egzamin z zadan1

MSB, I rok EGZAMIN Z MATEMATYKI, 16 czerwca 2003 Twoje imii nazwisko: ................................................................................... 2 oraz prostymi y = 0 , x = 3 , x = 8 . Wyznacz x współrz dne x 0 , y 0 rodka ci ko ci tej figury (zakładamy, e masa jest rozło ona równomiernie). Zrób rysunek.

1. Figura płaska jest ograniczona krzyw

y=

2. Sprawdzaj c rz dy odpowiednich macierzy uzasadnij, e układ równa liniowych x − 2y

−z = 3

4x + 7 y + 5z = 9 2x + y + z = 5 ma niesko czenie wiele rozwi za . Podaj dwa przykładowe rozwi zania. 3. Oblicz lim+ x 2 e 1 x . x →0

Je li to b dzie potrzebne, przyjmij ln 2 ≈ 0,7 , ln 3 ≈ 1,1 .

MSB, I rok EGZAMIN Z MATEMATYKI, 16 czerwca 2003 imi i nazwisko: ................................................................................... 1. Zbadaj funkcj

f ( x) = ln[1 + ( x − 1) 2 ] dla x > 0 ( lim+ f ( x) , lim f ( x ) , miejsca zerowe, x →0

x →∞

monotoniczno , ekstrema, rodzaje wypukło ci, punkty przegi cia) i na podstawie otrzymanych wyników narysuj jej wykres. 2. Oblicz obj to

bryły powstałej przez obrót krzywej y =

6

wokół odcinka

2

x − 2x − 8

[6; 16] na osi x-ów.

3. Oblicz lim ( x )1 x →∞

x

. Wskazówka: najpierw przedstaw wyra enie ( x )1

podstawie e.

Je li to b dzie potrzebne, przyjmij ln 2 ≈ 0,7 , ln 3 ≈ 1,1 .

x

jako pot g o

MSB, I rok EGZAMIN Z MATEMATYKI, 16 czerwca 2003 imi i nazwisko: ................................................................................... 1 oraz prostymi y = 0 , x = 3 , x = 8 . Wyznacz 2x współrz dne x 0 , y 0 rodka ci ko ci tej figury (zakładamy, e masa jest rozło ona równomiernie). Zrób rysunek.

1. Figura płaska jest ograniczona krzyw y =

2. Sprawdzaj c rz dy odpowiednich macierzy uzasadnij, e układ równa liniowych x +y

− 3z =

2

5 x + y − 4 z = 13 3x − y + 2 z = 9 ma niesko czenie wiele rozwi za . Podaj dwa przykładowe rozwi zania. 3. Uzasadnij prawdziwo

wzoru

x 2 + 2 dx = 12 x x 2 + 2 + ln( x + x 2 + 2 ) , a nast pnie

wykorzystuj c ten wzór wyznacz całk

4 x 2 + 4 x + 3 dx . Wskazówka: wyra enie podpier-

wiastkowe sprowad do postaci kanonicznej.

Je li to b dzie potrzebne, przyjmij ln 2 ≈ 0,7 , ln 3 ≈ 1,1 .

MSB, I rok EGZAMIN Z MATEMATYKI, 16 czerwca 2003 imi i nazwisko: ................................................................................... 4. Zbadaj, czy istniej ekstrema funkcji dwóch zmiennych z = f ( x, y ) = x − ln( x 2 + 2 y 2 ) . Je li istniej , wyznacz je oraz okre l ich rodzaj. 5. Oblicz obj to

bryły powstałej przez obrót krzywej y =

3 2

x + 2x − 8

wokół odcinka

[5; 14] na osi x-ów.

1+ x2 dx = ln( 1 + x 2 − 1) − ln x + 1 + x 2 dla x > 0 , x a nast pnie wykorzystuj c ten wzór oblicz długo krzywej y = ln x dla 3 ≤ x ≤ 8 .

6. Uzasadnij prawdziwo

wzoru

Je li to b dzie potrzebne, przyjmij ln 2 ≈ 0,7 , ln 3 ≈ 1,1 .