T. Morawski - Teoria pola elektromagnetycznego

( 1. 10)

(1.11)

operator Hamiltona: V

0

#

•

0X

0 0v

•

.

0

•

( 1. 12)

W układzie współrzędnych prostokątnych: grad ę = V
(1.13)

div A = V •A

(1.14)

rot A = V x A

(1.15)

laplasjan skalarny = V2
(1.16)

laplasjan wektorowy = V2A = V(V-A)—V x V x A

(1.17)

Równanie linii sil pola (1.18) gdzie: A = A, i, + A2 i2 + A3 i3 — pole wektorowe, dl = /ij dqx ij + h2 dq2 i2 -f h3 dq3 i3 — linie sił pola Strumień wektora D przez powierzchnię zamkniętą s ograniczającą obszar V d> = # D d s

(1.19)

Twierdzenie Gaussa # D d s = JJJV -D dF s

(1.20)

¥

Cyrkulacja wektora H po krzywej zamkniętej C będącej brzegiem powierzchni s I = $H dl c Twierdzenie Stokesa

(1.21)

jH d l = ft(V x H )d s

(1.22)

C

s

Układy współrzędnych Współrzędne prostokątne x 0, y0, z0 punktu P są równe (1, 1, s/ l ) . a) Wykonać szkic perspektywiczny z oznaczeniem położenia punktu P; b) Znaleźć współrzędne cylindryczne (q0, ę 0, z0) oraz sferyczne (r0, 0o, cp0) tego punktu. Dane są współrzędne cylindryczne punktu P (1 Wyznaczyć współrzędne prostokątne oraz sferyczne tego punktu. Wyznaczyć współrzędne punktu P(x = 2, y = 3, z = 1) w układzie współ­ rzędnych prostokątnych x \ y\ z' otrzymanym po obrocie układu o kąt a = 30° wokół osi z. Obliczyć iloczyny skalarne wersorów: aj tx i i i2, t ■i ; b) te t , i iz, iz i ; w ir * i$9 i$ *i
v

•

v

*

r

r

•

•

«

# T

t

•

r

a) *V*V b) iz ■i#; C) *'e 'ri w punkcie o współrzędnych prostokątnych 11 l i i

Wyznaczyć współczynniki metryki krzywoliniowego ortogonalnego ukła­ du współrzędnych: a) prostokątnych; b) cylindrycznych; c) sferycznych. r

W punkcie P o współrzędnych prostokątnych (1,1, y / l ) dany jest wektor A = ix + iy + y/2 iz. Zapisać ten wektor w układnie współrzędnych: a) cylindrycznych; b) sferycznych.

1.8

1.9

Wyznaczyć macierz umożliwiającą obliczenie składowych wektora w układzie współrzędnych prostokątnych, jeśli znana jest jego postać w układzie współrzędnych cylindrycznych i odwrotnie. Wyznaczyć składowe wektora A = (x + y)iz w układzie współrzędnych n cylindrycznych w punkcie P( q = 2, ę = - , z 0 ). XI

VI 1.10 Przedstawić wektor A = — : H— j. y w układzie współrzędnych V X2 + y2 y /x 2 + y2 cylindrycznych. 1.11 Wyznaczyć macierz umożliwiającą wyznaczenie składowych wektora w układzie współrzędnych prostokątnych, jeśli znana jest jego postać w układzie współrzędnych sferycznych i odwrotnie. 1.12 Dany jest wektor K = 3xi —2yix. Wyznaczyć współrzędne sferyczne tego n wektora w punkcie r0 = 3, 0o = - i q>0 = ji.

y

1.13 Przedstawić wektor A +

x 2 + y2 + z2 x

» .,+

y jx 2 + y2 + z2 *

i, w układzie współrzędnych sferycznych. J x 2+ y2 + z2

1.14 Przedstawić wektor K = —5rcos2dir + 5rsindcos9i0 w układzie współ­ rzędnych prostokątnych.

Analiza wektorowa 1.15 Dane są wielkości skalarne, wektorowe i tensorowe: 3, E

K = 2, V‘2 0 0

0 1 0

0 0 1

ix -(- 3i + 2iz, E4

'

h

=

1 1 0

•

1 1 0

0 0 1

«x+«z '

Wśród podanych niżej działań wybrać poprawne pod względem matema­ tycznym i obliczyć: a) b) c) d) e) f)

Vx + V2; Ei + E* Vl + 16; K ■E4; E3• E4; E3 x E4;

g) E3 •(E4 x E3); h) E4 •e5; i) e5 ■E4; j) Vl E3 + V2- E4; k) V2-E3- V\ • E4; 1) K1 F2- E 3 E4

1.16 Wykazać, że iloczyn (A x B) •C jest równy objętości równoległościanu określonego przez wektory A, B, C, mające wspólny punkt zaczepienia. 1.17 Dowieść tożsamość |A x B|2 = |A|2|B|2-(A -B )2 1.18 Wykazać, że jeżeli (A x B) + (Bx C) + (C x A) = 0, to wektory A, B, C leżą w jednej płaszczyźnie. 1.19 W obszarze półprzewodnika znany jest wektor indukcji elektrycznej D = 2- 10- 9ejt

O

3 2 7L

1.20 Obliczyć pochodne wersorów:

a

)

b)

c)

oę

d A . d) d
oę

die e) 00’

®*r.

„ dig

00’

11 s -

1.21 Wyznaczyć prędkość przemieszczania się punktu P leżącego w płaszczyź­ nie z = 0, którego położenie jest opisane w układzie współrzędnych cylindrycznych przez wektor r = g (t)it . 1.22 Punkt porusza się wzdłuż toru: r = 2, 6 =

TC

6 Prędkość poruszania się punktu wynosi V0 = 30 m/s. Obliczyć przyspie­ szenie.

1.23 Dane jest pole skalarne: / = x 2 + y2 + z 2 oraz pola wektorowe: F = (x+ y) ix + ziy + y 2iz R = xix+ y i y+ z i t. Obliczyć a) V/, e) V x F; b) V F; 0 V (VxF); c ) V (f-F ); g )V (R x F ); d) V •(iy x F); h) V (R F). 1.24 Obliczyć rot A i div A, jeżeli: a) A = x(ix + iy); b) A = c) A = 2 (rir - it - 2i„); d) A = ir+ ri9. 1.25 Wykazać, że: a) V x (V«p) = 0; b) V(V x A) = 0. 1.26 Udowodnić następujące tożsamości: a) V(axę>+ a2^) = ot,•V

• = tp • + \// • V; b) V2r; c) V2( f r ) . 1.28 Obliczyć: a) V
Badania pól skalarnych i wektorowych 1.29 Wyznaczyć kierunek najszybszego wzrostu pola skalarnego ę = x 2 + + y2 + z2. Wykonać obliczenia dla punktu P0(x0 = 4, y0 = 3, z0 = 0). 1JO Przestrzeń pewnego pomieszczenia opisano przy pomocy układu współ­ rzędnych prostokątnych. W punkcie P o(20 m, 15 m, 2 m) zmierzono temperaturę T(P0) = 312 K, oraz gradient VT(P0) = 1 K/m(ix + iz). Wy­ znaczyć w przybliżeniu temperaturę w punkcie P,(21 m, 14 m, 3 m). ą U l Dipol elektryczny wytwarza pole wektorowe E = ------j (2 cos 0ir + sin Oi0).

Wyznaczyć linie sił pola oraz wykreślić linię przechodzącą przez ptmkt P0(r0 = ^

, (p = 0).

1.32 Prąd płynący w długim i cienkim przewodniku wytwarza pole magnetyczne . . . . H = - — i . Wyznaczyć linie sił pola oraz wykreślić linię przechodzącą 2kq n przez punkt P0(q0 = 2,
1.33 Obliczyć strumień wektora położenia r przez powierzchnię kuli o pro­ mieniu r0 = 5. 1.34 Obliczyć strumień wektora z poprzedniego zadania przez powierzchnię sześcianu o boku a = 5, wiedząc, że trzy krawędzie sześcianu pokrywają się z dodatnimi półosiami układu współrzędnych prostokątnych 0xyz. 1.35 Obliczyć strumień wektora A = y 2ix + 2x 2iy + 3 (z + 5) iz przez powierzch­ nię kuli o środku w punkcie P (0,0,0) i promieniu r0 = 2. 1.36 Obliczyć strumień wektora A = xyzix —yiy —x i2, wypływający z prostopa­ dłościanu o boku jednostkowym, którego krawędzie pokrywają się z dodatnimi półosiami układu współrzędnych prostokątnych. 1.37 Powtórzyć obliczenia z zadania 1.36 dla wektorów: a) K = —2r cos20ir + 2r sin 0 cos 0i9; b) N = 3p cos2ę ie —3q cos
gdzie: H

Wyznaczyć prąd płynący w przewodniku, jeśli w odległości Q0 = 10 cm zmierzono natężenie pola |H0| = 10 A/m. Z uwagi na brak danych dotyczących przewodnika zastosować twierdzenie Stokes’a. 1.39 Obliczyć cyrkulację wektora A = 5yix —2xiy po okręgu: x = cos (p i y = sin
przecięciem się powierzchni n n. eo , oraz
r0 = 2 z płaszczyznami n n n - dla a < - . 2 3

1.41 Obliczyć cyrkulację wektora A = (2 + y) ix po drodze wyznaczonej przez boki kwadratu o długości /, z których dwa leżą na osiach x i y.

2 Równania Maxwella Siła elektromotoryczna d<ł> dl gdzie — strumień wektora indukcji magnetycznej B przez powierzchnię s Równania Maxwella w postaci całkowej

Pole elektryczne zaindukowane wskutek ruchu w polu indukcji magnetycznej (prawo Lorentza) E = Vx B

(2.4)

Równania Maxwella w postaci różniczkowej V xE =-— Ot

(2.5)

0D V x H —J fl + J d - J ,+ ^

(2.6)

VD =

q

(2.7)

VB = 0

(2.8)

Równania materiałowe — dla ośrodków izotropowych B = pH = fiwp0H D - eE - ewe0E

pQ= 4ti • 10“ 7 [H/m]

(2.9)

£° ~ 367110 9 *-F//m-^

(2.10)

J , =
•

(2.11)

— dla ośrodków anizotropowych B = jiH

(2.12)

D = śE

(2.13)

J , = SE Warunki brzegowe

(2.14)

n x ( E2- E 1) = 0

(2.15)

« ( D 2 —Di) =

es

(2.16)

« x (H2- H 1) = { ° (Js dla a = oo

(2.17)

n( B2—Bj) = 0

(2.18)

gdzie n wersor normalny do granicy ośrodków, skierowany od ośrodka pierwszego do drugiego.

Właściwości ośrodków W obszarze półprzewodnika dany jest wektor indukcji elektrycznej D = 2ej“''-. Znaleźć wektor natężenia pola elektrycznego, jeżeli wiadomo, że półprzewodnik jest materiałem anizotropowym o przenikalności die­ lektrycznej danej tensorem:

—j3

0 j3 l 1 0 0 2J

f

Podać wartość chwilową natężenia pola elektrycznego w chwili cot0 = 60 = 90°. W namagnesowanym bezstratnym ferrycie, którego właściwości opisuje tensor Poldera: "1 0 H = Ho 0 n .0 j Ha dany jest wektor

0 ' - iH a H .

H = 1,+ j i , Określić wektor indukcji magnetycznej w ferrycie. Obliczyć kąt między wektorami B i H. Znaleźć wektor natężenia pola magnetycznego H oraz gęstość prądu przesunięcia J 4 w ośrodku anizotropowym o tensorze przenikalności magnetycznej (t = Ho

2 j3 0" —j3 2 0 0 0 1

oraz konduktywności a = 0, w którym wektor indukcji magnetycznej B = n0 sin(ax) (j6ix+ 4^) r

Obliczyć kąt między wektorami E i D w ośrodku, którego tensor przenikalności elektrycznej '1 0 0 ' o 0 1 0 0 0 4

Obliczyć maksymalny kąt między tymi wektorami, jeżeli: a) E = E ^ + JS ji* ; b) E = E2iyZinterpretować otrzymane wyniki.

Prawa indukcji 25

Znaleźć różnicę potencjałów powstającą na końcach skrzydeł samolotu, który leci poziomo w polu magnetycznym Ziemi z prędkością u = = 900 km/h. Składowa pionowa pola magnetycznego Ziemi wynosi H = 40 A/m, a rozpiętość skrzydeł sam olotu 1 = 24 m (rys. 2.1).

B Rys. 2.1. Sam olot przecinający linie indukcji m agnetycznej

2.6

Znaleźć różnicę potencjałów powstającą na końcach anteny samochodo­ wej o długości i = 1,2 m podczas ruchu samochodu w polu magnetycznym Ziemi. Składowa pozioma natężenia pola magnetycznego Ziemi wynos' H = 16 A/m, a prędkość samochodu v = 20 m/s (rys. 2.2).

Rys. 2.2. Usytuowanie anteny samochodu w polu magnetycznym ziemi

2.7

Kwadratowa ramka o boku a obraca się z częstotliwością to w magnetycznym o indukcji B prostopadłym do osi obrotu. Obliczy elektromotoryczną zaindukowaną w ramce. Rozważyć dwa przypa a) B = B0 iB = const; , b) B = B0sin (otiB.

2.8

Przewodnik o długości / zamykający ramkę prostokątną porusza się z pręd­ kością v = viy. Ramkę umieszczono w polu magnetycznym o indukcji B = B0 cos (otix prostopadłym do jej powierzchni (rys. 2.3). Obliczyć siłę

Rys. 2.3. Bok ramki poruszający się w polu magnetycznym J t

elektromotoryczną zaindukowaną w ramce. Rozważyć trzy przypadki: a) v = const; b) v — 0; c) v = at, v0 = 0, a — przyspieszenie.

Warunki istnienia pola elektromagnetycznego 2.9

Posługując się zapisem zespolonym zbadać, czy wyrażenie sinrn E = E0 — —cos (cut —Pq) ie

może opisywać pole elektryczne. 2.10 Wektor indukcji pola magnetycznego w pewnym ośrodku nieograniczo­ nym i bez źródeł B = B0 y cos (tut —ftz) iz Wykorzystując rachunek liczb zespolonych sprawdzić, czy może istnieć takie pole elektromagnetyczne? 2.11 Czy może w próżni istnieć pole elektromagnetyczne, którego wektor E = A sin (kz —cot) i,? 2.12 Przy jakiej wartości parametru a może istnieć w ośrodku o parametrach (i, e, a — 0 pole elektromagnetyczne, którego wektor H opisany jest zależnością H = A sin ax sin
2.14 Obliczyć względną przenikalność elektryczną ew bezstratnego materiału dielektrycznego, w którym może istnieć pole elektromagnetyczne o wekto­ rze natężenia pola elektrycznego E = 1000 sin (106t —0,012)1^

[V/m]

Obliczyć wektor natężenia pola magnetycznego. Zagadnienie rozwiązać posługując się rachunkiem liczb zespolonych. 2.15 Amplituda zespolona pola magnetycznego w próżni wokół pewnej anteny sin0 H = Ho e~j/?ri0 Obliczyć, jaki musi być współczynnik /?, aby pole to mogło istnieć. W rozważaniach pominąć te składniki pól, które w mianowniku posiadają potęgi r większe od jedności. 2.16 Natężenie pola elektrycznego w próżni wyraża się zależnością E = iye ~ ix- Vt)2 [V/m] Określić, przy jakiej wartości parametru v może istnieć takie pole elektromagnetyczne oraz obliczyć natężenie pola magnetycznego.

Określanie właściwości pól elektromagnetycznych 2.17 Określić natężenia pól E i H w próżni, znając gęstość prądu przesunięcia J d = J 0 cos (cot —[iz) ix 2.18 W materiale o parametrach (aw = 1, i:w = 2, a — 0,05 [l/f2m] stwierdzono, że prąd przesunięcia i d = 2* 10~2cos (ajt —fiz)ix [A/m2] a prąd przewodzenia = 10^ 2 sin (cot —(iz)ix [A/m2] Określić natężenie pola elektrycznego i magnetycznego wywołane przez te prądy oraz częstotliwość, przy jakiej zachodzi to zjawisko. Przyjąć, że 1

2.19 Solenoid, po dołączeniu do generatora prądu zmiennego o pulsacji co, wytwarza indukcję magnetyczną o amplitudzie B0 = 100 T. Określić natężenie pola elektrycznego wewnątrz solenoidu zakładając, że jego oś pokrywa się z osią z układu współrzędnych. Założyć, że solenoid jest nieskończenie długi. 2.20 Obliczyć prąd przesunięcia i prąd strat w ośrodku o parametrach zw ~ 2, fiw = 1, a — 10-4 [l/Qm], jeżeli wektor pola elektrycznego w tym ośrodku E = sin (otix [V/m]

Obliczenia wykonać dla dwóch częstotliwości: / , = 50 H z,/2 = 109 Hz. 2.21 W ośrodku o parametrach fiw = 2, ew = 4 jest dany wektor natężenia pola magnetycznego H - l(T 4cos(3* 109t - f i y ) i x [A/m] Obliczyć natężenie pola elektrycznego oraz gęstość prądu przesunięcia wykorzystując rachunek liczb zespolonych. 2.22 W przewodniku nieferromagnetycznym E = 10~4e~ 1O0°*cos(105t —1000x) iv [V/m] Obliczyć wektor natężenia pola magnetycznego, gęstość prądu strat oraz przewodność materiału. 2.23 Znaleźć wielkość siły elektromotorycznej V zaindukowanej w kwadratowej pętli o boku jednostkowym, której dwa boki pokrywają się z osiami x i y (rys. 2.4). Pętla jest umieszczona w polu elektrycznym E = E0 sin (cot —fix) iy

Rys. 2.4. Położenie pętli w polu elektrycznym

Obliczyć strumień wektora indukcji magnetycznej przepływający przez tę pętlę. 2.24 Natężenie pola elektrycznego w betatronie E = a - i * a = const Q

Obliczyć natężenie pola magnetycznego w betatronie oraz sprawdzić jego właściwości. 2.25 W pewnym ośrodku wektor natężenia pola elektrycznego _ /sin 0 . . \ Ł{t) — I — ~ ir + r sin0 cos(piyJcos(o)t- (ir) 2

Znaleźć rozkład gęstości ładunków, które to pole wytwarzają. 2.26 W niejednorodnym dielektryku przenikalność dielektryczna wynosi t: = t:0 (sin x -f cosy), natomiast natężenie pola elektrycznego E —

= E0 (cos xi x+ sin yiy). Określić przestrzenny rozkład ładunku w dielek­ tryku. 237 Wykazać, że w ośrodku liniowym jednorodnym i izotropowym, bez prądów wymuszonych, ładunek o gęstości q maleje wykładniczo ze stałą czasową eja {o — przewodność ośrodka, e — stała dielektryczna ośrodka). Wykazać, że z pierwszego i drugiego równania wadzić równania trzecie i czwarte przy założeniu słuszności prawa cią^ości ładunku.

Warunki brzegowe 229 Płaszczyzna z = 0 jest granicą dwóch ośrodków dielektrycznych o nastę­ pujących parametrach:

1, z < o, = 2, n*! ” ij 2. r ^ 0, £„2 = 1* x 2. Tuż przy powierzchni w ośrodku 1 dane są wektory pola Ei = ś ,-3 » ,+ 2 iI [V/m] Hj = 2ix- 3 i y+ iz [A/m] Znaleźć wektory D 2 i B2 w drugim ośrodku, jeżeli na granicy z = 0 gęstość ładunku powierzchniowego wynosi q, = 2e0 [C/m2]. Obliczyć kąty, jakie tworzą z płaszczyzną rozdziału ośrodków wektory Dj i D 2 oraz B, i B2. 130 Powierzchnia graniczna między dwoma ośrodkami o parametrach /iwl = 2, £wl = 1, fiwi = 1, ew2 = 2 jest płaszczyzną, z którą w ośrodku 1 wektor H , tworzy kąt «. Określić kąt /?,jaki tworzy z płaszczyzną graniczną wektor H 2 oraz jego długość wiedząc, że w pierwszym ośrodku wynosi ona I H J - lt A /m ] . 231 Płaszczyzna x —0 jest granicą dwóch ośrodków. Drugim ośrodkiem jest próżnia. W pierwszym ośrodku tuż przy granicy rozdziału natężenie pola elektrycznego E1 = 2 i , - 3 i , + >/ 3 i x [V/m] Po przejściu do próżni długość wektora E wzrosła razy. Przyjmując, że na granicy nie ma ładunków *i#<**^ stałą dielektryczną pierwszego ośrodka oraz wektor pola elektrycznego w drugim ośrodku. 232 Płaszczyzna o równaniu

x+ y = 0 jest granicą dwóch ośrodków. Pierwszym ośrodkiem jest próżnia, w któ­ rej wektor natężenia pola magnetycznego tuż przy płaszczyźnie rozdziału = ix+ i , + i , [A/m] «

0

Rys. 2.5. Powierzchnia rozgraniczająca dwa ośrodki

Znaleźć wektor indukcji magnetycznej B2 w drugim ośrodku wiedząc, że /*w2 = 4 i o 2 - °133 Płaszczyzna y = 0 jest granicą dwóch ośrodków. W pierwszym ośrodku przy granicy wektor indukcji magnetycznej = i,H + * '* [V •s/m2] Przy przejściu do drugiego ośrodka długość wektora wzrosła n-krotnie. Wiedząc, że pierwszym ośrodkiem jest próżnia oraz że w płaszczyźnie rozdziału nie płyną prądy, obliczyć przenikalność magnetyczną drugiego ośrodka oraz wektor B2. 234 Po nieskończonej i bardzo cienkiej płycie metalowej pokrywającej się z płaszczyzną y = 0 umieszczonej w próżni (rys. 2.6) płynie prąd o gęstości J, = 2iz [A/m] Określić wektory H i B wywołane przez ten prąd w pobliżu płyty.

Rys. 2.6. Usytuowanie płyty z prądem powierzchniowym

235 W płaszczyźnie x = 0 umieszczona jest cienka płyta dielektryczna nałado­ wana ładunkiem o gęstości:

Qt = 10-4 [C/m2] Określić wektory E i D w pobliżu płyty, jeżeli znajduje się ona w próżni.

236 W kondensatorze kulistym z uwarstwionym dielektrykiem (rys. 2.7) pole elektryczne

gdzie: i — 1, 2, numer warstwy, C — stała.

Rys. 2.7. Kondensator kulisty z dielektrykiem uwarstwionym

Dobrać stałe C, (i = 1, 2) tak, aby spełnione były warunki brzegowe, jeżeli na wewnętrznej kuli o promieniu r = a jest zgromadzony ładunek 4jc • 10“ 5 C. Dielektryk pierwszy przy wewnętrznej powierzchni kuli ma parametry £, = 2e0, /i, = n0, drugi — e2 = 9e0, fi2 = /i0. #

231 W ośrodku o parametrach ew2 = 9, nw2 = 2 umieszczono walec z materiału o parametrach ewl = 6, fiwl = 1. Oś walca pokrywa się z osią z układu współrzędnych, a jego promień wynosi q = 2 m. Wewnątrz walca pole elektryczne ma postać F * ’ i y - l 1 1 ~ (x2 + y2)V2 ** (x2 + y2)312 31 (x2 + y2)1/2 Obliczyć wektor indukcji elektrycznej tuż nad powierzchnią boczną walca. 2.38 Kula z materiału o e = 2e0 i fi = 3fi0 oraz promieniu R = 1jest umieszczo­ na w próżni. Natężenie pola elektrycznego wewnątrz kuli Ey = K + ifl) ej“' Znaleźć wektory indukcji elektrycznej i magnetycznej w powietrzu tuż przy powierzchni kuli wiedząc, że na jej powierzchni istnieje ładunek o gęstości e, = 24“'2.39 Dla przypadku stacjonarnego przepływu prądu w ośrodku przewodzącym (
3 Zależności energetyczne w polu elektromagnetycznym Gęstość objętościowa mocy traconej P, P4 =

E -J = o|E|

(3.1)

1

(3.2)

Gęstość energii magazynowanej w polu E w = ^D E

(3.3)

we = ^R e{E -D *}

(3.4)

e

2

Gęstość energii magazynowanej w polu H _ 1 BH w 1~ 2

(3.5)

wm = ~Rc {B* ■H}

(3.6)

Wektor Poyntinga S= ExH

(3.7)

S = ExH*

(3.8)

S = ^Re{ExH*}

(3.9)

Równanie Poyntinga SD SB V (E x H )+ E -J + E — + H ^ - = 0 Sr Sr

(3.10)

Równanie bilansu mocy średniej Re { § (E x H *) ds} + JJf (E-J*)dV = 0

(3.11)

Gęstość energii, gęstość mocy traconej, wektor Poyntinga 3.1

W przewodniku nieferromagnetycznym o o = 107 [ 1/firn] natężenie pola magnetycznego H = 2iye“ll+j)2*,0‘GJ‘+T z)

[A /m ],/= 108 Hz

Obliczyć zespolony wektor Poyntinga, jego wartość średnią oraz średnią gęstość mocy strat w przewodniku.

3.2

Dla pola elektromagnetycznego, którego wektor pola elektrycznego E — E0 sin (ot sin fizix Obliczyć: a) wartość chwilową i średnią wektora Poyntinga; b) wartość chwilową i średnią gęstość energii elektrycznej i magnetycznej; c) sumę gęstości energii elektrycznej i magnetycznej. Wykreślić wartości chwilowe wektora Poyntinga oraz gęstości energii elektrycznej i magnetycznej dla z = 0, z = rc/4/?

3.3

Założyć, że fala rozchodzi się w próżni. W płasko-równoległym rezystorze przedstawionym na rys. 3.1 wewnętrzną

I

l

"z x=®

Płyta stratna

/

i

y Rys. 3.1. Rezystor płasko-równoległy

płaszczyznę stanowi nieskończenie cienka płyta o przewodności
dla y > 0 a związane z nim pole magnetyczne dla y < 0 dla y > 0 Obliczyć (na jednostkę długości rezystora w kierunku osi x): a) średnią wartość wektora Poyntinga; b) średnią moc rozpraszaną w płycie;

3.4

3.5

c) całkowitą moc traconą na ciepło. Wykreślić linie sił pola elektrycznego, linie ekwipotencjalne oraz linie sił wektora S. Znaleźć wyrażenie opisujące pole elektryczne anteny z zad. 2.15. Pomijając w strefie dalekiej od anteny (r > 2) składniki zawierające r w potędze wyższej od jedności, obliczyć średnią wartość wektora Poyntinga (tzw. gęstość mocy promieniowaną przez antenę). Obliczyć moc traconą na ciepło w jednostce długości przewodnika mosiężnego o promieniu g = 3 cm, jeżeli płynie w nim prąd o gęstości J = 10 “ 4 e"* cos (lot + kq) i z [A/m2]

3.6

Przewodność właściwa mosiądzu wynosi a = 1,57 - 107 [1/fi-m ]. Korzystając z wektora Poyntinga obliczyć moc wydzielaną w oporniku walcowym wykonanym z materiału o przewodności
ć

Rys. 3.2. Opornik walcowy z prądem

3.7

W próżni rozchodzi się fala płaska, której wektor pola elektrycznego wyraża się wzorem: a) E (t) = ix Ex0 e"**'-■W; b) E(t) = ivEy0 ej (" '+<,z>; c) E(t) = (4ix + 8iy) eJ fiz>; d) E ( ł ) = ( i x + 2 jiz) e j( "" +

e) E(t) = [41, + (1 + j) U ej ^ +*XK

3.8

Określić w każdym z tych przypadków zespolony wektor Poyntinga, chwilowy rzeczywisty wektor Poyntinga oraz średnią w czasie powierzch­ niową gęstość mocy. W ośrodku o danych o- ~ 0, nw = 18, f.w = 2 w dodatnim kierunku osi Oy rozchodzi się fala o częstotliwości/ = 2 MHz. Wektor H przyjmuje w chwili t = 0 i w płaszczyźnie y = 0 swą największą wartość: a) H (0,0) = 2ix [A/m]; b) H (0,0) = i. fA/ml:

c) H (0,0) = (ix+ g

[A/m].

Określić wektor zespolony H(y,t), zespolony wektor Poyntinga oraz średnią powierzchniową gęstość mocy (korzystając z zespolonego wektora Poyntinga), 3.9

Określić średnią w czasie i maksymalną gęstość energii elektrycznej, jeżeli wektor pola elektrycznego wyraża się wzorem: a) E (t) = ix & ““ ♦'w [V/m]; b) E (t)= j* ,e j<“‘+M [V/m]; c) E(t) = (ix+ j g e j<<0,+^ ) [V/m]. Stała dielektryczna ośrodka e = 8e0.

3.10 W przestrzeni nieograniczonej istnieje pole elektromagnetyczne, którego wektor E E = (£xo *jc+ Ey0 iy) e ~ifiz Wykazać, że pole to ma właściwość przenoszenia energii. 3.11 Dane są dwie jednorodne fale płaskie, których wektory pola elektrycznego .

w

,

Ei = E l e~1~*ix

rozchodzą się jednocześnie w tym samym ośrodku. Udowodnić, że dla cot # w2 wartość średnia strumienia mocy jest sumą średnich wartości strumieni mocy niesionych przez każdą z fal. 3.12 Określić w punkcie (0,0,0) gęstość energii magnetycznej fali, której wektor H wyraża się zależnością a) H(t) = 3ix ej b) H(t) = 2iyei ^ ,- fz); c) H (t) = (ix + iy)e* <"*“ Fala rozchodzi się w ośrodku żyrotropowym scharakteryzowanym ten­ sorem 1 j 0 -j 1 o /» = A‘o 0 0 2 3.13 W sześcianie o boku jednostkowym (umieszczonym w początku układu współrzędnych) wykonanym z rzeczywistego dielektryka o s = 4e0, H = n0, stwierdzono, że przy częstotliwości / = 10 GHz pole elektryczne

f"

J

E = 2 exp —(0,67t + j ^ jt • 102) z ix [V/m] Wychodząc z bilansu mocy średniej (traconej na ciepło i dostarczanej przez pole) znaleźć przewodność a dielektryka.

4 Elektrostatyka Siła działająca na ładunek znajdujący się w polu elektrostatycznym E F =
1 9x92. 2 *r 4ne r

— odległość między ładunkami I — wersor w kierunku r Bezwirowość pola elektrostatycznego r

§Edl = 0

lub

Vx E = 0

Prawo Gaussa §D ds = 9 Jeśli ładunek q rozłożony jest w obszarze s z gęstością przestrzenną g, to zgod­ nie z prawem Gaussa mamy

# D d S = fJfVDdK = n f (?dE v

V'

V

stąd V D =

q

Zależność między wektorami D, E, P D = f:E = £0£WE = e0E + P gdzie h — bezwzględna przenikalność elektryczna t:w — względna przenikalność elektryczną £„ =

107 ^ —

471c

2

[F/m] = 8,85* 10"12 [F/m]

Wektor polaryzacji P

AV gdzie: p = qlit — moment dipolowy dipola o ładunkach + qi —^oddalonych o /; i; — wersor przechodzący przez oba ładunki o zwrocie od —ą do +q. Wektor polaryzacji P jest proporcjonalny do pola E w ośrodkach liniowych P = coZE y — podatność elektryczna Potencjał skalarny U pola elektrostatycznego E Ponieważ V x E = 0 to istnieje U takie, że V(7 = —E

Potencjał jest określony z dokładnością do dowolnej stałej C U = - jE d f + C Jeśli ładunek jest rozmieszczony w obszarze skończonym z gęstością g, to przyjmuje się, że potencjał w nieskończoności jest równy zeru. W punkcie P potencjał jest określony zależnością

v gdzie r jest odległością między punktem P i punktem wewnętrznym obszaru elementarnego d V. Jeśli gęstość ładunku jest skończona, to potencjał jest funkcją ograniczoną, ciągłą o pochodnych skończonych. Warunki brzegowe dla pól E i D na granicy ośrodków o przenikalnościach sx i e2 " ( D j - D j ) = gs

n x (E2 —Ej) = 0

gdzie n — wersor normalny do powierzchni rozgraniczającej ośrodki, skiero­ wany z obszaru / do obszaru 2; Qs — gęstość powierzchniowa ładunków na powierzchni rozgranicza­ jącej ośrodki. Równanie Poissona i Laplace1a W ośrodkach jednorodnych liniowych i izotropowych potencjał U spełnia równanie Poissona Q e Gdy

q

= 0 równanie Poissona przechodzi w równanie Laplace’a

V2U = 0 Wyznaczenie potencjału sprowadza się do rozwiązania równania Poissona lub Laplace’a przy spełnieniu określonych warunków brzegowych. Energia zmagazynowana w polu elektrostatycznym E D dV Pojemność odosobnionego ciała przewodzącego <1 U Pojemność układu dwóch ciał przewodzących

2

gdzie ą — ładunek na jednym z przewodników; U x—U — napięcie między ciałami przewodzącymi. 2

4.1 4.2

4.3

4.4 4.5 4.6

Wyznaczyć pole elektryczne wytworzone przez dipol elektryczny o ła­ dunkach + q i —q odległych od siebie o odległość /. Ładunek dodatni q jest równomiernie rozłożony na pierścieniu kołowym o promieniu a. Obliczyć potencjał i natężenie pola elektrycznego w punktach leżących na osi pierścienia. Ładunek dodatni jest równomiernie rozłożony na dysku kołowym o pro­ mieniu a z gęstością powierzchniową qs. Obliczyć potencjał i natężenie pola elektrycznego w punktach leżących na osi dysku. Obliczyć pole elektrostatyczne i potencjał wokół kuli metalowej o pro­ mieniu R naładowanej ładunkiem q. Kula jest umieszczona w próżni. Obliczyć pojemność metalowej kuli o promieniu R = 10 cm. Przestrzeń między okładzinami płaskiego kondensatora wypełniono rów­ nomiernie rozłożonym ładunkiem z gęstością objętościową q . D o okładek dołączono stałe napięcie U0 (rys. 4.1). Wyznaczyć potencjał U i pole E między okładkami. Naszkicować zależność potencjału i modułu pola elektrycznego od odległości od jednej z okładek.

Rys. 4.1. Kondensator płaski

4.7

4.8

Dwie równoległe metalowe płyty naładowano ładunkiem przeciwnego znaku z gęstością powierzchniową qs. Między nimi znajduje się płyta dielektryczna o przenikalności ew i grubości d. Zakładając, że odległość między płytami / jest mała w porównaniu z poprzecznymi wymiarami płyt obliczyć: a) pole elektryczne Ex w obszarze między płytami, pole E2 wewnątrz płyty dielektrycznej i pole £ 3 w obszarze poza płytami metalowymi; b) napięcie między płytami metalowymi; c) energię układu na jednostkę powierzchni płyt; d) pojemność układu na jednostkę powierzchni płyt. Przyjąć dane gs = 5 • 10“ 8 [C/m2], sw — 2, d ~ 5 mm, / = 2 cm. Dwie równoległe metalowe płyty naładowano ładunkiem tego samego znaku z gęstościami powierzchniowymi qx i q2. Między nimi znajduje się płyta dielektryczna o przenikalności względnej t:w i grubości d. Zakładając, że odległość między płytami / jest mała w po­ równaniu z wymiarami płyt obliczyć:

a) pole elektryczne Ei w obszarze między płytami metalowymi, pole E2 wewnątrz płyty dielektrycznej i pole E3 na zewnątrz płyt metalowych: b) napięcie między płytami metalowymi; c) energię między płytami na jednostkę powierzchni płyt; . d) pojemność układu na jednostkę powierzchni płyt. Przyjąć dane (?1 = 2-10-8 [C/m2], e 2 = 5 1 0 ~ 8 [C/m2], 1 = 2 cm, d = 5 mm, ew = 2. 4.9

Ładunek q został równomiernie rozłożony wzdłuż prostoliniowego od­ cinka o długości /. Obliczyć potencjał w pobliżu przewodnika i wyznaczyć równanie powierzchni ekwipotencjalnych. 4.10 Obliczyć natężenie pola elektrostatycznego pochodzącego od ładunku rozłożonego równomiernie na odcinku prostoliniowym o długości /. 4.11 Obliczyć pojemność przewodzącej elipsoidy obrotowej o półosiach a i b, a > b. 4.12 Płaszczyzna z = 0 rozdziela dwa ośrodki. Gdy z > 0 ośrodkiem jest próżnia, gdy z < 0 ośrodkiem jest dielektryk o przenikalności względnej ew = 2. Wektor pola elektrycznego w próżni E, = iv—3i_ [V/m] Wyznaczyć wektory E2 i D 2 w dielektryku. 4.13 Obliczyć pole elektrostatyczne i potencjał pochodzący od nieskończenie rozległej płyty dielektrycznej o grubości a i przenikalności f.„, naładowanej elektrycznie ze stałą gęstością przestrzenną go = const (rys. 4.2).

Rys. 4.2. Płyta dielektryczna naładowana równomiernie rozłożonym ładunkiem

4.14 Nieskończenie rozległa płyta dielektryczna o grubości 2a i przenikalności elektrycznej względnej £w została naładowana ładunkiem elektrycznym. Gęstość ładunku zmienia się skokowo wewnątrz płyty od wartości —gQ dla - a < z < 0 do wartości + £ 0 dla 0 < z < a (rys. 4.3). Znaleźć pole elektryczne i potencjał wewnątrz i na zewnątrz płyty. Należy przyjąć U — 0 dla z — —a. Naszkicować zależność U i Ez w funkcji z.

Rys. 4.3. Płyta dielektryczna naładowana ładunkiem o gęstości zmieniającej się skokowo

4.15 Gęstość ładunku przestrzennego w płycie dielektrycznej z zadania 4.14

zmienia się liniowo w funkcji z, g — — z, g0 = const. Znaleźć pole Ez i potencjał U wewnątrz i na zewnątrz płyty. Naszkicować zależność Ez i U w funkcji z. Przyjąć, że U = 0 dla z = —a. 4.16 Gęstość ładunku przestrzennego w płycie dielektrycznej z zadania 4.14 zmienia się sinusoidalnie w funkcji z, g = £0 sin — , g0 = const. Znaleźć a pole Ez i potencjał U wewnątrz i na zewnątrz płyty. Przyjąć, że U = 0 dla z — —a. 4.17 Obliczyć pole elektryczne wewnątrz i na zewnątrz kuli dielektrycznej o pro­ mieniu R i względnej przenikalności elektrycznej £H,umieszczonej w próżni. Kula jest naładowana równomiernie rozłożonym ładunkiem z gęstością objętościową g0. Zadanie należy rozwiązać: a) korzystając z prawa Gaussa; b) rozwiązując równania Poissona i Laplace’a. 4.18 Obliczyć energię pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz dielektrycznej

kuli o promieniu R i względnej przenikalności elektrycznej ewnaładowanej równomiernie rozłożonym ładunkiem z gęstością objętościową g. 4.19 Obszar między dwoma współśrodkowymi powierzchniami kulistymi wy­

pełniono ładunkiem rozłożonym równomiernie z gęstością objętościową g0. Promienie powierzchni kulistych są równe a i b 9‘ a > b. Przenikalność elektryczna w całej przestrzeni wynosi e. Obliczyć potencjał i pole elektryczne dla r < b, b < r < a i r > a. Potencjał w nieskończoności jest równy zeru. 4.20 Między dwiema współśrodkowymi powierzchniami kulistymi o promie­

niach Kj i R 2 (Ri < R 2) został rozłożony ładunek elektryczny z gęstością objętościową „

! ! „ - const. Wyznaczyć natężenie pola elektryce-

nego i potencjał dla r < R x, R x < r < R2, r > R2.

4.21 Nieskończenie długi walec dielektryczny o przenikalności ewi promieniu R został naładowany równomiernie rozłożonym ładunkiem przestrzennym z gęstością objętościową q0 = const. Obliczyć potencjał U i natężenie pola elektrycznego E wewnątrz i na zewnątrz walca. Zadanie rozwiązać korzystając z prawa Gaussa, a następnie rozwiązując równanie Poissona i Laplace’a. Potencjał na powierzchni walca równy jest zero. 4.22 Nieskończenie długi wydrążony w środku walec dielektryczny został na­ ładowany ładunkiem elektrycznym rozłożonym równomiernie z gęstoś­ cią @0. Promień walca jest równy a, promień wydrążenia /?, względna przenikalność elektryczna materiału, z którego wykonano walec, jest równa ew. Obliczyć potencjał i pole elektryczne wewnątrz i na zewnątrz walca. Przyjąć, że dla g — u, U = 0. 4.23 Obliczyć potencjał i pole elektrostatyczne w przestrzeni między przewo­ dami linii współosiowej. Promienie przewodów są równe a i b (a > b). Przewód wewnętrzny ma potencjał l/0, przewód zewnętrzny jest uzie­ miony. 4.24 Obliczyć pojemność odcinka linii współosiowej o długości /. Promienie linii są równe a i b (a > b). Przenikalność względna dielektryka wypełniającego linię wynosi sw. 4.25 Przestrzeń między przewodami linii współosiowej o promieniach a i b (a > b) jest wypełniona dwiema warstwami dielektryka (rys. 4.4). Dla

Rys. 4.4. Linia współosiowa z uwarstwionym dielektrykiem

b < g < c przenikalność elektryczna wynosi dla c < g < a przenikal­ ność elektryczna wynosi c2. Przewód wewnętrzny linii ma potencjał t/0, przewód zewnętrzny jest uziemiony. ObUczyć natężenie pola elektrycznego w obu warstwach. Wykazać, że pojemność tak uwarstwionej linii jest równa pojemności szeregowego połączenia pojemności dwóch linii, z któ­ rych jedna ma promienie h i c (c > b) i przenikalność ej9 zaś druga promienie c i a (a > cj i przenikalność v,2. 4.26 Obliczyć potencjał i pole elektryczne wokół dwóch równoległych osi naładowanych ładunkiem przeciwnego znaku. Odległość między osiami

wynosi 2a. Gęstość liniowa ładunku rozłożonego na osiach wynosi odpowiednio + e, i 4.27 Wyznaczyć równanie linii ekwipotencjalnych i linii sił pola elektrycznego dla dwóch równoległych naładowanych osi z poprzedniego zadania. Naszkicować ślady powierzchni ekwipotencjalnych i linii sił pola elektrycz­ nego na płaszczyźnie 0xy\ 4.28 Obliczyć potencjał pola elektrycznego występującego w pobliżu linii dwuprzewodowej. Promienie przewodów są równe /?, odległość między przewodami jest równa 2d, na przewodach są rozłożone ładunki +q i —q. Obliczyć pojemność linii na jednostkę długości. 4.29 Dwa długie równoległe walce metalowe mają promienie R 1 = 2 cm i R 2 = 3 cm. Odległość między środkami walców wynosi d — 10 cm. Na walcach rozłożono ładunki + q i —q. Obliczyć pojemność układu. 4.30 Dwa nieskończenie długie walce przewodzące umieszczono niecentrycznie jeden wewnątrz drugiego. Promień walca wewnętrznego R x = 2 cm, promień walca zewnętrznego R 2 = 4 cm, odległość między środkami walców m = 1 cm, potencjał walca wewnętrznego U0 = 10 V, walec zewnętrzny jest uziemiony. Obliczyć pojemność układu. Obliczyć poten­ cjał w punktach A( —2.5,0), B (3.5,0), C (0,3.3) i D (2.5,2.5) zaznaczonych na rys. 4.5. ył

Rys. 4.5. Układ dwóch walców

4.31 Obliczyć pojemność układu linii jednoprzewodowej zawieszonej nad ziemią. Obliczyć maksymalną wartość natężenia pola elektrycznego. Dane: promień przewodu R — 1 cm, odległość linii od ziemi d = 5 m, napięcie między linią a ziemią U = 1 kV. 4.32 Ładunek q znajduje się w próżni w odległości d od nieograniczonej płyty przewodzącej. Wyznaczyć wektor natężenia pola elektrycznego i gęstość powierzchniową ładunku zaindulcowanego na płycie. Obliczyć siłę działającą na ładunek q. 4.33 Płaszczyzna 0xz rozgranicza dwa ośrodki o przenikalnościach elektrycz­ nych e, i e2. W odległości d od powierzchni rozgraniczającej ośrodki

znajduje się ładunek q. Wyznaczyć i naszkicować pole elektryczne w przypadku gdy et > e2 i < e2. *

4.34 W pobliżu metalowej uziemionej kuli o promieniu R znajduje się punktowy ładunek q. Odległość ładunku od środka kuli wynosi d. Obliczyć potencjał elektrostatyczny U w otaczającej przestrzeni, gęstość ładunku powierzch­ niowego indukowanego na powierzchni kuli i siłę działającą na ładunek. 4.35 Wewnątrz uziemionej metalowej kuli o promieniu R umieszczono ładunek q. Odległość ładunku od środka kuli wynosi a. Obliczyć potencjał pola elektrostatycznego U wewnątrz kuli i powierzchniową gęstość ładunku indukowanego na kuli qs. Obliczyć siłę F działającą na ładunek q. 4.36 Ładunek punktowy q umieszczono w pobliżu metalowej, izolowanej, nienaładowanej kuli o promieniu R w odległości d od środka kuli. Obliczyć potencjał kuli. Obliczyć potencjał na zewnątrz kuli. 4.37 Dwa jednakowe ładunki punktowe q są odległe od siebie o 2d. Symetrycz­ nie między nimi umieszczono odizolowaną kulę metalową o promieniu R (rys. 4.6). Znaleźć R/d taki, żeby na ładunki nie działała żadna siła.

4.38 Odległość między dwiema równoległymi nieskończonymi uziemionymi płaszczyznami przewodzącymi wynosi d. Pomiędzy płaszczyznami, w od­ ległości a od jednej z nich umieszczono ładunek punktowy q. Obliczyć siłę działającą na ten ładunek. 4.39 Kula metalowa o promieniu R została wprowadzona w jednorodne pole elektryczne iz E0. Znaleźć wektor natężenia pola elektrycznego w pobliżu kuli. Obliczyć gęstość powierzchniową ładunków indukowanych na po­ wierzchni kuli. 4.40 Korzystając z wyników zadań 4.39 i 4.1 znaleźć dipol (tzn. podać q i / dla dipola), który po umieszczeniu go w jednorodnym polu elektrostatycz­ nym E0 zaburzałby pole tak samo, jak metalowa kula o promieniu R. 4.41 Kula dielektryczna o promieniu R i przenikalności £j została umieszczona w ośrodku o przenikalności e2, w którym wytworzono jednorodne pole elektryczne iz E0. Wyznaczyć potencjał i natężenie pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz kuli. 4.42 Nieskończenie długi walec metalowy o promieniu R znajduje się w jed­ norodnym polu elektrycznym E0. Linie sił pola elektrycznego są pro­ stopadłe do osi walca. Znaleźć pole elektryczne i potencjał w pobliżu walca. *

4.43

4.44

4.45

4.46

4.47

4.48

Obliczyć gęstość powierzchniową ładunku indukowanego na powierzchni walca. Rozwiązać to samo zadanie dla walca dielektrycznego o przenikałności umieszczonego w ośrodku o przenikalności e2* Kulę o przenikalności £w, i promieniu R umieszczono w próżni w stałym polu elektrycznym E0. Wyznaczyć wektor polaryzacji P wewnątrz kuli. Znaleźć równoważny moment dipolowy pd taki, aby pole elektryczne w obszarze na zewnątrz kuli, wywołane przez dipol i przez kulę było takie samo. Ośrodek dielektryczny o przenikalności względnej £w poddano działaniu jednorodnego pola E0. W ośrodku wycięto kulistą wnękę o promieniu R. Obliczyć gęstość ładunków polaryzacyjnych (związanych) i wektor pola­ ryzacji P na powierzchni wydrążenia. Oblicz pole (wewnątrz wnęki) pochodzące od ładunku polaryzacyjnego, który znajduje się na powierzch­ ni wnęki. Oblicz natężenie pola elektrycznego wewnątrz pęcherzyka powietrza znajdującego się w oleju wypełniającym płaski kondensator. Do okładek kondensatora przyłożono napięcie Ł/ == 10 kV, odległość między okład­ kami d = 1 cm, stała dielektryczna oleju £w = 4. W jednorodnym materiale dielektrycznym o przenikalności względnej £w wykonano dwie małe kuliste wnęki o promieniach R x = R 2 = R. W środ­ ku każdej wnęki umieszczono punktowy ładunek qx = ą2 = ą. Odległość między środkami wnęk wynosi d, przy czym d^> R. Oblicz siłę działającą między ładunkami. Porównaj wartość tej siły z siłą oddziaływania między takimi samymi ładunkami umieszczonymi w dielektryku ciekłym o tej samej przenikalności. Kula dielektryczna o promieniu R i przenikalności względnej £M , została w sposób stały spolaryzowana tak, że wektor P = const w całej objętości kuli. Wyznaczyć natężenie pola elektrycznego wewnątrz i na zewnątrz kuli. Ładunek elektryczny został rozłożony na powłoce kulistej o promieniu R z gęstością powierzchniową gs = gocos0. Wykaż, że: dla r < R potencjał wynosi U

rg 0 cos 0 3fi0

dla r > R potencjał wynosi U

g0R* cos 0 3e0r 2

4.49 Dwie nieograniczone powierzchnie metalowe o kształcie hiperbol zada­ nych równaniami xy = - 1, x > 0 i xy = 1, x > 0 (rys. 4.7) mają potencjały odpowiednio U = 0 i U = U0. Znaleźć rozkład pola i potencjału między nimi korzystając z metody odwzorowań konforemnych. 4.50 Obliczyć potencjał i pole elektryczne między przewodami linii współosio­ wej o promieniach a i b (a > b). Przewód wewnętrzny ma potencjał t/0, przewód zewnętrzny jest uziemiony. Zastosować funkcję odwzorowującą w = ln z.

Rys. 4.7. Układ powierzchni metalowych

4.51 Obliczyć potencjał w pobliżu dwóch nieskończenie długich, równoległych walców metalowych. Promienie walców wynoszą 2 cm każdy, odległość między środkami walców wynosi 5 cm. Jeden z walców ma potencjał Uo = 10 V, drugi jest uziemiony. Zadanie rozwiązać metodą odwzorowań konforemnych (rys. 4.8).

4.52 Rozwiązać zadanie 4.30, stosując metodę odwzorowań konforemnych. Porównaj wyniki. 4.53 Zbadać pole przy krawędzi kondensatora płaskiego. Sporządzić obraz linii sił pola elektrycznego i linii ekwipotencjalnych. Zastosować przekształ­ cenie d z = - ( w + e" + l) n gdzie d jest to odległość między okładkami kondensatora. 4.54 Oszacować, jak daleko w głąb kondensatora płaskiego sięga wpływ rozproszonego pola przy jego krawędzi. Przyjąć, że pole jest niezniekształcone, jeśli w ocenie jego wartości popełniamy błąd mniejszy niż 1%.

4.55 Zbadać pole wokół dwóch metalowych półpłaszczyzn pokazanych na rys. 4.9. Odległość między krawędziami półpłaszczyzn wynosi 2d, a różnica potencjałów między nimi 2U0. Zastosować funkcję odwzorowującą W - In ^(z -f- y /z 2—d2)

4.56 Rozwiązać równanie Laplace’a dla obszaru płaskiego w kształcie kwadratu 0 boku a, z warunkami brzegowymi jak na rys. 4.10. Obszar jest jednorodny 1 bezźródłowy. Znaleźć rozkład pola wewnątrz obszaru.

Rys. 4.10. Ilustracje do zadania 4.56

4.57 Znaleźć rozkład potencjału U(x,y) dla obszaru bezźródłowego ograni­ czonego dwiema uziemionymi półpłaszczyznami metalowymi pokazany-

y' i

dx

11

a

— »

0

u=o

oo

X

Rys. 4.11. Układ płaszczyzn z zadania 4.57

mi na rys. 4.11. Dla x = O narzucono warunek brzegowy II-go rodzaju au & T’ * 4.58 Znaleźć rozkład potencjału dla obszaru płaskiego bezźródłowego z wa­ runkami brzegowymi jak na rys. 4.12.

i

y /■

u=o

U=Q

Rys. 4.12. Ilustracje do zadania 4.58

5 Pole magnetyczne stacjonarne i quasi-stacjonarne

Prawo Biota-Savarta fi dl x r dB (5.1) 4tc r 3 gdzie r jest wektorem wyprowadzonym z punktu źródłowego do punktu obserwacji. Wektor natężenia pola magnetycznego B H = ----- M Po dla ośrodków liniowych B = pH Równania różniczkowe magnetostatyki div B = 0, rot H = J Prawo Ampere a (prawo przepływu) <£Hd/ = JJ Jd s = / (5.2) c s gdzie s oznacza dowolną powierzchnię rozpiętą na krzywej zamkniętej C Magnetyczny potencjał wektorowy B = rot A Przy założeniu divA ~ 0 potencjał wektorowy spełnia wektorowe równanie Poissona

V2A = —p j

(5.3)

Siła działająca na element prądu I dl umieszczony w polu o indukcji magnetycznej B dF = / (dl x B)

(5.4)

Natężenie pola magnetycznego 5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

Prąd stały* o natężeniu / = 10 A płynie wzdłuż półosi x i y I = —lOi* dla 0 ^ x $ oo, I = lOiy dla O ^ y < oo. Obliczyć natężenie pola magnetycz­ nego w punktach ^ (1 ,1 ,0 ) i P 2(0,0,1) (współrzędne punktów w me­ trach). Z cienkiego drutu wygięto kwadratową ramkę o boku 2 m. Ramkę ułożono w płaszczyźnie z — 0 tak, że jej środek pokrywa się ze środkiem układu współrzędnych (x, y, z), a boki są równoległe do osi x i y. Obliczyć natężenie pola magnetycznego w punkcie P(x,y,z) = P (l, 1,2) (współrzędne w me­ trach), jeżeli w ramce płynie prąd / = 6 A. Z cienkiego przewodu wygięto płaski obwód w kształcie, regularnego wieloboku o N bokach. Obliczyć natężenie pola magnetycznego w geo­ metrycznym środku obwodu, jeżeli przepływa przezeń prąd /. Określić graniczną wartość natężenia pola przy N -►oo. Zwój kołowy o promieniu a jest ułożony w płaszczyźnie z — 0 tak, że jego środek pokrywa się ze środkiem układu współrzędnych. Przez zwój przepływa prąd I = Iir Wyznaczyć potencjał wektorowy i indukcję magnetyczną w punkcie P (r, ę, 0) położonym w dużej odległości (r P a) od zwoju. Ośrodek: próżnia. Dwie identyczne płaskie cewki, każda o z zwojach i promieniu a, ustawiono w próżni, w płaszczyznach x = —b/2 i x = b/2. Oś x układu współrzędnych jest wspólną osią cewek. W cewkach płyną prądy o natężeniu / w kie­ runkach zgodnych. a) Określić indukcję magnetyczną na osi cewek; b) wykazać, że dB/dx = 0 dla x = 0; c) określić, przy jakim stosunku b/a pochodna d2B/dx2 = 0, dla x = 0. Wzdłuż nieskończenie długiego przewodu o prostokątnym przekroju poprzecznym b x c (b P c) płynie prąd /. Określić rozkład natężenia pola magnetycznego wewnątrz przewodu. Określić natężenie pola magnetycznego wytworzonego w punkcie P (x, y, z) (z # 0) przez prąd powierzchniowy o gęstości Js — Js ix [A/m] płynący w płaszczyźnie z = 0. Rozkład gęstości prądu powierzchniowego w próżni jest określony nastę­ pująco: J sl = 400/* [A/m] dla z —0,2 m, J s2 = 200^ dla z = 0 1 J s3 — —óOOi* dla z = —0,1 m. Obliczyć strumień magnetyczny na jednostkę długości w obszarach: / między płaszczyznami z = 0 i z = 0,2 m; 2 między płaszczyznami z = 0 i z = 0,1 m.

5.9

W obszarze —5 < z < 5 m płynie prąd stały z równomierną gęstością J = 200iy [A/m2]. Dla |z| > 5 ośrodek ma przenikalność magnetyczną równą przenikalności próżni, natomiast dla |z| < 5 — przenikalność /i = 3ju0. Określić H, B i M w całej przestrzeni. 5.10 Obliczyć natężenie pola magnetycznego wytworzonego w punkcie P {q,
Strumień magnetyczny, indukcyjność, siła 5.13 Weźmy pod uwagę prostokąt utworzony przez odcinki krawędzi, wzdłuż których powierzchnie walcowe q — 2 cm i q — 5 cm oraz płaszczyzny z = 0 i z = 1 m przecinają półpłaszczyznę ę = n/4. Przyjmijmy, że prostokąt ten znajduje się w stacjonarnym polu magnetycznym wytworzo­ nym przez prąd / płynący wzdłuż osi z. Bezpośrednim rachunkiem wykazać, że strumień wektora indukcji magnetycznej B przez powierzchnię prostokąta jest równy cyrkulacji potencjału wektorowego A wzdłuż brzegu prostokąta. 5.14 Obliczyć moment magnetyczny równomiernie naładowanej kuli obracają­ cej się z prędkością kątową o j wokół swej średnicy. Przeanalizować przypadki przestrzennego i powierzchniowego naładowania kuli. Suma­ ryczny ładunek kuli ą. 5.15 Obliczyć strumień wektora indukcji magnetycznej przez powierzchnię czaszy kulistej umieszczonej w jednorodnym polu o indukcji B = 0,2 T. Promień krzywizny czaszy a = 0,2 m, promień podstawy czaszy ft = 0,1 m. Normalna do podstawy czaszy tworzy z kierunkiem linii B kąt 120c. 5.16 (Metoda obrazów) Powierzchnią rozgraniczającą dwa liniowe jednorodne i izotropowe ośrodki o przenikalnościach fi0 i /i = fiwfi0 jest płaszczyzna z = 0. W ośrodku o przenikalności /i0 umieszczono w płaszczyźnie z = d

bardzo długi prostoliniowy przewód z prądem /. Wykazać, że dla pól obliczanych w następujący sposób są spełnione warunki brzegowe na powierzchni granicznej: — pole w obszarze 1 (z > 0) obliczamy sumując pola cząstkowe pocho­ dzące od dwóch równoległych prostoliniowych przewodów z prądami / x = / i I 2 =* / (juw—1)/(a^w+1) ułożonych odpowiednio w płaszczyznach z = d i z — —d; — w obszarze 2 (z < 0) obliczamy pole magnetyczne od przewodu z prą­ dem / 3 = 2//(/
Rys. 5.1. Ramka kołowa w pobliżu przewodu prostoliniowego z prądem

5.18 Wyprowadzić wzór na indukcyjność wzajemną między nieskończenie długim przewodem prostoliniowym i jednozwojową ramką w kształcie trójkąta równobocznego. Ramka i przewód leżą w jednej płaszczyźnie (rys. 5.2). Przenikalność magnetyczna ośrodka fi — fi0.

Rys. 5.2. Ramka trójkątna w pobliżu przewodu prostoliniowego z prądem

5.19 Obliczyć indukcyjność wzajemną między dwuprzewodową linią i prosto­ kątną jednozwojową ramką ułożoną w płaszczyźnie linii (rys. 5.3). Przenikalność magnetyczna ośrodka fi = fi0.

z c

1' L i

b a

0

X

Rys. 5.3. Ramka prostokątna w pobliżu linii dwuprzewodowej

5.20 Wykazać, że jednostkowa indukcyjność wewnętrzna długiego, prostolinio­ wego przewodu walcowego o promieniu b, wykonanego z materiału niemagnetycznego, jest równa /i0/87t [H/m]. Obliczyć jednostkową indukcyjność wewnętrzną przewodu rurowego 0 promieniu wewnętrznym i zewnętrznym równym, odpowiednio, b i a. (Uwaga: przez indukcyjność wewnętrzną rozumie się indukcyjność skoja­ rzoną z polem magnetycznym w obrębie przewodu, a nie z polem na zewnątrz przewodu.) 5.21 Promień zewnętrznego przewodu linii współosiowej jest równy u, zaś promień przewodu wewnętrznego równy b. Obszar między przewodami linii jest wypełniony materiałem o przenikalności magnetycznej fi = fi0. Obliczyć indukcyjność jednostkową L 1 linii. Do obliczeń przyjąć zerową grubość przewodu zewnętrznego. 5.22 Długa jednowarstwowa cewka powietrzna o z zwojach i średnicy 2a ma indukcyjność własną L. Współosiowo z cewką, w połowie jej długości, ustawiono pojedynczy zwój kołowy o średnicy 2b. Jaka jest indukcyjność wzajemna między zwojem i cewką jeżeli: a) b = 0,5a; b) b = c) b — a +; d) b = 2a! 5.23 Dwa cienkie przewody zwinięto w okręgi o promieniach, odpowiednio, a{ 1 a2
między osiami przewodów: a (a > b). Przyjąć przemkalność ośrodka i materiału przewodzącego równą fi0. 5.25 Dwa magnetycznie sprzężone ze sobą obwody o indukcyjnościach włas­ nych Lj i L2 i indukcyjności wzajemnej M są zasilane prądami, odpo­ wiednio, l x i / 2. a) Określić stosunek prądów I J I 2, przy którym energia magnetyczna układu osiąga minimalną wartość; b) wykazać, że M ^ X/ L 1L2. 5.26 Obliczyć indukcyjność cewki z uzwojeniem ściśle nawiniętym na pierście­ niowym rdzeniu o prostokątnym przekroju poprzecznym. W obliczeniach uwzględnić nierównomierność rozkładu pola magnetycznego w rdzeniu. Porównać otrzymany wynik z indukcyjnością obliczoną w sposób przy­ bliżony przy założeniu równomiernego rozkładu pola w poprzecznym przekroju rdzenia z wartością odpowiadającą średniemu promieniowi pierścienia. Dane: duży promień pierścienia a — 4 cm, mały promień pierścienia b = 3 cm, wysokość pierścienia h — 1 cm, liczba zwojów z = 500, przenikalność materiału rdzenia fi = 300 fi0. 5.27 Obliczyć siłę (na jednostkę długości), z jaką działają na siebie trzy równoodległe, bardzo długie przewody prostoliniowe, jeśli przez każdy z nich przepływa prąd / = 10 A, w tym samym kierunku. Odległość między przewodami a = 0,1 m. Przenikalność magnetyczna ośrodka fi = fi0.

Rys. 5.4. Przewód prostoliniowy nad paskiem folii o szerokości w

5.28 Na rysunku 5.4 przedstawiono przekrój poprzeczny układu złożonego z bardzo długiego paska folii metalowej o szerokości w i równoległego do niego, również bardzo długiego, przewodu prostoliniowego. Obliczyć siłę (na jednostkę długości), z jaką działają na siebie oba przewodniki, jeśli przepływają przez nie prądy / w przeciwnych kierunkach. Przenikalność magnetyczna ośrodka fi = fi0. 5.29 Obliczyć siłę (na jednostkę długości), z jaką działają na siebie przewody linii paskowej (rys. 5.5). Jak zmienia się ta siła, jeśli jeden z pasków zastąpimy cienkim przewodem walcowym? Do obliczeń przyjąć b $> a. Przenikalność ośrodka fi = fi0.

Rys. 5.5. Układ przewodów równoległych: a) linii paskowej, b) linii z jednym prze­ wodem płaskim i drugim walcowym

5.30 Obliczyć jednostkową indukcyjność linii paskowej z zadania 5.29 uwzględ­ niając niezerową grubość c (c a) przewodów linii. Przyjąć przenikalność magnetyczną materiału, z którego wykonano przewody linii, równą f i Q. 5.31 Kierunki prądów l x i I2 płynących w dwóch cienkich nieskończenie długich przewodach prostoliniowych wyznaczają, odpowiednio, wektory jedno­ stkowe ix i (ix + iy)/y/2. Przewód z prądem l x przechodzi przez punkt (x,y,z) = (0,0,0), natomiast przewód z prądem I2 przez punkt o współ­ rzędnych (0,0, b). Obliczyć siłę, z jaką działają na siebie te przewody. Przenikalność magnetyczna ośrodka ii0. 5.32 Dwie płaskie cewki powietrzne o promieniach ax i a2 i liczbie zwojów odpowiednio z x i z2, są ustawione współosiowo w odległości d(d P ax,a 2). Wyprowadzić wzór określający siłę, z jaką działają na siebie cewki, jeśli płyną w nich prądy I x i I 2 w tym samym kierunku. Przenikalność ośrodka \x = jU0. 5.33 Z jaką siłą działają na siebie ramka i przewód z zad. 5.17, jeśli płyną w nich prądy o natężeniu / ~ 10 A? Do obliczeń przyjąć a = 0,1 m i b — 0,2 m. 5.34 Wyznaczyć indukcję magnetyczną na osi walca ograniczonego powierzch­ niami q — a, z = 0 i z = b, namagnesowanego równomiernie wzdłuż osi. Przenikalność magnetyczna ośrodka n = n0. 5.35 Wyznaczyć natężenie pola magnetycznego i indukcję wewnątrz i na zewnątrz równomiernie namagnesowanej kuli o promieniu a. Przenikalność ośrodka fi — n0. 5.36 Obliczyć indukcyjność solenoidu o długości / = 5 cm i promieniu a = 2 mm, o z — 4000 zwojów, nawiniętego na rdzeniu: a) z materiału niemagnetycznego (n = /i0); b) z materiału magnetycznego o przenikalności względnej iiw = 150; c) niejednorodnym (/iw = 150 dla g < a0 i f i w = 1 dla a0 < g < a; a0 = 1 mm, a g oznacza odległość od osi solenoidu). 5.37 Na rdzeniu toroidalnym o dużym i małym promieniu, odpowiednio, a = 80 mm i b = 25 mm ze szczeliną powietrzną o szerokości / = 3 mm nawinięto uzwojenie o z — 500 zwojach. Obliczyć prąd / w uzwojeniu, jeśli

wiadomo, że strumień magnetyczny 0 w rdzeniu jest równy 10“ 5 Wb, a względna przenikalność materiału rdzenia [iw = 3 - 103. 5.38 Zlinearyzowaną charakterystykę magnesowania B = B (H) materiału fer­ romagnetycznego reprezentują dwa odcinki: od punktu (H ; B) = (0; 0) do (103 A/m; 1T) i od (103; 1) do (3 -103; 1,4). Z materiału tego wykonano dwusegmentowy, zamknięty rdzeń o parametrach /, = 10 cm, s, = 1 cm2 i /2 = 20 cm, s2 = 0,8 cm2 (/ oznacza średnią drogę strumienia magnetycz­ n eg o ^— pole powierzchni poprzecznego przekroju segmentu rdzenia). Na rdzeniu nawinięto uzwojenie o z = 500 zwojach. Obliczyć strumień magnetyczny w rdzeniu, jeżeli przez uzwojenie przepływa prąd: a) / = = 0,4 A; b) / = 1,2 A. Jakiej szerokości (lp) szczelinę należy wyciąć w segmencie (lt, s,) rdzenia, jeżeli przy prądzie w uzwojeniu / = 1 A strumień w obwodzie ma być równy 8 • 10 “ 5 Wb? 5.39 Średnia droga / strumienia magnetycznego w rdzeniu toroidalnym o prze­ kroju poprzecznym s = 3 cm3, wykonanym z materiału o przenikalności /i = 600n0, wynosi 30 cm. Na rdzeniu nawinięto dwa uzwojenia: z, = 200 i z2 = 300 zwojów, które następnie połączono szeregowo. Obliczyć indukcyjność układu przy zgodnym i przeciwnym połączeniu uzwojeń. 5.40 Obliczyć siłę, z jaką jest przyciągana zwora elektromagnesu przedstawio­ nego schematycznie na rys. 5.6, jeżeli wiadomo, że wartość indukcji B w szczelinach powietrznych jest równa 5 - 103 Gs (tj. 0,5 T), a sumaryczny przekrój czynny s obu szczelin jest równy 2 cm2.

f

Rys. 5.6. Elektromagnes

5.41 Średnia droga lr strumienia magnetycznego „w żelazie” w obwodzie elektromagnesu przedstawionego na rys. 5.6 wynosi 3 m. Sumaryczne pole powierzchni s czynnych przekrojów dwóch jednakowych szczelin po­ wietrznych, każda o szerokości lp = 2 mm, wynosi 200 cm2. Jaką wartość powinna mieć siła magnetomotoryczna (amperozwoje), by elektromagnes mógł udźwignąć ciężar o masie m = 100 kg? Przenikalność materiału magnetycznego fir = 4 - 103 /t0.

6 Ruch cząstek naładowanych w polach statycznych

Tor cząstki r = r(t) Prędkość cząstki T....d r (0 dt Przyspieszenie dt>(t) d2r (t) dt d t2 Prędkość i przyspieszenie w ruchu płaskim krzywoliniowym dę dQ i

Moment pędu L = mr x v Moment siły M = rx F Związek pomiędzy momentem pędu a momentem siły

Siła Lorentza F = qE + q\ x B Ogólne równanie ruchu cząstki pod wpływem siły Lorentza d —(mv) = q(E + v x B) d£ Zależność masy cząstki od jej prędkości 1

Równanie ruchu dla małych prędkości (t>2 m0 a = ą (E + v x B)

c2)

Wybrane stałe fizyczne: prędkość światła w próżni ładunek elementarny masa spoczynkowa elektronu masa spoczynkowa protonu stosunek masy spoczynkowej protonu do masy spoczynkowej elektronu

c ~ 2,997925 • 108 m/s e ~ 1,602-10"19 C me t&9,107-10-31 kg « 1,672-10"27 kg mp ? me

& 1836

stosunek ładunku elektronu do jego masy spoczynkowej

e

8 1,759-1011 C/kg

6.1

Wyznaczyć równanie toru cząstki o ładunku ą i masie m poruszającej się pod działaniem jednorodnego stałego pola elektrycznego E. Pominąć efekty relatywistyczne. Udowodnić, że tor cząstki leży w płaszczyźnie.

6.2

Wyprowadzić związek pomiędzy prędkością v cząstki o ładunku q i ma­ sie m poruszającej się w jednorodnym stałym polu elektrycznym a skalar­ nym potencjałem U tego pola, zakładając że masa cząstki nie zmienia się. Traktując różnicę potencjałów pomiędzy rozpatrywanym punktem pola i punktem, w którym rozpoczął się ruch, jako napięcie przyspieszające Up, obliczyć jaką prędkość osiągnie elektron pod wpływem napięcia przyspie­ szającego Up = 1 V.

6.3

Przyjmując, że zależność wyprowadzona w zad. 6.2 może być stosowana, jeżeli prędkość cząstki v ^ c/10, określić dopuszczalną wartość napięcia przyspieszającego Up: a) dla elektronu; b) dla protonu.

6.4

W kineskopie kolorowym napięcie przyspieszające Up wynosi 25 kV. Pomijając wpływ ładunku przestrzennego, prędkość początkową itp., obliczyć prędkość końcową elektronów: a) zaniedbując zjawiska relatywistyczne; b) uwzględniając relatywistyczną zmianę masy elektronu.

6.5

W diodzie próżniowej o płaskim układzie elektrod w wyniku oddziaływa­ nia ładunku przestrzennego potencjał w dowolnym punkcie obszaru międzyelektrodowego jest opisany zależnością

gdzie:

x — odległość rozpatrywanego punktu od katody; Ua — napięcie anodowe; d — odległość katoda — anoda. Określić czas przelotu tp elektronu pomiędzy katodą i anodą. Wykonać obliczenia przyjmując U = 100 V, d = 0,5 mm.

6.6

Rozwiązać zadanie 6,5 przyjmując liniowy rozkład potencjału w obszarze międzyelektrodowym U(x) = Uaa

6.7

W pole elektrostatyczne wytworzone przez płaski kondensator próżniowy wpada w połowie odległości między okładkami cząstka o ładunku q i masie m (rys. 6.1). Prędkość początkowa cząstki v0 skierowana jest równolegle

Rys. 6.1. Cząstka w polu elektrostatycznym kondensatora płaskiego

6.8

do okładek kondensatora. Jakie może być dopuszczalne napięcie stałe U0 przyłożone do kondensatora, aby cząstka mogła przelecić przez kon­ densator? Przyjmujący = 3 *104km/s, / = 10 cm oraz d = 5 mm wykonać obliczenia dla elektronu. Określić kąt odchylenia a wiązki elektronów w lampie oscyloskopowej (rys. 6.2). Napięcie anodowe w lampie wynosi Ua = 2000 V, napięcie między Ekran

t/

y

Rys. 6.2. Wiązka elektronów w lampie oscyloskopowej z równoległymi płytkami odchylającymi

płytkami odchylającymi Ud = 200 V, długość płytek / = 2 cm, odległość między nimi d = 0,5 cm, odległość płytek odchylających od ekranu luminescencyjnego L = 15 cm. Pominąć prędkość początkową elektro­ nów, wpływ ładunku przestrzennego, efekty brzegowe itp.

6.9

Dla lampy oscyloskopowej z zad. 6.8 wyznaczyć: a) kąt odchylania lampy /? rozumiany jako kąt zawarty pomiędzy dwoma skrajnymi położeniami wiązki elektronów; b) maksymalne przesunięcie fcmax plamki luminującej względem środka ekranu; c) czas przelotu elektronów tp pomiędzy płytkami odchylającymi. 6.10 Jednym z parametrów lampy oscyloskopowej jest czułość odchylania elektrycznego zdefiniowana w następujący sposób dh dU gdzie:

h odchylenie plamki luminującej; napięcie odchylające. U„ Obliczyć czułość odchylania elektrycznego lampy oscyloskopowej z zad. 6.8. Rozważyć sposoby dwukrotnego zwiększenia czułości bez zmniejsze­ nia kąta odchylania lampy. 6.11 Określić kąt odchylania fi oraz maksymalne przesunięcie hmax plamki luminującej względem środka ekranu dla lampy oscyloskopowej z ukoś­ nymi płytkami odchylającymi (rys. 6.3). Skrajne odległości pomiędzy płytkami wynoszą: dx — 0,5 cm, d2 = 0,7 cm. Pozostałe parametry lampy takie jak w zad. 6.8.

Rys. 6.3. Wiązka elektronów w lampie oscyloskopowej z ukośnymi płytkami odchylającymi

6.12 W pole elektrostatyczne kondensatora cylindrycznego E = a w płaszczyźnie prostopadłej do osi kondensatora w odległości q0 od osi wpada elektron z prędkością v0 = (rys. 6.4). Jakie musi być napięcie przyłożone do okładzin kondensatora, aby elektron poruszał się po okręgu o promieniu g0l Wykonać obliczenia przyjmując r0 = 107 m/s, a = 5 cm, b — 10 cm, q0 —7,5 cm.

Rys. 6.4. Elektron w polu elektrostatycznym kondensatora cylindrycznego

6.13 Z jakich równań można wyznaczyć tor elektronu wpadającego w pole elektrostatyczne kondensatora cylindrycznego w odległości Q0 od osi kondensatora z prędkością \ 1 — vxi^ liczbowo różną od prędkości v0 odpowiadającej orbicie kołowej. Jakie wnioski o torze elektronu można wyciągnąć określając tylko składową radialną prędkości elektronu? Czy możliwy jest ruch elektronów po torach pokazanych na rys. 6.5?

Uf Vl>v0

Rys. 6.5. Tory elektronów w kondensatorze cylindrycznym

6.14 Pole elektryczne kondensatora cylindrycznego można wykorzystać do separacji elektronów o różnych prędkościach (rys. 6.6). Elektron o pręd­ kości i?Ł uderza w ekran luminescencyjny w punkcie odległym o od V f> V Q

Vf = V0

V1< V Q

Rys. 6.6. Kondensator cylindryczny jako separator cząstek o różnych prędkościach

osi kondensatora. Odległość Qt można wyznaczyć rozwiązując równanie 2i

Qo .

2( \

^0^

A

^ l n - y +i?f( 1---- J ) = 0 Qt \ QiJ gdzie: q0 — odległość między osią kondensatora a punktem wlotu elek­ tronu; v0 — prędkość elektronu odpowiadająca orbicie kołowej. Określić prędkość maksymalną ulmax i minimalną vlmin dla kondensatora z zad. 8.12. Sporządzić dla tego kondensatora wykres funkcji v j v 0 = = H Q i /Q oX

6*15 W optyce elektronowej zakłada się analogię pomiędzy torami elektronów w polu elektrostatycznym a torami promieni świetlnych w optycznych ośrodkach załamujących te promienie. W związku z tym wprowadza się pojęcie współczynnika załamania promienia elektronowego na granicy dwóch obszarów o stałych ale różniących się potencjałach (rys. 6.7).

Rys. 6.7. Tory elektronów na granicy obszarów o różnych potencjałach

Korzystając z definicji optycznego współczynnika załamania wyprowadzić wzór na współczynnik załamania toru elektronów na granicy obszarów pola elektrostatycznego o potencjałach U1 i t/2: a) pomijając prędkość początkową elektronów v0; b) uwzględniając prędkość v0. 6.16 Korzystając ze współczynnika załamania promienia elektronowego okreś­ lić warunek, przy którym w obszarze pomiędzy dwiema liniami ekwipotencjalnymi Ux i U2 nastąpi wewnętrzne odbicie promienia elektronowego: a) pomijając prędkość początkową elektronów v0; b) uwzględniając tę prędkość. 6.17 Przy przybliżonym wyznaczaniu toru elektronu w polu elektrostatycznym za pomocą współczynnika załamania promienia elektronowego obszar pola aproksymuje się obszarami o stałym potencjale, które są rozdzielone powierzchniami ekwipotencjalnymi. Jako potencjał każdego z obszarów przyjmuje się średnią arytmetyczną potencjałów powierzchni granicznych.

Rys. 6.8. Obszary o stałym potencjale rozdzielone liniami ekwipotencjalnymi

Zakłada się, że tor elektronu w każdym z obszarów jest linią prostą, a na powierzchniach granicznych stosuje się prawo załamania promienia elek­ tronowego. Postępując w ten sposób określić dla pola elektrostatycznego pokazanego na rys. 6.8 punkt przecięcia osi 0y przez elektron opuszczający oś 0x w punkcie x —2 z zerową prędkością początkową. 6.18 Na podstawie prawa załamania promienia elektronowego sprawdzić, czy pole elektrostatyczne pokazane na rys. 6.9 może skupiać wiązkę elektro­ nów wchodzących w obszar pola równolegle do osi 0x: a) w kierunku osi 0x; b) w kierunku przeciwnym do osi 0x.

Rys. 6.9. Pole elektrostatyczne skupiające wiązkę elektronów

6.19 Wyznaczyć równania toru cząstki o ładunku ą i masie m poruszającej się pod działaniem jednorodnego stałego pola magnetycznego o indukcji B. Wykazać, że pole magnetyczne nie zmienia wartości prędkości cząstki, a jedynie jej kierunek.

6.20 Obliczyć częstotliwość cyklotronową/.: a) dla elektronu; b) dla protonu, poruszających się w polu magnetycznym o wartości indukcji B = 1 T. Obliczyć promienie cyklotronowe gc dla obydwu cząstek przyjmując, że poruszają się one z prędkością v = 3 • 107 m/s prostopadle do wektora B. 6.21 W obszar jednorodnego stałego pola magnetycznego o indukcji B = = [0, 0, B] i szerokości / wzdłuż osi 0x wpada z prędkością v0 = [t>0, 0, 0] cząstka o masie m i ładunku q (rys. 6.10). Wyznaczyć kąt a (mierzony

Rys. 6.10. Cząstka w jednorodnym stałym polu magnetycznym

względem osi 0x), pod jakim cząstka opuszcza obszar pola. Wykonać obliczenia dla elektronu przyjmując vQ = 3* 104 km/s, / = 5 cm, oraz B = 10 3 T. 6.22 W lampie kineskopowej z odchyleniem magnetycznym pole odchylające jest wytwarzane przez prąd elektryczny płynący wf cewkach odchylających umieszczonych na szyjce kineskopu (rys. 6.11). Określić liczbę zwojów n cewek odchylających niezbędnych do odchylenia wiązki elektronów o kąt a = 30° przy prądzie odchylającym Id = 1,5 A. Przyjąć, że pole magnetyczEkran Cewki odchylające Anoda Ua

T J F d i

J

Rys. 6.11. Wiązka elektronów w lampie kineskopowej

ne zlokalizowane na całej długości cewek odchylających jest jednorodne i indukcja tego pola może być obliczona ze wzoru d

gdzie d — średnica szyjki kineskopu. Długość cewek odchylających / wynosi 4 cm, średnica szyjki kineskopu d = 3 cm, odległość ekranu od cewek L = 20 cm, napięcie anodowe Ua = 16,9 kV. Pominąć prędkość początkową elektronów, wpływ ładunku przestrzennego, zjawiska brzegowe i relatywistyczne itp. 6.23 Dla lampy kineskopowej wraz z układem odchylającym z zad. 6.22 wyznaczyć: a) kąt odchylania /? = 2amax; b) maksymalne przesunięcie /imax plamki luminującej względem środka ekranu; c) średnią prądową czułość odchylania określoną wzorem sr

hm a x /dmax

gdzie / dmax — prąd cewek odchylających odpowiadający /imax. Przyjąć, że liczba zwojów cewek odchylających n = 87.

Klisza fotograficzna

Przesłona ze szczeliną

F

! Obszar bez

Ua

\ pola ' magnet.

)

Obszar stałego >jednorodnego pola magnet

Rys. 6.12. Spektrometr masowy

6.24 Na rysunku 6.12 przedstawiono spektroskop masowy. W obszar jednorod­ nego stałego pola magnetycznego wpadają z prędkością v0 jony dodatnie o różnej masie m i jednakowym ładunku ą — +e. Wektor indukcji B jest prostopadły do wektora prędkości v0. Jony są odchylane przez pole magnetyczne o kąt 180 i uderzają w kliszę fotograficzną. Prędkość początkowa i>0jest uzyskiwana przez jony pod wpływean napięcia przyspie­ szającego Ua. Określić, w jakiej odległości od szczeliny wejściowej jony uderzą w kliszę. Wykonać obliczenia dla jonów dwóch izotopów neonu o liczbach masowych A , = 20 i A2 = 22. Przyjąć Ua = 400 V i B = = 5- 10” 2 T. Jednostka atomowa masy ma % 1,66* 10 27 kg.

6.25 O ile należy zmienić napięcie przyspieszające Ua w spektroskopie maso­ wym z zad. 6.24, aby po zmianie napięcia jony izotopu neonu o liczbie masowej A2 = 22 trafiały w ten sam punkt kliszy, co jony izotopu neonu o liczbie masowej A x = 20 przed zmianą Ua. 6.26 Wykazać, że jednorodne stałe pole magnetyczne o wektorze indukcji B prostopadłym do wektora prędkości v0 cząstek naładowanych wpadają­ cych w to pole ma właściwości ogniskowania rozbieżnej wiązki cząstek odchylanych o kąt równy lub bliski 180° (rys. 6.13). Założyć, że moduł

Obszar b ez pola magnetycz.

Klisza fotograficzna

Obszar stałego jednorodnego pola m agnetycz.

) Rys. 6.13. Pole magnetyczne ogniskujące

prędkości cząstek ma wartość stałą. Obliczyć szerokość d linii na kliszy przyjmując, że kąt rozbieżności wiązki 2a0 = 6°, a promień cyklotronowy qc = 36,4 cm (zad. 6.24). 6.27 Wyznaczyć równania toru cząstki o ładunku q i masie m poruszającej się w skrzyżowanych polach elektrycznym i magnetycznym (wektory pól E i B wzajemnie prostopadłe). Pominąć zjawiska relatywistyczne. 6.28 W skrzyżowane pola elektryczne i magnetyczne o wektorach E = [0, E, 0] i B = [0,0, B] wpada z prędkością v0 = [t>0, 0,0] cząstka o ładunku q i masie m. Jakie warunki muszą być spełnione aby torem cząstki była oś 0x? 6.29 Naszkicować tor cząstki z zad. 6.28 w następujących sytuacjach szczegól­ nych: a) v0 = 0; b) 0 < v0 < E/B\ c) v0 = E/B; d) E/B < v 0 < 2E/B; e) v0 = 2E/B; f) o0 > 2E/B. 6 J0 Płaski kondensator próżniowy podłączony do napięcia stałego U0 i umieszczony w jednorodnym stałym polu magnetycznym o wektorze indukcji B równoległym do okładzin kondensatora jest stosowany jako selektor prędkości cząstek naładowanych. Zakładając, że warunkiem selekcji jest prostoliniowy tor elektronu i przyjmując, że B = 10“ 2 T oraz, że odległość d pomiędzy okładzinami kondensatora wynosi 2 mm, obliczyć napięcie U0, które trzeba przyłożyć do kondensatora, aby wyselekcjono­ wać protony o prędkości v = 3 • 104 km/s.

6.31 O ile trzeba zmienić napięcie stałe l/0, aby w kondensatorze z zad. 6.30 elektrony opuszczające elektrodę o niższym potencjale przestały dolatywać do elektrody o wyższym potencjale. Pominąć prędkość początkową elektronów i wpływ ładunku przestrzennego. O ile trzeba zmienić indukcję magnetyczną, aby uzyskać ten sam efekt? 6.32 Wyznaczyć krytyczną wartość indukcji magnetycznej Bkr, przy której w magnetronie cylindrycznym przedstawionym schematycznie na rys. 6.14 8< Bjer

B—Bfa

w warunkach statycznych nie płynie prąd anodowy. Obliczenia wykonać przyjmując następujące dane liczbowe: promień katody gk = 5 mm, promień anody ga = 10 mm, napięcie anodowe Ua — 10 kV. Pominąć w rozważaniach prędkość początkową elektronów i wpływ ładunku przestrzennego.

7 Fala plaska w ośrodku nieograniczonym Pole H gdy znane jest pole E H

kxE k Z

kierunek rozchodzenia się fali

(7.1)

Pole E gdy znane jest pole H E = ZH x k

(7.2)

Impedancja falowa Z

Ei H

)U)(i
(7.3)

Współczynnik propagacji (7.4)

y = y/ioifi (a + jcoe) = a + j fi Prędkość fazowa co Prędkość grupowa d co

Fala w ośrodkach bezstratnych 7.1

Wektor pola magnetycznego ę

n tut —fiy + 4

[A/m]

a) napisać równanie powierzchni stałej fazy; b) na podstawie tego równania określić prędkość poruszania się po­ wierzchni stałej fazy (prędkość fazową); c) obliczyć prędkość grupową i porównać z wynikiem punktu b. *

7.2

Wektor pola elektrycznego fali rozchodzącej się w próżni E(t) = (2ix + 3iy + 4iJ eiM“2x~3' +M [V/m]

13

Określić stałą fiz oraz znaleźć wyrażenie określające wektor H. Zespolona amplituda pola magnetycznego i-^p(x+y) H = (ix - ty) e ^ [A/m] Czy wektor ten opisuje wektor natężenia pola magnetycznego fali płaskiej? Jeśli tak, to wyznaczyć natężenie pola elektrycznego, jeśli fala rozchodzi się w próżni. Skonstruować równania opisujące wektory E i H fali rozchodzącej się w próżni w kierunku k

Wektor E leży w płaszczyźnie Qxz. Znając częstotliwość fali z zad. 7 .4 / = 1 GHz obliczyć: co. k , VfX> Vfy*

k # k r k z,

vf ,

^gy ^gx’ Vgy• ^gz’ fi’ fix’ fiy’ fix'

W punkcie (0,0,0) w chwili t = 0 wektory E i H fali płaskiej rozchodzącej się w próżni są opisane zależnościami

E = (i, + «y E0 7.7

H = (iy - g H0

Określić wektor jednostkowy k wskazujący kierunek rozchodzenia się fali. Fala płaska rozchodzi się w ośrodku o n = |i0 i a = 0. Podać pełną postać pól E i H wiedząc, że dla t = 0 natężenia pól są opisane zależnościami: E (0,0) = i* (1 + j) + iy Ey [V/m] [A/m]

7.8

oraz określić: a) kierunek propagacji; b) sw; c) częstotliwość minimalną, dla której spełnione są powyższe zależności. Na rysunku 7.1 pokazano zależność wzajemną pulsacji i stałej fazowej w pewnym ośrodku dyspersyjnym (dwa warianty — krzywe a i b). Narysować vf (/?) i vg(fi).

Rys. 7.1. Zależność pulsacji i stałej fazowej dla dwóch ośrodków dyspersyjnych

7.9

Fala elektromagnetyczna rozchodząca się w próżni w kierunku osi Oz ma jedną tylko składową pola elektrycznego (Ex lub Ey ~ 0). W chwili f = 0 w płaszczyźnie z = 0 składowa pola ma wartość maksymalną i wynosi 100 V/m. W czasie 1 ns wartość chwilowa pola elektrycznego w płaszczyźnie z = 0 zmalała i osiągnęła wartość E (z = 0, t — 1 ns) = = 50 V/m. Obliczyć długość fali.

7.10 Pole magnetyczne w próżni H = ix H0 cos o t cos po z Znaleźć pole elektryczne dwiema metodami: a) bezpośrednio z równań Maxwella; b) korzystając ze wzoru E = Z 0H x k 7.11 Wektor pola magnetycznego fali rozchodzącej się w próżni H = W0 [ « x ( l + j ) + i v ( l - j ) ] e j/,oz

Obliczyć wartości chwilowe oraz średnie w czasie: a) powierzchniowej gęstości strumienia mocy niesionej przez falę; b) objętościowej gęstości energii elektrycznej; c) objętościowej gęstości energii magnetycznej. 7.12 Fala rozchodzi się w dielektryku bezstratnym o ew = 4; w kierunku Oz, nie ma składowej pola Hx. Zależność gęstości energii magnetycznej tej fali w chwili t = 0 w funkcji zmiennej z pokazano na rys. 7.2. Zapisać wyrażenia określające wektory E (z, t\ H (z, t ). Określić średnią wartość powierzchnio­ wej gęstości mocy niesionej przez tę falę.

Rys. 7.2. Zależność gęstości energii magnetycznej w funkcji odległości dla t = 0

7.13 Średnia wartość wektora Poyntinga fali rozchodzącej się w próżni

s0= iz 60

[W /m2]

Wiedząc, że częstotliwość fali wynosi 500 MHz oraz, że składowe Ex i H są zawsze równe zeru, napisać wyrażenia określające pola elektryczne i magnetyczne. *

7.14 Wektor pola elektrycznego fali rozchodzącej się w próżni E = E0(2ix +jiy)c*i
Fala w ośrodkach stratnych 7.15 Amplituda wektora natężenia pola elektrycznego fali maleje dwukrotnie na odcinku 1 km, w kierunku rozchodzenia się fali, a wartości zerowe tego wektora powtarzają się co 1 m. Obliczyć: a) współczynnik tłumienia fali; b) długość fali.

7.16 Pole elektryczne fali w pewnym ośrodku stratnym E(z,/) = 2001, e ~“ cos ( i n ■1091- (iz + ^ \

[ V/m]

Wiedząc, że impedancja tego ośrodka wynosi Z = 100ej3° [Q] obliczyć pole magnetyczne. Obliczyć ile razy zmaleje amplituda fali na odcinku równym długości fali. 7.17 Wykonać zadanie poprzednie, jeśli E = 200ix e azcos ya>t —pz+

+ 200^ e azsin

—fiz+ —J

[V/m]

Jaki kąt tworzą ze sobą wektory E i H w chwili t = 0 i w płaszczyźnie z — 0. 7.18 W ośrodku o danych: a

= 10"3 S/m,

ew

= 4,

nw=\

rozchodzi się fala płaska o częstotliwości: a) / = 1 GHz b ) / = 50 Hz Obliczyć: Z = |Z |ejr+/,z)eaz [V/m]. Obliczyć: a) współczynnik propagacji y = a+j/J, przyjmując a) = 2tt *109 rd/s; b) wektor gęstości prądu przesunięcia; c) zastępczą konduktywność ośrodka
a

7.21 Narysować w płaszczyźnie zmiennej zespolonej krzywą, jaką zakreśla koniec wektora y przy zmianie częstotliwości od 0 do oo: a) w ośrodku bez strat; b) w ośrodku o stałych a > 0. 7.22 Narysować na płaszczyźnie zespolonej miejsce geometryczne punktów impedancji właściwej Z przy zmianie częstotliwości od 0 do x : a) w ośrodku bez strat; b) w ośrodku o stałych o > 0, v.w = 4, = 1.

7.23 Fala rozchodzi się w ośrodku stratnym. Amplituda fali maleje e razy na długości 1 m. Argument impedancji właściwej, jest równy 30°. Obliczyć długość fali. 7.24 Fala płaska rozchodzi się w ośrodku o parametrach: e = 4e0, n = /z0, S = 60°. Obliczyć: a) ile razy zmaleje amplituda fali na długości fali; b) prędkość fazową. 7.25 Fala płaska rozchodzi się w ośrodkach o parametrach: a) e = 4e0, n = //0, <5 = 0; b) £ = 4e0, n=- fi0, <5 = 60°. Obliczyć długość fali w tych ośrodkach wiedząc, że częstotliwość / = 1 GHz. 7.26 Fala o częstotliwości / = 1 GHz rozchodzi się w dobrym przewodniku o konduktywności a = 5 -107 S/m (e = e0, n = fx0). Określić: a) współczynnik propagacji; b) długość fali; c) głębokość wnikania; d) impedancję właściwą. 7.27 a) Obliczyć, ile razy zmaleje amplituda wektorów E i H w ośrodku z po­ przedniego zadania, po przejściu odcinka równego długości fali, b) po przejściu jakiego odcinka gęstość mocy zmaleje dwukrotnie. 7.28 Fala płaska rozchodzi się w ośrodku o danych: z = 9e0, fi = fi0AgÓ = 100, w kierunku + 0z. Zapisać wyrażenia na pola E i H wiedząc, że pole E ma tylko składową Ey. 7.29 W ośrodkach A i B, dla których s = e0, fi = fi0 zmierzono przy częstotli­ wościach 2,5 GHz długość fali: A) k = 2 mm B) A = 11 c m Obliczyć konduktywności tych ośrodków. 7.30 Amplituda natężenia pola magnetycznego w płaszczyźnie z = 0 fali wnikającej w dobry przewodnik (z > 0) o parametrach s0, /x0, tg <5 = 106 wynosi 100 A/m. Wiedząc, że pole magnetyczne ma tylko jedną składową, a fala rozchodzi się w kierunku osi +0z, obliczyć wartość średnią całkowitej energii magnetycznej w nieskończenie długim prostopadłością* nie: 0 ^ x ^ a, O ^ y ^ a , 0 < z < oo. Częstotliwość fali / = 1 MHz. 7.31 Obliczyć gęstość prądu płynącego w przewodniku oraz moc strat w nie­ skończonym prostopadłościanie wg danych z poprzedniego zadania. 7.32 W stratnym ośrodku niemagnetycznym pole magnetyczne H = iy H0 cos h y z t^ gdzie H0, oj, y — dane. Obliczyć pole elektryczne nie korzystając bezpośrednio z równań Maxwella.

733 Obliczyć stosunek v jv j dla fali rozchodzącej się w dobrym przewodniku. 734 Obliczyć stosunek średnich gęstości energii elektrycznej do magnetycznej w jw m dla fali o częstotliwości / w ośrodku o danych: a) e, n, a = 0; b) e, fi, a > 0. 735 Obliczyć wielkość vf (we+wj)/5 gdzie: we, wm, S — wartości średnie w czasie dla fali w ośrodku o danych: a) e, fi, a = 0; b) e, fi, a > 0.

Polaryzacja fali 736 Zespolony wektor pola elektrycznego fali E(t) = [ix 2eJ(“ “ * +i) + iy 3eJ,“" " ^ +'P>)]

[V/m]

Dobrać stałą ,,)] Ho Jaką krzywą zakreśla koniec wektora H dla różnych wartości stałej ę y rzeczywistej? Narysować tę krzywą dla następujących wartości stałej ę y. M

a)

ę y = 0;

b)

ę y = n/4;

c)
d)


7.40 Wyprowadzić zależność na stosunek osi elipsy dla pola magnetycznego z zadania poprzedniego.

7.41 Fala płaska rozchodząca się w próżni w kierunku osi + Oz jest spolaryzo­ wana liniowo. Narysować rozkład chwilowej wartości gęstości mocy przenoszonej przez tę falę w funkcji z. Częstotliwość fali wynosi 1 GHz. 7.42 Rozwiązać zadanie poprzednie dla fali spolaryzowanej kołowo oraz eliptycznie o stosunku osi elipsy 3:1. 7.43 Fala płaska o częstotliwości / = 300 MHz rozchodzi się w próżni. Polaryzacja fali jest eliptyczna, stosunek osi elipsy wynosi 3:1. Wiadomo, że średnia gęstość mocy S = —iy6n [W/m2] a) podać przykładowe wyrażenia na pole E (x, y, z, t ); b) obliczyć średnią gęstość objętościową energii elektrycznej; c) czy wynik obliczeń z p. b zależy od polaryzacji fali? 7.44 Dany jest rozkład (rys. 7.3) chwilowej gęstości energii pola elektrycznego fali płaskiej rozchodzącej się w dielektryku bezstratnym z prędkością fazową vf — iz • 108 m/s. Zapisać przykładowe wyrażenia na pola E i H oraz chwilowy wektor Poyntinga.

ff [47 [ipj V

0 Rys. 7.3. Zależność gęstości energii elektrycznej w funkcji odległości dla t = 0

t

Rys. 7.4, Wykres zależności S(f) dla z = const

7.45 Na rysunku 7.4 przedstawiono wykres S(t) = izS0. Napisać wyrażenia ogólne na pole E i H fali TEM rozchodzącej się w próżni o częstotliwości / = 1 MHz. *

Fala w plazmie 7.46 W ośrodku o danych e = e0, n = fi0, 0) rozchodzi się fala o częstotliwości f. a) Obliczyć zespoloną stałą dielektryczną e2. b) Porównując ośrodek z plazmą, dobrać eop tak, aby ez było w obu przypadkach takie samo. 1A1 Wykazać, że w plazmie zachodzi związek vf •v = c2.

7.48 Pole magnetyczne w plazmie H = ix H 0e~ yzej“' Obliczyć pole elektryczne, jeżeli częstotliwość fali: a ) / = 2fp; b) / = f j 2. Rozwiązać zadanie dwiema metodami: korzystając z impedancji właściwej oraz bezpośrednio z równań Maxwella. 7.49 Obliczyć wartość chwilową i średnią wektora Poyntinga fali z zadania poprzedniego. 7.50 Wyprowadzić wzór na współczynnik tłumienia w plazmie fali o bardzo małej częstotliwości,/<^/p.

Fala w ośrodkach anizotropowych W ośrodku o anizotropii jednoosiowej o parametrach /i = ^ 0, £0 0 0 0 9fi0 0 0 0 4fin

e=

rozchodzi się fala, której wektor elektryczny E = (i^ e "

2+ / e “

z) £ 0 ejft><

Obliczyć wartości Px i //, traktując pulsację oj jako daną. Napisać wyrażenie na wektor H . Podać zbiór płaszczyzn z == const, w których polaryzacja pola elektrycznego jest liniowa, oraz zbiór takich płaszczyzn, w których polaryzacja jest kołowa. Czy polaryzacja pola magnetycznego jest taka sama jak elektrycznego? 7.52 Rozwiązać zadanie poprzednie, jeżeli wektor E wyraża się wzorem E — (ixQ~*Pxy + ize - ^ y) E0 ejt0( 7.53 W ośrodku anizotropowym o danych z zad. 7.51 kierunek prędkości fazowej określony jest przez wektor k = (l/>/2, l/v/2 ,0). Zapisać wyraże­ nie określające wektor E tej fali wiedząc, że ma on tylko składową w kierunku osi Oz. Obliczyć wektor H tej fali. 7.54 Rozwiązać zadanie poprzednie wiedząc, że wektor H ma tylko składową w kierunku osi Oz. Wyznaczyć kierunek wektora Poyntinga. 7.55 Prędkość fazowa fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w ferrycie o da­ nych e = £0 i o zadanej odwrotności tensora ♦

x

f i

1

9 j 0 j 9 0 0 0 4

ma kierunek + 0 z.

1

Wektor indukcji magnetycznej w płaszczyźnie z = 0 B = iyB0 ej“' a) Zapisać zależność na B (z, t). b) Jaka jest polaryzacja wektora B? c) Po przebyciu jakiej drogi płaszczyzna polaryzacji ulegnie skręceniu o kąt 90°? 7.56 Dla danych z zadania poprzedniego obliczyć wektor E i H. Jaka jest polaryzacja tych wektorów?

8 Fala płaska padająca na granicę ośrodków Warunki brzegowe — p. rozdz. 2. Fala padająca prostopadle na granicę dwóch ośrodków (dla ośrodka pierwszego z < 0, dla ośrodka drugiego z > 0, k f = + iz) ^2

^l

r1 ■1r p

z 2+ z , WFS

1+ 1/1 i-i n

(8.1)

(

1 2 +W FS + WFS

8. 2)

(8.3)

Fale w ośrodkach wielowarstwowych (n = 3, granicą ośrodków pierwszego i dru­ giego jest odcięta z < 0, natomiast ośrodka drugiego i trzeciego — płaszczyzna z = o; k t = + y f(z) = r(0 )e ~ 2yz

(8.4)

z !t M - z 2Z t Z 2, ~ZZ ‘3thy2z V l Z.

(8.5)

Fala padająca ukośnie na granicę dwóch ośrodków (dla ośrodka pierwszego z < 0, dla ośrodka drugiego z > 0; k f z > 0) sinć^ s‘m 0 2 i

v 2

Z 2cos02- Z l cos0l Z 2 cos 02 + Z Xcos 0X

(8.7)

r1

z2

_ E l_

COS0

COS 0,

( 8. 8)

“ z7 + ~ z 7 COS0 cos 61

gdzie:

— kąt padania; 92 — kąt załamania (między promieniem i normalną do granicy ośrodka). Dla ośrodków niemagnetycznych y.x = \i2 = /i0: sin0x sin 92 r

js2 \l Ej

tg (

6

2

-

0

(8.9) 0

!

tg(02+0l)

1

sin (02 —0y) sin(02 + 0.)

(8.10)

(8.11)

Fala padająca prostopadle na granicę dwóch ośrodków 8.1

Płaszczyzna z ~ 0 jest granicą dwóch ośrodków bezstratnych o para­ metrach 1: = 8, 2: aw = 36,

//H. = 2, /iH. = 4,

z< 0 z> 0

Na tę granicę ośrodków pada fala o średniej gęstości powierzchniowej mocy S = i2- 1 [W/m2] Obliczyć: a) współczynniki odbicia pól: r f, r u i odbicia mocy TP; b) współczynniki transmisji pól TE, TH i transmisji mocy TP; c) gęstość mocy fali odbitej i przechodzącej; d) współczynniki fali stojącej WFS w obu ośrodkach. 8.2

Rozwiązać zadanie poprzednie, jeśli fala pada z ośrodka drugiego do pierwszego czyli S = —fz ■1 [W/m2].

8.3

Na płaszczyznę rozdziału ośrodków z zad. 8.1 pada fala, której wektor » r = iyH0ejitot~filX) gdzie H 0 ~ rzeczywiste. Znaleźć równania opisujące pole elektromagnetyczne fali odbitej, przecho­ dzącej oraz całkowite pole elektromagnetyczne w obu ośrodkach. Przed­ stawić pole całkowite w ośrodku pierwszym jako superpozycję fali bieżącej i stojącej.

8.4

Znając współczynnik odbicia od granicy ośrodków I płaszczyzna z — 0, l\ , ' r E = + - I wyprowadzić zależność określającą rozkład amplitud fal częściowo stojących pola E i pola H oraz narysować tę zależność. Jaką część długości fali stanowi okres funkcji opisującej rozkłady amplitud Et (z) i H , (z)?

Rys. 8.1. Wartość chwilowa dla t = 0 pola E oraz rozkład amplitud

8.5

8.6

8.7

Na rysunku 8.1 przedstawiono rozkład amplitud fali częściowo stojącej oraz rozkład wartości chwilowych pola elektrycznego w pobliżu granicy dwóch ośrodków bezstratnych dla t —0. Narysować rozkłady wartości chwilowych dla t — T/8, 7/4, gdzie T — okres. Fala padająca prostopadle na powierzchnię rozdziału dwóch ośrodków odbija się częściowo, wskutek czego w ośrodku pierwszym tworzy się fala częściowo stojąca o współczynniku WFS a) WFS = 2] b) WFS = 10. Jaka część mocy fali przechodzi do drugiego ośrodka, a jaka się odbija? Wyprowadzić zależność, z której wynika, że w przypadku padania fali na granicę dwóch ośrodków bezstratnych współczynnik fali stojącej tworzącej się w jednym z tych ośrodków jest równy stosunkowi większej z dwóch impedancji tych ośrodków do mniejszej. i 4

Rys. 8.2. Rozkład amplitud w pobliżu granicy ośrodków

8.8

8.9

Na rysunku 8.2 przedstawiono rozkład amplitud pola E (z) fali częściowo stojącej w pobliżu granicy dielektryków niemagnetycznych. Obliczyć długość fali w ośrodku drugim. Płaszczyzna z — 0 jest granicą dwóch ośrodków: próżni (z < 0) oraz doskonałego przewodnika (a -►oo, z > 0). Na granicę tę pada fala o za­ danym wektorze pola E t = ix E0ejitat~fioz\

gdzie E0 — liczba rzeczywista. Znaleźć wyrażenia opisujące amplitudy zespolone i wartości chwilowe pól w obu ośrodkach oraz prądy płynące po powierzchni rozdziału ośrodków. Narysować rozkład amplitud pól E x (z) oraz H t (z). 8.10 Na powierzchnię (z = 0) płyty doskonale przewodzącej pada prostopadle z próżni fala elektromagnetyczna, której wektor a) E t = E 0(iy + 2jiJfstitM- '" ' b)

E t = E 0{ i,-} Q Ć

gdzie E0 — liczba rzeczywista. Znaleźć równanie opisujące wektor gęstości prądu J s, płynącego po powierzchni płyty i narysować krzywą zakreślaną przez koniec wektora J s(t). Jaka jest polaryzacja wektora J s w stosunku do polaryzacji wektora E r (z = 0). 8.11 Fala elektromagnetyczna o polaryzacji liniowej pada prostopadle na płytę przewodzącą o bardzo dużej konduktywności (a cue). Jaki kąt w prze­ strzeni tworzą: wektor pola elektrycznego fali padającej oraz wektor prądu płynącego w przewodniku? Jaki kąt tworzą ze sobą wektor E ^ (z = 0) oraz wektor gęstości prądu powierzchniowego J s w przypadku padania fali na powierzchnię doskonałego przewodnika, a -►oo? 8.12 Znaleźć wyrażenia opisujące prądy wewnątrz ośrodka przewodzącego z zad. 8.9, jeśli wiadomo, że nie jest on teraz doskonale przewodzący, ale ma skończoną i bardzo dużą konduktywność o2 (o2 > co£2). Przedyskutować zależność tego prądu w funkcji
1+ ( 2

= 0) = Eo(iJf+ j y e ^

gdzie E0 — liczba rzeczywista. Znaleźć wyrażenia opisujące rzeczywisty wektor gęstości prądów na powierzchni przewodnika. Jaki kąt w przestrzeni tworzą wektory rzeczy­ wiste E^ (z = 0) oraz J s? 8.14 Fala pada z próżni prostopadle na powierzchnię ośrodka o parametrach £w = l,

nw = 1,

(t = 10 ~3 [S/m]

Obliczyć współczynnik odbicia F, jeśli częstotliwość fali wynosi

a) 50 Hz; b) 18 MHz; c) 18 GHz. 8.15 Fala płaska pada prostopadle z próżni na stratny niemagnetyczny (p — /i0) dielektryk o impedancji właściwej Z 2 = 60itejl,/6 Cl. Wektor E fali padającej Ei = ix E0e~ifioZ E0, P0 — liczby rzeczywiste. Wyprowadzić wzory opisujące pięć pozostałych składowych pola elektro­ magnetycznego fali: padającej, odbitej, przechodzącej. Narysować rozkład amplitud fali sumarycznej w ośrodku pierwszym i drugim. 8.16 Rozwiązać zadanie poprzednie, zamieniając kolejność ośrodków, tzn. zakładając, że fala pada z ośrodka stratnego do próżni. 8.17 Fala pada prostopadle z dielektryka stratnego na powierzchnię doskona­ łego przewodnika. Rozkład wartości chwilowych dla t = 0 pokazano ria rys. 8.3. Narysować rozkład amplitud fali w dielektryku stratnym.

Rys. 8.3. Pole elektryczne fali padającej z ośrodka stratnego na płytę doskonale przewodzącą

8.18 Fala elektromagnetyczna pada prostopadle z próżni (z < 0) do ośrodka stratnego o impedancji Z 2 = (2 + jx/3 ) Z 0. Wyprowadzić wyrażenia na rozkłady amplitud natężenia całkowitego pola elektrycznego i magne­ tycznego w próżni i narysować te rozkłady. 8.19 W małostratnym dielektryku (z < 0) o ew, = 4, = 1 rozchodzi się fala, która pada prostopadle na płytę doskonale przewodzącą (z ^ 0). Często­ tliwość fali wynosi 1 GHz. Zmierzono, że w odległości 3 m od granicy rozdziału ośrodków (z — —3 m) moduł współczynnika odbicia, zdefinio­ wanego wzorem r ( z ) = E i (z)/Ei (z) wynosi 0,5. Obliczyć konduktywność ośrodka. 8.20 Przyjmując, że w płaszczyźnie z = 0 fala padająca (z poprzedniego zadania) ma amplitudę pola Ei — 100 V/m, obliczyć kilka kolejnych (posuwając się od płaszczyzny z = 0 w kierunku ujemnym osi z) wartości minimalnych amplitud całkowitego pola elektrycznego. 8.21 Fala elektromagnetyczna pada z próżni (z = 0) na plazmę (bezstratny gaz zjonizowany, z ^ 0) o częstotliwości własnej f . Obliczyć współczynnik odbicia fali na granicy dwóch ośrodków jeśli częstotliwość fali wynosi:

8.22 Fala elektromagnetyczna pada z próżni (z < 0) na plazmę (z ^ 0) i ulega częściowemu odbiciu. Najbliższe od granicy ośrodków minimum fali częściowo stojącej pola elektrycznego jest odległe o 1 m, a współczynnik fali stojącej jest równy: WFS = 2. Obliczyć częstotliwość własną plazmy. 8.23 Fala płaska pada prostopadle z próżni do plazmy o częstotliwości własnej f i ulega całkowitemu odbiciu. Wiedząc, że arg F = 7i/3 znaleźć często­ tliwość tej fali. 8.24 Fala płaska pada prostopadle z bezstratnego dielektryka izotropowego (z < 0) o sw = 4 do dielektryka anizotropowego (z > 0) o tensorze 0, 0 9, 0 £ = £0 M = Mo 0, 4 Wektor pola elektrycznego fali padającej -

4, 0, 0,

a) E t = ix E0eiico,~fiiZ> b) E t = iy E0ei(ta'~fi,z> c) E t = (iix + iy)E0eiitat~P'z) Zapisać wektory E oraz H fali odbitej i przechodzącej. 8.25 Narysować rozkład amplitud pola E(z) oraz indukcji elektrycznej D(z) w przypadku fali z zad. 8.24 p. b.

Fale w ośrodkach wielowarstwowych 8.26 Płytka o grubości d jest wykonana z dielektryka o danych ew = 4, nw = 1, a = 0. Po obu stronach płytki jest próżnia. Na płytkę pada prostopadle fala elektromagnetyczna o częstotliwości / = 3 GHz. Obliczyć impedancję wejściową, określoną na granicy ośrodka pierwszego z powierzchnią płytki, współczynnik odbicia oraz współczynnik fali stojącej przed płytką i w płytce: a) d = 1,25 cm; b) d = 2,5 cm. 8.27 Narysować rozkład amplitud wypadkowych wartości pola elektrycznego wzdłuż kierunku normalnego do płaszczyzny rozdziału ośrodków z zad. 8.26. 8.28 W celu określenia cw pewnego dielektryka wycięto z niego płytkę o gru­ bości g i umieszczono ją w powietrzu prostopadle do kierunku rozchodze­ nia się fali elektromagnetycznej. Po dostrojeniu generatora tak, że na granicy powietrze-dielektryk występuje ekstremum fali stojącej stwier­ dzono, że przed płytką powstaje fala stojąca o WFS — 3. Obliczyć ew.

8.29 Narysować rozkład amplitud pola magnetycznego w układzie ośrodków jak na rys. 8.4.

Rys. 8.4. Ośrodki dielektryczne przedzielone warstwą powietrza

8.30 Na rysunku 8.5 pokazano fragment rozkładu amplitud pola E fali padającej na płytkę dielektryka (ośrodek 2) umieszczoną w próżni. Narysować pozostałą część rozkładu amplitud. i Ł 1

2

3 m axj

Kierunek p ro p a g a cji fa li ------------m in

2 V /m 1 V /m

3cm

Rys. 8.5. Fragment rozkładu amplitud pola E

8.31 Fala o amplitudzie pola elektrycznego E0 pada prostopadle na płytę die­ lektryka o ew — 4, fiw = 1, o = 0. Po obu stronach płyty ośrodkiem jest próżnia. Grubość płyty dielektrycznej jest tak dobrana, że w przestrzeni przed tą płytą nie ma fali odbitej. Obliczyć maksymalną amplitudę pola elektrycznego i magnetycznego w obszarze płyty dielektrycznej. 8.32 Z próżni (z < 0) pada prostopadle na ośrodek stratny (z ^ 0) fala elektromagnetyczna o częstotliwości/. Najbliższe od powierzchni rozdziału ośrodków minimum rozkładu amplitud pola elektrycznego znajduje się w płaszczyźnie z = —/, a współczynnik fali stojącej w próżni wynosi WFS. Wyprowadzić wzór na impedancję ośrodka drugiego Z 2 = / (WFS, /,/). 8.33 Podać przykład dopasowania impedancji ośrodka stratnego z zadania poprzedniego do impedancji próżni za pomocą płytki dielektrycznej. 8.34 Wyprowadzić przybliżony wzór opisujący transformację impedancji przez ćwierćfalową płytkę o małych stratach.

835 Fala o wektorze pola elektrycznego E t = E0ixeii‘M~foz} pada z próżni (z < —l) do ćwierćfalowej płytki dielektrycznej o ew = 4 (ośrodek 2, —I < z < 0), a następnie do ośrodka dielektrycznego (z > 0) o ew = 16. Zapisać pola elektryczne i magnetyczne we wszystkich trzech ośrodkach. 836 Obliczyć, jaka część mocy fali padającej przejdzie z ośrodka pierwszego do trzeciego, jeśli w płytce dopasowującej z zadania poprzedniego stała dielektryczna jest większa od pożądanej i wynosi ew = 8. 837 Fala płaska pada prostopadle z ośrodka pierwszego na granicę ośrodka drugiego (—/ < z < 0), a następnie przechodzi do ośrodka trzeciego (z > 0). Ośrodki są bezstratne i niemagnetyczne. Jakie związki muszą zachodzić, by w ośrodku pierwszym nie było fali odbitej? 838 Z próżni pada fala płaska do ośrodka o impedancji właściwej Z = = (1 +2j)Z 0. W odległości 1(1 ^ n k j 2) przed tym ośrodkiem umieszczono bezstratną płytkę dielektryczną o przenikalności elektrycznej e i grubości g. Dobrać wartości /, e i g tak, aby cała moc fali wydzieliła się w dielek­ tryku stratnym.

Fala padająca ukośnie na granicę dwóch ośrodków 839 Płaszczyzna y — 0 rozgranicza dwa ośrodki dielektryczne o parametrach

1: y < 0 ; bw = 9; gw = 1 2: y > 0; ew = 4; fiw = 1 Obliczyć kąt całkowitego odbicia 0lc i 02c oraz kąt Brewstera 0lB i 02B, jeśli fala pada na granicę dwóch ośrodków odpowiednio a) z ośrodka 1; b) z ośrodka 2. 8.40 Na granicę dwóch ośrodków określonych w poprzednim zadaniu pada fala, której wektor E t wyraża się wzorem a) E t (t) = ixej[" '^ (^ /2“2/2)] b) E t (t) = (iy + Znaleźć wyrażenia opisujące E t, E2, H t , H t , H2 oraz E x = E t + E t i H ^H t+ H t. Określić polaryzację fali w stosunku do płaszczyzny padania. 8.41 Fala padająca na granicę dwóch ośrodków określona w zad. 8.39 przechodzi całkowicie z ośrodka pierwszego do drugiego. Średnia gęstość mocy fali padającej: S t = 10 [W/cm2]. Znaleźć gęstość mocy fali w dru­ gim ośrodku. Czy wektor fali padającej jest spolaryzowany równolegle czy prostopadle do płaszczyzny padania? 8.42 Fala elektromagnetyczna o składowych wektora kierunkowego (kx, 0, k2) pada ukośnie z dielektryka (z < 0) o sw > 1 do próżni (z ^ 0). Wykazać, że jeśli fala ulega całkowitemu odbiciu, to prędkość fazowa fali w kierunku osi

x (równolegle do granicy ośrodków) nie może być większa od prędkości światła c, jeśli natomiast fala ulega częściowemu przejściu i częściowemu odbiciu, to ta prędkość fazowa (jednakowa w obu ośrodkach) przekracza c. *

8.43 Na powierzchnię dielektryka o ew = 4, fiw = 1 pada z próżni pod kątem 30° (kąt między promieniem fali i normalną do powierzchni rozdziału) fala 0 polaryzacji kołowej. Określić polaryzację fali odbitej. Wskazówka: Rozpatrzyć oddzielnie odbicie fali spolaryzowanej równo­ legle i prostopadle do płaszczyzny padania. 8.44 Na granicę dwóch dielektryków 1 z < 0, 2 z > 0,

ew = 1 ew = 3

pada ukośnie z ośrodka 1 do 2 fala o polaryzacji kołowej. Zaobserwowano, że fala odbita ma polaryzację liniową. Jaka część moey fali padającej się odbija? Wykonać obliczenia także dla wariantu, gdy fala pada z ośrodka 2 do 1. 8.45 Fala padająca ukośnie na powierzchnię rozdziału dwóch dielektryków jest spolaryzowana kołowo. Wykazać, że fala odbita jest zawsze spolaryzowa­ na eliptycznie (w szczególnym przypadku, gdy fala pada pod kątem Brewstera — spolaryzowana liniowo). Która z osi elipsy jest większa: równoległa czy prostopadła do płaszczyzny padania? Jaka jest polaryzacja fali przechodzącej? *

8.46 Na powierzchnię doskonale przewodzącej płyty (płaszczyzna y = 0) pada z próżni fala elektromagnetyczna, której dany jest wektor natężenia pola elektrycznego £ +

—i £

g j | > * - / l o O ’+ * V \ / 2 ]

X

Znaleźć wyrażenie określające pole elektryczne fali odbitej ( E ) oraz fali sumarycznej (E+ i E~). Napisać równania płaszczyzn stałej fazy i stałej amplitudy fali sumarycznej.

Rys. 8.6. Fala padająca ukośnie na granicę próżnia-dielektryk

8.47 Fala TEM spolaryzowana liniowo (wektor E jest prostopadły do płasz­ czyzny padania) rozchodząc się w kierunku osi + 0 x pada z próżni na płaszczyznę dielektryka o ew = 3. Wektor normalny do płaszczyzny die­ lektryka n = 1/2ix+ y / 3 / 2 i t . Zapisać równanie fali padającej i odbitej w ośrodku pierwszym oraz falę w ośrodku drugim (rys. 8.6). 8.48 Fala pada pod kątem = 60° z próżni (z < 0) na powierzchnię bezstratne­ go ferrytu (z > 0) o sw = 1,5, nK = 2. Obliczyć współczynniki odbicia i transmisji składowych stycznych pól dla fal o polaryzacji równoległej i prostopadłej. 8.49 W jakich warunkach (polaryzacja fali, kąt padania) na granicy ośrodków z poprzedniego zadania nie będzie fali odbitej? 8£0 Fala o polaryzacji prostopadłej pada pod kątem 60° z próżni na pewien dielektryk bezstratny. Stwierdzono, że 25% mocy fali padającej odbija się. Jakie jest e dielektryka. 4

8.51 Fala pada z dielektryka bezstratnego o ew = 4 do próżni. Jaki zakres kątów padania odpowiada całkowitemu odbiciu fali? Jak zależy współczynnik tłumienia fali w drugim ośrodku od kąta OJ 8.52 Obliczyć współczynnik odbicia fali z poprzedniego zadania, jeśli kąt padania wynosi 60°. Uwzględnić oba przypadki polaryzacji fali: równoległą i prostopadłą. 8.53 Płaszczyzna z = 0 jest granicą dwóch bezstratnych ośrodków dielek­ trycznych: 1 z < 0, ew = 2 2 z > 0, ew = 1 Z ośrodka pierwszego pada na ośrodek drugi fala, o wektorze pola elektrycznego: U+ _ j £ 0ei[°"-0°v/2( y^/2 +^/2)] Znaleźć wyrażenie na Ej" oraz E2. Podać wzory umożliwiające obliczenie pól magnetycznych. 8.54 Na warstwę bezstratnej plazmy o częstotliwości własnej f p i o skończonej grubości, pada ukośnie z próżni fala elektromagnetyczna pod kątem 6V Określić zależność między częstotliwością sygnału/ oraz wielkościami 0l i f p jeśli wiadomo, że fala pada na warstwę plazmy pod kątem Brewstera. Czy fala o polaryzacji równoległej przejdzie bez odbić przez warstwę plazmy do próżni? 8.55 Na plazmę (z > 0) pada z próżni (z < 0) fala płaska spolaryzowana kołowo. Kat padania wynosi 30°. Częstotliwość własna plazmy wynosi 10 MHz. Dla jakich częstotliwości / wystąpi: a) całkowite odbicie fali; b) liniowa polaryzacja fali odbitej.

8.56 Fala o częstotliwości/ = 15 MHz pada ukośnie z próżni do plazmy. Kąt padania 6t = 60°, a częstotliwość własna plazmy/ = 10 MHz. Wykazać, że fala elektromagnetyczna w drugim ośrodku (plazmie) rozchodzi się z prędkością niezależną ani od małych (skończonych) zmian częstotliwości fali, ani od małych zmian częstotliwości plazmy, mimo że plazma jest ośrodkiem dyspersyjnym. Obliczyć tę prędkość. 8.57 Fala o częstotliwości / pada na granicę próżnia-plazma. Kąt padania = 60°, a częstotliwość własna plazmy f p = 10 MHz. Częstotliwość fali wynosi a) 14,1 MHz b) 5 MHz Obliczyć współczynnik tłumienia fali w plazmie oe2. Wskazówka: Wyrazić a2 jako wielokrotność stałej fazowej w próżni /?0. 8.58 Obliczyć współczynnik odbicia fali o polaryzacji równoległej i prostopadłej wg danych z poprzedniego zadania. Sprawdzić, czy we wszystkich przypadkach \r\ = 1. 8.59 Fala pada prostopadle z próżni na plazmę o częstotliwości własnej f p = = 1 MHz. Częstotliwość sygnału wynosi również 1 MHz. Obliczyć współczynnik odbicia fali. Dowieść, że uzyskany wynik jest „niestabilny”, tzn. małe, a nawet nieskończenie małe zmiany częstotliwości fali i kąta padania powodują znaczące zmiany w wartości współczynnika odbicia, który może przyjmować krańcowo różne wartości: zero, jeden. Podać przykład liczbowy warunków, dla których r = 0. 8.60 Na granicę dwóch dielektryków stratnych pada fala pod kątem Jakie warunki muszą zachodzić, aby fala w ośrodku drugim była jedno­ rodną falą płaską, tzn. aby była ona opisana za pomocą rzeczywistego kąta załamania 021 8.61 Fala pada z próżni do dielektryka małostratnego o ew = 3 oraz tg S = 0,02. Kąt padania 0X = 60°. Polaryzacja fali jest równoległa. Obliczyć współ­ czynnik odbicia fali od granicy ośrodków. 8.62 Przyjmując, że w poprzednim zadaniu płaszczyzna padania fali jest płaszczyzną 0xz, a płaszczyzna rozdziału ośrodków — płaszczyzną z = 0, zapisać pola magnetyczne fal: padającej, odbitej i przechodzącej. 8.63 Wykazać, że jeśli płaska fala jednorodna pada ukośnie z ośrodka bez­ stratnego na ośrodek stratny, to fala niejednorodna powstała w ośrodku stratnym rozchodzi się bez tłumienia w kierunku równoległym do granicy ośrodków i jest tłumiona w kierunku prostopadłym do granicy ośrodków. 8.64 Wykazać, że jeśli fala pada na granicę dwóch ośrodków magnetycznych o tej samej stałej dielektrycznej, to wzory na współczynniki odbicia są takie same, jak w przypadku granicy dwóch ośrodków niemagnetycznych (wzory 8.10 i 8.11) ale są one „zamienione miejscami”, tzn. i

sin(02 —0t) sin (02 + ()x)

Wektory pola elektromagnetycznego w przestrzeni ze źródłami E(r) = V(V-n) +

*~

xnm

H (r) = jtoe'V x n + V (V •n J + Poitm

(10.1a) (10.1b)

gdzie: (10.1c)

(lO.ld) Wektory pola elektromagnetycznego w strefie dalekiej promieniowania cap e j f i o r 4nj r

E( r)

V'

(0£' e -j/»or 4nj r

H( r)

1 J (r') - (7 (r') • ir) ir+ — {K (r') x ir) Qifior'i dV' Z0

(10.2a)

[K (r') - (X (r') •ir) i, - Z 0 (/ (r') x i,)] e ^ - 'f r d V

(10.2b)

v gdzie: r — wektor wskazujący punkt obserwacji; r' — wektor wskazujący punkt, przez który płynie prąd (punkt całkowania); R = |r —r'| — odległość między źródłem a punktem obserwacji; J(r') — gęstość prądu elektrycznego; K (r') — gęstość prądu magnetycznego. Parametry anten: Charakterystyka promieniowania I

f(0,tp)

E (r, d,
(10.3)

Gęstość promieniowania F (0, ę)

E2(r, 0, ę ) Fjnax (^*»0Q, ę 0)

( i 0.4)

Kierunkowość D

s ma x (r, 00’ (Po) S(r)

(10.5)

4n

D = n 2n | | F(0, (p)s\n0d0dę 00

(

10. 6 )

Zysk energetyczny Sm ax

i? A*r>00,
(10.7) P a = P i = 4 * r 2S i

G = 4nr2

= qD

( 10. 8)

gdzie: Pt — moc doprowadzona do anteny izotropowej; PA — moc doprowadzona do anteny; P — moc wypromieniowana przez antenę; tj = PfPA — sprawność anteny. Długość skuteczna anteny odbiorczej: /sk (10.9) t/od = E •lsk i 1 I(z)dz (10.10) ls k /o o gdzie: Uo d napięcie indukowane na zaciskach wejściowych anteny odbiorczej; E - wektor natężenia pola elektrycznego w miejscu odbioru; l — długość anteny liniowej; rozkład prądu wzdłuż anteny. I(z) Powierzchnia skuteczna anteny odbiorczej: A s k P 4 lf A . c 2 o d — • f 's k 3

Ask

(10.11)

)?D 4tc

m ax

gdzie: Pod S

( 10. 12)

moc sygnału odebranego przez antenę; wektor Poyntinga w miejscu odbioru.

Impedancja wejściowa anteny Z

(10.13a)

R

Ra + j * A RP'. + Rs t r

(10.13b)

R Pf

1 /2

(10.13c)

Sds

2 sk

gdzie: R P' — rezystancja promieniowania; R s r — rezystancja strat w antenie; / s k — wartość skuteczna prądu na zaciskach wejściowych anteny; I n

r e{ £ x //* } ;

RP r 4

^pr + ^str

Klasyfikacja anten liniowych P0h /

1 — antena krótka;

2h Ą

i-2h = X

dipol póifalowy; dipol całofalowy.

Optymalne wymiary anten z falą bieżącą (rys. 10.1) ° ’5 ; ^opt sin2ae $^*opt = 9 0 ° -2 # ! --

(10.14a)

« 01 o O S II to

(10.14b)

gdzie ae - - kąt elewacji

Hopt = J - r --- X, 4 sin ol

(10.14c)

i

a

h

h

y

i

e

< Cm

r */ q*6 ■/ >

■5 r '1

.

-2000

-

Kys. 10.1. Anteny liniowe: a) wymiary anteny; b) impedancja wejściowa anteny; c) antena umiesz­ czona poziomo nad ziemią; d) antena umieszczona pionowo nad ziemią; e) niesymetryczna antena pionowa zasilana u podstawy

d

0)

dla z<0 Rys. 10.2. Anteny z falą bieżącą: a) przewodnik z prądem o stałej amplitudzie / 0; b) antena z falą bieżącą umieszczona nad ziemią; c) antena typu V, d) antena rombowa

Zasada dualizmu Układy równań ( V x H 1~ja)e'1E 1 = J X

(10.15)

[V x E x + jcofix H x = 0 (V x f / 2—jcoe2 E2 — 0 (V x E2 + }(oii2 H2 ~ —K2

(10.16)

są dualne, jeżeli opisywane przez nie dwa różne problemy elektrodynamiczne występują w tej samej konfiguracji geometrycznej, a warunki graniczne wekto­ rów w jednym problemie są identyczne jak odpowiednio wektorów E2, H2 i K2 w drugim. Wówczas znając rozwiązanie jednego z problemów można uzyskać rozwiązanie drugiego dzięki podstawieniu (10.17)

Unormowane konduktancje g x i g2 w schematach zastępczych szczelin z rys. 10.3c i 10.3d 2 sin a cos I - — sina \2 sin2a

(10.18)

Rys. 10.3. Anteny szczelinowe: a) szczelina wycięta w ekranie; b) dualność dipola paskowego i szczeliny; c), d) szczelinowe anteny złożone; e) schemat zastępczy szczeliny wyciętej w ściance falowodu prostokątnego

Charakterystyki promieniowania liniowych układów złożonych z N dyskretnych identycznych jednakowo zorientowanych elementów promieniujących U0,ę) = {A(0,
(10.20)

gdzie: fA(d,ę) — charakterystyka promieniowania pojedynczego elementu promieniującego; fiz(9,
(10.21)

gdzie: i/tz = /?odcos0 —a, (10.22) d — odległość między kolejnymi elementami; / e -jot(i-D— amplituda i faza sygnału sterującego i-tym elementem pro­ mieniującym; / = const, i = 1,2,...,N.

Dipol elektryczny i magnetyczny 10.1 Dipol Hertza można przedstawić jako dużo krótszą od długości fali, zasilaną w środku antenę prętową, której końce obciążono dużymi pojemnościami. Dzięki temu amplituda prądu płynącego wzdłuż anteny jest stała na całej jej długości. Wyznaczyć potencjały: skalarny i wektorowy w przestrzeni wokół dipola, jeżeli jego modelem matematycznym jest przewodnik o długości d zakończony po obu stronach ładunkami punkto­ wymi q{ — q0coscot i q2 — —q0coscot (rys. 10.4).

l(t)=I0 C0SU)t Ioi^Io(z) 2a«d«\

Rys. 10.4. Dipol Hertza

10.2 Na podstawie potencjałów obliczonych z zad. 10.1 określić składowe pola elektromagnetycznego, promieniowanego przez dipol Hertza. Rozróżnić trzy strefy promieniowania: bliską, pośrednią i daleką. 10.3 Wyznaczyć charakterystykę promieniowania dipola Hertza w strefie dalekiej od anteny. Rozważyć trzy charakterystyczne sposoby umieszcze­ nia dipola (rys. 10.5): a) wzdłuż osi z;

Rys. 10.5. Charakterystyczne sposoby umieszczenia dipola

b) wzdłuż osi x; c) wzdłuż osi y. 10.4 Wyznaczyć kierunkowość, długość skuteczną oraz rezystancję promienio­ wania elementarnego dipola elektrycznego (krótki przewód z prądem elektrycznym). 10.5 Wyznaczyć wektory pola elektromagnetycznego promieniowanego przez pętlę wykonaną z przewodnika, wzdłuż którego płynie prąd J(t) = = / 0 cos tot. Przyjąć, że promień pętli jest znacznie mniejszy od długości fali (rys. 10.6).

Rys. 10.6. Pętla z prądem

i 0.6 Wykazać, że pętla z prądem o promieniu a < k może być równoważna elementarnemu dipolowi magnetycznemu (krótkiemu przewodowi z prą­ dem magnetycznym) o długości d, przedstawionemu na rys. 10.7.

Rys. 10.7. Dipol magnetyczny

10.7 Wyznaczyć rezystancję promieniowania pętli o promieniu a dzanej prądem / 0ejwr.

k pobu­

Parametry anten 10.8 Określić kierunkowość, długość skuteczną oraz rezystancję promieniowa­ nia liniowej anteny krótkiej o długości i = 2h (rys. 10.8).

Rys. 10.8. Antena krótka

10.9 Wyznaczyć kierunkowość źródeł punktowych o następujących charakte­ rystykach promieniowania: a) fx(0, ę) = cos 0; b) f2(0, ę) = sin 0 cos c) f3 (0, ę) — sin 0. 10.10 Wyznaczyć kierunkowość źródła punktowego, które ma charakterystykę promieniowania: f (0, ę) = cosrt0

dla

n 0 < 0 ^ -. 2

10.11 Wektor natężenia pola elektrycznego promieniowania pewnej anteny opisany jest zależnością E = ~^°

sin 20 sin 2ę cos (ot —/J0 r) ie

/o = 300 MHz,

/ = 30 cm,

/o

0,5 A

Wyznaczyć: a) kierunki maksymalnego promieniowania; b) wektor Poyntinga w kierunku maksymalnego promieniowania i w od­ ległości r — 5 km od anteny; c) zysk energetyczny anteny (przyjąć r\ = 100%); d) rezystancję promieniowania anteny. Czy możliwy jest odbiór sygnału w odległości r — 5 km ze stosunkiem mocy sygnału do szumu S/N ^ 20 dB przy pomocy anteny o powierzchni skutecznej Ask = 0,2 m2 i dopasowanego do anteny odbiornika o współ­ czynniku szumów F = 3 dB i paśmie pracy B = 15 kHz (TA = 290 K)?

10.12 Moc fali elektromagnetycznej wypromieniowanej przez antenę o zysku energetycznym G = 15 i sprawności tj = 100% wynosi P — 10 W. Wy­ znaczyć wielkość wektora Poyntinga w odległości r = 10 km i w kie­ runku maksymalnego promieniowania anteny. Jaka będzie moc sygnału odebranego w tym miejscu przez antenę odbiorczą o identycznych parametrach? Częstotliwość sygnału / = 3 GHz. 10.13 Do anteny nadawczej radiotelefonu doprowadzono sygnał o częstotliwości f = 21 MHz i mocy PA = 0,5 W. Wyznaczyć maksymalny zasięg łączności, jeśli odbiornik z anteną odbiorczą o identycznych parametrach wymaga do poprawnego odbioru mocy sygnału PoA > 1 nW. Antenę radiotelefonu traktować jak antenę krótką o sprawności r\ = 50%. 10.14 Impedancja wejściowa stosowanej w amatorskich radiotelefonach liniowej anteny krótkiej o długości / = 2h

Do kompensacji jej składowej urojonej zastosowano szeregową cewkę indukcyjną o dobroci Q. Wyznaczyć sprawność obwodu anteny z cewką. Do obliczeń przyjąć: f =21 MHz, / = 1,6 m, 2a = 8 mm oraz Q = 140. 10.15 Radar wykorzystujący zjawisko Dopplera służy do pomiaru prędkości poruszających się obiektów. Ich prędkość v jest określana na podstawie pomiaru różnicy częstotliwości A/ pomiędzy sygnałami nadanym i ode­ branym

Wyznaczyć powierzchnię skuteczną anteny nadawczo-odbiorczej /łskNO, jeżeli poruszający się obiekt można traktować jak powierzchnię odbijającą o powierzchni skutecznej Ask0 = 10 cm2. Przyjąć do obliczeń: częstotliwość sygnału nadajnika / = 10,5 GHz, moc emitowana PN = 0,2 W, zakres pomiarów prędkości vmax = 150 km/h, współczynnik szumów odbiornika mierzony na wejściu mieszacza F = 20 dB, stosunek S/N zapewniający

Nadajnik

SKN0

£ Er Odbiornik z odczytem V

Mieszacz

(jJq Aco

r

Rys. 10.9. Schemat blokowy radaru do pomiaru prędkości

^

poprawny pomiar S/N ^ 25 dB oraz maksymalny zasięg radaru rmax = = 200 m. Pominąć tłumienie sygnału występujące w układzie nadawczoodbiorczym.

Anteny liniowe 10.16 Wyznaczyć i wykreślić charakterystyki promieniowania odosobnionych anten liniowych (rys. 10.la) o wymiarach:

» ' 4 b) / = A; c) / = 1,12; d) / = 22. Założyć, że / $> a. 10.17 Wyznaczyć charakterystyki promieniowania anteny liniowej o długości / = 2/i, w zależności od sposobu jej umieszczenia: a) wzdłuż osi jc; b) wzdłuż osi y układu współrzędnych. 10.18 Na podstawie rys. 10.1 określić impedancje wejściowe dipoli: półfalowego i całofalowego. Wyznaczyć również długości oraz rezystancje wejściowe dipoli rezonansowych, dla których zanika składowa urojona impedancji wejściowej. 10.19 Wykazać, że niesymetryczna antena pionowa o długości h umieszczona nad ziemią i zasilana u podstawy (rys. lO.le), ma w obszarze dla z > 0 identyczną charakterystykę promieniowania jak antena symetryczna o długości / = 2fc, a jej impedancja wejściowa jest równa połowie impe­ dancji wejściowej anteny symetrycznej. 10.20 Średniofalowa antena nadawcza przeznaczona do pracy przy częstotli­ wości /o = 1500 kHz ma kształt pionowego masztu o wysokości h — = 110 m i średnicy 2a — 3,6 m. Wyznaczyć optymalną impedancję generatora zasilającego antenę, jeśli jest on dołączony do masztu tuż przy podstawie, a maszt jest odizolowany od ziemi przy pomocy izolatora o pomijalnie małych rozmiarach. Przyjąć przewodność ziemi a -►oo. 10.21 Dipol półfalowy umieszczono pionowo nad ziemią na wysokości H. Wyznaczyć i wykreślić charakterystyki promieniowania, jeśli wysokość zawieszenia anteny: a) H = 0,252; b) H = 0,52; c) H = 12. Przyjąć a ziemi -►oo. 10.22 Dipol półfalowy umieszczono poziomo wzdłuż osi x na wysokości H nad ziemią (a -* oo). Wyznaczyć i wykreślić charakterystyki promieniowania dioola, jeżeli:

c) H = U. 10.23 Wyznaczyć taką wysokość zawieszenia poziomego dipola nad ziemią (a -> oo), dla której kąt elewacji dla kierunku głównego listka promienio­ wania wynosi 0.

Rys. 10.10. Antena złożona

10.28 Antenę złożoną, przeznaczoną do nadawania sygnału telewizyjnego w III zakresie częstotliwości przedstawiono na rys. 10.10. Wyznaczyć i wykreślić charakterystyki promieniowania układu.

Anteny z falą bieżącą 10.29 Wyznaczyć charakterystykę promieniowania odcinka przewodnika o dłu­ gości / (/ a), przedstawionego na rys. 10.2a. Założyć, że rozkład prą­ du wzdłuż przewodnika można opisać zależnością /(z) = / Oe~j/*oz, 1 l 2 2 10.30 Wykreślić charakterystyki promieniowania odosobnionych anten z falą bieżącą o różnych długościach przewodnika: a) / = ż; b) / = 2Ż; c) / = 4Ż; d) / = 61 10.31 Wyznaczyć charakterystyki promieniowania anteny z falą bieżącą o dłu­ gości / = 4Ż, zawieszonej na wysokości H = 0,6/. nad ziemią o o -» oo (rys. 10.2b). 10.32 Wyznaczyć długość i wysokość zawieszenia anteny z falą bieżącą nad ziemią w celu uzyskania kierunku maksimum promieniowania pod kątem elewacji ae = 20°. 10.33 Zaprojektować antenę z falą bieżącą typu V (rys. 10.2c), przeznaczoną do łączności w zakresie fal krótkich ż0 = 25 m na odległość d = 2000 km. Przyjąć promień Ziemi R = 6400 km i wysokość warstwy odbijającej h = 400 km. 10.34 Zaprojektować antenę rombową przedstawioną na rys. 10.2c, przezna­ czoną do łączności na fali jonosferycznej na odległość l = 1000 km w paśmie fal krótkich ż0 = 19 m. Założyć, że odbicie fali występuje na wysokości h — 400 km. Przyjąć promień Ziemi R = 6400 km.

Anteny szczelinowe 10.35 Wykazać, że w przypadku dopełniających się płaszczyzn dipola paskowego oraz nieskończenie rozległego ekranu ze szczeliną, wykonanych z nieskoń­ czenie cienkiego i idealnego przewodnika (rys. 10.3b), spełnione są wyma­ gania umożliwiające zastosowanie zasady dualizmu. 10.36 Wyznaczyć charakterystykę promieniowania szczeliny półfalowej przed­ stawionej na rys. 10.3a, wyciętej w nieskończenie rozległym, idealnie przewodzącym i nieskończenie cienkim ekranie.

10.37 Każda z anten złożonych, przedstawionych na rys. 10.3c i d składa się z n szczelin wyciętych w falowodzie prostokątnym, zakończonym z jednej strony zwarciem. Wyznaczyć unormowane konduktancje wejściowe oraz polaryzacje fal promieniowanych przez te anteny. 10.38 Częstotliwość pracy anten złożonych, przedstawionych na rys. 10.3c i d wynosi f 0 — 8 GHz. Każda z nich składa się z n = 30 szczelin wyciętych w falowodzie R100 o wymiarach a = 22,9 mm i b = 10,2 mm. Dobrać położenie szczelin tak, aby zapewnić dopasowanie dla składowej rzeczy­ wistej admitancji wejściowej anteny. 10.39 Wyznaczyć i wykreślić charakterystyki promieniowania złożonych anten szczelinowych z zad. 10.38. 10.40 Dwie omawiane w zad. 10.38 i 10.39 złożone anteny szczelinowe o konstrukcji przedstawionej na rys. 10.11 umieszczono jedna nad drugą

w odległości d2 = 0,5Ao. Anteny są zasilane z jednego źródła za pośred­ nictwem 3 dB dzielnika mocy oraz przesuwnika fazy umieszczonego w jednym z torów. Wyznaczyć charakterystyki promieniowania układu w zależności od stanu pracy przesuwnika fazy. Przyjąć, że przesuwnik umożliwia uzyskanie różnicy faz sygnałów widzianych w płaszczyźnie wrót wejściowych obu anten w granicach —90° ^ A
11 Prowadnice fal TEM Podstawowe zależności: Związki między składowymi pól, impedancja falowa, siała propagacji — jak dla fali płaskiej (rozdz. 7)

Warunki brzegowe — rozdz. 2. Parametry jednostkowe, obwodowy opis linii; dla linii bezstratnych

dla linii stratnych y = y/(Ri +jcaL1)(G1+]coCx) Moc przenoszona przez linię P = J jS d s = Ul s Bezstratna linia współosiowa (o promieniach a > b) a ln u(e)--= C/o — i G ln b _ t/o *e E(
2ng

11.1 W kablu współosiowym o wymiarach a > b i dielektryku bezstratnym o ew — 4 amplituda prądu w przewodzie wewnętrznym wynosi / 0. Obliczyć amplitudę natężenia pola E przy przewodzie zewnętrznym. 11.2 W linii współosiowej o wymiarach a —2b i dielektryku bezstratnym o amplituda prądu wynosi / 0, a gęstość ładunku na przewodzie zewnętrznym w chwili t — 0 i płaszczyźnie z — 0 wynosi qs. Zapisać dla częstotliwości / pola E i H w tej linii. 11.3 Zapisać rzeczywiste, chwilowe wektory pól E i H (g, ę, z, a, e, p) dla bezstratnej powietrznej linii współosiowej o średnicach a i 3a, zwartej w płaszczyźnie z — a. Amplituda wypadkowa pola E wynosi a, a częc stotliwość fali / 6a

11.4 Narysować rozkłady linii pola elektromagnetycznego oraz prądów prze­ wodzenia i przesunięcia w przekroju wzdłużnym linii współosiowej dla: a) fali bieżącej; b) fali stojącej. Rysunki wykonać dla t — 0, zakładając, że w chwili tej dla z — 0 składowa E qjest maksymalna, a fala bieżąca rozchodzi się w kierunku + iz. 11.5 Zakładając, że w chwili t — 0 w płaszczyźnie z = 0 składowa EQpola fali rozchodzącej się w kierunku + Oz jest maksymalna, narysować rozkłady pól elektromagnetycznych w przekroju poprzecznym linii współosiowej w następujących przypadkach: a) t = 0, z = 0; b) t = r/4, z - ź/4; c) t = 0, z = ź/4; d) t = Tl8, z = 3Ź/8; e) t = 7/2, z —0. 11.6 Wykonać zad. 11.5 w przypadku fali stojącej. 11.7 Narysować zależność gęstości prądów przewodzenia i ładunku powierzch­ niowego od zmiennej z dla linii współosiowej zwartej w płaszczyźnie z = 2k dla dwóch wybranych chwil odległych o T/4. 11.8 Narysować rozkłady amplitud gęstości prądów przewodzenia i ładunku powierzchniowego dla linii współosiowej zwartej w płaszczyźnie z = 2L 11.9 Narysować rozkłady linii sił pól przy denku oraz gęstości powierzchniowej prądów i ładunków na denku zwierającym linię współosiową. 11.10 Narysować rozkład powierzchniowej gęstości prądu przewodzenia wzdłuż linii ABCDA dla prowadnicy TEM o przekroju przedstawionym na rys. 11.1.

Rys. 11.1. Przekrój prowadnicy TEM

Rys. 11.2. Przekrój linii współosiowej

11.11 Narysować zależność pola E wzdłuż linii ABCD dla linii współosiowej o przekroju przedstawionym na rys. 11.2. 11.12 Jaką maksymalną moc można przesłać przez linię współosiową o wy­ miarach a = 10 cm i b — 1 cm, z powietrzem jako dielektrykiem, jeżeli wytrzymałość powietrza przyjęto równą 1 kV/mm?

11.13 Podać wartość wektora S przy przewodzie zewnętrznym linii współosiowej o promieniach 6 i 3 mmjeżeli w rozpatrywanej chwili maksymalna wartość pola H w rozpatrywanym przekroju wynosi 2,65 mA/m, a składowa wzdłużna pola E przy przewodzie zewnętrznym jest 10 razy mniejsza od składowej poprzecznej. 11.14 Która z linii sił pola E dla fali TEM w przekroju podłużnym linii współosiowej (rys. 11.3) jest prawdziwa dla: a) linii bezstratnej; b) linii o stratnych ściankach; c) linii o stratnym dielektryku?

Rys. 11.3. Przekrój podłużny linii współosiowej

11.15 Sprawdzić na przykładzie linii współosiowej, czy moce przenoszone przez linię, obliczone metodami: połową i obwodową są sobie równe? 11.16 Dana jest linia współosiowa o promieniach a = 27,3 cm, b = 10 cm, wypełniona dielektrykiem o parametrach ew = 4, fiw = 1, o = 0. Obliczyć: a) pojemność jednostkową; b) indukcyjność jednostkową; c) impedancję falową; d) impedancję charakterystyczną linii. 11.17 Obliczyć stosunek promieni linii współosiowej, jeśli stosunek napięcia do prądu jest równy stosunkowi pola elektrycznego do magnetycznego. 11.18 Zmierzono, że pojemność pomiędzy przewodami metrowego odcinka kabla współosiowego, w którym dielektrykiem jest polistyren o ew = 2,55, wynosi 100 pF. Jaka jest impedancja charakterystyczna tego kabla? 11.19 Odcinek linii TEM o długości 1 m przy częstotliwości/ takiej, że / > lm , przy zwarciu na końcu ma admitancję wejściową Yz, a przy rozwarciu Yr. Obliczyć prędkość rozchodzenia się fali w tej linii. 11.20 Wykazać, że zwarty na końcu odcinek dwuprzewodowej linii TEM o dłu­ gości /, zachowuje się jak skupiona indukcyjność, gdy / X. Obliczyć tę indukcyjność. 11.21 Wykazać, że rozwarty na końcu odcinek linii TEM o długości / zachowuje się jak skupiona pojemność gdy l X. Obliczyć tę pojemność. 11.22 Krótki odcinek zwartej linii zachowuje się jak indukcyjność. Dla jakiej długości takiego odcinka reaktancja wejściowa różni się nie więcej niż o 1% od reaktancji zastępczej indukcyjności?

11.23 W praktycznych zastosowaniach struktur o stałych rozłożonych jest używany termin „skrócenie pojemnością”. Wykazać, przy jakich warun­ kach struktury z rys. 11.4a, b mają impedancję różniącą się o 5%. Jaka powinna być wartość pojemności skracającej C i jakie osiągamy skrócenie linii /,? a) o

Rozwarcie

Rys. 11.4. Rozwarta linia TEM (a) oraz linia skrócona pojemnością (b)

11.24 Czy można zwartą na końcu linię zastąpić skończonym układem skupio­ nych elementów R, L, C o takiej samej zależności impedancji wejściowej od częstotliwości? 11.25 Mamy do dyspozycji metrowy odcinek bezstratnej powietrznej linii TEM oraz typowy przyrząd uniwersalny pozwalający mierzyć: prąd, napięcie, rezystancję i pojemność (przy / = 50 Hz). Jak określić impedancję cha­ rakterystyczną linii? 11.26 W chwili t = 0 do odcinka powietrznej rozwartej linii współosiowej, o impedancji charakterystycznej Z 0 i długości 40 cm, dołączono idealny omomierz. Jakie będzie wskazanie omomierza w chwilach: a) t x = 1 ns; b) t2 = 1 s. 11.27 Uszeregować linie o podanych przekrojach (rys. 11.5) według wzrastającej impedancji charakterystycznej.

b) V /////////J Z 7 7 77A iz //////////7 z z m

Rys. 11.5. Przekroje linii TEM o różnych impedancjach charakterystycznych

11.28 Między dwiema nieskończonymi, równoległymi płytami odległymi od siebie o 10 cm rozchodzi się fala TEM. Obliczyć tłumienie tej fali na jednostkę odległości, jeśli / = 100 MHz, a
a^>didz Rys. 11.6. Przekrój poprzeczny niejednorodnej płaskiej linii TEM

11.30 W powietrznej linii współosiowej o proporcji wymiarów poprzecznych a — 26, w celu podtrzymania przewodu wewnętrznego zastosowano wkładki z bezstratnego dielektryka o stałej dielektrycznej z. Obliczyć, jaka powinna być proporcja wymiarów odcinków z wkładką, aby da­ wały one możliwie małe odbicia. 11.31 Obliczyć zastępczą stałą dielektryczną linii współosiowej o promieniach a > ó, wypełnionej bezstratnym niemagnetycznym dielektrykiem niejed­ norodnym o z = e0 - . 11.32 Na rysunku 11.7 przedstawiono przekrój linii płaskiej. Wyprowadzić przybliżone zależności na amplitudy 17, /, H, L ,, C l5 Z 0, qs, J s, jeśli jest dana amplituda pola elektrycznego £ 0. V 7 7 Z7 7 7 Z7 /7 7 /7 7 7 7 7 7 \ *

b

a»ó Rys 11.7. Przekrój linii płaskiej

11.33 Linię współosiową o rzeczywistej impedancji charakterystycznej Z 0 za­ kończono skupionymi impedancjami Za, Z b, Z c tak dobranymi, że współczynnik fali stojącej w linii wynosi: a) Q = 1; b) q = 2 (w płaszczyźnie dołączenia impedancji występuje maksimum pola elektrycznego); c) q = 2 (w płaszczyźnie dołączenia maksimum pola magnetycznego). Określić wartości impedancji Za, Z b i Zc.

1134 Dana jest linia współosiowa o promieniach a,b(a > b,a * b). Wykazać, że impedancja charakterystyczna tej linii jest w przybliżeniu równa impedancji linii płaskiej o szerokości przewodów równej obwodowi linii współosiowej oraz o odległości przewodów takiej jak w linii współosiowej. Uzasadnić fizycznie wynik.' 11.35 Na rysunku 11.8 pokazano w przekroju linie paskowe symetryczną i nie­ symetryczną. Zakładając, że większość energii elektromagnetycznej gro­ madzi się w prostokątach nad i pod wewnętrznym paskiem (a x 2b) w przypadku linii symetrycznej oraz pod wewnętrznym paskiem (a x b) w przypadku linii niesymetrycznej oraz zakładając, że w tych obszarach pole jest jednorodne porównać parametry obwodowe L v C p Z0 obu linii.

[

C

)

Rys. 11.8. Przekroje symetrycznej i niesymetrycznej linii paskowej

11.36 Znaleźć błąd w rozumowaniu: a) potencjał uziemionego przewodu zewnętrznego linii współosiowej jest stały i równy zeru; b) pole elektryczne przy przewodzie zewnętrznym jest proporcjonalne do gradientu potencjału przy tym przewodzie; c) gradient jest operacją różniczkową (pochodną po przestrzeni); d) pochodna z funkcji stałej (potencjał przewodu zewnętrznego) jest rów­ na zeru; e) pole E przy przewodzie zewnętrznym linii jest równe zeru. 11.37 Linia współosiowa jest zakończona pojemnością wykonaną tak, jak na rys. 11.9. Dielektrykiem jest powietrze. Obliczyć wartość współczynnika odbicia w płaszczyźnie odległej o jedną ósmą fali od końca linii.

i

Rys. 11.9. Przekrój poprzeczny linii współosiowej zakończonej pojemnością

11.38 Dlaczego we wnętrzu falowodu tworzącego linię jednoprzewodową nie może rozchodzić się fala TEM?

11.39 Dlaczego w linii współosiowej o przewodach wewnętrznym i zewnętrznym o tym samym potencjale U0 nie może rozchodzić się fala TEM? 11.40 W trójprzewodowej linii TEM określono rozkłady potencjału U(x,y): 1. U(x,y) = U 1(x,y) dla 17, = 1 V, U2 = 0V , l / 3 = 0 V 2. U(x,y) = U2(x,y) dla Ux = 1 V, U2 = 3 V, U3 = 1 V Funkcje U t (x,y) i U2(x,y) są znane. Określić (zakładając liniowość ośrodka wypełniającego linię) rozkład potencjału w tej linii dla warunków a) V t -= 2 V, U 2 == 4 V, U 3 == 6 V; b) U, --= 0 V, U3 -= - 1 u == - i v, c) U , - = —2 V, v == 5 V. U 2- = 6 V, 11.41 Znaleźć rozkład pól w powietrznej linii TEM o przekroju poprzecznym i warunkach jak w zad. 4.56, zakładając, że pole E w rozwiązaniu R.4.56 dotyczy przekroju z = 0 i chwili t — 0. 2

3

12 Falowody Falowody o ściankach metalowych Długość fali

Współczynnik propagacji 72 = Pg +ja>p (
7

= a +j/?

Prędkość fazowa i grupowa

Impedancje falowe rodzajów E i H

Fala rozchodzi się w kierunku Oz. Falowód prostokątny o wymiarach ax.b

Rodzaj Hm>n

Ez = 0

mnx nny jot cos Hz = H 0 cos a T

) 'i z

OTJty, . wtdc nny . , Hx = tf 0—s r s m ----- c o s - / ^ ' ' 7' 2 a/3, a b H

mnx . nny . , , nn7z Hr. -r~rzr CO S ----- sin — — eJ ~y*z 2 0 bp9 a b

E

j oj/inn mnx Hr sin^— ej"' “ 2 2 cos a b 0 bp9

rj

rr . mnx nny . , E = H n- ~ -2 s i n ----- cos — eJW‘ 7lZ a b ° aP9 Rodzaj £ mi„

Ez =

Hz = 0

. mrcx . nny jwj-y*z E0 sin sin a b

E

mnyz mnx . nny , E^ —— 2 cos------ sin — - eJ b a 0 aP9

Ey

nny2 . mnx nny jc),_ yzZ Ea — 2 sin----- cos-^—eJ Vz 0 bfr9 b a

7z

H

}
H

jcoeimt iwtx . nny jat_ E0— -z—cos — sin -r—eJ"' y‘ aPg a b

V

j o t - >’* Z

Falowód kołowy o promieniu a Rodzaj E

E. E

=

Xm, n

fi

a

Ero
F = E —— * to r 02 i? E

cos m ,~'1 ' 2 J

in

H9

E ZfE f

Rodzaj Hm_n

p,

Xm , n a

H

0

H. = H 0 i Smmę } Jm{fi, r) e** - ’■* cos mm H H

H 0 f7 \ Smm(P\ j ' m(f}gr ) ^ ~ y p [cos m ę ) 9 my H 2 ° r fi9 H* ZfH>

mę) f J m{Pgr ) e ^ - ^ sin m ę ) 9

COS

E
ZfH’

E

0

Uwaga! O ile w warunkach zadania nie podano parametrów ośrodka, to należy założyć, że falowody są wypełnione dielektrykiem bezstratnym, a ścianki są wykonane z idealnego przewodnika. 12.1 W falowodzie prostokątnym o wypełnieniu powietrznym wzbudzamy falę elektromagnetyczną przestrajając generator od / = 0 do / = 6 GHz. Obliczyć i zaznaczyć na osi częstotliwości wzbudzania się kolejnych rodzajów fal, gdy wymiary falowodu wynoszą: a) a == /> == 10 cm; b == 5 cm; b) a == 10 cm, b == 2,5 cm c) a == 10 cm, 12.2 Obliczyć częstotliwość i długość graniczną fali o rodzaju podstawowym rozchodzącej się w falowodzie prostokątnym o wymiarach a — 5 cm, b — 2,5 cm wypełnionym: a) powietrzem (ew = = 1, a = 0); b) polistyrenem (ew = 2,7, fiw = 1, g = 0); c) ceramiką alundową (ew = 9,7, fiw — 1, o = 0). 12.3 W falowodzie prostokątnym o bokach a = 3 cm, b = 1,4 cm rozchodzi się fala o częstotliwości 8,3 GHz. Narysować w trzech rzutach: a) rozkład linii pola elektromagnetycznego; b) rozkład gęstości prądu przewodzenia w ściankach falowodu oraz prądów przesunięcia. 12.4 Wykonać polecenie z zadania 12.3, jeżeli częstotliwość fali wynosi 4,9 GHz. 12.5 Obliczyć tłumienie (w decybelach) fal o rodzajach H t 0, H 0 H xA w fa­ lowodzie o wymiarach a — 10 cm, b — 5 cm na długości 1 cm. Obliczenia wykonać dla częstotliwości 1; 1,5; 2,5; 3 GHz. 12.6 W falowodzie prostokątnym o przekroju poprzecznym a x b rozchodzi się fala o rodzaju H l 0. Wyprowadzić, na podstawie zależności na pole elektromagnetyczne w falowodzie, wzory opisujące: a) rzeczywisty wektor Pointinga; b) wartość średnią wektora Pointinga; c) średnią wartość mocy przenoszonej przez przekrój poprzeczny fa­ lowodu.

12.7 W falowodzie prostokątnym o bokach a = 2,5 cm, b = 2 cm wypełnionym powietrzem rozchodzi się fala o częstotliwości / = 10 GHz. Wiedząc, że maksymalna amplituda pola elektrycznego E0 = 50 V/m obliczyć: a) amplitudę składowej prostopadłej i wzdłużnej pola magnetycznego; b) amplitudę wektora Pointinga; c) maksymalną gęstość prądu płynącego w ściankach; d) maksymalną gęstość ładunku indukowanego w ściankach falowodu. 12.8 Obliczyć maksymalną moc przenoszoną przez falowód prostokątny o wy­ miarach a = 2,5 cm, b = 1 cm, w którym rozchodzi się fala o częstotliwości 10 GHz. Ograniczenie mocy przesyłanej falowodem wynika z ograniczonej wytrzymałości powietrza na przebicie (£d = 500 kV/m). Jak zmieni się maksymalna moc, jeżeli falowód wypełnimy sprężonym azotem (Ed = = 3,3 MV/m). 12.9 Falowód powietrzny o bokach a = 15 mm, b = 8 mm jest pobudzany drganiami o częstotliwościach: a) f 2 = 12,5 GHz; b) f 2 = 16,7 GHz. Obliczyć: Xf , vf , vg, af , 0f , Z f . 12.10 Wykonać zadanie 12.9 jeżeli falowód jest wypełniony polistyrenem (c„. = = 2,56, fi = n0, tg 5 = 0,0005). 12.11 Falowód powietrzny o wymiarach a = 2,5 cm, b — 1 cm jest pobudzany impulsami prostokątnymi o postaci: U = - (sin (ot + - sin 3a>f + \ sin 5
12.14 Narysować rozkład amplitud poprzecznych pól elektrycznych i magne­ tycznych w falowodzie kwadratowym o boku a = 3 cm, wzdłuż drogi pokazanej na rys. 12.1, dla chwili: a) t = 0 (gdy poprzeczne pole E jest minimalne); b) t = 1/8; c) gdy poprzeczne pole E jest maksymalne. W falowodzie rozchodzi się fala o rodzaju H tl i częstotliwości/ = 10 GHz.

12.15 W falowodzie prostokątnym gęstość ładunku indukowanego na ściance w chwili t — 0 wyraża się zależnością: gs(x,0,z)= 10” 7sin 1007cxcos(507tz —7t/4)

[C/m 2]

Wiedząc, że w falowodzie rozchodzi się fala o rodzaju H l 0 obliczyć: a) wymiary falowodu; b) częstotliwość fali; c) maksymalne natężenie pola elektrycznego i magnetycznego. 12.16 Dla danych z zad. 12.15 skonstruować wyrażenia opisujące składową wzdłużną wektora gęstości prądu przewodzenia J oraz wektora Pointinga w dowolnej chwili czasu. 12.17 Fala TEM o częstotliwości / = 10 GHz przechodzi z linii koncentrycznej o impedancji charakterystycznej Z = 500 do falowodu prostokątnego, wypełnionego powietrzem, o bokach a = 2 cm, b = 1 cm. Linia współosio­ wa o promieniu przewodu wewnętrznego r = 1 mm jest wypełniona teflonem (£r = 2,25). W falowodzie rozchodzi się fala rodzaju H l 0. Obliczyć: a) długość fali, jaka rozchodzi się w falowodzie; b) stosunek maksymalnych amplitud pól elektrycznego i magnetycznego w linii współosiowej do odpowiednich amplitud pól w falowodzie w przypadku dopasowania mocy.

12.18 W falowodzie prostokątnym o bokach a — 2 cm, b = 1 cm rozchodzi się fala o częstotliwości 10 GHz. Wiedząc, że amplituda pola elektrycznego wynosi E0y — 50 V/m, obliczyć: a) moc przenoszoną przez falowód; b) maksymalną gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego; c) maksymalną różnicę potencjałów pomiędzy ściankami. 12.19 Obliczyć energię zmagazynowaną w polu elektrycznym i magnetycznym w odcinku falowodu prostokątnego o bokach a, b i długości kf /2, W fa­ lowodzie rozchodzi się fala o rodzaju 0. 12.20 W falowodzie prostokątnym o bokach a, b rozchodzi się fala o rodzaju E 1A. Wyprowadzić wzory określające stosunki amplitud składowych poprzecznych wektorów pól E i H w zależności od stosunku boków falowodu i jego impedancji falowej. 12.21 W powietrznym falowodzie kwadratowym o boku a = 1 cm rozchodzi się fala elektromagnetyczna o rodzaju Eltl i częstotliwości/ = 30 GHz. Wie­ dząc, że amplituda składowej wzdłużnej pola elektrycznego wynosi E0z = = 10 V/m, obliczyć: a) amplitudy składowych prostopadłych pola elektrycznego; b) amplitudy składowych pola magnetycznego; c) maksymalną gęstość prądu przewodzenia w ściankach; d) maksymalną gęstość powierzchniową ładunku zaindukowanego w ścian­ kach falowodu; e) maksymalną amplitudę wektora Pointinga. 12.22 Obliczyć maksymalną moc przenoszoną przez kwadratowy falowód 0 boku a = 1 cm wypełniony polistyrenem (ew = 2,7, = U & = 0). W falowodzie rozchodzi się fala elektromagnetyczna o rodzaju Eul 1częstotliwości/ = 20 GHz, Wytrzymałość polistyrenu na przebicie wynosi Ema* = 160 kV/cm. 12.23 W powietrznym falowodzie kwadratowym o boku a = 1 cm rozchodzi się fala elektromagnetyczna o rodzaju Jf/M i częstotliwości / = 30 GHz. Maksymalna gęstość powierzchniowa prądu przewodzenia w ściankach falowodu wynosi J 0 — 10 mA/m. Obliczyć: a) amplitudy składowych wektorów pól E i //; b) maksymalną gęstość ładunku indukowanego na ściankach falowodu; c) moc przenoszoną przez falowód; d) podać współrzędne obszarów, w których występuje maksymalna gę­ stość mocy. 12.24 Odcinek falowodu prostokątnego o bokach a = 1 cm, b = 2 cm i długości / wypełniono ośrodkiem żyrotropowym o parametrach: 4 0 0 0 4 0 0 0 1 W falowodzie rozchodzi się fala elektromagnetyczna o rodzaju E ltl

i częstotliwości 10 GHz. Maksymalna amplituda składowej wzdłużnej pola elektrycznego w próżni wynosi £ 0z. Dobrać długość wkładki / tak, aby nie występowały odbicia. Obliczyć maksymalną amplitudę pola elektrycznego we wkładce. 12.25 Falowód powietrzny o wymiarach a — 2 cm, b = 1 cm zakończono zwarciem. Odcinek falowodu o długości d = 1 cm, znajdujący się bezpo­ średnio przed zwarciem wypełniono dielektrykiem bezstratnym (sr = 2). W falowodzie rozchodzi się fala o rodzaju podstawowym H l 0 i często­ tliwości / = 10 GHz. Obliczyć odległość pierwszego minimum fali stojącej od płaszczyzny zwarcia. Narysować rozkład fali stojącej, jeżeli amplituda pola elektrycznego wynosi £ 0. 12.26 W falowodzie prostokątnym o bokach ax = 2 cm, bl = 1 cm, wypełnionym powietrzem, rozchodzi się fala o częstotliwości 12,5 GHz. Falowód jest połączony za pomocą transformatora ćwierćfalowego z falowodem o wy­ miarach a3 = 1,5 cm, fe3 = 1 cm. Obliczyć szerokość a2 oraz długość l transformatora. Jakie są maksymalne wartości natężeń pól elektrycznych i magnetycznych w falowodach, jeżeli amplituda fali padającej wynosi E0 = 10 V/m. Pominąć efekty związane ze skokową zmianą wymiarów falowodu. 12.27 Do prostokątnego falowodu powietrznego włożono wkładkę dielektryczną tak, że J4e0 1 £0

0

< y < d\

d <ś b

d < y < b

Wykorzystując schemat zastępczy typu y falowodu oszacować, ile razy zmieni się częstotliwość graniczna w stosunku do falowodu wypełnionego powietrzem. Obliczyć zastępczą stałą dielektryczną eeff. 12.28 Wykazać, że w falowodzie prostokątnym przy częstotliwości granicznej rodzaju podstawowego H x 0 w każdej płaszczyźnie x = c, gdzie 0 < c < a zachodzi warunek tzw. rezonansu poprzecznego, tzn. zastępcze reaktancje wejściowe widziane w tej płaszczyźnie w kierunkach + 0x oraz —0x są sobie równe co do wartości i są przeciwnych znaków. Wskazówka: obszary położone po obu stronach płaszczyzny x = c można traktować jako odcinki linii transmisyjnej, zwarte na końcach, o długoś­ ciach lt = c, l2 = a —c. 12.29 Obliczyć, wykorzystując zasadę rezonansu poprzecznego (zadanie 12.26), częstotliwość graniczną rodzaju H 1 0 w falowodzie wypełnionym dielek­ trykiem niejednorodnym: n = fi0> <* = 0 J9£0 0 < x < c ( e0 c < x < a 5 71 Wskazówka: rozwiązaniem równania: tgx = —3 tg -x jest x = 2 6

12JO W powietrznym falowodzie prostokątnym o bokach a i b rozchodzi się fala elektromagnetyczna o pulsacji ca i rodzaju H i 0. Wykorzystując metodę rozdzielania zmiennych znaleźć magnetyczny wektor Hertza. Obliczyć wektory E i H. 12.31 Wyprowadzić zależność na współczynniki tłumienia a w falowodzie powietrznym o bokach a, b dla rodzaju jeżeli rezystancja strat ścianek wynosi Rs. Wskazówka: przy małej stratności przewodnika tłumienie jest opisane wzorem przybliżonym Ps _ R5§\J\2dl 2P 4P gdzie: P i Ps — odpowiednio średnia moc przenoszona i strat. 12.32 Falowód kołowy o promieniu a = 2,5 cm jest wypełniony powietrzem. Obliczyć graniczne częstotliwości i długości fal kolejnych rodzajów wzbudzających się w paśmie częstotliwości 0... 15 GHz. 12.33Narysować rozkład linii pola elektromagnetycznego o rodzajach H t v /Jo.!, £ 0.i> ^ 1 , 1 w falowodzie kołowym. 12.34 Impedancja falowodu kołowego o promieniu at — 2,5 cm i rodzaju JJltl przy częstotliwości / = 10 GHz jest równa impedancji drugiego falowodu kołowego o rodzaju H 0 v Obliczyć wymiary drugiego falowodu. Porównać długości fal w obu falowodach. 12.35 Wyprowadzić wzór na moc przekazywaną przez falowód kołowy o pro­ mieniu a i rodzaju E0 v Wskazówka: P

Zf 2

\Ht\2 ds

Z f ta E2 Zds 2Z q(o2 9J

12.36 Falowód prostokątny o wymiarach a = 2 cm, b = 1 cm przechodzi w sposób ciągły w falowód kołowy. Obliczyć promień falowodu cylindrycz­ nego tak, aby impedancje falowe przy propagacji rodzajów podstawowych w obu falowodach były takie same. Obliczyć amplitudy wektorów pola elektrycznego, magnetycznego oraz wektora Pointinga. Amplituda pola elektrycznego w falowodzie prostokątnym wynosi E0x = 2 V/m, częstotli­ wość / = 10 GHz. Wskazówka: przy bezodbiciowym połączeniu falowodów można założyć (pomijając efekty wynikające ze zmiany wymiarów), że całka wektora Pointinga po powierzchni poprzecznej falowodu jest stała. Wykorzystać wzory z zad. 12.35 oraz: f* /• Z 02 to2 2Zf ml 5

12.37 Dwa falowody cylindryczne o promieniach a1 = 2 cm, a2 = 1 cm dopaso­ wano bezodbiciowo za pomocą cylindrycznego transformatora ćwierćfalowego. W prowadnicach rozchodzi się fala o rodzaju £ 01 i częstotliwości / = 15 GHz. Obliczyć wymiary odcinka ćwierćfalowego. Zakładając, że amplituda pola elektrycznego w pierwszym falowodzie wynosi = 1 V/ra obliczyć amplitudę £ 2 w falowodzie drugim. Wykorzystać w rozwiązaniu wyniki poprzedniego zadania. 1238 Wyprowadzić wzór na tłumienie rodzaju £ 01 w powietrznym falowodzie kołowym o promieniu a i rezystancji ścianek Rs. Wykorzystać w rozwiąza­ niu wzory z zadań 12.31,12.35. Znaleźć częstotliwość, dla której tłumienie jest minimalne. Wskazówka: średnia moc strat jest równa całce po ściankach falowodu: 2Zq fil (Og J|_ 0n J

5

12.39 Zaproponować, met odę obliczania częstotliwości odcięcia w linii współ­ osiowej (częstotliwości granicznej podstawowego rodzaju falowodowego H i.il 12.40 Z części kabla współosiowego z wypełnieniem dielektrycznym utworzono falowód Goubau poprzez zdjęcie przewodu zewnętrznego. Jaki rodzaj fali wzbudzi się w falowodzie, jeżeli w linii współosiowej rozchodzi się fala TEM? Narysować rozkład pola w falowodzie. Czy długość fali przy przejściu z linii do falowodu ulegnie zmianie?

13 Rezonatory Część zadań zawartych w tym rozdziale wykracza poza materiał zawarty w podręczniku T. Morawskiego i W. Gwarka „Teoria pola elektromagnetycz­ nego”, WNT 1985. Zadania te zostały oznaczone *. Zależności niezbędne do ich rozwiązania znajdzie Czytelnik w dodatku 1, gdzie podano również sposób wyznaczania pól elektromagnetycznych w rezonatorach przy zastosowaniu wektorów Hertza. Zależności podstawowe coW

(13.1)

We +1 W Wfm Re(s)E E* <1V % >J Vi)

(13.2) (13.3)

Re(u)H H *dV

(13.4)

Vo

W rezonatorze izolowanym energetycznie od otoczenia przy częstotliwości równej częstotliwości drgań swobodnych W.= K W rezonatorze izolowanym energetycznie od otoczenia

(13.5)

Pq = P qd + Pqm

(13.6)

Pąd — średnia moc strat w ośrodku wypełniającym rezonator; Pqm — średnia moc strat w metalowych ściankach rezonatora. rr Pqd lm(e)EE* dK+ -a> lm (n)H H *dV 2

(13.7)

Vo rr

\H,\2ds

(13.8)

J+ So

(13.9) gdzie: V0 — S0 — Pm — crm — H, —

objętość rezonatora; powierzchnia metalowych ścian rezonatora; przenikalność magnetyczna metalowych ścian rezonatora; konduktywność metalowych ścian rezonatora; składowa pola magnetycznego rezonatora o idealnie przewo­ dzących ściankach, styczna do powierzchni S0.

13.1 Rezonator prostopadłościenny H 10l o dużej dobroci w chwili t = 0 zo­ stał odizolowany energetycznie od otoczenia. Dla t = 0, H = 0, a roz­ kład pól elektromagnetycznych jest taki, jak przedstawiono na rys. 13.1. Narysować: a) rozkład linii pól E i H w rezonatorze w chwilach t = 778; T/4; 3 778 i 7/2;

Rys. 13.1. Rozkład pól elektromagnetycznych w rezonatorze prostopadłościcnnym H lin w chwili l — 0

b) zależności energii: elektrycznej We, magnetycznej Wm i całkowitej W gromadzonych w rezonatorze oraz mocy strat: w dielektryku Pqi, w me­ talowych ściankach rezonatora Pqm i całkowitej Pq w funkcji czasu; c) rozkład gęstości prądów powierzchniowych J s i ładunków powierzch­ niowych a na ściankach rezonatora w chwilach t = T/4 i t = T/2. 13.2 Wykazać, że dobroć rezonatora o idealnie przewodzących ściankach, izolowanego energetycznie od otoczenia, zawierającego liniowy, izotropo­ wy, stacjonarny i bezźródłowy ośrodek wypełniający,- można wyznaczyć z zależności: Q = co'v/(2to") gdzie: cov = co'v-ł-jco" jest zespoloną pulsacją drgań swobodnych rezonatora opisującą zależność pól elektromagnetycz­ nych od czasu zgodnie z wzorami E(r) = Re [EeJ" v‘],

H(r) = Re [HeJ" vł].

13.3 Wykazać, że dobroć rezonatora wnękowego o idealnie przewodzących ściankach, wypełnionego całkowicie małostratnym, izotropowym materia­ łem o zespolonych przenikalnościach: elektrycznej e = e' — je" i magnetycz­ nej n = fi' —j/r" wyraża się wzorem Q = 1/(tg <5£+ tg <5„). 13.4 Wyznaczyć pola elektromagnetyczne rodzajów E (względem osi z) rezo­ natora prostopadłościennego o wymiarach jak na rys. 13.2. Założyć, że ścianki rezonatora są idealnie przewodzące, a ośrodkiem wypełniającym jest próżnia. 13.5 Wyznaczyć pola elektromagnetyczne rodzajów H (względem osi z) rezo­ natora prostopadłościennego o wymiarach jak na rys. 13.2. Założyć, że ścianki rezonatora są idealnie przewodzące, a ośrodkiem wypełniającym jest próżnia.

>—

j

13.6 Wyznaczyć pole elektromagnetyczne rodzajów E rezonatora cylindryczne­ go o idealnie przewodzących ściankach, promieniu równym a i wysokości równej /, wypełnionego izotropowym ośrodkiem bezstratnym o względ­ nych przenikalnościach ew i 13.7 Wyznaczyć pola elektromagnetyczne rodzajów H rezonatora cylindrycz­ nego o idealnie przewodzących ściankach, promieniu równym a i wysokoś-

ci równej /, wypełnionego izotropowym ośrodkiem bezstratnym o względ­ nych przenikalnościach ew i juw. 13.8 Dla jakiego stosunku promienia do wysokości częstotliwości drgań swobodnych rezonatorów £ 010 i H xll są sobie równe? 13.9 Narysować wykres rodzajów rezonatora cylindrycznego wypełnionego izotropowym ośrodkiem bezstratnym. (Wykresem rodzajów nazywamy zależność a)2£fia2 = f [(a//)2].) 13.10 Wykazać, że dla rezonatora w kształcie wycinka walca jak na rys. 13.3 zbiór częstotliwości drgań swobodnych rodzajów E wyraża się wzorem:

gdzie: c = prędkość światła w próżni; 9 = mn/0; x^ n — n-te zero funkcji J$(x) = 0.

Rys. 13.3. Rezonator w kształcie wycinka walca

Rys. 13.4. Rezonator współosiowy

13.11 Wyznaczyć pola elektromagnetyczne rodzajów E rezonatora współosio­ wego przedstawionego na rys. 13.4. Założyć, że ośrodkiem wypełniającym rezonator jest próżnia. Wykazać, że rodzaje E00p tego rezonatora są rodzajami TEM. *13.12 Wyznaczyć pola elektromagnetyczne rodzajów E i H rezonatora sferycz­ nego o promieniu równym a. Ośrodkiem wypełniającym rezonator jest próżnia. Podać warunki rezonansu dla obydwu rodzajów drgań. 13.13 Wyznaczyć dobroci rodzajów E (względem osi z) rezonatora prostopadłościennego przedstawionego na rys. 13.2. Założyć, że jedynym źródłem strat są straty w metalowych ściankach rezonatora o rezystancji powierzch­ niowej Rs. 13.14 Obliczyć częstotliwość drgań swobodnych i dobroć rodzaju £ 110 rezona­ tora prostopadłościennego przedstawionego na rys. 13.2 zakładając a = b = l = 2 cm, Rs = 0,03 O. 13.15Obliczyć wymiar krawędzi rezonatora sześciennego rodzaju E ll0 i jego dobroć zakładając, że częstotliwość drgań swobodnych dla tego rodzaju

drgań jest równa / v — 10 GHz, a Rs — 0,06 Q. Założyć, że ośrodkiem wypełniającym rezonator jest próżnia. 13.16 Wyznaczyć dobroć rezonatora cylindrycznego rodzaju H 0ll o promieniu równym a i wysokości równej /. Założyć, że rezystancja powierzchniowa jego ścian jest równa R^ a ośrodkiem wypełniającym rezonator jeśt próżnia. 13.17 Wyznaczyć dobroć rezonatora cylindrycznego rodzaju £ 010 o promieniu równym a i wysokości równej /. Założyć, że rezystancja powierzchniowa jego ścian jest równa R# a ośrodkiem wypełniającym rezonator jest próżnia. 13.18 Dwa rezonatory: cylindryczny rodzaju H01i o średnicy równej wysokości i sześcienny rodzaju £ 110, mają taką samą częstotliwość drgań swobod­ nych. Obliczyć stosunek dobroci obydwu rezonatorów zakładając, że ośrodkiem wypełniającym je jest próżnia. 13.19 Wyznaczyć pola elektromagnetyczne cylindrycznego rezonatora rodzaju quasi E010 wypełnionego częściowo materiałem bezstratnym o względnych przenikalnościach: elektrycznej ewl i magnetycznej /xwl w sposób przedsta­ wiony na rys. 13.5. Z

i

\ h

W

W

a

v ////^ /Ą

Z

/

.

Rys. 13.5. Rezonator cylindryczny częściowo wypełniony ośrodkiem materialnym

13.20 Wyznaczyć pola elektromagnetyczne cylindrycznego rezonatora rodzaju quasi H010 wypełnionego częściowo materiałem bezstratnym o względ­ nych przenikalnościach: elektrycznej ewl i magnetycznej w sposób przedstawiony na rys. 13.5. 13.21 Wyznaczyć pola elektromagnetyczne rodzajów H rezonatora utworzonego ze zwartego na końcu falowodu prostokątnego wypełnionego częściowo dielektrykiem bezstratnym o względnej przenikalności elektrycznej ewl w sposób przedstawiony na rys. 13.6. Podać warunki rezonansu takiego rezonatora.

Rys. 13.6. Rezonator dielektryczny utworzony ze zwartego na końcu odcin­ ka falowodu prostokątnego z wkładką dielektryczną

13.22 Wyznaczyć pola elektromagnetyczne i wyprowadzić równanie charakte­ rystyczne rodzajów H 0np rezonatora dielektrycznego utworzonego ze zwartego na obu końcach falowodu dielektrycznego o długości równej /, promieniu dielektryka równym a i względnej przenikalności elektrycznej dielektryka równej swl (rys. 13.7).

Rys. 13.7. Cylindryczny rezonator dielektryczny umieszczony między równoległymi idealnie przewodzącymi płaszczyznami

*13.23 Wykazać, stosując quasi-statyczną aproksymację pól elektromagnetycz­ nych w metodzie rachunku zaburzeń, że pulsacja drgań swobodnych rezonatora cylindrycznego quasi £ 010 zaburzonego częściowo materiałem bezstratnym w sposób przedstawiony na rys. 13.5 wyraża się przybliżonym wzorem oj « ojv0 v

w 1/ J

\ gdzie

q j v0

-M < 1 ^wi/ — pulsacja drgań swobodnych rodzaju £ 010 rezonatora niezaburzonego.

13.24 Równanie rezonansu cylindrycznego rezonatora quasi £ 010 wypełnionego częściowo materiałem w sposób przedstawiony na rys. 13.5 jest nastę­ pujące: Pz 1tg (Pz 1h)

+

Pzl

tg [ P z 2

( l ~ h)] 2

gdzie: /?2\

#

c — prędkość światła w próżni. Niech cuv0 oznacza pulsację drgań swobodnych rodzaju £ 010 rezonatora niezaburzonego. Wykazać rozwijając równanie rezonansu w szereg Taylo­ ra wokół punktu o współrzędnych (w v0, h = 0), że dla małych zaburzeń

rezonatora (cov—cov0)/cov < 1 i h/l < 1, pulsacja drgań swobodnych rezo­ natora zaburzonego wyraża się wzorem

*13.25 Stosując metodę perturbacyjną z quaśi-statyczną aproksymacją pól elek­ tromagnetycznych wyznaczyć częstotliwość drgań swobodnych rodzaju quasi £ 110 rezonatora prostopadłościennego z umieszczoną w środku jego symetrii niewielką kulką dielektryka o promieniu równym R i względnej przenikalności dielektrycznej równej ew. Wymiary rezonatora jak na rys. 13.2. *13.26 Z odcinka falowodu prostokątnego o wymiarach poprzecznych a = = 22,86 mm, b = 10,16 mm, wykonano rezonator, którego częstotliwość drgań swobodnych dla rodzaju H 101 wynosi/v0 = 9500 MHz. Wyznaczyć, stosując metodę perturbacyjną, średnicę pręta dielektrycznego o względnej przenikalności elektrycznej ew = 10 potrzebną do przestrojenia rezonatora do częstotliwości / v = 9000 MHz. Pręt jest umieszczony w rezonatorze w sposób przedstawiony na rys. 13.8.

Rys. 13.8. Rezonator prostopadłościenny zawierający cylinder dielektryczny

13.27 Wykazać, że dobroci rodzajów H0np rezonatora cylindrycznego wypełnio­ nego częściowo dielektrykiem bezstratnym o względnej przenikalności elektrycznej równej ewl i magnetycznej równej nwl w sposób przedstawiony na rys. 13.5, wyrażają się wzorem 0 = _______
13.28 Dany jest rezonator cylindryczny rodzaju E010. Jak zmieni się jego częstotliwość po zmianie długości o Al. Porównaj wynik otrzymany bezpośrednio z wynikiem otrzymanym przy zastosowaniu wzoru pertur­ bacyjnego. 13.29Dany jest rezonator cylindryczny rodzaju H 01l. Jak zmieni się jego częstotliwość po zmianie długości o Al <§ /. Porównaj wynik otrzymany bezpośrednio z wynikiem otrzymanym przy zastosowaniu wzoru pertur­ bacyjnego. 1330 Dany jest cylindryczny rezonator bezstratny quasi H 0lp z niejednorodnym dielektrykiem, jak na rys. 13.5. Wyprowadzić równanie rezonansu tego rezonatora korzystając z twierdzenia, że suma reaktancji widzianych w kie­ runku + z i —z od płaszczyzny z = h dzielącej rezonator na dwie części, równa się zeru. 13.31 Dany jest rezonator TEM utworzony z dwóch odcinków linii współosio­ wych (rys. 13.9). Wyznaczyć częstotliwość rezonansową tego rezonatora korzystając z twierdzenia, że suma reaktancji widzianych w kierunku + z i —z od płaszczyzny styku linii współosiowych dzielącej rezonator na dwie części, równa się zeru. Wymiary i impedancje charakterystyczne linii potraktować jako dane. Ośrodkiem wypełniającym linie jest próżnia. i

Rys. 13.9. Rezonator TEM utworzony z dwóch zwartych na końcach odcinków linii współosiowych

13.32 W rezonatorze o dobroci Q = 10000 jest zgromadzona energia w = 10” 8 J. W tyiń samym czasie uśredniona za okres moc strat wynosi Pą = 10 mW. Wyznaczyć: a) częstotliwość drgań swobodnych rezonatora; b) czas, w ciągu którego energia zgromadzona w rezonatorze zmaleje e-krotnie.

14 Wybrane ogólne właściwości pól elektromagnetycznych Równoważność rozwiązań równań Maxwella. Źródła leżące poza obszarem V otoczonym powierzchnią s, wytwarzające na tej powierzchni pola E i H, można zastąpić źródłami równoważnymi położonymi na powierzchni s, w postaci elektrycznego i magnetycznego prądu powierzchniowego o gęstościach Js = H x n (14.1) Ks = n x E gdzie n jest wersorem normalnym do s skierowanym na zewnątrz obszaru V. Dualność rozwiązań równań Maxwella. Równania Maxwella w postaci syme­ trycznej V x £ = }o)B —K Vx ff = jcoD + J V-D = q V-B = Qm podlegają przekształceniu dualności według schematu £ D J e

==Z 0H == Y0B == Y0K' == k0

H == - Ko E B =■- —Z 0D' £ =- - z 0r Q Qm =-

(14.2)

(14.3)

Po przy czym Z0 = 5 eo przy jednoczesnej transformacji parametrów ośrodka P= s= O= om =

Z l s' Yofi' Y%o'm Z l o'

(14.4)

Twierdzenie Lorentza o wzajemności. Jeżeli istnieją dwa układy źródeł: a) Ja, Ka wytwarzające pola Ea i Ha, b) J b9 Kb wytwarzające pola Eb i Hb, to w ośrodku liniowym, izotropowym jest spełnione równanie f JJOa■Eb- K a'H b) d V - f f l ( J b-Ea- K b-Ha)d V = § (E a x H b- E bx Ha)ds (14.5) V

V

s

gdzie s jest powierzchnią otaczającą obszar V. Zasada Babineta. Jeżeli: — przez E ^ H X oznaczymy pola w punkcie P wytworzone przez źródło Z od­ dzielone od P ekranem A; — przez E2, H 2 oznaczymy pola w punkcie P wytworzone przez źródło Z od­ dzielone od P ekranem A komplementarnym w stosunku do A; — przez E, H , oznaczymy pola w punkcie P wytworzone przez źródło Z przy braku ekranu; (14.6) to E, f E2 = £ H x~ H 2 = H

14.1 Bezstratny rezonator o przewodzących ściankach jest dołączony do bezstratnej jednorodnej linii TEM zakończonej generatorem: a) dopaso­ wanym; b) napięciowym o zerowej impedancji wewnętrznej. Czy znajo­ mość napięcia wytworzonego przez generator pozwala na jednoznaczne określenie rozkładu pola w rezonatorze w stanie ustalonym w każdym z tych przypadków? 14.2 Zapisać rozkłady pól dualne do rozkładów dla fali Jfn w falowodzie prostokątnym. Czym różnią się te rozkłady od rozkładów fali fiŁ1? 14.3 Załóżmy, że poszukujemy rozkładu pola wywołanego w falowodzie prostokątnym przez źródło w postaci prądu / płynącego wzdłuż osi Oz (osi falowodu) przy x —x l9 y = y1? z x < z < z2. Jak będzie wyglądał układ źródeł zastępczych po zastosowaniu do obliczeń metody odbić? 14.4 Korzystając z zasady dualności określić pola promieniowania anteny w po­ staci małej pętli o promieniu r0 pobudzonej prądem / = I 0 ejfc>(. 14.5 Rozważmy granicę próżni i ośrodka bezstratnego o parametrach: a) e -►oo, fi = fi0. Które ze składowych pól lub ich pochodnych są na tej granicy równe zeru? Rozważyć oddzielnie przypadek pól statycznych i pól zmiennych w czasie. Powtórzyć rozważania dla przypadków, w których ośrodek graniczący z próżnią będzie określony przez parametry b) e = s0, fi -►oo; c) e = 0, ju — fi0; d) e = e0, = 0. Które z przypadków dają podobny wynik? 14.6 Punktowy ładunek elektryczny znajduje się w próżni w odległości d od płaszczyzny odgraniczającej próżnię od ośrodka, w którym s = 0. Jak obliczyć pole elektryczne w sąsiedztwie ładunku? 14.7 Nadajniki radiofoniczne często posługują się antenami w postaci ćwierć falowych dipoli pionowych. Dzięki przewodności Ziemi anteny takie pracują jak anteny półfalowe. Czy dipol ćwierćfalowy spełniałby swą rolę, gdyby powierzchnia Ziemi charakteryzowała się przenikalnością magne­ tyczną fi = oo? Jak wyglądałyby wtedy anteny radiowe spełniające analo­ giczną rolę, jak obecnie dipol ćwierćfalowy? 14.8 W niektórych układach mikrofalowych (na przykład falowodowych) wykorzystuje się jako element promieniujący wąską szczelinę zrobioną w ściance, po której płyną prądy elektryczne. Jakie składowe pól E i H mogą istnieć w takiej szczelinie? Jak będzie wyglądał układ źródeł zastępczych pozwalający na obliczenie charakterystyki promieniowania? 14.9 Rozważmy źródło w postaci prądu wymuszonego o gęstości powierzchnio­ wej J = J 0 ix dla z = zQ płynącego nieskończenie blisko płaszczyzny idealnie przewodzącej z — z0 4- Az, przy czym Az -> 0. Jakie pole zostanie wytworzone przez to źródło? Przedyskutować różnicę między prądem wymuszonym i zaindukowanym w płaszczyźnie przewodzącej. 14.10 Rozważmy płaską falę elektromagnetyczną E = ix E0e~*Pz H = iyH0e - * z

a) Znaleźć gęstości prądów Js i Ks w płaszczyźnie z = 0, aby pole nie zmieniło się dla z > 0 natomiast było zerowe dla z < 0; b) Rozważmy teraz, że w modelu z pkt. a umieszczamy płaszczyznę idealnie przewodzącą w z = 0 (przy zachowaniu źródeł i Ks). Uza­ sadnić, że pomimo wprowadzenia płaszczyzny idealnie przewodzącej pola w obszarze z > 0 nie ulegną zmianie. 14.11 Rozważając twierdzenie o wzajemności przyjmuje się, że: § (Ea x Hb- Eb x Ha) ds = 0 jeśli s jest powierzchnią otaczającą obszar nieograniczony V, a wszystkie źródła są zawarte w ograniczonym obszarze V należącym do V. Uzasadnić powyższe stwierdzenie przyjmując dla uproszczenia, że V jest punktem znajdującym się w środku kulistego obszaru V. 14.12 Ramsey zdefiniował reakcję między dwoma źródłami A i B jako . 14.13 Załóżmy, że rozważamy pewien obwód elektryczny zbudowany z ośrod­ ków liniowych, izotropowych, którego wejście i wyjście stanowią linie współosiowe, w których rozchodzi się jedynie fala rodzaju TEM. Wewnątrz obwodu nie ma żadnych źródeł pól. Na podstawie twierdzenia o wzajem­ ności uzasadnić, że elementy macierzy impedancyjnej tego obwodu Z ,2 i Z i są sobie równe. 14.14 Dany jest dipol Hertza umieszczony w próżni pionowo na wysokości h nad idealnie przewodzącą płaszczyzną. Wyprowadzić wzór na charakterystykę promieniowania dwiema metodami: a) zakładając, że promieniuje badany dipol oraz jego odbicie lustrzane w płaszczyźnie przewodzącej; b) korzystając z twierdzenia o wzajemności, zakładając że dipol pracuje jako antena odbiorcza i sumując pole fali odbieranej bezpośrednio oraz odbitej od płaszczyzny przewodzącej. Która z metod może być wyko­ rzystana również w bardziej skomplikowanym przypadku, gdy zamiast powierzchni idealnego przewodnika założymy granicę ośrodka o skoń­ czonej przewodności? 14.15 W technice mikrofalowej stosuje się często tzw. linię szczelinową (rys. 14.1) jako przyrząd do pomiaru impedancji. Do wejścia linii jest dołączony generator. Linia jest zakończona mierzoną impedancją Zx. Wzdłuż linii, w wyciętej szczelinie, przesuwa się antenka, w której indukuje się sygnał proporcjonalny do obwiedni pola elektrycznego fali w linii. Na podstawie kształtu obwiedni określa się impedancję Z x. Wykazać, że taki sam wynik pomiaru kształtu obwiedni można uzyskać dołączając generator do antenki, a miernik pola elektrycznego do wejścia, gdzie był dołączony generator. 2

z

14.16 Idealnie przewodzący i nieskończenie rozległy ekran z wyciętą szczeliną jest oświetlany płaską falą elektromagnetyczną (rys. 14.2a) E — ix E0e~3^2

H — iyH 0e ~ ^ z

Zmierzone w tych warunkach pole elektryczne w punkcie P wynosi Eu a magnetyczne H v Oznaczmy przez: E2 — pole powstające w punkcie P, jeśli fala płaska rozważana poprzed­ nio pada na obiekt przewodzący odpowiadający kształtem szczelinie (rys. 14.2b);

p

o

Rys. 14.2. Ilustracja do zadania 14.6

£ 3 — pole powstające w punkcie P, jeśli fala płaska o polach E = = iy£ 0e “ j/,z, H = —ix H0e~*fiz pada na obiekt taki sam jak przy rozpa­ trywaniu pola E2 i H 2 (rys. 14.2c). Które z pól można łatwo określić na podstawie znajomości pól i

15 Zależności relatywistyczne dla pól elektromagnetycznych w układach ruchomych Transformacja Lorentza Transformacja czasu i przestrzeni między układem S a układem S' poruszającym się względem S z prędkością v = iz v ct' x' y' z'

= g (ct—bz) =x =y = g(z —bct)

gdzie: b = v/c

(15.1)

g = —-=i—

c = 3,108 m/s

Transformacja pól i ich źródeł między układami S i S' CD'x == g (cDx - bHy) cd ; == g (cDy + bHx) H'x == 9 (Hx + bcDy) H',=-- g(Hy- bcDx) L'z ==Ez; H'z = H z D'z == Dz, B’z = Bz J'x ==JX J'y = Ą - = g(Jz- bcQ) qq' == g ( c e - b J z) Efekt Dopplera

(15.2)

OJ’ = g (oj- vf)

Px = fix

(15.3) V

~^U) (T Zależności energetyczne i dynamiczne E = mc2

(15.4)

gdzie m — masa ciała E — równoważna tej masie energia (oznaczenie przyjęto zgodnie z tra­ dycyjnym zapisem używanym w teorii względności) m = gm0

(15.5)

gdzie m0 jest masą spoczynkową E2 —c2p2 = ml c4; p oznacza pęd.

(15.6)

15.1 W układzie S znajduje się nieruchoma linijka o długości 1 m ułożona równolegle do osi Oz. Obliczyć jej długość w układzie S' poruszającym się względem S z prędkością v = iz v. Uwaga: Stosując transformację Lorentza do określenia długości linijki w układzie S' należy wybrać, czy przyjąć założenie t, = t2, czy też t\ = t'2. Które z nich jest w tym przypadku prawidłowe i dlaczego. 15.2 Obserwator jadący pociągiem z prędkością v oddał w odstępie czasu At dwa strzały w stronę toru. Jaka będzie odległość między dwoma znakami, które zrobiły kule w torowisku. 15.3 Jak stwierdzono, czas życia mezonów p jest rzędu 2• 10“ 6. Mezony powstające pod wpływem działania promieniowania kosmicznego w gór­ nych warstwach atmosfery mogą mieć prędkość rzędu 0,998c. Według teorii klasycznej opartej na transformacji Galileusza mogą więc przebyć ok. 600 m. Uzasadnić, w jaki sposób teoria względności wyjaśnia fakt (stwierdzony doświadczalnie) pojawiania się mezonów p w dolnych warstwach atmosfery. 15.4 Załóżmy, że linijka z zad. 15.1 nie jest w spoczynku w układzie S, lecz porusza się w nim ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a = iya. Jaki będzie kształt linijki obserwowany w układzie S I 15.5 Obserwator w układzie S zaobserwował kwadrat o wymiarach a x a i bo­ kach równoległych do osi układu współrzędnych Oy i Oz poruszający się z prędkością u = iyu. Jaki będzie wynik obserwacji obserwatora znajdują­ cego się w układzie S' poruszającym się względem S z prędkością v = iz u? 15.6 Jakie należy wytworzyć napięcie, aby masa elektronu rozpędzanego od stanu spoczynkowego wzrosła o 1%. Przyjąć ładunek elektronu e = = 1,602-10~19 C i masę spoczynkową m0 = 9,11 • 10“ 31 kg. 15.7 Załóżmy, że w przewodniku z prądem obserwowanym w układzie S istnieją dodatnie ładunki nieruchome o gęstości objętościowej q + oraz ruchome ładunki ujemne o gęstości q~ = —q +, które poruszając się wzdłuż przewodnika z prędkością v powodują przepływ prądu o gęstości J = q ~ v. Określić gęstość ładunku obserwowanego w układzie S' związanym z ru­ chomymi ładunkami ujemnymi, nie korzystając z wyprowadzonych wzo­ rów na transformację ładunku, a jedynie korzystając z zasady mówiącej, że całkowity ładunek zgromadzony na danym obiekcie jest niezmiennikiem transformacji Lorentza. 15.8 Wyprowadzić wzory na transformację potencjałów A i U z układu S do układu S' poruszającego się względem niego ze stałą prędkością t = i d. 15.9 W pewnym układzie współrzędnych S zmierzono w próżni pole elektro­ statyczne E = i / 100 [V/m] oraz pole magnetostatyczne H = iv 1 [A/m]. Jaką prędkość będzie miał układ współrzędnych S’, w którym pole E będzie równe zeru? Jakie będzie pole H w układzie S'? Czy możliwe jest znalezienie układu S", w którym H = 0? 15.10 Dana jest fala stojąca w próżni w układzie S t

E = ix E0 COS(Ot cos (iz

Jakie pole będzie obserwowane w układzie S' poruszającym się względem S z prędkością v = iz u? 15.11 W układzie S znajduje się falowód prostokątny położony wzdłuż osi Oz, w którym rozchodzi się fala rodzaju podstawowego. Zakładając, że dane są pola E i H w układzie S obliczyć pola w układzie S' poruszającym się względem układu S z prędkością v = iz v. Czy częstotliwość graniczna jest taka sama w obu układach? Po przetransformowaniu prądów i ła­ dunków sprawdzić, czy w układzie S’ są spełnione warunki brzegowe. 15.12 Pewien kierowca tłumaczył się, że przejechał skrżyżowanie przy czerwo­ nym świetle, ponieważ zbliżając się do skrzyżowania widział światło jako zielone ze względu na efekt Dopplera. Z jaką prędkością musiałby jechać, aby rzeczywiście zaobserwować takie zjawisko? Przyjąć, że długości fali wynoszą: dla koloru zielonego — Xz = 0,55 p, dla koloru czerwonego — Xc = 0,68 p. 15.13 Rozważmy gwiazdę podwójną złożoną z dwóch ciał o zbliżonej masie wirujących dookoła środka ciężkości układu w taki sposób, że z Ziemi tory obu ciał są widoczne jako odcinki prostej. Wyjaśnić: a) w jaki sposób obserwując taką gwiazdę można obalić hipotezę wysu­ waną przed wprowadzeniem teorii względności, że prędkość światła jest stała jedynie w układzie współrzędnych, w którym źródło jest nie­ ruchome; b) jak można wykorzystać zjawisko Dopplera do określenia prędkości liniowej poruszających się dwóch elementów gwiazdy. 15.14 Wyjaśnić zasadę pomiaru prędkości samochodu przy pomocy radaru dopplerowskiego. Jaką częstotliwość będzie miał sygnał odbity od samo­ chodu nadjeżdżającego z prędkością 100 km/godz, jeśli częstotliwość sygnału nadawanego wynosi f 0 = 10 GHz? 15.15 Efekt Dopplera znany był przed wprowadzeniem teorii względności. Przedyskutować różnice, jakie istnieją między efektem wyprowadzonym w oparciu o transformację Lorentza a efektem klasycznym, możliwym do przewidzenia na bazie transformacji Galileusza. 15.16 Stacja satelitarna jest zasilana z baterii słonecznych o mocy 10 kW. Załóżmy, że 80% energii słonecznej padającej na baterie słoneczne jest odbijane, a pozostałe 20% zamieniane na energię elektryczną. Obliczyć siłę działającą na stację pod wpływem promieniowania słonecznego.

Rozwiązania

R.1 Właściwości pól wektorowych Układy współrzędnych Na rysunku R .l.l przedstawiono układ współrzędnych z oznaczeniem punktu P

Rys. R.l.l. Punkt P w układzie współrzędnych

Współrzędne cylindryczne punktu P( q0, q>0, z0):

e0 = \A o + .Vo = y/2 y0 n (Po = arc tg — = *o 4 = y/2 Współrzędne sferyczne punktu P(r0, 0o, „ = arc tg — = *o 4 .

^ 4

Współrzędne prostokątne:

*o = y0 =

=0 0osin
z0 =

1

Q o c o s < Po

Współrzędne sferyczne: r0 = >Jqo + Zo = v/2 n

.

Qo

n

0o = a r c t g - = Z0 **

W ogólnym przypadku współrzędne punktu w nowym układzie współ­ rzędnych można wyznaczyć w następujący sposób:

v 0*0 /o = [M] J'o LzoJ _Zo J A

gdzie: M — macierz współczynników przekształcenia układu współ­ rzędnych. Ilustrację wzajemnych zależności pomiędzy współrzędnymi punktu w obu układach współrzędnych przedstawiono na rys. R.1.2. Macierz M po obrocie układu o kąt a wokół osi z ma postać cos a sina sina cos a 0 0 Na jej podstawie obliczono współrzędnych x'0

— 1,5 + ^/3

0 0 1 współrzędne punktu P w nowym układzie

1

z’o = 1

p

Rys. R.1.2. Ilustracja współrzędnych punktu w dwóch układach obróconych względem siebie

a) O, O, 0;

b) 0, 0, 0;

c) 0, 0, 0.

a) ix ■iy = ix ( —sin (pix + cos
2

b) iz■ie = iz(cos9ie —sin0iz) = —sin0 = c) it • ir = ie (sin 9ig+ cos 9iz) = sin 9 — i

a) Dla układu współrzędnych prostokątnych: qx = x, q2 = y, q3 = z Wyrażenia (1.1) przyjmą postać x = x, y = y, z = ZNa podstawie (1.2) ht = h2 = h3 = 1. b) Dla układu współrzędnych cylindrycznych: , y = r sin 9 sin q> i z = r cos 9 Na podstawie (1.2): hx = 1, h2 = r, /i3 = rsinfl a) Jeżeli A = Af lf Ag = A9 = Az = A = y jl

+

g = ^ 2 , (p = - i z = ^ 2 , to:

A*i# = A •(cos ę>ix + sin q>iy) = cos
b) Jeżeli A = Arir+ A ei0+ A^i^, r = 2, 0 =


A, = A •i, = A •(sin 9 cos ę ix + sin 9 sin ę i y+ cos 9iz) = = sin 9 cos —sin

Ax - A ix Ay — A • iy Az = A iz gdzie A = Ae ic + A
Macierz, której współczynnikami są iloczyny skalarne wersorów można określić na podstawie rys. R.1.3 iQ= cos ę ix + sin ix + cos q>iy 9 9 «* = «* Obliczając odpowiednie iloczyny skalarne otrzymuje się składniki poszukiwanej macierzy: r^ i

*

"cos ę sirup 0

—sin

0" 0 1

M .1 A u

\

Macierz umożliwiającą wyznaczanie składowych wektorów w układzie współrzędnych prostokątnych na podstawie składowych układu współ­ rzędnych cylindrycznych można wyznaczyć przy pomocy opisanych już metod lub poprzez wyznaczenie macierzy odwrotnej, jeżeli znana jest macierz wyznaczona powyżej A°] *

COS
—sin

sinę cos ę 0

0' 0 1

r .^ i

b t

Rys. R.1.3. Współrzędne wektora w układzie prostokątnym i cylindrycznym

R.1.9

Metoda 1. Współrzędne x0, y0, z0 punktu P Xq = Qqcos (pQ —0, 3^0 = ^o *Po z0 Wektor A będzie miał w punkcie P wartość:

®

A = (O+2) iz = 2iz Metoda 2. Wykorzystując przedstawioną wR.1.8 macierz wyznaczamy składowe wektora w układzie współrzędnych cylindrycznych: M #1 a\

—

sirup cos

cos

0‘ 0 1

'0 0 g (cos ę + sin ę)

Stąd: A=

(cos ę + sin ę) i

q

A ( q0 = 2 , ę 0 =

z0 = o j = 2i2 Q

R.1.10 A

f Ae~

—

k . Stąd: A = i

cos q>

g s in ę

y y /x 2 + y2

A

costp

g2cos2ę + g2sin2ę

yjX2+y

R.1.11

2

sin
g2cos2ę + Q2sin2ę»

cos ę —sin ę 0

sinę cosę 0

0' 0 1

cos (p sin ę O

Metody postępowania są identyczne jak w przypadku R.1.8 sin 9 sin ę sin 9 cos ę — cos 9 sin ę cos 9 cos ę Ae co sę _ — sin ę U *. cos 9 cos ę ’ sin 9 cos ę cos 9 sin ę sin 9 sin ę Ay -sin 9 cos 9 _At \ A r

—

cos 0 " —sin0 0

Ax _

A ’.

—sin ę ' cosę 0

A Ae A

R.1.12 Metoda 1. Współrzędne kartezjańskie punktu P wynoszą: *o Z0

r0 sin 60 cos ę 0 r0 sin 90 sin ę 0 r0 cos 90

3 O O

Wektor K w punkcie P ma wartość: - 9 i . Sposób wyznaczenia wersora iy przy pomocy wersorów układu współ rzędnych sferycznych przedstawiono na rys. R.1.4: i = sin Osin ę ir + cos Osin ę ie + cos ę iv i

3, 90

n
i
/

/

p(*o,yo,Zo)

p(*t,yo,Zi>) 9=
Po podstawieniu otrzymano końcową wartość wektora K w układzie współrzędnych sferycznych: K

9 ( - i j = 9«
Metoda 2. Wykorzystując macierze z R.l.l 1 K. = 0, Kg = 0, K . = 3r sin# cos2© K

o

3, #0

n (p0 = n V

9i

R.1.13 Wykorzystuje się macierz umożliwiającą wyznaczenie składowych wektora w układzie współrzędnych sferycznych na podstawie jego składowych w układzie współrzędnych prostokątnych (R.l.l 1). A = ir R.1.14 —

sin 0 cos ę sin 9 sin ę cos#

i. A z. Stąd: Ax = (0, A A= -

cos 6 cos

0, A2 = —5rcos#

sinę> COS ę 0

5rcos2# 5r sin # cos # 0

-5 z

Analiza wektorowa R.1.15 a) 5; d) 2ix + 2it\ e) 3; 0 3ix + L - 3 i 2; g) 0; i) 2ix + i2; j) 5ix + 6L + 7i2; k) ix + 9iv+ 4ir; k) ix + 9iv+ 4iz; 1) 3. R.1.16 Wiadomo, że: (A x B) •C = (B x C) •A = (C x A) •B = - (B x A) •C (C x B) •A = —(A x C) • B Z tego wynika, że interpretacja fizyczna iloczynu skalarnego może dotyczyć jedynie jego wartości bezwzględnej.

Objętość równoległościanu: V= sh = ABC sinacos fi gdzie: A, B, C boki a kąt między bokami podstawy np. A i B kąt pomiędzy trzecim bokiem i normalną do podstawy. P A x B = sis = |A| • |B| - sin al, (A x B) ■C = (A •B •sin a) (i, •C) = |A| • |B| •|C| •sin a cos fi R.1.17 |A x B|2 = |A|2 •|B|2 •s in > = |A|2 • |B|2(1 - c o s » = |A|2 • |B|2 - (A • B)2. R.1.18 Należy wyrażenie wymnożyć obustronnie przez jeden z wektorów A, B lub C (A x B)-C + (Bx C)-C + (C x A)-C = 0 Z własności iloczynu mieszanego (R. 1.16) wynika, że: (B x C) •C = 0

i

(C x A) •C = 0

Więc (A x B) •C = 0, a to oznacza, że przynajmniej dwa wektory są identyczne i wszystkie leżą na jednej płaszczyźnie. ‘2 0 -- i3 1 1 R.1.19 E = r ‘D 0 5 0 5e0 Lj3 0 2_ 2 E 0 ro -j3 ] i 0 -5 0 0 5eo LJ3 0 2 2 10 V " ' L ZJ 0,6 .. 0,4. i 2- 10“9 ej"' E — J« O o E(f) = Re {£ej"'} = 226 ( —0,6 sin oitix—0,4 cos cotij [V/m]

i

67,9i, - 78,4iz [V/m] 135,7*

b) E |^ n R.1.20

a)

0i #

0

d
dip

0

(cos ę ix + sin
dim b) d
dip

0 *r c) 00

001

d)

dip

"

[V/m] sin ę tx + cos
( —sin ę ix + cos (pi )

sin 0 sin
= — s

cos
sin Oi
I

0 di e) — = — (cos 0 cos
00

dię 0 d

dO

*r

cos 0 sin
d d K = - r ( t ) = - ( e«J dr dr

d . de. d , '- + e dr*e

die d ę ^ .Ś £ + T t l*+ Q dg dt d

die d z 0z dr

i ^ = ()■ 0f» = ’ dz 0e

i , otrzymano: V

de . , d ę . i-+ — i9 dr dr R.1.22 V a

V0i9 dc 0i_ __— V __ 2 dr 0 dt

+^ 0 dr dr 00 dr

8 i. di9 . Wiadomo, że: dr " 00 di9 . = —I* e dtp

di, d

0 sin 0ir—cos 0ie

dq> V.o = co = r sin 0 dr " Stąd: VI (sin 0ir + cos 0ie) w układzie współrzędnych rsin0 sferycznych Vź yo . — *„ w układzie współrzędnych e cylindrycznych a = —900i# [m/sek2] R.1.23 a) 2(xix + yiy + zit); b) 1; c) 3x2 + y2 + z2 + 2y(x + z + zy); d) 0; e) (2y —1) ix —i2, 0 0; g) x -2 x y + z; h) (2x + y) i, + (x + z + 2zy) iy+ + ()>+ y 2) h R.1.24 V-A: a) 1; b)

2 /q;

c) 6 - -ctg0; d) r

2 /r.

V x A: a) i2; b) - 2i, - 4i2; c) ^ (- 4 ctg 0i, + 4i9- 2i„); d) - 2ie.

R.1.25 a) Na podstawie wyrażeń (1.7 i 1.9): V x (V)

1

0

0

0 0 9>~ 9 093 09 092 09s 0 0 0 0 h2 i2 9>~ 9 09, 0
0

+ +

0 9>9 09 1 092 092 09

+ h-,3 i‘3

0

0

b) Na podstawie wyrażeń (1.8 i 1.9) V •(V x A)

1 h1h2h

(h2 h3 i, •V x A) + +

®92

1 h2h3\dq

gdzie: i, ■V x A

h3 »2 •V x A) + ~ ( / i , /i2 i3 •V x A)I 093 J ( ^ 3 ^ 3)

-s_

dq

. „ A 1 I 3 i2 Vx A = -r - r- | - (fc, .4,) *1 *31 09

( ^ 2 ^ 2)

0 -^—(h3 A 3) 09 1

1 ( ^ 3 ^ 3 ) — *~(hi ^ 1 ) ń,/i _09i 09

i 3 •V x A

Po podstawieniu i przegrupowaniu: V-(VxA)

1 0 0 0 0 (h3 /I3) —^ — ^ — (h3 A3) + hi h2h3 |_091dq 09209i +

0 0 092 ®?3

0

(J*l ^ l)

S

R.1.26 a) V(a,
093 09

(M i) +

0 0

0

+ a!“ aT '^ 2 ^ 2 ) 0?3 ®9i a,

0 0

a,

( M 2 ) 09,09

0

a,

0

0

——
= aj V

b) V((p-i//) = —

^ 1^ 4- — (/a2 + — 1^*3 + /i,0 9 , /i2 092 h3 093 iZr d \p 0 t/f 0 + t^—9 Ji, + — x— 9 i 2+ T - ^ ~ 9 h = 9V'I' + 'I'V9 hi 09 1 *2 092 ^3 093

c)

L e w ą s t r o n ę t o ż s a m o ś c i m o ż n a p r z y p o m o c y ( 1 .8 ) d o p r o w a d z i ć d o p o s ta c i:

1

V •(
(h2 h3 A

0

* 1 k2 *3 +

(p

d

04

1 dę 1 0(0 + A2~T~TZ~ + A3 h3 dq3 H2 042

(K h2 A 3)

dq

(hy h3 A 2) +

, ) +
H

I

mV •A + A •Vę> d)

0

0

(h2 h3)

fi

0^2

041

V •(A x B)

1 h ^h

At

(^ 1 ^ 3 )

~

^2

^ * * 2)

^3

b

0

0

0

0 4 1

0 4 2

0 4 3

Ai A ,

^2 ^ 2

A3 B

3

1 h .h 2h

/i2

B l h1 1 ^1 ^2 ^3

< -

B2 h2

h3 B

B2

A,A.

^3 ^3

^ 2 ^2

^3 ^3

0

0

0

0

0

0

04i

042

043

041

042

043

h3A 3

^2 ^ 2

^3 ^3

Ai Bi

^ 2 ®2

^3 ®3

B V x A - A Vx B e) A , *1

V x (
^2

h

*3*3

1

0

0

0

M 2h3

04,

0 4 2

043

A , ( jo A j

h2
A 3 ę> A

>

*

^2*2

M i


0

^1 ^2 ^3

001

= R .1 .2 7

a)

6;

c)

V2(
W

*3

1 dtp

1 dtp

1 d
0?2

003

ht dql

h2dq2

h3 0 ^ 3

^2^2

^3^3

» i

A2

o-r =

6 r + 4 r —0 =

^3

qoV x A — A x V ę> b)

0;

=

R .1 .2 8

i

h

0 +

M

*1

^3*3.

0

•

V [ V r r ] - V V [< p V r +

x V x r

rW
u k ła d z ie w s p ó łrz ę d n y c h

r =

x V x
sfe ry c z n y c h

r =

lO r

r • i,

0<» a)

V<*> ( r ) =

^

ir;

b)

n a p o d s t a w i e t o ż s a m o ś c i z R . 1 .2 6 c :

V -(a>(r)-r) =

c)

n a

\7

3 < p (r) + r

0
p o d s t a w i e t o ż s a m o ś c i z R .1 .2 6 e :

0tt> V x((r)-r) = Vx r —rxv

Badanie pól skalarnych i wektorowych R .1 .2 9

v
.

^maks

im ak s ( P 0 ) R .1 .3 0

r r

2 y j x 2 + y 2 + z2 0 ,8 i x + 0 ,6 iy

T ( P t) ^ T(P0) + VT(P0) • d l g d z ie :

d l =

T ( P .) =

R.1.31

=

2 ( x i x + yiy + ziz)

N a

r(P t) - r ( P 0)

3 1 2 K +

( i x + i z) ( i , - « , + i z) =

p o d s t a w i e ( 1 .1 8 ) : d r d

Eo

2

0

co sd

S tą d : d r r

2d0 tg 0 ’

q> =

c o n s t,

r >

0

3 1 4 K

Po rozwiązaniu równania różniczkowego uzyskuje się równanie linii pola r = C sin20;

gdzie C — stała Przez punkt P0 przechodzi linia o równaniu r = sin20,

(p = 0

Wykresy linii sił pola przedstawiono na rys. R.1.5. r-sin2Q

r~CsinzQ, C=const, (p=%

Rys. R.1.5. Linie sił pola dipota elektrycznego

R.1.32 Równanie linii sił: dg gd(p d z He ==~H^ = l f 2 d(? = dz = 0, ponieważ Hg = Hz = 0 Stąd linie sił pola wyznaczają przecinające się powierzchnie Q = Co z = z0 Przez punkt P0 przechodzi linia, która jest okręgiem o równaniu 0o = 2 z0 = 10 R.1.33

f rir — w układzie współrzędnych sferycznych \x ix + yiy + ziz — w układzie współrzędnych prostokątnych Metoda 1. Na podstawie (1.19): 0 = § r ds = J J rir r2sin 0ir d0 d

Metoda 2. Na podstawie twierdzenia Gaussa (1.20) = JJJ(V-r)dK= J J J 3r2sin 0 d r d ęd 0 = 600n V

0 0 0

R.1.34 Na podstawie twierdzenia Gaussa = JJJ(V-r)dK= 3V= 3a3 =425 R.1J5

32n

R.1J6

-0,75

R.1.37 Na podstawie R.1.14: K = - 2 ziz Rozwiązując w podobny sposób: N = 3xix. a ) * = JJfV K dF=ftJ(-2)dK =-2 V

V

b) 4> = J J J V N d K = J J j 3 d F = 3 v v /* /%

R.1.38

V x H ds = j s

R.1.39 Po podstawieniu: ix = cos ę ie —sin ę iv iy = sin
= 1

2n | A d / = — | (5sin2)d

Metoda 2. Wykorzystując twierdzenie Stokes’a x ir/4

sin0 C

s

i9 ) r2sin 0 d6 d
0 ji/3

x/2 x/3

= 2 J j sin20d0d

R.1.41

| A d/ = JJ (V x A) ds, c s |A d Z= - / 2 c

ds = dx dy iz

R.2 Równania Maxwella Właściwości ośrodków R.2.1

Z równania materiałowego wiemy, że E = r lD Obliczamy więc macierz i 1 — która jest odpowiednikiem odwrotności tensora przenikalności elektrycznej '2 «T = eo 0 Lj3

0 1 0

-j3 ] 0 2_

0 - j3 1 \2 0 f-‘ -5 0 5e0 J 3 0 2 Amplituda zespolona wektora natężenia pola elektrycznego —

_____

"2 0 E 1 0 -5 5^0 U3 0 W postaci wektorowej E

—j3 ’ 0 2

0' 0 2

1 r J6i 0 5e0 - 4

1 D6ix - 4. J 5eo

Obliczamy teraz wartość chwilową wektora E E(f) = Re {£ej<0'}

4 - —sm toll ——- COSOiti

E(r)

6

j Cq

5c,

Dla oit0 = 0o = 90° 6 5co

E(0) R.2.2

B = Ho

R.2.3

Wiadomo, że

[*, + j/i,v- Ha » * ] 1 -u 0 = arc cos y fl-y J X -f+ n l

H = j t lB '2 1 J3 $Ho 0

r l

0

sinax '2 j3 5 0

H =

0' 0

-j3 2

5

0' 0

-j3 2 0

j6

sin ax

4

5

0

-5

12j 18

+

12j 8

0

H = 2 sin axi Wartość chwilowa H(t) wynosi H (t) = Re {ffej"'} = 2 sin ax cos cotiy W celu obliczenia prądu przesunięcia korzystamy z równania Maxwella J

V xH = J, + J

Obliczamy rotację wektora H • * *y h 0 0 0 i, -Ę- (2 sin ax cos tot) Vx H 0x 0y 0z 0X 0

H, 0 cos ax cos a)tiz

J R.2.4

Załóżmy, że wektor E posiada wszystkie trzy składowe E = Et ix + E2iy + E3iz Stąd D = eE ‘1 D = e0 0 0

D=

c0

0 1 0

K+

0* 0 4

E 2 ‘y +

r £,]

r£,i = e0 £3

£2

L 4£3J

4E 3 • J

Korzystając z właściwości iloczynu skalarnego można zapisać

cos 6 = cos (E,D)

Ej + E l+ 4 E l J E \ + E\ + E\ J E \ + El + 16E\ p

a) Wektor E posiada tylko dwie składowe: cos 0

E\ + 4El J E I + El J E \ + \f>E%

Przyjmijmy ■“ t e ] Wówczas cos 0 = f(x) = -—= = = = = = = ^/(l + x)(l + 16x) i poszukujemy wartości maksymalnej funkcji f(x). Dla x = 0,25 f (x) = 0,8 = cos 0max = arc cos (0,8) b) Wektor E ma tylko jedną składową, więc cos 0 = 1 ,

0= 0

Zatem wektory E i D są równoległe. Podobny wynik uzyskamy, gdy wektor E będzie miał tylko jedną składową lub też nie będzie miał składowej w kierunku osi z. Dla powyższego ośrodka o anizotropii jednoosiowej z wyróżnioną osią z kąt między wektorami E i D jest więc funkcją stosunku składowych E J E 1 bądź E3/E 2.

Prawa indukcji R.2.5

Korzystamy z prawa indukcji (2.1, 2.2). W naszym przypadku powierzchnia s jest tworzona przez skrzydła samolotu przesuwające się z prędkością v. Zauważmy, że element powierzchni ds oraz wektor v są prostopadłe V= —Bv/ = —n0 Hvl v = 900 km/h = 250 m/s F = 4ir • 10“ 7 •40 ■250 •24 = 0,3 V

R.2.6

V= 48 mV'

R.2.7

Powierzchnia ramki (rys. R.2.1) s = a2ij I*(x *bI = sin 0 *’i ‘ ,-b = cos ®

2tT_ O r

t

4

~dl

\

B

Rys. R.2.1. Ramka obracająca się w polu indukcji magnetycznej

0 0 = (ot t Zadanie rozwiążemy dwiema metodami: 1) Obliczając zmianę strumienia indukcji magnetycznej; 2) Korzystając z prawa Lorentza (2.4). la) K =

_d dt d_ (a2B0 iBQ dt

d (B0a2 cos o t) d~t

V = B0a2 ■co sin cot d_ (B0 sin tota2 cos cot) dt

lb) V

V — —B0 a2(o cos 2cot 2a) F = $ E d l = f(vxB )df c c Siła elektromotoryczna zostanie zaindukowana tylko w tych bokach ramki, które podczas obrotu przecinają linie sił pola magnetycznego. Zatem a

a

V = 2 J (V X B) dl = 2 J vB0 sin (ot dl 0 0 V = 2vB0 a sin cot v — prędkość liniowa ramki a r = to~

2

Zatem V= a2B0a>sinto* 2b) Kj = j (v x B) dl = B0 a2co sin2a>t

Ale jednocześnie zachodzi zmiana strumienia magnetycznego poprzez zmianę w czasie wektora indukcji magnetycznej, więc

V2 — —(oB0a2cos2o)t Całkowita indukowana siła elektromotoryczna jest więc sumą: V = V1+ V2 = —ojB0 a2cos 2(ot Należy zauważyć, że w przypadku harmonicznej zmienności w czasie pola magnetycznego indukowana siła elektromotoryczna zmienia się z częstotliwością dwa razy większą. R.2.8

a) Przewodnik porusza się ruchem jednostajnym v = const y = vt dy = u dr ds = dy dzix

fj B(r)ds

£ (lvtB0 cos tot)

d (lyB0 cos (ot) dr £

dr

(r cos w t)

d dr

dr

B0 lv (cos (ot —t sin (ot)

Po przekształceniach trygonometrycznych V= —B0lv y /\ + ((ot)2 sin (tor + 0) gdzie:

£ (cos (Ot) dr V = B0 ly0 sin cot c) Przewodnik zamykający ramkę porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z prędkością początkową v0 = 0. Wówczas at2 y = —- dy —at dr ds = / dyix = atldtix

V

d_ (lyB0 cos cot) dt

V

(Ot B0 Iv cos (ot + B0lv— sin (ot 2

d / tat „ . i ‘ ~z~ Bn cos (Ot dl 2

Po przekształceniach: V

B0lv 11 +

(Ot

sin {(ot -
2 gdzie:

Warunki istnienia pola elektromagnetycznego R.2.9

Zadanie rozwiązujemy w układzie współrzędnych cylindrycznych. Am­ plituda zespolona pola elektrycznego e Korzystamy z równań Maxwella dla amplitud zespolonych V x Ej = —j (OfiH V x H = }(oeE2 Jeżeli Ej = E2 pole to może istnieć.

« lz

K 6 V X Ej = Q de - Ee

0 dtp

0 Sz

0

0

cos (f> . . . E0— — e 0

E0 cos

E Ej

J(OH f V x fi £ 0 sin

£

cos

E jft?;l H----2o V O) HF,

cos e

Zatem E, # E2 Takie pole elektromagnetyczne nie może istnieć.


R.2.10 Takie pole elektromagnetyczne nie może istnieć. R.2.11 To pole elektromagnetyczne może istnieć w próżni tylko dla określonej wartości współczynnika k = to R.2.12 Zadanie rozwiązujemy korzystając kolejno z dwóch pierwszych równań Maxwella. H l — A sin ax sin cotiy V x Hi —aA cos ax sin a)tiz aA (Ot

cos ax cos (oti

Ponownie V x E Vx E

0H 01

a2A . sin ax cos a>tiy (Ot

H — — ą sjn ax sjn Qjtiv COflt y Wektory H t i H 2 są identyczne, gdy (O fis Stąd a = co yjjm Dla tego parametru a pole elektryczne - cos ax cos coti, e R.2.13 Takie pole elektromagnetyczne nie może istnieć w próżni ani też w żadnym innym ośrodku, gdyż H l # H 2 nie ze względu na amplitudę ale oba te wektory mają również różne składowe. R.2.14 Obliczamy amplitudę zespoloną wektora E E = 1000 cos 106t —0,01z E, = 1000e~j(o,olz+9 i\t = —jl000e~jO'olzix Pulsacja sygnału wynosi co = 106 [rd/s] Obliczamy rotację wektora £ , V x Ej = —10e*jo,olzi), Ponieważ mamy bezstratny ośrodek dielektryczny Vx E, = —jcon0H skąd

jlO

H

—5

1 e-j0,01z; fi O

V x H —j a)£0 ewE2 -7 10 e - j 0 . 0 1 Zi V xH fi 0

j 1000 1 0 -16c_to , 1,.

E

/*0 ^0 ®w

Pole to istnieje w takim ośrodku, dla którego

10

- 16

1 ®w

fi0

ew

= 9

Amplituda zespolona natężenia pola magnetycznego H

jlO

-5

1 e - j 0 ,0 1 z | fiO

a jego wartość chwilowa 25 . sin(106t —0,01 z) iv [A/m] n

H(t)

R.2.15 Oznaczamy sin0 -ifir H, = tf o I0 Obliczamy 1

£ £

V x /f.

JC0£0 PHo^nO

jflri
COE0

Obliczamy ponownie rotację E co£0 r

caeo

0

Pomijamy składową radialną, która zmienia się z odległością jak 1/r

Vx £

}P2H0 sin 0 _ifi' ie coso

Vx £

j
H

1

jf!2H0 sin 0 e ^r ue oji:o r

p2 sin/? e <«2/*0 eo Oba wektory / / , i H 2 są sobie równe, gdy (O-Ho eo Czyli fi = (o y /n o e0. Powyższy przykład określa pole elektromagnetyczne w tak zwanej „strefie dalekiej” wytworzone przez dipol Hertza. Wówczas te składniki pól, które w mianowniku posiadają potęgi r wyższe od jedności można pominąć. R.2.16 Obliczmy dB aT

V x (V x E) =

Wiadomo, że V x (V x E) = V (VE) - V2E Ponieważ znajdujemy się w przestrzeni, w której nie ma źródeł, to VD = 0

czyli

VE = 0

Stąd V x (V x E) = —V2E -^ (V x H ) ap dt

Vx H

9E di

Czyli V2E = Obliczmy lewą stronę powyższej tożsamości pamiętając, że wektor E posiada jedynie składową w kierunku osi y, czyli V2E = iy V2Ey S2 V2£ , = Q~ Ey = - 2 e - ,"-"'»2[ l - 2 ( j c - r t ) 2] 2

Obliczmy teraz stronę prawą = H £^pEyiy = 2v2/iee~(x~,?,)2[ 2 ( x - v t) 2- l j i y Obie strony są sobie równe, gdy v2fi£ — 1

v2 —-----Mo £o

ponieważ rozważamy zjawisko w próżni.

Obliczamy teraz wektor H 1

H

V x Edr

Ho V xE

(x-vt)2S 2(x —vt)e

H= i

(x —vt)e
Zauważmy, że

0

(x—vt)2) = 2v(x —vt)e - (JC- 171)2

—

(e 0f

Czyli H= i

1

2v(x —vt)e (x v>>2dt

Hov H = iz—— e Hov

- (x - vt)2

C

Stąd dla wcześniej obliczonej wartości współczynnika v

Określanie właściwości pól elektromagnetycznych !.17

. J. = 0

,

0D 0E = — = £ 0 dt 0t

Stąd E = I | j 4d t » — ®n(o>t Q)£o o

Bz) i

Aby obliczyć pole magnetyczne korzystamy z równania Maxwella V xE

0B dt

0H Ho dt

V xE

PJo COS (a)t —(iz) i 0)£o

Czyli H

PJ o i• EHo Eo

cos (a>t —Bz)dt

H

P J o sin (cot —Pz) i tol*o eo

W próżni takie pole elektromagnetyczne może istnieć tylko przy określonej wartości współczynnika p. W celu obliczenia wartości p skorzystamy z równania V x H = J, P J 0 COS((Ot —Pz) I tO ft0®0

V xH p toPo eo

1

p = (Oy/n0e0

Czyli można zapisać H

J

£ sin (cot—Pz) i P

R.2.18 Zarówno znajomość prądu strat, jak i prądu przesunięcia pozwala na obliczenie pola elektrycznego E 2 - 10~2 E = --------- sin (cot —pz) ix cos Z prądu strat 10~2 E = ------sin (cot —Pz) ix Z porównania amplitud obliczamy częstotliwość, na której obserwowa­ no zjawisko 2a 2ne0 sw

f = 0,9 GHz

Obliczamy moduł wektora natężenia pola elektrycznego 10-2 |E| = -------= 0,2 a

[V/m]

Znając natężenie pola elektrycznego można prosto obliczyć natężenie pola magnetycznego 1

V x Edf

/O 0 ,2 P . , f ,. -----sin (cot—Pz) i y (0(1 Wykorzystując wyniki poprzedniego zadania

P = (OyfiHx,

H = 0,2 / - sin (tot - fiz) iy Czyli: H = ^— 10~2sin (a>t—ffz)i OJl

[A/m]

R.2.19 Wytworzone wewnątrz solenoidu pole magnetyczne posiada jedynie składową z. Przy założeniu nieskończonej długości solenoidu pomijamy niejednorodność pola przy jego krawędziach. Czyli: B = B0 cos cotiz

Rys. R.2.2. Indukcja magnetyczna solenoidu

Z równania Maxwella: Vx E Pole elektryczne wytworzone w takim solenoidzie może mieć tylko składową ę (zagadnienie rozwiązujemy w układzie współrzędnych cylindrycznych) 100 . . — sin coti9 (O m «z Vx E

1

0

e

3e

0 0
0 dz

0

qE v

0

Z porównania wektorów i A Q Qq

100 . — sin (ot (O

1S (qEv) i q Qq

1_0 (qE
Otrzymaliśmy więc równanie różniczkowe d£_ 1 2 + -E dQ Q

100 sin tor to


Oznaczmy

100 OJ

d £„ do

sin tot = C 1 9

e

c

Rozwiązanie równania ma postać:

Me) Me)

_i

e

A

stała całkowania

C A -reH----

2

Ponieważ dla

Me)

Cq dg + A

e

q -* 0

pole nie może być nieskończone, stąd stała A = 0

c e 2

Zatem pole wewnątrz solenoidu E

50e . ----- sin ojti to

dD ^A= dt h = coe cos cofix

= oE = H

ersinarti V Porównajmy amplitudy obu prądów dla częstotliwości / , i f 2

/ , = 50 Hz IJJ = 2— 10“92n50 * 5,55 10"9 36n |J,| = K T4 [A/m2] Widać, że \Ją\ > \Jd\ Ośrodek ma więc charakter przewodnika; w rozważaniach przy f t = 50 Hz można prąd przesunięcia pominąć. f 2 = 109 Hz |JJ = 2 — - 10~9-27t ■109 % 0,11 36tc |j,l = 10-4 [A/m2]

[A/m2]

|J,I « |JJ Czyli ośrodek ma charakter dielektryka; prąd strat można pominąć. R.2.21

J d = - 1 2 y /2 s m Q - lQ P t- l2 y /2 y ) it

[A/m2]

E = 0,144N//2 cos(3- 108r —12 v/2 y)i2 [V/m] J

R.2.22 H(f) =

e " 1000jtcos ^ 105t —lOOOx —-

5 - 103 J.(0 = ------- e 1000jccos(105r —1000x)i Jt

iz [A/m] [A/m2]

<7 = 1,59-107 [S/m] R.2.23

V

R.2.24 H

2E0 sin - cos I (ot —.

at

f i

(

,

f i

i

2u e2 9

R.2.25 g(r, 0, ę , t )

er sin ę cos (cot —r)

R.2.26 q = E0 e0 (cos 2x + cos 2y) = 2E0 e0 cos (x+>') cos (x —y) a R.2.27

Q = Q

oe 1

gdzie q0 jest gęstością objętościową ładunków elektrycznych w chwili t = t0.

Warunki brzegowe R.2.29

Ponieważ oba ośrodki są dielektryczne (a = 0) więc J s = 0. Warunki, które muszą spełniać wektory pól na granicy ośrodków są następujące: ^2n —Bin Hlt = H u E = Et + En

n + Qs

Eu

Składowe normalne Eu = 2it

[V/m],

H 1(I = i2 [A/m]

Składowe styczne Ei« = ( * , - 3 y

[V/m],

H „ = (2ix —3iy) [A/m]

Obliczamy pole E

Sw2 £0 ~ ~ f>2 6 gq 2 ■2£ o + 2fio

EZt E u (i. 3iy) CV/m], D2n GwlE0 E ln + e n+ Q 6 0 3 i A Czyli: D , = D2l + D 2n Eo (** Analogicznie obliczamy wektor &2

®1» : 00 0wl O ij —1*0 b 2„ = Bln = Mo «. [A/m] h 2i = HI( = (2ix - 3 0 6 0 (4i ł*o lix 3 i y) ■ ®2l = Mo0w2 “ r ~ 2-Mo b 2 =: BZn+ B2ł = Mo (4i - 6iy + O ro z d z ia ło Kąt utworzony przez wektory pola z płaszczy 4 2

tg a

!E=!

|E,

Kąty utworzone przez wektory D i ® «i == arc tg D2:

a2 == arc tg

Bt:

P t- = arc tg

B2:

P l- = arc tg

R.2J0 Wiadomo, że

Poszukujemy

Ponieważ żaden z ośrodków nie jest idealnym p rz e w o d n ik ie m , w ię c IHJ = |H J Z warunku przejścia ciągłego składowych n o rm aln y ch w e k to ra B ®2n = &ln ^2 E ln = Ml H ln

Otrzymujemy więc th |H In Vi |H u

|H 2 n H 2I

tgP

th tga Hi

tg0 = 2tgot Obliczamy długość wektora H 2 h

ih 12I2+ | h 2j

22

H

1+

|H u

2 = |H „|2+ ^ - ih , ; 2 v2 |H In lH , i l 2 ( |H(1

1 +

J ]ftg 2 a

Wiadomo, że 1

H(1I2 + |HbI H nl Hn

tga 1 1 + tg2a

Stąd |H(112

2

1 + (Hi/Hi) tg a 1 + tg2a

H22

U 1 +3 sin2a

H R.2.31

1 + 3 sin 2a

fiwi —3 E2 = 6ix —3i + y / l i

R.2.32 Wyznaczamy wektor normalny n do powierzchni granicznej skierowany jak na rysunku 1

n f

(i, + i.)

i

Warunek graniczny dla ośrodków nieprzewodzących (a = 0): n x H 2 = « x Hj Obliczamy nxH [

1 v/2

Czyli n x H 2 H2

ŁA x 2 * x

'

!_ 1 1 1

M I y2 *y

I 1 1

*2 0 1

(i - « J z 2 *z

1 (■', [A/m]

+ i.

i z) [A/m]

Obliczamy 1

iix H

[H,2 i, - ff,2 i, + i, (H,2 - H,2l]

sA

Z równości wektorów można obliczyć, że: H z2

=

H z 2 ix - H z 2 iy + ( H y 2 - H x2) i z 1[A/m] = H zl 0 J>2

Korzystamy teraz z warunku na przejście składowych normalnych wektora indukcji magnetycznej fiw2u H 2 = n H . ii

H.

(i* +

U (•*

+


*,) — — rr

rA /m ]

x/2 /i»2» H 2 = ^ ( i x + iJ (H ,2 i. + H ,2 i , + H i2 i,) = ^ ( H x2 + » « ) J2

Porównujemy iloczyny skalarne 2 Mw2 [A/m] (»*2 + W,2) v/2

Ponieważ

n w2

=4

Hx2 + H y2

oraz

H y2~ H x2

Czyli

H

1

2

H x2

1 4

H y2

0

- i x+ - i , + i2

[A/m]

[A/m]

®2 = l*o(*x+*v + 4iz) R.2.33

1 Mw2 B

V 3n

1

1 1 1^4-

V2

-ł------ 7=

y3n

1i

72

R.2.34 Korzystamy z warunku » x ( H J- H 1) = Js n = i„

Prąd płynący po płycie wywołuje takie samo, co do modułu, pole magnetyczne po obu stronach płyty, czyli IH,| = 1H,|

Aby warunek graniczny był spełniony h2

= ~H 1 x 2H[ = 2i,

Hx Bi == 4jrlO”7iJt [V •s/m2] R.2J5 Dj == —5 -10~ 5ix [A-s/m ]

B2 = -4 7 ilO '7iJ( [V •s/m2] D 2 = 5 - 10"5ix [A s/m2]

D = e0 E

f

Ei == —1,8- 106»x [V/m]

Ej = 1,8-10 6ix [V/m]

R.2J6 Ci == 187tl04

c 2 == ewl = C. = 4W104 ■

R.2J7 D2 == £o ( - ie + R.2.38

d

2

\

i.)

= e0 (2iT+ i9) ej“'

^ pjM + */2)J b2= ' 3coe ** < t2 R.2J9 » x J 2 = — n x j 1 ai

R3 Zależności energetyczne w polu elektromagnetycznym (Gęstość energii, gęstość mocy traconej, wektor Poyntinga)

R3.1

Wychodząc z równania Maxwella obliczamy wektor pola E V xH

-------- i i

0X *

5Hy . ~dTl*

V x H = 2(1 + j ) n • l0*(y/3 ix - iz)e

— (1 + j ) 2 a * 10*

(!*#■ )

W przewodniku 0D 0 czyli

V xH = J

dt

E

J -(l+ j)2«IO *(^ + ^ z

E = 2 ( l+ j) tt‘10 3(nA ‘* *^e 1 p, = jR c {E-J*} P,

^ Re |2 (1 +j) jc • 10 3(v /3 ix - iz) e ^

—

•2(1—3)*“'® * ^ ^ * *

- 0 + j ) 2 * I04

x+

Ji

Ji ~

- z

*^C

pt = 1607t2e 4,1' I0*(2+ 2 *) [W/m3] Obliczamy zespolony wektor Poyntinga S = E xH * =

K Ex 0

0 H*

= « J 4 ( l+ j) jc lO - 3V/3 e

*z Ez 0

Ex H* iz - Ez H* ix

■ 7 3 — 4k-104 + -— z

+

73 ix —4(1+j )n- 10-3e 4* l0*^+ 2 -4 * 1 0 * ^ +

A

4 < 1 + j ) n ' l 0 ~ 3( y f i i z + ix) e

2

[W/m2]

Wartość średnia wektora Poyntinga S = ^Rc{S}

R J2

2ji *10" 3(v/3 iz+ ix) e

- 4 * 104 - +

Obliczamy wektor pola magnetycznego V xE

0EX • I 02

Vx E

SB — Ot

E0 sin oit cos fizi EnB B = —— cos cot cos Bzi. (O

Tl z

[W/m2]

H =

(Ofl0

cos an cos fizi

Wiadomo, że /? = co H

E0

n0 £0 czyli

— cos ft)t cos [hi,. V/* o s=w.=o

_E o 2cO 2 . = 7T—C0S cot —

it S(t)= 4

sin 2cot

V 2 cq E{ z

A

—

Wt

Y^CqEq2 2 A

sin cot

cos 2COt

R.3.1. Wartości chwilowe wektora Poyntinga oraz gęstości energii a) z = 0, b) z = rc/4

Obliczamy wektor Poyntinga S

E x H = E q — sin on cos iot sin Bz cos Bzi ' Bo

S

- Et, I— sin 2ft>f sin 2Bzi 4 \l n0

Stąd wynika, że wartość średnia wektora Poyntinga jest równa 0

Obliczamy gęstość energii elektrycznej i magnetycznej 1 1 we = - D E = ~£0£osin2a)t sin2j?z Wm

“ B*H = ~e0E lcos2cotcos2Pz 2 2

|H|:2 = ^Ho Eo — cos2pz Ho 1 1 w, = - £ 0 |E| = ^ o Eo sin2/?z

~ £ 0 £ o C O S2/J7

Obliczamy teraz sumę gęstości obu energii we + wm= - e0 E q(sin2/?z + cos2fiz) = Widzimy więc, że suma średnich gęstości energii elektrycznej i magne­ tycznej jest stała, niezależna od punktu przestrzeni (rys. R.3.1). Przedsta­ wione pole elektryczne jest nazywane pełną falą stojącą; uzyskuje się je przy padaniu prostopadłym fali płaskiej na powierzchnię idealnie przewodzącą. R.3.3

Obliczamy wartość średnią wektora Poyntinga

y>0 Widzimy, że składowa Sy zmienia kierunek przy przejściu przez płytę stratną (dla y = 0). Różnica, czy też istniejąca nieciągłość, jest wielkością mocy rozpraszanej na jednostkę powierzchni w tejże płycie. Czyli

Moc rozpraszana w płycie stratnej jest związana z istnieniem składowej stycznej pola elektrycznego i dlatego również

Wartość średnia energii elektrycznej

i magnetycznej Wm =

1 4 ^ 0

„ 1 1^1 = 4 ^ 0

e.Vp 2a

2

Całkowitą energię na jednostkę długości w kierunku osi x otrzymamy przez całkowanie b

0

1

w dy dz

W. j —b —a

*

fe,

,

«•» i + ; ' Fi

j

b

[a

0

Wm m

1 b 7 7 wmdydz = - n Q~ ai v o o (X

- b -a

Całkowita moc strat: o 2

O

Hi.

------- linie pola elektrycznego ------- linie pola Silinte ekmpotencjalne R.3.4

Rys. R.3.2. Linie sił pola E, linie ekwipotencjalne oraz li­ nie sił wektora S w rezysto­ rze płasko-równoległym

Korzystając z równania Maxwella V x H = ja)eE obliczamy pole elektryczne, a następnie, po pominięciu składników z potęgami r wyższymi od jedności otrzymujemy pole elektryczne w strefie dalekiej H0P2 -jfr £ —i0sin O we0r Wektor Poyntinga E x H*

s'\n20 . 2 * » ■ r

- Re(£ x H*) 2

H qP sin2fl ir 2e0co r2 m

F = $Sds ds = r2sin 6 d ę d0 i

n 2n

P

2 03 * * * m p sin20 • a a An —j—r2sindd
*

R.3.5

Pt

J -E = - |J| a

|J| = 10"V® p

1 10" V** 2a 2n 1 OOB

_ g /*/*>/*

P„dV

P %/%}%/

R.3.6

10 2(7 % /V 00 0

2n dg dwdz = 0,12-10“ 7 [W] QC B

Przyjmijmy, że długość opornika wynosi /, a jego promień a. Prąd przewodzenia jest jednorodny w przekroju poprzecznym opornika, zatem J

1 2 * na

E

/ 2 - *z rta
H

/ i 2rta v

J =
/ i ln 2a2a e

S = ExH

oznacza tu, że wektor Poyntinga skierowany jest do Znak „ opornika, a więc jest to gęstość mocy traconej P = tfS d s i element powierzchni bocznej walca dS == —a d ę dd zz i0, i 2n r I 2l RI P =- 2- 4 V ^ d ę d na2a 2nza o J o 0 / R= na2a i

R.3.7

Korzystając ze wzoru S = E x H* otrzymuje się E2 x0 a) S = i Z0 Zapisując E = iy Ex0 cos (a>t —fiy) i korzystając ze wzoru S(t) = E x H otrzymuje się s (0 == U 7 cos2(cat

16

y)

Eio i f 2( *— cos (tor -- £y) dr == E*° = 1 Re {(S)} S(t) == 7 T 2Z0 2 lv 1 0 . Ejo b) S = lz Z r2 • 2/ * S(t) = -0y) Ejo 2Z o c) wektor S pola E(t) = (iJC-4 + i,-8)ei<"‘“w jest sumą wektorów

i S2 związanych z polami

Ej (t) = ii -4ej<"," w oraz E2(r) = iJ,8eJ(“'~*z) S = S1+ S 2 = iz~ + v o S(f) S d) S

2

o

80 i Zo

2 i 3ti

[W/m2]

os2( o n - p z) [W/m2]

1 iz [W/m2] 3jt 5 ź"*>

i 2471

[W/m2]

Zapisując E = ix cos (tot + /?y) —2i, sin (tot + fiy) i korzystając ze wzoru E j -f £"/ S{ł) Zo otrzymuje się

SU )

cos2(a»t + (iy) + 4sin2(oJt -ł- fiy) i Zo

[W/m2]

1 48n

S

[W/m2] 3

e) S

20* K

E = 4 L cos (cot + fix) + y/2 iz cos (, cot + fix+ A \ 4

s (t) s R J.8

16 cos2(cot + fix) + 2 cos2( a>t +fix +

Z

J -i,

:w/m>]

a) H (t) = H x0ix ei(a,' ~ M = 2nf = 4n ■106 [rad/s] y / 2 ■18 = 8 n • 10'2

P=

[rad/m]

Hx0 = 2 [A/m] » ( t ) = 2ix eJ<4-"' 1°6f- s« i ° - 2y) [A/m] S = iy Z H x20

= i, 4Z0 & = i, •4320* [W/m2] V £w

S = ^ |Re (S)| = 2160* Z#

b)

[W/m2]

H ( t ) = iz eii*n' 106', ~ 8n l 0 ~2y)

S = i / 1080*

[W/m2]

S = -|Re(S)| - 5407t [W/m2] c) H (t) = (»x + iz)ej(4“' 10<' - 8* 10 S = iy 2160*

[A/m]

[W/m2]

S = 1080711, [W/m2] R J.9

fE2

a) wem. x = - ^ .t,

^emax __

10"9 = - = 4e0 = — [J/m 3] f

ri'm 3!

— 2— 1ST [J/m] b) jak w punkcie a; c) do obliczenia średniej gęstości energii stosujemy zasadę superpozycji E = Ej + E2,

gdzie Et = ixe * +fi2) [V/m]

e 2 == jiJ,eJ(t0' +',z)

[V/m]

£ £ 10“ 9 we == wel + we2 = [J/m3] 4 + 4 = 2 “ 9ti f i

Obliczamy gęstość energii chwilowej Wel (t) = | cos2(cof + fiz)

we2 (f) = - sin2(
Sumaryczna gęstość energii chwilowej e 10“ 9 w A t) = 2 = ~ * r [J/m3] W przypadku polaryzacji kołowej energia średnia i maksymalna są sobie równe. R.3.12 a) Określamy wektor B0 = B (0,0,0,0) z równości B0 = JxH0 1

j 1 0

-j 0

Bo = Ho

01 0 2

"3 ' " 3' 0 = Vo ~3j 0 0

Bo = 3n0(ix-)iy) Obliczamy wm d

. u*

q

wm = - ^

= - / i o = 1 8 7 f l0 - 7 [J/m3]

b) wm = 8k • 10“ 7 [J/m3] c) B0 = n0(ix - } i y + 2iz) wm = 2/i0 = 8w • 10“ 7 [J/m3] R.3.13 Bilans mocy średniej ma postać (3.10) Obliczamy wektor pola magnetycznego Vx £

H

8EX. |

—

-----------

dz y 1

Vx £

2( 0,6n + j j n ■102 exp 4 0,6+j —• 102 1 ,V 3 10“ 3 4n J

0,6 + j ^ • 102 i)tz

0,6+j-* 102J tc2.

}
Obliczamy zespolony wektor Poyntinga -3 4 - | 0 . 6 + j - 1 0 2 )itz 10 102—jj-0,6 S = £ x H* = 2e 4it \3

ReS

02 3it

—

1 , 2 nr •

[W/m2]

Obliczamy strumień przez powierzchnię sześcianu; ponieważ wektor tylko składową z całkowanie ogranicza się do dwóch całek: — po powierzchni z = 0 ds = —dxdy i z\ — po powierzchni z = 1 ds = dx dy iz. Stąd otrzymamy Re S dx dy

Re (E x H*)ds JJ

ReSdxdy

+

z =

z = 0

1

0,2 0,2 _, ,, 0,2 , _. 2lt + — e 1,2n = — ( —1+e 1,2 ) 3tc 3n 3>n Obliczamy teraz wielkość mocy strat w sześcianie \E\2 = 4e

- 1 , 2 nz

Całka po objętości sześcianu i i i /*/*/* i* f* 1,2 j t z dxdy dz \E\2dV= 4 *)%}%} JJ V

4 1,2ti

- 1, 2tI2

i o

0 0 0

4 - 1.2n (e 1) 1,2tc i*/• Re (£ x H*ds) 5

<7

|E|2dP

0,2 1,2n (e 3jc T

1,2ti

(e

1.2 n

1) 0,02

[S/m]

1)

R.4 Elektrostatyka Potencjał w punkcie P (rys. R.4.1) pochodzący od ładunku + q 1

4jt£0 r,

Potencjał w punkcie P pochodzący od ładunku —q Ul

4ne0 r2

Rys. R.4.1. Dipol w układzie współrzędnych kulistych

Potencjał wypadkowy w punkcie P 4 r2~ ri 4ne0 r , r 2 Dla punktów dostatecznie odległych od dipola można przyjąć, że ri ~ ~ zaś r2 —rl ^ IcosO. Stąd r 2

tt

_ qicosQ =

Natężenie pola elektrycznego w . 6r Łr

l a t / . ___ j _ s i / . rW r sin 6 5q?1
2ąlcos 0 4ke0 r3

ql sin 0 4m 0 r3 R.4.2

W punkcie P (rys. R.4.2) potencjał od ładunku zgromadzonego na odcinku dl

Rys. R.4.2. Pierścień naładowany ładunkiem o stałej gęstości liniowej

dq 4ke0

Qtdl 4ne0r

r

gęstość liniowa ładunku

gdzie Qt

r = y]z2 + a2 — odległość punktu P od elementu dl dl = a d(p

2

ld U m

dU

g dcp 9

dz

.

4 ti£ 0 ( z 2 - h a 2 ) 3 ' 2

R.4.4

r
E= 0

r^ R

z prawa Gaussa mamy § D ds = ą

2n n J J £0 Er r2 sin 0 dO d

E dr + C

gdy r -*■ -x U R.4.5

U -> 0

q + 4ne0 r

C

C=0

q 4ne() r

C = 4ne0R = 4n •8,85 • 1 0 '12 •0,1 = 1U pF

R.4.6

(rys. R.4.3) d2U dx2

Q e

dU _

QX

£

dx

u

=

+ Cj

£?X2 + Cj ) 2fi

-

gdy x = 0 => u

=

oU-- = U0

-

5+

2e

0X

Uo + 1

2e

0(7

V(7

E

R.4.7

QX2

stąd C2 = O

stąd C.

U

1!

u

=O

*x =

'*

Uo + d

(2x - d)

a) Pole elektryczne pochodzące od płyt wynosi odpowiednio Qs 2 e0

j

Qs 2 e0

Pole pomiędzy płytami, poza płytą dielektryczną wynosi E. = — = 5649 i:o

[V/m]

E o Pole wewnątrz płyty dielektrycznej E2 = — = —— = 2824 *'0 Pole na zewnątrz płyt metalowych

=O

[V/m]

b) Napięcie między płytami wynosi d l-d /•

u

0

E2 dx

E, dx +

o

l-d +

d

98,8

W.

0

0

c) Energia układu W

££V = ^ i s u

W

2

2

W

d) +

eo

2,47 • 10 o

S = 1

£2

2 -6

Sd

[J/m2]

W,

d) Pojemność układu [pF/m2]

a) E, = - i x 1694 [V/m] e2=

- ix 847 [V/m] e 3 = ix 3954 [V/m] b) u = 29,6 [V] c) w

= 2,22-10 ”

7

[J/m2]

5=1

d) c s

=1

= 505

[pF/m 2]

1

ą fdx 4łte0 / r O

J

r = V ( x - x 1 )2 H-yf gdzie x t i

współrzędne punktu P (rys. R.4.4)

Rys. R.4.4. Odcinek przewodu prostoliniowego naładowany ładunkiem o stałej gęstości

1

u

ą 4rce0 / „ o

dx

q In -X—x, + 4ne01

x ~ X ') 2+ y\

l + J ( x - x , ) 2+yl

q 4ne0l

o

1

l ~ x i + y/(l - X J 2 + yl *i + J * \ + y \

Powierzchnie ekwipotencjalne wyznacza równanie U — const tzn., że / - X i + V (/-X i)2+ y l

const = K

- * i + J x l + y] Oznaczamy odległość punktu P od końców odcinka przez rx i r r i = J x \ + y\ J ll-x ^+ y j Stąd mamy rl X

l2 —2lx1

ri

ri + I2 21

rf

l ~ x i + \ A l ~ x i)2 + yi = l ~ x i +f 2 xi+

Jxl+yl

x, +r

(r2 + D2 21 21

Stąd mamy (r2 + f) 2 —r\ _ ri +r2 + l Ą - i r . - l ) 2 rt + r2 —l Po przekształceniu otrzymamy r ,+ r 2 =

K+1 - const K- 1

Powierzchnie ekwipotencjalne powinny spełniać równanie r t + r 2 = = const. Jest to równanie elipsy. Ogniska tej elipsy są umieszczone na końcach odcinka, w punktach x = 0 i x = /. Ponieważ pole ma symetrię osiową, więc powierzchnie ekwipotencjalne są powierzchniami elipsoid obrotowych o ogniskach w punktach x = 0 i x = /. —adx R.4.10 dEx = ------ j—j cos ot, rys. R.4.5 1 4ne0 Ir2 gdzie r = N/ ( x - x 1)2+yf

cos a

X — Xj

v/ ( x - x , ) 2 + yf

Rys. R.4.5. Obliczanie pola elektrycznego od odcinka przewodu prostolinio­ wego naładowanego ładunkiem o stałej gęstości

EX 1 <1 4ne0l s/(i - * i)2+ yl qdx sina - h sina r 4ns0 Ir2

R.4.11

Zgodnie z wynikami R.4.9 możemy uznać, że potencjał od elipsoidy obrotowej w przestrzeni otaczającej elipsoidę, jest taki sam jak potencjał od prostoliniowego odcinka o długości l równej odległości między ogniskami elipsoidy i naładowanego tym samym ładunkiem. Potencjał ten wyraża się równaniem (patrz R.4.9)

+r!.tl

- L _ to ■ r 4ne0I r1+ r2—l gdzie r1+ r2 = 2a l2 = a2—b2 a i b półosie elipsoidy obrotowej U =

Stąd mamy

4ne0l U

4ne0 s j a2—b2 2a+ y/a 2—b2 2a — J a 2 —b2

R.4.12 E 2 = i

>

D 2 = 2e0 E 2 = e0 (2iy - ^ 3 iz) R.4.13 Ponieważ płyta rozciąga się w kierunkach x i y do nieskończoności, a gęstość ładunku jest stała potencjał będzie zależał tylko od zmiennej

Rys. R.4.6. Rozkład potencjału i pola elektrycznego w płycie dielektrycznej naładowanej równomiernie rozłożonym ładunkiem

z (rys. R.4.6). Równanie Poissona przyjmuje następującą postać w płycie i poza płytą a 2

d2U1 d z2

a a -< z <2 2

d2U d z2

dla z dla

a dla z > 2

d2U dz2

0

Qo e o

£w

0

Po rozwiązaniu tych równań otrzymamy: U , - = C1z + C2,

Ei == - i , C ,

U 2 == - - - ^ - z2 + C3 z + C4, 2e0ew

e2 =

^3 == C5z + C6,

e 3 == ~ i , C 5

■

(

a

°

\ £0

:

- c>

W celu znalezienia stałych całkowania przyjmijmy, że U = 0 dla z = 0, stąd C4 = 0. Poza tym należy zauważyć, że pole E = 0 dla z — 0 ze względu na symetrię zagadnienia. Stąd stała C 3 = 0. Pozostałe stałe Cv C2, C 5 i C6 można znaleźć z warunków brzegowych i z warunku ciągłości potencjału.

fi0

“

£0

£w^ 2

£0

£w^ 2

stąd mamy 2

RAH

a 2

<

(rys. R.4.7)

z < —a —a < 0

z

<

0

< a

> a

u 2 == .

e 0 22

, +

Z£0 £w

U3 =

6oa z+,

_

£0 £w

^ £0 £w

QqZ2

Qoa

2 fio £ w

£w

e 0«2

Ei

-=

E2

Qo / , • = ----- (—z —u) l £0 £ w

Qo°2 E 3-=

^ £0 £ w

Qoa2 U4 = _

0

£?0

£0

/ (z

Ew

v•

a) Iz

= 0

II

z

<

z

U 1 == 0

w

0

Rys. R.4.7. Rozkład potencjału i pola elektrycznego w płycie dielektrycznej

R A I 5 (rys. R.4.8) dla z < —a dla —a < z < a dla z > a

£ i == 0

U l - =0 U 2-

■

_ u, =

Ew(\ " / + 22 + 13 )/

5 0

2

e0 0

« 2

°w

£ 2

e 0« A 2 = 2 e0 ew\ a 2

E ,= = 0

1

Rys. R.4.8. Rozkład potencjału i pola elektrycznego w płycie dielektrycznej

R.4.16 dla z < —a Q0a nz Qoa Q0a2 dla —a < z < a ------ t sin---- 1--------- z + a Gqgwft £qewft ?'0 ^w ^ kz na Qo -a cos-------------a e0ewn £ 0 £w 7t 2qoa2

dla z > a

R.4.17 (rys. R.4.9) a) Korzystając z prawa Gaussa: dla r < R

§ D d 5 = JffCodK S

V

n 2n Rn 2n J J e0 ewEr r2 sin 0 d ę dO = J J J g0 r2 sin 0 d ę d6 dr 0 0

0 0 0

stąd 3fi0 : 1

W

Rys. R.4.9. Składowa radialna pola elektrycznego kuli w funkcji odległości od środka kuli

. Qor E= i DdS = q

dla r > R

4 , 3 nR Qo

n2 n f f £ 0 Er r2 sin Odędd = q oo 4 E= i r4n e0r2

.i Qo R 3e0r

b) Potencjał U jest funkcją r, a nie jest funkcją ę i 0. Równania Poissona i Laplace’a będą więc przyjmowały postać równań różniczkowych zwyczajnych. V2UX 1 A

Gdy r < R k J \ d i/j dr

r 2 dr

Qo e0

Qor

dr £w

dr J

> i v ') -

U,1 --

dUl dr /

Ci e 0r + 3e0£w C,

Qor2 6 fin

+c

Gdy r = 0 potencjał U x mamy więc

1

0

,

e°r2 + C 6

s0 ew

2

E1 = -

Ow

Gdy r > R

u 2=

2

0

c3 „ r +Q

Gdy r -»QO

u 2 =-

V2 t /

1 d l ,d l/2 . H ----=r 2 '4“' dr

to

( / 2

-►0,

stąd C,

0

c3 r

E2 = - V t / = - § i r Stałe C 2 i C 3 znajdujemy z warunków brzegowych i z warunku ciągłości potencjału na granicy rozdziału ośrodków

gdy r = R

swE1 = E

stąd C 3

Go R 3e0

QqR 3e0

U*

R.4.18

i

2

ew

1 o^ +1 3e0 \2 ew

+1

2ewR

^e£- 2

dF

0

C

1

D E

W.

U X = U,

QqR 3 3e0r

U

dF

~ 2

Dla r < R R n 2n /•

W,

2

£o fiw0 o r

2

2 d 5

r s in 0 d
2 . 9 e 2 e 2 0

0

2nQoR 45e0 ew

dr

0

Dla r > R oo it 2 ft

2 06

^ * *

2 T> 5

2

2 *9fio r4 R

R.4.19

0

*

2uqqR 9eo

AQ A

n j

r ^ m O d ę d d dr

0

Ex = 0

b

b
Q0r 3e

E

3er2 j '

g0(a3 —b3) . Ej “ 3er2 ‘

r>a

R.4.20 r < R x

r>R

®<2 £0

E

U

Go r2 6e

3er

\

o( R

r 2

2

u

.

i

Ri\ •

! lr

U

3

R.4.21 Q < R

Ei

1

^'t 0

Q

R

bw

F i R e ° L 2 - '» 2 eo 0

U,

e ° (R24e0 ew

2e0

@0

In * '

£0

* 1

@0

(l+ ln *

0

2

£0

V

0 0

f R 2~ R i N

£o I

0

QoQ

Gob3 3er

G0 ( a 3 - b 3)

U<

G o f r - R i \

0

- ( a 2-/>2) 2 e

U

E, = 0

R. < r < R 2

V,

q2)

£

£ ,

R.4.22

o

<

b

E, = 0

b

<

o

<

u

2 f : 0 c H. q

q

R.4.23

= , g o l ^ - t 2)

> a

J

=

o '

^

l n

eo ew

-

«

00 ta2- o 2) + l o s i n g 2e0 e„. a 4c0 '

U

^ 2 e o 2

~

=

o n , ^ ( a

7n

, , , , a 2 - b 2) I n -

/\

0

Q

d łu g iej

n a ła d o w a n e j

(a/e)

In U

( a 2 — b 2) +

4s £u,

- ;

v

a

60 0

U

0 I n (a/b)

E=i ^

a

QIn R.4.24

C

2

=

^ o c„. , « 1 1 1

R.4.25

h <

b

f t

u <

r

i

E

U0 7

i

w: i

<

o

<

a

I U I , < ■'

tQ oi;,

E

1 1

h

Lr'i c

n" ;;, r

- In -

l/

- i n

-

:I

h

+

, a - In V,, c 1

2 71 C

t

i

. C

1 —

In b

i:

R.4.26

P o le

E

E

w

o d le g ło śc i

2 iu : 0 r

(

r

U C

o d

n ie s k o ń c z e n ie

o si

w y n o si:

'

p o te n c ja ł

C>ł I n 27Tf:0

P o te n c ja ł

l

1 In

i

=

?.aś

f

1 —

w

r

+ c o n s t

p u n k c ie

U i 4" L' i

—

—

P (.v , t ) (rys.

- !n --

2m:0

r.

+

C

R .4 .1 0 )

o d

d w ó c h

n a ła d o w a n y c h

o si:

Rys. R.4.10. Układ dwóch nieograniczonych naładowanych osi

Można przyjąć, że gdy rt = r2, U = 0, stąd C — 0 Więc E

U = — -ln — 2 ne0 r,

.

. 2

rce0 r 1 el

2

ne0 r 2

®2

Gdzie: r, = ^/(x + a)2+ y2 — odległość punktu P od osi naładowanej ładunkiem dodatnim, r2 = y/(x —a)2 + y2 — odległość punktu P od osi naładowanej ładunkiem ujemnym. Po przekształceniach mamy x+ y___________ y , Iy (x + a)2 + y2 (x —a)2 + y 2 R.4.27 Dla powierzchni ekwipotencjalnych U = const U = — - I n — = const Z 7 tfi0

rx

r. Linie ekwipotencjalne są to linie dla których — = const. ri Poszukujemy miejsca geometrycznego punktów spełniających zależ­ ność . A A 2 = (■x - a ) 2+ y 2 = . 2 \rj (x + a)2 + y2 Po przekształceniach mamy /

1

+ k2\ 2

,

{ x - x 0)2-¥y2 = R2

4k2a2

Linie ekwipotencjalne (rys. R.4.11a) można opisać równaniem okręgu o promieniu 2ka i współrzędnych środka okręgu x0, y0 + fc2 x0 = ± a j - p 1

yo = 0

Przy czym znak „ + ” należy przyjąć dla k < 1, tzn. dla półprzestrzeni otaczającej oś naładowaną ujemnie, znak „ —,ł należy przyjąć dla k > 1 , tzn. dla półprzestrzeni otaczającej oś naładowaną dodatnio. Łatwo zauważyć, że Xo = a2 + R 2 Linie sił pola elektrycznego są to okręgi ortogonalne do linii ekwipotencjalnych. Środki tych okręgów leżą na osi y. Równanie linii sił pola elektrycznego ma postać (rys. R.4.11b) 2

+ (>• - y 0 ) 2 = a2 + vo = Ri

Rys. R.4.11. Siady powierzchni ekwipotencjalnych (a) i linie sił pola elektrycznego (b) wokół dwóch nieograniczonych naładowanych osi

R.4.28 Rozkład ładunków na przewodach linii jest nierównomierny, ponieważ ładunki te wzajemnie wpływają na siebie (zjawisko zbliżenia). Ponieważ powierzchnie przewodów linii są ekwipotencjalne, można wyznaczyć wewnątrz przewodów dwie fikcyjne osie, takie żeby powierzchnie przewodów były odpowiednio powierzchniami ekwipotencjalnymi na­ ładowanych osi (rys. R.4.12). Promień przewodu linii ma być równy

R.4.22

q

E 1 == 0


17. =-

*° (« 2—b2) + ?« 6 2 ln » 4*>o 2 ^ 0 £w ^ *

b<

q

q


. eo(e2-*>2) e2 = * 2 e0 ewe _ . eo(«2-*>2) e3 = *' 2e0 Q

>

l/

2

==

6 0

4*0£„ l/

3

=■

(a 2 - e 2) + 2

c0

^

<«• b2) ln Q 2 f0

M a/e) R.4.23 U = U, ln (a/b) UO

E= i

•hś R.4.24 C

2

lt£g £„ 1

0

‘" i R.4.25 b < e < c

c
< a

E= i

Uo 1, C l a e*i - ln 7b H—e, ln -c L£ 1

[/ o E= i 1 . c 1 , a Qf.2 ln - + —ln L£ 1 b

n

2n

R.4.26 Pole E w odległości r od nieskończenie długiej naładowanej osi wynosi: E = ^1 i 2ne0r Q zaś potencjał U = — —^-lnr-h const 27T£q Potencjał w punkcie P(x,y) (rys. R.4.10) od dwóch naładowanych osi: U = Ut + U2 = £ - l n -r ł + C 2 k£q r|

R.4.29 Korzystając z R.4.28 sprowadzamy zagadnienie do poszukiwania dwóch fikcyjnych osi dobranych tak, aby powierzchnie walców pokry­ wały się z dwiema wybranymi powierzchniami ekwipotencjalnymi naładowanych osi (rys. R.4.13) *oi = a 2 + /?i *2 o = a2 + R 2 * 0 1 + * 0 2 ~ ^ 2

stąd R ] - R 2 + d2

x 01

7-

4,75 cm

2d

R \-R \+ d 2 5,25 cm *02 2d f a — V * 0 2 R2, v x%x —R2 = 4.3 cm Potencjały U{ i U2 walców o promieniach R j i R2 wynoszą U,

q ,n ^ o i+ « 2nel Ri

U .-U

q

u

2n d

x 02 a ln R

q I (*oi "ł"^ 0 R-i 2nd (x0?—a)R x

Pojemność na jednostkę długości linii wynosi C i= i

q U ,-U

2nz ln

(-*01

-j

R2 R

20,83 pF/m

R.4.30 Poszukujemy położenia zastępczych osi (rys. R.4.14) ==a2 + A; =a2 + R22 * 0 2 = = x0] + m * 0 2 = Stąd mamy x { *01

02

6,5 cm.

a — 5,123 cm

2ks o

Pojemność C ln

92,23 pF

(x0 l + a ) R 2 ( x 02 + a ) R l

Napięcie między walcami 7

r

Y

ę ± _ ln (-x oi + ^ > ^ 2

T

l;l ~ L 1 stąd

ns0

2ks0

{ x 02 + a ) R

10 V

t

= 16,578 V

W celu obliczenia potencjału dowolnego punktu P(x, y) należy wyzna­ czyć linię ekwipotencjalną przechodzącą przez ten punkt, tzn. znaleźć promień okręgu R p i odległość środka tego okręgu od osi symetrii x 0p. Współrzędne środka okręgu wynoszą (mp, 0) gdzie m p = x 02 - x 0p. Tak więc J — J E ? 2* (A' A02 + x o p)2 + V 2 Z ^Op = er + R P v

p

Z

.

2ne0

Dla punktów'

R.4.31

*

■0p + a ) R 2

{*■02 + a ) R P

J3, C,

= 5,96 cm X OB ~ 5,87 cm 6,1 cm Y01) = 6,06 cm

A - X 0A

D

A,

In'''

2

mamy

D R

a

R

b

Rc R

d

3,04 = 2,87 = 3,32 ~ 3,24 =

cm cm cm cm

3,76 V = 4,56 V - = 2,5 V == 2,85 V ==

U

a

^

B ~

Uf UD

Poszukujemy osi elektrycznych zastępujących linię i jej odbicie (rys. R.4.15)

Rys. R.4.15. Układ linii jednoprzewodowej nad powierzchnią ziemi Qt U

2ks o

gdzie

. d ln

+ a R

d2- R 2

a

2kzo

C U

i = i

8,04 pF/m

d ^ a

n~R~ Maksymalna wartość pola elektrycznego wystąpi w punkcie oznaczo­ nym na rys. R.4.15 literą A Qi l r2 2ne0r2

E = ___ .. il r 1 2ns0 rx

E

1

Qi

i y2 m

(d-R)

0 \a

+

1

a+

(d

i - R )

oi

y 2K£0 R ( d — R )

Podstawiając Qi 2 ne0

U ( d + a) ln — R

mamy E, -

i

Ua

y R(d - R )

, d+a ln

i 14.47

[kV/m]

R

Dla porównania w punkcie 0 pole elektryczne 2U 2U = - /, • 57,9 [V in] i i Eo v 1 (d + a) a ln ’ rfln " R

R

a

R.4.32 Badane pole jest równoważne polu wytworzonemu przez ładunek q i fikcyjny ładunek q' będący odbiciem ładunku q (rys. R.4.16). Wartość

y

co

77777777777777777777777777 ~

^

Rys. R.4.16. Ilustracje do obliczenia pola od ładunku punktowego nad powierzchnią przewodzącą metodą odbicia

ładunku q’ znajdujemy z warunku zerowania się składowej stycznej pola elektrycznego E, na powierzchni płyty przewodzącej q cos a 4n£ 0 ( x 2 + d2)

q’cos a 4ne0 (x2 + d1)

stąd q’ = —q Pole E w punkcie P(x, y) 4ne0 Vrf

r\)

gdzie r, i r2 są to odległości punktu P od ładunku q i jego odbicia q\ zaś *ri * if2 s 4 to wersory wektorów r, i r 2 rt = v/x 2+ ( y —d)2+ z 2 r2 = y / x 2+ (y + d )2 + z2 Potencjał punktu P wynosi

Gęstość qs ładunku indukowanego na powierzchni płyty można znaleźć obliczając składową normalną pola elektrycznego En na powierzchni 0 xz 2q qdqd 4nr2 Sm “ “ 2 nr 3 2n (d2 + x 2 + z2)312 Na ładunek q działa siła Coulomba

F = —i — -----y I6ne0d2 W obszarze poniżej płyty pole nie istnieje. ■

■

>

R.4.33 Zadanie można rozwiązać metodą obrazów. Na rysunku R.4.17 poka­ zano dwa modele dotyczące obliczenia pola w obszarach y > 0 i y < 0 . Dla y > 0 mamy zarówno w warunkach rzeczywistych (rys. R.4.17a) jak 1 wg modelu 1 (rys. R.4.17b) ośrodek o przenikalności ej, w którym znajduje się ładunek q. Należy tak dobrać fikcyjny ładunek
Rys. R.4.17. Ilustracje metody obrazów: a) ładunek ą nad płaszczyzną rozdzielającą dwa ośrodki; b) ładunek q i jego obraz q x umieszczone w ośrodku o przenikalności e, (model 1); c) fikcyjny ładunek q2 umieszczony w ośrodku o przenikalności e2 (model 2)

Obliczając składowe styczne pola elektrycznego w punkcie P leżącym na płaszczyźnie (bez najpierw według modelu 1 , a następnie według modelu 2 otrzymamy *

11

q cos a efjcosa 4jtej r 2 + 4nE2r2

_ q2 cos « 12 4ne2 r2 Z warunku brzegowego mamy En = E, 2

Obliczając składowe normalne pola w tym samym punkcie wg modelu i 2 otrzymamy —4 sin a 4ns! r2

1

qt sin a 4 ks1r2

—q2 sin a 4ne2 r2 Z warunku brzegowego £t E

e2 E

= q2 stąd

Jak widać znak ładunku q2 jest zawsze taki sam, jak znak ładunku q. Znaki ładunków q1 i q są zgodne, gdy et > e2 i przeciwne, gdy e, < e2. Na rysunku R.4.18 pokazano linie sił pola elektrycznego dla < e2 i dla el > s2.

Rys. R.4.18. Linie natężenia pola elektrycznego dla ładunku punktowego umieszczonego nad pła­ szczyzną rozdzielającą dwa ośrodki z zadania 4.33: a) w przypadku gdy £l < e2; b) w przypadku gdy Ej > e2

R.4.34 W przestrzeni otaczającej kulę, pole elektrostatyczne jest równoważne polu wytworzonemu przez ładunek ą i ładunek q' będący odbiciem ładunku ą. Wartość ładunku qf i jego odległość od środka kuli należy tak dobrać, aby pole wytworzone przez ładunki q i q' miało powierzchnię ekwipotencjalną o potencjale U = 0 pokrywającą się z powierzchnią kuli. Obliczamy potencjał w punktach A i B (rys. R.4.19) ę

1

d —R

R —x

0

Rys. R.4.19. Ładunek punktowy w pobliżu uziemionej kuli

U‘ -

{d + R 9

J

■

g K+ x

Stąd R2 X~ d

R g'=- g 1

Potencjał w punkcie P o współrzędnych P (r, ę) J _ _ JR_ df2

gdzie r, i r2 są to odległości punktu P od ładunków q i q' R_________ P

4ne0 V^/r2 + d2 —2dr cos ę

yjd2r2 + R4 —2rR2d cos ę

Gęstość ładunku powierzchniowego na kuli r =R

_

q

r - R

R 2—d 2

6s ~ 4 n R ( R 1 + d 2 - 2 d R

cos ę> ) 3 / 2

Siła działająca na ładunek q jest siłą Coulomba między ładunkami ą i q' F-

92dR 4 n e 0 (d 2 — R 2)2

R.4.35 Ładunek — odbicie qf leży na zewnątrz kuli w odległości d od środka kuli 2

R

1

a2-hr

2

ar cos
a2r2 + R

2arR 2 cos
q a2 —R 2 4n R (R 2+a2 —2arcos
R.4.36 Potencjał na powierzchni odizolowanej kuli jest różny od zera, zaś ładunek na jej powierzchni jest równy zeru. Wewnątrz kuli należy więc umieścić oprócz ładunku-odbicia q' ładunek kompensujący q" = —q'. Ładunek qn powinien być umieszczony w środku kuli, aby wytworzony przezeń potencjał był stały na powierzchni kuli. Korzystając z R.4.34 możemy obliczyć potencjał na powierzchni kuli n

U

4neQR

qR 4ne0 Rd


Potencjał w dowolnym punkcie P (oznaczenia jak na rys. R.4.19)

1

y /r2+d2 —2dr cos
s j d 2r2 + R4 —2rR2d cos
R.4.37 Wykorzystujemy R.4.36. Układ ładunków rzeczywistych i ładunków-odbić pokazano na rys. R.4.20, gdzie

Rys, R.4.20. Układ ładunków rzeczywistych i ładunków-odbić

Na każdy z ładunków q działa siła Coulomba F_ g ( 4 | W ■ * j q \ 4ne\(d—x ) 2 d2 (d + x)2 4d2) _ q2 ( - Rd 2R Rd 1\ “ 4ne\(d2 —R2)2 + ~ (d2 + R 2)2 + 4d2)

aby F = O trzeba żeby 2R 1 Rd Rd l 2 + 4d2 ~ (d2- R 2)2 + (d2 + R 2)2 Oznaczmy R/d — t, po przekształceniach mamy ł + t4 (1 - t 4 ) 2

1 8 1

~

Rozwiązując równanie (np. przez rozwinięcie w szereg), otrzymamy U t = — « 0,52 d

R.438 Wybierając początek układu współrzędnych w miejscu umieszczenia ładunku q mamy ciąg ładunków odbitych pokazany na rys. R.4.21. Połę E w punkcie (0,0,0) pochodzące od ładunków-odbić: 00

E

00

z

00

< ł i z 47C£0 _

-2

I

0n\~2 -L

+ X (2nd + 2a) 2 *= o Siła działająca na ładunek q w początku układu współrzędnych F = gE {2nd —2a) 2+ Y (2nd + 2a) 2 n=

Jeśli a = d/2

to

0

J

F=0

R.4.39 Należy rozwiązać równanie Laplace’a w sferycznym układzie współ­ rzędnych. Ze względu na symetrię należy przyjąć, że potencjał U jest funkcją r i 0 , a nie jest funkcją ę. V2V = 0

d2U 2 01/ 1 d2U cos0 dU H-----r--- 1---- rrrr ~ł" dr2 r dr r 002 r 2 sin 0 0 0

o

Zadanie rozwiązuje się metodą rozdzielenia zmiennych. Podstawiając U = R(r) \l'/ (0) mamy po uporządkowaniu dwa równania różniczkowe zwyczajne r2 d2R 2rdR ,, — ~r~r + TT t —k2 R dr 2 R dr dV i// d02

cos 0 dij/ _ i// sin 0 d 0

1

1

2

Można wykazać, że rozwiązaniem tego układu równań jest suma szeregu, którego wyrazy są wielomianami względem funkcji cos 0 00

I K r" +

r-

+ 1

>)P„(cos 0 )

gdzie Pn(cos 0) są to wielomiany Legendre’a o postaci ^0 = 1 P j = cos 0 p

2

= ^(3cos 2 0 —1 )...

W rozpatrywanym zagadnieniu należy przyjąć n = 1, gdyż tylko wtedy spełniony jest warunek niezniekształconego pola dla r-*oo. Istotnie, gdy r oo to E = E0, więc składowa radialna pola Er = E0 cos 0, stąd U = —E0r cos 0. W wyrażeniu na potencjał należy przyjąć tylko wyraz w pierwszej potędze względem cos0, czyli n = 1. Tak więc U Pole elektryczne oblicza się z warunku E = —VI/

Stałe A i B znajdujemy z warunków goy gdy r -> oo gdy r = R

Er = E0 cos 0 E„ = 0

stąd mamy A = - E 0,

B = E0 R 3 COS0

E0R 3

sin O

Powierzchniowa gęstość ładunku indukowanego na kuli wynosi = 3sE0cos 0 gdzie 8 jest przenikalnością ośrodka, w którym znajduje się kula. Na rysunku R.4.22 pokazano obraz pola w pobliżu kuli przewodzącej wprowadzonej w jednorodne pole elektryczne. A

Rys. R.4.22. Linie sił pola elek­ trycznego w pobliżu metalowej kuli wprowadzonej w jednorod­ ne pole elektryczne

R.4.40

Pole w pobliżu metalowej kuli umieszczonej w jednorodnym polu E0 Er

cos 0 £nCosft “ 0 v' v ' ° w + 1 2 EAR " 3 3 r

Eo

-E0 sin 0 + Ef,o R 3

sin 0

Pierwszy człon z prawej strony równań określa niezniekształcone pole, zaś drugi określa zaburzenie pola wywołane wprowadzeniem kuli. Pole pochodzące od dipola elektrycznego (R.4.1) ql cos 6 i = —1_____ 4tc£ r 3 2

0

ql sin 0 4ne r3

Z porównania tych wzorów widzimy, że równoważny moment dipolowy

P = 9 ’1 p —ą ■1 —47t£E0 R 3 Gęstość ładunków indukowanych na powierzchni kuli (R.4.39) qs = = 3cE0cost). Całkowity ładunek indukowany na kuli wynosi oczywiś-

cie zero, lecz na jednej połowie kuli znajduje się ładunek dodatni, a na drugiej ujemny i równy mu co do wartości. n /2

q=

q, ds

2n

= J J 3e£

s

0

cos 9R2 sin 9 d ę d 9 = 3nsE0 R 2

o o

Stąd ładunek q i długość / równoważnego dipola

q 3neE0 R2 l = 4/3 R R.4.41

Korzystając z R.4.39: dla r < R

U< = A l r cos 0 +

dla r > R

U

A-, rcos0 +

r2 B,

cos 9 cos 0 i

Stałe A t, A 2, Bx, B2 znajdujemy z warunków brzegowych gdy r = 0 U i ^ oo więc B 1 O gdy r-i oo £ = £„ wiec Er =■£ 0 cos9, U = —E0r cos9, A 2 = gdy r = R U, ^ 1 r = £ 2 ^ 2 r» ^ 1 0 = E2$

£o

3e £i —£? , Stąd A, E b 2 = - i - - 2 E0 R 3 °e 1 + 2 e £i -h 2 £-» Wewnątrz kuli dla r < R mamy Ui Ei

3e2 Enr cos 9 fii “ł- 2 e2 ^ 3e Er. cos 9i r r fij 4”2 fi2

3e I— £ 0 sin 0 * 8 s, + 2 e2 0

8

Pole wewnątrz kuli jest jednorodne Ei

3e £ + 2 e2 0

Na zewnątrz kuli dla r > R mamy: U E Ir E 28

el

e2 R

e^ + 2 e2

1

I£ orc o s 0

2R E0cos 9 ~ł~1 8 , + 2 e2 r £ 0

sin 0

fi2 £ e1 + 2 fi2 r

1

R.4.42 Potencjał nie jest funkcją z, więc w równaniu Laplace’a występują tylko człony zależne od p i od m „ lrr

™

1 /0

dU\

- A w r

1 d2U dę2 72 —

n

*

Rozwiązując równanie metodą rozdzielenia zmiennych, tzn. zakładając U = R( q) 0 (ę ) otrzymuje się dwa równania różniczkowe zwyczajne d 2R dR 6 +Q dff2 de

d20 + k20 = dę2

k2R

0

9

których rozwiązaniem dla k =

1

są funkcje

0{ę) = A 3 cos (p + A4 sin ę

R(e) = ^ + A 2e e

stała A a =

ze względu na symetrię

0

stąd . B A q H— | cos ę

U E

A+

B

cos
e2

E
A+

B

sin ę

e2

Z warunków brzegowych można wyznaczyć A i B. W przypadku walca metalowego A

EO’

B - E0 R2

gdzie R — promień walca W przypadku walca dielektrycznego dla dla

q

q


A

>R

B= 0

E o 2tl

A

Eo

B

E0R

2 £1 £ 1 +

£2 e 2

Potencjał i pole dla walca metalowego R

U

Eo\Q

E = Eo

COS

e R2

1 +

—

|C O S

r

(p i


R2

) sin
Q

Gęstość ładunku indukowanego na walcu Q$ ~ £o

2e0 E0 cos

Potencjał i pole dla walca dielektrycznego 0


U ==

“ 2 e9 2 £ 1

Q

>R

E E0 q cos ę ;

E

fi i + £ 2

£ 2

U == E 0 cos cp

2e2

£1

—e2 R

E j + E ,

Q

e

Eo

£ ! - £ 2

E= E

£ i+

01

£ 2

R2 Q2

il

•

( Bi - £2 R2

1

sin ę i9

R.4.43 Korzystając z R.4.41 znajdujemy pole elektryczne wewnątrz kuli E,

3fio E ewe0 + 2e0 0

3 E ew+ 2 0

Wektor polaryzacji P wewnątrz kuli o

ew+ 2 Pole na zewnątrz kuli E 2r

1 COS0 W E0cosO + 2R3E00 r3 w

E 26

E0 sin 0 + R 3E0

£w+ 2

—

r3

Pierwsze wyrazy z prawej strony równań dotyczą pola niezniekształconego, drugie wyrazy dotyczą zaburzenia pola spowodowanego wpro­ wadzeniem kuli. Porównując te wyrazy do wyrażeń na pole dipola (R.4.1) możemy wyznaczyć równoważny moment dipolowy 4ti£0 R 3 ^ 4 e s* + 2 0 lub wyznaczając pd przy pomocy wektora P mamy Pd

Pd = i ^ R 3P R.4.44 Gęstość ładunków polaryzacyjnych ^ jest równa składowej normalnej wektora polaryzacji P. Ponieważ P = e.0 (£w- 1) E to Pn £ 0 (£ W DE. Q Składową normalną pola En na powierzchni wydrążenia otrzymamy z R.4.41, podstawiając e i = £0, e 2 —£0 £w, r R o £o £w

En = E0 cos 9

R E —1 stąd g = 3£ 0 £0 cosć? w 1 + 2 £w £q “ł" 2£q

P —

fiw

+

1

3 E«cos 0 r +2s W

^ F

e° l + 2 £ HE° Całkowite pole elektryczne wewnątrz wnęki 3£

E i = ?1 — Eo + 2 e„,

E,>E

0

Pole pochodzące tylko od ładunku polaryzacyjnego wynosi

R.4.45 Natężenie pola w kondensatorze z dala od pęcherzyka Eo

U d

10 kV 1 cm

10 0,01

1 0 6

V/m

Natężenie pola E wewnątrz pęcherzyka e0 _ 4 g E= E o 0 e0 + 2e0 ew 3

1,3 • 106 V/m

R.4.46 Na ładunek ąx działa siła F = «1 E 1 gdzie E j jest to pole od ładunku q2 w miejscu występowania ładunku q,. Ponieważ wnęka jest mała można przyjąć, że natężenie pola wewnątrz wnęki jest równomierne i równe

gdzie E 0 jest polem wytworzonym przez ładunek q2. Pole E0 można uznać za jednorodne w pobliżu wnęki z uwagi na d P r. ą 4jc£0 ewd2

Stąd siła działająca na ładunek qx F

3q2e 4ne0 swd2(l + 2ew) W

Gdyby ładunki znajdowały się w dielektryku ciekłym siła oddziaływania między nimi wynosiłaby Fi

q2 4ne0 ewd2

Siły te są różne (F > F x), co wynika z zaburzenia pola elektrycznego przez wnęki. Na powierzchniach wnęk istnieje ładunek polaryzacyjny (związany), który wytwarza wewnątrz wnęki pole (patrz zad. R.4.44)

Siła F2 działająca na ładunek polaryzacyjny F

cw- l <1 4ne0ewd2 1 +2e W

Łatwo można sprawdzić, że F = Fx -hF2-

4

1

R.4.47 r < R $

2

r>R

R 3 P co s 0 3e0r3

R 3P sin 6 3e0r3 R.4.48 Należy wykorzystać R.4.40, R.4.41. R.4.49 Obszar między hiperbolami można przekształcić przy pomocy odwzo­ rowania w — z2 na pas ograniczony prostymi v = ± 2 (rys. R.4.23) w = u+jv = x 2 +j2xy—y 2 2 2 u = x z —y v — 2xy ył V

u=u0

2

v - const

7

0 -1

u=const

-2

i

U=Q

Rys. R.4.23. Obszar między powierzchniami o kształcie hiperbol i jego odwzorowanie

Linie v = const są liniami stałego potencjału, przy czym Un i v u = ^ (t + 2

1

Na płaszczyźnie z mamy U

U

~(xy+l)

2

Linie u = const są liniami sił pola. Moduł pola E jest równy |E(w)|

dU dv

Uo 4

Przechodząc na płaszczyznę z mamy dw |E(z)| = |E(w)| dz

U0 - 2 |z ~4

u -J^+ y2 ~2

R.4.50 (rys. R.4.24) Niech 2 = £eJ<*\ Z płaszczyzny z wyłączamy półoś ujemną rzeczywistą. Obszar na płaszczyźnie .z jest ograniczony przez zależność b =$ o ^ a

—K < c p < n

Rys. R.4.24. Przekrój linii współosiowej jako jednospójny obszar płaski i jego odwzorowanie

Jeśli w = ln z to u = ln o i

u 1 ln b u2 ^ ln u

dla dla o = a q

— b

U = Uo U- o

stąd mamy wyrażenie na potencjał (na płaszczyźnie w) r , _ ^ {w ) “

U2 ~ U

u2 —w,

_ j 7 — ^ i)

Po przejściu na płaszczyznę z lna —ln^ Uo Ina —ln/?

o In a uo a ln h

Moduł pola E E(\v)|

du

Uo U2 ~ U{

zaś na płaszczyźnie z dvv £(z)| ■= j£(w)| dz

r'o u 2 —a

1 1

I Uo Ina —ln/? o

Uo a ć?ln b

R.4.51

Ponieważ walce nie mają punktów wspólnych rozpatrywany obszar pokazany na rys. 4.8 jest dwuspójny. Dowolny obszar dwuspójny można

przekształcić konforemnie na pierścień kołowy. Za pomocą przekształ­ cenia 1

Z +A można odwzorować obszar wokół okręgów z rys. R.4.25 na obszar pomiędzy dwoma okręgami współśrodkowymi. Stałą A należy tak dobrać, aby po przekształceniu środki okręgów pokrywały się. Zgodnie z rys. R.4.25a mamy \ 1 1 \ =1/ 1 1 2 \ - 2 + A + 2 + Aj 2\3 + A + 7+ A stąd A = —4 lub A = —1 Przyjmijmy A = —4 wtedy 1

Z —4 W wyniku tego przekształcenia okręgi przekształcą się w okręgi współśrodkowe o środku w punkcie —1/3 pokazane na rys. R.4.25b. Za po-

c)

1/2ł'

;W2)

R.4.25. Obszar wokół dwóch walców metalowych (a) i kolejne odwzorowania obszaru (h). (c)

mocą przekształcenia W2 = Wl + 1/3 można przesunąć okręgi tak, aby ich środek znalazł się w początku układu współrzędnych (rys. RA25c). Stosując przekształcenie W — ln W2 można zamienić przestrzeń między okręgami z rys. R.4.25c na prostokąt (patrz R.4.50). Korzystając z R.4.50 mamy

gdzie promienie a i b wynoszą a = 2 / 3 , b = 1 / 6 , zaś g jest równe modułowi W2

Q = \W2\= V « l+ » l 1

1

W a“ ź^4 + 3“

" a + J P 2

1 x —4 (x —4)2+ y 2 + 3 ’

stąd u

y (x —4)2 + y

v

Ostatecznie mamy o

In

a

In 4

q

In

3 J u l + vl

b

R.4.52 Podobnie jak w poprzednim zadaniu można zastosować odwzorowanie W = -1/(Z + A) , gdzie stałą A należy dobrać tak, aby po przekształceniu środki okręgów pokazanych na rys. R.4.26a pokrywały się 1

1

2

a

4+ A

+

1

1

2

4+A

1 1

+A

+


i

-/\0

j

3+

AJ

c)

( zj

-4 ,

1

-0,5/8 -0,28

-042 0,18 -

u=uy u=o

i V2

✓'

0

j

7

1,518 u 2

u=o u~u0

R.4.26. Obszar obszaru (b), (c)

Stąd A = —1,37 lub A Po przekształceniu

=

—11,63. Wybrano A = —1,37.

w -_L _ 1

Z - 1,37

okręgi z rys. R.4.26a przechodzą w okręgi na rys. R.4,26b. Stosując przekształcenie W 2 = W x —0,097

otrzymaYny układ okręgów współśrodkowych, których środki pokry­ wają się z początkiem układu współrzędnych jak pokazano na rys. R.4.26c. Promienie okręgów

a = 0,518,

= 0,2832

Stosując przekształcenie W = ln W2 odwzorowujemy przestrzeń między okręgami w prostokąt (patrz R.4.50). Aby wyznaczyć zależność potencjału U od

q

należy zauważyć, że

potencjał U = 0 gdy q = \W2\--= b. potencjał U =- U 0 gdy q = \w2\-= ^ U0 i Q IW2 16,581„ U0 ln - =. " • h "T’1b b i a 0,2832 lDb ln b \

1

Z - 1,37

0,097

1

x - l,3 7 + jy

0,097

Potencjały punktów A, B, C, D z rys. 4.5 U == 3,77 V m - = 0,355 y == 0 ; U == 4,55 V m - = 0,372 y == 0 ; U == 2,49 V m - = 0,329 y == 3,3; \w2\--= 0,336 U == 2,85 V y == 2,5; Pojemność układu można obliczyć jako pojemność kondensatora płaskiego o długości okładek 2 n i odległości między nimi d = \na —\nb == -2,5; = == 0 ; == 2,5;

X

X

X

ł

X

11

A: B: C: D:

C = 2tc— = 92,1 pF d R.4.53

Funkcja z = -(w + e*+ 1) odwzorowuje półpłaszczyznę z dwoma cięcia* 71

mi y = ±d, x < 0 na nieskończony pas w płaszczyźnie w ograniczony prostymi v = ± n (rys. R.4.27).

Rys. R.4.27. Obszar w pobliżu krawędzi kondensatora płaskiego z zadania 4.53 i jego odwzorowanie

Zagadnienie można sprowadzić do kondensatora płaskiego o nieogra­ niczonych okładkach, gdzie linie sił pola są to linie u = const, zaś linie

to linie v = const. Potencjał U na płaszczyźnie

ekwipotencjalne w można obliczyć v +1 n

i

dw IE (z)| = |£ (w)| dz dz -5 dw

d „ -(1 + 0

=

TC

2

d

y r +

1 2 e "cos u + e

-(1 + e“cosu+je“ sin r) 71

4- 2e"cos i; + e2“ Ze względu na uwikłaną postać funkcji odwzorowującej nie można podać zależności u = u(x,y) i v = v(x,y)9można natomiast sporządzić obraz pola i linii ekwipotencjalnych na płaszczyźnie z. d, x = -(« + e“cosi;+ 1)

d y = -(i? + e"smt?)

TC

gdy v = 0

x

TC

= -(w + eu+ l) 7C

gdy v = ± n

x = - ( u - e tt+ 1) TC

Rys. R.4.28. Obraz linii sił pola w pobliżu krawędzi kondensatora

Gdy u -►oo y = - r, co oznacza, że w dużej odległości od krawędzi

71

kondensatora linie ekwipotencjalne są równoległe do okładek, więc pole jest niezaburzone. Dla dużych dodatnich wartości u mamy d u X -= - e cos v

7t

d y =- -n e"sin v tzn. gdy v — const linie ekwipotencjalne można opisać równaniem y = x tg r, są. to linie proste przechodzące przez początek układu współrzędnych. Linie sił pola są więc okręgami o środku w początku układu współrzędnych. Na rysunku R.4.28 pokazano obraz linii sił pola w pobliżu krawędzi kondensatora. R.4.54 Pole w pobliżu krawędzi kondensatora płaskiego jest opisane wzorem (R.4.53) Uo 1 ^ y r ■+■2ewcos v + e

*

Pole uznajemy za niezniekształcone, gdy: -... .. < 1 ±0,01 y j l + 2e"cosi> + e2w 1 + 2eucos v + e2w < 1 + 0,02 Zaniedbując e2Mi przyjmując cos v = 1 mamy eu < 0,01 stąd u < ln 0,01 u < —4,6 Przyjmując u — —4,6 można oszacować d x — -(w —eM+ 1) % 71

— 1,15d

gdzie d — połowa odległości między okładkami kondensatora. R.4.55 Funkcja w = ln -(z-f sf z 2~ d 2) odwzorowuje płaszczyznę z dwoma % A>

cięciami na pas o szerokości 2U0 (rys. R.4.29). Półpłaszczyzna y = 0 przechodzi w części pasa u < 0. Półpłaszczyzna y > 0 przechodzi w części pasa u > 0. Linia cięcia xe(d, oo) przechodzi w oś w, v = 0. Linia cięcia x e ( —d,oo) przechodzi w linię v = n. Linie v = const są liniami stałego potencjału

L.

V

\ ^ \ \

v v s ^

II

\ \ \ \ \ ' \

I

II

Jt V 7 //7 .7 /7 4 Y // // //// // // > / A/ . V / / / y Ł.S/SS/ 0

Rys. R.4.29. Obraz wokół dwóch półpłaszczyzn i jego odwzorowanie

2v Moduł pola E IE (w)|

QU _ 2 U dv n

Na płaszczyźnie z mamy 1 y / \ z - d \ \z + d\ Oznaczając odległości dowolnego punktu na płaszczyźnie z od punktów z — — d i z =- + d przez rx i r 2 mamy = z - -d\ 2V0 |£ (z)l = n rl

r2 = |z + d| 1 \A i r2

W celu znalezienia linii ekwipotencjalnych i linii sił pola rozpatrzmy odwzorowanie odwrotne z - = chw a Stąd mamy - = cha cos v a - = shw sin v a Rugując u mamy x dc os v

y d sin i

1

Dla v — const jest to rodzina hiperbol, których ogniska są położone w punktach {d,Q) i ( —d,0).

Rugując v mamy

Dla u = const jest to rodzina elips o ogniskach w punktach (d, 0) i (-4 0 ). R.4.56 Warunki brzegowe są warunkami pierwszego rodzaju. Zadanie rozwią­ zujemy metodą rozdzielenia zmiennych poszukując U w postaci iloczy­ nu dwóch funkcji, z których każda jest funkcją tylko jednej zmiennej V2(7 =: 0 a X= ± 2

S2U

02U 0y

0

4-1 II

------

U=0

a 2

TC U = l/0c o s -x a

Podstawiając do równania Laplace’a U (x, y) —X (x) Y (}') otrzymamy 1 d2X 1 d2Y + - —^ = 0 X dx2 Y dy 1 d2X X dx2

1 d2Y Y df

d2X + k2X = 0 dx2

k d2y dy2

fc2Y= 0

X (x) = A t cos kx + A 2 sin kx Y(y)

= B x chky

+ B 2 shfcy

U (x, y) = {A t cos kx + A 2 sin kx) (Bt chky + B2 sh&y) n

Funkcja jest symetryczna względem x i y, więc stałe A% 1 zeru. U (x, y) = C cos kxchky a a U = 0, stąd cos k - 0, więc k ( 2 n + 0 a gdy x = 2 a U = U0 cos x gdy y = 2 a ”

t/0 c o s -x = Ccos(2n + l)-xch(2n + 1)^ a a 2 K K Stąd mamy n = 0, k = C ch - = t/0, a 2

2

* s3 równe

ch ? = 2,509 2

C = -^2 2,5

Un K n U(x,y) = —- c o s - x c h - y 2,5 a a

E E

.9 1 / '* 9x

VI/

.9 U 9y

71 7t 71 Uęn i_ s in -x c h -y —i^ c o s-x sh -y a 2,5 a a a a

Kształt linii ekwipotencjalnych dla jednej ćwierci badanego obszaru Uo 1. pokazano na rys. R.4.30. Przyjęto 71 ch 2

Rys. R.4.30. Kształt linii ekwipotencjalnych dla ćwiartki obszaru rozważanego w zadaniu 4.56

R.4.57

U(x,y) = (Al e kx + A 2 ekx){Bt cos ky + B2 sin ky) U = 0;

gdy y = 0

U =0;

gdy y = a

l/-> 0

gdy x —* co GO

stąd stąd stąd

rm . nn C„e « sin— y

B. = 0 sin ka = 0, A, = 0

k

wt a

c.n znajdujemy z warunku brzegowego

0 1 1 1 4

0 U (0, y) 0X 6 U (x ,y ) 5x

n= 1 W spółczynniki C„ są współczynnikami występującymi przy rozkładzie funkcji w szereg Fouriera. Przedłużam y funkcję nieparzyście a

2a nn

nn y sin a

n

o 2 a2( —1)" n2n X .

nn

U(x, y)

V 1

R.4.59

"

L

2a2( i)" — —e ' n2n 2

nn sin — a

.x .

V’

40 (2n - l ) V c h ( 2 „ - T ) K Sh(2,' ^ l>,U:Sin(2" ~ l l 'I>

n = 1

R.5 Pole magnetyczne stacjonarne i quasi-stacjonarne Natężenie pola magnetycznego R.5.1

Z praw a Biota-Savarta wyprowadzamy wzór określający pole magne­ tyczne pochodzące od odcinka prostoliniowego przewodu, przez który przepływa prąd / (rys. R.5.1) H

I [sin ot2 —sin a j i 4no

K orzystając z powyższego wzoru i zasady superpozycji i oznaczając przez H , i H 2 wektory natężenia pola magnetycznego pochodzącego od półosi v i y otrzymujemy w punkcie /M l, 1,0)

o %

p

H P.


Rys. R.5.1. Wyznaczanie pola magnetycznego odcinka przewodu prostoliniowego z prądem

I [sin 45° - sin ( - 90°)] i H = H. + H2 4n 10 / (2 + [sin 90° —sin ( —45°)] i 4n 4tc

V

[A/m]

w punkcie P 2(0,0,1) h

,+

=

h

+

[sin 90° —sin 0°] ix = ^ (ix + i ) 4ji 47t

h

2

/ [sin 0° - sin ( - 90°)] L + 4rt [A/m]

R.5.2

Sumując pola od poszczególnych boków ramki (patrz R.5.1) otrzymuje­ my H = 0,1 ix + 0,1 -I- 0,138i. [A/m]

R.5.3

Poszukiwane natężenie pola ¥¥

NI

fn\

gdzie n oznacza wektor jednostkowy prostopadły do powierzchni wieloboku, zorientowany prawoskrętnie w stosunku do kierunku przepływu prądu. Dla JV oo otrzymujemy H = nl/(2r) (r oznacza promień okręgu opisanego na wieloboku). R.5.4

Z uwagi na osiową symetrię pola możemy — nie ograniczając ogólności ,

.

rozwiązania — przyjąć punkt obserwacji w półpłaszczyznie ę —

TC

tzn. P(}\ę,0) = P{rĄ,0). Niech ' oznacza współrzędną określającą położenie punktu źródło­ wego na zwoju.

P otencjał w ektorow y w punkcie

P

jest określony wzorem

2n a x

4 TC

it/2 sin

. MoIa f* 2n


o

w k tórym r t = ( r 2 Ą -a 1 —2ar sin Osin ę>')1/2 o zn a cza o d le g ło ść m iędzy p u n k tem źró d ło w y m a p u n k tem obserw acji. Przy w aru n k u r a m am y sin

0

1

sin

1 + - sin 0 sin

r i

dalej

r

n/2

. M o Ia A = -

[I ( 1 + -a sin 6a sin - cp sin
_

-M oIa

* 4 r2

2

-s in 0

gdzie m — n a 2I i z

x r Mo 4?ir3 mi Z Jsi, m

W ek to r indukcji m agnetycznej B = ro t A = - ~ (i 2 cos 0 + L sin 0) 4n r J

Płaski obwód prądowy obserwowany z dużej odległości nazywamy dipolem magnetycznym, a zdefiniowany wyżej wektor m o długość równej (w przyjętej skali) iloczynowi pola powierzchni i prądu obwod o kierunku wyznaczonym regułą śruby prawoskrętnej momente dipola. t

5.6

Niech płaszczyzny y = 0 i z = 0 będą płaszczyznami symetrii prze! poprzecznego przewodu, a kierunek 0x wyznacza kierunek przej prądu w przewodzie. Przyjmijmy ponadto, że dłuższy bok b pop nego przekroju przewodu jest równoległy do osi z. W ektor nat pola m agnetycznego w przewodzie ma składow ą tylko w kierunk Z prawa A m pere’a, przy uw zględnieniu warunku b 2HAv)b -

-bc

a w ięc

H = i, | - y

\bc

t\ otrzyn

Rys. R.5.2. Wyznaczanie pola magnetycznego wytwarzanego przez prąd powierzchniowy

R.5.7

Poszukiwane pole H jest sumą pól cząstkowych dH wytworzonych 6w punkcie obserwacji przez elementarne (tzn. o szerokości dy) strugi prądu powierzchniowego (rys. R.5.2). Pole każdej strugi elementarnej można łatwo wyznaczyć korzystając z prawa Ampere’a. Analizując dwie strugi położone symetrycznie względem punktu obserwacji nietrudno dojść do wniosku, że pochodzące od nich pole ma składową tylko wzdłuż osi y. Stąd wynika, że pole wypadkowe od całej płaszczyzny z = 0 ma także składową tylko wzdłuż osi y. Pozostaje zatem określić wielkość tej składowej. Mamy Jsdy cos a 2nr

-

k /2

dla z > 0 i H

i ostatecznie H =

J —i dla z < 0. 2 y

R.5.8

Korzystając z rozwiązania zadania 5.7 i zasady superpozycji obliczamy indukcję B w obu obszarach 9

B, = 400n0 iy [Wb/m2]

i

B2 = 600/ro i,

[Wb/m2]

oraz strumień magnetyczny na jednostkę długości i 4»2 = 75,4 10 6 [WB] 100,5 1 0 '6 [Wb] 1000ix [A/m] zJix = 200ZI, [A/m] H ==« L - 5 J i x = - -1000ix [A/m] II

R.5.9

f0 [A/m] z ^ 5 M = < 40021^ [A/m] |z| < 5 1^0 [A/m] z < —

B == nH

R.5.10 Cząstkowe pole dH pochodzące od elementu strugi prądu powierzch­ niowego jest określone wzorem (prawo Biota-Savarta) t

1

X f-

dH = dH(@, ę,z) = — J sq óq d

w którym r oznacza wektor wyprowadzony z punktu źródłowego o współrzędnych (£, ę, z) = (£, i + cos a i,) gdzie a = arc sin (e/r). Uwzględniając, że = —ixsinę + iycos(p i rozwijając iloczyn wekto­ rowy iv x r otrzymujemy J q dp dq> dH (o, o), z) = ------=-— =- [i* cos a cos q>-f r cos a sin
•

I.

o

do 2)13.2

2. o Wykonując całkowanie i kładąc z = 2 otrzymujemy poszukiwane natężenie pola w punkcie P (0,0,2) H

51 6 2 Vv f ^i

4 i,

[A/m]

b) 50 A

R.5.1I

a) 1 A;

R.5.12

Indukcja magnetyczna w kablu B = Lh) /*«• W = a/0 Mh-

/ 2710

b^ o^ a

Poszukiwany strumień a

d>

r

a

Pol 6n

Bdo

J b

19 Q

410

.i

do

Po obliczeniu całki i podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy =

2,9-10

(i

[Wb]

Strumień magnetyczny, indukcyjność, siła R.5.14 Przyjmijmy, że środek kuli o promieniu a pokrywa się ze środkiem układu współrzędnych i załóżmy, że kula obraca się wokół osi z w kie­ runku wyznaczonym przez wektor i^ Magnetyczny moment dipolowy ładunku dą zgromadzonego w elemen­ cie objętościowym dP, obiegającym oś z z prędkością kątową co po okręgu o promieniu r sin 0, jest określony wzorem co ę d Vn(r sin 9)2i 2n

dm Zatem

2n na /• r

co gn (r sin 0)2r2sin 9 dr d0 d q> m= i j 2n 000 coa2 , 4 • r* 21 —— iz [A •m2] - n a g 11 5 V3 Dla kuli z ładunkiem powierzchniowym mamy dm i

(o g.dsn (a sin 9)2i 2n 2n ti qs

k (a sin 0)2a2sin 0 d 6 dcp

00 [A •m2] R.5.15 Z bezźródłowości pola B wynika, że strumień wektora indukcji przez zamkniętą powierzchnię utworzoną przez czaszę i jej podstawę jest równy zeru. Zatem zamiast obliczać strumień przez powierzchnię czaszy można (łatwiej!) policzyć strumień przez podstawę czaszy. Ostatecznie = - B n b 2cos 120° = 10"3tc [Wb] R.5.17 Strumień magnetyczny objęty przez ramkę a

a

0

2_ x2 Hol f 2 V a d.x 2n j e

a2 —x 2

dx

-a

- a

Hol n

2

A*o/ 271

x = a

a2 —x 2 + fcarcsin

a

bx + a2 y/b 2 —a2 arc sin a(x + b ) \ x = - a

Poszukiwana indukcyjność wzajemna M = j f i 0(b - y / b 2~ a 2) [H]

RAI 8

Mo a % 2

R.5.19 M

H0b 2n

(c + a)(c + d) c(c + a + d)

R.5.20 Korzystając z prawa Ampere’a wyznaczamy natężenie pola magnetycz­ nego o obrębie przewodu (zakładamy, że oś przewodu pokrywa się z osią z) tf =

J —

2

[A/m]

^

Energia pola magnetycznego zmagazynowana w przewodzie (na jedno­ stkę długości przewodu) b

b 2

kqćlq

=

o

Mo/ 2 [J/m] 16rc

t e v 2’w d l' o

Jednostkowa indukcyjność wewnętrzna przewodu [H/m] Analogicznie, dla przewodu rurowego mamy H

I e 2n(b2—a2)

b Q

[A/m]

b

a

Q

a

wm fn

/ Mo 8 n2(a2 —fc2)

Q

6

2nq d q

[ J/m]

[H/m] R.5.21 Jednostkowa indukcyjność przewodu wewnętrznego jest określona wzorem (patrz R.5.20) Mw> = ~

. [H/m]

Pozostaje zatem obliczyć indukcyjność zewnętrzną linii. Energia magnetyczna zmagazynowana w obszarze między przewodami linii (na jednostkę długości linii)

a

a

w„ft!

- B *H ) 2%q

2

kq

dg

V

b

b a

/*

/ 2 /i° V2ne 1

/* o /\ « ri/ n - * r ‘% [J/m]

2tc£ dg

Jednostkowa indukcyjność zewnętrzna g ln ^

L ( Z, _ L

l

-

~

¥

[H/m]

~

Ostatecznie L

, = L(1W)+ L \ z>

£(i+taś

R.5.22 a) M = 0,25L/z;

b) M = L/z-

[H/m] c) M = L/z;

d) M = L/z.

R.5.23 Wskazówka: ponieważ <| a2, przeto można przyjąć, że mniejszy zwój jest umieszczony w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji odpowiadającej wartości indukcji w geometrycznym środku większego zwoju. Przy tym założeniu otrzymujemy _ ł* 0 nai M = cos a 2a2

[H]

^ Tjll

a b

R.5.24 Li -

[H/m]

R.5.25 Oznaczając przez x stosunek prądów / 1/ / 2 mamy Wm

l , 1 I2 1 2 - L 1x 2 + Mx + - L 2

Pochodna dW/dx przyjmuje wartość zero dla x z czym minimalną energię układu określa wzór (WJ m* m i n

/? ~ L 2 2 2

M / L x, w związku

1M 2 L,

Z warunku (W^„)min > 0 otrzymujemy M ^ St' L x L 2 R.5.26 Uwzględniając nierównomierny rozkład indukcji w poprzecznym prze­ kroju rdzenia otrzymujemy a

l

=i

P fiizl hdg 2kq

uz2h , a ----- In 2k

b

Zakładając równomierny rozkład indukcji w przekroju jw. mamy

z [izI

L

h(a —b)

uz2h „a —b -— 2 2k a + b --------------------------

I InQi, Względny błąd popełniany przy rachunku przybliżonym wynosi około 0,7%. R.5.27 Przewody są ściągane w kierunku geometrycznego środka trójkąta równobocznego, przez wierzchołki którego przechodzą; na każdy przewód działa siła F = 3,46* 10“4 N/m. R.5.28 Wektor indukcji B pola magnetycznego wytworzonego w punkcie obserwacji P (x , y, z) = P (x, 0, d) przez prąd przepływający w przewodzie taśmowym ma składową tylko wzdłuż osi y, określoną wzorem

2o w którym Js = //w, a a0 = arc tg (w/2d). Siła, z jaką działają na siebie przewody (na każdy metr ich długości) . Ho I*o\ = Ho I 2<*o • ly nW ) nW 1 1 R.5.29 F = -

I2

Siła nie zmieni się, jeśli jeden z pasków zastąpimy przewodem o ko­ łowym przekroju poprzecznym. W obydwu przypadkach przewody odpychają się. R.5.30 Wychodząc z prawa Ampere’a wyznaczamy (metodą superpozycji) rozkład natężenia pola magnetycznego w układzie, a następnie oblicza­ my energię magnetyczną (na jednostkę długości) zmagazynowaną w ob­ rębie każdego z przewodów linii Wm

=

[J/m]

i energię w obszarze między przewodami =

[J/m]

Poszukiwana indukcyjność jednostkowa linii ,

R.5.31

_ 2 (2 ^ +^ ) I2 *- [N]

[H/m]

R.5.32

Przyjmijmy, że cewka 1 leży w płaszczyźnie z = O, a cewka 2 w pła­ szczyźnie z = d. Niech oś z będzie wspólną osią cewek. Korzystając z R.5.4 wyznaczamy potencjał wektorowy A21 pola magnetycznego wytworzonego przez prąd płynący w cewce 1 w punkcie obserwacji położonym na uzwojeniu cewki 2 ^ . P o Zl h a \ «2 ^ • Ho Zl I l a i a 2

. 21

4 r2

l
r

Indukcyjność wzajemna cewek 2n A2i df

A2i < x2

fi0z l z 2 najal 2{d2 + a\)*i2

o Korzystając z zasady pracy wirtualnej mamy SM

U l/

s7

. j r ^^0z l z2Ka2l a2 2d ,= 1 2 2(
.

m2 2nd4

gdzie wij i wi2 oznaczają, odpowiednio, miary momentów magnetycz­ nych cewek 1 i 2 m i =

z \ /i ^ 1

m 2 “

Z2 /2 ^ 2

R.5.33 Wielkość siły wzajemnego oddziaływania przewodu i ramki określa wzór

Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy F = 1,94* 10' 5 N. Ramka i przewód przyciągają się, jeżeli kierunek przepływu prądu w elemencie ramki położonym najbliżej przewodu jest zgodny z kie­ runkiem przepływu prądu w przewodzie. R.5.34 Indukcja B pola magnetycznego wytwarzanego przez namagnesowaną bryłę na zewnątrz tej bryły jest identyczna z indukcją pola, jakie wytwarzałyby w próżni prądy magnetyzacji: przestrzenny i powierzch­ niowy o gęstościach, odpowiednio J = rot M Js = M xn

we wnętrzu bryły na powierzchni bryły

(w oznacza wersor prostopadły do powierzchni bryły — skierowany na zewnątrz bryły). W przypadku analizowanym w zadaniu mamy J =0

i

Js = (Miz) x iQ= M i,

Indukcję magnetyczną na osi r, pochodzącą od elementarnej strugi prądu powierzchniowego, umiejscowionej w płaszczyźnie z' określa wzór

dB

H0 Ma2dz' i 2 [(z—z')2 + a2] 3/2

Mamy zatem ł> r ju0 Ma B i dz' 2[(z —z')2 + a2] 3/2 o

i

b

2

R.5.35 H 2 ■ -3 M „r

H= =

.m

b)2 + a2 J

z2 + a 2 0^ r< a

m = -—t (L sin 6 + ir 2 cos 0) 4nrJ

«r

^ 4 ^

a
B =--fi0(H + M) = 5 " » h

0^ r
B ==Mo H

a
R.5.36 a) L = 5 mH,

b) L = 750 mH,

c) L = 193 raH

R.5.37 Zadanie rozwiązujemy pomijając strumień rozproszenia i zakładając, że rozkład pola w poprzecznym przekroju rdzenia jest równomierny z wartością równą tej, którą przyjmuje H i B, odpowiednio, na osi poprzecznego przekroju rdzenia. Indukcja Br w rdzeniu i Bp w szczelinie powietrznej ma tę samą wartość, co wynika z bezźródłowości pola B B

B

B

0 Ttr

10

- 5

7t(25-10-3)2

5,09 • 103 [T]

Obliczamy natężenie pola magnetycznego Hp w szczelinie i Hr w rdzeniu H = — « 4,05 • 103 [A/m] Ho Z prawa Ampere’a

H = — s 1,35 HwHo

[A/m]

Hp lp + Hrlr = Hp lp+ Hr(2nR - /„) = zl Po podstawieniu wartości liczbowych i wykonaniu elementarnych obliczeń otrzymujemy / = 25,6 mA. R.5.38 Z prawa Ampere’a mamy //, /, + H 2 l2 = zł Z warunku ciągłości strumienia magnetycznego w rdzeniu wynika, że B2 = B, — czyli s2 Mamy zatem

//, = / / . — S2

zl

H. / , + / / . - / , = zl S-, *

2

= 571 A/m dla / = 0,4 A

o > 3

&:

Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy dla / = 1,2 A

Z krzywej magnesowania Bi = 0,57 T dla / = 0,4 A

i

Bi = 1,14 T dla / = 1,2 A

Zatem = 57 10’ 6 Wb

dla dla

/ ==0,4 A / =: 1,2 A

Obliczenie szerokości szczeliny powietrznej Wychodząc z zadanej wartości strumienia

Wyznaczamy natężenie pola magnetycznego w poszczególnych odcinkach obwodu Hi = 800 A/m HpP =

Bp

0,8

H

1000 A/m

A/m

Fo Fo Na podstawie prawa Ampere’a mamy H l (ll - l p) + H plp + H 2l2 = zl skąd P

z l - ( H l ll + H212) Hp- H t

Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy lp = 0,35 mm. R.5.39 L = 188,5 mH dla połączenia zgodnego i L = 7,7 mH dla połączenia przeciwnego. R.5.40 Przy pominięciu strumienia rozproszenia i założeniu równomiernego rozkładu pola w szczelinach powietrznych otrzymujemy F = 20 N. R.5.41

Przy pominięciu strumienia rozproszenia i założeniu równomiernego rozkładu pola magnetycznego w szczelinach powietrznych warunek udźwigu elektromagnesu przyjmuje postać mg = Ts gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim, a T = 0,5B2/g0 oznacza wielkość siły powierzchniowej działającej na dźwigany obiekt (B indukcja magnetyczna w szczelinie).

Z prawa Ampere’a, przy uwzględnieniu warunku brzegowego na powierzchni brzegowej szczeliny powietrznej, otrzymujemy Hp^ l r + Hp2lp = zl czyli Bi — + 2 — ) = zł \t*r

f*0/

Łącząc powyższe zależności dochodzimy, po przekształceniach, do wzoru 2; = ( ' i + 2 i j I E ™ . \V, / W V s Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy zł = 1300 Az.

R.6 Ruch cząstek naładowanych w polach statycznych Umieśćmy układ współrzędnych prostokątnych 0xyz tak, aby wektor E miał jedną składową, np. E = Eiz (rys. R.6.1). Niech w chwili początko­

wej t0 = 0 cząstka ma współrzędne x0 = y0 = z0 = 0 oraz prędkość v0 = vy0, dz0]. Równania ruchu cząstki mają więc postać d 2X

n

md ? = 0'

d 2y

n

d 2Z

md ? - , £

Całkując dwukrotnie te równania względem czasu otrzymujemy dx dt

_

dy ^ ~n = ^ 3 ’ dt

Az ąE _ "77” m ^+ ^5 dt

oraz Cx r + C2,

y = C3f + C4,

z

qE t2 + Cs t + C, m 2

Stałe całkowania możemy wyznaczyć z warunków początkowych I tak ^1

~

VxO>

^3

~

C2 = c 4 = c 6 =

VyO>

Cs

~

Vz0

o

Zatem rozwiązania równań ruchu mają ostatecznie postać X == «V0 t y == 'Vo t ąE z= t2 + vz0 t 2m Są to parametryczne równania toru. Z dwóch pierwszych równań wynika, że rzut toru na płaszczyznę Oxy jest linią prostą postaci

Zatem tor cząstki leży w płaszczyźnie wyznaczonej tą prostą i osią Oz. Równanie toru w tej płaszczyźnie można otrzymać wprowadzając nową współrzędną Q= = V7V*0 + VyOt wyznaczając z powyższej równości czas t i podstawiając t do wzoru na zmienną z qE Q2 { 'Vo 2m v2 x0 + v20 J vl Q+ V Q 2

Widać, że jest to równanie paraboli. Przyrost energii kinetycznej cząstki poruszającej się w polu elektrycz­ nym jest równy pracy wykonanej przez to pole. Zakładając, że prędkość cząstki jest na tyle mała, że spełniony jest (v V warunek 1-1 1, można uważać, że przyrost energii kinetycznej cząstki jest związany z przyrostem jej prędkości. Oznaczając przez vx prędkość cząstki w punkcie o potencjale l / p a przez v2 prędkość cząstki w punkcie o potencjale U2 można napisać równanie

q(U2- U l)

^ m i'2

Jeżeli prędkość początkowa cząstki Vj — 0, a różnicę potencjałów pomiędzy rozpatrywanym punktem pola i punktem, w którym rozpo­ czął się ruch, potraktujemy jako napięcie przyspieszające U 9 to

u p = u 2- u Ł to pod wpływem tego napięcia cząstka nabiera prędkości p

Dla cząstek o ładunku ujemnym napięcie przyspieszające musi być dodatnie, dla cząstek o ładunku dodatnim ujemne. Dla elektronu ^ 2 ^ 5 , 9 3 - K

) ^

przy czym v jest w m/s, zaś U w woltach. Tak więc napięcie przyspieszające 1 V nadaje elektronowi prędkość 593 km/s. m c2 \ ą \ 200 a) U ^ 2,55 kV,

b) U

-4,69 MY

a) 9,38 ■107 m/s b) W przypadku relatywistycznym energia kinetyczna elektronu wyra­ ża się wzorem Wk = mec2(g—\) gdzie czynnik Lorentza 1 4 1+

v

Porównując energię kinetyczną elektronu z pracą pola elektrycznego można wyznaczyć g g

cUD 1 + ---mcc

u.

gdzie Lc

mcc e

5,11 • 105 V

Znając g można wyznaczyć prędkość elektronu

w naszym przypadku g ^ 1,049 oraz v % 0,302c « 9,05 *107 m/s R.6.5

Czas przelotu elektronu tp pomiędzy dwiema płaszczyznami znajdują cymi się w odległości d może być wyznaczony ze wzoru d

t

/• dx VW

o Przyjmując, że / l>(x) = J 2 — y/U(x) V mamy d 1 f dx t„F - 1 i c J v/ U(x) o /2 V me Podstawiając U (.v) = V a t

d

2

otrzymujemy

d

d

2/3

m

X

4 3

dx 2/3 x u. o

3d 2 — Ua m

Dla danych liczbowych z zadania: t ^ 2,53 *10 9 s R.6.6

t

2d

1,69 ns

2 — Ca m R.6.7

Umieśćmy układ współrzędnych prostokątnych 0x>z tak, aby pole elektryczne miało jedną składową E = [0,0, E] oraz cząstka w chwili początkowej r0 = 0 miała współrzędne x 0 — y0 = z0 = 0 oraz prędkość v0 = [0, v0, 0]. Równania ruchu cząstki mają postać

gdzie E —

o

Całkując dwukrotnie te równania otrzymujemy dx dr

dz dr

dy dt

qUo t md

C

oraz x = Cj r + C2,

qVp *2 + Cc r + C md 2

y = C3 r + C 4 ’

Z warunków początkowych wynika, że Cj = C 2 = C 4

—

C w 5

c6

^

0

i

C3 —

Stąd rozwiązania równań ruchu mają postać x = 0,

y = v0 r,

ąU0 t md 2

Cząstka opuści kondensator w chwili f,

l w punkcie o współvo

rzędnych x = 0,

y = /,

2md Vvo

o ile d < 2 Zatem maksymalne napięcie stałe przyłożone do okładek kondensatora musi spełniać warunek m (d L

'o ' n

^

\q\\l

—

I

~

I

Vq

Dla elektronu i danych liczbowych z zadania: Uo

12,8 V

Załóżmy, że w chwili r0 = 0 elektron wpada w obszar pola elektrycznego płytek odchylających. Wprowadzając układ współrzędnych 0xyz tak jak dla kondensatora płaskiego w R.6.7, można skorzystać z niektórych wyprowadzonych tam wzorów. Ponieważ za obszarem płytek odchyla­ jących na elektron nie działa żadna siła, więc pomiędzy płytkami a ekranem będzie on poruszał się ruchem jednostajnym prostoliniowym z prędkością V*± d v0_ gdzie a

v

y = i

me d Vo

1 / Ud 2 dU a

Zatem . (u u ‘ a - arC'8 l2 d V . Widać, że identycznie jak elektron będą odchylane jony ujemne, gdyż ani ładunek, ani masa cząstki nie mają wpływu na kąt odchylenia cząstki. Dla danych liczbowych z zadania a % 11,3°. R.6.9

a) P = 2ocmax Ponieważ Udmax

a

więc d U P = 2 arc tg - , liczbowo: p % 28,1 d + Lt ga max 2

b) hmax

1 L d + 2 l

liczbowo: hmax = 4 cm c) t

l vo

l

liczbowo: t

2 — Ua m i_ L- + 2

1/ U R.6.10 h = 2 dU

stąd: s = 1 ^ ^ 2d U. R.6.11

0,75 ns

liczbowo: s

0,16 mm/V.

Niech w chwili t0 = 0 elektron ma współrzędne x 0 = y0 = z0 = 0 oraz prędkość v0 = [0, r 0, 0] gdzie v0 =

a

Wzdłuż osi Oy elektron przesuwa się ruchem jednostajnym z prędkością i;0, natomiast w kierunku osi Oz w obszarze pomiędzy płytkami równanie ruchu elektronu ma postać - e E z{y)

Składowa z prędkości zmienia się wzdłuż osi 0y w następujący sposób y

dz d7

Ez (y) dt

me

mC W 0

J

0

EJy)

dv Vo •

Pomijając zjawiska brzegowe

r

a przyjąć, ze

U d2 dl d1+ y /

EAy)

Po podstawieniu i scałkowaniu otrzymujemy vz (y)

l e U ln me v0 d2- d 1

i y

Kąt odchylenia wiązki elektronów jest określony wzorem v arc tg v

y=i

d2 lnT ud i me vl dxd^ 1 dl

1 d2

l n T 1 U, l

2 U adl d1 d,

1

Kąt odchylania lampy "

P

2a max

2 arc tg

1 Udmax 2 l/a

\

i ^ i 'n T<

Maksymalne napięcie odchylające

1 wyznacza się z warunku

d 2 Składowa z położenia elektronu może być określona ze wzoru /• dy My) V0 o

- (y)

Po podstawieniu wzoru na M y) i scałkowaniu otrzymujemy

:(/)

-

d i u , I2 d. 2 UA

i+ i d2 di

1

_d± stąd

dt d dj _ /2 d ln — dx “i

U rfmax

1 L;0 1+1

oraz d P = 2

arc tg

Id 41 2 l d d ln d. dx

1 ) in / di 1 +1

Z kolei ^2_ d + Lt ga max ?

hm a x

d. ~7

1+

L

lllnl _

T 5

d, h if

11 + 1

Dla danych liczbowych z zadania

P K.6.12

=

36,7

kj

oraz

hmax

5,33 cm

Elektron będzie poruszał się po okręgu, jeżeli siła, z jaką oddziałuje na niego pole elektryczne, będzie równa sile dośrodkowej potrzebnej do utrzymania ruchu po okręgu _

me t*ó So

czyli *

Ł'o 1 e -

mc li 0o

a

skąd mamy

Widać, że wymagane napięcie nie zależy od wartości Dla danych liczbowych z zadania: U 0 ^ 394 V.

q

0

R.6.13 Równania ruchu elektronu najprościej zapisuje się w układzie współ­ rzędnych biegunowych (g, ę ) w płaszczyźnie prostopadłej do osi kon­ densatora. Pierwsze równanie wynika z zasady zachowania momentu pędu cząstki w polu siły centralnej, gdyż taki właśnie charakter ma siła pola elektrostatycznego kondensatora wywierana na elektron. Stąd 2 <1