ZaliliPYI
zbezExcelem tajemnic
STATYSTYKA, PROGNOZOWANIE I ZARZĄDZANIE ZAKUPAMI
SPIS RZECZY
Opinie o książce . Wprowadzenie Część
I. STATYSTYKA
Rozdział
I. Statystyczne miary opisowe . . ..... . 2. Próby statystyczne 3. Przedziały ufności .. Rozdział 4. Testy statystyczne . Rozdział 5. Korelacja . Rozdział 6. Statystyczna kontrola jakości . . Rozdział 7. Indeksy statystyczne . . . . . . . . . . . . . Rozdział 8. Grupowanie i prezentacja danych statystycznych . . . . • . . . . .
Rozdział
Rozdział
Część
13
19 27 37 43 51 60 69 76
li. PROGNOZOWANIE
Rozdział Rozdział Rozdział Rozdział Rozdział
9. Prognozowanie i ekonometria I O. Błędy prognoz . . 11. Adaptacyjne modele trendu . 12. Modele przyczynowo-skutkowe (regresji). 13. Prognozy ostateczne
87 94 I 04 126 141
WPROWADZENIE
Defini cji statystyki bę dzie prawdopodobnie tyle, ile o nią zapylywa nych. Część z nich, umiejąca obliczyć średnią arytmetyczną, będzie wyglaszać swoje opinie z pozycji znawców przed111iotu. Inni będą dowodzić, iż jest ona narzędziem s lu żącym do wprowadzania ludzi w błąd, a jeszcze innj - wykpią s ię jakimś żartem na temat statystyków. Ot, choćby takimi . Pewien 111i l oś nik lotów balonem pobłądził kiedyś w przestworzach i wy lądował w nieznanej okolicy, na polu kukurydzy. Wid ząc nad c hodzącego człowieka, zapytał go, gdzie jest. W odpowiedzi usłyszał: „Znajduje się pan w gondoli balonu na polu kukurydzy". Na to niefortunny baloniarz: „Pan jest na pewno hlalystykiem". „ Rzeczywiśc ie, ale jak pan to odgadł?". „To prosie - roześm i ał się zdobywca przestworzy. - Pańska informacja jcsl zwięzła, dokładna i kompletnie bezużyteczna". Mam nadziej ę, że Część I (Statystyka) tej książki, przedstaw i ająca różne narzędzia statystyczne i możliwość „przerzucenia" na popularny arkusz kalkulacyjny Excel Gak wiadomo, jest to jedna z aplikacji powszechnie stosowanego pakietu Microsoft Office) wykonywania na ogół zawiłych i żmudnych obliczeń, bez kon ieczności przedzierania się przez gąszcz czę1
Przy toczył
go A.O. Aczel w swojej monografii Statystyka w
zarządzan iu.
14
ZAKUPY Z EXCELEM BEZ TAJEMNIC
stokroć
trudnych teorii statystycznych, przekona Czytelnika,
że informacje wynikające z analizy i wnioskowania statystycz-
nego są zwięzłe, dokładne i... użyteczne. Świadomie ukierunkowane badanie statystyczne, obejmujące dobór odpowiednich i wiarygodnych danych źródłowych, rzetelna ich analiza i właściwie wyprowadzone wnioski, powinny służyć lepszemu poznaniu rzeczywistości. Trafnie wyraził to W. J. Reichmann : „Może m y uniknąć błędów, jeżeli tylko je sobie dobrze uświado mimy, i możemy powtarzać sukcesy, o ile je dobrze zrozumiemy. Może wydawać się dziwne, że historia powszechna, która wydaje s ię być tak ważna dla nauki, jest jedn ocześnie tak bardzo lekceważona, gdy się ją przedstawi w postaci statystyk'"· Z kolei J.E. Freund stwierdza, że „ poj ęcia i metody statystyczne są w rzeczywistości tylko udoskonaleniem codziennego myś łe nia " 3 .
Definicji i interpretacji pojęcia „statystyka" było w przebard zo wiele•. Przypominało to pojmowanie miłości, którą każdy tłumaczy po swojemu. Z czasem nastąpiło jednak ich ujednolicenie i dzisiaj możemy mówić o trzech znaczeniach tego terminu. Po pierws ze : statystyka (statystyki) to zbiory i wykazy liczb (danych) opisujących badane - w czasie i w przestrzeni przedmioty, procesy, zjawiska itp. Bardziej zło żona jest druga definicja statystyki. Oznacza ona zmienną losową będącą funkcj ą pewnych wyników uzyskanyc h z próby. P rzykładem tego może być średn ia arytmetyczna wieku Polaków, obliczona dla wylosowanej próby. Innymi s łowy, mówiąc prościej , statystyka to pewna charakterystyka liczbowa. szł ości
Wp rowadz enie
15
l'o trzecie: statystyka to nauka zajmująca s ię metodami 11 11 11 lizy i opisu badanych cech, a także - oceną ich istotności I p1óbą uogólnienia. Wyróżnić w niej można tzw. statystykę 11pbową i statystykę matematyczną. Pierwsza dostarcza obiektyw 11cgo, syntetycznego opisu badanej zbiorowości, zaś druga poi.wala z określonym prawdopodobieństwem wypowi adać "' Idy o całej populacji na podstawie losowo pobranej z niej p1 óhy slatystycznej (rozumowanie indukcyjne). Istotne jest powyi.szc zaznaczenie „z określonym prawdopodobieństwem" , hmv icm nieustanna ingerencja przypadku w procesy ekono111kznc, s połeczne, demograficzne itp. sprawia, że wnioskowastatystyczne nie może być dokonywane ze stuprocentową pnv n ośc ią. Jednak, jak powiada J.M. Keynes' - ,,lepiej znać p1ilwcl ~ ni edokładnie, niż dokładnie się mylić". Dla zorientowania się we wspomnianych możliwościach 111kusza Excel przytoczę kilka jego funkcji. Po następującej ścieżce dojścia: Wstaw - Funkcja„. - Sta1y, tyczne - mamy do wyboru m.in.: CZĘSTOŚ Ć, KWARTYL, ODCl-1.STANDARDOWE, ROZKŁAD. NORMALNY, ŚRED N I/\, UFNOŚĆ . Z kolei wybierając: Narzędzia - Analiza danyc h„. - możemy np. obliczyć korelację, średnią ruchomą, "'g rcsj~. a także przejść do Statystyki opisowej. Ponadto poży t eczną opcją jest Sołver, pozwalający odnajdywać ekstrema (tj. 11dnima bądź maksima) funkcji. Można oczywiście samemu układać formuły, pozwalające " " wielokrotne dokonywanie złożonych niekiedy rachunkowo
""°
oblic ze ń.
Metody statystyczne służą realizacj i, nakreślonej schemalycznie na zamieszczonym dalej Rysunku, Funkcji I. Część II pracy (Prognozowanie - Rysunek, Funkcja 2) obejmuje ekonometryczne metody prognozowania, głównie krótkoterminowego. Przedstawione techniki mogą być powszech~
A.O. Aczcl, op .cit., s. 15.
18
ZAKUPY Z EXCELEM BEZ TAJEMN IC
Warto podkreślić, że książka może być drogowskazem, w jaki sposób firmy nie dysponujące specjalistycznym oprogramowaniem statystycznym, ekonometrycznym itp. mogą wykorzystywać jeden z elementów pakietu biurowego - arkusz k a lkul acyjny Excel - do wspomagania procesu podejmowania decyzji zakupowych . Czuję się w obowiązku zaznaczyć, że praca nie pretenduje do miana monografii zgłębiającej częstokroć zawiłe teoretyczne problemy statystyki i prognozowania ekonometrycznego. Pełny akademicki wykład statystyki, ekonometrii i prognozowania, z wykorzystaniem Excela, znajdzie Czy1elnik w książce Agnieszki Snarskiej Statystyka, ekonometria, prognozawanie. Ćwiczenia z Excelem. Moja praca obejmuje wybrane, podane w możliwie lekkiej formie, najistotniejsze zagadnienia w odniesieniu do polityki prowadzenia zakupów. Z założenia ma ona bowiem stanowić pomoc dla menedżerów w ich codziennej praktycznej działalności, wspomagając podejmowanie decyzj i planistycznych. Pragnę na zakończenie tego wstępu jeszcze raz podkreślić, że przedstawione w książce przykłady, dzięki szczegółowemu opisaniu wykorzystanych w nieb excelowskich funkcji i napisanych przeze mnie formuł, pozwo l ą na zaadaptowanie ich przez Czy1elnika do rozwiązywa nia własnych biznesowych problemów. Powodzenia!
Częś ć
I.STATYSTYKA
Rozdział
1. Statystyczne miary opisowe
rozdziału
jest udzielenie odpowiedzi m.in. na na-
pytania: Jak syntetycznie
scharakteryzować wielkość interesującej
Celem K l ępujące
11us cechy badanego zjawiska?
Jak wyrazić stopień jej zmienności? Co możemy powiedzieć o symetrii (asymetrii)
rozkładu
unalizowanego zjawiska?
Jak wykorzystać Excel do obliczenia statystycznych miar opisowych?
Podstaw owe pojęcia tatystyka opisowa - dział statystyki poświęcony syntetycznemu opisowi analizowanego zbioru danych.
Średnia arytmetyczna - suma wartości badanej cechy padzie-
Jona przez liczbę obserwacji. Średnia arytmetyczna ważona - suma iloczynów wartości ce-
chy i jej
liczebności
podzielona przez
liczbę
obserwacji.
rcdnia geometryczna - pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu
n elementów (wskaźników). Mediana - wartość środkowa uporządkowanego (np. posortowanego
rosnąco)
szeregu obserwacji
20
Część
Rozdz i ał
I. STATYSTYKA
Tryb (dominanta, moda) - wartość cechy najczęściej występującej w badanej zbiorowości . Błąd standardowy - miara rozproszenia średnich z prób wobee średniej z populacji. Wariancja - suma kwadratów odchyleń wartości badanej cechy od średniej, podzielona przez n-1. Odchylenie standardowe - pierwiastek kwadratowy z wariancj i. Km1oza - miara stopnia
spłaszczenia
lub
„spiczastości" raz~
kładu
cechy. (asymetria) - charakterystyka rozkładu, oznaczająca jego d łuższe lewe (asymetria lewostronna) bądź prawe ramię (asymetria prawostronna).
Skośność
•
1. Statystyczn e mi ary opi sowe
określają przeciętną wartość zentującą
analizowanej cechy, reprewszystkie występujące wartości (tzw. miary po-
łożenia),
•
wyznaczają stopi eń
miary •
rozproszenia badanej cechy (tzw.
zmienności),
ustalają,
w jakim stopniu badana populacja odbiega od idealnej symetrii (tzw. miary asymetrii). Z procedurą obliczania parametrów opisowych w Excelu /llj)Oznamy się na przykładzie tygodniowej sprzedaży pewnego 111wa ru w dwunastu sklepach detalicznych jednej firmy. Dane 11 tej s przedaży zawiera Tablica I. I. Tablica 1.1. Sklep, i
Sprzedaż
tygodniowa (szt.) Sprzedaż, x i
151
Dawno temu, Lord Kelvin (1824-1907) wyraził następujący, aktualny do dziś, pogląd: „Jeżeli potraficie zmierzyć to, o czym
164
coś
135
o tym; ale jeśli nie potraficie tego zmierzyć an i wyrazić za pomocą liczby, to wasza wiedza jest nikła i niezadowalająca" 1. Można powiedzieć, że w tym, aby uznano naszą wiedzę w odniesieniu do jakiegoś zagadnienia, w znacznym stopniu pomoże nam statystyka i jej miary opisowe. Występujące tutaj ilościowe parametry charakleryzują bowiem w sposób syntetyczny analizowaną zbiorowość, liczącą niekiedy nawet miliony danych (np. w przypadku powszechnego spisu ludności). Obliczenie ich ułatwione będzie zastosowaniem arkusza Excel. Podstawowe parametry opisowe przede wszystkim spełnia ją następujące zadania:
104
mówicie, i
1
\A/)'razić
za
pomocą
liczby, oznacza to,
że
wiecie
Yves Mullcr, Wprowadzenie do nauki organizacji i bada11 operacyjnych, Olgierd Gedymin, PWE, Warszawa 1971, tom I, s. 13
przeł.
21
159
172 153 140 136
IO
151
11
160
12
147
Aby wykonać w Excelu obliczenie podstawowych para111clrów statystyki opisowej dla tych danych, należy oczywi\c ic utworzyć w nim oddzielny plik, wpisując zarejestrowane d:i11c o sprzedaży (np. w obszarze B3:Bl4, jak przedstawio110 na Rysunku 1.2.). Następnie z głównego menu wybieramy
22
Część I.
Rozdział
STATYSTYKA
Narzędzia, a dalej : Analiza danych - Statystyka opisowa'. Po zatwierdzeniu (OK) ukaże się odpowiednie okienko dialogowe (Rysunek I. I.)
1. Statystyczne miary opisowe
Rysunek 1.2. Wyniki statystyki opisowej (po do liczb
23
zaokrągleniu
całkowitych)
i(!:IEji< ~dy<~:O:dokWiJ„Eo
Rysunek 1.1. Okno dialogowe „Statystyka opisowa"
Cl~ lil@ lć!!Hll ~I •I
?
X
!!~i~:$~$1i
lilill
.I
e.I"' -l i.:.: r. W~ .11l ~Ili"''"''
;- Skle~p,'-"i1f---'S=""='d=•ż=x~,15~11---+-1 ---Ko-lum-na~/---+ 1
~21----~t= 641---n'-,...,----t- -i4a
"~j1~~~~j~!§~1~~~E=~! ij 4
•~alumn
r
;i, = 112
l!ijetszy
11 IYtuły w pierwszym wierszu
12
13
i~
10
151
Skośność
-1
11
160
Zakres
68
Suma !Licznik
17n
-_-__,~1;::2======j14~7====::~:~~"-:"'n=~~~i~m=um======i===~~~ ~
1g, ~
%
Otrzymane wyniki
12
należy interpretować następująco:
I. Miary położenia
I. Średn i a (arytmetyczna), będąca sumą wartości badanej cechy (w naszym przykładzie jest nią sprzedaż) podzieloną przez li czbę obserwacji, jest obliczana wg wzoru: W polu „Zakres wejściowy" wstawiamy obszar $B$3:$B$14, a w polu „Zakres wyjściowy" np. $D$3. Następnie zaznaczamy pole: „Statystyki podsumowujące ", „klikamy" OK i natychmiast uzyskujemy wyniki przedstawione na Rysunku 1.2.
X=
hi•~X; , I
w którym: \' - średnia arytmetyczna wartośc i cechy, 11 - liczba obserwacji, X;- wartość i-tej obserwacji (j ~ 1,2, ... ,n).
Przy okazji omawiania średniej arytmetycznej warto słów kilka poświęcić średniej geometrycznej. Nie jest ona objęta
24
Część
rozpatrywaną opcją „Statysty ka opisowa'', a indywidualne do niej dojście jest następujące: Wstaw - Funkcja„. - Statystyczne - ŚREDNIA.GEOMETRYCZNA i OK. Teraz, w otwartym okienku dialogowym należy w polu Liczba 1 wstawić obszar danych, dla których chcemy obliczyć omawianą średnią i po akceptacji (OK) otrzymujemy poszukiwany wynik. Należy przypomnieć , że średnia geometryczna jest stosowana do obliczania średniego tempa zmian (wielkości względnych), do czego służy wzór:
Do prognozowania szeregów czasowych bywa stosowana arytmetyczna średnia ruchoma o jednakowych bądź zróżn i co wanych wagach. Zagadnienie to zostanie omówione w Rozdziale 11. Adaptacyjne modele trendu. 2. Mediana - wartość środkowa uporządkowanego, zazwyczaj posortowanego rosnąco, szeregu obserwacji, obliczana wg wzoru: (n + 1)/2, gdy ich liczba jest nieparzysta. W przeciwnym razie, medianą jest średni a arytmetyczna obserwacji o numerach n/2 i (n/2) + 1. 3. Tryb (dominanta, moda) - jest to wartość cechy naj częśc iej występującej w badanej zbiorowośc i. II. Miary
z mie nno ści
Skomentowania wymagają następujące parametry: 1. Wariancja - suma kwadratów odchyleń wartości badanej cechy od średn iej, podzielona przez n - 1, czyli: s2
=;6 i
(xi -x)2 .
i"' I
2. Odchylenie standardowe - pierwiastek kwadratowy z wariancji:
s=
Rozdział
I. STATYSTYKA
Ysl.
1. Statystyczne mi ary opi sowe
25
I l l ł ąd standardowy - jest on miarą rozproszenia średnich pró b wobec średniej z populacji, a więc miarą przeciętnego hl1·du szacowania średniej z populacji. Do jego obliczenia sto'lt1W~1 11 y następujący wzór:
1
d(X )
=fr,
pd1.ic: s - obliczone w p.2 odchylenie standardowe. Znaczenie pozostałych miar zmienności, tj. zakresu, mi1il 111um, maksimum, największy, najmniejszy, jest oczywiste, 11 wii;c nie wymaga komentarza. I I I. Mi ary asymetrii I, Kurtoza - informuje o odstępstwach jednomodalnego3 rozkl11du cechy od rozkładu normalnego, w postaci nadmiernego ,p ł aszczeni a lub „ spi czastości". Dla rozkładu normalnego kur1111.U przyjmuje wartość O. Jej wartości dodatnie mówią o zbyt11 kj „s pi c zastości " rozkładu cechy, zaś ujemne - o nadmiernym
"l>laszczeniu. l. S k oś ność (asymetria) - pełna symetria rozkładu cechy za1'11odzi, gdy współczynnik asymetrii jest równy O. Wartość doda tn ia świadczy o asymetrii prawostronnej (dłuższy prawy ogon rozkladu), zaś ujemna - przeciwnie (dłuższy lewy ogon 101.kladu) . I jeszcze jedna uwaga. Niekiedy zaobserwowane wielkości grupujemy w pewne 111 w dzialy (klasowe). Spowodowane to jest bardzo dużą liczbą elementów, uni emożliwiającą przejrzystą anali zę. Powstaje wówczas tablica składaj ąca się z trzech kolumn obejmujących: w:1 ri a nty cechy w porządku logicznym (przedziały), środki 1 111.cdziałów (niezbędne do obliczeń, np . średniej arytmetycz11cj) i odpowiadaj ące im liczebności. W takim przypadku ob1b.amy tzw. arytmetyczną śre dnią ważo n ą (wagami 1
Jedna moda, niczym jeden garb u dromadera .
Część I.
26
STATYSTYKA
są liczebności pujący
w poszczególnych
przedziałach), stosując nastę
wzór:
x):x, gdzie: f; oznacza liczbę elementów o wartości cechy i (oczywiście + f; + .. . + fk = n; k - liczba wyróżnionych wartości cechy).
t;
Przykład
obliczania arytmetycznej średniej ważonej (dla ustalenia przeciętnej liczby osób w gospodarstwie domowym w pewnym mieście) i służące temu celowi procedury zostały przedstawione na Rysunku 1.3. Rysunek 1.3. Średnia arytmetyczna ważona i formuły jej obliczania
l to1dz iał ('olem
2. Próby statystyczne
rozdziału
jest udzielenie odpowiedzi m.in. na na-
•l1 111~ące
pytania: nluczego ograniczamy badania statystyczne do próby wyl1 uu1wnncj z całej zbiorowości (tzw. populacji generalnej)? ,luk należy pobierać próby statystyczne? Juklc są metody doboru prób statystycznych? .Juk ustalać minimalną liczebność próby statystycznej, aby wyniki Jej badania można było uznać za wiarygodne? ,fuk wykorzystywać arkusz kalkulacyjny Excel do wyzna1 '•1 11 łn elementów zaliczanych do próby losowej?
Uczbaosóbwgospodarstwiedomowym,
Liczba gospodarstw,
"
3
l 1 11d ~nowo we pojęcia
U
E
,-,
65
85
'.l11ly•tyczna próba losowa - podzbiór populacji generalnej, 11 Ntolony na drodze wyboru losowego, gwarantującego każ dl•111u elementowi populacji równe szanse Vlryboru. 1 111111wun ie indywidualne - w doborze próby uczestniczą
141
X„
Rezygnację
fi
w
!=C10/B10
powyższym
przykładzie
z zastosowania
arytmetycznej średniej ruchomej na korzyść zwykłej średniej arytmetycznej można byłoby skomentować przypomnieniem pewnego „przepisu kulinarnego". Otóż przepis ten, dotyczący sporządzenia pasztetu z konia i zająca, poleca wzięcie po poło wie każdego z tych zwierzątek.
w•1.yslkie elementy populacji. I " " 'wunie systematyczne - kwalifikowanie do próby ponume1owanych elementów następuje w ustalonych odstępach. I 11„owtHi ie warstwowe - wybór elementów spośród warstw, 1111 które została podzielona cała populacja. I 11•11wt111ie grupowe - do próby są wylosowywane pewne gruP.Y populacji. I 11•11 1wonic dwustopniowe - losowanie grupowe a następnie- la••1w(lnie ustalonej liczby elementów z poszczególnych grup.
28
Część
Rozdział
I. STATYSTYKA
Bardzo pożyteczne dla praktyki są narzędzia statystyki matematycznej, pozwalające na wiarygodne (w żądanym stopniu) wnioskowanie o wybranych parametrach całej populacji na podstawie pobranej z niej próby. Jest to wyraz tzw. wnioskowania indukcyjnego, charakteryzującego się, mówiąc skrótowo, przechodzeniem „od szczegółu do ogółu". Niezmiernie istotną sprawą jest tutaj właściwy dobór i liczebność próby statystycznej, będącej bazą informacyjną w procesie przetwarzania statystycznego. Dowodem na to może być następujący, negatywny przykład. W wyborach prezydenckich w USA w 1936 roku, jak to wynikało z przeprowadzonego sondażu opinii publicznej przez „Literary Digest" 1, łatwe zwycięstwo miał odnieść republikanin A.M. Landon, gubernator stanu Kansas. Miał on wygrać w 32 stanach na 48, zwyciężyć w wyborach elektorskich stosunkiem głosów 370 do 161, pokonać - uwzględniając głosy wyborców - urzędującego prezydenta F.D. Roosevelta w stosunku 4:3 itd. Tymczasem, jak się niezwłocznie przekonano, kandydat demokratów wygrał w 46 stanach i uzyskał przewagę 11 milionów głosów. Jak mogło dojść do takich rozbieżności pomiędzy przewidywaniami a faktycznymi wynikami? Otóż popełniono prozaiczny błąd w doborze próby statystycznej stanowiącej podstawę przewidywanego zwycięstwa Landona. Nazwiska ankietowanych zostały bowiem wzięte z książek telefonicznych, rejestru samochodów i spisu prenumeratorów czasopisma „Literary Digest". Tymczasem w roku 1936 posiadacze telefonów bądź samochodów, a także czytelnicy wspomnianego czasopisma stanowili zamożniejszą część amerykańskiego społeczeństwa 1 bardziej skłonną do głosowania na republikanów. Zatem ankietowana grupa Amerykanów nie spełniała podstawowego wymogu, który powinien cechować próbę losową, stanowiące-
2. Próby statystycz ne
29
tt<>. że każdy z elementów populacji pobierany do próby powi-
nlL·n m i eć taką samą szansę wylosowania. Sytuacjami, w których zamiast badania całej zbiorowości (1wu ncj w statystyce populacją generalną) ograniczamy je do p11h ranej z niej próby, są najczęściej: I. Znaczny koszt i - zazwyczaj - duża czasochłonność l.111n plctnego badania (np. zbadanie preferencji wyborczych wv.ys tkich obywateli uprawnionych do głosowania; swoiste wybo ry wstępne). 2. Zniszczenie podczas badania poddanego mu elementu (11 p. ocena czasu pracy żarówek). 1. N i es kończona liczba elementów populacji generalnej. W pra ktyce badań statystycznych są stosowane różne sche1111 11.y losowania elementów populacji generalnej do próby staI V"llyczncj . Naj częśc iej spotykanym schematem jest 1os o w a n ie i nd y w i cl u a 1n e . W losowaniu takim jednostkami biorącymi iil'li'OŚ rcd ni udział w doborze próby są wszystkie elementy p11p11lacji. Przykładem tego w odniesieniu do badań ludnoś ' luwyc h może być losowanie spośród wszystkich osób. l11nym stosowanym sposobem postępowania jest losowa111 " sys te matyczne, polegające na kwalifikowaniu do próli v 11p. co I O. nazwiska na liście, co 20. sztuki wyrobu. Pozycja, 1111 k16rcj rozpoczyna się losowanie, powinna być wybrana lo-
"' ''"" (np. przy wykorzystaniu liczb losowych). Ko lejnym schematem jest losowanie warstwowe, I'' d q:ającc na podziale populacji na warstwy (rozłączne podi'"l'" lacje), między które rozdziela się części całej próby. Przyld111k1n takiego losowania może być próba oszacowania śred1!11·p,o c i Qża ru czterech osób (dwie kobiety i dwaj mężczyźni) 1111 potbtawie 2-osobowej próby. Kobiety ważą 50 i 60 kg, zaś 1111;w1.yź ni - 80 i 90. Jak łatwo obliczyć, średnia waga w tej po111 il 11l'j i jest równa 70 kg. Oszacowania tego parametru mogą • II,' 1.11 1i c ni ać od 55 kg (gdy do próby trafią dwie kobiety) do
30
Czę§ć
85 kg (w przypadku wylosowania dwóch mężczyzn). Jeżeli podzielimy populację na warstwy: kobiety i m ężczyźn i, to - zakładając losowanie po jednym przedstawicielu z każdej z nich - śred nie z takiej próby będą już miały węższe granice: 65-75. Jak w i dać, zastosowanie losowania warstwowego według płci zwiększyło szanse uzyskania dobrego oszacowania średniej w populacj i. Niekiedy mamy do czynienia z jeszcze innym schematem losowania, tj. lo sowa ni em grupow ym. W takim przypadku do próby losujemy nie pojedyncze elementy, lecz pewne ich grupy. Jeżeli odpowiadają one ustalonym obszarom geograficznym (np. powiatom), to losowanie takie jest także określ a ne jako l osowanie ob szarowe. Pewnym rozwinięc i em takiego losowania jest losowanie dwustopniowe. Jego cechą szczególną jest to, iż nie wszystkie elementy wylosowanych grup podl egaj ą obserwacj i statystycznej, lecz tylko niektóre, też wył onione w sposób losowy. Jednym z najważniejszych problemów powstaj ących przy rozpoczynaniu analiz i wnioskowań statystycznych jest określe nie li czebnośc i próby. Z jednej strony chciałoby si ę, aby była ona jak najliczniejsza, przyczyniając si ę do wzrostu wiarygodności sądów, jednak - z drugiej strony - ze względ ów ekonomicznych, czasowych itp. będziemy musieli ją ograniczać. I stnieją ustalone, wynikające z teorii przedziałowej estymacji parametrów'. zasady wyznaczania liczebnośc i próby, uwzględniające - z założoną ufnością statystyczną - maksymalny błąd szacunku. Jedna z nich dotyczy minimalnej wielkośc i próby przy badaniu j akości towaru. Ze względu na przyjęte kryteria decyzje są tutaj alternatywne: wyrób dobry wyrób zły. Nie może być opinii pośredn ic h w rodzaju „częścio wo dobry" , podobnie jak nie można mówić o ruchu drogowym „. częściowo prawostronnym. W omawianych analizach cho2
Będzie
Rozdzia ł
I. STATYSTYKA
ona przedmiotem Rozdział u 3. Pr zedziały ufności.
2. Próby statystycz ne
31
d1i o ustalenie, czy partia towaru, z której pobrano próbkę do k11111roli , spełnia umowne ustalenia co do udziału braków (np. llil' w ięcej niż 10%) w całej partii. Rozkład taki jest w rachunk11 prawdopodobieństwa nazywany rozkładem dwumianowym 111h Bernoullego. Minimalna li czebność wylosowanej do zbadania próby jest nkrd lona wzorem:
ł'dtic:
111inimalna liczebność próby, ,/ dopuszczalny błąd szacunku, /' uslalona w umowie (bądź spodziewana) dopuszczalna frak' I" l'lcmentów wyróżnionych (np. towarów wadliwych), •/ spodziewana frakcja elementów o właśc iwościach prze' lw 11yc h do wyróżnionych (np . towarów dobrych jakościowo); 1111yw i śc i e q = 1 - p, wartość odczytana z tablic rozkładu normalnego dla 1111yk1cgo współczynnika ufności l - a; ze względu na układ 111 hl ic tego rozkładu (symetrycznego!), obejmujący zazwyczaj I" ll'dzial (O, nieskończoność), poszukujemy wartości z dla li ,~ a/2 . 11
Sposób postępowania w Excelu mający na celu wyznacze111t· 111in imalnej wielkości próby zgodnie z powyższym wzorem 1111r d s taw i ają Rysunk i 2.1. i 2.2.
32
Część
Rozdział
I. STATYSTYKA
Rysunek 2.1. Wyznaczanie minimalnej wielkości próby statystycznej
(obliczenia)
2. Próby statystyczne
33
Można łatwo sprawdzić, wymieniając
w celi B3 liczbę 0,02 dopuszczali błąd 3-procentowy, próba m ogłaby liczyć tylko 385 elementów. Z kolei przyjęcie ostrzejszych wymogów w postaci d=0,0 1, wymagałoby utworzenia próby co najmniej 3458-elementowej . W rozpatrywanym przypadku nie była wymagana znajomość liczebności N całej populacji, z której pobieraliśmy pró1"(· Chcąc uwzględnić tę wielkość, musimy posłużyć się nieco bard ziej złożonym wzorem, aczkolwiek też łatwym do zastosowania z pomocą arkusza Excel: na 0,03,
że gdybyśmy
n~-~N_ _ d 2(N-I)
I+
Rysunek 2.2. Wyznaczanie minimalnej
wielkości
próby statystycznej
ziJ,pq
Obliczenia i formuły dla wyznaczania wielkości próby przy 111a nej liczebności populacji N zostały przedstawione na Rys1111 kach 2.3. i 2.4.
(formuły)
Rys unek 2.3. Wyznaczanie minimalnej wielkości próby statystycznej
przy znanym N (obliczenia)
• Microsoft Excel - R2
® Elik
J;:dycja \!lti
~.11 I A ' 3 4
N-
d=
5 6
a=
7
0.5-a/2Z"ti=
(z.n)'=
10
Tak więc,
godząc się
z błędem oszacowania d = 0,02, a więc z ufnością 98-procentową, do próby powinniśmy wylosować co najmniej 864 elementy.
11 12 13
d2 = pq~
Minim.liczebność próbv=
IN§~~E~rmat r,tarzędzia Qane Qkri
=I =831(1+(810*(83-1)1(89•811)))
c
K
500 0,02 0,1 0,9 0,475 1,96 3.8416 0,0004 009 317
i
D
34
Część I.
STATYSTYKA
Rozdział
Rysunek 2.4. Wyznaczanie minjmalnej wielkości próby statystycznej przy znanym N (formuły)
2 . Próby statystyczne
35
Rysunek 2.5 . Okno dialogowe do wyznaczenia elementów zal ic zanych do próby statystycznej
l!ldłfJłii.iilfMIM• ~I~ !;dycja !/,'dok W~taw Eormat ['larzędz ij
Il® fo f;;i;liił,@T~cg,::"h F~•
812
lilfili!<$'1f„
:1=83/(1+(810'(83-1)/(E B
N= 500
d= 0,Q2 O1 cr= 0,9 0,5-a/2= O 475 z.n= 1,96 n=
d 2 = =84•2 ~= =85"136
10 11
wcgo ($B$2:$B$32) oraz wyjściowego (np. $D$2) i OK, pojawią się wytypowane do próby elementy.
Minim.liczeb-
.__g 13
ność
próby- =83/11+1810'183-1\/189' 811"'•
I
Jak widać, niezbędna liczebność próby dla przyjętych założeń powinna wynieść (po zaokrągleniu) 317 jednostek. Warto dodać, że - co łatwo sprawdzić w arkuszu - przyjmując d = 0,01 liczebność ta wzrasta do 437 elementów, zaś przy d = 0,03 - wynosi tylko 217. Są to wielkości mniejsze aniżeli w przypadku nieznajomości wielkości populacji. Wytypowanie jednostek do prób też może być dokonane za pomocą Excela. W tym celu należy wywołać z głównego menu opcję Narzędzia, a następnie: Analiza danych - Próbkowanie (O K) i odpowiednio wypełnić otwarte okno dialogowe (przykład na Rysunku 2.5_) Standardowo jest proponowana okresowa metoda próbkowania i taką należy zaaprobować. Metoda ..losowa" jest w tym przypadku niewłaściwa, bowiem oznacza tzw. losowanie ze zwracaniem, czyli jeden i ten sam element może zostać wylosowany kilka razy. W polu Okres: należy podać liczbę okresów (w tym przypadku 6, co oznacza, że do próby będzie trafiał co szósty element). Po zadeklarowaniu zakresu wejścia-
kliknięciu
36
Część I. STATYSTYKA
Rysunek 2.7. Numery obiektów wylosowanych do próby
Roz dział
3. Przedziały ufności
rozdziału jest udzielenie odpowiedzi m.in. na napytania: Jak na podstawie próby statystycznej oszacować Interesujące nas parametry w populacji generalnej? Jak wyznaczać przedział liczbowy pokrywający, z żądanym prawdopodobieństwem, nieznany parametr populacji general-
Celem
stęp ujące
Tak więc do próby trafiłyby w tym przypadki obiekty o numerach: 6, 12, 18, 24 i 30. Na zakończenie rozważań o próbach statystycznych i ich pobieraniu, warto przytoczyć następującą, wiążącą z tym zagadnieniem, historyjkę. Parafrazując słynne powiedzenie księ dza Benedykta Chmielowskiego, można ją zatytułować: Jaki jest słoń„. nie każdy widzi. Otóż, trzej ślepcy wędrowali pod opieką dobrego człowieka przez dżunglę . W pewnym momencie zapragnęli poznać sło nia, o którego potężnych rozmiarach dużo słyszeli. Gdy owo zwierzątko poj awiło się na ich drod ze, pierwszy niewidomy obmacał jego ucho i stwierdził : Słoń przypomina olbrzymi wachlarz. Drugi dotknął trąby i zawyrokował : Nieprawda. On jest podobny do wielkiego węża. Na koniec trzeci ślepiec objął j edną z nóg słonia i oświadczył. Żaden z was nie ma racji. Słoń to takie duże drzewo. Dalekie od rzeczywistości wnioski co do kształtu poczciwego zw ierzęcia wypływały z tego, że każdy ze ślepców miał inną, ni eadekwatną „próbkę słonia''. Proszę tylko nie żądać ode mnie odpowiedzi na pytanie, s kąd niewidomi wędrowcy wiedzieli, jak wyglądają wachlarz, wąż i drzewo.
nej?
Jak
wykorzystać
Excel do budowy przedziałów ufności?
pojęc ia
Po d staw owe
Przedział ufności
-
przedział
liczbowy, z określonym prawdowybrany nieznany parametr
podobieństwem pokrywający
populacji generalnej. Współczynnik
ufności
1-a = 0,95), tość
Poziom
- miara
prawdopodobieństwa
że przedział ufn ości
parametru. ufności -
wyrażony
pokrywa
w procentach
nie zn aną
(np. war-
współczynnik
ufności.
11 stycznia (nie I kwietnia!) 1988 roku tygodnik „Newsweek" antropologowie ogłosili„. oddługich i skomplikowanych badaniach, podczas
podał rewela cyjną informację 1 :
krycie Ewy. Po 1
Pod aję za A.D. Aczel, op .cit., s. 2 18.
38
Część
Rozdział
I. STATY STYKA
których wykorzystywali statystykę i najnowsze metody biologii molekularnej, doszli oni bowiem do wniosku, że wszystkie istoty ludzkie biorą swój genetyczny początek u jednej kobiety. Należy jednak zaznaczyć , że uczeni nie twierdzili, iż znal eźli pierwszą kobietę, lecz wspólnego przodka ludzkości . Według ich teorii, początek ewolucji człowieka miał miejsce gdzieś w Azji lub Afryce. Potomkowie owej Ewy rozpoczęli migrację na wszystkie kontynenty i wkrótce zasiedlili całą planetę . Wszystkie odmienności rasowe, kulturowe, obyczajowe itp. rozwinęły się już po wspomnianej migracji. Podstawą powyższej rewelacji było zbadanie łożysk płodo wych pochodzących od 14 7 kobiet różnych ras i narodowości pod kątem materiału genetycznego (włókien DNA) tyc h łożysk. Okazał o s ię, że segmenty DNA wskazały jedno źródło pochodzenia: kobietę, nazwaną przez naukowców Ewą. Pominę opis zastosowanych skomplikowanych procedur medyczno-statystycznych, a podam jedynie końcowy wniosek uczonych dotyczących czasu, kiedy to wszystko się zaczęło Brzmi on następująco: z dużym stopniem ufności można orzec, że Ewa żyła międ zy stu czterdziestoma a dwustu dziewięćdz ie sięcioma tysiącami lat temu. Taki przedzi ał, w tym przypadku czasowy, określa się w statystyce mianem przedziału ufności, podając jednocześnie poziom ufności, np. 95%. Po tym wstępie pora wrócić do nego tego rozdziału .
właściwego
nurtu tematycz-
Obok omówionej w Rozdziale I statystyki opisowej, wyróż nia się w statystyce bardziej skomplikowaną jej część, a mianowicie - s tat ysty kę matema t ycz n ą , służącą do wnioskowania statystycznego. Jeżeli bowiem z jakichś powodów nie możemy zbadać całej populacji generalnej, a jedynie wylosowaną z niej próbę, na podstawie której chcemy wyciągać wnioski w odniesieniu do tej pierwszej, musimy sięgnąć do od-
3. Przedziały ufnoś c i
39
powiednich metod statystyki matematycznej. Jest to przykład lzw. wnioskowania indukcyjnego 2. Naturalnym odruchem badacza jest punktowa ocena' nieznanej wartośc i i nteresującego go parametru populacji generalnej (np. średn i ego poziomu danej cechy). Prowadzi to do podania jednej konkretnej liczby w rodzaju: średnia tygodniowa sprzedaż, procent wadliwych towarów itp. Jednak wobec ni eustannie działającego czynnika losowego, znacznie praklyczniejsza jest przedziałowa ocena tego parametru. Polega ona na wyznaczeniu przedziału liczbowego, który z żądanym, z góry okreś l onym prawdopodobieństwem pokrywa ów nieznany parametr. Z przedziałem tym wiąże się pewna miara, 1.wana współcz y nniki e m u fnośc i Geżeli wyrażamy j ą w kategoriach prawdopodobieństwa, np. 0,95), oznaczanym ja ko I - a (gdzie: O < a < 1), lub poziomem ufności (wyraża11yrn w procentach, np. 95%). W praktyce najczęściej przyjmuje się dla współczynnika ufności wartość 0,95 bądź 0,99. Różn i ca między j ednością a współczynnikiem ufnośc i a (bądź mi ęd zy 100% a poziomem ufności) stanowi prawdopodobień ' lwo, iż prawdziwa wartość szacowanego parametru znajduje >i<; w wyznaczonym przedziale. Decyduj ąc się zatem na 95-prore ntowy poziom ufnośc i (tzn. a = 0,05), akceptujemy tym samym 5-procentowe prawdopodobieństwo popełnienia błędu. Z budową przedziału ufności przy wykorzystaniu arkusza Excel zapoznamy się na przykładzie pochodzącym z pracy .I . Podgórskiego•. W celu oszacowania średniej wagi pacjenlów przychodni rodzinnych wylosowano 15 kart chorobowych, 11 zyskując następujące dane (Tablica 3. 1.).
40
Część I. STATYSTYKA
Rozdział
Tablica 3.1. Waga (w kg) 15 wylosowanych pacjentów Pacient l 2 3 4 5 6 7 8 9 lO ll 12 13 14 IS
Waga 76 82 67 52 79 86 77 70
68 76 80 74 66 60 73
. Nie wdając si ę w szczegółowe rozważania teoretyczne, nalezy stwierdzić, że w przypadkach, gdy próba jest niewielka (tj. gdy. n< 30) do budowy przedziału ufności dla średniej z populaCJI stosowany jest następujący wzór (wg tzw. rozkładu i-Studenta):
w którym:
y/0 -
średnia
wartość statystyki /-Studenta dla przyjętego a,
s - odchylenie standardowe z próby,
.
szacowana
średnia
Jest to liczba niezależnych o~serwacji; zainteresowanych pogłębieniem zagadnienia odsyłam do cytowanej pracy J. Podgór-
:~i:~z;(;a1 ~~:t; \ego
4
Przedziały ufno śc i
41
w populacji,
I a - współczynnik ufności .
Aczkolwiek postać wzoru może niejednego Czytelnika przera żać i zniech ęcać do dalszej lektury tego rozdziału, śpi eszę po informować, że - jak to zaraz zobaczymy - wszelkie trudy 1 w i ązane z obliczeniami przerzucimy na arkusz Excel. Proszę talem spokojnie czytać dalej . Pierwszym krokiem jest utworzenie arkusza z danymi hód łowymi (obszar BS:B 19), co zostało przedstawione na Rysunku 3.1. Jednocześnie obliczono w nim wartość średnią i odchylenie standardowe wylosowanej próbki, niezbędne do skonstruowania przedziału ufności. Rysun ek 3. 1. Dane źródłowe, wartość ś red nia i odchylenie standardowe wylosowanej próbki
lidil
• ~· llB!IF:i&•
~I ~~~~Ja
!/!lldok W!l,
.
... ~ ei::g,~ 822
""4 5 6 7 8 9 10 11
z próby,
n - I - pomniejszona o j edność li czebność próby (tzw. liczba stopni swobody5), 5
111 -
3.
f2 13
14
r~ n
B
A Pacient
Wa aa
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
15 16 f7 f8 19 Srednia= 20 21' Odch.std.22 a:= ~~
76 82 67 52 79 86 77 70 68 76 80 74 66 60 73 7240 884
o.os,
Część I.
42
STATYSTYKA
Teraz możemy już przystąpić do budowy poszukiwanego 95-procentowego przedziału ufności. W tym celu spośród funkcji statystycznych wybieramy Ufność, co spowoduje otwarcie następującego okienka dialogowego (Rysunek 3.2.).
Rozdział
4. Testy statystyczne
Celem rozdziału jest udzielenie odpowiedzi m.in. na następujące
pytania: Jak na podstawie próby statystycznej weryfikować hipotezy
odnośnie do wartości parametrów calej populacji (generalnej)? •4,629655365 ~=:.zedlial ufności
~
&
śteOOlejz
popjec,J. ZojrzyJ do Pomocy, aby uzysbć Worm&eje o używ.!nym
Wyri
W polach „Alfa", „Odchylenie_std" i ,,Wielkość" wpisujemy odpowiednie adresy i po zatwierdzeniu (OK) uzyskujemy poszukiwany wynik (figuruje on już w okienku: Wynik formuły ~ 4,6296„. - jest to polowa przedziału). Interpretacja rezultatu jest następująca : z prawdopodobieństwem 0,95 możemy oczekiwać, iż przedział: 72,4 ± 4,6, tj. <67,8; 77,0>, pokryje nieznaną średnią wagę ogółu pacjentów. Przedziały ufności możemy budować
nie tylko dla średniej, bywa, ale również dla innych parametrów struktury, wariancji). O związanych z tym procedurach statystycznych może się Czytelnik dowiedzieć np. z podanej w rozdziale 2. monografii A.D. Aczela.
jak to
najczęśc iej
(wskaźnika
Czego dotyczy statystyczny test istotności 1 Na czym polega tzw. błąd I rodzaju? Co to jest, występujący w testowaniu hipotez statystycznych, tzw. poziom istotności?
Jak wykonać testy statystyczne w Excelu1 Podstawowe pojęcia Statystyczny test istotności - reguła postępowania prowadząca do przyjęcia bądź odrzucenia hipotezy statystycznej Ho co do wartości wybranego parametru (np. wartości średniej, wskaźnika struktury, wariancji) w populacji generalnej. Test jednostronny - test, w którym obszar odrzucenia Ho jest w całości umieszczony w jednym końcu rozkładu statystyki testu.
Hipoteza zerowa (sprawdzana) - podstawowa hipoteza statystyczna sprawdzana danym testem, oznaczana symbolem Ho· Hipoteza alternatywna - hipoteza konkurencyjna (H 1l w stosunku do zerowej .
Błąd I rodzaju - bląd polegający na odrzuceniu hipotezy Ho, mimo, że jest ona prawdziwa.
44
Część
Rozdział 4. Testy statystyczne
I. STATYSTYKA
Poziom istotności - prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju, określane symbolem a; najczęściej przyjmuje si ę poziomy istotności równe 0,1, 0,05, 0,01.
Drugim, obok wyznaczania przedziałów ufności, podstawowym kierunkiem wnioskowania statystycznego jest weryfikac ja hipotez statystycznych za pomocą odpowiednich testów. Dobrym wprowadzeniem do tej tematyki jest przykład procesu sądowego w państwach demokratycznych. Obowiązuje w nim zasada domniemania niewinności podejrzanego i dopiero dowiedzenie mu winy może doprowadzić do wyroku skazującego. Otóż w testach statystycznych taką hipotezę o niewinności nazywamy hip o tezą zerową (lub bezpośrednio sprawdzaną) i oznaczamy przez H0. Będzie ona uznawana za prawdziwą do momentu, w którym na podstawie wyników z próby statystycznej potrafimy udowodnić (dopuszczając w tym dowodzie ewentualność bardzo mało prawdopodobnego błędu, np. 5 a nawet 1 na I OO podobnych wnioskowań), i ż jest ona fałszywa. Przesądzi to zarazem o akceptacji hip o te z y a lt ernatywnej (H 1 ).Należy podkreślić, że przyjęc i e lub odrzucenie hipotezy w teście statystycznym nie jest równoznaczne z logicznym udowodnieniem jej prawdziwości bądź nieprawdziwości. Przykładem właśnie z pogranicza statystyki i sądownictwa może być głośny przed łaty proces o kradzież. Otóż w czerwcu 1964 r. na jednej z ulic San Pedro w stanie Kalifornia została okradziona pewna kobieta. Wkrótce potem aresztowano niejaką Janet Collins i oskarżono o to przestępstwo. Co prawda, prokurator nie dysponował bezpośrednimi dowodami, jednak oskarżona została skazana. Argumentów dostarczyły rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Pewien matematyk, biegły sądowy, obliczył, że prawdopodobieństwo, iż kradzieży dokonała inna osoba jest równe zaledwie ok. 1/12000000. Tak nikła
45
„
11 nsa pojawienia się innego sprawcy spowodowała, że ława 1 111.ys i ęgłych orzekła: guilty. Jednak niebawem sąd najwyższy
WOich obliczeniach biegły popełnił poważne błędy. Otóż pom nożył on przez siebie prawdopodobieństwa różnych poll'dynczych zdarzeń, składających s ię na opis kradzieży (zło d1.icjka była blondynką, jechała żółtym samochodem, widzia-
"" j<\ z brodatym brunetem itp.), mimo że nie było podstaw do za kładan ia ich niezależności. Przecież np. można być blondy nką, a jednocześnie spotykać się z brunetem! A prawdopodob ieństwo iloczynu kilku zdarzeń jest równe iloczynowi ich p rn w dopodobieństw tylko wtedy, gdy są te zdarzenia od siebie 11k1.alcżnel. Ponadto powstały wątpliwości dotyczące zasad1 111śc i obliczenia przez biegłego prawdopodobieństw poszcze~(i l11ych zdarzeń. To wszystko sprawiło, że pani Collins została ou.yszczona z zarzutów i znalazła się na woln ości. Największe praktyczne znaczenie mają tzw. par am el 1yc z ne testy istotności2. W testach tych, na podstawie „wnych wyników uzyskanych z próby losowej, podejmujemy 11 1 kcyzję (w odniesieniu do całej populacji, z której ta próba po' hodzi) o odrzuceniu hipotezy zerowej H 0, odnoszącej się do il'' lowanego parametru na korzyść hipotezy alternatywnej H1, hq d ź stwierdzamy, że brak jest po temu dostatecznych prze
46
Część I. STATYSTYKA
testowanie byłoby zbędne), a tylko przypadkowy zestaw wylosowanych elementów próby tego nie potwierdził. Prawdopodobieństwo zaistnienia takiego błędu zwane jest po ziomem istotności i oznaczane grecką literą a. Najczęściej przyjmowanymi poziomami i stotności są prawdopodobieńs twa 0,1; 0,05 lub 0,01. Odrzucenie hipotezy zerowej na poziomie istotności a= 0,01 oznacza, że ryzyko zaistnienia wspomnianego błędu jest zaledwie !-procentowe (tzn. błąd taki popełnimy przeciętnie I raz na 100 decyzji). Mottem do istoty testów statystycznych mogą być nastę pujące słowa Kartezjusza': „„. jest prawdą zupełnie pewną, że gdy nie jest w naszej mocy rozpoznać mniemania najprawdziwsze, winniśmy iść za najbardziej prawdopodobnymi. .. " Należy jeszcze wspomnieć o tzw. bł ędz i e drugiego rodzaj u (oznaczanym grecką literą {3) dotyczącym sytuacji przyjęc ia, czyli uznania za prawdziwą, hipotezy fałszywej . Jednak w testach istotności nie uwzględnia się konsekwencji popełnienia takich błędów, w związku z czym nie będziemy się nimi zaj mować (Czytelnikom zainteresowanych tym zagadnieniem polecam którąś z licznych książek o statystyce matematycznej, np. cytowaną pracę J. Grenia),
Obok parametrycznych testów istotności, w których weryfikujemy wartość jakiegoś parametru występują także testy nieparametryczne (np. test zgodności x2), w których weryfikujemy typ rozkładu badanej cechy w populacji generalnej. Parametrycznymi testami istotności weryfikujemy najczę śc iej takie parametry, jak: wartość średnia, wskaźnik struktury, 3
Rozprawa o metodzie, przeł. Tadeusz Boy-Żeleński, PIW, Warszawa 1952,
s. 44.
Rozdział
4 . Testy statystyczne
47
w11 riancja . Często praktykuje się testowanie wielu parametrów dwóch średnich, wariancji dla wielu średnich). Powodem 111 kicgo postępowania może być chęć wykazania, że parametry 11• poc hodzą z różnych populacji. Załóżmy na przykład, iż inlr1esuje nas to, czy nowo proponowana technologia produkcji j11 ki cgoś wyrobu jest lepsza (w sensie mniejszej liczby braków) od dotychczas stosowanej. W tym celu pobieramy próby z parlii pochodzących sprzed zmiany i po zmianie technologiczlll'j. Jeżeli teraz przez P 1 oznaczymy udział (procent) braków w partii wytworzonej starą technologią, a przez P2 podobny 11d z iał przy zastosowaniu nowej, to zadanie testowe sformułu jr my następująco:
(11p .
H 0:P 1 ~P 2 , H 1:P 1 > P2. Jeśli
test wykaże, że hipotezę zerową (H 0) należy odrzucić, 11 zatem przyjąć hipotezę alternatywną (H 1), to tym samym zo>lanie dowiedziona wyższość nowej technologii. Parametryczny test odnoszący się do istotności różnicy między średnimi rozpatrzymy na następującym przykła dzie . W pewnej fabryce regularnie dostarczającej swoje wyroby do odległej hurtowni zaistniał spór, dotyczący wyboru trasy transportu samochodowego. „Konserwatyści" optowali za dotychczasową trasą A, która - aczkolwiek o większym natężeniu ruchu drogowego - była krótsza. ich obliczeń wynikało, że średni czas przejazdu IA = 86,3
z
minut. Natomiast grupa „nowatorów" twierdziła, że nieco dłuższa, ale mniej ruchliwa trasa B pozwala na szybszy przejazd.
znacząco
Wyrywkowe pomiary czasów przejazdów i ich (wiersz 15.) przedstawia Rysunek 4.1.
średnie
48
Część
I. STATYSTYKA
Rozdział
Rysunek 4. I. Odnotowane czasy przejazdu trasami A i B
4. Testy statystyczne
49
Rysunek 4.2. Okno dialogowe testu t
E31\ l1 crosoft Excel - R4
~ ~lik !;:dycja \blidok ~taw Eormat t:iarzę~
D ~ liil
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
15
·~
rlilll iii! 151. ~1f lt
~ ę, ~ Jl1
815 l ~J r =I -SREDNIA(85: 814) A B c Ir o I Trasa A Trasa 8 (minuty) ~ 75 68 76 72 82 75 93 81 86 65 79 73 94 80 89 66 90 70 99 77 86,3 72 7
T
Pomimo, że średnie są różne warto sprawdzić czy różnica ta jest spowodowana przypadkiem, czy też ma charakter systematyczny. Do tego celu należy wykorzystać testowanie hipotez. Hipotezą sprawdzaną będzie równość średnich czasów przejazdu (H0 : /A= lal wobec hipotezy alternatywnej, że średni czas przejazdu trasą B jest istotnie krótszy (H 1: /A> la). Testowania dokonamy w arkuszu Excel, stosując następującą procedurę: NarLędzia - Analiza danych ... - Test t: z dwiema próbami zakładający nierówne wariancje. Ukaże się wówczas, wymagają ce wypełnienia, okienko dialogowe (Rysunek 4.2.). Test l wykorzystuje tzw. rozkład I-Studenta, podobny do standaryzowanego rozkladu normalnego N(0,1), czyli o śred niej O i odchylenie standardowym I. Cechuje go więc symetria względem średniej, tylko jest nieco bardziej spłaszczony, czyli ma ujemną kurtozę. Stosowany jest przy małych próbach, nie przekraczających 30 elementów.
pcjewyj~da
Vzal!r~wyjśclowy:
Nowy&[jwsz: rNowy~oszyt
Po wypełnieniu pól wejściowych zmiennych, w polu „ Róż nica średnich wg hipotezy" wstawiamy O, co oznacza równość czyli H0 : LA= l a, ew. akceptujemy, jak w tym przypadku, proponowany poziom istotności a = 0,05 i zaznaczamy 1.akres wyjściowy (np. komórka F7). Po akceptacji (OK), ukażą s i~ następujące wyniki (Rysunek 4.3 .).
ś rednich,
Rysunek 4.3. Wyniki testu t
50
Część I. STATYSTY KA
Interesujący nas jest wynik figurujący w celi G 16 (tj. „P(T<=t) jednostronny") 0,000238646. Jest to obliczony poziom istotności, wynoszący daleko mniej , aniżeli przyjęliśmy (0,05). Informuje on, że ryzyko błędu jest w tym przypadku równe (po zaokrągleniu) zaledwie 2/10000. Wobec nie przekroczenia przyjętego poziomu istotności, hipotezę o równości średnich w testowanych próbach należy zatem odrzucić (moż na nawet powiedzieć : zdecydowanie odrzucić). Tym samym potwierdzono słuszność przekonania „nowatorów" o generalnie krótszym czasie przejazdu trasą B. W rozpatrywanym przypadku interesował nas test jednostronny, bo hipotezą alternatywną była : H 1: iA>i 8. Gdyby natomiast była ona sformułowana następująco: H 1: /A~ 78 , należałoby brać pod uwagę „P(T< = t) dwustronny''. Oczywiście prawdopodobieństwo popełnienia błędu pierwszego I rodzaj u, czyli poziom istotnośc i a, będzie w takim przypadku dwukrotnie większe (w przykładzie: 0,000477291).
Rozdział
5. Korelacja
Celem rozdziału jest udzielenie odpowiedzi m.in. na na-
pytania: Co to jest korelacja i jakją mierzyć? Na czym polega autokorelacja składnika losowego (reszt modelu) w szeregu czasowym? W jaki sposób mierzyć istotność reszt modelu? Jak wykonać obliczenia w Excelu?
stępujące
Po d st awowe
pojęcia
Współczynnik
korelacji - miara współzależności między badanymi cechami w populacji, jej wartości graniczne to -1 (doskonała korelacja ujemna) i + 1 (doskonała korelacja dodatnia). Autokorelacja składn ika losowego szeregu czasowego - korelacja
między
resztami modelu trendu (odchyleniami warto-
ści
faktycznych od teoretycznych). Statystyka Durbina-Watsona - statystyka
służąca
testowaniu
istotności autokorelacji reszt modelu trendu.
Swego czasu zaobserwowano w Anglii, że ilość odlowionych makreli wiąże się z liczbą dni słonecznych na obszarze połowów w lutym i marcu. Niektórzy zaczęli nawet dowodzić, że ryby te rozmnażają s ię pod wpływem promieni słonecz nych! Dopiero wypowiedzi prawdziwych znawców zagad-
Część I.
52
Rozdział 5 . Kore lacja
STATYSTYKA
nienia obaliły ten pogląd. Niezależnie od faktu, że do ko6c11 kwietnia makrele przebywają na zupełnie innych wodach, spe cjaliści dowiedli, że więcej sło6ca sprzyja obfitszemu rozwo jowi fitoplanktonu (drobne organizmy roślinne), a ten z kolei - bogatszemu rozwojowi zooplanktonu (drobniutkie zwierząt · ka), przyciągającego większe ławice makreli. Tak więc mimo dużej współzależności, nie było bezpośredniego zwi ązku przyczynowo-skutkowego między nasłonecznieniem a obfitymi po· łowami . Ową współzależność określamy w statystyce mianem korelacji, a podstawową miarę siły tego zjawiska - współczyn nikiem korelacji. Z analizą korelacji wiąże s i ę ściśle analiza regresj i, stanowi ącej podstawowe narzęd zie do badania charakteru i kształtu związku między zmiennymi. Podręczniki statystyki, jak również wykładowcy tego przedmiotu, zagadnienia korelacji i regresji traktują łącznie . Ponieważ w Części II. Prognozowanie zostaną obszernie omówione ekonometryczne modele przyczynowo-skutkowe, b ędące z punktu widzenia statystyki modelami regresji, w tym rozdziale ograniczymy się do rozpatrzenia korelacji. Aczkolwiek nierzadko spotykamy nieliniowe zależności ekonomiczne, to jednak w książce omówimy jedynie zwi ązki liniowe, najczę ściej rozpatrywane w literaturze i przedstawiane na wykładach ze statystyki. Podyktowane to jest tym, że jak wskazuje J. Gre(l, zależności liniowe w praktyce! występują najpowszechniej. Jak wspomniałem, współczynnik korelacji służy do uchwycenia siły zależności między badanymi zmiennymi.
W "epoce przedkomputerowej", posługując się jedynie prostym (nie naukowym) kalkulatorem, obliczenie tego współczyn nika (r) było czynnością żmudną, obarczoną dużym ryzykiem
1
J.
Greń , op.cit., s. 154. Podobnie tw i erdzą
Statystyka od podstaw, s. 252)
J. Jóźwiak i J. Podgórski (por.
I
"I" l11il'nia błędu,
bowiem
53
należało dokonać odpowiednich
ol 1lh tl' ll wg wzoru:
2,(y;-y)(x;-:X) /' - vi(y; - y)2t(X; - x)2
ol1k: , pary wyników z 11 11 \ 1 średnie z próby.
próby,
Dzisiaj możemy to zadanie zlecić Excelowi, a sposób pol\'jlOwania zobaczymy na przykładzie. Spośród studentów )ll'Wnej uczelni wylosowano 10. studentów IV roku I zestawiono ich średnie oceny w sesji egzammacyineJ na I roku ; tudiów (x;) i na IV roku studiów (y;). Uzyskane wyn1k1 111 1.cdstawia Rysunek 5.l. Rysunek 5.1. Średnie oceny dziesięciu studentów
na I i IV roku studiów
54
Część I.
Rozdział S. Korelacja
55
STATYSTYKA
Obliczenie współczynnika korelacji pomiędzy średnimi wynikami egzaminów na latach I i IV z wykorzystaniem Excela przebiega następująco. Z głównego menu wybieramy opcję Wstaw, Funkcja - Statystyczne - WSP.KORELACJI i w okienku dialogowym wstawiamy obszary: B4:Bl3 dla zmiennej x oraz C4:Cl3 dla zmiennej y. Obliczona wartość współczynnika korelacji r (wynik formuły = 0,9098 „.) już się ukazała na ekranie, a po kliknięciu OKzostała wstawiona w wybraną komórkę otwartego arkusza.
Rysunek 5.2 . Okno dialogowe
współczynnika
korelacji
Statystyka ta ma przy założeniu prawdziwości H 0 rozkład /·Studenta z n-2=8 stopniami swobody. W przykładzie wyu iosła ona /obł. = 6,201... Wartość krytyczną, po osiągnięci~ któ rej przez obliczoną z próby statystykę /obł. odrzuomy hipotezę sprawdzaną, dla poziomu istotności a równe np. 0,05 nożemy znaleźć w Excelu (wynik został przedstaw10ny na Rys unku 5.3. - komórka H12). Prowadząca do tego procedura jest następująca: Wstaw - Funkcja - Statystyczne - ROZKLAD.T.ODW(). Spowoduje to otwarcie poniższego okienka 1
dialogowego. Rysunek 5.4. Okno dialogowe odnajdywania wartości krytycznej w rozkładzie I Studenta
do zweryfikowania hipotezy H 0, zakła dającej, że obliczony współczynnik korelacji jest równy O, co oznacza brak współzależności pomiędzy porównywanymi średnimi ocenami. Test istotności dla tej hipotezy został przedTeraz
przystąpimy
stawiony poniżej.
Obliczamy wartość statystyki t według wzoru:
lobL=fi=r,~.
56
Czę!ć I. STATYSTYKA Rozdział
Ponieważ t b1. =
6,201 .. . > 2,306 ... = 10• , , hipotezę spraw05 8 czyli brak korelacji) należy odrzucić na korzyść hipotezy alternatywnej H 1: r~ O. Tym samym pośrednio dowiedliśmy współzależności średnich egzaminacyjnych ocen na czwartym i pierwszym roku studiów w badanej uczelni.
5. Korelac ja
57
0
dzaną (H 0: r =O,
Szczególnym przypadkiem korelacj i jest a u tokorel acj a składnika losowego szeregu czasowego (e1), którego realizacją są odchylenia wartości wynikających z oszacowanego mode-
lu trendu od wartości faktycznie zaobserwowanych. Zjawisko autokorelacji zachodzi wówczas, gdy skutki zmienności losowej są przenoszone na okresy następne (tj. na okres t + 1, t + 2 itd.). Mówimy wówczas o korelacji rzędu pierwszego, drugiego bądź dalszych. Już na wstępie tych rozważań należy podkreślić, iż zjawis ko autokorelacji składnika losowego jest sytuacja
niepożądaną.
Testowanie istotności autokorelacji rzędu pierwszego, czym zajmiemy się poniżej, przeprowadzane jest w odniesieniu do następującej hipotezy zerowej : Ha: re,e1_,= O, przy hipotezie alternatywnej: H 1 :re,el-l;o!O. Do zweryfikowania H 0 wykorzystuje stykę Durbina-Watsona:
się następującą staty.
,~(e,-e1_ 1 )2
d obl.
=-~,-- ·
I eiI
1" 0
Obliczoną wa11ość statystyki porównuje się z wartościami krytycznymi testu (Tablica 5.1.) i podejmuje właściwą decyzję.
I ltlh u c;. 1. N iektóre wartoś ci krytyczne testu Durbi~a-W;tsona prą poziontie
istotności
a= 0,05 i dwustronnej H 1
Liniowa funkcja trendu górna granica lewego obszaru
dolna granica lewego obszaru
górna granica prawego obszaru
odrzuceń Ho
prqjęćHo
przyjęć Ho
d1
d,
d,
d4
J.08
1.36
2.64
2.92
20
1.20
1,41
2, 59
2,80
10
1,35
1,49
2. 51
2,65
50
I. SO
1,59
2,41
2,SO
100
1,65
1,69
2,31
2,35
l h1ha l1m l1111yt.:h uk1nów (11)
dolna granica prawego obszaru odrzuceń Ho
postępo
_Zasady przyj ęc i e
wania są tutaj nas tępujące: hipotezy Ho o b ra ku autokorelacji ma miejsce
wówczas, gdy: d, < dobl. < d3,
d lub d s dobl. s d, nie po-
:Iz~ d:~·~fi~acyjn~;
- w przypadku, .gdy test niczego nie dcjmuj e się zadnej de Y J , d l . f wydlużyć szereg przesądził (ew. należałoby badac a ej, J.
hipotezę
czasowy), o braku zjawiska au„ - gdy dobl.< d I b ąd"Z d obł. >d4• lokorelacji składnika losowego należy odrzucie. Obliczanie współczynnika autokorelacji prześled zimx na przykladzie szeregu czasowego 15 mies 1 ę~~~~o~~~~. azy pewnej części zamiennej do samochodu -
2 Źródło: A. Luszn iewicz, Metody w11ioskowa11ia statystycwego, tablica 2 3, s. 140
Rozdzi ał 5. Korelac ja 59 58
Część
I. STATYSTYKA
_, \111': t - numer miesiąca, y, 111 l
sprzedaż w miesiącu t, y'1 -
war-
I trendu.
()szacowany model trendu liniowego (obliczenia pomija-
111v) przedstawia się następująco: y ', = 101,27 + 0,541. Reszty modelu (realizacje skladnika losowego), będące róż1111 q między faktycznymi a teoretycznymi wartościami zmien111'1 y , tj. y - y' , = e„ widnieją w kolumnie D Rysunku 5.6. 1 1 1 W kolumnach E, F i G dokonano obliczeń niezbędnych do wy11111czenia dobl. · Statystyka ta
przyjęła wartość:
Ponieważ d obl. = 1,54 wpada do obszaru przyjęć H 0 : < 1,36; /,64>, zatem możemy orzec, że w analizowanym szeregu cza'uwym sprzedaży (y,) nie zaobserwowano autokorelacji składnika \osowego3.
J
Zainteresowanym
A.D. Acz.el, op. cit.,
poglębieniem wiedzy na temat autokorelacji polecam Podrozdział 11.12 . Autokorelacj a reszt i test Durbina-
-Watsona, s. 599idalsze.
Rozd ział 6. Statystycz na kontrola jakośc i
61
wy ł warzać wyroby składające się z wymienialnych części. Była 111 jednak produkcja jednostkowa, powstająca w długim i nie-
Rozdział 6. Statystyczna kontrola jakości
Celem rozdziału jest udzielenie odpowiedzi m.in. na następujące
pytania:
Na czym polega statystyczna kontrola jakości (SKJ)? Jakie są dwa główne obszary stosowania SKJ? Do czego służą karty kontrolne i jak się je opracowuje? Jak testować jakość partii towaru? Podstawowe pojęcia
Statystyczna kontrola jakości (SKJ) - metody kontroli jakości produkcji wykorzystujące narzędzia statystyki matematycznej. Dwie sfery SKJ - jakość procesu produkcyjnego (sterowanie procesem) oraz jakość partii wyrobów gotowych. Karty kontrolne - najpowszechniej stosowana technika monitorowania procesu; zawierają linię centralną (center line
- CL) oraz granice kontrolne: górną (upper control limit UCL) i dolną (/ower control limit- LCL). Jakość partii towaru jest badana za pomocą odpowiedniego testu i stotności.
W roku 1798 w fabryce muszkietów zbudowanej przez znanego amerykańskiego wynalazcę, Eliego Whitneya, ruszyła produkcja tej broni!. Bodaj po raz pierwszy w historii zaczęto
lw1.piecznym procesie. Zdarzało się bowiem, że podczas próblll'µ o strzelania źle dopasowane części muszkietu powodowały 1• k ,p l ozję. Jednak członkowie Kongresu i generałowie, zdając , 0 bie sprawę z konieczności dozbrojenia armii, sprzyjali pomy, Jom Whitneya. A te polegały na produkcji muszkietów z około ~ O . podstawowych części. Na obserwację testów przeprowadzanyc h przez samego konstruktora na nowych muszkietach zostali 1np roszeni członkowie Kongresu. Poproszono ich o wylosowanie po jednej części, a następnie złożono z nich testowaną broń. 'kraz, po odsunięciu się kongresmenów na pewną (bezpieczną!) odległość, Whitney wystrzeli ł. Eksperyment z losowaniem czę ici, montowaniem muszkietu i oddaniem z niego strzału powtót7.ono kilkakrotnie. Broń działała bez zarzutu. Ponad sto lat później Henry Ford zbudował nowoczesny , amochód, mający około I OO razy wi ęcej elementów, aniżeli 1nuszkiet Whitneya. Opinia obserwatorów była jednoznaczna: to nie może działać! Ludzie uważali, że system o takim stopniu złożoności jest niemożliwy do prawidłowego zmontowania i funkcjonowania . Praktyka dowiodła czegoś innego! System techniczny nie jest bowiem układem społecznym, w którym jest rzeczą ni emożliwą, aby 5000 osób działało identyczn ie w każdej chwili. Jednak, aby urządzen ie techniczne złożone z bardzo wielu części działało bez zarzutu, muszą być one nieustannie kontrolowane pod względem jakości. W XX wieku sprawy jakości nabrały tak ważnego znaczenia że znalazło to odzwierciedlenie w powstaniu i stosowaniu sys;emu kompleksowego zarządzania jakością (Total Quality Management - TQM). W zarządzaniu jakością wyrobów wyróżnia się dwie fazy: - jakość procesu produkcyjnego (sterowanie procesem), - jakość partii wyrobów gotowych (najczęściej kontrola wyrywkowa).
62
Sterowanie procesem ma charakter dynamiczny, bowiem polega na ciągłym monitorowaniu wciąż jeszcze trwającego procesu i wczesnym sygnalizowaniu odchyleń od normy. Stwarza to możliwość natychmiastowego jego zbadania i ustalenia przyczyn takiej sytuacji (pracownik? maszyna? materiał?), umożliwiających dokonanie działań korekcyjnych. Z kolei odbiór wyrywkowy jest typu statycznego: ukończo ną partię wyrobów poddaje się wyrywkowej (próba statystyczna) kontroli jakościowej, w wyniku czego cała partia ma być zakwalifikowana jako dobra i przyjęta, bądź zła i odrzucona. W obu przypadkach nieodzownym narzędziem oceny są metody statystyczne. Do pierwszych naukowców wskazują cych na znaczenie tych metod w zarządzaniu jakością należał William E. Deming. Spośród jego słynnych czternastu tez, z punktu widzenia omawianej tematyki, warte są przytoczenia zwłaszcza następujące dwie: - „Przestań polegać na sprawdzaniu na masową skałę zgodności z wymaganiami technologicznymi. Zastosuj natomiast statystyczne metody sprawdzania, że jakość jest «wbudowana» w proces produkcji, dzięki czemu stosowanie masowej kontroli zgodności przestanie być potrzebne. Strategia taka nałoży nowe obowiązki na kierowników działów zakupów, których wypełniania będą się musieli nauczyć. - Skończ z praktyką kooperowania z najtańszymi dostawcami. Uzależniaj zakup nie tylko od ceny, ale i od wiarygodnych oraz właściwych danych o jakośc i zakupywanego materiału. Wyeliminuj dostawców, którzy nie gwarantują dobrej jakości swych towarów, mierzonej odpowiednimi metodami statystycznymi''>. Najpowszechniejszą techniką monitorowania procesu są
tzw. karty kontrolne , zawierające linię centralną (center line - CL) i granice kontrolne: górną (upper control limit 2
Rozdział 6. Statystyczna ko ntrola ja ko~ c i
Część I. STATYSTYKA
J.R. Thompson, J. Koronacki, op. cit., s. 14- 15 .
63
\ I( 'L) i dolną (!ower control limit - LCL). Do wyznaczenia tych '"1:11nich wykorzystuje się trzykrotność 3 odchylenia standardowego s. Wówczas prawdopodobieństwo, że zmienna losowi! odchyli się od wartości średn iej (x) o więcej niż 3s wynosi 1\1 11 rozkładu normalnego 0,0026. Czyli prawdopodobieństwo, 11· p rzedział ufności pokryje wartość średnią jest równe ł 11 ,0026 = 0,9974 (por. Rozdział 3. Przedziały ufności). Innymi , Iowy mamy prawo oczekiwać, że na !OOO wartości x zaledwie 3 znajdą się poza wyznaczonymi granicami. Wypadnięcie wyniku pomiaru poza granice kontrolne stanowi zatem syp,11 al, iż jest wielce prawdopodobne, że proces uległ destabill wcji, a więc wymaga natychmiastowego zbadania i korekty. Naj częściej stosowaną kartą kontroli jest tzw. karta x, umoż l iw i ająca wykrycie zmiany średniej wartości procesu. Do jej wyznaczenia, w przypadku, gdy liczebność n wylosowanej do ko ntroli próby nie przekracza 1O. elementów, wykorzystuje się n astępujące
wzory 4 :
- linia centralna: X =
kh ,
gdzie: ~ - średnia średnich
z k prób, 1 - wartość średnia i-tej próby (i = 1, 2, „,k), k - liczba prób o rozmiarze n. - górna granica kontrolna: UCL =X + A1R, - dolna granica kontrolna: LCL =X -A 2R, A, - stała odczytywana w specjalnych tablicach 5; np. dla prób liczących 5 elementów A 1 = 0,577, 6 elementów A 2 = 0,483, 7 elementów A 1 = 0,419. Niekiedy oprócz tych granic, traktowanych ja~o.. zewnętrzn~, wyznacza się wewnętrzne granice kontrolne, oddalone od hnu centralnej o 2s (prze· dział taki obejmuje 95,4% pomiarów). 4 Dla większych prób stosuje się średnią odchyleń standardowych wszyst· kich losowanych do kontroli prób (por. A.D. Aczel, o~. cit., s: 681). s M.in. zamieszczają w cytowanej A.D. Aczel (op. cit., Tablica 13, s. 993) i
64
Część I. STATYSTYKA
Rozdział 6. Statystyczna kontrola jakości
l(y„unek 6.2. Formuły obliczania parametrów karty kontrolnej
R1 - zakres i-tej próby.
Należy zaznaczyć, że zakres zmienności średniej "li. pomna żony przez stalą A2 jest dobrym oszacowaniem dla 3s.
65
X
h#i!tfM"M eii.; Edyqa
V;iiX* ~taw E_ormatt::larZędzla Q,3!1e
Cl"''l1lH!1(}.:> 817
i~fl
••B4-F11"0l
Budowanie linii kontrolnych i wnioskowanie na ich podstawie o jakości obserwowanego procesu prześledzimy na
przykładzie 6 . W Midwest Bolt Company kontrolowano wymiary sworzni produkowanych na specjalnych automatach o wydajności 1000 szt. na godzinę . Dla każdego z tych automatów opracowano oddzielną kartę kontrolną wartości średniej. Co godzinę pobierano losowo i poddawano pomiarom próbki liczące n = 6 sworzni. W jednej z takich prób odnotowano następujące długości wyrobów: 0,536; 0,507; 0,530; 0,525; 0,530 i 0,520, dające średnią x1 = 0,525. Jak wynikało z poprzednich kontroli: x0 = 0,513 , li.0 = 0,020. Dane te pozwoliły na opracowanie w arkuszu Excel karty kontrolnej dla wartości średniej (Rysunek 6. I.)
6
P~ch~dzi on z pracy: R.G. Schroeder, Operations Management. Decision
Makmg w tlze Operations Function. s. 621.
W obszarze F7:FIS wpisano wartości parametrów Ai karty ko ntrolnej dla X. Jak widać, średnia z ostatnio zbadanej partii (x 1 = 0,525) p1 w kroczyła górną granicę kontrolną. co może zasadnie
66
Część I. STATYSTYKA Rozdział
liczby lub proporcji wskazującej na odpowiednią jakość bada nej partii, czyli dopuszczalną wadliwość (Acceptab/e Quali11•
6. Statystyczna kontrola
jakości
67
l{ysu nck 6.3. Wartość testu istotności i formuła jej obliczania
(pasek
Level - ACL).
formuły)
Wyrywkowemu badaniu partii towaru zawsze towarzyszy ryzyko. Będzie to ryzyko odbiorcy związane z uznaniem za dobrą partii złej, a więc takiej, która powinna być odrzucona, bądź ryzyko dostawcy, gdy partia ma dopuszczalną wadliwość, lecz próba tego nie wykazała .
Postępowanie przy statystycznej kontroli jakości przedstawia poniższy przykład .
Badając trwałość pewnych łożysk postawiono hipotezę, że co najwyżej p = 30% ulega zepsuciu w pierwszym roku
pełnego użytkowania. Wynika z tego następująca hipoteza H 0 : p=0,30. Dla ew. potwierdzenia tej tezy wylosowano n = 400 takich łożysk i stwierdzono, że 140 łożyska (w= 35%) zostały zepsute. Ponieważ wynik próby losowej okazał się wyższy od założenia, hipotezę alternatywną sformułowano prawo-
Następnie należy obliczyć wartość krytyczną
testu wyobszar odrzuceń H0 . Jest to dokonywane wed ług "" ' t ę pującej procedury: Wstaw - Funkcja„. - Statystyczne IWZKŁAD.NORMALNY.S.ODW() i w nawiasach wpisujemy 11.97 (tj. 1 - a). Obrazuje to Rysunek 6.4. 1 11 aczającą
Rysunek 6.4. Statystyczna funkcja obli czania wartości
stronnie:
krytycznej testu
H 1:p>0,30.
'-ROZKŁAD.NORMA~NY.S.ODW(0,97)
Do weryfikacji tych hipotez stosuje się następujący wzór testu istotności:
Natychmiast uzyskujemy wynik: u0m = 1,88. Ponieważ = 2, 18 > 1,88 = u0,03 , czyli obliczona wartość testu jest od wartości krytycznej (wpada do obszaru krytyczne~o), zatem na poziomic istotności a= 0,03 należy hipotezę zerową odrzu cić . Zaobserwowana w próbie częstość zepsutych l ożysk przekracza bowiem w statystycznie istotny sposób ocenę, że zjawisko to występuje w nie więcej niż w 30% przypadków. Tym samym dowiedliśmy, że w pierwszym roku użytko wania ulega zepsuciu więcej niż 30% łożysk.
" ubi.
którego obliczenia dokonamy w arkuszu Excel (Rysunek 6.2.); przyjęty poziom istotności a= 0,03.
w i ększa
68
Część I. STATYSTYKA
Podsumowując rozważania o rodzajach statystycznej kon troh Jakości przytoczę żartobliwy pogląd WJ. Reichmanna7: „„.kontrola partii towaru ma na celu znalezienie parszywej o~cy w stadzie, a kontrola procesów ma na celu wyeliminowame dalszych parszywych owiec, które moglyby się pojawić". KoLdział 7. Indeksy statystyczne
Celem Ml~pujące
Jakie
rozdziału
jest udzielenie odpowiedzi m.in. na na-
pytania: narzędzia
stosujemy do pomiaru zmian w
J•t<"}'ch nas zjawiskach ekonomicznych? Jakie są rodzaje indeksów statystycznych? Na czym polega indeks Laspeyresa i czym się on Indeksu Paaschego? Jak liczyć wartość indeksów z pomocą Excela? Podstawowe pojęcia Indeksy statystyczne - narzędzia
interesu~
różni
od
statystyczne do pomiaru
zmian analizowanego zjawiska; są one definiowane jako
stosunek badanego zjawiska w danym okresie
(bądź
mo-
mencie), zwanym okresem badanym, do wielkości tego zja· wiska w innym okresie (momencie),
określanym
jako okres
bazowy. Ogólna postać wzoru na indeks statystyczny:
poziom zjawiska w okresie badanym poziom zjawiska w okresie bazowym
Indeksy indywidualne - obejmują pojedyncze zmienne. Indeksy agregatowe - są stosowane do niejednorodnych zbiorów elementów.
7
W.J. Reichmann, op. cit., s. 336
Indeks jednopodstawowy - stanowi porównanie poziomu badanego zjawiska w wybranych okresach (momentach) t z poziomem w pewnym stałym okresie (momencie) t 0 .
70
Część
Indeks łańcuchowy- służy porównywaniu poziomów zjawiska w każdym okresie t z poziomem w okresie bezpośrednio go poprzedzającym
(1- 1).
Indeks Laspeyresa - cechą charakterystyczną jest stosowanie wag (np. ilości) z okresu bazowego. Indeks Paaschego - w przeciwieństwie do poprzedniego, w tym indeksie wagi pochodzą z okresu badanego. Statystyka, podobnie jak polityka, często jest przedmiotem wielu zgryźliwych uwag i komentarzy. I tak, na przykład, premier Wielkiej Brytanii w roku 1868 i latach 1874-1880, Ben· jamin Disraeli, twierdził, że są trzy rodzaje kłamstw: kłam stwo, przeklęte kłamstwo i statystyki. I właśnie porównywanie statystyk do kłamstw jest krzywdzące i błędne . O ile bowiem politykę trudno przed krytyką obronić, o tyle podobne trakto· wanie statystyki jest niesłuszne. To tak, jakbyśmy krytykowali gramatykę dlatego, że ludzie popełniają gramatyczne błędy. A wydaje s ię, że najczęściej zarzutem tym szermuj ą osobnicy nie potrafiący wyjaśnić, czym różni się zwykła średnia arytme· tyczna od średniej ważonej. Natomiast akceptowalne są dowcipne, wyrastające na gruncie życzliwości, wypowiedzi na temat statystyki. Ot, choć by ta, wygłoszona wiele lat temu przez jej wykładowcę w Szkole Głównej Planowania i Statystyki (kiedyś i obecnie Szkole Głównej Handlowej), prof. Michała Pohoskiego: „To jest taka nauka, że jak mój sąsiad ma dwie kobiety, a ja żadnej, to staty· styka powie, że każdy z nas ma jedn ą kobietę". Nie należy się dziwić tej opinii, bowiem postawa Profesora wyraża w jakimś stopniu j edną z sentencji Karela Ćapka: „Tylko mali ludzie boją się o prestiż, wielcy go mają". Wiarygodność danych statystycznych oraz ich fachowa i pełna - a więc wyrażana nie tylko przez średnią - interpretacja zależy od ludzi, a nie od narzędzi oferowanych przez statystykę.
Rozdział 7. Indeksy statystyczne
I. STATYSTYKA
71
Ale powróćmy do indeksów statystycznych. Wśród indeksów statystycznych wyróżniamy i n dek s y i nil y w id u al n e i agregatowe. Pierwsze z nich obejmują po· l1•dy ncze zmienne, natomiast drugie - niejednorodne zbiory 11l1•11 1cntów.
Do podstawowych rodzajów indeksów indywidualnych zali! w s ię indeksy jednopodstawowe i„,,. Są one porów111 111icm poziomu badanego zjawiska w wybranych okresach {111omentach) t z poziomem w pewnym stałym okresie (mo""" 'cie) 10. Można to zapisać następującym wzorem:
.
y,
l 1110 =~,
w którym: \', poziom zjawiska w okresie t, \',„ poziom zjaw iska w ustalonym okresie
t0 .
Porównaniom poziomów zjawiska w każdym okresie I z po· /\o mem w okresie bezpośrednio go poprzedzającym (1- 1) stuli\ i ndeksy łańcuchowe. Tak więc :
. [ 1/1-1
y,
=y;:'
Przykład obliczania indywidualnych indeksów staty· stycznych dla liczby absolwentów szkól wyższych na 1000 mieszkańców Polsce w latach 1990-1997 i formuły temu służące zostały przedstawione na poniższych Rysunkach.
Rozdział 7. Ind eksy statystyczn e 73 72
Część I. STATYSTYKA
2,ą;1Pjl
Rysunek 7.1. Indywidualne indeksy statystyczne 1 (w%)
{.., = ~,
\\ k lóry~:l , . 1'-tego dobra w - odpowiednio - okresie O(bazo•/io·
\111.any jest on wg tzw. formul Laspeyre.sa bąd~ ~:se c:go~ w indeksach Laspeyresa (LI) za stały przYJmuie się Y nlk z okresu bazowego, zaś w indeksach budowanych. wg :11111\y Paaschego (pl) - z okresu badanego. W odmes1emu o
i
Rysunek 7.2. Formuły obliczania indywidualnych indeksów
statystycznych
i 1• 11
postaci tych indeksów są następujące: 2,ą;oP;1
LIP =~· Warto przypomnieć, że, jak to zostało stwierdzone w Rozdziale J. Statystyczne miary opisowe, chcąc obli czyć średnie tempo zmian wielkości będących wskaźnikami, należy stosować średnią geometryczną. W powyższym przykładzie będzie więc
ono równe:
l 1/t- I
co
= „_~i21i'i3;2"„·i„;„- 1=~104,8·104 , 6". 123,2 ~ 114, lo/o,
zostało
obliczone przy wykorzystaniu funkcji Excela
„śred
nia geometryczna".
Indek s y agregatowe, oznaczane symbolem I,
są
sto-
sowane w odniesieniu do wielkości niejednorodnych. Porównujemy w nich dane pochodzące z dwóch okresów: bazowego (t =O) i badanego (1 = 1).
Jednym z częściej stosowanych indehów agregatowych jest indeks wartości (I,). Wyraża się on wzorem:
1
Wszystkie przytoczone w tym rozdziale
p rzykłady pochod zą
J. Podgórski, Sratystyka dla studiów licencjackicl1, ro zdział 13.
z pracy:
2,ą; 1P; 1
plp =~·
Często są również i I 0 ś ci,
_ wg
wyrażane
formuły
stosowane agregatowe indeksy
wzorami·
Laspeyresa:
l:ą; 1P;o
LIP=~ _ wg formuły Paaschego: 2,ą;1P;1
pl,,=~·
Obliczenia tych indeksów w arkuszu Excel ~ost:ły p.rzed-, stawione na Rysunku 7.3„ zaś służące do obhczen [o1muł) na Rysunku 7.4.
Rozdział 7. Indeksy statystyczne 75 74
Część I. STATYSTYKA
Rysunek 7.4. Rysunek 7.3. Agregatowe indeksy statystyczne
Formuły obliczania agregatowych indeksów statystycznych
Zainteresowanym
pogłębieniem wiedzy, o indeksach staty-
, 1ycznych polecam cytowaną pracę J. Podgorskiego.
Jak widać, ceny artykułów w październiku 1998 r. w porównaniu z październikiem roku poprzedniego wzrosły śred nio o 24,8% według indeksu Laspeyresa, a według formuły Paaschego o 24,2%. Z kolei indeksy odnoszące się do ilości wykazują spadek o 7,0% (według cen stałych z października 1997 r.) bąd ź o 7,5% (ceny z października 1998 r.).
Rozdział
danych statystycznych Celem rozdziału jest udzielenie odpowiedzi m in · · na na-
stępujące pytania:
Co to jest szereg rozdzielczy ijak się go buduje? Co to jest tzw. częstość względna i jak się ją liczy?
1.L' brano dostatecznie dużo danych, wszystko można udowod11 i ć metodami statystycznymi''. Do omówienia wybranych procedur związanych z grupowaniem i prezentacją wyników analiz statystycznych wykorzy' la ny został przykład pochodzący z książki J. Podgórskiego2.
~okto !e~t tzw. dystrybuanta empiryczna i jak się ją oblicza? tycznaą) ?o hczać w Excelu dystrybuantę hipotetyczną ( teore-
Podczas kontroli drogowej 25. samochodów, zarejestrowano m.in. dane dotyczące wybranych trzech cech: I) liczba pasażerów (bez kierowcy), 2) prędkość z jaką poruszało się auto, 3) płeć kierowcy.
Podstawowe pojęcia
ro~dzielczy - przedstawjenie empirycznego rozkładu badanej c_echy wg ustalonych klas (zmienna skokowa) lub przedz1ałow klasowych (zmienna ciągła).
Szereg
stosunek liczebnosc1 ogółem (n).
liczebności
Dystrybuanta empiiyczna - skumulowana zaobserwowanego rozkładu.
Uzyskane wyniki przedstawiono w Tablicy 8.1.
danej cechy (n) do '
Tablica 8.1. Zaobserwowane przypadki podczas kontroli drogowej
częstość względna
X
Dystrybuanta hipotetyczna - odpowiednik dystrybuanty empi-
Nr
1yczne3, odczytywana z tablic statystycznych lub obliczana w Excelu; Jest to niemalejąca funkcja typu: F(x) = P(Xsx) wyr~za!ąca prawdopodobieństwo, że zmienna losowa ; przy3m1e wartość nie większą 1 od x.
(liczba pasażerów, nie licząc kierowcy)
(prędkość
w km/godz.)
i
Definicja ta dotyczy zmiennej skokowej. W przypadku zmiennej
prawdopodobieństwo P(X
(płeć
M-
kierowcy,
mężczyzna,
K-kobieta)
64 77
51
dystrybuanta oznacza
77
C hcąc wypowiadać wiarygodne sądy o całej populacji na podstawie losowo pobranej z niej próby statystycznej, dążymy do tego, aby była ona jak najliczniejsza. Wszak w krańcowym 1111.ypadku, gdy populacja jest przeliczalna, badania nad „próhq" z nią się pokrywającą, a więc zawierającą wszystkie jej ele111c nty, zapewnia !OO-procentowe wyniki analiz. I nie dajemy wiary uszczypliwym uwagom zwolenników Murphy'ego: Williamsowi i Hollandowi, autorom prawa głoszącego, że „jeśli
Rozdział 8. Grupowanie i prezentacja
Częstość wz.gl.ędna -
8. Grupowa nie i preze ntacja dan yc h statystyczn ych
70
cią łc' g J, 2
J. Podgórski , op.cit., s. 15.
M M M
78
Część
Rozdział 8.
I. STATYSTYKA
50 72 47
93 52 60 56
10 Jl 12 13 14 15 16
K
58 82
M M K K M M
18 19 20 21 22
63
Rysunek 8. t . Histogram rozkładu samochodów według płci kierowców
i
K
59
60
"' kusza Exceł3 jest pokazane na Rysunku 8.1.
M
63
17
65 67
l.
61 71 66
M
23
24 25
62 68
K M
K
Dane indywidualne zazwyczaj grupuje się w tzw. szereg rozdzielczy, wyrażający empiryczny rozkład badanej cechy. Polega to na przyporządkowaniu poszczególnym jej wartościom - podzielonym według ustalonych klas - liczby ich występowania. Na przykład dla cechy jakośc iowej „p łeć kierowcy" szereg rozdzielczy w powyższym przykładzie przedstawia s ię nastę pująco (Tablica 8.2.). Tablica 8.2. Samochody Płeć
79
Graficzne przedstawienie powyższego szeregu za pomocą jednego z możliwych - histogramu (wykresu słupkowego)
K M M K M K M
69
Grupowanie i pre ze nta cja dany ch statystycznych
kierowcy
Kobieta
według płci
kierowcy
Liczba samochodów
Częstość względna
(n;)
(n/n)
Il
11/25
Mężczyzna
14
14/25
Razem(n)
25
= 0,44 = 0,56
1,00
'
;
; '
I :
% 44
56 100,0
Równie łatwo sporządza się w omawianym przykładzie s~e rcg rozdzielczy dla cechy skokowej, jaką jest liczba pasazerow, co wyraża Tablica 8.3. I
Dojście z głównego menu: Wstaw - Wykres . itd.
80
Część
Rozdział
I. STATYSTYKA
Tablica 8 3 Samochody
Liczba
pasażerów
(x,)
według
liczby
pasażerów
Liczba samochodów
Częstość wzgl ędna
(n;)
(w; =n; /n)
0,1 2 0,32 0,28 0,20 0,08
Razem(n)
25
1,00
Tym razem wyrazimy to graficznie w postaci wieloboku . Jest on wykresem przypominającym histogram, ale nie mającym postaci prostokątów. Zaznacza się na nim tylko punkty na wysokości proporcjonalnej do liczebności lub częstości względnej.
8. Grupowanie i preze ntacja danych statysty cznych
81
Więcej zachodu wymaga przypadek zmiennej ciągłej, w i~c mogącej przyjmować dowolne wartości rzeczywiste. W rozpatrywanym przykładzie taką zm ienną jest zarejestrowa1111 prędkość samochodu. Gdyby jej pomiary były dokonywane 1 dokladnością do np . 0,1 km/godz„ to prawdopodobnie oka1111oby się, że każde auto jechało z inną szybkością. Tak więc ~ omadzenie wartości zmiennej ciągłej wymaga utworzenia pnvnych przedzialów, zwanych przedziałami klasowymi. Granke k klas będziemy oznaczać następująco: dolna: Xo;. górna :
11
1
"''gdzie i = l, 2„.„k. Formalne zasady poprawnej klasyfikacji zaobserwowa11ych wartości zmiennej ciągł ej to: zasada rozłączności i zasada kompletności klas. Pierwszy wymóg oznacza, że jednostka 1oże zostać zaliczona tylko do jednej klasy, zaś drugi - każda
11
jednostka musi s ię znaleźć w jakiej ś klasie. Tablica 8.4. Podział samochodów ze względu na odnotowaną prędkość
Prędkość w
km/godz.
Yoi · Y1i 45-55 55-65 65 - 75 75-85 85 95
Razem (n)
Liczba samochodów (n;)
11 7 1 25
Częstość względna
(w;)
0,16 0,44 0,28 0,08 0,04 1,00
Przyglądając się powyższej tablicy od razu rodzi się pytanie: do której klasy są zaliczane wielkości graniczne, np. 65 km/godz.? Jest to kwestia indywidualna, jednak wymagająca jasnej deklaracji, która z granic jest otwarta, a która domknięta. W rozpatrywanym przykladzie przyjęliśmy, że przedziały są domknięte prawostronnie. Oznacza to, że samochód np. stwierdzonej szybkości 65 km/godz. zostal zaliczony do 0 klasy 55-65.
82
Część I. STATYSTYKA H ol dzia ł
Szereg rozdzielczy cechy ciągłej najlepiej poznanym już histogramie (Rysunek 8.3.).
przedstawić
""
8. Grupowa ni e i prezenta cja danych statystycz nyc h
83
IHhlica 8.5. Skumulowania liczba ~amo chodó~ i dystrybuanta empiryczna prę dkości samochodow
Rysunek 8.3. Histogram rozkładu szybkośc i
l'n;dkość
w km/godz. Yo1- Y1i
Skumulowana liczba samochodów n(x;)
4S - SS
Dystrybuanta F.(x;)
0,16
5S- 6S
lS
0,60
6S- 7S
22
0,88
7S- 8S
24
0,96
8S - 9S
2S
1,00
st buanta dla prędkości 45-55 km/godz. równa j~st ' z Tablicy 8.4, dyst:buanta dla ~~ 65 km/godz. - skumulowanej częstosc'. względnej tej I po I)
11•st~ś2względnej
prędkosc'.
p11.cdniej klasy, a więc 0,16 + 0,44 = 0,60. itd. R unku 8 4 Odpowiadający temu wykres przedstaw10no na ys . .
Pożytecznym
zabiegiem jest przedstawianie rozkładu zmiennej losowej za pomocą skumulowanych liczebności lub częstości względnej. Skumulowany szereg tych ostatnich służy do zdefiniowania ważnego w statystyce pojęcia, jakim jest dystrybuanta empiryczna. Otrzymuje się ją poprzez sumowanie wspomnianych częstości względnych, przy założeniu, że na dystrybuantę i-tej klasy złoży się suma częstości względnej tej klasy oraz wszystkich klas poprzednich. Odpowiednikiem dystrybuanty empirycznej jest w statystyce dystrybuanta hipotetyczna, będąca niemalejącą funkcją typu: F(x) = P(X sx),
wyrażająca prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X nie przekroczy wartości x. Jak każde prawdopodobieństwo, dystrybuanta może przyjmować wartości z przedziału < O; I > .
Przykład obliczania dystrybuanty empirycznej F„(x;) przedstawiono w Tablicy 8.5.
Rysunek 8.4. Dystrybuanta empiryczna liczby pasażerów
84
Rozdział 8. Grupowanie i prezentacja danych statystycznych
Część I. STATYSTYKA
Z
powyższego
dobieństwo, że
Rysunku wynika na przykład, liczba pasażerów będzie mniejsza
iż
85
Rysunek 8.6. Funkcje obliczania dystrybuanly hipotetycznej
prawdopo· równa 3
bądź
wynosi 0,92. Procedura wyznaczania dystrybuanty hipotetycznej dla do· minującego w praktyce biznesowej, a także w większości zja· wisk społecznych, przyrodniczych itp„ rozkładu normalnego zostanie przedstawiona na przykładzie zaczerpniętym z pracy Agnieszki Snarskiej4.
Dojście do tej funkcji statystycznej jest następujące: Wstaw Funkcja„. - Statystyczne - ROZKŁAD . NORMALNY. Ukaże
, i1· wówczas odpowiednie okno dialogowe: Przykład
Na urządzeniu porcjującym czekol adę wytwarza się dziennie 200 tabliczek o średnim ciężarze 1OO g. Dopuszczalne odchylenie od tej normy wynosi ±2% Wiadomo, że ciężar czekola· dy ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym 0,8 g. Na podstawie tych danych za pomocą odpowiednich funkcji excelowskich wyznaczymy m.in. hipotetyczną dzienną liczbę czekolad spełniających bądź nie spełniaj ących założoną normę. Ponieważ w przykładzie wielkości graniczne są uznawane jako odpowiadające normie, poszukiwanymi prawdopodobieństwami będą:
Rysunek 8. 7. Okno dialogowe wyznaczania dystrybuanty
@ijl@t{łiii#M]M•P
l«J fll<
Ę_dycja l!!l.ldok w~taw Eormat !jarzędzla Qane !2kno Po~
l I;; Id diJ! ~[li>, ::>' :t ~ fl, ,§1 "' • "' • ~ :i:: f. ~I U .J = =ROZKŁAD.NORMALNY(B5;82;B3;PRAWDA)
OZ>::lAD.NOR„ . .... ')(
I
R02YŁADNORMALN\I Średni: :::~:::.....=~~----ii;;;r:~-00--~ Odc.hylenle_std 103 Skumuiowany
Ej_o,B
;...IPRA_WD_A--==----,,,,~ ..,PRAWDA
F(x,) = P(X < x 1 = 98) oraz F(x 2) = P()( > x 2 = 102) .
Rysunek 8.5. Obliczanie dystrybuancy hipotetycznej rozkładu normalnego 1Wif1Mi 11 M
4
A. Snarska, Statystyka, ekonometria, prog11ozowanie, s. 66 i da lsze.
Wprowadzając normy (98 g - komórka BS), średnią (1 OO g - komórka B2) i odchylenie standardowe (0,8 g - komórka B3) oraz wpisując w polu „Skumulowany" PRAWDA 5, Excel poda prawdopodobieństwo, że waga tabliczki czekolady jest mniejsza od dopuszczalnej normy. W tym przypadku wynosi ono po zaokrągl en iu - 0,006 (podobnie, jak prawdopodobieństwo, że waga czekolady będzie większa od górnej wartości granicznej - symetryczność rozkładu normalnego) . Wynika z tego, że
86
Część I . STATYSTYKA
prawdopodobieństwo
wagi czekolady w granicach norm
J
równe 0,988.
Znają~ te prawdopodobieństwa można łatwo obliczy~ li czebnośc1 tabliczek czekolady kwalifikujących się do ustulu nych grup. Zostało to przedstawione na Rysunkach 8 5 . H & .
(formuły).
· ·'
c 1c:ść
11. PROGNOZOWANIE
lłotdział
9. Prognozowanie i ekonometria
Celem rozdziału jest udzielenie odpowiedzi m.in. na na•l\'t>ujące
pytania: Co to jest model ekonometryczny ijakie są jego cele? Jakie są elementy składowe modelu ekonometrycznego?
Czym charakteryzuje
się
ekonometryczny. model trendu?
Jakie są istotne cechy adaptacyjnego modelu trendu? Co jest zazwyczaj przedmiotem prognozowania w działal11ości biznesowej? Podstaw owe
pojęcia
Model ekonometryczny - podstawowe pojęcie ekonometrii'; opisuje on, za pomocą równania bądź układu równań, interesujące badacza zależności. kładowe modelu ekonometrycznego - zmienne zależne i niezależne2,
parametry (zależy od nich funkcja zmiennych obi elementy losowe (parametry stochastycznej
jaśniających)
struktury modelu). definiuje się jako nau kę o metodach badania, za pomocą uparatu matematyczno-statystycznego, prawidłowości występujących w zjawiskach ekonomicznych W ekonometri i stosuje się dla tych pierwszych nazwę nobjaśniane", a dla drugich - ~objaśniające ". W książce będziemy jednak używać powszechniej:-.zcj terminologii, znanej już w szkołach ś rednic h. 1
l
E konometri ę
88
Część
fi. PROGNOZOWANIE Rozdział
Model trendu (tendencji rozwojowej) - model . k ny, w którym sowa.
jedyną zmienną niezależną jes: z::~::I~:·: ·
Adaptacyjny model trendu - model . . ście) . wy km zystuJący (najczę J tzw. wykładnicze wyrównywanie danych.
Pro:;1~zy wartości średniej badanej zmiennej i standardowego dz~ał~I pni ~gnbozy osci
- najistotniejsze prognozy w operacyjn,•j
1znesoweJ.
z
prognozowaniem, czyli - innymi slow . ni.em przyszłości spotykamy się na każdym ~;;,~:r:~1dyw'.1 więc w związku z tym, że co to . . . . . . . y •Je SI\' wanie „wie każde dziecko" A ~iest przyszłośc I Jej przewidy. ływany w k I . ęc i ten, tak często przywo. sz o nych dowcipach mały Jasio z III a kt' pytanie nauczyciela zadane w poniedziałek Co b d' . my n~ - odpowiedział bez namysłu bo b I . . " . ę zie Jutro? „Wtorek"J. ' Y biegły w dniach tygodnia:
sob:r~~;:ł~~ pr~ewi:ujemy
najczęściej
nieustannie, aczkolwiek Mol" . usw1a anuamy. Przypomina to scenę z komedii ( . iera Mieszczanin szlachcicem, której bohater, pan Jourdain mezapommana rola Bogumiła K b. !") . . wieniem dowiedział . . ł . o. ie I , pewnego dnia ze zdziNieodł czn się, ze ca e zyc1e mówił... prozą. ustawiczn: ~ _cechą zycia i dzia!alności człowieka jest b . po eJmowame decyzji. Decyzjami takimi mo 7bory dotyczące błahych spraw osobistych, względn~:
_Y:
(wy~~rz;a:i::~:c.h, związanych z naszą przyszłą egzystencją c
.
.
zyc1owego, zawodu, pracy itp.). Również de-
s:~~a~:!~J~;::jeą :a~~:!aln~ści politycznej, społecznej, go-
gatunkowy" W . 1 . . zrozmcowany charakter i „ciężar . iezu tacie, Jedne decyzje „podejmujemy z mar-
:---- - -
~o~~c:~ii:dr~:i:ło~~~- g~; o-~~śl'ilk się
wyzn~wca
jak.o tzw. temporalnej w pracy -~aldemara Ro!bie~{~eg~CJP;;;J~~ac~ moze Czyt~lnik przeczytać gnozolog11, Wiedza Powszechna, Warszaw/19;'~'.e przyszłości. Elementy pro-
9. Prognozowani e i ekonometria
89
11 , lrr nc zaś poprzedzamy gł~bszą analizą i staraniami o do1.rlkrrwc informacje, umożliwiające bardziej uzasadniony, roz· 1drrlrjszy wybór. Fnzą wyjściową zarządzania biznesem, podobnie zresztą I •k kużd ą ludzką działal nością, jest planowanie . Życie mene· .!11 ·111 by łoby łatwiejsze, a efekty lepsze, gdyby cechowała go drrlrrość „zajrzenia w przyszłość". W zależności bowiem od rwlcrdzenia, jak jutro (pojutrze, w przyszłym tygodniu, mie· •lr1• 11 itd.) ukształtują się zdarzenia (zjawiska) mające wpływ 1111 ;u rządzany proces, podejmowałby właściwą decyzję, czy· li '"la ł a! plan optymalny. Umiejętność wyprzedzenia czasu 1.-1,rfo iejszego jest jednak obca rodzajowi ludzkiemu. Snujący pr rrrocze wizje o przyszłości Nostradamus, pomijając stopień lrrrlności jego przewidywań, może być tylko wyjątkiem od tej 111 rrwdy. Zatem menedżer musi się uciec do próby przewi· d1l'nia tego, co dopiero nastąpi. Opracowanie planu dzia· łrrrria (produkcji, zakupu, sprzedaży itd.) będzie zmuszony prrprzedzić zbudowaniem odpowiednich prognoz. Jest to tzw. prcparacyjna funkcja prognoz, przygotowująca odpowiednie pluny działalności, a następn ie ich realizację.
W pracy przedstawiono ekonometryczne metody prognozowania, głównie krótkoterminowego. Prowadzą one do uchwycenia, w formie modelu ekonometrycznego (podstawowe pojęcie ekonometrii), interesujących nas zależnoś· ci . Opisuje on, z pewnym przybliżeniem, wybrany fragment rzeczywistości. W modelu ekonometrycznym, będącym jednym równaniem bądź układem równań, występują zmienne, parametry i elementy losowe. Zmiennymi są wyróżnione zdarzenia (statyczne, czyli sta· bądź kinetyczne, czyli procesy). Składają się na nie zmienne (prognozowane) oraz zmienne niezależne. Wśród tych ostatnich pojawia się pewna zmienna specyficzna, jaką jest czas. ny,
zależne
Część
90
11. PROGNOZOWANIE
Od parametrów, przypisanych zmiennym niezależnym, za. ich wpływ na zmienną zależną. Z kolei na elementy loso we składają się parametry stochastycznej struktury modelu. Jednym z podstawowych problemów budowania progno1 na podstawie modelu ekonometrycznego jest znajomość przy· szłych wartości zmiennych niezależnych, pozwalająca na zbudowanie prognozy kształtowania się zmiennej zależnej (prognozowanej) w ustalonym okresie planowym. Mogą onl' wynikać z jakichś planów bądź też same być przedmioten1 leży
prognozowania.
W prognozowaniu krótkoterminowym, a takim - jak było powiedziane - przede wszystkim zajmiemy się w tym opracowaniu, możemy jednak sprawę znacznie uprościć i zasadnie posługiwać się model ami trendu (tendencji rozwojowej). W modelach tych jedyną zmienną niezależ ną jest owa specyficzna zmienna, jaką jest czas, a zmienna zależna jest przedstawiana w formie szeregu czasowego. W takim przypadku odpada problem poznania przyszłych wartości zmiennej niezależnej. Jeżeli bowiem okres bieżący (np. tydzień) oznaczymy przez t, to następne przyjmą wartości t+ I, 1+2 itd.
już
Oczywiście
mamy świadomość, że sam upływ czasu nie jest
przyczyną kształtującą naszą prognozowaną zmienną zależ
ną (np. tygodniowy popyt na pewien towar), ale znakomicie upraszcza proces prognozowania w krótkich horyzontach czasowych (na ogół nie odleglejszych niż rok). Proce s y biznesowe odznaczają się bowiem pewną in ercją, sprawiającą, że nie ulegają one gwałtownym zmianom j akościowym (np . z t ygodnia na tydzień). Sytuacje, w których to może nastąpić, należą bowiem do rzadkośc i. Jak często słyszymy w komunikatach radiowych i telewizyjnych, że pewna seria produkcyjna samochodów osobowych (telewi-
Rozdział 9. Prognozowanie i ekon ometri a
91
111rów, notebooków itd.) zawiera jakąś usterkę i na koszt wylwórcy będą one naprawiane? A właśnie taki rzadki przypadek 1110że spowodować skokowy spadek popytu na auta (telewizo1y, ko mputery) tej marki. Tak więc w prognozowanym zjawisku mamy przede wszystkim do czynienia ze zmianami ilościowymi, nie naruszającymi w>posób gwałtowny obserwowanych prawidłowości . Z takimi •VI uacjami dobrze „sobie radzą" wspomniane modele trendu, 11 zwłaszcza najnowsza ich podgrupa, tj. modele adapta1 yj n e . Najpopularniejsze z nich, szeroko stosowane w prak1ycc biznesowej, bazują na tzw. wyrównywaniu wykładniczym (n ponential smoothing), uwzględniającym wszystkie dane 1 p rzeszłości, lecz przypisującym im coraz mniejszą wagę. Jest Io przejaw akceptacji oczywistego faktu starzenia się informacji (w iel kość sprzedaży jakiegoś towaru w ubiegłym miesiącu wię1 l'j „mówi" niż podobna informacja sprzed roku). Cechą tych 111odeli, jak sama nazwa wskazuje, jest nadążanie (adaptacja) 1 11 rozwojem prognozowanej zmiennej . A więc, w odróżnieniu od klasycznych modeli trendu, w tym przypadku nie musimy , ; , obawiać zmian i załamań tendencji rozwojowej czy przesu1 11i<;cia wahań sezonowych. Jeżeli bowiem nawet najbliższa prop,11oza przyniesie stosunkowo duży błąd, to już następne powinny s i ę charakteryzować mniejszymi błędami. Po prostu, model h<;dzie nadążać za występującymi zmianami w prognozowanym , 1,cregu czasowym. Inną pozytywną cechą modeli adapta1 yjnych wykorzystujących wyrównywanie wykładnicze jest, jak 1obaczymy, minimalne zapotrzebowanie na informacje. Aczkolwiek prognozowanie o większym zasięgu czasowym (ś rednio- bądź długookresowe) nie jest zasadniczym tematem ll'j części książki, to jednak zostanie mu poświęcony jeden rozd zi ał. Tak więc wskazane jest przedstawienie istoty stosowanych tu modeli. Przy prognozowaniu dla dalszych horyzontów czasowych bazowanie na modelach trendu jest ryzykowne. Należy w takim
92
Czę ść li . PROGNOZOWANIE
przypadku przede wszystkim stosować metody prognozowu nia przyczynowo-skutkowego, s ięgającego do źródeł kształln wania się zmiennej prognozowanej (zależnej). Ta ostatnlu wys tępuj e w obiektywnym związku przyczynowo-skutkowym ze zmiennymi niezależnymi (przyczynami). Metody (model<•) przyczynowo-skutkowe są, formalnie rzecz biorąc, znanymi zr statystyki równaniami regresji pojedynczej lub wielokrotnej Prognozy długoterminowe powinny być weryfikowane i ewcn tualnie uzupełniane analizami i prognozami intuicyj nymi, PO· wstałymi w wyniku zastosowania np. metod ekspertyz, burzy mózgów, metody delfickiej . Jak było powiedziane, parametry modelu wskazują na zależność danej zmiennej zależnej od zmiennyc h niezależnych .
Rozdział 9. Prognozowanie
i ekon ometria
11111 w przyszłość zależy jedynie od probabilistycznie i prakse11l11Kicznie ustalonych reguł działania na modelu, a nie zal eży 11d " 'biektywnego nastawienia i widzimisię osoby zajmującej li• i> ud o wą prognozy. Inaczej można powied z ieć, że mając ten '"" modeł, używając tej samej metody predykcji i przy tych .1111 1yc h warunkach zewnętrznych, ~soby ~~dujące prognozę p11wi 11ny otrzymać ten sam wymk koncowy . Niczmiernie ważną jest cecha druga. Jest nią możliwość 111!- tylko obliczenia prognozy wartości średniej, ale i określe11it· w chwili jej wyznaczania - rzędu dokładnośc i wnioskow1111 ia w przyszłość, tj. standardowego błędu prognozy ex ante. N11 l cży dodać, iż taką właśc iwość mają jedynie metody ekono111l'l1yczne.
Pon ieważ z natury rzeczy ich wartości nie są znane, muszą być one oszacowane na podstawie posiadanego m ateri ału statystycznego. Ostatnim elementem modelu jest składnik losowy. Wynika on z tzw. stochastycznego charakteru procesów społeczno-go spodarczych. Oznacza to, że nasze działania w sferze biznesu dokonują się w warunkach niepewności; jej źródłem są natura oraz swoboda wyboru, którą dysponuje człow ie k. W prognozowaniu krótkoterminowym zmierzamy do uzyskania prognoz: I) wartości średniej, 2) standardowego (średniego) błędu prognozy, których znajomość jest nieodzowna do prowadzenia racjonalnej polityki zakupów (zarządzania zapasami). Na zakończenie tych wstępnych rozważań o prognozowaniu ekonometrycznym należy podkreślić dwie jego istotne cechy. Pi erwszą jest obiektywność uzyskiwanych prognoz. Wynika to z faktu, że z chwilą zbudowania modelu, wynik „wnioskowa-
93
~
z. Pawłowski, Zasady predykcji ekonometrycznej, s.15- 16.
Rozdział
10. Błędy prognoz
95
11111 ś ledzący Trigga - narzędzie monitorowania adekwat1111\ci modelu. Kllll l śled zący (łączny) - podobnie jak sygnał Trigga, bada 11dckwatność modelu prognozowania.
maków - jeden z testów statystycznych, wykorzystywa11yc h w analizie istotnośc i pojedynczych błędów prognozy,
I· I
Rozdział 1o. Błędy prognoz
n tym samym adekwatności stosowanego modelu progno-
stycznego. Celem rozdziału jest udzielenie odpowiedzi . pytania: m.m. na
stępujące
n1
: : mierzi:my błąd prognozy? e są miary błędów prognozy? Jak można monitorować błędy prognoz? ~ak testować Istotność błędów prognozy? jaki sposób wykorzystywać arkusz Excel d . błędów prognozy i ich monitorowania? o obhczanla Podstawowe pojęcia
Błąd prognozy - różnica pomiędzy fakty
zowanej zmiennej y w okr . ( czną wartością prognoczyli: e, ::; Yt -Yt· esie momencie) t a jej prognozą
YP
Średni błąd prognoz
. y - suma zaobserwowanych błędów po-
d- . I
z~e ona przez liczbę prognoz n.
Średni bezwzględny błąd względnych bł d -
prognozy - suma wartości bez.
Średni błąd kw dę ow prognoz podzielona przez ich liczbę. podzielona p:z::t:~~ .- suma kwadratów
Standardowy
błędów prognoz
błąd
prognozy - pierwiastek kw d Bł ~•ego błędu kwadratowego. a ratowy śred-
ądup~~:;::~y~=;~~:w:::~::n;eprawdopodobnego błęgnoz.
nc1e sporządzania pro-
W j ~zyku potocznym słowa „błąd": i „pomyłka" oznaczają
wnncie rzeczy to samo, są więc synonimami. Tak więc rów„Kowalski zrobił w zadaniu w zadaniu kilka po111ylck". Oba te s formułowania noszą cechę skutków wynika1'1• yc h z działań własnych, można powiedzieć: cechę subieklyw ności. To z własnej winy Kowalskiego (np. na skutek złego p11c rnnożenia) w jego zadaniu wystąpiły błędy (pomyłki). Tej 11 11nicnności słów w żadnym razie nie można rozciągnąć na 111 ognozowanie, także ekonometryczne. W tym przypadku mówimy o błędzie prognozy, czyli odchyleniu się faktycznej wielkt>śc i interesującej nas zmiennej od wielkości przewidywanej, l.t ko o czymś zdecydowanie obiektywnym. Losowość proce'ów społeczno-gospodarczych sprawia, że prognozy z natury 11.cczy są obciążone błędami. To nie ludzkie ·zaniedbanie, nieum i ejętność czy brak koncentracji sprawiają, że rzeczywistość odbiega, w mniejszym bądź większym stopniu, od naszych wcześ niejszych o niej sądów. Po prostu świat jest niesłychanie bardziej złożony, aniżeli byś my sobie tego życzyli podczas budowania prognoz. Wynika z tego, że prognozując nie jesteśmy w stanie uwzględ nić wszystkich czynników oddziałujących na rozpatrywaną, akurat nas interesującą zmienną (zależną), jak również nie potrafimy określić (przewidzieć), jakie wartości przyjmą w prognozowanym okresie wybrane do modelu zmienne niezależne. 11h• dobrze
możemy powiedzieć:
~l lk11 b l ędów",
jak i: „Kowalski
popełnił
96
Część li. PROGNOZOWANIE
Innymi słowy, prognozowanie, podobnie jak inne działania menedżerskie, odbywa się w warunkach niepewności. Błąd progno zy, który będ ziemy oznaczać symbolem e , 1 stanowi różnicę między faktycznie zaobserwowaną wartośc i 11 prognozowanej zmiennej (y,) w okresie l a jej prognozą ()11), Zatem: e, = y,-y,.
Do najczęściej stosowanych mierników błędów prognozy liczba prognoz): - Średni błąd prognozy (Mean Error):
należą (n -
Rozdział
- Średni bezwzględny błąd prognozy (Mean Absolute Error):
d =:l~,I; - Średni błąd kwadratowy (Mean Square Error): s'
=n~1:l•i;
97
wie dobrany model prognostyczny powoduje powstawanie 11.w. błędów systematycznych, świadczących o obciążoności prognoz. Cechą dobrego modelu jest losowość zachodzących h ł<;d ów, co oznacza, że prawdopodobieństwo pojawienia się dodatnich (e 1 > O) jest takie samo, jak ujemnych (e, < O). Tak wii;c zaobserwowanie zbyt wielu kolejnych błędów dodatnich l>qdź ujemnych (zazwyczaj co najmniej pięciu) zasadnie świad rzy o nieadekwatności stosowanego modelu . Średni bezwzględny błąd prognozy jest obliczany przy wyko rzystaniu następującej formuły:
d=:l~,I.
:le,
e=n;
1 O. Błędy prognoz
W jej liczniku występuje suma bezwzględnych wartości odnotowanych bł ędów, zatem już się one, w odróżnieniu od pierwszego .miernika, wzajemnie nie kompensują. Najważniejszym
miernikiem jest standardowy błąd prognoodpowiednikiem odchylenia standardowego z próby ' latystycznej. Tak więc:
1y,
będący
- Standardowy błąd prognozy (Root Mean Square Error):
s=
Vsi. Należy zauważyć, iż
Możliwe jest również wyznaczenie błędów względnych (procentowych), poprzez wyrażenie w procentach zaistniałego
błędu prognozy w porównaniu z zaobserwowaną średnią wartością zmiennej prognozowanej y. I tak, np. wyrażony w procentach stosunek standardowego błędu prognozy do średniej wartości y miałby postać: V
=y!OO
Jak widać, jest on tożsamy ze znanym ze statystyki opisowej współczynnikiem zmienności względnej. Pierwszy z przedstawionych mierników (błąd prognozy - e1) pozwala określić tzw. nieobciążoność prognoz. Niewłaści-
wanych
błędów
w miarę wzrostu liczby n zaobserwodzielenie sumy ich kwadratów przez n bądź
1 traci na znaczeniu. Mając to na uwadze, niektórzy auto-
11 -
podają w mianowniku po prostu n. Graniczną łiczebno próby jest n = 120, poniżej której zamiast standardowego rozkładu normalnego stosuje się rozkład I-Studenta. Ostatni z omawianych mierników ma bardzo istotne znal ' t.cnie w zarządzaniu zakupami. Jest on stosowany w wyznarzaniu np. odpowiednich zapasów bezpieczeństwa, a także w budowie prognoz przedziałowych.
11.y '
śd ą
1
Np. J.H. Wilson, B. K.eating, Business Forecasli11g, s. 22; R.B. Chase, N.J.
Aquilano, Production and Operations Mana gement, s. 239
98
Część li . PROGNOZOWANIE Rozdział
zilu~~~~:anie powyższych mierników błędów progno . J my przykładami wykonanymi w arkuszu kaiku) cyJnym Excel.
10.
Błędy
prognoz
99
ł 11 k si ę okaże, odchylenie standardowe (od warto§ci śred111 Il popytu dość znacznie odbiega od obliczonego błędu s . Do 1l1lh 1.cnia tego pierwszego wykorzystamy funkcje statystyczne l111dowane w arkusz Excel. D ojście do tego jest następujące: 'I. glównego menu wybieramy ,:Nstaw", a następnie „Funk' 111 , - Statystyczne- ODCH.STANDARDOWE". Teraz, w otwarly111 okienku dialogowym (Rysunek 10.3.) w polu „Liczba!" wpillll'my obszar: „B4-B9" i po zaakceptowaniu (OK) otrzymujemy wv11ik 4,11906 1382, a więc o wiele większy od błędu standardo"''KO prognozy s (równego 2,97 -komórka Cl4, Rysunek IO.I.).
Formuły prowadzące do uzyskania powyższych wyników zostały przedstawione na Rysunku 10.2. Rysunek 10.2. Formuły obliczania błędów prognoz
Obliczone mierniki
post, tj. dla znanych nych, a
błędów
prognozy są miernikami ex zmiennych prognozowado tzw. prognoz wygasłych.
już wartości
więc odnoszą się
standardowy prognozy s ma bardzo ważne znaczenie w zarząd zaniu zakupami (budowa zapasu bezpieczeństwa'). Błąd
2
Zachodzi tu pewna analogia do
działań
wojennych, bowiem: „Istnieje sta-
ra zasada w sztuce wojskowej, że dowódca, który nie posiada odwodu (rezerwy) przestaje być dowódcą, ponieważ nie może oddziaływać na przebieg z darzeń~, Paweł Sulmicki, Planowanie i za rządzanie gospodarcze, PWE, Warszawa 1971, s. 315.
100
Część
Rozdział 1 O. Błędy prognoz
li. PROGNOZOWANIE
Gwoli ścisłośc i należy jednak dodać, iż powinien on być cowany nieco bardziej dokładnie . Wiążą się z tym trudni1•I obliczenia, ponieważ dokonywane są według wzoru:
S
I
= 5
101
Rysunek 10.5. Formuły szacowania standardowego błędu prognozy ex an.te
+ l + (I + T - il' , 1 ,?, Ct -l)'
gdzie : T - okres prognozowany, licząc od ostatniego okresu '" liczonego do oszacowania modelu, tj. t (dla najbliższego p111 gnozowanego okresu T = t + I, dla następnego: T = I + 2 itd I Zadanie to można jednak zlecić arkuszowi Excel, un ikaJ111 żmudnych ob liczeń i zapobiegając pomyłkom rachunkowy111 (przykład sprzedaży pewnego wyrobu w łatach 1987-200 I. Rysunki 10.4. i 10.5.). Rysunek 10.4. Szacowanie standardowego błędu prognozy ex a11ft'
Obliczanie błędów prognozy w sposób ciągły (po każdym 11krcsie) pozwala na monitorowanie procesu prognostycznego, 111 owadzące do uchwycenia błędów na tyle istotnych, ze pod 111akiem zapytania staje adekwatność dotychczas stosowanego 111odelu. Może się bowiem okazać, że w prognozowanym ZJ~ wisku zaszły zmiany strukturalne, wskazujące na koniecznosć l1·go weryfikacji. Monitorowanie błędów jest możliwe w dwóch ujęciach: 1) błędy uśrednione bądź komasowane,
2) błędy pojedyncze.
~ y:
1:c-
178
m
700_.,.."-~,,.:::_-:=_-:=_-:=_+
1 -Śltd~~~~ = ,..c"(~;~:1-----,><;1'+---+----+
i-
r--E:::~~~::::::::~::~::
J! -,
Jak widać, wyniki tak szacowanego standardowego błędu prognozy są o kilka procent większe; zwiększa się on - czego mo żna było oczekiwać - wraz z wydłużaniem jej horyzontu.
W pierwszym przypadku stosuje się najczęściej jede_n z tzw. sygnałów śledzących (tracking signa[). Przykładem takiego postępowania jest sygnał ś led zący Trigga (Tr·,), obliczany _ po okresie t - według wzoru:
e, r,,
d,
!ie,+ (1 - li)e,_, lid, + li)d,_,
o-
102
Część li. PROGNOZOWANIE
gdzie: ó - parametr wyrównywania wykładniczego3 dla którego przyjmuje s ię zazwyczaj w tym sygnale wartości O,! bądź 0,2. W przypadku przekroczenia przez ten sygnał (przy ó = 0,2) wartości 0,74 mamy 95-procentowe prawdopodobieństwo, Żl' w prognozowanej zmiennej czasowym wystąpiły zmiany struk· turalne. Stanowi to sygna ł ostrzegawczy, wskazujący na bardzo prawdopodobną deaktualizację modelu prognostycznego'. Innym sygnałem śledzącym (łącznym), obliczanym po okresie t (SS,) jest następująca relacja:
SS= L;e, I d, . Jeśli wartości tego sygnału nie wykraczają poza granice
Rozdział 1 O. Błędy prognoz
103
11 v by ł stabilny, a więc błędy prognozy miały charakter losowy. l11 11ymi sł owy, następstwo wartości przyjmowanych przez te lil1·dy (inaczej: reszty modelu) powinno być całkowicie przyp11dkowe, czyli błędy dodatnie „dobrze przemieszane" z ujemnymi . Podobnie ma się r zecz z wielkościami tych błędów (du że 1(1wnie prawdopodobne jak małe). Napotkawszy co najmniej pięć kolejnych błędów o tych samych znakach (tj. dodatnich bądź ujemnych), możemy l dużym prawdopodobieństwem przyjąć, że model jest nieadekwatny do prognozowanego zjawiska. Prawdopodobień stwo zaistnienia takiej sytuacji jest bowiem równe (1/2) 5, czyli
około
0,03.
± 4, można przyjąćs, iż obserwowane błędy prognozy są wy-
nikiem działania wyłącznie czynnika losowego, zatem nie zachodzi konieczność weryfikacji stosowanego modelu. Dla przykładu przedstawionego na Rys unku 10.1. sygnał ten przyjmuje wartość:
ss, = 2~~3 = -0,86 co pozwala uznać dotychczasowy model prognozowania za właściwy.
Jedną z metod możliwych do wykorzystania w analizie istotności pojedynczych błędów prognozy, a tym samym ade-
kwatności stosowanego modelu prognostycznego jest test statystyczny znaków 6 • Bazuje on na założeniu (hipoteza zerowa H 0), że w analizowanym okresie model prognostycz3
Modele pr~gnostycznc wykorzystujące wyrównywanie wykładnicze zosta-
ną przedstawione w dalszej części książki. 4
5 6
C.D. Lewis, Scientific lnventory Control, s. 30 W.J. Stevenson, lntroduction to Management Science s 459 Przegląd testów. stosowa~ych w analizie stabilności ~odeii zawiera np.
~::;:Z~~j ~awłowskiego, Teona prognozy ekonometrycznej w gospodarce socja-
Oznacza to, że odrzucając hipotezę o stabilności modelu, mamy zaledwie 0,03 prawdopodobieństwa, że jest to decyzja bl~dna, polegająca na tym, że odrzuciliśmy hipotezę w gruncie rzeczy prawdziwą (błąd I rodzaju). Należy dodać, iż przy testowaniu hipotez statystycznych zwykle dopuszcza się nieco większe prawdopodobieństwo takiego błędu, równe 0,05, określane - jak pamiętamy z Rozdziału 4. Testy statystyczne - mianem poziomu istotności a. Tak więc mamy minimalne prawdopodobieństwo na to, że zaobserwowanych pięć kolejnych reszt modelu było li tylko dziełem przypadku. Wypływa z tego wniosek, że taka sytuacja została spowodowana jakimiś przyczynami systematycznymi, co wskazuje na zasadność weryfikacji stosowanego modelu prognostycznego.
Rozdział
11. Adaptacyjne modele trendu
105
vl111·go - model, w którym do oceny trendu i jego przy, • 111 11 wzgl ~dnia się większą liczbę obserwacji. j, I 111•11du pełzającego - wg tego modelu są wyznaczane li11111wr odcinki uznawane za segmenty łamanej linii trendu d+1111·~0
Rozdział
11. Adaptacyjne modele trendu
szeregu czasowego.
Jak wykorzystywać arkusz Excel d ptacY.fnego? . o prognozowania ada.
powszechnie znanych mądrości życiowych, z którą I "' 1r,11cj młodości, a nawet od dzieciństwa zapoznają nas I 1111 i.mvic i rodzice, jest: ucz się na błędach. Czasami dodają 1 11·: u naj lepiej na cudzych! l sentencja ta towarzyszy nam ,,, u ra lc życie. M11i,c s ię wydać Czytelnikowi nieprawdopodobne, ale za· '" '" uczenia s ię na błędach została uwzględniona w omawia1111 11 w tym rozdziale modelach prognozowania. l wcale nie l1od1.i tu o sztuczne sieci neuronowe 1• W rezultacie, modele te korygują swoją następną progno1\' 11 pewną część popełnionego ostatnio błędu prognozy. A im wl1·kszy był to błąd, tym większa będzie w konsekwencji ko11·kta. l jak to nazwać inaczej, jak nie uczenie się na błędach?
Podstawowe pojęcia Model Browna - najprostsz ad . nia krótkot . . y aptacyJny model prognozowa. cjonarnych e;/"ru~owego, właściwy dla szeregów quasistasezono J. ez istot~ych przyrostów trendu i wahań wych), wykorzystuiący wykładnicze wyrówn anie yw danych (exponentia/ smoothing).
W ekonometrycznym prognozowaniu, zwłaszcza krótkolcrm inowym, podstawowe znaczenie mają modele trendu, w których jedyną zmienną objaśniającą jest zmienna czasowa. Szczególnie przydatna jest grupa modeli trendu określa nych mianem adaptacyjnych, bazujących na wykładni czym wyrównywaniu danych (exponential smoothing).
C~lem rozdziału jest udzielenie odpowiedzi m .
stępujące
.m. na n
pytania:
Jak budujemy podstawowe ada . Holta i Wintersa? ptacnne modele Brown1, Do prognozowania jakich szere
powyższe modele?
gów czasowych stosuje •lt
Jak konstruować i stosować tzw ada tac . skrępowanego wyrównywania . . p nne modele nie· i trendu pełzającego? wykladmczo-autoregresY.fnego
Model Holta - właściwy do prognozowania szeregów czasowych o istotnych zmianach trendu. Model Wintersa - stosowan d so
wy:~ Model
h
. y o prognozowania szeregów czaz istotnymi zmianami trendu i wahaniami sezono-
nieskrępowanego
11 d11q /.
1
W modelach tych bowiem nie zachodzi stałość postaci ana· litycznej, gdyż są one szacowane z okresu na okres, w miarę nowych informacji o kształtowaniu się zmiennej pro· gnozowanej (zależnej). Innymi słowy, modele te mają zdolna· dopływu
wyrównywania wykladniczo-autore1 Czytelników zainteresowanych tym zagadnieniem odsyłam do pracy J.B. Gajdy, Prognoz.owanie i symulacja a decyzje gospodarcze.
106
ści adaptacji do zmienności prognozowanych szeregów ew sowych, czyli nadążania za występuj ącymi w nich zmianami Mają one duże znaczenie praktyczne, nadają się bowiem du budowania prognoz nawet wówczas, gdy badane zjawisko przebiega w sposób nieregularny, co prowadzi do zmiany do tychczas obserwowanych trendów bądź zakłóceń w wahaniach sezonowych. W takich przypadkach, jeżeli nawet prognoza dla pierwszego okresu, w którym zaobserwowano załamani•• dotychczasowych prawidłowości, okaże się nietrafna, to kolej· ne prognozy będą już zazwyczaj nacechowane dostatecznym rzędem dokładności.
Opracowując prognozy na podstawie szeregu czasowego, odzwierciedlającego dotychczasowe kształtowanie się zmiennej prognozowanej, musimy w pierwszej kolejności odpowiedzieć na pytanie: czy analizowany szereg można uznać za stacjonarny, a ściślej: quasistacjonarny, czyli taki, w którym wartość średnia nie ulega większym zmianom (wzrostowi bądź spadkowi) w czasie.
Jeżeli analiza wykaże, że takie założenie jest zasadne, do prognozowania będzie można wykorzystać następujące modele: - średnia wyrównywania wykładniczego (tzw. prosty model Browna), - trend pełzający Helłwiga. Należy jeszcze wspomnieć o modelu adaptacyjnym bę· clącym arytmetyczną średnią ruchomą o stałych bądź zróż nicowanych wagach. Zostanie on jednak w tym opracowaniu pominięty, a zainteresowanych odsyłam do mojej książki Sterowanie zapasami w przedsiębiorstwie2. Dodam jedynie, że średnia ta jest dostępna w arkuszu Excel, a dojście do niej jest następujące: „Narzędzia" - „Analiza danych ... " - „Średnia ru2
Rozdział 11 . Adaptacyjne modele trendu
Część li. PROGNOZOWANIE
Z. Sarjusz-Wolski, Sterowanie zapasami w przedsiębiorstwie, s. 51-56.
107
Iloma" (OK) i w okienku dialogowym należy w;1'ełni~ si~~ jmniej pola: „Zakres wejściowy", „Zakres wyjsc1owy i „ •l ~ p" (domyślna wartość 3, tj. 3-okresowa średnia ruchoma).
1
1111
W przypadku zaobserwowania istotnych zmian wartości 4rcdniej, wyrażających rosnący (ew. malejący) trend i/lub wahania sezonowe, właściwymi metodami krótkoterminowego prognozowania są modele Holta i Wintersa. Nie wdając się w szczegółowe rozważania na temat rozpatrywanych modeli3, podkreślę jedynie, że uwzględniają one wszystkie dane z przeszlości, przypisując im - w miarę oddalania się od okresu bieżącego - coraz mniejsze wagi (maleią one wedlug funkcji wykładniczej) . Jest to wyraz uwzględniania faktu „starzenia się" informacji (sprzedaż w ostatnim miesiącu wszak więcej „mówi" niż w podobnym okresie, ale oddalonym o np. rok). Modele wyrównywania wykładniczego nie wymagają jednak „przechowywania" w komputerze tych wszystkich danych; wystarczy „pamiętać" ostatnie oceny wynikłe z modelu i najnowsze realizacje prognozowanej zmiennej (np. ostatnio zarejestrowaną faktyczną wielkość sprzedaży danego towaru). W omawianych modelach podstawową sprawą jest, jak zobaczymy, dobór optymalnych wartości ich parametrów, czyli takich, które minimalizują błędy prognozy. Parametry te (oznaczane greckimi literami a, /J i y) mogą przyjmować wartości od zera do jedności (tzn. O s parametr wyrównywania wykładniczego s 1). 3
Wyczerpujące ich omówienie znajdzie Czytelnik w cytowanej pracy:
z.
Sarjusz-Wolski, Sterowanie„.
108
Część 11. PROGNOZOWANIE
Przed rozpowszechnieniem programów komputerowyc h znalezienie tych wartości było czynnością bardzo pracochło11 ną, szczególnie dla modeli m ających dwa takie parametry (mo del Ho ł ta), a tym bardziej trzy (model Wintersa). Dokonywało s ię tego bowiem doświadczalnie, poprzez dobieranie różnyc h wartości parametrów dla ciągu danych z przeszłości i porów· naniu otrzymywanyc h prognoz (ex post) z rzeczywistymi real izacjami. Jeszcze dzisiaj można przeczytać w fachowej literatu· rzc, że poszukiwania optymal nych wartości tych parametrów np. w modelu Holta „po legają najczęściej na przeprowadzeni u serii eksperymentów komputerowych pol egających na stoso· waniu różnych kombinacji wartości parametrów a i (3, a następn i e na wyborze tej, która minimalizuje średni kwadratowy błąd prognoz wygasłych".4 Podobny sposób wskazuje J.B. Gaj da5. Należy bowiem zauważyć , że przyjmując kolejne wartości parametrów z dokładnością nawet tylko do jednego miejsca po przecinku, takich próbnych przeliczeń będzie bardzo dużo: w jednoparametrowym (a) modelu Browna co prawda tylko li (O; 0,1; 0,2;„„0,9; 1,0), ale w dwuparametrowym (a i (3) modelu Hołtaj uż 121, zaś w modelu Wintersa (trzyparametrowym: a, /3 i y) aż 1331 . I to tylko dla jednej pozycji! Tymczasem narzędzia, oferowane przez tak dzisiaj wszechobecny arkusz kalkulacyjny Excel, nie tyl ko ułatwiają samo budowanie prognoz, ale również, jak zobaczymy, dzięki posiadanym narzędziom automatyzują czynności wspomnianego dob oru optymalnych wartości parametrów omawianych modeli dla danego szeregu czasowego. Przed przedstawieniem modeli i ich utworzeniem w arkuszu jedna uwaga. We wszystkich podręcznikach modele wyrównywania wykładniczego są omawiane w kolejności: prosty modeł Browna (dla szeregu stacjonarnego) - modeł Hołta (dla 4
5
P. Dillmann, Metody prognozowania sprzedaży w przedsiębiorstwie, s. 75- 76 J.B. Gajda, op.cit.
Rozdział 11. Adaptacyjn e modele trendu
109
'1l' regu o istotnych zmianach trendu) - modeł Wintersa (dla '1l' rcgu o istotnych zmianach trendu oraz wahaniach okresowyc h, np. sezonowych, tj. o rocznym cyklu wahań). W książce /ltS losuję odwrotną kolejność, a sens takiego podejścia niebawe m okaże się oczywisty. Model Wintersa wyraża się następującym układem równań: ocena wartości średniej (trendu):
a,= ~~~ + ( 1-a)(a,_ 1 + b1. 1)
ocena przyrostu trendu: b, = (3(a 1 - a1. 1) ocena
+ (I -(3)b1. 1
wskaźnika sezonowości: c, =~ + (I
prognoza na okres t
+ T (gdzie T =
- y)c, _K
I, 2„„): Yi+r = (a,
+ b,T)c,_K+r
1-\dzie:
a1, a,_1 li„ b,_ 1 K
-
11,
(3, y -
i•,+r
-
wartości średnie
dla okresów t i t - 1, zmiany trendu obliczone po okresach tit · I, dla okresu t, cykl sezonowości (w przypadku danych m iesięcznych K = 12, zaś dla danych kwartalnych K = 4), parametry wyrównywania wykładn iczego, przyjmujące wartości z przedziału , ostatnia realizacja zmiennej prognozowanej, prognoza zmiennej y w okresie t + T (gdzie T = I, 2, 3„.); w przypadku prognozowania na następny okres (np. z miesiąca na miesiąc) T = I . średni e
wskaźn ik sezonowości
Budowa krótkoterminowych prognoz w arkuszu kalkulacyjnym Excel, przy wykorzystaniu modelu Wintersa, przedstawiona zostanie na przykładzie kwartalnej sprzedaży pewnego artykuł u w czterech kolejnych latach 6 • Odpowiednie dane zostały uj ęte w poniższej tablicy. 6 Pi-.tyklad został zaczerpnięty z pracy: E.A. Siłve 1~ R. Peterson, Decision
Systems (or Inve11tory Management and Production Planning, s. l 17
Rozdział 110
Część
Tablica 11.1. Rok
l
Sprzedaż
Okres, t
Sprzedaż, Yr
I
l 2
43 57 71 46 SO 61
IV I Il III
3
IV I II Ili
4
Ponieważ przykład
kwartalna towaru X
Kwartał
II III 2
IV I Il III
IV
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16
85 47 62 74 86 48 57 78 102 61
analiza szeregu obrazującego kwartalną sprzedaż pozwala na stwierdzenie występowania w nim wzrastającej tendencji rozwojowej oraz wahań sezonowych (zwiększona sprzedaż w kwartałach II i III). Uzasadnia to zastosowanie modelu Wintersa do prognozowania sprzedaży. Po utworzeniu w arkuszu Excel pliku „Winters" w obszarze obejmującym komórki: A3„ .El8, wpisujemy powyższe dane (Rysunek 11.1.) i przystępujemy do budowy modelu. Czynność ta będzie przebiegać w kilku etapach. Nawet
11. Adaptacyjne modele tren du
111
li. PROGNOZOWANIE
już pobieżna
Etap I. Oszacowanie wyjściowych wskaźników sezonowości
Dokonamy tego za pomocą średnich ruchomych. Ponieważ w przypadku sezonowości, a więc wahań zamykających się cyklem rocznym, mamy do czynienia z parzystą liczbą danych (cztery dla kwartałów, dwanaście dla miesięcy), będą to tzw. scentrowane średnie ruchome. Do średnich tych muszą być zaliczone okresy odpowiadające obserwowanemu cyklowi wahań.
" c klu
dotyczy
dany~h kwartalnyc~·~:c::i:~
wahań, zatem średma, o ktoreJ mowa, ob J
~V k;vartaly. Formuła pierwszej (Ill kwartał .pierwszego roku) " cntrowanej średniej ruchomej jest następująca:
hi + y2 + Y3 + y, + hs j/3 ~ dzie: ,; I -
dana dotycząca I kwartału pierwszego roku,
l'z - dana dotycząca II kwartału pierwszego roku, ;; _ dana dotycząca I kwa~alu dru.giego.roku. nie D (wierWszystkie scentrowane sredme figuruią.w kolu"'. nich zosze 7„.18) poniższego Rysunku. Obhczeme tych sred stało dokonane według formul przedstawionych na następnym Rysunku. R sunek 11 .1. Wyjściowe dane i oszacowania surowych wskażników Y
sezonowości
I
Część
112
Rozdział 11. Adaptacyjne modele trendu
11. PROGNOZOWANIE
Rysunek 11.2.
Formuły
obliczania surowych
wskaźników
sezonowości
113
12). Ponieważ, jak widać z poniższego Rysunku, jest _ona rów-
należy dokonać odpowiedniej korekty. Ws~olczynmk korygujący jest w tym przypadku równy 1,003 _(komork~ G2:).
'"' 3,99,
Przemnożenie przez ten współczynnik średmch wskazmkow ,czonowości prowadzi do uzyskania tzw. czystych (znorma1iwwanych)
wskaźników sezonowości. Zostało to dokonane
w obszarze D25:D28 (Rysunek 11.3.). Rysunek 11.3. Obliczenie czystych wskaźników sezonowości
1mąp,f.Hit@+·iif.
\® Elk
O.dycja \l:lk:Xlk ~tlw Eormat tjaczędzla Q.ane Q.kno Porro;
~ D ~Iii! Eiló!i [9. ~I:;, G24
•I
litb e,
~I."'.
C>
·I t.
L
f·
l
~l HI o
=I =4/C29
B C D 24 Kwartał Średnia Znot::~:o;:any Współczyn. korygujący-4:3,99= 1,C()3
i - :,
27 Ili 26 rv 29 Razem
Przystępując do budowy i weryfikacj i modelu adaptacyjnego stajemy przed problemem doboru wartości wyjściowych (warunków początkowych). W przypadku modelu Wintersa będą to: a, b i wskaźniki sezonowości c. Jednak ustalenie tych warunków początkowych nie jest sprawą najważniejszą, ponieważ „wraz z upływem czasu efekt przyjętego warunku początkowego szybko maleje, a więc błędne jego określenie wpły wa jedynie na początkowe prognozy". 7 Jednym z możliwych sposobów, który zostanie zastosowany poniżej, jest przyj<;cie
a, =y'; Yz
oraz b2
~-:
131 075 3,99
1,32 075 A,00
Posłużyły temu celowi następujące formuły (Rysunek 11.4.). Rysunek 1 t.4 . Formuły liczenia czystych wskaźników sezonowości iijlffłtiliii#§M ii ®eJk~,aw.JttwttawE.amatf:iarzędziaQ..-.eQkn::IPoiYq,
=y2 -y 1•
Etap 2. Oszacowanie średnich wskaźników sezonowości Suma kwartalnych wskaźników sezonowości powinna wy4 (w przypadku sezonowości rozpatrywanej miesięcznie
nieść
7
~-:
Z. Pawlowski,Zasadypredykcjiekonometrycmej, s.179,przypis 18.
Interpretacja uzyskanych wyników jest następuj_ąca: sezo-
nowość popytu na rozpatrywany towar sprawia, ze Jego kwar-
114
Część li. PROGNOZOWANIE
talna sprzedaż odchyla się od wartości średniej. I tak, odchyłc· nie to wyniosło np. w kwartale I -13%.
Rozdział
Rysunek 11.6.
Formuły
11. Adaptacyjne modele trendu
115
prognozowania i doboru optymalnych parametrów a, {3. y
wartośc i
Etap 3. Dobór optymalnych wartości parametrów a, {J, y W celu doboru optymalnych wartości parametrów a, p, y nalezy przeprowadzić symulację na modelu (prognozowan ie ex post)- Rysunek 11.5.
Rysunek 11.5. Dobór optymalnych wartości parametrów
Formuły zastosowane w przedstawionej symulacji przedstawiono na Rysunku 11.6.
Procedura takiego postępowania jest następująca: z głów nego „Menu" wybieramy opcję „Narzędzia", a następnie „Solver" Ukaże się wówczas okienko „Solver - Parametry" (Rysunek 11.7.), w którym musimy wypełnić bądź zaznaczyć następujące pola:
116
Część li. PROGNOZOWANIE Rozdział
11. Adaptacyjne modele trendu
Rysunek 1 t.7. Okno dialogowe optymalizacji parametrów
Rysunek 11. 8. Raport wyników (doboru optymalnych parametrów a, ~ i y)
117
wartośc i
- „Komórka celu" - wpisujemy :$P$56 (chodzi nam o minimalizację tej wielkości, tj. standardowego błędu prognozy), - „Równa" - klikamy: Min, - „Komórki zmieniane" - wpisujemy: $C$37; $E$37; $G$37, - „Warunki ograniczające" - wpisujemy: $C$37s!, $E$37sl, $G$37s!, C$3hO, $E$3hO, $G$3hO. Po kliknięciu pola „Rozwiąż" pojawi się okienko „Solver - Wyniki" i komunikat: „Sołver zbliżył się do aktualnego rozwiązania. Wszystkie ograniczenia są spełnione". Jednocześnie została wyświetlona lista możliwych raportów, z której wybieramy „Wyniki" i po zatwierdzeniu (OK) pojawia się nowy arkusz: „Raport wyników 1". Z raportu tego odczytujemy m.in. optymalne wartości parametrów, wynoszące (po zaokrągleniu) a = 1,00, f3 = 0,46 i y = 0,39, przy których standardowy błąd prognozy jest równy 6 (minimalny). Jednocześnie Excel automatycznie wstawił te wielkości do właściwego arkusza i oczywiście dokonał pełnego przeliczenia według zapisanych for-
muł.
Warto
zauważyć, że
- jak to
również
wynika z raportu -
przy wyjściowych wartościach poszukiwanych para'.°etrów równych 0,5 (takie akurat wstawiliśmy) błąd ten wynosił 9. Teraz zbudujemy prognozy ex ante dla kwartalnych sprzedaży w okresach t = 17, 18, 19 i 20. Nie będą to jednak obliczenia dokonywane z okresu na okres, tj. w sposób kroczą cy, lecz jednorazowo, po kwartale t = 16. Oznacza to, że we wzorze
Y1+r = (a, będziemy
+ b,T) c,_K+T•
kolejno przyjmować T = 1, 2, 3, 4. Rezultaty tych zawarte w obszarze A58:F65 Rysunku 11.5. pora na wyjaśnienie przyjęcia odwrotnej, niż m~ to z zasady miejsce w innych książkach, kolejności prez~n-ta~JI modeli wyróvmywania wykładn iczego . Należy zauwazyc, ze mając model Wintersa mamy także„. modele Browna. i .Holta. Jeżeli bowiem w tym pierwszym przyjmiemy wskaźniki sezo-
obliczeń są
Nadeszła
118
Rozdział 11 . Adaptacyjne mod ele trend u
Część li. PROGNOZOWANIE
nowości równe j edności (tzn. c1 = I), przekształca się on ""
prostu w model Holta:
a,
=T
119
prognoza dla okresu t + T (T = 1, 2, ... ), wagi przypisywane poprzednim j ocenom zmian trendu, tj. różnicom średnich: iiat-i = a, - a; (gdzie: i = O, 1,... ), wagi te sumują się do jedności. Zdaniem Z. Pawłowskiego, model ten w przypadku szybkic h zmian trendu powoduje obarczanie prognoz błędem sysll'l\latycznymB; są to tzw. prognozy obciążone. W celu wyeli11ii nowania tego mankamentu, autor ten zaproponował model
1', 11 11
-
-
1
+ (I - a)(a,_ 1+b,_1)
= ay, + (I -
a)(a,_ 1 + b,_1),
b, = {Ka, - a,_1) + (I - {J)b,_ 1• Jeśli z kolei nie stwierdzimy w prognozowanym szeregu czasowym istotnych zmian trendu i będziemy przyjmowaC b, =O, to otrzymamy model Browna:
a,= ay, + (1 - a)(a,_ 1 +)
=
ay, +(I - a)a,_ 1•
A więc wystarczy jednorazowy wysilek przy budowie mo· delu Wintersa w arkuszu kalkulacyjnym Excel, aby dysponować pozostałymi! Używając konwencji reklamowych, można by więc powiedzieć: „Trzy w jednym!" . Na zakończenie tego rozdziału, powodowany nie tylko patriotyzmem, przedstawię dwa adaptacyjne modele prognozo. wania krótkoterminowego autorstwa polskich naukowców. Pierwszy z nich do tzw. model nie s krępowanego wyrównywania wykładniczo-autoregresyjnego (NWWA), opracowany przez Zbigniewa Pawłowskiego. Model ten został został wyprowadzony z tzw. modelu wyrównywania wykładniczo-autor egresyjnego (WWA), mającego postać:
1
a, = ay, + (I - a) ,~fl;a,_; ,
gdzie:
11a st~pujący :
a, = ay, + (I -a)[a,_ 1 + (a,_1 - a,_2)] = ay,+ (l-a)(2a,_1 - a,_,) Y1+ T =
a, + (a,_1- a,_,)T
Działanie modelu NWWA prześledzimy na przykładzie obrazującym sprzedaż towaru X w ciągu 12 miesięcy (Rysunek 11.8.). Będzie to tzw. prognozowanie ex post, dokony-
wane dla znanych, aczkolwiek traktowanych jako nieznane, wielkości faktycznej sprzedaży. Do rozpoczęcia prognozowania niezbędne jest oszacowanie wyjściowych średnich (a,_ 1 - a,_2). Jednym ze sposobów jest praktyczny i w pełni dopuszczalny zabieg polegający na założeniu, że były one równe realizacji zmiennej prognozowanej w okresie t = 1. czyli przyjęcie a,_ 1 = a,_2 = y 1• Inną możliwością jest wyłą czenie z prognozowania kilku pierwszych obserwacji i ich uśrednienie9. Nie chcąc skracać szeregu czasowego, w poniższym przykładzie zastosowano pierwsze rozwiązanie. Ponieważ prognozy będą budowane sekwencyjnie z okresu na okres, zatem T = 1.
a,, a,_; - średnie, tj. oceny trendu odpowiednio po okresach t i t-i (i= 1, 2, ... ,k), - parametr wyrównywania wykładniczego, mogący przyjmować wartości <0, 1>, fJ; - sumujące się do jedności wagi przypisywane poprzednim k ocenom trendu,
\I
120
Część
Rozdział 11. Adaptacyjne model e tre ndu
li. PROGNOZOWANIE
Wyznaczona za pomocą Solvera optymalna wartość para· metru wyrównywania wykładniczego a jest równa 0,29. Rysunek 11.9.
Działanie
modelu NWWA
121
tr e nd p e ł z ający. Jego istotą jest wyznaczanie liniowych odcinków uznawanych za segmenty łamanej linii trendu danego szeregu czasowego. Przypomina on, znaną ze statystyki, ( rcdnią ruchomą.
Do demonstracji modelu pełzającego trendu posłuży
przykład pochodzący z praktyki gospodarczej (miesięczna
sprzedaż pewnej samochodowej części zamiennej).
'1 "•-Y•
Tablica 11.2. Dane wyj ściowe 10.
„
~ '~
1•58
1
3
.,
l
91
~ ~
6
W powyższej symulacji zastosowano ne na Rysunku l l.10 .
I
l~I
formuły
:
-:ci~
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
przedstawio-
Rysunek 11.10. Niektóre formuly modelu NWWA (dial~ I, 2, Il , 12)
•..„„......~
I I .„_„ •.,
.1
vs::~ii;~!sfumm~:
Drugim rod zimym modelem, który p rzedstawię, opracowanym przez polskiego naukowca, Zdzisława Hellwiga, jest tzw.
y, 218 232 246 240 224 252 268 272 234 258 276 286 284
Na wstępie, dla analizowanego szeregu czasowego Y; ( l < i < n) i ustalonej liczby l < n należy wyznaczyć kolejne · trendy ciągów:
Yt• y,, „, Yt• y„ y3, „ „ Yt+ I• Yn-1+ 11 Yn-1+2" ·· 1Yw
Jak widać, rozpatrywany szereg czasowy obejmuje 13 pozycji (n = 13) . Dla budowy liniowych odcinków trendu przyjmiemy I= 5.
Rozdział 122
Część
11. Ad aptacyjne model e trendu
123
11. PROGNOZOWANIE
Równania trendu pełzającego, opracowane w Ex rh1 przedstawiono na Rysunku 11.11. Rysunek 11.1 l. Równania trendu
R ~Ja w.X: w:taw
Eormat
pełzającego
til..-zęcizla
!
] D i;;;i;llildli ći!11.~ IFJ!, llll>B~ i""~.,_--;1 -. U37 l> A I" B 3 I Yt 1 2 3
10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
c
218 232 246 240 224
6 7
252 268 272 234
10 11 12 13
258 276 286 284
D
cl E
l:
.li
F .I G Równania trendu y,=226,0+21 y1=231 ,6+1,81 y,=218,0+5,61 y,=186,4+10,81
li
y,=222,0+4,01 y,=274,4-2 ,21 y,=259,8+0,21 y,=195,2+7,01 y,=126,8+12,81
dla5<=1<=9 dla 6<=1<=10 dla7<=1 <=11 dla 8<=1<=12 dla 9<=1<=13
"
H
t•
Po.,q_t l r. I
dla 1<=1<=5 dla2<=1 <=6 dla3<=1<=7
1<=i<=13 1=5
Do wyznaczenia równań wykorzystano analizę regresji w arkuszu Excel. Dojście do niej jest następujące: „Narzędzia" - „Analiza danych" - „Regresja", a otwarte okienko dialogowe (Rysunek 11.12.) dla pierwszego równania jest opracowaną
wypełniane następująco:
J
dla 4<=t <=8
Część formuł prowadzących do zbudowania modelu trendu pełzającego przedstawia Rysunek l l.13. Rysunek! l.13. Niektóre formuły trendu pelzającego (dłal =I, 2, 7, 8, 9)
Rozdział 11. Adapta cyjn e modele trendu 124
Część
125
li. PROGNOZOWANIE
Wyniki tych
obli czeń
przedstawiono na Rysunku 11.J 4.
Rysunek 11 . 14. Uś rednienie
wartości
y,
'kami otrzymywanymi innymi, 111w11ywalnych wynikówe:t :~n;ówną przyczyną, że w prognop111, 1szym1 metodami. J zwla;zcza w skali przedsiębiorstw, są 111wan1u gospodarczym, utll' stosowane dosyć rzadko".
\ \ Wielkości wynikaj ące z trendu pełzającego mogą, rzecz jasna, stanowić podstawę budowania prognoz na przyszłe okresy. I tak, prognozą na okres t = 14 będzie oczywiście
y14 = .Y 13 = 293,20 -
293. Na zakończenie prezentacji adaptacyjnych modeli prognozowania bazuj ącyc h na analizie szeregów czasowych należy wspomnieć o mode la ch autoregresji i ś r e d niej ruc hom ej. Są one znane jako AR (autoregressive), MA (moving-average) oraz ARMA (autoregressive-moving-average) i bazuj ą na autokorelacji szeregów czasowych stacjonarnych bądź niestacjonarnych, sprowadzonych do stacjonarnych . Stosowanie tych modeli wymaga długich szeregów czasowych, obejmujących - zdani em jednych autorów - 50 przeszłych obserwacji, a zdaniem innych - znacznie więcej. Jak stwierdza P DittmannIO, modele te najczęściej znajdują zastosowanie w prognozowaniu zmiennych o dużej częstotliwości pomiaru (np. dziennych). Ponadto, wykorzystywanie tych modeli nie zapewnia uzyskiwania ,,lepszych bądź przynajmniej poIO
Por. P. Dittmann, op.cit., s. I04.
\' Rozdział 12. Modele przyczynowo-skutkowe (regresji) 127
cję sumy odchyleń faktycznych wartości w badanej próbie od wartości teoretycznych, tj. wynikających z modelu. Wielokrotność R - współczynnik korelacji wielorakiej, mówią cy 0 sile związku liniowego zmiennej zależnej Y ze zmien-
Rozdział 12. Modele przyczynowo-
-skutkowe (regresji)
ną (zmiennymi) niezależną X. R kwadrat - współczynnik determinacji, informujący o stopniu dopasowania modelu do analizowanych danych, tj. określający, jaka część zmienności zmiennej zależnej jest
wyjaśniana przez model. Dopasowany R kwadrat - skorygowany współczynnik deter-
Celem rozdziału jest udzielenie odpowiedzi m.in. na napytania:
minacji, będący miarą dopasowania modelu z uwzględme niem zależności tego dopasowania od różnicy między licz-
Co to jest ekonometryczny model przyczynowo-skutkowy i kiedy jest stosowany?
Błąd standardowy - pierwiastek z oszacowanej wariancji
Jak buduje się ekonometryczny model przyczynowo-skutkowy?
składnika losowego. Statystyka F - statystyka służąca do przetestowania hipotezy
stępujące
bą obserwacji a liczbą szacowanych parametrów.
zerowej, zakładającej brak związku między zmienną zależ
Na czym polega metoda najmniejszych kwadratów? O czym świadczą współczynnik korelacji wielorakiej, współczynnik determinacji, skorygowany współczynnik determinacji, błąd standardowy, statystyka F i błąd standardowy oceny parametru? Na czym polega i do czego jest wykorzystywana metoda Hellwiga informacyjnych pojemności integralnych? Jak wykorzystywać arkusz Excel do budowy modeli przyczynowo-skutkowych?
ną a zmienną (zmiennymi) niezależną. Błąd standardowy oceny parametru - średni błąd mierzący stopień dokładności oszacowania danego parametru. Metoda informacyjnych pojemności integralnych - metoda Hellwiga optymalnego doboru zmiennych niezależnych
w modelu przyczynowo-skutkowym.
Nośnik informacji - w metodzie informacyjnych pojemności integralnych Hellwiga jest to zmienna niezależna. Jak zauważył Rogers': „Gdy ty lko stewardessa poda wszyst-
Podstawowe pojęcia Ekonometryczny model przyczynowo-skutkowy - równanie (bądź układ równań) w którym zmienna zależna (objaśnia na) jest przedstawiona jako funkcja zmiennych niezależ nych (objaśniających), będących przyczynami występowa nia tej pierwszej. Metoda najmniejszych kwadratów - metoda szacowania parametrów strukturalnych modelu, zapewniająca minimaliza-
kawę, samolot wchodzi w strefę turbulencji". Można by więc przewrotnie powiedzieć, że podawanie kawy w samolo-
kim
tach jest przyczyną powstawania tego niesympatycznego zia: wiska. Oczywiście, myśląc racjonalnie, nie jesteśmy sklonm akceptować takiego pozornego związku przyczynowo-skutko1
A. Bloch, Prawa Murpl1y'ego, s. 32.
128
Część
Rozdział
li. PR OGNOZOWANIE
wego 2. Jednak w biznesie nie zawsze da się odróżnić zal cł. 1111, t
pozorne od rzeczywistych. Ponadto wśród licznych zal eżnu , 1 faktycznych obserwuje się różną siłę związków. Naturalnym 1111 ruchem będzie więc, aby nie utonąć „w morzu wielowymimn waści", dążenie do wyodrębnienia i włączenia do modelu 1111J istotniejszych zależności, w zasadniczym stopniu kształtujący< h poziom interesującego nas procesu bądź stanu. Omówione dotąd metody (modele) prognozowania polegu J1 na analizie szeregów czasowych i odpowiedniej ich ekstrapolu cji. Tego rodzaju postępowanie jest, jak to już podkreślaliś1111·. zasadne dla prognozowania krótkoterminowego. Prognozy tu kie, powtarzane w krótkich cyklach (np. tygodniach), są wy korzystywane do podejmowania decyzji sterujących procesami logistycznymi, a więc dotyczącymi operacyjnej skali działalno śc i. Jeśli jednak horyzont czasowy prognoz i planu jest odk glejszy, s ięgający kilku, a tym bardziej kilkunastu lat, ekstra· polowanie dotychczas obserwowanych trendów często mOŻ<' się okazać zawodne. Przy dalszych horyzo ntach zwiększa się bowiem prawdopodobieństwo deaktualizacji dotychczas obserwowanych prawidłowości, wywołanej zmianami sily oddziaływania różnych czynników, stanowiących przyczy· ny występowania interes ującej nas prognozowanej zmiennej. W krańcowym przypadku czynniki te mogą wręcz zaniknąć, a jednocześnie pojawić się nowe, dotychczas nieznane. Modelami prognostycznymi sięgającymi do czynników rzutujących na prognozowaną zmienną zależną (tzw. objaśnianą), czyli do zmiennych niezależnych (tzw. obj aśniają cych), są ekonometryczne modele przyczynowo-skutkowe3. ~. ':"brew in~ej_ teorii (~raw.o Muira) z rodziny praw Murphy'ego, głoszącej,
1z " il ekroć usilu1emy zaJąć się jakąś sprawą, oka:mje się, że jest ona podwią zana do wszyst~iego innego we wszechświ ecie". Zagorzali wyznawcy poglą du o wszechzw_1ązku rt.eczy i zjawisk (tj. filozoficznego kierunku o nazwie ontologia) u waza~ą nawet, że przelot motyla nad S zanghajem przyczyn i się w pewnym stopnlU do przyszłego tornada na Florydzie. 3 Był a o tym mowa w Rozdziale 9. Prognozowanie i ekonometria.
12. Modele przyczyn owo -skutkowe (regresji)
129
W111odclach tych, będących odpowiednikami równań regre~ji
, tystyce, zmienna zależna stanowi funkcję jednej lub ~1.e~ 111 111 l1111ych zmiennych niezależnych, będących przyczynami JeJ
•v•t<; powania. . Liniowy model przyczynowo-skutkowy z jedną zmienną 11h-ta lcżną ma następującą postać:
y = a+ bx, p.d1.ic: I'
-
wynikająca
. . . z modelu prognoza zmiennej zalezneJ (pro-
gnozowanej) y, . "· h- parametry strukturalne, z których a Jest wyrazem wolnym, zaś b - współczynnikiem kierunkowym prostej, . _ zmienna niezależna (przyjmując, że zmienną mezalez1 ną jest zmienna czasowa t, otrzymujemy klasyczny model trendu liniowego) .
,
Najczęściej stosowaną metodą szacowania parametrow , trukturalnych a i b, zapewniającą eliminację błędów systema-
tycznych, jest metoda najmniejszych kwadratów~ (MNK). Metoda ta gwarantuje minimalizację sumy odchylen faktycznych wartości w badanej próbie od wartości teoretycznych, tj. wyn ikających z modelu . Jest ona uciążliwa rachunkowo'. bowiem już dla dwóch zmiennych niezależnych odpow1edme wzory, prowadzące do oszacowania równania Y= a +_b ,x 1 + b,x„ przestawiają się następująco (n - liczba obserwacji):
2'.Y = na+ b 1l,x1 + b22'.x2 LxiY = al,x 1 + b1txl + b2tx1X2 l,x,Y = al,x2 + b1tx1X2 + b2txl
Jednak prosz~ się nie przerażać. Na początku XXI wieku już nie trzeba wykonywać tych uciążliwych, choć prostych ra-
4
Znana w literaturze zachodniej pod kryptonimem BLUE (Best Linear
Unbiased Estimator).
130
Część li . PROGNOZOWANIE Rozdział
12 . Mode le przyczynowo-skutkowe (regresji)
131
chunków; w sukurs przyjdzie nam bowiem, jak zwykle w I I
książce, arkusz Excel.
Rysunek 12 2 Okno dialogowe nRegrcsp
Do przedstawienia budowy modelu przyczynowo-skutko wego w Excelu wykorzystamy przykład pochodzący z pra cy W.I. Stevensonas. Na początek będzie to model z jedn' zmienną niezależną x 1 (roczne wydatki na reklamę). W tym celu, w nowym arkuszu pliku wpisujemy dane dlowe (Rysunek 12.1.)
źr(>
Rysunek 12 .1. Dane źródłowe do budowy modelu przyczynowo.skutkowego
D
~ liil l5\ l '9 [}. ~j •J!.
A5
~ ę, 4 j .-, ·
Jl.
c; ·)
•j Nr sklepu - n
8
A
„
1
>:
r. łl ilJ!Q W polach: Zakres wejściowy Y" i „Zakres wejściowy X" wstawiamy od;owiednie obszary i akceptujemy (OK). W no-
~ O
C
m arkuszu, utworzonym automatycznie przez
7 8 10 10
10 12 13 14
15
7 7
8 9 10
10 11 11 9
6
110 140 140 200 090 160 2,00 1,70 120 080
22 22 19 21
23 20 18 19 22 22
Zastosowanie procedury: „Narzędzia" - „Analiza danych. - „Regresja" (OK), spowoduje otwarcie okienka dialogowego (Rysunek ł 2.2)
5
WJ. Stevenson, op. cit. , s.454
progra~
~odnie z zatwierdzona opcją wyjścia Nowy arkusz), s ię
opracowany model (Rysunek 12.3.). Rysunek 12.3. Model przyczynowo-skutkowy z jedną zmienną n1ezalezną
ukaze
132
R ozdział
Część li. PROGNOZOWANIE
Uzyskane w pierwszej części raportu (Statystyki „"~ " wyniki oznaczają: Wielokrotność R - współczynnik korelacji wielo111kh I mówiący o sile związku liniowego prognozowanej zi11h 11
nej zależnej Y ze zmienną niezależną X1 Gak widać , I• I on znaczny, wynoszący po zaokrąglen iu 0,89, co światli o tym, że wpływ rocznych wydatków na reklamę na wu1 tość rocznej sprzedaży jest duży);
12. Modele przycz yn owo-skutkowe (regresji )
133
,111 inl niy bląd odrzucając hipotezę zerową, że Ho : /31 = O.
I 1tllrwu:i.jcsl ono w tym przypadku minimalne, wynoszące za-
l. dwil' 11 ,000623689%6, bez wahania możemy tę hipotezę od111 li . 'l\l k więc w sposób pośredni wykazaliśmy, iż ma miej: , , 1atystycznie istotny związek między wartością rocznej I" 1t•da:i.y a wydatkami na reklamę. . Ih talnia część raportu zawiera oszacowama parametrów ,il'iu oraz ich charakterystyki. Możemy z niej odczytać (pola 11111
R kwadrat - współczynnik determinacji, informujqi 1 o stopniu dopasowania modelu do analizowanych danyt łt tj. określający, jaka część zmienności zmiennej zależnej je 1 wyjaśniana przez modeł (R' = 78,7%); • Dopasowany R kwadrat - skorygowany współczynnik dett•i minacji, będący miarą dopasowania modelu z uwzględnii· niem zależności tego dopasowania od różnicy między liczbi1 obserwacji a liczbą szacowanych parametrów (76%); Błąd standardowy - pierwiastek z oszacowanej wariancji składnika losowego, równy 0,88; Obserwacje - informacja o liczbie obserwacji poddanych analizie regresji (I O).
11u i B18), że - po dokonaniu zaokrągleń - nasz model ma I" "tuć (ocena wyrazu wolnego jest w arkuszu Excel nazywana
Druga część raportu (ANALIZA WARIANCJI) obejmuje rezultaty obliczeń ukierunkowanych na określenie istotnośc i związ ku którejkolwiek ze zmiennych niezależnych (w tym przypadku jednej - rocznych wydatków na reklamę) ze zmienn ą zależną. Wykorzystuje się w tym celu tzw. statystykę F Fishera-Snedecora. Jest ona - uwzgl ędniającym odpowiednie liczby stopni swobody - stosunkiem wyjaśnionej przez model sumy kwadratów (komórka Dl2: 22,73) do tzw. resztkowej sumy kwadratów (komórka D13: O, 77). Na podstawie wartości tej statystyki odczytuje się z tablic rozkładu F odpowiednie prawdopodobieństwo (w tym przypadku zrobił to za nas Excel). Dla celów praktycznych wystarczy rozpatrzenie wyniku zawartego w komórce F l2 (Istotność F). Jak pamiętamy z rozdziału 4. Testy statystyczne, jest to prawdopodobieństwo, że
drugą zmienną niezależną, tj. X2 (cena towaru). Procedura budowy modelu jest oczywiście identyczna, jak w przedstawionym przypadku, a jedyną różnicą jest obszar zmiennych
,
1
l'11cdc:,:ciem") :
ji = 3,6
+ 3,8X1.
W kolumnie „Błąd standardowy" (oznaczany zwykle pi icz Sa;) zostały podane średnie błędy ocen parametrów, mie11ticc stopień ich dokładności. Niektórzy statystycy są zdama, 1r można je intuicyjnie interpretować, podobnie jak odchyle11ic standardowe.
Zobaczmy, jak się zmieni model, gdy włączymy do niego
ni ezależnych. Teraz obejmie on komórki C6:Dl5.
Oszacowany model ma postać następuj ącą (wykonanie procedury i przedstawienie ekranów arkusza Excel pomijamy): ji = 15,18
+ 2,41X1 -0,47X2
Model ten lepiej opisuje badane zjawisko, o czym świadczą następujące wyniki:
w testowaniu hipotez przyjmuje się zazwyczaj o.os bądź 0,01.
6
poziom ten w wysokości
Rozdział 12. M odele przyczynowo-skutkowe (regresji) 134
Część
13 5
li. PROGNOZOWANIE
R kwadrat = 87,5%, Dopasowany R kwadrat = 83,9%, Błąd standardowy = O,72. Można by więc wysnuć pochopny wniosek, że warto do "'" delu włączać jak najwięcej zmiennych niezależnych, powit\ '" nych merytorycznie ze zmienną zależną. Umożliwiłoby to, ) 11 ~ się wydaje, dobry opis badanego zjawiska i w miarę tn i\ 111 ~rognozy dalszego jego rozwoju. Jest to zresztą naturalne tli\ zeme .prow.adzącego badania. Jednak ekonometrycy sugc n•l•I ogramc.zame tego zbioru do liczby możliwie niewielkiej , obi·! mującej tylko te najistotniejsze (prawo Pareto). Za kryteriu 111 wyboru zmiennych niezależnych przyjmuje s ię silną ich kari' lacj ę ze zmienną zal eżną. Jednocześnie jednak zmienne nil' zależne powinny być wzajemnie słabo skorelowane. W takiui przypadku bowiem każda zmienna niezal eżna przekazywałab tylko „swoje" informacje o zmiennej zależnej, a więc nie wy stępuj ące u pozostałych. Dobrą ilustracją dla przedstawionych rozważań może być pogląd Zdzisława Hellwiga, wyrażo ny na jednym z sympozjów: „Warto napełniać wannę wodą do poziomu, któ ry uwzgl ędni a rezerwę wynikającą z wyporności ciała kąpiącego się człowie ka. Gdy wannę napełni s ię po brzegi, z chwi l ą wejścia do niej człowieka I tak część wody przeleje s ię i zostanie zmarnowana. Podobnie dzieje s i ę z informacją; tu również zasada «im więcej tym lepiej» , nie zawsze jest racjo nalna i często prowadzi do marnotrawstwa czasu i środków" .7 Istni ej ą różne metody wyboru optymalnego zestawu zmiennych niezależnych ze wstępnego zbioru zmiennych-kandydatek. Jedną z nich jest Stepwise Regressio n (regresja krokowa), włączona do specjalistycznych programów statystycznych (STATISTICA i STATGRAPHICS). Jednym ze sposobów dobo-
1<- nych niezależnych jest obserwacja wartości statysty111 11 1 11 pasowany R kwadrat" w trakcie dołączania do modelu 11 uH 11yc h zmiennych. Gdy wartość tego wspólczynnika. wzra111 wl:tczenie zmiennej do modelu jest celowe , w przeciwnym , ypudku - nie. Jest to jednak procedura kłopotliwa, bo~iem 111 , 1i•ly przetestować wszystkie kombinacje zmiennych meza11
11 1
li 111yc h.
l ) użym
uznaniem ekonometryków cieszy
się
metoda Hell-
wlw• informacyjnych pojemności integralnych8, którą można
1 111
, 1 cować w arkuszu kalkulacyjnym Excel. Zostanie to przed-
111wione poniżej.
Wprowadzimy następujące oznaczenia i wzory:
nośnikiem informacj i nazywamy zmienną niezależną; przez pojęcie
poj emności indywidualnej nośnika informacji
bQdziemy rozumieli wyrażeni e : yl
h = - - ' - dla (i, j = 1,2„.„m; l = l ,2„.„(2'"- l)), 11 l+ t;\r;;\ f'. dzie:
pojemność
.
indywidualna j-tej zmiennej
wchodzącej
I-tej kombinacj.i zmiennych niezaleznych, r; _ współczynnik korelacji j-tej zmiennej
niezależnej
/
_
do
111
zmienną zależną,
r;; in -
współczynnik korelacji i-tej i j-tej zmiennej niezależnej, liczba zmiennych niezależnych w modelu, • n - liczba obserwacji, • pojemnością integralną nośników informacji nazywamy wyrażenie będące sumą pojemności indywidualnych:
H1 = ,~h1;· 8
Pozytywne opinie
tej metodzie,
podkreślające
jej
wal~ry ~raktycz.~~·
można spotkać w : z. Pawłowski, Prognoz~ ekonometryczne, s. 68, T. Grabm0
ski, S. Wydymus, A. Zeliaś, op .cit., s. 85.
Rozdzial 12. Mode le przyczy nowo -skutk owe (regresji) 136
Część
137
li. PROGNOZO WAN IE
Zaobserwowana maksymalna pojemność integralna H 1 h~ dzie stanowić kryterium włączenia danego podzbioru zmil'll nych niezależnych do modelu. Działanie
metody przedstawimy na przykładzie. Chcemy model ekonometryczny dla zmiennej Y, mając wstępnie zakwalifikowane do zbioru zmiennych niezależ· nych trzy „kandydatki": X1, X2 iX3 . Dla każdej z tych zmiennych zarejestrowano po pięć ob· serwacji, co zostało przedstawione na Rysunku 12.4. zbudować
Rysunek 12 5
Wartości współczynników korel~cji
A I B .. C . . D . L .I 10 Współczvnniki korelac • z~1en.n~ ob1a~nianę1
11 zkażdazezmienn chob1aśmai;cvch .
12
r,= \
L-
0.70\
~~ Wsoółczv~niki korela~ii zmiennvch
Rysunek 12.4. Wartości zmiennych
l!iijbjfiilffiM•I@•
fj D ~ Iii .lill [ći 19. :)"1' i 3
~ 5 6 7 8
c
B
x,
y
20° 24 26 30 40
~@
'<1[ .., ~
•Iy
•Jl
"3 A
x, 4 2 4 2 8
4
D
x, 2 2 6 4 6
10 10 10
Rysunek 12.6. Procedury obliczania współczynników korelacji
i!i3114'.@·illfłł#M•Hi0
~~ Pli< !;.dycja Widok Wr;,liffl tprmat tlal' u-o-~ liil ii \18 [9. ~-\i lb ~ e,
14
'-'I•
A
<$:1 J11
• I =WSP.KORELACJI(( B Il
10 Wsoólc'
~~ z każ'~: =WSP KORElACJl(M:A8;84:.88) r2= -WSP.KORElACJl(M:A8;C4.C8) -
13
Pierwszym krokiem jest obliczenie współczynnika korelacji ri zmiennej zależnej Y ze wszystkimi zmiennymi niezależnymi X;. Dokonujemy tego według procedury opisanej w Rozdziale 5. Korelacja. Następnie obliczamy wartości współczynni ków korelacji między zmiennymi niezależnymi połączonymi w pary. Wyniki obliczeń zostały pr
I:• I
821
6
~
14 16 17
,,= =WSP.KORElACJ\(M:A8;D 4:08) Wsoółc
~ ~-@l ~;~;,i=~=-W-S-P."Ko "::-:R:::-ElA :--;:;:CJ;;;;\(8;;4:;;:80:: 8;C;::,;4-:ccffi s)I 20 r13=r31= =WSP.KORElACJ\(84:88,04'.08) -
"21 r„=r„=r=WSP.KORElACJl(C4:C8;04.08) t;:;j·
f
_ 1
Rozdział Część li.
138
12. Modele przyczynowo-skutkowe (regresji)
Rysunek 12.8. możemy
Obecnie K
= 2"' -
I
139
PROGNOZOWANIE
dla wszystkich kombinacji Gest ich
= 7) m = 3 zmiennych niezależnych obliczyć ind y
widualne pojemności informacyjne. Kombinacje te to: K, =X,; K, = x,; K3 = X3; K4 = {X,, x,) ; K 5 = {X 1,X3}; K6 = {X2,X3 }; K7 = {X 1,X2,X3 }. W tym celu należało napisać formuły widniejące na Rysu11 ku 12.7.
Wartości indywidual~ych pojemności nośników
® !:Iii<
Edvcja \b!idok W<;.taW
[)-~ Iii aiii łf !:9. ~ \TU
846
~
J\•
35 Rysunek 12.7. Formuły
informacji
l!'filtH.§alłifiM•iflD
A h11-
B ł 0,49
=
_§
jl,J 814
C
..I
służące
obliczeniu indywidual nych pojemności nośników informacj i (pierwszy indeks przy h - numer kombinacji, drugi - numer zmiennej)
!ID Ei
!;.dycja \'il.idok Wgtaw Ecrmat
tjarzędzla Q.ane Qkno
Poli!
oo! =B12A2/(1 +MODUŁ.LICZBY(O)) A
B
35
h 11 =
36
h,2= =B13A2/(1 +MODUŁ.LICZBY(O)) h 33= =B14A2/(1+MODUŁ.LICZBY(O)) h 41 = =B12A2/(1+MODUŁ.LICZBY(B19)) h 42= =B13A2/(1 +MODUŁ.LI CZBY(B19)) h 51 = =B12A2/(1 +MODUŁ.LI CZBY(B20)) h 03 = =B14A2/(1+MODUŁ.LI CZBY(B20)) h02= =B13A2/(1+MODUŁLICZBY(B21))
37 38 39 40 41 42 43
h 03=
~.
45 46
h51=
0,26 0,12
42
h•a= h02=
'43
hoa=
0,16
~45
hn=
0,27
lf461
hn=I
0.101
0,39
=B12A2/(1+MODUŁ.LICZBY(O))
=B14A2/(1+MODUŁ.LICZBY(B21))
h11= =B12A2/(1 +MODUŁ.LICZBY(B19)+MODUŁ.LICZBY(B20)) hn= =B13A2/(1 +MODUŁ.LI CZBY(B19)+MODUŁ.LICZB Y(B2 1 )) h 73 = =BW2/(1 +MODUŁ.LICZBY(B20)+MODUŁ.LICZBY(B21))
44
To 41
A2.
Uzyskane rezultaty przedstawiono na Rysunku 12.8.
. . . !ko obliczenie, dla wszystkich kombiTeraz pozostaje jUZ ty . h . h ojemności integralnych. nacji zmiennych niezaleznyc ' . tc p l tak: . H = h = 0,22; H,=hu=D,49; H2=h22=D,52, 3 . 33 =h +h =0,55; H. = "4t + h42 = 0,62; Hs= hst + hsi = 0,38, H6 6l 63
H,= h7t + hn+ h13= 0,57. . . . binac"i od razu dostrzegamy, Wobec niewidkieJ liczby :~:mnośćl informacyjną zawiera że największą mtegralno:zp \ście zadanie to zlecić arkusza: kombinacja _H•. Moznaób n:ępujący: ,';Nstaw" _ „Funkcja ... wi, postępuiąc ':: spos /\' (obszar pojemności integralnych) - „Statystyczne - „MAX. . ·ko 62466. i po zatwierdzeniu (OK) uzyskujemy wym '
140
Część
li. PR OGNOZOWAN IE
~a zakończen ie
omawiania modeli obe·
zarna przyczynowo-skutkowe należ
.
. !mu1ących p11 na 111 w pomiędzy rozpatrywanymi zmienn is_trn_erna wspołzald1111 zywać na występowanie międz ~:i me zaw~ze musi W•~ wo-skutkowych. Po głębszej mey o zw_iązkow. przyc11111 bowiem okazać, iż współ st ryt ryczne1 anahZie mo11· •I
istotną sprawę. Otóż stwierdzeni/.zw~óc1c uwa~ę
natury komplementarnej, ;po~~:::a tych zmien nych I• ł jeszcze gdzie indziej. W prognozowani och przyczyna 1k w1 modele, które charakteryzują ws omn~ ekonometryczni Ili wanie w czasie lub przestrzeni, nos~ ane współwysl~p11 rnatycznych. ą nazwę modeli symp1 11
1(01.dział
Celem
13. Prognozy ostateczne
rozdziału
jest udzielenie odpowiedzi m.in. na na-
pytania: Jak wykorzystać kilka prognoz dotyczących tego samego okresu? Jak sporządzić arytmetyczną średnią ważoną odwrotnoM ami błędów prognoz indywidualnych? Na czym polega przewaga arytmetycznej średniej ważo nej prognoz indywidualnych od ich zwyklej średniej arytmelycznej? Jak wykorzystywać arkusz Excel do budowy prognoz osta• IWujące
tecznych?
Podstawowe pojęcia Średnia arytmetyczna prognoz indywidualnych - prognoza ostateczna, będąca średnią n prognoz. Arytmetyczna średnia ważona prognoz indywidualnych - prognoza ostateczna, stanowiąca średnią arytmetyczną ważoną odwrotnościami
zaobserwowanych
błędów
prognoz
indywidualnych. Dotychczas rozpatrywaliśmy sytuacje budowania jednej (pojedynczej) prognozy dla danej zmiennej za pomocą dobranego modelu. Oczywiście możemy dla tej samej zmiennej prognozowanej i tego samego okresu opracować kilka prognoz, wykorzystując do tego celu różne modele. W końcu nie musi
Rozdział 13. Prognozy ostatecz ne 143 142
Część
tutaj
obowiązywać
li. PROGNOZOWANIE
.
tzw. rajski wybór („Adamie, wybic11 ,
żonę").
Powstaje wówczas naturalna chęć zsyntetyzowaniu 110 tych w nich informacji i uzyskania jednej liczby, będąc<'l 1•1 gnozą ostateczną. Zdecydowana większość (czego moz111 było spodzi ewać), bo aż 83% 1 ekspertów z dziedziny p111y11 zowania jest przekonana, że prognoza „wypadkowa", w 11lk jąca z prognoz indywidualnych, będzie trafuiejsza. Najprostszym sposobem uzyskania prognozy ostatcl"111 jest obliczenie średniej arytmetycznej z rozpatrywanych 11 gnoz indywidualnych. W takim przypadku prognoza osta1<·1 na (y,';'.]') będzie równa (Y,lłlr + y,
0
towaru przy zastoso·
. li 1ygodniowej sprzedazy pewneg h u~yskano różne 11il11 3. różnych modeli prognostycznyc , ci prognoz!Rysunek 13. 1.). 1111 4 Rysunek 13.1. Obliczanie prognozy ostatecznej
I'"'
a
zapisując
inaczej:
Yi°~T = Y~!)r + Y~lr + .. + .Y~lr.
Zastosowane. modele, oszacowane na podst~wie okr:~~: daly następuj ące prognozy sprzedazy w tyg I, \,·;6~ 38 ' (2J = 37, JVl = 34, podczas gdy faktyczna t = 7: Y_, - m ~::esie wyniosla y, = 36 (komórka B l O). , przedaz w ty . . d d błąd prognozy ex post, Jak widać, najmmeiszy stan ar owy . mo· (1(2) = 1,41; komórka !12) odnotowano_ przy stoso_ w;:usto . . d l ten powimen w pk na3w1ęks y p dclu 2. Zate:;~: tworzeniu prognozy ostatecznej na o~res niu partycyp ·a przedstawiona metoda - 3ego I= 7. I właśnie t~ z:::::ej stanowi bowiem aż 0,594 (tj . udział w prognozie d . ł dwóch pozostałych modeli to
t
Teraz widać wyraźnie, że wszystkim prognozom indywl dualnym, niezależn ie od stopnia ich dokładności, przypisuje s ię tę samą wagę ( ~ ). Takie zrównanie prognoz nie jest wi~c podejściem właściwym i ekonometrycy najczęściej zalecają za. stosowanie średniej arytmetycznej, ale ważonej odwrotnościa· mi zaobserwowanych błędów prognozy. Zapewni to większy udział w prognozie ostatecznej modelu daj ącego lepsze pro· gnozy. Ten sposób podejścia sugeruje m. in. Z. Pawłowski 2 . Obliczanie prognozy ostatecznej przedstawiono na przy· kladzie syiuacji, w której dla tych samych danych dotyczą·
59 ,4% - komórka ~~\)u o':~6 (17 0%- model 3). 1 0,236 (23,6%- mo e ' kł~dzie zostały przedstawione Formuły zastosowane w przy na Rysunku 13.2.
Podaję za: J.H. Wi lson, B. Keating, op.cit., s. 385. Z. Paw ł owski, 1eoria prog11ozy ekonometrycznej w gospodarce socjalistycznej, s. 198. 1
2
144
Część
li. PROGNOZOWANIE
Rysunek 13.2. Formuły obliczania pr~gn~zy ostatecznej, jako średnld arytmetycznej wazonej
.„
M@
••W.! Część Ili. ZARZĄDZANIE ZAKUPAMI Rozdział 14. Metody ABC i XYZ Celem rozdziału jest udzielenie odpowiedzi m.in. na następujące
pytania: Na czym polega metoda ABC i do czego może być wyko-
Oczywiście
takie udziały poszczególnych modeli w prognozach ostateczny~h nie muszą być trwałe i - w miarę mijania kolejnych okresow - moze się okazać, że należy je zmienić Jednak dokonując tego w arkuszu Excel, nie będzie to czynno:
rzystywana? Co to jest metoda XYZ? Jak wykorzystać arkusz Excel do zastosowania metod ABC iXYZ?
sc1ą złozoną.
Podstawowe pojęcia Metoda ABC - metoda podziału dóbr (materiałów, towarów) na trzy grupy, mająca na celu wyodrębnienie pozycji najbardziej rzutujących na wyniki ekonomiczne firmy; zwykle zaledwie ok. 20% pozycji w ok. 80% wpływa na wartość zużycia materiałów lub sprzedaży towarów; zaliczane są one do grupy A (stąd inna nazwa metody: 80 na 20, także prawo Pareto). Metoda XYZ - metoda podziału asortymentu dóbr na trzy grupy ze względu na stopień zmienności zapotrzebowania na te dobra; grupa X obejmuje pozycje „najspokojniejsze' (np. współczynnik zmienności względnej V s 50%), grupa Y: 50% 90%.
146
Część
Ro zdz i ał 14. Metody ABC i XYZ
I li. ZARZĄDZANIE ZAK UPAM I
Współczynnik zmienności względnej
V -wyrażony w procentach stosunek odchylenia standardowego do wartości średniej.
Gdy prLed laty zapytano złodzieja bankowego, Williego Suttona: „Dlaczego okrada banki?", ten z rozbrajającą szczc· rością odpowiedział: „Bo tam są pieniądze". Podobna dewiza, ale oczywiście odnosząca się do innego rodzaju działalności, powinna przyśw iecać każdemu menedżerowi. Oznacza ona bowiem, że nal eży zdobyć się na wysiłek tam, gdzie można osiągnąć maksymalne wyniki. Postępowanie według powyższej zasady jest szczególnie wskazane w odniesieniu do zakupów towarów w różnych przedsiębiorstwach . Wobec setek, a często nawet tysięcy dóbr obejmowanych tą fazą procesów logistycznych, należy poszukiwać metody nieco zmniejszającej wielowymiarowość zagadnienia 1. M etodą taką jest metoda ABC, różn i cująca znaczenie poszczególnych asortymentów w zależności od ich udziału w łącznej wartości zużycia materiałów, bądź sprzedaży towarów. Po dokonaniu podziału występujących w przedsiębior stwie asortymentów na grupy A (najważniejsza) oraz B i C, koncentracja uwagi oraz precyzyjne zarządzanie zakupami będzie miało miejsce w odniesieniu do grupy A. Nie jest to już zadanie zbyt trudne, bowiem - niezależnie od stopnie skomputeryzowania omawianego procesu - mimo decy dującego udziału w wartości sprzedaży bądź zużycia, grupa ta obejmuje niewiele pozycji. Nie należy z tego wyciągać wniosków, że pozycje z pozostałych grup można traktować całkowicie „po macoszemu". Jednak ich mniejszy udział (zwłaszcza grupy C) w wartości sprzedaży czy zużycia, pozwala w zarządzan iu zakupami tych pozycji stosować bardziej liberalne podejście . Na np. jednorazowym rocznym zamówieniu dostawy pozycji 1 ~ ak bowiem _głosi pop~lar~e . porzekadło: gdy wszystko jest jednakowo wazne, w grunc ie rLeczy me me JCSt ważne.
147
C (z reguły tanich i niewielkich gabarytowo) „nie ucierpią" ani Iinanse przed s iębiorstwa, ani powierzchnie magazynowe. Przykładowe rezultaty zastosowania metody ABC w pewnej hurtowni dla 339. towarów i procedury wykorzystania do tego celu arkusza Excel przedstawiono poniżej. Należy zauważyć, że - dla czytelności rysunku - w zamieszczonym ekranie ukryto
większość
wierszy.
Rysunek 14.1. Fragment ekranu z podziałem na grupy A, B, C
Procedura postępowania przy podziale wybranej grupy towarów wg metody ABC jest następująca. l. Wprowadzamy do kolumn A i B następujące dane: lp. (ew. nr indeksu), wartość sprzedaży w wybranym okresie. 2. Arkusz sortujemy malejąco wg kolumny B (wartość sprzedaży) wg następujących kroków: zaznaczamy obszar wprowadzonych danych, z głównego menu wybieramy Dane, a następni e: Sortuj, po czym w okienku dialogowym „Sortowanie" zaznaczamy: Sortuj według kolumny „Wartość sprzedaży 2002 r.", „Malejąco" i „Ma wiersz nagłówka". Po kliknięciu OK uzyskujemy rezultat, jak na Rysunku 14.1 .
Rozdział 14. Metody ABC; XYZ 149 148
Część
Ili.
ZARZĄDZANIE
ZAKUPAMI
3. W kolumnie C tworzymy skumulowany szereg warlo 1 I sprzedaży, stosując do tego celu następujące formuły: kom61 ~„ CZ: =BZ, komórka C3: =B3+CZ itd. 4. W kolumnie D obliczamy udziały skumulowanego "' regu w wartości sprzedaży ogółem (np. dla komórki D2 ,111 żyć temu będzie to formula: = C2' 100/$B$342, dla komóihl D3: = C3'100/$B$34Z itd.). 5. Kolejnym krokiem jest wyodrębnienie grup A, B i C. Doko nujemy tego poprzez „odcięcie" obliczonych udziałów warw ści (kolumna D) na granicach 80% i 95%. 6. Teraz pozostaje tylko ustalić liczebność wyróżnionych grup i wartość sprzedaży w każdej z nich. Zostało to uwidoczniam· na powyższym Rysunku. W jego dolnej części (komórki D34~ do H347) pokazano ostateczne wyniki omawianej klasyfika cj i. Zgodnie z oczekiwaniami, zaledwie 27%, czyli 92 pozycje wszystkich analizowanych skoncentrowało niemal 80% całej sprzedaży (grupa A). Dalszych 97 pozycji (28%) już tylko 15%, a pozostałe 150 (prawie 45% analizowanych pozycji) - zaledwie 5% wartości sprzedaży. Jak widzimy, uzyskane proporcje są bardzo zbliżone do obserwowanych w innych przedsiębior stwach i opisywanych w literaturze przedmiotu. 1 w ten sposób została wskazana newralgiczna grupa towarów (A), która powinny być „pod specjalnym nadzorem" odpowiedzialnych menedżerów.
I
mdstawowymi danymi obliczone w nim średnie wielkości . . . tandardowe z populaci1. Te ostatod~hte~~:o~e wg formuł: = ŚREDNIA(zakres))
111 1.cdazy '.
:111·
~~~~e~i'AN~~RD.POPUL.(zakres))'. W kolejnej kolumnie
{I I)
obliczamy
współczynnik zmienności względne]
V,
~ęd~cy
w ,„,żonym w procentach stosunkiem odchyłema stan ~r o-
w~·;o-do wartości średniej . Posłuży do tego formuła (dla pierw: .
„
komórka H2): = G2'100/FZ. Teraz pozostaje JUZ
""I pozyC]l dłu kol H - Wspólczynvlko rosnąco posortowac arkusz we g . . " r1
i - przyjąwszy dla mego, pko wa raniczne np. 50% i 90%- dokonać podział.u na grupy X, y i z .gRezultaty dokonanego podziału zostały uw1doczmone na
11 ik
zmienności względnej
l u~ci
l(ysunku 14.2. Rysunek 14.2. Fragment ekranu z podziałem grupy A na klasy X, Y, Z
Mając
dokonany podział towarów na grupy A, B, C moż do ich różnicowania ze względu na stopień rozchodów, czyli według metody x:rz (zostanie to zademonstrowane na przykładzie ustalonej już grupy A). na
przystąpić
zmienności
W tym celu otwieramy w skoroszycie nowy arkusz (nazygo np. A_'X'IZ), do którego kopiujemy grupę A (wklejając jako wartości), a także - np. do kolumn F i G - z arkusza wając
Podobne obliczenia i podziały należy. przeprowadz~e~~~ grup B i C. Pełne ko6cowe wyniki klasyfikaC]l według ABC i XYZ zawiera poniższy Rysunek.
Rozdział 14. Metody ABC \ XYZ 150
Cz ęś ć
Ili.
ZARZĄ D ZANIE
151
ZAKUPAMI
p111.ycjach należy koncentrować uwagę, częst.o monitor~wa~ k,zlałtowanie się ich zapasów i przebieg reahzaC]l zamow10 uych dostaw, precyzyjnie planować zakupy itp. . l Analizy i podziały towarów według metod ABC l XYZ na e1y traktować jako pierwszy etap w procesie raCjonalnego za'
Jedną
do zaobserwowania prawidłowości, z dokonanej analizy ABC i XYZ, jest zwiększa nie się stopnia nieregularności sp rzedaży (tj. wzrostu udziałów większych wartości współczynnika V) w miarę przechodzenia od grupy A do C. Oznacza to zwiększanie się stopnia sprzedaży nieregularnej (grupa towarowa Y, a zwłaszcza Z). I tak, o ile grupa AZ stanowiła zaledwie 1, 18%, a grupa BZ - 2,3 6%, to grupa CZ - już ponad jedną czwartą analizowanych pozycji z
możliwych
wynik ających
(27, 43%). Płynie stąd
w tym przypadku praktyczny wniosek dla zazakupami towarów: im są one cenniejsze (ważniej sze) dla firmy, tym łatwej przewidywać ich sprzedaż (mniejsze jej zróżni cowa nie w kolejnych okresach). Rezultaty podziałów metodami ABC i XYZ stanowi ą wartościowy materiał do analiz i dają podstawę do właściwego ukierunkowania procesów zarządzania zakupami. Wynikają z niej bowiem pożyteczne wskazówki dla menedżerów na których rządzania
1.ądzania zakupami.
Rozdział
15. Oceny poziomu
obsługi
klienta
15 3
Odnoszą się one na przykład do takich zagadnień, jak produktów, czas dostawy, elastyczność systemu dys11 ybucjP. Jednak najważniejszym miernikiem oceny tego pozio11 111 wydaje się być dostępność poszukiwanego towam, czyli go1 11wość do natychmiastowej realizacji zamówienia klienta (tzw. < iWledaż „z półki"), czyli prawdopodobieństwo zdarzenia, że w danym cyklu uzupełnienia zapasu caly prognozowany popyt i.ostanie zaspokojony. Na nic się bowiem zda najbardziej przemyś lne kokietowanie klienta, jeśli nie mamy na skladzie poszukiwanego przez niego towaru: po prostu wybierze on inny sklep. Przypomina to reakcję Napoleona na wyliczanie przez gospoda1·q miasta bodaj dziesięciu powodów, dlaczego nie powitano go salutem artyleryjskim. Na „po pierwsze nie mamy armat", cesarz zareagował słowami: „Dziękuję, wystarczy po pierwsze". Sprostanie temu wyzwaniu zależy od racjonalnego zarządza nia zakupami, prowadzącego do podjęcia decyzji: co? ile? kiedy zamówić?, będącej najważniejszym problemem logistycznym. W celu zapobieżenia brakowi zapasu, zamówienie uzupeł niające winno być wystawione i złożone u dostawcy z pewnym wyprzedzeniem w stosunku do momentu zaistnienia takiej sytuacji. Jednak okres realizacji tego zamówienia, jak i faktyczny popyt mogą przekraczać wielkości przewidywane. Problemem menedżera jest więc ustalenie odpowiedniego poziomu zapasu bezpieczeństwa, który by stanowił rezerwę na wypadek zaistnienia owych ewentualności.
11lków.
dos t~pność
Rozdział 15. Oceny poziomu obsługi klienta Celem rozdziału jest udzielenie odpowiedzi m in pytania: · · na na.
stępujące
~a:to jest zapas bezpieczeństwa w zarządzaniu zakupami? budo~ać zapas bezpieczeństwa wykorzystując siaty·
styczne funkcje Excela?
Podstawowe pojęcia
Zapas
bezpieczeństwa (rezerwowy) - zapas tworzony ponad
p~ogn~zę ś~edniego popytu dla zniwelowania nieocze. k1wame duzego popytu i/lub opóźnienia w nadejściu
dos ta wy
Wspólczynnik bezpieczeństwa - wielkość wynikająca z przyję. lego poz10mu obsługi klienta, pozwalająca wyznaczyć wła ściwy zapas bezpieczeństwa
. Od c:a.su przemian polityczno-spolecznych w naszym kra" to, że istniejący w PRL-u tz pan . Oznacza k . w. rynek dostawcy przeksztalcił się w ryne odb10rcy. Teraz już nie ten ostatni zabiega o względ " ~~erwszego, lecz na odwrót. Wyłania się z tego ko~ieczno~ć JU powroc1ła do łask dewiza: „nasz klient - nasz
bie:~:a ~ na~z~ ioziom obslugi ud a
klienta. Jakiekolwiek uchyg ędz1e sprawią, ze nasz potencjalny klient . d tyk o onkurencii.
się
. Oceny poziomu obsługi klienta dotyczą wielu spraw i sklana cały wachlarz stosowanych w tym względzie mier-
daią się
Jeżeli na przykład średni dzienny popyt wynosi y ; IO jednostek, zaś okres realizacji zamówień L; 6 dni, to możemy oczekiwać, że w tym okresie popyt wyniesie 60. Gdybyśmy przyjęli, że zapas bezpieczeństwa (ZB) będzie równy 15 jednostek, oznaczałoby to, że zamówienie uzupełniające
1 Pełne omówienie tych zagadnień znajdzie Czytelnik w pracy Danuty Kempny, Logistyczna obs ługa klienta , PWE, Warszawa 2001.
154
Cz ęść
Rozdział 15. Oceny poziomu obsługi klienta 1 5 5
Ili. ZARZĄDZANIE ZAKUPAM I
n_al~ży wy_st.awiać się
w momencie, gdy posiadany zapas o 75 1ednostek Gest to tzw. poziom alarmowy).
obniży
Zapasy bezpieczeństwa powinny być jednak ustalane odpow1ednm do założonego poziomu obsługi klienta. W sukurs ~rzychodzi nam tutaj statystyka matematyczna, pozwalająca a wyznaczeme takiego zapasu. Będzie on fu k . . dywanego błędu ro n , . n cią przew1(krotność bł du p g _ozy'. wspołczyn~1ka bezpieczeństwa k leżności od ~a p~ognozy) ' okresu realizacji zamówień. W za· rtosc1 tych parametrów, za pomocą właści eh Excela w sposób, jak to zob:;'z . my pomzeJ, wyznaczymy ów zapas. y
statysty~.znych narzędzi ś
łatwy
Mając
„pod
ręką"
arkusz Excel,
możemy
bardzo szybko
wyznaczyć współczynnik k dla każdego zakładanego poziomu obsługi klienta. W tym celu spośród oferowanych przez
arkusz funkcji statystycznych należy wybrać ROZKŁAD . NORMALNY.S .ODW i w polu „Prawdopodobieństwo" wstawić żądaną liczbę (np. 0,95, czyli 95%) . Natychmiast ukaże s ię w okienku dialogowym poszukiwana wartość k (w tym przypadku 1,644853) . Procedura ta została przedstawiona na Rysunku IS.I. Rysunek 15.1. Wyznaczanie współczynnika bezpieczeństwa k dla wybranego poziomu obsługi klienta
. P~ykładowe poziomy obsługi klienta przy różnych warto
c~I:~.1 współczynnika bezpieczeństwa przedstawiono w Tabli: Tabl i~a I
15. 1. Wybrane współczynni ki b ez pieczeńs twa
odpowiadające
Współczynnik
bezpieczeństwa
1,00
I.IO 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1.70 1,80 1,90 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00
k
im poziomy obsługi klienta
Poziom obs łu gi
Ryzyko wyczerpan ia
klienta (w %)
zapasu (w%)
84,l 86,4
15,9
88,5 90,0 91,9 93,3 94,5
13,6 11 ,5 10,0 8, 1 6,7
95,5 96,4
5,5 4,5 3,6
97, 1 97,7 98,8
2,9 2,3 1,2
99,4 99,7 99,9
0,6 0,3 0,1
Podstawowy wzór na obliczenie odpowiedniego zapasu bezpieczeństwa jest następujący:
ZB =
ksYL
gdzie:
k - współczynnik bezpi eczeństwa,
s - prognoza błędu prognozy, L - średni okres realizacji zamówień.
Zapas bezpieczeństwa, odpowiadający założonemu poziomowi obsługi klienta, można również szybko i łatwo obliczyć w Excelu w sposób bezpośredni. Zobaczymy to na przykładzie.
156
Część Ili. ZARZĄDZANIE
ZAKUPAMI Rozdział
15. Oceny poziomu obslugi klienta
15 7
Przykład:
Chcemy wyznaczyć zapas bezpieczeństwa pozwalają<"y z 95-proccntowym prawdopodobieństwem oczekiwać pokrycia popytu dla następujących danych Uak już wiemy, warunkowi temu odpowiada k = 1,644853): - prognoza błędu prognozy = 5,
s
- średni okres realizacji zamówień L = 3.
Rysunek 15.2. Formuta obliczania zapasu
obliczono -
według formuły widniejącej
pieczeństwa
na pasku - zapas bez-
(komórka B 15).
u~~~;~~i!jS~c~ zmienność popytu i okresu reahzaCJI zamow1en !ll51jrtml.\fijijM 1a llarle (!
bezpieczeństwa 1
A I B .1 . C _I O J g zanas bezoieczeństwa 9i~dv',l=LJ!•~st-"zm"'l '"'"""""'" --i---le 2 10
11
y2 -
12
52:
I
900
13
14 15 ,[ii;
Do jego obliczenia wykorzystuje się zależność w komórce B6, a widniejącą w wierszu edycji.
zapisaną
Gdyby uznano, że czasy trwania realizacji zamówień uzupełniających są na tyle zmienne, że należy to uwzględnić przy zakupach, wzór na zapas bezpieczeństwa ZB byłby nieco bar-
dziej złożony:
ZB = kVs2L + yiaz, gdzie:
of - wariancja okresu reaJizacji zamówień. Jednak dzięki Excelowi wykonanie obliczeń byłoby w dalszym ciągu zadaniem nieskomp likowanym. Obrazuje to poniższy Rysunek, w którym dla danych z obszaru BIO:BJ4
Procedury
s[= ZB=
120,4
prowadzące
do ustalenia w Excelu norm
zarzą
dzania zakupami odpowiadających różn~m sytu~CJOm ' modelom zostaną przedstawione w dalszej częsc1 ks1ązh
Rozdział 16. Modele zarz ądzania zakupam i
159
w punkcie monitorowania zapas kształtuje się na (lub poniżej) poziomie zamawiania A, ustalanego w sposób identycz-
ny, jak w klasycznym modelu poziomu zamawiania.
Model „s,S" (inaczej minimum-maksimum) - zapas jest również monitorowany okresowo i zamówienia uzupełniające
Rozdział 16. Modele zarządzania zakupami
są wystawiane również jedynie w przypadku, gdy poziom zapasu w magazynie obniżył się do (lub poniżej) poziomu alarmowego „s" (odpowiednik poziomu A). Zamówienia uzupełniające stanowią różnicę pomiędzy poziomem maksymalnym „S", a faktycznie posiadanym zapasem.
Celem rozdziału jest udzielenie odpowiedzi m.in. na napytania:
Połączony model poziomu zamawiania i stałego cyklu zama-
Jakie są dwa klasyczne modele zarządzania zakupami (ste-
wiania - zamówienia uzupełniające są wystawiane w przy-
stępujące
rowania zapasami)?
padkach, gdy zapas w magazynie (powiększony, jak zawsze
Czym różni się model poziomu zamawiania od modelu cyklu zamawiania?
o ew. dostawy w drodze) spadnie poniżej poziomu zamawiania A, a także - w stałych punktach zamawiania.
Co to jest optymalna partia zakupu i jak ją wyznaczać za pomocą funkcji Excela? Jak wykorzystywać arkusz Excel w zarządzaniu zakupami?
w praktyce biznesowej stosuje s ię wiele modeli zarządzania zakupami. Wynikają z nich wskazania decyzyjne, odpowiada-
Podstawowe pojęcia
jące na takie zasadnicze pytania jak: co> kiedy? ile zamówić? Jednak dominującymi modelami są następujące dwa, które
Jakie są inne modele zarządzania zakupami?
Model poziomu zamawian ia - model zarządzania zakupami,
w którym zamówienia uzupełni ające na ilość odpowiadają cą partii optymalnej wystawiane są w momencie, gdy zapas
obniży się (lub spadnie poniżej) do poziomu alarmowego. Model cyklu zamawiania - model zarządzania zakupami zakładający skladanie zamówień uzupełniających w stałych cyklach.
Optymalna partia zakupu - partia zakupu zapewniająca minimalizację łącznych kosztów tworzenia i utrzymywania pasów.
za-
Model poziomu zamawiania w stałych cyklach - zamówienia
(partii optymalnej) są wystawiane jedynie w sytuacjach, gdy
można określić jako klasyczne: mod e 1 po ziom u z am a· w i a n i a (Re-order Point, określany też jako two-bin system, system dwuskrzynkowy) i model cyklu zamaw iania
(Re-order Cycle). W modelu poziomu zamawiania normami sterowania, wymagającymi określenia, są: optymalna partia zakupu (Q0 PJ i poziom zamawiania (alarmowy) A. Ta ostatnia norma sygnalizuje konieczność niezwłocznego wystawienia zamówienia i skierowania go do dostawcy. Przykładem poziomu zamawia· nia może być w gospodarstwie domowym - obok podstawowego, 20. dekowego - 5. dekowy słoiczek rozpuszczalnej kawy, którego napoczęcie stanowić będzie sygnał do uzupełnienia jej
zapasu przy najbliższych zakupach.
160
Część
Ili.
ZARZĄDZANIE
ZAKUPAMI Rozdział
W modelu cyklu zamawiania na d . . o pow1edme normy sir rowania składa . . maksymalny po;io~~ę~::a::;lny cykl zamawiania (Rop1) 01111 Schematy tych modeli
przedstawiają Rysunki
I 6.1. i 16.2 .
Rysunek 16.1. Model poziomu zamawiania Zapas-z
16. Modele
zarządzania
zakupami
161
W modelu poziomu zamawiania optymalna partia u zapewnia minimalizację łącznych kosztów tworzenia
1. a kup
(K,) i kosztów utrzymania zapasów (K„). Te ostatnie zazwyczaj
jako pewną część wartości zapasów, wynikającą rocznej stopy r utrzymania zapasu (np. r = 0,20), tak więc: K„ = rC, (gdzie C, - jednostkowa cena zakupu danego towaru). Łączne roczne koszty tworzenia i utrzymania zapasów
szac uje
się,
1. przyjętej
(ŁKZ) wyrażają się następującą formułą:
LKZ = ŁK, + ŁK„ =GK, + ~r · c„
Brak zapasu
Czas-t
Rysunek 16.2 Model cyklu zamawiania
Zapas -z
gdzie: P - roczne potrzeby (prognoza popytu) danego towaru, Q - wielkość partii dostawy. Optymalną partię zakupu, minimalizującą - jak było wspomniane - koszty zapasów, wyznacza się z równania łącznych kosztów zapasów za pomocą rachunku różniczkowego. Obliczywszy pierwszą pochodną funkcji ŁKZ, a następnie przyrównawszy j ą do zera i rozwiązawszy ze względu na Q, otrzymujemy następujący wzór (Wilsona) na optymalną partię zakupu:
Poziom maksymalny_ S
= • Oop1
Zamówienie
f2PK:. = •V[2PK,_ ~·
VK;
Korzystając
na OkresreaHzatji zamówienia
/'
Punkt zamawiania
/
_
CM zamawiania - ~
Czas-t
obliczyć
z możliwości arkusza Excel wielkość Q0 P 1 moż szybko i łatwo. Zobaczymy to na przykładzie .
162
Część
Ili.
ZARZĄDZAN I E
ZAKUPAMI Rozdz i ał
16. Modele za rz ądzania zakupami
163
Drugą normą sterowania w tym modelu jest po z iom larmowy A, wyrażany wzorem: A= y · L + k · g{l,. Jak widać, obejmuje on dwa składniki: wielkość stanowią cą „pokrycie" średniego popytu w przeciętnym okresie realiza-
11
cji zamówień (y · [) oraz - omówiony w poprzednim rozdziale zapas bezpieczeństwa (k ·fil). Jest on tworzony, jak p amię
Po ".'prowadzeniu danych wejściowych (obszar B4·BJ 2) w komorce BJ4 · · · , pasów, które na1::p1_su1emy formulę łącznych kosztów zanastępująco: y zmrnrmalrzować. Przedstawia się ona A ŁKZ= =Bs·s9;13+ 1312 • 811 •810
tamy, na wypadek większego, od śred niego, popytu we wspomnianym okresie i/lub nieoczekiwanego wydłużenia tego okresu. Obliczenia tej normy dokonujemy następująco . Z głównego menu wybieramy Wstaw, a dalej: Funkcja ... - Statystyczne ROZKŁAD.NORMALNY. ODW i odpowiednio wypełniamy otwarte okienko dialogowe (Rysunek 16.4.; w polu „Prawdopodobień stwo" wstawiamy zakładany poziom obsługi klienta (np . 84, 1%), odpowiadające przyjętemu współczynnikowi bezpieczeństwa k = 1. Warto dodać, że gdyby przyjąć ten poziom w wysokośc i 97,7% (przy k = 2), poziom A byłby równy 124, a przy k = 3 (99,9% poziomu obsługi) - 136. Łatwo s i ę można o tym przekonać wstawiając w polu „Prawdopodobieństwo" odpowiednio 0,977 i 0,999. Rysunek 16.4. Funkcja statystyczna obliczania poziomu A
Teraz możemy p t ·ć d rti" k rzys ąpr o obliczenia wielkości optymalb~e: . r za upu. Wykorzystuje się w tym celu opcję Solver ~ a1ąc Ją z Narzędzi, a następnie otwierając i wyp l .. o enko dialogowe Solver-Paramctry ws osób e nr_a1ąc na Rysunku 1ó 3 (n . . _ P przedstawrony w. h d . . . a 1ezy pamrętac o zaznaczeniu Min borem c_ o zr o znalezienie minimum funkcji LKZ). _, nej
oki::k:le~e~u roz:iązania
zadania
(Rozwiąż) ukaże się
Wszystkie ogr::c~:~i:t~: „So~er znalazł rozwiązanie. ne ". Teraz wystarczy klikną:r~~' a':tymalizacji są spelniosię poszukiwany wynik Qopt = 49~. y w komórce I3 ukazał
Rozdział 16. Modele zarządzania zakupami 165 164
Część
Ili . ZARZĄDZAN I E ZAKUPAMI
Prawdopodob ieństwa odpowiadające różnym wartośc i o111
k uzyskuje się w Excelu poprzez wybranie funkcji statystycznl'I ROZKŁAD.NORMALNY.S i wstawienie w okienku „Z" wybru nej wartości k. Zostalo to zademonstrowane na Rysunku 16. 5„ dla k = 3. Uzyskany wynik to prawdopodobieńs two praktycz· nie I OO-procentowego poziomu obs ługi klienta.
Normami sterowania w omawianym modelu są: oplt ymalny cy kl zamawian i a (Roptl oraz maksy".'a n y JO z iom z ap a s u (S). Do ich wyznaczenia (przyJmuiąc ~ tym przypadku miesiąc za okres podstawowy) słuzą wzory o już znanych symbolach: R
=~ ,
nopl
=
opl
Rys unek 16.5. Wyznaczanie
prawdopodobień stwa
@e11<
~Ja
1Yldok "'""' Eo
Dili' IOl1tlilll@l:ll. ~ · I
ROZt::t.AD.foKlR.„ •
gdzie:
-~ ~ ~
Jl, ~@·~I"'·"" -I~"
nopl
dla wybranej
wartościk
'°"""
1
r. ~UIH!!I ~ !li
X VI • I =ROZl<ŁAD.NORMALNY. S(l)
il.OZt:lAD.NORMALM'.S
„o,998650033
t '
S = y(L +Rop<)+ k ·§~. 25 W powyższym przykładzie "op< =Ę, =~ - ' zakupy w roku, co oznacza, że zamówienia nalezy składać co 4-5
miesięcy.
ZVKacast&'ldardowysl
Niezbędne obliczenia, wraz z odpowiednią formulą, llOKl r. .....,, I M ożna też postąpić
odwrotnie, tj. założyć odpowiedni poklienta (np. 95%), a następnie wyznaczyć odpomu wartość współczynnika bezpieczeństwa k. Zostało to omówione w Rozdziale 15. Reasumując powyższe obliczenia stwierdzamy, że ilekroć zapas obniży s ię do poziomu 112 należy natychmiast wystosować zamówienie uzupełniające na 490 szt. Odmienne zasady sterowania zapasami obowiązuj ą w drugim klasycznym modelu, tj. cyklu zamaw i a nia (Re-order Cycle). Zamówienia uzupełniające są tutaj bowiem wystawiane w stałych cyklach, natomiast w ielkośc i zakupów są zmienne, wynikające z różnicy pomięd zy maksymalnym poziomem zapasu (S), a faktycznym zapasem w magazynie. Wielkość zamawiana bywa więc zmienna, zależna od zapasu posiadanego w chwili (punkcie) zamawiania. ziom
obsługi
wiad ającą
przedstawiono na Rysunku 16.6. Rysunek 16.6. Obliczenie cyklu zamawiania i poziomu maksymalnego S
166
Część Ili. ZARZĄDZAN I E ZAKUPAMI
Jak w idać, wzór na maksymalny poziom zapasu S, Pii\ pomina wzór na poziom alarmowy A w modelu poziomu :tli mawiania. Różnica polega na tym, że obok średniego okn·, 11 realizacji zamówień L należy teraz uwzględniać również opty malny okres zamawiania Ropt· W rozpatrywanym przypadku poziom maksymalny Sjest równy 619 szt. Jak wynika z wartości norm sterowania, stosując modl'I stałego cyklu zamawiania należy w powyższym przykładzit• co 4-5 miesięcy zamawiać ilość będącą różnicą pomiędzy 619 szt. a faktycznie istniejącym zapasem. Zasygnalizowania wymaga kwestia tzw. z a 1e gł y c h z a . mów i e ń odbiorców (backordering). W przypadku, gdy na skutek braku zapasu popyt nie może zostać zaspokojony, a zamówienia klientów oczekują na nadejście dostawy i odbudowanie zapasu - stanowią one swoisty zapas ujemny. Za· pas taki już w momencie dostawy u zupełniającej pomniejsza j,ej. wielkość. Z podobnymi sytuacjami spotykamy się najczę· scieJ w przedsiębiorstwach produkcyjnych. Jeśli tylko potrze. by produkcji nie zos tały- w okresie braku w zapasie materiału właściwego - zaspokojone jakimś materiałem zastępczym (dopuszczanym do zastosowania przez słu żby konstrukcyjnotechnologiczne), to z chwil ą „zwolnienia" dostawy przez komórkę odbioru ilościowo-jakościowego zapas danej pozycji materi ałowej jest od razu pomniejszany o wspomniany zapas Ujemny. Znacznie rzadziej zasygnalizowane przypadki wystę puią w handlu. Jeśl i w jednostce handlowej zaistnieje sytu· aCJa braku zapasu, klient po prostu poszuka innej hurtowni bądź sklepu detalicznego. Obok przedstawionych, klasycznych, spotyka się także inne modele sterowania zapasami, a zwłaszcza:
- model poziomu zamawiania w stałych cyklach, - model „s,S", - połączony model poziomu zamawiania i stałego cyklu zamawiania.
Rozdział 16. Modele zarządzania zaku pami
16 7
Model poziomu zamawiania w s t ałych cy· k Iac h z am a w i a n i a nie wymaga ciągłego monitorowania poziomu zapasu. Ma to miejsce jedynie w ustalonych punktach czasowych (odległych od siebie o okres monitorowania, odpo· w iadający optymalnemu cyklowi zamawiania R0 P1). Zamówie· nia (na stale ilości, zwykle odpowiadające optymalnej partii zakupu) są wystawiane jedynie w sytuacjach, gdy w punkcie monitorowania zapas kształtuje się poniżej poziomu zamawia~
nia A, ustalanego w sposób identyczny, jak w klasycznym mo· delu poziomu zamawiania.
W mod e I u „s,S" (zwanym też niekiedy modelem minimu· in-maksimum) zapas - podobnie, jak w omówionym powyżej modelu poziomu zamawiania w stałych cyklach zamawiania _ jest również monitorowany okresowo i również zamówienia uzupełniające są wystawiane jedynie w przypadku, gdy poziom zapasu w magazynie obniżył się do (lub poniżej) poziomu alar· mowego „s" (odpowiednik poziomu A). Inaczej jednak są usta· lane zamówienia uzupełniające. Stanowią one bowiem w tym modelu różnicę pomiędzy poziomem maksymalnym „S", a faktycznie posiadanym zapasem (identyczna zasada, jak w modelu stałego cyklu zamawiania). Optymalne cykle zamawiania oraz poziom maksymalny „S" są wyznaczane w znany sposób. Ostatnim modelem jest połączon y model po ziom u zamaw iani a i stałego cyklu zamawiania. Kwalifikuje się on do stosowania przede wszystkim w odniesieniu do szczególnie wartościowych i newralgicznych asortymentów materiałowych (zwykle niektórych pozycji zaliczonych - zgodnie z metodą ABC - do grupy A). Przewiduje on bowiem niejako podwójne zabezpieczenie przed sytuacją wyczerpania zapa· su. Zamówienia uzupełniające są wystawiane w przypadkach, gdy zapas w magazynie (powi ększony, jak zawsze o ew. dosta· wy w drodze) spadnie poniżej poziomu zamawiania A oraz w stałych, wcześniej wyznaczonych, punktach zamawiania (wszystkie niezbędne w tym modelu normy sterowania odpo·
Część
168
Rozdział 16. Modele zarządzan ia zakupa mi 169 Ili. ZARZl\DZANIE ZAKUPAMI
wiadają przedstawionym powyżej). Zasady działan ia tych mo
Rysunek 16. 7. Model poziomu zamawiania w s tałych cyklach
Rysunek 16.9.
Połączony model poziomu i stałego cyklu zamawiania Złat:enie zamówienla,
gd)'i:zapasporttej poziomu A
Pozlan
l-----..,==r--7'-:._,"'""r".__,.,~;.f--1"",..,.,..,.,...m-a~~a~S
l[_,_~,
Zapas
Zariechanle:z:latenlazamówlenla, g:tytzapasf)Jtencja \rr,irówny oozlOmO#lS
/
Pll"lr
/
Punktzamawlanla
~ C'yklzamaNiaria Rysunek 16.8. Model s,S
Zapas PoziCJTI
t----...---,<--"7'L--,--.-----makS"ymalrtf S
/
Punktzamawiaita
~
CyklzamaNiaria
~av.ianla ' '"
Rozdział 17. Szczególne przypadki zarząd zani a zakupami 171
malnej partii zakupu uwzględniająca obok kosztów tworzenia i utrzymania zapasów, również koszt ich ewentualnego wyczerpania (braku). Zarządzanie zapasami nietypowych części zamiennych - zastosowanie metody analitycznej do wspomagania decyzji: ile produkować bądź zamawiać części zamiennych do nie-
Rozdział 17. Szczególne przypadki zarządzania
zakupami
Celem rozdziału jest udzielenie odpowiedzi m.in. na następujące
pytania:
Jak zarządzać zakupami przy istnieniu ograniczeń kapitałowych?
Kiedy warto nabywać większe partie, aniżeli te, które wynikają z klasycznego rachunku optymalizacyjnego?
Jak wyznaczać optymalną partię zakupu uwzględniającą koszt braku (wyczerpania) zapasu? Jak ustalać partię produkcji części zamiennych do nietypowych urządzeń? W jaki sposób można wykorzystywać arkusz Excel do za. rządzania zakupami w pewnych szczególnych sytuacjach?
Podstawowe
pojęcia
Metoda mnożników Lagrange'a - metoda odnajdywania warunkowego optimum funkcji zmiennych decyzyjnych zależnych, stosowana m.in. do zarządzania zakupami grupy
towarów, przy istnieniu limitu dla Wartości ich średniego
zapasu (ograniczeniu
kapitałowym).
Analiza porównawcza cen zakupu - weryfikacja opłacalności
zakupu większej partii, aniżeli klasyczna partia optymalna, wobec możliwości uzyskania rabatu (opustu cenowego).
Rozszerzony wzór na optymalną partię zakupu - formula opty·
typowych maszyn i urządzeń. Zmiany systemu polityczno-społecznego ostatniego dziesiątka lat XX wieku dokonały całkowitego przewrotu w zasa· dach prowadzenia działalności gospodarczej. Można nawet powiedzieć, że zwrot nastąpił o 180 stopni Uednak nie o 360!, jak to się kiedyś rzekło pewnemu politykowi). Przykłady .te~~ spotykamy na każdym kroku. Jednym z nich moze być obfitosc towarów w sklepach. w czasach PRL-u i obowiązywania systemu rozdzielczego, wszechobecny był problem klienta: gdzie znaleźć, jak zdobyć potrzebną rzecz? Fakt, że dostawca nie dysponował jej za· pasem w żaden sposób nie rzutowała na wyniki jego firmy, a w konsekwencji - zarobki jej pracowników. Dzisiaj, zbyt częsty brak zapasu poszukiwanych towarów sprawi, że klient i sprzedawca gdzieś, bądź jakoś sobie pójdą: pierwszy do kan· kurencji, drugi ... „z torbami" . Płynie stąd wniosek, że w decyzjach o wielkości nab~a nej partii, obok kosztów tworzenia i utrzymywama zapas~w, wskazane jest, aby całkowity koszt zapasów uwzględmał row· nież koszt ich braku (wyczerpania). Dobrym przykładem, jak się w PRL-u zdobywało potrzebne
rzeczy jest następująca historia, w którą dzisiejszym młodym automobilistom (i nie tylko) trudno będzie uwierzyć. Chyba w 1970 roku musiałem pomyśleć o nowym akumulatorze do mojego „krążownika szos" marki Trabant 601. Wiedziałem, że kosztuje 370-380 zł. Wziąłem przeto 500 zł i zaszedłem do sklepu na Świętokrzyskiej przy Mazowieckiej. Wyczekałem
172
Część
Ili.
ZARZĄDZANIE
Rozdział
ZAKUPAMI
momentu, gdy byłem jedynym klientem i zwróciłem się du sprzedawcy w te słowa: - Żona dała mi 500 zł na kupno akumulatora i oświadczył11 że bez niego nie wpuści mnie do domu. Jak pan widzi, w panu rękach mój los. Sprzedawca poprosił mnie na zaplecze, zawinął akumułu tor w szary papier i nastąpiła transakcja. Gdy wychodziłem, kilka osób, które w międzyczasie weszły do sklepu, zagadn~l u mnie czy są akumulatory. Udając niemowę szybko wybiegł em na ulicę. I pomyśleć , że dzisiaj można je kupić w pierwszym lepszym (a nawet gorszym) supermarkecie ...
17 . Szczególne przypadki
zarządzania zakupami
173
Istotę i zastosowanie metody mnożników Lagrange' a ilustruje przykład pochodzący z praktyki gospodarczej I (Rysunek 17.1.). Rysunek 17. l. Dane i obliczenia dotyczące ~arządzania ~akupami mleka łowickiego w warunkach ograniczonego kapitału
Zarządzanie
zakupami przy ograniczonym kapitale Aczkolwiek funkcjonowanie firm produkcyjnych i handlowych wymaga posiadania zapasów odpowiednich towarów, to nadmierne ich wielkości mogą stanowić poważną groźbę bankructwa. Zamrożony kapitał przestaje bowiem przynosić dochód, możliwy do uzyskania przy innym jego zainwestowaniu. Zasada „od przybytku głowa nie boli" nie ma wi ęc charakteru bezwzględnie obowiązującej. Sposobem na uniknięcie nadmiernego przyrostu zapasów jest nałożenie na ich wartość pewnych ograniczeń, a metodą służącą temu celowi jest metoda mnożników Lagrange' a. W takiej sytuacji, zmienne decyzyjne (zamawiane partie poszczególnych towarów) są od siebie zależne, bowiem wielkość jednej - wobec istnienia łącznego finansowego ograniczenia na zapasy - wpływa na wielkość innych. Nie można zatem poszukiwać w tym przypadku tzw. minimum bezwzględnego, lecz warunkowego, czyli optimum spełniają cego nałożony warunek (ograniczenie kapitałowe dla średniej wartości zapasów).
Przykład
W
płockiej hurtowni artykułów spożywczych ISTPOL
postanowiono zmienić zasady zarządzania zakupa~1. s~e ściu rodzajów mleka, pod kątem utrzymania wartosc1 ich średniego zapasu nie przekraczającej kwoty 1300 zł. Dotychczas wartość ta wynosiła, jak to wynika z Rysunku (komórka Hl2), 1923 zł. · d Dla potrzeb metody oszacowano następująco odpowie nie elementy kosztowe:
Źródło: J. Garbol, Ograniczenia kapitałowe w ~terowa~uL za~~~n~i :;;~ toivni artykułów spożywczych, nGospodarka Materiałowa og1s y a
I
nr S
174
Część Ili. ZARU1DZAN IE ZAKU PAMI
Rozdział
- roczna stopa jednostkowego kosztu utrzymania zapasu r ; 10%, - koszt zakupu jednej partii K, ; SO zł. Przy dotychczasowej polityce zakupów, uwidocznionej na Rysunku 17.1., wiersze 6-12, roczny koszt utrzymania zapasu wyniósł około 192 zł (10% od średniej wartości za. pasu, komórka Hl2), zaś koszty tworzenia zapasów (IS. za. kupów - komórka D12 razy koszt zakupu I partii - komórka Cl S) - 7SO zł. Zatem łączne koszty zapasów rozpatrywa· nych 6. rodzajów mleka stanowiły kwotę 942 zł, co wynika z następującego rachunku: LKZ ;
ŁK,
+
1 7. Szczegól ne przypad ki za rzą d z an i a zak upa mi
my, otrzymamy
następujący
ostateczny wzór na wielkość tej
Formuły s łużące
obliczeniu optymalnych partii zakupu, dotrzymanie założonego limitu dla wartości zapasu, zostały przedstawione na poniższym Rysun· ku, będącym fragmentem ekranu Excela. zapewniających
średniego
Rysunek 17.2. Formuły oblicze ń dotyczącyc h ograniczenia zapasów
ŁKU ;S02:~ +O, 102.'l!fi'
czyli ŁKZ; SO· lS
+ 0,10 · 1923 ~ 942
zł.
Zgodnie z metodą mnożników Lagrange' a powyższe równanie należy przekształcić w następujące: LKZ;
ŁK, + ŁKU ;S02:~ + 0,102.'l!fi + i..(2:'!f!
-1300),
Dodany trzeci składnik, czyli 1..(2:~ - 1300), jest iloczy· nem mnożnika Lagrange' a (.l.) i założonego ograniczenia kapitałowego 2:'lfJ1; 1300. Mnożnikowi temu przypisuje się wartości: •
.l.; O, jeśli
•
). < O, jeśli 2:~ - 1300 ; O.
2:'lffi
-1300
Jak widać, iloczyn A(:l~-1300) przyjmuje zawsze war· tość zero. Aby znaleźć minimum funkcji ŁKZ' należy obliczyć pochodne cząstkowe ~ i !ff, przyrównać je do zera, a następnie - rozwiązując powstały układ równań - wyznaczyć wielkość optymalnej partii zakupu każdego i-tego wyrobu. Po wykonaniu tych działań, które pomija-
175
Końcowe
wyniki zawiera Tablica 17.1.
176
Część
Ili.
ZARZĄDZAN I E
Rozdział 17. Szczególne przypadki zarządzania zakupami 177
ZAKUPAMI
Tablica 17 .1. Optymalne decyzje dotyczące zarządzania zapasami mleka łowickiego uwzgl ędniające go ograniczenie kapitałowe Liczba zakupów
Rodzaj mleka i
- ni
3,2% 11
Wielkość
Średnia
jednego zamówienia qi
wartość zapasu q(ci
693
3,2%0,5 1
178
-----,--47 1 67 230
Odtłuszczone
1I
350
Odtłuszczo ne
0,5 l
294
103
403
268
244
161 1300
1,5%11 0,5%1 Razem
18
Łączne
koszty zapasów wyniosły obecnie I 048 zł (pierwotnie 942 zł), jednak oszczędnośc i powstałe z racji zmniejszenia średniej wartości zapasów (1923 - 1300 ; 623 zł) mogą zostać skierowane na inne, dochodowe cele. Po zaakceptowaniu omówionej metody przez zarząd hurtowni ISTPOL, została ona rozszerzona na inne wyroby, powodując w efekcie wzrost obrotów o 100 OOO zł'. Rabaty cenowe Kupując większe
partie towaru bardzo często możemy uzyczyli opust cenowy (rabat). Przykładem tego jest kupno jednego 200. gramowego słoika rozpuszczalnej kawy, za który zapłacimy mniej, aniżeli za 2 słoiki po I OO gramów. Zwiększenie, dla uzyskania niższej ceny jednostkowej, wielkośc i nabywanej partii zakupu ponad wynikającą z obliczeń optymalizacyjnych będzie rzutować na koszty zapasów i warskać niższą cenę jednostkową,
tość
się
mianowicie koszt tworzenia zapasu
spowodują
zmniejszenie liczby zakupów) nato-
zakupu. Zmniejszy
(w iększe
partie
Czytelnikom pragnących pogłębić swoją wiedzę o metodzie Lagrange'a polecam pracę: Da_vid W. Miller, Martin K. Starr, Praktyka i teoria decyzji, przeł. Andrzej Ehrlich, PWN, Warszawa 1971, s. 289 i dalsze. 2
miast zwiększy- koszt jego utrzymania (większy średni zapas). Jednocześnie jednak obniży się sama wartość zakupu, która _ ze względu na założenie jej niezmienności - nie jest uwzglę dniana w klasycznej formule Wilsona, prowadzącej do wyznaczenia optymalnej partii zakupu. Dla ustalenia, czy zakup większej, aniżeli potrzebna, partii będzie opłacalny, musimy dokonać pewnej analizy porównawczej . Przykład
Niech cena interesującego nas towaru wynosi 10 zł za sztukę. Jeżeli jednak zamówienie obejmie co najmniej !OOO szt„ sprzedawca udzieli opustu, obniżając ją o 5%, czyli do 9,50 zł. Rodzi się w związku z tym pytanie: czy w przypadku optymalnej partii zakupu mniejszej od wskazanej wielkości granicznej skorzystać z tej oferty? Odpowiednia analiza została dokonana w Excelu (Rysunek 17.3.). Rysunek 17 .3. Analiza porównawcza opłacalności skort.ystania z rabatu
178
Część
Ili. ZARZf\DZANIE ZAKUPAMI
Dane wejściowe, niezbędne do przeprowadzenia anali11 zapisane w obszarze BJ3:Bl 7. W celi BIS widnicj 1• optymalna partia zakupu 3 , obliczona według formuły zna1wl z Rozdziału 16. Jak wynika z obliczeń, przy cenie wyj ściowej (J0,00 zł), wa1 tość zakupu zgodnie z Oop< wynosi (komórka Bl9) 3162,28 zł , podczas gdy wartość partii z rabatem - 9500 zł (komórka B2 I), Teraz należy dokonać odpowiedniej analizy, przedstawionej na Rysunku 17.3 „ wiersze 23-35. Do tego celu wykorzystano na· stępujące formuły (Rysunek 17.4.). zostały
Rysunek 17.4.
Formuły
analizy zasadności nabywania partii 1OOO szt.
Rozdzial 17. Szczególne przypadki zarządzania zakupami
179
Przy rozpatrywaniu ewentualności nabywania wii;kszych partii należy jednak brać pod uwagę również inne czynniki. Najważniejszymi wydają się być możliwości magazynowe (zajdzie konieczność przechowywania większych zapasów) i ewentualne terminy ważności nabywanego towaru (szczególnie istotne w artykułach spożywczych) . Optymalna partia zakupu z uwzględnieniem kosztu braku zapasu Klasyczny, podstawowy wzór na optymalną partię zakupu uwzględnia jedynie koszty tworzenia i utrzymania zapasu. Pomijane są natomiast koszty braku (wyczerpania) zapasu. Jest on najtrudniejszy do oszacowania, gdyż obok utraty zysku na skutek nie sprzedania towaru, pojawia się element trudno uchwytny, którym jest pogorszenie opinii o firmie . Jeśli jednak oszacowania jednostkowego kosztu braku zapasu udało się dokonać, należy go włączyć do formuły optymalnej partii zakupu, której postać jest teraz następująca (Kb - jednostkowy koszt braku zapasu): , _ Q Q oplopt
yi + C,-rKb
Przykład
Jak widać, decyzja kupowania partii obejmującej I OOO szt. (co uprawnia do korzystania z rabatu), mimo iż jest ona prze· trzykrotnie większa od „normalnej" optymalnej , jest ze wszech miar uzasadniona. W planowanym okresie rocznym da to bowiem oszczędność ok. 616 zł na jednym towarze.
szło
3
Można ją także obliczyć,
jak wiadomo, z wykorzyslan iem opcji Solver.
Przywołamy w tym miejscu wielkość optymalnej partii zakupu obliczoną w poprzednim rozdziale. Jak pamięta my, Oopt była tam równa 490 szt. Jeżeli dla danych z tamtego rozdziału przyjmiemy koszt braku zapasu Kb ~ 3 zł, wówczas skorygowana optymalna partia towaru wyniesie 600 szt. (Rysunek 17.5.) .
180
Część
Ili. ZARZ!\DZANIE ZAKUPAMI
Rysunek 17.5. Obliczenie skorygowanej o koszt braku zapasu optymalnej partii zakupu
Rozdział 17. Szczególne przypadki zarządzania zakupami
181
się niełaskawy i zdarzy się awaria, wystąpią dodatkowe wydatki. Z jednej bowiem strony będą to wyższe koszty wytworzenia potrzebnej części (konieczność przerwania innej produkcji, tzw. przezbrojenie maszyn, ew. sprowadzenie niezbędnego materiału itp.), z drugiej zaś - zwiększone koszty transportu (przesyłka ekspresowa). Ponadto wystąpią straty z powodu unieruchomienia danego urządzenia.
Powstaje zatem następujący problem decyzyjny: jaki należy utworzyć zapas części zamiennych, aby zminimalizować ewen-
Formuła prowadząca do obliczenia Q'opt widnieje w wier-
szu edycji. Jak widać, skorygowana optymalna partia zakupu jest w tym p
zakupami części zamiennych Przy produkcji nietypowych maszyn i urządzeń (na ogół jednostkowej) powstaje problem części zamiennych. Mogą one być wy1warzane podczas produkcji samego urządzenia lub awaryjnie w przyszłości, gdy zaistnieje konieczność wymiany części (podzespołu, zespołu) na skutek jej zepsucia. Zrozumiałe jest, iż w pierwszym przypadku koszt wy1worzenia części zamiennej będzie niższy, ale jednocześnie zaistnieje ryzyko jej zbędności.
Gdyby jednak nie było zapasu wspomnianych części to tego typu ryzyka nie poniesiemy, ale gdy los okaże
oczywiście
tualną przyszłą stratę? Stopień jego dużej komplikacji wynika z nieznajomości liczby koniecznych przyszłych ich wymian, czyli potrzeb. Rozstrzygnięcie tego dylematu staje się łatwiejsze, jeśli dysponujemy, i takie założenie przyjmiemy, odpowiednimi danymi statystycznymi o liczbie wymian części identycznych lub podobnych, które zarejestrowano w przeszłości. Jest to więc sytuacja, w której dysponujemy empirycznym rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej będącej liczbą wymian danej części urządzenia, czyli - innymi słowy - jej zepsucia. Prawdopodobieństwo, że daną część zamienną trzeba będzie wymienić y razy (y = 0,1,2, ... ,N) będziemy oznaczać
przezp(y). Z kolei Kpb będzie wyrażać jednostkowy koszt wytworzenia części zamiennej podczas produkcji urządzenia (produkcja bieżąca), zaś Kpa - jednostkowy koszt produkcji awaryjnej (oczywiście Kpa >Kpb). Symbolem SP(q,y) będziemy oznaczać stratę ponoszoną przez producenta, powstającą podczas utworzenia (w trakcie produkcji bieżącej) zapasu q danej części zamiennej. Strata ta wyniesie: jeśli
y~q
jeśliy
>q
182
Część
Ili.
Tak więc
ZARZĄDZANIE
Rozdział
ZAKUPAMI
wartość oczekiwaną
EP(q,y) straty producenta wy
razić można następującą formułą:
17. Szczególne przypadki
zarządzania
zakupami
183
Rysunek 17 .6. Ustalanie optymalnych wielkości zapasu części zamiennej
ue1k WJa Wdck ws- Eormat Narzędzia Q;ll3 Qkno Po~ uD ~ liil ~I Oj@.~ I i ~ 8 ~I "' ~li t.li: f· ł + "'
Zapas q, tworzony przez producenta w trakcie produkcji bieżącej będzie minimalizował stratę, jeśli spełni warunek:
820
•I -(B16-B15+B17)/(B16+B17) '. wstaw hiperł<
•li
Kpa-Kpb
Prawd~podobieństwo pra;~~~~~::~:two
Fq- 1 <~sFą,
wym1an~0 razy -
Liczba wymian - Y
gdzie: Fą-I•
Fą
- dystrybuanty zmiennej y (zapotrzebowanie na daną część zamienną) , tj. prawdopodobieństwa, iż liczba wymian (y) nie będzie większa niż zapas - odpowiednio: q-1 i q. Z kolei przy podejmowaniu decyzji przez użytkownika nietypowego urządzenia o wielkości zapasu części zamiennej, należy brać pod uwagę następujące elementy: - cena zakupu części wyiworzonej podczas bieżącej produkcji urządzen ia - cpb• - cena zakupu części wyiworzonej awaryjnie - Cpa• - strata spowodowana przestojem maszyny - KP„. W tym przypadku strata ta (S„(q,y)) będzie równa:
S/q,y) = {cpb(q -y) (Cpa - C,b + K,„)(y- q)
jeśli y "q jeśli y > q
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1.00
Minimalizacji straty warunek:
możemy oczekiwać
przy zapasie q
Fą-t <
Cpa -C„b Cpa
+ KP„
+ Kpu
s
Fą.
Przykład
Na podstawie wieloletnich obserwacji ustalono rozkład prapewnej części (Rysunek 17.6„ obszar AS : B 10), a następnie - wykorzystując znane elementy kosztowe - wyznaczono odpowiednie zapasy części zamiennej. wdopodobieństwa zużycia
65 zl
K„= K,.=
96
c„= C~.
20
zł
72zl
150
=
zł
320zl
K,uZatem:
-rp.-· Cpa·Cpb+Kpu
spełniającym
009 0.25 059 0,86 0,97 1.00
O.D3
Kpa-Kpb _
I 19
wymian (d~;~ybuanta) -
0.09 0.16 034 027 0.11
~
0,32
; 0,85
Jak widać, optymalną decyzją producenta będzie utworzenie zapasu 2. szt. danej części zamiennej. Wynika to z faktu, Kpa- Kpb
.
. d
O 25
iż relacja kosztowa~= 0,32, zawartaiest mię zy ,
a 0,59, czyli, że dla skumulowanego prawdopodobieństwa wymian (kol. C) spełniony jest warunek:
184
Część
Ili.
ZARZĄDZANIE
ZAKUPAMI
< Kpa - Kpb
F
Kpa
q-I
.
s Fq, gdyz 0,25 < 0,32 < 0,59.
Natomiast z punktu widzenia użytkownika, właściwym za. pasem ~ęd~1~ za~"l 3. szt. Wynika to ze spełnienia nierówności
Fq-1 < pac : K pu s Fq' bowiem: 0,59 < 0,85 < O 86. pa
pu
'
F;rmuły prowadzące
do ustalenia prze stawwno na Rysunku 17. 7. Rysunek 17.7.
niezbędnych
Formuły ustal_a~ia op.lymalnych poziomów zapasów częsc1
zamiennej
liiii@fi@ij#@
Rozdział
zapasów
18. Zarządzanie zakupami grup towarów
rozdziału jest udzielenie odpowiedzi m.in. na napytania: Jak zarządzać zakupami grup towarów? Jak wykorzystywać arkusz Excel do łącznego zarządzania zakupami grup towarów?
Celem
stępujące
Podstawowe pojęcia Grupowa racjonalizacja zakupów - polityka
łącznego zarzą-
dzania zakupami grup towarów. 6 O 16
=C5+B6
~ g·~:
=C6+87
9 0,11 :g~:: O,D3 =C9+810 ~ ~ =S>l.JU1MAMA,(@Ei5:8i81m 5'. o1 ---r=>=f---
~
-#
13 65 1496 1 1572 16 150 17320 18 19 =(814-813\/814
20 =!816-815+817)/(816+817\
~•
T
Wśród
licznych przemian zachodzących we współczesnym do zagadnień społeczno-politycz. nych, obyczajowych, technologicznych itp„ rewolucyjny postęp obserwuje się w dziedzinie teleinformatyki. Dzisiaj wcale nie najbystrzejszy przedszkolak, korzystając z oferowanych przez nią możl iwości, szybciej prlekaże informację na drugą półkulę, aniżeli autorowi tej książki udawało się to pól wieku temu z Poczty Głównej w Zakopanem do Warszawy. Telefonia komórkowa, komputery o potężnych mocach i niewiarygodnej szybkości działania, Internet itp„ wtargnęły do naszych biur, przedsiębiorstw, domów. Dzięki nim stało się m. in. możliwe, tak .ważne z punktu widzenia procesów logistycznych, śledzenie ruchu pojazdu z oczekiwaną dostawą.
świecie, odnoszących się
186
Część
Równocześnie zmieniają się reguły obowiązujące na rynku oraz zasady współpracy partnerów i konkurentów w biznesie. Wyrazem tych ostatnich może być rozpowszechnianie się nowej zasady kupieckiej: „twój zysk to także i mój zysk" (win-win), stopniowo zastępuj ącej dominującą regułę: „twoja strata to mój zysk" (win-lose). Jednym z przejawów tego nowego podejścia stają się relacje między dostawcą a odbiorcą w łańcuchach logistycznych. W przeciwieństwie do nie tak znowu odległych czasów, dzisiaj na ogół ten pierwszy zabiega o „wzgl ędy" i przychylność partnera. Spośród licznych nowych form i zasad współpracy poszczególnych ogniw logistycznych, na podkreśleni e zasługuj e - większy bądź mniejszy - współudział dostawcy w kosztach zakupu ponoszonych przez odbiorcę . Potęguje to i tak już istniejące trudności z w miarę precyzyjnym ich oszacowaniem. Obok „czystych" kosztów związanych z samym fizycznym przemieszczeniem dostawy występują wszak płace pracowników, koszty posiadania powierzchni biurowych, wyposażenia stanowisk pracy itp. Podobnie zresztą rzecz się ma z kosztami utrzymania zapasu, o czym była mowa w Rozdziale 16. W sukurs logistykom przychodzi w tej sytuacji przedstawiona poniżej metoda postępowania. Na użylek praktyki można przyjąć, że koszty tworzenia i utrzymania zapasów wszystkich towarów zakwalifikowanych do grupowego zarządzania zakupami stanowią pewną stałą wielkość. A skoro tak, to wzór na optymalną partię zakupu można zapisać następująco Gak pamiętamy z Rozdziału 16.: P - prognoza rocznego popylu, K, - koszt zakupu jednej partii, r- roczna stopa utrzymania zapasu, C, - cena zakupu):
Q=-~=K-fE
vrc;
gdzie : K
=
Rozdział
111. ZARZl\DZANIE ZAKUPAMI
vc,·
~ - stała dla wszystkich towarów danej grupy.
18.
Zarządzanie zaku pami
grup towarów
187
z drugiej strony, wielkość partii zakupu można W przybliżeniu wyrazić jako iloraz prognozy rocznego popytu (P) i liczby wystawianych w ciągu roku zamówień (N), czyli:
Q =~
Po przyrównaniu obu wyrażeń dla Q i dokonaniu odpowiednich przekształceń, liczba zakupów dla jednego towaru wyniesie:
N=tv'F(,
.
.
Ponieważ stała K jest jednakowa dla wszystkich towarow zaliczonych do danej grupy, łączna liczba zamówień w roku będzie
równa:
w=hlJiC,,
z czego, po przekształceniach, otrzymujemy:
L,IPC,
K=~
Wykorzystując w ten sposób wyznaczoną wartość stałej
K,
możemy już obliczyć wielkości zamówień dla poszczególnych
pozycji. Wielkość ta (Ocac) dla i-tego towaru wyniknie bowiem
Przykład
W pewnym przedsiębiorstwie handlowym rozpatrzono
możliwość zastosowania przedstawionej metody w odnie-
sieniu do czterech towarów (liczbę asortymentów objętych wspólnym zamawianiem można, w zależności od potrzeb firmy, oczywiście zwiększyć). Obliczenia zostały wykonane w arkuszu kalkulacyjnym Excel, z wykorzystaniem opracowanych formul (zależności). Wyniki dotychczasowego zarządzania zakupami w roku 2002 wraz z odpowiednimi danymi wyjściowymi zostały przedstawione na Rysunku 18. I.
188
Część
Rozdział
Ili. ZARZ!\DZANIE ZAKUPAMI
Rysunek 18. I. Faktyczne rezultaty łączne go zarządzania zakupami wybranych towarów w 2002 r.
18.
Zarządzanie
zakupami grup towarów
189
Wykorzystując obliczoną wartość K, można już obliczyć racjonalne częstotliwości i wielkości łącznych zakupów rozpatrywanych towarów przy zastosowaniu wzoru Q;
=Kl.
Odpowiednie obliczenia przedstawiono na Rysunku 18.3. Do ich wykonania wykorzystano formuły pokazane na Rysunku 18.2. w obszarze B l l ... G 16.
Zastosowana polityka zakupów dla rozpatrywanych czterech pozycji skutkowała w roku 2002 r. łącznym średnim zapasem o wartości 1108,59 zł (komórka G?). . Chcąc zracjonalizować zakupy tych towarów należy, zgodnie z przedstaw10ną metodą, obliczyć wartość K, która w tym przypadku przy1mu1e wartość 10,16 (komórka E8). Formuły zastospwane do powyższych obliczeń przedstawiono na poniż szym Rysunku w obszarze B2...G8. Rysunek 18.2.
Formuły
zastosowane przy łącznym
grupą
zarządzaniu
czterech towarów
.~i;~
1E~~-EE
„.~
~ ,_„~
-;;·-
-;;·-
:a
-i
~'51
·-::·:;;- ::'.·~
Zastosowana metoda spowodowała zmianę struktury za-
mówień, tj. ich rozkładu w ramach niezmienionej łącznej licz-
by zamówień. Zaowocowało to obniżeniem wartości średniego rocznego zapasu do 1037,33 zl (komórka El6), czyli o 71,26 zl, przy K = \O.
Należy zauważyć, że możliwe jest zmniejszenie wartości stałej K. poprzez arbitralne narzucenie większej łącznej liczby zamówień w analizowanej grupie (np. l,N = 28 ), co automatycznie pomniejszy
wielkości zamawianych partii
(Q„J
Jednocześnie wzrośnie częstotliwość dokonywania zakupów. Spowoduje to, rzecz jasna, dalsze obniżenie wartości średnie go zapasu w całej grupie. !tak, na przykład, przyjęcie dla badanej grupy właśnie N = 28
obniży stałą K z I Odo 7, bowiem K = l'f!Jt- = ~~ 20
3
= 7.
W rezultacie zmniejszą się nabywane partie, a tym samym zwiększy częstotliwość zamawiania. Spowoduje to ukształto wanie
średniej wartości zapasu na jeszcze niższym poziomie,
190
Część Ili. ZARZĄDZANIE ZAKUPAMI
równym 716,39 zł. Sprawdzenie tych obliczeń, z wykorzysta mem _formul przedstawionych na Rysunku 18.2„ pozostawiam, Jako cw1czeme, Czylelnikom.
Rozdział 19. Jednookresowe zarządzanie
zakupami rozdziału
Celem stępujące
jest udzielenie odpowiedzi m.in. na na·
pylania:
Jak zarządzać tzw. jednookresowymi zakupami towarów, czyli dobrami o krótkim okresie „życia" (np. czasopismami)? Jak wykorzystywać arkusz Excel do jednookresowego zarządzania
zakupami?
Pod stawowe Jednookresowe
pojęcia
zarządza nie
o krótkim okresie ści
„życia" i
zakupami - zakupy towarów
w konsekwencji braku
możliwo
skorygowania wcześniejszego zamówienia; najczęściej
skutkuje to powstawaniem zapasu zbędnego bądź przeciwnie - jego braku, czyli niezaspokojonego popylu. Dotychczas omawiane metody zarządzan ia zakupami cepodejmowanych decyzji, co oznacza, że ze względu na długi „czas życia" wyrobu może on być kupowany w wielu kolejnych stadiach (przyszłych okresach). W odróżnieniu od tego, jednookresowe zarządzanie zakupami, w literaturze zachodniej określane mianem Newsboy Problem, odnosi się do towarów mających dość krótki termin przydatności . Przykładami takich towarów mogą być czasopi· sma (,,Gazeta żyje jeden dzień" - zwykł mawiać mój przyjaciel dziennikarl), bądź niektóre artykuły spożywcze (np. pieczywo).
chowała wiel ookresowość
192
Część
Ili. ZARZĄDZAN IE ZAKUPAMI
Decyzja o wielkości zakupu krótkotrwałego dobra na u; 111 lony okres (zazwyczaj na najbliższy dzień) w celu utworzeni; zapasu jest na ogół ostateczna. Nie ma tu więc możliwości do konania jej korekty w następnych okresach (stadiach). Wi ~k sza swoboda działania występuj e, rzecz jasna, przy dłuższych horyzontach cechujących to jedno stadium, pod warunkien1 jednak, iż dany towar będzie jeszcze osiągalny (pamiętajmy, że dla naszych dostawców również jest to towar o takim, jednookresowym charakterze zakupu). Na przyklad dla tygodnika, a tym bardziej mies ięcznika, istnieje - w przypadku nieoczekiwanie dużego popytu - możliwość dodatkowego sprowadzenia go do kiosku, podczas gdy dla dziennika już nie. Rozważając zagadnienie jednookresowego zarząd zania zakupami, czyli jednorazowego zakupu, należy pamiętać o zw ią zanych z tym konsekwencjach finansowych. Otóż zbyt mały zakup, a tym samym przyszła nasza podaż, spowoduje utratę pewnej części zysku Qeden z elementów omawianego wcześniej kosztu braku zapasu), zaś sytuacja odwrotna (nadwyżka podaży) - wywoła wręcz powstanie strat. Metodę rozwiązywania problemu jednookresowego zarzą dzania zakupami przedstawię na przykładzie pochodzącym z ks iążki A.Kaufmanna i R.Faure'go, Badania operacyjne na co dzień 1 • Przykład
Pewien paryski sprzedawca gazet, Teofrast, kupował gazety po 0,50 FRF, a sprzedawał po I. franku. Jego zysk na jednej gazecie wynosił zatem 0,50 FRF. W przypadku nie sprzedania gazety zwracano mu jedynie 0,20 FRF za każdy egzemplarz, czyli ponosił stratę 0,30 FRF (cena zakupu = 0,5 0 FRF - zwrot = 0,20 FRF). 1 Arnold Kaufmann, Robert Faure, Badania operacyj11e na co dzie11, przeł Anna Gosiewska, Anatol Gosiewski, PWN, Warszawa 1968, s.9 .
Rozd z iał 19. jednookresowe zarządzani e za kupami
193
Chcąc trafnej oceniać swoje decyzje, a w rezultacie osiągać większe zarobki, Teofrast przez 1OO dni notował liczbę sprzedawanych dziennie gazet. Wynikło z nich, na przykład , że w ciągu jednego dnia nigdy nie sprzedał 50 lub więcej egzemplarzy . Z kolei bywało, że udało mu się sprzedać tylko 2. gazety (najmniejszy odnotowany popyt). Jednak dominowała sprzedaż 20 egzemplarzy (ściślej od 15 do 24). Wyniki zaobserwowanej częstotliwości popytu (z dokład nością do 10 egzemplarzy) oraz spodziewane zyski, wynikające z możliwych wielkości podaży (ą) i popytu (y), przedstawiono na Rysunku 19.l., będącym ekranem Excela. Rysunek 19.1. Rozkład częstotliwości popytu na gazety w okresie 1OO dni oraz macierze dochodów, strat i zysków
194
Część Ili . ZARZĄDZAN I E ZAKUPAMI
Formuły zastosowane do powyższych obliczeń przedstawia Rysunek 19.2. Rysunek 19.2. Formuły do obliczenia częstotliwości popytu na gazety
oraz macierzy dochodów, strat i zysków dla wybranych wielkości popytu (y = O, I O, 40 i SO)
Rozdział
19 . Jednookresowe zarządzanie zakupami
195
w dłuższym horyzoncie czasowym. Paryski gazeciarz rozumiał bowiem, iż ważne jest, ile zarobi w c i ągu, na przykład, jednego miesiąca; rozpatrywanie zarobku w odniesieniu do tylko jednego dn ia nie ma większego sensu. Wyniki jego mozolnych rachunków (wtedy jeszcze nie mógł dysponować mikrokomputerem z zainstalowanym arkuszem Excel!) przedstawiono poniżej . Rysunek 19.3. Oczekiwane
średnie
róż nych
zyski przy nabywaniu
partii
Przykładowe obliczenie oczekiwanej wartości zysku sprzedawcy gazet przedstawimy dla podaży q = 30 i popytu y=20. Sprzedaż 20. egzemplarzy pr zyniesie dochód (dJ: d(y = 20) = 20 · 0,50 = JO franków,
ale jednocześnie, na skutek nie sprzedania JO. gazet (nadwyżka podaży), zaistnieje strata (s) w wysokości: s(q -y = JO) = 10 (-0,30) = - 3 franków. W rezultacie zysk wyniesie: z(q = 30, y = 20) = JO
+ (-3)
= 7 franków.
Wykorzystując p owyższe obliczenia, Teofrast okreś lił przypuszczalny wynik różnych wariantów decyzji dotyczących własnych zakupów (tj . podaży z jego strony), rozpatrywany
Jak wi dać, maksymalnego średniego dziennego zysku (8,60 franków) można się spodzi ewać przy podaży q = 30 egzempla rzy i taką partię postanowił nasz dzielny gazeciarz codziennie nabywać.
Rozdział 20. Zarządza nie zakupami ..
Rozdział
20.
Zarządzanie
poziom zerowy' (nieciągłość popytu), dostawy według opty· malnej partii spowodują przej ściowe występowanie zapasów nadmiernych. W rezultacie, zalegają one długo w magazynie i wywołują znaczne dodatkowe koszty ich utrzymania. Potwierdza to M. Christopher'. stwierdzając: „Tradycyjne koncepcje optymalnych ekonomicznie zamówień materiałów mogą często prowadzić do nadmiernych poziomów zapasów surowców, gdyż te ilości mogą nie odzwierciedlać zapotrzebowama
zakupami
w przypadku nieciągłości
popytu Celem
rozdziału
ze strony wytwarzania lub dystrybucji".
jest udzielenie odpowiedzi m.in. na na-
stępujące pytania: Jak zarządzać zakupami w przypadku, gdy potrzeby mają charakter sporadyczny (nie występują we wszystkich okresach planistycznych)? Na czym polega metoda Siłvera-Meała? Jak wykorzystać arkusz Excel do zastosowania metody Si-
łvera-Meała?
Podstawowe
pojęcia
Metoda Sivera-Mcala - metoda zarządzania zakupami w przy-
padku
nieciągłości
wielkościami
potrzeb, w której partie zakupów
zmiennymi,
obejmującymi różne
są
horyzonty
zakupu, wyznaczanymi odpowiednio do kształtowania się prognozowanego popytu lub planowanych potrzeb w ustalonych krótszych odcinkach (np. miesiącach) i kosztów związanych
197
z tworzeniem i utrzymaniem zapasów.
W sytuacjach, gdy obserwuje się brak ciągłości popytu (potrzeb), względnie - duże jego wahania, właściwą metodą zarządzania zakupami jest metoda E.A. Silvera i H.C. Meała 3 • Optymalne partie zakupów są - według wskazań tej metod - wielkościami zmiennymi, obejmującymi różne horyzonty zakupu. Horyzonty te są wyznaczane odpowiednio do kształto wania się prognozowanego popytu łub planowanych potrzeb w ustalonych krótszych odcinkach (np . miesiącach) i kosztów związanych z tworzeniem i utrzymaniem zapasów. Wprowadzimy następujące oznaczenia i założenia: 1. Przez y oznaczymy popyt w okresie l (t ~ 1,2, .. .,N), gdzie 1
N jest horyzontem planu (na przykład koniec grudnia dla okresu rocznego). 2. Dostawa zamówionych partii następuje na początku wyróżnionych krótszych okresów (na przykład miesięcy). 3. Cena zakupu jest niezależna od wielkości zakupu (dostawca nie udziela opustów).
Prowadzenie polityki zakupów według wskazań partii optymalnej jest właściwe dla popytu (potrzeb) o charakterze cią głym, czyli niezmiennie występującym w kolejnych okresach. W sytuacji, gdy popyt ten osiąga w niektórych okresach nawet
1 Jest to sytuacja charakterystyczna dla niektórych potrze~ materi~lowych zależnych, ustalanych na podstawie systemu MRP (Matenal Reqwreme11ts
;ia~~~f~·Christopher,
Strategia zarządzania dystrybucją. Praktyka logistyki biznesu, prLeł. Janina Kubka, Placet, Wars:ii:awa 1996, s.30 3 E.A. Silver, R. Peterson, op.cit., s.227-239.
198
Część Ili. ZARZĄDZAN I E ZAKUPAMI
Rozdział
4. Oszacowane koszty tworzenia i utrzymywania zapasów są stałe dla rozpatrywanego roku planowego.
5. Materiał jest nabywany indywidualnie. 6. Okres realizacji zamówień jest znany i stały. 7. Polityka zakupów zakłada ciągłość zaspokojenia popytu, tj. nie dopuszcza do zaistnienia syluacji wyczerpania zapasu. 8. Dostawy następują jednorazowo. 9. Koszt utrzyman ia zapasu odnosi się tylko do tej ilości , która pozostanie na koniec danego okresu t (tym samym bę dzie stanowi ć zapas początkowy w okresie t+ 1). 1O'. Zamówienie jest wystawiane jedynie wówczas, gdy poziom zapasu na koniec danego okresu osiągnie stan zerowy.
Rysunek 20.1.
zakupami..
A
C
I: ,_
zł
469,00
113,00 zł 0.20
zaś
koszt
Miesiąc,
12
miesięczny,
t
Ku,..wes .-
·1
u~
I
4 Koszt tworz.zap.Kz::
9 11
22,60
zł
1,88
zł
Potrzeby,yt 1
70
223
13
109
14
I
'.!lit&
5 Cena zakupu Cz= 6 Steca rocz . k.utrzvm. zap. r7 Rocznviednostkowv kó_sztutrzvmaniazaoasu,
'"; - Ku= r ·Cz !jest więc ~ó~y=
199
potrzeby na odkuwki
i ~ ę,
Przykład
tak więc roczny koszt utrzymania zapasu jednej odkuwki wynosi :
M i esięczne
Zarządzanie
Eormat fltarzędzia Q.ane Qkno PorrlO!;
Stosowanie metody przedstawię na przykładzie pochodzą cym z praktyki gospodarczej (potrzeby produkcyjne na odkuwkę w szt/mies iąc).
Koszty tworzenia i utrzymania zapasów zostały oszacowane w wysokościach : - koszt tworzenia zapasu K, = 469 zł, - jednostkowa cena zakupu C, = 113 zł, - stopa rocznego jednostkowego kosztu utrzymania zapasu r = 0,2,
20 .
1~ 75
1 16 17
' 18 1 19
I~
10 11 12
I 22 I 23 24
Razem
84
360 921
K„ = r · C, = 0,2 · 113 zł= 22,60 zł, zaś miesięczny:
Autorzy tej metody przyjęli za kryterium optymalizałąc zne koszty zapasów na usta loną j ednostkę czasu (np. dla rozpatrywanego horyzo ntu (T). Tak więc, gdyby jednorazowa dostawa nadeszła początku t = 1, pokrywając popyt do okresu T włącznie, to funkcja-krylerium przyjęłaby po stać (ŁKZJT(T) - łączne koszty zapasów na ustaloną jednostkę czasu): cji
mi esiąc)
Kształtowanie się mies ięcz nych potrzeb na odkuwki przedstawia poniższy Rysunek.
200
Część
ŁKZIT(T)
Rozdział 20. Zarządzanie zakupami..
111. ZARZ!\DZANIE ZAKUPAMI
Koszly zakupu + łącziie koszty utrzymania zapasu do końca T
T
.
Przy założeniu, iż dostawy nadchodzą na początku okresów I, optymalna polityka zakupów powinna zapewnić pełne zaspokojenie potrzeb w okresie, w którym nastąpiła dostawa i ew. kilku dalszych. Ostatnim analizowanym będzie zakup w okresie t = T. Wielkość partii zakupu zapewniającej zaspokojenie popytu w calym okresie objętym optymalnym horyzontem będzie równa (y, - przewidywany popyt w okresie 1): Q
=,f;,.
Jej dostawa musi t
oczywiście nadejść
na
początku
= I. Zgodnie z przedstawionym kryterium mamy
okresu
wyznaczyć
taki horyzont zakupu T, dla którego łączne koszty zapasów (tzn. ich tworzenia i utrzymania) na przyjętą j ednostkę czasu osiągną minimum. Łączne koszty zapasów (ŁKZ(T)), związane z zakupem na „pokrycie" popytu dla T okresów są oczywiście sumą kosztów tworzenia zapasów (K,) i kosztów ich utrzymania (K" = r · C,). Zgodnie z przyjętym kryterium chcemy wyznaczyć taki horyzont zakupu T, prą którym, jak już sygnalizowano, łączny koszt zapasów na jednostkę czasu (ŁKZJT(T)) okaże się najmniejszy. Koszt taki wyraża się zatem następująco:
ŁKZJT(T) = ŁKZ(T) = K , + r·C,
T
T
.
Przyjmuje się, że koszty utrzymania zapasów są liczone, jak wspomniano, dla tego zapasu, który „przejdzie" na następ· ny okres. Tak więc dla horyzontu zakupu obejmującego jeden okres (tj. dla T= 1):
ŁKZJT(I) =
f' =
Jeśli okaże się, iż
także ilości niezbędnej do pokrycia popytu w 2. okresie. Oznacza to przyjęcie horyzontu zakupów T = 2. W takim przypadku dojdą już koszty utrzymania zapasu przez jeden okres (mie· siąc). Dla przedstawionego powyżej przykładu, jednostkowy miesięczny koszt utrzymania zapasu jest, jak wynika z rys.20.1.
(komórka D9), równy: K,„mies. =
~ = l,88zł.
a zatem:
ŁKZJT(l)
K, + J ·y~-K„ mi<•.
469,00 + 1·;23·1,88
888;8
= 444,49 zł.
Teraz koszty tworzenia zapasów zostały rozłożone na dwa okresy, ale doszły koszty utrzymania zapasu przez jeden okres (l·y,·Ku,mio..J· z kolei dla T= 3, obok kosztu utworzenia zapasu na począt· ku pierwszego okresu, wciąż wystąpią koszty utrzymania za· pasu odpowiadającego y 2 dla jednego okresu, ale zapas utwo· rzony dla zaspokojenia popytu w trzecim okresie (tj. y3) będzie już utrzymywany przez dwa okresy. Według metody Silvera-Meala podobne obliczenia należy prowadzić do momentu, gdy zostanie znalezione takie ŁKZJT(T), dla którego po raz pierwszy wystąpi nierówność: ŁKZJT(T+ I) > ŁKZJT(T),
oznaczająca, że lączne koszty zapasów na jednostkę czasu zaczynają rosnąć. Z chwilą ustalenia takiego (optymalnego) ho· ryzontu zakupów (T), zamówienia dokonuje si ę, jak to było sy-
gnalizowane, według formuły :
=.t.Yt-
Q Wyniki
obliczeń
dla
różnych
horyzon tów
zakupu
(T= I, 2, 3, 4 i 5), dokonane w Excelu, zawierają Rysunki 20.2.
K, .
koszty tworzenia zapasu
201
są
znaczne,
wskazane jest rozważenie celowości włączenia do zamówienia
i 20.3.
202
Część
Ili. ZARZ'\DZANIE ZAKUPAM I Rozdział
Łącz~e koszly zapasów na jednostkę czasu dla pierwszego zamówi enia lilLł!!l&ffiiiff
Rysunek 20.2.
469.00
T-:-::-:-:t--+··-.j.._.__l
15 f--- Jy4 ·Ku ,rnies 4 J'5 ·Ku,rnies.
16
2
'* su!~:::~r=~ ~ ~_4.!_~,51 9
~Sr1dnikosztłl
469 .00
688
-i---.-
o.oo ::
r-: .981299.551299,55~
1i ~l!U·T~ i- ~ __!l3,~ ~4,89 ._372_,!!
=
Zd 01"'ł.--.!2!,sz!:_ --+--
-;--.-
20.
Za r ządzanie
zakupam i .
203
Okazuje się, że najniższy średni mies ięczny koszt tworzenia i utrzymania zapasów wystąp ił dla horyzontu T = 4 (Rysunek 20.2. komórka Jl9), tak więc pierwsze zamówienie (z dostawą na początku pierwszego miesiąca) powinno uwzględnić potrzeby na odkuwkę w miesiącach: I, 2, i 3. Zamówiona ilość (Q 1) będzie zatem równa:
Q1 = y 1 + y 2
+ y3 = 70 + 223 + 109 = 402 sztuki.
Podobne oczywiste obliczenia dla pozostałych miesięcy roku planowego, przyniosły następujące rezultaty: Q, Q,
= Ys = 75, = Y11 = 84,
Q4 = y 12 = 360. Ilości
wieniach (92 1 szt.).
zamówione w proponowanych czterech zamóoczywiście pokrywają łączne potrzeby roczne
Formuły powyższych obliczeń
przedstawiono na Rysun-
kach 20.4. i 20.5. Rysunek 20.4.
Formuły
zastosowane w metodzie Silvera·Meala
(dla pierwszego zamówienia)
Rozdz i ał 20. Zarządzanie zakupami .. 205 204
Część
Ili .
ZARZĄDZANIE
ZAKUPAMI
Warto Rysunek 20.5. Formuły zastosowane w metodz ie Silvera-Mcala (dla drugiego i trzeciego zamówienia)
zauważyć, iż mimo większych kosztów zapasów,
związanych
z zastosowaniem modelu .poziomu za::1:;~:·: ci !ość pokrycia potrzeb na odkuwki zostałaby w~statnim okresie (t = 12) wystąpiłby bowiem brak zapasu w
il~~i z~~~~~~enie
poznajmy wyniki faktycznego
zar~ądza-
. zakupami odkuwki, zakładającego zakupy w iloscrnch ~:kładnie odpowiadających prognozom popytu na na1bhzs_zy miesiąc. Otóż taka polityka przyniosła łączne koszty :a~::~:
ŁKZ = 2814 zł (6 dostaw przy zerowych zapasach n każdego miesiąca).
Z propozycjami decyzyjnymi przedstawionej metody warto rezultaty, na przykład, zarządzania zakupami wykorzystującego partię optymalną, wynoszącą w tym przypadku (obliczenia pomijamy) Q 0 , 1 = 196 szt., i poziom zamawiania (alarmowy) A = 189 szt. (uwzględniający jeden, czyli k = l, standardowy błąd prognozy w zapasie bezpieczeństwa). Zastosowanie tego ostatniego modelu przyniosłoby następujące rezultaty: - średni zapas w okresie planowym: s • 23 7, - liczba zakupów: n = 4, - łączne koszty zakupów: ŁK, = K, ·n = 469 · 4= 1876 zł, - łączne koszty utrzymania zapasów: l:K,, = 22,60· 237 =5356 zł, tak więc łączne koszty zapasów byłyby równe: ŁKZ = 1876 + 5356 = 7232 zł , a więc znacznie wyższe od ŁKZ ponoszonych przy zastosowaniu omówionej metody, równych 2706,55 zł (Rysunek 20.3 ., komórka E46). porównać
Rozdział
21. Symulacja zarządzania zaku pami
207
goś
rzeczywistego procesu lub efektu albo odtwarzanie jakiew rzeczywistości''. I Z kolei J.B. Gajda2 określa symulację jako „wprawianie modelu w ruch". Tak więc symulacja jest techniką stosowaną w zarządzaniu, obok, dotychczas omawianych, metod analitycznych. Wśród metod analizy procesu i eksperymentowania na nim, prowadzących do podjęcia właściwej decyzji, wyróżnia się: 1. Eksperyment na funkcjonującym systemie („żywym" organizmie gospodarczym), co, siłą rzeczy, jest nieracjonalne (długotrwałe, kosztowne itp.). 2. Eksperyment na modelu systemu. W tym drugim przypadku, w odniesieniu do zarządzania procesami logistycznymi, a więc i zakupami, wykorzystuje się model matematyczny, rozwiązywany - zgodnie z tym co powiedziano powyżej - bądź to metodami analitycznymi, bądź symulacyjnymi. Tak wiec symulacja umożliwia eksperymentowanie na modelu, co pozwala uniknąć kosztownych doświadczeń bezpośrednio w funkcjonującym przedsiębiorstwie . Prowadzone badania symulacyjne pozwalają uzyskiwać odpowiedzi na py· tania typu: „co będzie, jeśli ... ", czyli, na przykład, obserwować uzyskiwane efekty w wyniku wprowadzania dowolnych wartości zmiennych decyzyjnych. Możliwe jest także znajdowanie optymalnych, a co najmniej quasi-optymalnych, rozwiązań w złożonych sytuacjach, w których rozwiązanie analityczne jest bardzo skomplikowane łub wręcz niemożliwe. Niebagatelną sprawą w posługiwaniu s ię symulacją jest goś układu istniejącego
Rozdział 21. Symulacja zarządzania zakupami
C~Iem rozdziału jest udzielenie odpowiedzi m.in.
stępujące pytania:
na na
.
łacj~a czym polega, pomocna w podejmowaniu decyzji, symuJaka jest Istota symulacji Monte Carlo?
Car::~ Jak
wykorzystuje
się
liczby losowe w symulacji Monte
wykorzystywać arkusz Excel
z alru parni?
w symulacji
zarządzania
Podstawowe pojęcia Symulacja - eksperymentowanie na modelu systemu Sym1·ulobwalnie Monte Carlo - symulowanie icz y osowe.
Lic:~:~osowe - .liczby tworzone
za
wyko;zystujące
pomocą mechanizmu
Io·
wylos~:a:i:1ęc mające jednakowe prawdopodobieństwa
znaczne skrócenie czasu trwania eksperymentu.
. W
odróżnieniu od słownikowego, pejoratywnego, znacze-
j:';n~:~~~:n:~mulacja,
w odniesieniu do zarządzania ma o~o WR d 'k . pozytywny charakter. Jest to bowiem według . a z1 owskiego: „.. .naśladowanie za pomocą modelu jakie-
byłby
Jeśli
bowiem
on nawet możliwy w normalnej działalności gospodarczej, to chcąc uzyskać wiarygodne wyniki różnych wariantów
208
Część
Ili.
ZARZĄD Z ANIE
ZAKUPAM I
decyzyjnych dla, na p rzykład, okresu rocznego, musielibyśmy poświęcić problemowi kilka, a nawet kil kan aście lat. Oznacza to, że rezultaty naszych badań miałyby wył ączni e wartość „hi· storyczn ą", aczkolwiek historyków nie interesuj ącą. Tym cza. sem symulacja, przy wykorzystaniu komputera pozwala uzy. skać wyniki w znacznie krótszym czasie. Poni żej zostanie przedstawiony przykład symulowania me· todą Monte Carlo zarządzania zakupami. Pod stawą tej metody są tzw. liczby losowe, ujęte np . w tablicach liczb losowych bądź możliwe do wygenerowania za pomocą odpowiednich programów (w przykładzie będą one generowane przy użyciu arkusza Excel). Liczby losowe definiuj e s ię, jako : "... zbiory liczb stosowanych do wyboru prób losowych. S ą one określane za pomocą pos tępowa nia wykorzystuj ącego mechanizm losowy i w najprostszej postaci składaj ą s i ę z c ią gu cyfr od O do 9, występujących (na tyle, na ile można to sprawd zi ć) losowo z jednakowymi p rawdopodobieństwami " ·' Oczywiśc ie wcześ niej niezbędna będzie obserwacja bada· nego zjawiska i wykrycie prawidłowośc i nim rządzących , wy· raż anych m.in. rozkładami prawdopodobieństwa . Procedura symulowania metodą Monte Carlo została przedstawiona na poniższym Rysunku.
R ozd ział 21. Sym ul acja zarządza n ia zakupami
2 09
Rysune k 2 1.1. Etapy symulacji metodą Monte Carlo 1. Opracowanie skumulowanego rozkł ad u prawdopodob i eństw
2. Dobór
przedz i a łów
liczb
losowych do rozkładu sku mulowanego
I
l
3. Wybór liczb losowych
4 . Dobór wartości zmi ennych odpowiedni o do liczb losow ych
Przykład I Jak wynika z danych statystycznych, sprzedaż (y) pew· nego artykułu konsumpcyjnego - o krótkim okresie przy· datności do s pożycia - w ciągu I OO tygodni kształtowała się
nastę pująco Rysunek 21.2.). Rysunek 21. 2. Wielkość sprzedaży towaru i obliczenia niezbędn e do symulacji Monte Carlo
3 Maurice G. Kendal l, William R.Buckl and, Słownik tem1i116w
nych,
przeł. Mari an Kanton, wydanie II poprawione i rozszerzone, Warszawa 1986 , s. 84.
21 O
Część
Rozdział 21 . Symulacja zarządzania zakupami
Ili. ZARZl\DZANIE ZAKUPAMI
Rysunek 21.4. Symulowane wielkości popytu
Powyższy fragment arkusza Excel obejmuje dwa pierwsze etapy procedury Monte Carlo, tj. obliczenie skumulowane· go rozkładu prawdopodobieństw popytu (przyjęto faktyczn ie zaobserwowane częstości) oraz przypisanie im przedziałów liczb losowych. Ponadto wyznaczono środki przedziałów i ob· liczono średnią ważoną popytu (komórka G 12), niezbędną do uruchomienia procedury symulacyjnej; wagami są częstośc i występowania danej wielkości sprzedaży, wyrażane środkami przedziałów
C Tydzień(!)
do dokonania przedstawiono na Rysunku 21.3.
LOSQ'100
D
l~::li,'j~>k0~·w··:,-~rto:;śc:i;:·;-~··,':;· ;' •;1,,~p,';;.:";',,, ~ .\
0
49
y1•
Formuły niezbędne
211
· - - - 4.c1a -
~
;.;
powyższych obliczeń
Rysunek 21.3. Formuły wstępnych w symulacji Monte Carlo
obliczeń
Następnym krokiem jest wygenerowanie liczb losowych (LL), pozwalających na wyznaczenie wielkości popytu w poszczególnych przyszłych tygodniach t (horyzontem symulacji objęto 27 tygodni, co odpowiada około 6 przyszłym miesią com).
W przedstawionym fragmencie arkusza Excel wygenerowano liczby losowe wg formuły: =LOS(), przemnażając je następnie przez sto• (kol. B) i przyjmując do symulacji ich pierwsze dwie cyfry. Powyższa funkcja działa cyklicznie, skutkiem czego każdorazowy zapis w arkuszu powoduje zmiany generowanych liczb. Z tego też względu pierwszy zestaw tych liczb został skopiowany jako wartości do sąsiednich komórek kolumny C. Możliwy jest też inny sposób postępowania, polegaj ący na kolejnym generowaniu liczb losowych wyłącznie 4
Losowane liczby pochodzą z przedziału 0,00- 0, 99.
212
Część 111. ZARZl\DZAN IE ZAKUPAMI
dla jednego z symulowanych 27 tygodni (i następnie usunięciu funkcji, wykorzystanej już dla danego tygodnia). Ponieważ liczba losowa (LL) dla t = I wyniosła 49, to zgodnie z przyjętymi przedziałami wiel kości sprzedaży (Rysunek 21.2„ komórki: A7 -A ll ) i ich środkami (Rysunek 21.2, komórki: B7 - B 11)- przypisujemy jej liczbę 55. Innymi słowy, taki będzie symulowany popy! (ys,) w tygodniu t = I, podobnie w tygodniu t = 2 (LL = 48). Natomiast w I = 3, będzie on już równy 45 (LL = 28) itd. Mając wylosowane wielkości popytu dla wszystkich 27 tygodni, możemy przystąpić do właściwej symulacji zarządzania zakupami.
Rozdział 2 1. Symulacja za rządza ni a zakupami
malizację zysku :i:z, w dłuższym okresie, przy następujących cenach: cena zakupu c, = 20 zł, cena sprzedaży c, = 25 zł. Kryterium to jest więc określone następującą funkcją (y, - ilość sprzedana w okresie t, x1 - ilość zakupiona na okres t): z, = C5 · y, -Cz ·x 1 ;:: 25y 1 - 20xt Przebieg symulacji zarządzania zakupami obrazuje poniż
szy fragment arkusza Excel. Rysunek 21.5. Symulacja zarządzania zakupami według trzech przyjętych polityk
1. Wielkość zamówienia na następny tydzień (x 1+1) będzie równa faktycznemu popy1owi w tygodniu bezpośred nio go poprzedzającym (y,). 2. Wielkość zamówień będzie stała dla wszystkich tygodni, równa obliczonej na wstępie średniej ważonej (komórka G12:x1+ 1 = y = 55)5.
3. Wielkość zamówień będzie sumą połowy ostatnio odnotowanej wiel kośc i popy1u i połowy ostatnio zamówionej ilości (x 1+ 1 =0,5y1+0,5x,).
,„: ~:~~•5• ,:~
„,,„,„ ··-;:M'I "
Rozpatrzymy tutaj, wstępnie przyjęte, następujące trzy reguły (polityki zakupów), spośród których handlowiec chce wybrać najlepszą:
213
]r
~-t= SL
f
'f,f -=i~ ~- 1ł
b=I [[Iii l'l
·---r- -~r1;i1~ ~1:_ ~f__i;;i~-
, F _t~Jf13~
Kolumny D, G oraz J zawierają wcześniej zasymulowane Należy dodać, że wobec tygodniowego okresu ważności towaru6, każda niesprzedana ilość będzie stanowić stratę. Jako krylerium wyboru reguły postępowania przY.imiemy maksy5 Skąd znajomość po z = 27 w okresie poprzedzającym t = I? Ano trafił ~ię akurat wehikuł czasu, co pozwoliło „skoczyć" na chwilę do t = 28. Żarty zartami . ale nie o prognozowanie w tym przykładzie chodziło, lecz 0 przedstawienie istoty symulacji. 6 I z tego względu pomini<;to w symulacji „grę za.pasów".
wi elkości sprzedaży (popyt symulowany), wynikające z danych
przedstawionych na Rysunku 21.2. i liczb losowych. Z kolei w kolumnach E, H i K widniej ą partie zakupów (dostaw) obliczone odpowiednio do przyjętych polityk. Ostatnią czynnością prowadzącą do określenia efektywności wybranych reguł zarządzania zakupami jest obliczenie towarzyszących im zysków. Odpowiednie obliczenia zysków tygodniowych, wykorzystujące ceny zakupu i sprzedaży (na
214
Część
Ili.
ZARZĄDZANIE
Rozdział 21. Symulacja zarządzania zakupam i 215
ZAKUPAM I
Rysunku 21.2. komórki: D14 - c, i DIS - c,), zostały zawarte w obszarach: F35:F61, 135:161 oraz L35:L61. Ich sumy obliczono w komórkach F62, !62 i L62 . Łączne zyski towarzyszące trzem różnym politykom zakupów, będące rezultatem zsumowania zysków tygodniowych [funkcja dla reguły I: = SUMA(F35:F61)] wskazują, że najlepszą okazała się polityka 2 (stała partia zakupu równa wartości średniej). Przyniosła ona zysk w wysokości
23 775,00 zł, przewyższający zysk przy politykach J (18 925,00 zł) i 3 (18 060,00 zł). Na Rysunku 21.6. przedstawiono formuły wykorzystane do symulacji zarządzania zakupami wg polityki I. Formuły dla pozostałych 2 polityk są analogiczne. Rysunek 21.6. Fragment formuł symulacji zarządzania zakupami - według polityki I
Istotną - w omówionej symulacji zarządzania zakupami -
sprawą jest obliczenie tygodniowego zysku. Temu celowi służy następująca formuła (np. dla polityki 1 w tygodniu t = !): JEŻELI(D35 > E35;E35*($D$15-$D$14);(D35*$D$15)(E35-D35)*$D$14) Należy ją rozumieć następująco. Jeżeli popyt symulowany (ys 1) przewyższa dostawę w tym okresie (x 1), czyli dysponowany zapas, to zysk równy jest ilości sprzedanej (odpo-
wiadającej wielkości dostawy - x 1) pomnożonej przez różnicę pomiędzy ceną zakupu a ceną sprzedaży [z 1 =x 1(c, - c,)J. Natomiast jeżeli popyt symulowany (ys 1) jest mniejszy lub równy dostawie w tym okresie (x 1), czyli posiadanemu zapasowi, to zysk równy jest popytowi symulowanemu (ys 1), pomnożonemu przez cenę sprzedaży i pomniejszonemu o ilość niesprzedaną (różnica x 1 -ys 1), pomnożoną przez cenę zakupu c,, a więc: [z 1 = ys 1.c,-(x 1 -ys 1)c,]. Po wykonaniu analogicznych obliczeń zysku w kolejnych tygodniach, można ustalić sumę zysków (komórka F62) oraz średni zysk tygodniowy (wg formuły widocznej w komórce F63). W podobny sposób należy wykonać obliczenia dla pozostałych 2 polityk. Przykład 2 W przykładzie zostanie przeprowadzona symulacja
dwóch zmiennych: występującego w punkcie serwisowym tygodniowego zużycia pewnej części zamiennej (y,) oraz okresu realizacji zamówień przez dostawcę (L).
Prowadzona we wspomnianym punkcie ewidencja zuży cia pozwoliła na sporządzenie następującego rozkładu.
Rozdział 21. Symulacja 1arządzan\a zakupami 217 216
Część
Ili.
ZARZĄDZANIE
ZAKUPAMI
Tablica 21.1. Zaobserwowany rozkład zużycia części zamiennej (szt/tydzień)
Tygodniowe
zużycie
(y,)
Rysunek 21.7. Prawdopodobieństwa tygodniowe~o z~życi~ i długości okresu realizacji zamówień oraz odpow1adaJąCC im przedziały liczb losowych
Liczba przypadków (n,)
10 40 30 15
100
Razem
Jednocześnie, ze statystyk tych wynika, i ż okresy realizacji zamówi eń uzupełniających na rozpatrywaną część zamienną w analizowanej liczbie przypadków, obejmującej w sumie 100 tygodni, kształtowały się następująco (Tablica 21.2.).
Tablica 21.2.
Rozkład
okresów realizacji (w tygodniach)
Okresy realizacji w tygodniach (L)
zamówień
zamówień
Liczba przypadków (ni)
50 30 20 Razem
Wykorzystując
powiednich
100
arkusz kalkulacyjny Excel dokonujemy od-
obliczeń.
Postępowanie prowadzące do obliczenia prawdopodo-
bieństw i wyznaczenia przedziałów liczb losowych jest oczywiście identyczne z omówionym w przykładzie 1.
218
Część
Ili.
ZARZĄDZAN I E
Rysunek 21.8. Symulacja
Rozdział
21. Sy mul acja
zarządzania
zakupami
219
ZAKUPAMI
zużycia
i dostaw części zamiennej
Rysunek 21.9.
Formuły symulacyjne dla t = 1, 2 i 3
z odnie z zasadami modelu poziomu zamawiania, ~amó. g I ·1 ść (zapisane w komórce E2 l) zostaje wyw1eme na sta ą I o . za as w magazynie obniży się do stawione w momencie, gdy p k G21). Zostało to oziomu alarmowego (zapisanego w om 6rce . p . 1 . JEŻELI() widniejącą w kolumme wyrażone funkcją og1czną ' d . kazywać brak H Z kolei funkcja w kol. G ma za za ame wy z~pasu. Sytuacja taka zaistnieje wó~czas, gdy suma: zapas początkowy + dostawa okaże się mmejsza od potrzeb. Przedstawiony fragment arkusza Excel z symulacją zużycia (y,) i czasu trwania realizacji zamówień (L) jest wynikiem przyjęcia następujących wartości norm w zastosowanym modelu poziomu zamawiania: q = 17, A= 4. Osiągnięto to w S. kroku symulacji, której punktem startowym było przyjęcie : q = 20, A= S. Średni zapas w przedstawionym rozwią zaniu, podobnie, jak przy wyjściowym wyniósł 13 (komórka FS!), przy nieodnotowaniu w żadnym z nich przypadków braku zapasu (b, =O). Zastosowane w powyższej symulacji formuły dla t= 1,2 i 3 oraz podsumowania (wiersz SI) zostały przedstawione na Rysunku 21.9. części
Rozdział
22. Anali za procesów zakupu i zapasów
221
podejścia - błędnych wniosków, są wskaźniki procentowe (względne). Oddajmy w tym miejscu głos W. J. Reichmannowi': „Znak procentu wygodnie roztacza wokół siebie przekonywującą atmosferę solidności i ostateczności; czasem jednak używa się go w przypadkach, gdy jego solidność pozostawia poważne wątpliwości. Następujące zestawienie podaje liczby samochodów (wyrażone w tysiącach) przewożonych promami należącymi do Kolei Brytyjskich i samolotami w latach 1949 i 1958:
go
Rozdział 22. Analiza procesów zakupu i zapasów Celem stępujące
rozdziału jest udzielenie odpowiedzi m.in. na na-
pytania:
Do czego służy budżet zakupu i jakie są jego składowe? Na czym polega syntetyczna ocena wpływu zmian cen? Jak dokonuje się analitycznej oceny wpływu zmian cen? Jakie są mierniki analizy wielkości, struktury i produktywności zapasów? Jak wykorzystać arkusz Excel do analizy procesów zakupu i zapasów?
Podstawowe pojęcia
Budżet zakupu - dokument wyznaczający Urnit zakupów. Syntetyczna ocena wpływu zmian cen - porównanie wskaźni ka wzrostu cen wyrobów przemysłowych w cenach stalych, podawanego przez Główny Urząd Statystyczny, ze wskaź wartości zakupu materiałów w przedsię
nikiem wzrostu blorstwie. Analityczna ocena
wpływu
zmian cen - ustalenie
wpływu
zmian cen dla każdej pozycji materiałowej.
Główne mierniki produktywności zapasów - rotacja zapasów, długość cyklu obrotowego, zapasochłonność obrotu. Pożytecznym narzędziem ana! izy, aczkolwiek mogącym powodować powstawanie - w przypadku powierzchowne-
Koleje Samoloty
1958 jako % 1949
1949
1958
73,8
197,9
268
2,6
67,5
2596
pokazują. że w 1958 roku liczba samochodów przez samoloty była prawie 26 razy większa w roku 1949, podczas gdy w tym samym czasie koleje nawet nie potroiły swoich przewozów. Sam procent daje jednak fałszywe wyobrażenie przewagi, jaką rzekomo mają samoloty w ilości przewożonych samochodów. Szybkość wzrostu jest rzeczywiście niebywała: linie lotnicze dokonały ogromnego kroku naprzód. W istocie, zwielokrotniły one znacznie przewóz samochodów, ale liczby bezwzględne pokazują. że muszą w tej dziedzinie jeszcze wiele zrobić. Rok 1949 był dla nich pierwszym rokiem działalności, podczas gdy Koleje Brytyjskie przewoziły samochody już przez wiele lat przedtem. Porównywanie wzrostu przewozów liniami lotniczymi ze wzrostem przewozów koleją jest więc podobne do porównywania szybkości wzrostu niemowlęcia z szybkością wzrostu młodzieńca". Po tym „ostrzegawczym" wstępie powróćmy do zasadnicze-
Liczby te
przewożonych niż
go tematu.
Procesy i 1
strukturę
zarządzania
zapasów,
zakupami, rzutujące na poziom istotny wplyw na ekonomikę
wywierają
W.J. Reichmann, op. cit., s. 84-85.
222
Część
Ili.
ZARZĄDZANIE
ZAKUPAMI
firmy. W końcowym rachunku kształtują jej wynik finansowy i wzmacniają bądź osłabiają pozycję rynkową. M.in. z tych względów muszą one podlegać ekonomicznej weryfikacji i ocenie. Właściwymi narzędziami w tym zakresie są metody analizy ekonomicznej. Niektórym z tych metod jest poświęco ny niniejszy rozdział. Do wstępnej analizy zakupu wykorzystuje się zazwyczaj dane przedstawione na Rysunku 22.1., będącym fragmentem arkusza Excel. Demonstrowany przykład' dotyczy co prawda przedsiębiorstwa przemysłowego, ale podobne analizy powinny być wykonywane również w firmach handlowych.
Rozdział
22. Ana\iLa procesów zakupu i zapasów
223
Rysunek 22.2. Formuły obliczenia odchyleń
Rysun ek 22.1. Dane do wstępnej analizy zakupu
Warto w tym miejscu poświęcić kilka słów budżetowi zakupów. Wobec silnej presji płynącej z rynku, analizie procesów zakupu należy poświęcić szczególną uwagę. Procesy te są bowiem źródłem znacznej redukcji kosztów. Istotnym narzędziem jest tutaj budżet (plan) zakupu, wyznaczający jego limit. Celowi temu w przedsiębiorstwie pro-
Do obliczenia odchyleń wyników w roku badanym w porównaniu z poprzednim, jak również wielkościami planowymi, zastosowano formuły widniejące na Rysunku 22.2 .
Przy kład ten, podobni:, jak nas~ctp n e w tym rozdziale, pochodzą z pracy: Czes ław Skowronek, Zdzisław SaIJusz-Wolski, Logistyka w przedsiębiorstwie, wydanie IV, PWE, Warszawa 2008
2
dukcyjnym służ.y następujący wzór: M, ~ K.,. + Zk- Zp, gdzie: M, - wartość zakupu materiałów (limit), K.,, - koszty zużycia materiałów, Zp - wartość zapasu na początek okresu, zk - wartość zapasu na koniec okresu. Regułą jest, że w trakcie okresu objętego limitem we wszystkich jego elementach składowych występują odchylenia od wielkości zaplanowanych. Jest to skutek działania wszechobecnego przypadku (stochastyczny, czyli losowy charakter procesów społeczno-gospodarczych). Odchylenia te znajdują swoje odbicie w kształtowaniu zapasów na koniec okresu. Tak więc (M, - sprzedaż materiałów):
224
Rozdział 22. Analiza procesów zakupu i zapasów
Część Ili. ZARZĄD ZANIE ZAKUPAMI
Zk = M,
+ Zp-Km-M,
Znając powyższe zależności można ustalić wpływ poszczególnych czynników na wielkość zakupów.
Odnotowane wielkośc i bezwzględne, jak również wskaźn i
ki dynamiki i odchylenia od założeń planowych, pozwalają na dokonanie następującej wstępnej oceny: - wystąpiły istotne odchylenia od założeń planu produkcji i kosztów; na ich tle korzystnie kształtują s ię wskaźniki kosztów zużycia materiałów, a także - usług obcych, których udziały wynoszą: rok ubiegły: 65% (komórka C20), rok badany: 62% (komórka C21), wskazując tym samym na wzgl ędną ich
225
Przykład
W pewnym przedsiębiorstwie odnotowano wzrost wartości zakupu materiałów w dwóch kolejnych latach o 16%. Tymczasem, jak wynika z danych Głównego Urzędu Statystycznego wskaźnik wzrostu cen wyrobów przemysłowych wyniósł 108,5%. Dane te pozwalają na obliczenie wartości zakupu w cenach stałych, co zostało przedstawione na Rysunku 22.3.
obniżkę,
- odnotowano znaczne odchylenia od planowanej wielkości zakupu, co zarzutowało na poziom zapasów; przekroczenie planu zakupów o 800 tys. zł rozłożyło się na: - wzrost zużyci a materiałów - 300 tys. zł, - sprzedaż zapasów (zbędnych) - 300 tys. zł, - przyrost zapasów materiałowych - 200 tys. zł. Procesy zakupu rzutują na koszty działalności firmy poprzez następujące czynniki: - wartość zakupu, - koszty zakupu. W przedsiębiorstwie produkcyjnym wartość zużycia materiałów, a także ich zapasów bezpośrednio zależy od cen zakupu. Należy zatem dokonywać analiz, które pozwoliłyby uzyskać odpowiedź, jak ceny zakupu wpłynęły na kształtowa nie się kosztów zużycia materiałowego. Odnosi się to także do wszelkiego rodzaju nabywanych usług (np. transportowych, magazynowych). Wobec na ogół szerokiego asortymentu materiałowego stosowanego w przedsiębiorstwach produkcyjnych, zwłasz cza przemysłowych, ustalenia wpływu zmian cen dokonuje się zazwyczaj metodą syntetyczną. Przedstawimy ją na przykładzie.
Przedstawiony syntetyczny sposób daje ogólną, zagregowaną ocenę o wpływie cen na wartość zakupu, a w konsekwencji na koszty materiałowe. Precyzyjniejszą metodą jest metoda analityczna, pozwalająca na ustalenie wpływu zmian cen dla każdej pozycji materiałowej. Również i tę metodę przedstawimy na przykładzie (Rysunek 22.4.).
226
Rozdział 22. Analiza procesów zakupu i zapasów
Część Ili. ZARZĄDZAN IE ZAKUPAMI
Koszt zużycia konkretnego materi ału (K,,,) - komórki D 13 i El3 - jest iloczynem wielkości produkcji (q), zużyc i a jednostkowego (n) i ceny jednostkowej (p) . Odchylenie bezwzględne, liczone wed ług wzoru {;]( ; K 1 - K,,, 0 (komórka CIS), wyniosło 12 OOO zł. Jak wynika :~o~~ szego Rysunku, na odchylenie to złożyły s ię: - zmiana wielkości produkcji: 12 OOO zł (komórka Fl 7), - zmiana jednostkowego zużycia materiałowego : - l O OOO zł (komórka F18), - zmiana ceny jednostkowej: 10000 zł (komórka Fl9). Formuły prowadzące do powyższych wyników zostały przedstawione na Rysunku 22.5.
227
Rysunek 22.6. Dynamika i struktura zapasów
Rysu nek 22.5. Formuły obliczania wpływu różnych czyn ni ków na koszty materiałowe
°"'
Jl ~ e,-$ ''l" " =E10"E11"E12-E10"E11"012
t,
E
f• łl
il ri
Zarejestrowane dane ewidencyjne oraz wielkości planowe i obliczone wskaźniki pozwalają na sformułowanie m.in. następujących wniosków:
=E1 0"011"012-010•011 •012 18 19
=E10"E11"012-E10"011"012 =E10.E11 "E12-E10•E11•012
20 ~
22 23 24 25
w%
=F17 =F18 =F19 =SU
=022•100/$0$25 =023'100/10125 =024.100/$0$25 022:024 =SU 2:E24
Is totną sprawą są analizy • wielkości i struktury zapasów, a także ich produktywności. Przedstawimy je na przykładzie (Rysunki 22.6. i 22.7 .).
- założenia planowe zostały osiągnięte, a przeds iębiorstwo uzys kało korzystne relacje sprzedaży, majątku obrotowego i zapasów ; przy wzroście sprzedaży o 17 ,6 % w stosunku do roku ubiegłe go, wielkość majątku obrotowego pozostała na niezmienionym poziomie, a zapasy zmniejszyły si ę o 30%, - w roku badanym w porównaniu z rokiem ubiegłym zma-
lał udział zapasów w majątku obrotowym z 50% do 35%, - pozytywnie należy ocenić zmiany w strukturze zapasów, a zwłaszcza spadek udziału zapasów materiałowych na rzecz zapasów produkcji niezakończonej i wyrobów gotowych, jednak pewne obawy może wywołać spadek zapasów towarów i to powinno być poddane dalszej analizie. Dane zawarte w powyższym Rysunku pozwalają na obliczenie podstawowych mierników wykorzystania zapasów, czyli ich produktywności. Miernikami tymi są
228
Cz ęść
Ili.
ZARZĄDZANIE
- miernik rotacji zapasów W
Rozdział 22. Analiza procesów za kupu i zapasów
ZAKUPAM I
r
=L Mz '
229
Posłużyły do tego celu formuły widni ejące na Rysunku 22.9.
gdzie:
Rysunek 22.9. Formuły liczenia mierników produktywności zapasów
wr - miernik rotacji zapasów, P - obrót (sprzedaż) w skali rocznej , M, - przeciętny zapas; - długość trwania jednego cyklu obrotowego w dniach
W,= M,:60 -
zapasochłonność
obrotu .
W, =~' ; Mierniki produktywności zapasów dla przykładu przedstawionego na Rysunku 22.6 również policzono w Excelu (Rysunek 22.8.).
Wszystkie obliczone mierniki wskazuj ą na poprawę produktywności zapasów. Przedstawione mierniki pozwalają ponadto na ustalenie wielkości kapitałów zwolnionych bądź zaangażowanych w zapasach (ilMJ Do tego celu wykorzystuje się
6 ,8 24 25
9.4
11,4
14.7
10 .7
8,8
476,5
tys2i
Długoś ćcyklu, wskażn i kW r,d Zapasoc hłonność
obrotu. wskatnik w z
KwotakapitałówMOlnionyc h lub
26 zaan gażowanych
LlM,
wzór:
_ P M /J.M, -w_;;zl• 1
gdzie: P1 - obrót w okresie badanym, wr{) - miernik rotacji w okresie bazowym, M, 1 - przeciętny stan zapasu w okresie badanym. Jak wynika z obliczeń (Rysunek 22.8„ komórka C26), w badanych okresach dzięki zwiększeniu produktywności zapasów zaoszczędzono kwotę 476,5 tys.zł, którą można było przeznaczyć na inne cele.
![KG-200 bez tajemnic [1987-07]](https://docer.tips/img/300x300/kg-200-bez-tajemnic-1987-07_5ac32209d64ab25cacf1285e.jpg)
