ZRY lista 5

Zadanie 1

Instytucja prowadzi testy wsteczne modelu VaR z wykorzystaniem danych z 600 dni. Poziom pewności dla VaR wynosi 99% i zaobserwowaliśmy 2 wyjątki. Oczekiwana liczba wyjatków wynosi 6. Czy powinniśmy odrzucić taki model VaR ? Zakłada się 5% poziom istotności testu. 1. Zastosuj test jednostronny 2. Zastosuj test Kupca Odpowiedź. Wyjątek to dzień, kiedy strata przekroczyła wartość VaR. 1. Przyjmujemy hipotezę początkową, że prawdopodobieństwo wystąpienia wyjątku wynosi 1 %, przeciw hipotezie, że prawdopodobieństwo to ‫ܪ‬଴ : ‫ = ݍ‬0,01

݊ଵ - liczba przekroczeń wartości VaR

‫ܪ‬஺ : ‫ < ݍ‬0,01

݊଴ – liczba okresów,kiedy nie wystąpiło przekroczenie

Ponadto, ݊ = ݊଴ + ݊ଵ

Z wartości rozkładu dwumianowego wynika, że prawdopodobieństwo wystąpienia ݊ଵlub mniej wyjątków wynosi ௡భ

݊! ݊ ܲሺ݊ଵ ሻ௤ = ቀ ቁ ‫ ݍ‬௞ ሺ1 − ‫ݍ‬ሻ௡ି௞ = ෍ ‫ݍ‬௞ ሺ1 − ‫ݍ‬ሻ௡ି௞ = ݇ ݇! ሺ݊ − ݇ሻ! ௞ୀ଴

=

600! 600! 600! 0,01଴ 0,99଺଴଴ + 0,01ଵ 0,99ହଽଽ + 0,01ଶ 0,99ହଽ଼ = 0,061076 0! 600! 1! 599! 2! 598!

Prawdopodobieństwo wystąpienia wyjątku wynosi 6,11%,zatem przekracza 5% próg i nie ma podstaw do odrzucenia tego modelu VaR.

2. Jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia wyjątku w ramach danego modelu obliczania VaR wynosi p, a w n próbach zaobserwowano m wyjatków, wówczas (1): −2 ln ቈ

ሺ1 − ‫ݍ‬ሻ௡బ ‫ ݍ‬௡భ ቉ ~߯ଵଶ ሺ1 − ‫ݍ‬ොሻ௡బ ‫ݍ‬ො ௡భ

Gdzie statystyka testowa ma postać: ‫ݍ‬ො =

݊ଵ 2 = = 0,0033 ݊଴ + ݊ଵ 600

Wartość zmiennej ߯ଵଶ dla 5% poziomu istotności wynosi 3,841. Obliczamy wartość statystki (1): −2 ln ቈ

= −2 ln ቈ

ሺ1 − ‫ݍ‬ሻ௡బ ‫ ݍ‬௡భ ቉= ሺ1 − ‫ݍ‬ොሻ௡బ ‫ݍ‬ො ௡భ

0,99ହଽ଼ ∙ 0,01ଶ ቉ = −2 ln 0,16266 = −2 ∙ ሺ−1,816112ሻ = 3,6322 0,9967ହଽ଼ ∙ 0,0033ଶ

Jak widać,wartość statystyki jest mniejsza niż obliczona wcześniej wartość zmiennej. Stąd, na poziomie istotności 5% nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, mówiącej, że prawdopodobieństwo przekroczenia wartości VaR wynosi 1 %. Zatem, na podstawie zastosowanych testówjednostronnego oraz dwustronnego testu Kupca nie ma podstaw do odrzucenia metody obliczania VaR stosowanej przez instytucję.

Zadanie 2 Wartość zagrożona jest szacowana przy poziomie tolerancji 1%. W ciągu ostatnich 600 dni dzienna strata przekroczyła wartość zagrożoną prognozowaną na dany dzień w 8 przypadkach. Przy tym były 3 dni takie, że przekroczenie nastąpiło po dniu, w którym nie było przekroczenia i 5 takich, że przekroczenie nastąpiło po dniu, w którym było przekroczenie. Okresów dwudniowych, w których żadnego dnia nie wystąpiło przekroczenie było 586. Dni, bez przekroczenia, poprzedzonych dniem z przekroczeniem było 6. Do testowania modelu VaR wykorzystano test Christoffersena niezależności przekroczeń w czasie. Przyjęto, że poziom istotności testu wynosi 5%. Czy należy odrzucić model stosowany przez tę instytucję ze względu na zależność przekroczeń?

Statystyka testowa ma postać: ‫ܴܮ‬௜௡ௗ = −2 ln ቈ

ሺ1 − ‫ݍ‬തሻ௡బబ ା௡భబ ‫ݍ‬ത௡బభ ା௡భభ

௡బభ ௡భభ ሺ1 − ‫ݍ‬ො଴ଵ ሻ௡బబ ‫ݍ‬ො଴ଵ ሺ1 − ‫ݍ‬ොଵଵ ሻ௡భబ ‫ݍ‬ොଵଵ

቉ ~߯ଵଶ

Gdzie: n01 – liczba dni, w których wystąpiło przekroczenie, o ile dnia poprzedniego nie było przekroczenia, n11– liczba dni, w których wystąpiło przekroczenie, o ile dnia poprzedniego również wystąpiło przekroczenie; n00 – liczba dni bez przekroczenia, o ile dnia poprzedniego nie było przekroczenia n10 – liczba dni bez przekroczenia, o ile dnia poprzedniego wystąpiło przekroczenia qˆ ij – estymator prawdopodobieństwa warunkowego wystąpienia stanu j, pod warunkiem, że dnia poprzedniego wystąpił stan i: ‫ݍ‬ො଴ଵ = ‫ݍ‬ොଵଵ =

݊଴ଵ ; ݊଴଴ + ݊଴ଵ ݊ଵଵ ; ݊ଵ଴ + ݊ଵଵ

‫ݍ‬ത ෙ – estymator bezwarunkowego prawdopodobieństwa przekroczenia: ‫ݍ‬ത =

݊଴ଵ + ݊ଵଵ ݊଴଴ + ݊଴ଵ + ݊ଵ଴ + ݊ଵଵ

Wiemy, że ݊଴ଵ = 3, ݊ଵଵ = 5, ݊଴଴ = 586, ݊ଵ଴ = 6 Testujemy hipotezę zerową, że

przeciw hipotezie alternatywnej:

‫ܪ‬଴ : ‫ݍ‬଴ଵ = ‫ݍ‬ଵଵ = ‫ݍ‬ത ‫ܪ‬଴ : ‫ݍ‬଴ଵ ≠ ‫ݍ‬ଵଵ

Obliczenia: ‫ݍ‬ො଴ଵ =

݊଴ଵ 3 = = 0,005093; ݊଴଴ + ݊଴ଵ 586 + 3

‫ݍ‬ොଵଵ = ‫ݍ‬ത =

݊ଵଵ 5 = = 0,454545 ݊ଵ଴ + ݊ଵଵ 6 + 5

݊଴ଵ + ݊ଵଵ 3+5 = = 0,01333 ݊଴଴ + ݊଴ଵ + ݊ଵ଴ + ݊ଵଵ 600

Stąd ‫ܴܮ‬௜௡ௗ = −2 ln ቈ = −2 ln ቈ

ሺ1 − ‫ݍ‬തሻ௡బబ ା௡భబ ‫ݍ‬ത௡బభ ା௡భభ

௡బభ ௡భభ ሺ1 − ‫ݍ‬ො଴ଵ ሻ௡బబ ‫ݍ‬ො଴ଵ ሺ1 − ‫ݍ‬ොଵଵ ሻ௡భబ ‫ݍ‬ොଵଵ

቉=

0,98667ହଽଶ ∙ 0,01333଼ ቉= 0,994907ହ଼଺ ∙ 0,005093ଷ ∙ 0,545455଺ ∙ 0,454545ହ = −2 ∙ ሺ−16,0754429ሻ = 32,150886

Z tabeli wartości krytycznych rozkładu ߯ଵଶ dla 5% poziomu istotności odczytujemy, żewartość ta wynosi 3,841. Wartość statystki ‫ܴܮ‬௜௡ௗ = 32,1509 przewyższa wartość ߯ଵଶ równą 3,841. Stąd, na poziomie istotności 5% należy odrzucić hipotezę zerową nakorzyść hipotezy alternatywnej i tym samym należy odrzucić nasz model obliczania VaR ze względu na zależność przekroczeń w czasie.