Przykl_Sch - wykl 3

PRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA Ruch cząstki nieograniczony z klasycznego punktu widzenia W tym przypadku V = const , przejmiemy V ( x ) = 0, cząstka porusza się wzdłuż osi x. Rozwiązujemy równanie Schrӧdingera

Hˆ ψ = Eψ , Hˆ = − d 2ψ ⇒− = Eψ 2m dx 2 2

Podstawiając

2mE 2

=

p2 2

2

2m

Δ +V = −

⇒

d 2ψ + dx 2

2

d2 2m dx 2 2mE

⇒ (2.1)

ψ = 0.

2

= k 2 mamy do rozwiązania równanie

d 2ψ + k 2ψ = 0, 2 dx

k=

2mE 2

(2.2)

,

po zapostulowaniu ψ = Ce rx równanie (2.2) przyjmuje postać r 2 + k 2 = 0, którego rozwiązania to r1 = ik i r2 = −ik . Rozwiązanie ogólne stacjonarnego równania Schrӧdingera jest więc kombinacją rozwiązań szczególnych

ψ ( x ) = Ae ikx + Be − ikx , A, B - stale,

(2.3)

a pełna funkcja falowa z czasem Ψ ( x , t ) ma formę:

Ψ ( x, t ) = ψ ( x ) e

E −i t

= Ae −i (ωt −kx ) + Be −i (ωt + kx ) , ω =

E

.

(2.4)

Jeśli mamy do czynienia z cząstką poruszającą się zgodnie ze zwrotem osi x to Ψ ( x, t ) = Ae − i (ωt −kx ) , B = 0,

(2.5)

natomiast, gdy cząstka porusza się przeciwnie do zwrotu osi x Ψ ( x, t ) = Be − i (ωt + kx ) ,

A = 0.

(2.6) 1 

 

Cząstki opisane funkcjami falowymi (2.5) i (2.6) mogą mieć ciągłe wartości energii E oraz mają stałą gęstość prawdopodobieństwa ρ ∼ ΨΨ ∗ = ψψ ∗ = const na całej osi x. Ruch cząstki ograniczony z klasycznego punktu widzenia - nieskończenie głęboka jama potencjału W przypadku cząstki w nieskończenie głębokiej jednowymiarowej jamie potencjału energia potencjalna ( potencjał ) V ( x ) ma postać

- obszar I ⎧∞; x < 0 ⎪ V ( x ) = ⎨0; 0 ≤ x ≤ L - obszar II ⎪∞; x > L - obszar III ⎩ Odpowiednikiem klasycznym może być cząstka nanizana na drucie ograniczonym z obu stron doskonale odbijającymi ściankami. Cząstka może poruszać się bez tarcia po drucie.

L

0

x

Ponieważ cząstka nie może znaleźć się w obszarach I i III to ψ I = ψ III = 0. W obszarze II równanie Schrӧdingera ma postać

d 2ψ II − = Eψ II 2m dx 2 2

po oznaczeniu

2mE

⇒

d 2ψ II 2mE + 2 ψ II = 0, dx 2

= k mamy do rozwiązania równanie d 2ψ II + k 2ψ II = 0, 2 dx

(2.7)

2   

które jest formalnie analogiczne z równaniem oscylatora harmonicznego. Na podstawie tej analogii rozwiązanie tego równania można zapisać jako

ψ II ( x ) = A sin( kx + ϕ 0 ). Funkcja falowa musi spełniać warunki naturalne. Z ciągłości funkcji w punkcie x = 0 otrzymamy ψ I ( 0 ) = ψ II ( 0 ) ⇒ 0 = A sin (ϕ 0 ) ⇒ ϕ 0 = 0, czyli ψ II ( x ) = A sin ( kx ) . Z ciągłości funkcji falowych w punkcie x = L mamy

ψ II ( L ) = ψ III ( L ) ⇒ A sin ( kL ) = 0 ⇒ kL = nπ , n = 1, 2, 3…, Wartości A = 0 i n = 0 wykluczamy z uwagi na zerowanie się funkcji falowej w jamie, ujemne wartości n pomijamy, ponieważ wartości k są nieujemne. Widać, że z warunków naturalnych wynika kwantowanie wartości wektora falowego

k = kn =

nπ , L

(2.8)

a także kwantowaniu podlega wartość pędu cząstki

pn = kn =

Przez k oznaczyliśmy k =

2mE

nπ . L

(2.9)

i jednocześnie k = kn =

nπ więc otrzymamy też L

kwantowanie energii cząstki

2mE

nπ = L

⇒ E = En =

π2

2 2

2mL

n2.

(2.10)

Funkcja falowa zależy także od liczby kwantowej n

⎛ nπ ⎝ L

ψ II ( x ) = ψ n ( x ) = A sin ⎜

⎞ x ⎟. ⎠

(2.11)

3   

Równanie Schrӧdingera jest równaniem jednorodnym i dlatego funkcja falowa jest znana z dokładnością do mnożnika A. A można wyznaczyć normalizując funkcję falową. Ponieważ ma zachodzić dp = ψψ ∗dV = ψ ψ ∗dx to scałkowanie tej zależności daje ∞

0

∫ dp = ∫ ψ ψ I

−∞

∞

L

∗ I

−∞

dx + ∫ψ IIψ II dx + ∫ψ IIIψ III ∗dx ∗

0

L

⎛ nπ x ⎞ ∗ L 1 = AA∗ ∫ sin 2 ⎜ ⎟dx = AA 2 ⎝ L ⎠ 0 L

⇒

2

AA∗ = A =

2 L

⇒

2 iα e . L

A=

Znormalizowana funkcja falowa ma więc postać ψ n =

⇒

2 iα ⎛ nπ ⎞ x ⎟ , opuszczając e sin ⎜ L ⎝ L ⎠

nieistotny czynnik fazowy e iα (nie wpływa na gęstość prawdopodobieństwa)

ψn =

2 ⎛ nπ sin ⎜ L ⎝ L

⎞ x⎟ ⎠

(2.12)

Pełna funkcja falowa z czasem może być zapisana w formie

Ψ n ( x, t ) =

2 −i E t ⎛ nπ e sin ⎜ L ⎝ L

⎞ x ⎟. ⎠

(2.13)

Wykresy niżej ilustrują poziomy energetyczne cząstki i rozkłady gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w nieskończenie głębokiej jednowymiarowej studni potencjału.

4   

Stan cząstki o n = 1 nazywamy stanem podstawowym, o n = 2 - pierwszym stanem wzbudzonym, o n = 3 drugim stanem wzbudzonym, itd. Zasada odpowiedniości Bohra Rozważymy, kiedy cząstka zacznie zachowywać się klasycznie. Wyobraźmy sobie małą piłeczkę o masie m = 10−3 kg , swobodnie odbijającą się pomiędzy doskonale sprężystymi ściankami rozmieszczonymi w odległości L = 10−1 m i poruszającą się z prędkością v = 1 m/s . Jej energia obliczona klasycznie jest ciągła i wynosi

Ekl =

1 2 mv = 0,5 ⋅ 10−3 ⋅ 1 J=5 ⋅ 10−4 J. 2

(2.14)

Energia piłeczki obliczona kwantowo nie jest ciągła i wynosi Ekw =

π2

2

n2 2 2mL

10−68 ⋅ 10 2 n J = 5 ⋅ 10−63 n 2 J. −3 −2 2 ⋅ 10 ⋅ 10

(2.15)

Przyrównując obydwie energie możemy oszacować wartość liczby kwantowej n odpowiadającą cząstce klasycznej: Ekl = Ekw

⇒ n

1030 . Widać więc jak olbrzymie

liczby kwantowe odpowiadają cząstkom klasycznym. Można teraz ocenić czy istotne jest wtedy przewidywane przez mechanikę kwantową kwantowanie energii cząstki. Zbadamy w tym celu względną różnicę sąsiednich poziomów energetycznych cząstki

π2

2

n + 1) 2 (

En+1 − En 2mL = En

π

2

2

−

2

2mL2

n

π2

2

2mL2

2

n2

=

2n + 1 n2

(2.16)

Dla dużej liczby kwantowej n względna różnica sąsiednich poziomów energetycznych staje się nieistotna, czyli kwantowanie energii można pominąć. W przypadku oszacowanej wyżej liczby kwantowej n

1030 względna różnica energii wynosi 2 ⋅ 10−30.

5   

Na podstawie podobnego typu argumentów Bohr zasadę odpowiedniości: Cząstka kwantowa dla dużych liczb kwantowych zachowuje się jak cząstka klasyczna.

6