lub

x- I =O

lub

3x

2

któ1yś -

l Ox + 3 = O

Rozwiązujemy ·równanie kwa dratowe.

x=l

(- l 0)2

\ =

. I

2a

(- 5)2 - 4 · 1 · 6 = 25 - 24 = I

..ft.=~= 1

4 · 3 · 3 = I OO - 36 = 64

2 6

Powstało równanie kwadratowe, które rozwią· zuje się przy pomocy h = b'- 4ac.

5- 1 4

t =--=-= 2 I 2 2

t = 5 + 1 = ~=3 2

2

2

x 2 = t, czyli

I 3

=--=-=-

Wracamy do podstawienia.

s tąd X=

10 - 8 6

Teraz trzeba rozwiązał równanie dwukwadratowe.

x 2 = 2 lub x 2 = J

~="6°4 = 8 -b - ~

5x2 + 6 = O

z nich j est zerem, tzn. :

Jx2- I Ox + J - O ~ = b2- 4ac =

(x2)~ -

t2- St+ 6 =O Znowu pojawił się wspólny aynnik. x2 - 1. Wy· łączam go przed nawias. Wykonuję działania w nawiasie kwadratowym i porządkuję trójmian w nawiasie.

(x + l)(x - l )(Jx 2 - IOx +3) = O

lub

Jub

X=

~=

IOx] = O

(x+ l )(x - l )(Jx2 + 3 - IOx) = O

x+ l = O

1

x4 - 5x2 + 6 = O

Niech x = t

3(x2 - 1)(,r + 1) - IOx(.r - l) = O I

lub

2

3(x4 - J) - IOx(x2 - J) = O (x2- I) (3(x2

x - 1= O Grupujemy wyrazy.

-""2 lub X = ""2 lub X =

- -{3 lub X = -{'j

Odpowiedź XE

{I, -"\Q, ,./2, - fJ, fJ}

lub r =

· 2

- h + ..ft. I O+ 8 I 8 --=--=-= ] 2a 6 6

ZADANIE 5 Rozwiąż

Od po w i ed ź

XE{ - [ ,

równanie 6x3 - I2x2 - 2(x - 2) = O.

Rozwh1zanie:

I

l,3,3} 6x3 - I 2x2 - 2(x - 2) = O 6x2(x- 2) - 2(x - 2) = O

ZADANIE 4

(x - 2)(6x2 - 2) = 0 5 4 X - X - 5X~

+ 5x2 + 6x - 6 = 0

x4(x - I) - 5x2(x - I ) + 6(x - 1) = O (x - I) · (x' - 5x2 + 6) = O. 82

Grupuję wyrazy i wyłącza m wspólne czynniki przed nawias. Teraz wyłączam przed nawias wspólny czynnik

(x - 1).

Równanie mamy już pogrupowane, wyslilrczy wyląay~ 6x1 przed nawias z pierwszego i dru giego czynnika. Wyłączamy

czynnik (x - 2) przed całość równa-

nia.

(x - 2)(~x - ""2.)(~x + "12) = O (x - 2) = O lub ~x + ""2 = O lub "16x - ..fi = O 83

-~ ~ x = 2 lubx = - - lub x = -

6

6

Wówczas otrzymujemy równanie: Iloczyn aynników jest równy zero, jeden z nich jest równy zero.

jeżeli choć

2, -

{

312- t - 10 =o

6.=121 "6 =1 1

Odp owiedź

X E

Obliaamy t. i pierwiastki równania kwadrato· wego.

~, 1Ji}

l - 11 6

5 3

( = --= - 1

I + 11

t = - - =2

ZADANIE 6 Rozw i ąż

2

równanie I 6x4 - I = O.

6

Wracamy do podstawienia i otrzymujemy:

Rozwi ąza nic:

(x2 - 4x) = 2

16x4 - l = O

Stosujemy wzór skróconego mnożenia il- - tr = (a - b)(a + b).

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

~=O

x 2 - 4x - 2 = O

x2 - 4x +

(2x + 1)(2x - 1)(4x2 + l) = O

Li = 24

3x2 - 12x + 5 = O

2x + 1= O lub 2x - I = O lub 4x2 + I = O

~=

Li = 84

(4x2- I)(4x2 + I) = O

I x= - -

I

lub x = -

2

2

X

E {-

2.,,/6

6. = O- 4 = - 4 brak pierwiastków

.!.}

.!_ 2'2

ZADANIE 7

Oblicz pierwiastki równania 3(x2 - 4x) - (x2 - 4x) - 1O= O.

X

lub

lub

,. =2+"'6

x =-

2

Niech t = (x

-

I

4x)

3

Odpowi edź

X E Zauważmy, że

3

6 "21

2

Rozwi ązani e:

3(x2- 4x)2 - (x - 4x) - 10 = O

I·3

2€1 6 + "21 =

x. = 2-.,,/6

·'I

2

3

~=

Odpowi edź

84

5

(x 2 - 4x) = - 3

lub

w równaniu tym powtarza

się

{ 2 - "'6, 2 + .../6,

6-

m , 6 +J-121}

J

czynnik(~ - 4~, więc zamiast wykonywać żmud·

ne obliczenia pod stawmy zmienną

pomocniaą.

85

NIERÓWNOŚCI WIELOMIANOWE - przykładowe zadania

.J eśl i

pierwiastek jest nieparzystokrotny (1 , 3, 5, 7, 9, etc.), to wykres przecina

oś

DEFINICJA Nierównością algebraiczną (wielomianową) stopnia n jednej zmiennej x nazywamy nierówność postaci W(x) :2:: O lub W(x) ś O lub W(x) > O lub W(x) < O, gdzie W(x) = a11x" + a„_rx"- 1 + „. +al+ a0, a„ :;t: O.

Z ADA NIE 1 (x + 3) · (x + l ) · (x - 2)
Jakie

są

poszczególne kroki w

zauważ, że

lewa strona jestrozłoźona na czynniki.

rozwiązywaniu nierówności

?

parzystokrotny, wykres nie przechodzi na drugą stronę osi OX, /czyli odbija się od niej pierwiastek ~ nieparzystokrotny, wykres przechodzi na drugą stronę osi OX Rozwiązując nierówność algebraiczną, postępuj emy bardzo podobnie jak w przypadku rozwiązywania równań w ielom ianowych. Najpierw musimy obliczyć pierwiastki tego wielomianu, a następn i e rozwiązanie odczytujemy z wykresu w ielomianu. Pam i ętajmy, że warto, jeżeli się da rozłożyć wielomian na czynniki, korzystając z jednej z metod podanych wcześniej. R ozwi ąza nie nierówności:

a) Wyz naczamy miejsca zerowe każdego czynnika, zwracając uwagę na tzw. „krotność" miejsc zerowych. Co to oznacza ? Jeśli np. któryś z czynników (całe wyrażenie w nawiasie) j est podniesione do potęgi, to wyk1adnik tej potęgi jest krotnoś cią, np. gdyby w powyższej nierówności było np. tak:

(x + 3)(x + l)(x-2) < O

x=- 3,x = -1,x =' 2 Wykres

nierówności

: Rysujemy wykres z góry, bo gdyby wymnożyć w nawiasach otrzymalibyśmy współ­ czynnik dodatni przy najwyższej potędze x1 .

(x + 3)2 • (x + 1) 3 • (x - 2), to wtedy

x=- 3

....•

wyrażenia

(miejsce zerowe pierwszego czynnika) jest p ierwiastkiem dwukrotnym oznaczamy x = - 3(2l,

x=2

jest pierwiastkiem jednokrotnym.

Krotność

ma znaczenie przy rysowaniu wykresu w ielomianu, który trzeba w drugim kroku.

Teraz popatrz na znak nierówności . Interesuj ą nas te argumenty x, dla których wyrażen ie jest ujemne. Zatem szukamy części wykresu pod osią OX. Te części pogrubiamy, bądź jak wolisz zakreskowujemy w celu wyznaczenia przedzia-

b) Rysujemy wykres wielomianu, tzn. rysujemy oś liczbową, na niej zaznaczamy miejsca zerowe wszystkich czynników. Wykres ten zaczynamy rysować z prawej strony od dołu lub od góry dół (współczynn ik

/ prawa strona ~

Jeżeli

przy

najwyższej potędze

zmiennej j est

bo pierwiastki

sąjednokrotne.

przecinamy

narysować

łó\.v.

Znajdujemy dwa

przedziały

(- oo, - 3) oraz (-1, 2).

Odpowiedź XE

(-oo, - 3) V (-1, 2)

ujemny a„ < O) góra (współczynnik przy dodatni ali > O).

najwyższej potędze

zmie1mej jest

pierwiastek jest parzystokrotny (2, 4, 6, etc.), to wykres nie przecina osi, tylko się od niej w danym punkcie odbija.

86

oś ,

x = - I !3 l jest pierwiastkiem trzykrotnym,

ZADANIE 2 (x + I) · x · (x - 5) ć O X=

- 1, X = 0, X = 5

. Aby policzyć pierwiastki tego wielomianu, wystarczy obliczyć równanie (x -r 1) · x · (x - 5) = · =O, czyl i x + 1 = Olub x = O, lub x- 5 = O

x =-1,x =- O,x = 5.

87

• e

Rysujemy wykres waż współo.ynnik

nierówności ód góry, ponieprzy najwyższej potędze jest

dodatni. Wykres zmienia znak n ierówności w każdym 1 z miejsc zerowych (pierwiastki są jednokrotne).

Odpowiedź

Rysujemy wykres nierówności z dołu, bo znak współczynnika przy najwyższej potędze jest ujemny.

Odpowiedź

[-1 , OJ V [5, +00)

x

ZADANIE3

=

(1, 3)

(x + 4) 2 · (x - 1)3 (x - 6) ś O

5

- 2(2l, X

E (-oo~ -2)

ZADANIE5

- .!_ (x + 2)2(x - I)(x - 7)
X

Zaznaczmy część wykresu znajdującą się nad osią OX (ponieważ wartośc i nierówności muszą być dodatnie). Znajdujemy przedziały (-::o, - 2) u (l, 3).

Teraz znak nierówności i przedziały. Znajdujemy przedziały [- 1, O] oraz [5, +::o).

XE

•

I, X

=

7

X=

- 4(

2 ),

X=

I (3), X

=

6

Zauważ, że - 2 jest pierwiastkiem dwukrotnym (parzystokrotnym). Wykres nierówności rysujemy z dołu, bo znak współczynn ika przy najwyższej potędze jest ujemny.

+

Teraz patrzymy na znak nierówności i zaznaczamy tę część wykresu, która znajduje się pod osią OX. Znajdujemy przedzi ały (- oo, - 2) v (- 2, I) v (7, +oo). (Przedziały otwarte, bo znak<).

x = --4 pierwiastek podwójny x = 1 pierwiastek potrójny

Wykres nierówności rysujemy z góry, bo współ­ czynnik przy najwyższej potędze jest dodatni.

Teraz zaznaczamy tę część wykresu, dla której wartści są mniejsze lub równe zero. Jest to część wykresu znaj duj ąca s i ę pod osią OX, wraz z punktami leżą­ cymi na niej . Odp owiedź X E

[l, 6)

V

{-4}

Odp o wiedź

XE

(-oo, -2) V (-2, l)

V

(7, +oo)

ZADANIE 6 (x + I )3 · (x - 2)5 · (x + 7) 4 > O

ZADANIE4

- 3(x - I)(x + 2)(x - 3)3 >O X=

88

I, X

=

- 2, X

=

3(3)

Rozwiązaniem będą te Zauważ, że

x = -1 i x = 2 są to pierwiastki nieparzysto· krotne. natomiast x = -7 jest poczwórnym pierwiastkiem.

argumenty x , dla których wartości są większe od zera.

3 jest pierwiastkiem trzykrotnym.

89

.8ównania i nierówności wielomianowe

· ·

Nierówność tę spełni ają n astępuj ące : x E

(-oo, -7) u (-7, -1) u (2, +oo).

Odpowiedź

XE

(- oo, - 7) U (- 7, - 1)

U

(2, +oc)

·

~.~-~X Aińl. -7

ZADA~I E7

/li

3 #:-o

I li #:-

3

J) X

• 1

Korzystamy ze wzorów Viete'a

c ·X=-= - -~ a m- 3

pon i eważ

x,· x,=a„ '

x 1 • x 2 < 2 to:

l --< 2 m-3

7) 15 (x + 5) 18x"4 (x - 13) ~O

- 1993 (x

2)

x=7' 15l, x = 5(1 8>, x = 01441,x = 13

l --- 2 < 0 m-3

Interesuje nas ta CZQŚĆ wyksesu znajdującego się nad OX wraz z punktami na osi. Odp owiedź X E

[7, 13] u {- 5, O}

1 - 2(m - 3) < 0 m- 3

Korzystamy z twierdzenia (') str. 108 i iloraz za. 11isujcmy jako iloczyn tych czynników, a następ· nie rysujemy wykres wielomianu, zaczynając go rysować od dołu, ponieważ znak przy najwyż· szej potędze zmiennej jest ujemny.

1 - 2m+6

- - --
ZADANJE 8

Wyznacz wa rtośc i parametru 111, dla których iloczyn pierwiastków równania (m - 3)x2 + (111 + 2)x -1 I = Oj est mniejszy od 2.

(7 - 2m)(m - 3)
Rozwiązani e:

(m - 3)x2 + (m + 2}:r + l = O W tym przypadku mamy do czynienia z równa· niem kwadratowym z parametrem. Aby iloayn pierwiastków tego równania był większy od 2, musimy założyć. że istnieją dwa różne pierwiastki, czyli a Oi t. > O.

1) Li> o

2) a :t:- O 3)

1) /:,.

X I ·X . 2

= (m + 2)2 -

m2

„

<2

4(m - 3) = 111 2 +Mi+ 4 - Mi + 12 = m2 + 16

111 E

(-co, 3) u (3 ,5; +oo)

Rozwiązaniem

+ l6 > O

zadania

będzie część

wspólna wszystkich

rozwiązanych

wa-

runków.

Lim = O- 4 · I · 16 = - 64

m

ó.m < O brak pierwiastków

E

Rim

*3im

E

(-oo, 3) u (3,5, +co)

Odpowiedź

me R +

+

+

+

m

E

(-co, 3) u (3,5; +oo)

Ili

90

91

1'R?i<'.l-IO$Zf, U)Q.\1Sl1<1c

M La!A1 ~7 (W.AZA) N.A l~A~l ) ) ••• ~Y'AAl9'\tA

Równania i nierówności wymierne li

DEFINlC.fE

Funkcją wymierną nazywamy funkcję F(x)

=

~~:],

gdzie W(x) i P(x)

są

wielomianami i P(x) :;{: O. Dziedziną tej funkcji jest zbiór DF = R \ {x : P(x) = O}. RÓWNANIA WYMIERNE - przykładowe zadania DEFINICJA

, . . , . W(x) O Rownamem wymiernym nazywamy rownanie postacP(x) = , gdzie W(x) i P(x) Przy

oznaczają

rozwiązywaniu

wielomiany oraz P(x)

tego typu

=F

równań pamiętaj

O.

o dziedzinie!

ZADANIE 1 1

- =3 X

Założenia:

x :;{:O, czyli D = R \ {O}

Dlatego, że mianownik nie może być równy zero.

Rozwiązanie:

l

- = 3 1-x

Mnożymy

obie strony równania przez x, by od ułamka.

uwolnić się

X

95

Równania i nierówności wymierne

:·

I = 3x

,

·

, Zmieniamy kolejność, bo tak jest wygodniej pa· trzeć na równanie,

lłozw iązani e:

3x = 1 /: 3 /-X

1

x =3

Sprawdzam, czy znaleziony x spetnia

założenia.

Tak!

I =x · x

uy li Odpowiedź

I

I x=3

=x2

Teraz trzeba

rozwiązać

równanie kwadratowe,

inaczej x2

ZADANIE2

=l

czyli

~= O

x = -I

lub x = I

X

Sprawdzamy, czy znalezione liczby

Za łożenia:

x:;c O,czyli D = R\ {O}

Mianownik musi być różny od zera.

~=O

1- x

2 - = 16

1 =x ·O Równanie jest sprzeczne!

=o

x+ I

Założen ia :

Odpowi edź

Róvvnanie ma

J, 1}

ZADANIE 4

X

1

D = R \{O}. Tak!

Od powiedź X E {-

Rozwiąza ni e:

nal eżą do

rozwiązania

x

E

Mianownik musi być różny od zera, my X+ 1$ 0.

więc

pisze-

x + 1 ;t: O czyl i

0.

x :;t: - l , czy Ii D = R \ {- l }

ZADANIE3

Mnożymy wyrażenie

stronami przez x + 1, bo

istnieje zal,: X* - 1. Rozw i ązan ie:

2 - = 16 1-(x + I)

-= x X

x+I

Założe nia:

x :;c O, czyli D = R \ {O}

Mianownik musi być różny od zera .

Teraz rozwiązuję równanie liniowe.

2 = 16(x + J) inaczej 16(x + I) = 2 16x+ 16=2

96

97

16x = 2 - 16

3x + 15 -

16x =- 14 /: 16

X

+4

= Q

Wykonuję

zaznaczone działania w liczniku.

(x - 4) · (x + 5)

14

x=-16

2 9 x+ =o (x - 4) · (x + 5)

prościej

r (x - 4)(x + 5)

Mnożę

przez mianownik obie strony równania.

2x + I 9 =O · (x - 4)(x -r 5) c;;yli

7

x=--

8 Sprawdzamy, czy znaleziona liczba należy do dziedziny. Tak!

2x+ 19=0

Rozwiązuję

równanie liniowe.

2x=-19 /:2

Odpowi e dź

7

- 19

x =-3

I

x=2= -92

ZADANIE 5

Sprawdzamy, czy znaleziona liczba nalc7.y do dziedziny. Tak!

3 l ---= O x - 4 x+5

Odpowiedź

I x= - 9 2

Założe ni a:

x - 4:;t:O . czyli { x + 5 :;t: O

:;ć 4 x;e - 5

X {

Obydwa mianowniki muszą

być różne

od zera.

D = R \{-5,4}

ZADANIE 6 + I x- 1

2

.:1...i

- - =--

Rozwiąza ni e:

x-1

Założenia:

3 I ---= O x - 4 x +5

Należy sprowadzić wyrażenia do wspólnego mianownika. Wspólnym mianownikiem jest ilo-

czyn {x- 4)(x + 5).

zatem 3 (x + 5) (x-4)(x+5)

x - 1 ;eO x ;e I, czyli D = R \ {I} Rozwiąza nie:

I (x - 4) = O (x - 4) (x + 5)

3 (x + 5) I (x - 4) = O (x - 4) · (x + 5)

x- 1

x- 1

I- (x - I)

x2 +1 = 2 Zapisujemy ulamek na wspólnej kresce ułamko­ wej

Mnożę

przez mianownik obie strony równania.

Trzeba ro~wiązać równanie kwadratowe. Najpierw należy je uporządkować.

x2 =2- l x2 = I stąd

x = -1 lub x = I

98

~

D

99

.-:'

1 . :1i.j\l·l::'~'.

Równania i nierówności wymierne.

.

· Równania i nierówności wymierne

Sprawdzamy, czy znalezione liczby należą do dziedziny. Zauważ, że x = l nie spe·lnia założenia x :it l.

(x + 3)(x - 2) - (x - 3)(x + 2) - x2 - (x2 - 4) = O

Odpowi edź

x2 - 2x + 3x - 6 - (x2 + 2x - 3x - 6) -

Teraz wykonuję zaznaczone działania. .l•.i -

x2 + 4 = O

x =- 1

I- - 2x + 3x ZADANIE 7

x+3

x- 3

x+2

x- 2

{ x-2 ;i1: O czyli

- 2x 2 + 2x + 4 = O I : (-2)

Redukuję

x2 - x - 2=0

Teraz rozwiązuję równanie kwadratowe. W tym celu znajduję t, i pierwiastki.

X ;il:

X

;t: - 2, X

-:/:

2

x, =

- b - -{/:, 1- 3 - 2 = - =-= - 1 2a 2 2

x2 =

- b+ ~ l +3 4 = - - = - =2 Il: D 2a 2 2

więc:

D = R \ {- 2, 2}

•

x- 3 x2 - - = -+ l x-2 x2 - 4

(x + 3) (x - 2) (x + 2) (x - 2)

Sprowadzamy wyrażenia do wspólnego mianownika.

(x - 3) (x + 2)

x2 x2 - 4

x2 - 4

(x - 2) (x + 2)

x 2- 4

wzoru

4

-

(x - 3) (x + 2)

x

2-

4

(x - 3)(x + 2) x2 - 4

x2 x2 -

x

(x2-

1oo

=

x+l

x - l

Założe nia:

na lewą stronę

Teraz zapisuję na wspólnej kresce ułamkowej.

+

- 1

ZADANIE 8

x- 1

x 2 -4 4 - x2 - 4 = O

(x 3)(x - 2) - (x - 3)(x 2) - 2 4) ~-~--'--'---.,-.2--'_"""4 -----"---->---:.....

=

3 4x- I x 2 + 5 - -- - = - 2 -- 5

=- +- x2 - 4 x 2 - 4 Przenoszę wszystkie wyrażenia (pamiętaj o zmianie znaku).

(x + 3)(x - 2) x2 - 4

x

x =- 1

x1 - 4

x2

że

(x •· 2)(x + 2) = ~ - 4, to wynika ze

a2 - b' "' (,1 - b) (a + b). Wobec powyższej uwagi można po lewej stronie równania mianownik zapisać w postaci~ - 4.

(x + 3)(x - 2)

S prawdzamy, czy znalezione liczby spe łniaj ą założenia. Zauważ, spełni a założeni a, natomiast x = 2 nic należy do dziedziny. Od powi edź

= - - + --

Zauważ, fo

+

wyrazy podobne.

~ = "9=3

x;t: - 2 2 {

ostatecznie

x 2 -4 ;i1= 0

X2 -

x2 + 4 = O

= 1+ 8= 9

x+2;i1=0

x +2

I- - 2x + 3x + 6 - x2 -

Li = b2- 4ac=(- 1)2 - 4· l · (-2)

Założenia :

x+3

I{ -

x - l =t O { x 2+ l ;e O x - l ;e 0

stąd

{

x# I x#-l

Mianowniki muszą być różne od zera.

x;t: ± I

czyli D = R\{- 1, l }

o 101

Równania i nierówności wymierne .· 30 (A.,2 + X+ I) (x -+ I )(x - l )(x2 + x + I )

· .'

' ·· " · ";'."· ''

«<.'

*1

czyli

1 xi -::F-

- 3x-::F l

czyli

x:;t: - -

3x "I= 1

czyli

'

9x2

13(x + l)(x - l ) (x2 + x + I )(x + I )(x - l)

(7 + I 8x) (x + l) = O (x + l)(x- l)(x 2 + x + I)

_

·.: ,' '1.''.'

Teraz mnożę pnez mianownik równanie stronami.

9'

stądx

1 3

:to - -

I

,X:;ć 3

l

3

1

;r;j:-

3

ostatecznie 30(x2 +x+

ł) -

l3(x+ l)(x - 1) - (7 + 18x)(x + l) = O

O = R \ { - _!_ _ _!_}

3' 3

Tc!raz wykonujemy działania.

Rozwiązanie:

30x2 + 30x + 30 - I 3 (.\..1 - I) - (7x + 7 + l 8x2 + l 8x) = O

30x2 + 30x + 30 - I 3x2 + 13

Zauważ, że I -

- x2+ 5x + 36 = O ;. (- I)

Redukuję wyrazy podobne.

x2 - 5x - 36 = O

Rozwiązuję równanie kwadratowe.

t:i.

Najpierw ustalamy wspólny mianownik. 9x2 to wzór skróconego mnożenia 1 - 9x2 = (1 + 3x)( I - 3x). /\by skorzystać z tego wzoru, wszystkie mianowniki powinny być zapisane wła­ śnie w takiej kolejności l - 9x2, I + 3x, I - 3x, dlatego ten ostatni mianownik na leży przekształcić wyłączając „- " przed nawias i potem wstawić do równania. Czyli

7x - 7 - l 8x2- l 8x = O

= b2- 4ac = (-5) -4( 1) · (- 36) = 25 + 144 = 169

·~ = 13

3x - l =- (- 3x + 1) = - (l - 3x)

-b- ~

X =

2a

I

5 - 13 2

-8 2

12 I - 9A.2

= - - = -=- 4

I -3x I + 3x - -+ l + 3x - (l - 3x)

Zamiast pisać „- " w mianowniku można go wyłączyć przed cały ułamek.

I -3x I+ 3x 12 = - ---I - 9x2 1 + 3x l - 3x Sprawdzamy, czy znalezione liczby - I i I. Tak!

należą

Odpowiedź

do dziedziny, czyli czy

są różne

od

12 I - 9x2

l - 3x + 1 + 3x = 0 I + 3x 1- 3x

12 (1 - 3x)( l - 3x)+ (l+3x)(l + 3x) = O/·(l+ 3x)(l- 3x) ( 1 + 3x)(l - 3x) (1 + 3x)(l - 3x) (1+3x)(l - 3x)

x =-4 lub x = 9

12 - (l - 3x)(I - 3x) + ( I + 3x) (1 + 3x) =O

ZADANIE 10

12 - ( l - 3x - 3x + 9x2) + ( l

l - 3x 1 + 3x

12 ] - 9x

l + 3x 3x - I

12x + 12=0

Założenia: 2

{

104

-

9x

"I= O "I= O

I + 3x 3x - J "I= O

stąd

+ 3x + 3x + 9x2)

'"'

O

12 - X + 3x + 3x - ~+X + 3x + 3x +-9<-' = O

--=- -+-2

.J

Przenoszę wszystkie ułamki na lewą stronę. Sprowadzam do wspólnego mianownika (1 + 3x) ( 1 - 3x).

l "I= 9x2 { l :;t: - 3x 3x "I= l

Wykonuję wszystkie działania, opuszczam wiasy i redukuję wyrazy podobne.

na-

12x = - 12 /: 12 X

=- 1

Sprawdzamy, czy znaleziony x = - 1 należy do dziedziny.

105

Równania i nierówności wymierne Odpowi ed ź

czyli

x =-1

(x_+_2..)!,. _,_ (x_-_2.. )!,. _ _ __ 5 (x + l) (x - l )8 _,_ (x + 2) (x + l) (x - I) (x - 2) (x + 2) (x + I) (x - I) (x - 2)

ZADANIE 11

2 (x + 2) (x + I ) (x ,.- 2) (x + 1) (x - l)(x-2)

~-----''--_.!.-'---~~-T

5 - - -8 x 2 - 4 .r- 1

20

2 .r - 3x + 2

20 (x - I )(x - 2) =0 (x+ 2) (x + l)(x - 1) (x-2)

x2 + 3x+ 2

Mnozymy stronami równanie przez mianownik.

Założenia:

5(x + l)(x- l) - 8(x+2)(x-2) - 2(x + 2)(x+ 1)+20(x- l)(x-2)=0

x2 - 4:t:O

x 2 - I :t: O

x 2 - 3x + 2 ;t O

x 2 I 3x + 2 -:;.: O

x 2 :t: 4,

x2

t. = 9 - 8=1,

t. = 9 - 8 = 1

5(x2 -

Wi= I

Wi = l

+ 20(x2 - 2x - x + 2) = O 5x2 - 5 - 8x2 + 32 - 2x2 - 2x - 4x - 4 + 20x2 - 40x - 20x + 40 = O

2

{ x -t: - 2 X ;ć

:t: I,

{ x-t: - 1 X ;ć

2

J x 2 ;t - 2

{ x 1 ;t 2

{ X 1 "#

J

Wykonuję działania, redukuję wyrazy podobne.

i + i- 1) -

l 5x2 - 66x + 63

x2 ;t - 1

=

8(x 2 -

O

'/.x + '/.x - 4) -

/: 3 Rozwiązuję

5x2- 22x + 2 1 = O

Ostateczn ie

x;t - 2 i x-t: - 1 i x:t: I

x

:;1:

2 czyli

t. = b1

D = R \{- 2 - I I ?}

'

' '-

-

2(x2 + x + 2x + 2) +

równanie kwadratowe.

4ac = (- 22)2- 4 · 5 · 2 1 = 484 - 5 · 4 · 2 1 = 484 - 420 = 64

Wi=-164 = 8

Rozwiąza nie:

x 2 - 4 = (x + 2) (x

Najpierw wspólny mianownik. Będzie potrzebny wzór na tzw. postać iloaynową trójmianu kwadratowego, tzn.: aJt- + bx + c = a(x - x,)(x-x1), a* O X1 są pierwiastkami trójmianu ze wzoru i - y = (x + }'l(x- }') ze wzoru J(- - y = (x + }'l(x- }'). Wspólny mianownik tworzymy ze składowych aęści mianowników.

2)

x2- I = (x + I )(x - I )

x,.

x1- 3x + 2 = (x - I )(x - 2) 2

x + 3x + 2 = (x + 2)(x + I)

x1=

-b- Wi 2a

22 - 8

=-

14

7

- =-=10 10 5

lub

-b + Wi x1 =

2a

22 + 8 30 = - 10- =lo= 3

Sprawdzamy, czy znalezione liczby spetn iają założen ia, czy należą do dziedziny. Czyli jest nim

Odpowied ź

(x + 2)(x + 1)(x - I )(x - 2)

___ 5 ___ (x+2)(x - 2)

106

8

2

20 (x+ l)(x - 1) - (x - l)(x - 2) + (x+2)(x+ 1) = O

107

NIERÓWNOŚCl WYMIERNE - przykładowe zadania

_ ___,f!J//111//1//J/ „X

l)clinicja

o

Nierównością wymienią nazywamy nierówność postaci

W(x) > O I b W(x) P(x )

' u

gdzie W(x) i P(x)

P(x) są

~

Odpowi edź

O l b W(x) < O I b W(x) O ' u P(x) - ' u P(x) < '

w ielomia nami i P(x)

x

6 - z nak ilorazu jest ujemny 2

tych

(0, +oo)

ZADANIE2 2 - -
x +3-:t0

(- 6) · 2 znak iloczynu j est ujemny wa rtośc i

E

I= O.

Zanim przystąp imy do rozwiązywani a zadań, zwróćmy uwagę na bardzo prostą, aczkolwiek przy datną zależność. Otóż z nak ilorazu dwóch wyrażeń j est taki sam ja k znak iloczynu tych samych w-y raże11. Przykład:

Tutaj nic chodzi o

Zgodnie z założeniem x '1' O.

wyrażeń,

stąd

x -:t-3 D = R\{-3}

a tylko o znak.

(*) Twierdzenie:

Rozw iązan ie

2 · (x + 3) < O /: 2

;~? ~ O ~ W(x) · Q(x) ~ O i Q(x) -:t O.

Zastępujemy iloraz iloczynem, interesuje nas znak wyrażenia.

x+3 < 0

Twierdzenie to j est prawdziwe dla każdego rodzaju nierówności (<,~'~. >).

x<-3

Tutaj

rozwiązujemy nierówność liniową.

#~'--------...

ZADANIE 1

/~-3

X

I

- >O

bez - 3, bo x -:t - 3 (założen ie)

X

Założ enia:

X* O, D = R \ {O}

(bo mianownik musi być różny od zera)

Odp owiedź X E

(-oo, - 3)

Rozwi ązanie :

zatem I ·x >O

czyli

x>O 108

ZADAN1E3

i

Zastępujemy iloraz iloaynem, bo interesuje

x- 2

--< O x +3

nas znak wyrażenia.

109

::·:··

Równania i nierówności wymierne

Równania i nierówności wymierne

·

Założenia: Znajduję jej rozwiązanie

x+3;t 0 x ;t -3

(-w, - .?_] V (7, + co).

5 x e (- oc, - - ] u (7, +oo) 2

Rozwiązan ie:

Zapisujemy iloraz tych aynników jako ich ilo· założeniu, ie mianownik jest różny od zera.

czyli (x - 2) (x

+ 3) < O

+\

J+

/-3~:

ayn, przy

ZADANIES

Teraz postępujemy tak, jak przy rozwiązywaniu nierównoki wielomianowych. Znajduję miejsca zerowe wyrażeń w nawiasie i rysuję wykres wielomianu. Znajduję przedział (-3, 2).

(3x + 1)(x - 4) -

~

Założenie:

(3.r + I) · (x - 4) $O czyli Jr + I -:;:. 0 i x - 4 ;t 0

3x :t= - 1, 1

XE (- 3,2)

4

X =I=

x:t= - -, x=t= 4

3 ostatecznie

ZADANIE 4

X=I= -

I

.

3 D= R1

2x + 5 - - ;:::o x- 1

Założenia:

l

X=l=4

(-H

Rozwi ązanie:

x - 1 :t=O x =t= 7 D = R \ {7}

3 - 2\·

- - - --::;;O<=> (3 - 2x)(3x • l)(x - 4) $O (3x + l) (x - 4) Korzystam z twierdzenia (*).

3

Rozwiązanie:

I~

0

stąd

Odpowiedź

2x+ 5 x _ ;::: O<=> (2x + 5) (x - 7) :?: O i x :t= 7 7 5 x=-,x=7 2

<

3 - 2x

bo X ;t -3

11 o

2

Odpow i edź

D = R \{- 3}

1

x = 2,x=- 3,x = 4

Rysuję

pomocniczy wykres wielomianu.

Zastępujemy iloraz iloczynem, na podstawie twierdzenia (•).

Rozwiązuję zwykłą nierówność algebraiczną. Rysuję z dołu, bo wspókzynnik przy najwyższej potędze

Znajduj emy I

ho

przedziały

~ (- .!.3' ~] 2 "'

3 me n.1ld:y

,to d1ii.~l1in~

zmiennej jest ujemny.

'-

bo nie jest wyrzuoona 7

~!!~~~i~ .n:ik

(4, +·JJ)

""'-

bo 4 nie nałc-iy do dziedziny

111

Odpowiedź

XE

(- i,~]

ZADANIE 7 U

(4, +oo)

x2 - 3x + 1 - -2 -- - > 1 x - 1

ZADANIE 6

Założenia:

x2 - l * O

I

- ~x X

stąd

x 2 :ić 1 czyli

Za łożenia:

x ;rO D = R \ {O}

X :ić -l

i X -:f::. 1 D=R \ {- 1,l}

Rozwiąza nie:

Rozw iąza ni e:

I

Równanie ttzeba uporządkować, tzn. doprowatakiej postaci, aby po prawej stronie było zero.

-- x ~ O X

1

x2

X

X

dzić do

Teraz wspólny mianownik fjest nim .I).

--- ~ o

x 2 - 3x + 1 _ > O 1 .x2 - 1

Nierówność trzeba przekształcić, przenosząc 1 na lewą stronę i sprowadzając do wspólnego mianownika.

Teraz wspólny mianownik, czyli x2 - I

x 2 - 3x + 1 _ x 2 - 1 > 0 x2 - 1 x2 - 1

1 - x2

-- ~o X

x2 - 3x + 1 - (x2- 1) > O

(1- X 2) X

=

'X~ Ó

1 lub X = - I lub X =

A

o

Znajduję miejsca zerowe wyrażeń w nawiasach (przypominamy x = x - O).

~„ -~X

Znajdujemy

x2 - 1

Teraz zastępuję iloraz iloczynem.

Teraz rysuję pomocniczy wykres wielomianu. Rysuję go z dolo, bo współczynni k przy najwyż­ szej potędze zmiennej jest ujemny.

/ 2- 3x + 1 - I- + 1 > O

Redukuję

wyrazy podobne.

x2 - 1 - 3x + 2 > 0 x2 - 1

Zastępuję iloraz iloczynem, korzystam z twier-

dzenia (*).

Zauważ,że~-1„(x-1)(x+

1).

(- 3x + 2) (x2 - 1) >O

przedziały

czyli [-1, O)

[l, + cc]

~""

/

bo nierówności ~

bo n ierów nośc i ~

·c:
Odpowiedź

x 112

E [-

'

bo liczba

..wvrzucon:i''

(- 3x + 2)(x+ l)(x-1)>0 Miejsca zerowe 2 -x = -3";i: = -1 „ x: =l

Wszystkie pierwiastki są jednokro~ne.

I, O) u [J, +co) 113

Równania i nierówności wymierne .· ·:::' · . .

,

. · : Rysuję

"

· .. ·'. , ·. · ~ : . ».· .:;

.\mil\\\!'.' .::·. ·

wykres wielomianu, zaczynając z dolu,

Znajdujemy

nej jest ujemny.

przedziały

,

li

~

X = -

/

x e (- oc, - l) u

1

S' X = - 3' X =

2

b(l I nic unld;v

(~. J)

Znajdujemy

Rysuję pomocniczy wykres wielomianu, który zaczynam rysować z dolu, ponieważ znak przy najwyższej potędze zmiennej jest ujemny.

przedziały

f_u _.!.\ \; 5' 3J

ZADAl\IE 8

4 3 - -- < - 3x + l x- 2

Odpo,11«icdź

Za łożen i a:

X E

3x + I :;t: O { x - 2 ::;t O

x :;t:- -

D = R3\

1

stąd

3x:t- - 1, { x :;t:2

iH

3 <-3x ..;. l x- 2

Przenoszę

x.: 2 na lewą stronę.

3

3(3x + I)
4(x - 2) - 3(3x + ł)
11 4

(2, +oo)

x+3:;t:Q { x - 3 :;t: O x2 - 9:;t:Q

x::;t - 3 stąd

{

X ;ć

3

x2 :;ć 9, X :;ć - 3, X

:;ć

3

Ostateczn ie :;t: -3 i X* 3

X

Przenoszę

--- - - < O 3x + I x- 2

(3x + I )(x - 2)

U

do dik

Założe nia:

4 - -

4x - 8 - 9x - 3 <

Il - J1) (-5,

bo nic nnlc1)'

bo nic należy do dzi<."(lz.iny

4 2 5x- I - - + - - <-x+3 x - 3 x 2 -9

x :t: 2

4(x - 2) (3x + I )(x - 2)

bozn;ik >

(2, +oo) ....

ZADANIE 9

Rozw i ązan ie:

4

Korzystam z twierdzenia("} i otl'Zymuję iloczyn czynników. Znajduję miejsca zerowe wszystkich wyrażeń w nawiasach.

tfo tlt icdt.iny·

Odpowiedź

ostatecznie I .

:, . , .'. . ·::'." Równania i r,ierówności wymierne

(- 5x - l 1)(3x + J)(x -2) < O

[- oo, - 1) bu - I nic nak~ż}' do d1ic1l:óny

.

- 5x - 11 < 0 (3x + l)(x - 2)

bo współczynnik przy najwyższej potędze zmien·

X

.

0

D = R \ {-3,3} Sprowadzam do wspólnego mianownika, którym jest(Jx + 1) (x - 2).

Wykonuję dzialania i redukuję

wyrazy pedobne.

Sx- 1 .. T-9 na lewą stronę, ze zmienionym

znakiem.

Rozwiąza nie:

4 2 5x - I - - + - -<2

x+3

x-3

Sprowadzam do ws1lólnego mianownika. któ rym jest .i- - 9 bo -1'1 - 9 (x + 3)(x- 3). Zapisuję wyrażenia na wspólnej kresce, wyko nuję działania i redukuję wyrazy podobne.

x - 9

=

zatem

4(x - 3) + 2(x + 3) (x + 3)(x- 3) (x + 3)(x - 3)

5x- - I

;

(x+ 3)(x-3)


Równania i nierówności wymierne

:

"" . ·:." :'," , · ·"ł

. , ' , .· "

•

.h;! ~:..\'...:.'.· ;· '

4(x - 3) + 2(x + 3) - Sx - I ------------~---- < o (x+ 3)(x - 3)

- -2 - -- - - > O x - 4x + 5

4x - 12 + 2x + 6- Sx + I (x + 3)(x-3)

- x2 + 4x - 4 > 0 x 2 - 4x + 5

1- x2 + 4x- 5

- - - -- - - ---
- - - -- < O (x + 3)(x - 3) (x - S)(x + 3)(x - 3) < O

Zastępuję iloraz iloaynem, korzystając z twierdzenia("). Wszystkie pierwiastki są jednokrotne. Rysuję pomocniczy wykres wielomianu, zaaynając go z góry, bo współczynnik przy najwyż­ szej potędze zmiennej jest dodatni.

Redukuję

(- x 2 + 4x - 4)(x2 - 4x + 5) > O

najpierw -x~

+ 4x - 4 =O

6 = 42 -4 · (- 1) · (-4) = 16

x = 5,x =-3, x = 3

(- oo, - 3) (3, 5)

Znajdujemy

(- oo, - 3)

/

Zastępuję iloraz iloczynem na podstawie twierdzenia('). Znajdujemy miejsca zerowe trójmianów

6

= li - 4ac

!\,

= 2a

-b

xo= -2 = 2

przedziały

potem

J3,5'

bo - 3 nic ilalc7y llO J :ti..:Jziny

16= 0

wyrazy podobne.

{pierwiastek podwójny).

-4

Odpowiedź X E

Rów!'lania i nierówności wymierne

bo 3 nic unlci y l fL\ llt icdziny

bo Żnnk >

ZADANIE 10

x 2 - 4x + 5 = O ó=- 4< 0

brak pierwiastków

To już wiemy (z założeń).

Znaleź li śmy

tylko jedno miejsce zerowe x = 2(2). Ale zw róć uwagę na nierówność! Nie ma wykresu nad

- - -- > l ..\. i _ 4x + 5 Założenia :

x 2 - 4x + 5-:;-. O Li = (- 4)2 - 4 . l . 5 = 16 - 20 = - 4 Li < O brak pierwiastków

ostatecznie D: x e R

liczymy 1l

Dziedziną

+

= IY - 4ac.

os i ą.

+ Teraz rysujemy pomocniczy wykres wielomianu, zaczynając go z dołu, bo współczynnik przy naj· wyższej potędze zmiennej jest ujemny. Nie przecinamy osi, dla x "" 2, bo jest on pierwiastkiem podwójnym.

jest cały zbiór liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie :

l -2 -- - - 1 > 0 x - 4x + 5 x 2 - 4x + 5 - 2- - -- > O x - 4x + 5

l x 2 - 4x + 5 I - (x2- 4x

-

116

---"--2

x - 4x

+ 5)

----<-

+5

>

Przenoszę 1 na lewą stronę,

zezmienionym zna-

kiem.

Odpowiedź

Brak

rozwiązania, x E

0.

Sprowadzam do wspólnego mianownika, którym jest wyrażenie -)( - 4x + 5,

o 117