LICEUM, TECHNIKUM BADANIE PRZEBIEGU . '· t;"k'I(; :/ll- '.fe'.70gółowe rozwiązania wtul' 7 opisem zadań, z jakimi ··iit~ c1v się na lekcjach matematyk...
38 downloads
92 Views
6MB Size
LICEUM, TECHNIKUM
BADANIE PRZEBIEGU . FUNKCJI
'·
t;"k'I(;
:/ll-
'.fe'.70gółowe rozwiązania wtu l' 7 opisem zadań, z jakimi
··ii<>t~ c1v się na lekcjach matematyki, w :ndcmiach domowych i na klasówkach. I
I
I
I
I
I
I
I
t -·l-ł--1--+-~--+--+-+----i--+--+--+--•
Spis
szOOku
I. Granica funkcji - definicje .. „ Granica funkcji w punkcie -
treści
..... „ „ „ . „ „ ...... „ ... „ „ ... „ „ . „ „ „ ... „ . „ ... „ . „ .... „ .
przykładowe
7
zadania „ „ „ .. „ „ . „ „ . „ . „ . „ „ . „ „ „ . 8
Granica funkcji w nieskończoności - przykładowe zadania
„.„.„. „.„„„„
18
Granice jednostronne funkcji - przykładowe zadania „ . „ „ „ „ . „ . „ . „ . „ „. „ „ 23 2. Ciągłość funkcji w punkcie - definicja „ „ „. „ .. „ . „ Ciągłość
„ „ „ . „ „ . „ „ •• . „ . „ . „ . „ „ . „
funkcji w punkcie - przykładowe zadania „ „ „ „ . „ „ „ „ „ „ „ „ „ . „ „ . 3 I
(i) Pierwsza pochodna funkcji -
definicje „
„ .„ .„„„„„.„„ . „ „„.„„„„ „„.„.„„
Pierwsza pochodna funkcj i - przykładowe zadania @
3I
.„„„„„.„ . „„.„.„„„.„.
45
46
Badanie przebiegu zmienności funkcji - definicje, twierdzenia „ . „ . „ „ . 65
Badanie przebiegu zm ie nnośc i funkcji - przykladowe zadania . „ „ . „ . „ „ „ 68
W 7 częściach książki Matematyka - korepetycje
znajdziesz następujące działy: Część
1 Funkcja
wykładnicza
Część
2 Funkcje liniowe. kwadrato\ve i wielomianowe
Część
3 Indukcja matematyczna,
Część
4 Badanie pm:bicgu funkcji
Część
5 Funkcje trygonometryczne
Cz~ść
6 Geometria pfaszczyzny
Cz~ść
7 Stereometria
i logarytmiczna ciąg i
i ich granice
3
X
X
X
Miłej
Nauki;) szOOku
Granica funkcji
DEFINICJE Definicj a granicy fu n kcji w
nieskoń czonoś ci (wed ług
Heinego)
limf(x)=g~
/\ {(Iimx„ =+oo)=> (lim/(x„) = g)}
x-...++oo
(x1.1)
11-> oo
n-'t oo
x,1 e D
1
Definicja granicy fun kcji w punkcie: Funkcja .f{x) posiada w punkcie x0 granicę g , wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego c i ągu (x,,), gdzie x11 E D o wyrazach x -::f:. x , ciąg wartości funkcji 0 1 jest zbi eżny (czyli ma granicę) do g. l im.f(x)=g~ .r->.r0
/\ {l imx =x0 => 1im/(x,,)=g}
(x,1) n-+OC) .r.e D1 .t„ -
11
n-+oo
·"o
Granice funkcji liczymy podobnie jak granice kilka podstawowych granic funkcj i:
ciągów
liczbov.rych. Oto
a) lim x =x0 X->X0
b) lim x =+oo .r_.+oo
c) lim x =-oo x-> - oo
e) lim
l =O·
.t-)- oo X
x ;t= O
'
t) lim
l -
g) lim
L = +oo; x ;i!= O
.1·~0- X -
- oo· '
x ;t= O
x~O~ X
7
Granica funkcji
,
h) lim -YX = ..JX0,
x ~ O, x 0 ~ O
i) lim .,,/X = +oo,
X~ O
X-)J.'O
X->+oo
·
: .
",
ZADANI E 2 Oblicz
fun kcj i/(x) = 2x w punkcie x 0 = O
Rozwi ązanie:
Twierdzenie: Jeżel i
granicę
lim 2x = 2 ·O = O
f
lim/{x)
Znowu w miejsce x wstawiamy O. W tego typu zadaniach nie pojawia się żadna trudność poza tym, ie trzeba umieć obliczać wartość funkcji w punkcie Xo·
x->0
i lim g(x) = g, to:
.t-+.to
:c->tu
Odp owi edź
1) lim [/(x) + g(x) I /
t- g
lim /(x) = O
x~.\'o
.<->O
2) lim [/(x) - g(x)j
=/
g
X-+.\" 0
ZADANIE 3
3) lim [/{x) ·g(x) I =.f"g
Oblicz
X->X0
. 4) I 1111 H
x0
[/(X)]=/-
g(x)
g
funkcji /(x)
= 3x + J w punkcie x0 = - 5
Rozwiązanie :
za,.: g-:;; o I
O bliczaj ąc granicQ fu nkcji możemy s iQ spotkać z następującymi symbolami
.
granicę
„
meoznaczonym 1. -o , co-oo, oo -. o ·oo, o oo
oo, oo,o l °"
lim (3x + I)= 3-(-5) + I =
Postępujemy
X->- 5
zadaniach.
analogicznie jak w poprzednich
= - 15+1 = -1 4 Odpowiedź
lim j{x) =- 14 x~-5
GRANI C A F UNKC J I W PUNKCI E - przykładowe zadania Przytoczmy jeszcze raz defi nicję granicy funkcji w punkcie (dcf. Heinego)
lim .f{x) = g ~ X-)X0
/\ {lim x„ = x0 => lim f(x,) = g}
{.t . )
11-+oo
11-Joo
x.e D1
ZADANIE 4 Oblicz granicę funkcj i/(x) = x 2 w punkcie x 0 = - 7 Rozwi ązanie:
.r„ '"f.X0
lim x 2 = (- 7) 2 = 49 x->-7
ZADANIE 1 Oblicz gran icę fu nkcj i./(x) = x w punkcie x0 = 3 Rozwi ąza nie :
liin x = 3 x->3 O dpowi edź
limf(x) = 3
Odpowi edź łim/(x) =
49
x->-7
Wstawiamy w miejsce x liczbę 3. Mamy funkcję postaci f(x'J = x, skoro x dąźy do trzech, to i f(X) też dąży do trzech.
Z ADANIE 5 Oblicz granicę funkcji/(x) = - 2x 2 w punkcie x 0 = - 3
X->3
8
9
Granica funkcji
·:
Rozwi ązanie:
lim (X"°' - 3
2x2)
Odpowiedź
= - 2 · (-
3)2
= - 2 · 9 = -18
limf(x) = 13
x"°'VJ
Odpowiedź
ZADANIE 9
lim f(x) = - 18
X"°' -J
Oblicz granicę funkcji/(x) = 2x + 1 w punkcie x0 = 4 Sx + 2
ZADANIE 6 Oblicz granicQ fu nkcj iftx) = 3x2 - 1 w punkcie x 0 = 2 Rozwiązanie:
lim (3x2 -
x"°'2
l)
= 3 · (2)2 -
1 = 3 ·4 - 1 =
W miejsce działanie.
x wstawiamy x0 = 2 i wykonujemy
Rozwiązanie:
. 2-r + l 1t m - - .H4 5X + 2
2·4 + 1 = 8 +1 =9- Zał.: Sx + 2 * O, czyli X*- ~ 5 ·4 + 2 20 + 2 22 W miejsce x wstawiamy Xe = 4 i znajdujemy wartość wyrażenia.
Odp owiedź
=12 - 1 = 11 limf(x) = _2_
O dpowi edź
22
.H4
lirnftx) = 11
x"°'2
ZADANIE 10 ZADANIE?
Oblicz
Oblicz granicę fu nkcj i/(x) = 4x2 - 5x + 7 w punkcie x 0 = 2
granicę funkcjij(..\:) = _k_ w punkcie x0 = - 7 4- x
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
lim (4x2 - 5x + 7) = 4 · 22 - 5 · 2 + 7 = 4 -4 - 5 · 2 + 7 = 16 - I O+ 7 = I 3
·' ""'2
Odpowiedź
Zał.:
lim __k_ = 2-(-7) =--=1.1_ = - 14 .H - 7 4 - X 4 - (- 7) 4 + 7 11
4-x„ O. czyli x„ 4
W miejsce x wstawiamy !\i = - 7 i znajdujemy wartość wyrażenia .
Odpowiedź
lim f(x) = 13 x~2
lim f (x) = - l 4 11
x""'-i . ZADANIE 8 Oblicz granicę fu nkcji/(x) = 5x3 - 2 w punkcie x0 = ~ Rozwiązanie:
lim ( 5x3 - 2) = 5 -(~3)3 - 2 = 5 · 3 - 2 = 15 - 2 X-}VJ
10
=
13
ZADANIE 11 . granicę . c.k· · fi() ' x = I Oblicz lllll CJt. x = 2x - 2- - -2 w punkcie 0 X - 1
11
Granica funkcji Rozwiązanie:
Odpowiedź
lim 2x - 2 = 2 · 1 - 2 = 2 - 2 1 l2 - 1 1- l
x-+I x2 -
lim 2x - 2 = lim x-+I
2 k-~J1
x-+ I ~~(X+
x2 - I
1)
zal.:x2 - 1 ;eO,czylix;tl ix;t-1
= _Q_"
Otrzymaliśmy symbol nieoznaaony.
„O
W takim przypadku należy ułamek przekształcić, ponieważ x = 1 jest pierwiastkiem licznika jak i mianownika. Stosujemy w mianowniku wzór skróconego mnoźenia (al - bl) "' (a - b)(a + b).
= li m - 2x-+ I
t".
x
= - 2-
+1
l
+
1
=
2
2
ZADANIE 13
granicę funl
„o
H-1
O"
Uzyska liśmy symbol nieoznaczony - , dlatego należy przekształci ć
„O licznik i mianownik tej funkcj i do takiej postaci, żeby można byfo skróc i ć któryś z czynników ułamka.
13
Granica funkcji
1
2a
J€i =-b;a..fó. zatem
. (x+4)(x + l) 1un =x-> = -1 x3 + l (x
X+
rozkład
2
=-St3 =+=-1
··. · •
· ."
'
.· · .·
Granica funkcJ"i
'
Odpowiedź
limj(x) = -:1-
7
x->O
ZADANIE 16
Oblicz
granicę
2 funkcji./(x) = 5x2 -
X
2.x + x
w punkcie x 0 = O
na czynniki wygląda następująco:
Następnie na leży rozłożyć na czynniki mianownik xi + 1, posługując się wzorem: xl + yl = (x + ,0(xl _ xy + yi). Czyli xl + 1 = (X + l)(xl- x + 1).
l)
.
2
(x- (-4))(x - (- 1)) r.' (x + 4)(x + 1).
+ 4)(-:K-t-tt
.(x-+-lj(x 2 -
x- H
l
Najpierw należy rozłożyć na czynniki liniowe trójmian kwadratowy: xi + Sx + 4 =O, posługując się wzorami na D. i pierwiastki oraz wzorem ax2 + bx + c = a(x - x1)(x- x2), a ct. O. Zatem: 11 = 52 - 4·1. 4 = 25 - 16 = 9 ..fó. = -./9 = 3 X = -b- ,/ii ,.,-5 - 3 =-!._ = 4
= lim x2 + 5x + 4 = .H - 1 X3 + 1
= lim
'"'fi„'" · :. · · · :li' ,:'1 ,•1.,„ ··••
· ·
Rozwiązanie : 2 1i 111 5x
.H O 2.x2
Zal.: 21f.
x
-
5 · 02 - O
O- O
+ X = 2 · 02 + 0 = 0 + Q =
O" = „O
. , x+4 = .H- lx2 - x + I
= I1m·
+ x* O, czyli x(2x + 1) *O
X*O ix*!
= -
l
Uzyskaliśmy symbol nieoznaczony
- 1+ 4 = 3 =l.._ = l - (- 1)2 - (- 1) + I l + 1 + 1 3
r
Przekształcamy licznik i mianownik.
W obu przypadkach wystarczy \vyłączyć x przed nawias.
Odpowiedź
= lim 5x - x = lim,i(5x - l)=lim 5x - I = 5 · 0-1 =-l= - ł .H O 2x2 + x .r->O /(2x + 1) .HO 2x + 1 2 · O+ I I 2
.!~n:_(Cx) = 1
Odpowiedź
ZADANIE 15
limj(x) = -1
x- >0
2 Oblicz granicę funkcji/(x) = 4x - 3x w punkcie x 0 = O
?x
Rozwiązanie :
lim 4x2 - 3x 7x
.r->O
Zał.:
4·0 - 0
o
=-
7x"' o. czyli x *o
O"
„O
O"
ZADANIE 17
Oblicz granicę funkcji./(x) = "12x2 + 9 w punkcie x 0 = O Rozwi ąza nie :
lim "12x2 + 9 = .J2·0 2 + 9 = ..Jo + 9 = ~ = 3
Uzyskaliśmy symbol nieoznaczony - , dlatego należy przekształci ć
x--tO
licznik, wyłączając x przed nawias, por1'ieważ z mianownikiem nie możemy już nic więcej z rob i ć:
. Odpowiedź
o
2
Zal.: U.+ 9 ;;: O, czyli xe R
lim/(x) = 3
x->0
lim 4x -3x = lim.i(4x -3) = lim 4x - 3 = 4 ·0 -3 =-:1 x->0 7X „. . . o 7/ HO 7 7 7
14
15
Granica funkq i
ZADANrn
l lł
- _f.._1-::X)(x + 2) -~ + ) + 3)
.
1 =1111
Oblicz g 111 rt1 l'I,' f 1111k1 p
VI
/( \)
._f3
I \"
2
W
punkcie x
0
=
X-t2
0
~(\IX2
-(x + 2)
lim
=
../x2 + 5 + 3
x-+2
R01;Wi lf'.lll 11 il':
lał.:
~I
~3
I ()
)
3 + x:2:. O, ayli x :2:. -3
- - (2 + 2) - ~+3
=
-4 -4 - 4 - 2 ~+ 3 =3+3=6 =3
"3 - .J3 = _Q_ = 0 2
2
Odpowiedź
. f{ X ) = - 2lim
Odpowl1•1li I 1111 /(I)
3
x-+2
()
\ •li
ZADANIE 20
' ()I ) I I l '/ 1• 1111111··· I
1·111 1I{l: )„ I
'
'
/(X )
=
~2- x
•
· Obliczgra nicę
3 w pun k Cl'e Xo = 2
Zal.:;(. + 5 :2:. oi 2 - X>' o. czyli X zatem xe R\ {2}
„2 i
f'u1u
·VX2+2T x+ 2
Rozwiązanie: XE
5 'V 'e "'o ,, -- - 2 v punl
R,
x + 2 „O, ,r. + 21 :2:. Oczyli X*-2
..Jv2 + 21 - 5 = -v'(- - 2)- 2 +21 - 5 -_ '14+21 - 5 = -' .H-2 X +2 - 2+2 0 .
11111
' ~\ ' I S I1111 '
v22 t- 5 - 3 2- 2
.?
I I
=
.../9 - 3
l J1y ...lw lis111y symbol nieoznaczony
do 1 11n~j postaci:
l1111 kl IC.: 1 I1111 ~,
.„
, 1 I Ili I
„
I im \ >2
li m ' >2
)
\
>2
.1)(V1:2 I 5 + 3)
XJ I
(2
5 _9_ _ =
x)( ~'f 2 I 5 + 3) x2
„0
,
dlatego
należy przekształcić
(2 - x)('Vx2 + 5 + 3)
('·il ' I 5 )2 w:_ -_
(2
O"
_3-_3 =_O_" 2 - 2 „O
. {~- 3)(~+ 3)_ 11m -
1
I "i
=
2- 2
4
.../25 o
\V
.......2
symbol nieoznaczony
. -JX2+2f -
lim
,.
= im
(..JX2+21 -
.H - 2
(X
O" ,,0
.
Postęp ujemy
analogicznie jak
5)(v?+21 + 5) = . ~ 5)
-1- 2)('\/X"
+ 21+
2
lim x+2 (x
(\&2+2f)2 _ (5)2 = lim x + 2 1 - 25 = + 2)('1x2 + 2 1 + 5) "~ 2(x + 2)(..,/x2 + 2 1 + 5)
"v2 - 4
lim
-
lim.
5
X+ 2
.H - 2(.X -1- 2)(.Yx2
(2 - x )( ../Xl 15-i~ -
O"
zad. 19.
H -2
= lim
5- 5
=o- =,~
Uzyskal iśmy
X-> - 2
Lianik i mianownik rozszerzamy przez aynnik (~ + 3). Następnie stosujemy dwa razy wzór skróconego mnożenia dla licznika ;;. - fil = (a - b)(a + b).
5
X -
2
-1-
,. (x 2) .{x--t--2) -= im - 21 + 5) X· > 2{.Pt-2)('1? -1- 2 1 + 5)
-2- 2
-4 5 '\/4 + L I +
= . r:;-:-::;-; 2
"-lx2 + 2 1 + 5 .Y(- 2)2 + 2 1 + 5
x l}(x + p _=
(2 - x)(Vx2 + 5 + 3)
16
17 Mat LT cz. 4. ark. 2
Granica funkcji
.
· , Rozwiązanie:
- 4 = --4- =--4 =-2 -v'I5 + 5 5 + 5 10 5
oo
2x2 + 3
„oo
x--)+ oo
Odpowiedź
x zmierza do +oo, to 7xi + 1 tei zmierza do +oo. To samo obserwujemy w mianowniku.
Jeśli
"
lim 1x2 + l
Uzyskaliśmy symbol
lim f(x) = -_l_ .\"--) "i . 5
nieoznaczony : ", dlatego należy licznik i mianow" przez najwyższą potęgę mianownika (w tym przypadku .o
nik podzielić przez x 2) .
GRANICA FUNKCJI W l'iIESKOŃCZONOŚCI - przykładowe zadania
7_,.:: 1 I 707 -;:y+?" 7 +:tr=_+_= ll.n1 7x2+1 = 1·1m i,.: ·3 = l"11n ----, X-) +=
ZADANIE 1
2x2 + 3
xr + :tJ"
X--)-ł<>o
r-t+oo
2+o 2
2 +~
Odpowi edź
Oblicz graniCQ. funkcji.f(x) =
~;: ~, gdy x
----1 +oo
lim/(x) =
.r--)+0<>
.l 2
Rozwiązanie: Jeśli
x zmierza do +<><>, to 3x + 1 też zmierza do
lim 3x + 1 = 00" = +..,.To samo obserwujemy w mianowniku. X-)-!<><> 5x + 2 „oo Uzyskaliśmy symbol nieoznaczony, dlatego należy wykonać takie przeksztafcenie, jak w przypadku c i ągów, tzn. trzeba podzielić licznik i mianownik przez najwyższą potęgę mianownika (w tym przypadku x) . + 1 11:+ ..L 3 __ = lim _x = lim :' ~ x--)-!<><> 5v + 2 X-).._ >x + "
=
J_ •
lim 3 + .• „......_ 5 +l.. X
0
= •o
X
X
3+O 5 +o
=l
ZADANJE 3
. gra111cę . '"tm f kCJ..I J'X "( ) = -3Ob ł ICZ 1 - 4- 2x 5' x+ x+
.
3 + l
,.
= Il l n -- - llTI .<--)-!-<» X
lim/(x) =l...
X--)+oo
5
X-)+=
x+1
wzrostem mianownika ułamek maleje. Druga aęśl funkcji musi był potraktowana inaaej, dla-
2.x
t
4x·
tego
że
oo"
uzyskujemy symbol nieoznaaony -
.
•""
Ponadto można liayl granicę każdej z tych części z osobna.
5
X+ ·'
-h )=
2 I I •o = 0 --= 0-- =--
4
granicę funkcjij{x) = 7x~ + 1, gdy x 2x + 3
----1
+oo
2
2
Odpowiedź
limf(x)
x-.+~
18
ie pierwsza część funkcji, tln. _ 3_ zmierza do zera, gdy x--) +oo, bo wraz ze
=
3 = x->+oo lim (-x + I 4 +-:;:-
ZADANIE 2
Oblicz
+oo
Zauważamy,
2x-) . ( - 3- - l1m x--)t<>o x + l 4x + 5 =lim
Odpowiedź
-j
Rozwiązanie:
2x 3 -lim .H~ 4x + 5 X-tt<>o X + 1
5
gdy X
=
_l
2
19
:·:".
ZADANIE 4 Oblicz
x- >+
00
x +2
X
Otrzymaliśmy symbol nieoznaczony,
00
•
"
:·
,
·
Gr~n,j~a
funkcji
X
7x - lim
.r -Hoo X +
X~- X
2
14.
= lim00 ~
- lim l x~+ X + X x~+00 X
2 1:
= lim X~-
oo " „oo
", zatem licznik i mianownik
oo
podzielimy przez najwyższą potęgę 'in ianownika (w tym przypadku
o
(__E;_ _1:_) = lim 2
·
: "·,-. • •
4x2 - 5 . 11m - - ,~- 2x6 + l
granicę funkcji.f(x) = ~ _ 1:_, gdy x ~ +oo
X+
•• „
:: • • • ".
Rozwiązanie:
Rozwiązan ie:
lim
1 • 1
6)
P rzez x
oo" „oo
}
= lim
~- lim 2=1-0 =7 + X "'-X4 += •o
X \
x-H-oo
.o .o
4 / 5/ =lim X' = Q =O X4 +oo 2 + ~ 2
Z
4x2- 5 2x6 + ]
"
]
o
Odpowiedź
Odpowiedź
"•o
lim.f(x) = O X-H·oo
lim.f{x) = 7 X~+oo
ZADANIE7 ZADANIE 5 Oblicz
granicę
funkcji.f(x) = 3 x~ - 5 , gdy x
4x·' - I
Oblicz 0oranie"' funkcJ'i 1"(x) = (x - 1)( 5 - 2x) gdy x ~+oo x .. '' 4x2 + I '
~ +oo
I sposób Rozwiązanie:
.
1Im x~+00
Rozwiązanie:
3x2 - 5 4x3 - I
oo
"
lim (x - 1)(5 - 2x) = lim 5x - 2x2 - 5 + 2x = x~+00
„oo
Otrzymaliśmy
symbol nieoznaczony, oo" , dlatego należy licznik i mianownik podziel ić przez najwyższą potęgę mianownika (w tym przypadku przez x 3). o .o ·n 111 x- Hoo
00
3x2
2
5
3/
5/
3x - 5 = 11.m -rr - rr 1. -x - yi4r i · 1 = un 1 4x3 - 1 x-++-oo ~ - Xf x~+oo 4 -
Xf"'
=
O 0 = 4
lim.f(x) = O
limf(x)
x~+oo
X4+oo
~I
ZADANIE 6
o
20
"'
-
5
2x6 + I '
gdy x
"00
2x' 1x ,. . . -·,„ . ----:;-1!ID
x~+„ ~
5 -;:r
"=
~
5/
- 2 +x--I xr -- - -2 -4+ 4 •o
?""'
l -2
Odpowiedź
Odpowiedź
2 Oblicz o-raniCP funkcJ· i j(x) = 4x
= -oo" =
.o „o
7
= 11.111
4x2 + I
.H+=
. -2x2 + 7x - 5 lIm x~+oc 4x2 + 1
= -
•o
4x2 + l
~ +oo
= _
_L 2
„o .o
sposób lim (x - 1)(5 - 2x) =lim x( 1 -+)x{t-2) =lim 4x2+ 1 .H+oo X2(4 +-x) .H +
.H +oo
00
1(1 --fR~~2) = l2(4 + X~~
o 21
Granica funkcji
. ·. .- :.:.:
,:
·..'"" ; "·:· ·1~ :-"'
::·. i•'
<>
>
'
„ ' · . , '; · .·.· : "-. ·Granica-funkcJ'i
:
~
•
_ (I - 0)(0 - 2) _ I '( 2) _ _ _!_
lim 3x(.../x2 + 2 - ..Jx2 + I)= „oo - oo"= .t-ł+oo
4+0
-
4
-
2
../x + 3 - ..Jx + I , gdy x ---7 +oo
= lim 3x ·
(~)2 -
Otrzyma li śmy symbol nieoznaczony „oo - oo", inny niż do tej pory. W tym
= lim 3x ·
należy dokonać następujących przekształceń:
~) = lim C--JX+3- vX+T)C..JX+3 + ~ ...fx + 3 + "1x + I
.H+00
X-•-
=
·
= lim
c..JX+3)2 - cvX+T)2 -
= lim X~-
= lim X~-
Uwaga! Należy pomnożyć i podzielić przez sumę tych pierwiastków, czyli rozszerzyć ułamek przez czynnik -vxTI + ../x + 1.
...fx+3 +~ -
X-H<><>
Następnie stosujemy wzór skróconego mnożenia al -- b2 = {a -- b)(a + b).
X-ł+oo
--JX+3+ ..JX+T" 2
mianownik dąży do +co, a licznik do stałej 2, to cały ułamek dąży do O.
=0
../x + 3 + ir+T
Odpowiedź
•+„
lI
+
= lim
x--ł+«>..Jl
•o
x-
Ponownie uzyskujemy symbol nieoznaczony ::!.', „co
dlatego dalej
3
1+ I
przekształcamy naszą funkcję.
3
+ ~ IL + I
I~ 'J x-
X
x-"'
,
X--ł-~
3
1 ~ + "1x2 + 1
oo" „oo
=lim
+ .1..- + ..Jl +-l,.
x--ł+eo
'J xr-
3
2
'\.o
lim f(x) = _l_ 2
X--ł+co
GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI -
• +co
przykładowe
zadania
Obliczając zmierzać
limftx) = O X-ł-f-oo
ZADANIE 9 Oblicz grani cę funkcjif(x) =
+ b)
-
= lim3x· I
2
..f7+T x ~ X--ł+oo ,_ + 2 ..L-±.1
= lim
Odpowiedź
,i + 3 - .i - I
fl-l
'1x + 2 + '1x + I 2
X
X+ 3 - (x + 1) _ "1x + 3 + ...fX+T" -
Ponieważ
=li m
12+ 2 -
"1x2 + 2 + ...fx2 + Jx
.H+<><>
= lim
= (a -- b)(a
2
2
= li m
.r-ł +oo
lim (..Jx + J -
,
x + 2 - (x + 1) _ 3x · -=-=---=---' -:_:_---':...i-' x~..Jx2 + 2 + ..Jx2 + 1 -
--JX+3- --lX+'f = „oo - oo"
.1-+roo
al - b2
<..JX2+122 -
..Jx2 + 2 + .../X2+T
,H+co
Rozwiązanie:
przypadku
'
=lim 3x · (~- ~(~+ '~ = 2 x--ł+co ;/x + 2 + ~ Stosujemy wzór skróconego mnożenia
Oblicz granic(( funkcji/(x) =
lim
t
>
I
-
ZADANIE 8
+2 -
..Jx2
+ 1), gdy x
---7
PostC(pujcmy ana logicznie jak w zad. 8., rozszerzamy ("1x 2 + 2 + ;/x2 + l )
cło
x
---7
x0-
(x zmierza
x
---7
x0+
(x zmierza do x0 z prawej strony)
To samo
3x(..Jx2
granice jednostronne będziemy do wyszczególnionego punktu x 0 z lewej lub prawej strony, zaznaczając to odpowiednio:
można zaznaczyć
+oo
x0 z lewej strony)
na osi liczbowej:
x--- - - - --
Rozwiązanie:
22
. :. •
•) , •
--------~x
X ułamek
przez czynnik
Zauważ, że jeżeli wartościach
x zmierza do x0 z lewej strony, to oznacza, że dąży do x0 po mniejszych od x 0 23
Jeżeli
x zmierza do x 0 z prawej strony, to oznacza,
ściach wi ększych
że dąży
od x 0•
do x0 po warto-
X-7Xo
Definicja g r a nicy j ednostronnej funkcji w punkcie: Liczba g jest gra nicą i tylko wtedy gdy:
prawostronną
lim/(x) = g ~ /\ [(x„ > x0
funkcji y
=
lim
f(x) w punkcie x 0 wtedy
X-7Xo
filrt=
x->xo k(x)
l 0 +oo gdy g > O i k(x) > O w pewnym
sąsi edztwie
punktu x0 , co zapisujemy
2° +co gdy g < O i k(x) < Ow pewnym
sąs i edztwie
punktu x 0 , co zapisujemy
3° - oo gdy g > O i k(x) < O w pewnym
sąs i edztwi e
punktu x0, co zapisujemy
4° -oo gdy g < O i k(x) > O w pewnym
sąs i edztwie
punktu x0 , co zapisujemy
lim x„ = x0 ) ~ lim/(x„) = g]
"
11~
(.x„)
.\·-7x0 •
4) Jeżeli lim g(x) = g i lim k(x) = O, to:
11~
x. e D1
Liczba g jest gr anicą lewostronną funkcji y = f(x) w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy gdy: lim /(x) = g ~ /\ [(x11 < x0
x-7x0 -
lim x„ = x0 ) ~ limf(x,) = g]
A
(.\'" )
11-700
11_,oo
x„e 0 1
Funkcja y = f(x), która jest okreś l ona w pewnym sąsiedztwie punktu x 0 , ma w tym punkcie grani cę wtedy i tylko wtedy, gdy posiada w punkcie x0 g ran i cę l ewostronną i prawostronną i obie te granice są sobie równe. Można
to zap i sać krócej: lim ./(x) = g ~ lim.f(x) = lim f(x) = g
x->x0
x-.x0
x--.,1· 0
[~]= -OO
Twierdzenie: I)
Jeżeli lim/(x) = ±cx:J to lim - 1- = O
2)
Jeżeli
x-.x0
x-.x0
f{x)
ZADANIE 1 lim/(x) = O if(x) > O w pewnym sąsiedztwie punktu x 0 to
X-+X0
. l l1m -=+co
Obliczyć granicę funkcji/(x) = - 3 - , gdy x ~ - 2 x+2
x->X. j{x)
Rozwiązan ie:
3)
Jeżeli
. 1lnl
lim/(x) = O if(x) < O w pewnym sąsiedztw.ie punktu x 0 to
x- >x0
x + 2 "' Ozatem x"' - 2
Aby obliczyć
1 x->xo j(x)
- = - CO
Aby zbadać znak funkcji .f(x) w sąsiedztwie punk.tu x0 wykres znakuj(x), który będziemy oznaczać sgn/(x).
Założenia:
na leży n arysować
x
+2
w punkcie - 2 nie należącym do dzie-
dziny funkcji, musimy ob li czyć granice jednostronne tej funkcji w tym punkcie. Jeżeli granica lewostronna bQdz ie równa g ra nicy prawostronnej tej funkcji w punkcie -2 to istnieje wówczas granica funkcj i w tym punkcie. lim _ 3 _ +2
.H- 2- X
24
granicę funkcji f(x) = - 3-
=
[io+]
= +oo
25
Rysujemy wykres znaku
lim -
x°"'- 2- X
mnożenia
sgn (x ~· 2)
/ +
3
/=2
=-oo + 2 =[J_] O-
Ponieważ .!~~/(x) =F- ~~/(x) to funkcja/(x) =x
X
l 2 nie posiada granicy w pun-
ZADANIE 3
Obliczyć granicę funkcji/(x) =
x+3 , gdy x - >_ 3+ - x - 12
Rozwiązanie:
Założenie:
kcie x0 = - 2.
X2
x2 - x - 12
-::F
O
~ = 1+4 · 12= 4 9
,,/!;= 7
ZADANIE 2
Obliczyć granicę funkcjij(x) =
X
3x _ w punkcie x = 5 0 x-1 - 2)
I
x2 =1-+-7= 4 2
Rozwiązanie: Założenie :
x 2 - 25
O, zatem x =F- 5 i x =F- - 5 Podobnie jak w zadaniu poprzednim będziemy musieli nostronne w punkcie, który nas interesuje, czyli x 0 = 5. lim
.HS-
lim
Założenie:
=F-
[_li_] [!i] o+ [_li_]o [!i] o-
3x 3x = lim = = x2 - 25 .Hs- (x - 5)(x + 5) 10 . o 3x 3x = lim = 25 .HS- (x - 5)(x + 5) 10 .
.HS- x2 -
=
= I - 7=-3 2
obliczyć
x
=F-
-3 i x
=F-
4
granice jedNaszym zadaniem jest obliczyć granicę prawostronną w punkcie x 0 = -3
= +oo lim = -oo
sgn (x2 +' 25) = sgn (x - S)(x + 5)
Jak widać z obliczeń granica naszej funkcji /(x) = -2 3x liczonej w punkcie X -25 x = 5 nie istnieje, gdyż granice jednostronne tej funkcj i w punkcie x 0 = 5 są
= lim __.x_·_+_3 _ _
x+3
.H- J • X2 - X -
12
x°"' - 3- (X +
3)(x - 4)
=
lim
1
1
H - 3'X -
4
-7
7
Mianownik możemy przedstawić w postaci ilo· czynowej, tj: ax1- + bx + c a(x - x 1)(x - x2) gdzie x„ ~ są pierwiastkami funkcji kwadrato· wej.
=
Jak widać w tym przypadku skraca się nam licznik i mianownik, więc nie mamy żadnego symbolu nieoznaczonego. Nie ma znaczenia, czy będziemy zmierzać do -3 z lewej czy z prawej strony. Granica funkcji w punkcie x 0 = -3 wynosi -117.
różne.
Odpowiedź
Granica fonkcji/(x)
26
=
„ 3x
x-
+ 25
w punkcie x 0 = 5 nie istnieje.
27
C i ągłość
funkcj i w punkcie
DEFINICJA ciągłości funkcji w punkcie: Funkcję/ R ~ R zmiennej rzeczywistej nazywamy ciągłą w punkcie x 0 E D 1 wtedy i tylko wtedy, gdy spełn i one są następujące warunki: (a) istnieje granica funkcji w punkcie x 0 (b) istnieje wartość funkcji w punkcie x 0 (c) granica funkcji w punkcie x0 jest równa wartości funkcji w tym punkcie, czyli: ./(x0 ) = lim.f'(x) x->.'·o
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI W PUNKCIE - przykładowe zadania
ZADANIE I Sprawdź,
f(x)
czy funkcja.f'jest
= 5x + 2x - 3, 3
x0
ciągła
w x0 , jeżeli:
=1
Rozwiązanie:
Najpierw liczymy
wartość
funkcji/(x) w punkcie x 0 = I
f(x 0 ) =f(l) = 5 · 13 + 2 · I - 3
=5 + 2 - 3 =4
Czylif(l) = 4 Teraz znajdujemy granicę funkcji j{x) w punkcie x0 = 1. limf(x) = lim (5x3 + 2x - 3) = 5 · 13 + 2 · l - 3 = 5 + 2 - 3 = 4 .~·-> I
x- >Xo
Czyli
lim /(x) = 4
x -;1
31
Sprawdzamy, czy wartość funkcji/w punkcie x0 = 1 jest równa granicy funkcji w tym punkcie. lim/(x) = 4 = f( I ) ·'·- >I
Teraz znajdujemy
x- >O X
Funkcja/ jest ciągła w punkcie x 0 = 1
O 1
1
czy funkcja/jest ciągła w x 0, jeżeli:
x'1
lim/(x) =O
.\'- >0
Sprawdzamy, czy waiiość funkcji/w punkcie .x0 =O jest równa granicy funkcji w tym punkcie.
ZADANIE 2
Xo = O.
lim/(x) = O= /(O)
X- >0
Od powiedź
Funkcja/ jest ciągła w punkcie x0 = O
Rozwiązanie:
Założenia:
x =ft O, czyli D = R - {O} Ponieważ x = O nie należy do dziedziny, to funkcja nie spełnia podstawowego 0 założenia c iągłości funkcji w punkcie. Mianowicie: Sprawdzamy ciągłość fun kcji w punktach, które należą do dziedziny t~j funkcji!
ZADANIE 4 Sprawdź,
Funkcja/(x) =
lX
nie jest ciągła w punkcie x0 = O
w punkcie x 0, jeżeli :
+
x 2 + I =ft O, czyli x
Najpierw liczymy
czy funkcja/ jest ciągła w punkcie x 0, jeżel i:
ciągła
Rozwiązanie:
Założenia :
ZADANIE3
czy funkcja/ jest
. 4x- 1 f(x) = 2 1 ' Xo = 1. X
Odpowiedź
Sprawdź ,
1
Czyli
Odpowi edź
f(x) =
funkcji/w punkcie x 0 =O
. fi(x ) = 1.un - 2x 2 -· O= -=--O= 0 I1m _- = -
x-+x
0
Sprawdź,
granicę
wartość
E
R
funkcji/ w punkcie x0 = 1
' 4·1 - 1 4-1 3 f(xo) =.f(l)= 12 + 1 =J+1 =2
2.x f(x) = x _ , x0 = O. 1 Czyli /(1) =
~
Rozwiązanie: Założenia: x - 1 =F O, czyli x =F I Najpierw liczymy wartość funkcji/ w punkcie x0 = O
./Cx = /(O) = 0-1 = _ o1 = O 2 ·0
Teraz znajdujemy
granicę
. fi ) . 4x - 1 I11n (x = 1nn 2 x-..r0 .H l X + 1
funkcj i/ w punkcie x 0 = I
4 · 1- I 4 - I 3 =--= I+ I 2 2
) 0
Czyli
( ':t.yll /'(O)
J..1
.
3
hm/(x) = 2
x-+ I
O ?\.fat. L:r cz. 4, ark. 3
33
Sprawdzamy, czy zachodzi równość:
Odp owiedź
Funkcja/(x) jest
lim/(x) = /(x0)
ciągła
x- >xo
lim/(x) =~=JO) 2
ZADANIE 6
.Ml
Sprawdź,
Odpowiedź ./() X
Funkcja/jest ciągła w punkcie x0 = 1
Rozwiązanie:
+ 3 =f. O, czyli x
Najpierw liczymy
x 2 + 2 =f. O, czyli x E R Najpierw liczymy wartość funkcji f w punkcie x 0 = 4
wartość
E
3+2 5+3
. 4- x 4-4 O . "() 1un.l'x = 11111~ = - = - = 0 42 x- >4 X + 2 + 2 18 0
5
=3
.1->.1
~
funkcji/ w punkcie x 0 = - 1
2
Czyli
2
3x + 2 3(- 1) +2 = 3+2 = -"---'-- 5X2 +3 5(-1)2 +3 5+3
równania: limj(x) = j(x0 ). Zatem:
prawdziwość
lin{f(x) = /(x0)
=2 8
lim.f(x) = O =/(4)
x ->4
Odpowiedź
Funkcja/jest ciągła w punkcie x0 = 4
!~~f(x) = ~
Sprawqzamy
prawdziwość
X~XO
granicę
Teraz znajdujemy
H - l
limf(x) =O
.r- >4
Sprawdzamy
8
Jimj{x) = lim
o J8 = O
Teraz znajdujemy granicę funkcji/w punkcie x 0 = 4
Czyli
x- •x0
4-x
Czyli /(4) =O
R i funkcj i/w punkcie x0 = -1
3(-1)2+2 /(xo) =/(-l)= 5(- 1)2 + 3 Czyli /(- 1) =
w punkcie x 0, jeżeli:
4 = --:,-x- + 2 ' Xo =
4- 4 o j{xo) = j{4) = 42 + 2 = 16 + 2 =
3x2 + 2 5x-? + 3' xo = -1.
Założenia: 5x2
ciągła
Założenia:
Sprawdź, czy funkcja/jest ciągła w punkcie x 0 , jeżeli: =
czy funkcja/jest
Rozwiązanie:
ZADANIES
f(x)
w x0 = - 1
równania:
ZADANIE7 Sprawdź, czy funkcja/jest ciągła w
x0 , jeżeli :
X-4.\·0
lim/(x)
x - >- l
34
=
~ = /(- 1)
f(x)
=
4x+ 3 x2 - 1' Xo = 1
8
35
Rozwiązanie:
Założenia: x 2
I =t- O, czyi i x =t- 1 i x
-
=t-
-1, D
E
R \ {-1, I}
Wartość funkcji w punkcie x nie istnieje, ponieważ x = I nie należy do dziedzi0 ny funkcji. Funkcja w tym punkcie nie jest ciągła. Ciągłość
funkcji badamy w punktach
należących
Granica lewostronna jest różna od prawostronnej, dlatego nie istnieje granica funkcji/w punkcie x0 = O. Skoro nie istnieje granica funkcji w punkcie x0 =O, to: Odpowiedź
Funkcja/nie jest ci ągła w punkcie x 0 =O
do dziedziny funkcji!
ZADANIE 9 ZADANIE 8 Sprawdź,
f(x) = {
Sprawdź,
czy funkcja/jest
~+
3
ciągła
w punkcie x0 = O, jeżeli:
~; ~
'
ciągła
czy funkcja/jest
w punkcie x 0 = O, jeżeli:
f{x) = { 3;- I dla x ~O x- - 1 dla X> 0 Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Najpierw liczymy wartość funkcji/ w punkcie x0 = O f(x0 ) =/(O) = O Wartość funkcji liczymy dla funkcji ~x) = x, po· i niewaź zero należy do przedziału x;;:,. O.
Czyli /(O) = O funkcji f w punkcie x 0 = O. Ponieważ funkcja jest określona dwuczłonowo, dlatego licząc jej granicę warto spojrzeć na poniższy rysunek, który pozwoli bardzo szybko i łatwo zdecydować, który człon funkcji obrać przy liczeniu granicy lewostronnej funkcji, a który przy liczeniu granicy prawostronnej.
Teraz znajdujemy
granicę
Zacznijmy od policzenia wartości tej funkcji w punkcie x0 = O
./(O) = 3 · O- 1 = - I Teraz znajdujemy granicę funkcji w naszym punkcie. W tym celu obliczymy granice jednostronne dla x zmierzających do O od strony prawej i lewej . lim (x2- 1) = O - 1 = - l x->O"'"'
lim (3x - l) = 3 · O- 1 = ""'o
-
I
Granice: lewostronna i prawostronna funkcji w punkcie x 0 =O są równe, zatem istnieje granica funkcji w tym punkcie i wynosi -1. Na podstawie def. ciągłośc i funkcji w punkcie wnioskujemy, że: lim/(x) = j(O) = - 1 Funkcja jest ciągła w punkcie x0 =O
.\'- >-0
x
o
x~O
X Odpowiedź
lirą/(x) =
x~o
lim_(2x + 3) = 2 · O+ 3 = 3 .t - >0
lirn.f(x) = lim-Ft= O x"'O
x°'O
Zatem:
lim/(x) =t- linif(x)
.f->x~·
36
x- >x
0
; Wybieramy pierwszy człon funkcji f(x) = 2x + 3, dlatego że zmierzamy do zera po wartościach mniejszych od zera, a właśnie dlą x < Ookre· ślona jest funkcja f(x) = 2x + 3.
· Wybieramy dńigi człon f(x) =x, dlatego że zmie· rzamy dożera po wa'rtośdach większych od zera, ·a właśnie dla x
Funkcja/jest ciągła w punkcie x 0 =O
ZADANIE 10 Sprawdź,
czy. funkcja/jest
x- 1 f(x) = {
2;
c i ągła
w punkcie x 0, jeżeli :
dlax =1- -2
X
dlax = -2
37
'11
1
r,1·:.1~'~i\~'~~q·.'
'.
)
" ·. „ ',., .• .- 1 „1 .,: · : ".1.
..
,.
'
·,
.
.
'<
· .,
u·
Clągłosc funkq1_w punkcie] •
li
••
Rozwiąza n ie:
Najpierw liczymy wartość funkcji/w punkcie x 0 = -2
f(x 0)
=f(- 2) = 3
Drugi alon funkcji jest określony tylko dla x = -2. zatem wartość funkcji f w punkcie x0 = - 2 wynosi 3.
Czyli /(3)
=
2
Teraz znajdujemy granicę funkcji/w punkcie x0 = 3 Granicę lewostronną i prawostronną
Czyli f(-2) = 3 Teraz znajdujemy granic~ funkcji/w punkcie x0 = -2.
x <-2
Wjednym i drugim przypadku wybieramy pierwsr; alon funkcji, który jest określony zarówno dla x < -2, jak i dla x > -2.
x >-2
-2
[-2-1] [-3] [-2-J] [-3]
. I lun -x --= -- = -
x-+- 2-
2 +X
0
I Jim -'x-- = -- = 2 +X 0
.H -2+
Ponieważ
-
Q-
0"
Aby zbadać znak mianownika, należy narysować wykres mianownika, czyli sgn (2 + x).
= +co
= - oo
granice jednostronne funkcji są różne , czyli:
lim J(x)
x-> - 2
* lim_ f(x) x-+2
x <3
+_I- [4·30+1] =[ 103_]=-"" -4_x_ x- 3
lin;i_ /(x) = litl}
X-ł>
dla tej samej funkcji ~x) = 4x + 1, która jest x-3 okre~lona zarówno dla x < 3, jak i dla x > 3.
x>3
3
obliczamy
..,..,
.<-+ }
~l = + co
lirlJ._ f(x) = lit:i.J _4_x+_l = [4. 30 + 1] = [ 103 s~J
x-+ 3
X -
3
Granice jednostronne funkcji są różne. Nie istnieje granica funkcji/ w punkcie x 0 = 3, stąd:
Rysujemy sgn (x- 3).
Poni eważ jak widzimy granice jednostronne funkcji są różne, to nie istnieje granica funkcj i /w punkcie x0 = 3, stąd: Odpowiedź
Zatem nie istnieje granica funkcji/w punkcie x 0 = - 2, stąd
Funkcja/ nie jest ciągła w punkcie x0 = 3
Odpowiedź
Funkcja/ nie jest ciągła w punkcie x0 = -2
ZADANIE 12
f jest ciągła w punkcie x 0 = O, jeżeli: dlax O
Sprawdź, ery funkcja
x+ 1
ZADAN IE 11 Sprawdź,
f(x)
ery funkcja/j est c iągła w punkcie x0 , jeżeli:
4x + l dla X ;t: 3 f(x) = { x; 3 dla
X =
3
Rozwiązanie:
Najpierw liczymy wartość funkcji/ w punkcie x0 = 3
=
{O -x + l
Rozwiązanie:
Najpierw liczymy wartość funkcji /w punkcie x0 = O
/(x0) =/(O)= O
Czyli
Teraz znajdujemy granicę funkcji/ w punkcie x 0 = O
x
Wybieramy drugi człon funkcji określony dla zera.
.f(O) =O
o
x >O 39
lim_f(x) = lim_(x + 1) = O+ l = I .<- >0
}
x-->O
lim f(x) = lim (-x + 1) = o + 1 = 1 .\'-)o+
lim_f(x)
=
x->0
=> lim f(x) = lim. f(x) = 1
lim j(x) = lim _(x2 - 3x + 5) =
x- >O+
Granice jednostronne są równe. Istnieje granica fonkcj if w punkcie x0 = Oi wynosi l .
= 02
Czyli limf(x) = 1 Sprawdzamy, czy waitość funkcji/w punkcie x 0 = Ojest równa granicy funkcji w tym punkcie.
Czyli
-
3 . o+ 5 = 5
Następnie
zmierzamy do zera po wartościach od zera, a dla takich argumentów określona jest funkcja f(i) = x'- - 3x -~ 5. większych
lim /(x) = 5
x - >0
Sprawdzamy, czy granica funkcj i f w punkcie x 0 = O jest równa wartości tej funkcji w punkcie x 0 = O
=> lim f(x) =t= !{O)
j(O) =o
x->0
Granice: lewostronna i prawostronna funkcji /w punkcie x 0 = O są równe. Istnieje zatem granica funkcj i/w punkcie x 0 =O i wynosi 5
x- >0
Jim/(x) = 1 }
Zmierzamy do zera po wartościach mniejszych od zera, a dla takich argumentów określona jest funkcja /(iJ = - x + 5.
„
X- >O
x- >O·
x->o+
x- >o
lim_(-x + 5) =O+ 5 = 5
.\·->O
X->0
limj(x) = 5 =/(O)
Granica i wa1tość funkcji w punkcie x0 = O są różne, dlatego
x->0
Odpowiedź
Funkcja/jest ciągła w punkcie x0 =O.
Funkcja/ nie jest ciągła w punkcie x 0 =O
B) B adamy ciągłość funkcji/w punkcie x, = 2 Najpierw liczymy wartość funkcji/w punkcie x 1 = 2
f(x,) = /(2) = 2 + 1 = 3
ZADANIE 13 Sprawdź, czy funkcja/jest ci ągła w punktach x 0 ,
f(x)
={
X+ x2 -
1
3x + 5
-x + 5
x, jeżeli:
Czyli /(1) = 3
dla X~ 2 dla O < x < 2, x0 = O, x , = 2 dla X~ 0
Teraz znajdujemy granicę funkcji/w punkcie x 1 = 2 lim _ f(x) = lim_(x2 - 3x + 5) = x- >- 2
.»->- 2
Rozwiązanie:
= 22
A) Badamy ciągłość funkcji/w punkcie x 0 =O.
-
3 .2 +5 = 4- 6 +5 = 3
Najpierw liczymy wa1tość funkcj i/w punkcie x0 = O
f(x 0) = j(O) =-O + 5 = O + 5 = 5
Czylif(O) = 5
„
I X::; 0
o
:
I x<0<2
2
X
x~2
Teraz znajdujemy granicę funkcji/w punkcie x 0 =O
40
Wybieramy pierwszy człon fu nkcji, który jest określony dla x <:: 2. czyli w szczególności dla x = 2 i obliczamy dla niego wartość funkcji w tym punkcie.
I
=2 +1= 3
; Zmierzamy do dwójki po wartościach mniejszych · od dwójki, a dla takich argumentów określona jest funkcja ~-Il =X.- 3x + 5.
Zmierzamy do dwójki po wartościach większych od dwójki, a dla takic"1 argumentów określona , jest funkcja f(x) x + 1.
=
l
Granice: lewostronna i prawostronna funkcji/ w punkcie x , = 2 są równe. Istnieje zatem granica funkcji/ w punkcie x 1 = 2 i wynosi 3
Czyli
lim f(x) = 3 x- >2
Sprawdzamy teraz, czy granica funkcji w punkcie x, = 2 j est równa wartośc i tej funkcji w tym punkcie. 41
limj(x) = 3 =/(2)
x-->2
Funkcja/jest ciągła w punkcie x 1 = 2. Odpowiedź
Funkcja.f(x) jest ciągła w punkcie x
2 oraz jest
=
ci ągła
w punkcie x = O
ZADANIE 14 Sprawdź,
czy następująca funkcja jest
.f(x) = x · 11 -
ciągła
w punkcie x 0 = 1
xl
Rozwiązanie:
Widzimy, że mamy do czynienia z wartością bezwzględną w przepisie funkcji. Zacznijmy zatem od rozpisania modułu, korzystając z jego def. def {
lxl -
x dla x ;?; O - x dlax
Zatem funkcja ma postać:
x(l -x) .f(x) = { x(- 1 + x)
j(x) = {x(I - x) x(x - 1)
dla 1 - x:?: O dla I - x < O,
czyli wzór funkcji po przekształceniu ma postać końcową:
dlax~
I dlax >I
W ten sposób otrzymaliśmy funkcję bez wartości bezwzględnej w przepisie, dla której możemy sprawdzić ciągłość w punkcie x 0 = 1 Najpierw liczymy wartość funkcji w punkcie x 0
=
I
.f(l)= 1 ·(1 - 1) = 0 Teraz obliczymy granice jednostronne w tym punkcie, czyli:
lim x (x - 1) =I · O= O } X.- )( +
'
I1111X
x-> ł -
( 1-x) = 1 · o=
o
=:>lim .f(x) = lim_f(x) X-> 1-
Ponadto zachodzi warunek: lim.f(x) r->I w punkcie x = I · 0 42
=
=o
X-> )
j(l) =O, czyli dana funkcj a jest ci ągła
---
Pierwsza pochodna funkcji DEFINICJE Po c hodn ą
funkcji y
= j{x)
w punkcie x 0 nazywamy
gran icę właści wą (jeże li
istni eje), ilorazu różnicowego/(x) - fCxo) przy X --7 x0 i oznaczamy syrnbolemf'~\" ).
0
x - xo
!
'(xoJ, = 1un .
f(x) - f (x0 )
x - xo
-<~-
Pochodne funkcji elementarnych:
a) b) c) d)
(c)' = O (ax + b)' = a (ax2 + bx + c)' = 2ax + b (x"')' = m · x",_ 1
c ER
m E R \ {O, I }
e) (sinx)' = cos x I) (cos x )' = - sin x 1t
g) (tg x )' - _ I 2-
X -:/: 2-1- /m ; k E C
I h) (ctgx)' = - -.-
X
i) [c · f(x )]' = c · f'(x),
c ER
cos x
sm2x
i= br.; k E C
j) [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) k) [./{x) - g(x) ]' = / '(x) - g'(x ) 45
Pierwsza pochodna funkcji
.
„
.
•
·;
:.
.
. :.
· ":
;:»:. (. · ·~· = (3x2 ) ' - (5x)' + (I)' = ' 3 (x2)' - 5 · (x)' -r O= = 3 ·2x-5 · l +0 = 6x - 5
I) [f(x) · g(x)]' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x) f(x) ] '_ f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)
m) [ g(x) n)
(In x)' =
[g(x)]2
-
g(x) :FO
'
Odpowiedź
I
x>O
-, X
o)(a')'=a' · Ina,
a>O
p)(fX) ' = - 1 ' 2-{X
x>O
(xc), x-c
r) -
f'(x) = 6x - 5
ZADANIE 4
Wy7.nacz pochodną funkcji:.f(x) = -2x5 + 4x3 - 2x7 + 1 f'(x) = (- 2x5 + 4x3 - 2x1 + l) ' = Znowuposlugujemysięwzorem(.l"'l'=m·A"' · '. = (- 2xs)' + (4x3)' - (2x' )' + (l)' = I tak3 np.:-2(x')'1=-10x' 4(x ) ' = 4 · 3 · x - 1= 12x2 =-2(x5)' + 4 · (x3)' - 2 · (x7 )' + (l)' = 2 . 5 . x 5 I + 4 . 3 . x3- I - 2 . 7 . x 1 I + = I O· .0 + 12 · x 2 + (- 14 · x6 ) + O= I Ox4 I- 12x2 - 14xl• = l 4x6 - 1Ox4 + I2x2
x :F 0 i c e R \ {0}
= --:;-
o
PIERWSZA POCHODNA FUNKCJI - przykładowe zadania ZADANIE 1
Odpowiedź
Wyznacz pochodną funkcji/(x)
=
3.,-2
f'(x) =-14.x6- 10x4 + J2x2
f'(x) = (3x1)' = 3 · (.,-2)' =
Najpierw korzystamy ze wzoru
= 3 ' 2 · X 2- I = 6 · X
[c · /(x)) • = c · f' (Xi. a następnie korzystamy ze
ZADANIE 5
wzoru (X")' = m · X" '
Od powiedź
Wyznacz
f'(x) = 6x ./
Wyznacz pochodną funkcji/(x) 2
2
=
3x2 - l
f'(x) = (3x - I)' = (3x ) ' - (I)' = = 3 · (x2)' - O= 3 · 2 · x 2- • = 6x
''( ' ) = ( • _ .X X
..!. 3
3I
Korzystamy ze wzoru (f(x)- g(x)I' = f'(Xi- g'(i'J, a następnie korzystamy ze wzorów [c · f(x)) ' = c· f'(X'J oraz (xm)' i= m · xm-•.
Odpowiedź =
pochodną funkcji:.f(x) = x ..3
X
+25
2_
' X
1
-
~x3 + 2,5x2 -
O3 + O I ) , = ' X '
0,3x + O,J
Tak jak w poprzednim zadaniu korzystamy ze wzoru: (X")'= m ·X"- 1 oraz [c · ~Xi!'= C' f(~.
I = (.\"')'- (- x3)' + (2,5x2) - (0,3x)' -r (O, I)' =
ZADANIE 2
f'(x)
Obliczamy pochodną każdego składnika z osobna i wyniki dodajemy, Stosujemy również W7.Ór (x"') '= m· X"-'
6x
=
=
4 · x4
1
-
~
•
't · x 3 1 + 2,5 · 2 · x 2 1 -
0,3 + O=
= 4 · x 3 - x 2 + 5 · x 1 - 0,3 =
1
=4x3 -
\
Odpowi edź
x2 + 5x - 0,3
f'(x) = 4x3 - x 2 + 5x - 0,3
ZADANIE3
Wyznacz pochodną funkcjif(x) = 3x2 - 5x + I
" 5x + I)'= f'(x)=(3x246
47
\ ZADANIE6 Wyznacz pochodną funkcji/(x) ~r
=
.,
~.
I
=
I = -
r l l l_, (vx )' = (x 3)' = -3 · ,x: 3 = l_ł. I _,! l ! 1
3 =-
.xl
3
3
. X 3 = - . (xlr' = 3
I
l
- . --:- = - 33 X; 3~
J
=-
l
.f '(x
pochodną funkcj ij(x) = 2i\: _ J_ X
I f(x) = 2..fx - -
.!.)I=(2..fx) I- (.!.)I =2(..fx) 1- (.!.) X
X
1 =
1. , _ l
',t.../X
=
1
2*
Korzystamy tutaj ze wzorów: ('-'X)' ,., l i" oraz 2-vx ( ~) '= -~. gdzie u nas c = 1
X
x2
)
2-./X
2
'1X3
-
1
1
2 ·X
- :; -
1
+ 2 ·X
.i - -2 --
1
=- +-2"4x3
zat.: x :<: o i x"" o czyli x > o
-../X
2
Odpowiedź
., )
l
I l I l I +- · - = - + - · - =
1 1 =- +-2·-& 2~
ZADANIE7
I
X-i
=2~ - (- ~·x-~-')2~ + ~ · x-;= 2.../X
1 -~ I f'(x) = - x J = - 33 3..fXl
X
I
(..fx) I= i\: I
j
f'(x) = ( 2..rx -
Te przekształcenia usprawnią rachunki.
f'(x) = (..f;)' - (x- 2)' =
Odpowiedź
Wyznacz
../X - _I_ = ../X
=.,/X-
f(x) ="IX = (x)J f'(x)
j(x) =
(-J.)=
ZADANIE 9 Wyznacz pochodną funkcji ./{.r) = (x~ - 3x + 3) · (x2 + 2x - I)
x-
[/(x) · g(x)]' = f'(x) · g'(x)
+ J(x) · g'(x)
=-+Czyli J'(x) = [(x2 - 3x + 3) · (x2 + 2.x - I)]' =
Odpowiedź
f'(x)
J
../X x2
'\
=- +-
ZADANIE8
Wyznaczpochodnąfunkcj i f(x) = ..fx- -~ . 'IX
48
I) + (x2- 3x + 3) · (x2 + 2.x - l)' = = ((x ) ' - (3x)' + (3)') · (x2 + 2x - 1) + (x2 - 3x + 3) · ((x2)' + (2x)' + (- 1)')= = (2x - 3 + O)(x2 + 2x - I)+ (x 2 - 3x + 3)(2.x l- 2 +O) = = (2x - 3)(x2 + 2" - I) + (x2 - 3x + 3)(2x + 2) = = 2x · x 1 + 2x · 2x - 2x · 1 - 3x2- 3 · 2x - 3 · (- 1) + 2x · ,t2 + 2 · x2- 3x · 2x + - 3x · 2 + 3 · 2" + 3 · 2 = = 2x3 + ~2- 2x - 3x2- 6x + 3 + 2x3 + ~2- 6x2- ~ + ~ + 6 = = 4x3 - 3x2 - 8x + 9
= (x2- 3x + 3)' · (x 2 + 2.x -
1
I
Skorzystamynajpierwzewzorunapochodną iloczynu dwóch funkcji.
zat.:x>O
2
49
\
Pierwsza pochodna funkcji
..
.
'
'
l
Odpowiedź
Pierwsza pochodna funkcji
.
'
l
.!_
I
_ .!.
.!_
f'(x) = ((x2 + l )(x 2 - \ ))' = (x2 + l )'(x- ~ - 1) + (x 2 + l )(x
f'(x) = 4x3 - 3x2 - 8x + 9
2
-
l )' =
ZADANIE 10 Wyznacz pochodną funkcj i/(x) = (x3 - 3x + 2)(x4 + x 2 + I).
[J(x) · g(x)]' =f' (x) · g(x) +.f(x) · g '(x)
Podobnie jak w zadaniu 9 skorzystamy najpierw ze wzoru na pochodną iloczynu dwóch funkcji.
Czyli
f'(x) = [(x3 - 3x + 2)(x-1 + x 2 + I )]' = = (x 3 -3x + 2)'· (x4 +x2 + 1)
+ (x3 - 3x + 2) · (x.i + x 2 + L)' = 3 = ((x )' - (3x)' + (2)') (.~ + x 2 + l) + (x 3- 3x + 2)((x 4)' + (x 2)' + (l)') = = (3x2 - 3 + O)(x4 + x 2 + I)+ (x3 - 3x + 2 )(4x3 + 2x + O)= = (3x2 - 3)(x"' + x2 + I) + (x3 - 3.r + 2)(4x3 + 2x) = 2 1 = 3x • x' + 3x2 · x2 + 3x2 • I - 3x·1 - 3x2 - 3 ~ 4x' · x 3 + 2x · .x3 - 3x · 4x 3 - 3x · 2x + 2 · 4x3 + 2 · 2.x =
-I O.\.A +-8x -6x2- +-X-4x-- 33+ -4x + -2x.i - I-
=
.ll.6 + 3."A + ..1<- -
=
7x
6-
3.~
6
2A..i -
3-
2
-6x .+ 8x· 3 + 4x =
I = 2..fX -
Odpowiedź
f'(x) = 7x6 - IOx4- 6x2 + 8x3 + 4x - 3
1
2-R
Odpowiedź
ZADANCE 11
f'(x) = = -
~yznacz pocbodnąfunkcji.f(x) = (-fX + l)( ~- -
I
2x
I -~
.!.
2x 2 =-
2-
I 1 2 {X - 2 R
I) ZADANIE 12
""' }
~
f(x ) = (-fX + I
= (x 2 +
I)(~ I
I)
= () I
+
1)((~)-1
I) =
,!
I
l)((xi')- 1 - 1) = (x2 + l)(x- 2 - I)
[.f(x) · g(x)]' = .f(x) · g(x) + f(x) · g '(x)
50
Zal.:x> O
Najpierw przekształcamy funkcję tak. aby ula· twić sobie obliczenia. Teraz korzystamy ze wzoru na pochodną iloczynu dwóch funkcji.
X
Wyznacz
pochodną funkcjif(x) = ( ~ - -f3)(4x ~ + ~)
Najp ieiw przekształci my funkcję tak, by rachunki były łatwiejsze.
j(x) = ( 2 "('-'X ) = (
2 · (xiI t'
1
-
- ...f3
)
-f3) (4x · ) (
.!_
4x · x 3 +
+
l·
\fxr. x- 1 )
3[ · x~ 3
•
x
1)
=
=
51
= (2 ·X
-i - ~) (4 · +i + 1
X
= ( 2 · x- .!.2 - ~ ) ( 4·x :3
t·)"(-Il)
=
1 .!.) 3 + 3·xOdpowiedź
Teraz korzystamy ze wzom na pochodną iloczynu dwóch funkcj i.
f'(x) =
20 _.!. 5 _lj 16'13 ~ '13 - ~ x 6 - x 6 - -- x + 9 x „
3
9
3
ZADANIE 13 Wyznacz pochodną funkcji/(x) = (x2 - I )(x2 - 4)(x2 - 9)
J _.3!.) + (2x_ .!.2 x .2!. -1+ O)( 4x :!3 + 3x ( 2 · ( - 2l)_ + 3 - 3 x-3.!. _1) = =
I ( I) ( ( 21) x- ł)( 4x ~„ + 3xI -~)·' + (2x_ '13 ( _ł) (4x + 31 - ~)„ + ( _ ~ ) 3
~)
-
= =
2 · 2
- x
ł = - X- 2 •
:'3!.
2
x
2x
.!.2
-
.Y 3
-
)
( 16 .!.3 x
(
-
4
- X 2 •
~ 9l x - „~) =
4 · 3- x , -
8I x - :!2 )
- ł I .!. l 16 .!. .!. l - x- .1 + 2x - 2 . -2. X 3 - 2x - 2 . 3 3 9 1 :!J ) = -'13· -16 x3.!. + -f3· -x3 9 . _ ł + :! 1 ł + (- ~) 32 .!. ~ .!. 2 _.!.+(-=-) = - 4.X 2 3 - -x 2 3 + _ X 2 :> _ _ ,\'. 2 3 _ 3 3 9, :!
4x J
=-4 ·x
1
_ 2_ 2
6 6- - x 6 6 +
3
= (x'' -
=
:'!.
X- 3 -
5x2 + 4)' (x2 - 9) + (x4 - 5x2 + 4)(x2 - 9)' =
((x4)'+ (-5x2)'+ (4)') (x2- 9) + (x4 - 5x2 + 4)((x2) ' - (9)') =
= (4x3 - 5 · 2x 1 + O)(x2 - 9) + (x4 - 5x2 + 4)(2x - O) = = (4x3 - 10x)(x2 - 9) + (x4 - 5x2 + 4)(2x) = = 4x3 · x2 + 4x3 · (- 9) - I Ox · x2- I Ox · (- 9) + x" · 2x - 5x2 · 2x + 4 · 2x = = 4x5 - 36x3 - 10x3 + 90x + 2x5 - 10x3 + 8x = = 6x 5 - 56x3 + 98x Odpowiedź
f'(x) = 6x 5 - 56x3 + 98x
32 -L~ 2 _ L~ 16'1J .!. ~ _:_ - x 6 6 - - x 6 <> - - - x3 + x J= 3 9 3 9 .
ZADANIE 14 Wyznacz pochodną fonkcji/(x) = x · sin x f'(x) = (x · sin x)' =
Stosujemy wzór na pochodną iloczynu dwóch
(x)' · sin x + x · (sin x)' = = I ·sin x + x · (cos x) =
Korzystamy ponadto ze wzoru (sin x)'
=
= sin X
52
wzór na pochodną iloczynu dwóch funkcji.
J'(x) = ((:<' - 5x2 + 4)(x2 - 9))' = =
16'13 ~ ~ - ~ - - 3 - x" + 9 x „ = -2 + ~
Funkcję p rzekształcimy tak, by można zastosować
Teraz stosujemy wzór na pochodną iloczynu dwóch funkcji.
1
2
j '(x) = (x2 - I )(x2 - 4)(x2 - 9) = = (x2 · x2 - 4x2- x 2 + 4)(x2 - 9) = = (x4 - 5x 2 + 4)(x2 - 9)
funkcji.
=cos x.
+ X . cos X
53
Odpowiedź
l·(x - 1) - (x+l)·l (x - 1)2
f'(x) = sin x + x · cos x
ZADANIE 15
f'(x) = (x
· COS
= (x2) I • cos X
x2 ·
cos x. Stosujemy wzór na pochodną iloczynu dwóch funkcji.
x)' =
+ x2 • ( cos X)
f
=
= 2x · cos x + (- sin x) == 2 = 2x · cos x - x · sin x x2 ·
Korzystamy ponadto ze wzoru (cos x)' = - sin x.
Odpowiedź
f'(x)
=
(x - 1)2
Odp owiedź
Wyznacz pochodną funkcji/(x) = 2
-2
x - I - (x + I) _ J-1-/-1 (x - 1) 2 (x - I ) 2
-2 f'(x) = (x - 1)2
ZADANIE 18
Wyznacz pochodną funkcji/(x)
2x cos x - x 2 sin x
=
X
x2 +
.f{x) ) / = f'(x)g(x) -f(x)g'(x) ( g(x) (g(x)) 2
ZADANIE 16
Wyznacz pochodną funkcji./(x) =sin x · cos x
,
pochodną iloczynu
f'(x) = (sin X· COS x)' = = (sin x)' · cos x +sin x · (cos x)' =
Skorzystamy ze wzoru na dwóch funkcji.
= cos x · cos x +sin x · (- sin x) = cos 2x - sin 2x
Korzys1amy ponadto ze wzorów: (sin ~· = cos (cos x)' = - sin x.
=
x.
2
x2 +l
f'(x) = cos2x - sin 2x
2
R
poch odną
ilorazu
l)' =
(x2 +1)2
l · (x 2 + 1) - x · (2x + O) = (x2 + 1)2 x 2 + I - x · 2x (x2 + 1)2
Odpowiedź
xe
Skorzystamy ze wzoru na dwóch funkcji.
_ (____::__) '= (x)'(x + I) - x · (x +
f(x) -
Zał.: ~+ 1 * O czyli
1
x 2 + 1 - 2x2
(x2+1)2
Korzystamy ze wzoru (X")'= m · X" - 1• dlatego (x)' = 1, (x2)' "' 2 · x1- 1 = 2x
J - x2
(xi
+ I )2
Odpowiedź
ZADANIE 17
Wyznacz pochodną funkcji./(x) =: ~ .f(x) ) ' = f'(x)g(x) - flx)g '(x) ( g(x) (g(x)) 2
l - x2 f'(x) = (x2 + J)2
~
Zal.:x* 1
Skorzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu dwMh funkcji.
ZADANIE 19
ax + b Wyznacz pochodną funkcji/(x) = ex+ d
f '(x) == ( x + I ) '= (x + l)'(x - 1) - (x + l)(x - l)' x- 1 (x - 1)2
54
55
f'(x) = (ax + b) '= (ax + b)'(cx + d) - (ax + b)(cx + d)' ex+d (cx+d) 2
Odpowiedź
=
'I
=
a(cx+ d) - (ax+ b) · c (ex+ d) 2
=
- 6x2
r
-
.I (x)-
(1 +x 3
acx+ ad-acx - be (ex+ d)2 = ZADANIE 21
.aa - .aex + ad - be (ex+ d)2
ad - be (ex+ d)2
x2 - x+l 3
Wyznacz pochodną funkxjif(x) = • x2 ~
Zał.: X 'i'
..J3 i X'i' --./3
Odpowiedź
f'(x)
=
ad- be (ex+ d)2
_ ((x2)' + (- x)' + (l)')(x2 - 3) - (x 2 - x + l)((x2)' + (- 3)') (x2 - 3)2
=
Korzystamy ze wzoru (x")'
ZADANIE 20
(2x - 1 + O)(x2- 3) - (x2 - x + J)(2x + O)
Wyznacz pochodną funkcjiRx) =
1 3 - X I + x3
=
Zał. : x'i'- 1
(2x - 1)(x2- 3) - (x2 - x + .I) · 2x = (x2- 3)2
' x = ( 1 - x3 ) , = (I - x3) '( 1 + x3) - (1 - x3)(1 + x3) ' I + x3 ( 1 + x 3)2
2x · x2
((1)' + (- x3)')(1 + x3) - (1 - x3) ((I)'+ (x3 )') (I + x3)2
-
W - 6x - x 2 + 3 - ;bC + 2x2 - 2x
(0 - 3x2)(1 + x3)-( l - x3)(0+ 3x2) _ (I + x3)2 -
=
Korzystamy ze wzoru a' · al' = a'+r
2x · 3 - 1 · x2 - l · (- 3) - x2 • 2x + x · 2x - 1 · 2x = (x2 - 3)2
(x2 - 3)2 =
1
(x2 - 3)2
f (. ) =
=m· x•-
Redukujemy wyrazy podobne.
x2 -8x + 3
(x2 - 3)2 2
=
3 ) -
- 3x (I + x (I + xJ)2
(1- x 3) ·
-3x2 - )x1' - 3x2 + ~ (1 + x3)2
56
3x
2
-3x2 =
3x x 3x + x (I + x3)2 2 •
3 -
2
3 •
3x
2
Odpowiedź
f
„ (x) =
x 2 - 8x+3 (x2 - 3)2
57
ZADANlE22 (2
Wyznacz pochodnąfunkcji/(x) =,
2
., x = ( x + x ./ (. ) x3 + I
I)
2
+ x- I ,
X3 +
l
Zał.:x ~-1
3
= (x + x - 1)'(x + I) - (x 2 + x - 1)(x.J + 1)' = (x3 + I )2
_ ((x2)' + (x)' + (-I) ')(x3 + I) - (x2 + x - I)((x3) ' + (I)') (x3 + J)2 _ (2x + 1 + O)(x3 + I) - (x2 + x - 1)(3x2 + O) _
(x3 + J)2
-
-
_ (2x + 1)(x3 + 1) - (x2 + x - I) · 3x2
(x3 + 1)2
-
I
_
4
2x
-
(l - x2)2 4 _.!. .!. I ~ 3 . x2 + Z . x3 . x
I
t.
2x
3 -
-i
I
2x · x 3 + 2x · l + 1 · x 3 + 1 · I - 3x2 • x 2 - x · 3x2 + I · 3x2 (x3 + l)2 2x 4 + 2x + ..t-J + I - 3.~A - 3x3 + 3x2 (x3 + I )2
(1 - x2)2
4 _.!. -x 3
4 _.!. +.!. ~ .!. - x 3 2 + x3 - i
_
3 Redukujemy wyrazy podobne.
- x" - 2x3 + 3.x2 + 2x +I
3
4 __!.
(I _ x2)2 4 .1. .!.
(x + 1)2 3
(1 -
Odpowiedź
4 _.!. -x 3
:; _ - xG + x6 3x 3
3
I .!. - -x6
3 .!.
x2)2
Odpowiedź
4 - -~ -x 3
_ - x 4 - 2x3 + 3x2 + 2x +I j (x) (x3 + 1)2 .,
/'(x) =
-
3
I .!. - x6
3
I
(1 _ x2)2
ZADANIE 23
ZADANIE 24
Wyznacz pochodną funkcji/(x) =
2~ _ x~ x ~ O i x 1
=1=
I
Wyznacz pochodną funkcji/(x) = x _x-{X
Zał.: X >
0, X~ 1
2
.f(x)=
58
2 . 3;JX2 I -~
2 .) '
X
=-1
1-x
2
Najpierw funkcję przekształcamy tak, by ułatwić późniejsze rachunki.
X
j(x) = -x----..fx--=x~ = - r x-x1
Najpierw funkcję przekształcamy tak, by ułatwić późniejsze rachunki.
59
f'(x)
= ( ~) =
.!.
.!.
I
x((x)' - (xi )')
-
(x - x 2 )
(x - x 2 )2 .!.
X - X2 - X
2
(x -
.!. 1 I - x2 + - x 2
.!.) 2
1 + - ·X
.!.
· X- 2
Wyznacz pochodna funkcji/(x) = •
X j ( ) •1
1 -
Zał.: cos X'# 0, czyli Xof. /(Tt, k E
I+
COS X
(
= (- )- ) = (l)'' COS x- 1 ' ( COS X)'= 1
cos x
cos2 x
2
)2
(-
-
l .!, _ I x(l - -x2 ) 2
(x - x2)2
x _ x2.!. - x ( 1 - 1x -~-) x2
ZADANIE26
(x - x2)2
x - x.!.
1 · (x - x 2 )
I
2
(x)'(x -x )-x(x - x2)'
1 .!.
.!.
- x 2+ - X 2 _ __,2'---
= O· cosx-1 · (- sinx) cos 2 x
(x - x2)2 J .!. -
sinx cos 2 x
=
...:. X 2
---=2~_ = - l . -IX 2(x - -fX)2
Odpowiedź
l'(x) = sm x · cos 2 x
O d powiedź
--IX
f'(x) =
2(x - vx)2
ZADANIE 27 ..
ZADANIE 25
Wyznacz pochodną funkCJ1/(x)
1 Wyznacz pochodną funkcj ij{x) = - . -
.
SIU X
, (I)' =
/(x)= - .-
Slll X
o . sin
Zał.: sinxot.O, czyli Xot.krc, ke C
l'(x) = ( x.sin x + cos x ) ' = .
(l)'·sinx..- l · (sinx)' = 2
X - 1 . cos X sin 2 x
sm
-
sm X
- X
cos X
sin X + cos X sm X - X cos X
X
= -. - - --
, Zał.: sin x-cos x ,p. O, sin x1' cos x
(x sin x + cos x)'(sin x - x cos x) - (x sin x + cos x)(sin x - x cos x)' = (sin x - x cos x)2
X
cos X sin 2 x
_ ((x sin x)' +(cos x)')(sin x - x cos x) - (x sin x + cos x)((sin x)' - (x cos x)')_ -
(sinx - xcosx) 2
-
Odpowiedź
f'(x) = - ~os x sm 2 x
((xt.s ip x + x (sin x)' + (cos x) ' ) (sin x - x cos x) (sin x - x cos x) 2 (x sin x + cos x) ((sin x)' - (x)'cos x - x (cos x))' = (sin x - x cos x) 2
60
61
=
(I · sin x + x cos x + (- s in x))(sin x - x cos x) (sin x - x cos x) 2
_ (xsinx + cosx)(cosx - 1 cosx - x(- sinx)) (sin x - x cos x) 2
=(si-fl-:f + X cos X -
s.i:trx)(sin X (sin x - x cos x)2
+ cos x) (CGS":Y' -
(x sin x
(sin x - x cos
- X
cos x)
~ -t x
= x„.cos x sin-:r - x 2 cos 2 x - x 2 s in 2 x - ~i-ttt (sin x - x cos x) 2 ą'°' ~ „ ') „ . 2 = - x- COS" X - x - S iil X - X "' ( COS-' X+ Si.n-' x)
(sin x - x cos x)2
=
- x2
= - - -- -(sin x - x cos x)2 Odpowi edź
f'(x) =
.
-x2
(sm x - x cos x) 2
62
lM{ttvlVO~({ tUlVf((~{
sin x)
x) 2
= x cos x (sin x - x cos x ) (x sin x + cos x) · x sin x (sin x - x cos x) 2
(sin x - x cos x)2
gAPAlV{t P~ztg{t6U
Korzystamy ze wzoru sin2 x + cos2 x = 1
Badanie przebiegu zmienności funkcji DEFINICJE, TWIERDZENIA Zanim zaczniemy badać przebieg zmienności funkcji musimy podać kilka twierdze1\ które ułatwią nam rozwiązywanie zadań . Wnioski z twierdzenia Lagrange'a Jeżeli
funkcja y = f(x) jest różniczkowalna w przedziale (a, b), to:
/\ f'(x) = O <=:> funkcja/ jest stała w przedziale (a, h) x e (a;b)
•
/\ f'(x) > O<=:> funkcja/jest
rosnąca
w przedziale (a, b)
XE((I;/>)
/\ f'(x) < O <=:> funkcja/ jest malejąca w przedziale (a, b). XE((I;/>)
Za pomocą tych wniosków możemy kowalnej w dowolnym przedziale.
zbadać monotoniczność
fun kcji
różnicz
ZADANIE l
Zbadaj monotoniczność funkcji/(x) = -2x3 + 15x2 - 24x + 1 Rozwiązanie :
Zacznijmy od określenia dziedziny funkcji. Ponieważ jest to wielomian stopnia 3 zatem dziedzi ną będą wszystkie liczby rzeczywiste D = R. 1 Zgodnie z powyższymi wnioskami, aby zbadać monotoniczność funkcji, należy obliczyć j ej pochodną. f'(x) =
=
(- 2x3 + I 5x2 - 24x + I)' = - 2 · 3x 2 + 15 · 2x - 24 · 1 + O=
- 6x2 + 30x - 24
65
Badanie przebiegu zmienności funkcji Teraz określamy dziedzinę pochodnej Dr= R. Rysujemy wykres znaku pochodnej.
sgn f'(x) = sgn (- 6x2 + 30x - 24) Teraz należy obliczyć miejsca zerowe pochodnej. - 6x2 + 30x - 24 =O / :6 -x2 + 5x - 4 =O Li = 25 - 16=9, ~= 3 X = I
X 2
-5- 3 -8 =- = 4 -2 -2
= -5+3 =-2 = I -2 -2
Zauważamy, że:
X E
(- oo, 1)-=,,f(x)\i. (l , 4)-=,, f(x ),11
x
(4, +oo)-=,, j(x)\i,
x
E
E
W taki sposób możemy zawsze określ ić monoton iczność funkcji różniczkowalnej . Definicj a ekstremum funkcji Def. (maksimum loka lne) • Funkcjaj(x) posiada w punkcie x 0 E D maksimum loka lne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie U punktu x0 , że dla każdego punktu x z tego otoczenia x E U i różnego od punktu x 0, x :;t x 0, spełniona jest nierówność f(x) < f(x0 ). Def. (minimum lokalne) • Funkcjaf(x) posiada w punkcie x0 E D minimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie U punktu x 0, że dla każdego punktu x z tego otoczenia x E U i różnego od punktu x 0 , x :;t x 0 , spełniona j est ni erówność f(x) > f(xo). UWAGA!!! NIE MYLIĆ EKSTREMUM FUNKCJI Z NAJWIĘKSZĄ I NAJMNIEJ SZĄ WARTOŚCIĄ FUNKCJI. Aby funkcja posiadała ekstremum muszą być spełnione dwa warunki: Warunek kon ieczny istnien ia ekstremum funkcji, oraz warunek wystarczajacy. Pamiętajmy jednak, że do istnienia ekstremum funkcji nie wystarczy tylko warunek konieczny.
66
Badanie przebiegu
zm ienności
funkcji
Twierdzenie: Warunek konieczny istnienia ekstremum •
Jeżeli
funkcja y = f(x) określona w pewnym otoczeniu punktu X0 E Dxjest punkcie x0 i posiada ekstremum w tym punkcie to:f'(x 0) = O.
różniczkowa lna w
Twierdzenie: l Warunek
wystarczający
istnienia ekstremum
• Jeżeli funkcja y = f(x) jest c iągła w punkcie x0 E Dx i jeżeli ma pochodną Gest różniczkowalna) w pewnym sąs i edztwi e punktu x 0 o promieniu o i jeżeli pochodna jest dodatnia dla x E (x x 0), natomiast dla x E (x0 , x 0 + ó) 0 pochodna jest ujemna, to funkcja f(x) posiada maksimum w punkcie x 0 • • J eżeli fun kcja y = j (x) jest ciągła w punkc ie x 0 E D , i jeże li ma p ochodną w pewnym sąsi edztw ie punktu x 0 o promieniu i jeżeli pocho~na jest ujemx 0 ) , natomiast dla x E (x0 , x0 + ó) pochodna Jest dodatnta, na dla x E (x0 to funkcja.f(x) posiada minimum w punkcie x 0 .
o,
o,
o
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI I. Określen ie dziedziny funkcji. II. Obliczenie punk tów przecięc ia z osiami. ITI. Badanie parzystości i ni eparzystości fun kcji. IV. Obliczenie granic na ko11cach przed ziałów określonośc i (wyznaczenie asymptot funkcji). V. Obliczenie pochodnej funkcji i wyznaczenie jej dziedziny. VI. Wyznaczenie przedziałów monoton iczności funkcji. VII. Wyznaczenie ekstremów funkcji. . . VIII. Sporządzen ie tabeli przebiegu zmi enności funkcji (zebrame wszystkich wiadomości z części IV, VI, VII). TX. Sporządzen i e wykresu funkcji. W punkcie IV wspomnieliśmy o asympto tach funkcji, które zawsze obliczamy na końcach przedzi ału określoności funkcji. Podamy teraz twierdzenia, na podstawie których będziemy szukać asymptot funkcJt. „
Twierdzenie: Asy mptota pozioma Prosta y = c jest asymptotą poziomą wykresu fu nkcji y wtedy, gdy lim f(x) = c
= f(x) wtedy i tylko
x->±oo
1\vierdzenie: Asymptota pionowa Prosta x = d jest asymptotą p ionową wykresu funkcj i y = f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy lim f(x) =±oo :r--+d
67
Twierdzenie: Asymptota
ukośna
ośOY
Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji y =,Rx), wtedy gdy:
a = lim j(x) x- >±oo
f\O) = -
41 · 0
x~ ±<.1.:
C = (O, I)
3.
Zbadaj przebieg zmienności funkcji i naszkicuj jej wykres: 1 f(x) = - 2x4 + x2 + I
Parzystość
Jest tak dlatego, że funkcja fto wielomian określony w zbiorze liczb rzeczywistych. Przedział (...,,,, +oo) to inny zapis zbioru liczb rzeczywi· stych.
1. Dziedzina funkcji
Dr= R = (- co, +oo)
Aby znaleźć punkty wspólne z osią OX, naleźy wzór funkcji przyrówoać do zera. W tym przypadku rozwiązujemy równanie dwukwadratowe,
1 2
- - x4 + x2 + I = O / '(- 2)
podstawiając pomocniczą ni~wiadomą.
,0 - 2x2 - 2 = 0
xe D 1
0
j(x) =
4
-
21 - 2 =o
E
=
f(- x)]
D1 ==>f(-x) = - f(x)]
I
1 (- x) 4 + (- x)2 + 1 = 2
- -
-Y3
lim x 4 x- >-,,,
= lim x 4 x-> -r.
f-
==>M =ft~
4. Granice 2
x->-oo
2
2 - 2../3 2 2{3 =- - = l 2 2 2
1 4 x + x2 + I 2
- -
funkcja jest parzysta
=
( -
J_ + x + 2
.j..A
J_)
· Licząc granicę w - oo wyłączamy x w najwlęk· szej potędze przed nawias, w nawiasie pozo· staną funkcje, których granicę łatwo policzyć.
=
=
X4
(-!.~ :· ~[+oo·(-.!.)] =-oo 2
1 , /)
X
2
X
odrzucamy
t =2 + 2'5 = l_ _ 2-{3 = 1 + ·-13 2 2 2 2
Uzyskane wartości ·~, ~ wstawiamy ponownie do równania ~ = t. Wartość t, = 1 - -.13 należy wyeliminować, ponieważ jęst mniejsza od zera. •
Czyli lim j(x) = - oo x-> -oo
Zatem
licząc granicę
w +oq 11ostępujemy tak jak po-
przednio.
x 1 = 1+
X
= - °'11 + ..,/3
Czyli
A = (-~, O); B = (vl + ~3 , O)
68
.
2
lim .f(x) = lim (- _!.x4 + x 2 + 1)
fti = fil = ~ = .._f4 · '5 = 2·f3
X
Dr => f(x)
_!.x 2 +x +1
x ->- oo
0
--13 = .../}+ ..,/3 lub
E
Funkcja y = ftx) jest nieparzysta<=:> (':- l [(-x)
.6 = b2 - 4ac = (- 2)2 - 4·I·(-2)=4 + 8=12
I
funkcj i
.
ośOX
t =
nieparzystość
Funkcjay = /(x)jest parzysta<=:>/\ [(- x)
f(- x) =
2. Punkty wspólne z osiami OX, OY
t2-
i
Zatem sprawdzimy, czy nasza funkcja jest parzysta (wykres funkcj i parzystej jest symetryczny względem osi OY)
Rozwiązanie
= I, l >
.obliczyć wartość funkcji w punkcie x
czyli
ZADANIE 1
x
Aby odnaleźć punkty wspólne z osią OY. należy = O.
~ 02 + 1 = 1
i b =lim [f(x) - ax]
X
BADANIE PRZEBIEGU ZM I ENNOŚC I FUNKCJl - przykładowe zadania
2
4
2
=
x + -l ) lim x 4 ( - -1 + .::..__ x-->-+if2 x4 x4
= 69
-~
o
(-_!_{· I:~~4 2
=lim x 4
X
.<- >+ "'
o )/ :
6-7.
[ +oo · ( - .!.) ] = - oo
i ekstrema funkcji
f'(x) = - 2x3 + 2r,
2
X
Monotoniczność
D.r= R
W.K
czyli
f'(x) = O<::::> - 2x3 + 2x =O
lim f(x) = - oo ,\· -> +~
Brak asymptot poziomych. Asymptota pionowa nie istnieje,
ponieważ
z dziedziny żaden punkt nie został
usunięty.
x(- 2x2 + 2) = O x = O lub - 2x2 + 2 = O/:2 x = O lub x 2 = I x = O, x=l, x=-1,
ukośna
Asymptota
Równanie asymptoty ukośnej ma gdzie
a = lim f(x), X
x~ =r..t,;
postać:
b = lim (j(x) - ax) x- >±'.J)
1 - -2x'' + x2 + l a = lim ~ = lim .
j( :)
r - >=rJ::
„"\'.
y = ax + b,
.r - >::;n
.."\.
(
I
I )
= lim.t~ -:-- -2 x 3 + x + -X
=
Rysujemy wykres znaku pochodnej. sgn/'(x) = sgn(- 2x2 + 2) x E (- co; - 1) ~ f(x) Jl x E (- 1; O)~ f(x) \i x E (0; 1) ~f{x) Jl XE (I; +co) ~ f(x) \i
(I.;
• = lim ( - .!.x3 + x) +lim_!_ = limx3 ( - .!.+ x->=t.e 2 ,\·- >±oo X x - >±tJ"; 2
-~ )+O =
X
' (lmax
+
=
~x4) ' + (x2)' + (l)' =
= ( -
I
2
= - - · ~ · x3 + 2 · x'
't
=- 2x3 +2x
70
1
+ O=
X
. (O) = I j mio
XE
f'(x) j(x)
l)
-
I I)= 1 -2
(- oo ,- 1)
-1
(- l , O)
o
+
o
-
o
_______.
max
5. Pochodna 2
-)
8. Tabelka przebiegu zmienności funkcji
Brak asymptoty ukośnej.
~-0 + x
+\:j~ ~ ~-
./mox
Zatem a nie istnieje. Wobec tego b też (wynika to ze wzoru na b).
= (-
max
, ( I ) = 1 -I 2
x)
. XJ, ( - -I + -,.. = ± OO = IIm X->±·» 2 x-
f'(x)
max min
Korzystamy ze wzoru na pochodną sumy funkcji oraz na pochodną funkcji (X")'= m · X"- 1
------.
min
(O, I)
-I
(I, +oo)
+
o
-
_______.
max
------.
9. Wykres max
f i! ' min,' 1 '' '' '' ''
max
X
~~~-+-~~-''~~~-1---t-=:==-• -I I +ff
:o ''
71
;p
, '.''. • ~fl,;;rnfłlllOOllłliił!łl!Ulllim~!;;J,i'.:Ji:;:: ITTHl~'.llmj1dH~ JJqą~~J:lliUłłflftiic , 1~ , ~'t~1r 1 , • „
Badanie prżebie·gu 'zmienności funkcji ,
,
ZADANIE2 Zbadaj przebieg zmienności funkcji i naszkicuj jej wykres:
Granice liczymy Ila końcac11 przedziałów wyznaczonych przy dziedzinie. W zerze liaymy grani· ce jednostronne, pamiętając o tym, że
j(x) = x 2 + ~
iL~ co X
przy X"" O+, a* 0. Jeżeli a > Oto granica jest +oo, jeśli natomiast a < O, to granica jest-ro.
Rozwiązanie
1. Dziedzina funkc.ii Założenie:
x :t= O, zatem:
Asymptota pionowa istnieje i ma równanie x = O.
D = R \{O} = (- oo, O) u (O, +oo) 1
Asymptota pozioma nie istniej e. Asymptota
2. Punkty wspólne z osiami OX, OY
y
ośOX
x2 +~ = 0
Punkty wspólne z óX znajdujemy, rozwiązując równanie:
1-x
X
1
X
x +2= O 3
Mnożymy stron·ami przez x; Powstaje równanie trzeciego stopnia, które ma jedno rozwiązanie. (Pierwiastek trzeciego stopnia liczby ujemnej istnieje!).
3
x =-2 X
+y2 -_o .
=M =-12
ax + b, gdzie
a = lim /(x),
ośOY
Nie ma punktów wspólnych z OY, dlatego że szukając takich punktów należa łoby w miejsce x wstawić O, a ten punkt nie należy do dziedziny funkcji. Parzystość
i
nieparzystość
funkcj i
a = lim
X
- f(x) = -x2-~ X
Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
72
.t - >±«>
j~x)
= lim
x2 +~ x
=
,. l. (-x2+.. .2) 1111
X
x-
=
Ao
/ „± oc
(x + ~2 ) = ±oo 2
X
----------
„a" nie istnieje, w związku z tym b też nie istnieje. _ _
---
- ' ·-5.-Pochodna
.~
j'(x) =
(x2+ ~ ) / = (x2)' + ( ~ ) , =
= 2x2-I
+ (2)' ·X - 2 · (x)'
X
=> f{x) :t= j(-x) oraz - f(x)
b = lim (j~x) - ax)
x -> ±~
j(x) = x 2 + ~
j{- x) =x2 - ~
X
x~±oc
= X-lim ) ±00
A(-12, O)
3.
=
ukośna
x2
:t= f(x)
= 2x+
O ·x-2
x2
=
=
-2 2 2x3- 2 =2x +-=2x-2 = , 2 x x x·
73
6- 7. Monotoniczność i ekstrema funkcji sgnf' (x) = sgn
2x3 X
-2 2
ZADANIE3 Zbadaj przebieg zm ien ności i naszkicuj wykres funkcji:
= sgn (2x3 - 2)x2
. x- 1 j(x) = x2 + 3x - 4
W.K f'(x) = O<=> (2x3 - 2)x2 = O
Rozwiązanie:
2x3- 2 = O lub x2 = O
... X
X =
1 lub
x
(-co; O) -:=;. frx)
X
= 0(2)
1. Dziedzina fun kcji x2 + 3x - 4 =t= O .0. = b2 - 4ac = 3i_ 4 - 1 · (-4) = 9 + 16 = 25
Założen ie:
~ = fil = S E
)i X = I
XE
(0; 1)-:=;.f(x)\i
x
(1; +co) -:=;. f(x) )"
-b-~ 2a
-3- 5 2
-b+~ E
x2 =
2a
-3+5 =
2
-8 =- =- 4 2 2
=2 = l
Wyrażenie występujące w mianowniku musi być różne od zera. Ponieważ mianownik to trójmian kwadratowy, więc znajdujemy miejsca zerowe tego trójmianu (licząc !!. i pierwiastki), a następ nie wyłączamy je ze zbioru liczb rzeczywistych.
Czyli
}.;,;„( I) = 3
D = R \ {- 4, l} =(- ce, - 4) u (-4, 1) u (l, +oo) 1
8. Tabelka monotoniczności funkcji
2. Punkty wspólne z osiami OX, OY: XE
f'(x) j{x)
9. Wykres
(-oo; O) -
-----------.
o X X
(O; I)
1
( I ; +oo)
o
+
min
~
-
-----.
oś
x- 1
- -- = O x2 + 3x - 4 czyli:
x-1=0 x=l
y! I I I
I
Jednocześn ie
I
I I I
I I
:
x = I nie
należy
do dziedziny funkcj i.
ośOY
.
mm
r ·-· -· : I
ox
O- 1 -I I /(O) = 02 + 3 · 0-4 =_ -4 = 4
:
X
Pamiętaj, że
B=
Do wzoru funkcji w miejsce xwstawiamy zero.
(O, l)
wykres nie przecina asymptoty pio-
nowej.
74
75
3. Parzystość i niep a rzystość funkcji
x-1
lim _/(x) =lim _ , x--+- 4 x--+- 4 x- + 3X
x- 1 f(x) = x2 + 3x - 4
~ f(x) :tf(- x) oraz/(-
1
f(-x) = ,- x -
r - 3x - 4
- (x - I) - f(x) = -----'-x2 + 3x - 4
= lim
x) ;t - ji(x)
(X
.H-4-
lim ... /(x)
- x+I x2 + 3x-4
~
+ 4 )(.v-t} =
«->- 4
. = 1im
Funkcja nie jest parzysta, jak również nie jest nieparzysta.
(x
.r->- 4+
~
+ 4~
. fi(X) = l 1111 ' I Im
x- I
+ 3x -
x ->- «> x2
x-> -oc
= 4 „oo
Ponieważ przy x- >-oo uzyskujemy symbol nie· oznaczony, dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę mianownika.
--x2 x2
••
3
4
x
x
x -t:toc.
Postępujemy analogicznie jak w przypadku, X~
+oo.
--x2 xi
- + ---
1•
x2
.o
I •
3
4
o
l + - - -2 x x o•
gdy
5
1 1 - = - - = J. x+4 } + 4 5
= lim = .H l+
=
I.
ukośna
b = lim (f(x) - ax)
X
x.-. ±3'J
. x- l ji(x) a = lim = lim - - - - - = hm - --x ....*"° X ,,_..., ,,, X .r-+="> X(x2 + 3x - 4)
--x1 x3
x2
X2
X
o•
+4
X I --x- I x3 x3 = lim 3 = lim 3 = .<-> ±o: x + 3x2 - 4x H ±oo x 3x 2 4x .o .o - 3 + -3 - -3 [/ l x x x
= lim = 2- - - - .•-•""' x 3x 4
x- •+„
1
I
x- 1 x + 3x - 4
X
= lim =
.<-> l -
2
x- 1 oo" , = ......... „ x- + 3x - 4 „co
I
1 x -1- 4
= lim = -- = --= J.
;:---r x--> l + (x + 4)~
a= lim /(x),
I
l + - - -2
x2
· x "" - 4 asymptota pionowa obustronna.
y= ax+ b, gdy
o = - =O
o• . . lnn/(x) = hm x--++«
. - I- = [ - l] = +oo = 11m x->- 4+ X + 4 O
(x + 4)µ..---r}
.H l -
-
Asymptota
.o
x2
x
zgodnie ze wzorem
aJil + bx + c = a(x - x,)(x - Xi), gdy L\ > O, o>' O.
W tym przypadku nie ma asympto ty pionowej w punkcie x
- + --x2 x2 xi
.H »
-
x- >I +
= lim ./{x) = --x--+-» x2 3x 4
=lim =
K- +3x-4 = (x+ 4Xx- 1)
lim f(x) - lim
X
.o
,
l [I]
= lim--= =-oo .H-4- X + 4 Q-
~
lim fi(:r)-l im
.<-> 1
4
1 lim T , x= .•-• - 4 x- + 3x - 4
4. Granice
oo „
-
Rysujemy wykres znaku mianownika, czyli: sgn (x + 4).
=
= lim ,f- )±00
0 =- = O I
y = Oasymptota pozioma obustronna.
I
b=
/
O - -- O 3 4 - l 1+ - - -2 o
~/
x
x
o
/
}~!~(f(x) - a(x)) =x~~
(
x2 :
;x
1 . x- l = 1un 2 - 4 - O ·x ) = x->* » x + 3x - 4
o
Asymptota ta ma równanie y = O.
76
77
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Badanie przebiegu zmienności funkcji
5. Pochodna
Korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu dwóch funkcji
f' · n - f · ' Zał. g * O (!Jt) ;:: -·;;.gr_.:.JJ.,
f"(x) = ( x- I ) ,= · x2 + 3x- 4
x e (-oo; 4)
~ f(x)
(- 4; J)
~ j(x)
XE
_ (x - 1) ' · (x2 + 3x - 4) - (x - I)(x2 + 3x - 4)' (x1 + 3x-4)2
(--; - 4)
XE
./"(x)
x 2 + 3x - 4 - (2x2 + 3x - 2x - 3) = (x2 + 3x - 4)2 =
-
-----.
.f(x)
swojej dziedzinie.
- 4
(-4; I )
I
X
+
X
X
~
X
(I; +oo) -
-----.
9. Wykres
J{ + 2x + 3 = (x 2 + 3x - 4) 2 -
- x 2 + 2x - I
y
D, .= D,
(x2 + 3x - 4) 2 Monotoniczność
całej
8. Tabelka
1 · (x 2 + 3x - 4) - (x - I )(2x + 3) (x2 + 3x-4Y
6-7.
Jl
x e (l; +oo)~ f(x) ">I Funkcja jest malejąca w
oraz ze wzoru (ax1)' = a · k · xt->.
x 2 + J{ - 4 - 2x2
">I
\r----
i ekstre ma funkcji
--;-·'-=i:o-_::::_~,~--=-~-~--~~=~ -x
2
/'(x) = -x + 2x - I (x2 + 3x - 4) 2
W.K _ ,.i+ 2,· - I f'(x) =O<=> (.; 2 + Jx _ ) 2 =O <-> - x2 + 2x - l = O 4
"
4
ZADANIE4 - x 2 +2x - 1 = O
Ll
Zbadaj przebieg
=o
i naszkicuj wykres funkcj i:
x 2 -3x
llx)- - --
.1\
sgn/'(x) = sgn (-x2 + 2x - I) (x2 + 3x - 4) 2 u u .\.ł2)= I ,\'1 • -4 ·''2 • I
x2 - 4
Rozwiązanie:
~
~
-~~X 78
zmiennośc i
1. Dziedzina fu nkcji x 2 - 4 :;t; O
x2 :ić 4
x1- 4 *O, ponieważ występuje w mianowniku. Dziedzinę zapisujemy w postaci sumy przedzia· lów, bo jest to wygodn e przy liczeniu granic.
X:ić2ix:;t: -2
D = R I {-2, 2} = (-oo, -2) u (-2, 2) v (2, +xi) 1
79
2. Punkty wspólne z osiami OX, OY.
.
ośOX
X~ -
.
3x
!~~2_ /(x) = -~~~1- (x + 2)(x - 2)
x 2 - 3x f(x) = O ~ -~ _ 4
Punkty wspólne z osią OX wyznaczamy, rozwią· zując równanie ~.Il O. Ułamek jest równy zero wtedy, gdy licznik jest zerem, stąd x'- - 3x = O.
=O
=
stąd
=
= Mianownik tzn. x'- - 4 rozkładamy na czynniki. ponieważ - 2 jest miejscem zerowym mianownika i taki rozldad ułatwi liczenie granicy.
[ ~~] = +oo
x2- 3x = O X
(x - 3) = 0
X =
0 lub
X =
A(0,0)
=
lim +f(x) = .Tlim_ ( )( _ 2) ->- 2 X + 2 X
x~-2
3
Rysujemy wykres mianownika sgn (x2 - 4) = sgn {x- 2)(x + 2)
8(3 , 0)
ośOY
=
[~~]= -oo
j{O) = OL 3 · O = _Q_ = O 02- 4 -4
Prosta x"' - 2 jest asymptotą pionową obustron-
c (0,0) 3.
ną.
Parzystość
i
n ieparzystość
xi - Jx . fi(x ) = i·un Iun .r-v+i- (x + 2)(x - 2) = [
funkcji
x->+2- ·
.ftx) = x2,- Jx x-- 4
2
x - 3x Iim +f(x)= lim - -- - H+2 x ... +2~ (X + 2)(X - 2) -
x + 3x
~: ] = +oo
[-2] o- -
--oo
2
j(-x) =
_ f(x) =
::::;, J(x)
A..2- 4
-(<-
Jx)
x· - 4
et; f(-x)
Asymptota
ukośna
Równanie asymptoty ma
2 = _-_ x _+_3_x
postać:
gdzie
x2 - 4
y = ax + b, gdy a= lim f(x)_
Funkcja nie jest parzysta ani nieparzysta.
4. Granice
x2 3x x 2 - 3x x 2 x2 lim f(x) = lim , = Jim -2 - -- = lim .r-•-„ .r- >-o: x· - 4 "... -„ x 4
-x2 x2 x2
3x
xi
xi
---
X->ł:?'l
•.
J .o
1-x
Granice liczymy na końcach przedzialów wyznaczonych w dziedzinie. Dzielimy licz nik I mianow· nik przez naj· wyższą potęgę
mianownika.
80
x = 2 asymptota pionowa obustronna.
oraz f(- x) et; - j(x)
f(x)
a = lim -· x... ;; „
X
=
lim
.<- >i:„
X
x2 - Jx x2 - 4 X
x2
b = lim (J(x) - ax) :r-+= 'X
=x-+lim ='-'
x 2 - 3x X(X2 - 4)
=
3x
x 2 - 3x x3 x3 = lim 3 = lim - -- "... ""' x - 4x x ... ±„ x 3 4x x3 x3
81
Badanie przebiegu zmienności funkc1'i ' .„ ,"
'
3 = lim X-fo:Ż:«J
»;:;;" :n: i':;'· „ t:·1. ·1;;! ;.11 :·:: :, , " <
> <
: •
tj ' ~
: '
!
'
r
~
I
,
.•
=O
i'.
Badanie przebiegu zmienności funkcji
„
8. Tabelka
_i_
I-
<
Ponieważ w liczniku nie ma żadnych miejsc zerowych, czyli nic istnieje warune k konieczny dla ekstremów funkcji , zaś mianownik jest zawsze dodatni (uwzględniając dziedzinę), to funkcja jest rosnąca w cał ej swojej dziedzinie.
.o
/
X1
X
· :·; ;:
?
x - "'-
o
Asymptota
ukośna
nie istnieje.
=(
2
x , - 3x )
/
=
.r -4
-2
f'(x)
+
X
_____.
( - 2; 2)
___. +
X
2
(2; +cx;)
X
+
X
_____.
9. Wykres
= (-~ - 3x)'(x2- 4) - (x 2 - 3x)(x2
Korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu dwóch funkcji
4)'
y
('6)'=f ·gif'·9"za1.:g*o
(x2- 4)2 =
(-:x:i; -2)
f(x)
5. Pochodna f'(x)
XE
oraz ze wzoru (xm)' ==
(2x - 3)(x2 - 4) - (x2 - 3x)(2x) _ (x2- 4)2
m ·X"'"'
I
= µ.>- -
2
8x- 3x + 12 (x2 - 4)2
--- - - - -- ---- ~---- -
_µ.>- + 6x
1
X I
I I I
3x 2 - 8x + 12 = - - -- -
I
(x2 - 4)2
I
I I
I
6-7. Monotoniczność i ekstrema f'(x) = 3x
x u-2
2
- 8x + 12 (x2 - 4)2
W.K
! '(,\·) = O <=>
ZADANIE 5 3x2- 8x + 12 _ (.:\-2 -
4)2
-
Zbadaj przebieg zmiennośc i i naszkicuj wykres funkcji:
o
1
3x2- 8x + 12 = O
.
D. = - 80 brak pierwiastków tym samym brak ekstremów funkcj i ., sgnj (x) = sgn
3x2 (x2
8x + 12 _
4) 2
= sgn (3x
2
-
Sx + 12)
~
f(x) =x+ -X
Rozwiązanie:
l. Dziedzina funkcji x:t: O
D = R \ {O}= (-oo; O) u (O; +oo)
Mianownik ułamka musi być różny od zera, stąd założenie
=
j
x O
1
82
83
Badanie przebiegu zmienności funkcji
łll!Uil!Hfiltii!IlHU!HtlillMU\lll!lł\1!;mmm111;:1iili!U!łlllinłl!n!ll.~adanie
2. Punkty wspólne z osiami OX, O Y.
Asymptota
ukośna
przebiegu zmienności tunkcii
Asymptota pionowa istnieje i ma równanie
ośOX
x = O.
I
f(x) = O, x + - = O
I · x, x :;t O
X
Szukamy miejsc zerowych funkcji. Otrzymane równanie jest sprzeane, nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeaywistych.
y
=
.
.
f(x)
.r->± "S)
X
ax + b, g dzie a = 1un -
b = lim (.f(x) - ax)
-,
·'
>±7->
2
x +l=O
l
I
x 2 = - I równanie sprzeczne Funkcja nie ma punktów wspólnych z osią OX.
a = Jim _fi_(x_) = lim _x_+_x_ x->± ?O
X
X
,T-> :r~
=
lim .c-> :ł:"J'J
'•
(..:!... - ...:!.) = lim X
X
:t~
(I +
a:
.o
~) = X
I
ośOY
f(O) nie ma sensu, poni eważ zero nie należy do dziedziny funkcji. Nie ma punktów wspólnych z osią OY. 3. Parzystość i n iepa rzystość funkcji
czyli
a=J b
1 f(x) = x + x
=
=.!~!!'„ (j(x) - ax) =}~1I1„ (X+ +- I . X) =.Jj~.,(1 + ~ -i) = lim J_ = O, czyli b = O X- >='l)
I f(- x) = - x - -
~ f(-x) = -f(x)
x
-j(x) =- (x - ...!_)
Istnieje asymptota ukośna i ma równanie y = x
X
=
X
- x - _!_
5. Pochodna
X
Korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu dwóch funkcji
(x + ! )'= (x)' + ( ! ) = 1
Funkcja jest nieparzysta. Jeżeli funkcja jest nieparzysta, to jej wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych
4. Granice
...,.
(O; O).
x->-»
r.c
X-ł>
X
„o
+:.o
lim f(x) = lim.(x + x-+ +«>
,\'.-+..,«
_!_) =+oo X
Brak asymptoty poziomej o •""'
lim_.f(x) = li111.( x +
.r- >0
.r-. O
o
lin:i,./(x) = li1n.•( x +
.r-łO
84
,, - >0
_!_) = - oo X
.-
_!_) = + oo X
=
=I +
.o
lim f(x) = lim.(x + _!_) =-oo
f'(x)
Korzystamy z faktu, ie granicą sumy dwóch funk· cji jest suma granic tych funkcji (stąd wyniki).
6- 7.
(J)'·x-(x)'- I
x2
M onotoniczność
O- I
- r . if r. (1). g g-
g' g
. *
o
I
=l+ - - = l - x2 xi
i ekstrema funkcj i
1 x1 - I f'(x) = I - - = -x2 x2
W.K x2 - I f'(x) = O~-- = O x2 x 2 - l=O X =
1 lub
X= - )
85
x2 - I ,
sgn/'(x) = sgn v= - 1 .A
I
v = I
'
"'" 2
x-
'
Rozwiązanie:
= sgn (x2 -
l)x 2
1. Dziedzina funkcji
D = (-oo, +oo) 1 2. Punkty wspólne z osiami OX, OY.
x = Om'
oś
x e (-co; - 1) => f(x) l'
e (O; I) =>f(x) \i.
x
E
f(x)
równanie wielomianowe, wyłą· pr:zed nawias i rozkładając ~ - 2 na czynniki liniowe.
- x 1 (.x2 - 2) =O
../2) = O X = - ../2 lub X = ..f2
- x 2 (x + \Q)(x -
( I ; +oo) =>f(x) Jl
=
o lub
wzór ~-y = (x + nlx-.0
A= (O, O), B = (- "2, O), C = (../2, O),
8. Tabelka
f'(x)
Rozwiązujemy
czając -~
X
XE
panie·
ox
f(x) =O <:::> -x 4 + 2x2 = O
x e (- 1; O) =>f(x)\i. x
Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, waż badaną funkcją jest wielomian.
(-oo; - 1) +
______.
-I
o max
o
(- 1; O)
-
(O; I) -
X
-----.
-----.
X
1
ośOY
{I; +oo)
f(O) = - (0) 4 + 2 · (0)2 = O
o
+
______.
mm
3.
Parzystość
f(x)
9. Wykres
i nieparzystość funkcji
+ 2x2 -x4 + 2x 2
=_.-\.A
f(- x)
YA
I
D = (O, O)
=
=> f(x) =./(- x)
- f(x) = - (-x4 + 2x 2) = x 4 - 2x 2
I I I
I I I I
I
/
:
....•2 I
I I I
Wynika stąd, że funkcja jest parzysta .
'
„,' ,
max„'
•/
y=
4. Granice fu nkcji
X
/
Asymptoty pionowej nie ma, funkcji jest zbiór R.
' /
gdyż dziedziną
'
X
lim f(x) =lim (-x~ + 2x 2) = .r->- "I;
=lim
x -+-:t;
[-x (1 -~)] 4
x~-'.f)
X
- r.1/"
Ucząc granicę wielomianu, wyłączamy x w naj· wyzszej potędze przed nawias. Wnawiasie znajdują się funkcje. których granicę policzyć bar· dzo latwo.
= [-oo· l) =-oo
0•
I•
lim f(x) = lim (-x4 + 2• 2) =
x.-,...- e1;
X- ) -+'l-1
ZADANIE 6 Zbadaj przebieg z m iennośc i i naszkicuj wykres funkcji:
f(x) = - x 4 + 2x 2
86
= lim x -> ·t-:t:1
[-x4 (1 - 2 /
-.:.n"'
X2
/
I•
) ]
= [-oo · I] =-oo
Asymptota pozioma nie istnieje.
o„
87
Badanie przebiegu Asymptota
zmienności
funktji ,
,
.
ukośna
.
.
j (x)
.r-t:too
}i,~1.,[-x3 ( I - ,:
2 )]
. - x 4 + 2x 2 . = hm (- x3 + 2t) =
X
X-?±!ti
X
funkcji
XE
(-oo; - 1)
-I
(- 1; O)
o
(O; I)
l
( l ; +co)
f'(x)
+
o
-
o
+
o
-
X-+:fJ;
f(x)
=±oo
_______.
max
----..
min
_______.
max
----..
9. Wykres
a nie istnieje również
zmienności
8. Tabelka
y = ax+ b,gdz1e a= hm - - = lun
b
, Badanie przebiegu
nie istniej e
y
Asymptoty uko$nej nie ma. max
-------- -- -- ----- ----max )
5. Pochodna
f'(x) = (- x + =-4x3 + 4x 4
2x 2) '
= (- x•)' + (2x 2) ' =
6- 7. Monotoniczność i ekstrema funkc,ji
Korzystamy ze wzoru (a, xłJ• = a · k, x'"'
o
-I
f' (x) = - 4x 3 + 4x
1
X
in
W.K f'(x) = O ~ - 4x 3 + 4x = O 4x(- x2 + I) = O x =O lub x 2 = 1 x = O, x = 1,x= - 1 sgn/'(x) = sgn (- 4x 3 + 4x) x
E
(-oo; - 1) =:> f(x) )'I
x
E
(- I; O)=:> f(x) "),
x
E
(0; 1) =:> f(x) )'I
X E
88
max min
max
-I
l
+~~-~ o
X
( I; +oo)=:> f(x) "),
89
