I seria

Ogólnopolski Konkurs Matematyczny dla studentów studiów I stopnia

Liga Zadaniowa Cz¦±¢ pierwsza - Pa¹dziernik 2014

Zadanie 1 (10p)

Niech q ∈ (0, 1). Powiemy, »e ci¡g liczb dodatnich (tn )n∈N jest asymptotycznie q -geometryczny, je±li lim

n→∞

tn+1 = q. tn

Niech q ∈ (0, 1). Czy istnieje ci¡g asymptotycznie q -geometryczny (tn )n∈N taki, »e ci¡g



tn qn

 n∈N

jest:

(a) zbie»ny do 0? (3p) (b) rozbie»ny do ∞? (3p) (c) taki, »e 0 < lim inf n→∞ qtnn < lim supn→∞ qtnn < ∞? (4p)

Zadanie 2 (10p)

Je±li ω : [0, ∞) → [0, ∞), t ≥ 0 oraz n ∈ N, to przez ω n (t) oznaczamy n-t¡ iteracj¦ funkcji ω w punkcie t. (a) Niech ω : [0, ∞) → [0, ∞) b¦dzie funkcj¡ niemalej¡c¡, speªniaj¡c¡ warunki: (i) dla dowolnego t > 0 zachodzi nierówno±¢ ω(t) < t; (ii) dla dowolnego t > 0 istnieje δ > 0 taka, »e ω(t + δ) ≤ t. Pokaza¢, »e dla dowolnego t > 0, lim ω n (t) = 0. (5p) n→∞

(b) Czy istnieje funkcja niemalej¡ca ω : [0, ∞) → [0, ∞) speªniaj¡ca warunek (i) z punktu (a), taka, »e dla pewnego t ≥ 0 ci¡g (ω n (t))n∈N nie jest zbie»ny do 0? (2,5p) (c) Czy istnieje funkcja niemalej¡ca ω : [0, ∞) → [0, ∞) speªniaj¡ca warunek (ii) z punktu (a), taka, »e dla pewnego t ≥ 0 ci¡g (ω n (t))n∈N nie jest zbie»ny do 0? (2,5p)

Zadanie 3 (10p)

Powiemy, »e funkcja f : R → R jest

funkcj¡ okresow¡ o dowolnie maªym okresie,

je±li dla ka»dego

 > 0 istnieje t ∈ (0, ), takie, »e f jest funkcj¡ okresow¡ o okresie t.

(a) Zaªó»my, »e f : R → R jest funkcj¡ ci¡gª¡ i okresow¡ o dowolnie maªym okresie. Pokaza¢, »e dla ka»dego t > 0, f jest funkcj¡ okresow¡ o okresie t. (7p) 1

2

(b) Czy istnieje funkcja f : R → R okresowa o dowolnie maªym okresie i taka, »e dla pewnego t > 0 f nie jest okresowa o okresie t? (3p)

Zadanie 4 (10p)

Je»eli G jest grup¡ i H jej podgrup¡, to indeksem grupy H nazywamy moc zbioru warstw lewostronnych {aH : a ∈ G} (lub prawostronnych, gdy» te moce s¡ takie same). Przez (Q+ , ·) oznaczmy grup¦ liczb wymiernych dodatnich z mno»eniem. (a) Pokaza¢, »e dla dowolnego n ∈ N istnieje podgrupa H grupy (Q+ , ·) o indeksie n. (3p) (b) Pokaza¢, »e istnieje podgrupa wªa±ciwa H1 grupy (Q+ , ·) izomorczna z (Q+ , ·). (3p) (c) Pokaza¢, »e istnieje podgrupa wªa±ciwa H2 grupy (Q+ , ·) taka, »e grupa ilorazowa Q+ /H2 jest izomorczna z (Q+ , ·). (4p)

Zadanie 5 (10p)

Mówimy, »e permutacja liczb naturalnych π (czyli bijekcja π : N → N) jest zbie»na, je±li dla dowolnego ci¡gu liczb rzeczywistych (an )n∈N takiego, »e

P∞

n=1 an

jest zbie»ny, szereg

P∞

n=1 aπ(n)

jest równie»

zbie»ny. Mówimy, »e permutacja liczb naturalnych π jest rozbie»na, je±li nie jest zbie»na. (a) Czy istnieje permutacja zbie»na inna ni» permutacja b¦d¡ca identyczno±ci¡ (tj. inna ni» permutacja π taka, »e π(n) = n dla n ∈ N)? (2,5p) (b) Czy istnieje permutacja zbie»na która nie jest identyczno±ci¡ i która nie ma sko«czonego cyklu? (2,5p) (c) Czy istnieje permutacja rozbie»na? (2,5p) (d) Czy permutacja zdeniowana nastepuj¡co: π(1) = 2, π(2) = 1, π(3) = 4, π(4) = 5, π(5) = 3, π(6) = 7, π(7) = 8, π(8) = 9, π(9) = 6,

(ogólnie, je±li k ∈ N ∪ {0} i nk = k + 2) = nk + 1),

jest zbie»na? (2,5p)

3+k 2 k,

to π(nk + 1) = nk + 2, π(nk + 2) = nk + 3, ..., π(nk +

3

Zadanie 6 (10p)

Je±li n ∈ N i X1 , ..., Xn s¡ przestrzeniami liniowymi, to funkcjonaª T : X1 × ... × Xn → R nazywamy n-liniowym, je±li dla dowolnego i = 1, ..., n i dowolnych x1 ∈ X1 , ..., xi−1 ∈ Xi−1 , xi+1 ∈ Xi+1 , ..., xn ∈ Xn , funkcjonaª Xi 3 x → T (x1 , ..., xi−1 , x, xi+1 , ..., xn )

jest liniowy. Niech n ∈ N, X1 , ..., Xn beda przestrzeniami liniowymi, i niech T : X1 × ... × Xn → R b¦dzie funkcjonaªem n-liniowym. Pokaza¢, »e dla dowolnych (x1 , ..., xn ), (y1 , ..., yn ) ∈ X1 × ... × Xn , istnieje ukªad σ = (σ1 , ..., σn ) taki, »e σi ∈ {−1, 1} dla i = 1, ..., n, oraz T (x1 + σ1 y1 , ..., xn + σn yn ) ≥ T (x1 , ..., xn ) + T (y1 , ..., yn ),

w przypadku, gdy (a) n = 2; (2p) (b) n = 3; (2p) (c) n ≥ 2. (6p) UWAGA - Punkt (c) zawiera w sobie punkty (a) i (b), wi¦c aby otrzyma¢ 10 punktów, wystarczy zrobi¢ tylko punkt (c).