; nie jest to odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne. Jeśli natomiast 7Z ograniczyć się do rozpatrzenia funkcji sin £ w przedziale <— —, —>, 71 712 2 to otrzymamy wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie <(---- , — > na 2 2 <—1, 1). Funkcją odwrotną do sinusa,, określonego w przedziale <(---- , —>, jest arc sin#, określony w przedziale <—1, 1). 2 2 Na rysunku 5 widzimy różne przypadki odwzorowania zbiorów ,,łacińskich” w zbiory „greckie”.
13
/
Przyporządkowanie każdemu trójkątowi jego pola jest odwzoro waniem zbioru wszystkich trójkątów na zbiór liczb rzeczywistych dodatnich (oczywiście nic wzajemnie jednoznaczne). Zauważmy, że dana funkcja cp może odwzorowywać w szczegól ności zbiór X w ten sam zbiór; zapisze się to q>\X—.>X. Dla nas szczególnie ważną rolę będą grały funkcje odwzorowu jące zbiór par uporządkowanych pewnego zbioru w ten zbiór. Niech będzie dany pewien zbiór X. Można rozważać wówczas zbiór par postaci ty, y), gdzie x, y e X, przy czym w każdej takiej parze jeden z elementów — ten napisany na pierwszym miejscu — wyróżnio ny jest jako pierwszy. Zbiór takich par uporządkowanych oznaczamy przez X x X i nazywamy kwadratem kartezjańskim zbioru X . Tak np. płaszczyzna odniesiona do układu współrzędnych XOY jest kwa dratem kartezjańskim zbioru liczb rzeczywistych. Jeśli każdej parze ty, y) e X X X przyporządkujemy pewien element ze zbioru X, otrzymamy odwzorowanie kwadratu kartezjańskiego w zbiór X; zapiszemy to cp: X X X —s- X. Tak np. funkcja z — x'Ł-\-y, gdzie x, y e R, odwzorowuje R x R w R. 3. Relacje. Pojęcie relacji jest jednym z najważniejszych pojęć, leżących u podstaw matematyki. Teorią relacyj zajmuje się logika matematyczna i teoria modeli, dziedzina matematyki leżąca między logiką matematyczną i algebrą abstrakcyjną. Będą nas tu intereso wały jedynie tzw. relacje dwuczłonowe, tzn. relacje zachodzące mię dzy parami obiektów pewnego zbioru. Pojęcie relacji przyjmujemy jako pierwotne, zilustrujemy je na kilku przykładach. Czytelnik zna dobrze relację być mniejszym, określoną w zbio rze liczb rzeczywistych: a < b ( a , b e R) . Innymi przykładami relacyj w jR są =. W zbiorze C rozpatruje się relację a\b, tzn. a dzieli b (a, b eC). Niech X będzie pewnym zbiorem, zaś Z{X) — zbiorem wszyst kich jego podzbiorów, włączając tu sam X i J0C Wówczas c: będzie relacją w Z(X). Innymi przykładami relacyj są •' przystawanie figur geometrycznych, podobieństwo figur, równość zbiorów itd. Jeśli między elementami a i b pewnego zbioru M zachodzi relacja R, to zapisujemy to o7? 6. 14
Relacja R określona w zbiorze JVT'nazywa się zwrotna, jeśli dla każdego a e M zachodzi a Ra. Przykładami relacji zwrotnej są: przystawanie figur, równość liczb, relacja ^ w R (ale nie < ), zawie ranie się zbiorów. Relacja R określona w zbiorze M nazywa się symetryczna, jeśli z aRb wynika bRa, gdzie a, b e M. Tak na przykład równoległość prostych na płaszczyźnie jest relacją symetryczną; symetryczną jest również relacja równości zbiorów, równości liczb, przystawania figur. Relacja a\b, określona wr C, nie jest symetryczna, relacje ^ i <= też nie. Relacja R określona w zbiorze M nazywa się przechodnia, jeśli z aR b i bRc wynika aRc. Relacja w zbiorze liczb rzeczywistych, jak również < , jest przechodnia. To samo można powiedzieć o relacji <= dla zbiorów, o równości liczb itd. Relacja prostopadłości prostych nie jest przechodnia. ĆWI CZENI A
1. Niech (a, b) oznacza przedział otwarty, tj. zbiór liczb rzeczy wistych x spełniających warunek a < x < b. Czemu się równa
d) <0, 1 ) 0 (1,2), 3. a) c) e) f)
c) <0,2> \
<1, 3>.
Udowodnić następujące własności iloczynu i sumy zbiorów: l u f - ł o l , b) X r ^ Y = Y X, = d) ( X r ^ Y ) r ^ Z = X r s ( Y r \ Z ) , X ^ ( Y kj Z) = { Xr s Y) \ u { Xr \ Z ) , X^j{YrsZ) = {X^Y)r^(XyjZ).
4. Podać przykłady relacyj: a) zwrotnych, b) symetrycznych, c) przechodnich. 5. Podać przykłady relacyj, które byłyby: a) zwrotne, lecz nie symetryczne i nie przechodnie; b) symetryczne, lecz nie zwrotne i nie przechodnie; c) przechodnie, lecz nie zwrotne i nie symetryczne. 15
/
2. RELACJA RÓWNOWAŻNOŚCI 1. Definicja relacji równoważności. Relacja zwrotna, symetry czna i przechodnia, określona między pewnymi elementami zbioru M, nazywa się relacją równoważności lub równoważnością. Będziemy ją w dalszym ciągu oznaczali literą E lub symbolem O dwóch elementach zbioru M, między którymi zachodzi relacja równoważności E , będziemy mówili, że są równoważne (w sensie danej relacji E). Zgodnie z definicją mamy więc: 1° CL CL (lub aEa), 2° jeśli a ^ ó, to b ^ a (lub jeśli a E b, to bE a), 3° jeśli a ~ b , b ~ c, to a ^ c (lub jeśli a E b i bEc, to a Ec), gdzie a, b, cg M. Rozpatrzona wyżej równość zbiorów jest relacją równoważności. Innymi przykładami równoważności są równość liczb, przystawanie figur, podobieństwo figur. Rozpatrzmy teraz zbiór wszystkich liczb całkowitych i niech m oznacza pewną ustaloną liczbę naturalną. Dwie liczby a, b g C będziemy nazywali przystającymi według modułu m, lub krócej przystającymi modulo m, jeśli a i b dają przy dzieleniu przez m te same reszty lub, co na jedno wychodzi, gdy ich różnica dzieli się przez ra. Przystawanie liczb a i b modulo m zapisujemy tak: I. 3)
a==b (mod m).
Jest oczywiste, że relacja przystawania liczi) modulo m jest równo ważnością. Gra ona bardzo ważną rolę w teorii liczb i w arjdmetyce teoretycznej. Wzór (I. 3) nazywamy kongrucncją liczbową. 2. Rozbicie zbioru na klasy rozłączne. Jak zobaczymy w ustę pie 3, pojęcie relacji równoważności jest związane blisko z pojęciem rozbicia zbioru na klasy rozłączne. Niech będzie dany niepusty zbiór M. Rozbiciem zbioru M na klasy rozłączne będziemy nazywali rodzinę1) podzbiorów — zwanych klasami tego rozbicia — zbioru M, mającą następujące dwie własności: 1° Każdy element zbioru M należy do jednej i tylko jednej klasy rozbicia. b Słowo rodzina oznacza to samo co zbiór.
16
2° Żadna klasa rozbicia nie jest pusta. Zamiast mówić rozbicie zbioru na klasy rozłączne będziemy mó wili po prostu rozbicie zbioru. Przykładem rozbicia zbioru liczb całkowitych jest podział ich na następujące trzy klasy: do klasy I zaliczamy liczb}7 dzielące się przez 3, do klasy II — dające przy dzieleniu przez 3 resztę 1, do klasy III — dające przy dzieleniu przez 3 resztę 2. Analogicznie można rozbić zbiór C na klasy rozłączne ze względu na reszty, jakie te liczby dają przy dzieleniu przez dowolną, lecz ustaloną liczbę naturalną m\ klas będzie wówczas m. 3. Rozbicie zbioru na klasy abstrakcji relacji równoważności. Niech będzie dany niepusty zbiór M i niech w zbiorze tym będzie okre ślona relacja równoważności Weźmy element a e M i rozpatrzmy podzbiór K a zbioru iii, składający się ze wszystkich elementów równo ważnych z a. K a będziemy nazywali klasą elementu a. Ka jest zbio rem niepustym, gdyż z a ~ a wynika, że a e K a. Każdy element x e M należy do pewnej klasy, mianowicie do K x. Wszystkie ele menty należące do danej klasy K a są równoważne, co wynika z przechodniości i symetryczności relacji Oczywiście wszystkie elementy równoważne z dowolnym elementem klasy Ka też należą do Ka, bo jeśli c ^ b i b e Ka, to b ^ a, więc c ^ a i c e K a. Tak więc, jeśli a ~ by to K a — K by tzn. każda klasa jest określona przez dowolny swój element (czyli każdy element może być wybrany jako reprezen tant swojej klasy). Jeśli wreszcie Kar \ K b =£0, to istnieje c e M takie, że c e K ur\ f ^ K b\ wówczas c g K a i c e K b> a więc c ~ a i c —■b, skąd a ~ b i K a = K b. Stąd, jeśli a nic jest równoważne z b, to Ka r \ K b = 0. Dwie klasy są więc albo równe, albo nie mają elementów wspól nych. Rozważania te prowadzą do następującego twierdzenia: Zadanie to danym zbiorze M relacji równotoażności implikuje rozbicie tego zbioru na klasy rozłączne elementów równoważnych. Klasy elementów równoważnych będziemy nazywali klasami abs trakcji danej relacji równoważności lub po prostu klasami równo ważności, zaś zbiór klas abstrakcji — zbiorem ilorazowym zbioru M względem tej relacji równoważności. Jeśli tę ostatnią oznaczymy 2 — Elementy algebry abstrakcyjnej
17
przez E, to zbiór ilorazowy zbioru M względem tej relacji oznacza się przez M fE (lub przez M / ~ y jeśli równoważność oznaczyć jak wyżej przez ~ ). Oznaczmy rozbicie zbioru M na klasy abstrakcji relacji E przez n. 0 relacji E mówimy, że ona generuje rozbicie n. Teraz odwróćmy sytuację i pomyślmy, że dane jest rozbicie n zbioru M na klasy rozłączne. Wówczas rozbicie to prowadzi do okre ślenia w M relacji równoważności. Istotnie, będziemy uważali, że między dwoma elementami a, b e M zachodzi relacja E, tj. że a Eh, wtedy i tylko wtedy, gdy a i b należą do tej samej klasy rozbicia n. Wówczas, jak łatwo spostrzec, relacja E spełnia warunki 1°—3° równoważności. O rozbiciu n mówimy, że ono generuje relację równoważności E. Z tego, co powiedzieliśmy wyżej, wynika, że między zbiorem wszystkich relacyj równioważności zadanych w danym zbiorze M 1 zbiorem wszystkich rozbić zbioru M na klasy rozłączne istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość. Dalej będziemy często za miast 7i pisali JMJn, mając na myśli przez to zbiór ilorazowy MjE, gdzie relacja równoważności. E odpowiada rozbiciu n. (Oczywiście Mfn i 7t oznacza to samo). Zilustrujemy teraz to, o czym mówiliśmy wyżej, dwoma przy kładami. 1) Jako zbiór M będziemy rozpatrywali zbiór wszystkich pro stych danej płaszczyzny, zaś jako relację równoważności E — równo ległość, uważając przy tym, że każda prosta jest równoległa do sie bie. Wówczas zbiorem ilorazowym Mj E będzie zbiór kierunków" na płaszczyźnie. 2) Rozważmy teraz zbiór C wszystkich liczb całkowitych i jako relację równoważności wr nim przystawanie liczb modulo m (p. § 2. 1). Relacja ta rozbija zbiór C na m klas; do pierwszej z nich zaliczamy liczby podzielne przez m, do drugiej — dające przy dzieleniu przez m resztę 1, do trzeciej — resztę 2, itd., do m-tej — resztę m — 1 (por. poprzedni ustęp). 4. Odwzorowania naturalne. Niech w zbiorze M będzie zadana relacja równoważności E. Jak już wiemy, generuje ona rozbicie n zbioru M na klasy abstrakcji. Przyporządkujmy teraz każdemu 18
a e M tę klasę abstrakcji K a, do której a należy w rozbiciu n. Otrzy mamy funkcję y, odwzorowującą M na MjE (lub na Mjn): y: To odwzorowanie y zbioru M na jego zbiór ilorazowy MjE nazywa się odwzorowaniem naturalnym M na MjE. Jak zobaczymy zaraz, między wszystkimi odwzorowaniami da nego zbioru na inne zbiory i wszystkimi rozbiciami M (a więc i wszyst kimi relacjami równoważności określonymi w M) istnieje ścisły związek. Rozpatrzmy odwzorowanie y zbioru M. na pewien zbiór M ' . Określ my w M następującą relację E: a Eb wtedy i tylko wtedy, gdy ay = by, tj. a E b wtedy i tylko wtedy, gdy a i b mają ten sam obraz w zbiorze M ' . E jest oczywiście równoważnością i generuje rozbicie n zbioru M na klasy rozłączne. Do tej samej klasy zaliczamy te i tylko te elementy zbioru M, które mają ten obraz w zbiorze i)f'. Przyporząd kowując teraz elementowi x e M' klasę abstrakcji relacji E, tę mia nowicie, która składa się z przeciwobrazów elementu x w odwzorowa niu y, otrzymamy wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie zbioru M' na MjE (zwracamy uwagę na to, że y jest odwzorowaniem na M'). Udowodniliśmy więc następujące Twierdzenie. Jeśli y jest odwzorowaniem zbioru M na zbiór Mf, to istnieje takie rozbicie n zbioru M na klasy rozłączne, że zbiór M' od wzorowuje się wzajemnie jednoznacznie na zbiór ilorazowy MjE. Rozbicie 71 jest generowane przez relację równoważności E, przy czym a E b wtedy i tylko wtedy, gdy ay — by. Radzimy Czytelnikowi zilustrować sobie to twierdzenie i jego dowód na przykładzie odwzorowania pewnego zbioru skończonego na inny zbiór skończony. Tak więc wszystkie odwzorowania danego zbioru M na inne zbiory dają się opisać za pomocą odwzorowań naturalnych. Powyższe twier dzenie jest prototypem tzw. twierdzeń o homomorfizmach, z któ rymi zetkniemy się w dalszym ciągu.
2*
19
ĆWICZENIA
1. Podać przykłady rełacyj równoważności, opisać odpowiednie rozbicia i zbiory ilorazowe. 2. Dowieść, że relacja ^ określona między parami uporządko wanymi liczb naturalnych w sposób następujący: (a, b) ^ (c, cl) wtedy i tylko wtedy, gdy ad — b c, jest równoważnością. 3. .Rozpatrujemy zbiór macierzy kwadratowych1) stopnia n o ele mentach rzeczywistych. Dwie macierze A i B nazywamy podobnymi, jeśli istnieje taka macierz nieosobliwa C (tzn. macierz o wyznaczniku różnym od zera), że B = C~LAC. Wykazać, że relacja podobieństwa macierzy jest równoważnością.
§ 3. DZIAŁANIA 1. Definicja działania. Grupa wybitnych matematyków francu skich, publikujących swe monografie pod wspólnym pseudonimem N icolas B ourbaki, rozpoczyna swój traktat Algebra słowami: »Zajmować się algebrą, to znaczy w istocie obliczać, to jest wypełniać nad elementami pewnego zbioru „operacje algebraiczne” , których najbardziej znanym przykładem są „cztery działania” arytmetyki elementarnej«. Ale co to właściwie znaczy „wypełniać nad elementami pewnego zbioru operacje algebraiczne”, innymi słowy, co to znaczy wypełniać działania? Co mają ze sobą wspólnego tak różne działania, jak te, które rozpatrujemy we wstępie? Otóż tym wspólnym i charaktery stycznym dla nich (a także dla innych działań) jest to, że w każdym z rozpatrzonych przypadków działanie polegało na przyporządkowa niu parze uporządkowanej elementów danego zbioru pewnego określo nego elementu tego zbioru. Prowadzi to do następującej definicji. 1) Zadanie to, jak i inne zadania czy przykłady dotyczące macierzy, przezna czone jest dla Czytelników znających elementy algebry wyższej. W ust. 4 § 5 rozdziału IV wprowadzimy pojęcie macierzy. Część zadań dotyczących macie rzy będzie więc mógł Czytelnik nic znający tego pojęcia rozwiązać ewentualnie przy drugim czytaniu.
20
Działaniem (lub operacją algebraiczną) określoną w niepustym zbiorze M nazywa się funkcja co, która każdej parze uporządkowa nej (a, b) e M X M przyporządkowuje określony element zbioru M zwany wynikiem tego działania na elementach a, b* 1). Korzystając z wprowadzonego w § 1. 2 pojęcia kwadratu kartezjańskiego, możemy powiedzieć, że działanie jest to funkcja odwzoro wująca kwadrat kartezjański danego zbioru w ten zbiór: oj: M x
M ->M .
Definicja działania wymaga kilku wyjaśnień. Tak więc po pierwsze w definicji tej wymaga się, by wynik działania na elementach zbioru M należał do M. Jest to tzw. postulat zamkniętości zbioru względem działania. Z tego punktu widzenia nie uważamy za działanie np. odejmowania w zbiorze liczb naturalnych lub dzielenia w zbiorze liczb całkowitych. Zauważmy po drugie, że żądanie, by działanie było funkcją okre śloną na zbiorze par uporządkowanych, jest istotne. Jeśli jako zbiór M będziemy rozpatrywali na przykład zbiór liczb całkowitych, zaś jako działanie odejmowanie liczb, to nic jest wszystko jedno, w jakim porządku weźmiemy te liczby pod znakiem działania. Wynik działania o> na elementach a, b e M zapisujemy («, 6) oj lub aboj, lub też aojb. Częściej jednak używamy dla oznaczenia dzia łania (jak i pisząc jego wynik) symboli nie literowych, lecz na przy kład takich: 0> O? °> X, ® , 0 , i , □ itp. Piszemy więc aOb lub a-b lub a x b itd. Czytamy zaś: ,,a działanie b” lub po prostu ,,a mno żone przez b55 czy też ,,a razy b”, pamiętając jednak, że nie chodzi tu o zwykłe mnożenie np. liczb. Używa się również dla oznaczenia dzia łania zwykłych symboli mnożenia lub dodawania: a -b, ab, a-\-b. Dziedzina zastosowania tak ogólnego pojęcia działania jest bardzo szeroka. Zilustrujemy to na przykładach. 1) Działaniami są: dodawanie w N, C, W, R, Z, jak również mno żenie w każdym z tych zbiorów. Odejmowanie jest działaniem w C, x) Tak określone działanie nazywa się zwykle działaniem binarnym lub dwuelementowym. Algebra zajmuje się również działaniami jedno-, trój-, itd. w ogóle n-clcmentowymi, tj. takimi, gdzie działanie jest funkcją, przyporządkowującą n-ce uporządkowanej elementów danego zbioru określony element tego samego zbioru. Działania dwuelementowc są jednak najważniejsze i nimi tylko będziemy się tu zajmowali.
21
W, R, Z. Dzielenie liczb nie jest działaniem w żadnym z tych zbiorów, jeśli jednak rozpatrywać zbiory W, R i Z każdy bez zera, to dzielenie będzie już działaniem. 2) Działaniem w N jest n □ m = nm. 3) Rozpatrzmy zbiór V wszystkich wektorów trójwymiarowej przestrzeni euklidesowcj. (Jako elementy V rozważamy tzw. wektory swobodne, tj. utożsamiamy wektory mające tę samą długość, kie runek i zwrot; można więc uważać, że początkiem każdego wektora jest początek układu współrzędnych). Dodawanie wektorów jest dzia łaniem w V, odejmowanie też. Działaniem jest również wektorowe mnożenie wektorów. Nie jest natomiast działaniem mnożenie ska larne wektorów, ponieważ w tym przypadku wynikiem jest nie wektor, ale liczba rzeczywista. 4) Niech F oznacza zbiór wszystkich funkcyj zmiennej rzeczy wistej, określonych ńp. w przedziale (0, 1) i przyjmujących wartości rzeczywiste. Dodawanie funkcyj jest działaniem w F. To samo do tyczy ich mnożenia i odejmowania. 5) Dodawanie, odejmowanie i mnożenie ciągów liczbowych o wy razach rzeczywistych są działaniami w zbiorze tych ciągów. 6) Dodawanie macierzy kwadratowych o elementach rzeczywi stych danego stopnia n jest działaniem av zbiorze macierzy tego stop nia; podobnie mnożenie macierzy i ich odejmowanie. 7) Zadajemy w zbiorze R następujące działanie: a+• bL = -----2
(wzięcie średniej arytmetycznej dwóch liczi)). Tak samo można za dać działanie + w W lub w Z, lecz nie w N lub C. 8) Określamy w R działanie w następujący sposób: (i@b = a-\-b-\-l. 9) Działaniem w R będzie również aQb = aĄ-b+ab. Tu, zarówno jak i w przykładach 7 i 8, -|- oznacza zwykle dodawanie liczb rzeczywistych. Podobnie ab jest zwykłym iloczynem liczb aib. 22
10) Rozpatrujemy pewien zbiór X i zbiór Z{X) wszystkich jego podzbiorów (włączając tu sam zbiór X i zbiór pusty J$). Wówczas Y k j W i Yf~\W, gdzie Y, W eZ( X) , są działaniami w Z(X). Podo bnie działaniem jest TN^IT. 11) Działaniem w N jest przyporządkowanie każdej parze liczb a, b e N ich największego wspólnego dzielnika (a, b). 12) Rozpatrzmy zbiór składający się z trzech liczb 0 , 1 , 2 z nastę pującym działaniem + : każdej parze liczb tego zbioru przypo rządkowujemy resztę z dzielenia ich zwykłej sumy przez liczbę 3 (tzw. dodawanie modulo 3). Wówczas 0 + 0 = 0,
0 ;. 1 = 1 + 0 = 1,
14.1 = 2,
0 + 2 = 2 + 0 = 2,
1 + 2 = 2] 1 = 0,
24-2 = 1.
Jest to przykład działania określonego w zbiorze skończonym. Dzia łanie to — jak w ogóle w przypadku działań w zbiorach skończonych — można przedstawić za pomocą tzw. tabliczki działania zwanej także tabliczką Cayleyhi (tabl. 1). W tabliczce tej w pierwszej kolumnie od lewej strony odczytujemy wartość pierwszego argumentu działania; w pierwszym wierszu od góry — wartość drugiego argumentu; na skrzyżowaniu wiersza i kolumny, w których wartości te znajdują się, szukamy wyniku działania. 0
1
2
0
0
0
0
0
1
0
1
2
1
2
0
2
1
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
2
2
0
Tabl. 1
Tabl. 2
13) Tabliczka 2 przedstawia tabliczkę mnożenia modulo 3 liczb 0, 1, 2. Polega ono na przyporządkowaniu parze liczb naszego zbioru reszty z dzielenia przez 3 ich zwykłego iloczynu. 14) W podobny sposób, jak w przykładach 12 i 13, możemy okre ślić dodawanie modulo m i mnożenie modulo m w zbiorze liczb 0, 1, 2, . . . , m —1. 23
15) Rozpatrujemy zbiór J wszystkich obrotów pewnego kota wokół jego środka. Utożsamiamy dwa obroty, jeśli one różnią się 0 kąt 2len, gdzie k jest liczbą całkowitą. Wówczas superpozycja obro tów, tzn. przyporządkowanie dwóm obrotom obrotu polegającego na kolejnym ich wykonaniu, jest działaniem wr J. 16) Superpozycja dwóch przesunięć równoległych płaszczyzny (tzn. takich ruchów płaszczyzny, że przy każdym ruchu wszystkie punkty płaszczyzny przesuwają się o ten sam wektor) jest, jak łatwo spostrzec, działaniem w zbiorze przesunięć równoległych płaszczyzny. 17) Niech X będzie pewnym zbiorem. Będziemy rozpatrywali zbiór P(X) wszystkich przekształceń zbioru X w siebie, innymi słowy zbiór wszystkich funkcyj określonych na X i przyjmujących wartości w zbiorze X. Dwa przekształcenia
zbioru X w siebie będziemy uważali za równie, jeśli x
dla każdego x e X. W zbiorze P(X) wprowadzamy działanie zwane mnożeniem lub superpozycją przekształceń: jeśli (p, -ipeP(X), to kolejne wykona nie tych przekształceń zbioru X w siebie jest znówr przekształceniem X w siebie, nazywamy to nowe przekształcenie iloczynem lub super pozycją przekształceń q>i y>i piszemy x)) = (x ~1 jest izomorfizmem 31' na 31); jeśli wreszcie 31 ^ 31' i 31' ^ 31", to 31 ^ 31" (jeśli axp = a' i a'\p — a", to a% = a", gdzie a e 31, a' e 31', a" e 31", cp jest izomorfizmem 31 na 31', y> izomorfizmem 31' na 31"; jak łatwo spostrzec, wówczas %.31 —> 31" jest izomorfizmem). Ze względu na powyższe możemy o grupoidach 31 i 31', takich że 31 ^ 31', mó wić po prostu, że są to grupoidy izomorficzne. Przy odwzorowaniu izomorficznym zachowują się wszystkie włas ności, które można sformułować w języku działania zadanego w grupoidzie, w szczególności, jak zobaczymy, takie jak przcmicnność, łącz ność, istnienie elementu neutralnego i inne. Jeśli interesuje nas tylko działanie w grupoidzie, możemy nie rozróżniać grupoidów izomorficz nych, czyli możemy je utożsamiać jako twory algebraiczne. Podamy kilka przykładów izomorfizmu grupoidów. 1) Rozważmy zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb naturalnych parzystych ze zwykłym dodawaniem w obu przypadkach jako dzia łaniem. Wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie istniał, to gdyby ly> — p, mielibyśmy p — lip == ( 1 • 1 )ip = hp • hp = p 2, a więc p = p2, co nie zachodzi dla żadnej liczby naturalnej parzystej. 2 ) Grupoid {0 , 1 , 2 } z dodawaniem modulo 3 (p. I. § 3. 1 ) jest izomorficzny z grupoidem składającym się z pierwiastków stopnia trzeciego z liczby 1 , jeśli jako działanie w tym ostatnim rozpatrywać mnożenie liczb zespolonych. Rzeczywiście, napiszmy pierwiastki trzeciego stopnia z jedności: 2 ?r . ' 2 ?r en = 1 , e, = cos------ b i sm — , to 0 , 1 3 3 to to 4n . . En = cos----- f-1 sin----. t 2 to 1 3 3 t 2 t2 to £1 Jeśli zapiszemy tabliczkę mnożenia dla tego grupoidu (tabl. 5), to zauważymy, że grupoid Tabl. 5 {e0, gj. e2} jest izomorficzny z grupoidem za danym tabliczką 1 (przyporządkowanie: 0 (p — £0, l(p = s{, — £2). 3) Niech będzie dany trójkąt równoboczny ABC, niech O będzie jego środkiem (rys. 6 ). Będziemy roz C patrywali te jego obroty wokół pun ktu O, przy których przechodzi on na siebie, utożsamiając obroty róż niące się o kąt 2 /for (Tc — liczba cał kowita). Otrzymamy w ten sposób trzy różne obroty: a0, a l 5 a 2 o kąty odpowiednio . 5) Grupoid R z działaniem « @ 6 = a | - 6 j-l jest izomorficzny z grupoidem R ze zwykłym dodawaniem jako działaniem. Oznaczmy pierwszy z nich przez (jR, 0 ), drugi zaś przez (R, + ), izomorficzne odwzorowanie (p: (R, 0 ) ■-> (R, 0 ) otrzymamy w następujący spo sób: jeśli a e (R, 0 ), to a •z2cp. ĆWICZENIA m. Tak więc gdy ra+ rb < m, (a-\~b) cp = va yb = ra+ f 6 > gdy ra+ rb > m. ra+ rb- m , Ponieważ z definicji dodawania modulo m wynika, że jeśli x, y g Cm, to x+ y - x-} y, gdy x-\-y < m (+ oznacza dodawanie modulo m), i x -iy = x \ - y —m, gdy x j-y ^ m, więc w obu tych przypadkach ł) Rozpatruje się również homomorfizmy w M', nie żądając, by każdy ele ment z M ’ miał przcciwobraz w M. Ograniczymy się fru do rozpatrzenia tylko homomorfizmów na M' (czyli tzw. epimorfizmów). b' = by i c' = = cq>. Mamy więc (a'b’)c' = {a(p'b(p)'ccp = (ab) co oznacza, że axbx i a2b2 należą 48 . — {acpObcp)@{a(pOc ), gdzie f(x) e W |>J, zaś co jest- pierwiastkiem stopnia 3-go z jedności. 191 = axy+a,2cp 7 7 jest homomorfizmem, przy czym idea łem przechodzącym w zero pierścienia 17 jest zbiór wielokrotności całkowitych liczb p, czyli ideał główny (p). Tak więc 77 /Nj>c u p ), 14*
x(ę?y>) = (xtp)y>.
2. Działania przemienne i działania łączne. Działanie O określone w' zbiorze 31 nazywa się przemienne (lub komutatywne), jeśli dla dowolnych a, b e M a O b = b O a. Przykładami działań przemiennych są dodawanie liczb (natu ralnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych), mnożenie wymienionych liczi), dodawanie wielomianów, macierzy, wektorów, mnożenie wielomianów. Mnożenie wektorowe wektorów 1 mnożenie macierzy nie jest przemienne (dla wektorów mamy a x h = —bxci). Nie jest również przemienne odejmowanie w C, W, R i Z. Nic jest oczywiście przemienne działanie określone w przy kładzie 2 z poprzedniego ustępu. Natomiast działania w przykładach 7, 8 i 9 są przemienne; łatwe sprawdzenie tego pozostawiamy Czytel nikowi. Przemienne są suma i iloczyn mnogościowy zbiorów (p. ćwicz. 3a, b z poprzedniego paragrafu). Przemienne jest również działanie 24
z przykładu 11 poprzedniego ustępu oraz dodawanie i mnożenie modu le m. Czytelnik sprawdzi, czy przemienne są działania z przykładów 15 i 16 i wykaże, że superpozycja przekształceń pewnego zbioru w siebie nie jest, ogólnie rzecz biorąc, działaniem przemiennym (należy podać przykład zbioru przekształceń pewnego zbioru w siebie i takie dwa jego przekształcenia cp i f , które nie komutują, tzn. dla których (pip yxp). Działanie O określone w zbiorze M nazywa się łączne (lub asocjatywne), jeśli dla dowolnych a, b , c e M {a O b)O c = a O {b O c). Przykładami działań łącznych są dodawanie i mnożenie w N, C, W, R i Z, dodawanie i mnożenie wielomianów, dodawanie i mno żenie macierzy, dodawanie (lecz nie mnożenie!) wektorów. Odej mowanie w C, W, R i Z nie jest łączne: (a—b)—c ^ a—(b—c). Nie jest również łączne działanie z przykładu 2 z poprzedniego ustępu; istotnie, na przykład (3 □ 3) □ 3 ^ 3 □ (3 □ 3), gdyż (33)3 y= 3s3. Łączne są natomiast operacje algebraiczne w przykładach 8 i 9. Udowodnimy to na przykład dla operacji a Q b = a+b+ab, tj. wykażemy, że {a Qb ) Q c — aQ{bQc). Mamy (a O b)Qc = (a+b-\-ab)Qc = = {a j- 6-\-&b) — j— <3— j—{a-\- b-\-ab) c = = aĄ-b-\-cĄ-ab-\-ac-\-bc-\-abc = = a-\-{ł)-\-c)-\-a {b-\-c-\-bc)-\-bc = = a-\-(b-\-c-{- bc)-\-a{b-\-c-\-bc) = = a O(b+c+bc) = a Q{b Qc). Własność łączności mają suma i iloczyn mnogościowy (por. ćwicz. 3c, d z poprzedniego paragrafu); łączne jest dodawanie i mnożenie modulo m (dowieść). Wykażemy teraz Twierdzenie. Mnożenie {superpozycja) przekształceń pewnego zbio ru w siebie jest łączne (p. przykład 17 z § 3. 1).
Niech q>, ip i / będą'dowolnymi przekształceniami zbioru X w siebie, zaś x dowolnym elementem z X . Wówczas na podstawie wzoru (I. 4) 25
z jednej strony x ((
Twierdzenie. Jeśli działanie jest łączne, to iloczyn dwóch iloczynów, z których każdy składa się z pewnej (skończonej) liczby czynników, jest równy iloczynowi wszystkich występujących w nich czynników, wziętych w tym samym porządku. Dowód. Wprowadźmy oznaczenie: n
/» = (. . . (KOV/2) 0 a3) 0 .. •) 0 an = n av 1 Mamy pokazać, że m
(1.5)
n
m +n
n ai o n am+J = n aj.
Dowód przeprowadzimy przez indukcję względem n. 26
Dla n = 1 wzór (1.5) jest słuszny. Załóżmy, że zachodzi on dla pewnego n. Wówczas m n+l 77% O n a mvj = i =1 j «=>1 m
f n
\
/ »»
— 77 % O ( 77 ( lm j_j O ®m+n+l ) = i=i \i=i / \t=i m+n = 77% o %»+n+i = i=1 c.b.d.o.
«
\
( ^ O 77 ® m +j j O +n-i-1 j'= i / m+n-|-1 n aj, i“l
Z udowodnionego twierdzenia wynika, że jfe$i działanie jest łączne, to dla dowolnych av %,, . .., an e J17 iloczyn ich nie zależy od tego, jak w iloczynie tym są rozstawione nawiasy, można je więc opuszczać. W przypadku gdy al — a.t = . . . = a,n — a, iloczyn tych n czynników zapisujemy an (mówimy wciąż o działaniu łącznym!). Łatwo jest sprawdzić, że am O dn = ' aw+n, skąd wynika, że am O a11 = an O am. Łatwo jest również dowieść, że (am)n = amn. W przypadku gdy działanie jest łączne i przemienne, można oczywiście w iloczynie % 0 % 0 • • • O % zmieniać porządek czynni ków w dowolny sposób. 3. Element neutralny. Niech w zbiorze M zadane będzie dzia łanie O- Element el e M nazywa się elementem lewostronnym neutralnym działania O, jeśli dla każdego a e M [e*0 a = a\ element ep e M nazywa się elementem prawostronnym neutralnym działania 0> jeśli dla każdego a e M « O e p = «; wreszcie element e e M nazywa się elementem dwustronnym neu tralnym lub po prostu elementem neutralnym działania O, jeśli 27
jest on jednocześnie i lewostronnym, i prawostronnym elementem neutralnym tego działania, tzn. jeśli dla każdego a e M e O a = a O e = a. Jeśli działanie jest przemienne, to jednostronny element neutralny jest oczywiście dwustronnym neutralnym. Podamy kilka przykładów elementów neutralnych w różnych działaniach. 1) Elementem neutralnym dodawania liczb (całkowitych, wy miernych, rzeczywistych, zespolonych) jest zero. Elementem neu tralnym mnożenia w N, C, W, R i Z jest 1. 2) W zbiorze liczb naturalnych z dodawaniem nie ma elementu neutralnego, to samo dotyczy zbioru liczb całkowitych parzystych z mnożeniem jako działaniem. 3) W zbiorze wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach np. zespolonych elementem neutralnym dodawania jest wielomian ze rowy, zaś mnożenia — wielomian f(x) — 1. 4) Łatwo zauważyć, że w zbiorze ciągów nieskończonych o wy razach rzeczywistych elementem neutralnym dodawania jest ciąg sa mych zer, zaś mnożenia — ciąg samych jedynek. 5) Elementem neutralnym dodawania macierzy kwadratowych danego stopnia jest macierz zerowa (tzn. taka, której wszystkie ele menty są zerami), zaś elementem neutralnym mnożenia macierzy — macierz jednostkowa (tj. macierz mająca na głównej przekątnej jedynki i poza tym same zera). 6) Rozpatrzmy zbiór P(X) przekształceń zbioru X w siebie (p. przykład 17 z § 3.1). Przekształcenie tożsamościowe s e P(X), to jest takie, że dla każdego x e X zachodzi xs — x, jest elementem neutralnym w' P(X). Czytelnik sprawdzi sam, że dla każdego (p e P(X) mamy sep =
nie ma
9) Rozpatrzmy teraz działanie a ©& = a+b-J-1, określone w JR. Szukamy takiego x e R , że a ® x — a. Mamy zgodnie z definicją tego działania: CL-\~X—1~ 1 == a ,
skąd x — —1. Ze względu na przemionność 0 możemy powiedzieć, że —1 jest elementem neutralnym tego działania. 10) W działaniu a Q b = a-{-!)-{-ab elementem neutralnym jest 0 (jak i wyżej działanie jest określone w_ R). Rzeczywiście, niech a O x — a. Wówczas a-\-x-\-ax — a, skąd (l-f-a)& = 0, co wobec dowolności a daje x = 0. 11) W działaniu określonym tabliczką 3 element y jest prawo stronnym neutralnym, zaś w działaniu określonym tabliczką 4 istnieją dwa elementy lewostronne neutralne a i 6. X
y
z
t
X
X
X
X
X
y z
X
t
X
y z
t
X
t
a
b
c
d
a
a
b
c
d
z
b
a
b
c
d
X
z
c
d
d
d
d
t
X
d
d
d
d
d
Tabl. 3
Tabl. 4
12) Podamy przykład zbioru z działaniem, w którym każdy element jest lewostronnym neutralnym. Niech M będzie zbiorem niepustym. Jeśli a i b są dowolnymi elementami z M, to iloczyn ich określimy tak: a O b — b. Analogicznie określamy działanie, w którym każdy element jest prawostronnym neutralnym. Jak widzimy, działanie może mieć kilka, a nawet nieskończenie wiele elementów jednostronnych neutralnych, przy czym w każdym z podanych przykładów wszystkie one były albo tylko lewostronnymi, albo tylko prawostronnymi neutralnymi. Zachodzi następujące Twierdzenie. JeMi w zbiorze M działanie O ma element lewostronny neutralny i element prawostronny neutralny, to elementy te są równe.
Rzeczywiście, niech et będzie lewostronnym, a ep prawostronnym neutralnym w M. Wówczas H O ep = ep
i
et O ep = e„
skąd et — ep. Oczywiście wówczas et = ep — e jest po prostu elemen tem neutralnym. Z powyższego twierdzenia wynika, że działanie określone w danym zbiorze może posiadać co najwyżej jeden element neutralny. 4. Prawo skreśleń. Działania odwrotne. Jeśli działanie O określone w zbiorze M ma tę własność, że dla dowolnych a, b, c e M z a O b = = a O c wynika, że b — c, to mówimy, że dla działania O zachodzi w M lewostronne prawo skreśleń. Podobnie, jeśli dla dowolnych a, b, c g M z b O a — c O a wynika, że b — c, to mówimy, że zachodzi prawostronne prawo skreśleń. Jeśli w M zachodzi i lewo- i prawo stronne prawo skreśleń, to mówimy, że zachodzi dwustronne prawo skreśleń lub po prostu, że zachodzi prawo skreśleń. Jeśli działanie jest przemienne, to z tego, że zachodzi dla niego jednostronne prawo skreśleń, wynika już, że zachodzi dwustronne prawo skreśleń. Prawo skreśleń zachodzi na przykład dla dodawania w IV, C, W, R i Z. Zachodzi ono również dla mnożenia w N , ale nic zachodzi dla mnożenia w żadnym ze zbiorów C, W, R i Z, gdyż przez zero nic wolno skracać. Natomiast w każdym z tych zbiorów rozpatry wanych bez zera prawo skreśleń dla mnożenia zachodzi. a-\-b określonym Prawo skreśleń zachodzi w działaniu a+b = w R, co łatwo sprawdzić, jak również w działaniu a@ b = a + 6 + 1 (też określonym w R). Rzeczywiście, jeśli a@ b = a@c, oznacza to, że a + 6 + 1 = a-f-c-f 1, skąd b = c. W operacji algebraicznej a O &= a-\-b-\-ab określonej w R prawo skreśleń nie zachodzi: jeśli —l Ob = —lO c, to nie wynika stąd jeszcze, że b — c, gdyż —l Ob = —1 dla każdego b e R . (Liczba —1 gra tu tę samą rolę, co w zwykłym mnożeniu liczb rzeczywistych zero). W działaniu n □ m — nm, gdzie n, m e N, zachodzi prawostron ne prawo skreśleń, z n □ m = p □ w wynika n — p, gdyż jeśli nm — — p m, to n = p. Nie zachodzi tu natomiast lewostronne prawo skre śleń, z 1 □ m = 1 □ 7Ł nie wynika, że m = n. 30
Jeśli dla każdego a i b, należących do zbioru M z działaniem O , istnieje co najmniej jeden element x e M taki, że (1.6)
a O x = 6,
to można określić w zbiorze M pewne działanie ~Qp, które nazywamy działaniem odwrotnym prawostronnym względem działania O, a posiadającym tę własność, że a O (a O p 1>) = b1). Analogicznie, gdy dla każdego a i 6, należących do zbioru M istnieje co najmniej jeden element y e M taki, że (1.7)
y Q a = b,
to można w zbiorze M określić pewne działanie które nazywamy działaniem odwrotnym lewostronnym względem działania O, a po siadającym tę własność, że («Oi h)Oa = b2). Podobnie, jeśli dla każdych a, 6 e M istnieje co najmniej jedno takie x e M , że a O x — b i x O a — b, to można w zbiorze M określić pewne działanie Q, które nazywamy działaniem odwrotnym względem O, a posiadającym tę własność, że #
a O (a O h) ~ (a O”b)Oa = 63).
Jeśli działanie O jest przemienne, to działanie jednostronne od wrotne do niego jest już działaniem odwrotnym. Jeśli dla każdego a, b e 31 istnieje dokładnie jedno x e M takie, że spełnione jest równanie (1.6), to mówimy, że w zbiorze M istnieje x) Np. przyjmujemy a Q p b — c, gdzie c jest. od tej pory ustalonym takim elementem zbioru M, żo a O c b. Łatwo zauważyć, że jeśli dla danych a, b e M istnieją co najmniej dwa takie elementy cv c2 e M, że a O = b i a O c 2 = b, to można określić więcej niż jedno działanie odwrotnie prawostronne względem działania O2) Patrz poprzednia uwaga. 3) Patrz uwaga dotycząca działania prawostronnego odwrotnego.
31
jednoznacznie określone działanie odwrotne prawostronne względem działania O- Podobnie definiujemy jednoznacznie określone działanie odwrotne lewostronne i jednoznacznie określone działanie odwrotne. Względem dodawania w N nie istnieje działanie odwrotne, nato miast względem dodawania w C, W, R i Z istnieje, przy czym jedno znacznie określone; jest nim odejmowanie. Względem mnożenia w żad nym z tych zbiorów nie istnieje działanie odwrotne, natomiast w każ dym ze zbiorów W, R i Z bez zera istnieje — dzielenie, oczywiście jednoznacznie określone. Nie istnieje odwrotne działanie względem działania m Q n — mn ,
-j- 1)
cjl
(m, n e /V). Natomiast względem działania a+b = -- — (a, b e R) istnieje odwrotne i to jednoznacznie określone. Niech będzie dany teraz zbiór wszystkich macierzy nieosobliwych (tzn. macierzy o wyznaczniku różnym od zera) ustalonego stopnia n. Mnożenie jest w tym zbiorze działaniem, gdyż iloczyn dwóch macierzy nieosobliwych jest macierzą nicosobliwą (co wynika z tego, że wyzna cznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi ich wyznaczników). W zbiorze tym określone są oba (tj. lewostronne i prawostronne) działania odwrotne, gdyż jeśli A i B są dwiema macierzami stopnia n, to istnieją zawsze macierze X i Y nieosobliwe takie, że A X — B i YA — — B. Istotnie, X = A ~ XB i Y = BA ~ X, gdzie A ~ l jest macierzą od wrotną do A{A~^ istnieje, bo A jest macierzą nieosobliwą). X i Y są określone jednoznacznie, przy czym ze względu na nieprzemiennośó mnożenia macierzy w ogóle A ~ XB ^ B A ~ X. Gdybyśmy jednak roz patrywali zbiór wszystkich macierzy stopnia n, to nie istnieje tu żadne z działań odwrotnych względem mnożenia.
ĆWI CZENI A
1. W zbiorze dwuelementowym można określić 16 różnych działań. Napisać tabliczki tych działań. Zbadać, które z nich są przemienne, a które łączne. 2. Udowodnić, że na to, aby działanie określone w zbiorze skończo nym było przemienne, potrzeba i wystarcza, by jego tabliczka była symetryczna względem głównej przekątnej (tj. przekątnej idącej z lewa z góry na prawo w dół). 32
3. Udowodnić, że działanie ctĄ-b = —— określone w R nie jest łączne. 4. Dowieść, że działanie a(\)b = a + 6 + 1 określone w R jest łączne. 5. Wykazać, że iloczyn wektorowy wektorów jest niełączny. G. Rozpatrujemy zbiór liczb wymiernych bez zera z dzieleniem jako działaniem. Zbadać, czy działanie to ma element neutralny (dwustronny, jednostronny). 7. Czy w zbiorze wektorów z mnożeniem jako działaniem istnieje element neutralny? 8. Zbadać istnienie elementów neutralnych (dwustronnych, jedno stronnych) w działaniach z przykładu 1. 9. Zbadać, czy istnieje element neutralny (jednostronny, dwu stronny) w działaniu m □ n = mn (ni, u e N). 10. Rozpatrujemy zbiór X i zbiór wszystkich jego podzbiorów Z( X) (włączając tu X i £f). Wyznaczyć element neutralny w dzia łaniu i w działaniu r \ 11. Niech będzie dany zbiór liczb zespolonych Z. Określimy w Z następujące działanie: x\Z y = xy (działanie w prawej stronie równości jest zwykłym mnożeniem liczb zespolonych, x jest liczbą sprzężoną z x). Zbadać, czy działanie to jest łączne, przemienne, czy posiada element neutralny (dwustronny, jednostronny), czy zachodzi tu prawo skreśleń. 12. Czy istnieją działania odwrotne i jakie względem działania z ćwiczenia 4? Jeśli tak, to czy jednoznacznie określone? To samo dla działania z ćwiczy 11. To samo dla działania określonego w ćwicz. 11, ale w zbiorze wszystkich liczb zespolonych różnych od zera. To samo dla działania aQb — a-f 6 1ab, określonego w R, a także dla tego działania, określonego w zbiorze R bez liczby —1. 13. Napisać tabliczkę mnożenia modulo 6, określonego w zbiorze liczb 0, 1,2, 3, 4, 5. Zbadać, czy zachodzi tu prawo skreśleń. To samo dla mnożenia modulo 5, określonego w zbiorze liczb 1, 2, 3, 4. W obu przypadkach zbadać, czy istnieje działanie odwrotne względem da nego i jeśli tak, to w przypadku gdy to działanie jest jednoznacznie określone, napisać tabliczkę działania odwrotnego. 14. Czy łączne jest działanie określone tabliczką 3? A tabliczką 4? 3 — Elementy algebry abstrakcyjnej
33
Rozdzi ał II GRUPOTDY
§ l. DEFINICJA GRUPOTDU. IZOMORFIZMY GRUPOIDÓW 1. Definicja grupoidu. Zbiór z jednym działaniem, określonym w nim, nazywa się grupoidcm. W poprzednim rozdziale podaliśmy liczne przykłady zbiorów, w których były określone działania; rozpatrując je w każdym przy padku z jednym działaniem, otrzymamy przykłady grupoidów. Ope rację algebraiczną w grupoidzie zgodnie z tym, co powiedzieliśmy wyżej, będziemy nazywali mnożeniem, jej wynik — iloczynem. Jako symbolu działania będziemy używali znaku zwykłego mnożenia liczb, a wynik działania na parze (a, b) będziemy oznaczać przez a • b lub ab. Grupoid nazywa się skończonym, jeśli składa się ze skończonej liczby elementów, w przeciwnym razie nazywa się nieskończonym. Jeśli działanie w grupoidzie jest przemienne, grupoid nazywa się przemiennym (komutatywnym) lub abelowym. Grupoid, w którym działanie jest łączne, nazywa się półgrupą. Przeglądając raz jeszcze przykłady działań z poprzedniego roz działu oraz ćwiczenia w ostatnim paragrafie, Czytelnik znajdzie liczne przykłady grupoidów abelowych i półgrup, w szczególności półgrup abelowych (półgrupą abclową jest np. zbiór N z dodawaniem, również IV z mnożeniem). Ważnym przykładem półgrupy jest zbiór l ’(X) przekształceń zbioru X w siebie z superpozycją jako działaniem. Jeśli grupoid zawiera element neutralny, to element ten nazywa się jednością grupoidu (odpowiednio neutralny lewostronny — 34
jednością lewostronną, neutralny prawostronny — jednością prawo stronną). Grupoid P ( X ) , o którym mówiliśmy wyżej, jest półgrupą z jednością ; jednością jest tu przekształcenie tożsamościowe e (przy kład 6 z I. § 3.3). Grupoid, w którym określone są jednoznacznie oba działania odwrotne, nazywa się ąuasi-grupą, zaś ąuasi-grupa z jednością nazywa się lupą (lub pętlą). Quasi-grupą jest na przykład zbiór wszystkich liczb zespolonych bez zera z działaniem x ° y — xy. Wykażemy to. Roz patrzmy ró wnania a o£ — b i r) ° a = h, gdzie a, b e Z i a, b ^ 0 . Są one równoważne z takimi równaniami a£ — b
i
Yja — b,
gdzie działanie jest już zwykłym mnożeniem liczb zespolonych. Przy a każde z nich ma rozwiązanie i tylko jedno, które przy M O jest różne od zera:
Nicpusty podzbiór L grupoidu M, który sam jest grupoidcm względem działania określonego w M, nazywa się podgrupoidem grupoidu M. Na to, aby L był podgrupoidem grupoidu M, potrzeba i wystarcza, by dla każdej pary (a, b) e L x L ich iloczyn ab należał do L, czyli by podzbiór L był zamknięty względem działania w grupoidzie M. Każdy grupoid zawiera oczywiście tr/wialny podgrupoid — siebie samego, taki podgrupoid nazywamy niewłaściwym, każdy inny — właściwym. Zbiór C z dodawaniem jest np. podgrupoidem grupoidu R z do dawaniem, ale np. C z mnożeniem nie jest podgrupoidem W z doda waniem, gdyż chodzi tu o inne działania. R z mnożeniem jest podgru poidem Z z mnożeniem, natomiast zbiór liczb czysto urojonych, tzn. liczb postaci bi, gdzie b jest liczbą rzeczywistą, zaś i = V — 1, nie jest podgrupoidem Z, gdyż nie jest zamknięty względem mnożenia. 2. Izomorfizmy grupoidów. Niech będą dane dwa grupoidy M i M ' . Działanie w każdym z nich oznaczamy tym. samym symbolem. Będziemy mówili, że grupoid M odwzorowuje się izomorficznie na. 3*
35
grupoid 31', jeśli istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie (p:M —> 31' takie, że dla każdej pary a, b e 31 (II. 1 )
(ab)(p = aq>•bcp.
Piszemy wówczas M ^ 3T i mówimy, że grupoid 31' jest obrazem izomorficznym grupoidu 31, odwzorowanie zaś
Wówczas {n-\-m)cp — 2(n-\-m) = 2n-\-2m — ncpĄ-mp, a więc
----- Rozpa3 3 trując (a0, a l 5 a2) z superpozycją o" brotów jako działaniem otrzymamy grupoid. Jest on izomorficzny z gru0
,
poidcm {e0 ex, s2} rozpatrywanym wyżej (przyporządkowanie: s0ip - - a0 eLy = a1; e2ip — a3), a więc i z grupoidem {0 , 1 , 2 } z do dawaniem modulo 3 jako działaniem. Łatwe sprawdzenie tego pozo stawiam y Czytel ni kowi. 4 ) Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich ze zwykłym mnożeniem jest izomorficzny ze zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych ze zwy kłym dodawaniem jako działaniem. Rzeczywiście, każdej liczbie dodatniej przyporządkowujemy jej logarytm dziesiętny, wówczas (ab)
1. Udowodnić, że grupoid |0, 1 , 2, 3}, w którym działanie jest dodawaniem liczb modulo 4, jest izomorficzny z grupoidem obrotów kwadratu dokoła jego środka, przy których kwadrat przechodzi na siebie (działanie — superpozycja obrotów). 2 . Udowodnić izomorfizm grupoidów z poprzedniego ćwiczenia 38
z grupoidem pierwiastków stopnia czwartego z jedności, w którym działaniem jest mnożenie liczb zespolonych. 3. Udowodnić, żc grupoid izomorficzny z grupoidem abelowym sam jest grupoidem abelowym. 4. Udowodnić, że grupoid izomorficzny z półgrupą sam jest półgrupą, 5. Udowodnić, że jeśli grupoid zawiera element neutralny, to jego obraz izomorficzny też zawiera element neutralny. 0. Udowodnić, że zbiór R z działaniem aQb = a-\-b~\-ab jest izomorficzny ze zbiorem R ze zwykłym mnożeniem jako działaniem w grupoidzie. 7. Czy grupoid liczb wymiernych dodatnich z mnożeniem jako działaniem jest izomorficzny z grupoidem wszystkich liczb wymier nych z dodawaniem jako działaniem (por. z przykładem 4 z ostatniego ustępu) ? 8 . Wykazać, że w zbiorze R z dodawaniem jako działaniem od wzorowanie przyporządkowujące każdej liczbie liczbę z nią sprzę żoną jest automorfizmem. To samo dla odejmowania. § 2. HOMOMORFTZMY GRIJPOJLJDÓW
1. Definicja homomorfizmu. Uogólnimy obecnie pojęcie izomor fizmu, rezygnując w definicji odwzorowania izomorficznego z wza jemnej jednoznaczności, ale zachowując żądanie, by q>:M M ' było odwzorowaniem na M'. Niech będą dane dwa grupoidy M i M '. Będziemy mówili, że grupoid M odwzorowuje się homomorficznie na grupoid M ', jeśli istnie je odwzorowanie
39
poid M ' jest obrazem homomorficznym grupoidu M , odwzorowanie zaś (p nazywamy homomoriizmem grupoidu M na grupoid M '1). Każdy grupoid odwzorowuje się homomorficznie na siebie (automorfizm tożsamościowy grupoidu); jeśli M ~ M ' i M' 2 ^ M", to M (por. IT. § 1 . 2 ). Z M 2^ M* nie wynika jednak M 2 ^ M (homomorfizm nie jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym). Relacja „być obrazem homomorficznym” między grupoidami jest. oczywiście zwrotna (automorfizm tożsamościowy grupoidu), przechodnia (por. II. § 1 . 2), ale nie symetryczna (odwzorowanie nie jest wzajemnie jednoznaczne). Podamy niżej kilka przykładów homomorfizmów. 1 ) Niech M będzie zbiorem liczb całkowitych ze zwykłym do dawaniem jako działaniem. Jako M ’ będziemy rozpatrywali zbiór składający się z dwóch liczb: {—1 , l} ze zwykłym mnożeniem jako operacją algebraiczną w grupoidzie. Przyporządkujmy każdej liczbie nieparzystej z M liczbę — 1 e M ', każdej zaś liczbie parzystej liczbę 1 g M ’. Otrzymane przyporządkowanie jest, jak łatwo sprawdzić, homomorfizmem M na M'. 2) Grupoid addytywny liczb całkowitych (tj. C z dodawaniem jako działaniem) odwzorowuje się homomorficznie na grupoid Cm = = {0 , 1 , 2 , . . . , m— i} z dodawaniem modulo m jako działaniem.. Udowodnimy to. Każdej liczbie całkowitej a e C przyporządkujemy jej resztę ra z dzielenia przez m. Ponieważ 0 ^ ra < m, więc ra e Cm i a
40
mamy V K = ra+rb
i
ra-\~rb- m = ra+rb,
a więc {a+b)
= W H
4) Niech M będzie zbiorem wektorów na płaszczyźnie kartezjańskiej, wychodzących z początku układu O (rys. 7), zaś M ' zbiorem wektorów leżących na osi X i wychodzących z O. W każdym z tych zbiorów jako działanie będziemy rozpatrywali dodawanie wektorów.
Wówczas M ~ M '; odwzorowanie homomorficznc cp otrzymamy przy porządkowując każdemu wektorowi a e M jego rzut ax na oś X : acp — cix. Rzeczywiście, jak wiadomo z geometrii analitycznej, rzut sumy wektorów na daną oś jest równy sumie ich rzutów, a więc (a-\-b)
Twierdzenie 1. Obraz homomorficzny grupoidu abelowego jest grupoidem abelowym. Dowód. Niech M oznacza gnrpoid abelowy i M' — jego obraz homomorficzny. Wykażemy, że M' jest grupoidem abelowym. Rze czywiście, jeśli a' i h' są dowolnymi elementami M \ to zgodnie z defi nicją homomorfizmu istnieją w M takie elementy a i b, że a' = acp i b' — brp, gdzie cp oznacza homomorfizm M na M '. Wówczas a'b' — a(p-b
Wniosek. Obraz izomorficzny grupoidu abelowego jest grupoidem abelowym, obraz izomorficzny pólgrupy jest pólgrupą, obraz izomor ficzny grupoidu z elementem neutralnym jest grupoidem z elementem neutralnym (p. ćwiczenia 3, 4 i o z § 1 niniejszego rozdziało). Uwaga. Żadne z twierdzeń 1—3 nic daje się odwrócić: obraz liomomorficzny M ' grupoidu M może być abelowy, podczas gdy M nie jest abelowy; może być pólgrupą, podczas gdy M nią nie jest; może posiadać element neutralny, podczas gdy M go nie posiada. Przy izomorfizmie każde z twierdzeń 1—3 można odwrócić (dlaczego ?). Poniższy przykład dowodzi nieodwracalności twierdzeń 1—3 przy homomorfizmach. Jako M rozpatrujemy zbiór liczb zespolonych z działaniem x o y = xy, grupoid ton rozpatrywaliśmy już w II. § 1. 1. Jako M' rozpatrzmy zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych ze zwyk łym mnożeniem. Wówczas M ~ J fH o m o m o rf izm q>:M-> M ' okre ślamy jak w przykładzie 3 z poprzedniego ustępu: x
=
\xy\
=
\x\ \y\ =
M
\y\ =
*y
M' jest oczywiście półgrupą abelową z jednością, tymczasem M jest. grupoidem niełącznym, nieprzerniennym i nie zawiera, elementu neu tralnego. Istotnie 1
o i — i == —
zaś
(i o i)o i ~ (U) o i = (— zaś
1
= i,
o i — 1 • i = —i,
i ° (i ° i) = i ° (ii) = i o 1 = i.
Przy sposobności pokazaliśmy, żc i nic jest elementem lewostronnym neutralnym, a ponieważ jest prawostronnym neutralnym, gdyż z° 1 = z\ = z, więc grupoid ten nie zawiera elementu neutralnego. Twierdzenie 4. Jeśli w grupoidzie M określone są oba działania odwrotne —lewostronne i prawostronne, to wjego obrazie homomorficznym M ' też określone są oba te działania odwrotne. Dowód. Trzeba udowodnić, że w grupoidzie M' rozwiązalne jest każde z równań a'x — h' i ya' — 1/ dla dowolnych a', b' e M '. Niech a i 6 będą pewnymi przeciwobrazami odpowiednio elementów a' i V przy danym homomorfizmie cp. Wówczas, jeśli c e M spełnia równanie ax = b w grupoidzie M, to c' = ccp spełnia równanie a’x — b' 43
w grupoidzie M '. Rzeczywiście, z ac = b wynika, że (ac)
,
Innymi słowy rozbicie regularne jest to takie rozbicie grupoidu M na klasy rozłączne, przy którym z tego, że ax i a2 należą do tej samej klasy A rozbicia tz, zaś bx i b2 do tej samej klasy B rozbicia tz, wynika, że iloczyny a1b1 i a,2b2 należą znów do jednej i tej samej klasy, na przykład C, rozbicia tz. .Rozpatrzmy dla przykładu jako grupoid zbiór C liczb całkowitych ze zwykłym dodawaniem jako działaniem. Rozbijmy C na następu jące klasy rozłączne: do klasy K0 zaliczmy liczby podzielne przez 5; do klasy Kx — liczby dające przy dzieleniu przez 5 resztę 1; do klasy X 2 — dające resztę 2 ; do klasy K s --- resztę 3 i do klasy /ć 4 — resztę 4. Pokazem3 ', że jest to rozbicie regularne. Istotnie, niech ax, ci2 e K {, zaś bx, b2 e K • ( 0 ^ i, j 4); oznacza to, że ax = 5nx+i, a,2 = 5n2+i, bx = bw.x-\-j, b2 = bm2-\-j, gdzie nx, n2, m,x, m2 są liczbami całkowitymi. Wówczas ax+ hx = | (t+j), a2-\-b2 = 5{n2Ą-m2) + {i+j), skąd wynika, że |-bi i (i2Jrb2 należą do tej samej klasy: K i+j, jeśli i-\-j < 5, albo K iJij_ 6, jeśli i-\-j ^ 5 (por. przykład 2 z II. § 2 . 1 ); rozbicie to jest więc regularne. Jak już wiemy, każde rozbicie pewnego zbioru na klas}^ rozłączne generuje w nim relację równoważności. Relacja równoważności E, generowana w grupoidzie M przez rozbicie regularne tz, nazywa się kongrucncją. O dwóch elementach a, b e M, między którymi zachodzi ta relacja (tzn. o elementach należących do tej samej klasy rozbicia regularnego tz), mówimy, że przystają do siebie według roz bicia regularnego n lub według kongruencji E, i piszemy (II. 2 )
a = b(7i)
lub
a = b(E).
Jeśli ax = a2(E) i bx = b2(E), to jak wynika z definicji rozbicia regularnego, axbx = ci2h2(E). Kongruencje (tak nazywamy również wyrażenia (II. 2)) można więc mnożyć stronami. Rozpatrzonemu wyżej rozbiciu zbioru C na pięć klas odpowiada kongruencja przystawania liczb modulo 5 (por. I. § 2 . 1 ). Kongrucncją liczbowa a b (mod 5) (p. wzór (I. 3)) jest więc szczególnym przypad kiem kongruencji (II. 2 ). Do zagadnień tych w przypadku ogólnym wrócimy niebawem. Zauważmy jeszcze, że omawiane rozbicie zbioru 45
C na pięć klas jest regularne również względem mnożenia liczb, co łatwo jest sprawdzić. "Rozpatrzmy teraz jako grupoid M zbiór wszystkich wektorów na płaszczyźnie, wychodzących z tego samego punktu O (rys. 8 ) z do dawaniem wektorów jako działaniem. Rozbijmy M na następujące
Rys. 8
klasy rozłączne: do tej samej klasy zaliczamy te i tylko te wektory niezerowc, których końce leżą na tej samej prostej przechodzącej przez punkt O; wektor zerowy uważamy za oddzielną klasę. Jak —>
—>
łatwo spostrzec, nie jest to rozbicie regularne: bx i 6 a należą do tej samej klasy, natomiast a \ b\ i a-\-b2 — do różnych. Rozpatrzmy teraz zbiór ilorazowy M\E grupoid u M względem kongrucncji E generowanej przez rozbicie regularne n. Niech a, b e M i niech A, Be.M \E , przy czym a e A, b e Ti. Jeśli ab e G, to klasa O e M\E określona jest jednoznacznie przez za danie klas A i B: iloczyn każdego elementu z A przez każdy element z B należy do C. Tak więc działanie w M indukuje działanie w Al JE, gdzie E jest kongruencją: każdej parze uporządkowanej klas A i B przyporządkowujemy określoną klasę zbioru ilorazowego ATJE, tę mianowicie, do której należą iloczyny elementów klasy A przez ele menty klasy Ti. W ten sposób Al JE stał się grupoidcm, w nim określone jest działanie, nazwiemy je, jak zwykle w grupoidzie, mnożeniem. Zapisywać je będziemy w sposób przyjęty przez nas dla grupoidów: AB. Klasa A B jest iloczynem klasy A przez klasę B (oczywiście nie w sensie mnogościowym!). Zauważmy, że zadanie działania w MJE 46
\v powyższy sposób jest możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy n jest rozbiciem regularnym (czyli E — kongruencją), w przeciwnym razie iloczyny elementów klasy A przez elementy klasy B mogą należeć dó różnych klas MjE. Grupoid M /E z tak określonym w nim działaniem nazywamy gnipoidem ilorazowym grupoidu M. W rozpatrzonym wyżej przykładzie grupoid ilorazowy składał się z klas K0, K x, K 2, K z, T\4. Działaniem w nim było dodawanie klas (nazwaliśmy tu operację określoną na klasach dodawaniem, gdyż wyjściowe działanie w C jest dodawaniem liczb). Ponieważ suma dwóch liczb całkowitych, z których jedna daje przy dzieleniu przez 5 resztę i (0 '4 ' i < 5), druga zaś resztę j (0 j < 5), jest liczbą dającą przy dzieleniu przez 5 resztę i-f-j, gdy i-\-j < 5, oraz i- j5, gdy i-\-j > o, więc sumą klas Ki i Kj jest klasa K i+p gdy i | j < o, oraz K u j _5, gdy i-'rj > 5, czyli Kf+Kj = Ki+j, gdzie i-\-j jest sumą liczb 0 , 1 , 2 , 3, 4 modulo 5. Czytelnik z łatwością napisze tabliczkę działania w rozważanym grupoidzie ilorazowym. Jeśli rozpatrywać grupoid multyplikatywny liczb całkowitjmh (C ze zwykłym mnożeniem), to i w tym przypadku, jak powiedzieliś my, rozbicie na klasy liczb, dających przy dzieleniu przez 5 te same reszty, jest rozbiciem regularnym. (Działanie w grupoidzie ilorazowym będzie tu nazywało się mnożeniem klas). Jeśli Ki i Kj są dwiema kla sami, to Kl •Kj — K iXj, gdzie i x j jest iloczynem liczb 0 , 1 , 2 , 3, 4 modulo 5. 4. Związek homomorfizmów grupoitlów z rozbieiami regularnymi i kongnienejami. W 1. § 2.4 wprowadziliśmy pojęcie odwzorowania naturalnego danego zbioru na zbiór ilorazowy tego zbioru; tam też udowodniliśmy twierdzenie ustalające związek między wszystkimi od wzorowaniami danego zbioru na inne zbiory i wszystkimi rozbieiami tego zbioru na klasy rozłączne (a więc wszystkimi relacjami równo ważności określonymi w tym zbiorze). W konsekwencji otrzymaliśmy opisanie wszystkich odwzorowań danego zbioru na inne zbiory przez jego odwzorowania naturalne. Zajmiemy się teraz tymi zagadnieniami w przypadku grupoidów. Udowodnimy następujące Twierdzenie 1. Niech M oznacza grupoid i n pewne jego rozbicie regularne. Wówczas grupoid M można odwzorować homomorficznie na jego grupoid ilorazowy M/n. 47
Dowód. Każdemu a £ M przyporządkowujemy tę klasę A e Ml7z,j do której a należy w rozbiciu regularnym tz. Określone w ten sposób odwzorowanie p: M M/tz jest homomorfizmem.: jeśli a £ A i b e B, to na mocy definicji rozbicia regularnego ab £ AB , innymi słowy (ab) fi — A B — ap-bp.
’
Twierdzenie zostało udowodnione. Homomorfizm p : M M j n nazywa się homomorfizmem natural nym. Moglibyśmy oczywiście wszędzie wyżej zamiast o rozbiciu regu larnym n mówić o kongruencji E, odpowiadającej temu rozbiciu, i o homomorfizmie p:M —> MjE. Udowodnimy teraz twierdzenie, że w ogóle wszystkie homomorfizmy grupoidu M dadzą się opisać w podobny sposób, tzn. że grupoidy ilorazowe danego grupoidu względem wszystkich jego rozbić regularnych (lub kongruencji) wyczerpują już z dokładnością do izomorfizmu wszystkie jego obrazy homomorficzne. Twierdzenie 2. Niech M ' będzie dowolnym obrazem homomorficznym grupoidu M , a q> — odwzorowaniem homomorficznym M na ił/'. Istnieje wówczas takie rozbicie regularne tc grupoidu M, że grupoid M' jest izomorficzny z grupoidem ilorazowym Mjn. Dowód. Dane jest, że M ^ M '; mamy dowieść, że istnieje takie rozbicie regularne tz, że M ' ^ Mjn. Rozbicia tz dokonamy, zaliczając do jednej i tej samej klasy A te i tylko te elementy grupoidu M, które mają ten sam obraz w M ', tzn. ax, a2 należą do tej samej klasy wtedy i tylko wtedy, gdy ax
i
bx
Ale (p jest homomorfizmem, więc (axbx)< P—
= a'W
i (a2b2)(p = a2cp•b2
\do tej samej klasy, a więc n jest rozbiciem regularnym i możemy rozpatrywać grupoid ilorazowy M/ tz. \ Wykażemy wreszcie, że 31'ę^M jjt. Wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie yj grupoidu M' na Mjn określimy w ten sposób, że każdemu elementowa grupoidu M' przyporządkujemy tę klasę z Mjn, która składa się z przcciwobrazówr danego elementu. Jest to odwzo rowanie izomorficzne: ponieważ acp = a' i bcp — b' oraz a e A i b e B, więc a'ip — A i b 'f — B. Ponieważ (ab)q> = acp'bcp — a'b', więc {a' b')ip = A B = a'y)‘b'y>, gdyż ab e AB, co kończy dowód. Dla ilustracji powyższego twierdzenia rozpatrzymy dwa przy kłady homomorfizmów — przykład 4 i przykład 2 z ustępu 1 tego paragrafu. W przykładzie 4 klasami elementów zbioru M, mających te same obrazy w M' (tj. te same rzuty na oś X) są zbiory wektorów, których końce leżą na tych samych prostych równoległych do osi Y (rys. 9). Tak więc jako grupoid ilorazowy M jn można rozpatrywać tu zbiór prostych równoległych do osi rzę dnych z działaniem polegającym na przyporządkowaniu dwóm takim prostym trzeciej prostej z tego zbio ru, tej mianowicie, której odległość od osi Y jest równa sumie odległoś ci tych dwóch prostych od osi Y, przy czym odległość ta ma być ro zumiana jako liczba dodatnia, gdy dana prosta leży na prawo od osi Y, i jako liczba ujemna, gdy dana pro sta leży na lewo od osi Y. Izomorfizm M' ^ Mjn otrzymamy, przy porządkowując każdemu wektorowi na osi X tę prostą równoległą do Y, która przechodzi przez koniec tego wektora. W przykładzie 2 klasami elementów grupoidu addytywnego liczb całkowitych, mających te same obrazy w Cm, są klasy liczb, dających przy dzieleniu przez m te same reszty, a więc grupoidem ilorazowym jest tu zbiór klas K 0, K v Km_lf gdzie K i jest klasą liczb, dających 4 — Elementy algebry abstrakcyjnej
49
przy dzieleniu przez m resztę i, zaś działaniem w grupoidzie ilora zowym — dodawanie tych klas (por. §2.3 niniejszego rozdziału): gdy a-j-b < m, gdy a-\ -b m, innymi słowy Ka \ Kb = Ka\rh, gdzie a \ b jest sumą modulo m liczb a \ b. Oznaczając relację a = b (mod m) przez E, otrzymujemy osta tecznie: C ~ Cm, Cm~^CjE. W tym ostatnim izomorfizmie liczbie i e Cm przyporządkowana jest klasa K {. (Izomorfizm. Cm ^ CjE można sprawdzić bezpośrednio: {a+ by) - K a\rb= Ka \ Kb = ay>-\-bip). Analogicznie sprawa ma się przy homomorfizmie grupoidu multyplikatywnego liczb całkowitych na Cm z mnożeniem modulo m jako działaniem. Tu, jeśli a, b e Cm, to a x b = r,
gdzie
ab = mą-\-r,
0
r < m.
Grupoidcm ilorazowym jest tu zbiór klas K0, Kx, ..., K m_l z mnoże niem klas określonym wzorem
gdzie a X b jest mnożeniem modulo m. ĆWICZENIA
1. Grupoid addytywny liczb zespolonych Z odwzorowuje się homomorficznie na grupoid addytywny liczb rzeczywistych. Dowieść. Czy zachodzi to również dla grupoidu multyplikatywnego liczb zespolonych w stosunku do grupoidu multyplikatywnego liczb rzeczy wistych? Czy grupoid addytywny liczb zespolonych odwzorowuje się homomorficznie na grupoid addytywny’- liczb czysto urojonych (tj. liczb postaci bi) ? 2. Co będzie grupoidem ilorazowym grupoidu Z izomorficznym z R w pierwszym pytaniu poprzedniego ćwiczenia ? Opisać kongruencję w Z, generującą odpowiednie rozbicie regularne. 3. Niech JR(M)[o;] oznacza zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, stopnia nie wyższego niż n. Jako działanie w rozpatrujemy dodawanie wielomianów. Dowieść, 50
żc przy 7i > m K(n)[ar] odwzorowuje się homomorfieznie na jR(,n)[x]. Jak należy określić kongruencję E wH(ł,)[a;], by zachodziło R (,l)\x\IE ^ 4 . Niech M oznacza zbiór macierzy kwadratowych stopnia n o wyrazach rzeczywistych, zaś M' — zbiór macierzy kwadratowych stopnia n —1 również o wyrazach rzeczywistych. Udowodnić, że M M ' ; jako działanie rozpatrujemy w obu zbiorach dodawanie macierzy. Jak należy określić relację równoważności E w M, by
4
*
R o z d z ia ł III GRUPY
§ 1. DEFINICJA I NAJPROSTSZE WŁASNOŚCI GRUPY 1. Definicja grupy. W tym rozdziale zapoznamy się z najważniej szą. klasą grupoidów — z grupami. Pojęcie grupy jest nie tylko jednym z najważniejszych pojęć algebry, ale i całej współczesnej matematyki, a teoria grup jest jedną z najbardziej rozwiniętych teoryj algebraicz nych. O tak wielkim znaczeniu teorii grup decyduje nic tylko jej ogromna rola w algebrze, ale i liczne zastosowania w analizie mate matycznej, geometrii, topologii, jak również w fizyce teoretycznej (przede wszystkim w mechanice kwantowej), w krystalografii i w in nych naukach. Przyczyna możliwości tak szerokich zastosowań po jęcia grupy leży między innymi w tym, że pojęcie to, będąc jeszcze bardzo ogólnym, zawiera już wiele własności, posiadanych przez różne konkretne zbiory, w których określona jest operacja alge braiczna. Grupą nazywa się półgrupa, w której określić można działanie lewostronne odwrotne i działanie prawostronne odwrotne. Innymi słowy grupą nazywa się grupoid łączny G, w którym dla każdej pary elementów a, b e G rozwiązalne są równania (TII.l)
ax = b
i
ya = b.
Jeśli działanie w grupie jest przemienne, to grupa nazywa się abclowa. Jeśli grupa składa się ze skończonej liczby elementów, to nazywa się grupą skończoną, a liczba jej elementów — jej rzędem.
52
Działanie w grupie, jak i w ogóle w grupoiclach, nazywa się mno żeniem, oznacza się symbolem*, a wynik działania na parze (a, b) zapisuje się a *b lub ab i nazywa iloczynem. Ten sposób zapisywania i ta nazwa działania używane są w przypadku, gdy mówimy w ogóle o grupach i w przypadku grup nieabelowych. W grupach abelowyeh przyjęte jest dla oznaczenia działania używać symbolu ~| ; działanie nazywa się wówczas zwykle dodawaniem, jego wynik zaś — sumą. W związku z tym mówi się o dwóch terminologiach w teorii grup o terminologii multyplikatywnej, związanej z nazwą mnożenie dla działania w grupie, i o terminologii addytywnej, związanej z nazwą dodawanie dla działania grupowego1). W ustępie 4 niniejszego paragrafu podamy liczne przykłady grup, tu ograniczymy się do kilku jedynie najprostszych. Tak więc zbiór C z dodawaniem jako działaniem tworzy grupę abclową, tzw. addytywną grupę liczb całkowitych. Ze względu na przemienność działania wystarczy tu, jak i w ogóle w grupach abelowyeh, rozpatrywać tylko jedno z równań (III.l), zapisze się ono w terminologii addytywnej w postaci (1 1 1 . 1 ')
a-\-x = b.
Rozwiązalność jego w grupie addytywnej liczb całkowitych jest oczywista. Grupami abelowymi są również zbiory W, R i Z, każdy z do dawaniem. Są to odpowiednio grupy addytywne liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych. C nie jest oczywiście grupą względem mnożenia liczb, żaden ze zbiorów W, R i Z z mnożeniem też nie (nierozwiązalność równania ax — b przy a = 0, b 0). Natomiast JRN^O i 0 , tj. każdy z tych zbiorów bez zera (powinniśmy właściwie pisać itd., gdyż jest to odejmowanie zbioru jednoelemcntowego { 0} od zbioru W, powyższy sposób zapisywania jest jednak prostszy) sta l ) Użycie tej czy innej symboliki i terminologii nie wpływa oczywiście na treść teorii, chodzi tu jedynie o to, że przeróżne dodawania — a więc liczb, wie lomianów, macierzy, wektorów itd., są przemienne, podczas gdy pewne mnoże nia, np. wektorów, macierzy, przekształceń danego zbioru w siebie, nic są prze mienne.
53
nowi grupę abclową względem mnożenia liczb1). Są to odpowiednio grupy multyplikatywne liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolo nych. (C\ 0 nie jest oczywiście grupą względem mnożenia liczb). 2. Najprostsze własności grup. Z tego, co mówiliśmy w 1. § 3.2 o działaniach łącznych, wynika, że przy mnożeniu kilku czynników w grupie można opuszczać nawiasy, jak również to, że dowolne na stępujące po sobie czynniki można brać w nawiasy, nie zmieniając przy tym ich porządku. Przypominamy, żc iloczyn
aa . . . a n razy
oznaczamy przez a11 i że aman — «"H n i (ałn)n = amn (w, n e N), Element an nazywamy ri-tą potęgą elementu a. W grupach abclowych, przy użyciu terminologii addytywnej dla sumy ct— j— a-\- . . . ~\~a n razy używa się symbolu n-a. (Uwaga! To nie jest mnożenie w grupie, n nie jest elementem grupy, lecz liczbą naturalną, zaś działanie w grupie zapisuje się za pomocą symbolu + ). Element n-a nazywa się n-tą wielokrotnością elementu a. Odpowiednikami wzorów na pisanych wyżej dla iloczynu potęg tego samego elementu i ra-tej potęgi m-tej potęgi elementu będą wzory m -a+ n-a — (m-\-n)-a n-(m-a) = (mn) *a. Udowodnimy teraz kilka twierdzeń wyrażających pewne proste, ale jednocześnie ważne własności grup. Twierdzenie X. W każdej grupie istnieje element neutralny. Dowód. Niech G oznacza grupę. Rozpatrzmy równanie ya — a, gdzie a e G. Zgodnie z definicją grupy istnieje przynajmniej jeden *) Mimo iż są to grupy abelowe, wynik działania w nich oznaczamy, ponie waż jest to zwykłe mnożenie, przez ab. Wprowadzenie tu symboliki addytywnej doprowadziłoby do plątaniny, nie odróżnialibyśmy dodawania liczb od ich mnożenia.
54
element e e G spełniający to równanie, tzn. taki, że (ITT.2)
ea = a.
Wykażemy, że e jest elementem neutralnym grupy G. Niech c będzie dowolnym elementem grupy. Istnieje wtedy przy najmniej jeden element x e G taki, że ax = c, skąd wobec łączności działania oraz wobec (TII.2 ) ec — e(ax) = (ea) x = ax = c, a więc dla każdego c e G zachodzi ec = c, co oznacza, że e jest lewo stronnym elementem neutralnym w G. Analogicznie dowodzimy, że istnieje w G element prawostronny neutralny e'. Stąd już na mocy twierdzenia udowodnionego w I. § 3.3 otrzymujemy e' = e, a więc w G istnieje element neutralny. Element neutralny grupy, nazywany też jednością grupy, będziemy oznaczali zwykle symbolem e (oznacza się go również - czego nie będziemy tu robili — symbolem 1 , nie należy plątać tego wówczas z liczbą 1). Jedność w grupie abelowej oznacza się przy użyciu termino logii addytywnej symjbolem 0 i nazywa się wówczas zwykle zerem. W celu uniknięcia nieporozumień (możliwość poplątania zera grupy z liczbą zero) będziemy jedność grupy abelowej oznaczali symbolem 0. Tak więc w grupie abelowej G dla każdego a e G mamy a-\-0 = a. Twierdzenie 2. Dla każdego elementu a grupy G istnieje jeden i tylko jeden element b e G luki, że ab = e. Ten jedyny element b spełnia też równanie ba = e. Dowód. Niech G będzie grupą. Rozpatrzmy równanie ax =- e i ya = e, ich rozwiązania oznaczmy odpowiednio przez b i b', tak więc ab — e i b'a = e. Biorąc pod uwagę łączność działania w grupie, otrzymujemy (b'a)b = l/(ab) = b'e = b' i (b'a)b — eb = b, skąd b' — b.
oo
Wykażemy teraz, że element b e G jćst dla danego a e G okre ślony jednoznacznie. Załóżmy, że istnieje jeszcze jeden element by e G o tej własności, że abi — bxa — e. Wówczas mielibyśmy bx = eby - (ba) bx = b(abx) = be = b, a więc by = b. Twierdzenie zostało udowodnione. Element b e G o tej własności, że dla danego a e G spełnione jest ab = ba — e, nazywa się elementem odwrotnym do a. Udowodnione wyżej twierdzenie 2 można więc wypowiedzieć tak: Do każdego elementu a e G istnieje w G element odwrotny i tylko jeden. Element odwrotny do a e G oznaczamy przez a~l. Tak więc a~la = aa~l = e. W terminologii addytywnej element odwrotny do a oznaczamy przez —a, tak więc a-|-(—a) = O. Zauważmy, że (a- 1 ) - 1 = a, tj. że odwrotność odwrotności ele mentu a jest równa a (w terminologii addytywnej —(—a) - a). Rzeczywiście, rozpatrzmy równanie a~lx = e\ zgodnie z definicją elementu odwrotnego jego rozwiązaniem będzie element (a-1)-1. Z dru giej jednak strony rozwiązaniem tego równania jest a. Tak więc (a- 1 ) - 1 = a. Zachodzi również następujący wzór: (ab)~x = b~la~x. Istotnie, (b~xa~x) (ab) = b~x(a~xa) b — b~l eb — b~xb = e. Wzór ten daje się uogólnić łatwo przez indukcję na dowolną liczbę czynników: K
«2
• • • « n -A ) - 1 = ań Xań-x • • • a2 V 1-
Uogólnimy pojęcie potęgi elementu. Przez a° będziemy rozumieli dla każdego a e G jedność grupy, zaś przez a~n, gdzie n jest liczbą naturalną, będziemy rozumieli element (a~1)n. W terminologii ad dytywnej odpowiada temu uogólnione pojęcie wielokrotności elementu, tak więc 0-a = &, (—n)-a = w (—a). Łatwo jest sprawdzić, że a~n = (an)-1 : 56
$ a~n-an = {a~*a~x . . . a ' 1) (aa . . . a) = 1
n ra z y
n
ra z y
= (a~1a~l ... a~l ){a~xa) {aa.. .a)—{a~xa~'x.. .a -1) {aa. . . a) — n —l razy
n —i razy
n — I razy
w—1 razy
= (a~xa ~ 1 ... a -1) (aa ... a) = ... = a - 1 a = e. n —2 razy
n —2 razy
Tak więc a~n-an = e, skąd a“n = (an)_1. W terminologii addytywnej zapiszemy to tak: (—n) 'a — — {n-a). '■
Jeśli p i q są dowolnymi liczbami całkowitymi, to zachodzą równości aP aq = ap+q,
{ap)q = a™,
uogólniające odpowiednie równości, gdy wykładniki były naturalne. Sprawdzenie ich nie nastręcza żadnych trudności. W terminologii addytywnej zapiszą się one tak samo, jak odpowiednie równości, w przypadku gdyby p i q były liczbami naturalnymi. Twierdzenie 3. Oba działania odwrotne — lewostronne i prawostron ne — są w grupie określone jednoznacznie. Dowód. Trzeba wykazać, że każde z równań (III. 1 ) ma tylko jedno rozwiązanie. Niech c e G będzie rozwiązaniem równania ax — b. Wówczas ac = b, skąd c = ec = {a~1a)c = a - 1 (ac) — a~xb, a więc c = a~xb, co dowodzi, że element c jest przy danych a, b e G określony jednoznacznie. Podobnie dowodzi się, że jeśli d jest roz wiązaniem równania ya = 6 , to d = ba~x, jest więc określone jedno znacznie. Rozwiązaniem pierwszego z równań (III. 1 ) jest element a - 1 6 , a drugiego jest ba~x. W terminologii więc addytywnej rozwiązaniem równania (III. 1 ') jest element &+(-—a). Będziemy dalej pisali za miast &+(—a) po prostu b—a. Twierdzenie 4. W grupie zachodzi prawo skreśleń. Do-w ód. Niech będzie ab = ac. Wówczas a~x{ab) — {a~xa)b = eb = b 57
1
a
1
(ac) = (a 1a)c = ec = c,
skąd = c. Podobnie dowodzi się, że z ba = ca wynika b = c. Z twierdzenia 4 wynika pewien wniosek. Otóż element a grupoidu M nazywa się idempotentein, jeśli a2 = a. Łatwo spostrzec, że: Jedynym idempotentem w grupie jest jej jedność. Istotnie, niech a2 — a, a więc a 2 = ae lub aa = ae, skąd skracając przez a otrzymamy a — e. 3. Inna definicja grupy. Wyżej udowodniliśmy, że w grupie istnieje element neutralny (jedność grupy) i że dla każdego elementu grupy istnieje element do niego odwrotny. Wykażemy teraz, że i na odwrót: jeśli w półgrupie istnieje element neutralny i jeśli dla każdego ele mentu istnieje element odwrotny do niego, to półgrupa ta jest grupą. Udowodnimy nawet więcej, udowodnimy mianowicie następujące Twierdzenie I. Jeśli w półgrupie G istnieje element lewostronny neutralny et i jeśli do każdego a e G istnieje element lewostronny od wrotny, tzn. taki element at \ że aj' 1 a — e(, to G jest grupą. Dowód. Trzeba udowodnić, że w G rozwiązalne są równania (III. 1). Wykażemy w tym celu po pierwsze, że lewostronny element odwrotny do dowolnego elementu jest jednocześnie prawostronnym elementem odwrotnym do niego, czyli po prostu elementem odwrot nym do niego. Mamy z1 =
1
= a, 1;
mnożąc lewostronnie przez element lewostronny odwrotny do at \ otrzymujemy K x)z 1 («t X(t) ai
1
= (ai *)i
1
ai
1
skąd (III.3)
[{at 1),
1
at 1]aal
1
= (at l)t 1 ax Ł
Ale (aj~1)j~l a f 1 = et, więc (TTT.3) można napisać w postaci
lub 58
e,aa, 1 — e. aaj-i
czyli a f l jest również prawostronnym elementem odwrotnym do a, czyli po prostu elementem odwrotnym do a, będziemy go więc ozna czali przez a~x. Pokażemy, że lewostronna jedność ą jest jednocześnie prawo stronną jednością w G, a więc po prostu jednością : aet = a(a~xa) = {aa~x)a — et a — a dla każdego a e G. Będziemy więc et oznaczali przez e. Wykażemy wreszcie, że równania (111. I) są rozwiązalne w G. Weźmy x = a~l b i y — ba~\ wtedy po podstawieniu do równań (TTI.l) otrzymamy a(a~1b) = (aa~x)b = eb = b i (ba~x)a = b(aa ]) = be = 6 , co było do okazania. Uwaga. Powyższe twierdzenie można sformułować również dla półgrupy z prawostronnym elementem neutralnym i prawostronnym elementem odwrotnym dla każdego elementu. Dowód, że będzie to grupa, niczym w zasadzie nie różni się od podanego wyżej. Z udowodnionego twierdzenia wynika, że grupę można zdefinio wać jako półgrupę, w której istnieje element lewostronny (albo prawo stronny) neutralny i w której do każdego elementu istnieje ele ment lewostronny (odpowiednio prawostronny) odwrotny. Taka aksjomatyka jest równoważna z wyjściową: z aksjomatów grupy podanych w ustępie 1 wynika istnienie w grupie jedności, a więc i jedności lewostronnej (prawostronnej), i elementu odwrotnego, a więc i ele mentu lewostronnego (prawostronnego) odwrotnego do każdego ele mentu grupy. Zachodzi również, jak widzieliśmy, wynikanie odwrot ne. Ponieważ jednak, jak wjmikało z dowodu twierdzenia 1 , założenie istnienia lewostronnej jedności (prawostronnej) i lewostronnego ele mentu odwrotnego (prawostronnego) do każdego elementu pół grupy implikuje już istnienie jedności i elementu odwrotnego do każdego elementu grupy, więc grupę można zdefiniować również jako półgrupę z jednością, w której dla każdego elementu istnieje odwrotny. Definicja ta, będąc równoważną z podaną w ustępie 1 , pozwala jednak zwykle łatwiej sprawdzić, czy dana półgrupa jest grupą. Tak więc gdy mamy pewien zbiór G z zadaną w nim funkcją 59
dwuargumentową co i chcemy przekonać się, czy zbiór ten jest grupą względem co, to najłatwiej jest to zrobić zwykle sprawdzając: 1° Czy co jest działaniem w G, tj. czy dla każdej pary (a, b) e G X G będzie abco e G (zamkniętość G względem oj ). 2 ° Czy działanie co jest łączne. 3° Czy istnieje jedność w G. 4° Czy do każdego a e G istnieje element odwrotny. To, czy półgrupa skończona jest grupą, można sprawdzić rów nież w inny sposób, zachodzi bowiem następujące Twierdzenie 2. Na to, by półgrupa skończona była grupą, potrzeba i wystarcza, aby zachodziło w niej prawo skreśleń. D o wód. Konieczność wymienionego w twierdzeniu warunku jest oczywista, ponieważ prawo skreśleń zachodzi w każdej grupie. Wy każemy jego dostateczność. Niech G będzie półgrupą skończoną i a jej dowolnym, ale ustalo nym w danym rozumowaniu elementem. Dokonamy przekształcenia pa grupy G w siebie, polegającego na tym, że każdemu y eG przy porządkujemy iloczyn ya e G. Tak więc yya — ya. Ze względu na to, że iloczyn ya jest określony w G jednoznacznie, jest to jednoznacz ne odwzorowanie G w siebie. Wykażemy, że ya:G->G jest prze kształceniem wzajemnie jednoznacznym. Niech dla pewnych y i y' z G zachodzi Wa = y\ua; oznacza to, że ya = ya, skąd wobec prawa skreśleń y — y , a więc obrazy w przekształceniu y a mogą być równe wtedy i tylko wtedy, gdy równe są ich przeciw obrazy, a więc pn jest przekształceniem wzajemnie jednoznacznym, a ponieważ zbiór skończony nie może przekształcać się wzajemnie jednoznacznie na swój podzbiór właściwy (dwa zbiory skończone są oczywiście równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tę samą licz bę elementów), więc zbiór wartości przekształcenia pa, czyli zbiór {ya} — G. Tak więc każdy element b eG może być napisany w po staci b — ya, tzn. w G rozwiązalne jest drugie z równań (III. 1 ). W podobny sposób dowodzi się, że w G rozwiązalne jest pierwsze z równań (III. 1 ), a więc G jest grupą. 60
4. Przykłady grup. W ustępie 1 tego paragrafu podaliśmy kilka przykładów grup. Ten ustęp poświęcimy rozpatrzeniu dalszych przy kładów. ) Sama liczba zero tworzy grupę względem dodawania, sama liczba i tworzy grupę względem mnożenia liczb. 1
2 ) Liczby wymierne dodatnie tworzą grupę względem mno żenia liczb. Jednością grupy jest .1 , elementem odwrotnym do a 1
jest —. To samo można powiedzieć o zbiorze liczb rzeczywistych a dodatnich. Obie te grupy są abelowe nieskończone. Żaden z tych zbiorów nie tworzy grupy względem dodawania liczb. Zbiór liczb wy miernych ujemnych nie jest grupą ani względem ich mnożenia, ani względem ich dodawania (to samo można powiedzieć o zbiorze liczb rzeczywistych ujemnych). 3) Liczby 1 i —1 tworzą grupę abelową rzędu 2 względem zwykłego mnożenia. Jednością jest tu oczywiście 1 , elementem odwrotnym do —1 jest —1 . 4) Zbiór liczb {l, —1 , i, —i\, gdzie i = V —1 , jest grupą abelową rzędu 4 względem ich mnożenia. Tabliczka 6 przedstawia tabliczkę Cayley’a tej grupy. 1 -1 i -i 5) Zbiór wszystkich pierwiastków stop 1 -1 1 i -i nia n z jedności jest grupą abelową wzglę dem ich zwykłego mnożenia. (W przykła -1 -1 1 -i i dzie 3 i 4 mieliśmy do czynienia ze szcze i i -i -1 1 gólnymi przykładami takich grup przy n — 2 i n = 4). Aby to wykazać, wystarczy -i - i i 1 -1 zauważyć, że mnożenie elementów rozpatry Tabl. 6 wanego zbioru jest łączne (są to liczby ze spolone) i że zachodzi tu prawo skreśleń (ża den z pierwiastków z jedności nie jest zerem), a więc ze względu na skończoność zbioru (w-tych pierwiastków z l jest dokładnie n) trzeba tylko dowieść, że zbiór ten jest zamknięty względem mnożenia, tj. że jeśli ss i st ( 1 ^ s, t śZ n) są pierwiastkami n-tego stopnia z 1 , to ich iloczyn eset też jest pierwiastkiem ?i-tego stopnia z 1 . Jest to oczywiste, gdyż M *
- ^
=
1 -1
=
1
. 61
1.
Jednością grupy jest liczba 1, elementem odwrotnym do es jest — 6) Zbiór wszystkich pierwiastków wszelkich naturalnych stopili z jedności jest grupą abclową, oczywiście nieskończoną, względem mnożenia liczb zespólonjmh. Istotnie, łączność działania jest speł niona, elementem neutralnym jest liczba 1 ; jeśli s jest pierwiastkiem i z 1 , to, jak już wiemy z poprzedniego przykładu, — też jest pierwiasts kiem z 1 , a więc do każdego elementu istnieje odwrotny; pozostaje więc sprawdzić, że jeśli e i rj są pierwiastkami z 1 , to er] też jest pier wiastkiem z I. Dla pierwiastków tego samego stopnia jest to już sprawdzone w poprzednim przykładzie, niech więc e będzie pier wiastkiem stopnia n, zaś — stopnia m. Wówczas
(s-)])nm = £1im‘ }]nm = (snyn ( if) n = im- r = i, a więc erj też jest pierwiastkiem z 1 . 7) Zbiór Cm liczb {0, 1 , ..., m — l} jest grupą, jeśli jako działanie w nim rozpatrywać dodawanie modulo m. Wiemy już, że Cm jest półgrupą względem dodawania modulo m (p. 1 . §3.2; pośrednio wynika to z tego, że Cm z dodawaniem modulo m jest obrazem homomorficznym C ze zwykłym dodawaniem). Elementem neutralnym jest tu 0 , odwrotnym do k e C m — liczba m —k, gdyż k+ (m —k) — = k+ m —k —m = 0 . Z podanego przykładu, jak również z przykładu 5 wynika, żc istnieją grupy abełowe skończono dowolnego rzędu. (Istnieją również grupy abełowe nieskończone dowolnej mocy i grupy nieabelowe nieskończone dowolnej mocy. Nie dla każdej jednak liczby natural nej n istnieje grupa nieabelowa o n ele mentach. Tak na przykład każda grupa o e a b c liczbie elementów mniejszej niż 6 musi być abclowa). e e a b c 8) Grupoid zadany tabliczką działania a a e c b 7 jest grupą abelową, w której każdy ele b b c e a ment jest swoją odwrotnością. Łączność działania pozostawiamy do sprawdzenia Czy c c b a e telnikowi. Grupa ta nazywa się grupą Kleina rzędu czwartego lub grupą czwórkową Kleina. Tabl. 7 62
9) Grupą jest zbiór J obrotów koła wokół jego środka z super pozycją obrotów jako działaniem, rozpatrzony w przykładzie 15 z I. §3.1, jak również zbiór obrotów trójkąta równobocznego, rozpatry wany w przykładzie 3 z IT. § 1 .2 . Grupę tworzą także przesunięcia równoległe płaszczyzny (p. I. § 3.1, przykład 16). Pierwsza i trzecia z tych grup są oczywiście nieskończone, druga — skończona, wszyst kie są abełowe. 10) Zbiór obrotów n -kąta foremnego, przy których przechodzi on na siebie, tworzy grupę abclową rzędu n (utożsamiamy obroty różniące się o kąt 2 len, gdzie /<; jest liczbą całkowitą) względem ich superpozycyj.
11 ) Rozpatrzmy teraz zbiór przekształceń trójkąta równobocz nego na siebie, składający się z trzech jego obrotów i z trzech symetryj względem jego wysokości. Te sześć przekształceń tworzą grupę względem ich superpozycji: mnożenie przekształceń jest łączne, jednością grupy jest obrót tożsamościowy, elementem od wrotnym do obrotu o kąt a jest obrót o kąt 2n- -a, elementem od wrotnym do dowolnej symetrii — ta sama symetria. Jeśli obrót o kąt
0
oznaczymy przez a0, o kąt
przez «j i o kąt
przez a2,
symetrie zaś względem osi AP, BQ i CR (rys. 6 ) odpowiednio przez « 3 aA, a 0 a , a 2 a3 a4 a 5 i «5, to otrzymamy dla tej grupy ta bliczkę działania 8 . Jak widać z ta a0 a 0 a t a 2 a,3 a4 a 5 bliczki, grupa ta nie jest abelowa (p. a 1 a-i a 2 a 0 a4 ci5 a 3 ćwicz. 2 z 1. § 3). a 3 a4 12) Roz patrzmy zbiór macierzy rzea2 a 2 CL>o Cii czywistych nieosobliwych stopnia n. a 3 a 3 Ct5 aĄ a0 a2 cii Ponieważ mnożenie ich jest łączne, ilo czyn dwóch macierzy nieosobliwych a4 a4 a 3 <*5 (ii a0 a 2 jest macierzą nieosobliwą i każde z a 5 a5 a4 a3 a 2 ai Q'o równań A X = B \ YA = B jest roz Tabl. 8 wiązalne w zbiorze macierzy nieoso bliwych (p. I. § 3.4), więc zbiór ten jest grupą względem mnożenia macierzy. Wszystkie macierze danego sto pnia nie tworzą grupy względem mnożenia (macierz osobliwa nie ma odwrotnej), tworzą natomiast grupę względem ich dodawania.
13) Niech Gx i G%będą grupami. Elementy pierwszej z nich bę dziemy oznaczali przez cix, bx, cJ} .. ., drugiej — przez a2, b2>c2, . . . . Utwórzmy zbiór par uporządkowanych (ax, a2) (czyli iloczyn kartezjanski tych zbiorów; rozpatrywany w T. § 1.2 kwadrat kartezjański zbioru był szczególnym przypadkiem iloczynu kartezjańskiego), oznaczmy ten zbiór przez GxxG 2. W Gl xG 2 określamy działanie w na stępujący sposób: {&i> ^ 2 ) O {bx, b2) = (dxbXi a2b2), gdzie dxbx jest iloczynem tych elementów w Gx, zaś a2b2 — w G2. Wówczas Gxx G2 stanie się grupą (jest to tzw. iloczyn prosty grup Gx i G2, zwany także w wypadku grup abelowych sumą prostą grup. Obecnie termin suma prosta bywa używany również w odniesieniu do dowolnych grup). Wykażemy to. Zamkniętośó GxxG 2 względem mnożenia O wynika z defiidcji togo działania. Działanie O jest łączne: [K . az) O b2)'\ O (<5X, c2) = (axbx, a2b2) Q (cv c2) = = ((tti^)^, (ci2b2)c2) = (^ ( 6 ^ ) , d2(b2, c2)) =
= K, az) O (
b2c2)
= (ax, a2) O [(&!, b2) o (
Pisząc powyższe równości, korzystaliśmy z definicji mnożenia w Gx x G2 i łączności mnożenia w Gx i G2. Jednością (wystarczy wykazać, że jest to jedność lewostronna) w Gxx G2 jest para (%, e2), gdzie ex jest jednością grupy Gv zaś e2 — grupy G2. Istotnie, (ei» «2) O (%, «a) = (ei«i> e2a2) = (ax>a2) Elementem odwrotnym (wystarczy wykazać, że jest to element lewostronny odwrotny) do elementu (ax, a2) jest (aj-1, a2 x) : (aT1,
= (
Tak więc GxxG 2 jest grupą. W szczególności możemy rozpa trywać sumę prostą GxG.
64
ĆWICZENIA
1. Które z poniższych zbiorów tworzą grupę względem podanego działania: a) Zbiór liczb całkowitych, będących wielokrotnością danej liczby całkowitej m z dodawaniem. b) Zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej o współczyn nikach wymiernych z dodawaniem; to samo z mnożeniem. c) Zbiór wszystkich funkcyj zmiennej rzeczywistej, określonych w przedziale <(0 , 1 ) i przyjmujących tylko wartości dodatnie, z mno żeniem. d) To samo dla funkcyj przyjmujących dowolne wartości rzeczy wiste. e) Wektory przestrzeni trójwymiarowej z dodawaniem; to samo z mnożeniem (wektorowym). f) Zbiór wszystkich potęg całkowitych danej liczby rzeczywistej względem mnożenia liczb. g) Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z odejmowaniem. h) Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od zera z dzie leniem. i) Zbiór obrotów kuli dokoła jej środka z superpozycją. . Udowodnić, że zbiór Bn wszystkich ciągów skończonych (at, a2> . . ., an) o długości n, których elementami są zera i jedynki, jest grupą abelową względem działania 2
(aL,a 2, . .
a j © ( b v b2, . . ., bn) -== ( a ^ b ^ a2+b2, . . ., an4 A)V
gdzie ai \ bi (i — 1 , 2 , . . . , n) oznacza sumę odpowiednich wyrazów ciągów modulo 2. Określić rząd tej grupy. 3. Dowieść, żę zbiór par liczb rzeczywistych (ci, b), gdzie a # jest grupą, jeśli określimy w nim następujące działanie:
0
,
(a, b) O (c, cl) = {ac, ad-\-b). 4. Niech G oznacza zbiór liczb rzeczywistych przedziału <0 , 1 ) (tzn. zbiór takich x, że 0 x < 1). Określamy w G działanie: x © y = x + y —[x+y], gdzie [t] oznacza część całkowitą liczby t e G (częścią całkowitą liczby t 5 — ICleinenly algebry abstrakcyjnej
„bo
nazywamy największą liczbę całkowitą nie większą od t). Do wieść, że O jest grupą abelową. 5. Toruscm (rys. 10) nazy wa się powierzchnia utworzona przez obrót koła o promieniu r dokoła prostej oddalonej od środka tego koła o R( R > r) i leżącej w jego płaszczyźnie. Analitycznie torus zadany jest równaniami: x = (RĄ-r cos ę>) cos#, (III.4) y — {RĄ-r cos ę>) sin#,
2
= rsinę>,
gdzie (p i fi są parametrami. Określamy działania O na punktach torusa: jeśli P jest punktem o współrzędnych (III. 4), a P 1 punktem o współrzędnych, które otrzymamy podstawiając do wzorów (III. 4) zamiast
2
= rBm((p+(pt).
Dowieść, że zbiór punktów torusa jest grupą względem działania Oa
b
c
a
b
a
c
b
b
c
c
C
a
Tabl. 9
a
b
c
a
a
b
c
a
b
c
a
b
b
c
b
c
a
Tabl. 10
0. Czy tabliczki 9 i 1 0 określają grupy? 7. Napisać tabliczkę Cayley’a dla grupy obrotów kwadratu. 60
8 . Napisać tabliczkę Cayley’a dla grupy obrotów i symetryj kwadratu. 9. Niech Gx oznacza grupę {0 , 1 } z dodawaniem modulo 2 , zaś G%grupę {0 , 1 , 2 } z dodawaniem modulo 3. Napisać tabliczkę Cayley’a sumy prostej Gxx (?2. 10. Rozpatrujemy zbiór Z {X ) wszys tkich podzbiorów niepustego zbioru X wraz z X i Mf. Jako działanie w 7( X) roz patrujemy tzw. różnicę symetryczną 7_i_ W (7, W eZ{X) )\ określa się ją w następu jący sposób:
Y - l- W
=
(7 \T 7 )w (J 7 \7 )
(na rys. 1 1 zbiór Y~l.W jest zakreskowany). Czy Z(X) jest grupą względem różnicy symetrycznej ? § 2 . GRUPY PRZEKSZTAŁCEŃ. PERMUTACJE 1. Grupy przekształceń. W II. § 1 . 1 mówiliśmy o półgrupie P( X) wszystkich przekształceń ustalonego zbioru X w siebie, dzia łaniem w P( X) było mnożenie (superpozycja) przekształceń. Roz patrzmy teraz podzbiór S (X) <= P( X) tych przekształceń zbioru X, które są wzajemnie jednoznaczne. Wykażemy, żc zbiór S(X) jest zamknięty względem działania w P(X), czyli że jest podpółgrupą półgrupy P( X) (por. II. § 1 . 1 ). Rzeczywiście, jeśli i tp są przekształ ceniami wzajemnie jednoznacznymi zbioru X na siebie, to
67
i ponieważ wraz z każdym (p należy do S(X ) przekształcenie q~x (korzystaliśmy z tego wyżej), mające tę własność, że cpcp~x = (p~x= s, więc S(X ) jest grupą. Tak więc udowodniliśmy Twierdzenie. Zbiór wszystkich 'przekształceń wzajemnie jedno znacznych pewnego zbioru na siebie jest grupą względem, mnożenia {superpozycji) przekształceń. Warto zaznaczyć, że często mamy do czynienia niekoniecznie z grupą 8{X) wszystkich przekształceń wzajemnie jednoznacznych zbioru X na siebie, lecz jedynie z grupą przekształceń wzajemnie jednoznacznych zbioru X na siebie, posiadających pewne określone własności (a zatem z podgrupą grupy S(X ); o pojęciu podgrupy bę dziemy mówili w następnym paragrafie). Tak więc na przykład grupa O wszystkich obrotów i symetryj osio wych trójkąta równobocznego nic jest bynajmniej grupą wszystkich je go przekształceń wzajemnie jedno znacznych na siebie (nie zawiera ona następującego przekształcenia: w trójkącie ABC obracamy koło o śro dku 0 (rys. 1 2 ) o kąt a, dokoła pun ktu 0, pozostałe zaś punkty trójką ta pozostawiamy na miejscu). O jest natomiast, jak można wykazać, gru pą tych wszystkich przekształceń Rys. J2 trójkąta, które nie zmieniają odle głości między dowolnymi dwoma je go punktami. W G zawarta jest z kolei grupa obrotów trójkąta, przeprowadzających go na siebie, o której mówiliśmy wyżej. 2. Przykłady grup przekształceń. Podamy teraz kilka przykładów grup przekształceń, zaczerpniętych z geometrii. 1 ) Wyżej (p. poprzedni paragraf, ustęp 4) mówiliśmy o grupie obrotów w-kąta foremnego; można mówić także o grupie obrotów i symetryj osiowych w-kąta foremnego. 2 ) Wróćmy jeszcze raz do grupy przesunięć równoległych, czyli translacyj płaszczyzny (IIL. § 1.4, przykład 9; patrz również I. §3.1, przykład 16). Niech płaszczyzna będzie odniesiona do układu współ
68
rzędnych kartezjańskich XOY. Translacja jest takim przekształce niem płaszczyzny, które każdemu jej punktowi P(x, y ) przyporządko wuje punkt P'(x', y') taki, że x' — x+ c1,
(III.5)
y' = y + c 2,
gdzie cx i c2 są liczbami rzeczywistymi ustalonymi dla danej translacji (rys. 13) i wyrażają składowe wektora przesunięcia punktów płasz czyzny. Jeśli teraz pewna inna trans lacja zadana jest wektorem o składo wych (dl5 d2), to superpozycja tych translacyj zapisze się, jak łatwo spos trzec, x = cc— |—(c-^-j-d-^), y — y + (c2+ d 2)-
Zadanie translacji wzorem (III.5) i to. co mówiliśmy wyżej o super pozycji translacyj, daje możność ba dania grupy translacyj płaszczyzny na drodze czysto algebraicznej. 3) Niech będzie dana płaszczyzna odniesiona do układu współ rzędnych kartezjańskich XOY. Obroty tej płaszczyzny dokoła punktu O tworzą oczywiście grupę. Jak wiadomo z geometrii analitycznej, obrót płaszczyzny dokoła punktu O o kąt a przyporządkowuje punkto wi P(x. y) punkt P'{x\ y') taki, że x' — a;cos a —ysina,
y' = x sin a.-\-y cos a.
4) Grupą jest zbiór wszystkich przekształceń izometrycznych (czyli izometryj) płaszczyzny, tj. takich przekształceń, w których związek między punktem P(x, y) i jego obrazem P '(x \ y') wyraża się w następujący sposób: (ITT. 6)
x' — ifcosa—ysina+Cj, y' — a;sin a 4 -?/cos a + c 2
albo x' — a; cos a —ysina-j-c^ y' = —.rsina—ycosa-fc2. 69
Pierwsze z tych przekształceń, jak widać ze wzorów (ITT.6 ), jest super pozycją obrotu dokoła punktu O o kąt a i translacji o wektor (c1} c2), drugie — superpozycją obrotu, symetrii względem osi X i translacji. Przekształcenia określone pierwszymi z tych wzorów same też tworzą grupę, jest to tzw. grupa ruchów sztywnych. To, że izometrie tworzą grupę, jak również to, że zbiór ruchów sztywnych stanowi grupę, można udowodnić definiując te przekształcenia czysto geome trycznie (tak zwykle się robi) i przeprowadzając odpowiednie rozumo wanie na drodze geometrycznej. Można to zrobić również na drodze algebraicznej na podstawie wzorów, określających te przekształcenia. Przeprowadzimy dla przykładu taki dowód dla zbioru ruchów sztyw nych. Każdy punkt płaszczyzny ma oczywiście obraz (i tylko jeden) określony wzorami (III. 6 ). Niech teraz P '(x',y') będzie dowolnym punktem płaszczyzny; trzeba wykazać, że istnieje jeden i tylko jeden punkt płaszczyzny, będący przeeiwobrazem P ’ w przekształceniu (III. 6 ). Przepiszmy w tym celu wzory (III. 6 ) tak: Ql
'
'
(
’
arcosa—ysinos = s #—cŁ,
| x sin a -\-y cos a = y '—c2.
(III. 6 ') jest układem dwóch równań liniowych z dwiema nie wiadomymi, są nimi x, y — współrzędne szukanego przeciwobrazu P punktu P '. Ponieważ wyznacznik układu (III. 6 ') cos a —sina = cos2a | sin2a = sina cos a
1
jest różny od zera, więc układ ten ma rozwiązanie i tylko jedno, które, jak łatwo sprawdzić, wyraża się wzorami (111.7)
x — x'cosa-f ^'sina—(Cjcosa+Casina), y — — o/sina+yTosa-Kcpńna—c2 cosa).
Tak więc jest to przekształcenie wzajemnie jednoznaczne płasz czyzny ha siebie. Łączności mnożenia przekształceń (III. 6 ) sprawdzać nie trzeba (mnożenie przekształceń jest zawsze łączne). Wykażemy, że ilo czyn dwóch ruchów sztywnych jest znów ruchem sztywnym. Jeśli x i y' są określone wzorami (ITT.6 ) i dokonamy nowego przekształ cenia 70
x" = x'eos^—y'sm(i-\-dx, y" = a;'sin/?+?/cos/?-l-rT2,
(ITT.8)
to po podstawieniu do (III. 8 ) x' i y' zc wzorów (III. 6 ) otrzymamy x" = (x cos &.—y&mcc-\-cx) cos /?—(sin a + y cos a-j-c2)sin fi-j-dx = = #(cosacos/? —sin a sin/?)—y (sina cos/?+cos asin/?)+ -j- cx cos /? — c2 sin /? + dx = = a:cos(a+/?) —ysin(a+/?)+ex i podobnie y" = crsin(
e2 = cxsin/?+c 2 cos/?-f-d2.
Otrzymane wzory pokazują, że superpozycja dwóch ruchów sztyw nych jest ruchem sztywnym. Ruchem sztywnym jest oczywiście przekształcenie tożsamościowe x' — x, y' = y, które otrzymamy z (III. 6 ) przy a = 0 i cx = c2 = 0. Przekształcenie odwrotne do (III. 6 ) wyraża się wzorem (III.7), który można zapisać również tak: x = ^'cos(2jr—a)—t/'sin(2 :7r—a ) + /x, y = a:/sin( 27 r—a) + y,cos(27 i—a )+ /2, dzie / x = —cxcosa—c2sina, / 2 = c^iria—c2 cosa, a więc jest ono uchem sztywnym. Udowodniliśmy więc, że zbiór ruchów sztywnych płaszczyzny tworzy grupę względem ich superpozycyj. 5) Grupę tworzy również zbiór przekształceń płaszczyzny zwa nych podobieństwami, zadane są one wzorami x' — k(xcosoc—ysin
y' = &(a;sina+?/cosa)+c 2
lub x' = k(xco&aL—ysinaj+c^
y' = —A:(:r sin a + 2/ cos a)-fc2,
gdzie k 0 (tzw. stosunek jcdnokładności). Proponujemy Czytelni kowi przeprowadzenie dowodu, że zbiór podobieństw płaszczyzny two rzy grupę (np. w sposób analogiczny do dowodu podanego w przykła dzie 4). 71
6 ) Zbiór wszystkich przekształceń afinieznycłi (czyli tzw. po winowactw) płaszczyzny, tj. zbiór przekształceń zadanych wzorami
x' — ax-\-by-\-c)
y' = axx-^-bxy-\-cx,
gdzie a, b, c, ax, bx, cx są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, speł niającymi warunek abx—bxb + 0 , stanowi grupę. Do zagadnień związanych z przykładami 2 — 6 wrócimy jeszcze w następnym paragrafie. Obecnie przejdziemy do omówienia grup obrotów wielościanów foremnych. 7) Zbiór obrotów każdego z pięciu wielościanów foremnych do koła jego środka, przy których wielościan przechodzi na siebie, tworzy grupę względem superpozycyj obrotów, co łatwo jest sprawdzić, wychodząc z czysto geometrycznych przesłanek i biorąc pod uwagę łączność mnożenia przekształceń. Będziemy te grupy nazywali grupami obrotów wielościanów foremnych (dalej słowo obrót będzie oznaczało obrót przeprowadzający wielościan na siebie). Obliczymy rząd każdej z tych grup. Jak wiadomo z geometrii, każdy obrót wielościan u foremnego jest obrotem dokoła jego osi symetrii (to, że jest to obrót wokół osi, wynika z twierdzenia d’Alemberta: jeśli przy przejściu figury w przestrzeni od danego położenia do innego jeden punkt tej figury pozostaje nieruchomy, to przejście to można dokonać za pomocą obrotu tej figury dokoła osi przechodzą cej przez ten punkt; że jest to oś symetrii, wynika, z tego, że wielo ścian musi w wyniku obrotu pokryć się ze sobą). Wyróżnijmy pewne położenie naszego wielościanu jako początko we, wówczas do każdego innego jego położenia można przejść za pomocą obrotu, oczywiście nieskończenie wieloma sposobami; bę dziemy utożsamiali takie obroty, które przeprowadzają wielościan w to samo położenie. Aby obliczyć więc, ile różnych obrotów ma dany wielościan foremny, trzeba znać liczbę jego osi symetrii i rząd każdej osi (rzędem, osi symetrii nazywamy liczbę różnych obrotów figury dokoła tej osi, przy których figura przechodzi sama na siebie, licząc również obrót tożsamościowy). Czworościan foremny ma 4 osie symetrii rzędu 3, łączące wierz chołki ze środkami przeciwległych ścian, i 3 osie symetrii rzędu 2 , łączące środki przeciwległych krawędzi. Tak więc wraz z obrotem tożsamościowym otrzymamy 4-2+3*1 | - 1 — 1 2 obrotów, wszyst kie one są różne; grupa czworościanu foremnego ma zatem rząd 1 2 . 72
Sześcian ma 4 osie symetrii rzędu 3, łączące przeciwległe wierz chołki, 3 osie rzędu 4, łączące środki przeciwległych ścian, 6 osi rzędu 2 , łączących środki przeciwległych krawędzi. Tak więc grupa sześcianu ma rząd 4* 2-f- 3* 3+6* 1+ 1 = 24, ponieważ wszystkie te obroty są różne. Czytelnik sarn przekona się, że grupa ośmiościanu foremnego też składa się z 24 obrotów. Dwunastościan foremny ma 1 0 osi symetrii rzędu 3, łączących przeciwległe wierzchołki, 6 osi rzędu 5, łączących środki przeciw ległych ścian, i 15 osi rzędu 2, łączących środki przeciwległych kra wędzi; wszystkie te obroty są różne. Grupa dwunastościan u składa się więc z 1 0 *2 -{- 6 •4 | 1 o *1 -j- 1 = 60 obrotów. Czytelnik spraw dzi, że grupa dwudziestościanu też ma rząd 60. 3. Permutacje. Przekształcenia wzajemnie jednoznaczne zbioru skończonego X na siebie nazywają się permutacjami tego zbioru. Grupa wszystkich permutacyj zbioru %-elementowego nazywa się grupą symetryczną stopnia n, będziemy ją oznaczali przez Sn. Grupa Sn jest skończona i składa się z tylu elementów, iloma sposobami można zbiór n-elementowy odwzorować wzajemnie jednoznacznie na siebie, co łatwo jest obliczyć. Rzeczywiście, odwzorowań zbioru ^-elementowego na siebie jest tyle, ile jest sposobów jego uporządkowa nia, tych zaś jest, jak wiadomo, n\. Tak więc rząd Sn jest n\. Niech X będzie zbiorem n-elemcntowym. Ponieważ natura tych elementów nie gra w rozpatrywanych zagadnieniach żadnej roli, mo żemy uważać, że są to liczby naturalne 1 , 2 , . . ., n. Niech a oznacza pewną permutację zbioru X , wówczas a przyporządkowuje liczbie i (1 < * < n) liczbę ia (1 ^ ia ^ n). Permutację a wygodnie jest zapisywać w tzw. postaci dwuwierszowej (111. 9)
2 2
gdzie w górnym wierszu są elementy zbioru X (zresztą napisane niekoniecznie w ich naturalnym porządku), w dolnym zaś — obraz odpowiednich elementów. Jeśli wprowadzimy oznaczenia lor = 2a — i%, na — in> (111.9) zapisze się w postaci (III. 9') 73
Tak na przykład
(III.
10
1 2 3 4 3 8 7 5
)
5 4
7 8' 2 1
6 6
jest pewną permutacją zbioru ośmioelemcntowego, Jednością w grupie Sn jest pcrmotacja tożsamościowa 1 2 3 2 3
1
... ...
n\ ni*
elementem odwrotnym do permutacji a, określonej wzorem (III. 9'), jest permutaeja
Tak na przykład permutaeja odwrotna do permutacji (III. 10) ma postać 3 8 7 5 4 6 2 1\ 1 2 3 4 5 6 7 8/’ albo po zapisaniu górnego wiersza w porządku naturalnym 1 2 3 4 5 6 7 8\ 7 1 5 4 6 3 2/*
8
Jeśli u i r są dwiema permutacjami zbioru n-elementowego X, to w wyniku ich superpozycji element i e X przejdzie w element i (err) = (io) r e X, tak więc /I ller
2 3 ... 2cr 3a . . .
n \ fi no) l i r
2 2r
3 3r
... ...
n \ nr)
_ / 1 2 3 y(lcr)T (2o)r (3of)r
... ...
n \ (no)rj
Poniższy przykład ilustruje sposób mnożenia permutacji zadanych w postaci dwuwierszowej: /I \4 74
23 1 6
4 o 6 \ /I 3 5 2/ \3
2 3 4 2
4 5 5 1
6 6
\ /
/I \5
2 3 4 5 3 O 2 1
6\ i)’
U w aga. Autorzy, piszący symbol przekształcenia z lewej strony argumentu, zapisują pierwszy czynnik w iloczynie permutacyj z prawej strony. Pierwsza permutaeja przeprowadza 1 w 4, druga zaś 4 w 5, w wy niku ich superpozycji 1 przejdzie w 5. Podobnie 2 przechodzi najpierw w 1, potem w 3, ostatecznie 2 przechodzi w 3, itd. Mnożąc permutacje z naszego przykładu w odwrotnym porządku otrzymamy /I 2 3 4 5 6 \ \6 3 1 5 4 2)' skąd wynika, że mnożenie permutacyj nie jest przemienne. Z grup symetrycznych tylko Sx i S 2 są abelowc. Z perniutaojami będziemy spotykali się jeszcze w następnych paragrafach. ĆWTCZENTA
1. Napisać tabliczkę działania dla grupy obrotów i symetryj rombu. Porównać ją z tabliczką działania grupy czwórkowej Kleina (tabl. 7). 2. Napisać tabliczkę Cayley’a grupy i porównać ją z tabliczką grupy obrotów i symetryj trójkąta równobocznego (tabl. 8 ). Obliczyć a l, ar, ra, a2 » r
2
5 r - 1
ar, jeśli
2 3 4 5 6 a - l 1 7 4 2 6 5 ° ~~ \3 2 3 4 5 6 r - l 1 U 8 3 1 6 7
7 9
8 8
7 8 4 2
§ 3. PODGRUPY 1. Definicja podgrupy. Twierdzenia o podgrupach. Niepusty podzbiór II grupy G, będący sam grupą względem działania w G, nazywa się podgrupą grupy G. Grupa addytywna liczb całkowitych jest na przykład podgrupą grupy addytywnej liczb wymiernych, ta ostatnia jest podgrupą grupy 75
addytywnej liczb rzeczywistych, która z kolei jest podgrupą, grupy addytywnej liczb zespolonych. Grupa obrotów i symetryj trójkąta równobocznego zawiera jako podgrupę grupę obrotów tego trójkąta. Dalej podamy liczne przy kłady podgrup. Jeśli K jest podgrupą grupy II, zaś H podgrupą grupy G, to K jest podgrupą grupy G. Na to, by TI C G była podgrupą grupy G, potrzeba i wystarcza, by zbiór II był zamknięty względem działania w G, by zawierał jedność — musi nią być jedność grupy G, jedność bowiem podgrupy II musiałaby być idempotentem w G, jedynym zaś idempotentem grupy G jest jej jedność (p. ITT. § 1 .2 , wniosek z twierdzenia 4) — i aby wraz z każdym elementem należała do II jego odwrotność; łączność w II spełniona jest automatycznie, gdyż spełniona jest w całej grupie G. Otóż okazuje się, że wystarczy założyć tylko zamkniętość II względem działania w G i to, by wraz z każdym a e H należała do H jego odwrotność. Rzeczywiście, wówczas aa~l = e e H. Otrzy maliśmy więc Twierdzenie 1. Na to, by niepusty podzbiór H grupy G byl jej podgrupą, potrzeba i wystarcza, by z a, b e H wynikało ab e H i a~xe II Wypowiedziane w powyższym twierdzeniu warunki można zastąpić jednym warunkiem, zachodzi bowiem Twierdzenie 2. Na to, by niepusty podzbiór U grupy G był jej podgrupą, potrzeba i wystarcza, aby a, b e H implikowało ab 1 e II, Dowód. Jeśli a e II, to na mocy warunku twierdzenia aa~l = e toż należy do II. Wówczas jednak ea~x = a~l e B . Jeśli teraz b e H , to b~x e H, więc a ( & _ 1 ) - 1 = ab e H . Konieczność w obu powyższych twierdzeniach jest oczywista. W terminologii addytywnej twierdzenia powyższe zapiszemy ta k : Twierdzenie 1'. Na lo, by niepusty podzbiór H grupy G był je j podgrupą, potrzeba i wystarcza, by z a, b e H wynikało a-\-b e H i — a e H. Twierdzenie 2 '. Na to, by niepusty podzbiór H grupy G był jej podgrupą, potrzeba i wystarcza, aby a, b e H implikowało a—b e l i . 76
Twierdzenie 3. Na to, by podzbiór skończony II grupy O był jej podgrupą, potrzeba i wystarcza, by TI był zamknięty względem dzia łania w G. D ow ód jest natychmiastowy i wynika z twierdzenia 2 z § 1.3 niniejszego rozdziału, w myśl którego podgrupa skończona jest grupą wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi w niej prawo skreśleń. Ponieważ prawo to zachodzi w całej G, więc zachodzi w jej podpółgrupie skoń czonej H, która wobec powyższego jest grupą. W szczególności podzbiór grupy skończonej jest jej podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy jest zamknięty względem, działania w grupie. 2. Przykłady podgrup. Każda grupa zawiera oczywiście jako pod grupy siebie samą i grupę składającą się z samej jedności. Są to tzw. podgrupy niewłaściwe, każda inna podgrupa nazywa się właściwą. Niżej podajemy kilka przykładów podgrup. ) Grupa multyplikatywna liczb .wymiernych jest podgrupą grupy multyplikatywnej liczb rzeczywistych, która jest podgrupą grupy multyplikatywnej liczb zespolonych. 2 ) Zbiór liczb {l, —1 , i, —i} jest względem mnożenia podgrupą grupy multyplikatywnej liczb zespolonych. Sam on zawiera jako podgrupę zbiór {l, —l}. 3) Każda grupa ??,-tych pierwiastków z jedności jest podgrupą grupy wszystkich pierwiastków wszelkich naturalnych stopni z jed ności (p. przykłady 5 i 6 z III. § 1.4). Ta ostatnia jest z kolei podgrupą grupy multyplikatywnej liczb zespolonych. 4) Grupa wektorów trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej z dodawaniem jako działaniem zawiera jako podgrupę grupę wektorów leżących na płaszczyźnie X Y (p. ćwicz, la z III. § 1). 5) Każda z grup obrotów wielokąta foremnego jest podgrupą grupy obrotów koła. Jest to oczywiste; jeśli wpiszemy w koło w-kąt foremny, to te obroty koła, które są jednocześnie obrotami prze prowadzającymi n-kąt w siebie, tworzą grupę. 6 ) Podobnie jak w poprzednim przykładzie, każda z grup obrotów wielościanu foremnego jest podgrupą grupy obrotów kuli. 7) Obroty kuli względem ustalonej osi tworzą grupę, jest ona podgrupą grupy wszystkich obrotów kuli (p. ćwicz. 1 i z III. § 1 ). 1
77
8
) Rozpatrzmy teraz iloczyn prosty grup Gx i ćr2 (p. III. § 1.4,
przykład 13). Niech Gx oznacza podzbiór elementów Gx X G2 postaci (ax, e2), zaś G2 podzbiór elementów postaci (el5 a2), gdzie e, i e2 są jednościami odpowiednich grup. Wówczas Gx i G2 są podgrupami grupy Gx XG2; łatwe sprawdzenie tego pozostawiamy Czytelnikowi. 9) W ustępie 2 poprzedniego paragrafu rozpatrywaliśmy grupy przekształceń płaszczyzny. Jak łatwo spostrzec, grupa translacyj jest podgrupą grupy ruchów sztywnych. Również grupa obrotów dokoła początku współrzędnych jest szczególnym przypadkiem grupy ruchów sztywnych. Grupa ruchów sztywnych jest podgrupą grupy izometryj, ta ostat nia zaś — podgrupą grupy podobieństw. Istotnie, izometrie są to te podobieństwa, w których stosunek jcdnokładności k = I. Porównanie wzorów zadających podobieństwa i przekształcenia afiniczne pokazuje, że grupa przekształceń afinicznych zawiera jako podgrupę grupę podobieństw. Powyższe przykłady wskazują na bliski związek geometrii z teorią grup. Związek ten legł u podstaw tak zwanego Programu Erlangeńskiago Feliksa K le in a, który zwrócił uwagę na to, że przedmiotem geometrii są te wdasności tworów geometrycznych, które są niezmien nikami pewnych grup przekształceń i że geometria dzieli się na roz maite działy w zależności od tego, jaką grupę przekształceń bierzemy za podstawę. Nie mogąc tu wdawać się w szczegóły, postaramy się choć w' kilku słowach wyłożyć zasadniczą ideę Programu Erlangeńskiego. Podstawowymi własnościami tworów' geometycznych są te, które nie ulegają zmianie przy przekształceniach, należących do danej grupy; własności te nazywamy niezmiennikami przekształceń. Tak np. każde przekształcenie afiniczne przekształca prostą w prostą i proste równoległe w proste równoległe. Własności te — być prostą, lub równoległość prostych — są więc niezmiennikami grupy prze kształceń afinicznych. Ponieważ podobieństwa stanowią podgrupę grupy przekształceń afinicznych, więc każdy niezmiennik grupy tych ostatnich jest również niezmiennikiem grupy podobieństw. Podobień stwa mają jednak więcej niezmienników' niż przekształcenia afiniczne, zachowmją one np. kąty między prostymi (przekształcenia afiniczne na ogół nie). Grupa izometryj ma jeszcze więcej niezmienników, 78
\ przekształcenia należące do niej zachowują np. odległości między punktami, czego nic zachowują podobieństwa. Wykażemy to dla przykładu. Niech będą dane dwa punkty płaszczyzny P 1 (a,1, yx) i P2{x2i y2)- Wskutek przekształcenia izometrycznego przejdą one w punkty y[) i P2{x2>y2)>przy czym x\ = a^cosa—^sina+Ci,
y\ = iG^sina-b^oosoO+Ca,
gdzie i — 1 , 2 , zaś znak przed nawiasami w drugiej równości zależy od tego, jakiego rodzaju jest to izometria. Odległość między P x i P 2 wyraża się wzorem p
\P 2 = ^ { xx
y%)*>
zaś odległość między P[ i P2 jest równa PjPg = {[(£1cosa—y1sina + c1)—(a:2cosa—y2sin a + c l)]2+ -{-[(aysina-f- ^cosa+Cg) — (:c2sina j y2co sa+ c2)]2p = = {(.%—a 2 )2cos2a + (2/x—?/2 )2sin2a— - 2 { x 1- x 2) {yx—y2 )cosasina+ + (x1—a-2 )2sin2a + (yx—?/2 )2 cos2a + Ł ____________ +^_(•»!—%) ( ^ —#2 ) ł a s i l i a }2 = = V (^i - . t2)2- |( ?/ i ?/2)2 = P XP2.
Powyższe rozważania prowadzą do następującej klasyfikacji geometrii (mówimy tu o geometrii płaszczyzny, lecz zupełnie podobne rozważania moglibyśmy przeprowadzić dla geometrii przestrzeni): a) G e o m e tria m e try c zn a , zajmująca się badaniem niezmien ników grupy przekształceń izometrycznych, czyli tzw. własności metrycznych tworów geometrycznych. b) G e o m etria p o d o b ień stw , zajmująca się badaniem nie zmienników grupy podobieństw. c) G e o m e tria a fin ic zn a , zajmująca się badaniem niezmien ników' grupy przekształceń afinicznych, czyli tzw. własności afinicznych tworów geometrycznych. 10) Grupa obrotów czworościanu foremnego zawiera następujące podgrupy wdaściwe: 4 podgrupy rzędu 3, z których każda składa się z obrotu tożsamościowego i dwech obrotów'- dokoła osi przecho dzącej przez wierzchołek i środek przeciwległej ściany; podgrupę 79
rzędu 4, składającą się ze wszystkich obrotów względem osi łączą cych środki przeciwległych krawędzi wraz z obrotem tożsamościo wym; ta ostatnia grupa zawiera 3 podgrupy rzędu 2, z których każda składa się z obrotu tożsamościowego oraz obrotu dokoła osi łączącej środki przeciwległych krawędzi. Znacznie trudniejsze jest już wyliczenie podgrup grupy obrotów sześcianu (nie mówiąc już o dwunastościanie). 11) Normalizatorem elementu a e G nazywa się zbiór tych wszy stkich elementów grupy G} któro komutują z a (tzn. takich, że b% ^ — ab). Pokażemy, że normalizator N a elementu a jest podgrupą G. Jeśli h, c e N a, to wobec tego, że b i c komutują z a,
(bc)a — b(ca) — b(ac) — (ba)c = a(bc)= a(bc), a więc bc komutuje z a, czyli bc e N a. Wykażemy, że jeśli b e N a, to i b~l e N a. Istotnie, b~xa = (b~la,) {bb~x) = b~l(ab) b~x — b~x(ba)b~y = (b~lb)ab~l =a,b~ 1 a więc wobec twierdzenia
2
z III. § 3.1 N a jest podgrupą G.
Z powyższego wynika łatwo, że jeśli A jest dowolnym podzbiorem grupy G, to zbiór elementów komutujących z każdym elementem zbioru A (centralizator zbioru A) jest podgrupą G. W szczególności zbiór elementów komutujących z każdym elementem grupy (tzw. centrum grupy) jest jej podgrupą. 3. Grupa naprzemienna stopnia n. Zajmiemy się tu pewną ważną podgrupą grupy symetrycznej stopnia n. W tym celu rozpatrzymy najpierw zbiór X liczb 1 , 2 , . .., n i wszystkie jego możliwe permutacje (tzn. ciągi n-clementowe złożone z elementów zbioru X, w których każdy element tego zbioru występuje dokładnie jeden raz); jest ich, jak wiadomo, n\. Będziemy mówili, że w permutacji iv i2, in liczb zbioru X dokonaliśmy transpozycji, jeśli dwie liczby ip, iq (niekoniecznie sąsiednie), gdzie i ^ p, q ^ n , zamieniliśmy w nim miejscami. Wykażemy, że wszystkie n ! permulacyj zbioru X można uporządkować, zaczynając od dowolnej z nich, w takiej kolejności, by każdą następną permulację można było otrzymać z poprzedniej poprzez jedną transpozycję. Dowód przeprowadzimy przez indukcję względem liczby n 80
elementów zbioru X. Dla n — 2 twierdzenie jest słuszne, gdyż od permutacji 1 , 2 do 2 , 1 oraz od 2 , 1 do 1 , 2 przechodzimy za pomocą jednej transpozycji. Załóżmy, że twierdzenie jest słuszne dla n — 1, wykażemy, że jest słuszne dla n. Rozpatrzmy permutację (III. 1 1 )
ilf i2> . .
in,
od której mamy zacząć ustawianie naszych permutacyj. Rozpatrzmy teraz wszystkie permutacje liczb 1 , 2 , n w których ix znaj duje się na pierwszym miejscu. Takich permutacyj jest (w—1 )! i można je ustawić zgodnie z wymaganiami twierdzenia, rozpoczyna jąc na przykład od permutacji (III. 1 1 ), ponieważ sprowadza się to do ustawienia permutacyj z n — 1 liczb, a to można uczynić zgodnie z założeniem indukcyjnym, przy czym zaczynając od dowolnej permutacji, a w szczególności od i2, i2, .. ., in. W ostatniej otrzymanej w ten sposób permutacji z n liczb dokonamy transpozycji liczby ix z dowolną inną, np. z i2; teraz zaczniemy od otrzymanej tak permu tacji i ustawimy w żądany sposób te wszystkie permutacje, w których na pierwszym miejscu znajduje się i2, itd. W ten sposób ustawiamy wszystkie permutacje, przechodząc od jednej do drugiej poprzez jedną transpozycję. Z udowodnionego twierdzenia wynika, że od dowolnej permutacji zbioru X do dowolnej innej można przejść za pomocą skończonej liczby transpozycyj. Będziemy mówili, że liczby ip, iq (1 ^ p, q n) tworzą w per mutacji (III. 1 1 ) zbioru X inwersję, jeśli przy p < q ip > iq, tzn. jeśli liczba większa znajduje się w tej permutacji przed liczbą mniej szą. Tak na przykład w permutacji 7, 6 , 8 , 3, 1, 2, 5, 9 liczby 6 i 2 tworzą inwersję, zaś 3 i 5 nie tworzą. Permutacja nazywa się pa rzystą, jeśli liczba inwersyj w niej jest parz}Tsta ( 0 też jest liczbą pa rzystą), i nieparzystą w przeciwnym razie. Podana wyżej permutacja jest nieparzysta, ogólna liczba inwersyj w niej jest równa 15. Udowodnimy teraz, że każda transpozycja zmienia parzystość permutacji. Istotnie, jeśli transpozycja zamienia miejscami dwie sąsiednie liczby ip) ip+ u to liczba inwersyj każdej z nich w sto sunku do pozostałych liczb nie zmieni się, ale jeśli przed trans pozycją ip, ip+l tworzyły inwersję, to po transpozycji nie będą jej tworzyły, jeśli zaś przed transpozycją jej nie tworzyły, to utworzą po transpozycji, a więc liczba inwersyj zmieni się o 1 . 0 — E le m e n ty a lg e b ry a b s tra k c y jn e j
81
Niech teraz transpozycja zamienia miejscami elementy ip, iqt między którymi znajduje się r liczb: bu
• * • > ®p >
-| 1> ^p + 2 ’ • • •»
^ p + r ’ ^ q
> • • ■j h f
Wówczas transpozycji tych elementów dokonamy tak: zamienimy miejscami ip z ip.n , potem ip z i/H2, . . . , wreszcie i z ip+r, co da nam r transpozycyj. Teraz zamienimy miejscami iq z ip, iq z ip.lr, . . ., iq z ip + 1 , co da nam r + 1 transpozycyj. Tak więc transpo zycja elementów i z i została dokonana za pomocą 2 r-|-l trans pozycyj elementów sąsiednich, a że każda z tych ostatnich zmienia parzystość permutacji, więc transpozycja i z iq też zmienia pa rzystość permutacji co kończy dowód. Ustawmy znów wszystkie permutacje zbioru ^-elementowego, gdzie n ^ 2 , tak jak o tym mówi się w udowodnionym wyżej twier dzeniu. Wówczas sąsiednie permutacje będą się różniły co do pa rzystości, a ponieważ przy n 2 liczba ich jest parzysta, więc przy n ^ 2 liczba permutacyj parzystych, zbioru 1 , 2 , . . n jest równa 1
liczbie permutacyj nieparzystych, czyli jest równa — n\. 2
Rozpatrzmy teraz pewną permutację stopnia n napisaną w postaci dwuwierszowej, przy czym górny wiersz nie musi być napisany w porządku naturalnym. Wówczas zarówno górny, jak i dolny wiersz są pewnymi permutacjami zbioru 1 , 2 , . . . , n. Wiersze te mogą mieć tę samą parzystość, a mogą mieć i różną. Pisząc tę samą per mutację w postaci dwuwierszowej, ale dokonując przy tym jednej transpozycji w górnym wierszu, będziemy musieli dokonać jednej transpozycji również w wierszu dolnym. Na przykład 1 2
4 6
6 5
5 2\ ~ 1 3
2
4
0
5
f3 U 3 6 5 1
transponowaliśmy tu drugą kolumnę z ostatnią. Ponieważ zmienia się przy tym parzystość zarówno górnego, jak i dolnego wiersza, więc parzystości tych wierszy są znów albo te same, albo różne. Wynika stąd na mocy udowodnionego wyżej twierdzenia, że we wszystkich sposobach zapisania danej permutacji w postaci dwuwier szowej albo parzystości obu wierszy są zawsze te same, albo zawsze różne. W pierwszym wypadku permutacja nazywa się parzystą, w drugim — nieparzystą. Najłatwiej określić jest parzystość permu82
tacji, porządkując w sposób naturalny górny wiersz i licząc inwersje w dolnym. Widać stąd od razu, że permutacja tożsamościowa jest parzysta. Wynika stąd również na mocy poprzednich rozważań, że liczba permutacyj parzystych stopnia n 2 jest równa liczbie permuta cyj nieparzystych tego samego stopnia. Rozpatrzmy permutację a (w której na przykład górny wiersz jest uporządkowany w sposób naturalny, co jednak nie jest istotne): .. • p • • • q • . . n H • • . »p . . . iq .. V
1
(1 1 1 . 1 2 )
2
h
p —ą
Jeśli i.n, ia tworzą w niej inwersję, to iloraz------—jest liczbą ujemną, »»-»« jeśli nie tworzą inwersji — dodatnią. Iloczyn 1G wszystkich takich ułamków (jest ich ( A — — —----- ), gdy J>i g przebiegają zbiór 1 , 2 , . . . , n (i p < q) jest liczbą dodatnią wtedy i tylko wtedy, gdy liczba inwersyj w dolnym wierszu jest parzysta, i ujemną w przeciwnym razie, czyli jest dodatni, gdy a jest pcrmutacją parzystą, i ujemny w przeciwnym razie. Niech będzie dana permutacja r, napiszemy ją w następujący sposób: x~
(
^2 ‘ j%
\J l
• • ’
^ jp
‘ ^n
ją
• • '
1 * •
jn
eo oczywiście można zrobić. Iloczyn Tx wszystkich ułamków postaci %—^ - p— (j. p < q n) będzie liczbą dodatnią lub ujemną w zajp
jq
leżności od parzystości r. Iloczyn ar —
1
2
...
p
...
q
...
n
\jl
j*Ł
• • •
jp
•
ją
' * *
Oni
• •
jest permutacją parzystą lub nieprzystą w zależności od znaku P-<1 iloczynu I ar wszystkich ułamków ( 1 <£> < (1 ^ n). Ponieważ jp
ją
jednak P ~ (l = P ~ (l . *p~ jp
6*
ją
^p
^ą
jp
ją
83
więc n
p-q
n V<
<7
n
p -q
n
p, q = l %p
p
%ą
n
n
p, q *=i p < q
q Jp
j
q
czyli Iax = J0• Tt, a więc znak I0X jest dodatni, gdy l a i l x mają znaki jednakowe, i ujemny, gdy różne, skąd wynika następująco Twierdzenie. Iloczyn dwóch permutacyj o jednakowej parzystości jest permulacją parzystą, iloczyn dwóch perm.utacyj o różnej parzystości jest permutacją nieparzystą. Wynika stąd od razu, żc zbiór permutacyj parzystych grupy Sn jest zamknięty względem mnożenia permutacyj, skąd wobec twierdzenia z 3 111. § 3.1 wynika, że zbiór wszystkich permutacyj parzystych stopnia n tworzy grupę. Ta podgrupa grupy Sn nazywa się grupą naprzemienną stopnia n lub grupą alternującą stopnia n. Będziemy ją oznaczali przez An. Jej rząd jest —n \ (przy n ^ 2). 4. Iloczyny mnogościowe podgrup danej grupy. Generatory grupy. Niecli będzie dana grupa G i niech Hj i II2 będą jej podgrupami. Rozpatrzmy iloczyn mnogościowy H xr \H 2 tych podgrup. Jest on zbiorem niepustym, gdyż zawiera przynajmniej jedność grupy. Twierdzenie 1. Iloczyn mnogościowy podgrup Hx i II2 grupy G jest podgrupą tej grupy. Dowód. Niech a, b e Hxr \H 2; oznacza to, że a, b g IIX oraz a, b g II2. Ponieważ jednak Hx i H2 są podgrupami G, więc ab~x G lIx
i
ab~x g II2,
a więc ab~x g IIxr \ I I 2, skąd wobec twierdzenia 2 z ustępu 1 tego paragrafu wynika, że iloczyn Hxr~\H2 jest podgrupą grupy G. Twierdzenie powyższe daje się uogólnić na część wspólną dowol nego zbioru podgrup danej grupy. Twierdzenie 1'. Niech {//a} oznacza pewien zbiór podgrup danej grupy G (a przebiega tu pewien zbiór wskażnikóio). Wówczas przekrój tych podgrup jest podgrupą G. 84
Dowód tego twierdzenia niczym w zasadzie nic różni się od do wodu twierdzenia 1 . Przekrój wszystkich podgrup danej grupy jest oczywiście grupą {e}, składającą się z samej jedności grupy. Rozpatrzmy teraz dowolny niepusty podzbiór 31 grupy G, roz patrzmy dalej przekrój wszystkich tych podgrup IIa C G, które za wierają zbiór 31. Przekrój Urx jest na mocy twierdzenia 1 ' pod grupą grupy G, nazywa się ona podgrupą generowaną przez zbiór 31; oczywiście 31 C ^ / / a. Dla oznaczenia jej będziemy używali sym bolu (31}. Wyjaśnimy, z jakich elementów składa się (31}. Niech a e 31, wówczas a e^IIcc — <(31>, a więc an e (31), (gdzie n całkowite), gdyż (31 > jest podgrupą G. Jeśli teraz ax, a2, . . . , ak e 31, to o"1, a*, . . . , a,!c e (3iy, a więc i ich iloczyn a" 1 a 22 . . . a^ e >5 więc wraz z każdym zbiorem skończonym elementów z 31 grupa (31} zawiera wszystkie iloczyny ich potęg o skończonej liczbie czynników. Jeśli zbiór tych iloczynów oznaczymy przez D, to powyższe stwierdzenie zapisze się D C (31 >. Z drugiej jednak strony, zbiór 1) wszystkich iloczynów o skoń czonej liczbie czynników potęg elementów zbioru 31 sam jest pod grupą grupy G. Rzeczywiście, jeśli
to
a więc D jest wobec twierdzenia 2 z 111. § 3.1 podgrupą G. D zawiera oczywiście zbiór 31, a więc jest jedną z podgrup tak więc
Jeśli w szczególności > = G, to zbiór M nazywa się układem generatorów grupy G. Każda grupa ma oczywiście układ generatorów, ■wystarczy wziąć jako M zbiór wszystkich elementów grupy bez jed ności; grupa może mieć oczywiście i inne układy generatorów oprócz wymienionych. Tak np. {l, —1, i, — ma układ generatorów składa jący się z jednego elementu, mianowicie i (lub —i). Natomiast ani zbiór {l}, ani { —].}, ani {l, —l} nie są jej układami generatorów. Z twierdzenia 2 wynika, że zbiór M będzie układem generatorów grupy G wtedy i tylko lutedy,. jeśli każdy element grupy może być przed stawiony w postaci iloczynu skończonej liczby potęg elementów M. (Własność tę przyjmuje się często za definicję układu generatorów). Niech G = ( M >. Układ generatorów 31 nazywa się nieprzywiedlny, jeśli żaden jego podzbiór właściwy nie jest już układem generatorów dla G. Jeśli grupa posiada jednoelementowy układ ge neratorów, to jest on, rzecz jasna, nieprzywiedlny. Ta sama grupa może mieć jednak i układy generatorów składające się z więcej niż jednego elementu i też będące nieprzywiedlnymi. Tak na przykład liczba 1 jest generatorem grupy addytywnej liczb całkowitych; liczby <2 i 3 tworzą również układ generatorów tej grupy (3—2 = 1, a 1 generuje już całą grupę); jest on nieprzywiedlny, ani 2, ani 3 nic generuje całej grupy, lecz tylko jej podgrupy właściwe: 2 generuje podgrupę liczb parzystych, 3 — liczb dzielących się przez 3. Istnieją grupy nie mające żadnego układu nieprzywiedłnego generatorów, nie mogą one być oczywiście grupami skończonymi (dlaczego?). Tak na przykład grupa addytywna liczb wymiernych ma tę własność. Wykażemy to. Niech 31 będzie układem generatorów grupy addytywnej W i niech a oznacza dowolny element 31. Roz patrzmy podgrupę II C W generowaną przez 31' = 3 1 \a . Oczy wiście 31' gdyż w przeciwnym razie grupa W miałaby układ generatorów składający się z jednego elementu a. Wszystkie liczby wymierne byłyby wówczas wielokrotnościami całkowitymi liczby a, co nie zachodzi. (Przypominamy, że pojęciu potęgi w terminologii multyplikatywnej .odpowiada pojęcie wielokrotności w terminologii addytywnej). Niech teraz b będzie dowolnym elementem zbioru 31'; istnieje wówczas taka liczba całkowita k ^ 0 , że ka jest wielokrotnością całkowitą liczby b, a więc ka e H. Liczba — a należy do grupy W k 86
i może być napisana w postaci sumy skończonej liczb wymiernych, będących wielokrotnościami liczb z M (gdyż M jest układem gene ratorów dla W), a więc —a — saĄ-h, k gdzie s jest pewną liczbą całkowitą (w szczególności zerem), h zaś należy do H. Stąd a — s(ka)-\-kh, ponieważ jednak kaeTI, zatem i s(ka )eH (k jest liczbą całko witą), więc ostatecznie a e H, skąd wynika, że l i = W, ponieważ zaś H — więc i W = tyl-f')? 0 0 trzeba było dowieść. 5, Grupy cykliczne. Grupa G, mająca układ generatorów składający się z jednego elementu, nazywa się grupą cykliczną. Niech a będzie generatorem grupy cyklicznej G, oznacza to, że G — <{«}>; będziemy pisali po prostu G — <(«>. Jak wynika z poprzedniego ustępu, grupa składa się ze wszystkich potęg elementu a. Grupą cykliczną jest na przykład grupa addytywna liczb całkowitych, składa się ona z wielokrotności całkowitych liczby I (lub liczby —1 ). Grupa obrotów trójkąta równobocznego jest cykliczna, jej generatorem jest obrót o kąt — (również obrót o kąt
j . W ogóle wszystkie
grupy wielokątów foremnych są cykliczne, jako generator można rozpatrywać w każdej z nich obrót o najmniejszy kąt dodatni, przy którym wielokąt przechodzi na siebie. Każda grupa cykliczna jest abelowa, gdyż appq = aqap dla dowol nych całkowitych p i q. Niech G będzie grupą cykliczną, generowaną przez element a. Możliwe są wówczas dwa przypadki: 1 ) albo wszystkie potęgi am elementu a są różne; 2 ) albo istnieją takie wykładniki p i q, że ap = aq, przy czym
p ^ q. W pierwszym przypadku grupa G jest nieskończona, można ją napisać tak: ..., a~2, a~x, a°, a1, a2, a2, . . . Rozpatrzmy teraz drugi przypadek. Nie zmniejszając ogólności 87
możemy uważać, że p > q. Otrzymamy wówczas apa~q = av~q = e, przy czym p —q > 0 . A więc w rozpatrywanym przypadku istnieje potęga elementu a o wykładniku dodatnim, równa e. Niech n oznacza najmniejszy dodatni wykładnik o tej własności. Wówczas a°, a1, . . ., an~l są wszystkie różne, gdyby bowiem istniały takie s i t, żc as = a1
(0
< t < s < n),
to a s *= e
(0
< s —t < n),
co przeczy temu, żc n jest najmniejszym wykładnikiem o tej wła sności. Przedstawiając teraz dowolną liczbę całkowitą m w postaci m = nq-\-r,
gdzie
0
< r < n,
przy czym q i r są całkowite, co — jak wiadomo — jest zawsze możliwe, i liczby q i r są tu określone jednoznacznie, otrzymamy am
=
a nq + r
= a««.ar =
^ n y , Qr
=
eQr
_ ftr
Tak więc «°, a1, . . ., « n - 1 są już wszystkimi elementami grupy cy klicznej, która w tym przypadku ma rząd n. Wyżej przytoczyliśmy przykład grupy cyklicznej nieskończonej (grupa addytywna liczb całkowitych). Grupa jednoelementowa jest oczywiście cykliczna, cykliczną jest również grupa S2, mająca rząd 2 , ponieważ zaś wszystkie grupy obrotów wielokątów foremnych są cykliczne, więc istnieją grupy cykliczne skończone dowolnego rzędu (por. także z ćwicz. 6 w końcu tego paragrafu). Zajmiemy się teraz wyznaczeniem wszystkich podgrup danej grupy cyklicznej. Niech G — i niech TI C G będzie podgrupą składającą się nie z samej jedności. Wówczas II musi zawierać przynajmniej jeden element o wykładniku dodatnim, niech elementem o najmniej szym takim wykładniku będzie a"1. Wykażemy, że wówczas wszyst kie elementy podgrupy H są jego potęgami. Istotnie, niech as będzie dowolnym elementem H. Ponieważ liczbę całkowitą s możemy przed stawić w postaci s — mq-\-r, 88
gdzie O -< r < m, r i m są liczbami całkowitymi określonymi dla danego s i m jednoznacznie, więc as {am)~q = a$~mq = ar e H, przy czym r < m. Stąd jednak wynika, że r — 0 , gdyż m jest naj mniejszą liczbą naturalną taką, że am e H. Tak więc as{am) - q = a°, skąd a? — amq, c.b.d.o. Jeśli teraz rząd G jest nieskończony, to wszystkie potęgi ele mentu am muszą być różne, gdyż w przeciwnym razie w grupie G istniałyby dwa elementy równe o różnych wykładnikach, skąd wy nikałaby skończoność G. Tak więc II jest też grupą cykliczną nieskoń czoną, składającą się z elementów
Jeśli zaś G jest grupą skończoną rzędu n, to ponieważ an — e i e e H, więc n — mq. Podgrupa H składa się wówczas z następują cych elementów: am, a2'n, . . . }aqm = e, jest więc grupą cykliczną rzędu q. Reasumując możemy wypowiedzieć następujące Twierdzenie. Podgrupa grupy cyklicznej jest grupą cykliczną. Składa się ona z samej jedności albo ze wszystkich potęg elementu am, gdzie m jest najmniejszym dodatnim wykładnikiem elementów pod grupy. Dla grupy cyklicznej nieskończonej wykładnik m jest dowolną liczbą naturalną, podgrupa zaś jest też nieskończona. Dla grupy cy klicznej skończonej rzędu n liczba m jest dzielnikiem n. W tym ostatnim n przypadku rząd podgrupy jest równy — . Każdemu takiemu m odpom wiada jedna i tylko jedna podgrupa (amy grupy cyklicznej <(«>. Niech teraz G oznacza dowolną grupę. Jeśli a g G, to zbiór wszystkich potęg elementu a stanowi w niej podgrupę cykliczną
elementem rzędu n. Jedynym elementem grupy mającym rząd 1 jest jej jedność (dlaczego?). Grupa, w której wszystkie elementy oprócz jedności mają rząd nieskończony, nazywa się beztorsyjna; grupa, w której wszystkie elementy mają rząd skończony, nazywa się periodyczna lub torsyjna; wreszcie grupa nazywa się mieszana, jeśli zawiera elementy rzędu nieskończonego i elementy rzędu skończo nego różne od jedności. Przykładami grup beztorsyjnych są: grupa addytywna liczb wymiernych, grupa addytywna liczb rzeczywistych, grupa addytywna liczb zespolonych. Każda grupa skończona jest oczywiście periodyczna. Istnieją również grupy nieskończone o tej własności, na przykład grupa wszystkich pierwiastków z jedności. Grupa multyplikatywna liczb zespolonych jest grupą mieszaną.
Ć WIC ŻENI A
1. Podać przykład grupy zawierającej podzbiór zamknięty wzglę dem działania, ale nie będący podgrupą. Czy podzbiór ten może być skończony? 2. Udowodnić, że w grupie Z?4 (p. III. § 1 . ćwicz. 2 ) podzbiór {(0 , 0 , 0 , 0 ); (1 , 1 , 0 , 0 ); (0 , 0 , 1 , 1 ); ( 1 , 1 , 1 , 1 )} tworzy podgrupę. 3. Udowodnić, że grupa obrotów czworościanu foremnego jest podgrupą grupy obrotów sześcianu. (Uwaga. Dowód można przeprowa dzić czysto algebraicznie — np. badając tabliczki tych grup, a można również geometrycznie, znajdując taką podgrupę grupy sześcianu, która przeprowadza w siebie czworościan wpisany w ten sześcian). 4. Znaleźć centrum (p. przykład 1 1 z ustępu 2 tego paragrafu) grupy S3. 5. Znaleźć centrum grupy obrotów" i symetryj kwadratu. 6 . Udowodnić, że zbiór { 0 , 1 , 2 , . . . , m — l} z dodawaniem modulo m jest grupą cykliczną rzędu m. (Wynika stąd, że istnieją grupy cykliczne skończone dowolnego rzędu; por. z odpowiednim miejscem z ostatniego ustępu tego paragrafu). 7. Zbadać parzystość następujących permutacyj:
/ l 2 3 4 5\ \3 4 1 5 2y 90
/ I 2 3 4 5 6\ \2 6 5 3 4 1 / ’
/ I 2 3 4 5 6 7\ \7 0 5 4 3 2 1 /'
8. Dowieść, że w dowolnej grupie permutaoyj, zawierającej cho ciażby jedną permutację nieparzystą, liczba permutacyj parzystych równa się liczbie permutacyj nieparzystych. 0. Udowodnić, że grupa alternująca A 3 jest cykliczna. 10. Niech P będzie zbiorem punktów płaszczyzny mających współrzędne całkowite. Określamy dodawanie punktów następująco: sumą punktów A x — (xx, yx) i A 2 = (x2>y2) nazywamy punkt A 2 — = (%, yz) o w.spółrzędnych = xxĄ x2 i ys — yxA-y%> Wykazać, żc zbiór P z tak określonym działaniem jest grupą abelową i że punkty (1 , 0 ) i (0 , 1 ) tworzą układ generatorów. 11. Udowodnić, że dla dowolnych elementów a, b grupy G ilo czyny ab i ba mają ten sam rząd. 12. Dowieść, że jeśli a jest elementem rzędu n, to ak = e wtedy i tylko wtedy, gdy k dzieli się przez n. 13. Dowieść, że w grupie abelowej iloczyn elementu rzędu m przez element rzędu n, gdzie m i n są liczbami względnie pierwszymi, ma rząd mn. 14. Wykazać, że w grupie abelowej elementy rzędu skończonego tworzą podgrupę. 15. Komutatorem elementów a, b eG nazywa się element G po staci aba~lb~ l (oznacza się go przez [a, b |). Wykazać, że zbiór wszyst kich komutatorów elementów grupy generuje podgrupę w G (tzw, komutant grupy). 16. Udowodnić, że suma prosta grup cyklicznych rzędu m i n, gdzie (m, n) = 1 , jest grupą cykliczną rzędu mn.
§ 4. ROZKŁAD GRUPY NA WARSTWY. DZIELNIK NORMALNY W
1. Iloczyny kompleksowe podzbiorów grupy. Niech będzie dana grupa G, a K x> K 2 niech oznaczają dowolne jej niepuste podzbiory. Iloczynem kompleksowym podzbiorów' K x i K 2 nazywamy zbiór wszystkich iloczynów axa2, gdzie ax e Kx i a2 e K 2. Iloczyn ten bę dziemy oznaczali przez K XK 2. Jeśli w szczególności K x = {a} (tj. K x składa się z jednego elementu a), iloczyn kompleksowy zapisze się a li2\ jeśli K2 — {a}, zapisuje się K xa. 91
Zajmiemj’' się teraz własnościami mnożenia kompleksowego. Wy każemy po pierwsze, żc mnożenie, kompleksowe jest łączne, tj. że dla dowolnych podzbiorów niepustych K x, K 2, K s grupy G {KxK 2)K z = KX(K2K 3). Dowód tego jest prostym wnioskiem z łączności mnożenia w gru pie. Dla wszystkich a{ e Kx, a2 e K 2 i a3 e K z K
« 2) « 3
= «l(«2«3) e
więc {KXK 9)K9 <= K X(K2K3)
i
K X(K2K3) c (KXK2) K9>
skąd ostatecznie {KXK9)K9 - K X(K2K3). Jeśli e jest jednością grupy, to eK = Ke = K dla każdego iT 7± K c G . Warto zauważyć, że zbiór M (G) wszystkich podzbiorów nie pustych grupy G można rozpatrywać jako grupoid względem mno żenia kompleksowego. Grupoid M (G) jest wobec udowodnionych wy żej jego własności półgrupą z jednością. Mnożenie kompleksowe jest, ogólnie rzecz biorąc, nieprzemienne. Jeśli dla podzbiorów Kx i K 2 zachodzi równość K tK2 = K2K X, to mówimy, że K x i K 2 komutują. Nie oznacza to bynajmniej, że każdy element zbioru Kx komutuje z każdym elementem zbioru K 2\ Rów ność ta jest jedynie równością mnogościową zbiorów K xK2 i K 2K X. nnymi słowy K XK 2 = K 2K X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ax e K x i ci2 g K2 istnieją takie elementy 6 L, b \ e K x i b2, b'2 e I(2, że oxa2 ^ b2bx i a2ax — b[b2. W grupach abclowych mnożenie kompleksowe jest przemienne, co łatwo jest sprawdzić w sposób podobny do tego, za pomocą którego udowodniliśmy wyżej łączność mnożenia kompleksowego w grupach. Dla każdego a e G iloczyn aG = Ga = G. Udowodnimy, że aG — — G (drugą równość dowodzi się tak samo). Wobec zamkniętości grupy względem działania, aG c= G. Ponieważ zaś dla każdego b e G istnieje w G taki element x, że b = ax, więc G <= aG i ostatecznie aG — G. Z powyższego wynika od razu, że jeśli A jest dowolnym niepustym podzbiorem G, to AG = GA — G, w szczególności GG — G2 = G. 92
Wszystkie powyższe uwagi są w szczególności słuszne dla dowol nej podgrupy II grupy O. Jeśli jednak % + K <= G i K z = K, to nie oznacza to jeszcze, że K jest podgrupą G (pór. ćwicz. 1 z po przedniego paragrafu), jeśli jednak K jest podzbiorem skończonym, to z K2 = K wynika, że K jest podgrupą G (dlaczego?). Przez K 1 będziemy oznaczali zbiór wszystkich odwrotności elementów zbioru K. Ogólnie K ~ 1 + K. Natomiast G*1 = G (i w ogóle, jeśli H <= G jest podgrupą, to 17“ 1 = H). Rzeczywiście, ponieważ dla każdego a e G mamy r r 1 eG, więc ćr- 1 er G. Z drugiej jednak strony, każdy element a eG jest odwrotnością pewnego elementu grupy, mianowicie a -1, a więc G c: G*1 i ostatecznie G*] = G. Niech H będzie podgrupą G, a - pewnym elementem G i b — dowolnym elementem 77. Wówczas, jak wiemy, (ab)*1 = b~la ’, po nieważ zaś II~l = 77, więc (aH)~l = Ha*1. 2. Rozkład grupy na warstwy. Niech II będzie podgrupą grupy G i a elementem tej grupy. Iloczyn kompleksowy aH nazywa się warstwą lewostronną, iloczyn zaś kompleksowy Ha — warstwą prawostronną grupy G względem podgrupy TI. Jeśli G jest grupą abelową, to dla każdego a eG zachodzi a TT = II a ; w dowolnych grupach taka rówuiość dla każdego II nie musi zacho dzić. Warstwy w grupach abelowych, przy użyciu terminologii addytywnej, zapisuje się również w postaci a-\-H (lub I I - 1 -a). Jeśli jako podgrupę H <= G wziąć samą G, to każda warstwra aG — Ga — G. Jeśli zaś II = {e}, to dla każdego a eG będzie = = {eja = tj. każdy zbiór jednoelcmentowy jest warstwą zarówno prawostronną, jak i lewostronną. Jeśli będziemy rozpatrywali jako G grupę addytywuią liczb całko witych, a jako podgrupę H zbiór wielokrotności danej liczby całko witej n, to warstwami będą H, II l-l,
17+2, . . . , ff + (w -l).
Tak więc warstwa H + k składa się z tych i tylko tych liczb, które przy dzieleniu przez n dają resztę k. Niech G będzie grupą wektorów’’ na płaszczyźnie, wychodzących z ustalonego punktu O (rys. 6 ), z dodawaniem jako działaniem. Wówczas podzbiór H wektorów^ leżących na ustalonej prostej prze chodzącej przez punkt O jest podgrupą G. Gdy x przebiega H, to 93
przy ustalonym ~a, e G końce wektorów ~a-\-~x leżą na prostej równo ległej do prostej, na której leżą wektory z II. Warstwami będą tu zbiory wektorów, których końce leżą na prostych równoległych do II. Można więc za warstwy uważać tu proste równoległe do H (samą podgrupę U utożsamiamy z prostą II, na której leżą x e II). Analogicznie, jeśli G jest grupą wektorów przestrzeni trójwy miarowej, -wychodzących z ustalonego punktu O, z dodawaniem jako działaniem, zaś II — podgrupą składającą się z wektorów leżących w ustalonej płaszczyźnie przechodzącej przez O, to warstwami będą zbiory wektorów, których końce leżą na płaszczyznach równoległych do II. Można więc za warstwy uważać tu płaszczyzny równoległe do II, stąd i nazwa warstwa. Niech TI będzie podgrupą G. Jeśli a e H, to, jak już wiemy, aH — Ha = II. Tak więc Jedną z warstw grupy G względem II jest sama podgrupa II. Zauważmy, że zbiór odwrotności elementów warstwy lewostronnej względem podgrupy II jest warstwą prawostronną względem H (i na odwrót). Wynika to ze znanej nam równości (a/ / ) - 1 — IIa~x. Wykażemy teraz, że Zbiór warstw lewostronnych jest równoliczny ze zbiorem warstw prawostronnych względem tej samej podgrupy. Istotnie, mamy (a/ / ) - 1 = = IIa~x, gdy zaś a przebiega grupę G, to i a~x też, jeśli przy tym aH = bH, to i Ha~x — Ilb~ x, i na odwrót, jeśli Ha — Hb, to a~lH — = b~xH, a więc przyporządkowanie aH*—*Ha~x jest wzajemnie jedno znaczne i zbiory warstw lewostronnych i prawostronnych względem H są równoliczne. Udowodnimy teraz następujące Twierdzenie. Na to, aby dwie warstwy lewostronne aH i bH grupy G były równe, potrzeba i wystarcza, by a~xb e II. Dowód.
1
. Niech aH - - bH. Wówczas a 1{aII) = a~1(bll),
skąd {a~xa)II = (a~xb)H i H = (a~xb)H, 94
Więc (a ]b)H C II, co oznacza, że dla każdego x e II iloczyn a~lbx e H. Ponieważ jednak e e II, więc ostatecznie a~1be = a~xb e II. 2
. Niech teraz a~]b e II. Mamy wówczas bH = ((aa~l )b)H = a{a~Lb)H = a((a~lb)II) = aH,
przy czym ostatnia równość wynika z tego, że a~xb e H. Twierdzenie zostało udowodnione. Analogicznie dowodzi się, że na to, aby dwie warstwy 'prawostronne Ha i Hb grupy O były równe, potrzeba i wystarcza, by ba~l e TI. Dla grup abelowych oba te warunki pokrywają się i mogą być zapisane w terminologii addytywnej tak: na to, aby dwie warstiuy a+ H i bĄ-H grupy abelowej były równe, potrzeba i wystarcza, by b—a e H . W podanym w tym ustępie przykładzie dwie liczby całkowite należą do tej samej warstwy, gdy przy dzieleniu przez n dają tę samą resztę. Dwie warstwy a )-II i b-\-H są tu równe, gdy b—a e H, tj. gdy różnica liczb b i a dzieli się przez n. Każdy element grupy należy do pewnej warstwy lewostronnej {prawo stronnej). Jeśli dwie warstwy lewostronne {prawostronne) mają, chociażby jeden element wspólny, to są równe. Dowód. Będziemy dowodzili to twierdzenie dla warstw lewo stronnych, dowód dla warstw prawostronnych niczym w zasadzie nie różni się od podanego. Niech II będzie podgrupą grupy G i a eG. Wówczas wobec tego, że e e H, otrzymamy ae — a e aH. Niech teraz warstwy aH i bil mają element wspólny, istnieją więc takie hx, h2 e H, że ahx — bh2. Wówczas A1 Aa “ 1 — a~xb, ale hxhęl e II, więc i a~l b e H, skąd wobec poprzedniego twierdzenia aH — bH, c.b.d.o. Jak wynika z powyższego twierdzenia, dwie warstwy lewostronne (prawostronne) względem danej podgrupy są albo rozłączne, albo 95
równe i każdy element grupy należy do jednej i tylko jednej warstwy lewostronnej (prawostronnej) względem danej podgrupy. Tak więc z każdą podgrupą II grupy G związane jest określone rozbicie tej grupy na klasy rozłączne — mianowicie na warstwy lewostronne oraz drugie rozbicie na klasy rozłączne — na warstwy prawostronne względem tej podgrupy. Pierwsze z tycli rozbić nazywamy rozkładem grupy na warstwy lewostronne, drugie — rozkładem na warstwy prawostronne względem danej podgrupy. O podgrupie zaś mówimy, że generuje dany rozkład. (Dla uniknięcia nieporozumień zaznaczamy, że rozkład na warstwy lewostronne (prawostronne) nie musi być regularny, warunek jego regularności podamy dalej). Dwie warstwy lewostronne grupy G względem danej podgrupy II są równoliczne (to samo dotyczy dwóch warstw prawostronnych). Rzeczywiście, jeśli aH i bH są warstwami lewostronnymi w roz kładzie grupy G względem H, to przyporządkowanie (ah)q> = bh, gdzie h przebiega podgrupę II, jest wzajemnie jednoznacznym od wzorowaniem warstwy a ll na bil, gdyż z równości obrazów {ahx)(p — {ah2)(p,
gdzie
hx, h.z e H,
tzn. z bhl = bh2, wobec prawa skreśleń wynika ht = h2, a więc że przcciwobrazy też są równe. Dowolna warstwa, lewostronna grupy G względem podgrupy H jest równoliczna z dowolną warstwą prawostronną względem H. Wobec udowodnionej wyżej własności wystarczy wykazać, że dla pewnego a e G warstwy a ll i Ha są równoliczne. Rzeczywiście, weź my a — e, wówczas aH = Ha — H. Zauważmy wreszcie, że z wyjątkiem samej podgrupy TI żadna inna warstim lewostronna {prawostronna) w rozkładzie grupy G względem H nie jest grupą. Jest to oczywiste, gdyż tylko H zawiera jedność grupy. 3. Indeks podgrupy w grupie skończonej. Twierdzenie Lagrangchi. Zajmiemy się teraz rozkładem na warstwy grupy skończonej. Liczba wszystkich warstw lewostronnych lub, co na jedno wychodzi, prawo stronnych w rozkładzie grupy G względem podgrupy H nazywa się indeksem podgrupy H w grupie G. Zachodzi następujące 96
Twierdzenie Lagrange’a. Rząd i indeks podgrupy grupy skończonej są dzielnikami rzędu grupy. Dowód. Niech grupa skończona O ma rząd N, zaś jej podgrupa II — rząd n. Jeśli przez j oznaczymy indeks podgrupy H, to ze względu na to, że wszystkie warstwy są równoliczne, każda zawiera tyle elementów, ile U, tzn. n. Warstw zaś lewostronnych (lub prawo stronnych) jest j, więc N — nj, co trzeba było dowieść. (Wykazaliśmy nawet więcej, mianowicie, że rząd grupy skończonej równa się rzędowi podgrupy pomnożonemu przez jej indeks). Wniosek 1. Rząd elementu a w grupie skończonej jest dzielnikiem rzędu grupy. Istotnie, rzędem elementu a nazywamy rząd grupy cyklicznej generowanej przez a, a ten na mocy twierdzenia Lagrange’a jest dzielnikiem rzędu grupy. Wniosek 2. W grupie skończonej rzędu n dla każdego a e G za chodzi a11= e. Dowód. Niech rząd elementu a będzie m. "Wówczas na mocy poprzedniego wniosku z twierdzenia T,agrange’a m jest dzielnikiem n, a więc n = mq, skąd an = amq = {am)q = eq = e. Wniosek 3. Każda grupa skończona, której rząd jest liczbą pierwszą, jest grupą cykliczną. Dowód. Niech G spełnia warunki twierdzenia i niech aeG, przy czym a ^ e (grupa nie jest jednoelcmentowa, gdyż jej rząd jest liczbą pierwszą, 1 zaś nie jest liczbą pierwszą). Wówczas rząd ele mentu a musi być na podstawie wniosku z twierdzenia Lagrange’a dzielnikiem rzędu, który jest liczbą pierwszą, będąc zaś liczbą różną od 1 , musi być równy rzędowi grupy. A więc rząd (a) jest równy rzędowi G, skąd G — <«). Wniosek 4. Grupa różna od jednoelementowej nie zawiera podgrup właściwych wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończona i rząd jej jest liczbą pierwszą. V — ElemoiiLy algebry abstrakcyjnej
97
Dowód. 1 . Jeśli G jest grupą skończoną rzędu p, gdzie p jest liczbą pierwszą, i TT ~4podgrupą grupy G, to istnieje a e takie, że a e H. Na mocy wniosku 1 , rząd podgrupy równa się p, stąd <«> - G, zatem H = G, bo <= H. 2. Niech teraz G nie zawiera podgrup właściwych i G ^ {e}. G musi zawierać element a -f- e. Ponieważ G nie może zawierać pod grup właściwych, więc musi być G — -(a). Grupa nic może więc być grupą nieskończoną, gdyż zawierałaby podgrupy właściwe. Tak więc (a j musi być grupą skończoną rzędu p , który jest liczbą pierwszą, gdyż w przeciwnym razie istniałyby w (a j podgrupy właściwe, co wynika z twierdzenia o podgrupach grup cyklicznych. Warto zauważyć, że twierdzenie Lagrange’a nie daje się odwrócić, tzn. jeśli mamy grupę G rzędu N i liczba naturalna n jest dzielnikiem N, to nie wynika stąd, że G musi zawierać podgrupę rzędu n. Tak na przykład grupa naprzemienna A 4 ma rząd 1 2 , nie zawiera ona jednak podgrup rzędu 6 (zawiera natomiast podgrupy rzędu 2, 3 i 4). 4. Dzielnik normalny. Podgrupa TI grupy G nazywa się dzielni kiem normalnym tej grupy, jeśli rozkład G na warstwy lewostronne względem II i jej rozkład na warstwy prawostronne względem H są identyczne (tzn. każda warstwa lewostronna jest jednocześnie prawo stronną i na odwrót). Jeśli H jest dzielnikiem normalnym w G, to ta warstwa lewo stronna grupy G względem H , która zawiera aeG, musi być jedno cześnie jej warstwą prawostronną, a więc dla każdego a e G (111.13)
aH = Ha.
W arunek (III. 13) jest oczywiście także warunkiem wystarczającym na to, by podgrupa H była dzielnikiem normalnym w G. Tak więc, na to, by podgrupa była dzielnikiem, normalnym grupy, potrzeba i wy starcza, aby komutowała z każdym jej elementem. Każda grupa zawiera trywialne dzielniki normalne — siebie samą i grupę złożoną z samej jedynki. W grupie abelowej każda podgrupa jest dzielnikiem normalnym, co wynika z przemienności mnożenia kompleksowego w tych grupach. Istnieją również grupy nicabclowc, w których każda podgrupa jest dzielnikiem normalnym; nazywają się one grupami hamiltonowskimi. Proponujemy Czytelnikowi spraw dzić, że podgrupa grupy S 8 generowana przez permutacje 08
1 2 34 5 6 7 8 ’ 5 8 76 3 2 1 4
12 3 4 5 6 7 8 2 3 4 1 6 7 8 5
jest hamiltonowska (dla ułatwienia podajemy, że zawiera ona nastę pujące podgrupy właściwe: <
2 3 2 3
4\ /I 4 /’ \2
2 3 4\ 1 4 3 /’
/ 1
\3
2 3 4\ 4 12/’
/I \4
2 3
3 4\ 2 1j
tworzą w niej podgrupę, która, jak łatwo sprawdzić, jest dzielnikiem normalnym. Wykażemy teraz, że jeśli podgrupa II grupy G generuje rozkład G na dwie warstwy, to TI jest dzielnikiem normalnym. Istotnie, ponieważ w tym rozkładzie istnieją zarówno dwie warstwy lewostronne, jak i dwie prawostronne i jedną z nich — tak lewostron ną, jak i prawostronną jest II, więc G \^H musi być drugą z warstw, zarówno lewostronną, jak i prawostronną. Wynika stąd od razu, że grupa naprzemienna An jest dzielnikiem normalnym w grupie symetrycznej Sn. Istotnie, jeśli a i %są permutacjami nieparzystymi, to ponieważ t - 1 też jest nieparzysta, więc ax~l e An, a więc na mocy twierdzenia o warunku koniecznym i dostatecznym na to, by dwa elementy 99
należały do tej samej warstwy lewostronnej, otrzymujemy, że do wolne dwie permutacje nieparzyste należą do tej samej warstwy, a więc w rozkładzie Sn względem An istnieją tylko dwie warstwy — A n i warstwa permutacyj nieparzystych. Niech Z oznacza centrum grupy G. Ponieważ Z jest podgrupą G (p. przykład 1 1 z ustępu 2 poprzedniego rozdziału) i az — za dla każdego a e G i z e Z, czyli aZ — Za dla każdego a e G, więc cenrum grupy jest jej dzielnikiem normalnym. ĆWICZENIA
1. Udowodnić, że jeśli II jest podgrupą grupy G, to albo H all r \ r\H b II = 0, albo TlaTI = TlbTI dla dowolnych a, beG . 2. Napisać rozkład na warstwy grupy (p. ćwicz. 2 z III. § 3 i ćwicz. 2 z III, § 1 ) względem podgrupy {(0 , 0 , 0 , 0 ); (1 , 1, 0 , 0 ); (0 , 0 , 1 , 1 ); (1 , 1 , 1 , 1 )}. 3. Grupa S 3 ma następujące podgrupy właściwe:
Napisać rozkłady na warstwy lewostronne i praw ostronnej względem każdej z tych podgrup. Które z nich są dzielnikami normalnymi? 4. Napisać tabliczkę działania dla grupy kwaternionów (p. ust. 4 tego paragrafu). Wykazać, że w grupie tej a4 — /54 = e,
a2 = /?2,
a/?a —
5. Które z podgrup grupy obrotów czworościanu są dzielnikami normalnymi (p. III. § 3.2 przykład 1 0 )? 6 . Wykazać, żc grupa macierzy stopnia n o elementach rzeczy wistych i o wyznacznikach równych 1 (tzw. grupa uniinodularna) jest dzielnikiem normalnym w grupie wszystkich macierzy rzeczywistych nieosobliwych stopnia n z mnożeniem jako działaniem (p. III. § 1.4, przykład 1 2 ). 7. Dowieść, że w grupie abelowej iloczyn kompleksowy dwóch warstw jest warstwą. 100
8
. Dowieść, że w iloczynie prostym Gxx G2grup Gx \G2 (p. III. § 1 .4.
przykład 13) każda z podgrup Gx i G2 (p. III. § 3.2, przykład 8 ) jest dzielnikiem normalnym. Jaką postać mają warstwy w rozkładzie Gx XG2 względem Gx i ćr2? 9. Udowodnić, że w grupie macierzy nieosobliwych stopnia n iloczyn dwóch warstw względem podgrupy unimodularncj (p. ćwicz. 6 ) jest warstwą. 10. Dowieść, że zbiór macierzy postaci
gdzie a i 6 są liczbami rzeczywistymi, przy czym a ^ O , jest grupą względem ich mnożenia i że podzbiór tej grupy składający się z ma cierzy, w których a = 1 , jest dzielnikiem normalnym tej grupy, na tomiast podzbiór składający się z macierzy, w których 6 = 0 , jest podgrupą, ale nie jest dzielnikiem normalnym.
§ 5. IZOMORFIZMY I AUTOMORFIZMY GRUP 1. Izomorfizmy grup. Dwie grupy nazywają się izomorficzne, jeśli są one izomorficzne jako grupoidy (p. II. § 1 .2 ). Z udowodnionych w rozdziale II. § 2 . 2 twierdzeń 2 i 4 wynika, że jeśli G jest grupą, a M grupoidem i jeśli G ^ M, to M też jest grupą. Tnnyrni słowy, obraz izomorficzny grupy jest grupą. / twierdzenia 1 z cytowanego wyżej ustępu wynika, że obraz izomorficzny grupy abelowej jest grupą abelową, z twierdzenia 3 zaś, że przy izomorfizmie grup jedność grupy przechodzi w jedność. Wykażemy, że jeśli q>\G->G' jest izomorfizmem grupy G na G', to a~l
a q r a l (p = e!
1 a 1(p = (acp) 1.
Niżej podajemy kilka przykładów izomorfizmów grup. 1 ) W II. § 1 . 2 w przykładach 2 i 3 mówiliśmy o izomorfizmie grupoidu {O, 1, 2} z dodawaniem modulo 3 z grupoidem pierwiastków stopnia 3 z jedności i o izomorfizmie każdego z nich z grupoidem obrotów trójkąta równobocznego. Wymienione w tych przykładach grupoidy są grupami. 2 ) Grupa obrotów i symetryj trójkąta równobocznego (tabl. 8 ) jest izomorficzna z S3. Izomorficzne przyporządkowania można otrzy mać porównując tabliczki Caylcy’a tych grup. 3) W przykładzie 4 z II. § 1 . 2 udowodniliśmy izomorfizm grupy multyplikatywnej liczb rzeczywistych dodatnich z grupą addytywną wszystkich liczb rzeczywistych. 4) Grupa obrotów sześcianu jest izomorficzna z grupą obrotów ośmiościanu foremnego. Izomorficzne przyporządkowanie można otrzymać, postępując jak w przykładzie 2 , łub prościej, wpisując ośmiościan w sześcian (lub na odwrót), jak to pokazane jest na ry sunku 14; wówczas każdemu obrotowi sześcianu odpowiada pewien
Rys. 14
R y s. 15
obrót ośmiościanu i na odwrót, przy czym iloczynowi dwóch obrotów sześcianu odpowiada iloczyn odpowiednich obrotów ośmiościanu fo remnego. W podobny sposób możemy przekonać się o izomorfizmie grup 102
1
obrotów clwudziestościanu i dwunastościanu (lys. 15 przedstawia dwudziestościan wpisany w dwunastościan). 5) Udowodnimy teraz, że grupa obrotów czworościanu foremnego jest izomorficzna z grupą A a. W tym celu ponumerujemy wierzchołki czworościanu liczbami 1, 2, 3, 4 (rys. 16), same zaś obroty będziemy zapisywali w postaci permutacyj wierzchołków. Obrotów tych jest, jak już wiemy, 1 2 , oto one:
Rys. 16
a0 =
1 2 3 4\ 1 2 3 4 /’
a3 =
1 2 3 4\ 3 2 4 1/’
a6
1 2 3 4\ 4 1 3 2 /’
a° “
/I 2 3 4 4321
ai
a4
1 2 3 4\ 1 3 4 2 /’
a2
_ /] 2 3 4\ — U 4 2 31* 1 2 3 4\ 2 4 3 l]’
_ (l 2 3 4 ~ U 2 1 3 1 2 3 4\ )’
3 2 1 4
12 3 4 aio — 2 1 4 3
aQ=
1 2 3 4\ 3 1 2 4 /’ 1 2 3 4\ 3 4 12/ '
Jak łatwo jest sprawdzić, obroty a0, aŁ, ..., an zapisuje się w po staci permutacyj parzystych swoich wierzchołków. Superpozycji obrotów odpowiada iloczyn odpowiednich 8 permutacyj, tak więc grupa obrotów czwo rościanu foremnego może być napisana za pomocą wszystkich dwunastu permu tacyj parzystych 4 wierzchołków czworo ścianu i jest izomorficzna z grupą alternującą A 4. 6) Grupa obrotów sześ morficzna z grupą S4. Aby to udowo dnić, ponumerujemy wierzchołki sześciaRys. 17 nu, jak to pokazane jest na rysunku 17.
Obroty zapisuje się w postaci następujących permutacyj wierzchoł ków: OCi =
1 2 3 45 2 3 4 18
7 8\ 5 6 /’
a, =
1 23 4 5 6 7 8 4 12 3 6 7 8 5
1 2 3 4 5 6 7 8\ 4 3 8 7 2 1 6 5 /’
as =
1 23 4 5 6 7 8 \ 7 8 5 6 3 4 1 2 /’
1 2 3 4 5 6 7 8\ 6 5 2 1 8 7 4 3 /’
a7 =
1 2 3 4 5 6 7 8\ 2 5 8 3 6 1 4 7) ’
12 3 4 5 12 3 4 5
CCo =
12 3 4 5 3 4 12 7
ccA =
a« =
6 6 6 8
1 2 3 4 5 5 2 16 3
<•14
12 3 4 5 5 8 3 2 7
<•16
12 3 4 5 3 8 7 4 5
*18 =
a 2<) —
*22
—
6 8 6 6 6 2
5
6
1 23 4 5 6 7 8 \ au — 1 4 7 6 3 2 5 8 / ’
7 8\ 7 4y’
a13 =
1 23 4 5 6 7 8 \ 3 2 5 8 1 4 7 e j’
7 8\ l 4y’
1 2 3 4 5 7 4 3 8 1
6
a15 =
23 4 5 14 5
6
7 8\ 1 e j’
1 2 3 4 5 6 7 8\ 2 1 6 5 4 3 8 7j ’ 1 2 3 4 5 6 7 8\ 3 2 5 4 7 6 lj’
8
1 2 3 4 5 6 7 8\ 7 8 5 4 1 2 3 ’
6
6
1 23 4 5 6 7 8 \ 1 4 7 2 5 8 3 /’
1 2 3 4 5 6 7 8\ 5 6 7 8 1 2 3 4 /’
1 2 3 4 5 6 7 8\ aio — 1 6 5 2 7 4 3 8 / ’ *12 =
7 8' 6 7r
7 8\ 7 s j’
*o =
1
Ł17
*19 =
*2 1
7
8
7 8\ 5 2 j’ 7 8\ 3 2)’
1 23 4 5 6 7 8 \ 7 4 3 6 5 2 lj’
8
1 23 4 5 6 7 8 \ 4 7 6 1 8 3 2 5 /’ 1
*23
6
6
8
23 4 5 6 7 8 \ 56 7 2 3 4 lj'
a0 jest obrotem tożsamościowym, ax, oca, a9 — obrotami do* koła osi łączących środki przeciwległych ścian; ot10, an , a17 — dokoła osi łączących przeciwległe wierzchołki i a18, a19, a23 — dokoła osi łączących środki przeciwległych krawędzi. Łatwo sprawdzić, że jeśli przy pewnym obrocie
przechodzi w j, to wierzchołek o numerze 9 — i przechodzi w 9 — j. Ale wierzchołki, których suma numerów jest 9, wyznaczają w każdym przypadku przekątną sześcianu. Tak więc każdemu obrotowi a s sześcianu odpowiada pewna permutaeja jego przekątnych. Wykażemy, że różnym obrotom odpowiadają różne permutacje przekątnych. Zauważmy w tym celu, że nietożsamościowy obrót sześcianu powo duje nietożsamościową permu tac ję jego przekątnych, co wynika stąd, że wśród permutacyj a.x, a3, ..., a 23 nie ma ani jednej, której dolny wiersz byłby 1 , 2 , 3, 4, 5, 6 , 7, 8 lub 8 , 7, 6 , o, 4, 3, 2 , 1 . Gdyby teraz dwóm różnym obrotom ccs i at odpowiadała ta sama permutaeja przekątnych, to obrotowi asat- 1 odpowiadałaby permutaeja tożsa mościowa, skąd asae_ 1 — a0 i a4 — at. Tak więc między zbiorem 24-ch obrotów sześcianu i zbiorem permutacyj jego przekątnych istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość. Ponieważ przekątnych tych jest 4, więc 24 różne ich permutacje stanowią grupę S4. Tak więc otrzymaliśmy wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między grupą obrotów sześcianu i grupą S/V Ponieważ zaś iloczynowi obrotów odpo wiada superpozycja odpowiednich permutacyj, więc grupa sześcianu jest izomorficzna z S 4. Wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość mię dzy elementami tych grup możemy otrzymać praktycznie w ten spo sób, że każdemu obrotowi 1 2 34 5 6 7 H HH H H h
8
H
przyporządk uj emy permutacj ę
gdzie ij = min (ix, i8) (tzn. liczba żI jest mniejszą z liczb ix, i8), in = — min (i2, i7), ini — m*n (h> h)> H\ = mbi (bn H)• Tak w^ c nP-
1) Powyższy dowód można by przeprowadzić w sposób bardziej „geome tryczny”, przyporządkowując od razu obrotom sześcianu permutacje jego przekątnych. Dla ustalenia wzajemnoj jednoznaczności przyporządkowania należałoby jednak wówczas udowodnić pewne czysto geometryczno twierdze nie, mianowicie, że jedynym obrotem sześcianu, przeprowadzającym każdą przekątną w siebie, jest obrót tożsamościowy.
• 105
Z powyższego i z przykładu 4 wynika, że grupa obrotów ośmiościanu foremnego jest izomorficzna z S v 7) Grupa obrotów dwudziestośeianu (a więc i dwunastościanu) foremnego jest izomorficzna z grupą A 5. Dowód tego, podobny do przeprowadzonego w przykładzie 6 , tzn. polegając}'- na rozpatrzeniu grupy permutacyj wierzchołków dwudziestośeianu i udowodnieniu jej izomorfizmu z A 5, byłby bardzo żmudny (wierzchołków tych jest aż 1 2 ). Przy dowodzie stosuje się zwykle następującą metodę (poda jemy tylko jej ideę). Jak wiadomo z geometrii, do każdej krawędzi dwudziestośeianu foremnego istnieje krawędź równoległa i 2 pary krawędzi prostopadłych. Zaliczamy do jednej klasy trzy pary kra wędzi wzajemnie prostopadłych; klas takich jest więc 5. Środki krawędzi jednej klasy są wierzchołkami pewnego ośiniościanu fo remnego; ośmiościanów takich mamy pięć. Okazuje się, że każdemu obrotowi dwudziestośeianu odpowiada pewna permutacja tych ośmio ścianów i że między zbiorem wszystkich obrotów dwudziestośeianu i zbiorem wszystkich tych permutacyj istnieje wzajemnie jedno znaczna odpowiedniośó będąca izomorfizmem. Sprawdza się następ nie, że wszystkie 60 permutacyj pięciu ośmiościanów są parzyste, a więc tworzą A-. 8 ) Udowodnimy teraz, że a) wszystkie grupy cykliczne nieskoń czone są izomorficzne; b) wszystkie grupy cykliczne skończone danego rzędu są izomorficzne. Niech (ay będzie grupą cykliczną nieskończoną. Wykażemy, że jest izomorficzna z grupą addytywuią liczb całkowitych, stąd już będzie wynikała pierwsza część twierdzenia (p. II. § 1 .2 ). Każdemu ak e
Jest ono izomorfizmem, gdyż jeśli p~rq < n, to apaq — ap "ą, gdy zaś p \-q n, to apaq = ap+q n, a więc apaą = ap+q, gdzie p \ q jest dodawaniem modulo n. Tak więc (apaq)(p
(ap+q)
Ze względu na to, że identyfikujemy grupy izomorficzne, możemy na podstawie udowodnionego twierdzenia mówić dalej po prostu o grupie cyklicznej nieskończonej oraz dla każdego n naturalnego 0 grupie cyklicznej rzędu n. 9) Ponieważ grupa skończona rzędu p, gdzie p jest liczbą pierw szą, musi bym cykliczna, wszystkie zaś grupy cykliczne danego rzędu są izomorficzne, więc dwie grupy, których liczba elementów jest tą samą liczbą pierwszą, są izomorficzne. 1 0 ) Wszystkie grupy jednoclcmentowe są oczywiście izomorficzne. Z przykładu 9 wynika, że istnieje tylko jedna — z dokładnością do izomorfizmu grupa rzędu 2 i tylko jedna rzędu 3. Istnieją nato miast dwie nie izomorficzne grupy rzędu 4 — grupa cykliczna rzędu 4 1 grupa czwórkowa Kleina. Że grupy te nie są izomorficzne, wynika stąd, iż pierwsza z nich zawiera elementy'-, których kwadraty nie są jednością grupy, podczas gdy druga grupa takich elementów nie zawiera. Wykażemy, że są one jedynymi z dokładnością do izomor fizmu grupami rzędu 4. Niech O = {e, a, 6 , cj będzie grupą. Rzędy elementów tej grupy mogą być w myśl wniosku 1 z twierdzenia Lagrangehi tylko liczbami 1 , 2 i 4. Rząd 1 może mieć tylko jedność e grupy. Jeśli jeden z ele mentów ma rząd 4, to grupa jest cykliczna rzędu 4. Pozostaje teraz druga ewentualność, każdy z elementów a, b, c ma rząd 2 , czyli a2 — b2 — c2 — e. Ponieważ ae — a, więc; ab # a, gdyż byłoby wów czas b — e. Z podobnej przyczyny nie może być ab = b. Nie może być również ab = e — a2, bo implikowałoby to b — a. Tak więc ab — c. Podobnie dowodzi się, że ba - c, ac — ca = b, bc = cb = — a. Jest to więc grupa izomorficzna z grupą Kleina. Ponieważ jedyną grupą rzędu 5 jest grupa cykliczna, więc biorąc; pod uwagę to wszystko, o czym mówiliśmy w tym rozdziale, do chodzimy do wniosku, że wszystkie grupy skończone, których rząd jest liczbą mniejszą od 6 , są abelowe (por. III. § 1.4, przykład 7). Istnieje jednak już grupa nieabelowa rzędu 6 , jest nią S 3. 107
11) Rozpatrzmy iloczyn prosty GxxG 2 grup Gx i G2 (p. III. § 1.4, przykład 13). Jak już wiemy z III. § 3.2, przykład 8 , każdy
z podzbiorów Gx i G2 jest podgrupą GxxG 2. Jak łatwo spostrzec, G\
Gx i G2
G2- Izomorficzne odwzorowanie Gx na Gx otrzymamy,
przyporządkowując każdemu ar eG x parę (ax,e 2)e G x; analogicznie otrzymamy odwzorowanie izomorficzne G2 na G2. 2. Twierdzenie o zanurzaniu grupy w grupie przekształceń wzaje mnie jednoznacznych pewnego zbioru na siebie. Twierdzenie Caylcy’a. W § 2 niniejszego rozdziału rozpatrywaliśmy grupy przekształceń wzajemnie jednoznacznych zbiorów na siebie. Wykażemy teraz, żc jeśli utożsamiać grupy izomorficzne, to właściwie innych grup nic ma, okaże się bowiem, że każdą grupę można przedstawić z dokładnością do izomorfizmu jako grupę przekształceń wzajemnie jednoznacznych (niekoniecznie wszystkich) pewnego zbioru na siebie. Będziemy mówili, że grupę G można zanurzyć izomorficznie w grupie F, jeśli w F istnieje podgrupa G' izomorficzna z G. Rozpatrzmy dla przykładu dwie grupy Gx i G2 i ich iloczyn prosty Gx X G2. J ak wynika z przykładu 9 z poprzedniego ustępu, grupy Gx i G2 można zanurzyć izomorficznie w GxxG 2. Twierdzenie. Każdą grupę G można zanurzyć izomorficznie w gru pie wszystkich przekształceń wzajemnie jednoznacznych pewnego zbioru na siebie. Dowód. Jako zbiór, w którego grupie wszystkich przekształceń wzajemnie jednoznacznych na siebie będziemy zanurzali grupę G, weźmiemy samą grupę G. Niech a e G będzie dowolnym, ale ustalo nym elementem grupy. Przekształcenie cpa określamy tak: x(pa = xa, gdzie x jest dowolnym elementem grupy G. Jest to przekształcenie wzajemnie jednoznaczne G na siebie. Istotnie, każdy x e G ma do kładnie jeden obraz xepa — xa\ każdy element g e G ma przeciwobraz w tym odwzorowaniu i tylko jeden, gdyż jeśli g = xya, a więc g = xa, to x = ga~L jest tym przeciwobrazem. Rozpatrzmy teraz zbiór 0 {G) wszystkich przekształceń (pa grupy G na siebie, gdy a przebiega całą grupę. Dla każdego x eG zachodzi 108
X ((Pa(Pb) = (x
a więc zgodnie z definicją równości dwóch przekształceń (ri1-14)
czyli iloczyn dwóch przekształceń (pa i q>b z 0(0) należy do 0(G) i przedstawia się wzorem (III. 14). Tak więc 0(0) jest grupoidem względem snperpozycyj przekształceń. Określmy teraz odwzorowanie y> grupy O na grupoid 0(0) w spo sób następujący: ciy> =
/
morfizmu grupy addytywncj liczb całkowitych. Sprzężenie jest automorfizmem w grupie addytywnej i grupie multypIikąty wmej liczb/ zespolonych. j Podany wyżej przykład automorfizmn grupy addytywncj liczb całkowitych jest szczególnym przypadkiem automorfizmu dowolnej grupy- abelowej, polegającym na przyporządkowaniu każdemu ele mentowi jego odwrotności. Z drugiej zaś strony, jeśli w pewnej grupie przekształcenie cup — a 1 jest automorfizmem, to grupa ta jest abelowa. Istotnie, jeśli a, b e G, to (a~1 6 _ l ) ~ 1 = (a-1?;-1)
x' =
a — a~1xa,
gdzie a jest pewnym ustalonym elementem grupy. Przekształcenie (xa jest automorfizmem grupy G. Rzeczywiście, każdy x e G ma obraz xp,a i tylko jeden; każdy element x' grupy ma w tym przekształceniu dokładnie jeden przeciwobraz x, co wynika z (ILI. 1.5): x — ax’a~l. Jest to więc przekształcenie wzajemnie jednoznaczne G na siebie Poniew-aż dla dowolnych x, y eG 110
{xy)f*a = a l ix y )a -
(a X'x a ) (a V ) = xPa'y/*a>
tięc [xa jest automorfizmem grupy G. ' Każdy automorfizm określony wzorem (III. 15) nazywa się automorfizinein wewnętrznym, pozostałe automorfizmy nazywają się ze wnętrznymi. W grupach abelowych istnieje oczywiście tylko jeden automorfizm wewnętrzny — automorfizm tożsamościowy e — ye. Wykażemy teraz, że automorfizmy wewnętrzne danej grupy tworzą podgrupę grupy wszystkich automorfizmów. Ponieważ wszystkie automorfizmy danej grupy tworzą grupę, więc należy wykazać, że iloczyn dwóch automorfizmów wewnętrznych pa i fib jest też automorfizmem wewnętrznym i że automorfizm od wrotny do pa też jest wewnętrzny (p. twierdzenie 2 z § 3.1 niniejszego rozdziału). Dla dowolnego x e O x{l*al*b) =
( x P a )t* b
= {a~xxa)pb = b \a ~ xxa)b = {b~la r 1)x(ab) = = (ab)-'x(ab) = xyah,
czyli /u(liub — pab jest automorfizmem wewnętrznym. ’ Jeśli xpa — a~1xa, to x = a{xpa)a a więc automorfizm odwrotny dzenie zostało udowodnione.
1
= (a ^ 1(xjua)a l, — y,a^\ jest też wewnętrzny. Twier
4. Elementy sprzężone. Związek automorfizmów wewnętrznych z dzielnikami normalnymi. O elemencie y e G mówimy, że jest sprzężony z elementem x grupy G, jeśli istnieje automorfizm we wnętrzny ya taki, że y — xpa, innymi słowy, jeśli istnieje taki element a eG, że y — a~1xa. Relacja sprzężenia elementów jest równoważnością. Istotnie, 1
) x — e~l xe (oczywiście e~l= e);
2
) z y — a~lxa wynika, że x = (a_1 )_1 ;//o.- 1 (a więc o dwóch ele
mentach x i y takich, że y jest sprzężony z x, możemy mówić po pro111
stu, że są sprzężone); 3) jeśli y — a~1xa i z — b~xyb, to 2
= b~x(a~xxa)b — (ab)~xx{ab).
Ze względu na to, że sprzężenie jest relacją typu równoważności, generuje ono rozbicie grupy na klasy elementów sprzężonych. Niech II będzie podgrupą grupy G. Zbiór II' obrazów elementów H przy automorfizmie wewnętrznym ya tworzy podgrupę w G (obraz izomorficzny grupy jest grupą). H' nazywa się podgrupą sprzężoną z II. Innymi słowy, podgrupa li' grupy G nazywa się sprzężoną z podgrupą II G, jeśli istnieje taki element a eG , że II' = a - 1Ha. Podgrupa H <=■G nazywa się podgrupą niezmienniczą grupy G, jeśli każdy automorfizm wewnętrzny ya grupy G odwzorowuje ją na siebie; innymi słowy, II nazywa się podgrupą niezmienniczą grupy G, jeśli dla każdego a e G (ITT. 16) a~xHa = H. Równość (III. 16) zachodzi oczywiście wtedy i tylko wtedy, gdy aH — Ha dla każdego aeG , a więc gdy II jest dzielnikiem normal nym. Tak więc podgrupa grupy gest jej dzielnikiem normalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest jej podgrupą niezmienniczą. Warunek (III. 16) można zresztą osłabić, żądając jedynie, by dla każdego a e G (111.17)
« " % (//.
Podstawiając bowiem w (III. 17) zamiast a element a~x, otrzymamy dla każdego a eG (111.18)
aHa~x Q H ,
skąd mnożąc obie strony lewostronnie przez a~x i prawostronnie przez a otrzymamy U C a~xHa, a więc ostatecznie dla każdego a e G spełniona jest równość (III. 16). Z (III. 17) wynika, żc podgrupa jest dzielnikiem normalnym wtedy i tylko wtedy, gdy wraz z każdym swoim elementem zawiera wszystkie elementy z nim sprzężone. 112
ĆW ICZENIA \
\ 1. Grupa czwórkowa Kleina jest izomorficzna z grupą wszystkich obrotów i symetryj rombu, z grupą liczb całkowitych {l, 3, 5, 7} z mnożeniem modulo
8
i z grupą funkcyj ja*, —x, - — - 1 z super{ x xI
pozycją jako działaniem. Udowodnić. 2. Dowieść, że jeśli n < m (n, m e N), to grupę Sn można zanu rzyć izomorficznie w grupie SM. 3. Zanurzyć izomorficznie grupę obrotów i symetryj kwadratu w grupie Sn o możliwie najmniejszym n. 4. Udowodnić izomorfizm grupy translacyj prostej (tj. prze kształceń postaci x' — a-f-c, gdzie c e R) z grupą addytywną liczb rzeczywistych. To samo dla grupy translacyj płaszczyzny (p. III. § 1.4, przykład 9) i sumy prostej R x R grupy addytywnej liczb rzeczy wistych ze sobą. 5. Udowodnić, że grupa obrotów płaszczyzny dokoła ustalonego punktu jest izomorficzna z grupą multyplikatywną liczb zespolonych o module 1 i z grupą rozpatrzoną wr ćwiczeniu 4 z ITT. § 1 . 6
. Grupa utworzona z sześciu macierzy
i !)■ :! ;)• fi :!)• fi
l\
1!/ ’ —1 il i ’ iU1-—1
w której działaniem jest mnożenie macierzy, jest izomorficzna z grupą S 3, natomiast trzy pierwsze z tych macierzy tworzą grupę izomor ficzną z A 3. Dowieść. 7. Wykazać, że jeśli do trzech pierwszych macierzy w poprzednim zadaniu dołączyć macierze - 1
0\ o —iJ’
/I U
-
1\ o ’
/ o V—i
1 i
\ ’
to otrzymamy grupę cykliczną rzędu 6 . 8. Czy grupa multyplikatywna liczb rzeczywistych jest izomor ficzna z grupą addytywną liczb rzeczywistych ?
8
— E le m e n ty a lg e b ry a b s tr a k c y jn e j
113
9. Dowieść, żc grupa rozpatrzona w ćwiczeniu 10 z poprzedniego paragrafu jest izomorficzna z grupą, którą rozpatrywaliśmy w ćwi-/ ezeniu 3 z § 1 tego rozdziału. j 10. Dowieść, żc grupa kwaternionów (p. 111. § 4.4) jest izomor ficzna z grupą określoną tabliczką 1 1 .
i -i
j
k
-1
k -k i -i i ~3 k -k 1 1 -1 -1 - 1 i -J 3 -k k 1 -i i i - i - 1 1 k -k 3 -i - i i 1 - 1 -k k 3 1 -1
3
3
~j ~j j k u -k
-k
k -k
-k -k. k ~j 3
i -i -i
i
i
-1
1
i -i
1
-1
1 -1
-i
j
1
Tabl. 11
11. Wykazać, że grupa czwórkowa Kleina ma pięć automorfizmów zewnętrznych. 12. Znaleźć wszystkie automorfizmy grupy cyklicznej rzędu 8 . 13. Wykazać, że grupa Sz nie ma ani jednego automorfizmu zewnętrznego, ma natomiast 6 automorfizmów wewnętrznych. 14. Wyliczyć automorfizmy wewnętrzne, klasy elementów sprzę żonych i dzielniki normalne grupy obrotów i symetryj kwadratu. 15. Wykazać, żc dla każdej liczby wymiernej c ^ 0 przekształ cenie x
\ \
\
’ 17. Dowieść, że grupa automorfizmów wewnętrznych danej grupy G jest dzielnikiem normalnym w grupie wszystkich automor fizmów G. § 6. HOMOMORFTZMY GRUP
1. Definicja i najprostsze własności homomorfizmów grup. Rezy gnując w definicji izomorfizmu grup z wzajemnej jednoznaczności odwzorowania, otrzymamy pojęcie odwzorowania homomorficznego grupy na grupę. Tak więc mówimy, żc grupa G odwzorowuje się homomorficznie na grupę G', jeśli grupa G' jest obrazem homomorf icznym G w sensie homomorfizmu grupoidów. Jak i w przypadku izomorfizmu grup, z odpowiednich twierdzeń 0 homomorfizmaeh grupoidów wynika, że obraz homomorficzny grupy jest grupą, że obraz homomorficzny grupy abelowej jest grupą abelową 1 że przy homomorfizmie jedność grupy przechodzi w jedność. Tak samo, jak w przypadku izomorfizmu grup, dowodzi się, że przy homo■morfizmie grupy na grupę, obraz odwrotności elementu jest równy od wrotności jego obrazu. Podane w TI. § 2 . 1 przykłady 1 , 2 i 4 homomorfizmów grupoidów są zarazem przykładami homomorfizmów grup. Niech G będzie grupą addytywną wektorów na płaszczyźnie, wychodzących z początku układu współrzędnych O. Przyporządkuj my wektorowi OP, gdzie P jest punktem płaszczyzny o współrzęd nych (
115
zagadnieniach szczególną rolę odgrywają dzielniki normalne. Ich związkowi z rozbiciami regularnymi i kongruencjami poświęcamy niniejszy ustęp. Jak już wiemy, rozkład grupy na warstwy lewostronne (jak również na warstwy prawostronne) względem danej podgrupy jest rozbiciem tej grupy na klasy rozłączne. Powstaje pytanie, kiedy roz bicie to jest regularne. Twierdzenie 1. Jeśli podgrupa H grupy G jest jej dzielnikiem normalnym, to rozkład grupy G na warstwy względem H jest jej roz biciem regularnym,. Dowód. Niech ax i a2 należą do tej samej warstwy, tzn. niech axII = a2H, i niech dalej b1 i b2 należą do tej samej warstwy, a więc niech bxIJ = b2II. Ze względu na to, że II jest dzielnikiem normalnym, że mnożenie kompleksowe podzbiorów grupy jest łączne i że iloczyn kompleksowy grupy H przez siebie jest równy H (p. TTT. § 4.1), otrzymujemy (axH) {bxH) = ax(Hbx)H = ax{bxH)H - (axbx) {HU) = (axbx)H, podobnie (a2H) (b2H ) = (a2b2)H , skąd wobec
{nxII) (bxII) — (a2II) (b2H) mamy axbx-H — a2b2-H,
a więc axhx i a2b2 należą do tej samej warstwy i rozbicie jest regu larne. Tak więc iloczyn dwróch warstw względem H, w przypadku gdy U jest dzielnikiem normalnym, jest znowu warstwą, względem H i aH -bll = ab'II. Udowodnimy teraz twierdzenie odwrotne. Twierdzenie 2 . Jeśli dane jest rozbicie regularne n grupy G, to ta klasa rozbicia, która zaioiera jedność grupy, jest dzielnikiem normal nym, pozostałe zaś klasy są warstwami grupy G względem tego dzielnika normalnego. Dow7 ód. Niech II będzie tą klasą elementów grupy, która w roz biciu regularnym n zawiera jedność e. Wykażemy po pierwsze, że H. jest podgrupą grupy G. 116
Niech a l5 a 2 e II, wówczas iloczyn axa2 musi na mocy definicji rozbicia regularnego należeć do tej samej klasy, do której należy aa = a, a więc axa2 e H. Niech teraz a będzie dowolnym elementem klasy H. Iloczyn aa - 1 należy do tej samej klasy, do której należy ea~l = a~l. Ale aa~x — e e H, więc a 1 e H. Tak więc na mocy twier dzenia 1 z III. § 3.1 klasa H jest podgrupą grupy G. Wykażemy teraz, że TI jest dzielnikiem normalnym w G. Niech b będzie dowolnym elementem grupy G. Wówczas iloczyn 6 _l ab na leżeć musi do tej klasy, co i b~leh — b lb — a, a więc b~1ab e II. Ponieważ a jest dowolnym elementem H, więc z powyższego wynika, że IrH lb c H, co wobec tego, iż b jest dowolnym elementem grupy G, i wobec (TTI.17), będącego warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by II było dzielnikiem normalnym, kończy tę część dowodu. Niech teraz K będzie dowolną klasą w rozbiciu n. Wykażemy, że K jest warstwą w rozkładzie grupy G względem dzielnika normal nego II. Niech k będzie dowolnym, ale ustalonym w naszym rozumo waniu elementem klasy K. Wówczas dla każdego a e H iloczyn ka należy do tej samej klasy, co i ka = k, a więc k il c: K. Niech teraz c będzie dowolnym elementem klasy K. Ponieważ k i c należą do tej samej klasy rozbicia regularnego, więc iloczyny k~lc i k~1k = e też muszą należeć do jednej i tej samej klasy. Tak więc k~lc e TI, skąd c e kIT, co wobec dowolności c e K pociąga za sobą K <= kil i ostatecznie K = kH, a więc klasa K jest warstwą w rozkładzie grupy G wzglę dem dzielnika normalnego H. Twierdzenie zostało udowodnione. Zreasumujmy teraz oba powyższe twierdzenia. Rozkład grupy G względem jej dzielnika normalnego H na warstwy jest rozbiciem regularnym tej grupy. Tak więc z każdym dzielnikiem normalnym H grupy G związane jest pewne określone rozbicie regularne n tej 117
grupy, a więc i pewna określona kongruencja E w grupie. 0 dziel niku normalnym TI mówimy, że generuje on rozbicie regularne n lub kongruencję E. Ale i na odwrót: każdemu rozbiciu regularnemu n grupy G, a więc i każdej kongrucncji E w grupie G, odpowiada okreś lony dzielnik normalny TT tej grupy, przy czym H jest tym właśnie dzielnikiem normalnym, który generuje rozbicie n. Tak więc między wszystkimi rozbiciami regularnymi grupy G lub wszystkimi kongruencjami w grupie G i wszystkimi jej dzielnikami normalnymi istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedni ość. Wszystkie rozbicia regu larne, a więc i wszystkie kongruencje dadzą się opisać za pomocą dzielników normalnych i na odwrót. Powyższe fakty w połączeniu ze znanymi twierdzeniami o homomorfizmach grupoidów pozwolą sformułować nam pewne bardzo ważne i ciekawe wnioski o związku homomorfizmów grup z dzielnik am i n orm al n ym i. 3. Grupy ilorazowe. Związek homomorfizmów grup z dzielnikami normalnymi. Niech G będzie grupą i n pewnym jej rozbiciem re gularnym. Wówczas zbiór klas elementów równoważnych względem tego rozbicia tworzy, jak wiadomo z II. § 2.4, grupoid ilorazowy G\n i na mocy twierdzenia 1 z cytowanego ustępu G ~ G\n. Ale jak już wiemy, obraz liomomorficzny grupy jest grupą, a więc G\n jest grupą, nazywa się ona grupą ilorazową grupy G względem rozbicia regularnego n. Jeśli rozbiciu n odpowiada kongruencja E, to za miast mówić o grupie ilorazowej G\n możemy mówić również o grupie ilorazowej GE. Jednością w G:n jest ta klasa II, w którą odwzoro wuje się jedność grupy G, czyli klasa zawierająca eeG . Jak już wiemy z poprzedniego ustępu, klasa ta jest dzielnikiem normalnym w 6 r, odpowiadającym danemu rozbiciu regularnemu n. Biorąc pod uwagę omówioną w końcu poprzedniego ustępu wzajemnie jedno znaczną odpowiedniośó między wszystkimi rozbiciami regularnymi grupy i wszystkimi jej dzielnikami normalnymi, możemy mówić 0 grupie ilorazowej grupy G względem jej dzielnika normalnego II 1 pisać G II, tak zwykle postępuje się w teorii grup. Wówczas homomorfizm naturalny grupy G na jej grupę ilorazową zapisze się G ~ G\H, znane zaś z rozdziału 11. § 2.4 twierdzenie 1 zapisze się w przypadku grup tak:
118
Każdą grupę. G można odwzorować homomorficznie na dowolną jej grupę ilorazową G\TI, gdzie II oznacza dzielnik normalny grupy G. Twierdzenie 2 o homomorfizmic grupoidów (p. TT. § 2.4) zapisze się zaś w przypadku grup ta k : Jeśli (p jest odwzorowaniem homomorficznym grupy G na grupę G', to istnieje laki dzielnik normalny H c: G, że G' ^ GjH. Ponieważ jedność e grupy G należy do II, więc zbiorem przcciwobrazów jedności e! grupy G' jest właśnie dzielnik normalny II, a więc otrzymujemy następujące Twierdzenie. Zbiór przeciwobrazów jedności e' e G' przy homomorfizmie (p:G—>G' jest dzielnikiem normalnym grupy G, pozostałe klasy elementów grupy G, będące każda zbiorem przeciwobrazórw tego samego elementu grupy G', są warstwami w rozkładzie G względem tego dzielnika normalnego. Ostatecznie więc każda grupa G', będąca obrazem homomorficznym danej grupy G, jest izomorficzna z grupą ilorazową GjH, gdzie H jest tym dzielnikiem, normalnym w G, którego elementy są przeciwobrazami jedności e! grupy G'. Nazwiemy jądrem homomorfizmu
a == 6 (H).
Relacja (III. 19) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a~1b e H , lub — co w tym przypadku na jedno wychodzi — gdy bar1 e H. W przy padku gdy G jest grupą abelową (przypominamy, że wtedy każda jej podgrupa jest dzielnikiem normalnym) używając terminologii addy-
tywnej możemy powiedzieć, że a == b (II) lub a ~ b (mod H) wtedy i tylko wtedy, gdy b—a e H . Zilustrujemy to, o czym mówiliśmy w tym ustępie, kilkoma przykładami. Rozpatrzmy grupy ilorazowe dowolnej grupy O względem jej dzielników normalnych niewłaściwych. Mamy oczywiście £|{e} ^ O, gdyż jeśli a~xb e{e}, a więc a~1b - e, to b = a, a więc każdy ele ment grupy jest tu warstwą i grupą ilorazową względem {e} jest sarn a G. Warto jednak zauważyć, że z GjH ę^, G nie wynika, że II — = {e}. Dla przykładu weźmy za G grupę obrotów koła oraz za H jej podgrupę dwuelementową złożoną z obrotów o kąt 0 i n. Wtedy GjH G. Więcej, może się zdarzyć, że każda podgrupa H ^ {#} grupy G ma tę własność, że GjH ^ G. Niech bowiem G oznacza grupę multyplikatywną wszystkich pierwiastków stopnia pk (k — 0 , 1 , 2 , . . .) z jedności, gdzie p jest daną liczbą pierwszą (to, że G jest grupą, łatwo się sprawdza), czyli tzw. grupę typu p w (lub (juasi-cykliczną). Można wówczas udowodnić, że jeśli H jest jej podgrupą i II ^ G, to GjH ^ G. Łatwo również spostrzec, że GjG ^ {e}, gdyż tu grupa ilorazowa składa się tylko z jednej klasy. Grupa ilorazowa S JA n, gdzie n .> 2 , jest grupą cykliczną rzędu 2 (por. z końcem ustępu 4 § 4 niniejszego rozdziału). Rozpatrzrry teraz grupę addytywną M wektorów na płaszczyź nie, wychodzących z początku układu O (p. przykład 4 z 11. § 2.1) i jej homomorfizm na grupę addytywną M' wektorów leżących na osi X i wychodzących z O. Jądrem hoinomorfizmu jest tu zbiór wekto rów leżących na osi Y (utożsamiamy go po prostu z osią Y), warst wami względem dzielnika normalnego Y — proste równoległe do osi Y (p. koniec ostatniego ustępu rozdziału II). Zauważmy wreszcie, że przystawanie liczb całkowitych modulo m jest przystawaniem elementów grupy addytywnej C liczb całkowi tych według dzielnika normalnego II, składającego się ze wszystkich wielokrotności liczby m. Grupa CjH jest grupą klas elementów dają cych przy dzieleniu przez m te same reszty. Zachodzi oczywiście C//7 Cm, gdzie Cm oznacza grupę liczb {0 , 1 , . . ., m — 1 j z dodawaniem modulo m.
120
Ć W IC Z E N IA
1. Wykazać, że grupa cykliczna rzędu 8 odwzorowuje się liomomorficznie na grupę cykliczną rzędu 4 i na grupę cykliczną rzędu 2. Co będzie tu jądrem hornomorfizmu i co warstwami względem niego ? 2. Grupa addytywna liczb rzeczywistych odwzorowuje się homomorficznie na grupę obrotów koła. Dowieść. 3. Udowodnić, że grupa ilorazowa grupy addytywnej liczb rze czywistych względem podgrupy liczb całkowitych jest izomorficzna z grupą multyplikatywną liczb zespolonych o module 1 (por. z po przednim ćwiczeniem i z ćwiczeniem 5 z § 5 tego rozdziału). 4. Udowodnić, żc jeśli w homomorfizmie
9. Niech II będzie dzielnikiem normalnym grupy G, zaś H 1 dzielnikiem normalnym grupy Gx. Niech H ^ IIx i GjH ^ G1/Hv Czy wynika stąd, że G ^ Gx? 10. Znaleźć wszystkie grupy (z dokładnością do izomorfizmu), będące obrazami homomorficznymi grupy obrotÓAv i symetryj kwa dratu. 31. Niech cp będzie homomorfizmem grupy G na grupę G'. Wy kazać, żc zbiór wszystkich przeciw obrazów dowolnej podgrupy II' <= G' jest podgrupą w G i że jeśli IV jest dzielnikiem normalnym, to H. też.
12. Niech K będzie komutantem grupy O (p. ćwicz. 15 z § 3 tego rozdziału). Wykazać, że K jest dzielnikiem normalnym w O i że GjK jest grupą abelową, 13. Udowodnić, że jeśli Z jest centrum grupy G (tzn. zbiorem elementów komutujących z każdym elementem G), to grupa ilora zowa GjZ jest izomorficzna z grupą automorfizmów wewnętrznych grupy G.
R o z d z i a ł IV
PIERŚCIENIE I CIAŁA
§ 1. D EFINICJA I NAJPROSTSZE WŁASNOŚCI PIERŚCIENIA
1. Zbiory z dwoma działaniami. Dotychczas zajmowaliśmy się zbiorami, w których określone jest jedno działanie, tj. grupoidami, i w szczególności najważniejszym ich przypadkiem — grupami. W róż nych działach matematyki mamy bardzo często do czynienia ze zbio rami, w których określone są dwa działania. Tak na przykład roz patruje się zbiór liczb naturalnych z dodawaniem i mnożeniem, podobnie rozpatrujemy C, W, li i Z z tymi działaniami. W algebrze zajmujemy się między innymi zbiorem wielomianów jednej zmiennej np. o współczynnikach zespolonych, w którym określone jest doda wanie i mnożenie. W algebrze rozpatrujemy również zbiór macierzy kwadratowych danego stopnia, w którym określone są dwa działania: jedno z nich nazywa się dodawaniem, a drugie mnożeniem macierzy. W geometrii analitycznej rozpatruje się zbiór wektorów przestrzeni trójwymiarowej z dodawaniem i mnożeniem wektorów jako działa niami, w analizie matematycznej np. zbiór wszystkich ciągów liczbo wych z dodawaniem i mnożeniem ciągów, zbiór funkcyj ciągłych określonych np. na odcinku <0 , 1 ) z ich dodawaniem i mnożeniem, itp. (W każdym z wymienionych zbiorów działanie zwane odejmowa niem może być oczywiście rozpatrywane jako trzecia operacja alge braiczna, ponieważ jednak w każdym z tych przypadków jest ono działaniem odwrotnym do dawania, więc właściwsze jest rozpa trywanie tych zbiorów jako zbiorów z dwoma działaniami). Jeśli dany jest zbiór z dw-oma działaniami, to ogólnie rzecz biorąc, 123
działania te mogą być niczym nie związane ze sobą. Jeśli jednak przyjrzymy się działaniom w każdym z podanych wyżej przykła dów, to zauważymy, że w ni cli wszystkich działanie zwane mnożeniem jest rozdzielne względem działania zwanego dodawaniem. Sugeruje to przyjęcie następującej definicji w przypadku dowolnego zbioru z dwoma działaniami. Miech M będzie zbiorem z dwoma działaniami © i O- Mówimy, że działanie O jest lewostronnie rozdzielne względem działania ©, jeśli dla wszystkich a, 6 , c e M aO(b@c) — (aOb)©(aOc); podobnie mówimy, że O jest. prawostronnie rozdzielne względem. ©, jeśli dla wszystkich a, b, e, e M (b®c)Oa = (bOa)®(cOa). Jeśli działanie O jest i lewo-, i prawostronnie rozdzielne względem działania ©, to mówimy, że jest ono rozdzielne dwustronnie lub po prostu, jest rozdzielne względem działania ©. Jeśli działanie O jest przemienne, to z jego rozdzielności jedno stronnej względem © wynika oczywiście już jego rozdzielność dwu stronna względem tego działania. Rozpatrzmy dla przykładu zbiór Z(X) wszystkich podzbiorów danego zbioru X (wraz z samym X i 8) \ jako działania w Z(X) sumę mnogościową i iloczyn mnogościowy f~\. Jeżeli Y, V, T e Z { X ) , to, jak wiadomo z teorii zbiorów (i jak łatwo jest sprawdzić, co pozostawiam}' Czytelnikowi), i
Yr\(V^T) = YKj{VrsT) =
co wobec przemienności działań kj i o daje dwustronną rozdzielność każdego z nich względem drugiego. 2. Definicja pierścienia. Pierścieniem nazywa się zbiór R z dwoma działaniami |- i •, spełniającymi następujące aksjomaty: 1 ° R jest grupą abelową względem działania |-, 2 ° działanie • jest rozdzielne względem działania -p. Działanie | nazywamy dodawaniem, działanie • nazywamy mnożeniem. 124
*
Zbiór R rozpatrywany względem dodawania nazywamy addytywną grupą pierścienia. Element neutralny tej grupy nazywamy zerem pierścienia, będziemy go oznaczali tak, jak oznaczaliśmy w poprzednim rozdziale element neutralny grupy abelowej, przez 0. Pierścień rozpatrywany względem mnożenia oddzielnie wziętego tworzy grupoid, zwany multyplikatywnym grupoidem pierścienia. Jeśli grupoid ten jest półgrupą, tzn. jeśli mnożenie w pierścieniu jest łączne, to pierścień nazywa się łączny (lub asocjatywny). Jeśli multyplikatywny grupoid pierścienia jest abelowy, tzn. mnożenie w pier ścieniu jest przemienne, pierścień nazywa się przemienny (lub komutatywny). Pierścień łączny i przemienny nazywa się łączno-przemienny. Warto zaznaczyć, że do niedawna termin pierścień oznaczał je dynie pierścienie łączne, a teoria pierścieni była teorią pierścieni łącznych. Badanie jednak licznych zbiorów z dwoma działaniami, spełniających wymienione tu warunki 1 ° i 2 ° i nie będących półgruparni względem mnożenia, doprowadziło do uogólnienia pojęcia pierścienia, okazało się przy tym, że bardzo wiele zasadniczych faktów teorii pierścieni łącznych przenosi się na pierścienie w ogóle. 3. Najprostsze własności pierścieni. Badanie pierścieni oddzielnie względem własności dodawania jest oczywiście zbędne — możemy korzystać tu po prostu z teorii grup abelowych. Uczynimy nato miast kilka uwag dotyczących własności grupoidu multyplikatywnego jnerścicnia. Jeśli w grupoidzie multyplikatywnym pierścienia istnieje element lewostronny neutralny, to nazywamy go jednością lewostronną pierścienia; analogicznie definiuje się jedność prawostronną. .Tesli w grupoidzie multyplikatywnym pierścienia istnieje element neu tralny. to nazywa się on jednością (lub jedynką) pierścienia; oznacza się go zwykle symbolem e lub I (pamiętając w przypadku tego dru giego oznaczenia, że nie chodzi tu, ogólnie rzecz biorąc, o liczbę jeden). Jak przekonamy się niżej, rozpatrując przykłady pierścieni, istnieją zarówno pierścienie z jednością, jak i bez jedności oraz pierścienie z jednością jednostronną. Istnieją również pierścienie z wieloma jednościami jednostronnymi; wówczas wszystkie te jedności muszą być albo tylko lewostronne, albo tylko prawostronne, co wynika z tego. że jeśli w grupoidzie istnieje element neutralny lewostronny 125
i element neutralny prawostronny, to muszą być one równe (p. I. § 3.3). Rozpatrzmy teraz wnioski wypływające z aksjomatu 2° pierście nia, tj. z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania. Przez indukcję dowodzi się łatwo, że dla dowolnych elementów , bn G R a, bx, b2, (IV. I)
a{bx-\-b2 | • • • +
(IV.2 )
(^1
+ ^2 +
• ..
fyi) —
-\-bn)a
=
abx-\-ab2j -
•••
-\-abn,
b^a-\-b2a-\-
.. .
-\-bna.
Wzory powj’ższe można zapisać, używając symbolu sumowania, 7? n n n (2 / k ) « = 2 6*a alŁ bi i=X i—\ i-l i= l Stosując raz wzór (IV. 1 ) a raz (TV.2 ), otrzymujemy K +O n i~r • ■ ■ + a» )^ i+ —
+
Ą-%) ( ^ 1 + ^ 2 + • • • + &,») = (% + a 2 + • • • “T {ax-\-a%-\- . .' • + an)^2 + • • • T ( ttl + a 2 + • • • ~Tan)bm : •••
-(-a.n6 i-|-a 1 ?>2 + a 2 ^2 "k
-l-fl:A n + a A n +
•••
I' • • • ~ł~
• • • + a J ) m’
lub krótko: \
n
n
m
=
>
2
m 2
“A-
i= 1 7 -I l Działanie odwrotne do dodawania w pierścieniu będziemy nazy wali odejmowaniem. Tak więc odjąć od elementu h element a znaczy znaleźć taki element x e R , że a-\-x = b; mamy więc x — 6 + + (—a) lub po prostu x — b—a (por. wniosek z twierdzenia 3 z III. § 1 .2 ). W wyrażeniu b—a minus jest symbolem odejmowania. Mnożenia iv 'pierścieniu jest rozdzielne względem odejmowania. Udowodnimy, że w pierścieniu dla dowolnych a, b, c e R za chodzi i-=1
(TV.3)
3~
a(b—c) = ab—ac;
prawostronną rozdzielność sprawdza się w podobny sposób. Mamy a(b—c)+ac — a[(b—c) |-e| = a(b—c+c) = ab, skąd otrzymujemy (IV.3).
Ponieważ 0 = 6 —6, gdzie b jest dowolnym elementem pierś cienia R, więc dla każdego a e R a0 = a(b—b) — ab—ab — 0, podobnie 0a — 0. Tak więc jeśli przynajmniej jeden z czynników jest zerem, to iloczyn elementów pierścienia jest zerem. Odwrotne twierdzenie jest fałszywe: z ab = O nie wynika, że któryś z czynników musi być zerem. W ustępie 4 niniejszego para grafu podamy przykłady pierścieni, w którycłi istnieją elementy a -f. & i b 0 takie, że ab = 0. Elementy takie nazywają się dziel nikami zera, przy czym a — lewostronnym, zaś b — prawostronnym dzielnikiem zera. Jeśli w pierścieniu R nie ma dzielników zera, to wyrażenia postaci ab — ac i ba = ca można skracać przez a ^ 0. Rzeczywiście, z ab = ac wynika ab—ac = 0, skąd na podstawie prawa rozdzielności a(b—c) = 0. Ponieważ a ^ 0, więc wobec tego, że w R nie ma dzielników zera, musi być b—c — 0, skąd 6 — c. Podobnie dowodzimy, że z ba — ca (a J- 0) wynika b — c. Twierdzenie powyższe daje się odwrócić. Jeśli w pierścienia R z równości ab — ac lub z równości ba = ca, gdzie a =£ 0, wynika a = b, to R jest pierścieniem bez dzielników zera. Istotnie, niech a, 6 0. Jeśliby zachodziło ab — 0, to mieli byśmy ab — 0 = a.0\ wobec możliwości skracania przez a dawałoby to 6 = 0, co przeczy temu. że 6 = 0. Podobnie dowodzi się. że jeśli z ba = ca (a 0) wynika 6 = c, to R nie zawiera dzielników zera. Udowodnimy teraz, że dla wszystkich a, b e R zachodzi: (—a)b — a (—6 ) = —ab,
(—a) (—6 ) = ab.
127
Rzeczywiście, ab-\-(—a)b — [a + (—a)]b = 0b — 0, skąd {—a)b = —ab. Tak samo sprawdza się, że zachodzi druga część pierwszej równości. Korzystając teraz z pierwszej części niniejszego twierdzenia, otrzymujemy (—a) (—b) = —[a( —&)] = —(—ab) — ab. U w aga. Jeśli w pierścieniu dla pewnego a zachodzi równość a = —a, czyli a \-a = 0 lub, innymi słowy, 2 ’a = 0 (2-a nie jest mnożeniem w pierścieniu, jest to jedynie używany przez nas w po przednim rozdziale sposób zapisywania sumy a-\-a; przypomina my, że w ogóle n-a, gdzie n g N, a e R, oznacza sumę a-\-a-\~ . . . -\-a, gdzie składnik a występuje n razy), to nie wynika stąd jeszcze, że a = 0, niezależnie od tego, czy jest to pierścień z dzielnikami zera, czy bez; będzie tak bowiem wówczas, gdy a ma rząd 2 w grupie addytywnej pierścienia. W ogóle z n-a = 0 , gdzie n jest liczbą naturalną, nie wynika z podobnych względów, że a = 0. 4 4. Przykłady pierścieni. Podamy niżej przykłady pierścieni, oma wiając pokrótce ich własności. 1) Każdy z następujących zbiorów liczbowych ze zwykłym w nim dodawaniem i mnożeniem jest pierścieniem: C, W, R, Z. Wszyst kie ono są łączno-przemienne, każdy zawiera jedność — jest nią liczba 1, żaden z nich nie zawiera dzielników zera. Każdy z powyż szych pierścieni, jak i w ogóle każdy pierścień składający się z pew nych elementów któregoś ze zbiorów C, W, R, Z, w którym dzia łaniami są zwykłe dla tego zbioru dodawanie i mnożenie, nazywa się pierścieniem liczbowym. Innymi przykładami pierścieni liczbo wych są: pierścień liczb całkowitych parzystycłi (nie zawierający jedności); pierścień całkowitych wielokrotności liczby całkowitej n ; pierścień liczb postaci a-\-bV2, gdzie a, b są liczbami całkowitymi; pierścień liczb postaci a-\-b~V2, gdzie a, b są liczbami wymiernymi; pierścień liczb postaci aĄ-bi, gdzie a, b e C , zaś i = V — 1 (tzw. pierścień liczb całkowitych Gaussa); pierścień liczb postaci 128
a® hi, gdzie a, b e W (tzw. pierścień liczb wymiernych Gaussa). Wszystkie te pierścienie, jak w ogóle pierścienie liczbowe, są łąezno-przemionnc i nie zawierają dzielników zera. Wszystkie omówione wyżej przykłady pierścieni oprócz pierścienia wielokrotności liczby całkowitej n (przy n ^ 1 i n ^ —1) są pierścieniami z jednością, którą jest liczba 1. Zerem w każdym z tych pierścieni, jak i w każdym pierścieniu liczbowym, jest liczba 0. 2) Najprostszym przykładem pierścienia jest pierścień jednoelementowy, składający się z samego zera. 3) Każdy ze zbiorów C, W, R, Z, z działaniami a@b = a-|-6 + l. i aQb — aJr b-\-ab> jest pierścieniem łączno-przemiennym. Oczy wiście nie są to pierścienie liczbowe, gdyż działaniami w nich nie są zwykłe dodawanie i mnożenie. (Dalej okaże się jednak, że są one izomorficzne odpowiednio z pierścieniami liczbowymi C, W, R, Z). Jednością w każdym z nich jest liczba 0, zerem zaś — liczba —1. Są to pierścienie bez dzielników' zera. Ponieważ odpowiednie włas ności działań 0 i O poznaliśmy wyżej, więc dla wykazania, że są to pierścienie, wystarczy sprawdzić jeszcze tylko rozdzielność mno żenia O względem dodawania 0 : aQ{b®c) = = (i® (6-j-c-f-1) = = a+b-(-c-j •1-]-a6+ac+a = = (a-\-b-\-ab)-\-(a-\ c \ ac)-|-1 — = {aĄ-bĄ-ab)®(a-\-c-\-ac) — = (aO&)©(«Oc). 4) W zbiorze liczb całkowitych C zadajemy następująco mnoże nie: m o n — 0 dla dowolnych m, n e C ,. Wówczas C z mnożeniem o i ze zwykłym dodawaniem jest pierścieniem łączno-przemiennym, w którym każdy niezerow^y element jest dzielnikiem zera. 5) Zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach np. rzeczywistych (lub całkowitych, wymiernych, zespolonych) tworzy pierścień łączno-przemienny względem ich dodawania' i mnożenia. Jest to pierścień bez dzielników zera, zawierający jedność, którą jest wielomian stopnia zerowego postaci e(x) = 1. Proponujemy czytelnikowi udowodnić to wszystko samodzielnie. Pierścieniami wielomianów' zajmiemy się specjalnie w § 5 tego rozdziału. 9 — Elementy algebry abstrakcyjnej
129
6) Zbiór funkcyj ciągłych 0 wartościach rzeczywistych, za danych na odcinku 1, -fi), tworzy pierścień łączno-przemie nny względem ich dodawania 1 mnożenia. Zerem jest tu fun kcja O (x), równa tożsamościowo zeru, jednością — funkcja równa tożsamościowo liczbie 1. Pierścień ten zawiera dzielniki zera, jeśli na przykład /(»)
1 l 0,
0, 9{x) = J X , l
< X < 0, < x < 1,
gdy gdy
—1 0
gdy gdy
—I < X < o, 0 < X < 1,
przy czym /(*)» 9(x) 7) Zbiór ciągów nieskończonych o wyrazach rzeczywistych jest pierścieniem, jeśli jako działanie będziemy rozpatrywali dodawanie i mnożenie ciągów. Zerem pierścienia jest tu ciąg samych zer, jed nością — ciąg samych jedynek. Łatwo jest podać przykłady dzielni ków zera w tym pierścieniu. 8) Wszystkie rozpatrywane wyżej pierścienie były łączno-przemienne. Przykładem pierścienia łącznego, ale nie przemiennego, jest pierścień macierzy kwadratowych danego stopnia o wyrazach np. rzeczywistych, z dodawaniem i mnożeniem macierzy jako działa niami. Zerem jest tu macierz złożona z samych zer, jednością — ma cierz mająca na głównej przekątnej jedynki, poza nią — same zera. Pierścieniami macierzy zajmiemy się specjalnie w § 5 niniejszego rozdziału. 9) Zbiór wektorów przestrzeni trójwymiarowej z ich dodawaniem i mnożeniem wektorowymi jako działaniami jest pierścieniem nieprzemiennym i niełącznym bez jedności, zawierającymi dzielniki zera. Wyćkażemy to. Jak wiadomo z geometrii analitycznej, iloczynem wektorowymi — >• — ■> — *• wektorów' a i b nazywamy wektor a Xh, którego*długość równa jest =
130
0(x),
polu równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b, prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez a i b i skierowany tak, że trójka wektorów a, b i a x b tworzy układ prawoskrętny, tj. taki, że obser wator stojący na płaszczyźnie wyznaczonej przez a i b i mający głowę po tej samej stronie tej płaszczyzny, w którą skierowany jest ilo- -> -> •> czyn a x b , widzi obrót od a do b w 0 x6 kierunku przeciwnym do obrotu wskazówki zegara (rys. 19). Z powyż szego wynika, że jeśli kąt między -> •> wektorami ai b jest a, to długość we ktora a x b jest równa |a |• |6|-sina, — >
— >
gdzie \a\ i |6| są długościami odpowiednio wektorów a i 6. W geometrii analitycznej dowo dzi się, że jeśli składowe wektora a są (ax, ay>az), zaś b - (bx, by, bz), to składowe ieh iloczynu wektorowe go wyrażają się tak: fa y bz~ ~ ® z b y> ^zbx
® x bz> ® 'x b y
^ y b x )‘
Ponieważ zaś składowe sumy dwóch wektorów są równe sumom ich odpowiednich składowych, więc, jak zaraz wykażemy, mnożenie wektorowe wektorów jest rozdzielne względem ich dodawania. Istot nie, niech a = K , ay, az),
—►
b = (bx, by, bz),
— >
b' = (b'x, by, bz).
Wówczas a x (b-\ b') = = {ay(K + K )-az(by+b'y), az(bx-{-bx) - a x(bz \-bz), az(b9+ K ) - av(b*+K)) = =
(a y bz - a zb y) + (a y K - a zb 'y)>
(a zb x - a * b z) + (a z K - < * xK)>
{axbu- a ybx)+{axb [ -a yb'x)) = o*
131
(® y^z ^
®z^y>
^z^x
^ i P z ’ ®'x^y
@'ybx ) " i ” ( ^ y ^ z
^z^y>
® *r^ *
~ a *K > a x K ~ a y b 'x) =
_
— axb-\~axb'.
Podobnie dowodzi się, że mnożenie wektorowe jest rozdzielne prawostronnie względem dodawania. Tak więc zbiór wektorów z roz patrywanymi działaniami jest pierścieniem. Nieprzemienność pierścienia wektorów wynika od razu z defini cji iloczynu wektorowego, ze względu bowiem na określenie zwrotu iloczynu mamy a x b = — b x a . (Pierścienie, w których dla dowol nych a i b zachodzi ab = —ba, nazywamy antykomutatywnymi). Z definicji iloczynu wektorowego wynika również bezpośrednio, że w pierścieniu wektorów są dzielniki zera. Jeśli bowiem weźmiemy dwa wektory a i b, oba różne od wektora zerowego, będącego zerem pierścienia, ale takie, że kąt między nimi jest 0 , to a x b = 0 ( 0 ozna cza wektor zerowy). To, że pierścień wektorów nie może zawierać jedności, wynika chociażby z tego, że gdyby taka jedność e istniała, to iloczyn jej przez wektor a, tworzący z e kąt 0 , byłby równy 0 , nie zaś a. Wykażemy, że pierścień wektorów jest nicłączny. Niech a, b i c będą wektorami o składowych np. ( 1 , 0 , 1 ), (—1 , —I, 1 ), (1 , —i, 0 ). Wówczas (a x b )x c = (1 , 1, 2 ), zaś a x (b x c ) = (2 , 2 , —2 ). Z definicji iloczynu wektorowego wynika, że dla każdego wek tora a (IV.4)
a x a = 0.
Wykażemy teraz, że dowolna trójka wektorów spełnia warunek (IV. 5)
( a x & ) x c + ( 6 x c ) x a + ( c x a ) x 6 = 0,
zwany tożsamością Jacobiego. Istotnie, 132
(aX 6 ) X c = (azbxcz—axbzcz~ a xbycy+aybxcy, axbycx—aybxcx— - aybzcz+ azbycz, aybzcy- a zbycy—azbxcx+axbzcx), (b x c )X a = (bzcxaz—bxczaz—bxcyay+ bycxay, bxcyax—bycxax— - bycsaz+bzcyaz, byczay— bxcyay—bzcxax+bxczax), (c x o) X 6 = (cgax6 ,- o ^ & 2 - c a;a?/6 2/+ c yaa;6 2/, cxaybx- c yaxbx—cyazbz+czaybz, cyazby- c zayby—czaxbx +cxa2bx). Dodając teraz stronami i przeprowadzając odpowiednie uprosz czenia w prawej stronie równości, otrzymamy (IV.5). 10) Rozpatrzony w poprzednim przykładzie pierścień wektorów jest szczególnym przypadkiem tzw. pierścienia Liego. Pierścieniem Liego nazywa się pierścień, którego elementy spełniają warunki: a2 — 0,
(ab)cJr {bc)aĄ~(ca)b — 0.
(Por. z (IV.4) i (IV.5)). Pierścienie Liego należą — obok pierścieni łącznych — do naj ważniejszych klas pierścieni. Jak łatwo jest spostrzec, pierścienie Liego są antykomutatywne; istotnie, (aĄ-b)2 = a2-\-ab-\-ba-\-b2 — ab-{-ba. Ponieważ jednak (a+b ) 2 = 0, więc ab = —ba. Warto zaznaczyć, że z antykomutatywności pierścienia warunek a2 = 0, ogólnie rzecz biorąc, nie wynika. Jeśli w równości ab = —ba podstawimy b — a, to otrzymamy a2 = —a2, lub 2 *a 2 = 0, skąd, jak już wiemy (p. uwaga w końcu poprzedniego ustępu), nie wynika jeszcze, że a2 = 0. Jeśli jednak w grupie addytywnej pierścienia nie ma elementów rzędu 2 , to takie wynikanie zachodzi. Niech teraz Jti oznacza pierścień łączny. Rozpatrzmy zbiór li z dodawaniem określonym w tym pierścieniu i z nowym mnożeniom a o b = ab —ba, 133
gdzie ab oznacza iloczyn w pierścieniu R; oznaczmy zbiór R z tymi działaniami przez Pokażemy, że jest pierścieniem Liego. Wykażemy, po pierwsze, że działanie 0 jest rozdzielne względem dodawania: a° (6 +c) = a ( 6 +c) —(b+c)a = ab-\-ac—ba—ca — — (ab—ba)-\-(ac—ca) = a o b-\-a ° c; podobnie dowodzi się, że (6 +c) o a = b o a + c ° a. Mamy dalej a o a = a2—a2 - O (a ° b) ° c\-(b ° c) o a+(c ° a) o b = = (ab—ba) « c+(?>c—c 6 ) ° a | ( c a — a c ) ° 6 = = (ab—ba)c—c(ab—ba)-\-(bc—cb)a-a(bc—cb)Jr -\-(ca—ac)b—b(ca—ac) — &. 11
) Pierścień przemienny, którego elementy spełniają warunek (a2b)a — a 2 ( 6 a ) ,
nazywa się pierścieniem Jordana1). Niech Ił oznacza pierścień łączny. Zadajemy w R nowe mnożenie a x b = abĄ-ba rozpatrujemy zbiór R ze zwykłym w pierścieniu R dodawaniem mnożeniem X . R z tymi działaniami oznaczmy przez R(+K Pokażemy, że i?(+) jest pierścieniem Jordana. Operacja X jest oczywiście przemienna. Sprawdzimy, że jest ona rozdzielna względem dodawania: aX(&+c) = a(b-\-c)-\-(b-\-ć)a = ab+ac+ba+ca = = (ab-\-ba)-\-(acĄ-ca) = a x & i« X c . Mamy dalej:*) *) Od nazwiska (czytaj tak, jak się pisze) wybitnego współczesnego fizyka-teoretyka.
134
( ( a x a ) x 6 ) x a = [(a2-|-a2) 6+6 (a2+ a 2) ] x a = = \j
a więc jest to pierścień Jordana. 12) Rozważmy teraz zbiór Cm liczb 0 , 1 , 2 , m — 1 z dodawa niem i mnożeniem modulo m jako działaniami. Wiemy jnż, że Cm jest grupą abelową względem dodawania -j- (dodawanie modulo m) i półgrupą abelową z jednością 1 względem mnożenia X (mnożenie modulo m). Aby dowieść, żc Cm jest pierścieniem, pozostaje więc wykazać, że mnożenie X jest rozdzielne względem dodawania -f-. Dowodu tego nie będziemy tu przeprowadzali, będzie on bowiem wynikał z pewnego ogólnego twierdzenia o homomorfizmach zbiorów z dwoma działaniami, z których jedno jest rozdzielne względem drugiego (p. § 3.1 tego rozdziału). Pierścień Cm nazywa się pierście niem reszt modulo m. Z powyższego wynika, że istnieją pierścienie łączno-przemienne kończone o dowolnej liczbie elementów.
0
t
X
y
0
0
t
X
y
b
t
0
X
X
y
y 0
V
y
X
t
0
Tabl. 12
0
t
X
0
0
0
0
X
t
0
t
X
0
X
y 0
X
t
y
0
y
y
0
y 0
X
Tabl. 13
13) Czytelnik sprawdzi, żo zbiór czteroelementowy ( 0 , t, x, y}, którego tabliczką dodawania jest tabliczka 1 2 , tabliczką zaś mno żenia tabliczka 13, jest pierścieniem nicłącznym i nie przemiennym, w którym element t jest prawostronną jednością. 135
li
iI |
14) Czytelnikowi znającemu analizę matematyczną pozostawiamy do sprawdzenia, że zbiór funkcyj ciągłych o wartościach zespolo nych zmiennej rzeczywistej x ^ 0 z operacjami f{x)-\-g(x) (zwykłe dodawanie funkcyj) i X
f(x)*g(x)
\f{t)'Cj{x-t)dt o
=
(tzw. splot funkcyj) tworzy pierścień łączno-przemienny (tzw. pierś cień Ilikusińskiego). Jak wynika z pewnych głębokich twierdzeń ana lizy, jest to pierścień bez dzielników zera; nie zawiera on jedności. 15) Niech Rx i R2 będą dowolnymi pierścieniami. Tworzymy iloczyn kartezjański R xx R 2 (p. I. § 1 .2 ). W R 1x R 2 określamy dzia łania w następujący sposób: (ai>#2 )©(&i> b2) = {(i\-\-bx, a2-{-b2)> («i, «2) °
h ) = («A , «A)>
gdzie ax, bx e R x> a2, b2 e R 2, ax-\-bx jest sumą, zaś axbx iloczynem elementów ax i bx w R x, a2-\-b2 sumą, zaś a2b2 iloczynem elementów a2 i b2 w R 2. Jak już wiemy (p. III. § 1.4, przykład 13), R xX R2 jost Srupą abelową względem działania ©; łatwo sprawdza się, że dzia łanie ° jest dwustronnie rozdzielne względem ©, a więc R t x R 2 jest pierścieniem; nazywa się on sumą, prostą pierścieni R x i R2. Jeśli R x i R 2 są przemienne, to R xx R 2 jest też przemienny; jeśli Rx i R2 są łączne, to R x X li2 też. Jeśli w R x istnieje jedność ex i w R 2 jedność e2> to R xx R 2 jest pierścieniem z jednością (ex>e2). Pierścień R xx R2 zawiera zawsze dzielniki zera (jeśli któryś spośród pierścieni R x, R2 nie jest jednoelementowy), są nimi elementy (ax, 0 2) i (0 lf a2), gdzie 0 Xjest zeren w Rx, zaś 0 2 zerem w R2. ĆWICZENIA 1. Niech II oznacza zbiór liczb rzeczywistych. Wprowadzamy w R następujące działania: a \/b = max(a, b),
a Ab = min (a, b),
gdzie max (a, b) oznacza nie mniejszą z dwóch liczb rzeczywistych 1.36
a i 6, zaś min (a, b) — nic większą. Udowodnić, że każde z działań V i A jest rozdzielne względem drugiego. 2 . Sprawdzić, które z następujących zbiorów są pierścieniami (za każdym razem jako działania rozpatruje się zwykłe w tym zbiorze dodawanie i mnożenie): a) zbiór liczb zespolonych postaci bi, gdzie b jest liczbą rzeczy wistą; b) zbiór liczb postaci a + b ty 2 , gdzie a i 6 są liczbami wymier nymi; c) zbiór liczb postaci a-\-bty2 + c ^ 4, gdzie a, b, c e W; d) zbiór pierwiastków stopnia czwartego z liczby 1 wraz z zerem; e) zbiór macierzy postaci
a b\ 26 a)’ gdzie a i 6 są liczbami wymiernymi; to samo w przypadku gdy a i b są liczbami rzeczywistymi. W przypadku gdy któryś z danych zbiorów okaże się pierścieniem, zbadać jego własności (przemienność, łączność, istnienie jedności itd.)345 3. Rozpatrujemy zbiór Z (X) wszystkich podzbiorów danego zbio ru X wraz z X i £f. Jako działania w Z(X) rozważamy różnicę syme tryczną -i- (p. III. § 1 . ćwicz. 8 ) i iloczyn mnogościowy Udowod nić, że Z(X) jest pierścieniem względem wskazanych operacyj. Co jest zerem tego pierścienia? Jakie elementy zbioru X tworzą róż nicę Y —F? (Przez odejmowanie Y —V rozumiemy tu działanie od wrotne do dodawania w tym pierścieniu). 4 . Pierścień łączno-przemienny R nazywa się pierścieniem Boole’a, jeśli zawiera jedność i jeśli każdy jego element jest idempotentem, tzn. spełnia warunek a2 = a. Udowodnić, że w pierścieniu Boole’a zachodzą następujące tożsamości: a-\-a = (9; jeśli av = 6 i bv = a, to a = 6 . Wykazać, że pierścień Z(X) z poprzedniego ćwiczenia jest pierścieniem Boole’a. 5. Napisać tabliczki Cayley’a dla dodawania i mnożenia w na stępujących pierścieniach: Q X C 2, C^xC^, C2 x C 3, gdzie C2 i C3 są pierścieniami reszt odpowiednio modulo 2 i 3, zaś X jest sym bolem sumy prostej pierścieni. 137
. Dowieść, że zbiór {o, l, x, y } z działa niami określonymi tabliczkami 1.2 i 14 jest y pierścieniem łącznym. (Jak widać z tabliczki 0 0 0 0 0 mnożenia, jest on również nieprzemienny, o0 0 t t t prócz tego zawiera dwie prawostronne jedno ści — elementy x i y, natomiast t jest pra X 0 0 X X wostronnym dzielnikiem zera każdego jego y 0 0 y y elementu). 7. Wykazać, że w pierścieniu rozpatrywa Tabl. 14 nym w poprzednim przykładzie dla dowolnych trzech jego elementów a, b, c zachodzi związek (ab)c — a(cb) (tzw prawo łączności Tarskiego). 8. Niech R będzie dowolnym pierścieniem. Funkcja {a, b, c} o wartościach z R, określona na trójkach elementów pierścienia w sposób następujący: {a, b, c} = (ab)c-a(bc), nazywa się asocjatorem. (W pierścieniach asocjatywnych i tylko w nich asocjator dowolnej trójki elementów jest zerem pierścienia). Udowodnić, że 6
0
t
X
{aŁ+ a 2, b, c} = {%, b, c}+{«2, 6 , c}, {a, bxĄ-b2, c} = {a, blt c}+{a, &2, c}, {a, b, Cj+Cg} = {a, 6 , b, c2}. § 2 . DEFINICJA I NAJPROSTSZE WŁA SNOŚCI CIAŁA 1. Definicja ciała. Pierścień P nazywa się pierścieniem z dzieleniem jeśli spełnia następujące warunki : 1 ° P zawiera więcej niż jeden element, 2 ° równania (IV. 6 )
ax = b,
ya = b
są rozwiązalne w P dla wszystkich a i b, jeśli tylko a ^ (9. Pierścień z dzieleniem, w którym równania (IV.6 ) są rozwią zalne jednoznacznie dla wszystkich a ■-/=& i wszystkich b, nazy wa się quasi-ciałem, zaś quasi-ciało zawierające jedność nazywa się ciałem. Udowodnimy, że w ąuasi-ciele wyrażenia postaci ab = ac i ba = ca można skracać przez a ^ O. Rzeczywiście, niech ab — ac = d, przy czym a ^ O. Wówczas 138
i c są rozwiązaniami pierwszego z równań (IV.6 ), skąd wobec jednoznaczności rozwiązań tych równań otrzymujemy b = c. Podob nie dowodzimy drugiej części twierdzenia. Z powyższego twierdzenia wynika, że w g u a si-c ie le n ie m a d z ie l n ik ó w zera (p. odpowiednie twierdzenie w IV. § 1.3). Tak więc, jeśli a, b ^ 0 , to również a b 6 , innymi słowy, jeśli a , h e P \ 0 , to i ab e P \ & . Udowodniliśmy więc, że zb ió r w s z y s tk ic h 6
r ó ż n y c h od zera elem en tó w q u a si-c ia ła tw o r z y p o d g r u p o id m u lt y p l i k a ty w n e g o g r u p o id u g n a si-c ia la .
Grupoid multyplikatywny quasi-ciała jest więc quasi-grupą, zaś grupoid multyplikatywny ciała jest lupą (p. II. §1.1). Jeśli w szczególności grupoid multyplikatywny P \ 0 jest półgrupą, a więc wobec rozwiązalności równań (TV.6 ) grupą, to quasi-cialo P, będąc oczywiście wówczas ciałem, nazywa się ciałem łącznym (albo asoejatywnym). 2. Najprostsze własności ciała łącznego. Ponieważ w ciele łącz nym P zbiór P \ 0 jest grupą względem mnożenia, więc rozwiązania równań (TV.6 ), w przypadku gdy 6 # (9, mają postać x - - a ~ 1b,
y — b a ~ x.
Jeśli natomiast b — O, to oczywiście x = O i y = 0 są rozwiązaniami równań (IV.6 ). Podamy teraz inną definicję ciała łącznego i wykażemy, że jest ona równoważna z poprzednią. Pierścień P nazywa się ciałem łącznym, jeśli spełnia on następu jące warunki: A) zawiera więcej niż jeden element, B) zbiór wszystkich elementów pierścienia P bez zera tworzy grupę względem mnożenia w P . Powyższa definicja wynika oczywiście bezpośrednio z definicji podanej w poprzednim ustępie. Wykażemy, żo i na odwrót. W tym celu trzeba dowieść, że w pierścieniu P, w którym P \ 0 jest grupą względem mnożenia, każde z równań (IV.6 ) ma dokładnie jedno rozwiązanie przy a ^ 0 . Zauważmy przede wszystkim, że z warunku B wynika, że w P nie ma dzielników zera. Rzeczywiście, P \ j 0 jest grupą względem mnożenia, a więc jeśli a , b e P \ 0 , ich iloczyn a b też musi należeć 139
do P \ 0 , co wynika z zamkniętości grupy P \ 0 względem mno żenia w niej, a więc ab # O. Gdy teraz a #= O i b ^ 0 , jedynymi rozwiązaniami równań (IV.6 ) są odpowiednio x — a ~ xb i y = b a ~ \ gdy natomiast a ^ 0 , zaś b = 0 , to x — 0 i y = 0 są rozwiązaniami równań (IV.6 ). Są to przy tym jedyne rozwiązania tych równań, co wynika z tego, że P nic ma dzielników zera. Zachodzi również następujące Twierdzenie.
P ie r ś c ie ń łą c z n y
P , za w ie r a ją c y
co n a jm n ie j d w a
e le m e n ty , w k tó r y m k a żd e z ró w n a ń (IV.6 ) m a p r z y d o w o ln y m a i d o w o ln y m b p r z y n a jm n ie j je d n o r o z w ią z a n ie , je s t cia łe m .
0
Dla dowodu wykażemy przede wszystkim, że P nie zawiera dziel ników7 zera. Załóżmy w7brcw temu, czego chcemy dowieść, że istnieją takie c, d e P , że c 0 , d ^ 0 , zaś cd = 0 . Oznaczmy przez e jedno z rozwiązań równania c x = c (tu nie postuluje się jednoznacz ności rozwiązań równań (IV.6 )), zaś przez / jedno z rozwiązań rów nania d x — e. Wówczas 0 = 0 f — cdf
- ce - c,
co przeczy założeniu. Z powyższego wynika, że zbiór P \ 0 jest zamknięty względem operacji mnożenia w7 P , a więc; jest półgrupą. Jeśli a ^ 0 i 6 ^ (9, to równania (IV.6 ) są rozwiązalne w P \ ^ 0 , gdyż nie może być wów czas x = 0 lub y — 0 , mielibyśmy bowiem at 9 = 0 i 0 a = 0 . Tak więc P \ ^ 0 jest grupą względem mnożenia w P , pierścień P jest zatem ciałem. ) Zbiór wszystkich elementów7 ciała łącznego P bez zera, tj. P ' \ 0 , rozpatrywany jako grupa względem mnożenia wr P, nazywra się multyplikatywną grupą ciała. Jedność tej grupy nazywa się jednością ciała.
Ciała łączne stanowią najważniejszą klasę ciał, a teoria ich, zwłaszcza ciał łączno-przemiennych, jest jednym, z najbardziej roz winiętych i najtreściwszych rozdziałów7 algebry. Ze względu na to będziemy zajmowali się dalej jedynie ciałami łącznymi, czyniąc raz tylko wyjątek dla tzw. ciała liczb Cayley’a, grającego ważną rolę w algebrze. Wobec powyższego będziemy w dalszym ciągu używali terminu ciało, mając na myśli jedynie ciała łączne. 140
3. Przykłady ciał. Rozpatrzmy teraz pewne przykłady ciał, na wiązując do przykładów pierścieni, rozpatrywanych w poprzednim paragrafie. 1) Każdy z następujących pierścieni liczbowych: a) pierścień liczb wymiernych, b) pierścień liczb rzeczywistych, o) pierścień liczb zespolonych, jest ciałem. Każde z powyższych ciał, jak i w ogóle każde ciało .składające się z pewnych elementów któregoś z wymienio nych wyżej ciał, w którym działaniami są zwykłe dla tego zbioru dodawanie i mnożenie, nazywa się ciałem liczbowym. Wszystkie ciała liczbowe są przemienne. Ciałem liczbowym jest np. pierścień liczb postaci a-\-bV 2 , gdzie a i b są liczbami wymiernymi (pierścień ten rozpatrywaliśmy w poprzednim rozdziale). Łatwe sprawdzenie tego (należy tylko dowieść, że jeśli a i b nie są jednocześnie zerami, to 1
ci-}~b*\/2 też należy do pierścienia) pozostawiamy Czytelnikowi. Natomiast zbiór liczb postaci a | b V 2 , gdzie a, b e C, nie jest ciałem (dlaczego ?). Pierścień liczb całkowitych Gaussa (p. przykład 1 z ustępu 4 poprzed niego paragrafu) nic jest ciałem, zaś pierścień liczb wymiernych Gaussa — jest. 2) Każdy ze zbiorów W, R i Z z działaniami a @ 6 — a-\-bĄ- 1 i a Q b = a-\- bĄ -a b (p. IV. § 1.4, przykład 3) jest ciałem przemiennym (oczywiście nic liczbowym). Aby to wykazać, należy sprawrdzić, że wszystkie elementy danego zbioru (weźmy np. R) bez zera pierścienia tworzą grupę względem działania O ; zerem jest tu, jak wiemy, licz ba —1 . Jeśli a ^ —1 , to rozwiązanie równania aQ x — 0 ( 0 jest tu jednością pierścienia) zawsze istnieje; rzeczywiście, niech a Q x = aJr x-\-ax =
0
,
wówczas —a 1 -\-a Tak więc zbiór elementów tego pierścienia różnych od zera tworzy grupę. 3) Wszystkie wymienione wyżej ciała są nieskończone. Ciałem skończonym zawierającym dwa elementy, zero i jedność ciała, jest 141
pierścień reszt modulo 2 , co łatwo sprawdzić. "Bezpośrednim spraw dzeniem możemy się również przekonać, że pierścień reszt modulo 3 też jest ciałem. Natomiast pierścień reszt modulo 4 nie jest ciałem, gdyż zawiera dzielniki zera: 2 x 2 = 0 . Zachodzi następujące Twierdzenie. Pierścień reszt modulo mjest ciałem wtedy i tylko wtedy,
gdy m jest liczbą pierwszą. Dowód. Wykażemy, że jeśli m nic jest liczbą pierwszą, to pier ścień reszt modulo m nie jest ciałem. Istotnie, wówczas m = kl, gdzie 1 < k < m i 1 < l < m. Wynika stąd, że iloczyn liczb k i l modulo m jest równy zero, a ponieważ liczby te należą do pierścienia Cm, więc Cm zawiera dzielniki zera i nie może być ciałem. Niech teraz m będzie liczbą pierwszą. Iloczyn liczb z Cm modulo m będziemy oznaczali, jak to już czyniliśmy, symbolem X . Należy do wieść, że jeśli 0 < ,9, n < m, to równanie s x x = n ma rozwiązanie w Cm. Rozpatrzmy w tym celu reszty z dzielenia liczb s, 2 .9 , 3 .9 , ..., (m— 1 ) 5 przez m, czyli innymi słowy s, 2x«, 3 X 5 ..., (w—1 )X 5 . Niech 1 < k, 1 < m, przy czym k ^ l. Gdyby było k x s — lx s , to mielibyśmy (k—l)x s — 0 , co oznaczałoby, że iloczyn (k—l) s jest wielokrotnością liczby m, ale liczba pierwsza m nie dzieli 5 , więc musi dzielić drugi czynnik, to jest k —l, a więc k i l różniłyby się o wielokrotność m, co jest możliwe, gdyż obie te liczby należą do Cm. Tak więc wszystkie liczby s, 2 Xs, 3 Xs, .. ., (m—I) X 5 są różne, a że jest ich m—l,więc stanowią one zbiór identyczny z Cm. Wynika stąd, że wśród omawianych iloczynów jest również liczba n. Niech n = s x j; wynika stąd, że równanie s x x — n ma w Cm rozwiązanie x - j, a więc zbiór elementów pierścienia Cm różnych od 0 stanowi grupę i Cm jest ciałem. 4) Wszystkie rozpatrywane dotychczas ciała były ciałami prze miennymi. Rozpatrzymy teraz ważny przykład ciała nieprzemicnnego, tzw. ciała kwaternionów. Ciało kwaternionów można zbudować różnymi sposobami, podany niżej sposób wykorzystuje jako punkt wyjściowy ciało liczb zespolo nych i jest analogiczny do metody zbudowania ciała liczb zespolo nych jako ciała par liczb rzeczywistych. Przypomnijmy, że liczby zespolone można zdefiniować jako pary 142
uporządkowane liczb rzeczywistych, przy czym jeśli z = {a, b) i zx = (ax, hx), gdzie a, b, ax, bx e R, to z — zx wtedy i tylko wtedy, gdy a = ax i b — bx. Działania zaś na liczbach zespolonych zapisa nych w postaci par określa się, jak wiadomo, w sposób następujący: {a, b) ]-{ax, bx) = (a+%, b+bx), (a, b)0(ax>bx) = (aax—bbx, abxĄ-axb). Każda liczba zespolona (a, b) może być napisana w tzw. postaci algebraicznej a-\-bi, gdzie i jest parą (0 , 1 ). Rozpatrzmy teraz zbiór Q par uporządkowanych liczb zespolo nych. Równość par określamy tak: (z, t) — {u, v) wtedy i tylko wtedy, gdy z = u i l — v. Tak zdefiniowana równość jest oczywiście relacją równoważności. Wprowadźmy w Q następujące działania: (z, t)\-(u, V) = {z \-u, t-\-v), (z, ł)0(u, v) = (zu—tv, zv-\-tu), gdzie u i v są liczbami zespolonymi sprzężonymi odpowiednio z u i v. Pary uporządkowane liczb zespolonych z tak określoną relacją równo ści i działaniami + i O określonymi na ich zbiorze będziemy nazy wał i k wa tern ion ami. Wykażemy po pierwsze, że Q jest grupą abelową względem dzia łania -J-, które będziemy nazywali w dalszym ciągu dodawaniem. Istotnie, jeśli q = {z, t), qx = (u, v), to wobec przemienności clodawania liczb zespolonych
q+qx = Ob t) + {u, v) = (z \-u, t-\-v) = (u + z, v+l) = = (W *>)+ (*> t) = qx.\.q. Podobnie łatwo sprawdza się, że dla dowolnych q, qy, qz e Q
(q+qi):\-q* =
i
q*)>
korzystając przy tym z łączności dodawania liczb zespolonych. Zerem grupy jest tu para O — (0 , 0), jeśli zaś q — (z, t), to — q ~= (—2 , —t). Dowiedziemy teraz, że działanie O, które będziemy nazywali mnożeniem, jest dwustronnie rozdzielne względem dodawania. Niech q = (z, l), qA— (u, v) i q2 = (r, s). Wówczas 143
qO{
= ąO
Tak więc Q jest pierścieniem. Zbadamy własności jego grupoidu multyplikatywnego. Po pierwsze zauważmy, że w grupoidzie tym jest element neutralny, mianowicie kwaternion (1 . 0 ). Rzeczywiście (1 , 0)0(2, t) = (l-a-O -f, l-f+ 0 -i) = (as, t), (z, 0 0 ( 1 , 0 ) = (« - l-M J ,a - 0 + M ) = (*, 0 Tak więc Q jest pierścieniem z jednością. Wykażemy teraz, że grupoid multyplikatywny Q jest półgrupą: (q0qt)0< h = = [(2 , t)Q(u, tt)JO(b s) = = {zu—tv, zv-\-tu)0(r, s) =. = ((zu—tv)r— {zv-\-tu)s, (zu—lv)s-\-{zv-\-tu)r) — = (zur—lvr—zvs~tus, zus—tvs-\-zvr-\-tur),
zaś qO{(hO
1
),
zas
(O, i)0 (i, 0 ) = (O, fi) = (O, 1 ). Dodawanie i mnożenie kwaternionów będziemy od teraz oznaczali po prostu przez + i *. Zanim udowodnimy, że pierścień kwaternionów jest ciałem, wpro wadzimy następujące pojęcie: niech q e Q i q — {z,t). Kwatcrnionem sprzężonym z q nazywamy kwaternion q = (z, —/), gdzie z jest liczbą zespoloną sprzężoną z z. Jak łatwo zauważyć, zachodzą nastę pujące równości: q = q> q i ± (h — 2i±#2> Udowodnimy to. Mamy
9.1% ~
q = (z, —(~t)) = (z, t) = q\ dalej, q% = (Z, t)±{u, v) = (Z ± u , l± v ) = (z± u , —(t±v)}= = {z±U, —t=F« 0 = fo —t)±{u, —v) = 5 i ±
q1qt — (z, t) (u, v) =
zaś = (w, —v) (z,
— 0
= {uż—v~t, —ut—vz),
a więc i trzecia równość jest słuszna. Udowodnimy teraz, że każde z równań (IV.7)
(z, 0 (a:, y) =
(u , v)
i
(a*, yx) (z, 0 — (w, t>),
gdzie (z, £) i (w, v) są danymi kwaternionami i (z, t) ^ (0 , 0 ), jest roz wiązalne w Q. Rozpatrzmy pierwsze z tych równań. Ponieważ (z, t) (0, 0 ), więc i (z, t) — (z, —i) ^ (0 , 0 ). Mnożąc obie strony tego równania z lewej strony przez (z, t), otrzymamy (z, —t ) (z,
t) (x ,
y) = (z —t)
{u, v),
skąd (;z z Ą -ft , 0) (.r, 2/) = (z^-Kw, z v — tu ), 10 — Elementy algebry abstrakcyjnej
145
ale iloczyn liczby zespolonej przez liczbę z nią sprzężoną jest równy kwadratowi jej modułu, a więc (N 2 +M 2>0 ) (x, y) = (zu-\-tv, zv—tu). Biorąc pod uwagę, że |z| 2 + | £ | 2 0 i mnożąc obie strony ostatniej równości z lewej strony przez kwaternion
otrzymamy
Ale
a więc
Przez bezpośrednie sprawdzenie przekonujemy się łatwo, że tak otrzymana wartość (x, y) rzeczywiście sprawdza pierwsze z rów nań (IV. 7). Podobnie otrzymujemy, że
Tak więc pierścień Q jest ciałem, nazywa się ono ciałem kwaternionów. Ciało kwaternionów odgrywa ważną rolę w algebrze; wrócimy jeszcze do niego, zaznaczając tu jedynie, że lcwaterniony wprowadził H am ilto n . Mają one zastosowanie w mechanice teoretycznej, geo metrii wyższej i teorii liczb. W § 5 podamy przykład ciała niełącznego.
Ć W IC Ż E N I A
1. Czy jest ciałem: a) pierścień wielomianów o współczynnikach np. rzeczywistych ? b) pierścień funkcyj ciągłych zmiennej rzeczywi stej o wartościach rzeczywistych, zadany cli na odcinku <0 , 1 >? 2. Czy pierścień liczb postaci aJr b'^2-{-c^4, gdzie a, b, c c W (p. ćwicz. 2 c z poprzedniego paragrafu), jest ciałem? 3. Czy pierścień macierzy z ćwicz. 2 e z poprzedniego paragrafu przy a, b c W jest ciałem ? To samo przy a, b c R. 4. Czy suma prosta dwóch ciał jest ciałem? 5. Dowieść, że pierścień łączno-przemienny bez dzielników ze ra, składający się ze skończonej liczby elementów nie mniejszej niż 2 , jest ciałem. 0. Dowieść, że zbiór liczb zespolonych ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem x o y = xy jest ciałem niełącznym (por. II. § 1 .1 ). 7. Niech p będzie pewną liczbą pierwszą postaci 4&+3, zaś K zbiorem p 2 liczb zespolonych postaci aĄ-bi, gdzie a i b są liczbami zbioru {O, 1 , 2 , ..., p- - 1 }. Dodawanie i mnożenie w K określamy w ten sposób, że po wykonaniu zwykłego dodawania czy mnożenia liczb zespolonych zastępujemy część rzeczywistą i współczynnik przy i odpowiednio przez reszty z ich dzielenia przez p. Udowodnić, że K jest ciałem.
§ 3. IZOMORFIZMY I HOMOMORFIZMY PIERŚCIENI 1. Izomorfizmy i homomorfizmy zbiorów z dwoma działaniami. W rozdziale II. §§ 1 i 2 zdefiniowaliśmy pojęcie odwzorowania izomor ficznego i odwzorowania homomorficznego grupoidu na grupoid. Ana logicznie definiujemy pojęcie odwzorowania izomorficznego i homo morficznego jednego zbioru z dwoma działaniami na inny zbiór z dwoma działaniami. Niech będą dwa zbiory M i M' i niech w każdym z nich będą określone po dwa działania, które oznaczymy w obu zbiorach parami jednakowo, przez O i ©• Mówimy, żc zbiór M odwzorowuje się izomorficznie na zbiór M ' (lub że zbiór M ' jest obrazem izomorficz nym zbioru M), jeśli istnieje takie odwzorowanie wzajemnie jedno10*
147
znaczne cp: M -> 31', że dla dowolnych a, b e 31 spełnione są warunki (IV.9)
(aOb)(p — aęOby
i
(a@b)
(Uwaga. Oznaczenie działań parami jednakowo ma wskazywać na przyporządkowanie odpowiadających sobie przy izomorfizmie dzia łań. Gdyby było (aOb)(p = a
Tak samo dowodzi się, że działanie O jest w M' prawostronnie rozdzielne względem działania ©. Powyższe twierdzenie jest w szczególności słuszne, gdy odwzoro wanie cp jest izomorfizmem. 2. Izomorfizmy i liomomorfizmy pierścieni. Jeśli w szczególności zbiory M i M ’ z dwoma działaniami, o których mowa była wyżej, są pierścieniami, to mówimy wówczas o izomorfizmie względnie homomorfizmie pierścieni. Zachodzi następujące Twierdzenie. Obraz homomorficzny pierścienia jest pierścieniem. Prawdziwość tego twierdzenia wynika od razu z tego, że obraz homomorficzny grupy abelowej jest grupą abclową (p. III. § 6.1) i z twierdzenia udowodnionego w poprzednim ustępie. Z twierdzenia 1 z II. § 2 . 2 wynika, że obraz homomorficzny pier ścienia przemiennego jest pierścieniem przemiennym,-, ponieważ zaś obraz homomorficzny półgrupy jest półgrupą (p. II. § 2 .2 , twierdze nie 2 ) więc obraz homomorficzny pierścienia łącznego jest pierścieniem łącznym,. Z twierdzenia 3 z IT. § 2 . 2 wynika, że jeśli cp jest liomomorfizmem pierścienia l i na R ' i O jest zerem w R , to O ' — 0q> jest zerem w R ' , i że jeśli R jest pierścieniem z jednością e, to i R ' jest pierścieniem z jednością, przy czym jednością w li' jest e' — ecp. Mamy również (—a)cp — — {acp) (por. III. § 6 . 1 ). Jednak obraz homomorficzny pierścienia nie zawierającego dziel ników zera może zawierać dzielniki zera; może być i odwrotnie, obraz homomorficzny pierścienia zawierającego dzielniki zera może ich nie zawierać. Również obraz homomorficzny ciała może nie być ciałem, a także obraz homomorficzny pierścienia nie będącego ciałem może być ciałem. Przekonamy się o tym w następnym ustępie. Natomiast obraz izomorficzny pierścienia nie zaioierającego dzielników zera jest pierścieniem bez dzielników zera, jak również obraz izomorficzny ciała jest, ciałem. Udowodnimy pierwsze z tych twierdzeń, pozostawiając drugie do dowodu Czytelnikowi (dla jego dowodu wystarczy przypomnieć sobie uwagę 2 do twierdzenia 4 z II. § 2 .2 ). Niech R będzie pierścieniem bez dzielników zera, zaś R ' jego obrazem izomorficznym. Załóżmy, że R' zawiera dzielniki zera, 149
niech a', b ' e R ', a’, b' + B ’, zaś a'b' = 0 ' . Jeśli a' jest obrazem a e. R, zaś 6 ' obrazem b e R przy izomorfizmie
(IV. 1 0 )
Przyporządkujmy teraz liczbie zespolonej z kwatcrnion (z, 0 ); jest to przyporządkowanie wzajemnie jednoznaczne, ze względu zaś na (IV. 1 0 ) jest ono izomorfizmem. (Czytelnik widzi tu zapewne analogię z przyporządkowaniem liczbom rzeczywistym liczb zespolo nych postaci (a, 0 ). 2 ) Rozpatrzmy zbiór R macierzy postaci
gdzie a jest liczbą rzeczywistą. Ponieważ przyporządkowanie
jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem R na R', zaś (a \0
0\ a)
a,
0
b
0
0
a
0
b
(b \0
0 \ _ (a-\-b 0 \ bj \ 0 «+ 6/ ’
więc zbiór R' jest zamknięty względem dodawania i mnożenia macie rzy i jest obrazem izomorficznym ciała liczb rzeczywistych. 150
3) Podobnie zbiór macierzy postaci
f i -!)■ gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi, tworzy ciało izomorficzne z ciałem liczb zespolonych (dowieść). 4) Jak już wiemy, zarówno grupoid liczb całkowitych z doda waniem, jak i grupoid liczb całkowitych z mnożeniem jako działaniem odwzorowuje się homomorficznie na zbiór Cm liczb 0 , 1 , m—ł odpowiednio z dodawaniem albo mnożeniem modulo m. Ponieważ zbiór C z wymienionymi działaniami jest pierścieniem, więc i zbiór Cm jest pierścieniem względem dodawania i mnożenia modulo m (por. IV. § 1.4, przykład 1 2 ). Jest to pierścień łączno-przcmicnny z jednością. Pierścień C nie jest ciałem, podczas gity obraz homomorficzny Cm, gdy m jest liczbą pierwszą, jest ciałem (por. z uwagami w końcu poprzedniego ustępu). Pierścień C nie zawiera dzielników zera, tym czasem Cm przy m złożonym, jak wiemy z przykładu 3 z IV. § 2.3, zawiera je. Weźmy teraz C4; jest to pierścień zawierający dzielniki zera. Jak łatwo spostrzec, C4 ~ C2. Homomorfizm otrzymujemy przez przyporządkowanie liczbom 0 , 2 e C4 liczby 0 e C2 i liczbom 1 , 3 e C4 liczby 1 g C2. Tak więc w tym przypadku obraz homomorficzny pierścienia z dzielnikami zera jest pierścieniem bez dzielników zera, a nawet ciałem. Ć WW Ż E N I Ą
1. Udowodnić, że zbiór liczb rzeczywistych z działaniami = a + 6 + 1,
aQb — a-\-b | ab
jest ciałem izomorficznym z ciałem liczb rzeczywistych (p. IV. § 1.4 przykład 3 oraz II. § 1 . 2 przykład 5). 2. Udowodnić, że ciało macierzy postaci
gdzie a, b e W (p. IV. § 2 , ćwicz. 3), jest izomorficzne z ciałem liczb postaci a-\-bV 2 , gdzie a, b e W. 151
3. Czy ciało liczb a-\-bV 2 jest. izomorficzne z ciałem liczb a Jr b V 3; w obu przypadkach a i b są liczbami wymiernymi. 4. Znaleźć wszystkie automorfizmy ciała liczb zespolonych (automorfizm pierścienia lub w szczególności ciała oznacza jego izomorfizm na siebie), przy którym aq> = a, jeśli a jest liczbą rzeczywistą. 5. Udowodnić, że pierścień wielomianów jednej zmiennej o współ czynnikach rzeczywistych odwzorowuje się homomorficznie na ciało liczb rzeczywistych.
§ 4. PODPIERŚCIEN1E I PODCJLAŁA
1. Podpierścienie, poddała i rozszerzenia. W paragrafie tym zaj miemy się pojęciami podpierśeienia i podciała, będącymi analogonami pojęcia podgrupy i ogólnie podgrupoidu. Tak jak wyżej przy roz patrywaniu ciał ograniczjdiśray się w pewnym momencie tylko do ciał łącznych, tak i od tej chwili będziemy zajmowali się niemal wyłącznie pierścieniami łącznymi, stanowiącymi najważniejszą klasę pierścieni. Wobec powyższego będziemy używali w dalszym ciągu terminu pierścień, tam gdzie nie będzie zaznaczone, że jest to pierścień niełączny, jedynie w sensie pierścienia łącznego. Chcielibyśmy jednak zauważyć, że znaczna część wyłożonych dalej pojęć i wyników odnosi się również do pierścieni rozumianych w tym szerszym sensie, w jakim były one zdefiniowane na początku tego rozdziału. Niech R będzie pierścieniem i S jego niepustym podzbiorem. Jeśli S sam jest pierścieniem względem działań w R, to mówimy, że S jest podpierścieniem pierścienia R. W szczególności zarówno R, jak i S mogą być ciałami; mówimy wówczas, że JS jest podciąłem ciała R. Warto zwrócić uwagę na to, że pod pierścień S pierścienia A, nic będącego ciałem, może być ciałem. Tak na przykład pierścień wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych zawiera jako podpierścień ciało liczb rzeczywistych (czyli wielomiany stopnia zerowego wraz z wielomianem zerowym). Z kolei ciało liczb rzeczywistych zawiera w sobie jako podpierścień pierścień liczb całkowitych, nie będący ciałem. Tak więc podpierścień S ciała R, będącego ciałem, może nic być ciałem. W każdym z powyższych przypadków pierścień R (w szczególności 152
może być to ciało) nazywamy rozszerzeniem pierścienia 8 (w szcze gólności ciała). Każdy pierścień zawiera oczywiście podpierścienie trywialne — siebie samego i pierścień składający się z samego zera. Podpierścienie te nazywamy niewłaściwymi, każdy zaś inny podpierścień — właściwym. Każde ciało zawiera podciało niewłaściwe — siebie samo (pierścień składający się z samego zera nie jest ciałem). Oczywiście na to, aby niepusty podzbiór 8 pierścienia R był jego podpierścienieni, potrzeba i wystarcza, żeby były spełnione następujące warunki: 1 ) 8 jest podgrupą grupy addytywnej pierścienia R, 2 ) 8 jest podpółgrupą pólgrupy multyplikatywnej pierścienia R. Pierwszy z powyższych warunków jest równoważny (p. III. § 3.1, twierdzenie 2 ') z następującym: 1 ') Jeśli a, h e 8, to a—6 e S , drugi zaś oznacza po prostu, że wraz z a i b należy do 8 ich iloczyn ab. Wynika stąd od razu następujące Twierdzenie. Na to, żeby podzbiór 8 ciała R był jego poddałem, potrzeba i wystarcza, aby zawierał on więcej niż jeden ełement, aby spełniony był warunek 1 (lub 1 ') i aby zbiór 8 \ 0 był podgrupą grupy multyplikatywnej ciała R. W III. § 3.3 udowodniliśmy, że część wspólna dwóch podgrup (lub dowolnego zbioru podgrup) danej grupy jest jej podgrupą. Analogiczne twierdzenia zachodzą dla pierścieni i ciał. Twierdzenie 1. Iloczyn mnogościowy podpierścieni 8 X i S2 danego pierścienia R jest podpierścieniem pierścienia R. D ow ód. S xr \S 2 gdyż przynajmniej 0 e 8 1^ S 2- Niech teraz a, b g S { i a, b e S2. Wówczas po pierwsze a—b e 8 1 i
a—b e S 2,
a więc a—b e S ^ S ? ,, po drugie zaś ab e
i
ab e S2,
a więc ab e S ^ S ^ Wynika stąd, że 8l r \8 2 jest podpierścieniem pierścienia R. )
153
Podobnie dowodzi się ogólniejszego twierdzenia: Twierdzenie P. Niech oznacza pewien zbiór podpierścieni danego pierścienia R. Wówczas przekrój tych podpierścieni jest podpierścieniem pierścienia R. Pozostawiamy Czytelnikowi do udowodnienia następujące Twierdzenie 2. Niech { K ^ oznacza pewien zbiór podciął danego ciała P. Wówczas iloczyn mnogościowy ^ K a tych podciął jest pod ciąłem ciała P. 2. Przykłady podpierścieni i podciął. Zaczniemy od pierścieni i ciał liczbowych. 1 ) Pierścień liczb parzystych jest podpierścieniem pierścienia liczb całkowitych. Zauważmy, że pierwszy z nich jest pierścieniem bez jedności, podczas gdy jego rozszerzenie jest pierścieniem z jed nością. Z kolei pierścień liczb całkowitych jest podpierścieniem ciała liezł) wymiernych, to ostatnie zaś jest podciąłem ciała liczb rzeczy wistych, które jest podciąłem ciała liczb zespolonych. 2 ) Pierścień liczb postaci a-\-bV2, gdzie a l b są liczbami całko witymi, jest rozszerzeniem pierścienia liczb całkowitych i jedno cześnie podpierścieniem ciała liczb postaci a j b V 2 , gdzie a i 6 są liczbami wymiernymi; to ostatnie jest oczywiście podciąłem ciała liczb rzeczywistych. 3) Znane nam już z poprzednich paragrafów ciało liczb wymier nych Gaussa jest rozszerzeniem znanego nam również pierścienia liczb całkowitych Gaussa i podciąłem ciała liczb zespolonych. 4) Czytelnik znający algebrę wyższą wie, że zbiór wszystkich liczb algebraicznych, tzn. liczi) będących pierwiastkami wszelkich możliwych wielomianów z jedną niewiadomą o współczynnikach wymiernych, jest ciałem. Ciało to jest podciąłem ciała liczb zespolo nych i oczywiście rozszerzeniem ciała liczb wymiernych (każda liczba wymierna a jest pierwiastkiem wielomianu x —a o współczynnikach wymiernych). o) Udowodnimy teraz następująco Twierdzenie. Każde ciało liczbowe zawiera jako poddało ciało liczb wymiernych. 154
Dowód. Niech K będzie ciałem liczbowym. Wówczas K zawiera liczby 0 i 1 . Wynika stąd, żc 1 + 1 — 2 e K i w ogóle, jeśli liczba naturalna n należy do K, to n-\~ 1 też należy do K, a więc do K należą wszystkie liczb}7 naturalne. Ale wraz z 0 i 1 musi należeć do K liczba 0 — 1 = —1 , jak również —1 —1 = — 2 i w ogóle wraz z każdym —n należy do K również —+ + 1 ), a więc wszystkie liczby całkowite ujemne też należą do K. Tak więc do K należą wszystkie liczby całkowite. Jeżeli teraz m jest liczbą całkowitą, zaś n liczbą natuin ralną, to mn~l — — t K, a więc ostatecznie do K należą wszystkie n liczby wymierne, c.b.d.o. Tak więc ciało liczb wymiernych zawiera się w każdym ciele liczbowym i, jak stąd wynika, nie zawiera żadnego właściwego podciała liczbowego. Udowodnione wyżej twierdzenie formułujemy krót ko, mówiąc że ciało liczb wymiernych jest najmniejszym ciałem licz bowym. Przejdźmy teraz do pierścieni i ciał nic liczbowych. 6 ) Pierścień wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych jest rozszerzeniem ciała liczb wymiernych i rozszerze niem pierścienia wielomianów o współczynnikach całkowitych. Jest on jednocześnie podpierścieniem pierścienia wielomianów o współ czynnikach rzeczywistych, który z kolei jest podpierścieniem pier ścienia wielomianów o współczynnikach zespolonych. 7) Ciało, będące zbiorem liczb rzeczywistych z działaniami 0 i Q (p. ćwicz. 1 z poprzedniego paragrafu), jest rozszerzeniem ciała, bę dącego zbiorem liczb wymiernych, z tymi samymi oczywiście dzia łaniami, i podciąłem ciała, będącego zbiorem liczb zespolonych (z tymi działaniami). Są to ciała nie liczbowe, chociaż izomorficzne odpowiednio z R, W i Z ze zwykłymi działaniami. 8 ) Pierścień funkcyj ciągłych o wartościach rzeczywistych, za danych na odcinku <—1 , + 1 >, jest podpierścieniem pierścienia wszystkich funkcyj o wartościach rzeczywistych, zadanych na tym odcinku. 9) Pierścień ciągów nieskończonych o wyrazach rzeczywistych zawiera jako swój podpierścicń pierścień ciągów ograniczonych, ten zaś zawiera podpierścień ciągów zbieżnych. 1 0 ) Pierścień macierzy stopnia drugiego o elementach rzeczy 155
wistych zawiera jako podpierścień ciało macierzy postaci
(por. przykład 3 z ust. 3 poprzedniego paragrafu), które jest rozsze rzeniem ciała macierzy postaci
por. przykład
2
z cytowanego ustępu).
3. Zanurzenia izomorficzne pierścieni i ciał. W III. § 5.2 wpro wadziliśmy pojęcie zanurzenia izomorficznego grup. Zajmiemy się w tym ustępie analogicznym pojęciem zanurzenia izomorficznego pierścieni i w szczególności ciał. Będziemy mówili, że pierścień R można zanurzyć izomorficznie pierścieniu P, jeśli w P istnieje podpierścień R' izomorficzny z pierścieniem R. W szczególności R może być ciałem lub P może być ciałem, lub wreszcie i R, i P mogą być ciałami. Będziemy mówili wówczas o zanurzeniu odpowiednio ciała w pierścieniu, pierścienia w ciele lub ciała w ciele. Typowym przykładem jest zanurzenie ciała liczb rzeczywistych w ciele liczb zespolonych. Jak wiadomo, liczby zespolone są to pary uporządkowane liczb rzeczywistych z działaniami av
(a, b)-\-(ax, bx) = (a-\-av b+bj), (a, b) (ax, bx) = (aax—bbv abr -\-axb) (p. przykład 4 z IV. § 2.3). Podzbiór R' ciała Z, składający się z par (a, 0 ). stanowi poddało ciała Z izomorficzne z ciałem R, gdyż jeśli liczbie a g R przyporządkujemy liczbę zespoloną (a, 0), to z a <—►(a, 0 ) i b <- ■(b, 0 ) wynika a-\-b
>(a + 6 , 0 ) = (a, 0 )-f-(6 , 0 )
ab <—»• (ab, 0 ) — (a, 0 ) (6 , 0 ). Tak więc R gg R'. Mówiąc, że ciało liczb rzeczywistych jest podcią łem ciała liczb zespolonych, mamy właściwie na myśli to, że ciało R 150
można zanurzyć izomorficznie w ciele Z, ponieważ jednak nie roz różniamy tworów izomorficznych, więc można uważać, że R c Z. Z przykładu 1 z IV. § 3.8 wynika, że ciało liczb zespolonych zanurza się izomorficznie w ciele kwaternionów. Można więc uważać, że ciało Z jest podciąłem ciała Q (w takim sensie, w jakim ciało R jest podciąłem ciała Z). Wynika stąd, że ciała R i W są podciałami ciała kwaternionów. Z przykładu 2 z cytowanego wyżej ustępu wynika, że ciało liczb rzeczywistych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy stopnia drugiego o elementach rzeczywistych; to samo można po wiedzieć na podstawie przykładu 3 z tego samego ustępu o ciele liczb zespolonych. W jednym z następnych paragrafów będziemy mówili o zanurza niu pierścieni przemiennych bez dzielników zera w ciałach prze miennych. ĆWICZENIA
1. Wykazać, że centrum pierścienia łącznego (tj. zbiór elemen tów komutujących w jego półgrupic multyplikatywnej z każdym elementem pierścienia) jest jego podpierścieniem. 2. Czy zbiór kwaternionów postaci (0 , t) jest podciąłem ciała Q 1 3. Dowieść, że każdy z pierścieni Ml i R2 można zanurzyć izo morficznie w ich sumie prostej R xX i?2. 4. Udowodnić, że pierścień ciągów ^-elementowych o elementach rzeczywistych z działaniami (
157
§ 5. CTAŁO KWATERN10NÓW I CIAŁO LICZB CAYLEY’A. PIERŚCIENIE WIELOMIANÓW I PIERŚCIENIE MA CIERZY 1. Ciało kwaternionów. Paragraf ten poświęcony jest pewnym ważnym przykładom ciał i pierścieni. Z ciałem kwaternionów zapo znaliśmy się już wyżej, tu zajmiemy się dalszym opisaniem jego włas ności. Dalej rozpatrzymy przykład ciała niełącznego — ciało liczb Cayley’a. W ustępie 3 zajmiemy się najprostszymi własnościami pierścieni wielomianów nad dowolnymi ciałami, podając przy tym abstrakcyjną definicję wielomianu. Wreszcie w ostatnim ustępie zajmiemy się pierścieniami macierzy nad dowolnymi ciałami (co da między innymi Czytelnikowi, nie znającemu teorii macierzy, możność poznania jej najprostszych pojęć). W § 2.3 niniejszego rozdziału podaliśmy definic ję ciała kwaternionów i zbadaliśmy pewne jogo własności. W poprzednim paragrafie skonstatowaliśmy, że ciało liczb zespolonych zanurza się izomorficz nie w ciele kwaternionów, ponieważ, jak udowodniliśmy w § 3.3, zbiór Z' kwaternionów postaci (z, 0) jest podciąłem ciała Q, izomor ficznym z Z. Ze względu na to możemy kwaterniony postaci (z, 0) zapisywać po prostu jako z, traktując je jako liczby zespolone. Przyj mując tę umowę, będziemy pisali kwaternion 0 — (0 , 0 ) po prostu jako 0 . Jak wiadomo, w teorii liczb zespolonych przechodzi się od postaci (a, b) liczby zespolonej do tzw. postaci algebraicznej a \ bi. W po dobny sposób wprowadza się również postać algebraiczną kwater nionu, co uczynimy obecnie. Niech będzie dany kwaternion q — (z, t). Możemy napisać go tak: ? = (*, *) = (*, 0 ) 1 (0 , t) = z + ( 0 , t) = = z+{l, 0 ) (0 , 1 ) = H *( 0 , 1 ). Przyjmując teraz oznaczenie (0 , 1 ) = j , możemy kwaternion q napisać w postaci (IV.1 1 )
q = z-\-tj,
analogicznej do postaci algebraicznej liczby zespolonej. 158
Jeśli teraz z = a-\-bi i t = c-\-di, gdzie a, b, c, d są liczbami rze czywistymi, to
q = (i-\-bi~\~[c \~di) j = c t - \ - b i c j d i j . Mamy dalej
ij = (i, 0 ) (0 , 1 ) = (0 , i). Wprowadźmy oznaczenie (0, i) = Ł
Wówczas
q = a-\-bi-\-cj-\-dk.
(IV. 12)
Tak więc każdy kwaternion może być przedstawiony w postaci (IV. 12), gdzie a, b, c i d są liczbami rzeczywistymi, przy czym, jak łatwo wykazać, przedstawienie to jest dla danego kwaternionu jednoznaczne. Ponieważ każdy kwaternion określony jest przez cztery liczby rzeczywiste, moglibyśmy również zdefiniować kwaterniony jako czwórki uporządkowane liczb rzeczywistych z odpowiednio okreś lonymi działaniami dodawania i mnożenia (stąd nazwa kwaternion); proponujemy Czytelnikowi zrobić to. Suma i iloczyn zapisze się dla kwaternionów zadanych w postaci algebraicznej (IV. 12) tak:
{^ci^hi/-^c/)-\~dlc)Ą-{fi-i~\- b-ii-\-c-t j-\-dxk) — = {a+a^ + ibĄ bx)i-H<‘ \-cx)jĄ-{d+dx)k, {uĄ-biĄ-cjĄ-dk) (ć^-f&jż-f-c,jĄ -dxk) = — (aa1—bbl ~-ccl~ dd1)Jr(ablJrba1-\-cd1—dc1) iJr -\-{acx— bdx+ cav+ db^)j-j (adx \ bcx—cbx-\-dax)k. Z ostatniego wzoru otrzymujemy w szczególności: (IV. 13)
i* =-.'}* = k* = - 1 ,
ij — —ji — k,
jk = —kj — i,
ki = —ik — j.
Porównując wzory (IV. 13) z tabliczką 1 1 , otrzymujemy objaśnienie, dlaczego grupa określona tą tabliczką (p. także III. § 4.4) nazywa się grupą kwaterni onów. Jeśli q — aĄ-bi+cjĄ-dlc, to kwaternion z nim sprzężony na pisze się q — a—bi—cj—dk. Mamy dalej qq — (Ma-|-|£|a> 0 ) = a2 +
62
+ c 2 -f-d2. 159
Tak więc iloczyn kwaternionu przez kwatcrnion z nim sprzężony jest liczbą rzeczywistą nieujemną, przy czym zerem jest wtedy i tylko wtedy, gdy q = 0 . Liczbę rzeczywistą N (q) = qq — a2-\-b2-\-c2-\-d2 nazywamy nor mą kwaternionu, pierwiastek zaś kwadratowy nieujemny z N(q) + V N (q) ~ + V a 2 +
62
+ c 2 +rf2
nazywamy modułem kwaternionu q i oznaczamy przez |g|. Jeśli w szczególności q = Ok, tj. q jest liczbą zespoloną, po jęcie modułu kwaternionu pokrywa się z pojęciem modułu liczby ze spolonej . Jak wiemy, ciało kwaternionów nie jest przemienne. Łatwo jednak sprawdza się, że kwaterniony postaci aĄ-OiĄ-Oj+Ok = a, czyli liczby rzeczywiste, komutują z każdym kwaternionem. Czytelnik udo wodni sam, że jeśli pewien kwatcrnion komutuje z każdym kwater nionem, to jest liczbą rzeczywistą. Łatwo jest również spostrzec, żc dla dowolnego q e Q qq
qq.
Wykażemy teraz, że norma iloczynu kwaternionów jest równa ilo czynowi ich norm. Istotnie, N {q xq*)
=
(qlqi)
=
{qxq2)
( M .) =
£ i(? s & Jft =
= (m ) (qtqi) = N (9i)'N{q2), przy czym druga równość napisana jest na podstawie tego, że qyq2 = = qzqx (p. III. § 2.3, przykład 4), czwarta zaś wynika z komutowania liczb rzeczywistych z dowolnymi kwaternionami. Z równości N {qxq2) = N(q1)N (qi) i ze wzoru na iloczyn dwóch kwaternionów zadanych w postaci (IV. 1 2 ) otrzymujemy od razu następujący wzór zwany tożsamością Eulera i mający zastosowanie w teorii liczb: {a2 \-b2-\-c2-\-d2) (aj+ftf+cf+dj) = = (aa1—bb1—ccx—dd1)2Ą-{ab1Jrbax-\-cdl—dcx)2-]r -{-{ac^—h d ^ c a ^ a b ^ l (adx-\-bcx—cbx-\-dax)2. 160
Wzór ten, słuszny dla dowolnych rzeczywistych a, b, c, d, ax, bx, cv dv można udowodnić również bez pomocy teorii kwaternionów. Równania (IV.7) napiszemy teraz tak:
m i =
gdzie qx ^ 0 i q2 są danymi kwaternionami. Mnożąc pierwsze z nich stronami lewostronnie przez qx, otrzymamy N{qx)^ = qxq^ skąd po pomnożeniu obu stron przez [N (f/ 1) ] ~ 1
Podobnie
Wzory te w innej postaci otrzymaliśmy już przedtem w § 2.3. Czy telnik łatwo zapisze i i rj w postaci algebraicznej (IV. 1 1 ) lub (IV. 1 2 ). Łatwo spostrzec, że jeśli q 0 , to kwatcrnion odwrotny do q w grupie multyplikatywnej ciała Q ma postać -
1
-i <1
(a2 + ó 2 -(-c2 -bd!2) 1(a—bi—cj—dk).
Nazwiemy osią kwaternionu q = a+bi-ł-cjĄ-dłc wyrażenie I =
(IV.14)
biĄ-cjĄ-dk, ^ g^y przynajmniej jedna z liczb b, c, d V ó2 -|-c2 + d 2 jest różna od zera, i> gdy b — c — d = 0 .
Jak łatwo zauważyć, P = —1 . i
Ponieważ dla
(7
#
0
•
w
liczba — jest co do wartości bezwzględnej kl
nie większa od jedności, więc istnieje zawsze jeden i tylko jeden taki kąt q>spełniający warunek 0 < q> n, że cos (p =
11 — Elementy algebry abstrakcyjnej
a
W 161
K ąt ten nazywamy argumentem kwaternionu q. Ponieważ więc sili99 > 0 , otrzymujemy więc V &2 +c 2 j-ćZ2 \q\
l / 7>2 -|-c2 -j-ćZ2 ' a2-j-b2Ą-c2-{-d2
0
<
—cos2ę>— sin 99,
skąd V b 2+c2+d2 = l
q = k | (cos99+ I s in 99).
Jest to tzw. postać trygonometryczna kwaternionu. We wzorze (IV. 15) kl» cos99 i sin 99 są liczbami rzeczywistymi, zaś I jest kwaternionem zależnym od q, przy czym P — —1. Wzór ten jest więc analogoncm znanej Czytelnikowi postaci trygonometrycznej liczby zespolonej. 2. Ciało liczb Cayleybi. Podamy teraz przykład ciała nicłącznego i nieprzeiniennego. Skonstruujemy to ciało, wykorzystując jako punkt wyjścia kwaterniony, w sposób zupełnie podobny do tego, jak buduje się ciało liczb zespolonych jako ciało par liczb rzeczywistych i ciało kwaternionów jako ciał par liczb zespolonych. Rozpatrzmy zbiór D par uporządkowanych kwaternionów. Rów ność par określamy jak zwykle: (p, q) = (r, s) wtedy i tylko wtedy, gdy p = r i q — s. Wprowadźmy w D następujące działania: (P> <7)+ (f’>*) = (jP+r, ?+«), (P> <7)0 (r, s) = (;p r—sq, sp+qr), gdzie s i r są kwaternionami sprzężonymi odpowiednio z s i r. Pary uporządkowane kwaternionów z tak określoną relacją rów ności, która jest, jak łatwo sprawdzić, równoważnością, i z działa niami -f 1 O określonymi w ich zbiorze, będziemy nazywali liczbami Cayley’a lub oktawami. 162
Zupełnie podobnie, jak w przypadku kwaternionów, sprawdza się, że D jest grupą abclową względem działania -f~> które będziemy nazywali w dalszym ciągu dodawaniem. Zerem grupy jest para 0 = = (0 , 0 ), jeśli zaś a = (p, g), to —a = (—p, — q). Dowodzi się następnie, że dla dowolnych trzech liczb Cayley’a spełniono są równości: <*0 (04-y) = aO j^+ aO y,
(/M -y)Oa = jSOa-i-yOoc.
czyli że działanie O, które będziemy nazywali mnożeniem, jest roz dzielne względem dodawania. Dowód tego niczym w zasadzie nie różni się od odpowiedniego dowodu w przypadku kwaternionów. Tak więc oktawy tworzą pierścień. Jest to pierścień z jednością, którą jest para ( 1 , 0 ): (D 0) (p, q) = (bp—gO, gl+0i?) = (p, g), (P, <7)0(1, 0) = (p l—Og, Op-fgl) = (p, q). D jest pierścieniem nieprzemiennym; Czytelnik sam sprawdzi, że np. (0 ,1 )0 (0 ,i) * (0 ,i)O (0 ,1). Pierścień liczb Cayley*a jest niełączny. Weźmy np. następujące trzy oktawy: {i, 0 ), (j, 0 ), (0 , 1). Wówczas [(*, 0 ) 0 (j, 0 )]O( 0 , 1 ) = (Jb, 0 ) 0 (0 , 1 ) = (0 , k), zaś (i, 0)O[(j, 0)O(0, 1)] = (i, 0 )0 (0 ,i) = (0 , —k) = - ( 0 , k). Od tej chwili mnożenie i dodawanie liczb Cayley’a będziemy ozna czali przez • i -}-. Rozpatrzmy teraz zbiór Q' c D oktaw, mających postać (p, 0). Ponieważ {P, 0)-|- {r, 0) = (p+r, 0),
{p, 0) (r, 0) = (pr, 0),
więc jeśli każdemu kwaternionowi p przyporządkujemy oktawę (p, 0 ) — jest to przyporządkowanie wzajemnie jednoznaczne, to zbiór Q \ zamknięty względem dodawania i mnożenia oktaw, okaże się izomor ficzny z Q. Tak więc oktawy postaci (p, 0 ) możemy uważać po prostu za kwaterniony. (p, 0 ) będziemy wobec tego oznaczali dalej przez p. n*
163
Jak widzimy, pierścień liczb Cayley’a zawiera jako podpierścicń (z dokładnością do izomorfizmu) ciało kwaternionów, a więc i ciało liczb zespolonych i w ogóle każde ciało liczbowe. Niech będzie dana oktawa a = {p, q), możemy zapisać ją tak: a = (2>. <}) = (P> 0) + (0, q) = 3>+(0, q) = p+{q, 0) (0, 1) = =
p -ł-? (0 ,
1).
Wprowadzając oznaczenie (0, 1) = «. możemy a napisać ta k : (IV.16) cc = pĄ-qs\ jest to postać analogiczna do postaci algebraicznej liczby zespolonej lub do postaci kwaternionu zadanej wzorem (IV. 1 1 ). Jeśli teraz V = a--\-bi+cj+dk,
q = e+fi-\-gj+hk,
to podstawiając te wyrażenia do (IV. 16), otrzymamy a = a-\-bi-\-cj-irdk-{-{e-\-fi-\-cjj-\-'hh) e = = a+bi-\-cj+dk-\-ee+(fi) e+{gj) e-\-{hk) e. Jak łatwo jednak sprawdzić, jeśli m jest dowolną liczbą rzeczy wistą, zaś a i /? dowolnymi liczbami Cayley’a, to mcc = ccm,
{mcc) (i = m(ccfi).
Tak więc możemy napisać cc = a+bi-\-cj-\-dk-\-ee~\-f{ie)-\-g{je)-\-k{ke). Mamy dalej ie = {i, 0 ) (0 , 1 ) = (0 , i), je = (j, 0 ) (0 , 1 ) = (0 , j), Jce = (k, 0 ) (0 , 1 ) = (0 , k). Wprowadźmy następujące oznaczenia: ‘ * = ej, j = e2, k = <%, e = e4, (0 , i) = e5, (0,j) = ee, (0 , k) = ev Wówczas dla a otrzymamy następującą postać: a = ciĄ-be^Ą-ce^Ą-de^eejyĄ-fe^Ą-ge^Ą- he7, lub, przyjmując ci — a0, b = ci4, o — 164
d = cis, e = ct4, f = ci5, g ~
mamy (IV. 17)
a = a0 -j-al«l 4-a2«3+ ^3ft3+ a4ft4+ %f!o+ V '6 + a7e7-
Wzór ten dogodniej jest zresztą pisać w postaci 7
(IV. 17')
a = 2 a«e»> « = o
przyjmując 1 = e0. Tak więc każdą oktawę można przedstawić w postaci (IV. 17) (lub, co na jedno wychodzi, (IV. 17'), gdzie an (n — 0 , 1 , . . 7 ) są licz bami rzeczywistymi, przy czym, jak łatwo wykazać, przedstawienie to jest dla danej oktawy jednoznaczne. Ponieważ każda liczba Cayley’a określona jest przez osiem liczb rzeczywistych, więc moglibyśmy również zdefiniować jo jako ósemki uporządkowane liczb rzeczywi stych z odpowiednio określonymi działaniami (stąd nazwa oktawy). Oktawą sprzężoną z oktawą 7
«x = (p, q) = p |-qe =
2
anen
n=0 nazywamy oktawę 7
a = (p. —q) = V— cl 8 = a'Q— 2 Ti=1 Jak i dla kwaternionów, zachodzą następujące równości: S. — a,
al=ha 2 = aŁ+ a a,
ata2 = aaa1}
których dowodzi się podobnie jak w przypadku kwaternionów. Łatwo sprawdza się również, że 7
(IV. 18)
aa = aa =
qq = A7 ( p ) + (7 ) = 2 al ♦ n=0
Tloczyn aa, będący liczbą rzeczywistą nieujemną i równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy a — 0 , nazywamy normą oktawy a i oznaczamy symbolem A7 (a). W przypadku gdy oktawa jest kwaternionem, norma oktawy jest po prostu normą kwaternionu, możemy więc używać, bez obawy plątaniny, dla oznaczenia obu tego samego symbolu. 12 —Elementy algebry abstrakcyjnej
165
Niech a = p-\-qe i fi — r-j-stf, wówczas z definicji iloczynu oktaw i ze wzoru (IV. 18), biorąc pod uwagę własności sprzężenia kwater nionów, otrzymujemy N {ct.fi) = (pr—sq) (rp—qs)-\-(sp-\qr) (p s\rq ) = = N (p) N (r)+iV (q) N (s)+ N (p) N (s) -j- N (q) N (r)-\-A — B , gdzie A — sprąĄ- qrps,
B = prqs+sqrp.
Jak łatwo jednak wykazać przez indukcję, jeśli qx, qz, . . . , qn e Q, to qxqz . . . qn — qn . .. qzqx (to samo zachodzi dla oktaw), a więc A = sprqĄ-sprq,
B = prqs-\-prqs.
Ale suma dwóch kwaternionów sprzężonych jest liczbą rzeczywistą (to samo zachodzi i dla oktaw), a więc A i B są liczbami rzeczy wistymi. Jeśli s — 0 , to oczywiście A — B = 0 , jeśli zaś s # 0 , a więc i N (s) -f- 0 , to ponieważ A jest liczbą rzeczywistą, więc A N (s) = Ass = i d 5 = ssprq$-\-sqrpss = N(s) (prqsĄ-sqrp) = = N (s)B, a więc AN(s) — B N (s), skąd A = B. Tak więc w każdym przypadku A —B = 0 i (IV.19)
N (cf.fi) = [N(p)+N(q)] |iV(r)+iV(«s-)| = N(«.)N(fi).
Wykazaliśmy, że norma iloczynu oktaw jest równa iloczynowi ich norm. Ze wzoru (IV. 19) wynika, że w pierścieniu liczb Caylen/a nic ma dzielników zera. Istotnie, jeśli a, fi 0 , to N (a) ^ 0 i N (fi) # 0 , jeśli zaś afi =-= 0 , to N (afi) = 0 , ale N(oc) i N (fi) są liczbami rzeczy wistymi, iloczyn zaś liczb rzeczywistych różnych od zera nie równa się zero. Rozważmy teraz równania (IV.20)
a | = fi
i
yoc = fi,
gdzie a i fi są danymi oktawami, przy czym a -A ()> Łatwo spostrzec, 166
żc pierwszo z nich ma rozwiązanie
I
1 Wfa) a/9’
drugie zaś - i4 > &
Tak więc D jest pierścieniem z dzieleniem, ponieważ zaś nie zawiera dzielników zera, a więc równania (IV.2 0 ) są rozwiązalne jedno znacznie, jest quasi-ciałem, ponieważ zaś zawiera jedność — ciałem niełącznym. Ciało oktaw odgrywa ważną rolę w algebrze, a jego teoria zna lazła zastosowania w geometrii wyższej i teorii liczb. Udowodnimy niżej pewną interesującą i ważną własność tego ciała (zwracając uwagę na to, że ponieważ jest ono nielączno, w ustępie tym terminy ciało i pierścień rozumiemy znów w tym szerszym sensie, w jakim zdefiniowaliśmy je na początku tego rozdziału w § i i § 2 ). Pierścień R nazywa się pierścieniem alternatywnym, jeśli (dla dowolnych a, b e Ti (aci)b = a (ab),
(ab)b — a(bb).
Każdy pierścień łączny jest oczywiście pierścieniem alternatyw nym, ale nie na odwrót. Udowodnimy teraz następujące Twierdzenie. Ciało oktaw jest ciałem altematywnym.
Dowód. Niech a = p-\-qe i fi = r-\ se będą dowolnymi oktawami, wówczas (aa) 0 = l(p2~ jq )r—j( q p \pp)\ + [* (p2— qq)-1- (qpj qp)r\ e = = [p2r— qqr—sg(p+p)] + [spl—sqq | -ą(p +p)r\e, a(a/5) = \p{pr—l>q)— (spĄ-(p') q)Ą \(sp- Yjr)pĄ-q(pr--~sq) \ e = = (p2r—psq—psq—rqq) [ (sp2-\-qrp+qrp —qqs) e — =■■ [('Plr—qqr~sq(p-\ p)]j-[sp2—sqq \ q(p \ p)r] e = — (aa )fi. Przedostatnia równość napisana jest na zasadzie tego, że pĄ-p i qq — q~i jako liczby rzeczywiste komutują z każdym kwaternionem. Podobnie dowodzi się, że (a/?)/? = a(/3/3). 12*
167
3. Pierścienie wielomianów nad dowolnymi ciałami. W tym roz dziale, jak również w poprzednich, w celu ilustracji różnych tworów algebraicznych bądź ich własności posługiwaliśmy się niejednokrotnie pojęciem wielomianu jednej zmiennej o współczynnikach na przykład wymiernych czy rzeczywistych, lub zespolonych, rozumiejąc przez to wyrażenia postaci. (IV.2 1 )
f(x) = a0 + a xa:+a2»;2-|- .. . +anxn}
gdzie n > 0 , zaś a0, av . . ., an były liczbami wymiernymi lub rzeczy wistymi, lub zespolonymi (w tych rozważaniach wstępnych będziemy uważali na przykład, że wielomiany, o których będzie mowa, mają współczynniki rzeczywiste). Godne podkreślenia jest to, że mając na myśli pod pojęciem wielomianu wyrażenie (IV.2 1 ), pozostawialiśmy Czytelnikowi możliwość niejednoznacznej interpretacji, jak o tym zaraz się przekonamy, pojęcia wielomianu, chociaż właściwie wyra żenie wielomian jednej zmiennej sugerowało raczej interpretację funk cyjną. Uważając, że taka właśnie była intencja autora, będziemy tymczasem patrzyli na wielomian (TV.21) jako na funkcję zmiennej rzeczywistej x, zadaną w przedziale (—oo, -j-oo). Przy tego rodzaju traktowaniu wyrażenia (IV.2 1 ) dwa wielomiany f(x) i g(x) uważamy, jak wiadomo, za równe, jeśli dla wszystkich x rzeczywistych f(x) = = g(x). Tego rodzaju równość wielomianów będziemy nazywali równością funkcyjną. Jeśli dane są wielomian (IV.2 1 ) i wielomian g(x) = b0+ b1x+ bia?+ . . . -\-hmxm, gdzie jeśli n > 0 , to an # 0 , i jeśli m > 0 , to bm 0 , i na przykład n m, to sumą ich nazywamy, jak wiadomo, wielomian f ( x )~\~y(x ) —
(tto+^o)l
(a i
I ói)aj-|- • • • ~t~(a m
+ aw+r7;'" + l
b»<)x>nd-
• • • ~\~anx>\
to jest f(x)+g(x) = c0 |-cpr-l- . . . + c„jc", gdzie c» = ai+ bi przy czym 168
(* =
0
, 1 , . . ., n),
bmVX = bm+2 = . . . = bn = 0 ,
gdy
n > m.
Ważne jest przy tym to, że przy takiej definicji sumy wartość wielo mianu f{x)+g(®) jest dla każdego x równa sumie wartości funkcyj f(x) i g(x). Iloczynem wielomianów f(x) i g(x) nazywamy wielomian f(x) •g (x) — aQb0 |- (a0b, + « , 6 0)x +
l>i + a 26 0) ^2+ + • • • +anbmxn+m
to jest. f(x)g(x) - - do \ d
d2x2+ . . .
-1
d,n+mxn+m,
gdzie di = et,J)oJr ai- A + « i- 2 &2 + • • • aA =
2
(i — 0 , 1 , . . n+m), aA j -I-h«-i przy czym wskaźnik j -f A: — i napisany pod znakiem sumy oznacza, że sumowanie rozciąga się na iloczyny tych współczynników wielo mianów f(x) i g(x), których suma wskaźników jest i. Zwracamy i tu uwagę na to, że przy takiej definicji iloczynu wartość wielomianu f(x)g(x) jest dla każdego x równa iloczynowi wartości funkcyj f(x) i g(x). Wyżej mówiliśmy już, że wielomiany z tak określonymi działa niami stanowią pierścień łączno-przemienny z jednością; do zagad nień tych powrócimy niebawem. Na wielomian (1V.21) można spojrzeć jednak z innej strony, mianowicie jak na lewą stronę równania algebraicznego =
IV.22)
ao+apE-fa 2 ,r2+ . . . -\-arixu = 0.
Cóż jednak oznacza sama przez się lewa strona tego równania? Nie jest to już właściwie funkcja zmiennej x, na x nie patrzymy tu w ogóle jak na argument, lecz jak na niewiadomą, co podkreślamy mó wiąc o wielomianie z jedną niewiadomą. Wartości tej niewiadomej szukamy zaś częstokroć nie tylko wśród liczb rzeczywistych, lecz i zespolonych, np. w równaniu x2 | - 1 = 0 . Jaki jednak sens ma termin niewiadoma, gdy rozpatrujemy tylko lewą stronę równania (IV.22)? A jak patrzeć wówczas na wielomiany stopnia zerowego, w ogóle nic zawierające niewiadomej ? Te i inne pytania, na któro trudno w tej chwili dać nam jeszcze 169
odpowiedź, wynikają, z braku ścisłej definicji wielomianu w sensie algebraicznym. Trudności te stają się jeszcze dotkliwsze, gdy prze chodzimy do wielomianów nad dowolnymi ciałami. Otóż wyżej roz patrywaliśmy wielomiany o współczynnikach z określonego ciała liczbowego, tu konkretnie z H. Ale w teorii wielomianów nad rozmai tymi ciałami wiele jest rzeczy wspólnych nie zależących od ciała, z którego wzięte są współczynniki, zachodzi więc potrzeba stworzenia ogólnej teorii pierścieni wielomianów. Niech więc teraz wyrażenie (IV.2 1 ) będzie wielomianem o współczynnikach z pewnego ustalo nego ciała łączno-przcmicnnogo P, niekoniecznie liczbowego. Dwa wielomiany J(x) i
tożsamościowe, są jednak równo funkcyjnie. Podstawiając bowiem za x raz 0 , a raz 1 , otrzymamy: O j 1 = J = O2 j- 1 ,
I -p 1 =
0
== l2-h 1 .
Tego rodzaju fakt wyklucza możliwość funkcyjnego podejścia do teorii pierścieni wielomianów. Co prawda, w przypadku gdy P jest ciałem nieskończonym, dwa wymienione rodzaje równości — jak można dowieść — pokrywają się, ale nic może to nas zadowolić, jeśli chce my zbudować ogólną, teorię wielomianów nad dowolnymi ciałami. Biorąc pod uwagę powyższe rozważania, podamy ścisłą definicję wielomianu na gruncie algebry i omówimy pokrótce własności pier ścienia wielomianów. Niech będzie dane ciało komutatywne P; jego elementy będzie my oznaczali pierwszymi literami alfabetu łacińskiego, w większości przypadków ze wskaźnikami u dołu. Będziemy rozpatrywali zbiór wszelkich możliwych skończonych, ciągów elementów z ciała P (TV.23) («©» • • •> «„), gdzie n r>- 0 jest dowolną liczbą naturalną i przy n > 0 wyraz an 0Dwa takie ciągi («0, a,, .. ., an) i (b0, bx, . . ., bn) będziemy uważali za równe, jeśli n — m i ciŁ— bi (i = 1 , 2, .. ., n). Tak określona równość jest, jak łatwo spostrzec, relacją równoważności. Określamy w zbiorze ciągów działanie, które będziemy nazywali dodawaniem: («o, ai> • • - >an) + (&0>hi> ■■•’ bm) '~ = (ao+^o,
+
amĄ-bm, om+1, . -
an)y
gdy n ^ m. Innymi słowy («o, ai> • • •> gdzie ct = = K =
0
(i =
+ 0
K • • •, bm)
(c0, Cj, .. ., cn),
, 1 , . .., n), przy 'czym b ro+1= bm+2 = . . . =
.
Określamy w zbiorze ciągów drugie działanie, które będziemy na zywali mnożeniem: (a0, cix, . . . , ^n)0(6o> ^ij • • •» ^m) ^ — (a0> ^0>
a0^2'l
■• •> 171
Innymi słowy (f/g, (ty, . .
$n)0(^Q; by, . . ., f))n)
(^0}
*• •»
gdzie = 2
aJbk
(ż = 07 1, ..
;j +k =i
Zbiór ciągów (IV.23), spełniających podane przy ich definicji warunki, z działaniami + i O, będziemy nazywali zbiorem wielo mianów nad ciałem P, a każdy ciąg (IV.23) — wielomianem nad cia łem P.
Jak łatwo sprawdzić, dodawanie -j wielomianów jest przemienne i łączne; zbiór wielomianów zawiera element neutralny względem dzia łania + , jest nim wielomian (0). Dla każdego wielomianu (IV.23) istnieje wielomian (a0>
• • •> an) = ( a0> aV • • •» —a'n)
taki, że suma ich jest równa (0). A więc zbiór wielomianów jest grupą abelową względem dodawania. Czytelnik sprawdzi sam, że mnożenie wielomianów jest prze mienne, co wynika z przcmienności mnożenia w P. Jest ono również łączne. Istotnie, jeśli f
(«0 >
• • •>^n)’
9 ~ (&0 , by, . . •, bm),
h — (c0, Cy, . . . , cfe)
to i-ty wyraz w wielomianie będącym iloczynem (fg) h jest
2 (2
p +s - i
a J )r ) ('s>
q + r=p
zaś w iloczynie f(gh)
2
q+p=i
( 2 6a )-
r + s= p
Ale
2 (2®a )c*= 2 ®a «,= 2
p -ł-s = i
ą-\-r=p
'i + r + s = i
q+p = i
ai
(2 *vcJ
r-\-s=p
Zachodzi wreszcie rozdzielność mnożenia względem dodawania, 172
ponieważ
<7
2 jS +
b 'l) Cr ~~
+ r= t
5
2 aflCr+ -T-2r —t Vr»
+ r= i
<7
a lewa strona tej równości jest i-tym wyrazem w wielomianie fo(gĄ-h), prawa zaś i-tym wyrazem w sumie fogĄ -fohUdowodniliśmy, że zbiór wielomianów jest pierścieniem łączno-przemiennym. Jest to pierścień z jednością, jest nią wielomian (e), gdzie e jest jednością ciała P, co łatwo się sprawdza. Stopniem wielomianu będziemy nazywali w przypadku gdy wielo mian jest różny od (0 ) liczbę n, równą numerowi ostatniego wyrazu w ciągu (a0, a], . . ., an) ; dla wielomianu ((9) pojęcia stopnia nie okre ślamy. Zauważmy teraz, że podzbiór P' pierścienia wielomianów, skła dający się z wielomianów stopnia zerowego wraz z ((9), jest zamknięty w P względem działań dodawania i mnożenia: (a)-j-(ó) = (a+b),
(a)O(b) = (ab).
Jak widać z powyższych wzorów, P' ~ P (przyporządkowanie a <—► (a)), a więc P zanurza się izomorficznie w pierścieniu wielomianów i możemy po prostu zamiast (a) pisać a. Dla oznaczenia działań na wielomianach będziemy odtąd używali znaków • i -f. Rozpatrzmy teraz wielomian (0, e) i jego potęgi (tzn. iloczyny wielomianu (0, e) przez siebie): ((9, e) 2 - (0, e) (0, e) = (0, 0, e), (0 , e f - (0 , 0 , e) (0 , e) = (0 , 0 , 0 , e), (0,e)n = (0,0, ...,0,e) . n razy
Wielomian (IV.23) można napisać tak: ($0 > • • • 3^n) ^ — (ao)'k(^3 ai) + (0> 0> #2 )+ • • • _k(0> 0 3 • • .3 0, an) — = («o)+»j.(03 e) + (a2) 0 >fi)+ • • • + K J (03 0 , . . ., 0 , e) = = «o+ a i ( 0 ’ e)-l'«a(0» c)2+ • *• + an(03 e)n. 173
Jeśli oznaczymy teraz wielomian (0, e) przez x, to (0, 0, e) = x2,
(0, 0, 0, e) = a* . .
(0, 0, . . n
0, e) =
ra z y
i (a0, ax, ci%, . . . , an) — a0-j-axx -}-azx2-(- . . . |-aKa;n. Tak więc każdy wielomian określony jako ciąg skończony (TV.23) może być zapisany w postaci wielomianu ^IV.24)
ax \-axx-\-a2x2Ą- . . . -\-anxn.
Jeśli wielomianowi (IV.24) przyporządkujemy wyrażenie (IV.2 1 ) o współczynnikach z tego samego ciała, to będzie to przyporządkowa nie wzajemnie jednoznaczne elementów pierścienia wiclomianów-ciągów elementom pierścienia wielomianów określonych w sposób „naiwny”. Ze względu na określenie operacyj algebraicznych w obu tych. pierścieniach, jest to izomorfizm. Ostatecznie dzięki ścisłemu zdefiniowaniu pojęcia wielomianu i dzięki ustalonemu izomorfizmowi otrzymaliśmy odpowiedź na wszystkie postawione wyżej pytania. Wynika stąd między innymi, że możemy w danym wielomianie zmie niać porządek składników, w szczególności uporządkować wielomian (IV.24) według ubywających potęg x: anxn+an_xxn~x-1- . . . + alx-\~%. Zwykle zresztą stosuje się taki właśnie sposób pisania zmieniając przy tym oznaczenia współczynników a{ tak, by a0 był współczyn nikiem przy xn, przy £ n - 1 itd. Wielomian zapisze się wówczas a ^ lĄ a1x1l~i-\- .. . -\-an_xx-\-an. Kończąc te rozważania warto zauważyć, że w pierścieniu wielo mianów P [&] nad ciałem P nie ma dzielników zera. Istotnie, jeśli f(x) = a0xn+a,vxn- 1 \- . . . +aH, g{x) =
60
^ fł+
61
o;w“ 1+ • . . +&m,
gdzie f(x) ^ 0 i g(x) =£ 0, a więc a0 ^ 0 i 6 0 -4- 0 , to ponieważ składnik a0b0xn+m iloczynu nie może uprościć się z żadnym innym składnikiem, zaś a0b{) -p 0, gdyż w P nic ma dzielników zera, więc f(x)g(x) ^ 0. 174
4. Pierścienic macierzy nad dowolnymi ciałami. W tym i poprzed nich rozdziałach niejednokrotnie w przykładach i ćwiczeniach wy stępowały macierze, mieliśmy przy tym na myśli macierze o elemen tach rzeczywistych. Obecnie zdefiniujemy macierze nad dowolnym ciałem przemiennym. Dla Czytelnika znającego macierze rzeczywiste będzie to uogólnienie tego ważnego pojęcia, Czytelnik w ogóle nie znający pojęcia macierzy będzie mógł zapoznać się tu z nim. Niccb będzie dane ciało przemienne P o elementach, które bę dziemy oznaczali małymi literami łacińskimi. Macierzą kwadratową (lub po prostu macierzą, bo tylko o kwadratowych będzie tu mowa) nazywamy tablicę (IV.25)
mającą tyle samo kolumn co i wierszy, której elementami a- są ele menty ciała P. Macierz mającą n wierszy (a więc i n kolumn) będziemy nazywali macierzą stopnia n. Macierz (IV.25) oznaczamy zwykle przez (ay) lub dużą literą, np. A. Dwie macierze A — (a^) i B = {b^) tego samego stopnia uważamy za równe, jeśli w nich a^ — btj (i , j — 1 , 2 , . . ., n), tzn. jeśli elementy tych macierzy stojące na tych samych miejscach są odpowiednio równe. Równość macierzy jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. Będziemy teraz rozpatrywali zbiór wszystkich macierzy ustalo nego stopnia n o elementach z P. Oznaczmy go przez M n. Wpro wadzamy w M n następująco działanie, któro będziemy nazywali dodawaniem macierzy i oznaczali symbolem -j-:
\ anl
/
I CL*. *1 ”4“ /). . CL* n ~ -4I—b* n . . .
\ b,i | bn2 • • • bpn j C 11l,* ,. — I—b . .
\
a
175
tak więc A p B = («y) + (6y) = (rt-y+ bjj). Z definicji dodawania macierzy i z przcmienności dodawania w P wynika, że (tty) +(&y) = («y + ^y) = (^y + «'y) = (^y) + («y),
a więc dodawanie macierzy jest przemienne. Podobnie dowodzi się, że jest ono łączne. W zbiorze macierzy istnieje element neutralny względem doda wania, jest nim macierz f0 0 . . 0 0 . . 0 ss 0 0 . . 0/
\0
gdzie 0 oznacza zero ciała P (nie mylić z liczbą zero!). Macierz tę będziemy nazywali macierzą zerową. Dla każdej macierzy A = (
+
• • • + a tJ> n j =
2 a= 1
Tak więc element macierzy znajdujący się w i-tym wierszu i j-tej kolumnie otrzymujemy, mnożąc pierwszy element i-tego wiersza pierwszej macierzy przez pierwszy element J-tej kolumny drugiej macierzy, drugi element i-tego wiersza pierwszej macierzy przez drugi element ji-tej kolumny drugiej itd., i sumując otrzymane ilo czyny. Krótko mnożenie macierzy możemy opisać tak: element c{stojący w i-tym wierszu i J-tej kolumnie iloczynu A B znajdujemy, 176
mnożąc i-ty wiersz macierzy A przez j -tą kolumnę macierzy B\ aby pomnożyć wiersz przez kolumnę, mnożymy odpowiadające so bie elementy, a następnie iloczyny ich dodajemy. Zilustrujemy mnożenie macierzy na przykładzie (tu P — Ii): 1
0
2
3
0
2
- 2
3
5
- 1
2
\l
- 2
1 1
^
3
1 - 1
/
\
5 4
- 1
0
0
2
0
1
3
2
3
2
2
1
/
li • 3+0* 0 + (—2) (—1) +1 *0 J 2- 3 + 3*0+ 1 *(— I) + 1 *0 0-3 |-2-0 | ( —2) (—1)-j~3• 0 \1*3 I «>•()+ ( —1) (-- 1) | 2 - 0 1 •(—J) -}-0 *2-J- (—2) •3+1 •2 2*( —l) + 3-2 | 1-3+1 -2 0-(—1) { 2*2 | (—2)-3-|-3-2 J-( —1) + 5-2+( —1)-3+2-2 1 *5+0*0+ (—2)-2+1 *2 2 •5 -{-3 •0 | ■ 1*2|-1*2 0-5 | 2-0 + (—2)• 2 + 3-2 1 •5+ 5* 0 + (—1) • 2+ 2 *2 1 2 0 1
4 + 0- l + ( - - 2 )- 3 |-1 Ł\ 4 + 3 1 -1 1 *3+1 4-1-2 l + (- - 2 )- 3+3 'M + 4 + 5 l + (--')■ 3 + 2 • ' /
/5 —5 3 - - o 15 9 14 15 4 2 -- 1 2 \4 1 0 7 8 / Zajmiemy się własnościami mnożenia macierzy. Zauważmy przedewszystkim, że mnożenie macierzy nic jest przemienne. Tak na przy kład 3
4 —J\ _ / 10 5\ 5 V “ 12JS
4 -T o 2
1 3 2 7
9 29/' 177
Udowodnimy teraz, że mnożenie macierzy jest łączno. Niech będą dane trzy macierze A = («„),
B = (6 S),
C=
BG — V = ( v ^
<2 :
1! CJ II
Wprowadźmy następujące oznaczenia:
(A B)C = 8 = («„■),
A (BC) = T = ( y .
Mamy n uu =
n
2 "'A o k=1
v*>=
2
/= 1
skąd wobec S = TJC i T — AV II
s/\I il «o"
n
1= 1
n
2 A2=1 anJ}idcip
l-
1
i
ii
n
22
II
II i?
aiJ}kicip A-l k=1 ł=l a więc si3 = ti3 przy i, j = 1 , 2 , . . .,, w, skąd iSf = T, czyli (^ii)O = A (BC). Tak więc Mn jest półgrupą względem mnożenia macierzy. Łatwo można sprawdzić, że jest to półgrupą z jednością, którą jest tzw. macierz jednostkowa.
E
0 0 . • °\ 1 0 . • 0 1 0 1 . . 0 0
0 . ..
1/
mająca na głównej przekątnej (stanowią ją elementy gdzie i = 1 , . . . , n) jedynki (tu 1 oznacza jedność ciała!) i na pozostałych miejscach same zera. Wykażemy wreszcie, że mnożenie macierzy jest rozdzielne wzglę dem dodawania. Istotnie niech A — («y), B — (b^) i C = (ci;). Wów czas 2
378
n
n
n
'y ^ a i
a i*c* y
^ a —1
Lewa strona powyższej równości jest elementem znajdującym się w Ltym wierszu i ji-tej kolumnie macierzy A(B-j-C), prawa zaś strona jest elementem znajdującym się na tym samym miejscu w ma cierzy AB-\-AC, a więc A( B+C) = A B + A C . Podobnie dowodzi się, że {B \ C)A = BA | GA. Tak więc udowodniliśmy, że zbiór macierzy danego stopnia n jest pierścieniem łącznym z jednością. Nazywa się on pierścieniem macierzy stopnia n nad ciałem P. Zajmiemy się najprostszymi włas nościami tego pierścienia. Przy n — 1 mamy M ~ P; izomorfizm ustala się przez przypo rządkowanie a.(p — («). Przy n > 1 pierścień macierzy zawiera dzielniki zera, tak na przykład
0 . . 0^ 0 . . 0
/°
oj
\0
0 . •
0 . . 0^ 0 0 . . 0
jo ~
0 . • ii
0 . . 0\ 0 0 . . 0
\o
0 , . 0
Rozważmy pierścień macierzy stopnia n. Macierz la 0
\0
0 ... a ...
0
0
\
0
. . . aj
mająca na wszystkich miejscach głównej przekątnej ten sam element a e P i poza przekątną same zera, nazywa się macierzą skalarną, Ponieważ la 0
\0
0 .. • o\ a . . 0
0
. . aj
Ib +
0
\0 *
.. • b . .
0
0
. •
0
—
bj
179
1
lab 0 . 0 . . 0\ ‘ ° 0 b . . 0 — 0 ab . . 0
la 0 . . 0 \ 0 a . . 0
Ib
0 . . aj
lo
\o
[Ó
0 . . bl
0
. . abj
więc zbiór macierzy skalarnych jest podciąłem pierścienia Mn izo morficznym z ciałem P. Tak więc ciało P można zanurzyć izomor ficznie w pierścieniu macierzy dowolnego stopnia. ĆWICZENIA
1. Niech będą. dane kwaterniony q — I -H + i, r = 1 -\-j-\-lc. Znaleźć q+r, qr, q—r, iq—2r, q, qq. 2. Rozwiązać równania kwaternionowc yi = l+i>
(2 +ji)^ “
3. Udowodnić, że równanie a:2 — —1 ma w ciele kwaternionów nieskończenie wiele rozwiązań. 4. Wykazać, żc kwaternion q — a-\-bi-\-cj-\-dk spełnia równa nie kwaternionowc x2—2ax-\-Ar (q) = 0 . 5. Dowieść, żc równanie kwadratowe a,’2 —2mx-\-n = 0, gdzie m i n są liczbami rzeczywistymi, w przypadku gdy m2 ^ n, nie ma w ciele kwaternionów innych rozwiązań oprócz rzeczywistych, w przy padku zaś gdy m2 < n, istnieje nieskończenie wiele różnych kwater nionów spełniających to równanie. 0. Czy kwaterniony ci-\-bi-\-cj-{-dk o współczynnikach a, b, c, d wymiernych t worzą ciało ? 7. Kwaternion q zadany jest wr postaci trygonometrycznej q — = | |- Ishup). Udowodnić, że dla naturalnych n zachodzi następujący wzór: qn = \q\7l(cosn(p-]-Ismn(p) (por. z wzorem de Moivre’a dla liczb zespolonych). 8. Dane są oktawy a = a.fi, 180
fi
fiu,
aa,
= e2~je,r ć e 6. Znaleźć
/?2.
9. Zapisać definicję pierścienia alternatywnego (p. ust. 2 niniej szego paragrafu) za pomocą asocjatora (p. ćwicz. 8 z IV. § 1). 10. Korzystając z pojęcia asocjatora i wzorów udowodnionych w ćwiczeniu 8 z IV. § 1 , wykazać, że w pierścieniach alternatywnych dla dowolnych elementów a i b jest (ab)a — a(ba). 11
. Dane są wielomiany f(x) = ;e3+2a;24~3&-f-4,
g(x) =
-|-3x2-j-2
nad ciałem reszt modulo 5. Znaleźć f(x)+g(x),
f (x)- g(x) ,
f(x)-g(x),
[f(x)f,
[g(x)f.
12. Dane są macierze o wyrazach rzeczywistych 2 1 °\ -3 4 i i —2 2—1/
/ 4 1 2 B = ( 0 3 1 \-l 2 0
Znaleźć AĄ B,
A-B,
AB,
BA,
A2,
£ 3.
13. Pomnożyć macierze o wyrazach zespolonych: / i 2-i \ \3 +i 2 ]
/- 1 ll-i
—l + ś\ i )‘
14. Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej n /cos 95 —sinęA” \sinę> cos y j
/cosny - sumy \sinn 99 cos ny
Objaśnić związek otrzymanego wzoru ze wzorem de Moivre’a (wy korzystać IV. § 3.3, przykład 3). 15. Udowodnić, że jeśli A i B są macierzami i jeśli A B = BA, to (A-\ B f = A 2+ 2'A B -\ B2,
A 2~ B 2 = (A + B ) (^L—JE?).
16. Znaleźć wszystkie macierze o wyrazach rzeczywistych komu tujące z macierzą
13 —Elementy algebry abstrakcyjnej
181
17. Rozpatrujemy pierścień macierzy nad ciałom reszt modulo 3. Niech 1 0 /I 2 ° \ /2 B= 1 0 2 A — I2 1 0 ’ \o 1 2/ \o 2 1 Znaleźć A
B i A B.
18. Rozwiązać równania macierzowe A X = 7? i YA — B, jeśli
A
V
*)’
B~
-1 7' 3 5l'
19. Dowieść, że zbiór macierzy postaci a-\-bi -c-\-di
c-| di a—b ij’
gdzie a, b, c, d e R, zaś i — a/ —1, tworzy ciało nieprzemienne izo morficzne z ciałem kwatcrnionów. 20. Udowodnić, że zbiór macierzy /
a - b —c \-d
d c b c a -d a -b d a 1 b —c
o elementach rzeczywistych tworzy ciało izomorficzne z ciałem kwraternionów.
§ 6. IDEAŁY, ROZBICIA REGULARNE PIERŚCIENI I PIERŚCIENIE ILORAZOWE 1. Ideały. W teorii grup, jak widzieliśmy, szczególnie ważną rolę grały podgrupy będące dzielnikami normalnymi. Analogiczną do nich rolę grają w teorii pierścieni podpierścienie będące tzw. ideałami dwustronnymi. Zajmiemy się tu ideałami jednostronnymi i dwu stronnymi. Niepusty podzbiór I t pierścienia R nazywa się jego ideałem ewostronnym, jeśli: 182
1) I t jest podgrupą grupy addytywnej pierścienia R, 2) dla każdego a e I t i dla każdego r e R iloczyn ra g I v Podobnie niepusty podzbiór I p pierścienia R nazywa się jego idea łem prawostronnym, jeśli: 1) I p jest podgrupą grupy addytywnej pierścienia Ił, 2) dla każdego a e / i dla każdego r e R iloczyn ar GI p. Wreszcie niepusty podzbiór I pierścienia R nazywa się jego ideałem dwustronnym, jeśli I jest zarówno ideałem lewostronnym, jak i pra wostronnym pierścienia R ; a więc ideałem dwustronnym pierścienia R nazywa się podgrupa I grupy addytywnej pierścienia Ił, mająca tę własność, że dla każdego a e O i dla każdego r e R ra g I
i
ar e 1.
Warunek 1 na to, by zbiór I I był ideałem lewostronnym w pierś cieniu R (lub I p ideałem prawostronnym, lub I ideałem dwustron nym), można napisać tak: jeśli a, b e l l (odpowiednio a, b e 7 lub a, b e l ) , to a-—b e Ti (odpowiednio a—b e l p lub a—b e l ) , co wy nika z twierdzenia 2' z III. § 3.1. Warunek 2 na to, by podzbiór pierścienia R był jego ideałem (lewostronnym, prawostronnym, dwustronnym), można również na pisać, używając w tym celu pojęcia iloczynu kompleksowego w półgrupie multyplikatywncj pierścienia (por. ITT. §4.1). Warunek ten zapisze się dla ideałów (odpowiednio lewostronnych, prawostron nych, dwustronnych) tak: (IV.26)
R l{ c I (> . I / i c I p,
RI cz I
i
I R cz 1.
Jak wynika z definicji, ideał (tjednostronny, dwustronny) danego pierścienia j est jego podpierścieniem. Aby to wykazać, wystarczy tylko sprawdzić, że zbiór I t (odpowie dnio TpJ) jest zamknięty względem mnożenia w R, tj. że l ll l cz Ll (od powiednio, że I I p c= I p, I I cz 7), co zachodzi na podstawie (TY.26). W pierścieniu przemiennym każdy ideał jest oczywiście dwu stronny. 13
;
183
2. Przykłady ideałów. Podamy obecnie kilka przykładów ideałów
w różnych pierścieniach. 1) Każdy pierścień R zawiera dwustronne ideały trywialne {0} i R. Istotnie, {0} i R są podgrupami grupy addytywnej pierścienia R, przy czym &R — R 0 = 0 i R R <= R. Ideały te nazywamy nie właściwymi, każdy ideał różny od powyższych nazywamy właś ciwym. 2) Podpierścień liczb parzystych jest ideałem (oczywiście dwu stronnym) w pierścieniu liczb całkowitych. W ogóle każdy pierścień wielokrotności całkowitych danej liczby całkowitej jest ideałem w pierścieniu liczb całkowitych. 3) Rozpatrzmy pierścień F wszystkich funkcyj ciągłych, zada nych w przedziale <0, 1) i przyjmujących wartości rzeczywiste, ze zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia. Zbiór II funkcyj h(x) g F takich, że dla pewnego ustalonego x0 e <0, 1) zachodzi k(x0) = 0, jest ideałem w F. Rzeczywiście, jeśli — 0 i h2(xQ) = 0, tzn. jeśli hx(x), Ji2(x ) g H, to i hl(x) —h2(x) g I I ; jeśli h{x)GHi zaś f(x) jest dowolną funkcją zc zbioru F, wówczas h (xQ)f(x0) = 0, a więc 1i{x) f(x) e II. 4) W pierścieniu ciągów liczbowych zbieżnych o wyrazach na przykład rzeczywistych podzbiór ciągów zbieżnych do zera jest ideałem. Istotnie, jeśli lim an — 0
i
«-> oo
lim bn — 0, »-> oo
to lim(an—bn) = liman—limón = 0; n—>oo
n- >oo
w—* oo
dla każdego zaś ciągu zbieżnego {crt} lim(ancn) = liman'limcn = 0. n—>oo
n >oo
n-> oo
5) Ciało zawiera jedynie ideały niewłaściioe. Rzeczywiście, niech I t będzie ideałem lewostronnym ciała P. Jeśli I, # {0}, to I ( musi zawierać element ciała « ^ 0 , ale wówczas P zawiera element a -1, stąd zaś wynika, żc e = a~ya g I b a więc dla każdego b g P mamy eb — b g Tt. Tak więc P c I h skąd wobec l t c= P mamy l t — P. 184
Podobnie każdy ideał prawostronny jest w ciele ideałem niewła ściwym. a więc i każdy ideał dwustronny też jest niewłaściwy. 6 ) Niech a będzie dowolnym, ale ustalonym w tym rozumowaniu elementem pierścienia komutatywnego R. Rozpatrzmy podzbiór elementów pierścienia R postaci
gdzie r przebiega pierścień R, zaś n przebiega zbiór liczb całkowitych (a więc n •a jest n-tą wielokrotnością elementu a). Oznaczmy rozpa trywany zbiór przez (a). Wykażemy, że (a) jest ideałem w R. Rzeczy wiście. ( m - f - r d ) —
(r'a-\-n''Ct)
=
(r ~r ') a- \( n —n’)-a,
gdzie / e R, zaś n' jest liczbą całkowitą. A więc różnica dwóch ele mentów zbioru (a) należy do (a). Jeśli teraz q jest dowolnym elemen tem pierścienia, to q(ra-\-n'd) ~ q(ra)Ą-q(n'a) = (qr)a-\- (w q)a = {qr-\-n.' q)a = — (qrĄ-n-q)a | O = rp/4-O-ae {a), gdzie rx — qr-\~n-q. Ideał (a) nazywa się ideałem głównym generowanym przez element ci. Ma on tę własność, że zawiera się w każdym ideale zawierającym element a, czyli jak zwykle się mówi, jest najmniejszym ideałem zawierającym ci. Rzeczywiście, niech pewien ideał I zawiera a. Wów czas n ‘Cie I oraz ra e / dla dowolnej liczby całkowitej n i dowol nego r e R, a więc ra-\-n-a GI, skąd (ci) c: /. Oczywiście (&) jest ideałem głównym składającym się z samego zera pierścienia. Jeśli R zawiera jedność e, to (e) — R jest ideałem głównym. 7) Niech L będzie pewną krzywą płaską, którą możemy zadać analitycznie równaniem
jest najlepszym opisem krzy wej L . Uwaga ta pozwala zrozumieć, dla czego pojęcie ideału jest pojęciem podstawowym przy nowoczesnym ujęciu algebraicznej geometrii krzywych i powierzchni. 8) Podamy teraz przykłady ideałów jednostronnych. W pierście niu macierzy stopnia n nad danym ciałem P zbiór macierzy, których ostatnia kolumna składa się z samych zer, jest ideałem lewostronnym, zbiór zaś macierzy, których ostatni wiersz składa się z samych zer, jest ideałem prawostronnym. 3. Związek ideałów dwustronnych z rozbiciami regularnymi pier ścieni. Klasy reszt i kongruencje. Będziemy obecnie rozważali jedynie ideały dwustronne, opuszczając przeważnie dalej, ze względu na to, słowo dwustronny. Niech R będzie pierścieniem, zaś I jego ideałem. Wówczas I, będąc podgrupą grupy addytywnej pierścienia R, jest — ze względu na jej abelowość — dzielnikiem normalnym tej grupy. Jak wiadomo, dzielnik normalny I generuje rozbicie grupy, w danym przypadku grupy addytywnej pierścienia R, na warstwy, przy czym rozbicie to jest regularne (p. III. § fi.2). Tak więc rozbicie pierścienia R na kla sy rozłączne, będące rozłożeniem jego grupy addytywnej na warstwy, generowanym przez 7, jest rozbiciem regularnym R względem do dawania. Powstaje pytanie, czy rozbicie to jest regularne także względem mnożenia. Odpowiedź na to daje następujące Twierdzenie 1. Rozbicie pierścienia R na klasy rozłączne, będące warstwami jego grupy addytywnej w rozkładzie generowanym przez ideał dwustronny 7, jest regularne względem mnożenia. Dowód. Niech A i R będą warstwami w rozkładzie grupy addy tywnej pierścienia R, generowanym przez dzielnik normalny I tej grupy, będący ideałem pierścienia. Niech dalej ax, a2e A i bx, b2 e B. Należy wykazać, że iloczyny axby i a2b2 należą do tej samej warstwy. Rozpatrzmy wyrażenie axbx—a2b2. Można jo przekształcić w na stępujący sposób: axbx—a2b2 = axby—a2bx+a2bx—a2h2 = {ax—a2)bx \ a2(bx—b2). Ale ax—a.2 e I oraz bx—b2 e 7, więc zgodnie z definicją ideału K —
1
(h ( bi—bz) e 7
i suma tych wyrażeń też należy do 7. A więc
skąd wynika, żc albl i ct2b2 należą do tej samej warstwy w rozkładzie grupy addytywnej pierścienia (p. III. § 6.3) i rozbicie, o którym jest mowa w twierdzeniu, jest regularne. Powstaje pytanie, czy każde rozbicie pierścienia, regularne wzglę dem obu działań, jest generowane w podobny sposób, czyli czy za chodzi twierdzenie odwrotne do udowodnionego. Twierdzenie 2. Jeśli dane jest rozbicie n pierścienia R, regularne względem obu działań w pierścieniu, to la klasa I rozbicia n, która za wiera zero pierścienia, jest ideałem dwustronnym, pozostałe zaś klasy są warstwami grupy addytywnej pierścienia w jej rozkładzie genero wanym przez ideał 1. Dowód. Niech n będzie rozbiciem pierścienia R, regularnym względem dodawania i mnożenia. Niech 0 należy do klasy 1 tego rozbicia. Wówczas I jest dzielnikiem normalnym w grupie addytyw nej pierścienia R, pozostałe zaś klasy są warstwami względem tego dzielnika normalnego (p. III. § 6.2). Wykażemy, że 1 jest ideałem pierścienia R. Niech a e I, zaś r oznacza dowolny element pierścienia R. Wów czas ar należy do tej samej klasy, do której należy &r — 0, tzn. do 7. Z tej samej przyczyny ra e I, a więc 7 jest ideałem dwustronnym w R, c.b.d.o. K oz bicie n pierścienia R na klasy rozłączne będziemy nazywali regularnym, jeśli jest ono regularne względem obu działań — doda wania i mnożenia. Zreasumujmy otrzymane wyniki: Każdy ideał 1 pierścienia R generuje rozbicie regularne n tego pierścienia i na odwrót, każde rozbicie regularne n pierścienia R jest generowane przez ideał I cz R, przy czym 7 jest tą samą klasą rozbicia u, która zawiera zero pierścienia. Tak więc między zbiorem wszystkich rozbić regularnych pierście nia R i zbiorem wszystkich jego ideałów (dwustronnych) można ustalić wzajemnie j ednoznaczną od po wiedniość. Oznacza to, że wszyst kie rozbicia regularne pierścienia dadzą się opisać za pomocą ideałów tego pierścienia. 187
Rozbicie regularne n pierścienia R generuje w nim relację równo ważności E, która jest kongruencją względem obu działań. Jeśli rozbiciu regularnemu n odpowiada ideał I <=■ R, to możemy również mówić o kongruencji E generowanej przez ideał /. Wzajemnie jedno znaczna odpowiedniość między rozbiciami regularnymi pierścienia R i kongruencjami względem obu działań w nim prowadzi do wzajemnie jednoznacznej odpowicdniości między ideałami tego pierścienia i wspomnianymi kongruencjami. Kongruencję E względem obu działań w R będziemy nazywali po prostu kongrucncj ą. Niech ideał I R generuje kongruencję E. Dwa elementy a, b e R należące do tej samej klasy rozbicia regularnego ti, odpowia dającego kongruencji E, nazywamy przystającymi według ideału 1 lub według modułu I (por. III. § 6.3) i piszemy (IV.27)
a = h (mod/)
lub
a = b(l).
Klasy elementów przystających (tj. klasy abstrakcji kongruencji E) nazywamy klasami reszt według modułu l lub nieco krócej klasami reszt modliło I. Wzór (IV.27) również nazywa się kongruencją. Ze względu na regularność rozbicia n kongruencję można dodawać i mno żyć stronami; jeśli np. a b(I) i c = d(I), to a-\-c == b-\-d(I) oraz ac ~ bd(I). Łatwo przekonać się, że kongruencję można odejmować stronami; jeśli np. a — b(I) i c = d(I), to a—c = b—d(I). Dowód tego pozostawiamy Czytelnikowi. Jeśli I jest ideałem głównym pierścienia (p. przykład 6 z po przedniego ustępu) generowanym przez element ą e R, to kongruencja zapisze się a z- b (mod (q)) lub a = b((q)) lub po prostu az^b(q). Rozpatrzmy dla przykładu jako R pierścień liczb całkowitych, zaś jako ideał 1 w nim podpierścień liczb podzielnych przez n. Jest to 188
ideał główny, przy czym I = (n), co łatwo się sprawdza. Generuje on rozbicie pierścienia R na klasy rozłączne liczb całkowitych: do tej samej klasy należą te i tylko te liczby, które przy dzieleniu przez n dają te same reszty. Tak więc kongrucncja a == b((n)) jest tu niczym innym, jak znaną Czytelnikowi kongruencją teorioliczbową a = b (mod?i), działania zaś na tych ostatnich są szczególnym przypadkiem dzia łań na kongruenojach w pierścieniach. 4. Pierścienie ilorazowe. Związek liomomorfizmów pierścieni z ideałami dwustronnymi. W III. § 6.3 rozpatrywaliśmy grupy ilo razowe i związek homomorfizmów grup z dzielnikami normalnymi. W niniejszym ustępie będziemy rozpatrywali analogiczne zagadnienia w przypadku pierścieni. Niech R będzie pierścieniem, zaś I jego ideałem, generującym rozbicie regularne n, a więc i kongruencję E. Rozpatrzmy zbiór ilorazowy R/E i odwzorowanie naturalne y>: R —>Rj E. Wobec regu larności rozbicia n zbiór R/E jest zbiorem z dwoma działaniami (p. IT. § 2.3) i odwzorowanie y>jest homomorfizmem pierścienia R na R/E, skąd wobec twierdzenia z IV. §3.1 R/E jest pierścieniem. R/E nazywamy pierścieniem ilorazowym pierścienia R względem kongruencji E. Zerem w R/E jest oczywiście ta klasa I rozbicia regularnego n , która zawiera zero pierścienia R, gdyż przy homom orfizmie pier ścieni zero przechodzi w zero. Jak wiemy z poprzedniego ustępu, klasa ta jest ideałem w R, odpowiadającym danemu rozbiciu regular nemu 7i (lub kongruencji E). Biorąc pod uwagę wzajemnie jedno znaczną odpowiedniość istniejącą między zbiorem wszystkich rozbić regularnych pierścienia i zbiorem wszystkich jego ideałów (dwustron nych), możemy mówić o pierścieniu ilorazowym pierścienia R wzglę dem jego ideału I i pisać Rfl. Wówczas homomorfizm naturalny pierścienia R na jego pierścień ilorazowy RjJ zapisze się y>\ R- > R/I. Tak więc możemy wypowiedzieć Twierdzenie. Każdy pierścień R możemy odwzorować homomorficznie na dowolny jego pierścień ilorazowy Rjl, gdzie I jest ideałem iv R. 189
Biorąc pod uwagę powyższe rozważania i twierdzenie 2 o homomorfizmach grupoidów, otrzymujemy: Jeśli q>jest odwzorowaniem homomorficznym pierścienia R na pier ścień R', to istnieje taki ideał I c R t że R' Rfl, Reasumując, otrzymujemy podobnie jak w przypadku grup (p. III. § 6.3) następujące Twierdzenie. Zbiór I przeciwobrazów zera pierścienia R' przy homomorfizmie cp: R —>R' jest ideałem w R, pozostałe zaś klasy elementów pierścienia R, będące każda zbiorem przeciwobrazów tego samego elementu pierścienia R', są klasami reszt względem tego ideału. Ostatecznie: Każdy pierścień R', będący obrazem homomorficznym danego pierścienia R, jest izomorficzny z pierścieniem ilorazowym R fl, gdzie 7 jest tym ideałem w R , którego elementy są przeciwobrazami zera pierścienia R?. Wprowadzając — podobnie jak w przypadku grup — pojęcie jądra homomorfizmu cp jako zbioru przeciwobrazów zera pierścienia R' przy homomorfizmie cp:R—> R', możemy powiedzieć, że Ideały dwustronne danego pierścienia i tyłko one są jądrami wszel kich możliwych jego homomorfizmów. Udowodnimy teraz następujące Twierdzenie. Jedynymi odwzorowaniami homomorficznymi ciała na ciało są izomorfizmy. Niech P i P' będą ciałami i
Ć WIC Ż E N I A
1. Dowieść, że iloczyn mnogościowy dwóch (i w ogóle dowolnego zbioru) ideałów lewostronnych (prawostronnych) danego pierścienia jest jego ideałem lewostronnym (prawostronnym). 2. Niech li będzie sumą prostą pierścieni R y i i?2 (p- IV. § 1.4 przykład 15). Udowodnić, że zbiór elementów pierścienia li postaci (a, 0), gdzie a e R}, jak również zbiór elementów (0, h), gdzie b e R2, jest ideałem (dwustronnym) w R. 3. Dany jest pierścień R. Wykazać, że jeśli av ci2, ..., an e R są ustalonymi elementami pierścienia, to zbiór elementów postaci • • • J^ xnCi)v gdzie xx, x2, . . ., xn są dowolnymi elementami pierścienia R, jest ideałem lewostronnym pierścienia, zaś zbiór elementów postaci • • • JTanXn jest ideałem prawostronnym. 4. Czy kongrucncje w pierścieniu liczb całkowitych można dzielić stronami przez jedną i tę samą liczbę? 5. Wykazać, że kwadrat liczby całkowitej niepodzielnej przez 3 przystaje do liczby 1 modulo 3. 6. Korzystając z kongruencji w pierścieniu liczb całkowitych udowodnić, że dla naturalnych n > 1 liczby 4*22”+ l są wszystkie złożone. 7. Korzystając z kongruencji w pierścieniu liczb całkowitych dowieść, że liczby postaci 7nJrln —7w(w +1)4-1 przy każdym natu ralnym n dzielą się przez 36. 8. Które z następujących przyporządkowań są homomorfizmami ? Jeśli przyporządkowanie jest homomorfizmem, opisać ideał przepro wadzony w zero: a) cup = a2+ 3, gdzie a e C; b) cup = oa (a e C); c) (f('x))
9. Znaleźć wszystkie ideały w pierścieniu reszt rnodulo 6. Znaleźć wszystkie obrazy homomorficzne tego pierścienia. To samo dla pierścienia reszt modulo 24. 10. To samo, co w ćwiczeniu 9 dla pierścienia reszt modulo m
§ 7. CIAŁA I. Zanurzenie pierścienia całkowitego w ciele. Rozpatrzymy teraz w pewnym szczególnie ważnym przypadku kwestię zanurzalnośei pierścieni w ciałach (przypominamy, że mówimy tu stale tylko o pier ścieniach łącznych). Pierścień przemienny bez dzielników zera nazywa się pierścieniem całkowitym1). Zachodzi następujące Twierdzenie 1. Każdy 'pierścień całkowity można zanurzyć izomor ficznie w ciele przemiennym. Dowód. Niech będzie dany pierścień całkowity R\ jego ele menty będziemy oznaczali małymi literami łacińskimi. Rozpatrzmy zbiór D (R) wszystkich par uporządkowanych (a, b), gdzie a, b e R, przy czym b # B. W zbiorze D{R) wprowadzamy następującą relację ■ — między parami: {a, h) ~ (c, d) wtedy i tylko wtedy, gdy ad = bc. Zwrotność i symetryczność relacji ~ są oczywiste. Jeśli teraz (a, b) ~ (c, d) i (c, d) ~ (e,/), to ad = bc
i
cf — de,
skąd adf = bef
i
bef = bde,
a więc adf = bde, skąd wobec tego, że w pierścieniach całkowitych można skracać przez elementy różne od zera i d =£ B jako drugi element jednej z par, af = be i (a , b ) ~ ( e , f ). >) Niektórzy autorzy nazywają pierścieniom całkowitym pierścień przemien ny bez dzielników zera z jednością.
192
Tak więc ~ jest relacją równoważności w D(R) i rozbija ten zbiór na klasy abstrakcji. Klasę elementu (a, b) będziemy oznaczali przez (a, by, zaś zbiór ilorazowy T)(R)l ^ przez A (R ). W D (R ) określamy działania w następujący sposób: (a, b)@(c, d) — (ad+bc, bd),
(a, b)Q(c, d) = (ac, bd).
Działania te są wykonalne w D(R), gdyż bd + O. Wykażemy, że relacja ~ jest kongruencją w zbiorze D (R) względem każdego z tych działań. Rzeczywiście, niech (a, b) ^ (a', b') i (c, d) ~ (c', d'). Wy każemy, że wówczas (a, b)0(c, d) ~ (a', b')0(c', d'). Mamy (IV.28)
ab' = ba'
i
cd’ = dc/.
Stąd ab'cd' — ba'dc' i (ac, bd) ~ (a'c/, b'd'). Wykażemy, że (a, b)@(c, d) ~ (a’, 6')©(c', d') lub, co na jedno wychodzi, że (ad-\-bc, bd) ~ (a'd' +b'c', b'd'). Równoważność ta oznacza, że adb'd' -\-bcb'd' = hda/d' -Ą-bdt/c', ta zaś równość jest oczywista, jeśli porównać oddzielnie pierwsze i oddzielnie drugie składniki, biorąc przy tym pod uwagę (TV.28). Ponieważ rozbicie jest regularne, generuje w zbiorze A (R ) dzia łania (a, 6>®
i
(a, b y o ( c , dy =
Udowodnimy, że A (R) z działaniami © i O jest ciałem przemien nym. Wykażemy po pierwsze, że A (R) jest grupą abelową względem działania ©. Istotnie, (
(a, 6 > ® « c , d > © < e ,/ » =
= (a, by®
a więc © jest działaniem przemiennym. Pozostawiamy Czytelnikowi do sprawdzenia, że klasa (O, by, gdzie b jest dowolnym elementem pierścienia R (różnym od zera), jest elementem neutralnym działania © i że dla każdego (a, by e g A(R) element <—a, by ma tę własność, że (a, &>©<—a, by — =
< 0 , 6 >.
A (R) jest- półgrupą abelową względem działania O j istotnie, (O , b y o ( c , d y ) o ( e , f y = = <[a,c, b d y O ( e , f y =
= <«, 6 > 0 « c ,d > 0 < c ,/» . Przemienność działania O jest oczywista. Działanie O jest rozdzielne względem działania ©: <«» &>0«c, d>®
z drugiej zaś strony, K®. &>0
gdyż, jak łatwo spostrzec, elementy określające te klasy są równo ważne. Tak więc udowodniliśmy, że /l(J?) jest pierścieniem przemien nym. Aby wykazać, że jest to ciało, wystarczy sprawdzić, że zbiór elementów pierścienia Zl (R) bez elementu zerowego stanowi grupę względem działania O (p. IV. § 2.2), innymi słowy należy sprawdzić, że jeśli a ^ 0 i c # <9, to równanie <«> b y o ( x , yy =
ma rozwiązanie w A (R), nie będące klasą zerową <[0, k}. Wykonując w ostatniej równości mnożenie, otrzymujemy (ax, by> =
g
R, że
adx = bcy, przy czym x, y ^ 0. Aby ostatnie równanie było spełnione, wystar czy przyjąć x = bc i y — ad. Udowodnimy teraz, że A (R) zawiera podpierścień izomorficzny z R. Zauważmy w tym celu, że dla danego dowolnego a e R i dla każdego b i b' z R, gdzie b, b' ^ 0, zachodzi (ab, b} = (ab', b Wykażemy teraz, że zbiór R ’ elementów (ab, by ciała A(R) tworzy w nim podpierścień izomorficzny z R. Odwzorowanie izomorficzne < p \R ^ R ' określamy w następujący sposób: a(p = (ab, by. jest oczywiście odwzorowaniem R na R ', wzajemna zaś jednoznacz ność wynika z tego, że jeśli a ^ ax, to musi być (ab, by 7 ^ (axb, by, gdyż w przeciwnym razie mielibyśmy ab2 — axb2, skąd a — ax, wbrew założeniu. Mamy wreszcie {ax+ a2)
=
i (axa2)(p
=
({axa2)b, by
=
< ( axa2)b2, 62> =
(y xh'a2b, b-by
=
= (axb, byO(a2b, 6) = axcp'a2
Twierdzenie 2. Ciało A (E) jest izomorficzne z najmniejszym pod ciąłem 8 ciała P, zawierającym U1). Dowód. Rozważmy zbiór wszystkich elementów ab '1, gdzie a, b e E , przy czym h ^ 0. Czytelnik łatwo sprawdzi, że jest to podciało ciała P. Z drugiej strony, każdo podciało ciała P zawierające E musi zawierać 8 (ze względu na wykonalność dzielenia). Stąd 8 jest najmniejszym ciałem zawierającym pierścień E. Rozpatrzmy odwzorowanie cp:A (E)—>8, przyporządkowujące ele mentowi (a, h > element ab~1. Z określenia działań w ciele A (E) wy nika że (p jest liomomorfizmem. Tak więc na mocy ostatniego z twier dzeń z § 0.4 jest izomorfizmem, co kończy dowód. Elementy (ci, by ciała ułamków A (E) pierścienia całkowitego E zapisuje się w postaci
i nazywa się zwykle ułamkami; działania na
nich wykonuje się w myśl definicji, jak działania na zwykłych ułam kach w ciałach liczbowych: a c T)+ ~d ^
ad-\-bc bd ’
a c ac ~b" ~d ~ ~bd
(Piszemy tu + zamiast © i • zamiast O)- Elementy
utożsamiamy
z odpowiadającymi im w pierścieniu E na mocy izomorfizmu cp ele mentami a i zapisujemy je w A (E) po prostu w postaci a. Jednością ciała jest element
b
Podamy teraz dwa przykłady ciał ułamków, zbudowanych dla danych pierścieni całkowitych. Rozważając pierścień liczb całko witych C, otrzymamy jako A (C) ciało liczb wymiernych; w ten właśnie sposób wprowadza się zwykle liczby wymierne w arytmetyce teoretycznej. Niech teraz P będzie dowolnym ciałem przemiennym, zaś P[x] pierścieniem wielomianów nad P. Wówczas, jak wiadomo (p. IV. §5.3). P[x\ jest pierścieniem całkowitym. Jego ciałem ułamków będzie tzw. ciało funkcji wymiernych nad P, tj. ciało ułamków postaci x) To, że S jest najmniejszym podciąłem ciała P zawiez-ającym R, oznacza, że S zawiera się w każdym innym podciele ciała P zawierającym R (por. V. § 4.2, przykład 5).
196
/(a?) _ a0xn-\-alxn x+ • • • +% g (x) b0xm+ hxxm~1+ . . . -1-hm ’ gdzie g{x) ^ 0. Twierdzenie B. Jeśli pierścienie całkowite R i S są izomorficzne, to również ich ciała ułamków ń{R) i /1($) są izomorficzne. Dowód. Niech
Będziemy to przyporządkowanie też oznaczali symbolem
bi^K i)
*
a więc acp bcp
ccp dep ’
to musi być acp'dep = bcp'cep, skąd (ad)
c d
Mamy następnie a c
ac
nr^Kbd'*
(iac)cp (bd)cp
acp'ccp bcp-dcp
acp ccp bcp dep
(ad-\-bc)cp t ad-\-bc\ a c\ Cp =: {bd)cp b~+ 'd ) (p== \ bd ) bc (ad)cp (bc)cp I ad\ bd
b/*\ ię
{ad)cp-\-{bc)cp {bd)cp bir + \ i ę197
Twierdzenie zostało udowodnione. Przypatrzmy się teraz założeniu twierdzenia 1. Warunek, by pier ścień E nie zawierał dzielników zera, jest oczywiście konieczny, jeśliby bowiem E zawierał dzielniki zera, nie mógłby być zanurzony w ciele, które, jak wiemy, zawierać ich nie może. Powstaje pytanie, czy nie można w założeniu twierdzenia opuścić warunku, by E był pierścieniem przemiennym. Otóż okazuje się, że dla pierścieni nieprzemiennych bez dzielników zera twierdzenie o zanurzeniu w ciele na ogół nie zachodzi. A. I. M alce w zbudował pierścień nieprzemienny bez dzielników zera, którego, jak wykazał, nie można zanurzyć w ciele. Zachodzi natomiast następujące twierdzenie, które udowodnili niezależnie od siebie O. Ore i J. H. N. W ed d e rb u rn . Twierdzenie. Jeśli 'pierścień bez dzielników zera spełnia warunek: dla dowolnych a, b e E istnieją elementy c, d e R różne od zera takie, że ac — bd, to E można zanurzyć w ciele. Twierdzenie 1 jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Orego i Wedderburna, gdyż w przypadku pierścienia przemiennego wystar czy przyjąć c = h i d = a. 2. Ciało proste. Charakterystyka ciała. Ciało nazywa się proste jeśli nie zawiera żadnego podciała właściwego. Twierdzenie 1. Każde ciało zawiera jedno i tylko jedno poddało proste. Dowód. .Tale wiemy z twierdzenia 2 z TV. § 4.1, część wspólna dowolnego zbioru podciął danego ciała P jest jego podciąłem. Część wspólna zbioru wszystkich podciął ciała P jest jego podciąłem nie za wierającym oczywiście żadnego podciała właściwego, jest więc cia łem prostym. Gdyby P zawierało dwa podciała proste K x i K.2, wtedy ich część wspólna K 1r\T{2, będąc ciałem, byłaby zawarta w K x i w K 2: K vr \K 2 <= Kx
i
K xr \ K 2 <= K v
skąd wobec tego, że K x i K %są proste, Kxr \ K? = K x = K 2. Twierdzenie 2. Każde ciało proste jest izomorficzne albo z ciałem liczb wymiernych, albo z ciałem reszt modulo p, gdzie p jest liczbą pierwszą. 198
3'
Dowód. Niech P będzie ciałem prostym. Oczywiście P musi zawierać jedność ciała e, a także wszystkie wielokrotności całkowite n-e jedności. Zbiór {we} oznaczmy przez TT i rozpatrzmy odwzoro wanie cp:C 77, gdzie C jest pierścieniem liczb całkowitych, zadane w następujący sposób: wp — n - e .
Jest to odwzorowanie C na 17, przy czym homomorficznc: = nepA-mcp, — n m •e — n m •e2 = ( n- e ) ( m- e ) = nrp-mcp.
(n-\-m )tp — ( n - \ - m ) - e = n - e - \ - m ' e (nm)(p
r
17 jako obraz homomorficzny pierścienia przemiennego jest pier ścieniem przemiennym. Zauważmy, że grupa addytywna pierścienia 17 jest grupą cykliczną generowaną przez element e. Możliwe są więc dwa przypadki (p. III, § 3.4): 1) Grupa addytywna pierścienia 77 jest cykliczna nieskończona. Wówczas, jeśli n m, to n-e m-e, a więc wp ^ rrup i
199
ale C/(p) jest pierścieniem reszt modulo p, gdzie p jest liczbą pierwszą, a więc ciałem (p. TV. § 2.3, przy7kład 3). Twierdzenie zostało udowod nione. Tak więc istnieją .tylko dwa typy ciał prostych: l) ciała proste nieskończone, izomorficzne z ciałem liczb wymiernych, a więc z do kładnością do izomorfizmu tylko ciało liczb wymiernych; 2) ciała proste skończone, izoformiczne z ciałami reszt modulo p, gdzie p jest liczbą pierwszą, a więc z dokładnością do izomorfizmu tylko ciała reszt modulo p. Jak widzimy, Wszystkie ciała proste są przemienne. Niech ,P będzie ciałem zawierającym ciało proste K (w szcze gólności oczywiście P = K). Charakterystyką ciała P nazywamy liczbę całkowitą nieujemną %(P) określoną w sposób następujący7:
gdzie W oznacza jak zwykle ciało liczb wymiernych, zaś Cp — ciało reszt modulo p. Charakterystyka ciała może więc być albo zerem, albo liczbą pierwszą1). Jak wynika z poprzednich rozważań, w ciałach o charakterystyce 0 dowolna całkowita wielokrotność jedynki ciała n-e, gdzie n # 0, jest różna od zera. Natomiast w ciałach o charakterystyce p mamy p-e. — ©, przy7 czynu p jest najmniejszą liczbą naturalną o tej włas ności . Zachodzi również następująco Twierdzenie. Jeśli P jest ciałem i %(P) = p ^ 0, to dla każdego © a e P wyrażenie p-a = 0, przy czym p jest najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Dowód. Mamy p>a = p'ea — ea-\-ea-\- . . . -f-ea = (e+ e+ . . . Ą-e)a = p
ra z y
p
razy
= (p'e)a = ©a = © Jeśli dla pewnego n e N zachodzi n-a = 0 , przy czym n ^ p l) Niektórzy autorzy nazywają ciała, zawierające podciało proste izomor ficzne z ciałem liczb wymiernych, ciałami o charakterystyce oo.
200 \
i a ^ 0, to musi być (n-e)a — O. Ponieważ jednak w ciele nie ma dzielników zera, więc musi być n-e = 0, skąd n — p. Łatwo jest również dowieść, że: Jeśli w ciele P zachodzi p*e — Q i p jest najmniejszą liczbą na turalną o tej własności, to p musi być liczbą pierwszą i P jest ciałem o charakterystyce p. Stąd, biorąc pod uwagę rozważania przeprowadzone wyżej, mo żemy podać inną definicję charakterystyki ciała, równoważną z po przednią: mówimy, że ciało ma charakterystykę zero, jeśli równość n-e = & (n jest liczbą całkowitą) jest możliwa tylko wtedy, gdy n = 0; ciało ma charakterystykę p, gdy istnieje taka liczba p e N , że p-e = <9, przy czym p jest najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Wszystkie ciała liczbowe są oczywiście ciałami o charakterystyce 0, gdyż zawierają ciało liczi) wymiernych. Również ciało kwaternionów jest ciałem o charakterystyce 0. Oczywiście każde ciało skończone jest ciałem o charakterystyce p ; istnieją również ciała nieskończone o tej własności. O ciałach skończonych dowodzi się, że liczba ele mentów takiego ciała jest potęgą pn jego charakterystyki i że dla dowolnej liczby p i dowolnego n naturalnego istnieje ciało skoń czone o pn elementach. Dowodzi się też, że wszystkie ciała skoń czone o tej samej liczbie elementów są izomorficzne. Każde ciało skończone jest przemienne. Teoria ciał przemiennych związana jest bezpośrednio z teorią rów nań algebraicznych, w szczególności z zagadnieniami rozwiązalności tych równań przez pierwiastniki. Zagadnienia te stanowią przedmiot oddzielnej teorii, tzw. teorii Galois i wychodzą poza ramy niniejszej książki. ĆW ICZEN IA
1. Niech a i- Q będzie elementem ciała o charakterystyce p. Wówczas z n-a = m-a {n, m e N ) wynika, że n = m (mod p) i na odwrót. Dowieść. 2. Udowodnić, że dla dowolnych elementów a i b ciała przemien nego o charakterystyce p zachodzą równości: (a+b)p = ap-\-bp,
(a~ b )p = ap- b p. 201
3. Dowieść, że dla dowolnych a i b, będących elementami ciała przemiennego o charakterystyce p, zachodzą równości: n
n
n
n
n
(«+fc)p = ap + bp , ,
,
{ a— b)v
gdzie n jest liczbą naturalną.
n
= a p — bp ,
BIBLIOGRAFIA Algebra abstrakcyjna B. L. v a n d e r W a e r d e n , Algebra, I, Berlin 1964 (I w ydanie z roku 1930 i dw a następne nosiły nazw ę Modernę Algebra) A. G. K u r o s z , Algebra ogólna, W arszaw a 1965 (przekład z rosyjskiego) A. M o s to w s k i i M. S t a r k , Algebra wyższa, I I I , W arszaw a 1966 G. B i r k h o f f i S. M a c L a n e . Przegląd algebry współczesnej, W arszaw a 1966 (przekład z angielskiego) A. G. K u r o s z , Tieorija grupp, Moskwa 1967 M. H a ll, The theory of groups, N ew Y ork 1959 (jest przekład rosyjski) S. L a n g , Algebra, 1965 (jest przekład rosyjski) J . B r o w k in , Wybrane zagadnienia algebry, W arszaw a 1968 P . S. A le k s a n d r ó w , Wstęp do teorii grup, W arszaw a 1956 (przekład z ro syjskiego) Enciklopiedija elemientarnoj matiematiki, I, Arifmietika, M oskw a-Lenin g rad 1951
Algebra wyższa A. M o s to w s k i i M. S t a r k , E lem enty algebry wyższej, W arszaw a 1965 A. M o s to w s k i i M. S t a r k , A lgebra w yższa, I i l i , W arszaw a 1953 i 1954 W . S i e r p i ń s k i , Z asady algebry wyższej, W arszaw a 1951 A. G. K u r o s z , Kurs wysszej algiebry, Moskwa 1968 L. J . O k u n ic w , Wysszaja algiebra, Moskwa 1966 Z. O p ia l, Algebra wyższa, W arszawa 1967 (skrypt) A. S. B i a ł y n i c k i — B i r u l a i A. M o s to w s k i, Algebra (skrypt dla stu d e n tów I roku m a tem aty k i), W arszaw a 1968 Enciklopiedija elemientarnoj matiematilci, TT, Algiebra, Moskwa — L en in g rad 1951
Arytmetyka
teoretyczna i teoria liczb
W . Sierp i lis k i, Arytmetyka teoretyczna, W arszaw a 1968 J . S łu p e c k i, Z. G a r b a j i T. S a w ic k i, Arytmetyka i algebra dla Studiów Nauczycielskich, W arszaw a 1968 W. S i e r p i ń s k i , Teoria liczb, W arszaw a 1950 I. W in o g r a d ó w , Elementy teorii liczb, W arszaw a 1954 (przekład z ro syjskiego) W . S i e r p i ń s k i , Wstęp do teorii liczb, W arszaw a 1965
203
Teoria mnogości K. K u r a to w s k i, Wstęp do teorii mnogości i topologii, W arszaw a 1965 J . Słupecki i L. B o r k o w s k i, Elementy logiki matematycznej i teorii mnogości, W arszaw a 1963 W. Si e r p i lis k i, O teorii mnogości, W arszaw a 1964 W . S i e r p i ń s k i , Wstęp do teorii mnogości i topologii, W arszaw a 1965 II. R a s i o w a , Wstęp do matematyki współczesnej, W arszaw a 1968
Geometria F . L eja, Geometria analityczna, W arszaw a 1966 M. S t a r k , Geometria analityczna, W arszaw a 1967 N. W . Jefim ow , Wysszaja gieomietrija, M oskw a-Leningrad 1961 P .S . M o d ie n o w i A. S. P a r c h o m i e n k o , Przekształcenia geometryczne, W arszaw a 1967 (przekład z rosyjskiego)
SKOROWIDZ SYMBOLI a eA ai A AC B A = B A ^J B A ^B
A \ B A j_ £ A X A Gt x
R Z Q
D C„ Sn A*
— — — — — —
a należy do zbioru A , a je st elem entem zbioftt A a nie należy do zbioru A , nie jest elem entem zbioru A A je st podzbiorem zbioru B
równość zbiorów sum a mnogościowa zbiorów iloczyn mnogościowy (przekrój, część wspólna) zbio rów — różnica mnogościowa zbiorów — różnica sym etryczna zbiorów — k w adrat kartezjański zbioru — iloczyn prosty grup — sum a prosta pierścieni — zbiór pusty — odwzorowanie zbioru w zbiór — przedział dom knięty — przedział o tw arty — liczba a dzieli liczbę 6 — relacja (dwuczłonowa) — relacja równoważności — zbiór ilorazowy — g ru p a ilorazowa — pierścień ilorazowy — przystaw anie liczb całkow itych modulo m — przystaw anie elem entów gru p y względem dzielnika norm alnego « — przystaw anie elem entów pierścienia względem ideału — zbiór liczb naturalnych — zbiór liczb całkow itych — zbiór liczb w ym iernych — zbiór liczb rzeczyw istych — zbiór liczb zespolonych — zbiór kw aternionów — zbiór liczb Cayley’a (oktaw) — zbiór liczb 0, I, 2, m —1 — grupa sym etryczna stop n ia n — grupa naprzem ienna (alternująca) sto p n ia n
205
O, O, x ,
- wektor
\a\
— długość wektora
a X6 («w)
— iloczyn wektorowy wektorów — macierz — grupa generowana przez zbiór M — grupa cykliczna — ideał główny — pierścień wielomianów nad ciałem P
< i/>
(w) P [« ]
i
i
SKOROWIDZ NAZW (liczby oznaczają stronice) Algebra abstrakcyjna 8 argument kwaternionu 162 asoejator 138 automorfizm 38, 109 Oentralizator zbioru 80 centrum grupy 80 charakterystyka ciała 280 ciało 138 — asocjatywne 139 — funkcji wymiernych nad P 196 — kwaternionów 142 — liczbowe 141 — łączno 139 — ułamków 196 część wspólna zbiorów 11 czynniki 26 Dodawanie 53, 124 — modulo trzy 23 działanie 21 — asocjatywne 25 — binarne 21 — dwuelementowe 21 — dwustronnie rozdzielne 124 — komu taty wno 24 — lewostronnie rozdzielne 124 — łączno 25 — odwrotne 31 — — lewostronne 31 — — — jednoznacznie określone 32 — — prawostronne 31 — — — jednoznacznie określono 32 — prawostronnie rozdzielne 124 — przemienne 24 — rozdzielne 124 dzielnik normalny grupy 98 — zera lewostronny 127 — — prawostronny 127 dzielniki zera 127 Element dwustronny neutralny 27 — lewostronny neutralny 27 — neutralny 27 — odwrotny 56 — prawostronny neutralny 27 — rzędu n 90
— — nieskończonego 89 — sprzężony 111 elementy przystające według ideału I 188 — — — modułu i 188 — równoważne 16 epimorfizmy 40 Funkcja odwrotna 13 — określona na zbiorze 12 Generowanie 18 — rozbicia 118 — rozdziału 96 grupa 52 — abelowa 52 — addytywna liczb całkowitych 53 — — — rzeczywistych 53 — — — wymiernych 53 — — — zespolonych 53 — — pierścienia 125 — alternująca 84 — beztorsyjna 90 — cykliczna 87 — — nieskończona 107 — — rzędu n 107 — czwórkowa Kleina 62 — ilorazowa 118 — kwaternionów 99 — Kleina rzędu czwartego 62 — mieszana 90 — multyplikatywna ciała 140 — naprzemienna stopnia n 84 — periodyczna 90 — quasi-cykliczna 120 — ruchów sztywnych 70 — skończona 52 — symetryczna stopnia n 73 — torsyjna 90 — typu 120 — zmodulowana 100 grupy hamiltonowskie 98 — izomorficzne 101 — obrotów wiclościanów foremnych 72 — proste 99
207
grupoid 34 — abelowy 34 — ilorazowy 47 — komu taty wny 34 — inultyplikatywny pierścienia 125 - nieskończony 34 — przemienny 34 — skończony 34
Macierz 175 — jednostkowa 178 — kwadratowa 175 — skalarna 179 — stopnia n 175 — zerowa 17 6 mnożenie 34, 53, 124
Homomorfizrn 40, 148 — naturalny 48
Nadzbiór 10 niewiadoma 169, 170 niozmiormiki przekształceń 78 normalizator elementu 80
Ideał główny J85 — lewostronny 182 niewłaściwy 184 — prawostronny 183 — właściwy 184 ideały dwustronne 182, 183 idempotent 58 iloczyn 11, 24, 26, 34 — kartezjański 64 — kompleksowy 91 — mnogościowy 11 — prosty grup 64 indeks podgrupy 96 inwersja 81 izomorfizm 148 — grupoidu 36 Jądro homomorfizmu 119 jedność ciała 140 — grupoidu 34 — grupy 55 lewostronna 35 — — pierścienia 125 — pierścienia 125 — prawostronna 35 — — pierścienia 125 jedynka pierścienia 125 Klasa elementu 17 klasy reszt modulo I 188 — — według modułu I 188 — rozbicia 16 — równoważności 17 komutator 91 kongruerieja 45, 188 — liczbowa 16 kwadrat kartezjański 14 kwaterniony 143 Liczby algebraiczne 154 — Cayloy’a 162 — przystająco modulo m 16 — — według modułu m 16 lupa 35
208
Obraz 12 — homomorficzny grupoidu 40 — — zbioru 148 — izomorficzny grupoidu 36 — — zbioru 147 obrót 72 odejmowanie 126 odwzorowanie homomorficzne 148 — — grupoidu 39 — — grupy 115 — izomorficzne grupoidu 35 — — zbioru 147 — na 12 — naturalne 19 — odwrotne 13 — w 12, 13 — wzajemnie jednoznaczno 13 oktawy 162, 165 operacja algebraiczna 21 oś kwaternionu 161 Permutacja nieparzysta 81, 82 — parzysta 81, 82 permutacje zbioru 73 pętla 35 pierścień 124, 125, 152 — alternatywny 167 — antykomutatywny 132 — asocjatywny 125 — BooIe’a 137 — całkowity 192 -- ilorazowy 189 — J ordana 134 — kornutatywny 125 — liczbowy 128 -- liczb całkowitych Gaussa 128 — — wymiernych Gaussa 128 — Liego 133 — łączny 125 — lączno-przemienny 125
— macierzy stopnia n nad ciałem P 179 — Mikusińskiego 136 — przemienny 125 — reszt modulo m 135 — wielomianów nad ciałem P 170 -- z dzieleniem 138 podciało 152 podgrupa 75 — niezmiennicza 112 — sprzężona 11 2 podgrupoid 35 — niewłaściwy 35 — właściwy 35 podgrupy niewłaściwe 77 — właściwe 77 podobieństwa 7.1 podpierścień 152 — niewłaściwy 153 — właściwy 153 postać dwuwierszowa permutacji 73 — trygonometryczna kwaternionu 162 postulat zamkniętości 21 potęga elementu 54 powinowactwa 72 półgrupa 34 prawo łączności Tarskiego 138 — skreśleń 30 — — dwustronne 30 — — lowostronne 30 — — prawostronne 30 przeciwobraz 12 przedział domknięty 11 — otwarty 15 przekrój 11 przekształcenia afuliczno 72 przystawanie według dzielnika nor malnego 119 Quasi-ciało 138 — -grupa 35 ltelacja przechodnia 15 — równoważności 16 — równoważnościowa 16 — symetryczna 15 — zwrotna 15 rozbicie regularne 44 — zbioru 16, 17 rozkład grupy na warstwy lewostron ne 90
— — — — prawostronne 96 równość funkcyjna 168 — tożsamościowa 170 różnica symetryczna 07 — zbiorów 12 rząd grupy 52 Splot funkeyj 136 stopień wielomianu 173 stosunek jednokładności 71 suma 53 — mnogościowa 11 — prosta grup 64 superpozycja 24 Tabliczka Cayley’a 23 — działania 23 teoria Galois 201 — mnogości 9 terminologia addytywna 53 — multyplikatywna 53 tożsamość Jacobiego 132 transpozycja 80 Układ generatorów grupy 86 ułamki 196 Warstwa 94 — lewostronna 93 — prawostronna 93 wektory swobodne 22 wielokrotność elementu 54 wiolomian jednej zmiennej 168 — nad ciałem P 172 — z jedną niewiadomą 169 wielomiany stopnia zei’o 170 własności afiniczne 79 — metryczne 79 wynik działania 21 Zanurzenie izomorficzne 108 — — w pierścieniu 156 zbiór argumentów funkcji 12 — ilorazowy 17 — pusty 1Ó — wartości funkcji 12 — wielomianów nad ciałem P 172 zbiory jednakowej mocy 13 — równe 10 równoliczne 13 zero grupy 55 -- pierścienia 125
209
