Zadania z wykresami na fizyce i matematyce

ZADANIA Z WYKRESAMI

w fizyce i matematyce Zbigniew Wiœniewski

W

ykresy s³u¿¹ do obrazowego przedstawiania danych. Maj¹ pomóc nam wyobraziæ sobie opisywane zale¿noœci. Przemawiaj¹ one bowiem do wyobraŸni lepiej ni¿ go³e liczby. Wykresy s¹ wszechobecne w ¿yciu wielu ludzi. Politycy z wykresów odczytuj¹ jak wysokie poparcie ma ich partia i na tej podstawie podejmuj¹ decyzje. Gracze gie³dowi na podstawie wykresów podejmujê decyzje o sprzeda¿y lub zakupie akcji co pozwala im zdobyæ fortunê a uczniowie musz¹ siê z nimi zmagaæ w szkole. Do tych ostatnich adresowany jest ten artyku³. Na lekcjach matematyki uczeñ najczêœciej ma do czynienia z wykresami s³upkowymi 1 i wykresami ko³owymi 2 . Na lekcjach fizyki z kolei najczêœciej mamy do czynienia z wykresami liniowymi g³ównie drogi w funkcji czasu lub prêdkoœci w funkcji czasu. Rys. 1

1

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Zajmiemy siê w pierwszej kolejnoœci matematyk¹. Wykres s³upkowy s³u¿y do obrazowania jak du¿a w porównaniu z innymi jest dana wielkoœæ w porównaniu z innymi. Patrz¹c na rysunek 1 od razu widaæ jakim gigantem jest obiekt 5 a jaki ma³y w porównaniu z pozosta³ymi jest obiekt 2. Wykresy ko³owe z kolei s³u¿¹ g³ównie do obrazowania udzia³u w ca³oœci. Ca³e ko³o to 100% danej wartoœci po³owa 50% æwiartka 25% itd. Zadania przed jakimi stoi uczeñ w czasie lekcji lub na egzaminie mo¿na zasadniczo podzieliæ na dwie grupy. Pierwsza grupa polega na czytaniu wykresów druga na ich tworzeniu. Oto przyk³ad zadania z grupy pierwszej.

Zadanie 1 Zbadano wiek ludzi ogl¹daj¹cych film „Czterej pancerni i kangur”. Wyniki przedstawiono na wykresie 3 . Oblicz ile osób doros³ych powy¿ej 18 roku ¿ycia obejrza³o ten film jeœli wiadomo, ¿e ³¹czna liczba widzów wynios³a 2500000. Rys. 3

3 12%

15%

5 10 1

2

3

4

10 15 15 18

5

19 30 33%

Typowy wykres słupkowy. Wysokość słupka jest uzależniona od liczebności danego obiektu.

25%

y

2

Wykres do zadania 1. 1 2 3 4

Typowy wykres kołowy. Przypomina tort pokrojony na nierówne kawałki. Służy głównie do obrazowania udziału obiektów pewnego rodzaju w całości populacji.

30 50

Jak rozwi¹zujemy taki problem? Oczywiœcie ka¿dy przedzia³ wiekowy ma swój kolor. Tak jak to pokazano w legendzie wykresu np widzom w wieku od 15–18 lat odpowiada kolor ¿ó³ty i jak widaæ stanowi¹ oni 25 % wszystkich widzów ogl¹daj¹cych ten film. Nas jednak interesuj¹ widzowie doroœli. Tym widzom odpowiadaj¹ dwie barwy i co za tym idzie dwie kategorie wiekowe. Widzowie z grupy 19–30 i 31–50. Procent widzów doros³ych bêdzie sum¹ procentów odpowiadaj¹cym obu grupom z osobna. Niestety w przypadku grupy 19-30 nie mamy takiej informacji. Jak j¹ zdobyæ? Mimo i¿ wiemy, ¿e procent jest pro-

1

porcjonalny do k¹ta nie nale¿y pos³ugiwaæ siê k¹tomierzem. Tutaj nale¿y po prostu dodaæ wszystkie pozosta³e procenty. Daje to 85%. Jeœli teraz odejmiemy to od 100% co odpowiada pe³nemu ko³u to otrzymamy 100%– 85% = 15%. Teraz ju¿ wiemy ile procent widzów przypada na ka¿d¹ z grup wiekowych widzowie w wieku 19–30 stanowili 15% a widzowie w wieku 31–50 – 12% co razem daje 27% . Liczbê widzów doros³ych mo¿emy wiêc obliczyæ pos³uguj¹c siê proporcj¹ 100 27 = 2500000 x teraz mno¿¹c „na krzy¿” otrzymujemy 27 · 2500000 = 100x czyli x = 675000 I zadanie rozwi¹zane. Trochê trudniejsze s¹ zadania, w których uczeñ musi przedstawiæ coœ na wykresie. Oto przyk³ad.

Zadanie 2 Wypo¿yczalnia filmów „¯ó³ty Tygrys” Ma filmy pogrupowane w nastêpuj¹cych dzia³ach. Krymina³y – 650 filmów, sensacja – 350 filmów, komedie – 450 filmów, romanse – 150 filmów, filmy dla dzieci 220. Przedstaw powy¿sze dane za pomoc¹ wykresu a) ko³owego b) s³upkowego Rozwi¹zanie punktu a) Jak wynika z tego co zosta³o uprzednio powiedziane wielkoœæ wycinka ko³a przypadaj¹ca na dany film jest wprost proporcjonalna do udzia³u filmów danego gatunku w ca³oœci zbiorów wypo¿yczalni. Aby sporz¹dziæ wykres ko³owy nale¿y najpierw obliczyæ ile jest ³¹cznie filmów. Czyli najpierw dodajemy filmy z ka¿dej grupy. £¹cznie wypo¿yczalnia ma 1820 filmów. Na tej podstawie wiemy, ¿e liczbie 1820 odpowiada ca³e ko³o czyli 360 stopni. Wartoœæ poszczególnych udzia³ów obliczamy z prostej proporcji 1820 liczba _ film w _ danego _ gatunku liczba_ filmów_ danego_ gatunku = szukany_k¹t 360 szukany _ k„ t

Wielkoœæ szukanego k¹ta wynosi

α ≈ 69° . W ten sam sposób znajdujemy pozosta³e k¹ty. Maj¹c obliczone k¹ty odpowiadaj¹ce poszczególnym typom filmów bez trudu konstruujemy odpowiedni wykres. Powinien on wygl¹daæ jak na rys. 4 . PrzejdŸmy teraz do punktu b) czyli do konstrukcji wykresu s³upkowego. Podstawowa zasad¹, o której powinno siê pamiêtaæ robi¹c wykres s³upkowy jest, ¿e wykres nie mo¿e byæ za ma³y oraz to ¿e ¿aden s³upek nie mo¿e byæ wy¿szy ni¿ wysokoœæ obszaru na którym mamy rysowaæ s³upki (czyli s³upki musz¹ siê zmieœciæ na wykresie). Aby to osi¹gn¹æ znajdujemy najpierw najwiêksz¹ liczbê filmów. W wypo¿yczalni z naszego zadania najwiêcej by³o krymina³ów – 650. Za³ó¿my, ¿e obszar nad osi¹ na którym mo¿emy rysowaæ wynosi 12,5 cm (mniej wiêcej po³owa d³u¿szego boku kartki A4). Rozs¹dnie bêdzie wtedy przyj¹æ ¿e s³upek odpowiadaj¹cy krymina³om powinien mieæ wysokoœæ 12 cm. Wysokoœæ pozosta³ych s³upków liczymy z proporcji. 12 szukana_ szukana _ wysoko y _ slupka s‡ s³upka wysokoœæ_ = 650 liczba _ film w liczba_ filmów Na przyk³ad dla filmów sensacyjnych obliczenia wygl¹daj¹ nastêpuj¹co 12 x = 650 350 350·12 ≈ 6,5 mm . 650 Wykres zrobiony wed³ug tych regu³ pokazany jest na rysunku 5 . Wygl¹da ca³kiem ³adnie. Myœlê ¿e przedstawione tu zasady i przyk³ady pozwol¹ wam lepiej rozwi¹zywaæ podobne problemy na lekcjach matematyki. Niestety zadania, w których wa¿n¹ rolê odgrywaj¹ wykresy wystêpuj¹ równie¿ w fizyce. Postaramy siê teraz wyjaœniæ jak sobie radziæ z takimi zadaniami.

St¹d x =

5

700

Na przyk³ad dla filmów sensacyjnych

Rys. 5

600

1820 350 = 360 α

500 400 Serie1 300 200

Rys. 4

4

100 0 Kry mina³y

Dla dzieci; 220 Romanse; 150

Krymina³y; 650

Komedie; 450 Sensacyjne; 350

2

Rozwiązanie zadania 2 punkt a).

Krymina³y Sensacyjne Komedie Romanse Dla dzieci

Sensacy jne

Komedie

Rozwiązanie zadania 2 punkt b).

Romanse

Dla dzieci

Wykresy w zadaniach z fizyki Na lekcjach fizyki wykresy miêdzy innymi pojawiaj¹ siê w trakcie omawiania ró¿nego rodzaju ruchów. Najczêœciej s¹ to wtedy wykresy prêdkoœci w funkcji czasu lub drogi w funkcji czasu. Na pocz¹tek krótkie przypomnienie. W ruchu jednostajnym po linii prostej wykres prêdkoœci w funkcji czasu ma postaæ prostej równoleg³ej do osi czasu. Wykres drogi w funkcji czasu jest prost¹ nachylon¹ do osi t pod pewnym k¹tem. W ruchu jednostajnie przyœpieszonym wykres prêdkoœci od czasu ma postaæ prostej nachylonej do osi czasu. Zaœ wykres drogi w funkcji czasu ma kszta³t paraboli. Czêsto jednak spotyka siê zadania na których wykres np. drogi od czasu ma bardziej skomplikowany kszta³t Oto przyk³ad takiego zadania

Zadanie 3 Na wykresie 6 pokazano zale¿noœæ drogi przebytej przez pewne cia³o od czasu. Skonstruuj wykres prêdkoœci od czasu. Rys. 6

6

s [m]

16 14 12 10 8 6 4 2

„sczytywanie” wartoœci bez uwzglêdnienia ró¿nic pomiêdzy etapami. Uczniowie czêsto przeprowadzaj¹ nastêpuj¹ce rozumowanie t = 12s, droga s = 14 m (rys. 6 , linia przerywana) w zwi¹zku z tym prêdkoœæ wynosi S 14 m m v= = ≈ 1,16   t 12 s s Nic bardziej b³êdnego. Prawid³owe rozumowanie jest nastêpuj¹ce. Ostatni trzeci etap ruchu trwa³ od 8 do 12 sekundy ruchu czyli ∆t = 12 – 8 = 4 [s]. W tym czasie cia³o przeby³o drogê od 6 do 14 metra czyli ∆S = 8 [m]. Tak wiêc prêdkoœæ wynosi 2 m/s. (Otrzymany wynik jest teraz ³adniejszy ni¿ ten poprzednio co mo¿e stanowiæ dodatkow¹ przes³ankê co do poprawnoœci wykonanych obliczeñ, autorzy zadañ staraj¹ siê je zazwyczaj tak uk³adaæ aby wyniki by³y liczbami ca³kowitymi.). W ten sam sposób znajdujemy prêdkoœæ w pierwszym etapie ruchu obejmuj¹cym okres od pocz¹tku ruchu do 2 s. Tym razem v = 3 m/s. Drugi 6-sekundowy okres ruchu charakteryzowany jest odcinkiem równoleg³ym do osi czasu co od razu informuje nas, ¿e prêdkoœæ w tym przedziale czasowym wynosi 0. Maj¹c wszystkie te dane mo¿emy przyst¹piæ do tworzenia wykresu. Wykres ten bêdzie mia³ postaæ odcinków równoleg³ych do osi czasu (osi poziomej). Robi¹c wykresy z fizyki nie wolno zapomnieæ o opisaniu osi tzn. nale¿y podaæ po zewnêtrznej stronie osi symbol wielkoœci bêd¹cej na osi i jej jednostkê. Pamiêtaj¹c o tym mo¿emy skonstruowaæ wykres, który bêdzie wygl¹da³ tak jak na rysunku 7 .

0 0

2

4

6

8

10

12

14

Rys. 7

t [s]

7

3

Na pierwszy, rzut oka zadanie wydaje siê niezwykle trudne. Przecie¿ na prezentowanym wykresie nie ma s³owa o prêdkoœci. Ale za chwile poka¿emy, ¿e jednak to siê da zrobiæ. £amana na rys. 6 sk³ada siê z trzech odcinków, ka¿dy o ró¿nym k¹cie nachylenia do poziomu. Oznacza to ¿e ruch odbywa³ siê w trzech etapach. Pierwszy etap zakoñczy³ siê w 2 sekundzie ruchu, drugi obejmowa³ okres od drugiej do 8 sekundy ruchu. ostatni okres od 8 do 12 sekundy. W ka¿dym z tych etapów ruch mo¿na uwa¿aæ za ruch jednostajny po linii prostej, chocia¿ ruch rozpatrywany w ca³ym okresie czasu od zerowej do dwunastej sekundy nie by³ ruchem jednostajnym. W ka¿dym przedziale czasowym prêdkoœæ by³a sta³a ale inna ni¿ w pozosta³ych. Prêdkoœæ t¹ mo¿emy policzyæ pos³uguj¹c siê znanym wzorem: ∆S ∆t gdzie S oznacza drogê, t – czas, zaœ v – szukan¹ przez nas prêdkoœæ. Symbol ∆ oznacza ró¿nicê tak wiêc wyra¿enie ∆S nale¿y rozumieæ jako ró¿nica pomiêdzy koñcowym a pocz¹tkowym po³o¿eniem. ∆t z kolei nale¿y rozumieæ jako czas trwania danego etapu ruchu. Jednym z czêstszych b³êdów przy wyznaczaniu prêdkoœci na podstawie takiej analizy jest bezpoœrednie

v [m/s]

Wykres do zadania 3. Zależność drogi od czasu. 2

1

0 0

2

4

6

8

10

12

t [s]

Rozwiązanie zadania 3. Wykres przedstawiający zależność prędkości od czasu.

Na tym zakoñczê na razie moje rozwa¿ania na temat wykresów i ich zastosowañ w matematyce i fizyce. Mo¿e oka¿¹ siê one dla was pewn¹ pomoc¹ w waszej karierze szkolnej. ¯yczê wielu zaliczonych klasówek i zdanych egzaminów.

v=

3